Probabilitati

CAPITOLUL 2VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

1. Variabile aleatoare. Funcie de repartiie.

Definiie: Variabila aleatoare este o funcie notat X sau f : E( R care asociaz evenimentelor e(E, numerele reale X(e)(R.

Altfel spus, X : E ( R este variabil aleatoare dac pentru fiecare x( R, evenimentul definit de X-1(x)= {e(E, X(e) = x} aparine mulimii K.Observaie: Denumirea de variabil aleatoare dat acestei noiuni importante din teoria probabilitilor nu are nimic aleator; ea este perfect determinat pentru evenimentele din E. De asemenea ea nu este o variabil ci este o funcie aa cum rezult i din definiie.

Definiie: Funcia FX : R ( [0, 1] definit prin: FX(x)= P(e(E, X(e) ( x) se numete funcia de repartiie a variabilei aleatoare X.

Proprieti ale funciei de repartiie:

a) FX(x) ( [0, 1],

FX(x) = 1,

FX(x)= 0

b) FX(x + h) ( FX(x) pentru h > 0

c) P(e(E, a < X(e) ( b) = FX(b) - FX(a)

Dac valorile luate de variabila aleatoare X sunt n numr finit sau numrabil, spunem c X este o variabil aleatoare discret. Ea este perfect determinat dac se cunosc valorile luate de variabila aleatoare precum i probabilitile cu care se iau aceste valori.

Putem scrie: X :

, pn = P(X = xn), n= 1, 2,.. si p1+p2+...+pn+... = 1

Definiie: Un asemenea tablou se numete repartiia variabilei aleatoare X.

2. Exemple de repartiii discrete1.Repartiia uniform este dat de:X :

2.Repartiia hipergeometric. Se obine plecnd de la problema:

Considerm un lot de N piese dintre care N( cu 0 < ( < 1 sunt defecte. Dintre acestea se aleg la ntmplare n. Care este probabilitatea ca printre cele n piese k s fie defecte?

X : k = 0, 1, ..., min (N(, n).

3.Repartiia binomial (X(Bi(n,()). Se obine din repartiia hipergeometric n cazul n care N ia valori foarte mari ( deci N).

X:

Modelul asociat este: un experiment, al crui rezultat este realizarea sau nerealizarea evenimentului A cu probabilitatea de realizare a lui A egala cu p, se repeta de n ori in aceleai condiii. Ne intereseaz probabilitaile de realizare a evenimentului A n cele n probe.

4. Repartiia Poisson sau legea evenimentelor rare (X(Po(()).

Dac n repartiia binomial n(( astfel ca n( = ( (( constant real pozitiv) obinem repartitia variabilei

X:

Observaie: Din relaia n( = ( rezult c atunci cnd n ( (, ( ( 0 deci, probabilitatea de a obine un defect este foarte mic.

5. Repartiia geometricDac experimentatorul este interesat n apariia unui anumit eveniment posibil de a se produce ca urmare a experienei, vrea s tie de cte ori trebuie s repete experiena pn cnd apare evenimentul A.

Variabila aleatoare X = numrul de repetri ale experienei, are repartiia.

X:

unde p = probabilitatea ca evenimentul A s se produc ntr-o experien.

6. Repartiia binomial negativ

Fie p probabilitatea de realizare a evenimentului A ntr-o singur prob i q=1-p probabilitatea de apariie a evenimentului

. Fie variabila aleatoare Z care d numrul minim de repetri ale experienei pentru ca evenimentul A s se realizeze de k ori (k fixat).P(Z=n) = cu n = k, k+1, k+2, ... .

7.Repartitia latice: Variabila aleatoare X = nh ,n=1,2,........cu

8.Repartitia logaritmica se utilizeaza in teoria riscului in asigurari.P(X=k) = , k=1,2,......p

3. Operaii cu variabile aleatoare discreteDefiniia 1: Dac X i Y sunt definite pe acelai cmp de probabilitate (E, B, P) atunci:

(X + Y)(e) = X(e) + Y(e)

(aX)(e) = aX(e) pentru a ( R (XY)(e) = X(e)Y(e)

dac Y(e) ( 0 pentru orice e ( E.

Dac atunci

unde pij = P((e ( E, X(e) = xi ) ((e ( E, Y(e) = yj )).

Daca evenimentele (e ( E, X(e) = xi ) i (e ( E, Y(e) = yj ) sunt independente pentru orice 1 ( i ( n, 1 ( j ( m spunem c v.a. X i Y sunt independente. n acest caz pij= pi * qj

Analog :

,yj ( 0,j =1,2, ...,m.4. Momente. DefiniiiNotm (E,K,P) spaiul de probabilitate pe care este definit variabila aleatoare discret X. Definiie: Fie X este o v.a. discreta X:E(R. Numim valoare medie a variabilei X:

a) daca X ia un numr numrabil de valori i seria este convergentb) daca X ia un numr finit de valori.Definiie: Momentul de ordinul r al v.a. X este =Mr(X) = M(Xr).

Definiie: Momentul centrat de ordin r al v. a. X este (r(X) = M(X - M(X))r Pentru r = 2, (2(X) = M(X - M(X))2 se numete dispersia sau varianta v. a. X.

O vom nota cu D(X) sau VarX i ea d o msur mprtierii valorilor variabilei X n jurul valorii medii.Definiie: Cantitatease numete coeficientul de variaie pentru v.a. X.

Definiie: Cantitatea M(X-M(X))3/Var3/2(X) se numete coeficientul de asimetrie pentru variabila X.

Definiie: Cantitatea se numete coeficientul de aplatizare sau de exces pentru variabila X.

Exemplu: Calculati M(X), Var(X) pentru urmatoarele repartitii:

a)hipergeometric b) binominal c) Poisson calculm M(X) i Var(X).

Soluie: a) Din definiia valorii medii:

i

b) Dac la punctul a) N ( ( obinem M(X) = (n i Var(X) = n((1- ()

c) Fcnd n( = ( i n ( ( obinem M(X) = Var(X) = ( 5. Proprieti ale valorii mediiPropoziie: M(aX + b) = aM(X) + b, a, b ( R.

Propoziie: M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Propoziie: Dac X i Y sunt v.a. independente, atunci M(X(Y) = M(X)(M(Y)

Probleme rezolvate1. Fie urmtoarele 2 variabile aleatoare repartizate discret:

a) S se determine astfel nct tabloul corespunztor lui X s reprezinte repartiia unei variabile aleatoare

b) S se determine media, dispersia, momentul necentrat de ordin 2 pentru variabila X

c) S se determine si astfel nct M(Y)=0,7. Cu si astfel determinate, s se determine repartiiile urmtoarelor variabile: 2X, Y2, 2X+Y,XY

Soluie:

a) 0,3+0,4+=1 => =0,3

b) M(X)== -1*0,3+0*0,4+1*0,3=0

Var(X)==(-1-0)2*0,3+(0-0)20,4+(1-0)2*0,3=0,6

c) Pe de o parte M(Y)= 0++2=0,7. Pe de alt parte 0,5++=1. Este necesar s rezolvam sistemul: ce are ca solutie: =0,3 respectiv =0,2

2X~; Y2~;

2X+Y~

XY~

2. Un investitor are de ales ntre a vinde un pachet de aciuni acum cu 300.000lei sau a pstra aciunile, tiind a doua zi exist anse 30% ca preul pachetului s devin 500.000 lei, 15% s devin 350.000 lei respectiv 55% s devin 250.000lei. Dac decizia se ia pe baza preului mediu al pachetului de aciuni, ce decizie va lua?

Soluie: Fie X=preul pachetului de aciuni (este variabila aleatoare deoarece nu se cunoate, cu siguran, ce pre va avea pachetul de aciuni, a doua zi)

X~

M(X)=250.000*0,55+0,15*350.000+0,3*500.000=340.000lei

Aadar este mai avantajos s nu tranzacioneze pachetul de aciuni astzi.

3. La un casino, se face o verificare a unui zar de ctre corpul de control. S-a executat experimentul de 6000 de ori i s-au gsit urmtoarele frecvene:

Faa123456

Frecvena1000999100210019981000

Fie X=numrul feei ce apare la executarea experienei. Considerm c este relevant acest numr de aruncari a zarului. Este zarul omogen? Care sunt ansele de apariie, la o aruncare a zarului, a fiecrei fee? Care este ansa ca, aruncnd zarul, s apar o fa par? Dar o fa mai mic dect 3? Dar cel puin 5? Calculai M(X), Var(X).

Care este necesar s fie numrul de apariii al fiecrei fee pentru ca zarul sa fie corect ? Ct va fi media i dispersia n acest caz?

Soluie: Zarul nu este considerat omogen deoarece probabilitaile de apariie a diferitelor fee sunt diferite. Desigur pentru o alta repetare a experimentului (de ex.de 100000ori) rezultatele vor fi altele.X~

P(X=nr par)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=(0,999+1,001+1)/6=1/2

P(X=nr. impar)=1-P(X=nr. par)=1/2

P(X1)+P(X=2,Y>2)=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=3)+P(X=0,Y=4)+P(X=1,Y=3)+P(X=1,Y=4)++P(X=2,Y=4)=0,44 (cifrele marcate din primul tabel respectiv suma probabilitilor marcate din al doilea tabel)

5. Un sistem este construit din 3 uniti. O defectare a unitii k n intervalul de timp T se realizeaz independent de celelalte cu probalitatea pk = 0,2 + (k ( 1) 0,1. S se determine probabilitatea ca cel puin o unitate s se defecteze. S se determine media i dispersia numrului de uniti ce se defecteaz n intervalul de timp T.

Soluie: Fie N = variabila aleatoare ce reprezint numrul de uniti ce se defecteaz.

P(N = 3) = p1 p2 p3 = 0,2 ( 0,3 ( 0,4 = 0,024

P(N = 2) = p1 p2 (1 ( p3 ) + p1 p3 (1 ( p2 ) + p2 p3 (1 ( p1 ) = 0,188

P(N = 1) = p1 (1 ( p2 ) (1 ( p3 ) + p2 (1 ( p1 )(1 ( p3 )+ p3 (1 ( p1 ) (1 ( p2 ) = 0,452

P(N = 0) = (1 ( p1 ) (1 ( p2 ) (1 ( p3 ) = 0,336

Aadar N(

P(Y1)=1-P(Y=0)=1-0,336=0,664

M(Y)= 0,452 + 2 ( 0,188 + 3 ( 0,024 = 0,9M(Y2)=0,452 +22 ( 0,188+32 ( 0,024 =1,42 =>

Var(Y) = M(Y2)-[M(Y)]2 = 0,61

6. S se afle x ( R astfel ca v.a. X s aib repartiia

. S se determine apoi .

Solutie:Este necesar ca 5x2-2x2+x+x=1, 0