Carte Mecanica Fluidelor

UNIVERSITATEA PETROL – GAZE DIN PLOIEŞTI DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ ŞI CU FRECVENŢĂ REDUSĂ

MMIIHHAAII AADDRRIIAANN AALLBBUULLEESSCCUU

MECANICA FLUIDELOR

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului Și Sportului

UNIVERSITATEA PETROL-GAZE DIN PLOIEŞTI

DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ ŞI CU FRECVENŢĂ REDUSĂ

MIHAI ADRIAN ALBULESCU

MECANICA FLUIDELOR

2012

CUVÂNT ÎNAINTE

Cursul de mecanica fluidelor se adresează studenţilor Secţiei de învăţământ la distanţă

şi cu frecvenţă redusă a Facultăţii de Inginerie Mecanică şi Electrică, fiind un instrument de

lucru strict necesar pentru pregătirea acestora în vederea susţinerii examenului la această

disciplină. Cartea de faţă trebuie să suplinească, în mare măsură, prezenţa profesorului în

faţa studenţilor, firească pentru cei care frecventează formele tradiţionale de învăţământ

superior. Elaborarea ei a constituit o mare provocare şi, în acelaşi timp, o mare răspundere,

de care sperăm să ne fi achitat cu succes. Verdictul îl vor da, cu siguranţă, beneficiarii

acestui curs, prin însuşirea noţiunilor pe care le cuprinde.

Cartea este structurată în 8 unități de învățare. Parcurgerea lucrării trebuie făcută în

ordinea numerotării acestora, deoarece abordarea problemelor tratate impune înţelegerea

prealabilă a unor noţiuni prezentate în capitole anterioare, la care se fac, de altfel, frecvente

referiri în cadrul textului.

Fiecare unitate de învățare se încheie cu teste de evaluare, la care studentul este invitat

să răspundă după însuşirea noţiunilor incluse în unitatea respectivă, pentru a se convinge că

a înţeles şi a reţinut, în esenţă, materialul parcurs.

Doresc ca studenţii care vor folosi acest manual să poată învăţa mecanica fluidelor la

fel de bine ca şi colegii lor de la învăţământul clasic şi le urez mult succes.

Autorul

CUPRINS

pag. UI 1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Obiectul și locul cursului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Obiectivele cursului, structura şi criteriile de evaluare . . . . . . . . . . 6 1.3 Scurt istoric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Mărimi fizice şi unităţi de măsură. Sistemul Internaţional . . . . . . . 9

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 UI 2 Principalele proprietăţi ale fluidelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Lichide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Gaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Câteva caracteristici fizice ale petrolului şi produselor petroliere . . . . 19 2.4 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 UI 3 Cinematica fluidelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


3.1 Variabilele lui Lagrange şi variabilele lui Euler . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Derivata materială a integralei de volum . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Elementele cinematice ale mişcării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Câmpul vitezelor. Clasificarea mişcărilor . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.2 Traiectorie. Linie de curent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Suprafaţă de curent. Tub de curent . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.4 Flux hidrodinamic. Debit. Viteză medie . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3.5 Câmpul vârtejurilor. Linie de vârtej. . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.6 Circulaţia vitezei. Teorema lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.7 Mişcarea irotaţională. Potenţial de viteze. . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Câmpul de viteze în vecinătatea unui punct . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 Conservarea masei. Ecuaţia de continuitate. . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.1 Ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent. . . . . . . . . . 42 3.6 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 UI 4 Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


4.1 Starea de eforturi în interiorul unui fluid. Tensorul tensiunilor . . . . . 47 4.2 Ecuaţia de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Expresia generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Mecanica fluidelor

4.2.2 Simetria tensorului tensiunilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.3 Legea constitutivă. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.4 Ecuaţia Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Ecuaţia impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Expresia generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.2 Ecuaţia impulsului pentru un tub de curent. . . . . . . . . . . . 58

4.4 Ecuaţia momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Expresia generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.2 Ecuaţia momentului cinetic pentru un tub de curent . . . . . . . 60 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

UI 5 Statica fluidelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Ecuaţia de echilibru a fluidelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.1 Condiţiile de echilibru pentru forţe. . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.2 Legea de repartiţie a presiunii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Echilibrul în câmp gravitaţional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.1 Cazul gazului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.2 Cazul lichidului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.3 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Forţa hidrostatică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.1 Cazul suprafeţelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.2 Cazul suprafeţelor de formă oarecare . . . . . . . . . . . . . . 71

5.4 Corpuri imerse. Legea lui Arhimede. . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Echilibrul şi stabilitatea corpurilor plutitoare . . . . . . . . . . . . 73 5.6 Echilibrul relativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6.1 Ecuaţia echilibrului relativ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.2 Cazul unui lichid aflat într-un vas în translaţie . . . . . . . . . . 78 5.6.3 Cazul unui lichid aflat într-un vas în rotaţie. . . . . . . . . . . . 79

5.7 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

UI 6. Dinamica fluidelor ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.1 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor ideale. . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.2 Ecuaţiile intrinseci de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3 Integrarea ecuaţiei de mişcare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4 Ecuaţia lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.4.1 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.5 Ecuaţia lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.5.1 Ecuaţia lui Bernoulli pentru lichide . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli pentru lichide . . 98 6.5.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru gaze . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5.4 Aplicaţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Cuprins 3

6.6 Mişcarea unidimensională a gazelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.6.1 Propagarea micilor perturbaţii. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.6.2 Viteza izotermică şi viteza izentropică a sunetului. . . . . . . . . 108 6.6.3 Numărul lui Mach. Clasificarea mişcărilor . . . . . . . . . . . . 109 6.6.4 Parametrii de repaus ai unui gaz. Influenţa compresibilităţii . . . . 110 6.6.5 Parametrii critici ai unui gaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6.6 Propagarea marilor perturbaţii. Unda de şoc plană. . . . . . . . . 114 6.6.7 Mişcarea unui gaz într-un tub de secţiune variabilă. . . . . . . . 117 6.6.8 Aplicaţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

UI 7. Dinamica fluidelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.1 Metode de cercetare în mecanica fluidelor. Teoria similitudinii . . 125 7.2 Soluţii exacte ale mişcării laminare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.1 Mişcarea laminară între două plăci plane paralele . . . . . . . 128 7.2.2 Mişcarea laminară într-un tub de secţiune circulară . . . . . . . . 129

7.3 Mişcarea turbulentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.3.1 Mişcarea turbulentă în apropierea unui perete solid . . . . . . . . 135 7.3.2 Mişcarea turbulentă prin tuburi cu secţiune circulară . . . . . . . 137

7.4 Pierderi locale de energie. Rezistenţele locale . . . . . . . . . . . . . . 145 7.5 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 UI 8 Calculul hidraulic al conductelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153


8.1 Calculul conductelor pentru lichide . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.1.1 Alegerea traseului conducte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.1.2 Calculul hidraulic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.1.3 Calculul grafic al conductelor pentru lichide . . . . . . . . . 158

8.2 Calculul căderii de presiune într-o conductă de gaze. . . . . . . . 161 8.2.1 Presiunea medie într-o conductă de gaze . . . . . . . . . . . 163 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Anexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

1 INTRODUCERE

1.1. OBIECTUL ȘI LOCUL CURSULUI

Mecanica fluidelor studiază problemele referitoare la echilibrul şi mişcarea fluidelor precum şi la interacţiunea de natură mecanică între fluide şi corpurile solide cu care acestea vin în contact, în stare de repaus sau de mişcare. Sub aspectul ei teoretic, mecanica fluidelor este o ramură a fizicii. Ca urmare, ea apare ca o disciplină legată de un material de natură experimentală, obţinut prin observarea sistematică a fenomenelor specifice. Interpretarea cantitativă a acestora, precum şi generalizările corespunzătoare, fac necesară utilizarea unui aparat matematic elevat din care amintim calculul vectorial, teoria câmpului, teoria funcţiilor de o variabilă complexă şi cea a ecuaţiilor cu derivate parţiale. Mecanica fluidelor se integrează în mecanica generală, din care preia legile fundamentale ale mişcării şi echilibrului corpurilor. De asemenea din mecanica corpurilor deformabile preia ecuaţiile generale de mişcare ale acestor corpuri. În sfârşit, în deosebi în cazul studiului mişcării gazelor se utilizează unele rezultate din termodinamică. Pentru a putea da un conţinut mai precis obiectului acestui curs, este necesar să definim, în primul rând, noţiunea de fluid. Sub denumirea de fluide sunt cuprinse lichidele şi gazele, corpuri care, spre deosebire de solide, capătă în timpul mişcării deformaţii oricât de mari. Lichidele se deosebesc de solide prin mobilitatea deosebit de mare a particulelor lor. Forţele necesare pentru a produce o deformaţie finită a unui lichid devin practic nule atunci când deformarea se efectuează foarte încet. Numai în cazul deformaţiilor repezi se dezvoltă şi în lichide rezistenţe apreciabile, care dispar însă complet atunci când mişcarea încetează. Un lichid în repaus nu opune nici o rezistenţă forţelor care tind să-i modifice forma. Lichidele se deosebesc de gaze prin aceea că opun o rezistenţă foarte mare la acţiunile care tind să le schimbe volumul. Ele au deci o compresibilitate foarte redusă. În schimb, gazele sunt complet lipsite de coeziune şi foarte compresibile. În anumite condiţii de mişcare, dacă vitezele sunt mici, se poate neglija compresibilitatea gazelor, dar, îndată ce viteza depăşeşte o anumită limită, influenţa compresibilităţii devine însemnată şi trebuie luată în seamă. Gazele se comportă, în general, perfect elastic şi umplu în întregime volumul care le este pus la dispoziţie.

6 Mecanica f lu idelor

Mişcarea unui fluid fiind un fenomen complex; luarea în consideraţie a tuturor factorilor care intervin în cursul acesteia ar conduce la o modelare matematică deosebit de complicată. Trebuie deci operate unele simplificări, fenomenul real fiind aproximat prin eliminarea factorilor neesenţiali, păstrându-se doar cei ai căror roluri este determinant. Prima aproximare necesară pentru construirea unui model de fluid constă în adoptarea ipotezei continuităţii. Mecanica fluidelor studiază fenomene care se produc la scară macroscopică, iar la această scară fluidele se comportă ca şi când materia ar fi distribuită continuu. De aceea se poate admite ipoteza continuităţii conform căreia un fluid are o structură continuă la orice nivel, eventual cu excepţia unor puncte, curbe sau suprafeţe de discontinuitate. Prin urmare, atât fluidele cât şi solidele deformabile, elastic sau plastic, pot fi reunite într-o categorie mai largă, aceea a mediilor continui deformabile. De aici rezultă că ecuaţiile generale de mişcare vor fi aceleaşi pentru toate aceste medii, diferenţierea dintre fluide şi solidele deformabile realizându-se aşa cum se arată mai departe. Menţionăm de asemenea faptul că la gaze, dacă presiunea este foarte mică, ipoteza continuităţii încetează să mai fie valabilă. A doua aproximare necesară constă în adoptarea ipotezei izotropiei, adică acceptarea faptului că la un mediu continuu deformabil toate proprietăţile sale au aceleaşi valori după orice direcţie. Prin urmare, modelul de fluid pe care îl vom utiliza este acela de mediu continuu deformabil şi izotrop.

1.2. OBIECTIVELE CURSULUI, STRUCTURA ŞI CRITERIILE DE EVALUARE

Cursul de Mecanica fluidelor are drept obiective însuşirea de către cursanţi a unor competenţe generale privind formarea lor ca ingineri de petrol, precum şi a unor competenţe specifice acestei discipline: însuşirea noţiunilor şi fenomenelor asociate Mecanicii fluidelor, înţelegerea problemelor teoretice şi aplicative ale domeniului studiat, formarea şi dezvoltarea abilităţii de comunicare în explicarea şi interpretarea corectă a fenomenelor din Mecanica fluidelor, utilizând pentru prezentare şi analiză mijloace de expunere tradiţionale, dar şi moderne, formarea capacităţii de aplicare a cunoştinţelor însuşite în activitatea practică, folosirea adecvată şi corectă a limbajului specific mecanicii fluidelor, dezvoltarea unor relaţii inter-personale profesor-cursant care să permită desfăşurarea în condiţii optime a procesului de învăţare. Cursul este structurat în 8 unităţi de învăţare (UI), care cuprind principalele aspecte ale echilibrului şi mişcării fluidelor în natură şi în tehnică. Fiecare unitate de învăţare are obiective şi sarcini de învăţare specifice. Sarcinile de învăţare constau din teste de autoevaluare şi aplicaţii

In t roducere 7

numerice (probleme). Pe parcursul studiului acestei discipline, cursantul va susţine 4 lucrări de verificare, la sfârşitul unităţilor de învăţare 2, 5, 7 şi 8. Criteriile de evaluare a cunoştinţelor cursanţilor şi ponderile acestora în evaluarea finală sunt următoarele: media notelor acordate pentru activitate la laborator (15%), media notelor obţinute la lucrările de verificare (15%), nota acordată pentru frecvenţa la activităţile didactice asistate (10%) şi nota acordată la examinarea finală (60%).

1.3. SCURT ISTORIC

Primele cunoştinţe de mecanica fluidelor sunt legate de existenţa unor baraje, apeducte, diguri de protecţie împotriva inundaţiilor, canalizări, băi publice, care au fost construite acum patru – cinci mii de ani în Asia Mică, India, Egipt, China, iar mai târziu în Grecia şi Roma antică. Aceste realizări, asociate cu cele din domeniul navigaţiei, conferă hidraulicii, în această lungă perioadă, un caracter predominant experimental. Preocupările de sistematizare a cunoştinţelor de mecanica fluidelor în antichitate sunt dovedite de scurtul tratat privind plutirea corpurilor, scris de ARHIMEDE (287…212 î.e.n.), căruia îi aparţine cunoscutul principiu care-i poartă numele. De la lucrarea lui ARHIMEDE şi până la tratatul privind mişcarea şi măsurarea apei, elaborat de LEONARDO DA VINCI (1452…1519), nu se cunoaşte apariţia altei lucrări de mecanica fluidelor care să ateste preocupări ştiinţifice în acest domeniu. Conturarea mecanicii fluidelor pe bază de cunoştinţe teoretice şi experimentale are loc începând abia din secolul al XVII-lea, după perioada Renaşterii, când ideile lui ARHIMEDE au fost reluate şi duse mai departe de: SIMON STEVIN (1548…1620), care a descoperit legile presiunii lichidelor asupra pereţilor vaselor, GALILEO GALILEI (1564…1642), care a revizuit concepţia veche a vidului, iar prin punerea bazelor mecanicii a facilitat descoperirea legilor mecanicii fluidelor, EVANGHELISTA TORRICELLI (1608…1647), discipolul lui GALILEI, care a descoperit legea scurgerii lichidelor prin orificii, BLAISE PASCAL (1623…1662), care a stabilit principiul transmiterii presiunii într-un fluid şi a inventat barometrul. Fondatorul mecanicii clasice, ISAAC NEWTON (1642…1727), are meritul de a fi impulsionat dinamica fluidelor reale prin stabilirea legilor vâscozităţii lichidelor şi rezistenţei opuse de un fluid în repaus unui corp în mişcare. Bazele ştiinţifice ale dinamicii fluidelor perfecte incompresibile sunt puse în secolul al XVIII-lea de către LEONARD EULER (1707…1783) şi DANIEL BERNOULLI (1700…1782). L. EULER, om de ştiinţă elveţian, şi-a desfăşurat activitatea în mare parte la Sankt Petersburg şi a avut realizări ştiinţifice remarcabile în matematică, mecanică şi fizică, care au fost concretizate în domeniul mecanicii fluidelor prin stabilirea ecuaţiilor


fundamentale ale staticii şi dinamicii fluidelor perfecte, demonstrarea ecuaţiei de continuitate şi formularea teoremei impulsului, pe care a aplicat-o roţilor hidraulice, creând teoria turbinelor. D. BERNOULLI a publicat, în anul 1738, primul tratat de mecanica fluidelor şi a stabilit ecuaţia energiei pentru un fluid în mişcare staţionară, cunoscută sub numele de ecuaţia lui Bernoulli. Contribuţii importante la dezvoltarea mecanicii fluidelor în secolul al XVIII-lea au fost aduse şi de alte personalităţi. Astfel, JEAN LE ROND D’ALAMBERT (1717…1783) a stabilit principiul echilibrului dinamic al unui fluid şi paradoxul rezultantei nule a presiunilor pe un cilindru aflat în mişcare de translaţie într-un fluid, HENRY DE PITÔT (1695…1761) a construit un aparat pentru măsurarea presiunii totale a unui curent de fluid; GIOVANI BATISTA VENTURI (1746…1822) a cercetat mişcarea fluidelor prin ajutaje şi a realizat debitmetrul care-i poartă numele, JEAN CHARLES BORDA (1733…1799) a stabilit formula rezistenţei locale la o variaţie bruscă de secţiune a conductei, ANTOINE CHÉZY (1718…1798) a preconizat relaţia de calcul a vitezei medii a lichidului într-un canal, JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736…1813) a formulat, independent de EULER, ecuaţiile fundamentale ale dinamicii fluidelor perfecte şi a publicat tratatul de mecanică analitică. Dinamica fluidelor perfecte cunoaşte o mare dezvoltare în secolul al XIX-lea, paralel cu apariţia dinamicii fluidelor vâscoase şi a dinamicii gazelor. Prin contribuţiile lor din această perioadă se remarcă GEORGE GABRIEL STOKES (1819…1903), care, independent de LOUIS MARIE HENRI NAVIER (1785…1836) şi SIMÉON DENIS POISSON (1781…1840), a stabilit ecuaţiile mişcării laminare a lichidelor, JEAN LOUIS POISEUILLE (1799…1869), care a cercetat mişcarea lichidelor în tuburi capilare şi a stabilit legea mişcării laminare a unui lichid într-un tub, HENRI PHILIBERT GASPARD DARCY (1803…1858), care a studiat mişcarea apei în medii poroase şi a stabilit legea liniară a filtraţiei, OSBORNE REYNOLDS (1824…1917), care a studiat mişcările laminară şi turbulentă ale lichidelor în tuburi şi a stabilit criteriul separării regimului laminar de cel turbulent, WILLIAM FROUDE (1810…1879), care a studiat pe modele comportarea navelor şi a formulat criteriul de similitudine în cazul preponderenţei forţelor gravitaţionale şi de inerţie. Începutul secolului XX este marcat în hidraulică prin formularea ecuaţiilor generale ale mişcării apelor subterane de către NICOLAI E. JUKOVSKI (1847…1921), crearea teoriei aripii de avion de către N. E. JUKOVSKI, W. KUTTA, LUDWIG PRANDTL, S. A. CIAPLÂGHIN, elaborarea teoriei stratului limită de către L. PRANDTL; contribuţii la teoria turbulenţei aduse de G. I. TAY1OR, L. PRANDTL, THEODOR VON KÁRMÁN, A. H. KOLMOGOROV, cercetarea mişcării fluidelor în conducte netede realizată de PAUL RICHARD HEINRICH BLASIUS, precum şi stabilirea diagramei rezistenţelor hidraulice în conducte de către JOHANN NIKURADZE. În România, primele lucrări importante din domeniul mecanicii

In t roducere 9

fluidelor sunt cele ale lui V. VÂLCOVICI din 1913, prezentate în teza sa de doctorat susţinută la Göttingen. Primul doctorat susţinut în ţară în acest domeniu este cel al lui A. BĂRG1ĂZAN în 1940 la Timişoara, iar primul tratat românesc de mecanica fluidelor aparţine lui D. GHERMANI şi a fost publicat în anul 1942. Contribuţii însemnate la dezvoltarea mecanicii fluidelor au adus, de asemenea, GEORGE CONSTANTINESCU (prin elaborarea teoriei sonicităţii) şi HENRY COANDĂ. Cercetările întreprinse de CAIUS IACOB, EIIE CARAFOLI, DUMITRU DUMITRESCU, CRISTEA MATEESCU, TEODOR OROVEANU, VECESLAV HARNAJ, ŞTEFAN I. GHEORGHIŢĂ ŞI DUMITRU CIOC au dus la îmbogăţirea cunoştinţelor în domeniul mecanicii fluidelor.

1.4. MĂRIMI FIZICE ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ. SISTEMUL INTERNAŢIONAL

Mărimea este un atribut al elementelor unei mulţimi de obiecte sau fenomene cărora li se poate asocia un criteriu de comparaţie. Măsurarea unei mărimi constă în operaţia de comparare a ei cu o altă mărime de aceeaşi natură, luată drept unitate de măsură. Mărimea m asociată unei mulţimi de obiecte sau fenomene fizice de aceeaşi natură se numeşte mărime fizică şi se poate exprima ca produsul dintre un număr adimensional m şi unitatea ei de măsură u, astfel umm = . (1.1) Unităţile de măsură se organizează în sisteme, definite pe baza unui număr de mărimi numite fundamentale. În cadrul mecanicii, pentru a defini un sistem coerent de unităţi de măsură, sunt suficiente trei mărimi fundamentale. Astfel, sistemele CGS şi MKfS au ca mărimi fundamentale lungime, masa şi timpul, respectiv lungimea, forţa şi timpul, iar ca unităţi de măsură ale acestora: centimetrul, gramul masă şi secunda, respectiv metrul, kilogramul forţă şi secunda. Mărimile care nu sunt fundamentale se numesc mărimi derivate. Ţara noastră, ca membră a Convenţiei metrului din 1883, a adoptat Sistemul Internaţional de unităţi de măsură (SI) printre primele ţări din lume, în anul 1961. Ca urmare, la noi, sistemele CGS şi tehnic (MKfS) au devenit sisteme tolerate. Începutul organizării Sistemului internaţional de unităţi de măsură are la bază propunerea de unificare a măsurilor şi greutăţilor făcută în 1790, în Franţa, de deputatul TALLEYRAND şi aprobată de Academia de Ştiinţe, la 8 mai 1790. O comisie constituită din LAGRANGE, LAPLACE, MONGE ŞI CONDORCET a hotărât, la 19 martie 1791, asupra stabilirii metrului (de la metron – măsură în limba greacă) ca unitate de măsură a lungimii egală cu a patruzecea milioană parte din meridianul terestru.


În cadrul evoluţiei lui, sistemul zecimal metric şi-a început etapele de internaţionalizare cu Comisia internaţională a metrului, din 8…13 august 1872, care s-a întrunit din nou la 20 mai 1875 şi a obţinut, prin 17 ţări semnatare, înfiinţarea Biroului internaţional de măsuri şi greutăţi (BIPM) şi organizarea Conferinţei generale (CGPM) ale cărei decizii sunt executate de Comitetul internaţional (CIPM). Sistemul internaţional de unităţi de măsură a fost pus la punct între 1948 (la a 9-a CGPM) şi 1960 (la a 11-a CGPM). În anul 1960 s-a adoptat denumirea prescurtată SI, după care acest sistem s-a îmbogăţit la fiecare conferinţă CGPM cu noi definiţii sau denumiri de unităţi de măsură. Unitatea de măsură a presiunii N/m2 a primit, la cea de a 14-a CGPM, din anul 1971, denumirea de pascal (Pa). La a 16-a CGPM (1979) s-a redefinit candela şi s-a introdus unitatea de măsură sievert. Sistemul SI cuprinde, la această dată, şapte unităţi de măsură fundamentale, prezentate în tabelul 1.1, şi două unităţi de măsură suplimentare, radianul (rad) pentru unghiul plan şi respectiv steradianul (sr) pentru unghiul solid.

Tabelul 1.1. Unităţi de măsură fundamentale

Mărimea Unitatea în SI

fizică Denumirea Simbolul

lungimea metru m masa kilogram kg

timpul secundă s intensitatea curentului

electric amper A

temperatura termodinamică kelvin K cantitatea de substanţă kilomol kmol intensitatea luminoasă candelă cd

Evoluţia sistemului SI pune în evidenţă caracterul dinamic, evolutiv, al unui sistem care caută să se adapteze noilor necesităţi ale ştiinţei şi tehnicii. Sistemul Internaţional este un sistem coerent, ceea ce înseamnă că produsul sau câtul a două unităţi de măsură dă direct unitatea mărimii rezultante. Astfel, raportul dintre unităţile de masă şi volum dă unitatea densităţii. Unităţile de măsură ale mărimilor derivate se obţin ca expresii algebrice sub formă de produse de puteri ale unităţilor de măsură fundamentale şi suplimentare, multiplicate cu coeficientul numeric unu. Anumite unităţi de măsură derivate au denumiri specifice, care sunt prezentate în tabelul 1.2.

In t roducere 11

Tabelul 1.2. Unităţi de măsură derivate

Mărimea fizică

Unitatea de măsură SI

Denumire Simbolul Expresia în alte unităţi SI

Expresia în unităţi SI

fundamentale frecvenţa Hertz Hz — s–1 forţa Newton N — kg·m·s–2 presiunea, tensiunea mecanică Pascal Pa N/m2 kg·m–1·s–2

energia, lucrul mecanic, cantitatea de căldură

Joule J N·m kg·m2·s–2

puterea, fluxul energetic Watt W J/s kg·m2·s–3

cantitatea de electricitate, sarcina electrică

Coulomb C — A·s

potenţial electric, tensiune electrică, tensiune electromotoare

Volt V W/A kg·m2·s–3·A–1

rezistenţa electrică Ohm W/A2 kg·m2·s–2·A–2 inducţia magnetică Tesla T Wb/m2 kg·s–2·A–1

temperatura Celsius grad Celsius °C — K

În anexa 1 sunt prezentate valorile factorilor de conversiune a unor unităţi de măsură în altele, unde litera E (exponent) este un simbol de două cifre, precedate de semnele + sau –, şi reprezintă puterea lui 10 cu care trebuie multiplicat numărul respectiv. Prin prefixele prezentate în tabelul 1.3 se pot forma multiplii şi submultiplii zecimali ai unităţilor de măsură din SI.

Tabelul 1.3. Multiplii şi submultiplii unităţilor de măsură Factor de

multiplicare Prefixul Simbolul Factor de multiplicare Prefixul Simbolul

1018 exa E 10–1 deci d 1015 penta P 10–2 centi c 1012 tera T 10–3 mili m 109 giga G 10–6 micro 106 mega M 10–9 nano n 103 kilo k 10–12 pico P 102 hecto h 10–15 femto f 10 deca da 10–18 atto a


Teste de evaluare

1. Care sunt principalele obiective ale cursului de mecanica fluidelor, în contextul legăturilor cu alte discipline ?

2. Jalonaţi evoluţia mecanicii fluidelor, începând cu perioada preponderent experimentală.

3. Ce sisteme de unităţi de măsură cunoaşteţi şi care sunt particularităţile acestora ?

2 . PRINCIPALELE PROPRIETĂŢ I ALE FLUIDELOR

Cuprins

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Lichide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 2.2 Gaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Câteva caracteristici fizice ale petrolului şi produselor petroliere 19 2.4 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Obiective Această unitate de învăţare are drept scop înţelegerea şi însuşirea noţiunilor legate de definirea fluidelor, clasificarea lor pe baza mai multor criterii, precum şi de principalele proprietăţi fizice ale fluidelor. Timp de studiu individual: 6 ore. Rezumat Fluidele sunt corpurile care-şi schimbă forma fără a opune rezistenţe apreciabile la deformarea lor. Ele se împart în lichide şi gaze. Fluidele pot fi monofazice (caz în care sunt omogene), sau multifazice(pseudoomogene sau eterogene). Există fluide monocomponente sau multicomponente, după cum sunt formate din una sau mai multe substanţe chimice. Două sau mai multe lichide aflate în contact pot fi miscibile sau nemiscibile. Fluidele independente de timp care, în stare de repaus, prezintă tensiuni tangenţiale nule, iar în stare de mişcare laminară au tensiunile tangenţiale proporţionale cu gradientul vitezei se numesc fluide newtoniene. Restul fluidelor vâscoase şi vâscoelastice se numesc fluide nenewtoniene. Principalele proprietăţi fizice ale fluidelor sunt densitatea, vâscozitatea și compresibilitatea. Densitatea ρ a unui fluid este raportul dintre masa fluidului şi volumul ocupat de acesta. Inversul densităţii se numeşte volum specific. Greutatea specifică este raportul dintre greutatea fluidului şi volumul ocupat de acesta. Densitatea gazelor poate fi estimată din ecuaţia de stare a gazelor reale, în care factorul de abatere de la legea gazelor perfecte se determină în funcţie de presiunea redusă şi temperatura redusă.

14 Mecanica fluidelor Densitatea lichidelor şi variaţia acesteia cu temperatura sunt dependente de structura moleculară. Densitatea lichidelor la temperatură constantă se exprimă în funcţie de coeficientul de compresibilitate. Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a opune rezistenţă la deformarea lor. Se poate exprima cantitativ prin coeficientul de vâscozitate dinamică sau coeficientul de vâscozitate cinematică. Compresibilitatea este proprietatea corpurilor de a-şi micşora volumul sub acţiunea forţelor exterioare de compresiune. Se caracterizează cantitativ prin coeficientul de compresibilitate. Lichidele sunt fluide foarte puţin compresibile. Un lichid poate fi asimilat cu un fluid incompresibil dacă viteza de propagare a sunetului în acel lichid este infinită.

* * * Fluidele sunt substanţe care se deformează continuu sub acţiunea forţelor, oricât de mici ar fi acestea. În definirea fluidelor nu există nici o distincţie între lichide şi gaze, deoarece principiile mecanicii fluidelor sunt aceleaşi pentru lichide şi gaze. În al doilea rând, deşi la presiuni mai mici decât presiunea critică diferenţa între lichid şi gaz este evidentă (lichidul ia forma vasului în care este pus şi are o suprafaţă liberă, iar gazul umple în întregime volumul pus la dispoziţie), la presiuni mai mari decât presiunea critică între lichid şi vaporii săi nu există nici o deosebire evidentă. Lichidele se deosebesc de solide prin mobilitatea mare a particulelor lor, adică printr-o coeziune redusă. Spre deosebire de gaze, lichidele opun o rezistenţă foarte mare la acţiunile care tind să le modifice volumul, având deci o compresibilitate redusă. În schimb, gazele sunt complet lipsite de coeziune şi foarte compresibile, comportându-se perfect elastic. În anumite condiţii de mişcare, dacă vitezele sunt mici, se poate totuşi neglija compresibilitatea gazelor dar, îndată ce viteza depăşeşte o anumită limită, influenţa compresibilităţii devine importantă şi trebuie luată în seamă.

2.1. LICHIDE Omogenitatea şi izotropia Prin lichid omogen se înţelege lichidul a cărui masă volumică, în aceleaşi condiţii de stare fizică, este constantă în fiecare punct din interiorul său. Lichidele în marea majoritate a cazurilor, sunt omogene; ele nu mai pot fi astfel considerate atunci când conţin particule solide sau gaze în suspensie. Un lichid este izotrop atunci când prezintă aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile care pornesc dintr-un punct. Lichidele în repaus sunt izotrope; cele în mişcare prezintă mici abateri de la izotropie, abateri ce pot fi neglijate.

Principalele proprietăţi ale fluidelor 15 Greutatea specifică şi masa specifică (densitatea) Greutatea specifică a unui lichid omogen reprezintă greutatea unităţii de volum şi se notează cu γ

VG

=γ . (2.1)

Masa specifică a unui lichid omogen se defineşte ca masă a unităţii de volum şi se notează cu ρ

VM

=ρ . (2.2)

Rezultă legătura între greutatea specifică şi masa specifică gργ = . (2.3) Masa specifică şi greutatea specifică a lichidelor depind continuu de temperatură, ca funcţii descrescătoare. În această privinţă, apa reprezintă o excepţie, cele două mărimi specifice având maxime la temperatura de 277 K. Variaţia greutăţii specifice a apei pure cu temperatura, la presiunea atmosferică, este destul de mică [(0,5…4)% pentru treapta de temperatură (30…100)°C], aşa cum reiese din valorile redate în tabelul 2.1. Variaţia greutăţii specifice cu presiunea este foarte mică şi se poate neglija. Astfel, pentru apă, la o variaţie a presiunii de 100 bar, corespunde o variaţie a greutăţii specifice de 4,65%. Masa specifică variază, de asemenea, foarte puţin cu presiunea şi temperatura, ceea ce conduce la o neglijare practică a acestor variaţii.

Tabelul 2.1. Proprietăţile apei pure la presiunea atmosferică Temperatura

T[°C] Densitatea ρ, [kg/m3]

Vâscozitatea cinematică, ν, [10–6 m2/s]

Compresibilitate α, [10–10 m2/N]

Modulul de elasticitate, ε, [1010 N/m2]

0 999,9 1,794 5,02 0,199 4 1000,0 1,567 4,94 0,202

10 999,7 1,310 4,82 0,207 20 998,2 1,011 4,65 0,213 30 995,6 0,804 4,56 0,219 40 992,2 0,660 4,27 0,234 60 983,2 0,477 4,08 0,245 80 971,8 0,368 4,15 0,241

Compresibilitatea şi elasticitatea Lichidele sunt corpuri perfect elastice: dacă acţiunea forţei ce comprimă un lichid încetează, acesta revine exact la volumul iniţial datorită lipsei deformaţiilor remanente. Compresibilitatea lichidelor este extrem de redusă, în cele mai multe cazuri se poate face abstracţie de această proprietate considerându-se lichidele ca fiind practic incompresibile. Numeric, compresibilitatea se măsoară cu ajutorul coeficientului de compresibilitate cubică, notat cu litera grecească α, sau cu ajutorul

16 Mecanica fluidelor modulului de elasticitate la compresiune cubică (sau modulul de elasticitate de volum) notat cu litera grecească ε, care este inversul celui precedent ( )αε /1= . Dacă un volum V de lichid se află sub influenţa unei presiuni p şi dacă se notează prin –dV scăderea acestui volum la o creştere dp a presiunii, se poate scrie

pV

V dd1

−=α , (2.4)

sau

VpV

dd1

−==α

ε . (2.5)

Semnul – a fost introdus deoarece presiunea şi volumul variază în sens invers (la o creştere de presiune corespunde o scădere de volum şi la o scădere de presiune o creştere de volum). Considerând că masa M = ρ V = constant, deci 0ddd =+= ρρ VVM , din (2.4) şi respectiv (2.5) se ajunge la:

pd

d1 ρρ

α = , ρ

ρεddp

= . (2.6)

Dacă notăm cu a viteza de propagare a vibraţiilor sonore în interiorul unui mediu omogen, avem

,ddρρ

ε pa == (2.7)

de unde rezultă

21

dd

ap=

ρ .

Deci, dacă fluidul ar fi incompresibil, a = ∞, adică variaţiile de presiune s-ar transmite instantaneu în interiorul acestuia. Prin integrarea ecuaţiei (2.6) între limitele corespunzătoare

∫∫ =p

poo

pdd αρρρ

ρ, (2.8)

unde ρo este densitatea la presiunea po se ajunge la ecuaţia de stare a lichidelor compresibile ( )⋅−= opp

o eαρρ (2.9) care, după dezvoltarea în serie şi reţinerea primilor doi termeni, ajunge la forma ( )[ ]oo pp −+= αρρ 1 , (2.10) valabilă până la presiunea de 500⋅105 N/m2. Vâscozitatea În orice punct al unui lichid în repaus se exercită acţiuni reciproce între particule, sub forma unor eforturi normale pe orice plan de separaţie între particule şi restul lichidului, numite presiuni. În afară de eforturile

Principalele proprietăţi ale fluidelor 17 normale, mişcarea dă naştere la eforturi tangenţiale care frânează mişcarea. Aceste acţiuni tangenţiale care apar atunci când lichidul începe să se mişte constituie aşa numita frecare internă sau vâscozitate. Toate lichidele, ca şi toate gazele de altfel, au o vâscozitate proprie, care constituie o caracteristică fizică a lor ca şi masa specifică şi compresibilitatea.

Frecarea internă se defineşte numeric prin coeficientul de vâscozitate. Pentru a introduce acest coeficient, vom considera două plăci plane paralele S1 şi S2 a căror arie este σ, situate la distanţa

n∆ între ele (figura 2.1), ce închid un spaţiu plin cu lichid. Dacă cele două plane se deplasează cu vitezele v şi v + ∆v, particulele mai rapide vor tinde să antreneze pe cele mai

lente, iar acestea din urmă vor căuta să le frâneze pe primele. După o ipoteză datorată lui Newton, mărimea forţei tangenţiale între aceste două plane este proporţională cu aria σ, cu diferenţa de viteză ∆v şi invers proporţională cu distanţa n∆ .

,vn

F∆∆

= σµ (2.11)

µ fiind coeficientul de vâscozitate dinamică, vâscozitate absolută sau vâscozitate dinamică. Raportul

ρµν = (2.12)

se numeşte vâscozitate cinematică. Inversul vâscozităţii dinamice poartă numele de fluiditate. Pentru simplificare, în studiul mişcării fluidelor se face de multe ori abstracţie de vâscozitate. Fluidele lipsite de vâscozitate se numesc fluide perfecte sau ideale şi este evident că sunt fictive. Fluidele ce respectă legea lui Newton se numesc fluide newtoniene şi pot fi reprezentate printr-o dreaptă în sistemul de coordonate τ (tensiune tangenţială) dv/dz (figura 2.2). În acest sistem axa verticală reprezintă solidul elastic, iar axa orizontală fluidul ideal. Lichidele nenewtoniene (în această categorie intră şi fluidul de foraj) satisfac ecuaţia

,ddnvn µτ = (2.13)

în care vâscozitatea dinamică este o funcţie de tensiunea tangenţială la puterea n şi gradientul de viteză. Vâscozitatea lichidelor variază lent cu presiunea, scăzând liniar cu creşterea presiunii. De asemenea, vâscozitatea lichidelor scade cu creşterea temperaturii (tabelele 2.1 şi 2.2), conform

Figura 2.1

Figura 2.2

18 Mecanica fluidelor relaţiei experimentale a lui Poiseuille

.00022,00337,01

1078,12

6

tt ++

⋅=

−ν (2.14)

Există mai multe metode şi aparate pentru măsurarea vâscozităţii lichidelor. În mod obişnuit, pentru uleiuri se foloseşte vâscozimetrul Engler, cu ajutorul căruia se măsoară vâscozitatea relativă, în raport cu vâscozitatea apei.

Tabelul 2.2. Vâscozitatea cinematică a unor petroluri [10–4 m2/s] Temperatura

T [°C] Cartojani

A Ţicleni Ciureşti Băbeni

B Mosoia

A1 Videle

A3

10 95,083 14,30 490 15 66,251 292 20 52,83 8,12 18,50 83,34 187 25 12,10 119 30 26,80 8,75 5,98 10,95 49,10 81,90 40 19,99 5,66 4,67 8,125 31,60 39,85 50 12,90 4,625 3,70 6,125 21,60 20,80 60 11,69 14,50 12,03

Absorţia Lichidele absorb gazele cu care vin în contact conform legii lui Henry: masa gazului dizolvat în lichide creşte cu presiunea, astfel că volumul gazului se menţine constant. În condiţii normale apa conţine 2% aer. Odată cu scăderea presiunii, gazele ies din soluţie. Dacă presiunea scade mult sub valoarea presiunii atmosferice, degajarea gazelor este bruscă şi formează împreună cu apa o soluţie foarte compresibilă care poate da naştere fenomenului de cavitaţie.

2.2. GAZE

Proprietăţile gazelor sunt comune cu cele ale lichidelor, cu următoarele deosebiri:

• gazele ocupă, prin expansiune, un spaţiu oricât de mare şi au o compresibilitate mare ;

• - volumul gazelor variază foarte mult cu temperatura; • - vâscozitatea gazelor creşte cu temperatura T, conform relaţiei lui

Southerland

23

+=

o

oo T

TT

CTµµ (2.15)

în care µo este valoarea vâscozităţii dinamice la temperatura To, iar C este o constantă ale cărei valori sunt date în tabelul 2.3.

Principalele proprietăţi ale fluidelor 19

Tabelul 2.3 Gaz Aer H2 CH4 C2H6 C3H8 CO2 O2 N2 C 124 73 164 226 322 270 112 102

Comprimarea gazelor se face în conformitate cu legi termodinamice. Pentru gaze perfecte ecuaţia caracteristică este legea lui Mariotte şi Gay – Lussac

TRpp

o

o =

+=

2731 θ

ρρ (2.16)

unde θ este temperatura în °C, R – constanta gazelor perfecte şi T – temperatura absolută în K. Pentru gazele reale, care nu pot fi reduse sub un anumit volum limită, corespunzător unei mase specifice ρe, ecuaţia caracteristcă are forma

+

−=

−

27311111 θ

ρρρρ eoo

epp (2.17)

La mişcările cu viteză mare ale gazelor nu se produce schimb de căldură cu mediul înconjurător şi, în anumite situaţii, se poate admite că procesul este izentropic. Ecuaţia caracteristică este în acest caz

χχ ρρ o

opp= (2.18)

undeχ este exponentul adiabatic, redat pentru câteva gaze în tabelul 1.4.

Tabelul 2.4 Gaz Aer H2 CH4 C2H6 CO2 O2 N2 χ 1,401 1,407 1,310 1,250 1,293 1,396 1,401

În tabelul 2.5 sunt date unele proprietăţi fizice ale aerului la presiunea atmosferică.

Tabelul 2.5 Proprietatea Temperatura [°C]

-20 -10 0 10 20 40 60 80 100 ρ [kg/m3] 1,39 1,34 1,293 1,24 1,20 1,12 1,06 0,99 0,94 106 ν [m2/s] 11,3 12,1 13,0 13,9 14,9 17,0 19,2 21,7 24,5

2.3. CÂTEVA CARACTERISTICI FIZICE ALE PETROLULUI ŞI PRODUSELOR PETROLIERE

Densitatea constituie una din principalele proprietăţi fizice ale produselor petroliere şi ţiţeiului, din care acestea se obţin, dând indicaţii asupra calităţii acestora, ca de exemplu puterea calorică, proprietăţile de ardere, pompabilitatea, etc. Astfel ţiţeiurile parafinoase şi produsele care se

20 Mecanica fluidelor obţin din acestea au densitatea mai mică decât ţiţeiurile asfaltoase şi produsele obţinute din ele. Densitatea produselor petroliere creşte în ordinea: produse lichefiate, benzină uşoară, benzină grea, white spirit, petrol, motorină, uleiuri, păcură. Densitatea produselor petroliere şi a ţiţeiului serveşte la stabilirea cantităţii acestora în cazul în care măsurarea s-a făcut volumetric, folosind relaţia VM ⋅= ρ . Deoarece densitatea produselor petroliere variază mult cu temperatura aceasta se stabileşte la o valoare care pentru ţara noastră este de 20 °C şi se notează prin ρ 20. Buletinele de analiză pentru produsele petroliere lichide dau în mod obişnuit valoarea densităţii relative. Ea reprezintă raportul dintre densitatea produsului şi densitatea unui lichid de referinţă (etalon) aflat într-o stare dată de temperatură şi presiune. Ca produs de referinţă pentru lichide, semisolide şi solide s-a luat apa distilată în vid la presiunea 1,01325·105 N/m2 (760 mm Hg) şi temperatura de 4 °C. Densitatea relativă a lichidelor se notează prin 20

4d . La gaze, produsul de referinţă este aerul la 0 °C. În cazul în care se cunoaşte densitatea relativă a fluidului la o temperatură t, valoarea acesteia la 20 °C se poate calcula cu relaţia ( )204

204 −+= tCdd t (2.19)

în care valorile coeficientului de corecţie C se citesc în tabelul 2.6. Acelaşi coeficient de corecţie se foloseşte şi la determinarea densităţii medii a produselor petroliere lichide atunci când se cunoaşte valoarea ei la 20 °C, cu formula

( ) .201

20

−+=

tCt ρρ (2.20)

Tabelul 2.6

Densitatea relativă la temperatura T,

td4

Coeficientul de corecţie pentru

dilatarea lichidului la o variaţie de 1 °C

Densitatea relativă la temperatura T

td4

Coeficientul de corecţie pentru

dilatarea lichidului la o variaţie de 1 °C

0.6900…0.6999 0.000910 0,8500…0.8599 0.000699 0.7000…0.7099 0.000897 0.8600…0.8699 0.000686 0.7100…0.7199 0.000884 0.8700…0,8799 0.000673 0.7200…0.7299 0.000870 0.8800…0.8899 0.000660 0.7300…0.7399 0.000857 0.8900…0.8999 0.000647 0.7400…0.7499 0.000844 0.9000…0.9099 0.000633 0.7500…0.7599 0.000831 0.9100…0.9199 0.000620 0.7600…0.7699 0.000818 0.9200…0.9299 0.000607 0.7700…0.7799 0.000805 0.9300…0.9399 0.000594 0.7800…0.7899 0.000792 0.9400…0.9499 0.000581


0.7900…0.7999 0.000778 0.0500…0.9599 0.000567 0.8000…0.8099 0.000765 0.9600…0.9699 0.000554 0.8100…0,8199 0.000752 0.9700…0.9799 0.000541 08.200…0.8299 0.000738 0.9800…0.9899 0.000528 0.8300…0.8399 0.000725 0.9900…1.0000 0.000515

În tabelul 2.7 sunt redate valorile densităţii pentru unele hidrocarburi pure la diferite temperaturi:

Tabelul 2.7 Hidro- carbura

Formula chimică

Temperatura [°C] –150 –100 –75 –50 –25 0 20 50 100

Metan CH4 309 302 Etan C2H6 622 561 531 499 462 412 326 Propan C3H8 696 646 619 590 560 528 501 450 Butan C4H10 698 676 652 627 601 579 542 468 Pentan C5H12 737 715 693 670 646 626 596 533 Hexan C6H14 742 721 700 678 659 631 580 Heptan C7H16 761 741 721 701 684 658 612 Octan C8H18 757 738 719 703 678 635 Nonan C9H20 769 733 723 718 684 653 Decan C10H22 762 745 730 697 667

În cazul amestecurilor de produse petroliere, densitatea poate fi stabilită cu relaţia:

,....

....

21

2211

n

nnVVV

VVV++++++

=ρρρ

ρ (2.21)

în care ρ 1, ρ 2, …, ρ n sunt densităţile produselor petroliere determinate la aceeaşi temperatură, iar V1….Vn sunt volumele produselor care se amestecă. Limitele de explozie Limitele de explozie pentru un produs petrolier gazos sunt concentraţiile de combustibili gazoşi în amestec cu aerul sau cu oxigenul ce se încadrează în domeniul în care poate avea loc explozia. Există două limite importante: una inferioară de la care începe să se producă explozia şi alta superioară sub care, de asemenea, se produce explozia. Aceste limite sunt exprimate în procente de volum de gaz inflamabil în amestec cu aerul. Sub o presiune de 50 mmHg gazele naturale nu mai furnizează amestecuri combustibile în aer. Între 50 mmHg şi 200 mmHg are loc o restrângere a limitelor de explozie şi în special limita superioară scade la valori mici. Limitele de explozie sunt modificate prin diluarea amestecului de gaze

22 Mecanica fluidelor inflamabile şi aer. În gaze inerte ca azot, CO2 la un raport mare de gaz inert/gaz inflamabil explozia nu se mai produce. Pentru unele produse limitele sunt prezentate în tabelul 2.8.

Tabelul 2.8 Produsul % în volum Produsul % în volum

Metan 5.0 - 15.0 n Heptan 1.0 - 7.0 Etan 2.0 - 13.0 n Decan 0.70 - 2.6 Etilenă 3.0 Benzen 1.3 - 7.9 Acetilenă 2.5 - 80.0 Benzina 1.3 - 6.0 Propan 2.1 - 9.5 Petrol 1.16 - 6.0 n Butan 1.8 - 8.4 Hidrogen 4.1 - 74.2 n Pentan 1.4 - 8.3 Hidrogen sulfurat 4.3 - 45.2 n Hexan 1.2 - 7.7 Punctul de inflamabilitate al unui produs petrolier este temperatura cea mai joasă, la presiune atmosferică normală, la care, în condiţii determinate, vaporii degajaţi de produs formează împreună cu aerul înconjurător un amestec exploziv. Temperatura de autoaprindere reprezintă temperatura la care nivelul termic atins de un produs este atât de ridicat încât aprinderea are loc fără o sursă de foc exterior. Pentru câteva produse se prezintă, în tabelul 2.9, valorile temperaturii de autoaprindere în aer şi în oxigen.

Tabelul 2.9 Produsul Temperatura de autoaprindere, K

în aer în oxigen

n Pentan 852 565 n Hexan 793 559 n Octan 731 - i Octan 834 - i Decan 837 - Benzen 929 912 Toluen 906 855

Vâscozitatea Vâscozitatea reprezintă o proprietate principală a combustibililor lichizi şi uleiurilor minerale, deoarece de ea depind capacitatea de pompare, procesul de ungere a motoarelor şi maşinilor, randamentul lor, intensitatea uzurii, durata de utilizare etc. Vâscozitatea produselor petroliere lichide şi a petrolului brut se determină în laborator cu vâscozimetre şi variază atât în funcţie de presiune

Principalele proprietăţi ale fluidelor 23 cât şi de temperatură. În calcul se poate considera sau vâscozitatea dinamică µ, sau cea cinematică ν. Variaţia vâscozităţii petrolului brut şi produselor petroliere în funcţie de temperatură este importantă şi trebuie luată în consideraţie atunci când temperatura din conductă prezintă variaţii sensibile în timpul transferului. Relaţiile de calcul utilizate, de natură experimentală, sunt scrise de obicei pentru vâscozitatea cinematică. Cea mai recomandabilă dintre acestea este formula lui C. Walter (A.S.T.M.) ( ) Tba lg8.010lglg 6 +=+ν , (2.22) în care vâscozitatea cinematică este exprimată în m2/s, iar constantele a şi b se determină pentru fiecare caz în parte, fiind necesară cunoaşterea vâscozităţii cinematice la două temperaturi diferite. Variaţia vâscozităţii petrolului brut şi produselor petroliere în funcţie de presiune este destul de redusă şi se neglijează în calculele referitoare la transport. Căldura specifică masică Căldura specifică masică a petrolului brut şi a produselor petroliere prezintă o variaţie în funcţie de temperatură care se poate calcula cu ajutorul formulei lui C.S. Cragoe

1629316277

3835762..

T,,cρ

+= , (2.23)

rezultatul fiind exprimat în J/(kg·K). Conductivitatea Conductivitatea termică a petrolului brut sau a produselor petroliere este dependentă de temperatură, formula, tot de natură experimentală, utilizată în calcule fiind:

1629316277

5103161340..

T,,

ρλ

−⋅−= . (2.24)

Valorile conductivităţii termice calculate cu această formulă sunt exprimate în W/(m·K).

2.4. APLICAŢII Aplicaţia 1. Un volum de 400 cm3 petrol cântăreşte 0,328 kg. Să se afle valoarea greutăţii specifice şi a masei specifice. Se consideră acceleraţia gravitaţională g = 9,81 m/s2. Rezolvare. Conform relaţiilor (1.1) şi (1.3), rezultă

36 N/m28044

104008193280 ,,,

Vgm

VG

=⋅

⋅===

−γ ;

3kg/m820819

28044===

,,

gγρ .

24 Mecanica fluidelor Aplicaţia 2. Un volum de apă V1 = 1 m3 aflat la t = 20 °C şi presiunea

251 N/m1010 ⋅=p se comprimă la presiunea 25

2 N/m10310 ⋅=p . Ştiind că volumul se reduce la V2 = 0,98605 m3, să se determine coeficientul de compresibilitate al lichidului. Rezolvare: Conform relaţiei (2.6), rezultă

./Nm1065,4103101010

98605,01111

dd1 210

5521

21 −⋅=⋅−⋅

−⋅−=

−−

−=−=ppVV

VpV

Vα

Aplicaţia 3. Un cilindru de rază r1 = 120 mm se roteşte concentric în interiorul altui cilindru fix de rază r2 = 122 mm. Ambii cilindri au o lungime l = 0,3 m. Să se determine vâscozitatea lichidului care se află între cilindri dacă, pentru rotirea cu o viteză unghiulară constantă rad/s2πω = este necesar un moment de 1,2 N·m. Rezolvare: Cilindrul interior va avea o viteză tangenţială v1 = r1ω. Deoarece spaţiul dintre cilindri este redus, se poate accepta ipoteza că variaţia gradientului de viteză este liniară. Deci

.1/s99,376120,0122,0

2120,0ddv

12

1 =−

⋅⋅=

−⋅

=πω

rrr

r

Considerăm un cilindru de rază m1210)/2( 21 ,rrrm =+= pentru care scriem egalitatea moment activ – moment rezistent, adică mm rlr, τπ221 = . Rezultă

222 N/m296

301210221

221 ,

,,,

lr,

m=

⋅⋅==

ππτ .

Considerând că fluidul este newtonian, din (2.11) se obţine:

.s/mN1057,1699,376

25,6

dd

23 ⋅⋅=== −

rvτµ .

Aplicaţia 4. Să se determine viteza de propagare a sunetului în aer, la temperatura de 4 °C şi 20 °C, admiţând că legea de variaţie a densităţii aerului în funcţie de presiune este legea adiabatică. Pentru aer, masa kilomolară este M = 29 şi exponentul adiabatic este n = 1,4. Rezolvare: Viteza de propagare a sunetului în aer este dată de formula

ρd

dpa = . (2.7)

Din legea adiabatică Actpn ==

ρ rezultă

ρρ

ρρ

ρpnnpnAp n

nn === −− 11

dd

şi ţinând seama de ecuaţia de stare a gazelor perfecte TMRp

=ρ

se obţine


.M

TRnpna ==ρ

Pentru cele două temperaturi rezultă:

.m/s34329

)2016,273(83144,1

;m/s33429

)416,273(83144,1

20

4

=+⋅⋅

=

=+⋅⋅

=

a

a

Aplicaţia 5. Ştiind că densitatea petrolului de Băbeni B este ρ = 855 kg/m3 la temperatura de 20 °C, să se afle această valoare la 60 °C. Rezolvare: Conform relaţiei (2.20), rezultă

( ) ( ) ,kg/m74,8312060000699,01

855201

320 =−⋅+

=−+

=tCt

ρρ

în care C = 0,000699 din tabelul 2.6.

TESTE DE EVALUARE

1. Care sunt principalele criterii de clasificare a fluidelor ? 2. Precizaţi particularităţile principalelor proprietăţi fizice ale fluidelor. 3. Ce este vâscozitatea? 4. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre lichid și gaz 5. Faceţi o prezentare succintă a densității şi greutății specifice a

fluidelor 6. Ce reprezintă compresibilitatea fluidelor.

3 . CINEMATICA FLUIDELOR

Cuprins Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Variabilele lui Lagrange şi variabilele lui Euler . . . . . . . 28 3.2 Derivata materială a integralei de volum . . . . . . . . . . . 31 3.3 Elementele cinematice ale mişcării . . . . . . . . . . . . . 32 3.3.1 Câmpul vitezelor. Clasificarea mişcărilor . . . . . . . . 32 3.3.2 Traiectorie. Linie de curent . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3.3 Suprafaţă de curent. Tub de curent . . . . . . . . . . . 34 3.3.4 Flux hidrodinamic. Debit. Viteză medie . . . . . . . . . 34 3.3.5 Câmpul vârtejurilor. Linie de vârtej. . . . . . . . . . . 35 3.3.6 Circulaţia vitezei. Teorema lui Stokes . . . . . . . . . 35 3.3.7 Mişcarea irotaţională. Potenţial de viteze. . . . . . . . 36 3.4 Câmpul de viteze în vecinătatea unui punct . . . . . . . . . 37 3.5 Conservarea masei. Ecuaţia de continuitate. . . . . . . . . 41 3.5.1 Ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent. . . . . 42 3.6 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Obiective Această unitate de învăţare are drept obiective înţelegerea şi însuşirea noţiunilor fundamentale de cinematică a fluidelor, precum şi a principiului conservării masei de fluid aflate în mişcare. Timp de studiu individual: 6 ore. Rezumat Mişcarea unui fluid este cunoscută din punct de vedere cinematic atunci când se cunoaşte legea de variaţie a unuia dintre cei trei parametri cinematici: vectorul de poziţie r , viteza v şi acceleraţia a . În acest scop se folosesc două metode. Metoda Lagrange constă din găsirea legii de variaţie a vectorului de poziţie în raport cu coordonatele x0, y0, z0 ale poziţiei iniţiale a particulei de fluid, numite variabilele Lagrange, după care se folosesc relaţiile pentru aflarea legilor de variaţie a vitezei şi acceleraţiei. În cadrul metodei Euler se stabileşte mai întâi legea de variaţie a vitezei particulei de fluid în timp şi spaţiu. Proiecţiile vitezei pe cele trei axe

Cinematica fluidelor 27

carteziene, notate cu vx, vy, vz, se numesc variabilele Euler şi se folosesc la determinarea vectorului de poziţie şi acceleraţiei. Mulţimea vectorilor viteză asociaţi particulelor unui fluid aflat în mişcare se numeşte câmp de viteze. Mişcarea unui fluid este staţionară sau nestaţionară după cum câmpul vitezelor este invariabil, respectiv variabil în timp. Locul geometric al punctelor la care vectorii viteză ai particulelor de fluid sunt tangenţi se numeşte linie de curent. Tubul de curent este domeniul tubular format din mulţimea liniilor de curent mărginită de o linie curbă închisă. Fluxul vitezei relativ la suprafaţa S cu aria A se numeşte debit volumic de fluid şi este definit ca integrala pe suprafaţa de arie A a produsului scalar dintre viteză şi versorul normalei la elementul de suprafaţă cu aria dA. Produsul dintre debitul volumic şi densitatea fluidului se numeşte debit masic. Viteza medie este raportul dintre debitul volumic şi aria suprafeţei asociate acestui debit. Rotorul vitezei unei particule de fluid este definit ca un determinant simbolic. Mişcarea fluidului la care 0rot ≠v în orice punct se numeşte mişcare rotaţională, iar mişcarea caracterizată prin 0rot =v pentru orice particulă de fluid poartă numele de mişcare potenţială. Vectorul vârtej reprezintă jumătate din rotorul vitezei fluidului. Locul geometric al punctelor la care vectorul vârtej este tangent se numeşte linie de vârtej. Tubul de vârtej este domeniul tubular format din mulţimea liniilor de vârtej mărginită de o linie curbă închisă. Integrala pe o linie curbă închisă a produsului scalar dintre viteză şi un element vectorial de linie de curent se numeşte circulaţie. Circulaţia de-a lungul unei curbe închise C este egală cu dublul fluxului de vârtejuri ce trece printr-o suprafaţă S de arie A, mărginită de curba C (teorema lui Stokes). Mişcarea unei particule de fluid este rezultanta unor mişcări de translaţie, rotaţie şi deformaţie. Componentele vitezei de deformaţie a particulei de fluid sunt funcţii de dimensiunile sale prin intermediul coeficienţilor de deformaţie liniară şi unghiulară. Aceşti coeficienţi sunt folosiţi, în cadrul relaţiilor dintre tensiuni şi deformaţii, pentru stabilirea ecuaţiilor Navier–Stokes ale mişcării laminare. Relaţia matematică care exprimă principiul conservării masei de fluid aflate în mişcare este o ecuaţie de bilanţ masic numită ecuaţia continuităţii. Dacă această ecuaţie este scrisă relativ la un element de volum, se obţine forma microscopică, prin integrarea căreia pe un volum finit se ajunge la forma macroscopică.

* * *


3.1. VARIABILELE LUI LAGRANGE

ŞI VARIABILELE LUI EULER Din punct de vedere abstract, problemele de mişcare a fluidelor pot fi tratate în două moduri; astfel se poate urmări comportarea fiecărei particule în lungul traiectoriei sale sau se poate pune problema determinării caracteristicilor mişcării (viteze, presiuni) în diversele puncte ale domeniului ocupat de fluid. Prima variantă, atribuită lui Lagrange , reprezintă punctul de vedere lagrangian sau material, iar a doua, introdusă de Euler, punctul de vedere eulerian sau local. În varianta lagrangiană, se consideră un triedru cartezian ortogonal fix (inerţial) Oxyz, în raport cu care fiecare particulă de fluid este reperată prin poziţia sa iniţială, adică prin vectorul de poziţie zyx zyx eeer 0000 ++= al centrului de masă al particulei în momentul iniţial t0. La un moment oarecare 0tt > , particula fluidă ocupă o altă poziţie, dată de vectorul de poziţie al centrului său de masă zyx zyx eeer ++= , vector ce depinde de 0r şi t, adică ),( 0 trrr = . Variabilele independente 0r şi t, respectiv x0, y0, z0 şi t se numesc variabile materiale sau variabilele lui Lagrange. Noţiunea de particulă de fluid fiind oarecum artificială, o reprezentare matematică mai corectă a mişcării unui fluid este aceea a unei transformări continue a spaţiului euclidian tridimensional E3 în el însuşi, aşa cum am arătat în capitolul precedent. Admitem de asemenea că, odată cu transformarea Ht introdusă prin formula (1.5) există şi transformarea inversă. Aceasta înseamnă că odată cu funcţia ),( 0 trrr = există şi funcţia inversă ),( 000 trrr = . Se presupune şi că aceste două funcţii posedă derivate parţiale continue până la ordinul al treilea în raport cu toate variabilele, cu excepţia eventuală a unor puncte, curbe sau suprafeţe singulare. Un parametru scalar sau vectorial al fluidului în mişcare (densitate, presiune, viteză etc.) poate fi reprezentat printr-o funcţie f, scalară sau vectorială. În conformitate cu cele de mai sus, o astfel de funcţie poate avea forma ),( 0 tf r sau ),( tf r . Ca urmare, există două tipuri de derivate în raport cu timpul şi anume

t

tftf

∂∂ ),(

DD 0r

= , t

tftf

∂∂

∂∂ ),(r

= . (3.1)

Prima dintre aceste derivate reprezintă variaţia funcţiei f în raport cu timpul urmărind particula fluidă în mişcare, individualizată prin poziţia ei iniţială 0r . Din acest motiv, derivata se numeşte substanţială sau materială, simbolizată prin D/Dt. A doua derivată (3.1), reprezintă variaţia în raport cu timpul a funcţiei f într-un punct r fixat al spaţiului şi poartă denumirea de


derivată locală. Viteza v şi acceleraţia a se calculează ca în cazul punctelor materiale, deoarece se individualizează şi se urmăreşte particula în mişcare. Prin urmare avem

,),(

DD 0

tt

t ∂∂ rrr

==v (3.2)

respectiv, în coordonate carteziene ortogonale

tx

x DDv = ,

ty

y DDv = , ,

DDv

tz

z = (3.3)

precum şi

,DD),(

2

20

ttt rr

a ==∂

∂ v (3.4)

sau

2

2

DxD

tax = ,

2

2

DD

tya y = ,

2

2

DD

tzaz = . (3.5)

În varianta euleriană sau locală, variabilele sunt coordonatele ),,( zyxr ale punctelor spaţiului şi timpul t. Descrierea mişcării cu ajutorul

câmpului de viteze ),( trv este suficientă practic pentru toate obiectivele studiului şi ca urmare metoda lui Euler se utilizează aproape exclusiv în mecanica fluidelor. Atât viteza cât şi celelalte funcţii care reprezintă parametrii mişcării fluidului sunt definite ca funcţii de r şi t pe un domeniu fluid, adică pe o familie de mulţimi mărginite de puncte 0DHD tt = , ocupat de fluid într-un

interval deschis al timpului t. Închiderea este tot tD iar domeniul fluid la timpul t este tD pentru t fixat. Funcţiile menţionate satisfac condiţiile de continuitate necesare pentru ele ca şi pentru derivatele lor de diferite ordine, cu excepţiile amintite mai înainte referitor la variabilele lui Lagrange. Metoda lui Euler conduce deci la studiul unor câmpuri scalare, cum este acela al presiunilor ),( tp r şi al unor câmpuri vectoriale cum sunt acela al vitezelor ),( trv sau acela al acceleraţiilor ),( tra . Dacă se consideră o funcţie ),( tf r ce reprezintă un parametru al mişcării fluidului, derivata materială se calculează urmărind o particulă în mişcare şi are deci forma

,vvvdd

dd

dd

DD

zf

yf

xf

tf

tz

zf

ty

yf

tx

xf

tf

tf

zyx ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+++=+++= (3.6)

sau

( ) ,DD f

tf

tf

∇⋅+= v∂∂ (3.7)

unde


zyx zyx ∂∂

∂∂

∂∂ eee ++=∇

este operatorul nabla al lui Hamilton. În ecuaţia (3.7), primul termen din membrul drept reprezintă derivata locală în raport cu timpul, calculată în punctul definit prin vectorul de poziţie r iar cel de al doilea termen este convectiv şi apare datorită variaţiei de la un punct la altul a funcţiei f, ataşată de o particulă aflată. în mişcare. Acceleraţia a fiind ataşată unei particule este deci derivata materială a vitezei, adică

( )vvvv∇⋅+==

tt ∂∂

DDa (3.8)

sau, în coordonate carteziene

zyxtt zyx ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ vvvvv vvv

DD

+++==a , (3.9)

proiecţiile pe axe fiind

zyxtt

a xz

xy

xx

xxx ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ v

vv

vv

vv

DvD

+++== ,

zyxtt

a yzy

yx

yyy ∂

∂

∂∂

∂

∂

∂ vv

vv

vv

vDvD y +

∂++== , (3.10)

zyxtt

a zz

yz

xz

z ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ zz v

vv

vv

vv

DvD

+++== .

Putem da o altă formă expresiei acceleraţiei dacă observăm că avem

+

−−

+++==

yxxtta xy

yzyxxx

x ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ vv

v)vvv(

21v

DvD 222

=

−+

xzzx

z ∂∂

∂∂ vvv −

+

2vv 2

xtx

∂∂

∂∂

∂−+

−−

xzyxzx

zxy

y ∂∂∂

∂∂

∂∂ vv

vvv

v (3.11)

unde v=v . Pentru ay şi az rezultă expresii similare astfel că, în cele din urmă, obţinem

( )vvvv×∇×−

∇+==

2v

DD 2

tt ∂∂

a (3.12)

expresie în care

zyx zyxeee

+

+

=

=

∇

2v

2v

2v

2vgrad

2v 22222

∂∂

∂∂

∂∂ (3.13)

este vectorul gradient al lui 2v2 / iar v×∇ este vectorul rotor al vitezei.


zxy

yzx

xyz

yxxzzyeee

−+

−+

−==×∇

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂ vvvvv

rotvv (3.14)

3.2. DERIVATA MATERIALĂ A INTEGRALEI DE VOLUM

În interiorul unui fluid în mişcare considerăm, la momentul t, un domeniu tD ocupat de fluid. În conformitate cu cele spuse mai înainte, tD este imaginea 0DH t a domeniului 0D din spaţiul lagrangian, astfel că particulele de fluid aflate la to, în punctele lui 0D se găsesc, la orice timp

0tt > , în punctele lui tD . Să considerăm o funcţie ),( tf r , care poate fi scalară, vectorială sau tensorială şi integrala ∫

tDVf d a cărei derivată materială urmează să fie

calculată. Dacă

),,(D

),,(D

000 zyxzyx

J = (3.18)

este jacobianul corespunzător schimbării de variabile prin care trecem de la 0DHD tt = la 0D , rezultă

00 dDD

DDd

DDd

DD

00

VtJfJ

tfVJf

tVf

t DDDt

∫∫∫

+== (3.19)

deoarece 0D este fix. Avem însă

0d

dVVJ =

şi prin urmare, în conformitate cu un rezultat cunoscut,

v⋅∇=== JtV

VVV

tV

VtJ

D)d(D

d1

dd

D)d(D

d1

DD

00 (3.20)

unde, în coordonate carteziene ortogonale

zyxzyx

∂∂

∂

∂

∂∂ vvv

++==⋅∇ vv div (3.21)

este divergenţa vectorului viteză v. Obţinem aşa dar

VftfVf

ttt DD

dDDd

DD

∫∫

⋅∇+= v . (3.22)

Dacă ţinem seama de (3.7) şi de formula vvv ⋅∇+∇⋅=⋅∇ fff )( , rezultă


Vftf

Vft

tt DDd)(d

DD

∫∫

⋅∇+= v

∂∂

. (3.23)

Cu ajutorul formulei lui Gauss ∫∫ ⋅=⋅∇

tt DDAfVf

∂dd)( nvv (3.24)

în care n este versorul normalei exterioare pe elementul de arie dA al frontierei tD∂ , găsim în loc de (3.23)

∫∫∫ ⋅+=11

dddDD

DDDAfVf

tVf

tt ∂∂

∂ nv (3.25)

formulă utilă pentru unele aplicaţii. Rezultatul exprimat prin formulele precedente (3.22), (3.23) sau (3.25) mai este cunoscut şi sub numele de teorema de convecţie sau teorema de transport a lui Reynolds. Metoda lui Euler se utilizează aproape exclusiv în mecanica fluidelor deoarece, în problemele care apar, nu interesează evoluţia unui anumit element de fluid ci variaţia mărimilor care caracterizează mişcarea fluidului, ca mărimi de câmp, în punctele domeniului ocupat de acesta. Metoda lui Euler corespunde şi metodelor de măsurare uzuale din mecanica fluidelor. Astfel, aparatele de măsură au o poziţie fixă şi înregistrează variaţia anumitor mărimi în diferite puncte ale domeniului ocupat de fluid.

3.3. ELEMENTELE CINEMATICE ALE MIŞCĂRII Un rol important în studiul mişcării fluidelor îl are câmpul vitezelor ( )t,rv deoarece pe de o parte aceasta oferă o imagine sugestivă a mişcării,

iar pe de altă parte este necesar pentru determinarea celorlalte câmpuri care descriu mişcarea fluidului. 3.3.1. Câmpul vitezelor. Clasificarea mişcărilor În funcţie de caracteristicile câmpului vitezelor, mişcările fluidelor pot fi clasificate după cum urmează: – mişcări nestaţionare sau nepermanente în care câmpul vitezelor variază şi în timp ( )t,rv=v – mişcări semistaţionare sau semipermanente în care direcţia vectorului viteză nu variază în timp ( ) ( )rer t,v=v , unde )(re este un versor cu acelaşi suport ca şi vectorul viteză; – mişcări staţionare sau permanente în care câmpul vitezelor nu variază în timp,


)(rv=v . O altă clasificare se face din punctul de vedere al caracteristicilor spaţiale ale câmpului vitezelor. Avem astfel: – mişcări tridimensionale, în care viteza are forma, în coordonate carteziene, zzyyxx tzyxtzyxtzyx eee ),,,(),,,(),,,( vvv ++=v , (3.26) xe , ye şi ze fiind versorii direcţiilor x, y, respectiv z; – mişcări axial-simetrice, în care câmpul vitezelor este acelaşi în toate planele care trec printr-o axă fixă; în coordonatele cilindrice x, r, θ , viteza are deci expresia

rrxx trxtrx ee ),,(),,( vv +=v ,

xe şi re fiind versorii direcţiilor x, respectiv r; precizăm că, în această reprezentare, axa fixă, care este axa de simetrie a mişcării, corespunde cu axa Ox; – mişcări plane, în care câmpul vitezelor este acelaşi în toate planele paralele cu un plan fix iar vectorii vitezelor aparţin numai acestor plane; dacă planul fix coincide cu planul Oxy, viteza are expresia yyx tyxtyx ee ),,(),,( x vv +=v 3.3.2. Traiectorie. Linie de curent Traiectoria unei particule de fluid este curba descrisă de centrul de masă al acestuia. Dacă se cunoaşte câmpul vitezelor ),( trvv = , ecuaţia diferenţială a traiectoriilor se obţine scriind că viteza este derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie r. În coordonate carteziene ortogonale, rezultă sistemul

( ) ( ) ( ) ttzyx

ztzyx

ytzyx

x

zyxd

,,,d

,,,,,,d

===vvv

d. (3.27)

Traiectoriile formează o familie de curbe dependente de trei constante de integrare. Prin fiecare punct al domeniului ocupat de fluidul în mişcare, trece o singură traiectorie. Linia de curent este o linie de câmp a câmpului vitezelor, adică o curbă tangentă în fiecare punct al ei la vectorul viteză din acel punct. Dacă se consideră pe o astfel de curbă două puncte P şi P′ astfel ca rd=′PP (figura 3.1), ecuaţia liniilor de curent este ( ) 0d, =× rr tv (3.28)

Figura 3.1

34 Mecanica fluidelor din care rezultă sistemul

( ) ( ) ( )tzyxz

tzyxy

tzyxx

zyx ,,,d

,,,,,,d

vvv==

d (3.29)

la a cărui integrare timpul este un parametru, indicând faptul că, în mişcările nestaţionare, liniile de curent îşi schimbă forma în timp. Prin fiecare punct în care 0≠v trece, la un moment dat, o singură linie de curent. Dacă două linii de curent se intersectează într-un punct, în acesta viteza v este nulă. Dacă mişcarea fluidului este staţionară, timpul t nu mai apare în ecuaţiile (3.27) şi (3.29) şi ca urmare cele două sisteme sunt identice. Rezultă deci că, în mişcările staţionare, traiectoriile coincid cu liniile de curent. În acest caz, există mai multe procedee prin care aceste curbe pot fi puse în evidenţă experimental.

3.3.3. Suprafaţă de curent. Tub de curent Să considerăm, în interiorul unui fluid în mişcare, o curbă C, simplă şi netedă, astfel aleasă încât viteza să nu fie tangentă la această curbă în nici un punct al ei. Prin fiecare punct al curbei C astfel definită, trece o singură linie de curent şi mulţimea tuturor punctelor acestor linii formează o suprafaţă S, orientabilă în E3, care se numeşte suprafaţă de curent. O astfel de suprafaţă este o suprafaţă de câmp a câmpului vitezelor, pe care este satisfăcută condiţia

0=⋅nv , n fiind versorul normalei într-un punct oarecare al suprafeţei S. De aici rezultă că fluidul în mişcare nu traversează suprafeţele de curent. În cazul în care curba C îndeplineşte condiţiile precizate mai sus şi în plus este şi închisă suprafaţa de curent care o conţine se numeşte tub de curent. Fluidul din tub rămâne deci tot timpul în interiorul acestuia şi constituie un curent de fluid. Se numeşte secţiune transversală a unui tub de curent porţiunea din interiorul tubului a unei suprafeţe care intersectează tubul. O astfel de secţiune se numeşte ortogonală (sau normală, sau vie) dacă este ortogonală la toate liniile de curent ce o traversează. Un tub de curent a cărui secţiune ortogonală are o arie infinitezimală se numeşte tub de curent elementar. Fluidul din interiorul unui tub de curent elementar formează un fir de curent. Forma unui tub de curent nu variază în timp dacă mişcarea fluidului este staţionară sau semistaţionară. 3.3.4. Flux hidrodinamic. Debit. Viteză medie Considerăm, în interiorul unui fluid în mişcare, o suprafaţă S orientată şi fixă. Cantitatea de fluid ce se scurge într-un timp oarecare prin această suprafaţă se numeşte flux hidrodinamic, iar debitul este fluxul hidrodinamic raportat la unitatea de timp. Dacă dA este un element de arie al suprafeţei S, în jurul unui punct P, n versorul normalei la S în punctul P, orientat dinspre faţa negativă a lui S spre cea pozitivă şi ),( trv viteza în P, debitul volumic elementar are expresia AQ dd n⋅= v şi prin integrare pe S rezultă


∫ ⋅=S

AQ dnv (3.30)

Dacă introducem şi câmpul densităţii ),( trρ , obţinem debitul masic ∫ ⋅=

Sm AQ dnvρ (3.31)

precum şi debitul gravific ∫ ⋅=

Sg AgQ dnvρ (3.32)

g fiind acceleraţia gravitaţiei. Prin definiţie, viteza medie pe suprafaţa S are expresia

AQA

A Sm =⋅= ∫ d1 nvv , (3.33)

A fiind aria totală a suprafeţei S. Viteza medie este o noţiune utilă îndeosebi când este aplicată la un tub de curent. În acest caz, S este secţiunea ortogonală a tubului iar n versorul normalei la aceasta, orientat în sensul mişcării fluidului. 3.3.5. Câmpul vârtejurilor. Linie de vârtej Rotorul vitezei vv ×∇== rotΩ (3.34) a fost introdus prin formula (3.14), componentele sale fiind date în aceasta. Acest vector este solenoidal deoarece ( ) 0div =×∇⋅∇=⋅∇= vΩΩ (3.35) şi prezintă particularitatea de a fi un vector axial sau pseudovector. El este legat de vectorul ω , numit vârtej, prin relaţia ωΩ 2= . (3.36) În operaţiile următoare, atunci când vom întâlni vectorul v×∇=Ω , îl vom denumi, pentru simplificare, tot vârtej. Linia de vârtej este o linie de câmp a câmpului vârtejurilor, adică o linie tangentă în fiecare punct al ei la vectorul vârtej din acel punct. La fel ca şi în cazul liniilor de curent, ecuaţia liniilor de vârtej este 0d =× rΩ (3.37) dr fiind definit ca şi pentru o linie de curent. Rezultă de aici sistemul

( ) ( ) ( )t,z,y,xz

t,z,y,xy

t,z,y,xx

zyx Ω=

Ω=

Ωdd d (3.38)

care se integrează în raport cu variabilele spaţiale, ca şi pentru liniile de curent, timpul t jucând rolul unui parametru. De asemenea, dacă 0≠Ω , prin fiecare punct, trece, la un moment dat, o singură linie de vârtej.

3.3.6. Circulaţia vitezei. Teorema lui Stokes Să considerăm o curbă C continuă, netedă pe porţiuni şi orientată. Dacă nu se intersectează cu ea însăşi, această curbă este şi simplă.

36 Mecanica fluidelor O mulţime 3EDt ⊂ este conexă dacă pentru orice puncte D∈1r şi

D∈2r există o curbă ce corespunde definiţiei precedente, inclusă în D, care reuneşte punctele 1r şi 2r . În cazul în care o astfel de curbă este închisă ( 1r = 2r ), ea se numeşte reductibilă într-o mulţime D dacă este întreaga frontieră a unei suprafeţe orientate incluse în D. În acest caz, curba închisă poate fi deformată continuu, în interiorul mulţimii D până ce se reduce la un punct al acesteia. Dacă orice curbă închisă, inclusă în D şi satisfăcând condiţiile precizate, este reductibilă în D, această mulţime este simplu conexă. Circulaţia vitezei pe o curbă închisă C continuă, netedă pe porţiuni, orientată şi simplă, este integrala curbilinie ∫ ⋅=Γ

C

rdv (3.42)

sau, în coordonate carteziene ortogonale zyx zy

Cx ddd vvv ++=Γ ∫ . (3.43)

Dacă S este o suprafaţă regulată (simplă, netedă pe porţiuni şi orientabilă) cu frontiera S∂ care este o curbă ce satisface condiţiile impuse curbei C din (3.42), atunci =⋅∫

S

AdnΩ ∫ ⋅S∂

rdv (3.44)

n fiind versorul normalei la S, cu sensul definit de orientarea curbei închise S∂ .

Acest rezultat, care se demonstrează în analiza matematică sau în analiza vectorială, constituie teorema lui Stokes. Circulaţia vitezei pe o curbă închisă este deci egală cu fluxul vectorului vârtej prin suprafaţa care are ca frontieră această curbă. Se observă imediat că fluxul de vârtejuri are aceeaşi valoare pentru toate suprafeţele regulate incluse într-un domeniu fluid şi care au aceeaşi frontieră. Vârtejul fiind un vector solenoidal, rezultă că fluxul de vârtejuri printr-o suprafaţă regulată închisă, situată într-un domeniu fluid tD , este nul. Într-adevăr dacă tDR ⊂ este interiorul unei suprafeţe regulate închise S, avem 0dd =⋅∇=⋅ ∫∫

RS

VA ΩnΩ (3.45)

conform formulei lui Gauss. Revenind la tubul de vârtej, din (3.39) şi (3.44) se constată că Γ=ΩI şi din acest motiv intensitatea unui tub de curent se notează de obicei cu Γ. 3.3.7. Mişcarea irotaţională. Potenţial de viteze Mişcarea fluidului într-un domeniu 3EDt ⊂ este irotaţională dacă circulaţia Γ este nulă pentru orice curbă reductibilă tDC ⊂ . Într-adevăr, în


acest caz, din teorema lui Stokes (3.44) rezultă că fluxul de vârtejuri este nul şi prin urmare 0=×∇= vΩ . Condiţia ca rotorul vitezei să fie nul implică existenţa unei funcţii

),,,( tzyxϕ astfel ca ϕϕ ∇== gradv (3.46) sau, în coordonate carteziene ortogonale

xx ∂ϕ∂

=v ; yy ∂ϕ∂

=v ; zz ∂ϕ∂

=v (3.47)

Această funcţie se numeşte potenţial de viteze, iar mişcarea irotaţională se mai numeşte şi mişcare potenţială. Dacă rotorul vitezei este diferit de zero ( 0≠Ω ), mişcarea este rotaţională şi viteza nu mai derivă dintr-un potenţial. Atunci când domeniul nu este simplu conex, definiţia mişcării irotaţionale se aplică la orice subdomeniu simplu conex al acestuia. Potenţialul de viteze este definit ca şi mai înainte, pe orice subdomeniu simplu conex. Ca urmare, (3.46) este valabilă peste tot pe tD dar potenţialul de viteze, nu mai este o funcţie uniformă pe tot domeniul tD ci devine o funcţie multiformă.

3.4. CÂMPUL DE VITEZE ÎN VECINĂTATEA UNUI PUNCT

Să considerăm un punct P( r ) din interiorul unui fluid în mişcare, în care viteza este )(rv şi un punct )( rr δ+′P , dintr-o vecinătate a punctului P, în care viteza este

)( rr δ+=′ vv (figura 3.2). Dacă

zeeer zyx yx δδδδ ++= este suficient de mic, putem scrie

zz

yy

xx

δ∂∂δ

∂∂δ

∂∂ vvvvv +++=′ (3.48)

Componenta xv′ a vitezei v ′ se poate scrie sub forma

−

−+=+++=′ z

xzz

zy

yx

xzx

xxxx

xx δ∂∂

∂∂

δ∂∂

δ∂∂

δ∂∂ vv

21v

vvvvv

zxz

yxy

xx

yyx

zxyxxxy δ∂∂

∂∂

δ∂

∂

∂∂

δ∂∂

δ∂∂

∂

∂

++

+++

−−

vv21vv

21vvv

21

(3.49) iar pentru celelalte două componente ale vitezei v ′ găsim

Figura 3.2


=+++=′ zz

yy

xx

yyyy δ

∂

∂δ

∂

∂δ

∂

∂ vvvvv y

−

−+= x

yxxy

y δ∂∂

∂

∂ vv21v ++

− y

yz

zyyyz δ

∂

∂δ

∂

∂

∂∂ vvv

21

xyx

zyz

xyzy δ∂∂

∂

∂δ

∂∂

∂

∂

++

++

vv21vv

21 (3.50)

=+++=′ zz

yy

xx

zzzzz δ

∂∂

δ∂∂

δ∂∂ vvvvv

−

−+= y

zyyz

z δ∂∂

∂∂ vv

21v +

− x

xzzx δ

∂∂

∂∂ vv

21

yzy

xzx

zz

yzxzz δ∂∂

∂∂

δ∂∂

∂∂

δδ∂

++

+++

vv21vv

21v

(3.51)

Pentru a interpreta acest rezultat, observăm că derivatele parţiale de primul ordin ale componentelor vitezei v , în raport cu variabilele spaţiale x, y, z, formează un tensor de ordinul al doilea care poate fi descompus într-o parte antisimetrică şi o alta simetrică. În scriere matricială, avem deci

=

zyx

zyx

zyx

zzz

yyy

xxx

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

vvvv

vvv

vvv

+

−

−

−

−

−

−

0vv

21vv

21

vv210

vv21

vv21vv

210

zyzx

yzyx

xzxy

yzxz

zyxy

zxyx

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

vvv21vv

21

vv21vvv

21

vv21vv

21v

+

+

+

+

+

+

+ . (3.52)

Tensorul antisimetric din relaţia precedentă este caracterizat prin cele trei elemente nediagonale. Ca urmare, lui îi corespunde vectorul vârtej

zxy

yzx

xyz

yxxzzyeeeω

−+

−+

−=

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂ vv

21vv

21vv

21 (3.53)

care este legat de vectorul rotor al vitezei prin formula (3.36). Aşa dar, vectorul vârtej este tot axial ca şi rotorul vitezei.


În ceea ce priveşte tensorul simetric din (3.52), dacă se consideră o particulă fluidă prismatică (figura 3.3) care are o faţă paralelă cu planul Pyz,

aceasta are vitezele de deformaţie liniară yy

∂

∂ v după Py şi

zz

∂∂ v

după Pz

(figura 3.4). De asemenea (figura 3.5), această particulă are şi o viteză de

deformaţie unghiulară zyyz

∂

∂

∂∂ vv

+ în jurul axei Px.

În mod asemănător, feţele paralele cu planele Pzx şi Pxy au vitezele de deformaţie liniară

zz

∂∂ v

şi xx

∂∂v

, respectiv xx

∂∂ v

şi

yy

∂

∂ v. În ceea ce priveşte

vitezele de deformaţie unghiulară, acestea sunt

xzzx

∂∂

∂∂ vv

+ în jurul axei Py şi

yxxy

∂∂

∂

∂ vv+ în jurul axei Pz.

Ca urmare, tensorul simetric din (3.52) se numeşte tensorul vitezelor de deformaţie

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

vvv21vv

21

vv21vvv

21

vv21vv

21v

+

+

+

+

+

+

=D (3.54)

Figura 3.3 Figura 3.4

Figura 3.5

40 Mecanica fluidelor şi, după cum vom arăta, reprezintă o caracteristică esenţială a fluidelor reale. Mai precizăm că suma termenilor de pe diagonala principală a tensorului D (primul invariant scalar) reprezintă deformaţia de volum totală a fluidului. Prin urmare, dacă avem

0vvv

=++zyxzyx

∂∂

∂

∂

∂∂

(3.55)

fluidul este incompresibil; vom regăsi de altfel acest rezultat pe altă cale. Vectorul care se obţine din produsul la stânga al tensorului vitezelor de deformaţie D cu vectorul rδ este viteza dv a mişcării de deformaţie D⋅= rδdv (3.56) ale cărei componente sunt deci rezultatul acestei înmulţiri şi anume

=

+

+

+

+

+

+

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂∂

δδδ

vvvvv

vvvvv

vvvvv

21

21

21

21

21

21

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

∂∂

+∂∂

+

∂

∂+

∂∂

+∂∂

yy

xyx

zxz

yxy

xx

yxyzyx δδδδδvvvvvvvv xx

21

21

21

zz

yzy

xzx

zyz

zyzxzzy δδδδ∂∂

+

∂

∂+

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂

∂+

vvvvvvv21

21

21

Aşadar putem scrie

+

++

++= x

zxyxxd z

xzy

xyx

xeδ

∂∂

∂∂

δ∂

∂

∂∂

δ∂∂ vvvvv

21

21v

+

+++

+

∂+ y

zyyxy zyz

yy

xyx

eδ∂∂

∂

∂δ

∂

∂δ

∂∂

∂vvvvv

21

21

zzyzxz zz

yzy

xzx

e

+

++

++ δ

∂∂

δ∂

∂

∂∂

δ∂∂

∂∂ vvvvv

21

21 . (3.57)

Dacă mai observăm că în expresiile (3.49), (3.50) şi (3.51) ale componentelor vitezei v ′ mai apar şi componentele produsului vectorial

rω δ× +

−−

−= x

xyzx yyx

zxz

eδ∂∂

∂

∂δ

∂∂

∂∂ vv

21vv

21

+

−−

−+ y

zxy zy

xyx

eδ∂

∂

∂∂

δ∂∂

∂

∂

zyvv

21vv

21


zzxyz x

xzy

zye

−−

−

∂+ δ

∂∂

∂∂

δ∂

∂

∂vv

21vv

21 (3.58)

putem scrie în cele din urmă dvvv +×+=′ rω δ (3.59) şi, în interpretarea dată de Helmholtz câmpul de viteze în interiorul unui fluid, în vecinătatea unui punct P se compune din viteza v de translaţie a punctului acesta, o viteză de rotaţie instantanee cu viteza unghiulară ω , în jurul unei axe care trece prin punctul P şi o viteză dv a mişcării de deformaţie. Primii doi termeni din (3.59) corespund câmpului de viteze dintr-un corp solid în mişcare, iar ultimul termen este caracteristic pentru mişcarea unui fluid.

3.5. CONSERVAREA MASEI. ECUAŢIA DE CONTINUITATE

Conservarea masei unui fluid în mişcare se exprimă scriind că derivata materială a masei de fluid aflată la timpul t în domeniul 0DHD tt = este nulă

∫ =tD

Vt

0dDD ρ . (3.60)

Dacă luăm în consideraţie formula (3.23) în care punem f = ρ şi ţinem seama de (3.60), obţinem

( ) 0d =

⋅∇+∫ V

ttD

vρ∂ρ∂

şi prin urmare

0)( =⋅∇+ vρ∂ρ∂t

(3.61)

rezultat care constituie ecuaţia de continuitate. În coordonate carteziene ortogonale, avem

( ) ( ) ( )

0vvv

=+++zyxt

zyx∂ρ∂

∂

ρ∂

∂ρ∂

∂ρ∂

. (3.62)

O altă demonstraţie are ca punct de plecare formula (3.26) în care punem de asemenea f = ρ şi ţinem seama de (3.60), găsind astfel

0dd11

=⋅+ ∫∫DD

AVt ∂

ρρ∂∂ nv (3.63)

1D fix în spaţiu coincizând la timpul t, cu tD (figura 3.6). Aplicând formula lui Gauss obţinem


VADD

d)(d11

∫∫ ⋅∇=⋅ vv ρρ∂

n

şi observând că dV nu depinde de timp regăsim, la fel ca mai înainte, ecuaţia (3.61). Acest mod de a demonstra ecuaţia de continuitate, strict eulerian, este mai intuitiv deoarece (3.63) reprezintă o relaţie dintre variaţia în unitatea de timp a masei dintr-un domeniu spaţial fix şi fluxul de masă prin frontiera acestui domeniu tot în unitatea de timp.

Dacă mişcarea este staţionară, ecuaţia (3.61) devine 0)( =⋅∇ vρ (3.64) sau

( ) ( ) ( )

0vvv

=++zyx

zyx∂ρ∂

∂

ρ∂

∂ρ∂ v

. (3.65)

În sfârşit, dacă fluidul este incompresibil rezultă

0=⋅∇ v , 0vvv

=++zyxzyx

∂∂

∂

∂

∂∂

(3.66)

3.5.1. Ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent Să considerăm un tub de curent, cu secţiunea transversală normală de arie A, care variază atât în funcţie de timpul t cât şi de coordonata curbilinie s, măsurată în lungul axei tubului. Două secţiuni de acest fel A1 şi A2 situate la o distanţă ds delimitează în tubul de curent volumul dV (figura 3.7). Masa de fluid ρ.dV care se găseşte la timpul t în acest volum, suferă în intervalul de timp dt variaţia

sttA

ttV

dd)(

d)d(

∂ρ∂

∂ρ∂

= .

De asemenea, dacă ρQ este debitul masic, în timpul dt prin secţiunea A1

intră masa ρQdt iar prin secţiunea A2 iese masa tssQ

tQ dd)(

d∂ρ∂

ρ + ,

diferenţa fiind deci tssQ

dd)(

∂ρ∂

− .

Egalând această diferenţă cu variaţia în timp a masei din volumul considerat, obţinem

sttA

dd)(

∂ρ∂

tssQ

dd)(

∂ρ∂

−=

de unde rezultă ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent

0)()(=+

sQ

tA

∂ρ∂

∂ρ∂

. (3.68)

Dacă mişcarea este staţionară, rezultă

Figura 3.6

Figura 3.7


0)(=

sQ

∂ρ∂ , .const=Qρ (3.69)

debitul masic fiind deci constant. Pentru fluidele incompresibile ecuaţia (3.68) ia forma

0=+sQ

tA

∂∂

∂∂ (3.70)

iar dacă mişcarea este staţionară, găsim

0=sQ∂∂

, Q = const. (3.71)

Ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent este utilă pentru unele probleme teoretice sau practice.

3.6. APLICAŢII Aplicaţia 1. Să se arate dacă în curgerea staţionară a unui fluid incompresibil poate să existe următoarele valori pentru vitezele vx şi vy:

226v yxy:A x += ; xxyy 43v += ;

222v:

yxxQB x+

=π

; 222v

yxyQ

y+

=π

.

Rezolvare: Pentru ca să existe curgerea staţionară pentru un fluid incompresibil trebuie ca ecuaţia continuităţii să fie satisfăcută:

0vv

=+yxyx

∂∂

∂∂

Cazul A:

xxx 6

v=

∂∂

; xyy 3

v=

∂∂

; 036 ≠+ xx ,

deci mişcarea nu este posibilă. Cazul B:

222

22

222

22

)(2)(2

2v

yxxyQ

yxxyxQ

xx

+−

=+−+

=2

ππ∂∂

222

22

222

22

)(2)(2

2v

yxyxQ

yxyyxQ

yy

+−

=+−+

=2

ππ∂∂

0)(2)(2 222

22

222

22=

+−

++−

yxyxQ

yxxyQ

ππ

deci în acest caz curgerea este posibilă. Aplicaţia 2. Pe o conductă cu diametrul de 75 mm se pompează gaz metan la o presiune oarecare. Într-un punct A în care presiunea era pA = 3·105

44 Mecanica fluidelor N/m2 şi temperatura tA = 20 °C, s-a găsit o viteză medie vA = 5 m/s. Se cere să se afle: a. Valoarea vitezei medii de curgere într-un punct B în care presiunea

5102 ⋅=Bp N/m2 şi tb = 25 °C. b. Valorile debitelor volumice în cele două puncte. Rezolvare: a) ecuaţia de continuitate scrisă între cele două puncte va avea forma: BBBAAA σρσρ vv = . Deoarece BA σσ = , rezultă că

B

AAB ρρvv = .

Aplicând legea gazelor perfecte în condiţii izoterme, avem:

97,1293314.816103 5

=⋅⋅⋅

==RTpA

Aρ kg/m3 ;

29,1298314.816102 5

=⋅⋅⋅

==RTpB

Bρ kg/m3 .

Cu acestea se obţine:

6,729,197,15v ==B m/s .

b) 023,04075,05v

2=

⋅==

πσ AAAQ m3/s ;

035,04075,06,7v

2=

⋅==

πσ BBBQ m3/s .

Aplicaţia 3. Limitând aceeaşi viteză medie în toate cele trei ramificaţii din figura 3.8, să se determine aria A2 şi debitele Q1 şi Q2 cunoscându-se A0 = 0,8 m2, A1 = 0,45 m2, Q2 = 80 l/s. Rezolvare: Condiţia de egalitate a vitezelor medii în cele trei conducte, v1 = v2 = v0 se scrie:

,0

0

2

2

1

1AQ

AQ

AQ

==

iar ecuaţia continuităţii este: 210 QQQ += .

Rezultă: 35,045,08,0102 =−=−= AAA m2 ;

10286,045,08,0

45,01080 3

10

121 =

⋅⋅⋅

=−

=−

AAAQQ m3/s ;

18286,0080,010286,0210 =+=+= QQQ m3/s = 182,86 l/s .

Figura 3.8


TESTE DE AUTOEVALUARE A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Care sunt parametrii cinematici ai mişcării unui fluid? 2. Numiţi cele două metode de determinare a parametrilor cinematici, precum şi variabilele corespunzătoare. 3. Definiţi linia de curent şi precizaţi ce indică aceasta. 4. Ce este fluxul vitezei relativ la o suprafaţă? 5. Ce reprezintă, în general, ecuaţia continuităţii? B. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Parametrii cinematici ai mişcării unui fluid. 2. Ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent. C. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Mişcare staţionară – mişcare nestaţionară 2. Debit volumic – debit masic 3. Mişcare rotaţională – mişcare potenţială

4 . ECUAŢIILE GENERALE ALE DINAMICII FLUIDELOR

Cuprins

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1 Starea de eforturi în interiorul unui fluid. Tensorul tensiunilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.2 Ecuaţia de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.1 Expresia generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.2 Simetria tensorului tensiunilor. . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.3 Legea constitutivă. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.4 Ecuaţia Navier - Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Ecuaţia impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Expresia generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.2 Ecuaţia impulsului pentru un tub de curent. . . . . . . 58

4.4 Ecuaţia momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Expresia generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.2 Ecuaţia momentului cinetic pentru un tub de curent . . 60 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Obiective În această unitate de învăţare se studiază legile mişcării fluidelor lipsite de vâscozitate, care prezintă interes teoretic şi practic prin faptul că ecuaţiile de mişcare obţinute devin, după completarea lor cu termenii datoraţi vâscozităţii, ecuaţiile dinamicii fluidelor vâscoase. Stabilirea ecuaţiilor Navier – Stokes pentru fluide ideale şi aplicarea acestora în cazul curgerii lichidelor şi gazelor prin conducte de secţiune circulară, Timp de studiu individual: 8 ore. Rezumat Ecuaţia impulsului, împreună cu ecuaţia continuităţii şi cu ecuaţia de stare, formează un sistem de ecuaţii determinat, în care necunoscutele sunt viteza v, presiunea p şi densitatea ρ. Teorema impulsului se enunţă astfel: variaţia în timp a impulsului masei de fluid care ocupă volumul V este egală cu suma dintre forţa de greutate şi forţele de presiune pe suprafaţa S care mărgineşte domeniul de

Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 47 control cu volumul V. Cu ajutorul teoremei impulsului pentru un tub de curent de fluid perfect incompresibil aflat în mişcare staţionară se pot determina: forţa de impact a jeturilor asupra pereţilor, forţa de impuls a fluidului aflat în mişcare asupra unei conducte curbe, pierderea locală de energie provocată de variaţia bruscă a secţiunii unei conducte etc. Teorema momentului impulsului pentru un tub de curent, arată că derivata momentului impulsului unei mase de fluid în raport cu timpul este egală cu suma momentelor forţelor de presiune şi forţei de greutate. Ca aplicaţii ale teoremei impulsului pentru un tub de curent, sunt studiate: acţiunea fluidului asupra unei conducte curbe, acţiunea jeturilor libere de fluid asupra pereţilor rigizi şi pierderea locală de sarcină hidraulică la mărirea bruscă a diametrului conductei.

* * *

4.1. STAREA DE EFORTURI ÎN INTERIORUL UNUI FLUID. TENSORUL TENSIUNILOR

Asupra unui fluid în mişcare se exercită forţe care pot fi împărţite în două categorii şi anume forţe de masă şi forţe de suprafaţă. În ceea ce priveşte prima dintre aceste categorii, forţele respective se exprimă prin vectorul fρ , ρ fiind densitatea şi f forţa raportată la unitatea de masă, având deci dimensiunile unei acceleraţii. Principala forţă de masă este greutatea, în care caz, iar alte astfel de forţe mai sunt cea centrifugă, forţa lui Coriolis şi forţele de natură electromagnetică. Forţele de suprafaţă sunt reprezentate prin tensiunile care se exercită pe suprafaţa fluidului. Această definiţie este valabilă şi pentru orice subdomeniu al domeniului ocupat de fluid.

Prin urmare, dacă utilizăm un raţionament asemănător cu cel referitor la presiune, acţiunea masei m1 asupra masei m2 se traduce printr-un sistem de forţe

AndT , nT fiind o forţă raportată la unitatea de suprafaţă (tensiune), dA elementul de arie

al suprafeţei de separaţie S şi n versorul normalei exterioare pe dA (figura 4.1). Acţiunea fiind reciprocă, masa m2 exercită asupra masei m1 un sistem de forţe AndT . În cazul unui fluid real (vâscos), vectorul tensiunilor nT nu are acelaşi suport cu versorul n al normalei pe dA. Prin urmare, nT are o

Figura 4.1

48 Mecanica fluidelor componentă normală pe dA şi o alta tangentă la acest element de arie, ceea ce înseamnă că într-un fluid real în mişcare există atât tensiuni normale cât şi tensiuni tangenţiale. Într-un fluid aflat în repaus, pn nT −= , p fiind presiunea şi prin urmare nu există tensiuni tangenţiale. Această proprietate se menţine şi în cazul fluidelor ideale aflate în mişcare. În mişcarea unui fluid real, vectorul tensiunilor depinde de punct, respectiv de vectorul de poziţie r, de orientarea elementului dA, definită prin versorul normalei n, precum şi de timpul t dacă mişcarea este nestaţionară.

Să considerăm, în interiorul unui fluid în mişcare, într-un punct O, un volum elementar dV, de forma unui tetraedru OABC având muchiile OA, OB şi OC, paralele cu axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, de lungime dx, dy şi dz (figura 4.2). Mai departe, notăm cu dAx aria feţei OBC, cu dAy aria feţei OCA, cu dAz aria feţei OAB şi cu dAn aria feţei ABC, indicii referindu-se la direcţia normalei pe faţa respectivă. De asemenea, notăm cu zyx TTT ,, vectorii tensiunilor pe feţele OBC, OCA, OAB şi cu nT vectorul tensiunilor pe faţa ABC. Conform celor spuse mai înainte, aceşti vectori nu mai sunt normali pe feţele pe care acţionează. Versorii normalelor pe feţele OBC, OCA şi OAB sunt chiar versorii zyx eee ,, ai axelor de coordonate şi sensul lor pozitiv este deci către interiorul volumului considerat. Ca urmare, vom orienta versorul normalei n pe faţa ABC tot către interiorul volumului. Să scriem ecuaţia de mişcare pentru masa elementară Vdρ cuprinsă în acest volum, viteza v fiind aceea a centrului de masă. Obţinem astfel

zzyyxxnn AAAAVVt

ddddddDD TTTTf ++++= ρρ v (4.1)

sau, dacă notăm cu h lungimea normalei coborâtă din punctul O pe faţa ABC,

Figura 4.2

Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 49

zzyyxxnnnn AAAAAhAht

ddddd3

d3D

D TTTTf ++++= ρρ v (4.2)

deoarece volumul tetraedrului are expresia

nAhV d3

d = .

Pe de altă parte, dacă nx, ny, nz sunt cosinuşii directori ai normalei n, avem nxx AnA dd −= , nyy AnA dd −= , nzz AnA dd −= , semnul negativ datorându-se faptului că, la rândul lor, nx, ny, nz sunt negativi, unghiurile dintre n şi versorii zyx ,, eee ai axelor de coordonate fiind obtuze. După înlocuirea în (4.2) şi simplificarea cu dAn rezultă

zzyyxxn nnnht

TTTTf −−−=

−

3DDvρ (4.3)

şi dacă trecem la limită, făcând pe h să tindă spre zero, obţinem zzyyxxn nnn TTTT ++= , (4.4) rezultat cunoscut sub numele de formula lui Cauchy. Prin urmare, vectorul tensiunilor de pe o suprafaţă elementară de orientare n dată, într-un punct oarecare M al fluidului este o funcţie liniară de vectorii tensiunilor de pe suprafeţele din planele paralele cu planele de coordonate ale triedrului cartezian ortogonal. Fiecare dintre vectorii zyx ,, TTT are o componentă normală pe planul corespunzător şi două componente tangenţiale situate în acest plan. Prin urmare, putem scrie zxzyxyxxxx eeeT τττ ++= zyzyyyxyxy eeeT τττ ++= (4.5) zzzyzyxzxz eeeT τττ ++= componentele cu indici de acelaşi fel fiind tensiunile normale, iar componentele cu indici diferiţi tensiunile tangenţiale. Dacă proiectăm relaţia (4.4) pe axele de coordonate, găsim zxzyxyxxxnx nnnT τττ ++= zyzyyyxyxny nnnT τττ ++= (4.6) zzzyzyxzxnz nnnT τττ ++= sau, sub forma matricială

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zyx nnn

τττ

τττ

τττ

zzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxx nnnnnnnnn τττττττττ ++++++= (4.7)

50 Mecanica fluidelor În felul acesta, se pune în evidenţă faptul că starea de tensiune de pe o suprafaţă elementară de orientare n este determinată de tensorul reprezentat prin matricea pătrată din relaţia precedentă, respectiv de trei tensiuni normale şi şase tensiuni tangenţiale. Ca urmare, tensorul de ordinul al doilea din (4.7) se numeşte tensorul tensiune al lui Cauchy. Acesta este, de fapt, prima mărime tensorială care a apărut în ştiinţă, iar denumirea de tensor, generalizată ulterior, se datorează semnificaţiei sale fizice, componentele sale fiind tensiunile normale şi cele tangenţiale,

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

τττ

τττ

τττ

=T . (4.8)

4.2. ECUAŢIA DE MIŞCARE 4.2.1. Expresia generală Să considerăm un domeniu fluid tD cu frontiera tD∂ , câmpul vectorial al forţelor de masă f şi câmpul tensorial T fiind definite pe închiderea tD . Impulsul masei de fluid din tD are expresia ∫

tDVdvρ

şi în conformitate cu principiul variaţiei impulsului putem scrie

AVVt

ttt Dn

DDddd

DD

∫∫∫ +=∂

ρρ Tfv (4.9)

derivata în raport cu timpul a impulsului fiind egală cu rezultanta forţelor care acţionează asupra fluidului. Cu ajutorul formulei (2.22), găsim însă

( )

Vt

Vt

tt DDd

DD

dDD

∫∫

⋅∇+= vvvv ρ

ρρ (4.10)

iar din ecuaţia de continuitate (2.61) rezultă

v⋅∇−= ρρtD

D (4.11)

astfel că, în cele din urmă, obţinem

Vt

Vt

tt DDd

DDd

DD

∫∫ =vv ρρ (4.12)

şi ecuaţia (4.9) devine

Vt

tDd

DD

∫vρ AV

tt Dn

Ddd ∫∫ +=

∂ρ Tf . (4.13)

Formula lui Cauchy (4.4) ne permite să aplicăm formula lui Gauss şi anume


Vzyx

Att D

zyx

Dn dd ∫∫

++=∂∂

∂

∂

∂∂

∂

TTTT (4.14)

iar ecuaţia (4.13) devine

0dDD

=

−−−−∫ V

zyxttD

zyx∂∂

∂

∂

∂∂

ρρTTT

fv

şi prin urmare

zyxtzyx

∂∂

∂

∂

∂∂

ρρTTT

f ++= +DDv . (4.15)

Aceasta este ecuaţia de mişcare a lui Cauchy şi dacă ţinem seama de (2.7) mai putem scrie

zyxtzyx

∂∂

∂

∂

∂∂

ρ∂∂

ρTTT

f ++=

∇⋅+ +)( vvv

. (4.16)

În proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, avem

zyxf

zyxtzxyxxx

xx

zx

yx

xx

∂τ∂

∂τ∂

∂τ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ ++=

+++ +

vv

vv

vv

v

zyxf

zyxtzyyyxy

yy

zy

yy

xy

∂τ∂

∂τ∂

∂τ∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ ++=

+++ +

vv

vv

vv

v

zyxf

zyxtzzyzxz

zz

zz

yz

xz

∂τ∂

∂τ∂

∂τ∂ρ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ρ ++=

+++ +vvvvvvv .

(4.17) 4.2.2. Simetria tensorului tensiunilor În condiţiile precizate mai înainte, scriem momentul cinetic al masei de fluid din tD care are expresia V

tDdv∫ ×rρ

şi dacă aplicăm principiul variaţiei momentului cinetic putem scrie

=×∫ Vt

tDd

DD vrρ AV

tt Dn

Ddd ∫∫ ×+×

∂ρ Trfr (4.18)

derivata în raport cu timpul a momentului cinetic fiind egală cu momentul rezultant al forţelor care acţionează asupra fluidului din tD .Tot din (2.22) obţinem însă

Vt

Vt

tt DDd

D)D(

dDD

∫∫

⋅∇×+×

=× vvvv rr

r ρρ

ρ (4.19)

sau

Vt

dVt

tt

dD

)D(DD

∫∫ΩΩ

×=×

vv rr ρρ (4.20)

după ce utilizăm din nou ecuaţia de continuitate (2.61), respectiv formula

52 Mecanica fluidelor (4.11).Ca urmare, ecuaţia (4.18) devine

AVVt

ttt

n dddD

)D(∫∫∫ΩΩΩ

×+×=×

∂ρρ Trfr

r v. (4.21)

Produsul vectorial fiind distributiv, din (4.4) rezultă zzyyxxn nnn TrTrTrTr ×+×+×=× (4.22) ceea ce permite să aplicăm formula lui Gauss

Vzyx

Att D

zyx

Dn d

)()()(d ∫∫

×+

×+

×=×

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

TrTrTrTr (4.23)

astfel că ecuaţia (4.21) ia forma

0d)()()(

D)(D

=

×−

×−

×−×−

×∫ V

zyxttD

zyx∂

∂∂

∂

∂∂

ρρTrTrTr

frr v

şi prin urmare

zyxt

zyx∂

∂∂

∂

∂∂

ρρ)()()(

D)(D TrTrTr

frr ×

+×

+×

+×=×v

. (4.24)

După câteva calcule, găsim

zzyyxxzyx

zyxtTeTeTe

TTTfr ×+×+×=

−−−−×

∂∂

∂

∂

∂∂

ρρDDv (4.25)

unde am ţinut seama de faptul că

0DD

=×=× vvvtr

şi de acela că

xxe

r=

∂∂

, yye

r=

∂∂

, zzer

=∂∂

.

Din (4.15) rezultă însă că membrul stâng al ecuaţiei (4.25) este identic nul şi prin urmare 0=×+×+× zzyyxx TeTeTe (4.26) Pe de altă parte, yx ,TT şi zT au expresiile (4.5) şi deoarece yxzzxyxx eeTe ττ −× = , zyxxyzyy eeTe ττ −× = , xzyyzxzz eeTe ττ −=× găsim, în loc de (4.26) 0=−+−+− zyxxyyxzzxxzyyz )()()( eee ττττττ sau yxxy ττ = , zyyz ττ = , xzzx ττ = . (4.27) Tensorul tensiunilor este deci simetric, existând numai trei tensiuni tangenţiale diferite între ele. În încheiere, menţionăm că formula (4.4), ecuaţia (4.15) ca şi relaţiile (4.27) sunt valabile nu numai pentru fluide ci şi pentru orice mediu continuu

Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 53 deformabil deoarece nu s-a utilizat la deducerea lor nici o ipoteză restrictivă în acest sens. Există însă medii continui, inclusiv fluide, la care apar momente interne, ceea ce înseamnă că în acestea sunt cupluri masice şi de suprafaţă repartizate. Formula (4.4) şi ecuaţia (4.15) rămân valabile dar ecuaţia variaţiei momentului cinetic are altă formă şi în consecinţă tensorul tensiunilor nu mai este simetric. 4.2.3. Legea constitutivă Ecuaţia de mişcare (4.15) nu poate fi utilizată în studiul mişcării fluidelor decât dacă se stabileşte în prealabil o relaţie între tensorul tensiunilor şi tensorul vitezelor de deformaţie. O astfel de relaţie se numeşte legea constitutivă. Denumirea de lege şi nu de ecuaţie arată că relaţia la care ne referim respectă principiul obiectivităţii sau al indiferenţei materiale ceea ce înseamnă că nu depinde de sistemul de referinţă. Într-adevăr, ecuaţiile, inclusiv acelea pe care le-am stabilit până în prezent, au forme care depind de sistemul de referinţă adoptat. În stabilirea acestei legi pentru fluidele reale, se consideră că acestea sunt omogene şi izotrope, aşa cum am precizat de altfel în primul capitol. De asemenea, forma generală a acestei legi este )(DT f= (4.28) şi conform celor spuse mai sus, tensorul tensiunilor T nu depinde de poziţia r, iar funcţia f este independentă de orientarea axelor; de asemenea T este o funcţie continuă de D . În sfârşit, atunci când fluidul este în repaus ( D =0) avem IT p−= , I fiind tensorul unitate

100010001

=I . (4.29)

În aceste condiţii, fluidul real se mai numeşte şi stokesian, deoarece definiţia dată mai sus corespunde cu ideile enunţate de Stokes. Se poate arăta că o lege generală ce corespunde celor precizate mai înainte este 2

210 )( DDIT ααα +++−= p (4.30) unde )( 321 I,I,I,T,nn ραα = , 2,1,0=n (4.31) cu 0)000(0 =,,,T,ρα (4.32) în care 321 I,I,I sunt invarianţii scalari ai tensorului vitezelor de deformaţie şi anume Dtr1 =I , 22

2 tr)(tr2 DD −=I , Ddet3 =I (4.33) expresii în care simbolul tr semnifică suma termenilor de pe diagonala

54 Mecanica fluidelor principală a matricei tensorului respectiv, iar simbolul det determinantul acestei matrice; astfel, observăm că avem v⋅∇=Dtr . (4.34) În expresiile funcţiilor 210 ,, ααα au fost incluse densitatea şi temperatura fluidului deoarece tensorul T depinde şi de starea termodinamică a fluidului. În ceea ce priveşte presiunea, am arătat în primul capitol că există o relaţie între aceasta, densitate şi temperatură (ecuaţia de stare). Fluidele a căror lege constitutivă este (4.30) se numesc fluide Reiner – Rivlin. Legea (4.30) fiind complicată se utilizează diferite aproximaţii care se bazează pe introducerea unor expresii polinomiale pentru funcţiile fenomenologice 210 ,, ααα . Astfel, aproximaţia de ordinul zero este 0210 === ααα (4.35) şi prin urmare IT p−= (4.36) ceea ce reprezintă cazul fluidelor ideale, fără vâscozitate. Presiunea termodinamică, introdusă în ecuaţia de stare, se confundă în acest caz cu presiunea mecanică şi poate fi deci funcţie de densitate şi de temperatură. În cazul în care presiunea depinde numai de densitate, fluidul se numeşte barotrop. În aproximaţia de ordinul întâi, avem 10 Iλα = , µα 21 = , 02 =α (4.37) λ şi µ fiind funcţii de variabilele r şi T. Dacă ţinem seama de (4.34) legea constitutivă (4.30) devine Dµλ 2)( +⋅∇+−= IT vp (4.38) fluidele pentru care este valabilă această lege numindu-se newtoniene. În cazul particular al unui fluid incompresibil, legea (4.38) ia forma Dµ2+−= IT p . (4.39) Precizăm că legea constitutivă (4.38) poate fi dedusă direct, utilizând proprietatea de izotropie a fluidului, datorită căreia direcţiile principale ale tensorilor simetrici T şi D coincid, precum şi formula (4.36). Din (4.38) rezultă, în coordonate carteziene ortogonale

x

p xxx ∂

∂µλτ

v2+⋅∇+−= v

y

p yyy ∂

∂µλτ

v2+⋅∇+−= v (4.40)

z

p zzz ∂

∂µλτ

v2+⋅∇+−= v

precum şi

+==

xyyx

yxxy ∂∂

∂∂µττ

vv


+==

yzzy

zyyz ∂∂

∂∂

µττ vv (4.41)

+==

zxxz

xzzx ∂∂

∂∂µττ vv

şi se observă imediat că µ este vâscozitatea dinamică introdusă în primul capitol. Într-adevăr, expresiile (4.41) conţin ca un caz particular legea lui Newton prezentată acolo. Din consideraţiile precedente rezultă că în fluidele în repaus ca şi în cazul fluidelor ideale în mişcare nu există tensiuni tangenţiale, iar din (4.36) rezultă pzzyyxx −=== τττ şi prin urmare presiunea este media aritmetică, cu semn schimbat, a tensiunilor normale. La fluidele reale în mişcare, putem defini o presiune medie p tot ca medie aritmetică, cu semn schimbat, a tensiunilor normale

3

zzyyxxpτττ ++

−= (4.42)

sau, după utilizarea relaţiilor (4.40)

v⋅∇

++−= µλ

32pp (4.43)

Presiunea mecanică astfel definită nu mai este deci aceeaşi cu presiunea termodinamică decât dacă fluidul este incompresibil 0)( =v⋅∇ sau dacă 023 =+ µλ (4.44) ipoteză introdusă de Stokes . În cazul în care nu se acceptă această ipoteză, se pune

'µµλ +−=32 (4.45)

unde 'µ este a doua vâscozitate sau vâscozitatea dilataţională, µ fiind vâscozitatea de forfecare. Ca urmare, relaţiile (4.40) devin

x

p xxx ∂

∂µµµτ

v2

32' +⋅∇

−+−= v

y

p yyy ∂

∂µµµτ

v2

32' +⋅∇

−+−= v (4.46)

z

p zzz ∂

∂µµµτ

v2

32' +⋅∇

−+−= v

în timp ce relaţiile (4.41) rămân neschimbate. Menţionăm însă că unii autori dau denumirea de a doua vâscozitate chiar coeficientului λ. Ipoteza lui Stokes este însă utilizată pe scară largă, chiar dacă este

56 Mecanica fluidelor contrazisă de unele fapte experimentale. Acceptarea acestei ipoteze, care nu este necesară la fluidele incompresibile, se bazează pe faptul că sunt afectate numai tensiunile normale, erorile introduse fiind mici. 4.2.4. Ecuaţia Navier – Stokes În ecuaţia de mişcare a lui Cauchy (4.15), introducem pentru vectorii tensiunilor zyx ,, TTT , expresiile (4.5). Utilizând după aceea legea constitutivă (4.38), respectiv expresiile (4.40) şi (4.41) ale tensiunilor normale şi tangenţiale, cu ipoteza că λ şi µ sunt constante, găsim

vvv 2)()(DD

∇+⋅∇∇++∇−= µµλρρ pt

f (4.47)

unde v2∇ este laplacianul vectorului viteză )( 2 vv ∆=∇ . Aceasta este ecuaţia Navier-Stokes , iar dacă ţinem seama de formula cunoscută vvv 2)()( ∇−⋅∇∇=×∇×∇ (4.48) mai putem scrie

)(-)()2(DD vvv

×∇×∇⋅∇∇++∇−= µµλρρ pt

f . (4.49)

Dacă nu acceptăm ipoteza lui Stokes (4.44), cu ajutorul relaţiei (4.45) ecuaţia (4.47) devine

vvv 2)(31'

DD

∇+⋅∇∇

++∇−= µµµρρ p

tf (4.50)

iar (4.49) ia forma

)()(34'

DD vvv

×∇×∇−⋅∇∇

++∇−= µµµρρ p

tf . (4.51)

În sfârşit, atunci când se adoptă ipoteza lui Stokes care, aşa cum se observă din (4.44) şi (4.45) este echivalentă cu 0'=µ , ecuaţia (4.49) capătă forma cea mai obişnuită şi anume

vvv 2)(31

DD

∇+⋅∇∇+∇−= µµρρ pt

f (4.52)

sau

)()(34

DD vvv

×∇×∇−⋅∇∇+∇−= µµρρ pt

f . (4.53)

Dacă ne referim la forma (4.52) a ecuaţiei Navier – Stokes avem, în proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz,

+

+++−=

zyxxxpf

tzyx

xx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂µ

∂∂ρρ vvvv

31

DD

;2

2

2

2

2

2

+++

zyxxxx

∂

∂

∂

∂

∂

∂µ

vvv


+

+++−=

zyxyypf

tzyx

yy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂µ

∂∂ρρ vvvv

31

DD

.2

2

2

2

2

2

+++

zyxyyy

∂

∂

∂

∂

∂

∂µ

vvv (4.54)

+

+++−=

zyxzzpf

tzyx

zz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂µ

∂∂ρρ vvvv

31

DD

.2

2

2

2

2

2

+++

zyxzzz

∂∂

∂∂

∂∂

µvvv

În cazul în care fluidul este incompresibil 0)( =⋅∇ v , ipoteza lui Stokes nu mai este necesară iar ecuaţiile (4.47) şi (4.49) devin

vv 2

DD

∇+∇−= µρρ pt

f , (4.55)

respectiv

)(DD vv

×∇×∇−∇−= µρρ pt

f . (4.56)

Proiecţiile ecuaţiei (4.55) pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz sunt

=

+++

zyxtx

zx

yx

xx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρv

vv

vv

vv

+++− 2

2

2

2

2

2

zyxxpf xxx

x ∂∂

∂∂

∂∂

µ∂∂

ρvvv

,

=

+++

zyxty

zy

yy

xy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρv

vv

vv

vv

+++− 2

2

2

2

2

2

zyxypf yyy

y ∂

∂

∂

∂

∂

∂µ

∂∂

ρvvv

, (4.57)

=

+++

zyxtz

zz

yz

xz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρvvvvvvv

+++− 2

2

2

2

2

2

zyxzpf zzz

z ∂∂

∂∂

∂∂

µ∂∂

ρvvv

,

cu menţiunea că, de data aceasta, am scris dezvoltat expresiile componentelor acceleraţiei conform formulelor (2.10). În cazul raportării mişcării fluidului la un triedru mobil, viteza absolută av a fluidului, faţă de un sistem fix, are expresia ra vvv +×+= rω0 (4.58)

0v find viteza originii triedrului mobil, ω viteza unghiulară a triedrului mobil, iar rv viteza relativă a fluidului în raport cu triedrul fix.

58 Mecanica fluidelor După efectuarea unor calcule, asupra cărora nu insistăm deoarece sunt cunoscute din cinematica solidelor, se obţine expresia acceleraţiei absolute sub forma

( ) rωrωωrωa ×++××+×+= 2D

D0 t

ra

vv (4.59)

în care punctul înseamnă derivarea în raport cu timpul iar derivata materială a vitezei relative este calculată în sistemul mobil. Prin urmare, în ecuaţia Navier – Stokes expresia precedentă (4.59) a acceleraţiei înlocuieşte pe aceea considerată mai înainte.

4.3. ECUAŢIA IMPULSULUI 4.3.1. Expresia generală Considerăm ecuaţia (4.9) şi observăm că, în conformitate cu formula (2.26) în care punem vρ=f , putem scrie

∫∫∫ ⋅+=11

dddDD

DDDAV

tV

tt ∂

ρρ∂∂ρ nvvvv (4.99)

1D fiind o mulţime mărginită fixă în E3 care coincide cu tD la t=t1. În felul acesta, ecuaţia (4.9) devine

∫∫∫∫ +=⋅+D

nDDD

AVAVt ∂∂

ρρρ∂∂ dddd Tfnvvv (4.100)

unde D, la care am omis indicele, este deci un domeniu din E3 ocupat de fluid, a cărui frontieră D∂ este o suprafaţă regulată cu normala exterioară n. Observăm că (4.99) reprezintă de fapt forma lagrangiană a ecuaţiei impulsului în timp ce (4.100) este forma euleriană a acestei ecuaţii. Dacă introducem notaţiile ∫

Ω= Vm dfF ρ , Ans d∫

Ω=∂

TF (4.101)

ecuaţia (4.100) se scrie

smDD

AVt

FFn +=⋅+ ∫∫∂ρρ

∂∂ dd vvv (4.102)

formă sub care este utilizată de obicei în aplicaţii. 4.3.2. Ecuaţia impulsului pentru un tub de curent Să considerăm o porţiune dintr-un tub de curent delimitată de secţiunile normale S1 şi S2 (figura 4.3) şi să presupunem că mişcarea este staţionară. Dacă ţinem seama şi de expresia debitului volumic elementar dQ, ecuaţia (4.102) devine sm

SSQQ FF +=+ ∫∫

21

dd vv ρρ (4.103)


deoarece, conform definiţiei tubului de curent, debitul prin suprafaţa laterală Sl a acestuia este nul. Dacă S1 şi S2 sunt suficient de mici, putem admite că v

mS

QQ 11

d vv −=∫ ρ ,

mS

QQ 22

d vv =∫ ρ

dacă ţinem seama de orientarea versorilor n1 şi n2 ai normalelor pe S1, respectiv S2 şi introducem debitul masic Qm. Mişcarea fiind staţionară, acest debit este constant, conform formulei (2.69) şi prin urmare, în cele din urmă avem QQ

S1

1

d vv ρρ −=∫ , QQS

22

d vv ρρ =∫ (4.104)

şi ecuaţia (4.103) se scrie smQ FF +=− )( 12 vvρ (4.105) având, sub această formă, diferite aplicaţii practice, după ce se explicitează forţele de masă şi de suprafaţă. Precizăm de asemenea că (4.105), aşa cum se poate constata imediat, este valabilă atât pentru fluidele compresibile cât şi pentru cele incompresibile.

4.4. ECUAŢIA MOMENTULUI CINETIC 4.4.1. Expresia generală Referindu-se la ecuaţia (4.9), observăm, la fel ca în cazul precedent (figura 4.4), dacă punem în (3.25) v×= rρf obţinem

∫∫∫ΩΩΩ

⋅×+×=×11

dddDD

∂ρρ

∂∂ρ AV

tV

tt

nrrr vvvv (4.106)

Figura 4.3

Figura 4.4


1D şi 1D∂ având semnificaţiile cunoscute. Mai departe, procedând la fel ca şi în cazul ecuaţiei impulsului, găsim

AVAVt D

nDDD

dddd ∫∫∫∫ ×+×=⋅×+×∂∂

ρρρ∂∂ Trfrnrr vvv . (4.107)

Dacă introducem notaţiile ∫

Ω×= Am dfrM ρ , Ans d∫

Ω×=

∂TrM (4.108)

ecuaţia (4.107) se scrie

smAVt

MMnrr +=⋅×+× ∫∫ΩΩ ∂ρρ

∂∂ dd vvv (4.109)

această formă fiind utilizată în mod curent în aplicaţii. 4.4.2. Ecuaţia momentului cinetic pentru un tub de curent Presupunând, ca şi în cazul ecuaţiei impulsului că mişcarea este staţionară şi introducând expresia debitului volumic elementar dQ, ecuaţia (4.109) devine sm

SSQQ MMrr +=×+× ∫∫

21

dd vv ρρ . (4.110)

Dacă S1 şi S2 sunt şi de data aceasta suficient de mici, putem utiliza aceeaşi ipoteză relativă la vitezele 1v şi 2v , găsind astfel m

SQQ 11

1

d vv ×−=×∫ rrρ , mS

QQ 222

d vv ×=×∫ rrρ

cu aceeaşi observaţie referitoare la orientarea versorilor n1 şi n2. Ca urmare la ipoteza referitoare la S1 şi la S2, am introdus razele vectoare r1 şi r2 ale centrelor acestor secţiuni. Dacă ţinem seama de (2.69) putem scrie QQ

S11

1

d vv ×−=×∫ rr ρρ , QQS

222

d vv ×=×∫ rr ρρ (4.111)

ajungând astfel la ecuaţia smQ MMrr +=×−× )( 1122 vvρ (4.112) utilizabilă în aplicaţii după explicitarea momentelor forţelor de masă Mm, respectiv al forţelor de suprafaţă Ms. Ca şi (4.105), ecuaţia (4.112) este valabilă atât pentru fluidele compresibile cât şi pentru cele incompresibile.

TESTE DE AUTOEVALUARE A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Definiţi impulsul unui corp. 2. Enunţaţi teorema impulsului. 3. În ce constă acţiunea unui curent de fluid asupra unei conducte curbe? 4. De ce un jet liber de fluid nu exercită o forţă de presiune asupra unui perete?

Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 61 5. În ce condiţii se poate admite aproximaţia că un perete plan asupra căruia acţionează un jet de fluid are întindere infinită? B. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Ecuaţia impulsului pentru un tub de curent de fluid perfect. 2. Acţiunea jeturilor libere de fluid asupra pereţilor rigizi. C. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Energie potenţială – energie cinetică 2. Presiune statică – presiune dinamică

5 . STATICA FLUIDELOR

Cuprins

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Ecuaţia de echilibru a fluidelor. . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.1 Condiţiile de echilibru pentru forţe. . . . . . . . . . . . . 64 5.1.2 Legea de repartiţie a presiunii . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Echilibrul în câmp gravitaţional . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.1 Cazul gazului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.2 Cazul lichidului. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2.3 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3 Forţa hidrostatică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3.1 Cazul suprafeţelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3.2 Cazul suprafeţelor de formă oarecare . . . . . . . . . . . 71

5.4 Corpuri imerse. Legea lui Arhimede. . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Echilibrul şi stabilitatea corpurilor plutitoare . . . . . . . . . 73 5.6 Echilibrul relativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.1 Ecuaţia echilibrului relativ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6.2 Cazul unui lichid aflat într-un vas în translaţie . . . . . . . 78 5.6.3 Cazul unui lichid aflat într-un vas în rotaţie. . . . . . . . . 79

5.7 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Obiective Obiectivele acestei unităţi de învăţare sunt: înţelegerea principiilor staticii fluidelor, aplicarea acestora la determinarea presiunilor şi forţelor de presiune pe suprafeţe, precum şi cunoaşterea problematicii asociate echilibrului relativ al lichidelor. Timp de studiu individual: 8 ore. Rezumat Statica studiază echilibrul fluidelor şi interacţiunea dintre fluidele aflate în repaus relativ şi corpurile solide. Un corp solicitat de un sistem de forţe exterioare se află în echilibru static (în repaus) dacă sistemul de forţe este static echivalent cu zero. Forţele sunt acţiuni reciproce între mase şi se împart în exterioare şi interioare. Forţele exterioare care se exercită asupra tuturor particulelor unui

Statica fluidelor 63 corp se numesc masice, iar cele care acţionează doar pe suprafaţa corpului se numesc superficiale. În orice punct interior aparţinând unui corp fluid în repaus se dezvoltă, în toate direcţiile, tensori tensiune având mărimi egale, care se înscriu într-o sferă, deoarece tensorul tensiune are numai componenta normală, care se numeşte presiune. Legea variaţiei presiunii într-un gaz aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru indică scăderea presiunii odată cu creşterea cotei faţă de planul de referinţă. În cazul aerului atmosferic, această relaţie devine ecuaţia barometrică. Dacă forţele masice lipsesc sau sunt neglijabile, presiunea este constantă în domeniul ocupat de fluid. Ecuaţia hidrostaticii defineşte presiunea absolută într-un lichid aflat în repaus în câmp gravitaţional; aceasta creşte direct proporţional cu adâncimea, iar valoarea presiunii de la suprafaţa de separaţie gaz–lichid se transmite în întreaga masă a lichidului cu aceeaşi intensitate (principiul lui Pascal). Se numeşte presiune relativă valoarea presiunii măsurate de la suprafaţa liberă a lichidului. Valoarea absolută a presiunii relative negative (care apare când presiunea absolută este inferioară celei atmosferice) se numeşte presiune de vacuum. În fiecare punct al peretelui unui vas în care se află un fluid în repaus acţionează o forţă de presiune elementară, având direcţia normalei la perete, sensul de la fluid spre perete şi mărimea egală cu produsul dintre presiunea relativă şi aria elementului de suprafaţă. Prin integrarea acestui sistem de forţe distribuite se obţin fie o forţă rezultantă, când suprafaţa este plană sau curbă cu simetrie axială ori centrală, fie două forţe situate în plane diferite, în cazul suprafeţelor curbe oarecare. Rezultanta forţelor de presiune pe suprafaţa închisă care mărgineşte un corp scufundat într-un lichid este o forţă verticală ascendentă, egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp (principiul lui Arhimede). Un lichid aflat într-un vas în mişcare este în echilibru relativ, faţă de un sistem de axe solidar legat de vas, dacă viteza şi acceleraţia lichidului în raport cu acest sistem mobil de axe sunt nule. Suprafaţa liberă a lichidului aflat în echilibru relativ într-un vas cilindric vertical, care se roteşte uniform în jurul axei sale de simetrie, are forma unui paraboloid. Suprafaţa liberă a lichidului aflat în echilibru relativ într-un vas care are o mişcare de translaţie uniform accelerată are forma unui plan înclinat.

* * *


5.1. ECUAŢIA DE ECHILIBRU A FLUIDELOR Dacă în ecuaţia (4.63) punem v =0, rezultă

p∇=ρ1f (5.1)

aceasta fiind ecuaţia de echilibru a fluidelor. Se observă imediat că la acelaşi rezultat se ajunge şi dacă utilizăm ecuaţia (4.66) ceea ce înseamnă că ecuaţia (5.1) este valabilă atât pentru fluidele compresibile cât şi pentru cele incompresibile. În proiecţie pe axele unui triedru cartezian ortogonal Oxyz, găsim

xp

f x ∂∂

ρ1

= ; ypf y ∂

∂ρ1

= ; zpf z ∂

∂ρ1

= . (5.2)

Bine înţeles, ecuaţia (5.1) poate fi demonstrată direct, considerând un domeniu D cu frontiera D∂ , ocupat de fluidul în repaus şi scriind că rezultanta forţelor de masă şi de suprafaţă este nulă, cu observaţia că, în cazul echilibrului, forţa de suprafaţă este datorată numai presiunii. Atunci când singura forţă de masă este gravitaţia, situaţie frecvent întâlnită, dacă axa Oz are sensul verticalei ascendente, ecuaţiile (5.2) devin

0=xp

∂∂ ; 0=

yp

∂∂ ; g

zp ρ

∂∂

−= (5.3)

g fiind acceleraţia gravitaţională. Primele două ecuaţii (5.3) arată că presiunea este constantă în toate punctele unui plan orizontal (normal pe axa Oz); prin urmare, planele orizontale sunt suprafeţe de egală presiune (izobare). În ceea ce priveşte cea de a treia ecuaţie (5.3), din aceasta rezultă că presiunea scade atunci când z creşte, adică pe direcţia verticalei. 5.1.1.Condiţiile de echilibru pentru forţe Din ecuaţia de echilibru (5.1) scrisă sub forma p∇=fρ (5.4) putem deduce condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească forţele de masă pentru ca echilibrul să fie posibil. Astfel, dacă aplicăm operatorul rotor în ambii membri ai ecuaţiei precedente, rezultă ( ) 0=×∇ fρ (5.5) sau, deoarece 0)( =∇×∇ p , ( ) .0=×∇+×∇ ff ρρ (5.6) Examinarea relaţiei (5.6) ne permite să distingem mai multe situaţii posibile. Astfel, dacă fluidul este incompresibil, densitatea ρ fiind deci constantă, condiţia necesară pentru echilibru este 0=×∇ f (5.7) ceea ce înseamnă că trebuie să existe o funcţie de forţe U(x, y, z) astfel ca U∇=f (5.8) respectiv

Statica fluidelor 65

x

Uf x ∂∂

= ; y

Uf y ∂∂

= ; zUf z ∂

∂= (5.9)

forţa de masă fiind deci conservativă. Atunci când fluidul este compresibil, din condiţia (5.6), scrisă sub forma ρρ ∇×=×∇ ff , (5.10) se observă că echilibrul este posibil numai dacă forţa de masă este normală pe rotorul ei. Într-adevăr, vectorul din membrul al doilea al formulei precedente este normal pe f şi prin urmare 0. =×∇ ff . (5.11) Formal, această ecuaţie este satisfăcută şi pentru (5.7) dar nu mai are sens fizic. Observăm însă că din (5.10) rezultă 0=×∇ fρ , (5.12) ceea ce înseamnă că suprafeţele de egală densitate (izodense) trebuie să fie normale pe forţa de masă. Dacă utilizăm ecuaţia de echilibru (5.1) găsim, în loc de (5.12), 0=∇×∇ pρ , (5.13) relaţie care este posibilă atunci când densitatea este funcţie numai de presiune, fluidul numindu-se, în acest caz, barotrop. Astfel, dacă )( pρρ = (5.14) rezultă pp ∇=∇ )(ρρ (5.15) şi prin urmare ρ∇ este paralel cu vectorul p∇ , condiţia (5.13) fiind deci satisfăcută. Observăm de altfel că, dacă fluidul este barotrop, putem introduce funcţia de presiune

∫= ρpdP (5.16)

şi ecuaţia (5.1) devine P∇=f (5.17) fiind deci satisfăcută condiţia (5.7). În concluzie, pentru fluidele incompresibile şi pentru fluidele barotrope, echilibrul este posibil doar dacă forţele de masă satisfac condiţia (5.7). Dacă ρ şi p sunt variabile independente, condiţia care trebuie satisfăcută este (5.11). 5.1.2. Legea de repartiţie a presiunii Din (5.1) şi (5.8), rezultă

pU ∇=∇ρ1 (5.18)

dacă presupunem că fluidul este sau incompresibil sau barotrop. După ce înmulţim scalar în ambii membri cu dr ecuaţia precedentă, obţinem

ρpU dd = , (5.19)

ecuaţie din care, prin integrare, se găseşte legea de variaţie a presiunii.

66 Mecanica fluidelor Ecuaţia (5.19) arată că suprafeţele U=0, care se numesc suprafeţe de nivel, sunt în acelaşi timp, suprafeţe de egală presiune (izobare). Prin urmare, presiunea este funcţie numai de U şi putem scrie )(Upp = (5.20) sau

ρ=′= )(dd UpUp , (5.21)

dacă ţinem seama de (5.19); aşa dar, pentru U=C şi densitatea este constantă, suprafeţele de nivel fiind şi izodense. Revenind la ecuaţia (5.19), obţinem prin integrare

∫ =− CUpρd , (5.22)

sau CU =−P , (5.23) dacă utilizăm notaţia (5.16). Pentru gaze, dacă ecuaţia de stare este (2.16) în care presupunem că temperatura T este constantă, evoluţia fiind deci izotermică, rezultă CUpTR =−ln (5.24) iar dacă relaţia dintre densitate şi presiune este (2.18), găsim

CUpk

k=−

− ρ1. (5.25)

În sfârşit, dacă fluidul este incompresibil (lichid), densitatea fiind deci constantă, (5.22) devine

CUp=−

ρ. (5.26)

Să considerăm acum suprafaţa de separaţie dintre două lichide imiscibile aflate în repaus sau dintre un lichid şi un gaz, tot în condiţii de repaus. Menţionăm că, în cel de al doilea caz, o astfel de suprafaţă se numeşte liberă. Într-un punct oarecare al unei suprafeţe de separaţie sau al unei suprafeţe libere, care aparţine deci ambelor fluide, putem scrie, aplicând ecuaţia (5.19) Up dd 1ρ= ; Up dd 2ρ= deoarece presiunea şi forţele de masă sunt aceleaşi în cele două fluide, diferind numai densităţile ρ1 şi ρ2. Obţinem astfel 0d)( 21 =− Uρρ şi deoarece 21 ρρ ≠ rezultă dU=0 şi U=C. Suprafeţele de separaţie sau suprafeţele libere sunt deci suprafeţe de nivel.

5.2. ECHILIBRUL ÎN CÂMP GRAVITAŢIONAL 5.2.1. Cazul gazului

Statica fluidelor 67 Un caz particular interesant este acela în care forţa de masă este gravitaţia, fluidul găsindu-se deci în echilibru sub acţiunea greutăţii proprii. În această situaţie, din (5.3) şi (5.9) rezultă czgU +−= (5.27) şi (5.22) devine

∫ =+ Czgpρ

d , (5.28)

constanta c fiind înglobată în C. Pentru un gaz aflat în echilibru la temperatură constantă, din (5.24) rezultă CzgpTR =+ln (5.29) şi considerând două puncte z1 şi z în care presiunile sunt p1 şi p, găsim

TR)zz(g

epp−

=1

1 . (5.30) Dacă unul dintre puncte se află în planul Oxy (z1=0) formula precedentă devine

TRzg

epp−

= 1 (5.31) şi dacă 0>z presiunea scade exponenţial cu înălţimea. Atunci când relaţia dintre densitate şi presiune este (2.18), rezultă

−

−=−

−k

k

pp

gTR

kkzz

1

1

11 1

1 (5.32)

şi dacă z1=0, această formulă devine

−

−=

−k

k

pp

gTR

kkz

1

1

1 11

(5.33)

sau

1

11

11−

−−=

kk

TRzg

kkpp . (5.34)

5.2.2. Cazul lichidului În sfârşit, pentru un lichid, considerat incompresibil, (5.28) ne dă

Czgp=+

ρ, (5.35)

sau sub o formă mai obişnuită Czgp =+ ρ . (5.36) Să considerăm şi de data aceasta două puncte în interiorul lichidului, la înălţimile z şi z1, în care presiunile au respectiv valorile p şi p1. Din (5.36) deducem imediat ( )zzgpp −+= 11 ρ (5.37)

68 Mecanica fluidelor sau, dacă z1=0, zgpp ρ−= 1 . (5.38) Tot astfel, dacă în (5.37) punctul de înălţime z1 se află pe suprafaţa liberă unde presiunea p0 este constantă şi observăm că hzz =−1 reprezintă adâncimea celui de al doilea punct faţă de suprafaţa liberă, (5.37) devine hgpp ρ+= 0 (5.39) formă întâlnită des în aplicaţii. Precizăm că presiunea pe suprafaţa liberă este de obicei presiunea atmosferică pa şi în acest caz putem scrie hgpp a ρ+= (5.40) p fiind presiunea absolută iar hgppp ar ρ=−= (5.41) presiunea relativă. Mai observăm că (5.36) se poate pune sub forma

Czg

p=+

ρ

suma din primul membru numindu-se cota piezometrică a particulei de fluid care se află la cota z şi este supusă presiunii p. Raportul gp ρ/ se numeşte înălţimea piezometrică ce corespunde presiunii p. 5.2.3. Aplicaţii Să considerăm două vase care comunică între ele şi în care se află un lichid (figura 5.1). Să presupunem mai întâi că presiunile p1 şi p2 de pe suprafeţele libere sunt diferite. Dacă ne raportăm la un plan orizontal de referinţă a-a, putem scrie

2211 hgphgp ρρ +=+ deoarece acest plan este o suprafaţă izobară. Rezultă deci ( ) hghhgpp ρρ =−=− 2112 şi se observă imediat că, dacă presiunile p1 şi p2 sunt egale, diferenţa de nivel h este nulă şi suprafeţele libere sunt situate în acelaşi plan orizontal (principiul vaselor comunicante).

Figura 5.1

Statica fluidelor 69 Dacă două lichide imiscibile se află într-un tub în formă de U (figura 5.2), densităţile lor fiind ρ1 respectiv ρ2 şi pe suprafaţa liberă presiunea pa este aceeaşi, putem scrie, faţă de planul orizontal al suprafeţei de contact

2211 hgphgp aa ρρ +=+ de unde rezultă

1

2

2

1

ρρ

=hh (5.42)

înălţimile coloanelor de lichid fiind deci invers proporţionale cu densităţile.

5.3. FORŢA HIDROSTATICĂ Să considerăm un fluid greu incompresibil care se află în echilibru într-un vas, iar pe suprafaţa liberă se exercită presiunea atmosferică pa (figura 5.3).

Presiunea într-un punct al suprafeţei interioare a vasului rezultă din (5.39) şi dacă punctul se află pe un element de arie dA, pe acesta se exercită o forţă

Ahgpa d)( ρ+n , n fiind versorul normalei pe dA dirijat către exteriorul vasului. Remarcăm însă că pe suprafaţa exterioară a vasului se

exercită pe elementul dA forţa Apa dn− , astfel că forţa rezultantă este Ahg dd ρnR = . (5.43) Integrând pe o suprafaţă determinată S de arie A, obţinem forţa totală ce apasă asupra acestei suprafeţe. Dacă suprafaţa S este curbă, forţele elementare nu pot fi reduse, în general, numai la o forţă, dar se poate calcula, în raport cu un punct oarecare, o rezultantă a lor şi un moment rezultant, amândouă diferite de zero. Dacă S se află într-un plan, toate forţele elementare sunt normale pe acest plan şi prin urmare paralele între ele. Rezultanta R este deci orientată normal pe plan (spre exterior) şi are mărimea ∫=

S

AhgR dρ . (5.44)

R se numeşte forţa de presiune a lichidului pe suprafaţa S. Linia de acţiune a lui R întâlneşte suprafaţa S într-un punct din interiorul acesteia, care se numeşte centrul de presiune.

Figura 5.2

Figura 5.3

70 Mecanica fluidelor 5.3.1. Cazul suprafeţelor plane Forţa de presiune pe o suprafaţă plană are expresia (5.44) care se mai poate scrie AhgR 0ρ= (5.45) h0 fiind adâncimea centrului de masă al suprafeţei S şi A aria acesteia. Prin urmare, forţa de presiune pe care un lichid în repaus o exercită asupra suprafeţei plane S este egală cu greutatea unui cilindru format din acest lichid care are ca bază S şi ca înălţime adâncimea centrului de masă al lui S. În ceea ce priveşte determinarea poziţiei centrului de presiune, pentru simplificarea rezultatelor axele de coordonate trebuie alese în mod convenabil. Astfel, axa Oy este intersecţia dintre planul suprafeţei libere şi planul suprafeţei S, iar axa Ox în lungul unei linii de cea mai mare pantă, cu sensul pozitiv în jos (figura 5.4). Coordonatele xc şi yc ale centrului de presiune rezultă din relaţiile

∫

∫=

S

Sc Ahg

Axhgx

d

d

ρ

ρ;

∫

∫=

S

Sc

Ahg

Ayhgy

d

d

ρ

ρ

(5.46)

care exprimă faptul că suma momentelor forţelor elementare faţă de axele alese este egală cu momentele rezultantei faţă de aceleaşi axe. Dacă observăm însă că αsinxh = , α fiind unghiul planului suprafeţei S cu planul suprafeţei libere şi facem simplificările de rigoare, rezultă

∫

∫=

S

Sc Ax

Axx

d

d2

; ∫

∫=

S

Sc Ax

Ayxy

d

d. (5.47)

În expresia lui xc apare la numărător momentul de inerţie Iy al lui S faţă de axa Oy, iar în expresia lui yc, momentul centrifugal Ixy al aceleiaşi suprafeţe faţă de axele Ox şi Oy; expresiile precedente devin

Ax

Ix y

c0

= ; Ax

Iy yx

c0

= (5.48)

deoarece AxAx

S∫ = 0d

x0 fiind abscisa centrului de masă al suprafeţei S.

Figura 5.4

Statica fluidelor 71 Din (5.48) rezultă următoarele concluzii importante: a) poziţie centrului de presiune nu depinde de înclinarea α; b) numărătorul lui yc se anulează atunci când suprafaţa S este simetrică faţă de axa Ox şi prin urmare dacă este simetrică faţă de o linie de cea mai mare pantă, centrul de presiune se găseşte pe ea; c) centrul de presiune este totdeauna mai jos decât centrul de masă; notând cu I0 momentul de inerţie al lui S faţă de o axă paralelă cu Oy care trece prin centrul de masă avem AxAxII )( 22

0200 δ+=+= unde δ este

raza de giraţie faţă de axa nou introdusă; expresia lui xc devine deci

00

2

00

>+==x

xAx

Ix y

cδ . (5.49)

5.3.2. Cazul suprafeţelor de formă oarecare Dacă suprafaţa supusă presiunii lichidului aflat în echilibru nu este plană, complexul forţelor elementare care lucrează pe elementele dA nu poate fi redus la o forţă unică decât în cazuri particulare. În general, nu se poate vorbi de o forţă rezultantă sau de un centru presiune unic, acţiunea exercitată de lichid putând fi redusă, în raport cu un punct, la o forţă şi la un moment rezultant.

De regulă, nu este greu să se determine mărimea şi linia de acţiune ale componentelor acestei forţe după verticală şi după o direcţie oarecare orizontală. Să considerăm, în acest scop, trei suprafeţe cilindrice ale căror generatoare se sprijină pe conturul suprafeţei S şi sunt paralele, respectiv cu axele Ox, Oy, Oz

(figura 5.5). Intersecţiile acestor suprafeţe cu planele de coordonate delimitează suprafeţele Sx, Sy, Sz, adică proiecţiile suprafeţei S. Considerând această suprafaţă S, suprafeţele cilindrice si suprafeţele Sx, Sy, Sz, obţinem trei suprafeţe închise. Pentru fiecare dintre acestea, forţa rezultantă a presiunilor este egală cu greutatea volumului de lichid închisă în fiecare dintre ele şi îndreptată în sens contrar cu această greutate. Pentru a calcula componenta Rx, ne referim la suprafaţa închisă ale cărei generatoare sunt paralele cu axa Ox. Greutatea lichidului cuprins în interiorul acestei suprafeţe precum şi presiunile pe suprafaţa laterală cilindrică sunt normale pe axa Ox astfel că Rx trebuie să se echilibreze cu forţa de presiune pe suprafaţa Sx. În mod analog, găsim că Ry trebuie să se echilibreze cu forţa de presiune pe suprafaţa Sy. Pentru a calcula componenta Rz, vom presupune că planul xOy coincide cu suprafaţa liberă a lichidului. În acest caz, se observă

Figura 5.5

72 Mecanica fluidelor uşor că Rz este egală cu greutatea G a lichidului cuprins în interiorul suprafeţei închise corespunzătoare. Prin urmare, putem scrie ∫=

xSx AhgR dρ ; ∫=

ySy AhgR dρ ; GRz = (5.50)

h având aceeaşi semnificaţie ca şi mai înainte, sau xxx AhgR 0ρ= ; yyy AhgR 0ρ= ; GRz = (5.51) Ax şi Ay fiind ariile suprafeţelor Sx respectiv Sy şi h0x, h0y adâncimile centrelor de masă ale acestor suprafeţe.

5.4. CORPURI IMERSE. LEGEA LUI ARHIMEDE Dacă un corp solid cu volumul V şi suprafaţa S este scufundat în întregime într-un lichid (imers), pe suprafaţa acestuia presiunile lichidului dau o forţă rezultantă VpAp

VS

dd ∫∫ ∇−=−= nR (5.52)

n fiind versorul normalei pe S cu sensul pozitiv către exteriorul acesteia. Din (5.36) rezultă ( ) zgzgCp eρρ −=−∇=∇ (5.53) şi după înlocuirea în (5.52) obţinem GeR −== zVgρ (5.54) unde am notat cu G greutatea volumului de lichid dezlocuit de corpul considerat. Prin urmare, un lichid exercită asupra unui corp scufundat în el o forţă egală cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp, dirijată în sensul verticalei ascendente. Acest rezultat constituie legea lui Arhimede. Legea lui Arhimede se aplică şi la un corp parţial scufundat în lichid cu condiţia ca să considerăm numai volumul V al părţii din corp scufundate. Se poate demonstra că linia de acţiune a acestei forţe trece prin centrul de masă al volumului de lichid dezlocuit. În acest scop, considerăm momentul forţelor elementare de presiune care acţionează pe suprafaţa corpului, faţă de un punct oarecare O. Dacă P este un punct oarecare de pe suprafaţa corpului, n versorul normalei exterioare iar r vectorul de poziţie al punctului P, acest moment are expresia ∫ ×−=

S

ApdnrM (5.55)

sau, aplicând o formulă a lui Gauss, ( )∫∫ ×∇=×=

VS

VpAp dd rrnM . (5.56)

Pe de altă parte însă rrrr ×∇=×∇+×∇=×∇ pppp )( deoarece 0=×∇ r , iar din (5.56) rezultă

Statica fluidelor 73 ∫ ×∇=

V

Vp drM (5.57)

şi dacă utilizăm formula (5.53) obţinem VVgM

Vz

V

dd rgre ×=×−= ∫∫ ρρ (5.58)

deoarece ge =− zg . Considerând centrul de masă al volumului dezlocuit, putem scrie

VgG V

G d1 rr ∫= ρ (5.59)

iar expresia (5.58) a momentului se poate pune sub forma

VG

gV

drGM ×= ∫ ρ (5.60)

de unde deducem, comparând cu (5.59) RrGrM ×=×−= GG (5.61) rezultat care exprimă proprietatea enunţată. Pentru că un corp scufundat să rămână în echilibru, trebuie ca greutatea sa, pe care o notăm cu Gc, să fie egală cu aceea a volumului de lichid dezlocuit G, iar centrul de masă al corpului trebuie să se găsească pe aceeaşi verticală cu centrul de masă al volumului de lichid dezlocuit. Dacă greutatea Gc a corpului este mai mare decât G, acesta se scufundă în întregime. Dacă G este mai mare decât greutatea corpului, acesta se ridică la suprafaţa liberă până ce greutatea lui devine egală cu greutatea Vg ′ρ a volumului de lichid dezlocuit.

5.5. ECHILIBRUL ŞI STABILITATEA CORPURILOR PLUTITOARE

Un corp care se găseşte în echilibru fiind numai parţial scufundat într-un lichid poartă numele de plutitor. Secţiunea plutitorului prin planul suprafeţei libere a lichidului se numeşte plan de plutire, aria acestei secţiuni fiind aria de plutire. Conturul ei se numeşte linie de plutire. Plutitorul fiind supus numai greutăţii proprii şi rezultantei presiunilor exercitate de lichid, condiţiile de echilibru necesare şi suficiente sunt: 1. Greutatea volumului de lichid dezlocuit trebuie să fie egală cu greutatea corpului. 2. Centrul de masă al corpului şi centrul de masă al volumului de lichid dezlocuit trebuie să se găsească pe aceeaşi verticală. Un corp parţial scufundat într-un lichid se numeşte corp plutitor sau plutitor. În condiţiile de plutire, planul suprafeţei libere a lichidului împarte volumul corpului în două părţi; cea scufundată care dacă ar fi plină cu lichid ar avea o greutate egală cu corpul întreg. Planele care satisfac această condiţie pentru un corp dat se numesc plane de plutire iar secţiunile pe care

74 Mecanica fluidelor le determină sunt denumite secţiuni de plutire. Volumul din corp care se află sub planul de plutire se numeşte carenă, iar centrul său de greutate este denumit centru de carenă. La un plutitor orice deplasare este însoţită, de obicei de o schimbare în formă şi dimensiuni a carenei. Volumul carenei rămâne însă neschimbat deoarece greutatea corpului este constantă. Plutitoarele care prezintă un mare interes practic, navele, au întotdeauna un plan vertical de simetrie în lungul căruia se măsoară dimensiunea orizontală cea mai mare. Oscilaţiile longitudinale ale plutitorului sunt numite oscilaţii de tangaj iar cele transversale, oscilaţii de ruliu. Un corp plutitor este stabil atunci când dispune de capacitatea de a-şi restabili poziţia de echilibru sau de a se redresa atunci când diferite cauze (vânt,valuri etc.) l-au scos din situaţia iniţială de echilibru. În cele ce urmează, vom deduce condiţia de stabilitate pentru ruliu. Pentru simplificare presupunem că centrul de greutate al plutitorului şi centrul de carenă sunt situate în aceeaşi secţiune transversală, oscilaţiile sunt izocarene şi unghiul de înclinare α < 15°.

În figura 5.6 se prezintă poziţia plutitorului după o rotaţie de acest fel (mai precis, este desenată secţiunea cu un plan normal pe axa de rotaţie, care trece prin centrul de greutate al plutitorului);G este centrul de greutate al corpului, în care este aplicată greutatea GC. ′C este centrul de carenă corespunzător poziţiei de plutire (nu de echilibru), care rezultă în urma rotaţiei,

în care este aplicată forţa lui Arhimede CGR −= ; C este centrul de carenă corespunzător poziţiei iniţiale. Axa de înclinare este linia rezultată din intersecţia noului plan de plutire A’B’ cu vechiul plan AB, iar în urma acesteia este punctul O. Piciorul celei mai scurte perpendiculare, dusă pe GC de pe verticala lui C ′ , se numeşte metacentrul relativ la axa de înclinare. Admiţând că punctele G,C şi C ′ sunt coplanare rezultă că metacentrul este punctul de intersecţie al lui GC cu verticala dusă prin C ′ . Se observă că echilibrul este stabil faţă de oscilaţia considerată când metacentrul M este mai sus decât centrul de greutate G şi este nestabil în caz contrar . Dacă M este metacentrul corespunzător unei înclinaţii de unghi θ în jurul axei care trece prin O, momentul de revenire corespunzător are mărimea θsin⋅⋅GMGC . Determinarea înălţimii metacentrice MG are un interes practic deoarece durata perioadei de oscilaţie în mişcarea de ruliu depinde numai de ea.

Figura 5.6

Statica fluidelor 75 Se poate arăta că axa de înclinare trece prin centrul de greutate al secţiunii de plutire. Într-adevăr, dacă notăm cu τ carena şi ţinem seama de faptul că în timpul deviaţiei aceasta rămâne neschimbată, rezultă că volumul ∆τ al părţii AA’O ieşite din lichid trebuie să fie egal cu acela al părţii OBB’ (figura 5.7). Dacă se notează cu y distanţa de la un element dτ al suprafeţei σa până la axa care trece prin O, volumul ∆τ are expresia ∫∫ −==∆

21dd

σσσθσθτ yy (5.62)

unde σ1 şi σ2 sunt cele două părţi în care axa de înclinare împarte secţiunea de plutire σa. De aici rezultă ∫∫ ∫ =+

ayyy

σσ σσθσθσθ ddd

1 2

şi deoarece θ este constant 0d =∫ a yσ σ , (5.63)

rezultat care arată că axa de înclinare trece prin centrul de greutate al secţiunii σa. Dacă se consideră noua poziţie C ′ a centrului de carenă, în urma înclinării cu unghiul θ această poziţie se poate găsi ţinând seama de faptul că momentul faţă de C al forţei arhimedice aplicată în C ′ este egal cu suma momentelor forţei lui Arhimede aplicată asupra volumului OBB ′ , care a intrat în lichid şi al greutăţii volumului ieşit din lichid OAA ′ . Aceste două forţe sunt egale şi de semn contrar, creând un cuplu, al cărui moment în raport cu punctul C este egal cu momentul din oricare alt punct din plan şi deci şi în raport cu punctul O. Păstrând relaţiile de mai sus, momentul faţă de O, corespunzător părţii intrate în lichid, este σθρ

σd2

1yg∫ , iar acela corespunzător părţii ieşite,

σθρσ

d22

yg∫ (de acelaşi sens cu primul).

Suma acestor momente este 0

22

21

2 ddd Igygygyg a θρσθρσθρσθρ σσσ ==+ ∫∫∫ (5.64)

unde I0 este momentul de inerţie al secţiunii de plutire σa faţă de axa de înclinare care trece prin centrul ei de greutate pentru un unghi θ constant. Momentul forţei lui Arhimede ρgτ în raport cu punctul C este

θτρ sinMCg şi, pentru valori mici ale unghiului θ se poate utiliza aproximaţia θθ ≈sin ; prin egalarea celor două momente rezultă 0IMC =τ (5.65) şi deoarece avem δMGMC = , unde am notat cu δ distanţa GC între

Figura 5.7

76 Mecanica fluidelor centrul de greutate şi centrul de carenă, obţinem

00 >±= δτI

MG . (5.66)

Se atribuie lui δ semnul + atunci când centrul de greutate este mai jos decât centrul de carenă. Pentru ca plutitorul să fie readus de către cuplul de revenire în poziţia iniţială trebuie ca înălţimea metacentrică MG să fie pozitivă chiar dacă se introduce pentru I0 valoarea minimă.

5.6. ECHILIBRUL RELATIV Problemele de echilibru relativ apar în cazul unui fluid conţinut într-un vas aflat în mişcare. În general, fluidul nu se va putea menţine în echilibru faţă de un sistem de axe de coordonate solidar cu vasul şi prin urmare este necesar să găsim ce feluri de mişcări de antrenare sunt compatibile cu starea de echilibru relativ. În acest scop, vom scrie mai întâi ecuaţia echilibrului relativ. 5.6.1. Ecuaţia echilibrului relativ Dacă utilizăm rezultatele din mecanică este necesar să considerăm expresia acceleraţiei în care vom observa că, în cazul echilibrului relativ, nu există viteză relativă şi prin urmare nici acceleraţie relativă şi nici acceleraţie Coriolis . Ca urmare, se obţine ecuaţia ( )rωωrωaa ××+×+= 0a (5.67) unde am introdus notaţia 00 v=a pentru acceleraţia originii sistemului mobil. Aşadar, dacă Oxyz este triedrul cartezian ortogonal, legat de vasul cu fluid aflat în mişcare, există, în raport cu triedrul fix ζηξΩ , o mişcare de transport care se compune dintr-o translaţie cu viteza v0 şi o rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe instantanee care trece prin originea triedrului mobil (figura 5.8). Ecuaţia de echilibru se poate scrie deci sub forma

pa ∇=−ρ1af (5.68)

sau

( ) p∇××−×−−ρ1=rωωrωaf 0 . (5.69)

Figura 5.8

Statica fluidelor 77 De obicei, singura forţă exterioară este aceea gravitaţională, fapt care simplifică în mod considerabil condiţiile stabilite mai înainte. Într-adevăr, dacă f se confundă cu acceleraţia gravitaţională g, aceasta din urmă fiind constantă rezultă imediat 0=×∇=×∇ gf ceea ce implică ω = constant, deci 0=ω . (5.70) Prin urmare, pentru ca echilibrul relativ al unui fluid incompresibil în câmpul gravitaţional să fie posibil este necesar ca rotaţia ω să fie constantă atât ca mărime cât şi ca direcţie. Vasul care conţine fluidul trebuie aşa dar să se rotească uniform în jurul unei axe care se deplasează paralel cu ea însăşi dacă originea triedrului mobil are o viteză de translaţie. Ecuaţia de echilibru (5.69) se scrie în acest caz

( ) p∇=××−−ρ1

0 rωωag (5.71)

sau, dacă ţinem seama de formula dublului produs vectorial,

( ) p∇=+⋅−−ρ

ω 120 rωωrag . (5.72)

Dacă alegem una din axele triedrului mobil, de exemplu Oz, paralelă cu direcţia axei de rotaţie, rezultă 0=xω ; 0=yω ; ωω =z şi din (5.72) obţinem ecuaţiile scalare

xpxag xx ∂

∂ρ

ω 120 =+−

yp

yag yy ∂∂

ρω 12

0 =+− (5.73)

zp

ag zz ∂∂

ρ1

0 =− .

Prin integrare, obţinem imediat

( ) ( ) ++−++−= 22

02

2

0 22yyagxxagp

yyxxωω

ρ

( ) Czag zz +− 0 (5.74) constanta C putând fi o funcţie de timp. Dacă există şi o mişcare de rotaţie, aceasta trebuie să fie uniformă şi să se efectueze în jurul unei axe verticale, aşa cum rezultă din cele arătate mai sus. Remarcăm de asemenea că, la fluidele incompresibile, existenţa unei suprafeţe libere implică anumite condiţii complementare pe care le vom preciza în exemplele ce urmează.

78 Mecanica fluidelor 5.6.2. Cazul unui lichid aflat într-un vas în translaţie Ca o primă aplicaţie vom studia echilibrul relativ al unui lichid cu suprafaţă liberă, aflat într-un vas care posedă o mişcare de translaţie (figura 5.9). Ecuaţia (5.74) devine în acest caz

( ) ( ) +−+−= yagxagpyyxx 00ρ

( ) Czag zz +− 0 . (5.75)

Czgzayap+−−−= αα

ρsincos 00 (5.76)

valabilă în orice punct M din interiorul lichidului. Dacã alegem axa Oz dirijatã dupã verticala ascendentã iar axele Ox şi Oy astfel orientate astfel încât acceleraţia de transport a0 sã fie normalã pe Ox, iar cu axa Oy sã facã un unghi α, ecuaţia precedentã ia forma mai simplã Pe suprafaţa liberă, se exercită însă presiunea atmosferică pa astfel că într-un punct A al acesteia, de înălţime Z, avem

CZgZayapa +−−−= ααρ

sincos 00 (5.77)

de unde rezultă, dacă notăm cu h adâncimea punctului M sub suprafaţa liberă ( )hzZ =− , ( )hghapp a +=− αρ sin0 (5.78) sau

++= αρ sin1 0

ga

hgpp a (5.79)

relaţie care determină presiunea în orice punct al lichidului. Dacă a0 este nulă, regăsim relaţia cunoscută (5.39). Suprafeţele izobare (p=const) sunt, într-un moment oarecare t, plane normale pe vectorul 0ag − , de unde rezultă că aceste plane fac cu axa Oy un unghi β dat de relaţia

α

αβ

sincos

tg0

0

aga+

= . (5.80)

Pentru a găsi cota Z a suprafeţei libere, utilizăm ecuaţia (5.77) şi găsim

yag

aag

pC

Z

a

αα

αρ

sincos

sin 0

0

0 +−

+

−= (5.81)

şi deoarece acest plan trebuie să rămână fix, rezultă imediat că în ecuaţia precedentă coeficienţii sunt constanţi

Figura 5.9


10sin

kag

pC a

=+

−

αρ ; β

αα

tgsin

cos2

0

0 ==+

kag

a. (5.82)

Prima dintre aceste relaţii arată că a0 poate fi o funcţie oarecare de timp. A doua relaţie, care exprimă constanta unghiului de înclinare β al suprafeţei libere, reprezintă în acelaş timp şi legătura între componentele

αcos0a şi αsin0a ale acceleraţiei. Prin urmare, în cazul în care mişcarea de antrenare se reduce la o translaţie, acceleraţia poate varia cu timpul, trebuind numai ca rezultanta

0ag − să păstreze o direcţie constantă. 5.6.3 Cazul unui lichid aflat într-un vas în rotaţie

Un alt caz particular interesant este acela al unui lichid aflat într-un vas care se roteşte uniform în jurul unei axe verticale (figura 5.10). Dacă axa Oz este îndreptată după verticala ascendentă şi coincide cu axa de rotaţie, ecuaţia (5.69) ia forma

22

22

22yxp ωω

ρ+= Czg +− (5.83)

şi dacă punem 222 ryx =+ , rezultă

22

2rp ω

ρ= Czg +− . (5.84)

Prin urmare, suprafeţele izobare sunt paraboloizi de rotaţie în jurul axei Oz. Pe suprafaţa liberă ( p = pa, z = Z ), ecuaţia precedentă devine

22

2r

pa ωρ

= CZg +− (5.85)

şi în particular în punctul A( r = 0, Z = Z0), care este vârful paraboloidului

=ρ

ap0ZgC − . (5.86)

Scăzând această relaţie din (5.84), găsim 2

2

2r

pp a ωρ

=− ( )0Zzg −−

iar ecuaţia suprafeţei libere (p = pa) se scrie

02

2

2Zr

gZ +=

ω . (5.87)

Remarcăm faptul că din (5.84) rezultă că în acest caz constanta C nu este funcţie de timp. În ceea ce priveşte valoarea lui Z0, aceasta se poate determina uşor scriind că volumul lichidului rămâne constant. Dacă vasul este un cilindru circular de rază R şi înălţimea lichidului în repaus este H0, avem

Figura 5.10


00

2d2 HRrrZR

∫ = (5.88)

sau, după un calcul simplu

22

00 4R

gHZ ω

−= . (5.89)

Ecuaţia suprafeţei libere capătă deci forma

0

22

2

22HRr

gZ +

−=

ω (5.90)

de unde rezultă (figura 5.10)

22

0 4R

gHH ω

−= (5.91)

Pentru calculul presiunii din interiorul lichidului considerăm două puncte M şi N situate la aceeaşi distanţă r de axa Oz, M în interiorul lichidului şi N pe suprafaţa liberă. Aplicând ecuaţia (5.84) în aceste două puncte şi eliminând constanta C, găsim

( )zZgpp a −+= ρ sau hgpp a ρ+= (5.92) h = Z – z fiind adâncimea punctului M sub suprafaţa liberă. Prin urmare, pe verticală, presiunea se repartizează la fel ca în cazul echilibrului absolut.

5.7 APLICAŢII

Aplicaţia 1. Un rezervor de petrol este prevăzut la partea superioară cu dispozitiv de evacuare a impurităţilor (figura 5.11), având o clapetă OA articulată în O de forma unui pătrat cu latura a. Cunoscându-se h1 = 6 m, h2 = 2 m, a = 20 cm, ρp = 850 kg/m3 şi ρa = 1.100 kg/m3, se cere natura forţei F din acest dispozitiv necesară pentru a ţine clapeta în poziţia de echilibru. Rezolvare. Asupra clapetei acţionează

forţa de presiune P, al cărei moment faţă de punctul O trebuie să fie egal cu cel al forţei F, adică

aFOCP ⋅=⋅ , în care

;2

221 aahghghgP apG

−+== ρρσρ

;N1082,22,022,0281,9100.1681,9850 52 ⋅=⋅

−⋅+⋅⋅=P

Figura 5.11


;m10051,02,052,6

1034,11,02 2

40 =

⋅

⋅+=+=

−

σBxIaOC

;m1034,1121016

1224

44

0−

−⋅=

⋅==

aI

;m52,6221 =

−+=

ahhha

pG ρ

ρ

.N1041,12.0

10051,01082,2 55

⋅=⋅⋅

=⋅

=aOCPF

Aplicaţia 2. Clapeta dreptunghiulară, de dimensiuni a = 0,30 m şi b = 0,50 m, înclinată cu unghiul α = 45° faţă de orizontală şi articulată în B, închide accesul petrolului cu ρ = 750 kg/m3 dintr-un rezervor care, la suprafaţa lichidului, (H = 1,75 m) are o pernă de aer sub presiunea p = 3,4⋅105 N/m2. Se cere să se determine care este forţa T necesară deschiderii clapetei (figura 5.12).

Rezolvare. Pentru ridicarea clapetei, forţa T trebuie să realizeze un moment care trebuie să fie egal cu momentul dat de forţa de presiune a lichidului 0=− fPtT , sau t/PfT = . Determinarea mărimilor P şi f se face cu ajutorul relaţiilor (5.45) şi (5.49), cu observaţia că, pentru determinrea poziţiei sistemului de axe,

Figura 5.12

82 Mecanica fluidelor trebuie stabilit planul manometric ))/(( 0 gpph pρ−= . În aceste condiţii, relaţiile (2.35) şi (2.39) iau forma

,sin

0αρ

ρ abg

ppHgP

ap

⋅

−+=

.

sin12

sin

sinsin

sin12sin

0

2

0

0

30

'

−+

+

+

−+

=

⋅

−+

+

−+

=

gpp

H

a

gpp

H

abgpp

H

abgpp

Hy

p

p

p

pC

ρα

αρ

ααρ

ααρ

Din figura 5.12, b şi c se observă că

.

sin12sin2sin

12 0

20'

−+

+=

−

−+−=

gpp

H

aaagpp

Hyf

p

pC

ρα

ααρ

.ctgαat = Rezultă expresia forţei T

,ctg/

sin12sin2sin 0

20 α

ρα

ααρρ a

gpp

H

aaabgpp

HgT

p

pa

−+

+

−+=

⋅⋅

⋅⋅−⋅

+⋅=2

23,05,081,9750

1081,9104,375,181,975045

T

.N612.35

81,97501081,9104,375,1212

3,0223,0

45

2=

⋅⋅−⋅

+

+⋅

Aplicaţia 3. O stavilă plană, având o densitate liniară ρ = 250 kg/m3, este articulată în punctul O (figura 5.13). Să se traseze graficul funcţiei h = f(α) pentru echilibru şi să se precizeze dacă stavila este în echilibru stabil pentru orice valoare a lui α . Se cunosc ρa = 1.000 kg/m3 şi l = 4 m. Rezolvare. Scriind momentul forţelor de presiune şi greutate faţă de articulaţie şi egalându-l cu zero, rezultă

,0cos2sin2

0 =−

− α

σαlG

xIhPG


,cos2sinsin2sin2

αααα

ρ lGG

hhhhga =

−

de unde se găseşte ecuaţia αα sh cosin3 23 = . Pentru diverse valori ale lui α se obţine diagrama din figura 5.14.

Figura 5.13 Figura 5.14

Aplicaţia 4. Să se determine forţele de presiune pe suprafeţele semicilindrice ABD şi LMN (figura 5.15), cunoscându-se h = 6 m, d = 1 m, ρ = 1.000 kg/m3 şi l = 1 m. Rezolvare. Pe suprafaţa ABC, componenta orizontală datorată simetriei radiale este nulă, Fx=0. Componenta verticală este dată de relaţia

.N105524

32

⋅=

⋅−= lddhgF ayπρ

Dacă o suprafaţă curbă admite un plan vertical de simetrie, componenta orizontală a forţei de presiune este egală cu zero Pe suprafaţa LMN, componenta orizontală este

.N1077,632

3⋅=

+== lddhghgF axGxax ρσρ

Componenta verticală este

.N1007,324

32

21 ⋅=⋅

=−=−= ldggVgVFFF aaazLMzMNzLMNπρρρ

Valoarea 8/2ldπ se obţine prin metoda dublei haşuri, deoarece acolo unde haşurile se întretaie, forţele verticale de presiune se anulează. Rezultă că pentru o suprafaţă curbă se admite un plan orizontal de simetrie, componenta verticală este egală cu greutatea volumului de fluid închis de această suprafaţă. Rezultanta forţelor de presiune pe suprafaţa LMN este

.N1084,63 322 ⋅=+= yx FFR

Forţa Fx trece prin centrul de presiune al suprafeţei LMN proiectat pe un plan perpendicular pe hârtie, iar forţa zF trece prin centrul de greutate al

Figura 5.15

84 Mecanica fluidelor semicilindrului LMN. Unghiul de înclinare al rezultantei este

.'56,0612,0tg === ααx

zFF

Aplicaţia 5. Să se determine forţa necesară pentru ridicarea ventilului conic care închide orificiul de fund al unui rezervor cu apă (figura 5.16). Densitatea materialului ventilului este ρv = 7.800 kg/m3. Rezolvare. Componentele orizontale sunt nule, Fx = Fy = 0; rămâne numai componenta verticală a forţei de presiune care, din figura 5.16, b rezultă că este dată de 21 zzz FFF −= unde Fz2 corespunde corpului de presiune tubular D'D'CC'B'AA având ca bază inferioară suprafaţa laterală a trunchiului ABCD, iar Fz1 corespunde corpului de presiune A'A'ADD :

,27

24,23

14916,0

35

34,0 3

32

1 ghghhhhgF aaaz ρπρππρ ==

−

=

,33

4,03

4,02,02,034,0

33

222

2

22

1

−

⋅++=

hhhhhhhgF az ππρ

,8128,0

2716,0

924,036,016,0

93

33

1 hgghh

F aaa

z πρρππρ

=−

++

=

.8144,6

8128,0

2724,2 33

21 hghgFFF aazzz πρπρ =

−=−=

Greutatea ventilului

( ) .324,1

316,08,74,0

3332 hghghhgVgG aavvv ρππρπρρ =

⋅===

Forţa minimă pentru ridicarea ventilului va fi

;493,0324,1

8144,6 333 hghghgGFF aaaz ρπρπρπ =+=+=

N,185.1581,9000.1548,1 33 hhF =⋅⋅= (pentru h introdus în metri). Aplicaţia 6. Un rezervor cilindric cu partea superioară conică, prelungită cu un tub plin cu lichid de densitate ρ = 800 kg/m3. Se cere să se

Figura 5.16

Statica fluidelor 85 calculeze eforturile care solicită pereţii vasului după secţiunea 1-1 (figura 5.17, a) neglijjând greutatea proprie a vasului. Aplicaţie numerică: D = 2,0 m; d = 0,1 m; h3 = 2 m; h2 = 1 m; h1 = 0,70 m.

Rezolvare. Efortul care solicită pereţii vasului, după secţiunea 1-1 este egal cu forţa de presiune a apei pe partea tronconică a vasului. Se trasează corpul de presiune (figura 5.17, b) şi calculăm componenta verticală

( ) ,210 VVVggVFP z −−−=−== ρρ

( )212

0 hhRV += π ; 12

1 hrV π= ; ( ) ,3

2222 rRrRhV ++=

π

( ) ( ) ,m23,405,0105,013

17,005,017.01 3222 =⋅++⋅

−⋅⋅−+⋅⋅=πππV

.N197.3323,481,9800 −=⋅⋅−=−== VgFF z ρ Aplicaţia 7. Să se calculeze pescajul unui corp cilindric circular din lemn, care pluteşte în apă (figura 5.18). Aplicaţie numerică: ρl = 700 kg/m3, L = 4 m, R = 0,1 m.

Rezolvare. Greutatea corpului cilindric circular este LRgVgG ll

2πρρ == . Forţa arhimedică este WgP aA ρ= , în care W este volumul de

Figura 5.17

Figura 5.18

86 Mecanica fluidelor carenă dat de volumul segmentului de cilindru circular cu înălţimea h (figura 5.18, b). Deci

,)2sin2(21 2 LRgP aA ααρ −=

unde α este exprimat în radiani. Condiţia de plutire PA = G conduce la

LRgLRg ae )2sin2(21 22 ααρπρ −= ,

de unde rezultă

.22sin2a

eρρ

παα =−

Pescajul corpului cilindric va fi )cos1( α+= Rh . Pentru aplicaţia numerică se rezolvă la ecuaţia

.4,4000.1

7002sin2 ==− παα

Prin încercări, rezultă valoarea α = 1,88 radiani, adică α = 108°. Deci pescajul este

.m131,0)31,01(1,0)108cos1(1,0 =+=−= h

Aplicaţia 8. Un rezervor paralelipipedic de dimensiuni 6 m x 3 m x 3 m conţine apă pe înălţimea h = 2 m (figura 5.20). Dacă acest rezervor se deplasează pe orizontală cu o acceleraţie constantă a = 2,5

m/s2, se cere: a. Să se calculeze forţele de presiune pe suprafaţele AB şi CD; b. Să se demonstreze că diferenţa dintre valorile acestor forţe este egală cu forţa necesară pentru accelerarea masei lichidului. Rezolvare.

a) ;254,081,95,2tg ===

gaxβ .'1514=β

,m762,2tg32

,N1093,1113762,22762,281,9000.1

23

0

=+=

⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅==

β

ρσρ

AB

lABABghgFAB

.m238,1tg32

,N1037,223238,12238,181,9000.1

23

=−=

⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=

β

ρ

DC

lDCDCgFCD

b) .N1057,895,2000.1236

,N1057,893

3

⋅=⋅⋅⋅⋅==

⋅=−=

x

CDAB

amF

FFF

Figura 5.20


Aplicaţia 9. Rezervorul tronconic din figura 5.21, cu α = 35°, D = 1 m şi H = 1,5 m este umplut cu apă pe o înălţime h = 0,4 m şi este rotit apoi în jurul axei sale verticale. Să se determine turaţia maximă n1 pentru care lichidul nu curge din rezervor, precum şi turaţia minimă n2 pentru care lichidul părăseşte în întregime rezervorul. Rezolvare. Suprafaţa liberă are forma unui parabloid de revoluţie a cărui ecuaţie este

grzz

2

22

0ω

+= (1)

Pe conturul B, ecuaţia (1) ia forma

gRuzH

2

22

21

0 =− (2)

Din considerente geometrice rezultă

.m642,235ctg5,121ctg

22 =+=+= αHDR

Se observă că volumul gol iniţial este egal cu volumul BAB din timpul rotaţiei

------ ,))((3

)(21 2

002220

22 RRRRhHzHR ++−=−

ππ (3)

unde

.m071,135ctg4,021ctg

20 =⋅+=+= αhDR

Eliminând pe z0 între relaţiile (2) şi (3), rezultă

( ) .rot/min18,17642,2071,1

642,2071,11

34,05,181,9

642,260

13

)(6030

2

2

22

20

2

0

2

'1

1

=

++

−⋅⋅

=

=

++

−==

π

ππω

RR

RRhHg

Rn

Vasul se goleşte complet când paraboloidul de rotaţie al suprafeţei libere trece prin C şi este tangent la suprafaţa laterală a rezervorului tronconic

.tgdd

1

22 α

ω==

=RrC gr

rz

Se obţine

.rot/min39,3535tg1

81,9230tg23030 22 =⋅

⋅===

πα

ππω

sgn

Figura 5.21


TESTE DE EVALUARE A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Care este condiţia necesară şi suficientă pentru ca un corp să se afle în repaus? 2. Daţi un exemplu de forţă masică. 3. Ce relaţie există între tensiunile dezvoltate pe toate direcţiile care pornesc dintr-un punct aparţinând unui corp fluid aflat în repaus? 4. Ce tipuri de forţe acţionează asupra unui element de volum detaşat dintr-un fluid aflat în repaus? 5. Ce tip de dependenţă există între presiunea p într-un gaz aflat în repaus şi cota z? 6. Explicaţi motivele pentru care presiunea gazelor care ocupă înălţimi relativ mici este, practic, constantă. 7. Ce este presiunea de vacuum? 8. Precizaţi modulul, direcţia şi sensul rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe o suprafaţă plană aflată în contact cu un lichid în repaus. 9. Cum se determină rezultanta forţelor de presiune pe o suprafaţă curbă aflată în contact cu un fluid în repaus? 10. Care este condiţia de echilibru static al forţelor ce acţionează asupra unui corp care pluteşte într-un lichid? 11. Definiţi starea de echilibru relativ al lichidului aflat într-un vas în mişcare. B. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Legea variaţiei presiunii într-un gaz aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru. 2. Forţa de presiune pe o suprafaţă plană aflată în contact cu un lichid în repaus. 3. Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat în mişcare de translaţie uniform accelerată. C. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Manometru – barometru 2. Presiune absolută – presiune relativă 3. Centru de greutate – centru de presiune

6 . DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

Cuprins

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.1 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor ideale. . . . . . . . . . . 91 6.2 Ecuaţiile intrinseci de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3 Integrarea ecuaţiei de mişcare. . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4 Ecuaţia lui Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.4.1 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5 Ecuaţia lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.5.1 Ecuaţia lui Bernoulli pentru lichide . . . . . . . . . . . . 97 6.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli

pentru lichide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98 6.5.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru gaze . . . . . . . . . . . . 100 6.5.4 Aplicaţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.6 Mişcarea unidimensională a gazelor. . . . . . . . . . . . . . . 104 6.6.1 Propagarea micilor perturbaţii. .. . . . . . . . . . . . . . 104 6.6.2 Viteza izotermică şi viteza izentropică a sunetului. . . . . . 108 6.6.3 Numărul lui Mach. Clasificarea mişcărilor . . . . . . . . 109 6.6.4 Parametrii de repaus ai unui gaz. Influenţa compresibilităţii 110 6.6.5 Parametrii critici ai unui gaz. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.6.6 Propagarea marilor perturbaţii. Unda de şoc plană. . . . . . 114 6.6.7 Mişcarea unui gaz într-un tub de secţiune variabilă. . . . . 117 6.6.8 Aplicaţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Obiective În această unitate de învăţare se studiază legile mişcării fluidelor lipsite de vâscozitate, care prezintă interes teoretic şi practic prin faptul că ecuaţiile de mişcare obţinute devin, după completarea lor cu termenii datoraţi vâscozităţii, ecuaţiile dinamicii fluidelor vâscoase. Se dorește înţelegerea noţiunilor specifice mişcării gazelor, care sunt fluide vâscoase foarte compresibile, precum şi aplicarea acestor noţiuni la câteva procese larg întâlnite în natură sau în tehnică: propagarea micilor perturbaţii de presiune şi undelor de şoc, mişcarea gazelor prin conducte. Timp de studiu individual: 8 ore.

90 Mecanica fluidelor Rezumat Ecuaţia energiei este exprimarea matematică a principiului conservării energiei mecanice a unui fluid aflat în mişcare izotermă. Dacă fluidul este considerat perfect, se poate deduce ecuaţia macroscopică a conservării energiei mecanice pentru mişcarea izotermă de-a lungul unei linii de curent, care arată că suma energiilor inerţială, cinetică, potenţială şi de presiune–volum este constantă. Pentru mişcarea staţionară, ecuaţia se reduce la ecuaţia lui Bernoulli. Dacă fluidul este incompresibil, ecuaţia poate fi interpretată geometric ca: distanţa dintre linia de referinţă şi linia de sarcină hidraulică este constantă. Ecuaţia lui Bernoulli este aplicată pentru a studia tubul Pitôt, sonda de presiune, tubul Pitôt – Prandtl, tubul Venturi, ejectorul și trompa de vid. Pe baza valorilor numărului Mach, mişcarea gazelor se împarte în: subsonică, sonică, transsonică, supersonică şi hipersonică. Micile perturbaţii (variaţii) de presiune produse într-un fluid compresibil se propagă prin acesta cu viteză relativ mare (viteza sunetului în fluidul respectiv), sub formă de unde elastice. Procesul este izentropic, deoarece frecarea este neglijabilă, iar viteza mare de propagare a perturbaţiei face ca transferul de căldură să fie nesemnificativ. Dacă într-un punct dintr-un fluid compresibil aflat în repaus este emisă o mică perturbaţie, ea se va propaga cu viteza sunetului, corespunzătoare acelui fluid, astfel că, la timpi succesivi, frontul de undă va fi constituit din sfere concentrice. În cazul în care fluidul se mişcă cu viteza constantă v0 < c, frontul de undă va fi constituit, la timpi succesivi, din suprafeţele unor sfere excentrice care nu se intersectează, iar dacă mişcarea fluidului este supersonică (v0 > c), frontul de undă va fi observat în poziţii succesive reprezentate de suprafeţele unor sfere care se înscriu în conul lui Mach. Când sursa emite sunetul în mod continuu, un observator situat în afară conului lui Mach (în zona de linişte) nu va auzi semnalul sonor. Unda de şoc este similară cu unda acustică, dar variaţiile proprietăţilor fluidului au loc pe o distanţă atât de mică încât frontul de undă apare ca o suprafaţă de discontinuitate a acestor proprietăţi. De asemenea, unda de şoc se deplasează cu o viteză mai mare decât unda acustică din acel fluid. Undele de şoc pot apărea în aproape toate mişcările supersonice. Ele pot fi normale sau oblice faţă de direcţia mişcării fluidului. În această unitate de învăţare se fac referiri la undele de şoc normale. Ajutajul este un tub convergent sau divergent care transformă, în mod eficient, entalpia în energie cinetică, iar tubul menit să transforme energia cinetică în entalpie se numeşte difuzor. În cadrul studierii scurgerii izentropice a unui gaz dintr-un rezervor printr-un tub convergent având axa de simetrie rectilinie, se scriu primul şi al doilea principiu al termodinamicii, ecuaţia continuităţii, teorema impulsului şi ecuaţiile de stare. Dacă se presupune că mărimile de stagnare

Dinamica fluidelor ideale 91 şi debitul masic sunt cunoscute, este posibil să se formuleze condiţiile ca mişcarea să fie izentropică, prin impunerea treptelor de scădere a presiunii de-a lungul tubului, când presiunea scade de la valoarea presiunii de stagnare din rezervor la valoarea presiunii mediului ambiant. Ajutajele destinate expansiunii izentropice a unui gaz la o presiune a mediului ambiant mai mică decât presiunea critică p* se numesc ajutaje convergent–divergente sau ajutaje De Laval. Pentru a se analiza modul în care variaţia secţiunii tubului afectează viteza şi presiunea în funcţie de regimul subsonic sau supersonic al mişcării izentropice, se scriu: primul şi al doilea principiu al termodinamicii, ecuaţia continuităţii şi teorema impulsului. Pentru un ajutaj, presiunea scade în direcţia mişcării, viteza creşte, iar aria secţiunii transversale scade până la o valoare minimă, corespunzătoare lui Ma = 1. Când Ma depăşeşte unitatea, aria creşte, corespunzător unei expansiuni supersonice a gazului în porţiunea divergentă a ajutajului.

* * *

6.1. ECUAŢIILE DE MIŞCARE ALE FLUIDELOR IDEALE

Dacă în ecuaţiile (4.47) sau (4.50) punem 0=µ , pentru a ne situa în cazul unui fluid ideal, rezultă

pt

∇−= fρρDDv

, (6.1)

aceasta fiind deci ecuaţia de mişcare a unui astfel de fluid, stabilită de Euler . După ce utilizăm expresia (3.8) a acceleraţiei, ecuaţia precedentă ia forma

( ) pt

∇−=∇⋅+ρ∂

∂ 1fvvv. (6.2)

În proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, rezultă

xp

fzyxt xx

zx

yx

xx

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 1

−=+++v

vv

vv

vv

ypf

zyxt yy

zy

yy

xy

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 1

−=+++v

vv

vv

vv

(6.3)

zp

fzyxt zz

zz

yz

xz

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 1

−=+++v

vv

vv

vv

.

Observăm că atât din (4.47) cât şi din (4.50) rezultă aceeaşi ecuaţie (6.1) ceea ce înseamnă că aceasta este valabilă atât pentru fluidele compresibile cât şi pentru cele incompresibile. O altă formă a acestei ecuaţii, utilizabilă în anumite situaţii este


( ) pt

∇−=×∇×−

∇+

ρ∂∂ 1

2

2

fvvv v (6.4)

şi se obţine dacă utilizăm expresia (3.12) a acceleraţiei.

6.2. ECUAŢIILE INTRINSECI DE MIŞCARE Considerăm un punct P situat pe o linie de curent şi un triedru ortogonal Psnb cu axele dirijate după tangenta s , normala n cu sensul pozitiv către centrul de curbură şi binormala b (figura 6.1). Notând cu r raza de curbură a liniei de curent în punctul P, proiecţiile acceleraţiei pe axele considerate sunt

( )stst

as ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 2

21 vvvvv

+=+= ;

r

an

2v= ; (6.5)

0=ba , deoarece acceleraţia este cuprinsă în planul oscilator. Ecuaţiile de mişcare în raport cu aceste axe, care se numesc ecuaţiile

intrinseci au, prin urmare, forma ( )

sp

fst s ∂

∂ρ∂

∂∂∂ 1

21 2

−=+vv

;

r

2vnp

f n ∂∂

ρ1

−= ; (6.6)

bpfb ∂

∂ρ10 −= .

Dacă admitem că forţa de masă este conservativă, existând deci o funcţie de forţe U, iar fluidul este barotrop, ceea ce permite introducerea funcţiei de presiune P, sistemul precedent devine

02

2=

−++ U

stPvv

∂∂

∂∂

;

( ) 0=−+ Unr

P∂∂2v ; (6.7)

( ) 0=−Ub

P∂∂ .

Prima dintre aceste trei ecuaţii conduce la o relaţie foarte importantă pe care o vom stabili mai departe, în condiţii mai generale. Din a doua ecuaţie se observă că variaţia presiunii în direcţia normalei este influenţată de acceleraţia centrifugă. În cazul particular în care liniile de

Figura 6.1

Dinamica fluidelor ideale 93 curent sunt drepte, raza de curbură fiind deci infinită, presiunea în direcţia normalei variază ca în cazul static. În ceea ce priveşte a treia ecuaţie, din aceasta rezultă că, în direcţia binormalei, presiunea variază totdeauna ca în cazul static, indiferent care este forma liniei de curent. În cazul particular al fluidelor incompresibile, dacă forţa de masă este greutatea proprie şi alegem axele de coordonate astfel ca funcţia U să aibă expresia (5.27), ecuaţiile (6.7) iau forma

tgz

gp

gs ∂∂

ρ∂∂ vv 1

2

2−=

++ ;

rg

zg

pn

2v1−=

+

ρ∂∂ ; (6.8)

0=

+ z

gp

b ρ∂∂ .

Nu insistăm asupra primei dintre aceste ecuaţii deoarece rămân valabile, în acest caz particular, cele spuse în legătură cu prima ecuaţie (6.7). De asemenea, din ultima ecuaţie (6.8) rezultă aceeaşi concluzie pe care am menţionat-o pentru ultima ecuaţie (6.7). Din a doua ecuaţie (6.8) se constată că, atunci când linia de curent este curbă, cota piezometrică (sau presiunea dacă mişcarea se produce într-un plan orizontal) creşte în sensul negativ al normalei, adică dinspre partea concavă spre partea convexă a liniei de curent. Pentru o deplasare unitară în lungul razei de curbură, această creştere este egală cu v2/(g r), iar dacă linia de curent este orizontală, creşterea analoagă a presiunii este ρ v2/r. Se observă imediat că dacă liniile de curent sunt rectilinii şi paralele, presiunea variază tot ca în cazul static în lungul oricărei normale pe liniile de curent şi prin urmare în planele normale pe direcţia de mişcare. Concluziile expuse în legătură cu curenţii rectilinii şi paraleli sunt practic verificate şi atunci când raza de curbură r nu este infinită dar destul de mare pentru ca termenul v2/(g r) să poată fi neglijat. Tratarea analitică a acestor curenţi, cunoscuţi sub numele de curenţi cu variaţie gradată sau liniară, se simplifică destul de mult.

6.3. INTEGRAREA ECUAŢIEI DE MIŞCARE Să considerăm ecuaţia de mişcare a lui Euler sub forma (6.4) şi să presupunem din nou că forţa de masă este conservativă. Dacă fluidul este barotrop, putem introduce funcţia de presiune (5.16) astfel că ecuaţia capătă forma

( ) 02

2

=×∇×−

−+∇+ vvv U

tPv

∂∂ . (6.9)

94 Mecanica fluidelor Dacă înmulţim scalar această ecuaţie cu o deplasare elementară rd , rezultă expresia

( )[ ] 0d2

dd2

=⋅×∇×−

−++⋅ rr vvv U

tPv

∂∂ . (6.10)

Ultimul termen din membrul stâng, a cărei prezenţă împiedică integrarea, dispare în situaţiile pe care le prezentăm în cele ce urmează. Astfel, dacă viteza v este paralelă cu rotorul său v×∇ , produsul ( )vv ×∇× este nul şi termenul menţionat nu mai apare în (6.10). Mişcările care au această proprietate se numesc elicoidale. Mai departe, deoarece vectorul ( )vv ×∇× este normal atât pe viteză cât şi pe rotorul acesteia, dacă rd se află pe o linie de curent sau pe o linie de vârtej, termenul din (6.10) la care ne referim este de asemenea nul. În sfârşit, aceeaşi situaţie se regăseşte, evident, atunci când mişcarea este irotaţională. Dacă lăsăm la o parte cazul mai puţin interesant al mişcărilor elicoidale şi efectuăm integrarea pe o linie de curent sau pe o linie de vârtej, obţinem

CUt

=−++⋅∫ P2

d2vv r

∂∂ , (6.11)

unde C este o funcţie de timp care poate diferi de la o linie de curent, respectiv de vârtej, la o alta. Dacă mişcarea este irotaţională ( )ϕ∇=v avem

( )ttt ∂ϕ∂ϕ

∂∂

∂∂

∇=∇=v

şi ecuaţia (6.9) cu 0=×∇ v devine

02

2=

−++∇ U

tPv

∂ϕ∂ (6.12)

de unde obţinem

CUt

=−++ P2

2v∂ϕ∂ , (6.13)

C fiind numai o funcţie de timp, aceeaşi pe toată întinderea fluidului. Acest rezultat este cunoscut sub numele de integrala sau ecuaţia lui Lagrange, sau a lui Lagrange – Cauchy. În cazul mişcărilor staţionare în care viteza nu depinde de timp, (6.11) ia forma

CU =−+ P2

2v (6.14)

C având aceeaşi valoare în lungul unei linii de curent sau de vârtej, dar putând diferi de la o linie la alta. Dacă liniile de curent sau de vârtej vin din aceeaşi regiune, de exemplu de la infinit, constanta poate fi, la rândul ei, aceeaşi în tot fluidul. Rezultatul exprimat prin (6.14) este ecuaţia presiunii. Într-adevăr, dacă

Dinamica fluidelor ideale 95 funcţia U este cunoscută şi fluidul este barotrop, (6.14) reprezintă o relaţie între presiune şi viteză. În ceea ce priveşte mişcarea staţionară irotaţională, din (6.13) rezultă integrala sau ecuaţia lui Bernoulli şi anume

CU =−+ P2

2v (6.15)

cu observaţia că, de data aceasta, C este efectiv o constantă. De astfel, în cazul unei mişcări irotaţionale, integrarea ecuaţiei (6.9) se poate efectua pe orice curbă din interiorul fluidului în mişcare, ceea ce justifică observaţiile în legătură cu C din (6.13) şi (6.15). Deşi mişcările fluidelor pot fi presupuse irotaţionale numai într-o primă aproximaţie, integralele (6.13) şi mai ales (6.15) sunt foarte utile în diverse aplicaţii.

6.4. ECUAŢIA LUI LAGRANGE La fluidele incompresibile, densitatea este constantă şi dacă forţa de masă este gravitaţia, funcţia de forţe având expresia (5.27), formula (6.13) devine

Czgpt

=+++ρ∂

ϕ∂2

2v . (6.16)

Atunci când potenţialul de viteze este cunoscut, rezultă pentru presiune expresia

+

+

−−=

222

21

zyxtCp

∂ϕ∂

∂ϕ∂

∂ϕ∂

∂ϕ∂

ρ . (6.17)

6.4.1. Aplicaţii

Un exemplu de aplicaţie a integralei lui Lagrange este mişcarea oscilatorie a unei coloane de lichid conţinută într-un tub în formă de U (figura 6.2). Viteza are aceeaşi valoare în orice secţiune a coloanei de lichid şi depinde numai de timp. Potenţialul de viteze, la rândul lui, este funcţie numai de un punct s al coloanei. Viteza se poate scrie sub forma

s∂ϕ∂

=v (6.18

de unde rezultă

cs += vϕ , t

st ∂

∂∂ϕ∂ v= . (6.19)

Figura 6.2

96 Mecanica fluidelor Aplicând integrala lui Lagrange sub forma (6.16) în două puncte situate pe suprafeţele libere din cele două numai ale tubului, rezultă

=−++

zg

pt

a

ρ∂ϕ∂

2

2

1

v zgp

ta +++

ρ∂

ϕ∂2

2

2

v

sau

−

1t∂ϕ∂ ( ) zg

tzl

tss

t2

dd

2

2

212

=−=−=

∂∂

∂ϕ∂ v

(6.20)

unde 12 ssl −= este lungimea coloanei de lichid. Prin integrare, găsim ecuaţia unei mişcări oscilatorii ( )αω += tAz cos (6.21) în care frecvenţa are expresia

lg2

=ω .

Un alt exemplu de aplicaţie este studiul variaţiei în timp a vitezei la scurgerea unui lichid dintr-un rezervor printr-o ţeavă lungă (figura 6.3). Dacă deschidem brusc, cu ajutorul unui robinet, ţeava de scurgere, mişcarea este nestaţionară. În cele ce urmează, vom găsi expresia vitezei la ieşirea din ţeavă. Dacă notăm cu ds un element al liniei de curent, putem scrie

sttd∫= ∂

∂∂ϕ∂ v . (6.22)

Pe de altă parte, dacă A1 şi v1 sunt aria secţiunii ţevii şi viteza la ieşire, iar A şi v aria unei secţiuni oarecare şi viteza corespunzătoare, presupunând că viteza este uniform repartizată în aceste secţiuni, avem

11vv AA = sau

11 vv

AA

= (6.23)

respectiv

tA

At ∂

∂∂∂ 11 vv

= . (6.24)

La acest rezultat se ajunge prin utilizarea ecuaţiei de continuitate (3.70), cu observaţia că ariile A1 şi A sunt constante în timp, precum şi a expresiei (3.33) a vitezei medii. Observăm de asemenea că raportul ( )sfA/A =1 este funcţie de s, iar viteza de ieşire v1 depinde numai de timp. Prin urmare

Figura 6.3

Dinamica fluidelor ideale 97

( ) ssft

st

dd 1 ∫∫ =∂∂

∂∂ vv

, (6.25)

iar integrala din membrul al doilea are dimensiunea unei lungimi. Însă, în interiorul rezervorului raportul A1/A are o valoare mică şi dacă ţeava de scurgere are o secţiune constantă, valoarea integralei luată între suprafaţa liberă a rezervorului şi secţiunea de ieşire a ţevii, este egală cu lungimea l a ţevii la care se adaugă o lungime mică reprezentând valoarea integralei în interiorul rezervorului. Notând cu l1 valoarea totală a integralei din (6.25) şi cu A0 şi v0 aria secţiunii, respectiv viteza, la suprafaţa liberă din rezervor, obţinem, aplicând (6.16) între suprafaţa liberă şi secţiunea de ieşire

1

211

10

20

2dd

2zgp

tlzgp aa +++=++

ρρvvv . (6.26)

Avem însă

11

0 vvAA

= , hzz =− 10

şi prin urmare

hgAA

tl =

−+ 2

1

2

0

111 1

21

dd

vv

. (6.27)

Dacă admitem că nivelul h rămâne constant, putem integra această ecuaţie şi găsim

−

−

= thgAA

lhg

AA

hg2

1th

1

2

2

0

1

12

0

1

1v . (6.28)

Se observă că viteza la ieşire creşte cu tangenta hiperbolică, adică tinde repede spre valoarea

2

0

1

1

1

2

−

=

AA

hgv , (6.29)

rezultat la care vom ajunge şi în cadrul unei alte aplicaţii pe care o vom prezenta mai departe.

6.5. ECUAŢIA LUI BERNOULLI 6.5.1 Ecuaţia lui Bernoulli pentru lichide Dacă densitatea fluidului este constantă iar forţa de masă este gravitaţia, formula (6.15) devine


Czgp=++

ρ2

2v (6.30)

şi se mai poate scrie

Czgp =++ ρρ2

2v (6.31)

sau încă

Czg

pg

=++ρ2

2v . (6.32)

Aceste ultime două forme permit să se dea unele interpretări integralei lui Bernoulli. Astfel, dacă examinăm formula (6.31), este uşor de observat că primul termen reprezintă energia cinetică a unităţii de volum de lichid, iar ultimul termen energia potenţială sau de poziţie a unităţii de volum de lichid. În ceea ce priveşte cel de al doilea termen, acesta poate fi asimilat cu o energie şi numit energia de presiune a unităţii de volum de lichid. Într-adevăr, dacă energia cinetică rămâne constantă, creşterea energiei potenţiale aduce scăderea presiunii şi invers, deoarece suma celor trei termeni este constantă. Faptul că presiunea se poate transforma în energie potenţială şi invers arată că asimilarea făcută este pe deplin justificată. De altfel, acest schimb se poate petrece şi între energia cinetică şi presiune, fapt care a condus la denumirea de presiune dinamică ce se mai dă termenului ρ

v2/2. La fel, dacă examinăm formula (6.32), putem constata că termenii ei reprezintă energia cinetică, energia de presiune şi energia potenţială, raportate la unitatea de greutate de lichid. Tot din (6.31) şi (6.32) rezultă că suma acestor energii, care reprezintă energia mecanică totală a unităţii de volum de lichid sau a unităţii de greutate de lichid, este constantă. În felul acesta, integrala lui Bernoulli apare ca o expresie particulară a principiului conservării energiei. 6.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli pentru lichide Aceste ultime două forme permit să se dea o interpretare geometrică ecuaţiei lui Bernoulli. Dacă examinăm astfel ecuaţia (6.31) este uşor de observat că primul termen reprezintă energia cinetică a unităţii de volum de lichid. În ceea ce priveşte cel de-al doilea termen el poate fi asimilat cu o energie şi numit energia de presiune a unităţii de volum de lichid. La fel, dacă examinăm ecuaţia (6.32), putem constata că termenii ei reprezintă energia cinetică, energia de presiune şi energia potenţială scrise sub formă de înălţimi. Rezultă din aceste ultime două ecuaţii că suma acestor lungimi, care reprezintă energia mecanică totală a unităţii de volum de lichid este constantă.


Dacă se consideră un tub de curent de secţiune variabilă (figura 6.4) prin care curge un lichid incompresibil într-o mişcare staţionară, ecuaţia energetică capătă forma consthhhH vpz =++= . (6.33) Pentru studierea curgerii se aleg patru secţiuni vii de curgere pentru care scriem ecuaţiile energetice şi de continuitate corespunzătoare

gg

pz

ggp

zgg

pz

ggp

z2v

2v

2v

2v 2

444

2331

3

222

2

211

1 ++=++=++=++ρρρρ

(6.34)

şi 44332211 vvvv σσσσ ===

Exprimând vitezele sub forma

,vv;vv;vv4

114

3

113

2

112 σ

σσσ

σσ

===

din ecuaţia energetică va rezulta valoarea lui v1, iar apoi, valorile celorlalte viteze. Reprezentând ecuaţia (6.33) în figura 6.4, se obţine variaţia presiunilor de-a lungul tubului de curent. Se identifica, de asemenea, următoarele linii caracteristice:

− linia de sarcină, echivalentul în înălţime al sarcinii disponibile în sistem, se obţine prin trasarea unei orizontale prin punctul de sarcină maximă;

− linia piezometrică, locul geometric al punctelor în care presiunea este egală cu cea atmosferică;

− linia de poziţie este, în general, locul geometric al centrelor de greutate ale secţiunilor vii;

− linia de referinţă este linia de zero a înălţimilor. Ea poate fi luată oriunde, după convenienţă, în unele cazuri ea corespunde nivelului mării.

În felul acesta, ecuaţia lui Bernoulli apare ca o expresie particulară a principiului conservării energiei.

Figura 6.4

100 Mecanica fluidelor 6.5.3 Ecuaţia lui Bernoulli pentru gaze Dacă mişcarea este lentă, efectul compresibilităţii poate fi neglijat. De asemenea, deoarece gazele sunt uşoare, forţa de masă, care este de obicei greutatea, este neglijabilă. Ca urmare, integrala lui Bernoulli ia forma

Cp =+2

2vρ . (6.35)

În cazul în care mişcarea este rapidă, se neglijează greutatea dar trebuie să se ţină seama de compresibilitate. Dacă se admite, aşa cum am precizat mai înainte că mişcarea este izentropică, relaţia dintre densitate şi presiune fiind deci (2.18), integrala lui Bernoulli devine

Cpk

k=

−+

ρ12

2v . (6.36)

6.5.4. Aplicaţii Din consideraţiile precedente rezultă că integrala lui Bernoulli stabileşte o legătură simplă între viteză şi presiune în mişcarea staţionară irotaţională a unui lichid, dacă traiectoria este cunoscută. În cele ce urmează, vom prezenta câteva exemple de aplicaţii.

Aplicaţia 1. Se consideră scurgerea unui lichid printr-un orificiu de dimensiuni mici situat pe fundul sau pe peretele unui rezervor în care nivelul lichidului este menţinut la o cotă constantă z0 deasupra planului orizontal de referinţă (figura 6.5). În aceste condiţii, curgerea are caracter staţionar. Să notăm de asemenea cu ze cota, faţă de acelaşi plan de referinţă, a

centrului orificiului. Pentru a calcula viteza ve cu care lichidul se scurge din rezervor, este suficient să aplicăm integrala lui Bernoulli pe traiectoria urmată de o particulă oarecare ce pleacă de pe suprafaţa liberă, unde viteza are valoarea v0 şi presiunea este egală cu presiunea atmosferică pa, ajungând la orificiu cu viteza ve căutată, presiunea fiind din nou pa. Obţinem astfel

=++ 0

20

2zgpa ρρ

vea

e zgp ρρ ++2

2v (6.37)

sau ( ) ( ) hgzzgvv ee ρρρ =−=− 0

20

2 (6.38) unde ezzh −= 0 . Dacă notăm cu A0 aria suprafeţei libere şi cu Ae aria orificiului din ecuaţia de continuitate (3.71) şi din (3.33) obţinem eeAA vv =00

Figura 6.5

Dinamica fluidelor ideale 101 respectiv

ee

AA

vv0

0 =

şi dacă înlocuim în (6.38) avem

hgAAe

e 212

0

2 =

−v

valoarea vitezei căutate fiind dată de formula

2

01

2

−

=

AA

hg

e

ev . (6.39)

Dacă raportul 0/ AAe este mic, pătratul lui poate fi neglijat şi găsim astfel formula lui Torricelli hge 2=v , (6.40) din care rezultă că viteza de scurgere este egală cu aceea a unui solid care cade liber în vid de la o înălţime h. Observăm că formula (6.39) are aceeaşi formă cu (6.31). Aceasta se datorează faptului că la stabilirea formulei (6.31) nu s-a ţinut seama de căderea de presiune din ţeavă ca urmare a efectului vâscozităţii, lichidul fiind considerat ideal. Aplicaţia 2. Se consideră curgerea unui lichid într-o conductă convergentă (figura 6.6). Dacă asimilăm această conductă cu un tub de curent, viteza într-o secţiune transversală oarecare este constantă şi dacă aplicăm ecuaţia de continuitate, obţinem

Figura 6.6

,2211 QAAA === vvv (6.41) A1 fiind aria secţiunii iniţiale, A2 aceea a secţiunii finale şi A aria unei secţiuni oarecare. Aplicând integrala lui Bernoulli în secţiunea iniţială şi în secţiunea finală, avem

=++ 11

21

2zgp ρρ

v22

22

2zgp ρρ ++

v (6.42)

102 Mecanica fluidelor de unde rezultă

−+−=−

gppzzg

ρ21

2121

22 2vv

sau

−+−=

−

gpp

zzgAA

Qρ

21212

122

2 211 (6.43)

dacă ţinem seama de (6.41). Prin urmare, dacă se măsoară denivelarea piezometrică

gpp

zzhρ

2121

−+−= (6.44)

între secţiunea iniţială şi cea finală, debitul are expresia

21

22

112

AA

hgQ−

= , (6.45)

ariile A1 şi A2 fiind cunoscute. Pe acest rezultat se bazează aparatul pentru măsurarea debitului cunoscut sub numele de tubul Venturi.

Aplicaţia 3. Dacă un curent de lichid cu linii de curent pe care le presupunem orizontale şi cu viteza ∞v în toate punctele se loveşte de un obstacol, se desface în faţa acestuia în toate direcţiile pentru a-l înconjura (figura 6.7). La extremitatea anterioară a obstacolului, apare un punct E, numit punct de impact, în care viteza este nulă. Referindu-se la linia de curent AE şi

notând cu ∞p presiunea într-un punct amonte, la depărtare mare, unde viteza are valoarea ∞v şi cu p1 presiunea în punctul de impact E, aplicarea integralei lui Bernoulli ne dă

∞∞ += pp2

2

1vρ , (6.46)

deoarece linia AE este orizontală. În punctul de impact, presiunea are o valoare superioară aceleia pe care o avea la distanţă mare de obstacol şi este egală cu suma dintre presiunea şi energia cinetică a curentului neperturbat, de unde provine denumirea de presiune totală. Dacă în punctul E ar exista un mic orificiu pus în legătură cu un tub vertical (piezometru), în interiorul acestuia lichidul s-ar ridica, deasupra punctului E, la înălţimea

Figura 6.7


gp

ggp

ρρ∞∞ +=

2

21 v .

Dispozitivul cel mai simplu pentru a se obţine acest rezultat este constituit dintr-un tub îndoit în sus, numit tubul Pitot. Dacă un tub Pitot este introdus într-un curent cu suprafaţă liberă şi cu traiectorii orizontale şi paralele, în interiorul căruia presiunea variază pe verticală ca în statică, după formula (5.36), lichidul se ridică în tub deasupra suprafeţei libere la înălţimea

g

pg

pρρ∞−1

g2

2∞=

v, (6.47)

p1 fiind presiunea la gura introdusă în curent a tubului (presiunea totală a curentului). Diferenţa

2

2

1∞

∞ =−vρpp (6.48)

se numeşte presiunea de impact sau dinamică relativă la viteza ∞v . Din măsurarea ei (sau a denivelării

gpp

ρ∞−1

din figura 6.8) se poate deduce valoarea vitezei. Aplicaţia 4. Pe formula (6.36) se bazează măsurarea vitezei unui curent de gaz cu ajutorul tubului Pitot – Prandtl (figura 6.8). Astfel, în punctul E, la orificiul de intrare, viteza este nulă, iar presiunea este p. În punctele F, la orificiile de presiune statică, viteza este sensibil egală cu aceea a curentului v0, iar presiunea este p0 corespunzătoare acestei viteze. Aplicând (6.36) în punctele E şi F obţinem

,2

2

1 ∞∞ += pp

vρ (6.49)

care poate fi scrisă sub forma

.2

2

1∞

∞ =−v

ρpp

Prin urmare diferenţa de presiune între punctele E şi F, măsurată la un manometru, este proporţională cu pătratul vitezei curentului. Aceasta din urmă are expresia

Figura 6.8


( )

hgpp

v OH 22 21

ρ

ρ

ρ=

−= ∞

∞ . (6.50)

Aplicaţia 5. Dacă urmărim să calculăm viteza de ieşire ve, la o presiune exterioară pa şi densitatea ρa, a gazului dintr-un rezervor în care presiunea este p0 şi densitatea ρ0 (figura 6.9), putem scrie, aplicând (6.36)

=−

+a

apk

kρ12

2ev

0

020

12 ρp

kk−

+v

. (6.51)

sau

.112 0

0

0

020

−

−=

−ppp

kk a

aρρ

ρvv 2

e

Transformarea fiind izentropică, avem însă

ka

a pp

1

0

0−

=

ρρ

şi prin urmare

.112

11

00

020

2

−

−=

−−

kaeppp

kk

ρvv

(6.52)

Dacă rezervorul este de dimensiuni mari, putem neglija viteza v0 şi din (5.61) obţinem

,11

21

00

0

−

−=

−k

k

appp

kk

ρev (6.53)

rezultat cunoscut sub numele de formula Saint Venant – Wantzel. Se observă imediat că viteza este maximă atunci când gazul se scurge în vid (pa = 0 ).

6.6. MIŞCAREA UNIDIMENSIONALĂ A GAZELOR 6.6.1. Propagarea micilor perturbaţii Să considerăm ecuaţia de mişcare (6.2) în care neglijăm forţa de masă

( ) pt

∇−=∇⋅+ρ∂

∂ 1vvv (6.54)

şi ecuaţia de continuitate (3.68). Fluidul este presupus compresibil şi

Figura 6.9

Dinamica fluidelor ideale 105 barotrop, ceea ce înseamnă că există o relaţie ( )pρρ = , a cărei formă nu este necesar să fie precizată. Iniţial, fluidul este considerat în repaus ( )0=v , având deci presiunea constantă p0 şi densitatea ρ0 de asemenea constantă. Admitem că se produce o perturbaţie foarte mică, fluidul căpătând o viteză v şi căutăm să determinăm, în aceste condiţii, elementele mişcării de perturbaţie. Dacă p′ şi ρ′ sunt perturbaţiile de presiune şi densitate, avem, într-un moment oarecare vv ′= , ppp ′+= 0 , ρρρ ′+= 0 (6.55) cu observaţia că v ′ , p′ şi ρ′ sunt mici. Introducând expresiile precedente în ecuaţia de mişcare (6.2) şi în ecuaţia de continuitate (3.68), găsim

00 =′∇+′

pt∂

∂ρ v (6.56)

respectiv

00 =′⋅∇+′

vρ∂ρ∂t

, (6.57)

cu precizarea că am neglijat termenii de ordin superior care sunt extrem de mici. Pentru a elimina presiunea p′ din (6.57), remarcăm mai întâi că avem

pp ∇=′∇ şi utilizăm proprietatea fluidului de a fi barotrop. Găsim astfel

( ) ρρ

ρρρρρ

ρρ

′∇

≅′∇

+−

+

=∇=∇

002

2

0 dd

dd

dd

dd p

...pppp

unde am ţinut seama de faptul că ρρ ′∇=∇ şi am neglijat din nou termenii de ordin superior.

Derivata ρd

d p este o mărime strict pozitivă ceea ce este valabil şi

pentru 0d

d

ρp ; putem deci introduce notaţia

0

20 d

d

=

ρpa (6.58)

şi deoarece ρ ′∇=′∇ 2

0ap ecuaţia (6.56) devine

+′

t∂∂

ρv

0 020 =′∇ρa . (6.59)

Se observă imediat că această ecuaţie şi ecuaţia (6.57) sunt lineare în raport cu necunoscutele v ′ şi ρ′ . Sistemul format de aceste ecuaţii poate fi deci numit sistem liniarizat, spre deosebire de sistemul format din ecuaţiile nelineare (6.57) şi (3.68). Dacă luăm rotorul ambilor termeni ai ecuaţiei (6.58) rezultă


−=

′×∇

t∂∂ v ( ) 0

0

20 =′∇×∇ ρρa

sau

( ) 0=′×∇ vt∂∂

respectiv =′×∇ v const.

şi deoarece mişcarea porneşte din repaus, conform teoremei lui Thomson (lord Kelvin) 0=′×∇ v . (6.60) Mai departe, din formula (3.12), pe care o aplicăm de data aceasta vectorului v ′ ,

( ) ( ) vvv ′∇−′⋅∇∇=′×∇×∇ 2 ca şi din rezultatul precedent, obţinem ( ) vv ′∇=′⋅∇∇ 2 . (6.61) Dacă derivăm acum în raport cu timpul ecuaţia (6.59)

00

20

2

2=

′∇+

′t

at ∂

ρ∂ρ∂

∂ v (6.62)

şi observăm că din (6.57) rezultă

( ) 00 =′⋅∇∇+

′∇ vρ

∂ρ∂t

sau, dacă ţinem seama de (6.61),

v ′∇−=

′∇ 2

0ρ∂ρ∂t

,

(6.62) devine

vv ′∇=′ 22

02

2a

t∂∂ . (6.63)

Tot astfel, dacă derivăm în raport cu timpul ecuaţia (6.57)

( ) 002

2=′⋅∇+

′v

tt ∂∂ρ

∂ρ∂

sau

002

2=

′∂⋅∇+

′tt ∂

ρ∂ρ∂ v

(6.64)

şi luăm divergenţa ambilor termeni ai ecuaţiei (6.57)

( ) 00

20 =′∇⋅∇+

′⋅∇ ρ

ρ∂∂ a

tv

ecuaţia (6.64) devine

ρ∂ρ∂ ′∆=′

02

2a

t. (6.65)

Dinamica fluidelor ideale 107 În ceea ce priveşte perturbaţia de presiune p′ , putem scrie

( ) ρρρρ

′=−

=−=′ 2

000

0 dd

ap

ppp (6.66)

şi după înlocuirea în (6.65) găsim imediat ecuaţia

patp ′∆=′ 2

02

2

∂∂ (6.67)

Aşadar, v ′ , p′ şi ρ′ satisfac una şi aceeaşi ecuaţie de propagare a undelor, de tip hiperbolic, cu observaţia că (6.63) este o ecuaţie vectorială în timp ce (6.65) şi (6.67) sunt ecuaţii scalare. Dacă viteza de perturbaţie v ′ este paralelă cu axa Ox a unui triedru cartezian ortogonal, ecuaţiile precedente devin

2

2202

2

xa

t ∂′∂

=∂

′∂ vv (6.68)

respectiv

2

2202

2

xa

t ∂′∂

=∂

′∂ ρρ , 2

2202

2

xpa

tp

∂′∂

=∂

′∂ (6.69)

Se poate demonstra că o ecuaţie de acest tip are integrala generală de forma ( ) ( ) ( )taxftaxft,xf 0201 ++−= , (6.70) f1 şi f2 fiind două funcţii arbitrare a căror formă depinde de condiţiile iniţiale ale problemei. Se introduc noile coordonate ξ ′ şi ξ ′′ , legate de cele vechi prin relaţiile tax 0−=′ξ , tax 0+=′′ξ (6.71) Noua axă de coordonate ξ ′′O are o mişcare de translaţie cu viteza a0 în sensul pozitiv al vechii axe Ox, iar axa ξ ′′′′O are, de asemenea, o mişcare de translaţie cu aceeaşi viteză a0 în sensul negativ al axei Ox. În raport cu axa mobilă ξ ′′O , funcţia ( )ξ ′1f reprezintă o repartiţie a perturbaţiilor de viteză, presiune şi densitate independentă de timp. Această formă fixă a perturbaţiei se deplasează deci, ca un întreg, cu viteza a0, în lungul părţii pozitive a axei Ox. La fel, funcţia ( )ξ ′′2f , care caracterizează o anumită repartiţie în raport cu axa mobilă ξ ′′′′O , independentă de timp, reprezintă cea de a doua formă fixă a perturbaţiei, diferită în general de prima, care se propagă, de asemenea ca un întreg, în sensul negativ al axei Ox, tot cu viteza a0. În conformitate cu notaţia (6.58), viteza de propagare a perturbaţiilor mici, într-un fluid compresibil aflat iniţial în repaus, este definită de formula

0

0 dd

=

ρpa . (6.72)

108 Mecanica fluidelor Cu această viteză se propagă, de exemplu, în lungul unei conducte cilindrice umplute cu gaz, o mică compresiune a gazului sau o cădere mică de presiune provocate de mişcarea bruscă a unui piston. Cu aceeaşi viteză se propagă oscilaţiile mici, care produc un sunet, într-un fluid compresibil, lichid sau gaz; mărimea definită prin formula precedentă se numeşte, din această cauză, viteza sunetului. 6.6.2. Viteza izotermică şi viteza izentropică ale sunetului În cazul în care micile perturbaţii se propagă într-un fluid compresibil aflat în mişcare, viteza sunetului este dată de formula

ρd

d pa = (6.73)

şi spre deosebire de a0 nu mai este, în general, constantă. Expresia efectivă a acestei viteze depinde de natura relaţiei dintre presiune şi densitate. Aşa cum am arătat mai înainte şi cum se observă de altfel şi din (6.73), dacă densitatea este constantă (fluid incompresibil), viteza sunetului devine infinită. Lăsând la o parte acest caz teoretic, vom considera mai întâi o evoluţie izotermică a fluidului compresibil

Cp=

ρ

şi viteza sunetului (6.73) devine

ρpa = , (6.74)

numindu-se viteza sunetului corespunzătoare procesului izotermic sau, mai pe scurt, viteza izotermică a sunetului. Dacă ţinem seama de legea gazelor perfecte

TRp=

ρ,

mai putem scrie, evident numai pentru gaze, TRa = , (6.75) cu observaţia că temperatura T este constantă. În al doilea rând, vom presupune că evoluţia fluidului compresibil se efectuează fără schimb de căldură cu mediul înconjurător şi fără disipaţie de energie, adică izentropic. Avem deci

Cpk

=ρ

astfel că viteza sunetului (6.73) capătă expresia

ρpka = (6.76)

şi se numeşte viteza izentropică a sunetului. Experienţele, în număr mare, au confirmat această ultimă formulă, datorită lui Laplace . Dacă utilizăm legea gazelor perfecte, avem


TRka = (6.77) tot numai pentru gaze, cu observaţia că de data aceasta temperatura T nu mai este constantă. Pentru aer, la presiunea p = 105 N/m2 şi temperatura T = 273,15 K, avem ρ = 1,275 kg/m3 şi k = 1,397, rezultă din (6.76) a = 331,01 m/s. Pentru apă, considerată ca fluid compresibil, la presiunea p = 105 N/m2 şi temperatura T = 273,15 K, avem ρ = 999,8 kg/m3 şi k = 1,45, obţinem tot din (6.76), a = 1412,41 m/s. Se constată deci că, în aceleaşi condiţii, viteza sunetului în apă este de 4,27 ori mai mare decât în aer. 6.6.3. Numărul lui Mach. Clasificarea mişcărilor Dacă notăm cu v viteza cu care se mişcă un corp (sursă sonoră) într-un fluid compresibil, raportul dintre această viteză şi aceea de propagare a sunetului în fluidul considerat

a

M v= (6.78)

se numeşte numărul lui Mach. Să presupunem că sursa sonoră, de forma unei perturbaţii punctuale, se deplasează într-un fluid nelimitat cu o viteză uniformă v. Perturbaţia produsă se propagă în toate direcţiile cu viteza a, sub forma de unde sferice. Acestea sunt suprafeţe de discontinuitate slabă pentru anumiţi parametrii ai fluidului. Dacă a<v , situaţia este aceea din figura 6.10.

Figura 6.10

În momentul iniţial, sursa perturbatoare se găseşte în punctul P0, iar la t1=1, t2=2, t3=3 ocupă poziţiile succesive P1, P2, P3, P4 La t4, perturbaţia emisă în P0 se găseşte pe o sferă cu raza 4a, cu centrul în P0. Tot la t4, perturbaţia emisă în P1 se găseşte pe o sferă cu centrul în acest punct şi raza 3a, iar perturbaţia emisă în P2 se află pe sfera de rază 2a cu centrul în P2. Dar distanţele 10 PP , 20 PP , 30 PP , 40 PP sunt egale respectiv cu v, 2v, 3v şi 4v, ceea ce înseamnă că sursa se găseşte tot timpul în domeniul perturbat sau, altfel spus, perturbaţia precede sursa.

110 Mecanica fluidelor Bineînţeles, sursa emite perturbaţia tot timpul, adică în fiecare punct al segmentului de dreaptă pe care îl parcurge. În cazul în care a>v , situaţia este aceea reprezentată în figura 6.11. Zona perturbată este situată în interiorul unui con cu vârful în punctul în care se află sursa perturbatoare. Acest con, care este învelitoarea sferelor pe care se găseşte perturbaţia în fiecare moment, se numeşte conul lui Mach şi constituie frontul de undă. Generatoarele conului sunt linii Mach iar semiunghiul la vârf α al conului este dat de formula

M

a 1sin ==v

α . (6.79)

Se constată deci că, odată cu creşterea numărului lui Mach, unghiul α descreşte. Prin urmare, aspectul mişcării este mult diferit faţă de acela prezentat anterior. Consideraţiile precedente rămân valabile şi în cazul în care fluidul compresibil se deplasează cu viteza constantă v iar sursa perturbatoare este antrenată cu această viteză. Dacă a<v , respectiv 1<M , mişcarea se numeşte subsonică, iar atunci când a>v , respectiv 1>M , mişcarea se numeşte supersonică. 6.6.4. Parametrii de repaus ai unui gaz. Influenţa compresibilităţii Să considerăm mişcarea staţionară şi izentropică a unui gaz perfect şi să presupunem că undeva, înăuntrul unui tub de curent sau al unei vâne de gaz se produce o frânare izentropică a gazului care îl aduce în stare de repaus. Vom căuta să găsim formulele de legătură între parametrii gazului în repaus, p0, ρ0, T0, a0 şi valorile lor curente p, ρ, T, a în secţiunea tubului de curent considerat. Din integrala lui Bernoulli (6.36) în care punem v = 0, respectiv

0pp = şi 0ρρ = , obţinem

0

0

1 ρp

kkC−

=

sau, dacă ţinem seama de (6.76)

1

20

−=

ka

C . (6.80)

Ca urmare, (6.79) devine

Figura 6.11


=−

+ρp

kk

12

2v1

20

−ka (6.81)

şi dacă utilizăm din nou formula (6.78) găsim

20

22

211 aMka =

−

+ . (6.82)

Pe de altă parte, din (6.80) TRka =2 , 0

20 TRka = ,

iar după înlocuirea acestor expresii în (6.82) rezultă

TMkT

−

+= 20 2

11 . (6.83)

Tot din (6.82) avem de asemenea

aMka21

20 2

11

−

+= . (6.84)

Mai departe, din (2.18)

k

pp

=

00 ρρ

şi din ecuaţia gazelor perfecte (2.16)

000 TT

pp

ρρ

= ,

deducem

11

00

−

=

k

TT

ρρ ,

1

00

−

=

kk

TT

pp .

Dacă ţinem seama de (6.83) aceste expresii devin

pMkpkk

120 2

11−

−

+= , (6.85)

ρρ1

1

20 2

11−

−

+=k

Mk . (6.86)

Atunci când numărul lui Mach este mai mic decât unitatea, este valabilă dezvoltarea în serie

0

2

21 ρρ

+−= ...M

de unde se observă că eroarea care se face considerând gazul incompresibil este cu atât mai mică cu cât este mai redusă valoarea numărului lui Mach. Astfel, dacă acest număr este mai mic de 0,14 eroarea este sub 1%. De exemplu, pentru aer, dacă a = 331 m/s, rezultă v ≤ 46 m/s; chiar şi în cazul unei viteze de 100 m/s eroarea nu depăşeşte 4,6%. De asemenea în aceleaşi condiţii, expresia (6.85) conduce la dezvoltarea


p...MkMkp

+++= 42

0 821

sau

++=− ...MMpkpp

41

2

22

0 .

Avem însă

2222

22

2

22 vvv ρ

ρ

=== pk

pka

pkMpk

şi prin urmare

++=−

41

2

2

20 Mpp

vρ… (6.87)

Pe de altă parte, din (6.30) rezultă

0

2

2pp =+

vρ

sau

1

2

2 =−vρ

ppo , (6.88)

expresie valabilă atunci când gazul este presupus incompresibil. Aşadar, pentru M = 0, formula (6.87) devine (6.88), iar eroarea care se face

considerând gazul incompresibil este de ordinul de mărime 4

2M , adică de

două ori mai mică decât pentru densitate.

6.6.5. Parametrii critici ai unui gaz Dacă ţinem seama de definiţia (6.76) a vitezei izentropice a sunetului, integrala lui Bernoulli (6.30) se scrie succesiv

Ck

apk

k=

−+=

−+

1212

222 vvρ

. (6.89)

Viteza critică a gazului a* este aceea pentru care viteza sunetului este egală cu viteza absolută a curentului. Punând în (6.89) v = a = a*, obţinem

( )2

2222

121

1212*a

kk

k*a*a

ka

−+

=−

+=−

+v . (6.90)

Viteza critică a* reprezintă o mărime constantă în lungul întregului curent, care caracterizează curentul dat în ansamblul lui şi poate fi exprimată prin viteza sunetului în gazul aflat în repaus. Pentru aceasta este suficient să introducem în (6.90) v = 0 şi a = a0, găsind astfel

012* a

ka

+= . (6.91)

Valorile presiunii, densităţii şi temperaturii în secţiunea critică a

Dinamica fluidelor ideale 113 curentului, adică în secţiunea în care viteza este egală cu valoarea ei critică, le vom numi, de asemenea, critice şi le vom nota cu *p , *ρ şi *T . Din definiţia vitezei critice rezultă *TRk*a = (6.92) şi comparând această expresie cu aceea analoagă a vitezei sunetului într-un gaz în repaus, dedusă din (6.80), obţinem, dacă ţinem seama şi de (6.91),

012 T

k*T

+= . (6.93)

Folosind ecuaţia de stare (2.18) şi ecuaţia gazelor perfecte (2.16), găsim cu uşurinţă celelalte mărimi critice

01

12 p

k*p

kk−

+= (6.94)

respectiv

01

1

12 ρρ

−

+=

k

k* . (6.95)

În locul numărului lui Mach, se poate utiliza în calcule coeficientul de viteză

*a

v=λ (6.96)

Astfel, din (6.91) şi (6.84) obţinem

aMkk

*a 2

211

12 −

++

=

şi dacă utilizăm definiţia numărului lui Mach (6.78) precum şi (6.96) rezultă

2

211

21

MkMk

−+

+=λ

formulã care ne permite sã exprimăm numărul lui Mach M în funcţie de coeficientul de vitezã sub forma

2

111

12

λ

λ

+−

−+

=

kkk

M . (6.97)

Utilizând acest rezultat, găsim în cele din urmã

2

2

111

12

11λ

+−

−=

−+

kkMk , (6.98)

astfel încât, formula (6.83) devine

02

111 T

kkT

+−

−= λ , (6.99)

iar (6.84) ia forma


021

2

111 a

kka

+−

−= λ . (6.100)

Tot astfel, în loc de (6.85) avem

012

111 p

kkp

kk−

+−

−= λ , (6.101)

respectiv

01

1

2

111 ρλρ

−

+−

−=k

kk (6.102)

în loc de (6.86).

6.6.6. Propagarea marilor perturbaţii. Unda de şoc plană Se poate arăta că viteza de propagare a sunetului are tendinţa de a creşte atunci când gazul este străbătut de o undă de compresiune. Prin urmare, undele slabe de compresiune care se formează la propagarea perturbaţiilor sonore se vor ajunge una pe alta din urmă. Intensitatea unei astfel de unde se va mări deci treptat, ajungându-se la formarea unei unde de intensitate mare care se propagă cu o viteză mai mare decât aceea a sunetului. Pe suprafaţa unei astfel de unde, viteza, temperatura, presiunea şi densitatea gazului suferă variaţii bruşce pe care le putem numi salturi. În acest caz, se spune că în masa gazului se propagă o undă de şoc. Să considerăm un tub cilindric circular de lungime infinită (figura 6.12) în lungul căreia se poate deplasa un piston. Să presupunem că, la început, gazul este nemişcat, iar apoi pistonul capătă brusc o acceleraţie spre stânga până ce atinge o viteză v cu care continuă să se mişte uniform. Vom studia modul în care această mişcare a pistonului se transmite gazului. Perturbaţia creată imediat în faţa pistonului, care este o compresiune a gazului, va începe să se propage spre stânga. Din cauza trecerii bruşte a pistonului de la starea de repaus la starea de mişcare cu viteza v, lungimea porţiunii iniţiale a zonei perturbate va fi foarte mică. Aşa cum am spus mai înainte, undele de perturbaţie care trec prin zona în care densitatea gazului a crescut ajung din urmă undele din gazul cu densitatea mai mică. În felul acesta, se formează o undă de şoc plană, arătată cu linie întreruptă în figura 6.12, care se deplasează cu viteza vs prin gazul neperturbat aflat în repaus, lăsând în urma ei gazul perturbat, scos din starea de repaus şi mişcându-se cu o viteză v egală cu aceea a pistonului. Unda de şoc care se deplasează prin gaz întâlneşte în faţa ei un gaz cu aceleaşi valori ale presiunii, densităţii şi temperaturii, lăsând în urma ei un gaz cu parametrii corespunzători stării perturbate, dar tot constanţi. Putem

Figura 6.12

Dinamica fluidelor ideale 115 afirma deci că viteza de propagare v s a undei de şoc este constantă, iar din raţionamentul de mai sus rezultă că această viteză este mai mare decât aceea a pistonului (vs > v). Această mişcare a gazului într-un tub este nestaţionară deoarece la trecerea undei de şoc parametrii gazului se schimbă. Pentru calculele ulterioare este însă mai practic să considerăm un fenomen staţionar şi în acest scop vom da, teoretic, întregului tub, împreună cu gazul care se mişcă în el, o mişcare de translaţie de la stânga spre dreapta cu viteza vs.

În acest caz, unda de şoc se opreşte iar mişcarea gazului devine staţionară. Gazul neperturbat nu mai este nemişcat, ci se deplasează de la stânga la dreapta cu viteza v1 = vs, până în faţa undei de şoc, iar în spatele acesteia gazul are viteza v2 =

vs – v. Presiunea, densitatea şi temperatura îşi păstrează valorile lor anterioare. Facem convenţia de a nota cu indicele 1 valorile tuturor acestor mărimi înainte de unda de şoc şi cu indicele 2 valorile lor după unda de şoc (figura 6.13). Pentru studiul undei de şoc plane staţionare, vom considera două secţiuni transversale A1 şi A2 situate în stânga şi în dreapta undei de şoc. Tubul având diametrul constant, ariile celor două secţiuni sunt egale ( )21 AA = . Din ecuaţia de continuitate pentru un tub de curent (2.69) în care Q A=v deoarece viteza este constantă în secţiunea transversală a tubului, rezultă 2211 vv ρρ = . (6.103) De asemenea, teorema impulsului pentru un tub de curent (4.105) aplicată la masa cuprinsă între secţiunile A1 şi A2 ne dă ( ) 221112 ApApQ −=− vvρ (6.104) şi deoarece avem

222111 AAQ vv ρρρ == iar A A1 2= , rezultă 2

2222111 vv ρρ +=+ pp . (6.105)

În sfârşit, ecuaţia lui Bernoulli pentru gaze se scrie sub forma

.1212 2

222

1

121

ρκκ

ρκκ pp

−+=

−+

vv. (6.106)

Pentru a găsi relaţia între presiuni şi densităţi, vom elimina vitezele. Astfel, dacă ţinem seama de (6.103), relaţia (6.105) se mai scrie ( )1211

211

22221 vvvvv −=−=− ρρρpp . (6.107)

Mai departe, înmulţim ambii membri ai acestei egalităţi cu expresia

Figura 6.13


11

12

vvv

ρ+ ,

găsind astfel

( ) 21

22

11

1221 vv

vvv

−=+

−ρ

pp ,

iar dacă observăm că avem

12122

2

111

2

11

12 1111ρρρρρρρ

+=+=+=+

vv

vv

vvv ,

rezultă

( ) 21

22

1221

11 vv −=

+−

ρρpp . (6.108)

Pe de altă parte, ecuaţia energiei poate fi pusă sub forma

−

−=−

2

2

1

121

22 1

2ρρκ

κ ppvv (6.109)

şi prin urmare, găsim

( ) =

+−

1221

11ρρ

pp ,1

22

2

1

1

−

− ρρκκ pp

(6.110)

rezultat cunoscut sub numele de formula lui Hugoniot. După câteva calcule simple, formula (6.110) ia forma

( ) ( )

( ) ( )1

2

1

2

1

2

11

11

ρρ

ρρ

−−+

−−+=

kk

kk

pp . (6.111)

Această importantă relaţie defineşte legătura între presiunea şi densitatea gazului după trecerea prin unda de şoc. Relaţia dintre presiune şi densitate în mişcarea adiabatică izentropică fără undă de şoc rezultă din (2.18) şi este

k

pp

=

1

2

1

2

ρρ

. (6.112)

Se observă că formula lui Hugoniot (6.111) reprezintă o adiabată diferită de aceea izentropică şi este numită, de obicei, adiabata de şoc sau a lui Hugoniot, spre deosebire de aceea izentropică a lui Poisson (6.112). În figura 6.14 sunt arătate, pentru comparaţie, adiabata izentropică şi aceea de şoc. Pentru 112 >ρρ / , adiabata de şoc se situează deasupra celei izentropice. Adiabata de şoc are o asimptotă pentru

Figura 6.14


11

1

2

−+

=kk

ρρ

la această valoare a raportului 12 ρρ / , raportul 12 p/p devenind infinit. Prin urmare, la trecerea prin unda de şoc, creşterea densităţii gazului nu poate depăşi o anumită valoare, oricare ar fi valoarea raportului 12 p/p . Mai observăm că din (6.111) rezultă

( ) ( )

( ) ( )1

2

1

2

1

2

11

11

ppkk

kppk

−++

−++=

ρρ (6.113)

formulă din care se poate deduce direct valoarea limită a raportului 12 ρρ / . 6.6.7. Mişcarea unui gaz într-un tub de secţiune variabilă Considerăm un tub cu secţiunea transversală variabilă şi cu axa rectilinie. Dacă îl asimilăm cu un tub de curent, putem admite că viteza este constantă în secţiunea transversală şi ecuaţia de continuitate (3.69) pentru mişcarea staţionară ia forma =Avρ const., (6.114) A fiind aria secţiunii transversale a tubului. De asemenea, ecuaţia de mişcare (4.47), în care neglijăm forţa de masă se scrie, în proiecţie pe axa tubului

xp

x dd1

dd

ρ−=

vv . (6.115)

Dacă ţinem seama de definiţia vitezei sunetului, această ultimă ecuaţie ia forma

ρρ

ρρρ

dd

dd1d 2ap

−=−=vv . (6.116)

Scriind diferenţiala logaritmică a ambilor membri ai ecuaţiei (6.114) avem

d d dρρ

+ + =v

vA

A0 (6.117)

şi dacă eliminăm pe d ρρ

între ecuaţiile (6.116) şi (6.117) rezultă

vvv

vvvv d

1ddd

2

2

2

−=−=

aaAA

sau, dacă introducem numărul lui Mach M,

( )vvd

1d 2 −= MAA . (6.118)

Din această ecuaţie simplă pot fi trase următoarele concluzii importante: 1. Dacă M < 1, semnul lui d A este opus semnului lui dv , ceea ce înseamnă că în cazul mişcării subsonice se menţine aceeaşi proprietate ca şi

118 Mecanica fluidelor pentru fluidul incompresibil; dacă secţiunea tubului creşte, viteza se micşorează şi invers. 2. Dacă M > 1, semnul lui d A este acelaşi cu cel al lui dv , adică în cazul mişcării supersonice a unui gaz într-un tub care se îngustează mişcarea este încetinită, iar într-un tub care se lărgeşte mişcarea este accelerată. Acest rezultat, paradoxal la prima vedere, se explică prin faptul că, la expansiunea gazului, densitatea lui scade atât de mult încât produsul ρ A din ecuaţia (6.114) scade, de asemenea, cu toate că secţiunea creşte; din aceeaşi ecuaţie rezultă deci că, în aceste condiţii, viteza trebuie să crească. 3. Dacă M = 1, d A = 0 şi secţiunea tubului, în care numărul M devine egal cu unitatea, se numeşte secţiunea critică, deoarece în ea viteza de mişcare v este egală cu viteza locală a sunetului a. Din relaţia (6.118), rezultă că secţiunea critică poate fi atât maximă cât şi minimă în comparaţie cu secţiunile vecine. În realitate, această secţiune este minimă, deoarece pe măsura apropierii de secţiunea maximă curentul subsonic este încetinit, iar cel supersonic accelerat, ceea ce nu poate conduce în nici un caz la o curgere cu viteza sunetului în secţiunea critică. 4. Dacă d A = 0 şi secţiunea are o valoare extremă (maximă sau minimă), atunci, în conformitate cu (6.118) avem sau M = 1 şi, prin urmare, secţiunea este aceea critică, sau M ≠ 1 şi dv =0 . În acest din urmă caz, oricum ar fi mişcarea, subsonică sau supersonică, viteza capătă o valoare extremă în secţiunea cu valoare extremă şi anume, dacă mişcarea este subsonică, valoarea minimă în secţiunea maximă şi valoarea maximă în secţiunea minimă, iar dacă mişcarea este supersonică, valoarea maximă în secţiunea maximă şi valoarea minimă în secţiunea minimă. Dacă aplicăm ecuaţia de continuitate (6.114) într-o secţiune fixată, mărimile respective fiind notate cu indicele 1, şi o secţiune curentă, găsim

vv

ρρ 11

1=

AA . (6.119)

Mai departe, din relaţiile dintre parametrii de mişcare şi parametrii de repaus ai gazului obţinem

11

2

21

12

11

211

−

−+

−+

=

k

Mk

Mk

ρρ ,

1

2

21

12

11

211

−

−+

−+

=

kk

Mk

Mk

pp ,

2

21

12

11

211

Mk

Mk

TT

−+

−+

= (6.120)

respectiv


21

2

21

11112

11

211

−+

−+

==Mk

Mk

MM

aa

MM

vv . (6.121)

Introducând prima relaţie (6.120) precum şi relaţia (6.121) în (6.119) găsim, după câteva calcule,

( )121

21

2

1

12

11

211

−+

−+

−+

=

kk

Mk

Mk

MM

AA . (6.122)

Dacă se dă funcţia ( )xA , x fiind variabila în lungul axei tubului, din (6.83) se calculează numărul ( )M x , iar din (6.85), (6.86), (6.84) ( )ρ x ,

( )p x şi ( )T x . Formulele precedente devin mai simple dacă se ia M1 1= ; în acest caz, secţiunea A1 devine secţiunea critică A * şi formula (6.122) se scrie

( )

( )121

212

12

11

12

−+

−+

−

+

+=

kk

kk

M

Mk

k*AA . (6.123)

De asemenea, dacă punem M1 1= în grupul de formule (6.100), acestea devin

11

2

211

12 −

−

−

++

=k

Mkk*ρ

ρ , 12

211

12 −

−

−

++

=kk

Mkk*p

p

1

2

211

12

−

−

++

= Mkk*T

T . (6.124)

6.6.8. Aplicaţii Rezultatele precedente îşi găsesc aplicaţii în studiul curgerii prin ajutaje. Dacă ajutajul este convergent – divergent, se realizează un ajutaj Laval (figura 6.15). Într-un astfel de ajutaj, debitul maxim are expresia

( )12

1

00 12 −

+

+=

kk

emax,m kpkAQ ρ . (6.125)

120 Mecanica fluidelor iar gazul poate fi accelerat în porţiunea divergentă astfel încât curgerea să devină supersonică. Atât timp cât secţiunea minimă a ajutajului nu devine secţiune critică, acesta funcţionează în întregime în regim subsonic. Atunci când secţiunea minimă devine secţiune critică, debitul masic fiind deci maxim, există o singură presiune exterioară ep′ pentru care mişcarea gazului în partea divergentă se accelerează şi devine supersonică pe toată lungimea acestei părţi. De asemenea, există o singură presiune exterioară ee pp ′>′′ pentru care mişcarea în partea divergentă este în întregime subsonică, viteza gazului descrescând continuu până la ieşirea din ajutaj. Prin urmare, pentru )[ 0p,pp ee ′′∈ există o infinitate nenumărabilă de regimuri subsonice posibile pe toată lungimea ajutajului Laval, în timp ce există un singur regim în întregime supersonic posibil în partea divergentă a ajutajului, pentru ee pp ′= . Dacă ( )eee p,pp ′′′∈ , mişcarea se accelerează după secţiunea critică fiind supersonică până într-o secţiune a părţii divergente în care apare o undă de şoc plană normală şi mişcarea devine subsonică până la ieşirea din ajutaj. Pe măsură ce presiunea exterioară scade, unda de şoc se deplasează spre secţiunea de ieşire, iar la o valoare ee pp ′>′′′ a acestei presiuni, unda de şoc se află chiar în această secţiune. În intervalul de presiuni ( )ee p,p ′′′′ , la ieşirea din ajutaj apar unde de şoc oblice în vâna de gaz, care se reflectă pe suprafaţa acesteia. În figura 6.15 b este reprezentată variaţia raportului p/ *p pe lungimea ajutajului, în diferitele situaţii pe care le-am examinat mai înainte. Dacă presiunea exterioară scade sub ep′ ( )ee pp ′< , expansiunea gazului continuă în vâna ce se formează în exteriorul ajutajului.

TESTE DE AUTOEVALUARE A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Definiţi impulsul unui corp. 2. În ce constă acţiunea unui curent de fluid asupra unei conducte curbe? 3. Care este cauza disipării unei părţi din energia curentului de fluid perfect care curge printr-o conductă a cărei secţiune creşte brusc? 4. Care este principiul de funcţionare al tubului Venturi?

Figura 6.15

Dinamica fluidelor ideale 121 5. Explicaţi funcţionarea unui ejector. 6. Cu ce viteză se propagă micile perturbaţii de presiune într-un fluid? 7. Ce este conul lui Mach? 8. Cum se pot determina parametrii mişcării din faţa unei unde de şoc? 9. Care sunt ecuaţiile fundamentale utilizate pentru deducerea relaţiei de calcul al debitului masic în cazul mişcării staţionare izoterme a gazelor în conducte? B. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Ecuaţia energiei pentru o linie de curent de fluid perfect. 2. Acţiunea jeturilor libere de fluid asupra pereţilor rigizi. 3. Mişcarea staţionară izotermă a gazelor în conducte. 4. Scurgerea gazelor prin ajutaje şi difuzoare. C. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Energie disipată – pierdere de sarcină hidraulică 2. Presiune statică – presiune dinamică 3. Tubul Pitôt – tubul Pitôt–Prandtl 4. Transformare adiabatică – transformare izentropică 5. Ajutaj – difuzor (în contextul scurgerii gazelor prin tuburi cu secţiunea variabilă)

7. DINAMICA FLUIDELOR REALE

Cuprins

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.1 Metode de cercetare în mecanica fluidelor. Teoria similitudinii 125

7.2 Soluţii exacte ale mişcării laminare . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.1 Mişcarea laminară între două plăci plane paralele . . . . . . 128

7.2.2 Mişcarea laminară într-un tub de secţiune circulară . . . . . 129

7.3 Mişcarea turbulentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.3.1 Mişcarea turbulentă în apropierea unui perete solid . . . . . 135

7.3.2 Mişcarea turbulentă prin tuburi cu secţiune circulară . . . . 137

7.4 Pierderi locale de energie. Rezistenţele locale . . . . . . . . . . 145

7.5 Aplicaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Obiective

În această unitate de învăţare sunt prezentate criteriile de similitudine

pe baza cărora rezultatele obţinute prin studii pe modele fizice pot fi aplicate

fenomenelor la scară reală, legea omogenităţii dimensionale a ecuaţiilor

analitice care descriu fenomene fizice, precum şi teorema , alături de

câteva aplicaţii ale acesteia din domeniul mecanicii fluidelor. Această

unitate de învăţare are ca obiective înţelegerea noţiunilor de mişcare

laminară şi mişcare turbulentă a fluidelor vâscoase incompresibile, precum

şi extinderea ecuaţiei conservării energiei mecanice la această clasă de

fluide.

Timp de studiu individual: 10 ore.

Rezumat

Prin modelare fizică pot fi vizualizate unele fenomene şi procese din

domeniul mecanicii fluidelor şi se pot obţine rezultate cantitative privind

evoluţia acestora. Modelarea fizică constă din înlocuirea domeniului efectiv

de desfăşurare a procesului (prototip) cu un domeniu la scară redusă

(model). Transpunerea rezultatelor experimentale obţinute pe model în date

aferente prototipului se realizează prin multiplicarea lor cu coeficienţi de

scară, definiţi ca expresii ale condiţiilor de similitudine a modelului cu

prototipul.

Condiţiile de similitudine sunt de trei categorii: similitudinea

geometrică (asemănarea formei frontierelor modelului şi prototipului),

similitudinea cinematică (asemănarea geometrică a spectrelor liniilor de

Dinamica fluidelor reale 123

curent şi proporţionalitatea vitezelor în punctele omoloage ale prototipului şi

modelului) şi similitudinea dinamică (existenţa unui raport constant între

forţele de acelaşi tip în punctele omoloage ale prototipului şi modelului).

Similitudinea cinematică o înglobează pe cea geometrică atunci când

frontiera domeniului mişcării este formată din linii de curent, iar

similitudinea dinamică include similitudinea cinematică dacă raportul

densităţilor în puncte omoloage este constant.

În general, condiţia de similitudine a prototipului şi modelului constă

în identitatea ecuaţiilor fizice ale acestora.

Criteriile de similitudine restrânsă pot fi stabilite şi pe baza egalităţii

rapoartelor forţelor de acelaşi tip, de pe model şi prototip. Dacă forţele de

inerţie şi cele interfaciale sunt predominante, scriind egalitatea rapoartelor

lor pe prototip şi model se ajunge la numărul WEBER, iar dacă forţele

preponderente sunt cele de compresibilitate şi de inerţie, se foloseşte

numărul MACH.

Mişcările fluidelor reale se împart în mişcări externe şi interne.

Mişcările externe au loc în jurul corpurilor, în condiţiile în care alte frontiere

se află la distanţe mari faţă de corpurile respective, iar mişcările interne se

desfăşoară în domenii cu frontierele închise.

Zona din vecinătatea frontierelor domeniului mişcării, unde valorile

gradienţilor de viteză sunt mari, se numeşte strat limită. În general, mişcările

externe pot fi tratate ca mişcări fără frecare în întregul lor domeniu, cu

excepţia stratului limită. În cadrul mişcărilor interne, vâscozitatea fluidului

se manifestă în întregul domeniu de mişcare.

Mişcările interne pot fi laminare sau turbulente, după cum straturile de

fluid alunecă unele peste altele sau alunecarea lor este împiedicată de

prezenţa unor componente pulsatorii ale vitezei, dezvoltate în toate direcţiile.

Delimitarea cantitativă a regimurilor laminar şi turbulent a fost făcută

de către OSBORNE REYNOLDS, în 1883, prin criteriul de similitudine care îi

poartă numele. În cadrul mişcării laminare a fluidelor newtoniene nu există

componente ale vitezei normale la direcţia mişcării, deoarece vâscozitatea

fluidului este constantă.

Ecuaţiile microscopice ale mişcării laminare se obţin la fel ca cele

aferente mişcării unui fluid perfect, dar, de această dată, forţele superficiale

au atât componente normale cât şi componente tangenţiale, iar

componentele normale pot fi rezultante atât ale forţelor de compresiune cât

şi ale forţelor de întindere.

Forţa de frecare este egală cu produsul dintre tensiunea tangenţială la

peretele interior al tubului şi aria suprafeţei acestuia.

Mişcarea turbulentă se caracterizează prin prezenţa unor componente

fluctuante ale vitezei, orientate în toate direcţiile spaţiului, şi este concepută

ca fiind rezultatul suprapunerii unei mişcări pulsatorii a particulelor de fluid

peste mişcarea principală. Pulsaţiile, generate de rugozitatea pereţilor, apar

şi la mişcarea laminară, dar sunt amortizate de vâscozitatea fluidului.

Rezolvarea ecuaţiilor mişcării turbulente este imposibilă fără a se

utiliza date experimentale care să lege tensiunile lui REYNOLDS de

componentele vitezei medii temporale ale mişcării fundamentale. O metodă


simplă de exprimare a tensiunilor lui REYNOLDS este teoria lungimii de

amestec, creată de către LUDWIG PRANDTL.

Energia disipată de un fluid vâscos aflat în mişcare se numeşte

pierdere de sarcină hidraulică, atunci când este exprimată ca înălţime

coloană de fluid. Pierderea de sarcină hidraulică este de două feluri:

longitudinală (provocată de frecarea dintre fluid şi frontierele domeniului

mişcării), respectiv locală (determinată de schimbarea direcţiei sau secţiunii

de curgere a fluidului).

Pierderea de sarcină hidraulică hd reprezintă energia disipată la

mişcarea unui fluid, exprimată sub formă de înălţime, şi este suma

pierderilor longitudinale hL şi a celor locale hl. Pierderile longitudinale de

sarcină hidraulică sunt determinate de frecarea dintre lichid şi peretele

interior al conductei, iar pierderile locale sunt cauzate de obstacolele

existente de-a lungul conductei.

Pierderile longitudinale de sarcină hidraulică pot fi exprimate, ca

diferenţă de presiune, prin relaţia DARCY–WEISBACH, în carecoeficientul de

rezistenţă hidraulică longitudinală depinde, în principiu, de numărul

REYNOLDS şi de rugozitatea relativă a conductei k/d, dar această dependenţă

poate fi doar parţială.

În cazul mişcării laminare, coeficientul depinde numai de numărul

REYNOLDS.

Se numeşte rugozitate absolută valoarea medie a înălţimii asperităţilor

de pe perete interior al conductei, notată k. Raportul dintre rugozitatea

absolută şi diametrul interior al conductei (k/d) se numeşte rugozitate

relativă. Rugozitatea reală a unei conducte nu poate fi măsurată şi, de aceea,

în locul ei se foloseşte rugozitatea artificială, creată prin lipirea unor

particule de nisip cu granulaţia cunoscută pe peretele interior al conductei.

Rugozitatea echivalentă a unei conducte reale este egală cu rugozitatea

artificială a unei conducte de acelaşi diametru interior care, la curgerea aceluiaşi

lichid, determină aceeaşi cădere de presiune pe unitatea de lungime.

Regimul turbulent de mişcare a lichidelor în conducte se împarte în

trei domenii: al conductelor netede din punct de vedere hidraulic, al

conductelor parţial rugoase şi al conductelor rugoase, după cum substratul

laminar din vecinătatea peretelui interior al conductei este suficient de gros

pentru a acoperi asperităţile, grosimea sa devine comparabilă cu rugozitatea,

respectiv este inferioară înălţimii asperităţilor.

Delimitarea domeniilor mişcării turbulente se poate face folosind

numărul REYNOLDS relativ la rugozitate sau comparând valoarea efectivă a

numărului REYNOLDS cu valorile mărimilor adimensionale.

Pentru determinarea coeficientului în domeniul conductelor netede

se poate folosi cu una din relaţiile deduse experimental de BLASIUS,

NIKURADZE. În domeniul conductelor parţial rugoase, depinde atât de Re

cât şi de k/d, conform ecuaţiilor COLEBROOK–WHITE, COLEBROOK, respectiv

WOOD, iar pentru domeniul conductelor rugoase se pot folosi relaţiile lui

NIKURADZE şi VON KÁRMÁN.

Determinarea coeficientului de rezistenţă hidraulică longitudinală se

poate face şi pe cale grafică, din diagramele lui NIKURADZE şi MOODY.


Pierderile locale de sarcină hidraulică se exprimă sub forma generală

în care valorile coeficientului de pierderi locale cl se stabilesc experimental,

pentru diferite obstacole, în funcţie de tipul, dimensiunile şi gradul de

reducere a secţiunii conductei. Prin excepţie, în cazul creşterii bruşte sau

scăderii bruşte a secţiunii, coeficientul cl poate fi exprimat analitic.

* * *

Dinamica fluidelor reale studiază mişcarea fluidelor considerate ca

sisteme elastice şi vâscoase. Datorită forţelor de atracţie moleculară în timpul

mişcării se dezvoltă eforturi tangenţiale, analoge eforturilor de frecare.

7.1. METODE DE CERCETARE ÎN MECANICA

FLUIDELOR. TEORIA SIMILITUDINII

Cele mai importante metode de cercetare din mecanica fluidelor sunt

următoarele:

metoda teoretică;

metoda experimentală;

metoda analizei dimensionale;

metoda similitudinii şi a modelelor;

metoda analogiilor între fenomene.

Metoda teoretică se bazează pe rezolvarea unui model matematic

obţinut din fenomenul fizic. De exemplu, observarea unui fenomen poate

conduce la scrierea unor ecuaţii de bilanţ volumetric, energetic, termic etc.

sau combinaţii între acestea, care se rezolvă ţinând seama de condiţiile la

limită şi iniţiale, acestea fiind deduse tot din observarea fenomenului fizic

supus analizei. În multe situaţii, modelul matematic este ales simplificat fie

că fenomenul fizic este parţial cunoscut, fie că se admit ipoteze

simplificatoare cum ar fi fluid ideal, gaz perfect. Uneori, modelul matematic

se alege simplificat prin neglijarea unor parametri care nu prezintă interes

practic. Utilizarea mijloacelor moderne de calcul a condus, în multe situaţii,

la obţinerea unor soluţii prin această metodă de lucru. Metoda teoretică este

greu de aplicat dacă fenomenul fizic nu este bine cunoscut.

Metoda experimentală este foarte utilă pentru estimarea unor

parametri care nu pot fi stabiliţi teoretic sau la ajustarea unor rezultate

obţinute prin metoda teoretică, mai ales dacă prin ultima metodă de lucru nu

s-a apreciat corect fenomenul fizic sau au fost efectuate simplificări

importante în modelul matematic ales.

Metoda analizei dimensionale se bazează pe faptul că mărimile care

intervin în ecuaţiile fizice sunt omogene, din punct de vedere dimensional şi

nu-şi schimbă forma la schimbarea sistemului de unităţi de măsură. Pentru

aplicarea metodei la un fenomen, este necesară cunoaşterea mărimilor care


intervin în acest fenomen şi formarea cu aceste mărimi a unor grupuri

adimensionale.

Numărul grupurilor adimensionale independente care pot fi folosite

pentru descrierea unui fenomen ce depinde de n variabile este egal cu n – r,

unde r este numărul mărimilor fundamentale necesare exprimării

dimensionale a variabilelor.

Dacă un fenomen fizic depinde de variabilele q1, q2, ..., qn şi este

descris de ecuaţia

f(q1, q2, ..., qn) = 0 (7.1)

şi, dacă q1, q2, q3 sunt mărimile fundamentale, atunci

ni

zyxii

iii qqqq...,5,4

321

, (7.2)

unde i este un număr adimensional şi xi, yi, zi – exponenţi care se determină

ulterior.

Relaţia (7.2) este valabilă şi pentru i = 1, 2, 3 dacă 1 = 2 = 3 = 1 şi x1

= y2 = z3 = 1, x2 = x3 = y1 = y3 = z1 = z2 = 0. Relaţia (7.1) se mai scrie astfel:

0,..., 541 nf , (7.3)

în care parametrii i au forma:

ni

zyx

ii

iii qqq

q

...,5,4321

. (7.4)

Exponenţii xi, yi, zi se obţin din egalitatea

iii zyxqqqq 3210 , (7.5)

prin folosirea unităţilor din sistemul internaţional.

Ecuaţia (7.3) se mai poate scrie şi sub forma

nF ,..., 654 (7.6)

şi arată că, în cazul apelării la experimente pe modelul fizic, similitudinea

este asigurată prin identitatea ecuaţiei pentru model şi prototip dacă n – 4

parametri adimensionali independenţi sunt identici pe model şi prototip.

Metoda similitudinii este deosebit de utilă în tehnică mai ales acolo

unde efectuarea experimentelor la scară reală este dificilă. În acest caz, se

recurge la experimentarea pe un model redus, geometric asemenea cu

prototipul şi problema care se pune este aceea de a şti ce condiţii trebuie

respectate pentru ca fenomenul model să fie asemenea cu fenomenul

prototip.

Similitudunea între cele două mişcări este completă atunci când există

similitudinea frontierelor, când traiectoriile particolelor de fluid sunt

geometric asemenea şi când în două puncte analoge vitezele sunt într-un

raport constant, indiferent de punctele considerate. Dacă cele două mişcări

sunt asemenea, forţele care acţionează pe două elemente fluide omogeme

sunt într-un raport constant. Convertirea rezultatelor experimentale obţinute

pe model în date caracteristice prototipului, se realizează prin coeficienţii de

scară definiţi ca expresii ale condiţiilor de similitudine a modelului cu


prototipul. În general însă, condiţiile care trebuie să fie îndeplinite pentru ca

două fenomene de mişcare să fie complet asemenea nu sunt compatibile

între ele. Alegându-se numai condiţiile compatibile, se realizează o

similitudine restrânsă.

În cazul studierii pe model a mişcării laminare a unui fluid vâscos

incompresibil, condiţia de asigurare a similitudinii dinamice se reduce la

identitatea ecuaţiilor (4.57) pentru prototip şi model. Rezumându-ne la

prima ecuaţie (4.57) găsim

,21

12

21

12

21

12

11

111111

1

11

z

v

y

v

x

v

x

pfvv

t

v xxxx

x

(7.7)

.22

22

22

22

22

22

22

222222

2

22

z

v

y

v

x

v

x

pfvv

t

v xxxx

x

(7.8)

Definind coeficientul de scară şi înlocuind mărimile din ecuaţia (7.7)

cu expresiile

CCppCff

CCvvCCttCxx

pf

evte

212121

2121212121

,,

,,,,,

se obţine forma

,22222

2

22222

22

2

x

e

vp

fxe

vx

e

v

vC

CC

x

p

Ce

C

fCCvvC

CC

t

v

C

CC

(7.9)

care identificată cu ecuaţia (7.8) duce la egalitatea

12

2

e

vpf

e

v

e

v

C

CC

Ce

CCC

C

CC

C

CC

. (7.10)

Relaţia (7.10) reprezintă condiţiile de similitudine dinamică, care

grupate astfel

.,

,,

22

2

2

2

e

v

e

vp

e

v

fe

v

e

v

e

v

C

CC

C

CC

Ce

C

C

CC

CCC

CC

C

CC

C

CC

(7.11)

iau, după efectuarea simplificărilor şi înlocuirea coeficienţilor de scară cu

expresiile lor de definiţie, forma

22

22

11

21

2

222

1

111 ,gl

v

gl

vlvlv

(7.12)

2

22

1

11

22

2

11

1 ,l

tv

l

tv

v

p

v

p

(7.13)


Prima relaţie (7.12) exprimă condiţia de identitate pe model şi prototip

a raportului dintre forţele de inerţie şi forţele de frecare, raportul cunoscut

sub numele de numărul lui Reynolds

vlRe (7.14)

A doua relaţie (7.12) exprimă numărul lui Froude

,Fr2

gl

v (7.15)

definit ca raportul dintre forţele de inerţie şi forţele masice.

Prima relaţie (7.13) defineşte numărul lui Euler sub forma

2

Euv

p

(7.16)

ca raport dintre forţele de presiune şi forţele de inerţie, iar a doua relaţie

(7.13) reprezintă criteriul de homocromie a mişcărilor pe model şi prototip

denumit numărul lui Strouhal definit astfel

.Shl

vt (7.17)

Alte criterii, frecvent utilizate în mecanica fluidelor sunt

,Maa

v (7.18)

numărul lui Mach care reprezintă raportul dintre forţele de inerţie şi cele de

compresibilitate şi

lv2

We (7.19)

numit numărul lui Weber, care reprezintă raportul dintre forţele de inerţie şi

forţele de tensiune superficială, fiind tensiunea superficială.

7.2 SOLUŢII EXACTE ALE MIŞCĂRII LAMINARE

7.2.1 Mişcarea laminară între două plăci plane paralele

Considerăm un fluid

vâscos limitat de doi pereţi

plani paraleli, orizontali, care

execută mişcări în propriul lor

plan cu vitezele v1, respectiv v2

(figura 7.1).

Dacă alegem axele ca în

figură, viteza fluidului este

paralelă cu axa Ox şi cum cei doi

pereţi sunt nelimitaţi, fenomenul de mişcare este plan şi viteza fuidului nu

depinde de y. Din ecuaţia de continuitate, care ia forma

Figura 7.1


0x

v

(7.20)

rezultă că viteza nu depinde nici de x, fiind funcţie numai de înălţimea z.

Ţinând seama de faptul că mişcarea este permanentă, iar singura forţă

de masă este greutatea fluidului, ecuaţiile de mişcare devin

.1

0;002

2

z

pg

y

p

zd

vd

x

p

(7.21)

Presupunem că presiunea nu variază în lungul direcţiei de mişcare, adică

0x

p

şi astfel obţinem

gz

p

dz

vd

d

d;0

2

2

. (7.22)

Prima din aceste ecuaţii are soluţia generală

,21 CzCv (7.23)

iar constantele C1 şi C2 pot fi determinate cu ajutorul condiţiilor la limită

,;;;0 12 vvhyvvz (7.24)

care ne dau

.; 1221

1 vCh

vvC

(7.25)

Aşadar, viteza are expresia

221 vh

zvvv (7.26)

şi se anulează în punctul de cotă

hvv

vz

21

20

(7.27)

În această mişcare există o singură componentă a eforturilor

tangenţiale diferită de zero şi constantă

.d

d 21

h

vv

z

vzx

(7.28)

Ca un caz particular, se poate presupune că unul din cei doi pereţi, de

exemplu cel inferior, este imobil (v2 = 0). Condiţiile (7.24) devin

,;,0;0 12 vvhyvz (7.29)

iar viteza are expresia

.1h

zvv (7.30)

De asemenea, efortul tangenţial are expresia

h

vzx

1 (7.31)

7.2.2 Mişcarea laminară într-un tub de secţiune circulară

O problemă importantă din punct de vedere practic este aceea a


mişcării laminare a unui fluid vâscos, incompresibil, într-un tub de secţiune

circulară. Dacă axa tubului este orizontală şi alegem axele de coordonate ca

în figura 7.2, se observă că viteza are chiar direcţia axei tubului Ox.

Ecuaţia de continuitate ne dă, în acest caz

0x

v

(7.32)

şi, deoarece fenomenul este staţionar, ecuaţiile de mişcare devin

z

p

y

pg

z

v

y

v

x

p

0;

10;0

2

2

2

2

. (7.33)

Şi în acest caz, în secţiunea transversală a tubului presiunea variază pe

verticală după legea hidrostatică. Pentru a integra prima dintre ecuaţiile

(7.33), observăm că mişcarea este simetrică în raport cu axa Ox şi

introducem coordonatele cilindrice x, r, (figura 7.2). Datorită simetriei,

viteza este în tot acest sistem funcţie numai de r.

Avem însă

,sin;cos rzry (7.34)

rzryz

r

y

r

cos;

sin;sin;cos

şi, prin urmare, viteza v fiind independentă de , se obţin formulele

,d

dcossin

d

d

;d

dsincos

d

dcos

d

dcos

d

d

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r

v

rr

v

z

v

r

v

rr

v

yr

v

y

r

r

v

ry

v

(7.35)

care însumate dau

.d

d

d

d1

d

d1

d

d2

2

2

2

2

2

r

vr

rrr

v

rr

v

z

v

y

v

(7.36)

Prima ecuaţie (7.33) devine

x

p

r

vr

rr

1

d

d

d

d1

(7.37)

şi deoarece membrul ei stâng este independent de x rezultă că ctx

p

.

Figura 7.2


Soluţia generală este

212 ln

4

1CrCr

x

pv

(7.38)

Punând acestei soluţii condiţiile:

v este finit la r = 0 şi v = 0 la r = d/2 ,

rezultă

221

16

1;0 d

x

pCC

şi în final legea de variaţie a vitezei lichidului se exprimă prin relaţia

2

2

44

1r

d

x

pv

(7.39)

şi deoarece deplasarea se face în sensul pozitiv al axei trebuie să avem 0x

p

.

Considerând un punct situat pe

axa tubului în care presiunea are

valoarea p1 şi un al doilea punct, situat

pe aceeaşi axă, aflat la distanţa l de

primul punct în sensul mişcării, în

care presiunea este p2, avem

l

pp

x

p 21

şi viteza devine

2

221

44r

d

l

ppv

, (7.40)

al cărui grafic este un paraboloid cu înălţimea egală cu viteza minimă

(figura 7.3).

.16

212

0maxl

ppdvv

r

(7.41)

Debitul care trece prin secţiunea transversală a tubului rezultă din

formula

4212

2

0

22

212

0 128422 d

l

pprdrr

d

l

PprvdrQ

p

d

(7.42)

iar viteza medie are valoarea

421

2 32

4d

l

pp

d

Qvm

(7.43)

fiind deci egală cu jumătate din viteza maximă.

Din (7.42) şi (7.43) găsim expresiile căderii de presiune

221421

32;

128

d

lvpp

d

lQpp m

(7.44)

cunoscute sub numele de formulele Hagen – Poiseuille.

Figura 7.3


Efortul tangenţial este

rl

pp

r

v

2d

d 21 (7.45)

şi variază liniar în raport cu r de la valoarea zero în axa tubului la valoarea

dl

pp

4

210

(7.46)

pe peretele tubului.

Efortul tangenţial maxim 0 se poate scrie şi sub forma

fm C

v

2

2

0

unde Cf este un coeficient adimensional ce poartă numele de coeficient de

frecare.

Cunoscând în (7.45) valoarea absolută şi egalând-o cu (7.46), obţinem

.42

2

21 fm C

d

lvpp (7.47)

De obicei, în locul lui Cf se utilizează coeficientul de rezistenţă sau

pierdere de sarcină

,4 fC (7.48)

iar expresia căderii de presiune ia forma

.2

2

21 d

lvpp m (7.49)

Dacă se egalează această cădere de presiune cu aceea dată de a doua

formulă (7.44) rezultă

.Re

64 (7.50)

unde

dvdv mm Re (7.51)

este numărul lui Reynolds.

În afară de un interes practic relativ limitat, mişcarea laminară într-un

tub de secţiune circulară are un interes teoretic deosebit. Experienţele

executate cu mare precizie au arătat că rezultatele teoretice concordă foarte

bine cu datele experimentale. Fiind vorba de o soluţie exactă a ecuaţiilor

Navier – Stokes, coincidenţa teoriei cu experienţa constituie o verificare

indirectă a valabilităţii ipotezelor fundamentale care au fost făcute la

stabilirea acestor ecuaţii.

Coincidenţa dintre teorie şi practică se produce numai atât timp cât

mişcarea fluidului în tub îşi păstrează caracterul laminar. Experienţele au

arătat că pentru tuburile de secţiune circulară regimul de mişcare rămâne

laminar atât timp cât numărul lui Reynolds nu depăşeşte valoarea critică

2300Re .


7.3 MIŞCAREA TURBULENTĂ Foarte multe dintre mişcările fluidelor, importante din punct de vedere tehnic, sunt turbulente. Mişcarea turbulentă se caracterizează prin prezenţa componentelor fluctuante ale vitezei în toate direcţiile spaţiului şi este concepută ca fiind rezultatul suprapunerii unei mişcări pulsatorii la nivelul macroparticulelor peste mişcarea principală, încât un calcul teoretic apare aproape imposibil de efectuat. Acţiunile produse de această mişcare de pulsaţie echivalează cu o creştere de o sută până la mii de ori a vâscozităţii. La o analiză atentă a unei mişcări turbulente se constată că aceasta poate fi descompusă într-o mişcare medie şi una de pulsaţie. Extrinderea ecuaţiilor Navier – Stokes la mişcarea turbulentă se bazează pe exprimarea vitezei şi folosirii ca sumă a componentelor acestora din mişcarea fundamentală şi din mişcarea pulsatorie. `;`;`;` pppvvvvvvvvv zzzyyyxxx +=+=+=+= (7.52)

unde pvvv zyx ,,, sunt componentele vitezei, respectiv presiunii în mişcarea fundamentală, iar `,` ,, pv zyx sunt componentele aceloraşi mărimi în mişcare pulsatorie. Mărimile zyxv ,, şi P sunt valori medii temporale într-un punct definite sub forma

( ) ,d1,,,, ∫= +Tt

t zyxzyx ttvT

v (7.53)

( ) ,d1∫= +Ttt ttp

Tp (7.54)

unde durata de mediere T trebuie să fie suficient de mare pentru a asigura invariabilitatea în timp a valorilor medii v x y z, , şi p . Conform relaţiilor (7.52)…(7.54), valorile medii temporale ale mărimilor pulsatorii sunt nule. .0';0';0';0' ==== pvvv zyx (7.55) Ţinând seama se egalitatea

( ) ( )zxyxx

zx

yx

xx vv

zvv

xxvv

zvv

yvv

xv

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

++=++2

valabilă în asociere cu ecuaţia de continuitate (3.61), prima ecuaţie (7.7) poate fi scrisă astfel

( ) ( ) .1 22

xxzxyxxx v

xpfvv

zvv

yxv

tv

∇+−=+++ρµ

∂∂

ρ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(7.56)

Folosind următoarele valori medii temporale

( ) ,,,,2'2'2 zyxivvvvv iiiii =+=+= (7.57)

( ) ,''''jijijiiiji vvvvvvvvvv +=+

+= i = x, y, z; j = x, y, z ; i ≠ j , (7.58)

din ecuaţia (7.56) se obţine, prin mediere temporală, ecuaţia


( ) ( )

,''''2'2

2

−

−

−∇+−=

=

+++

zxyxxxx

zxyxxx

vvz

vvy

vx

vxpf

vvz

vvyx

vtv

ρ∂∂ρ

∂∂ρ

∂∂µ

∂∂ρ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ρ

(7.59)

care, spre deosebire de relaţia (7.56), conţine în plus ultimii termeni definiţi pe baza conceptelor fluctuante ale vitezei. Ecuaţii similare se pot scrie şi pentru direcţiile y şi z, şi împreună cu (7.59) formează ecuaţiile fundamentale ale mişcării turbulente.

Termenii ( )zyxjzyxivv ji ,,;,,,'' ==− ρ se numesc tensiunile lui Reynolds şi au semnificaţia fizică a transferului de impuls de la mişcarea pulsatorie la mişcarea fundamentală. În baza aceluiaşi procedeu ecuaţia, de continuitate (3.61) devine

.0=++zv

yv

xv zyx

∂∂

∂∂

∂∂ (7.60)

Comparând ecuaţiile mişcării turbulente (7.59) cu ecuaţiile (7.7) şi (7.8) se obţin expresiile

( ) ,,,,22'

zyxiviv

ii

ii === ρ∂∂µτ (7.61)

( ) ,;,,;,,,'' jizyxjzyxivvi

vjv

jiji

ij ≠==−

+= ρ

∂∂

∂∂µτ (7.62)

care arată că în cazul mişcării turbulente, tensiunile de forfecare au o componentă vâscoasă şi una turbulentă. Tensiunile vâscoase sunt predominante în vecinătatea pereţilor, în zona numită substrat laminar, iar componentele datorate mişcării pulsatorii denumite eforturi suplimentare sunt preponderente în restul masei de fluid. Rezolvarea ecuaţiilor mişcării turbulente prezentate mai sus este imposibilă, chiar în principiu, fără a dispune de informaţii suplimentare, în cazul mişcării turbulente tridimensionale nu este posibil ca din patru ecuaţii (trei de mişcare şi una de continuitate) să se determine 7 necunoscute

pvvvvvv zyxzyx ,,,,,, ''' , fără a se utiliza a date experimentale care să lege

tensiunile lui Reynolds de componentele vitezei medii temporale ale mişcării fundamentale. Una din cele mai simple metode de exprimare a tensiunilor lui Reynolds se bazează pe transferul de impuls şi a fost introdusă în anul 1925 de către Prandtl, fiind cunoscută sub denumirea de teoria lungimii de amestec. Prin lungime de amestec se înţelege distanţa, în direcţie transversală, pe care o particulă trebuie să o parcurgă cu viteza medie a stratului său de origine, pâna ce diferenţa dintre viteza sa şi cea a locului în care se află este egală cu pulsaţia medie longitudunală a mişcării turbulente. Astfel efortul tangenţial se poate scrie


2

22

=

dyvdl x

xy ρτ (7.63)

sau dacă ne reamintim că sensul lui τxy trebuie să se schimbe cu acela al derivatei dyvd x , este mai corect să scriem

,d

dd

dd

d 2

yv

yvl

yv xxx

yx ρµτ += (7.64)

unde y

vl x

dd2 are dimensiunile vâscozităţii cinematice şi se numeşte deseori

vâscozitate cinematică turbulentă. 7.3.1 Mişcarea turbulentă în apropierea unui perete solid În apropierea pereţilor solizi, componentele vitezei de pulsaţie sunt foarte mici, iar pe pereţi se anulează, rămânâd astfel numai eforturile datorate vâscozităţii, prezente şi în mişcarea laminară. În cele ce urmează, vom considera un caz simplu dar foarte important din punct de vedere practic şi anume mişcarea turbulentă în apropierea unui perete plan presupus nelimitat în toate direcţiile, asatfel că mişcarea are un caracter plan. Admitem că mişcarea este staţionară şi că nu există un gradient al presiunii pe direcţia de mişcare a fluidului. Pe direcţia perpendiculară pe plan, fluidul se întinde până la o distanţă apreciabilă, teoretic până la infinit, mişcarea are un caracter de strat limită. Dacă alegem axa Ox în lungul peretelui pe direcţia de mişcare a fluidului, iar axa Oy normală pe perete, efortul tangenţial va avea o singură componentă de forma

.''yx

x vvyv ρ∂∂µτ −= (7.65)

Aspectul curbei de variaţie a vitezei medii xv în funcţie de y şi comportarea turbulenţei depind de mărimea relativă a celor doi termeni din ecuaţia (7.65), ca urmare rezultă un model numit „multi-strat” al stratului limită turbulent.

Astfel pentru un strat inferior, definit prin 2,00 ≤≤δy , unde δ este

grosimea stratului limită, efortul tangenţial turbulent este neglijabil şi formula (7.65) devine

,0 yv x

∂∂µτ = (7.66)

unde τ0 este efortul tangenţial la perete. Prin integrare obţinem

,0 yv xµτ

= (7.67)

constanta de integrare fiind nulă deoarece la perete (y = 0), 0vx =

136 Mecanica fluidelor Dacă se introduce mărimea

ρτ 0

* =v (7.68)

numită „viteză de frecare” deoarece are dimensiunile unei viteze, formula (7.67) se poate scrie sub formă adimensională

.*

* νyv

vv x = (7.69)

Stratul în care viteza medie variază după această lege liniară se

numeşte „strat laminar” şi este cuprins între limitele 30 * <≤ν

yv , limita

superioară fiind după unii autori, valoarea 5.

Pentru 403 * <≤ν

yv aproximativ, stratul se numeşte tampon şi cei doi

termeni din membrul drept al formulei (7.65) au acelaşi ordin de mărime, motiv pentru care nu se poate stabili o expresie simplă pentru viteza xv . Din experienţe rezultă că limita superioară poate avea valori cuprinse între 30 şi 50 sau chiar mai ridicate.

Pentru 40* >ν

yv , efortul tangenţial vâscos este neglijabil şi pe baza

unor considerente de natură dimensională poate scrie

=ν

yvfvv x *

1*

(7.70)

şi

,*2

*

=ν∂

∂ yvfy

vyv x (7.71)

unde f1(0) = 0 deoarece xv se anulează la perete. Pentru că la distanţe mai mari de perete, considerăm că, derivata vitezei medii (7.71) tinde spre o valoare constantă, punem κ1)(2 =∞f , unde κ este o constantă. Se obţine astfel relaţia

y

vyv x

κ∂ *=∂

(7.72)

şi după integrare rezultă

.ln1 *

*Cyv

vvx +=

νχ (7.73)

Constantele se determină pe cale experimentală; astfel, pentru valori κ cuprinse între 0,4 şi 0,41 se obţin pentru C valori cuprinse între 5 şi 5,2. Aceasta este legea logaritmică a vitezei, dedusă de Prandtl pe baza altor consideraţii, considerată în urma cercetărilor recente necorespunzătoare

din punct de vedere fizic, şi valabilă între limitele δ2,040

*<< y

vv .

Pentru stratul exterior, după J . Rotta expresia vitezei se poate pune

Dinamica fluidelor reale 137 sub forma

,2ln1

*

−+−=

−δκδκyWBy

vvv x (7.74)

unde W(1) = 2, v este viteza mişcării exterioare, B o constantă absolută

pentru 2000* >νδv , iar funcţia

δyW are diverse forme rezultate din

cercetări experimentale. Consideraţiile precedente sunt valabile pentru cazul în care peretele este neted. Dacă acesta are o rugozitate definită prin parametrul k ce reprezintă lungimea acestora, apar trei situaţii în funcţie de valoarea

raportului ν

*kv .

Astfel, pentru 50 * ≤≤νkv , rugozităţile sunt „înecate" în substratul

laminar şi peretele se comportă ca unul neted.

Dacă avem 705 * ≤≤νkv , variaţia vitezei medii este determinată de

rugozitatea peretelui şi legea logaritmică (7.73) ia forma

.ln1 **

*

+=ννχ

kvf

yvvvx (7.75)

Pentru unele tipuri de rugozităţi naturale, funcţia

ν

*kvf are expresia

,92.230.3ln1 ** −

+−=

νχνkvCkvf (7.76)

unde C este aceeaşi constantă din (7.73).

În sfârşit, pentru ν

*kv ≥ 70, efectul rugozităţii este predominant şi

legea logaritmică de variaţie a vitezei devine independentă de vâscozitate putând fi pusă sub forma

,ln1

0* zy

vvx

χ= (7.77)

unde lungimea z0 se alege astfel încât să includă şi constanta C. 7.3.2 Mişcarea turbulentă prin tuburi cu secţiune circulară Din diferitele mişcări turbulente tehnice, cea prin tuburi de secţiune circulară a fost mult studiată datorită importanţei ei deosebite. Primele cercetări sistematice au fost efectuate de către O. Reynolds care a pus în evidenţă faptul că trecerea de la regimul laminar la cel turbulent se produce

întotdeauna aproximativ la aceeaşi valoare a numărului ν

dvm=Re (unde d

este diametrul, iar vm este viteza medie de curgere) care este de circa 2.300. Pierderile de sarcină hidraulică reprezintă energia hidraulică

138 Mecanica fluidelor transformată, datorită frecării fluidului, în căldură care apoi este disipată în mediul ambiant. Pentru a exprima pierderile de sarcină longitudinală se consideră mişcarea staţionară a unui lichid în mişcare complet dezvoltată printr-o conductă orizontală, de diametru d şi lungimea l şi se scrie legea a doua a dinamicii pentru fluidul din elemente de volum delimitat de două secţiuni normale. Pentru un cilindru de lichid, de lungime l şi raza y', aflat în mişcare conform ipotezelor menţionate forţele de inerţie dispar şi echilibrul între forţele tangenţiale de pe suprafaţa laterală şi forţele de presiune de pe cele două secţiuni dă

.2

21 yl

pp ′−=τ (7.78)

Această relaţie este valabilă şi pentru mişcarea laminară şi pentru cea turbulentă, τ definind suma dintre eforturile tangenţiale laminare şi turbulente. Cel mai mare efort tangenţial există la perete şi are valoarea

,4

210

dl

pp −=τ (7.79)

care poate fi determinată prin măsurarea diferenţei de presiune p1 – p2. În amândouă formulele precedente, au fost considerate valorile absolute ale eforturilor tangenţiale. În timp ce la mişcarea laminară relaţia teoretică dintre debitul Q şi scăderea de presiune se găseşte în bună concordanţă cu experimentele, pentru mişcarea turbulentă legea corespunzătoare trebuie luată din cercetările experimentale, deoarece până astăzi nu s-a realizat o tratatare teoretică a acestei probleme. Întroducând în relaţia (7.79) expresia (7.45) se obţine pentru pierderile de sarcină hidraulică formula

,2

2

21 λρdlv

pp m=− (7.80)

unde λ = 4 Cf se numeşte coeficient de rezistenţă hidraulică. Comparând expresiile (7.79) şi (7.80) găsim formula

,8

2

0 λρτ mv= (7.81)

sau dacă ţinem seama de (7.68)

.8

2* λ

=

mvv (7.82)

Pentru legea de variaţie a vitezei medii mv în secţiunea transversală a tubului (axa Ox coincide cu axa tubului), rezultatele experimentale arată că aceasta are forma generală admisibilă

,*

*

=ν

yvfvvx (7.83)

unde '0 yry −= , r0 fiind raza interioară a conductei.

Dinamica fluidelor reale 139 Rezultatele găsite în cazul mişcării turbulente pe lângă un perete plan pot fi transpuse şi pentru mişcarea în tuburi. Pentru aceasta trebuie ca Re > 3000 pentru a avea turbulenţa complet dezvoltată şi distanţa de la intrarea în conductă să fie de 25d până la 40d. Şi în acest caz există, ca la mişcarea pe lângă un perete plan, mai

multe straturi. Astfel, pentru 0 <≤ν

yv* 5 avem

,*

* νyv

vvx = (7.84)

relaţie ce corespunde substratului laminar în conducte netede.

În regiunea 5 <≤ν

yv* 30, importanţa relativă a tensiunilor tangenţiale

laminare se reduc şi creşte rolul tensiunilor turbulente. Această zonă se numeşte zonă tampon sau de tranziţie şi separă zona laminară de zona turbulentă, pentru care se poate utiliza pentru legea vitezei medii expresia găsită de J. Rotta sub forma

( )

( )( ) ( )

+

−

++−

+−

−

+−=

2**

*2

2*

*412ln1

2

411

νδχ

νδχ

χνδ

χ

νδχ

vyvyyv

vy

vv ee

e

e

x

νδev*+ , (7.85)

Se observă că pentru y = δe, expresiile (7.84) şi (7.85) coincid.

Pentru 30 < ν

yv* < 500, tensiunile vâscoase joacă un rol neglijabil şi

este valabilă legea logaritmică

,ln1 *

*Cyv

vvx +=

νκ (7.86)

în care κ = 0,40...0,41 şi C = 4,9...5,85. Pe cale experimentală s-a constatat că cele trei straturi considerate până acum au o grosime constantă şi egală cu 0,15 r0, independentă de valoarea numărului Re.

În zona pentru care y > 0,15 r0 sau y > *

500vν , repartiţia vitezei medii

se depărtează de cea dată de legea logaritmică şi de aceea trebuie introdusă o corecţie sub forma ( )0ryf , determinată experimental, care se adaugă membrului drept al relaţiei (7.86). După unele cercetări, dacă se pune în (7.86) κ = 0,406 şi C = 5,67 se obţine pentru legea logaritmică un bun acord cu datele experimentale pe întreaga rază a tubului, excepţie făcând substratul laminar ce trebuie considerat separat. Viteza medie vm are expresia


∫==0

02

02

0d2 r

xm rrvrr

Qvπ

(7.87)

şi, dacă facem schimbarea de variabilă yrr −= 0 şi utilizăm expresia (7.86), găsim

,23ln1 0*

* κνκ−+= Crv

vvm (7.88)

sau după ce utilizăm formula (7.82)

,23

82Reln18

κκλ−+

= Cd (7.89)

unde νν

02Re rvdv mm == .

Dacă efectuăm calculele pentru valorile κ = 0,406 şi C = 5,67 şi trecem la logaritmi zecimali, obţinem formula generală pentru calcululul coeficientului de rezistenţă

( ) .811.0Relog005.21−= λ

λ (7.90)

J . Nikuradze a corectat, după datele experimentale, coeficienţii numerici din formula (7.90) şi a găsit expresia

( ) 8.0Relog21−= λ

λ (7.91)

şi asigură o bună concordanţă cu valorile lui λ obţinute pe cale experimentală. Formula precedentă, dedusă de Prandtl, prezintă dezavantajul de a avea o formă complicată, motiv pentru care în calcule se utilizează formule deduse pe cale experimentală, cele mai cunoscute fiind formula lui Blasius

,Re

3164.025.0=λ (7.92)

valabilă pentru Re < 105 şi formula lui Nikuradze

,Re

221.00032.0 237.0+=λ (7.93)

valabilă în intervalul 105 ≤ Re ≤ 107.

În cadrul celor mai multe aplicaţii practice, peretele interior al conductei nu este fizic neted şi ca urmare, în zonele mişcării turbulente, rugozitatea peretelui poate avea un efect major asupra profilului vitezei şi a gradientului de presiune generat de frecare. Rugozitatea este datorită naturii materialului conductei şi modul de confecţionare a conductei, iar în timp ea este influenţată de eroziune şi coroziune. Rugozitatea poate fi creată artificial, în scopuri experimentale, prin lipirea unor granule de nisip pe peretele conductei. Descrierea completă a rugozităţii unei conducte necesită definirea geometriei asperităţilor referitoare la înălţime, lungime, lăţime şi formă, precum şi cunoaşterea distribuţiei asperităţilor. Deoarece acest lucru nu este

Dinamica fluidelor reale 141 posibil, a devenit obişnuit să se utilizeze noţiunile de rugozitate naturală şi rugozitate artificială, să se măsoare rugozitatea artificială ca înălţimea medie a granulelor de nisip şi să se stabilească legătura empirică între rugozitatea naturală şi rugozitatea artificială. Din analiza dimensională a rezultat că efectul rugozităţii depinde de rugozitatea relativă definită sub forma 2ks/d, unde ks este înălţimea medie a granulelor de nisip considerate a avea dimensiuni uniforme şi presupuse a fi uniform distribuite în conducta cu rugozitate artificială. În cazul rugozităţii naturale, ks este înălţimea granulelor uniforme de nisip care ar da efectul observat al rugozităţii naturale. Efectul rugozităţii în cadrul mişcării turbulente depinde de rugozitatea relativă şi de numărul Reynolds. Această dependenţă este atribuită substratului laminar existent în zona peretelui. Dacă grosimea substratului laminar este suficient de mare pentru a acoperi rugozitatea (valabil pentru valori mici ale numărului Re) efectul rugozităţii este nul şi conducta este netedă hidraulic. Efectul rugozităţii se face simţit la valori mari ale numărului Reynolds, când grosimea substratului laminar este mai mică decât înălţimea asperităţilor. În figura 7.4 sunt reprezentate parţial, rezultatele măsurătorilor, sub forma diagramei Nikuradze, inclusiv cele pentru regimul laminar (curba 1) şi cele pentru regimul turbulent neted (curbele 2 şi 3).

J . Nikuradze, E. Moody şi alţii au ajuns la concluzia că pierderile de energie depind nu numai de valoarea cifrei Re, dar şi de mărimea rugozităţilor şi a distribuţiei lor în spaţiu, adică ( ) ,Re,ελ f= (7.94)

Figura 7.4

142 Mecanica fluidelor iar limitele domeniului de tranziţie sau al domeniului mixt vor fi

.705 * <<νvks (7.95)

Coeficientul de rezistenţă λ se poate determina cu ajutorul formulei lui Colebrook – White

.71.3Re

51.2lg21

+−=

dks

λλ (7.96)

Pentru valori şi mai mari ale numărului lui Reynolds respectiv pentru

,70* >νvks (7.97)

se ajunge în domeniul complet rugos, sau al legii pătratice, în care λ este funcţie numai de rugozitatea relativă. Legea logaritmică de repartiţie a vitezei medii xv poate fi utilizată şi la tuburile rugoase sub forma

,ln1

*B

ky

vv

s

x +=κ

(7.98)

unde constanta κ are aceeaşi valoare ca şi mai înainte, iar B = 8,48 în

domeniul complet rugos. În general, B este o funcţie de ν

*vks care devine

constantă pentru 70* >νvks .

Dacă admitem că această lege este valabilă şi în zona centrală a tubului, obţinem, pentru 0ry = , relaţia

Bkr

vv

s

x += 0

*ln1

κ (7.99)

şi prin scădere din (7.148)

.ln0

max ryvvv x

xx κ+= (7.100)

Viteza medie în secţiunea transversală a tubului, definită prin (7.87), după înlocuirea vitezei maxxv cu formula (7.99) devine

,23ln1 0κκ

−+= Bkr

vv

sx

m (7.101)

sau

κκλ 23ln18 0 −+= B

kr

s (7.102)

dacă utilizăm formula (7.82). Înlocuind constantele κ şi B cu valorile lor numerice precizate mai înainte, obţinem

,692,1ln870,01 0 +=sk

rλ

(7.103)

sau dacă folosim logaritmul zecimal se găseşte


.692.1lg005.21 0 +=sk

rλ

(7.104)

Am obţinut astfel formula pentru calculul coeficientului de rezistenţă λ în domeniul complet rugos. Concordanţa cu rezultatele experimentale ale lui J . Nikuradze este mai bună dacă se modifică valorile coeficienţilor. Se găseşte astfel formula

.2

lg274,12−

+=

skdλ (7.105)

Stabilirea pe o cale mai simplă a domeniului, respectiv a formulei care trebuie utilizate pentru calculul coeficientului de rezistenţă λ, se poate face calculând parametrii adimensionali

,2

2843,28Resn

I kd

λ= (7.106)

unde λn se calculează cu formula (7.92), iar

,22

lg9595.7910048.689Ress

II kd

kd

+= (7.107)

precum şi numărul Reynolds ν

dvm=Re al mişcării din tub.

Dacă avem Re ≤ ReI tubul este hidraulic neted, pentru ReI < Re ≤ ReII ne găsim în domeniul de tranziţie, iar dacă Re ≥ ReII tubul este complet rugos.

Rugozitatea creată cu granule de nisip poate fi caracterizată prin aceea că densitatea rugozităţii are valoarea maximă deoarece peretele era acoperit cu granule de nisip lipite cât mai des posibil. La multe rugozităţi tehnice,

Figura 7.5

144 Mecanica fluidelor această densitate este sensibil mai mică. A apărut deci necesar să se încadreze aceste rugozităţi oarecare într-o scară de rugozităţi normale şi să se aleagă rugozitatea cu nisip, fiindcă aceasta a fost studiată într-un domeniu foarte întins de numere Re şi de 2ks/d. Ordonarea în scara rugozităţilor cu nisip se face cel mai simplu pentru domeniul rugozităţii complete. Se poate face să corespundă unei rugozităţi necesare o rugozitate cu nisip echivalentă prin care se înţelege acea mărime a granulelor care dă, cu ajutorul formulei (7.155), coeficientul de rezistenţă ca şi rugozitatea reală. Astfel, pentru tuburile noi din oţel, rugozitatea echivalentă este ks = 0,02…0,06 mm, în timp ce pentru aceleaşi tuburi date de curând în exploatare se poate lui ks = 0,1…0,3 mm. După o perioadă de exploatare îndelungată, rugozitatea creşte până la ks = 0,5…1 mm.

Deoarece evaluarea lui λ din ultimele relaţii este dificilă, au fost construite diagrame privind relaţia dintre coeficientul de pierderi de sarcină,

Figura 7.6

Dinamica fluidelor reale 145 numărul lui Reynolds şi rugozitatea relativă dks=ε . În figura 7.11 se prezintă diagrama lui Moody care se foloseşte atunci când se cunoaşte debitul de curgere.

Pentru conductele netede la care dks=ε este foarte mic, al doilea

termen din parantezele relaţiei (7.171) poate fi neglijat, în schimb, dacă Re este foarte mare, primul termen al aceleeaşi paranteze poate fi neglijat; în aceste cazuri efectul vâscozităţii este neglijabil şi λ depinde numai de rugozitatea relativă. Pentru aflarea rugozităţii relative se poate folosi diagrama din figura 7.12 în care s-au reprezentat valorile ks/d, în funcţie de diametrul conductelor fabricate din diverse materiale (Moody). În cazul folosirii conductelor necirculare, aflarea valorii coeficientului de pierdere de sarcină se face tot cu ajutorul diagramei din figura 7.5, numai că

,4

)4(ReR

kdksiRv ss ==

ν

în care raza hidraulică R (raportul dintre aria secţiunii vii de curgere şi perimetrul udat), are valoarea d/4 pentru conducte circulare. Folosirea acestui artificiu dă rezultate foarte bune numai pentru domeniul curgerii turbulente.

7.4. PIERDERI LOCALE DE ENERGIE. REZISTENŢELE LOCALE

Pierderile locale de energie sunt pierderile care se produc pe distanţe mici, cum ar fi intrarea sau ieşirea din conductă, schimbări bruşte de secţiune, derivaţii, ramificaţii, aparate de măsură şi control etc. Ele se adaugă la pierderile proporţionale cu lungimea. În general, o pierdere locală se exprimă prin relaţia

,2

2

gvhl ξ= (7.108)

în care ξ depinde de caracteristicile geometrice ale elementului ce produce rezistenţă locală, de rugozitate, de numărul Re etc. Intrarea în conductă După cum reiese din figura 7.7, la intrarea lichidului într-un rezervor, într-o conductă, liniile de curent converg ca în cazul unui orificiu, astfel încât în punctul B există o viteză maximă şi o presiune minimă. În această porţiune tubul central de curent este înconjurat de un fluid ce se află în mişcare turbulentă cu o viteză foarte mică, practic negligabilă. Între B şi C fluidul se află într-o situaţie instabilă datorită scăderii vitezei şi creşterii presiunii.

146 Mecanica fluidelor Întrte C şi D, curgerea este normală. Se observă că pierderea de energie locală este distribuită de-a lungul porţiunii AC, a cărei lungime este de câteva ori diametrul. Creşterea turbulenţei pe această porţiune de conductă face ca pierderea de energie să fie mai mare decât pe restul conductei; lucru pus în evidenţă şi de valoarea pantei liniei energetice pe această porţiune. Pierderile de energie la intrarea în conductă se datoreşte turbulenţei create de mărirea secţiunii circuitului de curgere după trecerea de punctul B. De asemenea, ea este foarte mult afectată de condiţiile în care are loc racordarea conductei la rezervor. S-a determinat experimental că dacă racordul este rotund (figura 7.8, a), nu există contracţie a curentului de lichid, pierderile fiind foarte mici

( )008,006,0 …∈ξ . Pentru racordul cu muchii ascuţite (figura 7.8, b), coeficientul de pierderi locale de energie este egal cu 0,5, iar pentru racordul cu intrând în rezervor (figura 7.8, c) ξ = 1.

Intrarea în rezervor

Când un lichid ce dispune de o viteză v debitează dintr-o conductă într-un rezervor (figura 7.9) care este atât de mare încât viteza în el este neglijabilă, întreaga energie cinetică a lichidului este consumată, ceea ce înseamnă că ξ = 1. Reducerea valorii acestei pierderi locale se face numai prin reducerea vitezei de curgere la intrarea în rezervor, adică prin montarea unui tub divergent.

Reducerea bruscă a secţiunii Descrierea fenomenului este redată în figura 7.10. De notat că în colţul C există o creştere a presiunii datorită curburii liniilor de curent, astfel încât forţele centrifuge fac ca presiunea în acest colţ să fie mai mare ca în centrul curentului.

Figura 7.7

Figura 7.8

Figura 7.9


Între C şi E condiţiile de curgere sunt similare cu cele de la ieşirea din rezervor. Valoarea coeficientului de pierderi locale ξ, în funcţie de raportul diametrelor, este dată în tabelul 7.1.

Tabelul 7.1 D2/D

1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

ξ 0,50 0,45 0,42 0,39 0,36 0,33 0,28 0,22 0,15 0,06 0,00 Lărgirea bruscă a secţiunii Între punctele C şi F (figura 7.11) fluidul se află într-o stare de excesivă turbulenţă. Aici presiunea la perete este mai mică decât în centrul curentului. Pierderile în cazul lărgirii bruşte de secţiune sunt mai mari decât în cazul reducerii bruşte a acesteia, aşa cum se observă în tabelul 7.2.

Tabelul 7.2 D2/D

1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

ξ 1,00 0,988 0,922 0,828 0,706 0,563 0,410 0,260 0,130 0,036 0,00

Din ecuaţia energetică între secţiunile 1 şi 2 (secţiunea 2 aleasă la o distanţă egală cu cel puţin 8D2 măsurată din punctul C) şi ecuaţia impulsului pentru volumul de control cuprins între cele două secţiuni, se obţine relaţia

( ).

2

221

gvvhe

−= (7.109)

Folosind ecuaţia continuităţii, expresia (7.109) se transformă în

,1

12

121

22

2

122

22

1

2g

vDD

gv

DDhe

−=

−

= (7.110)

de unde rezultă expresiile coeficienţilor ξ funcţie de raportare a energiei cinetice la secţiunea 1 sau 2

Figura 7.10

Figura 7.11


.1;1

22

1

2''

22

2

1'

−

=

−=

DD

DD

ee ξξ

Lărgirea continuă a secţiunii Pentru reducerea pierderilor locale de energie la lărgirea bruscă a secţiunii, între cele două secţiuni, se intercalează un ajutaj conic (figura 7.12). Pierderea de energie este funcţie de unghiul difuzorului şi raportul între cele două diametre (lungimea difuzorului este funcţie de aceeaşi doi parametri). Pierderea de energie este egală cu suma pierderilor longitudinale de-a lungul difuzorului.

,d2

1 2

∫= Lg

vd

hL λ

,d2

1 2

∫= Lg

vd

hL λ

la care se adaugă pierderea datorată lărgirii secţiunii, relaţia (7.109), astfel încât se poate scrie

g

vDDhl 2

121

22

2

1'

−= ξ (7.111)

Valoarea coeficientului de pierderi locale de energie

22

2

1' 1

−=

DD

ξξ (7.112)

se va obţine prin multiplicarea valorilor din tabelul 7.2 cu coeficientul ξ’, a cărui valoare funcţie de unghiul α este dată în diagrama din figura 7.13. Rezultă că la unghiuri mai mari de 40° difuzorul măreşte pierderea de energie, nejustificâdu-şi prezenţa. Valorile minime ale lui ξ’ au loc de la α = 6° pentru conducte netede şi α = 8° pentru conducte rugoase. Diafragma

Figura 7.12

Figura 7.13


Problema diafragmei (figura 7.14) se tratează asemănător cu lărgirea de secţiune, cu deosebire că în relaţia (7.111) se va ţine cont de contracţia secţiunii adică

,12

1

ΩΩ

−=ε

ξ (7.113)

unde coeficientul de contracţie se poate calcula cu relaţia lui J . Weisbach

.37.063.03

1

ΩΩ

+=ε (7.114)

Coturi Valorile coeficientului de pierderi locale la coturi (figura 7.15) pot fi calculate cu relaţia lui J . Weisbach

,2

sin22

sin 42

+

=

ααξ (7.115)

Valorile coeficientului ξ, pentru cazul când d1 = d2, sunt redate în tabelul 7.3.

Tabelul 7.3 α° 30 40 50 60 70 80 90 ξ 0.20 0.30 0.40 0.55 0.70 0.90 1.00

În cazul în care d1 ≠ d2, pierderea locală de energie se calculează cu relaţia

g2

v1cosdd

ddh

22

2

1

2

4

1

2e

+α

−

ζ= (7.116)

Aparate de închidere şi reglare Valorile coeficienţilor de pierdere de sarcină pentru vane plane (figura 7.16), robinet (figura 7.17) şi vană fluture (figura 7.18), în funcţie de parametrii din desen, sunt daţi în tabelele 7.4, 7.5 şi 7.6.

Tabelul 7.4

Figura 7.14

Figura 7.15

Figura 7.16 Figura 7.17 Figura 7.18


d l/d [mm] 1/8 1/4 3/8 1/2 3/4 1 12,7 450 60 22 11 2,2 1 25,4 230 32 9 4,1 0,9 0,23 50,8 140 20 6,5 3 0,7 0,16

101,6 92 16 5,5 2,6 0,5 0,14 152,4 73 14 5,3 2,4 0,5 0,12 203,2 66 13 5,2 2,3 0,4 0,10 304,8 56 12 5,1 2,2 0,4 0,07

Tabelul 7.5 α 5 10 15 20 25 30 325 40 45 50 55 60 65

ξ 0,05 0,29 0,75 1,56 3,10 5,47 9,68 17,3 31,2 52,6 106 206 406

Tabelul 7.6

α 5 10 15 20 25 30 325 40 45 50 55 60 65 70

ξ 0,24 0,52 0,90 1,54 2,51 3,91 6,22 10,8 18,7 32,6 58,8 118 256 571

7.5 APLICAŢII Aplicaţia 7.1. Printr-o conductă cu diametrul d = 150 mm şi lungimea l = 500 mm se transportă apă dintr-un punct A situat la zA = 80 m în punctul B situat la zB = 120 m faţă de nivelul mării. Ştiind că tensiunea tangenţială între apă şi conductă este τ = 6,2 N/m2, se cere să se determine căderea de presiune pA – pB = ∆p şi diferenţa de sarcină hL dintre cele două puncte. Rezolvare Forţele care acţionează asupra masei de lichid sunt forţele de presiune, forţele de frecare vâscoasă şi greutatea lichidului astfel încât

( ) .0sin =−−Ω−Ω dlGpp BA πτθ Împărţind prin Ω obţinem

.N/m109159,4

150,06002,64

6008012060081,910004sin

25⋅=

=⋅⋅

+−

⋅⋅⋅=+=−d

llgpp BAτθρ

Scriind ecuaţia lui Bernoulli între punctele A şi B, considerând linia orizontală ce trece prin punctul A, obţinem

,2

402

022

LBBAA hg

vg

pg

vg

p+++=++

ρρ

de unde .m112,10112,5040 =+−=Lh

Aplicaţia 7.2. Să se determine viteza critică de curgere a apei şi a unui petrol de Videle printr-o conductă cu diametrul d = 114,3 mm, ştiind că temperatura medie în conductă este de 30 °C. Rezolvare

Dinamica fluidelor reale 151 Calculăm numărul Reynolds

,Reν

dvcrcr =

de unde

.Recrcr dv ν

=

Vâscozitatea cinematică a apei la 30 °C este OH2ν = 0,804·10–6 m2/s

(vezi tabelul 2.1) astfel încât

.m/s01617,0300.2103,11410804,0

3

6=⋅

⋅

⋅=

−

−

crv

Din tabelul 2.2 se ia νp = 8,19·10–3 m2/s şi rezultă

.m/s803,164300.2103,1141019,8

3

3=⋅

⋅

⋅=

−

−

crv

Aplicaţia 7.3 O conductă orizontală având diametrul d = 0,075 m şi lungimea l = 2.100 m este racordată la un rezervor de petrol în care nivelul petrolului faţă de axa conductei este h = 0,3 m. Cunoscând vâscozitatea cinematică a petrolului ν = 3,2·10–6 m2/s, se cere să se calculeze debitul de petrol care se scurge din rezervor, la presiune atmosferică. Rezolvare Admiţând că mişcarea este laminară, din relaţia (7.44) rezultă debitul

./sm10465.3100.2102,312881,93,0075,0

12834

6

44−

−⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅==

πν

πlghdQ

Cu acest debit calculăm numărul Reynolds

,2,839.1102,3075,0

10465,344Re 6

4=

⋅⋅⋅

⋅⋅==

−

−

πνπ dQ

care confirmă că mişcarea este laminară. Aplicaţia 7.4. Care este panta hidraulică realizată într-o conductă de diametru d = 120 mm prin care curge un debit de greutate QG = 7·106 N/zi de fluid cu văscozitatea Engler E = 23° şi greutatea specifică γ = 9.100 N/m3 ? Rezolvare Viteza medie a curgerii este

,m/s787,0360024100.912,0

74600.324

422

0 =⋅⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

πγπ dQ

v

iar vâscozitatea cinematică este

./sm10681,1102331,62332,71031,632,7 2466 −−− ⋅=⋅

−⋅=⋅

−=

EEν

Numărul Reynolds al curgerii

crdv Re562

10681,1121,0787,0Re 4 <=

⋅

⋅==

−ν

152 Mecanica fluidelor corespunde mişcării laminare, deci panta hidraulică se determină cu relaţia

.030,012,081,9

787,010681,132322

4

2 =⋅

⋅⋅⋅==

−

dgvi ν

TESTE DE AUTOEVALUARE A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Care sunt categoriile de condiţii de similitudine a modelului cu prototipul? 2. Care sunt criteriile de similitudine pentru mişcarea laminară a unui lichid vâscos incompresibil? 3. Ce se înţelege prin strat limită de fluid? 4. Care este valoarea maximă a numărului Reynolds corespunzătoare regimului laminar? 5. Care sunt condiţiile în care se particularizează ecuaţiile Navier–Stokes pentru mişcarea laminară a unui lichid într-un tub orizontal de secţiune circulară? 6. Ce tip de dependenţă există între presiune şi distanţă în cazul mişcării laminare a unui lichid printr-o conductă orizontală? 7. Ce formă are profilul vitezei în secţiunea transversală a unei conducte în care are loc mişcarea laminară a unui lichid? 8. Care sunt componentele pierderii de sarcină hidraulică? B. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Aspecte generale privind mişcarea fluidelor reale 2. Mişcarea laminară într-un tub de secţiune circulară. 3. Criterii de similitudine la mişcarea laminară a unui lichid vâscos incompresibil. C. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Mişcare laminară – mişcare turbulentă 2. Similitudine cinematică – similitudine dinamică 3. Numărul Reynolds – numărul Froude

8. CALCULUL HIDRAULIC AL CONDUCTELOR

Cuprins

Obiective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Rezumat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1 Calculul conductelor pentru lichide . . . . . . . . . . . . . . 155 8.1.1 Alegerea traseului conducte . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.1.2 Calculul hidraulic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.1.3 Calculul grafic al conductelor pentru lichide . . . . . . . . 158

8.2 Calculul căderii de presiune într-o conductă de gaze. . . . . . 161 8.2.1 Presiunea medie într-o conductă de gaze . . . . . . . . . . 163 Teste de autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Obiective Studiul mişcării lichidelor în conducte, care face obiectul acestei unităţi de învăţare, pune bazele calculului hidraulic al conductelor pentru transportul lichidelor, pornind de la cele două categorii de pierderi de sarcină hidraulică şi de clasificarea conductelor din punct de vedere hidraulic. Determinarea variaţiei presiunii şi a debitului de gaze transportate printr-o conductă, calculul hidraulic al conductelor pentru lichide. Timp de studiu individual: 6 ore. Rezumat Ecuaţia lui BERNOULLI, aplicată mişcării staţionare a unui lichid printr-o conductă sub forma (8.29), permite clasificarea hidraulică a conductelor în trei categorii: lungi, de mică lungime (ajutaje), respectiv scurte (orificii cu perete subţire). Conductele lungi se clasifică în: simple, în serie, în paralel, cu ramificaţii, cu debitul uniform distribuit şi reţele de conducte. Considerând o conductă lungă simplă, pentru care sunt cunoscute caracteristicile conductei (d, l, k, zi, zf şi pf) şi caracteristicile lichidului transportat (ρ şi µ sau ν), există două tipuri de probleme de calcul hidraulic al conductei: a) determinarea presiunii de pompare pi când se cunoaşte debitul Q; b) determinarea debitului Q ce poate fi transportat prin conductă pentru o presiune de pompare pi impusă. În cazul unei conducte lungi simple, ecuaţiile căderii de presiune şi debitului volumic de lichid sunt (8.33), (8.36). Pentru problema de tip a), se calculează viteza medie de mişcare cu ecuaţia (8.34), valoarea numărului


REYNOLDS cu relaţia (8.37) şi rugozitatea relativă k/d; se stabileşte regimul de mişcare şi domeniul (în cazul mişcării turbulente); se alege relaţia de calcul pentru coeficientul λ; se calculează λ şi se aplică ecuaţia (8.35) pentru determinarea presiunii de pompare pi. În cazul problemei de tip b) se alege o valoare presupusă λp

(1) = 0,02, care se înlocuieşte, alături de celelalte date, în ecuaţia (8.36) şi se află debitul la prima iteraţie Q(1). Cu acesta se determină: viteza medie v(1) din formula (8.34), rugozitatea relativă k/d, se stabileşte regimul de mişcare (şi domeniul acesteia, în cazul mişcării turbulente), se alege formula de calcul pentru coeficientul de rezistenţă hidraulică longitudinală şi se determină λc

(1). Se compară valorile λ presupusă şi calculată, pe baza erorii relative (ec. (9.38)). Dacă eroarea ε(1) este mai mică sau egală cu eroarea admisibilă εad, atunci Q(1) este valoarea corectă a debitului, iar calcul se încheie. În caz contrar, se foloseşte λc

(1) ca nouă valoare de încercare pentru λ şi se reiau calculele. Îndeplinirea condiţiei de eroare relativă implică încheierea calcului, iar neîndeplinirea acesteia înseamnă efectuarea unei noi iteraţii. În cazul conductelor cuplate în serie, debitul volumic transportat este acelaşi pentru toate tronsoanele, iar pierderea totală de sarcină hidraulică se obţine prin însumarea pierderilor de sarcină hidraulică asociate tuturor tronsoanelor. Ecuaţiile căderii de presiune şi debitului volumic sunt (8.42), respectiv (8.43). Pentru problema de tip a), se determină vitezele medii, valorile numărului REYNOLDS şi rugozităţilor relative pe fiecare tronson, se aleg relaţiile de calcul pentru coeficienţii λ j, iar după aflarea lor se înlocuiesc datele în ecuaţia (8.42) pentru aflarea presiunii pi. Pentru problema de tip b), se aleg valorile de încercare λ j p

(1) = 0,02, j = 1, 2, …, n, se calculează Q(1) cu relaţia (8.43), apoi Rej

(1), kj/dj, j = 1, 2, …, n, se stabilesc formulele de calcul pentru cei n coeficienţi λ j, se află λ j c

(1) şi se pun condiţii de forma (8.38) tuturor celor n coeficienţi. Dacă toate condiţiile de eroare admisibilă sunt satisfăcute, atunci Q(1) este debitul căutat; în caz contrar, se reiau calculele ca în cazul conductelor simple. În cazul conductelor cuplate în paralel, pierderea longitudinală de sarcină hidraulică este aceeaşi pentru toate tronsoanele, iar debitul volumic se obţine prin însumarea debitelor volumice ale tronsoanelor. Calculul hidraulic implică rezolvarea sistemului de ecuaţii (8.45), (8.46). Pentru problema de tip a), necunoscutele sistemului sunt vitezele vj, dar coeficienţii λ j sunt funcţii de vitezele vj, deci rezolvarea se face prin încercări, pentru aflarea uneia dintre valorile λ j. În continuare se calculează pi cu formula (8.47). Pentru problema de tip b), se rezolvă prin încercări sistemul format din ecuaţiile (8.46) şi (8.47) în raport cu vitezele vj, iar după determinarea acestora se aplică formula (8.45). Şocul hidraulic este fenomenul care se produce atunci când se închide brusc robinetul de la capătul final al unei conducte de lungime mare, prin care se deplasa un lichid în condiţii staţionare. Ca urmare a închiderii bruşte a robinetului în secţiunea , are loc creşterea presiunii cu valoarea ∆p. Suprapresiunea ∆p se propagă prin lichid, sub forma unei unde mecanice,

Calculul hidraulic al conductelor 155

spre secţiunea , cu viteză apropiată de viteza sunetului în lichidul respectiv. Pentru reducerea efectului şocului hidraulic asupra zonei finale a conductei, se măreşte timpul de închidere a robinetului. În cazul conductelor lungi de aducţiune a apei, limitarea efectului loviturii de berbec se poate realiza prin intercalarea unor castele de echilibru pe traseul conductei.

* * *

8.1. CALCULUL CONDUCTELOR PENTRU LICHIDE 8.1.1 Alegerea traseului conducte Stabilirea traseului unei conducte trebuie făcută astfel încât să se ajungă la varianta cea mai favorabilă din punct de vedere economic ţinând seamă atât de valoarea investiţiei cât şi de cheltuielile de exploatare. Punctul iniţial şi punctul final al conductei fiind date, traseul unei conducte trebuie să se apropie , în general, cât mai mult de linia dreaptă care uneşte aceste două puncte.În unele cazuri însă traseul se abate sensibil de la această linie pentru a trece pe lângă punctele obligatoriu fixate prin tema de proiectare sau din alte considerente pe care le vom preciza în cele ce urmează. Punctele obligatorii de trecere pot fi staţii de cale ferată, porturi fluviale, centre de consum (localităţi şi platforme industriale sau chiar staţii de pompare sau compresoare existente), care pot fi utilizate şi pentru noua conductă. În ceea ce priveşte considerentele de altă natură care conduc la abaterea traseului de la linia dreaptă, acestea sunt

• traseul conductei trebuie să evite trecerea peste culmi sau vârfuri prea înalte, căutându-se trecerea prin pasuri; în felul acesta se uşurează construcţia conductei şi se evită presiuni prea mari de pompare, în cazul transportului lichidelor;

• traseul conductei trebuie să evite unele obstacole naturale a căror trecere este dificilă sau costisitoare ca, de exemplu lacurile, bălţile, regiunile mlăştinoase, albiile prea largi ale râurilor;

• traseul trebuie să caute puncte de trecere uşoare pentru traversările de drumuri, căi ferate şi râuri;

• traseul trebuie să respecte distanţele de siguranţă, evitând trecerea prin localităţi, prin apropierea platformelor industriale, a staţiilor de cale ferată, a podurilor;

• prin alegerea traseului trebuie să se permită o amplasare convenabilă a staţiilor de pompare sau de compresoare, pe un teren cât mai puţin accidentat, sănătos, cu drumuri de acces convenabile;

• traseul trebuie să urmărească, pe cât posibil, apropierea de drumurile existente, ceea ce uşurează atât construcţia conductei cât şi exploatarea acesteia;

• traseul trebuie să evite pantele prea abrupte, terenurile fugitive sau cu seismicitate mare.


Primele studii ale traseului se efectuează pe hartă, de obicei la scara 1/100.000 şi apoi fixarea în detaliu se face pe hărţi la scara 1/20.000. Urmează recunoaşterea traseului pe teren care conduce la fixarea definitivă a acestuia. Etapa următoare o constituie ridicarea topografică a traseului şi pichetarea acestuia. Este util ca, odată cu ridicarea topografică, să se efectueze măsurători pentru determinarea agresivităţii solului şi a naturii acestuia din punct de vedere al posibilităţilor de săpare a şanţului în care se îngroapă conducta. Consideraţiile precedente sunt valabile, aşa cum se poate uşor constata, atât pentru conductele destinate transportului lichidelor câţ şi pentru conductele de gaze. În ultimul timp au fost dezvoltate metode matematice de alegere a traseului conductei, în vederea realizării unei alegeri optime din punct de vedere economic. 8.1.2 Calculul hidraulic Punctul de plecare al acestui calcul îl constituie ecuaţia

,2

v2

v22

22

211

21

1 pzgpzgp mm ∆+++=++ ρραρρα (8.1)

care se deduce din ecuaţia lui Bernoulli prin introducerea pierderilor ∆p. Indicele 1 se referă la secţiunea de intrare în conductă, iar indicele 2 la cea de ieşire. Coeficienţii Coriolis α1 şi α2 au fost introduşi deoarece ecuaţia a fost scrisă pentru un curent linear, la care se va face corecţia energetică. Cotele z1 şi z2 se măsoară din centrele secţiunilor respective până la un plan orizontal care de obicei se consideră a fi nivelul mării. Pentru o conductă cu secţiune transversală constantă, vitezele vm1 şi vm2 sunt egale. Deci, se obţine ( ) ,1221 zzgppp −+∆=− ρ (8.2) în termenul ∆p înglobându-se atât căderea de presiune longitudinală cât şi pierderile locale; rezultă aşadar

,2

v1

2

∑+=∆=

n

ii

mdlp ξλρ (8.3)

unde ξi reprezintă coeficienţii de pierderi locale. Pentru cazul când nu este posibil ca acestea să fie neglijate, se introduce lungimea echivalentă , dată de expresia

,1

∑==

n

iie

dl ξλ

(8.4)

astfel că formula (8.3) se scrie

.2

v2λρ

dll

p em +=∆ (8.5)

În calculele ulterioare se mai presupune că lungimea le este inclusă în lungimea totală l. Cu această observaţie, formula (8.2) devine


( )12

2

21 2v

zzgdlpp m −+=− ρλρ (8.6)

şi se mai poate scrie sub forma

( ) ,2v

12

221 zz

dl

ggpp m −+=

−λ

ρ (8.7)

toate mărimile fiind exprimate în unităţi de lungime. Mărimea adimensională

dg

i m λ2v2

= (8.8)

se numeşte panta hidraulică a conductei şi reprezintă căderea de presiune (în unităţi de lungime) pe unitatea de lungime a conductei. În loc de viteza medie vm este mai util să se introducă debitul Q, obţinându-se formulele

( ) ,81252

2

21 zzgld

Qpp −+=− ρπ

λρ (8.9)

respectiv

( ) .81252

221 zzl

dgQ

gpp

−+=−

πλ

ρ (8.10)

Panta hidraulică are, în acest caz, expresia

52

28dg

Qi λπ

= (8.11)

şi formula (8.10) se poate scrie sub forma

( ) .1221 zzli

gpp

−+=−

ρ (8.12)

Dacă notăm

,1221 zz

gpphp −+

−=

ρ (8.13)

se ajunge la formula compactă ,lihp = (8.14) care poate fi utilizată în unele calcule. O formulă echivalentă se obţine dacă se introduce mărimea

,24

2

λπ dgdk = (8.15)

numită modul de debit. Cu ajutorul acestei mărimi, formula (8.10) se scrie

( ) ,122

221 zzl

kQ

gpp

−+=⋅−

ρ (8.16)

sau

,2

2l

kQhp = (8.17)


de asemenea utilizabilă pentru simplificarea unor calcule. Se observă imediat că între panta hidraulică şi modulul de debit există relaţia

.2

2

kQi = (8.18)

În câteva cazuri particulare, expresia pentru panta hidraulică poate fi pusă sub o formă care oferă anumite avantaje în calculele referitoare la unele probleme care vor fi prezentate în cele ce urmează. Astfel, dacă se ţine seama de faptul că formula (8.155) mai poate fi scrisă sub forma

sk

d71,3lg21=

λ (8.19)

şi se consideră, de asemenea, ecuaţiile (8.50) şi (8.142), rezultă că toate acestea au forma comună

,Rem

A=λ (8.20)

în care m = 1 pentru regimul laminar (formula lui Stokes), m = 0,25 pentru regimul turbulent în conducte hidraulice netede cu Re < 105 (formula lui Blasius) şi m = 0 pentru regimul turbulent în conducte rugoase (formula lui J . Nikuradze). Valorile constantei A sunt, respectiv, 64, 0,3164 şi

271,3lg2

−

skd . Ca urmare, expresia pantei hidraulice devine

,ν5

2

m

mm

dQi

−

−= β (8.21)

unde

,4

82 gA

mm −=

πβ (8.22)

valorile acestei constante fiind 4,153 pentru regimul laminar, 0,0246 pentru regimul turbulent în conducte hidraulic netede cu Re < 105 şi 0,0826 λ pentru regimul turbulent rugos. În stabilirea formulelor precedente s-a presupus implicit că temperatura lichidului transportat este constantă. În realitate, această temperatură variază de la un anotimp la altul, fapt care atrage după sine şi o variaţie corespunzătoare a vâscozităţii şi a masei specifice a lichidului . Din acest motiv, se consideră o temperatură de calcul care este aceea minimă a solului la adâncimea de îngropare a conductei. În formulele prezentate mai sus sunt introduse valorile vâscozităţii şi masei specifice care corespund acestei temperaturi. 8.1.3 Calculul grafic al conductelor pentru lichide Dacă se scrie formula (8.12) pentru o lungime x de conductă (x < l)

( ) ,11 zzxi

gpp

−+=−

ρ (8.23)


rezultă ( ) ,11 zzgxigpp −+−= ρρ (8.24) p şi z fiind presiunea, respectiv cota la distanţa x de la intrarea în conductă. Faptul că presiunea este o funcţie liniară de x permite trasarea unui grafic util în proiectarea conductelor. Acest grafic se întocmeşte reprezentând în abscisă lungimea conductei, la o scară convenabil aleasă, iar în ordonată, cotele diferitelor puncte de pe traseu, începând cu cel iniţial şi terminând cu cel final, la o altă scară. De obicei, pentru cote, scara este de 100 ori mai mare decât pentru lungimi. Unind apoi diferitele cote se obţine profilul deformat al traseului conductei (figura 8.1).

Pentru trasarea graficului, se consideră cunoscută presiunea p2 din secţiunea finală a conductei, a cărei valoare este impusă din considerente tehnologice în legătură cu manipularea în continuare a lichidului transportat. În continuarea cotei z2 a punctului final se trasează un segment de lungime p2/(ρ g), paralel cu axa ordonatelor şi la aceeaşi scară ca şi cotele.

Separat, se construieşte un triunghi dreptunghic, cu catetele paralele cu axele de coordonate şi având unghiul α dintre ipotenuză şi paralela la axa absciselor dat de relaţia

.arctgarctgl

hi p==α (8.25)

Determinarea acestui unghi presupune deci calculul prealabil al pantei hidraulice. Lungimile celor două catete sunt evident arbitrare; pentru uşurarea construcţiei, se fixează lungimea l1 a catetei ab, iar lungimea l2 a catetei ac este atunci .tg12 αll = (8.26)

Bineînţeles, lungimea l2 astfel calculată se înmulţeşte cu raportul dintre scara ordonatelor şi scara absciselor şi deci în construcţia triunghiului, unghiul α apare deformat.

După ce s-a construit triunghiul abc, din punctul B’ se duce o paralelă la ipotenuza BC a acestuia. Această paralelă intersectează axa ordonatelor în punctul A’, iar segmentul AA’ astfel determinat are lungimea p1/(ρ g). Segmentul de dreaptă A’B’ reprezintă variaţia presiunii în lungul conductei.

Dacă observăm că formula (8.12) permite să se scrie

,22

11 li

gpz

gpz ++=+

ρρ (8.27)

este uşor de verificat corectitudinea construcţiei grafice descrisă mai sus.

Figura 8.1


Determinarea pe această cale a presiunii de pompare este mai puţin precisă decât cea realizată prin calcul, dar construcţia grafică prezintă totuşi interes. Astfel, pe această cale, sunt puse imediat în evidenţă unele situaţii care prin calcul se depistează mai greu. Un exemplu în acest sens este cel din figura 8.2, din care se observă că presiunea maximă

nu este în punctul iniţial (presiunea de pompare), ci în punctul M. Tot din figura 8.2 se mai constată că pomparea se poate asigura cu o

presiune iniţială astfel aleasă încât dreapta care indică variaţia presiunii să fie tangentă la profilul traseului în punctul N. Din acest punct şi până în B lichidul curge prin cădere liberă, presiunea din conductă ajungând egală cu cea atmosferică.

În realitate, dreapta care indică variaţia presiunii este paralelă cu tangenta la profil în punctul N, deoarece în acest punct presiunea din conductă trebuie să fie cea atmosferică. În continuare, prin cădere liberă lichidul se accelerează şi deoarece debitul este constant, secţiunea transversală nu mai este plină. Dacă se doreşte evitarea acestui fenomen, care duce la pierderi prin evaporări, sau dacă presiunea din punctul final al conductei p2 are o valoare impusă mai mare, dreapta se deplasează în sus paralel cu ea însăşi, până ce trece prin punctul B’.

Punctul N se numeşte punct de culme al conductei; în cazul în care există un astfel de punct şi condiţiile de exploatare permit curgerea în continuare prin cădere liberă, calculul hidraulic se efectuează numai pentru porţiunea AN din lungimea lc numită lungime de calcul. Se mai poate întâmpla ca, după ce se determină panta hidraulică şi se trasează dreapta de variaţie a presiunii să se constate că profilul traseului este de aşa natură încât nu permite obţinerea debitului indicat de calculul analitic al căderii de presiune. La această situaţie se ajunge atunci când dreapta care indică variaţia presiunii intersectează profilul traseului (figura 8.3). O soluţie constă în mărirea presiunii iniţiale, ceea ce revine la deplasarea dreptei A’B’ paralel cu ea însăşi până ce devine tangentă la profil. Problema se rezolvă însă şi altfel şi anume prin micşorarea pantei hidraulice pe o porţiune a conductei la o valoare i0 = tg α (i0 < i). După cum se va arăta mai departe, o astfel de scădere a pantei hidraulice se poate realiza fie prin montarea unei intercalaţii cu diametrul mai mare, fie prin montarea unei derivaţii. Lungimea acestei derivaţii sau intercalaţii se poate determina uşor pe cale grafică, după ce se calculează panta i0. Astfel dacă se

Figura 8.2


trasează din punctele A’ şi N câte o parelelă la bc’ şi din punctul N o paralelă la A’B’, se obţin punctele de intersecţie R şi S. Prin urmare, între A’ şi N, presiunea poate varia fie după dreptele A’R şi RN, fie după dreptele A’S şi SN.

Rezultă de aici două aşezări posibile pentru intercalaţie sau derivaţie, dintre care este preferabil să se aleagă cea din zona în care presiunea în conductă este mai mică, pentru a putea utiliza ţevi cu pereţi mai subţiri. Lungimea intercalaţiei sau a deviaţiei se obţine în proiecţiile de pe axa absciselor a’r’ sau s’n’ (a’r’ = s’n’).

Precizăm însă că la o conductă nou construită este preferabil să nu se recurgă la intercalaţii sau la deviaţii, care pot produce unele dificultăţi în exploatare. Dacă nu este posibil să se mărească presiunea iniţială, se poate recurge la alegerea unui diametru interior mai mare pentru toată conducta, realizându-se astfel o micşorare a pantei hidraulice, prin care este posibilă transportarea debitului prevăzut.

8.2. CALCULUL CĂDERII DE PRESIUNE ÎNTR-O CONDUCTĂ DE GAZE

Calculul pierderii de presiune într-o conductă de gaze este deosebit de important pentru alicaţiile practice. Privită sub aspectul ei teoretic general, problema este foarte dificilă şi nu poate fi rezolvată dacă nu se recurge la unele ipoteze simplificatoare, acceptabile din punct de vedere al exactităţii calculelor. În cele ce urmează se stabilesc formulele utilizate în mod curent pentru calculul conductelor de gaze. Ca punct de plecare vom considera ecuaţia lui Bernoulli sub formă diferenţială şi corectată cu termenul corespunzător pierderii de energie

.0d2

vddvv2

=++ λρ d

xp (8.28)

Figura 8.3


Din ecuaţia de continuitate (3.69) rezultă ,vv 11ρρ =

unde indicele 1 se referă la intrarea în conductă, iar din ecuaţia de stare, scrisă sub forma p/ρ = Z R T rezultă

.vvv 1111

pTRZp

ρρ

== (8.29)

Prin diferenţierea formulei (8.29) se obţine

.dddv

dvpp

TT

ZZ

−+= (8.30)

Pe aceeaşi cale rezultă şi ecuaţia

,v

1v1

21

21

2 TRZp

ρρ= (8.31)

iar relaţia (8.28) devine

0dv

d2ddd2 21

21

=++

−+ x

dZRTpp

pp

TT

ZZ λ

ρ (8.32)

Pentru a elimina masa specifică ρ1 şi viteza v1 din această ecuaţie se introduce debitul volumic corespunzător şi cel în condiţiile stării normale (pN = 1,01325·105 Pa, TN = 273,15 K), de unde se obţine

.1

111 N

MM

N QpTZ

pTZQ = (8.33)

Prin urmare, după câteva calcule simple ecuaţia (8.32) devine

.0dd8

ddd2 22

225=++

−+ xT

Zpp

QpTRZd

Tpp

TT

ZZd

NN

NM λπ (8.34)

Constanta R se înlocuieşte cu constanta Ra a aerului sub forma

,∆

== aa

g

a RRR

ρρ (8.35)

unde ∆ este densitatea relativă a gazului, obţinându-se

.0dd8

ddd2 22

225=+

∆+

−+ xT

Zpp

QpTRZd

Tpp

TT

ZZd

NN

NaM λπ

(8.36)

Integrarea acestei ecuaţii este dificilă şi din acest motiv se va face o ipoteză simplificatoare. Se acceptă o evoluţie a gazului izotermică (T = ct) de unde se obţine

.dd2d8

d 22

225

−+

∆=

ZZ

ppd

Zpp

QpTRZd

xNN

NaMλ

π (8.37)

Dacă admitem că şi coeficientul de pierderi de sarcină este constant şi factorul de abatere Z se poate calcula ca o valoare medie Zm, pe întreaga conductă rezultă

.ln228 12

2122

21

22

225

pZpZdpp

ZQpTRZd

lmNN

NaMλ

π+

−

∆= (8.38)


În general, termenul 21

12ln2pZpZd

λ este mic faţă de l, aşa că se poate

utiliza formula simplificată

.28

21

22

21

2

−∆

=pp

ZlTdR

pTZd

Qm

a

M

NNN λ

π. (8.39)

Dacă admitem 1=NZ se obţine

522

21

4d

lTZpp

pRT

QmM

aMN ∆

−=

λπ

(8.40)

şi dacă se introduce notaţia

,4 M

aM

pRT

kπ

= (8.41)

rezultă

,522

21 d

lTZppkQ

mN ∆

−=

λ (8.42)

respectiv

.1 252

22

21 N

m Qd

lTZk

pp∆

=−λ (8.43)

Dacă considerăm pN = 1,01325·105 Pa, TN = 273,15 K, precum şi valoarea constantei aerului Ra = 287,04 J/(kg·K), rezultă K = 0,035881. Pentru TN = 288,15 K rezultă K = 0,037852, iar pentru TN = 293,15 K se obţine K = 0,038508. Formulele (8.42) şi (8.43) prezintă avantajul simplităţii dar, pentru intervale mari ale presiunilor [p1, p2] pot conduce la erori importante. În ceea ce priveşte coeficientul de rezistenţă λ care apare în formulele stabilite, nu există nici o deosebire de principiu între conductele de lichide şi cele de gaze. Prin urmare, formulele prezentate în capitolul 8 pentru coeficientul λ sunt valabile şi pentru conductele de gaze. În literatura de specialitate sunt propuse diferite formule care au fost stabilite experimental, dar în cele din urmă s-a impus punctul de vedere exprimat mai sus. 8.2.1 Presiunea medie într-o conductă de gaze Presiunea într-o secţiune transversală oarecare a conductei rezultă din formula

xQdTZ

Kpp N

m 252

21

2 1 ∆−=

λ (8.44)

şi, prin urmare, presiunea variază parabolic în funcţie de distanţa x (figura 8.4). Dacă se introduce, pentru simplificare, notaţia

,152 d

TZK

C m ∆=

λ (8.45)

rezultă


xQCpp N22

1 −= (8.46) şi din (8.42) rezultă

.22

212

lppQC N

−=

(8.47) Formula (8.43) devine

( ) .22

21

21 l

xpppp −−= (8.48)

Presiunea medie din conductă are expresia

( )∫ −−=l

m xlxppp

lp

022

21

21 d1 (8.49)

şi are valoarea

.32

32

21

22

122

21

32

31

++=

−

−=

pppp

pppppm (8.50)

În calculele efectuate s-a considerat Z constant. Aceasta este o aproximaţie, deoarece Z depinde de temperatură şi de presiune. În figura

Figura 8.4

Figura 8.5


8.5 se prezintă variaţia lui Z în funcţie de temperatura redusă şi presiunea redusă

c

rc

r ppP

TTT == ; (8.51)

unde Tc şi pc sunt parametrii critici ai gazului. De asemenea, pot fi utilizate relaţii de calcul ca aceea a lui Adamov

( )

,1027,04,21

14 pt

Z−−+

= (8.52)

unde t este temperatura în grade Celsius, iar presiunea p în atmosfere. Pentru gazele naturale, la o bună concordanţă cu datele experimentale conduce şi formula lui Berthelot

.61128

91 2

2

−+=

TT

TT

ppZ cc

c (8.53)

În tabelul 8.1 sunt prezentate, pentru mai multe substanţe, valorile parametrii critici şi valoarea corespunzătoare a factorului de compresibilitate, notată cu Zc. Se observă că aceasta din urmă este mult inferioară unităţii, ceea ce confirmă observaţia de mai sus.

Tabelul 8.1 Tc, K pc, 105 Pa Zc

metan 191 45.8 0.290 etan 306 48.2 0.284 propan 370 42.0 0.276 n-butan 425 37.5 0.274 izobutan 408 36.0 0.282 izopentan 461 32.9 0.268 etilenă 282 50.0 0.268 propilenă 365 45.6 0.276

TESTE DE AUTOEVALUARE A. Răspundeţi la următoarele întrebări 1. Care sunt forţele ce acţionează asupra unui lichid vâscos incompresibil aflat în mişcare staţionară printr-o conductă orizontală cu secţiunea constantă? 2. Care sunt parametrii adimensionali de care depinde coeficientul λ? 3. Definiţi rugozitatea echivalentă a unei conducte. 4. Care sunt domeniile mişcării turbulente a lichidelor în conducte? 5. Cum se determină, în general, valorile coeficientului de rezistenţă hidraulică locală?


6. Cum pot fi incluse pierderile locale de sarcină hidraulică în termenul pierderilor longitudinale? 7. Care sunt tipurile de conducte simple, clasificate pe baza ecuaţiei conservării energiei mecanice? 8. Enumeraţi tipurile de probleme de calcul hidraulic al conductelor pentru transportul lichidelor. 9. Ce este şocul hidraulic? 10. Explicaţi motivele pentru care suprapresiunea creată la şocul hidraulic are o valoare finită. 10. Care este valoarea maximă a numărului Reynolds corespunzătoare regimului laminar? 11. Ce tip de dependenţă există între presiune şi distanţă în cazul mişcării laminare a unui lichid printr-o conductă orizontală? 12. Ce formă are profilul vitezei în secţiunea transversală a unei conducte în care are loc mişcarea laminară a unui lichid? B. Faceţi o prezentare succintă a următoarelor subiecte 1. Rugozitatea conductei. 2. Mişcarea laminară într-un tub de secţiune circulară. 3. Calculul hidraulic al conductelor simple pentru transportul lichidelor. C. Puneţi în evidenţă diferenţele dintre următoarele noţiuni 1. Pierderi longitudinale de sarcină hidraulică – pierderi locale de sarcină hidraulică 3. Rugozitate absolută – rugozitate relativă 4. Conducte în serie – conducte în paralel 4. Mişcare laminară – mişcare turbulentă 5. Ecuaţia energiei pentru mişcarea unui fluid perfect – ecuaţia energiei pentru mişcarea unui fluid vâscos

BIBLIOGRAFIE

[1] Anton, V. – Culegere de probleme de hidraulică, Institutul Politehnic Timişoara, 1955; [2] Appel, P. – Mécanique rationnelle, Tome III, Paris, 1928; [3] Bird, B., Stewart, W., Lightfoot, E. – Transport Phenomena, Wiley International

Editions, New York, London, Tokyo, 1960; [4] Bualiev, D.A. – Zadacinic po gidravlike dlia maşinostroitelnîh vuzov, Gosudarstvennoe

energiticeskoe izdatelstvo, Moskva-Leningrad, 1960; [5] Carafoli, E., Oroveanu, T. – Mecanica fluidelor, vol. I, II, Editura Academiei Române,

Bucureşti, 1952, 1955; [6] Ciarnîi, I.A. – Osnovî gazovoi dinamiki, Gostoptehizdat, Moskva, 1961; [7] Cioc, D. – Mecanica fluidelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967; [8] Clarke, J.F., McChesney, M. – The Dynamics of Real Gases, Butterworth, London,

1964; [9] Cocin, N.E., Kiebel, I.A. – Hidrodinamică teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1953; [10] Comolet, R. – Mécanique expérimentale des fluides, Vol. I, II. Masson, Paris, 1963; [11] Connor, J. J., Brebbia, C. A. — Finite Element Techniques for Fluid Flow. Newnes–

Butterworths, London, 1976; [12] Creţu, I. – Hidraulică generală şi subterană, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1971; [13] Creţu, I., Soare, Al, David, V., Osnea, Al. – Probleme de hidraulică, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1973; [14] Creţu, I. – Hidraulică generală şi subterană, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1983; [15] Creţu, I., Stan, Al.D. – Transportul fluidelor prin conducte. Aplicaţii şi probleme,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1984; [16] Dauchez, M. – Étude des transferts en mécanique des fluides monophasiques, Vol. I,

II, Masson, Paris, 1965, 1966; [17] Drăgotescu, D., Ghiliceanu, M., Onicescu, V., Vasilache, M. – Transportul pe

conducte al ţiţeiului, gazelor şi produselor petroliere, Editura Tehnică, Bucureşti, 1961;

[18] Drug, V., Ungureanu, O. – Transportul gazelor naturale, Editura Tehnică, Bucureşti, 1972;

[19] Federhofer, K. – Aufgaben aus Hidromecanik, Springer Verlag, Wien, 1954; [20] Florea, J., Zidaru, Gh. – Bazele hidraulicii, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1969; [21] Georgescu, P., Lateş, M., Zarea, Şt. – Hidraulică, vol. I, II, Inst. C.F., Bucureşti,

1954; [22] Ghermani, D. – Hidraulica teoretică şi aplicată, vol. I, II, Bucureşti, 1942, 1945; [23] Govier, G. W., Aziz, K. – The Flow of Complex Mixtures in Pipes, Van Nostrand

Reinhold Company, New York, 1972;

168 Bibliografie

[24] Hansen, A.G. – Fluid Mechanics, John Wiley and Sons, Inc., New York, London, 1967;

[25] Iacob, C. – Introducere matematică în mecanica fluidelor, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1959;

[26] Iamandi, C., Petrescu, V. – Mecanica fluidelor, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978;

[27] Ioachim, Gr., Popa, C. – Exploatarea zăcămintelor de ţiţei, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979;

[28] Kennedy, J.L. – Oil and Gas Pipeline Fundamentals, PennWell Publishing Company, Tulsa, Oklahoma, 1993;

[29] Lagière, M. – Physique industrielle des fluides, Notions fondamentales et applications numériques, Editions Technip, Paris, 1996;

[30] Loiţianski, L.G. – Mecanica jidkosti i gaza, Gostoptehizdat, Moskva, 1950; [31] Longwell, P. – Mechanics of Fluid Flow, McGraw-Hill Book Company, Inc., New

York, St. Louis, London, Sydney, 1966; [32] Moureau, M. — Guide pratique pour le système international d’unités (SI), Revue de

l’Institut Français du Pétrole, jan.–fevr., 1980; [33] Mateescu, C. – Hidraulica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1963; [34] Matei, P. – Culegere de probleme de hidraulică, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1961; [35] Milne, Thomson, L.M. – Theoretical Hydrodynamics, McMillan, London, 1960; [36] Oroveanu, T. – Hidraulica şi transportul produselor petroliere, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1966; [37] Oroveanu, T. – Mecanica fluidelor vâscoase, Editura Academiei Române, Bucureşti,

1967; [38] Oroveanu, T., Stan, Al.D., Talle, V. – Transportul petrolului, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1985; [39] Pao, R. – Fluid Mechanics, John Wiley and Sons, Inc., New York, London, 1961; [40] Prandtl, L. – Guide à travers la mécanique des fluides, Dunod, Paris, 1952; [41] Raznjevič, K. – Tabele şi diagrame termodinamice, Editura Tehnică. Bucureşti, 1978; [42] Shames, H. I. – Mechanics of Fluids, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York,

1962; [43] Smirnov, A.S. – Transportul şi înmagazinarea gazelor, Editura Tehnică, Bucureşti,

1953; [44] Soare, S. – Procese hidrodinamice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979; [45] Soare, Al. – Hidraulică generală şi subterană, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1981; [46] Streeter, L.V. – Fluid Mechanics, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York,

Toronto, London, 1962; [47] Taşcă, D., Băcanu, I. – Culegere de probleme de hidraulică tehnică, ediţia a II-a,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1966; [48] Thompson, P.H. – Compressible Fluid Dynamics, McGraw-Hill Book Company, Inc.,

New York, 1972; [49] * * * – Sistemul internaţional de unităţi (SI), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1979.

ANEXE Anexa 1

Pentru convertire în se multiplică cu Pentru convertire în se multiplică cu

acre m2 4,046856 E+03 grad Rankine K Tk = Tx/1,8 acre (S.U.A.) m2 4,046873 E+03 inch m 2,540000 E–02 amper-oră C 3,600000 E+03 inch pătrat m2 6,451600 E–04 angström m 1,000000 E–10 inch cub m3 1,638706 E–05 an civil s 3,153600 E+07 kilocalorie (IT) J 4,186800 E+08 an lumină m 9,460530 E+15 kilogram forţă N 9,806650 E+00 atmosferă (normală) Pa 1,013250 E+05 kilowattoră J 3,600000 E+06 atmosferă (tehnică) Pa 9,806650 E+04 micron m 1,000000 E–06 bar Pa 1,000000 E+05 milă (internaţională) m 1,609344 E+03 barre (42 gal) m3 1,589873 E–01 milă marină m 1,852000 E+03 barye Pa 1,000000 E–01 milibar Pa 1,000000 E+02 Btu (International Table) J 1,055056 E+03 milidarcy m2 9,869233 E–16 Bushel (S.U.A.) m3 3,523907 E–02 ounce kg 2,834952 E–02 calorie (IT) J 4,186800 E+00 parsec m 3,085678 E+16 carat metric kg 2,000000 E–04 poise Pa·s 1,000000 E–0l centimetru col. apă (4 °C) Pa 9,806380 E+01 pound-mass kg 4,535924 E–01 cm col. mercur (0 °C) Pa 1,333220 E+03 pound-force N 4,448222 E+00 centipoise Pa·s 1,000000 E–03 pound-force pe inch pătrat (psi) Pa 6,894757 E+03 centistokes m2/s 1,000000 E–06 pound-mass pe inch cub kg/m3 2,767990 E+04 cal putere W 7,354988 E+02 poundal N 1,382550 E–01 ciclu pe secundă Hz 1,000000 E+00 quart (S.U.A.) m3 9,463529 E–04 dalton kg 1,660530 E–27 rad Gy 1,000000 E–02 darcy m2 9,869233 E–13 slug kg 1,459390 E+01 dynă N 1,000000 E–05 stokes m2/s 1,000000 E–04 electronvolt J 1,602190 E–19 stone kg 6,350300 E+00 erg J 1,000000 E–07 tex kg/m 1,000000 E–06 erg pe secundă W 1,000000 E–07 ton (register) m3 2,831685 E+00 foot m 3,048000 E–01 ton (long, 2.240 lb) kg 1,016047 E+03 foot pătrat m2 9,290304 E–02 ton (short, 2.000 lb) kg 9,071847 E+02 foot cub m3 2,831685 E–02 tonne kg 1,000000 E+03 galon (S.U.A.) m3 3,785412 E–03 torr (mm Hg, 0 °C) Pa 1,333220 E+02 grad centezimal rad 1,570796 E–02 tour (o tură) rad 6,283185 E+00 grad sexagesimal rad 1,745329 E–02 Yard m 9,144000 E– 01 grad Celsius K Tk = Tc + 273,15 Yard pătrat m2 8,361274 E–01 grad Fahrenheit °C Tc = (Tf – 32)/1,8 Yard cub m3 7,645549 E–01 grad Fahrenheit K Tk = (Tf + 459,68)/l,8 Yard cub pe minut m3/s 1,274258 E–02


Anexa 2 Componentul K n 104 m C

metan (21,1-148,9 °C) 9 160,6413 61,8932 3,3162472 0,5087 metan (149,4-237,8 °C) 147,4733 3 247,4533 –14,072637 1,8326 etan (37,8-120,5 °C) 46 709,573 –404,4884 5,1520981 0,5224 etan (121,1-237,8 °C) 17495,343 34,1635 2,8201736 0,6231 propan 20 247,757 190,2442 2,1586448 0,9083 i-butan 32 204,42 131,6317 3,3862284 1,1018 n-butan 33 016,212 146,1544 2,902157 1,1168 n-pentan 37 046,234 299,6263 2,1954785 1,4364 n-hexan 52 093,006 254,5609 3,6961858 1,5929 n-heptan 82 295,457 64,3801 5,2577968 1,7299 n-octan 89 185,432 149,3902 5,9897530 1,93109 n-nonan 124 062,65 37,9172 6,7299934 2,1519 decan 146 643,83 26,5241 7,8561789 2,3329

Anexa 3 Substanţa For-

mula chi-mică

Masa mole-culară

Tempera-tura de

fierbere la 1 atm

Pres. de vaporiza-

re Ia 37,78 °C

Tempera-tura de

solidificare la 1 atm

Denslta-tea

relativă la aer

Proprietăţile critice Factor de acentrici-

tate (ec. 2.13)

Presi- unea

pc

Tempe-ratura

Tc

Volumul vc

– kg/kmol K bar K – bar K 10–3 m3/kmol – 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

metan CH4 16,042 111,7 – 90,72 0,5538 46,393 191,1 99,2 0,013 etan C2H6 30,068 184,6 – 89,93 1,038 48,926 305,6 147,9 0,105 propan C3H8 44,094 231,1 13,067 85.51 1,522 42,544 370,0 200,4 0,152 n-butan C4H10 58,120 272,7 3,545 134,85 2,006 37,986 425,2 254,7 0,201 i-butan C4H10 58,120 261,5 4,963 113,60 2,006 36,466 408,2 262,7 0,192 n-pentan C5H12 72,146 309,3 1,074 143,48 2,491 33,731 469,6 310,8 0,252 i-pentan C5H12 72,146 301,0 1,408 113,30 2,491 33,326 460.4 308,5 0,206 dimetil propan C5H12 72,146 282,7 2,431 256,65 2,491 32,009 433.8 303,6 0,195 hexan C6H14 86,172 341,9 0,341 177,85 2,975 30,287 507,7 368,5 0,290 heptan C7H16 100,198 371,6 0,111 182,59 3,459 27,350 540,3 426,6 0,352 octan C8H18 114,224 398,9 0,036 216,41 3,943 24,919 568,6 486,3 0.408 nonan C9H20 128,250 424,0 0,012 219,68 4,428 22,893 594,6 543,7 0,441 decan C10H22 142,276 447,3 0,005 243,54 4,912 20.968 617,6 603,1 0,586 etilenă C2H4 28,052 169,5 – 104,05 0,9684 51,154 283,1 123,6 0,073 propenă C3H8 42,078 225,5 15,599 87,95 1,453 45,988 365,1 181,0 0,143 1-butenă C4H8 56,104 266,9 4,345 87,85 1,937 40,214 419,6 241,3 0,203 i-butenă C4H8 56,104 276,9 3,140 134,29 1,937 41,329 435.6 176,2 0,273 2-butenă C4H8 56,104 274,1 3,434 167,75 1,937 41,329 428,7 176,2 0.234 metil propenă C4H8 56,104 266,3 4,366 132,85 1,937 40,012 417,9 179,7 0,201 pentenă C5H10 70,130 303,2 1,317 107,98 2,421 40,417 464,8 294,2 0,238 acetilenă C2H2 26,036 189,3 – 192 0,8988 62,398 309,5 113,0 0,186 benzen C6H6 78,108 353,3 0,222 278,73 2,697 49,230 562,1 960,9 0,215 toluen C7H8 92,134 383,8 0,071 178,21 3,181 40,620 591,8 324,4 0,279 etil benzen C8H10 106,160 409,4 0,025 178,22 3,665 37,176 617,2 368.5 0.322 alcool metilic CH4O 32,042 337,7 0,314 175,52 1,106 80,935 512,6 117,8 0,556 alcool etilic C2H6O 46,069 351,5 0,162 159,00 1,590 63,816 516,3 166,8 0,635 alcool propilic C3H8O 60,09 370,4 – 146,2 2,0745 51,661 536,7 218,2 0,600 alcool butilic C4H10

O 74,12 390,8 – 193,3 2,5589 44,165 563,0 274,6 0,596

oxid de carbon CO 28,010 81,2 – 66,2 0.9670 34,947 133,2 93,0 0,041 dioxid de carbon CO2 44,010 194,7 – – 1,519 73,845 304,3 94,0 0,420

Anexe 171 dioxid de sulf SO2 64,060 263,2 0,608 197,7 2,212 78,909 430,7 122,4 0,273 acid clorhidric HCl 36,465 188,2 63,715 159,0 1,259 82,556 324,6 47,3 0,133 hidrogen sulfurat H2S 34,076 212,9 27,147 190,3 1,176 90,052 373,6 97,6 0,100 aer – 28,966 79,0 – – 1,000 37,682 132,5 93,5 – argon Ar 39,944 87,5 – 84 1,3790 48,622 151 75,2 –0,002 heliu He 4,003 4,3 – < 1,0 0,1368 2,289 5,3 57,8 0 hidrogen H2 2,016 20.4 – 14,0 0,0696 12,966 33,3 65,0 0 oxigen O2 32,000 90,2 – 54,4 1,105 50.749 154,8 76,3 0,021 azot N2 28,016 77,4 – 63,2 0,9672 33,934 126,3 89,9 0,040 clor Cl2 70,914 239,1 10,940 172,2 2,448 77,086 417,1 124,4 0,074 fluor F2 38,00 86,2 – 50,2 1,3119 55,713 144 – 0,115 amoniac NH3 17,032 239,8 14,587 195,5 0,5880 112,742 405,6 72,4 0,250 apă H2O 18,016 373,2 0,066 273,2 0.6220 221,129 647,4 56,2 0,348

Anexa 4 t, °C 0 4 10 20 30 40 60 80 100

, kg/m3 999,9 1000,0 999,7 998,2 995,6 992,2 983,2 971,8 958,3

103 , Pa· s 1, 887 1,5678 1,3061 1,0046 0,8019 0,6533 0,4701 0,3556 0,2821

103 , N/m 75,60 75,01 74,13 72,66 71,09 69,43 66,09 62,56 58,84

Anexa 5 t, °C –50 –20 0 10 20 30 40 60 80 100 500 1000

, kg/m3 1,534 1,365 1,252 1,206 1,164 1,127 1,092 1,025 0,968 0,916 0,442 0,268

106 , Pa· s 14,808 16,279 17,456 17,848 18,240 18,682 19,123 19,907 20,790 21,673 35,791 48,445

Anexa 6 Presiunea p, bar Temperatura t, °C , 10–10 Pa–1 Presiunea p, bar Temperatura t, °C , 10–10 Pa–1

12,997 20 4,901 499,895 40 3,801

199,958 20 4,301 503,441 40 3,301

399,916 20 4,101 11 997,496 40 0,900

499,895 20 3,901

Anexa 7 Gazul presurizat 1,026·1013 K, kmol·m·N–2·s–2 la 25 °C

apă n-hexan

20,26 bar 101,29 bar 20,26 bar 101,29 bar

CO2 28,6225 – 8,2726 – C2H6 20,8857 – 16,3116 – CH4 8,3557 – 6,7675 – N2 3,5913 2,7975 3,5126 2,8577 H2 0,9428 0,7175 1,6284 1,0529

Date post:	13-Aug-2015
Category:	Documents
Upload:	cristina-andreea-constantinescu
View:	732 times
Download:	64 times

Carte Mecanica Fluidelor

Documents