REFERAT Probabilitati Si Statistica

7/15/2019 REFERAT Probabilitati Si Statistica

http://slidepdf.com/reader/full/referat-probabilitati-si-statistica 1/25

COLEGIUL ECONOMIC „VIRGIL MADGEARU” PLOIEŞTICATEDRA DE MATEMATICĂ

Elemente de teoria probabilităţilor

- exemple de activităţi de învăţare care să asigureatingerea competenţelor din programa clasei a X-a

Profesori:Ţaga Loredana

Soare DanielaIoniţa Beatrice

Diaconu Corina

19 noiembrie 2007

1



Calculul probabilităţilor a luat naştere cu trei secole în urmă, din

studiul jocurilor de ”hazard”,adică de noroc. Cuvântul hazard provine dinaraba, limba în care az-zahar înseamnă „zar pentru a juca”.

Blaise Pascal(1623-1662) şi Pierre Fermat(1601-1662) s-austrăduit să ofere un suport matematic jocurilor de noroc, cu ocazia unei

probleme propusă, în 1654, de cavalerul de Méré(1607-1685), un pasionat jucător de zaruri, care susţinea că jocurile de noroc uneori conduc la

rezultate care contrazic matematica.O alta problema, devenită, de asemenea, celebră prin faptul că a

condus la naşterea unei noi discipline matematice, a constat în împărţireamizei la un joc care este întrerupt înainte de a fi desemnat un câştigător. Laun joc la care participa doi parteneri în condiţii egale este învingător cel carecâştiga trei partide. După trei partide jucate, jocul se întrerupe, primul

jucător având doua partide câştigate, iar al doilea numai una.Pare curios că nişte savanţi, cărora ştiinţa le datorează descoperiri

fundamentale, se ocupau de rezolvarea unor probleme neînsemnate puse de

practica jocurilor de noroc, dar ei erau convinşi de importanţa descopeririilor în punct de vedere filosofic. În scrisoarea în limba latină adresatăAcademiei de Ştiinţe a Franţei, prin care Pascal anunţa rezultatulcercetărilor sale, el arata că a reuşit să concilieze incertitudinile hazarduluicu demonstraţiile matematice.

Mai târziu, în opera postuma „Ars conjectandi”(1713), a unui altmatematician, Jacob Bernoulli (1654-1705), se stabileşte, pentru primaoara, că noua teorie matematica este fundamentală pentru studiulfenomenelor de masa. Printr-o teorema celebra, intitulată de el „teoremanumerelor mari”, Bernoulli stabileşte relaţia matematica dintre frecventă si

probabilitate după un număr mare de probe. Aceasta teorema constituiefundamentul statisticii matematice si justifică aplicarea teoriei

probabilitatilor în alte domenii.Un alt matematician care a adus contribuţii importante în teoria

probabilităţilor a fost Abraham de Moivre(1667-1754). El a găsit legeanormala de probabilităţi, atribuita mai târziu, pe nedrept, altor oameni deştiinţă.

2



Huygens in 1657 si Jacques Bernoulli publica în 1713 primeletratate de calcul al probabilităţilor. Progrese decisive sunt făcute, apoi,îndeosebi de Pierre Simon Laplace(1749-1827) cel care`pe drept cuvânttrebuie sa fie considerat ca fondator al teoriei moderne a probabilităţilor;

printre lucrările sale amintim „Tratatul analitic al probabilităţilor” („Traitéanalytique des probabilités”) apărut in 1812, în care expune în mod riguros

propoziţiile de bază ale teoriei probabilităţilor, enunţa şi rezolvă în anumitecazuri teorema limită centrală, fundamentală în teoria erorilor, şi aplică înmod ştiinţific calculul probabilităţilor în demografie, astronomie şi în altedomenii.

Lucrările care au urmat au avut ca scop separarea calculului probabilităţilor de jocurile de noroc şi construirea unei teorii axiomatice carenu face apel la ambigua noţiune de hazard .

Epoca noastră cunoaşte o dezvoltare considerabilă a acestei teorii,

care este aplicată, aproape fără excepţie, în toate domeniile deactivitate (fizică, chimie, biologie, tehnică, astronomie, medicină, economie,sociologie, istorie, arheologie, psihologie, lingvistică, etc.).

La noi în tară domeniul teoriei probabilităţilor are vechi tradiţii şi afost ilustrat de matematicieni de certa valoare cu remarcabilecontribuţii :Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc, C.T.Ionescu Tulcea,George Ciucu, Ioan Cuculescu, Marius Iosofescu.

1. Elemente de calculul probabilităţilor

3



1.1. Eveniment. Frecvenţă. Probabilitate

Prin experienţă aleatoare se înţelege o experienţă al cărei

rezultat, numit probă, variază la întâmplare.Un eveniment desemnează apariţia sau producerea şi, tot aşade bine, neapariţia sau neproducerea unui anumit fenomen sau uneianumite situaţii. El este legat de o anumită experienţă.

Un eveniment este numit sigur sau cert dacă suntem informaţisuficient de bine că s-a produs sau se va produce în viitor cusiguranţă; în caz contrar avem de-a face cu evenimentul incert.

Altfel spus, faptul că un eveniment este cert sau incert este oapreciere a celui care decide pe baza informaţiilor disponibile la unmoment dat şi nu neapărat o caracteristică intrinsecă sau obiectivă a

acestui eveniment. În fapt, producerea unui eveniment este strânslegată de realizarea unui anumit număr de condiţii. Astfel,evenimentul sigur poate fi considerat ca fiind acela care se producede fiecare dată când sunt realizate condiţiile.

Evenimentul imposibil este acel eveniment care nu se poateproduce niciodată atunci când condiţiile sunt realizate. Evenimentulaleator sau incert este acela care în prezenţa condiţiilor se poateproduce sau nu.

Presupunem că avem de-a face cu extragerea unei bile dintr-ournă care conţine 7 bile albe şi 3 bile negre. Se mai presupune cătoate cele 10 bile sunt perfect identice ca formă, dimensiune şigreutate, singura caracteristică distinctivă fiind culoarea. Această dinurmă condiţie trebuie să ne asigure că orice extragere se va face defiecare dată în condiţii identice, eliminând din experienţă oriceelement care poate favoriza oricât de puţin extragerea unei bile

înaintea celorlalte. Teoretic, putem considera că avem de-a face cucondiţii ideale de efectuare a experienţei propuse. De asemenea,vom considera că extragerea din urnă se va efectua astfel încât nici

un operator uman sau de altă natură să nu poată "vedea" sauinterveni în vreun fel în selectarea vreunei bile anume.

Punând de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă, vom extrageşi vom nota de fiecare dată culoarea bilei care apare.

Considerăm următoarele evenimente:E1 = "se extrage o bilă albă",

4



E2 = "se extrage o bilă neagră".Vom face următoarele observaţii. Fie n numărul experienţelor

efectuate până la un moment dat, iar k numărul de realizări aleevenimentului E1, adică numărul de apariţii ale unei bile albe. Se va

putea observa că raportul k/n tinde să se stabilizeze în jurul uneianumite valori, aceasta fiind egală cu 7/10. Cu cât numărul deexperienţe efectuate este mai mare, cu atât mai bine se poateconstata că raportul vizat anterior se va apropia din ce în ce mai multde valoarea 7/10, această tendinţă astfel din ce în ce mai evidentă.

Raportul k/n se numeşte frecvenţă. Prin stabilitatea frecvenţei înţelegem proprietatea evidenţiată mai sus de a se apropia de oanumită valoare când numărul experienţelor creşte. Această valoareeste numită probabilitatea evenimentului E1 şi se notează cu p(E1).

În mod analog, putem aprecia şi probabilitatea evenimentului

E2, p(E2)=3/10. În toate cele considerate în continuare ne vom referi numai la

experienţe cu un număr finit de cazuri posibile. Un asemenea modeleste cel prezentat mai sus referitor la extragerea bilelor din urnă.Dacă toate bilele sunt de aceeaşi formă, dimensiune şi greutate,atunci nu avem nici un motiv serios să credem că, dacă facem unnumărsuficient de mare de extrageri (punând de fiecare dată bilaextrasă înapoi în urnă), vreuna dintre bile va apărea cu o frecvenţămai mare sau mai mică decât celelalte.

Raţionamentul pentru determinarea probabilităţilor în cazul finitpoate fi ameliorat substanţial prin utilizarea unor noţiuni noi precum:număr de cazuri egal posibile şi număr de cazuri egal favorabile.

În exemplul de mai sus, pentru extragerea unei bile aflate înurnă sunt posibile în mod egal exact 10 cazuri, acesta fiind de faptnumărul total de bile aflate în urnă înaintea efectuării experienţei.Cum printre acestea sunt doar 7 bile care ne interesează pe noi -cele 7 bile albe legate de evenimentul E1 - spunem că avem de-aface cu 7 cazuri favorabile. În acest mod intuitiv, probabilitatea derealizare a unui eveniment ar putea fi considerată ca fiind egală cu

raportul dintre numărul cazurilor favorabile evenimentuluirespectiv şi numărul cazurilor egal posibile.

Urna cu bile oferă un model simplu pentru experimenteprobabilistice cu un număr finit de cazuri egal posibile. În locul bilelor albe şi negre putem presupune că avem de-a face cu 10 bile

5



numerotate de la 1 la 10. Frecvenţa de apariţie a unei bile, oricare ar fi aceasta, oscilează în jurul valorii 1/10, atunci când numărulprobelor creşte şi ne aşteptăm ca apropierea să fie cu atât mai marecu cât numărul probelor este mai mare. 1/10 este limita către care

tinde în general şirul frecvenţelor unui eveniment de genul “apariţiabilei cu numărul k”, unde 1 ≤ k ≤10, dacă numărul probelor ar creşteindefinit.

Definiţia probabilităţii unui eveniment legat de o experienţă cuun număr finit de cazuri egal posibile este aplicabilă doar la aceastăcategorie de evenimente.

Cele mai simple probleme de calcul probabilistic cer probabilitatea unui eveniment legat de o astfel de experienţă şi sereduc la calcularea celor două numere şi a reportului lor: numărul n alcazurilor (egal) posibile ale experienţei, care este caracterizat numai

de experienţa propriu-zisă, fără a fi definit vreun eveniment, şinumărul k al cazurilor favorabile producerii evenimentului considerat.

În acest caz spunem că probabilitatea acestui eveniment este k/n. Într-un limbaj mai intuitiv am putea spune că producerii evenimentuluirespectiv îi sunt favorabile “k şanse din n”.

Câtă încredere putem acorda considerentelor de mai sus? Amputea spune fără reticenţă că totală. Pentru aceasta este suficient să

încercăm efectuarea unor experienţe divers, cum ar fi:- aruncarea zarurilor,

- aruncarea unei monede,- extragerea bilei dintr-o urnă etc. Încrederea se bazează pe faptul că se satisface intuiţia care nu

este altceva decât o manifestare a experienţei acumulate de om de-alungul evoluţiei sale. Şi dacă totuşi, în efectuarea unei constatăm căse manifestă o abatere flagrantă de la regulile stipulate mai sus maidegrabă ar trebui să ne îndoim de ”corectitudinea” experienţeiefectuate decât de legea probabilităţilor.

Toate cele consemnate mai sus se constituie într-o definiţieclasică a probabilităţii care are la bază noţiunea de egal-probabilitate

sau, după o formulare de dată mai recentă, echiprobabilitateaevenimentelor. Ea este acceptată în mod intuitiv pe considerente desimetrie.

Dacă într-o urnă nu se găsesc decât două bile, una albă şi unaneagră, bilele pe care nu le putem deosebi decât după culoare (nu şidupă greutate, formă, dimensiuni etc.), şi dacă din această urnă seextrage o bilă, spunem că următoarele evenimente:

6



E1 = „apariţia bilei albe” şiE2 = „apariţia bilei negre”sunt echiprobabile. Prin aceasta înţelegem nu că ar fi nelogic

ca în serii mai lungi de extrageri (frecvenţe) unul din aceste

evenimente să se producă sistematic mai des decât celălalt, ci doar că ar fi nefiresc să se întâmple asta.Cu alte cuvinte, o astfel de situaţie nu ar intra în conflict cu

principiile generale ale logicii, ci doar cu bunul nostru simţ. În ceea ce priveşte scopul urmărit în această lucrare,

recomandăm cititorului să se mulţumească cu această accepţiuneintuitivă a noţiunilor de eveniment şi probabilitate.

Evenimentul sigur şi evenimentul imposibil sunt evenimentecontrare. Dacă două evenimente sunt contrare, atunci la orice

efectuare a experienţei se realizează cu certitudine unul şi numaiunul dintre ele. Mai general, spunem că evenimentele A1, A2, A3, ...,

An formează un sistem complet de evenimente dacă la oriceexperiment se realizează cu certitudine unul şi numai unul din acesteevenimente. Se observă că cele n evenimente formează un sistemcomplet dacă şi numai dacă:

Două sau mai multe evenimente legate de aceeaşi experienţăse numesc incompatibile dacă nu pot fi realizate împreună. În cazcontrar sunt compatibile.

a) evenimentul “A1sau A2 sau A3 ... sau An” este evenimentsigur (se realizează cel puţin unul din cele n evenimente),b) A1, A2, A3, ..., An sunt incompatibile două câte două (se

realizează cel mult unul din evenimente). În limbajul pe care l-am adoptat în teoria mulţimilor cele două

proprietăţi mai pot fi scrise şi astfel:

a) A1U A2U A3U...U An = A, unde A este mulţimea tuturor evenimentelor care descriu experienţa,

b) Ai∩ A j = Φ, pentru orice i şi j de la 1 la n, i ≠ j.

Considerarea operaţiilor cu evenimente şi a relaţiilor dintreevenimente, preluate din teoria mulţimilor este necesară pentruexprimarea celor mai simple proprietăţi ale probabilităţilor dar şi celemai importante.

Proprietăţile care urmează sunt – după cum se va puteaobserva – proprietăţi evidente ale frecvenţei evenimentelor,

7



proprietăţi păstrate printr-o trecere la limita obişnuită. Astfel, dacădouă evenimente A şi B legate de aceeaşi experienţă suntincompatibile şi dacă efectuăm de n ori experienţa evenimentul A s-arealizat de n A ori, iar evenimentul B de nB ori, atunci evenimentul “A

sau B” s-a realizat de n A + nB ori (deoarece A şi B nu s-au realizatniciodată simultan). Rezultă că între frecvenţele celor trei evenimenteexistă relaţia:

f n(A sau B) = f n(A) + f n(B).

Este normal să transformăm această proprietate a frecvenţelor într-o proprietate a probabilităţilor. În mod simplu orice proprietate aprobabilităţilor dintre cele prezentate mai jos poate fi verificată pentrufrecvenţe. În general, vom nota probabilitatea evenimentului A prin

p(A). Iată deci, cele mai importante proprietăţi:

1) 0 ≤ p(A) ≤ 1, pentru orice eveniment A.2) p(Φ) = 0 şi p(S) = 1, unde prin Φ şi S s-au notat

evenimentul imposibil şi, respectiv, evenimentul sigur.3) p(AUB) = p(A) + p(B), dacă A şi B sunt evenimente

incompatibile.4) p(AUB) = p(A) + p(B) - p(A∩B).5) p(Å) = 1 - p(A), unde prin Å s-a notat evenimentul

contrar (opus) al evenimentului A.6) p(B∩Å) = p(B) - p(A), dacă A→B; prin această notaţiecare se citeşte “evenimentul A implică evenimentul B”, înţelegându-se că realizarea evenimentului A atrage după sine realizareaevenimentului B, cu alte cuvinte, de fiecare dată când s-a realizat A,s-a realizat cu certitudine şi B.

7) p(B∩Å) = p(B) - p(A∩B).

Cunoaşterea acestor proprietăţi este necesară pentru a obţineprin calcul direct probabilităţile unor evenimente, cunoscând

probabilitatea de realizare a altor evenimente, cât şi pentru stabilireaproprietăţilor de bază ale unor noţiuni, cât şi pentru stabilireaproprietăţilor de bază ale unor noţiuni foarte importante din teoriaprobabilităţilor.

Unele dintre proprietăţile de mai sus admit şi anumitegeneralizări, cum ar fi, de exemplu, proprietăţile 3 si 4. Lăsăm peseama cititorului lămurirea acestor observaţii utile.

8



1.2. Probabilitate condiţionată. Dependenţa şiindependenţa

Prin notaţia p(B/A) vom înţelege probabilitatea ca evenimentulB să se realizeze în ipoteza că evenimentul A s-a realizat, p(A) ≠ 0,sau probabilitatea lui B condiţionat de realizarea lui A.

Formula de calcul a unei astfel de probabilităţi este:p(B/A) = p(A∩B) / p(A).

Două evenimente A şi B sunt independente dacă p(A∩B) = p(A). p(B). Intuitiv acest fapt se poate exprima prin aceea căprobabilitatea realizării (sau nerealizării) oricăruia din cele douăevenimente nu se modifică în funcţie de realizarea, nerealizarea sau

ignorarea celuilalt. Două evenimente care nu sunt independente sespune că sunt dependente.

În mai toate manualele de teoria probabilităţilor sunt folositenotaţiile şi limbajul teoriei mulţimilor. Prezentăm în continuare oparalelă a terminologiei utilizate în cele două teorii:

Limbajul mulţimilor Limbajulevenimentelor

Mulţimea totală S Evenimentul sigur S

Submulţime a lui S EvenimentMulţimea vidă Φ Eveniment imposibilReuniunea AUB “A sau B”Intersecţia A∩B “A şi B”CS A, Å “non A”, Å

A ⊂ Β A→B A∩B = Φ A, B incompatibile

Uzul a introdus o anumită suprapunere a limbajului mulţimilor

peste cel al evenimentelor astfel încât vom vorbi de “reuniuneaevenimentelor”, “evenimentul complementar” etc., după cum este maiuşor în înţelegerea explicaţiilor.

1.3. Formule şi scheme probabilistice

9



Vom prezenta câteva formule uzuale din calculul probabilităţilor precum şi unele scheme probabilistice dintre cele mai utile. Rolulschemelor este de a da o rezolvare unor probleme de un anumit tip

pentru a nu fi nevoiţi să apelăm de fiecare dată la un raţionament saula un calcul complex când întâlnim o problemă de tipul respectiv. Deexemplu, una din scheme dă probabilitatea ca un eveniment deprobabilitate cunoscută să se realizeze de un număr de ori, cândrepetăm experienţa de care e legat de un număr dat de ori. Odatăcunoscută această schemă, dacă vom întâlni o problemă în care estedată o anumită experienţă care se repetă în condiţii identice, putemapela la rezultatul cunoscut.

Pentru înţelegerea corectă a aplicării acestor reguli şi schemevom prezenta odată cu ele şi exemple concrete de utilizare.

1.3.1.Regula de înmulţire a probabilităţilor

p(A1∩A2∩...∩An) = p(A1).p(A2 /A1).p(A3 /A1∩A2) …p(An /A1∩A2∩…∩An).

1.3.2.Formula probabilităţii totale

Dacă A1, A2, …, An formează un sistem complet de evenimenteatunci pentru orice eveniment A avem:

p(A) = p(A1).p(A/A1)+p(A2).p(A/A2)+…+p(An).p(A/An)

1.4. Scheme probabilistice clasice de calcul a probabilităţilor

Vom pune în evidenţă acum unele scheme cu urne, de calcul a probabilităţilor şi la care se vor reduce multe modele de calcul întâlnite atât practic, cât şi teoretic.

10



1.4.1. Schema lui Poisson.

Se consideră n urne U1,U2,…,Un, fiecare urnă conţinând bile albe şi bile negre în proporţii date. Fie ai numărul de bile albe din urna U i şi bi

numărul de bile negre din urna U i.Probabilitatea de a extrage o bilă albă din urna U i este:

pi =ii

i

ba

a

+, i = 1,2,…n.

iar probabilitatea de a extrage o bilă neagră din aceeaşi urnă este:

qi =ii

i

ba

b

+,i = 1,2,…n.

Evident, pi + qi = 1, i = 1,2,…,n.Se extrage câte o bilă din fiecare urnă şi se cere să se afle

probabilitatea ca, din cele n bile extrase, k bile să fie albe.Să exprimăm evenimentul ce răspunde favorabil situaţiei cerute: fie Ai

evenimentul care constă în faptul că s-a extras o bilă albă din urna U i şi fiei

A evenimentul că s-a extras o bilă neagră din urna Ui. Evenimentul cerăspunde favorabil este cel constituit din k evenimente A şi n-k evenimente A . O situaţie posibilă este următoarea:

inik ik ik ii A A A A A A ...... 2121 ++

(după ce le-am aranjat în ordine, după cum a apărut bila albă sau bila

neagră).Schema lui Poisson este folosită în rezolvarea problemelor în care secere probabilitatea realizării de k ori a unui eveniment într-o experienţă ceconstă în efectuarea a n probe independente, atunci când se cunoaşte

probabilitatea realizării evenimentului (şi a contrarului său) în fiecare dincele n probe.

1.4.2. Schema lui Bernoulli (schema bilei revenite).Să presupunem că cele n urne din schema lui Poisson au aceeaşi

compoziţie. În acest caz,P1 = p2 = … = pn = pq1 = q2 = … = qn = q

11



A extrage câte o bilă din fiecare urnă este echivalentă cu a utiliza osingură urnă şi a reface compoziţia după fiecare extragere, deci de aintroduce bila la loc în urnă, după ce s-a constatat culoarea, amestecându-se

bilele pentru a avea rezultate independente. În acest caz, polinomulP(n) devine P(x) = (px + q)n , iar coeficientul lui xk , care dă

probabilitatea căutată va fi:

P(n ;k) = Cnk pk qn-k

Schema lui Bernoulli (sau schema bilei revenite) rezolvă problemeleîn care se cere să se calculeze probabilitatea realizării unui eveniment de k ori într-o serie de n probe independente, când se cunoaşte probabilitatearealizării evenimentului într-o singură probă.

1.4.3. Schema lui Bernoulli cu mai multe stări (schemamultinomială).

Considerăm o urnă U care conţine bile de m culori: C1,C2,…,Cm. Fie pi probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea Ci; ne propunem să calculăm probabilitatea evenimentului ca în n extrageri independente, punând la loc defiecare dată bila extrasă să apară de n1 ori culoarea C1, de n2 ori culoarea C2 ş.a.m.d., de nm ori culoarea Cm.

O situaţie posibilă este următoarea:

mmmA A A A A A A A A .................... 222111

Probabilitatea acestui eveniment este:

P ( )mmm A A A A A A A A A ....................222111 =

mn

m

nnn p p p p .....321

321⋅⋅⋅ cu n1+n2+…..nm = n

Cum evenimentul considerat se poate exprima în!.....!!

!

21 mnnn

n

⋅⋅

situaţii distincte (incompatibile două câte două), rezultă că probabilitateacerută este:

12



P(n; n1,n2,…,nm) = mn

m

nn

m

p p pnnn

n.....

!.....!!

!21

21

21

⋅⋅⋅

⋅⋅n1 + n2 +…+ nm = n.

1.4.4. Schema bilei nerevenite (cu două culori).Se consideră o urnă U care conţine a bile albe şi b bile negre. Din

această urnă se extrag n bile, fără a pune bila extrasă înapoi în urnă şi se cere probabilitatea de a avea k bile albe.

Vom utiliza definiţia clasică a probabilităţii. Atunci, numărul cazurilor posibile este n

baC

+ , iar numărul cazurilor favorabile este k n

b

k

aC C −

Deci, probabilitatea cerută este: n

aîb

k n

b

k

a

k nC

C C P

−

=;

Se înţelege că numărul k de bile extrase satisface dubla inegalitate:max (0,n-b) ≤ k ≤ min (a,n), 0 ≤ n ≤ a+b

Să formulăm problema aşa cum apare ea în controlul de recepţie aloturilor de produse: presupunem că avem un lot de N produse printre carese găsesc D produse defecte.

Se extrag la întâmplare n produse şi se cere probabilitatea ca printrecele n produse să se găsească d produse defecte.

Dacă notăm cu P(N,D; n,d) probabilitatea cerută, atunci:

P(N,D; n,d) = n

N

d

D

d n

D N

C

C C −

− , max (0,n+D-N) ≤ d ≤ min (n,D).

1.4.5. Schema bilei nerevenite cu mai multe culori.

Considerăm urna U în care se găsesc a1 bile de culoarea C1, a2 bile deculoarea C2 ş.a.m.d., am bile de culoarea Cm. Se extrag n bile fără a pune laloc bila extrasă (n < a1+a2+…+am) şi se cere probabilitatea ca în cele n bileextrase să fie α1 de culoarea C1, α2 de culoarea C2 ş.a.m.d., αm bile de

13



culoarea Cm. Folosind tot definiţia clasică a probabilităţii, obţinem numărulcazurilor posibile egal cu m

maaaC α α α +++

+++

...

...

21

21, α1+α2+…+αm = n, iar numărul

cazurilor favorabile m

maaa

C C C α α α

...2

2

1

1

⋅⋅ .

Deci, P(n; α1,α2,…,αm) = m

m

m

m

aaa

aaa

C

C C C

α α α

α α α

+++

++

⋅⋅

...

...

21

21

2

2

1

1

...

.

1.5. VARIABILE ALEATOARE.

1.5.1. Variabile aleatoare

Noţiunea de variabilă aleatoare este fundamentală în teoria probabilităţilor.

Considerată intuitiv, legată de experiment, variabila aleatoare se poatedefini ca fiind o funcţie reală pe mulţimea rezultatelor unui experiment. Cualte cuvinte, valorile acestei funcţii sunt luate după cum s-a realizat unanumit eveniment, pentru un experiment dat.

Să considerăm experimentul care constă în aruncarea cu două zaruri şiîn care ne interesează suma punctelor obţinute. Dacă notăm cu Sk

evenimentul care constă în faptul că la o aruncare a apărut suma k, k=2,3,…,12, atunci variabila aleatoare X, care este o funcţie reală pe mulţimeaexperimentelor Sk , k=2,3,…,12, are valorile X(Sk )=k. Acest lucru poate fisintetizat astfel:

X:

12111098765432

12111098765432S S S S S S S S S S S

Dar rezultatele Sk , 2 ≤ k ≤ 12 apar cu probabilităţile

P(S2)=1/36; P(S3)=2/36; P(S4)=3/36; P(S5)=4/36;P(S6)=5/36; P(S7)=6/36; P(S8)=5/36; P(S9)=4/36;P(S10)=3/36; P(S11)=2/36); P(S12)=1/36

14



şi atunci variabila aleatoare X poate fi scrisă:

X:

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

12111098765432

ceea ce conduce la faptul că o variabilă aleatoare este o funcţie realăale cărei valori sunt luate cu probabilităţile corespunzătoare unui sistemcomplet de evenimente.

Din exemplul considerat rezultă că prin intermediul variabilelor aleatoare, evenimentele pot fi descrise cu ajutorul unor valori numericereale, care în general sunt rezultatul unor observaţii.

Vom da acum definiţia riguroasă din punct de vedere matematic avariabilei aleatoare cu care vom opera în continuare. Să considerăm câmpul

de probabilitate Ω,K,P dat şi să notăm cu R mulţimea numerelor reale şicu B tribul mulţimilor boreliene1 de pe R, astfel încât (R,B) este un câmpcomplet aditiv.

Definiţie. Aplicaţia X:Ω→ R se numeşte variabilă aleatoare dacă X-1(B)∈K, (∀)B∈Β.

Observăm că dacă luăm B=(a,∞) atunciX-1(B)=X-1(a,∞)=w:X(w)∈(a,∞)=ω:X(ω)>a, a∈R arbitrar.Se demonstrează că definiţia introdusă mai sus este echivalentă cu

definiţia de mai jos:Definiţie. Aplicaţia X:Ω→ R se numeşte variabilă aleatoare dacă: ω:

X(ω) > a∈ K, (∀) a∈R.În cele ce urmează vom folosi această definiţie şi adesea vom scrie

prescurtat:ω: X(ω)>a = X > a.

Având în vedere faptul că variabilele aleatoare dau posibilitateascrierii evenimentelor cu ajutorul lor, punem în evidenţă următoarea

propoziţie:

Propoziţie. X:Ω→ R este variabilă aleatoare dacă şi numai dacă esteadevărată una din afirmaţiile

(i) ω:X(ω) ≥ a∈K, (∀) a∈R(ii) ω: X(ω) < a∈K, (∀) a∈R(iii) ω: X(ω) ≤ a∈ K, (∀) a∈R

15



Teoremă. Dacă X este variabilă aleatoare, iar b∈R, atunci:(1) X + b(2) bX

(3) |X|(4) X2

(5) X

1, dacă X≠0

sunt variabile aleatoare.

Propoziţie. Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare, atunciω:X(ω) > Y (ω)∈K, ω:X(ω) ≥ Y(ω)∈K, ω:X(ω) =

Y(ω)∈K.

Teoremă. Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare, atunci(1) X - Y(2) X + Y(3) XY

(4)Y

X , dacă Y≠0

sunt variabile aleatoare.

Definiţie. Spunem că variabila aleatoare X este de tip discret dacă ia omulţime de valori cel mult numărabilă.

Definiţie. Spunem că variabila aleatoare X este simplă dacă poate luanumai un număr finit de valori.

1.6. Legea numerelor mari

Experienţa umană dobândită în procesul de producţie a bunurilor

materiale sau în studiul fenomenelor naturale a dovedit că fenomenele ce auo probabilitate de realizare apropiată de 1 se produc aproape sigur, iar celecu probabilitatea apropiată de 0 apar destul de rar. De aceea, evenimentelece se produc cu probabilităţi foarte mici sunt practic imposibile, iar cele carese produc cu probabilităţi mari sunt practic certe. Principala problemă carese ridică este de a stabili cât de mare sau cât de mică să fie o probabilitate

pentru ca evenimentele corespunzătoare să poată fi considerate practic certe,

16



respectiv practic imposibile. Răspunsul nu este general valabil, ci depindeefectiv de fenomenul studiat, aceeaşi probabilitate putând să reflecteevenimente practic certe în anumite situaţii, iar altele nu. Deci, numaisituaţiile concrete, practice sunt în măsură să stabilească dacă un eveniment

poate fi considerat ca neglijabil cu o probabilitate dată.Totodată, dacă avem un eveniment ce se realizează cu o probabilitate

foarte mică şi dacă numărul experienţelor este foarte mare, atunci el se poaterealiza cu o probabilitate oricât de apropiată de 1, cu toate că este greu să neaşteptăm ca el să apară într-un număr de experienţe dinainte fixat. Drepturmare, se impune studiul unor legităţi de apariţie a unor evenimente cu

probabilitatea 0 sau 1 într-un număr foarte mare de experienţe.Tocmai acesta este obiectul legilor numerelor mari. Acest fapt se

poate formula în cadrul unor teoreme de tip lege a numerelor mari într-oformă determinată, ceea ce vom face în cele ce urmează.

Să considerăm un şir de variabile aleatoare (Xn)n∈N* şi Yn

= ϕn(X1,X2,…,Xn), n∈N*funcţii date, simetrice în primele n variabile ale şirului (Xn)n∈N*.

Definiţie. Dacă există un şir de numere reale (an)n∈N* astfel încât

pentru orice ε>0 să avem ( ) 1lim =<−∞→

ε nnn

aY , atunci spunem că şirul

(Xn)n∈N* se supune legii numerelor mari cu funcţiile (ϕn) n∈N* .Se mai spune că şirul (Xn)n∈N* este stabil cu funcţiile (ϕn) n∈N*. În mod

frecvent, în legea numerelor mari ne limităm la cazul în care ϕn(X1,X2,…,Xn)

= ∑=

n

j j

X n 1

1

, când se mai spune că şirul (Xn)n∈N* este normal stabil.

Prezentam in continuare câteva exemple de activităţi de învăţare, caretrebuie urmărite pentru realizarea fiecărei competenţe.

Pentru prima competenţă identificarea unor date si relaţii matematice si corelarea lor in funcţie de contextul in care au fost definite,

avem următoarele exemple de activităţi de învăţare :• utilizarea formulelor standardizate in înţelegerea ipotezei;• exprimarea prin simboluri specifice a relaţiilor

matematice dintr-o problemă;• exprimarea rezultatelor rezolvării unei probleme prin

raportare la sisteme de comparare standard;

17



Pentru exemplificare propunem următoarele probleme:

La o tombola la care s-au distribuit prin tragere la sorti 120 de bilete, este câştigător fiecare bilet ce are înscris un număr divizibil cu 5. Careeste şansa de câştig ?

Intr-o urna sunt 4 bile albe si 6 bile roşii. Se extrag doua biledeodată. Care este probabilitatea ca cele doua bile sa fie :

a) ambele albe ; b) ambele rosii ;

O urna conţine 3 bile albe a, 4 bile negre n, 5 bile roşii r. Seextrage o bila, apoi încă una, si apoi încă una, de fiecare data fără a

pune înapoi in urna bila extrasa. Se aşează bilele una lângă alta in ordineaextragerii. Să se scrie mulţimea probelor experienţei, iar apoi să se scrieurmătoarele evenimente :

A1 = să se extragă 3 bile roşii ;A2 = să se extragă cel puţin o bila albă ;A3 = să nu se extragă nici o bila neagră ;

A4 = să se extragă 3 bile de culori diferite ;A5 = să se extragă 3 bile de aceeaşi culoare ;A6 = să se extragă numai bile roşii sau negre ;

Să se indice apoi :a) două evenimente compatibile ;

b) doua evenimente incompatibile ;c) doua evenimente contrare ;

Pentru a doua competenţă prelucrarea datelor de tip cantitativ,calitativ, structural, contextual, cuprinse în enunţuri matematice, avem

următoarele exemple de activităţi de învăţare:• compararea, observarea unor asemănări şi deosebiri,

clasificarea noţiunilor matematice studiate după unul sau mai multe criteriiexplicite sau implicite, luate simultan sau separat;

18



• utilizarea schemelor logice şi a diagramelor logice delucru în rezolvarea de probleme;

• folosirea unor criterii de comparare şi clasificare pentrudescoperirea unor proprietăţi, reguli, etc.

Pentru exemplificare propunem următoarele aplicaţii:

O urnă conţine 6 bile albe şi 43 bile negre. Se extrag treibile, una câte una, fără întoarcerea bilei extrase înapoi în urnă. Careeste probabilitatea obţinerii a trei bile albe?

SOLUŢIE:

Introducem evenimentele: A1: prima bilă extrasă este albă A2: a doua bilă extrasă este albă A3: a treia bilă extrasă este albă

Cu aceste notaţii avemp(A1) = 6/49;

p(A2/A1) = 5/48;p(A3/A1∩A2) = 4/47; Aşadar p(A1∩A2∩A3) = p(A1).p(A2/A1).p(A3/A1∩A2) = 5/4606.

Se consideră două urne identice. Una conţine 3 bile albe şi4 bile negre iar cealaltă 4 bile albe şi 5 bile negre. Din una din acesteurne, aleasă la întâmplare, se extrage o bilă. Care este probabilitateaca bila extrasă să fie albă?

SOLUŢIE:

Considerăm evenimentele: A1: extragerea se face din prima urnă

19



A2: extragerea se face din a doua urnă A: bila extrasă este albăSe observă imediat că A1 şi A2 formează un sistem complet de

evenimente şi

p(A1) = p(A2) = 1/2.p(A/A1) = 3/7, p(A/A2) = 4/9. Aplicând formula probabilităţii totale putem scrie:

p(A) = p(A1).p(A/A1)+p(A2).p(A/A2) /A1) = 1/2 . 3/7 + 1/2 . 4/9=55/126.

Pentru cea de a treia competenţă utilizarea algoritmilor şi aconceptelor matematice pentru caracterizarea locala sau globala a unei

situaţii concrete, avem următoarele exemple de învăţare :

• cunoaşterea şi utilizarea unor reprezentări variate alenoţiunilor matematice studiate ;• construirea şi interpretarea unor diagrame, tabele,scheme grafice ilustrând situaţii cotidiene ;• utilizarea unor repere standard sau a unor formulestandard în rezolvarea de probleme;

Într-o clasă sunt 33 de elevi, grupaţi în catalog câte 3 pe pagină.Se deschide catalogul o dată, la întâmplare, şi se numeşte elevul care

este înscris la mijlocul paginii. Câte evenimente are acest experiment ?

Dintre 10 persoane (6 bărbaţi şi 4 femei) se iau 4 pentru aforma o echipă. Să se calculeze probabilitatea următoarele evenimente:

A = echipa să fie formată numai din bărbaţi;

B = echipa să conţină şi femei;C = echipa să conţină doi bărbaţi şi două femei;

La un concurs de matematică 3 candidaţi primesc câte un

20



plic care conţine n (n>3) bilete cu probleme de algebră şi geometrie. Celetrei plicuri conţin respectiv câte unul, două şi trei subiecte de algebră. Fiindexaminaţi, cei trei candidaţi extrag fiecare câte un bilet din plic. Extragereafăcându-se la întâmplare, să se afle probabilităţile următoarelor evenimente:

a) Toţi candidaţii să fie examinaţi la geometrie; b) Nici un candidat să nu fie examinat la geometrie;c) Cel puţin un candidat să fie examinat la algebră;

Pentru a patra competenţă exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi aalgoritmilor de prelucrare a acestora avem următoarele activităţi deînvăţare:• formarea obişnuinţei de a recurge la diverse tipuri de

reprezentări pentru clasificarea, rezumarea si prezentarea concluziilor unor experimente ;

• folosirea unor reprezentări variate pentru anticipareaunor rezultate sau evenimente ;

• utilizarea metodelor standard în aplicaţii in diversedomenii ;

La un joc de loto sunt 100 de bilete dintre care 7

câştigătoare . Cineva cumpără 10 bilete.Să se determine probabilitatea ca:a) un bilet şi numai unul să fie câştigător;

b) să iasă cele 7 bilete câştigătoare;c) să nu iasă nici un bilet câştigător;

Într-o cutie sunt 5 piese bune şi 3 piese defecte, iar în altă

cutie sunt 6 piese bune şi 4 piese defecte, însă aspectul exterior este acelaşi.Dacă extragem câte o piesă din fiecare cutie, să se afle probabilitatea:a) de a extrage două piese bune;

b) de a extrage o piesă bună şi una defectă;

Într-o urnă avem 100 de bile, dintre care 40 de culoare albă,

21



45 negre şi roşii. Se fac 20 de extrageri succesive fără a se pune bilele înapoiîn urnă. Care este probabilitatea ca din cele 20 de bile extrase, 5 să fie albe, 7negre şi 8 roşii?

Pentru cea de a cincea competenţa analiza şi interpretareacaracteristicilor matematice ale unei situţtii-problema avem următoareleactivităţi de învăţare :

• identificarea şi descrierea cu ajutorul unor modelematematice, a unor relaţii sau situaţii multiple ;• exprimarea prin metode specifice a unor clase de

probleme ; formarea obişnuinţei de a căuta toate soluţiile sau de astabili unicitatea soluţiilor ; analiza rezultatelor ;

• identificarea şi formularea a cât mai multor consecinţe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze ;

Dintr-o urnă în care sunt aşezate toate numerele întregi de la1

la 90 se extrag 6 numere.Care este probabilitatea ca să iasă trei din numerele 3; 13; 23; 33; 43;

53?

Într-un lot de piese sunt 15% de calitatea întâia, 65% decalitatea a doua, 18% de calitatea a treia şi restul cu anumite defecte. Seextrag la întâmplare 20 de piese punându-se la loc piesa extrasă şi se cere:

a) probabilitatea ca 5 piese să fie de calitatea întâia; b) probabilitatea ca 5 piese să fie de calitatea întâia, 10 de calitatea a

doua, 4 de calitatea a treia şi 1 necorespunzătoare.

Pentru cea de a şasea competenţă modelarea matematica a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferitedomenii avem următoarele activităţi de învăţare :

• rezolvarea de probleme şi situaţii-problema ;• folosirea unor reprezentări variate ca punct de plecare

pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi,metode, căi de rezolvare, etc ;

22



• analiza capacitaţii metodelor de a se adapta unor situaţiiconcrete ;

Într-o magazie sunt depozitate trei loturi de produse. În primullot sunt 5% produse defecte, în al doilea lot 6%, iar în al treilea 3%. Seextrage câte un produs din fiecare lot şi se cere probabilitatea ca:

a) din cele trei produse extrase unul să fie defect, b) cel mult un produs să fie defect.

SOLUŢIE:

Din condiţiile date se obţin probabilităţile:

p1 = 0,05; p2 = 0,06; p3 = 0,03q1 = 0,95; q2 = 0,94; q3 = 0,97a) Aplicând schema lui Poisson, probabilitatea căutată este

coeficientul lui x din polinomul(0,05 x + 0,95)(0,06 x + 0,94)(0,03 x + 0,97).P(3;1) = 0,05 ∙ 0,94 ∙ 0,97 + 0,06 ∙ 0,95 ∙ 0,97 + 0,03 ∙ 0,95 ∙ 0,94.

b) P(3;0) + P(3;1), unde P(3;0) = 0,95 ∙ 0,94 ∙ 0,97.

Feţele unui zar obişnuit sunt numerotate de la 1 la 6. Aruncămzarul de două ori la rând şi notăm de fiecare dată cifra de pe faţa superioară.Să se determine probabilitatea pentru ca:

a) suma cifrelor notate să fie strict mai mică decât 8; b) suma celor două cifre notate să fie divizibilă cu 3;c) suma celor două cifre notate să fie mai mică decât 8 şi divizibila cu

3;d) suma celor două cifre să fie mai mică decât 8 sau divizibilă cu 3;

O populaţie număra 45% bărbaţi şi 55% femei. În urma unuistudiu s-a descoperit ca 4% dintre bărbaţi şi 6% dintre femei au platfus.

c) Care este procentul populaţiei care are platfus ?d) Care este procentul bărbaţilor dintre oamenii care au platfus?

23



SOLUŢIE:

Fie spaţiul de probabilităţi ( Ω, P (Ω), P ) în care Ω este o populaţie şi evenimentele B = „a fi bărbat” si F = „a fi femeie” cu probabilităţile P(B)=0,45 si P(F)=0,55.

a) Fie P=„a avea platfus”. A reprezintă reuniunea evenimentelor incompatibile A∩B si A∩F. Deci P(A) = P(A∩B) + P(A∩F) =

P(B)PB(A) + P(F)PF(A) =0,45∙0,04+0,55∙0,06=0,018+0,033=0,051.Vom interpreta astfel : 5,1% din mulţimea populaţiei are platfus ;PB(A)=0,04 deoarece 4% dintre bărbaţi au platfus;PF(A) = 0,06 deoarece 6% dintre femei au platfus.

b) Calculăm proporţia bărbaţilor dintre oamenii care au platfus, adicăPB(A).

PA(B) =)(

)( A P B A P ∩ =

)()()(

A P A P A P B =

051,004,045,0 ⋅ =

51

18 ≈0,353.

Deci 35,3% dintre persoanele care au platfus sunt bărbaţi.

In incheiere, dorim sa precizam ca toate acestea sugestii de activităţi deînvăţare indică explicit apropierea conţinuturilor învăţării de practica

învăţării eficiente. În demersul didactic, centrul acţiunii devine elevul şi nu predarea noţiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la “ce” să seînveţe, la “în ce scop” şi “cu ce rezultate”. Evaluarea se face în termenicalitativi; capătă semnificaţie dimensiuni ale cunoştinţelor dobândite, cum ar fi: esenţialitate, profunzime, funcţionalitate, durabilitate, orientareaxiologică, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.

24



25

Date post:	30-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	beatrice-ionita
View:	1,158 times
Download:	44 times

REFERAT Probabilitati Si Statistica

Documents