II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ 1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL 1.1. Noţiuni introductive 1.1.1. Relativitatea mişcarii. Sisteme de referinţa In mecanica, mişcarea este o noţiune fundamentala şi reprezinta deplasarea sau schimbarea poziţiei unui corp in raport cu alte corpuri inconjuratoare. Mişcarea este deci intotdeauna relativa, deoarece depinde de corpul la care ne raportam, numit corp de referinţa. Mişcarea corpurilor se desfaşoara in spaţiu şi timp. In mecanica clasica newtoniana spatiul şi timpul sunt considerate entitaţi fizice care au un caracter absolut (Isaac Newton in lucrarea "Philosophie naturalis principia mathematica" / ”Principiile matematice ale filosofiei naturale “, 1687). In plus: -spaţiul este considerat: tridimensional, infinit, continuu, izotrop şi omogen, avand o metrica universala absoluta, iar - timpul este considerat: unidimensional, nelimitat, continuu, omogen şi ireversibil.
Transcript
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1. CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL1.1. Noţiuni introductive1.1.1. Relativitatea mi şcarii. Sisteme de referin ţa
� In mecanica, mişcarea este o noţiune fundamentala şi reprezinta deplasarea sau schimbarea poziţiei unui corp in raport cu alte corpuri inconjuratoare.
� Mişcarea este deci intotdeauna relativa , deoarece depinde de corpul la care ne raportam, numit corp de referin ţa.
� Mişcarea corpurilor se desfaşoara in spa ţiu şi timp .
� In mecanica clasica newtoniana spatiul şi timpul sunt considerate entitaţi fizice care au un caracter absolut (Isaac Newton in lucrarea "Philosophie naturalis
principia mathematica" / ”Principiile matematice ale filosofiei naturale “, 1687).
� In plus: -spa ţiul este considerat: tridimensional, infinit, continuu, izotrop şi omogen, avand o metrica universala absoluta, iar
- timpul este considerat: unidimensional, nelimitat, continuu, omogen şi ireversibil.
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
� Spaţiul fiind tridimensional, pentru definirea poziţiei spaţiale a unui corp faţa
de corpul de referinţa se asociaza corpului de referinţa un sistem de
coordonate (SC) cu trei coordonate.
� Sistemul de coordonate pentru determinarea poziţiei spaţiale impreuna cu un
"ceasornic" pentru masurarea timpului formeaza un sistem de referin ţa (SR).
� Un sistem de referinţa legat de un corp in mişcare libera se numeşte sistem
de referin ţa iner ţial (SRI). (Ex. Pamantul: aP,rot=0.052 m/s2; aP,rev=0.006 m/s2)
� Un sistem de referinţa legat de un corp in mişcare accelerata se numeste
sisteme de referin ţa neiner ţial (SRN).
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1.1.2. Sisteme de coordonate
a) Sistemul ortogonal de coordonate cartezian (x,y,z)
r�
kzjyixr���� ++=
Ex. Expresia analitica a vectorului de pozitie:
kAjAiAA zyx
����++=
kAAsijAAiAA zyx
������=== ;
( )0
x y z
i , j ,k versorii coordonatelor carteziene
ij jk ki triedru ortogonal
A , A , A componentele carteziene
ale vectorului A
−
= = =
−
�� �
� ��� � �
�
- Expresia analitica a unui vector:
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
b) Coordonate polare spa ţiale sau sferice (r, θ,ϕϕϕϕ)
.cosrz
,sinsinry
,cossinrx
θ=ϕθ=ϕθ=
[ ]r x y z= + +2 2 212
ϕ = arctgy
x
[ ]θ =
+ +arccos
z
x y z2 2 212
� � � �A A u A u A ur r= + +θ θ ϕ ϕ
( )0
r
r r
r
u , u si u versorii coordonatelor sferice :
u u u u u u
triedru ortogonal mobil
A , A , A coordonatele sferice ale vectorului A
θ ϕ
θ θ ϕ ϕ
θ ϕ
− = = = −
� � �
� � � � � �
�
- Expresia analitica a unui vector:
- Relatii de transformare de coordonate:
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
c) Coordonate polare plane (r, ϕϕϕϕ)
x = r cos ϕy = r sin ϕ
[ ]r x y= +2 212
ϕ = arctgy
x
r rA A u A uϕ ϕ= +� � �
( )0
r
r r
r
u , u versorii coordonatelor polare plane :
u u reciproc perpendiculari
A , A coordonatele polare plane ale vectorului A
ϕ
ϕ
ϕ
− =
−
� �
� �
�
- Expresia analitica a unui vector:
- Relatii de transformare de coordonate:
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
d) Coordonate cilindrice (r, ϕϕϕϕ, z)
x = r cos ϕ,y = r sin ϕ, z = z
[ ]r x y= +2 212
ϕ = arctgy
xz = z
- Relatii de transformare de coordonate:
r r z zA A u A u A uϕ ϕ= + +� � � �
( )0
r z
r z z r
r z
u , u si u versorii coordonatelor cilindrice :
u u u u u u
triedru ortogonal mobil
A , A , A coordonatele cilindrice
ale vectorului A
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
− = = = −
� � �
� � � � � �
�
- Expresia analitica a unui vector:
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1.1.3. Traiectoria şi ecua ţiile de mi şcare
� Traiectoria unui mobil este:- curba spaţiala descrisa de mobil in timpul mişcarii (C).- locul geometric al extremitaţilor vectorului de pozi ţie:
k)t(zj)t(yi)t(x)t(r���� ++=
� Ecua ţia vectoriala a mi şcarii :)t(rr
�� =
(1)
(2)
� Ecua ţiile cinematice ale mi şcarii :x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) (3)
(ecuaţiile parametrice ale traiectoriei)
Eliminand timpul din ecuaţiile (3), se obţin ecua ţiile analitice ale traiectoriei :F1 (x, y, z) = 0 şi F2 (x, y, z) = 0. (4)
� Ecua ţia orara a mi şcarii sau legea se mi şcare : s = s(t) (5)
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1.2. VitezaDefinitie: Viteza este o marime vizica ce masoara rapiditatea miscarii si indica orientarea acesteia
(6)
(7)
(8)
(9)
12
12
tt
ss
t
skvm −
−=⋅=∆∆
- viteza momentana:
sdt
ds
t
sv
tɺ==
∆∆=
→∆ 0lim
� Vectorul viteza - vectorul viteza medie
2 1
2 1m
r rrv || r
t t t
∆ ∆∆
−= =−
� ��� �
- vectorul viteza momentana
rdt
rd
t
rlimvt
ɺ���
� ==∆∆=
→∆ 0
� Viteza in coordonate curbilinii- viteza medie:
� �( )2 1 1 2i is O' M ; s s s M M∆= = − =
( )2 1i iunde r OM sunt vectori de pozitie,iar r r r este vectorul deplasare∆= = −����� ���� � �
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
� Vectorul viteza momentana = vector tangent la curba in puctul M
�� �
� �v
dr
dt
dr
ds
ds
dts v= = ⋅ = =τ τɺ
��
τ = dr
dsunde:
este versorul tangentei la curba “C” in punctul M
(13)
(14)
• Expresia analitica a vectorului viteza
� � � � � � �v
dx
dti
dy
dtj
dz
dtk v i v j v kx y z= + + = + +
;xdt
dxvx ɺ== ;y
dt
dyvy ɺ== v
dz
dtzz = = ɺ
(10)
(11)
• Modulul vectorului viteza
v v v v v vx y z= ⋅ = + +� � 2 2 2 (12)
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1.3. Acceleratia
• Vectorul accelera ţie medie2 1
2 1m
v vva || v
t t t
∆ ∆∆
−= =−
� ��� �
• Vectorul accelera ţie momentana
rvdt
vd
t
vlimat
�ɺɺɺ
���
� ====→ ∆
∆∆ 0
- expresia analitica în coordonate carteziene
kajaiaa zyx
���� ++=
;xva xx ɺɺɺ == ;yva yy ɺɺɺ == zva zz ɺɺɺ ==
- modulul in coordonate carteziene
[ ] 21222 /
zyx aaaaaa ++=⋅= ��
Definitie: Acceleratia este o marime fizica ce masoara viteza de variatie a modulului si orientarii a vitezei
1.4. Tipuri principale de miscari1.4.1. Miscarea rectilinie si uniforma (MRU)
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .ttvztz
,ttvyty
,ttvxtx
z
y
x
00
00
00
−+=
−+=−+=
- legile miscarii in coordonate carteziene:
( ) ( )00 ttvrtr −+= ���- legea vectorială a vitezei:
ctdt
rdv ==
��
∫∫ =t
t
r
r
dtvrd00
��
Mişcare rectilinie uniforma este mişcarea in care vectorul viteza este constant in modul şi orientare, ( ), deci este un invariant al mişcării.
- MRU este o miscare rectilinie de-a lungul drepteisuport a vitezei (∆)- Componenta perpendiculara a vectorului de pozitie este un invariant al miscarii, 0r const.⊥ =�
v const.=�
Reprezentarea garafica a legii de miscare de-a lungulAxei Ox pentru t0 si x0 ≠ 0 in cazurile: v1>0 si v2<o.
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1.4.2. Miscarea uniform variata (MUV)
- legea vectorială a vitezei:
( ) ( )00 ttavtv −+= ���
.ctdt
vda ==
��
∫∫ =t
t
v
v
dtavd00
��
- legea vectoriala a miscarii:
( )��
v tdr
dt= ( )[ ]∫∫ −+=
t
t
r
r
dtttavrd00
00
���
( ) ( ) ( )2
20
000
ttattvrtr
−+−+= ���
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
00 0 0
2
00 0 0
2
00 0 0
2
2
2
x x
y y
z z
t tx t x v t t a ,
t ty t y v t t a ,
t tz t z v t t a .
−= + − +
− = + − + − = + − +
- legile miscarii in coordonate carteziene:
Mişcarea uniform variata este mişcarea în care vectorul acceleraţie este constant, , deci este un invariant al mişcării.⇒ Componenta perpendiculara a vectorului viteza
este un invariant al miscarii,
a ct=�
- legile vitezei in coordonate carteziene:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
0 0
0 0
0 0
x x x
y y y
z z z
v t v a t t
v t v a t t
v t v a t t
= + − = + − = + −
�
�
�
0v const.⊥ =�
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
1.4.3. Miscarea circularaPentru descrierea miscarii circulare se pot utiliza: coordonatacurbilinie “ s” sau coordonata polara unghiulara “ ϕϕϕϕ “ (vezi figura).Relatiile evidente intre cele doua coordonate sunt:
R
s
'OO
M'O ==ϕ
R
s
R
ss
OO
MM ∆=−==−=∆ 000 '
ϕϕϕ
.
Marimi cinematice specifice mi şcarii circulare:
- viteza unghiulara medie:
0
0
tttm −−
=∆∆=
ϕϕϕω
- viteza unghiulara momentana:
ϕϕϕω ɺ==∆∆=
→∆ dt
d
tlimt 0
- acceleraţia unghiulara medie:
tm ∆∆= ωε
- acceleraţia unghiulara momentana:
ϕωωωε ɺɺɺ ===∆∆=
→∆ dt
d
tt 0lim
- Relaţia de legatura dintre modulul vitezei liniare şi viteza unghiulara:
dt
dsv = =
t
st ∆
∆→∆ 0
lim = t
Rt ∆
∆→∆
ϕ0
lim = ωϕϕϕRR
dt
dR
tR
t===
∆∆
→∆ɺ
0lim
- Relaţia de legatura dintre modulul vitezei liniare şi viteza unghiulara:
adv
dtt = = ( )d
dtR R
d
dtRω
ωε= = ;
� �a Rt = ετ .
II. ELEMENTE DE MECANICà CLASIC� � � �a
v
Rn vn Rnn = = =
22ω ω
- acceleraţie totala: � � � � �a a a R R nt n= + = +ετ ω 2 a aa R= = +
- Perioada T a mişcarii circulare uniforme reprezinta timpul in care mobilulparcurge odata circumferinţa cercului . Pentru N rotatii efectuate in timpul ∆t:
Din conditia de periodicitate:
Tt
N=
∆
T =2πω
πϕϕ 2 + = + )()( tTt
- Legea mişcarii circulare uniforme:
( ) ( )0 0t t tϕ ϕ ω= + −d,
dt
ϕ ω=0 0
t
t
d dtϕ
ϕϕ ω=∫ ∫
- Frecventa (νννν) sau "tura ţia" (n) a mişcarii circulare uniforme este inversul perioadei şi exprimanumarul de rotaţii complete efectuate de mobil; in unitatea de timp:
πων2
1 ==∆
=Tt
N
a) Miscarea circulara uniforma ( )v const. v / R const.ω= ⇔ = =
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
b) Miscarea circulara uniforma variata ( ):t ta const. a / R const.ε= ⇔ = =
- legea vitezei unghiulare:
( ) ( )0 0t t tω ω ε= + −
dct.
dt
ωε = =0 0
v t
v t
d dtω ε=∫ ∫
- legea de miscare:
( ) dt
dt
ϕω = ( )0 0
0 0
r t
r t
d t t dtϕ ω ε = + −∫ ∫
( ) ( ) ( )2
00 0 0 2
t tt t tϕ ϕ ω ε
−= + − +
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ2. DINAMICA PUNCULUI MATERIAL
2.1. Principiile mecanicii clasice
( )dt
pdvm
dt
d
dt
vdmF
��
��
===F m a= ⋅� �
Dinamica abordează studiul mişcărilor mecanice luând în considerare cauzele care duc lamodificarea în timp a poziţiilor , vitezelor şi acceleraţiilor sistemelor mecanice. Caracteristicileesenţiale al mecanicii clasice sunt exprimate prin axiomele sau principii enuntate de catre IsaacNewton in lucrarea "Philosophie naturalis principia mathematica" / ”Principi ile matematiceale filosofiei naturale “ – 1687 :
Primul principiu sau principiul inertieiENUNT: Orice corp î şi men ţine starea de repaus sau de mi şcare rectilinie
uniform ă atât timp cât asupra sa nu ac ţioneaz ă alte for ţe sau suma for ţelor careacţioneaz ă asupra sa este nul ă.Acest principiu introduce notiunea de inertie , ca si proprietate a corpurilor de a se opune actiuniialtor corpuri. Masura inertiei corpurilor este masa inertiala , numeric egala cu masa gravifica
Principiul al 2-lea sau principiul fundamentalAcest principiu introduce notiune de forta , ca masura a interactiunii dintre corpuri.
- statice (de deformare sau echilibrare)Efectele fortelor pot fi:
- dinamice (de modificare a starii de miscare, deci a vitezei)
ENUNT: O for ţă ce ac ţioneaz ă asupra unui corp de mas ă m îi imprim ă acestuia oaccelera ţie direct proportionala cu forta si invers proportionala cu masa acestuia:
unde reprezinta inpulsul corpuluivmp�� =
F�
Fa
m=�
�
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.1. Principiile mecanicii clasice
jiF�
ijF�
Principiul al 3-lea sau principiul actiunilor reciproce :
ENUNT: Când un corp „i” ac ţioneaz ă asupra altui corp „j” cu o for ţă numit ă
for ţă de ac ţiune , cel de-al doilea corp ac ţioneaz ă şi el asupra primului cu o for ţă
numit ă for ţă de reac ţiune , de aceeaşi mărime şi de aceeaşi direc ţie, dar de
sens contrar, adic ă
Principiul independentei actiunii fortelor :
ENUNT: Dacă mai multe for ţe (i = 1, 2, ..., n) ac ţioneaz ă în acela şi timp asupra unui corp de mas ă m, fiecare dintre respectivele for ţe produce propria sa accelera ţie, în mod independent de prezen ţa celorlalte for ţe, accelera ţia rezultant ă fiind egala cusuma vectorial ă a accelera ţiilor individuale .
ii
F m a
F ma
= =
∑� �
� �
i i
ii
F ma
F F
= =
∑
� �
�ia a=∑
� �
j i i jF F= −� �
j i i jF F� �
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.2. Transform ările lui Galilei şi principiul relativit ăţii clasice
"Legile mecanicii newtoniene (clasice) sunt acelea şi în toate sistemele de referin ţă iner ţiale deci, sunt invariante la transform ările Galilei, adic ă sunt Galilei -invariante sau G - invariante "
sau:“Fenomenele mecanice decurg la fel în toate sistemele de referin ţă iner ţiale "
Rezultă că, din punct de vedere al fenomenelor mecanice, toate sistemele de referinţă inerţiale sunt absolut echivalente. Într-adevăr, nici o experienţă mecanică efectuată în interiorul unui laborator nu ne permite să determinăm mişcarea sa rectilinie faţă de stelele fixe.
u'vv��� +=
'aa�� =
+=++=
.t'tt
,tur'rr
0
0����
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.3. Teoreme şi legi de conservare2.3.1. Teorema şi legea conserv ării impulsului- Impulsul unui punct material se defineste ca fiind pr odusul dintre masa acestuia
şi vectorul vitez ă, adicăvmp�� =
a) Teorema impulsului- forma diferentiala:
"Viteza de varia ţie momentan ă a impulsului unui punct material este egal ă cu for ţa rezultant ă ce ac ţioneaz ă asupra punctului material în momentul respectiv"
Fdt
pd ��
=dt
pdF
��
=
- forma integrala:
∫∫ ==−=2
1
2
1
12
t
t
dtFpdppp�����∆
∫=2
1
21
t
t
, dtFH��
unde marimea se numeste impuls al fortei"Varia ţia impulsului unui punct material în intervalul de timp de la t1 la t2 este egal cu impulsul for ţei rezultante ce ac ţioneaz ă asupra punctului material în acest interval de timp"
b) Legea de conservare a impulsului: “Impulsul unui punct material izolat se conserv ă".
.constpimplicaceceea,psaudt/pdFDin ===⇒=����
000 ∆
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.3.2. Teorema şi legea conserv ării momentului cineticPrin definiţie, “Momentul cinetic al unui punct material, în raport c u un punct fix numit pol, este un vector egal cu produsul vectorial dint re vectorul de pozi ţie al punctului material în raport cu acel pol şi impulsul punctului material ” (Fig.1).
vmrprL�����
×=×=
αα sinrmvsinrpLL ===�
“Momentul unei for ţe, în raport cu un pol este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de pozi ţie al punctului de aplica ţie al for ţei în raport cu acel pol şi for ţa respectiv ă” (Fig.2).
a)Teorema momentului cinetic
( ) Frdt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld ���
���
���
×=×+×=×=
unde
reprezinta momentul fortei rezultante in raport cu polul O:
FrM���
×=
Fig. 1
Fig.2
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
- forma diferen ţială:
Mdt
Ld ��
=“Viteza de varia ţie a momentului cinetic al unui punct material înraport cu un pol este egal ă cu momentul , în raport cu acel pol, alfor ţei rezultante ce ac ţioneaz ă asupra punctului material.”
- forma integrala :
"Varia ţia momentului cinetic al unui punct material în int ervalul de timp de la t 1 la t2 este egal cu impulsul momentului for ţei rezultante ce ac ţioneaz ă asupra punctului material în acest interval de timp"
unde se numeste impuls al momentului fortei∫=)t(
)t(
dtMK2
1
12
��
∫ ∫==−=∆)(
)(
)t(
)t(
dtMLdLLL2
1
12
2
1
�����
b) Legea de conservare a momentului cinetic :
“Momentul cinetic al unui material izolat se conserv ă".
” Energia cinetic ă a unui punct material este m ărimea scalar ă egală cu semiprodusul dintre masa şi pătratul vitezei punctului material ”.
2
2
1mvT =
dT Fdr Fvdt Wδ= = =� �� �
2 2
1 1
2 1 12
r t
r t
T T T Fdr Fvdt W∆ = − = = =∫ ∫� �� �
” Varia ţia energiei cinetice a unui punct material în decur sul unei deplas ări este egal ă cu lucrul mecanic efectuat de rezultanta for ţelor ce ac ţioneaz ă asupra punctului material în timpul deplas ării respective.”
Rezulta
si
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.3.4. Energia poten ţială şi energia mecanic ă total ăa) Câmpuri de for ţe conservative şi energia poten ţială
W1a2 = W1b2, sau W1a2 - W1b2 = 0
W1a2 – W1b2 = W1a2 + W2b1 = 0,
“Lucrul mecanic efectuat de forţele unui câmp conservativ ce acţionează asupra unui punct material, în decursul deplasării acestuia pe o traiectorie închisă, este nul”:
∫Γ = 0rdF��
“ Energia poten ţială într-un punct al unui câmp conservativ de for ţe, în care s-a definit un punct de referin ţă (ro pentru care U(ro)=0) este egal ă cu lucrul mecanic efectuat de for ţele câmpului pentru deplasarea punctului material d in punctul de referin ţă în punctul dat, luat cu semn schimbat” :
Considerăm o deplasare finită a punctului material sub acţiunea unei forţe conservative
2112 UUTT −=− 2211 UTUT +=+
” Energia mecanică totală a unui punct material aflat in camp de forte conservative, calculata ca suma dintre energia cinetică şi energia potenţială a punctului material se conserva”.
