Probabilitati si Statistica in Inginerie

Elemente de teoria probabilitatilor

Elemente de teoria probabilitatilor

Capitolul 1

Elemente de teoria probabilitatilor

1.Fenomene aleatoare

1.1 Exemple de fenomene aleatoare

In cursul activitatii sale practice omul se loveste la fiecare pas de fenomene aleatoare. Exemplul cel mai simplu de fenomene aleatoare este dat de erorile de masura. Noi stim ca nu exista masurari absolut precise si cu cat instrumentul de masura este mai precis cu atat acesta este mai sensibil. Masurand acelasi obiect de mai multe ori obtinem mereu rezultate apropiate, dar diferite. Asa se explica faptul ca rezultatul fiecarei masurari contine o eroare aleatoare si ca rezultatele diferitelor masurari contin diferite erori. In principiu, este imposibil de prevazut care va fi eroarea in cursul unei masurari concrete si chiar de determinat dupa masurare. Efectuand studiul experimental al unui fenomen oarecare si sistematizand rezultatele sub forma de dependente grafice, verificam faptul ca punctele experimentale, daca sunt suficient de numeroase, nu sunt niciodata pe o aceiasi curba dar se situeaza intr-o banda sigura. Aceasta dispersie se explica tot asa de bine prin erorile de masurare cat si prin actiunea altor factori perturbatori.

1.2 Obiectul teoriei probabilitatilor

Studiul legilor ce modeleaza fenomenele aleatoare de masa este realizat de teoria probabilitatilor. Metodele teoriei probabilitatilor dau posibilitatea de a efectua calcule si permit formularea concluziilor practice determinate de studiul fenomenelor aleatoare. Teoria probabilitatilor, ca toate stiintele aplicate, are nevoie pentru modelare, de date experimentale sigure. Capitolul, din teoria probabilitatilor, care studiaza metodele de tratare a rezultatelor experimentelor si de extragere a datelor este numit statistica matematica.

Teoria probabilitatilor este un puternic instrument de cercetare, deoarece ea se utilizeaza in multe aplicatii din domenii foarte variate ale stiintei si practicii ingineresti. Domeniul sau de aplicare se largeste continuu. Teoria probabilitatilor a patruns in aerodinamica si in hidrotehnica, in radiotehnica, in teoria gestiunii, in teoria telecomunicatiilor, in mecanica constructiilor, in teoria mecanismelor si masinilor, in teoria valurilor si ruliului naval, in meteorologie, in fiabilitate si in numeroase alte domenii de cunoastere. Este dificil astazi sa numesti o ramura a stiintei, unde nu se utilizeaza metode probabilistice. In teoria moderna a proceselor de control, in radiotehnica teoria probabilitatilor a devenit principalul instrument de cercetare. Teoria sistemelor complexe moderne si a proceselor de control este bazata pe aplicarea metodelor statistice. Teoria probabilitatilor este fundamentala in domeniul fiabilitatii sistemelor tehnice precum si in numeroase alte domenii stiintifice.

1.3 Notiuni fundamentale

Definitie: numim experiment observarea unui fenomen oarecare in cursul realizarii unui anumit complex de conditii si actiuni care trebuie sa fie riguros verificate de fiecare data cand are loc repetarea experientei.

Observarea aceluiasi fenomen in prezenta altui complex de conditii si actiuni va fi un alt experiment. Rezultatele experimentului pot fi caracterizate calitativ si cantitativ. Componenta calitativa a rezultatelor unui experiment se reduce la a observa daca rezultatele experimentului poseda sau nu o anumita proprietate.

Definitie: numim eveniment rezultatul calitativ al unui experiment.

Se spune ca "evenimentul a avut loc" sau "evenimentul nu a avut loc" in urma experimentului. Se pot enumera urmatoarele exemple de evenimente:

A-formarea unui arc electric la intreruperea unui circuit;

B-aparitia unui defect dupa un anumit timp de functionare;

C-arderea unui bec la alimentare cu tensiune nominala;

Evenimentele vor fi notate cu majuscule latine, de obicei cu primele litere din alfabet, de exemplu: A, B, C. Daca se analizeaza evenimentele mentionate, se constata ca fiecare se poate realiza intr-o masura diferita. Evenimentul C este mai putin probabil sa se produca decat evenimentul A sau B.

Definitie: - evenimentul care nu poate avea loc in cursul experimentului este numit imposibil si este notat cu ;

- evenimentul care se produce in mod obligatoriu in cursul experimentului este numit sigur si este notat cu .

Definitie: evenimentele ,,, sunt incompatibile, in cursul unui experiment dat, daca doua cate doua nu poate fi realizate simultan.

De exemplu, evenimentele: "tinta atinsa" si "tinta ratata" la un tir, sau "a obtine 1", "a obtine 2" si "a obtine 3" la aruncarea unui zar, nu pot fi realizate simultan.

Doua evenimente care sunt incompatibile in cursul unui experiment se pot dovedi compatibile in cursul altui experiment. De exemplu, evenimentele "tinta atinsa" si "tinta ratata" sunt incompatibile la un singur tir. Ele insa sunt compatibile daca experimentul se compune din doua tiruri.

Rezultatul cantitativ al experimentului consta in determinarea valorilor anumitor marimi obtinute in urma acestui experiment. Aceste marimi pot lua in cursul experimentului diverse valori care inaintea experimentului nu pot fi prevazute.

Definitie: numim variabila aleatoare rezultatul cantitativ al unui experiment.

Exemple de variabile aleatoare pot fi: erorile si rezultatele masurarilor, durata de functionare fara defectiune a unui instrument sau dispozitiv, inaltimea si greutatea unei persoane aleasa la intamplare, coordonatele punctului de impact la un tir, de cate ori se atinge tinta in cursul a "n" tiruri.

Variabilele aleatoare se noteaza cu litere mari, in general cu ultimele litere din alfabetul latin, iar valorile lor concrete cu literele mici corespunzatoare. De exemplu, notam variabilele aleatoare cu X, Y, Z si valorile lor concrete, obtinute in urma experimentului respectiv, cu x, y, z. Aceste valori sunt numite valorile posibile sau realizarile variabilelor X, Y, Z.

1.4 Spatiul evenimentelor elementare

Un eveniment elementar "" reprezinta o multime formata dintr-un singur element (singleton)Definitie: multimea tuturor evenimentelor elementare, asociata unui experiment dat, este numita spatiul evenimentelor elementare sau spatiul fundamental si este notata de obicei .

Un element "" din multimea , reprezentand un punct al spatiului , este numit un rezultat al experimentului sau o incercare.

Fiecare eveniment reprezinta un anumit ansamblu de evenimente elementare. Evenimentul sigur reprezinta multimea tuturor evenimentelor elementare. Evenimentul imposibil reprezinta multimea vida.

Exemplu

1)Spatiul fundamental al jocului "cap sau pajura" este = {C, P};

2)Spatiul fundamental al jocului "cap sau pajura" repetat de trei ori este: = {, , , , , , , }, cu

= (C, C, C), = (C, C, P), = (C, P, C), = (P, C, C)

= (C, P, P), = (P, C, P), = (P, P, C), = (P, P, P).

3)Spatiul fundamental al jocului "cap sau pajura" repetat la infinit este =.

4)Spatiul fundamental al unei experiente aleatoare, de exemplu: "durata de viata a unui aparat", este fie: = N (in timp discret: zile, luni, etc.), fie = R+ (in timp continuu).

2. Operatii cu evenimente

2.1 Reuniunea a doua evenimente

Definitie: se numeste reuniune sau suma a doua evenimente A si B, evenimentul complex corespunzator aparitiei cel putin a unuia din evenimentele A si B.

Reuniunea a doua evenimente A si B este notata AUB sau AVB. Pentru doua evenimente incompatibile A si B se utilizeaza notatia A + B. Reuniunea evenimentelor A si B este exprimata "A sau B".

Pentru toate perechile de evenimente A si B, realizarea unuia sau a altuia dar nu a ambelor se numeste operatia de reuniune exclusiva. Ea este notata AB.

Exemplu

In exemplul 2 din paragraful precedent se considera urmatoarele evenimente:

A: Sa obtinem "cap" de cel putin doua ori; A este descris de multimea

{, , , };

B: Sa obtinem de trei ori "pajura"; B este descris de un singur element {}. Atunci A(B = {, , , ,}2.2 Intersectia a doua evenimente

Definitie: se numeste intersectie sau produs a doua evenimente A si B realizarea lor simultana. Intersectia evenimentelor A si B este notata AB sau AB sau succint AB. Intersectia evenimentelor A si B este exprimata "A si B".

Exemplu

In exemplul precedent intersectia evenimentelor A si B este vida. Ecuatia: AB = semnifica faptul ca evenimentele A si B sunt incompatibile (sau ca multimile A si B sunt disjuncte).

2.3 Reuniunea si intersectia unui numar

oarecare de evenimente

Definitie: se numeste reuniune sau suma a multimii evenimentelor , s(S, notata

sau (pentru evenimentele incompatibile),

realizarea cel putin a unuia dintre evenimentele , s(S .

Definitie: se numeste intersectie (sau produs) a multimii evenimentelor , s(S, notata

,

realizarea simultana a tuturor acestor evenimente.

In aceste definitii, multimea S multimea valorilor indicilor s este finita, numarabila sau nenumarabila.

Operatiile de reuniune si de intersectie a evenimentelor, poseda proprietati analoage celor de adunare si de inmultire a numerelor. De exemplu:

reuniunea si intersectia evenimentelor sunt comutative:

A U B = B U A, AB = BA . (1.1)

reuniunea si intersectia evenimentelor sunt asociative:

(A U B ) U C = A U (B U C) = (A U C) U B = A U B U C,

(AB) C = A (BC) = (AC) B = ABC . (1.2)

reuniunea si intersectia evenimentelor sunt distributive:

( A U B ) C = AC U BC . (1.3)

Toate aceste proprietati rezulta direct din definitiile operatiilor de reuniune si de intersectie a evenimentelor. Astfel, (A U B)C reprezinta realizarea intersectiei evenimentului C cu evenimentul A, sau cu evenimentul B. Evenimentul (AC) U (BC) corespunde realizarii sau a lui C cu A, sau a lui C cu B.

Proprietatile operatiilor de adunare si inmultire a numerelor nu sunt intotdeauna valabile pentru reuniunea si intersectia evenimentelor. De exemplu, evenimentele A U A si AA coincid in mod evident cu A. In consecinta, A U A = AA = A pentru orice eveniment A.

2.4 Diferenta a doua evenimente

Definitie: se numeste diferenta a doua evenimente A si B realizarea evenimentului A si nerealizarea evenimentului B. Diferenta evenimentelor A si B este notata A - B si este egala cu intersectia .

2.5 Evenimente contrare

Definitie: numim eveniment contrar evenimentului A, si il notam , nerealizarea evenimentului A. Acesta este realizat cand A nu este realizat. Se vede usor ca evenimentul A este contrar evenimentului .

. (1.4)

Este evident ca evenimentele contrare sunt incompatibile si ca reuniunea lor reprezinta un eveniment sigur:

. (1.5)

Este clar ca:

A U ( = A, A( = (, A U ( = (, A( = A . (1.6)

Exemplu

1)Evenimentele "tinta atinsa" si "tinta ratata" in timpul unui tir sunt evenimente contrare;

2)Pana unui dispozitiv intr-un interval de timp dat si buna sa functionare in cursul aceluiasi interval de timp sunt evenimente contrare.

2.6 Implicatia

Cand evenimentul A nu poate fi realizat fara ca evenimentul B sa fie realizat de asemenea, atunci spunem ca evenimentul A implica evenimentul B si se noteaza A(B.

2.7 Proprietatile operatiilor cu evenimente

1) Se vede usor ca pentru doua evenimente oarecare A si B, evenimentul U este contrar evenimentului AB.

. (1.7)

Intr-adevar evenimentul U este realizarea cel putin a unuia dintre evenimentele , ceea ce este echivalent cu nerealizarea lui AB. In general, pentru multimea de evenimente , s(S, avem:

. (1.8)

2) Evenimentul reprezinta realizarea lui si , adica contrariul realizarii a cel putin unuia din evenimentele A sau B:

. (1.9)

In general pentru orice multime de evenimente , s(S, avem:

. (1.10)

Ultimele patru formule exprima principiul dualitatii: operatiile de reuniune si de intersectie sunt interschimbabile cand se trece la evenimente contrare (relatiile lui De Morgan).

3) Formula care exprima descompunerea oricarui eveniment A in doua evenimente incompatibile este:

. (1.11)

4) Daca evenimentul A implica evenimentul B si de asemenea evenimentul B implica evenimentul A atunci ele sunt numite echivalente:

B ( A si A ( B ( A = B . (1.12)

5) Daca B(A, atunci:

AB = B , (1.13)

A U B = A (1.14)

si formula (1.11) se scrie

. (1.15)

3. Probabilitate

3.1Frecventa unui eveniment. Frecventa conditionataDaca in timpul repetarii unui experiment, un eveniment se produce mai frecvent decat altul, putem spune ca primul este mai probabil decat al doilea. Pentru compararea evenimentelor este necesar sa presupunem ca experimentul dat poate fi repetat la nesfarsit.

Definitie: numim frecventa unui eveniment raportul dintre numarul realizarilor sale si numarul tuturor experimentelor efectuate.

Astfel, daca in cursul a "n" experimente, evenimentul A a fost realizat de "m" ori, atunci frecventa sa in aceasta serie de experimente este de "m/n".

In anumite cazuri frecventa unui eveniment trebuie sa fie determinata in prezenta unei conditii complementare, conform careia a avut loc un alt eveniment. Pentru determinarea frecventei evenimentului A, in conditia in care a fost realizat evenimentul B, nu trebuie sa se tina cont de toate experimentele realizate, ci numai de cele in cursul carora evenimentul B a avut loc.

Astfel, daca in cursul a "n" experimente realizate, evenimentul B a aparut de "m" ori si daca pentru "k" din "m" experimente a fost realizat evenimentul A, atunci frecventa evenimentului A, cu conditia ca evenimentul B sa fie realizat, este egala cu raportul "k/m".

Definitie: frecventa evenimentului A, calculata tinand cont de experimentele in cursul carora s-a realizat evenimentul B, se numeste frecventa conditionata a evenimentului A in raport cu evenimentul B.

Dupa ce s-au dat definitiile corespunzatoare, se poate trece la studiul principalelor proprietati ale frecventei evenimentelor.

1. Frecventa oricarui eveniment A este un numar pozitiv care nu depaseste 1, frecventa unui eveniment imposibil este egala cu 0, iar frecventa unui eveniment sigur este egala cu 1.

,

f(() = 0, f(() =1;

2. Frecventa de aparitie a evenimentelor incompatibile A, B este egala cu suma frecventelor lor.

3. Frecventa de realizare simultana a doua evenimente A si B este egala cu frecventa unuia dintre ele multiplicata cu frecventa conditionata a celuilalt.

f(A(B) = f(A)(f(B(A)

Notiunea de frecventa este utilizata foarte des pentru reprezentarea distributiei unor rezultate experimentale, realizandu-se histograma experimentului (fig.1.1). In acest scop se imparte domeniul valorilor obtinute in cadrul experimentului in intervale de lungime egala si se calculeaza frecventa de aparitie a valorilor experimentale din fiecare interval.

Fig.1.1 Histograma unui experiment.

3.2Camp de evenimente

Definitie: totalitatea evenimentelor asociate unui experiment, pentru care sunt definite probabilitatile corespunzatoare, este denumit camp de evenimente si este notat cu F.

Campul de evenimente F trebuie sa aiba proprietati bine definite.

Proprietati:

1) Daca probabilitatea este definita pentru un eveniment A, atunci este definita si pentru evenimentul contrar . Putem spune ca:

daca A(F atunci (F

2) Daca probabilitatea este definita pentru evenimentele A si B, aceasta este definita si pentru produsul evenimentelor AB. Aceasta inseamna ca multimea F trebuie sa contina pe langa fiecare cuplu de evenimente A si B si intersectia lor AB. Putem spune ca:

daca A, B(F, atunci AB(F

Campul de evenimente F care are cele doua proprietati enumerate mai sus este o algebra de evenimente.

Exista si alte proprietati ale campului de evenimente ce decurg din definitia sa ca algebra de evenimente.

Proprietati:

a) Presupunem ca A si B sunt doua evenimente oarecare care apartin unui camp. Prin definitie, cele doua evenimente contrare si si intersectia lor, apartin campului F. Atunci si evenimentul

EMBED Equation.3 contrar evenimentului apartine de asemenea campului F. Conform principiului dualitatii, evenimentul contrar intersectiei coincide cu reuniunea evenimentelor contrare evenimentelor si , adica cu evenimentul A U B. In consecinta,

daca A,B(F, atunci A U B(F.

b) Pentru toate evenimentele A(F avem (F. Din aceasta proprietate rezulta ca un camp de evenimente F contine evenimentul sigur :

= A U (F

c) In virtutea proprietatii de asociativitate a operatiilor de intersectie si de reuniune a evenimentelor, campul de evenimente F contine toate reuniunile si intersectiile finite ale evenimentelor care il compun.

d) Campul F contine evenimentul imposibil ca eveniment contrar evenimentului sigur .

e) Un camp de evenimente F trebuie sa contina nu numai reuniunile finite ale evenimentelor care il compun dar, de asemenea, si reuniunile infinite. Astfel putem spune ca:

F dacaAk ( F ( k = 1, 2, . . . ).

O algebra de evenimente care poseda si proprietatile a) ( e) este numita o - algebra sau un camp borelian de evenimente.

Este evident ca o - algebra contine de asemenea toate intersectiile in numar infinite ale evenimentelor care o compun. Aceasta decurge direct din principiul de dualitate pentru cazul unei multimi infinite de evenimente.

3.3 Axiomele teoriei probabilitatilor

Am facut cunostinta cu notiunea de frecventa a unui eveniment. Tocmai de aceea este normal sa ne imaginam ca probabilitatile trebuie sa aiba toate proprietatile frecventelor conform definitiei lor. Pentru probabilitati, aceste proprietati nu pot fi demonstrate pe un caz general. Tocmai de aceea principalele proprietati ale probabilitatilor trebuie adoptate in calitate de axiome.

Definitie: O probabilitate P este o aplicatie P: F[0,1] care verifica axiomele urmatoare:

Axioma 1: Pentru toate evenimentele A(F:

P(A) ( 0. (1.16)

Axioma 2: Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu 1:

P (() = 1 . (1.17)

Axioma 3: ( axioma de aditivitatee a probabilitatilor ). Pentru toate familiile infinite de evenimente ,, ., incompatibile doua cate doua, ( = , cand kh), avem:

. (1.18)

Elaborarea teoriei probabilitatilor, pe baza celor trei axiome prezentate mai sus, apartine lui (Kolmogorov A. N, 1933) ale carui lucrari au pus bazele teoriei moderne a probabilitatilor in calitate de stiinta matematica moderna.

3.3.1 Rezultatele echiprobabile ale experimentului

Exemplul unui experiment legat de aruncarea unei monezi arata ca probabilitatile anumitor evenimente pot fi, cu usurinta, determinate direct. Consideram schema generala a experimentului de acest gen. Presupunem ca experimentul are "n" rezultate posibile si ca nu avem nici un motiv sa consideram ca, in repetarea la infinit a experimentului, un rezultat oarecare poate fi mai frecvent decat altul. In acest caz, probabilitatea fiecarui rezultat este evident egala cu 1/n, intrucat frecventele lor trebuie sa se stabileasca in jurul aceluiasi numar in cursul repetitiei si suma lor trebuie sa fie egala cu 1. In alti termeni, acest experiment are "n" rezultate echiprobabile.

In exemplul nostru cu aruncarea unei monezi, exista doua rezultate echiprobabile de acelasi gen, aparitia "capului" si aparitia "pajurei", iar probabilitatea fiecaruia este egala cu 1/2.

3.3.2 Schema de probabilitate

Presupunem acum ca in prezenta a "n" rezultate echiprobabile ale experimentului, suntem interesati de un eveniment oarecare A asociat la "m" din aceste "n" rezultate in asa fel incat pentru fiecare din aceste "m" rezultate, A este cu siguranta realizat si ca el nu poate fi realizat pentru nici un altul din cele "n-m" rezultate ramase. In acest caz ne dam cu usurinta seama ca probabilitatea evenimentului A este egala cu raportul m/n. Spunem ca experimentul dat are "n" rezultate din care "m" favorizeaza evenimentul A. Probabilitatea evenimentului A este atunci egala cu raportul dintre numarul de cazuri ce favorizeaza evenimentul A si numarul tuturor cazurilor incompatibile echiprobabile: P(A) = m/n.

Exemplu

1) Experimentul consta in aruncarea unui zar. Acest experiment prezinta 6 cazuri posibile, care corespund aparitiei numerelor 1, 2, 3, 4, 5, 6. Cum noi nu avem nici un motiv sa presupunem ca, de exemplu: numarul 2 poate sa apara mai des decat numarul 5, probabilitatea aparitiei unui numar dat pe o fata a zarului, de exemplu 2, este egala cu 1/6. Consideram acum:

- evenimentul A care este: aparitia unui numar par;

- evenimentul B care este: aparitia unui numar multiplu de 3;

- evenimentul C care este: aparitia unui numar 3.

Trei cazuri favorizeaza evenimentul A: aparitia lui 2, 4 si 6, de aceea P(A) = 3/6 = = 1/2. Doua cazuri favorizeaza evenimentul B: aparitia lui 3 si 6, de aceea P(B) = 2/6 = 1/3. Patru cazuri favorizeaza evenimentul C: aparitia lui 3, 4, 5 si 6, de aceea P(C) = 4/6 = = 2/3.

2) O urna contine 10 bile identice, dintre care 3 sunt albe si 7 sunt negre. Amestecam cu grija bilele si apoi extragem o bila din urna. Care este probabilitatea aparitiei unei bile albe?

In cazul de fata nu avem nici un motiv sa presupunem ca in momentul repetarii experimentului o anumita bila va apare mai des decat alta. De exemplu, daca bilele erau numerotate de la 1 la 10 astfel incat, ar fi imposibil sa distingem bilele prin atingere, atunci nu avem nici un motiv sa presupunem ca bila numarul 1 poate apare in timpul repetarii experimentului mai des decat bila numarul 2, sau bila numarul 3 etc. Tocmai de aceea se considera ca in acest experiment exista 10 cazuri echiprobabile. Trei dintre acestea favorizeaza evenimentul "bila alba si sapte dintre ele evenimentul "bila neagra". Probabilitatea aparitiei unei bile albe este egala cu 0,3 si probabilitatea aparitiei unei bile negre este egala cu 0,7.

3.4 Spatiul de probabilitate

Definitie: spatiul evenimentelor elementare , la care se adauga algebra F si se asociaza probabilitatea P definita pe F, este numit spatiu de probabilitate si este notat: (, F, P).

Corespondenta intre evenimentele unei multimi de evenimente si probabilitatile sale este numita de obicei distributie de probabilitate. Astfel, probabilitatea P(A) este functie de evenimentul A(F si defineste distributia probabilitatilor pe F.

3.5Proprietatile probabilitatilor

Vom studia acum proprietatile probabilitatilor care decurg din axiomele pe care noi le-am adoptat.

Proprietati:1) Fie evenimentul imposibil dat. El este incompatibil cu toate celelalte evenimente. Fie A un eveniment oarecare, atunci:

A = si P(A() = P(A) +P() (a)

Pe de alta parte, cum A U = A (reuniunea cu evenimenul imposibil nu modifica evenimentul A), atunci:

P(A() = P(A) (b)

Din (a) si (b) rezulta ca probabilitatea evenimentului imposibil este egala cu 0:

P() = 0 (1.19)

2) Daca B(A, atunci punand A sub forma descompunerii in doua evenimente incompatibile, A = B ( A obtinem, tinand cont de relatia (1.15), ca P(A) = P(B) + P(A). Rezulta ca:

daca B ( A atunci P(B) ( P(A). (1.20)

Deci, daca evenimentul B implica evenimentul A, atunci probabilitatea evenimentului B nu poate fi superioara probabilitatii evenimentului A.

3) Cum toate evenimentele A nu pot fi realizate decat cu evenimentul sigur , A = A ( , atunci, nici un eveniment nu poate avea o probabilitate superioara probabilitatii evenimentului sigur, adica mai mare ca 1. Astfel, probabilitatea tuturor evenimentelor apartine intervalului [0,1]:

0 ( P(A) ( 1. (1.21)

4) Reprezentand reuniunea evenimentelor compatibile ,, sub forma unei reuniuni de evenimente incompatibile:

(1.22)

in baza relatiei (1.15) rezulta ca:

(1.23)

5) Cum

(,

(, ,

(, atunci:

(1.24)

si obtinem:

(1.25)

6) Aplicand formula (1.23) pentru doua evenimente = A si =B, obtinem formula de calcul a probabilitatii reuniunii evenimentelor compatibile:

(1.26)

Pe de alta parte, pe baza formulei B = (BA)((B) rezulta ca P(B) = P(AB) + P(B). Utilizand aceasta relatie si inlocuind-o in relatia precedenta, obtinem ca:

P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB). (1.27)

Astfel, am determinat teorema de aditie a probabilitatilor: probabilitatea reuniunii a doua evenimente oarecare este egala cu suma probabilitatilor lor minus probabilitatea intersectiei lor.

3.6Grup complet de evenimente

Definitie: multimea de evenimente {} este numita grup complet de evenimente daca:

- evenimentele sunt incompatibile doua cate doua;

- reuniunea evenimentelor ,.,, n este un eveniment sigur

= (. (1.28)

Rezulta, din axioma de aditie a probabilitatilor, ca daca evenimentele ,.,, sunt incompatibile doua cate doua si formeaza un grup complet, atunci suma probabilitatilor lor este egala cu 1.

(1.29)

Doua evenimente contrare sunt incompatibile si formeaza un grup complet. Tocmai de aceea din relatia (1.29) rezulta ca suma probabilitatilor evenimentelor contrare este egala cu 1:

. (1.30)

Aceasta formula este foarte importanta in practica. In numeroase probleme, probabilitatea evenimentului care ne intereseaza este dificil de calculat, atunci, se calculeaza cu usurinta probabilitatea evenimentului contrar. Folosind formula (1.30) gasim probabilitatea evenimentului care ne intereseaza.

3.7Probabilitati conditionate

3.7.1 Probabilitate conditionata

Definitie: numim probabilitate conditionata a evenimentului A in raport cu evenimentul B, unde P(B) > 0, raportul dintre probabilitatea intersectiei evenimentelor A si B si probabilitatea evenimentului B si o notam P(A|B):

P(A|B) = P(AB) / P(B). (1.31)

Aceasta definitie a probabilitatii conditionate, permite extinderea de o maniera evidenta a teoremei produsului frecventelor, la cazul probabilitatilor:

P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) . (1.32)

Astfel, probabilitatea realizarii simultane a doua evenimente este egala cu probabilitatea unuia dintre ele, multiplicata cu probabilitatea conditionata a celuilalt.

Din definitia (1.31) se poate arata ca probabilitatile conditionate ale diferitelor evenimente, in raport cu un acelasi eveniment B, P(B)0, verifica axiomele 1, 2 si 3. In consecinta, toata teoria prezentata va fi valabila si pentru probabilitatile conditionate.

Din definitia (1.31) mai rezulta ca:

- daca A si B sunt incompatibile (AB = ) atunci P(AB) = 0 si in consecinta P(A|B) = 0;

- daca B(A atunci P(AB) = P(B) si P(A|B) = 1;

- daca A(B atunci P(A|B) = P(A)/P(B).

Din relatia (1.32) rezulta ca probabilitatea realizarii simultane a unui numar oarecare de evenimente este egala cu probabilitatea unuia dintre ele multiplicata cu probabilitatea conditionata a altui eveniment in raport cu primul, multiplicata cu probabilitatea conditionata a celui de-al treilea eveniment in raport cu intersectia primelor doua, etc. multiplicata cu probabilitatea conditionata a ultimului eveniment in raport cu intersectia tuturor evenimentelor precedente:

P(A1A2 . . .An ) = P(A1) P(A2 | A1)(P(A3 | A1A2)(

..(P(An | A1A2 . . . An-1) (1.33)

Exemplu

1)O urna contine 12 bile, dintre care 5 sunt albe si 7 sunt negre. Extragem din urna 2 bile. Gasiti probabilitatea ca doua bile sa fie albe.

Introducem evenimentele: A "prima bila este alba", B "a doua bila este alba". Avem P(A) = 5/12, P(B|A) = 4/11, si conform formulei (1.32):

P(AB) = (5/12)(4/11) = 5/33

2)O urna contine 16 bile, dintre care 5 sunt albe, 7 sunt negre si 4 sunt rosii. Gasiti probabilitatea ca intre cele 4 bile extrase din urna, prima sa fie alba, a doua sa fie neagra si celelalte doua sa fie rosii.

Introducem evenimentele: "prima bila este alba", "a doua bila este neagra", "a treia bila este rosie", "a patra bila este rosie". Obtinem atunci:

P() = 5/16, P(|) = 7/15, P(|

EMBED Equation.3 ) =

= 4/14, P(|

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ) = 3/13

si vom avea:

P(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ) = = 1/104

Pentru a verifica ca aceasta probabilitate nu depinde de ordinea in care luam evenimentele, consideram aceste evenimente in alta ordine, de exemplu , , si . Obtinem atunci P() = 4/16, P(|) = 5/15, P(|

EMBED Equation.3 ) = 3/14, P(|

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ) = 7/13 si P(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ) = (4/16)(5/15)(3/14)(7/13) = 1/104.

3)In teoria fiabilitatii numim de obicei fiabilitate -p(t)- probabilitatea functionarii fara defect a unui dispozitiv din momentul t = 0 pana la momentul "t". O caracteristica initiala a dispozitivului este intensitatea defectelor:

, (1.34)

Aceasta reprezinta limita raportului dintre probabilitatea evenimentului -defectarea dispozitivului in cursul intervalului de timp (t, t+t)- conditionata de evenimentul -dispozitivul a functionat fara defectiune pana la momentul "t"- si valoarea acestui interval, cand t0. In general intensitatea defectelor "" se determina experimental si este cunoscuta.

Problema devine: cunoscand intensitatea defectelor = (t), sa gasim functia de fiabilitate p(t). Pentru a rezolva aceasta problema consideram:

- evenimentul A "defectarea dispozitivului in cursul intervalului de timp (t, t + t)";

- evenimentul B "functionarea fara defectiune pana la momentul t";

- evenimentul C "functionarea fara defectiune a dispozitivului pana la momentul t + t".

Evenimentul C poate fi exprimat cu ajutorul evenimentelor A si B. Pentru ca dispozitivul sa functioneze fara defectiune pana la momentul t + t, trebuie ca el sa functioneze fara defectiune pana la momentul "t" si sa functioneze in continuare fara defectiune in cursul intervalului cuprins intre "t" si t + t. Deci, evenimentul C reprezinta intersectia a doua evenimente: evenimentul B si evenimentul contrar lui A, C = B. Rezulta, conform formulei (1.31) ca:

. (I)

unde P(B), probabilitatea functionarii fara defectiune a sistemului pana la momentul t, este functia de fiabilitate necunoscuta p(t):

P(B) = p(t) . (II)

Probabilitatea P(C), adica probabilitatea functionarii fara defectiune a dispozitivului pana la momentul (t + t), este:

P(C) = p(t+(t) . (III)

In sfarsit P(A|B) reprezinta probabilitatea conditionata a defectului dispozitivului in cursul intervalului de timp (t, t+t), care poate fi exprimata in functie de intensitatea de defectare a dispozitivului "" prin formula:

P(A | B) = p(t+(t | t) = (t + o((t),

unde o(t) semnifica, ca de obicei, un infinit mic de ordin superior al lui t. Probabilitatea conditionata a evenimentului contrar este:

(IV)

Inlocuind expresiile (II), (III), (IV) in (I), obtinem:

p(t+(t) = p(t) ( 1 ( (t ) + o((t).

Izolam p(t) in primul membru, apoi impartim toti termenii la t, si trecem la limita cand t0. Vom avea atunci in primul membru derivata lui p(t). Obtinem pentru functia de fiabilitate ecuatia diferentiala:

.= ( p(t) . (V)

Conditia initiala pentru functia de fiabilitate p(t) este - dispozitivul este in stare de functionare la momentul initial, altfel spus p(0) = 1. Se poate verifica cu usurinta, prin substitutie directa, ca solutia ecuatiei (V), cu conditia p(0) = 1 la momentul initial, este :

. (VI)

4) Care este probabilitatea ca doi copii ai unei familii sa fie baieti, stiind ca cel putin unul este baiat?

Spatiul fundamental este = {FF, FB, BF, BB} cu P(FF) = P(FB) = P(BF) = P(BB) = 1/4. Evenimentele cunoscute sunt:

- A: "doi copii sunt baieti" = {BB};

- B: "cel putin unul dintre copii este baiat" ={FB, BF, BB}.

Observam ca A(B si in consecinta P(A|B) = P(A) / P(B) = 1/3.

3.7.2 Evenimente independente, evenimente dependente

Definitie: doua evenimente sunt independente daca realizarea unuia dintre evenimente nu modifica probabilitatea celuilalt:

Evenimentele A si B sunt numite dependente daca realizarea unuia dintre ele modifica probabilitatea celuilalt.

Pentru doua evenimentele independente A si B se verifica relatiile:

P(AB) = P(A)(P(B) . (1.35)

P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B). (1.36)

Este evident ca pentru independenta evenimentelor A si B este suficienta una din egalitatile (1.36), cealalta fiind automat verificata.

Pentru doua evenimentele dependente A si B egalitatile (1.36) nu se mai verifica:

P(A | B) ( P(A) ,P( B | A) ( P(B). (1.37)

Este evident ca doua evenimente incompatibile A si B sunt intotdeauna dependente, pentru ca realizarea unuia dintre ele implica nerealizarea celuilalt si P(A|B) = P(B|A) = 0.

In general, o familie finita sau infinita de evenimente (, i(I) este numita independenta daca, pentru toate submultimile finite J din I, are loc relatia:

. (1.38)

Observatii:

- pentru independenta evenimentelor ,,, independenta lor doua cate doua este necesara, dar nu suficienta;

- daca A si B sunt doua evenimente independente, atunci, de asemenea evenimentele si B, A si , si sunt independente.

Exemplu

Fie o experienta aleatoare descrisa prin (, F, P) cu = {abc, acb, bac, bca, cab, cba, aaa, bbb, ccc}si P probabilitate uniforma pe , (pentru orice (, P({}) = 1/9). Consideram urmatoarele trei evenimente = {litera k este un "a"}, k=1, 2, 3. Sunt ele independente?

Avem: P() = P({abc, acb, aaa}) = 3/9;

P() = P({bac, cab, aaa}) = 3/9;

P() = P({bca, cba, aaa}) = 3/9.

P(

EMBED Equation.3 ) = P({aaa}) = 1/9, sau P()P() = 1/9. La fel, avem P(

EMBED Equation.3 ) = P()P() = 1/9, P(

EMBED Equation.3 ) = P()P() = 1/9. Pe de alta parte P(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 )P()P()P(). In concluzie evenimentele , si nu sunt independente.

3.7.3 Teorema produsului probabilitatilor

Consideram cazul evenimentelor independente ,,. Daca evenimentele ,, sunt independente, atunci:

- evenimentul si evenimentele ,, sunt independente;

- evenimentul si evenimentele ,, sunt independente, si asa mai departe;

- evenimentul si evenimentele si sunt independente, si in final,

- evenimentele si sunt independente.

De aceea avem: P( |

EMBED Equation.3 ) = P();

P( |

EMBED Equation.3 ) = P();

.

P(|

EMBED Equation.3 ) = P();

P( | ) = P().

Formula (1.33) devine:

P(A1A2 . . . An) = P(A1) P(A2) . . . P(An). (1.39)

Astfel, probabilitatea intersectiei evenimentelor independente este egala cu produsul probabilitatilor lor.

Exemplu

1)Probabilitatea de a ochi tinta in cazul lansarii unei bombe este egala cu p = 0,1. Gasiti probabilitatea ca cel putin o bomba sa atinga tinta, daca bombardamentul este efectuat de 10 avioane si fiecare avion lanseaza cate o bomba.

Evenimentul B reprezinta faptul ca cel putin o bomba va atinge tinta. Evenimentul contrar corespunde faptului ca nici o bomba nu va atinge tinta. In acest exemplu impactul bombelor pe tinta reprezinta evenimente independente, pentru ca fiecare avion efectueaza bombardamentul independent. In consecinta, conform formulei (1.21), probabilitatea ca nici o bomba nu va atinge tinta este egala cu P()=.

Pentru a determina probabilitatea necunoscuta P(B): ca cel putin o bomba, va atinge tinta este suficienta utilizarea formulei evenimentelor contrare.

2)O urna contine 12 bile, dintre care 5 sunt albe si 7 sunt negre. Vom extrage din urna o bila, notam culoarea sa si o punem iar in urna. Dupa aceasta amestecam cu grija bilele si vom extrage din urna a doua bila. Gasiti probabilitatea ca cele doua bile extrase sa fie albe.

In cazul considerat, fiind dat ca dupa prima extractie a unei bile o punem din nou in urna, informatia relativa la aparitia unei bile albe in cursul primei extrageri nu modifica probabilitatea aparitiei unei bile albe la extragerea urmatoare. Tocmai de aceea evenimentul A (aparitia unei bile albe prima data) si B (aparitia unei bile albe a doua oara) sunt independente si probabilitatea realizarii lor este egala cu produsul probabilitatilor:

P(AB) = P(A)P(B) = 5/125/12 = 25/144

3)O urna contine 16 bile, dintre care 5 sunt albe, 7 sunt negre si 4 sunt rosii. Vom extrage succesiv din urna 4 bile punand de fiecare data bila inapoi in urna. Gasiti probabilitatea ca prima bila sa fie alba, a doua sa fie neagra, a treia si a patra sa fie rosii.

In cazul considerat, evenimentele: :"prima bila este alba"; "a doua bila este neagra"; "a treia bila este rosie"; "a patra bila este rosie" sunt independente, in asa fel incat avem relatia:

P(

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ) = (5/12)(7/12)(4/12)(4/12) = 35/1296

3.8 Probabilitatile evenimentelor complexe

3.8.1 Formula probabilitatii totale

Teorema Fie un grup complet de evenimente , i([1,n], ale caror probabilitati P(), i([1,n], sunt cunoscute si un eveniment A oarecare, dependent de fiecare eveniment . Daca stim probabilitatile conditionate P(A|), i([1,n] in raport cu toate evenimentele , i([1,n], atunci probabilitatea evenimentului A este:

. (1.40)

DemonstratieCum evenimentele ,,, formeaza un grup complet, reuniunea lor este un eveniment sigur. Atunci:

P(A) = P(A(()= P(A(()) =P().

Evenimentele ,,, sunt prin definitie incompatibile doua cate doua, atunci evenimentele A, A, ,A sunt de asemenea incompatibile doua cate doua si putem aplica axioma de aditie:

.

Utilizand formula (1.32) obtinem:

(1.41)

Astfel, probabilitatea evenimentului A este egala cu suma probabilitatilor evenimentelor ,,, multiplicate cu probabilitatile evenimentului A conditionat de evenimentele Hi.

Formula (1.41) este numita formula probabilitatii totale. Ea este foarte mult utilizata in teoria probabilitatilor si in aplicatiile sale.

Exemplu

O firma utilizeaza dispozitive de acelasi tip furnizate de trei uzine in proportiile: / / ( fiecarei grupa de dispozitive furnizate de prima uzina, ii corespunde grupa de dispozitive furnizate de a doua uzina si grupa de dispozitive furnizate de a treia uzina). Presupunem ca intensitatea de defectare este egala cu: - pentru dispozitivele fabricate in prima uzina-, - pentru dispozitivele fabricate de in a doua uzina-, - pentru dispozitivele fabricate in a treia uzina. Gasiti functia de fiabilitate a dispozitivului.

In aceasta problema urmatoarele evenimente sunt incompatibile si constituie un grup complet:

, dispozitivul a fost fabricat in prima uzina;

, dispozitivul a fost fabricat in a doua uzina;

, dispozitivul a fost fabricat in a treia uzina.

Probabilitatile acestor evenimente pot fi calculate cu usurinta:

(k=1, 2, 3).

Probabilitatile evenimentului A, de functionarea fara defectiune a dispozitivului pana la momentul "t", conditionat de evenimentele ,,, pot fi determinate cu usurinta plecand de la formula (IV) din exemplul paragrafului (3.7.1):

Utilizand formula probabilitatii totale, gasim probabilitatea de functionare fara defect a dispozitivului pana la momentul "t" (adica functia de fiabilitate a dispozitivului pe care o cautam):

.

3.8.2 Formula lui Bayes

In problemele practice, avem adesea un grup complet de evenimente incompatibile ,,,, ale caror probabilitati P(), i([1,n] sunt cunoscute. Aceste evenimente nu sunt observate direct, dar putem observa un eveniment A legat de primele, pentru care cunoastem probabilitatile conditionate P(A|), i([1,n] . Presupunem ca am realizat un experiment al carui rezultat este realizarea evenimentului A. Utilizand rezultatele acestui experiment, se cere a se formula concluziile relative la evenimentele ,,,, adica a se determina cum au fost modificate probabilitatile acestora dupa realizarea evenimentului A. Cu alte cuvinte, trebuie gasita probabilitatea conditionata a evenimentelor ,,, in raport cu evenimentul A.

Propozitie Fie un grup complet de evenimente , i([1,n] ale carui probabilitati P(), i([1,n] sunt cunoscute si un eveniment A, dependent de fiecare eveniment , astfel incat P(A) > 0. Daca cunoastem probabilitatile conditionate P(A|) ale evenimentului A in raport cu toate evenimentele , i([1,n], atunci:

. (1.42)

Demonstratie

Considerand formula produsului probabilitatilor avem relatia:

P(A) = P(A) P(|A) = P() P(A|)

rezulta ca:

P(|A) = [P() P(A|] / P(A)

Inlocuind aici expresia probabilitatii evenimentului A prin formula probabilitatii totale (1.41), obtinem:

Aceasta formula este numita formula lui BAYES. Ea rezolva problema pusa anterior.

Probabilitatile P(), ale evenimentelor , i([1,n], inainte de realizarea experimentului, sunt numite de obicei probabilitati apriori. Probabilitatile P(|A), dupa realizarea experimentului, sunt numite probabilitati aposteriori.

Exemplu

Presupunem ca, in conditiile exemplului din paragraful (3.8.1), dispozitivul ar fi functionat fara defectiune un timp T (evenimentul A). Gasiti probabilitatea aposteriori ca dispozitivul sa fie fabricat in uzina "k" (k = 1, 2, 3).

Inlocuind in formula lui BAYES (1.42) probabilitatile P(), P(), P(), P(A|), P(A|), P(A|), definite apriori, gasim probabilitatea aposteriori ca dispozitivul sa fi fost fabricat in uzina "k":

3.8.3 Scheme de probabilitate

Distributia binomiala

Consideram un experiment complex compus din mai multe evenimente simple, in cursul carora conditiile sunt constante, si un anumit eveniment A care poate fi realizat sau nu.

Experimentele sunt numite independente, daca probabilitatea evenimentului A care ne intereseaza, in cursul fiecarui experiment, nu depinde de rezultatele altor experimente.

Presupunem ca:

- am efectuat "n" experimente independente;

- pentru fiecare experiment probabilitate evenimentului A este egala cu "p".

Care este probabilitatea ca evenimentul sa fie realizat de "m" ori, in timpul a "n" experimente?

Pentru ca evenimentul A sa fie realizat de "m" ori, in cursul a "n" experimente, este necesar si suficient ca sa fie realizata una din seriile de evenimente ,.., in care "m" evenimente coincid cu A, iar "n-m" coincid cu evenimentul contrar . Este evident ca numarul acestor serii de evenimente este egal cu numarul de combinari corespunzator :

Datorita independentei experimentelor, probabilitatea fiecarei din aceste serii este, conform teoremei produsului probabilitatilor evenimentelor independente (1.39), egala cu

EMBED Equation.3 unde q = 1 p este probabilitatea evenimentului contrar lui A. In final, datorita incompatibilitatii seriilor posibile de evenimente, probabilitatea cautata este egala cu suma probabilitatilor seriilor de evenimente compuse din "m" evenimente A si "n-m" evenimente . Fiecare serie de evenimente avand aceeasi probabilitate de aparitie, iar numarul de serii fiind probabilitate cautata devine:

, (m = 0, 1, . . . n). (1.43)

Consideram acum o variabila auxiliara "u" si observam ca valoarea:

reprezinta termenul general din dezvoltarea binomului lui Newton .Probabilitatea este coeficientul puterii din dezvoltarea binomului lui Newton:

(n(u) = . (1.44)

Corespondenta intre valorile m = 0, 1,,n si probabilitatile definite prin formula (1.43), este numita distributie binomiala. Distributia multinomiala

Formulele (1.43) si (1.44) sunt cu usurinta generalizate in cazul in care probabilitatea evenimentului A ia diferite valori in cursul diferitelor experimente (repetitia experimentelor in conditii variabile). Daca:

- experimentele sunt independente;

- probabilitatea realizarii evenimentului A in cursul experimentului "k" este egala cu , k([1,n].

Care este probabilitatea pentru care evenimentul va fi realizat de "m"-ori, in cursul a "n" experimente?

Cu ajutorul formulei (1.43), se obtine in acelasi mod relatia:

(m = 0,1 ,.., n), (1.45)

in care suma se efectueaza pentru toate multimile distincte de indici , pentru care se realizeaza evenimentele , respectiv nu se realizeaza evenimentele .

Intelegem cu usurinta ca in acest caz probabilitatea este coeficientul lui din descompunerea in functie de puterile lui "u" a polinomului:

, (1.46)

unde = 1-, k([1,n] este probabilitatea realizarii evenimentului in cursul experimentului "k".

Corespondenta intre valorile m = 0,1,,n si probabilitatile definite prin formula (1.45) reprezinta distributia multinomiala.Exemplu

1)Probabilitatea realizarii unui eveniment cel putin de "k" ori

Care este probabilitatea ca evenimentul A sa fie realizat de cel putin "k"- ori in cursul a "n" experimente?

Este evident ca evenimentul, corespunzand realizarii evenimentului A de cel putin "k" ori, reprezinta reuniunea a "n - k + 1" evenimente incompatibile: "realizarea evenimentului A de exact k-ori", "realizarea evenimentului A de exact k+1-ori",.,"realizarea evenimentului A de exact n-ori". In consecinta, probabilitatea cautata pentru care in cursul a "n" experimente evenimentul A va fi realizat de cel putin "k"- ori, va fi egala cu:

. (1.47)

Aceasta probabilitate poate fi calculata si altfel determinand mai intai toate probabilitatile evenimentelor contrare, adica probabilitatea ca evenimentul A va fi realizat de un numar de ori inferior lui "k", si scazand apoi rezultatul din 1:

. (1.48)

2) Probabilitatea realizarii unui eveniment cel putin o data

De cele mai multe ori trebuie calculata probabilitatea ca un eveniment sa fie realizat cel putin o data. Este evident ca in acest caz sa utilizam formula (1.48) pentru orice valoare n2. Obtinem probabilitatea:

. (1.49)

In cazul particular al experimentului cu conditii constante == = = q, formula (1.49) devine:

. (1.50)

Distributia polinomiala

Daca in urma unui experiment poate fi realizat unul din evenimentele incompatibile ,, ale unui grup complet de evenimente ale carui probabilitati sunt respectiv ,, (++=1), atunci probabilitatea ca in cursul a "n" experimente :

- evenimentul sa fie realizat de ""-ori;

- evenimentul sa fie realizat de ""-ori;

- evenimentul sa fie realizat de ""-ori,

cu +++ = n, este determinata prin urmatoarea formula

(1.51)

Aceasta formula poate fi obtinuta prin aplicari succesive ale formulei (1.43). Probabilitatea ca evenimentul sa fie realizat de ""-ori in "n" experimente este egala, conform (1.43), cu:

Probabilitatea conditionata de realizare a evenimentului in fiecare din experimentele ramase, cu conditia ca in cursul acestor experimente sa nu fie realizat, este evident egala cu /(+...+). Tocmai de aceea probabilitatea conditionata, ca in cursul a ++ experimente, pentru care nu este realizat, evenimentul sa fie realizat de "" ori, este determinata conform (1.43) prin formula:

Continuand in aceeasi maniera, gasim probabilitatea conditionata ca evenimentul sa fie realizat de ""- ori in cursul a ++ experimente in conditia ca evenimentele ,, nu vor fi realizate in cursul acestor experimente:

Facand produsul probabilitatilor gasite, obtinem formula (1.51).

Functia generatoare a probabilitatilor (++ = n) este definita prin formula:

(1.52)

in asa fel incat reprezinta coeficientul puterilor

EMBED Equation.3 din dezvoltarea acestei functii.

In acest caz evenimentele elementare sunt multimi finite {,,}, unde fiecare element reprezinta unul din evenimentele ,...,. Campul de evenimente este aici algebra tuturor reuniunilor posibile ale acestor evenimente completate cu evenimentul imposibil. Probabilitatea fiecarui eveniment elementar este egala cu unde , i([1, r] ceea ce ne conduce la numarul de evenimente din multimea {,,}care coincid cu , (i =1,...,r). Probabilitatea evenimentului care ne intereseaza este egala cu suma probabilitatilor evenimentelor elementare care il compun.

Schema de probabilitate, definita prin formula (1.51) este numita polinomiala.

2.8.4 Distributia Poisson

Restrictiile distributiei Poisson

Intalnim in practica evenimente care se produc la momente diferite de timp. Evenimentele de acest tip formeaza o multime numita de obicei, flux de evenimente. Exemple de flux de evenimente pot fi furnizate de apelurile telefonice, traversarea unei intersectii de automobile, apelurile unei ambulante, defectiunile unui sistem tehnic.

Putem deseori considera ca fluxul de evenimente verifica conditiile urmatoare:

1)pentru toate perechile de intervale de timp disjuncte probabilitatea realizarii unui numar de evenimente intr-un interval de timp nu depinde de numarul de evenimente care se produc in cursul altui interval de timp;

2) probabilitatea realizarii unui eveniment in cursul unui interval de timp foarte mic (t, t+t) este proportionala cu lungimea intervalului;

3) probabilitatea realizarii unui eveniment de mai multe ori in cursul intervalului de timp foarte mic (t, t+t) se poate neglija.

Desemnam prin (,) probabilitatea realizarii a "m" evenimente in cursul intervalului de timp (,). Atunci conditiile 2) si 3) se vor scrie sub forma:

, (1.53)

, (1.54)

unde (t) este o functie pozitiva.

Pentru un flux de evenimente care verifica conditiile 1), 2) si 3) cautam probabilitatea "ca in cursul intervalului de timp (, t), sa fie realizate "m" evenimente (m = 0, 1, 2,)".

Considerand momentul fixat, convenim sa notam probabilitatile cautate prin (t), (m = 0, 1, 2,). Pentru a calcula (t) avem nevoie de doua etape:

1) Calcularea probabilitatii p0(t) (de nerealizare a evenimentelor):

Remarcam ca (t+t) reprezinta probabilitatea intersectiei a doua evenimente: nici un eveniment nu este realizat in cursul intervalului de timp (, t) si nici un eveniment nu este realizat in cursul intervalului de timp (t, t+t). Conform conditiei (1), aceste evenimente sunt independente. De aceea avem:

. (1.55)

Conform (1.53) si (1.54) avem:

. (1.56)

Inlocuind aceasta expresie in (1.55), obtinem:

,

de unde rezulta

Cand t0, al doilea membru al acestei egalitati tinde spre o limita determinata (-(t) (t)). In consecinta, exista si limita primului termen. Astfel probabilitatea (t) este derivabila in raport cu "t" si la limita, cand t0, obtinem ecuatia diferentiala:

. (1.57)

Pentru a gasi valoarea initiala a probabilitatii (t), este suficient sa inlocuim in (1.56) t = si sa trecem la limita cand t0. Obtinem atunci (t0) = 1.

2) Calcularea probabilitatilor de realizare a unui numar oarecare de evenimente

Pentru a obtine ecuatiile ce conduc la probabilitatile (t), (t),.., observam ca pot fi realizate "m" evenimente in cursul intervalului de timp (, t+t) conform unuia din urmatoarele "m+1" procedee incompatibile:

- " toate cele "m" evenimente sunt realizate in cursul intervalului (, t) si nici unul in cursul intervalului (t, t+t)";

- "(m-1) evenimente sunt realizate in cursul intervalului (, t) si un eveniment in cursul intervalului (t, t+t)";

- .;

- "toate cele "m" evenimente sunt realizate in cursul intervalului (t, t+t)".

Conform axiomei de aditie a probabilitatilor si a teoremei produsului probabilitatilor evenimentelor independente, avem:

Obtinem conform (1.53), (1.54) si (1.56):

.

In consecinta, rezulta:

.

Rationand exact in acelasi fel, ca la stabilirea ecuatiei (1.57), obtinem urmatoarea ecuatie diferentiala:

EMBED Equation.3 (m = 1, 2, .) . (1.58)

Valorile initiale ale probabilitatilor (t), (t), sunt toate egale cu 0 de aceea avem: () = 1, () = 0, (m = 1, 2,..).

Adoptand in calitate de variabila independenta marimea "":

(1.59)

putem scrie ecuatiile (1.57) si (1.58) sub urmatoarea forma:

(m=1, 2,..) . (1.60)

Conditiile initiale vor fi atunci de forma = 1, = 0 (m = 1, 2,) cand = 0. Se verifica cu usurinta prin substitutie directa ca integralele ecuatiei (1.60), in conditiile initiale, sunt definite prin urmatoarele formule:

(m = 0, 1, 2,..) . (1.61)

Astfel, pentru un interval dat (, t) avem o infinitate de evenimente: nici un eveniment nu se produce in cursul acestui interval, se produce un eveniment, doua evenimente, etc. , si probabilitatile acestor evenimente sunt definite prin formula (1.61).

Formula (1.61) defineste o distributie. Aceasta distributie este numita Poisson. Fluxul de evenimente care verifica conditiile 1), 2), si 3) este numit flux Poisson.

Parametrul "" al distributiei Poisson reprezinta numarul mediu de evenimente care sunt realizate in cursul intervalului de timp (, t). Functia este numita intensitate de flux poissonian.

Exemplu

1)Gasiti probabilitatea ca numarul electronilor difuzati de catodul unei lampi electrice, in cursul unui interval de timp de durata "t" , sa fie egal cu "m", daca numarul mediu de electroni emisi in unitatea de timp este egal cu =constant.

Fluxul de electroni poate fi considerat flux poissonian. Conform (1.59) avem in acest caz: = t. Inlocuind aceasta expresie in (1.61), obtinem:

, (m = 1, 2, ).

2)Intensitatea fluxului de apeluri telefonice este egala cu (t) (adica densitatea medie de apeluri reprezentand limita raportului numarului de apeluri in cursul unui interval de timp infinit mic (t, t+t), la t cand t0). Gasiti probabilitatea ca in intervalul de timp (,) centrala sa primeasca "m" apeluri telefonice.

In cazul considerat se poate verifica cu o precizie suficienta ca fluxul de apeluri verifica conditiile pentru care fluxul este poissonian. Prin urmare, in conditia absentei legaturii intre actiunile diferitilor abonati, probabilitatea unui numar dat de apeluri in cursul unui interval de timp (,) nu depinde practic de numarul de apeluri care vor avea loc in cursul altor intervale de timp disjuncte cu intervalul (,).

Probabilitatea mai multor apeluri poate fi practic aproximata ca fiind egala cu 0. Tocmai de aceea putem considera ca, sunt verificate conditiile 2) si 3). In acest caz probabilitatea cautata poate fi calculata utilizand distributia Poisson, definita prin formula (1.61 ) astfel:

Teste pentru verificarea cunostintelor

Testul 1

Experienta consta in a nota timpul (in secunde) necesar pentru a efectua asamblarea unui montaj. Se repeta experienta de 600 de ori.

Numar

de secundeNumar

de asamblariFrecventa

relativa Probabilitatea

37

38

39

40

41

4295

110

92

94

106

10395/600 = 0.1583

............................

............................

............................

............................

............................0.16

........

.......

.......

.........

........

total6001.00

a) Calculati probabilitatile ca montajul sa fie asamblat in 37 de secunde, 38 de secunde, s.a.m.d., utilizand frecventele relative. Completati tabelul de mai sus

b) Calculati probabilitatea ca montajul sa fie asamblat in 37 sau 38 de secunde.

P({37,38}) =..........

c) Calculati P({39,40,41}) =

d) Calculati probabilitatea ca montajul sa nu fie asamblat in 37 sau 38 de secunde.

e) Calculati probabilitatea ca montajul sa fie asamblat in mai mult de 40 de secunde.

f) Calculati probabilitatea ca montajul sa nu fie asamblat in mai mult de 40 de secunde.

Testul 2

Un aparat electronic face o triere automata de piese avand lungimea X. Acest aparat inregistreaza piesele clasificandu-le dupa lungime. Se triaza 10000 de piese cu repartitia urmatoare:

Lungimea in mmNumar de piese

( L1 )

( L2 )

( L3 )4260

3640

2100

a) Calculati probabilitatea pentru ca o piesa sa fie clasata in categoria L2. Notati acest eveniment L2.

P(L2) =P(10( X