Capitolul 5 ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE 5.1. INDICATORI: DEFINIRE; FORMULE DE CALCUL INDICATORII SERIILOR CRONOLOGICE Indicatori absoluţi Indicatorii de nivel sunt chiar termenii unei serii formate din indicatori absoluţi: (y 1 , ...y t , ..., y n. ). Nivelul totalizat al termenilor ; se calculează numai dacă termenii seriei cronologice sunt însumabili. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ = n t t y 1 Modificările absolute cu bază fixă: Δ t/1 =y t - y 1 , unde n 2 t , = • • cu bază în lanţ: Δ t/t-1 =y t - y t-1 , unde n 2 t , = Relaţii utile: 1 / 2 1 / m m t t t Δ = Δ ∑ = − , unde n m ≤ Δ t/1 - Δ t-1/1 = Δ t/t-1 , unde n 2 t , = Indicatorii relativi Indice de dinamică cu bază fixă: 1 t 1 t y y I = / sau 100 y y I 1 t 1 t ⋅ = (%) / , unde n 2 t , = • • cu bază în lanţ: 1 t t 1 t t y y I − − = / sau 100 y y I 1 t t 1 t t ⋅ = − − (%) / ,.unde n 2 t , = Relaţii utile: 1 m m 2 t 1 t t I I / / = ∏ = − , unde n m ≤ 1 t t 1 1 t 1 t I I I − − = / / / Ritmul de dinamică cu bază fixă: 100 y y y R 1 1 t 1 t ⋅ − = / sau % (%) / / 100 I R 1 t 1 t − = , unde n 2 t , = • 159
Transcript
Capitolul 5
ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE 5.1. INDICATORI: DEFINIRE; FORMULE DE CALCUL
INDICATORII SERIILOR CRONOLOGICE
Indicatori absoluţi Indicatorii de nivel sunt chiar termenii unei serii formate din indicatori
absoluţi: (y1, ...yt, ..., yn.).
Nivelul totalizat al termenilor ; se calculează numai dacă termenii
seriei cronologice sunt însumabili.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∑=
n
tty
1
Modificările absolute cu bază fixă: Δt/1=yt - y1 , unde n2t ,= •
• cu bază în lanţ: Δt/t-1=yt - yt-1 , unde n2t ,= Relaţii utile:
1/2
1/ m
m
ttt Δ=Δ∑
=− , unde nm ≤
Δt/1 - Δt-1/1 = Δt/t-1 , unde n2t ,=
Indicatorii relativi
Indice de dinamică
cu bază fixă: 1
t1t y
yI =/ sau 100yyI
1
t1t ⋅=(%)/ , unde n2t ,= •
• cu bază în lanţ: 1t
t1tt y
yI−
− =/ sau 100yyI
1t
t1tt ⋅=
−− (%)/ ,.unde n2t ,=
Relaţii utile:
1m
m
2t1tt II // =∏
=− , unde nm ≤
1tt11t
1t III
−−
= //
/
Ritmul de dinamică
cu bază fixă: 100y
yyR1
1t1t ⋅
−=/ sau %(%)// 100IR 1t1t −= , unde n2t ,= •
159
• cu bază în lanţ: 100/ ⋅−
=−
−−
1t
1tt1tt y
yyR sau %100(%)1/1/ −= −− tttt IR ,
unde n2t ,=
Valoarea absolută a unui procent de dinamică
cu bază fixă: 1/
1/1/
t
tt R
A Δ= sau
100yA 1
1t =/ •
• cu bază în lanţ: 1/
1/1/
−
−−
Δ=
tt
tttt R
A sau 100yA 1t
1tt−
− =/
Indicatori medii
Nivelului mediu
pentru o serie cronologică de intervale de timp formate din indicatori absoluţi:
•
n
yy
n
tt∑
== 1
pentru o serie de momente cu intervale egale între momente (media cronologică simplă ):
•
1n2yyyyy
2y
yn
1ni321
cr −
+++++++=
−......
pentru o serie de momente cu intervale neegale între momente (media cronologică ponderată):
•
∑−
=
−+−−
− ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= 1n
1ii
1nn
1n2n1n
i1ii
212
11
cr
d
2dy
2ddy
2ddy
2ddy
2dy
y......
De reţinut că, pentru seria de momente cu intervale neegale între datele înregistrate, media cronologică ponderată este singurul indicator mediu ce caracterizează seria.
Modificarea medie absolută:
1n1tt
−
Δ=Δ ∑ −/ sau
1nyy 1n
−−
=Δ
160
Indicele mediu de dinamică )(I :
1n1ttII −
−∏= / sau 1n
1
n
yyI −=
Dacă dispunem de mai mulţi indici medii ce caracterizează mai multe subperioade succesive de timp, indicele mediu ce caracterizează întreaga perioadă se calculează astfel:
∑= ⋅⋅⋅⋅=
k
1ii
ki21
nnk
ni
n2
n1 IIIII ......
în care: I - indicele mediu general de dinamică;
iI - indicii medii parţiali de dinamică; ni - numărul indicilor cu bază în lanţ ce intră în componenţa fiecărui
indice mediu parţial; k - numărul subperioadelor, adică al indicilor medii parţiali.
Ritmul mediu de dinamică ( ) %(%) 100IR −=
AJUSTAREA SERIILOR CRONOLOGICE
Evoluţia oricărui fenomen în timp este rezultanta unor influenţe de natură sistematică şi a altora de tip aleator.
Componentele sistematice sunt: • trendul (tendinţa generală) ; • sezonalitatea care se manifestă sub formă de oscilaţii la intervale
regulatede timp mai mici de un an (semestru, trimestru, lună, decadă, săptămână);
• ciclicitatea care se prezintă sub formă de fluctuaţii în jurul tendinţei înregistrate la perioade mai mari de un an.
Componentele aleatoare se manifestă sub forma unor abateri întâmplătoare de la ceea ce are sistematic evoluţia variabilei analizate.
Prin ajustarea termenilor unei serii de date statistice, se înţelege operaţia de înlocuire a termenilor reali cu termeni teoretici ce exprimă legitatea specifică de dezvoltare obiectivă a fenomenelor la care se referă datele.
Metode simple de ajustare a seriilor cronologice
Metoda mediilor mobile
Se foloseşte pentru seriile care prezintă oscilaţii sezoniere şi ciclice.
161
Mediile mobile sunt medii parţiale, calculate dintr-un număr prestabilit de termini (k), în care se înlocuieşte pe rând primul termen cu termenul ce urmează în seria care trebuie să fie ajustată:
kyyyy 1ki1ii
i−++ +++
=L , unde )(, 1kn1t −−=
În practică, putem calcula medii mobile dintr-un număr impar de termeni sau dintr-un număr par de termeni în funcţie de periodicitatea influenţei factorilor sezonieri.
Când ajustarea se face pe baza mediilor mobile calculate dintr-un număr par de termeni, mediile mobile se obţin în două trepte:
1) medii mobile provizorii ( )iy care se plasează între termenii seriei;
2) medii mobile definitive sau centrate ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
= +
2yyy 1ii
i , care se plasează
în dreptul termenilor seriei şi cu care se face ajustarea termenilor seriei iniţiale.
Metoda grafică Acest procedeu presupune reprezentarea grafică a seriei de date empirice
prin cronogramă (historiogramă), urmată de trasarea vizuală a dreptei sau curbei, astfel încât să aibă abateri minime faţă de poziţia valorilor reale în grafic.
Metoda modificării medii absolute Ajustarea prin acest procedeu se foloseşte atunci când, prelucrând seria de
date, se obţin modificări absolute cu bază în lanţ apropiate ca valoare unele de altele.
Funcţia de ajustare: Δ⋅−+= )( 1tyY 1t , unde n1t ,=
sau Δ⋅+= i0t tyY
i
unde: y0 - reprezintă termenul luat ca bază de ajustare (acea valoare care se
apropie cel mai mult de dreapta sau curba trasată vizual în grafic); ti - reprezintă variabila de timp în raport cu baza de ajustare folosită
(poziţie pe care termenul respectiv o are faţă de termenul ales ca bază).
Metoda indicelui mediu de dinamică
Acest procedeu se foloseşte atunci când termenii seriei au tendinţa de creştere de forma unei progresii geometrice, în care raţia poate fi considerată ca egală cu indicele mediu de dinamică ( )I .
Funcţia de ajustare: ( )1t
1t IyY −⋅=
162
sau
ii
t0t IyY ⋅=
unde: y0 - reprezintă termenul luat ca bază de ajustare; ti - reprezintă variabila de timp în raport cu baza de ajustare folosită
(poziţie pe care termenul respectiv o are faţă de termenul ales ca bază).
Metode analitice de ajustare
Metodele analitice au la bază un model matematic, în care tendinţa centrală a evoluţiei se exprimă ca o funcţie de timp:
y = f(t) numită funcţie de ajustare,
în care: t - reprezintă valorile variabilei independente (timpul); y - reprezintă valorile variabilei dependente (fenomenele) care sunt
prezentate în seria cronologică. Alegerea tipului de funcţie care se potriveşte cel mai bine pentru
exprimarea trendului se face pe baza următoarelor criterii aplicabile opţional: criteriul bazat pe reprezentarea grafică. Se construieşte cronograma şi se apreciază forma tendinţei de evoluţie
•
•
•
criteriul diferenţelor. Se procedează la calculul diferenţelor absolute cu bază în lanţ de ordinul unu, doi etc. până când obţinem diferenţele de ordin i aproximativ constante ajustarea făcându-se după polinomul de gradul i. Dacă fenomenul cercetat s-a dezvoltat în progresie geometrică, adică indicii cu bază în lanţ sunt constanţi (It/t-1 = constant), admitem că seria cronologică respectivă prezintă o tendinţă exponenţială.
În urma alegerii funcţiei de ajustare după criteriile prezentate se impune estimarea parametrilor acestor funcţii utilizând metoda celor mai mici pătrate. Această metodă are ca funcţie obiectiv minimizarea sumei pătratelor abaterilor valorilor reale de la cele ajustate deci:
( )∑ − 2ti i
Yymin , unde ti= 1, 2, ... ,n
Trend liniar it btaY
i+=
în care:
itY - reprezintă valorile ajustate calculate în funcţie de valorile
caracteristicii factoriale (ti); a - reprezintă parametrul care are sens de mărime medie şi arată ce nivel
ar fi atins y dacă influenţa tuturor factorilor cu excepţia celui înregistrat, ar fi fost constantă pe toată perioada;
163
b - reprezintă parametrul care sintetizează numai influenţa caracteristicii factoriale (t):
ti - reprezintă valorile caracteristicii factoriale care, în cazul seriilor cronologice, este timpul.
Parametrii a şi b se determină prin rezolvarea sistemului de ecuaţii normale obţinut prin metoda celor mai mici pătrate ( [ ]∑ =+− min)( 2
ii btay ):
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+
=+
∑∑∑
∑∑
===
==
n
1iii
n
1i
2i
n
1ii
n
1ii
n
1ii
yttbta
ytbna
Pentru = 0, sistemul de ecuaţii normale devine: ∑=
n
1iit
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
∑∑
∑
==
=
i
n
1ii
n
1i
2i
n
1ii
yttb
yna , de unde
n
ya
n
ii∑
== 1 ;
∑
∑
=
== n
ii
i
n
ii
t
ytb
1
2
1
Înlocuind valorile calculate ale celor doi parametri în ecuaţia de regresie şi apoi înlocuind succesiv valorile variabilei timp se obţin valorile ajustate ale caracteristicii rezultative.
Verificarea corectitudinii calculării ecuaţiilor de regresie se face pe baza
relaţiei: . ∑∑==
=n
1ii
n
1it yYi
Unele criterii de alegere a procedeelor de ajustare a) Se calculează suma abaterilor, luate în valoare absolută, dintre datele
empirice şi cele ajustate tt Yy − . Se consideră cel mai potrivit
procedeul la care se obţine ∑=
−n
1itt Yy = min.
b) se calculează coeficientul de variaţie:
100y
dV ty
ty ⋅=′ //
în care tyd / reprezintă abaterea medie liniară a valorilor reale de la
valorile ajustate calculată după formula: n
Yyd
n
1itt
ty
∑=
−=/ .
164
EXTRAPOLAREA SERIILOR CRONOLOGICE
Extrapolarea datelor unei serii statistice are la bază metodele şi procedeele folosite la ajustare.
Pentru a face distincţie între termenii ajustaţi ( ) şi cei extrapolaţi - care
sunt consideraţi tot termenii teoretici - se vor nota termenii extrapolaţi cu iar variabila de timp cu t
itY,
itY ′i’.
Deci, formulele de calcul vor fi: • pentru extrapolarea pe baza sporului mediu: Δ⋅+=′ '
i0t tyYi
• pentru extrapolarea pe baza indicelui mediu de creştere: ( ) 'i
i
t0t IyY ⋅=′
Aceste formule se aplică atunci când se folosesc valorile parametrilor ( )I,Δ din perioada expirată. În cazul când aceştia se modifică, formulele se modifică cu un coeficient k, astfel:
Δ′+=′ 'i0t tyY
i în care: Δ⋅=Δ k'
( ) it0t IyY ′′⋅=′ în care: IkI ⋅=′
Coeficientul k poate să fie mai mare sau mai mic decât 1. Dacă k<1, atunci înseamnă că se reduce variaţia medie absolută sau
relativă, după cum se aplică la primul sau la al doilea procedeu. Dacă k>1, atunci înseamnă că valoarea parametrilor folosiţi în extrapolare
este mai mare decât în perioada de analizat. Pentru extrapolarea pe baza metodelor analitice de calcul se pune, în primul
rând, condiţia ca datele să se determine astfel încât să nu modifice originea variaţiei
de timp care este în mijlocul seriei cronologice şi pentru care . Deci,
variaţia de timp se extinde în ambele sensuri, deşi interesează numai tendinţa obţinută prin extinderea seriei pentru perioada următoare.
0tn
1ii =∑
=
Şi în acest caz se vor folosi aceleaşi notaţii, adică termenii extrapolaţi se vor nota cu , astfel:
itY ′'it btaY
i+=′
Analiza seriilor cronologice care prezintă oscilaţii sezoniere
A. Modelul multiplicativ:
ijjijij SYy ε⋅⋅= unde:
ijy reprezintă valorile reale ale termenilor seriei;
ijY reprezintă valorile componentei trend;
165
jS reprezintă valorile componentei sezoniere;
ijε reprezintă valorile componentei aleatoare sau reziduale n1i ,= (perioada, ex: anul) m1j ,= (subperioada, ex:trimestrul, m=4)
Analiza presupune parcurgerea următorilor paşi:
a) se ajustează seria folosind metoda mediilor mobile, obţinându-se valorile ajustate ( ); ijY
b) pentru înlăturarea componentei de tendinţă se calculează raportul între fiecare termen real ( ) şi cel ajustat ( ); rezultatul raportului reprezintă produsul dintre componenta sezonieră şi cea aleatoare (reziduală);
ijy ijY
c) pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior se determină medii aritmetice parţiale pe sezoane (ex: trimestre), care reprezintă estimatorii bruţi ai componentei sezoniere:
nYy
S
n
1i ij
ij
j
∑==′
d) se calculează media estimatorilor bruţi ai componentei sezoniere:
m
Sm
jj∑
=
′1 ;
e) se calculează indicii de sezonalitate raportând fiecare estimator la media acestora:
m
S
SI m
1jj
jS j
∑=
′
′=
f) se calculează valorile desezonalizate ale seriei raportând valorile reale la indicii de sezonalitate corespunzători şi se ajustează seria cronologică obţinută folosind metoda analitică cea mai potrivită;
g) se determină valorile previzionate pentru orizontul de prognoză, prelungind variabila timp, calculând valorile de tendinţă (ajustate) şi înmulţindu-le cu coeficienţii de sezonalitate corespunzători.
166
B. Modelul aditiv:
ijjijij SYy ε++=
Analiza presupune parcurgerea următorilor paşi: a) se ajustează seria folosind metoda mediilor mobile, obţinându-se
valorile ajustate ( ); ijY
b) pentru înlăturarea componentei de tendinţă se calculează diferenţa dintre fiecare termen real ( ) şi cel ajustat ( ); rezultatul diferenţei reprezintă suma dintre componenta sezonieră şi cea aleatoare (reziduală);
ijy ijY
c) pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior se determină medii aritmetice parţiale pe sezoane (ex: trimestre), care reprezintă estimatorii bruţi ai componentei sezoniere:
( )n
YyS
n
iijij
j
∑=
−=′ 1
d) se calculează media estimatorilor bruţi ai componentei sezoniere:
m
Sm
jj∑
=
′1 ;
e) se calculează abaterile sezoniere:
m
SSA
m
jj
jS j
∑=
′−′= 1
f) se calculează valorile desezonalizate ale seriei ca diferenţă între valorile reale şi abaterile sezoniere corespunzătoare şi se ajustează seria cronologică obţinută folosind metoda analitică cea mai potrivită;
g) se determină valorile previzionate pentru orizontul de prognoză astfel: se prelungeşte variabila timp, se calculează valorile de tendinţă (ajustate) la care se adună abaterile sezoniere corespunzătoare.
167
5.2. PROBLEME REZOLVATE Problema 1. Înzestrarea populatiei României cu televizoare a înregistrat
următoarea evoluţie în perioada 1994-2003: Tabelul 5.1
*) la sfârşitul anului Sursa: Anuarul Statistic al României, anul 2004
Se cere: 1. să se reprezinte grafic seria cronologică; 2. să se caracterizeze seria cronologică folosind indicatori absoluţi,
relativi şi medii; 3. să se determine tendinţa de evoluţie pe baza metodelor mecanice şi
analitice; 4. să se extrapoleze seria pentru următorii doi ani.
Rezolvare
1. Reprezentarea grafică indicată în acest caz este cronograma (historiograma):
0
50
100
150
200
250
300
350
400
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
Anul
buc.
/1.0
00 lo
c.
Figura 5.1 Evoluţia înzestrării populaţiei României cu televizoare în perioada 1994-2003
Graficul indică o tendinţă de creştere continuă, liniară, a înzestrării populaţiei României cu televizoare în intervalul 1994-2003.
2. Prelucrarea seriilor cronologice de momente egal distanţate se face asemenănător seriilor cronologice de intervale, cu excepţia nivelului mediu al termenilor seriei, care se calculează cu o formulă diferită.
168
Nivelul totalizat al termenilor seriei nu se poate calcula în acest caz deoarece însumarea nivelurilor absolute nu are sens.
Indicatorii absoluţi şi relativi ai acestei serii cronologice se trec în tabelul 5.2 şi pot fi determinaţi după cum este prezentat în cele ce urmează.
Indicatori absoluţi • nivelul absolut este reprezentat de termenii seriei cronologice
(vezi tabelul 5.2, coloana 1); ( )ty
• modificarea absolută cu bază fixă arată cu cât a crescut numărul de televizoare la 1.000 de locuitori în fiecare an, comparativ cu anul 1994;
Indicatori relativi • indicele de dinamică cu bază fixă:
1008201
y100yyI t
1
t1t ,/ == 102t ,=, (vezi tabelul 5.2, coloana 5)
169
• indicele de dinamică cu bază în lanţ:
100yyI
1t
t1tt
−− =/ 102t ,=, (vezi tabelul 5.2, coloana 6)
Produsul indicilor cu bază în lanţ este:
6451yyI
1
1010
2t1tt ,/ ==∏
=− sau 164,5%
• ritmul de dinamică cu bază fixă:
100I100y
R 1t1
1t1t −=
Δ= (%)/
// 102t ,=, , (vezi tabelul 5.2, coloana 7)
• ritmul de dinamică cu bază în lanţ:
100I100y
R 1tt1t
1tt1tt −=
Δ= −
−
−− (%)/
// 102t ,=, (vezi tabelul 5.2, col. 8)
• valoarea absolută a unui procent din ritmul de bază fixă are aceeaşi mărime pentru fiecare moment t (fiecare an):
0182100y
RA 1
1t
1t1t ,
/
// ==
Δ= buc./1.000 locuitori
Acest rezultat arată că mărirea cu 1% a înzestrării populaţiei României cu televizoare, în orice an, comparativ cu anul 1994, este echivalentă cu un spor absolut de 2,018 buc. la 1.000 de locuitori.
• valoarea absolută a unui procent din ritmul cu bază în lanţ este o mărime variabilă:
100y
RA 1t
1tt
1tt1tt
−
−
−− =
Δ=
/
// 102t ,= , (vezi tabelul 5.2, coloana 9)
Indicatori medii • nivelul mediu se calculează aplicând formula mediei cronologice
simple deoarece aceasta este o serie cronologice de momente situate la distanţe egale de timp:
55263110
2336673277224
28201
1n2yyy
2y
yn
1n21
cr ,
,,...,,...=
−
++++=
−
++++=
−
Deci, =263,55 buc./1000 loc. cry
• modificarea medie absolută:
28189
82013366110yy
1n110
n
2t1tt
,,,/
=−
=−−
=−
Δ=Δ∑=
−
buc./1.000 loc.
170
• indicele mediu de dinamică:
056916451yyIII 99
1
101n1n1n
n
2t1tt ,,// ===== −−
=−∏ sau 105,69%
• ritmul mediu: ( ) %,% 695100IR =−=
3. Reprezentarea grafică a acestei serii cronologice, precum şi indicatorii absoluţi şi relativi calculaţi anterior arată o tendinţă de creştere relativ uniformă a numărului de televizoare la 1.000 de locuitori. Metoda mecanică indicată în acest caz este metoda modificării medii absolute, iar ca metodă analitică este recomandabilă ajustarea pe baza unei funcţii liniare.
4. Pentru a extrapola seria cronologică este necesar să se aleagă în prealabil cea mai bună metodă de ajustare pentru aceste date. În acest scop pot fi folosite mai multe criterii, dintre care se utilizează frecvent compararea coeficienţilor de variaţie calculaţi după relaţia:
100yn
Yyv
n
1iii
⋅−
=∑=
172
Se calculează coeficientul de variaţie pentru fiecare metodă de ajustare folosită anterior. Se vor folosi abaterile calculate în tabelul 5.3 (coloanela 3 şi 6).
• metoda modificării absolute medii:
=⋅⋅
= 1005526310
84193v1 ,, 7,35%
• metoda ajustării analitice liniare:
=⋅⋅
= 1005526310
8127v2 ,, 4,85%
Se reţine metoda de ajustare pentru care coeficientul de variaţie are o valoare mai mică. În acest caz metoda ajustării analitice liniare este cea mai bună.
Valorile extrapolate pentru următorii doi ani se obţin folosind aceeaşi formulă de ajustare, dând variabilei t valorile următoare pe axa timpului: 11 şi 13, păstrând aceeaşi origine (considerând că seria se prelungeşte în ambele sensuri):
prin metoda mediilor mobile, obţinându-se valorile ajustate reprezintă valorile
componentei trend . ijY
Deoarece datele de care dipunem sunt trimestriale (durata ciclului este de un an), mediile mobile se calculează din patru termeni. Pentru ca mediile astfel calculate să fie centrate se determină în două faze (medii mobile provizorii şi medii mobile definitive).
174
Mediile mobile provizorii:
;704
411507020y1 =+++
= ;,5724
304015070y2 =+++
=
;,5774
903040150y3 =+++
= ;854
180903040y4 =+++
=
;904
601809030y5 =+++
= ;,5924
406018090y6 =+++
=
;,5974
1104060180y7 =+++
= ;,51124
2401104060y8 =+++
=v
.1254
11024011040y9 =+++
=
Mediile mobile definitive se calculează ca medii mobile de câte două medii mobile provizorii astfel:
25712
57270Y13 ,,=
+=
752
577572Y14 =+
=,,
....................................
Pentru înlăturarea componentei de tendinţă se calculează raportul între fiecare termen real ( ) şi cel ajustat ( ) (tabelul 5.5, coloana 4). ijy ijY
Rezultatul rapotului dintre valorile reale ( ) şi cele ajustate ( ) reprezintă produsul dintre componenta sezonieră şi cea aleatoare (reziduală).
ijy ijY
Pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior (tabelul 5.5, coloana 4) se determină medii aritmetice parţiale pe sezoane (trimestre), care reprezintă estimatorii bruţi ai componentei sezoniere:
nYy
S
n
1i ij
ij
j
∑==′
Pentru determinarea estimatorilor bruţi ai componentei sezoniere, datele vor fi sistematizate ca în tabelul 5.6.
9802
930031S37502
380370S 21 ,,, ;,,,=
+=′=
+=′
5802
630530S03522
971102S 43 ,,, ;,,,=
+=′=
+=′
175
Tabelul 5.5 Anul Trim. Număr bilete Medii mobile
din patru termeni
Trend
ij
ij
Yy
i j ijy ijY
A B 1 2 3 4 I 20 - - -
II 70 - - 70
III 150 71,25 2,10 2002
72,5 IV 40 75 0,53
77,5 I 30 81,25 0,37 85
II 90 87,5 1,03 90
III 180 91,25 1,97 2003
92,5 IV 60 95 0,63
97,5 I 40 105 0,38 112,5
II 110 118,75 0,93 125
III 240 - - 2004
- IV 110 - -
Următorul pas este acela de a calcula media estimatorilor bruţi ai
componentei sezoniere:
992504
5800329803750m
Sm
1jj
,,,,,=
+++=
′∑= .
Indicii de sezonalitate se determină raportând fiecare estimator la media
acestora:
m
S
SI m
1jj
jS j
∑=
′
′= .
176
Astfel,
584099250580I0452
99250032I
987099250980I3780
992503750I
43
21
SS
SS
,,, ;,
,,
,,, ;,
,,
====
====
Tabelul 5.6
ij
ij
Yy
Indici de Indici de sezonalitate
bruţi sezonalitate
Trim. SjΙ2002 2003 2004 jS0 1 2 3 4 5 I - 0,37 0,38 0,375 0,378 II - 1,03 0,93 0,98 0,987 III 2,10 1,97 - 2,035 2,045 IV 0,53 0,63 - 0,58 0,584 Valorile desezonalizate ale seriei se determină raportând valorile reale la
indicii de sezonalitate corespunzători (tabelul 5.7, coloana 3)
Tabelul 5.7 Anul Trim. Număr bilete
Indici de
sezonalitate Valori
desezonalizate (i) j ijy(col.1/col.2)
A B 1 2 3 I 20 0,378 52,91 II 70 0,987 70,92 III 150 2,045 73,35 2002
IV 40 0,584 68,49 I 30 0,378 79,37 II 90 0,987 91,19 III 180 2,045 88,02 2003
IV 60 0,584 102,74 I 40 0,378 105,82 II 110 0,987 111,45 III 240 2,045 117,36 2004
IV 110 0,584 188,36 Total - - 1048,39
Pentru previzionarea numărului de bilete vândute în anul următor se reprezintă grafic seria valorilor desezonalizate şi se alege modelul de ajustare corespunzător:
177
020406080
100120140160180200
Trim. I Trim.II
Trim.III
Trim.IV
Trim. I Trim.II
Trim.III
Trim.IV
Trim. I Trim.II
Trim.III
Trim.IV
perioada
nr. b
ilete
2002 2003 2004
Figura 5.3 Numărul biletelor vândute trimestrial în perioada 2002-2003 (valori desezonalizate)
Graficul sugerează utilizarea modelului liniar pentru ajustare: it btaY
i+=
Pentru calcularea parametrilor modelului liniar se efectuează o serie de calcule intermediare (vezi tabelul 5.8).
Tabelul 5.8
Valori desezonalizate
it ii yt ⋅ it t24543687Yi
⋅+= ,, 2it
Anul Trim. (y ) i
A B 1 2 3 4 5 I 52,91 -
11121 -582,01 40,67
II 70,92 -9 81 -638,28 49,16 III 73,35 -7 49 -513,45 57,65
2002
IV 68,49 -5 25 -342,45 66,14 I 79,37 -3 9 -238,11 74,63 II 91,19 -1 1 -91,19 83,12 III 88,02 1 1 88,02 91,61 2003
IV 102,74 3 9 308,22 100,10 I 105,82 5 25 529,1 108,59 II 111,45 7 49 780,15 117,08 III 117,36 9 81 1056,24 125,57 2004
IV 188,36 11 121 2071,96 134,06 Total - 1048,39 0 572 2428,2 1048,32
178
;,, 368712
391048n
ya
n
1ii
===∑=
2454572
22428
t
ytb n
1i
2i
i
n
1ii
,,===
∑
∑
=
=
ii t24543687Y ⋅+= ,,Aşadar: .
Pentru determinarea valorilor previzionate pentru anul 2005 se prelungeşte variabila timp, se calculează valorile de tendinţă teoretice care se înmulţesc cu coeficienţii de sezonalitate (vezi tabelul 5.9).
Tabelul 5.9 t Indici de
sezonalitate (I
Valori previzionate
Anul Trim. it t24543687Yi
⋅+= ,,j
) j
53,88 I 13 142,55 0,378 149,07 II 15 151,04 0,987
III 17 159,53 2,045 326,23 2005
98,12 IV 19 168,02 0,584
Propunem, în continuare, determinarea mediilor mobile cu ajutorul programului EXCEL:
1. Se introduc datele iniţiale pe o coloană (număr bilete vândute). În A1 se tastează „Număr bilete“.
2. Se apasă Tools/Data Analysis şi Moving Average. 3. Se specifică Input Range (A1:A13). Se selectează Labels in first row. 4. Se specifică numărul de subperioade la Interval (4). 5. Se specifică Output Range (B1). 6. Dacă se doreşte reprezentarea grafică a seriei se selectează Chart
Output. Se apasă OK.
Se obţin rezultatele:
179
Pe coloana B sunt afişate mediile mobile din câte 4 termeni. Observăm că s-au obţinut mediile mobile provizorii. Pentru a obţine medii mobile definitive se procedează astfel: se selectează din nou meniul Tools - Data Analysis – Moving average; în fereastra de dialog se introduce la Input Range câmpul care conţine mediile mobile provizorii; se bifează Labels şi the First Row; se tastează 2 la Intervals; se specifică Output Range; se bifează Chart Output. Deoarece în cazul calculării mediilor mobile în două etape, graficul arată rezultatele parţiale, se selectează graficul şi apoi se selectează meniul Chat - Source Data - Series şi se modifică seria Actual punând în locul câmpului cu medii mobile provizorii, câmpul cu datele iniţiale.
Problema 3. Cheltuielile de funcţionare ale unei unităţi bancare au înregistrat în perioada 1999-2005 următoarea dinamică:
Tabelul 5.10 Anul 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Dinamica cheltuielilor faţă de anul
1999 (%)
100 110 120 134 147 166 186
Se cere: 1. să se determine dinamica cheltuielilor de funcţionare în fiecare an faţă
de anul precedent; 2. să se reconstituie seria cronologică ştiind că valoarea absolută a unui
procent de creştere a cheltuielilor în orice an al perioadei considerate comparativ cu anul 1999 este de 200 RON;
3. să se ajusteze seria cronologică folosind cea mai potrivită metodă mecanică şi să se estimeze cheltuielile de funcţionare ale băncii în anul 2006.
180
Rezolvare
( )( )%/1tI1. Pornind de la indicii de dinamică cu bază fixă din tabelul 5.10 se calculează indicii cu bază mobilă astfel:
( ) 100III
11t
1t1tt ⋅=
−−
/
/%/ 7,2t =,
Exemplu:
( ) 110100100110100
III
11
1212 =⋅=⋅=
/
/%/ %
( ) 09109100100120100
III
12
1323 ,
/
/%/ =⋅=⋅= %
2. Valoarea absolută a unui procent de creştere faţă de anul 1999 este:
./ RON200100yA 1
1t == 00020y1 .= ⇒ RON
Termenii seriei ( se determină cu relaţia: )ty72t ,=1t1t Iyy /⋅= ,
Exemplu: 2200011020000Iyy 1212 =⋅=⋅= %/ RON 2400012020000Iyy 1313 =⋅=⋅= %/ RON etc.
3. Indicii cu bază în lanţ (tabelul 5.11, coloana 3) au valori apropiate, ceea ce indică o tendinţă de creştere exponenţială a cheltuielilor. Această tendinţă poate fi verificată şi cu ajutorul graficului termenilor seriei cronologice (cronograma).
ty
Valorile ajustate se determină cu relaţia: tY
( ) 1t1t IyY
−⋅= 71t ,=, ,
181
unde:
1081861yyII 66
1
71nn
1t1tt ,,/ ==== −
=−∏ , sau 110,8%
Pentru a estima cheltuielile de funcţionare ale băncii în anul 2006 se extrapolează seria cronologică:
( ) 45430108120000IyY 8812006 =⋅=⋅= , RON
Problema 4. O casă de schimb valutar a înregistrat pe parcursul unei
săptămâni următoarea evoluţie a numărului tranzacţiilor zilnice:
Tabelul 5.12 Ziua Luni Marţi Miercuri Joi Vineri Sâmbătă
Modificarea absolută a
numărului de tranzacţii faţă de ziua precedentă
- +10 -5 +7 +10 +2
Se cere: 1. Să se reconstituie seria cronologică privind numărul de tranzacţii
zilnice ştiind că numărul tranzacţiilor a fost cu 24% mai mare sâmbătă faţă de luni.
2. Să se calculeze indicatorii medii ce caracterizează seria.
Rezolvare
61t ,=1. Notăm termenii acestei serii cronologice de intervale cu , ty . Însumând modificările absolute cu bază în lanţ 1tt −Δ / din tabelul 5.12,
obţinem creşterea numărului de tranzacţii pe total:
16
6
2t1tt // Δ=Δ∑
=− 16 yy2107510 −=+++− ⇔ ⇔
24yy 16 =− (1) ⇔
Indicele de dinamică pe total săptămână a fost 124%:
124100yy
1
6 =⋅ (2)
Din relaţiile (1) şi (2) se pot calcula termenii externi ai seriei cronologice: şi . Se obţin rezultatele: 1y 6y 100y1 = 124y6 = şi
182
Ceilalţi termeni ai seriei cronologice pot fi determinaţi cu relaţia:
52t ,=1tt1tt yy −− Δ+= / ,
110yy 1212 =Δ+= /
105yy 2323 =Δ+= /
112yy 3434 =Δ+= /
122yy 4545 =Δ+= /
2. Indicatorii medii ai seriei cronologice sunt:
171126
yyyn
yy 621
n
1tt
,...=
+++==
∑= tranzacţii/zi
845
yy1nyy
1n161n
n
2t1tt
,/
=−
=−−
=−
Δ=Δ∑=
−
tranzacţii/zi
0441yy
yyII 5
1
61n
1
n1nn
2t1tt ,/ ==== −−
=−∏ sau 104,4%
( ) ( ) %,,%% 441004104100IR =−=−=
Problema 5. Stocul de combustibil existent în depozitul unei firme a înregistrat următoarea evoluţie pe parcursul unui an:
Se cere: 1. Să se reprezinte grafic evoluţia stocului de combustibil pe fiecare
semestru în parte. 2. Să se calculeze stocul mediu în semestrele I şi II. Rezolvare
1. Reprezentarea grafică a seriilor cronologice de momente cu intervale
egale între momente (semestrul II) este cronograma, iar pentru seriile cronologice de momente cu intervale neegale (semestrul I) se foloseşte graficul prin coloane nelipite centrate pe momente.
183
0
50
100
150
200
250
300
350
data inregistrarii
stoc
ul (l
)
03.01 30.01 25.02 03.04 10.05 20 06 1 07
Figura 5.4 Situaţia stocului în semestrul I
0
50
100
150
200
250
300
350
Data inregistrarii
Stoc
ul (l
)
01.07 01.08 01.09 01.10 01. 11 01.12
Figura 5.5 Situaţia stocului în semestrul II
2. Stocul mediu de combustibil din primul semestru se calculează ca medie cronologică ponderată, ponderile fiind intervalele de timp (distanţele) dintre momentele inventarierilor:
03.01-30.01 d1=27 zile y1=320 30.01-25.02 d2=25 zile y2=210 25.02-03.04 d3=38 zile y3=180 03.04-10.05 d4=37 zile y4=300 10.05-20.06 d5=40 zile y5=250 20.06-01.07 d6=10 zile y =200 6 y7=240
184
=+++++
++
++
++
++
++
+=
654321
67
656
545
434
323
212
11
Isemcr dddddd2d
y2
ddy
2dd
y2
ddy
2dd
y2
ddy2dy
y ..
= 240,25 litri
Stocul mediu din semestrul al II-lea se calculează ca o medie cronologică simplă a ultimilor 7 termeni ai seriei cronologice din tabelul 5.13:
y =240; y7 8=300; y =260; y9 10=220; y11=300; y12=280; y13=200;
=−
++++++=
172
yyyyyy2y
y13
121110987
IIsemcr .. 263,33 litri.
Problema 6. La o societate comercială s-au înregistrat următoarele stocuri pentru marfa A în anul 2005:
Să se determine stocul mediu în trimestrul I 2005 şi stocul mediu pe anul 2005.
Rezolvare
Stocul mediu din trimestrul I se determină ca medie cronologică simplă
deoarece intervalele de timp (distanţele) dintre momentele inventarierilor sunt egale:
. ,. kg331333
2180100150
2120
142yyy
2y
y4
321
Itrim =+++
=−
+++=
Stocul mediu pe întregul an se determină ca medie cronologică ponderată deoarece intervalele de timp (distanţele) dintre momentele inventarierilor sunt neegale:
185
1.01-31.01 d1=1 lună y1=120
31.01-28.02 d2=1 lună y2=150 28.02-31.03 d3=1 lună y3=100 31.03-30.07 d4=4 luni y4=180 30.07-31.10 d5=3 luni y5=110 31.10-31.12 d6=2 luni y6=160
y7=80
=+++++
++
++
++
++
++
+=
654321
67
656
545
434
323
212
11
ancr dddddd2d
y2dd
y2
ddy
2dd
y2
ddy
2ddy
2dy
y . 135,42 kg.
5.3. PROBLEME PROPUSE
Problema 1. Numărul clienţilor noi, persoane fizice, ai unei bănci
comerciale din Bucureşti a evoluat astfel în lunile ianuarie-septembrie din anul 2006:
Tabelul 5.15 Luna 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Număr clienţi (persoane)
120 116 122 144 145 164 175 176 178
Se cere: 1. să se caracterizeze evoluţia numărului de clienţi noi folosind indicatorii
absoluţi, relativi şi medii; 2. să se determine trendul de evoluţie pe baza metodelor mecanice şi
analitice; 3. să se extrapoleze seria pentru lunile octombrie şi noiembrie.
Rezolvare
1. Calculul indicatorilor seriei
Indicatorii absoluţi • nivelul absolut ( este reprezentat de termenii seriei cronologice
(tabelul 5.16, coloana 1),
)ty9,1t = ;
• modificarea absolută cu bază fixă 9,2t =120yyy t1t1/t −=−=Δ , , (tabelul 5.16, coloana 3)
• modificarea absolută cu bază în lanţ (bază mobilă): 9,2t =1tt1t/t yy −− −=Δ , (tabelul 5.16, coloana 4)
186
Tabelul 5.16 Ritmul de modificare
Indicele Modificarea absolută
(pers.) de dinamică
(coef. ) (%) ty 1ttA −/
t Luna (pers.) (pers.) 1t /Δ 1tt −/ 1ttR −/1tI / 1ttI −/ 1tR / Δ
Precizaţi care sunt modalităţile prin care se alege cea mai bună metodă de ajustare:
……………………. …………………… …………………… …………………….
Extrapolarea seriei pentru lunile octombrie şi noiembrie • prin metoda modificării absolute medii:
=⋅Δ+= 9120Y10 pentru luna octombrie =11Y pentru luna noiembrie
• prin metoda indicelui mediu: ( ) 98186I120Y 9
10 ,=⋅= pentru luna octombrie =11Y pentru luna noiembrie
• prin metode analitice =⋅+= 5baY5 pentru luna octombrie
pentru luna noiembrie =6Y
190
Problema 2. Se cunosc următoarele date referitoare la vânzările de băuturi răcoritoare (mii litri) dintr-un supermarket în perioada 2002-2004:
Tabelul 5.19 Anul Trimestrul Vânzări (mii
litri) 2002 I 32
II 48 III 64 IV 58
2003 I 40 II 52 III 74 IV 66
2004 I 44 II 60 III 82 IV 74
Se cere:
1. să se reprezinte grafic seria cronologică;
2. să se analizeze sezonalitatea seriei;
3. să se determine trendul pentru seria desezonalizată.
Rezolvare
1. Din graficul prezentat în figura 5.6 se observă atât existenţa trendului crescător, cât şi afectarea valorilor trimestriale de către factorul sezonier.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 0
I‘0 2
I I‘0 2
I I I‘0 2
IV‘0 2
I‘0 3
I I‘0 3
I I I‘0 3
IV‘0 3
I‘0 4
I I‘0 4
I I I‘0 4
IV‘0 4
T r im .
mii
litri
Figura 5.6 Evoluţia vânzărilor de băuturi răcoritoare în perioada 2002-2004
2. Pentru determinarea abaterilor sezoniere se va utiliza modelul aditiv: ijjijij SYy ε++= ,
191
unde: ijy reprezintă valorile reale ale termenilor seriei;
ijY reprezintă valorile componentei trend;
jS reprezintă valorile componentei sezoniere;
ijε reprezintă valorile componentei aleatoare sau reziduale. n,1i = (anul, n=3) m,1j = (trimestrul, m=4)
Măsurarea oscilaţiilor sezoniere presupune, în prealabil, ajustarea seriei
prin metoda mediilor mobile, obţinându-se valorile ajustate . ijY
Deoarece datele de care dipunem sunt trimestriale, mediile mobile se calculează din patru termeni. Pentru ca mediile astfel calculate să fie centrate se determină în două faze (medii mobile provizorii şi medii mobile definitive).
Calculele sunt redate în tabelul 5.20, coloana 2.
Mediile mobile provizorii:
;,5504
58644832Y1 =+++
= ;,5524
40586448Y2 =+++
=
…………………………………………………………………….
Mediile mobile definitive calculate ca medii mobile de câte două medii mobile provizorii sunt prezentate în tabelul 5.20, coloana 3.
De exemplu:
..........................................
,,, 5512
552550Y13 =+
=
Pentru înlăturarea componentei de tendinţă se calculează diferenţa dintre fiecare termen real ( ) şi cel ajustat ( ) (tabelul 5.20, coloana 4). ijy ijY
Rezultatul diferenţei dintre valorile reale ( ) şi cele ajustate ( ) reprezintă suma dintre componenta sezonieră şi cea aleatoare (reziduală).
ijy ijY
Pentru eliminarea efectului factorilor aleatori, din valorile determinate anterior (tabelul 5.20, coloana 4) se determină medii aritmetice parţiale pe sezoane, care reprezintă estimatorii bruţi ai componentei sezoniere:
( )n
YyS
n
1iijij
j
∑=
−=′
192
Tabelul 5.20
Anul Trim. Nr. bilete (buc.)
Medii mobile
provizorii
Medii mobile
definitive
ijij Yy − Abateri sezoniere
(Sj)
Serie corectată
A B 1 2 3 4 5 6 2002 I 32 - -16 48
II 48 - 50,5 III 64 51,5 12,5 52,5 IV 58
2003 I 40 -16 56
II 52 III 74 IV 66 2004 I 44 -16 60 II 60 III 82 IV 74
Pentru determinarea estimatorilor bruţi ai componentei sezoniere, datele vor fi sistematizate ca în tabelul 5.21.
=′−=−
=−−
=′ 21 S375162
75322
187514S ;,,,
=′=′ 43 SS ; Tabelul 5.21
ijij Yy − Abateri Abateri sezoniere
Trim. 2002 2003 2004 sezoniere brutejS '
jS 0 1 2 3 4 5 I - -14,75 -18 16,375 -16,032 -16 ≅II - III 12,5 IV
193
Pentru determinarea abaterilor sezoniere corectate (nete) se determină în
prealabil media estimatorilor bruţi ai componentei sezoniere:
344,04375,1
45,5145,4375,16
m
Sm
1j
'j
−=−
=++−−
=
∑= .
Abaterile sezoniere nete se calculează astfel:
)0S (m
S
SSm
1jj
m
1j
'j
'jj =−= ∑∑
=
= .
De exemplu:
16032,16344,0375,16S1 −≈−=+−=
……………………………………………..
Seria corectată de sezonalitate se va determina ca: (tabelul 5.20, coloana 6).
jij Sy −
3. Pentru determinarea trendului pentru seria desezonalizată se reprezintă grafic seria (figura 5.7). Determinarea tendinţei seriei se va face cu ajutorul metodei analitice, utilizând funcţia liniară de ajustare. Rezolvarea se va face folosind EXCEL:
1. În celula A1 tastaţi textul „Vânzări“ şi începând de la celula A2 introduceţi datele.
2. Apăsaţi pe iconul Chart Wizard sau pe Insert/Chart. 3. Selectaţi Line şi Next. Introduceţi coordonatele blocului de date
(A1:A10) Apoi selectaţi opţiunile dorite pentru grafic şi apăsaţi Next. Apoi
Finish 4. În graficul obţinut, se poziţionează cursorul pe unul din puncte. Se
apasă pe butonul din dreapta al mouse-ului. Se selectează Add Trendline.
5. Se selectează tipul de funcţie care pare să se potrivească cel mai bine datelor. În cazul problemei noastre se selectează Linear.
6. Se apasă butonul Options. În noua fereastră se selectează Display equation on chart.
194
y = 46,061+1,8112t
35
45
55
65
75
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Vânzări (mii litri) Linear (Vânzări (mii litri))
Figura 5.7 Vânzările trimestriale de băuturi răcoritoare în perioada 2002-2004 (valori desezonalizate)
Aşadar: Yi = 46,061+1,8112ti
Valorile trendului pentru seria desezonalizată vor fi calculate în tabelul de mai jos:
Tabelul 5.22 Anul Trim. Valori
desezonalizate Y
i j jij Sy −
it i = 46,061+1,8112ti
A B 0 1 4 I 1 46,061+1,8112*1=47,87 48 II 2 46,061+1,8112*2= 52 III 50 3 2002
4 IV 52 I 5 56 II 6 56 III 60 7 2003
8 IV 60 I 9 60 II 10 64 III 68 11 2004
12 IV 68
∑Total - 694 tY =
195
Problema 3. Se cunosc următoarele date referitoare la evoluţia numărului de abonamente telefonice particulare în localitatea X, în perioada 2001-2005:
Tabelul 5.22 Anul 2002 2003 2004 2005 Valoarea absolută a unui procent de modificare a nr. de abonamente faţă de anul precedent 110 115 118 122
Se cere:
1. să se reconstituie seria valorilor absolute ştiind că în anul 2005 faţă de anul 2004 numărul abonamentelor a crescut cu 5%;
2. să se caracterizeze seria cu ajutorul indicatorilor medii; 3. să se ajusteze seria folosind metode mecanice şi analitice.
Rezolvare
1. Plecând de la formula de calcul a indicatorului valoarea absolută a unui procent de modificare cu bază în lanţ:
100y
RA 1t
1tt
1tt1tt
−
−
−− =
Δ=
/
// 5,1t = ,
se poate reconstitui seria pentru perioada 2001-2004 (tabelul 5.23, coloana 3):
Se cere: 1. să se reprezinte grafic seria cronologică; 2. să se calculeze indicatorii absoluţi, relativi şi medii pentru această
serie; 3. să se ajusteze seria prin metode mecanice şi analitice; 4. să se extrapoleze seria pentru următorii doi ani utilizând metoda care
ajustează cel mai bine tendinţa de evoluţie.
Problema 2. Se cunosc următoarele date privind activitatea unui agent economic:
Tabelul 5.15 Anul 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Creşterea cifrei de afaceri faţă de anul
precedent (u.m.)
105 93 90 102 89 92 100
Se cere: 1. să se reconstituie seria referitoare la producţia anuală a firmei ştiind că
valoarea absolută a unui procent de creştere a cifrei de afaceri în anul 2001 faţă de anul 1998 este de 200 u.m.;
2. să se calculeze indicatorii absoluţi şi medii; 3. să se ajusteze seria folosind procedeul cel mai potrivit în acest caz.
199
Problema 3. Se cunosc următoarele date privind evoluţia numărului de
clienţi persoane fizice ai unei sucursale aparţinând unei bănci comerciale din judeţul X în perioada 2000-2004:
Tabelul 5.16 Anul 2001 2002 2003 2004
Modificarea relativă a numărului de clienţi faţă de
anul 2000 (%)
10 -20 5 20
Se cere: 1. să se reconstituie seria valorilor absolute ştiind că modificarea absolută
a numărului de clienţi în anul 2001 faţă de anul 2000 a fost de 200 clienţi;
2. să se calculeze indicatorii medii; 3. să se ajusteze seria folosind procedeul cel mai potrivit în acest caz; 4. să se extrapoleze seria pentru anul 2005.
Problema 4. Despre producţia de ţesături a unei fabrici de textile, în
perioada 2000-2004 se cunosc datele: Tabelul 5.17
Anul 2001 2002 2003 2004 Valoarea absolută a unui procent de modificare a producţiei faţă de anul
precedent (mii mp)
100 105 110 120
Se cere: 1. Să se reconstituie seria valorilor absolute ştiind în anul 2004 faţă de
anul 2003 producţia a crescut de 1,05 ori. 2. Să se ajusteze seria folosind metode mecanice şi analitice. 3. Să se extrapoleze seria pentru anul 2005 folosind cea mai potrivită
metodă de ajustare.
Problema 5. Stocurile existente în depozitele unei societăţi comerciale pentru marfa “A” în anul 2000 au fost:
Să se determine stocul mediu pentru anul 2000 şi pentru fiecare semestru
în parte.
200
5.5. INTREBARI RECAPITULATIVE
1. Ce înţelegeţi prin serii cronologice de momente? Exemplificaţi. 2. Ce înţelegeţi prin serii cronologice de intervale? Exemplificaţi. 3. Cum se reprezintă grafic seriile de momente? 4. Cum se reprezintă grafic seriile de intervale? 5. Ce înţelegeţi prin indicator de nivel? 6. Ce înţelegeţi prin indicator de nivel totalizat? 7. Ce semnificaţie are modificarea absolută? 8. Ce particularităţi prezintă termenii unei serii cronologice? 9. Ce condiţii trebuie să îndeplinească termenii unei serii cronologice? 10. Ce condiţie trebuie să îndeplinească termenul seriei luat ca bază fixă? 11. Cum se face trecerea de la bază fixă la bază în lanţ în cazul
modificărilor absolute? 12. Cum se face trecerea de la bază în lanţ la bază fixă în cazul
modificărilor absolute? 13. Cum se exprimă indicii de dinamică? 14. Cum se face trecerea de la bază fixă la bază în lanţ în cazul indicilor de
dinamică? 15. Cum se face trecerea de la bază în lanţ la bază fixă în cazul indicilor de
dinamică? 16. Cum se interpretează valoarea unui indice de dinamică? 17. Ce alt indicator se pot calcula pe baza indicelui de dinamică? 18. Ce înţelegeţi prin ritm de dinamică? 19. Ce semnificaţie are modificarea relativă? 20. Ce indicator se poate calcula pe baza modificării absolute şi a
modificării relative? 21. Cum se caculează nivelul mediu în cazul unei serii cronologice de
momente? 22. Cum se caculează nivelul mediu în cazul unei serii cronologice de
intervale? 23. Când se recomandă calcularea modificării medii absolute? 24. Când se recomandă calcularea modificării medii relative? 25. Când se recomandă calcularea indicelui mediu de dinamică? 26. Ce semnificaţie are nivelul mediu al unei serii cronologice? 27. Ce semnificaţie are modificarea medie absolută? 28. Ce semnificaţie are modificarea medie relativă? 29. Ce semnificaţie are indicele mediu de dinamică? 30. Care pot fi componentele termenilor unei serii cronologice? 31. Care sunt componentele sistematice? 32. Ce înţelegeţi prin trend? 33. Ce înţelegeţi prin sezonalitate? 34. Ce înţelegeţi prin ciclicitate?
201
35. Ce semnificaţie are componenta aleatoare? 36. Ce înţelegeţi prin ajustarea termenilor unei serii cronologice? 37. Care sunt metodele simple de ajustare a seriilor cronologice? 38. Ce înţelegeţi prin medii mobile? 39. Când se recomandă utilizarea metodei mediilor mobile? 40. Când se recomandă utilizarea metodei modificării medii absolute? 41. Când se recomandă utilizarea metodei indicelui mediu de dinamică? 42. Ce criterii se pot utiliza pentru alegerea metodei analitice de ajustare? 43. Ce semnificaţii au parametrii trendului liniar?
