Capitolul III Statistic A Tehnica

5/14/2018 Capitolul III Statistic A Tehnica - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/capitolul-iii-statistic-a-tehnica 1/49

MANAGEMENTUL CALITĂŢII – Construcţia, implementarea, dezvoltarea sistemului calităţii în întreprinderi industriale

53

Capitolul III

STATISTICA TEHNICĂ [3] [4] [5] [8] [9] [10] [12] [13] [17] [24] [25] [28] [47] [58] [74] [87] [88] [89] [90] [91] [93] [99] [100] [107] [109] [113] [121] [126] [127] [129]

[130] [131]

3.1. NOŢIUNI GENERALE Statistica reprezintă un ansamblu de procedee, tehnici şi pr incipii metodologice care au drept scop

producerea informaţiei statistice având la bază observarea, prelucrarea şi analiza datelor statistice,acţiuni care vor conduce la fundamentarea deciziilor referitoare la starea şi variabilitatea colectivităţiistatistice în timp, în spaţiu şi din punct de vedere calitativ.

Statistica matematică, în general, şi statistica tehnică, în particular, are ca obiectiv cercetareametodelor de culegere, înregistrare, prelucrare şi analiză a datelor statistice experimentale referitoarela o colectivitate statistică în scopul obţinerii unor previziuni privind desfăşurarea ulterioară afenomenelor de masă, respectiv pentru fundamentarea deciziilor.

Principalul rol al statisticii tehnice este de a descoperii legile de variabilitate a fenomenelor demasă, fenomene ce se produc în condiţii de incertitudine. Practic, se poate determina probabilitatea dereapariţie a unor fenomene în viitor în funcţie de frecvenţa de apariţie în trecut a evenimentelor.

Statistica tehnică studiază fenomene de masă cum ar fi mulţimea de piese finite, mulţimea derepere, de subansambluri care se produc în aceleaşi condiţii, sunt de ace iaşi natură, au aceleaşi legi dedezvoltare, practic sunt fenomene statistice omogene.

Procesul de cunoaştere statistică este complex utilizând două tipuri de raţionamente recunoscuteîn cadrul metodelor ştiinţifice: raţionamentul deductiv şi raţionamentul inductiv. Raţionamentuldeductiv parcurge etapele de la general la particular şi utilizează raţionamentul matematic: se stabilescipotezele generale asupra unor fenomene şi se deduc prin raţionament logic proprietăţile particulare.Raţionamentul inductiv parcurge procesul plecând de la observaţiile particulare asupra fenomenelor

ajungându-se la reguli generale. În procesul de cunoaştere statistică se emit ipoteze, se culeg date, se prelucrează şi se verifică datele observate, astfel se generează un ciclu deductiv – inductiv. Înconcluzie, procesul de cunoaştere statistică este iterativ.

Ca disciplină ştiinţifică, funcţie de scopul cunoaşterii, statistica se subdivide în: Statistică descriptivă Statistică inferenţială Analiză statistică

Statistica DescriptivăCu ajutorul statisticii descriptive se pot descrie starea şi variabilitatea unei colectivităţi statistice

după una sau mai multe caracteristici. Obiectivul principal constă în culegerea datelor statistice, prelucrarea şi prezentarea lor sintetică, fie sub formă numerică prin indicatori statistici, fie sub formă

grafică prin diagrame şi tabele statistice.În raport cu numărul caracteristicilor considerate în planul cunoaşterii avem:

• Statistică descriptivă unidimensională – cu o singură variabilă; • Statistică descriptivă bidimensională – cu două variabile; • Statistică descriptivă multidimensională – mai multe variabile;

Statistică Inferenţială s-a dezvoltat după descoperirea legilor probabilistice şi construirea teoriei probabilităţilor. Statistica inferenţială este utilizată pentru estimarea caracteristicilor unei colectivităţipornind de la cunoaşterea unei colectivităţi parţiale şi testarea ipotezelor statistice care constă înmăsurarea incertitudinii rezultatelor şi calcularea riscurilor pe care le implică luarea unor deciziifundamentate pe baza unor informaţii ce nu pot fi exhaustive. Statistica inferenţială se utilizeazăpentru studierea, cunoaşterea unei colectivităţi şi se bazează pe inducţia matematică fiind fundamentată pe legea numerelor mari, pe principiile teoriei probabilităţilor şi pe statisticamatematică.



Capitolul III STATISTICA TEHNICĂ

54

Analiză Statistică urmăreşte descoperirea a ceea ce este permanent, esenţial, logic în variaţia proceselor şi fenomenelor de masă şi măsurarea influenţei factorilor care le determină variaţia în timp,în spaţiu şi din punct de vedere calitativ. În acest scop se folosesc următoarel e metode: analiza deregresie, analiza de corelaţie, analiza seriilor de timp.

3.1.1. ETAPELE ŞI PROCEDEELE SPECIFICE METODEI STATISTICE

a) Definirea problemei presupune precizarea clară a scopului şi a ariei de investigaţie (fenomen

sau proces observat) a variabilelor care sunt observate. În această etapă se efectuează documentareateoretică şi faptică asupra fenomenului ce trebuie observat, se emit ipotezele de lucru se aleg metodelede investigare, se elaborează planul de cercetare.

b) Observarea statistică este o etapă importantă, un proces complex de identificare, măsurare şiînregistrare a fenomenelor de masă reprezentând caracteristicile indivizilor unei colectivităţi care semanifestă într -un mod real, practic se obţin probele pentru procesul de cunoaştere statistică. Calitatea

probelor obţinute va determina în mod esenţial autenticitatea informaţiei statistice. Culegerea datelor statistice se poate face prin:

- înregistrare totală (exhaustivă) a populaţiei; - înregistrarea parţială (anchete prin sondaj) adică înregistrarea la nivelul unui eşantion.

c) Prelucrarea statistică a datelor este un proces complex prin care datele înregistrate sunt

sistematizate şi tratate statistic în vederea obţinerii sistemului de indicatori. Prelucrarea statistică cuprinde efectuarea unui număr de opt operaţii pentru obţinerea indicatorilor utilizând procedee şitehnici de lucru specifice statisticii:

1. Sistematizarea probelor obţinute în etapa observării statistice. Operaţia se poate realiza prin procedee clasice de centralizare şi grupare statistică în urma căr eia se obţin indicatorii primari şi serii de date statistice.

2. Prezentarea datelor statistice utilizează metodele tabelare şi/sau graficele. 3. Calcularea indicatorilor derivaţi cum ar fi:

- indicatori ai valorii centrale;- indicatori ai dispersiei;- indicatori ai formei de repartiţie.

4. Măsurarea gradului de intensitate a legăturilor statistice (procedeele covariaţiei şicorelaţiei);

5. Măsurarea influenţei factorilor asupra variaţiei fenomenelor ;6. Aproximarea modelelor de regresie şi de trend (procedeul ajustării statistice); 7. Prognoza fenomenelor (extrapolarea statistică); 8. Estimarea parametrilor şi verificarea ipotezelor statistice (procedeul inferenţial).

Rezultatul prelucrării statistice se regăseşte în valoarea indicatorilor primari şi derivaţi. d) Analiza statistică. Procesul cunoaşterii statistice fiind un proces iterativ, etapele prelucrării

datelor statistice se combină cu procedeele de analiză a rezultatelor, practic trecerea la următoarea fazăde prelucrare statistică se face numai după analiza rezultatelor obţinute în cadrul prelucrărilor

statistice.3.1.2. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Statistica operează cu o terminologie unitară utilizând următoarele concepte de bază: colectivităţile statistice; unităţile statistice; variabilele statistice; indicatorii statistici.

A) Colectivităţile statistice mai sunt denumite populaţii, mulţimi sau universuri statistice. Ocolectivitate statistică reprezintă totalitatea elementelor relative identice care au aceiaşi natură şi au otrăsătură esenţială comună numită omogenitatea. În cadrul statisticii tehnice, colectivităţile statistice

definesc populaţii reale care sunt, în fapt, mulţimi finite. Colectivităţile statistice trebuie să fiedelimitate de frontiere care sunt necesare pentru a se putea realiza observarea în condiţii normale şi

pentru a se interpreta rezultatele fără apariţia unor confuzii.




55

Colectivităţile statistice pot fi grupate după următoarele criterii:a) gradul de cuprindere:

1) colectivităţi totale care pot fi: - statice;- dinamice.

2) colectivităţi parţiale care pot fi:- statice;

- dinamice.

b) natura elementelor:

1) colectivităţi cu conţinut măsurabil;2) colectivităţi cu conţinut atributiv.

B) Unităţile statistice reprezintă elementele constitutive ale unei colectivităţi statistice. Esenţial pentru unităţile statistice este definirea clară şi precisă a acestora pentru a putea fi identificate corectceea ce presupune obţinerea datelor autentice. Unităţile statistice sunt elemente de observare, măsurareşi înregistrare. Anumite unităţi au o existenţă proprie, practic sunt concrete, altele pot fi abstracte fiindutilizate pentru individualizarea observaţiilor.

Clasificarea unităţilor statistice se face după: a) gradul de complexitate:

1. unităţi statistice simple sunt formate dintr -un singur element, depind de starea lornaturală de existenţă; 2. unităţi statistice complexe sunt formate din două sau mai multe unităţi simple şi

depind de modul de organizareb) rolul în procesul înregistrării statistice:

1. unităţi statistice active; 2. unităţi statistice pasive.

C) Variabile statistice (sau caracteristici statistice) reprezintă însuşiri, trăsături esenţiale purtatede unităţile statistice ale unei colectivităţi, adică dimensiunile prin care se observă, măsoară cuantificăşi înregistrează fiecare unitate din colectivitate. În cadrul studiilor statistice, funcţie de nivelulcercetării se pot regăsi trei tipuri de variabile: empirice, teoretice şi de selecţie.

Variabilele empirice sau statistice sunt variabile ce exprimă valori reale înregistrate la nivelulunităţilor statistice şi le corespund distribuţiile statistice (empirice). Acestea sunt tratate de statisticadescriptivă prin distribuţii statistice unidimensionale sau bidimensionale. Variabilele aleatoare suntacele variabile ale căror varianţe depind de un sistem complet de evenimente.

Variabilele teoretice. Funcţia de probabilitate reprezintă frecvenţa relativă a unei variabilealeatoare şi au valori cu atât mai mari cu cât influenţa factorilor ce le determină sunt mai mari.Variabilele teoretice au valori abstracte ce sunt corespunzătoare distribuţiilor teoretice (distribuţiilor probabilistice).

Variabilele de selecţie se regăsesc în cadrul cercetărilor prin sondaj. Distribuţiile de selecţie facobiectul statistici inferenţiale.

Clasificarea variabilelor statistice:a) după importanţa lor, pot fi:

1) variabile esenţiale, exprimă natura internă a fenomenului. Variabilele se regăsesc latoate unităţile colectivităţii;

2) variabile neesenţiale, au caracter întâmplător. b) după natura lor, pot fi:

1) variabile calitative, exprimă esenţa, natura unităţilor; 2) variabile de timp constă în apartenenţa unităţilor la un moment sau interval de timp; 3) variabile de spaţiu, exprimă zona (teritoriul) în care există şi se manifestă unităţile

colectivităţii. c) după modul de exprimare, pot fi:

1)

variabile numerice sau variabile cantitative acestea sunt fie numărabile fie măsurabile, putând fi reprezentate pe o scală interval sau pe o scală raport. Domeniul lor de variaţiese numeşte amplitudine de variaţie. Aceste variabile cantitative pot fi:




56

- variabile continue ceea ce presupune că variabila numerică măsurabilă poate fidivizată până la infinit şi se poate grupa în k intervale;

- variabile discrete, iau valori măsurabile. 2) variabile nenumerice sunt variabile calitative (sunt exprimate atributiv). Acestea pot fi

reprezentate pe o scală nominală sau pe o scală ordinală. d) după modul de manifestare se disting:

1) variabile alternative, au caracter dichotomic adică pot lua decât două valori, mai sunt

numite caracteristici binomiale sau binare;2) variabile nealternative, pot lua valori diferite reprezentate de unităţi sau grupe deunităţi.

D) Indicatori statistici. Un indicator statistic poate fi definit ca rezultatul numeric al uneinumărări, al unei măsurări statistice a fenomenelor şi proceselor de masă sau al unui calcul asupradatelor obţinute dintr-o înregistrare statistică. Indicatori statistici au un conţinut real, adică exprimăfenomene şi procese care se derulează în mod natural.

În cadrul unei cercetări statistice, indicatorul statistic apare în dublă ipostază • purtător de informaţie, reprezentând expresia numerică a unui fenomen real; • mijloc de calcul, fiind un instrument pentru obţinerea informaţiei statistice.

Valabilitatea ştiinţifică a indicatorilor statistici este condiţionată de două condiţii importante:

• conţinutul ştiinţific trebuie să fie bine determinat putând fi reprezentat de o definiţie, oformulă de calcul, etc.; • condiţia de comparabilitate în timp, spaţiu şi calitativ trebuie să fie îndeplinită.

Clasificarea indicatorilor statistici se face după următoarele criterii: a) modul de determinare:

1) indicatori primari reprezintă rezultatul unor măsurători statistice şi exprimă în mărimeabsolută o dimensiune a unei colectivităţi sau a unui element al acesteia;

2) indicatori derivaţi, se obţin prin prelucrarea indicatorilor elementari. b) gradul de cuprindere:

1) indicatori statistici sintetici sunt expresii numerice ale diferitelor categorii de sinteză; 2) indicatori statistici analitici exprimă structura unei colectivităţi şi influenţa factorilor care

acţionează asupra acesteia. c) forma de exprimare:

1) indicatori exprimaţi sub formă de mărimi absolute; 2) indicatori exprimaţi sub formă de mărimi relative; 3) indicatori exprimaţi sub formă de mărimi medii.

3.2. STATISTICA DESCRIPTIVĂ

Colectarea datelor referitoare la unităţile statistice ce formează o colectivitate statistică urmăreştestabilirea valorii care este caracteristică indivizilor sau are ca scop formarea unei concluzii reale cerezultă din datele observate, pentru a se formula decizii. Statistica descriptivă reprezintă o formă

simplă de analiză a caracteristicilor unei colectivităţi statistice având incluse următoarele activităţi:colectarea datelor, prezentarea lor sub formă de tabele, întocmirea unei reprezentări grafice şistabilirea indicatorilor statistici. Rezultatele acestor activităţi permit obţinerea unor informaţii realereferitoare la colectivitatea statistică.

3.2.1. REPARTIŢII STATISTICE EMPIRICE

Sistematizarea datelor este o fază primară a prelucrării statistice şi are ca scop obţinereadistribuţiilor statistice empirice. Sistematizarea datelor statistice înregistrate are ca scop ordonarea lorfuncţie de omogenitate. Diferenţierea pe grupe a populaţiei statistice, în funcţie de variabilitateacaracteristicii examinate şi a frecvenţelor corespunzătoare se face în raport cu diverşi factori:

- în raport cu locul în care s-a produs fenomenul;

- în raport cu timpul în care s-au făcut observaţiile; - în raport cu un alt factor diferit de spaţiu sau timp.

În mod corespunzător se deosebesc trei tipuri de repartiţii statistice:




57

- repartiţii în spaţiu; - repartiţii în timp (dinamice); - repartiţii de frecvenţe.

Prezentarea empirică a rezultatelor obţinute prin sistematizarea datelor se poate face prin serii,tabele şi grafice.

Tabele

O modalitate comodă şi rapidă de prezentare a distribuţiilor statistice este tabelul cu simplă sau cudublă intrare. Această formă de prezentare este des utilizată deoarece ordonează operaţiile ce suntimpuse de prelucrarea statistică. Un tabel statistic trebuie să cuprindă următoarele elemente: titlulgeneral al tabelului, titlurile interioare, unitatea de măsură, rubricile tabelului, sursa datelor şi dacă estecazul sunt introduse note la subsolul tabelului. Titlurile indică obiectul tabelului şi trebuie astfelconceput încât să precizeze variabila de distribuţie şi colectivitatea observată. Specificarea sursei estenecesară pentru a identifica zona şi pentru a da posibilitatea verificării datelor înregistrate. Notele desubsol ajută la interpretarea datelor.

Forma de prezentare a datelor utilizând tabelele şi reprezentările grafice trebuie întocmite în aşafel încât să permită o interpretare directă şi uşoară, fără a mai necesita texte explicative suplimentare.Tabelul cu datele primare conţine valori ale caracteristicilor cercetate x1, x2, x3, ..., xn ce pot fi trecute

într-o ordine întâmplătoare. Aceleaşi valori pot fi aranjate în ordine crescătoare 1i i

x x , în ordine descrescătoare 1 ii x x

sau în orice altă formă de ordonare creându-se astfel, tabelul valorilor ordonate.Dacă gruparea se realizează pe intervale de grupare, tabelul de asociere se prezintă astfel:

Tabel 3.1. Intervale de grupare

INTERVALEDE

GRUPARE

CENTRULINTERVALUL

UI DEGRUPARE

FRECVENŢEABSOLUTE

N I

FRECVENŢERELATIVE

nif

in

FRECVENŢERELATIVE ÎN

%

100% ni

f in

FRECVENŢAABSOLUTĂ

CUMULATĂ FCUM

k

i

im n N 1

FRECVENŢARELATIVĂ

CUMULATĂ F%CUM

k

i

im % f F 1

supinf

x x11

med

x1

n1 f 1 f 1% N 1 F 1

... ... ... ... ...

supiinf i x x imed x ni f i f i% N i F i

... ... ... ... ...

supinf mm x x

med m x nm f m f m% N m F m

TOTAL -

m

1ii

nn

m

i f 1i

1 100%

m

i f 1i

- -

Intervalul general se poate împărţi în k intervale de grupare care pot fi egale sau neegale (se preferă intervalele de grupare egale). Atunci când unităţile statistice au o valoare egală cu valoareasuperioară a intervalului de grupare acestea trec în intervalul următor. Numărul unităţilor statistice

care au valori aparţinând aceluiaşi interval de grupare reprezintă frecvenţe absolute: n1, n2, ..., nk , respectiv frecvenţele relative: f 1, f 2, ..., f k . Suma totală a frecvenţelor absolute este egală cu numărul

total al unităţilor cercetate, n: nni

Tabel 3.2. Tabel cu dublă intrare Valorile Y

Valorile X y1 y2 y j yp ni.

x1 n11 n12 ... n1j ... n1p n1 .

x2 n21 n22 ... n2j ... n2p n2 .

... ... ... ... ... ... ...

xi ni1 ni2 ... nij ... nip ni.

... ... ... ... ... ... ... ...

xm nm1 nm2 nmj nmp nm.

n.j n .1 n. .2 ... n .. j ... n ..p n ..




58

Raportul dintre frecvenţa absolută şi numărul total de unităţi statistice se numeşte frecvenţă

relativă: n

n f i

i , 100%

n

n f i

i

Sunt situaţii în care este necesar să se cunoască numărul de unităţi statistice până la o anumităvaloare a caracteristicii sau numărul de la o anumită valoare în sus. Această modalitate de prezentarese realizează utilizând frecvenţa cumulată care se notează cu f cum. Relaţiile de calcul pentru: frecvenţa

absolută cumulată

m

i

icum n f 1

respectiv pentru frecvenţa relativă cumulată

k

i

icum f f 1

%% .

Dacă gruparea se realizează după două caracteristici, rezultă o serie de repartiţie bidimensionalăcare se reprezintă printr -un tabel de corelaţie sau tabel cu dublă intrare.

O distribuţie bidimensională prezintă variaţia unităţilor unei colectivităţi simultan după douăcaracteristici de grupare.

O distribuţie bidimensională este definită de ansamblul de triplete (xi ,y j ,nij), m ,i 1 , p , j 1

Distribuţiile marginale în X , respectiv în Y , sunt definite de ansamblul de cupluri (xi ,ni.), m ,i 1 ,

respectiv (y j ,n. j), p , j 1 , unde:

ni. – reprezintă efectivele marginale corespunzătoare valorii xi

n. j – reprezintă efectivele marginale corespunzătoare valorii y j

p

jij

n.in

1

m

iij

n j

n

1.

Relaţii între efectivele marginale şi parţiale:

j

ijn

i

p

j j.

nm

i.i

n

11

Frecvenţe relative marginale:...

. n

in

i f respectiv

..n

j.n

j. f

Frecvenţe relativ parţiale:..nij

n

ij f

Frecvenţe relativ condiţionate: j.

n

ijn

j / i f , j are valoare fixă, m ,i 1 ;

.in

ijn

i / j f , i are valoare fixă p , j 1

Relaţii între frecvenţe: - Suma frecvenţelor marginale:

1..

..

1 ...

1

1 ..

.

1 . n

nm

i inn

m

i n

inm

i i f

1..

..

1...

1

1 ..

.

1.

n

n p

jj

nn

p

j n

jn p

jj

f

- Suma frecvenţelor condiţionate:

1

1

1

11

j.

n

j.nm

iij

n

j.n

m

i j.n

ijnm

ij / i

f

1

.

.

1.

1

1.

1/

i

n

in p

jij

n

i

n

p

ji

n

ijn p

ji j

f

- Suma frecvenţelor parţiale:




59

1..

..

1...

1

1 ..111

n

nm

ii

nn

p

j n

ijnm

i

p

jij

f m

i

- Produsul dintre frecvenţele marginale şi frecvenţele condiţionate este egal cu frecvenţele parţiale corespunzătoare:

ij f

n

ijn

in

ijn

n

in

i j f

i f

...

...

/ .

- Produsul sumelor frecvenţelor condiţionate este egal cu suma frecvenţelor parţiale care esteegal cu unitatea:

1

.

.

.

.

.

1

.

1

.. / /

in

in

jn

jn

jij

n

ini

ijn

jn j i

n

ijn

i jn

ijn

ji j

f

iji

f

Pe baza distribuţiilor marginale şi a distribuţiilor condiţionate se pot calcula medii marginale şicondiţionate, varianţe marginale şi condiţionate, covarianţa.

Reprezentarea grafică a tabelului de corelaţie se prezintă ca un nor de puncte.

Tabel 3.3. Tabel de corelaţie

Valorile Y

Valorile X

y1 y2 y j ym

m

j

ija1

x1 a11 a12 ... a1j ... a1m a1.

x2 a21 a22 ... a2j ... a2m a2.

... ... ... ... ... ...

xi ai1 ai2 ... aij ... aim ai.

... ... ... ... ... ... ... ...

xn an1 an2 ... anj ... anm an.

n

i

ija1

a.1 a.2 a.j a.m a..

Frecvenţe absolute şi frecvenţe relativeValorile unei caracteristici statistice se pot prezenta sub formă tabelară sau sub formă restrânsă,

prin efectuarea unei grupări simple sau a unei grupări pe intervale. Gruparea simplă, posibilă înanumite cazuri pe caracteristici discrete, reprezintă un tabel conţinând valorile distincte, respectivnumărul de apariţie ale acestora. Adoptarea unui număr m de intervale disjuncte şi gruparea valorilor statistice pe aceste intervale conduce la realizarea unui tabel cu intervale (clase) de grupare . Număr ulunităţilor (elementelor) statistice care au aceeaşi valoare sau aparţin aceluiaşi interval reprezintăfrecvenţa absolută n1 , n2 , … , nn. Suma totală a frecvenţelor absolute este egală cu numărul unităţilor cercetate n: nni

Raportul dintre frecvenţa absolută şi numărul total de unităţi statistice se numeşte frecvenţă

relativă:

i

iii

n

n

n

n f sau 100%

i

ii

n

n f

Suma totală a frecvenţelor relative este egală cu: 11

n

i

i f sau 100%1

n

i

i f

Calculul frecvenţelor absolute cumulate: N 1 = n1 , N 2 = N 1 + n2 , …, N i = N i-1 + ni , … , N m = N m-1 + nm = n

mi

m

i

mm n...n....nnn N

21

1

Calculul frecvenţelor relative cumulate:F 1 = f 1 , F 2 = F 1 + f 2 , … , F i = F i-1 + f i , … , F m = F m-1 + f m = 1

Calculul frecvenţelor relative cumulate exprimate în procente:




60

F 1 = f 1%, F 2 = F 1 + f 2%, … , F i = F i-1 + f i%, … , F m = F m-1 + f m% = 100%

În multe cazuri este necesar să se cunoască numărul total de unităţi statistice până la o anumităvaloare a caracteristicii sau numărul de la o anumită valoare în sus, acest număr reprezintă frecvenţacumulată. Frecvenţa cumulată poate fi relativă sau absolută, de asemenea poate fi crescătoare saudescrescătoare, ea reprezintă suma frecvenţelor intervalelor de grupare de la un anumit nivel în sus sau

în jos.

Intervale de grupare

Gruparea statistică este o centralizare pe grupe a unităţilor unei colectivităţi.Mărimea intervalelor (claselor) de grupare se consideră, în general, egală, cu excepţia intervalelor

extreme, pentru care uneori se pot adopta valori diferite. Alegerea numărului de grupe se face ţinândseama de scopul grupării. Mărimea (amplitudinea) intervalelor de grupare se determină cu

relaţia:k

A

k

x xh minmax

unde: h – amplitudinea intervalului de grupare; k – numărul de intervale

de grupare

minmax x x A - amplitudinea de variaţie a caracteristicilor

unde: xmax şi xmin reprezintă valoarea maximă respectiv minimă a caracteristici de grupare x.

În cazul colectivităţilor de volum mare cu o tendinţă de variaţie sistematică numărul intervalelor de grupare se pot stabili cu relaţia lui H. A. Sturges: nk lg322,31 , unde n este numărul total aldatelor observate.

Pentru 100n se utilizează relaţia lui H. B. Mann şi A. Wald: 5

1

14

14

nk

Un alt mod simplu de stabilitate a numărului de intervale de grupare constă în considerarea

numărului întreg care rezultă din relaţia nk .Pentru 250n este suficient îm părţirea în 10 intervale de grupare.Dacă 25n , gruparea valorilor statistice nu oferă informaţii suplimentare pe baza cărora să se

poată lua decizii. Atunci când se lucrează cu intervale de grupare, frecvenţa rezultată prin grupare seconsideră ca fiind corespunzătoare valorilor medii al fiecărui interval. Dacă limitele intervalului de

grupare suntinf i x şi

supi x , intervalul se consideră închis la stânga şi deschis la dreapta. Astfel, o

valoare xi aparţinând intervalului inf sup

,i i x x trebuie să satisfacă inegalitatea

inf supi i i x x x .

Dacăsupi i x x valoarea xi va fi încadrată în următorul interval de grupare.

3.2.2. REPREZENTAREA GRAFICĂ

Reprezentarea grafică a datelor statistice se poate face prin figurigeometrice şi figuri naturale simbolice numite şi diagrame sau grafice.Reprezentarea grafică evidenţiază aspectele caracteristice alefenomenelor şi proceselor fiind folosit ca mijloc de comparare sau destudiere a legăturilor . Reprezentarea grafică este o metodă deprezentare prin imagini a datelor unei repartiţii. Un rol important algraficului constă în interpretarea datelor, analiza lor şi comunicarearezultatelor. Cu ajutorul graficului sunt puse în evidenţă caracteristiciesenţiale ale distribuţiilor cum ar fi tendinţele, ordinea de mărime,legile de variaţie în timp, în spaţiu sau din punct de vedere calitativ.Graficele frecvent folosite sunt: histogramele de repartiţie afrecvenţelor (simple sau cumulate), diagramele cu bare (coloane),

diagrama prin benzi, diagrama de structură, cronograme, diagrama polară, diagrama Radar,corelograma şi poligonul frecvenţelor.

Ni

Figura 3.1. Histograma

frecvenţelor cumulate

2

14

24

42

32

38

7

44

x




61

Histograma este o diagramă formată din dreptunghiuri având pe axa absciselor segmente dedreaptă egale cu intervalul de grupare iar pe axa ordonatelor înălţimea dreptunghiurilor este

proporţională cu frecvenţa corespunzătoare intervalului de grupare.Datele necesare pentru construirea unei histograme pot fi constituite dinorice set de măsurători ale unei variabile continue sau discrete. Datele

pentru construirea unei histograme trebuie să fie precise, complete şireprezentative.

Dacă intervalele sunt inegale efectivele nu sunt comparabile de la oclasă la alta, ca urmare în construcţia histogramei este necesar să serecurgă la frecvenţe corectate, denumite şi frecvenţe reduse.

Frecvenţele reduse se obţin utilizând relaţia: i

ii

k

nh

în care

.minl

lk i

i unde:

ni – frecvenţa corespunzătoare intervalului (xi-1 ,xi)

li – mărimea intervalului (xi-1 ,xi)

lmin - mărimea intervalului minim k i – coeficientul de reducere al frecvenţelor Diagrama prin suprafeţe este un grafic în care datele statistice sunt reprezentate prin figuri

geometrice ca pătratul, dreptunghiul, cercul ale căror arii sunt proporţionale cu mărimile indicatorilor respectivi.

Diagrama prin benzi este un grafic în care datele statistice sunt reprezentate prin dreptunghiuri acăror lungime este proporţională cu mărimile indicatorilor reprezentaţi iar lăţimile dreptunghiului suntegale şi sunt aşezate pe axa ordonatelor.

Diagrama polară este un grafic construit pe o reţea radială iar scara se construieşte pe rază,lungimea razei fiind egală cu media indicator ilor seriei respective.

Diagrama cu linii constituie un mod simplu de reprezentare a repartiţiei întâlnite îndeosebi în

fişele industriale de control statistic.Diagrama cu coloane este un grafic în care datele statistice sunt reprezentate prin ariile unordreptunghiuri cu aceiaşi lăţime construite pe axa absciselor a căror înălţime este proporţională cumărimea indicatorilor reprezentaţi.

Diagrama de structură este un grafic în care este reprezentată structura unei colectivităţi, scoate în evidenţă raportul existent dintre părţile componente ale colectivităţii şi colectivitatea luată ca întreg.Graficul utilizează figuri geometrice cum ar fi: cercul, pătratul, dreptunghiul. Suprafeţele acestora suntdirect proporţionale cu volumul colectivităţii, iar parţi ale acestora sunt reprezentate prin porţiuni desuprafaţă.

Poligonul frecvenţelor acestui grafic poate fi extras dintr-o histogramă unind prin linii frânte

valorile centrale ale intervalelor de grupare. În cazul frecvenţelor cumulate crescător, unind în acelaşimod mijloacele se obţine poligonul repartiţiei numit şi ogiva lui Galton.

ni

xi

2

6

3

5

2

4

8

10

Fig. 3.3 Diagrama cu linii

a frecvenţelor absolute

1

ni

5 15 20 25 30 35 40 45 50 Fig. 3.4 Poligonul

frecvenţelor absolute

xi

ni

xi

Figura 3.2. Histograma

frecvenţelor simple

2

5

78

6

4

2

10




62

3.2.3. INDICATORI STATISTICI

Alcătuirea seriei statistice, gruparea datelor şi reprezentarea grafică nu sunt suficiente pentruanaliza statistică, respectiv pentru determinarea legilor căruia i se supune fenomenul de masă observat.Seria statistică formată scoate în evidenţă trăsăturile comune ale tuturor caracteristicilor ce se supununor legi generale. Datele existente în cadrul seriei trebuie să fie sintetizate într-un indicator care să lereprezinte. Rezultatul măsurătorilor obţinute în condiţiile variabilităţii mărimilor ne conduce la faptulcă există o tendinţă a datelor de a se grupa în jurul frecvenţei maxime, frecvenţă care corespunde unei

valori centrale a variabilelor statistice numită tendinţa centrală.În cazul repartiţiilor statistice empirice a frecvenţelor , tendinţa de variaţie pentru orice

caracteristică a populaţiei statistice prezintă două aspecte: de localizare (poziţie) în jurul unei valori medii; de variaţie (împrăştiere).

Din experienţă, se constată că repartiţia frecvenţelor poate fi simetrică sau asimetrică în raport cupoziţia de localizare, de asemenea, localizarea se poate face în jurul unei valori medii dar împrăştiereapoate fi diferită. Graficele de frecvenţă rezultate în urma prelucrării datelor au numai valoare deutilizare calitativă.

O analiză cantitativă care să permită o comparaţie a tendinţelor de localizare şi de variaţie(împrăştiere) se poate realiza numai prin determinarea indicatorilor statistici care se calculează pe baza

datelor statistice ale valorilor caracteristice respective.

3.2.3.1. Indicatori de localizare (de poziţie)

Orice mărime care dă informaţii asupra poziţiei valorilor principale ale repartiţiei pe axaabsciselor se numeşte indicator de localizare (poziţie). Indicatorul de localizare este o valoareteoretică, care în anumite cazuri poate să nu existe practic printre valorile populaţiei. Indicatorul delocalizare precizează valoarea în jurul căreia tind să se grupeze datele reale. Indicatorul de bază altendinţei de localizare este format din mărimile medii.

Media.

În cadrul procesului de prelucrare a datelor, pentru a caracteriza în mod sintetic ceea ce este tipicsau esenţial în variaţia caracteristicii dintr -o colectivitate statistică este necesar să se calculeze media. Media este un indicator derivat. Media este sintetizată numeric sub formă abstractă pentru toatenivelurile individuale ale unei caracteristici.

Pentru ca media să aibă un conţinut real, deci să nu denatureze rezultatul cercetării este necesar cala calculul acesteia să se ţină cont de următoarele aspecte:

înainte de a calcula media se va efectua o analiză a structurii colectivităţii asigurându-ne deomogenitatea unităţii folosite pentru a calcula media;

în cazul în care colectivitatea are un caracter eterogen, este necesar ca respectivacolectivitate să se împartă în grupe omogene; se va calcula o medie pentru fiecare grupă, iar ulterior se calcula o medie pentru întreaga colectivitate analizată;

pentru calcul mediei se va utiliza un număr cât mai mare de valori individuale; deoarece se pot calcula mai multe tipuri de medii se va utiliza acel tip care se corelează cel

mai bine cu natura şi forma de variaţie a caracteristicii. Media reprezintă expresia care sintetizează într-un singur nivel (reprezentativ) tot ceea ce este

esenţial, tipic şi obiectiv în modul de apariţie, manifestare şi dezvoltare pentru caracteristica statistică.Anumite concepte consideră media ca fiind „speranţa matematică” spre care tind toate valorilecaracteristicilor statistice. Fiecare dintre medii se pot calcula sub două forme:

ca medie simplă; ca medie ponderată;

Media aritmetică x - se calculează atunci când fenomenul cercetat înregistrează modificări

constante care se află în progresie aritmetică. Considerând valorile caracteristicii: x1, x2, ..., xn

n

i

i

n xnn

x... x x x

1

21 1




63

Media ponderată. Când există intervale de grupare cu frecvenţe de apariţie specifice fiecăruiinterval, media aritmetică se calculează cu relaţia:

n

i

i

n

i

ii

n

nn

n

n x

nnn

n xn xn x x

1

1

21

2211

.. .

...sau

n

i

i

n

i

ii

n

n

f

f x

f f f

f x f x f x x

1

1

21

22211

.. .

.. .

100%1

n

i

i f , atunci100

1

n

i

ii f x

x sau 1%1

n

i

i f atunci

n

i

ii f x x

1

Pentru variabilele aleatoare discrete ni p

x X

i

i,...,2,1,:

valoarea medie se notează cu X M şi

se calculează cu relaţia: i

n

i

in

i

i

i

n

i

i

n

nn p x

p

p x

p... p p

p x... p x p x X M x

1

1

1

21

2211 unde:

1

1n

i

i

p

reprezintă un sistem complet de evenimente.

Pentru variabile continue, media aritmetică care mai este denumită şi speranţa matematică secalculează cu relaţia:

dx x xf x xdF X M x

unde: f(x) reprezintă densitatea de probabilitate a

variabilei x.

Calculul simplificat al mediei aritmetice: ak n

k

a x

x

n

i

i

1

sau ak f

f k

a x

x n

i

i

n

i

i

i

1

1

Media aritmetică este influenţată de valorile mari ale seriei. Proprietăţile mediei aritmetice

a) Media aritmetică are un nivel cuprins între nivelul minim şi nivelul maxim.

min max x x x

b) Suma abaterilor nivelurilor individuale faţă de nivelul mediei este zero.

01

n

i

i x x 01

11111

n

x

n x xn x x x x x

n

i

in

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

01

i

n

i

i n x x 01

1

1

1111

n

i

in

i

i

n

i

iin

i

ii

n

i

i

n

i

iii

n

i

in

n

n x

n xn xn xn x x

c) Media calculată pe baza variantelor caracteristicii micşorate sau mărite cu o caracteristicăo modifică în acelaşi sens şi cu aceeaşi mărime faţă de valoarea iniţială.

1

n

ii

x

xn

;

a xn

na xn

n

a x

n

a x

x

n

i

n

i

i

n

i

i

111 /




64

a xa

n

n x

n

nan x

n

na x

xn

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

1

1

1

11

1

1 /

d) Media calculată din variantele caracteristicii multiplicată sau simplificată cu o constantă k măreşte sau micşorează de k ori media iniţială.

xk n

xk

n

k x

x

n

i

i

n

i

i

/ 11

11 xk n

xk

n

k x

x

n

i

i

n

i

i /

11

Pentru cazul în care se calculează pentru serii de frecvenţe atunci relaţia se poate scrie:

1

1

1n

i

ni

i

i

x a x n k a

k f

e) Dacă într -o serie se reduc frecvenţele cu o mărime constantă precum şi valorilecaracteristicilor cu aceeaşi constantă, media calculată rămâne neschimbată.

1 1 1

1 11

1

1

n n ni

i i i i i

i i i

n nni

i i

i ii

f x f x x f

k k x x

f f f

k k

f) Media aritmetică a unei sume este formată din două sau mai multe variabile independenteegală cu suma mediilor. M x y z M x M y M z

g) Media aritmetică a produsului dintre două variabile independente este egală cu produsulmediilor. M x y M x M y

h) Media generală calculată pentru o populaţie eterogenă este egală cu media mediilor parţiale.

Media armonică h x - se calculează din suma valorilor inverse ale termenilor seriei.

Considerăm valorile caracteristicii x1, x2, ..., xn, media armonică este dată de relaţia:

1 2 1

1

1 1 1 1...

h n

n i i

n x

x x x x

n

sau1

1

n

i

ih n

i

i i

f

x f

x

,

n

i i

i

n

i

i

h

x

n

n

x

1

1

Observaţie importantă: x xh .Media armonică este influenţată de valorile mici, reducând din influenţa valorilor mari. Media armonică se utilizează în practică la calculul preţului mediu şi al indicelui mediu al

preţurilor. Media pătratică

p x - se calculează din suma valorilor ridicate la pătrat al termenilor seriei.

n

i

i

n

px

nn

x... x x x

1

222

2

2

12 1

n

i

i p xn

x1

21




65

Atunci când colectivitatea este divizată pe grupe şi fiecărei grupe i se asociază o frecvenţă, media

pătratică se calculează cu relaţia:

2

1

1

n

i i

i p n

i

i

x f

x

f

sau

n

i

i

n

i

ii

p

n

n x

x

1

1

2

Observaţie importantă:h p

x x x .

Media pătratică este influenţată de valorile mari ale seriei. Media pătratică se foloseşte în situaţii speciale:

când se doreşte să se acorde o importanţă mai mare termenilor xi cu nivele mari în cadrulseriei;

când seria conţine atât termeni pozitivi cât şi termenii negativi.Media geometrică

g x - se calculează din produsul termenilor seriei:

1 2

1

...n

n ng n i

i

x x x x x

Pentru uşurinţa calculului se logaritmează: 1 2

1

lg lg ... lg 1lg lg

n

n

g i

i

x x x x x

n n

Atunci când există serii de frecvenţe pentru valorile xi, media geometrică se calculează astfel:

m

i

ii

nm

i

n

ig x x 1

1

sau

m

i

ii

f m

i

f

ig x x 1

1

Pentru uşurinţă se foloseşte expresia:

m

i

i

m

i

ii

m

nm

g

n

xn

nnn

xn xn xn x

1

1

21

2211

lg

...

lg...lglglg

Media geometrică se mai numeşte şi „ritm mediu”. Media geometrică este influenţată de valorile mici, reducând din influenţa valorilor mari. Media de ordin „ r” se calculează cu formula:

n

i

r

i

r

r xn

m1

1 sau r

n

i

r

ir xn

m

1

1 respectiv

r n

i

i

n

i

i

r

i

r

n

n x

m

1

1

- dacă r = 1 ,

n

i

i

i

n

i

i

r

n

n x

xm

1

1 , media aritmetică

- dacă r = 2

n

i

i

n

i

ii

pr

n

n x

xm

1

1

2

, media pătratică

- dacă r = -1

n

i i

i

n

i

i

hr

x

n

n

xm

1

1 , media armonică

Observaţie importantă: h g p x x x x .




66

Mediana Me - reprezintă valoarea caracteristicii care ocupă locul central în şirul ordonat de

valori, împarte seria în două grupe egale ca număr. Pentru a determina mediana este necesar să seordoneze termenii seriei crescător sau descrescător iar locul medianei va fi stabilit pe baza relaţiilor:

2

1ne x M - dacă şirul conţine un număr impar de valori 2 1n k unde 1

2

n reprezintă

rangul;

2

122

nn

e

x x

M - dacă şirul conţine un număr par de valori

Dacă valorile sunt grupate pe clase, intervalul care conţine elementul median se numeşte „intervalmedian” sau „clasă mediană”.

Într-o serie de frecvenţe întâi trebuie să se găsească intervalul median după care se calculeze

valoarea medianei.2

1

1

n

i

i f

median Intervalul

Dacă seria frecvenţelor este foarte mare (>500) atunci se renunţă la adunarea cu cifra 1. Pentru variabile continue, mediana reprezintă valoarea tipică cu care variabila x are aceiaşi

probabilitatea de a fi inferioară sau superioară: ee M X P M X P sau dx x f dx x f

e

e

M

M

Expresia simplificată pentru calculul medianei este:

e

e

M

M1

inf f

2

1

cum

n

i

i

M e

f

f

h x M e

unde: X inf Me – limita inferioară a intervalului median sau a

intervalului cu frecvenţa cea mai mare (interval modal); h – mărimea intervalului median sau intervalului modal;

1

n

i

i

f

- suma frecvenţelor tuturor intervalelor;

f cum Me - frecvenţa cumulată a intervalelor anterioareintervalului median sau intervalului modal;

f Me – frecvenţa intervalului median sau a intervalului modal.Mediana se determină mult mai uşor decât media şi nu necesită

nici un calcul complicat. Din cauza modului simplu de determinare,mediana este folosită frecvent în industr ie, în cadrul controluluistatistic (diagrama mediană – amplitudine, diagrama mediană – abatere

standard, etc.). Mediana este preferată uneori mediei, fiind mai puţin afectată de valorile extreme carepot avea valori foarte mari sau foarte mici. Mediana este mai stabilă la fluctuaţiile de selecţie decâtmedia aritmetică.

Mediana nu este influenţată de valorile extreme. Determinarea grafică a medianei. Dacă dorim să aflăm valoarea medianei corespunzătoare

unui fenomen cu variabile continue construim curba frecvenţelor cumulate iar din punctul carereprezintă jumătate din frecvenţele absolute de apariţie a unităţilor statistice se duce o perpendiculară

pe axa absciselor rezultând valoarea medianei. Mai simplu, se construieşte ogiva frecvenţelor (frecvenţa cumulată în sus respectiv frecvenţa cumulată în jos) iar la intersecţia acestora coborâm o

perpendiculară pe axa absciselor şi aflăm valoarea medianei. Modul (Moda sau Dominanta)

0

Dsau M 0

- este acea valoare a caracteristicii care are

frecvenţa cea mai mare de apariţie. Se calculează numai în cazul intervalelor de grupare (seriilor cufrecvenţe). Când repartiţia frecvenţelor este reprezentată de o curbă cazul variabilelor continue, modul

x

ni

3.5. Graficul pentru

determinarea medianei

Me




67

corespunde valorii pentru care densitatea de probabilitate are un maxim. Dacă repartiţia statisticăempirică are un maxim se numeşte unimodală, dacă are două se numeşte bimodală sau dacă are maimulte maxime se numeşte polimodală. Intervalul căruia îi corespunde frecvenţa maximă se numeşte„interval modal” sau „clasă modală”.

Determinarea grafică. Se construieşte fie o histogramă fie o curbă a frecvenţelor. În cazulhistogramei sunt două metode de calcul: metoda diagonalelor sau metoda de interpolare a valorilor.

Mod de calcul al valorii denumite mod (moda).

bh

c 1 şiahc

2 ,

rezultă din cele două relaţii că:

ab 21 sau ;ahahba2

1

2

1

2

1

2

1

;21

2

2

1 ha

;21

1 ha

similar se calculează ;21

2 hb

Rezultă: h La L M

21

1110

sau

h Lb L M

21

2220

În cazul curbei frecvenţelor se determină punctul de inflexiune corespunzător unei parabole punând condiţia să treacă prin trei puncte. Se obţine aceiaşi relaţie ca mai sus.

Avantajul utilizării modului. Modul poate fi determinat foarte rapid. Se utilizează pentru aobţine o primă estimare a valorii centrale ale unei distribuţii. Cu cât valoarea modul se află la distanţăfaţă de valoarea mediei aritmetice cu atât distribuţia are o asimetrie mai pronunţată. În concluziemodul poate fi utilizat pentru aprecierea gradului de asimetrie.

Valoarea centrală reprezintă media extremelor valorilor caracteristice ale unei serii.

2

minmaxc

x x x

Valoarea centrală se calculează şi pentru un interval de grupare de ordin i şi reprezintă media

valorilor limită (inferior şi superior) ale intervalului.

2

supinf ii

ic

x x x

Quantile sunt mărimi de poziţie. Quantilele sunt valori ale caracteristicii statistice care împartseria în n grupe care au efective egale. Numărul n defineşte ordinul quantilelor. Modul de determinarea quantilelor este analog cu cel utilizat de mediană. Pentru variabile continue se utilizează relaţia:

ndx x f .....dx x f dx x f dx x f n x

x

x

x

x

x1

1

3

2

2

1

1

Quartile - notate Q1, Q2, Q3 – sunt acele valori ale caracteristicii care împart seria în patru părţiegale. Ele se calculează prin analogie cu modul de calcul al medianei dar ţinând seamă de locul pe care

î l ocupă quartila inferioară Q1 sau quartila superioară Q3 în cadrul seriei, quartila Q2 este egală cumediana.

Locul fiecărei quartile se determină utilizând relaţiile:

4

13L ;

4

12L ;

4

1321 QQ

nnn LQ

Me

Q2 Q3 Q1

Fig 3.7 Poziţia quartilelor şi a medianei

f

x

L1 L2 M0

1 2

a bc

h

Fig 3.6. Graficul pentru

determinarea modului




68

Valoarea quartilelor se calculează cu relaţiile:

1Qf

1Q4

1

1

h1infQ1Q x

cum f

n

ii

f

; e M Q 2 ;3Qf

3Q4

1

13

h3infQ1Q x

cum f

n

ii

f

Decile – notate D1, D2, ..., D9 – sunt acele valori ale caracteristicii care împart seria în zece părţi(decia), a cincea decilă fiind egală cu mediana.

Locul decilelor se calculează utilizând formulele:

10

19

9DL ,... ,

10

12

2DL ,

10

1

1

nnn

D L

Valoarea decilei se calculează cu relaţia: 1Df

1D10

1

1

h1infD1D x

cum f

n

ii

f

D2 f

2 Dcum

f

n

i

i f 1

h 2infD x2 D

10

1

2

… e M D

5 …

9 D f

9 Dcum

f

n

i

i f 1

9infD h x D9

10

1

9

Centile sau procentile – notate C1, . . ., C99 – sunt valorile caracteristicii care împart seria în 100de părţi.

Locul procentilelor se calculează utilizând formule:

100

199

10 0

12

10 0

1

1

n

99C L ;...;

n

2C L ;

n

C L

Valoarea procentilei este dată de relaţia:

1C f

1C cum f

n

1ii f 1

infC 1 h xC 1

100

… e M C 50 … 99C f

99C cum f

n

1ii f 1

99infC 99 h xC

100

99

Explicaţia termenilor din formulele de mai sus este similară cu cea de la decile.

3.2.3.2. Indicatori simplii ai variaţiei sunt utilizaţi pentru a măsura câmpul de împrăştiere alcaracteristicilor înregistrate, precum şi pentru a determina împrăştierea fiecărui nivel individual alcaracteristici faţă de nivelul mediu. Indicatorii sunt: amplitudinea variaţiei şi abaterea individuală.Aceştia se pot exprima atât în mărimi absolute cât şi în mărimi relative.

Amplitudinea variaţiei a) Amplitudinea variaţiei în mărimi absolute: A x = X max - X min

b) Amplitudinea variaţiei în mărimi relative: Arel% = 100100 minmax x

x x x A x




69

Amplitudinea variaţiei nu este un indicator suficient de semnif icativ, principalul dezavantaj constăîn faptul că nu ţine seamă de toate valorile observate ci numai de valorile extreme ale caracteristicilor,ori asupra variaţiei unui fenomen este normal să aibă influenţă toate valorile individuale şi frecvenţelelor de apariţie. Uneori sunt cazuri când valorile extreme sunt foarte depărtate de celelalte valoriintermediare şi in acest caz, a măsura variaţia numai în funcţie de amplitudinea ei poate fi o greşeală .Amplitudinea variaţiei este un indicator care în domeniul tehnic se interpretează în raport cu limitelede toleranţă admise.

Abaterea individuală a) A baterea individuală în mărimi absolute – notate d i - se calculează cu relaţia x xd ii

b) Abaterea individuală în mărimi relative – notate d i% - se calculează cu relaţia

100100%

x

d

x

x xd ii

rel

În concluzie, amplitudinea variaţiei oferă informaţii referitoare la mărimea(întinderea) domeniuluide variaţie fără să ofere posibilitatea cunoaşterii structurii interne de variaţie, iar abaterea individualăoferă informaţii doar la nivelul fiecărei variante xi , neglijând imaginea dispersiei pe ansambluldistribuţiei.

Indicatori sintetici ai variaţiei exprimă, în mod sintetic, împrăştierea tuturor nivelurilor

individuale ale unei caracteristici faţă de nivelul mediu Abaterea medie liniară – notată d - este un indicator sintetic al împrăştierii, definit ca valoare

medie a abaterilor absolute, se calculează ca media aritmetică simplă sau ponderată din abaterile

termenilor de la media lor, luată în valoare absolută.

n

i xi x

nn

n

i xi x

d 1

11

Abaterea medie liniară calculată în valori absolute pentru o serie cu intervale de grupare.

n

i i f xi x

n

ii

f n

ii

f

n

i i f xi x

d 1

1

1

1

1

Abaterea medie liniară calculată în valori relative pentru o serie cu intervale de grupare.

n

i i f xi x

n

i i f xi x

d 1

%100

1

100

1%

Dacă xi este o variabilă aleatoare a cărei funcţie de repartiţie este F (x) şi există media M[x],

expresia abaterii medii liniare este dată de relaţia: dx f xdF X M xd xi xi

Calculul abaterilor individuale d se face fără a ţine seamă de semnul lor deoarece dacă s-ar folosivalorile algebrice, nivelul abaterii medii liniare ar fi egal cu zero. Abaterea medie liniară indicăvariaţia medie de la valoarea medie de distribuţie. Valoarea este cu atât mai mică cu cât valorile suntgrupate în jurul mediei. Pentru calculul abaterii medii liniare se poate utiliza orice altă mărime mediecum ar fi mediana, dezavantajul constă în aproximarea introdusă de mediană.

Abaterea medie pătratică – notată σ – se mai numeşte deviaţia standard, este un indicator alîmprăştierii valorilor unei variabile aleatoare x, este definită ca rădăcina pătrată a momentului centratde ordin doi sau este rădăcina pătrată a dispersiei.

n

i x

i x

n

n

i x

i x

nn

n

i

xi

x

1221

1211

2

2




70

Abaterea medie pătratică calculată în valori absolute pentru o serie cu intervale de grupare este

dată de expresia:

n

ii

n

n

ii

n xi

x

1

1

2

Abaterea medie pătratică calculată în valori relative pentru o serie cu intervale de grupare este

dată de expresia:

n

ii

f

n

i i f x

i x

1

1

21

sau

n

i

%i

f xi

x

1

2

100

1

Pentru serii cu variabile aleatoare discrete, expresia abaterii medii pătratice este:

n

i

ii

n

i

ii p x p x1

22

1

2

Pentru serii cu variabile continue, unde F (x) este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare x şi μ

este media acestor variabile, abaterea medie pătratică este dată de relaţia:

2222dx f xdx f xdF x xi xi xi

Abaterea medie pătratică este calculată ca o medie pătratică, iar prin ridicarea la pătrat se dă o maimare importanţă abaterilor mai mari în valoare absolută. Abaterea medie pătratică este un indicator de

bază care se foloseşte în analiza variaţiei, pentru estimarea erorilor de selecţie, în calculele decorelaţie.

Observaţie: σ > d , rezultă din faptul că abaterea medie pătratică este calculată ca o medie pătratică în care se reflectă în mod pregnant influenţa factorilor întâmplători, adică abaterile mari faţăde medie. Abaterea medie pătratică caracterizează mai bine variaţia fenomenelor.

Relaţia întreσ

şi Q. Două mărimi diferite devin comparabile dacă facem raportarea la unreferenţial comun. În cazul de faţă considerăm distribuţia normală perfect simetrică, ştim că înintervalul mediu interquartilic ( M e – Q) şi ( M e + Q) se află 50% din unităţile unei colectivităţi, înschimb în intervalul x şi x se află 68,27 % din unităţile colectivităţii. Făcând convertirea

utilizând variabila standard

x x

Z şi consultând tabelele Gauss, rezultă Q = 0,675 σ

Abaterea medie pătratică corectată – notată cu s – se calculează după formula:

n

i

x

i

x

nn

n

i

xi

x

s

1

2

1

1

1

1

2

Coeficientul de variaţie – notat CV – este un indicator relativ al variaţiei caracteristicii, secalculează ca raport procentual între abaterea medie pătratică sau abaterea medie liniară şi media

aritmetică a seriei. CV = 100 x

sau CV = 100

x

d

Coeficientul de variaţie are valori cuprinse în intervalul 0 < CV < 100%, cu cât nivelulcoeficientului de variaţie tinde spre zero, cu atât seria statistică este mai omogenă şi media este maireprezentativă respectiv cu cât valoarea tinde către 100% cu atât variaţia este mai intensă iar mediaare un nivel de reprezentare redus.

Pentru a caracteriza variaţia seriei, respectiv testul de semnificaţie al reprezentativităţii mediei

funcţie de coeficientul de variaţie se consideră următoarele praguri: • 0 < CV ≤ 17% media este strict reprezentativă iar colectivitatea este omogenă • 17% < CV ≤ 35% media este moderat reprezentativă




71

• 35% < CV ≤ 50% media este reprezentativă în sens larg • CV > 50% media este nereprezentativă iar colectivitatea este eterogenă

Interval interquartilic – notat I Q - exprimă abaterea interquartilică şi se calculează ca diferenţa între quartila Q3 şi quartila Q1.

1313 Q M M QQQ I eeQ

Intervalul interquartilic faţă de amplitudinea de variaţie elimină influenţa valorilor extreme aleseriei, care în anumite situaţii sunt exagerate.

Semiinterquartila – notată AQ – reprezintă abaterea medie interquartilică. 2

13 QQ

AQ

Semiinterdecila – notată A D – reprezintă abaterea medie interdecilică2

19 D D A D

Coeficientul de variaţie interquartilic – notat cu CV Q – 10010013

13

QQ

QQ

M

ACV

e

Q

Q

Coeficientul de variaţie interdecilic – notat cu CV D – 1002

100 19

ee

D

D M

D D

M

ACV

Dispersia – notată cu σ 2 – se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelorabaterilor valorilor individuale faţă de media lor.

Relaţia de calcul a dispersiei este următoarea:

n

x xn

i

i

1

2

2

Relaţia de calcul a dispersiei cu frecvenţe absolute pentru o serie analizată prin intervale de

grupare este următoarea:

n

i

i

n

i

ii

n

n x x

1

1

2

2

Relaţia de calcul a dispersiei cu frecvenţe relative pentru o serie analizată prin intervale de grupare

este următoarea:

n

i iin

i

i

f x x

f 1

2

1

12 ;

n

i

ii f x x1

2%

100

12

Relaţia de calcul a dispersiei pentru o serie cu variabile discrete este:

n

i

i x xn 1

212 sau

n

i

ii p x x M X D1

222

Relaţia de calcul a dispersiei pentru o serie cu variabile continue este:

dx f x X D x

22

Dispersia unei caracteristici poate fi calculată cu ajutorul formulei momentului centrat de ordinul

doi. Astfel, se poate stabili dacă este necesar calculul abaterilor individuale ale variantelor de la medialor.

Pentru o serie simplă:

2

11

2

2

n

x

n

xn

i

i

n

i

i

Pentru o serie analizată prin intermediul intervalelor de grupare:2

1

1

1

1

2

2

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

f

f x

f

f x

Calculul simplificat al dispersiei se poate face cu ajutorul următoarelor relaţii de calcul:




72

- pentru o serie simplă 221

2

2a xk

n

k

a xn

i

i

- pentru o serie cu frecvenţe 22

1

1

2

2 a xk

f

f k

a x

n

ii

n

i

ii

sau

22

2

1

1

1

1

2

2 a xk n

iin

n

iin`

i x

n

iin

n

iin`

i x

unde

k

ai

x`i x

unde: a – valoarea caracteristicii cu frecvenţa cea mai mare;k – lungimea intervalului;

f i – frecvenţa clasei i.

3.2.3.3. Indicatori de asimetrie şi aplatizare

În practica statistică se pot întâlni serii de repartiţii de frecvenţe simetrice, uşor as imetrice sau cutendinţă pronunţată de asimetrie. Indicatorii de asimetrie conferă date referitoare la modul derepartizare a frecvenţelor de o parte sau de alta a valorii centrale (pot fi: media, mediana şi modul).Indicatorii de aplatizarea (boltire) exprimă gradul de supleţe a frecvenţelor în zona centrală, mai precisîn jurul mediei. Practic, asimetria constituie o deviaţie a curbei de la forma simetrică a distribuţiei. Încazul unei distribuţii unimodale perfect simetrică mărimile medii cele mai importante se suprapun,

oe M M x , iar perechile de quartile Q1 , Q3 respectiv perechile de decile D1 , D9 sunt echidistante

faţă de valoarea centrală. Într-o distribuţie statistică coeficienţii de asimetrie se determină ca o relaţie

între medie şi mod, respectiv între medie şi mediană. Coeficienţi de asimetrie se pot calcula atât învalori absolute cât şi în valori relative, reprezentând un număr abstract utilizat pentru comparabilitate.

Indicatori de asimetrie

Asimetria în mărime absolută – notată As – este cu atât mai mare cu cât diferenţa dintre x şi

o M este mai mare, această diferenţă este nulă în cazul repartiţiei unimodale. Expresia asimetriei este:

os M x A sau pe baza relaţiei dintre valorile centrale eos M x M x A 3

Atunci când As < 0 media aritmetică se află la stânga deci există o extindere a frecvenţelor cătrestânga iar asimetria este negativă, dacă As > 0 media aritmetică se află la dreapta, asimetria este

pozitivă, există o extindere a frecvenţelor spre dreapta.

Coeficientul empiric de asimetrie Pearson – notat PasC - este raportul dintre valoarea asimetriei

şi abaterea standard.

soP

as

A M xC

Acest coeficient poate lua valori între – 1 şi + 1. Cu cât coeficientul este mai mic în valoareabsolută, cu atât asimetria este mai mică. Într -o serie perfect simetrică p

asC = 0, ceea ce presupune că

valoarea medie coincide cu mediana şi cu valoarea modală a seriei. Acest coeficient este utilizat pentrudistribuţii uşor asimetrice.

Dacă: 0 p

asC distribuţia este simetrică

);(C p

as 10 distribuţia are asimetrie pozitivă (asimetrie la dreapta);)0;1( p

asC distribuţia ar e asimetrie negativă (asimetrie la stânga)




73

Coeficientul de asimetrie Pearson – notat β 1 – se calculează pe baza momentelor centrate de

ordin trei respectiv de ordin doi.2

3

1 μ

μ β

unde

i

ii

n

n x x2

2 iar

i

ii

n

n x x3

3

Distribuţiile simetrice au momentele centrate de ordin impar nule iar cele de ordin par sunt

pozitive 0 ;0 ;0 ;0 4231 .Distribuţiile asimetrice au momentele centrate de ordin impar diferite de zero iar cele de ordin par

sunt pozitive, sensul asimetriei este dat de semnul lui 3 .

Dacă: 01

β distribuţia este simetrică

01

β distribuţia este asimetrică la dreapta

01

β distribuţia este asimetrică la stânga

Coeficientul empiric de asimetrie Fischer – notat F

asC - are formula

eF

as

M xC

3

Aceasta formulă se foloseşte pentru seriile uşor asimetrice şi ia valori între – 3 şi + 3. Se mai

utilizează şi formula: Mod = Media – 3( Media – Mediana)Coeficientul de asimetrie Fischer – notat γ1 – se calculează cu relaţia:

3

31

, unde:

3

2

3 , valoare care este întotdeauna pozitivă, semnul asimetriei va fi dat de 3 . Interpretarea este

aceiaşi ca şi la coeficientul de asimetrie Pearson

Coeficientul lui Bowley – notat B

asC -12

12

qq

qqC

B

as

unde: 11 Q M q e iar e M Qq 32 ;

coeficientul poate lua valori în intervalul 11 B

asC

Dacă: 0 B

asC distribuţia este simetrică;

0 B

asC distribuţia este asimetrică la dreapta;

0 B

asC distribuţia este asimetrică la stânga.

Dacă acest coeficient se apropie de 0,1 seria este moderat asimetrică iar pentru valori mari de 0,3seria este pronunţat asimetrică.

Repartiţiile empirice pot avea unul sau mai multe maxime. Repartiţia cu un singur maxim senumeşte unimodală şi poate fi simetrică sau asimetrică. Dacă repartiţia prezintă două sau mai multemaxime se numeşte polimodală. Se întâlnesc şi situaţii în care apar zone de minim în locul unuimaxim, în acest caz repartiţia poartă denumirea de antimodală. Un caz particular de repartiţieantimodală este repartiţia uniformă la care valorile frecvenţei rămân constante.

f(x)f(x)f(x)

asimetrie de dreapta

1 > 0

asimetrie de stânga

1 < 0

simetrie

1 = 0

x x x

Figura 3.8. Simetria repartiţiei




74

Indicatori de aplatizare.

Analizată din punct de vedere grafic, aplatizarea (boltirea) se apreciază comparând curbafrecvenţelor unei distribuţii empirice cu modelul cores punzător distribuţiei normale având aceiaşimedie şi aceiaşi dispersie. Aplatizarea se poate găsi în una dintre cele trei situaţii:

curba mezocurtică (normală), este cea care coincide cu modelul; curba platicurtică, se datorează unei variaţii puternice a variabilei x î nsoţită de o variaţie

slabă a frecvenţei f i; curba leptocurtică, se datorează unei variaţii slabe a variabilei x însoţită de o variaţie

puternică a frecvenţei f i;Excesul de aplatizare se exprimă având ca etalon de referinţă repartiţia normală la care β 2 = 3Densitatea de repartiţie a frecvenţelor se calculează ca raport între fiecare frecvenţă intervalului

de grupare şi mărimea intervalului respectiv:

- densitatea absolută de repartiţie a frecvenţelor h

nd i

a ;

- densitatea relativă de repartiţie a frecvenţelor h

f d i

r h

% f d i

r .

Calcularea acestor indicatori este necesară, în special, pentru seriile cu intervale de grupare mari

sau neegale. Între densitatea de repartiţie şi densitatea de probabilitate există analogii, astfel dacăvalorile acestora indică o tendinţă de creştere ca valoare către valoarea centrală a caracteristiciiînseamnă că seria are o tendinţă de normalitate şi că media este reprezentativă pentru cele mai multevalorii ale caracteristicii statistice.

Coeficientul de aplatisare Pearson – notat β 2 – se calculează utilizând momentele centrate cu

relaţia:4

4

2

2

42

, unde μ2, respectiv μ4 reprezintă momentul centrat de ordin doi (varianţa)

respectiv momentul centrat de ordin patru.Dacă: 32 distribuţia este normală ( curba Gauss – Laplace )

32 distribuţia este platicurtică

32 distribuţia este leptocurtică

Coeficientul de aplatisare Fisher – notat γ2 – se calculează cu relaţia 332

2

422

Dacă: 02 distribuţia este normală ( curba Gauss – Laplace )

02 distribuţia este platicurtică

02 distribuţia este leptocurtică

f(x)f(x) f(x)

aplatisată

(platicurtică)

1 <3; 02

ascuţită

(leptocurtică)

1 >3; 02

x x x

Figura 3.9. Tipuri de aplatizări

aplatisare medie

(mezocurtică)

1 3; 02




75

3.2.4. MOMENTE

În statistica matematică şi teoria probabilităţii, se utilizează noţiunea de moment, noţiune extremde importantă, deoarece pe baza acestei noţiuni se pot stabili indicatori de bază : media, dispersia

precum şi indicatorii referitori la forma repartiţiei, simetrie şi aplatizare. De asemenea, particularităţilegate de forma repartiţiei nu pot fi redate de indicatori statistici de localizare sau variaţie de aceea secalculează momentele de ordin k .

Momentele se împart în două mari categorii:

- momente absolute, la care valorile sunt considerate în raport cu originea (notate k am );

- momente centrate de ordin k , la care valorile sunt exprimate în raport cu o valoare arbitrară(notat. k

cm )

Moment absolut de ordin k ( k > 1) sau moment iniţial de ordin k se determină utilizând relaţia:

n

i

k

i

k

n

k k

k

a xnn

x... x xm

1

21 1unde: x1, x2, …, xn sunt valori observate ale caracteristicii X .

Momentul absolut de ordin k poate fi exprimat şi cu ajutorul frecvenţelor absolute sau relative:

n

i

k

iin

i

i

k

a x f

f

m1

1

1sau

n

i

k

ii

k

a x% f m1100

1

Momentul absolut de ordin I reprezintă media aritmetică. a

n

i

i

n

a x xnn

x... x xm

1

211 1

Momentul absolut de ordin II reprezintă media pătratică. 2

1

222

2

2

12 1 p

n

i

i

n

a x xnn

x... x xm

Momente centrate de ordin k ( k > 1) în raport cu o origine arbitrară A este :

n

i

k

i

k

c A xn

m1

1sau i

n

i

k

in

ii

k

c f A x

f

m

1

1

1; %

100

1

1

i

n

i

k

i

k

c f A xm

Momentul centrat de ordin k în raport cu media aritmetică se notează cu k

cm şi se calculează cu

relaţiile:

n

i

k

i

k

c x xn

m1

1sau i

n

i

k

in

i

i

k

c f x x

f

m

1

1

1; %

100

1

1

i

n

i

k

i

k

c f x xm

Momentul centrat de ordin k în raport cu media teoretică se notează cu μk şi se calculează cu

relaţia: i

n

i

k

i

k k p x X M X M

1

Pentru variabila continuă, momentul centrat de ordin k este : dx f x x

k k

Momentul centrat de ordinul II este egal cu dispersia. 2

1

22 1

n

i

ic x xn

m

Relaţii între momentele absolute şi momentele centrate

Între momentele absolute k

am şi momentele centrate k

cm se pot stabili anumite relaţii. Momentul

centrat de ordin doi poate fi exprimat de momentele iniţiale :

2

1

1

22

1

1

1

1

2

12

2

1

1

12

1

1

12 xi x

n

ii f n

i i

f

x

i xn

ii f n

i i

f

n

ii f xi x

n

ii f xi x

n

ii f n

i i

f

xi xn

ii f n

i i

f c

m

2122

111222cmcmamamamamcm




76

În mod similar, momentul centrat de ordin trei va fi :3

1221333

amamamamcm

Se pot scrie următoarele relaţii:

42234412213144

323312133

2222122

11

0

364364

2323

0

0

x xm xmmmmmmmmm

x xmmmmmmm

xmmmm

xmm

m

aaaaaaaaac

aaaaaac

aaac

ac

c

Corecţia momentelor

Pentru calculul indicatorilor statistici în cazul seriilor cu foarte multe unităţi statistice se utilizeazăgruparea pe intervale, frecvenţa fiecărui interval este considerată ca fiind corespunzătoare valoriicentrale a intervalului de grupare. Calculul indicatorilor statistici utilizând metoda grupării unităţilor statistice conduce, în general, la apariţia anumitor erori. Numai o repartiţie uniformă a unităţilor statistice în interiorul fiecărei clase conduce la inexistenţa erorilor, lucru care este, în general, foarte

rar întâlnit. Corectarea indicatorilor statistici calculaţi utilizând metoda grupării este cunoscută subdenumirea de corecţie Sheppard. Media nu necesită nici o corecţie, deoarece formula:

n

i

i xn

x1

1 este identică cu

n

i

i A xn

A x1

1

Pentru momentele absolute corectateck

am şi momentele centrate corectateck

cm , valorile sunt

date de relaţiile:

11am

cam 011 cm

ccm

212122

ham

c

am 222

12

1

hmm cc 12

4133

amhamc

am 33cm

ccm

480122

2144 hamham

cam 4

240

72

2

144 hhcmcmc

cm

unde: h este amplitudinea intervalului de grupare.

3.3. REPARTIŢII STATISTICE

Repartiţiile teoretice reprezintă un model ideal al unei repartiţii statistice, practic exprimă un modteoretic de comportare a fenomenelor studiate de statistică. Repartiţiile teoretice sau legile de

probabilitate ale unei variabile aleatoare X arată modul în care este distribuit volumul total al probabilităţilor pe ansamblul valorilor posibile ale variabilei X .

Descrierea unei legi de probabilitate a unei variabile aleatoare X se face prin:- f uncţia de repartiţie F(x), în cazul unei variabile aleatoare discrete;- funcţia densităţii de probabilitate f (x) sau prin funcţia de repartiţie F(x), în cazul unei

variabile aleatoare continue.Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare X este definită prin intermediul probabilităţilor

Rx, x X P xF Pentru o variabilă continuă, funcţia de repartiţie are următoarea expresie:

dx f xF

x

x

unde f (x) este funcţia densitatea de probabilitate a variabilei X

Pentru o variabilă discretă, funcţia de repartiţie are următoarea expresie:




77

x x;i

x

i

i p xF

unde i x p este funcţia de masă de probabilitate a variabilei X care

îndeplineşte condiţiile 110 i

iii x X P ; x X P x p

Orice lege de probabilitate este caracterizată de anumiţi parametri care se determină în acelaşimod cu parametrii distribuţiilor statistice prezentaţi în capitolele precedente: media, dispersia, abatereastandard, coeficientul de asimetrie, coeficientul de aplatisare. Parametrii repartiţiilor teoretice discrete

se obţin pe baza relaţiilor cunoscute pentru distribuţiile statistice în care frecvenţele sunt înlocuite cu probabilităţile asociate valorilor variabilei aleatoare X .

3.3.1. REPARTIŢII DISCRETE

Repartiţia binomială (sau repartiţia Bernoulli) se obţine în cazul variabilelor aleatoare discretecând experimentările au următorul model probabilistic:

a) fiecare încercare are numai două rezultate posibile care formează un sistem complet de

evenimente incompatibile. Exemplu: A – când se produce evenimentul favorabil; A - cândnu se produce evenimentul favorabil.

b) probabilitatea de apariţie a unui eveniment, P( A) să fie constantă la fiecare încercare şi

egală cu p iar probabilitatea celuilalt eveniment va fi egală cu P( A ) = 1- p = q. Dacă repetăm experimentului de n ori, numărul de apariţie al evenimentului A este o variabilăaleatoare discretă având valorile posibile 0, 1, 2, ... n.

Considerăm un lot de piese având un procent de q defecte. Efectuăm extrageri repetate, iar pieseleextrase se introduc din nou în lot, spre a nu se modifica compoziţia, pentru a avea aceiaşi probabilitatede succes, se obţine o repartiţie binomială a numărului de piese defecte. Extragerea se numeşte „cuîntoarcere”. Presupunem că am efectuat în acest mod două extrageri: notăm evenimentul ca piesa să

fie bună cu A, iar celalalt eveniment ca piesa să fie defectă cu A . În acest caz se pot lua în consideraţieurmătoarele situaţii:

Probabilitatea de apariţie a evenimentului A de două ori este : P(A∩A) = P(A) P(A) = p

2 Probabilitatea de apariţie o singură dată este:

P[(A∩ A )U( A ∩ A )] = APP(A) + AP) AP( = 2pq

Probabilitatea apariţiei evenimentului A în cele două extrageri:

P ( A ∩ A ) = AP) AP( = q2

Generalizând putem considera că după n încercări s-a produs de k ori evenimentul A şi de n – k orievenimentul A . Probabilitatea de a se produce evenimentul A de k ori în ordine şi apoi a evenimentul A de n – k ori în ordine este data de relaţia: P(A∩A∩A∩…∩ A ∩ A ∩…∩ A ) = p

k q

n-k

Dacă în cele n experimentări nu interesează ordinea de apariţie a evenimentului A atunci trebuieconsiderate toate situaţiile posibile. Numărul posibil al ordonărilor diferite este egal cu formula

combinărilor k nC . Rezultă deci că probabilitatea ca în n probe evenimentul A să se producă de k ori

este dat de relaţia:

P(n,k ) = P(X = k) = f(k) = q pC k -nk k

n = k -nk k

n p-1 pC unde:

k nC =

!

)!(

k

k n =

!k nk!

n!

P(i ≤ k≤m) =

m

ik

k f =

m

ik

k -nk k n q pC

Legea binomială exprimă probabilitatea de a avea de k ori succes în cadrul a n încercări

independente, desfăşurate în aceleaşi condiţii, al căror rezultat poate fi succesul, cu probabilitatea p,sau eşecul cu probabilitatea q =1-p




78

P(i ≤ k≤m) =

m

ik

k f =

m

ik

k -nk k n q pC

Se observă că expresia P(n,k) este termenul general al dezvoltării binomului lui Newton mq p ,

de unde şi denumirea de repartiţie binomială. Pentru aplicaţiile unde n ia valori mari se poate folosi,

pentru simplificarea calculului, formula lui Stirling: nen!nnn 2

Funcţia de probabilitate a repartiţiei binomiale are expresia: P(x = k) = P(k) = q pC k -nk k

n

Legea binomiale se poate aproxima printr-o lege normală.Repartiţia binomială tinde către repartiţia normală când n . S-a constatat, din reprezentarea

grafică a legii binomiale B(n,p) că atunci când probabilitatea p este aproape de 0,5, repartiţia binomială are o formă simetrică. Dacă p rămâne constatat şi n este destul de mare (n > 30), legea luiGauss devine o bună aproximare a legii binomiale şi admite ca parametrii speranţa matematică np x

respectiv abaterea standard npq a legii binomiale adică:

npq ,np N p ,n B X ~ . În practică

acest rezultat se traduce prin faptul că dacă n are o valoare mare (n > 30) şi p nu este zero sau unu, sepoate calcula probabilitatea pentru care variabila binomială X să se afle în intervalul (a,b) ca şi în cazulunei variabile normate cu media np x şi abaterea standard npq .

Indicatorii teoretici sunt: Media: µ = X M = np;

Dispersia: σ 2 = X D = npq = np(1-p);

Abaterea medie pătratică npq ;

Momente npq pqnpq pqnpqnpqnp 361 , , ,43

2

21 ;

Asimetrianpq

pq 1 ;

Aplatizareanpq

pq612

Valoarea modală a variabilei aleatoare discrete X este un număr întreg cuprins între np-q şinp+q şi permite aprecierea asimetriei distribuţiei de probabilitate. Repartiţia binomială este în cele maimulte cazuri asimetrică: p > 0,5 asimetrie pozitivă, p < 0,5 asimetrie negativă, p = 0,5 simetrică.

Repartiţia hipergeometrică

Modelul probabilistic al repartiţiei hipergeometrice este similar celui binomial, singura diferenţăconstă în faptul că elementul extras nu mai revine şi astfel la fiecare extragere se modifică compoziţia(condiţiile). Extragerea se numeşte „fără întoarcere”.

Fiind dată o populaţie compusă din n piese din care: a sunt bune şi b = n - a sunt defecte (condiţiaa + b = n). Probabilitatea ca după ce efectuăm m extrageri succesive fără întoarcere să se obţină un

număr de x piese bune respectiv un număr de m – x piese defecte, este calculată cu formulacombinărilor a n piese luate câte m: m

ba

m

n C C . Numărul cazurilor favorabile extragerii de piese bune

este k

aC , respectiv numărul cazurilor favorabil extragerii de piese defecte este k m

bC .

Funcţia de probabilitate are expresia:Pn,m(k) = m

ba

k m

b

k

a

C

C C

Dacă n este foarte mare, repartiţia hipergeometrică se aproprie de repartiţia binomială cu

parametrii: p =n

a, q =

n

b= 1 –

n

a

Funcţia de repartiţie se calculează cu formula: xm

b

k

x

x

amn

m ,n C C C k X Pk F

0

1




79

Forma generală a repartiţiei hipergeometrice poate fi definită astfel: se consideră un număr de n produse industriale cu a1 , a2 , …ak clase având calităţi diferite unde a1+ a2+ …+ak = n, extragem (fără

întoarcere) m exemplare, posibilitatea ca în eşantionul extras, să existe x1 , x2 , ... xk exemplare din

fiecare calitate (x1 + x2 + ...+ x k = m) este: Pn,m(x1 ,x2 ,...,xk ) = m

n

x

a

x

a

x

a

C

C C C k

k .. .2

2

1

1

Repartiţia hipergeometrică se utilizează la controlul statistic de recepţie a loturilor mici de

produse. Repartiţia binomială poate fi considerată ca un caz limită al repartiţiei hipergeometrice însituaţia în care n , iar volumul eşantionului este constant. Indicatorii teoretici sunt:

Valoarea medie (media): µ = mp;

Dispersia:1

2

n

mnmpq , dacă n >> m, atunci

n

mmpq 1

2

Repartiţia Poisson (denumită şi repartiţia evenimentelor rare)

Evenimentele specifice repartiţiei Poisson au o probabilitate mică de apariţie (evenimente rare) iarvolumul eşantionului este suficient de mare încât să fie îndeplinită condiţia np = λ = constant . Acesteevenimente sunt cele care produc avarii, produc accidente, conduc la defectarea unei maşini, s.a. şi

este denumită variabila Poisson. Variabila Poisson este o variabilă aleatoare care ia un număr de valori pe un interval de lungime finită. Notăm cu λ densitatea de apariţie a unui eveniment în unitatea detimp, atunci media apariţiilor evenimentului în intervalul t se calculează cu formula μ=λt .

Probabilitatea apariţiei a evenimentului de k ori în acelaşi interval t este: P(X = k) = t k

ek

t

!

)(

Funcţia de probabilitate are expresia: P(x = k) =

e!k

k

Distribuţia Poisson este determinată de un singur parametru X ~ P(k)

Funcţia de repartiţie Poisson are expresia:

k

k

k k

k

k

!k

ee

!k

k F k xP00

Aproximarea legii PoissonLegea Poisson poate fi aproximată cu o repartiţiei binomială când p (sau q) este mic iar n este

mare. În acest caz se foloseşte ca parametru al legii Poisson speranţa matematică (media teoretică) alegii binomiale μ = np. Această particularitate poate fi folosită în aplicaţiile practice atunci când uneveniment cu repartiţie binomială are o probabilitate foarte mică de apariţie. În acest caz în locul

formulei de mai sus se poate utiliza relaţia: P(n,k)= npk

ek

np

!

)(

Aproximaţia este suficient de bună atunci când p 0,1 şi np 5.Atunci când parametrul Poisson este mai mare ca 20 (m>20) legea Poisson poate fi aproximată

printr-o lege normală X ~ P(m) N(m, m ) O particularitate a repartiţiei Poisson constă în faptul că media teoretică şi dispersia sunt egale: μ = M(X) = σ 2 = D(X) = λ.

Condiţia necesară pentru a avea o lege Poisson este următoarea:

k k X P

k X P

1.

Suma a două variabile aleatoare independente X 1 şi X 2, urmând fiecare o lege Poisson deparametri m1 şi m2 , urmează ea însăşi o lege Poisson

X 1 ~ P(m1); X 2 ~ P(m2 ) rezultă (X 1 + X 2) = P(m1+m2)

Indicatorii teoretici sunt: Valoarea medie (media): µ = M(X) = λ;

Dispersia: X D

2




80

3.3.2. REPARTIŢII CONTINUE

Repartiţia uniformă. Funcţia densitate de repartiţie are expresia:

ba x pentru

ba x pentruab

,,0

,,1

xf

Variabila aleatoare X care are funcţia de repartiţie uniformă pe [a, b].

Funcţia de repartiţie uniformă pe [a, b] este :

b x pentru

b xa pentruab

a x

a x pentru

F

,1

,

,0

x unde dt t f xF

x

.

Pentru x a, F ( x) = 0, deoarece în acest caz f (t ) = 0.

Dacă a < x b avem: dt t f dt t f dt t f xF

x

a

x

a

a

deoarece, pentru t < a, f (t ) = 0 şi deci

0dt t f

a

.rezultă:

x

aab

a x

dt ab xF

1

.

Dacă x > b putem scrie: 11

dt ab

dt t f dt t f dt t f dt t f xF

b

a

b

a

x

b

b

a

a

, deoarece,

pentru t < a şi t > b, f (t ) = 0.Graficele funcţiilor f ( x) şi F ( x) ale repartiţiei uniforme sunt date în figura 3.10.

Valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare , uniformă pe [a, b] sunt:

M() =2

ba ,

12

2

2 ab D

Într-adevăr, ţinând seama de funcţia de repartiţie avem:

2

1 badx x

abdx x xf dx x xf dx x xf dx x xf dx x xf M

b

a

b

ab

b

a

a

.

3

122

2222 babadx x

abdx x f xdx x f x M

b

a

b

a

.

Din această expresie şi din rezultatul precedent deducem: 1243

22222 abbababa

D

.

Deoarece b > a rezultă: 32

ab D

.

Repartiţia normală este cea mai importantă lege de repartiţie, fiind cunoscută sub denumirea delegea Gauss – Laplace. Legea normală are un rol important în teoria probabilităţii, fiind utilizată

f(x) F(x)

0 0a b x

ba 1

a b x

Figura 3.10. Graficul repartiţiei uniforme

a) funcţia densităţii de probabilitate b) funcţia de repartiţie




81

pentru aproximarea unor legii de probabilitate. Repartiţia normală este utilizată foarte des în analizavariabilelor aleatoare, având un rol fundamental în teoria selecţiei, în analiza de regresie, în analizavarianţei şi covarianţei, etc. O distribuţie normală este rezultatul unui număr foarte mare de cauzeindependente, cu efect aditiv, fiecare dintre ele având o influenţă neglijabilă în modificarea celorlalte.

a) LEGEA GAUSS – LAPLACE este caracterizată de parametrii μ şi σ 2.O variabilă aleatoare X este distribuită după o lege normală dacă funcţia densitate de probabilitate

are următoarea expresie: f(x) =

2

2

1

21

x

e , R x

unde: μ - este media iar σ 2 este varianţa (dispersia).Distribuţia normală este unic determinată de medie şi dispersie, se notează simbolic prin:

X ~ N(μ, σ 2).

Suma (sau diferenţa) a două variabile aleatoare independente X 1 şi X 2 care sunt guvernate de legeanormală N(μ1 , σ 1

2) şi N(μ2 , σ 2

2) urmează de asemenea, legea normală, şi anume:

) , N(µ~ X

) , N(µ~ X

2

222

2

111

21 X X X ~ 2

22121 , N

Graficul funcţiei densitatea de probabilitate are forma de clopot şi prezintă următoarele

particularităţi: admite un maxim pentru x = μ şi scade necontenit la dreapta şi la stânga (

dx

xdf )( = 0 pentru x

= μ iar valoarea funcţiei în acest punct este f = 2

1 );

este simetrică în raport cu dreapta x = μ. Valorilecentrale (media, mediana şi modul) sunt egale μ = M o =

M e; în punctele x = μ - σ şi x = μ + σ îşi modifică

convexitatea (puncte de inflexiune);

într-o distribuţie normală, amplitudinea variabilei esteinfinită - < X < + . Când x funcţia f(x) tindespre zero.

dacă n variabile aleatoare normale Xi (cu i = a ,1 ) suntindependente şi identic repartizate de parametri cunoscuţi, atuncivariabila aleatoare Y definită ca suma acestor variabile aleatoare

n

ii X Y

1 urmează o lege normală cu

n

ii

1 şi

n

ii

1

22

Curba funcţiei densitatea de probabilitate este cu atât maiascuţită cu cât valoarea lui σ este mai mică.

Modificarea parametrului μ translatează curba de-a lungul axei Ox fără să o modifice ca formă.

Funcţia de repartiţie normală este dată de expresia:

f(x)

x

4,0

Figura 3.11. Densitatea de

probabilitate cu repartiţie normală

= 1

f(x)

2,0

x

= 0,5

= 2

= ct.

Figura 3.12. Curba densităţilor de probabilitate cu dispersii diferite

F(x)

x

4,0

Figura 3.13. Funcţia de repartiţienormală

f(x)

xi

F(x)

1

0,5F(xi)

xi




82

F(x) = P(X ≤ x) =

xdx x f =

x x

dxe

2

1

2

2

1

.

Funcţia F(x) = P(X ≤ x) satisface condiţiile: F(x) ≥ 0; F(x1) < F(x2) pentru x1 < x2;

F(+ ) = P(X ≤ + ) =

dxe x

2

2

1

2

1

= 1

Repartiţia fiind simetrică F(x) = dx x f

x

= dx x f x

=2

1

Parametrii funcţiei de repartiţie:

- media

dxe xdx x f x x M

x

22

2

2

1

- dispersia

222

2

22

21

dxe xdx x f x x D

x

În unele domenii de aplicaţie (teoria erorilor) funcţia densitate de probabilitate, cu repartiţie

normală, este prezentată sub forma: f(x) = )( 22

xhe

h

, unde h =

2

1

=

707.0

b) REPARTIŢIA NORMALĂ NORMATĂ. O variabilă aleatoare Z urmează o lege derepartiţie normală normată dacă funcţia densitatea de probabilitate este dată de relaţia:

f(z) = 2

21

2

1 ze

, R z

Proprietăţile funcţiei densitate de probabilitate: f(z) > 0;

f(-z) = f(z);

0

z f lim x

;

aria clopotului Gauss este: 1

dz z f

Expresia funcţiei densitate de probabilitate s-a obţinut prin efectuarea schimbării de variabilă în

cadrul repartiţiei normale şi anume: zi =

i x;

i

i

dxdz . Prin schimbarea de variabilă s-a realizat

trecerea de la o distribuţie statistică normală la o distribuţie normală normată. Se observă că funcţia f(z) se poate obţine şi din funcţia f(x) cu condiţia ca μ = 0 şi σ = 1. Între

densitatea de probabilitate a unei variabile normale normate Z , respectiv variabila normală

corespondentă X există relaţia următoare: z f x f

1

În consecinţă, dispersia este egală cu abaterea medie pătratică, iar momentele centrate sunt egalecu cele iniţiale. Repartiţia normală normată se notează Z ~ N(0,1).

Funcţia de repartiţie normală normată (sau funcţia de repartiţie Laplace) are expresia:

z z z

dzedz) z( f zF 2

2

2

1.

Parametrii distribuţiei sunt:

f(x)

2 x2 3

Figura 3.14. Curba densităţilor de probabilitate cu medii diferite




83

- media 02

12

2

z z

dze zdz z f z Z M ;

- dispersia 12

1222

2

z z

dze zdz z f z Z D

Valorile funcţiilor f(z) şi F(z) se determină mai simplu utilizând tabelele de valori.

Din figura 3.15 se poate constata că funcţia de repartiţie F(z) este simetrică în raport cu originea,astfel se poate scrie: ) z(dz) z( f dz) z( f dz) z( f ) z(F

z z

2

10

0

.

Utilizând această relaţiei şi operaţia de translaţie (realizată cu ajutorul ecuaţiilor: z = z şi Ф(z) =

F(z) -2

1) se constată că putem determina valoarea funcţiei de repartiţie – F(z) prin intermediul

funcţiei integrale Laplace – Ф(z).

Integrala

z z z

dzedz) z( f ) z(0

2

0

2

2

1 poartă denumirea de Funcţie Integrală Laplace,

geometric aceasta reprezentă de aria dublu haşurată din graficul funcţiei densităţii de probabilitate din

figura 3.17. c.În practică pentru rezolvarea unor probleme de interferenţă (estimare, testare, etc.) se impune

calcularea unor probabilităţii pe baza funcţiei de repartiţie. Aceste valori se obţin utilizând tabeleleGauss - Laplace, unde sunt prezentate valorile pentru funcţia Ф( z).

Proprietăţi ale funcţiei lui Laplace: Ф(0) = 0; Ф( -z) = - Ф(z);

2

1

zlim

x;

z zF 2

1.

Valorile funcţiei integrală Laplace Ф(z) ca şi ale funcţiei de repartiţie Laplace F(z) precum şirelaţiile de legătură între F(z) şi Ф(z) sunt prezentate în tabelul de mai jos.

z

0-1 1-2 2-3 3

0,5

1

0,0013

Figura 3.16. Funcţia de repartiţie pentru orepartiţie normală normată

F z

0,00280,1587

0,8413

0,97720,9987

z

f(z)

0-1 1-2 2-3 3

0,1

0,2

0,3

0,4

Figura 3.15. Funcţia densitatea de probabilitate pentru o repartiţie normală normată

0,5

1 0,5

-

(z)

z

F(z)

za Func ia de re arti ie La lace b) Funcţia integrală Laplace

f(x)

0 zc) Funcţia densitatea de

probabilitateFigura 3.17. Interpretarea geometrică a funcţiei Laplace

(z)

F(z)

F(z)




84

În practică, este suficient să se cunoască valorile funcţiei Ф(z), pentru z > 0 şi se poate calculaprobabilitatea

2222212212 z z z z z z z z Z zP .

Tabelul 3.4. Relaţii între funcţiile ф(z) şi F(z) z Ф(z) F(z)

- 21 0

- z - Ф(z) =2

1 - F(z) F(z) =2

1 - Ф(z)

0 0 21

z Ф(z) = F(z) -2

1 F(z) =2

1 + Ф(z)

+ 21 1

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare normală X ~ N(μ, σ 2) să aparţină unui interval (x1, x2) se

determină cu relaţia: P(x1 < X < x2) = 12

2

1

xF xF dx x f x

x

.

Aplicăm metoda de normare

1

1

x z şi

2

2

x z , rezultă

P(x1 < X < x2) =. ) z(F ) z(F x

F x

F dz z f dx x f

z

z

x

x12

122

1

2

1

Apartenenţa unei variabile aleatoare la un interval oarecare are numeroase aplicaţii practice întehnică cum ar fi: încadrarea consumului de material, de energie, etc. în anumite limite impuse deprocesul tehnologic; încadrarea cotelor pieselor, reperelor prelucrate în anumite limite de toleranţă, ş.a.

Putem calcula probabilitatea ca o variabilă aleatoare să urmeze o lege normală normată şi săaparţină diferitelor intervale , 2 , 3 , 4 , etc. Grafic această probabilitate este

redată în figura 3.18. De asemenea, există numeroase aplicaţii unde este necesar ca variabila aleatoare zα , având probabilitatea α, să nu depăşească anumite limite impuse.

Importanţa repartiţiei normale. Repartiţiei normale se explică cu ajutorul unei teoremeimportante din teoria probabilităţilor, cunoscută sub denumirea de teorema limită centrală.

Conform acestei teoreme, fiind dată o serie de variabile aleatoare independente: X 1 , X 2 , ... X n , cudispersiile σ 1

2 , σ 22 , ..., σ n

2, variabila aleatoare Y = a1 X 1 + a2 X 2 +...+ an X n urmează o lege normală dacă

rapoartele:

n

i

1

2

1

;

n

i

1

2

2

2

; ...

n

n

i

n

1

2

; tind către zero când n tinde la infinit.

Iniţial această teoremă a fost considerată fără importanţă practică, deoarece era greu de bănuit căse va întâlni în realitate o variabilă aleatoare care să fie suma unui număr infinit de alte variabilealeatoare. Ulterior în industrie s-au găsit foarte multe modele care să îndeplinească aceste condiţii. De

Figura 3.19. Reprezentarea lui P(z >aα) = α

P(z >aα) = α

1 - α α

=68,27%

2 = 95,445 %

3 = 99,73 %

4 = 99,996 %

Figura 3.18. Probabilitatea intervalelor




85

exemplu, în domeniul măsurătorilor tehnice se pot identifica numeroase cauze perturbatoare sau sursede erori cu efect aditiv. În tehnică, o anumită caracteristică a unui produs, cum ar fi curentuldeterminat pe un lot de electromagneţi prezintă variaţii care depind de numeroşi factori ca: abateriletehnologice (întrefier, rezistenţa înfăşurării, spira ecran), variaţii ale parametrilor fizici de material etc.determinând în final o lege de repartiţie normală. Aceasta poate fi luată ca model teoretic general

pentru cercetarea probabilistică aproape a tuturor fenomenelor naturii.

Repartiţia exponenţială

Variabila aleatoare continuă X , cu repartiţia exponenţială negativă, are densitatea de probabilitate: f(x ) = λe- λx

; λ > 0, 0 x <

Funcţia de repartiţie este: F(x) = 1- e- λx

, pentru x > 0F(x) = 0, pentru x < 0

Indicatori teoretici. Se observă în acest caz egalitatea dintre media teoretică şi abaterea standard:

μ = σ =

1 Repartiţia exponenţială reprezintă cazul particular al repartiţiilor Poisson şi Weibull.

Graficele densităţii de probabilitate şi al funcţiei de repartiţie sunt prezentate în figurile de mai

jos:

Repartiţia χ 2 (hi-pătrat.)

Fie X 1, X 2, … , X ν variabile independente, distribuite du pă o lege normală, variabila obţinută prinînsumarea pătratelor variabilelor χ 2 = 2...2

221

X X X urmează o repartiţie hi-pătrat cu ν grade de

libertate.O variabilă continuă urmează repartiţia χ 2 dacă funcţia densitatea de probabilitate are următoarea

expresie:

0 x pentru0,

0 x pentru ,e x

)() x( f

x 2

12

2

22

1

, unde:

ν = n -1 reprezintă numărul gradelor de libertate (numărul de variabile independente).

dxe xaxa

0

1 , a > 0 este integrala Gamma a lui Euler.

Numărul gradelor de libertate reprezintă numărul de variabile independente a căror variaţie nusuferă nici o restricţie. Dacă se consideră o variabilă aleatoare continuă X care poate lua valorile

x ,..., x , x 21 cu probabilitatea p ,..., p , p 21 şi dacă 11

ii p atunci oricare dintre probabilităţi poate fi

determinată când se cunosc celelalte 1 probabilităţi. În această situaţie repartiţia χ 2 are 1 grade

de libertate ( 1 din cele variabile sunt independente, iar una este dependentă şi se obţine dincelelalte 1 variabile independente).

F(x)

x

1

0,63

1

Figura 3.20. Funcţia de repartiţie

f(x)

x

1

0,368

1

Figura 3.21 Densitatea de probabilitate




86

Dacă se consideră n variabile aleatoare de tip continuu, independente z1, z2, ..., zn care au fiecare orepartiţie normală normată - N(0,1), atunci suma pătratelor variabilelor zi constituie o variabilă

aleatoare continuă, care urmează repartiţia χ 2 cu ν grade de libertate: n

i z1

22

Graficul funcţiei densitatea de probabilitate depinde de parametrul ν şi este prezentat în figura3.23. Curbele de repartiţie sunt asimetrice pentru valori mici ale lui ν şi se apropie de o repartiţiesimetrică când ν ia valori mari (adică pe măsură ce variabilele aleatoare normale normate din care se

constituie sunt mai mare). Conform teoremei limită centrală repartiţia χ 2 tinde lent către repartiţianormală .

Indicatorii teoretici ai repartiţiei χ 2 au următoarele expresii: - media M[x] = ν; dispersia D[x] = 2 ν; abaterea medie pătratică 2 .

Funcţia de repartiţie F(x) a unei variabile aleatoare continue care urmează repartiţia χ 2 are

expresia: dx p x x

e

x

)(

p x X P xF

0

21

2

222

1

În activitatea practică este necesar să se determine probabilitatea astfel ca valorile variabilei χ 2 săfie mai mici decât o valoare 2

1 p , să fie cuprinsă în intervalul 2

2

2

1 p p , sau să fie mari decât o valoare

dată 2

2 p . În această situaţie se utilizează următoarea relaţie:

02

22

21

22

222

122

d

p

e

)(

p X PF

Când numărul gradelor de libertate 30 , quartilele se pot aproxima astfel:

2

2

122

1

p p z , unde z p este valoarea normală normată corespunzătoare. Distribuţia χ 2 este folosită, în special pentru testarea ipotezelor statistice. Graficul funcţiei de repartiţie este prezentat în figura 3.22. Valorile variabilei 2

, sunt tabelate în funcţie de numărul gradelor de libertate şi condiţia de a nu

fi depăşită probabilitatea α.

Repartiţia Student sau distribuţia t.

Două variabile aleatoare continue, X care urmează repartiţia χ 2 şi Z care urmează repartiţianormală normată - N(0, 1), pot defini o altă variabilă aleatoare continuă

2

Z t cu o repartiţie

f(2)

2

2

= P ( 2 > 2 )

Figura 3.22. Interpretarea geometrică a probabilităţii

f(2)

Figura 3.23. Curbele repartiţiei χ 2

5 10 15 20

20

0,1

= 2

= 5

= 10

= 20

25 30

0,2




87

denumită „repartiţia t ” sau Student (pseudonimul matematicianului englez Gosset), cu ν grade delibertate, dacă funcţia densitatea de probabilitate are expresia:

t t

t f ;1

2

2

1

1)(

2

1

2

Variabilele Z care urmează repartiţia normală normată N(0, 1) şi variabila X care urmează

repartiţia χ 2 cu ν grade de libertate sunt centrate şi independente. Se pot defini şi repartiţii t necentrate dar în acest caz se utilizează repartiţia normală normată

necentrată - N(m, 1) şi repartiţia χ 2ν,τ necentrată. Funcţia de repartiţie este simetrică satisfăcând următoarele relaţii: f(-t) = - f(t); F(-t) = 1-F(t).

t dt t

t F ;1

2

2

1

1)(

2

1

2

Legea student este utilizată pentru analiza distribuţiilor de selecţie în cazul eşantioanelor de volummic (n < 30), în special, pentru verificarea ipotezelor statistice care se referă la media unei populaţiinormale când parametrul σ este necunoscut.

Simbolizarea X ~ t( ν).

Repartiţia t este definită ca şi repartiţia normală prin indicatorii teoretici μ şi σ,care au valorile μ

= 0 şi2

, de unde se constată că definirea acestei legi depinde de numărul gradelor de

libertate, unde ν = n -1 iar n reprezintă numărul observaţiilor. Pentru υ mare (practic ν > 30) legeaStudent se poate aproxima prin legea normală N(μ,σ) centrată sau prin legea normală normată. Înaplicaţiile cele mai frecvente, repartiţia Student este folosită pentru a determina limitele care suntdepăşite cu o probabilitate α (fig. 3.25).

Distribuţia Student este folosită în locul distribuţiei normale când nu cunoaştem varianţadistribuţiei şi o înlocuim cu o estimaţie a sa.

-3 3-2 -1 1 20

Figura 3. 24. Comparaţii între densităţile

de probabilitate între f(t) şi f (z)

N(0,1)f(t) f(z)

RepartiţiaStudent

2t 0

f(t)1 -

2

2

2t

Figura 3.25. Poziţia limitelor depăşite

cu probabilitatea α /2 definită de repartiţia Student




88

3.4. TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Conceptele fundamentale ale teoriei probabilităţilor sunt cele de eveniment şi cele deprobabilitate. Teoria pro babilităţilor operează cu aceste noţiuni specifice care se prezintă astfel:

Experimentul reprezintă realizarea unui ansamblu de condiţii conform unui anumit criteriu decercetare.

Evenimentul este rezultatul unui experiment. Putem cita următoarele evenimente: A – formareaunui arc electric la întreruperea unui circuit; B – arderea unei lămpi electrice la alimentarea cu o

tensiune nominală; C – apariţia unui defect după un anumit timp de funcţionare, etc. Dacă seanalizează evenimentele menţionate, se observă că fiecare se poate realiza într -o măsură diferită.Astfel, evenimentul B este mai puţin probabil să se producă în comparaţie cu evenimentul A sau C .

Dacă se asociază fiecărui eveniment un anumit număr care să indice posibilitatea de realizare, seajunge la noţiunea de probabilitate.

Probabilitatea unui eveniment este măsura numerică a posibilităţii de realizare. Din punct devedere al posibilităţilor de realizare, evenimentele se pot clasifică în :

1. Eveniment sigur – evenimentul care se produce în mod obligatoriu într-un experiment. Notăm evenimentul sigur cu litera E . Exemplu : extragerea unui contactor dintr-un lot decontactoare.

2. Eveniment imposibil – evenimentul care în mod obligatoriu nu se produce în cadrul unui

experiment. Notăm evenimentul imposibil cu Ø. Exemplu : extragerea unui motor electricdintr-un lot de butoane.

3. Eveniment aleator (întâmplător) – evenimentul care se produce sau nu într-un experiment,şi se notează în general cu A, B, C sau A1, A2,…, An.

Câmp de evenimente: rezultatele unor experimente pot reprezenta evenimente diferite, iartotalitatea acestor evenimente formează ceea ce se numeşte câmp de evenimente.

Câmp de probabilitate este mulţimea valorilor numerice reprezentând probabilitatea fiecăruieveniment aparţinând unui câmp de evenimente. Evenimentele aleatoare pot fi la rândul lor :compatibile, dacă se pot produce simultan, sau incompatibile – dacă nu se produc simultan (se excludmutual). Astfel, realizarea unui eveniment exclude realizarea celuilalt. O categorie aparte deevenimente incompatibile o formează „evenimentele contrarii” (complementare) care la nerealizareaunui eveniment A se produce sigur celălalt eveniment Ā .

Observaţie : evenimentele contrarii sunt incompatibile în timp ce evenimentele incompatibile nusunt în mod obligatoriu contrarii.

Evenimente independente: două evenimente se numesc independente în probabilitate dacă probabilitatea de realizare a unuia nu este influenţată de realizarea sau nerealizarea celuilalt.

Evenimente dependente: două evenimente se numesc dependente dacă probabilitatea unuieveniment este influenţată de realizarea celuilalt eveniment.

3.4.1. ALGEBRA EVENIMENTELOR

Două sau mai multe evenimente (compatibile sau incompatibile) pot defini printr -o operaţie de

reuniune sau de intersecţie un alt eveniment. Reuniunea evenimentelor (suma evenimentelor)Considerând evenimentele A, B, reuniunea S înseamnă realizarea cel puţin a unuia din

evenimentele A sau B. Se notează astfel : S = A B (se citeşte A sau B). Reuniunea a două mulţimi A şi B este mulţimea elementelor care aparţin sau lui A sau lui B. În cazul unui sistem de n evenimente

Ai: i = 1, 2,…,n reuniunea S se prezintă sub forma :i

n

in A A A AS

121 ...

Se spune că evenimentul aleator iu A se descompune în evenimentele A1... An dacă acestea suntincompatibile ( Ai ∩ A j = Ø), iar evenimentul A constă cel puţin din realizarea unuia din evenimentele

A1, A2,…, An, adică: i

n

in A A A A A A

1321 ...

. Evenimentele A1, A2,…,An formează un sistem




89

complet de evenimente dacă cel puţin unul din evenimentele A se produce într-un experiment, adică

E n

i

1.

În tabelul 3.5. sunt prezentate proprietăţile mai importante ale operaţiilor cu evenimente şi relaţiilecorespunzătoare.

Intersecţia evenimentelor (produsul evenimentelor)Considerând evenimentele A, B, intersecţia acestora, însemnând realizarea şi a evenimentului A şi

a evenimentului B, este I = A ∩ B (se citeşte A şi B). Intersecţia unui sistem de evenimente { Ai ; i=1, 2,…, n} se prezintă sub forma :

i

n

in A A A A I

121 ....

Tabelul 3.5 .Proprietăţile operaţiilor cu evenimente ENUNŢ RELAŢII

Contrariul unui eveniment sigur este un eveniment imposibil (şiinvers).

E Ø

Ø = E

Reuniunea sau intersecţia unui eveniment A cu el însuşi este egală cuacelaşi eveniment. A A A

A A A

Reuniunile şi intersecţiile sunt comutative. A B B A

A B B A

Reuniunile şi intersecţiile sunt asociative. C B AC B A

C B AC B A

)()(

)()(

Intersecţia în raport cu reuniunea şi reuniunea în raport cu intersecţiasunt distributive. )()()(

)()()(

C A B AC B A

C A B AC B A

Reuniunea evenimentelor contrare este un eveniment sigur. E A A

Intersecţia a două evenimente incompatibile este un evenimentimposibil. A A = Ø

Dacă E este un eveniment sigur, Ø un eveniment imposibil şi A uneveniment aleatoriu există relaţiile :

A E E A ; Ø = Ø;

Ø.ØEE;Ø E

Oricare ar fi evenimentele A, B există relaţiile : A B A A

A B A A

)(

)(

Considerând evenimentele A, B şi contrariile A , B existăurmătoarele relaţii („relaţii de Morgan”) B A B A

B A B A

)(

)(

3.4.2. PROBABILITATEA EVENIMENTELOR

Interpretări

Probabilitatea reprezintă măsura numerică a posibilităţii de realizare a unui eveniment. Astfelnoţiunea de probabilitate a unui eveniment este legată de noţiunea practică de frecvenţă a unuieveniment. Ca elemente de referinţă în precizarea unităţii de măsură a probabilităţii unui evenimentaleatoriu se consideră pe de o parte probabilitatea evenimentului sigur care este egală cu unu, iar pe dealtă parte probabilitatea evenimentului imposibil egală cu zero. Probabilitatea unui eveniment aleatoriueste cuprinsă astfel între 0 şi 1 (0 < P( A) < 1). În anumite cazuri se poate calcula direct probabilitateacunoscând numărul cazurilor „favorabile” din totalitatea cazurilor posibile, considerând evenimenteleseparate ca echiprobabile. În acest caz probabilitatea unui eveniment A, P( A), este :

posibilecazurilornumarul

favorabilecazurilornumarul)(

n

m AP

Această formulă denumită „formulă clasică” de calcul a servit mult timp ca bază a definiţiei

probabilităţilor.Formula de mai sus este f ormula directă de calcul a probabilităţii când experimentul se reduce la

un sistem în care fiecare caz posibil are aceeaşi probabilitate de realizare şi compoziţia este cunoscută.




90

În multe cazuri, calculul direct al probabilităţilor nu este posibil (exemplu, durata de viaţă a uneibobine, a unui bec etc.). Pentru aceste cazuri este necesar să se facă încercări în condiţii identice,determinându-se frecvenţa evenimentului cercetat. Se ajunge astfel la interpretarea în frecvenţă a

probabilităţii unui eveniment: incercaridetotalnr.

luievenimentualeaparitiidenr.)(

A

n

m AP

Când numărul încercărilor este redus, frecvenţa evenimentului are un caracter aleatoriu. Dacă numărul încercărilor creşte, se ajunge la o „stabilitate a frecvenţelor”.

Ţinând seama de caracterul particular al variaţiei acestei mărimi se spune că frecvenţa unuieveniment „converge” în probabilitate către probabilitatea adevărată a evenimentului. Proprietăţi ale probabilităţilor:

1. P(B – A) = P(B) – P(A B)2. Dacă A B, atunci P(B – A) = P(B) – P(A)3. Dacă A B, atunci P(A) P(B)4. P( A ) = 1 – P(A)5. P(Ø) = 06. 0 P(A)17. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)8. P(A – B) + P(B – A) = P(A) + P(B) – 2P(A B)

9.

1i

i AP ni

i AP pentru orice familie (Ai)i=n finită de evenimente

Principiul certitudinii practice

În multe cazuri se întâlnesc evenimente a căror probabilitate se situează la limitele extreme : fiefoarte apropiate de zero, fie foarte apropiate de unitate, fără însă a se confunda cu evenimenteleimposibile sau evenimentele sigure. Aceste evenimente poartă denumirea de evenimente „aproapeimposibile” şi evenimente „aproape sigure”. Evenimentele „aproape imposibile” şi „aproape sigure”

joacă un rol foarte important în teoria probabilităţilor şi în multe domenii. Majoritatea aplicaţiilor practice sunt bazate pe aceste noţiuni (tehnica măsurătorilor, control de calitate, reglaj automat etc).

Dacă probabilitatea unui eveniment într -o experienţă este foarte mică sau foarte apropiată de unitate,atunci se poate prevedea rezultatul experienţei pe baza principiului imposibilităţii practice aevenimentelor cu probabilitate mică sau a principiului certitudinii practice . Acest principiu poate fiformulat astfel: dacă probabilitatea unui eveniment oarecare A într-o experienţă este foarte mică,

putem fi aproape siguri că dacă experienţa se efectuează o singură dată, evenimentul A nu va avea loc.Pornind de la definiţia clasică a probabilităţii se observă că un eveniment cu probabilitate zero nu esteun eveniment imposibil, dar realitatea cea care confirmă principiul imposibilităţii practice.

3.4.3. TEOREME FUNDAMENTALE ÎN TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Rolul teoremelor fundamentale

Metoda directă de calcul a probabilităţilor are un rol minor în teoria probabilităţilor, fiind de celemai multe ori inutilizabilă. Foarte mult se folosesc metodele indirecte de calcul permiţând aflarea

probabilităţilor unui eveniment pe baza probabilităţilor deja cunoscute altor evenimente legate de primele. Astfel, teoria probabilităţilor se reduce în mare, la un sistem de metode indirecte pe bazacărora necesitatea experimentării este minimă.

Tabelul 3.6 . Relaţii de calcul pentru probabilitatea intersecţiei şi reuniunii DEFINIŢIA

EVENIMENTULUIFELUL

EVENIMENTULUI RELAŢII DE CALCUL

i

n

A A1

(intersecţia)

Dependente

n

j

i

ii

n

A AP AP1

1

11) / ()(

Dependente sau

independente

n

iii

n

n AP AP1

1)1()()(

Independente n

ii

n

AP AP1

1)()(




91

i

n

A A1

(reuniune)

Compatibile)()1(.. .

)()()()(

1

1

11

i

nn

n

k ji

k ji

n

ji

ji

n

ii

n

AP

A A A A A AP AP

(Formula lui Poincaré)Pentru evenimente independente :

n

i

ii

n

AP AP )](1[1)(1

Incompatibile n

ii

n

AP AP1

1)()(

Teoreme şi relaţii referitoare la intersecţia şi reuniunea evenimentelor

Probabilitatea intersecţiei a două evenimente A, B compatibile şi independente este : )()()( BP AP B AP

Dacă evenimentele sunt dependente : ) / ()()( A BP AP B AP unde P( B/A) este probabilitatea evenimentului B condiţionat de A. În mod similar pentru n evenimente

dependente : ) / ()... / () / ()()(

1

1213121

1i

n

ni

n

A AP A A AP A AP AP AP

Reuniunea a două evenimente A şi B compatibile şi dependente este : )()()()( B AP BP AP B AP

În tabelul 3.8., sunt prezentate relaţiile referitoare la calculul probabilităţii intersecţiei şi reuniunii.Când nu este cunoscut faptul dacă evenimentele sunt dependente sau independente se utilizează pentruintersecţie inegalitatea Boole.

Formula probabilităţilor totale

Pornind de la un exemplu practic considerând că tolele necesare statorului unei maşini electricesunt ştanţate la trei prese diferite. Se cunosc următoarele evenimente : X

1(presa 1) produce 30% din

totalul tolelor cu un rebut de 2% pe presă; X 2 (presa 2) produce 20% din totalul tolelor cu un rebut 3% pe presă; X 3 (presa 3) produce 50% din totalul tolelor cu un rebut de 1% pe presă. Tolele ajung lasecţia de montaj şi se amestecă. Aici se pune problema probabilităţii extragerii unei tolenecorespunzătoare. Generalizând, considerăm un sistem complet de evenimente X 1, X 2,…, X n, adică

E X i

n

i

1. Fie un alt eveniment A, defectul, care nu se poate realiza ci numai împreună cu unul din

evenimentele X i, formând un sistem de evenimente X i ∩ A incompatibile. În consecinţă evenimentul

)(1

A X A i

n

i

. Deoarece evenimentele ( X i ∩ A), ( X j ∩ A) sunt incompatibile, adică ( X i ∩ A) ∩ ( X j ∩

A) = Ø, probabilitatea evenimentului A este :

n

i

in A X P A X P A X P A X P AP1

21 ).()(...)()()(

Deoarece evenimentele X i şi A sunt compatibile şi dependente : ) / ()()( iii X AP X P A X P

Înlocuind ultima formulă în penultima obţinem :

n

iii

n

i X AP X P A X P AP

11

). / ()()()(

Această relaţie de mai sus este cunoscută sub denumirea „formula probabilităţilor totale”.Revenind la exemplul iniţial unde P( X 1) = 0,3; P( X 2) = 0,2; P( X 3) = 0,5 şi de asemenea P( A/X 1) = 0,02;P( A/X 2) = 0,03; P( A/X 3) = 0,01, rezultă cu (2.11) probabilitatea extragerii unei tole defecte P( A) =

P( X 1) ∙ P( A/X 1) + P( X 2) ∙ P( A/X 2) + P( X 3) ∙ P( A/X 3) = 0,017.

Teorema ipotezelor (formula lui Bayes)




92

Fie un sistem complet de ipoteze (evenimente) incompatibile H 1, H 2,…, H n

( ji ji

n

H H E H ;1

Ø). Aceste ipoteze (evenimente) reprezintă cauzele unui alt eveniment A,

condiţionat de evenimentele H 1, H 2,…, H n. Înainte de a efectua vreo experienţă sunt date probabilităţile ipotezelor P( H 1), P( H 2), ……., P( H n) şi P( A/H 1), P( A/H 2),…, P( A/H n). Realizându-seevenimentul A, se pune întrebarea ce valoare capătă probabilităţile acestor ipoteze, condiţionate deevenimentul A care s-a produs. Se ştie că : P( A/H i) = P( A) ∙ P ( H i / A).

Intersecţia evenimentelor fiind comutativă, P( A ∩ H i) = P( H i ∩ A). Se poate scrie egalitatea : P( A)∙ P( H i / A) = P( H i) ∙P ( A/H i), de unde : .

)(

) / ()() / (

AP

H AP H P A H P ii

i

Conform formulei probabilităţilor totale, probabilitatea evenimentului A este

n

ii H AP H P AP1

) / ()()( şi înlocuind această relaţie în cea anterioară în se obţine relaţia :

n

i

ii

ii

i

H AP H P

H AP H P A H P

1

) / ()(

) / ()() / ( care poartă denumirea de „formula lui Bayes” sau „teorema

i potezelor”.




93

3.7. METODA DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTREFENOMENE ŞI PROCES

Statistica studiază fenomenele de masă în cadrul cărora acţionează legile statistice a căror particularitate principală o constituie faptul că ele se manifestă sub formă de tendinţă cunoscută şi suntverificate numai la nivelul întregului ansamblu. În foarte multe situaţii este necesară interpretarea lorsub formă de tendinţă a relaţiilor de cauzalitate. În acelaşi timp, practica statistică dovedeşte că înprocesul de producere a fenomenelor de masă, nu toate relaţiile de cauzalitate se manifestă cu aceeaşi

intensitate şi în acelaşi sens. Cu cât fenomenele pe care la studiem sunt mai complexe, cu atât numărulfactorilor este mai mare şi relaţiile de cauzalitate mai dificil de identificat şi de măsurat.

Legea de repartiţie a unui sistem de variabile poate fi diferită de cea a componentelor sale între care pot exista legături strânse de genul cauză – efect sau legături mai puţin evidente. În cazul legăturilor cauză – efect este suficient să se cunoască valoarea uneia dintre ele pentru a se determina cu exactitatevaloarea celeilalte (legături deterministe). În al doilea caz, legătura dintre caracteristici poate avea uncaracter aleatoriu fiind dependente statistic sau independente când legătura este slabă (legătură

probabilistică). Variabila aleatoare Y este independentă de variabila aleatoare X dacă evenimentele(X<x) şi (Y<y) sunt independente pentru orice valori x şi y, în acest caz se poate scrie relaţia:

P(X<x,Y<y)=P(X<x)·P( Y<y)

Dar conform definiţiei generale P(X<x, Y<y)=F(x,y); P(X<x)=F(x); P(Y<y)=F(y).

Rezultă în mod analog f(x,y)= f(x)·f(y), aceasta fiind condiţia necesară şi suficientă de independenţăa două variabile aleatoare dar care presupune cunoaşterea legilor de repartiţie.

Noţiunea de dependenţă referitoare la variabilele aleatoare are un sens mai larg decât cel utilizat întehnică. În mod obişnuit, în tehnică, se ia în calcul o singură zonă a dependenţei aceia de dependenţătotală sau deterministă. În realitate două variabile aleatoare X şi Y pot fi legate şi printr -o relaţie

probabilistică. Două variabile X şi Y pot fi legate şi printr -o relaţie probabilistică, exemplu când secunoaşte valoarea lui X , valoarea lui Y nu poate fi determinată cu exactitate, dar se poate determinalegea sa de repartiţie dependentă de X. În practică se pune probleme stabilirii legăturii dintre variabilelesistemului. În funcţie de tipul de dependenţă dintre variabile legătura fie prin regresie fie prin corelaţie.

Conceptul de legătură statistică

Legăturile statistice pot fi interpretate printr -o funcţie matematică, astfel: unei singure variabile din şirul de caracteristici îi corespunde o singură valoare din şirul

caracteristicilor efect: )( ii x f y

unei singure valori din şirul de caracteristici efect îi corespund mai multe valori din şirul decaracteristici cauză: ),...,( 21 ni x x x f y unde: n x x x ,..., 21 → reprezintă caracteristica

factorială (independentă, exogenă sau cauză) iar i y → reprezintă caracteristica rezultativă

(dependentă, endogenă sau efect). Legăturile statistice se pot clasifica astfel:

a) după numărul caracteristicilor care se iau în studiu: - legături simple: o singură caracteristică factorială cu caracter esenţial determină o

caracteristică rezultativă iar ceilalţi factori sunt cu acţiune constantă; - legături multiple.

b) după felul de exprimare a caracteristicilor: - legături între variabile statistice exprimate numeric (cantitativ) → corelaţii statistice; - legături între variabile statistice exprimate prin cuvinte → asocieri statistice;

c) după direcţia legăturii: - legături directe; atunci când cresc (sau descresc) valorile caracteristicii factoriale, cresc

(sau descresc) valorile caracteristicii rezultative;- legături inverse.

d) după expresia analitică a legăturilor: - legături liniare; - legături neliniare.

e) după momentul în care se produc: - legături sincrone;




94

- legături asincrone.

3.7.1. METODE DE STUDIU A LEGĂTURILOR STATISTICE

a) Metoda seriilor paralele interdependente constă în aşezarea valorilor a două serii paralele înordine crescătoare sau descrescătoare a caracteristicilor. Prin compararea seriilor de valori astfelordonate, se poate stabili dacă există sau nu legături între ele şi se determină direcţia acestei legături.Seriile paralele se folosesc numai când avem un număr mic de unităţi observate.

b) Metoda grupărilor reprezintă un model de analiză prin excelenţă calitativ, capabil săsurprindă aspectele esenţiale ale legăturilor dintre variabile. Studiul legăturilor se realizează după ce unităţile colectivităţii se grupează în funcţie de caracteristica factorială iar pentru caracteristica rezultativă se calculează indicatorii derivaţi (mărimii relative sau medii), specifice fiecărei grupe. Princompararea variaţiei caracteristicii factoriale, cu aceea a caracteristicii rezultative se poate aproximacaracterul legăturii, direcţia şi intensitatea acesteia. Se recomandă intervale de grupare egale.

c) Metoda tabelului de corelaţie (tabel cu dublă intrare) reprezintă o formă specială a unei grupării combinate în care separarea pe grupe a unităţilor se face după variaţia ambelor caracteristici – factorială şi rezultativă. Se recomandă ca numărul grupărilor formate după cele două caracteristici să fieaproximativ egale, iar intervalele de grupare să fie egale.

d) Metoda grafică. Pentru a obţine graficul de corelaţie - denumit şi corelogramă - valorile

caracteristicii factoriale (x) sau intervalul acesteia se trec pe abscisa iar pe ordonată se trec valorile caracteristicii rezultative (y) sau intervalele respective. Fiecare unitate observată, purtătoare a celor două caracteristici corelate, se reprezintă grafic printr -un punct. Reprezentarea grafică a legăturii în câmpul de corelaţie are aspectul unui nor de puncte.

3.7.2. METODA REGRESIEI

Metoda regresiei a fost introdusă în anul 1886 de către biologul statistician englez Francis Galton(1822 - 191l). Modelul matematic utilizat de regresie este metoda celor mai mici pătrate al cărui enunţeste următorul “suma pătratelor distanţelor punctelor observate faţă de dreapta teoretică trebuie să fieminimă”. Metoda este folosită în cercetare şi proiectare, acolo unde teoria nu poate stabili nici o relaţie

care să determine legătura între anumite mărimi.Ca orice metodă statistică, prima etapă constă în cercetare experimentală a variaţiei mărimilor pecare le studiem. Urmează culegerea datelor experimentale şi reprezentarea grafică a variaţiei mărimilor care trebuie analizate, deoarece graficul sugerează tipul de ajustare care se poate realiza. Cu ajutorulmetodei de regresie se poate determina, cu o aproximaţie destul de bună, funcţia care guverneazăfenomenul studiat. Dacă fenomenul analizat este bidimensional se obţine o dreaptă sau o curbă iar dacă este tridimensional se obţine o suprafaţă de ajustare. Funcţia obţinută prin metoda regresiei este valabilănumai pe domeniul în care s-a realizat aplicaţia, nu reprezintă un model matematic generalizat, înschimb funcţia poate fi utilizată, cu succes în diverse aplicaţii similare cu fenomenul studiat, în cadrulprogramelor software de simulare. Metoda regresiei este eficientă pentru aplicaţiile particulare, fiindcăsuplineşte cu succes lipsa modelelor matematice. De asemenea, pe domenii restrânse, interpretările

utilizând funcţia determinată prin metoda regresie sunt mult mai aproape de adevăr faţă de cazul în cares-ar utiliza modele matematice clasice. Această metodă a devenit des utilizată datorită uşurinţei lucruluicu calculatoarele electronice.

Metoda regresiei constituie o metodă statistică de corectare a legăturii dintre variabile cu ajutorulunei funcţii denumite funcţii de regresie: ),...,( 21 ni x x x f y unde:

Y – variabila dependentă;

n x x x ,..., 21 – variabile independente

Datorită caracterului aleator al fenomenelor şi proceselor, modelul teoretic se înlocuieşte cu unmodel de dependenţă statistică : ),...,( 21 n x x x f Y unde: – reprezintă o eroare aleatoare cu

dispersia constantă şi media nulă.

Modele de regresie unifactorială




95

Regresia unifactorială descrie legătura dintre variabilele y şi x considerând că ceilalţi factori au oacţiune constantă şi neglijabilă asupra caracteristicii dependente. În continuare vom prezenta cele maides întâlnite modele de regresie în tehnicile statistice.

a) Modelul liniar. Se consideră două variabile X şi Y între care se presupune că există o legăturăpentru care experimental au fost determinate perechile de valori xi şi yi:

Se trasează un grafic printre puncte care reprezintă “dreapta de regresie” i xba x y care se

apropie cel mai mult de punctele experimentale. Valorii experimentale y x îi corespunde pe dreapta de

regresie valoarea care are următorul model teoretic: i xi y .Abaterile valorilor reale faţă de valorile estimate (de pe dreapta de regresie) sunt:

i xbai yi

xbai y x yi y

În această situaţie, modelul teoretic se poate estima printr-o ecuaţie similară cu modeluldeterminist, la care se ia î n considerare şi eroarea: i xba x y

Parametrii a şi b, au în acest caz conţinut de medii şi se estimează cu ajutorul unor metodespecifice oferite de matematica statistică : metoda verosimilităţii maxime respectiv metoda celor maimici pătr ate.

În practică se foloseşte frecvent metoda celor mai mici pătrate care presupune că suma pătratelor

abaterilor dintre valorile teoretice (ajustate) yi şi valorile empirice (reale) y x să fie minimă, se obţineformula: min2)( x yi y înlocuim pe x y şi obţinem min2)( ibxai y

Derivăm în raport cu a şi b şi egalăm cu zero derivatele parţiale de ordinul întâi, se obţine un sistem

de ecuaţii:

0

01

2

2

)bxa y( xbb

R

)bxa y(aa

R

iii

ii

)ibxai y(

)ibxai y(

sistem care are forma finală:

iiii

ii

y x xb xa

y xbna2

iar soluţii sunt:

2

2

ii

i

iii

ii

x x

xn

x y x

x y

a ,

2ii

i

iii

i

x x

xn

y x x

yn

b sau

22

2

)(

ii

iiiii

x xn

y x x y xa

22 )(

ii

iiii

x xn

y x y xnb

Prin înlocuirea coeficienţilor a şi b în ecuaţia de gardul unu, rezultă ecuaţia teoretică xba y care reprezintă cel mai bine fiecare punct din norul de puncte determinate experimental. Dreapta de

regresie trece prin punctul mediu );( y x .

Coeficientul a – nu are interpretare statistică. Coeficientul b – denumit coeficient de regresie – arată măsura în care se manifestă (se modifică)

caracteristica dependentă în cazul în care caracteristica independentă se modifică cu o unitate.

y

x

Figura 3.43 Graficul dreptei de regresie

x1 x2 x3 xn. . .y1 y2 y3 yn




96

În funcţie de semnul coeficientului de regresie se poate aprecia tipul de legătură : - legătură directă, coeficientul este pozitiv ;- legătură inversă, coeficientul este negativ ; - dacă b = 0 se apreciază că valorile x şi y sunt independente.

Utilizând coeficienţii a şi b calculaţi se determină valoarea ecuaţiei de regresie pentru fiecaremărime a caracteristicii x.

b) Modelul exponenţial

Se determină coeficienţii a şi b, pornind de la forma canonică a ecuaţie exponenţială, utilizând

modelele specifice matematicii statistice : i xi y - modelul teoretic

i x x ab y - modelul determinist (practic, real)

Abaterile valorilor reale faţă de valorile estimate (de pe curba de regresie) sunt:

i xabi yi

xabi y x yi y

În această situaţie, modelul teoretic se poate estima printr-o ecuaţie similară cu modelul

determinist, la care se ia în considerare şi eroarea: iab yx

x

Logaritmăm expresa modelului determinist, pentru a transform ecuaţia într-un model liniar similarcu cel studiat mai sus: blg xalg ylg i x , facem substituţia x x ylg y aa lg' bb lg' rezultă

ecuaţia de forma: x' b' a' y x unde suma dispersiilor trebuie să fie minimă.Suma dispersiilor, dintre modelul teoretic şi modelul determinist, trebuie să fie minimă, se ajunge la

formula: min)(2

xi y y înlocuim pe x y , se obţine formula:

min)''(2

ii xba y

Derivăm în raport cu ' a şi ' b şi egalăm cu zero derivatele parţiale de ordinul întâi, se obţine un

sistem de ecuaţii:

0''

2)(

0''1

2)(

bi xai yi

xb

i xbai y

b

R

bi xai ya

i xba

i y

a

R

Forma finală a sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute este:

iiii

ii

y x xb xa

y xbna

'''

'''2

rezultă soluţiile 'a şi 'b ale sistemului de ecuaţii:

2

2

ii

i

iii

ii

x x

xn

x y x

x y

' a

2

ii

i

iii

i

x x

xn

y x x

yn

' b revenim la

substituţia iniţială aa lg' rezultă 'aea şi bb lg' rezultă 'beb

Prin înlocuirea coeficienţilor a şi b în ecuaţia exponenţială, rezultă ecuaţia teoretică x

ab y

c) Modelul logaritmic

Se porneşte de la forma canonică a ecuaţiei logaritmice, exprimată prin cele două modele statistice

ii x y lg - modelul teoretic.

i x xlgba y - modelul determinist (practic, real) unde a > 0, b > 0

Abaterile valorilor reale faţă de valorile estimate (de pe curba de regresie) sunt: i xlgbai y

i xlgbai y x yi y




97


determinist, la care se ia în considerare şi eroarea: i x xlgba y Suma modelul dispersiilor, dintre modelul teoretic şi modelul determinist, trebuie să fie minimă,

rezulta formula: min2 xi y y înlocuim pe x y , rezultă formula :

minlg2 ii xba y

Derivam în raport cu a şi b şi egalăm cu zero derivatele parţiale de ordinul întâi, se obţine sistemulde ecuaţii:

02

012

i xlgbai yi

xlgb

)i xlgbai y(

b R

i xlgbai ya

)i xlgbai y(

a R

Forma finală a sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute este:

iiii

ii

x y xb xa

y xbna

lg)(lglg

lg2

rezolvăm sistemul şi obţinem

2

2

)(lglg

lg

)(lglg

lg

ii

i

iii

ii

x x

xn

x x y

x y

a

2)(lglg

lg

lglg

ii

i

iii

i

x x

xn

x y x

yn

b

Prin înlocuirea coeficienţilor a şi b în ecuaţia logaritmică, rezultă ecuaţia teoretică xlgba y

d) Modelul parabolei

Se pleacă de la forma canonică a ecuaţiei de gradul al doilea, utilizând modelele statistice2

iii x x y - modelul teoretic.

2ii x xc xba y - modelul determinist (practic, real)Abaterile valorilor reale faţă de valorile estimate (de pe curba de regresie) sunt:

22i

xci

xbai

yi

cxi

xbai

y x

yi

y

În acest situaţie, modelul teoretic se poate estima printr-o ecuaţie similară cu modelul

determinist, la care se ia în considerare şi eroarea: 2ii x xc xba y

Suma modelul dispersiilor, dintre modelul teoretic şi modelul determinist, trebuie să fie minimă,

rezulta formula: immin y y xi 2înlocuim pe x y , rezultă formula :

min22 iii cxbxa y

Derivăm în raport cu a, b şi c şi egalăm cu zero derivatele parţiale de ordinul întâi, se obţine :

02222

0222

02122

icxibxai yi

xc

)icxibxai y(

c R

icxibxai yi

xb

)icxibxai y(

b R

icxibxai ya

)icxibxai y(

a R

Sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute este de forma:

iiiii

iiiii

iii

y x xc xb xa

y x xc xb xa

y xc xbna

2432

32

2

Soluţiile a, b şi c ale sistemului de ecuaţii sunt:




98

432

32

2

432

32

2

iii

iii

ii

iiii

iiii

iii

x x x

x x x

x xn

x x y x

x x y x

x x y

a

432

32

2

422

3

2

iii

iii

ii

iiii

iiii

ii

x x x

x x x

x xn

x y x x

x y x x

x yn

b

432

32

2

232

2

iii

iii

ii

iiii

iiii

ii

x x x

x x x

x xn

y x x x

y x x x

y xn

c

Prin înlocuirea coeficienţilor a, b şi c în ecuaţia parabolei, rezultă ecuaţia teoretică

2 xc xba y

e) Modelul hyperbolic

Se pleacă de la forma canonică a ecuaţiei hiperbolei, utilizăm modelele matematicii statistice, se

obţine : i

i x

y

- modelul teoretic

i x

x

ba y - modelul determinist (practic, real)

Abaterile valorilor reale faţă de valorile estimate (de pe curba de regresie) sunt:

i x

bai y

i x

bai y x yi y


determinist, la care se ia în considerare şi eroarea: i

x x

ba y

Suma modelul dispersiilor, dintre modelul teoretic şi modelul determinist, trebuie să fie minimă,

rezulta formula: min2 xi y y înlocuim pe x y , rezultă formula

min

2

i

i xba y

Derivăm în raport cu a şi b şi egalăm cu zero derivatele parţiale, se obţine sistemul:

0

21

2

0

2

1

2

i xbai y

i xb

)

i x

bai y(

b R

i xbai y

a

)

i x

bai y(

a R

Sistemul de două ecuaţii cu două necunoscute este de forma:

i

i

ii

i

i

x y

xb

xa

y xban

111

1

2

Soluţiile sunt:

2

2

11

1

11

1

ii

i

iii

ii

x x

xn

x x y

x y

a ,

2

11

1

11

ii

i

ii

i

i

x x

xn

x y

x

yn

b




99

Prin înlocuirea coeficienţilor a şi b în ecuaţia hiperbolei, rezultă ecuaţia teoretică xba y

1

Modelul multifactorial

Între fenomene, procese de orice fel există legături complexe care se caracterizează prin influenţaunui număr mare de factori (variabile independente) asupra caracteristicii rezultative (variabile

dependente). Aceste legături se pot exprima cu ajutorul funcţiei de regresie multiplă: ) x ,... x , x( f y n x 21 unde n x x x ,..., 21 sunt caracteristici independente sau factoriale.

Cel mai utilizat model teoretic de regresie multifactorială, este modelul liniar dat de expresia :

nni xa xa xaa y ...22110, unde

0a - reprezintă coeficientul care exprimă influenta factorilor neincluşi în model, fiind consideraţi cu

acţiune constantă;

n ,... ,ia 21 - sunt coeficienţi de regresie multipli şi arată ponderea cu care caracteristica factorială x

influenţează fiecare caracteristica rezultativă y. Modelul determinist este dat de relaţia: nn x xa... xa xaa y 22110

Modelul teoretic se poate estima printr-o ecuaţie similară cu modelul determinist, la care seia în considerare şi eroarea: nn x xa... xa xaa y 22110

Suma dispersiilor dintre modelul teoretic şi modelul real trebuie să fie minimă, rezultă formula :

min2 xi y y înlocuim pe x y , rezultă formula

min)...( 222110 nni xa xa xaa y

Derivam în raport cu naaa ,..., 21 şi egalăm cu zero derivatele parţiale, se obţine sistemul:

y x xa x xa x xa xa

y x x xa x xa xa xa

y xa xa xana

nnnnnn

nn

nn

2

12110

11212

2

1110

22110

.. .....................................................................................................

...

.. .

prin rezolvarea sistemului se determină coeficienţii naaaa ,...,,, 210

3.7.3. CORELAŢIA

3.7.3.1. Corelaţii liniare

În paragrafele anterioare au fost prezentate repartiţiile unor variabile aleatoare izolate,repartiţii caracterizate prin momentele respective care pot fi determinate prin estimarea acestora.Repartiţia unui cuplu de variabile aleatoare nu poate fi redată numai prin momentele celor două

variabile luate separat, ci este necesar să se caracterizeze şi covariaţia.

Figura 3.45 Graficul repartiţiei bivariate

f(x,y)

x

y

µ y

µ x

Figura 3.44 Graficul corelaţiei a două variabilealeatoare

x x

a) b)

f(x) f(x)




100

Spre deosebire de legătura de regresie care reprezintă legătura dintre două variabile, dintrecare una aleatoare iar alta cunoscută sau dată (nealeatoare), legătura de corelaţie se referă la uncuplu de două variabile aleatoare a cărui legătură poate fi caracterizată de coeficientul de corelaţie.

Considerăm două variabile aleatoare X cu repartiţia normală 2 x x , N şi variabila Y cu repartiţia

2 y y , N între care există o anumită legătură. Densitatea de probabilitate a funcţiei de repartiţie

normală cu doi parametri este dată de expresia:

22

212

1

2

1

y

y

y

y

x

x

x

x

y x

y y x xexp y , x f

a cărui reprezentare grafică este prezentată în figura 3.45 şi are funcţia de repartiţie

x y

y

y

y

y

x

x

x

x

y x

y y x xexp yY , x X P y , xF

22

212

1

2

1

Coeficientul este denumit coeficient de corelaţie având valoarea cuprinsă în intervalul: – 1 ≤ ≤ + 1 şi defineşte gradul de dependenţă dintre variabile.

Dacă = 0, cele două variabile sunt independente atunci funcţia de repartiţie se scrie astel:

y f x f x

exp x

exp y , x f

y

y

y x

x

x

2

2

2

2

22

1

22

1 fiind pusă în evidenţă condiţia

de independenţă. Dacă > 0, variabilele x, y sunt dependente aleatoriu (stochastic). Coeficientul teoretic de

corelaţie este dat de media produselor abaterilor normate.

y

y

x

xy x

M sau

n

i

n

i

yi xi

yi

n

i

xi

y x

y x

1 1

22

1

3.7.3.2. Indicatori sintetici ai corelaţiei

Covarianţa

Covarianţa se obţine ca o medie aritmetică a produselor abaterilor variabilelor, faţă de media lor:

y y x xn

y x ii

1),cov(

Covarianţa poate avea: valoare pozitivă, ceea ce indică o legătură directă; valoare negativă, ceea ce indică o legătură inversă; valoare zero, dacă variabilele sunt independente (deci lipseşte legătura de corelaţie).

Pe măsura ce covarianţa creşte, creşte şi intensitatea corelaţiei.

Coeficientul de corelaţie liniară simplă

Este un indicator care măsoară intensitatea legăturii de tip liniar dintre două variabile x şi y.

x

i

x

x x z

y

i

y

y y z

22 /

y y x x

y y x x

n

y y x xr

ii

ii

y x

ii

x y

În practică se foloseşte următoarea formulă:




101

2222 /

),cov(

iiii

iiii

y x

ii

y x

x y

y yn x xn

y x y xn

n

y y x x y xr

10 yxr

Coeficientul de corelaţie este aplicabil numai în cazul a două variabile cu repartiţii normale; pentrualte cazuri nu este fundamentat şi poate eventual caracteriza

Semnul său semnifică tipul de legătura. În practică se utilizează următoarea interpretare :

2,00 / x yr - nu există legătură semnificativă 5,02,0 / x yr - există o legătură slabă

75,05,0 / x yr - există o legătură de intensitate medie

95,075,0 / x yr - există o legătură puternică

1950 x / yr , - legătură deterministă

Raportul de corelaţie Este denumit şi coeficientul de corelaţie al lui Pearson, acesta măsoară intensitatea legăturilor atât

liniare cât şi curbilinii. Poate lua valori în intervalul 0 – 1. Cu cât valoarea raportului este mai aproapede valoarea unu, cu atât legătura de corelaţie este mai puternică şi invers.

2

2

/ 1med i

i

x y y y

Y y R

unde : i y - reprezintă valorile iniţiale;

Y - reprezintă valorile teoretice sau calculate;

med y - reprezintă valoarea medie.

3.7.3.3. Reprezentarea geometrică a corelaţiei

Fie variabilele aleatoare X şi Y dependente având repartiţii normale. În mod arbitrar se consideră X ca având variaţii independente, iar variabila Y ca fiind legată de X . Ansamblul punctelor x, y

descrie un domeniu reprezentat printr-o elipsă deprobabilitate (figura 3.46).

Deoarece s-a considerat variabila X independentă, pentru fiecare valoare particulară i x , îi va corespunde lui Y

un ansamblu de valori i y repartizate normal. La fiecare

valoare i x corespunde o valoare medie i

x / y a lui Y . Deci,

când x descrie un anumit domeniu, punctelei

x / y descriu o

dreaptă a cărei ecuaţie este:

x x

x

y y x / y

.

Pentru o anumită valoare i x , ansamblul valorilor i y are

dispersia:

2122

y x / y

Ştim că o funcţie x f y se poate scrie şi sub forma y x . În consecinţă legătura dintrevariabilele aleatoare X şi Y se poate obţine fixând Y şi determinând mediile variabilei X

corespunzătoare:

y x

y

x x y / x

cu dispersia

2122

x y / x.

Ecuaţiile x / y

şi y / x

reprezintă, în cazul dispersiilor constante, dreptele de regresie:

x x yx y y respectiv

y y xy x x unde x

y yx

y

x xy

.

Figura 3.46 Graficul elipsei de

probabilitate

x

y

xi

i x y

x y

µ x

Date post:	16-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	hellerc
View:	1,375 times
Download:	1 times

Capitolul III Statistic A Tehnica

Documents