1
Universitatea "Ştefan cel Mare" Suceava
Facultatea de Inginerie Mecanică, Mecatronică şi Management
FFIIAABBIILLIITTAATTEE(seminar)
Conf. dr. ing. ec. Alexandru POTORAC
2
Cuprins
1 Noţiuni de calcul probabilistic.............................................................................................
2. Aplicaţii: sisteme serie, paralel, mixte................................................................................
3-4. Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor în fiabilitate...........................................................
5. Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor în mentenabilitate şi disponibilitate.....................
6. Studiu de caz: înlocuire sau mentenanţă………………………...……………………..
7. Teste privind caracterul aberant al unei măsurători………………...………………..
8. Teste privind determinarea tipului legii de repartiţie....................................................
9. Determinarea grafică a tipului legilor de repartiţie........................................................
10. Estimarea grafică a parametrilor legilor de repartiţie.................................................
11. Încercări accelerate..........................................................................................................
12. Modul de organizare a încercărilor de laborator.........................................................
13. Modelări matematice pentru calcularea fiabilităţii sistemelor; Principiul metodei
de simulare Monte Carlo.................................................................................................
3
Seminar 1 Noţiuni de calcul probabilistic
Problema nr. 1 Într-o magazie se găsesc 300 de produse de calitatea întâi, amestecate cu 200de produse de calitatea a doua. Care sunt probabilităţile ca să cumperi un produs de calitatea I-a ? Darde calitatea a II-a ?
Problema nr.2 La sfârşitul unei anumite perioade de funcţionare un aparat se poate găsi într-una din următoarele stări:a) bună funcţionare;b) dereglat;c) anumite piese trebuiesc înlocuite;d) este necesară o revizie generală.Probabilităţile respective ale acestor stări sunt: 0,55; 0,1; 0,15 şi 0,2.
În primul caz aparatul poate continua să funcţioneze, în cel de al doilea caz sunt necesare 10minute pentru reglaje, pentru cel de al treilea reparaţia durează 2 ore, iar în al patrulea 24 ore.
Se cere probabilitatea ca aparatul să funcţioneze după 3 ore de la sfârşitul primei perioade.
Problema nr. 3 Un aparat se compune din 3 dispozitive. Defectarea oricărui dispozitiv ducela defectarea aparatului. Pentru o perioadă t probabilităţile de bună funcţionare ale celor 3 dispozitivesunt: .7,0pşi9,0=p;8,0=p 321 Care este probabilitatea de bună funcţionare (fiabilitatea)a aparatului?
Problema nr. 4 Presupunem acelaşi aparat din exemplul precedent cu deosebirea că primuldispozitiv este indispensabil în funcţionarea aparatului, dar poate funcţiona cu al doilea sau al treileadefect, numai defectarea simultană a dispozitivului 2 şi 3 ducând la defectarea aparatului. Să se afleprobabilitatea pentru timpul t dat ?
Problema nr. 5: Din 12 aparate disponibile pentru o misiune, 3 sunt fabricate laintreprinderea 1, 4 de intreprinderea 2 şi 5 de intreprinderea 3. Probabilităţile lor de a îndeplinimisiunea sunt 0,9 pentru cele din prima intreprindere, 0,8 pentru a doua şi 0,75 pentru a treia.Alegând la întâmplare un aparat, care este probabilitatea de a-şi îndeplini misiunea ?.
Problema nr. 6 Un aparat poate fi realizat din componente profesionale sau de uz general. Înprimul caz probabilşitatea 0p de bună funcţionare pe o perioadă t este 0,95, iar în cel de al doilea caz0,75. Circa 40% din aparate sunt fabricate cu componente profesionale. Aparatul a fost testat şi s-adovedit bun. Care este probabilitatea ca el să fi fost realizat cu componente profesionale ?
4
Seminar 2. Aplicaţii: sisteme serie, paralel, mixte
Problema nr 7: Care este TR la sistemul din figura 1 ?
Problema nr. 8: Care este TR la sistemul din figura 2 ?
Figura 2
Memento teoretic:
-evenimente incompatibile: ( ) ( )BP+AP=PB;sauA=BA t ;
-evenimente compatibile: ( ) ( ) ( ) ( ) BAPBP+AP=BAP ;
-evenimente independente: ( ) ( )BPAP=Pc ;
-evenimente dependente: ( ) ( )( )AP
BAP=ABP
;
-sisteme serie: iR=R ;
-sisteme paralel: ( ) ii Q1=R-1-1=R ;
5
-formula probabilităţii totale: ( ) ( ) ( ),HAPHPΣ=AP iin
1=i
-formula lui Bayes: ( ) ( ) ( )( ) ( )ii
n1=i
iii HAPHPΣ
HAPHP=AHP ;
-repartiţia exponenţial negativă:( ) ( ) ( )
( ) ( )i2
in
1=iin
1=i
xλxλxλ
tfmtΣ=σ;tΣn1
=μ=m=MTBF
;e=xR;e1=xF;eλ=xf.
6
Seminar3-4. Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor în fiabilitate
Problema nr.9: Un lanţ este compus din 100 inele (zale), 99 de inele având o fiabilitate de0,995, iar un inel având o fiabilitate de 0,90. Care este fiabilitatea lanţului ?
Problema nr. 10 Dacă dublăm lanţul cu un altul cu o fiabilitate de 0,606 atunci avem unmontaj în paralel, Figura 4.
Figura 4
Problema nr. 11 Care este TR la sistemul din Figura 5 ?
Figura 5
Observaţie:- la două componente serie: 21s RR=R ;- la două componente paralel: 2121p RRR+R=R .Mai ştim că: R+F=1,în care:R – probabilitatea de funcţionare;F – probabilitatea de de defectare.
Problema 12 Se presupune că un automobil nu poate avea o pană decât în cazul defectăriiunei anvelope, a unei bujii sau a pompei de benzină.
Se admite, în anumite condiţii de utilizare, că:km20000=MTBFanvelopă ;
km25000=MTBFbujie ;
km100000=MTBFpompă .Care va fi fiabilitatea unui voiaj de 2000 km ?
7
Problema nr. 13 Un circuit electronic este format din 4 tranzistori de siliciu, 10 diode desiliciu, 20 rezistori aglomeraţi şi 10 condensatori ceramici, Figura 6.
Figura 6
Problema nr. 14 Se dau următoarele valori ale timpilor între defectări (TBF – timpi de bunăfuncţionare):
39182032284134162347
ore.
Să se calculeze media timpului între defectări (MTBF – media timpilor de bună funcţionare) şiabaterea medie a eşantionului.
Memento teoretic:
- repartiţia exponenţial negativă: ( ) ( ) ( ) .e=xR;e1=xF:eλ=xf xλxλxλ
- parametri statistici ai unei repartiţii: MTBF = m = μ = ;tΣn1
in
1=i ( ) ( )i2
in
1=i tfmtΣ=σ
( ( ) )1n/(mtΣ=σ 2i
n1=i în încercările cu caracter statistic, când numărul de valori este relativ
mic)
-funcţia de mentenabilitate: ( ) ( )[ ] ( )MTRtexp1=dttμSexp1=tM rrrrt
0r ;
- funcţia de disponibilitate: ( ) ( ) ( ) ( )rtMtF+tR=tA .
Problema nr. 15 Fie un echipament pentru care beneficiarul impune, în medie o valoare de30 pentru oricare reparaţie necesară ( h5,0=t impusr ). Din performanţele realizate de cătreechipament, constructorul constată că MTR=50’=0,8664 h
8
Problema nr. 16 Fie un echipament care, pentru o durată dată, are fiabilitatea ( ) 85,0=tRiar mentenabilitatea ca cea din exemplul precedent, ( ) 444,0=tM r în primul caz şi ( ) 812,0=tM rîn al doilea caz. Care sunt disponibilităţile corespunzătoare celopr două cazuri ?
Observaţie: evident că în cazul ideal în care ( ) 1=tM r , sau ( ) 1=tR ar rezulta cădisponibilitatea este unitară:
( )( ) .1=0+1=tA
1=115,0+85,0=tA
9
Seminar 5. Aplicaţii ale teoriei probabilităţilor în mentenabilitate şidisponibilitate
Problema nr. 18: Se admite că un sistem funcţionează acceptabil dacă probabilitatea de a nuieşi din funcţiune timp de 20 de ani este de 0,5 adică fiabilitatea după 20 de ani va fi: ( ) 5,0=20R .Să se determine rata căderilor.
Problema nr. 19 Un televizor în tot timpul duratei sale a avut 3 defectări: prima după 1800ore, a doua după 2400 ore, a treia după 1000 ore, a patra după 4888 ore, iar a cincia şi ultima cădere,după încă 3600 ore. Care este MTBF şi rata căderilor ?
Problema nr. 20 Un contactor are rata defectărilor constantă 16 ex10x5=λ . Să sedetermine valoarea fiabilităţii la t=5000 conectări.
Studiu de caz: Din analiza registrelor de exploatare anuală, rezultă următorii timi defuncţionare a i unor utilaje: ( )6100,970,1520,3875,4250,680,5200,1170,2300,750Tf10 .Să se determine pe baza selecţiei obţinute:1. Valoarea medie a timpului de funcţionare neîntreruptă;2. Dispersia şi abaterea standard de selecţie;3. Valoarea medie şi diagrama eşantionului valorii medii, dacă Tf are o lege normală de repartiţie cuabaterea standard ;50=σ4. să se construiască funcţia empirică de repartiţie;5. În ipoteza de la punctul 3 să se stabilească un interval de încredere de 95 % bilateral pentruvaloarea medie a timpului de funcţionare neîntreruptă.
10
Seminar 6. Studiu de caz: Înlocuire sau mentenanţă
Studiu de caz: înlocuire (înnoire) sau mentenanţă ? Un exemplu privind modul defundamentare a deciziei în cazul unei operaţii de mentenanţă. Se cere determinarea intervalului optimdintre schimburile de ulei la un automobil pentru a obţine :a) costul minim pe km;b) costul minim pe km şi o disponibilitate maximă.
Se cunosc:I)- costul înlocuirii motorului este de250 $;- costul schimbului de ulei este de 5 $;- chiar la schimburi de ulei sub 1000 km viaţa unui motor nu depăşeşte 250000 km, ceea ce înseamnă
un cost pe km pentru motor de km;$10x1=km250000
$250 3
- dacă nu se schimbă uleiul de loc, motorul se uzează după 50000 km, ceea ce înseamnă un cost de
înlocuire a motorului de km;$10x5=km50000$250 3
- costul unei operaţii de golire km;$10x5,2 3 (dacă schimbul de ulei se face la 2000 km);
- costul unei operaţii de golire km;$10x25,1 3 (dacă schimbul de ulei se face la 4000 km);II)Pagubele datorate imobilizării vehiculului sunt proporţionale cu durata lor, durata de 2 ore pentruschimbul de ulei şi de 1 zi pentru schimbarea motorului. Costul imobilizării este de 20 $/oră.
11
Seminar 7 Teste privind caracterul aberant al unei măsuratori
În cadrul unei serii de măsurători se poate alfa o valoare care pare anormal de maresau anormal de mică în raport cu celelalte. Trebuie de ştiut dacă această valoare este ovaloare având o probabilitate scăzută de realizare, a cărei obţinere respectă condiţiile impusemăsurării (caz în care trebuie considerate în calculele ulterioare) sau dacă, din contra, unfactor exterior neaşteptat a perturbat măsurătorile (caz în care aceasta neglijează).
Se impune deci o diferenţiere clară între o “valoare puţin probabilă“ şi o “valoareaberantă”. Mai concret dacă un eveniment are o probabilitate de producer de 0,01 şi noi avem200 de experimente nu este aberrant de al vedea realizat (şi chiar de câteva ori). Din contra,dacă facem doar 5 experimente şi evenimentul se realizează de doua ori, se poate spune căacest rezultat este aberant.
În lucrarea de faţă se vor prezenta câteva teste mai uzuale pentru determinareacaracterului aberrant al unei măsurători.
1. Testul lui DIXON (se aplică legilor de repartiţie simetrice, legea normalăGauss)
Plecând de la eşantion se construieşte eşantional ordonat şi:- dacă 3 ≤ n ≤ 7 se calculeaza : 10r ;- dacă 8 ≤ n ≤ 10 se calculeaza : 11r ;- dacă 11 ≤ n ≤ 13 se calculeaza : 21r ;- dacă 14 ≤ n ≤ 25 se calculeaza : 22r .
unde n este mărimea eşantionului, iar ijr se calculează cu relatţile de mai jos:
- dacă cea mai mare valoare nx este suspectă:
1jn
innij xx
xxr
;
- dacă cea mai mică valoare 1x este suspectă:
1jn
11iij xx
xxr
.
Concluzie: Valorile maximă şi/sau minimă sunt aberante dacă valorile ijr , calculateanterior depaşesc valoarea 0r din Tabelul 1, pentru nivelul de încredere 1-a dorit.
2. Testul lui GRUBBS (este mai critic decat precedentul)
Plecând de la eşantion se construieşte eşantionul ordonat n21 x...xx , n –mărimea eşantionului.
12
Fie:
n
1ii
2n
1ii
2 xn1xcuxx ;
n
2ii1
2n
2ii
21 x
1-n1xcuxx ;
1n
1iin
21n
1ini
2n x
1-n1xcuxx
- dacă nx (valoarea maximă) este suspecta se calculează:
2
2n
nF
;
- dacă 1x (valoarea minimă) este suspect, se calculează:
2
21
1F
.
Concluzie: Valorile maximă şi/sau minimă nu sunt aberante dacă valorile lui1n Frespectiv,F calculate anterior depăşesc valoarea lui 0F din Tabelul 2, pentru nivelul de
încredere 1-a dorit.
APLICAŢIE: O serie de 15 măsuratori a obţinut următoarele rezultate:
9,21 11,69 9,4310,91 13,08 11,1511,89 9,24 10,517,6 7,81 4,108,25 12,27 11,33
Eşantionul format este de forma:4,1 9,24 11,337,64 9,43 11,697,81 10,51 11,898,25 10,91 12,279,21 11,15 13,08
13
Seminar 8: Teste privind dterminarea tipului legii de repartiţie
Introducând noţiunile de eveniment şi probabilitatea sa, de variabilă aleatoare , de legede repartiţie şi caracteristici numerice, teoria probabilităţilor permite determinarea teoretică aprobabilităţilor evenimentelor în funcţie de probabilităţile altor evenimente, legile de repartiţieşi caracteristicile numerice ale altor variabile aleatoare. Aceste metode indirecte permiteconomisirea timpului legat de efectuarea experienţelor dar nu le exclud.
Întreg studiul fenomenelor aleatoare, oricât de abstracte ar fi ele, îşi are rădăcinile înexperienţe şi observaţii. Însăşi legile de repartiţie ale variabilelor aleatoare prezentate încadrul cursului sunt stabilite experimental.
Statistica teoretică are ca obiect cercetarea şi punerea la punct a metodei deînregistrare, descriere, tratare şi analiză a seriilor de fapte sau fenomene. Una din problemeletipice frecvent întâlnite în domeniul fiabilităţii o constituie determinarea legii de repartiţie aunei variabile aleatoare după datele statistice.
Legile observate în serii de cazuri aleatoare sunt cu atât mai exacte şi mai pronunţatecu cât datele statistice de care se dispune sunt mai abundente. În practică, de obicei, sedispune de un număr limitat de date experimentale, deci rezultatele observaţiilor şi tratarea lorprezintă totdeauna un element de hazard mai mult sau mai puţin pronunţat.
Problema care se pune este de a şti să recunoaştem proprietăţile stabile, realmenteproprii fenomenului studiat şi de a distinge elementele întâmplătoare care apar într-o anumităserie de măsurători, legate de numărul limitat de date experimentale.
Este normal de a pretinde metodei de tratarea datelor experimentale de a conserva, înmăsura posibilului, trăsăturile caracteristice, tipice fenomenului observat şi de a respinge cenu este important secundar, legat de o cantitate insuficientă de date experimentale.
În lucrarea de faţă, se vor prezenta câteva teste pentru determinarea tipului legii derepartiţie: normale, exponentiale şi Weibull.
1. Testul WILK-SHAPIRO (se aplică pentru detectarea normalităţii unei legi derepartiţie).
Plencând de la un eşantion dat se obţine eşantionul ordonat: n21 x...x...x .Se calculează apoi:
2i
k
1i)xx(
.
Dacă n = 2k (par), se calculează:
14
)xx(ab i1in1in
k
1i
(Valorile coeficientului 1ina sunt date in Tabelul 3)
Observaţie: Dacă n=2k+1 (impar), se omite mediana 1kx a eşantionului şi secalculează b.
Se calculeaza apoi:
n
1i
2i
2*
xx
bW .
Concluzie: Se compara valoarea obţinută W* cu cea dată în Tabelul 4, pentru unanumit nivel de încredere 1-a dorit.. Dacă W*<W se respinge ipoteza normalităţii.
2. Testul BARTLETT (se aplica pentru detectarea legilor de repartitieexponentiale).
Se poate arăta grafic că pentru a avea o anumită eficacitate şi un risc acceptabileşantionul cercetat trebuie să aibă cel putin 20 de elemente.
Relatţia de bază este:
r6)1r(1
)xln(r1)x(lnr2
Bi
n
1ir
,
R - numărul de realizări ale variabilei ( r ≥ 20);x – media esantionului.
Concluzie: Eşantionul este rezultat dintr-o variabilă aleatoare exponenţială, dacă rBeste distribuită ca o variabilă 2 cu (r-1) valori.(Tabelul .5).
15
Seminar 9: Determinarea grafică a tipului legii de repartiţieă
După ce în lucrarea precedentă s-au prezentat câteva teste analitice pentrudeterminarea tipului legii de repartiţie, acum vom încerca prezentarea unor metode analiticesimple pentru legile de repartiţie uzual folosite în fiabilitate: legea normală, legea lui Weibull,legea exponentială.
1. Legea normală (Gauss)
Pe un grafic sunt reprezentate:- în abscisă: valorile variabilei aleatoare x la o scară aritmetică. Variabila aleatoare
urmează o lege normală N( m, σ).- în ordonată: valorile variabilei normale reduse, de asemeni, la o scară aritmetică.
Cum
z xi
m-mediaσ- abaterea medie patratica
Atunci când distribuţia estenormală punctelecorespunzatoare (x, z) suntdispuse pe o dreaptă numitădreapta lui Henry.
Deci pentru a şti dacădistribuţia observată estenormală trebuiesc determinaţiparametrii m şi σ. Valorilevariabilei z se exprimă înfuncţie de valorile observatexi.
Cu scara z se poate face corespondenţa scării F(z) unde F(z) este funcţia de repartiţie avariabilei normale reduse z.
Se ştie că F(z)=F(x). Deci scării F(z) îi corespund valorile funcţiei de repartiţie F(x)care sunt cunoscute.Hârtia grafică utilizată va fi gradată astfel:- în abscisă valorile observate xi la o scară aritmetică.- în ordonată valorile funcţiei de repartiţie F(xi) la o scară specială.
2. Legea Weibull
3. Legea exponentiala
16
Seminar 10 Estimarea grafica a parametrilor
A. Estimarea punctual
1. Legea normală
Media este abscisa punctului de ordonată F(z) = 0,5 sau de ordonată 50% in F(x).Pentru acest punct z = 0, deci x = m.
De fapt, estimarea mediei m a populaţiei se noteaza x .Abaterea medie patratică este diferenţa absciselor între două valori consecutive
intregi ale lui z, pentru o mai mare precizie se va citi2σ intre punctele corespunzatoare absciselor 84% si16% ( sau intre F(1) si F(-1) ).Exemplu : Se reia exemplul cu alternatoarele dinlucrarea precedenta .Din diagrama 1, trasata atunci , putem citi:
- media, x = 34,96 ptr. F(x) = 50%- abaterea medie patratica : σ = 0,42
( 2σ = 0,84 intre 84% si 16%)
17
Seminar 11 Încercări accelerate
Domeniul incercărilor de fiabilitate este foarte vast , şi are drept scop efectuarea unorpreviziuni sau verificări de fiabilitate.
Definiţie : O incercare accelerată este o incercare in cursul căreia nivelul solicităriloraplicate este ales deasupra nivelului fixat de condiţiile normale , în vederea diminuăriitimpului necesar pentru a observa efectul solicitărilor asupra dispozitivului incercat sauaccentuarea acestui efect intr-un timp dat.
Solicitarea poate fi mecanică, termică , electrică sau chiar acţiunea mediului asupradispozitivului.
Definitii :1.Încercare completă : „N” dispozitive sunt incercate şi se aşteaptă până când ultimuldispozitiv se defecteaza.2.Încercare suspendată : Dispozitive incă nedefecte , sunt retrase în cursul încercării ladiferite momente ( N dispozitive , din care r < N).3.Încercare prin defectare instantanee: Estimarea duratei de viaţă se face plecând de laprimele defectări , apoi al doilea , etc... de „m” subeşantioane şi de „n” elemente fiecare, N =m+n.În cadrul încercărilor accelerate intervin deci trei parametri fundamentali : den. încercării ,nivelul solicitării şi mărimea eşantionului.Ultimul parametru nu a fost menţionat in definiţie ,el fiind important din punct de vedere al costului încercării.
18
Seminar 12. Modul de organizare a încercărilor de laborator
Organizarea încercărilor de laborator se face pe loturi, utilizând metodologiacontrolului statistic, [An88].
t (înregistrat) 0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 n (înregistrat) 2 1 1 0 1 2 1
n=Σ n(calculat)N= 0N -n (calculat)
Z= n /Nf= n/NR=N/ 0NF=n/ 0N
Notă: Tabelul este valabil pentru intervale 11 ii ttt , [An88].
Înregistrarea datelor (defecţiunilor ), precum şi calculul indicatorilor se face ca inexemplul din tabel. S-a considerat un lot de 0N =100 exemplare, supus unui ansamblu desolicitări, înregistrându-se numărul de căderi n pentru fiecare interval de timp
10 211 ...tttt . Tabelul a fost întocmit numai pentru câteva citiri, încercareacontinuând. Pe această bază se pot construi histogramele următoare, Figura 10.
Luând în considerare mijlocul fiecărui segment şi construind curbele empirice dedistribuţie se obţin caracteristicile de fiabilitate empirice. Rezultă că şi distribuţia timpilor debună funcţionare va avea un caracter empiric.
Evident, nu vor fi luate în considerare punctele care se abat evident de la formaposibilă a curbei (excepţiile evidente) şi care constituie rezultate aberante ale măsurătorilor.Se pune problema dacă astfel de experimente trebuie organizate până când întreaga populaţiestatistică este epuizată, adică până când toate cele 0N exemplare ale lotului supusexperimentului sau defectat. Acest lucru nu este necesar, încercările putându-se oprii la unmoment dat, înainte ca lotul să se epuizeze. Din acest punct de vedere există două metode,Figura 11:a) Încercări cenzurate, la care experimentul se opreşte în momentul în care din cele 0Nproduse care formează eşantionul s-au defectat K produse, numărul K fiind dinainte stabilit;b) Încercări trunchiate sau limitate, la care experimentul se opreşte după scurgereaunui anumit timp T, momentul T fiind dinainte stabilit.
Pentru ambele planuri de încercări trebuie să se precizeze mărimea lotului, precumdacă experimentul se face cu sau fără înlocuirea produselor defecte. Alegerea momentului Tsau a numărului K depinde de experienţa specialiştilor care organizează încercările ţinându-seseama de respectarea regulilor privind controlul statistic.
Faptul că este suficient ca experimentul să fie trunchiat sau cenzurat, fără a se aşteptaepuizarea întregului lot, se explică prin aceea că este posibil, chiar în această situaţie, să seidentifice legea de distribuţie a timpilor de bună funcţionare. Odată această lege identificatăsub forma funcţiei f(t) este uşor de determinat şi indicatorii z(t), R(t) şi F(t).
tz
19
Figura 10 Trasarea histogramelor
Figura 11 Încercări cenzurate şi încercări trunchiateObservaţii:
Identificarea legii de distribuţie se face prin:- compararea histogramelor obţinute empiric cu alura curbelor specifice legilor clasicede distribuţie;- folosirea experienţei anterioare, privind legea de distribuţie specifică tipului de produsstudiat;- compararea parametrilor distribuţiei empirice (media şi dispersia) cu parametriidistribuţiei teoretice, presupuse valabile în cazul dat;- folosirea hârtiilor de probabilitate (metode grafice). Am amintit despre posibilitatea scurtării timpului de încercare prin creşterea niveluluisolicitărilor peste nivelul corespunzător condiţiilor normale de exploatare respectiv prinefectuarea unor încercări accelerate.
Domeniul încercărilor de fiabilitate este foarte vast, şi are drept scop efectuarea unorpreviziuni sau verificări de fiabilitate.
O încercare accelerată este o încercare în cursul căreia nivelul solicitărilor aplicateeste ales deasupra nivelului fixat în condiţii normale, în vederea diminuării timpului necesarpentru a observa efectul solicitărilor asupra dispozitivului încercat sau accentuarea acestuiefect într-un timp dat, [Mi76].
Solicitarea poate fi mecanică, termică, electrică sau chiar acţiunea mediului asupradispozitivului.
Deosebim:1. Încercare completă: N dispozitive sunt încercate şi se aşteaptă până când ultimuldispozitiv se defectează.
12
N0
T t
Incercare cenzurata
Incercare trunchiatã
K
Numărul deordine alprodusului
20
2. Încercare suspendată: Dispozitive încă nedefecte sunt retrase în cursul încercării ladiferite momente (N dispozitive din care r defecte, r<N).3. Încercare prin defectare instantanee: Estimarea duratei de viaţă se face plecând dela primele defectări, apoi al doilea, etc, …de m subeşantioane de n elemente fiecare, N=m*n.
În cadrul încercărilor accelerate intervin deci trei parametrii fundamentali: durataîncercări, nivelul solicitării şi mărimea eşantionului. Ultimul parametru nu a fost menţionat îndefiniţie el fiind important din punct de vedere al costului încercării.
21
Seminar 13 Modelări matematice pentru calcularea fiabilităţiisistemelor; Principiul metodei de simulare Monte Carlo
Metodele de simulare au în comun faptul că reproduc fenomene reale prin fenomeneasemănătoare, numite şi modele, produse în mod artificial. În acest fel, simularea permiteschimbarea condiţiilor de intrare şi studiul efectelor acestor modificări la ieşire.
Din punct de vedere al modelului folosit, există următoarele tipuri de simulări:a. simularea propriu-zisă – în care încercările se fac pe modele reduse realizate fizic;b. simularea cu modele bazate pe analogii ale sistemului fizic dat cu alte sistemecunoscute;c. simularea numerică – care asociază sistemului real un model numit de simulare.
În general, modelul permite reproducerea fenomenului prin simulare numerică şideducerea elementelor necesare definirii şi cunoaşterii fenomenului respectiv. SimulareaMonte Carlo este o simulare numerică care a fost folosită, pentru prima oară, în cercetări defizică nucleara.
Principial, această metodă pleacă de la ideea că rezolvarea unei probleme constă înindicarea unui algoritm care permite găsirea unei mărimi foarte exact sau cu o precizie dată.
Dacă se notează cu n2 f...,,f,f1 rezultatele corespunzătoare operaţiilor succesive,atunci:
.f=f nnlim
∞→
În cazul unui număr finit de operaţii procesul se opreşte la un anumit pas, fiind în acestcaz determinist.
Deoarece nu întotdeauna se pot construi astfel de algoritm, se recurge la simulareaprincipiului matematic sau fizic al problemei. Estimările n2 f...,,f,f1 ale mărimi căutate f seobţin prin tratarea statistică a datelor furnizate de către rezultatele unor experienţe aleatoare.În aceste condiţii trebuie ca pentru oricare ε>0 să aibă loc egalitatea:
Plimn ∞→
( ffn )=1,
adică şirul ( nf ) converge în probabilitate către f.Alegerea mărimii nf este condiţionată de către particularităţile concrete ale problemei
propuse. Dacă, de exemplu, mărimea căutată reprezintă valoarea medie m a unei variabilealeatoare X, atunci se consideră nf media aritmetică a mărimilor a n observaţii independenteale variabilei.
Pentru:
,n
x...xxf nn
21
şi valorii mari ale lui n are loc:
P( mfn <n3 )=1,
adică inegalitatea mfn <n3 se realizează aproape sigur. În plus, conform regulii celor
3 se poate da şi o evaluare a probabilităţii erorii absolute.
22
Modelele de rezolvare a problemelor care fac apel la variabilele aleatoare au primitnumele general de metoda Monte Carlo. Mai precis, prin metoda Monte Carlo seînţelege ansamblul procedeelor care permit a se obţine soluţia unei probleme cu ajutorulexperienţelor aleatoare. Estimările mărimii căutate f se deduc statistic şi au caracterprobabilist.
Pentru utilizarea metodei Monte Carlo nu este nevoie de a cunoaşte relaţie precise alemărimilor date, fiind suficient ansamblul condiţiilor care definesc fenomenul observat. Înplus, pentru aceeaşi problema concretă, schema de aplicare a metodei poate fi făcută înmoduri diferite.
În practica utilizării metodei Monte Carlo, experienţele aleatoare sunt înlocuite, îngeneral, printr-un eşantion de numere aleatoare, [Fa79].
Aplicaţia următoare exemplifică metoda de simulare Monte Carlo evidenţiind şi faptulcă aplicarea metodei nu necesită cunoaşterea repartiţiei variabilei aleatoare studiate.
