IRA Cap4

(R.-E. Precup, UPT, 2013)

4. PROIECTAREA SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT CU TIMP DISCRET

4.1. Structura unui sistem de reglare automat cu timp discret n aplicaiile de conducere actuale algoritmii de reglare (a.r.) se implementeaz sub form

numeric (algoritmi de reglare numeric, a.r.n.) cu ajutorul tehnologiilor numerice de prelucrare a informaiei (calculator, microprocesor, microcontroller, DSP). n fig.4.1.1 este prezentat structura de sistem de reglare automat (SRA) (cu prelucrarea informaiei) cu timp discret. n vederea realizrii a.r.n. dispozitivul de conducere numeric (DC) se interfaeaz cu procesul tehnic (PT) i cu elementul de referin prin intermediul convertoarelor de semnal, convertoarelor numeric-analogice (CNA) i analog-numerice (CAN).

Fig.4.1.1. Structura unui sistem de reglare automat cu timp discret.

Convertorul numeric-analogic are ca i corespondent informaional blocul de tip eantionator cu element de reinere (ER, Zero Order Hold, ZOH) iar convertorul analog-numeric are ca i corespondent informaional blocul de tip eantionatorul (ES). Aciunea simultan (n practic, aproape simultan) a regulatorului (RG) numeric, a CNA i a CAN este asigurat de ceasul de timp (CT, generatorul de tact, generatorul perioadei de eantionare Te ). Prin aciunea eantionatoarelor, informaiile din timp continuu sunt convertite n informaii n timp discret.

4.2. Modele matematice cu timp discret asociate sistemelor cu timp continuu Reprezentarea prin modele matematice (MM) cu timp discret (MM-t-D) a unui sistem cu timp

continuu (S-t-C) trebuie corelat cu locul i rolul acestuia n cadrul SRA. n acest context apar diferitele metode de asociere a MM-t-D la S-t-C:

- regulator cu timp discret, - proces cu timp continuu condus de catre un regulator cu timp discret.

A) Caracterizarea prin modele matematice cu timp discret a proceselor conduse cu timp continuu. Schema de baz luat n considerare este prezentat n fig.4.2.1, n care procesul condus (PC) continuu include elementul de execuie (EE), procesul tehnic (PT) i elementul de msur (EM). Schema se refer la eantionarea informaiilor privind mrimea de ieire, ns ea poate fi extrapolat i la mrimile de stare ale procesului.

Procesul continuu poate fi caracterizat prin MM cu timp continuu de tip intrare-stare-ieire (MMISI) sau prin echivalentul intrare-ieire (MM-II). Prezena elementelor ES-ER i respectiv ES permite explicitarea unor MM-t-D care caracterizeaza comportarea PC-t-C la momentele de timp discret.

Cazul PC-t-D caracterizat prin MM-ISI:

+=+=

)()()()()()(tudtxcty

tubtxAtx

cT

c& . (4.2.1)

Echivalentul MM cu timp discret este dat de relaia (4.2.2):

124 Proiectarea sistemelor de reglare automat cu timp discret 4 (R.-E. Precup, UPT, 2013)

+=+=+

ckdkTdk

ckdkdk

udxcyubxAx 1 . (4.2.2)

n cazul sistemelor reale 0== ddd . Exist diferite modaliti de calcul al matricelor { }d,c,b,A ddd . n continuare vor fi prezentate sintetic dou variante:

Fig.4.2.1. Stabilirea MM-t-D n cazul unui proces condus continuu.

Varianta 1: bazat pe integrarea ecuaiei difereniale pe durata perioadei de eantionare; ca rezultat se obine

ddccdbebeA dTT

d

TA

dTA

d

e

e ==== ,,,0

. (4.2.3)

Varianta a 2a: bazat pe calculul matricelor MM-ISI-t-D prin dezvoltare n serie de puteri: bTA

iTbIAAbTA

iA ie

iedd

ie

id ][)!1(

1)(,)(!

10

1

0 =

= +=== . (4.2.4)

Cazul PC cu timp continuu caracterizat prin MM-II continuu explicitat n domeniul operaional prin intermediul funciei de transfer (f.d.t.) continue H(s). Scrierea MM-II-t-D sub forma f.d.t. cu timp discret Hd(z) este susinut de echivalena rspunsurilor indiciale (pe durata unei perioade de eantionare Te ) i are la baz relaia (4.2.5) (a) adus la forma (b):

(b) 1)()1()((a) 1)(1

1)( 1111

=

=

=

s

sHLZzzHs

sHLZz

zH dTkt

d

e

. (4.2.5)

Cazurile de interes pentru aplicaiile practice sunt cele n care f.d.t. continu H(s) este o form raional extins cu un factor care caracterizeaz eventualul timp mort ( mT ) al sistemului, m

sTe cu corespondent n forma raional )(/)( zAzB . Pentru multe f.d.t. n z Hd(z) este raional, cu expresii tabelate. n literatur coeficientii modelului discret pot fi aliniai fie cu puterile crescatoare ale lui z, fie cu puterile crescatoare ale lui z1. Forma Hd(z) poate fi descompus n fracii simple. Fie, pentru simplificare, cazul n care f.d.t. continu a procesului condus HPC(s) are polii reali i distinci:

= ++=n

i i

iPC ss

sHs 1

0)(1

(4.2.6)

Corespunztor, f.d.t. n timp discret obine forma

+

= =

n

iTEPC iiez

zzz

zzzH

1

10

11)( , (a) (4.2.7)

sau, n forma n z1:

(R.-E. Precup, 2013) 4.2 Modele matematice cu timp discret asociate sistemelor cu timp continuu 125

+

= =

n

iTEPC iiezz

zzH1

11

1011

11)1()( . (b) (4.2.7)

n relaiile (4.2.7) (a) i (b) coeficienii i reprezint inversele unor constante de timp, niTii ,1 ,/1 == .

Dac f.d.t. HPC(s) are i poli complex conjugai, n relaia (4.2.5) se va utiliza relaia specific acestei explicitari, de forma

221aT-

-1e

-aT

221

)cos(2e-1)zcos(bTe-1

)( ee

+=

+++

zezbTbasasLZ

eaTe

. (4.2.8)

Valoarea coeficientului e-aTe va depinde de valoarea lui Te. Altfel spus, pentru un PC continuu, avnd HPC(s) cu constantele de timp {T1, T2, }, coeficienii MM cu timp discret HEPC(z) vor depinde de valoarea perioadei de eantionare (Te). n consecin, orice schimbare a perioadei de eantionare Te implic recalcularea coeficienilor MM cu timp discret.

Observaii: 1. Omiterea elementului de reinere (ER) n calculul f.d.t. n z aferent PC (relaia (4.2.5))

conduce la falsificarea rezultatelor. 2. Prezint interes deosebit cunoaterea efectelor modificrii perioadei de eantionare Te

asupra modificrii valorilor coeficienilor MM cu timp discret. Rezultatele unui astfel de studiu vor fi exemplificate numeric n cele ce urmeaz.

Exemplul 4.2.1: S se studieze influena valorii lui Te asupra coeficienilor f.d.t. HEPC(z) pentru un PC caracterizat prin f.d.t.

)101)(5.71)(51(1)(

ssssH P +++= pentru Te = 2; 6; 12 sec. (4.2.9)

Soluie: Urmnd calea descris anterior, se obine

13

32

21

1

22

1101

1)(

+++++= z

zazazazbzbbzH P . (4.2.10)

Valorile coeficienilor astfel calculai sunt prezentate n tabelul 4.2.1. Este deosebit de important analiza valorilor calculate i a tendinelor n modificarea acestora la modificarea lui Te.

Tabelul 4.2.1. Valorile coeficienilor din relaia (4.2.10). Coeficient \ Te Te = 2 Te = 6 Te = 12

a1 2.25498 4.2993 0.59381 a2 4.68932 0.54723 0.10645 a3 0.42035 0.07427 0.00552

=

+3

11 a (a)

0.01399

0.17362

0.50712

b1 0.00269 0.05108 0.22608 b2 0.00926 0.1086 0.26433 b3 0.00186 0.01391 0.02672

=

2

0b (b)

0.01399

0.017362

0.50713


+

=

=

3

1

2

01/ ab (c)

1

1

1

Pe baza exemplului prezentat se pot formula cteva concluzii generale privind influena

perioadei de eantionare Te asupra valorii coeficienilor f.d.t. n z pentru o f.d.t. HPC(s) bine precizat:

- odat cu creterea lui Te valoarea absolut a coeficienilor a scade; - odat cu creterea lui Te valoarea absolut a coeficienilor b crete; - odat cu creterea lui Te valorile sumelor (a) i (b) cresc dar raportul (c) rmne constant, egal

cu coeficientul de transfer al PC continuu,

010

)()1(1/ ==

= ===

+

sPEPCpnm sHHkab ;

- la creterea excesiv a valorii perioadei de esantionare Te se manifest urmtoarele tendine (general valabile):

(1) =

(R.-E. Precup, 2013) 4.2 Modele matematice cu timp discret asociate sistemelor cu timp continuu 127 (b) Metoda dreptunghiurilor avansat (MD-A, metoda diferenei de ordinul 1 ntrziat). Relaiile specifice metodei sunt

=

=

== e

e

e

ee

TTtyty

dtdy

zT

s

zz

Ts

zzT

s)()(

)1(1

11

11

1

. (4.2.14)

Tabelul 4.2.2. Funcii de transfer in timp discret aferente proceselor cu timp continuu, cu luarea n considerare a elementului de reinere.

Nr. crt.

Denumire F.d.t. n s )(sH P

F.d.t. n z

=

ssH

Zz

zzH PEP)(1)(

1 Element de transfer de tip proporional, ET-P P

k Pk 2 Element de transfer cu

timp mort, ET-Tm msT

P ek * , , NdTdTzk emdP =

3 Element de transfer de tip integrator, ET-I

sTsk

iP

iP 1 , 1

1 ,1 zT

Tz

Tk

iP

eeiP

4 Element de transfer de tip dublu integrator, ET-I2 222

2 1 ,sTs

kiP

iP 22

2

2

22

)1(2)1(

,)1(2

)1(+

+

zTzT

zzTk

iP

eeiP

5 Element de transfer de tip integrator cu temporizare de ordinul nti, ET-IT1

sTsTk

iPP

P 11

+ ))(1()(

/ Pe TTiP

PP

ezzzB

TTk

cu

))1/(

1)1/()(/

/

Pe

Pe

TTPe

TTPe

eTT

zeTTzB

+++=

6 Element de transfer de tip proporional cu temporizare de ordinul nti, ET-PT1

P

P

Tsk+1

Pe

Pe

TT

TT

P ezek /

/1

7 Element de transfer de tip proporional cu temporizare de ordinul nti cu timp mort, ET-PT1Tm

msT

P

P eTs

k +1 */

/

,

,1

NddTT

zezek

em

dTT

TT

P Pe

Pe

=

8 Element de transfer de tip proporional-derivativ cu temporizare de ordinul nti, ET-PDT1

2

1

11

TsTs

kP ++

2

2

/

/2121 )/1()/(

TT

TT

P e

e

ezeTTzTTk

+

(c) Metoda trapezelor (MT, relaia lui Tustin). De data aceasta relaiile aferente sunt

112

11

21

+=

+=zz

Ts

zzT

s ee . (4.2.15)

Remarc: Relaiile (4.2.13) (4.2.15) asigur transformri conforme ale planului s n planul z i invers. n fig.4.2.2 este ilustrat efectul acestor transformri.


Fig.4.2.2. Transformarile conforme realizate de diferitele metode de aproximare.

Exemplul 4.2.2: Discretizarea l.d.r. continue de tip PID (varianta ideal) cu f.d.t.

++= d

iRR TsTs

ksH 11)( . (4.2.16)

Soluie: Dac se utilizeaz metoda dreptunghiurilor ntrziat (b), se obine

++=

++=

)1(111

111)( 11 zT

TzzT

TTk

zTzT

zzT

TkzH

e

de

i

eR

ed

e

iRR (4.2.17)

sau

12

21

10

1)(

++=

zzqzqqzH R ,

e

dR

e

dR

e

d

i

er T

Tkq

TT

kqTT

TT

kq =

+=

++= 210 ,21,1 . (4.2.18)

Observaie: Pentru a se evita meninerea timp ndelungat n limitare (saturaie) a ieirii a.r.n. sau dup caz a elementului de execuie (parte a PC), n practic se realizeaz msura anti-windup-reset (AWR) n raport cu componenta I din cadrul a.r.n. Ca exerciiu pentru cititor se poate ntocmi o schem informaional a a.r.n. cu msur AWR inclus (a se vedea subcapitolul 4.7).

(R.-E. Precup, 2013) 4.2 Modele matematice cu timp discret asociate sistemelor cu timp continuu 129 Exemplul 4.2.3: Discretizarea l.d.r. (continue) PID-T1 n varianta paralel, utiliznd metoda invarianei rspunsului indicial:

+++= 111)(

f

d

iRR Ts

TsTs

ksH . (4.2.19)

Soluie: F.d.t. n z are expresia

})({)1()( 1eTktd

tuZzzH == cu

= )(1)( 1 sHsLtu R . (4.2.20)

Rspunsul indicial al l.d.r. are expresia

fTt

e

dR

iRR eT

TktT

kku /1 ++= , (4.2.21) cu transformata Z a secvenei

{ }fee TT

f

dR

i

eRRTkt ezT

Tk

zz

TT

kz

ktuZ /111

1 11

)1(11)(

= ++=

. (4.2.22)

nlocuind n (4.2.16), se obine

22

11

22

110

1)(

++++=

zpzpzqzqqzH R , (4.2.23)

n care parametrii au expresiile

++=

+=

f

d

i

eTtR

f

dR T

TTTekq

TTkq f 21,21 /10 , (4.2.24)

fff TtTt

f

d

i

eTtR epeppT

TTT

ekq /2/

10/

2 ,)1(,1,1 =+==

+

= . (4.2.25)

Se propune ca exerciiu pentru cititor ntocmrea schemei bloc informaionale a a.r.n. PID-T1 cu msur AWR inclus.

4.3. Aspecte ale implementrii numerice cvasicontinue a algoritmilor de reglare continu

n cazurile n care legea de reglare urmeaz a fi implementat ca soluie numeric cvasicontinu (CvC) obinut prin discretizarea legii de reglare continue se ridic mai multe aspecte:

- alegerea perioadei de eantionare, - luarea n seam a elementului de reinere, - efectul timpului de calcul propriu din cadrul a.r.n.

Chiar i tratarea succint a aspectelor se dovedete strict necesar pentru practic. n continuare vor fi prezentate cteva puncte de vedere privind aspectele menionate. A) Puncte de vedere n alegerea perioadei de eantionare.. La alegerea perioadei de eantionare trebuie luate n considerare mai multe aspecte, dou dintre acestea fiind sublinite n cele ce urmeaz:

- dinamica procesului condus, - calitatea procesului de reglare.

Dinamica procesului condus sau a unor subsisteme din cadrul acestuia se traduce prin: principial, cu ct procesul este mai lent, cu att Te poate fi mai mare. De exemplu,


- n cazul proceselor aperiodice cu autostabilizare, perioada de eantionare Te se poate alege pe baza parametrilor care caracterizeaz rspunsul indicial: Tm timpul mort, T constanta de timp, T95 timpul de cretere, fig.4.3.1 (a):

Fig.4.3.1. Parametri care pot caracteriza rspunsul la semnal treapt al unui proces aperiodic cu

autostabilizare (a); rspunsul EE raportat la perioada de eantionare (b).

)8...5/(95TTe sau TTe )3.0...2.0( dac 1/1.0 TTm , (4.3.1) me TT )3.0...2.0( dac 10/1 TTm . - Ineria elementului de execuie (EE), caracterizat de constanta de timp TE: pentru a nu supune

EE unor aciuni mult prea frecvente, Te se alege astfel ca la o valoare actual a comenzii uk EE s rspund complet, fig 4.3.1 (b):

Ee TT )4...3( . (4.3.2) - Dinamica elementului de msur trebuie s fie neglijabil n raport cu valoarea lui Te. - Volumul de calcule solicitate de realizarea numeric a tuturor sarcinilor de conducere (mai multe

bucle de reglare, funcii suplimentare .a): perioada de eantionare trebuie s fie superioar timpului solcitat de ndeplinirea acestor sarcini.

- Spectrul semnalelor perturbatoare care acioneaz asupra procesului: din considerente de conducere este de dorit ca semnalale perturbatoare de pulsaie ridicat s fie prefiltrate (analogic sau numeric). Dac spectrul semnalelor perturbatoare se situeaz n domeniul pulsaiilor medii ale SRA (este vorba despre funcia de rspuns la pulsaie a sistemului deschis, H0(j)), problema filtrrii semnalelor msurate nu mai poate fi tratat echivoc, fiind necesar luarea n considerare i a altor puncte de vedere.

- Dac proprietile SRA sunt caracterizate n domeniul pulsaie atunci pulsaia de tiere a sistemului deschis, t, este un indicator esenial relativ la proprietile acestuia. Dac implementarea l.d.r. este n variant CvC, perioada de eantionare Te trebuie corelat cu aceast pulsaie (in baza teoremei eantionrii) conform relaiei

teT /)3.0...2.0( . (4.3.3) - Prezena ER influeneaz n negativ rezerva de faz a sistemului. Acceptnd ca rezonabil o

nrutire a rezervei de faz datorit ER de 50 100, atunci, n baza caracteristicilor de pulsaie ale sistemului deschis rezult

(Precup) 4.3 Aspecte ale implementrii numerice cvasicontinue a algoritmilor de reglare continu 131

[ ] )51.0...17.0(180

15...5 000 etT . (4.3.4)

Ca i regul empiric sumatoare se poate accepta c alegerea perioadei de eantionare trebuie s fie de ordinul de mrime

t

eet TT 2.02.0 . (4.3.5)

B) Luarea n considerare a efectelor elementului de reinere (ER). De prezena ER se poate ine seama i prin aproximarea comportrii acestuia printr-un element de tip PT1. Plecnd de la f.d.t. a ES+ER i utiliznd un aproximant Pad de ordinul 1+1

sesH

esT

ER

= 1)( , 2/12/1

e

esT

sTsT

e + , (4.3.6)

prin nlocuire pentru valori Te suficient de mici n (4.3.6), se poate accepta c

2/1

)(e

eER sT

TsH + . (4.3.7)

Utilizarea aproximrii (4.3.6) conduce la nrutirea rezervei de faz a SRA cu acelai ordin de mrime ca i n cazul prezentat anterior. Reducerea perioadei de eantionare este nsoit de dou efecte: - efectul favorabil: scderea mai lent a rezervei de faz a SRA (datorat ER), - efectul nefavorabil: cerina creterii preciziei de implementare a coeficienilor care caracterizeaz

a.r.n.. C) Efectul timpului de calcul propriu al a.r.n. n fig.4.3.2 este prezentat diagrama care evideniaz modul de utilizare a perioadei de eantionare Te. Timpul de calcul al a.r.n. tc=c se manifest ca un timp mort e-s c aproximabil ca un element de tip ntrziere de ordinul 1 (PT1)

c

s

se c +

1

1. (4.3.8)

Fig.4.3.2. Gestionarea perioadei de eantionare Te n corelaie cu timpul de calcul al a.r.n.

Dependent de valoarea lui tc, dac: ec T4.0 se poate considera tc Te, ece TT 85.04.0


Tabelul 4.3.1. Puncte de vedere n alegerea perioadei de eantionare. Punctul de vedere Relaia de calcul Observaii

Comportare apropiat de cea a conducerii continue

crCvCr tt ,, 15.1 TTe )3.0...2.0(

dac 1/1.0 TTm me TT )3.0...2.0(

dac 10/1 TTm

a se vedea fig.4.3.1

Conducerea PC cu timp mort mare

eche TT )8/1...16/1( sau

me TT )4/1...8/1(

a se vedea fig.4.3.1 TTT mech +

Eliminarea perturbaiilor caracterizate de pulsaii b>

beT / b definete lrgimea de band a SRA

Conducerea i concomitent estimarea parametrilor

95)6/1...12/1( TTe a se vedea fig.4.3.1

4.4. Variante de proiectare a algoritmilor de reglare numeric A) Condiii generale i relaii generale. Pentru structura de SRA dup ieire (eroarea de reglare), fig.4.4.1, cerinele de conducere revin la ndeplinirea condiiei

)(0)(1)( tvtwty += . (4.4.1)

Fig.4.4.1. Structura SRA dup ieire (a) i procesul condus (detaliat) (b).

n timp discret se poate scrie: - n raport cu referina:

)()(1)()()(zHzH

zHzHzHPR

PRw +

= cu )()()(11)(

zAzBsH

sZ

zzzH PP =

= , (4.4.2)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.4 Variante de proiectare a algoritmilor de reglare numeric 133 - n raport cu perturbaia de tip sarcin v2 (pe intrarea procesului):

)()(1)()(2 zHzH

zHzHPR

Pv += . (4.4.3)

Respectarea condiiei (4.4.1) ar reveni la respectarea urmtoarelor condiii ideale:

1)()()()(1)( ===

zwzyzHtwty w , (a) (4.4.4)

0)()()()(0)( ===

zvzyzHtvty v . (b)

Dac se impun simultan condiiile de proiectare att asupra formei lui )(zH w ct i asupra formei lui )(2 zH v , atunci rezult ca necesare dou regulatoare distincte:

)(1

)()(

1)(zH

zHzH

zHw

w

PRw = (a) , )()(

)()()(

2

2

zHzHzHzH

zHvP

vPRv

= . (b) (4.4.5) Respectarea unor cerine de forma (a) respectiv (b) n relaiile (4.4.5) (a) i (b) conduce la:

)(,)( zHzH RvRw , (4.4.6) adic la forme fizic nerealizabile ale a.r.n. Rezult ca necesar impunerea unor condiii de proiectare mai puin restrictive, care s asigure doar realizarea cu aproximaie a condiiilor (4.4.1), (4.4.4). Dac s-ar impune o condiie mai puin restrictiv de forma

1)1( grad P(z) = nP = nB . (4.4.9)

Condiia (4.4.9) este de asemenea nerealizabil. Drept consecin, n vederea realizabilitii regulatorului, proiectarea n baza unor relaii de tipul (4.4.5) impune condiii suplimentare mai restrictive.

Exemplul 4.4.1: Se consider cazul continuu, al PC de ordin 2:

)1)(1(

)(1 ++

=sTsT

ksH PP . (4.4.10)

Dac se impune Hw(s) de forma (PT2)

22211)(

sTTssH w ++= , cu = TT 2 i 707.0= ,

atunci n baza relaiei (4.4.5) (a) rezult


22

21

22111

2211

)1)(1()(1

)()(

1)(

sTsT

sTTk

sTsTsH

sHsH

sHPw

w

PR

++++++==

i n final se obine pentru f.d.t. a regulatorului i pentru parametrii acestuia expresia

)1()1(2

1)( 1 rr

PR sTs

ksTsTk

sH +=+=

, 1,21 TTTk

k rP

r ==

. (4.4.11)

B) Proiectarea a.r.n. prin metoda alocrii polilor SRA. Se consider structura de SRA dup ieire (eroarea de reglare) i RG proiectat n raport cu referina:

p

p

q

q

nn

nn

w

w

PR zpzp

zqzqq

zPzQ

zHzH

zHzH

++++++=== ...1

...

)()(

)(1)(

)(1)(

11

110

,

dnn

nn

P zzazazbzb

zAzBzH

A

A

B

B

+++

++==...1

...)()()( 1

1

11 , 0 , == dnnn BA , (4.4.12)

)()(1

)()()()(

)(zHzH

zHzHzAzB

zHPR

PR

w

ww +== , )()(1)( zHzHzA PRw += .

Proprietile SRA pot fi impuse prin alocarea polilor lui )(zH w .

Zerourile PC se reproduc n structura SRA i vor influena comportarea sistemului. n acest sens se va cuta ca aceast influen s fie minim respectiv redus la minim prin proiectare.

n cel mai general caz, se recomand ca polinomul caracteristic al SRA s se compun din: o pereche de poli complex conjugai dominani care din cazul continuu

02

2 2)( ++= sssA cw revine n cazul discret la

212

2 )( ++= zzzAw , (4.4.13) ee Te

T eTe 00 222

01 ,]1cos[2 == ;

poli afereni unor componente dominante reale, situate pe semiaxa real a cercului de raz unitate ntre punctele 0 i 1:

= zzAw )(1 , .10,0/

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.4 Variante de proiectare a algoritmilor de reglare numeric 135 n care ultima exprimare a polinomului este cea obinut prin alocarea polilor, (4.4.16). n consecin,

)()1( zAw se poate explicita n forma (cu condiia nA = nB = n)

,)...()...(

)...1()...1()(1

11

10

11

11

)1(

dnn

nn

nn

nnw

zzbzbzqzqq

zazazpzpzAA

A

Q

Q

A

A

p

P

++++++++++++=

(4.4.18)

cu gradul polinomului caracteristic al SRA

),max(0 dnnnnnn AQAPww +++== . (4.4.19) Realizarea condiiei de eroare de reglare nul n regim staionar constant (RSC) impune

1)1( =wH sau 0)1( =P (relativ la a.r.), (4.4.20) echivalente cu

0)1()1( =AP , =

=+++=p

P

n

ini pppp

121 1...,1 . (4.4.21)

Din egalarea coeficienilor celor dou explicitri ale polinomului caracteristic rezult 1+wn ecuaii. Pentru a se obine o soluie unic pentru cei 1++ QP nn parametri ai a.r.n. (4.4.12)

},...,,,,...,,{ 2110 nPnQ pppqqq , se impune egalitatea

11 ++=+ QPw nnn . (4.4.22) Din relaia (4.4.22) rezult urmtoarele cazuri posibile:

(1): nP > nQ +d cnd nw = nP +nA i din relaia (4.4.22) rezult

nP nQ + d i deci nP nA + d , (4.4.23) (2): nP nQ + d cnd nw = nQ + d + nA

i din (4.4.22) rezult nP = nA + d i deci nQ d . (4.4.24)

Dac se aleg cele mai mici grade pentru polinoamele )( 1zP i )( 1zQ , se va obine nQ = nA , nP = nA + d . (4.4.25)

Considernd condiiile (4.4.25) ndeplinite, rezult c pentru determinarea parametrilor a.r.n. trebuie rezolvat ecuaia diofantic

)()()()()( 1)2(1111 =+ zAzzBzQzAzP wd . (4.4.26) innd seama i de condiia (4.4.21), ecuaia (4.4.26) se expliciteaz n forma matriceal


=

=

+

++

++

R

dn

n

nn

n

n

ndn

nn

n

nn

nn

nnn

R

a

a

q

qp

pp

ba

bbbb

aa

bbb

aaaaa

daa

a

10001111

00001

00

000

000

0

00

0

00

0

00

010110001

2

1

11

0

1

2

1

1

1

1

2

1

12

1

1

21

12

1

MMMMM

MMMMM

MMMMM

MMMMM

444 3444 21 KMM

444 3444 21 KKKKKKKKKMKKKKKKKKK

KMKKKKKKKKKMKKKKKKKKK

KKMK

KKKKKKKKKMKKKKKKKKKKKKK

KK

MM

KK

KKKKKKKKMKKKKKKKKK

KKKKK

KKMMMM

KKK

. (4.4.27)

Daca matricea R este nesingular, vectorul parametrilor R se calculeaz cu relaia

= 1RR . (4.4.28) Exemplul 4.4.2: Dac pentru f.d.t. )(zH w polii se aloc sub forma specific unui sistem

discret de ordinul 2:

))(()(

)(21

10

pzpzzzk

zH w = (4.4.29)

i, dac se impune condiia de eroare de reglare nul, 1)1( =wH , atunci rezult

)1()1)(1(

1)())((

1

21

1

210 z

ppzzz

pzpzk ==

= . (4.4.30)

Punctele critice {p1, p2, z1} se pot impune pe baza cerinei de realizare a unor indicatori locali de performan {1 imp, tr max, }.

n continuare se efectueaz verificarea condiiei relative la excesul poli-zerouri aferent SRA i procesului

Pw HzPHzPnnnn )()( . (4.4.31)

Dac f.d.t. (4.4.29) nu satisface condiia (4.4.31), n f.d.t. )(zH w se adaug poli suplimentari astfel plasai nct acetia s nu influeneze semnificativ comportarea SRA. Avnd f.d.t. )(zH w fixat, se poate calcula f.d.t. a sistemului deschis, )(0 zH , respectiv f.d.t. a regulatorului, )(zH R :

)(1)()(0 zH

zHzHw

w

= , )()()(0 zHzHzH PR= , (4.4.32)

)()(

1)( 0 zHzHzH

PR = . (4.4.33)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.4 Variante de proiectare a algoritmilor de reglare numeric 137

n final este util sintetizarea etapelor proiectrii prin alocarea polilor:

- Se alege/construiete )(zH w de forma (4.4.29) pe baza acceptrii unor performane prealabile; la nevoie se introduc poli i zerouri pn la atingerea obiectivelor impuse.

- Se efectueaz verificarea condiiei de realizabilitate fizic (4.4.31); dac aceasta nu este satisfcut, se reia procesul de introducere de noi poli i zerouri.

- Folosind i relaia (4.4.32), cu relaia (4.4.33) se calculeaz f.d.t. a regulatorului, )(zH R . Aplicaia 4.4.1: Se consider tunelul de nclzire cu reglarea temperaturii aerului insuflat din

fig.4.4.2. Modelul matematic (MM) aferent prii fixe se determin prin identificare experimental prin metoda rspunsului la semnal treapt, sub forma

s

cP essu

sususysH 10

5012

)()(

)()()( +=== . (4.4.34)

Se dorete proiectarea a.r.n. care s asigure urmtoarele performane impuse: 15%, tr10 sec.

Fig.4.4.2. Tunel de nclzire cu reglarea temperaturii aerului insuflat.

Soluie: Pe baza f.d.t. (4.4.34) rezult: kP = 2, T = 50 sec, Tm = 10 sec i = Tm/T = 0.2. n baza informaiilor din tabelul 4.3.1 se alege

eche TT

81...

161

cu Tech = Tm + T = 10 + 50 = 60 sec.

Rezult: Te = (3.75 7) sec. Se alege Te = 5 sec i rezult Tm/Te = 2 (d=2). Pentru simplificarea calculelor, pentru discretizarea f.d.t. (4.4.34) va fi aplicat metoda

dreptunghiurilor avansat. Ca urmare, pentru partea fr timp mort se obine

kkkT uyysussy e 2)(

550)(2)150)(( 1

5 ==+ += . innd seama de timpul mort al PC, se obine

21

1

9.012.0)(

= zzzzH P cu .1;2;9.0;1;2.0 101 ===== ndaab

n cele ce urmeaz se va realiza construcia polinomului caracteristic discret. Din condiiile continue impuse, sec 10 ,707.0 %51


Polinomul caracteristic n timp discret poate fi scris sub forma

212

0 )( ++= zzzAw , n care

02.0 ,27.0)1cos(2 00 222

01 == ee TeT eTe . Condiia de realizabilitate a a.r.n. solocit realizarea urmtoarelor condiii:

.3,1,

,),max(

==+==++=+++=

PQAPAQ

AQwAQAPw

nndnnnndnnndnnnnn

Se impune introducerea a doi poli suplimentari continui ( 4=wn ) 8.03 cp , 9.04 cp ,

cu echivalenii discrei

01.0 ,018.0 9,048,0

3 == ee TdTd epep . n acest context polinomul caracteristic al sistemului, )(zAw , devine

,000036,0001,0029,0298,01)(

),02,027,0)(01,0)(018,0()(43211)2(

2)1(

++=+=

zzzzzAzzzzzA

w

w

n care

000036.0 ,001.0 ,029.0 ,298.0 ),1( 43200 ===== . n continuare este fixat structura a.r.n. (relaiile (4.4.8) i (4.4.9)):

33

22

11

110

1)( ,321 ,1

++++==+=+===

zpzpzpzqqzHdnnnn RAPAQ .

Cele dou expresii ale polinomului caracteristic sunt explicitate sub forma

.)()1)(1()(

,1)(21

101

11

13

32

21

1)2(

44

33

22

11

)2(

++++++=++++=

zzqqzbzazpzpzpzAzzzzzA

w

w

Din egalarea coeficienilor de acelai grad se obine

.,, ,

,11

11314013213

2112111

qbpaqbppaapapa

+=++=+=+=

=

Verificarea condiiei de eroare de reglare nul este 101 321321 =++=+++ pppppp

Aceste condiionri pot fi rescrise sub forma matriceal (4.4.27):

=

=

RR

a

qqppp

baba

a

100111100

010000100001

4

3

2

11

1

0

3

2

1

11

11

1

.

nlocuind valorile numerice

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.4 Variante de proiectare a algoritmilor de reglare numeric 139

2.0 ,9.0 11 == ba , se expliciteaz matricele R i :

=

=

1000036.0

001.0029.0602.0

,

001112.019.000

02.019.0000019.000001

R .

Din rezolvarea ecuaiei (4.4.28) se obine

1728.2 ,5708.0 ,602.0 ,7775.9 ,4275.13 32110 ===== pppqq , respectiv se poate explicita f.d.t. a regulatorului

321

1

1728.25708.0602.017775.94275.13)(

++=

zzzzzH R .

4.5. Proiectarea algoritmilor de reglare numeric prin metoda rspunsului n timp finit (deat-beat, endliche Einstellzeit)

Proiectarea dead-beat (DB) (cu raspuns n timp finit n limba romn, endliche Einstellzeit n limba german) este o metod specific de proiectare a a.r.n. Varianta de baz a metodei a fost introdus de Jury. A) Esena metodei de proiectare dead-beat. Esena metodei poate fi formulat prin urmtoarele: se dorete (impune) ca dup un interval de timp finit tn, tn=nTe, n rspunsul SRA s se instaleze condiia

nkwy kk = , , (4.5.1) valabil n momentele de eantionare ek kTt = , fig.4.5.1, cu notaia )()( ekk kTytyy == . Este important de menionat faptul c metoda nu garanteaz comportarea SRA ntre momentele de eantionare ci doar n momentele de eantionare. Secvena de ieire y* a SRA este

,...},,...,,{ 110*

+= nn yyyyy , 1...21 ==== ++ nnn yyy (4.5.2-a) adic, dup un interval de timp finit eroarea de reglare kkk ywe = devine nul (fig.4.5.2), ceea ce poate fi exprimat sub forma

0...21 ==== ++ nnn eee (4.5.2-b) B) Condiionri generale. F.d.t. ale PC i RG se scriu n variantele (pentru generalitate se va considera m=n)

nn

nn

R zpzpzqzqq

zPzQzH

++++++== *1*

1

*1*1

*0

1*

1*1

1)()()( K

K, (4.5.3)

nn

mm

P zazazazbzbzb

zAzBzH

++++

+++== KK

22

11

22

11

1

11

1)()()( , (4.5.4)

01 ,11

)1(1

1

1

21

21 ++

=+++++++==

=

=

= n

n

n

n

nPP a

a

b

aaabbbHk K

K.


Fig.4.5.1. Rspunsul SRA la variaie treapt (a) a referintei: y(t) (b) i eroarea de reglare e(t) (c).

Structura SRA cu timp discret este prezentat n fig.4.5.2. n baza ei se pot explicita

Fig.4.5.2. Structura SRA cu timp discret.

)()()()()()(

)()(1)()()( 1111

11

11

111

+=+= zBzQzAzP

zBzQzHzH

zHzHzHPR

PRw , (4.5.5-a)

1

11

11

)()(

= zzHzy w ,

)()()()()()(

)()(11)( 1111

11

111

+=+= zBzQzAzPzAzP

zHzHzH

PRe , (4.5.5-b)

1

11

11)()(

= zzHze e ,

)()()()()()(

)()(1)(

)( 111111

11

11

+=+= zBzQzAzP

zAzQzHzH

zHzHPR

Ru , (4.5.5-c)

111)()( = zzHzu u . (4.5.5-d)

Faptul c se impune condiia (4.5.2) determin ca

(Precup) 4.5 Proiectarea algoritmilor de reglare numeric prin metoda rspunsului n timp finit 141

)(}{ 1= zPeZ ek , unde )( 1zPe este un polinom de grad finit n

1z , de forma

111111

111

11

)()(11

11

)()(1)()(

1)(

+=

+= zzHzHzzHzHzHzHzP

PRPR

PRe . (4.5.6)

n baza relaiei (4.5.6) se poate explicita

)()1)((1)()(1

)()( 11111

11

==+ zKzzPzHzHzHzH

ePR

PR , (4.5.7)

n care )( 1zK este un polinom de grad finit. Din relaia (4.5.5-c) rezult:

)()()(1

)()( 1111

1

=+= zMzHzH

zHzHPR

Ru , (4.5.8)

n care )( 1zM este un polinom de grad finit. Din relatiile (4.5.6) (4.5.8) se poate scrie

)()()()()(

)()(1)( 1

1

111

11

1

==+ zKzA

zBzMzHzHzH

zHP

PR

R

i rezult n continuare

)()(

)()(

1

1

1

1

=zMzK

zAzB

. (4.5.9)

Relaia (4.5.9) poate fi interpretat dup cum urmeaz: pentru orice polinom de grad finit )( 1zL este asigurat condiia

)()()(),()()()()(

)()(

)()( 111111

1

1

1

1

1

1

=== zLzAzMzLzBzKzMzK

zLzL

zAzB

.

(4.5.10)

Din condiia de regim staionar constant (RSC) relativ la eroarea de reglare, 0=e , rezult 1=y , ceea ce este echivalent cu

)1(1)1(1)1(

BLK == . (4.5.11)

Din relaia (4.5.8), prin inversare poate fi determinat f.d.t. a regulatorului

)()(1)()(

)()()()(1

)()()()(1

)()( 1111

1

111

11

11

11

=

== zLzB

zLzA

zAzBzLzA

zLzAzMzH

zMzHP

R .

(4.5.12) Relaia (4.5.12) evideniaz faptul c regulatorul astfel obinut denumit regulator dead-beat (Jury), prescurtat RGDB se bazeaz pe o compensare poli-zerouri exact. Acest lucru are urmtoarele implicaii: (1) Compensarea polilor prin zerouri este posibil numai pentru polii stabili, aflai n semiplanul stng

(polii continui), respectiv situai n interiorul cercului de raz unitate centrat n origine (polii discrei), fig.4.5.3.


Fig.4.5.3. Corespondena dintre polii continui i cei discrei.

(2) Datorit modelrii adeseori incomplete a PC sau modificrii parametrilor acestuia n timpul funcionrii, f.d.t. )(zH P nu reflect cu exactitate procesul real, chiar dac acesta este legat de punctul de funcionare (de liniarizare). Corespunztor nici rspunsul care rezult nu va fi realmente n timp finit (rspuns n timp finit = finite impulse response, endliche Einstellzeit).

(3) Datorit aspectului evidentiat anterior, aplicarea metodei n cazul proceselor oscilante este doar arareori recomandat.

(4) ntruct n relaia (4.5.12) parametrii care stau la dispoziia proiectantului sunt polinomul )( 1zL i perioada de eantionare Te, succesul aplicrii metodei depinde de alegerea acestora.

(5) Fiind vorba de rspuns n timp finit (un numr dat de perioade de eantionare), dimensionarea elementului de execuie joac un rol determinant. Elementul de execuie trebuie s poat asigura energia solicitat de trecerea procesului (sistemului) de la un regim de funcionare la altul.

C) Variante de proiectare dead-beat. Exist mai multe variante de aplicare a metodei de proiectare DB. n continuare vor fi prezentate cteva dintre acestea. Varianta I. Are la baz relaia

)(/)()( 1*1*1 = zPzQzH R . Condiiile generale n care se determin a.r.n. sunt urmtoarele:

Proiectarea se realizeaz n raport cu o variaie treapt a referinei )(tw :

,...}1,...,1,1{* =w . Dup intervalul de timp en nTtt == se impune asigurarea condiiilor

niewy iii == ,0 , , (4.5.13) cu n ordinul procesului. Condiia (4.5.13) impune ca a.r.n. s conin o component integratoare deoarece secvena treapt a referinei este

111

1)( == zz

zzw . (4.5.14)

Se impune rspunsul indicial de forma (secven de rspuns la semnal treapt)

,...}1,1,,...,,,0{ 1210* === nn yyyyyy ,

cu expresia operaional


=

++++=ni

inn zzyzyzyzy

)1(1

22

11)( K (4.5.15)

sau

444 3444 21 KK

+

=

++++++=ni

iz

nnnn zzzyzyzyzy

)1()1(1

22

11 11)(

Din relaia

1111

11)()()()(

== zzHzwzHzy ww (4.5.16)

rezult

)1()()()( 1

1

)1(1

11

1

=

+++== zzzyzyzw zyzH i innw K ,

])()([)(

0

1

11

212

11

1

444 3444 21K

=

=

+=

+++=

ni

i

ni

innnw zzzzyyzyyzyzH

( ) nn

nnnw zyzyyzyyzyzH

++++= )1()()()( 111212111 K . (4.5.17) Notnd n continuare

1

211

122

11

1

==

==

nn

nnn

ypyyp

yypyp

LLL cu proprietatea =

=n

iip

11, (4.5.18)

se obine

)()( 1)1(12

21

11

=++++= zPzpzpzpzpzH nnnnw K . (4.5.19)

Observaie: F.d.t. )(zH w poate fi rescris sub forma

nn

nn

n

nn

nw zpzpzp

zzzpzpzH

+++=++=

KK2

21

111

1 )()( , (4.5.20)

din care rezult imediat c polinomul caracteristic al SRA este de forma n

w zz = )( , adic sistemul este caracterizat de un pol n origine de ordin de multiplicitate n.

Pentru explicitarea transformatei Z a mrimii de comand )(zu , dup instaurarea regimului permanent ( ni ) se obine 1== ni yy dar i const== ni uu . Acest rezultat se traduce prin

( ) ( ) KK ++++++= ++ 211100)( nnnnnn zuzuzuzuzuzu sau

( ) =

++++=ni

in

nn zuzuzuuzu

11

110)( K . (4.5.21)

ns


1111

11

1

11

)(1)()(

)()(1)()(

=+= zzHzHzwzHzHzHzu

Pw

PR

R ; (4.5.22)

n consecin, rezult succesiv

)1()()( 11

10

=

+++== zzuzuuzw zuH ni inu K , ( ) n

nnn

nnu zuuzuuzuuuzH

++++= )()()()( 11211010 K ,

( ) )()( 111110 =++++= zQzqzqzqqzH nnnnu K . (4.5.23) n continuare, n baza relaiei (4.5.5) rezult

)()()()()(1

)()( 11111

1

=+= zHzHzHzHzH

zHzH PuP

PR

Rw ,

de unde:

)()(

)( 11

1

=

zHzH

zHu

wP .

Utiliznd mai departe relaiile (4.5.4), (4.5.19) i (4.5.23), se obine

nn

nn

nn

nn

zqzqzqqzpzpzp

zazazazbzbzb

+++++++=++++

+++K

KKK

22

110

22

11

22

11

22

11

1 (4.5.24)

sau

nn

nn

nn

nn

P zazazazbzbzb

zqq

zqqz

qq

zqp

zqpz

qp

zH

+++++++=

++++

+++=

KK

K

K2

21

1

22

11

0

2

0

21

0

1

0

2

0

21

0

1

11)( .

Pentru determinarea parametrilor regulatorului, din condiia (4.5.18) se obine

=

=n

iip

11

= ===

n

i

n

ii

i bqq

p1 100

1 sau

=

= ni

ibq

1

01

,

ii b

qp =

0

0qbp ii = , respectiv ii aqq =

0

0qaq ii = . Sintetiznd, pot fi explicitate relaiile care susin calculul parametrilor RG-DB:

=

= ni

ibq

1

01

, 0qaq ii = , 0qbp ii = . (4.5.25)

Acetia sunt chiar parametrii care caracterizeaz a.r.n. Apoi, din relaiile (4.5.19), (4.5.24) rezult

)()()()( 1

zwzyzPzH w == , )(

)()( 11

=zQzPzH P ,

)(1)(

)(1)(

)()(

)(1)(

)(1

)()()( 1

1

1

1

1

1

==== zPzQ

zPzP

zPzQ

zHzH

zHzezuzH

w

w

PR , (4.5.26)

(Precup) 4.5 Proiectarea algoritmilor de reglare numeric prin metoda rspunsului n timp finit 145 de unde se obine

nn

nn

R zpzpzpzqzqzqqzH

++++=

KK

22

11

22

110

1)( . (4.5.27)

n final rezult rspunsul sistemului n momentele de eantionare:

,...},,...,,{ 110*

+= nn yyyyy , niyi = ,1 , )()()()()()(

1 0

22

11

1 zwzqb

zwzpzpzpzwzPzy in

i

inn

=

=+++== K . Continund cu explicitarea evoluiei comenzii, din relaiile (4.5.5-c), (4.5.23) i (4.5.25) se

obine

=

===n

i

iiu zq

qzwzQzwzHzu

0 0

1 )()()()()( . (4.5.28)

Alte probleme care pot constitui obiectul unor studii de detaliu ale reglrii DB se refer la: a. Studiul influenei reprezentrii inexacte a coeficienilor a i b (modelare matematic inexact)

sau a modelrii incomplete a PC asupra comportrii SRA cu regulatorul corect proiectat. b. Studiul influenei perioadei de eantionare Te asupra comportrii SRA. c. Studiul comportrii sistemului sub aciunea perturbaiilor externe sau interne. d. Studiul evoluiei SRA la variaii oarecari ale referintei )(tw . Toate aceste probleme sunt propuse a fi n atenia cititorului.

Observaie: ntre parametrii },{ ** qp i },{ qp pot fi explicitate relaiile de legtur

npp ,1 ,* == ; nqq ,0 ,* == . (4.5.29) Aplicaia 4.5.1: Proiectarea deat-beat a RG pentru conducerea unui proces PT1 cu f.d.t.

continu

1 ,1

)( =+= nsTksH PP .

Soluie: Ordinul procesului 1=n va determina 1== nnR . Procesul discretizat are f.d.t.

11

111

1)(

+= zazbzH P , cu )1(

/1

TTP

eekb = , TTeea /1 = . Corespunztor se obine f.d.t. a regulatorului

11

110

1

1

1)(1)()(

+== zp

zqqzP

zQzH R cu 1,,1

1011

1101

10 ===== bqpb

aaqqb

q ,

care se poate rescrie sub forma

1

1/

/1

11

1 11

)1(1

111)(

=

+=z

zeekz

zab

zHTT

TTP

R

e

e.

Varianta a II-a. Proiectarea a.r.n. DB cu impunerea primei valori a comenzii, 0u . n cazul n care se dorete ca a.r.n. DB s satisfac anumite condiii suplimentare, este necesar creterea numrului de pai ai rspunsului sistemului. Astfel, pentru m condiii suplimentare, timpul de reglare


va crete la eer mTnTt += . Dac respectiva condiie suplimentar introdus este prima (eventual prima i cea de-a doua) valoare a comenzii, 0u (respectiv 0u i 1u ), atunci m=1 (respectiv m=2).

O astfel de situaie corespunde unor condiii tehnice reale care pot fi impuse derulrii procesului. De exemplu, acestea se pot referi la pornirea unui sistem de acionare cu limitarea primei valori a comenzii. Situaia este ilustrat n fig.4.5.4, n care 0u este o valoare impus iar 1u i 2u sunt valori care rezult dup calcule [15].

Condiionarea evoluiei comenzii se va repercuta i asupra evoluiei ieirii )(zy (relaia (4.5.24) extins):

)()()()( 1

1

zuzQzPzy

= , (4.5.30)

)()( )(110

)()1(1

11 zu

zqzqzqqzpzpzpzp

zy mnmn

nn

mnmn

nn

nn

++

++

++

++++++++++=

KKKK

.

Fig.4.5.4. Rspunsul sistemului cu impunerea primei valori a comenzii, 0u .

Relaia (4.5.30) poate fi rescris n forma

)()()(

)()(

)(')('

)()(

)()(

)2(

1

1

)1(

1

1

1

1

zAzBzH

zRzR

zQzP

zQzP

zuzy

P ====

32143421,

n care termenul (1) corespunde situaiei fr condiionarea suplimentar iar termenul (2) corespunde condiionrii suplimentare legate de gradul polinomului, mzR =)( grad . Pentru 1=m polinomul este

10

1 )( += zrzR i corespunztor rezult

,

''

''

1

''

''

'''''''

)(

10

10

0

1

0

1

0

1

0

1

10

10

22

11

00

22

11

++

+++

++=

=++++++

+++=

zrzr

zqq

zqq

zqp

zqp

zrzr

zqzqzqzqzpzpzp

zH

nn

nn

nn

nn

P

K

K

KK

(4.5.31)

respectiv se cunoate c

nn

nn

P zazazbzbzH

+++++= K

K1

1

11

1)( . (4.5.32)

(Precup) 4.5 Proiectarea algoritmilor de reglare numeric prin metoda rspunsului n timp finit 147 Echivalena parial a coeficienilor ntre (4.5.31) i (4.5.32) rezult sub forma

nibqpaqq iiii ,1 ,'' ,'' 00 === . (4.5.33) Relaia (4.5.31) se expliciteaz n continuare sub forma

)1(10

101000

)1(10

2120

110

1

1

1

1

')''()''('')''()''('

)()(

)(')('

+

+

++++++++++++= n

nn

nn

nn

nnn

zqzqqrzqqrqrzpzpprzpprzpr

zRzR

zQzP

KK

.

(4.5.34) n continuare se face echivalarea coeficienilor. Notnd

)1(1

110

)1(1

22

11

1

1

)()(

++

+

+

++++++++= n

nn

n

nn

nn

zqzqzqqzpzpzpzp

zQzP

KK

, (4.5.35)

rezult urmtoarea echivalare a coeficienilor:

nniii ppnipprpprp ' ,),2( '' ,' 110101 ==+== + , 000 'qrq = , 00 uq = - valoare impus prin proiectare,

nniii qqniqqrq ' ,),2( '' 110 ==+= + . (4.5.36) n vederea stabilirii relaiilor pentru calculul coeficienilor, se procedeaz astfel:

- valoarea 00 uq = este fixat prin proiectare, - rezult 000 'qrq = , - condiia suplimentar este legat de impunerea componentei I n structura regulatorului:

+=

=1

1

1n

iip .

Corespunztor, din relaiile (4.5.36) i (4.5.33) se obine

,1'

,'''''

10

10

1

1

10

100

110

1

21

10

1

1

=+=

+=+=+=

==

+

=

====

+

=

=

+

=n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

bqbqp

bqbqrpprpprp (4.5.37)

dar

000 'qrq = i, n aceste condiii, din ultima relaie rezult

=

+= ni

ibqq

1

001' ,

=

+== n

iibq

qqqr

10

0

0

00 '

. (4.5.38)

n cele ce urmeaz se efectueaz algoritmizarea calculului a.r.n. DB cu impunerea primei valori a comenzii, 0u (a.r.n. DB+1). Procesul se consider cunoscut prin f.d.t. )(zH P :

nn

nn

PP zazazazbzbzbsH

sZ

zzzH

+++++++=

=

KK

22

11

22

11

1)(11)( .

Se impune prima valoare a comenzii, 00 qu = . Se calculeaz coeficienii a.r.n. DB+1 (m=1):


1 ,,1 ,)( 0

1

110 ==+=

=

ani

b

aaaqq n

ii

iiii ,

=

+ += ni

i

nnn

b

aqaq

1

01 , (4.5.39-a)

0 ,,1 ,)( 0

1

110 ==+=

=

bni

b

bbbqp n

ii

iiii ,

=

+ += ni

i

nnn

b

bqbp

1

01 . (4.5.39-b)

Se expliciteaz f.d.t. a regulatorului DB+1

)1(1

11

)1(1

110

1

1

1)(1)()( +

+

++

+++== nn

nn

R zpzpzqzqq

zPzQzH K

K. (4.5.40)

n final se pot explicita f.d.t. )(zH w precum i expresiile )(zy i )(zu : ( ) 11

12

21

11 )( ,)(

)()()( +++

=++++=== nwnnnnw zzzpzpzpzpzPzwzyzH K , (4.5.41)

( ) )()()( 112211 zwzpzpzpzy nn ++ +++= K , ( ) )()()()()( 1122110 zwzqzqzqqzwzQzu nn ++ ++++== K .

Aplicaia 4.5.2: S se proiecteze a.r.n. DB+1 pentru un proces de tip PT1, n situatia n care se impune prima valorare a comenzii, 0u . Procesul este dat prin f.d.t. continu

1 ,1

)( =+= nsTksH PP .

Soluie: Se calculeaz f.d.t. )( 1zH P :

11

111

1)(11)(

+=

=

zazbsH

szzzH PP Z , cu )1( /1 TTP eekb = , TTeea /1 = .

Pentru regulator se obine f.d.t.

22

11

22

1101

1)(

++=

zpzpzqzqqzH R ,

n care coeficienii au expresiile urmtoare:

00 uq = ,

)1(1]1)[(

)1( /2/

0

1

0101 TT

P

TTP

e

e

ekeku

baauq

+=+= ,

)](1[)1(

)1( /0/

/

1

101

1

1102

TTPTT

P

TTe

e

e

ekuek

eb

buabaauq

=

=+= , 10 =p ,

)1( /0111TT

Peekubup == ,

)1(11 /0102TT

Peekubup =+= .

n final, a.r.n. DB+1 poate fi explicitat sub forma ecuaiei recurente


221102211 ++++= kkkkkk eqeqequpupu . Varianta a III-a de proiectare a unui a.r.n. DB. Proiectarea dup Dahlin n varianta I. Metoda este aplicabil situaiilor n care procesul are rspuns indicial aperiodic, care este aproximat prin rspunsul unui element de transfer (ET) tip PT1-Tm (proporional cu temporizare de ordinul 1 cu timp mort), fig.4.5.5, cu f.d.t.

msTPP esT

ksH += 1)(~

, =

uykP . (4.5.42)

F.d.t. care se impune pentru SRA este tot de tip PT1-Tm:

msw es

sH += 11)( , (4.5.43)

cu rspunsul indicial

= wssHsy w1)()( , 1=w .

Fig.4.5.5. Aproximarea rspunsului aperiodic prin rspunsul unui ET de tip PT1-Tm.

Perioada de eantionare se alege astfel ca

dT

fTT

e

m

e

m == , . n particular, valoarea lui m poate fi aleas egal cu Tm. Expresiile lui )(zH P i )(zH w rezult

fTT

TTP

P zzeekzHe

e

= 11/

/

1)1(

)( , dTTT

w zzeezH

e

e

= 11/

/

11)( .

n continuare a.r.n.-DB se calculeaz direct prin nlocuire:

)(1)(

)(1)(

zHzH

zHzH

w

w

PR = ,

dTTdT

fTTP

TT

R zezeze

zekzezH

ee

e

e

e

= 1/1/1/

1/

1/

)1(1)1(

)1(1)( . (4.5.44)

Aplicaia 4.5.3: Un proces lent (proces de nclzire ntr-o incint) a fost identificat prin metoda rspunsului la semnal treapt ca avnd f.d.t. de aproximare (de tip PT1-Tm)


)1 ,5 ,2( 51

1)( 2 ===+=

Pms

P kTTessH .

Pentru comportarea sistemului se impune )(sH w de form similar, PT1-Tm:

sw essH 2

511)( += .

S se proiecteze un a.r.n. DB. Soluie: Proiectarea a.r.n. DB dup Dahlin se deruleaz n urmtoarele etape:

Se alege Te=1 sec i rezult d=f=2. Se calculeaz )(zH P i )(zH w :

21

12

1

1

7788.0122119.0)(,

81873.0118126.0)(

== zzzzHz

zzzH wP .

nlocuind n (4.5.44), se obine

31

1

22119.07788.019989.022.1

)(1)(

)(1)(

=== zz

zzH

zHzH

zHw

w

PR K ,

respectiv ecuaia recurent aferent a.r.n. DB:

131 9989.022.122119.07788.0 ++= kkkkk eeuuu . Varianta a IV-a de proiectare a unui a.r.n. DB. Proiectare dup Dahlin n varianta a II-a, modificat. Particularitatea metodei const n maniera de discretizare a algoritmului. Dac se cunoate

)(sH P sub forma unui model PT1-Tm, atunci pentru sistemul de reglare, )(sH w , se impune aceeai form de model PT1-Tm:

msTpP esT

ksH += 1)( ,

msw es

sH += 11)( , (a)

cu particularitatea m=Tm (nu absolut necesar). Atunci trebuie parcuri urmtorii pai pentru calculul a.r.n. DB:

Se calculeaz un RG continuu cu rspunsul impus:

)()(

)1(11

)(1)(

)(1)(

sesu

essT

ksHsH

sHsH

msTPw

w

PR =+

+== . (b)

Expresia comenzii u(s) se transcrie n forma uor discretizabil )()1(1)()]1([ sesT

ksues

P

sTm +=+ . (c)

Relaia (c) se discretizeaz prin metoda dreptunghiurilor ntrziat, pentru care

1

111=

zz

Ts

e

.

Rezult

)(111)(11 11

1

1

zez

zTT

kzuz

zz

T epd

e

+=

+

. (d)

Se reordoneaz rezultatul la forma uzual a f.d.t. )(sH R :


dee

eepR

zT

zT

zTT

TT

kzH

+

=11

1

11

11

)( . (e)

Se expliciteaz a.r.n.:

111 1111

++

= kepkepdke

ke

k eTT

ke

TT

kuTuTu . (f)

D) Alegerea perioadei de eantionare. Problema alegerii perioadei de eantionare este de actualitate n dezvoltarea soluiilor de conducere dead-beat. Pentru formarea imaginii asupra alegerii perioadei de eantionare, ntr-o prim etap se consider varianta I (varianta de baz) de proiectare a unui a.r.n. DB. n baza relaiilor (4.5.23) i (4.5.25) rezult c prima valoare a comenzii este invers proporional cu suma coeficienilor numrtorului f.d.t. a procesului:

=

== mb

uq

1

001

. (4.5.45)

Din punct de vedere fizic, o valoare 0u mare solicit: - un element de execuie astfel dimensionat nct s permit transferul de energie ctre proces, - ca procesul s poat absorbi aceast energie.

Pe de alt parte, se cunoate faptul c prin discretizarea MM aferent procesului continuu bazat pe relaia

)()(1)()1()()( 11

0

1

zAzB

ssHLZz

a

bzHzH n

i

m

i

PEP =

==

=

=

,

la creterea perioadei de eantionare Te n valorile coeficienilor MM discret se manifest urmtoarele tendine:

=

m

b1

crete, =

+n

a1

1 scade. (4.5.46)

Rezult c reducerea excesiv a lui Te ar determina creterea valorii lui 0u . Concluzionnd, relativ la alegerea perioadei de eantionare n [6] se fac urmtoarele recomandri:

TTe 36.0 sau 9518.0 TTe , (4.5.47) n care 95T este timpul de cretere al procesului i T sunt constantele de timp ale procesului.

n cazul n care se impune prima valoare a comenzii (varianta a II-a de proiectare a unui a.r.n. DB), atunci, n acord cu relaiile (4.5.36) i (4.5.39-a) se poate scrie

00 qu = , =

+=+= mib

uaqqu

1

01011

, ni ,1= .


La alegerea rezonabil a valorii lui 0u , perioada de eantionare pentru aceast variant a proiectrii poate fi aleas de valoare mai redus. n acest context, n [6] se fac urmtoarele recomandri:

TTe 22.0 sau 9511.0 TTe . (4.5.48) 4.6. Sisteme de reglare automat cu dou grade de libertate Sistemele de reglare automat trebuie s asigure de regul simultan

urmrirea de ctre ieirea reglat a variaiilor impuse ale referinei, performane bune n raport cu perturbaiile, exprimate sub forma unui compromis ntre

reducerea efectelor perturbaiilor de tip sarcin (este de dorit rejecia acestora) i reducerea efectelor zgomotelor de msur.

Asigurarea acestor dou cerine de proiectare devine extrem de dificil n cazul structurilor de reglare convenional (buclelor de reglare). Problema devine i mai delicat n condiiile incertitudinilor de modelare. Acesta este motivul pentru care se recurge la decuplarea rspunsului sistemului n raport cu referina fa de rspunsul sistemului n raport cu ieirea reglat (perturbaiile additive de tip sarcin aplicate pe ieire). Decuplarea conduce la structurile de sisteme de reglare automat cu dou grade de libertate (two-degree-of-freedom, 2-DOF). n fig.4.6.1 este prezentat structura unui SRA cu dou grade de libertate.

Fig.4.6.1. Structura de SRA cu dou grade de libertate.

Fig.4.6.1 ilustreaz i motivul apelrii structurii ca SRA cu dou grade de libertate. Astfel, calea de transfer a informaiei de la ieirea reglat y (zgomotul de msur n) la comanda u difer de calea de transmitere a informaiei de la referina w la comanda u. Procednd n acest mod se obine avantajul structurii de SRA cu dou grade de libertate, i anume separarea rezolvrii celor dou cerine de proiectare menionate anterior. Regulatorul cu dou grade de libertate (RG-2-DOF) este alctuit din dou componente:

regulatorul n reacie (feedback, cu f.d.t. Hfb) i compensatorul feedforward (cu f.d.t. Hff).

Proiectarea RG-2-DOF ncepe cu proiectarea regulatorului n reacie astfel nct sistemul nchis s fie insensibil n raport cu perturbaiile de tip sarcin v care acioneaz asupra procesului condus (PC), cu zgomotul de msur i cu incertitudinile de modelare aferente PC. Apoi este proiectat copensatorul feedforward astfel nct sistemul s urmreasc variaiile referinei. Exist diverse metode de proiectare a RG-2-DOF. n cele ce urmeaz va fi prezentat metoda de proiectare a RG-2-DOF prin alocarea polilor utiliznd caracterizarea matematic intrare-ieire. Se consider c procesul este modelat matematic (a se vedea i fig.4.6.1) sub forma polinomial

))()()(()()( kvkuqBkyqA += , (4.6.1) n care q este operatorul de anticipare cu un interval de eantionare, )( grad)( grad qBqA > , polinoamele )(qA i )(qB sunt prime ntre ele (adic 1))(),(( =qBqA ) i polinomul )(qA este

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.6 Sisteme de reglare automat cu dou grade de libertate 153 monic (coeficientul dominant este egal cu unitatea). Forma general polinomial a unui RG-2-DOF liniar este

)()()()()()( kyqSkwqTkuqR = , (4.6.2) cu polinomul )(qR presupus monic.

Remarc: Din motive de simplificare a calculelor, n cele ce urmeaz se va renuna n unele locuri la argumentele funciilor polinomiale i funciilor de transfer. Acestea vor rezulta din context. Corespondena dintre legea de reglare (4.6.2) i structura de SRA prezentat n fig.4.6.1 este exprimat sub forma

)()()( ,

)()()(

zRzSzH

zRzTzH fbff == , (4.6.3)

Pentru a obine un regulator cauzal este necesar ca ))( grad),( gradmax()( grad zTzSzR . (4.6.4)

Legea de reglare (4.6.2) pune n eviden structura echivalent a unui SRA cu dou grade de libertate, prezentat n fig.4.6.2. Prin deplasarea polinomului R, schema poate fi transformat ntr-o structur de SRA n care regulatorul are 3 blocuri, fiind cunoscut i sub denumirea de regulator R-S-T.

Fig.4.6.2. Structura echivalent de SRA cu dou grade de libertate.

Din relaiile (4.6.1) i (4.6.2) poate fi calculat dependena intrare-ieire aferent SRA cu dou grade de libertate:

)()()()()(

)()()()()()()(

)()()( kvqSqBqRqA

qRqBkwqSqBqRqA

qTqBky +++= , (4.6.5) de unde rezult polinomul caracteristic al SRA:

)()()()()( zSzBzRzAz += . (4.6.6) n continuare va fi proiectat RG-2-DOF astfel nct SRA s satisfac urmtoarele trei condiii de proiectare:

1. Se impune ca f.d.t. n z de la referin la ieirea reglat s aib expresia

)()(

)(zAzB

zHm

mm = , (4.6.7)

n care polinomul )(zAm este stabil i )( grad)( grad zAzAm > . Dac se dorete anularea erorii de reglare n RSC, adic un coeficient de transfer egal cu unitatea de la w la y, aceast condiie se traduce prin

)1()1( mm BA = . (4.6.8)


2. Din relaiile (4.6.6) i (4.6.7) rezult c mABSAR grad)( grad + . Consecina acestei dependene este faptul c n f.d.t. de la w la y trebuie compensate anumite dinamici sub form de poli-zerouri. Aceste dinamici de compensat trebuie s fie stabile i sunt notate cu oA .

3. Singura posibilitate de a renuna la zerourile n bucl deschis aferente relaiei (4.6.5) este reprezentat de compensare. Acest lucru duce la ideea c pot fi compensate doar zerourile stabile aferente polinomului )(qB + . Deci este justificat introducerea factorizrii

)()()( qBqBqB += . (4.6.9) n vederea obinerii unei factorizri unice se presupune c polinomul )(qB + este monic. Prin urmare, este necesar ca zerourile instabile s fie pstrate n )(qH m , adic )(qBm trebuie factorizat sub forma

)()()( qBqBqB mm= . (4.6.10)

Condiiile de proiectare 1, 2 i 3 impuse anterior pot fi ndeplinite dac se aleg urmtoarele dependene ntre polinoame:

ommo ABTRBRBAA === ++ , , , (4.6.11) dintre care R i S trebuie s verifice urmtoarea ecuaie diofantic:

SBRAAA mo+= . (4.6.12)

S-a obinut astfel compensarea polinomului +B n raport cu dependena (4.6.5). Acest lucru este demonstrat n relaia urmtoare care pune n eviden noua dependen intrare-ieire asigurat de SRA:

).()(

)()()(

kvAARBkw

AB

kvAA

RBBBBkw

ABB

ABABky

mom

m

mom

m

o

o

+=

=+=+

++

++

(4.6.13)

Din relaia (4.6.13) se poate constata c se efectueaz compensarea factorilor oAB+ din f.d.t.

n z de la referin la ieirea reglat. Polinomul stabil oA este cunoscut sub denumirea de polinom de observare deoarece poate fi interpretat ca fiind dinamica unui observator care reconstruiete strile interne ale procesului. Pe de alt parte, dinamica f.d.t. n z de la perturbaia v la ieirea reglat este caracterizat de polinomul mo AA . n cazul n care se dorete separarea proiectrii pe cele dou cerine de proiectare menionate la nceputul subcapitolului, sunt necesare rspunsuri diferite ale SRA n raport cu modificrile lui w i v. Aceasta duce la posibilitatea nlocuirii polinomului mA cu polinomul cA n cel de-al doilea termen din (4.6.13). nlocuirea poate fi realizat prin modificarea polionoamelor specifice regulatorului sub forma

commm AABTSASRBAR === + , , , (4.6.14) unde R i S trebuie s verifice urmtoarea ecuaie diofantic:

SBRAAA co+= . (4.6.15)

De data aceasta pentru SRA se obine dependena intrare-ieire

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.6 Sisteme de reglare automat cu dou grade de libertate 155

).()(

)()()(

)()()(

kvAARBkw

AB

kvSBRA

RBABAB

kwA

BBSBRAB

AAB

kvBSAR

BRkwBSAR

BTky

com

m

m

m

m

mco

++

++

+=

=+++=

=+++=

(4.6.16)

Pn la acest moment au fost efectuate calcule i au fost determinate dependenele intrare-ieire aferente SRA care s conduc la satisfacerea condiiilor de proiectare. n cele ce urmeaz vor fi prezentate aspecte care conduc la garantarea existenei unei soluii a problemei de proiectare a SRA. Astfel, polinoamele specifice RG-2-DOF trebuie determinate ca soluii ale unei / unor ecuaii diofantice (4.6.12) i / sau (4.6.15). Existena unei soluii a ecuaiei diofantice depinde de gradele polinoamelor i de existena unor factori comuni ntre polinoamele implicate. Considernd forma general a unei ecuaii diofantice

CBYAX =+ , (4.6.17) aceasta are cel puin o soluie dac i numai dac printre divizorii lui C se afl cel mai mare divizor comun al polinoamelor A i B, adic CBA |),( . Dac exist o soluie },{ 00 YX a ecuaiei (4.6.17), atunci notnd cu Q un polinom arbitrar care este de asemenea soluie a ecuaiei (4.6.17), se obin dependenele

QAYYQBXX =+= 00 , . (4.6.18) Concluzionnd, odat ce a fost obinut o soluie, pot fi determinate oricte alte soluii. Totui, ecuaia (4.6.17) admite soluie unic dac BX grad grad < sau AY grad grad < . Din punct de vedere numeric rezolvarea ecuaiei diofantice (4.6.17) se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaii liniare. n cazul ecuaiilor diofantice (4.6.12) i (4.6.15) utilizate n metoda alocrii polilor trebuie introduse restricii legate de necesitatea realizabilitii fizice a RG-2-DOF. Acestea sunt cunoscute sub denumirea de condiie de cauzalitate. Condiia, prezentat n relaia (4.6.19), se refer la relaii ntre gradele polinoamelor R, S i T:

TR grad grad , SR grad grad . (4.6.19) Pe de alt parte, sistemul nchis trebuie s aib acelai timp mort, eventual un timp mort mai mare dect cel al sistemului deschis, ceea ce implic o alt condiie de cauzalitate:

dBABA mm = grad grad grad grad , (4.6.20) n care *Nd este timpul mort al procesului condus. Concluzionnd aspectele prezentate anterior n metoda de proiectare a RG-2-DOF prin alocarea polilor, din motive de simplitate a implementrii este de dorit obinerea acelei soluii a ecuaiei (4.6.6) care conduce la RG-2-DOF cauzal avnd cel mai mic grad posibil. ntruct modelul PC trebuie s fie cauzal, este necesar ca AB grad grad . ns regulatorul trebuie s fie de asemenea cauzal, ceea ce se traduce prin RS grad grad . Prin urmare, se dorete gsirea soluiei pentru care se obine cel mai mic posibil S grad . Pe de alt parte, din condiia de soluie unic aferent ecuaiei diofantice, rezult

AS grad grad < . n baza tuturor restriciilor anterioare privind gradele, acceptnd c nA = grad , soluia de grad minim va corespunde la

12 grad ,1 grad grad grad grad ==== nnATRS o . (4.6.21)


Deci, soluia de grad minim aferent metodei de proiectare prin alocarea polilor pentru cm AA = este sintetizat sub forma setului de condiii

condiii legate de grad:

. grad grad,1 grad grad grad

,1 grad grad grad

nAABAA

nTRS

m

o

======

+ (4.6.22)

(4.6.11), unde polinoamele R i S trebuie s verifice (4.6.12). Exemplul 4.6.1: Se consider procesul condus motor de curent continuu modelat prin f.d.t.

(4.6.23) utilizat n probleme de reglare a turaiei:

)1(

)( += ssksH PP . (4.6.23)

Se cere s se proiecteze un RG-2-DOF. Soluie: Discretiznd cu perioada de eantionare Te n prezena ZOH, rezult f.d.t. n z a procesului sub forma

e

T

TeT

eT

PP TeeT

beaTekKzAzB

azzbzKzH

e

eee

+==+==

=

1

)1(1 , ),1( ,

)()(

))(1()()( .

(4.6.24) Poate fi observat faptul c )0,1(b , adic zeroul se afl pe semiaxa real negativ n interiorul cercului centrat n origine i de raz unitate. Se impune pentru nceput un comportament dorit al SRA (sistemului nchis) caracterizat prin f.d.t. n z

)()()1()(

212

21

zAzB

pzpzppzzH

m

mm =++

++= . (4.6.25)

Se presupune c numitorul corespunde discretizrii unui polinom de gradul 2, 22 2 ++ ss , cu pulsaia proprie 1sec 1 = i coeficientul / factorul de amortizare 7.0= , care asigur pentru SRA cu timp continuu un suprareglaj de aproximativ 4%. ns f.d.t. )(zH P are zeroul bz = care nu apare n )(zH m . Deci, pentru a realiza specificaiile impuse prin (4.6.25) este necesar compensarea acestui zero, bz = . Aceasta se traduce prin

KzBbzzB == + )( ,)( . (4.6.26) iar din (4.6.10), (4.6.25) i (4.6.26) rezult

K

ppzzBzB

zB mm)1(

)()(

)( 21 ++== . (4.6.27)

n continuare se alege polinomul de observare cu expresia simpl

1)( =zAo . (4.6.28) Considernd

100 , szsSrR +== . (4.6.29) se obine urmtoarea identitate polinomial ca particularizare a ecuaiei diofantice (4.6.12):

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.6 Sisteme de reglare automat cu dou grade de libertate 157

212

100 )())(1( pzpzszsKrazz ++=++ . (4.6.30) Identificarea coeficienilor de aceleai grade n z conduce la expresiile parametrilor de acordare ai regulatorului cu dou grade de libertate:

K

apsK

pasr =++== 21100 ,1 ,1 . (4.6.31) Utiliznd (4.6.11), rezult celelalte dou polinoame ale RG-2-DOF:

ztK

ppzzAzBzTbzzRzBzR om 021)1(

)()()( ,)()()( =++==== + . (4.6.32) n final, legea de reglare cu dou grade de libertate va obine expresia particular aferent relaiei (4.6.2):

11100 += kkkkk ubysyswtu . (4.6.33) n fig.4.6.3 (a) sunt prezentate rezultate de simulare numeric a comportrii SRA proiectat considernd perioada de eantionare sec 25.0=eT sub forma rspunsului indicial. La nivelul comenzii poate fi observat prezena fenomenului de ripple datorit compensrii zeroului situate pe semiaxa real negativ. Fenomenul nu este observat la momentele de eantionare. Fenomenul i poate face simit efectul i la nivelul ieirii reglate ntre momentele de eantionare n situaia alegerii unei perioade de eantionare de valoare mrit. Reducerea valorii perioadei de eantionare poate avea drept efect reducerea amplitudinii oscilaiilor datorate fenomenului de ripple.

Fig.4.6.3. Relativ la exemplul 4.6.1: rspunsul SRA a turaiei unui motor utiliznd RG-2-DOF n

situaiile n care zeroul procesului este compensat (a) respectiv nu este compensat (b). Linia punctat este utilizat pentru referin iar linia continu pentru ieirea reglat i comand.

n continuare se presupune c pentru sistemul nchis se impune f.d.t.

)()(

11)(

212

21

zAzB

pzpzbz

bppzH

m

mm =++

++= , (4.6.34)

adic zeroul procesului situat pe semiaxa real negativ este de asemenea i zero al f.d.t. dorite / impuse a SRA (sistemului nchis). Altfel spus, zeroul nu mai este compensat de ctre regulator. Gradul polinomului de observare obine valoarea

11 grad grad grad2 grad = +BAAA mo , (4.6.35)


deci se alege polinomul de observare

zzAo =)( . (4.6.36) Prin urmare, gradele minime ale polinoamelor R i S sunt

11 grad grad ,1 grad grad grad grad ===+= ASAAAR om , (4.6.37) iar (4.6.37) duce la expresiile polinoamelor

),()( ,1)( bzKzBzB == + 101 , szsSrzR +=+= . (4.6.38) Din (4.6.10), (4.6.34) i (4.6.38) rezult

)1(

1)()(

)( 21bKpp

zBzB

zB mm ++== . (4.6.39)

n aceste condiii ecuaia diofantic (4.6.12) devine

)())(())()(1( 212

101 pzpzzszsbzKrzazz ++=+++ . (4.6.39) Identificarea coeficienilor de aceleai grade n z conduce la expresiile parametrilor de acordare

.)1)((

) (

,)1)((

)1)(( ) ( ,

)1)(() (

211

221

021

1

bbaKabbappbas

bbaKbbaapbbabaps

bbaabbappbbr

+++=

++=

+++=

(4.6.40) n final rezult celalte dou polinoame ale RG-2-DOF:

ztbKppzAzBzTrzzRzBzR om 0211 )1(

1)()()( ,)()()( =++==+== + . (4.6.41)

Concluzionnd, legea de reglare cu dou grade de libertate va obine urmtoarea expresie similar relaiei (4.6.33):

111100 = kkkkk urysyswtu . (4.6.42) n fig.4.6.3 (b) este prezentat rspunsul indicial al SRA proiectat. Poate fi observat faptul c evoluia comenzii este mai lin fa de rspunsul din fig.4.6.3 (a). De asemenea, datorit gradului mrit al polinomului )(zAo , evoluia iniial a sistemului este mai lent n comparaie cu fig.4.6.3 (a). n vederea adigurarii rejeciei perturbaiilor constante este necesar introducerea unei componente integratoare (I) n regulator. Introducerea unei componente I n RG-2-DOF (4.6.2) se face prin impunerea n polinomul R a factorului (z 1). Prin urmare, rezult transfomarea ecuaiei diofantice (4.6.12) n

SBRzAAA mo+= )1( . (4.6.43)

Pentru a fi rezolvabil ecuaia (4.6.43), aceast operaie trebuie nsoit de incrementarea cu 1 a gradelor polinoamelor oA i S.

Exemplul 4.6.2: Se consider procesul dublu integrator pentru care se cere s se proiecteze un RG-2-DOF. Se accept c asupra procesului acioneaz o perturbaie aditiv pe ieire (de tip n conform fig.4.6.1 i fig.4.6.2). Soluie: Aplicarea metodei de proiectare a RG-2-DOF prin alocarea polilor se desfoar astfel nct RG-2-DOF s aib component I. Polinomul cA corespunde discretizrii cu o perioad de

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.6 Sisteme de reglare automat cu dou grade de libertate 159 eantionare sec 4.0=eT a unui polinom de gradul 2, 22 2 ccc ss ++ , cu pulsaia proprie

1sec 5.0 =c i factorul de amortizare 1= c , care asigur un rspuns aperiodic critic. Pentru polinomul mA se procedeaz similar, ns cu

1sec 1 =m i 7.0= m . De data aceasta sunt aplicate relaiile de proiectare (4.6.14) i (4.6.15) nsoite de introducerea unei componente I n regulator. n fig.4.6.4 prezentate rezultate de simulare numeric a comportrii SRA cu RG-2-DOF proiectat. Scenariul de simulare este caracterizat de aplicarea unei perturbaii la momentul t = 1 sec, urmat de aplicarea unei referine de tip treapt unitate la momentul t = 18 sec [16]. A fost efectuat proiectarea modelului astfel nct s se obin un rspuns de dou ori mai rapid dect cel aferent rspunsului n raport cu perturbaia.

Fig.4.6.4. Relativ la exemplul 4.6.2: rspunsul SRA destinat unui proces dublu integrator: ieirea

reglat (cu linie continu) i referina (cu linie punctat) (a), comanda (b).

Rspunsul prezentat n fig.4.6.4 demonstreaz faptul c RG-2-DOF proiectat asigur rejecia perturbaiei. Pe de alt parte, a fost realizat separarea proiectrii pe cele dou cerine de proiectare menionate la nceputul subcapitolului; aceast separare a dus la dinamici diferite n rspunsurile SRA n raport cu modificrile referinei i perturbaiei.

4.7. Msura Anti-Windup-Reset Msura Anti-Windup-Reset (AWR, uneori ARW) este destinat limitrii creterii valorii ieirii blocului integrator din structura regulatoarelor cu component I, la intrarea n limitare a ieirii regulatorului (ul). n fig.4.7.1 este prezentat o variant de realizare a msurii AWR, n care NL-1 este blocul de limitare montat pe ieirea regulatorului. Prezena celorlalte dou module de limitare (NL-1 i NL-2) se justific de la aplicaie la aplicaie.

Fig.4.7.1. Variant de realizare a msurii AWR n cazul unui RG-PID ( - eroarea de reglare).


Realizarea n variant analogic a msurii AWR este prezentat n fig.4.7.2. Elementul de limitare NL-1 este realizat n jurul amplificatorului operaional AO6, pentru care se impune ca rezistenele R06 i R16 s fie riguros egale; astfel, se asigur cerina |ul| = |u|.

Fig.4.7.2. Realizarea msurii AWR n varianta de filtru activ (FA) cu amplificatoare operaionale (AO).

Cele dou tensiuni, limitat ul i nelimitat u, se compar prin circuitul AO7:

0717''

07'070707177 / , ),)(/( RRkRRRuuRRu AWRl ===+= . (4.7.1)

Blocul diodelor D81 i D82 montate n antiparalel asigur desensibilizarea schemei de integrare la imprecizii de realizare n circuitul ARW (AWR) i offset. Obinuit, domeniul valorilor lui kAWR este ]100,1.0[AWRk . Valoarea lui kAWR influeneaz (Preitl i Precup, 2001; Preitl .a., 2009):

- timpul de rspuns al msurii AWR; - nivelul cu care ieirea nelimitat (u) depete ieirea limitat (ul): ul = u ul. Realizarea n variant numeric cvasicontinu (CvC) a msurii AWR. n varianta

numeric de implementare a a.r.n. PI (D) se pot imagina strategii eficiente de realizare a msurii AWR pe baza aspectului fenomenologic al problemei. Blocul (modulul) AWR / ARW poate fi:

- n varianta cea mai simpl, dar i cea mai frecvent apelat, un bloc de tip proporional cu f.d.t. kAWR;

- n varianta mai complex, un bloc cu dinamic (obinuit de tip PT1). n continuare vor fi stabilite ecuaiile a.r.n. cu limitare. n regim de limitare, cu |||| , Lkl uu > ,

n care s-a notat cu },{ MmL uuu o valoare unic pentru cele dou limite, se poate scrie: )( ,, kklAWRkkl uuk += . (4.7.2)

Dac kkl uu =, , atunci kkl = , . n consecin, ecuaiile care caracterizeaz a.r.n. cu limitare i msur AWR sunt:

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 4.7 Msura Anti-Windup-Reset 161

.),(

,,

,1

,,

1

klikk

kklAWRkkl

kdkpidkk

kkk

Kxxuuk

KKxuyr

+=+=+=

=

+

(4.7.3)

Schema bloc informaional aferent a.r.n. cu msur AWR este prezentat n fig.4.7.3.

Fig.4.7.3. Schema bloc informaional aferent a.r.n. PID cu msur AWR.

Valoarea coeficientului blocului AWR / ARW, kAWR, poate fi stabilit: - prin experimente de simulare numeric, la o valoare care s dea satisfacie practic; n

acest caz se pune problema alegerii unei valori iniiale, kAWR0; - pe baza unui raionament de funcionalitate care poate oferi baz de calcul pentru

valoarea de referin kAWR0. n acest scop se expliciteaz expresia legii de reglare scris n dou situaii:

o situaie premergtoare intrrii n limitare: 1+= kdkpidkk KKxu ; (4.7.4)

situaia intrrii n limitare: 1,, += kdklpidkkl KKxu ; (4.7.5)

Prin scderea celor dou relaii se obine:

pidkklkkl Kuu /)( ,, += (4.7.6) i corespunztor:

pidAWR Kk /10 = . (4.7.7) Implementarea n pseudocod a algoritmului este

t = tk activare program a.r.n.; citete rk, yk; calculeaz: k = rk yk;

dac k = 0 (prima parcurgere); atunci xk = x0 i -1 = 0; altfel xk = xk;

calculeaz uk = xk + Kpidk Kdk-1; dac uk > uM


atunci ul,k = uM; altfel dac uk < um atunci ul,k = um; altfel ul,k = uk;

transmite ul,k; l,k = k + (ul,k uk)/Kpid; xk = xk + KIl,k; k-1 = k;

program terminat.

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 2.00333 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages false /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 600 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.00167 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/Description >>> setdistillerparams> setpagedevice

Date post:	14-Sep-2015
Category:	Documents
Upload:	moraru
View:	216 times
Download:	0 times

IRA Cap4

Documents