ci probabilitati

8/8/2019 ci probabilitati

1/25

Curs 1 1

CURSUL I

PROBABILITATI

DISTRIBUTII

VARIABILE ALEATOARE


2/25

Curs 1 2

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR

CMPURI DE PROBABILITATE

Teoria matematic a probabilitilor pornete de la faptul c fiecrui rezultat

posibil al unui experiment aleator, rezultat pe care l vom denumi eveniment, i se

asociaz o valoare numeric, numit probabilitatea evenimentului respectiv. Aceast

valoare este o caracteristic obiectiv a evenimentului n condiiile experimentului dat.

S efectum, de exemplu, un experiment de m ori. Dac n cele m experiene un

eveniment A s-a produs de k ori, atunci 0 k m, de unde rezult pentru frecvena

relativ:

0 mk 1,

adic frecvena relativ a unui eveniment este ntotdeauna un numr cuprins ntre 0 i 1.

innd cont c frecvena relativ oscileaz n jurul probabilitii evenimentului considerat

i c probabilitate este acea caracteristic a evenimentului care ne indic n ce proporii se

produce evenimentul n cazul repetrii experimentului de un numr foarte mare de ori,

rezult c i probalitatea este tot un numr ntre 0 i 1. Din definiia probabilitii ca

generalizare a conceptului de frecven relativ, rezult c probabilitatea unui eveniment

imposibil este 0, iar probabilitatea unui eveniment sigur este 1.

Evenimentele pot fi simple, n sensul c nu se pot descompune mai departe, saucompuse din alte evenimente ce se petrec simultan. n acest context putem considera

dou operaii ntre evenimente.

Scriem A B i nelegem prin aceasta un eveniment care const n producerea

evenimentelor A i B, simultan. Scriem A B pentru cazul cnd se produce cel puin

unul din cele dou evenimente.

Fiind date dou rezultate A i B ale unui experiment efectuat de n ori, s

presupunem c A s-a obinut de 1k ori i B de 2k ori. Evenimentul A B, deci obinerea

unui eveniment din cele dou rezultate, s-a obinut ca atare, den

kk 21+ =nk1 +

nk2 ori, ceea ce

sugereaz o regul de tipul

Probabilitate (A B) = Probabilitate (A) + Probabilitate (B)

n cele ce urmeaz vom introduce o prezentare axiomatic a conceptului de

probabilitate, dup Kolmogorov1.


3/25

Curs 1 3

Corp borelian

Definiie:

Fie E o mulime i K o familie nevid de pri ale lui E, K (E) cu proprietile:

1. A K CA K

2. ( ) NiiA K

1

iA K

3. E K

Deci, este nchis la operaiile de complementare i reuniune.

Se spune, n acest caz, c familia K, mpreun cu operaiile menionate, formeaz

un corp bolerian. Denumirea de borelian vine de la matematicianul Emil Borel, unul

dintre fondatorii teoriei probabilitilor.

Consecin:Un corp borelian este o familie nchis fa de operaiunea de intersecie,

indiferent de numrul elementelor sale pe care le intersectm:

( ) NiiA K iA K

Demonstraia se face imediat folosind faptul ci i

i i

A C A

=

I U i proprietile 1 i 2.

Propoziie:

Fiind dat o familie de corpuri boreliene ( ) IiiK , intersecia lor este tot un corpborelian.

Demonstratia se face imediat, folosind proprietile corpului borelian i ale operaiilor de

intersecie, reuniune i complementare.

Definiie:

Fie H o familie oarecare de pri ale unei mulimiE.H poate fi completat la

un corp borelian, numit corpul generat de , dac i se adaug E i toate mulimile ce se

formeaz prin reuniune, intersecie i complementare pornind de la elementele H .

Dac lum pe dreapt, mulimea intervalelor deschise de forma (- ,a), aR,

corpul borelian generat se numete simplu borelianul pe dreapta i constituie baza

teoriei probabilitilor, aa cum va fi ea abordat n prezenta lucrare. Deoarece orice

interval nchis se poate obine prin operaiile meionate din intervale deschise i invers,


4/25


5/25

Curs 1 5

Definiie

Se numete msurorice funcie pozitiv definit pe corpul mulimilor msurabile,

: KR+ , aditiv pe orice familie ( ) IiiA numrabil de mulimi msurabile

disjuncte: ( )

== 11,, nnmn AAAAmn Consecine

a) ( ) 0=

ntr-adevr, dac lum AA =1 , =2A ( ) ( ) ( ) ( ) 02 ===

b) Fie un ir de mulimi ...21 AA i fie nAA = , atunci ( ) ( )AAn

Demonstraie:

Fie 1+= nn AB \ nA . Mulimile nB sunt disjuncte i nn BBBA ...21= .

Din aditivitatea lui rezult ( ) ( ) nn

i

i

n

i

in sBBA ==

=

== 11

( )AABssn

ni

in ===

=

= 11

nAA = i ( )iA < ( )nA < ( )A

Altfel, { },...1, += nnAn , =nA dar ( ) =nA

Exemple

a) Fie definit dup cum urmeaz: ( ) =A dacA este infiniti ( ) =A numrul elementelor din A , dacA este finit.Aceast msur se numete n mod natural msura de numrare.

b) Fie un punct exterior Ex 0

fixat. Definim:

( ) 10

=Ax dac Ax 0 i

( )Ax0 = 0 dac 0x A Msura este utilizat n mecanica cuantici se numete msura lui Dirac.

Probabilitate Vomdefini probabilitatea ca o msur particular.

Definiie:

Fiind dat un spaiu msurbil ( )KE, . O funcie P: [ ]1,0K cu proprietile:

a) P msuri


6/25

Curs 1 6

b) P ( )E =1se numete probabilitate.

Deci, probabilitatea ar fi o msur normat.

Proprieti:

Pe baza proprietilor msurii i a faptului c P ( )E =1, se pot demonstra cu

uurin urmtoarele proprieti:

1. ( ) ( ) ( )BPAPBAPBA = /

2. ( )n , ( ) = + nnn APAA 1 ( )nn APlim

3. ( )n , ( ) ( )nnnnn APAPAA + = lim1

4. ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP +=

5. ( ) ( )nn APAP , numit subaditivitate numrabil

6. ( ) 0=P

7. ( ) ( )APCAP = 1

n contextul teoriei probabilitilor, mulimile msurabile devin evenimente,

spaiul msurabil devine cmp de evenimente, iar E devine evenimentul total.

Definiie:

Un cmp de evenimente ( )KE, nzestrat cu probabilitatea P, se numete cmp de

probabilitate.

Definiie:

Un eveniment care nu mai poate fi inclus n alt eveniment

BAKBKA ,, sau =BA

se numete eveniment elementarsau atom.

Observaii

Prezentarea axiomelor teoriei probabilitilor n contexul mai larg al teoriei

msurii, dincolo de formalismul simplu i rigoare, ofer i avantajul unor interpretrifenomenologice i picturale pentru unele formule. Astfel, dac probabilitatea este o

msur, la fel ca aria pentru figurile plane, formula:

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP +=

se poate citi ca:


7/25

Curs 1 7

aria ( )BA = aria ( )A + aria ( )B - aria ( )BA

ceea ce pare ca evident.

Fig. 1.

A A B B

Definiia clasic elementar a probabilitii deriv n mod natural din noiunea de

frecven, despre care am vorbit mai sus.

Dac un eveniment A se poate realiza n m feluri diferite dintr-un numr total n de

evoluii posibile )njj

e,1=

, egal probabile, atunci :

a) )nj

eP 1= i

b) ( )nmAP =

Exemplu

Exemplul clasic de cmp de probabilitate finit l constituie evenimentele ce pot

aprea atunci cnd, dintr-o urn n care se afl bile albe i negre se extrag n bile. Dac

proporia bilelor albe n urn este p, i deci a celor negre este q = 1 - p, probabilitatea

evenimentului A, ca din n bile extrase, k s fie albe, conform definiiei clasice definite

mai sus, se calculeaz imediat i este:

( ) qpCAPknkk

n

=

De exemplu, evenimentul ca din trei bile extrase, dou s fie albe - a - i una s fie

neagr - n- se poate descompune n felul urmtor :

A = (a a n) U (a n a) U (n a a)

i

P(A) = P(a a n) + P(a n a) + P(n a a) = p2q + p2q + p2q = 3 p2q = 23C p2q3-2

Probabilitate condiionat

Fie B un eveniment a crei probabilitate este diferit de 0. Probabilitatea unui

eveniment A, reprezint proporia n care ne ateptm s se realizeze A n cadrul tuturor

evenimentelor cmpului de probabilitate la care aparine A


8/25

Curs 1 8

Probabilitatea lui A se mai poate analiza nsi n contextul n care tim c s-a

produs anterior evenimentul B. Probabilitatea evenimentului A condiionat de B se

noteaz, n acest caz, cu: P(A/B) sau PB(A).

Dac s-a constatat experimental o frecven de apariie kAi, respectiv kB, pentru

A i B,frecvena relativde apariie a lui A, cnd deja a aprut B, va fi:

( )( )BP

BAP

knk

kk

B

AB

B

AB

=

n acest context apare natural definiia probabilitii evenimentului A,

condiionat de B, prin formula:

( ) )( )BP

BAPAP

B

=

Un caz special l constituie acela n care probabilitatea de apariie a evenimentului

A este aceiai, indiferent dac s-a produs sau nu evenimentul B:

P(A) = PB(A)

Spunem, n acest caz, c evenimentele A i B sunt evenimente independente.

Observm c, rescriind formula anterioar

( ) )( )BP

BAPAPB

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPBPAPBAP B ** ==

se poate lua ca definiie c

dou

evenimente sunt independente atunci cnd:

( ) ( ) ( )BPAPBAP *=

Formula probabilitii cauzelor (Bayes)

Fie A1, A2,, An o desfacere a lui E pe care, n contextul teoriei probabilitilor, o

numim sistem complet de evenimente. Ea reprezint n acelai timp o desfacere pentru E

ct i pentru orice eveniment EX .

jAE=

( ) XAX i=

Dat fiind c evenimentele XAi sunt disjuncte, avem ( ) ( )= XAPXP i .

S presupunem c ( ) 0, iAPi . n aceste condiii avem urmtoarea teorem:


9/25

Curs 1 9

Teorema probabilitii cauzelor

Probabilitatea producerii oricrui eveniment X, este egal cu suma probabilitilor

de producere a lui X, condiionate de evenimentele complete ale sistemului ( ) niiA ,1= i

( ) ) )( ) ( )= XPAPXPAP

APi

j

Ai

Aj

jX

Demonstraie:

Din definiie avem PX(Aj) =)

( )XPAXP j

deci, PX(Aj) =)

( )i ij

XAP

AXP

=

( ) ( )( )

( )( )

( )i ii

i

j

jj

AP

APXAP

AP

APAXP

=( ) ( )

( ) ( ) XPAPXPAP

I

j

Ai

Aj

PX(Aj) poate fi interpretat ca fiind probabilitatea ca X s aib cauza Aj. n acest

caz, formula calculeaz probabilitatea lui X n funcie de probabilitile cauzelor care ar fi

putut determina evenimentul X. Probabilitile P(Ak) se numesc apriorice, pentru c ele

se cunosc nainte de eveniment. Probabilitile PX(Aj) sunt probabilitile acelorai cauze,

dar dup ce s-a ntmplat evenimentul X, i se numesc din acest motiv, probabiliti

aposteriorice.

Exemplu, cnd un pacient intoxicat este adus la urgen el prezint anumite

simptome i medicul, folosind experiena sa, rezultatele determinrilor n snge i un

sistem computerizat elaboreaz o list cu probabilitile ca intoxicaia s se fi fcut cu o

anumit substan.

n fizica statistic parametrii termodinamici sau cuantici ai unui sistem rezult din

nsumarea unui numr foarte mare de evenimente. Probabilitatea de trecere de la o stare

iniial la o stare final este dat de suma probabilitilor de trecere pe anumite ci Ai

ponderate fiecare cu probabilitatea, sau altfel spus ponderea lor, p(Ai). Deoarece numrul

cilor poate fi de puterea continuului, n locul sumelor apar integrale.Sau, dac s-ar produce o crim, aposteriori, ne punem problema ierarhizrii

suspiciunilor privind potenialii criminali.

Problema nu este de loc teoretic dac suntem de exemplu o societate de

asigurri sau dac testul este un test de malignitate.


10/25

Curs 1 10

Bayer a fost un episcop care s-a preocupat de cauzele evenimentelor din lumea

aceasta i legtura lor cu cauza final Dumnezeu.

Formula probabilitii cauzelor ne arat cum se transform probabilitile

apriorice n probabiliti aposteriorice, dup apariia evenimentului X.

De exemplu, tiind c un medicament se absoarbe n, i se elimin din snge pe

mai mult ci, cu diferite probabiliti date de considerente fizico-chimice i fiziologice, n

funcie de rezultatul unor determinri a concentraiei ale acestora n sngele unui pacient,

ne putem pune problema stabilirii ponderilor efective ale acestor ci, n scopul

individualizrii tratamentului.

Observaie:

Putem deasemenea s considerm cazul particular al desfacerii evenimentului

total n dou evenimente A i complementul su CA.Formula lui Bayes devine n acest caz:

PX(A) =( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )CAPXPAPXP

APXP

CAA

A

+

Aplicaie:

Dac, de exemplu, P(B) este proporia (probabilitatea) unei boli n populaie i

cunoscnd proporia n care un test diagnostic este pozitiv la bolnavi PB(T) i la

sntoi PNB(T) putem calcula probabilitatea ca un pacient la care rezultatul testului

este pozitiv s fie bolnav:

P+(B)=( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )NBPTPBPTP

BPTP

NBB

B

+

unde:

PB(T) este probabilitatea ca un bolnav s fie catalogat pozitiv de ctre test i se

numete sensibilitatea testului.

PNB(T) este probabilitatea ca un sntos s fie catalogat negativ de ctre test i se

numete specificitatea testului.

Problema devine teribil de important dac, de exemplu, este vorba de un test de

depistare a cancerului.


11/25

Curs 1 11

VARIABILE ALEATOARE

Definiii:

a) Se numete variabil aleatoare (ntmpltoare sau statistic) o funcie real f

definit pe mulimea K a evenimentelor, cu proprietatea c, oricare ar fi numrul real a,

mulimea x K pentru care f(x) a este un eveniment din K.

n termeni de teoria msurii, o variabil aleatoare este o funcie f : (E, K, P) (R, B),

msurabil.

Practic vorbind avem definit probabilitatea ca variabila s aib valori mai mici dect

orice numr dat a.

b) O variabil aleatoare se numete variabilaleatoare simpldac ia un numr finit

de valori: f : E R, f (E) finiti P( f (x) = xi ) = P( f-1(xi) ) = pi

c) Vom lucra, n cele ce urmeaz, ca regul, cu variabile aleatoare independente,

adic variabile ce iau valori independente una de cealalt:

( )( ) ( ) )) ( )( ) ( ) )jiji yygPxxfPyygxxfP ===== * , ji yx ,

Observaie:

Se poate verifica uor c variabilele aleatoare formeaz o algebr, adic suma, i

produsul a dou variabile aleatoare este tot o variabil aleatoare; mai mult compunerea a

dou variabile aleatoare este tot o variabil aleatoare.

Trebuie n acest context s fim ateni la independena sau nonindependenavariabilelor aleatoare implicate n operaie.

De exemplu putem citi X+X unde X este o variabil aleatoare n dou feluri. Putem,

de exemplu, s considerm un experiment repetat de dou ori rezultatele fiind

independente

=

+

4

1

2

143

4

12

2

1

2

121

2

1

2

121

,

n timp ce, dac considerm c X i X nu iau valori independent, atunci

X+X =2X =

2

1

2

142

Putem reprezenta grafic aceste probabiliti.


12/25

Curs 1 12

De exemplu, X=

4

1

2

132

4

11

apare sub forma

pi

1/21/4

0 1 2 3 xi

Dar putem reprezenta curba cumulativ a distribuiei

P(x


13/25

Curs 1 13

Proprieti

Funcia de repartiie are urmtoarele proprieti:

a) a b F(a) F(b)

b) alim F(a) = 0

c) +alim F(a) = 1

d) F este continu la stnga.

Dac F este continu spunem c f este variabil aleatoare continu. n acest caz,

probabilitatea ca f s ia orice valoare particular este 0.

, P( f(x) = ) = 0

Exemplu:

Dac ne punem problema probabilitii ca temperatura n camer s fie t =20,347562

aceasta ste evident zero i de fapt problema nici nu are sens n msura n caretemperatura este o valoare medie n jurul creia avem fluctuaii continue. Dac ne punem

problema ca temperatura s fie ntr-un anumit interval noiunea de funcie de repartiie

capt un coninut concret.

Definiie

Fie F(x) funcia de repartiie a unei variabile aleatoare . Dac exist o funcie (x),

integrabil pe intervalul ( )+ , , cu proprietatea c pentru orice xR este verificat

egalitatea:

(x) =x

F

atunci, (x) se numete densitatea de repartiie sau densitatea de probabilitate a

variabilei aleatoare ,

n acest caz, probabilitatea ca variabila aleatoare s ia valori ntr-un interval

(- ,a) este dat de formula:

P((x) < a) = F(a) = ( )dtta

i respectiv:

P(b (x) < a) = F(a)-F(b) = ( )dtta

- ( )dttb

= ( )dtta

b


14/25

Curs 1 14

Definiie

Se numete valoare medie (sau speran matematic) a unei valori aleatoare f,

numrul

M(f) =

iipx , atunci cnd este o variabil aleatoare simpli, respectiv

M(f) = ( )dxxx+

, atunci cnd este o variabil aleatoare continu, cu densitatea de

probabilitate .

n literatur, operatorul de medie se mai noteaz i cu E, de la expectation

speran n englez.

n cazul variabilelor simple se observ c valoarea medie a variabilei f este media

ponderat a valorilor sale xi, cu ponderile pi, care reprezint frecvenele de apariie ale

valorilor respective.Proprieti ale mediei:

Dac fi g sunt independente, atunci avem:

a) M(af) = aM(f)b) M(f+g) = M(f) + M(g)c) M(fg) = M(f)M(g)

Vom schia o demonstraie a proprietii b):

M(f+g) = ( )( )lklk

lk xxGFP +

,

= ( )( )

k

k

l

lk xGFP + ( )( )

l

l

k

lk xGFP

Dar, pe de alt parte, folosind proprietile interseciilor i reuniunilor de mulimi,

respectiv distributivitatea interseciei fa de reuniune i a interseciei fa de reuniune, i

faptul c l lG = E avem ( )l lk GFP = P(Fk l lG ) = P(Fk) i

similar, ( )k lk GFP = P(Gl).

Deci,

M(f+g) = ( ) kk

kxFP + ( ) ll l xGP = M(f) + M(g)

Noiunea de medie se generalizeaz, definindu-se momentul de ordin k al unei

variabile aleatoare:

( ) kk i iM f x p= , atunci cnd este o variabil aleatoare simpli respectiv,


15/25

Curs 1 15

Mk(f) = +

xk(x)dx , atunci cnd este o variabil aleatoare continu.

Se numete moment centrat de ordin k al variabilei aleatoare f momentul de

ordinul k al abaterii sale fa de medie.

( ) ( ) ik

fick pxfM =

i respectiv, ( )[ ] ( )dxxfMxk

c

k +

= ,n cazul unei variabile aleatoare continue.

Dispersia de selecie, sau varianta unui ir de rezultate numerice ale unui

experiment este media aritmetic a ptratelor abaterilor acestor valori fa de media lor

aritmeticX.

Dac x1, x2, , xn sunt cele n valori ale seriei, dispersia de selecie a acestora,

2Xs este:

2Xs =

( )n

Xxi 2

Dup cum vom vedea mai departe la statistic, o formul mai util pentru

dispersia de selecie este: 2Xs =( )

1

2

n

Xxi

Dispersia de selectie este indicatorul principal al mprtierii datelor unui

experiment.Dispersia unei variabile aleatoare este conceptul ce generalizeaz dispersia de

selecie.

Definiie

Dispersia variabilei aleatoare X de noteaz D(X) sau 2 i este, n particular,

momentul centrat de ordinul doi.

D(X) = 2 = M[(X-M(X))2] = ( )( ) ( )dxxXMx 2

+

i respectiv

2 = M[(X-M(X))2] = ( ) iXi px

2

, atunci cnd variabila aleatoare este discret.Rdcina ptrat a dispersiei, , se numeteabaterea medie ptratic a variabilei X,

iar sx abaterea standard.


16/25

Curs 1 16

Proprieti

a) Pentru orice variabil aleatoare X i orice constante a i bD(aX+b) = a2D(X)

b) Dac X, Y sunt dou variabile aleatoare independenteD(X+Y) = D(X) + D(Y)

Demonstraie:

Pentru orice dou variabile aleatoare X i Y, cu mediile Xi respectiv Y, avem

D(X+Y)=M(X+Y- X- Y)2=M(X- X)

2+M(Y- Y)2 + 2 M[(X- X) (Y-Y)]=D(X)+D(Y)+

2 M[(X- X) (Y-Y)]

Dar, atunci cnd X i Y sunt independente M(XY) = XY ,

M[(X- X) (Y-Y)] = M(XY-X Y-YX+ XY)= XY-XY-XY+XY=0

M[(X- X) (Y-Y)] = 0i deci D(X+Y) = D(X) + D(Y)

c) ntre dispersie, valoarea medie i momentul de ordinul doi exist relaia:D(f) = M(f2) (M(f))2

Demonstraie:

D(X) = ( ) iXi px2

= ii px 2 -2 iXi px + iXp 2 = M(f2) - 2 2X + 2X == M(f2) (M(f))2

ObservaieDac numim M(f2) media ptratului si (M(f))2 ptratul mediei formula capt

o formulare uor de reinut: Dispersia este egal cu media p tratului, minus ptratul

mediei.

Relaia se mai poate scrie sub forma ( )2 2 2X XM X = + i am putea s-o numim

teorema lui Pitagora n probabilitate.

Exemplu

n modelul clasic al urnei cu bile pe care l-am prezentat mai sus, probabilitatea

evenimentului din n bile extrase, k sunt albe era knkknk qpCp= .

Media variabilei aleatore X care da numrul de bile albe din n bile extrase va fi,

prin definiie,

M(X) = knkkn qpkC


17/25

Curs 1 17

Pentru a calcula aceast sum considerm urmtoarea identitate

(pt + q)n = knkkkn qtpC , pe care o derivm n raport cu t

((pt + q)n) = ( knkkkn qtpC )

np(pt + q)n-1 = knkkkn qktpC 1 i apoi facem t = 1 np =

knkkn kqpC

Am obinut, deci, M(X) = np

Folosind aceiai identitate, dar derivnd de dou ori se arat c: D(X) = npq

Cunoaterea mediei i dispersiei unei variabile aleatoare d o indicaie asupra

intervalului n care se afl valorile variabilei, cu cea mai mare probabilitate. Mai exact,

dup cum arat teorema urmtoare, cu ct ne ndeprtm mai mult de valoarea medie, cu

att valorile respective sunt mai puin probabile ca valori ale variabilei date.

Inegalitatea lui CebevDac2 este dispersia variabilei aleatoare X, probabilitatea ca modulul abaterii

sale de la valoarea medie s ia valori mai mari dect un numr > 0 este mai mic dect

2

2

.

( )2

2

mxP i

Demonstraie:

Pornim de la definiia dispersiei ( )[ ] ( ) iii pmxmxM222 == i mprim

suma n doi termeni: unul corespunztor valorilor ix pentru care mxi i unul

corespunztor valorilor lui ix pentru care mxi


18/25

Curs 1 18

Darnkkk

ppp +++ ...21

= ( ) mxP i deci am obinut ( )2 2P x m ceea ce

implic urmtoarea relaie: ( ) mxP2

2

.

Deoarece suma ntre probabilitatea unui eveniment A i probabilitateaevenimentului contrar CA este 1, avem P(CA) = 1-P(A) i inegalitatea se mai poate scrie

sub forma

( )2

2

1

mxP i

Exemplu:

Fie 3= , atunci inegalitatea Cebev d: ( ) 88.09

8

9

113 === mxP i

Exprimat n cuvinte, aceast inegalitate aparent banal, spune din punct de vedere

fenomenologic, enorm de mult:

Probabilitatea ca orice variabil aleatoare s ia valori mai ndep rtate de

valoarea sa medie dect de trei valori standard, este mai mic dect 0,12.

Vom vedea mai departe c, n cazul n care variabila aleatoare are suplimentar

unele proprieti de regularitate, aceast probabilitate este chiar mult mai mic.

Aceiai inegalitate ne permite nelegerea legturii ntre frecvena i probabilitate,

legtura care exprim nsi fundamentarea statisticii pe teoria probabilitilor.S considerm variabila aleatoare care d numrul de bile albe ntr-o extracie de

n bile din urn. Pentru aceast variabil avem urmtoarea teorem, care se generalizeaz

n teoria probabilitilor n forme care depesc ns cadrul acestei lucrri.

Teorema lui Bernoulli:

Dac se noteaz cu p probabilitatea ca un eveniment A (de exemplu apari ia bilei

albe) s se realizeze ntr-un experiment in

kfn = este frecvena cu care se realizeaz

evenimentul A n n experimente identice consecutive, irul (fn) converge ctre p n

probabilitate. Altfel spus:

Frecvena tinde n probabilitate la probabilitatea teoretic.

Demonstraie:


19/25

Curs 1 19

( ) ( )( ) nkMkPnnpkPpn

kP

nnn ==

limlimlim

Dar, aplicnd inegalitatea lui Cebev: ( )( )22

2

nnkMkP i deci

0limlim22

2

=

np

n

kP nn

Teorema lui Bernoulli afirm numai c inegalitatea pfn nu are ansa s

fie realizat sau c inegalitatea pfn are anse mari s fie ndeplinit dac n este

suficient de mare.

DISTRIBUII DE PROBABILITATE

Distribuia normalSpunem c o variabil aleatoare este normal repartizat ( ),mN , atunci cnd

densitatea sa de probabilitate este data de formula:

( )( )

2

2

2

2

1,,

mx

emx

=

O prim condiie ca ( )x s fie distribuie de probabilitate este aceea c

( ) ( )( ) 1=+=+

tfPdxx

Pentru a verifica aceast condiie, plecm de la un rezultat care s-a obinut la

cursul de matematic folosind integrala dubl, i anume :

222

=+

dxe

x

n cazul nostru, dac facem schimbarea de variabil

mxu

= avem

( )( )

1

2

1

2

122

2

2

2

===

+

+

+

duedxedxx

umx

Vom arta n continuare c o variabil aleatoare normal repartizat are media m i

dispersia 2 .

S calculm mai nti media:


20/25

Curs 1 20

[ ]( )

( )( )

2 2

2 22 21 1

2 2

x m x m

M X xe dx x m m e dx

+ +

= = + =

( )2 21

*2 2

1 10

2 2

x m ux me dx m ue du m m m

+ +

= + = + = + =

Integrala este nul deoarece funcia de integrat este impar.

Pentru calculul dispersiei ne folosim de identitatea:

( ) ( ) ( ) ( )2 22D X M X M X M X M X = =

( )( )

( ) =+==+

+

dueumdxexXMumx

22222

2

2

2

2

1

2

1

=

++=

+

dueueumem

uuu

222222

222

221

2

2 2 2 21

22

u

m u e du

+

= +

Calculm separat integrala rmasi obinem:

2 2 2 2

2 2 2 2 21* 2u u u u

u e du u ue du ue e du +

+ + +

= = =

unde am integrat prin pri, lund =u i =

2

2u

ue

Deci am obinut ( ) ( )

222

1 222 += mXM i nlocuind n expresia lui

( )XD obinem:

( ) ( ) 2222 222

1

=+= mmXD

Pornind de la proprietile operatorilor de medie i dispersie

( ) ( ) mXMmXM =

( ) ( )XDmXD = i

( )XDaa

XD

2

1=


21/25

Curs 1 21

se obine c, dac o variabil aleatoare este normal repartizat ( ),mN , variabila

aleatoare redus

mXeste repartizat ( )1,0N , deci cu distribuia de probabilitate

( ) 2

2x

ex

=

Funcia de repartiie asociat este funcia ( ) dxett

x

= 22

numit funcia lui

Laplace i ale crei valori se gsesc n tabelele din practic toate crile de statistic i

probabiliti.

Distribuie binomial

Distribuia binomial apare, aa cum s-a artat mai sus, la descrierea

evenimentelor asociate extraciilor dintr-o urn cu bile albe i bile negre.

Distribuia variabilei aleatoare numrul de bile albe din n bile extrase se poate

reprezenta i sub form matricial:

=

011100 ......10

qpC

n

qpC

k

qpCqpCX

nk

n

knkk

n

n

n

n

n

Dup cum am artat media i dispersia unei variabile aleatoare repartizate

binomial sunt npM = si npqD =

Repartiia binomial apare ntotdeauna atunci cnd un experiment cu numai dou

rspunsuri posibile se repet de n ori. Un caz particular l prezint experimentele care se

repet de un numr foarte mare de ori, iar evenimentul n a crui apariie suntem

interesai are o probabilitate foarte mic, categorisit uzual ca eveniment rar.

La limit, cnd n , 0p , dar np rmne constant, =np , se obine

distribuia Poisson.

Distribuia POISSON

Considerm deci c =np i trecem la limit dup n

( ) ( )=

+=

kn

k

k

n

knkk

nnnnk

knnnqpC

1

!

1...1limlim

( ) ( )1 ... 11*lim lim 1

!

n k

k

n nk

n n n k

k n n

+ =


22/25

Curs 1 22

dar( ) ( )

11...1

lim =+

knn

knnn i

( )

=

=

e

nn

n

kn

n

n

kn

n 1lim1lim

i deci,

= e

kqpC

kknkk

nn!

lim

Deci, distribuia Poisson este dat de matricea

= e

n

n

ek

k

eeX

nk

!...

!...

!1

10

Calculnd, dup definiie, media i dispersia unei variabile aleatoare distribuite

Poisson i innd cont c

e

kk

k

= 0 ! ,

e

kk

k

k

= 0 ! , ( )

e

kkk

k

k2

2 !1 = ,

ek

kk

k

= 1 !

se obine

( )( ) ( )

==

=

==

1

1

10 !1!1! k

k

k

k

k

k

eek

ek

ek

ekXM

( )( )

( )[ ] ( )

( )

=+=

=

+=

+=

=

+=

=

22

2

2 11

2

0 0 0

22

0

2

!!1

!1

!!2

!!

eee

kk

kkkee

kkkke

kk

k

k

ke

k

keXD

k k

kk

k

k

k k k

kkk

k

k

Exemplu:

Numrul evenimentelor adverse la un medicament dat este repartizat Poisson.

Cel mai mult este utilizat distribuia Poisson n fizica statistic.

Aproximarea normal a distribuiei binomiale

Ca o regul general, dac np i nq sunt mai mari sau egale cu 5, poate fi folositaproximarea normal. Pentru distribuiile binomiale n care p


23/25

Curs 1 23

pentru valori ale lui np i nq mai mici dect 5. n aceste condiii,

n

pq

pn

k

npq

npk

=

este

aproximativ normal distribuit cu media 0 i deviaia standard 1.Aceast transformare nlesnete de obicei calculul probabilitilor binomiale.

Repartitia 2 Helmert - Pearson

Se consider n observaii independente x1, x2, , xn (variabile aleatoare

independente) normal distribuite ( )2,N .

Variabilele standard

= ii

xu , ni ,1= sunt de asemenea independente, iar

suma ptratelor lor va avea o distributie ce poate fi determinat.

Se definete =n

iuX 12 .

Distribuia variabilei X rezultate se noteaz 2(n) i este diferit pentru fiecare

valoare a lui n, iar parametru n se definete ca numrul de gradelor de libertate.

Vom determina n continuare parametrii (media i dispersia) unei variabile

distribuite 2.

Pentru a afla media distributiei 2

este necesar aflarea lui

2

iuM .Deoarece [ ] 0=iuM , [ ] [ ]( ) [ ] 1

22 === iiii uDuMuMuM

Ca urmare M[2(n)] = [ ] nnuMuM n in

i === 1*12

1

2

Dispersia va fi:

D[2(n)]

= [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )[ ]1422421

2

1

2 ==== iiiin

i

n

i uMnuMuMnunDuDuD

Pentru a obine4

iuM se folosete regula integrrii prin pri:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxgxfxgxfdxxgxf =

n acest caz se va identific:( ) ( )

( ) ( ) 22

23

22

3uu

uexgexg

uxfuxf

==

==, deci se va obine:


24/25

Curs 1 24

( )

2 2 2

2 2

4 4 4 3 32 2 2

2 2 22 2

1 1 1

2 2 2

1 13 3 3 3

2 2

u u u

i

u u

M u u u du u e du u ue du u e

u e du u e du M u

++ + +

+ +

= = = =

= = =

Atunci,

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) 213 2242 === iii uMuMuD

i substituind n relaia de mai sus se va obine

D[2(n)] = nunD i 22 =

Deci variabila 22221

2 ... nxxxx +++= este repartizat2(n), cu n grade de libertate,

avnd media E(2) = n, respectiv dispersia D(2) = 2n.

Se poate arta c densitatea de probabilitate este dat de funcia

f(2) = ( ) 12222

2

22

1

n

ne

n

,

unde este funcia Euler de spea I-a studiat la cursul de matematic

anume : ( ) 10

te t dt

+

= .

Repartitia 2 se folosete foarte mult n statistica matematic n verificarea

ipotezelor asupra egalitii dispersiilor.

Repatiia STUDENT

Analog cu distribuia 2 , repartiia t a fost propus de Student (pseudonimul lui

W.S.Gosset, chimist statistician englez), pentru statistica seleciilor mici i exprim

deviaiile mediilor de selecie x , fa de media ntregii populaii , msurate nn

s

(abaterea standard a mediilor de selecie).

Dac sunt date dou variabile aleatoare ( )1,0NZ si ( )nV 2 independente, se

spune c variabila ( )nt

n

V

Zt = este repartizat Student cu n grade de libertate.


25/25

Mrimea t nu depinde dect de numrul gradelor de libertate.

Distribuia de probabilitate a unei variabile aleatoare repartizate Student tinde

pentru n , la distribuia normal ( ) 22

2

1t

et

Densitatea de probabilitate este dat de funcia:

( )

12 2

11 2

* * 1

2

nn

xf x

n nn

+

+ = +

unde x R i n N .

Repartiia F (Behrens - Fisher Snedecor) sau distribuia raportului a dou

dispersii

Se consider frecvent n statistic raportul a dou dispersii care estimeaz aceeaidispersie general a unei colectiviti. Dintr-o colectivitate general se extrag dou

selecii ( )12 nU , ( )2

2 nV . Raportul lor este o variabil aleatoare repartizat F

( )21

2

1 ,nnF

n

V

n

U

F =

Examinnd acest raport se observ c el nu conine dispersia colectivitii

generale 2 , de unde rezult c distribuia acestui raport nu depinde dect de numrulgradelor de libertate n1 si n2 ale celor dou dispersii.

Densitatea de probabilitate este dat de funcia:

( )

1 1 21

2

1 22 21

1 1

1 2 2 2

2* * * 1 *

*2 2

n n nn

n

n n

n nf x x x

n n n n

+

+ = +

, cnd 0x .

1Andrei Nicolaevici Kolmogorov (1903-1987), fost profesor la Universitatea din Moscova, a avut

contribuii deosebite n analiza matematic , analiza funcional i teoria probabilitilor. Cartea sa

Grundbegriffe der Wahrscheinlichketetsrechnung, Berlin, 1933, a nsemnat o revoluie n teoria

probabilitilor, artnd c , formal, aceast teorie se poate trata ca un caz particular de teorie a

integralei (sau teoria msurii).

Date post:	10-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	andy007io
View:	231 times
Download:	0 times

ci probabilitati

Documents