Statistica matematică –

un domeniu aprofundat prin proiecte etwinning

Luminiţa Dominica Moise - Şcoala Superioară Comercială „Nicolae

Kretzulescu”, Bucureşti, dominic_moise@yahoo.com

Ruxandra Cristea - Şcoala Superioară Comercială „Nicolae Kretzulescu”,

Bucureşti, cristea.ruxandra@gmail.com

Abstract

Anul 2013 este declarat anul internaţional al statisticii, de aceea am ales o temă care să

reflecte preocupările noastre în acest domeniu. Statistica matematică este o disciplină care s-

a dezvoltat în ritm accelerat în ultimii ani şi are aplicaţii în multe domenii ale activităţii

umane. Prezent în curriculum liceal, domeniul statisticii matematice a fost abordat şi

dezvoltat prin activităţi extracurriculare, unele dintre acestea desfăşurându-se în spaţiul

etwinning.

1. Introducere

Statistica matematică - disciplină al cărei obiect de studiu îl reprezintă fenomenele de masă,

poate fi considerată un produs emergent al cunoaşterii ştiinţifice, un domeniu de activitate - de

culegere, prelucrare, interpretare şi valorificare a unor date, sau poate o ştiinţă de graniţă prin

furnizarea unui set de instrumente formale util în cunoaşterea unor alte domenii: fizică, economie,

sociologie, medicină, politică. Abordarea acestui domeniu presupune uneori cunoştiinţe la nivelul

curriculum-ului liceal, dar, de cele mai multe ori este necesară completarea unor capitole cu studii

mai aprofundate.

Transpusă într-un limbaj matematic, statistica s-a constituit într-o teorie numită teoria corelaţiei

statistice, ale cărei aplicaţii au permis identificarea unor noi legi de dependenţă, specific statistice

şi adaptate la formele complexe şi variate pe care le oferă natura în diferitele sale manifestări.

Aplicarea calculelor statistice la datele empirice, oferite de observarea fenomenului, permite

reliefarea legităţilor statistice.

Dintre temele abordate în proiecte extracurriculare prezentăm în continuare:

La graniţa dintre geometrie şi alte domenii: Geometrie şi probabilitaţi;

Biostatistica şi alte aplicaţii ale matematicii în biologie;

Statistica matematica în descifrarea atomului;

Proiecte educaţionale care promovează studiul

statisticii matematice.

2. La graniţa dintre geometrie şi alte domenii:

Geometrie şi probabilităţi

Una dintre problemele care ne-a atras atenţia se află

în cartea “Probleme geometrice neelementare tratate

elementar” a autorilor A. M. Iaglom şi I. M. Iaglom şi

prezentată ulterior în Gazeta matematică.

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XI-a, 2013

305

„O bară este frântă în 3 bucăţi; cele 2 locuri de frângere sunt luate la întâmplare. Care este

probabilitatea ca din cele 3 bucǎţi obţinute sǎ se poată forma un triunghi ? “

Este comod să rezolvǎm geometric problema, probabilitatea rezultând ca raportul unor arii.

Dacǎ AB = l este lungimea barei respective, notăm AM = x, MN = y, unde M şi N sunt

punctele de rupere (fig. 1). Mulţimea cazurilor posibile o determinăm rezolvând sistemul:

x y

├──────┼─────────┼────┤ x + y < 1, x > 0, y > 0,

A M N B

Într-un reper ortonormal xOy reprezentăm dreptele

de ecuaţii :

x+y=l , x+y=1/2 , x=1/2 , y=1/2 .

Mulţimea cazurilor favorabile rezultă din sistemul:

x+y≥1/2 x ≤ 1/2; y≤ 1/2 .

Mulţimea cazurilor posibile este dată de mulţimea

punctelor din interiorul şi de pe frontierele triunghiului

OPQ, iar mulţimea cazurilor favorabile de mulţimea

punctelor din interiorul triunghiului DTU.

De aceea probabilitatea este dată de raportul ariilor

celor două triunghiuri A∆DTU şi A∆OPQ, fiind egală cu

p3=1/4=1-3/4.

Ce se întâmplă dacă rupem bara la întâmplare nu în

trei bucăţi, ci în 4, 5, sau n părţi ?

Pentru n = 4 demonstraţia este schiţată în

continuare:

x y z

├───────┼────┼───────────┼─────┤

A M N P B

Figura 2

Mulţimea cazurilor posibile:

x + y + z ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

Mulţimea cazurilor favorabile:

x + y + z ≥ 1/2, x ≤ 1/2, y ≤ 1/2, z ≤ 1/2 .

Figura 1.

Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Psihologie şi Ştiinţele Educaţiei 306

Reprezentăm în sistemul ortonormal Oxyz planele de ecuaţii :

x + y + z = l , x + y + z = 1/2 , x = 1/2 , y = 1/2 , z = 1/2 .

Mulţimea cazurilor posibile este dată de mulţimea punctelor din interiorul şi de pe frontierele

tetraedrului ODEF, iar mulţimea punctelor din interiorul corpului GHIJKL reprezintă mulţimea

cazurilor favorabile. Probabilitatea va apărea ca raportul unor volume :

P4= V[GHIJKL]/V[ODEF] = 1- 4/8=1/2

În cazul pentagonului trebuie să lucrǎm într-un spaţiu cu 4 dimensiuni. Se demonstrează că

p5 = 1- 5/24

.

Dacă rupem bara la întâmplare în n părţi pentru a forma un poligon cu n laturi, pentru

demonstraţie este nevoie de un hipertetraedru cu n vârfuri din care se elimină n hipertetraedre.

Deoarece volumul unui hipertetraedru mic este 1/2n-1 din volumul hipertetraedrului mare

deducem că probabilitatea este egală cu:

pn=1– n/2n-1

.

3. Biostatistica şi alte aplicaţii ale matematicii în biologie

Deşi dezvoltarea biologiei nu a fost influenţatǎ în

mod esenţial de dezvoltarea matematicii, în ultimele

decenii este recunoscută importanţa completării

studiului descriptiv al unor fenomene sau mecanisme

biologice cu aspecte legate de prelucrarea şi

interpretarea datelor obţinute.

Cea mai avansată formă a folosirii matematicii în

biologie este biologia matematică. Ea îşi propune

modelarea matematică a proceselor biologice şi

studiul modelelor folosind metode specifice

matematicii.

Biostatistica este aplicarea statisticii într-un număr mare de domenii ale biologiei şi are drept

obiectiv fundamentarea teoretică a proiectării şi controlului experimentelor biologice, mai ales în

medicină şi agricultură, deoarece ea analizează şi interpretează date concrete şi realizează influenţe

asupra acestora. Pentru construirea şi validarea modelelor matematice se pot folosi cercetări

statistice.

Figura 3. Aplicaţii in genetică

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a XI-a, 2013

307

De aceea unii elevi au fost interesaţi de aceste aspecte şi au realizat analize ale unor studii

statistice ce prezintă legături dintre fenomene. De exemplu, au analizat corelaţiile dintre unele

variabile, ştiut fiind faptul că analiza corelaţiilor prezintă mare importanţă, deoarece cunoscând

variaţia unei însuşiri putem trage concluzii asupra însuşirii sau însuşirilor de care aceasta este

legată, fără a recurge la determinări directe.

Matematica permite deci, noi abordari în domeniul biologiei şi deschide noi perspective de

cercetare, întâlnirea dintre matematică şi bilologie creând un spaţiu nou cunoaşterii umane.

4. Statistica matematică în descifrarea atomului

Problema structurii materiei este una din problemele

fundamentale ale fizicii. În reprezentările cu care noi operăm zilnic,

corpurile sunt în general considerate ca un continuum, adică acestea

ocupă spaţiul cu materia care le compune.

În cadrul unui sistem macroscopic există mărimi caracteristice

care iau valori întâmplătoare. Deoarece studiul fenomenelor aleatorii

constituie obiectul calculului probabilităţilor, apare inevitabil

implicarea statisticii matematice în modelarea acestor fenomene.

Modelul cuantic al atomului a reprezentat o schimbare fundamentală

faţă de modelul atomului lui Bohr.

Elevii au încercat să urmărească drumul parcurs de specialişti pentru a folosi statistica în

determinarea regiunilor de probabilitate ale prezenţei electronilor. Nu este chiar ca în fizica clasică

unde calculele ne permit să aflăm fără erori poziţia ori viteza unor obiecte, dar trebuie să ne

obişnuim cu acest lucru, şi anume că mecanica cuantică, teoria care descrie lumea subatomică,

funcţionează şi descrie lumea pe baza probabilităţilor.

Figura 4. Laws of Statistical Physics and the The Future Physics

Universitatea din Bucureşti, Facultatea de Psihologie şi Ştiinţele Educaţiei 308

5. Proiecte educaţionale care promovează studiul statisticii matematice.

Prin activităţile de la clasă, dar mai

ales prin activităţile extraşcolare

cuprinse în proiectele educaţionale

„Incursiune prin matematică şi

statistică” sau „Matematica şi

statistica” dar şi prin proiectul

etwinning în derulare „Mathematics

and statistics in our life – MAST”, am

încercat să aducem în atenţia elevilor

câteva teme de actualitate din statistica

matematică.

În afara celor menţionate mai

înainte amintim şi “Evoluţia istorică a

statisticii în România”

Figura 6. Evoluţia istorică a statisticii în România Figura 7. Metoda proiectului în studiul

statisticii matematice

Bibliografia

[1] Gazeta matematică, seria B

[2] http://www.scientia.ro/fizica/63-atomul

[3] www.Eurekalert.org

[4] http://matematicasistatistica.webs.com/

[5] https://ruxandracristea.wikispaces.com/

[6] http://www.statistics2013.org/

Figura 5. proiectul etwinning

„Mathematics and statistics in our life – MAST”