Sist cont i_conf3_2014

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SISTEMAS DE CONTROLE ISISTEMAS DE CONTROLE IDr. Miguel A. Rodríguez Borroto

Escola Superior de Tecnologia (EST)Universidade do Estado de amazonas (UEA)

e-mail: mrb1940@gmail.com

SISTEMAS DE CONTROLE ISISTEMAS DE CONTROLE I

CONFERENCIA 3CONFERENCIA 3

Modelagem Matemático da Dinâmica Modelagem Matemático da Dinâmica de Sistemas (Segunda parte): de Sistemas (Segunda parte):

Modelagem de sistemas de Modelagem de sistemas de controle no espaço de estado. controle no espaço de estado.

ConteúdoConteúdo• Introduçao à teroria moderna do controle.• Modelagem de sistemas de controle no

espacio de estados. • Conceitos, equações de estado.

• Correlação entre FT e equações de estados.

Bibliografia: Ogata, K. Engenahria De controle moderna, 5ta edição, Cap2, Pags. 58-65.

OBJETIVOSOBJETIVOS

•Familiarizar-se com os conceptos de estado, variáveis de estado (VE) e equações de estado (EE).

•Conhecer a correlação que existe entre função de transferência (FT) e equações de estado.

•Conhecer a representação matricial das equações de estado.

•Determinar o modelo de estado de sistemas físicos típicos.

Teoria de controle ModernoTeoria de controle Moderno

A tendências atual dos sistemas de engenharia é no sentido de aumentar sua complexidade em função, da necessidades de realizar tarefas complexas e com requisitos de boa precisão.

Sistemas complexos podem ter muitas entradas e muitas saídas e podem ser variantes no tempo.

A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigoroso quanto ao desempenho de sistemas de controle, o aumento de complexidade dos sistemas e a facilidade de acesso aos computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderna, iniciada desde 1960 como uma nova forma de analisar e projetar sistemas complexos.

Esta nova abordagem é baseada no conceito de variáveis e equações de estado.

Então, a toda a estruturação da teoria de controle, apoiada neste concepto, é o que se chama teoria de controle moderno.

Mas este conceito no é novo, tem existência há longo tempo no campo da dinâmica clássica.

Realmente, o procedimento de encontrar e escrever as equações de estado de um sistema físico, no é mais que o procedimento de descrever a equação diferencial que define seu desempenho em sua forma normal.

O qual não é mais que, a representação da equação diferencial em termos de suas derivadas de distintos ordenes.

Por exemplo: Seja o sistema cuja dinâmica é descrita pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:

y by cy u( t )

Este sistema em sua forma normal torna-se como:

O qual, como veremos mais adiante é a representação de nosso sistema em equações e

variáveis de estado.

x yx y

x y xx y ay by u( t ) ax bx u( t )

Teoria de controle moderno versus teoria de Teoria de controle moderno versus teoria de controle convencionalcontrole convencional

A teoria de controle moderno contrasta com a teoria de controle convencional no sentido de que a primeira é aplicável a sistemas com entradas e saídas múltiples, lineares ou não-lineares ou invariantes no tempo, em quanto a segunda é aplicável só a sistemas mono-variável. Alem disso, a teoria de controle moderno é uma abordagem baseada somente no domínio do tempo, em quanto a teoria convencional adota um enfoque no domínio da freqüência complexa.

Conceitos fundamentais de Teoria de controle Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernomoderno

Concepto de Estado:Concepto de Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor número de variáveis (variáveis de estado) de modo que o conhecimento de seus valores em

t = t0, junto como o conhecimento dos valores do sinal de entrada para t 0, se pode determinar

totalmente o comportamento do sistema em qualquer instante t t0.

O conceito de estado não está limitado somente aos sistemas físicos; se aplica também ao

sistemas biológicos, econômicos, sociais, etc.

Variáveis de estado:Variáveis de estado: É o menor conjunto de variáveis que determina o estado do sistema dinâmico. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1, x2, . . . ,xn, para descrever o comportamento de um sistema (demodo que conhecidos os valores de entrada em t t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do sistema esteja completamente determinado), então tais n variáveis dizem-se as variáveis de estado desse sistema.

Vetor de EstadoVetor de Estado• Se n variáveis de estado são necessárias para

descrever completamente o comportamento de um sistema, então estas n variáveis de estado podem ser consideradas as componentes de um vetor x no espaço n-dimensional. Um tal vetor é chamado vetor de estado.

• Portanto, um vetor de estado é um vetor que determina o estado x(t) do sistema para qualquer instante t t0, uma vez conhecido o estado em t = t0 e uma função de entrada u(t) também para todo t t0.

Espaço de estado Espaço de estado É o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem dos eixos x1, x2,. . ., xn.Qualquer estado particular num instante t=to pode ser representado por um ponto no espaço de estado.

Equações de estadoEquações de estado• A analise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada,variáveis de saída e variáveis de estado.• As equações de estado são as que relacionam as variáveis de estado e as entradas e saídas do sistema para definir seu comportamento dinâmico no tempo.

• A representação de um sistema em variáveis de estado não é única, exceto que o número de variáveis de estado sim é o mesmo para qualquer das diferentes representações do sistema.

Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados

Seja a seguinte equação diferencial, de orem n, no tempo que define o comportamento dinâmico de um sistema:

Podemos definir um conjunto de variáveis que poderiam ser escolhidas em relação direta com as derivadas do sistema:

( n ) ( n 1 )

1 n 1 ny a y a y a y u

Assim a equação (1), pode ser reescrita como a seguir:

Matematicamente, o sistema (3) se diz que é a decomposição normal do equação (1) como já falamos.

As quais são conhecidas como equações de estado do sistema.

Portanto, a equação diferencial de ordem n fica transformada num conjunto de n equações diferenciais

de primeiro ordem.Logo, podemos organizar elas em forma de equação

matricial:

(4)Onde:A matriz A de ordem (n,n) é a matriz de coeficientes ligados as variáveis de estado do sistema.

B (n,r) é a matriz de coeficientes do sinal de entrada; onde, r é o numero de variáveis de entrada.

Na saída teremos a variável y:Conhecida como Equação de saída.

Podendo ser escrita matricialmente como a seguir: (6)

Onde: A matriz C de ordem (1,n) é a matriz de coeficientes ligados as variáveis de estado do sistema.

A matriz D de ordem (1,r) é a matriz de coeficientes do sinal de entrada.

Podemos então escrever finalmente (4) como segui:

E a equação de saída (6) torna-se como segui:

aaa001000010

12n1nn

Se a saída não depende do sinal de entrada u, então D=0 (matriz nula).

Nesse caso uma realização destas equações é o diagrama de bloco que se mostra na figura seguinte:

Fig. 1

Observe-se que a função de transferência:

é dada também pelas equações (4) até (6) com D = 0.

Agora considere-se o caso mais geral admitindo que o sistema é multivariáveis (múltiples entradas e múltiples saídas) envolva n integradores. Suponha-se também, que haja r sinais de entrada u1, u2,,. . . ,ur e m sinais de saída y1, y2,. . ., ym.

Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estadosDefinam-se as n variáveis de saída dos integradores como as variáveis de estado x1, x2,. . .,xn. O sistema pode então ser descrito como:

Os valores das saídas do sistema estão dadas por:

Definindo-se:

Então as equações (9) e (10) podem-se escrever como:

(13)Se as equações anteriores são linearizadas, então resulta o sistema linear em notação matricial seguinte:

(14) (15)

Onde igualmente que em o caso anterior:A(t): Matriz de estado de ordem (n,n)B(t): Matriz de entrada de ordem (n,r)C(t): Matriz de saída de ordem (m,n)D(t): Matriz de transmissão direta de ordem (m,r)

Representação no diagrama de blocoRepresentação no diagrama de bloco

As equações (14) e (15) se representam em bloco como segui (Fig. 2).

Fig. 2

Exemplo 1Exemplo 1Considere o sistema mecânico indicado na Fig. 3 seguinte:

Fig. 3

Exemplo 1: Exemplo 1: Sistema massa, mola, Sistema massa, mola, amortecedor:amortecedor:

Plantando o principio de conservação da energia, através do balance de forças no sistema se tem o seguinte modelo:

Trata-se de um sistema simples entrada - simples saída de segunda ordem, o qual não implica que o sistema tem dois integradores:Definem-se as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como segui:

Exemplo 1Exemplo 1

Resulta então:

Exemplo 1Exemplo 1

A equação de saída é:

Em notação matricial se tem:

Exemplo 1Exemplo 1

E a equação de saída fica como:

As equações do sistema estão agora padronizadas:

Exemplo 1Exemplo 1

Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência

No que segui, será mostrado como obter a função de transferência de um sistema mono variáveis a partir das

equações de estado.Considere o sistema cuja função de transferência e da

forma:

Y ( s )G( s )U( s )

O diagrama de bloco para o exemplo 1 se mostra na Fig. 4.

Fig. 4

Transformando por Laplace à forma padronizada (23) tem-se:

Já que a FT define-se para condições iniciais zero se tem que x(0) = 0, então fica:

Ou seja: (27)

Deve ter-se presente que a notação é matricial e portanto a manipulação das equações anteriores deve fazer-se aplicando o álgebra matricial.Premultiplicando (27) por à esquerda por (sI-A)-1 tem-se:

Substituindo (28) em segunda equação de (6.25) fica:

Portanto a função de transferência é:

Observe-se que o segundo membro de (6.30) envolve (sI-A)-1 .Então a equação pode escrever-se com:

Onde Q(s) é um polinômio em s e sI-A= determinante de SI-A.Então sI-A = 0 é o polinômio característico do sistema.

Ou seja-se, os autovalores de A o raízes de sI-A=0 são os pólos de G(s), ou seja do sistema.Consideremos de novo o sistema do exemplo 1.Nesta caso, substituindo os valores de A, B, C, e D dado em (24) em (30) tem-se:

Posto que:

Tem-se:

Os alunos devem verificar este resultado diretamente da equação diferencial (16)

Matriz de transferênciaMatriz de transferência

A matriz de transferência G(s) relaciona a saída Y(s) com a entrada U(s), portanto:

Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação

Seja o sistema linear de orem n com derivadas na excitação cujo modelo matemático é a equação diferencial seguinte:

Então o conjunto das variáveis: não se qualifica como variáveis de estado, e o método direto empregado ao principio desta aula não pode ser usado.

Isto é porque as n equações diferenciais de primeira ordem:

Onde y = x1, não podem conduzir a uma solução única.

O problema radica na presencia de derivadas no sinal de excitação na segundo membro de (33).

Um modo de resolver o problema é definir as variáveis de estado como segui:

Onde os 0, 1, . . . , n se calculam a partir de:

Então, agora as equações de estado são:

Em notação matricial tem-se:

Nesta representação em variáveis de estado as matrizes A e C são as mesmas que no caso anterior, somente troca a matriz B.

A função de transferência do sistema (33) se torna:

Uma realização das equações (36 ) – (38) se mostra no seguinte diagrama de bloco:

Fig. 5

Transformação no espaço de estado para Transformação no espaço de estado para função de transferência e vice-versa com função de transferência e vice-versa com

MatLabMatLabMatLab permite, dada a FT de um sistema,

encontrar as variáveis e eqs. de estado. Assim:>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)

>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D, iu)O argumento iu deve ser especificado para

sistemas multvariaveis, por exemplo se o sistema tem três entradas u1, u2, u3, então se iu = 1 u=u1,

se iu = 2 u = u2 e assim sucessivamente. Por defeito se não se coloca iu se consideira ao

sistema de uma só entrada.

Exemplos de sistema elétricosExemplos de sistema elétricos

Exemplo 2: Variáveis e equações de estado para o circuito elétrico serie RLC.Seja o circuito elétrico mostrado na Fig. 6.

Fig. 6

Em circuitos elétricos se acostuma a selecionar as variáveis de estado como as correntes no indutores e os voltagem os capacitores.Plantando as equações de voltagem de Kirchhof no circuito e o voltagem no capacitor tem-se:

Ou seja:

Então se definem como variáveis de estado:

Voltagem no capacitor C

Corrente no indutor L dividido por C

As equações de estado são:

E a equação de saída é:

Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânicoExemplo 3: Modelo de estado do pendulo invertido mostrado a seguir:

Só considera-se o caso de dois dimensões.

Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico

Neste caso trata se de um carrinho que se move em dois dimensões com um pendulo invertido e se pretende controlar o movimento do carrinho de modo que o

pendulo se mantenha com uma inclinação dada.

A notação fica clara na figura anterior.

O modelo deste sistema mecânico se mostra no Exemplo 3-4 do livro de texto (Ogata, K. pag. 71 e seguintes) e

dado por:

Se consideramos que a massa m do pendulo está concentrada no centro de gravidade do mesmo, seu momento angular de inércia I é praticamente zero, portanto, fazendo I = 0 a equação (b) torna se:

As equações (a) e (c) definem o modelo do pendulo no plano.

Eliminando de (a) e (c) temos:

Eliminando de (a) e (c) temos:(e)

Então o modelo do pendulo fica dado por (d) e (e).

Antes de encontrar o modelo de estado vejamos que o sistema em malha aberta é instável.

Em efeito, a função de transferência do sistema é:

G(s) = (f)

Vemos que apresenta dois raízes sobre o eixo jw.

Considerando M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m, g = 9.81 m/seg2

Temos:

1 1G( s )2 0 ,5s ( 2 0,5 ) 9.81 s 24,5

Em efeito, o sistema apresenta raízes em j4,95.Agora definamos as variáveis de estado a partir do sistema (d) e (e); assim temos:

Definindo a posição angular do pendulo e o deslocamento x do carrinho como variáveis de saída temos:

Então, tendo em conta as equações (d) e (e) e as definições (f) temos as equações de estado seguintes:

Em notação matricial (i) torna-se como segui:

Substituindo os valores numéricos deste casso temos:

E finalmente temos:

Simulação do sistema:

Neste caso a simulação se fará em laço aberto porque ainda no teremos o controle do processo em malha fechada; mas acontece que nestas condições o processo do pendulo se torna instável; então se precisa fazer a simulação como se mostra seguir:

Terminator

Switch 1State -Space

x' = Ax+Bu y = Cx+Du Scope

Constant 1

Constant

Induzindo as matrizes no workspace de matlab:>> A = [0 1 0 0; 20.6 0 0 0; 0 0 0 1; -0.4905 0 0 0];>> B = [0 -1 0 0.5]’; >> C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];>> D = [0 0]’;

O sinal de entrada se coloca em 0 porque queremos simular a resposta ao condição inicial.

O sistema baseado em um switch que se utiliza para simular as condições reais do pendulo.

A resposta a uma condições inicial de 0.1 rad no ângulo de pendulo e deslocamento zero (0) do carrinho se mostra a seguir:

ExercíciosExercícios

1.Dadas as seguintes FT encontrar a representa em VE do sistema.

2.Encontrar as FT dos sistemas lineares cujas representações em VE são as seguintes:

10080171005010)()

24351210)()

919)()

ssssssGc

ssssGb

ExercíciosExercícios

001;102

0001;100

1051100010

001;10

CONCLUSÕESCONCLUSÕES

Os conceitos de estado e vaiáveis de estado, do ponto de vista matemático não são conceitos novos, conhecem-se

faze muito tempo com o nome de normalização da equação diferencial do sistema.

Entretanto, o conceito, foi amplamente desenvolvido em introduzido como ferramenta matemática para o análise e desenho de sistemas de controle pelo Kallman, Newman,

Iserman e outros, dando lugar assim ao que chamou desde mediados do século passado a teoria moderna do

controle, fundamentada em um análise no domínio temporário.

CONCLUÇÕESCONCLUÇÕES

Modernamente o conceito foi amplamente desenvolvido e continua sendo a base do modelado no domino temporário

dos sistemas de controle lineares e não lineares, invariantes e variante no tempo.

Uma extensão dessa teoria é a conhecida atualmente como teoria do controle robusto, a qual é a verdadeira teoria do

controle robusto atualmente.

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA

Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna. 4ª Edição, Cap. 3.

Sist cont i_conf3_2014

Engineering