Modelarea proceselor economice 53

Unitatea de învăţare 4

MODELAREA DECIZIILOR MULTICRITERIALE

*ANDRAŞIU, 1986+, [ANDREICA, 1998], [FILIP, 2002], [FILIP, 2007], [KAUFMANN, 1987], [IONESCU, 1999], *RAŢIU, 2001+

Obiectiv Obiectivul acestui capitol este de a defini şi construi modele pentru elaborarea şi analiza deciziilor multicriteriale de tip multiatribut. Se prezintă diferite moduri de normalizare a matricei consecinţelor şi trei metode clasice de ordonare a variantelor – metoda ponderării simple aditive, metoda Topsis şi metoda diametrelor, pentru care se construiesc algoritmii corespunzători. Este abordată şi problema determinării coeficienţilor de importanţă.

Competenţele unităţii de învăţare Parcurgerea acestei unităţi permite înțelegerea procesului de elaborare a deciziilor multicriteriale de tip multiatribut. Algoritmii de calcul prezentaţi pentru determinarea coeficienţilor de importanţă şi ordonarea variantelor, precum şi studiile de caz rezolvate şi analizate reprezintă modele aplicabile direct în procesul decizional sau care pot ajuta decidentul în realizarea altor modele.

Durata medie de parcurgere a acestei unităţi de învăţare este de 6 ore.

Problemele de decizie multicriterială presupun alegerea unei alternative sau a unui plan de acţiune în condiţiile existenţei mai multor obiective, care trebuie analizate. Obiectivele pot fi de naturi diferite şi în contradicţie unul cu altul. Majoritatea situaţiilor cu care ne confruntăm în viaţa reală implică existenţa unor decizii multicriteriale. De exemplu, pentru alegerea unui automobil, din clasa de preţ pe care o avem în vedere, încercăm satisfacerea simultană a mai multor obiective: preţ cât mai mic, fiabilitate mare, consum mic, cost de de întreţinere redus, siguranţa în caz de accident cât mai mare... Un alt exemplu: o firmă pentru stabilirea programului optim de producţie poate lua în considerare mai multe obiective în acelaşi timp: costuri de producţie mici, venituri cât mai mari, satisfacerea cât mai bună a cererii,... Din exemplele descrise se pot distinge două tipuri de modele de decizie multicriterială:

1. Modele de decizie multiatribut – sunt modele cu un număr limitat (discret) de alternative (variante). Se pune problema alegerii alternativei (variantei) optime dintr-o mulţime finită de alternative care se compară între ele în raport cu mai multe criterii (atribute) sau ordonarea tuturor variantelor în raport cu criteriile considerate. Fiecare alternativă este caracterizată în raport cu fiecare atribut

54 Dorin Lixăndroiu

cantitativ (numeric) sau calitativ (nenumeric). Fiecare atribut are un anumit scop: maxim sau minim. Atributele pot avea importanţe diferite pentru decident.

2. Modele de decizie multiobiectiv – sunt modele cu un număr infinit de alternative (variante). Situaţiile decizionale generează modele de decizie care urmăresc maximizarea sau minimizarea simultană a unor funcţii de mai multe variabile. Variabilele sunt supuse unor sisteme de restricţii care sunt în general formulate sub forma unor inegalităţi sau egalităţi. Se pune problema determinării valorilor variabilelor care optimizează sistemul de funcţii obiectiv. Rezolvarea acestor modele face obiectul unor capitole speciale ale programării matematice.

MODELE DE DECIZIE MULTIATRIBUT O problemă de de decizie multiatribut are următoarele elemente:

V = { V1, V2, V3,…, Vm } - mulţimea variantelor (alternativelor) C = { C1, C2, C3,…, Cn } - mulţimea criteriilor (atributelor) A = {aij}, i=1,2…,m, j=1,2,…,n - matricea consecinţelor (aij reprezintă valoarea

variantei Vi pentru criteriul Cj ). În situaţia în care nu toate criteriile sunt la fel de importante, se pot evalua coeficienţii de importanţă ai fiecărui criteriu. Notăm cu:

P = { p1, p2, p3,…, pn } - mulţimea coeficienţilor de importanţă asociaţi criteriilor. În general se consideră:

n

jjp

1

1

Matricea consecinţelor va fi de forma:

Criterii (atribute) Alternative (variante)

C1 C2 . . . . Cj . . . . . Cn

V1

V2 .... Vi

…. Vm

a11 a12 . . . . a1j . . . . . a1n a21 a22 . . . . a2j . . . . . a2n ai1 ai2 . . . . aij . . . . . ain

am1 am2 . . . amj . . . . amn

Coeficienţii de importanţă p1 p2 . . . . pj . . . . . pn

Modelarea proceselor economice 55

Normalizarea matricei consecinţelor Valorile atributelor cantitative din matricea consecinţelor sunt exprimate în general în unităţi de măsură diferite. Pentru a putea fi comparate acestea trebuie să fie omogene. Procesul de omogenizare se realizează prin normalizare, adică se pune în corespondenţă mulţimea valorilor criteriilor cu mulţimea [0,1]. Pentru atributele calitative se poate considera funcţia de apartenenţă la submulţimea fuzzy definită de atributul respectiv. Normalizarea presupune definirea unei funcţii, care transformă matricea A în matricea R cu elementele cuprinse în intervalul [0,1]. Există mai multe moduri de a realiza normalizarea. Prezentăm în continuare unul dintre acestea:

A → R unde rij [0,1], i=1,2…,m, j=1,2,…,n, definită astfel: - pentru criteriile de maxim:

minmax

min

jj

jijij

aa

aar

(1)

- pentru criteriile de minim:

minmax

max

jj

ijjij

aa

aar

(2)

unde: iji

j aa minmin iar iji

j aa maxmax

Observaţie. În cazul unui criteriu de maxim, cea mai mare valoare primeşte 1, iar cea mai mică valoare primeşte 0. În cazul unui criteriu de minim, cea mai mică valoare primeşte 1, iar cea mai mare valoare primeşte 0. Evident, celelorlalte valori li se vor asocia prin operaţia de normalizare valori în intervalul (0,1). Importanţa criteriilor Decidentul poate atribui criteriilor coeficienţi de importanţă diferiţi. Notăm aceşti coeficienţi subiectivi cu:

n ,...,, 21 cu

n

jj

1

1 (3)

În afara acestora se poate determina în funcţie de valorile fiecărui criteriu importanţa în sine a criteriului. Pentru estimarea acestor coeficienţi obiectivi, există în literatura de specialitate mai multe metode. Prezentăm în continuare metoda entropiei, care se bazează pe conceptul de entropie informaţională introdus de Claude Shannon în 1948, ca măsură a incertitudinii unei repartiţii de probabilitate discrete simple:

,ln,...,,1

21

m

iiim pppppH mpppH m ln,...,,0 21 (4)

Algoritmul de calcul al coeficienţilor de importanţă obiectivi este:

56 Dorin Lixăndroiu

Pasul 1. Se transformă fiecare element din matricea consecinţelor astfel:

njmi

a

ap

m

iij

ijij ,...,2,1,,...,2,1,

1

(5)

Pasul 2. Se determină entropia jH asociată fiecărui criteriu:

njppm

Hm

iijijj ,...,2,1,ln

ln

1

1

(6)

Avem evident 1,0jH .

Pasul 3. Gradul de diversificare al informaţiei date de valorile criteriului j pentru

diferitele alternative poate fi definit astfel: njHd jj ,...,2,1,1 (7)

Pasul 4. Se calculează coeficienţii de importanţă obiectivi:

nj

d

d

n

jj

jj ,...,2,1,

1

cu

n

jj

1

1 (8)

Observaţie. Agregarea coeficienţilor de importanţă subiectivi cu cei obiectivi presupune calculul unor ponderi agregate de forma:

njpn

jjj

jjj ,...,2,1,

1

(9)

Variante (alternative) dominate O variantă (alternativă) este dominată dacă există o altă variantă (alternativă) care o depăşeşte (surclasează) pe prima pentru unul sau mai multe atribute şi are valori egale pentru celelalte atribute. De exemplu, în tabelul de mai jos, constatăm că A2 este dominată de A1, deoarece A1 are valori mai bune pentru criteriile (atributele): C1, C2, C5 şi egale cu A2 pentru criteriile C3 şi C4.

C1(min) C2(min) C3(max) C4(min) C5(max)

A1 12500 300 19 5.2 5

A2 13500 500 19 5.2 3

În procesul de decizie, este necesar ca într-o primă etapă să se elimine variantele dominate.

Modelarea proceselor economice 57

1. METODA PONDERĂRII SIMPLE ADITIVE Metoda, după cum arată şi numele, este foarte simplă. Pentru fiecare variantă se calculează o valoare (punctaj) ca medie ponderată a consecinţelor atributelor cu ponderile asociate fiecărui criteriu. Evident, matricea consecinţelor trebuie să fie normalizată. Metoda permite ierarhizarea variantelor în ordinea descrescătoare a valorilor calculate, sau selectarea variantei cu valoarea cea mai mare (varianta optimă). Metoda este compensatorie, deoarece în calculul valorii asociate unei variante, o valoare slabă la un criteriu poate fi compensată de valorile bune obţinute la alte criterii. Algoritmul metodei este următorul: Pasul 1. Se calculează matricea normalizată R, conform relaţiilor (1) şi (2) şi vectorul ponderilor P = (p1, p2, p3,…, pn) Pasul 2. Se defineşte funcţia RVf : şi se calculează:

n

jijji mirpVf

1

,...,2,1, (10)

Pasul 3. Varianta optimă = imi

Vf1

max

2. METODA DIAMETRELOR Pentru ierarhizarea variantelor, metoda ia în calcul gradul de omogenitate al variantei în raport cu toate criteriile. Pentru a evita compensaţiile se definesc două funcţii pe baza cărora se va face ierarhizarea variantelor: o funcţie de apreciere şi o funcţie diametru. Astfel, o variantă este cu atât mai omogenă, cu cât are un diametru mai mic şi este cu atât mai bună, cu cât aprecierea este mai mare. Algoritmul metodei este următorul: Pasul 1. Se defineşte funcţia de apreciere: A : V → R

n

jjjii mipCVlocmVA

1

,...,2,1,, (11)

unde: P = (p1, p2, p3,…, pn) reprezintă vectorul coeficienţilor de importanţă (obiectivi, subiectivi sau agregaţi), iar loc(Vi,Cj) = k, adică valoarea variantei Vi pentru criteriul j ocupă locul k în ierarhia celor m valori asociate criteriului j.

Pasul 2. Se defineşte funcţia diametru: D : V → N

njmiCVlocCVlocVD ji

jji

ji ,...,2,1,,...,2,1,,min,max (12)

Pasul 3. Se calculează funcţia agregată: A&D : V → R

58 Dorin Lixăndroiu

miVDmVA

VDA iii ,...,2,1,

2&

(13)

Pasul 4. Ierarhia variantelor este dată de valorile descrescătoare ale funcţiei A&D.

3. METODA TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) Principiul acestei metode: din valorile variantelor pentru diferitele criterii se construieşte soluţia ideală pozitivă şi soluţia ideală negativă. Variantele se ierarhizează în funcţie de distanţele la cele două soluţii. Pentru a efectua comparaţiile se calculează în funcţie de cele două distanţe o distanţă relativă la soluţia ideală pozitivă. Astfel, cea mai bună variantă va avea distanţa minimă la soluţia ideală pozitivă şi distanţa maximă la soluţia ideală negativă. Algoritmul metodei este următorul: Pasul 1. Se construieşte matricea normalizată njmirR ij ,...,2,1,,...,2,1,

prin normalizare vectorială:

njmi

a

ar

m

iij

ijij ,...,2,1,,...,2,1,

1

2

(14)

Pasul 2. Se construieşte matricea normalizată ponderată ijjijij rpvundenjmivV ,,...,2,1,,...,2,1, (15)

Pasul 3. Se determină soluţia ideală pozitivă Vid şi soluţia ideală negativă Vne,

definite astfel:

idn

ididid VVVV ,...,, 21 nen

nenene VVVV ,...,, 21

- dacă criteriul Cj este de maxim:

ijmi

idj VV

1max iar ij

mi

nej VV

1min (16)

- dacă criteriul Cj este de minim:

ijmi

idj VV

1min iar ij

mi

nej VV

1max (17)

Pasul 4. Se calculează distanţele dintre variante şi soluţia ideală pozitivă, respectiv dintre variante şi soluţia ideală negativă.

n

j

idjij

idi VVd

1

2 iar

n

j

nejij

nei VVd

1

2, ni ,...,2,1 (18)

Pasul 5. Se calculează apropierea relativă de soluţia ideală:

Modelarea proceselor economice 59

nidd

d

dd

de

nei

idi

nei

nei

idi

idiid

i ,...,2,1,1

(19)

rezultă că: 10 idie

Pasul 6. Se realizează o clasificare pe mulţimea V a variantelor în concordanţă

cu valorile descrescătoare ale lui idie calculate la Pasul 5.

STUDIUL DE CAZ Nr. 1 – Alegerea unui automobil O familie analizează mai multe oferte pentru cumpărarea unui automobil. Se decid că alegerea va trebui să îndeplinească mai multe criterii: (C1) preţul cât mai mic, (C2) cheltuielile de întreţinere la 10000 km cât mai mici, (C3) portbagajul şi spaţiul interior să fie cât mai mare (raportat la o scară 1:20), (C4) consumul exprimat în l/100 km cât mai mic, iar (C5) siguranţa oferită în caz de accident cât mai mare (exprimată în stele NCAP pe o scară 1:5). Datele din ofertele pentru 6 modele de automobile sunt transpuse în tabelul 1. Pe ultima linie sunt daţi coeficienţii de importanţă subiectivi, stabiliţi de decident.

C1(min) C2(min) C3(max) C4(min) C5(max)

A1 12500 300 17 5.2 4

A2 13500 500 20 5.5 5

A3 11500 400 18 5.8 3

A4 14500 450 19 6.2 4

A5 18000 350 8 6.8 5

A6 11000 400 16 5.7 3 Coef.import.

subiectivi 0.60 0.15 0.10 0.05 0.10

Tabelul 1 – Matricea consecinţelor şi coeficienţii de importanţă subiectivi

Rezolvare. Observăm că nu există variante (alternative) dominate şi deci în procesul de clasificare vor intra toate modelele de automobile selectate. 0. Calculul coeficienţilor de importanţă obiectivi. Se aplică algoritmul prezentat mai sus (relaţiile 5...8). Pasul 1 al algoritmului de calcul al coeficienţilor de importanţă obiectivi conduce la:

0.154 0.125 0.173 0.148 0.167

0.167 0.208 0.204 0.156 0.208

0.142 0.167 0.184 0.165 0.125

0.179 0.188 0.194 0.176 0.167

0.222 0.146 0.082 0.193 0.208

0.136 0.167 0.163 0.162 0.125

60 Dorin Lixăndroiu

Entropia H asociată fiecărui criteriu se determină conform relaţiei (6): 9882.0,9979.0,9811.0,9927.0,9920.0H

Coeficienţii de importanţă obiectivi calculaţi conform relaţiilor (7) şi (8) sunt: 2445.0,0442.0,3928.0,1527.0,1658.0 (20)

Agregarea coeficienţilor de importanţă subiectivi cu cei obiectivi conduce conform relaţiei (9) la următoarele ponderi: 1299.0,0117.0,2086.0,1216.0,5282.0p (21)

Aplicăm în continuare cele 3 metode prezentate: 1. Metoda ponderării simple aditive Plecând de la matricea consecinţelor (Tabelul 1), se calculează matricea normalizată R, conform relaţiilor (1) şi (2):

0.7857 1.0000 0.7500 1.0000 0.5000

0.6429 0.0000 1.0000 0.8125 1.0000

0.9286 0.5000 0.8333 0.6250 0.0000

0.5000 0.2500 0.9167 0.3750 0.5000

0.0000 0.7500 0.0000 0.0000 1.0000

1.0000 0.5000 0.6667 0.6875 0.0000

Cu relaţia (10) se determină valorile funcţiei f pentru fiecare variantă: F(V1) = 0.7697, F(V2) = 0.6876, F(V3) = 0.7324, F(V4) = 0.5550, F(V5) = 0.2211, F(V6) = 0.7361 Clasificarea variantelor este: V1 > V6 > V3 > V2 > V4 > V5. 2. Metoda diametrelor Plecând de la matricea consecinţelor (Tabelul 1), se construieşte matricea locurilor LOC, unde:

loc(Vi,Cj) = k, adică valoarea variantei Vi pentru criteriul j ocupă locul k în ierarhia celor m valori asociate criteriului j

3 1 4 1 2

4 5 1 2 1

2 3 3 4 3

5 4 2 5 2

6 2 6 6 1

1 3 5 3 3

Se calculează funcţia de apreciere a fiecărei variante A, conform relaţiei (11), funcţia diametru D, conform relaţiei (12) şi funcţia agregată A&D dată de relaţia (13).

Modelarea proceselor economice 61

Rezultatele obţinute sunt:

A(Vi) D(Vi) A&D(Vi)

V1 3.1879 3 3.0939

V2 2.9172 4 2.4586

V3 3.5164 2 3.7582

V4 2.1370 3 2.5685

V5 1.1359 5 1.0679

V6 3.6392 4 2.8196

Clasificarea variantelor este: V3 > V1 > V6 > V4 > V2 > V5. 3. Metoda TOPSIS Plecând de la matricea consecinţelor (Tabelul 1), se calculează matricea normalizată conform relaţiei (14):

0.3725 0.3022 0.4130 0.3604 0.4

0.4023 0.5037 0.4859 0.3812 0.5

0.3427 0.4030 0.4373 0.4020 0.3

0.4321 0.4534 0.4616 0.4297 0.4

0.5364 0.3526 0.1943 0.4713 0.5

0.3278 0.4030 0.3887 0.3951 0.3

Se determină matricea normalizată ponderată conform relaţiei (15):

min min max min max

0.1967 0.0367 0.0861 0.0042 0.0519

0.2125 0.0612 0.1013 0.0044 0.0649

0.1810 0.0490 0.0912 0.0047 0.0389

0.2282 0.0551 0.0962 0.0050 0.0519

0.2833 0.0428 0.0405 0.0055 0.0649

0.1731 0.0490 0.0810 0.0046 0.0389

Cu relaţiile (16) şi (17) se stabilesc soluţia ideală pozitivă Vid şi soluţia ideală negativă Vne:

Vid 0.1731 0.0367 0.1013 0.0042 0.0649

Vne 0.2833 0.0612 0.0405 0.0055 0.0389

Distanţele dintre variante şi soluţia ideală pozitivă, respectiv dintre variante şi soluţia ideală negativă sunt date de relaţiile (18):

62 Dorin Lixăndroiu

idid ne

id

V1 0.0309 0.1017

V2 0.0463 0.0969

V3 0.0314 0.1148

V4 0.0597 0.0796

V5 0.1260 0.0318

V6 0.0351 0.1180

Apropierea relativă de soluţia ideală va fi dată de relaţia (19):

V1 0.7667

V2 0.6764

V3 0.7849

V4 0.5715

V5 0.2016

V6 0.7705

Clasificarea variantelor este: V3 > V6 > V1 > V2 > V4 > V5. Concluzii. Cele 3 metode conduc la ierahizări diferite dar, apropiate. Astfel dacă vom costrui o sinteză a locurilor ocupate în cele 3 clasamente, rezultă:

Metoda ponderării simple aditivă

Metoda Diametrelor

Metoda

Topsis Punctaj cumulat

V1 1 2 3 6

V2 4 5 4 13

V3 3 1 1 5

V4 5 4 5 14

V5 6 6 6 18

V6 2 3 2 7

Punctajul cumulat se obţine prin însumarea locurilor ocupate de fiecare variantă în cele 3 metode. Se obţine următoarea clasificare a variantelor considerând ordinea crescătoare a

punctajului realizat de fiecare variantă: V3 > V1 > V6 > V2 > V4 > V5. Observăm că în toate metodele prezentate, variantele V1, V3 şi V6 ocupă constant primele 3 locuri, în timp ce variantele V2, V4 şi V5 ocupă ultimele 3 locuri, cu menţiunea că varianta V5 este plasată pe ultimul loc. Decizia finală de alegere a variantei optime aparţine în final decidentului care poate beneficia şi de alte informaţii necuprinse în tabela consecinţelor analizată.

Modelarea proceselor economice 63

Rezumat Modele de decizie multiatribut – sunt modele cu un număr limitat (discret)

de alternative (variante). Se pune problema alegerii alternativei (variantei) optime dintr-o mulţime finită de alternative care se compară între ele în raport cu mai multe criterii (atribute) sau ordonarea tuturor variantelor în raport cu criteriile considerate.

Fiecare alternativă este caracterizată în raport cu fiecare atribut cantitativ

(numeric) sau calitativ (nenumeric). Fiecare atribut are un anumit scop: maxim sau minim. Atributele pot avea importanţe diferite pentru decident.

Valorile atributelor cantitative din matricea consecinţelor sunt exprimate în

general în unităţi de măsură diferite. Pentru a putea fi comparate acestea trebuie să fie omogene. Procesul de omogenizare se realizează prin normalizare, adică se pune în corespondenţă mulţimea valorilor criteriilor cu mulţimea [0,1]. Pentru atributele calitative se poate considera funcţia de apartenenţă la submulţimea fuzzy definită de atributul respectiv.

Normalizarea presupune definirea unei funcţii, care transformă matricea A

în matricea R cu elementele cuprinse în intervalul [0,1]. Există mai multe moduri de a realiza normalizarea.

În afara coeficienţilor subiectivi se poate determina în funcţie de valorile

fiecărui criteriu importanţa în sine a criteriului. Pentru estimarea acestor coeficienţi obiectivi, există în literatura de specialitate mai multe metode. În curs este prezentat un algoritm de calcul al coeficienţilor obiectivi bazat pe metoda entropiei, care utilizează conceptul de entropie informaţională.

Pentru cele trei metode clasice de ordonare a variantelor prezentate –

metoda ponderării simple aditive, metoda Topsis şi metoda diametrelor, se construiesc algoritmii corespunzători şi se aplică pe studiul de caz - Alegerea unui automobil.

Decizia finală de alegere a variantei optime dintre variantele selectate prin

cele trei metode, aparţine în final decidentului, care poate beneficia şi de alte informaţii necuprinse în tabela consecinţelor analizată.

64 Dorin Lixăndroiu

Test de evaluare a cunoştinţelor 1. Studiul de caz nr. 2 - Alegerea obiectivelor. Într-un an electoral administraţia publică locală îşi propune relizarea mai multor obiective (de exemplu: stadion, sală de concerte, parc de distracţii, telegondolă, restaurare centru istoric, complex sportiv acoperit (bazin olimpic şi sală de sport)). Sursa bugetară fiind limitată se doreşte ierarhizarea variantelor în funcţie de mai multe criterii (de exemplu: costul investiţiei, impactul la populaţie, numărul de beneficiari, cheltuieli de întreţinere,...). Construiţi matricea consecinţelor, atribuiţi ponderi subiective criteriilor şi realizaţi o analiză multicriterială după modelul celei prezentate în Studiul de caz nr. 1 – Alegerea unui automobil.

2. Studiul de caz nr. 3 – Alegerea locaţiei. O firmă de autoturisme doreşte să delocalizeze construcţia unui nou model de autoturism. Are de ales între şase ţări: T1, T2,..., T6. Analiza de alegere a variantei optime evidenţiază mai multe criterii: C1. costurile de realizare a noii capacităţi de producţie (min) – în milioane euro; C2. costul forţei de muncă din ţara respectivă (min) – nivelul salariului minim, raportat la puterea de cumpărare; C3. nivelul de pregătire tehnică al noilor angajaţi (max) – se consideră o scală de la 1..20; C4. nivelul infrastructurii din ţara respectivă, pentru a realiza un transport eficient al noilor produse spre punctele de export (max) - se consideră o scală de la 1..10; C5. poziţia geografică a ţării, în raport cu principalele pieţe de desfacere, facilităţi de transport (max) - se consideră o scală de la 1..10; C6. riscul de ţară (riscul asociat afacerii) (min) - se consideră o scală de la 1..5; C7. nivelul facilităţilor oferite la nivel guvernamental şi al administraţiei locale pentru dezvoltarea afacerii (max) - se consideră o scală de la 1..10; C8. nivelul cultural şi de civilizaţie (max) - se consideră o scală de la 1..10; C9. nivelul corupţiei din ţara respectivă (min) - se consideră o scală de la 1..10. Se cere: a) Stabiliţi tabela consecinţelor şi atribuiţi pentru cele 9 criterii valori coeficienţilor de importanţă subiectivi. b) Determinaţi coeficienţii de importanţă obiectivi. c) Aplicaţi cele 3 metode prezentate de ierarhizare a variantelor : metoda ponderării simple aditive, metoda Topsis şi metoda diametrelor considerând coeficienţii de importanţă agregaţi (subiectivi şi obiectivi).

d) Realizaţi o analiză multicriterială pentru stabilirea celor mai bune variante.