Curs 5 Risc&Rentab II - piete de capital

8/14/2019 Curs 5 Risc&Rentab II - piete de capital

1/24

PieedeCapitalNotedecurs

1

2.2. Rentabilitatea si riscul unui portofoliu de active financiare

n seciunea anterioar a acestui capitol s-a artat cum putem msurarentabilitatea anticipat i riscul unei aciuni folosind media, respectiv deviaiastandard. Pentru a msura riscul s-au mai folosit coeficientul de variaie isemivariana, ns n cele ce urmeaz, ne vom limita doar la deviaia standard. naceast seciune vom arta cum putem extinde aceast abordare pentru a msurarentabilitatea i riscul unui portofoliu, ncepnd cu cazul simplu al unui portofoliuformat doar din dou active, dup care vom generaliza pentru N active. Deasemenea, vom considera pentru nceput c toate activele din portofoliu sunt activeriscante, urmnd s analizm portofoliile ce includ i active fr risc (spre exemplu,obligaiuni emise de stat).

2.2.1. Determinarea mediei i a varianei unui portofoliu din dou active

Vom defini portofoliul format din aciunea A i aciunea B ca un vector[wA, wB] unde wi reprezint ponderea investit n activul i, cu condiia wA + wB = 1.Observai c numai cu dou active se pot forma o infinitate de portofolii, ntruct sepot forma o infinitate de combinaii (wA, wB) astfel nct suma lor s fie 1.

Dac E(RA) i E(RB) reprezint rentabilitatea anticipat a activului A,respectiv B, atunci rentabilitatea anticipat pentru un portofoliu (s-i spunem P),format din cele dou active va fi o medie ponderat a randamentelor ateptatepentru fiecare activ unde ponderile sunt wA respectiv wB. Cu alte cuvinte, dac o

persoan investete o pondere wA dintr-o anumit sum, n aciunea A, ce are unrandament anticipat de E(RA), i o pondere wB (unde wB = 1-wA) n aciunea B ce areun randament anticipat de E(RB), atunci randamentul ateptat pentru portofoliulformat din cele dou aciuni va fi calculat astfel: .innd cont de proprietile varianei se poate arta c riscul unui portofoliu sedetermin astfel:

.

.unde P2 reprezint variana portofoliului , A2 - variana aciunii A, B2 - varianaaciunii B, P - deviaia standard pentru portofoliul P (riscul portofoliului), iar AB covariana dintre activul A i B. Covariana se calculeaz astfel:


2/24


2

.Observai c dac se calculeaz covariana dintre un activ cu el nsui se obinevariana acestuia, adicAA = A2 respectiv BB = B2. O covarian pozitiv arat crandamentele celor dou active tind s se modifice n aceeai direcie. O covarian

negativ indic o tendin a randamentelor a dou active de a evolua n sens opus(altfel spus, cnd randamentul unui activ crete, de obicei, randamentul celuilaltscade).

Din relaia (2.16) se observ c pe msur ce covariana scade, riscul portofoliuluiscade i el. Cu alte cuvinte,prin diversificare riscul asumat se reduce. Pentru anelege mai bine acest aspect s considerm urmtorul exemplu.

Exemplul 10:S considerm urmtoarele randamente istorice pentru dou aciuniA i B:

RA(%) 2 3 2 3 1 2 3 2 5 3

RB(%) 3 1 2 4 1 1 3 2 1 2

Randamentul anticipat pentru fiecare aciune este: 110 2 3 2 3 1 3 0.2 % 110 3 1 2 4 1 2 0.4 %Riscul (calculat prin deviaia standard ) pentru fiecare aciune este:

11 0 1 2 0 . 2 30.2 30.2 2.9364 % 11 0 1 3 0 . 4 10.4 2 0 . 4 2.3190 %Covariana dintre randamentul aciunii A i B este: 2 0 . 2 3 0 . 4 30.2 10.4 30.2 2 0 . 41 0 1

3.20Dac se investete o pondere de 30 % n A i restul de 70% n B atunci rentabilitateai riscul portofoliului sunt: 0.30 .20.70 .40.34% 0.3 2.9364 0.7 2.3190 2 0 . 3 0 . 7 3.20 2.067 2.0671.4377 %


3/24


3

Din exemplul 10 se observ c dac s-ar investi doar n aciunea A risculasumat va fi de 2.9364%, dac s-ar investi doar n aciunea B atunci riscul asumatva fi de 2.3190%. Prin diversificare, adic prin formarea unui portofoliu cu cele douaciuni riscul asumat se reduce la 1.4377%. Evident c dac schimbm ponderileinvestite n cele dou active se va schimba i riscul portofoliului, dar el va rmnentotdeauna mai mic sau cel mult egal cu media ponderat a riscurilor individualeale celor dou aciuni (aceast afirmaie va fi demonstrat mai jos! ).

La fel ca i variana, covariana se exprim n procente la ptrat i estegreu de interpretat. Spre exemplu, este incert n ce msur o covarian de - 3.20,ct am obinut n exemplul anterior, nseamn o legtur puternic sau una slab!De aceea se prefer un alt indicator ce deriv din covariani anume, coeficientulde corelaie (), ce se calculeaz astfel:

, .Spre deosebire de covarian a crei valoare variaz n intervalul ,,coeficientul de corelaie ia valori doar n intervalul [-1, 1]. Dac atinge limitasuperioar ( = 1), atunci randamentele sunt perfect pozitiv corelate (adic, ori decte ori RA crete, RB crete i el). Dac atinge limita inferioar ( = -1), atuncirandamentele sunt perfect negativ corelate (cnd RA scade, RB crete). n cazul ncare randamentele sunt independente, covariana lor este zero i prin urmarecoeficientul de corelaie este tot zero ( = 0), adic randamentele sunt necorelate.

Figura 2.8. Randamente perfect corelate vs. necorelate


4/24


4

Dac = 1, ntr-o reprezentare grafic de coordonate RA0RB (scatter plot)randamentele sunt pe o dreapt cu o pant pozitiv (vezi figura 2.8). Pentru a vedeaacest lucru, vom scrie c:

.

adic pornim de la ipoteza c randamentele sunt aezate de-a lungul unei drepte depant b > 0. Aplicnd operatorul de medie i varian vom obine:

. .Substituind (2.20) i (2.21) n formula de calcul a covarianei (2.18) se obine:

.

nlocuind (2.21) i (2.22) n formula coeficientului de corelaie (2.19) se determinc:

1Similar se poate vedea c dac randamentele sunt perfect negativ corelate ele suntaezate pe o dreapt cu o pant negativ, iar coeficientul de corelaie este -1.

n realitate randamentele nu sunt nici perfect pozitiv i nici perfect negativ

corelate. Un astfel de exemplu este ilustrat n figura 2.9 unde au fost simulate pernd randamente pozitiv corelate (cu un coeficient de corelaie de 0.72) irandamente negativ corelate (cu un coeficient de -0.80).

Figura 2.9. Randamente pozitiv / negativ corelate

a). Randamente pozitiv corelate ( = 0.72)


5/24


5

b). Randamente negativ corelate ( = - 0.80)

Folosind relaia (2.19), variana portofoliului se poate rescrie astfel:

.Se observ c pe msur ce coeficientul de corelaie scade, riscul

portofoliului scade i el. Cu ct coeficientul de corelaie este mai mic cu att estemai puternic efectul diversificrii asupra reducerii riscului. n cazul extrem cnd = -1, variana portofoliului devine:

Iar deviaia standard (riscul) devine:

|

|

In cellalt caz extrem, cnd = 1 (randamentele sunt perfect pozitiv corelate) risculportofoliului devine:

adic diversificarea nu are niciun efect asupre riscului, deoarece riscul este n acestcaz egal cu media ponderat a riscului celor dou active. ntr-o alt ordine de idei,n funcie de coeficientul de variaie, riscul unui portofoliu de dou active poate fimaxim wA A wB B, i minim |wA A wB B| (vezi figura 2.11) .Concluzie: Dei rentabilitatea unui portofoliu este egal cu media ponderat arentabilitilor individuale ale activelor componente, riscul portofoliului este celmult egal cu media ponderat a riscurilor individuale ale activelor, acest plafon

fiind atins n cazul mai puin realist al unui coeficient de corelaie de 1.


6/24


6

2.2.2. Relaia risc rentabilitate. Portofolii eficiente

S-a artat mai sus c rentabilitatea i riscul unui portofoliu de dou active,se determin conform relaiilor (2.15) i (2.17), adic:

unde: Dup ce se aleg cele dou aciuni A i B, valorile E(RA), E(RB), A, Bi AB devinfixate. Ceea ce rmne de stabilit sunt ponderile wA, wB (structura portofoliului). nfuncie de aceste ponderi se determin rentabilitatea i riscul portofoliului.Schimbnd structura portofoliului, evident se vor modifica i riscul i rentabilitatea

acestuia. Cu doar dou active putem construi o infinitate de portofolii i prinurmare se pot determina o infinitate de combinaii risc rentabilitate. Din punct devedere geometric relaia risc rentabilitate pentru portofolii de active riscante esteo hiperbol (vezi figura 2.10).

Exemplul 11: S considerm un portofoliu format din dou aciuni A i B.Rentabilitatea anticipat a aciunii A este de 50%, iar a aciunii B de 10%. Variana

pentru A este de 50%, variana pentru B de 30%, iar coeficientul de corelaie de -0.5.

Cu aceste aciuni s-au construim 12 portofolii, iar pentru fiecare portofoliu s-a

calculat randamentul mediu i riscul (deviaia standard) folosind relaiile (2.15) i(2.17). Rezultatele sunt ilustrate n tabelul urmtor:

Nr.portofoliu wA wB risc Var(Rp) E(Rp)

1 0 1 0.547723 0.3 0.1

2 0.1 0.9 0.461674 0.213143 0.14

3 0.2 0.8 0.387340 0.150032 0.18

4 0.3 0.7 0.332667 0.110667 0.22

5 0.4 0.6 0.308299 0.095048 0.26

6 0.4158 0.5842 0.307819 0.094753 0.2663

7 0.5 0.5 0.321209 0.103175 0.3

8 0.6 0.4 0.367489 0.135048 0.34

9 0.7 0.3 0.436655 0.190667 0.38

10 0.8 0.2 0.519646 0.270032 0.42

11 0.9 0.1 0.610854 0.373143 0.46

12 1 0 0.707107 0.5 0.5


7/24


7

Conform rezultatelor prezentate n tabel, dac se investete 10% n A i 90% n B seobine o rentabilitate medie de 14% cu un risc de 46.16%, dac se investete 50% n Ai 50% n B rentabilitatea medie este de 30% iar riscul de 32.12% .a.m.d.

Observai c pe msur ce rentabilitatea crete, riscul scade pn la un punct dup

care crete. n cazul de fa, riscul minim ce se poate asuma este de 30.78% icorespunde unui portofoliu format prin investirea unei ponderi de 41.58% n A irestul de 58.42 % n B1. Relaia risc rentabilitate pentru exemplul nostru esteilustrat grafic n figura 2.10. Punctele din capetele curbei corespund investiiilordoar ntr-un singur activ, iar vrful hiperbolei corespunde portofoliului de riscminim (notat cu V).

Figura 2.10. Relaia risc - rentabilitate

Portofoliile 1, 2, 3, 4, 5 sau orice alt portofoliu aflat pe curba VB (cu excep iaportofoliului V), sunt considerate ineficiente, deoarece se pot crea portofolii cuacelai risc dar cu o rentabilitate mai mare, adic portofoliile de pe curba VA(inclusiv V). Spunem c portofoliile de pe VB sunt dominate de cele de pe VA, i cacestea din urm sunt portofolii eficiente (sau optime). Deci un investitorraional ar alege doar portofolii de pe curba VA. In funcie de aversiunea sa la riscva prefera un portofoliu mai apropiat de V sau mai apropiat de A. Dac dorete s

obin o rentabilitate medie ridicat va trebui s investeasc n portofoliile mairiscante (precum 10 i 11), dar dac aversiunea sa la risc este mare va preferaportofoliul V sau unul apropiat de acesta (precum 7, 8).

1Structuraportofoliuluideriscminimsedetermin minimizndriscul(funciavarianeiportofoliului)cu

constrngereawA+wB=1.Astfelsedetermin c ,iarwB=1wA.


8/24


9/24


9

figura 2.11 prin cel de-al treilea punct sub A). Rentabilitatea portofoliului su estede 38%, iar riscul depinde de coeficientul de corelaie dintre cele dou aciuni: dac = 0.5 riscul scade de la 70% la 60%, dac = 0 riscul scade la 52%, dac = -0.5riscul scade la 44%, iar dac = -1 riscul scade la 33%. Deci cuct coeficientul decorelaie este mai mic, cu att scderea riscului (ca efect al diversificrii) este maimare.

Prin definiie, un portofoliu este eficient (sau optim) dac nu exist un altportofoliu cu aceeai rentabilitate i un risc mai mic, sau nu exist un alt portofoliucu acelai risc i o rentabilitate mai mare.

Conform acestei definiii, dac pe pia ar exista doar cele dou active A i B,atunci portofoliile 7, 8, 9, 10, 11, 12 (A) din figura 2.10 sunt portofolii eficiente. Dacextindem analiza noastr la 4 active cu risc, portofoliile aflate pe curba AV nu vormai fi neaprat toate eficiente. Pentru a ilustra aceast idee, s considerm alte

dou active cu risc C i D. Rentabilitatea anticipat a lui C s presupunem c estede 60% iar pentru D de 5%. De asemenea s presupunem c C are o varian de55%, D de 30%, iar coeficientul de corelaie dintre ele s fie de -0.3. Cu aceste douactive se pot forma o infinitate de portofolii ce sunt ilustrate n figura 2.12 pe curbaCWB, unde W este portofoliul de risc minim.

Figura 2.12. Portofolii eficiente

Conform discuiei anterioare, este evident faptul c portofoliile de pe curbaVB respectiv WD sunt ineficiente. In plus, se observ c portofoliile de pe IA suntdominate de cele de pe IC; la fel putem spune despre portofoliile de pe IW c suntdominate de cele de pe IV. Deci portofoliile 10, 11, 12 care erau iniial eficiente(cnd am presupus c pe pia exist doar aciunile A i B), acum sunt dominate deportofolii aflate pe IC, deoarece acestea din urm au o rentabilitate ateptat maimare pentru acelai nivel de risc asumat.


10/24


10

Fr o analiz mai complex dect cea de pn acum, nu putem spune dacportofoliile de pe IC respectiv IV sunt eficiente; putem spune doar c ele dominportofoliile de pe IA respectiv IW. Portofoliile din figura 2.12 au fost construitenumai cu dou active riscante: curba AVB combin aciunile A i B, iar curba CWDcombin doar aciunile C i D. Exist posibilitatea ca prin combinarea celor patruactive cu risc (adic formarea de portofolii utiliznd nu doar dou aciuni, ci toatepatru) s se obin portofolii dominante. Cu alte cuvinte, pentru a determinaportofoliile eficiente trebuie s determinm relaia risc rentabilitate similar celeidin figura 2.10 folosind toate activele cu risc existente. Mulimea portofoliiloreficiente formate doar din active cu risc se numetefrontiera Markowitz. Moduln care se determin aceast frontier va fi discutat n seciunea 2.2.4. Spreexemplu dac pe pia ar exista doar aciunile A i B, atunci curba VA din figura2.10 s-ar numi frontier Markowitz.

2.2.3. Relaia risc rentabilitate pentru portofolii formate dintr-un activ curisc i un activ fr risc

n continuare vom menine ipoteza c pe pia exist doar dou active, darvom consider c unul din ele are riscul zero. Un exemplu clasic de activ far risc lreprezint titlurile emise de stat. n cazul n care se poate considera c statul este oentitate asupra creia riscul de faliment nu poate surveni, atunci veniturile(dobnzi, rate, anuiti) generate de un titlu emis de stat sunt certe.

Spre exemplu, s considerm un bilet de trezorerie emis emis cu discount ce

n prezent este tranzacionat pe pia la preul de 950 u.m. i care la scaden (spresupunem, 3 luni) va fi rscumprat la valoarea nominal de 1000 u.m. Dac uninvestitor cumpr n prezent acest titlu la 950 u.m. i l pstreaz pn lascaden, atunci el va obine un cstig sigur de 50 u.m. pentru c va obine cucertitudine peste 3 luni suma de 1000 u.m. Randamentul anticipat pentru acestplasament fictiv este de 5,26% pe 3 luni ((1000-950)/950). n seciunea 2.1. cndanalizam rentabilitatea activelor riscante, se specifica o anumit distribuie pentrurandamentele viitoare posibile, iar media distribuiei reprezenta randamentulateptat. n cazul activului fr risc, nu mai este nevoie s specificm astfel de

distribuii, deoarece exist doar un singur randament viitor i acesta este cert (nexemplul biletului de trezorerie, se obine un randament de 5.26% cu o probabilitatede 100%).

Prin urmare, dac notm randamentul activului far risc cu rf atunci putemscrie c: .


11/24


11

Intuitiv, dac activul este fr risc atunci variana, respectiv deviaiastandard va fi zero. Statistic, dac randamentului viitor i se asociaz o singurvaloare atunci el este o constant, iar varian dintr-o constant este zero. Inconcluzie:

.De asemenea, covariana dintre activul cu risc i activul far risc este tot zero:, .

Dac formm un portofoliu din activul fr risc i un activ cu risc A, atuncirentabilitatea i riscul acestui portofoliu vor fi:

.

.n seciunea 2.2.2 s-a artat c pentru un portofoliile formate numai dinactive cu risc, ntre risc i rentabilitate exist o relaie neliniar. Se poate artauor c n cazul n care includem un activ fr risc, relaia risc rentabilitatedevine liniar. Se observ c panta relaiei risc - rentabilitate nu depinde de w (destructura portofoliului). Pentru a demonstra acest lucru se calculeaz mai ntimodificarea rentabilitii n raport cu w:

.ct i modificarea riscului n raport cu w: .n consecin panta relaiei risc - rentabilitate este:

.

Se observ c panta este invariabil n raport cu structura portofoliului i decirelaia risc - rentabilitate este liniar. Din 2.28 i 2.29 se poate observa c pentruw = 0, se obine P = 0 respentiv E(RP) = rf, ceea ce nseamn c relaia risc -rentabilitate (care este o dreapt) intersecteaz axa 0y n punctul rf. De asemenea,siind c panta este dat de relaia 2.32, putem scrie ecuaia relaiei risc rentabilitate pentru portofolii ce includ i un activ fr risc astfel:


12/24


12

.Relaia 2.33 se numete dreapta fundamental a pieei de capital (CML

Capital Market Line). Panta CML fiind aceeai pentru toate portofoliile, putem

nlocui portofoliul A din formul cu orice alt portofoliu situat pe dreapt (vezi figura2.13).

Exemplul 12: S presupunem c rentabilitatea anticipat a activului cu risc este10%, rentabilitatea activului fr risc este de 4%, iar deviaia standard a activuluicu risc este de 25%.

Folosind relaiile 2.28 respectiv 2.29 putem determina rentabilitatea i riscul unuiset de portofolii, considernd diferite valori pentru w (ponderea investit n activulcu risc). Aici s-au cosiderat 9 portofolii ce corespund unor ponderi w de: 0%, 20%,

40%, 60%, 80%, 100%, 120%, 140% respectiv 160%. Rezultatele sunt prezentate ntabelul urmtor:

Portofoliu w E(Rp) p

1(rf) 0 0.04 0

2 0.2 0.052 0.05

3 0.4 0.064 0.1

4 0.6 0.076 0.15

5 0.8 0.088 0.2

6(A) 1 0.1 0.25

7 1.2 0.112 0.38 1.4 0.124 0.35

9 1.6 0.136 0.4

Ponderile mai mari de 100% investite n activul cu risc corespund unor ponderi negative investite n activul fr risc ceea ce reprezint o poziie short peacest activ. Spre exemplu, dac dispunem de suma M i investim 120% din M nactivul cu risc i -20% n activul fr risc, acest lucru nseamn de fapt c lum cumprumut suma 20% din M la rata fr risc, ceea ce ne permite s investim nactivul cu risc mai mult cu 20% dect suma de care dispunem (M). Pentru c n acestcaz ne asumm riscuri mai mari, randamentul cerut va fi, bineneles, mai mare.

Observai c s-a presupus c orice investitor poate s se mprumute i sacorde un mprumut la rata dobnzii fr risc, ceea ce nu este adevrat n realitate.n seciunea urmtoare, vom vedea cum se modific relaia risc rentabilitate(CML), dac relaxm aceast ipotez.


13/24


13

Figura 2.13. Relaia risc rentabilitate cnd un activ este fr risc

Combinaiile risc-rentabilitate obinute pentru cele 9 portofolii suntreprezentate n figura 2.13. Portofoliile de la 1 la 6 presupun poziii long pe ambeleactive i deci w este mai mic sau egal cu 1 (100%). Portofoliile 7, 8, 9 presupun o

piziie long pe activul cu risc i o poziie short pe activul fr risc (w >1).

Concluzie: Pentru cazul n care se include un activ fr risc, relaia risc rentabilitate pentru portofolii de active financiare este una liniar.Portofoliileeficiente se vor afla pe aceast dreapt. Aceste observaii se menin i atunci cndportofoliile sunt formate din N active dintre care unul este fr risc.

2.2.4. Riscul i rentabilitatea portofoliilor cu N active

n aceast parte a capitolului vom extinde analiza relaiei risc rentabilitate,pentru portofolii formate din N active (N mai mare ca 2). De asemenea, nepropunem s determinm structura portofiliilor eficiente (optime) att pentru cazulportofoliilor formate numai din active cu risc, dar i pentru cazul portofoliilor cu unactiv fr risc.

Riscul i rentabilitatea portofoliilor formate din N active

Pentru cazul n care portofoliile sunt formate din N, se prefer scriereaecuaiilor pentru rentabilitate i risc n form matricial. Relaiile 2.15 i 2.16 pot firescrise matricial astfel:

.


14/24


14

.cu condiia ca suma ponderilor s fie 1, adic:

.Aceast scriere matricial este foarte util pentru extensia noastr la portofolii cuN active. n acest sens, dac notm cu:

, ,

, 111

atunci rentabilitatea anticipati riscul pentru portofolii cu N active se pot calculaastfel:

.unde reprezint matricea de covarian. Aceast matrice este simetric, pentru cik = ki, iar pe diagonala principal se afl varianele celor N active.

Efectul diversificrii asupra riscului. Observaii empirice.

n aceast seciune vom discuta efectul pe care l are creterea numrului deaciuni asupra riscului portofoliului. n acest sens, rescriem ecuaia varianei din3.37 astfel:

.

Dac vom presupune c ponderile portofoliului sunt egale, atunci variana devine:

1 1 2.39Dac notm media covarianelor cu , atunci relaia 2.39devine:


15/24


15

1 2.40Se observ c pe msur ce N tinde la infinit variana portofoliului tinde ctre

media covarianelor:

.Concluzie: Pe msur ce numrul de aciuni dintr-un portofoliu crete, scadeefectul riscurilor individuale (i ) ale aciunilor componente asupra riscului

portofoliului (P ). Deci riscul portofoliilor foarte bine diversificate depinde decovariana dintre aciunile componente (adic de tendina randamentelor lor de aevolua n acelai sens sau n sens opus) i nu de riscul specific aciunii (al firmei

emitente).

Exemplul 13: Pentru a ilustra aceste concluzii s-au luat n considerarerandamentele lunare din perioada 1/2003 4/2008 ale 19 aciuni cotate la BVB, cuurmtoarele simboluri: amo, atb, apc, azo, cmp, ect, imp, oil, olt, pcl, sif1, sif2, sif3,sif4, sif5, sno, snp, tlv, zim.

Din aceste 19 aciuni s-a ales n mod aleator o aciune i s-a calculat risculacesteia (deviaia standard), apoi s-au extras aleator 2 aciuni i s-a calculat riscul

portofoliului (deviaia standard) de ponderi egale; dup care s-au extras aleator 3

aciuni i s-a calculat riscul portofoliului de ponderi egale .a.m.d. pn la formareaunui portofoliu cu toate cele 19 aciuni. Evoluia riscului pe msura creteriinumrului de aciuni este ilustrat n figura 2.14, varianta 1.

Figura 2.14. Efectul diversificrii asupra riscului

a). Varianta 1 b). Varianta 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

0.125

0.13

0.135

0.14


16/24


16

c). Varianta 3 d). Varianta 4

Acest experiment s-a mai realizat nc de trei ori, rezultnd evoluiile din figura 2.14variantele 2, 3, 4. Se observ c pe msur ce crete numrul de aciuni incluse n

portofoliu, riscul acestuia acade, dar cu rate descresctoare. Proporiile cu care sereduce riscul portofoliului sunt prezentate n tabelul 2.1.

Tabelul 2.1. Reducerea riscului datorat creterii numrului de aciuni din

portofoliu (cazul pieei de capital romneti)

-n procente fa de portofoliul cu o aciune-Nrdeactiuni 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Varianta1 49.48 70.88 79.75 83.68 87.14 85.50 85.30 85.88 83.01

Varianta2 48.34 45.20 62.30 46.02 48.49 60.52 65.85 77.09 77.35

Varianta3 62.76 77.07 86.14 92.89 92.52 93.37 94.32 94.75 89.85

Varianta4 38.21 55.09 59.08 67.79 67.40 76.22 75.08 72.51 67.08

Dup 10.000devariante

media 35.14 52.06 61.52 67.82 72.75 76.27 78.83 80.78 82.78devstd 35.23 27.38 23.00 19.50 16.46 14.47 12.56 11.58 10.30

n prima variant, riscul portofoliului format dintr-o aciune (aleas aleator)era de aproximativ 17%, dup includerea unei alte aciuni (aleas tot aleator) risculs-a redus cu aproximativ 50%; pentru un portofoliu din 3 aciuni riscul a sczut cuaproximativ 70%; pentru 4 aciuni alese aleator riscul a sczut cu aproximativ 80%,.a.m.d. Conform primei variante, efectele diversificrii sunt impresionante, i chiarmai impresionante n cazul variantei 3 unde riscul se reduce i mai repede. n

varianta 2i 4 reducerea riscului nu mai este la fel de rapid ca n celelalte dou, prin urmare datorit faptului c aciunile sunt alese n mod aleator, rata dedescretere a riscului variaz de la un experiment la altul.

n consecin, s-au simulat 10.000 de experimente (variante) i s-a calculatmedia i deviaia standard a histogramelor obinute (vezi tabelul 2.1). n figura 2.15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15


17/24


17

sunt prezentate dou dintre cele 9 histograme folosite pentru a calcula media ideviaia standard a procentului de reducere a riscului datorat diversificrii.

Figura 2.15. Distribuia procentului de reducere a riscului ca urmare adiversificrii

a). 5 aciuni b). 10 aciuni

n concluzie, prin acest exemplu s-a artat c prin diversificare riscul asumat deinvestitor se reduce substanial. Astfel, conform rezultatelor obinute prin formareaunor portofolii simulate pe baza a 19 aciuni cotate la BVB, se observ c prindiversificarea cu doar dou aciuni alese aleator, riscul asumat se reduce n mediecu 35.14%. Dac se aleg 3 aciuni n mod aleator riscul se reduce n medie cu52.06%, dac se aleg 4 aciuni riscul scade n medie cu 61.52% .a.m.d. (vezi tabelul2.1).

Frontiera portofoliilor optime formate numai din active cu risc

S-a definit mai sus c un portofoliu este eficient (optim) dac nu exist un altportofoliu cu aceeai rentabilitate i un risc mai mic, sau nu exist un alt portofoliucu acelai risc i o rentabilitate mai mare. Din punct de vedere matematic, frontieraportofoliilor optime se poate determina n dou moduri:

1. minimizarea riscului pentru o rentabilitate dat;2. maximizarea rentabilitii pentru un risc dat.

n cele ce urmeaz, vom considera doar prima abordare, adic vom rezolva o

problem de optimizare ptratic de forma: cu constngerile:

E(RP) = r* (2.38)

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 1200

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 1 200

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600


18/24


18

Cu alte cuvinte, prin aceast problem de optimizare ne propunem sdeterminm ponderile w care minimizeaz riscul portofoliului pentru o rentabilitatefixat la nivelul de r*. Soluia acestei probleme (s o notm cu w*) pentru unanumit r* ales, reprezint structura potrofoliului eficient (optim) de rentabilitateateptat r*. Avnd structura optim w* se poate calcula riscul (*) asociat acestuiportofoliu, care este, deci, cel mai mic risc posibil pentu o rentabilitate de r*.

Rezolvnd problema 2.38 pentru T valori ale lui r* vom obine T portofoliioptime (adic vectori w*) de risc minim, *. Reprezentnd grafic cele T combinaii(*, r*) se obine o hiperbol similar celei din figura 2.10. Mulimea portofoliiloreficiente formeazfrontiera Markowitz.

Exemplul 14:S considerm c pe piaa de capital ar exista doar 5 aciuni: SIF1,SIF2, SIF3, SIF4, SIF5; i ne propunem s determinm frontiera portofoliiloreficiente ce pot fi formate cu cele 5 aciuni.

Distribuia randamentelor este aici aproximat prin histogramarandamentelor lunare istorice din perioada 12 / 1999 3 / 2008, iar randamenteleateptate vor fi mediile acestor distribuii.

Tabelul 2.2. Randamentul lunar mediu al SIF-urilor

Actiunea SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5

E(Ri) 4.44% 5.05% 3.57% 3.75% 4.81%

De asemenea, folosind randamentele lunare istorice, s-a determinat matricea decovarian2:

sif1 sif2 sif3 sif4 sif5

sif1 0.020002 0.019063 0.016138 0.016238 0.016434

sif2 0.019063 0.02335 0.017118 0.017777 0.019855

sif3 0.016138 0.017118 0.019246 0.014809 0.01452

sif4 0.016238 0.017777 0.014809 0.019679 0.015272

sif5 0.016434 0.019855 0.01452 0.015272 0.022704

Optimizarea problemei 3.38 s-a realiza n Excel prin algoritmul SOLVER. S-au

determinat ponderile (portofoliile optime), care minimizeaz riscul pentru unrandament lunar ateptat al portofoliului de: 1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 6%, 7%, 8%, 9%.Rezultatele optimizrii sunt prezentate n tabelul 2.3.

Conform rezultatelor, observm c prin investirea sumei M n cele 5 SIF-uri,pentru a obine un randament mediu de 4%, se va investi o pondere de 31% din M n

2InExcelsepoatefaceprinfunciaCovariancedinData >DataAnalysis.


19/24


20/24


20

Observai c toate cele 9 portofolii considerate n tabelul 2.3, implicoperaiuni de short selling. Cum ajustm problema de optim 2.38, dac pe piaa nusunt permise astfel de operaiuni ? (este i cazul pieei de capital din Romnia).Rspunsul este simplu: adugm noi restricii prin care impunem ca ponderile s fie

pozitive. Adic la problema 3.38 mai adugm urmtoarele constrngeri:

wi > 0, pentru orice i =1, 2...N

Noile rezultate sunt prezentate n tabelul 2.4. Spre deosebire de situaia anterioar,acum pentru a obine o rentabilitate medie de 4% se va investi o pondere de 12% nSIF1, o pondere de 36% n SIF3, 30% n SIF4, 22% n SIF5i nimic n SIF2.

Tabelul 2.4. Portofolii eficiente (fr short selling)

Riscport.

p

Rentab.

Port. E(Rp)

Ponderi(w)

SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF513.48% 3.6% 0.00 0.00 0.86 0.14 0.00

12.93% 3.8% 0.00 0.00 0.48 0.39 0.13

12.88% 4% 0.12 0.00 0.36 0.30 0.22

13.11% 4.3% 0.31 0.00 0.18 0.17 0.35

13.64% 4.6% 0.38 0.15 0.04 0.05 0.38

13.85% 4.7% 0.39 0.21 0.00 0.02 0.38

14.11% 4.8% 0.27 0.38 0.00 0.00 0.35

14.9% 5% 0.00 0.80 0.00 0.00 0.20

De asemenea, pentru a obine un randament lunar de 5% , se va investi doar n SIF2n proporie de 80%, i n SIF5 restul de 20%.

Coloanele unu i doi din tabelul 2.4. ne furnizeaz informaii despre nouarelaie risc rentabilitate, ilustrat n figura 2.17.

Figura 2.17. Frontiera Markowitz (fr short selling)


21/24

Pieede

Fronti

formateincludedreaptcu un aformarrentabi(CML

Preprezediversifinfinitaponderne apro

Dac, activulPortoforentabiobservace pot frisc.

apitalNot

ra porto

seciune

dintr-unea unui a. Vom vedctiv fr ra portofolitate obiCapital

Figura 2

entu ncentate treic portof

te de portmai mar

piem de r

schimb,fr risc siile de pitate maiia c la robinute

edecurs

oliilor efi

a 2.2.3 s-a

activ cu rictiv fr ria aici csc i maiilor eficieut se narket Li

.18. Drea

ut s conportofoliiliul A cuofolii ce sinvestitnseamn

e alege pe obine drfA sun

mic la andul lor

prin diver

ciente ce

analizat

sc i unulsc n portceast co

ulte actite se folosmete drne).

ta funda

siderm fiformate nactivul fnt situat

n portofoc se m

rtofoliuln nou o idominat

elai niveortofoliileificarea p

21

includ i

elaia ris

fr risc.foliu, froncluzie see cu risc.

esc toateeapta fu

mental

gura 2.18umai din risc (de

pe dreaiul A suntrete pon

de pe frofinitate de de portl de risc.de pe rfBortofoliilo

un activ

rentab

S-a ajunstiera portenine i

Dac, pectivele cudament

pieei d

unde pe factive curentabilitta rfA. Pmai aproerea inve

ntiera Maportofoliofoliile dee acelaisunt domaflate nt

r risc

litate pen

la concluzfoliilor efipentru cang actirisc, atunl a pie

capital

rontieraisc: A, B

ate rf) seortofoliileiate de ac

stit n ac

rkowitz isituatepe rfB,

raionamnate de tore A i M

tru portof

ia c odatciente devul portoloul fr risi relaia rei de ca

CML)

arkowitzi M. Dapoate obice presupesta, iar ctivul fr

se combine dreaptadeoarecent ajungeate portofcu activul

liile

cune oiilorc, nisc ital

sunt sene on oct

risc.

curfB.u o

m laliilefr


22/24


22

n concluzie, portofoliile eficiente se vor afla pe tangenta dus din punctul rf lafrontiera Markowitz. Toate portofoliile de pe aceast dreapt (numit CML) dominportofoliile de pe frontiera Markowitz. Prin urmare, dac pe pia exist un activfr risc, frontiera portofoliilor optime este reprezentat de dreapta CML.Portofoliul din active cu risc (M) aflat la punctul de intersecie dintre frontieraMarkowitz cu CML se numete portofoliul pieei i este singurul portofoliueficient format numai din active cu risc.

n funcie de aversiunea sa la risc, investitorul poate alege un portofoliu derisc sczut (aflat n apropierea lui rf) sau un portofoliu cu risc ridicat (aflat napropierea sau deasupra lui M). De asemenea, portofoliile aflate pe CML ntre rfiM presupun o pondere pozitiv (poziie long) investit n activul fr risc. Deoareceactivul fr risc este o obligaiune emis de stat, acest lucru nseamn cinvestitorul acord un mprumut la rata dobnzii fra risc. Dac se alege portofoliul

pieei, M, nseamn c se investete doar n active cu risc. n cazul n care se alegeun portofoliu aflat desupra lui M, acest lucru implic o pondere negativ (poziieshort) investit n activul fr risc, ceea ce semnific faptul c investitorul semprumut la rata fr risc (rf), iar suma obinut o investete n portofoliul pieei.

Pentru a determina frontiera portofoliilor eficiente (CML) cu un activ frrisc, se rezolv problema de optimizare ptratic 2.38 cu observaia c n matriceade covarian toi termenii referitori la covariana dintre activul fr risc i orice altactiv din portofoliu este zero (adic cov(rf, Ri)=0, pentru orice i).

Exemplul 14 (continuare): S presupunem c alturi de cele 5 aciuni, pepia mai existi un activ fra risc de rentabilitate lunar 1%.

n acest caz vectorul de rentabiliti devine:

Actiunea SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 Rf

E(Ri) 4.44% 5.05% 3.57% 3.75% 4.81% 1%

iar matrice de covarian este:sif1 sif2 sif3 sif4 sif5 rf

sif1 0.020002 0.019063 0.016138 0.016238 0.016434 0sif2 0.019063 0.02335 0.017118 0.017777 0.019855 0

sif3 0.016138 0.017118 0.019246 0.014809 0.01452 0

sif4 0.016238 0.017777 0.014809 0.019679 0.015272 0

sif5 0.016434 0.019855 0.01452 0.015272 0.022704 0

rf 0 0 0 0 0 0


23/24


23

Rezultatele obinute n urma obtimizrii 2.38 sunt prezentate n tabelul 2.5.

Tabelul 2.5 Portofolii eficiente cu un activ fr risc

Riscport

p

Rentabport

E(Rp)

Ponderi(w)

SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 rf0.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00

3.57 2 0.11 0.19 0.09 0.08 0.08 0.79

7.15 3 0.22 0.38 0.18 0.15 0.16 0.58

10.72 4 0.33 0.57 0.27 0.23 0.23 0.37

14.29 5 0.44 0.76 0.36 0.30 0.31 0.16

17.86 6 0.55 0.95 0.45 0.38 0.39 0.06

21.44 7 0.65 1.14 0.54 0.45 0.47 0.27

25.01 8 0.76 1.32 0.63 0.53 0.54 0.48

28.59 9 0.87 1.51 0.72 0.60 0.62 0.69

Conform rezultatelor, pentru a obine o rentabilitate lunar de 4%, se va investi37% n activul fr risc i restul de 63% n activele riscante, astfel: 33% n SIF1,57% n SIF2, -27% n SIF 3, -23% n SIF4 i 23% n SIF5. Observai c pentru aobine rentabiliti mai mari precum 6%, 7%, 8% sau 9 %, investitorul trebuie s semprumute, iar suma obinut s o investeasc n portofoliul pieei.

Figura 2.19 Frontiera portofoliilor eficiente cu un activ fr risc

Frontiera Markowitz, CML i portofoliul pieei pentru acest exemplu sunt ilustraten figura 2.19. n plus, graficul mai prezinti combinaia risc-rentabilitate pentrucele 5 SIF-uri (activele cu risc din exemplul nostru) pentru a arta c investiiiledoar intr-una din ele sunt dominate de portofoliile eficiente de pe CML.


24/24


24

? ntrebri ?

1. Ce nelegei prin diversificarea riscului un portofoliu?2. Care este diferena ntre covariani coeficientul de corelaie?3. Un manager al unui fond de pensii analizeaz trei portofolii: unul format dinaciuni, unul format din obligaiuni corporative pe termen lung, unul format dinactive fr risc (rf = 5,5%).

Rentab astept Dev. Std.

Port. Actiuni (A) 15% 35%

Port. Oblig (O) 9% 23%

a) Care este portofoliul cu risc minim i structura sa, tiind c valoareacoeficientului de corelaie este 0.15?

b) Determinai frontiera portofoliilor eficiente, pentru un portofoliul format dinaciuni i obligaiuni, variind ponderile n total portofoliu de la 0% la 100%,cu cretere a ponderilor de 20%. (vezi tabelul de mai jos)

c) Care este raportul ctig-risc pentru dreapta CML n cazul portofoliul deaciuni?

d) Reprezentai grafic dreapta CML?Ponderile

portofoliului

Rentabilitatea

asteptata

DeviatiaStd

xA xO=1 xA

0.0 1.0

0.2 0.8

0.4 0.6

0.6 0.4

0.8 0.2

1 0

Date post:	30-May-2018
Category:	Documents
Upload:	zaraki88
View:	241 times
Download:	0 times

Curs 5 Risc&Rentab II - piete de capital

Documents