CAPITOLUL 3

VARIABILE ALEATOARE CONTINUE 1. Funcţia de repartiţie. Densitatea de repartiţie.Definiţie: X : E R este v.a. continuă dacă funcţia ei de repartiţie este continuă pe R.

Definiţie: Dacă există FX (x) atunci FX se numeşte densitatea

de repartiţie a variabilei X şi se noteaza cu fX(x), x R.

Proprietăţi : FX(x) = f t dtX

x

, f t dtX

= 1, fX(x) 0, x R.

2. Caracteristici ale variabilelor aleatoare continue

Definiţie: Valoarea medie a v.a. X este M(X) = xdF xX

= xf x dxX

Definiţie: Momentul de ordin “r” al v.a. X este:

Definiţie: Momentul centrat de ordin “r” al v.a. X este:

r = 2 => dispersia sau varianţa variabilei aleatoare X:

se numeşte abatere medie pătratică.Proprietăţile mediei şi dispersiei sunt aceleaşi ca şi pentru variabile discrete.Cu toate că valoarea medie a unei v.a. este cel mai folosit indicator pentru locaţie sau poziţie, mai sunt folosiţi: modul şi mediana.Definiţie: Modul v.a. X, notat prin M0, este acea valoare a v.a. X pentru care densitatea de repartiţie fX(x) are valoarea maximă.Definiţie: Mediana v.a. X, notată prin Me, satisface egalitatea:

f x dx f x dxMe

Me

1

2.

3. Exemple de repartiţii continue1) Repartiţia normală de parametrii m şi 2 [XN(m, 2)]. În acest caz v.a. “X” este

definită prin densitatea de repartiţie:

Funcţia de repartiţie corespunzătoare este: .

29

Media: M X xf x dx mX

si dispersia

Graficul densităţii de repartiţie este dat în fig. 3.1

El prezintă simetrie faţă de x= m şi admite punctele de inflexiune de abscise x= m .

Fig. 3.1.

Propoziţie: Dacă X ~ N (m, 2), atunci

; ;

Observatie: Pentru repartiţie normală, coeficienţii de asimetrie şi cel de exces sunt zero.Caz particular: m=0 şi =1=> repartitia normala standard N(0,1) definită de

densitatea de repartitie : , x R şi funcţia de repartiţie

(se numeşte funcţia lui Laplace).

Cele două funcţii: densitatea şi funcţia de repartiţie pentru normala N(0,1) sunt tabelate.Observaţii: a) Dacă X ~ N(0, 1) graficul densităţii este simetric faţă de axa Oy.b) (x)+(-x)=1 deorece “x” şi “(-x)” sunt puncte simetrice faţă de axa Oy iar (x) reprezintă aria mărginită de graficul f., axa Ox şi paralela dusă la Oy prin punctul de abcisă “x” aşa cum se vede în figura 3.2.

30

fig. 3.2

De asemenea ()= 1

c) Dacă X~N(m,2) atunci

variabila aleatoare redusa ~ N(0, 1).

Definiţie: Valoarea “u“ se numeşte cuantila de ordinul ““ a variabilei YN(0, 1) dacă: (u) = Exemplu: Când maşina este bine reglată ea produce piese cu diametrul mediu de 25 mm. După 5 ore de lucru se constată că, din cele 100 de piese 9 au diametrul mai mic de 22 mm iar 6 piese au diametrul mai mare de 28 mm. Presupunând că diametrul unei piese de acest tip este o variabilă aleatoare normală N(m, 2) găsim parametrii “m” şi “2”. Care este probabilitatea ca diametrul unei piese să fie în intervalul (24,5 25,5)

Soluţie: şi .Introducând variabila redusă obţinem:

şi

Din tabelul functiei Laplace, rezultă: şi

Rezolvând acest sistem se obţinem m= 24,78 şi = 2,062, 2 = 4,25.Aşadar variabila X = diametrul piesei este o variabilă aleatoare N(24,78; 4,25) şi

Exemplu: O piesă produsă de un robot este considerată bună dacă abaterea dimensiunii de control de la valoarea nominală nu depăşeşte 4 mm. Abaterile aleatoare ale dimensiunii de control de la valoarea nominală sunt repartizate normal cu media 0 şi dispersia 4 mm. Care este proporţia de piese bune produsă de robot? Câte piese trebuie să se producă pentru ca cel puţin una defectă să se afle printre ele cu o probabilitate mai mare decât 0,95?

31

Soluţie: Fie v.a. X = abaterea aleatoare a dimensiunii de control fata de valoarea nominala; X~N(0,4). Atunci

.Probabilitatea ca din n piese cel puţin una să fie defectă este dată de

n 65.

2) Repartiţia uniformă X~U[a, b] cu densitatea de repartiţie ,

media si dispersia

3) Repartiţia exponenţială E(, ) deplasată.

V.a. XExp(, ) are d.r. : cu M(X)=+, D(X)=2

Observaţie: Cel mai des folosită repartiţie exponenţială este Exp( notată Exp( ).Exemplu: Repartiţia exponenţială se utilizează în modelarea timpilor de defectare a diferitelor utilaje precum şi în fenomenele de aşteptare. Aceasta repartiţie este legată de aşa numitele procese Poisson, evenimentele discrete fiind observate pe intervale de timp continue. Fie v.a. T = momentul de timp la care se realizează primul eveniment=> T~Exp((, ).Fie v.a. X = numărul de realizari ale unui eveniment în intervalul de timp [0,t]=> X~Po(t) şi P(T > t) = P(X=0) = exp(-t)4) Repartiţia Weibull. W(a,b) este utilizată în teoria fiabilităţii.V.a. X~W(a,b) are repartiţia dată de funcţia de fiabilitate: P(T>t)=exp(-atb),t>0,a>0,b>0.Avem M(X)=a-1/b (1+1/b), VarX=a-2/b -M2(X)Repartiţia Weibull se foloseşte pentru modelarea timpilor de defectare pentru tuburi electronice, bilele de rulmenţi, condensatori ş.a.p-quantila este dată de P(X< xp)=p şi în acest caz xp=[-ln(1-p)/a]1/b.Dacă T urmează o repartiţie Weibull atunci U=lnT urmează o repartiţie Gumbel definită de funcţia de repartiţie F(w)=1-exp[-exp(y-u)/b] ,y R,b>0.

5) Repartiţia hi - pătrat 2(n) O variabilă aleatoare X 2(n) are densitatea de repartiţie:

32

cu M(X) = n, D(X) = 2n.

Dacă Xj 2 (j) independente , 1 j k .

Observaţie importantă: O sumă de pătrate de n variabile aleatoare independente şi repartizate N(0,1) urmează o repartiţie 2(n) 6) Repartiţia StudentO variabilă aleatoare “X” cu densitatea de repartiţie

, x (-, ), M(X) = 0,

urmează o repartiţie Student (t) cu “n” grade de libertate (scriem Xt(n)).Se poate arata ca daca U~N(0,1) si V~ atunci W=U urmeaza o repartitie Student cu n grade de libertate.

7) Repartiţia Fisher cu n, respectiv m grade de libertate: F(n, m)O variabilă aleatoare X F(n, m) dacă are densitatea de repartiţie:

8) Repartiţia GammaX Gamma (, ), > 0, > 0. Densitatea de repartiţie a v.a. X este:

cu M(X) = si D(X) = 2

Observaţie: Dacă vom considera , densitatea de repartiţie a unei variabile Gamma(n/2,2) se reduce la o repartitie .9) Repartiţia inversă Gauss sau repartiţia WaldDensitatea de repartiţie Wald este:

M(X) = şi .

Repartiţia Wald este folosită ca alternativă a repartiţiei Weibull . 10) Repartiţia Beta, Be (, ), >0, > 0.

33

Densitatea de repartiţie a v.a. XBe(,) este

Observatie: B = ;

11) Repartiţia valorilor extremeDeosebit de utile în situaţiile practice în care depăşirea unui anumit nivel de solicitare pentru un sistem mecanic conduce la defectarea sistemului, repartiţiile de tipul:

U= max(X1, X2, ..., Xn) şi V= min(X1, X2, ..., Xn)au fost studiate de Gumbel încă din anul 1958 în cartea sa intitulată “Statistics of extremes”. În decursul timpului, ele şi-au dovedit importanţa în situaţii diverse:a) un sistem cu componente legate în serie se defectează când se defectează prima componentă din sistem.b) un sistem cu componente legate în paralel se defectează când se defectează ultima componentă.Repartiţiile valorilor extreme sunt de următoarele tipuri:

I. (valori maximale) : , x R, R, > 0

II. (valori maximale) :

III. (valori maximale):

IV. (valori minimale) : , x R

V. (valori minimale) :

VI. (valori minimale) :

12) Repartitia log-normala Dacă X ~ N(m, 2), atunci Y=eX are densitatea de repartiţie:

fY(y) = 1

2

2

22

ye

y m

ln

, y > 0

Variabila aleatoare Y are repartiţie lognormală.

34

Repartiţia lognormală modelează timpii de defectare pentru componente electronice, semiconductori LED, diode IMPATT, laseri, de asemenea, repartiţia consumului de curent electric de către consumatorii casnici dintr-un mare oraş, repartiţia particolelor obţinute prin pulverizare.

Propoziţie: Dacă X~U(0,1) atunci variabila aleatoare

cu a, b > 0 are densitatea de repartiţie f(y) = abyb-1 , 0 < y < ( Weibull )Propoziţie: Dacă X ~ U(0, 1), atunci variabila aleatoare Y = a ((1-X)-1/b - 1)

cu a,b > 0 are densitatea de repartiţie , 0 < y < ( Pareto )

Observaţie: P(N=k) (Repartiţia geometrică). Repartiţia geometrică poate conduce la o discretizare a repartiţiei exponenţiale astfel:

Fie Y = ; Y ia valori pe R+şi, pentru x > 0 se poate scrie:

P(Y x) = P[ln X xln(1-p)] = P(X exln(1-p)) =1 - exln(1-p) = 1- e-xln(1-p) , x > 0.Deci, Y Exp [ln(1-p)]Dacă YExp () atunci [Y] este repartizată geometric cu p = 1 - e-.Teoremă: Fie X o variabilă aleatoare cu funcţia de repartiţie F(X) de tip continuu care este strict crescătoare. Atunci v.a. Y=F(X) este repartizată uniform pe (0,1).Teoremă: Fie YU(0, 1) şi F(x) o funcţie de repartiţie de tip continuu cu F(a)=0, F(b)=1 şi F strict crescătoare pe (a,b). Atunci v.a. X=F -1(Y) este o v.a. continuă cu funcţia de repartiţie F.Teoremă: Dacă g: R R, admite o dezvoltare în serie Taylor după puterile “x-x0” şi, dacă X este o v.a. pentru care există M(X2), atunci

M(g(X))g(M(X))+ D(X)

Liniarizarea functiilor de variabile aleatoare Fie v.a. Y= repartizată continuu. Notăm M(X)=m, D(X)= . Atunci M(Y) (m)

respectiv Var(Y)Exemplu: Fie Y=X2. Gasim o aproximatie pentru media si dispersia lui Y, in functie de media, respectiv dispersia lui X: M(Y) respectiv Var(Y)Repartitii mixteIn afara repartitiilor numite discrete, respectiv continue exista si alte tipuri de repartitii care nu sunt nici discrete, nici continue(asa numitele repartitii mixte).Vom dezvolta o asemenea repartitie asociata unei probleme concrete.Printr-un canal de comunicatie se transmite un mesaj de lungime « l ».Pentru a se sterge mesajul se introduce un bruiaj de lungime b>l astfel incat centrul O1 al acestuia sa coincida cu centrul O al mesajului..Din erori accidentale , centrul bruiajului s-a deplasat cu « X » fata de centrul mesajului.V.a.X are o repartitie normala cu media 0 si =l/2.Sa se afle repartitia variabilei U=lungimea mesajului bruiat.

35

U este o v.a. mixta :ea poate lua valoarea 0 ( daca nu a sters nicio parte din mesaj) cu probabilitatea :P(U=0)=P[|X|>(b+l)/2]=1-P[-(b+l)/2<X<(b+l)/2]=

=1-[F -F ]=2(1-F )

Poate lua valoarea l (cand a sters tot mesajul ) cu probabilitatea P(U=l)=P[|X|<(b-l)/2]=

F -F =2F -1.

Pentru variabila aleatoare U este continua iar probabiltatea sa se stearga

o parte din mesaj mai mica decat u este :

P(U u)=P[|X|> ]=2[1-F( )].

Elemente de fiabilitateNotiunea de fiabilitate este legata de «  timpul de viata », timpul de functionare pana la defectare sau timpul de supravietuire si se intalneste in diferite domenii: ingineresti, medicale, stiinte sociale s.a.Notiunile folosite sunt urmatoarele :1) V.a. T-timpul de viata sau timpul de functionare.2) Functia de supravietuire sau de fiabilitate S(t)=P(T>t)3) Functia de hazard – defineste rata instantanee de defectare sau moarte la momentul t, dat fiind ca individul a supravietuit pana la momentul t este :

. Deoarece f(t)= si S(0)=1 rezulta

S(t)=exp( ,t>0.

4) Functia de hazard cumulata este :H(t)= .

5) p-quantila repartitiei Teste valoarea numerica tpdefinita prin P(T )=p

Astfel pentru repartitia Weibull cu functia de repartitie rezulta

tp= .Daca alegem p=1-1/e ~0,632 atunci t1-1/e=0,632.

6) Timpul mediu de viata ramas este dat de: m(t)=M(T-t|T se poate calcula din relatia

m(t)=

Pentru Repartitia Weibull cu functia de supravietuire S(t)=exp( ,functia de hazard este crescatoare daca ,descrescatoare daca si constanta pentru .Tipuri particulare ale functiei de hazard :1)h(t)= .2)h(t)=a+bt (liniar cu varsta)-modelul Kodlin 36

3) h(t)=exp(a+bt) S(t)=exp[ea(ebt-1)/b]-repartitia Gompertz.

Cazul discretCand datele care reprezinta timpii de viata sunt grupate ,T poate fi considerata o variabila

discreta ce poate lua valorile:0<t1<t2<...<tn. In acest caz S(t)= iar functia de

hazard devine : h(tj)= ,j=1,2,.....,n.

Observatie :f(tj)=S(tj)-S(tj+1) si deci h(tj)=1 ,j=1,2,....,n de unde obtinem

S(t)=

Probleme rezolvate

1. În drumul spre locul de muncă, Mihai schimbă două autobuze. Timpul total T de aşteptare în staţii urmează o repartiţie de densitate:

a) Care este probabilitatea ca timpul de aşteptare să fie cuprins între 3 şi 8 minute?b) Care este probabilitatea ca timpul de aşteptare să fie de cel mult 10 minute ?c) Care este timpul mediu de aşteptare ?Soluţie:

a)

b)

c)

2. Un autobuz se deplasează între 2 oraşe A şi B care se află la o distanţă de 100km unul de celălalt. Dacă autobuzul are o pană, atunci distanţa X de la punctul de pană până la oraşul A urmează o repartiţie uniformă pe [0,100]. Dacă maşina remorcă se află la mijlocul distanţei între cele 2 localităţi, care este probabilitatea ca ea să parcurgă mai mult de 20 km pentru a ajunge la punctul de pana ? Dar daca masina de depanare porneste din orasul A sau B care se afla cel mai apropiat de punctul de pana ?Soluţie: Se foloseşte repartiţia uniformă X~U(0,100). Fie Z=distanţa pe care o parcurge maşina remorcă, dacă pleacă de la km 50.

37

Dacă X <50km ( se defectează înainte de jumătatea drumului) => X+Z=50 dar Z>20 =>X<30.Dacă X>50km ( se defectuează după jumătatea drumului) => X-Z=50 dar Z>20 => X>70.P(Z >20)=P(Z>20|X<50)P(X<50)+P(Z>20|X>50)P(X>50)=P(X<30)P(X<50)+ P(X>70)P(X>50)=

In al doilea caz,P(Z>20)=P(X>20|X<50)P(X<50)+P(X<80|X>50)P(X>50)=0,6Rezulta astfel ca este mai bine ca masina de depanare sa plece dintr-unul din capetele traseului.

3. Să se determine cuantila de ordin 0,25 pentru repartiţia N(0,1).Soluţie: p0,25 este argumentul funcţiei Laplace (p0,25)=0,25. Din tabelele repartiţiei N(0,1) rezultă: p0,25= -0,67= -p0,75

4. Presupunem că intr-o colectivitate greutatea X a unui individ este o variabila aleatoare care urmeaza o repartitie N(m, 2), cu m=75 kg si =10 kg. Care este probabilitatea ca un individ ales la intamplare sa aiba o greutate intre 65 si 90 kg ? Sa se determine a si b astfel ca : P(X<a)=0,9 si P(X>b)=0,8.

Solutie: Se cauta . Daca XN(75, 102) =>Z= N(0,1) si se va

folosi tabelul ce contine valorile functiei Laplace =>

p =P

p= (1,5)-1+(1)=0,93319-1+0,8413=0,77449 unde

este funcţia Laplace ( funcţia de repartiţie a unei variabile N(0,1).

, unde am ţinut seama de

faptul că dacă X~N(m,σ2), atunci ~N(0,1).

Prin urmare este cuantila de ordin 0,9 a unei variabile repartizată N(0,1). Din

tabel găsim .

Analog .

Obţinem: , de unde rezultă: b=75

38

5. Fie X o v.a. repartizata normal N(0,5;4). Care dintre evenimentele: si are o probabilitate mai mare de realizare?

Soluţie:Daca X~N(0,5;4), atunci variabila ~N(0,1)

=

Prin urmare P(B)>P(A),deci este mai probabil sa aiba loc evenimentul B.

6. Se cunoaşte că rezistenţa unui tip de rezistor este o variabilă aleatoare normală; 10% dintre aceştia au o rezistenţă ce depaşeşte valoarea de 10,2 ohmi iar 5% dintre ei au rezistenţa mai mică decât 9,6 ohmi. Să se determine valoarea medie şi dispersia rezistenţei precum şi probabilitatea ca rezistenţa să ia valori în intervalul (9,8 ;10,1).Soluţie: Fie X = rezistenţa unui tip de rezistor XN(,2) astfel încât : P(X>10,2)=0,1 şi P(X<9,6) =0,05

Se va folosi variabila Z = N(0,1) cu P respectiv P

=0,05 => => 9,93 respectiv =0,21

P(9,8< X<10,1)=P

=P(Z<0,81)-1+P(Z<0,62)=0,7910- 1+0,7324=0,5234

7. Un automobil nou este echipat cu 8 bujii. Fiecare bujie are o durată de funcţionare reprezentată de o repartiţie normală N(8000 km,16002 km). Care este probabilitatea ca după 5000 km, automobilul să utilizeze încă bujiile cu care a fost echipat ?Soluţie: Se notează = durata de funcţionare a bujiei i, unde i=1..8. Atunci probabilitatea căutată este:

XN(8000,16002)=>Z= N(0,1) şi folosim tabelul cu valorile functiei

Laplace

P(X<5000)=P =P(Z<-1,87)=1- P(Z<1,87)

Atunci p= (P(Z<1,87))8=0,969268 =>p 0,7714.

8. Timpul de aşteptare la un ghişeu este o variabilă aleatoare ce urmează o repartiţie exponenţială. Durata medie de servire (de rezolvare a cererii) este de 5 minute.

39

a) Care este probabilitatea ca durata de aşteptare să fie mai mică de 2 minute?b) Este corect să afirmăm că în 50% din cazuri, durata de aşteptare este mai mică decât 5 minute? (Densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare exponenţiale este:

)Soluţie: Fie T=timpul de aşteptare. Atunci T~Exp(λ).

dar M(T)=5 rezultă că λ=1/5.

Atunci:

Observam ca 0,63>0,50 , deci rezultă că nu este corectă afirmaţia.

9. O şosea este iluminata de 500 de becuri de acelaşi fel.Timpul de defectare pentru un asemenea tip de bec este o variabilă aleatoare repartizată exponenţial cu timpul mediu de defectare de 5 ani.a) Care este probabilitatea ca 3 becuri să se arda în primul an ?b) Dacă după 6 luni nu s-a ars nici un bec, care este probabilitatea ca în următoarele 6 luni să nu se ardă nici un alt bec ?Soluţie: X = timpul de defectare pentru un asemenea tip de bec XExp (5)Densitatea de repartiţie corespunzătoare repartiţiei exponenţiale este:

f(x)= dacă x>0 => M(X) = => =5

a) Se notează X1, X2, …, X500 timpul de defectare al fiecărui dintre cele 500 de becuriFie p=probabilitatea ca un bec să se defecteze înainte de primul an

p=P(X<1)=

P(3 becuri să se ardă în primul an) = C p3(1-p)497=C

b) P(nu se arde nici un bec în următoarele 6 luni | în primele 6 luni nu s-a ars nici unul) = P(nu se arde nici un bec în primul an)/P(în primele 6 luni nu s-a ars nici un bec)= =P(nu se arde nici un bec in primul an)=(P(un bec nu se arde in primul an))500=

=

P(în primele 6 luni nu s-a ars nici un bec)= (P(un bec nu se arde în primele 6 luni))500=

=

40

Deci probabilitatea, ce se cere, are valoarea:

10. O centrală nucleară constată că, în medie, de 2 ori pe lună au loc degajări de substanţe radioactive detectabile(dar care nu afectează zonele locuite din apropiere). Să se determine probabilitatea ca să treacă cel puţin 3 luni, înainte să se inregistreze prima emisie de radiaţii.Soluţie : Fie X=numărul de degajări periculoase pe lunaX~Po( ) M(X)= => =2 accidente/ luna.Fie Y=timpul scurs între 2 degajări succesive => Y~Exp(1/ )=Exp(0,5)

P(Y 3)=1- P(Y<3)=1- = =e-6.

11. Să se determine quantila de ordin 0,25 pentru repartiţia exponenţială Exp( ).

Soluţie : p0,25 are proprietatea că . Integrând prin părţi, se obţine :

1- =0,25 => p0,25=- ln(0,25)

12. Fie variabila (15) chi-pătrat cu 15 grade de libertate. Să se calculeze media şi dispersia acestei variabile. Să se determine :a) P( (15) 5,229) b) h astfel încât P( (15) h)=0,975c) P(6,26 (15) 27,5)Soluţie : P( (15) 5,229)=0,010 . Analog celelalte puncte.

12. Fie variabila aleatoare X= timpul până la defectare(în mii de kilometri parcurşi) a fazei lungi a unui automobil, care urmează o repartiţie Weibull( , =2)a) Să se determine media şi dispersia lui Xb) Să se determine funcţia de fiabilitatec) Care este fiabilitatea acestor lumini la 1.000 km ?d) Care este rata de defectare ?e) Care este rata de defectare la 5000 km ?f) Care este probabilitatea ca luminile să se defecteze în primii 3000 km ?(densitatea de repartitie pentru o variabila repartizata Weibull este :f(x)= ) , x 0)Soluţie :

a) M(X)= = =

D(X)=M(X2)-(M(X))2=

41

folosind schimbarea de variabilă =yAşadar M(X)=0,04-1/2.0,5. =2,5 respectiv D(X)=0,04-1(1-( 3/2)2)D(X)=25(1-4 )b) Funcţia de fiabilitate(de supravieţuire) este notată :

S(x)=P(X>x)=1-P(X x)=1- du=1+ = =

c) S(10.000) 0,01838d) h(x)=-S’(x)/S(x)= = =0,08x rata de defectaree) h(5000)=0,08*5=0,4f) P(X 3000)=1-S(3000)= 0,3023.

13. Dacă rata defectare este h(t)= cu , =3, să se determine densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare T=timpul de funcţionare până la defectare a tipului de componentă cu aceasta rată de defectare. Cât este timpul mediu de defectare a componentei? Să se determine funcţia de fiabilitate a componentei.

Soluţie : rezolvând ecuaţia cu necunoscuta S(t) : h(t)=-S’(t)/S(t) => S(t)=exp( ).

Mai mult, se observă că forma ratei defectare este aceeaşi cu cea de la problema anterioara => S(t)= = , x 0.

Densitatea de repartiţie a variabilei T este : f(t)= -S’(t)= 4x , x 0.

M(T)= =2-1/30,33 (0,33)=0,7087 timpul mediu de defectare a

componentei. Funcţia de fiabilitate a componentei este S, de forma scrisă mai sus, în soluţie.

14. Repartiţia timpului de defectare T pentru un tip de condensator poate fi modelatăprintr-o repartiţie lognormală cu media =1,5 ani şi =1 an.Să se afle timpul mediu de defectare. Dacă un condensator este vândut cu o garanţie de 2 ani, care este probabilitatea să nu existe reclamaţii în perioada de garanţie ? Cum se modifică aceasta probabilitate dacă garanţia este de 3 ani ?Soluţie: Densitatea de repartiţie pentru repartiţia lognormală LN( ) :

f(t)= , t > 0

M(T)= = =0,0302 folosind schimbarea de variabila ln(t)=u.

Probabilitatea să nu existe reclamaţii în perioada de garanţie de 2 ani este dată de funcţia de fiabilitate :

42

S(t)=P(T>t)=1-P(T t)=1- =1- du=1-F(ln(t)) unde F este

funcţia de repartiţie pentru repartiţia N( ).F(ln(2))<0,5<F(ln(3)) => S(2)>0,5>S(3) unde S(2)=P(T>2), S(3)=P(T>3)

Probleme propuse1. O combină muzicală este garantată pentru 2 ani. Din istoria companiei s-a constatat că din 100 de combine vândute, una singură a prezentat o defecţiune majoră după o utilizare normală de 26 de luni. Probabilitatea de a apărea o defecţiune majoră în timpul a 52 de luni de la achiziţie este de 0,975.Presupunând că intervalul de timp T între momentul achiziţiei şi momentul apariţiei defecţiunii este o variabilă aleatoare normală, care este momentul de timp în luni , pentru ca şansa de apariţie a unei defecţiuni să fie de 50% ?

2. În zona Vrancea sunt in medie 50 de cutremure pe an, suficient de puternice pentru a fi detectate. Să se determine probabilitatea ca să treacă cel puţin 3 luni, înainte ca un asemenea cutremur să se petreacăIndicaţie:Fie X=numărul de cutremure pe lună. X~Po( ), M(X) = =50cutremure/an =4cutremure/luna.Fie Y intervalul de timp intre doua cutremure.Rezulta Y~Exp(1/ )=Exp(0,25)Se calculeazaP(Y

3. Un sistem este compus din doua componente independente legate in serie .Timpul de functionare neintrerupta ,pana la defectare ,pentru prima componenta are o repartitie Weibull ( iar pentru a doua componenta timpul de functionare este repartizat Exp(0,5).Sa se determine fiabilitatea sistemului dupa 2000ore de functionare.Sa se determine probabilitatea ca sistemul sa se defecteze inainte de 1500 ore.Daca cele doua componente sunt legate in serie ,care este fiabilitatea sistemului la 1000 ore de functionare ?Ind.densitatea rep.Weibull este :f(x)=

4.Daca v.a.X are o repartitie Exponentiala sa se determine repartitia variabilei Y=exp(-X)

5. Pe intervalul (0,1) se fixeaza un punct a.Un punct aleatorX este repartizat uniform in acest interval .Sa se determine a astfel ca media variabilei Y=X|a-X| sa fie zero..R.a=1/2.

6. Un voltaj aleator V cu densitatea de repartitie f(v) trece printr-un « modulator « care elimina voltajele mai mici ca v1 si pe cele mai mari ca v2,in primul caz reducandu-le la v1iar in al doilea caz la v2.Sa se determine repartitia variabilei care este voltajul rezultat in urma trecerii prin modulator si sa se afle media si dispersia lui .

43

Ind. este o v.a.mixta.

7. Functia f(x)=C/(1+x2), x reprezinta densitatea de repartitie a unei variabile aleatoare X.Sa se determine C ,media si varianta variabilei X daca acestea exista.

8. Timpul de functionare a unui frigider se aproximeaza cu o v.a.N(5ani,22 ani) .Daca frigiderul este garantat pentru 2 ani ,care este probabilitatea ca el sa trebuiasca sa fie inlocuit in termenul de garantie ?

9. Repartitia Exponentiala trunchiata este definita prin densitatea de repartitie de forma:f(t)=a exp( ),t .Sa se determine a, functia de repartitie,media,dispersia si functia caracteristica.

10. V.a.X are o repartitie logistica cu densitatea f(x)= , .Aratati ca

v.a.Y=1/(1+e-x) urmeaza o lege uniforma.

5. Funcţii generatoare1) Funcţia generatoare de momente Definiţie: Fie X o variabilă aleatoare. Funcţia GX(t)=M(etX) se numeşte funcţie generatoare de momente.

Dacă X are densitatea de repartiţie f, atunci GX(t) = .

Dacă X are funcţia de frecvenţe f(n)=P(X=n), atunci GX(t) = .

Proprietăţi: Dacă v.a. X are funcţia generatoare de momente GX(t), atunci:a) GX(0) = 1b) GX(t) 1 (pentru X v.a. cu valori în R+ şi t < 0)

44

c) GXk

k0 =M(Xk),

d) GX(t) =

n n

n nt

!0

e) dacă a,b R, GaX+ b(t) = eb tGX(at).f) fie v.a.Y independenta de X => GX+Y(t)=GX(t)*GY(t).

2)Funcţia caracteristicăDefiniţie: Funcţia X(t)=M(eitX), tR, se numeşte funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X.

Dacă X are densitatea de repartiţie f, atunci X(t) = .

Dacă X are functia de frecvente f(n)=P(X=n), atunci X(t) = .

Exemple :1.Functia caracteristica a unei v.a.X~N(0,1) este data de

iar functia caracteristica a unei variabile Y~N(m, ) este data de 2.Functia caracteristica a unei variabile Poisson Po( ) este :

Proprietăţi: Dacă v.a. X are funcţia caracteristică , atunci:a) (0) = 1, unde este complex conjugată lui .

b)

c) x f x dxn => ( k n, t R => (k)(t)< şi

deci se pot calcula momentele de diferite ordine daca se cunoaste functia caracteristica.Dacă (2n)(t) există şi este finită, atunci k n, M X

k .

d) Fie X o v.a. astfel încât , n =>

tit

n

n

nn

!

.0

e) dacă a,bR, aX+ b(t) = e i b tX(at).f) fie v.a.Y independentă de v.a. X =>X+Y(t)= X(t). Y(t) si in general :functia caracteristica a unei sume de v.a. independente este egala cu produsul functiilor lor caracteristice.

45

Teorema de inversiune: Fie f densitatea de repartiţie a v.a. X şi funcţia sa caracteristică, absolut integrabilă pe R. Atunci d.r. f mărginită şi f(x)=

Observaţie: Spunem că se cunoaşte repartiţia unei v.a. dacă se cunoaşte densitatea de repartiţie sau funcţia de repartiţie , funcţia caracteristică sau funcţia generatoare de momente.Numarul total de cereri de despagubire in urma a” n”evenimente.Fie pn probabilitatea de a se produce n evenimente (accidente, cutremure, incendii, furtuni, etc….) care au produs pagube si qj probabilitatea de a se inregistra „j” cereri de despagubire la un eveniment .Notam cu K-numarul total de solicitari inregistrat la toate evenimentele produse intr-un an.Atunci, putem scrie: P(K=0)=p0

P(K=1)=p1q1

P(K=2)=p1q2 +p2q12

P(K=3)=p1q3+2p2q1q2+p3q13

……………………

In general P(K=k)= =

Am notat cu qk*n - probabilitatea de a avea „k” solicitari la „n” evenimente.

qk*1 =qk si qk

0=1 daca k=0 si 0 altfel.Functia generatoare de momente a lui K este:

Notam N= numarul de evenimente, J =numarul de cereri solicitate la un eveniment.

Atunci:

Deoarece

si este repartitia sumei de n numere independente care sunt cererile.

Astfel

Daca notam si aplicam logaritmul in relatia de mai sus obtinem:

ln si deci : (1)

Aceasta relatie exprima legatura intre numarul de cereri cauzate de N evenimente cand exista J cereri urmare a unui singur eveniment.

46

Aplicatie: Deoarece evenimentele care produc pagube majore ce antreneaza despagubiri, sunt rare , ele se pot modela cu repartitia Poisson.Presupunem N~Po( ) iar J o variabila aleatoare ce urmeaza repartitia logaritmica

definita prin: P(J=j)= ; j=1,2,...

Pentru aceste repartitii, functiile generatoare de momente sunt:

si prin logaritmare se

obtine:

si

Aplicand ( 1 ) obtinem:

care reprezinta logaritmul functiei generatoare de momente pentru repartitia binomiala negativa. Derivand in (1) obtinem:

si (2)

Deoarece pentru o variabila X oarecare:

si , - = luand t=0 in (2) obtinem:

In exemplul de mai sus: unde putem estima parametrii prin metodele cunoscute din statistica.Determinarea cuantumului total al sumei cerute ca despagubire in urma producerii de evenimente.Presupunem ca intr-un an s-au inregistrat K cereri de despagubire.K este o variabila aleatoare iar X1,X2,….Xn sunt variabile aleatoare independente ce reprezinta cuantumurile cererilor de despagubire solicitate in decursul anului.Modelul Erlang

Ne intereseaza sa determinam repartitia variabilei : S = ,unde Xj sunt

independente si repartizate exponential iar K este repartizata Poisson.FXj =1- exp(-x/ ) ,x>0.FX1+X2(x)= (x) = P

47

=

Prin inductie se arata ca (aici K este fixat).

Aceasta este functia de repartitie a repartitiei Gamma- lucru ce se demonstreaza usor

calculand F’(x). Se obtine d.r. care reprezinta o

repartitie Gamma G .M(S)=n si Var (S)=n .Daca luam in considerare si faptul ca K este o v.a.Poisson avem:P(K=0)=e ; P(S )=1;

P(K=1)= ; P(S=X1 =1-exp(- ;

..............................................................................

P(K=n)= ;P(S=X1+…+Xn )=1- . Atunci

P(S )= exp(- )+ (1-exp(-x/ ))+…+ ( )

Parametrii se estimeaza din datele cunoscute de companie.Acest model particular se bazeaza pe repartitia exponentiala a cuantumului cererilor.Utilizarea functiilor generatoare permite obtinerea unor rezultate practice pentru calculul sumei totale pentru orice repartitie a lui X.Daca notam cu fX densitatea de repartitie a lui X atunci FX =P( ),

P(X1+X2 )= =

La fel,P(X1+…+Xn ) = F (x) care reprezinta convolutia de ordin n. Atunci

FS (x)= (x) unde pj reprezinta probabilitatile de a avea j solicitari de

despagubire iar F*j (x)este probabilitatea ca cele j despagubiri sa nu depaseasca valoarea x.Functia generatoare a lui S este

= = .

Notand, g=ln obtinem : gS (t)= gK (gX (t)). Prin derivarea acestei relatii in raport cu t obtinem: g’

S (t)=g’ K (gX (t)).g’

X (t).Luam t=0 si obtinem:M(S)=M(K).M(X).

Probleme rezolvate.

48

1. Sa se demonstreze ,folosind functia caracteristica ,ca daca X1,...,Xn sunt variabile

aleatoare independente repartizate normal astfel ca: Xj~N(mj, ),

j=1,2..,n atunci v.a.Y= urmeaza tot o repartitie normala.Sa se determine

parametrii acesteia.Solutie :Functia caracteristica a variabilei Y este :

C

omparand acest rezultat cu functia caracteristica a unei v.a. normale se obtine rezultatul cerut.

2. Fie X~Exp( ) cu densitatea de repartitie ,x Sa se determine

functia ei generatoare.

Solutie :g(t)=M(etX)= = pentru

3. Se considera v.a. Y (repartizata Gamma) cu densitatea de repartitie : f(y)=

. Sa se determine functia ei

generatoare.

Solutie :g(t)= ,1-t

Observatie :Comparand problema 3 cu 2, si tinand seama de propietatile functiei generatoare, putem deduce ca o suma de n v.a.independente repartizate Exponential cu acelasi parametru urmeaza o repartitie Gamma.4. X= timpul necesar pentru a rula un program scris în Fortran XN (10;9)Y= timpul necesar pentru a rula un program scris ţn Pascal YN (9;16)pentru rezolvarea aceleaşi problemea) Care este repartiţia variabilei aleatoare X-Y?b) Aflaţi probabilitatea ca un program scris în Fortran să aibă viteza de rulare mai mare decât un program scris in PascalSoluţie:

a) XN(1=10; 12=9) d.r. f(x)= ,

49

YN(1=9; 22=16) d.r. g(y)= ,

Funcţia caracteristică a variabilei X este de forma:

X(t)=M( )= *M( )=

Funcţia caracteristică a diferenţei X-Y (se observă că cele 2 variabile sunt repartizate independent una de cealaltă) este:

X-Y(t)=M(eit(X-Y))=M(eitX)M(e-itY)=X(t)Y(-t)= funcţie caracteristică a

unei repartiţii N(1-2 ;12+2

2).Aşadar X-Y N(1-2 ;1

2+22)

unde Z N(0 ;1). 5. Dacă X are funcţia generatoare de momente G(t) = exp(2t + 2t3), să se calculeze momentele de ordin 1 si 2 pentru variabila X.

Soluţie: Se cunoaste faptul că M(Xr)= . Aşadar este necesar să se calculeze

derivatele de ordin 1 şi 2 ale funcţiei generatoare de momente.G’(t)=2(1+3t2)exp(2t+2t3) => M(X)=2G’’(t)=(12t+ 22(1+3t2)2)exp(2t+2t3)=> M(X2)=4.

6. Funcţia caracteristică a v.a. X este t

e e

n e

it nit

it

1

1. Să se determine repartiţia v.a.

Soluţie : se foloseşte proprietatea progresiei geometrice : 1+eit+…+eit(n-1)=(1-eitn)/(1-eit)

=> . Identificand cu definitia functiei caracteristice a unei v.a.

discrete obtinem ca X ia valorile:1,2,...n cu probabilitati egale cu 1/n,deci X are o repartitie uniforma.7. Densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare conţinue X este definită de:

, x0

a) Să se determine M(X) şi D2(X).b) Să se afle P(-0,1<X-M(X)<0,1).c) Să se determine funcţia de repartiţie şi funcţia caracteristică a variabilei X.Soluţie :

50

a) , ,

Deci .

b) c) Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este:

, pentru .

Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X este: =

Probleme propuse:1.Sa se determine functia generatoare a v.a.Y=X2 daca X urmeaza o repartitie normala N(0;1).Daca X1,...,Xn sunt variabile aleatoare independente repartizate N(0;1) sa se

determine functia generatoare a v.a.Y= .

2.Se considera v.a.Z repartizata care are densitatea de repartitie:

f(z)= ,z 0 Sa se determine functia ei generatoare si sa se combine acest

rezultat cu cel de la problema 1.3.Sa se arate ca daca X1,...,Xn sunt v.a.independente repartizate N(0,1)atunci v.a.Y=(X1+...+Xn)/ urmeaza deasemenea o repartitie N(0,1).4.Sa se determine functia caracteristica a unei v.a.Bi(n,p).5.Sa se determine repartitia v.a.X a carei functie caracteristica este

51