71

71

Modulul 6

APLICAII DIFERENIABILE

Subiecte :1. Derivate i difereniale pentru funcii reale de o variabil real.2. Formula lui Taylor i Mac-Laurin pentru funcii de o variabil

real. Serii Taylor.3. Derivate i difereniale pentru funcii reale de mai multe variabile

reale.4. Formula lui Taylor pentru funcii de mai multe variabile reale.5. Extreme pentru funcii de mai multe variabile reale. Extreme cu legturi.

Evaluare : 1. Rspunsuri la problemele finale.2. Derivate i difereniale pentru funcii reale de o variabil

real, respectiv pentru funcii reale de mai multe variabile.3.Formula lui Taylor pentru funcii reale de una sau mai multe

variabile reale. 4.Extreme pentru funcii reale de mai multe variabile reale.

Extreme cu legturi.(Prezentarea noiunilor i de exemplecorespunztoare.)

6.1. DERIVATE I DIFERENIALE PENTRU FUNCII REALE DE O VARIABIL REAL.APLICAII

Fie f : I R R, unde I = (a, b), a < b i x0 I .Definiia 1. Se spune c funcia f este derivabil n punctul x0 dac funcia r : I

- { x0 } R, definit prin r(x) =f (x) f (x0 )

are limit finit n punctul x0 .x x0

Valoarea acestei limite se numete derivata funciei f n punctul x0 i se noteaz

cu f (x0 ) , deci f (x) f (x0 )(1) f (x0 ) = lim

x x0xx0

72

Pentru aceea

c cderivabil

f,

. Atunci f ( x

0 ) = tg

Fig. 1.(fig. 1.), deci f ( x0 ) reprezint coef

icientulunghiularaltangenteilagraficulfuncieifnpunctulx0 .

Dintrealteinterpretrialederivateiuneifunciideovariabilrealamintim:vitezaunuimobillaunmomentt0 ,densitatea

unei bare liniare npunctul x0 , dobnda instantanee ntr-un plasament cu dobnd variabil, etc.

Teorema 1.

1) O fun

cief :I R Rderivabilntr-unpunctx0Iestecontinunpunctulx0 ; Dacfunciaf :I R

J este derivabil n x 0 I i funcia g : J R este derivabiln y 0( x 0=, d) , atunci funcia

compush = g f,h(x) = g( f (x)), este derivabil n x0 i

h ( x

0 )=g ( f( x

0 )

); Dacfunciafestebijectiv(inversabil)if1esteinversasa,atuncidac

funcia f este derivabil n x0 i funcia f

este derivabiln yf( x0

(3) (

)

f

0

.

Observaia 1. Dac func ia f : I = (a, b)

R R estederivabilnfiecarepunctx0Ispunem cfunciafestederivabilp

e mulimea I. Afirmaiile din Teorema1 rmn valabile dac ne referim la der

ivabilitateapeunintervalI.CumoricesubmulimedeschisadrepteirealeRsepoatescriecaoreuniunedeintervaledeschise,celestabilite

mai sus rmn valabile dac considerm funcia f definit pe o submuli

medeschisaluiR.LundnconsiderarenDefiniia1limitelateralenpunctulx

0seobinderivatelelateralenx

0 :

73

Astfel, pentru o funcie f : [a, b] R, dac ne referim la deriv

abilitateape[a,b],npunctulaavemnvederef ( a+0) ,iarnpunctulb,derivataf ( b0) .Definiia2.Spresu

punem c funcia f este derivabil pe o vecintate a punctului x0 , fie f derivata sa. Dac f

unciafestederivabilnpunctulx0spunem cfunciaf estede dou ori derivabilnx0 . f(x0 ) estedat prin:

(5) f (x0 ) = lim f (x) f (x0 ) .x x0x x0

Prinrecurensedefinetederivabilitateaideriv

ata de un ordin oarecare, n al funciei f, ntr-un punct x0 , respectiv pe o submulime deschis a dreptei

reale.

Derivata de ordin n a funciei f se noteaz prin

f ( n) sau prin

d n f . Cu aceast

notaie avem f ( n ) = ( f ( n 1) ). dxn

Exemplul 1. Fie funcia f (x) = sin x, x R i x0 fixat n R.

sin x sin x0 2 sinx x0

cosx + x0

f (x0 ) = lim = lim 2 2 = cos x0 . Cum x0x x x x0x x

0 0x x

0 2 2

a fost ales arbitrar n R rezult c f ( x ) = cos x = sin x + 2 . La fel se arat c

( cos x) = sin x . Deci:f ( x ) Prin inducie se arat c= ( cos x ) = sin x = sin x + 2 .

2

f (n) ( x ) = sin x + n

2.

Considermcunoscutederivatelefunciilorelementareireguliledederivare.L

egat de acestea vom prezenta numai formula lui Leibniz de derivare de n or

iaunuiprodusdedoufuncii.

Dac u i vsunt dou funcii derivabile de n ori pemulimea deschis D

R, atuncifunciau v este derivabilde n oripe Diar

e loc formula:(6) ( u v)(n)

= u (n)

v + C 1

n u (n

1)

v +K

+ C k

n u (n

k)

v (k)

+K+u (n)

v . Aceast formul se demo

nstreaz prin inducie dup n.

F

i

e

f

o

f

u

n

c

ie

d

ef

in

it

p

e

u

n

in

te

r

v

al

I

R

i

x

0

I

.

74

Definiia 3. Se spune c funcia f este difereniabil n x

0 dac exist

un numr A

1R i

ofuncie:I Rcontinunx

0inulnx0 ,astfelnctpentruoricex

2I s

avem: f( x )f( x0 )=A( x

x 0 ) + ( x ) ( x x0 ) . Dac funcia f este difereniabil n

fiecare punctdin I spunemceste difereniabilpe intervalulI.Observaia 2.Esenial nDefiniia3 este ca relaia (7) s

fie satisfcut pentru x

dintr-o vecintate a lui x0 i lim ( x) = 0 . xx0

T

e

o

r

e

m

a

2

.

O

f

u

n

c

i

e

f

:

I

R

e

st

e

di

fe

re

n

ia

bi

l

n

tr

-

u

n

p

u

n

ct

x

0

I

d

a

c

i

n

u

m

ai

d

a

c

e

st

e

d

er

iv

a

b

i

l

n

x

0

.Demonstraie: Presupunem c f este difereniabil n x0 . Pentru x x0

din (7) se obine:f(x)f(x0 )

=A+(x) . 10 x0

Fcnd pe x s tind la x0 i innd seama c lim (x) = 0 rezult c f este

derivabil n x0 f ( x 0 ) = A . Dac f estex x0

x0 , considerndi derivabil nA = f ( x0 ) i

f (x0 )f (x)(9) f (x0 ) pentru x x0 ,x x0(x) =

pentru x = x00

condiiile din Definiia3 suntsatisfcute.

Snotmcuh=xx0creteread

e la x0 la x a variabilei independente a funciei f, atunci relaia (7) se mai poate scrie sub forma:

(10) f

(

x

0

+

h

)

f

(

x

0

)

=

[ f

(

x

0

)

+

(

x

0

+

h

)]h

. Cum

lim ( x 0 + h) = 0 , rezult c pentru h sufici

ent de mic putem scrie relaia: h0

(11) f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) f ( x 0 )

h , ce aproximeazcreterea funciei cu produsulf ( x 0 ) h, care este o funcieliniar.

Observm c produsul f ( x 0 )h are

sens pentru orice h dar numaipentru h suficient de mic, realizeaz o aproximare a creterii fun

ciei f,corespunztoare creteriih a argumentului.Definiia4.Funcialiniardf ( x

0 ):R Rdefinitprin:df( x

0

)( h ) = f ( x

0 )

h se numete diferenialafunciei f nx0 ise noteazcu df ( x0 ) .

75

Observn timpce f

( xeste unnumreal, df

( xeste o func

putem scrie dx = h. nlocuind pe h cu dx n (12) i considernd x 0 = x variabil n I, obinem

cdiferenialafuncieifntr-unpunctarbitrarxestedatprin:df( x )(dx )=f ( x )dx , sauomindpexidxcaargumente,obinemcdi

fereniala funciei f se poate scrie sub forma df = f dx .

Exemplul 2. Pent

ru funciile elementare sin x, ex

, arctg x, avem: d sin x = cos x dx, d

ex

= ex

dx , d

( arctg(x)

) =

1

+1

x

2 dx .Observaia 3. Regulile de di

ferenieresededuc,inndseamaderelaia(13),dinreguliledederivare.Astfel,dacdoufunciiu,v :I Rsunt

difereniabile pe I i R, atunci i funciile u + v, u - v, u, uv

suntdifereniabilepeIiaulocrelaiile:

(14)d(u + v) = du + dv; d(u v) = du dv;d( u) = du; d(u v) = v du + u dv

Deasemeneau ( )= 0} iv este difereniabil pe I - Zg , unde Z g = { x I:g x

u vdu udv(15) = .d

v2vTeorema 3.Fieu:I Jif:J Rdoufunciiderivabile(difereniabile

) n

0 I , respectiv n u

0 = u( x

0 )J , atunci funcia

compush: I R h= fouestederivabil(difereniabil) npunctul x

0 i mai mult avem:

(16) h( x

0

) = f

( u ( x

0

)), dh

(x

0

)= f (u

0

)du

(x

0

)=f ( u

0

)u(x

0

)dx .

Dac

consi

der

m x 0= x ,

arbitr

ar n I

i u =

u0

punct

ul

cores

punz

tor

dinJ lui x prin funcia u, atunci (16) devine:

(16) h(x

)= f

( )u

( );

( )= f

( )u

( )dxu x dh x u x

Definiia5.Fiefunciaf:I

R, I = (a, b), a < b i x 0 I . Spunem c funcia f este dife

reniabildedouorinx0 ,dacestederivabilntr-ovecintateValuix0idacderivataf est

e difereniabil n x0 .Diferende ordinuldoi a funci f n

xnotez

cu d 2

f (x0) i se

definete prin:(17)d 2 f

( x

0

) =f (x

0

)dx2 .

76

n mod analog, prin recuren, se definete difereniabilitatea idifereniala de ordinul n a funciei f n x0 . Avem:(18) d n f ( x 0 )= f ( n )( x 0 )dxn ,adic d n f ( x 0 ) este un polinom de gradul n n dx.

Aplicaiile derivatei i diferenialei sunt numeroase, acestea pornesc de lafaptul c diferite mrimi fizice, economice etc. se exprim ca derivate saudifreniale ale unor funcii. Dintre acestea amintim: viteza i acceleraia nmicarea rectilinie sau unghiular, debitul unui lichid, intensitatea curentuluielectric, densitatea unei repartiii liniare de mas, etc.Care este legtura dintre funcii derivabile i funcii difereniale ? Scriei care

sunt regulile de difereniere pentru funciile u + v, u v,uv, u

v .

6.2. FORMULELE LUI TAYLOR I MAC-LAURINPENTRU FUNCII DE O VARIABIL REAL.SERII TAYLOR

Fie f : I R R o funcie de n ori derivabil ntr-un punct a I.Aceasta nseamn c primele n - 1 derivate ale funciei f exist pe o vecin tate Va punctului a i c derivata de ordinul n - 1 este derivabil n punctul a. Pentrusimplificarea scrierii presupunem c V coincide cu intervalul deschis I. Atuncipentru fiecare x I putem s definim polinomul:

(1) Tn ( x ) = f ( a ) + x

a f ( a )+K+

( x

a)n 1!

n!care se numete polinomul lui Taylor de gradul n asociat funciei f n punctul a. Sconsiderm funcia:(2) R n ( x ) = f ( x ) Tn ( x) , atunci avem formula:(3) f ( x ) = Tn ( x ) + R n ( x ) , care dezvoltat se scrie sub forma:

(4) f ( x ) = f ( a ) + x a f ( a )+K+

( x a

)n 1! n!

Relaia (3) unde Tn ( x ) este definit de relaia (1) sau relaia (4) poart numele de formula lui Taylor de ordinul n, asociat funciei f n punctul a. Funcia R n ( x )definit de relaia (2) se numete restul de ordinul n al formulei lui Taylor (3) sau(4).

f ( n )( a ) + R n ( x ) .

f ( n )( a ),

77

Deoarece funciile f i Tn (x) au derivate pn la ordinul n n punctul a rezult c i funcia rest R n ( x ) este derivabil i deci continu n punctul a. Maimult, R n ( a ) = f ( a ) Tn ( a ) = 0 , deci lim R n (x ) = R n (a) = 0 . De aici deducem xac pentru x suficient de aproape de a, restul R n (x) poate fi fcut orict de mic, adic pentru x suficient de aproape de a, funcia f(x) poate fi aproximat prinpolinomul lui Taylor Tn ( x ). Pentru o evaluare a erorii fcute n aceastaproximare, este util s gsim exprimri adecvate pentru restul R n (x).

Vom presupune n cele ce urmeaz c funcia f este derivabil de (n + 1)ori pe intervalul I, care se poate reduce la o vecintate a punctului a i vomdetermina o constant k astfel nct:(5) R n ( x ) = k ( x a)

p , unde p N.n acest caz formula lui Taylor (4) ia forma:

x a ( x a ) n

(6) f ( x ) = f ( a ) + f ( a ) +K+ n! f ( n

)( a ) + k ( x a)p .1!S considerm funcia : I R definit prin:

x t ( x t ) n

(7)( t ) = f ( t ) + f ( t )+K+ n! f

( n

)( t ) + k ( x t)p .1!

Observm c funcia(t) este derivabil, continu i (x) = f(x),

(a) = f(x), deci (x) = (a). Fiind ndeplinite condiiile teoremei lui Rolle,rezult c exist cuprins ntre a i x astfel c f () = 0 .Calculnd f ( ) obinem relaia:

Comment:

(8) ( x ) n f ( )( ) kp( x ) p 1

= 0 ,n! n +1de unde rezult:

(9) k = ( x ) n p +1 f ( n +1)( ). n !p

Aadar, restul R n ( x ) se poate exprima sub forma:

(10) R n ( x ) = (

x

)

n p +1 ( x a )p f ( n +1)( ), n !pcu situat ntre x i a. Lund p = 1 se obine forma lui Cauchy a restului formulei lui Taylor:

(11) R n ( x ) = ( x

)n ( x a) f ( n +1)( ). n!

Pentru p = n + 1 se obine forma cunoscut sub numele de restul lui Lagrange:

78

(12) R n ( x ) = ( x(

a

)

n

)+

1

n +1 !care este des utilizat n aplicaii. Deoarece est

ecuprinsntreaix,existunnumrcaredepindedea,x,nip, [0,1]astfelc=a+(x-a).Snotm

f ( n +1)( ),

h = x - a, atunci = a + h, iar formula lui Taylor de ordinul n devi

ne:

h h n

( ) hn +1 ( )(13) f ( a + h ) = f ( a ) + f ( a )+K+ f n ( a ) + f

n +1 (a + h).

1! n!( )

n +1 !R

emarcmcdeoarece depinde de a,x,n ip,celdin restullui Lagrange este diferit de celdin rest

ul lui Cauchy.

ac a = 0 I, atunci din formula lui Taylor, se ob

ine formula cunoscutsub numele Mac-Laurin:

xn

xn+1

(14) f ( x ) = f (0 )+ f (0 )+K+x

f ( n )(0 )+ f ( n +1)( ),1! n! (n+1)!cu cuprins ntre 0 ix.

Pentru n =0,folosind formula de

mai sus, sub forma lui Lagrange, se obine cunoscuta formul a creterilor

finitea lui Lagrange:

( ) (x a)

(15) f x = f (a) + 1! f () .C

a o aplicaiea formuleilui Taylor,sdeterminmpunctele de extremale uneifunciide o variabilutilizn

d derivatele de ordin superior.

ie f: I R astfel nct f ( a )

=f (a ) =K=f (n 1)(a )=0 if (n)

(a) 0 , unde a

I.Aplicnd formula lui Taylo

r de ordinul n - 1 obinem relaia:

(16) f (x) f (a) = f (

n

)

(

)(

x

n

!a

)

n , undeestecuprinsntrexia.Punctulaesteunpunctdeextremalfuncieifdacf(x

) - f(a) pstrez semn constant pe o vecintate a lui a.

eoarece f (n) este continu

npunctula,fiindderivabilnacestpunct,rezultcexistovecintatealuia,Vapecaref(n)pstreazsemnconstantianumesemnulluif( n )

(a) .Sconsidermcazurile:

1) n este un numr par i f (n)

( a) > 0 , atunci f(x) - f(a)

>0pentruoricexV

a ,deciaesteunpunctdeminimlocalalfuncieif;nesteunnumr

par i f ( n)

(a) < 0 , atunci f(x) - f(a) < 0 pen

truoricexVa ,ceeacearatcaesteunpunctdemaximlocalalfuncieif;

79

3) n este un numr impar, atunci ( x a)n

i deci i f(x) - f(a) schimb semnul du

pcumxseafllastngasauladreaptaluia,ceeacearatcanupoatefiunpunctdeextremlocalalfuncieif.

Exemplul 1.

Fie funcia f: (0, 2) R, f(x) = sin x (1 + cos x). Observm c f

este derivabil

1 est

eunpunctmaximlocalalfuncieif,f ( x2 )>0implicx2estepunctdeminimlocalalfuncieif;cumf ( x3 )=0if (x3 )0rezultcx=esteunpunctdeinflexiuneal

funciei f .

Formula lui Taylor are aplicai multiple sub forma:

(17) f ( x ) Tn ( x) , ca formul de aproximare a valorilor funciei f prin cele ale poli

nomuluiTaylorasociat.OevaluarearestuluiRn( x)permiteevaluareaeroriifcuteprinaproximare.

Exemplul 2. S calculm a

proximativ sin 46. Considerm a = 45 i n = 2. Avem:sin 4645

180cos

45

2

1802

45

Obinemsin450,7193402.Oaproximaremaibunseobineconsiderndn>2.

FieIunintervaldesc

his al dreptei reale, a I i f: I R o functie indefinit derivabil

npunctula.Atunciputemconsideraseriadeputeri:

a

f

(

a

)

+K+ ( x

a

)n

f (

n

)

(

a

)

+K,

1! n!care se numete seria Taylor, asociat funciei f, n punctul a. S

notmcuRrazadeconvergenaseriei(18),R [0,].Deasemeneaseriei(18)icorespundeomulim

e de convergen C, care conine intervalul de convergen (a - R, a +

R)ideci,inclusivpunctula.SnotmcuTsumaacesteiseriiicuTn ,n1,sumeleeipariale.Observmcs

uma seriei (18), funcia T, este determinat de valorilef (

n

)

(a), n

0, deci devalorilefunciei f ntr-ovecintateapunctului a, nacelaitimpmulimeadeconvergenC,aseriei

(18) nu este n mod obligatoriu inclus n I.

innd seama c sumele pariale a

leseriei(18)suntpolinoameleluiTaylorasociatefuncieif,npunctula,putemsscriemrelaiile:(19)T(x ) =T

n ( x )

+ n (

x),x

C;

80

(20) f

(

x

)

=

T

n

(

x

)

+

R

n

(

x

)

,

x

V

a

,

unde n (

x ),n1reprezintresturileserieiluiTaylor(18),iarRn( x) ,n1,reprezintresturileformuleiluiTaylor(3).nexprimarealuiLagrangeRn( x)suntdatede(12).

inn

d seama de exprimrile lui T(x) i f(x) din (19), respectiv (20), se pun

entrebarea,dacpentruvalorix IC,f(x)=T(x).Vomartaprintr-unexemplucacestfaptnusentmplnto

tdeauna.Exemplul 3. Fie funcia f: R R

Funcia f este continu n origine, are

derivate de orice ordin norigine iacesteasuntnulepentruoricen0,( f(

n

)

(0)=0 ,n0).SeriaTaylorasociatluifesteser

ia nul, avnd toi coeficienii nuli i deci are i suma 0, care este diferit

devalorilefuncieipentruoricex0.Rspunsullantrebareapus,estedatdeteoremaurmtoare.

Teorema1.SeriaTa

ylor a funciei f: I R R n punctul a este convergent ntr-un punct x

CI,ctrevaloareaf(x),dacinumaidacvalorilenxaleresturilor

{ R

n ( x)

}n

1,ale formuleilui Taylor, form

eaz un ir convergent ctre

0.

n condi

(21)

Taylor, n vecin

(22)

i spunem c funcia f(x) se dezvolt

nserieMac-Laurin nvecintatea originii (xV0 ).

E

x

e

m

p

l

u

l

4.

F

ie

f

u

n

c

ia

f

(

x

)

=

ex

,

f:

R

R,

f

C

(

R

)

i

f

(

n

)

(

x

)

=

ex

,

n

1

,

d

e

c

i

f

(

n

)

(

0

)

=

1,

o

ri

c

ar

e

ar

fi

n

N

.F

ormulaluiMac-Laurin,pentrufunciaexponenialcurestulsub

forma lui La

grangeareforma:

81

unde creal fixat are loc:

(24)

Raza de convergen a seriei Mac-Laurin a funciei exponeniale:

1xn

n!= n 0

1 ( )este R = lim n + 1 ! = .n n! 1

Din cele de mai sus rezult c pentru orice x C R = R R = Rfuncia exponenial f (x) = ex admite urmtoarea dezvoltare ca serie de puteri(Mac-Laurin):

x 2 x n

(26) ex = 1 +

x+ +K+ +K.n!

1! 2!Relaia(26)poateficonsideratcarelaiededefiniieafuncieiexponeniale.Maimult,na

naliza complex se demonstreaz c relaia rmne adevrat pentru orice nu

mrcomplexzdinC.Dacdefinimfunciaexponenialprinrelaia(26)seregsesctoateproprietilecunos

cute ale funciei exponeniale.

onsidernd dezvoltrile Mac-Laurin a

lefunciilorsinx,cosxiscriinddup(26)dezvoltrilecorespunztoarefunciiloreix

,eix

,x

R vom obine:

(27)

(28)

(29)

(30)

de unde rezult

(31)

ce se pot constitui n relaii de definiie a

le funciilor cos x i sin x. De asemenea rezult relaia:(32)

ei

x =cos x +i sin

x ,

82

care poart numele de formula lui Euler i are o importan deose

bitndiferitecalcule.

Din dezvoltarea n serie a funciei exponeniale (26) se obin urmtoarele

dezvoltri n serie pentru funciile shx =1 (e x ex ) (sinus hiperbolic),2

respectiv chx =1( e x + ex ) (cosinus hiperbolic):2

(33) shx = x +x 3

+x 5

+K+x2 n +1

+K;3! 5!

( 2n )+1 !

x 2 x 4 x2n

(34) chx = 1 + + +K+ +K,2 ! 4 ! ( 2n)!cepotficonsiderateicarelaiidedefiniieaacestorfuncii.Pebazaa

cestor relaii de definiie se pot demonstra proprietile acestor funcii

dintrecareamintim:ch2

xsh2

x=1.

Exemplul 5.Fiefunciaf(x) =ln(1 +x),f:(-1,+) R. Atunciavem:

( ) 1 ( )x

= 1 + x

= 1;f

1f 0

f ( x ) = f ( 0) = 1;

( 1 + x)2

Astfel seria Mac-Laurin asociat

(36)

Raza de convergen

(37)

entru x = -1 seria (36) este divergent, iar pentru x =

1seriaeste convergent, decimulimea de convergena seriei este C=(-1,1].

Restul de ordinul n al formulei luiMac-Laurin sub formalui Lagrange

este:

xn +1 ( ) 1 xn +1R n (x) = f n +1 (cx ) = ,( )

! n + 1(38) i:n +1 1 + cx

83

1 x n +1lim R n ( x) = lim = 0 ,n n n + 1 1 + cx

pentru orice x (-1, 1). Aceasta arat c suma seriei (36) este funcia f(x) =ln(1 + x), deci seria (36) reprezint dezvoltarea n serie de puteri a funciei f(x) =ln(1 + x), adic avem

(1)

n 1xn ,ln(1 + x) = x < 1.

nn =1

Exemplul 6. S se dezvolte n serie Mac-Laurin funcia f: (-1, +) R,f (x) = ( 1 + x) , R, 0, 1, 2, Funcia admite derivate de orice ordin norigine (x = 0) i:

(39) f ( n) (x) = ( 1)K( n + 1)( 1 + x)n , (40) f (n)( 0) = ( 1)K( n +1).

Seria Mac-Laurin corespunztoare este:x ( )

x 2 ( ) ( ) n 1 K n +1(41) 1 + + 1 +K+ x +K.1! 2! n!Raza de convergen a seriei de puteri (41) este 1, iar intervalul de convergeneste (-1, 1). Utiliznd restul formulei lui Taylor R n ( x) , sub forma lui Cauchy(11), se arat c acesta tinde la 0, pentru orice x (-1, 1) i deci, seria (41)converge ctre funcia f (x) = ( 1 + x) . Seria (41) se numete seria binomial.Pentru N se obine dezvoltarea binomului lui Newton.

Scriei polinomul lui Taylor de ordinul patru ataat funciei f npunctul x0 = 2, unde f : I R , f este derivabil de patru ori pe I ix0 int I.

lui Mac Laurin de ordinul cinci pentru funciile sin,Scriei formulacos, sh, ch, (1+x)m cu m R respectiv de ordinul cinci.

6.3. DERIVATE PARIALE I DIFERENIALEPENTRU FUNCII REALE DE MAI MULTEVARIABILE REALE

Vom considera, mai nti, cazul funciilor de dou variabile reale. Fie f :X R 2 R i ( x 0 , y 0 )IntX . Pentru simplificarea scrierii vom considera ncele ce urmeaz funcii definite pe mulimi deschise, formate numai din puncte interioare.

84

Definiia 1.

f

x

y

ac f este derivabil par ial n

fiecarepunctaluneimulimispunemcfunciafestederivabilparialpemulimearespectiv.

Dindefiniiader

ivabilitii pariale rezult c atunci cnd se deriveaz parial n rapor

tcuovariabilcelelaltevariabileseconsiderconstante.Cuaceastobservaiereguliledeladerivareafunciilorde

o variabil se transpun la derivarea parial a funciilor de mai multe va

riabile.

Exemplul 1. S se calculeze derivatele pariale ale funciei: f : R2

{ (

0,0)} R f ( x, y) = ln

(x 2

+ y2

). Avem:

Propoziia 1.

1) Dac funcia

f :X R2

Restederivabilparialntr-unpunctsaupeomulimeatuncifunciafestecontinuparialn

acel punct, respectiv e

stecontinuparialpeaceamulime.

85

b) Dac funcia f este derivabil parial pe o vecintate a unui punct

(

x

0 , y

0

) i

f fderivatele parialex, ysunt mrginite pe acea vecintate, atuncifuncia feste continu (global)n punctul

(x0 ,

y0

).D

emonstraiaafirmaieia)rezultimediatdind

efiniie, iar pentru a arta afirmaia b) se aplic cunoscuta teorem a lui Lagran

gepeuninterval(x

0 ,x)i(y

0,y),dacx

0