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Sist cont i_conf3_2014

Date post: 13-Apr-2017
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Author: wilson-cavalcante
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SISTEMAS DE CONTROLE I SISTEMAS DE CONTROLE I Dr. Miguel A. Rodríguez Borroto Escola Superior de Tecnologia (EST) Universidade do Estado de amazonas (UEA) e-mail: [email protected]
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  • SISTEMAS DE CONTROLE I

    Dr. Miguel A. Rodrguez Borroto

    Escola Superior de Tecnologia (EST)Universidade do Estado de amazonas (UEA)

    e-mail: [email protected]

  • SISTEMAS DE CONTROLE I

    CONFERENCIA 3

    Modelagem Matemtico da Dinmica de Sistemas (Segunda parte): Modelagem de sistemas de controle no espao de estado.

  • ContedoIntroduao teroria moderna do controle.Modelagem de sistemas de controle no espacio de estados. Conceitos, equaes de estado. Correlao entre FT e equaes de estados.

    Bibliografia: Ogata, K. Engenahria De controle moderna, 5ta edio, Cap2, Pags. 58-65.

  • OBJETIVOS

    Familiarizar-se com os conceptos de estado, variveis de estado (VE) e equaes de estado (EE).

    Conhecer a correlao que existe entre funo de transferncia (FT) e equaes de estado.

    Conhecer a representao matricial das equaes de estado.

    Determinar o modelo de estado de sistemas fsicos tpicos.

  • Teoria de controle ModernoA tendncias atual dos sistemas de engenharia no sentido de aumentar sua complexidade em funo, da necessidades de realizar tarefas complexas e com requisitos de boa preciso.

    Sistemas complexos podem ter muitas entradas e muitas sadas e podem ser variantes no tempo.

    A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigoroso quanto ao desempenho de sistemas de controle, o aumento de complexidade dos sistemas e a facilidade de acesso aos computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderna, iniciada desde 1960 como uma nova forma de analisar e projetar sistemas complexos.

  • Teoria de controle Moderno

    Esta nova abordagem baseada no conceito de variveis e equaes de estado.

    Ento, a toda a estruturao da teoria de controle, apoiada neste concepto, o que se chama teoria de controle moderno.

    Mas este conceito no novo, tem existncia h longo tempo no campo da dinmica clssica.

  • Teoria de controle Moderno

    Realmente, o procedimento de encontrar e escrever as equaes de estado de um sistema fsico, no mais que o procedimento de descrever a equao diferencial que define seu desempenho em sua forma normal.

    O qual no mais que, a representao da equao diferencial em termos de suas derivadas de distintos ordenes.

    Por exemplo: Seja o sistema cuja dinmica descrita pela seguinte equao diferencial de segunda ordem:

  • Teoria de controle Moderno

    Este sistema em sua forma normal torna-se como:

    O qual, como veremos mais adiante a representao de nosso sistema em equaes e variveis de estado.

  • Teoria de controle moderno versus teoria de controle convencionalA teoria de controle moderno contrasta com a teoria de controle convencional no sentido de que a primeira aplicvel a sistemas com entradas e sadas mltiples, lineares ou no-lineares ou invariantes no tempo, em quanto a segunda aplicvel s a sistemas mono-varivel. Alem disso, a teoria de controle moderno uma abordagem baseada somente no domnio do tempo, em quanto a teoria convencional adota um enfoque no domnio da freqncia complexa.

  • Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernoConcepto de Estado: O estado de um sistema dinmico o menor nmero de variveis (variveis de estado) de modo que o conhecimento de seus valores em t = t0, junto como o conhecimento dos valores do sinal de entrada para t 0, se pode determinar totalmente o comportamento do sistema em qualquer instante t t0. O conceito de estado no est limitado somente aos sistemas fsicos; se aplica tambm ao sistemas biolgicos, econmicos, sociais, etc.

  • Variveis de estado: o menor conjunto de variveis que determina o estado do sistema dinmico. Se forem necessrias pelo menos n variveis x1, x2, . . . ,xn, para descrever o comportamento de um sistema (demodo que conhecidos os valores de entrada em t t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do sistema esteja completamente determinado), ento tais n variveis dizem-se as variveis de estado desse sistema.Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

  • Vetor de Estado Se n variveis de estado so necessrias para descrever completamente o comportamento de um sistema, ento estas n variveis de estado podem ser consideradas as componentes de um vetor x no espao n-dimensional. Um tal vetor chamado vetor de estado. Portanto, um vetor de estado um vetor que determina o estado x(t) do sistema para qualquer instante t t0, uma vez conhecido o estado em t = t0 e uma funo de entrada u(t) tambm para todo t t0.

    Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

  • Espao de estado o espao n-dimensional cujos eixos coordenados consistem dos eixos x1, x2,. . ., xn.Qualquer estado particular num instante t=to pode ser representado por um ponto no espao de estado. Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

  • Equaes de estado A analise no espao de estado envolve trs tipos de variveis na modelagem de sistemas dinmicos: variveis de entrada,variveis de sada e variveis de estado. As equaes de estado so as que relacionam as variveis de estado e as entradas e sadas do sistema para definir seu comportamento dinmico no tempo.

    A representao de um sistema em variveis de estado no nica, exceto que o nmero de variveis de estado sim o mesmo para qualquer das diferentes representaes do sistema.

    Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

  • Representao por espao de estados

    Seja a seguinte equao diferencial, de orem n, no tempo que define o comportamento dinmico de um sistema:

    (1)

    Podemos definir um conjunto de variveis que poderiam ser escolhidas em relao direta com as derivadas do sistema:

    (2)

  • Representao por espao de estados

    Assim a equao (1), pode ser reescrita como a seguir:

    (3)

    Matematicamente, o sistema (3) se diz que a decomposio normal do equao (1) como j falamos.

  • Representao por espao de estados

    As quais so conhecidas como equaes de estado do sistema. Portanto, a equao diferencial de ordem n fica transformada num conjunto de n equaes diferenciais de primeiro ordem.Logo, podemos organizar elas em forma de equao matricial: (4)Onde:A matriz A de ordem (n,n) a matriz de coeficientes ligados as variveis de estado do sistema.

  • Representao por espao de estados

    B (n,r) a matriz de coeficientes do sinal de entrada; onde, r o numero de variveis de entrada.

    Na sada teremos a varivel y:Conhecida como Equao de sada.

    (5)

  • Representao por espao de estados

    Podendo ser escrita matricialmente como a seguir:(6)

    Onde: A matriz C de ordem (1,n) a matriz de coeficientes ligados as variveis de estado do sistema.

    A matriz D de ordem (1,r) a matriz de coeficientes do sinal de entrada.

  • Representao por espao de estados

    Podemos ento escrever finalmente (4) como segui:

    (7)

    E a equao de sada (6) torna-se como segui:

    (8)

  • Representao por espao de estados

    Se a sada no depende do sinal de entrada u, ento D=0 (matriz nula).

    Nesse caso uma realizao destas equaes o diagrama de bloco que se mostra na figura seguinte:

  • Representao por espao de estados

    Observe-se que a funo de transferncia:

    dada tambm pelas equaes (4) at (6) com D = 0.

    Agora considere-se o caso mais geral admitindo que o sistema multivariveis (mltiples entradas e mltiples sadas) envolva n integradores. Suponha-se tambm, que haja r sinais de entrada u1, u2,,. . . ,ur e m sinais de sada y1, y2,. . ., ym.

  • Representao por espao de estadosDefinam-se as n variveis de sada dos integradores como as variveis de estado x1, x2,. . .,xn. O sistema pode ento ser descrito como:

    (9)

  • Representao por espao de estadosOs valores das sadas do sistema esto dadas por:

    (10)

  • Representao por espao de estadosDefinindo-se:

    (11)

  • Representao por espao de estadosEnto as equaes (9) e (10) podem-se escrever como:

    (12)

    (13)Se as equaes anteriores so linearizadas, ento resulta o sistema linear em notao matricial seguinte:

    (14) (15)

  • Representao por espao de estados

    Onde igualmente que em o caso anterior:A(t): Matriz de estado de ordem (n,n)B(t): Matriz de entrada de ordem (n,r)C(t): Matriz de sada de ordem (m,n)D(t): Matriz de transmisso direta de ordem (m,r)

  • Representao no diagrama de blocoAs equaes (14) e (15) se representam em bloco como segui (Fig. 2).

  • Exemplo 1

    Considere o sistema mecnico indicado na Fig. 3 seguinte:

  • Exemplo 1: Sistema massa, mola, amortecedor:Plantando o principio de conservao da energia, atravs do balance de foras no sistema se tem o seguinte modelo: (16)

    Trata-se de um sistema simples entrada - simples sada de segunda ordem, o qual no implica que o sistema tem dois integradores:Definem-se as variveis de estado x1(t) e x2(t) como segui:

    (17)

  • Exemplo 1Resulta ento:

    (18)

    Ou

    (19)

  • Exemplo 1A equao de sada :

    (20)

    Em notao matricial se tem:

    (21)

  • Exemplo 1E a equao de sada fica como:

    (22)

    As equaes do sistema esto agora padronizadas:

    (23)

  • Exemplo 1Onde:

    (24)

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaNo que segui, ser mostrado como obter a funo de transferncia de um sistema mono variveis a partir das equaes de estado.Considere o sistema cuja funo de transferncia e da forma:

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaO diagrama de bloco para o exemplo 1 se mostra na Fig. 4.

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaTransformando por Laplace forma padronizada (23) tem-se:

    (25)

    J que a FT define-se para condies iniciais zero se tem que x(0) = 0, ento fica:

    (26)

    Ou seja: (27)

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaDeve ter-se presente que a notao matricial e portanto a manipulao das equaes anteriores deve fazer-se aplicando o lgebra matricial.Premultiplicando (27) por esquerda por (sI-A)-1 tem-se:

    (28)

    Substituindo (28) em segunda equao de (6.25) fica:

    (29)

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaPortanto a funo de transferncia :

    (30)

    Observe-se que o segundo membro de (6.30) envolve (sI-A)-1 .Ento a equao pode escrever-se com:

    (31)

    Onde Q(s) um polinmio em s e sI-A= determinante de SI-A.Ento sI-A = 0 o polinmio caracterstico do sistema.

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaOu seja-se, os autovalores de A o razes de sI-A=0 so os plos de G(s), ou seja do sistema.Consideremos de novo o sistema do exemplo 1.Nesta caso, substituindo os valores de A, B, C, e D dado em (24) em (30) tem-se:

  • Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaPosto que:

  • Tem-se:

    Os alunos devem verificar este resultado diretamente da equao diferencial (16)Correlao entre variveis de estado e funo de transferncia

  • Matriz de transferncia A matriz de transferncia G(s) relaciona a sada Y(s) com a entrada U(s), portanto:

    (32)

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoSeja o sistema linear de orem n com derivadas na excitao cujo modelo matemtico a equao diferencial seguinte:

    (33)

    Ento o conjunto das variveis: no se qualifica como variveis de estado, e o mtodo direto empregado ao principio desta aula no pode ser usado.

    Isto porque as n equaes diferenciais de primeira ordem:

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitao

    Onde y = x1, no podem conduzir a uma soluo nica.

    O problema radica na presencia de derivadas no sinal de excitao na segundo membro de (33).

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoUm modo de resolver o problema definir as variveis de estado como segui:

    (34)

    Onde os 0, 1, . . . , n se calculam a partir de:

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitao

    (35)

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoEnto, agora as equaes de estado so:

    (36)

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoEm notao matricial tem-se:

    (37)

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoOu:

    (38)

    Onde:

    (39)

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoNesta representao em variveis de estado as matrizes A e C so as mesmas que no caso anterior, somente troca a matriz B.

    A funo de transferncia do sistema (33) se torna:

    (40)

    Uma realizao das equaes (36 ) (38) se mostra no seguinte diagrama de bloco:

  • Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitao

    Fig. 5

  • Transformao no espao de estado para funo de transferncia e vice-versa com MatLabMatLab permite, dada a FT de um sistema, encontrar as variveis e eqs. de estado. Assim:>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D, iu)O argumento iu deve ser especificado para sistemas multvariaveis, por exemplo se o sistema tem trs entradas u1, u2, u3, ento se iu = 1 u=u1, se iu = 2 u = u2 e assim sucessivamente. Por defeito se no se coloca iu se consideira ao sistema de uma s entrada.

  • Exemplos de sistema eltricosExemplo 2: Variveis e equaes de estado para o circuito eltrico serie RLC.Seja o circuito eltrico mostrado na Fig. 6.

    Fig. 6

  • Exemplos de sistema eltricosEm circuitos eltricos se acostuma a selecionar as variveis de estado como as correntes no indutores e os voltagem os capacitores.Plantando as equaes de voltagem de Kirchhof no circuito e o voltagem no capacitor tem-se:

    Ou seja:

  • Exemplos de sistema eltricosEnto se definem como variveis de estado:

    Voltagem no capacitor C

    Corrente no indutor L dividido por C

    As equaes de estado so:

    E a equao de sada :

  • Exemplo de sistema mecnicoExemplo 3: Modelo de estado do pendulo invertido mostrado a seguir:

    S considera-se o caso de dois dimenses.

  • Exemplo de sistema mecnico

    Neste caso trata se de um carrinho que se move em dois dimenses com um pendulo invertido e se pretende controlar o movimento do carrinho de modo que o pendulo se mantenha com uma inclinao dada.

    A notao fica clara na figura anterior.

    O modelo deste sistema mecnico se mostra no Exemplo 3-4 do livro de texto (Ogata, K. pag. 71 e seguintes) e dado por:

  • Exemplo de sistema mecnico

    (a)

    (b)

    Se consideramos que a massa m do pendulo est concentrada no centro de gravidade do mesmo, seu momento angular de inrcia I praticamente zero, portanto, fazendo I = 0 a equao (b) torna se:

    (c)

  • Exemplo de sistema mecnico

    As equaes (a) e (c) definem o modelo do pendulo no plano.

    Eliminando de (a) e (c) temos:

    (d)

    Eliminando de (a) e (c) temos:(e)

    Ento o modelo do pendulo fica dado por (d) e (e).

  • Exemplo de sistema mecnico

    Antes de encontrar o modelo de estado vejamos que o sistema em malha aberta instvel.

    Em efeito, a funo de transferncia do sistema :

    G(s) = (f)

    Vemos que apresenta dois razes sobre o eixo jw.

    Considerando M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m, g = 9.81 m/seg2

    Temos:

  • Exemplo de sistema mecnico

    Em efeito, o sistema apresenta razes em j4,95.Agora definamos as variveis de estado a partir do sistema (d) e (e); assim temos:

    (g)

    Definindo a posio angular do pendulo e o deslocamento x do carrinho como variveis de sada temos:

  • Exemplo de sistema mecnico

    (h)

    Ento, tendo em conta as equaes (d) e (e) e as definies (f) temos as equaes de estado seguintes:

    (i)

  • Exemplo de sistema mecnico

    Em notao matricial (i) torna-se como segui:

  • Exemplo de sistema mecnico

    Substituindo os valores numricos deste casso temos:

    E finalmente temos:

    Onde:

  • Exemplo de sistema mecnico

    Simulao do sistema:

    Neste caso a simulao se far em lao aberto porque ainda no teremos o controle do processo em malha fechada; mas acontece que nestas condies o processo do pendulo se torna instvel; ento se precisa fazer a simulao como se mostra seguir:

  • Exemplo de sistema mecnico

    Induzindo as matrizes no workspace de matlab:>> A = [0 1 0 0; 20.6 0 0 0; 0 0 0 1; -0.4905 0 0 0];>> B = [0 -1 0 0.5]; >> C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];>> D = [0 0];

    O sinal de entrada se coloca em 0 porque queremos simular a resposta ao condio inicial.

    O sistema baseado em um switch que se utiliza para simular as condies reais do pendulo.

    A resposta a uma condies inicial de 0.1 rad no ngulo de pendulo e deslocamento zero (0) do carrinho se mostra a seguir:

  • Exemplo de sistema mecnico

  • Exerccios

    Dadas as seguintes FT encontrar a representa em VE do sistema.

    Encontrar as FT dos sistemas lineares cujas representaes em VE so as seguintes:

  • Exerccios

  • CONCLUSES

    Os conceitos de estado e vaiveis de estado, do ponto de vista matemtico no so conceitos novos, conhecem-se faze muito tempo com o nome de normalizao da equao diferencial do sistema.

    Entretanto, o conceito, foi amplamente desenvolvido em introduzido como ferramenta matemtica para o anlise e desenho de sistemas de controle pelo Kallman, Newman, Iserman e outros, dando lugar assim ao que chamou desde mediados do sculo passado a teoria moderna do controle, fundamentada em um anlise no domnio temporrio.

  • CONCLUES

    Modernamente o conceito foi amplamente desenvolvido e continua sendo a base do modelado no domino temporrio dos sistemas de controle lineares e no lineares, invariantes e variante no tempo.

    Uma extenso dessa teoria a conhecida atualmente como teoria do controle robusto, a qual a verdadeira teoria do controle robusto atualmente.

  • BIBLIOGRAFIA

    Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna. 4 Edio, Cap. 3.


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