observatiilor. Acest indicator ofera cea mai buna predictie in Prlvll1ta categorlel unei observatii viitoare. Este evident ca aceasta predictie este cu atat mai buna, cu cat frecventa valorii mod este mai mare decat celelalte frecvente ale distributiei. Pentru exemplul 2.3 se obtine ca valoare mod categoria 1 (creativitate expre- siva) avand 0 frecventa egala cu 75, iar distributia fiind unimodala. Se poate aduce in discutie pozitia valorii mod intre gradatiile scalei. In exemplul avut in vedere se observa ca valoarea mod 0 constituie prima categorie, ceea ce~~xclude, oarecum, posibilitatea ca distributia sa fie simetrica. In comparatiile care se realizeaza intre diferite distributii se analizeaza atilt valoarea, cat ~i pozitia relativa a categoriei modale. Dad scala utilizata cuprinde suficient de multe categorii, iar numarul de obser- vatii este relativ restrans, este posibil ca raportarea valorii mod sa nu transmita informatia corecta de tendinta centrala a datelor. Sa luam in considerare exemplul unei distributii bazate pe 0 scala cu 30 de categorii (frecventele pentru categoriile 5 ... 27 sunt toate egale cu 15): categoria frecventa Aplicarea stricta a definitiei conduce la afirmatia ca valoarea mod 0 constituie categoria 3. Este insa evident ca distributia aproape uniforma a observatiilor nu necesita raportarea unei valori mod. In asemenea cazuri, condensarea scalei poate produce rezultate situate mai aproape de spiritul definitiei vaJorii mod. Pentru aprecierea gradului de impra~tiere a datelor, se poate utiliza indicele de variatie calitativa (IVC), ca alternativa la entropie, in cazul in care scala contine relativ putine categorii. Se recomanda ca aprecierea gradului de impra~tiere sa se faca impreuna cu precizarea formei distributiei (asimetrie, aplatizare). Mediana, notata cu Me, este definita drept acea categorie a scalei de masura care imparte observatiile in doua jumatati: jumatate dintre observatii sunt clasate sub categoria mediana. Altfel spus, frecventa valorilor mai mici decat mediana este egala CLl frecventa valorilor mai mari decat mediana. Determinarea medianei in cazul unei distributii de date ordinale se poate dovedi un proces cu rezultat oarecum imprecis. Unii autori l3 introduc, pentru date ordi- nale, chiar notiunea de categorie cvasimediana, cu scopul de a surprinde aproxi- marile necesare in acest caz. Abia in cazul datelor de interval mediana poate fi determinata in mod exact. Cazul datelor negrupate Notam cu XI, X 2 , •.• , X N datele observate ~i cu X(I), X(2), ... , X(N) ~irul obtinut prin ordonarea crescatoare (sau descrescatoare) a datelor observate. In cazul in care N este impar, atunci: 13. Henry Rouanel; Brigitle Le Roux, Statistique ell sciellces Ill/II/ailles. Exercices & Solutiolls, Dunod, Paris, J 995, p. 4. cu alte cuvinte, observate. Daca 1\ drept mediana; Observat numar pal Pentru da1 locul I, 10 unulrang ordinala p semne de masura. D tipuri de Sl care ofera Din pacate, de ferent de paritate, mediane se va fac rezultatul poate sa prin punctul de mij Sa luam in cons Se observa ca ~irul valoare ordonata (v nici 0 urma de indol Daca ~irul de val atunci N = 10, fiind ~asea. Cum ambele este9. I nterpretand
Transcript
observatiilor. Acest indicator ofera cea mai buna predictie in Prlvll1ta categorlelunei observatii viitoare. Este evident ca aceasta predictie este cu atat mai buna, cucat frecventa valorii mod este mai mare decat celelalte frecvente ale distributiei.
Pentru exemplul 2.3 se obtine ca valoare mod categoria 1 (creativitate expre-siva) avand 0 frecventa egala cu 75, iar distributia fiind unimodala. Se poate aducein discutie pozitia valorii mod intre gradatiile scalei. In exemplul avut in vedere seobserva ca valoarea mod 0 constituie prima categorie, ceea ce~~xclude, oarecum,posibilitatea ca distributia sa fie simetrica.
In comparatiile care se realizeaza intre diferite distributii se analizeaza atiltvaloarea, cat ~i pozitia relativa a categoriei modale.
Dad scala utilizata cuprinde suficient de multe categorii, iar numarul de obser-vatii este relativ restrans, este posibil ca raportarea valorii mod sa nu transmitainformatia corecta de tendinta centrala a datelor. Sa luam in considerare exemplulunei distributii bazate pe 0 scala cu 30 de categorii (frecventele pentru categoriile5 ... 27 sunt toate egale cu 15):
categoriafrecventa
Aplicarea stricta a definitiei conduce la afirmatia ca valoarea mod 0 constituiecategoria 3. Este insa evident ca distributia aproape uniforma a observatiilor nunecesita raportarea unei valori mod. In asemenea cazuri, condensarea scalei poateproduce rezultate situate mai aproape de spiritul definitiei vaJorii mod.
Pentru aprecierea gradului de impra~tiere a datelor, se poate utiliza indicele devariatie calitativa (IVC), ca alternativa la entropie, in cazul in care scala continerelativ putine categorii. Se recomanda ca aprecierea gradului de impra~tiere sa sefaca impreuna cu precizarea formei distributiei (asimetrie, aplatizare).
Mediana, notata cu Me, este definita drept acea categorie a scalei de masuracare imparte observatiile in doua jumatati: jumatate dintre observatii sunt clasatesub categoria mediana. Altfel spus, frecventa valorilor mai mici decat mediana esteegala CLl frecventa valorilor mai mari decat mediana.
Determinarea medianei in cazul unei distributii de date ordinale se poate dovediun proces cu rezultat oarecum imprecis. Unii autoril3 introduc, pentru date ordi-nale, chiar notiunea de categorie cvasimediana, cu scopul de a surprinde aproxi-marile necesare in acest caz. Abia in cazul datelor de interval mediana poate fideterminata in mod exact.
Cazul datelor negrupateNotam cu XI, X2, •.• , XN datele observate ~i cu X(I), X(2), ... , X(N) ~irul obtinut prinordonarea crescatoare (sau descrescatoare) a datelor observate. In cazul in care Neste impar, atunci:
13. Henry Rouanel; Brigitle Le Roux, Statistique ell sciellces Ill/II/ailles. Exercices & Solutiolls,Dunod, Paris, J 995, p. 4.
cu alte cuvinte,observate. Daca 1\drept mediana;
Observatnumar palPentru da1locul I, 10unul rangordinala psemne demasura. Dtipuri de Sl
care ofera
Din pacate, deferent de paritate,mediane se va facrezultatul poate saprin punctul de mij
Sa luam in cons
Se observa ca ~irulvaloare ordonata (vnici 0 urma de indol
Daca ~irul de val
atunci N = 10, fiind~asea. Cum ambeleeste 9. Interpretand
Se pot citi direct timpii extremi: timpul minim = 160, timpul maxim = 339,ordinul de marime al timpilor 'inregistrati, diferenta dintre timpii extremi, numarulvariantelor de variatie etc. Ca argument 'in favoarea unei astfel de operatii se poateaduce, ~i nu ca unul oarecare, confortul psihologic al cercetatorului care analizeazadatele. Se poate simti 'insa ~i sub aceasta forma 0 accesibilitate redusa la 'intele-gerea globala a situatiei. Este foarte greu de receptat situatia datelor multiple (cumar fi 241 care apare de 5 ori etc.), unde sunt "aglomerate" valorile etc. Acest aspecteste cu at:'it mai accentuat, cu cat cre~te numarul de valori (In definitiv, 200 deobservatii nu reprezinta 0 cercetare vasta). Este necesara, prin urmare, concentrareadatelor. Aceasta operatie se poate desta~ura 'in doua etape (vezi ~i capitolul privindordonarea ciatelor):
marcarea valorilor multiple ~i raportarea lor sub forma de frecvente;gruparea date lor In intervale de grupare.
Prima modalitate consta 'in construirea tabelului urmator (tabelul este doarschitat; 'intr-o prelucrare concreta se completeaza toate cele aproximativ 110 liniinecesare, daca se marcheaza doar modalitatile prezente):
Timp inregistrat Frecventa160 I163 2168 I. .. ...
254 6... ...
338 1339 1
Modalitatile prezente 'in acest tabel sunt 'inca foarte multe, ceea ce nu producesimplificarea necesara.
A doua posibilitate de concentrare a informatiei este oferita de definirea unoI'intervale de grupare ~i raportarea valorilor sub forma de frecvente de interval. Seobtine astfel un tabel de forma urmatoare:
Sub aceasta forma de prezentare, informatia poate fi receptata mai deplin, crescposibilitatile de operare a date lor, dar trebuie avut In vedere faptul cii s-a pierdut 0
parte din informatia initiala (de exemplu, din ultimul tabel nu rezulta exact caresunt cele 8 valori din primul interval: mai aproape de 160, de 170, de 179 etc.).Aceasta pierdere de informatie se justifica totu~i prin avantajul oferit de simplifi-care, ca ~i prin aceea ca 0 astfel de uniformizare a datelor (In cadrul fiecarui inter-val) poate sa reduca unele erori posibile In cadrul operatiei tehnice de masurare.
Observatie. Prelucrarea electronica a datelor a redus necesitateagruparii datelor pentru prelucrare, impunandu-se Insa necesitateagruparii pentru raportarea rezultatelor.
2.3.2.1. Limite de gruparePrin natura scalei de intervale, trebuie sa facem distinetie Intre doua categorii delimite de grupare. Analizand gruparea prezentata In tabelul anterior, este evident calimitele intervalelor au avantajul ca sunt u~or de Inteles (numere Intregi, din 20in 20 etc.) ~i de asimilat. Asemenea limite sunt numite limite de raportare ~i suntalese astfel Ineat sa fie acceptate sociologic (prin traditie, prin conventie etc.) decatre psihologi.
Dezavantajul unor asemenea limite este acela ca intervalele definite nu acoperain Intregime domeniul datelor continue. Astfel, 0 valoare de 179,2 nu apartine niciullui interval. Din acest motiv, trebuie sa se defineasca alte limite, care sa permitaclasarea fiedirei observatii din domeniul luat In considerare. Pentru stabilireaIloilor limite se porne~te de la regula de rotunjire a numerelor. Numim limiteexucte ale unui interval acele valori pentru care valorile intermediare apartin, prinrotunjire, intervalului avut in vedere.
Astfel, intervalul cu limitele 160 ~i 179 (Iimitele de raportare) are limiteleexacte 159,5 ~i 179,5. Matematic, intervalul este exprimat [159,5; 179,5). Esteevident ca orice valoare Intre aceste limite aparrine, dupa rotunjire, intervaluluiinitial.
In practica, este posibila ~i ordinea inversa de stabilire a limitelor: mai Intai sestabilesc limitele exacte ~i apoi cele de raportare, care permit redactarea clara arapoartelor de cercetare.
Orice prelucrare a datelor grupate, care implica limitele de grupare, este efec-tuata prin luarea In considerare a limitelor exacte, de~i rezultatele pot fi raportate cuajutorullimitelor de raportare.
Notam, pentru nevoile prezentarii, cu Ii limita inferioara exacta ~i cu Is limitasuperioara exacta a unui interval. Lungimea intervalului este obtinuta In acest cazprin scaderea Iim itelor: I = Is - Ii-
defin irea unorde interval. Se
2.3.2.2. Centrele intervalelorPrin gruparea datelor se pierde informatia primara, astfel Ineat nu se mai cunoa~tevaloarea Illasurata a fiedirei observatii. In calcule sunt Insa necesare valorile
individuale ale observatiilor. Din aceasta cauza, fiecare valoare, prezenta 'intr-odistributie de date grupate doar prin intermediul frecventelor, trebuie sa fieaproximata cat mai exact..
Numim centrul unui interval, notat cu c (urmat, eventual, de indicele inter-valului), valoarea situata la mijlocul intervalului respectiv. Ca formula de calcul sepoate utiliza, evident:
c = li + l/2 sau c = (li + l,)/2,unde notatiile sunt cele introduse 'in 2.3.2.1 pentru limitele exacte ~i lungimeaintervalului. Astfel, centrul primului interval din exemplul anterior este:
c = (159,5 + 179,5)/2 = 169,5.Se accepta aproximarea fiecarei valori individuale prin centrul intervalului
(c1asei) caruia 'ii apartine. Astfel, fiecare dintre cele 8 observatii, care sunt prezen-tate ca apartinand primului interval de grupare, se va considera egala cu centrulintervalului, mai exact cu 169,5. Cu alte cuvinte, daca nu cunoa~tem valorileinitiale, putem considera ca am efectuat 8 observatii cu rezultatul 169,5.
Eroarea maxima posibila datorata acestui tip de aproximare este egala cujumatatea lungimii intervalului (l/2). Aproximarea prin centrul intervaluluisatisface criteriul celor mai mici erori, 'in sensu I ca utilizarea oricarui alt tip deaproximare poate sa conduca la erori mai mari, fapt u~or de verificat. Evaluareaerorii maxime sustine ~i ideea ca un interval de grupare cu lungime mare produceerori mai mari.
2.3.2.3. Reprezentari grafice ale datelor de intervalIn mod uzual, datele de interval sunt reprezentate grafic dupa operatiunea degrupare a lor. Sub forma grupata, tabelul corespunzator este similar unui tabel dedistributie de frecvente ordinale ~i, prin urmare, reprezentarea grafica poate fisimilara reprezentarii datelor ordinale: diagrame cu bare verticale pentru frecventebrute (cumulate sau nu) sau frecvente relative (cumulate sau nu). Este 'insa reco-mandat ca, pentru a evidentia continuitatea datelor de interval, barele verticale safie unite 'intre ele. Se obtine astfel 0 histograma a datelor. De exemplu, tabelul defrecvente din exemplul anterior produce reprezentarea urmatoare:
o histogralllinformatii privilgradul de apladiagramei, se p<putin aplatizate.
Datorita comgrafice specifictmijloc ale laturilDupa cum se pnvorbi de poligorDoua exemple s
Prin figurare,(mai ales daca 111
oare, prezenta 'intr-otelor, trebuie sa fie
ai, de indicele inter-formula de calcul se
exacte ~i Jungimearior este:
centrul intervaluluiii, care sunt prezen-:ra egala cu centrulcunoa~tem valorile11169,5.lare este egala cuentrul intervaluluioricarui alt tip de
rerificat. Evaluarea~ime mare produce
)a operatiunea de1ilar unui tabel de1 grafica poate fie pentru frecventeI). Este 'insa reco-)arele verticale sa.emplu, tabelul de
o histograma, pe Hinga 0 imagine directa a repartitiei frecventelor, of erainformatii privind forma distributiei ~i simetria repartitiei. Este dificil de apreciatgradul de aplatizare, deoarece, manevrand unitatile de masura pe axa Oy adiagramei, se pot obtine, pentru acela~i set de date, configuratii mai mult sau mai
putin aplatizate.Datorita complexitatii crescute a datelor de interval, sunt posibile ~i reprezentari
grafice specifice, care nu sunt adecvate datelor discrete. Prin unirea punctelor demijloc ale laturilor superioare dintr-o histograma, se obtine poligonul frecventelor.Dupa cum se prelucreaza frecvente absolute sau relative, cumulate sau nu, se po atevorbi de poligonul frecvente!or brute, poligonul frecventelor relative cumulate etc.Doua exemple sunt prezentate 'in continuare:
Prin figurarea poligonului frecventelor brute, apare mai clara forma distributiei
(mai ales daca nu sunt desenate ~i coloanele histogramei).
0,75"">~>C'O
eJ!" 0,5SE
c:: "~ ......~
0,25
In reprezentarea frecventelor relative cumulate s-a respectat indicatia unorautoril5 de a nu utiliza punctele situate la mijloace1e interva1e1or, ci puncte1e avfll1dca abscise limite1e superioare exacte ale interva1elor. Aceasta presupune apoiunirea prin segmente a puncte10r din dreapta sus ale laturilor dreptunghiurilor dinhistograma frecventelor relative cumulate. Interpretarea acestui tip de poligon este:
• ordonata corespunzatoare unei valori x arata proportia de observatii mai micisau egale cu x;
• abscisa corespunzatoare unei ordonate peste valoarea care depa~e~te 0
proportie p de observatii. Pe grafic se poate citi astfel ca la 0 proportie de 0,5(adica 50%) corespunde valoarea aproximativa 250, cu semnificatia ca 50%dintre observatii au avut inregistrat un timp mai mic sau egal cu 250 (250este astfel 0 estimatie a medianei repartitiei);
• diferenta proportii1or PI ~i P2, corespunzatoare Ja doua valori XI ~i X2, arataproportia observatiilor cu valori masurate intre XI ~iX2.
se observa (spune di in ~
In cazullcare are fregrupate, con240-259, carhistograma,'inaltime malpunctului ma
MedianaIntrodusa cadeterminata,pentru date1e
se orcdaca I2.3.3. Statistici pentru date de interval
Scala de intervale. fiind mai complexa decat scale Ie discrete, datele masurate peasemenea scale pot suporta cere mai sofisticate tehnici statistice. Dupa logicagenerala a prelucrarilor statistice descriptive, ~i pentru datele continue sunturmarite aspectele privind concentrarea valorilor (tendinta centrala a date lor) ~igradul de impra~tiere a valorilor. Apar insa elemente teoretice noi, cum ar fiaprecierea simetriei distributiei ~i a gradului de aplatizare.
Datorita volumului important de informatii, in acest capitol se vor prezenta doarindicatorii de tendinta centrala, urmand ca indicatorii de impra~tiere, simetrie ~iaplatizare sa fie studiati intr-un capitol distinct.
daca rdin m
In cazul d,intervalul caregrupare are locprin natura 10observatia dincumulate dreptnumarului de 01
Calculul indicatorilor rezumativi pentru 0 distributie de date continue esteinfluentat de modul de prezentare a dateJor. Datele negrupate pot sa producarezultate nesemnificative, in timp ce datele grupate pot sa produca rezultateaproximative (datorita erorilor care apar din procesul de grupare). In prezentareafiecarui indicator statistic, se vor preciza limitele de aplicare ~i interpretare infunctie de gruparea date lor.
Valoarea modDefinitia este aceea~i cu cea introdusa la datele nominale sau ordinale. In cazuldatelor negrupate, valoarea mod se define~te ca fiind valoarea cea mai frecventa.Aplicarea stricta a definitiei in acest caz poate sa produca un rezultat Tara utilitatepractica, datorita numarului important de valori posibile. Astfel, in ~irul de valori
12,15,15,21,23,25,32,45,52,57
unde: Ii este Iinterva1u1ui medpentru interva1uinterva1ului med
Formula esteinferioara exact:observatii care rordonate.
se observa ca valoarea mod este 15 (are frecventa maxima = 2), dar nu se poatespune ca 'in ~irul dat are loc 0 aglomerare a valorilor 'in jurul acestui rezultat.
In cazul datelor grupate, valoarea mod se define~te ca fiind centrul intervaluluicare are frecventa maxima. Exemplul 2.4, luand 'in considerare tabelul datelorgrupate, conduce astfel la 0 valoarea mod egala cu 249,5 (mijlocul intervalului240-259, care are frecventa maxima). Daca datele sunt reprezentate sub forma dehistograma, valoarea mod este centrul intervalului reprezentat prin dreptunghiul de'inaltime maxima. In poligonul frecventelor absolute, valoarea mod este abscisapunctului maxim.
Medianalntrodusa ca punctul de mijloc al distributiei de valori, mediana poate fideterminata, 'in cazul datelor negrupate, dupa 0 metoda similara celei prezentatepentru datele ordinale:
se ordoneaza valorile x(l), X(2), ... , x(n);daca n este impar, atunci mediana este valoarea din mijloc, adica XC,;I);daca n este impar, atunci mediana este media aritmetica a celor doua valoridin mijlocul seriei ordonate, adica
In cazul datelor grupate, se va determina mai 'intai intervalul median, adicaintervalul care contine mediana. Este de remarcat faptul ca din 'insa~i procedura degrupare are loc etapa de ordonare a valorilor (intervalele de grupare sunt ordonateprin natura lor). Prin urmare, intervalul median este intervalul care contineobservatia din mijlocul seriei ordonate ~i poate fi identificat din ~inll frecventelorcumulate drept intervalul (clasa) a carui frecventa cumulata depa~e~te jumatateanumarului de observatii. Mediana este atunci calculata dupa formula
!!-- -J,2 h-I
Me=I+/x----I h
unde: Ij este limita inferioara exacta a intervalului median, I este lungimeaintervalului median, n este numarul total de observatii,Ji_,-J, este frecventa cumulatapentru intervalul anterior intervalului median, Ji este frecventa (necumulata) aintervalului median.
Formula este, de fapt, una de interpolare liniara prin care se adauga la limitainferioara exacta a intervalului median 0 lungime proponionala cu numarul deobservatii care mai sunt necesare pentru atingerea obscrvcqiei din mijlocul serieiordonate.
Unii autori16 recomanda 0 formula simplificata: mediana este egala cu centrulintervalului median. Este evident ca diferenta dintre cele doua rezultate esteacceptabiIa in cazul in care lungimea intervalului median este mica. In plus,formula de interpolare data presupune ca observatiile sunt distribuite uniform Inintervalul median, ceea ce nu se verifica intotdeauna.
Pentru exemplul 2.4 formam mai intai tabelul cu frecventele cumulateascendent.
Cum n = 200, observatiile de la mijloc sunt observatiile cu rangurile I00 ~i 10I. Seobserva ca acestea apartin intervalului 240-259 pentru care frecventa cumulatadepa~e~te prima data 100. Avem, prin urmare, Ii =239,5; 1= 20; n = 200;.!i-,-!- = 74;fi = 56. Aplicand formula de calcul al medianei, obtinem 248,79. Putem interpretaastfel ca jumatate dintre observatii sunt situate sub aceasta valoare.
Daca am utiliza ca mediana mijlocul intervalului median, am obtine valoarea249,5, care nu este foarte departata de valoarea obtinuta anterior.
unde k este I
centre Ie interponderata a ce
Media aritlabaterilor de \;abaterilor de Iexprima maten
Se mai spune Q
In procesulvate, astfel ind
prima transfonprin extragereaordinului de made date intre Iefectufmdu-se pinmulti toate v'corespunzator, p
Media aritmetidiCea mai utilizata valoare rezumativa pentru caracterizarea tendintei centrale a ~idatelor este media aritmetica, pe care 0 calculam dupa formula uzuala:
_ XI +x1 + ... +x"x=------n
unde n este numarul de observatii, iar X" X2, ... , X" reprezinta seria de valoriobservate. Formula aceasta poate fi aplicata doar in cazul datelor negrupate peintervale (doar atunci avem valorile individuale observate).
In cazul datelor grupate, fiecare valoare este aproximata prin centrul intervaluluicaruia ii apartine ~i, prin urmare, formula devine:
16. N. Rancu; L. Tovissi, Statistica matematica cu aplica{ii in produc{ie, Editura Academiei,Bucure~ti, 1963.
In final se pOlcare se estimeaZisimetrice, valorilmedia tinde sa sesensu I asimetriei,distributiei. In aSIlui. Situatia se po
Folosirea meddintre care unelevalorii mod:• situarea unei
nota este supe
unde k este numarul de intervale de grupare, f noteaza frecventele, c noteazacentrele intervalelor, iar n este numarul de observatii. Formula da in fapt mediaponderata a centrelor intervalelor, ponderile fiind frecventele intervale lor:
Media aritmetica este punctul de echilibru al distributiei, in sensul ca sumaabaterilor de la medie pentru observatiile mai mici decat media este egala cu sumaabaterilor de Ia medie pentru observatiile mai mari dedit media. Acest rezultat seexprima matematic prin:
Se mai spune ca media aritmetica joaca rolul de centru de greutate al datelor.In procesul de caleul, se poate recurge la transformari prealabile ale datelor obser-
vate, astfel incat caleulele sa se efectueze mai u~or. Transformarile frecvente sunt:
Yi=Xi -A
Yi =.A X Xi'
prima transformare semnificand reducerea ordinului de marime al date lor initialeprin extragerea unei cantitati constante A, iar a doua producand modificareaordinului de marime prin multiplicare cu 0 constanta A. De exemplu, pentru 0 seriede date intre I00 ~i 200 se poate scadea 100 din toate valorile, caleulele ulterioareefectufmdu-se pe \talori mai mici. Pentru 0 serie de valori intre 0,00 I ~i 0,0 lOse potinmulti toate valorile cu 1000. Media aritmetica a datelor initiale se regase~te,corespunzator, prin formulele:
- YX=-.A
In final se poate spune ca media ~i mediana sunt cele mai utilizate statistici princare se estimeaza tendinta centrala a unei distributii. Pentru distributiile perfectsimetrice, valorile celor doi indicatori sunt identice. Pentru distributiile asimetrice,media tinde sa se deplaseze catre v~lorile extreme, spre dreapta sau spre stanga, InsensuI asimetriei, in timp ce mediana ramane mai apropiata de ramura "scurta" adistributiei. In asemenea cazuri, mediana poate oferi 0 imagine mai buna a centru-lui. Situatia se poate remedia, pentru medie, daca se exclud valorile aberante.
Folosirea mediei in cercetarea psihologica este frecventa in trei tipuri de situatii,dintre care unele pot fi rezolvate ~i prin luarea in considerare a medianei sau avalorii mod:• situarea unei observatii intr-o distributie. Exemplu: precizarea faptului daca 0
nota este superioara sau inferioara mediei;
:a seria de valori~lor negrupate pe
• compararea unui grup de observatii cu un alt grup. Exemplu: In cadrulproceselor de Invatare, care comporta 0 serie de Incercari succesive, pot filasate intervale de timp (Invatare distribuita) sau nu (Invatare masata). Seconstata, In general, ca rezultatul unui grup de subiecti In Invatarea distribuitaeste superior rezultatului In Invatarea masata. Daca cineva considera ca aceastadiferenta este prea mare pentru a putea fi explicata doar prin variatii fortuite,aceasta va conduce la 0 explicatie psihologici:i;
• situatia In care observatii1e au fost supuse la una sau mai multe surse devariatie sistematica. Se poate calcuJa valoarea medie asociata la fiecare dintrestarile sursei respective. Aceasta medie permite descompunerea variatiilorobservate In mai multe abateri (care se numesc "efecte") ~i, astfel, analizareaimportantei relative a diferitelor surse sistematice sau fOl1uite. 0 asemeneaanaliza este esentiala In explicarea fenomenelor observate.
Problema calculului mediilor apare ~i In cazul analizei de itemi. Itemul este 0
componenta informationala eJementara a unui test sau chestionar psihologic, care,In majoritatea cazurilor, se prezinta dihotomic din punct de vedere cantitativ.Analiza de itemi constituie 0 operatiune strict necesara In cazulln care dorim sa neasiguram ca testul Indepline~te 0 serie de exigente functionale. Sa luam douaexemple de modalitati de prezentare a itemilor In probe psihologice:
In cazul primului exemplu, avem situatia d~ examen a 11 subiecti la un test cu 4itemi (exemplul este teoretic, deoarece un test trebuie sa aiba cel putin 20 de itemipentru a putea fi numit test, dupa parerea psihometricianului englez Paul Klinel\La fiecare item se poate primi valoarea I (solutie corecta la problema pusa de item
17. P. Kline, "La construction des tests", In l.R. Beech; Leonora Harding, Tests, mode d'emp/oi.Guide de psychomhrie, Les Editions du Centre de Psychologie Appliquee, Paris, 1994, p. 103.
sau raspuns Ipsih ica ce tftevidentiaza tricantitativa polunele subscale
In primul \(numit indicetotodata, medidihotomica a
itemului i). Decu acela~i nutrezolvare a sa.valori lor de las-ar fi obtinut I
acest caz, pj nl
din formula xj
x = 23/11 = 2,I
Exemplificatip de raportare
Aceasta scala dprecizarea clararaporturilor dintscala de inlerviprintr-o transforscale sunt putinaxiomele de bazcare sa se satisfaIntre 4 masuri ,urmatoare :
Pe scala de r,a obiectelor ~i aCand numerelecaracteristici peneste dublul car,caracteristica A,cunoa~terea (exi~
nplu: In cadruluccesive, pot fi!ire masata). Se\tarea distribuita:idera ca aceastavariatii fortuite,
multe surse dela fiecare dintreerea variatiilor;tfel, analizareae. 0 asemenea
i. Itemul este 0
sihologic, care,:Iere cantitativ.ire dorim sa neSa luam doua
442141423443
360,650,35
a un test cu 411 20 de itemilaul KlineJ
\
pusa de item
?lOde d'emploi,994, p. 103.
sau raspuns la un chestionar de personalitate, care scoate In evidenta trasiiturapsihica ce trebuie diagnosticata) sau 0 (solutie incorecta sau raspuns care nuevidentiaza trasiitura psihicii cercetata). La al doilea test, raspunsul are 0 distributiecantitativa polihotomica, scorurile itemilor variind de la I la 5 (situatie Intalnita lalInele subscale ale testului WISC ~i, mai ales, la chestionarele de atitudini).
In primul caz, f; indica punctajul total obtinut de toti subiectii la itemul i, Pi(nllmit indice de dificultate) desemneaza proportia de raspunsuri corecte ~i,totodata, media raspunsurilor corecte la itemul i (situatie Intalnita doar la notareadihotomica a raspunsurilor). In acest caz, Pi se confunda cu Xi (adica mediaitemului i). Deci Pi = f; /II (II fiind numarul total de subiecti). In cazul al doilea,cu acela~i numar de itemi ~i acela~i numar de subiecti, Pi, adica proportia derezolvare a sarcinilor, se obtine din Impartirea sumei scorurilor, j; (suma tuturorvalorilor de la itemul I de la cel de-a I doilea test), la 55, adica la suma totala cares-ar fi obtinut daca toti subieqii ar fi avut maximum de punctaj. Se observa ca, Inacest caz, Pi nu se mai confunda cu Xi' deoarece valoarea celui din urma rezulta
din formula Xi = f; !II. In cazul primului item de la al doilea test, putem concretiza
Xi = 23/11 = 2,09, In timp ce Pi = 23/55 = 0,41.
Exemplificarea prezentata este ~i un avertisment pentru a nu se confunda oricetip de raportare cu 0 medie.
2.4. Scala de raport sau scala de proportii
Aceasta scala de masura poseda ca note distincte existenta unei origini naturale ~iprecizarea clara a semnificatiei unitatii de masura, ceea ce face posibila compararearaporturilor dintre gradatii1e scalei. Scala de raport a fost denumita de S.S. Stevensscala de interval cu origine ralionala. In acest caz, raporturile nu sunt alterateprintr-o transformare de similaritate (0 transform are liniara in care b = 0). Acestescale sunt putin utilizate In psihologie, deoarece majoritatea marimilor nu-i satisfacaxiomele de baza. Conform acestora, daca a putut fi gas ita 0 operatie empirica princare sa se satisfaca in Intregime axiomele lui Campbel, devine posibil sa ~tim dacii,Intre 4 masuri ale acestei mari'mi, A, B, C ~i 0, sunt verificate sau nu relatiilelIrmatoare:
A - B = B - C = C -0 ~i A/B = C/O.Pe scala de raport, numerele of era nu numai informatii asupra ordinii de rang
a obiectelor ~i a marimii relative a diferentelor, ci ~i despre relatiile rapoartelor.Cand numerele 2, 4, 7 ~i 9 reprezinta gradul de reliefare a unei anumitecaracteristici pentru obiectele A, B, C ~i 0 Intr-o scala de raport, putem spune ca Beste dublul caracteristicii pe care 0 are A, C este de 3,5 ori mai mult fata decaracteristica A, 0 de 2,5 ori mai mult decat B ~.a.m.d. Masurarea presupunecunoa~terea (existenta) punctului 0 (originea), precum ~i a unui pas scalar identic
de-a lungul Intregii scale. Se cunoa~te directia continuumului, exista pa~i egali aiscalei ~i se poate raporta exact fiecare pozitie individuala a unui continuum la unpunct de referinta (originea scalei). Cele mai multe instrumente de masura pe careIe utilizam In situatii cotidiene of era date pe 0 scala de raport, scala care este defapt 0 extensie a scalei de interval. Clnd 0 anum ita caracteristica a unui obiect estemasurata pe aceasta scala, putem sa precizam gradul de reliefare ~i sa-I exprimamprintr-o valoare absoluta. Valorile individuale pot fi precizate tara a cunoa~tevaloarea altor obiecte pe aceea~i scala. 0 scala de proportii poate fi stabilita pentruun atribut care, la prima vedere, nu prezinta posibilitatea de absenta totala, atuneicand se poate demonstra existenta unei relatii functionale Intre valorile acestuiatribut sau fenomen eare satisface proprietatea de adunare (de unde existenta luio absolut).
Prima caracteristica a scalei de. proportii rezida In posibilitatea de a cunoa~tedistanta dintre origine ~i valoarea unui individ pe un continuum definit dupa unatribut dat. Amplitudinea absoluta a unei cantitati deatribut este un dat cunoscut ~ieste posibila cunoa~terea pozitiei unui scor individual, tara sa fie necesara situareaaltor indivizi sau a altor obiecte pe continuum. Numerele reprezinta deci In modreal gradul de prezenta a unui atribut la un individ sau la un obiect. Scala deproportii este cea care permite informatiile cele mai complete.
Oaca se multiplica sau se divizeaza scorurile unei s,cale de proportii printr-oconstanta, scala conserva proprietatile sale, ordinea indivizilor ~i a obiectelorramane aceea~i, proportii1e Intre intervale ~i Intre scoruri raman neschimbate, iarpunctul 0 este totdeauna prezent. Oaca se adL}na sau se scade 0 constanta larezultate, natura scalei va fi modificata: ordinea obiectelor ~i a indivizilor ramaneaceea~i, dar proportiile Intre scoruri vor fi modificate ~i va disparea 0 absolut.Practic, se revine la scala de interval. Se poate face 0 remarca In acest sens: cu catmai precise sunt informatiile furnizate printr-o scala, cu atat mai mica este liber-tatea de a transform a scala tara a modifica informatiile originare.
o scala ordinala poate sa sufere orice transform are monotona tara ca informa-tiile relative primare, pe care ea Ie produce, sa fie modificate. La 0 scala deinterval, posibilitatile de transformare sunt mai restranse. Transformarile permise lascala de proportii trebuie sa se limiteze la multiplicari sau la diviziuni cu ajutorulunei constante, daca dorim ca informatia sa fie identicii. Postulatele subiacentemodelului scalei de proportii autorizeaza utilizarea tuturor operatiilor algebrice(+, -, x, :), atat In intervale, cat ~i In scoruri. Posibilitatea de a utiliza cele 4 operatiialgebrice autorizeaza recursul la cele mai puternice metode ale analizei matematiee~i ille statisticii, incluzand In plus to ate operatiile permise In scale mai putincomplexe, deja mentionate.
Astfel, cand se corecteaza un test ~i cand se aduna numarul de itemi coreetrezolvati prin respondent, se obtine un numar situat pe 0 scala de proportii. Oar,daca se utilizeaza acest numar pentru a indica pozitia respondentului pe 0 scalacare masoara un atribut, numarul respectiv nu mai poate fi interpretat dupa regulilescalei de proportii. Unui numar nul de raspunsuri corecte nu-i corespunde 0 absenta
totala a atributLde stabilire aposibilitatea d(masurarii atribL
LP. Vasilescutilizate la ma,satisfac exigen~
In privinta arelor reale. Apiun punct 0 natUi
Operatiile s1Ointre marimil(coeficientul devalabile sunt act
Exista opini;masurarii timputimpului de reacuitat faptul ca ipsihic care se dlacest subiect coscale de interval.
Posibilitatea I
mai bine de un sPrimele tentativisubiect 0 senzatiau avut loc In aJ.M. Cartel reali;contra, redusa la.ciind au fost reluconstruirea uneiintensitate fizicacomparatie cu un~i teoriei masuriiconstrui scale declasat astfel:• metode de ap
el se pronuncorespondent'
a cunoa~te!lit dupa uncunoscut ~iara situarealeci in modt. Scala de
totala a atributului masurat. Atributele psihologice nu permit sa se aplice procedurade stabilire a unui relativ functional intre doua atribute in care unul prezintaposibilitatea de absenta totala. A~adar, scalele de proportii nu pot sa convinamiisurarii atributelor psihologice.
LP. Vasilescul8 sustine ideea potrivit careia scalele Weber-Fechner sau Zapan,utilizate la masurarea intensitatii senzatiei in funetie de intensitatea stimulului,satisfac exigentele scalelor de raport.
In privinta axiomelor se considera ca sunt respectate toate cele specifice nume-relor reale. Aplicarea unei con stante de deplasare nu este permisa, intrucat existaun punct 0 natural.
Operatiile statistice permise sunt cele care pornesc de la valorile absolute.Dintre marimile statistice care pot fi determinate amintim media geometrica ~icoeficientul de variatie sau de variabilitate. Procedeele de verificare ~i corelatiilevalabile sunt acelea~i ca la nivelul anterior al scalelor de interval.
Exista opinia ca putem vorbi de utilizarea scalei de raport doar in privintamiisurarii timpului de reactie in cercetarea caracteristicilor psihologice. Cercetareatimpului de reactie este revendicata ~i de alte discipline ~tiintifice, dar nu trebuieuitat faptul ca in psihologie nu intereseaza atat timpul de reactie, cat fenomenulpsihic care se deruleaza intr-un anum it timp. 0 parte din autorii care se ocupa deacest subiect considera ca valorile rezultate pot fi apreciate dupa cerintele uneiscale de interval.
Posibilitatea construirii scale lor de raport in psihologie preocupa cercetatorii demai bine de un secor, realizarile experimentale vizand mai ales domeniul senzorial.Primele tentative de a determina intensitatea fizica a stimulului suscitand la unsubiect 0 senzatie apreciata ca dubla in comparatie cu alta apartin lui J. Merkel ~iau avut loc in anii ] 888 ~i ] 889. La putin timp, in anul ] 892, G.S. Fullerton ~iJ.M. Cartel realizeaza experiente in care 0 senz~tie trebuie sa fie dublata sau, dincontra, redusa la jumatate. Asemenea experiente au fost abandonate pana in anii '30,cand au fost reluate din nevoi practice ale acusticienilorl9. Interesul ~tiintific vizaconstruirea unei scale care sa permita sa cunoa~tem de cate ori un sunet deintensitate fizica de natura cunoscuta apare mai intens subiectiv unui examinat, incomparatie cu un alt sunet de intensitate fizica necunoscuta. Oomeniile psihofizicii~i teoriei masurii in psihologie ar fi beneficiat astfel in acest sens. Tendinta de aconstrui scale de raport In psihologie a cunoscut diferite forme. S.S. Stevens le-ac1asat astfel:• metode de apreciere a rapoartelor - subiectului ii sunt prezentati doi stimuli ~i
el se pronunta imediat asupra valorii numerice a raportului intre senzatiilecorespondente;
18. I.P. Vasilescu, Statistica injormatizata pentru :jtiin{e despre am, Editura Militar~, Bucure~ti,1991, p. 19.
19. Vezi Maurice Reuchlin, Les nllithodes qllalltitatives en psychologie, Presses Universitaires deFrance, Paris, 1962, pp. 40-50.
• metode de producere a rapoartelor - subiectul ajusteaza el 'insu~i un stimul 'ina~a fel 'indt rapOltul senzatiilor pe care Ie suscita 'in comparatie cu 0 senzatieconstanta sa ia 0 valoare fixata 'in avans;
• metode de apreciere a marimilor - subiectului i se cere sa furnizeze 0 estimatienumerica directa a fiecareia dintre senzatiile coresponzand unei serii de stimuli;
• metode de producere a marimilor - subiectului i se cere sa regleze un stimulvariabil, 'in a~a fel 'incat senzatia sa ia 0 valoare care sa-i para a corespunde unuinumar daro.
Daca datele primite sunt considerate coerente, este u~or sa construim scale alesenzatiilor ~i sa determinam e~aloanele corespondente unor intensitati fizice alestimulului. Se atribuie arbitrar valoarea I senzatiei produse printr-un stimul,valoarea 2 senzatiei produse de un stimul care pare dubla primei senzatii ~.a.m.d.Adeptii acestui tip de scala sunt expu~i la doua tipuri de obieetii: unele de ordinlogic ~i altele de ordin experimental. Metoda a fost criticata chiar 'in ~edinteleComitetului de la "British Association for the Advancement of Science", institutie~tiintifica deosebit de prestigioasa. Argumentullogic central pare sa fie urmatorul:
Asertiunea "senzatia A este dublul senzatiei B" este 'Iipsita de sens, atatatimp cat adunarea empirica nu a putut fi definita. Subiectul nu va folosi ~i nuva 'intelege 0 astfel de expresie daca nu este familiarizat cu marimi funda-menta Ie, precum lungimea ~i greutatea, pentru care adunarea a fost definita.Daca cineva spune ca 0 lungime A este dublul unei lungimi B, e posibil sadescrie 0 suita de operatii fizice care sa-i pennita definirea a ceea ce e1'intelege prin aceasta. Nu acela~i lucru se poate petrece 'in domeniul sonic, 'incare nu se poate ata~a 0 semnificatie metrica judecatii subiectului supus laastfel de experiente.
Din punct de vedere experimental, daca se iau 'in considerare abaterile mediipentru un acela~i subiect, 'in experientele de acest tip se constata ca ele depa~escadesea 10 decibeli, anumite deviatii individuale aratand deviatii mai mari de 50decibeli.
T.W. Reese a 'incercat, 'in 1943, sa verifice scalele de raport pentru alte marimidecat senzatiile. El le-a utilizat pentru a masura dificultatea subiectiva a fiecareicomponente a unui test. 0 astfel de tentativa poate reu~i cu conditia ca rezultateleexperimentale sa manifeste 0 coerenta suficienta. EI a cerut subieetilor, care au'invatat doua serii de cifre, sa spuna daca dificultatea pe care au avut-o la memori-zarea celei de-a doua serii, 'in comparatie cu prima memorizare, le-a parut pejumatate sporita sau redusa. Acela~i procedeu este folosit ~i pentru cuvintele unuitest de vocabular. Oar coerenta rezultatelor obtinute 'in operatiile fundamentale deegalizare a raporturilor subiective nu este suficienta pentru a se putea afirma cucertitudine ca aceasta operatie este posibila empiric, cu un grad rezonabil deprecizie. Ingustimea domeniului explorat prin aceste metode nu permite sa se spuna
'in mod sigur ca \masurare 'in psihc
In domeniul teuna vizand domeca principali refcealalta - domeniQ. McNemar, F.~dintre cele doua ~I
Fundamental i~realitate ~i sistemrefuza sa util izezescalelor de intenegalitatii unitatiloevident faptul capsihologic se poatlacestei egalitati cctice puternice. Panaplica la numere, ~masura nu au in:raspunde la chestileste ordinala sauempirice ca obtimutilizarea unui tes1demonstratii empilputernice pot foanticilor puternice aCIpertinent cand cindescri pti v.
Opinia cea mai I
unitati corecte sauunei scale va fi m~stabilite 'in ~tiintelesatisface postulatultica sunt, prin convi~i atributele psihollprintr-o procedura c
Valorile acestuielementare.
Ca ~i 'in fizica, tzero conventional.
In mod sigur ca ele constituie solutia generala a problemelor puse de procesul demasurare In psihologie.
In domeniul teoriei masurarii din ~tiintele umaniste se Infrunta acerb doui\ ~coli,una vizand domeniul masurarii "slabe" (numita ~i ~coala fundamentalista ~i avandca principali reprezentanti pe S.S. Stevens, S. Siegel ~i D.R. Saunders), iarcealalta - domeniul masurarii "puternice" (care Ii are ca principali protagoni~ti peQ. McNemar, P.M. Lord, N. Anderson, W.I. Hays ~i J.e. Nunnally). Controverseledintre cele doua ~coli nu par sa se fi atenuat pana acum.
Fundamentali~tii sustin ca trebuie respectat principiul izomorfismului Intrerealitate ~i sistemele matematice uti lizate pentru a 0 reprezenta. In consecinta, eirefuza sa utilizeze, In masurarea atributelor psihologice, tehnici statistice specificescalelor de intervale egaJe. In centrul acestei polemici se situeaza postulatulegalitatii unitatilor. Celor care au experienta In domeniul psihometric Ie esteevident faptul ca este dificil, chiar imposibil, sa se considere ca un atributpsihologic se poate manifesta In unitati egale. Pentru fundamentali~ti, demonstrareaacestei egalitati constituie 0 conditie esentiala pentru a putea utiliza tehnici statis-tice puternice. Partizanii ~colii statisticilor "puternice" sustin ca acestea din urma seaplica la numere, ~inu la atributele Inse~i, deci caracteristicile reale ale scalelor demasura nu au influenta asupra tehnicilor statistice21
• Ca atare, testul statisticraspunde la chestiunea pentru care este destinat sa raspunda, indiferent daca scalaeste ordinala sau de intervale egale. Argumentul a faCllt obiectul demonstratieiempirice ca obtinerea llnei scale de intervale egale nu constituie un preambul lautilizarea unui test parametric, In scopuri de inferenta statistica. In urma acesteidemonstratii empirice, s-a stabilit ca, In statistica inferentiala, tehnicile statisticeputernice pot foarte bine sa convina datelor ordinale, reprezentantii ~colii statis-ticilor puternice acceptand ca punctul de vedere restrictiv al fundamentali~tilor estepertinent ciind cineva se preocupa de determinarea unei statistici Intr-un scopdescriptiv.
Opinia cea mai raspanditii In randul cercetatorilor avizati este aceea ca nu existaunitati corecte sau veritabile pentru 0 scala de masura a proportiilor. Clasificareaunei scale va fi mai curand 0 problema de conventie ~i de utilitate22
. Conventiilestabilite In ~tiintele umane permit In mod obi~nuit tratarea datelor ca ~i cand ele arsatisface postulatul de egalitate a intervalelor. Tehnicile puternice de analiza statis-tica sunt, prin conventie, compatibile cu datele privind atributele umane (incluzand~iatributele psihologice), cel putin atunci ciind datele nu au fost obtinute initialprintr-o procedura de "punere In rang", rezultand dintr-o scala de masufa ordinala.
Valorile acestui tip de scala sunt numerice ~ipot fi sup use la operatii aritmeticeelementare.
Ca ~i In fizica, trebuie stabilita 0 distinctie neta Intre scale Ie cu zero absolut ~izero conventional. Scale Ie de temperatura, indiferent ca sunt Fahrenheit sau
21. J.J. Bernier; B. Pietrulewicz, La psychomerrie, Gaetan Morin (ed.), Montreal, Paris, Casablanca,1997.
22. Pentru consideratii in aceasta privinta, ibidem, pp. 32-33.
Celsius, nu au un zero absolut. Para zero absolut, este posibila masurareadistantelor sau a diferentelor, dar aceste valori individuale sau rapoartele lor nusunt aditive. Scalele care comporta un zero absolut sunt scalele de proportii. Cuajutorul acestui tip de scala se elaboreaza segmentele In functie de lungimea lor,intervale Ie de timp 'in functie de durata lor ~i sunetele 'in functie de intensitatea lor.
