45
Capitolul 2 ANALIZA SERIILOR DE DISTRIBUŢIE A FRECVENŢELOR
2.1. INDICATORI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL
A. SERII SIMPLE (date negrupate)
Mărimi medii
Media aritmetică Media aritmetică este rezultatul sintetizării într-o singură expresie
numerică a tuturor nivelurilor individuale observate, obţinută prin raportarea valorii totalizate a caracteristicii la numărul total al unităţilor:
n
xx
n
1ii∑
==
unde: ix - reprezintă nivelurile individuale ale variabilei;
∑=
n
1iix - reprezintă volumul centralizat al variabilei;
n - reprezintă numărul unităţilor observate.
Proprietăţi a) dacă x1=x2=...=xi=...=xn=xc atunci cxx = b) maxmin xxx <<
c) 0xxn
1ii =−∑
=
)(
d) dacă axx i m=' atunci axx m=′ de unde axx ±= '
e) dacă hxx i=" atunci
hxx =′′ de unde hxx ⋅′′=
respectiv,
dacă hxx i ⋅=" atunci hxx ⋅=′′ de unde hxx′′
=
Formule de calcul simplificat al mediei aritmetice:
( )a
n
axx
n
1ii
±=∑=
m
ahn
hax
x
n
1i
i
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∑=
46
Media armonică Media armonică ( hx ) se defineşte ca fiind inversa mediei aritmetice
calculată din valorile inverse ale termenilor aceleiaşi serii:
∑=
= n
1i i
h
x1
nx
Media pătratică Media pătratică )( px este acea valoare care înlocuind termenii seriei
ridicaţi la pătrat nu modifică suma pătratelor acestora.
n
xx
n
1i
2i
p
∑==
Media geometrică Media geometrică ( gx ) reprezintă acea valoare cu care, dacă se înlocuiesc
toţi termenii seriei şi se face produsul acestora, valoarea la care se ajunge este egală cu produsul termenilor reali, adică:
nn
1iig xx ∏
=
=
Între mediile prezentate există următoarea relaţie de ordine: pagh xxxx <<<
Valori medii de poziţie sau de structură
Mediana (Me) reprezintă valoarea centrală a unei serii statistice ordonate crescător sau descrescător care împarte termenii seriei în două părţi egale.
Locul medianei= 2
1+n unde n reprezintă numărul termenilor seriei.
Valoarea medianei: • dacă numărul termenilor seriei este impar (n=2p+1): 1pxMe +=
• dacă numărul termenilor este par (n=2p): 2xx
Me 1pp ++=
Modul (Mo) este valoarea care se repetă de cele mai multe ori, motiv pentru care mai este cunoscut în literatura de specialitate şi sub denumirea de dominanta seriei.
47
Indicatorii variaţiei
a) Indicatorii simpli ai variaţiei
Amplitudinea absolută (Aa) se calculează ca diferenţă între nivelul maxim (xmax) şi nivelul minim (xmin) al caracteristicii:
Aa=xmax-xmin
Amplitudinea relativă a variaţiei (A%) se calculează ca raport între amplitudinea absolută a variaţiei şi nivelul mediu al caracteristicii:
100xAA a ⋅=%
Abaterile individuale absolute (di) se calculează ca diferenţă între fiecare variantă înregistrată şi media aritmetică a acestora:
n1ixxd ii , =−= Abaterile individuale relative (di%) se calculează raportând abaterile
absolute la nivelul mediu al caracteristicii:
n1i100x
xx100xdd ii
i , % =⋅−
=⋅=
În analiza variaţiei, de multe ori, ne limităm la a calcula abaterile maxime într-un sens sau altul.
b) Indicatorii sintetici ai variaţiei
Abaterea medie liniară )(d se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată din abaterile termenilor seriei de la media lor, luate în valoare absolută:
n
xxd
n
1ii∑
=
−=
Abaterea medie pătratică sau abaterea standard )(σ se calculează ca o medie pătratică din abaterile tuturor variantelor seriei de la media lor aritmetică:
n
xxn
1i
2i∑
=
−=
)(σ
Calculaţi pentru aceeaşi serie, cei doi indicatori verifică relaţia:
d>σ
În literatura de specialitate se apreciază că pentru o serie de distribuţie cu tendinţă clară de normalitate, abaterea medie liniară este egală cu 4/5 din valoarea abaterii medii pătratice.
Dispersia (varianţa) unei caracteristici )( 2σ se calculează ca medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor faţă de media lor.
48
Formulele de calcul sunt:
n
xxn
1i
2i
2∑=
−=
)(σ sau
2n
1ii
n
1i
2i
2
n
x
n
x
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑∑==σ
Coeficientul de variaţie (v) se calculează ca raport între abaterea medie pătratică şi nivelul mediu al seriei:
100x
v ⋅=σ
Coeficientul de variaţie se mai poate calcula şi după relaţia:
100xdv ⋅=′
B. SERII DE DISTRIBUŢIE UNIDIMENSIONALE (date grupate)
Indicatori de frecvenţe
Frecvenţele relative ( *in ) se obţin raportând frecvenţa fiecărei grupe (ni) la
totalul frecvenţelor ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=
k
iin
1:
∑=
= k
1ii
ii
n
nn* sau 100n
nn k
1ii
ii ⋅=
∑=
*(%)
Frecvenţele cumulate se notează cu iF sau *iF în funcţie de felul
frecvenţelor incluse în calcul (absolute sau relative):
;,...,,, ; k321inFi
1jji ==∑
=
respectiv, ;,...,, ; ** k321inFi
1jji ==∑
=
Mărimi medii
Media aritmetică Calculul cu frecvenţe absolute:
∑
∑
=
== k
1ii
k
1iii
n
nxx
Proprietăţi: a) media se încadrează în intervalul cu frecvenţa maximă sau în unul din
cele două intervale învecinate;
49
b) 0nxxk
1iii =−∑
=
)(
c) dacă axx i m=′ atunci axn
naxx k
1ii
i
k
1ii
m
m
==′
∑
∑
=
=
)(
d) dacăhxx i=′′ atunci
hx
n
nhx
x k
1ii
n
1ii
i
=⋅
=′′
∑
∑
=
=
respectiv dacă hxx i ⋅=′′ atunci xhn
nhxx k
1ii
n
1iii
⋅=⋅⋅
=′′
∑
∑
=
=
)(
Proprietăţile de la punctele c) şi d) servesc la calculul simplificat al mediei aritmetice:
ahn
nh
ax
x k
1ii
i
k
1i
i
+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
∑
∑
=
=
unde: a - mijlocul unui interval de obicei centrul intervalului cu frecvenţa
cea mai mare; h - mărimea intervalului dacă seria are intervale de variaţie egale.
e) dacă într-o serie se reduc proporţional toate frecvenţele, media calculată pe baza noilor frecvenţe rămâne neschimbată:
x
cn
cnx
i
ii
=∑∑
Această proprietate serveşte la calculul mediei cu ajutorul frecvenţelor relative. În acest caz ∑= inc :
∑= *iinxx sau
100nx
x ii∑=*(%)
50
Media armonică • Calculul cu frecvenţe absolute:
∑
∑
=
== k
1ii
i
k
1ii
h
nx1
nx
• Calculul cu frecvenţe relative:
∑=
= k
1ii
i
h
nx11x
* sau
∑=
= k
1ii
i
h
nx1100x
*(%)
Formă transformată a mediei aritmetice: • Calculul cu frecvenţe absolute:
xnx
x1
nxx k
1iii
i
k
1iii
h ==
∑
∑
=
=
• Calculul cu frecvenţe relative:
∑=
= k
1iii
i
h
nxx11x
* sau
∑=
= k
1iii
i
h
nxx1100x
*(%)
Media pătratică • Calculul cu frecvenţe absolute:
∑
∑
=
== k
1ii
i
k
1i
2i
p
n
nxx
• Calculul cu frecvenţe relative:
*i
k
1i
2ip nxx ∑
=
= sau 100
nxx
i
k
1i
2i
p
*(%)∑
==
Media geometrică
∑= = ∏
=
k
1ii
in k
1i
nig xx
Între mediile prezentate există următoare relaţie de ordine: pagh xxxx <<<
51
Valori medii de poziţie sau de structură
Modul (modulul, dominanta) În cazul unei serii de distribuţie pe variante modul este varianta cu
frecvenţa maximă. În cazul grupării pe intervale, locul modului este intervalul cu frecvenţa
maximă iar valoarea se calculează astfel:
21
10 hxMo
Δ+ΔΔ
+=
în care: x0 - reprezintă limita inferioară a intervalului modal; h - mărimea intervalului modal;
1Δ - diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi a celui precedent;
2Δ - diferenţa dintre frecvenţa intervalului modal şi a celui următor.
Mediana (Me) a) În cazul datelor grupate pe variante, locul medianei este varianta a
cărei frecvenţă cumulată este prima mai mare decât 2
1n + iar valoarea medianei
este chiar varianta respectivă; b) În cazul datelor grupate pe intervale, locul medianei este intervalul a
cărui frecvenţă cumulată este prima mai mare decât 2
1nk
1ii∑
=
+ iar valoarea medianei
se calculează după formula:
m
1m
1ii
k
1ii
0 n
n2
1n
hxMe∑
∑ −
=
= −+
⋅+=
unde:
h - mărimea intervalului median;
m - indexul intervalului median;
∑−
=
1m
1iin - suma frecvenţelor precedente intervalului median (frecvenţa
cumulată a intervalului precedent celui median);
nm - frecvenţa absolută a intervalului median.
52
Cuartilele sunt acele valori ale caracteristicii, care separă seria în patru părţi egale:
1
1
q
1q
1ii
k
1ii
01 n
n1n41
hxQ∑∑−
==
−++=
)(
unde 1q este indexul intervalului care conţine Q1
MeQ2 =
3
3 1
1103
)1(43
q
q
ii
k
ii
n
nnhxQ
∑∑−
==
−++=
unde 3q este indexul intervalului care conţine Q3
Decilele divid seria în zece părţi egale folosind în acest scop nouă decile:
1
1 1
1101
)1(101
d
d
ii
k
ii
n
nnhxD
∑∑−
==
−++=
unde d1 este indexul intervalului care conţine D1 ……………………………
MeD5 = ……………………………
9
9 1
1109
)1(109
d
d
ii
k
ii
n
nnhxD
∑∑−
==
−++=
unde d9 este indexul intervalului care conţine D9.
Indicatorii variaţiei
1. Indicatorii simpli ai variaţiei
Amplitudinea absolută (Aa ):
Aa=xL-xl unde:
xL – limita superioară a ultimului interval xl – limita inferioară a primului interval
Amplitudinea relativă a variaţiei (A%):
100xAA a ⋅=%
53
2. Indicatorii sintetici ai variaţiei
Abaterea medie liniară )(d : • Calculul cu frecvenţe absolute:
∑
∑
=
=
−= k
1ii
i
k
1ii
n
nxxd
• Calculul cu frecvenţe relative:
*i
k
1ii nxxd ∑
=
−= sau 100
*(%)
1i
k
ii nxx
d∑=
−=
Abaterea medie pătratică sau abaterea standard )(σ : • Calculul cu frecvenţe absolute:
∑
∑
=
=
−= k
1ii
i
k
1i
2i
n
nxx )(σ
• calculul cu frecvenţe relative:
i
k
1i
2i nxx *)(∑
=
−=σ sau 100
)( *(%)
1
2i
k
ii nxx∑
=
−=σ
Cei doi indicatori verifică relaţia: d>σ
Coeficientul de variaţie (v):
100x
v ⋅=σ respectiv 100
xdv ⋅=′
Dispersia (varianţa) )( 2σ : • Formule derivate din definiţie:
calculul cu frecvenţe absolute:
∑
∑
=
=
−= k
1ii
i
k
1i
2i
2
n
nxx )(σ
54
calculul cu frecvenţe relative:
*
1
22 )( i
k
ii nxx∑
=
−=σ sau 100
nxx i
k
1i
2i
2(%)
*)(∑=
−=σ
• ca moment centrat de ordinul doi:
calculul cu frecvenţe absolute:
2
1
1
1
1
2
2
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=k
ii
k
iii
k
ii
i
k
ii
n
nx
n
nxσ
calculul cu frecvenţe relative:
2k
1iiii
k
1ii
22 nxnx ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∑∑
==
**σ sau
2k
1iiii
k
1i
2i
2
100
nx
100
nx
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=∑∑==
*(%)
*(%)
σ
• prin formula de calcul simplificat pentru o serie de frecvenţe absolute:
22k
1ii
k
1ii
2i
2 axhn
nh
ax
)( −−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
∑
∑
=
=σ
pentru o serie cu frecvenţe relative:
22k
1ii
2i2 axhnh
ax )(* −−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∑=
σ sau
22
k
1ii
2i
2 axh100
nh
ax
)(
*(%)
−−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∑=σ
Notă: a şi h au aceleaşi semnificaţii ca la calculul mediei aritmetice. Corecţia lui Sheppard:
12h2
22 −=′ σσ )(
unde h este mărimea intervalului de grupare.
55
Această corecţie se aplică numai pentru seriile care prezintă următoarele proprietăţi:
• repartiţia este normală sau uşor asimetrică; • repartiţia are intervale de grupare egale.
Variaţia intercuartilică şi interdecilică
Abaterea intercuatilică (Qd):
2QQ
2MeQQMeQ 1331
d−
=−+−
=)()(
Coeficientul de variaţie intercuartilică (Vq):
Me2QQ
Me2
MeQV 13
13
dq
−=
−
==
Abaterea interdecilică:
2DD
2MeDDMeD 1991
d−
=−+−
=)()(
Coeficientul de variaţie interdecilică:
Me2DD
Me2
DD
MeDV 19
19
dd
−=
−
==
Media şi dispersia caracteristicii alternative
Distribuţia de frecvenţe a caracteristicii alternative se prezintă într-un tabel de forma:
Valoarea caracteristicii
Răspunsul înregistrat
Frecvenţe absolute Frecvenţe relative
0 1 2 3 x1 = 1 DA M (numărul
unităţilor care posedă caracteristica)
NMp =
x2 = 0 NU (N-M) (numărul de unităţi
care nu posedă caracteristica)
p1N
MNq −=−
=
Total N=M+(N-M) p+q = 1
Media: NMp =
Dispersia: )(sau 2p
2p p1pqp −⋅=⋅= σσ
Abaterea medie pătratică: qpp ⋅=σ
56
Aceste notaţii se folosesc de regulă în cazul în care datele provin dintr-o observare totală.
În cazul în care datele provin din sondaj, se folosesc următoarele notaţii:
Media: nmw =
Dispersia: )1(2w ww −⋅=σ
Abaterea medie pătratică: 2ww σσ =
Asimetria
Asimetria absolută ( As )
MoxAs −= Coeficieţii de asimetrie propuşi de Karl Pearson (pentru serii de distribuţie
uşor asimetrice):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⇒<⇒>⇒=
−=
dreapta la oblică seriestânga la oblică serie
simetrică serie
0C0C0C
MoxC
as
as
as
as σ
Acest coeficient poate lua valori cuprinse între -1 şi +1; cu cât este mai mic în valoare absolută cu atât asimetria este mai mică.
În cazul când se cunoaşte mediana seriei, coeficientul de asimetrie )( asC′ se poate calcula utilizând relaţia:
σ)( Mex3Cas
−=′
Pearson mai propune şi un alt coeficient pentru calculul gradului de asimetrie al unei serii formată dintr-un număr foarte mare de observaţii:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−
=
−=
=′′
∑∑∑
∑
22
2
3
3
32
23
)(
)(
unde σμ
μ
μμ
i
ii
i
ii
as
nnxx
nnxx
C
Coeficientul propus de Yule:
)()()()(
13
13asY QMeMeQ
QMeMeQC−+−−−−
= unde [ ]11CasY ,−∈
Coeficientul propus de Bowley:
)()()()(
19
19asB DMeMeD
DMeMeDC−+−−−−
= unde [ ]11CasB ,−∈
57
Indicatorii concentrării Coeficientul de concentrare propus de statisticianul italian Corado Gini:
k1igC 2iG , == ∑
unde ∑
=
=
k
1iii
iii
nx
nxg sau 100(%) ⋅
∑
=
=
k
1iii
iii
nx
nxg
Acest coeficient ia valori în intervalul ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡1
n1 , .
Coeficientul de concentrare propus de R. Struck:
1n1gn
C2i
S −
−= ∑
Acest coeficient ia valori în intervalul [ ]1,0 .
C. SERII DE DISTRIBUŢIE BIDIMENSIONALE
C1. Calculul cu frecvenţe absolute O serie de distribuţie bidimensională se prezintă într-un tabel de forma: Valorile
caracteristicii de grupare X
Variantele sau valorile
caracteristicii dependente Y
Volumul grupei
(ni.)
Medii pe
grupe )( iy
y1 y2 K yj K ym x1 n11 n12 K n1j K n1m n1. )( 1y x2 n21 n22 K n2j K n2m n2. )( 2y M M M M M M M M M xi ni1 ni2 K nij K nim ni. )( iy
M M M M M M M M M xr nr1 nr2 K nrj K nrm nr. )( ry
Total n.1 n.2 K n.j K nm ∑∑==
=m
1jj
r
1ii nn ..
y
Volumul (frecvenţa) grupei i: .i
m
1jij nn =∑
=
Mărimi medii
• Mediile de grupă ( iy ):
∑
∑
=
== m
1jij
m
1jijj
i
n
nyy
58
• Media pe total:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == r
1ii
r
1iii
m
1jj
m
1jjj
n
nyy
n
nyy
.
.
.
.
sau
Indicatorii variaţiei • Dispersia de grupă sau dispersia parţială )( 2
iσ :
∑
∑
=
=
−
= m
1jij
m
1jij
2ij
2i
n
nyy )(σ
unde: yj - reprezintă varianta sau mijloacul intervalului j al caracteristicii
dependente;
iy - media grupei i;
nij - frecvenţele corespunzătoare fiecărei variante (interval de valori) din cadrul grupei.
• Media dispersiilor de grupă )( /2
ry2 σσ =
∑
∑
=
== r
1ii
r
1ii
2i
2
n
n
.
.σσ
unde: 2iσ - dispersia grupei i;
ni - volumul grupei i.
• Dispersia dintre grupe )(/
2xy
2 σδ = :
∑
∑
=
=
−== r
1ii
r
1ii
2i
22xy
n
nyy
.
.
/
)(δσ
• Dispersia totală )( 2y
2 σσ = :
∑
∑
=
=
−
== m
1jj
m
1jj
2j
2y
2
n
nyy
.
.)(σσ
59
Regula adunării dispersilor: //2
ry2
xy2 σσσ +=
Pe baza regulii de adunare a dispersiilor se pot calcula indicatori statistici cu caracter de mărimi relative de structură:
Gradul de determinaţie )( /2
xyR : 100R 2
2xy2
xy ⋅=σσ /
/
Dacă )( / xyR > 50% admitem că factorul de grupare este hotărâtor (semnificativ, determinant) pentru variaţia factorului determinat (Y).
Gradul de nedeterminaţie: 100K 2
2ry2
xy ⋅=σσ /
/ .
• Abaterea medie pătratică la nivelul grupei: 2ii σσ =
• Abaterea medie pătratică pe total: 2σσ = • Coeficientul de variaţie la nivelul grupei:
100y
vi
ii ⋅=
σ
unde: iσ - abaterea medie pătratică a grupei i;
iy - media grupei i. • Coeficientul de variaţie pe total:
100y
v ⋅=σ
unde: σ - abaterea medie pătratică pe total; y - media pe total.
C2. Calculul cu frecvenţe relative O serie de distribuţie bidimensională se prezintă într-un tabel de forma:
Valorile caracteristicii de grupare X
Frecvenţe relative (%)
Total (%)
Ponderea grupei (ni(%))
y1 y2 K yj K ym x1 *
11n *12n K *
1 jn K *1mn 100. n1(%)
x2 *21n *
22n K *2 jn K *
2mn 100 n2(%)
M M M M M M M M M xi *
1in *2in K *
ijn K *imn 100 ni(%)
M M M M M M M M M xr *
1rn *2rn K *
rjn K *rmn 100 nr(%)
Total - - - - - - - 100
60
• Medii de grupă ( iy ):
1001
*∑==
m
jijj
i
nyy
• Media pe total:
1001
*(%)∑
==
r
iiiny
y
• Dispersii de grupă sau dispersii parţiale )( 2iσ :
100
nyym
1iij
2ij
2i
∑=
−=
*(%))(
σ
• Media dispersiilor de grupă )( /2
ry2 σσ =
100
ni
r
1i
2i
2(%)∑
==σ
σ
• Dispersia dintre grupe )( /2
xy2 σδ = :
100
)(1
(%)2
22/
∑=
−==
r
iii
xy
nyyδσ
• Dispersia totală )( 2y
2 σσ = : 2222 δσσσ +== y
Indicatorii medii şi ai variaţiei pentru caracteristici alternative • Dispersia de grupă ( 2
piσ ):
)(sau ii2pii
2p p1pqp
ii−== σσ
în care: pi - reprezintă medii de grupă; qi - frecvenţele relative ale unităţilor care nu posedă caracteristica
în fiecare grupă. • Media dispersiilor parţiale )( 2
pσ :
∑
∑
=
== r
ii
r
iip
p
N
Ni
1
1
2
2σ
σ
în care Ni reprezintă numărul total al unităţilor observate în fiecare grupă.
61
• Dispersia dintre grupe )( 2pδ :
∑
∑
=
=
−= r
ii
r
iii
p
N
Npp
1
1
2
2)(
δ
în care p este media caracteristicii alternative pe întreaga colectivitate. • Dispersia totală )( 2
pσ :
qp2p ⋅=σ
Regula adunării dispersiilor: 222ppp δσσ +=
Verificarea semnificaţiei factorului de grupare folosind testul “F”
2ry
2xy
calculat SS
F/
/=
unde:
( )
1r
nyyS
r
1ii
2i
2xy −
⋅−=∑=
.
/ (r - numărul de grupe)
( )rn
nyyS
r
1i
m
1jij
2ij
2ry −
⋅−
=∑∑= =
/
Dacă Fcalculat> Ftabelar factorul de grupare este semnificativ. Dacă Fcalculat< Ftabelar factorul de grupare nu este semnificativ. Ftabelar se determină în funcţie de un anumit nivel de semnificaţie (de
exemplu: 0,05) şi de gradele de libertate f1=r-1 şi f2=n-r.
62
2.2. PROBLEME REZOLVATE Problema 1. Pentru un eşantion de 40 de clienţi ai unei bănci se cunosc
următoarele date (primele două coloane din tabelul 2.1.):
Tabelul 2.1. Frecvenţe
cumulate crescător Grupe de
clienţi după mărimea creditului (mii euro)
Număr de
clienţi ( in )
Centrul interva-
lului ( ix )
iinx
Frecvenţe relative ( )*
(%)in absolute ( iF )
relative ( *
iF )
0 1 2 3 4 5 6 Sub 40 4 35 140 10 4 10 40-50 6 45 270 15 10 25 50-60 8 55 440 20 18 45 60-70 12 65 780 30 30 75 70-80 8 75 600 20 38 95
80 şi peste 2 85 170 5 40 100 Total 40 -
=∑=
6
1iiinx
2400
100 - -
Se cere:
1. reprezentaţi grafic distribuţia clienţilor după mărimea creditului (mii euro);
2. calculaţi indicatorii de nivel; 3. determinaţi structura clienţilor pe grupe (frecvenţele relative); 4. determinaţi frecvenţele cumulate crescător folosind atât frecvenţele
absolute cât şi frecvenţele relative; 5. calculaţi toate tipurile de medii posibile şi verificaţi relaţia dintre
acestea; 6. calculaţi indicatorii tendinţei centrale folosind atât frecvenţele absolute
cât şi frecvenţele relative; 7. determinaţi valorile după mărimea creditului care delimiteaza 50% din
clienţii situaţi în centrul distribuţiei; 8. calculaţi indicatorii variaţiei şi interpretaţi rezultatele; 9. caracterizaţi asimetria distribuţiei clienţilor; 10. transformaţi variabila analizată în variabilă alternativă considerând
drept formă directă de manifestare a caracteristicii « clienţi cu mărimea creditului sub 60 mii euro » şi calculaţi media şi dispersia acesteia.
63
Rezolvare 1. Cel mai utilizat grafic în cazul seriilor de distribuţie a frecvenţelor cu
intervale de variaţie egale este histograma (vezi fig. 2.1). Intervalele extreme fiind deschise, se pot închide luând ca bază al doilea interval pentru prima grupă şi penultimul interval pentru ultima grupă.
4
6
8
12
8
2
0
2
4
6
8
10
12
14
Mărimea creditului (mii euro)
Num
ăr c
lienţ
i
30 40 50 60 70 80 90
Figura 2.1. Distribuţia clienţilor după mărimea creditului (mii euro)
2. În cazul grupării pe intervale (k – numărul de intervale), indicatorul de nivel individual ix (unde k1i ,= ) se calculează ca medie aritmetică simplă a limitelor intervalului şi reprezintă centrul sau mijlocul intervalului (tabelul 2.1, coloana 2).
Valoarea centralizată a grupei i se calculează înmulţind nivelul individual ( ix ) cu frecvenţa grupei ( in ): iinx (tabelul 2.1, coloana 3).
Pe total, valoarea centralizată este : ∑=
=k
1iiinx 2400 mii euro.
3. Frecvenţa relativă a grupei i:
100n
nn k
1ii
ii ⋅=
∑=
*(%) (tabelul 2.1, coloana 4)
4. Frecvenţa cumulată a grupei i (tabelul 2.1, coloanele 5 şi 6):
∑=
=i
1jji nF (calculul cu frecvenţe absolute)
∑=
=i
1jji nF *(%)
* (calculul cu frecvenţe relative)
64
5. Putem calcula media aritmetică, media armonică şi media pătratică
folosind frecvenţele absolute şi/sau frecvenţele relative (vezi tabelul 2.2).
Tabelul 2.2 Nr.crt. al
grupei in ix *
(%)in *(%)iinx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
haxi
a=65 h=10
ii nh
ax⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
i
i
xn
ii nx2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 35 10 350 -3 -12 0,1428 4900 2 6 45 15 675 -2 -12 0,1333 12150 3 8 55 20 1100 -1 -8 0,1454 24200 4 12 65 30 1950 0 0 0,1846 50700 5 8 75 20 1500 +1 +8 0,1067 45000 6 2 85 5 425 +2 +4 0,0235 14450
Total 40 - 100 6000 - =⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∑ i
i nh
ax
=-20
=∑i
i
xn
=0,7365
=∑ ii nx2 =151400
Media aritmetică ( x ) • Calculul cu frecvenţe absolute (vezi tabelul 2.1, coloana 3)
===
∑
∑
=
=
402400
n
nxx k
1ii
k
1iii
60 mii euro/client
• Calculul cu frecvenţe relative (vezi tabelul 2.2, coloana 4)
1006000
1001
*(%)
==∑=
k
iiinx
x = 60 mii euro/client
• Calculul simplificat (vezi tabelul 2.2, coloana 6)
=+⋅−
=+⋅
−
=
∑
∑
=
= 65104020ah
n
nh
ax
x k
1ii
k
1ii
i
60 mii euro/client
Se recomandă să se ia a egal cu centrul intervalului cu frecvenţa maximă, adică a = 65 şi pentru h o valoare egală cu mărimea intervalului, adică h = 10 (vezi tabelul 2.2.).
65
Media armonică ( hx ) (vezi tabelul 2.2, coloana 7)
===
∑
∑
=
=
7365060
nx1
nx k
1ii
i
k
1ii
h , 54,31 mii euro/client
Media pătratică ( px ) (vezi tabelul 2.2, coloana 8)
====
∑
∑
=
= 378560
151400
n
nxx k
1ii
k
1ii
2i
p 61,52 mii euro/client
Între cele trei tipuri de medii există relaţia: ph xxx << Concret, 54,31 < 60 < 61,52. 6. Indicatorii tendinţei centrale ( x , Me, Mo) se pot calcula atât cu
frecvenţe absolute, cât şi cu frecvenţe relative.
Media aritmetică (vezi punctul 5) x =60 mii euro/client
Mediana (Me) Calculul cu frecvenţe absolute Pentru determinarea locului medianei se calculează:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑
=
1n21 k
1ii =30,5.
Mediana se poziţionează în intervalul a cărui frecvenţă cumulată crescător este prima mai mare decât 30,5 şi anume: 60<Me<70. Valoarea medianei se determină utilizând relaţia:
m
1m
1ii
n
1ii
0 n
n1n21
hxMe∑∑−
==
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
unde: 0x - limita inferioară a intervalului median; m - indexul intervalului median (numărul curent); h - mărimea intervalului median;
∑−
=
1m
1iin - suma frecvenţelor intervalelor care preced intervalul median.
=−
+=12
185201060Me , 62,08 mii euro
66
Calculul cu frecvenţe relative
Pentru determinarea locului medianei se calculează: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑
=
1n21 k
1ii*(%) =50,5.
Valoarea medianei se determină utilizând relaţia:
30455501060
n
n1n21
hxMem
1m
1ii
k
1ii
0−
+=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=∑∑−
== ,*
(%)
*(%)
*(%)
=61,83 mii euro
Observaţie. La indicatorii de poziţie din categoria cuantilelor, valoarea indicatorului calculată cu frecvenţe relative diferă de cea calculată cu frecvenţe absolute deoarece descăzutul de la numărătorul fracţiei este constant (de exemplu, 50,5 pentru mediană), restul elementelor fracţiei modificându-se în acelaşi raport.
Modul (Mo)
Locul modului este intervalul cu frecvenţa cea mai mare: 60<Mo<70.
Calculul cu frecvenţe absolute Valoarea modului se determină utilizând relaţia:
21
10 hxMo
Δ+ΔΔ
+=
unde: 0x - limita inferioară a intervalului modal; h - mărime intervalului modal;
1Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului anterior;
2Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului următor.
( )( ) ( ) =++−
−+=
8128128121060Mo 65 mii euro
Calculul cu frecvenţe relative
)()()(
**
*
2030203020301060hxMo
21
10 −+−
−+=
Δ+ΔΔ
+= = 65 mii euro
Între cei trei indicatori ai tendinţei centrale există relaţia: MoMex << , ceea ce înseamnă că predomină valorile mari ale seriei.
7. Se calculează cuartilele 1Q şi 3Q luând ca bază formula medianei şi ţinând cont de raportul în care fiecare cuartilă împarte seria.
67
Locul 1Q este intervalul a cărui frecvenţă cumulată este prima mai mare
decât ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑
=
1n41 k
1ii şi anume intervalul (60-70).
Valoarea primei cuartile se calculează după relaţia:
81025101050
n
n1n41
hxQ1
1
q
1q
1ii
n
1ii
01−
⋅+=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+=∑∑−
== , = 50,31 mii euro
Locul 3Q este intervalul a cărui frecvenţă cumulată este prima mai mare
decât ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑
=
1n43 k
1ii şi anume intervalul (70-80).
Valoarea cuartilei a 3-a se calculează după relaţia:
83075301070
n
n1n43
hxQ3
3
q
1q
1ii
n
1ii
03−
⋅+=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅+=∑∑−
== , = 70,94 mii euro
Rezultă că cei 50% clienţi situaţi în centrul repartiţiei au credite de cel puţin 50,31 mii euro şi cel mult 70,94 mii euro. Mărimea creditului pentru primii 25% clienţi din serie nu depăşeşte 50,31 mii euro. Ultimii 25% clienţi din serie au credite mai mari de 70,94 mii euro.
8. Cei mai utilizaţi indicatorii sintetici ai variaţiei sunt: abaterea medie liniară, dispersia, abaterea medie pătratică şi coeficientul de variaţie.
Abaterea medie liniară
Pentru calculul acestui indicator folosim tabelul 2.3.
Tabelul 2.3. Nr.crt. al
grupei in ix *
(%)in ii n60x ⋅− *
(%)ii n60x ⋅−
0 1 2 4 5 6 1 4 35 10 100 250 2 6 45 15 90 225 3 8 55 20 40 100 4 12 65 30 60 150 5 8 75 20 120 300 6 2 85 5 50 125
Total 40 - 100 460 1150
68
Calculul cu frecvenţe absolute (vezi tabelul 2.3, coloana 5)
40460
n
nxxd k
1ii
k
1iii
=⋅−
=
∑
∑
=
= =11,5 mii euro
Calculul cu frecvenţe relative (vezi tabelul 2.3, coloana 6)
1001150
100
nxxd
k
1iii
=⋅−
=∑=
*(%)
=11,5 mii euro
Dispersia
Pentru calculul dispersiei folosim tabelul 2.4.
Tabelul 2.4. Nr.crt.
al grupei
in ix *(%)in ( ) i
2i n60x ⋅− ( ) *
(%)260 ii nx ⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
haxi
a=65 h=10
i
2i nh
ax⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
0 1 2 3 4 5 6 7 1 4 35 10 2500 6250 -3 36 2 6 45 15 1350 3375 -2 24 3 8 55 20 200 500 -1 8 4 12 65 30 300 750 0 0 5 8 75 20 1800 4500 +1 8 6 2 85 5 1250 3125 +2 8
Total 40 - 100 7400 18500 - 84
Calculul cu frecvenţe absolute (vezi tabelul 2.4, coloana 4)
( )
407400
n
nxx
k
1ii
k
1ii
2i
2 =⋅−
=
∑
∑
=
=σ =185
Calculul cu frecvenţe relative (vezi tabelul 2.4, coloana 5)
( )
407400
100
nxxk
1ii
2i
2 =⋅−
=∑=
*(%)
σ = 185
Calculul simplificat (vezi tabelul 2.4, coloana 7)
69
( )222k
1ii
k
1ii
2i
2 65601004084axh
n
nh
ax
−−⋅=−−⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
∑
∑
=
= )(σ = 185
Abaterea medie pătratică (σ ) se poate calcula pornind de la dispersie, astfel:
=== 1852σσ 13,6 mii euro
Coeficienul de variaţie (v' şi/sau v) - dacă se porneşte de la abaterea medie liniară:
%,, 1719100160
511100xdv =⋅=⋅=′
- dacă se porneşte de la abaterea medie pătratică:
%,, 672210060
613100x
v =⋅=⋅=σ
Interpretând valoarea coeficientului de variaţie se poate afirma că media este reprezentativă, ca urmare a faptului că seria este omogenă.
9. Pentru caracterizarea asimetriei, în cazul unei distribuţii de frecvenţe unimodale, de regulă, se foloseşte formula:
3706136560MoxCas ,
,)(
−=−
=−
=σ
Rezultă că seria prezintă o asimetrie negativă pronunţată (predomină valorile mari ale seriei).
10. Media şi dispersia caracteristicii alternative
Valoarea de 60 mii euro reprezintă pragul în funcţie de care se poate transforma variabila cantitativă (mărimea creditului) în variabilă calitativă alternativă (în enunţ s-a precizat forma directă de manifestare a caracteristicii).
Tabelul 2.5
Mărimea creditului (mii Euro) (variante de răspuns)
Nr. clienţi
A 1 <60 m=18
60≥ n-m=22 Total n=40
70
Media (w):
4504018
nmw ,===
Dispersia ( 2wσ )
247504501450w1w2w ,),(,)( =−=−=σ
Problema 2. Pentru 50 de muncitori ai unei societăţi comerciale s-au
înregistrat datele privind timpul lucrat într-o săptămână (ore): 43, 37, 37, 42, 42, 43, 41, 41, 41, 42, 43, 43, 41, 41, 37, 38, 39, 40, 39, 40, 38, 43, 40, 40, 40, 38, 39, 39, 40, 40, 41, 43, 42, 40, 42, 38, 40, 39, 40, 37, 38, 38, 37, 39, 40, 39, 39, 40, 40, 41.
Se cere: 1. să se grupeze muncitorii din eşantion după timpul lucrat; 2. să se reprezinte grafic repartiţia muncitorilor după timpul lucrat; 3. să se calculeze producţia medie pe un muncitor utilizând media
aritmetică şi să se verifice proprietăţile acesteia; 4. să se stabilească ce alte tipuri de medii se mai pot calcula şi în ce raport
de mărime se află ele faţă de media aritmetică; 5. să se calculeze indicatorii medii de poziţie; 6. să se calculeze indicatorii sintetici ai variaţiei şi să se precizeze dacă
media este reprezentativă. Rezolvare
1. Amplitudinea variaţiei fiind mică (Aa = xmax – xmin = 43 – 37 = 6 ore) şi numărul valorilor distincte înregistrate fiind de asemenea mic, se poate efectua gruparea pe variante şi obţinem datele prezentate în tabelul 2.6.
Repartiţia muncitorilor după timpul lucrat (ore) Tabelul 2.6.
Grupe de muncitori după
timpul lucrat (ore) (xi)
Numărul muncitorilor
(ni)
0 1 37 38 39 40 41 42 43
5 6 8
13 7 5 6
Total 50
71
2. Distribuţiile obţinute prin grupare pe variante se reprezintă grafic, de regulă, utilizând diagrama prin bastoane.
0
2
4
6
8
10
12
14
36 37 38 39 40 41 42 43 44
timpul lucrat (ore)
nr. m
unci
tori
Figura 2.2. Distribuţia muncitorilor după timpul lucrat ( ore)
3. Calculul mediei aritmetice şi verificarea principalelor proprietăţi ale acesteia:
• Calculul mediei aritmetice ponderate:
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
==
∑
∑
=
=
506435427411340839638537
n
nxx
i
k
1ii
k
1iii
4050
2000== ore / muncitor, unde k=7 (numărul variantelor).
• Verificarea principalelor proprietăţi ale mediei aritmetice a) xmin < x < xmax
37 < 40 < 43
b) ( )∑=
⋅−k
1iii nxx = (37 – 40)⋅5 + (38 – 40)⋅6 + (39 – 40) ⋅8 + (40 –40) ⋅13+
+ (41 – 40) ⋅7 + (42 – 40) ⋅5 + (43 – 40) ⋅6 = - 35 + 35 = 0
c) ∑∑==
⋅=k
1ii
k
1iii nxnx
2000 = 40 ⋅ 50
72
d) ( )
axn
nax
k
1ii
k
1iii
−=−
∑
∑
=
=
Pentru a = 2 obţinem:
( )
ax2403850
190050
62435242
50724113240823962385237
n
nax
k
1ii
k
1iii
−=−===−+−
+
+−+−+−+−+−
=−
∑
∑
=
=
)()(
)()()()()(
e) hxn
hxk
1ii
i =∑=
Pentru h = 10 obţinem:
hx
10404
50200
50
610435
10427
104113
10408
10396
10385
1037
nhxk
1ii
i
====
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=⋅∑=
4. Calculul mediei armonice şi al mediei pătratice • Calculul mediei armonice ( hx ):
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
==
∑
∑
=
=
64315
4217
41113
4018
3916
3815
371
50
nx1
nx k
1ii
i
k
1ii
h
= 39,92 ore/muncitor • Calculul mediei pătratice ( px ):
==
∑
∑
=
=k
1ii
k
1ii
2i
p
n
nxx
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=50
6435427411340839638537 2222222
= 40,04 ore/muncitor
73
ph xxx << 39,92 < 40 < 40,04
5. Calculul indicatorilor medii de poziţie • Calculul medianei (Me)
Locul medianei: 5,252
1502
11 =
+=
+∑=
k
iin
5+6+8+13 = 32 > 25,5
Valoarea medianei este varianta a cărei frecvenţă cumulată este prima mai mare decât 25,5, deci Me = 40 ore.
• Calculul modului Valoarea modului este varianta corespunzătoare frecvenţei maxime: Mo = 40 ore.
6. Calculul indicatorilor de variaţie
Indicatorii simpli ai variaţiei
• Amplitudinea variaţiei:
Aa = xmax – xmin = 43 – 37 = 6 ore
A% = %minmax 15100406100
xxx
==−
• Abaterile fiecărei variante faţă de medie: Abateri absolute: xxd ii −=
De exemplu: di max(+) = 43 – 40 = 3 ore di max(-) = 37 – 40 = -3 ore
Abateri relative: di (%) = 100x
xxi −
De exemplu:
di(%) max(+) = 100403
= 7,5%
di(%) max(-) = 100403
= 7,5%
74
Indicatorii sintetici ai variaţiei: • Abaterea medie liniară ( d ):
=⋅−++⋅−+⋅−
=⋅−
=
∑
∑
=
=
50640436403854037
n
nxxd k
1ii
k
1iii ...
415070 ,== ore / muncitor
• Dispersia:
16350
15850
624043624038524037
n
nxx
k
1ii
k
1ii
2i
2
,)(...)()(
)(
==⋅−++⋅−+⋅−
=
=⋅−
=
∑
∑
=
=σ
• Abaterea medie pătratică: 1632 ,== σσ =1,8 ore / muncitor
Raportul dintre cele două abateri medii:
7908141d ,
,,
==σ
Se poate trage concluzia că repartiţia valorilor tinde către normalitate
deoarece acest raport 54
≅ .
La aceeaşi concluzie se poate ajunge şi din analiza indicatorilor tendinţei centrale care sunt egali ca valoare ( x = Me = Mo). • Coeficientul de variaţie
%,,'
%,,
5310040
41100xdv
5410040
81100x
v
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=σ
⇒<< %' 35vv seria este omogenă şi media este reprezentativă
pentru serie.
75
Problema 3. Se cunosc următoarele date cu privire la distribuţia vânzătorilor dintr-un complex comercial în funcţie de vechimea în muncă şi valoarea vânzărilor (mii RON) realizate într-o săptămână.
Tabelul 2.7. Subgrupe de vânzători după volumul
vânzărilor (mii RON)Grupe de
vânzători după vechime (ani) 180-190 190-200 200-210 210-220 220-230
TOTAL
A 1 2 3 4 5 6 sub 10 10-20 20 şi peste
5 - -
15 12 -
5 35
7
- 8
15
- - 8
25 55
30 TOTAL 5 27 47 23 8 110
Se cere: 1. poligonul frecvenţelor privind repartiţia vânzătorilor după volumul
vânzărilor pe total şi pe grupe de vechime; 2. calculul mediilor pe grupe de vechime şi pe total; 3. indicatorii sintetici ai variaţiei pe fiecare grupă şi pe total; 4. interpretarea gradului de omogenitate a grupelor şi verificarea relaţiilor
dintre dispersii; 5. determinarea indicatorilor statistici ce se pot calcula pe baza regulii de
adunare a dispersiilor şi interpretarea acestor indicatori; 6. calculul şi interpretarea dispersiilor pentru caracteristica "vânzători care
se află peste media vânzărilor pe total".
Rezolvare
1. Reprezentarea grafică a distribuţiei vânzătorilor (figurile 2.3 şi 2.4).
05
101520253035404550
Volumul vânzărilor (mii RON)
Num
ăr v
ânză
tori
180 190 200 210 220 230
Figura 2.3. Repartiţia vânzătorilor într-un complex comercial după volumul desfacerilor
76
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Volumul vânzărilor (mii lei)
Num
ăr v
ânză
tori
Total
gr.I
gr. II
gr. III
180 190 200 210 220 230
Figura 2.4. Repartiţia vânzătorilor după volumul desfacerii pe total
şi pe grupe de vechime
2. Calculul mediilor • medii de grupă ( )iy :
∑
∑
=
== m
1jij
m
1jijj
i
n
nyy
Prin urmare,
19525
5205151955185y1 =⋅+⋅+⋅
= mii RON/vânzător
2720455
82153520512195y2 ,=⋅+⋅+⋅
= mii RON/vânzător
3321530
8225152157205y3 ,=⋅+⋅+⋅
= mii. RON/vânzător
• media generală ( )y - independent de factorul de grupare:
∑
∑
=⋅
=⋅
= m
1jj
m
1jjj
n
nyy
77
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=110
82252321547205271955185y
=205,18 mii RON/vânzător
- pe baza mediilor de grupă:
=⋅+⋅+⋅
==
∑
∑
=⋅
=⋅
1103033215552720425195
n
nyy r
1ii
r
1iii ,,
= 205,18 mii RON/vânzător.
3. Calculul indicatorilor sintetici ai variaţiei • dispersii de grupă ( )2
iσ
( )
∑
∑
=
=
−
= m
1jij
m
1jij
2ij
2i
n
nyyσ
4025
21 =
⋅+⋅+⋅=
5 2) 195- (205 152) 195- (195 52195)- (185σ
83,3555
8 ) 204,27 - (215 35) 204,27 - (205 12) 204,27 - (195 22222 =
⋅+⋅+⋅=σ
89,4930
8 ) 215,33 - (225 15) 215,33 - (215 7) 215,33 - (205 22223 =
⋅+⋅+⋅=σ
• media dispersiilor parţiale (de grupă) ( )2σ
6340110
3089495583352540
n
n
r
1ii
r
1ii
2i
2 ,,,=
⋅+⋅+⋅==
∑
∑
=⋅
=⋅σ
σ
• dispersia dintre grupe ( )2xy
2/σδ =
( )
0652110
3021820533205552182052720425218205195
n
nyy
r
1ii
r
1ii
2i
2
,),,(),,(),(=
⋅−+⋅−+⋅−=
=−
=
∑
∑
=⋅
=⋅
δ
78
• dispersia totală ( )2σ
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) 69,92110
818,2052252318,2052154718,205205
1102718,205195518,205185
222
22
1
1
2
2
=⋅−+⋅−⋅−
+
+⋅−+⋅−
=−
=
∑
∑
=⋅
=⋅
m
jj
m
jjj
n
nyyσ
4. Aprecierea gradului de omogenitate a grupelor şi verificarea relaţiilor dintre dispersiile calculate
Calculul coeficienţilor de variaţie
• pe grupe 326402
11 ,=== σσ mii RON/vânzător
%,, 243100195
326100y
v1
11 =⋅=⋅=
σ
9858335222 ,, === σσ mii RON/vânzător
%,,
, 93210027204
985100y
v2
22 =⋅=⋅=
σ
0678949233 ,, === σσ mii RON/vânzător
%,,
, 18310033215
067100y
v3
33 =⋅=⋅=
σ
• pe total
62969922 ,, === σσ mii RON/vânzător
%,,
, 69410018205
629100y
v =⋅=⋅=σ
Analizând rezultatele obţinute se constată că: • fiecare grupă luată separat este mai omogenă decât colectivitatea
generală din care a fost extrasă ( vvvv <321 ,, );
• grupa a doua este mai omogenă decât celelalte două ( 312 vvv ,< ); • valorile mici ale coeficienţilor de variaţie calculaţi pe fiecare grupă şi pe
total atestă un grad de omogenitate ridicat al grupelor şi colectivităţii totale şi deci un grad de reprezentativitate corespunzător pentru mediile care le caracterizează.
79
Verificarea regulii de adunare a dispersiilor 222 σδσ +=
92,69=52,06+40.63
5. Pe baza regulii de adunare a dispersiilor se pot calcula alţi doi indicatori statistici:
• Gradul de determinaţie ( 2xyR / )
%,,,
/ 165610069920652100R 2
22
xy =⋅=⋅=σδ
• Gradul de nedeterminaţie ( 2xyK / )
%,,,
/ 844310069926340100K 2
22
xy =⋅=⋅=σσ
Se poate afirma că 56,16% din variaţia totală a volumului vânzărilor este explicată de variaţia produsă de factorul de grupare (vechimea) restul de 43,84% fiind influenta relativă a celorlalţi factori (neînregistraţi).
6. Calculul şi interpretarea dispersiilor pentru "vânzătorii care se află peste volumul mediu al vânzărilor pe total"
Calculul mediilor
• mediile pe grupă: i
ii n
mw =
de unde:
0250w1 ==
14550558w2 ,==
766703023w3 ,==
• media pe total: 2818011031
nmw ,===
Calculul dispersiilor • dispersii de grupă:
( )ii
wwiw −⋅= 12σ , de unde:
( )112 11
www −⋅=σ = 0
( )222 1
2www −⋅=σ = 0,1243
( )332 1
3www −⋅=σ = 0,1789
80
• media dispersiilor parţiale ( 2wσ )
11090110
30178905512430250
n
n
r
1ii
r
1ii
2w
2w
i
,,,=
⋅+⋅+⋅=
⋅
⋅=
∑
∑
=
=
σσ
• dispersia dintre grupe ( 2wδ )
( ) ( ) ( )
( ) 09140110
302818076670
11055281801455025281800
n
nww
2
22
r
1ii
r
1ii
2i
2w
,,,
,,,
=⋅−
+
+⋅−+⋅−
=⋅−
=
∑
∑
=
=δ
• dispersia totală ( 2wσ )
( ) ( ) 2023028180128180w1w2w ,,, =−⋅=−=σ
Regula adunării dispersiilor se păstrează şi în cazul caracteristicii alternative:
2w
2w
2w δσσ +=
0,2023=0,1109+0,0914
2.3. PROBLEME PROPUSE
Problema 1. Într-un magazin lucrează 10 vânzători, care în luna august 2005 au realizat un volum al desfacerilor (mii RON) astfel: 140; 152; 146; 150; 162; 158; 176; 180; 166; 170.
Se cere: 1. să se reprezinte grafic seria; 2. să se calculeze volumul mediu al desfacerilor din acest magazin
folosind media aritmetică şi să se verifice principalele proprietăţi ale acesteia;
3. să se folosească pentru aceeaşi serie şi alte tipuri de medii şi să se arate în ce raport de mărime se află ele faţă de media aritmetică;
4. să se calculeze indicatorii medii de poziţie (medii de structură).
81
Rezolvare 1. În acest caz, variaţia nefiind continuă, se poate folosi un grafic prin
coloane nelipite (vezi figura 2.5).
140
020406080
100120140160180200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vol
umul
des
face
rilo
r (m
ii le
i)
Figura 2.5. Distribuţia salariaţilor în funcţie de volumul desfacerilor
(mii RON)
2. Calculul mediei aritmetice şi verificarea principalelor proprietăţi ale acesteia se poate face cu ajutorul unui tabel de calcul în care valorile individuale sunt scrise în ordine crescătoare (vezi tabelul 2.8.).
Tabelul 2.8. Nr. crt.
Volumul desfacerilor (mii RON)
xxi −
axi −
a = 140hxi
h = 2
ix1
2ix
haxi −
A 1 2 3 4 5 6 7 1 140 -20 0 70 0,00714286 19600 0 2 146 3 150 4 152 5 158 6 162 7 166 8 170 9 176
10 180 Total 1600,0
∑=
10
1iix
( )∑=
−10
1ii xx
( )∑=
−10
1ii ax ∑
=
10
1i
i
hx ∑
=
10
1i ix1 ∑
=
10
1i
2ix ∑
=
−10
1i
i
hax
82
2.1. Calculul mediei aritmetice simple (vezi coloana 1 din tabelul 2.8.):
==∑=
n
xx
n
1ii
2.2. Verificarea principalelor proprietăţi ale mediei aritmetice
a) maxmin xxx << .............. << x
b) ( ) 0xxn
1ii =−∑
=
(vezi tabelul 2.8. coloana 2)
Media fiind un cât exact, suma abaterilor pozitive se compensează cu suma abaterilor negative:(…..) + (……)=0
c) ∑=
⋅=n
1ii xnx
.................. =⋅
d) axn
axx
n
1ii
−=−
=′∑=
)( de unde axx +′=
Alegând arbitrar a = 140 - primul termen - şi calculând valorile ( )axi − (vezi tabelul 2.8.,coloana 3) se obţine:
=−
=′∑=
n
axx
n
1ii )(
şi =x .....+...... =.....
e) hx
nhxn
1i
i
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∑
= de unde: hxx ⋅′′=
Luând arbitrar h = 2 (tabelul 2.8., coloana 4) se obţine:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=′′∑=
nhx
x
n
1i
i
şi
.............. =⋅=x
83
Aplicând simultan cele două proprietăţi putem calcula media folosind formula de calcul simplificat:
=+⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∑= ah
nh
ax
x
n
1i
i
3. Calculul mediei armonice şi al mediei pătratice Calculul mediei armonice ( hx ) (vezi tabelul 2.8. coloana 5)
==∑
i
h
x1
nx
;xxh < ……... < ……… Calculul mediei pătratice ( )px (vezi tabelul 2.8. coloana 6):
==∑=
n
n
1i
2i
p n
xx
;xxp > ……..>……. Deci: ph xxx <<
Relaţia dintre medii este: pah xxx <<
…… <…… < ……
Abaterile între cele trei mărimi medii fiind foarte mici, se poate trage concluzia că pentru această serie orice medie s-ar folosi, ea măsoară suficient de corect tendinţa centrală şi deci media în acest caz poate fi o valoare tipică.
4. Calculul indicatorilor medii de poziţie
Calculul medianei(Me) presupune ordonarea (de regulă, crescătoare), în prealabil, a valorilor individuale.
Locul medianei: =+2
1n
Valoarea medianei:
=+
=2
xxMe 65
Calculul modului Fiind serie simplă şi neavând termeni care să se repete, nu este cazul.
84
Calculul cuartilelor Calculul cuartilelor presupune stabilirea locului cuartilelor şi apoi calcularea valorilor acestora:
Locul 1Q : =+4
1n
=+
=2
xxQ 321
Locul 3Q : =+ )( 1n43
=+
=2
xxQ 983
Potrivit celor trei cuartile seria se poate structura ca în tabelul 2.9.
Tabelul 2.9. Interval de variaţie Structura seriei (%) 140-……. 25 ……-…… 25 ……-….. 25 ……-180 25
Problema 2. Pentru 200 de agenţi economici se cunosc următoarele date
privind profitul realizat (mii lei): Tabelul 2.10.
Grupe de agenţi economici după
mărimea profitului (mii lei)
Număr de agenţi
economici ( in )
Centrul interva-
lului ( ix )
iinx
Frecvenţe cumulate
( iF )
( ) ii nxx 2−
0 1 2 3 4 5 Sub 24 20 22 440 20 24-28 30 26 480 50 28-32 40 32-36 60 36-40 30
40 şi peste 20 Total 200 - … - …
Se cere: 1. reprezentaţi grafic distribuţia agenţilor economici după mărimea
profitului (mii lei); 2. calculaţi indicatorii tendinţei centrale şi interpretaţi relaţia dintre
aceştia;
85
3. verificaţi omogenitatea distribuţiei agenţilor economici după mărimea profitului;
4. caracterizaţi asimetria distribuţiei agenţilor economici după mărimea profitului;
5. transformaţi variabila analizată în variabilă alternativă considerând drept formă directă de manifestare a caracteristicii « agenţi economici cu profit mai mare de 32 mii lei » şi calculaţi media şi dispersia acesteia.
Rezolvare
1. O serie de distribuţie a frecvenţelor cu intervale egale se reprezintă grafic prin histogramă (diagramă cu coloane lipite) (figura 2.6).
Mărimea profitului (mii lei)
Num
ăr a
genţ
i eco
nom
ici
Figura 2.6 Distribuţia agenţilor economici după mărimea profitului (mii lei)
1. Indicatorii de bază ai tendinţei centrale sunt: media aritmetică, mediana şi modul. Deoarece este o serie de distribuţie obţinută prin gruparea pe intervale, indicatorii de nivel ( )ix sunt centrele intervalelor calculate ca medii aritmetice simple ale limitelor intervalelor (calculele se pot efecua în tabelul 2.10, coloana 2)
Media aritmetică (calculele se pot efectua în tabelul 2.10, coloana 3):
==
∑
∑
=
=6
1ii
6
1iii
n
nxx
Mediana
Locul medianei este grupa a cărei frecvenţă cumulată este prima mai
mare decât ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑
=
6
1ii 1n
21 deci grupa……….
Scara: Ox Oy
86
Valoarea medianei se determină utilizând relaţia:
m
1m
1ii
n
1ii
0 n
n1n21
hxMe∑∑−
==
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
unde: 0x - limita inferioară a intervalului median; m - indexul intervalului median (numărul curent); h - mărimea intervalului median;
∑−
=
1m
1iin - suma frecvenţelor intervalelor care preced intervalul median.
=Me
Modul Locul modului este grupa cu frecvenţa cea mai mare deci grupa ………... Valoarea modului se determină utilizând relaţia:
21
10 hxMo
Δ+ΔΔ
+=
unde: 0x - limita inferioară a intervalului modal; h - mărime intervalului modal;
1Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului anterior;
2Δ - diferenţa între frecvenţa intervalului modal şi frecvenţa intervalului următor.
=Mo
Relaţia dintre indicatori: Interpretare:
3. Cel mai utilizat indicator pentru verificarea omogenităţii unei serii de distribuţie este coeficientul de variaţie:
100x
v ⋅=σ unde 2σσ = (calculele pentru disperie se pot efectua în
tabelul 2.10, coloana 4).
87
Concret,
=⋅−
=
∑
∑
=
=6
1
6
1
2
2)(
ii
iii
n
nxxσ
== 2σσ
=⋅= 100x
v σ
Interpretare 4. Gradul de asimetrie:
=−
=σ
MoxCas
Interpretare
5. Valoarea de 32 mii lei reprezintă pragul în funcţie de care se poate transforma variabila cantitativă (mărimea profitului) în variabilă calitativă alternativă (în enunţ s-a precizat forma directă de manifestare a caracteristicii).
Tabelul 2.11
Mărimea profitului(mii lei) (variante de răspuns)
Număr agenţi economici
A 1 <32 n-m=
32≥ m= Total n=
Media (w):
==nmw
Dispersia ( 2wσ )
=−= )1(2 wwwσ
88
Problema 3. Pentru o societate comercială se cunosc următoarele date privind distribuţia vânzătorilor după numărul de zile lucrate într-o lună (date convenţionale):
Tabelul 2.12 Zile
lucrate ( ix )
Număr vânzători
( in )
iinx
Frecvenţe cumulate ( iF )
0 1 2 3 22 6 23 7 24 14 25 12 26 9 27 7
Total 55 =∑
=
6
1iiinx
-
Se cere: 1. reprezentaţi grafic distribuţia vânzătorilor după numărul de zile lucrate; 2. calculaţi indicatorii tendinţei centrale şi interpretaţi relaţia dintre
aceştia. Rezolvare 1. Pentru reprezentarea grafică a serie de distribuţie a frecvenţelor în
cazul grupării pe variante se poate folosi diagrama prin bastoane (vezi figura 2.7)
Număr zile lucrate
Num
ăr v
ânză
tori
Figura 2.7 Distribuţia vânzătorilor după numărul de zile lucrate
Scara: Ox Oy
89
2. Indicatorii de bază ai tendinţei centrale sunt: media aritmetică, mediana şi modul.
Media aritmetică (calculele se pot efectua în tabelul 2.13, coloana 2 ):
==
∑
∑
=
=6
1ii
6
1iii
n
nxx
Mediana Locul medianei este grupa a cărei frecvenţă cumulată este prima mai
mare decât ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∑
=
6
1ii 1n
21 deci grupa……….iar valoarea medianei este
chiar varianta corespunzătoare locului, deci =Me Modul Locul modului este grupa cu frecvenţa cea mai mare. Valoarea modului este varianta corespunzătoare locului (varianta care
se repetă de cele mai multe ori), deci =Mo Relaţia dintre indicatori: Interpretare:
Problema 4. Pentru 200 de muncitori se cunosc următoarele date privind producţia zilnică (bucăţi):
Tabelul 2.13 Grupe de
muncitori după producţia
obţinută (bucăţi) (xi)
Structura muncitorilor
( )*(%)in
*(%)iinx
( ) *
(%)i2
i nxx − *
iF
0 1 2 3 4 11 5 55 5 12 10 120 15 13 15 14 20 15 25 16 15 17 7 18 3
Total 100 … … -
90
Se cere: 1. reprezentaţi grafic repartiţia muncitorilor după producţia obţinută; 2. calculaţi indicatorii tendinţei centrale; 3. precizaţi dacă media este reprezentativă; 4. caracterizaţi gradul de asimetrie. Rezolvare 1. Distribuţiile obţinute prin grupare pe variante se reprezintă grafic prin
diagrama prin bastoane indiferent dacă sunt cu frecvenţe absolute sau cu frecvenţe relative.
Fig.2.8 Distribuţia muncitorilor după timpul lucrat ( ore)
2. Calculul indicatorilor tendinţei centrale • Calculul mediei aritmetice ponderate:
==∑=
100
nxx
k
1iii*(%)
• Calculul medianei (Me)
Locul medianei este grupa a cărei frecvenţă cumulată este prima
mai mare decât ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+∑
=
k
iin
1
*(%) 1
21
deci grupa a …-a.
Valoarea medianei este varianta corespunzătoare locului, deci Me = ...... bucăţi.
• Calculul modului Valoarea modului este varianta corespunzătoare frecvenţei maxime:
Mo = …… bucăţi.
91
4. Gradul de reprezentativitate al mediei (gradul de omogenitate a seriei). Cel mai utilizat indicator pentru caracterizarea gradului de reprezentativitate a mediei este coeficientul de variaţie:
100x
v ⋅=σ unde 2σσ =
Concret,
=⋅−
=∑=
100
nxxk
1ii
2i
2
*(%))(
σ
== 2σσ
=⋅= 100x
v σ
Interpretare 5. Gradul de asimetrie:
=−
=σ
MoxCas
Interpretare Problema 5. Se cunosc următoarele date cu privire la numărul de clienţi cu
care lucrează zilnic cei 40 de salariaţi ai unei bănci (date convenţionale): Tabelul 2.14
Grupe de salariaţi după numărul de
clienţi
Număr de salariaţi
( in )
Frecvenţe cumulate
( iF ) 0 1 4
Sub 50 4 4 51-100 9 13
101-150 12 23 151-200 10 201-250 3
251 şi peste 2 Total 40 -
Se cere: 1. Determinaţi numărul de clienţi care se repetă de cele mai multe ori; 2. Determinaţi valoarea indicatorului care împarte seria în două părţi egale
ca efectiv; 3. Determinaţi valoarea indicatorului care delimitează primii 75% salariaţi
de restul acestora.
92
Rezolvare
1. În cazul seriilor de distribuţie cu intervale discontinue, pentru aflarea locului indicatorilor de poziţie se folosesc aceleaşi procedee ca la seriile cu intervale continue. În ce priveşte determinarea valorii, pentru a putea aplica formulele de interpolare este obligatorie redefinirea intervalului corespunzător locului ca şi când seria ar fi cu intervale continue (de exemplu: limita inferioară a intervalului modal se calculează ca medie aritmetică simplă a limitei superioare a intervalului precedent celui modal şi limita inferioară a intervalului modal).
Prin urmare, locul modului fiind intervalul (101-150), intervalul redefinit va fi (100,5-150,5) iar valoarea indicatorului se calculează astfel:
( )( ) ( ) =++−
−+=
Δ+ΔΔ
+=1012912
912505100hxMo21
10 ,
2. În acelaşi mod se procedează pentru mediană:
=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=∑∑−
==
m
1m
1ii
n
1ii
0 n
n1n21
hxMe
3. Indicatorul care delimitează primii 75% salariaţi de restul acestora este quartila a 3-a:
=−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=∑∑−
==
3q
13q
1ii
n
1ii
03 n
n1n43
hxQ
Problema 6. Pentru 300 de salariaţi se cunosc următoarele date:
Tabelul 2.15. Grupe de muncitori după număr de ore
lucrate lunar Nr.
muncitori
Producţia medie (buc./muncitor)
A 1 2 150 160 170
90 180 30
25 30 32
Total 300 - Ştiind că gradul de omogenitate privind producţia realizată, pe total, este de
22,71% se cere: 1. să se reprezinte grafic producţia pe total în funcţie de factorii de
influenţă; 2. să se reprezinte grafic structura producţiei după numărul de ore lucrate
lunar; 3. să se precizeze în ce măsură producţia lunară este influenţată de variaţia
numărului de ore lucrate.
93
Rezolvare 1. Pentru reprezentarea grafică a volumului centralizat al caracteristicii
(producţia obţinută), se foloseşte dreptunghiul ca diagramă de volum al caracteristicii (suprafaţa dreptunghiului este proporţională cu valoarea de reprezentat grafic).
2. Pentru reprezentarea grafică a structurii se poate folosi dreptunghiul ca
diagramă de structură. 3. Influenţa exercitată de variaţia numărului de ore lucrate asupra
producţiei se măsoară calculând gradului de determinaţie ( )2/ xyR .
Pentru aceasta, este necesar să calculăm: • Media pe total ca medie aritmetică ponderată a mediilor de grupă:
==
∑
∑
=
=r
1ii
r
1iii
n
nyy
• Dispersia dintre grupe:
=−
=
∑
∑
=
=r
1ii
r
1ii
2i
2
n
nyy )(δ
94
• Dispersia pe total:
100⋅=y
v σ de unde:
100yv ⋅
=σ
=σ ⇒ =2σ
Gradul de determinaţie:
1002
22
/ ⋅=σδ
xyR =
Interpretare Problema 7. Pentru un eşantion de 200 de agenţi economici, se cunosc
datele: Tabelul 2.16.
Grupe tipice de agenţi economici după numărul de
salariaţi
Număragenţi
economici)( in
Mărimea profitului (mii RON)
Coeficientul de variaţie a
profitului (%)
Profitul mediu (mii RON/ agent.ec)
)( iy A 1 2 3 4 I 100 3000 16,67 … II 60 3000 18,00 … III 40 3200 12,00 …
Se cere: 1. precizaţi în ce proporţie mărimea întreprinderii influenţează variaţia
profitului; 2. determinaţi omogenitatea, pe total. Rezolvare
1. Pentru a determina proporţia în care mărimea întreprinderii influenţează variaţia profitului este necesară calcularea gradului de determinaţie :
100R 2
22
xy ⋅=σδ
/
Pentru aflarea acestui indicator, trebuie calculaţi mai întâi următorii indicatori:
• medii de grupă, calculate ca raport între mărimea profitului şi numărul de agenţi economici pentru fiecare grupă (tabelul 2.12, coloana 4).
95
• media pe total, calculată ca medie de medii parţiale (de grupă):
==
∑
∑
=
=r
1ii
r
1iii
n
nyy
• dispersia dintre grupe :
=−
=
∑
∑
=
=r
1ii
r
1ii
2i
2
n
nyy )(δ
2. dispersii de grupă ( )2iσ
100y
vi
ii ⋅=
σ de unde: 100
yv iii
⋅=σ
=1σ ⇒ =21σ
=2σ ⇒ =22σ
=3σ ⇒ =23σ
3. media dispersiilor de grupă ( )2σ
==
∑
∑
=
=r
1ii
r
1ii
2i
2
n
nσσ
• disperia totală ( 2σ ) se determină folosind regula adunării dispersiilor:
=+= 222 σδσ Gradul de determinaţie:
=⋅= 100R 2
22
xy σδ
/
Interpretare
2. Omogenitatea pe total:
100y
v ⋅=σ unde 2σσ =
=⋅= 100y
v σ
Interpretare
96
2.4. TEMĂ
Problema 1. Pentru 40 de agenţi economici ce activează în acelaşi domeniu de activitate, s-au înregistrat datele privind profitul realizat (mii RON) într-o lună (date convenţionale): 50, 73, 69, 62, 72, 60, 55, 61, 64, 60, 58, 65, 69, 57, 67, 63, 56, 65, 74, 63, 52, 61, 63, 66, 62, 68, 59, 64, 70, 56, 51, 57, 52, 54, 73, 68, 59, 65, 60, 63.
Se cere: 1. să se grupeze cei 40 de agenţi economici pe intervale de variaţie egale,
după profitul realizat; 2. să se reprezinte grafic repartiţia obţinută la punctul precedent; 3. să se calculeze indicatorii tendinţei centrale şi să se interpreteze relaţia
dintre ei; 4. să se verifice reprezentativitatea mediei; 5. să se determine indicatorii care separă 50% din agenţii economici situaţi
la centrul repartiţiei; 6. să se măsoare gradul de asimetrie.
R: 1. k=6; h=4; 1n =4; 2n =6; 3n =8; 4n =11; 5n =6; 6n =5; 3. x =62,4 mii RON/agent economic; Me=62,9 mii RON; Mo=63,5 mii RON; 4. 2σ =35,04; v=9,49%; 5. 1Q =58,12 mii RON; 3Q =67,17 mii RON; 6.
asC = -0,19; 'asC = -0,17.
Problema 2. Pentru o unitate economică se cunosc datele:
Tabelul 2.17 Grupe de
muncitori după mărimea producţiei
(mii buc.)
Nr. muncitori
0 1 Sub 20 2 20-22 6 22-24 10 24-26 20 26 -28 16
28 şi peste 6 Total 60
Se cere: 1. reprezentaţi grafic distribuţia muncitorilor după mărimea producţiei; 2. verificaţi dacă distribuţia muncitorilor după mărimea producţiei este
omogenă; 3. calculaţi nivelul centralizat al producţiei pentru muncitorii cu producţia
de cel puţin 24 mii buc;
97
4. calculaţi indicatorul care separă primii 75% din muncitori de restul muncitorilor.
R: 2. v=9,91%; 3. 1106 mii buc; 4. 3Q =26,97 mii buc.
Problema 3. Pentru 40 de agenţi se cunosc datele:
Tabelul 2.18. Grupe de agenţi economici după
mărimea profitului (mii lei)
Număr agenţi
economici
0 1 41 4 42 9 43 12 44 8 45 5 46 2
Total 40
Se cere: 1. Reprezentaţi grafic distribuţia agenţilor economici după mărimea
profitului (mii lei); 2. Calculaţi indicatorii tendinţei centrale şi interpretaţi relaţia dintre
aceştia; 3. Verificaţi reprezentativitatea mediei. R: 3. v=3,06%.
Problema 4. Pentru 150 de salariaţi ai unei societăţi comerciale, se cunosc datele:
Tabelul 2.19 Grupe de
salariaţi după vechime (ani)
Număr salariaţi
Timpul mediu nelucrat (min.)
Abaterea medie pătratică privind timpul nelucrat
(min.) A 1 2 3 I 20 30 4,0 II 90 45 9,0 III 40 55 6,6
Se cere: 1. reprezentaţi grafic structura salariaţilor după vechime; 2. verificaţi omogenitatea pe grupe şi pe total; 3. precizaţi în ce măsură variaţia timpului nelucrat se datorează
deosebirilor privind vechimea în muncă.
98
R:2. 1v =13,33%; 2v =20%; 3v =12% şi v=23,93%; 3. 2xyR / =47,04%.
Problema 5. Pentru 300 de agenţi economici din acelaşi domeniu de
activitate se cunosc datele: Tabelul 2.20
Grupe de agenţi economici după mărimea profitului (mii RON)
Grupe de agenţi economici după
mărimea capitalului (mii
RON)
Sub 40 40-44 44-48 48-52 52-56 56 şi peste
Total
A 1 2 3 4 5 6 7 I 15 30 15 - - - 60 II - 20 30 50 30 10 140 III - - 20 40 30 10 100
Total 15 50 65 90 60 20 300 Se cere: 1. Reprezentaţi grafic distribuţia agenţilor economici după mărimea
profitului, pe total; 2. Verificaţi regula de adunare a dispersiilor şi arătaţi dacă factorul de
grupare este semnificativ; 3. Caracterizaţi omogenitatea pe fiecare grupă şi pe total; 4. Măsuraţi gradul de asimetrie pentru grupa a II-a.
R: 2. 2σ =15,3676; 2δ =11,2813; 2σ =26,6489; 2xyR / =42,33%; 3.
1v =6,73%; 2v =9,10%; 3v =7,03% şi v=10,64%; 4. Cas(II)= -0,13. Problema 6. Pentru un eşantion de 200 de agenţi economici, se cunosc
datele: Tabelul 2.21
Grupe tipice de agenţi economici
după cifra de afaceri (mii RON)
Structura agenţilor economici
(%)
Profitul mediu (mii
RON/ag.ec.)
Dispersia privind
mărimea profitului
A 1 2 3 I 50 30 45 II 30 40 42 III 20 56 38
Se cere: 1. Precizaţi în ce proporţie cifra de afaceri influenţează variaţia profitului; 2. Precizaţi care grupă este mai omogenă ; 3. Să se reprezinte grafic profitul total în funcţie de factorii de influenţă.
R : 1. 2xyR / =69,64%; 2. Grupa a III-a.
99
Problema 7. Pentru un eşantion de 150 de agenţi economici, se cunosc datele:
Tabelul 2.22 Grupe tipice de agenţi economici după numărul de angajaţi
Număr agenţi economici
Valoarea centralizată privind cifra de afaceri (mii lei)
A 1 2 Sub 10 35 4200 10-30 75 12750 30 şi peste 40 9600
Se cere: 1. Să se determine în ce proporţie variaţia numărului de angajaţi
influenţează variaţia cifrei de afaceri ştiind că, pe total eşantion, valoarea modală a cifrei de afaceri este de 170,2 mii lei iar coeficientul de asimetrie de 0,13;
2. Caracterizaţi numeric gradul de omogenitate, pe total. 3. Să se calculeze media şi dispersia pentru caracteristica „agenţi
economici cu cel puţin 10 angajaţi.
R: 1. 2xyR / =67,3%; 2. v=3,06%.
2.5. ÎNTREBĂRI RECAPITULATIVE
1. Ce înţelegeţi prin frecvenţe absolute? 2. Ce înţelegeţi prin frecvenţe relative? 3. Ce înţelegeţi prin frecvenţe cumulate? 4. Cum se obţine valoarea centralizată la nivelul grupei? 5. Cum se obţine valoarea centralizată la nivelul ansamblului? 6. Cum se determină indicatorul de nivel al caracteristicii de grupare
în cazul distribuţiilor de frecvenţe obţinute prin gruparea pe intervale?
7. Care sunt indicatorii tendinţei centrale? 8. Ce înţelegeţi prin mod (modul, dominantă)? 9. Cum se stabileşte locul modului în cazul grupării pe variante? 10. Cum se stabileşte locul modului în cazul grupării pe intervale? 11. Cum se determină modul în cazul grupării pe variante? 12. Cum se determină modul în cazul grupării pe intervale? 13. Când se recomandă utilizarea modului? 14. O serie de distribuţie de frecvenţe poate avea mai multe moduri?
Dacă da, cum se continuă analiza? 15. Când se recomandă utilizarea modului ca o alternativă la media
aritmetică? 16. Ce înţelegeţi prin mediană?
100
17. Cum se determină locul medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe variante?
18. Cum se determină locul medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe intervale?
19. Cum se determină valoarea medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe variante?
20. Cum se determină valoarea medianei pentru o distribuţie de frecvenţe rezultată prin gruparea pe intervale?
21. Cum se defineşte media aritmetică? 22. Ce condiţii trebuie să îndeplinească datele statistice din care se
calculează media aritmetică? 23. Care sunt principalele proprietăţi ale mediei aritmetice? 24. Ce tipuri de frecvenţe se pot folosi la calculul mediei aritmetice? 25. Cum se calculează media de medii parţiale? 26. Ce relaţii pot exista între indicatorii tendinţei centrale? 27. Ce reprezintă media armonică? 28. Când se recomandă utilizarea mediei armonice? 29. Când se utilizează media armonică ca formă transformată a mediei
aritmetice? Exemplificaţi. 30. Ce reprezintă media pătratică? 31. Când se recomandă utilizarea mediei pătratice? Exemplificaţi. 32. Ce reprezintă media geometrică? 33. Când se recomandă utilizarea mediei geometrice? Exemplificaţi. 34. Ce tip de medie se poate utiliza pentru denaturarea realităţii în sens
pozitiv? 35. Ce tip de medie se poate utiliza pentru denaturarea realităţii în sens
negativ? 36. Cum se calculează mărimea relativă la nivelul ansamblului din
mărimi relative parţiale de acelaşi tip în cazul în care se cunosc numărătorii din care s-au calculat mărimile parţiale?
37. Cum se calculează mărimea relativă la nivelul ansamblului din mărimi relative parţiale de acelaşi tip în cazul în care se cunosc numitorii din care s-au calculat mărimile parţiale?
38. Din ce categorie de indicatori face parte mediana? 39. Ce sunt cuantilele? 40. Ce sunt cuartilele? 41. Ce sunt decilele? 42. Ce înţelegeţi prin asimetrie? 43. Care este relaţia între indicatorii tendinţei centrale când predomină
valorile mici ale seriei? 44. Care este relaţia între indicatorii tendinţei centrale când predomină
valorile mari ale seriei? 45. Care este relaţia între indicatorii tendinţei centrale când seria este
perfect simetrică?
101
46. Când este o serie perfect simetrică? 47. Cum se calculează şi cum se interpretează coeficienţii de asimetrie
propuşi de Person? 48. Cum se calculează şi ce semnificaţie are media caracteristicii
alternative? 49. Cum se calculează şi ce semnificaţie are dispersia caracteristicii
alternative? 50. Care este cel mai potrivit indicator pentru caracterizarea variaţiei
unei caracteristici statistice? 51. Când se utilizează amplitudinea absolută a variaţiei? 52. Ce relaţie este între abaterea medie liniară şi abaterea medie
pătratică în cazul unei distribuţii normale? 53. Care este regula de adunare a dispersiilor? 54. Ce semnificaţie are dispersia dintre grupe? 55. Ce semnificaţie are media dispersiilor de grupă? 56. Ce semnificaţie are dispersia pe total? 57. Cum trebuie să fie variaţia la nivelul fiecărei grupe faţă de variaţia
pe total in cazul unei serii de distribuţie bidimensionale? 58. Ce indicatori se pot calcula pe baza regulii de adunare a
dispersiilor? 59. Ce semnificaţie are gradul de determinaţie? 60. Ce semnificaţie are gradul de nedeterminaţie?