SISTEMAS DE CONTROLE I

Dr. Miguel A. Rodrguez Borroto

Escola Superior de Tecnologia (EST)Universidade do Estado de amazonas (UEA)

e-mail: mrb1940@gmail.com

SISTEMAS DE CONTROLE I

CONFERENCIA 3

Modelagem Matemtico da Dinmica de Sistemas (Segunda parte): Modelagem de sistemas de controle no espao de estado.

ContedoIntroduao teroria moderna do controle.Modelagem de sistemas de controle no espacio de estados. Conceitos, equaes de estado. Correlao entre FT e equaes de estados.

Bibliografia: Ogata, K. Engenahria De controle moderna, 5ta edio, Cap2, Pags. 58-65.

OBJETIVOS

Familiarizar-se com os conceptos de estado, variveis de estado (VE) e equaes de estado (EE).

Conhecer a correlao que existe entre funo de transferncia (FT) e equaes de estado.

Conhecer a representao matricial das equaes de estado.

Determinar o modelo de estado de sistemas fsicos tpicos.

Teoria de controle ModernoA tendncias atual dos sistemas de engenharia no sentido de aumentar sua complexidade em funo, da necessidades de realizar tarefas complexas e com requisitos de boa preciso.

Sistemas complexos podem ter muitas entradas e muitas sadas e podem ser variantes no tempo.

A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigoroso quanto ao desempenho de sistemas de controle, o aumento de complexidade dos sistemas e a facilidade de acesso aos computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderna, iniciada desde 1960 como uma nova forma de analisar e projetar sistemas complexos.

Teoria de controle Moderno

Esta nova abordagem baseada no conceito de variveis e equaes de estado.

Ento, a toda a estruturao da teoria de controle, apoiada neste concepto, o que se chama teoria de controle moderno.

Mas este conceito no novo, tem existncia h longo tempo no campo da dinmica clssica.

Teoria de controle Moderno

Realmente, o procedimento de encontrar e escrever as equaes de estado de um sistema fsico, no mais que o procedimento de descrever a equao diferencial que define seu desempenho em sua forma normal.

O qual no mais que, a representao da equao diferencial em termos de suas derivadas de distintos ordenes.

Por exemplo: Seja o sistema cuja dinmica descrita pela seguinte equao diferencial de segunda ordem:

Teoria de controle Moderno

Este sistema em sua forma normal torna-se como:

O qual, como veremos mais adiante a representao de nosso sistema em equaes e variveis de estado.

Teoria de controle moderno versus teoria de controle convencionalA teoria de controle moderno contrasta com a teoria de controle convencional no sentido de que a primeira aplicvel a sistemas com entradas e sadas mltiples, lineares ou no-lineares ou invariantes no tempo, em quanto a segunda aplicvel s a sistemas mono-varivel. Alem disso, a teoria de controle moderno uma abordagem baseada somente no domnio do tempo, em quanto a teoria convencional adota um enfoque no domnio da freqncia complexa.

Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernoConcepto de Estado: O estado de um sistema dinmico o menor nmero de variveis (variveis de estado) de modo que o conhecimento de seus valores em t = t0, junto como o conhecimento dos valores do sinal de entrada para t 0, se pode determinar totalmente o comportamento do sistema em qualquer instante t t0. O conceito de estado no est limitado somente aos sistemas fsicos; se aplica tambm ao sistemas biolgicos, econmicos, sociais, etc.

Variveis de estado: o menor conjunto de variveis que determina o estado do sistema dinmico. Se forem necessrias pelo menos n variveis x1, x2, . . . ,xn, para descrever o comportamento de um sistema (demodo que conhecidos os valores de entrada em t t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do sistema esteja completamente determinado), ento tais n variveis dizem-se as variveis de estado desse sistema.Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

Vetor de Estado Se n variveis de estado so necessrias para descrever completamente o comportamento de um sistema, ento estas n variveis de estado podem ser consideradas as componentes de um vetor x no espao n-dimensional. Um tal vetor chamado vetor de estado. Portanto, um vetor de estado um vetor que determina o estado x(t) do sistema para qualquer instante t t0, uma vez conhecido o estado em t = t0 e uma funo de entrada u(t) tambm para todo t t0.

Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

Espao de estado o espao n-dimensional cujos eixos coordenados consistem dos eixos x1, x2,. . ., xn.Qualquer estado particular num instante t=to pode ser representado por um ponto no espao de estado. Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

Equaes de estado A analise no espao de estado envolve trs tipos de variveis na modelagem de sistemas dinmicos: variveis de entrada,variveis de sada e variveis de estado. As equaes de estado so as que relacionam as variveis de estado e as entradas e sadas do sistema para definir seu comportamento dinmico no tempo.

A representao de um sistema em variveis de estado no nica, exceto que o nmero de variveis de estado sim o mesmo para qualquer das diferentes representaes do sistema.

Conceitos fundamentais de Teoria de controle moderno

Representao por espao de estados

Seja a seguinte equao diferencial, de orem n, no tempo que define o comportamento dinmico de um sistema:

(1)

Podemos definir um conjunto de variveis que poderiam ser escolhidas em relao direta com as derivadas do sistema:

(2)

Representao por espao de estados

Assim a equao (1), pode ser reescrita como a seguir:

(3)

Matematicamente, o sistema (3) se diz que a decomposio normal do equao (1) como j falamos.

Representao por espao de estados

As quais so conhecidas como equaes de estado do sistema. Portanto, a equao diferencial de ordem n fica transformada num conjunto de n equaes diferenciais de primeiro ordem.Logo, podemos organizar elas em forma de equao matricial: (4)Onde:A matriz A de ordem (n,n) a matriz de coeficientes ligados as variveis de estado do sistema.

Representao por espao de estados

B (n,r) a matriz de coeficientes do sinal de entrada; onde, r o numero de variveis de entrada.

Na sada teremos a varivel y:Conhecida como Equao de sada.

(5)

Representao por espao de estados

Podendo ser escrita matricialmente como a seguir:(6)

Onde: A matriz C de ordem (1,n) a matriz de coeficientes ligados as variveis de estado do sistema.

A matriz D de ordem (1,r) a matriz de coeficientes do sinal de entrada.

Representao por espao de estados

Podemos ento escrever finalmente (4) como segui:

(7)

E a equao de sada (6) torna-se como segui:

(8)

Representao por espao de estados

Se a sada no depende do sinal de entrada u, ento D=0 (matriz nula).

Nesse caso uma realizao destas equaes o diagrama de bloco que se mostra na figura seguinte:

Representao por espao de estados

Observe-se que a funo de transferncia:

dada tambm pelas equaes (4) at (6) com D = 0.

Agora considere-se o caso mais geral admitindo que o sistema multivariveis (mltiples entradas e mltiples sadas) envolva n integradores. Suponha-se tambm, que haja r sinais de entrada u1, u2,,. . . ,ur e m sinais de sada y1, y2,. . ., ym.

Representao por espao de estadosDefinam-se as n variveis de sada dos integradores como as variveis de estado x1, x2,. . .,xn. O sistema pode ento ser descrito como:

(9)

Representao por espao de estadosOs valores das sadas do sistema esto dadas por:

(10)

Representao por espao de estadosDefinindo-se:

(11)

Representao por espao de estadosEnto as equaes (9) e (10) podem-se escrever como:

(12)

(13)Se as equaes anteriores so linearizadas, ento resulta o sistema linear em notao matricial seguinte:

(14) (15)

Representao por espao de estados

Onde igualmente que em o caso anterior:A(t): Matriz de estado de ordem (n,n)B(t): Matriz de entrada de ordem (n,r)C(t): Matriz de sada de ordem (m,n)D(t): Matriz de transmisso direta de ordem (m,r)

Representao no diagrama de blocoAs equaes (14) e (15) se representam em bloco como segui (Fig. 2).

Exemplo 1

Considere o sistema mecnico indicado na Fig. 3 seguinte:

Exemplo 1: Sistema massa, mola, amortecedor:Plantando o principio de conservao da energia, atravs do balance de foras no sistema se tem o seguinte modelo: (16)

Trata-se de um sistema simples entrada - simples sada de segunda ordem, o qual no implica que o sistema tem dois integradores:Definem-se as variveis de estado x1(t) e x2(t) como segui:

(17)

Exemplo 1Resulta ento:

(18)

Ou

(19)

Exemplo 1A equao de sada :

(20)

Em notao matricial se tem:

(21)

Exemplo 1E a equao de sada fica como:

(22)

As equaes do sistema esto agora padronizadas:

(23)

Exemplo 1Onde:

(24)

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaNo que segui, ser mostrado como obter a funo de transferncia de um sistema mono variveis a partir das equaes de estado.Considere o sistema cuja funo de transferncia e da forma:

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaO diagrama de bloco para o exemplo 1 se mostra na Fig. 4.

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaTransformando por Laplace forma padronizada (23) tem-se:

(25)

J que a FT define-se para condies iniciais zero se tem que x(0) = 0, ento fica:

(26)

Ou seja: (27)

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaDeve ter-se presente que a notao matricial e portanto a manipulao das equaes anteriores deve fazer-se aplicando o lgebra matricial.Premultiplicando (27) por esquerda por (sI-A)-1 tem-se:

(28)

Substituindo (28) em segunda equao de (6.25) fica:

(29)

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaPortanto a funo de transferncia :

(30)

Observe-se que o segundo membro de (6.30) envolve (sI-A)-1 .Ento a equao pode escrever-se com:

(31)

Onde Q(s) um polinmio em s e sI-A= determinante de SI-A.Ento sI-A = 0 o polinmio caracterstico do sistema.

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaOu seja-se, os autovalores de A o razes de sI-A=0 so os plos de G(s), ou seja do sistema.Consideremos de novo o sistema do exemplo 1.Nesta caso, substituindo os valores de A, B, C, e D dado em (24) em (30) tem-se:

Correlao entre variveis de estado e funo de transfernciaPosto que:

Tem-se:

Os alunos devem verificar este resultado diretamente da equao diferencial (16)Correlao entre variveis de estado e funo de transferncia

Matriz de transferncia A matriz de transferncia G(s) relaciona a sada Y(s) com a entrada U(s), portanto:

(32)

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoSeja o sistema linear de orem n com derivadas na excitao cujo modelo matemtico a equao diferencial seguinte:

(33)

Ento o conjunto das variveis: no se qualifica como variveis de estado, e o mtodo direto empregado ao principio desta aula no pode ser usado.

Isto porque as n equaes diferenciais de primeira ordem:

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitao

Onde y = x1, no podem conduzir a uma soluo nica.

O problema radica na presencia de derivadas no sinal de excitao na segundo membro de (33).

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoUm modo de resolver o problema definir as variveis de estado como segui:

(34)

Onde os 0, 1, . . . , n se calculam a partir de:

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitao

(35)

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoEnto, agora as equaes de estado so:

(36)

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoEm notao matricial tem-se:

(37)

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoOu:

(38)

Onde:

(39)

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitaoNesta representao em variveis de estado as matrizes A e C so as mesmas que no caso anterior, somente troca a matriz B.

A funo de transferncia do sistema (33) se torna:

(40)

Uma realizao das equaes (36 ) (38) se mostra no seguinte diagrama de bloco:

Representao no espao de estado de sistemas com derivadas na excitao

Fig. 5

Transformao no espao de estado para funo de transferncia e vice-versa com MatLabMatLab permite, dada a FT de um sistema, encontrar as variveis e eqs. de estado. Assim:>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D, iu)O argumento iu deve ser especificado para sistemas multvariaveis, por exemplo se o sistema tem trs entradas u1, u2, u3, ento se iu = 1 u=u1, se iu = 2 u = u2 e assim sucessivamente. Por defeito se no se coloca iu se consideira ao sistema de uma s entrada.

Exemplos de sistema eltricosExemplo 2: Variveis e equaes de estado para o circuito eltrico serie RLC.Seja o circuito eltrico mostrado na Fig. 6.

Fig. 6

Exemplos de sistema eltricosEm circuitos eltricos se acostuma a selecionar as variveis de estado como as correntes no indutores e os voltagem os capacitores.Plantando as equaes de voltagem de Kirchhof no circuito e o voltagem no capacitor tem-se:

Ou seja:

Exemplos de sistema eltricosEnto se definem como variveis de estado:

Voltagem no capacitor C

Corrente no indutor L dividido por C

As equaes de estado so:

E a equao de sada :

Exemplo de sistema mecnicoExemplo 3: Modelo de estado do pendulo invertido mostrado a seguir:

S considera-se o caso de dois dimenses.

Exemplo de sistema mecnico

Neste caso trata se de um carrinho que se move em dois dimenses com um pendulo invertido e se pretende controlar o movimento do carrinho de modo que o pendulo se mantenha com uma inclinao dada.

A notao fica clara na figura anterior.

O modelo deste sistema mecnico se mostra no Exemplo 3-4 do livro de texto (Ogata, K. pag. 71 e seguintes) e dado por:

Exemplo de sistema mecnico

(a)

(b)

Se consideramos que a massa m do pendulo est concentrada no centro de gravidade do mesmo, seu momento angular de inrcia I praticamente zero, portanto, fazendo I = 0 a equao (b) torna se:

(c)

Exemplo de sistema mecnico

As equaes (a) e (c) definem o modelo do pendulo no plano.

Eliminando de (a) e (c) temos:

(d)

Eliminando de (a) e (c) temos:(e)

Ento o modelo do pendulo fica dado por (d) e (e).

Exemplo de sistema mecnico

Antes de encontrar o modelo de estado vejamos que o sistema em malha aberta instvel.

Em efeito, a funo de transferncia do sistema :

G(s) = (f)

Vemos que apresenta dois razes sobre o eixo jw.

Considerando M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m, g = 9.81 m/seg2

Temos:

Exemplo de sistema mecnico

Em efeito, o sistema apresenta razes em j4,95.Agora definamos as variveis de estado a partir do sistema (d) e (e); assim temos:

(g)

Definindo a posio angular do pendulo e o deslocamento x do carrinho como variveis de sada temos:

Exemplo de sistema mecnico

(h)

Ento, tendo em conta as equaes (d) e (e) e as definies (f) temos as equaes de estado seguintes:

(i)

Exemplo de sistema mecnico

Em notao matricial (i) torna-se como segui:

Exemplo de sistema mecnico

Substituindo os valores numricos deste casso temos:

E finalmente temos:

Onde:

Exemplo de sistema mecnico

Simulao do sistema:

Neste caso a simulao se far em lao aberto porque ainda no teremos o controle do processo em malha fechada; mas acontece que nestas condies o processo do pendulo se torna instvel; ento se precisa fazer a simulao como se mostra seguir:

Exemplo de sistema mecnico

Induzindo as matrizes no workspace de matlab:>> A = [0 1 0 0; 20.6 0 0 0; 0 0 0 1; -0.4905 0 0 0];>> B = [0 -1 0 0.5]; >> C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];>> D = [0 0];

O sinal de entrada se coloca em 0 porque queremos simular a resposta ao condio inicial.

O sistema baseado em um switch que se utiliza para simular as condies reais do pendulo.

A resposta a uma condies inicial de 0.1 rad no ngulo de pendulo e deslocamento zero (0) do carrinho se mostra a seguir:

Exemplo de sistema mecnico

Exerccios

Dadas as seguintes FT encontrar a representa em VE do sistema.

Encontrar as FT dos sistemas lineares cujas representaes em VE so as seguintes:

Exerccios

CONCLUSES

Os conceitos de estado e vaiveis de estado, do ponto de vista matemtico no so conceitos novos, conhecem-se faze muito tempo com o nome de normalizao da equao diferencial do sistema.

Entretanto, o conceito, foi amplamente desenvolvido em introduzido como ferramenta matemtica para o anlise e desenho de sistemas de controle pelo Kallman, Newman, Iserman e outros, dando lugar assim ao que chamou desde mediados do sculo passado a teoria moderna do controle, fundamentada em um anlise no domnio temporrio.

CONCLUES

Modernamente o conceito foi amplamente desenvolvido e continua sendo a base do modelado no domino temporrio dos sistemas de controle lineares e no lineares, invariantes e variante no tempo.

Uma extenso dessa teoria a conhecida atualmente como teoria do controle robusto, a qual a verdadeira teoria do controle robusto atualmente.

BIBLIOGRAFIA

Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna. 4 Edio, Cap. 3.