31
1 Universitatea "Ştefan cel Mare" Suceava Facultatea de Inginerie Mecanică, Mecatronică şi Management F F I I A A B B I I L L I I T T A A T T E E Conf. dr. ing. ec. Alexandru POTORAC
1
Universitatea "Ştefan cel Mare" SuceavaFacultatea de Inginerie Mecanică, Mecatronică şi
Management
FFIIAABBIILLIITTAATTEE
Conf. dr. ing. ec. Alexandru POTORAC
2
Obiectivele disciplinei:
Însuşirea cunoştinţelor privind capacitatea produselor şi sistemelor de a
funcţiona la parametrii proiectaţi, pe anumite perioade de timp, in condiţii
normale de exploatare, in contextul exigenţelor crescute privind menţinera in
timp a calităţii acestora.
Însuşirea unor notiuni privind mentenanta produselor si sistemelor.
Cunoaşterea şi utilizarea adecvată a noţiunilor privind fiabilitatea ,
mentenabilitatea si disponibilitatea.
3
CUPRINS
1. Noţiuni introductive...........................................................................1.1 Definiţii. Obiectul fiabilităţii şi mentenabilităţii.............................................
1.2 Locul fiabilităţii şi a mentenabilităţii în inginerie..........................................
2. Elemente de teoria probabilităţilor...................................................2.1 Noţiuni de bază, evenimente......................................................................
2.2 Operaţii fundamentale..............................................................................
2.3 Aplicaţie la fiabilitatea şi mentenabilitatea sistemelor...............................
2.3.1 Sisteme serie..............................................................................
2.3.2 Sisteme paralel...........................................................................
2.3.3 Sisteme mixte..............................................................................
2.4 Variabile aleatoare şi funcţii de repartiţie..................................................
2.5 Parametri statistici principali ai variabilelor aleatoare...............................
2.6 Corelaţie şi autocorelaţie..........................................................................
2.7 Legi clasice de distribuţie utilizate în fiabilitate şi mentenabilitate............
2.7.1 Legea distribuţiei normale
(distribuţia Gauss sau Gauss-Laplace).......................................
2.7.2 Repartiţia exponenţială negativă..................................................
2.7.3 Repartiţia Weibull.........................................................................
2.8 Prelucrarea statistică a datelor experimentale...........................................
3. Elemente de bază privind fiabilitatea.............................................3.1 Conceptul de fiabilitate. Clasificări...........................................................
3.2 Defectări. Tipuri şi evoluţii.........................................................................
3.3. Indicatori de fiabilitate...............................................................................
3.4 Modelul matematic al fiabilităţii………………………………………………
3.5 Calculul fiabilitatii sistemelor cu ajutorul proceselor Markov……………..
3.5.1 Generalitati; definirea metodei lanturilor Markov………………………..
3.5.2 Premizele şi principiul folosirii metodei lanţurilor Markov
4
la calculul fiabilităţii sistemelor……………………………………………..
3.5.2.1 Premizele folosirii metodei lanţurilor Markov…………………..
3.5.2.2 Principiul metodei Markov........................................................
3.5.3 Modul de aplicare al metodei Markov în cazul elementului
simplu reparabil.....................................................................................
4. Mentenabilitatea şi mentenanţa produselor şi sistemelor.Conceptul mentenanţă şi mentenabilitate.....................................
4.1 Sisteme de reînnoire: Mentenabilitatea……………………………………..
4.2 Indicatori şi caracteristici de mentenabilitate……………………………….
4.3 Metode de evaluare şi optimizare previzională a mentenabilităţii………..
4.4 Mentenanţa...............................................................................................
4.4.1 Mentenanţa corectivă..................................................................
4.4.2 Mentenanţa preventivă...............................................................
4.4.3 Influenţa mentenanţei asupra caracteristicii “cadă de baie”
(curba ratei defectărilor)..............................................................
4.4.4 Criterii de apreciere a eficienţei mentenanţei..............................
4.4.5 Determinarea periodicităţii optimale de mentenanţă preventivă.
4.5. Modele matematice ale analizei de mentenabilitate.................................
4.5.1 Modelul nr. 1...............................................................................
4.5.2 Modelul nr. 2...............................................................................
5. Disponibilitatea produselor şi sistemelor......................................5.1 Conceptul de disponibilitate......................................................................
5.2 Indicatori de disponibilitate.......................................................................
6. Teste şi estimări statistice..............................................................6.1 Estimări statistice......................................................................................
6.1.1 Estimarea parametrilor funcţie de report
(estimare parametrică)................................................................
6.1.2 Estimarea tipului de funcţie de repartiţie
(estimarea neparametrică)..........................................................
5
6.2. Metode grafice de estimare şi testare.....................................................
6.2.1 Teste grafice privind legea exponenţială...................................
6.2.2 Teste grafice privind legea perpendiculară................................
7. Încercări de fiabilitate....................................................................7.1 Tipuri de încercări de fiabilitate...............................................................
7.2 Organizarea încercărilor de laborator; Încercări cenzurate şi
încercări trunchiate…………………………………………………………
8. Analiza şi calculul fiabilităţii sistemelor......................................8.1 Analiza fiabilităţii sistemelor....................................................................
8.2 Modelări matematice pentru calcularea fiabilităţii sistemului;
Principiul metodei de simulare Monte Carlo...........................................
9. Aplicaţii ale teoriei fiabilităţii în tehnică…………………………...9.1 Aplicaţii ale teoriei fiabilităţii în rezistenţa materialelor…………………..
9.2 Fiabilitatea maşinilor unelte…………………………………………………
Bibliografie..........................................................................................
1. Noţiuni introductive
1.1 Definiţii. Obiectul fiabilităţii şi mentenabilităţii.
Definiţii, [Fe96]:
6
a) Calitativ, fiabilitatea reprezintă capacitatea unui sistem sau produs de a
funcţiona fără defecţiuni, pe o perioadă de timp dată, în condiţii date de exploatare.
b) Cantitativ, fiabilitatea reprezintă probabilitatea ca un sistem sau produs să
funcţioneze fără defecţiuni, într-un interval dat, în condiţii date de exploatare.
Analog, mentenabilitatea reprezintă calitativ aptitudinea, cantitativproprietatea ca un sistem să fie repus în funcţiune prin acţiuni de mentenanţă care se
efectuează în condiţii precizate şi într-un timp dat, iar mentenenţa reprezintă ansamblul
măsurilor tehnico-organizatorice efectuate în scopul menţinerii unui sistem în starea
necesară îndeplinirii funcţiei cerute.
1.2 Locul fiabilităţii şi a mentenabilităţii în inginerieDin punct de vedere economic, cu cât un echipament prezintă o fiabilitate mai
ridicată, în condiţii tehnologice date, costul de investiţie Cî este mai ridicat; costurile de
mentenanţă CM sunt însă mici întrucât defecţiunile sunt rare şi de intensitate redusă.
Invers, un echipament ieftin şi puţin fiabil implică nişte costuri de mentenanţă mai mari.
Curba globală CD=Cî+CM reprezintă costul deţinerii echipamentului în stare de
disponibilitate, Figura 1, [Pa82], [Ba88], [Fe96].
Figura 1 Curba globală a costurilor
2. Elemente de teoria probabilităţilor
2.1 Noţiuni de bază, evenimente
Se numeşte eveniment E, orice rezultat al unui experiment.
F(niv. de F)
CI CM
CD
CD=min
C(costuri)
7
Se deosebesc, [Pa82], [An88], :
- evenimente sigure ;
- evenimente imposibile ;
- evenimente aleatoare (întâmplătoare).
Probabilitatea unui eveniment întâmplător X, P(X) este dată de raportul între
numărul m de cazuri favorabile producerii evenimentului şi numărul total n de cazuri
egal posibile, [Tâ89]:
nmXP ..
2.2 Operaţii fundamentale
Din punct de vedere al complexităţii, evenimentele întâmplătoare se clasifică în
simple şi complexe. Cu evenimentele întâmplătoare se pot face diferite operaţii dintre
care cele mai uzuale sunt reuniunea (adunarea) şi intersecţia (înmulţirea).Reuniunea formează un eveniment complex total şi constă în realizarea a cel
puţin unuia din evenimentele considerate: ABC=A sau B sau C, [An88].
Probabilitatea apariţiei evenimentului total este suma probabilităţilor
evenimentelor comparate (evenimente incompatibile):
Pt=P(A)+P(B)+P(C).
Intersecţia formează un eveniment complex compus şi constă din realizarea,
simultană sau succesivă, a tuturor evenimentelor componente considerate. ABC=A
şi B şi C, [An88]
Probabilitatea apariţiei evenimentului compus este produsul probabilităţilor
evenimentelor componente:
PC=P(A)*P(B)*P(C).
Exemplu: Probabilitatea apariţiei la aruncarea cu două zaruri a perechii 3-3 este:
8
.Pc 361
61
61
Din cele două reguli rezultă că probabilitatea apariţiei evenimentului total este
mai mare ca probabilitatea apariţiei oricăruia din evenimentele componente, iar
probabilitatea apariţiei evenimentului compus este mai mică.
2.3 Aplicaţie la fiabilitatea şi mentenabilitatea sistemelorDacă notăm cu R fiabilitatea unui sistem (probabilitatea de supravieţuire) şi cu Q
probabilitatea de apariţie a unei defecţiuni oarecare a sistemului, vom avea: R+Q=1.
2.3.1 Sisteme serieUn sistem este de tip serie dacă funcţionarea sa necesită funcţionarea tuturor
celor n subansamble ale sale (sistemul va fi în pană dacă un singur element este in
pană), Figura 1.
Fie Ai evenimentul "elementul i funcţionează", i=1n. Rezultă că, [Fa79]:
Ri=P(Ai),
iar:
Figura 1 Sistem serie
Dacă evenimentele Ai sunt independente, asta înseamnă că buna funcţionare a
elementului i nu depinde de starea lui j (adică defectarea lui j nu conduce la defectarea
lui i) iar regula probabilităţii compuse conduce la, [Op79], [Fa79], [Re80], [Pa82],
[Că83], [An88]:
R=P(Ai)=P(A1)P(A2)..........P(An),
1 2 i n................. ............
).A(P)S(PRn
ii
1
9
deci:
unde Ri=Pi.
Cum Ri1, i, rezultă RRi minim, adică: fiabilitatea unui astfel de sistem este
totdeauna inferioară celei ale celui mai puţin fiabil component.
2.3.2 Sisteme paralelUn sistem est de tip paralel dacă funcţionarea unui singur component este
suficientă pentru funcţionarea sistemului, Figura 3. În acest caz, sistemul va fi în pană
(defect) dacă toate elementele sunt defecte.
Cum S este evenimentul sistemul funcţionează, vom spune că S este
evenimentul sistemul nu funcţionează. Vom avea:
.ASn
ii
1
Figura 3 Sistem paralel
Rezultă că probabilitatea de supravieţuire R la un moment dat va fi, [Fa79]:
Dacă evenimentele Ai (şi deci iA ) sunt independente, rezultă:
,APAPAPAPRn
iii
1
21 11
sau:
.RQRn
ii
n
ii
11
111
1
2
3
4
,R)A(P)A(P).....A(P)A(P)A(PRn
i
n
iiin
n
ii
1 1
211
.)A(P)S(PQRn
ii
1
111
10
Deci expresia funcţiei de fiabilitate va fi, [Fa79], [Re80], [Pa82], [Că83], [An88]:
.RRn
ii
1
11
Un astfel de sistem se numeşte redondanţă (montaj redondant), iar
probabilitatea de supravieţuire satisface relaţia: R>Ri, i, adică fiabilitatea unui astfel de
sistem este mai mare decât fiabilitatea elementului celui mai fiabil.
2.3.3 Sisteme mixtePutem avea două situaţii:
a) În cazul unor astfel de sisteme montajul poate cuprinde de m ori în paralel n
elemente în serie, Figura 4.
Figura 4 Sistem mixt
b) Un sistem mixt poate cuprinde ansambluri paralele puse în serie, adică, de n
ori înseriate m elemente în paralel, Figura 5, [Fa79], [Pa82].
Figura 5 Sistem mixt
2.4 Variabile aleatoare şi funcţii de repartiţie
1 2 i n
ji
i
j
11
Se numeşte variabilă aleatoare acea variabilă a cărei realizare (apariţie)
constituie evenimente întâmplătoare.
a. Variabile aleatoare discrecte
b. Variabile aleatoare continui
2.5 Parametri statistici principali ai variabilelor aleatoare
Mărimile aleatorii au o serie de valori caracteristice denumite şi parametri
statistici. Acestea sunt de două categorii, [Pa82], [Ba88], [An88]:
a) parametrii de tendinţă: media aritmetică , mediana Me, modulul M0 şi valoarea
centrală x;
b) indici de împrăştiere: amplitudinea dispersia D şi abaterea medie pătratică
2.7 Legi clasice de distribuţie utilizate în fiabilitate şi mentenabilitate
2.7.1 Legea distribuţiei normale (distribuţia Gauss sau Gauss-Laplace).
2
2
2
21
x
e,,xnxf .
2.7.2 Repartiţia exponenţială negativă
Variabila aleatoare urmează o repartiţie exponenţială negativă dacă densitateasa de repartiţie este de forma, [Mi76], [Fa79], [Op79], [Re80], [Pa82], [Tâ89], [Fe96]:
12
,exf x
unde: >0 şi .x 0
Funcţia de repartiţie corespunzătoare va fi:
,edxedxxfxF xx
xx
100
respectiv:
,exF x 1 dacă x>0,
0xF , dacă .x 0
În Figura 12 se prezintă graficul densităţii de probabilitate (a) şi al funcţiei de
repartiţie (b) pentru o repartiţie exponenţială a variabilei aleatoare.
λ 1
Figura 12 Densitatea de probabilitate (a) şi funcţia de repartiţie (b) pentru repartiţia
exponenţială
Media aritmetică (corespunzând timpului mediu între defecţiuni sau mediatimpului de bună funcţionare "MTBF") este, [Pa82], [Ba88], [An88]:
.dxxfxMTBF
0
1
Dispersia sau varianţa va fi:
.dxxfxxD 2
2
0
2 1
Abaterea medie pătratică va fi rădăcina pătratică a dispersiei, [Ba88]:
f(x)
x
F(x)
x
a) b)
13
1
0
2 dxxfx .
Observaţie: Evident, dacă probabilitatea de defectare între 0 şi x este:
,exF x 1
atunci probabilitatea de bună funcţionare între 0 şi x va fi:
.exFxR x 1
2.7.3 Repartiţia Weibull
Funcţia este dependentă de trei parametri, expresia densităţii de probabilitatefiind, [Mi76], [Fa79], [Pa82], [An88], [Tâ89]:
,ex,,,xfx
1
cu ,x
în care:
- parametru de formă; - parametru de scară; - parametru de poziţie.
Funcţia de repartiţie corespunzătoare are expresia, [Re80]:
,exFx
1 dacă 0,,x
,xF 0 dacă 0.,x
Fiabilitatea corespunzătoare este, [Pa82]:
,exRx
conform relaţiei: .xFxR 1
2.8 Prelucrarea statistică a datelor experimentale
14
Mărimile aleatorii nu pot fi prevăzute sau determinate, ele variind la întâmplare,
atât ca mărime, cât şi ca sens. Legea de repartiţie a acestora poate fi determinată
printr-un studiu statistic al datelor experimentale obţinute la studierea variabilei
aleatoare respective.
Distribuţia de frecvenţe (repartiţia empirică) poate fi reprezentată grafic sub
formă de histogramă, poligon de frecvenţe sau curbă empirică de distribuţie. În
general, diagramele de frecvenţă se întocmesc într-un sistem de coordonate
rectangulare, având în abscisă valorile argumentului, iar în ordonată frecvenţa absolută
sau relativă, [Fa79], [Re80], [Pa82], [An88], [Ba88].
Figura 14 prezintă o histogramă (a), un poligon al frecvenţelor (b) şi o curbă
empirică de distribuţie (c) pentru o repartiţie empirică care se apropie de cea normală.
Figura 14 Distribuţia de frecvenţe reprezentate prin: histogramă (a), poligon al
frecvenţelor (b) şi curbă empirică de distribuţie (c)
3. Elemente de bază privind fiabilitatea
3.1 Conceptul de fiabilitate. Clasificări.
val. limită ale claselor
fi
xj
val. centrale ale claselor
fi
xj
val. centrale ale claselor
fi
xj
15
După cum s-a arătat şi în capitolul introductiv, în timp ce calitatea reprezintă
totalitatea proprietăţilor unui produs care îl fac corespunzător utilizării potrivit destinaţiei
respective, fiabilitatea este capacitatea ca produsul să-şi menţină calitatea pe toată
durata de utilizare. Cu alte cuvinte, fiabilitatea reprezintă calitatea produsului extinsă în
timp, respectiv calitatea în timp, [Ba88].
A) Din punctul de vedere al etapei de realizare a fiabilităţii deosebim, [Ba88]:
- fiabilitatea proiectată (previzională).- fiabilitatea experimentală- fiabilitatea operaţională (efectivă la beneficiar) este fiabilitatea unui produs
determinată pe baza rezultatelor privind comportarea în exploatare pe o anumită
perioadă de timp, a unui număr mare de produse efectiv utilizate la beneficiar.
B) Din punct de vedere al estimării fiabilităţii, deosebim, [Ba88]:
- fiabilitatea nominală- fiabilitatea estimată
Cuantificarea şi modelarea matematică în fiabilitate se bazează pe densitatea de
probabilitate a defectărilor în timp, notată uzual cu f(t). Funcţia de repartiţie a
evenimentului defectare este dată de relaţia, [Ba88]:
.dttftFt
0
Probabilitatea ca între 0 şi t să nu avem nici o defectare, notată R(t), este
complementul faţă de 1 al funcţiei de probabilitate F(t) şi se numeşte fiabilitate, [Fa79],
[Ba88]:
.tFtR 1
3.2 Defectări. Tipuri şi evoluţii.
16
Defecţiunea reprezintă pierderea totală sau parţială a capacităţii de funcţionare
a unui sistem sau produs.
Figura 15 Evoluţia defectelor tip cadă de baie
I - precoce;
II - accidentale;
III - degradare.
3.3 Indicatori de fiabilitate
Indicatorii de fiabilitate sunt mărimi care exprimă calitativ şi cantitativ,
fiabilitatea produselor. Ei se mai numesc şi caracteristici de fiabilitate. Aceştia sunt,
[Pa82], [Că83], [Ba88], [Tâ89], [Fe96]:
- probabilitatea de bună funcţionare R(t);
- probabilitatea de defectare F(t);
- funcţia de frecvenţă sau f(t);
- rata (intensitatea) căderilor z(t).
De menţionat că toate acestea sunt funcţii a căror variabilă este timpul. Ca
indicatori suplimentari se mai definesc:
- durata medie (timpul mediu) de bună funcţionare;
- dispersia distribuţiei.
3.4 Modelul matematic al fiabilităţii
Perioadainiţială
Frecv.căderilor
t (timpul defuncţionare)
Perioadade bază
I
Perioadafinală
IIIII
17
Legea de defectare va putea fi definită printr-una din funcţiile f(t), F(t), R(t) şi z(t),
legate prin relaţiile, [An88]:
)t(F)t(f
)t(R)t(f)t(z
1,
t
dt)t(f)t(F0
,
iar funcţia R(t)=1-F(t) reprezintă funcţia de fiabilitate. Media timpului de bună
funcţionare MTBF (respectiv în engleză: mean time before failure) este speranţa
matematică a variabilei aleatoare T:
00
dt)t(Rdt)t(ftmMTBF .
3.5 Calculul fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor Markov
3.5.1 Generalităţi; definirea metodei lanţurilor Markov
Lanţul Markov este un proces Markov definit de variabilele aleatoare {x(t);
t(o,)} care pot lua valori t unui şir finit sau infinit, convenţional considerându-se în
cazul şirului finit, şirul: 1, 2, … N, iar in cazul şirului , şirul numerelor naturale. Vor
rezulta fie lanţuri Markov cu un numar finit de stări, fie lanţuri Markov cu o infinitate de
stări. Un proces Markov este omogen dacă probabilităţile ca sistemul să se afle într-o
anumită stare (funcţional sau defect) nu sunt afectate de o translaţie in timp.
3.5.2 Premizele şi principiul folosirii metodei lanţurilor Markovla calculul fiabilităţii sistemelor
3.5.2.1 Premizele folosirii metodei lanţurilor Markov
18
Utilizarea în studiul fiabilităţii sistemelor a metodei proceselor Markov presupune
anumite premize şi necesită acceptarea unor ipoteze fundamentale:
a) Defectarea unei componente a sistemului este independentă de starea celorlalte
componente;
b) Restabilirea unui element al sistemului este independentă de stare celorlalte
elemente ale sistemului;
c) Probabilitatea de a se poduce evenimente simultane (defectare, restabilire) într-
un interval de timp elementar t aspra unui component al sistemului este nulă (în
intervalul t poate avea loc numai o trecere dintr-o stare în alta).
d) Dacă la momentul t0 sistemul se află în starea 0i , atunci probabilitatea ca la
momentul t sistemul să se afle într-o stare i depinde de i0, dar nu şi de stările anterioare
lui i0.
e) Perioada de timp în care se analizeaza un sistem tehnic sau un element
component se referă la perioada de maturitate a acestora.
f) Evenimentele care au loc în perioada de viaţă nu sunt influenţate de momentul
observării ci numai de lungimea intervalului de observaţie.
)t(P)t(Pt,tP
1
221 , ttt 12 ,
t)tt(t
t
eeee)t,t(P
12
1
2
21 .
3.5.2.2 Principiul metodei Markov
Figura 22 Evoluţia din starea de funcţionare în cea de defect şi invers
19
3.5.3 Modul de aplicare al metodei Markov în cazul elementuluisimplu reparabil
a) Analiza tranziţiilor dintre stăriGraful tranziţiilor pentru un element simplu reparabil, dacă notăm cu 0 starea de
funcţionare şi cu 1 starea de defect este arătat în Figura 23, [Că83î, [Fe96].
Figura 23 Graful tranziţiilor
b) Scrierea matricei intensităţilor de tranziţieMatricea [qij] este o matrice pătrată cu dimensiunea dată de numarul stărilor:
10
10
)q[ ij .
c) Scrierea ecuaţiei matriciale şi rezolvarea ei:
10
i
iij
P]P][q[
; respectiv:
1
0
10
1
0
PPPP
,
de unde rezultă:
100
10
10
10
PPPPPP
.
Soluţiile sistemului sunt, [Tâ89], [Fe96]:
20
0P ,
1P .
4. Mentenabilitatea şi mentenanţa produselor şi sistemelor.Conceptul mentenanţă şi mentenabilitate.
4.1 Sisteme cu reînnoire: Mentenabilitatea
Se înţelege prin mentenanţă ansamblul acţiunilor tehnico-organizatorice
efectuate în scopul menţinerii sau restabilirii unui produs în starea necesară îndeplinirii
funcţiei cerute, [Ba88].
Mentenabilitatea este calitativ aptitudinea, respectiv cantitativ probabilitateaca un produs să fie repus în funcţiune prin acţiuni de mentenanţă ce se efectuează în
condiţii precizate, prin metode şi mijloace prescrise şi într-un timp dat. Corespunzător
acestei definiţii, legătura dintre aspectul probabilist şi cel funcţional se exprimă astfel,
[Fa79], [An88], [Fe96]:
M(tr)=Prob (tr Tr),
unde:
tr - timpul de reparare (repunere în funcţiune);
Tr - limita de timp impusă reparării;
M(tr) - funcţia de mentenabilitate.
4.2 Indicatori şi caracteristici de mentenabilitate
După cum am văzut, mentenabilitatea se exprimă prin funcţia de mentenabilitate:
M(tr) = P(tr Tr).
Dacă se notează cu )tr( rata (intensitatea) reparaţiei, atunci funcţia de
mentenabilitate (de reparare în timp) devine, [Fa79]:
21
tr
dtr)tr(exp)tr(M0
1 ,
unde tr = timpul de restabilire (care nu ia în considerare stagnările datorate lipsurilor
organizatorice), [An88].
Corespunzător timpului mediu de funcţionare fără defecţiuni MTBF, în cazul
mentenabilităţii, se determină media timpurilor de reparaţie MTR.
În cazul unui experiment sau pe bază de observaţii în exploatare se constată, de-
a lungul unei perioade de timp, un şir de timpi observaţi it̂ destinaţi unui număr r de
acţiuni de mentenanţă, Figura 25, [Pa82], [An88], [Ba88].
Figura 25 Timpii observaţi ai acţiunilor de mentananţă
În acest caz, valoarea observată este:
r
t̂
rt̂t̂t̂RT̂M
r
ii
r
121 ,
unde, RT̂M reprezintă valoarea estimată (punctuală) a indicatorului MTR.
Admiţând că repartiţia timpilor de reparaţie rt (sau t) urmează o lege
exponenţială negativă, atunci, [Pa82]:
ct)t( r ; MTR1 ; 1MTR .
Funcţia de mentenabilitate devine, [An88]:
0
t
t1 t2 t3 t4t1` t2` t3` t4`
22
tr
r
tr
rr texpdtexp)t(M00
11 ,
MTRtexp)texp()t(M r
rr 11 .
4.3 Metode de evaluare şi optimizare previzională a mentenabilităţii
Una din cele mai uzuale metode de evaluare şi optimizare previzională a timpilor
de reparaţie este metoda arborilor de mentenanţă. Conform acestei metode, din
analiza unei operaţii de mentenanţă, se desprind trei faze principale:
a) faza localizării defectului: conţine o succesiune de măsurători, făcute într-o
ordine logică şi eficace pentru localizarea cât mai rapidă a defectului (ca sediu şi natură
a acestuia).
b) faza de reparaţie: constă uzual în înlocuirea efectivă a elementului defect.
c) faza de etalonaj şi control: constă în verificarea echipamentului şi stabilirea
conformităţii cu caracteristicile iniţiale, după remedierea defecţiunii.
DEFECTT
MĂS1
M1
M3M2
M4
Ech
R
2
R
3
R
M5
4
R
5
R
6
R
R B
R B
R B R B
R B
23
Figura 26 Structura unui arbore de mentenanţă pentru un sistem cu şase elemente
reparabile
4.4 MentenanţaMentenanţa reprezintă totalitatea operaţiilor efectuate în scopul menţinerii unui sistem
în stare de funcţionare
Operaţiile de mentenanţă se împart în două categorii, [Pa82]:
- mentenanţă corectivă (curativă) – reprezentând intervenţiile necesare în urma
unor defectări accidentale care au drept obiectiv restabilirea capacităţii de funcţionare a
utilajelor;
mentenanţă preventivă (profilactică) – reprezentând intervenţiile sistematice, care au
loc la intervale regulate în vederea asigurării unei funcţionări corecte a dispozitivului.
4.4.1 Mentenanţa corectivă4.4.2 Mentenanţa preventivă4.4.3 Influenţa mentenanţei asupra caracteristicii “cadă de baie”
(curba ratei defectărilor)
Figura 30 Influenţa mentenantei asupra duratei de viaţă utile
Durată de viaţă mărită
Durată de viaţănormală
Durată de viaţăredusă
)t(
Controlinferior
Control
superior
Mentenanţăsuperioară
Mentenanţăinferioară
t
24
4.4.4 Criterii de apreciere a eficienţei mentenanţei
4.4.5 Determinarea periodicităţii optimale de mentenanţă preventivă
5. Disponibilitatea produselor şi sistemelor
5.1 Conceptul de disponibilitate
Cantitativ disponibilitatea reprezintă probabilitatea ca dispozitivul să fie
disponibil şi în stare de funcţionare şi se exprimă printr-o probabilitate:
A(t) = P(t >Tr),
unde Tr este limita dată pentru ca produsul să fie în stare de restabilire (în stare aptă de
funcţionare, Tr = limita impusă duratei de restabilire).
Ţinând seama atât de fiabilitate, cât şi de mentenabilitate, rezultă, [An88], [Tâ89]:
A(t) = R(t) + F(t) * M(t).
5.2 Indicatori de disponibilitate
Admiţând distribuţia exponenţială atât a timpilor de funcţionare, cât şi a celor de
restabilire, putem defini un indicator denumit coeficient de disponibilitate, [An88]:
A = MTBF / (MTBF + MTR) = μ / (λ + μ),
.A
1
11
1
În mod similar, se definesc, [Pa82], [An88], [Fe96]:
25
- coeficientul de indisponibilitate sau proporţia timpului inactiv, INK :
.MTRMTBF
MTRK IN
- proporţia disponibilităţii, DK :
.MTRMTBFKD
- eficientul (proporţia) de utilizare, UK :
.T
MTBFKE
U
unde TE reprezintă timpul calendaristic de exploatare, incluzând timpi de utilizare
efectivă a echipamentului, timpul pentru acţiunile de mentenanţă şi timpii de stagnare.
Costuri
Figura 34 costul global al deţinerii echipamentului în stare de disponibilitate
6. Teste şi estimări statistice
III
III
Niv de F
26
6.1 Estimare statistică
6.1.1 Estimarea parametrilor funcţiei de repartiţie (estimare parametrică)
Se folosesc două categorii de metode:
- metode punctuale;
- metode cu intervale de încredere.
6.1.2 Estimarea tipului de funcţie de repartiţie (estimarea neparametrică)
6.2 Metode grafice de estimare şi testare
6.2.1 Teste grafice privind legea exponenţială
6.2.2 Teste grafice privind legea normală
7. Încercări de fiabilitate
7.1 Tipuri de încercări de fiabilitate
t
R,S RS=Smax<R
t
R,S R
Smax
27
a) b)
c) d)
Figura 7.3 Tipuri de încercări de fiabilitate
7.2 Organizarea încercărilor de laborator; Încercări cenzurate şiîncercări trunchiate
Organizarea încercărilor de laborator se face pe loturi, utilizând metodologia
controlului statistic, [An88].
Se pune problema dacă astfel de experimente trebuie organizate până când întreaga
populaţie statistică este epuizată, adică până când toate cele 0N exemplare ale lotului
supus experimentului sau defectat. Din acest punct de vedere există două metode,
Figura 45, [Mi76], [Pa82], [An88], [Ba88]:
a) Încercări cenzurateb) Încercări trunchiate sau limitate
t
R,S RS > Smax=ct
Smax
t
R,S
S1S2
S3
R
t1 t2 t3
28
Figura 45 Încercări cenzurate şi încercări trunchiate
8. Analiza şi calculul fiabilitatea sistemelor
8.1 Analiza fiabilităţii sistemelor
Întrucât un sistem se poate găsi într-o mulţime de stări şi întrucât pentru diferite
stări, probabilitatea realizării de către sistem a funcţiilor sale este diferită, rezultă că
fiabilitatea sa pe intervalul de timp t şi pentru condiţiile de exploatare ζ se determină
după formula probabilităţii totale:
.HAPHPAP i
n
ii
1
Dacă notăm:
12
N0
T t
Incercare cenzurata
Incercare trunchiatã
K
Numărul deordine alprodusului
29
Pi(t, ) – probabilitatea ca sistemul, care este în condiţiile de exploatare , să se afle în
starea i în decursul intervalului de timp t.;
t – interval de funcţionare fără defecţiuni impus sistemului;
k - numărul de stări posibile ale sistemului;
P( iH ) – eficienţa stării i (probabilitatea realizării de către sistem a funcţiilor sale, dacă se
află în starea i).
Rezultă că formula probabilităţii totale (dependente), devine:
.,tPHP,tPn
iii
1
De asemenea, pentru calculul corect al fiabilităţii sistemului este necesar ca
indicii de fiabilitate ai elementelor să fie aleşi corespunzător regimurilor reale de
funcţionare şi condiţiilor reale de exploatare ale sistemelor. Totodată este necesar să
fie corect definite defecţiunile elementelor şi sistemului. Fiabilitatea sistemului şi a
elementelor sale depinde de defecţiunile acestora , adică:
Ps t( ) Pc t( ) Pu t( ) Pr t( ) ,
unde Pc(t), Pu(t) şi Pr(t) reprezintă probabilitatea absenţei defecţiunilor catastrofice
(bruşte), a defecţiunilor de uzură (sau parametrice), a rateurilor.
8.2 Modelări matematice pentru calcularea fiabilităţii sistemelor;
Capitolul 9. Aplicaţii ale teoriei fiabilităţii în tehnică
9.1 Aplicaţii ale teoriei fiabilităţii în rezistenţa materialelor
Fie 1X ,varibila aleatoare care indică rezistenţa şi 2X variabila aleatoare care
indică solicitarea. Vom defini fiabilitatea prin, [Tâ89]:
PR ( 1X > 2X )=P(2
1
XX >1).
30
Dacă se defineşte coeficientul de siguranţă ,notat cu C, ca raport între cele două
variabile aleatoare:
21 CCC ,
relaţia precedentă devine:
R=P(C>1).
Se obţine astfel o nouă variabilă aleatoare C, având densitatea de probabilitate
f(c), cu graficul din Figura 47, [Tâ89].
Figura 47 Densitatea de probabilitate a coeficientului de siguranţă
Exprimarea probabilităţii de defectare se poate face şi fără coeficient de
siguranţă. Dacă se notează cu Y variabila aleatoare 21 XX şi se ţine seama că
fiabilitatea unui sistem este determinată de probabilitatea de nedefectare, rezultă,
[Tâ89]:
R=[P( 21 XX >0)]=P(Y>0).
Dacă se notează cu g(y) densitatea de fiabilitate a variabilei aleatoare Y, rezultă:
.dyygR
0
R
F=1-R
f(c)
C1 C
31
Fiabilitatea apare astfel ca fiind egală cu aria haşurată din primul cadran a
graficului reprezentând densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare 21 XXY ,
Figura 48, [Tâ89]:
Figura 48 Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Y
y
g(y)
