CALCULUL PROBABILITATILORPROIECT POWER-POINT LA MATEMATICA

Profesor Carmen Delcea

• Inceputurile teoriei probabilitatilor sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal(1623-1662) si Pierre Fermat(1601-1665).Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita jocurilor de noroc.

• Probabilitatea este o multime numerica prin care se exprima caracterul aleatoriu al unui eveniment, al unui fenomen; calculul probabilitatilor este calculul matematic care permite sa se aprecieze daca un eveniment complex se va intampla sau nu, in functie de eventualitatea unor evenimente mai simple, presupus cunoscute.

• Teoria probabilitatilor este ansamblul de reguli, legi, scheme care definesc relatiile dintre probabilitatile de realizare a unor evenimente intamplatoare (probabile). In matematica, probabilitatea este un raport intre numarul cazurilor favorabile de realizare unui eveniment intamplator si numarul total de cazuri posibile.

• Probabilitatea unui eveniment este o valoare cuprinsa intre 0 si 1. Daca probabilitatea unui eveniment este 0, atunci evenimentul este imposibil; daca probabilitatea unui eveniment este 1, atunci evenimentul este sigur.

• Evenimentul este, in calculul probabilitatilor, rezultatul unei experiente sau al unei observatii.

• a) Evenimentul imposibil nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei. Evenimetul imposibil are probabilitatea 0.

• b) Evenimentul posibil este cel care poate sau nu sa aiba loc. Are probabilitatea mai mare ca 0 si mai mica ca 1.

• c) Evenimentul sigur este evenimentul care se realizeaza cu certitudine. Probabilitatea evenimentului sigur este 1.

• Multimea tuturor evenimentelor legate de o experienta ( inclusiv evenimentul sigur si evenimentul imposibil) se numeste camp de evenimente.

• Frecventa este notiunea matematica utilizata in statistica si calculul probabilitatilor. Fie o experienta si un eveniment A corespunzator acestei experiente. Daca aceasta experienta a fost repetata de n ori in conditii identice, iar cu a am notat numarul de realizari ale evenimetului A, atunci raportul fn = a/n se numeste frecventa evenimentului A. In statistica, frecventa unei valori de caracter este egala cu raportul: efectiv/efectiv total.

• Universul probelor!!!• Def)Multimea a tuturor rezultatelor posibile,incompatibile doua

cate doua,care pot avea loc in cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeste universul probelor(sau spatiul probelor).

• Prin rezultate incompatibile intelegem acele rezultate care nu se pot obtine simultan in nici o proba.

• Exemple: • 1)La aruncarea unei monede omogene avem:ohm=(b,s),unde b

este banul,iar s este stema.• 2)La aruncarea unui zar omogen avem:ohm={1,2,3,4,5,6}.• OBSERVATIE!!!Cazul de modelare matematica pe care-l prezentam

aici este cel mai simplu,cu ohm multime finita.Situatia se complica daca ohm este multime numarabila sau nenumarabila.

• Exemplu:• 1)Se arunca o moneda pana se obtine banul.In acest caz universul

probelor este ohm={b,sb,ssb,sssb,...},adica o multime numarabila.

• EVENIMENTE• Definitie)Fie ohm un univers.Se numeste

eveniment orice submultime a lui ohm.• Evenimentul este, in calculul probabilitatilor,

rezultatul unei experiente sau al unei observatii.

• Evenimentul imposibil nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei. Evenimetul imposibil are probabilitatea 0.

• Evenimentul posibil este cel care poate sau nu sa aiba loc. Are probabilitatea mai mare ca 0 si mai mica ca 1.

• Evenimentul sigur este evenimentul care se realizeaza cu certitudine. Probabilitatea evenimentului sigur este 1.

• Operatii cu evenimente.• Negatia: _• Def) Daca A este un eveniment,atunci A(citim:non

A)este evenimentul care se ralizeaza daca si numai daca nu se realizeaza A.

• De exemplu la aruncarea zarului daca A={1,2,3} care inseamna ca A se realizeaza daca la o proba apare una din fetele cu 1,2 sau 3 puncte,atunc A(non A)={4,5,6}(care se realizeaza daca nu se realizeaza A,adica daca intr-o proba apare una din fetele care contin 4,5 sau 6 puncte).

• Reuniunea• Def)Fie A,B doua evenimente.Se numeste reuniunea

evenimentelor A,B evenimentul notat A U B(citim A sau B)care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul din evenimentele A,B.

• Exemplu.La aruncarea zarului fie evenimentele:• A={1,2,3},B={4,5},C={1,3},D={2,3,5}.Atunci A U

B={1,2,3,4,5}si C U D={1,2,3,5}.

• Intersectia• Definitie:Fie A,B doua evenimente.Se

numeste intersectia evenimentelor A si B evenimentul notat A ^ B(citim: A si B)care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza simultan A si B.

• Exemplu.La aruncarea zarului fie evenimentele:A={1,2,3,4},B={2,4,6}.

• Atunci A ^ B={2,4}si se realizeaza daca la aruncarea zarului apare fata cu doua puncte sau fata cu patru puncte.

• Evenimente incompatibile• Def.Doua evenimente A,B se numesc incompatibile dai

si numai daca A ^ B=0• Cu alte cuvinte doua evenimente sunt incompatibile

daca nu se pot realize simultan in nici o proba legata de fenomenul aleator considerat.

• Exemplu:La aruncarea zarului evenimentele A={1,2,3}, B= {4,5,6} sunt incompatibile deoarece A ^ B=0.

• Evenimente elementare• Def.Fie ohm un univers finit

ohm={w1,w2,...wn}.Evenimentele {w1},{w2},…,{wn} se numesc evenimente elementare.

• Exemplu:• La aruncarea monedei ohm={s,b} cand avem

elementele elementare{s} (aparitiastemei,{b} (aparitia banului).

• Functia probabilitate• Dintre toate formulele propuse pentru definirea

functiei probabilitatea,cea folosita astazi este teoria dezvoltata de matematicianul rus Kolmogorov la inceputul deceniului al patrulea al secolului XX.Ela a propiat conceptual de probabilitate de teoria masurii si analiza functionala.Kolmogorov a creat un fundament axiomatic pentru conceptual de probabilitate care se bazeaza pe o multime ohm de evenimente elementare si un system |B c P(ohm).Evenimentele sistemului |B,adica submultimile lui ohm se numesc evenimente (aleatoare).In plus |B verifica proprietatile:

• 1)Daca A1,A2...,An,…E |B,atunci U Ai E |B;• 2)Daca A E B,atunci C A E |B.• Observatii!!!0)Toate evenimentele vor

avea probabilitati de la 0,evenimentul imposibil,aproape de zero,evenimente putin probabile,egale cu ½,corespund evenimentelor cu sanse egale,aproape de 1,cand vorbim de evenimente foarte probabile si pana la 1,care corespunde evenimentului sigur.

• Camp de probabilitate• Consideram F un fenomen

aleator.Modelarea matematica a acestuia este caracterizata de cele trei elemente descries mai sus:universal probelor(ohm),multimea tuturor evenimentelor(P(ohm)) si de probabilitatea P asociata multimii evenimentelor.

• Definitie.Fie F un fenomen aleator.Tripletul (ohm,P(ohm),P) se numeste CAMP DE PROBABILITATE asociat fenomenului F.

• Exemplu:1)La aruncarea monedei ohm={s.b},P(ohm)={0,{s},{b},{s,b}},iar P:P(ohm)->[0,oo),unde P(0)=0,P({s})=P({b})=1/2,P({s,b})=1

• Operatii cu probabilitati• Din definitia probabilitatii si proprietatile

operatiilor cu multimi se deduc reguli de calcul ale proprietatii unor evenimente.

• Vom demonstra pentru inceput urmatoarea:

• Teorema:Daca A,B E P(ohm),atunci P(B^A)=P(B)-P(B^A).

• *Remarca importanta!!!• Axiomele din definitia probabilitatii si

rezultatele precedente sunt insuficiente pentru a preciza probabilitatile diferitelor evenimente ale unui univers ohm.Alte consideratii sau experiente practice sunt indispensabile pentru a da aceste probabilitati sau cel putin o parte Dintre ele.

• Evenimente elementare echiprobabile• Definitie.Fie ohm={W1,W2,…,Wn}.Evenimentele elementare

{W1},{W2},…,{Wn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})

• Cum P(ohm)=1,iar pe de alta parte P(ohm)=P({W1})+P({W2})+…+P({Wn}) (evenimentele elementare fiind incompatibile doua cate doua deducem:

• P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})=1/n• Pentru evenimentul:A={Wi,…,Wik}avem acum probabilitatea:• P(A)=P({Wi1}+…+P({Wik})=k/n.• Teorema!Daca ohm este un univers format din n evenimente

elementare echiprobabile,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare,atunci P(A)=k/n=n(A)/n(ohm).

• Reformulam rezultatul sub forma:probabilitatea unui eveniment asociat unui experiment avand cazuri elementare echiprobabile este raportul Dintre numarul de cazuri favorabile realizarii evenimentului si numarul total de cazuri posibile.

• Evenimente elementare echiprobabile

• Definitie.Fie ohm={W1,W2,…,Wn}.Evenimentele elementare {W1},{W2},…,{Wn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})

• Cum P(ohm)=1,iar pe de alta parte P(ohm)=P({W1})+P({W2})+…+P({Wn}) (evenimentele elementare fiind incompatibile doua cate doua deducem:

• P({W1})=P({W2})=…=P({Wn})=1/n• Pentru evenimentul:A={Wi,…,Wik}avem acum probabilitatea:• P(A)=P({Wi1}+…+P({Wik})=k/n.• Teorema!Daca ohm este un univers format din n evenimente

elementare echiprobabile,iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare,atunci

• P(A)=k/n=n(A)/n(ohm).• Reformulam rezultatul sub forma:probabilitatea unui eveniment

asociat unui experiment avand cazuri elementare echiprobabile este raportul Dintre numarul de cazuri favorabile realizarii evenimentului si numarul total de cazuri posibile.

• Regula produsului: Si x (produs)• Pentru calculul probabilitatilor din diagrama,se poate

utilize regula produsului de la combinatorica.De exemplu,pentru rezultatul (a,a) avem urmatorul rationament.

• Prima bila alba se extrage din cele trei bile albe in trei moduri.Se repune bila alba extrasa inapoi in urna si se reface compozitia initiala a urnei.Deci,la a doua extragere,bila alba se poate obtine tot in trei moduri.Conform regulii produsului numarul de posibilitati de a extrage doua bile albe este egal cu 3x3=9.Numarul de posibilitati de a extrage prima bila din 7este egal cu sapte.A doua bila se poate extrage tot Dintre cele 7 bile,in 7 moduri.Conform aceleasi reguli,numarul de moduri de extragere a doua bile este egal cu 7x7=49.Probabilitatea cautata este egala cu 9/49.

• Altfel,putem considera doua urne cu continut identic U1(3a,4n),U2(3a,4n)si extragem simultan cate o bila din fiecare urna.Din prima urna,o bila alba se extrage in 3 moduri(din cele 3 bile albe),iar din a doua urna,o bila alba se extrage regulii produsului,cele doua bile albe se extrag in 3x3=9 moduri etc.

• Facem observatia ca probabilitatile (coloana atasata diagramei)sunt correct calculate,pe coloana rezultate sunt date toate evenimentele elementare;or,se stie ca suma probabilitatilor lor este egala cu 1).In cazul de fata:

• 9/49+12/49+12/49+16/49=49/49=1.

• Deci,probabilitatile au fost correct calculate.

• Observatii!!! 1)Problema poate fi abordata si astfel:numerotam bilele albe si negre cu 1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n si avem universal probelor

• Ohm={(x,y)|x,yE{1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n}}cu n ohm=49.Acum

• A={(1a,1n),(1a,2a,3a,1n,2n,3n,4n)…,(2a,4n),(3a,1n),…,(3a,4n),(1a,1a),(1a,2a),(1a,3a),(2a,1a),….,(3a,3a)} cand n(A)=21 etc.

• Regula sumei: Sau<=> + (adunarea)• Pe fiecare ramura a diagramei am indicat

probabilitatea cu care se extrage bila respectiva.Dupa prima extragere am marcat sub fiecare bila extrasa continutul urnei dupa extragere.

• Probabilitati conditionate • Pentru un fenomen aleator F dorim sa calculam

probabilitatea unui eveniment A a carui realizare depinde de realizarea unui alt eveniment B.Daca realizarea acestuia din urma a avut loc,atunci aceasta informatie va modifica probabilitatea de realizare a evenimentului A.Vom nota aceasta noua probabilitate prin Pb(A) (citim:probabilitatea evenimentului A conditionata de evenimentul B).

• Exemplu comentat.Consideram aruncarea unui zar ideal.Universul probelor este ohm={1,2,3,4,5,6}(sase evenimente echiprobabile).Fie A={1,6},B={2,4,6} si A ^ B={6}.Avem P(A)=2/6=1/3,P(B)=3/6=1/2, P(A^B)=1/6.

• Daca,zarul fiind aruncat,ni se precizeaza ca s-a obtinut un numar par de puncte(adica s-a produs B),atunci numarul cazurilor posibile se reduce la 3(=nB)).Atunci Pb({6})=1/3.

• Definitie.Fie A,B c ohm.Se numeste probabilitate a evenimentului A conditionata de evenimentul B numarul notat Pb(A)definit prin Pb(A)=P(A^B)/P(B), P(B)=/ 0.

• Teorema!!!• .Fie A,B,C…evenimente ale unui univers

ohm.Atunci1)P(A^B)=P(A)Pa(B);2)P(A^B^C)=P(A)pa(B)xPa^b(C).

• Demonstratie!• 1)Se obtine din Pa(B)=P(A^B)/P(A).• 2)P(A^B^C)=P(A)Pa(B)x Pa^b(C).• Exemplu:O urna contine 7 bile rosii si 4 bile

albe.Se fac doua extrageri,fara repunerea bilei extrase inapoi in urna.

• 1)Determinati probabilitatile evenimentelor legate de aceasta experienta.

• 2)Determinati probabilitatea ca bilele extrase sa aiba culori diferite.

• Evenimente independente• Sa ne imaginam ca stim ca evenimentul A s-a

produs,dar ca acest fapt nu are nici o influenta asupra probabilitatii evenimentului B,adica Pa(B)=P(B).De aici P(A^B)/P(A)=P(B)sauP(A^B)=P(A)P(B).

• Dar atunci Pb(A)=P(A^B)?P(B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A),astfel spus daca evenimentul B nu depinde de evenimentul A,atunci nici A nu depinde de B

• Definitie!!!• 1)Fie A,B c ohm.Se spune ca evenimentele A,B daca

P(A^B)=P (A)P(B).In caz contrar evenimentele sunt dependente.

• 2)Fie A,B,C c ohm.Se spune ca evenimentele A,B,C sunt independente daca:

• P(A^B)=P(A)P(B), P(A^C)=P(A)P(C),• P(B^C)=P(B)P(C),

P(A^B^C)=P(A)P(B)P(C).

• Exemplu.Se arunca o moneda de doua ori.Universul rezultatelor este ohm={(s,s),(s,b),(b,b)}.Consideram A evenimentul “stema apare la prima aruncare”.Acesta este A={(s,s),(s,b)}.Fie B evenimentul “banul apare la a doua aruncare”.Deci B={(s,b),(b,b)}.Avem:P(A)=2/4=1/2,P(B)=2/4=1/2,iar P(a^B)=P((s,b))=1/4.

• Definitie!Fie ohm1,ohm2,…,ohmn universurile associate la n probe successive independente si P1,P2,…,Pn probabilitatile relative la aceste universuri.

• Fie ohm=ohm1x…xohm nuniversul asociat multimii acestor probe,iar P probabilitatea relative la ohm.

• Atunci P(a1,a2,…an)=P1(a1)P2(a2)…Pn(an),aiE ohm I,i=1,n.

• Aceasta definitie caracterizeaza modelul mathematic corespunzator unui fenomen aleator F ale carui n probe sunt independente.

• VA MULTUMESC PENTRU ATENTIA ACORDATA!!