Home >Documents >Statistica - Capitolul5

Statistica - Capitolul5

Date post:15-Jun-2015
Category:
View:6,569 times
Download:2 times
Share this document with a friend
Transcript:

Capitolul 5

ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE5.1. INDICATORI: DEFINIRE; FORMULE DE CALCUL INDICATORII SERIILOR CRONOLOGICE Indicatori absolui Indicatorii de nivel sunt chiar termenii unei serii formate din indicatori absolui: (y1, ...yt, ..., yn.).

n Nivelul totalizat al termenilor yt ; se calculeaz numai dac termenii t =1 seriei cronologice sunt nsumabili. Modificrile absolute cu baz fix: t/1=yt - y1 , unde t = 2, n

cu baz n lan: t/t-1=yt - yt-1 , Relaii utile:

unde t = 2, n unde m n unde t = 2, n

t =2

m

t / t 1

= m /1 ,

t/1 - t-1/1 = t/t-1 ,Indicatorii relativi Indice de dinamic

cu baz fix: I t / 1 =

yt y1

sau I t / 1(%) =

yt 100 , y1

unde t = 2, n

cu baz n lan: I t / t 1 =

yt y sau I t / t 1(%) = t 100 ,.unde t = 2, n yt 1 yt 1

Relaii utile:

It =2

m

t / t 1

= Im / 1 ,

unde m n

It / 1 I t 1 / 1

= I t / t 1

Ritmul de dinamic

cu baz fix: Rt / 1 =

yt y1 100 sau Rt / 1 = I t / 1(%) 100% , unde t = 2, n y1

159

cu baz n lan: Rt / t 1 =

yt yt 1 100 sau Rt / t 1 = I t / t 1(%) 100% , yt 1

unde t = 2, nValoarea absolut a unui procent de dinamic

cu baz fix: At / 1 =

t / 1 Rt / 1

sau

At / 1 =

y1 100

cu baz n lan: At / t 1 =Indicatori medii Nivelului mediu

t / t 1 y sau At / t 1 = t 1 100 Rt / t 1

pentru o serie cronologic de intervale de timp formate din indicatori absolui:

y=

yt =1

n

t

n

pentru o serie de momente cu intervale egale ntre momente (media cronologic simpl ):y1 y + y2 + y3 + ... + y i +... + yn 1 + n 2 ycr = 2 n 1

pentru o serie de momente cu intervale neegale ntre momente (media cronologic ponderat):

d +d d d +d d d +d y1 1 + y2 1 2 + ...yi i1 i + ...+ yn1 n2 n+1 yn n1 2 2 2 2 2 ycr = n1 di

i=1

De reinut c, pentru seria de momente cu intervale neegale ntre datele nregistrate, media cronologic ponderat este singurul indicator mediu ce caracterizeaz seria.Modificarea medie absolut:

=

t / t 1

n 1

sau

=

yn y1 n 1

160

Indicele mediu de dinamic (I ) :I = n 1

I

t / t 1

sau

I = n 1

yn y1

Dac dispunem de mai muli indici medii ce caracterizeaz mai multe subperioade succesive de timp, indicele mediu ce caracterizeaz ntreaga perioad se calculeaz astfel:

I =n care:

nii =1

k

I 1n1 I 2n 2 ... I ini ... I kn k

I - indicele mediu general de dinamic; I i - indicii medii pariali de dinamic;ni - numrul indicilor cu baz n lan ce intr n componena fiecrui indice mediu parial; k - numrul subperioadelor, adic al indicilor medii pariali.Ritmul mediu de dinamic R = I (%) 100%

( )

AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Evoluia oricrui fenomen n timp este rezultanta unor influene de natur sistematic i a altora de tip aleator. Componentele sistematice sunt: trendul (tendina general) ; sezonalitatea care se manifest sub form de oscilaii la intervale regulatede timp mai mici de un an (semestru, trimestru, lun, decad, sptmn); ciclicitatea care se prezint sub form de fluctuaii n jurul tendinei nregistrate la perioade mai mari de un an.

Componentele aleatoare se manifest sub forma unor abateri ntmpltoare de la ceea ce are sistematic evoluia variabilei analizate. Prin ajustarea termenilor unei serii de date statistice, se nelege operaia de nlocuire a termenilor reali cu termeni teoretici ce exprim legitatea specific de dezvoltare obiectiv a fenomenelor la care se refer datele.Metode simple de ajustare a seriilor cronologice Metoda mediilor mobile

Se folosete pentru seriile care prezint oscilaii sezoniere i ciclice.

161

Mediile mobile sunt medii pariale, calculate dintr-un numr prestabilit de termini (k), n care se nlocuiete pe rnd primul termen cu termenul ce urmeaz n seria care trebuie s fie ajustat: yi + yi + 1 + L + yi + k 1 , unde t = 1, n (k 1) k n practic, putem calcula medii mobile dintr-un numr impar de termeni sau dintr-un numr par de termeni n funcie de periodicitatea influenei factorilor sezonieri. Cnd ajustarea se face pe baza mediilor mobile calculate dintr-un numr par de termeni, mediile mobile se obin n dou trepte: 1) medii mobile provizorii ( yi ) care se plaseaz ntre termenii seriei; yi = y + yi + 1 2) medii mobile definitive sau centrate yi = i , care se plaseaz 2 n dreptul termenilor seriei i cu care se face ajustarea termenilor seriei iniiale.Metoda grafic Acest procedeu presupune reprezentarea grafic a seriei de date empirice prin cronogram (historiogram), urmat de trasarea vizual a dreptei sau curbei, astfel nct s aib abateri minime fa de poziia valorilor reale n grafic. Metoda modificrii medii absolute Ajustarea prin acest procedeu se folosete atunci cnd, prelucrnd seria de date, se obin modificri absolute cu baz n lan apropiate ca valoare unele de altele. Funcia de ajustare:

Yt = y1 + (t 1) , unde sau Yt i = y0 + ti

t = 1, n

unde: y0 - reprezint termenul luat ca baz de ajustare (acea valoare care se apropie cel mai mult de dreapta sau curba trasat vizual n grafic); ti - reprezint variabila de timp n raport cu baza de ajustare folosit (poziie pe care termenul respectiv o are fa de termenul ales ca baz).Metoda indicelui mediu de dinamic

Acest procedeu se folosete atunci cnd termenii seriei au tendina de cretere de forma unei progresii geometrice, n care raia poate fi considerat ca egal cu indicele mediu de dinamic I . Funcia de ajustare:

()

Yt = y1 I (t 1)162

sauYt i = y0 I t i

unde: y0 - reprezint termenul luat ca baz de ajustare; ti - reprezint variabila de timp n raport cu baza de ajustare folosit (poziie pe care termenul respectiv o are fa de termenul ales ca baz).Metode analitice de ajustare

Metodele analitice au la baz un model matematic, n care tendina central a evoluiei se exprim ca o funcie de timp:y = f(t) numit funcie de ajustare,

n care: t - reprezint valorile variabilei independente (timpul); y - reprezint valorile variabilei dependente (fenomenele) care sunt prezentate n seria cronologic. Alegerea tipului de funcie care se potrivete cel mai bine pentru exprimarea trendului se face pe baza urmtoarelor criterii aplicabile opional: criteriul bazat pe reprezentarea grafic. Se construiete cronograma i se apreciaz forma tendinei de evoluie criteriul diferenelor. Se procedeaz la calculul diferenelor absolute cu baz n lan de ordinul unu, doi etc. pn cnd obinem diferenele de ordin i aproximativ constante ajustarea fcndu-se dup polinomul de gradul i. Dac fenomenul cercetat s-a dezvoltat n progresie geometric, adic indicii cu baz n lan sunt constani (It/t-1 = constant), admitem c seria cronologic respectiv prezint o tendin exponenial. n urma alegerii funciei de ajustare dup criteriile prezentate se impune estimarea parametrilor acestor funcii utiliznd metoda celor mai mici ptrate. Aceast metod are ca funcie obiectiv minimizarea sumei ptratelor abaterilor valorilor reale de la cele ajustate deci: 2 min yi Yt i , unde ti= 1, 2, ... ,n

(

)

Trend liniar Yt i = a + bti

n care: Yti - reprezint valorile ajustate calculate n funcie de valorile caracteristicii factoriale (ti); a - reprezint parametrul care are sens de mrime medie i arat ce nivel ar fi atins y dac influena tuturor factorilor cu excepia celui nregistrat, ar fi fost constant pe toat perioada;163

b - reprezint parametrul care sintetizeaz numai influena caracteristicii factoriale (t): ti - reprezint valorile caracteristicii factoriale care, n cazul seriilor cronologice, este timpul. Parametrii a i b se determin prin rezolvarea sistemului de ecuaii normale 2 obinut prin metoda celor mai mici ptrate ( [ yi (a + bti )] = min ):

yi na + b ti = i =1 i =1 n n n a t + b t 2 = t i yi i i i =1 i =1 i =1

n

n

n

Pentru

ti =1

i

= 0, sistemul de ecuaii normale devine:

n n n yi yi t i yi na = i =1 i =1 i =1 , de unde a = ; b= n n n n b t 2 = t y ti2 i i i i =1 i =1 i =1 nlocuind valorile calculate ale celor doi parametri n ecuaia de regresie i apoi nlocuind succesiv valorile variabilei timp se obin valorile ajustate ale caracteristicii rezultative. Verificarea corectitudinii calculrii ecuaiilor de regresie se face pe baza

relaiei:

i =1

n

Yt i =

y .i i =1

n

Unele criterii de alegere a procedeelor de ajustare a) Se calculeaz suma abaterilor, luate n valoare absolut, dintre datele empirice i cele ajustate yt Yt . Se consider cel mai potrivit

procedeul la care se obine

yi =1

n

t

Yt = min.

b) se calculeaz coeficientul de variaie: dy/t V y / t = 100 y n care d y / t reprezint abaterea medie liniar a valorilor reale de la

valorile ajustate calculat dup formula: d y / t =

y Yt i =1

n

t

n

.

164

EXTRAPOLAREA SERIILOR CRONOLOGICE

Extrapolarea datelor unei serii statistice are la baz metodele i procedeele folosite la ajustare. Pentru a face distincie ntre termenii ajustai ( Yti ) i cei extrapolai - care sunt considerai tot termenii teoretici - se vor nota termenii extrapolai cu variabila de timp cu ti. Deci, formulele de calcul vor fi: pentru extrapolarea pe baza sporului mediu: Yti = y0 + ti'

Yt , i

iar

pentru extrapolarea pe baza indicelui mediu de cretere: Yt = y0 (I ) i i

t'

Yt = y0 (I ) i n care: I = k I Coeficientul k poate s fie mai mare sau mai mic dect 1. Dac k1, atunci nseamn c valoarea parametrilor folosii n extrapolare este mai mare dect n perioada de analizat. Pentru extrapolarea pe baza metodelor analitice de calcul se pune, n primul rnd, condiia ca datele s se determine astfel nct s nu modifice originea variaieit

Aceste formule se aplic atunci cnd se folosesc valorile parametrilor , I din perioada expirat. n cazul cnd acetia se modific, formulele se modific cu un coeficient k, astfel: Yti = y0 + ti' n care: ' = k

(

)

de timp care este n mijlocul seriei cronologice i pentru care

ti =1

n

i

= 0 . Deci,

variaia de timp se extinde n ambele sensuri, dei intereseaz numai tendina obinut prin extinderea seriei pentru perioada urmtoare. i n acest caz se vor folosi aceleai notaii, adic termenii extrapolai se vor nota cu Yt , astfel: i

Yt = a + bti' iAnaliza seriilor cronologice care prezint oscilaii sezoniere A. Modelul multiplicativ:

yij = Yij S j ijunde: yij reprezint valorile reale ale termenilor seriei; reprezint valorile componentei trend;

Yij

165

S j reprezint valorile componentei sezoniere; ijj = 1, m (subperioada, ex:trimestrul, m=4) Analiza presupune parcurgerea urmtorilor pai:

reprezint valorile componentei aleatoare sau reziduale i = 1, n (perioada, ex: anul)

a) se ajusteaz seria folosind metoda mediilor mobile, obinndu-se valorile ajustate ( Yij ); b) pentru nlturarea componentei de tendin se calculeaz raportul ntre fiecare termen real ( yij ) i cel ajustat ( Yij ); rezultatul raportului reprezint produsul dintre componenta sezonier i cea aleatoare (rezidual); c) pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior se determin medii aritmetice pariale pe sezoane (ex: trimestre), care reprezint estimatorii brui ai componentei sezoniere:

S j =

Yi =1

n

yijij

n

d) se calculeaz media estimatorilor brui ai componentei sezoniere:

Sj =1 j

m

m

;

e) se calculeaz indicii de sezonalitate raportnd fiecare estimator la media acestora:

IS j =

S j

Sj =1

m

j

mf) se calculeaz valorile desezonalizate ale seriei raportnd valorile reale la indicii de sezonalitate corespunztori i se ajusteaz seria cronologic obinut folosind metoda analitic cea mai potrivit; g) se determin valorile previzionate pentru orizontul de prognoz, prelungind variabila timp, calculnd valorile de tendin (ajustate) i nmulindu-le cu coeficienii de sezonalitate corespunztori.

166

B. Modelul aditiv:

yij = Yij + S j + ijAnaliza presupune parcurgerea urmtorilor pai: a) se ajusteaz seria folosind metoda mediilor mobile, obinndu-se valorile ajustate ( Yij );b) pentru nlturarea componentei de tendin se calculeaz diferena dintre fiecare termen real ( yij ) i cel ajustat ( Yij ); rezultatul diferenei reprezint suma dintre componenta sezonier i cea aleatoare (rezidual); c) pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior se determin medii aritmetice pariale pe sezoane (ex: trimestre), care reprezint estimatorii brui ai componentei sezoniere:

S j =m

(yn i =1

ij

Yij )

nj

d) se calculeaz media estimatorilor brui ai componentei sezoniere:

Sj =1

m

;

e) se calculeaz abaterile sezoniere:

AS j = S j

Sj =1 j

m

m

f) se calculeaz valorile desezonalizate ale seriei ca diferen ntre valorile reale i abaterile sezoniere corespunztoare i se ajusteaz seria cronologic obinut folosind metoda analitic cea mai potrivit; g) se determin valorile previzionate pentru orizontul de prognoz astfel: se prelungete variabila timp, se calculeaz valorile de tendin (ajustate) la care se adun abaterile sezoniere corespunztoare.

167

5.2. PROBLEME REZOLVATE Problema 1. nzestrarea populatiei Romniei cu televizoare a nregistrat urmtoarea evoluie n perioada 1994-2003: Tabelul 5.1 Anul 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 201,8 224,7 231,6 233,7 247,8 259,4 270,8 292,2 327,7 366,3 TV*) (buc/1.000 loc.)*) la sfritul anului Sursa: Anuarul Statistic al Romniei, anul 2004

Se cere: 1. s se reprezinte grafic seria cronologic; 2. s se caracterizeze seria cronologic folosind indicatori absolui, relativi i medii; 3. s se determine tendina de evoluie pe baza metodelor mecanice i analitice; 4. s se extrapoleze seria pentru urmtorii doi ani. Rezolvare 1. Reprezentarea grafic indicat n acest caz este cronograma (historiograma):buc./1.000 loc. 400 350 300 250 200 150 100 50 0 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Anul 2003

Figura 5.1 Evoluia nzestrrii populaiei Romniei cu televizoare n perioada 1994-2003

Graficul indic o tendin de cretere continu, liniar, a nzestrrii populaiei Romniei cu televizoare n intervalul 1994-2003.2. Prelucrarea seriilor cronologice de momente egal distanate se face asemenntor seriilor cronologice de intervale, cu excepia nivelului mediu al termenilor seriei, care se calculeaz cu o formul diferit.

168

Nivelul totalizat al termenilor seriei nu se poate calcula n acest caz deoarece nsumarea nivelurilor absolute nu are sens. Indicatorii absolui i relativi ai acestei serii cronologice se trec n tabelul 5.2 i pot fi determinai dup cum este prezentat n cele ce urmeaz.Indicatori absolui nivelul absolut ( yt ) este reprezentat de termenii seriei cronologice (vezi tabelul 5.2, coloana 1);

modificarea absolut cu baz fix arat cu ct a crescut numrul de televizoare la 1.000 de locuitori n fiecare an, comparativ cu anul 1994;

t / 1 = yt y1 = yt 201,8 , t = 2,10 , (vezi tabelul 5.2, coloana 3) modificarea absolut cu baz n lan (baz mobil) msoar creterea numrului de televizoare de la un an la altul:

t / t 1 = yt yt 1 ,10

t = 2,10 (tabelul 5.2, coloana 4)

Suma tuturor modificrilor cu baz n lan este:

t =2

t / t 1

= y10 y1 = 164,5 buc./1.000 loc.Modificarea absolut (buc./1000 loc.) Indicele de dinamic (%)

ytAnul (buc./ 1.000 loc.) t

Ritmul (%)

Tabelul 5.2 At / t 1(buc./ 1.000 loc.)

A 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

1 201,8 224,7 231,6 233,7 247,8 259,4 270,8 292,2 327,7 366,3

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t / 1 3 22,9 29,8 31,9 46,0 57,6 69,0 90,4 125,9 164,5

t / t 1 4 22,9 6,9 2,1 14,1 11,6 11,4 21,4 35,5 38,6

It / 1 5 100 111,35 114,77 115,81 122,79 128,54 134,19 144,80 162,39 181,52

I t / t 1 6 100 111,35 103,07 100,91 106,03 104,68 104,39 107,90 112,15 111,78

Rt / 1 7 11,5 14,77 15,81 22,79 28,54 34,19 44,80 62,39 81,52

Rt / t 1 8 11,5 3,07 0,91 6,03 4,68 4,39 7,90 12,15 11,78

9 2,018 2,247 2,316 2,337 2,478 2,594 2,708 2,922 3,277

Indicatori relativi indicele de dinamic cu baz fix:

It / 1 =

yt yt 100 = 100 , t = 2,10 (vezi tabelul 5.2, coloana 5) y1 201,8

169

indicele de dinamic cu baz n lan: y I t / t 1 = t 100 , t = 2,10 (vezi tabelul 5.2, coloana 6) yt 1 Produsul indicilor cu baz n lan este:y10 = 1,645 sau 164,5% y1 t =2 ritmul de dinamic cu baz fix: Rt / 1 = t / 1 100 = I t / 1(%) 100 , t = 2,10 , (vezi tabelul 5.2, coloana 7) y1 ritmul de dinamic cu baz n lan: Rt / t 1 = t / t 1 100 = I t / t 1 (%) 100 , t = 2,10 (vezi tabelul 5.2, col. 8) yt 1 valoarea absolut a unui procent din ritmul de baz fix are aceeai mrime pentru fiecare moment t (fiecare an): y At / 1 = t / 1 = 1 = 2,018 buc./1.000 locuitori Rt / 1 100 Acest rezultat arat c mrirea cu 1% a nzestrrii populaiei Romniei cu televizoare, n orice an, comparativ cu anul 1994, este echivalent cu un spor absolut de 2,018 buc. la 1.000 de locuitori.

I

10

t / t 1

=

valoarea absolut a unui procent din ritmul cu baz n lan este o mrime variabil:At / t 1 = t / t 1 yt 1 = , t = 2,10 (vezi tabelul 5.2, coloana 9) Rt / t 1 100

Indicatori medii nivelul mediu se calculeaz aplicnd formula mediei cronologice simple deoarece aceasta este o serie cronologice de momente situate la distane egale de timp: y1 y 201,8 366,3 + y2 + ... + yn 1 + n + 224,7 + ... + 327,7 + 2 = 2 2 = 263,55 ycr = 2 n 1 10 1

Deci, ycr =263,55 buc./1000 loc. modificarea medie absolut:

=

t =2

n

t / t 1

n1

=

y10 y1 366 ,3 201,8 = = 18,28 buc./1.000 loc. 10 1 9

170

indicele mediu de dinamic:

I = n 1

It =2

n

t / t 1

= n 1 I n / 1 = 9

y10 9 = 1,645 = 1,0569 sau 105,69% y1

ritmul mediu: R = I (% ) 100 = 5,69%

3. Reprezentarea grafic a acestei serii cronologice, precum i indicatorii absolui i relativi calculai anterior arat o tendin de cretere relativ uniform a numrului de televizoare la 1.000 de locuitori. Metoda mecanic indicat n acest caz este metoda modificrii medii absolute, iar ca metod analitic este recomandabil ajustarea pe baza unei funcii liniare. Metoda modificrii absolute medii Yt = y1 + (t 1) , Yt = 201,8 + 18,28(t 1) ,Valorile reale t Metoda modificrii absolute medii Valorile ajustate Abaterile

t = 1, n (vezi tabelul 5.3, coloana 2) Tabelul 5.3Ajustarea analitic cu trend liniar Valorile Abaterile ti ajustate y Y

yt

Yt = 201,8 + 18,28(t 1)2 201,8 220,08 238,36 256,64 274,92 293,20 311,48 329,76 348,04 366,32

yt Yt3 0 4,62 6,76 22,94 27,12 33,8 40,68 37,56 20,34 0,02

Yi = a + bti5 193,96 209,88 225,80 241,72 257,64 273,56 289,48 305,40 321,32 337,24i

i

i

A 1 201,8 1 224,7 2 231,6 3 233,7 4 247,8 5 259,4 6 270,8 7 292,2 8 327,7 9 366,3 10

4 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9i

6 7,84 14,82 5,8 8,02 9,84 14,16 18,68 13,2 6,38 29,06i

y

t

=

2656

-

Y =2840,6t

y

t

Yt =

193,84

t =0 Y = y2656

Yi =

127,8

Ajustarea analitic cu trend liniar

Valorile ajustate se determin cu relaia: Yt = a + bt Se utilizeaz metoda celor mai mici ptrate pentru a calcula parametrii a i b ai funciei liniare: [Yt (a + bt )]2 = min

171

Sistemul de ecuaii normale este:n n yi na + b t i = i =1 i =1 n n n a t + b t 2 = ti yi i i i =1 i =1 i =1

Dac se pune condiia can na = yi i =1 n n b t 2 = t y i i i i =1 i =1

ti =1

n

i

= 0 , sistemul devine:

cu soluia:

a=

yi =1

n

i

n

=

2656 = 265,6 10 2627 ,4 = 7 ,96 330

b=

t yi =1 n

n

i i

ti =1

=

2 i

unde:

t y = ( 9 ) 201,8 + ( 7 ) 224,7 + ( 5) 231,6 + ( 3) 233,7 + ( 1) 247,8 +i i i =1

n

+ (1) 259,4 + (3) 270,8 + (5 ) 292,2 + (7 ) 327 ,7 + (9 ) 366 ,3 = 2627 ,4n 2 i

ti =1

= 330

4. Pentru a extrapola seria cronologic este necesar s se aleag n prealabil cea mai bun metod de ajustare pentru aceste date. n acest scop pot fi folosite mai multe criterii, dintre care se utilizeaz frecvent compararea coeficienilor de variaie calculai dup relaia:

v=

y Yi i =1

n

i

ny

100

172

Se calculeaz coeficientul de variaie pentru fiecare metod de ajustare folosit anterior. Se vor folosi abaterile calculate n tabelul 5.3 (coloanela 3 i 6).

metoda modificrii absolute medii:

v1 =

193,84 100 = 7,35% 10 263,55

metoda ajustrii analitice liniare: v2 = 127 ,8 100 = 4,85% 10 263,55

Se reine metoda de ajustare pentru care coeficientul de variaie are o valoare mai mic. n acest caz metoda ajustrii analitice liniare este cea mai bun. Valorile extrapolate pentru urmtorii doi ani se obin folosind aceeai formul de ajustare, dnd variabilei t valorile urmtoare pe axa timpului: 11 i 13, pstrnd aceeai origine (considernd c seria se prelungete n ambele sensuri): Y2004 = 265,6 + 7 ,96 11 = 353,16 Y2005 = 265,6 + 7 ,96 13 = 369,08

Problema 2. Se cunosc urmtoarele date referitoare la numrul biletelor de odihn vndute ntr-o staiune de pe litoral de ctre o agenie de turism:Tabelul 5.4 Anul A 2002 Trimestrul B I II III IV I II III IV I II III IV Numr bilete 1 20 70 150 40 30 90 180 60 40 110 240 110

2003

2004

Se cere: 1. s se reprezinte grafic seria cronologic. 2. s se analizeze sezonalitatea seriei i s se previzioneze numrul biletelor vndute n anul urmtor.173

Rezolvare 1. Corelograma (figura 5.2) indic att existena trendului cresctor ct i afectarea valorilor trimestriale de ctre factorul sezonier.

300 250

nr. bilete

200 150 100 50 0 Trim. I Trim. Trim. II III 2002 Trim. Trim. I Trim. Trim. IV II III 2003 Trim. Trim. I Trim. IV II 2004 Trim. III Trim. IV

perioada

Figura 5.2 Numrul biletelor vndute trimestrial n perioada 2002-2004 2. Graficul sugereaz utilizarea modelului multiplicativ de forma yij = Yij S j ij , unde:

yij Yij S j

reprezint valorile reale ale termenilor seriei; reprezint valorile componentei trend; reprezint valorile componentei sezoniere; reprezint valorile componentei aleatoare sau reziduale.

ij

i = 1, n (anul, n=3) j = 1, m (trimestrul, m=4) Msurarea oscilaiilor sezoniere presupune, n prealabil, ajustarea seriei prin metoda mediilor mobile, obinndu-se valorile ajustate reprezint valorile Y componentei trend ij . Deoarece datele de care dipunem sunt trimestriale (durata ciclului este de un an), mediile mobile se calculeaz din patru termeni. Pentru ca mediile astfel calculate s fie centrate se determin n dou faze (medii mobile provizorii i medii mobile definitive).

174

Mediile mobile provizorii: y1 =y3 =

20 + 70 + 150 + 41 = 70; 4150 + 40 + 30 + 90 = 77 ,5; 4

y2 =y4 =

70 + 150 + 40 + 30 = 72,5; 440 + 30 + 90 + 180 = 85; 4

y5 = y7 =y9 =

30 + 90 + 180 + 60 = 90; 4 180 + 60 + 40 + 110 = 97 ,5; 4

y6 =

90 + 180 + 60 + 40 = 92,5; 4

60 + 40 + 110 + 240 v y8 = = 112,5; 4

40 + 110 + 240 + 110 = 125. 4 Mediile mobile definitive se calculeaz ca medii mobile de cte dou medii mobile provizorii astfel: Y13 = 70 + 72,5 = 71,25 2

72,5 + 77 ,5 = 75 2 .................................... Y14 = Pentru nlturarea componentei de tendin se calculeaz raportul ntre fiecare termen real ( yij ) i cel ajustat ( Yij ) (tabelul 5.5, coloana 4). Rezultatul rapotului dintre valorile reale ( yij ) i cele ajustate ( Yij ) reprezint produsul dintre componenta sezonier i cea aleatoare (rezidual). Pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior (tabelul 5.5, coloana 4) se determin medii aritmetice pariale pe sezoane (trimestre), care reprezint estimatorii brui ai componentei sezoniere:

S j =

Yi =1

n

yijij

n

Pentru determinarea estimatorilor brui ai componentei sezoniere, datele vor fi sistematizate ca n tabelul 5.6. S1 = S3 = 0,37 + 0,38 1,03 + 0,93 = 0,375; S 2 = = 0,98 2 2 2,10 + 1,97 0,53 + 0,63 = 2,035; S 4 = = 0,58 2 2

175

Anul i

A

2002

2003

2004

Trim. Numr bilete Medii mobile j din patru yij termeni B 1 2 I 20 II 70 70 III 150 72,5 IV 40 77,5 I 30 85 II 90 90 III 180 92,5 IV 60 97,5 I 40 112,5 II 110 125 III 240 IV 110

Trend Yij

Tabelul 5.5 yij

Yij 4 2,10 0,53 0,37 1,03 1,97 0,63 0,38 0,93 -

3 71,25 75 81,25 87,5 91,25 95 105 118,75 -

Urmtorul pas este acela de a calcula media estimatorilor brui ai componentei sezoniere:

Sj =1

m

j

m

=

0,375 + 0,98 + 2,03 + 0,58 = 0,9925 . 4

Indicii de sezonalitate se determin raportnd fiecare estimator la media acestora: IS j = S j

Sj =1

m

.

j

m176

Astfel,I S1 = I S3 0,375 0,98 = 0,378; I S 2 = = 0,987 0,9925 0,9925 2,03 0,58 = = 2,045; I S 4 = = 0,584 0,9925 0,9925Tabelul 5.6

yijTrim. 0 I II III IV

Yij2002 1 2,10 0,53 2003 2 0,37 1,03 1,97 0,63 2004 3 0,38 0,93 -

Indici de sezonalitate brui Sj 4 0,375 0,98 2,035 0,58

Indici de sezonalitate

Sj

5 0,378 0,987 2,045 0,584

Valorile desezonalizate ale seriei se determin raportnd valorile reale la indicii de sezonalitate corespunztori (tabelul 5.7, coloana 3)Anul (i) A Trim. Numr bilete j yij B I II III IV I II III IV I II III IV 1 20 70 150 40 30 90 180 60 40 110 240 110 Indici de sezonalitate 2 0,378 0,987 2,045 0,584 0,378 0,987 2,045 0,584 0,378 0,987 2,045 0,584 Tabelul 5.7 Valori desezonalizate (col.1/col.2) 3 52,91 70,92 73,35 68,49 79,37 91,19 88,02 102,74 105,82 111,45 117,36 188,36 1048,39

2002

2003

2004Total

Pentru previzionarea numrului de bilete vndute n anul urmtor se reprezint grafic seria valorilor desezonalizate i se alege modelul de ajustare corespunztor:

177

200 180 160 140 nr. bilete 120 100 80 60 40 20 0 Trim. I Trim. II Trim. III 2002 Trim. Trim. I Trim. Trim. IV II III 2003 Trim. Trim. I Trim. IV II 2004 Trim. III Trim. IV perioada

Figura 5.3 Numrul biletelor vndute trimestrial n perioada 2002-2003 (valori desezonalizate)

Graficul sugereaz utilizarea modelului liniar pentru ajustare: Yt i = a + bti Pentru calcularea parametrilor modelului liniar se efectueaz o serie de calcule intermediare (vezi tabelul 5.8).Tabelul 5.8 Yt i = 87 ,36 + 4,245 ti

Valori Anul Trim. desezonalizate (yi) A B 1 I 52,91

ti2 11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 0

ti2

t i yi

3 4 121 -582,01 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121 572 -638,28 -513,45 -342,45 -238,11 -91,19 88,02 308,22 529,1 780,15 1056,24 2071,96 2428,2

5 40,67 49,16 57,65 66,14 74,63 83,12 91,61 100,10 108,59 117,08 125,57 134,06 1048,32

II III IV I II 2003 III IV I II 2004 III IV Total -

2002

70,92 73,35 68,49 79,37 91,19 88,02 102,74 105,82 111,45 117,36 188,36 1048,39

178

a=

yi =1

n

i

n

=

1048,39 = 87 ,36 ; 12 2428,2 = 4,245 572

b=

t yi =1 n

n

i i

ti =1

=

2 i

Aadar: Yi = 87 ,36 + 4,245 ti . Pentru determinarea valorilor previzionate pentru anul 2005 se prelungete variabila timp, se calculeaz valorile de tendin teoretice care se nmulesc cu coeficienii de sezonalitate (vezi tabelul 5.9). Tabelul 5.9 Indici de Valori Anul Trim. t Yti = 87 ,36 + 4,245 ti j sezonalitate previzionate (Ij) I 13 142,55 0,378 53,88 II 15 151,04 0,987 149,07 2005 III 17 159,53 2,045 326,23 IV 19 168,02 0,584 98,12 Propunem, n continuare, determinarea mediilor mobile cu ajutorul programului EXCEL: 1. Se introduc datele iniiale pe o coloan (numr bilete vndute). n A1 se tasteaz Numr bilete. 2. Se apas Tools/Data Analysis i Moving Average. 3. Se specific Input Range (A1:A13). Se selecteaz Labels in first row. 4. Se specific numrul de subperioade la Interval (4). 5. Se specific Output Range (B1). 6. Dac se dorete reprezentarea grafic a seriei se selecteaz Chart Output. Se apas OK. Se obin rezultatele:

179

Pe coloana B sunt afiate mediile mobile din cte 4 termeni. Observm c s-au obinut mediile mobile provizorii. Pentru a obine medii mobile definitive se procedeaz astfel: se selecteaz din nou meniul Tools - Data Analysis Moving average; n fereastra de dialog se introduce la Input Range cmpul care conine mediile mobile provizorii; se bifeaz Labels i the First Row; se tasteaz 2 la Intervals; se specific Output Range; se bifeaz Chart Output. Deoarece n cazul calculrii mediilor mobile n dou etape, graficul arat rezultatele pariale, se selecteaz graficul i apoi se selecteaz meniul Chat - Source Data - Series i se modific seria Actual punnd n locul cmpului cu medii mobile provizorii, cmpul cu datele iniiale.Problema 3. Cheltuielile de funcionare ale unei uniti bancare au nregistrat n perioada 1999-2005 urmtoarea dinamic: Tabelul 5.10 Anul 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Dinamica 100 110 120 134 147 166 186 cheltuielilor fa de anul 1999 (%) Se cere: 1. s se determine dinamica cheltuielilor de funcionare n fiecare an fa de anul precedent; 2. s se reconstituie seria cronologic tiind c valoarea absolut a unui procent de cretere a cheltuielilor n orice an al perioadei considerate comparativ cu anul 1999 este de 200 RON; 3. s se ajusteze seria cronologic folosind cea mai potrivit metod mecanic i s se estimeze cheltuielile de funcionare ale bncii n anul 2006.180

1. Pornind de la indicii de dinamic cu baz fix (I t / 1(% ) ) din tabelul 5.10

Rezolvare

se calculeaz indicii cu baz mobil astfel: I I t / t 1(% ) = t / 1 100 , t = 2 ,7 I t 1 / 1 Exemplu: I 110 I 2 / 1(% ) = 2 / 1 100 = 100 = 110 % I1 / 1 100 I 3 / 2 (% ) = I3 / 1 120 100 = 100 = 109,09 % I2 / 1 100

2. Valoarea absolut a unui procent de cretere fa de anul 1999 este: y At / 1 = 1 = 200 RON . y1 = 20.000 RON 100 Termenii seriei ( yt ) se determin cu relaia:

yt = y1 I t / 1 , t = 2,7 Exemplu: y2 = y1 I 2 / 1 = 20000 110% = 22000 RON y3 = y1 I 3 / 1 = 20000 120% = 24000 RON etc.Tabelul 5.11 Anul 0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 t 1 1 2 3 4 5 6 7

I t / 1(% )2 100 110 120 134 147 166 186

I t / t 1(% ) =

It / 1

I t 1 / 1 3 100 110 109,09 111,66 109,70 112,92 112,05

100

yt = y1 I t / 14 20 000 22 000 24 000 26 800 29 400 33 200 37 200

Yt = y1 I

()

t 1

5 20 000 22 160 24 550 27 205 30 143 33 399 37 006

3. Indicii cu baz n lan (tabelul 5.11, coloana 3) au valori apropiate, ceea ce indic o tendin de cretere exponenial a cheltuielilor. Aceast tendin poate fi verificat i cu ajutorul graficului termenilor seriei cronologice yt (cronograma). Valorile ajustate Yt se determin cu relaia:

Yt = y1 I

()

t 1

,

t = 1,7 ,

181

unde: I = n 1

It =1

n

t / t 1

=6

y7 6 = 1,86 = 1,108 , sau 110,8% y1

Pentru a estima cheltuielile de funcionare ale bncii n anul 2006 se extrapoleaz seria cronologic:Y2006 = y1 I

()

8

= 20000 1,108 8 = 45430 RON

Problema 4. O cas de schimb valutar a nregistrat pe parcursul unei sptmni urmtoarea evoluie a numrului tranzaciilor zilnice: Ziua Modificarea absolut a numrului de tranzacii fa de ziua precedent Luni Mari Miercuri Joi Tabelul 5.12 Vineri Smbt

-

+10

-5

+7

+10

+2

Se cere: 1. S se reconstituie seria cronologic privind numrul de tranzacii zilnice tiind c numrul tranzaciilor a fost cu 24% mai mare smbt fa de luni. 2. S se calculeze indicatorii medii ce caracterizeaz seria. Rezolvare 1. Notm termenii acestei serii cronologice de intervale cu yt , t = 1,6 . nsumnd modificrile absolute cu baz n lan t / t 1 din tabelul 5.12, obinem creterea numrului de tranzacii pe total:

t =2

6

t / t 1

= 6 / 1

10 5 + 7 + 10 + 2 = y6 y1 y6 y1 = 24

(1)

Indicele de dinamic pe total sptmn a fost 124%: y6 100 = 124 (2) y1 Din relaiile (1) i (2) se pot calcula termenii externi ai seriei cronologice: y1 i y6 . Se obin rezultatele: y1 = 100 i y6 = 124

182

Ceilali termeni ai seriei cronologice pot fi determinai cu relaia: yt = yt 1 + t / t 1 , y2 = y1 + 2 / 1 = 110 t = 2 ,5

y3 = y2 + 3 / 2 = 105 y4 = y3 + 4 / 3 = 112y5 = y4 + 5 / 4 = 1222. Indicatorii medii ai seriei cronologice sunt:n

y=

yt =1

t

n

=

y1 + y2 + ... + y6 = 112,17 tranzacii/zi 6 yn y1 y6 y1 = = 4,8 tranzacii/zi n 1 5 = n 1 yn y = 5 6 = 1,044 sau 104,4% y1 y1

=

t =2 n

n

t / t 1

n 1

=

I = n 1

It =2

t / t 1

R (% ) = I (% ) 100 = 104,4 100 = 4,4%Problema 5. Stocul de combustibil existent n depozitul unei firme a nregistrat urmtoarea evoluie pe parcursul unui an: Tabelul 5.13 Data 3.01 30.01 25.02 3.04 10.05 20.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 31.12 Stoc 320 210 180 300 250 200 240 300 260 220 300 280 200 (litri) Se cere: 1. S se reprezinte grafic evoluia stocului de combustibil pe fiecare semestru n parte. 2. S se calculeze stocul mediu n semestrele I i II. Rezolvare 1. Reprezentarea grafic a seriilor cronologice de momente cu intervale egale ntre momente (semestrul II) este cronograma, iar pentru seriile cronologice de momente cu intervale neegale (semestrul I) se folosete graficul prin coloane nelipite centrate pe momente.

183

350 300 250 stocul (l) 200 150 100 50 003.01 20 06 1 07 30.01 25.02 03.04 10.05

data inregistrarii

Figura 5.4 Situaia stocului n semestrul I350 300 250 Stocul (l) 200 150 100 50 001.07 01.08 01.09 01.10 01. 11 01.12

Data inre gistrarii

Figura 5.5 Situaia stocului n semestrul II 2. Stocul mediu de combustibil din primul semestru se calculeaz ca medie cronologic ponderat, ponderile fiind intervalele de timp (distanele) dintre momentele inventarierilor:

03.01-30.01 30.01-25.02 25.02-03.04 03.04-10.05 10.05-20.06 20.06-01.07

d1=27 zile d2=25 zile d3=38 zile d4=37 zile d5=40 zile d6=10 zile

y1=320 y2=210 y3=180 y4=300 y5=250 y6=200 y7=240184

d +d d +d d +d d +d d d1 d +d + y2 1 2 + y3 2 3 + y4 3 4 + y5 4 5 + y6 5 6 + y7 6 2 2 2 2 2 2= ycr.semI = 2 . d1 +d2 +d3 +d4 +d5 +d6 y1= 240,25 litri Stocul mediu din semestrul al II-lea se calculeaz ca o medie cronologic simpl a ultimilor 7 termeni ai seriei cronologice din tabelul 5.13:

y7=240; y8=300; y9=260; y10=220; y11=300; y12=280; y13=200; y7 y + y8 + y9 + y10 + y11 + y12 + 13 2 = 263,33 litri. = 2 7 1

y cr .sem.II

Problema 6. La o societate comercial s-au nregistrat urmtoarele stocuri pentru marfa A n anul 2005: Tabelul 5.14 Data Stoc (kg.) 1.01 120 31.01 150 28.02 100 31.03 180 30.07 110 31.10 160 31.12 80

S se determine stocul mediu n trimestrul I 2005 i stocul mediu pe anul 2005.Rezolvare

Stocul mediu din trimestrul I se determin ca medie cronologic simpl deoarece intervalele de timp (distanele) dintre momentele inventarierilor sunt egale:y trim.I y y1 120 180 + y 2 + y3 + 4 + 150 + 100 + 2 = 2 2 = 133,33 kg. = 2 4 1 3

Stocul mediu pe ntregul an se determin ca medie cronologic ponderat deoarece intervalele de timp (distanele) dintre momentele inventarierilor sunt neegale:

185

1.01-31.01 31.01-28.02 28.02-31.03 31.03-30.07 30.07-31.10 31.10-31.12

d1=1 lun d2=1 lun d3=1 lun d4=4 luni d5=3 luni d6=2 luni

y1=120 y2=150 y3=100 y4=180 y5=110 y6=160 y7=80

d +d d +d d +d d +d d d d +d y1 1 + y2 1 2 + y3 2 3 + y4 3 4 + y5 4 5 + y6 5 6 + y7 6 2 2 2 2 2 2 =135,42 kg. ycr.an = 2 d1 +d2 +d3 +d4 +d5 +d65.3. PROBLEME PROPUSE Problema 1. Numrul clienilor noi, persoane fizice, ai unei bnci comerciale din Bucureti a evoluat astfel n lunile ianuarie-septembrie din anul 2006: Tabelul 5.15 Luna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Numr clieni 120 116 122 144 145 164 175 176 178 (persoane) Se cere: 1. s se caracterizeze evoluia numrului de clieni noi folosind indicatorii absolui, relativi i medii; 2. s se determine trendul de evoluie pe baza metodelor mecanice i analitice; 3. s se extrapoleze seria pentru lunile octombrie i noiembrie. Rezolvare 1. Calculul indicatorilor seriei Indicatorii absolui nivelul absolut ( yt ) este reprezentat de termenii seriei cronologice

(tabelul 5.16, coloana 1), t = 1,9 ;

modificarea absolut cu baz fix t / 1 = yt y1 = yt 120 ,

t = 2 ,9 , (tabelul 5.16, coloana 3)

modificarea absolut cu baz n lan (baz mobil): t / t 1 = yt yt 1 , t = 2 ,9 (tabelul 5.16, coloana 4)

186

Tabelul 5.16

yt Luna (pers.) tA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total 1 2 120 1 116 2 122 3 144 4 145 5 164 6 175 7 176 8 178 9 1340 10

Modificarea absolut(pers.)

Indicele de dinamic(coef. )

t / 1 3 -4 2

t / t 1 I t / 1 I t / t 1 4 5 6 -4 0,966 0,966 6 1,016 1,051

Ritmul de modificare (%) Rt / 1 Rt / t 1 7 8 -3,4 -3,4 1,6 5,1

At / t 1(pers.)

9 1,2 1,16

Indicatori relativi indicele de dinamic cu baz fix:

It / 1 =

yt y 100 = t 100 , y1 120

t = 2,9 (tabelul 5.16, coloana 5)

indicele de dinamic cu baz n lan:

I t / t 1 =

yt 100 , yt 1

t = 2,9 (tabelul 5.16, coloana 6)

ritmul de dinamic cu baz fix:

Rt / 1 =

t / 1 100 = I t / 1 (%) 100 , t = 2,9 (tabelul 5.16, coloana 7) y1 t / t 1 100 = I t / t 1 (%) 100 , t = 2,9 (tabelul 5.16, col. 8) yt 1

ritmul de dinamic cu baz n lan:

Rt / t 1 =

valoarea absolut a unui procent din ritmul de baz fix are aceeai mrime pentru fiecare moment t (fiecare lun): y At / 1 = t / 1 = 1 = Rt / 1 100

187

valoarea absolut a unui procent din ritmul cu baz n lan este o mrime variabil: y At / t 1 = t / t 1 = t 1 , t = 2,9 (tabelul 5.16, coloana 9) Rt / t 1 100

Indicatori medii nivelul mediu ( y ) Avem o serie cronologic de intervale, deci nivelul mediu se calculeaz aplicnd formula mediei aritmetice:

y=

yt =1

n

t

n

=

Interpretare: modificarea absolut medie ( ) = n/1 = n1 Interpretare:

indicele mediu ( I ):

I = n 1 I n / 1 = Interpretare:

ritmul mediu ( R ): R = ( I 1) 100 = Interpretare:2. Determinarea trendului sau a tendinei generale Metode mecanice

a) metoda modificrii absolute medii: Pentru ajustarea termenilor se utilizeaz relaia: Yt = y1 + (t 1) , t = 1, n b) metoda indicelui mediu:Pentru ajustarea termenilor se utilizeaz relaia:

Yt = y1 I (t 1) , t = 1, n188

Rezultatele obinute n urma ajustrii termenilor prin aceste dou metode mecanice sunt prezentate n tabelul de mai jos:

Tabelul 5.17Luna

yt120 116 122 144 145 164 175 176 178 1340

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Valori ajustate prin: Metoda modificrii Metoda indicelui mediu absolute medii Y1 = 120 + 0 = 120 Y1 = 120 I 0 = 120

Y2 = 120 + 1 = Y3 = 120 + 2 =

Y2 = 120 I 1 = Y3 = 120 I 2 =

Y =t

Y =t

Metod analiticPentru ajustarea seriei cronologice utilizm funcia liniar: Yt = a + bt Se utilizeaz metoda celor mai mici ptrate pentru a calcula parametrii a i b ai funciei liniare: [Yt (a + bt )]2 = min

Sistemul de ecuaii normale este:n n yi na + b t i = i =1 i =1 n n n a t + b t 2 = ti yi i i i =1 i =1 i =1

Dac se pune condiia can na = yi i =1 n n b t 2 = t y i i i i =1 i =1

ti =1

n

i

= 0 , sistemul devine:

189

cu soluia:a=

i =1

n

yi = b=

t yi =1 n

n

i i

n

i =1

=

ti2

Calculele necesare estimrii parametrilor funciei de ajustare vor fi efectuate n tabelul de mai jos: Tabelul 5.18 2 yi ti ti yi Yi = a + bti Luna ti A 1 2 3 4 5 Y1 = a + b(4) 1 120 -4 16 -480 2 116 -3 9 -348 3 122 4 144 5 145 6 164 7 175 8 176 9 178 ti = ti2 = ti yi = Yi = 1340 Total

Precizai care sunt modalitile prin care se alege cea mai bun metod de ajustare: . . Extrapolarea seriei pentru lunile octombrie i noiembrie prin metoda modificrii absolute medii: Y10 = 120 + 9 = pentru luna octombrie Y11 = pentru luna noiembrie prin metoda indicelui mediu:Y10 = 120 (I ) = 186 ,98 pentru luna octombrie Y11 = pentru luna noiembrie prin metode analitice Y5 = a + b 5 = pentru luna octombrie Y6 = pentru luna noiembrie9

190

Problema 2. Se cunosc urmtoarele date referitoare la vnzrile de buturi rcoritoare (mii litri) dintr-un supermarket n perioada 2002-2004: Tabelul 5.19 Anul 2002 Trimestrul I II III IV I II III IV I II III IV Vnzri (mii litri) 32 48 64 58 40 52 74 66 44 60 82 74

2003

2004

Se cere: 1. s se reprezinte grafic seria cronologic; 2. s se analizeze sezonalitatea seriei; 3. s se determine trendul pentru seria desezonalizat. Rezolvare 1. Din graficul prezentat n figura 5.6 se observ att existena trendului cresctor, ct i afectarea valorilor trimestriale de ctre factorul sezonier.90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 I 0 2 II 0 2 III 0 2 IV 0 2 I 0 3 II 0 3 III 0 3 IV 0 3 I 0 4 II 0 4 III 0 4 IV 0 4

mii litri

T r im .

Figura 5.6 Evoluia vnzrilor de buturi rcoritoare n perioada 2002-2004 2. Pentru determinarea abaterilor sezoniere se va utiliza modelul aditiv: yij = Yij + S j + ij ,

191

unde: yij reprezint valorile reale ale termenilor seriei;

Yij Sj

reprezint valorile componentei trend; reprezint valorile componentei sezoniere;

ij

reprezint valorile componentei aleatoare sau reziduale. i = 1,n (anul, n=3) j = 1,m (trimestrul, m=4)

Msurarea oscilaiilor sezoniere presupune, n prealabil, ajustarea seriei Y prin metoda mediilor mobile, obinndu-se valorile ajustate ij . Deoarece datele de care dipunem sunt trimestriale, mediile mobile se calculeaz din patru termeni. Pentru ca mediile astfel calculate s fie centrate se determin n dou faze (medii mobile provizorii i medii mobile definitive). Calculele sunt redate n tabelul 5.20, coloana 2. Mediile mobile provizorii:Y1 = 32 + 48 + 64 + 58 = 50,5; 4 Y2 = 48 + 64 + 58 + 40 = 52,5; 4

. Mediile mobile definitive calculate ca medii mobile de cte dou medii mobile provizorii sunt prezentate n tabelul 5.20, coloana 3. De exemplu: 50,5 + 52,5 Y13 = = 51,5 2 ..........................................

Pentru nlturarea componentei de tendin se calculeaz diferena dintre fiecare termen real ( yij ) i cel ajustat ( Yij ) (tabelul 5.20, coloana 4). Rezultatul diferenei dintre valorile reale ( yij ) i cele ajustate ( Yij ) reprezint suma dintre componenta sezonier i cea aleatoare (rezidual). Pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior (tabelul 5.20, coloana 4) se determin medii aritmetice pariale pe sezoane, care reprezint estimatorii brui ai componentei sezoniere:

S j =

(yi =1

n

ij

Yij

)

n192

Tabelul 5.20Anul Trim. Nr. bilete (buc.) Medii mobile provizorii Medii mobile definitive

yij Yij

Abateri sezoniere (Sj)

Serie corectat

A2002

BI II III IV

132 48

2

3

4-

5-16

648

50,5 64 52,5 58 40 52 74 66 44 60 82 74 -16 60 -16 56 2003 I II III IV 2004 I II III IV 51,5 12,5

Pentru determinarea estimatorilor brui ai componentei sezoniere, datele vor fi sistematizate ca n tabelul 5.21. 14,75 18 32,75 S1 = = = 16 ,375; S 2 = 2 2

S3 = yij YijTrim. 2002 2003 2004

; S4 =Abateri sezoniere brute S 'j Tabelul 5.21 Abateri sezoniere Sj

0 I II III IV

1 12,5

2 -14,75

3 -18

4 16,375

5 -16,032 -16

193

Pentru determinarea abaterilor sezoniere corectate (nete) se determin n prealabil media estimatorilor brui ai componentei sezoniere:

S 'jj =1

m

m

=

16 ,375 4 ,5 + 14 + 5 ,5 1,375 = = 0 ,344 . 4 4m

Abaterile sezoniere nete se calculeaz astfel:

S j = S 'j

S 'jj =1

m

(

S j = 0 ) .j =1

m

De exemplu:

S1 = 16 ,375 + 0 ,344 = 16 ,032 16.. Seria corectat de sezonalitate se va determina ca: yij S j (tabelul 5.20, coloana 6).3. Pentru determinarea trendului pentru seria desezonalizat se reprezint grafic seria (figura 5.7). Determinarea tendinei seriei se va face cu ajutorul metodei analitice, utiliznd funcia liniar de ajustare. Rezolvarea se va face folosind EXCEL:

1. n celula A1 tastai textul Vnzri i ncepnd de la celula A2 introducei datele. 2. Apsai pe iconul Chart Wizard sau pe Insert/Chart. 3. Selectai Line i Next. Introducei coordonatele blocului de date (A1:A10) Apoi selectai opiunile dorite pentru grafic i apsai Next. Apoi Finish 4. n graficul obinut, se poziioneaz cursorul pe unul din puncte. Se apas pe butonul din dreapta al mouse-ului. Se selecteaz Add Trendline. 5. Se selecteaz tipul de funcie care pare s se potriveasc cel mai bine datelor. n cazul problemei noastre se selecteaz Linear. 6. Se apas butonul Options. n noua fereastr se selecteaz Display equation on chart.

194

75 65 55

y = 46,061+1,8112t45 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Vnzri (mii litri)

Linear (Vnzri (mii litri))

Figura 5.7 Vnzrile trimestriale de buturi rcoritoare n perioada 2002-2004 (valori desezonalizate) Aadar: Yi = 46,061+1,8112ti

Valorile trendului pentru seria desezonalizat vor fi calculate n tabelul de mai jos:Anul Trim. Valori desezonalizate i jy ij S j

ti

Tabelul 5.22 Yi = 46,061+1,8112ti

A 2002

2003

2004Total

B I II III IV I II III IV I II III IV -

048 52 50 52 56 56 60 60 60 64 68 68

694

1 4 1 46,061+1,8112*1=47,87 2 46,061+1,8112*2= 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Yt =

195

Problema 3. Se cunosc urmtoarele date referitoare la evoluia numrului de abonamente telefonice particulare n localitatea X, n perioada 2001-2005: Anul Valoarea absolut a unui procent de modificare a nr. de abonamente fa de anul precedent Tabelul 5.22 2002 2003 2004 2005

110

115

118

122

Se cere: 1. s se reconstituie seria valorilor absolute tiind c n anul 2005 fa de anul 2004 numrul abonamentelor a crescut cu 5%; 2. s se caracterizeze seria cu ajutorul indicatorilor medii; 3. s se ajusteze seria folosind metode mecanice i analitice.Rezolvare 1. Plecnd de la formula de calcul a indicatorului valoarea absolut a unui procent de modificare cu baz n lan: y At / t 1 = t / t 1 = t 1 , t = 1,5 Rt / t 1 100 se poate reconstitui seria pentru perioada 2001-2004 (tabelul 5.23, coloana 3): y Exemplu: A2 / 1 = 1 = 110 y1 = 11000 abonamente 100 . Tabelul 5.23 Numr abonamente yt 3 11000

Anul 0 2001 2002 2003 2004 2005 Total

t

At / t 1

1 1 2 3 4 5 -

2 110 115 118 122 -

Pentru calcularea numrului de abonamente din anul 2005 utilizm informaia dat n problem:y R5 / 4 = 5 1 100 = 5 y5 = 1,05 y4 y 4

196

2. Calculul indicatorilor medii :

nivelul mediu ( y ) Avem o serie cronologic de intervale, deci nivelul mediu se calculeaz aplicnd formula mediei aritmetice:

y = t =1 n Interpretare:

yt=

n

modificarea absolut medie ( )n 1 Interpretare:

=

n / 1

=

indicele mediu ( I ): I = n 1 I n / 1 = Interpretare:

ritmul mediu ( R ): R = ( I 1 ) 100 = Interpretare:3. Determinarea trendului sau a tendinei generale A. Metode mecanice

a) metoda modificrii absolute medii: Pentru ajustarea termenilor se utilizeaz relaia: Yt = y1 + ( t 1 ) b) metoda indicelui mediu: Pentru ajustarea termenilor se utilizeaz relaia: Yt = y1 I ( t 1 ) Rezultatele obinute n urma ajustrii termenilor prin aceste dou metode mecanice sunt prezentate n tabelul de mai jos:

197

Anul

yt1 11000

A 2001 2002 2003 2004 2005 Total

Tabelul 5.24 Valori ajustate prin: Metoda modificrii Metoda indicelui mediu absolute medii 2 3

Yt =

Yt =

B. Metod analitic

Pentru ajustarea seriei cronologice utilizm funcia liniar: Yt = a + bt Se utilizeaz metoda celor mai mici ptrate pentru a calcula parametrii a i b ai funciei liniare:

[Yt (a + bt )]2 = min

Sistemul de ecuaii normale este:n n yi na + b t i = i =1 i =1 n n n a t + b t 2 = ti yi i i i =1 i =1 i =1

Dac se pune condiia can na = yi i =1 n n b t 2 = t y i i i i =1 i =1 cu soluia:

ti =1

n

i

= 0 , sistemul devine:

yi

a=

i =1

n

n

=

b=

t yi =1 n

n

i i

i =1

=

ti2

198

Calculele necesare estimrii parametrilor funciei de ajustare vor fi efectuate n tabelul de mai jos: Tabelul 5.25 2 Anul yi ti ti yi Yi = a + bti ti 2001 2002 2003 2004 2005 Total5.4. TEM Problema 1. Producia unei firme a nregistrat n perioada 1995-2004 urmtoarea evoluie: Tabelul 5.14 Anul 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Producie anual 350 362 369 374 380 390 393 400 385 380 (mii tone) Se cere: 1. s se reprezinte grafic seria cronologic; 2. s se calculeze indicatorii absolui, relativi i medii pentru aceast serie; 3. s se ajusteze seria prin metode mecanice i analitice; 4. s se extrapoleze seria pentru urmtorii doi ani utiliznd metoda care ajusteaz cel mai bine tendina de evoluie. Problema 2. Se cunosc urmtoarele date privind activitatea unui agent economic: Tabelul 5.15 Anul 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Creterea cifrei de afaceri fa de anul 105 93 90 102 89 92 100 precedent (u.m.) Se cere: 1. s se reconstituie seria referitoare la producia anual a firmei tiind c valoarea absolut a unui procent de cretere a cifrei de afaceri n anul 2001 fa de anul 1998 este de 200 u.m.; 2. s se calculeze indicatorii absolui i medii; 3. s se ajusteze seria folosind procedeul cel mai potrivit n acest caz.199

1100

t = ti

2 i

=

t y

i i

=

Y =i

Problema 3. Se cunosc urmtoarele date privind evoluia numrului de clieni persoane fizice ai unei sucursale aparinnd unei bnci comerciale din judeul X n perioada 2000-2004: Tabelul 5.16 Anul 2001 2002 2003 2004 Modificarea relativ a 10 -20 5 20 numrului de clieni fa de anul 2000 (%) Se cere: 1. s se reconstituie seria valorilor absolute tiind c modificarea absolut a numrului de clieni n anul 2001 fa de anul 2000 a fost de 200 clieni; 2. s se calculeze indicatorii medii; 3. s se ajusteze seria folosind procedeul cel mai potrivit n acest caz; 4. s se extrapoleze seria pentru anul 2005. Problema 4. Despre producia de esturi a unei fabrici de textile, n perioada 2000-2004 se cunosc datele: Tabelul 5.17 Anul 2001 2002 2003 2004 Valoarea absolut a unui 100 105 110 120 procent de modificare a produciei fa de anul precedent (mii mp)

Se cere: 1. S se reconstituie seria valorilor absolute tiind n anul 2004 fa de anul 2003 producia a crescut de 1,05 ori. 2. S se ajusteze seria folosind metode mecanice i analitice. 3. S se extrapoleze seria pentru anul 2005 folosind cea mai potrivit metod de ajustare.Problema 5. Stocurile existente n depozitele unei societi comerciale pentru marfa A n anul 2000 au fost: Data 01.01 01.03 01.06 01.07 01.09 31.12 Stoc (kg.) 140 175 160 195 150 184

S se determine stocul mediu pentru anul 2000 i pentru fiecare semestru n parte.

200

5.5. INTREBARI RECAPITULATIVE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

Ce nelegei prin serii cronologice de momente? Exemplificai. Ce nelegei prin serii cronologice de intervale? Exemplificai. Cum se reprezint grafic seriile de momente? Cum se reprezint grafic seriile de intervale? Ce nelegei prin indicator de nivel? Ce nelegei prin indicator de nivel totalizat? Ce semnificaie are modificarea absolut? Ce particulariti prezint termenii unei serii cronologice? Ce condiii trebuie s ndeplineasc termenii unei serii cronologice? Ce condiie trebuie s ndeplineasc termenul seriei luat ca baz fix? Cum se face trecerea de la baz fix la baz n lan n cazul modificrilor absolute? Cum se face trecerea de la baz n lan la baz fix n cazul modificrilor absolute? Cum se exprim indicii de dinamic? Cum se face trecerea de la baz fix la baz n lan n cazul indicilor de dinamic? Cum se face trecerea de la baz n lan la baz fix n cazul indicilor de dinamic? Cum se interpreteaz valoarea unui indice de dinamic? Ce alt indicator se pot calcula pe baza indicelui de dinamic? Ce nelegei prin ritm de dinamic? Ce semnificaie are modificarea relativ? Ce indicator se poate calcula pe baza modificrii absolute i a modificrii relative? Cum se caculeaz nivelul mediu n cazul unei serii cronologice de momente? Cum se caculeaz nivelul mediu n cazul unei serii cronologice de intervale? Cnd se recomand calcularea modificrii medii absolute? Cnd se recomand calcularea modificrii medii relative? Cnd se recomand calcularea indicelui mediu de dinamic? Ce semnificaie are nivelul mediu al unei serii cronologice? Ce semnificaie are modificarea medie absolut? Ce semnificaie are modificarea medie relativ? Ce semnificaie are indicele mediu de dinamic? Care pot fi componentele termenilor unei serii cronologice? Care sunt componentele sistematice? Ce nelegei prin trend? Ce nelegei prin sezonalitate? Ce nelegei prin ciclicitate?201

35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43.

Ce semnificaie are componenta aleatoare? Ce nelegei prin ajustarea termenilor unei serii cronologice? Care sunt metodele simple de ajustare a seriilor cronologice? Ce nelegei prin medii mobile? Cnd se recomand utilizarea metodei mediilor mobile? Cnd se recomand utilizarea metodei modificrii medii absolute? Cnd se recomand utilizarea metodei indicelui mediu de dinamic? Ce criterii se pot utiliza pentru alegerea metodei analitice de ajustare? Ce semnificaii au parametrii trendului liniar?

202