61
Natalia Ileana DIHOIU Monica FLORESCU C U R S D E F I Z I C Ă
Natalia Ileana DIHOIU
Monica FLORESCU
C U R S D E F I Z I C Ă
2
OBIECTIVELE CURSULUI DE FIZICĂ
Obiective:
după parcurgerea acestor capitole studenţii vor fi capabili să caracterizeze:
- mişcarea corpurilor în raport cu un sistem de referinţă spaţial şi mărimile
specifice mişcării,
- legile fundamentale ale mişcării,
- cauzele mişcării, acţiunea forţelor asupra corpurilor,
- energia mecanică şi legile specifice de conservare,
- curgerea fluidelor,
- mişcarea periodică armonică, amortizată şi oscilaţiile forţate, rezonanţa,
- undele mecanice, fenomenele produse şi caracteristicile propagării acestora,
- acustica încăperilor şi condiţiile în care se obţine o acustică perfectă a unei
încăperi,
- propagarea luminii şi proprietăţile ondulatorii şi corpusculare are radiaţiei
luminoase,
- structura materiei şi proprietăţile nucleului,
Însuşirea acestor cunoştinţe oferă studentului o bază pentru a înţelege mai bine
desfăşurarea unor fenomene prezentate în cadrul cursurilor de specialitate şi principiul de
funcţionare a unor dispozitive.
3
Cuprins
1.MĂRIMI FIZICE .................................................................................................4
SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ S.I. .....................5
FORMULE DIMENSIONALE...............................................................................7
2. NOTIUNI INTRODUCTIVE DE MECANICA CLASICA............................9
ECUAŢIA DE MIŞCARE. TRAIECTORIA .........................................................9
VITEZA. ACCELERAŢIA................................................................................. 11
PRINCIPII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE PENTRU PUNCTUL
MATERIAL. ........................................................................................................ 13
TEOREMA VARIAŢIEI MOMENTULUI CINETIC. CONSERVAREA
MOMENTULUI CINETIC.................................................................................. 14
LUCRUL MECANIC. ENERGIA MECANICĂ. CONSERVAREA ENERGIEI
MECANICE. ........................................................................................................ 15
3. MECANICA FLUIDELOR ............................................................................. 19
ELEMENTE DE DINAMICA FLUIDELOR...................................................... 21
CURGEREA LAMINARĂ A FLUIDELOR PRIN CONDUCTE. .................... 23
4. OSCILAŢII ELASTICE .................................................................................. 26
OSCILAŢII ARMONICE.................................................................................... 26
COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE. .............................................. 27
OSCILAŢII AMORTIZATE ............................................................................... 29
OSCILAŢII FORŢATE (ÎNTREŢINUTE) ......................................................... 31
5.UNDE ELASTICE .......................................................................................... 35
6. OPTICĂ............................................................................................................. 43
REFRACŢIA PE SUPRAFEŢE SFERICE. DIOPTRII ...................................... 45
INTERFERENŢA LUMINII ............................................................................... 46
POLARIZAREA LUMINII. ................................................................................ 51
OPTICA FOTONICĂ. EFECTUL FOTOELECTRIC........................................ 52
ELEMENTE DE ELECTRONICĂ CUANTICĂ. LASERI................................ 54
7. ELEMENTE DE FIZICĂ NUCLEARĂ ........................................................ 56
REACŢII NUCLEARE........................................................................................ 58
4
1. MĂRIMI FIZICE
Urmărind evoluţia fenomenelor fizice, se pot observa anumiţi parametrii
care suferă variaţii cantitative ce pot fi măsurate. Aceşti parametrii au primit
numele de mărimi fizice. Dacă două mărimi fizice se deosebesc numai din punct
de vedere cantitativ, cele două mărimi sunt de aceeaşi natură şi reprezintă de fapt
două expresii ale aceleiaşi mărimi fizice.
Mărimile fizice se pot măsura numai dacă sunt comparate cu o altă mărime
fizică, de aceeaşi natură, aleasă în mod convenţional ca etalon şi numită unitate de
măsură. A măsura înseamnă a stabili experimental de câte ori o mărime fizică
aleasă ca unitate de măsură, se cuprinde în mărimea fizică pe care vrem s-o
măsurăm. Numărul care indică de câte ori unitatea de măsură se cuprinde în
mărimea măsurată poartă numele de valoarea mărimii. Orice mărime fizică va
conţine deci în expresia ei, două elemente şi anume, valoarea şi unitatea de măsură
corespunzătoare.
Toate mărimile fizice pentru care este suficient să se cunoască numai
valorile lor şi pentru care sunt valabile operaţiile ce se efectuează cu numerele
reale, se numesc mărimi scalare (ex; masă, densitatea, volumul, energia, etc.).
Pentru o mare parte din mărimile fizice nu este suficientă cunoaşterea
valorilor ci mai sunt necesare şi cunoaşterea sensului, a direcţiei şi a punctului de
aplicaţie. Aceste mărimi sunt mărimi vectoriale, iar operaţiile care se pot efectua
cu aceste mărimi fac obiectul calculului vectorial (ex; viteza, acceleraţia, forţa,
intensitatea câmpului, etc.).
In afară de aceasta, mai există şi unele mărimi cărora nu le sunt necesare trei
componente în sistemul de coordonate spaţial, pentru exprimarea lor fiind nevoie
de 9 sau chiar mai multe componente. O astfel de mărime se numeşte tensorială şi
este descrisă prin tensori (ex; tensiunea elastică).
In procesul de cunoaştere, trecerea de la observarea calitativă a unui
fenomen la cercetarea lui cantitativă impune efectuarea unor măsurători. Dacă o
mărime fizică, măsurată cu o unitate [A] are o valoare a, şi măsurată cu altă
unitate [A1] are valoarea a1, atunci se poate scrie :
A = a [A] = a1[A1] (1.1)
De unde rezultă :
A
A
a
a 1
1
(1.2)
relaţie ce exprimă faptul că raportul valorilor unei mărimi, obţinute folosind două
unităţi de măsură diferite, este egal cu inversul raportului celor două unităţi.
Această egalitate reprezintă teorema fundamentală a unităţilor de măsură.
La început, când numărul mărimilor fizice cunoscute era mic, stabilirea
arbitrară a unităţilor de măsură nu producea încurcături. Odată cu dezvoltarea
explozivă a fizicii când se evidenţiază mărimi fizice noi şi apare necesitatea unor
măsurători mai precise, alegerea şi definirea arbitrară a unităţilor de măsură pentru
5
fiecare mărime în parte produce dificultăţi greu de depăşit în însuşirea şi aplicarea
cunoştinţelor de fizică.
Operaţia de alegere a unităţilor de măsură a condus la concluzia că există un
număr relativ restrâns de mărimi fundamentale, pentru care alegerea unităţilor se
face prin convenţie. Pentru celelalte mărimi, numite mărimi derivate, alegerea
unităţilor de măsură se face prin intermediul relaţiilor de definiţie şi această
operaţie este simplificată de faptul că legile fizice exprimate prin relaţii matematice
leagă două sau mai multe mărimi fizice, ex;
etc. ;v
m ;
2
22
Am
E
Ansamblul alcătuit din unităţile mărimilor fundamentale şi unităţile
mărimilor derivate din acestea, constituie un sistem coerent de unităţi. Fizica a
cunoscut începând cu 1799 mai multe sisteme de unităţi de măsură. In 1960 la cea
de-a XI-a Conferinţă Generală de Măsuri şi Greutăţi, s-a adoptat un nou sistem de
unităţi de măsură, cel mai perfecţionat, bazat pe sistemul metric, numit sistem
internaţional (S.I.). Acest sistem a fost introdus şi la noi în ţară în anul 1961, iar
din 1968 utilizarea lui a devenit obligatorie.
SISTEMUL INTERNAŢIONAL DE UNITĂŢI DE MĂSURĂ S.I.
Sistemul internaţional de unităţi de măsură este un sistem coerent, având la
bază şapte mărimi fizice fundamentale şi două mărimi fizice suplimentare cărora le
corespund şapte unităţi fundamentale şi două unităţi suplimentare.
Unităţile fundamentale ale S.I. sunt definite astfel :
1. – metrul (m) - unitatea de măsură pentru lungime ce reprezintă
lungimea drumului parcurs de lumină în vid în
1/299,792.951 secunde (lungimea egală cu 1.650.763,73
lungimi de undă, în vid, ale radiaţiei emisă de atomul de
kripton 86 la tranziţia între nivelele 5d5 şi 2p10).
2. – kilogramul (kg) - unitate de măsură pentru masă ce reprezintă masa
“kilogramului internaţional” adică a prototipului de
platină iridiată, păstrată la Biroul Internaţional de
Măsuri şi Greutăţi de la Sevres, în Franţa.
3. – secunda (s) - unitate de măsură pentru timp ce reprezintă intervalul
de timp egal cu 9.192.631.770 perioade de oscilaţie ale
radiaţiei emise la tranziţia între două nivele hiperfine ale
stării fundamentale a izotopului 133 al cesiului.
6
4. – kelvinul (K) - unitatea de măsură pentru temperatură ce reprezintă
unitatea de temperatură în scara termodinamică egală cu
1/273,16 din temperatura absolută corespunzătoare
punctului triplu al apei.
5. – amperul (A) - unitatea de măsură pentru intensitatea curentului
electric ce reprezintă intensitatea unui curent electric
constant care menţinut în doi conductori rectilinii şi
paraleli de lungime infinită şi secţiune neglijabilă, aflaţi
în vid la distanţa de un metru unul de altul, produce între
ei o forţă de 2.10-7
N pe fiecare metru de lungime.
6. – candela (cd) - unitatea de măsură pentru intensitatea luminoasă ce
reprezintă intensitatea luminoasă într-o direcţie dată a
unei surse ce emite o radiaţie monocromatică cu =
5,4.1012
Hz şi intensitatea energetică în această direcţie
de 1/683 . W/sr intensitatea luminoasă în direcţia
normală a unei suprafeţe de 1/600.000 m2 a unui corp
negru aflat la temperatura de solidificare a platinei la
presiunea atmosferică normală (101.325 N/m2).
7. – molul (mol) - unitatea de măsură pentru cantitatea de substanţă ce
reprezintă cantitatea dintr-o substanţă a unui sistem,
exprimată în kilograme, care conţine atâtea entităţi
elementare câţi atomi există în 0,012 kilograme de
carbon 12.
Două unităţi de măsură suplimentare întregesc sistemul internaţional.
1. – radianul (rad) - unitate de măsură pentru unghiul plan, ce reprezintă
unghiul plan cu vârful la centrul cercului ce subîntinde
un arc de cerc egal cu raza cercului (1 rad. = 57017’45”).
2. – steradianul (sr) - unitate de măsură pentru unghiul solid şi reprezintă
unghiul solid cu vârful la centrul sferei care delimitează
pe suprafaţa sferei o arie egală cu pătratul razei.
Toate celelalte mărimi fizice se numesc mărimi derivate şi unităţile lor de
măsură se stabilesc pe baza relaţiilor de definiţie. Unele dintre ele au denumiri
speciale :
Watt Ws
mkg
Pascal Pm
N
Newton Ns
mkg
3
2
2
2
7
Se mai utilizează multiplii şi submultiplii :
yocto10yzepto10zatto10a
femto10fpico10pnano10nmicro10mili10m
10Kkilo10Mmega10Ggiga10Ttera10Ppeta10Eexa10ZZeta10YYota
iiSubmultipl Multiplii
24-
21-
18-
15-
12-
9-
6-
3-
3
6
9
12
15
18
21
24
FORMULE DIMENSIONALE
Mărimile fizice derivate se pot exprima în funcţie de mărimile fizice
fundamentale prin intermediul legilor fizicii. Expresia matematică prin care este
pusă în evidenţă mărimea derivată în raport cu mărimile fundamentale, se numeşte
formulă dimensională.
X = f (L, M, T, , I, J, Q ) = L
M T
I J
Q (1.3)
Unde L, M, T, , I, J, Q reprezintă simbolurile mărimilor fizice fundamentale, în
ordinea în care au fost enumerate în paragraful 1.4.
O astfel de expresie conţine în primul membru simbolul mărimii derivate, iar
în membrul al doilea, simbolurile mărimilor fundamentale ridicate la puterile la
care apar ele în formula de definiţie a mărimii derivate, sau în relaţia ce exprimă
legea fizică unde apare mărimea respectivă.
De exemplu, formula dimensională a forţei este ;
[F] = M1 L
1 T
-2 = M L T
-2 (1.4)
Exponenţii simbolurilor mărimilor fundamentale din formulele
dimensionale, reprezintă “dimensiunile” mărimii derivate respective în raport cu
mărimile fundamentale.
Analizând relaţia (1.3), se observă că dimensiunile unei mărimi fizice nu
depind de coeficienţii numerici din formulele corespunzătoare de definiţie. Unei
anumite mărimi fizice îi corespunde o formulă dimensională determinată, deci îi
corespund dimensiuni determinate; reciproca, însă nu este adevărată; există mărimi
fizice distincte care formal au aceleaşi dimensiuni (de exemplu, lucrul mecanic şi
momentul forţei). Orice formulă matematică care exprimă o lege fizică, trebuie să
conţină în cei doi membrii mărimi de aceleaşi dimensiuni, cu alte cuvinte, trebuie
să fie omogenă.
8
Importanţa formulelor dimensionale constă în faptul că pe baza lor se pot
obţine relaţii de legătură între unităţile de măsură din diferite sisteme :
- se poate verifica justeţea unei formule
- se pot stabili unităţile derivate
Uneori, formulele dimensionale pot constitui un mijloc de investigaţie
ştiinţifică. Un exemplu clasic, utilizat adeseori, îl constituie perioada T a
pendulului matematic. Din experienţă se ştie că în cazul oscilaţiilor mici, perioada
de oscilaţie a pendulului matematic nu depinde decât de lungimea pendulului 1 şi
de valoarea acceleraţiei gravitaţionale g ;
T = 1a . g
b (1.5)
[T] = [1]a . [g]
b (1.6)
[T] = La . L
b .T
-2b = L
a+b . T
-2b (1.7)
Rezultă a + b = 0
- 2b = 1 b = - 1 / 2 a = 1 / 2
deci se poate scrie ;
g
T1
b .1 2
1 --
2
1
(1.8)
Se constată că utilizând formulele dimensionale, legea de oscilaţie a
pendulului matematic a fost exprimată corect, până la un factor numeric (care în
acest caz este 2).
Capitolul I Test:
1. Unităţile de măsură fundamentale ale SI sunt:
a) m, W, V, A, cd, S, mol;
b) m, kg, S, A, cd, K, mol;
c) m, kg, T, V, lx, s, N;
d) km, s, N, A, cd, K, T.
2. Să se stabilească unitatea de măsură exprimată prin unităţile de măsură ale
mărimilor fundamentale pentru: inducţia magnetică, forţa, lucrul mecanic,
tensiune electrică.
9
y
x
2. NOTIUNI INTRODUCTIVE DE MECANICA CLASICA
ECUAŢIA DE MIŞCARE. TRAIECTORIA
Mecanica clasică studiază mişcarea corpurilor macroscopice a căror viteze
sunt neglijabile în raport cu viteza luminii. Mişcarea corpurilor de dimensiuni
finite fiind în general destul de complicată, în cazul în care dimensiunile corpului
sunt mici comparativ cu distanţele până la celelalte corpuri, acesta poate fi
considerat un punct material.
Mişcarea mecanică (spaţială, plană sau unidimensională) a punctului
material se observă în raport cu un anumit reper sau sistem de referinţă ales în mod
arbitrar. Poziţia punctului material M este definită în raport cu originea acestui
sistem de referinţă prin vectorul de poziţie r. Există o infinitate de sisteme de
referinţă şi de obicei îl alegem pe acela în raport cu care legile fizicii au expresia
cea mai simplă. Un asemenea sistem este reprezentat de un sistem de axe solidar
legate de o particulă care se află în mişcare liberă, deci o particulă considerată a fi
plasată la o distanţă suficient de mare de orice corp din spaţiu, astfel că se poate
neglija interacţiunea ei cu alte corpuri. Un astfel de sistem de referinţă se numeşte
inerţial, şi orice alt sistem de referinţă care are o mişcare rectilinie şi uniformă în
raport cu acest sistem de referinţă, va fi la rândul său un sistem de referinţă inerţial.
In mecanică se utilizează în mod obişnuit următoarele sisteme de referinţă.
- sistemul de coordonate carteziene x, y, z
- sistemul de coordonate cilindrice , , z cu relaţiile de corespondenţă
faţă de coordonatele carteziene (fig.1)
.
x = cos
y = sin (2.1)
z = z
Fig.1
- sistemul de coordonate sferice r, , , cu relaţiile de corespondenţă faţă de
coordonatele carteziene (fig.2).
10
Fig. 2
x = r sin cos y = r sin sin (2.2)
z = r cos
Pentru un sistem de referinţă cartezian 0xyz (fig.3), expresia analitică a vectorului
de poziţie r este dată de relaţia (2.3)
kyjzixr ... (2.3)
unde ,,, kji sunt versorii unitate corespunzători
axelor 0x,0y,0z, iar valoarea lui r este dată de
relaţia:
222 zyxr (2.4)
Fig.3
Dacă punctul material M se află în mişcare, vectorul de poziţie este o
funcţie vectorială continuă, uniformă şi dependentă de timp ;
r = r ( t ) (2.5)
Ecuaţia (2.5) reprezintă ecuaţia mişcării punctului material şi ea poate fi scrisă
sub forma ecuaţiilor parametrice ;
x = x ( t ) ; y = y ( t ) ; z = z ( t ) (2.6)
Ecuaţiile traiectoriei se obţin prin eliminarea timpului în ecuaţiile
parametrice. Prin traiectorie se înţelege locul geometric al poziţiilor succesive
ocupate pe punctul material în mişcare.
Ecuaţia de mişcare a punctului material pe o curbă se poate scrie sub forma
s = s ( t ) (2.7)
în care s este elementul de arc măsurat în sensul convenabil ales pe o curbă ,
sau segmentul de dreaptă parcurs de punctul material.
r x
y
r
y
z
x
11
VITEZA. ACCELERAŢIA
Fie la momentul t, un punct material în poziţia M definită de vectorul de
poziţie r (fig.4) după un interval de timp t, punctul material se va afla în poziţia
M’ definită de vectorul de poziţie rrr . Vectorul de poziţie fiind o funcţie de
timp, se poate scrie ;
rtrttr (2.8)
Viteza instantanee a punctului material, este dată de relaţia ;
kVjVi
kzjyixdt
dzk
dt
dvj
dt
dxi
dt
rd
t
rV
zy
t
x
0
V
lim (2.9)
Vectorul viteză V este tangent la traiectoria
în punctul considerat şi are sensul mişcării
punctului material. In modul ;
Fig.4.
Fig. 4
dt
dszyxVVVV zyx 222222 (2.10)
unde se reprezintă elementul de arc descris de punctul material de la M la M’.
Dacă mişcarea este plană şi putem scrie ,.rir atunci
dt
dQrj
dt
dri
dt
rdv
derivata unui versor fiind întotdeauna perpendiculară pe versor, diferenţiala
versorului fiind egală în modul cu unghiul de rotaţie al versorului dQid .
Mărimile dt
dr şi
dt
dQr reprezintă componentele longitudinală, respectiv transversală
ale vitezei.
Dacă viteza punctului material nu păstrează o valoare constantă, ci
reprezintă o funcţie continuă uniformă, dependentă de timp, se poate scrie prin
analogie cu relaţia (2.8 )
VtVttV (2.11)
In acest caz acceleraţia punctului material se defineşte prin relaţia
2
2
0
.lim dt
rd
dt
rd
dt
d
dt
Vd
t
Va
t
(2.12)
r
r r
x
y
z
0
12
cu
2
2
dt
sd
dt
Vda (2.13)
Se mai poate scrie
kajaiakzjyixkVjViVa zyxzyx (2.14)
Dacă se exprimă viteza cu ajutorul versorului unitar asociat tangentei la curbă în
punctul considerat , se poate scrie V = V
Atunci avem
dt
ds
ds
dV
dt
dV
dt
dV
dt
dVV
dt
d
dt
Vda
(2.15)
dt
d
dt
d
Se notează R raza de curbură a traiectoriei în punctul considerat şi cu n
versorul unitar asociat direcţiei normale la traiectorie, orientat spre centrul de
curbură. Se poate scrie :
fig.6
nR
n
ds
d
d
d si dsd Rdin (2.16)
rezultă
R
Vn
dt
ds
Rn
dt
dn
dt
d
1 (2.17)
şi astfel
naanR
Vdt
dVa nt ..
12 (2.18)
unde R
V
dt
dVat
2
naiar , reprezintă componenta tangenţială, respectiv
normală a acceleraţiei. Acceleraţia unui punct material în funcţie de aceste
componente va avea valoarea
22
nt aaa (2.19)
Sau pornind de la jdt
dri
dt
drv
putem scrie
13
j dt
dθ
dt
dr2
dt
θdri r
dt
dθ
dt
rdj
dt
θdri
dt
dr
dt
d
dt
Vda
2
22
2
2
unde asemenea, prima paranteză exprimă acceleraţia tangenţială iar cea de a doua,
acceleraţia normală a punctului material.
PRINCIPII ŞI TEOREME FUNDAMENTALE PENTRU PUNCTUL
MATERIAL.
Principiul inerţiei. Formulat de Newton în prima lege a dinamicii, acest
principiu cuprinde următoarele : un corp (punct material îşi păstrează starea de
repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă, atât timp cât nu intervine o forţă care
să-i modifice această stare.
Starea de mişcare rectilinie şi uniformă împreună cu starea de repaus se
numesc stări inerţiale. Newton a considerat mişcarea mecanică raportată la un
sistem de referinţă absolut şi imobil, inexistent în univers, definind în acest fel un
sistem de referinţă preferenţial . sistemul inerţial.
Dacă facem referire la cantitatea de mişcare (impuls), exprimată prin relaţia
rmdt
rdmVmp (2.20)
primul principiu se poate enunţa sub forma unei legi de conservare : în absenţa
oricărei forţe, impulsul asociat punctului material rămâne constant.
Principiul acţiunii forţei: variaţia cantităţii de mişcare este proporţională cu
forţa care o determină şi are loc în direcţia în care acţionează forţa :
Vmdt
Vmd
dt
pdF (2.21)
sau având în vedere că în mecanica clasică masa m este constantă, se mai poate
scrie
a . mdt
VdmF (2.22)
relaţie ce exprimă ecuaţia fundamentală a dinamicii punctului material.
Principiul acţiunii şi reacţiunii. Într-o formă concisă, acest principiu poate fi
formulat astfel : acţiunile reciproce a două corpuri sunt întotdeauna egale şi dirijate
în sensuri opuse adică .jiFijF Acest principiu se aplică atât în cazul
contactului direct dintre corpuri cât şi în cazul acţiunii de la distanţă şi este valabil
atât în starea de repaus cât şi în starea de mişcare a punctelor materiale.
Principiul independenţei acţiunii forţelor. Dacă mai multe forţe acţionează
simultan asupra unui punct material, fiecare forţă acţionează independent de
existenţa celorlalte forţe. Din acest principiu rezultă posibilitatea înlocuirii unui
14
ansamblu de forţe n321 F . . . . . . , ,, FFF ce acţionează asupra unui punct
material, printr-o forţă rezultantă mică F, egală cu suma vectorială a forţelor date,
n
i
iFF1
.
TEOREMA VARIAŢIEI MOMENTULUI CINETIC. CONSERVAREA
MOMENTULUI CINETIC.
Fie un punct material de masă m ce se deplasează cu viteza v căruia îi
corespunde vectorul de poziţie r . Se defineşte ca moment cinetic, produsul
vectorial
vmrprL (2.23)
Să considerăm o forţă F care acţionează asupra punctului material de masă m.
fig.7
Momentul acestei forţe în raport cu punctul 0 se defineşte prin relaţia
FrM (2.24)
Derivând în raport cu timpul relaţia (2.23)
Şi ţinând cont de relaţiile (2.9) şi (2.10)
Obţinem :
MFrvmvdt
pdrp
dt
rdvmr
dt
d
dt
Ld (2.25)
Relaţia (2.25) reprezintă teorema variaţiei momentului cinetic faţă de un
punct fix şi se enunţă astfel ; viteza de variaţie a momentului cinetic în raport cu un
punct fix este egală cu momentul forţei ce determină mişcarea, faţă de acel punct
fix.
Din ,. LddtM prin integrare, rezultă
2
1
12.t
t
LLdtML (2.26)
x
y
z
0 r
15
adică, momentul impulsului forţei aplicate punctului material este egal cu variaţia
momentului cinetic.
Dacă rezultanta forţelor ce acţionează asupra punctului material este nulă şi
momentul rezultant este nul, relaţia
0M
Conduce la
.constL adica 0dt
Ld (2.27)
Relaţia (2.27) reprezintă teorema conservării momentului cinetic ; dacă
momentul rezultant faţă de un punct fix al forţelor ce acţionează asupra unui punct
material este nul, momentul cinetic faţă de acelaşi punct fix, definit prin relaţia
(2.23) se conservă.
LUCRUL MECANIC. ENERGIA MECANICĂ. CONSERVAREA ENERGIEI
MECANICE.
Lucrul mecanic elementar efectuat de către o forţă F atunci când punctul ei
de aplicaţie descrie un element de traiectorie ds, se defineşte prin produsul scalar
ds,Fcos .. dsFsdFdL (2.28)
sau utilizând relaţia (2.21).
TdmvddtvvmdrFdL
2
2
1.. (2.29)
unde Tmv 2
2
1 reprezintă energia cinetică a punctului material. Prin integrare
avem :
2
1
2
1
2
1
2
2
2
0 2
1
2
1.21
r
r
L
vvmmvdrdFLdLL
(2.30)
Relaţia (2.33) exprimă teorema variaţiei energiei cinetice care se enunţă astfel ;
variaţia energiei cinetice a unui punct material la o deplasare finită a acestuia între
poziţiile 1 şi 2 este egală cu lucrul mecanic finit efectuat de forţa care
acţionează între poziţiile 1 şi 2.
In situaţia în care, deplasarea punctului material se face între două stări 1 şi
2, caracterizate prin vectorii de poziţie r1 şi r2, lucrul mecanic finit efectuat de
forţa care acţionează între aceste două stări este ;
2
1
.12
r
r
rdFL (2.31)
O forţă care are proprietatea că, lucrul mecanic efectuat de ea între două puncte
caracterizate prin vectorii de poziţie r1 şi r2, nu depinde de traiectoria în lungul
căreia se face deplasarea, se numeşte forţă conservativă.
16
O asemenea forţă satisface relaţia (2.35).
2
11
2
1
..r
r
r
r
rdFrdF (2.32)
fig.8
ceea ce înseamnă că lucrul mecanic efectuat de o forţă conservativă pe un contur
închis este nul
0. rdF (2.33)
Dacă forţele care acţionează asupra unui sistem mecanic nu sunt
conservative (de exemplu, forţele de frecare), sistemul se numeşte disipativ.
Forţele neconservative, disipative, apar numai la interacţia unor corpuri a căror
dimensiuni nu pot fi neglijate, structura lor internă având un rol deosebit de
important. Energia mecanică a unui sistem disipativ scade în timp deoarece se
transformă în alte forme de energie (energia termică a mişcării dezordonate a
particulelor ce alcătuiesc sistemul). Sistemele disipative sunt studiate cu precădere
în cadrul termodinamicii şi fizicii statistice , în cadrul mecanicii clasice, sistemele
sunt considerate conservative.
Prin aplicarea teoremei Stokes din analiza vectorială, relaţia (2.33) devine ;
0.. S
sdFVrdF (2.34)
unde
zyx
rotor
FFF
zyx
kji
FV
(2.35)
Deci V x F = 0 (2.36)
Relaţia (2.36) ne arată că forţa conservativă F se poate scrie ca derivând dintr-o
funcţie potenţială V (r )
z
Vk
y
Vj
x
VirVF (2.37)
deoarece 0rV (2.38)
oricare ar fi funcţia scalară V(r)
Funcţia V ( r ) reprezintă energia potenţială a punctului material aflat în poziţia r,
deci V( r ) este o funcţie scalară de poziţie, numită şi funcţie de forţă. Forţele
x
z
y
,
r1
r2
17
conservative definesc un câmp scalar de forţe, un câmp nerotaţional, deoarece
0 F . Lucrul mecanic elementar efectuat de o forţă conservativă va fi
dVdzz
Vdy
y
Vdx
x
V
dzkdyjdxiz
Vk
y
Vj
x
VirdrV r.dFdL
Si deci, lucrul mecanic al unei forţe conservative care acţionează între stările 1 şi 2
este
2
1
2
1
21
2
112
r
r
rV
rV
rVrVdVrdFdLL (2.40)
Se poate deci defini energia potenţială în starea 1
2
1
22121
r
r
rVrdFrVLrV (2.41)
în funcţie de valoarea în alt punct arbitrar ales, şi lucrul mecanic cheltuit pentru a
deplasa punctul material între cele două puncte. Deoarece punctul caracterizat prin
vectorul de poziţie r2 este ales în mod arbitrar, înseamnă că energia potenţială a
unui punct material se poate defini până la o constantă arbitrară V( r2 ). Pentru
câmpurile de forţă pentru care lucrul mecanic 2112 rVrVL rămâne finit
când 12 rr , se poate alege zeroul scării energiei potenţiale astfel ca
0lim 22
rVr
(2.42)
şi atunci ( 2.41) devine
1
1
1r
r
rdFVrdFrV (2.43)
Rezultă că, energia potenţială a unui punct material aflat sub acţiunea unei forţe
conservative într-un punct caracterizat prin vectorul de poziţie r1, este egală şi de
semn contrar cu lucrul mecanic necesar pentru a aduce punctul material de la
infinit în punctul respectiv.
Revenind la relaţiile (2.29) şi (2.39) obţinem
dL = d (T) = - dV
adică
dT + dV = 0 de unde
T + V = const. (2.44)
Şi reprezintă energia mecanică totală a punctului material. Relaţia (2.44)
reprezintă teorema conservării energiei mecanice în cazul unui sistem conservativ,
şi apreciază că în orice mişcare finită a unui sistem mecanic conservativ, energia
mecanică se conservă.
18
Capitolul II
1. Viteza medie este:
a) dt
rdv ;
b) t
rv
;
c) tav ;
d) 22
yx vvv .
2. Acceleraţia instantanee este:
a) dt
a
;
b) 2
2
dt
vda ;
c) dt
vda ;
d) dt
rda .
3. Lucrul mecanic efectuat la deplasarea unui corp între două stări diferite de 1r şi
2r este:
a) rdFdW 12 ;
b) 2
1
12
r
r
rdFW ;
c) 2
1
12
r
r
rdFW ;
d) 0 rdF .
4. Teorema variaţiei momentului cinetic se exprimă prin relaţia:
a) Mdt
Ld ;
b) dt
MdL ;
c) 0dt
Ld;
d) rdFL .
5. Legea conservării energiei mecanice pentru punctul material este:
a)
1
1
r
rdFrV ;
b) dVdW ;
c) 0VTd ;
d) rdFdW .
19
3. MECANICA FLUIDELOR
Lichidele şi gazele nu au formă şi nici volum propriu din cauza forţelor
intermoleculare care sunt mai mici decât la solide. Problema fundamentală a
mecanicii fluidelor constă în stabilirea câmpurilor de viteză, presiune şi densitate
ce apar sub acţiunea forţelor exterioare. Mărimea care descrie fluidele în repaus
este presiunea (forţa care acţionează pe unitatea de suprafaţă) :
SFp (3.1)
Compresibilitatea unui mediu este dată de relaţia :
dpdV
V1
(3.2)
şi exprimă scăderea relativă a volumului cu creşterea presiunii.
La lichide scăderea este slabă, ele fiind practic incompresibile.
Compresibilitatea fluidelor stă la baza funcţionării pompei hidraulice, a frânei cu
lichid, a convertoarelor cu presiune.
In interiorul unui lichid în repaus, presiunea măsurată cu ajutorul unui
manometru creşte odată cu pătrunderea manometrului în straturile mai adânci
datorită greutăţii fluidului.
Presiunea într-un punct A situat la adâncimea ho faţă de suprafaţa liberă a
lichidului este dată de presiunea exercitată de coloana de lichid de lungime ho la
care se adaugă presiunea atmosferică p0:
pA = p0 + .g.h0
Aceasta este presiunea hidrostatică.
Presiunea exercitată de o coloană de lichid pe peretele lateral al unui vas se
numeşte presiune laterală. Mărimea forţei care acţionează pe peretele lateral este :
2
1
2
1
h
h
h
hhdSg ghdS F
Dacă notăm momentul static
2
1
h
hGGG ShdS.hM (3.3)
h2 h
S
G
ho
po
A
20
unde hG este adâncimea centrului de greutate al suprafeţei laterale SG faţă de
suprafaţa lichidului, forţa laterală este :
F= g hG SG (3.4)
Această forţă laterală este importantă în cazul barajelor. La piciorul
barajului, forţa fiind mult mai mare decât în partea superioară, barajul trebuie
consolidat în partea inferioară.
In gaze, datorită greutăţii coloanei de gaz, densitatea nu este constantă şi
depinde de presiune conform relaţiei :
0
0
p.p
Calcule simple conduc la legea de variaţie a presiunii unui gaz în câmp
gravitaţional :
00p
gh
0 e.pp
(3.5)
Corpurile introduse în fluide sunt supuse acţiunii simultane a forţei de
greutate şi a forţei arhimedice. In funcţie de raportul celor două forţe corpurile se
pot scufunda sau pot pluti.
Densimetrele sunt dispozitive utilizate pentru determinarea densităţii
lichidelor şi reprezintă aplicaţii ale legii lui Arhimede.
Fluidul ideal este un fluid lipsit de frecări interne, deci lipsit de vâscozitate şi
este incompresibil. Pentru a stabili ecuaţia de mişcare a fluidului perfect, se
consideră un element de volum dV de fluid în care masa dm este distribuită în
mod uniform :
dm = dV (3.6)
Pentru întreg fluidul, t,r iar masa totală conţinută în volumul V
este:
V
dVtrm , (3.7)
Dacă volumul V este mărginit de suprafaţa S şi fluidul părăseşte volumul
V, putem scrie :
V
dVtrdt
d
dt
dm, (3.8)
In limitele de aplicabilitate ale mecanicii clasice, masa se conservă şi
transferul de masă prin suprafaţa S poate fi exprimat cu ajutorul vitezei liniare.
Fie pe suprafaţa S, o suprafaţă elementară dS prin care trece în intervalul dt
o cantitate dtv.S.ddV dm . Prin întreaga suprafaţă S, în acelaşi interval
de timp, va trece o masă :
)(
.VS
Sddt
dm
care este egală cu cea care părăseşte volumul V:
)(
,..VS V
dVtrt
Sdv
21
Integrala de suprafaţă se transformă în integrală de volum cu ajutorul formulei
Gauss-Ostrogrodski :
)(
VS V
dVvSdv (3.9)
şi se obţine :
VV
dVtrt
dVv ),()( (3.10)
sau
0.
t (3.11)
Relaţia reprezintă ecuaţia de continuitate şi exprimă legea de conservare a
masei de fluid. Produsul j reprezintă densitatea de curent masic sau
densitatea de flux de masă. Ecuaţia de continuitate permite determinarea debitului
fluidului în mişcare fără să permită identificarea forţelor care determină această
mişcare.
ELEMENTE DE DINAMICA FLUIDELOR
Ecuaţiile de mişcare ale mediilor continue reprezintă o extindere a ecuaţiilor
fundamentale ale dinamicii newtoniene. Mişcarea fluidelor perfecte se datorează
forţelor care acţionează asupra lor, forţe care pot fi masice sau de tensiune.
Forţele masice sunt forţele care acţionează asupra fiecărui element de volum
dV şi sunt proporţionale cu masele conţinute în elementul de volum, dm = dV .
Forţele masice sunt independente de existenţa altor părţi ale mediului continuu.
Densitatea forţelor masice f este o mărime vectorială numeric egală cu forţa care
acţionează asupra unităţii de masă. Forţa masică Fm care acţionează asupra
întregului fluid cuprins în volumul V este :
D
m dV fF (3.12)
Forţele de tensiune (sau superficiale) sunt forţele care se manifestă între diferitele
părţi ale fluidului şi sunt determinate de interacţiunile cu suprafeţele învecinate
volumului considerat. Aceste forţe sunt proporţionale cu suprafaţa pe care
acţionează şi depind de orientarea suprafeţei. Forţa de tensiune care acţionează pe
unitatea de arie a suprafeţei se numeşte tensiune. Pentru fluidele ideale, tensiunile
normale nu depind de direcţia aleasă, au aceeaşi valoare egală cu presiunea în orice
punct al mediului.
Legea de mişcare a fluidului ideal este exprimată de ecuaţia lui Euler :
p1fa
(3.13)
In regimul de curgere staţionară, în care viteza, presiunea şi densitatea
fluidului nu depind explicit de timp ecuaţia lui Euler, în prezenţa forţelor masice
conservative se transformă astfel :
dt
dz
z
v
t
dy
y
v
dt
dx
x
v
t
v
dt
vdpf ...
1
22
vvt
pf
1
dar V - fcu 2
vviar 02
v
t
v
avem :
02
vsau
2
1 22
V
pvpf
adică :
02
v2
Vp
(3.14)
In câmp gravitaţional V = g.z şi obţinem
0. 2
2
zgpv
(3.15)
care este ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide incompresibile. Ecuaţia lui Bernoulli
exprimă legea conservării energiei mecanice. Ea are o serie de aplicaţii practice.
Astfel, se poate explica funcţionarea becului de gaz Bunsen, funcţionarea
injectorului, apariţia portanţei în zborul avioanelor şi se pot determina viteza şi
debitul fluidelor. Fluidele reale prezintă vâscozitate datorită frecărilor interne
existente între straturile de fluid. Pentru a menţine viteza constantă de deplasare a
unui strat de fluid (pentru a învinge rezistenţa întâmpinată la curgere) asupra
stratului de suprafaţă dS trebuie să se acţioneze cu o forţă dF
dsdr
vdFd (3.16)
unde este coeficientul de vâscozitate dinamică iar dr
vd este gradientul vitezei
pe direcţia normală la stratul de fluid.
Legea de similitudine
Vâscozitatea unui fluid este deosebit de importantă în caracterizarea curgerii
fluidului, modificarea coeficientului de vâscozitate fiind întotdeauna un indiciu al
modificării structurii fluidului. De exemplu, coeficientul de vâscozitate al aliajelor
depinde de mai mulţi factori : compoziţia chimică, temperatura, presiunea,
structura, etc., astfel că o modificare a unuia sau mai mulţi factori, determină
variaţia coeficientului de vâscozitate. Studiind mişcarea fluidelor vâscoase se pot
obţine unele rezultate fundamentale pornind de la consideraţii elementare, privind
de exemplu, mişcarea unui corp de formă dată în interiorul unui fluid. Dacă această
mişcare nu permite o măsurare directă a mărimilor fizice, se utilizează teoria
similitudinii, care constă în efectuarea unor determinări experimentale pe un
model, rezultatele fiind transpuse pe fenomenul real cu condiţia realizării ;
a) – asemănării geometrice între corpul studiat şi model
b) – asemănării cinematice (viteze şi acceleraţii proporţionale)
c) – asemănării dinamice (forţele care acţionează asupra corpului şi asupra
modelului să fie proporţionale)
Condiţiile a), b), c) reprezintă condiţiile de realizare a similitudinii mecanice.
23
Pentru realizarea similitudinii dinamice, se consideră două corpuri
geometrice asemenea, asupra cărora acţionează forţele F1 şi F2 şi F’1 şi F’2. Cele
două corpuri vor fi în echilibru mecanic, dacă asupra lor va acţiona câte o forţă R,
respectiv R’ egale şi de sens contrar cu rezultanta forţelor F1 + F2 , respectiv F’1
+ F’2 . Condiţia de similitudine dinamică este ;
2
2
1
1
FF
FF
In practică, condiţia acestei formule este impusă doar principalelor forţe care
acţionează asupra corpurilor. Pentru fenomenele în care forţele de inerţie Fi şi
cele de rezistenţă Fr au un rol important, condiţia de similitudine dinamică este :
r
r
i
i
FF
FF
Raportul
ReFF
FF
r
i
r
i
(3.17)
se numeşte numărul lui Reynolds. Numărul lui Reynolds poate fi exprimat şi în
funcţie de coeficientul de vâscozitate cinematică , viteza fluidului şi
dimensiunea liniară caracteristică geometriei corpului.
.Re
v (3.18)
Dacă două fluide care curg au aceeaşi valoare Re, curgerea lor este
echivalentă fluidele fiind considerate asemenea. Trecerea de la regimul laminar
(curgere staţionară) la cel turbulent se produce când Re atinge o valoare critică,
(pentru conducte tubulare Recritic = 2300) ce se determină experimental. Pentru
fluidul ideal Re .
CURGEREA LAMINARĂ A FLUIDELOR PRIN CONDUCTE.
Considerăm o conductă orizontală, de secţiune circulară constantă de rază
R prin care curge un fluid real în regim
staţionar. Se orientează axa 0x pe aceeaşi
direcţie cu axa de simetrie a conductei.
Considerăm coaxial cu conducta, un tub de
curent cilindric de rază r şi lungimea .
Curgerea fiind staţionară, ecuaţia de
continuitate este verificată, iar
componentele pe axele 0x şi 0z ale ecuaţiei
Navier – Stokes conduc la :
0zp
yp
adică, presiunea este constantă în planul secţiunii conductei. Componenta pe axa
0x este :
y
z
x 0 R 2r
24
max
dr R
r
dxdp1
zy 2
2
2
2
Gradientul presiunii dx
dp se poate scrie sub forma
p , unde p este diferenţa
de presiune de la extremităţile conductei de lungime . Ecuaţia în coordonate
polare ce descrie curgerea staţionară a fluidului (la echilibru) este:
r2.drdr p 2
de unde
rdrp
dv 2
Această ecuaţie se rezolvă ţinând cont de condiţia la limită = 0 pentru
r = R
22
4rR
pv
(3.19)
deci viteza este distribuită în secţiunea conductei sub forma unui paraboloid de
rotaţie.
Viteza are valoarea maximă pe axul conductei, pentru care r = 0
4
2
max
pRv
(3.20)
Este uşor să găsim expresia debitului volumic mediu dacă
se consideră o porţiune inelară de grosime dr, situată la
distanţa r de axa conductei. In stratul de grosime dr,
viteza fluidului este aproximativ constantă şi elementul de
suprafaţă ds = 2 rdr, este traversat în unitatea de timp, de
un volum de fluid
dQv = v.ds = v.2rdr
Debitul va fi în consecinţă ; (formula lui Poiseuille)
RR
v Rp
vrdrvQ0
4
0 8
2drr 2
(3.21)
Legea lui Poiseuille precizează că debitul volumic la curgerea laminară
printr-o conductă este proporţional cu gradientul de presiune şi cu puterea a patra a
razei conductei. Această lege se foloseşte la determinarea coeficientului de
vâscozitate dinamică a fluidelor reale.
Capitolul III
1. Ecuaţia de continuitate (legea de conservare a masei de fluid) este:
a) 0
v
t
;
b) pfa
1;
25
c) 0
j
t
;
d) ctpzmgv
2
2.
2. Ecuaţia de mişcare a fluidului sub acţiunea unor forţe este:
a) ecuaţia lui Newton;
b) ecuaţia Maxwell;
c) ecuaţia Euler;
d) ecuaţia Laplace.
3. Fluidul real se caracterizează prin:
a) vâscozitate;
b) curgere turbionară;
c) ecuaţia sdt
vdkF ;
d) ecuaţia 0
v
t
.
26
4. OSCILAŢII ELASTICE
Oscilaţiile prezintă o importanţă covârşitoare pentru fizică şi tehnică şi
dintre ele, oscilaţiile sinusoidale au un rol fundamental pentru că orice mişcare
periodică poate fi considerată ca fiind rezultatul suprapunerii unor oscilaţii
sinusoidale.
OSCILAŢII ARMONICE
Un pendul care oscilează într-un plan sau un resort elastic de care este legat
un corp căruia i se imprimă o mişcare rectilinie de către o forţă exterioară, execută
mişcări periodice, oscilatorii. O mişcare oscilatorie se caracterizează prin faptul că
punctul material prezintă abateri periodice faţă de poziţia de echilibru. In timpul
oscilaţiilor, abaterea faţă de poziţia de echilibru generează forţe conservative care
au tendinţa de a readuce punctul în stare de echilibru, mişcarea repetându-se la
intervale egale de timp. Dacă forţele conservative depind liniar de puterea I-a a
abaterilor faţă de poziţia de echilibru oscilaţiile se numesc liniar libere (armonice)
sau cu un singur grad de libertate.
Să considerăm cazul unui corp de masă m legat de un resort de constantă
elastică k.
Ecuaţia de mişcare a corpului în absenţa frecărilor este :
m.a = - k.x (4.1)
sau
0xmk
dtxd2
2
(4.2)
Notăm 0xdt
xd obtinem si mk 2
o2
22o (4.3)
Aceasta este o ecuaţie diferenţială omogenă de ordinul II a cărei soluţie
este de forma :
x = A cos (ot + ) (4.4)
unde A şi se determină din condiţiile iniţiale. Energia cinetică şi energia
potenţială a oscilatorului este :
tsinA2mx
2mT o
22o
22 (4.5)
tcosA2
mkx21U o
222o2 (4.6)
Energia totală a oscilatorului este :
22oAm
21UTW
Valorile medii ale energiei cinetice şi energiei potenţiale se calculează ţinând
seama de faptul că pentru funcţiile periodice, intervalul de mediere se ia egal cu
perioada şi de faptul că putem scrie :
)t(2cos121)t(sin oo
2
m
k
27
şi
t2cos121tcos oo
2
Media pe durata unei perioade a funcţiilor sin şi cos este întotdeauna nulă,
astfel că avem :
21tcos si
21tsin o
2o
2
iar energiile corespunzătoare medii sunt :
4AmU ;
4AmT
22o
22o
COMPUNEREA OSCILAŢIILOR ARMONICE.
Compunerea oscilaţiilor coliniare. Fie două oscilaţii armonice coliniare de
aceeaşi frecvenţă :
122
111
cos
cos
tAX
tAX
Prin compunerea lor rezultă :
x = x1 +x2 = A cos (t + )
care este tot o oscilaţie armonică, pe aceeaşi direcţie şi cu aceeaşi frecvenţă.
Valorile amplitudinii A şi a defazajului sunt :
1221
2
2
2
1 cos2 AAAAA (4.8)
2211
2211
coscos
sinsin
AA
AAtg
(4.9)
Dacă oscilaţiile au frecvenţe diferite, oscilaţia rezultantă nu mai este
armonică şi prezintă o amplitudine variabilă ;
121221
2
2
2
1 cos2 tAAAAA (4.10)
Mişcarea aceasta nu mai este periodică. Dacă însă raportul frecvenţelor2
1
este un număr întreg, mişcarea este periodică dar nu este armonică. In cazul
particular în care amplitudinile celor două oscilaţii sunt egale, se obţine :
22cos
22cos2
coscos
21212121
221121
ttA
tAtAxxx
(4.11)
Luând convenabil originea timpului putem avea 21 şi mişcarea va
fi descrisă de ecuaţia :
2cos
2cos2 2121 tAx (4.12)
Dacă 21 21; oscilaţia rezultantă va fi aproape sinusoidală
cu amplitudinea lent variabilă (cu frecvenţa = 2-1). Acesta este sistemul
28
bătăilor. Frecvenţa de succesiune a maximelor amplitudinii va fi determinată de
condiţia :
12
b12
2 t1 k pentru ; 2
kt
Fenomenul bătăilor este un caz particular al oscilaţiilor sinusoidale
modulate.
In cazul suprapunerii mai multor oscilaţii armonice ce au pulsaţii ce
reprezintă multiplii întregi ai unei pulsaţii fundamentale , se obţine o oscilaţie
rezultantă complexă care în general nu este armonică. In mod reciproc, o oscilaţie
periodică complexă, nearmonică, x(t) poate fi reprezentată ca o suprapunere de
oscilaţii armonice de forma :
1
sin2
)(n
nno tnA
xtx (4.13)
unde
n
nnnn
b
aarctgbaA n
22 ; (4.14)
iar an şi bn reprezintă coeficienţii daţi de formulele Euler – Fourier :
2
2
cos)(2
T
T
n tdtntxT
a (4.15)
n = 0,1,2,3,…n
2
2
sin)(2
T
T
n tdtntxT
b (4.16)
x(t) reprezintă seria Fourier. Dezvoltarea unei oscilaţii complexe sau a unei mişcări
periodice nearmonice în serie Fourier se numeşte analiză-armonică. Termenii
acestei serii având pulsaţiile , 2,….n constituie armonicele de ordinul întâi,
doi, ….n, ale oscilaţiei complexe.
Compunerea oscilaţiilor perpendiculare
Dacă oscilaţiile au aceeaşi frecvenţă avem :
x = A cos (t + 1)
y = B cos (t + 1)
Prin eliminarea timpului din cele două ecuaţii, se obţine ecuaţia unei elipse :
)(sin)cos(2
12
2
122
2
2
2
AB
xy
B
y
A
x (4.17)
In particular, pentru k 12 elipsa degenerează în două drepte
confundate în lungul cărora oscilează punctul material :
xA
By
oscilaţia aceasta este polarizată liniar.
Dacă 1x
, 2
)12(2
2
2
2
12 B
y
Ak
iar oscilaţia este polarizată
eliptic. Pentru A = B, oscilaţia este polarizată circular.
29
Dacă frecvenţele celor două oscilaţii sunt diferite, punctul material descrie
o traiectorie complicată. Dacă raportul frecvenţelor este un număr raţional,
traiectoria este stabilă, reprezentată printr-o curbă închisă iar forma ei depinde de
diferenţa de faze = 2 - 1.
Traiectoriile închise obţinute poartă numele de figuri Lissajous. Dacă
raportul frecvenţelor nu este un număr raţional, punctul material descrie o curbă
deschisă care acoperă treptat o arie.
OSCILAŢII AMORTIZATE
Dacă particula care oscilează interacţionează cu mediul înconjurător, ea
pierde energie în mod continuu prin radiaţie sau prin frecare. Energia de oscilaţie
fiind proporţională cu pătratul amplitudinii, amplitudinea oscilaţiei scade în timp şi
oscilaţiile se sting.
Disiparea energiei oscilatorului nu este un proces pur mecanic dar în multe
cazuri efectul mediului poate fi descris pe baza modelului forţelor de rezistenţă
care sunt proporţionale cu viteza de deplasare, aşa cum se întâmplă în curgerea
laminară.
Pentru stabilirea ecuaţiei oscilaţiilor amortizate, să considerăm un pendul
gravitaţional sau elastic, ce oscilează într-un mediu elastic, forţa de rezistenţă fiind
proporţională cu viteza particulei Fr = - r.v. Conform principiului fundamental al
mecanicii putem scrie :
m . a = - k . x – r. v (4.18)
sau
dt
dxrxk
dt
dm
2
2
de unde obţinem :
02
2
m
xk
dt
dx
m
r
dt
xd (4.18)
Introducem notaţiile : 2m
r şi
m
L
2
0
reprezintă coeficientul de amortizare iar 0 ca şi până acum, reprezintă pulsaţia
proprie de oscilaţie a pendulului elastic.
Soluţia ecuaţiei se caută sub forma : teCx (4.20)
care, introdusă în ecuaţia diferenţială, conduce la ecuaţia caracteristică :
02 2
0
2 (4.21)
cu soluţiile 2
0
2
2,1 (4.22)
Soluţia ecuaţiei diferenţiale va fi deci :
tteCeCtx 21
21
(4.23)
C1 şi C2 fiind două constante arbitrare.
30
Distingem trei cazuri după cum rădăcinile x(t) sunt complex conjugate, reale
distincte sau confundate :
a) dacă 0 (forţe de frecare mari) rădăcinile sunt reale şi putem scrie :
ttt eCeCetx20
220
2
21
(4.24)
adică elongaţia tinde asimptotic către zero iar corpul trece cel mult o singură dată
prin poziţia de echilibru
b) dacă = 0, rădăcinile sunt confundate şi avem
eC2) (C1 x(t) t-
în orice moment t.
Mişcarea este aperiodică critică iar rezistenţa mecanică are valoarea critică
mkrc 2
c) dacă 0 (forţe de frecare slabe) rădăcinile sunt complexe:
titit eCeCetx22
022
0
21
Dacă C1 şi C2 sunt complex conjugate între ele soluţiile sunt reale, de forma :
teAtx t cos0
Cu 2
0
0
20
11
x
vA
0
01
x
vtg
obţinute din condiţiile iniţiale impuse oscilaţiilor.
De asemenea 2
0 reprezintă frecvenţa oscilaţiilor libere amortizate şi
este mai mică decât frecvenţa oscilaţiilor proprii în absenţa amortizării.
Oscilaţiile amortizate sunt de tip
sinusoidal, cu amplitudinea descrescător
exponenţial. teAA
0 (4.25)
viteza de scădere a amplitudinii este
determinată de factorul de amortizare .
Raportul amplitudinilor succesive
este TeTtA
tA
)(
)( iar logaritmul natural al
acestui raport defineşte logaritmic D.
22
0
2
)(
)(ln
T
TtA
tAD
Decrementul logaritmic este o mărime adimensională cu ajutorul căreia se
pot compara oscilaţiile amortizate de natură diferită (mecanice, electrice, acustice,
etc.).
t
x
31
Timpul de relaxare
1
reprezintă timpul în care amplitudinea oscilaţiei
scade de e ori.
O ecuaţie diferenţială de tipul ecuaţiei mişcării amortizate este verificată în
cazul oscilaţiilor electromagnetice ale unui circuit oscilant RLC:
dt
dILUIR rcondensato
care, cu dt
dQI şi
C
QU rcondensato devine:
01
2
2
LCdt
dQ
R
L
dt
Qd
Descărcarea condensatorului într-un circuit oscilant se face amortizat
datorită disipării energiei în rezistor prin efect Joule.
OSCILAŢII FORŢATE (ÎNTREŢINUTE)
Considerăm un punct material de masă cu care oscilează într-un mediu
vâscos caracterizat prin rezistenţa mecanică r. Pentru a menţine oscilaţiile, asupra
punctului material acţionează o forţă periodică.
tFF 11 cos (4.25)
Experienţa evidenţiază că după trecerea unui regim tranzitoriu, se stabileşte
regimul permanent în care punctul material efectuează oscilaţii întreţinute de
amplitudine constantă cu frecvenţa forţei periodice. Ecuaţia mişcării este
tFdt
dxrxk
dt
xdm 112
2
cos (4.26)
care se scrie
tm
Fx
m
k
dt
dx
m
r
dt
xd1
1
2
2
cos
sau, cu notaţiile utilizate pentru oscilaţiile amortizate:
tm
Fx
dt
dx
dt
xd1
12
02
2
cos2
Ecuaţia diferenţială este neomogenă şi va avea o soluţie compusă din doi
termeni: un termen ce corespunde ecuaţiei omogene, identic cu soluţia mişcării
oscilatorii amortizate şi un termen ce reprezintă soluţia particulară.
Soluţia particulară se stabileşte cu uşurinţă dacă forţa exterioară periodică se
scrie sub formă exponenţială: ti
eFtF 1
111 cos
(4.27)
Avem astfel:
tie
m
Fx
dt
dx
dt
xd 112
02
2
2 (4.28)
Soluţia particulară se caută sub forma: ti
eCx
1 (4.29)
care introdusă în ecuaţia diferenţială, conduce la expresia
m
FiC 12
01
2
1 2
32
astfel că rezultă,
1
2
1
2
0
1
2im
FC
(4.30)
Deci, soluţia particulară este
1
2
1
2
0
1
2
1
im
eFtx
ti
(4.31)
Soluţia completă a ecuaţiei este atunci:
1
2
1
2
0
10
2cos
1
im
eFteAtx
tit
(4.32)
şi reprezintă o suprapunere a oscilaţiilor amortizate proprii şi a oscilaţiilor forţate.
După stingerea oscilaţiilor amortizate, sistemul oscilează în regim permanent
cu o frecvenţă egală cu frecvenţa forţei excitatoare exterioare. Forţele de ferecare
vor influenţa doar valoarea amplitudinii oscilaţiilor.
Dacă se introduce impedanţa mecanică Z, definită ca fiind raportul dintre
forţa periodică exterioară şi viteza punctului material în regim permanent:
1
11
1
k
mir
dt
xd
eFZ
ti
soluţia particulară se mai poate scrie:
2
1
1
2
1
11 sin)(
kmr
tFtx
Defazajul , dintre oscilaţia forţată şi forţa periodică exterioară se determină
din scrierea impedanţei mecanice sub formă exponenţială: ieZZ
cu
r
km
arctg 1
1
Amplitudinea oscilaţiilor forţate 2
1
1
2
1
1
k
mr
F depinde de pulsaţia forţei
exterioare.
Valoarea 1 pentru care amplitudinea de oscilaţie devine maximă se
numeşte pulsaţie de rezonanţă şi se determină din condiţia
01
d
dA (4.33)
Rezultă 2
22
012m
rr iar amplitudinea maximă are valoarea
2
22
0
1max
4m
rr
FA
(4.34)
33
Efectul amortizării este vizibil numai în vecinătatea zonei de rezonanţă,
celelalte porţiuni ale curbelor de rezonanţă fiind aproximativ echivalente.
Amplitudinea oscilaţiei este cu atât mai mică cu cât amortizarea este mai
mare.
Puterea instantanee cedată de forţa exterioară sistemului oscilant este:
2
1
2
111111
coscoscos
m
kmr
tFtF
dt
dxtFP
(4.35)
Puterea medie, calculată pe o perioadă va fi:
cos2
0
1
z
FP (4.36)
Această putere este disipată sub formă de căldură datorită frecărilor prezente
în sistem.
Dacă se reprezintă grafic P = P() se obţine curba din figură:
Se numeşte lărgimea curbei de rezonanţă, intervalul de frecvenţe
= 2 - 1 pentru care puterea disipată
reprezintă jumătate din puterea maximă. Din
ecuaţia 02
1 PP rezultă:
22
01
22
02
şi deci 2
Pentru caracterizarea sistemelor care execută oscilaţii întreţinute, se
utilizează mărimea numită factor de calitate Q ce reprezintă raportul dintre pulsaţia
şi lărgimea liniei de rezonanţă:
2
0
12
0
Q (4.37)
La rezonanţă, r
mQ r 1 şi deci cu cât rezistenţa mecanică a mediului
este mai mică, cu atât factorul de calitate al sistemului este mai mare şi sistemul
devine mai selectiv. Acest fapt are o deosebită importanţă la construirea
rezonatorilor acustici, a vibratoarelor pentru generarea ultrasunetelor, a
membranelor difuzoarelor, etc.
Pmax
1/2Pmax
P
1 2
34
Capitolul IV
1. Ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor armonice liniare este:
a) 02
02
2
qdt
qd ;
b) tqq cos0 ;
c) 2
02
2
dt
d;
d) 02
02
2
qdt
qd .
2. Oscilaţiile amortizate:
a) îşi micşorează energia exponenţial în funcţie de timp;
b) se caracterizează prin ecuaţia teCCtq )()( 21 ;
c) au pulsaţia egală cu 0 pulsaţia proprie sistemului;
d) au pulsaţia 0 .
3. Ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor întreţinute (forţate) este:
a) tieFtF 1
111 cos ;
b) tie
m
F
dt
dqq
dt
qd112
02
2
2 ;
c) tiCeq 1 ;
d) dt
dqq
dt
qd 22
02
2
.
35
5.UNDE ELASTICE
Oscilaţiile produse într-un mediu elastic se propagă din aproape în aproape sub
formă de unde. Particulele mediului elastic care intră în oscilaţie nu sunt
transportate de undă şi execută oscilaţii în jurul poziţiei de echilibru. Undele
mecanice transportă energia fără ca mediul elastic să se deplaseze în ansamblu.
Distanţa parcursă de undă în timpul unei perioade se numeşte lungime de
undă ( ). Undele se propagă cu viteză constantă şi se poate scrie ;
= v . T (5.1)
Rezultă că undele se propagă din aproape în aproape datorită interacţiunilor
existente între particulele care alcătuiesc mediul elastic, propagarea fiind
caracterizată printr-o viteză determinată.
Dacă mişcarea de oscilaţie a particulelor mediului elastic se face pe direcţia
de propagare a undei, unda se numeşte longitudinală.
Dacă mişcarea de oscilaţie a particulelor mediului elastic se face pe o
direcţie perpendiculară faţă de direcţia de propagare a undei, unda se numeşte
transversală. Undele longitudinale determină modificări periodice ale densităţii
mediului pe direcţia pe care se propagă şi se propagă în toate stările de agregare ale
materiei. Undele transversale determină deformarea mediului şi se propagă numai
în solide şi la suprafaţa lichidelor.
Viteza de propagare a oscilaţiilor se numeşte viteza de fază a undei. Intr-un
mediu izotrop avem ;
V = .
Viteza de propagare a undelor depinde de tipul şi de proprietăţile mediului
elastic.
Astfel, viteza de propagare a undelor longitudinale în solide este ;
Ev (5.2)
unde E este modulul de elasticitate al mediului şi este densitatea mediului.
Undele transversale, se propagă în solide cu o viteză ;
Tvt (5.3)
unde T este forţa de tensiune dezvoltată în mediu şi este masa unităţii de
lungime.
In lichide, undele se propagă cu viteza :
1v (5.4)
unde reprezintă coeficientul de compresibilitate al lichidului şi este
densitatea lichidului.
In gaze, viteza undelor longitudinale depinde de modul de propagare al
undelor : prin procese izoterme sau prin procese adiabatice iar vitezele sunt :
p v ; ad
pviz
36
Undele de frecvenţă joasă se propagă izoterm. In gaze şi lichide nu se propagă
unde transversale.
Variaţiile periodice ale densităţii mediului elastic în care se propagă undele
longitudinale sunt exprimate de ecuaţia diferenţială de propagare a undei :
01
2
2
2
tv
(5.5)
Variaţiile densităţii sunt însoţite de variaţiile de presiune, descrise de ecuaţia
diferenţială :
01
2
2
2
t
p
vp (5.6)
unde p reprezintă presiunea suplimentară care se manifestă în mediul elastic în
momentul propagării undei. Ecuaţiile undelor de presiune şi a undelor de densitate
sunt echivalente, astfel că propagarea micilor perturbaţii este descrisă de ecuaţia :
01
2
2
2
tv (5.7)
unde mărimea tr , are semnificaţia mărimilor care variază în timpul propagării
undei. Soluţia ecuaţiei diferenţiale este de forma :
c
rt
c
rttr 21, (5.8)
c
rt1 reprezintă unda progresivă, care se propagă pe direcţia dinspre sursă spre
exterior, iar
c
rt2 este unda regresivă, care se propagă spre sursa de perturbaţie.
Dacă tr , nu depinde decât de o singură coordonată spaţială, de exemplu
coordonatele x, şi de timp, unda se numeşte plană şi are forma generală :
c
xtAtx cos, (5.9)
Aceasta se mai poate scrie :
kxtAx
T
tAtx
cos2cos, (5.10)
unde
2k se numeşte vectorul de undă.
Energia undelor este alcătuită din energie cinetică şi energie potenţială :
dVpv
dmdUdTdW m.2
.2
cu dm = dV şi ţinând seama de variaţiile de volum şi de presiune datorate
propagării undei, se obţine :
dVkxtv
pdW
o
.cos2
2
2
max
unde p’max reprezintă valoarea maximă a presiunii suplimentare existente în
mediul elastic în momentul propagării undelor, o este densitatea mediului iar v
este viteza de propagare a undelor.
37
Intensitatea undelor este energia medie care traversează unitatea de suprafaţă
în unitatea de timp şi are valoarea :
c
pI
o
mx
2
2
(5.11)
Proprietăţile undelor
1. Absorbţia undelor. Dacă mediul în care se propagă undele este vâscos, o parte
din energia undelor se transmite mediului sub formă de energie termică.
Atenuarea intensităţii undelor (legea de absorbţie) este exponenţială :
I = Io e - x
(5.12)
Unde x este grosimea stratului parcurs de undă, Io este coeficientul de absorbţie
şi I este intensitatea undei incidente.
2.Reflexia şi refracţia undelor. Studiul propagării undelor elementare arată
că în momentul în care unda întâlneşte o suprafaţă de separaţie, o parte din ele se
reflectă întorcându-se în mediul din care provin şi o parte traversează suprafaţa de
separare şi pătrund în al doilea mediu (se refractă). Fenomenul de reflexie cât şi
cel de refracţie se produce fără modificarea frecvenţei lor.
Legile reflexiei sunt :
a) raza incidentă, normala în punctul de incidenţă şi raza reflectată sunt
coplanare
b) unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie.
reflexia pe medii mai dense se face cu o pierdere de ,2
unda reflectată fiind în
opoziţie de fază faţă de unda incidentă.
Legile refracţiei sunt :
a) unda incidentă, unda refractată şi normala în punctul de incidenţă sunt
coplanare.
b) raportul dintre sinusurile unghiurilor de incidenţă şi de refracţie, este egal
cu raportul vitezelor de propagare a undelor în cele două medii:
2
1
sin
sin
v
v
r
i (5.13)
3. Interferenţa undelor. In anumite condiţii, undele care se suprapun (se propagă
simultan) într-un mediu elastic, se compun şi dau naştere fenomenului de
interferenţă.
Două unde de aceeaşi natură, care au aceeaşi direcţie şi sunt de aceeaşi direcţie şi
sunt de aceeaşi frecvenţă, au în fiecare punct diferenţe de fază constante. Undele
care îndeplinesc aceste condiţii se numesc coerente :
38
222
111
sin,
sin,
kxtAtx
kxtAtx
Diferenţa de fază dintre cele două unde este : 1212 xxk
şi este constantă în timp
Dacă A1 = A2 = A, prin compunerea celor două unde se obţine :
22
x1
xkωtsin
21
x2
xk2Acos
t1
x2
ψtx,1
ψtx,ψ
Amplitudinea undei rezultante în punctul P în care se suprapun undele 1 şi 2
este :
xA
xkAAP
cos2
2cos2 (5.14)
Amplitudinea undei rezultante variază periodic cu x prezentând maxime şi
minime:
- maxime pentru
ux ;
n
x (5.15)
- minime pentru 2
12ux ;2
12
k
x (5.16)
Câmpul de unde prezintă un aspect tipic caracterizat prin maxime şi minime de
amplitudine.
Distanţa dintre cele două maxime succesive este egală cu distanţa dintre
două minime succesive :
21
uu xx (5.17)
iar distanţa dintre un maxim şi un minim este :
4
uu xx (5.18)
4. Dispersia undelor. Undele armonice plane sunt unde monocromatice. In general
undele reale nu sunt monocromatice şi prezintă un spectru de frecvenţă mai larg
sau mai îngust.
Mediile dispersive sunt mediile continue în care viteza de propagare a
undelor depind de frecvenţa lor. Propagarea grupului de unde ce formează spectrul
de frecvenţe prezintă o comportare particulară numită dispersie, ce constă în faptul
că undele cu lungimi de undă apropiată se suprapun şi se influenţează reciproc.
Amplitudinea grupului de unde va avea forma
kxtk
AA
o
G
cos2 (5.19)
39
în care o corespunde pulsaţiei medii a grupului de unde. Amplitudinea variază în
spaţiu şi în timp şi în aceste condiţii, forma pachetului de unde se modifică în
timpul propagării şi semnalul purtat de pachetul de unde se deformează.
Poluare sonoră
Studiile pun în evidenţă atât efectul benefic al sunetelor cât şi cel dăunător.
Efectul dăunător este inclus în termenul de poluare sonoră. Printre cele mai
poluante surse sonore sunt mijloacele de transport, unele instalaţii şşi procedee
industriale, etc.
Vehiculele de transport cu motoare cu ardere internă sunt prevăzute cu tobe
de atenuare a zgomotelor.
Sunetele de mare intensitate provoacă o senzaţie neplăcută pentru om şşi
produc epuizare nervoase, scăderea capacităţii de muncă, boli specifice sau chiar
pot determina pierderea completă a auzului.
Traductoare acustice
Determinarea intensităţii sunetelor se reduce adesea la determinarea
presiunii acustice. Intervalul de variaţie al presiunii acoperă un interval ce cuprinde
şapte ordine de mărime. Un traductor acustic este un dispozitiv ce permite
transformarea unei mărimi mecanice într-o mărime de altă natură, electrică de
exemplu.
Receptorul sonor este microfonul, care transformă presiunea sonoră în
tensiune electrică. Transformarea în sens invers se realizează cu ajutorul
difuzorului.
Traductoarele electroacustice diferă prin sensibilitatea lor, prin domeniu de
frecvenţe, prin impedanţa lor acustică.
In mod frecvent se utilizează următoarele tipuri de traductoare
electroacustice :
a) traductoare electrostatice alcătuite dintr-un condensator ce are una dintre
armături o membrană elastică ale cărei vibraţii modifică capacitatea electrică şi
deci tensiunea la borne,
b) traductoare electrodinamice alcătuite dintr-un magnet între polii căruia se
află o bobină legată de o membrană elastică. Undele sonore pun în vibraţie
membrana elastică ce deplasează bobina dând naştere unei tesiuni induse ce
depinde de viteza de deplasare.
c) traductoare piezorezistive alcătuite dintr-o rezistenţă sub formă de pulbere
de cărbune prinsă într-o incintă care are un perete o membrană elalstică. Sub
acţiunea presiunii sonore se modifică rezistenţa electrică a stratului de cărbune.
Acustica tehnică
Sunetele sunt absorbite la trecerea prin diferite medii. In spaţii închise
sunetul este absorbit şi datorită reflexiilor pe pereţii încăperilor. Atenuarea
intensităţii sunetului la trecerea printr-un strat de grosime x al unui mediu este de
forma :
x
oeII
40
unde Io este intensitatea sunetului la incidenţa cu mediul iar x este distanţa
parcursă de sunete. Coeficientul este coeficientul de absorbţie al sunetului care
depinde de frecvenţa şi viteza sunetului şi de calităţile mediului (densitatea,
vâscozitatea, conductibilitatea termică, etc.).
Pentru spaţiile închise, cunoaşterea coeficientului de absorbţie este deosebit
de importantă. Ţinând seama de energia absorbită de pereţii încăperii, intensitatea
sunetului scade în timp conform relaţiei :
t
o eII 4V
Sv
1
(5.20)
a cărei reprezentare grafică scoate în evidenţă faptul că la începutul emisiei
sunetului, intensitatea creşte cu atât mai rapid cu
cât absorbţia suprafeţelor este mai mică. După
încetarea emisiei sunetului (la momentul t1) sunetul
se stinge exponenţial.
O sală bună din punct de vedere acustic pune
probleme legate de destinaţia sa.
Dacă distanţa de la sursă la peretele reflector
este mai mică de 17 m, sunetul reflectat se
suprapune peste sunetul emis, prelungind durata acetuia. Acest fenomen se
numeşte reverberaţie.
Intervalul de timp după care intensitatea sunetului scade de la 106 ori faţă de
valoarea iniţială se numeşte timp de reverberaţie. Timpul de reverberaţie depinde
de volumul încăperii şi de atenuarea pe suprafaţa pereţilor conform relaţiei:
S
Vtr
16,0 (5.21)
ce exprimă legea lui Sabine. O sală cu acustică bună are timpul de reverberaţie de
1 – 2 s. El poate fi modificat prin montarea unor panouri sau perdele absorbante.
Aplicaţii ale ultrasunetelor
Ultrasunetele sunt unde elastice cu frecvenţa cuprinsă între 2.106 Hz şi
109Hz. Peste 10
9 Hz se află domeniul hipersunetelor. Ultrasunetele pot fi produse
cu dispozitive mecanice şi electromecanice.
Undele ultrasonore de mare amplitudine ce se propagă în lichide pot produce
apariţia unor discontinuităţi interne în masa lichidului. In timpul propagării
ultrasunetelor lichidul este supus unor comprimări şi decomprimări periodice care
pot determina ruperea stratului de lichid urmată de formarea unor cavităţi în care se
vor afla gazele dizolvate şi vapori al lichidului. In timpul comprimării bulelor, se
dezvoltă presiuni ce pot atinge valori de peste 103 atm. Prin spargerea bulelor, în
interiorul lichidului se dezvoltă energii mari. Fenomenul de cavitate poate provoca
efecte distrugătoare asupra materialelor solide aflate în imediata apropiere a
bulelor.
Astfel, pot să apară eroziuni prin cavitaţie ale paletelor turbinelor hidraulice
sau ale navelor.
Ultrasunetele au aplicaţii active care se bazează în special pe fenomenul de
cavitaţie :
0
Io
t1 t
41
- prelucrarea materialelor solide
- curăţarea suprafeţelor metalice
- producerea şi distrugerea sistemelor disperse
- influenţarea unor reacţii chimice
- în medicină la tratarea unor boli (astenie, reumatism, emfizem, etc.)
Aplicaţiile pasive permit obţinerea unor informaţii despre proprietăţile şi
dimensiunile corpului studiat. Astfel, defectoscopia ultrasonoră permite
identificarea neomogenităţii aflate în interiorul corpurilor opace.
Microscopul ultrasonor permite localizarea şi vizualizarea unor obiecte
aflate într-un lichid netransparent.
Una dintre cele mai comune şi totodată vechi aplicaţii ale ultrasunetelor
este sondajul submarin care constă în localizarea obiectelor scufundate. Dacă
corpul scufundat se află în mişcare, efectul Doppler permite stabilirea vitezei de
deplasare a corpului scufundat.
Capitolul V
1. Undele longitudinale sunt undele:
a) care se propagă în medii omogene;
b) pentru care oscilaţiile se produc pe direcţia de propagare;
c) care au frontul de undă de formă sferică;
d) a căror viteză depinde de masa unităţii de lungime.
2. Ecuaţia diferenţială a undelor este:
a) 01
2
2
2
tc;
b) 02
02
2
td
d;
c) 01
2
2
2
tc;
d) rEtie
0 .
3. Viteza de fază
a) se măsoară experimental;
b) se calculează;
c) se exprimă din 0
0
kv f
;
d) toate răspunsurile sunt greşite.
4. Legea de absorbţie a intensităţii undelor este:
a) xeII 0 ;
b) c
pI
0
2
max
2 ;
42
c) kdIeI 0 ;
d) xeII
0 .
5. Ultrasunetele
a) sunt unde elastice cu kHz20 ;
b) sunt unde plane cu Hz160 ;
c) sunt percepute de urechea omenească;
d) sunt puternic absorbite în lichide.
6. Principiul lui Huygens:
a) explică formarea undei regresive;
b) explică absorbţia undelor;
c) afirmă că fiecare punct al frontului de undă reprezintă o undă secundară cu
aceleaşi caracteristici;
d) permite determinarea vitezei de propagare a undelor.
7. Timpul de reverberaţie optim pentru o sală de spectacole este:
a) str 5,0 ;
b) str 2 ;
c) sts r 25,0 ;
d) 1rt .
43
6. OPTICĂ
Optica studiază proprietăţile şi fenomenele produse de radiaţiile luminoase.
Optica geometrică studiază fenomenele luminoase cu ajutorul noţiunii de
rază de lumină. Raza de lumină reprezintă linia în lungul căreia se propagă lumina.
Mai multe raze de lumină care se propagă pe o direcţie comună formează un
fascicol de lumină.
Legile fundamentale ale opticii generale sunt:
1. Legea propagării rectilinii a luminii: într-un mediu omogen şi izotrop,
lumina se propagă în linie dreaptă. Propagarea rectilinie a luminii nu poate fi
stabilită printr-un experiment direct ci doar prin efectul de umbră şi penumbră pe
care le produce. Dacă mediul este neomogen, propagarea luminii nu mai este
rectilinie şi astfel se explică mirajele sau faptul că deşi soarele a apus el continuă să
fie văzut deasupra liniei orizontului încă un timp.
2. Legea independenţei razelor de lumină: razele de lumină ce provin de la
surse diferite şi care se propagă în acelaşi domeniu spaţial nu se influenţează între
ele şi continuă drumul ca şi cum ar fi singurele care se propagă în spaţiul respectiv.
3. Legea reversibilităţii razelor de lumină: o rază de lumină ce se propagă
într-un sens, se propagă în sens opus pe acelaşi drum .
4. Principiul lui Fermat: la trecerea luminii printr-o succesiune de medii cu
indicii de refracţie diferiţi, lumina se propagă pe drumul optim pentru care timpul
de propagare este minim. Drumul optic se defineşte ca fiind produsul dintre
indicele de refracţie absolut al mediului n şi drumul geometric s parcurs de raza de
lumină:
ii
i sn (6.1)
Pentru medii ce reprezintă variaţii continue ale indicelui de refracţie
2
1dsn (6.2)
Indicele de refracţie al unui mediu este diferit de raportul
vcn (6.3)
dintre viteza de propagare a luminii în vid şi viteza de propagare a luminii în
mediul respectiv.
Conform principiului lui Fernat rezultă: 0q i
sau 0dsn
2
1 , unde qi
reprezintă coordonata generalizată. Acest principiu permite stabilirea legilor
reflexiei şi refracţiei luminii.
Reflexia luminii. Când raza de lumină întâlneşte o suprafaţă, o parte din ea se
reflectă, întorcându-se în mediul din care s-a propagat şi o altă parte se refractă,
pătrunzând în al doilea mediu. Legile reflexiei luminii sunt identice ca cele pentru
undele elastice:
ii - normală în punctele de incidenţă, raza incidentă şi raza reflectată sunt
coplanare.
44
O oglindă plană dă o imagine a unui punct luminos M ca în figură:
Razele reflectate 1 şi 2 se întâlnesc
în punctul
M care reprezintă imaginea
virtuală a obiectului.
Două oglinzi plane care fac un
unghi diedru între ele reflectă
amândouă raza de lumină, care
după reflexie va face un unghi 2 cu raza incidentă. Un dispozitiv de mare precizie
care permite reflectarea razei pe direcţia paralelă cu raza incidentă este format din
trei oglinzi care fac unghi de 900 între ele. Această oglindă triplă este folosită
pentru măsurarea distanţelor şi ca oglindă retrovizoare la autovehicule. Dacă
suprafaţa oglinzii nu este plană, imaginea este afectată de absorbţia de sfericitate şi
astigmatism care produc o distorsionare a imaginii în special a fasciculelor largi.
Pentru fascicule înguste, razele reflectate converg într-un focar, iar imaginea se
formează la distanţa x2 ce se poate calcula cu ajutorul formulei oglinzilor sferice:
R2
f1
x1
x1
12
(6.4)
unde x1 reprezintă distanţa de la obiect la oglindă, iar R este raza de curbură a
oglinzii.
Refracţia luminii. La pătrunderea razei de lumină prin suprafaţa de separaţie dintre
două medii, ecuaţia îşi schimbă direcţia de propagare. Dacă mediul este mai dens
optic, raza refractată se apropie de normală iar dacă mediul pătrunde într-un mediu
mai puţin dens optic, raza refractată se îndepărtează de normală.
Teoria ondulatorie a luminii stabileşte legile refracţiei:
rsinnisinn 21 (6.5)
- raza incidentă, raza refractată şi normală în punctul de incidenţă sunt
coplanare.
La trecerea dintr-un mediu cu indicele refracţie mai mare într-un mediu cu
indicele de refracţie mai mic, raza refractară se poate îndepărta atât de mult de
normala încât să atingă valoarea 2
. În această situaţie, raza refractată nu mai
pătrunde nici pentru unghiuri de incidenţă mai mare decât cel care corespunde
unghiului de refracţie 2
.
Fenomenul se numeşte reflexie totală iar unghiul minim de incidenţă pentru
care apare reflexia totală se numeşte unghi limită.
O aplicaţie a fenomenului de reflexie totală o constituie transmiterea
informaţiilor prin fibre optice.
2
M
M
1
45
R
n1 n2
C
x
O V
y
Tehnic se pot realiza fibre optice cu indice de refracţie variabil în salturi sau
variabil continuu.
Un exemplu de mediu cu indice de refracţie variabil continuu este atmosfera
în care gradienţii de densitate produc
mirajele cunoscute ca „fata morgana”
sau „petele” de apă de pe şosea pe
vreme bună. „Petele” de apă de pe
şosea reprezintă imaginea cerului
albastru văzută prin straturi multiple
de indice de refracţie variabil.
Cantitatea de informaţii transmise prin
fibrele optice cu indicele de refracţie
variabil continuu, este mai mare decât
în cazul fibrelor optice cu indicele de
refracţie variabil în salturi.
REFRACŢIA PE SUPRAFEŢE SFERICE. DIOPTRII
Două medii separate printr-o suprafaţă alcătuiesc un dioptru. Dioptrul poate
fi un plan sau sferic.
Elementele unui dioptru sunt vârful V, centrul C, raza R, axa principală OX.
S-a adoptat o convenţie de semne conform căreia axa OX, este pozitivă în sensul
indicat pe figură, raza R este pozitivă, dacă centrul C este la dreapta vârfului V
(raza se măsoară de pe cerc la centru).
Ecuaţia dioptrului (sau ecuaţia punctelor conjugate) este:
Rnn
xn
xn 12
2
1
2
2 (6.6)
unde x1 este distanţa de la obiect la vârful dioptrului (negativ) iar x2 este distanţa de
la vârful dioptrului la imagine.
Doi dioptrii formează o lentilă pentru care este valabilă relaţia:
2112 R1
R11n
x1
x1
(6.7)
unde indicele de refracţie n al mediului din care este alcătuită lentila iar R1 şi R2
sunt razele de curbă ale celor dai dioptrii.
Lentilele pot fi asociate, convergenţa (1/f) ansamblului fiind dată de suma
algebrică a convergenţelor lentilelor care formează sistemul.
Convergenţa f1C se măsoară în dioptrii.
O dioptrie este convergenţa unei lentile cu distanţa focală de 1 m.
Formula lentilelor poate fi adusă sub forma:
f1
x1
x1
12
(6.8)
46
unde
21 R1
R11n
1f (6.8)
Un caz special de sistem format din două lentile subţiri este sistemul afocal
în care focarul obiectiv al celei de a doua lentile. Sistemul afocal este telescopic.
INTERFERENŢA LUMINII
Interferenţa luminii poate fi înţeleasă numai cu ajutorul teoriei ondulatorii
formulată de către Huygens şi completată de Fresnel. Conform teoriei lui Huygens,
fiecare punct al unui front de undă este la rândul său o sursă de oscilaţie de aceeaşi
frecvenţă ca şi cea a sursei perturbatoare. La întâlnirea a două sau mai multe unde
ele pot interfera constructiv dând un maxim de interferenţă, dacă diferenţa de drum
dintre unde este dată de = m, şi în mod distructiv dacă 2
12
m ,
unde m este un număr întreg. In cazul undelor luminoase, condiţia este impusă
drumului optic.
Două unde sunt coerente dacă diferenţa de fază
x
2 rămâne
constantă în timpul observării fenomenului.
Se ştie că radiaţia luminoasă este generată de dezexcitările produse la nivel
atomic şi deci două surse diferite nu pot fi coerente fiind practic imposibil ca între
fazele undelor provenind de la ele să excite o relaţie. Pentru a produce interferenţa,
cele două unde trebuie să provină de lla aceeaşi sursă. Aceasta se realizează simplu
utilizând fenomenul de reflexie sau prin descompunerea fasciculului provenit de la
o sursă în două fascicule coerente cu ajutorul unui paravan în care se practică două
orificii.
Interferenţa se poate produce utilizând fascicule divergente sau fascicule
paralele.
Interferenţa în lumină divergentă.
Acest tip de interferenţă se realizează când se foloseşte descompunerea fasciculului
primar în două fascicule cu ajutorul paravanului. Cel mai simplu dispozitiv pentru
realizarea
interferenţei în lumină divergentă este
dispozitivul Young, S reprezintă sursa
primară iar 01 şi 02 reprezintă orificiile
practicate în paravanul P ce constituie
sursele secundare.
Zona de interferenţă corespunde zonei
haşurate.
In punctele de suprapunere a
fronturilor de undă este îndeplinită
P 01
02
a
M
XM
E
x1
x2
S
47
condiţia de interferenţă constructivă = m dacă :
. . . . 2, 1, 0, m cu 22
12
mxxn
x1 şi x2 fiind distanţele parcurse de cele două unde. Intensitatea undei rezultante în
punctul M este :
2121122121 22
cos2 IIIIxxnIIIII
(6.10)
iar pe ecranul E se observă o franjă de luminoasă.
Distanţa dintre maximele de interferenţă necesare (interfranja) depinde de
lungimea de undă a luminii. În lumină albă, condiţia de interferenţă constructivă
este îndeplinită pentru toate lungimile de undă pentru m = 0, ordinele mai înalte,
prezentând maximele colorate.
În lumină monocromatică maximul de ordinul m se formează la distanţa xM
faţă de axa optică şi putem scrie :
a
mD
aD
xtg M
. xsau M
Distanţa dintre două maxime succesive va fi atunci interfranja :
a
D i (6.11)
unde D reprezintă distanţa dintre paravanul P şi ecranul E iar a reprezintă
distanţa dintre cele două orificii.
Există şi alte dispozitive interferenţiale care funcţionează pe acelaşi
principiu (oglinzile Fresnel, biprisma Fresnel, oglinda Loyd, etc.). Toate
dispozitivele de interferenţă în lumină divergentă permit obţinerea interferenţei în
orice punct al spaţiului în care se suprapun undele şi franjele de interferenţă se
numesc nelocalizate.
Franjele de interferenţă localizate se obţin în lumină paralelă.
Interferenţa în lumină paralelă O rază de lumină ce cade pe suprafaţa
superioară a unei lame transparente cu
feţele plan paralele de indice de refracţie n,
se va reflecta şi se va refracta ca în figură.
Razele şi interferă în punctul M unde sunt
focalizate de lentila L1. In punctul M
se observă un maxim de interferenţă dacă
diferenţa de drum optic dintre razele şi
îndeplineşte condiţia :
mirtgdr
ndAPBCABn sin 2
cos2
2
După transformări simple se obţine condiţia de maxim de interferenţă sub forma :
2
1sin2
22mind (6.12)
1
d
B
C
L P
n
1
2
2 1
48
Se observă că diferenţa de drum optic depinde numai de unghiul de incidenţă.
Toate razele care cad pe lamă sub acelaşi unghi de incidenţă vor da în lumină
monocromatică franje de egală înclinare. Franjele sunt localizate la infinit şi pentru
a le vizualiza se utilizează lentila convergentă L1. Figura de interferenţă are
aspectul unor cercuri concentrice luminoase şi întunecoase numite inelele lui
Heidinger. Un alt caz al interferenţei în lumină paralelă îl reprezintă pana optică
pentru care grosimea nu este constantă. Cu aceasta se obţin franje de interferenţă
de egală grosime. Franjele de interferenţă sunt localizate pe suprafaţa penei.
Aplicaţii ale interferenţei. Interferenţa are mai multe aplicaţii în controlul
calităţii suprafeţelor, determinarea grosimilor structurilor şi peliculelor, măsurători
de mare precizie ale indicilor de refracţie, ale unghiurilor, ale lungimulor de undă,
etc.
Pentru controlul calităţii suprafeţelor se utilizează o pană de aer de unghi
mic faţă de piesa studiată. Dacă suprafaţa piesei este plană, pana de aer produce
franje de egală grosime, paralele cu muchia penei. În zonele în care suprafaţa
prezintă rugozităţi, franjele de interferenţă vor fi curbate. Abaterea de la planeitate
poate fi apreciată cantitativ.
Grosimea unui strat subţire transparent se poate stabili rapid realizând
interferenţa în lumină albă reflectată în care franjele apar frumos colorate. O
aplicaţie interesantă o reprezintă straturile antireflex şi straturile puternic
reflectatoare.
La fabricarea unor aparate optice de bună calitate se cere obţinerea unor
luminozităţi cât mai mari ale imaginii.
La trecerea prin medii transparente lumina este absorbită şi de asemenea
suferă reflexii când întâlneşte limite de separaţie între medii diferite. În felul acesta
se pierde o parte din energia incidentă (pierderile pot atinge 30 – 40 % din energia
incidentă). Pentru diminuarea pierderilor prin reflexie, lentilele sunt acoperite cu
unul sau mai multe straturi de dielectric de grosime n4
. O extincţie totală se
obţine dacă amplitudinea undelor reflectate este aceeaşi cu a undei incidente.
Depunerea straturilor se face prin evaporare în vid, iar grosimea corespunde
de obicei lungimii de undă = 5,5 10-7
m pentru care ochiul are sensibilitate
maximă. În spectrul luminii reflectate vor domina radiaţiile cu lungime de undă
mică şi suprafaţa tratată apare colorată în albastru (optica albastră). Pentru
măsurătorile de mare precizie se utilizează interferometrele. Cele mai răspândite
sunt Interferometrul Michelson, cu care s-a măsurat viteza luminii şi s-a făcut
etalonarea metrului, şi Interferometrul Fabry – Perrot, care este utilizat şi drept
cavitate rezonantă.
Difracţia luminii. Una din legile fundamentale ale opticii geometrice este
propagarea rectilinie a luminii în medii omogene. Când raza de lumină întâlneşte
un obstacol de dimensiuni mici, ea se abate de la linia dreaptă şi spunem că suferă
fenomenul de difracţie. Cu cât dimensiunile obstacolului sunt mai mici, difracţie
este mai accentuată.
49
1. Difracţia Fresnel este o difracţie în lumină
divergentă. Se consideră o sursă punctiformă S, al
cărei front de undă se află la un moment dat la
distanţa R faţă de sursă. Frontul de undă este
format din surse secundare care fiecare produc un
efect în punctul M, aflat la distanţa a de frontul de
undă. Pentru evaluarea intensităţii luminoase în
punctul M, se împarte suprafaţa frontului de undă (care în medii omogene are
formă sferică) în zone
alese astfel încât lungimea laturilor care delimitează zonele respective să difere
între ele cu 2. Astfel, contribuţiile provenite de la zonele virtuale vecine sunt în
opoziţie de fază. Zonele au forme inelare pe suprafaţa frontului de undă.
Raza inelului rm a zonei inelare de ordinul m se poate afla cu uşurinţă şi se
obţine :
aR
Ramrm
(6.13)
Direcţiile după care sunt emise undele nu sunt aceleaşi pentru fiecare zonă şi
anume, unghiul creşte cu ordinul zonei. In felul acesta, contribuţiile succesive ale
zonelor în punctul M sunt descrescătoare şi putem scrie :
A1 A2 A3 . . . . .
In punctul M soseşte o undă a cărei amplitudine este dată de suma algebrică a
amplitudinilor tuturor zonelor ;
A = A1 – A2 + A3 – A4 + . . . + (- 1)m-1
Am
Rezultă că în punctul M contribuţia totală va fi mai mică decât contribuţia
provenită de la prima zonă. Razele de lumină corespunzătoare ultimei zone Fresnel
vizibilă din punctul M, au un unghi de difracţie 2
şi amplitudinea
corespunzătoare va fi nulă. Calculând amplitudinea rezultantă obţinem 2
1AA ,
deci 4
1IIM , adică intensitatea luminoasă în punctul M este mai mică decât cea
care ar exista obturând toate zonele cu excepţia primei zone.
2. Difracţia Fraunhofer se obţine în lumină paralelă. O
sursă punctiformă se aşează în focarul unei lentile
convergente L1 iar fasciculul obţinut este paralel.
Dacă un fascicul paralel cade pe o deschidere
liniară de lărgime a, frontul de undă ce atinge
deschiderea (fanta) poate fi împărţită în zone
înguste de lărgime dx, fiecare zonă contribuind la
interferenţa produsă în punctul M, dacă A este
amplitudinea corespunzătoare deschiderii de lărgime A şi dA este amplitudinea
unei zone de lărgime dx, putem scrie :
M
R
S
rm
a V
a+
a
S
L1
L2 M
50
dxa
AdA
constdxdA
constaA
.
.
Unda provenită de la zona de lărgime dx va fi :
rk- tsin dxa
Ady
unde
2k reprezintă vectorul de undă.
Amplitudinea rezultantă (contribuţia tuturor zonelor) se va obţine prin integrarea
undei pe lăţimea fantei :
a
o
dyy
şi se obţine o amplitudine rezultantă pe direcţia care face unghiul cu normala la
fantă :
sinsin
sin
a
a
AA (6.14)
Se obţine un minim A = 0 pentru 0 pentru care :
1,2,3,....mcu sin a
m
Se obţine un maxim A = A pentru = 0 şi maximele de ordin superior care
îndeplinesc condiţia
1,2,3,... mcu 2
12sin a
m
Intensitatea luminoasă în punctul M va fi :
sin
sinsin 2
A
a
A
a
II o
(6.15)
Io este intensitatea în centrul imaginii de difracţie. Figura de difracţie vizibilă în
focarul lentilei L2 este sub forma unor inele concentrice (inelele lui Heidinger).
Maximul central este mult mai intens decât mărimile secundare, care se află în
raportul
3 m 0,002 : 1
2 m 0,016 : 1
1 m 0,045 :1
O aplicaţie importantă a difracţiei este reţeaua de difracţie unidimensională. Figura
de difracţie dată de o reţea de difracţie are aspectul unei fante asemănătoare cu
fantele reţelei.
Reţeaua de difracţie este deosebit de utilă la determinarea lungimii de undă a
radiaţiilor luminoase. Reţeaua de difracţie spaţială este o structură tridimensională
în care spaţiile opace şi transparente se repetă pe trei dimensiuni. Un exemplu tipic
de reţea spaţială este reţeaua cristalină. Cu ajutorul radiaţiei X s-au obţinut imagini
de difracţie date de reţelele cu ajutorul cărora s-au putut calcula parametrii de
reţea.
51
POLARIZAREA LUMINII.
Fenomenele de interferenţă şi de difracţie a luminii pun în evidenţă
caracterul ondulatoriu al luminii fără să se poată preciza tipul de undă
(longitudinală sau transversală).
Conform teoriei undelor electromagnetice a lui Maxwell, lumina este o
radiaţie electromagnetică transversală, descrisă de vectorii B si E
perpendiculari între ei şi pe direcţia de propagare a undei. Vectorul care produce
senzaţia luminoasă este E. Emisia radiaţiei luminoase având o durată foarte mică
(10-9
s), direcţia vectorului E se schimbă de la un act elementar de emisie la altul.
Lumina naturală este deci o lumină nepolarizată în care direcţia de oscilaţie a
vectorului E este distribuită în mod egal în planul perpendicular pe direcţia de
propagare.
Lumina naturală poate fi polarizată. Prin polarizare se limitează numărul
direcţiilor de oscilaţie ale vectorului câmp electric. Dacă vectorul E oscilează într-
un singur plan, lumina se numeşte polarizată. Planul de oscilaţie conţine şi direcţia
de propagare a undei. Planul aflat perpendicular pe planul de oscilaţie se numeşte
plan de polarizare (este planul în care oscilează vectorul H).
Lumina este parţial polarizată dacă amplitudinea vectorului E are valori
diferite în funcţie de direcţie.
Pentru a pune în evidenţă lumina polarizată, se foloseşte un analizor care
Are aceeaşi construcţie ca şi polarizorul.
In figură este prezentată radiaţia luminoasă polarizată liniar de polarizor. Planul de
oscilaţie este x0y. Dacă analizorul este rotit cu unghiul În raport cu polarizorul,
prin analizor va trece doar o componentă de amplitudine A = Ao cos
Unde Ao este amplitudinea undei polarizate. Intensitatea luminii fiind
proporţională cu pătratul amplitudinii, avem :
I = Io cos2 (6.16)
relaţie ce exprimă legea lui Malus.
Polarizarea poate fi produsă prin reflexie, refracţie şi prin dublă refracţie
(birefringenţă).
Lumina naturală care cade pe o suprafaţă de separaţie aer – sticlă suferă o
polarizare parţială. Experimental se constată că în lumina reflectată predomină
undele ce oscilează perpendicular pe planul de incidenţă iar în lumina refractată
oscilaţiile vectorului E au loc cu precădere în planul de incidenţă.
x A
Ao
y Analizor
Polarizor
Lumina
polarizata
52
Pentru un anumit unghi de incidenţă ip radiaţia reflectată este total
polarizată. Unghiul de polarizare ip este specific fiecărei limite de separaţie şi
îndeplineşte condiţia :
1
2pi
n
ntg (6.17)
Dubla refracţie, sau birefringenţa este o proprietate a cristalelor anizotrope
ce constă în obţinerea a două raze refractate pentru fiecare rază incidentă. Privind
un obiect printr-un astfel de cristal se obţine o imagine dublă. Există una sau două
direcţii în cristal în lungul cărora fenomenul de birefringenţă nu se observă. Aceste
axe sunt axele optice ale cristalului. Dacă dintr-un astfel de cristal se taie o lamă
subţire ce
Conţine axa optică şi se trimite un fascicul de
lumină naturală la incidenţa normală pe una din
feţe (vezi figura) se obţin două raze refractate, una
ordinară (o) şi una extraordinară (e) care sunt total
polarizate.
Cu ajutorul cristalelor birefrigente se
construiesc dispozitivele polarizoare (nicoli). Utilizând două dispozitive de
polarizare identice se poate studia influenţa unor factori externi (tensiuni mecanice,
câmpuri electrice şi magnetice, etc) asupra unor materiale care devin birefrigelite
sub acţiunea lor. Birefringenţa produsă sub acţiunea factorilor externi se numeşte
accidentală.
OPTICA FOTONICĂ. EFECTUL FOTOELECTRIC.
Radiaţia luminoasă dă naştere unor fenomene care nu pot fi interpretate cu
ajutorul teoriei ondulatorii Huygens - Fresnel. Un astfel de fenomen este emisia de
electroni de către suprafaţa metalelor sub acţiunea undelor electromagnetice
cunoscute sub numele de efect fotoelectric.
Legile experimentale ale efectului fotoelectric sunt :
- intensitatea curentului fotoelectric de saturaţie este proporţională cu
intensitatea radiaţiei luminoase incidente
- pentru un fotocatod dat, efectul fotoelectric se produce dacă frecvenţa
radiaţiei depăşeşte valoarea de prag o.
- pentru frecvenţa o energia fotoelectronilor emişi este proporţională
cu frecvenţa radiaţiei incidente :
BAmv
2
2
max (6.18)
unde A,B sunt constante caracteristice fotocatodului
- efectul fotoelectric este instantaneu (t 10-10
s)
Aceste legi experimentale nu pot fi explicate în cadrul teoriei ondulatorii.
În 1905 A. Einstein a emis ipoteza că lumina este un flux de fotoni, fiecare
cu energia h.
Legea conservării energiei se va scrie atunci:
Axa optică
e
o
53
exEhmv
2
2
(6.19)
unde Eex reprezintă energia cheltuită pentru extracţia electronului din metal. Dacă
se aplică o tensiune de semn contrar, se obţine feUmv
2
2
, unde Uf este tensiunea
de frânare (tensiunea pentru care se anulează curentul fotoelectric). Ecuaţia lui
Einstein se va scrie atunci:
feUhh 0 (6.20)
0 fiind frecvenţa de prag.
Dielectricii şi semiconductorii prezintă un efect fotoelectric intern ceea ce
duce la creşterea conductivităţii electrice. Pe acest principiu funcţionează
fotorezistenţele. Efectul fotoelectric are aplicaţii importante ca surse de energie
prin conversia radiaţiei luminoase în energie electrică sau termică şi ca senzori.
Efectul Compton. Dacă radiaţiile X de frecvenţă 0 sunt poziţionate pe un
corp, în fasciculull difuzat, Compton a găsit şi radiaţii cu frecvenţă 0.
Compton a elaborat teoria acestui fenomen, considerând că interacţiunea foton (X)
– electron este descrisă de legile de conservare ale energiei şi impulsului: 22 mchcmh oo (6.21)
vmc
h
c
h o
(6.22)
unde mo este masa de repaus a electronului şi m este masa relativistă a
electronului
2
2
1c
v
mm o
.
Cele două legi de conservare, conduc la variaţia lungimii de undă în procesul de
interacţiune dată de relaţia :
cos1cm
h
o
unde este unghiul sub care este difuzată radiaţia de lungime . Relaţia se mai
scrie :
= c (1 - cos) (6,23)
unde cm
h
o
oc reprezintă o constantă numită lungimea de undă Compton. (c =
0,0242.10-10
m)
Dualitate undă – corpuscul
Am văzut că radiaţia luminoasă este o undă ce dă fenomene ondulatorii specifice
(interferenţa, difracţia, polarizarea, etc) ce nu pot fi interpretate decât pe baza
teoriei Huygens-Fresnel. De asemenea, radiaţia luminoasă este implicată şi în
producerea unor fenomene cum sunt efectul fotoelectric, efectul Compton şi altele,
care nu pot fi interpretate decât admiţând că radiaţia luminoasă este o radiaţie
corpusculară, fotonică.
54
Potrivit teoriei lui Einstein, fotonii de energie = h se caracterizează prin
impulsul :
h
c
hp (6.24)
sau, folosind vectorul de undă k
khp . (6.25)
Introducerea noţiunii de foton nu infirmă existenţa undelor electromagnetice iar
mărimile corpusculare (energia şi impulsul fotonilor) se exprimă prin frecvenţa şi
vectorul de undă ale radiaţiei.
Rezultă că radiaţia luminoasă are un caracter dual de undă şi de corpuscul.
ELEMENTE DE ELECTRONICĂ CUANTICĂ. LASERI.
Se consideră un sistem cuantic format din atomi sau molecule care se pot
afla pe nivelele energetice Em şi En.
Dacă Nn este numărul atomilor sau moleculelor aflaţi
la un moment t pe nivelul de energie En iar Amn este
probabilitatea ca un atom sau moleculă să treacă
spontan în unitatea de timp de pe
nivelul En pe nivelul de energie Em, energia radiaţă în unitatea de timp prin emisie
spontană este :
hANdt
dWmnn (6.26)
Dacă asupra sistemului acţionează un câmp de radiaţii electromagnetice de
frecvenţă:
h
EE mn (6.27)
sunt posibile - emisia stimulată
- absorbţia stimulată
Emisia stimulată apare atunci când sub acţiunea unui foton de energie h, atomul
(molecula) trece forţat din starea de energie En în starea de energie Em şi se emit
doi fotoni de frecvenţă .
Absorbţia stimulată apare atunci când fotonul de energie h este absorbit şi
atomul trece de pe nivelul de energie Em pe cel de energie En.
Absorbţia stimulată poate conduce la o inversare a populării nivelelor de
energie En şi Em în care numărul atom ilor aflaţi în starea de energie En este mai
mare decât numărul atomilor aflaţi în starea de energie mai scăzută Em. Ansamblul
în care se poate realiza o inversiune de populaţie, poate amplifica radiaţia incidentă
şi poartă numele de mediu activ.
Primele dispozitive de amplificare a radiaţiei electromagnetice (microunde)
au fost realizate de către Townes, Basov şi Prohorov în 1954. Primul laser (Light
Amplification by Stimulated Emission of Radiation) a fost realizat în 1960
utilizând ca mediu activ cristalul de rubin.
En
Em
55
După 1960, laserii au cunoscut o dezvoltare explozivă, rar întâlnită în ştiinţă
şi tehnică.
Proprietăţile radiaţiei laser sunt :
1 – radiaţia laser este monocromatică, lărgimea liniei spectrale fiind 102Hz.
2 – radiaţia laser este coerentă, timpul de coerenţă fiind 10-6
10-3
s, asigurând o
lungime de coerenţă de ordinul sutelor de km (spre deosebire de radiaţia luminoasă
ce are un timp de coerenţă 10-9
s asigurând o lungime de coerenţă de 2 3m).
3 - radiaţia laser prezintă o înaltă directivitate (divergenţă slabă). De exemplu un
fascicul laser, luminează pe lună un cerc cu diametrul d 103 m în timp ce un
reflector obişnuit ar da o pată de lumină cu d 3.107m.
4 - radiaţia laser are o mare intensitate fiind de 107 ori mai intensă decât radiaţia
solară.
Laserii sunt utilizaţi în radiolocaţie, în sistemele de comunicaţii prin
atmosferă şi prin fibre optice, în tehnica de calcul, pentru măsurarea distanţelor
(telemetrie), pentru controlarea fuziunii nucleare controlate.
Acţiunea biologică a radiaţiei laser în general este distructivă.
Capitolul VI
1. Legile reflexiei luminii:
a) evidenţiază invariantul Snellius – Descartes ctin sin ;
b) evidenţiază că reflexia luminii pe medii mai dense se face cu o pierdere de 2
;
c) evidenţiază unghiul limită;
d) evidenţiază fenomenul de reflexie totală.
2. Condiţia de coerenţă pentru două unde luminoase se exprimă prin:
a) 0cos ;
b) 21 ; ctcos
c) 21 ;
d) xk .
3. Polarizarea luminii:
a) constă în limitarea direcţiilor de oscilaţie ale vectorului E ;
b) se obţine prin aplicarea unui câmp magnetic asupra sursei de lumină;
c) se obţine prin trecerea fascicolului de lumină printr-un mediu cu molecule
polare;
d) toate răspunsurile sunt greşite.
4. Care este principiul de funcţionare al laserilor?
56
7. ELEMENTE DE FIZICĂ NUCLEARĂ
Rutherford a studiat difuzia particulelor de energie mare pe foiţe metalice
subţiri. (Particulele sunt nuclee de He ce au sarcina +2e). Din experienţele de
difuzie s-a dedus faptul că sarcina pozitivă a atomului este distribuită pe un nucleu
central în care este concentrată practic întreaga masă a atomului.
Sarcina nucleului este proprietatea fundamentală a lui şi este egală în valoare
absolută cu produsul dintre numărul atomic Z şi sarcina elementară. Nucleul
conţine deci Ze sarcini pozitive numite protoni. S-au identificat elemente cu Z
cuprins în intervalul 1110, nucleele cu Z 82 fiind instabile.
Masa nucleului este de asemenea o proprietate fundamentală şi reprezintă
diferenţa dintre masa atomului şi masa electronilor săi. Masa nucleului se măsoară
în unităţi atomice de masă (u). 1u = 1,66 . 10-27
Kg. Numărul de unităţi atomice de
masă cuprinse în nucleu se notează cu A şi se numeşte număr de masă.
Raza nucleului reprezintă distanţa minimă până la care se poate apropia de
nucleul sferic o particulă . Această distanţă depinde în general de energia
particulei şi valoarea minimă (pentru o ciocnire frontală) este:
m15105,12,1maxW
2Ze2minr
S-a observat că raza nucleului depinde de numărul de masa A:
m A0rr 31
Cunoscând masa şi dimensiunile nucleului, densitatea substanţei nucleare
are valoarea 317 mm/kg10 .
Experienţele lui Rutherford au adus dovada sigură a existenţei nucleului
atomic şi la elaborarea unui model atomic acceptat până astăzi.
Nucleul are şi proprietăţi specifice cum sunt câmpul nuclear şi spinul
nuclear.
Câmpul nuclear a fost pus în evidenţă tot în experienţele de difuzie a
particulelor de mare energie interacţionează diferit cu nucleele care au Z mic.
Astfel, în imediata apropiere a nucleului, peste forţa coulombiană de respingere se
suprapune o forţă de atracţie care nu este de natură electrostatică şi variază mult
mai rapid ca r -2
.
Această forţă este specifică nucleului şi se numeşte forţă nucleară. Curba
energiei potenţiale a nucleului este
prezentată în figură. Înălţimea barierei de
potenţial din jurul nucleului depinde de
sarcina nucleului Z şi de sarcina particulei
incidente z difuzate. Spinul nuclear a fost
evidenţiat cu ajutorul unor aparate spectrale
de mare rezoluţie de către Teremin şi
Dobreţov.
Astfel, s-a observat că fiecare din
liniile dubletului de sodiu (D1şi D2) ce formează linia D (galbenă) din spectrul de
U(R)
R0
0
2
rZzeB
k
57
emisie al atomului de sodiu, este formată din câte două linii foarte apropiate între
ele ( 0,02 A). Aceste linii constituie structura hiperfină a spectrului şi
existenţa lor nu poate fi explicată decât acceptând faptul că nucleul are un spin
nuclear I ce interacţionează cu nivelele electronice determinând descompunerea
nivelului fundamental s în două subnivele, fapt ce duce la apariţia liniilor
suplimentare din spectru.
Momentului cinetic de spin nuclear îi corespunde un moment magnetic care
a fost pus în evidenţă de către Rabi şi colaboratorii săi care au reuşit să măsoare
momentele magnetice nucleare realizând experienţe de rezonanţă magnetică
nucleară. Rezultatele obţinute au fost surprinzătoare deoarece momentele
magnetice măsurate nu sunt cuantificate.
Pe lângă momentul magnetic, nucleele nesferice au un moment electric de
cuadrupol ; moment a cărui valoare ne dă indicaţii în legătură cu abaterea de la
simetria sferică.
Pe baza proprietăţilor nucleelor atomice şi în urma descoperirii neutronului
de către Chadwick s-a elaborat modelul structurii nucleului de către Heisenberg şi
Ivanenco. Conform teoriei proto-neutronice, nucleul este alcătuit din Z protoni şi
A-Z neutroni (particule cu masa apropiată de a protonilor şi cu sarcina nulă).
Măsurători de înaltă precizie au arătat că suma maselor particulelor care
alcătuiesc nucleul atomic este mai mare ca masa experimentală (determinată prin
metoda deviaţiilor în câmp) a nucleului respectiv. Dacă mp este masa protonului
şi mn este masa neutronului atunci :
Z.mp + (A – Z)mn mnucleu (7.1)
Acest efect se numeşte efect de condensare iar
m=Zmp + (A - Z)mn-mnucleu (7.2)
se numeşte defect de masă.
Defectul de masă evidenţiază energia de legătură a nucleului E= mc2
care are valori foarte mari şi care este egală cu energia de formare a nucleului.
Dacă se face raportul A
E se obţine energia medie de legătură a unui nucleon.
Dacă se reprezintă grafic )(AfA
E
se
observă că energia de legătură pe nucleon
are o valoare maximă pentru nucleele
stabile aflate la mijlocul sistemului periodic.
Metalele alcaline şi elementele grele au
valori mai mici
ale energiilor de legătură şi sunt mai puţin stabile.
Au fost elaborate modele ale structurii nucleului (modelul hidrodinamic,
modelul în pături şi modelul unificat) care încearcă să explice proprietăţile
nucleului. Încă nu există un model unitar satisfăcător.
Una din proprietăţile nucleelor grele este instabilitatea lor care se manifestă
prin emiterea de radiaţii.
Fenomenul spontan se numeşte radioactivitate naturală. Radioactivitatea
naturală cuprinde trei tipuri de radiaţii :
AE
A
8,7 MeV
7,6 MeV
58
- radiaţia formate din nuclee de He
- radiaţia formată din electroni
- radiaţia care însoţeşte celelalte două tipuri de radiaţie şi este o radiaţie
electromagnetică.
Transformările care se produc în nuclee ca urmare a radioactivităţii lor sunt :
YY
YX
YX
Z
Ao
Z
A
Z
A
Z
A
11
2
4
2
4
(7.3)
Experimental s-a constatat că pentru o substanţă radioactivă de o anumită
specie, numărul nucleelor radioactive scade exponenţial în timp, după legea :
N = No e- t
(7.4)
unde No reprezintă numărul de nuclee nedezintegrate la momentul t = 0 iar N este
numărul de nuclee nedezintegrate după un timp t.
este o constantă caracteristică fiecărei substanţe radioactive ce depinde de
probabilitatea de dezintegrare spontană a speciei de nuclee şi se numeşte constantă
radioactivă.
Studiul experimental a arătat că majoritatea substanţelor - active, emit
particule de energii bine determinate, adică radiaţia are un spectru energetic
caracteristic fiecărui nucleu. Acest fapt este un indiciu că în nucleu se află nivele
energetice bine definite.
Măsurarea energiei electronilor emişi din nucleu la dezintegrarea a arătat
că aceştia au un spectru energetic continuu dar valoarea maximă a energiei
radiaţiei depinde de specia nucleului. Distribuţia continuă de energie a radiaţiei
şi necesitatea valabilităţii legii de conservare a spinului şi a legii de conservare a
energiei totale a sistemului au pus problema participării la dezintegrarea a unei
particule cu masă foarte mică şi sarcină neutră, numită neutrino . Deoarece în
nucleu nu există electroni şi nici pozitroni, în timpul emisiei de electroni aceştia se
formează prin transformarea nucleonilor :
nep
neutrinoenp
noantineutriepn
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1*
1
0
1
)(
)(~
(7.5)
Existenţa neutrinului a fost confirmată de experienţele efectuate de către
Leipunski şi Allen.
REACŢII NUCLEARE
Dacă asupra unei substanţe se trimite o particulă nucleară de mare energie
(ce provine de la o sursă radioactivă, din radiaţia cosmică sau de la un reactor
nuclear sau accelerator de particule) poate avea loc o reacţie nucleară conform
schemei :
bYaZ Zy
Ay
Zx
Ax (7.6)
Nucleul XZx
Ax este nucleul ţintă iar YZyAy este nucleul rezultat.
59
În reacţiile nucleare se conservă numărul de nucleoni, sarcina electrică,
energia, impulsul şi spinul.
Reacţiile nucleare sunt însoţite de emisie sau de absorbţie de energie datorită
faptului că nucleul rezultat în general are altă valoare a energiei de legătură.
Comparând energia care intervine într-o reacţie nucleară cu cea implicată
într-o reacţie chimică, rezultă că energia reacţiilor nucleare este de milioane de ori
mai mare.
Dacă un fascicul de particule străbate o distanţă x într-o substanţă,
intensitatea fasciculului scade de la valoarea I0 la valoarea I datorită interacţiunilor
(a reacţiilor nucleare) produse: xeII
0 (7.7)
Factorul este cu atât mai mare cu cât probabilitatea de a întâlni un nucleu
este mai mare. Acest factor este deci proporţional cu numărul de atomi din unitatea
de volum: ~ n0.
Factorul de proporţionalitate specific reacţiilor nucleare are dimensiunile
unei suprafeţe şi se numeşte secţiune eficace:
= n0
Legea de diminuare a intensităţii fasciculului de particule va fi atunci xn
eII 0
0
Secţiunea eficace , exprimă probabilitatea producerii unei reacţii nucleare
la interacţiunea unei particule cu nucleul atomic. Valoarea ei depinde de energia
cinetică a particulei şi se constată experimental un efect de rezonanţă (o creştere
puternică a valorii pentru anumite valori ale energiei cinetice).
TEST - Capitolul VII
1. Care este structura nucleului?
2. Care sunt proprietăţile nucleului?
3. Ce este radioactivitatea naturală?
4. Care este doza maximă admisibilă (DMA) pe care o poate încasa o persoană
fără a fi în pericol de iradiere?
60
TEST FIZICĂ – AR - IFR
4. Ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor armonice liniare este:
e) 02
02
2
qdt
qd ;
f) tqq cos0 ;
g) 2
02
2
dt
qd;
h) 02
02
2
qdt
qd .
5. Oscilaţiile amortizate:
e) îşi micşorează energia exponenţial, în funcţie de timp;
f) se caracterizează prin ecuaţia teCCtq )()( 21 ;
g) au pulsaţia egală cu 0 pulsaţia proprie a sistemului;
h) au pulsaţia 0 .
6. Ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor întreţinute (forţate) este:
e) tieFtF 1
111 cos ;
f) tie
m
F
dt
dqq
dt
qd112
02
2
2 ;
g) tiCeq 1 ;
h) dt
dqq
dt
qd 22
02
2
.
7. Undele longitudinale sunt undele:
e) care se propagă în medii omogene;
f) pentru care oscilaţiile se produc pe direcţia de propagare;
g) care au frontul de undă de formă sferică;
h) a căror viteză depinde de masa unităţii de lungime.
8. Ecuaţia diferenţială a undelor este:
e) 01
2
2
2
tc;
f) 02
02
2
td
d;
g) 01
2
2
2
tc;
h) rEtie
0
9. Viteza de fază
e) se măsoară experimental;
f) se calculează;
g) se exprimă din 0
0
kv f
;
h) toate răspunsurile sunt greşite.
10. Legea de absorbţie a intensităţii undelor este:
e) xeII 0 ;
f) c
pI
0
2
max
2 ;
g) kdIeI 0 ;
h) xeII
0 .
61
11. Ultrasunetele
e) sunt unde elastice cu kHz20 ;
f) sunt unde plane cu Hz160 ;
g) sunt percepute de urechea omenească;
h) sunt puternic absorbite în lichide.
12. Principiul lui Huygens:
e) explică formarea undei regresive;
f) explică absorbţia undelor;
g) afirmă că fiecare punct al frontului de undă reprezintă o undă
secundară cu aceleaşi caracteristici;
h) permite determinarea vitezei de propagare a undelor.
13. Timpul de reverberaţie optim pentru o sală de spectacole este:
e) str 5,0 ;
f) str 2 ;
g) sts r 25,0 ;
h) 1rt .
BIBLIOGRAFIE
1. DIHOIU NATALIA, “Lecţii de Fizicã“ , Universitatea din Braşov, 1990
2. I. INTA , S. DUMITRU, “Complemente de Fizicã“ , vol. I, Ed. Tehnicã,
Bucureşti , 1983
3. I. INTA, “Complemente de Fizicã“ , vol. II, Ed. Tehnicã, Bucureşti, 1985
4. I. M. POPESCU, “FIZICA“ , vol. I si II, Ed. Didacticã si Pedagogicã,
Bucureşti, 1982 , 1983
5. P. STERIAN , “ FIZICA “ , Ed. Didacticã si Pedagogicã , Bucureşti, 1985
