Elemente de dinamica fluidelor reale

Un fluid este o substanţă care este continuu deformabilă atunci când

acţionează asupra lui o forţă din exterior pe unitatea de suprafaţă.

Un fluid este omogen dacă are aceleaşi proprietăţi în toate punctele. Un

fluid este izotrop dacă are aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile.

Un fluid în curgere este caracterizat atât prin distribuţia vitezelor (câmp

vectorial) cât şi prin distribuţia presiunilor (câmp scalar).Curgere în regim staţionar sau în regim permanent: viteza şi presiunea

nu depind de timp.Liniile de curent sunt traiectoriile particulelor fluidului de-a lungul

cărora vectorul viteză este tangent la linie.

Totalitatea liniilor de curent formează un tub de curent.

Fluid ideal este acel fluid incompresibil şi lipsit de vâscozitate

PROPRIETĂŢI FLUIDE

Vâscozitatea fluidelor ideale

Curgerea este laminară (în straturi paralele), adică liniile de curent sunt bine

conturate şi nu se intersectează între ele dacă fiecare particulă de fluid rămâne

mereu în interiorul aceluiaşi tub de curent iar viteza nu este prea mare.

Curgerea devine turbulentă, neregulată, se formează vârtejuri la viteze mari.

Apar forţe de frecare internă sau de viscozitate la contactul dintre straturile de

fluid.

Fenomenul de frecare apare şi între fluid şi pereţii tubului prin care curge.

Fluidul din imediata vecinătate a pereţilor are viteza cea mai mică şi încetineşte

la rândul său straturile de fluid cu care este în contact. Apariţia acestor forţe,

situate în planele de alunecare, se explică prin variaţia de viteză de deplasare

a straturilor.

η este coeficientul de vâscozitate dinamică, dependent de natura fluidului şi de

temperatură

1.Vâscozitatea fluidelor reale. Numărul lui Reynolds.

In cazul fluidelor reale aflate în mişcare apar forţe tangenţiale la straturile de fluid,

numite forţe de vâscozitate, care se opun alunecării relative a straturilor vecine de fluid.

Forţele de vâscozitate fac ca o parte din energia fluidului să se consume pentru lucrul

mecanic de frecare, ceea ce duce la încălzirea fluidului. De aceea la scierea ecuaţiei lui Bernoulli(

vezi semestrul 1) pentru fluidele reale, trebuie să se ţină seama de lucrul mecanic al forţelor de

frecare (Wr):2 2

r1 21 21 2

Wv v+ + g = + + g +p pz z

2 2 V

relaţia arată că presiunea totală se micşorează în lungul conductei, întrucât lucrul mecanic

corespunzător unităţii de volum rW > 0

V

Deci, pentru două secţiuni S1 şi S2 rezultă:2 2

1 21 21 2

v v+ + g > + + g p pz z

2 2

(1.1)

(1.2)

Forţele de vâscozitate sau, pe scurt,

vâscozitatea unui fluid se caracterizează prin

coeficientul de vâscozitate dinamică η, care poate fi

introdus astfel: fie două plăci paralele A şi B, de

suprafaţă S, între care se găseşte un strat de fluid

(fig.1) unde placa A este fixă, iar placa B se

deplasează cu viteza . Straturile de fluid se menţin

paralele şi se deplasează cu viteze de la 0 la .v

vFig.1.1

O astfel de curgere se numeşte curgere laminară. Datorită vitezei diferite între straturi,

apare un gradient de viteză perpendicular pe direcţia de curgere. Forţa necesară pentru a

menţine cuegerea cu viteza =const. este proporţională cu gradientul de viteză şi cu suprafaţa S a

plăcilor:

dv

drF

v

dvF = S

dr (1.3)

Intre forţa care întreţine curgerea şi forţa de rezistenţă existând relaţia , rezultă:F rF rF = - F

r

dv = - SF

dr (1.4)

Semnul minus arată că forţa de frecare se opune curgerii fluidului. Coeficientul de

proporţionalitate η din relaţiile de mai sus se numeşte coeficient de vâscozitate dinamică depinzând

de natura fluidului şi de temperatură.

Din relaţia (4) se observă că vâscozitatea dinamică η poate fi considerată ca fiind forţa

de frecare a unui strat, exercitată asupra altui strat, pe unitatea de suprafaţă, când gradientul

modulului vitezei în direcţia perpendiculară la suprafaţă este egal cu unitatea.

Unitatea de măsură a vâscozităţii dinamice în S.I. se poate obţine din formula (4), fiind:

Kg[ ] = = decaPoise

s m

(1.5)

Iniţial, în sistemul C.G.S., unitatea de măsură a lui η era Poise-ul:

g1 Poise= 1

s cm(1.6)

Se observă că:Kg g

= 10 = 10 Poise = 1 decaPoises m s cm

(1.7)

ceea ce justifică denumirea de decaPoise.

In practică se utilizează de multe ori noţiunea de vâscozitate cinematică:

=

(1.8)

unde ρ este densitatea fluidului.

Inversul vâscozităţii dinamice dă fluiditatea:

1 = (1.9)

Unităţile de măsură se pot găsi uşor pentru fiecare dintre aceste mărimi.

Gazele au o vâscozitate mult mai mică decât lichidele, dar nu zero.De exemplu, la

t=20C, şi .-7

aer

Kg = 181 10

m s

_

-7

ap

Kg = 10050 10

m s

Dacă viteza unui fluid care curge într-o conductă depăşeşte o anumită valoare critică (ce

depinde de proprietăţile fluidului şi diametrul tubului) curgerea nu mai este laminară. In interiorul

fluidului se formează vârtejuri, care produc o mare rezistenţă la curgere. O curgere de acest tip se

numeşte turbulentă. Experienţa arată că mişcarea unui fluid printr-un tub sau o conductă este laminară

sau turbulentă în funcţie de valoarea unei expresii care depinde de patru parametri, numită numărul

lui Reynolds, şi definită:

R

v D = N

(1.10)

unde ρ este densitatea fluidului, v este viteza medie de înaintare, η-vâscozitatea, iar D-diametrul

tubului. Numărul lui Reynolds este o mărime adimensională. Experinţa arată că dacă NR<2000,

curgerea este laminară, iar pentru NR>3000, curgerea este turbulentă. In regiunea de tranziţie curgerea

este instabilă şi poate trece de la un tip la altul.

REZOLVARE

Condiţia de curgere laminară este ca NR<2000. Din , rezultă că:R

D v = _ 2000N

D _ 2000 v

Dar2

Q 4Qv = =

S D

Din aceste două relaţii rezultă:4Q

D _ 2000

PROBLEMA 1

Prin secţiunea transversală a unui tub trec într-o secundă 200 cm3 de apă.

Vâscozitatea dinamică a apei fiind egală , să se calculeze pentru ce valoare

limită a diametrului tubului mişcarea apei va fi laminară.

-3 Kg 10m s

www.imt.ro/Microdiag/pics/Canal%2520drept%2520Fluid%2520Laminar%2520Viscosity.jpg&imgrefurl=http://www.imt.ro/Microdiag/rezultate.html&usg=__gs_Jr8f1elNJzx

fJqYXj_xG1Wic=&h=672&w=894&sz=79&hl=en&start=21&sig2=OhqLevYZFlsKhul4LUk2QA&zoom=1&tbnid=LxNFFEMRmnmybM:&tbnh=110&tbnw=146&ei=ed6OTfq6

N5DRsgaz6ayKCg&prev=/search%3Fq%3Daplicatii%2Bvascozitate%26hl%3Den%26sa%3DX%26biw%3D1319%26bih%3D693%26tbm%3Disch&itbs=1

2.Curgerea laminară a fluidelor reale prin conducte. Legea lui Poiseulle.

Să considerăm o conductă orizontală, de secţiune circulară constantă, prin care se

deplasează un fluid real, în mişcare laminară. Considerăm coaxial cu conducta, un tub de curent

cilindric, de rază r şi lungime l (fig.2).

Fig. 2.1

Asupra bazelor acestui tub acţionează forţele de presiune determinate de presiunile p1 şi

p2. Pe suprafaţa laterală a tubului de curent se exercită forţele de frecare internă. La echilibru, când

luidul se mişcă cu o anumită viteză, putem scrie:

2

1 2

dv( - ) = - 2 r lp p r

dr (2.1)

unde s-a ţinut seama de faptul că mişcarea fluidului are o simetrie axială, adică v=v(x,r). Din

expresia anterioară rezultă că:

p-dv = r dr

2 l

(2.2)

Considerând vâscozitatea dinamică η constantă, integrăm:

0 R

v r

p- dv = r dr

2 l

(2.3)

şi obţinem: 2 22 2

2

p p R rv = ( - ) = (1- )R r

4 l 4 l R

(2.4)

Se observă că într-o curgere

laminară printr-o conductă orizontală, de

secţiune constantă, viteza este distribuită sub

forma unui paraboloid de revoluţie (fig.2.2).

Fig. 2.2

Viteza fluidului are valoarea maximă pe axul conductei (pentru r=0) dată de

exepresia:

max

2 p R = v

4 l

(2.5)

Debitul volumic al fluidului prin

conductă se poate determina cu ajutorul

schemei din figura 2.3. Considerăm o

secţiune inelară de grosime dr, situată la

distanţa r faţă de axa conductei, pentru care

viteza v este aproximativ constantă.

Fig. 2.3

Prin integrarea debitului volumic elementar

se obţine debitul volumic total prin conductă:

v = v dS = v 2 r drdQ (2.6)

R

4

v

0

p = 2 v r dr = Q R

8 l

(2.7)

Această relaţie, cunoscută sub denumirea de legea lui Poiseuille, arată că debitul

volumic este proporţional cu diferenţa de presiune Δp pe unitatea de lungime a conductei şi

cu puterea a patra a razei conductei.

Volumul de fluid care străbate în timpul t o secţiune a conductei va fi:

4

v

pV = t = tQ R

8 l

(2.8)

relaţie ce poate fi folosită la determinarea lui η.

PROBLEMA 2Cum poate fi folosită relaţia (2.8) la determinarea practică a vâscozităţii dinamice (η)?

REZOLVARE

Determinarea vâscozităţii dinamice se poate face cu vâscozimetrul Ostwald (fig.2.4).

Fig.2.4

Deoarece diferenţa de presiune se micşorează pe

durata curgerii lichidului din volumul V, nu se poate folosi direct

formula (2.8). Se poate însă determina vâscozitatea dinamică η a

unui lichid prin compararea cu a altui lichid, considerat etalon.

Pentru aceasta se compară timpul de curgere al lichidului etalon

cu cel al lichidului de studiat. Scriind relaţia (2.8) pentru lichidul

etalon (η1) şi pentru lichidul probă (η2) şi făcând raportul lor se

obţine:

p = g h

2 2

1 1

tp =

tp

Deoarece lichidele au densităţi diferite rezultă pentru vâscozitate relaţia:1 21 2

= g h , = g hp p

222 1

11

t =

t

sau pentru vâscozitatea relativă22 2

r

11 1

t = =

t

3.Mişcarea corpurilor rigide prin fluidele reale.

Experimental s-a pus în evidenţă faptul că un corp care se mişcă într-un fluid vâscos este

supus unei forţe care se opune mişcării. Sub o formă generală, forţa de frecare cu care acţionează

fluidul asupra corpului poate fi scrisă astfel:

r = -ksf(v)F (3.1)unde k este o constantă ce depinde de densitatea fluidului, S este aria maximă a secţiunii transversale

a corpului, iar este o funcţie de viteza relativă a corpului faţă de fluid.f(v)

Constanta k poate fi considerată ca fiind

constantă pentru o formă geometrică dată, pentru valori ale

numărului Reynolds cuprinse într-un domeniu mare. Ca

exemplu în acest sens, în figura 3.1 se indică valorile lui k

(ân funcţie de densitatea fluidului) pentru diferite obstacole

cu simetrie de revoluţie, toate de acelaşi diametru, valabile

pentru intervalul 5000<NR<50000. Fig. 3.1

In cazul vitezelor mici, f(v)=v. Un caz particular, deosebit de interesant din punct de vedere practic,

este cel studiat de către Stokes şi anume mişcarea unei sfere omogene printr-un fluid vâscos. In

această situaţie, forţa de frecare este:r = - 6 r vF (3.2)

unde r este raza sferei, -viteza ei relativă, iar η este vâcozitatea dinamică a fluidului.

In cazul corpurilor care se deplasează cu viteze medii prin fluid, funcţia din formula

(3.1) are forma f(v)=v2 , iar la viteze supersonice f(v)=v3.

v

PROBLEMA 3

Să se folosească formula (3.2) pentru determinarea vâscozităţii dinamice (η) a unui lichid.

REZOLVARE

In acest sens se dă drumul într-un lichid unui corp sferic cu densitatea (fig.3.2)c l >

Fig.3.2

Mişcarea sferei este accelerată până este îndeplinită condiţia:

3 3

c l

4 4 r r g = g + 6 r v,

3 3

când mişcarea sferei devine uniformă.

Măsurând viteza de deplasare, vâscozitatea lichidului se calculează

cu formula:

2

c l

2 g r = ( - )

9 v

Acest invelis poliuretanic bicomponent este proiectat sa fie aplicat prin

pulverizare. Inainte de utilizare componentele A si B trebuie sa fie

omogenizate si incalzite separat pentru a obtine o vascozitate potrivita a

amestecului si a pulverizarii. Diagrama de mai sus prezinta profilul

vascozitate-temperatura.http://www.rasini-poliuretanice.ro/catalog-produse/kryptanate-%E2%80%93-invelis-hibrid-

poliuretan-poliuree-pentru-protectia-metalelor/

http://www.google.com/search?hl=en&biw=1319&bih=693&site=search&tbm=isch&sa=1&q=visc

ozity&aq=f&aqi=&aql=&oq=

http://www.google.com/search?hl=en&tbm=isch&sa=X&ei=vOKOTb_BG4jxsgaZrLD-

CQ&ved=0CDQQvwUoAQ&q=viscosity+modeling+shaking&spell=1&biw=1319&bih=693

Tectonic plate motion (arrows) and viscosity arising from global mantle flow simulation. Plate

boundaries, which can be seen as narrow red lines are resolved using an adaptively refined

mesh with 1km local resolution. Shown are the Pacific and the Australian tectonic plates and

the New Hebrides and Tonga microplates. (Credit: Georg Stadler, UT Austin)

Computer models shake up plate

tectonics

http://www.futurity.org/earth-environment/computer-models-shake-up-plate-tectonic/