+ All Categories
Home > Documents > Statistica - Capitolul2

Statistica - Capitolul2

Date post: 15-Jun-2015
Category:
Upload: zaraki88
View: 1,720 times
Download: 3 times
Share this document with a friend
57
45 Capitolul 2 ANALIZA SERIILOR DE DISTRIBUŢIE A FRECVENŢELOR 2.1. INDICATORI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL A. SERII SIMPLE (date negrupate) Mărimi medii Media aritmetică Media aritmetică este rezultatul sintetizării într-o singură expresie numerică a tuturor nivelurilor individuale observate, obţinută prin raportarea valorii totalizate a caracteristicii la numărul total al unităţilor: n x x n 1 i i = = unde: i x - reprezintă nivelurile individuale ale variabilei; = n 1 i i x - reprezintă volumul centralizat al variabilei; n - reprezintă numărul unităţilor observate. Proprietăţi a) dacă x 1 =x 2 =...=x i =...=x n =x c atunci c x x = b) max min x x x < < c) 0 x x n 1 i i = = ) ( d) dacă a x x i m = ' atunci a x x m = de unde a x x ± = ' e) dacă h x x i = " atunci h x x = de unde h x x = respectiv, dacă h x x i = " atunci h x x = de unde h x x = Formule de calcul simplificat al mediei aritmetice: ( ) a n a x x n 1 i i ± = = m a h n h a x x n 1 i i + = =
Transcript
Page 1: Statistica - Capitolul2

45

Capitolul 2 ANALIZA SERIILOR DE DISTRIBUŢIE A FRECVENŢELOR

2.1. INDICATORI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL

A. SERII SIMPLE (date negrupate)

Mărimi medii

Media aritmetică Media aritmetică este rezultatul sintetizării într-o singură expresie

numerică a tuturor nivelurilor individuale observate, obţinută prin raportarea valorii totalizate a caracteristicii la numărul total al unităţilor:

n

xx

n

1ii∑

==

unde: ix - reprezintă nivelurile individuale ale variabilei;

∑=

n

1iix - reprezintă volumul centralizat al variabilei;

n - reprezintă numărul unităţilor observate.

Proprietăţi a) dacă x1=x2=...=xi=...=xn=xc atunci cxx = b) maxmin xxx <<

c) 0xxn

1ii =−∑

=

)(

d) dacă axx i m=' atunci axx m=′ de unde axx ±= '

e) dacă hxx i=" atunci

hxx =′′ de unde hxx ⋅′′=

respectiv,

dacă hxx i ⋅=" atunci hxx ⋅=′′ de unde hxx′′

=

Formule de calcul simplificat al mediei aritmetice:

( )a

n

axx

n

1ii

±=∑=

m

ahn

hax

x

n

1i

i

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑=

Page 2: Statistica - Capitolul2

46

Media armonică Media armonică ( hx ) se defineşte ca fiind inversa mediei aritmetice

calculată din valorile inverse ale termenilor aceleiaşi serii:

∑=

= n

1i i

h

x1

nx

Media pătratică Media pătratică )( px este acea valoare care înlocuind termenii seriei

ridicaţi la pătrat nu modifică suma pătratelor acestora.

n

xx

n

1i

2i

p

∑==

Media geometrică Media geometrică ( gx ) reprezintă acea valoare cu care, dacă se înlocuiesc

toţi termenii seriei şi se face produsul acestora, valoarea la care se ajunge este egală cu produsul termenilor reali, adică:

nn

1iig xx ∏

=

=

Între mediile prezentate există următoarea relaţie de ordine: pagh xxxx <<<

Valori medii de poziţie sau de structură

Mediana (Me) reprezintă valoarea centrală a unei serii statistice ordonate crescător sau descrescător care împarte termenii seriei în două părţi egale.

Locul medianei= 2

1+n unde n reprezintă numărul termenilor seriei.

Valoarea medianei: • dacă numărul termenilor seriei este impar (n=2p+1): 1pxMe +=

• dacă numărul termenilor este par (n=2p): 2xx

Me 1pp ++=

Modul (Mo) este valoarea care se repetă de cele mai multe ori, motiv pentru care mai este cunoscut în literatura de specialitate şi sub denumirea de dominanta seriei.

Page 3: Statistica - Capitolul2

47

Indicatorii variaţiei

a) Indicatorii simpli ai variaţiei

Amplitudinea absolută (Aa) se calculează ca diferenţă între nivelul maxim (xmax) şi nivelul minim (xmin) al caracteristicii:

Aa=xmax-xmin

Amplitudinea relativă a variaţiei (A%) se calculează ca raport între amplitudinea absolută a variaţiei şi nivelul mediu al caracteristicii:

100xAA a ⋅=%

Abaterile individuale absolute (di) se calculează ca diferenţă între fiecare variantă înregistrată şi media aritmetică a acestora:

n1ixxd ii , =−= Abaterile individuale relative (di%) se calculează raportând abaterile

absolute la nivelul mediu al caracteristicii:

n1i100x

xx100xdd ii

i , % =⋅−

=⋅=

În analiza variaţiei, de multe ori, ne limităm la a calcula abaterile maxime într-un sens sau altul.

b) Indicatorii sintetici ai variaţiei

Abaterea medie liniară )(d se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată din abaterile termenilor seriei de la media lor, luate în valoare absolută:

n

xxd

n

1ii∑

=

−=

Abaterea medie pătratică sau abaterea standard )(σ se calculează ca o medie pătratică din abaterile tuturor variantelor seriei de la media lor aritmetică:

n

xxn

1i

2i∑

=

−=

)(σ

Calculaţi pentru aceeaşi serie, cei doi indicatori verifică relaţia:

d>σ

În literatura de specialitate se apreciază că pentru o serie de distribuţie cu tendinţă clară de normalitate, abaterea medie liniară este egală cu 4/5 din valoarea abaterii medii pătratice.

Dispersia (varianţa) unei caracteristici )( 2σ se calculează ca medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor faţă de media lor.

Page 4: Statistica - Capitolul2

48

Formulele de calcul sunt:

n

xxn

1i

2i

2∑=

−=

)(σ sau

2n

1ii

n

1i

2i

2

n

x

n

x

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−=∑∑==σ

Coeficientul de variaţie (v) se calculează ca raport între abaterea medie pătratică şi nivelul mediu al seriei:

100x

v ⋅=σ

Coeficientul de variaţie se mai poate calcula şi după relaţia:

100xdv ⋅=′

B. SERII DE DISTRIBUŢIE UNIDIMENSIONALE (date grupate)

Indicatori de frecvenţe

Frecvenţele relative ( *in ) se obţin raportând frecvenţa fiecărei grupe (ni) la

totalul frecvenţelor ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∑=

k

iin

1:

∑=

= k

1ii

ii

n

nn* sau 100n

nn k

1ii

ii ⋅=

∑=

*(%)

Frecvenţele cumulate se notează cu iF sau *iF în funcţie de felul

frecvenţelor incluse în calcul (absolute sau relative):

;,...,,, ; k321inFi

1jji ==∑

=

respectiv, ;,...,, ; ** k321inFi

1jji ==∑

=

Mărimi medii

Media aritmetică Calculul cu frecvenţe absolute:

=

== k

1ii

k

1iii

n

nxx

Proprietăţi: a) media se încadrează în intervalul cu frecvenţa maximă sau în unul din

cele două intervale învecinate;

Page 5: Statistica - Capitolul2

49

b) 0nxxk

1iii =−∑

=

)(

c) dacă axx i m=′ atunci axn

naxx k

1ii

i

k

1ii

m

m

==′

=

=

)(

d) dacăhxx i=′′ atunci

hx

n

nhx

x k

1ii

n

1ii

i

=⋅

=′′

=

=

respectiv dacă hxx i ⋅=′′ atunci xhn

nhxx k

1ii

n

1iii

⋅=⋅⋅

=′′

=

=

)(

Proprietăţile de la punctele c) şi d) servesc la calculul simplificat al mediei aritmetice:

ahn

nh

ax

x k

1ii

i

k

1i

i

+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=

=

unde: a - mijlocul unui interval de obicei centrul intervalului cu frecvenţa

cea mai mare; h - mărimea intervalului dacă seria are intervale de variaţie egale.

e) dacă într-o serie se reduc proporţional toate frecvenţele, media calculată pe baza noilor frecvenţe rămâne neschimbată:

x

cn

cnx

i

ii

=∑∑

Această proprietate serveşte la calculul mediei cu ajutorul frecvenţelor relative. În acest caz ∑= inc :

∑= *iinxx sau

100nx

x ii∑=*(%)

Page 6: Statistica - Capitolul2

50

Media armonică • Calculul cu frecvenţe absolute:

=

== k

1ii

i

k

1ii

h

nx1

nx

• Calculul cu frecvenţe relative:

∑=

= k

1ii

i

h

nx11x

* sau

∑=

= k

1ii

i

h

nx1100x

*(%)

Formă transformată a mediei aritmetice: • Calculul cu frecvenţe absolute:

xnx

x1

nxx k

1iii

i

k

1iii

h ==

=

=

• Calculul cu frecvenţe relative:

∑=

= k

1iii

i

h

nxx11x

* sau

∑=

= k

1iii

i

h

nxx1100x

*(%)

Media pătratică • Calculul cu frecvenţe absolute:

=

== k

1ii

i

k

1i

2i

p

n

nxx

• Calculul cu frecvenţe relative:

*i

k

1i

2ip nxx ∑

=

= sau 100

nxx

i

k

1i

2i

p

*(%)∑

==

Media geometrică

∑= = ∏

=

k

1ii

in k

1i

nig xx

Între mediile prezentate există următoare relaţie de ordine: pagh xxxx <<<

Page 7: Statistica - Capitolul2

51

Valori medii de poziţie sau de structură

Modul (modulul, dominanta) În cazul unei serii de distribuţie pe variante modul este varianta cu

frecvenţa maximă. În cazul grupării pe intervale, locul modului este intervalul cu frecvenţa

maximă iar valoarea se calculează astfel:

21

10 hxMo

Δ+ΔΔ

+=

în care: x0 - reprezintă limita inferioară a intervalului modal; h - mărimea intervalului modal;

1Δ - diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi a celui precedent;

2Δ - diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi a celui următor.

Mediana (Me) a) În cazul datelor grupate pe variante, locul medianei este varianta a

cărei frecvenţă cumulată este prima mai mare decât 2

1n + iar valoarea medianei

este chiar varianta respectivă; b) În cazul datelor grupate pe intervale, locul medianei este intervalul a

cărui frecvenţă cumulată este prima mai mare decât 2

1nk

1ii∑

=

+ iar valoarea medianei

se calculează după formula:

m

1m

1ii

k

1ii

0 n

n2

1n

hxMe∑

∑ −

=

= −+

⋅+=

unde:

h - mărimea intervalului median;

m - indexul intervalului median;

∑−

=

1m

1iin - suma frecvenţelor precedente intervalului median (frecvenţa

cumulată a intervalului precedent celui median);

nm - frecvenţa absolută a intervalului median.

Page 8: Statistica - Capitolul2

52

Cuartilele sunt acele valori ale caracteristicii, care separă seria în patru părţi egale:

1

1

q

1q

1ii

k

1ii

01 n

n1n41

hxQ∑∑−

==

−++=

)(

unde 1q este indexul intervalului care conţine Q1

MeQ2 =

3

3 1

1103

)1(43

q

q

ii

k

ii

n

nnhxQ

∑∑−

==

−++=

unde 3q este indexul intervalului care conţine Q3

Decilele divid seria în zece părţi egale folosind în acest scop nouă decile:

1

1 1

1101

)1(101

d

d

ii

k

ii

n

nnhxD

∑∑−

==

−++=

unde d1 este indexul intervalului care conţine D1 ……………………………

MeD5 = ……………………………

9

9 1

1109

)1(109

d

d

ii

k

ii

n

nnhxD

∑∑−

==

−++=

unde d9 este indexul intervalului care conţine D9.

Indicatorii variaţiei

1. Indicatorii simpli ai variaţiei

Amplitudinea absolută (Aa ):

Aa=xL-xl unde:

xL – limita superioară a ultimului interval xl – limita inferioară a primului interval

Amplitudinea relativă a variaţiei (A%):

100xAA a ⋅=%

Page 9: Statistica - Capitolul2

53

2. Indicatorii sintetici ai variaţiei

Abaterea medie liniară )(d : • Calculul cu frecvenţe absolute:

=

=

−= k

1ii

i

k

1ii

n

nxxd

• Calculul cu frecvenţe relative:

*i

k

1ii nxxd ∑

=

−= sau 100

*(%)

1i

k

ii nxx

d∑=

−=

Abaterea medie pătratică sau abaterea standard )(σ : • Calculul cu frecvenţe absolute:

=

=

−= k

1ii

i

k

1i

2i

n

nxx )(σ

• calculul cu frecvenţe relative:

i

k

1i

2i nxx *)(∑

=

−=σ sau 100

)( *(%)

1

2i

k

ii nxx∑

=

−=σ

Cei doi indicatori verifică relaţia: d>σ

Coeficientul de variaţie (v):

100x

v ⋅=σ respectiv 100

xdv ⋅=′

Dispersia (varianţa) )( 2σ : • Formule derivate din definiţie:

calculul cu frecvenţe absolute:

=

=

−= k

1ii

i

k

1i

2i

2

n

nxx )(σ

Page 10: Statistica - Capitolul2

54

calculul cu frecvenţe relative:

*

1

22 )( i

k

ii nxx∑

=

−=σ sau 100

nxx i

k

1i

2i

2(%)

*)(∑=

−=σ

• ca moment centrat de ordinul doi:

calculul cu frecvenţe absolute:

2

1

1

1

1

2

2

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−=

=

=

=

=k

ii

k

iii

k

ii

i

k

ii

n

nx

n

nxσ

calculul cu frecvenţe relative:

2k

1iiii

k

1ii

22 nxnx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∑∑

==

**σ sau

2k

1iiii

k

1i

2i

2

100

nx

100

nx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

−=∑∑==

*(%)

*(%)

σ

• prin formula de calcul simplificat pentru o serie de frecvenţe absolute:

22k

1ii

k

1ii

2i

2 axhn

nh

ax

)( −−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=

pentru o serie cu frecvenţe relative:

22k

1ii

2i2 axhnh

ax )(* −−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑=

σ sau

22

k

1ii

2i

2 axh100

nh

ax

)(

*(%)

−−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑=σ

Notă: a şi h au aceleaşi semnificaţii ca la calculul mediei aritmetice. Corecţia lui Sheppard:

12h2

22 −=′ σσ )(

unde h este mărimea intervalului de grupare.

Page 11: Statistica - Capitolul2

55

Această corecţie se aplică numai pentru seriile care prezintă următoarele proprietăţi:

• repartiţia este normală sau uşor asimetrică; • repartiţia are intervale de grupare egale.

Variaţia intercuartilică şi interdecilică

Abaterea intercuatilică (Qd):

2QQ

2MeQQMeQ 1331

d−

=−+−

=)()(

Coeficientul de variaţie intercuartilică (Vq):

Me2QQ

Me2

QQ

MeQV 13

13

dq

−=

==

Abaterea interdecilică:

2DD

2MeDDMeD 1991

d−

=−+−

=)()(

Coeficientul de variaţie interdecilică:

Me2DD

Me2

DD

MeDV 19

19

dd

−=

==

Media şi dispersia caracteristicii alternative

Distribuţia de frecvenţe a caracteristicii alternative se prezintă într-un tabel de forma:

Valoarea caracteristicii

Răspunsul înregistrat

Frecvenţe absolute Frecvenţe relative

0 1 2 3 x1 = 1 DA M (numărul

unităţilor care posedă caracteristica)

NMp =

x2 = 0 NU (N-M) (numărul de unităţi

care nu posedă caracteristica)

p1N

MNq −=−

=

Total N=M+(N-M) p+q = 1

Media: NMp =

Dispersia: )(sau 2p

2p p1pqp −⋅=⋅= σσ

Abaterea medie pătratică: qpp ⋅=σ

Page 12: Statistica - Capitolul2

56

Aceste notaţii se folosesc de regulă în cazul în care datele provin dintr-o observare totală.

În cazul în care datele provin din sondaj, se folosesc următoarele notaţii:

Media: nmw =

Dispersia: )1(2w ww −⋅=σ

Abaterea medie pătratică: 2ww σσ =

Asimetria

Asimetria absolută ( As )

MoxAs −= Coeficieţii de asimetrie propuşi de Karl Pearson (pentru serii de distribuţie

uşor asimetrice):

⎪⎩

⎪⎨

⇒<⇒>⇒=

−=

dreapta la oblică seriestânga la oblică serie

simetrică serie

0C0C0C

MoxC

as

as

as

as σ

Acest coeficient poate lua valori cuprinse între -1 şi +1; cu cât este mai mic în valoare absolută cu atât asimetria este mai mică.

În cazul când se cunoaşte mediana seriei, coeficientul de asimetrie )( asC′ se poate calcula utilizând relaţia:

σ)( Mex3Cas

−=′

Pearson mai propune şi un alt coeficient pentru calculul gradului de asimetrie al unei serii formată dintr-un număr foarte mare de observaţii:

⎪⎪

⎪⎪

=−

=

−=

=′′

∑∑∑

22

2

3

3

32

23

)(

)(

unde σμ

μ

μμ

i

ii

i

ii

as

nnxx

nnxx

C

Coeficientul propus de Yule:

)()()()(

13

13asY QMeMeQ

QMeMeQC−+−−−−

= unde [ ]11CasY ,−∈

Coeficientul propus de Bowley:

)()()()(

19

19asB DMeMeD

DMeMeDC−+−−−−

= unde [ ]11CasB ,−∈

Page 13: Statistica - Capitolul2

57

Indicatorii concentrării Coeficientul de concentrare propus de statisticianul italian Corado Gini:

k1igC 2iG , == ∑

unde ∑

=

=

k

1iii

iii

nx

nxg sau 100(%) ⋅

=

=

k

1iii

iii

nx

nxg

Acest coeficient ia valori în intervalul ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡1

n1 , .

Coeficientul de concentrare propus de R. Struck:

1n1gn

C2i

S −

−= ∑

Acest coeficient ia valori în intervalul [ ]1,0 .

C. SERII DE DISTRIBUŢIE BIDIMENSIONALE

C1. Calculul cu frecvenţe absolute O serie de distribuţie bidimensională se prezintă într-un tabel de forma: Valorile

caracteristicii de grupare X

Variantele sau valorile

caracteristicii dependente Y

Volumul grupei

(ni.)

Medii pe

grupe )( iy

y1 y2 K yj K ym x1 n11 n12 K n1j K n1m n1. )( 1y x2 n21 n22 K n2j K n2m n2. )( 2y M M M M M M M M M xi ni1 ni2 K nij K nim ni. )( iy

M M M M M M M M M xr nr1 nr2 K nrj K nrm nr. )( ry

Total n.1 n.2 K n.j K nm ∑∑==

=m

1jj

r

1ii nn ..

y

Volumul (frecvenţa) grupei i: .i

m

1jij nn =∑

=

Mărimi medii

• Mediile de grupă ( iy ):

=

== m

1jij

m

1jijj

i

n

nyy

Page 14: Statistica - Capitolul2

58

• Media pe total:

=

=

=

= == r

1ii

r

1iii

m

1jj

m

1jjj

n

nyy

n

nyy

.

.

.

.

sau

Indicatorii variaţiei • Dispersia de grupă sau dispersia parţială )( 2

iσ :

=

=

= m

1jij

m

1jij

2ij

2i

n

nyy )(σ

unde: yj - reprezintă varianta sau mijloacul intervalului j al caracteristicii

dependente;

iy - media grupei i;

nij - frecvenţele corespunzătoare fiecărei variante (interval de valori) din cadrul grupei.

• Media dispersiilor de grupă )( /2

ry2 σσ =

=

== r

1ii

r

1ii

2i

2

n

n

.

.σσ

unde: 2iσ - dispersia grupei i;

ni - volumul grupei i.

• Dispersia dintre grupe )(/

2xy

2 σδ = :

=

=

−== r

1ii

r

1ii

2i

22xy

n

nyy

.

.

/

)(δσ

• Dispersia totală )( 2y

2 σσ = :

=

=

== m

1jj

m

1jj

2j

2y

2

n

nyy

.

.)(σσ

Page 15: Statistica - Capitolul2

59

Regula adunării dispersilor: //2

ry2

xy2 σσσ +=

Pe baza regulii de adunare a dispersiilor se pot calcula indicatori statistici cu caracter de mărimi relative de structură:

Gradul de determinaţie )( /2

xyR : 100R 2

2xy2

xy ⋅=σσ /

/

Dacă )( / xyR > 50% admitem că factorul de grupare este hotărâtor (semnificativ, determinant) pentru variaţia factorului determinat (Y).

Gradul de nedeterminaţie: 100K 2

2ry2

xy ⋅=σσ /

/ .

• Abaterea medie pătratică la nivelul grupei: 2ii σσ =

• Abaterea medie pătratică pe total: 2σσ = • Coeficientul de variaţie la nivelul grupei:

100y

vi

ii ⋅=

σ

unde: iσ - abaterea medie pătratică a grupei i;

iy - media grupei i. • Coeficientul de variaţie pe total:

100y

v ⋅=σ

unde: σ - abaterea medie pătratică pe total; y - media pe total.

C2. Calculul cu frecvenţe relative O serie de distribuţie bidimensională se prezintă într-un tabel de forma:

Valorile caracteristicii de grupare X

Frecvenţe relative (%)

Total (%)

Ponderea grupei (ni(%))

y1 y2 K yj K ym x1 *

11n *12n K *

1 jn K *1mn 100. n1(%)

x2 *21n *

22n K *2 jn K *

2mn 100 n2(%)

M M M M M M M M M xi *

1in *2in K *

ijn K *imn 100 ni(%)

M M M M M M M M M xr *

1rn *2rn K *

rjn K *rmn 100 nr(%)

Total - - - - - - - 100

Page 16: Statistica - Capitolul2

60

• Medii de grupă ( iy ):

1001

*∑==

m

jijj

i

nyy

• Media pe total:

1001

*(%)∑

==

r

iiiny

y

• Dispersii de grupă sau dispersii parţiale )( 2iσ :

100

nyym

1iij

2ij

2i

∑=

−=

*(%))(

σ

• Media dispersiilor de grupă )( /2

ry2 σσ =

100

ni

r

1i

2i

2(%)∑

==σ

σ

• Dispersia dintre grupe )( /2

xy2 σδ = :

100

)(1

(%)2

22/

∑=

−==

r

iii

xy

nyyδσ

• Dispersia totală )( 2y

2 σσ = : 2222 δσσσ +== y

Indicatorii medii şi ai variaţiei pentru caracteristici alternative • Dispersia de grupă ( 2

piσ ):

)(sau ii2pii

2p p1pqp

ii−== σσ

în care: pi - reprezintă medii de grupă; qi - frecvenţele relative ale unităţilor care nu posedă caracteristica

în fiecare grupă. • Media dispersiilor parţiale )( 2

pσ :

=

== r

ii

r

iip

p

N

Ni

1

1

2

σ

în care Ni reprezintă numărul total al unităţilor observate în fiecare grupă.

Page 17: Statistica - Capitolul2

61

• Dispersia dintre grupe )( 2pδ :

=

=

−= r

ii

r

iii

p

N

Npp

1

1

2

2)(

δ

în care p este media caracteristicii alternative pe întreaga colectivitate. • Dispersia totală )( 2

pσ :

qp2p ⋅=σ

Regula adunării dispersiilor: 222ppp δσσ +=

Verificarea semnificaţiei factorului de grupare folosind testul “F”

2ry

2xy

calculat SS

F/

/=

unde:

( )

1r

nyyS

r

1ii

2i

2xy −

⋅−=∑=

.

/ (r - numărul de grupe)

( )rn

nyyS

r

1i

m

1jij

2ij

2ry −

⋅−

=∑∑= =

/

Dacă Fcalculat> Ftabelar factorul de grupare este semnificativ. Dacă Fcalculat< Ftabelar factorul de grupare nu este semnificativ. Ftabelar se determină în funcţie de un anumit nivel de semnificaţie (de

exemplu: 0,05) şi de gradele de libertate f1=r-1 şi f2=n-r.

Page 18: Statistica - Capitolul2

62

2.2. PROBLEME REZOLVATE Problema 1. Pentru un eşantion de 40 de clienţi ai unei bănci se cunosc

următoarele date (primele două coloane din tabelul 2.1.):

Tabelul 2.1. Frecvenţe

cumulate crescător Grupe de

clienţi după mărimea creditului (mii euro)

Număr de

clienţi ( in )

Centrul interva-

lului ( ix )

iinx

Frecvenţe relative ( )*

(%)in absolute ( iF )

relative ( *

iF )

0 1 2 3 4 5 6 Sub 40 4 35 140 10 4 10 40-50 6 45 270 15 10 25 50-60 8 55 440 20 18 45 60-70 12 65 780 30 30 75 70-80 8 75 600 20 38 95

80 şi peste 2 85 170 5 40 100 Total 40 -

=∑=

6

1iiinx

2400

100 - -

Se cere:

1. reprezentaţi grafic distribuţia clienţilor după mărimea creditului (mii euro);

2. calculaţi indicatorii de nivel; 3. determinaţi structura clienţilor pe grupe (frecvenţele relative); 4. determinaţi frecvenţele cumulate crescător folosind atât frecvenţele

absolute cât şi frecvenţele relative; 5. calculaţi toate tipurile de medii posibile şi verificaţi relaţia dintre

acestea; 6. calculaţi indicatorii tendinţei centrale folosind atât frecvenţele absolute

cât şi frecvenţele relative; 7. determinaţi valorile după mărimea creditului care delimiteaza 50% din

clienţii situaţi în centrul distribuţiei; 8. calculaţi indicatorii variaţiei şi interpretaţi rezultatele; 9. caracterizaţi asimetria distribuţiei clienţilor; 10. transformaţi variabila analizată în variabilă alternativă considerând

drept formă directă de manifestare a caracteristicii « clienţi cu mărimea creditului sub 60 mii euro » şi calculaţi media şi dispersia acesteia.

Page 19: Statistica - Capitolul2

63

Rezolvare 1. Cel mai utilizat grafic în cazul seriilor de distribuţie a frecvenţelor cu

intervale de variaţie egale este histograma (vezi fig. 2.1). Intervalele extreme fiind deschise, se pot închide luând ca bază al doilea interval pentru prima grupă şi penultimul interval pentru ultima grupă.

4

6

8

12

8

2

0

2

4

6

8

10

12

14

Mărimea creditului (mii euro)

Num

ăr c

lienţ

i

30 40 50 60 70 80 90

Figura 2.1. Distribuţia clienţilor după mărimea creditului (mii euro)

2. În cazul grupării pe intervale (k – numărul de intervale), indicatorul de nivel individual ix (unde k1i ,= ) se calculează ca medie aritmetică simplă a limitelor intervalului şi reprezintă centrul sau mijlocul intervalului (tabelul 2.1, coloana 2).

Valoarea centralizată a grupei i se calculează înmulţind nivelul individual ( ix ) cu frecvenţa grupei ( in ): iinx (tabelul 2.1, coloana 3).

Pe total, valoarea centralizată este : ∑=

=k

1iiinx 2400 mii euro.

3. Frecvenţa relativă a grupei i:

100n

nn k

1ii

ii ⋅=

∑=

*(%) (tabelul 2.1, coloana 4)

4. Frecvenţa cumulată a grupei i (tabelul 2.1, coloanele 5 şi 6):

∑=

=i

1jji nF (calculul cu frecvenţe absolute)

∑=

=i

1jji nF *(%)

* (calculul cu frecvenţe relative)

Page 20: Statistica - Capitolul2

64

5. Putem calcula media aritmetică, media armonică şi media pătratică

folosind frecvenţele absolute şi/sau frecvenţele relative (vezi tabelul 2.2).

Tabelul 2.2 Nr.crt. al

grupei in ix *

(%)in *(%)iinx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

haxi

a=65 h=10

ii nh

ax⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

i

i

xn

ii nx2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 35 10 350 -3 -12 0,1428 4900 2 6 45 15 675 -2 -12 0,1333 12150 3 8 55 20 1100 -1 -8 0,1454 24200 4 12 65 30 1950 0 0 0,1846 50700 5 8 75 20 1500 +1 +8 0,1067 45000 6 2 85 5 425 +2 +4 0,0235 14450

Total 40 - 100 6000 - =⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∑ i

i nh

ax

=-20

=∑i

i

xn

=0,7365

=∑ ii nx2 =151400

Media aritmetică ( x ) • Calculul cu frecvenţe absolute (vezi tabelul 2.1, coloana 3)

===

=

=

402400

n

nxx k

1ii

k

1iii

60 mii euro/client

• Calculul cu frecvenţe relative (vezi tabelul 2.2, coloana 4)

1006000

1001

*(%)

==∑=

k

iiinx

x = 60 mii euro/client

• Calculul simplificat (vezi tabelul 2.2, coloana 6)

=+⋅−

=+⋅

=

=

= 65104020ah

n

nh

ax

x k

1ii

k

1ii

i

60 mii euro/client

Se recomandă să se ia a egal cu centrul intervalului cu frecvenţa maximă, adică a = 65 şi pentru h o valoare egală cu mărimea intervalului, adică h = 10 (vezi tabelul 2.2.).

Page 21: Statistica - Capitolul2

65

Media armonică ( hx ) (vezi tabelul 2.2, coloana 7)

===

=

=

7365060

nx1

nx k

1ii

i

k

1ii

h , 54,31 mii euro/client

Media pătratică ( px ) (vezi tabelul 2.2, coloana 8)

====

=

= 378560

151400

n

nxx k

1ii

k

1ii

2i

p 61,52 mii euro/client

Între cele trei tipuri de medii există relaţia: ph xxx << Concret, 54,31 < 60 < 61,52. 6. Indicatorii tendinţei centrale ( x , Me, Mo) se pot calcula atât cu

frecvenţe absolute, cât şi cu frecvenţe relative.

Media aritmetică (vezi punctul 5) x =60 mii euro/client

Mediana (Me) Calculul cu frecvenţe absolute Pentru determinarea locului medianei se calculează:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=

1n21 k

1ii =30,5.

Mediana se poziţionează în intervalul a cărui frecvenţă cumulată crescător este prima mai mare decât 30,5 şi anume: 60<Me<70. Valoarea medianei se determină utilizând relaţia:

m

1m

1ii

n

1ii

0 n

n1n21

hxMe∑∑−

==

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

unde: 0x - limita inferioară a intervalului median; m - indexul intervalului median (numărul curent); h - mărimea intervalului median;

∑−

=

1m

1iin - suma frecvenţelor intervalelor care preced intervalul median.

=−

+=12

185201060Me , 62,08 mii euro

Page 22: Statistica - Capitolul2

66

Calculul cu frecvenţe relative

Pentru determinarea locului medianei se calculează: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=

1n21 k

1ii*(%) =50,5.

Valoarea medianei se determină utilizând relaţia:

30455501060

n

n1n21

hxMem

1m

1ii

k

1ii

0−

+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=∑∑−

== ,*

(%)

*(%)

*(%)

=61,83 mii euro

Observaţie. La indicatorii de poziţie din categoria cuantilelor, valoarea indicatorului calculată cu frecvenţe relative diferă de cea calculată cu frecvenţe absolute deoarece descăzutul de la numărătorul fracţiei este constant (de exemplu, 50,5 pentru mediană), restul elementelor fracţiei modificându-se în acelaşi raport.

Modul (Mo)

Locul modului este intervalul cu frecvenţa cea mai mare: 60<Mo<70.

Calculul cu frecvenţe absolute Valoarea modului se determină utilizând relaţia:

21

10 hxMo

Δ+ΔΔ

+=

unde: 0x - limita inferioară a intervalului modal; h - mărime intervalului modal;

1Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului anterior;

2Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului următor.

( )( ) ( ) =++−

−+=

8128128121060Mo 65 mii euro

Calculul cu frecvenţe relative

)()()(

**

*

2030203020301060hxMo

21

10 −+−

−+=

Δ+ΔΔ

+= = 65 mii euro

Între cei trei indicatori ai tendinţei centrale există relaţia: MoMex << , ceea ce înseamnă că predomină valorile mari ale seriei.

7. Se calculează cuartilele 1Q şi 3Q luând ca bază formula medianei şi ţinând cont de raportul în care fiecare cuartilă împarte seria.

Page 23: Statistica - Capitolul2

67

Locul 1Q este intervalul a cărui frecvenţă cumulată este prima mai mare

decât ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=

1n41 k

1ii şi anume intervalul (60-70).

Valoarea primei cuartile se calculează după relaţia:

81025101050

n

n1n41

hxQ1

1

q

1q

1ii

n

1ii

01−

⋅+=−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+=∑∑−

== , = 50,31 mii euro

Locul 3Q este intervalul a cărui frecvenţă cumulată este prima mai mare

decât ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=

1n43 k

1ii şi anume intervalul (70-80).

Valoarea cuartilei a 3-a se calculează după relaţia:

83075301070

n

n1n43

hxQ3

3

q

1q

1ii

n

1ii

03−

⋅+=−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+=∑∑−

== , = 70,94 mii euro

Rezultă că cei 50% clienţi situaţi în centrul repartiţiei au credite de cel puţin 50,31 mii euro şi cel mult 70,94 mii euro. Mărimea creditului pentru primii 25% clienţi din serie nu depăşeşte 50,31 mii euro. Ultimii 25% clienţi din serie au credite mai mari de 70,94 mii euro.

8. Cei mai utilizaţi indicatorii sintetici ai variaţiei sunt: abaterea medie liniară, dispersia, abaterea medie pătratică şi coeficientul de variaţie.

Abaterea medie liniară

Pentru calculul acestui indicator folosim tabelul 2.3.

Tabelul 2.3. Nr.crt. al

grupei in ix *

(%)in ii n60x ⋅− *

(%)ii n60x ⋅−

0 1 2 4 5 6 1 4 35 10 100 250 2 6 45 15 90 225 3 8 55 20 40 100 4 12 65 30 60 150 5 8 75 20 120 300 6 2 85 5 50 125

Total 40 - 100 460 1150

Page 24: Statistica - Capitolul2

68

Calculul cu frecvenţe absolute (vezi tabelul 2.3, coloana 5)

40460

n

nxxd k

1ii

k

1iii

=⋅−

=

=

= =11,5 mii euro

Calculul cu frecvenţe relative (vezi tabelul 2.3, coloana 6)

1001150

100

nxxd

k

1iii

=⋅−

=∑=

*(%)

=11,5 mii euro

Dispersia

Pentru calculul dispersiei folosim tabelul 2.4.

Tabelul 2.4. Nr.crt.

al grupei

in ix *(%)in ( ) i

2i n60x ⋅− ( ) *

(%)260 ii nx ⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

haxi

a=65 h=10

i

2i nh

ax⋅⎟

⎞⎜⎝

⎛ −

0 1 2 3 4 5 6 7 1 4 35 10 2500 6250 -3 36 2 6 45 15 1350 3375 -2 24 3 8 55 20 200 500 -1 8 4 12 65 30 300 750 0 0 5 8 75 20 1800 4500 +1 8 6 2 85 5 1250 3125 +2 8

Total 40 - 100 7400 18500 - 84

Calculul cu frecvenţe absolute (vezi tabelul 2.4, coloana 4)

( )

407400

n

nxx

k

1ii

k

1ii

2i

2 =⋅−

=

=

=σ =185

Calculul cu frecvenţe relative (vezi tabelul 2.4, coloana 5)

( )

407400

100

nxxk

1ii

2i

2 =⋅−

=∑=

*(%)

σ = 185

Calculul simplificat (vezi tabelul 2.4, coloana 7)

Page 25: Statistica - Capitolul2

69

( )222k

1ii

k

1ii

2i

2 65601004084axh

n

nh

ax

−−⋅=−−⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=

= )(σ = 185

Abaterea medie pătratică (σ ) se poate calcula pornind de la dispersie, astfel:

=== 1852σσ 13,6 mii euro

Coeficienul de variaţie (v' şi/sau v) - dacă se porneşte de la abaterea medie liniară:

%,, 1719100160

511100xdv =⋅=⋅=′

- dacă se porneşte de la abaterea medie pătratică:

%,, 672210060

613100x

v =⋅=⋅=σ

Interpretând valoarea coeficientului de variaţie se poate afirma că media este reprezentativă, ca urmare a faptului că seria este omogenă.

9. Pentru caracterizarea asimetriei, în cazul unei distribuţii de frecvenţe unimodale, de regulă, se foloseşte formula:

3706136560MoxCas ,

,)(

−=−

=−

Rezultă că seria prezintă o asimetrie negativă pronunţată (predomină valorile mari ale seriei).

10. Media şi dispersia caracteristicii alternative

Valoarea de 60 mii euro reprezintă pragul în funcţie de care se poate transforma variabila cantitativă (mărimea creditului) în variabilă calitativă alternativă (în enunţ s-a precizat forma directă de manifestare a caracteristicii).

Tabelul 2.5

Mărimea creditului (mii Euro) (variante de răspuns)

Nr. clienţi

A 1 <60 m=18

60≥ n-m=22 Total n=40

Page 26: Statistica - Capitolul2

70

Media (w):

4504018

nmw ,===

Dispersia ( 2wσ )

247504501450w1w2w ,),(,)( =−=−=σ

Problema 2. Pentru 50 de muncitori ai unei societăţi comerciale s-au

înregistrat datele privind timpul lucrat într-o săptămână (ore): 43, 37, 37, 42, 42, 43, 41, 41, 41, 42, 43, 43, 41, 41, 37, 38, 39, 40, 39, 40, 38, 43, 40, 40, 40, 38, 39, 39, 40, 40, 41, 43, 42, 40, 42, 38, 40, 39, 40, 37, 38, 38, 37, 39, 40, 39, 39, 40, 40, 41.

Se cere: 1. să se grupeze muncitorii din eşantion după timpul lucrat; 2. să se reprezinte grafic repartiţia muncitorilor după timpul lucrat; 3. să se calculeze producţia medie pe un muncitor utilizând media

aritmetică şi să se verifice proprietăţile acesteia; 4. să se stabilească ce alte tipuri de medii se mai pot calcula şi în ce raport

de mărime se află ele faţă de media aritmetică; 5. să se calculeze indicatorii medii de poziţie; 6. să se calculeze indicatorii sintetici ai variaţiei şi să se precizeze dacă

media este reprezentativă. Rezolvare

1. Amplitudinea variaţiei fiind mică (Aa = xmax – xmin = 43 – 37 = 6 ore) şi numărul valorilor distincte înregistrate fiind de asemenea mic, se poate efectua gruparea pe variante şi obţinem datele prezentate în tabelul 2.6.

Repartiţia muncitorilor după timpul lucrat (ore) Tabelul 2.6.

Grupe de muncitori după

timpul lucrat (ore) (xi)

Numărul muncitorilor

(ni)

0 1 37 38 39 40 41 42 43

5 6 8

13 7 5 6

Total 50

Page 27: Statistica - Capitolul2

71

2. Distribuţiile obţinute prin grupare pe variante se reprezintă grafic, de regulă, utilizând diagrama prin bastoane.

0

2

4

6

8

10

12

14

36 37 38 39 40 41 42 43 44

timpul lucrat (ore)

nr. m

unci

tori

Figura 2.2. Distribuţia muncitorilor după timpul lucrat ( ore)

3. Calculul mediei aritmetice şi verificarea principalelor proprietăţi ale acesteia:

• Calculul mediei aritmetice ponderate:

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

==

=

=

506435427411340839638537

n

nxx

i

k

1ii

k

1iii

4050

2000== ore / muncitor, unde k=7 (numărul variantelor).

• Verificarea principalelor proprietăţi ale mediei aritmetice a) xmin < x < xmax

37 < 40 < 43

b) ( )∑=

⋅−k

1iii nxx = (37 – 40)⋅5 + (38 – 40)⋅6 + (39 – 40) ⋅8 + (40 –40) ⋅13+

+ (41 – 40) ⋅7 + (42 – 40) ⋅5 + (43 – 40) ⋅6 = - 35 + 35 = 0

c) ∑∑==

⋅=k

1ii

k

1iii nxnx

2000 = 40 ⋅ 50

Page 28: Statistica - Capitolul2

72

d) ( )

axn

nax

k

1ii

k

1iii

−=−

=

=

Pentru a = 2 obţinem:

( )

ax2403850

190050

62435242

50724113240823962385237

n

nax

k

1ii

k

1iii

−=−===−+−

+

+−+−+−+−+−

=−

=

=

)()(

)()()()()(

e) hxn

hxk

1ii

i =∑=

Pentru h = 10 obţinem:

hx

10404

50200

50

610435

10427

104113

10408

10396

10385

1037

nhxk

1ii

i

====

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=⋅∑=

4. Calculul mediei armonice şi al mediei pătratice • Calculul mediei armonice ( hx ):

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

==

=

=

64315

4217

41113

4018

3916

3815

371

50

nx1

nx k

1ii

i

k

1ii

h

= 39,92 ore/muncitor • Calculul mediei pătratice ( px ):

==

=

=k

1ii

k

1ii

2i

p

n

nxx

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=50

6435427411340839638537 2222222

= 40,04 ore/muncitor

Page 29: Statistica - Capitolul2

73

ph xxx << 39,92 < 40 < 40,04

5. Calculul indicatorilor medii de poziţie • Calculul medianei (Me)

Locul medianei: 5,252

1502

11 =

+=

+∑=

k

iin

5+6+8+13 = 32 > 25,5

Valoarea medianei este varianta a cărei frecvenţă cumulată este prima mai mare decât 25,5, deci Me = 40 ore.

• Calculul modului Valoarea modului este varianta corespunzătoare frecvenţei maxime: Mo = 40 ore.

6. Calculul indicatorilor de variaţie

Indicatorii simpli ai variaţiei

• Amplitudinea variaţiei:

Aa = xmax – xmin = 43 – 37 = 6 ore

A% = %minmax 15100406100

xxx

==−

• Abaterile fiecărei variante faţă de medie: Abateri absolute: xxd ii −=

De exemplu: di max(+) = 43 – 40 = 3 ore di max(-) = 37 – 40 = -3 ore

Abateri relative: di (%) = 100x

xxi −

De exemplu:

di(%) max(+) = 100403

= 7,5%

di(%) max(-) = 100403

= 7,5%

Page 30: Statistica - Capitolul2

74

Indicatorii sintetici ai variaţiei: • Abaterea medie liniară ( d ):

=⋅−++⋅−+⋅−

=⋅−

=

=

=

50640436403854037

n

nxxd k

1ii

k

1iii ...

415070 ,== ore / muncitor

• Dispersia:

16350

15850

624043624038524037

n

nxx

k

1ii

k

1ii

2i

2

,)(...)()(

)(

==⋅−++⋅−+⋅−

=

=⋅−

=

=

• Abaterea medie pătratică: 1632 ,== σσ =1,8 ore / muncitor

Raportul dintre cele două abateri medii:

7908141d ,

,,

==σ

Se poate trage concluzia că repartiţia valorilor tinde către normalitate

deoarece acest raport 54

≅ .

La aceeaşi concluzie se poate ajunge şi din analiza indicatorilor tendinţei centrale care sunt egali ca valoare ( x = Me = Mo). • Coeficientul de variaţie

%,,'

%,,

5310040

41100xdv

5410040

81100x

v

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=σ

⇒<< %' 35vv seria este omogenă şi media este reprezentativă

pentru serie.

Page 31: Statistica - Capitolul2

75

Problema 3. Se cunosc următoarele date cu privire la distribuţia vânzătorilor dintr-un complex comercial în funcţie de vechimea în muncă şi valoarea vânzărilor (mii RON) realizate într-o săptămână.

Tabelul 2.7. Subgrupe de vânzători după volumul

vânzărilor (mii RON)Grupe de

vânzători după vechime (ani) 180-190 190-200 200-210 210-220 220-230

TOTAL

A 1 2 3 4 5 6 sub 10 10-20 20 şi peste

5 - -

15 12 -

5 35

7

- 8

15

- - 8

25 55

30 TOTAL 5 27 47 23 8 110

Se cere: 1. poligonul frecvenţelor privind repartiţia vânzătorilor după volumul

vânzărilor pe total şi pe grupe de vechime; 2. calculul mediilor pe grupe de vechime şi pe total; 3. indicatorii sintetici ai variaţiei pe fiecare grupă şi pe total; 4. interpretarea gradului de omogenitate a grupelor şi verificarea relaţiilor

dintre dispersii; 5. determinarea indicatorilor statistici ce se pot calcula pe baza regulii de

adunare a dispersiilor şi interpretarea acestor indicatori; 6. calculul şi interpretarea dispersiilor pentru caracteristica "vânzători care

se află peste media vânzărilor pe total".

Rezolvare

1. Reprezentarea grafică a distribuţiei vânzătorilor (figurile 2.3 şi 2.4).

05

101520253035404550

Volumul vânzărilor (mii RON)

Num

ăr v

ânză

tori

180 190 200 210 220 230

Figura 2.3. Repartiţia vânzătorilor într-un complex comercial după volumul desfacerilor

Page 32: Statistica - Capitolul2

76

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Volumul vânzărilor (mii lei)

Num

ăr v

ânză

tori

Total

gr.I

gr. II

gr. III

180 190 200 210 220 230

Figura 2.4. Repartiţia vânzătorilor după volumul desfacerii pe total

şi pe grupe de vechime

2. Calculul mediilor • medii de grupă ( )iy :

=

== m

1jij

m

1jijj

i

n

nyy

Prin urmare,

19525

5205151955185y1 =⋅+⋅+⋅

= mii RON/vânzător

2720455

82153520512195y2 ,=⋅+⋅+⋅

= mii RON/vânzător

3321530

8225152157205y3 ,=⋅+⋅+⋅

= mii. RON/vânzător

• media generală ( )y - independent de factorul de grupare:

=⋅

=⋅

= m

1jj

m

1jjj

n

nyy

Page 33: Statistica - Capitolul2

77

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

=110

82252321547205271955185y

=205,18 mii RON/vânzător

- pe baza mediilor de grupă:

=⋅+⋅+⋅

==

=⋅

=⋅

1103033215552720425195

n

nyy r

1ii

r

1iii ,,

= 205,18 mii RON/vânzător.

3. Calculul indicatorilor sintetici ai variaţiei • dispersii de grupă ( )2

( )

=

=

= m

1jij

m

1jij

2ij

2i

n

nyyσ

4025

21 =

⋅+⋅+⋅=

5 2) 195- (205 152) 195- (195 52195)- (185σ

83,3555

8 ) 204,27 - (215 35) 204,27 - (205 12) 204,27 - (195 22222 =

⋅+⋅+⋅=σ

89,4930

8 ) 215,33 - (225 15) 215,33 - (215 7) 215,33 - (205 22223 =

⋅+⋅+⋅=σ

• media dispersiilor parţiale (de grupă) ( )2σ

6340110

3089495583352540

n

n

r

1ii

r

1ii

2i

2 ,,,=

⋅+⋅+⋅==

=⋅

=⋅σ

σ

• dispersia dintre grupe ( )2xy

2/σδ =

( )

0652110

3021820533205552182052720425218205195

n

nyy

r

1ii

r

1ii

2i

2

,),,(),,(),(=

⋅−+⋅−+⋅−=

=−

=

=⋅

=⋅

δ

Page 34: Statistica - Capitolul2

78

• dispersia totală ( )2σ

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) 69,92110

818,2052252318,2052154718,205205

1102718,205195518,205185

222

22

1

1

2

2

=⋅−+⋅−⋅−

+

+⋅−+⋅−

=−

=

=⋅

=⋅

m

jj

m

jjj

n

nyyσ

4. Aprecierea gradului de omogenitate a grupelor şi verificarea relaţiilor dintre dispersiile calculate

Calculul coeficienţilor de variaţie

• pe grupe 326402

11 ,=== σσ mii RON/vânzător

%,, 243100195

326100y

v1

11 =⋅=⋅=

σ

9858335222 ,, === σσ mii RON/vânzător

%,,

, 93210027204

985100y

v2

22 =⋅=⋅=

σ

0678949233 ,, === σσ mii RON/vânzător

%,,

, 18310033215

067100y

v3

33 =⋅=⋅=

σ

• pe total

62969922 ,, === σσ mii RON/vânzător

%,,

, 69410018205

629100y

v =⋅=⋅=σ

Analizând rezultatele obţinute se constată că: • fiecare grupă luată separat este mai omogenă decât colectivitatea

generală din care a fost extrasă ( vvvv <321 ,, );

• grupa a doua este mai omogenă decât celelalte două ( 312 vvv ,< ); • valorile mici ale coeficienţilor de variaţie calculaţi pe fiecare grupă şi pe

total atestă un grad de omogenitate ridicat al grupelor şi colectivităţii totale şi deci un grad de reprezentativitate corespunzător pentru mediile care le caracterizează.

Page 35: Statistica - Capitolul2

79

Verificarea regulii de adunare a dispersiilor 222 σδσ +=

92,69=52,06+40.63

5. Pe baza regulii de adunare a dispersiilor se pot calcula alţi doi indicatori statistici:

• Gradul de determinaţie ( 2xyR / )

%,,,

/ 165610069920652100R 2

22

xy =⋅=⋅=σδ

• Gradul de nedeterminaţie ( 2xyK / )

%,,,

/ 844310069926340100K 2

22

xy =⋅=⋅=σσ

Se poate afirma că 56,16% din variaţia totală a volumului vânzărilor este explicată de variaţia produsă de factorul de grupare (vechimea) restul de 43,84% fiind influenta relativă a celorlalţi factori (neînregistraţi).

6. Calculul şi interpretarea dispersiilor pentru "vânzătorii care se află peste volumul mediu al vânzărilor pe total"

Calculul mediilor

• mediile pe grupă: i

ii n

mw =

de unde:

0250w1 ==

14550558w2 ,==

766703023w3 ,==

• media pe total: 2818011031

nmw ,===

Calculul dispersiilor • dispersii de grupă:

( )ii

wwiw −⋅= 12σ , de unde:

( )112 11

www −⋅=σ = 0

( )222 1

2www −⋅=σ = 0,1243

( )332 1

3www −⋅=σ = 0,1789

Page 36: Statistica - Capitolul2

80

• media dispersiilor parţiale ( 2wσ )

11090110

30178905512430250

n

n

r

1ii

r

1ii

2w

2w

i

,,,=

⋅+⋅+⋅=

⋅=

=

=

σσ

• dispersia dintre grupe ( 2wδ )

( ) ( ) ( )

( ) 09140110

302818076670

11055281801455025281800

n

nww

2

22

r

1ii

r

1ii

2i

2w

,,,

,,,

=⋅−

+

+⋅−+⋅−

=⋅−

=

=

• dispersia totală ( 2wσ )

( ) ( ) 2023028180128180w1w2w ,,, =−⋅=−=σ

Regula adunării dispersiilor se păstrează şi în cazul caracteristicii alternative:

2w

2w

2w δσσ +=

0,2023=0,1109+0,0914

2.3. PROBLEME PROPUSE

Problema 1. Într-un magazin lucrează 10 vânzători, care în luna august 2005 au realizat un volum al desfacerilor (mii RON) astfel: 140; 152; 146; 150; 162; 158; 176; 180; 166; 170.

Se cere: 1. să se reprezinte grafic seria; 2. să se calculeze volumul mediu al desfacerilor din acest magazin

folosind media aritmetică şi să se verifice principalele proprietăţi ale acesteia;

3. să se folosească pentru aceeaşi serie şi alte tipuri de medii şi să se arate în ce raport de mărime se află ele faţă de media aritmetică;

4. să se calculeze indicatorii medii de poziţie (medii de structură).

Page 37: Statistica - Capitolul2

81

Rezolvare 1. În acest caz, variaţia nefiind continuă, se poate folosi un grafic prin

coloane nelipite (vezi figura 2.5).

140

020406080

100120140160180200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vol

umul

des

face

rilo

r (m

ii le

i)

Figura 2.5. Distribuţia salariaţilor în funcţie de volumul desfacerilor

(mii RON)

2. Calculul mediei aritmetice şi verificarea principalelor proprietăţi ale acesteia se poate face cu ajutorul unui tabel de calcul în care valorile individuale sunt scrise în ordine crescătoare (vezi tabelul 2.8.).

Tabelul 2.8. Nr. crt.

Volumul desfacerilor (mii RON)

xxi −

axi −

a = 140hxi

h = 2

ix1

2ix

haxi −

A 1 2 3 4 5 6 7 1 140 -20 0 70 0,00714286 19600 0 2 146 3 150 4 152 5 158 6 162 7 166 8 170 9 176

10 180 Total 1600,0

∑=

10

1iix

( )∑=

−10

1ii xx

( )∑=

−10

1ii ax ∑

=

10

1i

i

hx ∑

=

10

1i ix1 ∑

=

10

1i

2ix ∑

=

−10

1i

i

hax

Page 38: Statistica - Capitolul2

82

2.1. Calculul mediei aritmetice simple (vezi coloana 1 din tabelul 2.8.):

==∑=

n

xx

n

1ii

2.2. Verificarea principalelor proprietăţi ale mediei aritmetice

a) maxmin xxx << .............. << x

b) ( ) 0xxn

1ii =−∑

=

(vezi tabelul 2.8. coloana 2)

Media fiind un cât exact, suma abaterilor pozitive se compensează cu suma abaterilor negative:(…..) + (……)=0

c) ∑=

⋅=n

1ii xnx

.................. =⋅

d) axn

axx

n

1ii

−=−

=′∑=

)( de unde axx +′=

Alegând arbitrar a = 140 - primul termen - şi calculând valorile ( )axi − (vezi tabelul 2.8.,coloana 3) se obţine:

=−

=′∑=

n

axx

n

1ii )(

şi =x .....+...... =.....

e) hx

nhxn

1i

i

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∑

= de unde: hxx ⋅′′=

Luând arbitrar h = 2 (tabelul 2.8., coloana 4) se obţine:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=′′∑=

nhx

x

n

1i

i

şi

.............. =⋅=x

Page 39: Statistica - Capitolul2

83

Aplicând simultan cele două proprietăţi putem calcula media folosind formula de calcul simplificat:

=+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=∑= ah

nh

ax

x

n

1i

i

3. Calculul mediei armonice şi al mediei pătratice Calculul mediei armonice ( hx ) (vezi tabelul 2.8. coloana 5)

==∑

i

h

x1

nx

;xxh < ……... < ……… Calculul mediei pătratice ( )px (vezi tabelul 2.8. coloana 6):

==∑=

n

n

1i

2i

p n

xx

;xxp > ……..>……. Deci: ph xxx <<

Relaţia dintre medii este: pah xxx <<

…… <…… < ……

Abaterile între cele trei mărimi medii fiind foarte mici, se poate trage concluzia că pentru această serie orice medie s-ar folosi, ea măsoară suficient de corect tendinţa centrală şi deci media în acest caz poate fi o valoare tipică.

4. Calculul indicatorilor medii de poziţie

Calculul medianei(Me) presupune ordonarea (de regulă, crescătoare), în prealabil, a valorilor individuale.

Locul medianei: =+2

1n

Valoarea medianei:

=+

=2

xxMe 65

Calculul modului Fiind serie simplă şi neavând termeni care să se repete, nu este cazul.

Page 40: Statistica - Capitolul2

84

Calculul cuartilelor Calculul cuartilelor presupune stabilirea locului cuartilelor şi apoi calcularea valorilor acestora:

Locul 1Q : =+4

1n

=+

=2

xxQ 321

Locul 3Q : =+ )( 1n43

=+

=2

xxQ 983

Potrivit celor trei cuartile seria se poate structura ca în tabelul 2.9.

Tabelul 2.9. Interval de variaţie Structura seriei (%) 140-……. 25 ……-…… 25 ……-….. 25 ……-180 25

Problema 2. Pentru 200 de agenţi economici se cunosc următoarele date

privind profitul realizat (mii lei): Tabelul 2.10.

Grupe de agenţi economici după

mărimea profitului (mii lei)

Număr de agenţi

economici ( in )

Centrul interva-

lului ( ix )

iinx

Frecvenţe cumulate

( iF )

( ) ii nxx 2−

0 1 2 3 4 5 Sub 24 20 22 440 20 24-28 30 26 480 50 28-32 40 32-36 60 36-40 30

40 şi peste 20 Total 200 - … - …

Se cere: 1. reprezentaţi grafic distribuţia agenţilor economici după mărimea

profitului (mii lei); 2. calculaţi indicatorii tendinţei centrale şi interpretaţi relaţia dintre

aceştia;

Page 41: Statistica - Capitolul2

85

3. verificaţi omogenitatea distribuţiei agenţilor economici după mărimea profitului;

4. caracterizaţi asimetria distribuţiei agenţilor economici după mărimea profitului;

5. transformaţi variabila analizată în variabilă alternativă considerând drept formă directă de manifestare a caracteristicii « agenţi economici cu profit mai mare de 32 mii lei » şi calculaţi media şi dispersia acesteia.

Rezolvare

1. O serie de distribuţie a frecvenţelor cu intervale egale se reprezintă grafic prin histogramă (diagramă cu coloane lipite) (figura 2.6).

Mărimea profitului (mii lei)

Num

ăr a

genţ

i eco

nom

ici

Figura 2.6 Distribuţia agenţilor economici după mărimea profitului (mii lei)

1. Indicatorii de bază ai tendinţei centrale sunt: media aritmetică, mediana şi modul. Deoarece este o serie de distribuţie obţinută prin gruparea pe intervale, indicatorii de nivel ( )ix sunt centrele intervalelor calculate ca medii aritmetice simple ale limitelor intervalelor (calculele se pot efecua în tabelul 2.10, coloana 2)

Media aritmetică (calculele se pot efectua în tabelul 2.10, coloana 3):

==

=

=6

1ii

6

1iii

n

nxx

Mediana

Locul medianei este grupa a cărei frecvenţă cumulată este prima mai

mare decât ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=

6

1ii 1n

21 deci grupa……….

Scara: Ox Oy

Page 42: Statistica - Capitolul2

86

Valoarea medianei se determină utilizând relaţia:

m

1m

1ii

n

1ii

0 n

n1n21

hxMe∑∑−

==

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

unde: 0x - limita inferioară a intervalului median; m - indexul intervalului median (numărul curent); h - mărimea intervalului median;

∑−

=

1m

1iin - suma frecvenţelor intervalelor care preced intervalul median.

=Me

Modul Locul modului este grupa cu frecvenţa cea mai mare deci grupa ………... Valoarea modului se determină utilizând relaţia:

21

10 hxMo

Δ+ΔΔ

+=

unde: 0x - limita inferioară a intervalului modal; h - mărime intervalului modal;

1Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului anterior;

2Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului următor.

=Mo

Relaţia dintre indicatori: Interpretare:

3. Cel mai utilizat indicator pentru verificarea omogenităţii unei serii de distribuţie este coeficientul de variaţie:

100x

v ⋅=σ unde 2σσ = (calculele pentru disperie se pot efectua în

tabelul 2.10, coloana 4).

Page 43: Statistica - Capitolul2

87

Concret,

=⋅−

=

=

=6

1

6

1

2

2)(

ii

iii

n

nxxσ

== 2σσ

=⋅= 100x

v σ

Interpretare 4. Gradul de asimetrie:

=−

MoxCas

Interpretare

5. Valoarea de 32 mii lei reprezintă pragul în funcţie de care se poate transforma variabila cantitativă (mărimea profitului) în variabilă calitativă alternativă (în enunţ s-a precizat forma directă de manifestare a caracteristicii).

Tabelul 2.11

Mărimea profitului(mii lei) (variante de răspuns)

Număr agenţi economici

A 1 <32 n-m=

32≥ m= Total n=

Media (w):

==nmw

Dispersia ( 2wσ )

=−= )1(2 wwwσ

Page 44: Statistica - Capitolul2

88

Problema 3. Pentru o societate comercială se cunosc următoarele date privind distribuţia vânzătorilor după numărul de zile lucrate într-o lună (date convenţionale):

Tabelul 2.12 Zile

lucrate ( ix )

Număr vânzători

( in )

iinx

Frecvenţe cumulate ( iF )

0 1 2 3 22 6 23 7 24 14 25 12 26 9 27 7

Total 55 =∑

=

6

1iiinx

-

Se cere: 1. reprezentaţi grafic distribuţia vânzătorilor după numărul de zile lucrate; 2. calculaţi indicatorii tendinţei centrale şi interpretaţi relaţia dintre

aceştia. Rezolvare 1. Pentru reprezentarea grafică a serie de distribuţie a frecvenţelor în

cazul grupării pe variante se poate folosi diagrama prin bastoane (vezi figura 2.7)

Număr zile lucrate

Num

ăr v

ânză

tori

Figura 2.7 Distribuţia vânzătorilor după numărul de zile lucrate

Scara: Ox Oy

Page 45: Statistica - Capitolul2

89

2. Indicatorii de bază ai tendinţei centrale sunt: media aritmetică, mediana şi modul.

Media aritmetică (calculele se pot efectua în tabelul 2.13, coloana 2 ):

==

=

=6

1ii

6

1iii

n

nxx

Mediana Locul medianei este grupa a cărei frecvenţă cumulată este prima mai

mare decât ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∑

=

6

1ii 1n

21 deci grupa……….iar valoarea medianei este

chiar varianta corespunzătoare locului, deci =Me Modul Locul modului este grupa cu frecvenţa cea mai mare. Valoarea modului este varianta corespunzătoare locului (varianta care

se repetă de cele mai multe ori), deci =Mo Relaţia dintre indicatori: Interpretare:

Problema 4. Pentru 200 de muncitori se cunosc următoarele date privind producţia zilnică (bucăţi):

Tabelul 2.13 Grupe de

muncitori după producţia

obţinută (bucăţi) (xi)

Structura muncitorilor

( )*(%)in

*(%)iinx

( ) *

(%)i2

i nxx − *

iF

0 1 2 3 4 11 5 55 5 12 10 120 15 13 15 14 20 15 25 16 15 17 7 18 3

Total 100 … … -

Page 46: Statistica - Capitolul2

90

Se cere: 1. reprezentaţi grafic repartiţia muncitorilor după producţia obţinută; 2. calculaţi indicatorii tendinţei centrale; 3. precizaţi dacă media este reprezentativă; 4. caracterizaţi gradul de asimetrie. Rezolvare 1. Distribuţiile obţinute prin grupare pe variante se reprezintă grafic prin

diagrama prin bastoane indiferent dacă sunt cu frecvenţe absolute sau cu frecvenţe relative.

Fig.2.8 Distribuţia muncitorilor după timpul lucrat ( ore)

2. Calculul indicatorilor tendinţei centrale • Calculul mediei aritmetice ponderate:

==∑=

100

nxx

k

1iii*(%)

• Calculul medianei (Me)

Locul medianei este grupa a cărei frecvenţă cumulată este prima

mai mare decât ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+∑

=

k

iin

1

*(%) 1

21

deci grupa a …-a.

Valoarea medianei este varianta corespunzătoare locului, deci Me = ...... bucăţi.

• Calculul modului Valoarea modului este varianta corespunzătoare frecvenţei maxime:

Mo = …… bucăţi.

Page 47: Statistica - Capitolul2

91

4. Gradul de reprezentativitate al mediei (gradul de omogenitate a seriei). Cel mai utilizat indicator pentru caracterizarea gradului de reprezentativitate a mediei este coeficientul de variaţie:

100x

v ⋅=σ unde 2σσ =

Concret,

=⋅−

=∑=

100

nxxk

1ii

2i

2

*(%))(

σ

== 2σσ

=⋅= 100x

v σ

Interpretare 5. Gradul de asimetrie:

=−

MoxCas

Interpretare Problema 5. Se cunosc următoarele date cu privire la numărul de clienţi cu

care lucrează zilnic cei 40 de salariaţi ai unei bănci (date convenţionale): Tabelul 2.14

Grupe de salariaţi după numărul de

clienţi

Număr de salariaţi

( in )

Frecvenţe cumulate

( iF ) 0 1 4

Sub 50 4 4 51-100 9 13

101-150 12 23 151-200 10 201-250 3

251 şi peste 2 Total 40 -

Se cere: 1. Determinaţi numărul de clienţi care se repetă de cele mai multe ori; 2. Determinaţi valoarea indicatorului care împarte seria în două părţi egale

ca efectiv; 3. Determinaţi valoarea indicatorului care delimitează primii 75% salariaţi

de restul acestora.

Page 48: Statistica - Capitolul2

92

Rezolvare

1. În cazul seriilor de distribuţie cu intervale discontinue, pentru aflarea locului indicatorilor de poziţie se folosesc aceleaşi procedee ca la seriile cu intervale continue. În ce priveşte determinarea valorii, pentru a putea aplica formulele de interpolare este obligatorie redefinirea intervalului corespunzător locului ca şi când seria ar fi cu intervale continue (de exemplu: limita inferioară a intervalului modal se calculează ca medie aritmetică simplă a limitei superioare a intervalului precedent celui modal şi limita inferioară a intervalului modal).

Prin urmare, locul modului fiind intervalul (101-150), intervalul redefinit va fi (100,5-150,5) iar valoarea indicatorului se calculează astfel:

( )( ) ( ) =++−

−+=

Δ+ΔΔ

+=1012912

912505100hxMo21

10 ,

2. În acelaşi mod se procedează pentru mediană:

=−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=∑∑−

==

m

1m

1ii

n

1ii

0 n

n1n21

hxMe

3. Indicatorul care delimitează primii 75% salariaţi de restul acestora este quartila a 3-a:

=−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=∑∑−

==

3q

13q

1ii

n

1ii

03 n

n1n43

hxQ

Problema 6. Pentru 300 de salariaţi se cunosc următoarele date:

Tabelul 2.15. Grupe de muncitori după număr de ore

lucrate lunar Nr.

muncitori

Producţia medie (buc./muncitor)

A 1 2 150 160 170

90 180 30

25 30 32

Total 300 - Ştiind că gradul de omogenitate privind producţia realizată, pe total, este de

22,71% se cere: 1. să se reprezinte grafic producţia pe total în funcţie de factorii de

influenţă; 2. să se reprezinte grafic structura producţiei după numărul de ore lucrate

lunar; 3. să se precizeze în ce măsură producţia lunară este influenţată de variaţia

numărului de ore lucrate.

Page 49: Statistica - Capitolul2

93

Rezolvare 1. Pentru reprezentarea grafică a volumului centralizat al caracteristicii

(producţia obţinută), se foloseşte dreptunghiul ca diagramă de volum al caracteristicii (suprafaţa dreptunghiului este proporţională cu valoarea de reprezentat grafic).

2. Pentru reprezentarea grafică a structurii se poate folosi dreptunghiul ca

diagramă de structură. 3. Influenţa exercitată de variaţia numărului de ore lucrate asupra

producţiei se măsoară calculând gradului de determinaţie ( )2/ xyR .

Pentru aceasta, este necesar să calculăm: • Media pe total ca medie aritmetică ponderată a mediilor de grupă:

==

=

=r

1ii

r

1iii

n

nyy

• Dispersia dintre grupe:

=−

=

=

=r

1ii

r

1ii

2i

2

n

nyy )(δ

Page 50: Statistica - Capitolul2

94

• Dispersia pe total:

100⋅=y

v σ de unde:

100yv ⋅

=σ ⇒ =2σ

Gradul de determinaţie:

1002

22

/ ⋅=σδ

xyR =

Interpretare Problema 7. Pentru un eşantion de 200 de agenţi economici, se cunosc

datele: Tabelul 2.16.

Grupe tipice de agenţi economici după numărul de

salariaţi

Număragenţi

economici)( in

Mărimea profitului (mii RON)

Coeficientul de variaţie a

profitului (%)

Profitul mediu (mii RON/ agent.ec)

)( iy A 1 2 3 4 I 100 3000 16,67 … II 60 3000 18,00 … III 40 3200 12,00 …

Se cere: 1. precizaţi în ce proporţie mărimea întreprinderii influenţează variaţia

profitului; 2. determinaţi omogenitatea, pe total. Rezolvare

1. Pentru a determina proporţia în care mărimea întreprinderii influenţează variaţia profitului este necesară calcularea gradului de determinaţie :

100R 2

22

xy ⋅=σδ

/

Pentru aflarea acestui indicator, trebuie calculaţi mai întâi următorii indicatori:

• medii de grupă, calculate ca raport între mărimea profitului şi numărul de agenţi economici pentru fiecare grupă (tabelul 2.12, coloana 4).

Page 51: Statistica - Capitolul2

95

• media pe total, calculată ca medie de medii parţiale (de grupă):

==

=

=r

1ii

r

1iii

n

nyy

• dispersia dintre grupe :

=−

=

=

=r

1ii

r

1ii

2i

2

n

nyy )(δ

2. dispersii de grupă ( )2iσ

100y

vi

ii ⋅=

σ de unde: 100

yv iii

⋅=σ

=1σ ⇒ =21σ

=2σ ⇒ =22σ

=3σ ⇒ =23σ

3. media dispersiilor de grupă ( )2σ

==

=

=r

1ii

r

1ii

2i

2

n

nσσ

• disperia totală ( 2σ ) se determină folosind regula adunării dispersiilor:

=+= 222 σδσ Gradul de determinaţie:

=⋅= 100R 2

22

xy σδ

/

Interpretare

2. Omogenitatea pe total:

100y

v ⋅=σ unde 2σσ =

=⋅= 100y

v σ

Interpretare

Page 52: Statistica - Capitolul2

96

2.4. TEMĂ

Problema 1. Pentru 40 de agenţi economici ce activează în acelaşi domeniu de activitate, s-au înregistrat datele privind profitul realizat (mii RON) într-o lună (date convenţionale): 50, 73, 69, 62, 72, 60, 55, 61, 64, 60, 58, 65, 69, 57, 67, 63, 56, 65, 74, 63, 52, 61, 63, 66, 62, 68, 59, 64, 70, 56, 51, 57, 52, 54, 73, 68, 59, 65, 60, 63.

Se cere: 1. să se grupeze cei 40 de agenţi economici pe intervale de variaţie egale,

după profitul realizat; 2. să se reprezinte grafic repartiţia obţinută la punctul precedent; 3. să se calculeze indicatorii tendinţei centrale şi să se interpreteze relaţia

dintre ei; 4. să se verifice reprezentativitatea mediei; 5. să se determine indicatorii care separă 50% din agenţii economici situaţi

la centrul repartiţiei; 6. să se măsoare gradul de asimetrie.

R: 1. k=6; h=4; 1n =4; 2n =6; 3n =8; 4n =11; 5n =6; 6n =5; 3. x =62,4 mii RON/agent economic; Me=62,9 mii RON; Mo=63,5 mii RON; 4. 2σ =35,04; v=9,49%; 5. 1Q =58,12 mii RON; 3Q =67,17 mii RON; 6.

asC = -0,19; 'asC = -0,17.

Problema 2. Pentru o unitate economică se cunosc datele:

Tabelul 2.17 Grupe de

muncitori după mărimea producţiei

(mii buc.)

Nr. muncitori

0 1 Sub 20 2 20-22 6 22-24 10 24-26 20 26 -28 16

28 şi peste 6 Total 60

Se cere: 1. reprezentaţi grafic distribuţia muncitorilor după mărimea producţiei; 2. verificaţi dacă distribuţia muncitorilor după mărimea producţiei este

omogenă; 3. calculaţi nivelul centralizat al producţiei pentru muncitorii cu producţia

de cel puţin 24 mii buc;

Page 53: Statistica - Capitolul2

97

4. calculaţi indicatorul care separă primii 75% din muncitori de restul muncitorilor.

R: 2. v=9,91%; 3. 1106 mii buc; 4. 3Q =26,97 mii buc.

Problema 3. Pentru 40 de agenţi se cunosc datele:

Tabelul 2.18. Grupe de agenţi economici după

mărimea profitului (mii lei)

Număr agenţi

economici

0 1 41 4 42 9 43 12 44 8 45 5 46 2

Total 40

Se cere: 1. Reprezentaţi grafic distribuţia agenţilor economici după mărimea

profitului (mii lei); 2. Calculaţi indicatorii tendinţei centrale şi interpretaţi relaţia dintre

aceştia; 3. Verificaţi reprezentativitatea mediei. R: 3. v=3,06%.

Problema 4. Pentru 150 de salariaţi ai unei societăţi comerciale, se cunosc datele:

Tabelul 2.19 Grupe de

salariaţi după vechime (ani)

Număr salariaţi

Timpul mediu nelucrat (min.)

Abaterea medie pătratică privind timpul nelucrat

(min.) A 1 2 3 I 20 30 4,0 II 90 45 9,0 III 40 55 6,6

Se cere: 1. reprezentaţi grafic structura salariaţilor după vechime; 2. verificaţi omogenitatea pe grupe şi pe total; 3. precizaţi în ce măsură variaţia timpului nelucrat se datorează

deosebirilor privind vechimea în muncă.

Page 54: Statistica - Capitolul2

98

R:2. 1v =13,33%; 2v =20%; 3v =12% şi v=23,93%; 3. 2xyR / =47,04%.

Problema 5. Pentru 300 de agenţi economici din acelaşi domeniu de

activitate se cunosc datele: Tabelul 2.20

Grupe de agenţi economici după mărimea profitului (mii RON)

Grupe de agenţi economici după

mărimea capitalului (mii

RON)

Sub 40 40-44 44-48 48-52 52-56 56 şi peste

Total

A 1 2 3 4 5 6 7 I 15 30 15 - - - 60 II - 20 30 50 30 10 140 III - - 20 40 30 10 100

Total 15 50 65 90 60 20 300 Se cere: 1. Reprezentaţi grafic distribuţia agenţilor economici după mărimea

profitului, pe total; 2. Verificaţi regula de adunare a dispersiilor şi arătaţi dacă factorul de

grupare este semnificativ; 3. Caracterizaţi omogenitatea pe fiecare grupă şi pe total; 4. Măsuraţi gradul de asimetrie pentru grupa a II-a.

R: 2. 2σ =15,3676; 2δ =11,2813; 2σ =26,6489; 2xyR / =42,33%; 3.

1v =6,73%; 2v =9,10%; 3v =7,03% şi v=10,64%; 4. Cas(II)= -0,13. Problema 6. Pentru un eşantion de 200 de agenţi economici, se cunosc

datele: Tabelul 2.21

Grupe tipice de agenţi economici

după cifra de afaceri (mii RON)

Structura agenţilor economici

(%)

Profitul mediu (mii

RON/ag.ec.)

Dispersia privind

mărimea profitului

A 1 2 3 I 50 30 45 II 30 40 42 III 20 56 38

Se cere: 1. Precizaţi în ce proporţie cifra de afaceri influenţează variaţia profitului; 2. Precizaţi care grupă este mai omogenă ; 3. Să se reprezinte grafic profitul total în funcţie de factorii de influenţă.

R : 1. 2xyR / =69,64%; 2. Grupa a III-a.

Page 55: Statistica - Capitolul2

99

Problema 7. Pentru un eşantion de 150 de agenţi economici, se cunosc datele:

Tabelul 2.22 Grupe tipice de agenţi economici după numărul de angajaţi

Număr agenţi economici

Valoarea centralizată privind cifra de afaceri (mii lei)

A 1 2 Sub 10 35 4200 10-30 75 12750 30 şi peste 40 9600

Se cere: 1. Să se determine în ce proporţie variaţia numărului de angajaţi

influenţează variaţia cifrei de afaceri ştiind că, pe total eşantion, valoarea modală a cifrei de afaceri este de 170,2 mii lei iar coeficientul de asimetrie de 0,13;

2. Caracterizaţi numeric gradul de omogenitate, pe total. 3. Să se calculeze media şi dispersia pentru caracteristica „agenţi

economici cu cel puţin 10 angajaţi.

R: 1. 2xyR / =67,3%; 2. v=3,06%.

2.5. ÎNTREBĂRI RECAPITULATIVE

1. Ce înţelegeţi prin frecvenţe absolute? 2. Ce înţelegeţi prin frecvenţe relative? 3. Ce înţelegeţi prin frecvenţe cumulate? 4. Cum se obţine valoarea centralizată la nivelul grupei? 5. Cum se obţine valoarea centralizată la nivelul ansamblului? 6. Cum se determină indicatorul de nivel al caracteristicii de grupare

în cazul distribuţiilor de frecvenţe obţinute prin gruparea pe intervale?

7. Care sunt indicatorii tendinţei centrale? 8. Ce înţelegeţi prin mod (modul, dominantă)? 9. Cum se stabileşte locul modului în cazul grupării pe variante? 10. Cum se stabileşte locul modului în cazul grupării pe intervale? 11. Cum se determină modul în cazul grupării pe variante? 12. Cum se determină modul în cazul grupării pe intervale? 13. Când se recomandă utilizarea modului? 14. O serie de distribuţie de frecvenţe poate avea mai multe moduri?

Dacă da, cum se continuă analiza? 15. Când se recomandă utilizarea modului ca o alternativă la media

aritmetică? 16. Ce înţelegeţi prin mediană?

Page 56: Statistica - Capitolul2

100

17. Cum se determină locul medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe variante?

18. Cum se determină locul medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe intervale?

19. Cum se determină valoarea medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe variante?

20. Cum se determină valoarea medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe intervale?

21. Cum se defineşte media aritmetică? 22. Ce condiţii trebuie să îndeplinească datele statistice din care se

calculează media aritmetică? 23. Care sunt principalele proprietăţi ale mediei aritmetice? 24. Ce tipuri de frecvenţe se pot folosi la calculul mediei aritmetice? 25. Cum se calculează media de medii parţiale? 26. Ce relaţii pot exista între indicatorii tendinţei centrale? 27. Ce reprezintă media armonică? 28. Când se recomandă utilizarea mediei armonice? 29. Când se utilizează media armonică ca formă transformată a mediei

aritmetice? Exemplificaţi. 30. Ce reprezintă media pătratică? 31. Când se recomandă utilizarea mediei pătratice? Exemplificaţi. 32. Ce reprezintă media geometrică? 33. Când se recomandă utilizarea mediei geometrice? Exemplificaţi. 34. Ce tip de medie se poate utiliza pentru denaturarea realităţii în sens

pozitiv? 35. Ce tip de medie se poate utiliza pentru denaturarea realităţii în sens

negativ? 36. Cum se calculează mărimea relativă la nivelul ansamblului din

mărimi relative parţiale de acelaşi tip în cazul în care se cunosc numărătorii din care s-au calculat mărimile parţiale?

37. Cum se calculează mărimea relativă la nivelul ansamblului din mărimi relative parţiale de acelaşi tip în cazul în care se cunosc numitorii din care s-au calculat mărimile parţiale?

38. Din ce categorie de indicatori face parte mediana? 39. Ce sunt cuantilele? 40. Ce sunt cuartilele? 41. Ce sunt decilele? 42. Ce înţelegeţi prin asimetrie? 43. Care este relaţia între indicatorii tendinţei centrale când predomină

valorile mici ale seriei? 44. Care este relaţia între indicatorii tendinţei centrale când predomină

valorile mari ale seriei? 45. Care este relaţia între indicatorii tendinţei centrale când seria este

perfect simetrică?

Page 57: Statistica - Capitolul2

101

46. Când este o serie perfect simetrică? 47. Cum se calculează şi cum se interpretează coeficienţii de asimetrie

propuşi de Person? 48. Cum se calculează şi ce semnificaţie are media caracteristicii

alternative? 49. Cum se calculează şi ce semnificaţie are dispersia caracteristicii

alternative? 50. Care este cel mai potrivit indicator pentru caracterizarea variaţiei

unei caracteristici statistice? 51. Când se utilizează amplitudinea absolută a variaţiei? 52. Ce relaţie este între abaterea medie liniară şi abaterea medie

pătratică în cazul unei distribuţii normale? 53. Care este regula de adunare a dispersiilor? 54. Ce semnificaţie are dispersia dintre grupe? 55. Ce semnificaţie are media dispersiilor de grupă? 56. Ce semnificaţie are dispersia pe total? 57. Cum trebuie să fie variaţia la nivelul fiecărei grupe faţă de variaţia

pe total in cazul unei serii de distribuţie bidimensionale? 58. Ce indicatori se pot calcula pe baza regulii de adunare a

dispersiilor? 59. Ce semnificaţie are gradul de determinaţie? 60. Ce semnificaţie are gradul de nedeterminaţie?


Recommended