SISTEMAS DE CONTROLE ISISTEMAS DE CONTROLE IDr. Miguel A. Rodríguez Borroto
Escola Superior de Tecnologia (EST)Universidade do Estado de amazonas (UEA)
e-mail: [email protected]
SISTEMAS DE CONTROLE ISISTEMAS DE CONTROLE I
CONFERENCIA 3CONFERENCIA 3
Modelagem Matemático da Dinâmica Modelagem Matemático da Dinâmica de Sistemas (Segunda parte): de Sistemas (Segunda parte):
Modelagem de sistemas de Modelagem de sistemas de controle no espaço de estado. controle no espaço de estado.
ConteúdoConteúdo• Introduçao à teroria moderna do controle.• Modelagem de sistemas de controle no
espacio de estados. • Conceitos, equações de estado.
• Correlação entre FT e equações de estados.
Bibliografia: Ogata, K. Engenahria De controle moderna, 5ta edição, Cap2, Pags. 58-65.
OBJETIVOSOBJETIVOS
•Familiarizar-se com os conceptos de estado, variáveis de estado (VE) e equações de estado (EE).
•Conhecer a correlação que existe entre função de transferência (FT) e equações de estado.
•Conhecer a representação matricial das equações de estado.
•Determinar o modelo de estado de sistemas físicos típicos.
Teoria de controle ModernoTeoria de controle Moderno
A tendências atual dos sistemas de engenharia é no sentido de aumentar sua complexidade em função, da necessidades de realizar tarefas complexas e com requisitos de boa precisão.
Sistemas complexos podem ter muitas entradas e muitas saídas e podem ser variantes no tempo.
A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigoroso quanto ao desempenho de sistemas de controle, o aumento de complexidade dos sistemas e a facilidade de acesso aos computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderna, iniciada desde 1960 como uma nova forma de analisar e projetar sistemas complexos.
Teoria de controle ModernoTeoria de controle Moderno
Esta nova abordagem é baseada no conceito de variáveis e equações de estado.
Então, a toda a estruturação da teoria de controle, apoiada neste concepto, é o que se chama teoria de controle moderno.
Mas este conceito no é novo, tem existência há longo tempo no campo da dinâmica clássica.
Teoria de controle ModernoTeoria de controle Moderno
Realmente, o procedimento de encontrar e escrever as equações de estado de um sistema físico, no é mais que o procedimento de descrever a equação diferencial que define seu desempenho em sua forma normal.
O qual não é mais que, a representação da equação diferencial em termos de suas derivadas de distintos ordenes.
Por exemplo: Seja o sistema cuja dinâmica é descrita pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:
y by cy u( t )
Teoria de controle ModernoTeoria de controle Moderno
Este sistema em sua forma normal torna-se como:
O qual, como veremos mais adiante é a representação de nosso sistema em equações e
variáveis de estado.
1
2
1 2
2 2 1
x yx y
x y xx y ay by u( t ) ax bx u( t )
Teoria de controle moderno versus teoria de Teoria de controle moderno versus teoria de controle convencionalcontrole convencional
A teoria de controle moderno contrasta com a teoria de controle convencional no sentido de que a primeira é aplicável a sistemas com entradas e saídas múltiples, lineares ou não-lineares ou invariantes no tempo, em quanto a segunda é aplicável só a sistemas mono-variável. Alem disso, a teoria de controle moderno é uma abordagem baseada somente no domínio do tempo, em quanto a teoria convencional adota um enfoque no domínio da freqüência complexa.
Conceitos fundamentais de Teoria de controle Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernomoderno
Concepto de Estado:Concepto de Estado: O estado de um sistema dinâmico é o menor número de variáveis (variáveis de estado) de modo que o conhecimento de seus valores em
t = t0, junto como o conhecimento dos valores do sinal de entrada para t 0, se pode determinar
totalmente o comportamento do sistema em qualquer instante t t0.
O conceito de estado não está limitado somente aos sistemas físicos; se aplica também ao
sistemas biológicos, econômicos, sociais, etc.
Variáveis de estado:Variáveis de estado: É o menor conjunto de variáveis que determina o estado do sistema dinâmico. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1, x2, . . . ,xn, para descrever o comportamento de um sistema (demodo que conhecidos os valores de entrada em t t0 e especificado o estado inicial em t = t0, o estado futuro do sistema esteja completamente determinado), então tais n variáveis dizem-se as variáveis de estado desse sistema.
Conceitos fundamentais de Teoria de controle Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernomoderno
Vetor de EstadoVetor de Estado• Se n variáveis de estado são necessárias para
descrever completamente o comportamento de um sistema, então estas n variáveis de estado podem ser consideradas as componentes de um vetor x no espaço n-dimensional. Um tal vetor é chamado vetor de estado.
• Portanto, um vetor de estado é um vetor que determina o estado x(t) do sistema para qualquer instante t t0, uma vez conhecido o estado em t = t0 e uma função de entrada u(t) também para todo t t0.
Conceitos fundamentais de Teoria de controle Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernomoderno
Espaço de estado Espaço de estado É o espaço n-dimensional cujos eixos coordenados consistem dos eixos x1, x2,. . ., xn.Qualquer estado particular num instante t=to pode ser representado por um ponto no espaço de estado.
Conceitos fundamentais de Teoria de controle Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernomoderno
Equações de estadoEquações de estado• A analise no espaço de estado envolve três tipos de variáveis na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada,variáveis de saída e variáveis de estado.• As equações de estado são as que relacionam as variáveis de estado e as entradas e saídas do sistema para definir seu comportamento dinâmico no tempo.
• A representação de um sistema em variáveis de estado não é única, exceto que o número de variáveis de estado sim é o mesmo para qualquer das diferentes representações do sistema.
Conceitos fundamentais de Teoria de controle Conceitos fundamentais de Teoria de controle modernomoderno
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Seja a seguinte equação diferencial, de orem n, no tempo que define o comportamento dinâmico de um sistema:
(1)
Podemos definir um conjunto de variáveis que poderiam ser escolhidas em relação direta com as derivadas do sistema:
(2)
( n ) ( n 1 )
1 n 1 ny a y a y a y u
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Assim a equação (1), pode ser reescrita como a seguir:
(3)
Matematicamente, o sistema (3) se diz que é a decomposição normal do equação (1) como já falamos.
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
As quais são conhecidas como equações de estado do sistema.
Portanto, a equação diferencial de ordem n fica transformada num conjunto de n equações diferenciais
de primeiro ordem.Logo, podemos organizar elas em forma de equação
matricial:
(4)Onde:A matriz A de ordem (n,n) é a matriz de coeficientes ligados as variáveis de estado do sistema.
BuAxx
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
B (n,r) é a matriz de coeficientes do sinal de entrada; onde, r é o numero de variáveis de entrada.
Na saída teremos a variável y:Conhecida como Equação de saída.
(5)
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Podendo ser escrita matricialmente como a seguir: (6)
Onde: A matriz C de ordem (1,n) é a matriz de coeficientes ligados as variáveis de estado do sistema.
A matriz D de ordem (1,r) é a matriz de coeficientes do sinal de entrada.
DuCxy
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Podemos então escrever finalmente (4) como segui:
(7)
E a equação de saída (6) torna-se como segui:
(8)
u*
1
00
x
xx
*
aaa001000010
x
xx
n
2
1
12n1nn
2
1
u*D
x
xx
*001y
n
2
1
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Se a saída não depende do sinal de entrada u, então D=0 (matriz nula).
Nesse caso uma realização destas equações é o diagrama de bloco que se mostra na figura seguinte:
Fig. 1
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Observe-se que a função de transferência:
é dada também pelas equações (4) até (6) com D = 0.
Agora considere-se o caso mais geral admitindo que o sistema é multivariáveis (múltiples entradas e múltiples saídas) envolva n integradores. Suponha-se também, que haja r sinais de entrada u1, u2,,. . . ,ur e m sinais de saída y1, y2,. . ., ym.
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estadosDefinam-se as n variáveis de saída dos integradores como as variáveis de estado x1, x2,. . .,xn. O sistema pode então ser descrito como:
(9)
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Os valores das saídas do sistema estão dadas por:
(10)
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Definindo-se:
(11)
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Então as equações (9) e (10) podem-se escrever como:
(12)
(13)Se as equações anteriores são linearizadas, então resulta o sistema linear em notação matricial seguinte:
(14) (15)
Representação por espaço de estadosRepresentação por espaço de estados
Onde igualmente que em o caso anterior:A(t): Matriz de estado de ordem (n,n)B(t): Matriz de entrada de ordem (n,r)C(t): Matriz de saída de ordem (m,n)D(t): Matriz de transmissão direta de ordem (m,r)
Representação no diagrama de blocoRepresentação no diagrama de bloco
As equações (14) e (15) se representam em bloco como segui (Fig. 2).
Fig. 2
Exemplo 1Exemplo 1Considere o sistema mecânico indicado na Fig. 3 seguinte:
Fig. 3
Exemplo 1: Exemplo 1: Sistema massa, mola, Sistema massa, mola, amortecedor:amortecedor:
Plantando o principio de conservação da energia, através do balance de forças no sistema se tem o seguinte modelo:
(16)
Trata-se de um sistema simples entrada - simples saída de segunda ordem, o qual não implica que o sistema tem dois integradores:Definem-se as variáveis de estado x1(t) e x2(t) como segui:
(17)
Exemplo 1Exemplo 1
Resulta então:
(18)
Ou
(19)
Exemplo 1Exemplo 1
A equação de saída é:
(20)
Em notação matricial se tem:
(21)
Exemplo 1Exemplo 1
E a equação de saída fica como:
(22)
As equações do sistema estão agora padronizadas:
(23)
Exemplo 1Exemplo 1
Onde:
(24)
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
No que segui, será mostrado como obter a função de transferência de um sistema mono variáveis a partir das
equações de estado.Considere o sistema cuja função de transferência e da
forma:
Y ( s )G( s )U( s )
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
O diagrama de bloco para o exemplo 1 se mostra na Fig. 4.
Fig. 4
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
Transformando por Laplace à forma padronizada (23) tem-se:
(25)
Já que a FT define-se para condições iniciais zero se tem que x(0) = 0, então fica:
(26)
Ou seja: (27)
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
Deve ter-se presente que a notação é matricial e portanto a manipulação das equações anteriores deve fazer-se aplicando o álgebra matricial.Premultiplicando (27) por à esquerda por (sI-A)-1 tem-se:
(28)
Substituindo (28) em segunda equação de (6.25) fica:
(29)
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
Portanto a função de transferência é:
(30)
Observe-se que o segundo membro de (6.30) envolve (sI-A)-1 .Então a equação pode escrever-se com:
(31)
Onde Q(s) é um polinômio em s e sI-A= determinante de SI-A.Então sI-A = 0 é o polinômio característico do sistema.
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
Ou seja-se, os autovalores de A o raízes de sI-A=0 são os pólos de G(s), ou seja do sistema.Consideremos de novo o sistema do exemplo 1.Nesta caso, substituindo os valores de A, B, C, e D dado em (24) em (30) tem-se:
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
Posto que:
Tem-se:
Os alunos devem verificar este resultado diretamente da equação diferencial (16)
Correlação entre variáveis de estado e função Correlação entre variáveis de estado e função de transferênciade transferência
Matriz de transferênciaMatriz de transferência
A matriz de transferência G(s) relaciona a saída Y(s) com a entrada U(s), portanto:
(32)
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Seja o sistema linear de orem n com derivadas na excitação cujo modelo matemático é a equação diferencial seguinte:
(33)
Então o conjunto das variáveis: não se qualifica como variáveis de estado, e o método direto empregado ao principio desta aula não pode ser usado.
Isto é porque as n equações diferenciais de primeira ordem:
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Onde y = x1, não podem conduzir a uma solução única.
O problema radica na presencia de derivadas no sinal de excitação na segundo membro de (33).
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Um modo de resolver o problema é definir as variáveis de estado como segui:
(34)
Onde os 0, 1, . . . , n se calculam a partir de:
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
(35)
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Então, agora as equações de estado são:
(36)
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Em notação matricial tem-se:
(37)
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Ou:
(38)
Onde:
(39)
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Nesta representação em variáveis de estado as matrizes A e C são as mesmas que no caso anterior, somente troca a matriz B.
A função de transferência do sistema (33) se torna:
(40)
Uma realização das equações (36 ) – (38) se mostra no seguinte diagrama de bloco:
Representação no espaço de estado de sistemas Representação no espaço de estado de sistemas com derivadas na excitaçãocom derivadas na excitação
Fig. 5
Transformação no espaço de estado para Transformação no espaço de estado para função de transferência e vice-versa com função de transferência e vice-versa com
MatLabMatLabMatLab permite, dada a FT de um sistema,
encontrar as variáveis e eqs. de estado. Assim:>>[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D, iu)O argumento iu deve ser especificado para
sistemas multvariaveis, por exemplo se o sistema tem três entradas u1, u2, u3, então se iu = 1 u=u1,
se iu = 2 u = u2 e assim sucessivamente. Por defeito se não se coloca iu se consideira ao
sistema de uma só entrada.
Exemplos de sistema elétricosExemplos de sistema elétricos
Exemplo 2: Variáveis e equações de estado para o circuito elétrico serie RLC.Seja o circuito elétrico mostrado na Fig. 6.
Fig. 6
Exemplos de sistema elétricosExemplos de sistema elétricos
Em circuitos elétricos se acostuma a selecionar as variáveis de estado como as correntes no indutores e os voltagem os capacitores.Plantando as equações de voltagem de Kirchhof no circuito e o voltagem no capacitor tem-se:
Ou seja:
Exemplos de sistema elétricosExemplos de sistema elétricos
Então se definem como variáveis de estado:
Voltagem no capacitor C
Corrente no indutor L dividido por C
As equações de estado são:
E a equação de saída é:
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânicoExemplo 3: Modelo de estado do pendulo invertido mostrado a seguir:
Só considera-se o caso de dois dimensões.
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Neste caso trata se de um carrinho que se move em dois dimensões com um pendulo invertido e se pretende controlar o movimento do carrinho de modo que o
pendulo se mantenha com uma inclinação dada.
A notação fica clara na figura anterior.
O modelo deste sistema mecânico se mostra no Exemplo 3-4 do livro de texto (Ogata, K. pag. 71 e seguintes) e
dado por:
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
(a)
(b)
Se consideramos que a massa m do pendulo está concentrada no centro de gravidade do mesmo, seu momento angular de inércia I é praticamente zero, portanto, fazendo I = 0 a equação (b) torna se:
(c)
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
As equações (a) e (c) definem o modelo do pendulo no plano.
Eliminando de (a) e (c) temos:
(d)
Eliminando de (a) e (c) temos:(e)
Então o modelo do pendulo fica dado por (d) e (e).
x
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Antes de encontrar o modelo de estado vejamos que o sistema em malha aberta é instável.
Em efeito, a função de transferência do sistema é:
G(s) = (f)
Vemos que apresenta dois raízes sobre o eixo jw.
Considerando M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m, g = 9.81 m/seg2
Temos:
2 2
1 1G( s )2 0 ,5s ( 2 0,5 ) 9.81 s 24,5
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Em efeito, o sistema apresenta raízes em j4,95.Agora definamos as variáveis de estado a partir do sistema (d) e (e); assim temos:
(g)
Definindo a posição angular do pendulo e o deslocamento x do carrinho como variáveis de saída temos:
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
(h)
Então, tendo em conta as equações (d) e (e) e as definições (f) temos as equações de estado seguintes:
(i)
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Em notação matricial (i) torna-se como segui:
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Substituindo os valores numéricos deste casso temos:
E finalmente temos:
Onde:
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Simulação do sistema:
Neste caso a simulação se fará em laço aberto porque ainda no teremos o controle do processo em malha fechada; mas acontece que nestas condições o processo do pendulo se torna instável; então se precisa fazer a simulação como se mostra seguir:
Terminator
Switch 1State -Space
x' = Ax+Bu y = Cx+Du Scope
Constant 1
pi /2
Constant
0
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
Induzindo as matrizes no workspace de matlab:>> A = [0 1 0 0; 20.6 0 0 0; 0 0 0 1; -0.4905 0 0 0];>> B = [0 -1 0 0.5]’; >> C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];>> D = [0 0]’;
O sinal de entrada se coloca em 0 porque queremos simular a resposta ao condição inicial.
O sistema baseado em um switch que se utiliza para simular as condições reais do pendulo.
A resposta a uma condições inicial de 0.1 rad no ângulo de pendulo e deslocamento zero (0) do carrinho se mostra a seguir:
Exemplo de sistema mecânicoExemplo de sistema mecânico
ExercíciosExercícios
1.Dadas as seguintes FT encontrar a representa em VE do sistema.
2.Encontrar as FT dos sistemas lineares cujas representações em VE são as seguintes:
10080171005010)()
24351210)()
919)()
23
2
23
ssssssGc
ssssGb
sssGa
ExercíciosExercícios
uxx
yuxx
xx
c
uxxx
yuxxx
xxx
b
uxx
yuxx
xx
a
001;102
8410
)
0001;100
1051100010
3)
001;10
5210
)
2
1
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
CONCLUSÕESCONCLUSÕES
Os conceitos de estado e vaiáveis de estado, do ponto de vista matemático não são conceitos novos, conhecem-se
faze muito tempo com o nome de normalização da equação diferencial do sistema.
Entretanto, o conceito, foi amplamente desenvolvido em introduzido como ferramenta matemática para o análise e desenho de sistemas de controle pelo Kallman, Newman,
Iserman e outros, dando lugar assim ao que chamou desde mediados do século passado a teoria moderna do
controle, fundamentada em um análise no domínio temporário.
CONCLUÇÕESCONCLUÇÕES
Modernamente o conceito foi amplamente desenvolvido e continua sendo a base do modelado no domino temporário
dos sistemas de controle lineares e não lineares, invariantes e variante no tempo.
Uma extensão dessa teoria é a conhecida atualmente como teoria do controle robusto, a qual é a verdadeira teoria do
controle robusto atualmente.
BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA
Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna. 4ª Edição, Cap. 3.
