Statistic A Economica Unitatea II

5/11/2018 Statistic A Economica Unitatea II - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/statistic-a-economica-unitatea-ii 1/32

2. INDICATORII TENDINEI CENTRALE (MĂRIMILE

MEDII)

2.1. Indicatorii tendinei centrale (mărimile medii) 41

2.2. Mediana 48

2.3. Modul (Dominanta) 49

2.4. Analiza statistică a variaiei faă de tendina centrală 51

Obiectivele specifice unităii de învăare

Rezumat 67

Teste de autoevaluare 67

Bibliografie minimală 69

Obiective specifice:La sfârşitul capitolului, vei avea capacitatea:

•

să explicai corect noile concepte;• să explicai noiunile de tendină centrală, medie, mediană şi

mod;• să explicai noiunile de variaie şi asimetrie;

• să determinai media aritmetica, geometrica, armonica şi

geometrica simple şi ponderate;• să determinai mediana în cazul seriilor simple şi în cazul

distribuiilor de frecvenă;• să determinai modul în cazul seriilor simple şi în cazul

distribuiilor de frecvenă;• să determinai indicatorii simpli şi sintetici ai variaiei.

Timp mediu estimat pentru studiu individual: 6 ore



Rodica Pripoaie Indicatorii tendin ei centrale (mă rimile medii)

Statistica economică 41

1.1. Indicatorii tendintei centrale (marimile medii)

1.1.1. Noiuni introductive

Indicatorii cei mai utilizai pentru caracterizarea tendinei centrale a uneivariabile statistice sunt: media aritmetică, mediana şi modul (dominanta).„Mediile sunt mărimi statistice care exprimă, în mod sintetic şi generalizat,ceea ce este normal, esenial, tipic pentru unităile unei colectivităi distribuitedupă o anumită caracteristică”1. Dacă media este reprezentativă pentru seriarespectivă, adică colectivitatea cercetată este omogenă, atunci prin înlocuireafiecărui termen al seriei cu valoarea mediei, suma termenilor va fi aceeaşi.

Media este o valoare reprezentativă pentru o serie de date; întotdeauna ea se vaafla în interiorul intervalului valorilor respective ordonate crescător saudescrescător (între min x şi max x ), motiv pentru care mai este denumită şi

indicator de poziie. Se pot defini diverse tipuri de medii, dar cele mai utilizatesunt: media aritmetică, media geometrică, media armonică, mediana şi modul.

Clasificare

La rândul lor, fiecare medie poate fi calculată sub formă de:

a) medie simplă, în cazul seriilor simple (în care variantele caracteristicii este înregistrată doar la nivelul unei unităi statistice);b) medie ponderată, în cazul seriilor de frecvene (în care variantelecaracteristicii sunt regăsite la nivelul mai multor unităi statistice, cu frecvenediferite).

1.1.2. Media aritmetică

Definiie

Media aritmetică este o medie fundamentală de calcul, simbolizată prin „ x ”pentru o distribuie empirică şi prin „ µ ” pentru o variabilă aleatoare. Media „

µ ” a unei variabile aleatoare discrete x, cu funcia de probabilitate P(X=x) se

calculează potrivit relaiei ( ) x P X x µ = ⋅ =∑ , în timp ce pentru o variabilă

aleatoare continuă „ X”, cu funcia de densitate f(x) se determină astfel:

( ) x f x dx µ = ⋅∫ . Media x a unei distribuii empirice „reprezintă valoarea pe

care ar purta-o fiecare unitate statistică dacă distribuia ar fi omogenă”2.Clasificare

Media aritmetică simplă se calculează cu ajutorul relaiei:

1

1 n

ii

x xn =

= ∑

Media aritmetică ponderată se calculează pe baza relaiei:

1 Jaba, E. – Op. cit., p. 103.2 Jaba, E. – Op. cit., p. 106





1

1

1 m

i imi

ii

x x nn =

=

= ∑∑

sau1

m

i ii

x x f =

= ∑ , unde1

1m

ii

f =

=∑

Exemplul 1: Să se determine media aritmetică a numerelor: 5, 6, 8, 11, 15.5 6 8 11 15

59 x

+ + + += =

Exemplul 2: Să se determine media aritmetică ponderată pentruurmătoarea distribuie de frecvene:

Determinarea mediei aritmetice ponderate

Profitul net annual

(mii lei)

Frecvena i f i x i i x f

0 – 2 40 1 402 – 4 50 3 1504 - 6 90 5 4506 – 8 15 7 1058 – 10 5 9 45TOTAL 200 - 790

200

7903,95i i

i

x f x

f

∑= = =

∑

mii lei

Deci, PN anual mediu al celor 200 firme este de 3,95 mii lei.Proprietăile mediei aritmetice

1. Pentru verificarea exactităii calculelor:

a) media aritmetică este cuprinsă între varianta minimă şi maximă acaracteristicii;

min max x x x≤ ≤

b) suma abaterilor valorilor individuale ale variabilei aleatoare faă de media

lor este egală cu zero, căci media aritmetică anihilează toate abaterile în plussau în minus de la nivelul său:

1( ) 0

n

ii

x x=

− =∑ pentru media aritmetică simplă;

1( ) 0

n

i ii

x x f =

− ⋅ =∑ pentru media aritmetică ponderată.

2. Pentru simplificarea calculului

a) media calculată din variantele caracteristicii micşorate cu o constantă „a”

este mai mică decât media variantelor caracteristicii cu acea constantă „a”.





1 1 1

1 1 1

( )( )

n n n

i i i i ii i i

i n n n

i i ii i i

x a f x f a f x a x a

f f f

= = =

= = =

=

−∑ ∑ ∑− = − = −

∑ ∑ ∑

b) media calculată din variantele caracteristicii micşorate prin împărire la oconstantă „k ” este mai mică decât media reală de „k ” ori.

( )1 1

1 1

1( )

( )

n ni

i i ii i i

n n

i ii i

x f x f x xk k

k k f f

= =

= =

⋅ ⋅∑ ∑= = =

∑ ∑

Combinând relaiile obinute la proprietăile 2 (a) şi (b) rezultă o formulă decalcul simplificată a mediei aritmetice.

1

1

n

i ii

n

ii

x a f k x k a f

=

=

−∑= ⋅ +

∑

c) dacă se micşorează frecvenele f 1 , f 2 , …, f n prin împărire la o constantă „c”aleasă arbitrar, media nu se schimbă

1 1 1

111

1

1

n n ni

i i i i ii i i

nnni

iiiii

f x x f x f

c c x f f f

cc

= = =

===

⋅∑ ∑ ∑= = =

∑∑∑

Combinând proprietăile 2 (a), (b) şi (c) se obine:

1

i i

n

i

x a f k c x k a f ic=

−⋅∑

= ⋅ +

∑

unde: k - mărimea intervalului de grupare;

a – centrul intervalului cu frecvena cea mai mare.

1.1.3. Media armonică

DefiniieSe foloseşte atunci când nu se cunosc frecvenele f 1 , f 2 , …, f n şi nici volumulgeneral al acestora.Clasificare

• Media armonică simplă - se foloseşte pentru seriile simple

11 2

1 1 1 1n

in i x x x x=

+ + + = ∑L .

Înlocuim xi = h x şi obinem:

1 1

1

1 1 1 11

n n

h N i ii ih h h

i i

n n x x x x x x

x= =

=

+ + = ⇒ = ⇒ =∑ ∑∑

L.





Exemplul3:

Media armonică a numărului de studeni în cazul grupelor anului Isecia Finane – Bănci este:grupa 1: 25 studeni;grupa 2: 30 studeni;

grupa 3: 20 studeni.

Media armonică va fi:

30

3 324,32

1 1 1 1125 20 100

h x = = =

+ +

studeni.

• Media armonică ponderată - se determină pornind de la mediaaritmetică inând cont de faptul că nu se cunosc frecvenele „fi”, dar se cunoscprodusele „xif i”. „Media armonică este o mărime definită ca inversă a medieiaritmetice calculată din inversele valorilor caracteristicii”3. Media armonică sefoloseşte îndeosebi pentru determinarea indicelui mediu armonic al preurilor.

Exemplul4:

Să se determine media armonică ponderată pentrudistribuia din tabelul următor

Media armonică

Grupe de firme

după PN anual

(mii lei)

xi xi f i 1/ xi 1

i i

i

x f x

⋅

0 – 2 1 40 1 40

2 – 4 3 15 1/3 504 – 6 5 450 1/5 906 – 8 7 105 1/7 158 – 10 9 45 1/9 5TOTAL - 790 200

1

1

7903,95

1 200

n

i ii

h n

i ii i

x f x

x f x

=

=

∑= = =

∑ mii lei.

2.1.4. Media pătratică

Definiie Se foloseşte când nivelul variabilei prezintă creşteri din ce în ce mai mari,modificându-se aproximativ după o funcie exponenială. „Media pătratică ridicată la pătrat este media aritmetică a pătratelor valorilor xi”

4.Clasificare

3 Jaba, E. – Op. cit., p. 1154 Ibidem, p. 116





• Media pătratică simplă

2 2 2 21 1 1

1

n

ii

x x x x=

+ + + = ∑L Înlocuim pi x x= şi obinem:

2

2 2 2 22 2 11

1 1

n

in ni

p p p p pii i

x x x x x nx x xn

=

= =

∑+ + + = ⇒ = ⇒ =∑ ∑L .

Exemplul 5: Să se determine media pătratică simplă pentru caracteristica„cifră de afaceri” în cazul a trei firme cercetate, şi anume:

CAx= 8 mii lei/lună;

CAy= 12 mii lei/lună;

CAz= 20 mii lei/lună.

2 2 28 12 2014,24

3 p x

+ += ≅ mii lei /lună

• Media pătratică ponderată

2 2 2 21 1 2 2

1

Înlocuim

n

n n i ii

i p

x f x f x f x f

x x

=

+ + + = ∑ ⇒

=

L 2 2 2

1 2 p p p n x f x f x f + + + =L2

1

n

i ii

x f =

∑

( )

2

2 22 2 11 2

1 1 1

1

n

i in n ni

p p pn i i i i i ni i i

ii

x f x f f f x f x f x f x f

=

= = =

=

∑⇒ + + + = ⇒ = ⇒ =∑ ∑ ∑∑

L

Exemplul 6: Să se determine media pătratică ponderată pentruurmătoarea distribuie de frecvene:

Media pătratică

Grupe de firme după CAlunară – mii lei -

Frecvena f i xi x 2i x 2

i f i

0 – 2 20 1 1 202 – 4 80 3 9 7204 – 6 160 5 25 4.0006 – 8 30 7 49 1.4708 – 10 10 9 81 810TOTAL 300 - - 7.020

4,847.020

300 p x ≅= mii lei.





2.1.5. Media geometrică

Definiie Acest tip de medie se utilizează pentru calculul indicelui mediu, căcifenomenele socio-economice în evoluia lor se caracterizează în general printr-

o încetinire de ritm, chiar dacă volumul absolut al creşterii este din ce în ce maimare. Media geometrică se calculează numai pentru numere pozitive. „Mediageometrică a „n” date pozitive se defineşte ca rădăcina de ordin „n” dinprodusul acestora”5.Clasificare

• Media geometrică simplă

∏=

=⋅⋅n

iin x x x x

121 K Înlocuim:

( )1 1 1" "

n n nn

ni g g g g i g i g ii i i

n ori

x x x x x x x x x x= = =

= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ =∏ ∏ ∏K

14243 . (1)

Logaritmăm expresia (1) şi obinem:

1

11 1

1 ln1 1ln ln ln ln

n

i

in n n

ni ig g

ii i

xn x x x x x ein n=

== =

∑= = = ⇒ =∑∏ ∏ .

• Media geometrică ponderată

1 2

1 21 21

1Înlocuim

n i

ni

n f f f f

n f f f n i f i g g g i

igi x

x x x x x x x x

x

=

=

⋅ ⋅ = ∏⇒ ⋅ ⋅ = ⇒∏

=

K

K

( ) 1

1 1

n

ii iii

n n f f f

g gi ii i

x x f

x x=

= =

∑∑⇒ = ⇒ =∏ ∏ (2)

Logaritmăm expresia (2) şi obinem:

( ) ( ) ( )1

1 1

1 1 1

1 1 1ln ln ln ln ln

n

ii i ii

n n f f f f

g i i i in n n ii i

i i i

i i i

x f

x x x f x f f

=

= =

= = =

∑⇒ = = = = ⇒∑ ∑∏ ∏

∑ ∑ ∑

( )

1

ln1

i in

i

i

f x

f

g x e =

∑∑

⇒ =

2.1.6. Relaia dintre media aritmetică, media geometrică, media armonică şi media

pătratică

Definiie Media geometrică a unei serii de numere pozitive x1, x2, …,xn este mai mică sau cel mult egală cu media lor aritmetică, dar este mai mare sau cel puin

5 Ibidem, p. 114





egală cu media lor armonică, în timp ce media aritmetică este mai mică decâtmedia pătratică h g a p x x x x≤ ≤ < .

Exemplul 7: Fie numerele: 1, 3 şi 9.

3

2 2 21 3 92,08; 5,51

31 3 9

1 3 9 4,33; 1 3 9 3;3

31 1 1

a g

h p

x x

x x+ +

≅ ≅

+ += = = ⋅ ⋅ =

= =

+ +

Deci h g a p x x x x< < < . Adică 2,08 < 3 < 4,33 < 5,51.

2.2 Mediana

2.2.1. Consideratii generale

Definiie Mediana este acea valoare a caracteristicii care ocupă locul central în cadrulvariantelor seriei ordonate crescător sau descrescător, deci mediana împarteseria în două pări egale.

În cazul seriilor simple, pot apare două situaii:1. dacă seria are un număr impar de termeni, mediana este acea

variantă a caracteristicii cu rangul2

1+n, după ce în prealabil seria a fost

ordonată.Exemplul8:

Fie seria formată din cifra de afaceri a 5 firme(exprimată în mii lei): 4; 7,25; 2; 2,75; 4,25.Ordonare: 2; 2,75; 4; 4,25; 7,25.Locul Medianei este dat de rangul

1 5 13

2 2

n + += = ⇒ Termenul al III-lea este mediana

⇒ T3 = Me = 4 mii lei.

2. dacă seria are un număr par de termeni, mediana este dată de semisuma

termenilor centrali, după ce în prealabil seria a fost ordonată.

Exemplul 9: Fie seria din exemplul anterior la care se adaugă alte 3 firme (CA exprimată în mii lei): 8; 10; 2,50.Ordonare: 2; 2,50; 2,75; 4; 4,25; 7,25; 8; 10.

Me =4 4,25

8,1252

+= 4 mii lei.

2.2.2. Relaii de calcul

În cazul seriilor de distribuie, mediana se determină cu una din următoarelerelaii de calcul:





♦ 12e

e

icm

e M M

f f

M x k f

−−

= + ⋅

∑, dacă i f ∑ = nr. par sau

♦ 112 , când = nr. impare

e

i cm

e M i M

f f

M x k f f

−

+−

= + ⋅∑ ∑

unde:e M x - limita inferioară a intervalului median; intervalul median este

primul interval pentru care este respectată condiia:

♦ f cm ≥ 2

∑ i f , dacă i f ∑ = nr. par

sau

♦ f cm ≥ 2

1∑ +i f

, dacă i f ∑ = nr. impar;f i - frecvenele caracteristicii xi;f cm-1 - frecvenele cumulate până la intervalul median;k - mărimea intervalului;f Me - frecvena intervalului median;f cm – frecvena cumulată.

2.3. Modul (Dominanta)

DefiniieModul (dominanta) reprezintă valorile caracteristicii cu frecvena cea mai

mare. Dominanta (modul) se calculează rapid şi oferă o primă informaiecu privire la tendina centrală a unei distribuii.

2.3.1. Relaie de calcul

1

1 2oo M M x k

∆= + ⋅

∆ + ∆,

unde:o M x - limita inferioară a intervalului modal; intervalul modal

este intervalul cu frecvenă maximă;1 - diferena dintre frecvena intervalului modal şi frecvena intervaluluipremodal;2 - diferena dintre frecvena intervalului modal şi frecvena intervaluluipostmodal;k - mărimea intervalului modal.

Exemplul 10: Se dă distribuia de frecvene din tabelul urmator:

Profitul lunar mediu Nr. firme din





net (mii lei) eşantionul analizat

interval

modal

1 - 2 502 - 3 1203 - 4 20

4 - 5 65 - 6 2TOTAL 200

Modul: Intervalul modal (cu frecvena cea mai mare) este: (2,3) mii lei.

( ) ( )

120 50 302 1 2 1 2,23

120 50 120 20 30 100o M −

= + ⋅ = + ⋅ =− + − +

mii lei .

2.3.2. Relaia dintre mediană, mod şi media aritmetică

Metoda Pearson de determinare a modului se bazează pe relaia care există

între M o , M e şi a x în repartiiile moderat aritmetice, şi anume: M o= 3 M e - 2 a x În cazul unei distribuii unimodale simetrice, media aritmetică, mediana şimodul se găsesc în aceeaşi poziie, ca în figură.

0a e X M M = =

0e a M M X = =

În cazul distribuiilor unimodale asimetrice, valorile centrale ( M e , M o, a x ) numai coincid, ci se pot situa astfel:

0a e X M M ≤ ≤

a X

e M 0 M

0 e a M M X ≤ ≤

a X e

M 0

M

2.4. Analiza statistică a variaiei faă de tendina centrală

2.4.1. Noiuni introductive





Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii se calculează alături de indicatoriitendinei centrale pentru a caracteriza mai bine o distribuie, întrucât „se poateca două distribuii observate, relativ la aceeaşi variabilă, să aibă aceeaşi valoarea tendinei centrale dar să fie diferite prin dispersie sau concentrare”6.

Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii oferă informaii despre „modul încare termenii seriei se abat între ei sau de la medie. /…/ Media nu estesuficientă ca indicator de analiză deoarece ascunde structura colectivităii pegrupe şi nu se pot cunoaşte abaterile termenilor seriei faă de media lor,datorate aciunii cauzelor întâmplătoare”7.

Pentru caracterizarea variaiei fenomenelor se utilizează două grupe deindicatori:

1. indicatori simpli;

2. indicatori sintetici.

2.4.2. Indicatorii simpli ai variaiei

DefiniieIndicatorii simpli ai variaiei arată gradul de împrăştiere a unităilorcolectivităii supusă cercetării faă de media aritmetică a valorilor serieirespective. Aceşti indicatori pot fi exprimai atât prin mărimi absolute, cât şiprin mărimi relative.Clasificare

Indicatorii simpli ai variaiei sunt:

- amplitudinea variaiei - absolută

- relativă

- abaterea fiecărei variante de la medie: - abatere absolută

- abatere relativă

DefiniieAmplitudinea variaiei sau câmpul de variaie este diferena dintre valoarea

maximă şi valoarea minimă; aceasta se mai numeşte şi amplitudine absolută.A = xmax - xmin

Exemplul 1: Amplitudinea variaiei pentru cifra de afaceri obinută de ofirmă pe ultimele 4 luni (exprimată în mii lei) + 4; + 4,8; +1,5;+1,75 esteA = 4,8 – 1,5 = 3,3 mii lei sau câmpul de variaie se poateindica simplu, doar precizând cea mai mică şi respectiv, cea

6 Jaba, E. – Op. cit., p. 1457 Balei, T.; Anghelache, C.; ian, E. – Op. cit., p. 70





mai mare valoare. În acest exemplu, câmpul de variaie poate fiindicat astfel: (1,5 mii lei – 4,8 mii lei).

DefiniieAmplitudinea relativă (Ar) este raportul dintre amplitudinea absolută şimedia aritmetică a valorilor seriei cercetate.

max min100 100r

a a

x x A A

x x

−= ⋅ = ⋅

Clasificare

Abaterea fiecărei variante de la medie poate fi:

• abatere absolut ă (d i) se determină ca diferenă între fiecare variantă

înregistrată şi media aritmetică a valorilor seriei respective. Se determină curelaia: ai id x x= −

• abatere individuală relativă se determină ca raport între fiecare abatereindividuală absolută şi media aritmetică a seriei, cu ajutorul relaiei:

100 100 1 100i i a ir r

a a a

d x x xd d

x x x

−= ⋅ = ⋅ ⇒ = − ⋅

2.4.3. Indicatorii sintetici ai variaiei

DefiniieIndicatorii sintetici ai variaiei se calculează întrucât indicatorii simpli aivariaiei nu cuantifică toată variaia caracteristicii analizate; indicatorii sinteticiai variaiei arată gradul de variaie al tuturor termenilor seriei.Clasificare

Indicatorii sintetici ai variaiei sunt:

1. abaterea medie liniară;

2. dispersia;

3. abaterea medie pătratică;4. coeficientul de variaie.

DefiniieAbaterea medie liniară ( d ) se determină ca o medie aritmetică simplă sauponderată a abaterilor termenilor seriei faă de medie ( x ), dar în valoareabsolută.Se determină cu relaia:

1)i x x

d

n

−=

∑pentru o serie simplă;





2)∑

∑ ⋅−=

i

ii

f

f x xd , pentru o serie de frecvene.

Exemplul 2: Determinai abaterea medie liniară a variaieinumărului de salariai ai unei firme pe ultimii şase ani,ştiind că numărul salariailor a fost: 57; 80; 100; 90;110; 115. Calculăm media aritmetică:

75 80 100 90 110 11595

6i

a

x x

n

+ + + + += = =

∑ salariai.

Abaterea medie liniarăi a x x

d n

−= ⇒

∑

75 95 80 95 100 95 90 95 110 95 115

6

d − + − + − + − + − +

=

13,33d =

Exemplul 3: Determinai abaterea medie liniară a variaiei cifrei deafaceri anuale pentru 150 de firme analizate. Se daudatele din tabelul următor:

Date statistice

Grupe defirme în

funcie de CA

(mii lei)

0 – 4 40 2 -1 -40 4,13 165,24 – 8 80 6 0 0 0,13 10,48 – 12 20 10 +1 20 3,87 77,412 – 16 5 14 +2 10 7,87 39,3516 – 20 5 18 +3 15 11,87 59,35TOTAL 150 - +5 +5 27,87 351,7

Se alege ca origine arbitrară o valoare „a” care se determină ca fiind centrulintervalului care are frecvena maximă; astfel, se observă că intervalul cufrecvena maximă este intervalul (4 - 8), iar centrul acestui interval este a = 6.

6

4

a

k

=

=

( )

13.664150

5=+⋅=+⋅

−

=∑

∑ak

f

f k

a x

xi

ii

mii lei

k

a xi −i

i f k

a x⋅

−ai x x − iai f x x −





351,72,345

150i a i

i

d x x f

f ≅

−∑= =

∑.

Abaterea medie liniară arată cu cât se abat în medie, termenii unei serii faă

de media lor; acest indicator este relevant doar pentru seriile omogene.

Dispersia ( )2∇ se calculează ca medie aritmetică simplă sau ponderată a

pătratelor abaterilor termenilor faă de media lor:

• pentru serii simple :( )

2

2ai x x

n

−∇ =

∑;

• pentru serii de distribuie :( )

2

2ai i

i

x x f

f

−∇ =

∑∑

.

Abaterea medie pătratică (abaterea standard) sau deviaia standard ( )∇ se

calculează ca medie pătratică din abaterile variantelor seriei de la media

lor aritmetică, astfel:

• pentru serii simple:( )

2

ai x x

n

−∇ =

∑ ;

• pentru serii de distribuie:( )

2

ai i

i

x x f

f

−∇ =

∑∑

.

Metoda simplificată de calcul a dispersiei (metoda originii arbitrare)

Calcularea dispersiei pentru seriile de distribuie cu ajutorul formulei:

( )2

2ai i

i

x x f

f

−∇ =

∑∑

este dificilă, fapt pentru care se foloseşte următoarea

formulă: ( )

2

22 2

ii

a

i

x a f

k k x a

f

−

∇ = ⋅ − −

∑

∑,

unde: a – centrul intervalului care are frecvena maximă;

k - mărimea intervalului de grupare.

Coeficientul de variaie (v) se calculează ca raport procentual între abaterea

medie pătratică şi media aritmetică a seriei, 100a

v x

∇= ⋅ , sau ca raport

procentual între abaterea medie liniară şi media aritmetică a seriei:

100d a

d v

x= ⋅ .

Semnifica ia coeficientului de varia ie





Coeficientul de variaie ia valori cuprinse între 0 şi 100 %. Cu cât valoarea saeste mai apropiată de 0, cu atât variaia este mai slabă, seria este mai omogenă şi media este mai reprezentativă. Dacă valoarea coeficientului de variaie estemai mare de 30 - 35 - 40 % se apreciază că media nu este suficient de

reprezentativă şi „datele trebuie să fie separate în serii componente, pe grupe, în funcie de variaia unei alte caracteristici de grupare”8, fapt pentru careacesta se foloseşte ca test de verificare în aplicarea metodei grupării.

2.4.4. Media, dispersia şi ali indicatori ai variaiei unei caracteristici alternative

Caracteristica alternativă este cea care are doar două variante posibile. Deexemplu, din punct de vedere calitativ produsele pot fi bune calitativ sau celecare nu corespund din punct de vedere al calităii (rebuturile); de asemenearezultatul la examenul de obinere a permisului auto poate fi: admis sau

respins, ş.a.m.d. Cele două variante ale unei caracteristici alternative seexprimă după cum s-a observat, prin cuvinte, şi nu numeric. Din această cauză se atribuie variantei afirmative valoarea convenională „1” şi varianteineafirmative valoarea convenională „0”.

Variantele

caracteristicii

Frecvena

Absolută relativă

x1 = 1 n1 1n p

n=

x2 = 0 n2 2nq

n=

TOTAL n1 + n 2 = n p + q = 1

unde: p = frecvena relativă a variantei afirmative a caracteristicii;

q = frecvena relativă a variantei neafirmative a caracteristicii;

n1 = frecvena absolută a variantei afirmative a caracteristicii;

n2 = frecvena absolută a variantei neafirmative a caracteristicii.

Demonstraii

Media caracteristicii alternative se determină pe baza relaiei mediei aritmeticeponderate, astfel:

8 Biji, E., Balei, T., „Statistică teoretică şi economică”, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991, p. 95 -96





1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

1 1

1 2

1 0i i

i

x f x f x f n n x

f n n n n

n n x p

n n n

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= = = ⇒

+ +

= = =+

∑∑

Deci, x p= , adică media aritmetică a caracteristicii alternative este chiar „ p” -

frecvena relativă a variantei afirmative a caracteristicii.

Dispersia (variana) caracteristicii alternative se determină pornind de larelaia de calcul a dispersiei pentru o serie de frecvene, după cum urmează:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2

2 2 2 221 0

i i i i i i

i i

x x f x p f x p p x p q

f f p q

p p p q pq q pq p p q pq

p q p q p q

− − − + −∇ = = = =

+

− + − ++= ⇒ ∇ = = =

+ + +

∑ ∑∑ ∑

Deci, ( )2 1 pq p p∇ = = − , adică se determină ca produs între frecvena relativă a

variantei afirmative ( p) şi frecvena relativă a variantei neafirmative (q).

Abaterea medie pătratică ( ∇ ) se determină pe baza relaiei:

( )2 1 pq p p∇ = ∇ = = −

Atunci când colectivitatea supusă cercetării este împărită în grupe omogene,se pot determina varianele de grupă ( 2

p∇ ), media varianelor de grupă ( 2 p∇ ),

precum şi variana mediilor de grupă faă de media generală ( 2 pδ ); de asemenea

este valabilă şi regula adunării dispersiilor.

2.4.5. Indicatorii asimetriei şi boltirii

DefiniieSe defineşte noiunea de asimetrie absolută ( a s), adică diferena dintre nivelulmediu şi mod, astfel:

0sa x M = −

Pentru cuantificarea gradului de asimetrie se folosesc mai multe metode:1. Metoda Pearson - presupune determinarea coeficientului:

a oasp

x M C

−=

∇,

unde: M0 = modul;∇ = abaterea medie pătratică;

a x = media aritmetică.Observa ie

• 1 1aspC − ≤ ≤ ;

• Dacă 0 aasp oC x M < ⇒ < şi distribuia prezintă o asimetrie stângă;





• Dacă 0 aasp oC x M = ⇒ = , distribuia este simetrică;

• Dacă >0 >aasp oC x M ⇒ şi distribuia prezintă o asimetrie dreaptă;

• Dacă 1aspC = ± seria are o asimetrie pronunată;

• Pentru distribuiile moderat asimetrice 0,3 0,3aspC − ≤ ≤ .

2. Metoda Fisher - presupune calcularea coeficientului:

( )3 a e

asF

x M C

−=

∇,

unde: M e = medianaC asF ia valori între -3 şi +3 şi cu cât se apropie de zero seria este mai simetrică.Toate celelalte observaii cu excepia ultimei observaii de la CasP rămânvalabile.

Exemple:

1. Pentru acordarea unui credit unei firme, banca ia în calcul mai mul iindicatori, printre care şi solvabilitatea firmei respective pe ultimele 12 luni.

Firma are urmă toarele valori ale solvabilit ă ii pe ultimele 12 luni:

ianuarie ⇒ S = 0,60

februarie ⇒S = 0,55

martie ⇒ S = 0,70

aprilie ⇒ S = 0,75

mai ⇒ S = 0,60

iunie ⇒ S = 0,60

iulie ⇒S = 0,80

august ⇒S = 0,80

septembrie ⇒S = 0,75

octombrie ⇒S = 0,75

noiembrie ⇒S = 0,70

decembrie ⇒S = 0,68

Banca acord ă creditul dacă solvabilitatea firmei pe ultimele 12 luni este maimare de 70%.

Se cere să se determine dacă firma ob ine creditul.

Solutie:

( )1

0,6 0,55 0,70 0,75 0,60 0,60 0,80 0,80 0,75 0,75 0,70 0,68 0,6912

iSS

n= = + + + + + + + + + + + =

∑

0,69S = .

Deoarece 69%S = < 70% ⇒ firma respectivă nu va ob ine creditul solicitat.

2. În urma unei analize statistice generale, la o firmă , s-au ob inut urmă toarele

date, cu privire la salaria ii din cadrul firmei.





Nr.

crt.

Vechime

- ani -

Salariul lunar

(sute lei)

1 10 7

2 8 7

3 7 6

4 2 3,5

5 1 36 10 7,5

7 6 5

8 5 4

9 7 6

10 5 4,5

11 4 4

12 2 3

Se cere:1. Să se calculeze mediana pentru vechime şi pentru salariu;2. Să se grupeze cei 12 salaria i în func ie de vechimea în muncă , respectivmă rimea salariului pe 3 grupe cu intervale egale;3. Să se calculeze mediana şi modulul pentru seria de frecven e de la punctul2.Solutie:

1a. - Pentru vechime:

Ordonare: 1; 2; 2; 4; 5; 5; 6; 7; 7; 10, 10;

Locul medianei este dat de rangul1 12 1

6,52 2

n + += = ⇒ Me =

276 T T + , adică

M e=5 6

5,52

+= ani

1b. - Pentru salariu:Ordonare: 3; 3; 3,5; 4; 4; 4,5; 5; 6; 6; 7; 7; 7,5.

Locul medianei este dat de rangul 1 12 1 6,52 2

n + += = ⇒ Me =2

76 T T + , adică M e

=2

55.4 += 4,75 sute lei

2.Gruparea datelor:

Tabelul 4. 10. Prezentare tabelară

Grupe de muncitori după

vechime

- ani -

Frecven a

Frecven a

cumulată

fcm

[1 – 4) 3 3





[4 – 7) 4 7

[7 – 10] 5 12

TOTAL 12

Grupe de muncitori după salariul

lunar

- sute LEI -

Frecven a

Frecven a

cumulată

fcm

[3 – 4,5) 5 5

[4,5 – 6) 2 7

[6 – 7,5] 5 12

TOTAL 12

3. a) Mediana: M e = x Me+12

icm

Me

f

f k f

−−⋅

∑

- pentru vechime, intervalul median este [4 - 7) întrucât acesta este primul

interval care îndepline şte condi ia ca f cm ≥ 2

∑ i f = 12/2 = 6, deci:

Me = 4+ 34

32

12

⋅

−

= 6,25 ani.

- pentru salariu, intervalul median este [4,5 - 6) întrucât acesta este primul

interval care îndepline şte condi ia ca f cm ≥ 2

∑ i f = 12/2 = 6, deci:

125

24,5 1,5 5,252e M −

= + ⋅ = sute lei.

b) Modul: 1

1 2o Mo M x k

∆= + ⋅

∆ + ∆

- pentru vechime intervalul modal este [7 - 10):

( ) ( )

5 47 3 7,5

5 4 5 0o

M −

= + ⋅ =− + −

ani

- pentru salariu intervalele modale sunt două , şi anume: [3 – 4,5), respectiv [6 – 7,5), astfel vor avea două module relative, şi anume:

( )

( ) ( )1

5 03 1,5 3,9375

5 0 5 2o M −

= + ⋅ =− + −

sute lei

( )

( ) ( )2

5 26 1,5 6,5625

5 2 5 0o M −

= + ⋅ =− + −

sute lei

2. Determina i amplitudinea absolut ă şi relativă pentru varia ia profitului brut încazul a 6 firme, cunoscând datele din tabelul urmă tor:





Firma PB

- mii lei-

A B 4

C 16

D 2

E 18

F 20

Solutie:

A = xmax - xmin = 20 - 2 = 18

18100 100 150%

12r a

A A

x= ⋅ = ⋅ =

12 4 16 2 18 2012

6i

a

x x

n

+ + + + += = =

∑

4. Pe baza datelor din problema 3 calcula i abaterea fiecă rei variante de la

medie.

Solutie:

a) abaterea absolut ă : i i ad x x= −

b) abaterea relativă : 100i

r a

d

d x= ⋅

Determinarea abaterilor

Firma PB

- mii lei

A 12 0 0

B 4 -8 -66,67 C 16 4 33,33

aii x xd −= 100⋅=a

ir

x

d d





D 2 -10 -83,33

E 18 6 50

F 20 8 66,67

12 4 16 2 18 2012

6i

a

x x

n

+ + + + += = =

∑ mii lei

5. Pentru cazul celor 5 firme din problema 3 calcula i abaterea medie liniar ă pentru profitul brut.

Solutie:

i a x x

d n

−

=

∑

Abaterea medie liniară

Firma PB

- mii lei -

A 12 0

B 4 8

C 16 4

D 2 10

E 18 6 F 20 8

TOTAL 72 36

366

6

i a x xd

n

−= = =

∑mii LEI

6. Calcula i coeficientul de asimetrie după metoda Pearson şi Fisher pentruurmă toarea serie de distribu ie:

Grupe de firme în func ie de mă rimea

salariului mediu

- sute lei -

Frecven a

f i

700 – 900 20

900 – 1100 30

1100 – 1300 55

1300 – 1500 35

1500 – 1700 10

TOTAL 150

ai x x −





Solutie:

a) Metoda Pearson

a oasp

x M C

−=

∇(1)

Coeficien ii deasimetrieGrup

e de firme în

func ie de

mă rimea

salariului

mediu

- sute lei-

F r e c v e n a

f i xi

i x a

k

− i

i

x a f

k

−

2

i x a

k

−

2

ii

x a f

k

−

700 – 900 20 800 -2 -40 4 80

900 – 1100 30 1000 -1 -30 1 301100 – 1300 55 1200 0 0 0 0

1300 – 1500 35 1400 1 35 1 35

1500 – 1700 10 1600 2 20 4 40

TOTAL 150 0 -15 10 185

ii

a

i

x a f

k x k a f

−

= ⋅ +∑

∑ ,

1200

200

a

k

=

=

15200 1200 1180 1180

150a a x x

−⇒ = ⋅ + = ⇒ = (2)

0

10

1 2

, 200 M M x k k ∆

= + ⋅ =∆ + ∆

( ) ( )

( )

55 30 251100 200 1100 200

55 30 55 35 25 20

51100 200 1211,11 1211,11 3

9

o

o

M

M

−= + ⋅ = + ⋅ =

− + − +

= + ⋅ = ⇒ =

( ) ( ) ( )

2

2 2 22

2 2

185200 1180 1200

150

37 37 370200 200 20 20 200 20 20 1

30 3 3

ii

a

i

x a f

k k x a

f

−

∇ = ⋅ − − = − − =

⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − = − =

∑

∑

20 122,33 221,208 221,208≅ ⇒ ∇ = (4)

Înlocuim rezultatele (2), (3) şi (4) în (1) şi ob inem:





1180 1211,11 31,110,14

221,208 221,208aspC −

= = − = − → distribu ia este moderat asimetrică

şi reprezint ă o asimetrie stângă , deoarece 0,14 0.aspC = − <

b) Metoda Fisher

( )3 a e

asF

x M C

−=

∇(5)

Pe baza calculelor de la punctul a), cunoa ştem media aritmetică şi abatereastandard:

1180

221,208

a x =

∇ =

Calculă m mediana:1

2e

e

icm

e M

M

f f

M x k f

−−

= + ⋅∑

15050 25 100021100 200 1100 200 1100 11909,90

55 55 11e M −

= + ⋅ = + ⋅ = + = (6)

Înlocuim rezultatele (2), (4) şi (6) în (5) şi ob inem:

( )3 1180 1190,900,14

221,208asF C −

= = − ⇒ distribu ia prezint ă o asimetrie stângă .

7. În urma unei anchete statistice cu privire la profitul net lunar realizat decă tre 200 de firme s-au ob inut datele din tabelul urmă tor:

Grupe de firme după Profitul Net - mii lei -

Frecven e relative (%)

f r = 100⋅∑ i

i

f

f

(0 – 2](2 – 4]

(4 – 6](6 – 8](8 – 10]

2040

15205

TOTAL 100

Se cere:a) Să se reprezinte poligonul frecven elor relative şi histograma pentruseria de frecven eb) Determina i valoarea centrală pentru fiecare grupă ;c) Stabili i clasa cu frecven a relativă maximă (intervalul modal);d) Determina i frecven ele absolute;e) Determina i frecven ele cumulate: ascendent şi descendent atât pentru

frecven ele absolute cât şi pentru frecven ele relative;





f) Determina i media aritmetică a Profitului Net prin cele două metode:direct ă şi simplificat ă ;g) Determina i media pă tratică şi geometrică ;h) Calcula i mediana şi modulul.

Solutie:

a)

Poligonul frecven elor relative şi histograma PN

b)

Grupe de firme după PN

– mld. -

Valoarea central ă a

clasei (X i )

(0 – 2]

(2 – 4](4 – 6](6 – 8](8 – 10]

1

357 9

c) Intervalul modal este (2 – 4] şi are frecven a relativă 40%, iar frecven aabsolut ă :

40100 200 80

100i

r i r ii

f f f f f

f = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ =∑∑

firme

d)

Grupe de firme după PN Frecven e relative

(%)

f r = 100⋅∑ i

i

f

f

Frecven e absolute

f i= r i f f ⋅ ∑

(0 – 2](2 – 4]

(4 – 6](6 – 8]

2040

1520

4080

3040





(8 – 10] 5 10

TOTAL 100 200

e)

PN

Frecv.

absolut

e

f i

Frecv. absolute cumulate Frecv.

relative

100⋅∑ i

i

f

f

(%)

Frecv. relative cumulate

Ascendant Descendent ascendent descendent

0 – 2 40 40 200 20 20 100

2 – 4 0 120 160 40 60 80

4 – 6 30 150 80 15 75 40

6 – 8 40 190 50 20 95 258 – 10 10 200 10 5 100 5

Total 200 - 0 100 0

f) Metoda direct ă :∑

∑=

i

ii

f

f x x

Metoda simplificat ă : ,

ii

a

i

x a f

k x k a f

−

= ⋅ +∑

∑

„a” poate fi orice constant ă , dar pt. simplificarea calculelor îl vom alege ca

fiind centrul intervalului cu frecven a maximă , adică în acest exemplu a = 3 şik = 2

PN xi f i xi f i i x a

k

− i

i

x a f

k

−⋅

ii f x ⋅2

0 – 22 – 44 – 6 6 – 88 – 10

1357 9

4080304010

4024015028090

-10123

-400308030

407207501960810

TOTAL 200 800 5 100 4.280



Rodica Pripoaie

Statistica economică

Metoda direct ă

Metoda simplif

g) Media pă tra

Media geometr

PN xi

0 – 2 1

2 – 4 3

4 – 6 5

6 – 8 7

8 – 10 9TOTAL

g x =991.235

200

1⋅

e

h) Intervalul m

100 , deci, inter

2i

e Me

f

M x= +

∑

M e = 3,5

1

1o Mo M x

∆= +

∆ +

adică tot interv

(2

80o M = +−

Rezumat

Indicatoriivariabile s

Indicatorii tendin ei cent

:800

4200

i ia

i

x f x

f = = =

∑∑

icat ă :100

2 3 4200

ii

a

i

x a f

k x k a f

−

= ⋅ + = ⋅ + =

∑

∑

tică :2

4.2804,63

200i i

p pi

x f x x

f = ⇒ = ≅

∑∑

ică :( )

1lni i

i

f x f

g x e∑∑=

f i xi

2 f i ln xi f i ln xi

40 40 0 0

80 720 1,099 87,900

0 0 1,603 48,283

40 1.960 1,946 77,836

710 810 2,197 21,972 200 4. 280 6,845 235,991

18.1e =3,254

edian este cel care con ine mediana, iar locuvalul (2 – 4 ] este intervalul median.

1

20040

22 2

80

cm

Me

f k

f

−− −

⋅ = + ⋅

2

k ⋅∆

, intervalul modal este intervalul cu

alul (2 – 4 ]:

) ( )

80 402 2,89

0 80 30

−⋅ ≅

+ −mii LEI

c

ei mai utilizai pentru caracterizarea tendinatistice sunt: media aritmetică, mediana şi m

ale (mă rimile medii)

65

Frecven a

cumulată

f cm

40

120

150

190

200

l medianei este

frecven ă maximă ,

ei centrale a uneiodul (dominanta).





T

e

s

t

d

e

a

Media este o valoare reprezentativă pentru o serie de date; întotdeauna ease va afla în interiorul intervalului valorilor respective ordonate crescătorsau descrescător (între min x şi max x ), motiv pentru care mai este denumită şi

indicator de poziie. Se pot defini diverse tipuri de medii, dar cele maiutilizate sunt: media aritmetică, media geometrică, media armonică,mediana şi modul.

Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii se calculează alături deindicatorii tendinei centrale pentru a caracteriza mai bine o distribuie.Indicatorii dispersiei, asimetriei şi boltirii oferă informaii despre felul încare termenii seriei se abat între ei sau de la medie.





Sarcina de lucru 2

1. O întreprindere a realizat în primele şase luni ale anului trecut următoarele

valori ale ratei rentabilităii economice, şi anume:

LunaRata rentabilităiieconomice

Ianuarie 13 %Februarie 10 %Martie 9 %Aprilie 12 %Mai 12 %Iunie 15 %

Să se determine media ratei rentabilităii economice pentru semestrul I al anuluiprecedent.

2. În urma unei anchete statistice cu privire la valoarea CA în cadrul a 500 defirme s-au obinut următoarele date:

Grupe de firme după CA

- sute mii lei -

Frecvena f i

0 – 4 100

4 – 8 1208- 12 18012 -16 7516 -20 25TOTAL 500

Să se determine:

• CA medie a celor 500 de firme (metoda directă şi metoda simplificată);

• Media armonică ponderată, media pătratică şi media geometrică

ponderată;• Mediana și modul.

Observa ie: Sarcina de lucru va fi verificat ă de că tre tutore în cadrulîntâlnirilor tutoriale.



Rodica Pripoaie


Test de auto

1. Să se deta)

b)

c)

2. Să se determine media

a) 24b) 15c) 20

3. Să se determine mediaa trei firme cercetate, ş

CAx= 2 mii lei/lună;

CAy= 4 mii lei/lună;

CAz= 5 mii lei/lună.a) 3,87b) 7,99c) 24,87

4. Fie seria formată din c24; 25. Să se determin

a) 18b) 19

c) 16

5. Se dă distribuia de fre

Să se determine modul


evaluare 2

ermine media aritmetică a numerelor: 2, 6, 8,121020

aritmetică ponderată pentru următoarea distrrofitul net anual

(mii lei)Frecvena i f

10 - 20 320 - 30 530 - 40 2

TOTAL 10

pătratică simplă pentru caracteristica „cifră i anume:

ifra de afaceri a 6 firme (exprimată în mii leimediana.

cvene din tabelul urmator:rofitul lunar

ediu net (mii

lei)

Nr. firme din

eşantionul

analizat

10 - 20 320 - 30 530 - 40 2

TOTAL 10(dominanta).


68

14, 20.

ibuie de frecvene:

d

e afaceri” în cazul

: 14; 17; 18; 20;





a) 28b) 19c) 24

6. Media este acea valoarea care:

a. sintetizează tot ceea ce este esenial şi obiectiv în apariia, manifestarea şidezvoltarea unei variabile;

b. este reprezentativă pentru un grup de date;c. exprimă abaterile nivelurilor individuale ale variabilei respective.

7. Media armonică se foloseşte atunci când:a. nu se cunosc frecvenele f i , dar se cunoaşte produsul xifi;b. nu se cunosc frecvenele f i şi nici volumul general al acestora;c. se cunosc frecvenele f i .

8. Media geometrică este foarte utilizată pentru că fenomenele socio-economice, înesena lor, se caracterizează în general prin:a. încetinirea ritmului, în timp ce volumul absolut al creşterii este din ce în ce mai mic;b. creşterea ritmului, în timp ce volumul absolut al creşterii este din ce în ce mai mic;c. încetinirea ritmului, chiar dacă volumul absolut al creşterii este din ce în ce mai

mare.

9. Mediana este acea valoare a caracteristicii care:

a. împarte seria în două pări egale;b. împarte seria în patru pări egale;c. ocupă locul central în cadrul variantelor seriei ordonate crescător sau descrescător.

10. Media geometrică ponderată se poate calcula cu formula:

a. ( )1 1 1

" "

n n nnn

i g g g g i g i g ii i i

n ori

x x x x x x x x x x= = =

= ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ =∏ ∏ ∏K14243

b. 1

11 1

1 ln1 1ln ln ln ln

n

ii

n n nn

i ig gii i

xn x x x x x ein n=

== =

∑= = = ⇒ =∑∏ ∏ ;

c.

( )

1

ln1

i in

i

i

f x

f

g x e =

∑∑

⇒ =





Tema de control 1

Se cercetează d.p.d.v. statistic un eşantion format din 8 firme cu privire la nivelul

Profitului net realizat în cursul anului 2010 şi se obin următoarele date statistice:

FIRMA Profit net

(mii lei)

Xi

A 2

B 9

C 14

D 8

E 9

F 10

G 5H 7

TOTAL 64

∑ Xi

Se cere să se determine:

1. media aritmetică simplă

2. media pătratică simplă

3. abaterea individuală faă de medie

4.

abaterea medie liniară 5. dispersia pt. seria simplă

6. abaterea medie pătratică (abaterea standard)

7. coeficienii de variaie

8. mediana

9. să se grupeze datele iniiale în trei intervale egale şi să se calculeze centrul fiecărui

interval şi frecvena acestora

10. media aritmetică ponderată prin met. directă

11. media aritmetică ponderată prin met. de calcul simplificat

12. abaterea individuală faă de medie pt. seria de frecvene de la pc. 9

13. abaterea medie liniară pt. seria de frecvene de la pc. 9

14. dispersia pt. seria de frecvene de la pc. 9 prin met. directă

15. dispersia pt. seria de frecvene de la pc. 9 prin met. de calcul simplificat

16. abaterea medie pătratică (abaterea standard) pt. seria de frecvene de la pc. 9

17. coeficienii de variaie pt. seria de frecvene de la pc. 9

18. mediana pt. seria de frecvene de la pc. 9



Rodica Pripoaie


19. modul ( dominanta) pt

20. coeficienii de asimetri

Bibliografie

• Balei,T.; Biji

D. – „Statistică t

Bucureşti, 1996,

• Baron Tudo

Didactică şi Ped

• Mitruț C., Isaic-Maniu Al.,

București, 2004, p. 20-25.

• Jaba Elisabeta – Statistic

58.• Pripoaie Rodica – Statisti

10 – 30.


. seria de frecvene de la pc. 9

e PEARSON şi FISHER

minimală , E.; Tövissi, L.; Wagner, P.; Isaic-Maniu, Al.;

eoretică şi economică”, Editura Didactică şi

p. 70 - 75.

r, Biji Elena şi colab. – Statistică teoretică şi

agogică, Bucureşti, 1996, p. 12- 43.

Voineagu V.: Statistică, Ediția a II-a, Ed. Uni

, Ed. Economică, Ediția a IV-a, Bucureşti, 20

ă Economică, Ed. Didactică şi Pedagogică, B


71

K

orka, M.; Porojan,

edagogică,

economică, Ed.

ersitară,

7, p. 22 – 34; 49 -

ucureşti, 2008, p.

Date post:	12-Jul-2015
Category:	Documents
Upload:	valentina-elena-bejan
View:	83 times
Download:	0 times

Statistic A Economica Unitatea II

Documents