Capitolul 1 PRELUCRAREA PRIMARĂ A DATELOR STATISTICE 1.1. INDICATORI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL A. Gruparea şi clasificarea datelor statistice Gruparea şi clasificarea constă în separarea unităţilor în grupe (clase) omogene. Omogenitatea grupelor presupune o variaţie redusă a valorilor individuale în cadrul fiecărei grupe. După conţinutul caracteristicii de grupare putem avea: • grupări cronologice în cazul în care sistematizarea datelor se face după o variabilă de timp; • grupări teritoriale când sistematizarea datelor se face după o variabilă de spaţiu; • grupări atributive se folosesc pentru toate caracteristicile, în afara caracteristicilor de timp şi spaţiu. Caracteristicile atributive pot fi caracteristici cantitative (numerice) şi calitative (nenumerice). Grupările simple (după o singură variabilă ) pot fi: a) gruparea pe variante dacă amplitudinea variaţiei este mică şi la nivelul unităţilor individuale s-au înregistrat un număr mic de valori distincte (variante); b) gruparea pe intervale de variaţie egale dacă amplitudinea variaţiei este moderată. În acest caz, e necesar, să se stabilească numărul de grupe şi mărimea intervalului de variaţie. Numărului de grupe (k) în cazul unei colectivităţi formată din n unităţi: propunerea lui H.A. Sturges: n 322 3 1 k lg , + = • • o relaţie mai practică: n 2 k ≥ Mărimea intervalului de grupare (h): k x x h min max − = , unde: max x - valoarea maximă înregistrată; min x - valoarea minimă înregistrată. De reţinut: dacă raportul dintre amplitudinea variaţiei şi numărul de grupe nu este un cât exact atunci se rotunjeşte în plus, în funcţie de ordinul de mărime al valorilor caracteristicii; • 9
Transcript
Capitolul 1
PRELUCRAREA PRIMARĂ A DATELOR STATISTICE
1.1. INDICATORI: DEFINIRE, FORMULE DE CALCUL
A. Gruparea şi clasificarea datelor statistice
Gruparea şi clasificarea constă în separarea unităţilor în grupe (clase) omogene. Omogenitatea grupelor presupune o variaţie redusă a valorilor individuale în cadrul fiecărei grupe.
După conţinutul caracteristicii de grupare putem avea: • grupări cronologice în cazul în care sistematizarea datelor se face după
o variabilă de timp; • grupări teritoriale când sistematizarea datelor se face după o variabilă
de spaţiu; • grupări atributive se folosesc pentru toate caracteristicile, în afara
caracteristicilor de timp şi spaţiu. Caracteristicile atributive pot fi caracteristici cantitative (numerice) şi
calitative (nenumerice).
Grupările simple (după o singură variabilă ) pot fi:
a) gruparea pe variante dacă amplitudinea variaţiei este mică şi la nivelul unităţilor individuale s-au înregistrat un număr mic de valori distincte (variante);
b) gruparea pe intervale de variaţie egale dacă amplitudinea variaţiei este moderată. În acest caz, e necesar, să se stabilească numărul de grupe şi mărimea intervalului de variaţie. Numărului de grupe (k) în cazul unei colectivităţi formată din n unităţi:
propunerea lui H.A. Sturges: n32231k lg,+= •
• o relaţie mai practică: n2k ≥Mărimea intervalului de grupare (h):
kxxh minmax −= ,
unde: maxx - valoarea maximă înregistrată;
minx - valoarea minimă înregistrată.
De reţinut: dacă raportul dintre amplitudinea variaţiei şi numărul de grupe nu este un cât exact atunci se rotunjeşte în plus, în funcţie de ordinul de mărime al valorilor caracteristicii;
•
9
dacă rezultatul este un număr întreg, se deschide intervalul extrem corespunzător pentru a include şi valoarea care coincide cu o limită a intervalului (cu limita superioară a ultimului interval dacă intervalele sunt închise la stânga, respectiv cu limita inferioară a primului interval dacă intervalele sunt închise la dreapta).
•
c) gruparea pe intervale de variaţie neegale dacă amplitudinea variaţiei este foarte mare. În cazul în care prin gruparea pe intervale neegale se urmăreşte să se structureze colectivitatea pe tipuri calitative, dacă nu se cunosc valorile (pragurile) care separă tipurile calitative, se procedează mai întâi la gruparea pe intervale egale şi apoi se poate folosi criteriul mediei pentru formarea tipurilor calitative “mic”, “mediu”, “mare”.
d) gruparea pe modalităţi în cazul unei variabile calitative care presupune includerea în aceeaşi grupă (clasă) a tuturor unităţilor la care s-a înregistrat aceeaşi formă de manifestare a caracteristicii.
Gruparea combinată presupune sistematizarea datelor după două sau mai multe caracteristici de grupare (cel mult 4) care pot fi variabile numerice şi/sau calitative. Gruparea combinată impune stabilirea ordinii de grupare pe baza relaţiei de interdependenţă dintre variabile.
Indiferent de scopul şi obiectul grupării, aceasta trebuie să îndeplinească cel puţin următoarele condiţii:
• completitudinea datelor; • omogenitatea grupelor şi subgrupelor; • unicitatea includerii unităţilor într-o singură grupă(clasă) dacă gruparea
este simplă; • continuitatea variaţiei grupelor în cazul variabilelor numerice cu
variaţie continuă, ceea ce practic înseamnă să nu existe grupe cu frecveţe nule care ar duce la întreruperea continuităţii.
Clasificarea se efectuează după variabile nenumerice (calitative) şi are, de regulă, un caracter oficial (ex. CAEN) şi în prealabil trebuie stabilit un nomenclator al claselor.
B. MĂRIMI RELATIVE
Mărimile relative se calculează ca raport a doi indicatori absoluţi cu acelaşi conţinut sau cu conţinut diferit, dar între care există o relaţie de interdependenţă.
Exprimarea mărimilor relative se face în coeficienţi, procente, promile, prodecimile, procentimile, în cazul în care se raportează doi indicatori cu acelaşi conţinut. În caz contrar, se exprimă în unitatea de măsură obţinută ca raport al unităţilor de măsură ale celor doi indicatori raportaţi.
Mărimile relative de structură se obţin ca raport între parte şi întreg şi se exprimă, de regulă, procentual. Sunt singurele mărimi relative care au proprietatea de aditivitate.
10
frecvenţe relative ( sau ): *in *
(%)in•
∑=
= k
1ii
ii
n
nn* sau 100n
nn k
1ii
ii ⋅=
∑=
*(%)
1nk
1ii =∑
=
* , respectiv %. 100nk
1ii =∑
=
*(%)
ponderea sau greutatea specifică ( ) a unui element ( ) în
totalul colectivităţii :
i(%)i gg sau ix
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
n
1iix
•
∑=
= n
1ii
ii
x
xg sau (%) 100
x
xg n
1ii
ii ⋅=
∑=
ponderea sau greutatea specifică a volumului totalizat al caracteristici la nivelul grupei i în volumul totalizat al caracteristicii la nivelul ansamblului:
•
- când dispunem de date individuale:
1 1
1
∑∑
∑
= =
==k
i
n
jij
n
jij
i i
i
x
xg sau 100
1 1
1(%) ⋅=
∑∑
∑
= =
=
k
i
n
jij
n
jij
i i
i
x
xg
unde: xij – valorile individuale; ni – volumul grupei; k – numărul de grupe.
- în cazul distribuţiilor unidimensionale când se cunosc numai produsele de frecvenţe:
∑=
= k
1iii
iii
nx
nxg sau (%) 100nx
nxg k
1iii
iii ⋅=
∑=
unde xi este varianta sau mijlocul intervalului de grupare.
11
Mărimile relative de coordonare se obţin ca raport între două grupe sau între două colectivităţi care coexistă în spaţiu.
Pentru o colectivitate împărţită în două grupe pentru care nivelul pe grupe al variabilei studiate este xA şi xB : B
B
ABA x
xK =/ sau A
BAB x
xK =/
Mărimi relative de coordonare se pot calcula şi pornind de la frecvenţe:
B
ABA n
nK =/ sau A
BAB n
nK =/
Dacă sunt mai multe grupe, se alege una ca bază de comparaţie şi se raportează, pe rând, fiecare grupă la baza aleasă.
Mărimile relative ale dinamicii
În funcţie de baza de comparaţie aleasă putem calcula:
a) mărimi relative ale dinamicii cu bază fixă: xxk
0
t0t/ =
b) mărimi relative ale dinamicii cu bază mobilă (variabilă sau în lanţ):
xxk
1t
t1tt
−− =/
Relaţii de trecere: 1tt01t0t kkk −− = /// :
0/1
1/ m
m
ttt kk =∏
=−
unde Π este semnul produsului.
Putem calcula mărimi relative ale dinamicii la nivelul ansamblului:
∑∑=
0
tans0t x
xk / , respectiv
∑∑
−− =
1t
tans1tt x
xk / .
Mărimile relative ale programării (planificării)
Calculul mărimilor relative ale planului presupune preluarea din evidenţele unităţii economice analizate a informaţiilor referitoare la:
• nivelul fenomenului analizat în perioada de bază (x0); • nivelul planificat (programat) în perioada curentă (xpl); • nivelul realizat în perioada curentă (x1).
12
Din compararea sub formă de raport a celor trei indicatori rezultă:
- coeficientul sarcinii de plan: 0
0/ xx
k plpl =
- coeficientul îndeplinirii planului: xxk
plpl
1/1 =
- coeficientul de dinamică: xxk
0
10/1 =
Între cei trei coeficienţi există relaţia: kkk plpl /10/0/1 .=
Putem calcula mărimi relative ale planului la nivel de ansamblu:
∑∑
=0
0/
x
xk plans
pl respectiv ∑∑=
pl
1anspl1 x
xk /
Interpretarea mărimilor relative ale planului şi a mărimilor relative de dinamică se face în funcţie de conţinutul economic al indicatorului analizat.
De cele mai multe ori mărimile relative de dinamică şi mărimile relative ale planului se exprimă procentual.
Mărimile relative de intensitate se obţin prin raportarea a doi indicatori absoluţi cu conţinut diferit dar între care există o relaţie de interdependenţă.
la nivel parţial: zy
xi
ii = •
• la nivelul ansamblului: ∑∑=
z
yx
i
i sau ∑∑=
z
zxx
i
i i
13
1.2. PROBLEME REZOLVATE
Problema 1. Conform datelor dintr-un eşantion de 60 de firme, referitor la numărul de salariaţi există următoarea situaţie:
Figura 1.3. – Structura firmelor după numărul de salariaţi (%)
Se observă faptul că ponderea firmelor cu peste 295 de salariaţi este nesemnificativă. Cea mai mare pondere (25%) o deţin firmele din grupa 217-243.
Nu există reţete general valabile pentru a asigura o grupare corespunzătoare. În cazul în care la prima încercare nu se obţine o distribuţie care să tindă către normalitate, se reia gruparea modificând fie numărul de grupe, fie limita inferioară a primului interval (dacă la determinarea mărimii intervalului s-a rotunjit în plus) etc.
În cazul nostru, se poate relua gruparea pe şase intervale de variaţie egale.
16
Problema 2. Pentru un eşantion de 70 de firme, dintre cele peste 450 mii care au depus bilanţul la sfârşitul anului 2003, se cunosc următoarele date referitoare la veniturile totale (mil. lei), numărul mediu de salariaţi şi regiunea de dezvoltare în care îşi are firma sediul (vezi tabelul 1.3.).
Tabelul 1.3. Nr. crt.
Venituri totale
Număr de salariaţi
Regiunea Nr. crt. Venituri totale
Număr de salariaţi
Regiunea
A 1 2 3 A 1 2 3 1 61 559 NV 36 1819 16 SM 2 62 6 NE 37 405 16 NE 3 1453 6 SM 38 2734 16 C 4 1870 6 C 39 2983 17 C 5 1785 6 SE 40 717 18 C 6 3402 7 V 41 4084 18 NE 7 1423 7 C 42 6504 19 NE 8 1163 7 V 43 912 20 NE 9 2687 8 SM 44 12 20 NV
10 3892 8 BI 45 1807 20 NV 11 6145 8 BI 46 1997 21 NV 12 427 8 SVO 47 485 22 NE 13 243 8 BI 48 240 24 NV 14 9574 8 BI 49 21 24 NV 15 627 8 SVO 50 6787 26 C 16 1378 8 SVO 51 406 28 SVO 17 67 9 SE 52 36 30 NV 18 17 9 SM 53 180 39 NV 19 63 9 SM 54 1398 41 NV 20 2341 9 V 55 1117 54 SM 21 5346 10 SM 56 7057 58 SM 22 192 10 SM 57 991 59 SM 23 4985 10 SM 58 34 74 SM 24 44 10 C 59 2547 81 NV 25 74 10 C 60 1959 13 NV 26 782 11 C 61 2177 73 NV 27 292 11 SE 62 3228 745 NV 28 9118 11 C 63 757 800 NV 29 20 11 C 64 571 835 BI 30 35 12 V 65 3801 840 BI 31 1048 12 NE 66 923 908 BI 32 97 13 NE 67 46 116 S 33 2831 13 V 68 2041 1271 BI 34 178 13 NE 69 2178 1750 SVO 35 5397 15 NE 70 599 2001 BI
Notă: NE - regiunea Nord Est; SE - regiunea Sud-Est; SM - regiunea Sud-Muntenia; SVO - regiunea Sud-Vest Oltenia; V - regiunea Vest; NV - regiunea Nord-Vest; C - regiunea Centru; BI - regiunea Bucureşti-Ilfov.
17
Se cere: 1. să se precizeze noţiunile de bază cu care se operează; 2. să se efectueze totalurile şi să se precizeze ce operaţiune statistică s-a
efectuat; 3. să se grupeze datele după variabila “venituri totale”, pe şase intervale
egale, şi să se reprezinte grafic; să se grupeze datele, după aceeaşi variabilă, pe intervale neegale, precizându-se criteriul utilizat, şi să se reprezinte grafic;
4. să se grupeze datele după variabila “număr de salariaţi” pe intervale tipice, neegale; să se centralizeze “numărul de salariaţi” şi numărul firmelor pe aceste grupe; să se determine ponderea fiecărei grupe în total; să se calculeze numărul mediu de salariaţi pe întreprindere pentru fiecare grupă;
5. să se analizeze gradul de concentrare, comparând ponderile cumulate ale salariaţilor pe categorii de firme cu ponderile cumulate ale numărului de firme; să se reprezinte grafic;
6. să se grupeze datele după “regiunea de dezvoltare”, să se calculeze frecvenţele cumulate crescător şi descrescător şi să se reprezinte grafic;
7. să se grupeze combinat cele 70 de întreprinderi în funcţie de cele trei variabile luate câte două şi să se precizeze ce fel de serii de repartiţie s-au obţinut.
Rezolvare
1. Datele prezentate în tabelul 1.1. utilizează o serie de noţiuni statistice de bază.
Astfel, colectivitatea statistică este formată din cele 70 de firme şi reprezintă o colectivitate de selecţie.
Unitatea de observare este “firma”. Caracteristicile (variabilele statistice) înregistrate sunt trei: veniturile
totale - variabilă numerică, cantitativă, continuă; numărul de salariaţi – variabilă numerică, cantitativă, discretă; regiunea – variabilă nenumerică, calitativă, de tip teritorial.
2. În urma operaţiunii de centralizare simplă s-au obţinut următoarele valori:
• pentru veniturile totale ( ): iv
13267259921786261v70
1ii =++++=∑
=
L mil. lei
• pentru numărul de salariaţi ( ): is
10989200117506599s70
1ii =++++=∑
=
L salariaţi
18
• pentru variabila “regiune” se poate face o centralizare pe fiecare regiune de dezvoltare (vezi tabelul 1.4.).
Tabelul 1.4. Reginea de dezvoltare
Număr de firme
A 1 NE 8 SE 5 SM 12 SVO 5 V 4 NV 14 C 13 BI 9 Total 70
3. Gruparea datelor după variabila “venituri totale” pe şase intervale de
variaţie egale. Se determină amplitudinea variaţiei (A):
=−= minmax xxA 9562129574 =− mil. lei Determinarea mărimii intervalului de variaţie (h) se face în funcţie de
numărul de intervale (k) şi amplitudine: 6715936
9562kAh ,=== .
Rotunjirea mărimii intervalului se face prin adaos: 1594h = . Repartizarea firmelor pe cele şase intervale de variaţie egale necesită
stabilirea anterioară a unor convenţii. Intervalele vor fi construite pornindu-se de la valoarea minimă înregistrată în cadrul eşantionului, care va fi şi limita inferioară a primului interval. Pentru a nu exista înregistrări repetate, intervalele vor fi închise la stânga şi deschise la dreapta. Se obţine următoarea distribuţie de frecvenţe (tabelul 1.5.).
Distribuţia firmelor după veniturile totale Tabelul 1.5.
Reprezentarea grafică a seriei de distribuţie a firmelor după veniturile totale pe intervale de variaţie egale se realizează cu ajutorul histogramei (figura 1.4.) şi eventual, a poligonul frecvenţelor (figura 1.5.).
41
15
5 4 3 2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Venituril totale (mil. lei)
Num
ar d
e fir
me
12 1606 3200 4794 6388 7982 9576
Figura 1.4. Distribuţia firmelor după veniturile totale (mil. lei)
0
41
15
5 4 3 200
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1606 3200 4794 6388 7982 9576
Veniturile totale (mil. lei)
Num
arul
de
firm
e
12 1606 3200 4794 6388 7982 9576
Figura 1.5. Distribuţia firmelor după venituri (histograma şi
poligonul frecvenţelor)
20
Gruparea datelor după variabila “venituri totale” pe intervale de variaţie neegale.
Acest tip de grupare se face de regulă pentru evidenţierea tipurilor calitative ce se conturează în cadrul colectivităţii. În cazul nostru, pentru variabila “venituri totale” interesează să se cunoască repartiţia firmelor în trei grupe tipice: firme cu venituri mici, firme cu venituri medii şi firme cu venituri mari. Poate fi utilizat criteriul mediei
70132762
70
70
1 ==∑=i
ivv =1896,6 mil.lei/firmă, valoare ce se găseşte în cel
de-al doilea interval. Considerăm firme cu venituri mici cele cu venituri până la 1606 mil. lei, firme cu venituri medii cele cu venituri între 1606 şi 3200 mil. lei, iar firme cu venituri mari, cele cu venituri de peste 3200 mil. lei. Se obţine următoarea repartiţie (tabelul 1.6.).
Repartiţia firmelor după mărimea veniturilor totale Tabelul 1.6.
Grupe tipice Intervalul de variaţie al veniturilor (mil. lei)
Reprezentarea grafică a seriilor de repartiţie cu intervale neegale se face utilizând diagrame de structură sau diagrama cu coloane nelipite.
În cazul de faţă deoarece cunoaştem limitele intervalelor extreme putem utiliza histograma cu frecvenţe reduse. Frecvenţele reduse se calculează ca raport între frecvenţa grupei şi coeficientul de reducere a frecvenţelor (raportul dintre mărime intervalului şi mărimea intervalului de la gruparea pe intervale de variaţie egale) (vezi tabelul 1.7.).
Calculul frecvenţelor reduse pentru distribuţia firmelor după venituri (mil. lei) Tabelul 1.7.
Histograma cu frecvenţe reduse se obţine desenând pentru fiecare grupă o coloană cu baza mărimea intervalului şi cu înălţimea proporţională cu frecvenţa redusă a grupei (vezi figura 1.6.).
41
15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
1 2 3 4 5 6 7 8
Venituri totale (mil. lei)
Num
ăr d
e fir
me
14
12 1606 3200 9576
Figura 1.6. Distribuţia firmelor după veniturile totale pe intervale
neegale de variaţie
4. Gruparea datelor după “numărul de salariaţi” pe intervale de variaţie neegale se face utilizându-se grupe tipice preluate din statistica oficială (tabelul 1.8.).
Repartiţia firmelor după numărul de salariaţi Tabelul 1.8.
Grupe tipice Intervalul de variaţie al numărului de
salariaţi
Numărul firmelor
A B 1 Micro-firme 0 – 9 19Firme mici 10 – 49 35
Firme mijlocii 50 – 249 7Firme mari Peste 250 9
Total 70
Centralizarea numărului de salariaţi folosind grupele tipice de firme după numărul de salariaţi se realizează însumând numărul de salariaţi ai tuturor firmelor din cadrul fiecărei grupe (tabelul 1.9., coloana 1).
Ponderea fiecărei grupe în total (numită şi greutate specifică) se obţine raportând valoarea centralizată a variabilei în cadrul fiecărei grupe ( la totalul )ix
22
valorii variabilei respective ( )∑ ix pentru întreaga colectivitate (tabelul 1.8. coloana 4), conform relaţiei:
100x
xg n
1ii
ii ⋅=
∑=
.
Numărul mediu de salariaţi pe firmă se calculează pentru fiecare grupă în parte, raportând numărul total de salariaţi din fiecare grupă la numărul de firme din grupa respectivă (tabelul 1.9., coloana 5).
50 – 249 7 515 4,69 10,00 73,57 259 şi peste 9 9709 88,35 12,86 1078,78 Total 70 10989 100,00 100,00 156,99
5. Ponderea fiecărei grupe după numărul salariaţilor se regăseşte, fiind calculată la punctul anterior (tabelul 1.9., coloana 3), iar ponderea numărului de firme se calculează asemănător (tabelul 1.9., coloana 4).
În continuare se determină ponderile cumulate după cele două variabile (tabelul 1.10., coloanele 2 şi 3). Reprezentarea grafică a concentrării (figura 1.7) indică faptul că un număr redus de firme deţin ponderi ridicate în totalul salariaţilor.
Figura 1.7 – Graficul de concentrare număr de salariaţi – număr de firme
6. Gruparea firmelor pe cele opt regiuni de dezvoltare se poate reprezenta grafic cu ajutorul unei diagrame prin coloane (figura 1.8).
8
5
12
54
1413
9
0
2
4
6
8
10
12
14
16
NE SE SM SVO V NV C BIregiunile
num
ar fi
rme
Figura 1.8 - Distribuţia firmelor pe regiuni de dezvoltare
24
Pe baza acestor frecvenţe absolute se determină frecvenţele cumulate atât crescător, cât şi descrescător (tabelul 1.11.).
Distribuţia firmelor pe cele opt regiuni de dezvolatare
Tabelul 1.11. Regiunile de dezvoltare
Număr de
firme
Frecvenţele cumulate crescător
Frecvenţele cumulate
descrescător A 1 2 3
NE 8 8 70 SE 5 13 62 SM 12 25 57 SVO 5 30 45 V 4 34 40 NV 14 48 36 C 13 61 22 BI 9 70 9 Total 70 - -
7. Pentru gruparea combinată se pot folosi câte două variabile, obţinându-
se serii bidimensionale de frecvenţe.
a) Gruparea firmelor după numărul de salariaţi şi după mărimea veniturilor (mil. lei)
În practică această grupare se poate utiliza pentru a evidenţia măsura în care variaţia veniturilor firmelor se datorează deosebirilor privind numărul de salariaţi. În acest caz, variabila cauză (numărul de salariaţi) se prezintă în subiectul tabelului iar variabila efect (veniturile totale) în predicatul tabelului (vezi tabelul 1.12). Dacă frecvenţele din rubricile tabelului se orientează după o diagonală, înseamnă că există o legătură între cele două variabile. Cu cât frecvenţele se grupează mai mult în jurul diagonalei respective cu atât legătura este mai puternică.
Distribuţia firmelor după numărul de salariaţi şi venituri Tabelul 1.12.
Grupe de firme după veniturile totale Grupe de firme după numărul de
salariaţi
12-1606
1606-3200
3200-4794
4794-6388
6388-7982
7982-9576
Total
A 1 2 3 4 5 6 7 0-9 11 4 2 1 - 1 19
10-49 21 7 1 3 2 1 35 50-249 4 2 - - 1 - 7
250 şi peste 5 2 2 - - - 9 Total 41 15 5 4 3 2 70
25
Din tabel rezultă că între cele două variabile există o legătură directă destul
de slabă.
b) Gruparea firmelor după regiunea de dezvoltare şi după venituri
Distribuţia firmelor după regiunea de dezvoltare şi după venituri (mil. lei) Tabelul 1.13.
Grupe de firme după veniturile totale Regiunea de dezvoltare 12-
1606 1606-3200
3200-4794
4794-6388
6388-7982
7982-9576
Total
A 1 2 3 4 5 6 7 NE 5 - 1 1 1 - 8 SE 3 2 - - - - 5 SM 8 1 - 2 1 - 12 SVO 4 1 - - - - 5 V 1 2 1 - - - 4 NV 8 5 1 - - - 14 C 8 3 - - 1 1 13 BI 4 1 2 1 0 1 9
Total 41 15 5 4 3 2 70 c) Gruparea firmelor după regiunea de dezvoltare şi după numărul de
salariaţi
Distribuţia firmelor după regiunea de dezvoltare şi după numărul de salariaţi Tabelul 1.14.
Grupe de firme după numărul de salariaţi Regiuni de dezvoltare 0-9 10-49 50-249 Peste 250
Total
A 1 2 3 4 5 NE 1 7 0 0 8 SE 3 2 0 0 5 SM 3 4 5 0 12 SVO 3 1 0 1 5 V 3 1 0 0 4 NV 0 9 2 3 14 C 2 11 0 0 13 BI 4 0 0 5 9 Total 19 35 7 9 70
26
Problema 3. Un agent economic dispune de trei magazine pentru care se cunosc datele :
Tabelul 1.15. Magazin Valoarea
încasărilor în perioada
curentă (mii lei)(x1)
% sarcinii
de plan (Kpl/0)
%
îndeplinirii planului
(K1/pl)
Număr de vânzători în
perioada curentă
0 1 2 3 4 A 80 105 100 10 B 192 107 110 16 C 112 110 107 14
Se cere: 1. gradul îndeplinirii planului, pe total; 2. procentul sarcinii de plan, pe total; 3. dinamica încasărilor pe fiecare magazin şi pe total; 4. analizaţi mutaţiile în structura încasărilor în perioada curentă faţă de
perioada de bază; 5. ce alte tipuri de mărimi relative se pot calcula pe baza datelor din
enunţ?
Rezolvare 1. Pentru determinarea gradului de îndeplinire a planului, pe total, trebuie
obţinute valorile planificate ale încasărilor (xpl) pornind de la procentul îndeplinirii planului pe fiecare magazin :
1001/1 ⋅=
plpl x
xK , de unde pl
pl Kxx
/1
1 100⋅=
80100
10080=
⋅=plx mii lei (pentru magazinul «A»)
5,174110
100192=
⋅=plx mii lei (pentru magazinul «B»)
7,104107
100112=
⋅=plx mii lei (pentru magazinul «C»)
Pe total (pe ansamblu):
0690,12,359
3841/1 ===
∑∑
pl
anspl x
xK sau 106,90%
2. Pentru determinarea sarcinii de plan pe total trebuie calculate mai întâi valorile încasărilor realizate în perioada de bază (x0):
1000
0/ ⋅=xx
K plpl , de unde
0/0
100
pl
pl
Kx
x⋅
=
27
2,76105
100800 =
⋅=x mii lei (pentru magazinul « A »)
1,163107
1005,1740 =
⋅=x mii lei (pentru magazinul « B »)
2,95110
1007,1040 =
⋅=x mii lei (pentru magazinul « C »)
Pe total (pe ansamblu):
0738,15,3342,359
00/ ===∑∑
xx
K planspl sau 107,38%
3. Dinamica încasărilor pe fiecare magazin se calculează ca raport între încasările realizate în perioada curentă şi cele din perioada de bază:
0
10/1 x
xK =
0499,12,76
800/1 ==K sau 104,99% (pentru magazinul «A»)
1772,11,163
1920/1 ==K sau 117,72% (pentru magazinul «B»)
1765,12,95
1120/1 ==K sau 117,65% (pentru magazinul «C»)
Pe total :
1480,15,334
3840
10/1 ===∑∑
xx
K ans sau 114,80%
Verificare:
148,10738,1069,10//10/1 =⋅=⋅= anspl
anspl
ans KKK (ADEVĂRAT)
Rezultă că situaţia cea mai favorabilă s-a înregistrat la magazinul « B » (o creştere de 17,72% faţă de 7% cât s-a prevăzut).
Mărimile relative de dinamică şi ale planului se pot reprezinta grafic împreună utilizând diagrama prin coloane (vezi fig.1.9.)
28
0102030405060708090
100110120130
"A" "B" "C"
%sarcinii de plan
% indeplinirii planului
dinamica incasarilor
Figura 1.9. Mărimile relative ale planului şi dinamicii
4. Pentru a analiza mutaţiile structurale în perioada curentă faţă de perioada de bază se calculează mărimile relative de structură în perioada de bază (PB) şi în perioada curentă (PC) şi se reprezintă grafic prin dreptunghiul de structură mărimile relative de structură corespunzătoare (vezi tabelul 1.16 şi fig.1.10.)
Tabelul 1.16
Valoarea încasărilor (mii lei)
Stuctura încasărilor (%)
Magazin
PB PC PB PC 0 1 2 3 4 A 76,2 80 22,78 20,83 B 163,1 192 48,76 50,00 C 95,2 112 28,46 29,17
Total 334,5 384 100,00 100,00
22,78 20,83
48,76 50
28,46 29,17
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
PB PC
"C""B""A"
Figura 1.10. Structura încasărilor în cele două perioade
29
Ponderea încasărilor realizate la magazinul „A” a scăzut, aceasta fiind compensată de creşterea ponderii încasărilor în primul rând la magazinul „B” ( de la 48,76% în perioada de bază la 50% în perioada curentă) şi în mai mică măsură de creşterea ponderii încasărilor la magazinul „C” (de la 28,46% în perioada de bază la 29,17% în perioada curentă).
5. Se pot calcula mărimi relative de coordonare atât pentru valoarea încasărilor cât şi pentru numărul de vânzători în perioada curentă.
Luând ca bază de raportare, de exemplu, magazinul „A” care are valoarea cea mai mică a încasărilor, obţinem:
4,280
192/ ==ABK
4,180
112/ ==ACK
Reprezentarea grafică a acestui tip de mărimi relative este exemplificată în figura 1.11.
1,4
2,4
1
0 1 2 3
"C"
"B"
"A"
Mag
azin
Figura 1.11. Mărimi relative de coordonare
Pe baza datelor din enunţ se mai pot calcula mărimi relative de intensitate. Singura mărime relativă de intensitate care se poate este valoarea medie a
încasărilor pe un vânzător (w) în perioada curentă, obţinută astfel:
- la nivel parţial (pe fiecare magazin):
81080
==AW mii lei/vânzător
1216192
==BW mii lei/vânzător
814112
==CW mii lei/vânzător
30
- pe total:
6,940
384==W mii lei/vânzător
Valoarea încasărilor pe total (384 mii lei) se poate reprezenta grafic printr-
un dreptunghi cu lungimea proporţională cu valoarea medie a încasărilor (9,6 mii lei/vânzător) şi cu lăţimea proporţională cu numărul total al vînzătorilor (40):
0
20
40
0 2 4 6 8 1
9,6 mii lei/vanzator
40 v
anza
tori
0
384 mii l i
Figura 1.12. Valoarea totală a încasărilor în funcţie de doi factori
31
1.3. PROBLEME PROPUSE Problema 1. Se cunosc următoarele date referitoare la structura
cheltuielilor băneşti de consum ale gospodăriilor pentru patru ani consecutivi (tabel 1.17.):
Se cere: 1. să se reprezinte grafic structura cheltuielilor băneşti de consum ale celor
patru categorii de gospodării pentru anul 2002; 2. sa se reprezinte grafic dinamica structurii cheltuielilor alimentare pentru
toate cele patru tipuri de gospodării; 3. sa se reconstituie valorile absolute curente ale cheltuielilor băneşti de
consum; să se discute dacă are sens calcularea dinamicilor.
32
Rezolvare
1. Pentru a fi cât mai sugestive, în vederea unei bune întelegeri a semnificaţiilor pe care le au, mărimile relative de structură se reprezintă grafic, în acest scop utilizându-se diagramele de structură: pătrat, cerc, dreptunghi (în Excel: pie-chart, doughnut, stacked column sau stacked bar).
În cazul pătratului de structură, suprafaţa pătratului reprezintă 100%, deci pătratul iniţial se consideră că este împărţit în 100 de pătrăţele egale. Pentru fiecare categorie de cheltuieli în parte, se va haşura diferit un număr de patrăţele egal cu greutatea sa specifică.
În cazul cercului de structură, se consideră că cele 360o ale cercului corespund cu 100%. Prin interpolare se calculează câte grade corespund fiecărei greutăţi specifice.
În cazul dreptunghiului, cele 100% se presupune că sunt proporţionale cu înălţimea dreptunghiului.
2. Pentru a surprinde modificările structurale ce apar în dinamică se construiesc dreptunghiuri echivalente pentru cei patru ani analizaţi, după care împărţirea se face proporţional cu greutăţile specifice ale celor trei categorii de cheltuieli.
3. constituirea seriei de valori absolute curente ale cheltuielilor băneşti se face utilizând valoarea totală a cheltuielilor băneşti de consum şi
structurile corespunzătoare fiecărei categorii de cheltuieli
( )ix ( )∑ ix( )(%)ig , conform
relaţiei:
100xg
x iii
∑⋅= (%) .
În tabelul 1.18. sunt calculate valorile pentru anul 2002.
Calcularea dinamicilor nu prezintă interes deoarece valorile sunt exprimate în preţuri curente pentru fiecare perioadă, iar variaţia lor în timp ar include, pe lânga modificarea în sine a cheltuielilor, şi modificarea preţurilor, indicatorul fiind exprimat în unităţi monetare.
Pentru exprimarea valorilor în preţuri comparabile, ar trebui utilizat indicele preturilor de consum.
33
Tabelul 1.18.
(lei, lunar pe o gospodarie) Total
gospodării Salariaţi Agricultori
Şomeri Pensionari
A 1 2 3 4 5
1999 Cheltuieli băneşti de consum – total (lei) 1.282.411 1.896.280 769.300 1.149.421 995.757 din care: • Produse alimentare • Mărfuri nealimentare • Plata serviciilor
2000 Cheltuieli băneşti de consum – total (lei) 1.754.878 2.701.017 1.038.287 1.603.451 1.366.022 din care: • Produse alimentare • Mărfuri nealimentare • Plata serviciilor
2001 Cheltuieli băneşti de consum – total (lei) 2.878.963 4.265.943 1.444.155 2.451.731 2.217.145 din care: • Produse alimentare • Mărfuri nealimentare • Plata serviciilor
2002 Cheltuieli băneşti de consum - total 3.709.874 5.469.156 1.923.029 3.018.846 2.837.672 din care: • Produse alimentare 1.487.659 2.089.218 857.670,9 1.376.594 1.183.309 • Mărfuri nealimentare 1.172.320 1.739.192 746.135,3 824.145 874.003 • Plata serviciilor 1.049.894 1.640.747 319.222,8 818.107,3 780.359,8
34
Problema 2. Se cunosc urmatoarele date referitoare la evoluţia
numărului mediu de salariaţi în perioada 1997-2002, pentru cele opt regiuni de dezvoltare ale ţării.
Numărul mediu al salariaţilor (mii persoane) Tabelul 1.19.
Regiunea 1997 1998 1999 2000 2001 2002 A 1 2 3 4 5 6
Se cere: 1. să se calculeze structura numărului mediu de salariaţi pentru fiecare
perioadă şi să se reprezinte grafic; 2. să se calculeze dinamica numărului de angajaţi pentru fiecare regiune de
dezvoltare şi pe total; să se reprezinte grafic; 3. să se calculeze mărimi relative de coordonare şi să se reprezinte grafic.
Rezolvare
1. Structura numărului mediu al salariaţilor se calculează şi se reprezintă
grafic asemănător cu problema precedentă (tabelul 1.20.).
Structura numărul mediu al salariatilor (%) Tabelul 1.20.
Regiunea 1997 1998 1999 2000 2001 2002 A 1 2 3 4 5 6
Nord-Est 13,70 Sud-Est 12,83 Sud 14,15 Sud-Vest 9,72 Vest 10,85 Nord-Vest 11,77 Centru 13,22 Bucureşti 13,76 Total 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
35
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1997 1998 1999 2000 2001 2002
Legendă: Nord-Est Vest
Sud-Est Nord-Vest
Sud Centru
Sud-Vest Bucureşti
Figura 1.13. Structura numărului mediu de salariaţi în perioada 1997-2002
2. Dinamica numărului de salariaţi şi reprezentarea grafică este asemănătoare cu problema anterioară (tabelul 1.21. şi figura 1.14).
Dinamica numărul mediu al salariaţilor faţă de 1997 (%) Tabelul 1.21.
Regiunea 1997 1998 1999 2000 2001 2002 Nord - Est 100,00 82,53 Sud - Est 100,00 78,69 Sud 100,00 77,90 Sud - Vest 100,00 78,86 Vest 100,00 77,76 Nord - Vest 100,00 87,41 Centru 100,00 84,73 Bucureşti 100,00 91,43 Total 100,00 82,60
36
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002Anii
Din
amic
a nu
mar
ului
med
iu a
l sal
aria
tilor
fata
de
anul
199
7 (%
)
Figura 1.14. Dinamica numărul mediu al salariaţilor faţă de 1997 (%) (pe total)
3. Atunci când se doreşte compararea a două mărimi ale aceluiaşi indicator, ce aparţin fie la două grupe ale aceleiaşi populaţii statistice sau unor populaţii statistice de acelaşi tip dar situate în spaţii diferite, se apelează la mărimile relative de coordonare:
/A
A BB
xKx
= sau /B
B AA
xKx
=
unde A si B pot reprezenta fie două grupe ale aceleiaşi populaţii sau două unităţi teritoriale, cum este cazul acestei probleme.
Se pot determina diferite mărimi relative de coordonare, spre exemplu:
0371740767
xxK
7
171 ,
Centru regiuneadin or salariatil almediu numarulEst-Nord regiuneadin or salariatil almediu numarul
/ ====
sau procentual 103,7%, ceea ce înseamnă că în 1997, la 100 de salariaţi din regiunea Centru revin circa 104 salariaţi în regiunea Nord Est. Întrucât mărimile relative de coordonare au proprietatea de reversibilitate, se poate calcula şi raportul invers.
Reprezentarea grafică se poate face cu ajutorul diagramei prin coloane sau benzi.
37
1.4. TEMĂ Problema 1. Se cunoaşte durata sejurului (zile) într-o staţiune montană
Se cere: 1. să se grupeze datele pe şase intervale egale şi să se reprezinte grafic
rezultatele sistematizării; 2. să se determine frecvenţele cumulate crescător şi descrescător şi să se
reprezinte grafic; 3. să se determine durata medie a sejurului.
Problema 2. Preţurile de vânzare ale unui produs vândut de o reţea
formată din 20 de magazine au înregistrat următoarele valori (u.m.): 23, 20, 21, 23, 19, 22, 23, 20, 23, 21, 22, 19, 20, 22, 22, 23, 20, 22, 23, 22.
Se cere: 1. să se sistematizeze datele pe variante şi să se reprezinte grafic; 2. să se determine structura magazinelor din reţea după preţul de vânzare
al acestui produs; 3. să se determine preţul mediu înregistrat de acest produs în reţea.
Problema 3. Numărul de salariaţi ai unui agent economic (persoane) pe compartimente este:
Tabelul 1.22. Compartimentul A B C D E F G H
Număr de salariaţi 767 718 792 544 607 659 740 770
Se cere: 1. să se calculeze structura salariaţilor şi să se reprezinte grafic; 2. să se determine mărimile relative de coordonare faţă de compartimentul
D, să se reprezinte grafic şi să se interpreteze rezultatele; 3. să se determine numărul mediu de salariaţi pe fiecare compartiment.
Problema 4. O societate comercială a înregistrat următoare situaţie a fondului de salarii şi a numărului de salariaţi pe grupe de vechime în muncă:
Tabelul 1.23. Grupe de
vechime (ani) Număr de
salariaţi (pers.) Fondul de
salarii (u.m.) A 2 1
Sub 10 10 60 10 – 20 15 150 20 – 30 25 375
30 şi peste 5 100
38
Se cere: 1. să se determine mărimile relative de coordonare faţă de ultima grupă de
vechime, pentru fiecare variabilă şi să se analizeze rezultatele comparativ;
2. să se reprezinte grafic structura fondului de salarii şi a numărului de salariaţi;
3. să se determine mărimile relative de intensitate şi să se comenteze semnificaţia economică a acestora.
Problema 5. În cadrul unei companii, cu 60 de muncitori, se cunosc următoarele date:
Tabelul 1.24. Număr de piese realizate zilnic
(buc.) Ponderea muncitorilor
(%) A 1 15 5 16 20 17 45 18 15 19 15
Total 100
Se cere: 1. să se reprezinte grafic structura muncitorilor după numărul de piese
realizate zilnic; 2. să se determine numărul muncitorilor pe grupe şi pe total; 3. să se determine numărul mediu de piese realizate zilnic în cadrul
companiei. Problem 6. Pentru trei agenţi economici care desfăşoară aceeaşi activitate,
se cunosc datele: Tabelul 1.25.
Agent economic
Valoarea producţiei în
perioada de bază (mii lei) (x0)
% sarcinii de plan
Dinamica producţiei (%)
0 1 2 3 A 280 106 105 B 400 108 116 C 320 105 95
39
Se cere: 1. Reconstituirea valorilor absolute din care s-au calculat mărimile relative
prezentate în tabelul iniţial; 2. Procentul sarcinii de plan, pe total; 3. Dinamica producţiei, pe total; 4. Procentul îndeplinirii planului, pe fiecare agent economic şi pe total; 5. Structura producţiei în perioada curentă; 6. Reprezentarea grafică a gradului de îndeplinire a planului pe cei trei
agenţi economici.
Problema 7. Pentru o întreprindere se cunosc datele: Tabelul 1.26.
Secţia Producţia în perioada
curentă (buc.)
Nr. salariaţi în perioada de
bază
Dinamica producţiei
(%) 0 1 2 3 A 198 45 110 B 114 24 95
Se cere: 1. Dinamica producţiei, pe total; 2. Productivitatea muncii la nivel de secţie şi pe total, în perioada de bază
(PB); 3. Să se stabilească ce alte tipuri de mărimi relative se pot calcula pe baza
datelor din enunţ; exemplificaţi; 4. Să se reprezinte grafic producţia pe total în perioada de bază, în funcţie
de productivitatea medie a muncii şi de numărul de salariaţi. Problema 8. Pentru un agent economic se cunosc datele:
Tabelul 1.27. Activitate Salariu mediu în
PB (lei/pers.) Nr. salariaţi în
PC (pers.) Dinamica nr. de salariaţi
(%) 0 1 2 3 A 1350 42 105 B 1080 18 90
Se cere: 1. Dinamica numărului de salariaţi, pe total; 2. Salariul mediu în perioada de bază la nivelul agentului economic; 3. Să se stabilească ce alte tipuri de mărimi relative se pot calcula pe baza
datelor din enunţ; exemplificaţi; 4. Să se reprezinte grafic fondul de salarii, în perioada de bază, pe total, în
funcţie de salariul mediu şi de numărul de salariaţi.
40
Problema 9. Se cunosc următoarele date despre numărul de întreprinderile
mici şi mijlocii din România şi populaţia pe judeţe:
Sursa: Cartea albă a IMM din România, 2006, pag. 343
Se cere: 1. să se calculeze mărimile relative de intensitate şi să se arate semnificaţia
acestora; 2. să se determine coordonarea dintre numărul de IMM-uri considerând
drept bază de comparaţie Bucureştiul şi să se interpreteze rezultatele; 3. să se determine structura IMM-urilor din ţara noastră şi să se comenteze
aceasta.
41
1.5. INTREBĂRI RECAPITULATIVE 1. Ce înţelegeţi prin gruparea datelor statistice? 2. Când se procedează la gruparea pe variante? 3. Ce înţelegeţi prin grupare simplă? 4. Ce înţelegeţi prin grupare combinată? 5. Când se procedează la gruparea pe intervale de variaţie egale? 6. Când se procedează la gruparea pe intervale de variaţie neegale? 7. Când se procedează la gruparea combinată? 8. Cum se pot sistematiza datele după o variabilă discretă? 9. Cum se pot sistematiza datele după o variabilă continuă? 10. Ce criteriu se poate folosi pentru gruparea pe intervale neegale cu
evidenţierea tipurilor calitative? 11. Cum se poate aplica criteriul mediei? 12. Ce principii trebuie respectate pentru ca o grupare să fie corectă? 13. Cum se reprezintă grafic valoarea centralizată a unei variabile
statistice? 14. Ce înţelegeţi prin serii de distribuţie a frecvenţelor? Exemplificaţi. 15. Ce înţelegeţi prin serii cronologice (de timp)? Exemplificaţi. 16. Ce înţelegeţi prin serii teritoriale (de spaţiu)? Exemplificaţi. 17. Cum se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea după o variabilă cantitativă? 18. Prin ce se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea după o variabilă discretă? 19. Prin ce se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea după o variabilă continuă? 20. Prin ce se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea pe variante? 21. Prin ce se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea pe intervale de variaţie egale? 22. Prin ce se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea pe intervale de variaţie neegale? 23. Prin ce se reprezintă grafic o distribuţie de frecvenţe rezultată prin
gruparea pe intervale de variaţie neegale cu evidenţierea tipurilor calitative?
24. Ce reguli trebuie respectate la construirea histogramei? 25. Ce sunt mărimile relative? 26. Cum se exprimă mărimile relative, în general? 27. Ce tipuri de marimi relative se folosesc pentru analiza evoluţiei în timp
a unui fenomen? 28. Ce tip de mărime relativă se foloseşte pentru evidenţierea mutaţiilor în
structura unui fenomen? 29. Ce tip de mărime relativă se foloseşte pentru comparaţii teritoriale?
42
30. Ce tip de mărime relativă se foloseşte pentru compararea a doi indicatori cu conţinut diferit, dar între care există o legătură firească?
31. Ce tipuri de mărimi relative se folosesc pentru compararea a doi indicatori cu acelaşi conţinut?
32. Ce condiţii trebuie să îndeplinească datele statistice pentru a permite calculul mărimilor relative de structură?
33. Ce condiţii trebuie să îndeplinească datele statistice pentru a permite calculul mărimilor relative de coordonare?
34. Ce condiţii trebuie să îndeplinească datele statistice pentru a permite calculul mărimilor relative de dinamică?
35. Ce condiţii trebuie să îndeplinească datele statistice pentru a permite calculul mărimilor relative de intensitate?
36. Prin ce se deosebesc mărimile relative de structură de celelalte tipuri de mărimi relative?
37. Prin ce se deosebesc mărimile relative de intensitate de celelalte tipuri de mărimi relative?
38. Pentru ce tipuri de mărimi relative se pot efectua calcule atât la nivel parţial cât şi la nivel de ansamblu?
39. Cum se reprezintă grafic mărimile relative de structură? 40. Cum se reprezintă grafic mărimile relative de coordonare? 41. Cum se reprezintă grafic mărimile relative de dinamică? 42. Cum se reprezintă grafic mărimile relative de ale planului? 43. Cum se reprezintă grafic mărimile relative de intensitate? 44. Cum se exprimă mărimile relative de structură? 45. Cum se exprimă mărimile relative de coordonare? 46. Cum se exprimă mărimile relative de dinamică? 47. Cum se exprimă mărimile relative de ale planului? 48. Cum se exprimă mărimile relative de intensitate? 49. Pentru ce se utilizează mărimile relative de structură? 50. Pentru ce se utilizează mărimile relative de coordonare? 51. Pentru ce se utilizează mărimile relative de dinamică? 52. Pentru ce se utilizează mărimile relative ale planului? 53. Pentru ce se utilizează mărimile relative de intensitate?
