+ All Categories
Home > Education > Fizica II Curs

Fizica II Curs

Date post: 26-Jun-2015
Category:
Upload: guestcd4132
View: 663 times
Download: 12 times
Share this document with a friend
203
TEORIA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC Curs predat la Facultatea Electrotehnică 1996 -1998, 2001-2002 pag. 1. SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI 1 1.1. Recapitularea mărimilor electromagnetismului 1 1.2. Regimurile mărimilor electrice şi magnetice. 2 1.3. Recapitularea legilor electromagnetismului 2 1.4. DiscuŃie asupra sistemului legilor electromagnetismului 10 1.5. EcuaŃiile lui Maxwell şi Maxwell-Hertz 13 1.6. Unda electromagnetică plană 13 2. ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ 17 2.1. Elemente de termodinamică 17 2.2. Teorema energiei electromagnetice 18 2.3. Identitatea energetică fundamentală (Poynting) 18 2.4. Fluxul de energie electromagnetică. Vectorul lui Poynting 19 2.5. Energia electromagnetică 20 2.6. Schimbul de putere prin histerezis. Teor ema lui Warburg 22 2.7.. Pierderi în circuitele magnetice 24 2.8. Teorema transferului de putere pe la bornele unui multipol (teorema lui R. RăduleŃ) 25 2.9. Teorema de unicitate a soluŃiilor ecuaŃiilor câmpului electromagnetic 27 3. FORłE ELECTROMAGNETICE 29 3.1. Teoremele forŃelor generalizate în câmpul electromagnetic 29 3.2. ForŃa de atracŃie între armăturile unui condensator 30 3.3. ForŃa portantă a unui electromagnet 30 3.4. Teorema densităŃii de volum a forŃei electromagnetice 31 3.5. Tensiuni maxwelliene în câmpul electromagnetic 31 4. CÂMPUL ELECTROSTATIC 34 4.1. Teorema relaxaŃiei sarcinii electrice 34 4.2. Teorema potenŃialului electrostatic 34 4.3. Conductoarele în câmp electrostatic. 37 4.4. CondiŃii de trecere prin suprafeŃe de discontinuitate a proprietăŃilor electrice 39 4.5. EcuaŃiile potenŃialului electrostatic 40 4.5.1. PotenŃialul electric scalar 40 4.5.2. Formulele lui Green pentru câmpuri de scalari 40 4.5.3. CondiŃii de frontieră de tip Dirichlet şi Neumann 41 4.5.4. Teorema unicităŃii soluŃiilor ecuaŃiilor Poisson şi Laplace pentru potenŃialul scalar 41 4.6. Teorema unicităŃii şi superpoziŃiei câmpurilor electrostatice. 42 5. SISTEME DE CONDUCTOARE ÎN ECHILIBRU ELECTROSTATIC 43 5.1. Condensatorul electric şi capa citatea electrostatică 43 5.2. RelaŃiile lui Maxwell referitoare la capacităŃi 45 53. CapacităŃile liniilor electrice aeriene 48 6. ENERGIA ŞI FORłELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC 51
Transcript
Page 1: Fizica II Curs

TEORIA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Curs predat la Facultatea Electrotehnică 1996-1998, 2001-2002 pag.

1. SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI 1

1.1. Recapitularea mărimilor electromagnetismului 1 1.2. Regimurile mărimilor electrice şi magnetice. 2 1.3. Recapitularea legilor electromagnetismului 2 1.4. DiscuŃie asupra sistemului legilor electromagnetismului 10 1.5. EcuaŃiile lui Maxwell şi Maxwell-Hertz 13 1.6. Unda electromagnetică plană 13

2. ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ 17

2.1. Elemente de termodinamică 17 2.2. Teorema energiei electromagnetice 18 2.3. Identitatea energetică fundamentală (Poynting) 18 2.4. Fluxul de energie electromagnetică. Vectorul lui Poynting 19 2.5. Energia electromagnetică 20 2.6. Schimbul de putere prin histerezis. Teorema lui Warburg 22 2.7.. Pierderi în circuitele magnetice 24 2.8. Teorema transferului de putere pe la bornele unui multipol

(teorema lui R. RăduleŃ) 25

2.9. Teorema de unicitate a soluŃiilor ecuaŃiilor câmpului electromagnetic 27

3. FORłE ELECTROMAGNETICE 29

3.1. Teoremele forŃelor generalizate în câmpul electromagnetic 29 3.2. ForŃa de atracŃie între armăturile unui condensator 30 3.3. ForŃa portantă a unui electromagnet 30 3.4. Teorema densităŃii de volum a forŃei electromagnetice 31 3.5. Tensiuni maxwelliene în câmpul electromagnetic 31

4. CÂMPUL ELECTROSTATIC 34

4.1. Teorema relaxaŃiei sarcinii electrice 34 4.2. Teorema potenŃialului electrostatic 34 4.3. Conductoarele în câmp electrostatic. 37 4.4. CondiŃii de trecere prin suprafeŃe de discontinuitate a proprietăŃilor electrice 39 4.5. EcuaŃiile potenŃialului electrostatic 40 4.5.1. PotenŃialul electric scalar 40 4.5.2. Formulele lui Green pentru câmpuri de scalari 40 4.5.3. CondiŃii de frontieră de tip Dirichlet şi Neumann 41 4.5.4. Teorema unicităŃii soluŃiilor ecuaŃiilor Poisson şi Laplace

pentru potenŃialul scalar 41

4.6. Teorema unicităŃii şi superpoziŃiei câmpurilor electrostatice. 42

5. SISTEME DE CONDUCTOARE ÎN ECHILIBRU ELECTROSTATIC 43

5.1. Condensatorul electric şi capacitatea electrostatică 43 5.2. RelaŃiile lui Maxwell referitoare la capacităŃi 45 53. CapacităŃile liniilor electrice aeriene 48

6. ENERGIA ŞI FORłELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC 51

Page 2: Fizica II Curs

2

6.1. Energia electrostatică a câmpului unui sistem de conductoare 51 6.2. Densitatea de volum a energiei câmpului electrostatic 53 6.3. Teoremele forŃelor generalizate în câmp electrostatic 55

7. METODE PENTRU DETERMINAREA CÂMPULUI ELECTROSTATIC 58

7.1. Clasificarea metodelor 58 7.2. Metoda elementară 58 7.3. Metoda rezolvării ecuaŃiilor lui Laplace şi Poisson pentru câmpul

electrostatic 60

7.4. Metoda separării variabilelor 63 7.4.1. Separarea variabilelor şi dezvoltarea în serie de funcŃii ortogonale (problema

Sturm-Liuville) 63

7.4.2. Separarea variabilelor în reperul cartezian 65 7.5. Metoda imaginilor electrice 67 7.5.1. Principiul metodei 67 7.5.2. Imagini electrice în raport cu planul conductor 68 7.5.3. Imagini electrice în dielectrici omogeni pe straturi 69 7.5.4. Alte configuraŃii care se pot trata cu ajutorul metodei imaginilor electrice 70 7.6. Metoda aproximării formei liniilor de câmp 70 7.7. Metoda funcŃiilor de variabilă complexă 71 7.7.1. FuncŃii analitice. CondiŃiile Cauchy-Riemann 72 7.7.2. PotenŃialul electrostatic complex 73 7.7.3. Metoda transformării conforme 74

8. CÂMPUL ELECTRIC STAłIONAR (CÂMPUL ELECTROCINETIC) 75

8.1. Formele legilor câmpului electromagnetic în regim electrocinetic staŃionar 75 8.2. Prize de pământ 76

9. CÂMPUL MAGNETIC STAłIONAR 79

9.1. EcuaŃiile câmpului magnetic staŃionar 79 9.2. CondiŃii de trecere la suprafeŃe de discontinuitate ale proprietăŃilor magnetice 80 9.3. PotenŃialul magnetic vector 81 9.4. EcuaŃiile potenŃialului magnetic vector 82 9.5. Formula Biot-Savart-Laplace 83 9.6. EcuaŃia de ordinul doi a intensităŃii câmpului magnetic 86 9.7. Formulele lui Green pentru câmpuri de vectori 86

10. CIRCUITE MAGNETICE 87

10.1. ConsideraŃii generale şi definiŃii. 87 10.2. Metoda directă de rezolvare a unui circuit magnetic 88 10.3. Teoremele lui Ohm şi Kirchhoff referitoare la circuite magnetice. 89 10.4. Calculul circuitelor magnetice neliniare. 93

11. CÂMPUL MAGNETOSTATIC AL MAGNEłILOR PERMANENłI 95

11.1. RelaŃiile fundamentale ale magnetostaticii. 95 11.2. Circuit magnetic cu magnet permanent. 97

12. INDUCTIVITĂłI 100

12.1. Fluxuri şi inductivităŃi proprii şi mutuale 100 12.2. RelaŃiile lui Maxwell referitoare la inductivităŃi 102

Page 3: Fizica II Curs

3

12.3. Calculul inductivităŃilor 103 12.4. Inductivitatea echivalentă 107 12.5. Inductivitatea de dispersie 108 12.6. InductivităŃile liniilor aeriene bifilare 108 12.7. InductivităŃile barelor în crestătura dreptunghiulară 110

13. ENERGIA MAGNETICĂ ŞI FORłELE GENERALIZATE ÎN CÂMPUL MAGNETIC

113

13.1. Energia magnetică a unui sistem de circuite electrice 113 13.2. Densitateade volum a energiei câmpului magnetic 116 13.3. Densitatea de volum a energiei magnetice ca funcŃie de J şi Ă 118 13.4. ForŃele generalizate în câmpul magnetic 118

14. METODE DE CALCUL AL CÂMPULUI MAGNETIC STAłIONAR 122

14.1. Formularea problemelor de câmp magnetic staŃionar 122 14.2. Metoda directă 123 14.3. Metoda integrării ecuaŃiilor Poisson şi Laplace prin separarea variabilelor 124 14.4. Metoda imaginilor magnetice 127 14.5. Metoda funcŃiilor de variabilă complexă 128 14.5.1. FuncŃii analitice. CondiŃiile Cauchy-Riemann 128 14.5.2. Folosirea funcŃiilor de variabilă complexă 129 14.5.3. Metoda transformării conforme 130 14.6. Metoda aproximării formei liniilor de câmp magnetic 132 14.7. Metoda diferenŃelor finite 135

15. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTAłIONAR 136

15.1. Regimul cvazistaŃionar al câmpului electromagnetic 136 15.2. Premizele studiului câmpului electromagnetic cvazistaŃionar în conductoare

masive imobile 136

15.3. EcuaŃiile câmpului electromagnetic cvazistaŃionar în conductoare masive imobile

137

15.4. Pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaŃiul conductor infinit 138 15.5. Probleme de curenŃi turbionari 140 15.6. Efectul pelicular 142 15.7. Efectul Field 147 15.8. Câmpul electromagnetic cvazistaŃionar amagnetic 152

16. RADIAłIA ELECTROMAGNETICĂ 155

16.1. PotenŃialele electrodinamice retardate 155 16.2. RezistenŃa de radiaŃie 158 16.3. RadiaŃia oscilatorului electric elementar 159 16.3.1. PotenŃialele electrodinamice ale oscilatorului electric elementar 159 16.3.2. Câmpul de radiaŃie al dipolului oscilant 160 16.3.3. RezistenŃa de radiaŃie a dipolului electric elementar 161

Page 4: Fizica II Curs

4

ANEXE

1. INTRODUCERE LA METODA DIFERENłELOR FINITE 1

1.1. Introducere 1 1.2. Operatori de diferenŃă 1 1.3. Aproximarea derivatelor prin diferenŃe 2 1.4. Aproximare integralelor prin diferenŃe 3 2. Metoda diferenŃelor finite pentru câmp staŃionar 4 2.1. EcuaŃiile câmpului 4 2.2. Metoda diferenŃelor finite 5 2.3. Aproximarea ecuaŃiei diferenŃiale 6 2.4. Aproximarea formei integrale a ecuaŃiilor 7 2.4.1. Câmpul electric 7 2.4.2. Câmpul magnetic 9 2.5. Simularea condiŃiilor la limită 10 2.6. Sistemul de ecuaŃii şi rezolvarea 12 INTRODUCERE LA METODA ELEMENTELOR FINITE 1

3. Calculul câmpului electrostatic în medii liniare, neomogene, folosind metoda elementelor finite.

1

3.1. Prezentarea metodei elementelor finite 1 3.2. Tipuri de elemente finite folosite 5 3.2.1. Elemente izoparametrice 5 3.3. Elementele finite de tip plan pentru calculul potenŃialului electric 11 3.4. Elementele finite de tip plan-radial (axial simetric) pentru calculul

potenŃialului electric 15

Page 5: Fizica II Curs

TEORIA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

1. SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

1.1. RECAPITULAREA MĂRIMILOR ELECTROMAGNETISMULUI

Pentru caracterizarea fenomenelor electromagnetice şi a stărilor corespunzătoare, teoria macroscopică utilizează şase specii de mărimi primitive, adică şase specii a căror introducere nu este posibilă fără a face apel la experienŃă - sau la teoria microscopică - şi un număr mare de mărimi derivate, care completează şi uşurează caracterizarea acestor stări.

Mărimile de stare electrică şi magnetică ale corpurilor sunt: - sarcina electrică q (caracterizează starea de încărcare electrică), - momentul electric

rp (caracterizează starea de polarizaŃie electrică),

- intensitatea curentului electric de conducŃie i (caracterizează starea electrocinetică), - momentul magnetic

rm (caracterizează starea de magnetizaŃie).

Aceleaşi stări se caracterizează local prim mărimi derivate, dintre care cele mai importante sunt: densitatea de volum a sarcinii ρv, polarizaŃia electrică

rP , densitatea de

curent rJ , magnetizaŃia

rM . Alte mărimi derivate importante sunt: densitatea de suprafaŃă şi de

linie a sarcinii ρS şi ρl, sarcina de polarizaŃie qp, densitatea superficială de curent rJ S , curentul

amperian im, solenaŃia Θ ş.a. Mărimile de stare locală ale câmpului electromagnetic sunt: - intensitatea câmpului electric

rE şi inducŃia electrică

rD , ambele mărimi fiind derivate

din vectorul câmp electric în vid rEv şi caracterizează local aspectul electric al câmpului

electromagnetic (câmpul electric), - intensitatea câmpului magnetic

rH şi inducŃia magnetică

rB , ambele mărimi sunt

derivate din vectorul inducŃie magnetică în vid rB v şi caracterizează local aspectul magnetic al

câmpului electromagnetic (câmpul magnetic). Mărimile derivate mai importante corespunzătoare sunt:

- tensiunea electrică (în lungul unei curbe C) u = ∫r rE sd

C,

(cu sensul de referinŃă drs )

- fluxul electric (printr-o suprafaŃă S) ψ = ∫r rD n d A

S,

(cu sensul de referinŃă rn )

- tensiunea magnetică (în lungul unei curbe C) um C= ∫

r rH sd ,

(cu sensul de referinŃă drs )

- fluxul magnetic (printr-o suprafaŃă S) φ = ∫r rB n d A

S,

(cu sensul de referinŃă rn )

Page 6: Fizica II Curs

2

- curentul electric (printr-o suprafaŃă S) i A= ∫r rJ n d

S,

(cu sensul de referinŃă rn )

1.2. REGIMURILE MĂRIMILOR ELECTRICE ŞI MAGNETICE

În teoria fenomenologică (macroscopică) a câmpului electromagnetic, mărimile fizice pot fi considerate funcŃiuni de timp, iar după consecinŃele variaŃiei lor în timp, stările electromagnetice se pot găsi în următoarele regimuri:

- regimul static, în care mărimile de stare nu variază în timp (sau variază suficient de lent, pentru a putea neglija efectul variaŃiei lor) şi nu se produc transformări energetice; în acest caz fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice şi cele două laturi ale câmpului electromagnetic se pot studia separat, în cadrul electrostaticii şi magnetostaticii;

- regimul staŃionar, în care mărimile nu variază în timp, însă interacŃiunile câmpului electromagnetic cu substanŃa sunt însoŃite de transformări energetice;

- regimul cvasistaŃionar, caracterizat prin variaŃia suficient de lentă în timp a mărimilor, astfel încât să se poată neglija efectele asociate variaŃiei în timp a unor mărimi. In acest regim se disting:

- regimul cvazistaŃionar anelectric, în care se neglijează efectele magnetice ale curenŃilor de deplasare peste tot, cu excepŃia dielectricului condensatoarelor (acest regim este numit în mod curent cvazistaŃionar) şi

- regimul cvazistaŃionar amagnetic, în care se neglijează efectele de inducŃie electromagnetică în producerea câmpului electric;

- regimul nestaŃionar, corespunde celui mai general caz de variaŃie în timp a mărimilor, în care apare radiaŃia electromagnetică.

1.3. RECAPITULAREA LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

Legile generale şi principalele legi de material ale teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice sunt prezentate în diferitele lor forme, integrale şi locale. Legile vor fi numerotate cu cifre romane.

I. Legea inducŃiei electromagnetice

et

ΓΓ= −

d

d,

φS (1.3-1)

în care eΓ este tensiunea (electromotoare) indusă în lungul conturului închis Γ, iar φSΓ este fluxul magnetic prin suprafaŃa SΓ sprijinită pe conturul Γ:

e AD D

Γ ΓΓ Γ ΓΓ

= =∫ ∫r r r rE s Bnd , d .φ S SS

(1.3-2)

Versorul normalei rnSΓ

şi vectorul element de arc drsΓ sunt asociaŃi după regula burghiului

drept, ca în figura 1.3-1a. Legea se poate prezenta şi sub forma integrală explicită

r r r rE s B nd

d

dd .

Γ ΓΓ

∫ ∫= −t

ASS (1.3-3)

Page 7: Fizica II Curs

3

Fig. 1.3-1. ConvenŃii la scrierea legii inducŃiei electromagnetice (a) şi cazul unei suprafeŃe de discontinuitate (b).

Curba Γ şi suprafaŃa SΓ se consideră solidare cu corpurile aflate în mişcare (sunt antrenate în mişcarea corpurilor), deci derivarea Ńine seama atât de variaŃia în timp a integrandului, cât şi de deplasarea suprafeŃei. Se foloseşte derivata substanŃială, de flux:

d

dd

d

dd ,

tA

tA

r rrr

G nG

nSS

f

S SΓΓ Γ

Γ∫ ∫= (1.3-4)

unde

( )d

ddiv rot ,f

r rr r r rG Gw G G w

t t= + + ×∂

∂ (1.3-5)

unde rw este viteza punctelor suprafeŃei SΓ. Transformând integrala de contur în integrală de suprafaŃă (cu teorema lui Stokes) şi

folosind derivata de flux pentru a doua integrală, în domenii de continuitate şi netezime a câmpurilor de vectori se obŃine forma locală

rotd

d.

rr

EB

= − f

t (1.3-6)

Pentru suprafeŃe de discontinuitate, scriind forma integrală pe un mic contur ΓS strâns de o parte şi de alta a suprafeŃei de discontinuitate, pe o lungime ∆l (figura 1.3-1b), se obŃine

( )r r r rE t E t2 ∆ ∆l l+ − =1 0,

sau

( )r r r rn E E E12 2× − = =1 0rot ,S (1.3-7)

respectiv Et1 = Et2, adică la trecerea prin suprafaŃa de discontinuitate se conservă componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului electric.

II. Legea fluxului electric

ψ Σ Σ= q , (1.3-8)

unde ψΣ este fluxul electric prin suprafaŃa închisă Σ, iar qΣ este sarcina electrică conŃinută de suprafaŃa Σ. Cu notaŃiile din figura 1.3-2a

ψ ρΣ ΣΣ ΣΣ

= =∫ ∫D D

DA q v

r rD n d , d ,v (1.3-9)

pentru o repartiŃie continuă de sarcini electrice în volumul DΣ. Versorul rnΣ pe normală, este

orientat spre exteriorul suprafeŃei închise Σ.

Page 8: Fizica II Curs

4

Fig. 1.3-2. NotaŃii pentru legea fluxului electric (a) şi cazul suprafeŃei de discontinuitate (b).

Transformând integrala de suprafaŃă în integrală de volum cu formula Gauss-Ostrogradski, se obŃine forma locală a legii, în domenii de continuitate şi netezime a câmpului de vectori

rD

div .rD = ρv (1.3-10)

Pentru suprafeŃe de discontinuitate, se scrie forma integrală a legii pe o suprafaŃă ΣS, strânsă - de o parte şi de alta - a suprafeŃei de discontinuitate, care poate fi încărcată cu densitatea de suprafaŃă a sarcinii ρS (figura 1.3-2b) şi se obŃine

( )r r r rD n D n2 12 1 12∆ ∆ ∆A A A+ − = ρS ,

sau

( )r r r rn D D D12 2 1− = =div ,S Sρ (1.3-11)

respectiv D2n - D1n = ρS, adică saltul componentei normale a inducŃiei electrice este proporŃional cu densitatea de suprafaŃă a sarcinii electrice.

Pe suprafeŃe neîncărcate electric se conservă componenta normală a inducŃiei.

III. Legea legăturii dintre r r rD E P, º i

r r rD E P= +ε 0 , (1.3-12)

în care rP este vectorul polarizaŃiei electrice, iar ε0 este permitivitatea vidului, numită şi

constantă electrică.

IV. Legea polarizaŃiei electrice temporare

PolarizaŃia are o componentă permanentă rPp , independentă de valoarea actuală a

intensităŃii câmpului electric şi o componentă temporară rPt , care depinde de valoarea actuală

a acestui câmp r r rP P P= +p t . (1.3-13)

Legea polarizaŃiei temporare exprimă dependenŃa de intensitatea câmpului electric a polarizaŃiei temporare

( )r rP Et = f . (1.3-14)

In dielectrici izotropi, liniari şi fără polarizaŃie permanentă r rP Et e= ε χ0 , (1.3-

14') iar împreună cu legile III şi IV se ajunge la relaŃia constitutivă

r r rD E E= =ε ε ε0 r . (1.3-15)

Page 9: Fizica II Curs

5

V. Legea circuitului magnetic

ut

mm S

S

Γ ΘΓ

Γ= +d

d,

ψ (1.3-16)

în care ummΓ este tensiunea magnetomotoare pe conturul închis Γ, ΘSΓ este solenaŃia calculată pe suprafaŃa SΓ sprijinită pe conturul Γ, iar ψSΓ este fluxul electric prin aceeaşi suprafaŃă SΓ (figura 1.3-3a)

u A AD D D

mm S SS S SSΓ ΓΓΘ

Γ ΓΓ

Γ ΓΓ

= = =∫ ∫ ∫r r r r r rH s Jn Dnd , d , d .ψ (1.3-17)

Şi aici se păstrează aceeaşi regulă a burghiului drept pentru asocierea între vectorul element de arc d

rsΓ şi versorul normalei

rnSΓ

.

Legea se poate prezenta şi sub forma integrală explicită

r r r r r rH s J n D nd d

d

dd .ΓΓ Γ

ΓΓ

Γ∫ ∫ ∫= +SS SS

At

A (1.3-18)

Fig. 1.3-3. NotaŃii pentru legea circuitului magnetic (a) şi cazul unei suprafeŃe de discontinuitate (b).

Curba Γ şi suprafaŃa SΓ se consideră solidare cu corpurile aflate în mişcare (sunt antrenate de acestea), deci derivarea Ńine seama atât de variaŃia în timp a integrandului, cât şi de deplasarea suprafeŃei, adică se foloseşte derivata substanŃială, de flux, (1.3-4). Astfel, forma integrală explicită devine

r r r rrr

H s J nD

nd dd

dd .ΓΓ Γ

ΓΓ

Γ∫ ∫ ∫= +SS

fSS

At

A (1.3-19)

Transformând membrul stâng cu formula lui Stokes, se stabileşte forma locală a legii (în domenii de continuitate şi netezime)

rotd

d.

r rr

H JD

= + f

t (1.3-20)

Pentru suprafeŃe de discontinuitate, scriind forma integrală pe un mic contur ΓS strâns de o parte şi de alta a suprafeŃei de discontinuitate, pe o lungime ∆l (figura 1.3-3b), se obŃine

( )r r r rH t H t2 1∆ ∆ ∆l l J l+ − = S ,

sau

( )r r r r rn H H H J12 2 1× − = =rot ,S S (1.3-21)

respectiv Ht2 - Ht1 = JS, adică la trecerea prin suprafaŃa de discontinuitate componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului magnetic are un salt egal cu densitatea superficială a curentului.

Dacă nu există curenŃi pe suprafaŃă, componenta tangenŃială se conservă la trecerea prin suprafaŃa de discontinuitate.

Page 10: Fizica II Curs

6

VI. Legea fluxului magnetic

φ Σ = 0, (1.3-22)

unde

φ Σ ΣΣ= ∫D

Ar rBn d (1.3-23)

este fluxul magnetic calculat pe suprafaŃa închisă Σ (figura 1.3-4a). Transformând cu formula Gauss-Ostrogradski integrala de volum în integrală de

suprafaŃă, se obŃine forma locală pentru domenii de continuitate şi netezime

div .rB = 0 (1.3-24)

Fig. 1.3-4. NotaŃii pentru legea fluxului magnetic (a) şi cazul unei suprafeŃe de discontinuitate (b).

Pentru suprafeŃe de discontinuitate, se scrie forma integrală a legii pe o suprafaŃă ΣS, strânsă - de o parte şi de alta - a suprafeŃei de discontinuitate (figura 1.3-4b) şi se obŃine

( )r r r rB n B n2 12 1 12 0∆ ∆A A+ − = ,

sau

( )r r r rn B B B12 2 1 0− = =div ,S (1.3-25)

respectiv B2n = B1n, adică la trecerea printr-o suprafaŃă de discontinuitate se conservă componenta normală a inducŃiei magnetice.

ObservaŃie. Adesea se introduce un câmp de vectori auxiliar rA , numit potenŃial

magnetic vector, prin relaŃia r rB A= rot . (1.3-26)

Astfel este satisfăcută identic forma locală (1.3-24). Câmpul de vectori

rA este determinat numai dacă se cunoaşte şi divergenŃa sa, care

poate fi dată de - condiŃia de etalonare Coulomb: div ,

rA = 0

- condiŃia de etalonare Lorentz: div .rA e

e= −εµ∂

V

t

Ultima etalonare este folosită pentru potenŃialele electrodinamice: potenŃialul vector rA e

şi potenŃialul scalar Ve.

VII. Legea legăturii dintre . si , MHBrrr

( )r r rB H M= +µ 0 , (1.3-27)

unde rM este vectorul magnetizaŃiei.

Page 11: Fizica II Curs

7

VIII. Legea magnetizaŃiei temporare

MagnetizaŃia are o componentă permanentă rM p , independentă de valoarea actuală a

intensităŃii câmpului magnetic şi o componentă temporară rM t , care depinde de valoarea

actuală a acestui câmp r r rM M M= +p t . (1.3-28)

Legea magnetizaŃiei temporare exprimă dependenŃa magnetizaŃiei temporare de intensitatea câmpului magnetic

( )r rM Ht = f . (1.3-29)

In materiale magnetice liniare, izotrope şi fără magnetizaŃie permanentă r rM Ht m= χ , (1.3-

29') iar cu legile VII şi VIII se obŃine relaŃia constitutivă

r r rB H H= =µ µ µ0 r . (1.3-30)

IX. Legea conservării sarcinii electrice

iq

Σ= −d

d, (1.3-31)

în care

i A q vD

DΣ ΣΣ Σ

Σ

= =∫ ∫r rJ n d , d .ρ v (1.3-32)

Fig. 1.3-5. NotaŃii pentru legea conservrii sarcinii electrice (a) şi cazul unei suprafeŃe de discontinuitate (b).

Curentul este calculat cu versorul normalei rnΣ orientat spre exteriorul suprafeŃei închise

Σ (figura 1.3-5a). Legea exprimă curentul electric de conducŃie ca un flux de sarcini electrice, sau sarcina electrică ca o integrală în timp a curentului de conducŃie.

Legea se poate prezenta şi sub forma integrală explicită

r rJ n ΣΣ Σ

dd

dd .A

tv

D∫ ∫= − ρv (1.3-33)

Din nou, suprafaŃa Σ este considerată solidară cu corpurile aflate în mişcare. Pentru a introduce sub semnul integrală operatorul de derivare în raport cu timpul trebuie folosită derivata substanŃială de volum. Pentru un câmp scalar g

d

dd

d

dd ,

tg v

g

tv

D DΣ Σ∫ ∫= v (1.3-34)

unde

Page 12: Fizica II Curs

8

( )d

ddivv g

t

g

tg= +

rw (1.3-35)

este derivata substanŃială de volum în raport cu timpul. Mai sus s-a notat cu rw vectorul

vitezei punctului în raport cu sistemul de referinŃă. Cu această derivată, forma integrală a legii conservării sarcinii electrice devine

r rJ n ΣΣ Σ

dd

dd .A

tv

D∫ ∫= − v vρ (1.3-36)

Transformând membrul stâng cu formula Gauss-Ostrogradski în integrală de volum, în domenii de continuitate şi netezime a câmpului densităŃii de curent se stabileşte forma locală

divd

d.

rJ = − v vρ

t (1.3-37)

Pentru suprafeŃe de discontinuitate, se scrie forma integrală pe o suprafaŃă ΣS, strânsă - de o parte şi de alta - a suprafeŃei de discontinuitate, încărcată cu densitatea de suprafaŃă a sarcinii ρS (figura 1.3-5b) şi se obŃine

( )r r r rJ n J n2 12 1 12∆ ∆ ∆A A A+ − = −

∂ρ

∂S

t,

sau

( )r r r rn J J J12 12 − = = −div ,S

S∂ρ

∂ t (1.3-38)

respectiv J2n - J1n = -∂ρS/∂t, adică saltul componentei normale a densităŃii curentului de conducŃie este proporŃional cu derivata în raport cu timpul a densităŃii de suprafaŃă a sarcinii electrice.

Pe suprafeŃe neîncărcate se conservă componenta normală a densităŃii de curent.

X. Legea conducŃiei electrice

se prezintă întâi în formele locale

( )r r r r r rE E J J E E+ = = +i i sau ρ σ, , (1.3-39)

unde rE i este vectorul intensităŃii câmpului electric imprimat (care este exprimarea în limbaj

electric al unor câmpuri de forŃe de natură neelectrică) şi apoi în formele integrale, pentru circuite filiforme

( )u e R i i G u ef i f i sau + = = +, , (1.3-40)

unde, cu notaŃiile din figura 1.3-6,

Fig. 1.3-6. NotaŃii pentru forma integrală a legii conducŃiei electrice.

Fig. 1.3-7. NotaŃii pentru forma integrală a legii transformării energiei în conductoare.

Page 13: Fizica II Curs

9

u e Rs

AG

Ri A J

D D D

f C i iC C= = = = =∫ ∫ ∫

r r r rE s E sd , d ,

d, , .

ρ 1 (1.3-41)

S-a presupus o distribuŃie uniformă a curentului pe secŃiunea transversală (de arie A) a conductorului filiform, care are curba axă C, pe care se defineşte tensiunea în lungul firului uf, tensiunea electromotoare imprimată ei şi rezistenŃa R, respectiv conductanŃa G.

In expresia ultimelor mărimi ρ = 1/σ este rezistivitatea în punctul curent, iar A este aria secŃiunii transversale pe liniile de curent; ambele mărimi pot fi variabile de la punct la punct.

XI. Legea transformării energiei în conductoare

se prezintă întâi în forma locală, care exprimă densitatea de volum a puterii electromagnetice cedată corpurilor în procesul de conducŃie

pJ =r rE J, (1.3-42)

sau, Ńinând seama de legea conducŃiei electrice

p J p pJ i R g= − = −ρ 2r rE J , (1.3-43)

unde pR este densitatea de volum a puterii disipate prin efect Joule, iar pg este densitatea de volum a puterii generate sub influenŃa câmpurilor imprimate.

Pentru conductoare filiforme (figura 1.3-7), integrând pe volumul conductorului, se stabileşte forma integrală a legii. Puterea PJ primită de conductor în procesul de conducŃie este

PJ = uf i, (1.3-44)

łinând seama de legea conducŃiei electrice se obŃine

PJ = R i2 - ei i = PR - Pg, (1.3-45)

unde PR este puterea disipată prin efect Joule, iar Pg este puterea generată datorită tensiunii electromotoare imprimate.

XII. Legea electrolizei

exprimă efectul electrochimic al curentului electric de conducŃie, sub forma

mq

=ℜ

A

F,

0

(1.3-46)

în care m este masa depusă prin electroliză de sarcina electrică q (integrala curentului de conducŃie), dintr-o substanŃă cu masa atomică A şi ℜ valenŃe, F0 fiind constanta lui Faraday.

* = * = *

Se reaminteşte că în forma integrală a legilor vectorul element de arc drs care dă sensul

de parcurgere al curbei închise Γ ce mărgineşte suprafaŃa deschisă SΓ şi versorul normalei la suprafaŃă

rnSΓ

sunt asociaŃi după regula burghiului drept, iar pentru suprafaŃa închisă Σ

versorul normalei rn Σ este orientat spre exterior.

Domeniile de integrare se consideră a fi antrenate de corpuri în mişcarea lor, deci se folosesc derivatele substanŃiale de flux şi de volum.

În legi intervin trei constante universale:

Page 14: Fizica II Curs

10

- constanta electrică (permitivitatea vidului) ε0 = 1/(4π 9.109) [F/m],

- constanta magnetică (permeabilitatea vidului) µ0 = 4π 10-7 [H/m],

- constanta lui Faraday (echivalentul electrochimic) F0 = 96490 [C/g].

1.4. DISCUłIE ASUPRA SISTEMULUI LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

Legile I, II, III, V, VI, VII, IX şi XI sunt legile generale ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic.

Legile IV, VIII, X şi XII sunt principalele legi de material şi în ele intervin, în afara constantelor universale, anumite mărimi de material (dependente local de natura acestuia, de temperatură, de starea de deformare sau tensionare locală etc.): susceptivitatea electrică χe, permitivitatea ε = ε0 εr, susceptivitatea magnetică χm, permeabilitatea µ = µ0 µr, rezistivitatea ρ sau conductivitatea σ = 1/ρ, intensitatea câmpului electric imprimat

rE i , masa atomică A,

valenŃa ℜ . Există şi alte legi de material cu aplicativitate mai restrânsă în determinarea câmpului electromagnetic: legea câmpurilor imprimate voltaice, legea emisiunii electronice din metale ş.a.

Legile I, II, III şi IV stabilesc toate condiŃiile producerii câmpului electric (prin faptul că permit precizarea circulaŃiei în lungul oricărei curbe închise şi a fluxului prin orice suprafaŃă închisă, pentru fiecare dintre vectorii câmp

r rE D sau ).

Legile V, VI, VII şi VIII stabilesc toate condiŃiile producerii câmpului magnetic (prin faptul că permit precizarea circulaŃiei în lungul oricărei curbe închise şi a fluxului prin orice suprafaŃă închisă, pentru fiecare dintre vectorii câmp

r rH B sau ).

Legile IX şi X stabilesc proprietăŃi ale curentului electric de conducŃie şi permit determinarea vectorului câmp

rJ , iar legea XI stabileşte efectul energetic al procesului de

conducŃie a curentului electric. Legea XII precizează efectul chimic al curentului de conducŃie.

Principalele dependenŃe pe care le implică sistemul legilor I-X de mai înainte, în condiŃiile obişnuite întâlnite în aplicaŃii tehnice, pot fi reprezentate schematic ca în figura 1.4-1. SăgeŃile indică sensul cauzal, iar săgeŃile cu linie întreruptă indică legăturile care există numai în stări variabile în timp (regim ne-staŃionar). SăgeŃile cu ambele sensuri indicate corespund unei interdependenŃe a cărei interpretare cauzală depinde de condiŃii concrete suplimentare.

Principalele idei exprimate în această reprezentare sunt următoarele. a) In regim staŃionar nu există practic influenŃă reciprocă între fenomenele electrice şi

magnetice, singura legătură între aceste categorii de fenomene fiind exprimată de legea lui Ohm (X), conform căreia repartiŃia câmpului imprimat (adică a surselor) determină atât curenŃii din conductoare (şi deci câmpul magnetic produs de aceşti curenŃi), cât şi repartiŃia câmpului electric din conductoare. Câmpul electric şi câmpul magnetic sunt în legătură exclusiv prin intermediul corpurilor conductoare, parcurse de curent electric de conducŃie. În lipsa curenŃilor electrici de conducŃie, această legătură dispare şi rezultă două câmpuri de vectori complet independente: câmpul electrostatic şi câmpul magnetostatic.

b) In regim staŃionar, câmpul electric în izolanŃi este determinat de repartiŃia sarcinilor electrice şi a momentelor electrice (legile II şi III); totodată câmpul electric influenŃează repartiŃia momentelor electrice (partea lor temporară) prin legea de material a polarizaŃiei temporare (IV), iar în conductoare, câmpul electric impune repartiŃia de sarcină electrică (de obicei, superficială), fiind determinat de repartiŃia câmpului electric imprimat

Page 15: Fizica II Curs

11

(prin condiŃia de echilibru electrostatic, care rezultă din X). Câmpul electric staŃionar este produs de corpuri încărcate electric sau polarizate electric.

Fig. 1.4-1. Principalele relaŃii şi dependenŃe între legile I-X ale câmpului electromagnetic.

c) In regim staŃionar (şi cvasistaŃionar) câmpul magnetic este determinat de repartiŃia curenŃilor electrici şi a momentelor magnetice (legile V, VI şi VII); totodată câmpul magnetic influenŃează repartiŃia momentelor magnetice (partea lor temporară), prin legea de material a magnetizaŃiei temporare (VIII). Câmpul magnetic staŃionar este produs de corpuri magnetizate sau parcurse de curent electric.

d) In regim variabil în timp apare o condiŃionare reciprocă între repartiŃia de sarcină şi cea de curent prin legea conservării sarcinii (IX); totodată mai apare o dublă legătură directă (nu prin intermediul corpurilor) între câmpul electric şi câmpul magnetic: câmpul magnetic variabil în timp determină apariŃia unui câmp electric solenoidal (indus) prin fenomenul inducŃiei electromagnetice (I); câmpul electric variabil în timp determină apariŃia unui câmp magnetic solenoidal produs de curentul de deplasare, care intervine în legea circuitului magnetic (V). Această legătură dublă condiŃionează existenŃa câmpului electromagnetic "desprins" de corpuri, sub formă de unde electromagnetice, care se propagă cu o viteză finită.

* = * = *

Sistemul legilor câmpului electromagnetic trebuie să îndeplinească patru condiŃii de natură metateoretică:

a) sistemul să fie complet, adică să permită descrierea completă a unei anumite clase de stări şi de fenomene. Pentru câmpurile de vectori, legile trebuie să permită cunoaşterea circulaŃiei vectorului câmp pe orice curbă închisă şi a fluxului câmpului prin orice suprafaŃă închisă. Sistemul prezentat permite îndeplinirea acestei condiŃii pentru oricare dintre câmpurile

r r r r rE D H B J, , , , ;

b) sistemul să fie necontradictoriu, condiŃie care este satisfăcută de sistemul legilor teoriei Maxwell-Hertz;

c) legile sistemului să fie independente, adică sistemul să nu conŃină afirmaŃii deductibile din altele ale aceluiaşi sistem.

Din punct de vedere strict axiomatic, legea IX (a conservării sarcinii electrice) nu este independentă de legile II şi V (a fluxului electric, respectiv a circuitului magnetic), ci rezultă

Page 16: Fizica II Curs

12

din ele. De fapt, pe neconcordanŃa dintre teorema lui Ampère şi legea conservării sarcinii electrice şi-a bazat Maxwell raŃionamentul prin care a stabilit forma legii circuitului magnetic. Există enunŃuri mai generale decât în acest curs pentru legile II şi V, care asigură independenŃa logică a tuturor legilor generale prezentate.

Dacă se aplică legea circuitului magnetic (V) unui contur Γ care se reduce în cele din urmă la un punct, lăsând o suprafaŃă SΓ finită (fig. 1.4-2), care devine o suprafaŃă închisă Σ, se stabilesc următoarele limite

Fig. 1.4-2. SuprafaŃă şi contur pentru stabilirea legii conservării sarcinii electrice din legea circuitului magnetic.

r rH sd , ,Γ Σ ΣΘ Ψ Ψ

Γ Γ∫ → → →0 S Si (1.4-1)

şi, Ńinând seama de legea fluxului electric (ΨΣ = qΣ) rezultă legea conservării sarcinii electrice iΣ + dqΣ/dt = 0, ca o consecinŃă a legii circuitului magnetic.

Este posibil să se păstreze conservarea sarcinii electrice ca lege, atunci legile fluxului electric şi fluxului magnetic devin teoreme. Intr-adevăr, aplicând legea circuitului magnetic şi legea inducŃiei electromagnetice pe suprafaŃa definită anterior (al cărei contur de sprijin se va reduce la un punct, fig. 1.4-1) se obŃin relaŃiile

.0dd si 0dd =φ=Ψ+ ΣΣΣ tti (1.4-2)

łinând seama de legea conservării sarcinii electrice şi integrând expresiile, se stabilesc relaŃiile

d d d d , ,

d d , .

Ψ ΨΣ Σ Σ Σ

Σ Σ

t q t q const

t const

= = +

= =

sau

sau

1

0 2φ φ

CondiŃiile de coerenŃă internă a teoriei, ca şi constatarea de natură experimentală că prin mijloace adecvate se poate anula câmpul electromagnetic într-o regiune oarecare din spaŃiu, impun ca cele două constante să fie nule. Astfel rezultă teorema fluxului electric şi teorema

fluxului magnetic. În lucrarea de faŃă, ca şi în multe altele, datorită importanŃei practice deosebite a celor

trei legi implicate se trece peste această redondanŃă şi se păstrează sistemul legilor sub forma enunŃată anterior, cu 12 legi.

d) Mai trebuie adăugată condiŃia ca legile să fie verificate de experienŃă (criteriul de adevăr), deşi această condiŃie nu este necesară din punctul de vedere axiomatic, însă este esenŃială pentru aplicaŃiile practice. Din acest punct de vedere legile teoriei Maxwell-Hertz au fost verificate experimental, fiind confirmate aproape toate consecinŃele lor. ExcepŃie fac unele experienŃe cu corpuri polarizate aflate în mişcare (Roentgen şi Eichenwald) sau cu corpuri care se mişcă la viteze foarte mari. Aceste cazuri sunt explicate complet de teoria relativistă a câmpului electromagnetic (Minkowski, Einstein), care însă implică redefinirea unor concepte fundamentale şi se aplică numai sistemelor inerŃiale.

Limitările introduse de "deficienŃele" electrodinamicii Maxwell-Hertz prezintă o importanŃă redusă pentru practica inginerească, fapt pentru care această electrodinamică stă la baza tuturor metodelor inginereşti.

Page 17: Fizica II Curs

13

1.5. ECUAłIILE LUI MAXWELL ŞI MAXWELL-HERTZ

Câmpul electromagnetic poate fi studiat sistematic cu ajutorul formelor locale ale legilor. Se numesc ecuaŃiile lui Maxwell ecuaŃiile cu derivate parŃiale care reprezintă formele locale ale legilor generale ale câmpului electromagnetic în medii imobile (viteza locală rw→ 0) şi în domenii de continuitate şi netezime a proprietăŃilor fizice locale. În scriere vectorială aceste ecuaŃii sunt:

( )rot ,r r

r

H JD

= +∂

∂ tlegea V (1.5-1)

( )rot ,r

r

EB

= −∂

∂ tlegea I (1.5-2)

( )div ,rD = ρv legea II (1.5-3)

( )div ,rB = 0 legea VI (1.5-4)

EcuaŃiile lui Maxwell se completează cu relaŃiile dintre r r r rD E B H º i dintre º i , şi dintre

r rE J º i (legile III, IV, VII, VIII şi X), care în medii liniare sunt relaŃiile constitutive

r rD E= ε , (1.5-5)

r rB H= µ , (1.5-6)

( )r r rJ E E= +σ i . (1.5-7)

Rezolvarea sistemului de ecuaŃii (1.5-1)...(1.5-7) este posibilă în principiu, dacă se dau ε,

µ, sursele ρ şi ( )r rJ Esau º i i σ , condiŃiile pe frontiera domeniului în care se determină câmpul

(componenta tangeŃială a lui r rH E sau a lui ) şi condiŃiile iniŃiale (teorema unicităŃii ecuaŃiilor

câmpului electromagnetic); la suprafeŃe de discontinuitate a proprietăŃilor de material se Ńine seama de condiŃiile de trecere, formulate în capitolele anterioare.

ObservaŃie. EcuaŃiile Maxwell-Hertz, pentru corpuri în mişcare, se obŃin înlocuind în primele două ecuaŃii derivata parŃială în raport cu timpul prin derivata de flux

∂ ∂ t t→ d d .f (1.5-8)

1.6. UNDA ELECTROMAGNETICĂ PLANĂ

O consecinŃă importantă a ecuaŃiilor lui Maxwell este existenŃa câmpului electromagnetic "desprins" de corpuri sub forma undelor electromagnetice. ExistenŃa acestor unde este determinată de o legătură dublă între câmpul electric şi câmpul magnetic (prin legea inducŃiei electromagnetice şi legea circuitului magnetic), care nu este mijlocită de corpuri.

Pentru a pune în evidenŃă unele proprietăŃi ale undelor electromagnetice se va studia cel mai simplu caz, al unei unde electromagnetice plane, în care mărimile dintr-un plan depind numai de o coordonată de-a lungul unei drepte perpendiculare pe plan şi de timp. Se alege planul perpendicular pe axa Ox, iar direcŃia axei va fi numită direcŃie de propagare. Mărimile de stare ale câmpului vor fi

Page 18: Fizica II Curs

14

( ) ( )r r r rE E H H= =x t x t, , , . (1.6-1)

O undă electromagnetică plană există (practic) la distanŃe suficient de mari de orice sursă de câmp electromagnetic, într-un mediu liniar, izotrop, omogen şi imobil. Fie ε permitivitatea şi µ permeabilitatea mediului. Se caută soluŃiile variabile în timp ale ecuaŃiilor lui Maxwell, în ipoteza (1.6-1), considerând că in mediu nu există nici sarcini electrice (ρv = 0), nici curenŃi de conducŃie (

rJ = 0). In aceste condiŃii, Ńinând seama că derivatele spaŃiale în

raport cu y şi z sunt nule, ecuaŃiile componentelor mărimilor de stare devin

∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

E t H x E t H x E t

H t E x H t E x H t

E x H x

x z y y z

x z y y z

x x

= − = =

= − = − = −

= =

0

0

0 0

, , ,

, , ,

, .

(1.6-2)

(1.6-2)

(1.6-3)

Din aceste ecuaŃii rezultă două consecinŃe importante: a) Unda electromagnetică plană este transversală, adică nu are componente variabile

în direcŃia de propagare: Ex = const1, Hx = const2. Componentele variabile în timp ale vectorilor

r rE H º i se află în plane transversale faŃă de direcŃia de propagare.

b) Sistemele de ecuaŃii rămase (1.6-2) şi (1.6-3) se pot grupa în două perechi de ecuaŃii: una se referă numai la Ey şi Hz, iar cealaltă numai la Ez şi Hy. Cele două perechi Ey, Hz şi Ez, Hy nu sunt legate prin nici un fel de relaŃii, deci sunt independente între ele. Există deci cel puŃin două unde suprapuse care nu se influenŃează reciproc.

O undă formată dintr-o asemenea pereche se spune că este polarizată liniar. Deci o undă electromagnetică plană provine din suprapunerea a două unde cu polarizări liniare, după direcŃii ortogonale, care sunt independente între ele.

Ultima observaŃie permite restrângerea studiului la una dintre aceste unde: perechea Ey, Hz, adică se presupune Ez = 0 şi Hy = 0. Vectorii câmpului

r r r rE j H k= =E Hy z, sunt

perpendiculari între ei şi ambii sunt perpendiculari pe direcŃia de propagare (figura 10.1-1). Sistemul de ecuaŃii rămas este

− = = −∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂H x E t E x H tz y y z, . (1.6-5)

Fig. 1.6-1. NotaŃii pentru unda electromagnetică plană.

Eliminând câte una dintre funcŃiunile Ey şi Hz, se obŃin ecuaŃiile de ordinul doi

∂ ∂ εµ ∂ ∂

∂ ∂ εµ ∂ ∂

2 2 2 2

2 2 2 2

0

0

E x E t

H x H t

y y

z z

− =

− =

,

,

(1.6-6)

(1.6-7)

care sunt de tipul numit ecuaŃia undelor. Din teoria ecuaŃiilor cu derivate parŃiale şe ştie că ecuaŃia undelor are soluŃia sub forma

unei funcŃiuni arbitrare f de argument

τ = −t x v , (1.6-8)

adică are forma

( ) ( )E f f t x vy = = −τ . (1.6-9)

Page 19: Fizica II Curs

15

În această expresie v este o constantă ale cărei valori posibile se determină substituind soluŃia în ecuaŃia de ordinul doi. Cu regulile de derivare cunoscute rezultă succesiv

∂ τ

∂τ

∂ τ

∂τ

∂τ

∂ τ

∂τ

E

x

f

x

f

v

E

t

f

tf

E

x v

f

x x

f

v

E

t

f

tf

y y

y y

= = − = =

= − = = =

d

d

',

d

d' ,

d

d

",

d

d" ,

2

2 2

2

2

1

adică se obŃine ecuaŃia

( )f v" .1 02 − =εµ (1.6-10)

EcuaŃia este satisfăcută dacă

v v2 1 1εµ εµ= = ±, . sau (1.6-11)

SemnificaŃia fizică a constantei v se poate stabili astfel. Se scade şi se adună la argumentul τ mărimea ∆t. Se obŃine

( ) ( ) ( )( )f t x v f t t x v t v− = − − −∆ ∆ . (1.6-12)

Din această identitate se observă că valoarea funcŃiunii f depinde de timp şi de punct astfel încât în punctul x la momentul t are valoarea pe care o avea în punctul x-v∆t la momentul t-∆t. Deci repartiŃia spaŃială a funcŃiunii se deplasează în lungul axei Ox cu viteza v, numită viteză de fază a undei. Aceasta este viteza pe care trebuie să o aibă un observator, pentru ca în raport cu el repartiŃia spaŃială să apară invariabilă.

Există două valori ale vitezei de fază, egale şi de semn contrar, care arată că pot exista două unde, care se deplasează în sensuri opuse de-a lungul axei Ox: unda directă se deplaseză în sensul crescător al axei Ox (v > 0), şi unda inversă - în sensul descrescător al axei (v < 0).

ObservaŃie. Fiecare dintre aceste unde există numai dacă, undeva, departe, în partea din care "vine" unda, a existat o sursă de radiaŃie electromagnetică.

Mai departe se va studia numai unda directă şi se va nota cu c simbolul vitezei v şi cu c0 - viteza în vid a undelor electromagnetice (viteza luminii)

c c cu cr r= = =1 10 0 0 0εµ ε µ ε µ, . (1.6-13)

Cu această notaŃie unda directă pentru intensitatea câmpului electric are expresia

( )E f t xy = − c , (1.6-14)

în care f este o funcŃie arbitrară, de exemplu de forma

( ) ( )( )f t x E t xy− = − −c c max sin ω α (1.6-15)

în cazul unei variaŃii sinusoidale în timp într-un punct dat. Cunoscând intensitatea câmpului electric, se poate calcula intensitatea câmpului

magnetic:

( )∂ ∂ µ ∂ ∂ µ ∂ ∂ µH t E x f x fz y= − = − =1 1 ' ,c

iar apoi prin integrare

Page 20: Fizica II Curs

16

( ) ( )H f t f constz = = +∫ ' d .µ µc c (1.6-16)

Constanta de integrare se poate considera nulă, întrucât se caută numai soluŃiile variabile în timp. Se notează cu

( )ζ µ ε µ ε= = =c = 1 c E Hy z (1.6-17)

o mărime caracteristică a mediului, numită impedanŃă de undă, care în vid are valoarea

ζ µ ε π0 0 0 120 377= = ≈ Ω (1.6-18)

este o constantă universală, numită impedanŃa de undă a vidului. Cu această notaŃie, intensitatea câmpului magnetic se scrie

( )H E f t xz y= = −ζ ζc , (1.6-19)

adică în fiecare punct din spaŃiu este proporŃională şi în fază cu intensitatea câmpului electric (E [V/m], H [A/m] ⇒ E/H [Ω]).

Expresia (1.6-19) rezolvă complet problema determinării mărimilor de stare ale câmpului electromagnetic în unda plană.

Concluzii referitoare la undele electromagnetice plane.

a) În medii omogene, izotrope, liniare (ε,µ constante), imobile (rv = 0), neîncărcate

(ρv = 0), izolante (rJ = 0) şi indefinit extinse, soluŃiile ecuaŃiilor lui Maxwell care depind de o

singură coordonată spaŃială x de-a lungul unei axe Ox, sunt suprapuneri de unde plane elementare, care se propagă cu vitezele de fază constante ±c de-a lungul axei.

Unda plană se compune din cel mult patru unde elementare, care diferă fie prin direcŃia de propagare, fie prin direcŃia de polarizare liniară.

b) În fiecare undă elementară, vectorii HErr

si sunt perpendiculari între ei şi perpendiculari pe direcŃia de propagare; vectorii

r r rv E H, , formează un triedru ortogonal drept,

adică produsul vectorial r rE H× are direcŃia de propagare.

c) VariaŃia în timp a mărimilor HErr

si este arbitrară şi este determinată de condiŃiile de

producere a undei. In fiecare punct al undei elementare şi în fiecare moment, valorile HErr

si sunt proporŃionale, raportul lor fiind impedanŃa de undă a mediului.

Page 21: Fizica II Curs

2. ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ

2.1. ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ

ConcepŃia despre câmpul electromagnetic considerat ca sistem fizic capabil să schimbe, să acumuleze şi să transmită energie, permite să se interpreteze energetic o anumită consecinŃă a ecuaŃiilor lui Maxwell, respectiv Maxwell-Hertz, numită teorema energiei electromagnetice.

Înainte de a stabili această teoremă, se vor reaminti câteva noŃiuni de termodinamică. Termodinamica studiază stările de echilibru ale sistemelor fizice macroscopice,

transformările şi interacŃiunile lor cu alte sisteme fizice. Un sistem fizic este o porŃiune de materie bine definită şi delimitată. Sistemul are o stare,

definită prin totalitatea proprietăŃilor lui la un moment dat, caracterizată prin valorile mărimilor de stare. In stări de echilibru mărimile de stare nu variază în timp. EvoluŃia sistemului este numită transformare şi cuprinde mulŃimea ordonată a stărilor prin care trece sistemul în evoluŃia sa. Se disting transformări reversibile, care se pot parcurge şi în sens invers prin schimbarea condiŃiilor iniŃiale şi fără efecte necompensate în exterior. Transformările care la parcurgere inversă lasă efecte necompensate în exterior se numesc transformări ireversibile.

Conform primului principiu al termodinamicii (principiul conservării energiei), oricărui sistem i se poate asocia o funcŃiune de stare numită energie internă (W). Creşterea elementară a energiei interne este egală cu suma dintre cantitatea de căldură ∆Q primită de sistem şi echivalenŃii în lucru mecanic ∆L ai altor acŃiuni exercitate asupra sistemului

∆ ∆ ∆W Q LD

= + . (2.1-1)

Pentru o transformare elementară se obŃine

d .W Q L= +δ δ (2.1-2)

În cursul transformării între două stări, cantitatea de căldură ∆Q (sau δQ) şi lucrul mecanic ∆L (sau δL) pot depinde de modul particular în care se trece de la o stare la alta, pe când variaŃia energiei nu depinde de drumul parcurs, ci numai de mărimile de stare în cele două stări. Pentru a atrage atenŃia asupra acestei deosebiri s-au folosit simboluri de diferenŃiere diferite pentru energie (dW) şi pentru lucrul mecanic δL, respectiv pentru cantitatea de căldură δQ.

Lucrul mecanic elementar se exprimă, de regulă, cu ajutorul forŃelor generalizate

δL X xD

=∑ i id . (2.1-3)

Al doilea principiu al termodinamicii permite introducerea unei mărimi fizice de stare a unui sistem fizic în echilibru, numită entropie. In transformările reversibile variaŃia entropiei este dată de relaŃia

d ,S Q TD

= δ (2.1-4)

în care T este temperatura absolută. In transformări ireversibile entropia satisface inegalitatea

d ,S Q T≥ δ (2.1-4')

Îmbinând cele două principii ale termodinamicii se obŃine relaŃia fundamentală de bilanŃ în transformări reversibile

( )d , d d .W S T S X x Q Lk k

rx = + = +∑ δ δ (2.1-5)

Page 22: Fizica II Curs

14

Se numeşte energie liberă a unui sistem mărimea de stare definită prin relaŃia

( ) ( )U T W S T SD

, , .r rx x= − (2.1-6)

Cu aceasta, relaŃia fundamentală devine

( )d , d d d .U T S T X x S T Lk k

rx = − + = − +∑ δ (2.1-7)

Creşterea energiei interne a unui sistem este egală cu lucrul mecanic primit în transformări adiabatice (δQ = 0).

Creşterea energiei libere a unui sistem este egală cu lucrul mecanic primit în transformări izoterme (dT = 0).

2.2. TEOREMA ENERGIEI ELECTROMAGNETICE

Se consideră un sistem fizic care ocupă domeniul DΣ, mărginit de suprafaŃa închisă Σ, în care se află corpuri şi câmp electromagnetic. Partea energiei interne a sistemului care depinde de mărimile de stare electromagnetică se numeşte energie electromagnetică.

Câmpul electromagnetic se consideră un sistem fizic distinct de corpuri, cu care interacŃionează. Atunci se poate aplica câmpului electromagnetic relaŃia de bilanŃ stabilită anterior, care ia forma

( )− = + + +d d ,W P P P P tem J m h Σ (2.2-1)

unde Wem este energia asociată câmpului electromagnetic, PJ este puterea cedată de câmp corpurilor prin conducŃie electrică, Pm este puterea mecanică cedată de câmp corpurilor, Ph este puterea suplementară cedată de câmp corpurilor prin alte efecte, iar PΣ este puterea transmisă în exterior prin suprafaŃa Σ.

AdmiŃând conceptele de câmp şi de acŃiune prin contiguitate, toate aceste mărimi pot fi exprimate cu ajutorul unor densităŃi de volum (wem, pJ, pm, ph), respectiv a unui câmp de vectori rS pe suprafaŃă:

W w v P p v P p v

P p v P A

D D D

D

em em J J m m

h h

= = =

= =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

d , d , d ,

d , d .

Σ Σ Σ

ΣΣ ΣΣ

r rSn

(2.1-2)

Din legea transformării energiei prin conducŃie se cunoaşte

pJ =r rE J. (2.2-3)

2.3. IDENTITATEA ENERGETICĂ FUNDAMENTALĂ (POYNTING)

Se consideră ecuaŃiile lui Maxwell şi Hertz

rot d d , rot d d ,r r r rE B H J D= − = +f ft t (2.3-1)

în care df este simbolul diferenŃialei subtanŃiale (de flux). Se foloseşte identitatea vectorială

( )div rot rot .r r r r r rE H H E E H× = −

Înlocuind expresiile rotorilor mărimilor din ecuaŃiile anterioare se obŃine

Page 23: Fizica II Curs

15

( ) ( )div d d d d ,r r r r r r r rE H E J E D H B× = − − +f ft t (2.3-2)

numită forma locală a identităŃii energetice fundamentale. Integrând pe domeniul DΣ şi aplicând teorema lui Gauss-Ostrogradski, se obŃine

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫r r r r r r r rE D H B E J E H nd d d d d d d ,f ft t v v A

D DΣ ΣΣΣ

(2.3-3)

relaŃie cunoscută ca identitatea energetică fundamentală a câmpului electromagnetic. Este de observat că domeniul DΣ poate conŃine şi suprafeŃe de discontinuitate a

proprietăŃilor de material; atunci domeniul se decompune într-o sumă de subdomenii de continuitate, în fiecare subdomeniu fiind valabile formele locale ale ecuaŃiilor câmpului electromagnetic folosite la stabilirea identităŃii energetice fundamentale. Sumând puterile pe aceste subdomenii, a căror reuniune dă domeniul DΣ, şi Ńinând seama de anularea perechilor de puteri transmise prin suprafeŃele adiacente ale subdomeniilor, se regăseşte relaŃia dată mai sus.

În concluzie, identitatea energetică fundamentală, care este o consecinŃă directă a legilor câmpului electromagnetic, este valabilă în orice regim şi pentru orice structură a domeniului.

2.4. FLUXUL DE ENERGIE ELECTROMAGNETICĂ. VECTORUL LUI POYNTING

În regim staŃionar, pentru medii imobile (rw = 0 ) şi fără histerezis (Ph = 0) teorema energiei

electromagnetice şi identitatea energetică fundamentală se reduc la formele

0 = +P PJ Σ , (2.4-1a)

( )0 = + ×∫ ∫r r r r rE J E H nd d .v A

DΣΣΣ

(2.4-1b)

Întrucât cu legea transformării energiei în conductoare se identifică primul termen, rezultă că puterea transmisă PΣ este

P AΣ ΣΣ= = ×∫

r r r r rSn S E Hd , . cu (2.4-2)

Mărimea rS se numeşte vectorul lui Poynting şi reprezintă densitatea de suprafaŃă a

fluxului de energie electromagnetică. ObservaŃia 1. RelaŃia (2.4-2) nu defineşte univoc vectorul

rS , întrucât acestuia i se poate

adăuga orice câmp de vectori rS 0 solenoidal. Însă conform principiului localizării acŃiunilor

fizice, vectorul rS 0 trebuie să fie funcŃiune de mărimile locale ale câmpului şi să se anuleze odată

cu acestea. Verificările experimentale făcute până în prezent confirmă expresia (2.4-2) a vectorului lui Poynting.

ObservaŃia 2. RestricŃia referitoare la histerezis se poate elimina prin următorul raŃionament. În corpul cu histerezis se duc două suprafeŃe închise Σi şi Σe foarte apropiate una de alta, iar din spaŃiul dintre ele este evacuat materialul cu histerezis. Prin această operaŃie nu este afectat câmpul în restul domeniului, întrucât cavitatea astfel formată reprezintă local un strat dublu de sarcini electrice, respectiv de pânze de curent, care dau câmpuri nule în exterior.

Întrucât componentele tangenŃiale ale HErr

si se conservă pe suprafeŃele de discontinuitate (Σi, Σe), singurele care intervin în expresia schimbului de putere electromagnetică prin suprafaŃă, iar în cavitate este valabilă expresia (2.4-2), rezultă că această expresie poate fi păstrată şi în cazul mediilor cu histerezis.

ObservaŃia 3. Intrucât în expresia vectorului lui Poynting intervin numai mărimi de stare ale câmpului, se poate admite că aceeaşi expresie (2.4-2) a vectorului este valabilă şi în regimuri nestaŃionare. ExperienŃa nu infirmă această afirmaŃie.

Page 24: Fizica II Curs

16

AplicaŃie. Puterea electromagnetică primită de un conductor în formă de cilindru circular drept, parcurs de curent continuu (figura 2.4-1)

Fig. 2.4-1. Puterea electromagnetică transmisă unui conductor, în curent continuu.

Considerând conductorul de rază a, având rezistivitatea ρ şi fiind parcurs de curentul i, vectorul intensităŃii câmpului electric

rE va fi orientat axial şi are valoarea

E Ji

a= =ρ ρ

π 2.

Vectorul intensităŃii câmpului magnetic rH pe suprafaŃa exterioară este orientat tangent la

suprafaŃă, este conŃinut în planul transversal, are sensul asociat sensului lui rE (omoparalel cu

rJ ) după regula burghiului drept şi are valoarea

Hi

a=

2π.

Vectorul Poynting r r rS E H= × este orientat spre interiorul conductorului şi are valoarea

S E Hi

a= =

2

2 32π.

Pentru o porŃiune de lungime l a conductorului, cu aria suprafeŃei laterale (pe care S are valoarea constantă de mai sus) A = 2π a l rezultă puterea primită de conductor (cu versorul normalei

rn orientat spre interior)

P A S Ai

aΣ ΣΣ= = =∫

r rS n d .ρ

π

2

2

Se recunoaşte uşor expresia cunoscută a puterii disipate prin efect Joule (R i2). Din rezultatele obŃinute mai sus se reŃin câteva concluzii importante: - fluxul de energie poate fi calculat cu aceeaşi expresie atât în regim variabil în timp (în

condiŃiile în care a fost dedusă expresia sa), cât şi în regim staŃionar; - în conductoare intensitatea câmpului electric

rE are orientare predominant axială (sau pur

axială), iar vectorul rS este perpendicular pe

rE , ceea ce arată că energia este transmisă nu prin

conductoare, ci prin câmpul electromagnetic care le înconjoară. Conductoarele au rolul de căi (ghidaje) pentru curentul de conducŃie (care produce câmpul magnetic); ele nu transmit energia electromagnetică, dar pot consuma o parte din ea prin efect Joule-Lenz.

2.5. ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ

În cazul mediilor imobile şi fără histerezis (Pm = Ph = 0) expresiile teoremei energiei electromagnetice şi a identităŃii energetice fundamentale se reduc la

− = +d d ,W t P Pem J Σ (2.5-1a)

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫r r r r r r r r rE D H B E J E H n∂ ∂ ∂ ∂t t v v A

D Dd d d .

Σ ΣΣΣ

(2.5-1b)

Page 25: Fizica II Curs

17

łinând seama de rezultatele precedente, se obŃine expresia diferenŃialei energiei electromagnetice sub forma

( ) ( )d d d d d d d .W v w w vD D

em e m= + = +∫ ∫r r r rE D H B

Σ Σ

(2.5-2)

Notă. Transformarea expresiilor tt d∂∂Dr

şi .d tt∂∂Br

Fie diferenŃiala vectorului rD în reperul cartezian

d d d d d .r

r r r r

DD D D D

= + + +∂

∂tt

xx

yy

zz

Într-un punct fix (în acela în care se consideră elementul de volum dv) ultimii trei termeni sunt nuli şi rezultă că ∂ ∂

r rD Dt td d= şi în acelaşi mod ∂ ∂

r rB Bt td d= . Cu observaŃia că

simbolul diferenŃierii se referă la un punct fix în spaŃiu. În expresia (2.5-2) se identifică diferenŃialele a două densităŃi de volum, a energiei electrice

şi a energiei magnetice

d d , d d .w we m= =r r r rE D H B (2.5-3)

Integrând între două stări (1) şi (2) ale câmpului se obŃine

∆w w w wD

D

e e2 e1 e= − = =∫ ∫d d ,1

2

1

2 r rE D (2.5-4)

∆w w w wB

B

m m2 m1 m= − = =∫ ∫d d .1

2

1

2 r rH B (2.5-5)

În cazul materialelor fără histerezis, fără polarizaŃie permanentă şi fără magnetizaŃie permanentă se poate adopta ca stare de referinŃă pentru energia electromagnetică starea în care mărimile de stare ale câmpului sunt nule. Expresiile densităŃii de volum a energiilor devin

w wD B

e m= =∫ ∫r r r rE D H Bd , d .

0 0 (2.5-6)

În cazul unui mediu izotrop, aceste mărimi reprezintă aria unui triunghi curbiliniu, cuprins între curba D(E), respectiv B(H), axa ordonatelor şi dreapta de nivel D, respectiv B (figurile 2.5-2 a şi b).

Fig. 2.5-2. DiferenŃialele densităŃilor energiilor şi densităŃile energiilor electrice şi magnetice.

Se pot defini şi densităŃile de volum ale coenergiei

w wE H

' d , ' d ,e m= =∫ ∫r r r rD E B H

0 0 (2.5-7)

care în cazul mediilor izotrope sunt reprezentate de ariile unor triunghiuri curbilinii închise de curba materialului, axa absciselor şi dreapta verticală E = const respectiv H = const (v. fig. 2.5-2 a şi b).

Cele două densităŃi de volum, a energiei şi a coenergiei, satisfac relaŃia evidentă

Page 26: Fizica II Curs

18

w w w we e m m+ = + =' , ' .r r r rE D H B (2.5-8)

În cazul particular al mediilor liniare (fără polarizaŃie permanentă şi fără magnetizaŃie permanentă) se obŃine

w w w we e m m= = + =' , ' .12

12

r r r rE D H B (2.5-9)

În cazul mediilor cu histerezis, cu polarizaŃie permanentă sau/şi cu magnetizaŃie permanentă starea de referinŃă pentru energie se alege arbitrar, ne mai existând un criteriu natural de alegere, în care câmpul este nul.

Deoarece expresiile densităŃilor de volum ale energiei electromagnetice sunt funcŃiuni numai de mărimile de stare ale câmpului, se poate afirma că ele rămân valabile în orice regim (inclusiv în regimuri nestaŃionare).

ObservaŃia 1. Făcând raportul densităŃilor de volum ale energiilor magnetice şi electrice în mediul "aer", se obŃine

( ) ( ) ( )w w B E B Em e aer c= =20 0

2 2 2ε µ ,

în care c este viteza luminii. Pentru valorile uzuale B = 1 T şi E = 10 kV/cm = 106 V/m, se obŃine valoarea 90.000, adică densitatea de volum a energiei magnetice în întrefierul dispozitivele magnetice uzuale este cu aproape 5 ordine de mărime mai mare decât în interstiŃiile izolante ale dispozitivelor electrice, fapt care explică preferinŃa dată dispozitivelor magnetice în instalaŃiile de forŃă. ObservaŃia 2. La deducerea relaŃiilor de mai sus s-a considerat tacit că transformările sunt izoterme, întrucât proprietăŃile de material, care depind de temperatură, s-au considerat neschimbate. Rezultă că expresiile stabilite pentru energia electromagnetică reprezintă, de fapt, energia liberă.

2.6. SCHIMBUL DE PUTERE PRIN HISTEREZIS. TEOREMA LUI WARBURG

Se constată experimental că variaŃia în timp a câmpului electromagnetic în medii cu histerezis este însoŃită de un schimb de energie între câmp şi corp. Acest schimb de energie a fost luat în consideraŃie în teorema energiei electromagnetice cu ajutorul puterii Ph.

Fie o transformare într-un mediu imobil, cu histerezis. În aceste condiŃii expresiile teoremei energiei electromagnetice şi a identităŃii energetice fundamentale devin

− = + +d d ,W t P P Pem J h Σ (2.6-1a)

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫r r r r r r r r rE D H B E J E H n∂ ∂ ∂ ∂t t v v A

D Dd d d ,

Σ ΣΣΣ

(2.6-1b)

întrucât Pm = 0, iar la corpuri imobile df/dt → ∂/∂t. Scăzând una din alta cele două relaŃii şi Ńinând seama că ultimele două integrale reprezintă

puterea PJ, disipată prin efect Joule şi puterea PΣ, transmisă prin suprafaŃa Σ, rezultă

( )− + + =∫d d d d .W t t t v P tD

em h

r r r rE D H B∂ ∂ ∂ ∂

Σ

(2.6-2)

Pentru energia electromagnetică nu se pot folosi expresiile (2.5-7), întrucât acestea au fost stabilite pentru medii fără histerezis. Deocamdată nu există o teorie a schimbului instantaneu de putere între câmp şi un mediu cu histerezis.

Această dificultate se poate depăşi calculând schimbul de energie pentru un ciclu complet de histerezis, cazul cel mai frecvent întâlnit în practică (al corpurilor aflate în câmp electromagnetic variabil alternativ în timp).

Page 27: Fizica II Curs

19

Integrând pe un ciclu Cem, se obŃine

( )− + + =∫ ∫ ∫d d d d d .W v P temC C hCem em em

r r r rE D H B (2.6-3)

Prima integrală este nulă, întrucât energia electromagnetică este o funcŃiune de stare, respectiv dWem este o diferenŃială totală exactă, iar pe un ciclu are variaŃie nulă.

Energia cedată de câmp corpurilor la parcurgerea unui ciclu (de histerezis) este

( )∆Σ

W P t vD

Dh ciclu hC Cem em

= = +∫ ∫∫d d d d .r r r rE D H B (2.6-4)

În ultima integrală, termenii

A Ae C m Cem em

= =∫ ∫r r r rE D H Bd , d (2.6-5)

reprezintă aria unui ciclu de histerezis electric, respectiv magnetic, în planele E,D, respectiv H,B (figurile 2.5-3 a şi 2.5-3 b), iar suma lor

( )∆w A Ah e m= + (2.6-6)

reprezintă densitatea de volum a energiei cedată corpurilor prin histerezis.

Fig. 2.5-3. Ciclurile de histerezis electric (a) şi magnetic (b).

În final se obŃine expresia

( )∆Σ

W A A vD

h ciclu e m= +∫ d . (2.6-7)

Acest rezultat constituie teorema lui Warburg. Într-un câmp electromagnetic periodic, care variază alternativ cu frecvenŃa f, în unitatea de

timp se parcurg f cicluri de histerezis. Atunci puterea medie cedată de câmp corpurilor prin fenomenul de histerezis se exprimă sub forma

( )P f W f A A vD

h h ciclu e m= = +∫∆Σ

d . (2.6-8)

Dacă mediul este omogen, cu volumul V, iar câmpul este uniform în acest volum, atunci se poate folosi expresia simplă

( )P Vf A Ah e m= + . (2.6-9)

Densitatea de volum a puterii cedate corpurilor prin histerezis în câmp periodic este

( )p f A Ah e m= + . (2.6-10)

2.7. PIERDERI ÎN CIRCUITELE MAGNETICE

Maşinile, transformatoarele şi bobinele au circuite magnetice, care pot fi parcurse de fluxuri magnetice alternative şi în acest caz în ele se produc pierderi în fier, datorite fenomenului de

Page 28: Fizica II Curs

20

histerezis magnetic şi curenŃilor Foucault induşi. Cele două componente ale pierderilor se numesc pierderi prin histerezis şi pierderi Foucault

P P PFe H F= + . (2.7-1)

Aceste pierderi se exprimă ca integrale de volum ale unor pierderi specifice pFe, pH şi pF

P p v P p v P p vD D D

Fe Fe H H F F= = =∫ ∫ ∫d , d , d .Σ Σ Σ

(2.7-2)

ObservaŃie. In tehnică se preferă a se lucra cu densităŃi ale pierderilor raportate la masă, adică cu γpFe, γpH, γpF, dacă γ este densitatea materialului.

În cazul unui câmp magnetic care variază sinusoidal în timp, de forma

( ) ( )B t B t B f t= =m msin sin ,ω π2

pierderile specifice depind de proprietăŃi de material, de frecvenŃa f şi de amplitudinea Bm a inducŃiei magnetice.

Pierderile specifice prin histerezis se exprimă, practic, prin formula lui Steinmetz

[ ] [ ]p k f BH H mn 3W dm sau W kg= . (2.7-3)

Coeficientul kH reprezintă densitatea de volum a energiei cedate pe ciclu de histerezis cu amplitudinea de 1 T. Exponentul n depinde de tipul materialului şi de inducŃia maximă, având valori cuprinse între 1,6 şi 2,7.

Pierderile specifice Foucalt sunt proporŃionale cu pătratul inducŃiei maxime şi cu pătratul frecvenŃei

[ ] [ ]p k f BF F m2 3W dm sau W kg= 2 . (2.7-4)

ObservaŃie. Se mai pune în evidenŃă faptul că pierderile Foucalt variază proporŃional cu conductivitatea σ a materialului şi pătratic cu grosimea ∆ a tolelor în care este fracŃionată secŃiunea circuitului magnetic. De regulă, pentru dispozitivele electromagnetice funcŃionând la frecvenŃa industrială se folosesc tole cu grosimi cuprinse între 0,3 şi 0,5 mm, din oŃel electro-tehnic, aliat cu siliciu, aliere care reduce piederile prin histerezis şi conductivitatea.

Pierderile specifice în fier reprezintă suma celor două pierderi specifice definite anterior

p p pFe H F= + . (2.7-5)

La frecvenŃa industrială (50 Hz), ponderea primului termen este deobicei mai mare (cam 80%).

Valorile pierderilor în fier se dau sub formă de diagrame, iar materialele magnetice se caracterizează sintetic prin pierderile specifice la 1 T şi la 1,5 T (şi 50 Hz). Pierderile specifice la 1 T ale tolelor de oŃel electrotehnic variază între 0,4...0,5 W/kg (pentru transformatoare) şi 2,5...3,5 W/kg (pentru maşini electrice rotative).

2.8. TEOREMA TRANSFERULUI DE PUTERE PE LA BORNELE UNUI MULTIPOL

(TEOREMA LUI R. RĂDULEł)

Se consideră un domeniu DΣ, delimitat de suprafaŃa închisă Σ, dielectrică şi imobilă, prin care trec n conductoare, având curenŃii de conducŃie ik, k = 1, ...,n, cu sensuri de referinŃă intrând în suprafaŃa Σ. SuprafeŃele de secŃiune Sbk, k = 1, ..., n ale conductoarelor cu suprafaŃa Σ se numesc borne.

Page 29: Fizica II Curs

21

Se va considera cazul, important în practică, al regimului cvasistaŃionar particular, în care, în exteriorul surselor şi al receptoarelor, respectiv pe toată suprafaŃa Σ:

- curentul de deplasare prin suprafaŃa Σ este neglijabil, - câmpul magnetic are o componentă variabilă în timp, normală pe Σ, neglijabilă, - curentul electric trece numai prin cele n conductoare. CondiŃiile de mai sus, satisfăcute de liniile de transport şi de distribuŃie a energiei electrice

(electromagnetice) şi de multe dispozitive electromagnetice, se exprimă matematic prin relaŃiile

rr

rr r r

UD

nB

n J nt t

k

k

n

= = = ==

0 0 0 01

pe , pe , pe S SbΣ Σ Σ \ . (2.8-1)

In aceste relaŃii cu rn s-a notat versorul normalei la suprafaŃa Σ, orientat spre interiorul

domeniului, cu S0 s-a notat partea din suprafaŃa închisă Σ care trece exclusiv prin dielectrici (izolanŃi). Pentru simplificarea raŃionamentelor, se va considera suplimentar că densitatea curenŃilor de conducŃie

rJ în conductoare este perpendiculară pe suprafeŃele de secŃiune, adică

r rUJ n× ==

01

pe Sbkk

n

. (2.8-2)

Se mai notează cu Γ1, Γ2, ..., Γn contururile suprafeŃelor de secŃiune Sbk, cu sensuri de parcurgere asociate sensurilor de referinŃă ale curenŃilor după regula burghiului drept.

În condiŃiile de mai sus, Ńinând seama de prima şi de a treia condiŃie, din legea conservării sarcinii electrice rezultă

ikk

n

=∑ =

1

0. (2.8-3)

Fig. 2.8-1. NotaŃii pentru teorema transferuilui de putere pe la bornele unui multipol.

A doua condiŃie conduce la concluzia că pe suprafaŃa Σ câmpul electric are o componentă solenoidală neglijabilă

rotrE = 0 pe ,Σ (2.8-4)

deci pe această suprafaŃă se poate defini un potenŃial V, din care derivă intensitatea câmpului electric

rE = − grad .V (2.8-5)

Întrucât, în baza legii lui Ohm (r rE J= ρ în conductoare) şi a ipotezei (2.8-2) intensitatea

câmpului electric este perpendiculară pe suprafeŃele de secŃiune Sbk, rezultă că vectorul Poynting r r rS E H= × nu are componentă axială în conductoare. Ca urmare energia electromagnetică nu se

Page 30: Fizica II Curs

22

transmite prin conductoare, ci numai prin suprafaŃa S0 din exteriorul lor, pe care rS poate avea o

componentă longitudinală, paralelă cu normala rn la suprafaŃă.

Tot din condiŃia de mai sus, se observă că suprafeŃele Sb1, Sb2, ..., Sbn sunt echipotenŃiale (întrucât

rE nu are componentă tangentă la aceste suprafeŃe) şi au potenŃialele V1, V2, ..., Vn;

aceleaşi potenŃiale le au şi contururile Γ1, Γ2, ..., Γn. Puterea electromagnetică care intră în domeniul DΣ, prin suprafaŃa Σ, va fi

P A AΣ Σ= =∫ ∫

r r r rS n S nd d .

S0

(2.8-6)

łinând seama de (2.8-5), vectorul Poynting poate fi exprimat sub forma

( ) ( ) ( ) ( )r r r r r r r rS E H H H H H H= × = − ∇ × = −∇ × + ∇ × = − +V V V V Vrot rot . (2.8-7)

łinând seama de prima ecuaŃie a lui Maxwell

rot ,r r

r

H JD

= +∂

∂ t (2.8-8)

şi de prima şi de treia condiŃie din (2.8-1), rezultă că pe suprafaŃa S0 sunt nule componentele normale ale rot

rH

r rn Hrot .= 0 pe S0 (2.8-9)

Atunci fluxul de energie este

( )P V AΣ = −∫ rot d .r rH n

S0

(2.8-10)

Se aplică teorema lui Stokes termenului rămas, Ńinând seama că în raport cu suprafeŃele Sbk contururile Γk sunt parcurse în sens antiorar (stâng) atunci când reprezintă contur al găurilor din suprafaŃa multiplu conexă S0, iar apoi se Ńine seama că aceste contururi sunt echipotenŃiale. Se obŃine succesiv

P V V V ik k

k

n

k

k

n

k k

k

n

Σ Γ Γ= = =∫∑ ∫∑ ∑

= = =

r r r rH s H sd d .

1 1 1

(2.8-11)

Expresia obŃinută arată că în regim cvasistaŃionar puterea electromagnetică transmisă unui domeniu închis DΣ, cu ajutorul unei linii electrice multifilare, este egală cu suma produselor intensităŃilor curenŃilor care intră în domeniu prin potenŃialele conductoarelor liniei pe suprafaŃa domeniului. Dacă suprafaŃa Σ delimitează un receptor, relaŃia (2.8-11) exprimă puterea electromagnetică primită pe la borne de acest receptor.

ObservaŃie. łinând seama de condiŃia (2.8-3) pe care o satisfac curenŃii liniei, rezultă că alegerea originii potenŃialelor nu influenŃează valoarea expresiei puterii transmise, întrucât pentru orice V0 avem

( )P V i V V ik k

k

n

k k

k

n

Σ = = −= =∑ ∑

10

1

.

Alegând potenŃialul V0 egal cu potenŃialul unei borne, de exemplu V0 = Vn, expresia de mai sus se simplfică, întrucât va conŃine numai n-1 termeni, exprimaŃi cu ajutorul tensiunilor la borne

( )P V V i u ik n k

k

n

k n k

k

n

Σ = − ==

=

∑ ∑1

1

1

1

. (2.8-12)

Page 31: Fizica II Curs

23

Totodată în acest caz nu mai trebuie verificată condiŃia (2.8-3) de completitudine a curenŃilor, întrucât prin conductorul luat ca referinŃă a potenŃialelor (aici conductorul n) se întoarce suma celorlalŃi curenŃi.

În cazul particular al liniei bifilare, cu n = 2 şi cu i1 = - i2 = i, V1 - V2 = u, rezultă

P V i V i u i= + =1 1 2 2 . (2.8-13)

2.9. TEOREMA DE UNICITATE A SOLUłIILOR ECUAłIILOR CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Se consideră un domeniu DΣ mărginit de suprafaŃa închisă Σ, cuprinzând corpuri şi câmp electromagnetic. Se presupune că sunt îndeplinite următoarele condiŃii:

- corpurile sunt imobile, - mediile sunt liniare, izotrope, fără polarizaŃie sau magnetizaŃie permanentă şi fără câmp

electric imprimat. În schimb nu există restricŃii privitoare la continuitatea proprietăŃilor de material (cum s-a

arătat la 2.3). În aceste condiŃii relaŃiile constitutive ale mediilor capătă formele:

r r r r r rD E B H J E= = =ε µ σ, , , (2.9-1)

în care ε şi µ sunt mărimi strict pozitive (ε, µ > 0), iar σ este mărime nenegativă (σ ≥ 0). În aceste condiŃii identitatea energetică fundamentală ia o formă particulară, care permite

stabilirea teoremei de unicitate

( ) ( )− × = + +∫ ∫ ∫r r r r r r r r rE H n E J E D H Bd d d .A v

tv

D DΣ Σ Σ

∂12

12 (2.9-2)

Se notează

( )

( )

P A

P v

W v

D

D

Σ Σ

Σ

Σ

= ×

= ≥

= + ≥

∫∫

r r r

r r

r r r r

E H n

E J

E D H B

d ,

d ,

d .

J

em

0

012

12

(2.9-3)

(2.9-4)

(2.9-5)

Cu aceste notaŃii, identitatea energetică fundamentală devine

− = +P P W tΣ J emd d . (2.9-6)

Se poate enunŃa următoarea teoremă de unicitate: EcuaŃiile câmpului electromagnetic au soluŃii univoc determinate ( ) ( )

r rE HM, M,t t, , pentru

orice M∈DΣ, t ≥ 0, în toate punctele M ale domeniului şi în toate momentele de timp t ≥ 0, dacă se dau:

- valorile iniŃiale ale intensităŃii câmpului electric şi a câmpului magnetic în toate punctele domeniului

( ) ( ) ( ) ( )r rE HM,0 M º i M,0 M pentru orice ME H= = ∈f f D, ,Σ

- condiŃiile la limită prin valorile componentelor tangenŃiale ale intensităŃii câmpului electric şi ale câmpului magnetic în toate punctele suprafeŃei Σ şi în toate momentele de timp t > 0

( ) ( ) ( ) ( )r rE Ht E t HM, M, M, M, pentru orice M , t > 0.t g t t g t= = ∈, , Σ

Page 32: Fizica II Curs

24

Acestea sunt condiŃiile de unicitate pentru problema de câmp electromagnetic. DemonstraŃia se face în două etape. Intâi se demonstrează că unor condiŃii de unicitate

identic nule le corespunde un câmp electromagnetic identic nul. Pentru gE = 0 sau/şi gH = 0, rezultă PΣ = 0, iar pentru fE = 0 şi fH = 0 rezultă Wem(0) = 0. Integrând în timp relaŃia (2.9-6), se obŃine

( ) ( ) ( )0 00

= + −=∫ P W t Wt

J em emτ ττ

d ,

sau

( ) ( )W t Pt

em J= − ≤=∫ τ ττ

d .0

0 (2.9-7)

Singura situaŃie care nu contrazice (2.9-5) este Wem(t) = 0. Atunci, întrucât ε > 0 şi µ > 0, singura soluŃie acceptabilă este

( ) ( )r rE HM, M,t t≡ ≡0 0, . (2.9-8)

Mai departe, teorema de unicitate se demonstrează prin reducere la absurd. In acest scop se

presupune că există două soluŃii distincte ( ) ( )"," si ',' HEHErrrr

, corespunzătoare unor condiŃii de

unicitate date. Se formează câmpul diferenŃă r r r r r rE E E H H Hd d= − = −' " , ' " . Acest câmp satisface

ecuaŃiile lui Maxwell, dar în condiŃii de unicitate nule. In conformitate cu teorema ajutătoare câmpul diferenŃă este nul, deci cele două soluŃii coincid.

În medii liniare se poate formula teorema de superpoziŃie: SoluŃiile corespunzătoare superpoziŃiei unor condiŃii de unicitate sunt superpoziŃia soluŃiilor

determinate de fiecare condiŃie de unicitate în parte.

Page 33: Fizica II Curs

3. FORłE ELECTROMAGNETICE

3.1. TEOREMELE FORłELOR GENERALIZATE ÎN CÂMPUL ELECTROMAGNETIC

Se consideră cazul particular al mediilor fără histerezis (Ph = 0), în care corpurile pot efectua mici deplasări sub efectul forŃelor electromagnetice. În aceste condiŃii, teorema energiei electromagnetice şi identitatea energetică fundamentală se prezintă sub forma

− = + +d d ,W t P P Pem J m Σ (3.1-1a)

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫r r r r r r r r rE D H B E J E H nd d d d d d d ,f ft t v v A

D DΣ ΣΣΣ

(3.1-1b)

din care se deduce relaŃia generală

( )δL P t W t t vD

= = − + +∫m em f fd d d d d d d .r r r rE D H B

Σ

(3.1-2)

Această relaŃie se simplifică în cazul unei transformări la fluxuri constante (astfel încât diferenŃialele substanŃiale să fie nule) şi lucrul mecanic elementar se exprimă sub forma

δ ψ φL W const= − =d ,em . (3.1-3)

Energia electromagnetică este o funcŃie de mărimile de stare ale câmpului electromagnetic şi de coordonatele corpurilor. Teorema de unicitate a soluŃiilor ecuaŃiilor câmpului electromagnetic arată că energia electromagnetică poate fi exprimată numai cu ajutorul fluxurilor (şi a coordonatelor), adică

( )W W xem em= ψ φ, , , (3.1-4)

în care toate cele trei argumente pot fi vectori generali (primii doi pot fi chiar cu număr infinit de componente). Luând diferenŃiala acestei expresii a energiei electromagnetice, în restricŃia constanŃei fluxurilor, se obŃine

d , d .W constW

xx

k

kemem

ψ φ∂

∂= =∑ (3.1-5)

Pe de altă parte lucrul mecanic elementar se exprimă cu ajutorul forŃelor generalizate sub forma

δL X xk k=∑ d . (3.1-6)

Identificând termenii corespondenŃi, se stabileşte relaŃia generală

XW

x constk

k

= −=

∂ ψ φ

em

,, (3.1-7)

cunoscută ca prima teoremă a forŃelor generalizate în câmpul electromagnetic. Se poate stabili o expresie alternativă, care foloseşte coenergia electromagnetică. Intrucât

calculele corespunzătoare sunt ceva mai lungi, demostraŃia nu se mai reproduce aici ci se dă direct rezultatul final

Page 34: Fizica II Curs

30

XW

x U U constk

k

==

'

,,em

m

(3.1-8)

unde U este tensiunea electrică, iar Um este tensiunea magnetică în lungul unor curbe arbitrare. W'em este coenergia electromagnetică, exprimată ca funcŃie de U, Um şi x.

Ultima expresie este cunoscută ca a doua teoremă a forŃelor generalizate în câmpul

electromagnetic. Uneori acestă teoremă este exprimată cu ajutorul energiei electromagnetice şi atunci este valabilă numai pentru medii liniare (la care energia este egală cu coenergia).

În cazul regimurilor statice sau staŃionare expresiile energiei şi a coenergiei se simplifică, obŃinându-se expresii care se vor da în cadrul exemplelor următoare.

3.2. FORłA DE ATRACłIE ÎNTRE ARMĂTURILE UNUI CONDENSATOR

Se consideră un condensator plan, cu armături având aria A spre dielectricul separator, distanŃa între armături fiind d, iar dielectricul având permitivitatea ε (Fig. 3.2-1). Se neglijează efectele de margine. Atunci câmpul între armături este uniform şi este nul în afară. Sarcina condensatorului se distribuie uniform pe suprafaŃa din spre dielectricul separator, cu densitatea σ = q/A, iar din legea fluxului electric rezultă D = σ = q/A. Intensitatea câmpului electric este E = D/ε şi între armături rezultă o tensiune U = E d.

Energia electrică a condensatorului este

( ) ( )W w V E D A d q d A U A de e= = = =12

12

2 12

2ε ε .

Fig. 3.2-1. NotaŃii pentru calculul forŃei de atracŃie între armăturile unui condensator.

Coordonata generalizată este distanŃa d între armături, iar forŃa generalizată asociată este forŃa de respingere X. Folosind prima teoremă a forŃelor generalizate rezultă

( )Xq d

Ad

q

AU d A= −

= − = −∂

ε∂

εε1

2

212

212

2,

iar cu a doua teoremă se obŃine acelaşi rezultat

( )X U A d d U A d= = −∂ ε ∂ ε12

2 12

2 2 .

Armăturile se atrag cu tensiunea 12

2 12εE E D= .

ObservaŃie. In mod tacit s-a admis că dielectricul este compresibil şi nu opune nici o rezistenŃă la deformare (este fluid). Cazul dielectricului rigid va fi abordat mai departe.

3.3. FORłA PORTANTĂ A UNUI ELECTROMAGNET

Se consideră un electromagnet în formă de U, având cele două întrefieruri de lărgimi egale δ, şi aria de trecere a fluxului magnetic prin întrefier Aδ. Se neglijează dispersia. Atunci câmpul magnetic din întrefier este uniform, cu linii de câmp perpendiculare pe feŃele armăturilor feromagnetice.

Page 35: Fizica II Curs

31

Fig. 3.3-1. NotaŃii pentru calculul forŃei portante a unui electromagnet.

Fără a apela la vre-o metodă de rezolvare a problemei magnetice, se consideră cunoscută înducŃia magnetică în întrefier Bδ şi atunci se pot face următoarele raŃionamente.

Energia magnetică a electromagnetului poate fi prezentată sub forma sumei dintre energia magnetică în fierul circuitului magnetic WFe şi energia magnetică în întrefieruri Wδ

W W Wm Fe= + δ ,

iar al doilea termen se poate exprima cu ajutorul densităŃii de volum a energiei magnetice 12

12

20B H Bδ δ δ µ= , sub forma

W B Aδ δ δµ δ= 12

20 2 ,

unde 2Aδδ este "volumul întrefierului", iar µ0 este permeabilitatea vidului. Considerând o transformare elementară la flux constant, se observă că energia magnetică

în fier nu se schimbă, pe când cea din întrefier se poate schimba din cauza modificării volumului întrefierului. Coordonata generalizată va fi lărgimea întrefierului δ, iar forŃa generalizată asociată va fi de respingere. Cu prima teoremă a forŃelor generalizate se obŃine

( )X B A B A= − = −∂ δ µ ∂δ µδ δ δ δ12

20

12

202 2 .

ForŃa este de atragere, cu o tensiune 12

20Bδ µ . Numeric, pentru o inducŃie în întrefier de

1 T se obŃine o tensiune de atracŃie de 40 N/cm2 = 4.105 Pa. Este presiunea creată de o coloană de apă cu înălŃinea de aproximativ 40 m. Rezultă că cu ajutorul electromagneŃilor se pot obŃine forŃe importante.

3.4. TEOREMA DENSITĂłII DE VOLUM A FORłEI ELECTROMAGNETICE

Teoremele forŃelor generalizate permit determinarea forŃelor generalizate, fără a preciza repartiŃia acestora în cuprinsul corpurilor.

Puterea mecanică transmisă corpurilor de câmpul electromagnetic se poate exprima sub forma

P vD

m = ∫r rf v d ,

Σ

în care rf este densitatea de volum a forŃei electromagnetice iar

rv este viteza.

Se pot pune în evidenŃă componentele electrice şi magnetice ale forŃelor, sub forma r r rf f f= +e m , (3.4-1)

ale căror expresii, în mediu izotrop, sunt

( )r rf Ee v= − +ρ ε γ ε γ1

22 1

22E Egrad grad d d , (3.4-2)

Page 36: Fizica II Curs

32

( )r r rf J Bm = × − +1

22 1

22H Hgrad grad d d ,µ γ µ γ (3.4-3)

unde cu γ s-a notat densitatea de masă. Aceste expresii nu se demonstrează aici, dar se vor discuta unele consecinŃe ale acestor relaŃii.

Densitatea de volum a forŃei electrice rf e

Primul termen este densitatea de volum a forŃei coulombiene exercitate de câmp asupra corpurilor încărcate cu sarcină electrică.

Al doilea termen reprezintă densitatea de volum a forŃelor datorate neomeogenităŃii dielectricului. De exemplu, pentru un condensator cu dielectricul introdus parŃial între armături (fig. 3.4-1), aproximând variaŃia permitivităŃii printr-o funcŃie continuă ε(x) şi considerând câmpul calculat simplu E = U/a, rezultă

( )rf = − = −1

22 1

2

2E U a xgrad d d .ε ε

ForŃa se obŃine integrând pe volum, pentru armături de lăŃime b (după direcŃia perpendiculară pe planul din fig. 3.4-1)

( )r rF f= = −

= −∫ ∫d d d d .v

U

ab a x x U

b

aDΣ

12

2

12

20ε ε ε

La acelaşi rezultat se poate ajunge şi cu teoremele forŃelor generalizate în câmp electric.

Fig. 3.4-1. NotaŃii pentru calculul densităŃii de volum a forŃelor electrice

Al treilea temen, numit forŃă de electrostricŃiune, apare în materialele a căror permitivitate electrică variază cu densitatea γ. Rezultanta forŃelor de electrostricŃiune asupra unui corp izolat este nulă, ea contribuind numai la starea de tensiuni din corp şi poate determina deformări ale acestuia.

Densitatea de volum a forŃei magnetice rf m

Primul temen dă densitatea de volum a forŃei lui Laplace, exercitată de câmpul magnetic asupra conductoarelor parcurse de curent. Un exemplu interesant este cel al unui conductor izolat de altele, parcurs de curent, care este supus unei forŃe de comprimare, datorită interacŃiunii dintre curentul electric şi câmpul magnetic propriu (efectul Pintch).

Al doilea termen reprezintă densitatea de volum a forŃelor magnetice datorite neomogenităŃii materialului.

Al treilea termen reprezintă densitatea de volum a forŃelor de magnetostricŃiune.

3.5. TENSIUNI MAXWELLIENE ÎN CÂMPUL ELECTROMAGNETIC

ForŃele exercitate de câmpul electromagnetic se pot determina prin integrarea pe suprafaŃa domeniului respectiv a unor tensiuni electromagnetice (maxwelliene)

( )r r rF T Tem e m= +∫ d ,A

Σ (3.5-1)

unde, în absenŃa fenomenului de stricŃiune electrică sau magnetică

( )r r r r rT E Dn ne e= − w , (3.5-2)

Page 37: Fizica II Curs

33

( )r r r r rT H Bn nm m= − w . (3.5-3)

Fig. 3.5-1. NotaŃii pentru tensiunile maxwelliene în câmp electromagnetic.

În medii liniare, dacă r r r rn E T n, , atunci e e= w iar dacă

r r r rn E T n⊥ = −, atunci e ew (v.

fig. 3.5-1). RelaŃiie sunt similare şi pentru forŃa magnetică. Tensiunile maxwelliene permit determinarea forŃei rezultante asupra domeniului, fără a

permite determinarea repartiŃiei sale.

Page 38: Fizica II Curs

4. CÂMPUL ELECTROSTATIC

4.1 TEOREMA RELAXAłIEI SARCINII ELECTRICE

În aplicaŃii adesea se asimilează cu regimul electrostatic şi anumite regimuri lent variabile în timp. Atunci este important să se stabilească condiŃiile în care repartiŃia de sarcină este apropiată de cea electrostatică.

Fie un corp omogen în al cărui volum există la un moment dat un câmp electric şi o repartiŃie de sarcină ρv. Se pot scrie următoarele relaŃii

r r r rJ E D E= =σ ε, şi rezultă

r rJ D= σ ε .

Introducând ultima expresie în forma locală a legii fluxului electric se obŃine

( )div div .r rJ D= =σ ε ρ σ εv (4.1-1)

Cu această expresie, forma locală a legii conservării sarcinii electrice devine

( )ρ σ ε ∂ρ ∂v v+ =t 0. (4.1-2)

Notând cu τ = ε/σ mărimea de material numită timp de relaxaŃie, soluŃia acestei ecuaŃii este

( ) ( ) ( )ρ ρ τv v0

r rr r, , exp .t t t= − (4.1-3)

După 4...5 τ densitatea de volum a sarcinii se poate considera neglijabilă. VariaŃia densităŃii de volum a sarcinii este însoŃită, evident, de un curent electric. Durata acestui proces la metale este de (10–19...10–17) s, la semiconductori de (10–15...10–2) s, iar la dielectricii tehnici de (10–3...107) s.

Rezultatul obŃinut este valabil numai în medii omogene. In medii neomogene (grad(ε/σ) ≠ 0) poate apărea o distribuŃie de volum a sarcinii în regim electrocinetic staŃionar.

4.2 TEOREMA POTENłIALULUI ELECTROSTATIC

Un câmp electrostatic o dată stabilit se menŃine fără a fi nevoie de vre-un aport de energie din exterior. Din principiul de conservare a energiei rezultă în acest caz următoarea proprietate: în câmp electrostatic nu se poate obŃine lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de transformare reversibil.

Se consideră un ciclu de transformare reversibil, constând din deplasarea pe o curbă închisă Γ a unui corp de probă încărcat cu o sarcină electrică qp (fig. 4.2-1); mişcarea se efectuează suficient de încet, pentru a putea considera, în continuare, o succesiune de stări electrostatice.

Fig. 4.2-1. NotaŃii pentru stabilirea teoremei câmpului electrostatic.

Lucrul mecanic efectuat de forŃa electrică r rF Ee p= q care se exercită asupra corpului de

probă, are expresia

Page 39: Fizica II Curs

35

L q W WΓ Γ Γ= = = −∫ ∫

r r r rF s E se p in find d , (4.2-1)

în care Win şi Wfin sunt energiile sistemului (câmp + corp de probă) în starea iniŃială şi în cea finală.

Întrucât la deplasarea pe o curbă închisă starea iniŃială coincide cu starea finală, rezultă egalitatea energiilor Win = Wfin şi se obŃine următoarea proprietate importantă: circulaŃia intensităŃii câmpului electrostatic este nulă pentru orice curbă închisă

r rE sd .Γ∫ = 0 (4.2-2)

Aceasta este forma integrală a teoremei potenŃialului electrostatic. Teorema rezultă în regim static din legea inducŃiei electromagnetice şi are mai multe consecinŃe.

a) În câmp electrostatic nu există linii de câmp închise. În adevăr, dacă ar exista o asemenea linie, pe aceasta produsul

r rE sd ar avea mereu acelaşi semn şi integrala de contur nu

ar putea fi nulă (decât dacă E ≡ 0). b) În câmp electrostatic, tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum. În

adevăr, considerând între două puncte A şi B două drumuri C1 şi C2 (fig. 4.2-2), pe conturul închis Γ format prin reunirea celor două drumuri, rezultă

r r r (r r r r r r rE s E s E s E s E sd d d d d .ΓΓ Γ Γ∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + = − =

C C C C1AB 2BA 1AB 2AB1 2 0

Fig.4.2-2. NotaŃii pentru stabilirea tensiunii între două puncte în regim electrostatic.

Tensiunea electrică UAB, între cele două puncte A şi B, are aceeaşi valoare pe oricare dintre drumuri.

c) În câmp electrostatic se poate defini o funcŃiune scalară de punct, numită potenŃial, determinată cu următoarea regulă de calcul

( ) ( )V P V PP

P

= − ∫00

r rE sd , (4.2-3)

curba pe care se calculează integrala fiind arbitrară. d) În câmp electrostatic tensiunea electrică între două puncte este egală cu diferenŃa

potenŃialelor acelor puncte

( ) ( )U V V VAB A

B

A

BA B= = − = −∫ ∫

r rE sd d . (4.2-4)

e) Forma diferenŃială a relaŃiei (4.2-3) este

d d .V = −r rE s (4.2-5)

Din această expresie se deduce că în lungul unei linii de câmp potenŃialul scade. Într-adevăr, în lungul unei linii de câmp

r rE s º i d sunt vectori omoparaleli, deci produsul lor scalar

este pozitiv şi atunci dV < 0. f) Teorema potenŃialului electrostatic se poate exprima şi în forma locală

rE = − grad ,V (4.2-6)

Page 40: Fizica II Curs

36

adică se poate defini o funcŃiune scalară de punct, numită potenŃial, al cărei gradient cu semn schimbat este intensitatea câmpului electric.

În domenii de continuitate şi netezime a proprietăŃilor fizice se poate obŃine o altă formă

locală, aplicând expresiei (4.2-2) teorema lui Stokes: circulaŃia unui vector câmp rG pe orice

curbă închisă Γ este egală cu fluxul rotorului său prin orice suprafaŃă SΓ mărginită de acea curbă (fig. 4.2-3)

r r r rG s G nd rot d .Γ Γ∫ ∫= A

S (4.2-7)

În această expresie elementul de arc drs şi versorul normalei

rn au sensuri asociate după

regula burghiului drept.

Fig. 4.2-3. NotaŃii pentru teorema lui Stokes. Fig. 4.2-4. Demonstrarea proprietăŃii de atingere a extremului potenŃialului electrostatic pe frontieră.

Rezultă altă formă locală a teoremei potenŃialului electrostatic

rot .rE = 0 (4.2-8)

Această relaŃie se poate obŃine şi formal, Ńinând seama de expresia (4.2-6) şi de proprietăŃile produsului vectorial

( ) ( )rot .rE = ∇ × −∇ = − ∇ × ∇ ≡V V 0 (4.2-9)

g) În medii liniare, omogene, fără distribuŃii de sarcină electrică, potenŃialul electric îşi atinge extremele pe frontiera domeniului.

Această proprietate se demonstrează prin reducere la absurd. Să presupunem că s-a găsit în interiorul domeniului un punct M0 în care potenŃialul are un maxim V0. Fie Σ1 o suprafaŃă închisă în jurul punctului M0 în care toate punctele au potenŃialul V1 mai mic decât V0: V1 = V(M) ≤ V0, pentru orice M ∈ Σ1 (fig. 4.2-4). Conform proprietăŃii (4.2-5) în această vecinătate toate liniile de câmp trebuie să fie orientate de la punctul M0 spre punctele suprafeŃei Σ1 (în sensul de scădere a potenŃialului). Intrucât mediul este liniar şi omogen,

r rD E= ε , deci vectorul

inducŃiei electrice este orientat spre suprafaŃa Σ1, iar fluxul electric prin Σ1 este pozitiv r rD n d d .A D A

Σ Σ1 1

0∫ ∫= > (4.2-10)

În baza legii fluxului electric în interiorul suprafeŃei Σ1 ar trebui să existe o sarcină electrică pozitivă, ceea ce contrazice afirmaŃia iniŃială, că domeniul nu are distribuŃii de sarcină electrică. Deci nu există puncte interioare în care potenŃialul să aibă maxime.

O demonstraŃie asemănătoare se face şi pentru existenŃa unui punct de minim. În concluzie, în medii liniare, omogene, fără sarcini electrice, valorile extreme ale potenŃialului electric sunt atinse pe frontiera domeniului.

AplicaŃie. Câmpul şi potenŃialul electrostatic al unui fir rectiliniu infinit, încărcat cu sarcina lineică ρl constantă.

Page 41: Fizica II Curs

37

Câmpul electric se determină Ńinând seama de simetria axială (cilindrică): vectorul câmp este conŃinut în planul transversal, are direcŃie radială şi depinde numai de raza r (distanŃa faŃă de fir). SuprafaŃa închisă ∑ luată în consideraŃie este compusă dintr-o suprafaŃă laterală cilindrică Sl, coaxială cu firul, de lungime l şi de rază r, închisă prin două discuri S1 şi S2 , de rază r (fig. 4.2-5): ∑ = S1∪Sl∪S2.

Fig. 4.2-5. Fir rectiliniu încărcat cu sarcină lineică constantă.

Fluxul electric prin cele două discuri este nul, vectorul câmp rD fiind perpendicular pe

normalele la aceste suprafeŃe r rDn Σ = 0 pe S º i pe S1 2 .

Atunci rezultă succesiv

ΨΣ ΣΣ Σ Σ= = = = =

= =

∫ ∫ ∫r r r r

rr

D n D n

Er

d d d , ,

.

A A D A rlD q l

Dl

lr rl

S S l

l

l C

º i

2

1

2

1

2 02

π ρ

π

ρ

περ

Considerând nul potenŃialul în punctul situat la distanŃa r0 de fir, potenŃialul va avea expresia

Vr

r

rr

r

r

r

= − = − =∫ ∫r r

r r

E sr r

dd

ln .0 02 20

20

πε

ρ

πεl l

PotenŃialul obŃinut este numit potenŃial logaritmic. De obicei se consideră (convenŃional) r0 = 1 şi atunci

Vr

πεl

2

1

0

ln . (4.2-11)

4.3. CONDUCTOARELE ÎN CÂMP ELECTROSTATIC.

ExperienŃa arată că un conductor neutru se electrizează la introducerea lui în câmp electric. Acest fenomen se numeşte electrizare prin influenŃă şi constă în repartizarea unor sarcini electrice pe suprafaŃa conductorului, fără modificarea sarcinii electrice (adevărate) totale a conductorului (nulă în cazul conductorului izolat şi iniŃial neutru).

În teoria microscopică, acest fenomen se explică - la metale - prin schimbarea poziŃiei electronilor liberi (de conducŃie), sub influenŃa câmpului electric din conductor. In starea finală, câmpul electric în conductoarele omogene şi neaccelerate este nul

rE = 0 , iar

intensitatea câmpului electrostatic în fiecare punct al suprafeŃei conductoarelor are numai componentă perpendiculară pe suprafaŃă; în caz contrar particulele purtătoare de sarcini

Page 42: Fizica II Curs

38

electrice s-ar deplasa în conductor sau pe suprafaŃa sa şi nu ar fi îndeplinită condiŃia de echilibru electrostatic.

În cazul conductoarelor omogene şi neaccelerate, în regim electrostatic rezultă următoarele proprietăŃi:

a) Toate punctele din interiorul unui conductor au acelaşi potenŃial (diferenŃa de potenŃial între diferitele puncte ale corpului, egală cu tensiunea electrică între acele puncte, este nulă, întrucât E ≡ 0); deci suprafeŃele conductoarelor sunt suprafeŃe echipotenŃiale şi liniile de câmp sunt perpendiculare pe aceste suprafeŃe;

b) Sarcina electrică a conductoarelor este repartizată strict superficial, iar sarcina din interiorul conductoarelor este nulă (este o consecinŃă a legii fluxului electric: întrucât

rE = 0 ,

rezultă rD = 0 şi apoi qΣ = 0);

c) La suprafaŃa conductoarelor, inducŃia electrică este egală cu densitatea de suprafaŃă a sarcinii electrice. In adevăr, aplicând legea fluxului electric unei suprafeŃe Σ ca în figura 4.3-1, întrucât în conductor inducŃia este nulă, iar la suprafaŃă este perpendiculară pe suprafaŃa conductorului, rezultă

ψ ρΣ Σ Σ∆ ∆ ∆= = = = =∫r r r rD n n nd ,A D A D A q An S

unde Dn este componenta inducŃiei electrice după normala rn exterioară a suprafeŃei

conductorului şi atunci

Dn S= ρ . (4.3-1)

d) În cavităŃile fără sarcini electrice din interiorul conductoarelor omogene şi neaccelerate câmpul electric este nul (efectul Faraday), întrucât conductorul fiind echipotenŃial, în cavităŃi practicate în el câmpul electric trebuie să fie nul. Acest efect se foloseşte în instalaŃiile de înaltă tensiune pentru ecranarea (prin conductoare legate la pământ)

Fig. 4.3-1. NotaŃii pentru stabilirea componentei normale a inducŃiei la suprafaŃa unui conductor

Fig. 4.3-2. Folosirea efectului Faraday pentru ecranarea electrostatică a locurilor de observaŃie şi comandă.

a locurilor de observaŃie şi de comandă în care se află persoane (fig. 4.3-2), astfel încât acestea să poată fi aşezate în apropierea platformelor de experimentare.

e) Orice suprafaŃă echipotenŃială din câmp poate fi înlocuită printr-o suprafaŃă conductoare ("foiŃă metalică"), fără a perturba câmpul ("principiul metalizării" suprafeŃelor echipotenŃiale).

În conductoare neomogene sau accelerate pot să apară câmpuri imprimate, caracterizate prin valoarea locală a intensităŃii câmpului electric imprimat

rE i . Atunci condiŃia de echilibru

electrostatic devine r rE E+ =i 0 , condiŃie care anulează forŃa de natură electrică exercitată

asupra purtătorilor de sarcină electrică.

Page 43: Fizica II Curs

39

4.4. CONDIłII DE TRECERE PRIN SUPRAFEłE DE DISCONTINUITATE A PROPRIETĂłILOR ELECTRICE

Se consideră o suprafaŃă de discontinuitate, fără densitate superficială de sarcină electrică adevărată, care desparte două medii cu permitivităŃi diferite ε1 şi ε2. CondiŃiile de trecere se pot stabili folosind legea fluxului electric şi teorema potenŃialului electrostatic.

Se aplică legea fluxului electric unei suprafeŃe închise ΣS, de forma unei prisme elementare foarte plate, având bazele de arie ∆A situate de o parte şi de alta a suprafeŃei de separaŃie (fig. 4.4-1) şi cu înălŃimea h foarte mică în comparaŃie cu dimensiunile bazelor. Se obŃine succesiv

( )r rD n d ,A D D A q

Σ Σ∆S

n1 n2∫ = − = = 0

sau

D Dn1 n2= . (4.4-1)

La trecerea printr-o suprafaŃă de discontinuitate, neîncărcată cu sarcini electrice, se conservă componenta normală a inducŃiei electrice.

Fig. 4.4-1. NotaŃii la aplicarea legii fluxului electric.

Fig. 4.4-2. NotaŃii la aplicarea teoremei potenŃialului electrostatic.

Fig. 4.4-3. RefracŃia liniilor de câmp electric.

Se aplică teorema potenŃialului electrostatic unui mic contur închis SΓ, care trece pe câte o lungime ∆l de o parte şi de alta a suprafeŃei de discontinuitate (fig. 4.4-2). Se obŃine

( )r rE sd ,Γ

∆∫ = − =E E lt1 t2 0

sau

E Et1 t2= . (4.4-2)

La trecerea printr-o suprafaŃă de discontinuitate se conservă componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului electric.

Cu ajutorul acestor două condiŃii de trecere, se poate stabili teorema refracŃiei liniilor

de câmp electric. Se notează cu α1 unghiul de incidenŃă şi cu α2 unghiul de refracŃie al unei linii a câmpului electric (fig. 4.4-2). Atunci rezultă succesiv

tg

tg.

α

α

ε

ε

ε

ε1

2

1 1

2

= = = =D D

D D

D

D

E

E

t1 n1

t2 n2

t1

t2

t1

2 t2

La trecerea printr-o suprafaŃă de discontinuitate, liniile de câmp electric se refractă astfel încât tangentele unghiurilor faŃă de normala suprafeŃei să fie proporŃionale cu permitivităŃile. Atunci la ieşire dintr-un material cu permitivitate mai mare într-unul cu permitivitate mai mică liniile de câmp se apropie de normală.

Page 44: Fizica II Curs

40

4.5. ECUAłIILE POTENłIALULUI ELECTROSTATIC

4.5.1. POTENłIALUL ELECTRIC SCALAR

EcuaŃia (4.2-6) arată că orice câmp electrostatic derivă dintr-un potenŃial scalar rE = − grad .V (4.5-1)

Cu ajutorul legii legăturii dintre r r rD E P, º i şi a legii polarizaŃiei electrice temporare,

considerând nulă polarizaŃia permanentă (rPp = 0 ), inducŃia electrică se poate exprima sub

forma r rD E= ε , iar apoi cu legea fluxului electric se pot stabili succesiv următoarele relaŃii ale

potenŃialului scalar

( ) ( )ρ ε εv = = = −div div div grad .r rD E V (4.5-2)

Se obŃine, astfel, ecuaŃia potenŃialului scalar al câmpului electrostatic

( )div grad . ,ε ρV = − v (4.5-3)

în care ε poate fi funcŃiune de punct, iar în cazul mediilor neliniare (univoce) este funcŃiune şi de intensitatea câmpului electric (4.5-1). In medii anizotrope, permitivitatea electrică ε poate

fi un tensor ( ε ε→ ). În medii liniare, omogene şi izotrope permitivitatea este o constantă scalară şi întrucât

div grad = ∆, potenŃialul satisface ecuaŃia lui Poisson

∆V = −ρ εv . (4.5-4)

În domeniile fără sarcină electrică ρv = 0 potenŃialul electrostatic satisface ecuaŃia lui Laplace

∆V = 0. (4.5-5)

SoluŃiile ecuaŃiei lui Laplace se numesc funcŃii armonice. Pentru a rezolva ecuaŃia lui Laplace într-un domeniu D trebuie cunoscută funcŃia spaŃială

a permitivităŃii ε(M), pentru orice M ∈ D şi anumite condiŃii la limită pe frontiera domeniului ∂D. Pentru ecuaŃia Poisson este necesară în plus cunoaşterea repartiŃiei spaŃiale a surselor ρv(M).

O problemă cu condiŃii la limită este corect formulată dacă soluŃia există, este unică şi

depinde continuu de datele problemei. CondiŃiile de unicitate a soluŃiilor se pot stabili cu ajutorul formulelor lui Green pentru

câmpuri de scalari.

4.5.2. FORMULELE LUI GREEN PENTRU CÂMPURI DE SCALARI

Fie U şi V două câmpuri de scalari, definite în domeniul D. Aplicând formula Gauss-Ostrogradski fluxului câmpului biscalar

rF =U Vgrad , se obŃine prima formulă a lui Green

pentru câmpuri de scalari

( ) ( )U V A U V v U V U V vD D D

grad d div grad d grad grad d .rn

∂∫ ∫ ∫= = +∆ (4.5-6)

Pentru U = V, ultima relaŃie devine

( )V V A V V V vD D

grad d grad d .rn

∂∫ ∫= +∆ 2 (4.5-7)

Page 45: Fizica II Curs

41

Înlocuind în (4.5-6) V cu U şi scăzând din (4.5-6), membru cu membru relaŃia obŃinută, se stabileşte a doua formulă a lui Green pentru câmpuri de scalari

( ) ( )U V V U A U V V U vD D

grad grad d d .− = −∫ ∫rn

∂∆ ∆ (4.5-8)

4.5.3. CONDIłII DE FRONTIERĂ DE TIP DIRICHLET ŞI NEUMANN

Se notează formal CfV condiŃiile la limită (de frontieră) prescrise potenŃialului scalar V şi derivatelor sale.

Fie V1(M) şi V2(M) două soluŃii ale ecuaŃiei (4.5-4), cu valori diferite în punctele M ale domeniului D,

( ) ( ) ( ) ( )∆ ∆V V D1 2M M M M pentru orice Mv v= − = − ∈ρ ε ρ ε, , , (4.5-9)

cu aceleaşi condiŃii de frontieră

( )( ) ( )( )C M C M pentru orice Mf fV V D1 2= ∈, .∂ (4.5-10)

Se noteză Vd(M) câmpul scalar diferenŃă

( ) ( ) ( )V V V Dd M M M pentru orice M= − ∈1 2 , . (4.5-11)

Acest câmp satisface ecuaŃia lui Laplace şi are condiŃii de frontieră nule. Formula (4.5-7) scrisă pentru câmpul diferenŃă este

( )V V A V V V vD D

d d d d dgrad d grad d .rn

∂∫ ∫= +∆ 2 (4.5-12)

Se definesc părŃile frontierei FD(MD), pentru orice MD ∈ ∂D şi FN(MN), pentru orice MN ∈ ∂D, iar FD ∪ FN = ∂D, FD ∩ FN = 0.

Integrandul primului membru al ecuaŃiei (4.5-12) se anulează dacă Vd(M) = 0, pentru orice M ∈ FD(M); acestea se numesc condiŃii Dirichlet sau de prima

speŃă (trebuie dată valoarea potenŃialului în punctele frontierei FD(MD));

( ) ( )rn grad ,V V nd dM M= =∂ ∂ 0 pentru orice M ∈ FN(M); acestea se numesc condiŃii

Neumann sau de a doua speŃă (trebuie dată valoarea derivatei după normală în punctele frontierei FN(MN));

o combinaŃie liniară a primelor două; acestea se numesc condiŃii Robin sau de a treia speŃă.

O condiŃie de frontieră este omogenă sau naturală dacă valorile date sunt nule. ObservaŃie. CondiŃiile Neumann prescrise trebuie să satisfacă o condiŃie suplimentară,

rezultată din legea fluxului electric. CondiŃia se obŃine integrând ecuaŃia (4.5-4) pe domeniul D şi transformând integrala de volum din membrul stâng (întrucât ∆ = div grad). Se obŃine

∆V v V A vq

D D D

Dd grad d d .∫ ∫ ∫= = − = −rn

ρ

ε εv (4.5-13)

Se mai demonstrează (Lebesgue) că pentru frontiere cu vârfuri problema lui Dirichlet nu are în general soluŃie unică.

4.5.4 TEOREMA UNICITĂłII SOLUłIILOR ECUAłIILOR POISSON ŞI LAPLACE PENTRU POTENłIALUL SCALAR

Page 46: Fizica II Curs

42

Teorema are următorul enunŃ. EcuaŃiile Poisson (4.5-4) şi Laplace (4.5-5), cu condiŃii pe frontieră de tip Dirichlet au soluŃii unice, iar cu condiŃii Neumann sunt unice până la o constantă aditivă.

Teorema se demonstrează continuând raŃionamentul din subcapitolul precedent. În ecuaŃia (4.5-12), atât pentru problema Dirichlet, cât şi pentru problema Neumann este nul membrul stâng şi primul integrand din membrul drept. Prin urmare

( )grad , ,V Dd M pentru orice M= ∈0 (4.5-14)

deci Vd(M) = const. In problema Dirichlet Vd este nul pe frontieră şi constanta este nulă, adică V1(M) = V2(M), pentru orice M ∈ D ∪ ∂D. SoluŃia este unică. În problema Neumann V1(M) - V2(M) = const şi soluŃia este unică până la o constantă aditivă.

4.6. TEOREMA UNICITĂłII ŞI SUPERPOZIłIEI CÂMPURILOR ELECTROSTATICE

Aceste teoreme sunt enunŃate fără demonstraŃie, ele fiind consecinŃe directe ale teoremei de unicitate şi superpoziŃie a câmpurilor electromagnetice.

Teorema unicităŃii în câmpul electrostatic.

Câmpul electrostatic dintr-un domeniu al spaŃiului ocupat de un mediu dielectric, cu permitivitatea ( )ε

rr dată şi independentă de câmp, este univoc determinat de repartiŃia în

spaŃiu a sarcinilor electrice adevărate din domeniul respectiv şi de componenta normală a intensităŃii câmpului electric pe suprafeŃele-frontieră ale domeniului (teorema lui Neumann), sau de repartiŃia în spaŃiu a sarcinilor electrice adevărate şi de repartiŃia potenŃialului electrostatic pe suprafeŃele-frontieră ale domeniului (teorema lui Dirichlet). Dacă suprafeŃele- frontieră se depărtează la infinit, repartiŃia în spaŃiu a sarcinii găsindu-se numai într-un domeniu mărginit, condiŃiile la limită sunt

E r const V r const2 = = sau .

Teorema superpoziŃiei câmpurilor electrostatice.

Intensitatea câmpului electric rezultant, produs de corpuri cu n distribuŃii de sarcini electrice adevărate ( )ρ k

rr , k = 1,2, ..., n, situate într-un mediu liniar, într-o regiune mărginită a

spaŃiului, este egală cu suma intensităŃilor câmpurilor electrice care s-ar produce dacă ar exista fiecare distribuŃie în parte, în lipsa celorlalte. Teorema este valabilă pentru medii liniare şi pentru întregul domeniu în care există câmp electric produs de aceste sarcini.

În cazul particular a n conductoare în regim electrostatic şi având potenŃialele V1, V2, ..., Vn (cu V∞ = 0), potenŃialul rezultant V, într-un punct cu vectorul de poziŃie

rr , are expresia

( ) ( )V v Vk k k

k

nr rr r=

=∑

1

,

unde ( )vk k

rr este potenŃialul în punctul considerat, în ipoteza că potenŃialul conductorului k ar

fi egal cu unitatea, potenŃialele toturor celorlalte conductoare fiind nule. Această teoremă are şi următoarea formă particulară: dacă este nul potenŃialul punctelor

de la infinit şi sarcinile electrice adevărate ale tuturor conductoarelor cresc de λ ori, atunci şi potenŃialele conductoarelor, respectiv potenŃialul fiecărui punct din spaŃiu, cresc de λ ori.

Page 47: Fizica II Curs

5. SISTEME DE CONDUCTOARE IN ECHILIBRU ELECTROSTATIC

5.1. CONDENSATORUL ELECTRIC ŞI CAPACITATEA ELECTROSTATICĂ

Se consideră un sistem format din două conductoare omogene, încărcate cu sarcinile electrice adevărate q1, q2, egale şi de nume contrar: q1 = q şi q2 = - q (fig. 5.1-1). Un asemenea sistem se numeşte condensator electric. Dacă conductoarele (numite şi armături) sunt separate prin dielectrici omogeni sau neomogeni, neîncărcaŃi şi fără polarizaŃie permanentă (ρv = 0, ρS = 0 pe suprafeŃe interioare,

rPp = 0 ), atunci mărimea pozitivă, definită prin raportul

dintre sarcina unui conductor şi tensiunea electrică de la acel conductor la celălalt conductor, se numeşte capacitate electrică a condensatorului

Cq

V V

q

V V

q

U

q

U

D

=−

=−

= =1

1 2

2

2 1

1

12

. (5.1-1)

Fig. 5.1-1. NotaŃii pentru definirea capacităŃii electrostatice

Practic, un sistem de două conductoare formează un condensator, dacă aplicând o tensiune între cele două ărmături, toate liniile de câmp care pleacă de la o armătură ajung pe cealaltă; în acest caz armăturile se încarcă cu sarcini electrice egale şi de nume contrar (cu sumă nulă). În ansamblul său, condensatorul este neutru.

Capacitatea unui condensator cu dielectric liniar nu variază cu tensiunea aplicată între armături (în conformitate cu teorema superpoziŃiei).

În sistemul internaŃional de unităŃi (SI) unitatea de măsură a capacităŃii se numeşte farad, simbolizată [F] şi este egală cu capacitatea condensatorului care încărcat cu sarcina electrică de un coulomb stabileşte între armăturile sale o tensiune de un volt.

Capacitatea se exprimă, de obicei, în submultipli ai unităŃii fundamentale: mF (10-3 F), µF (10-6 F), nF (10-9 F), pF (10-12 F).

Calculul capacităŃii uni condensator cu armături de formă dată, separate prin dielectrici cu caracteristici şi structură cunoscută, se reduce la rezolvarea unei probleme de câmp electrostatic, în care cele două armături sunt încărcate cu sarcini electrice de 1 C, respectiv -1 C. Tensiunea electrică între armături, calculată fie ca diferenŃa potenŃialelor celor două armături, fie ca integrala de linie a intensităŃii câmpului electric între armături, va fi numeric egală cu capacitatea condensatorului. Pentru configuraŃii tipice (condensator plan, cilindric, sferic) au fost stabilite expresii la cursul de Bazele Electrotehnicii, în anul II.

AplicaŃie. Condensatorul cilindric. Armăturile condensatorului sunt doi cilindri de raze R1 şi R2 > R1, de lungime l, separaŃi

printr-un dielectric omogen, de permitivitate ε. Se va examina numai cazul în care cele două armături sunt coaxiale (fig. 5.1-2). Fie q sarcina armăturii interioare.

Dacă se neglijează efectul de margine (de la capetele armăturilor), din motive de simetrie liniile de câmp sunt radiale şi câmpul electric depinde numai de distanŃa r a punctului curent faŃă de axa cilindrilor. Câmpul se calculează utilizând legea fluxului electric, aplicată

Page 48: Fizica II Curs

44

pe o suprafaŃă închisă ∑, de forma unui cilindru coaxial, de rază r şi lungime l, care se va nota cu Sc, închis la capete prin două discuri de rază r, notate cu S1 şi S2

Σ = ∪ ∪S S Sc 1 2

Fig. 5.1-2. NotaŃii pentru condensatorul cilindric.

Se observă că, datorită neglijării efectului de margine, liniile de câmp sunt tangente la suprafeŃele discurilor de la extremităŃi (S1 şi S2), deci fluxul electric prin aceste discuri este nul. De asemenea, pe suprafaŃa Sc vectorul inducŃiei electrice este omoparalel cu versorul normalei

rn şi are o valoare constantă. Atunci fluxul electric prin suprafaŃa ∑ va fi

ΨΣ Σ= = = ==∫ ∫ ∫

r r r rD n D nd d d .A A D A D r l

S SC C

2π (5.1-2)

De asemenea

q qΣ = . (5.1-3)

În baza legii fluxului electric (ΨΣ Σ= q ) şi a legii de legătură r rD E= ε , rezultă

Dq

r lE

q

r l= =

2 2π πε, . (5.1-4)

Tensiunea electrică între armături este

Uq

l

r

r

q

l

R

RR

R

R

R

= = =∫ ∫r rE sd

dln .

1

2

1

2

2 22

1πε πε (5.1-5)

Rezultă expresia capacităŃii condensatorului cilindric

Cq

U

l

R R= =

2

2 1

πε

ln. (5.1-6)

De obicei capacitatea condensatorului cilindric se raportează la unitatea de lungime, obŃinându-se aşa numita capacitate lineică

CC

l R Rl = =

2

2 1

πε

ln. (5.1-7)

Pentru calculul capacităŃii lineice a cablurilor, ultima formulă se exprimă într-o formă "practică", înlocuind valoarea permitivităŃii vidului şi raportând capacitatea la lungimea de un kilometru

CR R

lr [ F / km]=ε

µ18 2 1ln

. (5.1-8)

Pentru cabluri, cu domeniile de valori uzuale εr = 2,3...3,6 şi R2/R1 = 1,5...2, capacitatea lineică are domeniul de valori

Page 49: Fizica II Curs

45

Cl = 0,2...0,5 [µF/km]. (5.1-9)

5.2. RELAłIILE LUI MAXWELL REFERITOARE LA CAPACITĂłI.

În cazul conductoarelor omogene, încărcate cu sarcini electrice, situate în medii liniare (fără polarizaŃie permanentă) şi neîncărcate cu sarcină electrică de volum, se pot stabili relaŃii importante între sarcinile electrice ale conductoarelor şi potenŃialele acestora, cunoscute ca relaŃiile lui Maxwell referitoare la capacităŃi. Aceste relaŃii sunt utile mai ales la studiul capacităŃii liniilor de transport de energie electrică (linii aeriene sau cabluri), dar şi pentru alte configuraŃii.

Se consideră un sistem de n conductoare omogene, situate într-un mediu dielectric liniar, neîncărcat şi fără polarizaŃie permanentă. Conductoarele sunt încărcate cu sarcinile electrice q1, q2, ..., qn, fiind izolate între ele şi faŃă de un conductor de referinŃă (0), având potenŃialul nul (V0 = 0) şi sarcina q0 (fig. 6.4-1). Sistemul de sarcini este complet, adică

q qk

k

n

01

0+ ==∑ . (5.2-1)

Fig. 5.2-1. NotaŃii pentru relaŃiile lui Maxwell referitoare la capacităŃi.

Conform teoremei superpoziŃiei, potenŃialul Vk, al unui conductor de ordin k, se obŃine sub forma expresiei liniare

V q k nk k i i

i

n

= ==∑α

1

1 2, , , , .K (5.2-2)

Aceasta este prima relaŃie a lui Maxwell referitoare la capacităŃi. CoeficienŃii αki care intervin în aceste relaŃii se numesc coeficienŃi de potenŃial electrostatic.

ToŃi coeficienŃii de potenŃial sunt pozitivi

αki > 0, pentru orice i şi k. (5.2-3)

CoeficienŃii de potenŃial satisfac relaŃia de ordonare

αkk > αki pentru i ≠ k, (5.2-4)

precum şi relaŃia de reciprocitate

αki = αik pentru orice i şi k. (5.2-5)

CoeficienŃii de potenŃial depind numai de configuraŃia geometrică şi de natura dielectricului.

Rezolvând sistemul (5.2-2) în raport cu sarcinile electrice, sub forma

Page 50: Fizica II Curs

46

q V i ni i k k

k

n

= ==∑β

1

1 2, , , , ,K (5.2-6)

se obŃine a doua relaŃie a lui Maxwell referitoare la capacităŃi. CoeficienŃii βik ai acestor relaŃii se numesc coeficienŃi de influenŃă electrostatică sau coeficienŃi de capacitate şi pot fi deduşi cu relaŃia

( )β i k

i k k i= −+

1∆

∆, (5.2-7)

în care ∆ este determinantul coeficienŃilor sistemului (5.2-2), iar ∆ki este determinantul minor obŃinut prin suprimarea liniei k şi a coloanei i. Rezultă, evident, că

βik = βki pentru orice i şi k. (5.2-8)

Se mai poate demonstra, că

βii > 0 pentru orice i,

βik < = pentru orice i şi k ≠ i.

(5.2-9)

(5.2-10)

Dacă la ecuaŃia de ordin i se adună şi se scade mărimea

β i k i

k

n

V=∑

1

,

atunci se obŃine o nouă formă

( )q V V Vi i i k

k

n

i k k i

k

n

= + == =∑ ∑β β

1 1

. (5.2-11)

Se notează

U V i U V V i k

C C i k

i i i k i k

i i k

k

n

i k i k

0

01

= = − ≠

= = − ≠=∑

º

º i

, ,

, .β β

Atunci sistemul (5.2-11) devine

q C U C U i ni i i i k i k

k

n

= + ==∑0 0

1

1 2, , , , .K (5.2-13)

Aceasta este a treia formă a relaŃiilor lui Maxwell referitoare la capacităŃi. CoeficienŃii pozitivi

Cik > 0 pentru orice i şi k ≠ i (5.2-14)

se numesc capacităŃi parŃiale între conductoare, care satisfac relaŃia de reciprocitate

Cik = Cki pentru orice i şi k ≠ i, (5.2-15)

iar coeficienŃii pozitivi

Cii > 0 pentru orice i (5.2-16)

se numesc capacităŃi parŃiale faŃă de pământ (mai corect, faŃă de conductorul de referinŃă).

Page 51: Fizica II Curs

47

Pentru a da un suport intuitiv conceptului de capacitate parŃială, se va examina sistemul format din două conductoare încărcate, izolate, de formă oarecare, aşezate într-un mediu dielectric liniar, neîncărcat şi fără polarizaŃie permanentă, în vecinătatea unei suprafeŃe conductoare (de exemplu, pământul, fig. 5.2-2). Fie q1 şi q2 sarcinile electrice ale celor două conductoare, V1 şi V2 - potenŃialele lor, iar suprafaŃa conductoare (pământul) are potenŃialul V0 şi sarcina q0, complementară sarcinii celor două conductoare

q0 = -q1 - q2. (5.2-17)

Fig. 5.2-2. NotaŃii pentru definirea capacităŃilor parŃiale. Fig. 5.2-3. Schema echivalentă cu capacităŃi perŃiale.

Trasând liniile câmpului electric (ale inducŃiei electrice), se constată că o parte q12 a sarcinii conductorului 1 este legată prin linii de câmp cu o sarcină electrică egală şi de nume contrar q21 = - q12 de pe al doilea conductor, iar cealaltă parte q10 a sarcinii conductorului 1 este legată prin linii de câmp cu o sarcină egală şi de nume contrar de pe planul conductor. Se constată relaŃii similare şi pentru sarcina celui de al doilea conductor, iar între sarcinile electrice parŃiale astfel puse în evidenŃă există relaŃiile

q1 = q10 + q12, q2 = q20 + q21, q0 = -q10 - q20. (5.2-18)

Pentru suprafeŃele corespondente, adică legate prin linii de câmp electric, ale suprafeŃelor conductoarelor se definesc capacităŃile parŃiale în modul următor (vezi fig. 5.2-2)

Cq

V VC

q

V V

Cq

V VC

q

V V

1212

1 210

10

1 0

2121

2 120

20

2 0

=−

=−

=−

=−

, ,

, .

(5.2-19)

Toate capacităŃile parŃiale de mai sus sunt pozitive, ele având definiŃii similare cu cele ale capacităŃilor unor condensatoare.

Intrucât q12 = - q21, rezultă şi relaŃia de reciprocitate afirmată C12 = C21. Cu mărimile definite mai sus, sarcinile conductoarelor se exprimă prin relaŃiile

q1 = q12 + q10 = C12 (V1 - V2) + C10 (V1 - V0),

q2 = q21 + q20 = C21 (V2 - V1) + C20 (V2 - V0). (5.2-10)

regăsind, astfel, a treia formă a relaŃiilor lui Maxwell referitoare la capacităŃi pentru n = 2, dacă se pune V0 = 0. In relaŃiile de mai sus s-a păstrat V0 ≠ 0 din considerente de simetrie şi claritate.

Atunci când cele două conductoare sunt încărcate cu sarcini electrice egale şi de nume contrar q1 = - q2 şi q0 = 0, se poate defini o capacitate echivalentă între conductoarele 1 şi 2, în prezenŃa suprafeŃei conductoare 0

Page 52: Fizica II Curs

48

Cq

V VC

C C=

−= +

+1

1 212

20

1

1 10 1. (5.2-21)

Această expresie se poate stabili şi direct, dacă se are în vedere schema echivalentă din figura 5.2-3.

Capacitatea astfel definită pentru liniile electrice aeriene (în prezenŃa solului) se numeşte capacitate de serviciu.

5.3. CAPACITĂłILE LINIILOR ELECTRICE AERIENE

Teoremele lui Maxwell referitoare la capacităŃi au o aplicaŃie importantă la calculul capacităŃii liniilor electrice aeriene. Aici se va aborda numai cazul liniei electrice aeriene bifilare, în absenŃa sau în prezenŃa solului; cazul liniilor mutifilare este abordat la discipline de specialitate.

Se consideră întâi cazul liniei electrice bifilare, formate din două conductoare cilindrice, de diametre în general diferite 2r1 şi 2r2, rectilinii, paralele, încărcate cu sarcinile lineice ρl şi -ρl, situate la distanŃa d unul de altul (fig. 5.3-1). Câmpul electric al celor două conductoare se deduce prin superpoziŃia câmpurilor electrice create de sarcina fiecărui conductor în parte.

Fig. 5.3-1. NotaŃii pentru capacitatea liniei aeriene bifilare.

Câmpul electric şi potenŃialul sistemului de conductoare cilindrice se poate studia plecând de la câmpul, respectiv potenŃialul firelor încărcate cu aceeaşi sarcină lineică. Atunci când conductoarele cilindrice au diametre mici faŃă de distanŃa dintre ele, firele "echivalente" vor fi aşezate chiar în axele conductoarelor cilindrice. Această aproximaŃie este suficientă în cazul liniei aeriene.

Se ştie că un fir rectiliniu, încărcat cu sarcina lineică ρl, creează la distanŃa r un potenŃial (logaritmic)

Vr

const= +ρ

πεl

02ln .

1 (5.3-1)

Pentru simplificarea scrierii, în continuare se va omite scrierea constantei arbitrare. Inlocuind linia prin fire echivalente, încărcate cu sarcinile lineice ρl şi -ρl, potenŃialul

unui punct M din planul transversal, aflat la distanŃele x1 şi x2 de firele încărcate, va fi

Vx x

x

xM

l

0

l

0

l

02 2 2= − =

ρ

πε

ρ

πε

ρ

πεln ln ln .

1 1

1 2

2

1

(5.3-2)

PotenŃialele celor două conductoare cilindrice se determină aducând succesiv punctul M pe suprafaŃa câte unui conductor. Se obŃin relaŃiile

Vd

rV

d

r1

12

2

= =−ρ

πε

ρ

πεl

0

l

02 2ln , ln . (5.3-3)

Tensiunea între cele două conductoare este

Page 53: Fizica II Curs

49

U V Vd

r r

d

r r12 1 2

2

1 2 1 2

= − = =ρ

πε

ρ

πεl

0

l

02ln ln . (5.3-4)

Capacitatea pe unitate de lungime (capacitatea lineică) între cele două conductoare este

Cq

U d

r r

ll= =12

0

1 2

πε

ln. (5.3-5)

Dacă conductoarele au diametre egale r1 = r2 = r0 şi se exprimă capacitatea lineică pe lungimea de un kilometru, se obŃine formula practică

( ) [ ]Cd r

l F / km=1

36 0lnµ (5.3-6)

Pentru d/r0 = 20...100, rezultă Cl = 6...10 [nF/km]. Este instructiv să se compare această capacitate lineică a liniilor aeriene cu cea a

cablurilor (care e de 0,2...0,5 µF/km). Rezultă că liniile aeriene au capacităŃi lineice de 30...50 ori mai mici decât cablurile.

InfluenŃa solului se ia în consideraŃie în modul următor. Solul se consideră mediu conductor, cu suprafaŃa plană şi paralelă cu conductoarele

liniei, formând o suprafaŃă echipotenŃială, de potenŃial nul (deci şi potenŃialul punctelor de la infinit este nul). In acest caz câmpul electric al conductoarelor se va determina prin metoda imaginilor electrice.

Se consideră întâi cazul unui singur conductor (fir), încărcat cu sarcina lineică ρl, situat la distanŃa h de sol. Câmpul acestui conductor, în prezenŃa solului, în domeniul de deasupra solului este identic cu cel creat, în absenŃa solului, de conductorul considerat şi de imaginea sa în raport cu suprafata solului (fig. 5.3-2), încărcată cu sarcina lineică -ρl.

Fig. 5.3-2. Fir încărcat şi imaginea sa în raport cu solul.

În adevăr, potenŃialul ansamblului conductor fizic şi conductor imagine, în orice punct M situat pe suprafaŃa solului (în planul mediator), va avea mereu aceeaşi valoare, căci

Vr

rM

l

02= =

ρ

πεln

',0 (5.3-7)

întrucât r' = r. Metoda imaginilor electrice este o metodă generală pentru determinarea câmpurilor

electrice şi se bazează pe introducerea de sarcini electrice imagine, care în mediul dielectric să conducă la crearea unei suprafeŃe echipotenŃiale pe suprafaŃa pe care ar ocupa-o un anumit conductor (eliminat prim metoda imaginilor).

Fie o linie electrică bifilară, cu conductoare rectilinii, paralele, cilindrice, de diametre 2r1, 2r2, situate la înălŃimile h1 şi h2 faŃă de sol şi la distanŃa d unul de altul (fig. 5.3-3). Conductoarele sunt încărcate cu sarcinile lineice ρl şi -ρl. Luând în consideraŃie şi imaginile

Page 54: Fizica II Curs

50

firelor "echivalente" în raport cu solul, cu notaŃiile din figura 5.3-3 rezultă următoarele expresii ale potenŃialelor conductoarelor cilindrice

Vh

r

d

DV

h

r

d

D1

1

12

2

2

2 2= +

=

−+

ρ

πε

ρ

πεl

0

l

02 2ln ln , ln ln , (5.3-8)

în care D este distanŃa dintre un conductor fizic şi imaginea celuilalt conductor. Ca în cazul anterior (în absenŃa solului) se stabileşte expresia tensiunii între conductoare

şi se deduce expresia capacităŃii lineice în prezenŃa solului

Fig. 5.3.-3. NotaŃii pentru luarea în consideraŃie a vecinătăŃii solului pentru linia aeriană bifilară.

CV V h h

r r

d

D

d

r r

h h

D

Sl=−

= =ρ πε πε

1 2

0

1 2

1 2

2

2

0

1 2

1 2

2

4 2ln ln

. (5.3-9)

În această expresie, care poate fi comparată cu (5.3-5), factorul din expresia logaritmată

2 1 2h h

D

reprezintă influenŃa solului asupra capacităŃii liniei bifilare. Dacă linia este depărtată de sol, atunci 2h1 → 2h2 → D şi se regăseşte formula capacităŃii liniei bifilare, în absenŃa solului.

AplicaŃie. Pentru o linie cu r1 = r2 = 10 mm,, d = 1 m, h1= h2 = 6 m, rezultă D = 12,04 m. Se observă că 2h/D = 12/12,04 = 0,996677, adică practic 1. Se mai obŃine Cl = 6 nF/km.

Page 55: Fizica II Curs

6. ENERGIA SI FORłELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC

6.1. ENERGIA ELECTROSTATICĂ A CÂMPULUI UNUI SISTEM DE CONDUCTOARE

Câmpului electrostatic îi corespunde o anumită energie, numită energie electrostatică. Această energie poate fi determinată particularizând expresia energiei electromagnetice sau direct, aplicând principiul conservării energiei procesului de stabilire a câmpului electrostatic.

Conform principiului conservării energiei, energia elementară dWext primită de un sistem din exterior într-o transformare este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar δL efectuat de sistem, căldura elementară δQ dezvoltată, creşterea elementară dWe a energiei sistemului (aici energia electrostatică) şi energia elementară dWt transformată în alte forme

dWext = δL + δQ + dWe + dWt. (6.1-1)

Mai sus s-a folosit simbolul δ pentru lucrul mecanic elementar (δL) şi pentru căldura elementară (δQ), subliniind astfel faptul că aceste mărimi elementare nu sunt, în general, diferenŃiale totale exacte ale unor funcŃii de stare (în sens termodinamic).

Dacă transformarea elementară se efectuează foarte lent şi izoterm, pentru a avea mereu stări electrostatice, fără dezvoltare sau transfer de căldură şi dacă toate corpurile sunt imobile (deci nu se efectuează lucru mecanic), atunci energia elementară primită din exterior se va regăsi integral sub formă de creştere elementară a energiei electrostatice

dWext = dWe. (6.1-2)

Fie un sistem DΣ, cuprins în suprafaŃa închisă Σ, iniŃial fără câmp electric (adică în starea initială în domeniul DΣ este nulă peste tot intensitatea macroscopică a câmpului electric). In această stare, energia electrostatică (macroscopică) este nulă.

Să considerăm că în domeniul DΣ se află n corpuri conductoare, iar câmpul electric al stării finale este datorit încărcării fiecărui corp de ordin k = 1, 2, ..., n cu sarcina electrică qk. Se mai notează cu Vk potenŃialul corpului de ordin k în starea finală. De asemenea, se consideră că sistemul sarcinilor este complet

qkk

n

=∑ =

1

0. (6.1-3)

Starea iniŃială (cu câmp nul) se obŃine atunci când sarcinile electrice ale tuturor conductoarelor este nulă.

Pentru a trece de la starea iniŃială la cea finală, se încarcă treptat fiecare conductor, aducând din punctul de origine al potenŃialelor (situat în punctul P0), cu ajutorul unui purtător (corp de probă), sarcina elementară dqk* pe conductorul de ordin k (situat în punctul Pk). Lucrul mecanic elementar al forŃelor exterioare pentru transportarea sarcinii elementare dqk* este

( ) ( )δL q q V qk k k k k k

k k k

ext extP

P

P

P

P

P

0 0 0

= = − = − =∫ ∫ ∫r r r r r rF s E s E sd d * d d d * * d *, (6.1-4)

unde Vk* este potenŃialul conductorului k în starea intermediară considerată. Incărcarea elementară a tuturor conductoarelor implică lucrul mecanic elementar

Page 56: Fizica II Curs

52

δ δL L V qk

k

n

k k

k

n

ext ext= == =∑ ∑

1 1

* d *. (6.1-5)

În regim electrostatic, sistemul primeşte energie din exterior numai sub formă de lucru mecanic al forŃelor exterioare

dW Lext ext= δ (6.1-6)

şi Ńinând seama că în transformarea considerată energia primită din exterior se transferă integral câmpului electrostatic conform relaŃiei (6.1-2), rezultă expresia energiei electrostatice elementare

d * d *.W V qk k

k

n

e ==∑

1

(6.1-7)

Energia electrostatică a sistemului se obŃine integrând această expresie de la starea de referinŃă (cu câmp macroscopic nul) până la starea finală (actuală, dată).

Pentru simplificarea raŃionamentelor, în continuare se va considera numai cazul câmpului electric în medii liniare.

Intrucât energia este o mărime de stare (în sens termodinamic), care depinde numai de mărimile de stare ale câmpului electrostatic, se poate considera un mod particular de atingere a stării finale (care simplifică calculele), prin creşterea simultană, proporŃională, a sarcinii tuturor conductoarelor. Fie λ ∈ (0,1) un factor de stare intermediară. Atunci, într-o stare intermediară sarcina conductorului de ordin k va fi

q qk k

* ,= λ (6.1-8)

iar în baza teoremei superpoziŃiei (sau a relaŃiilor lui Maxwell referitoare la capacităŃi) rezultă că şi potenŃialele stării intermediare vor fi proporŃionale cu acelaşi factor

V Vk k

* .= λ (6.1-9)

Expresia energiei electrostatice elementare devine

( ) ( )d d d .W V q V qk k

k

n

k k

k

n

e = =

= =∑ ∑λ λ λ λ

1 1

(6.1-10)

Energia electrostatică este

W W V q

W V q

k k

k

n

k k

k

n

e e

e

= =

=

=

=

==

=

=

∫ ∑ ∫

d d ,

.

λ

λ

λ

λλ λ

0

1

10

1

12

1

(6.1-11)

În cazul particular al unui condensator avem

n q q q q V V U= = = − − =1 1 2 1 2, , ,

şi rezultă

( )W qV qV qU CU q Ce = − = = =12 1 2

12

12

2 12

2 . (6.1-12)

Notă. Dacă s-ar fi considerat repartiŃii de volum ale sarcinii electrice, cu densitatea de volum ρv în medii liniare s-ar fi obŃinut următoarea expresie a energiei electrostatice

Page 57: Fizica II Curs

53

W V vD

e v= ∫12 ρ d ,

Σ

(6.1-13)

care se stabileşte prin generalizarea sumei din expresia particulară (6.1-11).

6.2. DENSITATEA DE VOLUM A ENERGIEI CÂMPULUI ELECTROSTATIC

Energia câmpului electrostatic este localizată în tot domeniul ocupat de câmpul electrostatic, cu o densitate de volum care se poate exprima în funcŃie de mărimile de stare ale câmpului electric (

r rE D º i ).

Pentru simplificarea calculelor, se consideră cazul cel mai simplu, al unui câmp uniform, cuprins între două armături plane paralele, de arie A, situate la distanŃa a una de alta, în spaŃiul separator fiind un dielectric omogen (cazul condensatorului plan, fig. 6.2-1, la care se neglijează efectul de margine). Rezultă succesiv

( )( ) ( )( )W qU A a Aa ve = = = =12

12

12

12

r r r r r r r rD n E n E D E D , (6.2-1)

unde cu v = A a s-a notat volumul domeniului de câmp.

Fig. 6.2-1. Domeniu cu câmp electric uniform. Fig. 6.2-2. Domeniu elementar în câmpul electric.

Densitatea de volum a energiei electrostatice va fi

w W v E De e= = = =12

12

2 12

2r rE D ε ε , (6.2-2)

aceste expresii fiind valabile numai în medii liniare şi fără polarizaŃie permanentă. Aceeaşi expresie se obŃine şi în cazul unui câmp neuniform. In acest caz, volumul

elementar ∆v se obŃine secŃionând un tub de câmp elementar prin două suprafeŃe echipotenŃiale foarte apropiate (fig. 6.2-2). Acest volum elementar poate fi asimilat cu un mic condensator plan, pentru care este valabilă expresia (6.2-2) a densităŃii de volum a energiei electrostatice.

In medii neliniare, plecând de la expresia generală (6.1-7), particularizată pentru condensator

d * d *,W U qe = (6.2-4)

rezultă succesiv

( ) ( )d * d * * d * * d *.W U q a A ve = = =r r r r r rE n D n E D (6.2-5)

Deci diferenŃiala densităŃii de volum a energiei electrostatice are expresia

d d * d *.w W ve e= =r rE D (6.2-6)

Expresia generală a densităŃii de volum a energiei electrostatice devine

we = ∫r rE D* d *, (6.2-7)

Page 58: Fizica II Curs

54

integrarea efectuându-se de la starea de referinŃă (rD*= 0 ) până la starea actuală. De exemplu,

în cazul unui mediu neliniar, dar având caracteristica univocă (fig. 6.2-3), densitatea de volum a energiei electrostatice va fi egală cu aria triunghiului curbiliniu OMA.

Fig. 6.2-3. DiferenŃiala densităŃii de volum a energiei electrostatice şi densitatea de volum a energiei electrostatice.

Energia unui volum DΣ din câmpul electrostatic este dată de integrala de volum a densităŃii de volum a acestei energii. De exemplu, în cazul mediilor liniare se obŃine expresia

W w v vDD

e e= = ∫∫ d d .12

r rED

ΣΣ

(6.2-8)

Dacă integrala este efectuată asupra întregului spaŃiu (sau a spaŃiului care conŃine tot câmpul electric), atunci expresia (6.2-8) a energiei electrostatice este echivalentă cu expresiile (6.1-11) sau (6.1-13); ultimele expresii sunt valabile însă numai în electrostatică şi pentru întregul domeniu de câmp, pe când expresiile (6.2-1) şi (6.2-8) sunt valabile şi în cazul câmpului electric variabil în timp (în medii liniare), iar expresia densităŃii de volum (6.2-7) este aplicabilă şi mediilor neliniare.

Se poate introduce, prin definŃie, şi coenergia electrică, a cărei densitate de volum are diferenŃiala

d ' * d *,w e =r rD E (6.2-9)

cu proprietatea importantă

( )d d ' d .w we e+ =r rED (6.2-10)

Expresia densităŃii de volum a coenergiei electrostatice este

w' * d *,e = ∫r rD E (6.2-11)

integrarea efectuându-se de la starea de referinŃă (rE*= 0 ) până la starea actuală. În planul

figurii 6.2-3 densitatea de volum a coenergiei corespunde ariei triunghiului curbiliniu OMB. Se observă că în medii liniare densitatea de volum a coenergiei electrice este egală cu

densitatea de volum a energiei electrice

w we e= =' .12

r rED (6.2-12)

Coenergia unui volum DΣ din câmpul electrostatic este dată de integrala de volum a densităŃii de volum a coenergiei.

Se poate stabili şi o expresie a coenergiei, exprimată cu ajutorul mărimilor de circuit - tensiuni şi sarcini electrice, care are forma diferenŃială simetrică cu (6.1-7)

d ' dW q Vk ke =∑ (6.2-13)

şi din nou rezultă proprietatea importantă

( )d d ' d ,W W q Vk ke e+ =∑ (6.2-14)

Page 59: Fizica II Curs

55

care va fi utilă în cele ce urmează

6.3. TEOREMELE FORłELOR GENERALIZATE ÎN CÂMP ELECTROSTATIC

ForŃele care se exercită asupra corpurilor situate într-un câmp electrostatic nu se pot calcula totdeauna cu teorema lui Coulomb, fiindcă această teoremă este valabilă numai pentru medii omogene, liniare şi izotrope. O metodă generală de calcul a forŃelor electrostatice (şi a forŃelor electrice în regim variabil) are la bază relaŃia de bilanŃ (6.1-1).

Considerând un sistem de corpuri care se pot deplasa (chiar virtual) sub influenŃa forŃelor electrice, lucrul mecanic elementar δL efectuat de un corp se exprimă sub forma

δL = X dx, (6.3-1)

în care X este forŃa generalizată care se exercită asupra corpului, în sensul în care variază cu dx o coordonată generalizată x a corpului, asociată forŃei X.

Coordonata generalizată x poate fi o distanŃă, atunci X este componenta forŃei după direcŃia în care creşte x, poate fi un unghi - atunci X este un cuplu, poate fi un volum - atunci X este o presiune, poate fi o arie - atunci X este o tensiune superficială ş.a.m.d. Fie un sistem de corpuri A1, A2,..., An şi A în câmp electrostatic, în care numai corpul A se deplasează, astfel încât variază o singură coordonată generalizată x a sa cu dx, forŃa generalizată corespunzătoare, exercitată de câmpul electric, fiind X (fig. 6.3-1). In cursul deplasării elementare se consideră îndeplinite condiŃiile regimului electrostatic. In aceste condiŃii, energia elementară primită de sistem de la sursele exterioare

d dW V qk k

k

n

ext ==∑

1

(6.3-2)

Fig. 6.3-1. NotaŃii pentru stabilirea expresiei forŃei generalizate în câmp electrostatic.

va fi egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar efectuat δL şi creşterea dWe a energiei electrostatice a sistemului

dWext = δL + dWe, (6.3-3)

sau,

X x V q Wk k

k

n

d d d .= −=∑

1e (6.3-4)

Din această expresie se poate determina forŃa electrostatică generalizată X, dacă se cunoaşte modul în care variază energia electrostatică şi energia primită din exterior în cursul deplasării elementare dx.

In baza teoremei unicităŃii câmpului electrostatic, energia electrostatică a unui sistem de conductoare încărcate cu sarcini electrice poate fi exprimată ca funcŃie de coordonatele sale şi

- fie numai de sarcinile tuturor corpurilor, - fie numai de potenŃialele tuturor corpurilor, - fie de sarcinile unor corpuri şi de potenŃialele celorlalte corpuri.

Page 60: Fizica II Curs

56

La determinarea forŃelor generalizate este mai potrivită folosirea uneia din primele două exprimări ale energiei electrostatice, cum se arată mai jos.

În adevăr, pentru a obŃine o expresie simplă a forŃei generalizate, sunt de luat în consideraŃie următoarele două cazuri: sistem izolat sau sistem cu potenŃiale fixate.

Dacă sistemul este izolat, sarcinile electrice ale corpurilor nu se modifică în cursul transformării, deci dqk = 0 pentru orice k şi rezultă

( )X x W q constd d= − =e (6.3-5)

Exprimând energia electrostatică We ca funcŃie numai de sarcinile electrice şi de coordonata generalizată x, diferenŃiala energiei electrostatice va avea forma

d d d .WW

xx

W

qq

k

k

k

n

ee e= +

=∑

∂1

(6.3-6)

CondiŃia de sarcină constantă conduce la expresia simplă

( )d d .W q constW

xxe

e

= =∂

∂ (6.3-7)

Astfel se obŃine prima teoremă a forŃelor generalizate în câmp electrostatic

XW

x q const= −

=

∂e . (6.3-8)

ForŃa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parŃială cu semn schimbat a energiei electrostatice a sistemului în raport cu coordonata generalizată x, la sarcini constante ale conductoarelor; energia trebuie să fie exprimată ca funcŃie de coordonata generalizată şi numai de sarcinile corpurilor.

Se observă că, sistemul fiind izolat, lucrul mecanic al forŃei generalizate este efectuat pe seama scăderii energiei interne (electrostatice) a sistemului.

Dacă sistemul are potenŃialele fixate (conductoarele sunt conectate la surse de tensiune), Vk = const pentru orice k, atunci se foloseşte relaŃia (6.2-13) dintre energie şi coenergie, cu care se transformă succesiv membrul drept al relaŃiei (6.3-4)

( )d d d d d ' d ' .W W V q q V W q dV Wk k k k k kext e e e− = − + = − +∑ ∑ ∑

Se observă că suma se poate anula punând condiŃia de potenŃiale fixate şi se obŃine

( )X x W W V constd d d ' .= + =ext e (6.3-9)

Exprimând coenergia electrostatică ca funcŃie de coordonata generalizată x şi numai de potenŃiale, printr-un raŃionament similar cu cel dezvoltat anterior, se obŃine a doua teoremă a

forŃelor generalizate în câmp electrostatic

XW

x V const=

=

'.e

(6.3-10)

ForŃa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parŃială a coenergiei electrostatice a sistemului în raport cu coordonata generalizată x, la potenŃiale constante ale conductoarelor; coenergia trebuie să fie exprimată ca funcŃie de coordonata generalizată şi numai de potenŃialele corpurilor.

Page 61: Fizica II Curs

57

Se observă că în cursul deplasării elementare, în acest caz sistemul primeşte de la sursele exterioare o energie mai mare decât lucrul mecanic efectuat, deci o dată cu efectuarea lucrului mecanic creşte şi energia internă (electrostatică) a sistemului.

Cele două expresii ale forŃei generalizate sunt echivalente şi dau acelaşi rezultat. ObservaŃie. Uneori a doua teoremă este prezentată înlocuind coenergia electrostatică prin

energie; atunci expresia este valabilă numai pentru sisteme liniare, folosirea sa în alte condiŃii fiind greşită.

AplicaŃie. Se consideră un condensator cilindric cu armături coaxiale, având diametrele d1 = 8 mm, d2 = 10 mm şi lungimea l = 100 mm (fig. 6.3-2). Dielectricul condensatorului este constituit din ulei de transformator (cu εr = 2,3) pe o lungime a < l, iar pe restul lungimii este aer (cu ε = ε0). Se cere forŃa axială F care se exercită asupra suprafeŃei inelare de separaŃie ulei-aer, dacă între armăturile condensatorului se aplică o tensiune constantă de 2 kV.

Fig. 6.3-2. ForŃa care se exercită asupra unei suprafeŃe inelare în câmp electrostatic.

Cu expresia capacităŃii lineice a condensatorului cilindric şi Ńinând seama că cele două porŃiuni - cu dielectric ulei, respectiv aer - sunt în paralel, rezultă capacitarea condensatorului

( ) ( )Cd d

a l a= + −2 0

2 1

πεε

ln.r (6.3-11)

Energia electrostatică a dispozitivului este

W CUe =12

2 . (6.3-10)

Coordonata generalizată asociată forŃei axiale F este lungimea a. Cu a doua teoremă a forŃelor generalizate în câmp electrostatic (sistemul fiind liniar, coenergia are aceeaşi valoare ca energia, W'e = We) rezultă

( ) ( )FW

a U constU

C

aU

d d=

== = −

∂∂∂

πεε

'

ln.e

r12

2 2 0

2 1

1 (6.3-11)

Numeric se obŃine

F = = −π

π

4 10 1 3

4 9 10 1 250 647 10

6

9

3. . ,

. ln ,, . N. (6.3-12)

ForŃa este foarte mică şi pentru a aprecia efectele sale se calculează înălŃimea h la care se va ridica uleiul între armăturile condensatorului sub influenŃa forŃei electrostatice. Greutatea coloanei de ulei de înălŃime h este

( )G d d hg= −14 2

212π δ, (6.3-13)

unde cu δ s-a notat densitatea uleiului de transformator (aproximativ 900 kg/m3) şi cu g - acceleraŃia gravitaŃională (9,81 m/s2). Din egalitatea F = G se obŃine

Page 62: Fizica II Curs

58

( )( ) ( )

[ ] [ ]hU

g d d d d=

−= =−4 1

2 59 10 2 592

0

22

12

2 1

3ε ε

δ

r m mmln

, . , , .

adică efectul forŃei electrostatice este mic, deşi solicitarea dielectrică este importantă (20 kV/cm), la limita rigidităŃii dielectrice în aer.

ForŃele de natură electrostatică sunt forte mici şi nu au găsit aplicaŃii decât în aparatele electrice de măsurat şi în unele traductoare.

Page 63: Fizica II Curs

7. METODE PENTRU DETERMINAREA CÂMPULUI ELECTROSTATIC

7.1. CLASIFICAREA METODELOR

Sunt cunoscute numeroase metode pentru determinarea câmpului electrostatic. Se disting metode analitice, numerice, grafice, grafo-analitice şi analogice.

Cu metodele analitice se obŃin soluŃii care se exprimă cu funcŃii cunoscute. SoluŃiile analitice prezintă avantajul că permit interpretarea calitativă a rezultatelor. Insă numărul configuraŃiilor care poate fi abordat cu metode analitice este redus. Principalele metode analitice sunt: metoda elementară (sau directă), metoda integrării ecuaŃiilor Poisson-Laplace prin separarea variabilelor, metoda imaginilor electrice, metoda funcŃiilor de variabilă complexă - asociată cu transformări conforme - şi metoda funcŃiilor Green.

Metodele numerice se pot aplica oricărei configuraŃii, cu o eroare care depinde de metoda folosită şi de partiŃionarea domeniului de câmp. Principalele metode numerice sunt metoda diferenŃelor finite, metoda elementelor finite, metoda elementelor de frontieră, metoda Monte-Carlo.

Metodele grafice se bazează pe trasarea spectrului câmpului studiat, iar metoda grafo-analitică foloseşte aproximarea formei liniilor de câmp prin segmente drepte şi arce de cerc (mai rar - şi arce de elipsă). Metodele analogice folosesc reprezentarea câmpului electrostatic prin câmpuri de altă natură (în care să se poată măsura mai uşor anumite mărimi de câmp).

După numărul de coordonate spaŃiale de care depinde câmpul, se disting câmpuri tri-, bi- şi uni-dimensionale (notate scurt 3D, 2D şi 1D). In cadrul câmpurilor bidimensionale se disting câmpuri plan-paralele (nu depind de coordonata axei perpendiculare pe plan) şi plan-radiale (nu depind de unghiul de azimut al planului meridian care trece prin axa unei configuraŃii cu simetrie faŃă de o axă).

Aici se vor prezenta câteva metode folosite în inginerie. Se reaminteşte că în cadrul disciplinelor de analiză matematică şi de matematici speciale a fost dezvoltată teoria matematică a câmpurilor de vectori şi sunt studiate metodele analitice ale fizicii matematice, care stau la baza multor metode folosite în studiul câmpului electrostatic.

7.2. METODA ELEMENTARĂ

Metoda elementară consistă în aplicarea directă a legilor şi teoremelor sub formă integrală, atunci când corpurile prezintă proprietăŃi de simetrie, care permit să se stabilească direct forma liniilor de câmp şi legea de variaŃie a mărimilor de câmp în funcŃie de o anumită coordonată.

In acest mod se poate calcula, în mediu omogen, câmpul electrostatic al sferei încărcate, al planului, al firului sau al cilindrului cu sarcină electrică uniform repartizată.

Adesea metoda elementară se asociază cu anumite aproximaŃii şi cu superpoziŃia mai multor repartiŃii. Astfel se calculează câmpul electrostatic al dipolului, al stratului dublu, al perechii de conductoare cilindrice ş.a.

Exemplul 1. Câmpul electric creat de o repartiŃie de volum cu simetrie sferică a sarcinii electrice, într-un domeniu omogen.

Sarcina este distribuită cu o densitate de volum ρv(R), care depinde numai de distanŃa R = −

r rr r0 faŃă de un centru situat în punctul

rr0 . Din considerente de simetrie câmpul creat

va avea simetrie faŃă de acest centru şi intensitatea sa va depinde numai de distanŃa de centru,

Page 64: Fizica II Curs

59

deci liniile câmpului vor fi radiale ( ) ( ) ( )r r r r r rE r u u r r0= = −r r unde E R R, este versorul

orientării radiale din centrul rr0 . InducŃia electrică este

r rD E= ε . Mediul poate fi neliniar.

Fie o sferă Σ de rază R, cu centrul în rr0 . Fluxul electric prin suprafaŃa acestei sfere este

( ) ( )ψ ε π εΣ ΣΣ Σ= = =∫ ∫

r r r rD n u ud d ,A E R A R E Rr r 4 2

întrucât pe sfera de rază R câmpul are o valoare constantă. Sarcina electrică din volumul sferei este

( )q v u u uD u

u R

ΣΣ

= =∫ ∫ =

=ρ ρ πv vd d .4 2

0

După precizarea legii de distribuŃie a sarcinii se determină expresia intensităŃii câmpului electric. De exemplu:

- pentru sarcină "punctiformă" (localizată într-un volum de rază neglijabilă) qΣ = q în orice punct (exclusiv în

rr0 );

- pentru ρv = const în sfera de rază R0, rezultă qΣ = 4 π ρv R

3/3 pentru R ≤ R0, qΣ = 4 π ρv R0

3/3 pentru R > R0, - pentru sarcină repartizată superficial pe sfera de rază R0 cu densitatea de suprafaŃă ρS

rezultă qΣ = 0 pentru R < R0 şi qΣ = 4 πρS R02, pentru R > R0

Sarcina qΣ divizată cu 4 π R2 dă inducŃia câmpului electric D(R), iar divizată cu 4 π R2 ε dă intensitatea câmpului electric E(R).

Exemplul 2. Câmpul electric al dipolului, adică al unui ansamblu de două sarcini punctiforme egale şi de semn contrar (q şi -q), aflate la distanŃa ∆l şi care variază astfel încât există limita ∆l q, atunci când ∆l tinde spre zero. Se notează cu

( )r rp l=

lim ,ql

∆∆ 0

unde ∆rl este vectorul care uneşte punctele în care se află sarcinile -q şi q (fig. 7.2-1).

Fig. 7.2-1. NotaŃii pentru determinarea potenŃialului dipolului electric.

Se foloseşte expresia potenŃialului coulombian, al unui corp punctiform încărcat cu sarcina q, aplicată succesiv celor două corpuri. In punctul N, reperat faŃă de dipol prin raza vectoare

rR (fig. 7.2-1), respectiv prin distanŃele R1 şi R2, se obŃine potenŃialul

Vq

R R

q R R

R Rl

l

d = −

=

−→

lim lim .0

0 1 2 0

2 1

1 20

4

1 1

4πε πε

Întrucât l << R, rezultă următoarele limite

( )lim lim cos cos ,l l

q R R ql p→ →

− = =0

2 10

α αd

Page 65: Fizica II Curs

60

( )lim .l

R R R→

=0

1 22

Se mai observă că

p Rd dcos .α =r rp R

Astfel se obŃine expresia potenŃialului dipolului

VR

dd=

1

4 03πε

r rp R

. (7.2-1)

Se observă că potenŃialul dipolului electric scade invers proporŃional cu pătratul distanŃei de la dipol, pe când potenŃialul sarcinii punctuale scade numai invers proporŃional cu distanŃa.

Câmpul electric al dipolului se poate calcula direct

rr r

Ep R

d dd= − = −grad gradVR

1

4 03πε

şi apoi rezultă succesiv

( )grad grad grad ,r r

r r r rp Rp R p Rd

d dR R R3 3 3

1 1= +

grad ,1

3 33

4

5RR

R R= − = −−

r rR R

( )grad ,r r rp R pd d=

( )rr r r

r

Ep R R p

d

d d= −

1

43

05 3πε R R

. (7.2-2)

Se observă că dipolul are un câmp electric care scade cu puterea a treia a distanŃei faŃă de dipol, spre deosebire de câmpul sarcinii punctuale, care scade cu pătratul distanŃei.

7.3. METODA REZOLVĂRII ECUAłIILOR LUI LAPLACE ŞI POISSON PENTRU CÂMPUL ELECTROSTATIC

Problemele de câmp electrostatic în medii liniare se pot studia, în cazul general, pe calea rezolvării (în condiŃii de frontieră date) a unei ecuaŃii cu derivate parŃiale de ordinul al doilea, satisfăcută de potenŃialul electrostatic. EcuaŃia se obŃine înlocuind expresia rE = − gradV (forma locală a teoremei potenŃialului electrostatic) în forma locală a legii

fluxului electric divrD = ρv , Ńinând seama de legea de legătură

r rD E= ε . Se obŃine ecuaŃia

( )div grad .ε ρV = − v (7.3-1)

In dielectrici omogeni şi liniari, unde ε este constant (are aceeaşi valoare în orice punct al spaŃiului), rezultă ecuaŃia

div grad .V V= = −∆ ρ εv (7.3-2)

Page 66: Fizica II Curs

61

Operatorul ∆ = div grad se numeşte laplacian. În coordonate carteziene acest operator are expresia

∆ = + +∂

2

2

2

2

2

2x y z. (7.3-3)

EcuaŃia (7.3-2) se numeşte ecuaŃia lui Poisson şi o soluŃie a sa, pentru întregul spaŃiu, este dată de expresia potenŃialului coulombian (înlocuind ε0 prin ε)

VR

v constD

= +∞

∫1

4περv d , (7.3-4)

integrarea efectuându-se asupra întregului spaŃiu (considerat omogen şi liniar). Dacă domeniul de câmp este lipsit de sarcini electrice, ecuaŃia potenŃialului devine

∆V = 0 (7.3-5)

şi se numeşte ecuaŃia lui Laplace. În general, soluŃia ecuaŃiei lui Poisson se obŃine ca suma dintre soluŃia generală a ecuaŃiei

lui Laplace şi o soluŃie particulară a ecuaŃiei lui Poisson. Dacă domeniul de câmp este finit, închis de suprafaŃa Σ, se poate obŃine o soluŃie

generală a ecuaŃiei lui Laplace, cu ajutorul formulelor lui Green. Amintim numai faptul că, atunci când domeniul este finit, pe suprafaŃa frontieră Σ trebuie date condiŃiile de frontieră, adică fie potenŃialele (problema lui Dirichlet), fie componenta normală a câmpului (problema lui Neumann), fie potenŃialele pe o parte Sn∈Σ a suprafeŃei frontieră şi componenta normală a câmpului pe restul Σ\Sn al suprafeŃei frontieră, sau combinaŃii liniare ale acestor condiŃii de frontieră (problema lui Robin).

Rezolvarea ecuaŃiei lui Laplace, în condiŃii de frontieră date, constituie una dintre problemele fundamentale ale fizicii matematice. Această problemă poate fi rezolvată, de la caz la caz, cu metode analitice, exacte (metoda suprapunerii efectelor, metoda separării variabilelor, metoda functiilor analitice, metoda reprezentării conforme ş.a.), sau cu metode aproximative (metode numerice: metoda diferenŃelor finite, metoda elementelor finite ş.a.).

AplicaŃia_1. Cu ajutorul ecuaŃiei lui Laplace să se studieze câmpul electric al unui condensator plan, neglijând efectul de margine.

Dacă se neglijază efectul de margine, potenŃialul va depinde numai de coordonata axei perpendiculare pe armături; fie Ox această axă (fig. 7.3-1a) şi a distanŃa între armături. Întrucât dielectricul este neîncărcat (ρv = 0), ecuaŃia lui Laplace devine

∆VV

x= =

d

d.

2

20 (7.3-6)

Fig. 7.3-1. NotaŃii pentru câmpul electric al condensatorului plan (a), respectiv pentru câmpul electric într-un domeniu cu sarcină spaŃială (b).

După două integrări succesive se obŃine expresia potenŃialului, sub forma

Page 67: Fizica II Curs

62

( )V x k x k= +1 2 , (7.3-7)

în care k1 şi k2 sunt constante de integrare. Pentru determinarea lor se alege originea potenŃialelor pe prima armătură

la x = 0, V = 0 (7.3-8)

şi rezultă k2 = 0. Dacă se dă sarcina electrică q a primei armături, aplicând legea fluxului electric unei suprafeŃe închise Σ, care îmbracă strâns armătura, rezultă succesiv

q AV

xA k A= = −

= −∫ ∫

r rD n d

d

dd .

Σ Σε ε 1 (7.3-9)

Se deduce valoarea constantei k1 şi expresia potenŃialului

( )kq

AV x

q

Ax1 = − = −

ε ε º i . (7.3-10)

Câmpul electric este

r r r r rE i i D E= − = − = =grad

d

d.V

V

x

q

Aεε º i (7.3-11)

Tensiunea între armături este

( ) ( )U V V aq

Aa= − =0

ε (7.3-12)

şi rezultă expresia cunoscută a capacităŃii condensatorului plan

Cq

U

A

a= =

ε. (7.3-13)

AplicaŃia_2. Să se calculeze câmpul electric între două armături plane, paralele, în ipoteza că dielectricul este încărcat cu o densitate de volum constantă a sarcinii ρv şi se neglijează efectul de margine (fig. 7.3-1 b).

Câmpul depinde numai de coordonata x a axei perpendiculare pe planurile armăturilor. În acest caz rezultă ecuaŃia lui Poisson

d

d.

2

2

V

x= −

ρ

εv (7.3-14)

După două integrări, soluŃia are forma

( )V x x k x k= − + +ρ

εv

22

1 2 . (7.3-15)

Se alege originea potenŃialelor pe prima armătură, rezultă k2 = 0. Dacă se pune condiŃia ca tensiunea între armături să aibă valoarea dată U, adică

( ) ( )V V a U0 − = , (7.3-16)

pentru constanta rămasă rezultă valoarea

kU

aa1 2

= − +ρ

εv . (7.3-17)

Page 68: Fizica II Curs

63

Apoi se poate calcula câmpul electric în orice punct al dielectricului

( )r r rE i i= − = − = + −

grad

d

dV

V

x

U

ax a

ρ

εv

22 . (7.3-18)

7.4. METODA SEPARĂRII VARIABILELOR

Această metodă se aplică unei clase largi de ecuaŃii cu derivate parŃiale, scalare şi vectoriale, de tip eliptic (Laplace, Poisson şi Helmholtz), de tip parabolic (ecuaŃia difuziei) şi de tip hiperbolic (ecuaŃia undelor). Aici se va exemplifica numai metoda pentru ecuaŃii eliptice.

Metoda separării variabilelor se poate aplica în 11 repere, care permit "separarea" variabilelor.

7.4.1. SEPARAREA VARIABILELOR ŞI DEZVOLTAREA ÎN SERIE DE FUNCłII ORTOGONALE (PROBLEMA STURM-LIUVILLE)

Fie ecuaŃia lui Poisson pentru potenŃialul scalar, în mediu omogen ∆V = -ρv/ε. SoluŃia acestei ecuaŃii are doi termeni

( ) ( ) ( )V V Vr r rr r r= +p 0 ,

în care ( )Vp

rr este o soluŃie particulară a ecuaŃiei neomogene, iar ( )V0

rr este soluŃia ecuaŃiei

lui Laplace ∆V = 0. Pentru simplificare, la început se consideră cazul reperului cartezian şi atunci ecuaŃia lui

Laplace este

∆VV

x

V

y

V

z= + + =

∂0. (7.4-2)

În metoda separării variabilelor soluŃia ecuaŃiei Laplace în spaŃiul cu trei dimensiuni este o sumă (sau integrală) a unor termeni de forma produsului a trei funcŃii care depind numai de câte o coordonată

( ) ( ) ( ) ( )V x y z X x Y y Z z, , .= × × (7.4-3)

Introducând această formă în ecuaŃia Laplace şi împărŃind cu produsul X.Y.Z, se obŃine ecuaŃia

1 1 10

2

2

2

2

2

2X

X

x Y

Y

y Z

Z

z

d

d

d

d

d

d.+ + = (7.4-4)

Această ecuaŃie se descompune în trei ecuaŃii diferenŃiale ordinare, egalând fiecare termen cu câte o constantă

d

d,

d

d,

d

d,

2

2 12

2

2 22

2

2 32X

xX

Y

yY

Z

zZ= = =λ λ λ (7.4-5)

în care constantele sunt supuse restricŃiei

λ λ λ12

22

33 0+ + = . (7.4-6)

Page 69: Fizica II Curs

64

Mai departe se notează sistematic cu Xk(xk), k = 1, 2, 3 una dintre funcŃiunile X, Y, Z şi una dintre variabilele x, y sau z. De asemenea, se notează cu λk, k = 1, 2, 3, constantele din ecuaŃia (7.4-6). Numai două dintre constantele λk sunt independente.

Prin separarea variabilelor pentru ecuaŃia diferenŃială cu derivate parŃiale de ordinul doi (k = 1,2), într-un reper oarecare (în exprimarea acestei ecuaŃii intervin coeficienŃii lui Lamé), fiecare dintre funcŃiile Xk(xk) este o soluŃie a unei ecuaŃii diferenŃiale de forma

( ) ( ) ( )[ ]d

d

d

d, .

xf x

X

xg x h x X a x b

k

k k

k

k

k k k k k k k k k

+ + = < <λ 0 (7.4-7)

Rezolvarea ecuaŃiei (7.4-7) în intervalul xk∈(ak,bk), cu condiŃii la limită omogene

( ) ( ) ( ) ( )A X a B X a A X b B X bk k k k k k k k k k k k1 1 2 20 0+ = + =' , ' , (7.4-8)

coeficienŃii A1k, A2k, B1k, B2k fiind constanŃi, constituie problema Sturm-Liuville. Se observă că intervalele (ak,bk) sunt definite între suprafeŃe de coordonate, adică

suprafeŃe pe care o coordonată ia o valoare constantă. Deci metoda separării variabilelor se poate aplica numai configuraŃiilor pentru care condiŃiile la limită se prescriu pe suprafeŃe de coordonate ale reperului folosit. Există 11 sisteme de coordonate triortogonale care asigură separarea ecuaŃiei lui Laplace în trei ecuaŃii separate, în care intervine numai câte o singură coordonată.

Dacă intervalele (ak,bk) sunt mărginite, condiŃiile (7.4-8)) pot fi satisfăcute numai de anumite valori λ1p, λ2p, numite valori proprii sau caracteristice, cărora le corespund funcŃii proprii sau caracteristice Vp0(x1,x2,x3). SoluŃia generală cu variabile separate a ecuaŃiei lui Laplace în problema tridimensională este seria în raport cu două valori proprii

( ) ( ) ( ) ( )V x x x A X x X x X xpq p q pq1 2 3 1 1 2 2 3 3, , ,= ∑ (7.4-9)

iar în problema bidimensională este seria în raport cu o valoare proprie

( ) ( ) ( )V x x A X x X xp p p1 2 1 1 2 2, .= ∑ (7.4-10)

Dacă intervalale (ak,bk) sunt infinite, condiŃiile la limită (7.4-8) sunt satisfăcute pentru un spectru continuu al valorilor λk şi seriile (7.4-9), (7.4-10) trec în integrale, simple, respectiv duble.

* = * = *

Deoarece în ecuaŃia (7.4-7) operatorul diferenŃial este autoadjunct, funcŃiile proprii asociate valorilor proprii formează un şir de funcŃii ortogonale. Scriind oricare dintre ecuaŃile (7.4-7) pentru două valori diferite λp şi λq (pentru simplificare se suprimă indicele k, dar funcŃiile luate în consideraŃie se referă la aceeaşi variabilă, de indice k fixat), multiplicând prima ecuaŃie cu Xp şi a doua cu Xq şi scăzându-le membru cu membru, se obŃine

( ) ( ) ( ) ( )[ ]λ λp q p q p q p qh x X X X X X X f x x− = −d ' ' d . (7.4-11)

Integrând pe intervalul (a,b) se obŃine

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

λ λp q p qa

b

p q p q

p q p q

h x X X x f b X b X b X b X b

f a X a X a X a X a

− = − −

− −

∫ d ' ' .

' ' .

Conform relaŃiilor (7.4-8) membrul drept este nul şi rezultă relaŃia de ortogonalitate

Page 70: Fizica II Curs

65

( ) ( ) ( )h x X x X x xp q

p qp q

a

b

d, ,

, .∫ =≠

≠ =

0

0

pentru

pentru (7.4-12)

în care h(x) este funcŃia pondere. Pentru p = q integrala reprezintă pătratul normei lui Xp(x)

( ) ( ) ( )N h x X x x X h xX

Np p

a

b

p

p

p

2 20= =∫ d º i se noteazã (7.4-13)

Atunci relaŃia (7.4-12) devine

( ) ( )X x X x xp q

p qp q

a

b

0 0

0

1d

, ,

, .∫ =≠

=

pentru

pentru (7.4-14)

FuncŃiile X0p(x) sunt ortonormate. Dezvoltare în serie de funcŃii ortonormate. O funcŃie f(x) cu pătrat integrabil admite o

dezvoltare în serie de funcŃii ortonormate în intervalul a < x < b

( ) ( )f x A X xk k= ∑ 0 . (7.4-15)

Dacă seria este convergentă, coeficienŃii Ak au expresiile

( ) ( )A f Xk ka

b

= ∫ ξ ξ ξ0 d . (7.4-16)

7.4.2. SEPARAREA VARIABILELOR ÎN REPERUL CARTEZIAN

Pentru simplificare se consideră problema plană, în planul x,y. Înlocuind V(x,y) = X(x) Y(y) în ecuaŃia lui Laplace, se obŃin ecuaŃiile separate sub forma

1 12

2

22

2

2

X

X

x Y

Y

y

d

d,

d

d,= − =λ λ (7.4-17)

în care λ este constanta de separare. Pentru λ ≠ 0 soluŃiile sunt

X A x B x Y C x D xλ λ λ λ λ λλ λ λ λ= + = +sin cos sh ch , º i

iar pentru λ = 0: X0 = A0 x + B0, Y0 = C0 x + D0. Atunci soluŃia are următoarea formă

( ) ( )( ) ( )( )V x y A x B C y D A x B x C y D y, sin cos sh ch ,= + + + + +∑0 0 0 0 λ λ λ λλ λ λ λ

însumarea făcându-se în raport cu valorile proprii λ. O variantă a soluŃiei se obŃine substituind λ cu jλ şi permutând x cu y.

A) PROBLEMA LUI DIRICHLET PENTRU INTERIORUL DREPTUNGHIULUI

Se consideră domeniul din interiorul dreptunghiului cu laturi a,b, din fig. 7.4-1a. Pe latura y = 0 potenŃialul are valoarea V(x,0) = f(x) şi este nul pe celelalte laturi. SoluŃia are forma (7.4-17).

Page 71: Fizica II Curs

66

Fig. 7.4-1. Problema Dirichlet (a) şi problema Neumann (b) pentru interiorul dreptunghi ului.

Din condiŃia V(0,y) = V(a,y) = 0 rezultă A0 = B0 = D0 = Bλ = 0 şi sin λa = 0, prin urmare λk = kπ/a, cu k = 1,2,....

Pe latura y = b, condiŃia V(x,b) = 0 este satisfăcută dacă Yλ(y) = shλk(b-y), deci soluŃia este de forma

( ) ( )V x y M x b yk k k, sin sh .= −∑ λ λ (7.4-18)

CoeficienŃii Mk se determină din condiŃia V(x,0) = f(x)

( )M b x f xk k ksh sin ,λ λ∑ = (7.4-19)

unde coeficienŃii Mk se deduc din dezvoltarea în serie Fourier a condiŃiei la limită f(x)

( )Ma b

f x x xk

k

k

a

= ∫2

0shsin d .

λλ (7.4-20)

De exemplu, pentru f(x) = V0, se obŃine

( ) ( )( )M

V

k k b ak =

+ +

4

2 1 2 10

π πsh. (7.4-20')

În fig. 7.4-2a s-au reprezentat liniile echipotenŃiale pentru un pătrat cu laturile a = b = 1. ObservaŃie. Dacă pe toate cele patru laturi sunt date repartiŃii de potenŃial nenule, se

rezolvă succesiv 4 probleme de felul celei tratate, în care numai câte o latură are potenŃiale nenule. FuncŃiile proprii trigonometrice se folosesc de fiecare dată pentru coordonata cu care este descrisă condiŃia Dirichlet neomogenă. Apoi soluŃiile se pot grupa câte două, după funcŃiile proprii şi valorile proprii.

B) PROBLEMA LUI NEUMANN PENTRU INTERIORUL DREPTUNGHIULUI

Pe laturile a,b ale unui dreptunghi (fig. 7.4-1b) se dau valorile componentei normale a potenŃialului:

∂V/∂x = 0 pe laturile de lungime b, la x = 0 şi x = a; ∂V/∂y = g(x) pe latura situată la y = 0, ∂V/∂y = 0 pe latura situată la y = b.

Page 72: Fizica II Curs

67

Fig. 7.4-2. SoluŃiile probelemelor Dirichlet (a) şi Neumann (b) pe dreptunghi.

SoluŃia are forma (7.4-17). Prin derivare se obŃin

( ) ( )( )( ) ( )( )

∂ ∂ λ λ λ λ λ

∂ ∂ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

V x A C y D A x B x C y D y

V y C A x B A x B x C y D y

= + + − +

= + + + +

∑∑

0 0 0

0 0 0

cos sin sh ch ,

sin cos ch sh ,

Punând condiŃiile la limită pentru x = 0 şi x = a, se deduc

( )A A k ak0 0 2 1= = = +λ λ π º i .

Din condiŃia la limită pentru y = b rezultă

C C b D bk k k k0 0 0= + = º i ch sh .λ λ

Ca urmare soluŃia se prezintă sub forma

( ) ( )V x y N x b y kk k k, cos ch , , ,= − =∑ λ λ 0 1 K

CoeficienŃii Nk se determină din conditia la limita y = b şi se deduc din dezvoltarea în serie Fourier a funcŃiei g(x) pe intervalul (0,a)

( )N a b g x x xk k k

a

ch cos d .λ λ= ∫20

(7.4-21)

De exemplu, pentru g(x) = 1, x∈(0,a/2), g(x) = -1, x∈(a/2,a) se obŃin coeficienŃii

( ) ( )N

a

k k b ak =

+ +8

2 1

1

2 12 2π πch. (7.4-21')

În fig. 7.4-2b, în condiŃiile la limită de mai sus, s-au reprezentat liniile echipotenŃiale pentru un pătrat cu laturile a = b = 1.

ObservaŃie. Dacă pe toate cele patru laturi sunt date repartiŃii nenule ale derivatei normale a potenŃialului, se rezolvă succesiv 4 probleme de felul celei tratate, în care numai câte o latură are derivate normale nenule. FuncŃiile proprii trigonometrice se folosesc de fiecare dată pentru coordonata cu care este descrisă condiŃia Neumann neomogenă. Apoi soluŃiile se pot grupa câte două, după funcŃiile proprii şi valorile proprii.

7.5. METODA IMAGINILOR ELECTRICE

7.5.1. PRINCIPIUL METODEI

Page 73: Fizica II Curs

68

Metoda imaginilor electrice se aplică în cazul în care există corpuri încărcate electric în prezenŃa unei suprafeŃe Σ conductoare sau de discontinuitate a proprietăŃilor de material, a cărei îndepărtare ar simplifica problema de câmp (astfel încât să se poată aplica metoda elementară sau o metodă analitică). Metoda se bazează pe următorul artificiu: se înlocuieşte efectul suprafeŃei Σ conductoare (echipotenŃiale) sau de discontinuitate cu efectul unui sistem de sarcini fictive (numite sarcini imagine), de valori şi poziŃii astfel alese, încât în câmpul rezultant al sarcinilor reale (q1, q2,..., qn) şi al imaginilor (q'1, q'2,..., q'm, cu m ≥ n) suprafaŃa Σ să fie echipotenŃială, respectiv să satisfacă condiŃiile de trecere (fig. 7.5-1). Această substituŃie nu modifică condiŃiile de frontieră pentru câmpul electric din afara suprafeŃei Σ. In acest fel, problema determinării câmpului sistemului de sarcini în prezenŃa unei suprafeŃe conductoare, sau a unui mediu omogen pe straturi, este înlocuită cu problema determinării câmpului unui sistem de sarcini mai complicat, dar într-un mediu omogen.

Metoda imaginilor a fost folosită la determinarea câmpului (şi a capacităŃii) liniei electrice aeriene în prezenŃa solului. Metoda imaginilor electrice se mai aplică simplu în cazul sarcinilor punctiforme în prezenŃa unor planuri sau a unor sfere conductoare şi în cazul conductoarelor cilindrice rectilinii, încărcate uniform (pe lungime), cu axele paralele, în prezenŃa unor planuri conductoare paralele sau a unor fire sau cilindri sau cavităŃi cilindrice conductoare, cu axe paralele.

Notă. Metoda imaginilor electrice poate fi generalizată pentru medii omogene pe straturi, însă rezultă relaŃii relativ complicate.

Fig. 7.5-1. NotaŃii pentru metoda iamginilor electrice.

7.5.2. IMAGINI ELECTRICE ÎN RAPORT CU PLANUL CONDUCTOR

Fie un mediu dielectric liniar şi omogen, cu permitivitatea ε, în care se află un corp punctiform, încărcat cu sarcina electrică q, situat la distanŃa h de un plan conductor. Câmpul electric în semispaŃiul dielectric z > 0 se determină cu ajutorul corpului imagine, încărcat cu sarcina -q, situat la cota z = -h, într-un spaŃiu dielectric (se îndepărtează suprafaŃa conductoare, fig. 7.5-2). Într-un punct M, potenŃialul creat este

( )V Mq

R R= −

4

1 1

πε M1 M2

,

RM1 şi RM2 fiind distanŃele punctului M de cele două corpuri punctiforme. Se observă că în planul mediator cele două distanŃe sunt egale, deci potenŃialul este nul (sau constant).

Page 74: Fizica II Curs

69

Fig. 7.5-2. Imaginea electrică faŃă de un plan. Fig. 7.5-3. Imagini electrice faŃă de un diedru.

Metoda se poate generaliza la un sistem oarecare de corpuri punctiforme, încărcate cu sarcini electrice; fiecărui corp de ordin k, încărcat cu sarcina qk, îi va corespunde un corp imagine (imagine "în oglindă" faŃă de plan), încărcat cu sarcina -qk etc.

Metoda imaginilor se poate aplica şi unor fire rectilinii, paralele cu planul, încărcate cu densitate lineică constantă a sarcinii electrice. În acest caz se foloseşte potenŃialul logaritmic, dar din nou egalitatea distanŃelor faŃă de plan a firelor încărcate cu sarcini egale şi de semn contrar duce la anularea (sau constanŃa) potenŃialului.

Metoda imaginilor se poate aplica şi unor diedre conductoare cu deschidere plană 2π/n, atât pentru sarcini punctiforme, cât şi pentru fire paralele cu feŃele diedrului. In acest caz apar imagini multiple. In fig. 7.5-3 se exemplifică metoda pentru un diedru cu n = 4 (unghiu π/2) la care apar 3 imagini, dintre care două cu semn opus şi una de acelaşi semn. Când n nu este număr raŃional, imaginile nu au o periodicitate finită, deci metoda nu este utilizabilă.

Un caz particular este cel al planurilor paralele. In acest caz imaginile se repetă la infinit. O aplicaŃie interesantă se referă la influenŃa prezenŃei solului asupra capacităŃii liniilor

aeriene. Această aplicaŃie a fost dezvoltată în subcap. 5.3.

7.5.3. IMAGINI ELECTRICE ÎN DIELECTRICI OMOGENI PE STRATURI

Metoda imaginilor se poate aplica şi mediilor dielectrice omogene pe straturi cuprinse între planuri paralele. Metoda se aplică atât sarcinilor punctuale, cât şi firelor paralele cu feŃele de separaŃie. Se va exemplifica metoda pentru planul de separaŃie a doi dielectrici omogeni, cu permitivităŃile ε1 şi ε2. Un corp încărcat cu sarcina q se află în mediul 1, la distanŃa d de planul de separaŃie (fig. 7.5-4a). In mediul 1 câmpul se determină considerând ambele medii cu permitivitate ε1 şi un corp imagine, la distanŃa d de plan (de partea opusă), încărcat cu sarcina q' (fig. 7.5-4b). In mediul 2 câmpul se determină cu o sarcină q" în locul sarcinii q, în medii de permitivitate ε2 (fig. 7.5-4c). Sarcinile se determină din condiŃiile de trecere pe suprafaŃa de discontinuitate.

In mediul 1 se obŃin relaŃiile

Vq

R

q

RqR

qR

11 1 2

11

13

2

23

1

4

1

4= +

= +

πε π'

, ' ,r

r r

DR R

iar în mediul 2

Vq

RqR

22 1

21

13

1

4

1

4= =

πε π

", " .

rr

DR

Page 75: Fizica II Curs

70

Fig. 7.5-4. Metoda imaginilor aplicată unor straturi dielectrice.

Din condiŃiile de trecere pe suprafaŃa planului de separaŃie D1n = D2n şi E1t = E2t (echivalentă cu V1 = V2) se obŃin relaŃiile

( )q q q q q q− = + =' " , ' " ,ε ε2 1

din care se deduc valorile sarcinilor

q q q q' , " .=−

+=

+

ε ε

ε ε

ε

ε ε1 2

1 2

2

1 2

2

Se observă că în dielectricul în care se află sarcina q câmpul electric este stabilit de sarcinile q şi q' (ultima este de acelaşi semn cu q dacă ε1 > ε2 şi de semn opus în caz contrar), pe când în dielectricul fără sarcină, câmpul este stabilit de o sarcină de acelaşi semn cu cea iniŃială şi are liniile radiale, plecând din sarcină.

7.5.4. ALTE CONFIGURAłII CARE SE POT TRATA CU AJUTORUL METODEI IMAGINILOR ELECTRICE

Fără a demonstra relaŃiile respective, se vor enumera câteva configuraŃii care se pot trata cu metoda imaginilor electrice:

- fire în vecinătatea unui cilindru conductor de rază R; imaginile se află pe drepte care trec prin axa cilindrului, la distanŃele inverse D d = R2;

- doi cilindri conductori cu axele paralele; - fire în vecinătatea unui cilindru dielectric; - corpuri punctiforme în raport cu sfera conductoare de rază R; din nou apare relaŃia de

inversiune a distanŃelor d D = R2.

7.6. METODA APROXIMĂRII FORMEI LINIILOR DE CÂMP.

Pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme de câmp electrostatic, în vederea calculului unor capacităŃi electrice sau a unor forŃe electrice, se poate folosi metoda aproximării formei liniilor de câmp. Se consideră, aproximativ, că aceste linii sunt formate din segmente drepte şi din arce de cerc, eventual din arce de elipsă. De regulă, metoda se aplică în medii omogene, deşi ar putea fi extinsă şi la medii neomogene.

Liniile de câmp se construiesc Ńinând seama de câteva reguli şi principii: - liniile de câmp se trasează între suprafeŃe echipotenŃiale, - linia de câmp trebuie să fie perpendiculară pe suprafeŃele echipotenŃiale ale câmpului

respectiv, să fie o curbă continuă şi derivabilă cel puŃin o dată (clasa C1), - se lucrează cu o intensitate medie a câmpului electric Emed de-a lungul unei linii de

câmp, care multiplicată cu lungimea liniei de câmp lx dă diferenŃa de potenŃial între extremităŃile liniei,

Page 76: Fizica II Curs

71

- există un principiu de acŃiune minimă, conform căruia dacă linia de câmp s-ar putea îndrepta spre două suprafeŃe de acelaşi potenŃial, va fi aleasă calea de lungime minimă.

Pentru aplicarea metodei aproximării formei liniilor de câmp este necesară o experienŃă prealabilă, adică cunoaşterea formei aproximative a liniilor câmpului respectiv, pentru a aproxima cât mai corect aceste forme.

Metoda va fi ilustrată cu câteva exemple de aplicare. Exemplul_1. Se consideră două plăci conductoare, subŃiri, identice, dreptunghiulare, de

lăŃime a şi lungime l, aşezate coplanar şi cu laturile paralele, la distanŃa b, într-un mediu de permitivitate ε (fig. 7.6-1). Se cere capacitatea electrică dintre aceste plăci.

Liniile câmpului electric se aproximează prin arce de cerc de rază x şi prin segmente drepte de lungime b (fig. 7.6-1). Lungimea unei linii de câmp va fi

l x bx = +π . (7.6-1)

Fig. 7.6-1. Câmpul electric între plăci coplanare. Fig. 7.6-2. Câmpul electric între armături plane înclinate.

Dacă între cele două plăci se aplică tensiunea U, valoarea medie a intensităŃii câmpului electric de-a lungul acestei linii va fi

E U lx x= . (7.6-2)

Cu această valoare se calculează o valoare medie a inducŃiei electrice Dx = ε Ex şi se poate estima densitatea de suprafaŃă a sarcinii electrice pe plăci (armături) ρsx = Dx, cu care se calculează sarcina electrică a unei plăci (Ńinând seama că aici cele două feŃe ale plăcilor se încarcă în mod egal)

q AU

x bl x

lU a

b

a

= =+

= +

∫ ∫ρ ε

πεπ

πS d d ln .22

10

(7.6-3)

Rezultă expresia capacităŃii

Cq

U

l a

b= = +

21

ε

ππln . (7.6-4)

Exemplul 2. Se consideră condensatorul "unghiular", având armături plane de lătine a şi lungime l, înclinate cu unghiul α (fig. 7.6-2), axa diedrului format aflându-se la distanŃa b de muchia plăcilor. Mediul are permitivitatea ε. Neglijând efectele de margine, câmpul electrostatic creat se poate determina destul de bine prin metoda aproximării formei liniilor de câmp electric. Lungimea liniei de câmp la distanŃa x de muchia din stânga, între feŃele interioare, este

( )l x bx = +α .

Între armături se aplică tensiunea U şi rezultă intensitatea câmpului electric

( )( )E U l U x bx x= = +α .

Page 77: Fizica II Curs

72

Densitatea de suprafaŃă a sarcinii, egală cu inducŃia electrică, este

( )( )ρ ε ε αS = = +E U x bx .

Sarcina electrică a unei armături este

( )q

U l x

x b

U l a

bx

x a

=+

= +

=

=

∫ε

α

ε

α

dln

01

şi se stabileşte expresia capacităŃii între feŃele interioare ale condensatorului "unghiular"

Cq

U

l a

b= = +

εα

ln .1

ObservaŃie. In ambele exemple, capacitatea "exactă" este ceva mai mare decât cea calculată cu metoda aproximării formei liniilor de câmp, datorită neglijării efectelor de margine. In al doilea exemplu s-ar putea calcula şi o capacitate între feŃele exterioare.

Metoda aproximării formei liniilor de câmp poate fi extinsă şi la aprecierea efectelor de margine, în care caz rezultatele sale se îmbunătăŃesc sensibil. O asemenea extindere necesită o iscusinŃă şi o experienŃă deosebită din partea utilizatorului.

7.7. METODA FUNCłIILOR DE VARIABILĂ COMPLEXĂ

PărŃile reală şi imaginară ale unei funcŃii de variabilă complexă, analitice, satisfac ecuaŃia lui Laplace, proprietate care poate fi folosită în rezolvarea problemelor de câmp electric plan-paralele.

7.7.1. FUNCłII ANALITICE. CONDIłIILE CAUCHY-RIEMANN

Fie w(z) = u+jv o funcŃie de variabilă complexă z = x+jy. FuncŃia w(z) este analitică într-un domeniu dacă în vecinătatea oricărui punct z0 al domeniului admite o dezvoltare în serie întreagă de (z-z0). FuncŃiile analitice sunt continue şi derivabile. Derivabilitatea presupune existenŃa şi continuitatea derivatelor parŃiale de ordinul unu a părŃii reale u(x,y) şi imaginare v(x,y) a funcŃiei, precum şi independenŃa derivatei dw/dz de orientarea lui dz. Derivata are forma

( ) ( )d

d

j d j d

d jd

w

z

u x v x x u y v y y

x y=

+ + +

+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.7-1)

şi se stabileşte condiŃia

( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂u x v x u y v y+ = − +j j j , (7.7-2)

care duce la relaŃiile Cauchy-Riemann

u

x

v

y

v

x

u

y= = −, . (7.7-3)

Cu aceste relaŃii se demonstrează că integrala curbilinie a unei funcŃiuni analitice este nulă pe orice contur închis

( ) ( ) ( )w z z u x v y v x u yd d d j d dΓ Γ Γ∫ ∫ ∫= − + + = 0 (7.7-4)

Page 78: Fizica II Curs

73

Pentru demonstraŃie se foloseşte formula lui Stokes în plan. Fie vectorul r r ra i j= +a ax y

şi elementul de arc d d d .r r rs i j= +x y Cu formula lui Stokes şi

r rn k= , dA = dx dy

( )r ra sd d d d d .

Γ Γ Γ∫ ∫ ∫= + = −

a x a y

a

x

a

yx yx y

y x∂

∂S (7.7-5)

Punând ax = v şi ay = u, integrandul integralei de suprafaŃă se anulează în baza primei condiŃii (7.7-3), iar cu ax = u si ay = -v integrandul se anulează conform celei de a doua condiŃii (7.7-3).

Rezultă că integrala curbilinie pe o curbă deschisă depinde numai de punctele de început şi de sfârşit ale curbei, nu şi de forma arcului de curbă.

Dacă se elimină între cele două condiŃii (7.7-3) câte una dintre părŃi (u sau v) se obŃin ecuaŃiile de ordinul doi

2

2

2

2

2

2

2

20 0

u

x

u

y

v

x

v

y+ = + =, , (7.7-6)

deci părŃile reale şi imaginare ale funcŃiei analitice satisfac ecuaŃia lui Laplace, adică sunt funcŃii armonice.

Cele două funcŃii armonice, u şi v, sunt şi conjugate. Făcând raportul, membru cu membru, al celor două condiŃii (7.7-3) se obŃine

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

u x

u y

v y

v x= − , (7.7-3)

ceea ce arată că curbele u(x,y) = const1 şi v(x,y) = const2 sunt ortogonale (sau conjugate). Cele două familii de curbe pot fi privite unele ca linii ale unui câmp electrostatic plan-

paralel, iar celelalte - ca linii echipotenŃiale ale aceluiaşi câmp.

7.7.2. POTENłIALUL ELECTROSTATIC COMPLEX

Se stabileşte o corespondenŃă biunivocă între mulŃimea vectorilor plani şi mulŃimea

numerelor complexe. Dacă partea imaginară V(x,y) a funcŃiei analitice W(z) reprezintă în planul z potenŃialul

unui câmp electrostatic

( )r r rE i j= + = −E E V x yx y grad , ,

Ńinând seama de condiŃiile Cauchy-Riemann (7.7-3) se stabileşte următoarea expresie a câmpului electric complex

( )E z E EV

x

V

y

U

x

V

xx y= + = − +

= − −

j j j j ,∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

respectiv

( )E zW

z

W

z=

= −

jd

d

*j

d

d

*. (7.7-8)

Fie reperul curbiliniu plan generat de liniile de câmp şi de liniile echipotenŃiale. Notând cu dn şi ds elemente de arc pe linia de câmp şi pe linia echipotenŃială (ds este rotit în sens trigonometric cu π/2 faŃă de dn), condiŃiile Cauchy-Riemann devin

Page 79: Fizica II Curs

74

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂U n V s U s V n= = = −0,

şi se obŃine

E E E V n U s En s s= + = − = =j ,∂ ∂ ∂ ∂ 0 (7.7-9)

(componenta câmpului electric tangentă la linia echipotenŃială este nulă). Fluxul electric ψ (pe unitate de lungime perpendiculară pe planul xOy), care este egal cu

sarcina lineică q, are expresia

( )ψ ε ε∂∂

ε= = = −∫ ∫E sU

ss U Un d d ,

2

1

2

1

1 2 (7.7-10)

iar tensiunea electrică este

U E nV

nn V Vs12 1

2

1

2

1 2= = − = −∫ ∫d d .∂∂

(7.7-11)

Se poate alege U(x,y) ca funcŃie potenŃial şi atunci

( )E z E EW

z

U

s

V

sEn s s= + = −

= − = − =j

d

d

*,

∂∂

∂∂

0 (7.7-12)

şi condiŃiile Cauchy-Riemann au forma

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

U

n

V

s

U

s

V

n= = − =, .0

Fluxul electric este dat de expresia

( )ψ ε ε∂∂

φ= = − = −∫ ∫E sV

ss V Vn d d ,

1

2

1

2

1 2 (7.7-13)

iar tensiunea electrică este

U E nU

nn U Us12 1

2

1

2

1 2= = − = −∫ ∫d d .∂∂

(7.7-14)

7.7.3. METODA TRANSFORMĂRII CONFORME

Principiul metodei O funcŃie analitică univocă w(z) asociază fiecărui punct z din planul z = x+jy un punct

din planul w = u+jv. Din condiŃia de derivabilitate rezultă că punctelor învecinate din planul z le corespund puncte învecinate în planul w, deci atunci când punctul z parcurge o curbă continuă γ, punctul w descrie o altă curbă continuă Γ. Cele două curbe se numesc conjugate. Proprietatea fundamentală a acestei transformări este aceea că păstrează unghiurile, adică formele elementelor infinit mici.

Intr-adevăr, din expresia derivatei

( ) ( ) ( )( )( )d d exp jarg d ,w f z z f z f z z= = (7.7-15)

rezultă că dw se obŃine multiplicând elementul dz prin |f'(z)| - modulul transformării - şi rotindu-l cu unghiul arg(f'(z)). Un element de suprafaŃă înfinit mic în vecinătatea punctului z va suferi o dilatare sau o contracŃie măsurată prin |f'(z)| şi o rotaŃie egală cu arg(f'(z)). Dacă γ1 şi γ2 sunt două curbe din planul z, care trec prin punctul z0 şi fac între ele unghiul α,

Page 80: Fizica II Curs

75

transformatele lor Γ1 şi Γ2 vor face între ele acelaşi unghi α, ca mărime şi ca semn. Se spune că prin funcŃia w(z) se efectuează o reprezentare conformă sau o transformare conformă, din planul z în planul w.

Notând cu W(z) potenŃialul electrostatic complex în planul z din care derivă câmpul electrostatic E(z) (7.7-8)

( )E zW

z= −

d

d

*, (7.7-16)

câmpul în planul w are expresia

( )E wW

w

W

z

z

w

W

z

z

w= −

= −

= −

d

d

* d

d

d

d

* d

d

* d

d

*,

adică

( ) ( ) ( )E w E z w z= d d * (7.7-17)

şi în modul

( ) ( )E w E z w z= d d . (7.7-18)

Capacitatea electrică a unei configuraŃii de electrozi, calculată în planul z coincide cu capacitatea configuraŃiei transformate conform în planul w. Rezultă că şi energia electrostatică este invariantă la transformarea conformă. La acest rezultat se poate ajunge şi pe altă cale, observând cum se transformă elementul de arie

d d d d d du v w z x y=2

Întrucât densitatea de volum a energiei electrostatice este proporŃională cu pătratul intensitătii câmpului electric (7.7-18) se obŃine rezultatul afirmat mai sus.

Page 81: Fizica II Curs

8. CÂMPUL ELECTRIC STAłIONAR (CÂMPUL ELECTROCINETIC)

8.1. FORMELE LEGILOR CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC ÎN REGIM ELECTROCINETIC STAłIONAR

În regim electrocinetic staŃionar se studiază câmpul electric în medii conductoare

masive, cum ar fi băile de electroliză, conductoarele metalice de secŃiuni mari şi pământul, în legătură cu prizele de pământ.

În regim staŃionar, din legea inducŃiei electromagnetice se stabileşte caracterul potenŃial al câmpului electric

rot , grad ,r rE E= = −0 sau V (8.1-1)

iar din legea conservării sarcinii electrice rezultă caracterul solenoidal al densităŃii curentului de conducŃie

div , rot .r r rJ J T= =0 sau (8.1-2)

łinând seama de legea conducŃiei electrice

( )r r rJ E E= +σ i , (8.1-3)

se stabileşte relaŃia

( ) ( )div div grad div .σ σ σ σr r r rE E E E= + = − i (8.1-4)

În medii omogene (grad σ = 0) câmpul electric are ca surse curenŃii imprimaŃi ( )σrE i , iar

în absenŃa acestora câmpul nu are surse şi este laplacian ( rot divr rE E= = ⇒ =0 0 0 º i ∆V ).

De regulă se studiază câmpul electrocinetic staŃionar în medii omogene, fără curenŃi imprimaŃi.

Din relaŃiile (8.1-1) şi (8.1-2) rezultă condiŃiile de trecere printr-o suprafaŃă de discontinuitate: se conservă componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului electric Et1 = Et2 şi componenta normală a densităŃii curentului Jn1 = Jn2. Ca urmare se stabileşte regula de refracŃie a liniilor de câmp electric (sau de curent de conducŃie)

tg tg .α α σ σ1 2 1 2= (8.1-5)

Câmpul electrocinetic staŃionar satisface ecuaŃiile r r r rE J E J= − = =grad , , div ,V σ 0 (8.1-6)

din care, în mediu omogen σ = const, rezultă ecuaŃia lui Laplace

∆V = 0. (8.1-7)

PotenŃialul electrostatic satisface ecuaŃia lui Laplace în dielectricii omogeni, neîncărcaŃi cu sarcină electrică şi este constant în conductoare şi pe suprafaŃa lor. PotenŃialul câmpului electrocinetic stationar este nenul în conductoare, iar suprafeŃele conductoarelor nu sunt echipotenŃiale. În schimb câmpul densităŃii de curent trebuie să nu aibă componentă normală la suprafaŃa din spre dielectric a conductoarelor.

Page 82: Fizica II Curs

76

Între câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic staŃionar se poate stabili o analogie, prin corespondenŃa

Mãrimi electrostatice

Mãrimi electrocinetice

r r

r rD E

J E

ε

σ

q U C S

I U G R

8.2. PRIZE DE PĂMÂNT

Priza de pământ este un dispozitiv care asigură o legătură conductoare cu pământul, fie a unor părŃi ale reŃelelor şi circuitelor electrice, în vederea închiderii unor curenŃi electrici, fie a părŃilor conductoare ale instalaŃiilor de protecŃie, în vedera protecŃiei împotriva electrocutării. Problema prizelor de pământ constă în determinarea rezistenŃei prizei şi a repartiŃiei tensiunii în jurul prizei.

Prizele de pământ sunt formate din electrozi metalici, care pot fi de suprafaŃă, dacă au o faŃă liberă şi se află la suprafaŃa solului, sau de adâncime, când sunt ingropaŃi la o adâncime mai mare decât cea mai mare dimensiune liniară a prizei.

Priza de pământ semisferică.

Întrucât conductivitatea metalului este cu multe ordine de mărime mai mare decât cea a pământului (solului), suprafaŃa prizei de pământ se poate considera echipotenŃială, iar liniile de curent în pământ - perpendiculare pe electrod.

Notă. Este util aici să amintim valorile uzuale ale rezistivităŃii solurilor, în [Ω m]: - sol mlăştinos 30 - sol lutos, argilos, cultivabil 100 - nisip umed 300 - sol nisipos umed 500 - nisip sau sol nisipos uscat 1000 - sol pietros 3000

Se va considera cazul prizei de pământ de forma unei jumătăŃi de sferă, de rază a

(fig. 8.2-1). Acest caz poate fi studiat prin metode elementare. În adevăr, din motive de simetrie, câmpurile densităŃii de curent

rJ şi cel al intensităŃii câmpului electric

rE , vor fi pur

radiale (având ca punct de divergenŃă centrul sferei) şi vor depinde numai de distanŃa r de centrul sferei, adică

( ) ( )r r r rJ u E u= =r r º i J r E r . (8.2-1)

Fie I curentul injectat în priza de pământ. Se alege o suprafaŃă închisă Σ de forma unei semisfere de rază r în pământ, completată cu un disc de rază r la suprafaŃa solului (în aer). Pe această suprafaŃă se scrie ecuaŃia corespunzătoare teoremei continuităŃii curentului de conducŃie. Rezultă

( ) ( )− + = − + =∫I J r A I J r rr ru ur rSS

d ,2 02π

unde cu SS s-a notat suprafaŃa semisferică din sol. Se obŃine

Page 83: Fizica II Curs

77

( )

( )

J rI

r

E rI

r

=

=

2

2

2

2

πρ

π

,

.

(8.2-2)

(8.2-3)

Fig. 8.2-1. NotaŃii pentru priza de mământ semisferică. Fig. 8.2-2. DistribuŃia potenŃialului în jurul prizei semisferice.

Dacă V0 este potenŃialul prizei (la raza r = a), atunci potenŃialul într-un punct oarecare, la raza r, va fi

( )V r V V E r Vr aa

r

a

e

= − = − = + −

∫ ∫0 0 0 2

1 1r rE rd d .

ρ

π (8.2-4)

Dacă se consideră nul potenŃialul punctelor de la infinit (r → ∞), atunci rezultă

VI

a0 2=ρ

π. (8.2-5)

V0 reprezintă tensiunea prizei de pământ faŃă de punctele de la infinit. Cu ajutorul acestei mărimi, într-un punct oarecare potenŃialul va avea expresia

( )V r Va

rr a= >0 , , (8.2-6)

adică potenŃialul variază hiperbolic cu raza r (fig. 8.2-2). Priza de pământ se caracterizează, de obicei, prin rezistenŃa de dispersie (numită,

adesea, simplu rezistenŃa prizei de pământ), definită ca raportul dintre tensiunea V0 şi curentul prizei

RV

I aG ap p sau = = =0

22

ρ

ππ σ, . (8.2-7)

Expresia s-ar fi putut stabili şi direct, prin analogia dintre câmpul electrocinetic şi câmpul electrostatic, cunoscând că expresia capacităŃii unei sfere de rază a faŃă de sfera de la infinit, situată într-un mediu dielectric de permitivitate ε, este

C a= 4π ε. (8.2-8)

Câmpul electrocinetic al prizei de pământ corespunde jumătăŃii din domeniul câmpului electrostatic al sferei, respectiv conductanŃa prizei de pământ va corespunde jumătăŃii capacităŃii sferei; astfel se regăseşte expresia stabilită anterior, pe cale directă.

O priză de pământ semisferică, cu raza de 1 m, într-un sol cultivabil (ρ = 100 Ωm), are o rezistenŃă de 15,9 Ω, iar într-un sol nisipos umed, o rezistenŃă de 79,5 Ω. Obişnuit se prescrie ca priza de pământ utilizată pentru protecŃia intalaŃiilor electrice să aibă o rezistenŃă de cel

Page 84: Fizica II Curs

78

mult 4 Ω. Asemenea prize de pământ nu se realizează cu electrozi semisferici, ci cu o reŃea de platbande şi de Ńevi îngropate în pământ.

In practică mai prezintă importanŃă aşa numita tensiune de pas în vecinătatea prizei de pământ, ce corespunde unui anumit curent I injectat în priză (fig. 8.2-3). Unui pas de lungime p, efectuat până într-un punct situat la distanŃa x de marginea prizei, îi corespunde tensiunea

( ) ( ) ( )( )U V a x V a x p V

a

a x

a

a x pV

ap

a x a x pp = + − + + =

+−

+ +

=

+ + +0 0 . (8.2-9)

Se observă că tensiunea de pas este maximă pentru x = 0, adică atunci când pasul se termină pe marginea prizei de pământ

( )U V p a pp max = +0 . (8.2-10)

Fig. 8.2-3. Tensiunea de pas în vecinătatea unei prize de pământ.

Nota 1. In cazul general, o priză de pământ este formată din mai mulŃi electrozi, situaŃi în puncte spaŃiale diferite, care sunt conectaŃi în paralel. Dacă electrozii prizei de pământ se consideră punctiformi sau de dimensiuni foarte mici (neglijabile) faŃă de distanŃa între electrozi), atunci se poate admite o superpoziŃie a câmpurilor electrocinetice ale diferiŃilor electrozi.

Fie o priză de pământ formată din n electrozi semisferici de raze ak, aşezaŃi la suprafaŃa solului omogen de rezistivitate ρ. Notând cu Ik curentul electrodului de ordin k şi cu dk ≥ ak distanŃa faŃă de centrul electrodului k a unui punct curent, potenŃialul punctului va fi

VI

d

k

kk

n

==∑

ρ

π2 1

. (8.2-11)

PotenŃialul unui electrod j se determină aducând punctul curent pe suprafaŃa sa (dj = aj). RepartiŃia curenŃilor între electrozii conectaŃi în paralel se determină din condiŃia de egalitate a potenŃialelor, iar rezistenŃa de dispersie a prizei formate din mai mulŃi electrozi - ca raportul dintre potenŃialul comun al electrozilor şi curentul sumat al electrozilor.

Nota 2. RezistenŃa prizei formate dintr-o bară de diametru d şi lungime h îngropată vertical se poate calcula aproximativ astfel. Pe baza analogiei dintre câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic, se determină întâi câmpul electric al unui fir încărcat uniform cu densitatea lineică de sarcină ρl. PotenŃialul creat de un fir de lungime 2h, aşezat simetric în raport cu suprafaŃa solului, într-un punct situat la distanŃa r = d/2 de fir şi y de suprafaŃa solului, este

( )

( )V

x

r x

q

h

y h r y h

y h r y hx y h

x y h

=+

=+ + + +

− + + −= −

= +

∫ρ

πε π εl

4 42 2

2 2

2 2

dln ,

Page 85: Fizica II Curs

79

unde variabila x s-a considerat de-a lungul firului de lungime 2h, iar cu q s-a notat sarcina electrică a porŃiunii de lungime h. Se observă că pentru r → ∞ rezultă V = 0.

Prin corespondenŃa q → i, ε → σ , la y = 0 se obŃine rezistenŃa prizei de pământ în formă de bară verticală îngropată de la suprafaŃa solului

RV

i h

h r h

h r h= =

+ +

+ −

1

4

2 2

2 2π σln . (8.2-12)

Pentru r/h = d/(2h) mic se obŃine R = ln(2h/r)/(2πhσ) = ln(4h/d)/(2πhσ).

9. CÂMPUL MAGNETIC STAłIONAR

9.1. ECUAłIILE CÂMPULUI MAGNETIC STAłIONAR

În acest regim mărimile nu variază în timp. Din forma integrală a legilor electromagnetismului, pentru regimul staŃionar se desprind

următoarele ecuaŃii care definesc câmpul magnetic staŃionar: - teorema lui Ampère: UmmΓ = ΘSΓ, - legea fluxului magnetic: φΣ = 0 - legea legăturii (sau relaŃia constitutivă):

r rB H= µ ,

cu următoarele definiŃii ale mărimilor integrale

U A AD D D

mm S SΓ Γ Σ ΣΘ

ΓΓ

= = =∫ ∫ ∫r r r r r rH s J n B nd , d , d .φ

În domenii de continuitate şi netezime se folosesc formele locale ale primelor două relaŃii, sub forma:

- teorema lui Ampère: rot ,r rH J= (9.1-1)

- legea fluxului magnetic: div .rB = 0 (9.1-2)

Din legea fluxului magnetic rezultă că liniile vectorului inducŃie rB nu încep şi nu se

termină în vre-un punct din câmp (deoarece fluxul magnetic printr-o suprafaŃă închisă care s-ar strânge în jurul acelui punct ar fi nenul). Liniile pot fi închise, pot începe şi se pot termina la infinit sau se pot înfăşura asimptotic în jurul unor curbe limită sau pe anumite suprafeŃe.

Un ansamblu de linii ale inducŃiei magnetice care se sprijină pe o curbă închisă constituie un tub de flux magnetic. Aplicând legea fluxului magnetic unei porŃiuni de tub de flux limitată de două secŃiuni S1 şi S2 (fig. 9.1-1), rezultă că tuburile de flux sunt conservative: în lungul lor fluxul magnetic are aceeaşi valoare φ1 = φ2 (deoarece prin suprafaŃa laterală Sl a tubului fluxul magnetic este nul, vectorul inducŃiei

rB fiind perpendicular pe versorul

rn al

normalei la suprafaŃă). La reprezentarea câmpului magnetic prin linii de câmp se convine, de regulă, ca tot

câmpul să fie împărŃit în tuburi de flux magnetic, de secŃiuni suficient de mici şi de flux egal cu o valoare dată ∆φ. Fiecare tub de flux se reprezintă printr-o "linie de câmp unitate", care coincide cu axa tubului. In acest caz, fluxul printr-o suprafaŃă oarecare este egal cu numărul de linii de câmp-unitate care înŃeapă suprafaŃa, multiplicat cu ∆φ.

Page 86: Fizica II Curs

80

Fig. 7.1-1. Tubul de flux magnetic.

9.2. CONDIłII DE TRECERE LA SUPRAFEłE DE DISCONTINUITATE ALE PROPRIETĂłILOR MAGNETICE

La suprafaŃa de separare a două medii cu proprietăŃi magnetice diferite, permeabilitatea magnetică ca funcŃiune de punct are o discontinuitate. CondiŃiile de trecere se stabilesc cu ajutorul formelor integrale ale legii fluxului magnetic şi teoremei lui Ampère.

Aplicând legea fluxului magnetic unei suprafeŃe închise ΣS de forma unei prisme plate, cu bazele de arie ∆A şi de înălŃime h foarte mică (fig. 9.2-1), care tinde spre zero mai repede decât dimensiunile bazelor, se obŃine

r r r rB n B n1 21 2 12 0∆ ∆A A+ =

şi deoarece r rn n12 21= − , rezultă

( )div .S

r r r rB n B B= − =12 2 1 0 (9.2-1')

sau

B Bn1 n2= . (9.2-1")

Componentele normale ale inducŃiei trec continuu prin orice suprafaŃă de discontinuitate.

Fig. 9.2-1. CondiŃii de trecere pentru rB. Fig. 9.2-2. CondiŃii de trecere pentru

rH.

Întrucât, în general, magnetizaŃia rM are valori diferite în cele două medii, rezultă că la

trecerea prin suprafaŃa de discontinuitate nu se conservă componenta normală a intensităŃii câmpului magnetic

rH .

Considerând că pe suprafaŃa de discontinuitate nu există o repartiŃie superficială de curenŃi, dacă se aplică teorema lui Ampère pe un mic contur dreptunghiular plan ΓS, aflat în planul determinat de vectorii

r rH H1 2 º i şi care trece strâns de o parte şi de alta a suprafeŃei de

discontinuitate (fig. 9.2-2), rezultă

Page 87: Fizica II Curs

81

r r r r r rH s H t H td ,Γ

∆ ∆∫ = − =2 1 0l l

unde cu rt s-a notat versorul tangent la suprafaŃă, în planul conturului ΓS şi cu ∆l - lungimea

dreptunghiului. In consecinŃă

Ht1 = Ht2, (9.2-2)

adică în cazul în care pe suprafaŃă nu există o pânză de curenŃi se conservă componentele tangenŃiale ale intensităŃii câmpului magnetic la trecerea prin suprafaŃa de discontinuitate.

Exprimând componentele inducŃiei, respectiv intensităŃii câmpului în funcŃie de unghiurile de incidenŃă α1 şi refracŃie α2 (fig. 9.2-3), la suprafaŃa de separaŃie a două medii magnetice liniare, cu permeabilităŃi magnetice diferite µ1 şi µ2, se stabileşte teorema

refracŃiei liniilor de câmp magnetic. Se obŃin succesiv expresiile

( ) ( )B B B B

H B H B

n1 n2

t1 t2

= =

= =1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

cos , cos ,

sin , sin .

α α

µ α µ α

Eliminând între aceste expresii inducŃiile B1 şi B2, Ńinând seama de condiŃiile de trecere (9.2-1), (9.2-2), rezultă

tg

tg.

α

α

µ

µ1

2

1

2

= (9.2-3)

Fig. 9.2-3. RefracŃia liniilor de câmp magnetic.

Cu această teoremă se stabilesc regulile orientării liniilor de câmp magnetic la suprafaŃa corpurilor feromagnetice. Dacă mediul 2 este aer (µ2 = µ0) şi mediul 1 este feromagnetic (µ1 >> µ0), rezultă α1 >> α2, încât practic α2 ≈ 0. De exemplu, dacă µr1 = 1000, chiar şi pentru α1 = 89° rezultă α2 = 3°17'.

Practic se poate considera că liniile inducŃiei magnetice sunt perpendiculare pe suprafeŃele corpurilor feromagnetice. Pot interveni excepŃii numai când α1 = π/2 în materialul feromagnetic ideal (cu µ1 → ∞), în care caz α2 poate avea orice valoare.

9.3. POTENłIALUL MAGNETIC VECTOR

CondiŃia divrB = 0 este satisfăcută identic dacă se exprimă vectorul inducŃiei

rB sub

forma rotorului unui vector auxiliar rA : r rB A= rot , (9.3-1)

întrucât ( )div rot .r rA A= ∇ ∇ × ≡ 0

Mărimea rA se numeşte potenŃial magnetic vector al câmpului magnetic. ExistenŃa

acestei mărimi este determinată de valabilitatea legii fluxului magnetic.

Page 88: Fizica II Curs

82

Dacă la calculul fluxului magnetic printr-o suprafaŃă deschisă se exprimă inducŃia magnetică cu ajutorul potenŃialului magnetic vector (9.3-1) şi se Ńine seama de teorema lui Stokes, rezultă succesiv

φS S SΓΓ Γ Γ

= = =∫ ∫ ∫r r r r r rB nd A n A sA Arot d d . (9.3-2)

Fluxul magnetic prin suprafaŃa SΓ este egal cu integrala de linie a potenŃialului magnetic vector de-a lungul conturului Γ pe care se sprijină această suprafaŃă. Se remarcă faptul că sensul de parcurgere al conturului Γ (sensul elementului de arc d

rs ) la calculul integralei de

linie va fi asociat sensului versorului rn al normalei la suprafaŃă (care constituie sensul de

referinŃă al fluxului magnetic) după regula burghiului drept (fig. 9.3-1).

Fig. 9.3-1. NotaŃii pentru potenŃialul magnetic vector.

RelaŃia (9.3-2) pune din nou în evidenŃă faptul că valoarea unui flux magnetic nu depinde de forma suprafeŃei prin care se calculează acesta, ci numai de conturul pe care se sprijină acea suprafaŃă.

PotenŃialul magnetic vector este un câmp de vectori, care nu are o semnificaŃie fizică nemijlocită; folosirea sa permite însă simplificarea tratării matematice a multor probleme fizice. PotenŃialul magnetic vector este univoc definit numai după ce se mai precizează div

rA , originea potenŃialelor (punctul în care

rA = 0 ) şi unele condiŃii de frontieră sau la

infinit. Precizarea valorii divergenŃei câmpului rA constituie condiŃia de etalonare. Pentru

câmpul magnetic staŃionar se foloseşte condiŃia de etalonare Coulomb:

div .rA = 0 (9.3-3)

9.4. ECUAłIILE POTENłIALULUI MAGNETIC VECTOR

În forma locală a teoremei lui Ampère se poate înlocui inducŃia magnetică exprimată cu ajutorul potenŃialului magnetic vector, obŃinând ecuaŃia

( )rot rot ,νr rA J= (9.4-1)

unde ν = 1/µ este reluctivitatea. Dezvoltând membrul stâng, se obŃine

rot rot grad rot .r r rA A J+ × =ν

În medii omogene ν = const şi se obŃine ecuaŃia

rot rot .r rA J= µ (9.4-2)

Însă

rot rot grad divr r rA A A= − ∆

şi dacă se admite condiŃia de etalonare Coulomb (9.3-3) se obŃine în final ecuaŃia

Page 89: Fizica II Curs

83

∆r rA J= µ . (9.4-3)

În medii omogene (şi liniare) potenŃialul vector satisface ecuaŃia vectorială a lui Poisson; în zonele fără curent se obŃine ecuaŃia vectorială a lui Laplace. Pentru rezolvarea acestor ecuaŃii în domenii mărginite trebuie cunoscute condiŃiile pe frontieră.

In reperul cartezian ecuaŃiile vectoriale se descompun în ecuaŃii scalare ale componentelor

∆ ∆ ∆A J A J A Jx x y y z z= − = − = −µ µ µ, , . (9.4-4)

Integrala ecuaŃiei (9.4-3) în tot spaŃiul se stabileşte trecând prin formele scalare (9.4-4) şi are forma

( ) ( )r r

r r

A rJ r

= ∫µ

π4

'd '

Rv

D (9.4-5)

unde r rr r º i ' sunt vectorii de poziŃie ai punctelor de observaŃie şi curent, iar

r r r rR r r R= − =' . º i R

În cazul câmpului magnetic staŃionar plan-paralel, cu

( ) ( )r r r rA k J k= =A x y J x y, , , º i (9.4-6)

condiŃia de etalonare Coulomb (9.3-3) este satisfăcută implicit şi potenŃialul vector satisface ecuaŃia scalară a lui Poisson sau Laplace în două dimensiuni

( ) ( )∆ x y A x y J x y, , .= −µ (9.4-7)

În cazul câmpului magnetic staŃionar plan-radial, folosind reperul cilindric r,ϕ,z şi cu

( ) ( )r r r rA J= =ϕϕϕϕ ϕϕϕϕA r z J r z, , º i

condiŃia de etalonare Coulomb (9.3-3) este satisfăcută implicit şi potenŃialul vector satisface ecuaŃia scalară a lui Poisson sau Laplace în două dimensiuni

( ) ( )∆ r z A r z J r z, , .= −µ (9.4-9)

9.5. FORMULA BIOT-SAVART-LAPLACE

Această formulă a fost stabilită de Laplace, având la bază rezultatele experienŃelor savanŃilor Biot şi Savart. Formula poate fi regăsită (sau demonstrată) cu ajutorul expresiei (9.4-5) particularizată pentru un circuit filiform. Pentru acest circuit există relaŃia (v fig. 9.5-1)

Page 90: Fizica II Curs

84

Fig. 9.5-1. PotenŃialul vector al circuitului filiform Fig. 9.5-2. NotaŃii pentru formula Biot-Savart-Laplace.

( )( )r r rJ u s' d ' d ' d 'v J A s i= = (9.5-1)

şi atfel se obŃine expresia potenŃialului magnetic vector al circuitului filiform având curentul i

( )r r

r

A rs

= ∫µ

π

i

R4

d ',

Γ (9.5-2)

iar apoi expresia intensităŃii câmpului magnetic

rr r r

HA s R

= =×

∫rot d '

.µ π

i

R4 3Γ (9.5-3)

AplicaŃia 1. Câmpul magnetic al unui fir rectiliniu, parcurs de curentul i (fig. 9.5-3) Punctul de observaŃie (în care se determină câmpul magnetic) aflat la distanŃa a de fir,

împreună cu linia axă a conductorului defineşte un plan, în care se află vectorul rR şi

elementul de arc drs . Vectorul intensităŃii câmpului magnetic

rH este perpendicular pe acest

plan. Luând o coordonată z pe linia firului, cu originea la piciorul perpendicularei coborâte din punctul de observaŃie, se calculează componenta scalară

( ) ( )H

i z z

a z

i z z

a z

i

a=

+=

+=

−∞

∞ ∞

∫ ∫4

2

4 22 2 3 2 2 30π π π

d d. (9.5-4)

Câmpul creat de firul rectiliniu infinit este mereu perpendicular pe planul meridian local dus prin fir şi are sensul asociat sensului curentului după regula burghiului drept. Liniile câmpului magnetic sunt cercuri concentrice, cu centrul pe fir, situate în plane perpendiculare pe fir.

Fig. 9.5-3. Câmpul magnetic al firului rectiliniu infinit. Fig. 9.5-4. Câmpul magnetic al spirei circulare, pe linia axă.

AplicaŃia 2. Câmpul magnetic al unei spire circulare, în puncte situate pe axa spirei (fig. 9.5-4).

Spira are raza a, curentul i, iar punctul de observaŃie se află la o distanŃă z de planul spirei. Pe curba axă a secŃiunii spirei (cerc) se consideră un punct curent, din care se duce vectorul de poziŃie

rR până în punctul de observaŃie situat pe axa spirei. Prin punctul curent se

consideră elementul de arc drs , orientat perpedicular pe planul de secŃiune, intrând. Elementul

de arc este perpendicular şi pe vectorul de poziŃie rR . Vectorul elementar d

rH al câmpului

creat de curentul elementar i drs este cuprins în planul de secŃiune şi este perpendicular pe

vectorul de poziŃie rR , în jos. Se observă că un element de arc d '

rs , aşezat simetric faŃă de

primul şi ieşind din planul de secŃiune, reperat prin vectorul de poziŃie rR ' aşezat simetric, dă

un vector elementar al câmpului perpendicular pe vectorul de poziŃie rR ' , deci în sus. La

Page 91: Fizica II Curs

85

module egale ale celor două elemente de arc se vor compensa componentele perpendiculare pe axa spirei, rămânând numai componenta axială

dd

.Hi a s

Rax =

4 3π

Întrucât R şi a nu depind de poziŃia punctului curent, expresia se integrează imediat, rezultând

Hi a a

R

i

aax = =

2

4 23

παsin , (9.5-5)

unde α este unghiul sub care se vede raza cercului axă al spirei din punctul de observaŃie. Câmpul este maxim în axa spirei (R = a sau α = π/2), este orientat în lungul axei spirei şi are sensul asociat sensului curentului i după regula burghiului drept.

AplicaŃia 3. Câmpul magnetic al unei pânze de curent şi al stratului dublu de pânze de curent (fig. 9.5-5).

În continuare, pe baza expresiei (9.5-4) se poate studia câmpul magnetic al unei pânze

de curent, având densitatea lineică JS, cu sensul de referinŃă intrând în planul de secŃiune (figura 9.5-5a).

Un element infinitezimal de lungime dy din pânza de curent, având curentul di = JS dy, dă într-un punct situat la distanŃa b de pânza de curent, câmpul elementar

dd d

sin ,Hi

a

J y

b

l

n = =2 2π π

β

Fig. 9.5.-5). Pânza de curent şi stratul dublu de pânze de curent.

Coordonata y a punctului curent fiind

y b= cotg ,β

rezultă dy = -a dβ/sin2β. Se mai observă că două segmente din pânza de curent de lungimi elementare egale şi

situate la distanŃe egale faŃă de punctul de observaŃie dau vectori ai câmpului elementar având componente perpendiculare pe planul pânzei de curent egale şi de semn contrar, deci câmpul rezultant va avea numai o componentă paralelă cu planul, care se calculează prin integrala

H HJ

Jp pS

S2= = − =∫ ∫d sin d .β

πβ

πΓ

012 (9.5-6)

Rezultă că o pânză de curent plană, produce în vecinătatea sa un câmp magnetic paralel cu planul, având intensitatea egală cu 1

2 JS la orice distanŃă faŃă de plan şi sensul asociat

sensului pânzei de curent după regula burghiului drept (la stânga planului sensul câmpului este opus celui stabilit în partea dreaptă).

Page 92: Fizica II Curs

86

Plecând de la acest rezultat, se poate studia câmpul unui strat dublu de pânze de

curent, adică al unei perechi de pânze de curent plane paralele, cu densităŃi lineice JS şi -JS (egale şi de semn contrar). In figura 9.5-5b s-a determinat câmpul magnetic rezultant, prin superpoziŃia câmpurilor produse de fiecare pânză. Rezultă că perechea de pânze produce un câmp egal cu JS în spaŃiul dintre pânze şi nul în exterior. Sensul câmpului este asociat sensului pânzelor de curent după regula burghiului drept.

9.6. ECUAłIA DE ORDINUL DOI A INTENSITĂłII CÂMPULUI MAGNETIC

Luând rotorul formei locale a teoremei lui Ampère, se obŃine

rot rot grad div rot .r r r rH H H J= − =∆ (9.6-1)

În mediu omogen, cu µ = const, rezultă divrH = 0 şi atunci intensitatea câmpului

magnetic satisface ecuaŃia vectorială a lui Poisson

∆r rH J= − rot . (9.6-2)

Dacă câmpul densităŃii de curent este datorit unui câmp electric staŃionar, adică r rJ E= σ ,

întrucât rotrE = 0 , rezultă

rot rot grad rot ,r r r rJ E E E= = × +σ σ σ

deci ecuaŃia devine

∆r rH E= − ×grad .σ (9.6-3)

În mediu conductor omogen cu σ = const se obŃine ecuaŃia lui Laplace.

9.7. FORMULELE LUI GREEN PENTRU CÂMPURI DE VECTORI

Se consideră două câmpuri de vectori GFrr

si , definite în DΣ. Se aplică formula lui Gauss-Ostrogradski câmpului

r rF G× rot şi se obŃine prima formulă a lui Green pentru

câmpuri de vectori

( ) ( ) ( )r r r r r r r r rF G n F G F G F G× = × = −∫ ∫ ∫rot d div rot d rot rot rot rot d .A v v

D DΣ Σ Σ

(9.7-1)

Luând r rF G= , relaŃia devine

( ) ( )( )r r r r r rF F n F F F× = −∫ ∫rot d rot rot rot d .A v

Σ

2 (9.7-2)

Înlocuind în (9.7-1) FGGFrrrr

cu si cu , rezultă o relaŃie similară. Scăzând-o membru cu membru din (9.7-1) se obŃine a doua formulă a lui Green pentru câmpuri de vectori

( ) ( )r r r r r r r r rF G G F n G F F G× − × = −∫ ∫rot rot d rot rot rot rot d .A v

DΣ Σ

(9.7-3)

Page 93: Fizica II Curs

10. CIRCUITE MAGNETICE

10.1. CONSIDERAłII GENERALE ŞI DEFINIłII

Conform teoremei refracŃiei, liniile de câmp magnetic sunt practic tangenŃiale pe feŃele interioare ale suprafeŃei corpurilor feromagnetice cu µ >> µ0. De asemenea, la suprafaŃa acestor corpuri - dacă nu sunt prezente pânze de curent pe suprafaŃă - se conservă componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului magnetic

rH . Rezultă că în interiorul corpurilor

feromagnetice componenta tangenŃială a inducŃiei r rB H= µ este mare în comparaŃie cu cea din

exterior (din aer, unde r rB Ha a= µ 0 ), iar liniile inducŃiei magnetice sunt conduse prin corpurile

feromagnetice asemănător cu modul în care sunt conduse liniile densităŃii curentului de conducŃie prin conductoare. Deoarece şi liniile de inducŃie magnetică sunt practic închise, se numeşte circuit magnetic un dispozitiv în care aceste linii trec printr-o succesiune de corpuri fero- sau ferimagnetice, separate eventual prin porŃiuni neferomagnetice, numite întrefieruri.

In figura 10.1-1 se arată două circuite magnetice, utilizate a) în transformatorul electric monofazat şi b) în releul electromagnetic. PorŃiunile de circuit magnetic pe care se aşază bobinele (b) se numesc coloane (c) sau miez (m), iar restul circuitului magnetic este închis prin juguri (j) şi întrefieruri (î); porŃiunile mobile (deplasabile) ale circuitului magnetic se numesc armături (a). De o parte şi de alta a întrefierurilor apar poli magnetici. ConvenŃional se consideră poli nord (N) feŃele feromagnetice din care ies linii de câmp (

rB orientat din spre

fier spre întrefier) şi poli sud (S) cele în care intră liniile de câmp.

Fig. 10.1-1. Exemple de circuite magnetice.

Cea mai mare parte a liniilor câmpului inducŃiei magnetice se închid prin fier şi întrefier, formând liniile câmpului util (sau principal). O altă parte, mai mică, a liniilor inducŃiei magnetice se închid numai printr-o parte a circuitului magnetic şi apoi prin aer (prin spaŃiul neferomagnetic înconjurător), formând liniile câmpului de dispersie, cărora le corespunde fluxul magnetic de dispersie.

O problemă importantă o formează rezolvarea circuitelor magnetice (numită şi analiza circuitelor magnetice), care se formulează astfel: pentru un circuit magnetic, de configuraŃie dată şi format din materiale cu caracteristici magnetice cunoscute, se cere să se determine prin calcul fie fluxurile magnetice utile şi de dispersie la o distribuŃie dată a solenaŃiilor, fie solenaŃiile de excitaŃie necesare producerii unui flux magnetic util dat. Problemele de mai sus se pot rezolva fie direct, prin aplicarea legii fluxului magnetic şi a teoremei lui Ampère, fie utilizând analogia dintre circuitele electrice şi circuitele magnetice.

Intr-o primă aproximaŃie, circuitele magnetice se rezolvă neglijând dispersia magnetică şi considerând fluxul magnetic uniform distribuit în secŃiuni transversale pe liniile de câmp (se consideră aceeaşi inducŃie în toate punctele unei secŃiuni transversale), iar circuitul magnetic se împarte în porŃiuni practic omogene din punct de vedere magnetic.

Page 94: Fizica II Curs

88

In legătură cu calculul fluxului magnetic al laturilor de circuit magnetic trebuie precizată noŃiunea de flux magnetic fascicular. Prin flux magnetic facscicular se înŃelege fluxul magnetic calculat prin secŃiunea unei laturi de circuit magnetic. Aşadar, fluxul magnetic fascicular reprezintă analogul magnetic al curentului electric de conducŃie din electrocinetică.

10.2. METODA DIRECTĂ DE REZOLVARE A UNUI CIRCUIT MAGNETIC

Metoda directă consistă în aplicarea succesivă a legii fluxului magnetic şi a teoremei lui Ampère, în vederea determinării relaŃiei dintre fluxul magnetic util al circuitului magnetic neramificat şi solenaŃia excitatoare.

Metoda se ilustrează cu exemplul din figura 10.2-1, al unui circuit magnetic în formă de C, având o bobină cu solenaŃia N i, mai multe porŃiuni feromagnetice omogene, cu lungimi ale liniilor de câmp medii lk, k = 1,...,5, arii ale secŃiunilor transversale Ak, precum şi un întrefier de lărgime lδ şi o arie a secŃiunii transversale Aδ (prin care trece fluxul magnetic în întrefier, arie aproximativ egală cu sau ceva mai mare decât aria secŃiunii transversale a polilor vecini).

Fie φu fluxul magnetic fascicular util al circuitului magnetic prin secŃiunea 6 (întrefier). Se aplică legea fluxului magnetic unor suprafeŃe Σk care trece prin întrefier şi printr-o

secŃiune oarecare de ordin k a circuitului magnetic. Datorită neglijării dispersiei, circuitul magnetic neramificat reprezintă un tub de flux, deci în orice secŃiune are acelaşi flux magnetic

φ φk k= =u , , , , .1 2 6K (10.2-1)

Fig. 10.2-1. Circuit magnetic neramificat, în formă de C.

Datorită ipotezei simplificatoare că inducŃia magnetică este practic constantă în fiecare secŃiune transversală, rezultă

φ φk k k k k kB A B A k= = =, , , , , . sau 1 2 6K (10.2-2)

Cunoscând curba de magnetizare Bk (Hk) a materialului magnetic al fiecărei porŃiuni de ordin k a circuitului magnetic, se deduce valoarea intensităŃii câmpului magnetic Hk corespunzătoare.

Pentru întrefier (porŃiunea 6) relaŃia este

H B6 6 0= µ . (10.2-3)

Aplicând teorema lui Ampère unei linii de câmp medii a circuitului magnetic (reprezentată cu linie întreruptă în figura 10.2-1) se poate determina solenaŃia excitatoare necesară. Se calculează întâi tensiunile magnetice ale porŃiunilor omogene

U l H kk k km = =, , , , .1 2 6K (10.2-4)

Tensiunea magnetomotoare a circuitului se obŃine prin sumare

Page 95: Fizica II Curs

89

U U k

k

mm m==∑

1

6

. (10.2-5)

Din teorema lui Ampère rezultă solenaŃia Θ necesară sau curentul de excitaŃie i necesar

Θ = =N i U mm . (10.2-6)

Dând fluxului magnetic util φu diferite valori, se poate construi caracteristica

magnetică a circuitului magnetic, adică dependenŃa φu(Θ) sau φu(i). În figura 10.2-2 se arată forma tipică a caracteristicii magnetice pentru o bobină cu miez feromagnetic şi întrefier.

Fig. 10.2-2. Caracteristica magnetică a unui circuit magnetic cu întrefier.

Dacă se dă solenaŃia (sau curentul de excitaŃie), fluxul magnetic util φu se determină prin încercări succesive (metode de aproximare succesivă) sau construind întâi caracteristica magnetică a circuitului, pe care se determină fluxul util corespunzător solenaŃiei date.

Pentru circuite magnetice ramificate, metoda directă de rezolvare consistă în construirea de caracteristici magnetice parŃiale pentru laturile de circuit magnetic, care se compun apoi corespunzător relaŃiilor ce rezultă din legea fluxului magnetic şi din teorema lui Ampère. Acest caz se tratează mai sistematic în cadrul metodei care face apel la analogia dintre circuitele magnetice şi circuitele electrice de curent continuu.

ObservaŃie. Dacă circuitul magnetic neramificat este liniar, adică porŃiunile sale pot fi caracterizate prin permeabilităŃi constante µk, atunci se obŃine uşor relaŃia explicită

Θ ==∑φ

µu

l

A

k

k kk

n

1

. (10.2-7)

Expresia dată de sumă reprezintă reluctanŃa echivalentă a circuitului magnetic neramificat, aşa cum va rezulta din metoda prezentată în continuare.

10.3 TEOREMELE LUI OHM ŞI KIRCHHOFF REFERITOARE LA CIRCUITE MAGNETICE

Între mărimile globale care caracterizează circuitele magnetice (φf, Um, Θ) şi mărimile care caracterizează circuitele electrice de curent continuu (I, U, E) se poate stabili o analogie completă, fapt care permite utilizarea la circuitele magnetice a unor concepte şi a unor metode de calcul dezvoltate în teoria circuitelor electrice.

Teoria circuitelor electrice de curent continuu are la bază legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff. Pentru circuitele magnetice se pot stabili teoreme analoge celor de mai sus.

Se consideră o porŃiune neramificată de circuit magnetic, care formează un tub de flux, adică are acelaşi flux magnetic fascicular φf în oricare secŃiune transversală (fig. 10.3-1). De asemenea, se consideră că în fiecare secŃiune transversală S, de arie A, vectorul inducŃiei

Page 96: Fizica II Curs

90

magnetice rB este perpendicular pe secŃiune şi are aceeaşi valoare în toate punctele secŃiunii,

astfel încât relaŃia dintre fluxul fascicular şi inducŃie va fi

φ f = BA. (10.3-1)

Considerând cunoscută valoarea permeabilităŃii µ a mediului în secŃiunea S se deduce valoarea intensităŃii câmpului magnetic

( )H B A= =µ φ µf . (10.3-2)

Fig. 10.3-1. PorŃiune de circuit magnetic.

Calculând tensiunea magnetică de-a lungul liniei de câmp C medii (linia axă), între două secŃiuni transversale S1 şi S2 şi Ńinând seama că vectorii

r rH s º i d sunt omoparaleli, rezultă

U H ss

A

s

Am C C

f

C f C12 12 12 12

= = = =∫ ∫ ∫ ∫r rH sd d

d d.

φ

µφ

µ

Mărimea

Rs

Am C12

= ∫d

µ (10.3-3)

se numeşte reluctanŃa porŃiunii de circuit magnetic (numită, uneori, şi rezistenŃă magnetică), iar relaŃia

U Rm m f= φ (10.3-4)

constituie teorema lui Ohm referitoare la circuite magnetice, fiind teorema analogă legii lui Ohm (de la circuitele electrice).

RelaŃia (10.3-4) se mai numeşte şi relaŃia constitutivă a laturii de circuit magnetic. În sistemul internaŃional de unităŃi (SI), unitatea de măsură a reluctanŃei se numeşte

amper pe weber şi se simbolizează [A/Wb] sau [H-1]. Mărimea reciprocă reluctanŃei, notată cu P sau Λ

P R= =Λ 1 m (10.3-5)

se numeşte permeanŃă. Unitatea de măsură a permeanŃei se numeşte weber pe amper, simbolizată [Wb/A], sau henry, simbolizată [H].

RelaŃiile stabilite mai sus permit să se întrevadă existenŃa unei analogii între circuitele magnetice şi circuitele electrice de curent continuu, pe baza următorului tablou de corespondenŃă între mărimi:

Circuite magnetice Circuite electrice

InducŃia magnetică rB

rJ Densitatea curentului

Intensitatea câmpului magnetic rH

rE Intensitatea câmpului electric

Flux magnetic fascicular φf I Intensitatea curentului electric Tensiune magnetică Um U Tensiune electrică

Page 97: Fizica II Curs

91

ReluctanŃă Rm R RezistenŃă electrică PermeanŃă P,Λ G ConductanŃă SolenaŃie Θ E Tensiune electromotoare

Trebuie observat faptul că, pe când tensiunea electromotoare care intervine în circuitele

de curent continuu are o localizare bine precizată (în laturi), solenaŃia poate fi asociată numai unui ochi (contur închis), deci solenaŃiei ar trebui să i se asocieze o tensiune electromotoare de ochi.

In cazul circuitelor magnetice, solenaŃia este dată de bobine parcurse de curent, deci solenaŃia unei bobine de ordin k, cu Nk spire şi parcursă de curentul ik, se prezintă sub forma

Θ k k kN i= , (10.3-6)

ca mărime care are semnul curentului ik. Acestei solenaŃii i se poate asocia un sens de

referinŃă axial în modul următor. Fie o bobină cu solenaŃia Θ, dată de curentul i, care în bobină are sensul de referinŃă

marcat (în secŃiunile bobinei, fig. 10.3-2), în conformitate cu sensul de înfăşurare al conductorului bobinei. Pentru calculul solenaŃiei pe o suprafaŃă deschisă, sprijinită pe un contur închis Γ, sensului de parcurgere al conturului Γ i se asociază un versor al normalei

rn

după regula burghiului drept. Se observă uşor că acest versor va avea aceeaşi orientare ca sensul de referinŃă al curentului (atât pentru conturul închis spre dreapta Γ1, cât şi pentru conturul închis spre stânga Γ2 din figura 10.3-2), dacă conturul Γ este parcurs în sensul

care se asociază sensului de înfăşurare şi sensului de referinŃă al curentului după regula

burghiului drept. Acest sens, marcat cu o săgeată ca în fig. 10.3-2, se atribuie solenaŃiei Θ şi constituie sensul de referinŃă axial al solenaŃiei calculate cu expresia ΘΘΘΘ = N i.

Fig. 10.3-2. Definirea sensului de referinŃă axial al unei bobine.

Pentru a completa analogia dintre circuitele magnetice şi circuitele electrice, mai trebuie stabilite teoremele topologice ale circuitelor magnetice, numite teoremele lui Kirchhoff.

Fie o reŃea magnetică, ca în figura 10.3-3, compusă din laturi (coloane, juguri, întrefieruri etc.) cu caracteristici magnetice cunoscute, având bobine cu solenaŃii date. Se notează cu φk fluxul magnetic fascicular al laturii k şi acestui flux i se asociază un sens de referinŃă (indicat cu săgeată pe latură), omoparalel cu versorul

rn k al normalei la secŃiunea

transversală cu care a fost calculat (definit) fluxul respectiv. Aplicând legea fluxului magnetic unei suprafeŃe închise Σα, care înconjoară un nod (de

ordin α) al reŃelei magnetice, adică r rB n ΣΣ

d ,Aα∫ = 0 (10.3-7)

se obŃine relaŃia

± =∑ φα

k

nod

0, (10.3-8)

care constitue prima teoremă a lui Kirchhoff referitoare la circuite magnetice: suma fluxurilor magnetice fasciculare ale laturilor concurente într-un nod, calculate cu acelaşi sens

Page 98: Fizica II Curs

92

de referinŃă faŃa de nod, este nulă. In relaŃia (10.3-8) semnul se ia (+)dacă sensul de referinŃă al fluxului magnetic fascicular respectiv este de ieşire din nod (ca

rnΣ ) şi (–) în caz contrar. În

cazul concret din figura 10.3-3 rezultă relaŃia

− + − + =φ φ φ φ4 5 6 7 0.

Fig. 10.3-3. ReŃea magnetică.

În reŃeaua din figura 10.3-3 se consideră un drum (contur) închis Γλ, de-a lungul ochiului λ, care se va parcurge în sens orar. Acestui ochi i se aplică teorema lui Ampère

r r r rH s J nd d .Γ Γλ∫ ∫= A

S (10.3-9)

Integrala de contur, reprezentând tensiunea magnetomotoare a ochiului λ, se descompune în integrale de linie pe segmente ale curbei Γλ, reprezentând tensiuni magnetice ale laturilor, iar integrala de suprafaŃă, reprezentând solenaŃia ochiului λ, se descompune într-o sumă de solenaŃii datorite bobinelor laturilor care compun ochiul λ.

Se notează cu Umk tensiunea magnetică corespunzătoare laturii k, având acelaşi sens de referinŃă ca fluxul magnetic fascicular φk al laturii (ca în teorema lui Ohm). Se mai notează cu Θk solenaŃia bobinelor laturii k, având sensul de referinŃă axial precizat aşa cum s-a arătat mai înainte. RelaŃia (10.3-9) devine

± = ±∑ ∑U k kmochi ochi λ λ

Θ (10.3-10)

şi reprezintă a doua teoremă a lui Kirchhoff referitoare la circuite magnetice: suma tensiunilor magnetice ale laturilor ce formează un ochi, calculate în sensul de parcurgere, este egală cu suma solenaŃiilor bobinelor laturilor ochiului. Semnele se iau astfel:

- pentru tensiunile magnetice de latură se ia semnul (+) atunci când sensul de referinŃă al fluxului laturii coincide cu sensul de parcurgere şi (–) în caz contrar;

- pentru solenaŃiile laturilor se ia semnul (+) atunci când sensul de referinŃă axial coincide cu sensul de parcurgere şi (–) în caz contrar.

La circuite magnetice liniare a doua teoremă a lui Kirchhoff se poate prezenta şi sub o formă explicită, în care tensiunile magnetice de latură se explicitează cu ajutorul teoremei lui Ohm

± = ±∑ ∑R k k kmochi ochi

φλ λ

Θ . (10.3-11)

Regula de semne rămâne cea enunŃată anterior. În cazul concret din figura 10.3-3 rezultă relaŃia

R R R R R n n nm1 m3 m4 m7 mφ φ φ φ φ1 3 4 7 4− + + − = − −Θ Θ .

Tensiunea magnetică între două noduri a şi b (fig. 10.3-3) se poate calcula în acelaşi mod, aplicând teorema lui Ampère unui contur Γ', care conŃine drumul a-b

Page 99: Fizica II Curs

93

U R Rm ab m3 m1+ − =φ φ3 1 0.

Se observă uşor că prin analogia descrisă înainte s-ar fi putut stabili direct (fără a fi demonstrate) teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice, prin simpla transcriere a teoremelor corespunzătoare de la circuitele electrice.

Întrucât teoria circuitelor electrice are la bază relaŃiile topologice date de teoremele lui Kirchhoff şi relaŃiile constitutive ale laturilor (legea sau teorema lui Ohm pentru laturile liniare), toate teoremele enunŃate pentru circuitele electrice îşi au teoreme echivalente în teoria circuitelor magnetice. Astfel, de exemplu, dacă circuitele magnetice sunt liniare (laturile au permeabilităŃi constante), atunci se pot folosi teoremele de superpoziŃie, de reciprocitate, teoremele reluctanŃelor echivalente, teoremele generatoarelor echivalente ş.a.

AplicaŃie. Fie circuitul magnetic, considerat liniar, al unui miez cu trei coloane, cu câte o bobină pe fiecare coloană, ca în fig. 10.3-4a. Pe figură au fost marcate şi elementele geometrice care permit caracterizarea fiecărei laturi (coloane) prin reluctanŃa corespunzătoare

( ) ( ) ( )R l A R l A R l Am1 m2 m3= = =1 1 1 2 2 2 3 3 3µ µ µ, , .

Se mai notează solenaŃiile laturilor

Θ Θ Θ1 1 1 2 2 2 3 3 3= = =N i N i N i, , ,

cu sensurile de referinŃă axiale marcate pe figură, în corespondenŃă cu sensurile de referinŃă ale curenŃilor şi cu sensurile de înfăşurare ale bobinelor.

Se stabileşte, fără dificultate, circuitul electric echivalent din figura 10.3-4b. Rezolvarea circuitului magnetic din figura 10.3-4a se reduce la rezolvarea circuitului electric 10.3-4b.

Fig. 10.3-4. Circuit magnetic (a) şi schema sa echivalentă (b).

Dând fluxurilor magnetice sensuri de referinŃă (marcate pe figuri), cu metoda ecuaŃiilor asociate teoremelor lui Kirchhoff se stabileşte următorul sistem de ecuaŃii

φ φ φ

φ φ

φ φ

1 2 3

1 2 1 2

2 3 2 3

0+ + =

− = +

− = − −

,

,

.

R R

R R

m1 m2

m2 m3

Θ Θ

Θ Θ

Rezolvarea sistemului de mai sus permite determinarea fluxurilor magnetice fasciculare φ1, φ2, φ3.

10.4. CALCULUL CIRCUITELOR MAGNETICE NELINIARE

Materialele feromagnetice din care sunt realizate circuitele magnetice au permeabilitatea dependentă de inducŃia sau de intensitatea câmpului magnetic, adică sunt materiale magnetice neliniare. In consecinŃă circuitele magnetice sunt, de regulă, neliniare (din punct de vedere

Page 100: Fizica II Curs

94

magnetic). Calculul circuitelor magnetice neliniare se aseamănă cu calculul circuitelor electrice neliniare de curent continuu.

In cazul unei laturi neliniare de circuit magnetic nu mai este valabilă teorema lui Ohm referitoare la circuite magnetice (10.3-4) şi nu se poate defini o reluctanŃă care să fie calculată cu relaŃia (10.3-3). RelaŃia între tensiunea magnetică Um a laturii şi fluxul magnetic fascicular φf va fi dată de o caracteristică magnetică Um(φf) sau φf(Um).Teoremele lui Kirchhoff rămân valabile în forma care nu face apel la teorema lui Ohm: prima teoremă în forma (10.3-8), iar a doua - în forma (10.3-10).

Pentru o reŃea magnetică cu n laturi, cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se pot scrie n ecuaŃii independente între fluxurile magnetice fasciculare φk ale laturilor şi tensiunile magnetice Umk ale laturilor, iar caracteristicile magnetice ale laturilor reprezintă alte n relaŃii independente între aceleaşi mărimi. Se obŃine, astfel, un sistem complet de 2n ecuaŃii, care determină soluŃia căutată.

Pentru exemplificare, se consideră cazul unui circuit magnetic neliniar ca în figura 10.4-1a, având 3 laturi, cu o bobină pe prima latură, care produce solenaŃia Θ. Cu sensurile de referinŃă marcate în figură, se pot scrie următoarele relaŃii între mărimi:

φ φ φ1 2 3= +

= =

+ =

,

,

.

U U U

U U

m a b m2 m3

m1 m a b Θ

(10.4-1)

(10.4-2)

(10.4-3)

Fig. 10.4-1. Circuit magnetic neliniar (a), caracteristicile sale şi compunerea caracteristicilor (b).

În figura 10.4-1b s-au reprezentat caracteristicile magnetice φk(Umk) (neliniare) ale laturilor 1, 2 şi 3, precum şi caracteristica rezultantă φ1(Um ab) a laturilor 2 şi 3, conectate în paralel conform relaŃiilor (10.4-1) şi (10.4-2). Această caracteristică se calculează astfel: pentru fiecare valoare dată a tensiunii magnetice Um ab se adună fluxurile magnetice fasciculare ale caracteristicilor 2 şi 3. Apoi se poate calcula caracteristica fluxului magnetic fascicular φf(Θ), adunând tensiunile magnetice Um1 şi Um ab pentru fiecare valoare a fluxului magnetic fascicular φf = φ1 (conform relaŃiei 10.4-3). Cu ajutorul caracteristicii rezultante φf(Θ) se poate determina punctul de funcŃionare corespunzător unei solenaŃii excitatoare Θ date, sau unui flux fascicular φ1 dat şi apoi se deduce starea magnetică a tuturor laturilor.

Pe caracteristicile laturilor φ1(Um1), φ2(Um ab), φ3(Um ab) au fost marcate trei puncte de funcŃionare corespunzătoare unui şir de 3 solenaŃii în progresie aritmetică: 3Θ0, 4Θ0, 5Θ0.

Punctele de funcŃionare se pot determina şi prin calcul iterativ. De exemplu, pentru o solenaŃie dată Θ1, se ia ca variabilă independentă tensiunea magnetică Um ab. Acestă tensiune determină toate tensiunile magnetice ale laturilor prin relaŃiile (10.4-2) şi (10.4-3), aşa că

Page 101: Fizica II Curs

95

determină valoarea funcŃiei f(Um ab) = φ1 - φ2 - φ3. Căutând rădăcina acestei funcŃii (de exemplu cu metoda Newton), se determină tensiunea magnetică Um ab corespunzătoare şi apoi starea magnetică a oricărei laturi.

Page 102: Fizica II Curs

X11. CÂMPUL MAGNETOSTATIC AL MAGNETILOR PERMANENłI

11.1. RELAłIILE FUNDAMENTALE ALE MAGNETOSTATICII

Magnetostatica este ramura Electromagnetismului în care se studiază stările magnetice staŃionare fără curenŃi electrici de conducŃie. În acest regim câmpul magnetic este numit câmp

magnetostatic şi este produs de magneŃi permanenŃi. RelaŃiile fundamentale ale magnetostaticii se deduc din legile generale şi de material

ale electromagnetismului, punând r rJ w= =0 0, şi considerând numai legile în care intervin

mărimi magnetice. La prezentarea acestor relaŃii se va face o comparaŃie cu relaŃiile corespunzătoare din electrostatică, pentru a stabili o analogie între cele două grupe de fenomene.

Legea fluxului magnetic rămâne neschimbată

φ Σ Σ= = =∫

r r rB n Bd , div .A 0 0 sau (11.1-1)

În electrostatică, legea fluxului electric are o formă diferită

ψ ρΣ Σ Σ= = =∫r r rD n Dd , div .A q sau v (11.1-2)

Analogia există numai în medii neîncărcate (ρv = 0). Teorema potenŃialului magnetostatic este o consecinŃă a teoremei lui Ampère pentru

rJ ≡ 0

r r rH s Hd , rot .Γ∫ = =0 0 sau (11.1-3)

Rezultă că se poate defini un potenŃial magnetostatic Vm, astfel încât

( ) ( )r r rH H s= − = − ∫grad , d .V V P V P

P

P

m m m sau 00

(11.1-4)

Analogia cu câmpul electrostatic este completă: r r rE s Ed , rot ,Γ∫ = =0 0 sau (11.1-5)

respectiv

( ) ( )r r rE E s= − = − ∫grad , d .V V P V P

P

P

sau 00

(11.1-6)

Legea legăturii dintre r r rB H M, º i rămâne în aceeaşi formă

( )r r rB H M= +µ 0 , (11.1-7)

ca şi legea magnetizaŃiei temporare în materiale liniare sau neliniare

( )r r r rB H B H= =µ , . sau f (11.1-8)

ObservaŃie. In aplicaŃii, materialele feromagnetice nesaturate se consideră, adesea, cu µ → ∞, iar materialele magnetice dure (magneŃii permanenŃi) se reprezintă, adesea, cu o caracteristică liniarizată în jurul unui punct de funcŃionare, sub forma

Page 103: Fizica II Curs

96

( )r r rB H M= +µ µ0 re pe , (11.1-9)

în care µre este o permeabilitate relativă echivalentă ("reversibilă"), iar rM pe - o magnetizaŃie

permanentă echivalentă. În electrostatică au existat relaŃii analoge

( )r r r r r r rD E P D E D E= + = =ε ε0 , , .f (11.1-10)

Câmpul de vectori rB satisface următoarele relaŃii

div rot rot ,r r r rB B M J= = =0 0 0 º i mµ µ (11.1-11)

în care rJ m este densitatea curentului fictiv amperian echivalent stării de magnetizaŃie a

corpului. Deci inducŃia magnetică este un câmp de vectori solenoidal. Câmpul de vectori

rH se studiază cu ecuaŃiile

div div rot .r r rH M H= − = =1 00µ ρ v m º i (11.1-12)

Intensitatea câmpului magnetostatic este un câmp de vectori potenŃial, cu surse, având proprietăŃi analoge câmpului electrostatic. Din prima relaŃie (11.1-12) rezultă că analogul densităŃii de sarcină din electrostatică este mărimea

ρ µv m = − 0 div ,rM (11.1-13)

numită densitate de volum a sarcinii de magnetizaŃie. Sarcina de magnetizaŃie este

q v AV

m v mΣ ΣΣ

= = −∫ ∫ρ µd d .0

r rM n (11.1-14)

Din relaŃiile precedente rezultă că numai magnetizaŃia permanentă produce câmpul magnetostatic (întrucât magnetizaŃia temporară este nulă când câmpul este nul): câmpul

magnetostatic este produs de magneŃi permanenŃi. Dacă magnetul permanent are forma unei bare magnetizate uniform, pentru determinarea

spectrului intensităŃii câmpului magnetic rH se poate considera o repartiŃie de sarcini fictive

±qm, echivalentă magnetizaŃiei, la cei doi poli ai magnetului (ca în figura 11.1-1). Spectrul câmpului se stabileşte prin analogie cu spectrul unui câmp electrostatic. Se observă că în exterior

r rB Hext ext= µ 0 , deci spectrul inducŃiei

rB coincide cu spectrul intensităŃii câmpului

rH. În interior, însă, liniile de câmp

rH şi de inducŃie

rB vor fi diferite, conform relaŃiei

( )r r rB H M= +µ 0 , considerând dată magnetizaŃia (permanentă)

rM.

Fig.11.1-1. Sarcini de magnetizaŃie şi spectrul câmpului rH . Fig. 11.1-2. CurenŃi amperieni şi spectrul câmpului

rB .

Page 104: Fizica II Curs

97

Deoarece div ,rB = 0 liniile inducŃiei sunt închise (sau, mai general, nu au început şi

sfârşit); ele au alura liniilor de inducŃie ale unui solenoid în vid, echivalent barei magnetizate permanent (ca în figura 11.1-2, datorită repartiŃiei superficiale de curenŃi amperieni

rJ m care

apare pe suprafaŃa laterală a barei). Se numeşte câmp demagnetizant intensitatea

rHd a câmpului magnetic propriu al unui

magnet permanent în punctele din interiorul magnetului. Intrucât tensiunea magnetomotoare trebuie să fie nulă pe orice curbă

r rH sd ,Γ∫ = 0

calculând această integrală în lungul unei linii de câmp a inducŃiei magnetice, în exterior rezultă mereu

r rH sd ,> 0 adică în final o tensiune magnetică pozitivă în exterior, deci în

interior va trebui ca r rH sd ,< 0 pentru ca tensiunea magnetică din interior să fie negativă şi să

o compenseze pe cea exterioară. În interiorul magnetului permanent intensitatea câmpului magnetic (câmpul demagnetizant) are sens opus magnetizaŃiei corpului şi tinde să-l demagnetizeze.

11.2. CIRCUIT MAGNETIC CU MAGNET PERMANENT

Se consideră un circuit magnetic cu magnet permanent, ca în figura 11.2-1. Magnetul permanent (3, haşurat în figură) este prismatic, de lungime lm, cu o arie a secŃiunii transversale Am şi a fost magnetizat până la saturaŃie înainte de a fi introdus în circuitul magnetic din figură. Circuitul magnetic mai conŃine piesele polare 2 şi 4, din materiale feromagnetice moi. Acestea sunt nesaturate în funcŃionare normală, fapt pentru care se poate neglija tensiunea lor magnetică. Între piesele polare rămâne întrefierul 1, de lărgime lδ şi arie echivalentă a secŃiunii transversale Aδ, prin care se închide fluxul magnetic util.

Fig. 11.2-1. Circuit magnetic cu magnet permanent.

ObservaŃie. Dacă se cunoaşte permeanŃa Pδ corespunzătoare trecerii fluxului magnetic util prin întrefier, atunci aria Aδ se poate calcula cu relaŃia

A Pl

δ δδ

µ=

0

. (11.2-1)

Pentru un întrefier de lărgime mică în comparaŃie cu dimensiunile transversale ale piesei polare şi dacă se neglijează dispersia, atunci se poate lua aproximativ Aδ ≅ Ap, dacă Ap este aria feŃei din spre întrefier a piesei polare. De regulă, însă, dispersia este importantă.

Fluxul magnetic al circuitului magnetic se închide prin magnetul permanent, prin piesele polare şi prin întrefier, de-a lungul liniei de câmp medii Γ, reprezentată cu linie întreruptă în figura 11.2-1. Aplicând teorema lui Ampère pe această linie de câmp, rezultă relaŃia

Page 105: Fizica II Curs

98

r rH sd ,Γ∫ ≈ + =H l H lm m δ δ 0 (11.2-2)

în care Hm este intensitatea câmpului magnetic în magnetul permanent (câmp demagnetizant), iar Hδ - în întrefier. Fluxul magnetic al magnetului, egal cu cel care se închide între piesele polare prin aer, este

φ δ δ= =B A B Am m . (11.2-3)

łinând seama că în aer Bδ = µ0 Hδ, din ultimele două relaŃii se deduce expresia câmpului demagnetizant

H Hl A

l A

Bd m

m

m

m

0

= = − δ

δ µ. (11.2-4)

Această relaŃie reprezintă ecuaŃia unei drepte în planul curbei de magnetizare B(H), care intersectează în punctul R ramura de demagnetizare a ciclului histerezis al magnetului permanent (fig. 11.2-2). Dreapta OR se numeşte dreaptă de demagnetizare, iar factorul adimensional

µ µδ

δ δ δ

0 0H

BN

l A

l A

A

l P

P

P

d

mB

m

m

m

m

m= = = = (11.2-5)

se numeşte factor de demagnetizare. În ultima expresie de mai sus s-a notat cu Pm o permeanŃă echivalentă a magnetului (de fapt, permeanŃa unei porŃiuni nemagnetice, de lungime lm şi arie a secŃiunii transversale Am).

Fig. 11.2-2. Ramura de demagnetizare a ciclului de histerezis şi dreapta de demagnetizare.

Prin construcŃia grafică din figura 11.2-2 se deduce inducŃia Bm în magnet şi apoi inducŃia echivalentă în întrefier.

BA

ABδ

δ

= mm . (11.2-6)

În figura 11.2-2 s-a reprezentat şi ramura de demagnetizare a ciclului unui material magnetic moale (cu linie întreruptă), al cărui punct de funcŃionare R' se află la valori mici ale inducŃiei.

În mod practic, pentru a caracteriza eficacitatea unui magnet permanent de volum dat, se consideră expresia energiei câmpului magnetic din întrefierul de volum echivalent Vδ = lδ Aδ (anticipând expresia energiei magnetice, care va fi stabilită într-un capitol următor)

( )( )W B H V B A H lm δ δ δ δ δ δ δ δ= =12

12 . (11.2-7)

Însă conform (11.2-2) şi (11.2-3) rezultă

( )( ) ( )( )W B A H l B A H l B H Vm m m d m m d mδ δ δ δ δ= = =12

12

12. , (11.2-8(

Page 106: Fizica II Curs

99

adică densitatea de volum a energiei magnetice pe care o poate da magnetul este egală cu 12 B Hm d .

Valoarea produsului Bm |Hd| variază după poziŃia punctului de funcŃionare pe ramura de demagnetizare. Maximul produsului (Bm |Hd|)max este numit indice de calitate al materialului magnetic dur. Pentru o bună utilizare a unui material magnetic dur, magnetul trebuie dimensionat astfel încât punctul său de funcŃionare să se situeze în apropierea punctului în care este maxim produsul Bm |Hd|. În aceste condiŃii se foloseşte cel mai puŃin material magnetic dur pentru satisfacerea unor condiŃii tehnice date.

Notă. PoziŃia punctului de funcŃionare în care este maxim produsul Bm |Hd| se poate determina aproximativ pe cale grafică, la intersecŃia diagonalei dreptunghiului de laturi OBr şi OHc cu ranura de demagnetizare a ciclului de histerezis (fig. 11.2-3).

Notând cu Bmo şi Hdo valorile corespunzătoare acestui punct, rezultă că factorul de demagnetizare al magnetului trebuie să aibă valoarea optimă

NH

BB opt

d o

m o

= µ 0 . (11.2-9)

Cu această valoare se poate alege forma magnetului, întrucât avem relaŃia

A l N A l N Pm m B B= =δ δ δ µ 0 , (11.2-10)

iar altă relaŃie este dată de fluxul magnetic util, în întrefier

φ δ δ δ= =A B A Bm m . (11.2-11)

Fig.11.2-3. ConstrucŃie grafică pentru estimarea factorului de demagnetizare optim.

Cu cât este mai mare intensitatea câmpului magnetic coercitiv, cu atât va rezulta mai mare şi câmpul optim |Hd0|, iar dreapta OR va avea o pantă mai mică, respectiv factorul de demagnetizare NB va fi mai mare şi magnetul va trebui să fie de lungime lm mai mică.

MagneŃii permanenŃi au utilizări importante în construcŃia aparatelor de măsurat, în maşinile electrice de putere mică, la difuzoare, în contoare, în relee ş.a.

Page 107: Fizica II Curs

12. INDUCTIVITĂłI

Calculul fluxului magnetic al unui circuit electric, datorit curentului acelui circuit sau curenŃilor altor circuite, conduce la introducerea mărimii numite inductivitate sau inductanŃă. Inductivitatea se defineşte în situaŃia în care câmpul magnetic este produs de curentul electric al unui singur circuit, numit circuit excitator sau circuit inductor. In aceste condiŃii, inductivitatea reprezintă raportul dintre fluxul magnetic al unui circuit (calculat printr-o suprafaŃă sprijinită pe conturul acelui circuit) - numit circuit indus - şi intensitatea curentului circuitului inductor.

Dacă în vecinătatea circuitelor există numai medii magnetice liniare (cu permeabilitate constantă,independentă de intensitatea câmpului magnetic), inductivitatea depinde numai de dimensiunile, de forma circuitelor şi de permeabilitatea magnetică a mediului. În mediile feromagnetice permeabilitatea (µ) depinde de intensitatea câmpului magnetic (H) respectiv de inducŃia magnetică (B), deci şi inductivitatea va depinde de curentul inductor; în acest caz noŃiunea de inductivitate devine mai puŃin utilă. În cele ce urmează se va considera numai cazul mediilor magnetice liniare (sau liniarizate).

12.1 FLUXURI ŞI INDUCTIVITĂłI PROPRII ŞI MUTUALE

Se consideră un circuit filiform 1, având curba axă Γ1, care este parcurs de curentul de conducŃie i1 şi produce un câmp magnetic

rB1 , reprezentat prin liniile sale de câmp (fig.

12.1-1). Se notează cu φ1 1 şi se numeşte flux magnetic propriu al circuitului 1, fluxul magnetic al câmpului de inducŃie

rB1 printr- o suprafaŃă SΓ1 sprijinită pe curba axă Γ1 a

circuitului 1

φ11 = ∫r rB n1 1 d .A

S 1Γ

(12.1-1)

Versorul normalei rn1 este asociat sensului de parcurgere al curbei axă Γ1 după regula

burghiului drept; la definirea inductivităŃii proprii, este ales ca sens de parcurgere natural al

curbei axă Γ1 chiar sensul de referinŃă al curentului i1. Se numeşte inductivitate proprie (sau autoinductivitate) raportul

Li

D

1 1

1 1

1

. (12.1-2)

Inductivitatea proprie definită cu sensul natural de parcurgere este pozitivă.

Fig. 12.1-1. NotaŃii pentru definirea fluxurilor magnetice proprii şi mutuale.

Page 108: Fizica II Curs

101

Dacă în vecinătatea circuitului (excitator) 1 se află un alt circuit (indus) 2, având curba axă Γ2 (fig. 12.1-1), câmpul magnetic

rB1 va determina prin circuitul indus un flux magnetic

mutual φ2 1, al circuitului 2, produs de circuitul 1 (calculat printr-o suprafaŃă SΓ2 sprijinită pe curba axă Γ2)

φ 21 = ∫r rB n1 2 d .A

S 2Γ

(12.1-3)

Versorul normalei rn 2 la suprafaŃă se asociază sensului de parcurgere al circuitului 2 (al

curbei axă Γ2) după regula burghiului drept. Aici nu există o regulă naturală pentru alegerea sensului de parcurgere al circuitului 2, deci acest sens trebuie specificat explicit, aşa cum se va arăta mai departe.

Se numeşte inductivitate mutuală raportul

Li

D

2 1

2 1

1

. (12.1-4)

Inductivitatea mutuală poate fi pozitivă sau negativă, după modul în care s-a ales sensul de parcurgere al circuitului indus, pentru un sens de referinŃă dat al curentului inductor. De regulă aceste sensuri se aleg astfel încât inductivitatea mutuală să rezulte pozitivă, dar această regulă admite excepŃii. De exemplu, atunci când poziŃia reciprocă a circuitelor se modifică în timp, cum este în cazul maşinilor electrice.

Se poate demonstra că în medii liniare inductivităŃile mutuale satisfac relaŃia de

reciprocitate

L L1 2 2 1= . (12.1-5)

DemonstraŃia va fi dată în câteva cazuri particulare, în subcapitolul care urmează. Pe schemele circuitelor electrice cuplate magnetic trebuie specificate sensurile

convenŃionale pentru care a fost definită fiecare inductivitate mutuală. Această specificare se face în raport cu bornele marcate.

In teoria circuitelor electrice, elementul de circuit caracterizat complet prin inductivităŃile sale se numeşte bobină ideală. Bobina ideală se reprezintă prin unul dintre simbolurile grafice redate în figura 12.1-2, cel mai sugestiv fiind primul simbol, pe când al doile este mai uşor de desenat.

Fig. 12.1-2. Simbolizarea bobinei ideale. Fig. 12.1-3. Marcarea bornelor bobinelor ideale cuplate magnetic.

Atunci când bobina este cuplată magnetic (adică are inductivităŃi mutuale), se obişnuieşte ca una dintre cele două borne (sau capete) ale fiecărei bobine să fie marcată printr-un asterisc (*) sau un punct (•), iar inductivitatea mutuală dintre două bobine se defineşte pentru sensuri convenŃionale (sens de referinŃă al curentului excitator şi sens de parcurgere al circuitului indus) la fel orientate faŃă de bornele marcate: fie ambele sensuri intră prin bornele marcate (fig. 12.1-3), fie ambele ies prin aceste borne. Inductivitatea mutuală astfel definită poate fi pozitivă sau negativă, iar uneori poate avea chiar un semn variabil (în timp,

Page 109: Fizica II Curs

102

sau funcŃie de alte condiŃii, de exemplu, de o coordonată de poziŃie). Valoarea sau simbolul inductivităŃii mutuale se înscrie lângă o săgeată dublă dusă între bornele marcate la care se referă.

Uneori inductivitatea mutuală se simbolizează cu litera M.

ObservaŃia 1. Fluxurile magnetice proprii sau mutuale ale circuitelor electrice filiforme sunt calculate pe o suprafaŃă sprijinită pe conturul complet al curbei axă a circuitului indus (considerat, întotdeauna, închis). De multe ori circuitul indus este o bobină cu multe spire, diferitele spire ocupând în spaŃiu poziŃii apropiate, ceea ce face posibil ca fluxul magnetic al circuitului să poată fi calculat ca produsul dintre un flux magnetic fascicular al unei spire "medii" şi numărul de spire al bobinei. In acest fel se obŃin relaŃii de definiŃie ale inductivităŃilor de forme echivalente celor anterioare

L Ni

D

11 11

=φ f 1 1 , (12.1-2')

L Ni

D

21 21

=φ f 2 1 , (12.1-4')

fluxurile magnetice fasciculare φf 1 1 şi φf 2 1 fiind calculate pe suprafeŃe sprijinite pe curba axă a câte unei singure spire aflată într-o poziŃie medie din secŃiunea bobinei respective.

ObservaŃia 2. Dacă inducŃia magnetică rB1 creată de circuitul excitator 1 se exprimă cu

ajutorul potenŃialului vector rA 1

r rB A 11 = rot , (12.1-6)

atunci, folosind formula lui Stokes, integralele de suprafaŃă (12.1-1) şi (12.1-3) se transformă în integrale de contur ale potenŃialului magnetic vector

rA 1

φ φ11 1 1 2 1 1 2= =∫ ∫r r r rA s A sd d .

S S1 2

º i Γ Γ

(12.1-7)

ObservaŃia 3. Pentru a le diferenŃia de fluxurile magnetice fasciculare, numite adesea, simplu, fluxuri magnetice, fluxurile magnetice proprii şi mutuale asociate unor circuite electrice se numesc şi fluxuri magnetice totale sau fluxuri "înlănŃuite" (flux linkage în engleză, verkettete Fluss în germană).

În sistemul internaŃional de unităŃi (SI), unitatea de măsură a inductivităŃii se numeşte henry, simbolizată [H], definită prin relaŃia

1 H = 1 Wb/ 1 A. (12.1-6)

12.2. RELAłIILE LUI MAXWELL REFERITOARE LA INDUCTIVITĂłI

Cunoscând inductivităŃile proprii şi mutuale ale unui sistem de n circuite (bobine), se poate calcula fluxul magnetic total φj al oricărui circuit de ordin j, corespunzător unui sens de parcurgere dat, însumând fluxul magnetic propriu φj j = Lj j ij, cu fluxurile magnetice mutuale φj k = Lj k ik:

φ j j k k

k

n

L i j n= ==∑

1

1 2, , , , .K (12.2-1)

Page 110: Fizica II Curs

103

Sistemul relaŃiilor (12.2-1) este cunoscut ca relaŃiile lui Maxwell referitoare la

inductivităŃi. Adesea aceste relaŃii se scriu generic fără specificarea alternanŃei de semne (±). La efectuarea sumei din expresia (12.2-1) trebuie să se Ńină seama de relaŃia în care se

află sensul de parcurgere adoptat pentru calculul fluxului φj cu sensurile pentru care au fost definite fluxurile, respectiv inductivităŃile proprii şi mutuale. În acest scop se scrie întâi expresia fluxului total fără semne, apoi semnul fiecărui termen (j,k) se determină astfel. Se compară:

- orientarea sensului de parcurgere a bobinei induse j (al cărei flux magnetic se calculează) în raport cu borna sa marcată,

- şi orientarea sensului de referinŃă al curentului bobinei excitatoare k în raport cu borna marcată a acestei bobine.

Când cele două sensuri sunt la fel orientate faŃă de bornele marcate, fluxul (respectiv inductivitatea) intervine cu semnul pozitiv, iar în caz contrar - cu semnul negativ.

Pentru exemplificare, se va considera cazul a trei bobine cuplate magnetic, ca în figura 12.2-1. In figură au fost indicate şi sensurile de referinŃă ale curenŃilor. Mai jos se dau expresiile fluxurilor magnetice totale ale fiecărei bobine, pentru cele două sensuri de parcurgere posibile:

Fig. 12.2-1. Exemplu de bobine cuplate multiplu.

- de la stânga la dreapta (→)

φ1→ = L1 1 i1 – L1 2 i2 – L1 3 i3,

φ2→ = – L1 2 i1 + L2 2 i2 + L2 3 i3,

φ3→ = L1 3 i1 – L2 3 i2 – L3 3 i3,

- de la dreapta la stânga (←)

φ1← = – L1 1 i1 + L1 2 i2 + L1 3 i3,

φ2← = L1 2 i1 – L2 2 i2 – L2 3 i3,

φ3← = – L1 3 i1 + L2 3 i2 + L3 3 i3.

De fapt, ultimele expresii (pentru parcursul dreapta-stânga) se puteau obŃine inversând

semnele din expresiile anterioare (ale parcursului stânga-dreapta).

12.3 CALCULUL INDUCTIVITĂłILOR

InductivităŃile pot fi calculate prin mai multe metode, dintre care cele mai importante vor fi expuse pe scurt mai jos.

Metoda directă de calcul urmează calea descrisă la definirea fluxurilor magnetice proprii şi mutuale şi a inductivităŃilor. Metoda constă în următoarele:

a) se determină câmpul inducŃiei magnetice rB1 datorit numai circuitului excitator

(parcurs de curentul i1),

Page 111: Fizica II Curs

104

b) se calculează fluxul magnetic al circuitului indus (care poate coincide cu circuitul excitator, atunci când se determină o inductivitate proprie), ca integrala inducŃiei

rB1 pe

suprafaŃa sprijinită pe curba axă a circuitului indus, versorul normalei fiind asociat sensului de parcurgere după regula burghiului drept

c) împărŃind valoarea fluxului magnetic astfel calculat prin intensitatea curentului excitator i1 se obŃine inductivitatea corespunzătoare.

Metoda directă poate fi exemplificată prin calculul inductivităŃii proprii a unei înfăşurări cu N1 spire, bobinate uniform pe un tor omogen. Dacă lm este lungimea medie a unei linii de câmp în tor şi µ este permeabilitatea magnetică a materialului torului, inducŃia magnetică în tor, corespunzătoare unui curent excitator i1, va fi

B N i l1 1 1= µ m .

Dacă A este aria secŃiunii transversale a torului, rezultă fluxul magnetic fascicular

φ f 1 1 = B A1 ,

iar inductivitatea proprie este

L N i N A l11 1 1 12= =φ µf 1 1 m . (12.3-1)

Expresia obŃinută este valabilă în mediu omogen şi pentru bobina dreaptă (solenoid) foarte lungă; la bobine drepte scurte va interveni un factor de corecŃie subunitar, a cărui valoare depinde de raportul dintre lungimea şi dimensiunile transversale ale bobinei.

Un alt exemplu, în care câmpul magnetic se va determina mai exact, este cel al bobinei toroidale cu miez omogen, de permeabilitate µ, bobinat uniform cu N1 spire. Miezul are secŃiune dreptunghiulară, având grosimea b şi fiind cuprins între razele R1 şi R2 (fig. 12.3-1). Într-un punct al secŃiunii aflat la distanŃa r de axa torului inducŃia magnetică este

( )B N i r1 1 1 2= µ π .

Fig. 12.3-1. Bobină toroidală cu secŃiune dreptunghiulară.

Într-o secŃiune transversală S1 a torului fluxul magnetic fascicular este

φ µπ

µπf 1 1 S1

= = =∫ ∫r rB n1 1

1 1 1 1 2

12 21

2

d d ln .AN i

rb r

N i b R

RR

R

La calculul integralei s-a Ńinut seama că r rn B1 1 şi s-a ales ca element de suprafaŃă fâşia

de lăŃime dr şi lungime b (adică dA= b dr), pe care inducŃia magnetică are aceeaşi valoare. Inductivitatea proprie este

L NN b R

R11 1

12

2

12= =φ µ

πf 1 1 ln . (12.3-2)

Se remarcă faptul că în afara înfăşurării toroidale câmpul magnetic este nul. Dacă pe miezul toroidal de mai sus se află şi o a doua înfăşurare cu N2 spire (distribuită

oricum, întrucât aici miezul toroidal - excitat prin înfăsurare uniform distribuită - este tub de

Page 112: Fizica II Curs

105

flux magnetic), se poate calcula inductivitatea mutuală L2 1. La calculul acesteia se poate folosi fluxul magnetic fascicular φf 1 1 determinat anterior (eventual, până la semnul cu care intervine). Atunci inductivitatea mutuală este

L N iN N b R

R21 2 1

1 2 2

12= ± = ±φ µ

πf 1 1 ln . (12.3-3)

Semnul va fi (+) atunci când sensul de referinŃă al curentului i1 se înfăşoară pe tor în acelaşi sens ca sensul de parcurgere al înfăşurării secunde şi va fi (–) în caz contrar.

Calculul inductivităŃii bobinelor aşezate pe circuite magnetice consistă în determinarea directă a fluxurilor magnetice fasciculare datorite solenaŃiei excitatoare, prin rezolvarea circuitului magnetic, iar apoi cu aceste fluxuri magnetice se pot calcula inductivităŃile.

De exemplu, dacă o bobină cu N1 spire este aşezată pe un circuit magnetic şi Rme este reluctanŃa echivalentă a circuitului magnetic (în raport cu poziŃia bobinei excitatoare), se obŃine succesiv

φ f 1 1 me me º i = =N i R L N R1 1 11 12 .

Ca un alt exemplu se poate considera circuitul magnetic ramificat, cu două bobine, din figura 12.3-2. Se notează cu Rm1, Rm2 şi Rm3 reluctanŃele celor trei coloane. Cu sensurile de referinŃă şi cu sensurile de înfăşurare din figură, la excitarea bobinei 1 rezultă fluxurile magnetice fasciculare

φ φ φf 1 1me

f 3 1m2

m2 m3f 1 1 º i = =

+

N i

R

R

R R

1 1 ,

unde s-a notat

( ) ( )( )R R R Rme m1 m2 m3= + +1 1 1 .

Fluxurile magnetice totale corespunzătoare bobinelor 1 şi 2 sunt

φ φ φ φ11 1 3= = −N Nf 1 1 31 f 3 1 º i .

Fig. 12.3-2. Circuit magnetic cu trei coloane şi două bobine.

La semnul ultimului flux s-a Ńinut seama de faptul că sensul de înfăşurare al bobinei 3 este asociat sensului de referinŃă al fluxului fascicular φf 3 1 după regula burghiului stâng.

Rezultă expresiile inductivităŃilor

( )L

R R

R R R R RN11 1

2=+

+ +m2 m3

m1 m3 m2 m1 m3

, (12.3-4)

Page 113: Fizica II Curs

106

( )L

R

R R R R RN N31 1 3=

+ +m2

m1 m3 m2 m1 m3

. (12.3-5)

Se observă că ultima expresie este simetrică în raport cu indicii 1 şi 3, ceea ce confirmă relaŃia de reciprocitate L1 3 = L3 1 în cazul bobinelor dispuse pe circuite magnetice.

În cazul circuitelor filiforme situate în vid inductivitatea mutuală se poate calcula cu formula lui Neumann

Lr

121

1221

= ∫∫d d

,r rs s2

ΓΓ (12.3-6)

unde Γ1 şi Γ2 sunt curbele axă a două circuite filiforme, d dr rs s1 2 º i sunt elementele de arc pe

cele două curbe (în sensurile de referinŃă, respectiv de parcurgere) şi r12 este distanŃa între cele două elemente de arc (fig. 12.3-3).

În medii omogene inductivitatea mutuală se poate calcula cu aceeaşi formulă, în care permeabiltatea vidului µ0 se înlocuieşte cu permeabilitatea mediului µ. De fapt, în acest caz şi cele două circuite ar trebui să fie formate din conductoare filiforme de permeabilitate µ.

Fig. 12.3-3. NotaŃii pentru formula lui Neumann.

Formula lui Neumann poate fi stabilită plecând de la formula Biot-Savart-Laplace sau de la integrala ecuaŃiei vectoriale Poisson a potenŃialului magnetic vector în spaŃiul infinit. În adevăr, se observă că expresia care intervine în formula Biot-Savart-Laplace

dr rs R×

R 3

reprezintă rotorul expresiei drs R

( ) ( ) ( )( )rot d d d d .r r r

rr

s s sR

sR R RR

= ∇ × = ∇ × = − ×13

Dar câmpul magnetic derivă din potenŃialul vector rA

r rB A= rot .

Comparând cu expresia anterioară, rezultă că pentru un circuit filiform închis, având curba axă Γ, situat în vid şi parcurs de curentul i, potenŃialul vector are expresia

rr

As

= ∫µ

π0

4

i

R

d,

Γ (12.3-7)

elementul de arc drs fiind orientat în sensul de referinŃă al curentului i. Această expresie se

stabileşte şi direct, prin integrarea în spaŃiul infinit a ecuaŃiei vectoriale Poisson a potenŃialului magnetic vector, pentru un circuit filiform.

Considerând acum că circuitul 1 este cel care produce câmpul magnetic (Γ→Γ1, i → i1, r rA A 1→ ), fluxul magnetic mutual al circuitului 2 este

Page 114: Fizica II Curs

107

φ 21 1 2 1 2= =∫ ∫r r r rB n A nd rot d .A A

S S2 2Γ Γ

Aplicând teorema lui Stokes, rezultă succesiv

φµ

π2 1 1 2 1 20 1 2

122 214= = =∫ ∫ ∫∫rot d d

d dr r r rr r

A n A ss s

Ai

RS 2Γ Γ ΓΓ

şi se regăseşte formula (12.3-6). Formula lui Neumann evidenŃiază faptul că relaŃia de reciprocitate (12.1-5) este valabilă

şi pentru circuite situate în medii liniare, omogene şi izotrope. Formula lui Neumann poate fi extinsă şi la circuite nefiliforme, dacă se cunoaşte regula

de distribuŃie a curentului în secŃiunile conductoarelor nefiliforme. La repartiŃie uniformă (în curent continuu), pentru două circuite generate cu secŃiunile transversale S1, S2, având ariile A1, A2, rezultă relaŃia

~ d d .MA A

A M A121 2

1 12 2

1= ∫∫ SS 21

(12.3-8)

În integrala de mai sus inductivitatea M12 este funcŃie de poziŃiile punctelor curente în secŃiunile S1 şi S2, în care sunt considerate elementele de suprafaŃă cu ariile dA1 şi dA2.

O altă metodă de calcul a inductivităŃilor se bazează pe o egalitate energetică; metoda respectivă va fi exemplificată printr-o aplicaŃie, după definirea energiei magnetice.

12.4. INDUCTIVITATEA ECHIVALENTĂ

Se numeşte inductivitate echivalentă a unui sistem neramificat de circuite (bobine, conectate în serie, parcurse de acelaşi curent), inductivitatea calculată cu fluxul magnetic total al circuitului. Pentru exemplificarea conceptului, se consideră cazul a două bobine cu inductivităŃile proprii L1, L2 şi mutuală L12 (fig. 12.4-1a). Aceste bobine pot fi conectate în două moduri: astfel încât fluxurile lor magnetice să se adune (fig. 12.4-1b) sau să se scadă (fig. 12.4-1c).

In primul caz (al conexiunii adiŃionale), fluxul magnetic total al circuitului format va fi

φ+ = φ1 + φ2 = (L1 i + L12 i) + (L2 i + L12 i) = (L1 + L2 + 2 L12) i. (12.4-1)

Fig. 12.4-1. Inductivitatea echivalentă a două bobine cuplate magnetic adiŃional (b) sau diferenŃial (c).

întrucât i1 = i2 = i şi apoi

L L L L+ = + +1 2 122 . (12.4-2)

În cazul conexiunii diferenŃiale (fig. 12.4-1c), cu i2 = –i1 rezultă

φ– = φ1 – φ2 = (L1 i – L12 i) + (L2 i – L12 i) = (L1 + L2 – 2 L12) i. (12.4-3)

Page 115: Fizica II Curs

108

L L L L− = + −1 2 122 . (12.4-4)

Inductivitatea echivalentă proprie nu poate fi negativă, de unde rezultă o relaŃie de ordonare a inductivităŃilor proprii şi mutuale, general valabilă

L L L1 2 122+ > . (12.4-5)

12.5. INDUCTIVITATEA DE DISPERSIE

În cazul a două circuite (bobine) cuplate magnetic se poate defini un flux magnetic de

dispersie al circuitului 1 în raport cu circuitul 2, ca fluxul magnetic total al circuitului 1, atunci când fluxul total al circuitului 2 este nul. Punând aceste condiŃii în relaŃiile lui Maxwell pentru două circuite, se obŃin expresiile

φ φ1 11 1 12 2 2 12 1 22 20d = + = = +L i L i L i L i, .

Din a doua relaŃie se determină al doilea curent necesar, care se înlocuieşte în prima expresie şi rezultă

( )φ1 11 122

22 1d = −L L L i . (12.5-1)

Inductivitatea de dispersie a circuitului 1, în raport cu circuitul 2, este

L i L L L1 1 1 11 122

22d d= = −φ . (12.5-2)

Similar se poate defini şi inductivitatea de dispersie a circuitului 2 în raport cu circuitul 1

L i L L L2 2 2 22 122

11d d= = −φ . (12.5-3)

Aceste inductivităŃi se pot exprima şi sub altă formă, introducând notaŃia

kL

L L= 12

11 22

. (12.5-4)

Mărimea introdusă k se numeşte factor de cuplaj (magnetic). Cu ajutorul ei expresia inductivităŃii de dispersie devine

( ) ( )L L k L L k1 112

2 2221 1d d º i = − = − . (12.5-5)

Inductivitatea de dispersie trebuie să fie pozitivă. De aici rezultă o nouă relaŃie de ordonare a inductivităŃilor proprii şi mutuale

L L L12 11 22≥ . (12.5-6)

Factorul de cuplaj are valori cuprinse între -1 şi 1; el nu poate fi, în valoare absolută, mai mare ca 1. Circuitele care au un factor de cuplaj nul - nu sunt cuplate magnetic, iar cele care au factor de cuplaj egal cu 1 sau -1 - sunt cuplate "perfect". De fapt cuplajul "perfect" este o abstracŃiune, o limită spre care se poate tinde, fără a o atinge. Atunci când se tratează modele idealizate ale câmpului magnetic, se poate obŃine un cuplaj "perfect" sau o dispersie nulă, dar

Page 116: Fizica II Curs

109

acest rezultat nu reflectă o realitate, ci este o consecinŃă a ipotezelor simplificatoare ale modelului utilizat.

12.6. INDUCTIVITĂłILE LINIILOR AERIENE BIFILARE

Se consideră cazul idealizat, apropiat de situaŃia din practică, al unei linii aeriene bifiare, formate din două conductoare cilindrice paralele, de diametre d egale, de lungime foarte mare în comparaŃie cu distanŃa D dintre axele lor, parcurse în sensuri opuse de un curent i (fig. 2.6-).

Câmpul magnetic al acestei linii poate fi studiat cel mai uşor prin superpoziŃia câmpurilor produse de fiecare conductor.

Cum s-a arătat anterior, câmpul magnetic al unui conductor cilindric circular, rectiliniu, infinit, parcurs de curentul i, are următoarele expresii la distanŃa r de axa conductorului

Bi r

dr d

Bi

rr d

i

e

pentru

pentru

= ≤

= >

22

22

2

0

µ

πµ

π

, ,

, ,

(12.6-1a)

(12.6-1b)

dacă µ este permeabilitatea materialului conductorului (de regulă conductorul este nemagnetic şi atunci µ = µ0).

Fig. 12.6-1. NotaŃii pentru calculul câmpului magnetic al liniei aeriene bifilare.

Se va calcula fluxul magnetic corespunzător unui contur închis Γ, format din liniile axelor celor două conductoare pe o porŃiune de lungime axială l şi din două segmente de dreaptă transversale, perpendiculare pe liniile axă (fig. 12.6-1).

Fluxul magnetic datorit numai curentului conductorului din stânga, este

φµ µ

π

µ

π

µ

π

µ1

2

0

2

2

0 0 02

8 2

2

2

2=

+ = + = +

∫ ∫

r

dB l r B l r

l i l i D

d

l i D

d

d

d

D

i er r

4d d ln ln . (12.6-2)

În prima integrală s-a introdus un factor care ia în consideraŃie faptul că fluxul magnetic elementar Bi l dr îmbrăŃişează numai o parte (2r/d)2 din curentul total al conductorului. Justificarea riguroasă a acestei corecŃii rezultă din considerente energetice, aşa cum se va arăta după introducerea conceptului de energie magnetică.

În ultima formă a expresiei fluxului, cu µr s-a notat permeabilitatea relativă a materialului conductorului.

Câmpul magnetic corespunzător celui de al doilea conductor dă prin conturul considerat Γ un flux magnetic egal cu cel al primului, astfel încât inductivitatea liniei aeriene bifilare devine

Page 117: Fizica II Curs

110

Li

l D

d= = +

2 21 0φ µ

π

µ r

4ln . (12.6-5)

Se numeşte inductivitate lineică, inductivitatea unităŃii de lungime a liniei

LL

l

D

dl

r

4= = +

µ

π

µ0 2ln . (12.6-6)

Pentru calcule practice, formula de mai sus se prezintă, de regulă, sub altă formă, care se obŃine explicitând pe µ0 şi utilizând inductivitatea lineică raportată la lungimea de un kilometru

[ ]LD

dl r H / km= +

−µ 42

10 4ln . . (12.6-7)

De exemplu, pentru o linie cu conductoare nemagnetice (µr = 1), având diametrul de 5 mm, aflate la distanŃa de 40 cm unul de celălalt, se obŃine inductivitatea lineică

( )( )Ll mH / km.= + × =−1 4 2 400 5 10 2 134ln . ,

În practică apare uneori necesitatea cunoaşterii inductivităŃii mutuale dintre două linii

aeriene bifilare paralele 1-1' şi 2-2'. Pentru specificarea notaŃiilor, în figura 12.6-2 s-au reprezentat numai urmele acestor conductoare pe un plan perpendicular, urme în care au fost marcate sensurile convenŃionale. Si în acest caz este avantajos să se calculeze prin superpoziŃie câmpul magnetic şi fluxurile magnetice.

Fig. 12.6-2. NotaŃii pentru calculul inductivităŃii mutuale dinte linii aeriene bifilare.

Fluxul magnetic mutual al liniei 1-1' prin circuitul liniei 2-2' (pe o lungime axială l) va fi egal cu suma fluxurilor magnetice mutuale produse de câte un conductor 1 sau 1'.

Câmpul magnetic se poate calcula cu relaŃiile (12.6-1). Fluxul magnetic mutual datorit conductorului 1, parcurs de curentul i, prin circuitul de

lungime axială l al conductoarelor 2-2', este

φµ

π10 12

1212

12

2= =∫ B l r

l i r

rr

r

e d ln .' ' (12.6-8)

În mod similar rezultă pentru conductorul 1', parcurs în sens invers de curentul i

φµ

π10 1 2

1 21 2

12

2''

' '

d ln .'

' '

= − =∫ B l rl i r

rr

r

e (12.6-9)

Inductivitatea mutuală a celor două linii este

Li

l r r

r r12

1 1 0 12 1 2

12 1 22=

+=

φ φ µ

π' ' '

' '

ln . (12.6-10)

Page 118: Fizica II Curs

111

Inductivitatea mutuală lineică, raportată la lungimea de un kilometru, se calculează cu formula practică

[ ]Lr r

r r12

4 12 1 2

12 1 2

2 10= −. ln ' '

' '

H / km (12.6-11)

De exemplu, în cazul a două linii bifilare, cu distanŃa între conductoare de 0,4 m, aşezate una deasupra celeilalte, la o distanŃă de 0,4 m, cu r12' = r1'2 = 0,4 √2 şi r12 = r1'2' = 0,4 se obŃine inductivitatea mutuală lineică de 0,1386 mH/km.

12.7. INDUCTIVITĂłILE BARELOR ÎN CRESTĂTURA DREPTUNGHIULARĂ

Înfăşurările maşinilor electrice sunt aşezate în crestături, delimitate de dinŃi. Datorită curenŃilor înfăşurărilor, între pereŃii crestăturilor apare un câmp magnetic, ale cărui linii se închid transversal. Acest câmp este de dispersie şi pentru a-i evalua efectele este necesară cunoaşterea fluxului magnetic fascicular care îi corespunde şi a inductivităŃii de dispersie rezultată. Se vor examina numai cazurile cele mai simple.

Se consideră o bară dreptunghiulară, cu dimensiunile b, h1, aşezată într-o crestătură dreptunghiulară cu dimensiunile bc, hc ca în figura 12.7-1a. Deasupra barei poate rămâne un spaŃiu cu înălŃimea h01 până la suprafaŃa dinŃilor. Bara poate reprezenta o latură de bobină, cu N1 conductoare elementare. Pentru simplificare se va considera că densitatea de curent este constantă pe secŃiunea barei J = N1 I/(b.h1), unde I este curentul unui conductor elementar al barei. DinŃii se consideră nesaturaŃi, deci având o permeabilitate practic infinită µFe → ∞. Facând abstracŃie de efectele de la marginile dinŃilor, în crestătură liniile de câmp magnetic se pot considera perpendiculare pe pereŃii dinŃilor, deci pur transversale şi de lungime bc. Fie H(x), respectiv B(x) = µ0 H(x) intensitatea şi înducŃia câmpului magnetic la distanŃa x de baza barei.

Se consideră o cale închisă Γx, care trece tranversal prin crestătură, la distanŃa x de baza barei şi se închide prin dinŃii vecini, sub baza crestăturii (fig. 12.7-1a). Se va scrie teorema lui Ampère pe acestă curbă.

łinând seama că în dinŃi intensitatea câmpului magnetic este neglijabilă, tensiunea magnetomotoare este

( ) ( )U H x b x hmm x c cΓ = ∈, ,0 (12.7-1)

şi Ńinând seama că densitate de curent în bară este constantă, solenaŃia corespunzătoare este

( ) ( )Θ x

N I x h x h

N I x h=

>

1 1 1

1 1

0, ,

.

Notând

B N I b0 0 1= µ c ,

inducŃia magnetică în crestătură se exprimă sub forma

( ) ( )( )

B xB x h x h

B x h h h=

∈ +

0 1 1

0 1 1 01

0, , ,

, , . (12.7-3)

Page 119: Fizica II Curs

112

În figura 12.7-1b s-a reprezentat B(x). Fluxul magnetic fascicular de dispersie, pe o lungime axială l, care se închide spre un dinte vecin, se obŃine integrând inducŃia magnetică cu elementul de arie dA = l dx

( ) ( )( ) ( )

φ f xB l x h x h

B l x h x h h h=

− ∈ +

0

12

21 1

012 1 1 1 01

0, , ,

, , .

Fig. 12.7-1. Bare parcurse de curent în crestătura dreptunghiulară (a), câmpul magnetic al barei de jos (b), fluxul mutual al barei de sus (c).

Fluxul magnetic total de dispersie, propriu al barei, se obŃine însumând expresia n1(x) dφ(x) pe înălŃimea crestăturii, în care n1(x) este numărul de spire înconjurat de fluxul magnetic fascicular elementar dφ(x). Pentru fluxul total propriu acest număr este proporŃional cu aria b*x (cu densitate de curent nenulă), adică

( ) ( )n x x I1 = Θ / , (12.7-4)

(v. fig. 12.7-1b) şi după integrare se obŃine fluxul transversal

( )φ f1 = +B l N h h0 1 1 013 .

ÎmpărŃind fluxul transversal total cu curentul I se obŃine inductivitatea de dispersie

( )L l N h h bσ µ λ λ1 0 12

1 1 013= = +, . unde 1 c (12.7-5)

Mărimea λ1 se numeşte permeanŃă specifică de dispersie în crestătură. Dacă în crestătură se află o a doua bară, de înălŃime h2 şi la distanŃa h02 de suprafaŃa

dinŃilor (bineînŃeles h01 > h2+h02, partea superioară a fig. 12.7-1a), cu N2 conductoare elementare, atunci se poate defini un flux mutual de scăpări φf12. Numărul de spire al celui de al doilea conductor n2(x) variază liniar pe înălŃimea barei, iar câmpul este constant (ca în fig. 12.7-1c), deci

( )φ f12 = +B l N h h0 212 2 02

şi se obŃine inductivitatea mutuală de dispersie

( )L l N N h h bσ µ λ λ12 0 1 2 1212 2 02= = +, , unde 12 c (12.7-6)

iar λ12 se numeşte permeanŃă specifică mutuală în crestătură.

Page 120: Fizica II Curs

13. ENERGIA MAGNETICĂ ŞI FORłELE GENERALIZATE ÎN CÂMPUL MAGNETIC

13.1. ENERGIA MAGNETICĂ A UNUI SISTEM DE CIRCUITE ELECTRICE

Se consideră un sistem de n circuite electrice filiforme, alimentate la borne cu tensiunile u1, u2, ..., un şi parcurse de curenŃii de conducŃie i1, i2, ..., in fig. 13.1-1). Sensurile de referinŃă ale tensiunilor şi ale curenŃilor sunt asociate după regula de la receptoare. Circuitul de ordin k are fluxul magnetic total φk calculat în sensul de parcurgere ce coincide cu sensul de referinŃă al curentului ik

Fig. 13.1-1. Circuite în procesul de stabilire a câmpului magnetic.

Fie Γk un contur de-a lungul conductorului circuitului de ordin k, închis prin linia tensiunii la borne pe care a fost definită tensiunea la borne uk Se aplică acestui contur legea inducŃiei electromagnetice, parcurgând conturul în sensul de referinŃă al curentului ik Se obŃine relaŃia

e u utk

kk k

k

Γ Γ= = − = −∫

r rE sd

d

d,f

φ (13.1-1)

în care ufk este tensiunea electrică în lungul firului circuitului de ordin k. Tensiunea în lungul firului poate fi determinată aplicând firului legea conducŃiei electrice

e u R ik k k ki f+ = , (13.1-2)

unde Rk este rezistenŃa firului circuitului de ordin k. Întrucât t.e.m. imprimată a firului eik se consideră nulă, rezultă tensiunea ufk şi după înlocuirea în (13.1-1) se obŃine ecuaŃia de funcŃionare în regim variabil a circuitului de ordin k

u R it

k nk k k

k= + =d

d, , , , .

φ1 2 K (13.1-3)

Energia primită pe la borne de sistemul de n circuite în intervalul de timp dt este

d d .W u i tk k

k

n

ext ==∑

1

(13.1-4)

Conform principiului conservării energiei, energia primită de sistem trebuie să fie egală cu suma dintre energia transformată în căldură δQ, lucrul mecanic elementar efectuat δL şi creşterea energiei interne a sistemului dWm - aici energie magnetică

d d .W Q L Wext m= + +δ δ (13.1-5)

Conform legii Joule, energia transformată în căldură este

Page 121: Fizica II Curs

114

δQ R i tk k

k

n

==∑ 2

1

d . (13.1-6)

Multiplicând ecuaŃia de funcŃionare (13.1-3) cu ik dt şi sumând în raport cu indicele k, se obŃine relaŃia

u i t R i t ik k

k

n

k k

k

n

k k

k

n

d d d .= = =∑ ∑ ∑= +

1

2

1 1

φ (13.1-7)

Comparând-o cu relaŃia de bilanŃ (13.1-5), se obŃine

δ φL W ik k

k

n

+ ==∑d d .m

1

(13.1-8)

Această relaŃie va permite determinarea energiei magnetice şi a forŃelor magnetice. Se consideră o transformare în care nu se efectuează lucru mecanic (corpuri imobile,

δL = 0). De asemenea, se consideră nulă energia magnetică (macroscopică) în starea de referinŃă cu fluxuri magnetice nule. Atunci rezultă

d d ,

* d * .

W i

W i

k k

k

n

k k

k

nk

m

m

=

=

=

=

∫∑

φ

φφ

1

01

(13.1-9)

(13.1-10)

În ultima expresie, cu ik k* , *φ s-au notat valorile curentului şi a fluxului magnetic într-o

stare intermediară, iar cu ik, φk - curentul şi fluxul magnetic în starea finală căreia îi corespunde energia magnetică Wm. Pentru a putea calcula ultima integrală trebuie cunoscută relaŃia dintre fluxuri şi curenŃi. In cazul regimului cvasistaŃionar al circuitelor electrice

liniare fluxurile magnetice sunt proporŃionale cu curenŃii

φ k k j j

k

n

L i k n= ==∑

1

1 2, , , , .K (13.1-11)

Energia fiind o mărime de stare, care nu depinde de modul particular în care s-a atins starea respectivă, pentru calculul integralei (13.1-10) se consideră un mod particular de atingere a stării finale, în care toŃi curenŃii (şi, corespunzător, fluxurile) din stările intermediare sunt proporŃionali cu curenŃii finali şi se notează cu λ factorul subunitar de stare intermediară (care indică raportul unui curent din starea intermediară la cel din starea finală, pentru care se calculează energia magnetică Wm). Atunci într-o stare intermediară

i ij j k k* * ,= =λ φ λφ º i

unde cu ij, φk s-au notat curentul şi fluxul stării finale. Astfel, expresia diferenŃialei energiei devine

( )d * d * d d ,W i i ik k

k

n

k k

k

n

k k

k

n

m = = =

= = =∑ ∑ ∑φ λ φ λ λ λ φ

1 1 1

iar expresia energiei se obŃine integrând între limitele 0 şi 1 în raport cu parametrul λ. Rezultă

Page 122: Fizica II Curs

115

W i ik k

k

n

k k

k

n

m ==

=

= =∑ ∫ ∑φ λ λ φ

10

112

1

d . (13.1-12)

În particular, pentru o bobină (n = 1, φ = L i)

W i L i im = = =12

12

2 12

2φ φ . (13.1-13)

Pentru două bobine cuplate magnetic, rezultă

W L i L i L i im = + +12 11 1

2 12 22 2

212 1 2 . (13.1-14)

Primul termen este energia magnetică proprie a bobinei 1, al doilea termen - energia proprie a bobinei 2, iar ultimul termen se numeşte energia magnetică de interacŃiune a

bobinelor. In general, pentru un circuit oarecare de curent i, situat într-un câmp magnetic exterior, energia de interacŃiune este

W iint ext= φ . (13.1-15)

ObservaŃie. Bobinele cu miez feromagnetic pot avea o caracteristică magnetică neliniară φ(i), ca în figura 13.1-2. In acest caz, pentru starea reprezentată prin punctul m, energia magnetică a bobinei este egală cu aria triunghiului curbiliniu Oma. RelaŃia (13.1-13) este valabilă numai la caracteristică magnetică liniară.

Prin simetrie, se introduce şi coenergia magnetică W'm, reprezentată în figura 13.1-2 prin aria triunghiului curbiliniu Omb. În general

d ' d ' d .W i W ik k

k

n

k k

i

k

nk

m m º i = == =∑ ∫∑φ φ

10

1

(13.1-16)

Fig. 13.1-2. Energia şi coenergia magnetică în cazul caracteristicilor neliniare.

Între energie şi coenergie există relaŃia

W W ik k

k

n

m m+ ==∑' .φ

1

(13.1-17)

În medii liniare, coenergia este egală cu energia. Notă. NoŃiunea de coenergie este controversată. Această mărime este utilă şi distinctă de

energie numai în cazul bobinei neliniare. Utilitatea sa se va observa la a doua teoremă a forŃelor generalizate în câmpul magnetic. Conceptul de coenergie mai este folosit în analiza circuitelor inductive neliniare (cum ar fi maşinile electrice).

Page 123: Fizica II Curs

116

13.2. DENSITATEA DE VOLUM A ENERGIEI CÂMPULUI MAGNETIC

Energia magnetică este localizată în tot domeniul de câmp, cu o densitate de volum wm.

Expresia acestei densităŃi se poate determina uşor în cazul unui domeniu de câmp finit, în care mărmile de stare ale câmpului (

r rB H º i ) sunt constante: cazul unui solenoid foarte lung,

înfăşurat uniform, situat într-un domeniu omogen. Dacă A este aria secŃiunii transversale a solenoidului, N - numărul de spire şi l lungimea, rezultă succesiv

d d d d d ,W i iNA BN i

llA B VH Bm = = = =φ (13.2-1)

în care V = l A este volumul solenoidului. Rezultă că diferenŃiala densităŃii de volum a energiei magnetice are expresia

d d d ,wV

W H Bm m= =1

(13.2-2)

iar densitatea de volum a energiei magnetice va fi

w H Bm

B

= ∫ d .0

(13.2-3)

În planul curbei de magnetizare B(H) a materialului magnetic (fig. 13.2-1), densitatea de volum a energiei magnetice reprezintă aria triunghiului curbiliniu Oma.

Notă. In medii anizotrope, în care r rB H º i pot fi vectori neomoparaleli, în expresiile de

mai sus produsul H dB se înlocuieşte cu produsul scalar r rH Bd .

În medii liniare B = µ H şi rezultă

w BH B Hm = = =12

12

2 12

2µ µ . (13.2-4)

Fig. 13.2-1. Densitatea de volum a energiei şi a coenergiei magnetice.

Energia magnetică localizată într-un volum VΣ se poate calcula prin integrala de volum a densităŃii de volum a energiei

W w vV

m m= ∫ d .Σ

(13.2-5)

ObservaŃie. Se poate introduce şi conceptul de densitate de volum a coenergiei magnetice, care conduce la următoarea relaŃie de definiŃie

w B HH

' d .m = ∫0 (13.2-6)

În planul curbei de magnetizare (fig. 13.2-1), densitatea de volum a coenergiei magnetice este reprezentată de aria triunghiului curbiliniu Omb.

Page 124: Fizica II Curs

117

Coenergia magnetică se poate calcula prin integrala de volum a densităŃii de volum a coenergiei

W w vV

' ' d .m m= ∫Σ

(13.2-7)

AplicaŃie. Calculul energiei câmpului magnetic din interiorul unui conductor de forma unui cilindru circular drept, de lungime foarte mare şi de rază a << l, străbătut de un curent continuu cu intensitatea i. La distanŃa r ≤ a de axa conductorului (fig. 13.2-2), intensitatea câmpului magnetic este

Hi r

a=

2 2π.

Fig. 13.2-2. NotaŃii pentru calculu; energiei câmpului magnetic din interiorul conductorului cilindric.

Considerând un volum elementar în formă de coajă cilindrică, de rază r, grosime dr şi lungime l (pe care densitatea de volum a energiei magnetice are aceeaşi valoare), rezultă

d d dd

.W w v H r l ri l r r

ami mi= = =1

22

2 3

42

4µ π

µ

π

Energia magnetică "interioară" este

W Wi l

r

r a

mi m= ==

=

∫ d .µ

π

2

0 16 (13.2-8)

Din această valoare se poate determina inductivitatea "interioară" Li a unui conductor, identificând expresiile energiilor magnetice

W L imi i= 12

2 .

După calcule elementare se obŃine expresia

Ll

i =µ

π8, (13.2-9)

valoare care a fost obŃinută şi direct, la calculul inductivităŃii liniei aeriene bifilare. Notă. Este interesant să se compare densitatea de volum a energiei electrice cu cea a

energiei magnetice, pentru valori practice ale mărimilor de stare. Valorile reciproce acestor densităŃi de energie dau o măsură a volumelor implicate în procesele de conversie şi de transformare a energiei electromagnetice cu ajutorul dispozitivelor electrice sau magnetice.

Considerând un câmp electric în aer, cu o intensitate a câmpului de 10 kV/cm, rezultă

w Ee3 J / m= =1

2 02 4 42ε , .

Pentru un câmp magnetic în aer, având inducŃia de 1 T, rezultă

w Bm3 J / m= =1

22

0 400 000µ . .

Page 125: Fizica II Curs

118

Deci, densitatea de volum a energiei magnetice poate fi de aproximativ 90.000 ori mai mare decât cea a energiei electrice, ceea ce arată avantajul dispozitivelor magnetice faŃă de cele electrice.

13.3. DENSITATEA DE VOLUM A ENERGIEI MAGNETICE CA FUNCłIE DE r rJ A º i

Înlocuind în expresia (13.2-3) d rot dr rB A= şi Ńinând seama că

( ) ( ) ( )r r r r r r r r r r r rH A A H A H A H A H J Arot d div d d rot div d div d d ,= × + = × = × +

se obŃine

( )[ ] ( )W v A vAD A AD

m = × + = × +∫∫ ∫∫ ∫∫d div d d d d d d .r r r r r r r r rA H J A n A H J A

Σ ΣΣ (13.3-1)

Dacă suprafaŃa Σ se intinde până la infinit sau dacă pe suprafaŃa Σ este nulă componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului magnetic, atunci integrala de suprafaŃă se anulează şi densitatea de volum a energiei magnetice se exprimă prin integrala

wA

m = ∫r rJ Ad . (13.3-2)

În medii liniare, potenŃialele vector sunt proporŃionale cu densitatea de curent şi se obŃine

wm = 12

r rJA. (13.3-3)

13.4 FORłELE GENERALIZATE ÎN CÂMPUL MAGNETIC

Cunoscând expresia energiei magnetice se pot calcula acŃiunile ponderomotoare (forŃele, cuplurile) de natură magnetică care se exercită asupra circuitelor sau a corpurilor în câmpul magnetic. In timp ce forŃele de natură electrică (sau electrostatică) au valori relativ mici, forŃele magnetice pot atinge valori importante, ceea ce conduce la numeroase aplicaŃii tehnice: motoare electrice, electromagneŃi, relee şi chiar procedee tehnologice de prelucrare sau deformare. ForŃele magnetice se calculează, deobicei, cu ajutorul teoremelor forŃelor generalizate în câmpul magnetic.

Lucrul mecanic elementar (sau virtual) δL = X dx, care se efectuează la o deplasare elementară dx a unui corp în câmpul magnetic, sub acŃiunea forŃei magnetice generalizate X, se poate calcula din relaŃia (13.1-8) pusă sub forma

d d d .W i X xk k

k

n

m = −=∑ φ

1

(13.4-1)

Această relaŃie poate fi interpretată ca dezvoltarea diferenŃialei totale a energiei magnetice, exprimată ca funcŃie de mărimile de stare magnetică (fluxuri magnetice şi curenŃi) şi de coordonata generalizată x. Pentru a simplifica relaŃia, se pot considera două ipoteze.

In prima ipoteză, se consideră că deplasarea elementară se efectuează menŃinând constante fluxurile magnetice, caz în care suma din expresie este nulă (dφk = 0 pentru orice k) şi atunci

( )d d .W const X xk

m φ = = − (13.4-2)

Page 126: Fizica II Curs

119

Exprimând energia magnetică ca funcŃie numai de coordonata generalizată x şi de fluxurile magnetice

( )W W x nm m= , , , ,φ φ φ1 2 K (13.4-3)

diferenŃiala energiei magnetice devine

d d d d d .WW

xx

W W Winm

m m

1

m

2

m

n

= + + + +∂

∂φφ

∂φφ

∂φ1 2 K

La fluxuri magnetice constante rămâne numai primul termen. Astfel se deduce prima

teoremă a forŃelor generalizate în câmpul magnetic, exprimată prin relaŃia

XW

x const= −

=

∂ φ

m . (13.4-4)

ForŃa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parŃială a energiei magnetice (exprimată ca funcŃie de fluxuri şi de coordonata generalizată) în raport cu coordonata generalizată, luată cu semn schimbat. In membrul drept al relaŃiei (13.4-4) s-a prevăzut indicele φ=const, pentru a atrage atenŃia asupra faptului că expresia energiei magnetice ce se derivează parŃial este funcŃie numai de fluxuri şi de coordonata x.

In cazul unei transformări efectuate la flux magnetic constant nu are loc fenomenul de inducŃie electromagnetică şi atunci nu are loc nici schimb de energie între câmp şi surse exterioare; în consecinŃă lucrul mecanic al forŃelor magnetice se efectuează în contul energiei magnetice a sistemului, aşa cum arată relaŃia (13.4-2). Dacă lucrul mecanic este pozitiv, atunci scade energia sistemului (energia magnetică), iar dacă este negativ - creşte.

In a doua ipoteză, se consideră o transformare în care se menŃin constanŃi curenŃii circuitelor. Se observă că atunci când sunt constanŃi curenŃii se simplifică expresia diferenŃialei coenergiei magnetice. De aceea, se exprimă întâi relaŃia (13.1-8) cu ajutorul coenergiei, Ńinând seama de relaŃia (13.1-17). Rezultă

d ' d d .W i X xk k

k

n

m = +=∑ φ

1

(13.4-5)

Pentru transformarea la curenŃi constanŃi, relaŃia se simplifică (suma devine nulă, dik = 0 pentru orice k)

( )d d .W i const X xk

m = = (13.4-6)

Exprimând coenergia magnetică ca funcŃie numai de coordonata generalizată x şi de curenŃi

( )W W x i i in' ' , , , , ,m m= 1 2 K (13.4-7)

diferenŃiala coenergiei magnetice devine

d ''

d'

d'

d'

d .WW

xx

W

ii

W

ii

W

iinm

m m

1

m

2

m

n

= + + + +∂

∂1 2 K

La curenŃi constanŃi rămâne numai primul termen. Astfel se deduce a doua teoremă a

forŃelor generalizate în câmpul magnetic, exprimată prin relaŃia

Page 127: Fizica II Curs

120

XW

x i const=

=

'.m (13.4-8)

ForŃa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parŃială a coenergiei magnetice (exprimată ca funcŃie de curenŃi şi de coordonata generalizată) în raport cu coordonata generalizată. In membrul drept al relaŃiei (13.4-8) s-a prevăzut indicele i=const, pentru a atrage atenŃia asupra faptului că expresia coenergiei magnetice ce se derivează parŃial este funcŃie numai de curenŃi şi de coordonata x.

Ambele relaŃii (13.4-4) şi (13.4-8) permit calculul aceleiaşi forŃe X, a cărei valoare nu depinde de modul cum a fost calculată (dacă este calculată corect !).

Adesea relaŃia (13.4-8) este exprimată cu ajutorul energiei magnetice Wm, în locul coenergiei W’m; în această formă este valabilă numai în cazul mediilor liniare, pentru care coenergia este egală cu energia W’m = Wm.

In cazul unei transformări efectuate la curenŃi constanŃi are loc fenomenul de inducŃie electromagnetică şi atunci are loc un schimb de energie între câmp şi sursele exterioare. RelaŃia (13.4-6) arată că variaŃia coenergiei este egală cu lucrul mecanic efectuat; în acelaşi sens variază şi energia sistemului. Dacă lucrul mecanic este pozitiv, atunci creşte energia sistemului (energia magnetică), iar dacă este negativ - scade. Pentru sistemele liniare variaŃia energiei magnetice este egală cu lucrul mecanic efectuat, deci cu sursele se schimbă o energie egală cu dublul lucrului mecanic efectuat.

ObservaŃie. ForŃele magnetice exercitate între conductoare parcurse de curent se numesc forŃe electrodinamice, iar cele exercitate între conductoare parcurse de curenŃi şi piesele feromagnetice se numesc forŃe electromagnetice.

AplicaŃia 1. ForŃa portantă a unui electromagnet. Se consideră electromagnetul din figura 13.4-1 şi se urmăreşte calculul forŃei

electromagnetice P exercitate asupra armăturii inferioare. Coordonata generalizată asociată este lărgimea întrefierului, cu semn schimbat (- δ).

Energia magnetică a electromagnetului este egală cu suma energiilor magnetice din porŃiunea feromagnetică WmFe şi din întrefier Wmδ

W W Wm mFe m= + δ .

Fig. 13.4-1. NotaŃii pentru calculul forŃei portante a electromagnetului.

În cursul unei deplasări a armăturii la flux magnetic constant, se va modifica numai energia magnetică din întrefier, adică

( )P

W

const

W

const= −

=

=

=

∂ δ φ

∂δ φ

δm m .

Energia magnetică din întrefier se exprimă ca funcŃie de flux, respectiv de inducŃie magnetică, sub forma

Page 128: Fizica II Curs

121

WB

Amδδ

µδ=

2

022 ,

unde cu Bδ s-a notat inducŃia magnetică în întrefier, iar cu A s-a notat aria unui pol spre întrefier. Efectuând calculele, rezultă expresia forŃei portante

P B A=1

22

0

2

µ δ . (13.4-9)

ForŃa este de atracŃie, adică tinde să micşoreze lărgimea întrefierului. Tensiunea de atracŃie a armăturilor este

pP

AB= =

2

1

2 0

2

µ δ . (13.4-10)

Notă. Tensiunea de atracŃie p, cu expresia de mai sus, este cunoscută şi sub denumirea de tensiune maxwelliană, care se exercită normal pe suprafaŃa din spre vid a corpurilor feromagnetice ideale.

La o inducŃie în întrefier de 1 T rezultă o tensiune de atracŃie de aproximativ 40 N/cm2. Astfel se stabileşte formula practică

[ ]P AB≈ ∑40 2δ N , (13.4-11)

în care inducŃiile magnetice sub poli se exprimă în tesla [T], ariile corespunzătoare - în centimetri pătraŃi [cm2], iar sumarea se extinde asupra tuturor întrefierurilor (de partea armăturii mobile).

AplicaŃia_2. ForŃa de respingere dintre conductoarele unei linii bifilare, parcurse de curentul i.

ForŃa se poate calcula fie cu formula lui Ampère, fie cu teorema forŃelor generalizate în câmp magnetic. Pentru aplicarea ultimei metode, se exprimă întâi energia magnetică (egală cu coenergia, întrucât sistemul este liniar) cu ajutorul inductivităŃii liniei bifilare

W Lil i D

dm

r

4= = +

1

22 0

2

4

π

µln . (13.4-12)

Alegând drept coordonată generalizată distanŃa D între conductoare, cu a doua teoremă a forŃelor generalizate rezultă forŃa de respingere

FW

D i consti

L

D

i l

D=

=

= − = −∂

∂∂∂

µ

πm 1

22 0

2

2. (13.4-13)

Exprimând curentul i în kiloamperi [kA] şi distanŃa D în metri [m], se obŃine formula practică pentru forŃa pe unitatea de lungime (de 1 m)

[ ]Fi

Dl = 0 2

2

, .N / m (13.4-14)

Page 129: Fizica II Curs

14. METODE DE CALCUL AL CAMPULUI MAGNETIC STATIONAR

14.1 FORMULAREA PROBLEMELOR DE CÂMP MAGNETIC STAłIONAR

EcuaŃiile câmpului magnetic staŃionar rezultă din teorema lui Ampère, legea fluxului magnetic şi relaŃia constitutivă

rot , div , .r r r r rH J B B H= = =0 µ (14.1-1)

În regim staŃionar, rJ şi µ sunt funcŃiuni de punct date. DistribuŃia de curenŃi

rJ este de

aducŃie (este dată). Există cel puŃin două formulări uzuale ale ecuaŃiilor câmpului magnetic a) Pentru a satisface legea fluxului magnetic se introduce potenŃialul magnetic vector,

prin relaŃia r rB A= rot (14.1-2)

şi atunci se obŃine ecuaŃia

( )rot rot ,νr rA J= (14.1-3)

unde ν = 1/µ. Însă pentru ca potenŃialul vector rA să fie complet determinat mai trebuie

precizată divergenŃa sa, pentru care, în regim staŃionar se alege condiŃia de etalonare Coulomb

div .rA = 0 (14.1-4)

Cu aceasta, dacă mediul este omogen (ν nu depinde de punct) se obŃine ecuaŃia vectorială a lui Poisson

∆r rA J= −µ . (14.1-5)

b) Se introduce un potenŃial magnetic scalar Vm, cu relaŃia r rH T= − grad ,Vm (14.1-6)

în care rT este un câmp de vectori auxiliar ales astfel încât

rot .r rT J= (14.1-7)

Acest câmp de vectori poate fi calculat în toate punctele domeniului de câmp, de exemplu, cu formula Biot-Savart-Laplace. Întrucât

( )div div ,r rB H= =µ 0 (14.1-8)

se obŃine ecuaŃia scalară generalizată a lui Poisson

( ) ( )div grad div .µ µVm =rT (14.1-9)

În medii liniare omogene (µ nu depinde de punct) se obŃine ecuaŃia scalară a lui Poisson

∆Vm = div .rT (14.1-10)

În ambele forme sursele câmpului rezultă din câmpul de vectori auxiliar rT .

Notă. In literatura anglo-saxonă potenŃialul scalar este notat cu simbolul Ω (în loc de Vm) şi această a doua formulare este cunoscută ca "formularea T-Ω".

Page 130: Fizica II Curs

123

Metodele de calcul al câmpului magnetic staŃionar sunt în mare măsură asemănătoare cu cele ale câmpului electrostatic. Ceea ce deosebeşte fundamental cele două clase de probleme este tipul de ecuaŃii Laplace-Poisson pe care le satisfac acestea: scalare pentru potenŃialul electrostatic V şi vectoriale pentru potenŃialul vector

rA , respectiv scalare pentru potenŃialul

scalar Vm în formularea rT −Vm .

Pentru a calcula câmpul magnetic staŃionar (r rB H º i ), într-un domeniu neomogen D

trebuie cunoscute următoarele: distribuŃia curenŃilor de aducŃie, configuraŃia geometrică a subdomeniilor omogene, proprietăŃile de material ale mediilor, curbele de magnetizare B(H) ale mediilor neliniare, funcŃia de punct µ(

rr ) a permeabilităŃii în medii liniare.

Metodele de rezolvare a câmpului magnetic staŃionar se clasifică în metode analitice, numerice, grafice, respectiv grafo-analitice şi analogice. Principalele metode analitice sunt metoda directă, integrarea ecuaŃiilor vectoriale Poisson-Laplace pentru potenŃialul magnetic vector

rA sau scalar Vm (prin separarea variabilelor sau prin aproximaŃii), metoda imaginilor

magnetice, metoda funcŃiilor de variabilă complexă, metoda transformărilor conforme şi metoda funcŃiilor Green. În cele ce urmează se vor prezenta numai unele metode care au particularităŃi faŃă de modul cum se aplică problemelor de câmp electrostatic.

14.2. METODA DIRECTĂ

Metoda constă în folosirea formulei Biot-Savart-Laplace în medii omogene, respectiv a teoremei lui Ampère în domenii cu simetrie, în care se cunoaşte forma liniilor de câmp magnetic şi regula de variaŃie a mărimilor de câmp cu o coordonată asociată. Tot ca metodă directă se poate raporta şi folosirea formulei lui Neumann la calculul inductivităŃilor proprii şi mutuale.

Cu aceste metode s-a determinat câmpul magnetic al câtorva reparŃiŃii de curent (conductor rectiliniu, filiform sau cilidric circular, spiră circulară, tor bobinat uniform). Prin integrarea pe secŃiunea unor conductoare masive sau a unor bobine se mai poate calcula:

- câmpul magnetic al unei bare cu secŃiune dreptunghiulară, - câmpul magnetic pe axa unei bobine plate, - câmpul magnetic pe axa unui solenoid, - câmpul magnetic pe axa unei bobine cilindrice cu secŃiune dreptunghiulară.

Aplicând formula Biot-Savart-Laplace la spire circulare se poate calcula câmpul magnetic în orice punct; dacă punctul nu este situat pe axă, atunci soluŃia se exprimă cu ajutorul integralelor eliptice complete. Cu aceleaşi funcŃii speciale se exprimă şi inductivităŃile proprii ale bobinelor circulare şi inductivităŃile mutuale între bobine coaxiale.

AplicaŃie: Bobina Helmholtz. Pentru a realiza un domeniu cu câmp magnetic uniform în vid se folosesc bobinele Helmholtz. Sistemul este format din două bobine circulare subŃiri (care se asimilează cu spire filiforme), cu raze egale R, dispuse coaxial la distanŃa 2L una de alta şi parcurse de acelaşi curent total I, în acelaşi sens (fig. 14.2-1).

\Fig. 14.2-1. Bobina Helmholtz.

Page 131: Fizica II Curs

124

Într-un punct situat pe axa comună, la distanŃa x de planul mediator, intensitatea câmpului magnetic (axial) este

( )( )( ) ( )( )

H xI

R

R

R L x

R

R L x

=

+ +

+

+ −

2

3

2 2 3

3

2 2 3. (14.2-1)

Se observă fără dificultate că la mijlocul distanŃei x = 0 câmpul magnetic trece printr-un extrem pentru orice distanŃă 2L între bobine

d d .H x x= =0 0 la (14.2-2)

Se poate alege o distanŃă 2L optimă, care asigură o zonă cu câmp uniform cât mai extinsă. In acest scop se pune condiŃia ca şi derivata a doua (d2

H/dx2) să se anuleze la mijlocul distanŃei

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )( )

( )( )

d

d,

d

d

.

H

x

IR L x

R L x

L x

R L x

H

x

IR

R L x R L x

IR L x

R L x

L x

R L x

=+

+ +

−−

+ −

=

+ +

+

+ −

+

++

+ +

+−

+ −

3

2

3

2

1 1

3

25

2

2 2 52 2 5

2

2

2

2 2 52 2 5

2 2

2 2 7

2

2 2 7

Pentru x = 0 se obŃine condiŃia de anulare

( )5 1 02 2 2L R L+ − = , (14.2-3)

adică R = 2 L. Notând H I R0

12= (câmpul obŃinut în centrul unei bobine singure), rezultă următoarele

valori

( ) ( ) ( )H H H L H H L H0 1 431 2 1 4251 1 3560 0 0= = =, , , , , .

Într-o zonă importantă câmpul este practic constant, extensia zonei depinzând de gradul de uniformitate cerut.

14.3. METODA INTEGRĂRII ECUAłIILOR POISSON ŞI LAPLACE PRIN SEPARAREA VARIABILELOR

Integrarea ecuaŃiilor vectoriale Poisson-Laplace ale potenŃialului vector se reduce, în principiu, la integrarea ecuaŃiilor componentelor scalare corespunzătoare. Principala dificultate la aceste ecuaŃii provine din faptul că numai în sistemul cartezian este posibilă

Page 132: Fizica II Curs

125

descompunerea în trei ecuaŃii scalare, cărora li se poate aplica metoda separării variabilelor. De exemplu, pentru ecuaŃia lui Laplace ∆

rA = 0 se obŃin ecuaŃiile

∆ ∆ ∆A A Ax y z= = =0 0 0, , , (14.3-1)

fiecare ecuaŃie urmând a fi integrată prin separarea variabilelor aşa cun s-a procedat pentru ecuaŃia potenŃialului scalar ∆V = 0. În cazurile particulare în care potenŃialul vector are numai o componentă şi depinde numai de anumite coordonate, este posibilă separarea variabilelor şi în alte sisteme de coordonate.

Numeroase probleme de câmp magnetic staŃionar se studiază într-un spaŃiu cu două dimensiuni (numit şi 2D), în aproximaŃia plan-paralelă (câmpul se repetă în plane paralele) sau plan-meridiană (câmpul se repetă în plane meridiane, care trec printr-o axă). În primul caz domeniul de câmp trebuie să aibă o formă rezultată prin translaŃie perpendiculară pe planul în care se va studia câmpul, iar în al doilea caz - prin rotaŃie în jurul axei polare; în ultimul caz se spune că domeniul are o simetrie axială sau de rotaŃie. In aceste situaŃii este avantajoasă folosirea potenŃialului vector, întrucât acesta are o singură componentă (perpendiculară pe plan), iar condiŃia de etalonare div

rA = 0 este satisfăcută implicit.

Sistemul de coordonate se alege astfel încât să fie adaptat condiŃiilor la limită (care, în metoda separării variabilelor trebuie puse pe suprafeŃe de coordonate). În cazul sistemului cartezian domeniul trebuie să fie încadrat într-un dreptunghi, iar funcŃiile proprii sunt funcŃiile trigonometrice (sinus şi cosinus) şi hiperbolice (sh şi ch). În cazul sistemului cilindric domeniul de câmp se încadrează în coroane circulare complete sau de sectoare circulare delimitate prin raze; funcŃiile proprii sunt Bessel-Neumann, deşi pot fi şi funcŃii de puteri asociate cu funcŃii trigonometrice.

AplicaŃie. Un exemplu tipic este cel al câmpului magnetic în maşina electrică rotativă cu întrefier constant, excitat de o pânză de curent cu repartiŃie sinusoidală.

Se consideră două armături feromagnetice cu permeabilităŃile µ1 şi µ2, cuprinse între razele r1i, r1e şi r2i, r2e, armătura 2 fiind exterioară. SpaŃiul cuprins între razele r1e şi r2i este întrefierul, de permeabilitate µ0, desemnat prin indicele 0. Câmpul va fi descris într-un plan z = const al unui reper cilindric r,ϕ,z, coaxial cu armăturile (fig. 14.3-1).

Fig. 14.3-1. Câmpul magnetic între armături cilindrice coaxiale.

Fie dată pe suprafaŃa exterioară a armăturii 1 o pânză de curent axială (de-a lungul axei Oz), repartizată sinusoidal, cu densitatea lineică

( ) ( )J J pS mϕ ϕ= sin , (14.3-2)

unde p este numărul de perioade unghiulare, sau numărul de perechi de "poli" al câmpului produs. Se mai dau condiŃiile la limită sub forma Br = 0 la razele r1i şi r2e.

Page 133: Fizica II Curs

126

Problema de câmp magnetic staŃionar formulată mai sus se poate rezolva fie utilizând potenŃialul magnetic vector

rA , fie direct mărimile de câmp,

r rB H sau .

PotenŃialul vector rA se exprimă cu ajutorul unei singure componente scalare

( )r rA k= A r ,ϕ , care satisface ecuaŃia lui Laplace în două dimensiuni, în coordonate polare

( )∆ r A r, , ,ϕ ϕ = 0 (14.3-3)

sau explicit

( )1 10

2

2

2r

r A r

r r

A∂ ∂ ∂

∂∂

∂ϕ+ = . (14.3-4)

Componentele inducŃiei magnetice sunt date de expresiile

Br

AB

A

rr = = −

1 ∂∂ϕ

∂∂ϕ, . (14.3-5)

Prin separarea variabilelor se caută soluŃii de forma

( ) ( ) ( )A r R r, .ϕ φ ϕ= (14.3-6)

Datorită repartiŃiei sinusoidale a pânzei de curent, singura sursă a câmpului magnetic, toate mărimile vor fi funcŃii de unghi sinusoidale, de aceeaşi formă ca pânza de curent

( ) ( ) ( )φ ϕ ϕ ϕ= +C p D pcos sin . (14.3-7)

Pentru funcŃia radială R(r) rezultă ecuaŃia diferenŃială ordinară

rR

rr

R

rp R2

2

2

2 0d

d

d

d,+ − = (14.3-8)

a cărei soluŃie generală are forma

( )R r Er Frp p= + − . (14.3-9)

Constantele de integrare se determină din condiŃiile la limită, respectiv din condiŃiile de trecere între domeniile omogene cilindrice.

Fie, pentru simplificare, r1i = 0. Atunci în domeniul 1 vom avea, evident, F1 = 0. La trecerea prin suprafaŃa exterioară r = r1e se conservă componenta normală a inducŃiei

Br, iar componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului magnetic Hϕ are un salt egal cu densitatea lineică a pânzei de curent JS.

Prima condiŃie impune egalitatea funcŃiilor unghiulare în domeniile 1 şi 0, respectiv egalitatea funcŃiei radiale la r = r1e

( ) ( )R r R r1 1 0 1e e= ,

adică

C r C r D rp p p

1 1 0 1 0 1e e e= + − . (14.3-10)

A doua condiŃie impune o relaŃie între derivatele radiale împărŃite cu permeabilităŃile

− + = =1 1

0

0

1

11µ

∂ µ

A

r

A

rJ r rS e la , .

Această relaŃie fixează forma funcŃiilor unghiulare

Page 134: Fizica II Curs

127

( ) ( ) ( ) ( )φ ϕ φ ϕ φ ϕ ϕ1 0 2= = = sin ,p (14.3-11)

iar apoi

( )− − + =− − − −p C r D r p C r Je

p

e

p

e

pµ µ0 0 11

0 11

1 1 11

m . (14.3-12)

Cele două relaŃii stabilite permit determinarea constantelor C0 şi D0 în funcŃie de C1. La suprafaŃa r = r2i, în mod similar, dar fără pânză de curent

( ) ( )C r D r C r D r

p C r D r p C r D r

i

p

i

p

i

p

i

p

i

p

i

p

i

p

i

p

0 2 0 2 2 2 2 2

0 0 21

0 21

2 2 21

2 21

+ = +

− = −

− −

− − − − − −

,

.µ µ

Din aceste relaŃii se determină C2 şi D2 ca funcŃii de C1. Pentru suprafaŃa exterioară rezultă condiŃia

C r D rp p

2 2 2 2 0e e+ =− ,

care permite determinarea constantei încă necunoscute C1. PotenŃialul vector în diferitele domenii este

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A r C r p r r

A r C r D r p r r r

A r C r D r p r r r

p

p p

p p

1 1 1

0 0 0 1 2

2 2 2 2 2

0, sin , , ,

, sin , , ,

, sin , , .

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= ∈

= + ∈

= + ∈

e

e i

i e

Prin derivare se deduc componentele inducŃiei magnetice (Br este în cosinus!), iar apoi ale intensităŃii câmpului magnetic.

14.4. METODA IMAGINILOR MAGNETICE

Metoda se aplică asemănător metodei imaginilor electrice, la suprafeŃe de separaŃie plane, sferice sau cilindrice. Aici se va exemplifica numai cazul suprafeŃei de separaŃie plane, între două medii cu permeabilităŃi diferite µ1 şi µ2. In mediul 1 se află un conductor filiform, rectiliniu, infinit lung, parcurs de curentul continuu I şi aşezat paralel cu planul de separaŃie, la distanŃa h de acesta (fig. 14.4-1).

Fig. 14.4-1. a) Conductorul filiform, b) imagini pentru mediul 1, c) imagine pentru mediul 2.

Câmpul magnetic în mediul 1 este dat de firul original şi de imaginea sa în raport cu planul, parcursă de curentul I2; ambele fire se află în mediul de permeabilitate µ1. În mediul 2 câmpul magnetic este creat de un curent I1 trecând prin firul original şi mediul are permeabilitatea µ2.

Page 135: Fizica II Curs

128

Pe suprafaŃa de separaŃie, la distanŃa r de fire, respectiv la distanŃa x de piciorul perpendicularei, componenta normală a inducŃiei este

( ) ( ) ( )B I I x r B l x rn1 n2= + =µ π µ π1 22

2 122 2, ,

iar componenta tangenŃială a intensităŃii câmpului magnetic este

( ) ( ) ( )H I I h r H I h rt t1 22

2 122 2= − =π π, .

Din condiŃiile de trecere rezultă relaŃiile

( )µ µ1 2 2 1 2 1I I I I I I+ = − =, ,

adică

I I I I11

1 22

2 1

1 2

2=

+=

+

µ

µ µ

µ µ

µ µ, .

La limită când µ1 = µ0 şi µ2 → ∞ se obŃine I1 = 0 şi I2 = I, adică imaginea faŃă de un mediu cu permeabilitate foarte mare are curentul cu acelaşi sens ca firul original. Intuitiv acest sens se reŃine ştiind că liniile câmpului trebuie să intre normal în suprafaŃa de permeabilitate infinită, efect care se obŃine numai pentru curenŃi de acelaşi sens. Dacă curentul imagine ar fi fost de sens contrar, liniile câmpului magnetic ar fi fost tangente la suprafaŃa de separaŃie.

14.5. METODA FUNCłIILOR DE VARIABILĂ COMPLEXĂ

14.5.1. FUNCłII ANALITICE. CONDIłIILE CAUCHY-RIEMANN

Fie w(z) = u+jv o funcŃie de variabilă complexă z = x+jy. FuncŃia w(z) este analitică într-un domeniu dacă în vecinătatea oricărui punct z0 al domeniului admite o dezvoltare în serie întreagă de (z-z0). FuncŃiile analitice sunt continue şi derivabile. Derivabilitatea presupune existenŃa şi continuitatea derivatelor parŃiale de ordinul unu a părŃii reale u(x,y) şi imaginare v(x,y) a funcŃiei, precum şi independenŃa derivatei dw/dz de orientarea lui dz. Derivata are forma

( ) ( )d

d

j d j d

d jd

w

z

u x v x x u y v y y

x y=

+ + +

+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (14.5-1)

şi se stabileşte condiŃia

( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂u x v x u y v y+ = − +j j j , (14.5-2)

care duce la relaŃiile Cauchy-Riemann

u

x

v

y

v

x

u

y= = −, . (14.5-3)

Cu aceste relaŃii se demonstrează că integrala curbilinie a unei funcŃiuni analitice este nulă pe orice contur închis

( ) ( ) ( )w z z u x v y v x u yd d d j d dΓ Γ Γ∫ ∫ ∫= − + + = 0 (14.5-4)

Page 136: Fizica II Curs

129

Pentru demonstraŃie se foloseşte formula lui Stokes în plan. Fie vectorul r r ra i j= +a ax y

şi elementul de arc d d d .r r rs i j= +x y Cu formula lui Stokes şi

r rn k= , dA = dx dy

( )r ra sd d d d d .Γ Γ Γ∫ ∫ ∫= + = −

a x a y

a

x

a

yx yx y

y x∂

∂S (14.5-5)

Punând ax = v şi ay = u, integrandul integralei de suprafaŃă se anulează în baza primei condiŃii (14.5-3), iar cu ax = u si ay = -v integrandul se anulează conform celei de a doua condiŃii (14.5-3). Q.e.d.

Rezultă că integrala curbilinie pe o curbă deschisă depinde numai de punctele de început şi de sfârşit ale curbei, nu şi de forma arcului de curbă.

Dacă se elimină între cele două condiŃii (14.5-3) câte una dintre părŃi (u sau v) se obŃin ecuaŃiile de ordinul doi

2

2

2

2

2

2

2

20 0

u

x

u

y

v

x

v

y+ = + =, , (14.5-6)

deci părŃile reale şi imaginare ale funcŃiei analitice satisfac ecuaŃia lui Laplace, adică sunt funcŃii armonice.

Cele două funcŃii armonice, u şi v, sunt şi conjugate. Făcând raportul, membru cu membru, al celor două condiŃii (14.5-3) se obŃine

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

u x

u y

v y

v x= − , (14.5-7)

ceea ce arată că curbele u(x,y) = const1 şi v(x,y) = const2 sunt ortogonale (sau conjugate). Cele două familii de curbe pot fi privite unele ca linii ale unui câmp electrostatic plan-

paralel, iar celelalte - ca linii echipotenŃiale ale aceluiaşi câmp.

14.5.2. FOLOSIREA FUNCłIILOR DE VARIABILĂ COMPLEXĂ

Partea reală şi partea imaginară a unei funcŃii analitice de variabilă complexă satisfac ecuaŃia lui Laplace, proprietate care poate fi folosită în rezolvarea problemelor de câmp electrostatic sau magnetic staŃionar plan-paralele în medii liniare şi omogene. Problemele de câmp magnetic staŃionar se adordează cu această metodă în special atunci când în domeniu nu există distribuŃii de curent şi frontiera domeniului este formată din suprafeŃe de permeabilitate infinită, adică din suprafeŃe ale unor corpuri feromagnetice.

Intr-adevăr, în zonele fără curent câmpul magnetic este irotaŃional rot ,rH = 0 deci se

poate defini un potenŃial magnetic scalar Vm, astfel încât rH = − grad .Vm Liniile de câmp fiind

perpendiculare pe suprafeŃele corpurilor feromagnetice, acestea sunt echipotenŃiale. Fie Wm(z) = Um(x,y) + j Vm(x,y) o funcŃie de variabilă complexă z, analitică. Dacă partea imaginară Vm(x,y) reprezintă în planul complex z potenŃialul magnetic,

atunci vectorul intensităŃii câmpului magnetic

( )r s r r rH i j i j= + = − = − −H H V x y

V

x

V

yx y grad ,m

m m∂

se poate reprezenta în planul complex prin mărimea complexă

( ) ( )H z H HV

x

V

y

U

x

V

xW zx y= + = − +

= − −

=j j j j jd d *,

∂m m m m

m (14.5-8)

iar Um(x,y) reprezintă fluxul intensităŃii câmpului magnetic pe unitatea de lungime.

Page 137: Fizica II Curs

130

Dacă partea reală Um(x,y) reprezintă în planul complex z potenŃialul magnetic, atunci

( ) ( )H z H H W zx y= + = −j d d *,m (14.5-9)

iar Vm(x,y) reprezintă fluxul lineic al intensităŃii câmpului magnetic cu semn schimbat.

14.5.3. METODA TRANSFORMĂRII CONFORME

Dacă Wm(z) este potenŃialul magnetic complex în planul z = x + j y din care derivă câmpul magnetic H(z), atunci câmpul H(w) în planul w = u + j v are expresia

( ) ( ) ( ) ( )H w w W z z w= − = −d d * d d * d d *,ψ

adică

( ) ( ) ( )H w H z w z= d d *, (14.5-10)

în care w(z) este o funcŃie de transformare conformă din planul z în planul w. Pentru stabilirea funcŃiei de transformare conformă se apelează la formula Schwarz-Christoffel, care permite transformarea unui contur poligonal în axa reală a planului complex.

Transformarea Schwarz-Christoffel. Domeniul din interiorul (sau exteriorul) unui poligon cu n vârfuri z1, z2,..., zn din planul z

(ordonate astfel încât să lase la stânga donemiul) se transformă conform în semiplanul v = ℑm(w) > 0, iar conturul poligonal în axa u (fig. 14.5-1), cu ajutorul transformării definite prin expresia de mai jos

( ) ( ) ( )d d .w z A w u w u w un

n= − − −1 21 2α α α

K (14.5-11)

Fiecare punct uk al axei u corespunde vârfului zk din planul z, iar exponenŃii αk se definesc astfel

( ) ( )( )α πk k k k kz z z z= − − − −+ −arg arg1 1 (14.5-12)

şi reprezintă modificarea unghiului de orientare a segmentelor de o parte şi de alta vârfului, redusă la intervalul (-π,π), cu semn schimbat şi împărŃită cu π. Segmentele sunt parcurse astfel încât să lase la stânga domeniul (care se va transforma în semiplanul superior al planului w).

Fig. 14.5-1. Transformarea Schwarz-Christoffel.

În figura 14.5-1 primele cinci unghiuri sunt pozitive (se modifică orientarea în sens trigonometric), iar al şaselea este negativ, deci primii cinci exponenŃi rezultă negativi, iar al şaselea este pozitiv.

Integrând expresia (14.5-11), se obŃine funcŃia analitică de transformare conformă, în care intervine constanta A (de scară) şi o constantă aditivă B (de origine). Abscisele u1,...,un şi constantele A, B se determină prin identificarea punctelor din planul w cu punctele originale, din planul z. Două abscise uk se fixează arbitrar (fiind "compensate" prin constantele A şi B).

Page 138: Fizica II Curs

131

AplicaŃie. Se va exemplifica metoda pentru calculul câmpului magnetic al unei crestături de maşină electrică.

Se consideră două armături feromagnetice paralele, la distanŃa δ una de alta (întrefier). Armătura inferioară are o crestătură de adâncime infinită şi de lărgime b (fig. 14.5-2a). Între armături este aplicată o tensiune magnetică V.

Din considerente de simetrie, se ia numai o jumătate din domeniul de câmp (până în axa crestăturii), adică domeniul ABCDE din fig. 14.5-2b. Acest domeniu se transformă conform în axa reală din planul (z1). În formula Schwarz-Christoffel se aleg abscisele -a, 0, 1, cu exponenŃii -1/2, -1, 1/2 şi rezultă

( ) ( )d d .z z G

z z a

z1

1 1

1

1=

− + (14.5-13)

Fig. 14.5-2. a) Zona crestăturii, b) domeniu în care se studiază câmpul, c) axa variabilei z1, d) domeniul variabilei w.

Pentru integrare se face schimbarea de variabilă

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

tz

z az

at

t

zt t a

t

zG a t t

t atG t t at

=−

+=

+

=+

=+

− += − − +

1

11

2

2

12 2

2

2 2

2 2

1 1

1

2 1

1

1 2

1 12 1 1 1 1

, ,

dd

,

dd

d ,

sau

(14.5-14)

cu integrala

( )z Gt

t at a H=

+−

+ln arctg .

1

1

2 (14.5-15)

După revenire la variabila z1 se obŃine expresia

( )z G

z a z

z a z

G

a

a z

z aH=

+ + −

+ − −−

++ln arctg .1 1

1 1

1

1

1

1

2 1 (14.5-16)

Cele trei constante, G - de scară, H - de fixare a originii şi abscisa a, se determină prin corespondenŃa între cele două plane complexe

la

la

z a z G G a H

z z H b

1

1 1 2

= − = − + =

= = =

, j j ,

, .

π π δ (14.5-17)

Rezultă H = b/2, G = δ/π, a = (2π/b)˛.

Page 139: Fizica II Curs

132

Cu o nouă transformare Schwarz-Christoffel, între planul z1 şi planul w, segmentele AB şi CD se rotesc astfel încât să ajungă perpendiculare pe BC în planul w (fig. 14.5-2d). Transformarea are derivata

( )d d ,w z F z z a1 1 1= +

cu integrala

( )( ) ( )w F z a z z a L F z a L= + + + + = + +ln argch .1 1 1 12 2 1

Punând condiŃiile

la

la

z a w F L V

z w L

1

1 0 0

= − = + =

= = =

, j j ,

, ,

π

rezultă

( )w V z a= +π argch 2 11 (14.5-18)

şi transformă segmentul AB în semidreapta u ≥ 0, v = jV, segmentul BC în segmentul u = 0, v ∈ (0, jV), segmentul CE în semidreapta u ≥ 0, v = 0.

Variabila complexă w are ca parte reală fluxul magnetic (al intensităŃii câmpului magnetic) şi ca parte imaginară potenŃialul magnetic, cu originea în punctul C. De exemplu, pentru punctul D, cu z1 = 1 se obŃine fluxul magnetic care se închide prin jumătatea deschizăturii crestăturii

( )∆φ = +µ π0 2 1V aargch .

Întrucât variabila z1 nu poate fi explicitată din (14.5-16) în raport cu variabila z, ea poate fi considerată un parametru care se poate determina astfel încât din (14.5-16) să se obŃină coordonatele dorite (x,y), respectiv cu care se determină din (14.5-18) mărimile de câmp. Dacă se consideră numai z1 = x1, cu x1 > 1 se va parcurge segmentul DE.

Factorul lui Carter folosit la calculul magnetic în maşinile electrice se defineşte ca raportul dintre tensiunea magnetică între armături netede şi armături crestate la acelaşi flux magnetic pe un pas de crestare. Poate fi definit şi ca raportul între fluxul magnetic pe un pas de crestare la armături netede şi fluxul la armături crestate, pentru aceeaşi tensiune magnetică între armături. Cu ultima definiŃie, factorul lui Carter pentru pasul de crestare 2x devine

( ) ( )k Vx vC = δ , (14.5-19)

unde v şi x corespund aceleiaşi valori x1. De exemplu, dacă δ = 1 mm, b = 1 mm, pentru x1 = 84, rezultă x = 1,5 mm, iar apoi kC =

1,0553.

14.6. METODA APROXIMĂRII FORMEI LINIILOR DE CÂMP MAGNETIC

Pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme de câmp magnetic, în vederea calculului unor permeanŃe magnetice sau a unor fluxuri magnetice, se poate folosi metoda aproximării formei liniilor de câmp. Aceste linii se consideră, aproximativ, a fi formate din segmente drepte şi din arce de cerc, eventual din arce de elipsă.

Liniile de câmp (ale inducŃiei magnetice) se construiesc Ńinând seama de câteva reguli şi principii:

Page 140: Fizica II Curs

133

- liniile de câmp se trasează între suprafeŃe echipotenŃiale magnetic, - linia de câmp trebuie să fie perpendiculară pe suprafeŃele echipotenŃiale ale câmpului

respectiv, să fie o curbă continuă şi derivabilă cel puŃin o dată (clasa C1), - se lucrează cu o intensitate medie a câmpului magnetic Hmed de-a lungul unei linii de

câmp, care multiplicată cu lungimea liniei de câmp lx dă diferenŃa de potenŃial magnetic între extremităŃile liniei,

- există un principiu de acŃiune minimă, conform căruia dacă linia de câmp s-ar putea îndrepta spre două suprafeŃe de acelaşi potenŃial, va fi aleasă calea de lungime minimă.

Pentru aplicarea metodei aproximării formei liniilor de câmp este necesară o experienŃă prealabilă, adică cunoaşterea formei aproximative a liniilor câmpului respectiv, pentru a aproxima cât mai corect aceste forme.

Metoda va fi ilustrată cu câteva exemple de aplicare. Exemplul 1. Se consideră o armătură feromagnetică cu o crestătură de lărgime b la

distanŃa δ de o armătură feromagnetică netedă. Intre armături se aplică o tensiune magnetică Vm (fig. 14.6-1a). Se cere distribuŃia câmpului magnetic în vecinătatea crestăturii.

Fig. 14.6-1. Crestătură în faŃa unei armături netede, b) linii de câmp în vecinătatea deschizăturii, c) parametrizarea liniei de câmp aproximate.

În fig. 14.6-1b s-a reprezentat spectrul liniilor câmpului magnetic între cele două armături, iar în fig. 14.6-1c s-au schiŃat liniile care aproximează acest spectru.

În întrefierul de lărgime δ, până la marginea crestăturii, câmpul magnetic are liniile perpendiculare pe armături, este practic uniform şi are intensitatea H0 = Vm/δ.

În dreptul crestăturii liniile de câmp se aproximează prin segmente drepte de lungime δ şi arce de cerc de rază x ∈ (0,b/2) spre pereŃii crestăturii. Intensitatea câmpului este Vm/(πx/2+δ), are valoarea H0 la muchia crestăturii şi la mijlocul crestăturii scade până la H0/(1+πb/4δ). Fluxul lineic pierdut prin crestare este

( )( )( )∆φ = − +µ δ π π δ0 0 4 1 4H b bln .

Este interesant de comparat această valoare cu cea obŃinută pe o cale mult mai complicată (prin transformări conforme). La maşini electrice este cunoscută relaŃia

( )( ) ( )( )( )γδ π δ δ π δ= − +2 2 2 1 22

b b barctg ln ,

care dă lărgimea pierdută prin crestare. Această lărgime trebuie comparată cu valoarea b-4δ/π ln(1+πb/4δ) stabilită cu metoda aproximării formei liniilor de câmp magnetic. Se constată că metoda aproximativă dă "pierderi" mai mari, respectiv subevaluează fluxul crestăturii. O aproximare mai bună se obŃine înlocuind arcele de cerc cu arce de elipsă, cu raportul axelor 1.4, ceea ce aduce un factor de corecŃie de 1.2 la fluxul crestăturii, adică

( )( )( )∆φ = − × +µ δ π π δ0 0 12 4 1 4H b b. ln .

Page 141: Fizica II Curs

134

Cu acest factor rezultă valori negative la b/δ < 0.5, deci factorul ar trebui modificat după valoarea raportului b/δ.

Exemplul 2. Se consideră două armături prismatice de aceeaşi secŃiune transversală, separate prin întrefierul de lărgime δ (fig. 14.6-2a). Se cere să se estimeze fluxul de dispersie în jurul întrefierului.

Fig. 14.6-2. Dispersia la marginile unor piese prismatice. a) SchiŃa geometriei, b) aproximarea formei liniilor de câmp.

În fig. 14.6-2b s-a schiŃat pentru un sfert din configuraŃia studiată modul cum se aproximează forma liniilor de câmp.

În zona de suprapunere a armăturilor liniile de câmp sunt perpendiculare pe suprafeŃele armăturilor şi sunt repartizate uniform, deci la o inducŃie B0 în această zonă, rezultă între armături o tensiune magnetică V0 = δB0/µ0.

Pe părŃile laterale ale armăturilor, în vecinătatea întrefierului, liniile câmpului magnetic se aproximează prin două arce de cerc de rază x şi un segment drept de lungime δ. Lungimea unei linii de câmp este lx = πx + δ şi inducŃia magnetică creată va fi B0/(1+πx/δ). Fluxul magnetic de "dispersie" bilateral în jurul întrefierului, până la o distanŃă xm, este

( )φ δ π π δd m= +B x0 2 1ln .

Dacă armăturile au lăŃimea b în zona întrefierului, fluxul magnetic prin întrefier fiind φu = B0b, rezultă un factor de dispersie

( )k b xd d u m= = +φ φ δ π π δ2 1ln .

Aprecierea distanŃei xm introduce o anumită nesiguranŃă în determinarea fluxului de dispersie, respectiv a factorului de dispersie.

Exemplul 3. Se consideră o armătură prevăzută cu crestături echidistante, de lăŃime bc şi pasul t, la distanŃa δ de o a doua armătură netedă (fig. 14.6-3a). În crestături se află bare de lăŃime b şi înălŃime h, la distanŃa c de suprafaŃa dinŃilor. Barele sunt parcurse în sensuri alternate de un curent I. Se cere câmpul magnetic în crestături şi în întrefier.

Fig. 14.6-3. Armătură crestată, cu bare de curent (a) şi aproximarea formei liniilor câmpului de dispersie (b).

Se observă că în întrefierul dinŃilor succesivi câmpul magnetic îşi schimbă sensul şi datorită simetriei constructive axa fiecărui dinte este axă de simetrie, iar axa fiecărei crestături este axă de antisimetrie pentru câmpul magnetic.

Problema magnetică se poate rezolva numai pentru o jumătate de dinte şi o jumătate de crestătură (din axa crestăturii până în axa dintelui), ca în fig. 14.6-3b.

În întrefier liniile de câmp au lungimea δ, în vecinătatea muchiei crestăturii lx = δ+πx/2, atât timp cât 2lx < bc, adică x < xm = (bc-δ)/π, apoi liniile de câmp se închid transversal prin crestătură. Se obŃin următoarele valori

Page 142: Fizica II Curs

135

- câmpul în axa unui dinte este Bδ = µ0I/δ, - inducŃia magnetică corespunzătoare liniei de câmp care corespunde distanŃei x de la

marginea dintelui este Bx = Bδ/(1+πx/2δ), - câmpul transversal prin crestătură are valoarea maximă Bc = µ0 I/bc. Se observă că la x = xm rezultă Bx = Bc. De asemenea - fluxul magnetic lineic spre întrefier al unui dinte este

φδ = Bδ (t-bc+δ/π ln(bc/2δ),

- fluxul magnetic lineic transversal prin crestătură este

φ = Bc (h/2+c-xm).

Cele două fluxuri magnetice se adună în dinŃi şi la baza dintelui rezultă inducŃia magnetică maximă

Bdmax = (φδ+φc)/(t-bc).

14.7. METODA DIFERENłELOR FINITE

Metoda a fost prezentată pentru câmpul scalar (electrostatic) în două forme: - prin aproximarea operatorului laplacian, - prin folosirea formei combinate, diferenŃiale şi integrale În forma combinată, prin diferenŃe centrale divizate se calculează la mijloacele laturilor

reŃelei componentele câmpului în lungul acestor laturi. Cu aceste componente, Ńinând seama de permitivităŃile mediilor din cadranele vecine nodului considerat se aplică forma integrală a legii fluxului în jurul fiecărui nod cu potenŃial necunoscut, pe suprafaŃa care trece prin mijloacele laturilor reŃelei. Metoda combinată are avantajul că se poate aplica în aceeaşi formă atât în zone omogene cât şi neomogene, iar condiŃiile de frontieră tip Neumann se integrează fără dificultate în integrala fluxului.

Dacă problema de câmp magnetic este formulată cu ajutorul unui potenŃial scalar, atunci se pot folosi formele puse în evidenŃă pentru câmpul electrostatic. Deosebirea esenŃială faŃă de problema electrostatică constă în faptul că atunci când în domeniul de câmp există o repartiŃie de curent, folosirea câmpului auxiliar

rT care preia rotorul câmpului, determină o umplere a

domeniului de câmp cu sarcini de magnetizaŃie (sarcini spaŃiale). Spre deosebire de problemele electrostatice, în care, de regulă se dau potenŃialele pe anumite suprafeŃe, pe care vor apărea repartiŃii superficiale de sarcini electrice, care nu intervin în mod explicit în rezolvare, iar în domeniul de câmp nu apar distribuŃii de sarcini electrice.

Pentru problema de câmp magnetic formulată cu ajutorul potenŃialului magnetic vector, metoda diferenŃelor finite se aplică numai în cazurile particulare când potenŃialul vector are o singură componentă şi problema se rezolvă într-un plan. Şi în acest caz se poate folosi fie aproximarea operatorului laplacian, fie forma combinată diferenŃială şi integrală. În ultimul caz prin diferenŃe centrale divizate se determină la mijloacele laturilor reŃelei componentele câmpului perpendiculare pe laturi. Cu aceste componente, Ńinând seama de relaŃia constitutivă din cele patru cadrane vecine nodului central, se calculează intensităŃile câmpului magnetic şi apoi circulaŃia intensităŃii câmplui magnetic în jurul unui nod, care intră în teorema lui Ampère. Din nou relaŃia obŃinută se aplică atât domeniiilor omogene, cât şi neomeogene, iar condiŃiile de frontieră tip Neumann se integrează fără dificultate în integrala de circulaŃie. Alte detalii au fost date în anexa dedicată metodei diferenŃelor finite.

Page 143: Fizica II Curs

136

Page 144: Fizica II Curs

15. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTAłIONAR

15.1. REGIMUL CVAZISTAłIONAR AL CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Regimul cvazistaŃionar este un regim al câmpului electromagnetic studiat în aproximaŃia neglijării unor termeni din ecuaŃiile generale ale câmpului electromagnetic. Se disting două tipuri de regimuri cvazistaŃionare:

- regimul cvazistaŃionar de tip magnetic sau anelectric, în care se neglijează curentul de deplasare (dψ/dt) în legea circuitului magnetic; acest regim intervine la studiul curenŃilor variabili în conductoare masive;

- regimul cvazistaŃionar de tip electric sau amagnetic, în care se neglijează câmpul electric indus de variaŃia în timp a câmpului magnetic (∂ ∂

rB t ); acest regim intervine în

studiul dieletricilor conductivi sau cu pierderi. Rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic în regim variabil este mult mai dificilă

decât în regim staŃionar. În regim variabil, în conductoare pot să apară curenŃi de conducŃie datorită câmpului

electric indus. Aceşti curenŃi se numesc curenŃi turbionari sau curenŃi Foucault. În conductoarele cu curenŃi de aducŃie (impuşi din exterior) distribuŃia curenŃului pe

secŃiunea conductoarelor masive este influenŃată de variaŃia în timp a mărimilor, manifestându-se efectul pelicular.

Dacă un conductor masiv cu curent de aducŃie se află în vecinătatea altor conductoare parcurse de curenŃi, în regim variabil se manifestă o modificare a repartiŃiei curentului în secŃiune, prin efectul de proximitate sau de apropiere.

La conductoarele masive aşezate în crestăturile maşinilor electrice sau în fasciculele de conductoare având curenŃi impuşi, atunci când sunt parcurse de curenŃi variabili în timp se manifestă un efect de repartizare neuniformă a curenŃului pe secŃiunea conductoarelor, cunoscut ca efectul Field.

În cele ce urmează va fi abordată o problemă generală a regimului cvzistaŃionar de tip magnetic, o problemă de curenŃi Foucault, una de efect pelicular şi efectul Field.

Mai trebuie amintit faptul că în regim variabil în timp trebuie revăzute definiŃiile anumitor mărimi, ca rezistenŃă, tensiune electrică ş.a.

15.2. PREMIZELE STUDIULUI CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC CVAZISTAłIONAR ÎN CONDUCTOARE MASIVE IMOBILE

EcuaŃiile câmpului electromagnetic se obŃin neglijând în legea circuitului magnetic densitatea curentului de deplasare

r rJ DD t= ∂ ∂ în raport cu densitatea curentului de conducŃie

r rJ E= σ . Această neglijare este admisibilă atunci când

( ) .EErr

<<∂∂σε t

Dar τ = ε/σ este constanta de timp a relaxării sarcinii electrice. In conductoare acestă constantă are valori de ordinul a 10-19 s.In regim sinusoidal rezultă o condiŃie pentru frecvenŃă

f << 1018 Hz.

Page 145: Fizica II Curs

137

Întrucât frecvenŃele utilizate în tehnică nu depăşesc 1012 Hz, în conductoare densitatea curentului de deplasare este neglijabilă în raport cu densitatea curentului de conducŃie. În semiconductoare şi în plasmă această condiŃie nu este îndeplinită la frecvenŃe foarte mari.

15.3. ECUAłIILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC CVAZISTAłIONAR ÎN CONDUCTOARE MASIVE IMOBILE

EcuaŃiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic sunt

rot ,

rot ,

div ,

div .

r r r

r r

r

r

H J D

E B

D

B

= +

= −

=

=

∂ ∂

∂ ∂

ρ

t

t

v

0

(15.3-1)

La acestea trebuie adăugate relaŃiile constitutive r r r r r rD E B H J E= = =ε µ σ, , , (15.3-2)

în legea conducŃiei electrice fiind neglijat câmpul imprimat. În medii omogene şi linare mărimile ε, µ şi σ sunt constante.

Introducând relaŃiile constitutive în primele două ecuaŃii, de evoluŃie, şi neglijând curentul de deplasare, se obŃin relaŃiile

,rot,rot t∂∂µ−=σ= HEEHrrrr

(15.3-3)

care reprezintă ecuaŃiile fundamentale ale câmpului electromagnetic în conductoare masive omogene, sau ecuaŃiile de ordinul întâi.

Luând divergenŃa acestor ecuaŃii şi apoi Ńinând seama de omogenitatea mediului, se stabilesc relaŃiile

div , div , div ,r r rE J H= = =0 0 0 (15.3-4)

deci cele patru câmpuri, r r r rE J B H, , , sunt solenoidale.

Luând rotorul ecuaŃiilor (15.3-3) şi Ńinând seama că

rot rot grad div ,r r rG G G= − ∆

dacă se elimină câte una dintre funcŃiunile necunoscute, se obŃin ecuaŃiile de ordinul doi

∆ ∆

∆ ∆

r r r r

r r r rH H B B

J J E E

= =

= =

σµ ∂ ∂ σµ ∂ ∂

σµ ∂ ∂ σµ ∂ ∂

t t

t t

, ,

, . (15.3-5)

SoluŃiile pentru cele patru câmpuri nu sunt independente, ele fiind legate prin ecuaŃiile de ordinul întâi (15.3-3). Aceste ecuaŃii trebuie completate cu relaŃiile de trecere prin suprafeŃe de discontinuitate

E E H H

H H E E

t1 t2 t1 t2

n1 n2 n1 n2

= =

= =

, ,

, .µ µ σ σ1 2 1 2

(15.3-6)

În continuare se vor studia numai probleme în regim permanent sinusoidal, folosind reprezentarea în complex; aceasta se aplică fiecărei mărimi scalare, respectiv componentelor

Page 146: Fizica II Curs

138

scalare ale vectorilor. Derivarea în raport cu timpul a unei mărimi revine la multiplicarea cu jω a imaginii mărimii.

15.4. PĂTRUNDEREA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC ÎN SEMISPAłIUL CONDUCTOR INFINIT

Se consideră un bloc de material conductor,de permeabilitate µ şi conductivitate σ, limitat spre stânga de o faŃă plană infinit extinsă şi ocupând întregul semispaŃiu drept (fig.15.4-1) Se alege un sistem de axe cartezian, cu axa Ox normală pe faŃa blocului şi dirijată spre interior.

Fig. 15.4-1. NotaŃii pentru pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaŃiul infinit.

La suprafaŃa semispaŃiului este stabilit un câmp magnetic omogen tangenŃial rH0

(orientat după axa Oz)

( ) ( )r rH k0 0 0 0= =H t H t H t, sin . cu max ω (15.4-1)

Se studiază numai regimul permanent. Toate mărimile depind numai de coordonata x şi de timp

( ) ( ) ( )r r r r r rH H E E J J= = =x t x t x t, , , , , . (15.4-2)

La x = 0 în interiorul semispaŃiului conductor câmpul are aceeaşi componentă tangenŃială

( ) ( )r r rH H k0 0 0, t H t= = (15.4-3)

şi în interior are numai componentă după Oz

( ) ( )r rH kx t H x t, , .= z (15.4-4)

EcuaŃia câmpului magnetic în mediul conductor este

∂ ∂ σµ ∂ ∂2 2H x H tz z= . (15.4-5)

În regim sinusoidal această ecuaŃie se reprezintă în complex simplificat sub forma

d d j .2 2 2H x H Hz z z= =ωσµ γ (15.4-6)

Se notează

( )γ ωσµ α= = +j j ,1 (15.4-7)

unde

Page 147: Fizica II Curs

139

α ωσµ= 2 (15.4-8)

este constanta de atenuare. Cu aceste notaŃii, soluŃia generală a ecuaŃiei (15.4-5) este

( ) ( )H A x A xz = − +1 2exp exp .γ γ

Dacă domeniul este infinit, trebuie ca A2 = 0, pentru ca la infinit câmpul magnetic să fie finit. La x = 0 Hz = Hz(0) = A1. Rezultă soluŃia

( ) ( ) ( )( ) ( )

H H x H x

H H x x

z z

z

= − = −

= − −

0 0

0

exp exp ,

exp exp j .

γ γ

α α (15.4-9)

Valoarea instantanee a câmpului este

( ) ( ) ( )H x t H x t xz , exp sin .= − −0 max α ω α (15.4-10)

Aceasta este o undă elementară directă, puternic atenuată, cu viteza de fază v şi lungimea de undă λ date de relaŃiile

v = = =ω α ω µσ λ π α2 2, . (15.4-11

Densitatea de curent rJ şi intensitatea câmpului electric

rE se deduc din prima ecuaŃie a

lui Maxwell

( ) ( )r r r r r rJ H j E J j= = = =rot , , , .J x t E x ty yσ (15.4-12)

Dezvoltând rotorul se obŃin relaŃiile complexe

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

J x H x H x H x x

E x J x H x H x x

z

y

v

v

= − = + − = − − −

= − = + − = − − −

∂ ∂ α γ α α α π

σ α σ γ α σ α α π

1 2 4

1 2 4

0 0

0 0

j exp exp exp j ,

j exp exp exp j ,

(15.4-13)

(15.4-14)

Valorile instantanee ale acestor mărimi sunt defazate cu π/4 înaintea câmpului magnetic. La suprafaŃa conductorului intensitatea câmpului electric este

( ) ( )E E H0 00 2 4= = α σ πexp j . (15.4-15)

Pierderile de putere se calculează cu ajutorul vectorului Poynting. Intrucât r rE j= Ey şi

r rH k= Hz , vectorul densităŃii fluxului de energie

rS este dirijat spre interiorul conductorului

(sensul în care se propagă undele elementare Hz(x,t) şi Ey(x,t)),

( )r r r r rS E H j k i= × = × =E H S x ty z x , , (15.4-16)

unde valoarea instantanee Sx este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ).422cos4cos2exp2

4sinsin2exp2,2

max 0

2max 0

π+α−ω−πα−σα=

=π+α−ωα−ωα−σα=

xtxH

xtxtxHtxS x

Mărimea Sx reprezintă puterea instantanee transmisă prin unitatea de suprafaŃă a planelor x = const. Acest aflux de energie provine de la câmpul electromagnetic exterior şi scade rapid o dată cu pătrunderea în conductor, datorită faptului că acoperă pierderile locale de putere prin efect Joule-Lenz. Aportul de putere instantanee prin suprafaŃa conductorului este

Page 148: Fizica II Curs

140

( ) ( ) ( ) ( )( ),42cos212,0 2max 00 π+ω−σα== tHtStS x (15.4-17)

având valoarea medie, sau puterea activă specifică

( )P A H E0 12 0

2 12 0

2= = max α σ σ α . (15.4-18)

Câmpul electric, câmpul magnetic şi densitatea curentului au valori importante numai în vecinătatea suprafeŃei conductorului, amplitudinile lor scăzând exponenŃial o dată cu depărtarea de la suprafaŃa conductorului. De exemplu, valoarea efectivă a densităŃii curentului are expresia

( )J H xx ef max= −α α0 exp . (15.4-19)

Se numeşte adâncime de pătrundere (sau adâncime echivalentă de pătrundere) a câmpului electromagnetic în semispaŃiul conductor, distanŃa δ de la suprafaŃă pe care ar trebui repartizat în mod uniform curentul total, pentru ca pierderile de putere activă să fie egale cu cele din cazul repartiŃiei reale a curentului.

Pe o înălŃime a (după Oz), curentul total complex este

( ) ( ) ( )( )I J x a x aH

xx a H H aHy

z

z z= = − = − ∞ =∞ ∞

∫ ∫d d0 0 00

∂ (15.4-20)

şi are valoarea efectivă

I a H= 2 0 max . (15.4-21)

Dacă ar fi repartizat uniform şi sinfazic pe adâncimea δ, într-un volum a.b.δ acest curent ar produce pierderile de putere activă

( ) ( ) ( )P ab I a ab H= =δ δ σ σδ2

02 max .

Puterea primită prin suprafaŃa de arie ab este

P ab H= 12 0

2 maxα σ .

Cele două puteri trebuind să aibă valori egale rezultă expresia adâncimii de pătrundere

( )δ α ωσµ= =1 2 . (15.4-22)

La frecvenŃa industrială (50 Hz) şi temperatura de 20 °C adâncimea de pătrundere este de 9,5 mm la cupru, respectiv de 12,3 mm la aluminiu. La materiale magnetice cu permeabilitate mare (fier) adâncimea de pătrundere este de la câŃiva milimetri până la fracŃiuni de milimetru. Pentru apa de mare δ ≈ 30 m, în sol δ ≈ 750 m.

15.5. PROBLEME DE CURENłI TURBIONARI

In aplicaŃiile tehnice, curenŃii turbionari (sau Foucault) apar în miezurile feromagnetice ale circuitelor magnetice din maşinile şi aparatele electrice de curent alternativ, determinând pierderi suplimentare de putere prin efect Joule şi înrăutăŃind funcŃionarea acestor aparate şi maşini. Totodată există numeroase aplicaŃii utile ale curenŃilor turbionari: încălzirea electrică prin inducŃie (în care puterea dezvoltată de curenŃii turbionari este folosită pentru a încălzi, sau chiar a topi conductorul), frânele şi ambreiajele magnetice de inducŃie (în care se

Page 149: Fizica II Curs

141

utilizează forŃele pe care câmpul magnetic le exercită asupra conductorului parcurs de aceşti curenŃi) ş.a.

CurenŃii turbionari din conductoare influenŃează repartiŃia câmpului magnetic, datorită câmpului magnetic suplimentar produs de aceştia (numit şi câmp magnetic de reacŃie al curenŃilor turbionari). Din acest motiv, pentru rezolvarea exactă a acestor probleme este necesară utilizarea ecuaŃiilor generale ale regimului cvazistaŃionar de tip magnetic (anelectric). În cazuri limită, la frecvenŃe joase (când câmpul de reacŃie este mic, neglijabil), sau la frecvenŃe înalte (când adâncimea de pătrundere este mică faŃă de dimensiunile conductorului), se pot folosi metode aproximative.

Pierderi prin curenŃi Foucault în tole feromagnetice. Circuitele magnetice de curent alternativ sunt realizate din tole feromagnetice, de

grosime ∆ mult mai mică decât lăŃimea l (∆ << l), deci tola poate fi asimilată cu o placă de extensie infinită din punct de vedere al rezolvării problemei de câmp magnetic cvzistaŃionar. Se adoptă un sistem de axe cartezian (fig. 15.5-1), astfel încât planul de simetrie al plăcii să se afle în planul x = 0. Mărimile din placă vor depinde numai de coordonata x.

Fie φ = φm sinωt fluxul magnetic sinusoidal care revine unei tole de grosime ∆ şi lăŃime l, atunci inducŃia magnetică aparentă în tolă este B = φ/(∆l) = Bm sinωt şi se consideră orientată în lungul axei Oz:

r r rB k k= =B Bz . Se va folosi reprezentarea în complex şi atunci

amplitudinea complexă a inducŃiei este B = Bm. Din legea inducŃiei electromagnetice se obŃine

rot d d j .r rE B= − ⇒ = −∂ ∂ ωt E x By (15.5-1)

Fig. 15.5-1. NotaŃii pentru studiul curenŃilor Foucault într-o tolă.

Dacă se poate neglija reacŃia curenŃilor turbionari, se obŃine o soluŃie simplă, independentă de eventuala neliniaritate a caracteristicii magnetice a tolei

E Bxy = − j .ω (15.5-2)

CurenŃii induşi sunt Jy = σEy, apoi puterea activă disipată pe unitatea de volum este pR = J2/(2σ), care trebuie mediată pe grosimea plăcii şi se obŃine densitatea de volum medie a pierderilor prin curenŃi turbionari

p BR med m= σω 2 2 2 24∆ , (15.5-3)

iar inducŃia magnetică este neschimbată (datorită neglijării reacŃiei curenŃilor induşi). De exemplu, la frecvenŃa de 50 Hz şi inducŃia Bm = 1T, tola de oŃel electrotehnic cu

grosimea de 0,5 mm şi conductivitatea de 6,67 Sm/mm2, cu masa specifică 7,8 kg/dm3, are

Page 150: Fizica II Curs

142

pierderile specifice medii pR med = 6,85732 W/dm3 = 0,87914 W/kg, iar tola înalt aliată, de 0,3 mm grosime, cu conductivitate de 2,08 Sm/mm2, cu masa specifică 7,6 kg/dm3, are pR med = 0.76983 W/dm3 = 0.10129 W/kg.

Dacă nu se neglijează reacŃia curenŃilor turbionari, atunci mai trebuie luată în consideraŃie teorema lui Ampère. Considerând tola liniară, de permeabiltate µ, se obŃine ecuaŃia

rot , .r rB J= = −µ ∂ ∂ µ sau B x J y (15.5-4)

Cu r rJ E= σ şi trecând la reprezentarea în complex, după eliminarea

rJ şi

rE se obŃine

ecuaŃia lui Helmholtz (complexă)

d d j .2 2 0B x B− =ωσµ (15.5-5)

Se notează cu ( )γ ωσµ α= = +j j1 şi soluŃia (care trebuie să fie simetrică faŃă de planul

x = 0) este

( )B x B x= 0 ch ,γ (15.5-6)

în care B0 este inducŃia magnetică minimă, la mijlocul tolei. Imaginea complexă a fluxului magnetic al tolei este

( )φ γ γ= 2 20l B sh .∆ (15.5-7)

Întrucât este cunoscut (dat) fluxul magnetic al tolei, ultima relaŃie permite determinarea constantei de integrare B0

( )( ) ( )( )B l B0 2 2 2 2= =γφ γ γ γm msh sh .∆ ∆ ∆ (15.5-8)

InducŃia este maximă la marginea tolei şi este dată de relaŃia

( )( )B Bmax m= γ γ∆ ∆2 2th . (15.5-9)

Intensitatea câmpului electric se poate calcula din relaŃia

( ) ( )E J B x B xy y z= = − = −σ ωµ γ ωµ γ1 0d d sh . (15.5-10)

Puterea complexă primită bilateral de tolă pe unitatea de arie este

( ) ( ) ( )2 2 212 0

2E H By z

* sh ch *= γ ω µ γ γ∆ ∆ .

Partea reală a acestei puteri, împărŃită cu grosimea tolei dă densitatea de volum medie a puterii disipate

( ) ( ) ( )( )p eal BR med = ℜ γ ω µ γ γ∆ ∆ ∆0

22 2sh ch * . (15.5-11)

În cele două cazuri examinate anterior (tole de 0,5 mm şi de 0,3 mm grosime), pentru permeabilitatea relativă de µr = 7000 se obŃin următoarele valori

gros. [mm] α [m-1] B0/Bm Bmax/Bm

0,50 3035,8 0,9746-j0,1889 1,0291+j0,3808

0,30 1695,3 0,9997-j0,0216 1,0004+j0,0431

Page 151: Fizica II Curs

143

Pierderile specifice calculate cu relaŃia "exactă" sunt de 6,8003 W/dm3 = 0,8718W/kg, respectiv 0,76975 W/dm3 = 0,10128W/kg. Valorile sunt foarte apropiate de cele calculate cu relaŃia aproximativă, care neglijează reacŃia curenŃilor turbionari. La valori mai mici ale permeabilităŃii diferenŃele sunt şi mai mici.

15.6. EFECTUL PELICULAR

În regim variabil, curentul injectat într-un conductor are o repartiŃie diferită de repartiŃia de curent continuu, fenomen numit efect pelicular sau efect skin. Datorită fenomenului de inducŃie electromagnetică, asociat cu reacŃia curenŃilor induşi, curentul are tendinŃa de a se repartiza cu o densitate mai mare în zonele periferice ale conductoarelor. Totodată, în regim periodic apar defazaje între densităŃile de curent din diferitele puncte ale secŃiunii conductorului.

Efectul pelicular în conductorul plat Un caz de efect pelicular care este mai uşor de studiat este cel al conductorului plat, aflat

departe de alte conductoare parcurse de curenŃi şi având o grosime a mult mai mică decât lătimea b (fig. 15.6-1). Acest caz se poate studia, aproximativ, neglijând "efectele de margine", ca în cazul tolei. Atunci câmpul electromagnetic în secŃiunea conductorului devine unidimensional, adică depinde de o singură coordonată.

Se adoptă un reper cartezian xOyz ca în figura 15.6-1, axa Oy fiind în lungul liniilor curentului de aducŃie

rJ , axa Ox este după lătimea, iar axa Oz - după grosimea conductorului

plat, cu originea în planul de mijloc al conductorului. Densitatea curentului rJ şi intensitatea

câmpului electric rE în conductor au componentă numai după Oy, care depinde numai de

coordonata z

( ) ( )r r r rJ u E u= =y yJ z E z, , (15.6-1)

iar câmpul magnetic are numai componentă după axa Ox

Fig. 15.6-1. NotaŃii pentru studiul efectului pelicular într-un conductor plat.

( )r rH u= x H z . (15.6-2)

Din legea inducŃiei electromagnetice şi din teorema lui Ampère rezultă relaŃiile scalare

∂ ∂ σ ∂ ∂ µ ∂ ∂H z J E E z H t= = =, . (15.6-3)

Trecând la amplitudini complexe, pentru un regim sinusoidal cu pulsaŃia ω, se obŃin ecuaŃiile

d d , d d j ,H z E E z H= =σ ωµ (15.6-4)

Page 152: Fizica II Curs

144

respectiv se stabilesc ecuaŃiile de ordinul doi

d d , d d ,2 2 2 2 2 2H z H E z E= =γ γ (15.6-5)

unde s-a notat γ ωσµ= j .

SoluŃiile au forma

( ) ( ) ( ) ( )E z E z H z E z= =0 0ch , sh ,γ σ γ γ (15.6-6)

în care E0 este intensitatea câmpului electric în planul median al conductorului (z = 0). Mai rezultă densitatea curentului în centrul conductorului J0 = σE0 şi o intensitate de referinŃă a câmpului magnetic H0 = σE0/γ. Prin integrare pe secŃiunea conductorului se obŃine amplitudinea complexă a curentului conductorului

( )I b E a= 2 20σ γ γsh , (15.6-7’)

din care se poate determina valoarea constantei E0 dacă se cunoaşte curentul

( )( )E I b a0 2 2= γ σ γsh . (15.6-7”)

La suprafaŃa conductorului intensitatea câmpului electric are valoarea E0 ch(γa/2). Cu aceasta se poate calcula un factor de creştere a impedanŃei complexe în curent alternativ, faŃă de rezistenŃa în curent continuu, raportând această valoare la aceea care ar rezulta în curent continuu I/(abσ)

( )( ) ( ) ( )k E a ab I a aza = =0 2 2 2ch th .γ σ γ γ (15.6-8)

La acelaşi rezultat se ajunge cu ajutorul puterii complexe primite de conductor. La suprafaŃă vectorul Poynting are valoarea

( ) ( ) ( ) ( )S E a H a E a a= =12

12 0

22 2 2 2* *ch sh * .γ γ γ

Calculând E0 din relaŃia sa cu curentul I, se obŃine

( ) ( ) ( )( )E E E I b a sh a02

0 02 2

2 2 2= =* * sh * .σ γ γ γ γ

Astfel rezultă

( )( )S I b a= 12

2 24 2γ σ γth . (15.6-9)

Puterea complexă primită de conductor pe unitatea de lungime pe ambele feŃe este I2 γ/(4bσ th(γa/2)), pe când la repartiŃie uniformă pe secŃiune ar rezulta puterea I

2/(2abσ), factorul 1/2 fiind datorit faptului că s-a lucrat cu amplitudinea complexă. Se regăseşte valoarea stabilită anterior, pe o cale mai simplă.

Efectul pelicular în conductorul cilindric plin Efectul pelicular se va exemplifica pe cazul conductorului cilindric circular, rectiliniu şi

infinit lung, de rază a, având conductivitatea σ şi permeabilitatea µ, parcurs în sens axial de un curent sinusoidal cu amplitudinea I şi pulsaŃia ω. Datorită extensiei axiale infinite şi simetriei faŃă de axa conductorului, mărimile de câmp depind numai de coordonata radială r a unui reper cilindric r,ϕ,z, a cărui axă Oz coincide cu axa conductorului. Câmpul electric este axial, iar câmpul magnetic este transversal

Page 153: Fizica II Curs

145

( ) ( )r r r rE u H u= =zE r H r, .ϕ (15.6-10)

Folosind reprezentarea în complex, din legea lui Faraday a inducŃiei electromagnetice şi din teorema lui Ampère rezultă ecuaŃiile scalare

d d j , d d .E r H H r H r E= + =ωµ σ (15.6-11)

Eliminând intensitatea câmpului magnetic se obŃine ecuaŃia de ordinul doi a intensităŃii câmpului electric

d d d d .2 2 21 0E r r E r E+ − =γ

Prin eliminarea intensităŃii câmpului magnetic se obŃine ecuaŃia

( )d d d d .2 2 21 1 0H r r H r r H+ − + =γ

Se observă că ambele câmpuri satisfac ecuaŃia lui Bessel, prima de ordinul zero, iar a doua de ordinul unu. Ambele au forma ecuaŃiei modificate, cu argument imaginar.

SoluŃia ecuaŃiei câmpului electric este de forma

( ) ( ) ( )E r A r A r= +1 0 2 0I K .γ γ

Aici I0(ξ) şi K0(ξ) sunt funcŃiile lui Bessel modificate, de prima şi de a doua speŃă şi ordin 0. În general

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )I j J j , K I I sin .0 0 0 2x x x x x nn

n n= = −−− π π

Întrucât la r = 0 funcŃiunile de a doua speŃă tind spre infinit, rezultă A2 = 0. SoluŃia devine

( ) ( )E r A r= I .0 γ

Intensitatea câmpului magnetic se obŃine prin derivare

( ) ( ) ( )H r E r A r= =1 1j d d I ,ωµ σ γ γ

întrucât dI0(ξ)/dξ = I1(ξ). Constanta de integrare A se poate determina cunoscând că la suprafaŃa conductorului (la

r = a) intensitatea câmpului magnetic este I/(2πa), unde I este curentul conductorului

( ) ( )σ γ γ πA a I aI ,1 2=

sau

( )( )A I a a= γ πσ γ2 1I .

FuncŃia I0(ξ) are valoarea 1 la ξ = 0 şi apoi creşte monoton cu ξ real. Variabila complexă proporŃională cu (1+j) menŃine caracterul crescător al modulului funcŃiei, o dată cu creşterea argumentului funcŃiei complexe. FuncŃia I1(ξ) este nulă la ξ = 0 şi apoi creşte monoton cu ξ real. Pentru o variabilă complexă proporŃională cu (1+j), în vecinătatea originii argumentul funcŃiei este π/4 iar apoi creşte o dată cu modulul.

In fig. 15.6-2 s-au reprezentat părŃile reale şi imaginare ale funcŃiilor I0((1+j)x) şi I1((1+j)x), în partea din stânga pentru x∈[0, 3], în partea dreaptă pentru x∈[3, 7].

Page 154: Fizica II Curs

146

Factorul de "impedanŃă" al conductorului, adică raportul dintre impedanŃa complexă a conductorului şi rezistenŃa sa în curent continuu, se calculează cu intensitatea câmpului electric la suprafaŃă A.I0(γa)

( ) ( ) ( )k A a a I a a az = =I I I .02

0 12γ π ω γ γ γ

La acelaşi rezultat se poate ajunge şi cu ajutorul puterilor, care se pot calcula ca fluxul vectorului Poynting prin suprafaŃa care mărgineşte conductorul. Acest vector este orientat spre interiorul conductorului.

Fig. 15.6-2. FuncŃiunile Bessel I0(x(1+j)) şi I1(x(1+j)): 1) ℜeI0(x(1+j)), 2) ℑmI0(x(1+j)), 3) ℜeI0(x(1+j)), 4) ℑmI0(x(1+j))

Vectorul Poynting complex la suprafaŃa conductorului este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S a E a H a I a a a= =12

2 2 20 18* I I .γ π σ γ γ (15.6-16)

Multiplicând cu perimetrul 2πa şi luând partea reală, respectiv imaginară a expresiei, se obŃin puterile active şi reactive pe unitatea de lungime

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

P I a eal a a a

Q I a magl a a a

= ℜ

= ℑ

2 20 1

2 20 1

4

4

π σ γ γ γ

π σ γ γ γ

I I ,

I I . (15.6-17)

În curent continuu cu intensitatea I/√2 ar fi rezultat puterea pe unitate de lungime

( )P I acc =2 22π σ .

Factorul de impedanŃă este

k k k P P Q Pz r= + = +j j .i cc cc

Factorul de majorare a pierderilor prin efect pelicular, numit şi factor de majorare a rezistenŃei kr, are expresia

( ) ( )( )k eal a a ar = ℜ0 5 0 1, I I ,γ γ γ (15.6-18)

rezistenŃa echivalentă pe unitate de lungime este

Page 155: Fizica II Curs

147

( )R k ar= π σ2 , (15.6-19)

iar reactanŃa interioară a conductorului se exprimă sub forma

( )X k ai i= π σ2 . (15.6-20)

Se poate defini şi un factor al reactanŃei interioare kx, raportând reactanŃa interioară Xi la reactanŃa corespunzătoare densitătii de curent constante Xcc = ω µ0/(8π) şi atunci

( ) ( )k k a k ax r= =8 820

2ωµ σ γi j . (15.6-21)

În figura 15.6-3 sunt date diagramele factorilor kr şi kx, ca funcŃie de ξ = αa = a/δ, pentru cilindru de cupru, la 50 Hz.

Când αa ≥ 4 o bună aproximare o dă relaŃia

( )R a≈ α π σ2 , (15.6-19)

care consideră că numai un strat superficial de grosime δ = 1/α ar conduce. In acest caz kr ≈ αa/2.

Fig. 15.6-3. Factorii de modificare a rezistenŃei şi a reactanŃei interioare a conductorului cilindric.

De exemplu, pentru un conductor de cupru cu diametrul de 20 mm, la frecvenŃa de 50 Hz, la care δ = 9,5 mm, rezultă αa = 10/9,5 = 1,0526 şi apoi cu formula "exactă" se obŃine kr = 1,0251 , pe când cu formula aproximativă s-ar obŃine un factor subunitar. La o frecvenŃă de 1000 Hz, se obŃine αa = 4,7075, apoi un factor "exact" kr = 2,2412 şi un factor aproximativ 2,3538, cu 5% mai mare decât cel exact.

15.7. EFECTUL FIELD

Conductoarele aşezate în crestăturile maşinilor electrice sunt parcurse de curenŃi de aducŃie (cu valori impuse), variabili în timp. Câmpul magnetic "de dispersie" creat de aceşti curenŃi (câmpul transversal al crestăturii) modifică distribuŃia curenŃilor pe secŃiunile conductoarelor, modificare cunoscută ca efectul Field. Un efect similar se manifestă şi în conductoarele înfăşurărilor transformatoarelor, respectiv în fasciculele de conductoare (cu curenŃi elementari impuşi), parcurse de curenŃi variabili în timp.

Efectul Field se studiază în două situaŃii: a) o singură bară parcursă de curent în crestătură, b) o bară parcursă de curent în câmpul din crestătură produs de un alt curent. Aceste situaŃii vor fi studiate pe rând, de fapt cu ajutorul aceloraşi ecuaŃii.

a) Efectul Field în bara dreptunghiulară, fără câmp exterior

Page 156: Fizica II Curs

148

Se consideră o bară conductoare dreaptă, lungă, cu secŃiunea dreptunghiulară b.h, parcursă axial de un curent sinusoidal având valoarea efectivă complexă I (mai departe se va lucra cu amplitudinea complexă a mărimilor de câmp). Bara este nemagnetică şi este aşezată într-o crestătură de lărgime bc, practicată într-o armătură feromagnetică (fig. 15.7-1). Armătura este lungă (în sens axial) şi atunci câmpul se poate studia într-un plan perpendicular pe direcŃia muchiilor barei şi crestăturii.

Se alege un reper cartezian cu axele orientate astfel: Oz - axă paralelă cu muchiile barei, Ox - axă după înălŃimea barei, paralelă cu pereŃii crestăturii, cu originea la baza

barei, Oy - axă transversală pe bară.

SoluŃia exactă a acestei probleme de câmp electromagnetic este complicată, datorită efectului marginilor crestăturii în apropierea suprafeŃei libere a armăturii (unde, de regulă, se află întrefierul maşinii electrice). Din această cauză se va considera, aproximativ, că în crestătură liniile de câmp sunt pur transversale (după axa Oy), iar densitatea curentului în bară nu depinde decât de cota x (are aceeaşi valoare pe toată lăŃimea b).

Se consideră un contur Γx care trece transversal prin crestătură la cota x, închizându-se prin cei doi dinŃi vecini şi pe sub baza crestăturii, ca în figura 15.7-1a. Pe acest contur se scrie teorema lui Ampère direct cu imaginile complexe ale mărimilor

U mm x S xΓ ΘΓ

= , (15.7-1)

Fig. 15.7-1. NotaŃii pentru studiul efectului Field în crestătura unai maşini electrice.

Datorită permeabilităŃii foarte mari a corpului feromagnetic în care este practicată crestătura, se poate neglija tensiunea magnetică în fier şi atunci tensiunea magnetomotoare se reduce la tensiunea magnetică din crestătură

( )U H x bmm x cΓ = . (15.7-2)

SolenaŃia corespunzătoare variază cu cota x. Notând cu J(x) funcŃia de cota x a densităŃii de curent în bară, solenaŃia va fi

( ) ( )ΘΓS x

pentru

pentru

pentru

=

<

>

0

0

20

, ,

d , ,

.

x

bJ x h

I x h

x

0

ξ ξ (15.7-3)

SolenaŃia ultimului interval include restricŃia asupra densităŃii de curent

( )b J Ih

ξ ξd .0

2∫ = (15.7-4)

Page 157: Fizica II Curs

149

Derivând în raport cu x relaŃia (15.7-1) şi Ńinând seama de (15.7-2), (15.7-3), se obŃine forma diferenŃială

( )bJ x b H x= c d d . (15.7-5)

Se consideră un al doilea contur Γz (fig. 15.7-1b) în lungul barei, care trece pe la cotele x şi x+dx, pe o lungime axială l. Scriind legea inducŃiei electromagnetice pe acest contur, Ńinând seama de orientările versorilor intensităŃii câmpului electric E şi a intensităŃii câmpului magnetic H (indicaŃi în partea din dreapta a fig. 15.7-1b) şi parcurgând conturul în sens antiorar (spre stânga, cum este indicat lângă simbolul Γz), se obŃine relaŃia

( ) ( )( ) ( )l E x E x x H x l x− + = −d j d ,ωµ 0

adică

( ) ( )d d j .E x x H x= ωµ 0 (15.7-6)

Luând în consideraŃie şi legea conducŃiei electrice J(x) = σE(x), din relaŃiile (15.7-5) şi (15.7-6) se tabileşte ecuaŃia diferenŃială de ordinul 2 a intensităŃii câmpului magnetic

( ) ( )d d ,2 2 2H x x H x= γ (15.7-7)

unde

( )( )γ ωσµ α20

21= = +j j ,b bc e (15.7-8)

γ fiind constanta de propagare, iar αe = 1/δe este constanta de atenuare, egală cu valoarea reciprocă a adâncimii de pătrundere modificată

( )β ωσµe c= 0 2b b şi ( )δ ωσµe c= 2 0b b . (15.7-9)

Se observă că faŃă de cazul semispaŃiului conductor, constanta de atenuare, respectiv adâncimea de pătrundere este modificată, ca şi cum crestătura ar fi umplută pe toată lărgimea sa cu un material cu conductivitatea redusă în raportul b/bc.

SoluŃia ecuaŃiei (15.7-7) este de forma

( )H x A x B x= +sh ch .γ γ (15.7-10)

Întrucât H(0) = 0, rezultă B = 0, apoi

( )H h A h I b= =sh γ 2 c

şi soluŃia devine

( )H x I b x h= 2 c sh sh .γ γ (15.7-11)

Densitatea de curent se deduce direct din relaŃia (15.7-5)

( )J x I b x h= γ γ γ2 ch sh . (15.7-12)

Se observă că distribuŃia curentului după înălŃimea barei, proporŃională cu valoarea funcŃiei ch γx, este neuniformă, fiind minimă la baza barei şi maximă la x = h.

Puterea complexă primită de bară se poate calcula cu fluxul vectorului lui Poynting, observând că acest vector, orientat spre bară, este nenul numai deasupra barei, unde are valoarea

Page 158: Fizica II Curs

150

( ) ( ) ( ) ( )S h E h H h I b b h= =12

2* th .γ σ γc

Factorul 1/2 provine de la folosirea amplitudinilor complexe pentru mărimile de câmp, dar se simplifică cu pătratul lui √2.

Puterea complexă lineică a barei este

( ) ( )P Q b S h I h bh h+ = =j th .c2 γ σ γ (15.7-13)

ObservaŃie. Mai sus s-a multiplicat cu lăŃimea crestăturii şi nu cu lăŃimea barei, datorită formei simplificate (15.7-2) cu care s-a calculat intensitatea câmpului magnetic. În caz contrar, o parte din puterea dată de vectorul lui Poynting s-ar transmite spaŃiului dintre bară şi pereŃii crestăturii. Cum s-a observat anterior, modelul folosit corespunde unei bare care ar umple crestătura, dar ar avea o conductivitate mai mică, pentru a obŃine aceeaşi rezistenŃă în curent continuu.

Se poate defini impedanŃa lineică complexă a barei

( ) ( )Z P Q I h bh h= + =j th .2 γ σ γ (15.7-14)

Notând ξ = αe h, impedanŃa se poate pune sub următoarea formă, cunoscută din literatura de specialitate

( )Z

bh= =

+ + −

ξ

σ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

sh sin j sh sin

ch cos.

2 2 2 2

2 2 (15.7-15)

Partea reală a acestei impedanŃe este rezistenŃa lineică echivalentă a barei, iar partea imaginară - reactanŃa lineică a barei. De regulă prima mărime se compară cu rezistenŃa de curent continuu

( )R bhcc = 1 σ , (15.7-16)

iar a doua - cu reactanŃa barei fără refulare

( )X h bcc c= ωµ 0 3 . (15.7-17)

Se observă că Xcc/Rcc = 2ξ2/3. Cu aceste observaŃii impedanŃa lineică se poate pune şi sub formele

( ) ( )Z R X= +cc ccϕ ξ ψ ξj , (15.7-18)

unde s-au introdus funcŃii de corecŃie pentru rezistenŃă şi pentru reactanŃă

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ψ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

= = + −

= = − −

k

k

r

x

sh sin ch cos ,

sh sin ch cos .

2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 (15.7-19)

Mărimile kr şi kx sunt factori de corecŃie pentru rezistenŃa şi reactanŃa barei înalte, pentru a Ńine seama de influenŃa "refulării" curentului în bară.

In fig. 15.7-3 sunt reprezentate funcŃiile ϕ(ξ) şi ψ(ξ), împreună cu alte două funcŃiuni, corespunzătoare cazului următor.

b) Efectul Field în bara dreptunghiulară, cu câmp exterior În crestătură se pot afla mai multe bare parcurse de curent şi atunci barele din straturi

superioare se află în câmpul creat de curenŃii barelor din straturile inferioare.

Page 159: Fizica II Curs

151

Se consideră configuraŃia din fig. 15.7-2a, în care bara din crestătură, de înălŃime h, este parcursă de curentul I şi se află în câmpul creat de curentul total Ie (în straturile inferioare).

Fig. 15.7-2. NotaŃii pentru studiul efectului Field într-o bară situată în câmp exterior.

Originea coordonatei x se alege la baza barei examinate. Scriind teorema lui Ampère pe conturul Γx din fig. 15.7-2a şi legea inducŃiei

electromagnetice pe conturul Γz (fig. 15.7-2b), se stabilesc aceleaşi ecuaŃii de ordinul 1 (15.7-5) şi (15.7-6), aceeaşi ecuaŃie de ordinul 2 (15.7-7) şi aceeaşi formă a soluŃiei (15.7-10), cu diferenŃa că deşi domeniul în care este valabilă prima ecuaŃie este tot x∈(0, h), valorile limită pentru intensitatea câmpului magnetic sunt modificate

( )( ) ( )

la

la e c

e c

x H I b

x h H h I I b

= =

= = +

0 0 2

2

, ,

, .

Cu aceste condiŃii la limită constantele de integrare se determină din sistemul

( )B I b A h B h I I b= + = +2 2e c e c, sh ch .γ γ

După unele calcule soluŃia devine

( ) ( ) ( )H x b I x h I x h h= + −2 2 2c esh sh ch ch .γ γ γ γ (15.7-20)

Se observă că soluŃia se compune din câmpul propriu (primul termen) şi câmpul indus (al doilea termen). Ultimul prezintă simetrie faŃă de mijlocul înălŃimii barei.

Densitatea curentului în bară se obŃine cu (15.7-5) şi este

( ) ( )( )J x b I x h I x h h= + −γ γ γ γ γ2 2 2ch sh sh ch .e (15.7-21)

DistribuŃia curentului dată de al doilea termen este simetrică în raport cu mijlocul înălŃimii barei.

Vectorul lui Poynting, diferit de zero la ambele nivele extreme, are valorile

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

S I b b I h I h

S h I I b b I h I h

0 2

2

= −

= + +

γ σ γ γ

γ σ γ γ

e c e

e c e

* sh th ,

* th th .

Puterea complexă primită pe unitatea de lungime este

( ) ( )( ) ( ) ( )( )P Q b S h S h bh I h I I I h+ = − = + +j th cos th ,c e e e0 2 22γ σ γ θ γ (15.7-22)

unde cu θe s-a notat defazajul dintre curenŃii I şi Ie.

Page 160: Fizica II Curs

152

Folosind din nou notaŃia ξ = αe h şi parametrii Rcc, Xcc (relaŃiile 15.7-16, 15.7.17), după unele calcule se obŃine

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )P Q I R X I I I R X+ = + + + +j j cos j ,2cc cc e e e cc e cc eϕ ξ ψ ξ θ ϕ ξ ψ ξ (15.7-23)

unde s-au introdus două funcŃii de influenŃă

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ψ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

e

e

= − +

= + +

2

3

sh sin ch cos ,

sh sin ch cos . (15.7-24)

În figura 15.7-3 s-au reprezentat funcŃiile de influenŃă definite anterior. Referitor la factorii de pierderi Joule, se observă că ϕ(ξ) pleacă de la valoare 1 şi apoi creşte până cel mult proporŃional cu ξ, pe când ϕe(ξ) pleacă de la 0 (la frecvenŃă mică nu se induc curenŃi), creşte la început cu puterea a 4-a, ca apoi să fie plafonată de creştere proporŃională cu ξ.

In privinŃa reducerii reactanŃei de dispersie în crestătură ambele funcŃii ψ(ξ) şi ψe(ξ) pleacă cu tangentă orizontală în origine şi încep să scadă abia peste ξ = 0.8. A doua funcŃie pleacă de la valoarea în origine 3, datorită raportării sale la reactanŃa Xcc care conŃine factorul 1/3.

Fig. 15.7-3. Diagramele funcŃiilor de influenŃă pentru efectul Field.

La unele discipline de specialitate, din anii superiori, se vor întâlni forme prelucrate ale efectului Field, adaptate aplicaŃiilor respective, în care intervin anumite mulŃimi de conductoare identice ca formă şi parcurse de curenŃi de aceeaşi valoare. In aceste aplicaŃii se folosesc, de regulă, expresii de aproximare pentru funcŃiile ϕ(ξ) şi ψ(ξ) definite anterior, la valori mici ale argumentului ξ. Aceste expresii se obŃin prin dezvoltare în serie Mac Laurin (sau Taylor pentru argument nul).

15.8. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTAłIONAR AMAGNETIC

Câmpul electromagnetic cvazistaŃionar amagnetic (sau de tip electric) intervine în sudiul dielectricilor cu pierderi.

Dielectricii reali nu sunt perfect izolanŃi şi pot prezenta ceracteristici de polarizare neunivoce. In aceşti dielectrici relaŃia între intensitatea câmpului electric

rE şi cele două

mărimi de câmp pe care le determină, densitatea curentului de conducŃie rJ şi polarizaŃia

temporară rPt , este, în general, neliniară. De asemenea, se poate manifesta un fenomen de

histerezis electric, iar în regim foarte rapid variabil se observă şi un fenomen de vîscozitate

Page 161: Fizica II Curs

153

electrică (post efect electric), polarizaŃia temporară rPt rămânând în urma intensităŃii câmpului

electric. Toate aceste efecte se pot studia în cadrul regimului cvazistaŃionar amagnetic. În ipoteza neglijării fenomenului de inducŃie electromagnetică, ecuaŃiile câmpului

electromagnetic devin

rot , rot ,

div , div .

r r r r

r sE H J D

D J

= = +

= = −

0 ∂ ∂

ρ ∂ρ ∂

t

tv v

(15.8-1)

La acestea se adaugă legea de legătură r r r rD E P P= + +ε 0 p t (15.8-2)

şi relaŃii constitutive neliniare, de forma

( ) ( )r r r r r rJ J E P P E= =, ,t t (15.8-3)

cu observaŃia că ultima relaŃie poate prezenta şi histerezis (sau "ereditate" electrică). Se observă că a doua ecuaŃie (a lui

rH ) poate fi omisă, întrucât câmpul magnetic nu

intervine în celelalte ecuaŃii. Câmpul electric fiind irotaŃional (prima ecuaŃie), derivă dintr- un potenŃial

rE = − grad .V (15.8-4)

În medii omogene, liniare şi izotrope, de permitivitate ε, potenŃialul electric satisface ecuaŃia lui Poisson

∆V = −ρ εv . (15.8-5)

Integrala de energie electromagnetică în acest regim devine

r r r rSn EDd d

d

dd .A J v

tv

D DΣ Σ Σ∫ ∫ ∫= +ρ 2 1

2 (15.8-6)

Condensatorul cu pierderi. O aplicaŃie importantă a acestui regim se referă la studiul condensatorului cu pierderi şi în care se poate manifesta fenomenul de vîscozitate magnetică. În acest regim polarizaŃia temporară este dată de relaŃia lui Boltzmann

( ) ( ) ( )P t f t E t t tt m= −∞

∫ ε ' ' d ',0

(15.8-7)

în care f(t') este funcŃia de întârziere, iar εm - o permitivitate de referinŃă. Dacă intensitatea câmpului electric variază sinusoidal

( )E t E t= max sin ,ω (15.8-8)

introducând această expresie în (15.8-7) şi integrând, se obŃine următoarea expresie a polarizaŃiei

( ) ( )P t E A t B tt m max= −ε ω ωsin cos , (15.8-9)

unde constantele A şi B se calculează cu expresiile

( ) ( )A f t t t B f t t t= =∞ ∞

∫ ∫' cos ' d ', ' sin ' d '.ω ω0 0

Expresia (15.8-9) se mai poate pune sub forma

Page 162: Fizica II Curs

154

( ) ( )P t E C tt m max p= −ε ω δsin , (15.8-10)

în care s-a notat

( )C A B B A= + =2 2 , arctg .δ p (15.8-11)

Unghiul δp este numit unghi de pierderi prin histerezis şi vîscozitate electrică. Intr-un dielectric cu pierderi dielectrice polarizaŃia este defazată în urma intensităŃii câmpului electric cu acest unghi.

Curentul unui condensator plan cu pierderi, căruia i se aplică o tensiunea u(t), se poate pune sub forma

( ) ( ) ( )( ) ( )i t A E t D t t Gu t q t= + = +σ d d d d . (15.8-2)

Mai sus cu A s-a notat aria suprafeŃei unei armături a condensatorului, cu σ - conductivitatea (în general neliniară) a dielectricului, cu E(t) şi D(t) - valorile instantanee ale intensităŃii câmpului electric şi a inducŃiei electrice în dielectric, respectiv cu G - conductanŃa dielectricului şi cu q - sarcina electrică a unei armături. În modelul condensatorului plan, cu distanŃa între armături a, întrucât E(t) = u(t)/a, ultimele două mărimi se exprimă cu relaŃiile

G A a q AD= =σ , . (15.8-13)

În general, conductanŃa G depinde de valoarea instantanee a tensiunii u(t), iar sarcina q este într-o relaŃie neliniară (şi neunivocă) cu tensiunea, datorită caracterului neliniar al polarizaŃiei

( ) ( )G G u q q u= =, . (15.8-14)

Puterea instantanee primită de condensator este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t u t i t Gu t u t q t= = +2 d d .

Primul termen corespunde efectului Joule în dielectric, datorită curentului de conducŃie, pe când al doilea termen conŃine o parte oscilantă - variaŃia unei energii electrice stocate temporar în condensator - şi o parte disipată prin histerezis şi post efect electric. Ultimul termen se pune uşor în evidenŃă într-un regim sinusoidal, Ńinând seama că D(t) = ε0 E(t) + P(t)

( ) ( )( )( )

u q t aE t A t E t E t

aA E t t t

d d sin d d sin sin

cos sin cos sin sin .

= + − =

= + +

max max m max p

max2

m p m p

ω ε ω ε ω δ

ω ε ε δ ω ω ε δ ω

0

02

Ultimul termen din paranteză are nenulă valoarea medie pe o perioadă şi reprezintă puterea activă disipată în dielectricul condensatorului

12 aA Eω ε δmax

2m psin .

Page 163: Fizica II Curs

16. RADIAłIA ELECTROMAGNETICĂ

La frecvenŃe suficient de înalte, câmpul electromagnetic variabil în timp se prezintă sub formă de unde electromagnetice care se propagă cu viteză finită. Determinarea unui astfel de câmp implică rezolvarea ecuaŃiilor lui Maxwell, fără să se mai neglijeze densitatea curentului de deplasare. Prin inducŃie electromagnetică, câmpul magnetic variabil în timp produce câmp electric, iar prin efectul curentului de deplasare, câmpul electric variabil în timp produce câmp magnetic. Latura electrică şi latura magnetică a câmpului se condiŃionează reciproc, chiar în vid, asigurând existenŃa undelor electromagnetice, independent de prezenŃa corpurilor în regiunea considerată. Undele electromagnetice se pot desprinde de corpurile (circuitele) care le-au dat naştere, propagându-se la distanŃe mari şi transmiŃând o parte din energia circuitului, sub o formă specifică câmpului electromagnetic. La frecenŃe înalte apare fenomenul de radiaŃie, prin care o parte din puterea primită pe la borne de un circuit este transmisă mediului înconjurător sub formă de unde electromagnetice.

În cap. 1 s-a studiat cea mai simplă undă electromagnetică, unda plană, fără vreo preocupare referitoare la modul cum a fost generată o asemenea undă. Aici se vor prezenta problemele radiaŃiei undelor de către circuite electrice, pentru cel mai simplu circuit electric radiant, oscilatorul electric elementar al lui Hertz, cu care în 1888 a pus în evidenŃă experimental undele electromagnetice prevăzute teoretic de Maxwell în 1865.

16.1. POTENłIALELE ELECTRODINAMICE RETARDATE

Studiul radiaŃiei undelor electromagnetice de către circuite electrice de curent variabil este uşurat dacă se folosesc potenŃialele electrodinamice ale câmpului electromagnetic. Aceste potenŃiale generalizează pentru mărimile variabile în timp potenŃialul vector şi potenŃialul scalar, care au fost introduse la studiul câmpurilor statice sau staŃionare.

Se reaminteşte că ecuaŃiile lui Maxwell sunt

rot , rot ,

div , div ,

r r r r r

r rH J D E B

D B

= + = −

= =

∂ ∂ ∂ ∂

ρ

t t

v 0

(16.1-1,2)

(16.6-3,4)

la care se adaugă relaŃiile constitutive

( )r r r r r r rB H D E J E E= = = +µ ε σ, , .i (16.1-5)

Legea fluxului magnetic este satisfăcută identic dacă se introduce potenŃialul

electrodinamic vector rA e , prin relaŃia

r rB A= rot .e (16.1-6)

Pentru a stabili în mod univoc un asemenea potenŃial, mai trebuie impusă valoarea div

rA e , întrucât un câmp de vectori este caracterizat complet numai dacă se dă atât rotorul, cât

şi divergenŃa lui. CondiŃia care fixează divergenŃa potenŃialului vector se numeşte condiŃie de

etalonare a potenŃialelor electrodinamice. În regim staŃionar s-a folosit condiŃia de etalonare div

rA = 0 . În regim general variabil se va folosi o altă condiŃie de etalonare.

Introducând în legea inducŃiei electromagnetice inducŃia magnetică exprimată cu ajutorul potenŃialului vector, se obŃine relaŃia

Page 164: Fizica II Curs

156

( )rot ,r rE A+ =∂ ∂e t 0

care stabileşte caracterul potenŃial al vectorului din paranteză. Se poate deci introduce un potenŃial electrodinamic scalar Ve, prin relaŃia

r r r rE A E A+ = − = − −∂ ∂ ∂ ∂e e e e sau t V t Vgrad , grad . (16.1-7)

RelaŃiile (16.1-6) şi (16.1-7) sunt exprimări sub altă formă a legii fluxului magnetic şi a legii inducŃiei electromagnetice. Ele permit calculul câmpurilor

rE şi

rB , dacă se cunosc

potenŃialele electrodinamice rA e şi Ve.

Cu ajutorul celorlalte două ecuaŃii ale lui Maxwell se vor stabili ecuaŃiile pe care le satisfac aceste mărimi, în medii omogene, liniare şi fără câmpuri imprimate. łinând seama de relaŃiile constitutive (16.1-5), acestea devin

rot , divr r r rB J E E= + =µ εµ ∂ ∂ ρ εt v (16.1-8)

şi presupun cunoscute repartiŃiile sarcinii electrice ( )ρv

rr, t şi a densităŃii curentului de

conducŃie ( )r rJ r, t .

łinând seama de relaŃia vectorială

rot rot grad div ,r r rG G G= − ∆

se obŃin următoarele forme ale legii circuitului magnetic

( )∆r r r rA A J Ae e e e− = − + +εµ ∂ ∂ µ εµ ∂ ∂2 2t V tgrad div

şi a legii fluxului electric

( )∆V V t t V te e v e e− = − − +εµ ∂ ∂ ρ ε ∂ ∂ εµ ∂ ∂2 2 div .rA

Acestea sunt ecuaŃiile care trebuie rezolvate pentru a determina potenŃialele electrodinamice. Aceste ecuaŃii se pot simplifica punând condiŃia de etalonare a lui Lorentz

div .rA e e+ =εµ ∂ ∂V t 0 (16.1-9)

Această relaŃie completează definiŃia potenŃialului electrodinamic vector şi cele două potenŃiale electrodinamice satisfac ecuaŃiile

r r rA A Je e

e e v

− = −

− = −

εµ ∂ ∂ µ

εµ ∂ ∂ ρ ε

2 2

2 2

t

V V t

,

.

(16.1-10’)

(16.1-10”)

Acestea sunt ecuaŃiile undelor neomeogene (tridimensionale). În regim staŃionar aceste ecuaŃii trec în ecuaŃiile lui Poisson pentru potenŃialele

rA şi V

∆ ∆r rA J= − = −µ ρ ε, .V v (16.1-11)

Dacă sursele ( )ρv

rr şi ( )

r rJ r ocupă un domeniu mărginit din spaŃiu şi potenŃialele scad

suficient de repede la infinit, soluŃiile au forma "coulombiană"

( ) ( )r r

r r

A rJ r

=∞∫

µ

π4

'd ',

Rv

V (16.1-12’)

Page 165: Fizica II Curs

157

( ) ( )V

Rv

V

rr

rr

=∞∫

1

4πε

ρ v 'd ', (16.1-12”

unde cu R s-a notat distanŃa dintre punctul sursă, reperat prin vectorul rr' şi punctul de

observaŃie, reperat prin vectorul rr

R = −r rr r ' .

Se demonstrează că soluŃiile ecuaŃiilor (16.1-10) se deosebesc de cele ale ecuaŃiilor Poisson (16.1-11) numai prin argumentul timp al mărimilor sursă, fiind

( ) ( )r r

r r

A rJ r

e =−

∞∫

µ

π4

' , cd ',

t R

Rv

V (16.1-13’)

( ) ( )V

t R

Rv

Ve

vrr

rr

=−

∞∫

1

4πε

ρ ' , cd ', (16.1-13”

unde cu c s-a notat viteza de propagare a undelor electromagnetice

c .= 1 εµ (16.1-14)

În expresiile (16.1-13) s-a presupus că potenŃialele şi câmpul se anulează suficient de repede la infinit.

SemnificaŃia expresiilor (16.1-13) este următoarea: potenŃialele electrodinamice în punctul de observaŃie P, la un moment dat t, sunt determinate de valorile surselor din puncte P' (fig. 16.1-1), la un moment de timp anterior t', care diferă de t prin timpul de propagare R/c pe distanŃa R a unei unde electromagnetice

t t R' c .= − (16.1-15)

Fig. 16.1-1. NotaŃii pentru studiul potenŃialelor electrodinamice.

Expresiile (16.1-13) ilustrează faptul că acŃiunile fizice se transmit cu viteză finită: fiecare corp din punctul P', având sarcină electrică sau curent de conducŃie, contribuie la valorile potenŃialelor din punctul P cu o retardare (întârziere) egală cu timpul necesar unei unde electromagnetice libere pentru a ajunge din punctul P' în punctul P. De aceea, potenŃialele (16.1-13) se numesc potenŃiale electrodinamice retardate.

Cele două repartiŃii care determină potenŃialele electrodinamice nu sunt independente, din cauza legii conservării sarcinii electrice

( ) ( )div , , .r r rJ r rt t t+ =∂ρ ∂v 0 (16.1-16)

De aceea se foloseşte numai una dintre integralele (16.1-13), iar celălalt potenŃial se deduce din condiŃia lui Lorentz.

Page 166: Fizica II Curs

158

Dacă pentru t ≤ 0 corpul sursă nu avea sarcină electrică şi nu era parcurs de curenŃi, rezultă că funcŃiunile ρv şi

rJ se anulează

( ) ( )ρv pentru r r rr J r' , ' , ' , ' ' c .t t t t R= = = − ≤0 0 0

În toată regiunea din spaŃiu ale cărei puncte P satisfac în momentul t condiŃia

R t≥ c , (16.1-17)

(unde R este distanŃa de la P la cel mai apropiat punct al corpului D), nu există încă unde electromagnetice. Se numeşte frontul undei suprafaŃa Σ0 cu ecuaŃia

R t0 = c , (16.1-18)

care este locul geometric al punctelor P pentru care cea mai mică distanŃă la corpul D este egală cu distanŃa pe care o poate străbate unda în timpul t.

16.2. REZISTENłA DE RADIAłIE

Ca urmare a radiaŃiei undelor la frecvenŃe înalte de către circuite, acestea pierd putere, pe care o transmit undelor radiate. Dacă un circuit pasiv, cu efect de radiaŃie, primeşte pe la borne o putere activă Pb, această putere se va regăsi sub forma unei puteri PR disipată prin efect Joule şi o putere radiată Prad: Pb = PR + Prad. Dacă I este curentul circuitului, se numeşte rezistenŃă de radiaŃie valoarea

R P Irad rad= 2 . (16.2-1)

Fig. 16.2-1. NotaŃii pentru definirea rezistenŃei de radiaŃie a uni circuit electric.

Un exemplu, cu totul particular, ilustrează faptul că radiaŃia este o consecinŃă a retardării puse în evidenŃă în subcapitolul precedent. Fie o spiră filiformă (fig. 16.2-1), alimentată în regim sinusoidal cu tensiunea U şi care are curentul I. Din cauza retardării, inducŃia magnetică dintr-un punct al suprafeŃei SΓ sprijinite pe conturul Γ al spirei nu mai este în fază, ci rămâne în urmă faŃă de curent. Ca urmare fluxul magnetic φ prin acea suprafaŃă este defazat în urma curentului I cu un unghi δ care creşte cu frecvenŃa (deoarece retardările corespunzătoare diferitelor puncte reprezintă fracŃiuni din ce în ce mai mari din perioada T = 1/f). Acum inductivitatea L a spirei trebuie definită numai în funcŃie de componenta fluxului în fază cu curentul şi fluxul magnetic se poate reprezenta sub forma

( )φ λ λ λ ω= −LI Ij , . cu = (16.2-2)

S-a notat cu λ un factor de proporŃionalitate al componentei fluxului magnetic, defazată cu π/2 în urma curentului.

EcuaŃia circuitului este

Page 167: Fizica II Curs

159

( )U RI RI LI I

U R I LI

= + = + +

= + +

j j ,

j .

ωφ ω ωλ

ωλ ω (16.2-3)

Puterea activă primită de circuit fiind

( )P R I P Pb R rad= + = +ωλ 2 ,

se recunoaşte cu uşurinŃă că

Rrad = ωλ

este rezistenŃa de radiaŃie apărută ca urmare a întârzierii fluxului faŃă de curent.

16.3. RADIAłIA OSCILATORULUI ELECTRIC ELEMENTAR

16.3-1. POTENłIALELE ELECTRODINAMICE ALE OSCILATORULUI ELECTRIC ELEMENTAR

Se consideră un dipol electric, având momentul

( ) ( ) ( )r r rp l ut q t q t lz= = , (16.3-1)

variabil în timp, dar cu direcŃie invariabilă. Un astfel de dipol reprezintă un model idealizat pentru oscilatorul lui Hertz, compus din două sfere încărcate cu sarcini q şi -q, reunite printr-un conductor scurt (faŃă de lungimea de undă), întrerupt la mijloc pentru legăturile de alimentare de la un generator de înaltă frecvenŃă (fig. 16.3-1a şi b).

Dacă momentul dipolului şi deci sarcina sferelor variază, în conductorul de legătură apare un curent electric de conducŃie

i q t l p t= =d d d d .1 (16.3-2)

PotenŃialul electrodinamic vector într-un punct cu raza vectoare rR faŃă de dipol

(fig. 16.3-2) se poate calcula cu (16.1-13'). Pentru R >> l, r rJ u∆v l i'= z şi l i = dp/dt = &p ,

notând cu punct deasupra derivatele în raport cu timpul &f = df/dt, se obŃine potenŃialul electrodinamic vector sub forma

( ) ( )r r r rA r u ke z ez, & c .t p t R R A= − =µ π4 (16.3-3)

Fig. 16.3-1. Oscilatorul electric elementar. Fig. 16.3-2. Câmpul de radiaŃie.

PotenŃialul are numai o componentă, după axa dipolului, aleasă ca axă Oz (fig. 16.3-2)

( ) ( ) [ ]A t p t R R pez

rR , & c & ,= − =µ π µ π4 4 (16.3-4)

Page 168: Fizica II Curs

160

unde cu [f] = f(t-R/c) s-a notat valoarea retardată a functiunii de timp f(t). PotenŃialul electrodinamic scalar se deduce din (16.3-4) folosind condiŃia lui Lorentz

( ) ( ) ( ) [ ]( )∂ ∂ εµ εµ ∂ ∂ πε ∂ ∂V t A z z p Re = − = − = −1 1 1 4div & .rA e e

Notând cu două puncte derivata a doua în raport cu timpul se obŃine

( ) [ ] ( ) [ ] [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ϑ

∂ ∂ ∂ ∂ ϑ

∂ ∂ πε ϑ

& c && c && c && c cos ,

cos ,

& && c cos .

p t R t p t R t p R z p

R z R R z R

V t p R p R

− = − = − = −

= − = −

= − −

1 1 1

1 4

2 2

2e

(16.3-5)

Această expresie se poate integra în raport cu timpul cu o constantă de integrare nulă (întrucât un termen aditiv independent de timp ar fi ca un potenŃial electrostatic suprapus, neasociat câmpului electromagnetic variabil al dipolului). Se obŃine

( ) ( ) [ ] [ ]( )V t p R p Re

rr, & c cos .= +1 4 2πε ϑ (16.3-6)

Se observă că în regim staŃionar, când &p = 0 , se regăsesc expresiile potenŃialelor dipolului în regim strict electrostatic

( )rA e e= =0 1 4 2, cos .V p Rπε ϑ

16.3-2. CÂMPUL DE RADIAłIE AL DIPOLULUI OSCILANT

Cunoscând potenŃialele rA e şi Ve, se poate calcula câmpul electromagnetic al

oscilatorului electric elementar, folosind relaŃiile (16.1-6) şi (16.1-7) r r r rE A H A= − − =grad , rot .V te e e∂ ∂ µ1 (16.3-7)

Câmpul are componente care scad repede cu distanŃa R (fiind provenite din derivarea în raport cu coordonatele spaŃiale a factorilor 1/R şi 1/R2) şi componente care scad mai încet, având ca factor pe 1/R. Se vor calcula numai ultimele componente, care sunt predominante la distanŃe foarte mari de dipol. Calculele se fac în coordonate sferice R,θ,ϕ. Din motive de simetrie în raport cu axa Oz - mărimile nu depind de unghiul de azimut ϕ. Atunci gradientul unei funcŃiuni scalare φ va avea expresia

grad .φ ∂φ ∂ ∂φ ∂θθ= +r ru uR R R (16.3-8)

Se va neglija şi derivata în raport cu θ, care introduce multiplicarea cu 1/R (a unor termeni care conŃin deja 1/R sau 1/R2) şi atunci

grad ,φ ∂φ ∂≈ru R R (16.3-9)

la derivare toŃi factorii 1/R şi 1/R2 fiind consideraŃi constanŃi Neglijând în expresia potenŃialului scalar primul termen, care are ca factor 1/R2 şi Ńinând

seama că r r rk u u= −R cos sinθ θθ (16.3-10)

şi ştiind că εµc2 = 1, la distanŃe mari de dipol se obŃine câmpul electric de radiaŃie

Page 169: Fizica II Curs

161

( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]

r r

r r

r r r

E k

u k

u k u

≈ − − ≈

≈ − − ≈

≈ − − = −

1 4 4

1 4 1 4

4 1 42 2

πε θ µ π

πε θ ∂ ∂ πε

πε θ πε θ θ

grad cos & &&

cos c & && c

&& c cos c sin && ,

p R p R

R p R p R

p R R p

R

R

( ) ( )r rE urad = − −1 4 2πε θ θc sin && c .R p t R (16.3-11)

În mod asemănător se calculează câmpul magnetic

( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )( ) [ ] ( )[ ]

r r r

r r r r

H k k

u k u k

= = × =

= × = − ×

1 4 1 4

1 4 1 4

π π

π ∂ ∂ π

rot & grad &

& c && .

p R p R

p R R pR R

Pentru câmpul magnetic de radiaŃie se obŃine expresia finală

( ) ( )r rH urad = −1 4π θ ϕc sin && c .R p t R (16.3-12)

Se observă că la distanŃă mare de dipol, unda radiată este o undă transversală, cu vectorii câmp perpendiculari unul pe altul şi pe direcŃia de propagare radială, de versor

ru R . Vectorii

r r rE H urad rad R, , formează un triedru drept, iar componentele scalare ale celor doi vectori,

( )E r tθ rad , şi ( )H r tϕ rad , sunt în fiecare moment şi în fiecare punct proporŃionale, raportul lor

fiind egal cu impedanŃa de undă a mediului

( ) ( ) [ ]E Hθ ϕ ε µ ζ µ ε π µ εrad r r= = = = =1 120c c .Ω (16.3-13)

Vectorul lui Poynting este radial, fiind dirijat în sensul propagării undei

( )

( ) ( )( )

( )

r r r r r

r

S E H u r

r

= × =

= = −

R R

rad

S t

S t E HR

p t RR

, ,

,c

sin&& c .θ ϕ

π ε

θ1

42 3

2

2

(16.3-14)

Se observă că radiaŃia energiei este directivă, fiind maximă în planul perpendicular pe dipol şi este nulă în axul dipolului.

16.3-3. REZISTENłA DE RADIAłIE A DIPOLULUI ELECTRIC ELEMENTAR

Această mărime se deduce din valoarea puterii radiate. Fie i curentul de alimentare al dipolului în regim sinusoidal cu pulsaŃia ω, considerat ca origine de fază

i I t q t l p t p l= = = =2 1sin d d d d & .ω (16.3-15)

Însă ω = 2πf = 2πc/λ şi atunci

[ ] [ ] [ ] ( )&& d d cos sin .p l i t l I t l I t R= = = − +ω ω ω ω π λ π2 2 2 2

Componentele câmpurilor vor avea forma

( ) ( )( ) ( )

E l I R t R

H l I R t R

θ

ϕ

ω πε θ ω π λ π

ω π θ ω π λ π

rad

rad

= − +

= − +

2 4 2 2

2 4 2 2

2c sin sin ,

c sin sin .

(16.3-16)

(16,3-17)

Densitatea instantanee a fluxului de energie este

Page 170: Fizica II Curs

162

( ) ( ) ( )( )S t l f I R t RR

rr, c sin cos= + −2 2 2 3 2 24 1 2 4πε θ ω π λ

şi are valoarea medie pe o perioadă

( )~c sin .S l f I RR =

2 2 2 3 2 24ε θ (16.3-18)

Integrând această expresie pe suprafaŃa sferei de rază R, cu dA = R2 sinθ dθ dϕ se obŃine expresia puterii radiate de dipol

( )P l f I R Irad rad= =2 32 2 2 3 2π ε c . (16.3-19)

RezistenŃa de radiaŃie a dipolului elementar devine

( )R lrad r r= 80 2 2π λ µ ε , (16.3-20)

cu condiŃia ca l << λ, pentru ca dipolul să poată fi considerat elementar.

Page 171: Fizica II Curs

1. INTRODUCERE LA METODA DIFERENłELOR FINITE

1.1. INTRODUCERE

În multe aplicaŃii ecuaŃiile care descriu relaŃiile între mărimi implică modificarea discretă a variabilei.

Modificarea funcŃiei y(x) corespuzătoare creşterii argumentului x cu cantitatea pozitivă h se numeşte diferenŃa înainte (forward difference) relativă la pasul h şi se notează ∆y(x)

( ) ( ) ( )∆y x y x h y x= + − . (1-1)

DiferenŃele înainte corespunzătoare de ordin superior se definesc în acelaşi mod, iterativ,

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆2 2 2y x y x y x h y x y x h y x h y x= = + − = + − + + , (1-2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∆3 3 3 2 3y x y x h y x h y x h y x= + − + + + − , (1-3)

ş.a.m.d. Se numesc ecuaŃii în diferenŃe ecuaŃiile în care diferenŃele se referă la o funcŃie

necunoscută. De obicei se folosesc notaŃii abreviate

( ) ( ) ( ) ( )y y x y y x h y y x h y y x kh

y y y y y y y

k

k k k k k k k

0 0 1 0 2 0 0

12

2 1

2

2

= = + = + = +

= − = − ++ + +

, , , ,

, ,∆ ∆ K (1-4)

1.2. OPERATORI DE DIFERENłĂ

Pe lângă operatorul de diferenŃă înainte ∆, definit de

∆y y yk k k= −+1 , (1-5)

se mai defineşte operatorul de diferenŃă înapoi

∇ = − −y y yk k k 1 (1-6)

şi operatorul de diferenŃă centrală

δy y yk k k= −

+ −12

12

. (1-7)

Se mai definesc: operatorul de creştere (deplasare)

E ,y yk k= +1 (1-8)

operatorul de mediere

( )µy y yk k k= +

+ −12 1

212

(1-9)

şi operatorul de derivare

( )D d d .y y xx xk

k

= = (1-10)

Page 172: Fizica II Curs

2

În toate cazurile (exceptând ultimul) este implicat pasul h. ToŃi aceşti operatori sunt comutativi, asociativi şi distributivi pe mulŃimile RRRR şi CCCC. Vom

spune că doi operatori sunt egali atunci când amândoi dau acelaşi rezultat când sunt aplicaŃi oricărei funcŃii pentru care ambele operaŃii sunt definite. Cu această interpretare, rezultă imediat relaŃiile

∆ ∆ ∆ ∆∇

= − ∇ = − = − = +

= = ∇ = ∇ = ∇ = = = ∇∆ =

− − −

− − −

E , E , E E , E E ,

E E , E E , E E , .

1 1 1 12

1 2

12

12

12

12

12

12

12

12

δ µ

δ δ δ δ

(1-11)

1.3. APROXIMAREA DERIVATELOR PRIN DIFERENłE

O funcŃie polinomială poate fi aproximată prin seria sa Taylor

( ) ( ) ( ) ( )f x h f xh

f xh

f xk k k k+ = + + +1 2

2

!'

!" K (1-12)

Această relaŃie se mai poate scrie sub forma

E! ! ! !

,f fhD

fh D

fhD h D

fk k k k k= + + + = + + +

1 21

1 2

2 2 2 2

K K (1-13)

de unde rezultă relaŃia simbolică

( )E exp D ,= h (1-14)

indicând faptul că dacă operatorul exp(hD) este dezvoltat formal în seria crescătoare a puterilor operatorului de derivare D, rezultatul este operatorul de deplasare E, atunci când funcŃia asupra căreia lucrează este un polinom sau atunci când seria Taylor infinită este convergentă.

Se stabilesc următoarele relaŃii simbolice între operatorul de derivare şi operatorii de diferenŃă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

∆ = − ∇ = − − = − − =

= + − =

exp D , exp D , exp D exp D sh D ,

exp D exp D ch D .

h h h h h

h h h

1 1 2

2

12

12

12

12

12

12

12

δ

µ (1-15)

Prin inversarea funcŃiilor şi dezvoltare în serie rezultă relaŃii care permit exprimarea derivatei prin diferenŃe

( ) ( )( )

( )

hD ln E ln

ln

argsh! !

= = + = − + −

= − ∇ = ∇ + ∇ + ∇ +

= = − + −

1

1

21

2 3

1 3

2 5

12

2 13

3

12

2 13

3

12 2

32 2

4

5

∆ ∆ ∆ ∆ K

K

Kδ δ δ δ

(1-16)

(1-17)

(1-18)

Întrucât µ δ µ δ2 14

2 14

21 1− = = +, , sau rezultă şi următoarea

( )[ ]hD argsh! !

= + = − + −2 11

3

1 2

512

14

22

32 2

5µ δ δ µδ µδ µδ K (1-19)

sau explicit

Page 173: Fizica II Curs

3

( ) ( )

( )

µδ δ δ

µδ

f f f f f

f f f f f

k k k k k

k k k k k

= + = −

= − + −

+ − + −

+ + − −

12

12 1 1

3 12 2 1 1 2

12

12

2 2

,

. (1-20)

Aplicând operatorul de derivare de două ori (sau ridicând la pătrat expresiile sibolice (1-16)...(1-18)), rezultă

h f f f f f

f f f f

f f f f

k k k k k

k k k k

k k k k

2 2 3 4 5

2 3 4 5

2 4 6 8

11

12

5

611

12

5

61

120

1

90

1

560

" = − + − +

= ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +

= − + − +

∆ ∆ ∆ ∆ K

K

Kδ δ δ δ

(1-21)

(1-22)

(1-23)

Câteva expresii uzuale

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x f h O h f x f h O h

f x f h f f h

f x f h O h f x f h f h O h

k k k k

k k k k

k k k k k

' , ' ,

' ,

" , " ,

≈ + ≈ ∇ +

≈ = −

≈ + ≈ − +

+ −

µδ

δ δ δ

1 1

2 2 2 2 2 4 2 4

2

1

12

(1-24)

unde prin O(hn) se înŃelege o mărime care tinde spre zero ca hn. Prin neglijarea sa se obŃine o "aproximare de ordinul n".

1.4. APROXIMAREA INTEGRALELOR PRIN DIFERENłE

O integrală definită Ipq poate fi exprimată succesiv astfel

( )I f x x h f t h fpqx ph

x qht

kp

qq p

kk

k

= = =−

+

+

∫ ∫d E dE E

lnE, (1-25)

unde s-a făcut schimbarea de variabilă x = xk+th. Operatorul final obŃinut poate fi exprimat cu ajutorul operatorilor ∆, ∇ sau δ şi apoi se dezvoltă în serie. Câteva rezultate cu aplicaŃie mai frecventă

I h f f f f

h f f f f

I h f f f

k k k k

k k k k

k k k

0112

2 3

12

2 3

1 12 4

1

12

1

24

5

12

3

8

21

6

1

180

= + − + −

= + ∇ + ∇ + ∇ +

= + − +

∆ ∆ ∆ K

K

K

,

., δ δ

(1-26)

(1-27)

(1-28)

ReŃinând primii doi termeni din aceste expresii, se regăseşte formula trapezelor, respectiv formula lui Simpson.

Page 174: Fizica II Curs

4

2. METODA DIFERENłELOR FINITE PENTRU CÂMP STAłIONAR

2.1. ECUAłIILE CÂMPULUI

Metoda va fi ilustrată pentru câmpul electric sau magnetic staŃionar, în medii omogene

sau neomogene, liniare sau neliniare. EcuaŃiile câmpului se pot prezenta fie sub formă integrală, fie sub formă diferenŃială:

Pentru câmpul electric static sau staŃionar

( )

r r r r

r r r r r

E s D n

E D D E E

d , d ,

rot , div , , ,

Γ ΣΣ Σ∫ ∫= =

= = =

0

0

A q

Mρ εv

(2-1)

(2-2)

ultima fiind relaŃia constitutivă, care poate fi funcŃie de punctul curent M. Dacă mediul este anizotrop, relaŃia constitutivă are caracter tensorial.

Pentru câmpul magnetic static sau staŃionar

( )

r r r r

r r r r r r

H s B n

H J B B H H

d , d ,

rot , div , , ,

Γ ΣΣΣ∫ ∫= =

= = =

i A

M

S 0

0 µ

(2-3)

(2-4)

ultima fiind relaŃia constitutivă, care poate fi funcŃie de punctul curent M. Dacă mediul este anizotrop, relaŃia constitutivă are caracter tensorial.

RelaŃia constitutivă poate fi neliniară şi atunci apar dificultăŃi suplimentare în rezolvarea problemei de câmp, determinate de neliniaritate. În cele ce urmează se va considera că influenŃa neliniarităŃii este luată în consideraŃie iterativ şi se abordează cazul unei iteraŃii, în care neliniaritatea este "îngheŃată", ea determinând numai o anumită funcŃie de punct a proprietătii de material ε sau µ, stabilită pe baza stării câmpului din iteraŃia anterioară.

Formele diferenŃiale mai trebuie completate cu relaŃiile de trecere la suprafeŃe de discontinuitate, care nu se mai reproduc aici; ele rezultă, de fapt, din formele integrale. De regulă, în calcule se folosesc câmpuri auxiliare, care conduc la satisfacerea uneia dintre ecuaŃii:

- potenŃialul electric scalar V(M), şi atunci rE = − grad ,V (2-5)

- potenŃialul magnetic vector ( )rA M şi atunci r rB A= rot . (2-6)

Pentru câmpul magnetic static rJ = 0 peste tot şi se poate defini un potenŃial magnetic

scalar Vm(M) şi atunci rH = − grad .Vm (2-7)

În cazul câmpului magnetic staŃionar produs de curenŃi, se mai poate folosi perechea rT − Ω,

astfel r r r rH T T J= − =grad , rot ,Ω iar (2-8)

Ω(M) fiind o funcŃie scalară de punct, iar ( )rT M - un câmp de vectori ales astfel încât rotorul

său să coincidă cu câmpul densităŃii de curent ( )rJ M .

Page 175: Fizica II Curs

5

Se observă că, de fapt, există numai două formulări distincte: folosind un potenŃial scalar sau unul vectorial.

Tratarea potenŃialului scalar va fi exemplificată în cazul câmpului electrostatic. PotenŃialul vector, folosit în cazul câmpului magnetic staŃionar (produs de curenŃi),

creează anumite dificultăŃi la problemele tridimensionale şi aici va fi exemplificat numai pentru câmp în 2D.

Folosind potenŃialul electric scalar, se poate stabili ecuaŃia cu derivate parŃiale a potenŃialului electric

( )div grad ,ε ρV = − v (2-9)

care, în cazul mediului liniar şi omogen (cel puŃin pe porŃiuni) ia forma ecuaŃiei lui Poisson

∆V = −ρ εv . (2-10)

În cazul potenŃialului magnetic vector se obŃine ecuaŃia

( )rot rot ,νr rA J= (2-11)

unde cu ν = 1/µ s-a notat reluctivitatea, funcŃie de H sau B şi de punct. În mediu liniar şi omogen (cel puŃin pe porŃiuni), cu condiŃia de "etalonare" div ,

rA = 0 se obŃine ecuaŃia lui

Poisson în formă vectorială

∆r rA J= −µ . (2-12)

Atunci când problema este în 2D (plan-paralelă sau plan-radială) există un sistem de referinŃă în care câmpul

rJ are o singură componentă, care depinde numai de coordonatele din

planul perpendicular pe acestă componentă: ( )r rJ u= ζ ξ ηJ , . Atunci soluŃia se descrie într-un

plan perpendicular pe rJ şi ecuaŃia vectorială se reduce la una scalară ( ( )

r rA u= ζ ξ ηA , , are

numai o componentă, paralelă cu rJ )

∆A J= −µ . (2-13)

Pentru ca problema de câmp staŃionar să fie formulată complet, adică să aibă soluŃie unică, mai trebuie precizate condiŃiile la limită, care pot fi date sub formele cunoscute: Dirichlet, Neumann sau combinată (Robin).

2.2. METODA DIFERENłELOR FINITE

Metoda diferenŃelor finite stabileşte un sistem de ecuaŃii algebrice care aproximează soluŃia (de regulă funcŃia potenŃial) printr-un număr finit de valori în puncte discrete ale domeniului de câmp, reprezentând noduri ale unei reŃele uni-, bi- sau tri- dimensionale, după cum problema este în 1D, în 2D sau în 3D. Caracterul liniar sau neliniar al sistemului algebric obŃinut este dat de relaŃia constitutivă.

Metoda diferenŃelor finite implică alegerea unei reŃele, în ale cărei noduri vor fi definite valorile funcŃiei potenŃial cu care se descrie soluŃia. ReŃeaua multidimensională se alege, de regulă, ortogonală. Ea poate fi carteziană, polară, sferică, sau chiar curbilinie. Aici se va aborda numai cazul reŃelei carteziene, cea mai des folosită.

ReŃeaua pote avea pas neuniform şi se recomandă ca ea să fie astfel construită încât frontiera domeniului şi liniile sau suprafeŃele de discontinuitate a proprietăŃilor de material să fie formate din laturi şi/sau diagonale în 2D, respectiv din feŃe şi/sau patrulatere formate din muchii şi diagonale în 3D. ReŃeaua cu pas constant după fiecare direcŃie (o coordonată) asigură o mai bună precizie de aproximare prin diferenŃe şi o convergenŃă mai bună a

Page 176: Fizica II Curs

6

procesului de calcul. EcuaŃiile asociate metodei diferenŃelor finite se pot stabili pe două căi: aproximând ecuaŃia diferenŃială prin diferenŃe (divizate) sau aproximând formele integrale ale ecuaŃiilor câmpului.

2.3. APROXIMAREA ECUAłIEI DIFERENłIALE

A) Se consideră întâi medii liniare şi omogene (cel puŃin pe porŃiuni). La problema unidimensională, trebuie aproximată soluŃia ecuaŃiei

( )∂ ∂2 2V x f x= , (2-14)

cu f(x) cunoscută. Se aleg ca necunoscute valorile potenŃialului V în punctele discrete xk, k = 1,2,...n, şi se notează V(xk)=Vk. Intâi se consideră pasul de discretizare h constant

x x k hk = +0 .

Dacă soluŃia poate fi dezvoltată în serie Taylor în jurul fiecărui punct, se stabilesc relaŃiile

V V h V x h V x h V x

V V h V x h V x h V x

k k k k k

k k k k k

+

= + + + +

= − + − +

12 2 2 3 3 3

12 2 2 3 3 3

2 3

2 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

! ! ,

! !

K

K

şi atunci

( ) ( )∂ ∂2 21 1

2 22V x V V V h O hk

k k k≈ − + ++ − . (2-15)

Astfel se obŃine ecuaŃia discretă corespunzătoare nodului k

( ) ( )V V V h f xk k k k+ −− + ≈1 122 (2-16)

şi ecuaŃii similare pentru toate nodurile. RelaŃia obŃinută este citată ca "ecuaŃia în trei puncte" şi este asociată "punctului central"

de indice k. Dacă reŃeaua nu are pas constant, se notează hk = xk+1 - xk şi relaŃiile se modifică astfel

V V h V x h V x h V x

V V h V x h V x h V x

k k k k kk

kk

k k k k kk

kk

+

− − − −

= + + + +

= − + − +

12 2 2 3 3 3

1 1 12 2 2

13 3 3

2 3

2 3

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

! ! ,

! !

K

K

şi apoi

( ) ( )( ) ( ) ( )∂ ∂2 21 1 1 12V x V V h V V h h h O h

k k k k k k k k k≈ − − − + ++ − − − m . (2-17)

Se observă că în cazul reŃelei cu pas neuniform eroarea de aproximare este mai mare, întrucât restul O(hm) variază liniar cu un pas mediu hm şi nu pătratic, ca în cazul pasului constant.

Pentru probleme multidimensionale se procedează în acelşi mod după fiecare direcŃie (dimensiune), folosind reŃele de discretizare independente. Astfel, de exemplu, pentru o reŃea carteziană bidimensională, cu paşii constanŃi hx, hy şi indicii k, i, se obŃine aproximarea

( ) ( )( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2

1 12

1 12 2

2

2

V x V y V V V h

V V V h O h

k ik i k i k i x

k i k i k i y

+ ≈ − + +

+ − + +

+ −

+ −

,, , ,

, , , , (2-18)

Page 177: Fizica II Curs

7

cu care se stabileşte imediat ecuaŃia discretă corespunzătoare unui nod (k,i). Expresia obŃinută este citată ca "ecuaŃie în 5 puncte" şi este asociată punctului central (k,i).

Generalizarea pentru cazul tridimensional este evidentă, obŃinând "o ecuaŃie în 7 puncte", asociată unui punct central (k,i,j).

Expresiile de mai sus se simplifică dacă pasul reŃelelor are aceeaşi valoare după toate coordonatele hx = hy = hz = h, fără a afecta precizia de aproximare.

Pentru reŃele cu pas variabil relaŃiile se stabilesc în mod similar. În "punctele centrale" (k,i,j) situate pe suprafeŃe de discontinuitate a proprietăŃilor de

material nu se mai pot folosi relaŃiile de mai sus, ci trebuie scrise ecuaŃii speciale, care exprimă relaŃiile de trecere între medii diferite: conservarea componentei normale a inducŃiei electrice şi a componentei tangenŃiale a intensităŃii câmpului electric; ultima condiŃie este echivalentă cu continuitatea valorii potenŃialului independent de mediu. În legătură cu exprimarea componentei normale a inducŃiei apar anumite dificultăŃi, care se rezolvă folosind pentru aceste componente aproximarea prin diferenŃe înainte, respectiv înapoi. Aceste dificultăŃi dispar la metoda aproximării formei integrale a ecuaŃiilor.

B) În medii neomogene sau neliniare, proprietatea mediului care intervine în relaŃia constitutivă variază o dată cu poziŃia punctului în câmp şi trebuie aproximată prin diferenŃe o ecuaŃie diferenŃială de forma

( )∂∂

ε∂∂

∂∂

ε∂∂

∂∂

ε∂∂x

V

x y

V

y z

V

zf x y z

+

+

= , , .

Pentru ca operaŃia să fie consecventă, derivatele parŃiale din interiorul parantezelor ar trebui evaluate în acele puncte în care se dă şi proprietatea ε (sau µ, ν la medii magnetice). Acest fapt determină complicaŃii suplimentare deosebite în aproximarea ecuaŃiei diferenŃiale. Cum se va arăta mai departe, metoda aproximării formei integrale satisface cu uşurinŃă această cerinŃă, ca şi cele legate de simularea condiŃiilor la limită, fapt pentru care se recomandă folosirea ultimei metode.

2.4. APROXIMAREA FORMEI INTEGRALE A ECUAłIILOR

Se pleacă de la forma ecuaŃiilor câmpului exprimată cu ajutorul unui potenŃial, scalar sau vector; în ultimul caz aici se va aborda numai cazul câmpului în 2D.

2.4.1. Câmpul electric

Pentru câmpul electric, ecuaŃiile se prezintă sub forma integrală r r r rE s End , d .

a

b

a bV V A∫ ∫= − =ε ρΣΣ v (2-19)

Prima integrală se poate evalua cu o formulă de cvadratură prin diferenŃe. Folosind expresia (1-28) cu diferenŃe centrale pentru o componentă Eξ a intensităŃii câmpului, se obŃine

( ) ( ) ( )( ) ( )V V Ek k k k k kξ ξ ξ ξ ξ ξξ+ + +− ≈ + −112 1 1* , (2-20)

sau, mai concis

V V E hk k k k+ +− ≈1 1

2

* , (2-21)

cu o aproximaŃie de ordinul ( )2 16

212

δ Ek+

, independent de natura, omogenitatea şi liniaritatea

mediului.

Page 178: Fizica II Curs

8

Fiind dată o reŃea rectangulară şi valorile potenŃialului V în nodurile reŃelei, în acest mod se pot determina componentele intensităŃii câmpului electric de-a lungul tuturor laturilor, la mijloacele laturilor (v. fig.2-1).

Cunoscând valorile permitivităŃii, care poate avea valori diferite pe ochiuri în 2D sau pe hexaedre în 3D, se pot determina inducŃiile electrice corespunzătoare.

Fie problema de câmp în 2D, în coordonatele (x,y). Se consideră conturul rectangular Γk,i care trece prin mijloacele laturilor concurente în nodul (k,i). În modul descris mai sus se determină E E E E

k i k i k i k i+ + − −12

12

12

12

, , , ,, , , . Se notează cu εk,i permitivitatea ochiului (k,k+1,i,i+1),

cu ρk,i densitatea de suprafaŃă a sarcinii pe acest ochi şi cu qk,i sarcina punctiformă din nodul (k,i). Aplicând conturului Γk,i legea fluxului electric (a doua integrală din 2-19) şi estimând integrala pe fiecare latură cu primul termen al relaŃiei (1-26), se obŃine ecuaŃia asociată nodului central (i,k)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

12 1 1 1

12 1 1 1

12 1 1 1 1 1

12 1 1 1 1 1

14 1 1

12

12

12

12

y y y y E

x x x x E

y y y y E

x x x x E

q x x x x

i i k i i i k i k i

k k k i k k k i k j

i i k i i i k i k i

k k k i k k k i k j

k i k i k k k i k k

− + − +

+ − + − −

− + − −

− − + − =

= + − + −

− − + +

+ − − +

+ − − − − −

− − − + − −

+ −

ε ε

ε ε

ε ε

ε ε

ρ ρ

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , , ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( )

− +

− − − − + −

− +

+ − + − −

1 1

14 1 1 1 1 1 1

y y

x x x x y y

i i

k i k k k i k k i iρ ρ, , .

(2-22)

În cazul unei reŃele cu pas constant, respectiv în medii omogene, se obŃin relaŃii mult mai simple.

În ecuaŃia (2-22) nu au fost explicitate valorile intensităŃilor câmpului, dar ele se exprimă prin relaŃii de forma (2-21) şi derivă din 5 valori ale potenŃialului: din cel al nodului central şi din cele ale nodurilor de la extermităŃile laturilor concurente în nodul central.

Fig. 2-1. Câmp electric în 2D. Fig. 2-2. Câmp magnetic în 2D.

EcuaŃia obŃinută (2-22) este remarcabilă prin faptul că ea este valabilă şi pentru puncte centrale (k,i) situate pe suprafeŃe de discontinuitate a proprietăŃilor de material, respectiv pentru medii în care proprietăŃile de material sunt funcŃiune de punct (inclusiv în medii neliniare), deci nu mai trebuie folosite şi alte ecuaŃii "speciale" pentru aceste zone. Cum se va vedea mai departe, o parte a aceleiaşi ecuaŃii va fi folosită şi la frontierele cu condiŃii Neumann.

Pentru probleme de câmp în 3D, în coordonatele (x,y,z) se scrie legea fluxului electric pe un hexaedru Σk,i,j centrat pe nodul (k,i,j), care trece prin mijloacele laturilor concurente în nodul central (k,i,j). La intersecŃia laturilor reŃelei cu feŃele hexaedrului se calculează 6 componente ale intensităŃii câmpului electric, perpendiculare pe feŃele respective. In cele 8

Page 179: Fizica II Curs

9

hexaedre în care este împărŃit hexaedrul principal prin suprafeŃele de coordonate care trec prin nodul central, se definesc 8 conductivităŃi, cu ajutorul cărora se determină inducŃiile electrice (6*4=24 valori) şi apoi se calculează fluxurile electrice ale feŃelor. In sfârşit se pot determina şi sarcinile punctuale, de volum şi de suprafaŃă care intervin în membrul drept.

EcuaŃia astfel obŃinută are aceleaşi proprietăŃi ca cea în 2D, dar are 24 termeni în membrul stâng şi se exprimă cu ajutorul potenŃialelor a 7 noduri: cel al nodului central şi cele ale nodurilor de la extremităŃile laturilor concurente în nodul central.

Metoda aproximării formei integrale a ecuaŃiilor are deci două etape, corespunzătoare celor două ecuaŃii din (2-19):

- în prima se calculează la mijlocul fiecărei laturi a reŃelei componenta intensităŃii câmpului electric din lungul acelei laturi, cu care se pot calcula componentele longitudinale ale inducŃiilor electrice din toate diedrele adiacente;

- în a doua etapă se calculează fluxul electric prin suprafeŃe care trec perpendicular prin mijloacele laturilor reŃelei în jurul câte unui nod "central". Pentru membrul drept se calculează sarcina electrică conŃinută de aceste suprafeŃe.

2.4.2. Câmpul magnetic

Pentru câmpul magnetic, în 2D, potenŃialul vector are o singură componentă - fie ea după axa z - şi atunci

( ).,grad yx, yxA×−= kBrr

(2-23)

Câmpul magnetic va fi cuprins în planul z = const. Se notează cu Snr

un versor în planul

z = const, perpendicular pe elementul de arc sr

d , astfel încât produsul vectorial Snkrr

× să fie

omoparalel cu sr

d . Atunci ecuaŃiile câmpului magnetic în formă integrală sunt

.,d Sba

b

a Σ=ν−= ∫∫ ΣiAVV dnBsH

rrr (2-24)

Prima integrală se calculează cu primul termen al formulei de cvadratură (1-28) şi pentru componenta Bη a câmpului, perpendiculară pe segmentul ξk,k+1, dă rezultatul

( ) ( ) ( )( )( ),1121

1 kkkkkk BAA ξ−ξξ+ξ≈ξ−ξ ++η+ (2-25)

sau mai concis

,211 kkkk hBAA

+η+ ≈− (2-26)

cu o aproximaŃie de ordinul ( ),221

261

+ηδ

kB independent de natura, omogenitatea şi liniaritatea

mediului. Fiind dată o reŃea rectangulară şi valorile potenŃialului A în nodurile reŃelei, în acest mod

se pot determina componentele inducŃiei magnetice perpendiculare pe laturi, la mijloacele laturilor (v. fig.2-2).

Cunoscând valorile reluctivităŃii, care poate avea valori diferite pe cele patru ochiuri adiacente, se pot determina intensităŃile corespunzătoare ale câmpului magnetic.

Fie problema de câmp în 2D, în coordonatele (x,y). Se consideră conturul rectangular Γk,i care trece prin mijloacele laturilor concurente în nodul (k,i). În modul descris mai sus se determină .,,,

21

21

21

21 ,,,, −η−η+η+η ikikikik

BBBB Se notează cu ℜk,i reluctivitatea ochiului

(k,k+1,i,i+1), cu Jk,i densitatea de curent pe suprafaŃa acestui ochi şi cu ik,i curentul conductorului filiform din nodul (k,i). Aplicând conturului Γk,i teorema lui Ampčre (a doua

Page 180: Fizica II Curs

10

integrală din 2-24) şi estimând integrala pe fiecare latură cu primul termen al relaŃiei (1-26), se obŃine ecuaŃia corespunzătoare nodului central (i,k)

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ]( ).111,11,14

1

11,11,41

,

,1,11,1121

,1,11,1121

,,11,121

,,11,121

21

21

21

21

−+−−−−

+−−+

−η−+−=−

−η−−−−+

+η−−+

+η+−−

−−+−+

+−−+−+=

=ℜ−+ℜ−−

−ℜ−+ℜ−−

−ℜ−+ℜ−+

+ℜ−+ℜ−

iikkikkkik

iikkikkkikik

ikikkkikkk

ikikiiikii

ikikkkikkk

ikikiiikii

yyxxJxxJ

yyxxJxxJi

Bxxxx

Byyyy

Bxxxx

Byyyy

(2-27)

În cazul unei reŃele cu pas constant, respectiv în medii omogene, se obŃin relaŃii mult mai simple.

În ecuaŃia (2-27) nu au fost explicitate valorile intensităŃilor câmpului, dar ele se exprimă prin relaŃii de forma (2-26) şi derivă din 5 valori ale potenŃialului: din cel al nodului central şi din cele ale nodurilor de la extermităŃile laturilor concurente în nodul central.

EcuaŃia obŃinută (2-27) este remarcabilă prin faptul că ea este valabilă şi pentru puncte centrale (k,i) situate pe suprafeŃe de discontinuitate a proprietăŃilor de material, respectiv pentru medii în care proprietăŃile de material sunt funcŃiune de punct (inclusiv în medii neliniare), deci nu mai trebuie folosite şi alte ecuaŃii "speciale" pentru aceste zone. Cum se va vedea mai departe, o parte a aceleiaşi ecuaŃii va fi folosită şi la frontierele cu condiŃii Neumann. Metoda aproximării formei integrale a ecuaŃiilor are deci două etape, corespunzătoare celor două ecuaŃii din (2-24):

- în prima se calculează la mijlocul fiecărei laturi a reŃelei componenta inducŃiei magnetice perpendiculară pe acea latură, cu care se pot calcula componentele transversale ale intensităŃilor câmpului magnetic în cele două diedre adiacente;

- în a doua etapă se calculează circulaŃia intensităŃii câmpului magnetic (tensiunea magnetomotoare) pe conturul care trece prin mijloacele laturilor reŃelei în jurul câte unui nod "central". Pentru membrul drept se calculează curentul electric care trece prin suprafaŃa sprijinită pe acest contur.

Notă. Pentru un câmp magnetic în 3D s-ar putea proceda în mod asemănător, cu observaŃia că în acest caz potenŃialul vector are trei componente, care trebuie să îndeplinească o condiŃie de etalonare (de obicei divergenŃă nulă). Atunci a doua ecuaŃie din (2-24) ar trebui scrisă pe trei contururi, dar pentru a nu obŃine un sistem cu mai multe ecuaŃii decât necunoscute, condiŃia de etalonare trebuie folosită ca relaŃie de eliminare etc, ceea ce complică foarte mult aplicarea. Din această cauză la problemele de câmp magnetic în 3D se preferă metoda T-Ω sau similară, în care apare numai o funcŃiune scalară (Ω) ca necunoscută.

2.5. SIMULAREA CONDIłIILOR LA LIMITĂ

CondiŃiile la limită sunt de trei feluri: Dirichlet, Neumann sau mixte. Ultimele apar mai rar la câmpurile electrice şi magnetice staŃionare.

Dacă condiŃia Dirichlet - cu potenŃial dat - este pusă în puncte care coincid cu noduri ale reŃelei, nodurile respective au potenŃialul cunoscut, pentru aceste noduri nu se scrie ecuaŃia în care ar apărea ca nod central, iar termenii celorlalte ecuaŃii care conŃin potenŃialele cunoscute trec în membrul drept al sistemului (cu semn schimbat).

Page 181: Fizica II Curs

11

Dacă condiŃia Dirichlet este dată în puncte care nu coincid cu noduri ale reŃelei, se pot stabili relaŃii de legătură cu potenŃialele nodurilor vecine, folosind, de regulă, interpolări liniare. Prin introducerea acestor noi relaŃii se strică simetria sistemului de ecuaŃii, ceea ce are influenŃe importante asupra metodei de rezolare şi asupra spaŃiului de stocare necesar. Din aceste motive se evită această împrejurare, alegând o reŃea adaptată frontierei.

Nodurile aflate pe frontiera cu condiŃie Neumann au potenŃiale variabile (necunoscute a priori).

Dacă condiŃia Neumann - adică cu derivata după normală dată - este în noduri ale reŃelei, ea poate fi luată în consideraŃie cu uşurinŃă la metoda aproximării formei integrale a ecuaŃiilor, întrucât mărimea impusă reprezintă fie intensitatea unui câmp electric, fie intensitatea unui câmp magnetic (când se foloseşte un potenŃial magnetic scalar), fie o inducŃie magnetică, mărimi care intervin direct în forma integrală a ecuaŃiilor şi se iau în consideraŃie fără nici o dificultate. In fig. 2-3 s-a figurat o reŃea şi trei zone (A, B, C) în care se dau condiŃii la limită tip Neumann pe segmentele de frontieră marcate cu săgeŃi.

Fig. 2-3. Punerea condiŃiilor Neumann în diferite vecinătăŃi.

De exemplu, pentru un domeniu cu câmp electric, dacă în nodul 6 din zona A se dă E6 = ∂V/∂x, atunci în ecuaŃia asociată nodului central 6 se vor include numai termenii corespunzători domeniului de câmp (nodurile 1, 6, 7, 11, cu ariile şi permitivităŃile din ochiurile 1-2-7-6 şi 6-7-12-11), iar la membrul drept se va aduna fluxul electric care intră prin porŃiunea de frontieră cuprinsă între nodul central 6 şi mijloacele laturilor 1-6 şi 6-11, adică E6(ε1+ε6)hy/2, permitivităŃile fiind numerotate după nodul stânga-jos al ochiului.

In zona B, ecuaŃia nodului central 19 va cuprinde termenii corespunzători nodurilor 14, 18, 19, 20, cu ariile şi permitivităŃile din ochiurile 18-13-14-19 şi 19-14-15-20, iar la membrul drept se adună fluxul electric care intră prin porŃiunea de frontieră cuprinsă între nodul central 19 şi mijloacele laturilor 18-19 şi 19-20, adică –E19(ε13+ε14)hx/2, unde E19 = ∂V/∂y în nodul 19.

In zona de colŃ C, ecuaŃia nodului central 16 va include numai termenii corespunzători nodurilor 11, 12, 16, 17, cu aria şi permitivitatea ochiului 11-12-17-16, iar la membrul drept se adună fluxul electric care intră prin porŃiunea de frontieră cuprinsă între nodul 16 şi mijloacele laturilor 11-16 şi 16-17.

Dacă condiŃia tip Neumann este pusă unui domeniu de câmp magnetic staŃionar, în care se foloseşte potenŃialul magnetic vector, ecuaŃia nodului aflat pe frontieră corespunde unei integrale de contur, care se efectuează numai pe porŃiunea de contur aflată în domeniul de câmp şi se completează cu tensiunea magnetică stabilită cu condiŃia la limită. Deci pentru zona A se adună în membrul drept B6(ℜ1+ℜ6)hy, unde B6 = ∂A/∂x în nodul 6, iar pentru zona B se adună în membrul drept B19(ℜ13+ℜ14)hx, unde B19 = ∂A/∂y în nodul 19. Pentru zona C vor interveni două inducŃii tangenŃiale etc.

Page 182: Fizica II Curs

12

2.6. SISTEMUL DE ECUAłII ŞI REZOLVAREA

Necunoscutele problemei de câmp descrisă cu ajutorul diferenŃelor finite sunt potenŃialele nodurilor interioare şi ale nodurilor de pe porŃiunile de frontieră cu condiŃii Neumann. Pentru fiecare nod cu potenŃial necunoscut se scrie câte o ecuaŃie, corespunzătoare cazului în care acel nod este considerat central. Se obŃine, astfel, un sistem algebric liniar cu atâtea ecuaŃii câte necunoscute. În cazul când întreaga frontieră este numai cu condiŃii Neumann, trebuie fixat potenŃialul unui nod oarecare (condiŃie Dirichlet), altfel soluŃia nu este unică şi pot apărea dificultăŃi de calcul numeric.

Dacă toate condiŃiile la limită sunt precizate în noduri ale reŃelei, atunci sistemul de ecuaŃii algebrice obŃinut este simetric şi pozitiv definit. Pentru rezolvarea sa se pot folosi metode directe (eliminare Gauss, factorizare Choleschi etc) sau iterative (SOR = Suprarexare succesivă, gradient conjugat etc). Cea mai simplă din punct de vedere al programării este SOR. Fie sistemul de ecuaŃii prezentat sub forma

,. bVM = (2-28)

în care M este matricea (pătrată a) sistemului, V este vectorul potenŃialelor necunoscute, iar b este vectorul termenilor sursă. Se notează cu D matricea diagonalei principale a matricei M şi atunci sistemul de poate prezenta sub forma adecvată calculului iterativ

( )( ) '.1 bNVbDVDMDV 1 +=+−= −− (2-29)

Se demonstreză că pentru sisteme de ecuaŃii stabilite cu metoda diferenŃelor finite matricea N este pozitiv definită şi are raza spectrală subunitară, adică permite un calcul iterativ convergent. RelaŃia de calcul iterativ în forma Jacobi este

( ) ( ) '.bNVV k1k +=+ (2-30)

Efectuarea unei iteraŃii comportă multiplicarea vectorului soluŃie V(k) de la iteraŃia k cu matricea N şi adunarea cu termenul liber b', adică calcule simple. Totuşi metoda necesită rezervarea de spaŃiu pentru doi vectori soluŃie, V(k) şi V(k+1), iar apoi transferul celui de al doilea vector în primul, pentru reluarea calculelor la pasul iterativ următor.

Componentele noului vector soluŃie se calculează succesiv. Componenta de ordin p a soluŃiei este calculată făcând produsul scalar al soluŃiei existente cu linia p a matricei N

( ) ( ) ( ) ( ).'::, ppp bVNV += (2-31)

Pentru eliminarea vectorului soluŃie suplimentar V(k+1) noua componentă se poate stoca în spaŃiul rezervat vechiului vector. Astfel se obŃine schema de calcul Gauss-Seidel, care se poate prezenta sub o formă matriceală.

Fie matricea M descompusă în forma

,UDLM ++=

în care L şi U sunt matrici strict inferior şi superior triunghiulare. Atunci procesul iterativ Gauss-Seidel se descrie prin relaŃia

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).',,,1

1

1

piipiippppN

pi

p

i

bVUVLVD +−−= ∑∑+=

=

Page 183: Fizica II Curs

13

Întrucât componentele 1,...,p-1 ale vectorului soluŃie sunt "noi", prima sumă trece în membrul stâng şi relaŃia devine

( ) ( ) ( ) ( ) '.111 bDLUVDLV−−+ +++−= kk (2-32)

Şi în acest caz iteraŃiile sunt convergente, iar matricea de iterare (- (L+D)-1 U) are o rază spectrală mai mică decât matricea de iterare Jacobi, adică convergenŃa este mai rapidă.

RelaŃia de iterare se mai pune sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

,'11

111

++

−−+

∆+=

−+++−=∆kkk

kkk

VVV

VbDLUVDLV (2-33)

Norma vectorului variaŃie de la o iteraŃie la alta ∆V(k+1) este o măsură a convergenŃei. Când norma este nulă s-a atins soluŃia "exactă". Dacă convergenŃa este în progresie geometrică atunci "eroarea" faŃă de soluŃie se estimează prin raportul

( ) ( ) ( ) .11 kkk VVV ∆−∆∆=ε ++ (2-34)

În relaŃia (2-34) se poate folosi orice normă. Este simplă şi cu semnificaŃie bine precizată norma max(abs), care determină maximul valorii absolute a componentelor vectorului variaŃie. ConvergenŃa se îmbunătăŃeşte prin suprarelaxare succesivă (SOR = successive over-relaxation), cu relaŃia

( ) ( ) ( ) ,11 ++ ∆ω+= kkk VVV (2-35)

unde ω este factorul de relaxare, cu valori între 0 şi 2; pentru ω ∈ (1,2) este suprarelaxare (iteraŃiile sunt divergente la ω ≥ 2), iar pentru ω ∈ (0,1) este subrelaxare. Ultima se foloseşte la stabilizarea unor procese iterative neliniare, altfel instabile (divergente).

Pentru suprarelaxare în cazul sistemelor rezultate din metoda diferenŃelor finite se lucrează cu ω = 1,7...1,95 cu valori mai mari la sisteme mari. Există o teorie pentru determinarea factorului de suprarelaxare optim ωo, care asigură cea mai rapidă convergenŃă.

Rata de convergenŃă asimptotică (la număr mare de iteraŃii) este în relaŃie directă cu raza spectrală ρ a matricii de iterare. Intr-adevăr, fiecare iteraŃie multiplică vectorul eroare cu matricea de iterare. Prezentând matricea de iterare sub forma sa modală, rezultă că la iteraŃia de ordinul p valorile proprii se prezintă ridicate la puterea p. Astfel după un număr mare de iteraŃii va rămâne predominantă numai cea mai mare valoare proprie - raza spectrală. Mai departe procesul iterativ continuă după o progresie geometrică, cu raŃia ρ.

Fie δω = ω - ωo abaterea factorului de relaxare de la valoarea optimă. La apropierea de optim prin valori mai mici, δω < 0 sau ω < ωo, rata de convergenŃă variază mult cu δω, pe când la depăşirea valorii optime δω > 0 se obŃine o variaŃie mult mai lentă şi aproape proporŃională cu δω a ratei de convergenŃă, iar soluŃia iterativă începe să oscileze în jurul soluŃiei exacte.

SoluŃia se consideră aproximată cu eroarea ε dată de (2-34). Atunci când eroarea scade sub o valoare tolerată, se consideră atinsă soluŃia "satisfăcătoare", adică este rezolvat sistemul.

Page 184: Fizica II Curs

3. CALCULUL CÂMPULUI ELECTROSTATIC ÎN MEDII LINIARE, NEOMOGENE, FOLOSIND METODA ELEMENTELOR FINITE.

3.1. PREZENTAREA METODEI ELEMENTELOR FINITE

Regimul electrostatic al câmpului electromagnetic în medii liniare, neomogene şi fără polarizaŃie permanentă, pentru un domeniu Ω mărginit de frontiera ∂Ω, este descris, prin intermediul funcŃiei scalare a potenŃialului electric V, de o ecuaŃie cu derivate parŃiale de tip Poisson

( )div grad ,ν ρV = − v (3.1)

valabilă în tot domeniul Ω, şi de condiŃiile la limită, comportarea potenŃialului pe frontiera ∂Ω şi pe suprafeŃele de discontinuitate din interiorul domeniului. Pe frontieră se pot prescrie valorile potenŃialului, (condiŃii de tip Dirichlet), sau componenta normală a inducŃiei electrice, (condiŃii de tip Neumann), sau valorile potenŃialului pe o parte ∂ΩD a lui ∂Ω, şi componenta normalăa inducŃiei electrice pe cealaltă parte ∂ΩN. Pe suprafeŃele de discontinuitate se precizează relaŃia între componentele normale ale inducŃiei electrice de pe cele două feŃe ale suprafeŃei şi eventuala densitate de suprafaŃă a sarcinii electrice adevărate

ε∂∂

ε∂∂

ρ1 2

1 2

V

n

V

nS SS

= . (3.2)

Sursele funcŃiei potenŃial, adicădensităŃile volumice de sarcină adevărată ρv cât şi densităŃile de suprafaŃă sau de linie asociate suprafeŃelor şi respectiv curbelor de discontinuitate trebuie să fie precizate.

Modelul diferenŃial de mai sus se rezolvă numeric de obicei prin metoda diferenŃelor finite, sau cum s-a prezentat anterior prin metoda sarcinilor echivalente. Se cunoaşte din calculul variaŃional posibilitatea transformării problemelor de ecuaŃii cu derivate parŃiale în probleme de minimizare a unor funcŃionale. In cazul câmpului electrostatic funcŃionala de minimizat are semnificaŃia diferenŃei dintre energia câmpului electrostatic şi cea de interacŃiune între câmp şi sarcina adevărată

( )[ ]F V VnV S= − −∫ ∫1

2

2ε ρ ε

∂∂

grad d d .vS

S

Ω (3.3)

Se observă că în funcŃională apare un termen asociat condiŃiei de frontieră de tip Neumann sau suprafeŃelor de discontinuitate, dacă există, iar valorile impuse ale potenŃialului intervin în calculul energiei de interacŃiune. DistribuŃiile liniare de sarcină sau sarcinile punctiforme apar în funcŃională prin trecerea la limităîn integrala termenului de interacŃiune, obŃinându-se termeni de forma

− −∫ ρC CC p p º i respectiv V s q Vd . (3.4)

Problema s-a transformat acum în aceea a determinării funcŃiei de potenŃial V care să satisfacă condiŃiile de valori impuse, condiŃia Dirichlet, şi să asigure valoarea minimă pentru funcŃională. Problema se reduce astfel la o problemă de programare matematică pe spaŃiul determinat de funcŃiile ce verifică condiŃii de continuitate şi derivabilitate, care sunt mai puŃin

Page 185: Fizica II Curs

severe decât în cazul problemei diferenŃiale iniŃiale (s-a redus cu o unitate ordinul de derivare) şi care funcŃii verifică condiŃiile de valori impuse pe frontieră.

O metodăde rezolvare aproximativăa problemei de minimizare a funcŃionalei este cea a lui Rayleigh - Ritz, metodăpentru care există criterii riguroase de convergenŃă. Se formează un subspaŃiu al spaŃiului admisibil în minimizarea funcŃionalei, subspaŃiu finit dimensional generat de o bază de funcŃii, ϕi , i = 1,..., n, unde n este dimensiunea subspaŃiului. Se caută în acest subspaŃiu funcŃia care asigură cea mai mică valoare pentru restricŃia funcŃionalei la acest subspaŃiu. Această funcŃie, să o notăm V, va fi o combinaŃie liniară a funcŃiilor de bază ϕi

V V=∑ i iϕ . (3.5)

Valorile Vi reprezintăcomponentele funcŃiei V în raport cu baza subspaŃiului. RestricŃia funcŃionalei la subspaŃiul generat de funcŃiile ϕi, pe care o vom nota φ, este acum o simplă funcŃie de n variabile, chiar o formă pătratică în cele n componente ale lui V, formă pătratică pozitiv definită datorită naturii eliptice a problemei de la care s-a plecat

( ) ( ) ( ) ( )φ ε ϕ ρ ϕ ε∂ ϕ

∂ϕ= −

−∑ ∑∑

∑∫∫ 12

2

grad d d .V VV

nV Si i v i i

i i

Si iS

ΩΩ

(3.6)

Tinând cont de liniaritatea operatorului de derivare spaŃială se obŃine

( ) ( )φ ε ϕ ρ ϕ ε∂ϕ

∂ϕ= −

∑ ∑∫ ∑ ∑∫1

2

2V V V

nV Si i i v i i

i

Si iS

grad d d .Ω

Ω (3.7)

Problema se reduce la determinarea minimului fără restricŃii al acestei funcŃii de mai multe variabile. Pentru determinarea valorilor Vi se pune condiŃia necesară de minim, anularea derivatelor funcŃiei φ în raport cu componentele Vi ale lui V şi se obŃine un sistem de ecuaŃii algebrice, în cazul nostru chiar un sistem liniar

∂φ

∂Vi n

i

= =0 1, , , .K (3.8)

Sistemul liniar obŃinut prezintă o bună condiŃionare numerică, întrucât forma pătratică era pozitiv definită. Pentru rezolvarea lui se pot folosi atât metode directe, cât şi metode iterative. Singura dificultate constă în calculul integralelor de volum şi de suprafaŃă, dificultate legată de expresia funcŃiilor ce formează baza subspaŃiului, de forma domeniului Ω şi a frontierei acestuia ∂Ω. FuncŃiile de bază cu expresii complicate fac dificilă găsirea primitivelor în calculul integralelor, trebuind să se apeleze la cvadratură numerică, care deobicei necesită o anume formă a domeniului pe care se face integrarea. De aceea se apelează la transformări geometrice pentru aducerea domeniului la forme regulate. Toate aceste dificultăŃi de aplicare a metodei au condus la apariŃia metodei elementelor finite, ca o metodă particulară în cadrul metodelor de tip Rayleigh - Ritz.

RelaŃiile (3. 8) se pot obŃine şi prin căutarea aşa numitei soluŃii slabe, adică a unei funcŃii, fie ea V, în subspaŃiul generat de funcŃiile ϕi, deci tot o combinaŃie liniară a acestor funcŃii, care să conducă la o funcŃie abatere a verificării relaŃiei diferenŃiale (3.1) ortogonală pe toate componentele bazei. Ortogonalitatea este definită în raport cu produsul scalar construit în subspaŃiul de aproximare prin intermediul integralei pe domeniul Ω a produsului oricărei perechi de funcŃii din acest subspaŃiu

Page 186: Fizica II Curs

- 3 -

( )[ ]V V i n

V i n

= =

+ = =

∑∫

i i

v i

ϕ

ε ρ ϕ

, , , ,

div grad d , , , .

1

0 1

K

KΩΩ

(3.9)

Folosind formula lui Green asociată integralelor de volunm şi de suprafaŃă se ajunge la acelaşi sistem de ecuaŃii ca şi cel obŃinut prin derivarea funcŃionalei energiei.

Proprietatea de convergenŃă a soluŃiei slabe la soluŃia problemei (3. 1) este determinată de operatorul diferenŃial de tip eliptic prezent în problema iniŃială.

Construind un tip special de funcŃii de bază, al căror suport să nu mai fie întregul domeniu Ω, ci doar o mică porŃiune a acestuia, a căror expresie analitică să fie de tip polinomial, pentru a simplifica calculul integralelor, şi asociind coeficienŃii Vi cu potenŃialul electric în puncte ale domeniului, puncte numite noduri, se ajunge la varianta nodală a metodei elementelor finite. FuncŃiile de aproximare sunt de obicei doar continue pe mulŃimea pe care sunt definite, funcŃii de tip Lagrange, putându-se apela şi la funcŃii derivabile pe tot suportul, funcŃii de tip Hermite, cu preŃul sporirii gradului polinoamelor folosite.

Domeniul Ω se consideră o reuniune de subdomenii disjuncte Ωk, cu k = 1,...,nte, unde nte este numărul total de elemente finite folosite pentru descrierea problemei. De obicei nodurile sunt puncte aparŃinând frontierei între elemente (deşi se folosesc şi noduri definite în interiorul elementelor), iar funcŃiile de aproximare ϕi sunt asociate nodurilor. Suportul funcŃiei ϕi este domeniul Ωϕi construit prin reunirea elementelor finite ce conŃin nodul de indice ni asociat funcŃiei. Se notează cu Eϕi mulŃimea indicilor elementelor ce conŃin nodul ni (care formează domeniul Ωϕi) şi cu Eϕij mulŃimea indicilor elementelor ce conŃin atât nodul de indice ni, cât şi nodul de indice nj (intersecŃia mulŃimilor Eϕi şi Eϕj). Se mai noteazăcu NΩk mulŃimea indicilor nodurilor aflate în domeniul Ωk sau pe frontiera sa şi cu Mi coordonatele nodului de indice ni (tripleta xi, yi, zi), iar cu ntn - numărul total de noduri. Acest număr are aceeaşi valoare ca şi numărul n, dimensiunea spaŃiului de aproximare.

( )

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω

= = = =

= ≠ = =

= = =

= ∈

kk=1

nte

i i kk E i

tn

ij i te te

i j ij tn tn

k i i k

j

pe

U U

I

K

K K

K K

, Sup , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , ,

: , .

ϕ

ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ δ

ϕ

i n

E E E i j i n j n

M i n j n

V V i N

1

1 1

1 1

(3.10)

Se presupune că pe frontierele între elemente componenta normală a inducŃiei electrice satisface relaŃia de continuitate

ε∂∂

ε∂∂

∂Ω ∂Ωi j i j pe V

n

V

n+ = 0 I . (3.11)

La elementele finite de tip Lagrange această condiŃie nu esta îndeplinită , de unde apar erori importante, corespunzând sarcinii de polarizaŃie introdusă de modelul de calcul. Această neconcordanŃă poate fi eliminată prin construcŃia de elemente de ordin superior sau prin folosirea elementelor finite ce nu folosesc variabile nodale, ci variabile de muchie sau de faŃă, care asigură continuitatea componentei normale a inducŃiei electrice, continuitate interpretată de obicei în sens integral.

În cele mai multe realizări practice ale metodei elementelor finite sursele câmpului, adică densităŃile de sarcină volumice, de suprafaŃă sau de linie, se descompun şi ele în baza funcŃiilor ϕi, adică se foloseşte o expresie a variaŃiei densităŃii sarcinii adevărate de forma

Page 187: Fizica II Curs

ρ ρ ϕv vp p=∑ ,

unde p sunt indicii funcŃiilor de aproximare care conŃin în suportul lor regiunea cu densitate de sarcină adevărată. Se obŃine astfel forma ecuaŃiilor (3.9), în care integralele pe întregul domeniu Ω sunt înlocuite cu sume de integrale pe elemente, şi anume pe toate elementele care conŃin nodul asociat funcŃiei ϕi (cu indici în mulŃimea Eϕi)

V Vkk E

l

ll E

k E

i k i i

i

j i j

iji j

vp pp

i

i

ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ

ρ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

div grad d divgrad d

d

Ω Ω

Ω

∫∑ ∫∑∑

∑∑

∈ ∈≠

+ +

+

= 0

(3.12)

În aceste expresii domeniul de integrare (volumul) Ωk s-a notat simplificat, numai prin indicele său k.

Folosind formula lui Green

( )ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ∂Ω

grad d div grad d div grad d grad grad d ,rn S∫ ∫ ∫ ∫= = +Ω Ω Ω

Ω Ω Ω

în final se obŃine

ψ ϕ∂ϕ

∂ψ ψ ϕ

∂Ω

div grad d d grad grad d .Ω ΩΩ Ω∫ ∫ ∫= −

nS (3.13)

Cu aceasta putem rescrie relaŃia (3.12)

( )V V

V

nS

k E

l

ll E

kk E

i k i

ki

j i j

ijj i

vp pp

i

i

i

i

ε ϕ ε ϕ ϕ

ρ ϕ ϕ∂∂

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ∂Ωϕ ∂Ω

grad d grad grad d

d d .

2Ω Ω

Ω

∫∑ ∫∑∑

∑∫∑ ∫

∈ ∈≠

+ =

=

+ −

I

(3.14)

EcuaŃiile sistemului liniar se scriu sistematic introducând următoarele notaŃii

( )A

A

BV

nS

kk E

l

ll E

kk E

ii k i

i

ij i j

i vp pp

i i

ii

ij

=

=

=

+ −

∫∑

∫∑

∑∫ ∫∑

ε ϕ

ε ϕ ϕ

ρ ϕ ϕ ε∂∂

ϕ

ϕ

ϕ

∂Ωϕ ∂Ωϕ

grad d ,

grad grad d ,

d d .

Ω

ΩI

(3.15)

În termenul Bi integrala de volum asociată densităŃii volumice de sarcină adevărată, poate fi trecută la limită într-o integrală de suprafaŃă în cazul distribuŃiilor de suprafaŃă a sarcinii adevărate, sau chiar într-o integrală curbilinie la distribuŃiile lineice. De obicei aceste distribuŃii sunt chiar pe feŃele elementelor sau se urmăreşte alegerea elementelor astfel încât sarcinile să se găsească pe feŃele sau pe muchiile lor. In cazul sarcinilor punctuale, pentru care în fond distribuŃia de sarcină volumică este de tip Dirac, integrala de volum din (3.15) se reduce la o distribuire la nodurile elementului în interiorul căruia se află punctul cu sarcină electrică adevărată a valorii acesteia. Regula de distribuŃie este dictată de valorile funcŃiilor de aproximare în poziŃia corespunzătoare punctului cu sarcină concentrată. Cum suma funcŃiilor

Page 188: Fizica II Curs

- 5 -

de aproximare este egală cu 1 în orice punct din domeniul Ω, condiŃie ce este asociată cerinŃei de reprezentare a unui câmp de potenŃial uniform, rezultă că suma fracŃiilor asociate nodurilor frontierei domeniului Ω va fi egală cu valoarea sarcinii punctuale. Sistemul liniar va fi

V A V A B i ni ii j ij i tn pentru + = =∑ , , , .1 K (3.16)

Dacă potenŃialele anumitor noduri sunt impuse, atunci ecuaŃiile asociate acestor noduri pot fi eliminate din sistem şi putem trece în membrul drept termenii asociaŃi acestor potenŃiale prezenŃi în celelalte ecuaŃii

V A V A B V Ai ii j ij i k ik+ = −∑ ∑ (3.17)

pentru toate nodurile i de potenŃial necunoscut şi nodurile k de potenŃial impus. Sistemul liniar se rezolvă de obicei cu o metodă directă, o factorizare Choleski (sau

LDU) utilă pentru soluŃii repetate asociate la diverşi termeni liberi. Datorită suportului restrâns al funcŃiilor ϕi sistemul are puŃini termeni în fiecare ecuaŃie, deci se folosesc în mod intens schemele de lucru cu matrici rare.

3.2. TIPURI DE ELEMENTE FINITE FOLOSITE

Prezentarea anterioară a făcut abstracŃie de forma particulară a elementelor finite. Există două mari direcŃii de construire a elementelor finite pentru analiza de tip nodal: elemente finite construite direct în spaŃiul Ω şi elemente finite numite izoparametrice, construite într-un domeniu de referinŃă şi apoi realizarea unei transformări a acestui domeniu în spaŃiul Ω.

Elementele finite din prima categorie sunt elementele construite cu polinoame chiar în spaŃiul geometric Ω, coeficienŃii acestor polinoame fiind determinaŃi pe baza proprietăŃilor impuse acestor polinoame la (3.10). Se observă că pentru un tip simplu de tetraedru cu noduri doar în vârfuri, există patru condiŃii pentru fiecare polinom asociat nodului. FuncŃiile de aproximare vor fi polinoame de gradul unu în x, y şi z. Cum pentru asemenea polinoame sunt necesari patru coeficienŃi, condiŃiile (3.10) sunt suficiente. Sistemele pentru determinarea coeficienŃilor polinoamelor asociate nodurilor unui element au aceeaşi matrice şi diferă prin termenii liberi, mai precis prin poziŃia unicei valori nenule, unu. Se va inversa matricea rezultată din coordonatele celor patru noduri şi se vor determina coeficienŃii polinoamelor prin patru operaŃii de înmulŃire cu inversa. Stabilitatea numerică a acestui procedeu simplu este determinată de poziŃiile nodurilor tetraedrului: cu cât acestea sunt mai apropiate de o poziŃie coplanară cu atât matricea va fi mai prost condiŃionată. Cu aceste polinoame uşor determinate dificultăŃile sunt legate de efectuarea integralelor de volum, şi anume de impunerea limitelor la transformarea integralelor de volum în integrale triple. Folosirea unui element de tip tetraedral dar şi cu noduri pe muchii, putând avea deci feŃe neplane, devine complicată. Astfel că frontiera lui Ω se reprezintă în această metodă de construcŃie a polinoamelor de aproximare ca o reuniune de mici suprafeŃe plane.

3.2.1. ELEMENTE IZOPARAMETRICE

Elementele izoparametrice sunt construite în spaŃiul de referinŃă şi apoi se face o transformare bijectivă între domeniul de referinŃă şi regiunile geometrice în care a fost divizat domeniul Ω. Trebuie doar să coincidă tipul corpului geometric din spaŃiul de referinŃă şi cel din spaŃiul real. Elementele izoparametrice se pot construi cu uşurinŃă pornind de la cele de dimensiune inferioară. În cele ce urmează se va arăta inductiv cum se construiesc asemenea elemente.

Page 189: Fizica II Curs

Elementele unidimensionale se deduc constructiv, plecând de la segmentul cu două noduri la capete şi cu cele două polinoame de interpolare de gradul întâi (fig. 3.1). FuncŃiile de aproximare pentru acest element sunt

( ) ( ) ( ) ( )( )

ϕ ξ ξ ϕ ξ ξ

ϕ ϕ ξ

1 2

1 1 2 2

0 5 1 0 5 1

11

= − = +

= + ∈ −

. , . ,

, , .V V V (3.18)

Fig. 3.1 Fig. 3.2

Se observă că relaŃiile (3.10) sunt verificate şi că în orice punct de pe segment suma celor două funcŃii este 1. Derivatele acestor funcŃii sunt constante şi se observă că ele sunt echiva- lente cu schema de diferenŃe finite care aproximează derivatele pe segment prin diferenŃa valorilor în noduri împărŃită la lungimea segmentului.

Fie un segment în spaŃiul geometric pe axa Ox, cu capetele situate în punctele de coordonate x1, respectiv x2 (fig. 3.2). CorespondenŃa între spaŃiul de referinŃă şi spaŃiul real se va face folosind aceleaşi funcŃii de aproximare (de aici provine şi numele de elemente izoparametrice)

( ) ( ) ( )x x xξ ϕ ξ ϕ ξ= +1 1 2 2 . (3.19)

Se observă că trecerea se face simplu de la domeniul de referinŃă la spaŃiul real, că orice integrală pe spaŃiul real se transformă cu uşurinŃă într-o integrală pe spaŃiul de referinŃă. Integralele care nu necesită derivate în raport cu coordonatele spaŃiului real,cum sunt cele din termenii B, se calculează imediat cu schimbarea de variabilă (3.19), ca integrale în spaŃiul de referinŃă de la –1 la 1. Integralele din termenii A necesitând derivatele funcŃiilor de aproximare în raport cu variabilele spaŃiului real se vor face Ńinând cont de formulule de derivare a funcŃiilor compuse şi de expresia derivatei unei funcŃii inverse scrisă cu ajutorul derivatei funcŃiei directe

d

d

d

d

d

d.

ϕ ϕ

ξ

ξi i

x x= (3.20)

Ultima derivată din (3.20) se obŃine prin inversarea directă a relaŃiei de legătură dintre spaŃiul de referinŃă şi spaŃiul real, în acest caz simplu; pentru elemente cu puncte intermediare pe segment, la care relaŃia de legătură între spaŃiul de referinŃă şi spaŃiul real este mai complicată, se aplică teorema funcŃiilor implicite, care oferă tocmai valoarea acestei derivate

( ) ( ) ( )

( ) ( )

F x x x x

xF x F

, ,

d

d.

ξ ϕ ξ ϕ ξ

ξ∂ ∂ ∂ ∂ξ

= − + + =

= −

1 1 2 2 0 (3.21)

Page 190: Fizica II Curs

- 7 -

Un element cu mai multe noduri se construieşte cu uşurinŃă în spaŃiul de referinŃă, alegând poziŃia ξ0 a unui nod nou între cele două noduri de la capăt şi impunând condiŃii de tip (3.10) pentru această funcŃie în raport cu nodurile 1, 2 şi 3

( ) ( ) ( )ϕ ϕ ξ ϕ ξ3 3 0 3 01 0 1 1 0 1 1− = = = − < <, , , .

Din prima şi din ultima condiŃie rezultă

( ) ( )( )ϕ ξ ξ ξ3 1 1= + −c ,

iar din a doua condiŃie se obŃine

( ) ( )( )( )

ϕ ξ ξ ξ

ξ

3 0 0 0

02

1 1 1

1 1

= + − =

= −

c

c

,

şi deci

( ) ( )( ) ( )ϕ ξ ξ ξ ξ3 021 1 1= + − − . (3.22)

Alegerea uzuală este ξ0 = 0, dar nu sunt excluse şi alte alegeri, de obicei legate de dispunerea punctului intermediar în spaŃiul real, pentru a avea o metrică cât mai uniformă a trecerii porŃiunilor din segmentul de referinŃă în segmentul real.

Celelalte două funcŃii ϕ1(ξ) şi ϕ2(ξ) se vor modifica astfel ca suma tuturor funcŃiilor să aibă în orice punct al segmentului valoarea 1. Astfel, notând cu ϕ10(ξ) şi ϕ20(ξ) funcŃiile de aproximare de la elementul cu două noduri, avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ξ ϕ ξ αϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ βϕ ξ1 10 3 2 20 3= + = +,

şi din suma 1 pentru orice ξ avem o condiŃie pentru α şi β

α β+ + =1 0,

iar în ξ0 funcŃiile ϕ1 şi ϕ2 iau ambele valoarea 0

( ) ( ) ( ) ( )ϕ ξ ϕ ξ α ϕ ξ ϕ ξ β1 0 10 0 2 0 20 01 1= + = +, ,

deci

( ) ( )α ϕ ξ β ϕ ξ= − =10 0 20 0 º i

şi atunci

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ξ ξ ϕ ξ ϕ ξ

ϕ ξ ξ ϕ ξ ϕ ξ

1 10 0 3

2 20 0 3

0 5 1= − −

+

. ,

.= 0.5 1 + (3.23)

Page 191: Fizica II Curs

Fig. 3.3 Fig. 3.4

Procesul de construcŃie poate continua în acelaşi fel. În fig. 3.3 se exemplifică cazul elementului cu trei noduri şi ξ0 = 0.

Elementele bidimensionale în spaŃiul de referinŃă pot fi de tip pătrat şi de tip triunghi echilateral. Elementul de tip rectangular cu patru noduri (pătratul, fig. 3.4) în spaŃiul de referinŃă este descris de următoarele funcŃii

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

ϕ ξ η ξ η

ϕ ξ η ξ η

ϕ ξ η ξ η

ϕ ξ η ξ η

ϕ ϕ ϕ ϕ

1

2

3

4

1 1 2 2 3 3 4 4

0 25 1 1

0 25 1 1

0 25 1 1

0 25 1 1

, . ,

, . ,

, . ,

, . ,

.

= + −

= + +

= − +

= − −

= + + +V V V V V

(3.24)

Se observă construirea lor pe baza funcŃiilor de la segmentul cu două noduri. FuncŃiile conŃin pe lângă termenii liniari în cele două variabile şi un termen de ordin superior. Acest tip de element construieşte un spaŃiu de funcŃii complet pentru polinoamele de gradul întâi, şi cum intensitatea câmpului electric este derivata potenŃialului, se poate reda exact un câmp electric uniform. Folosind transformarea de coordonate prezentată la elementul unidimensional putem pune în corespondenŃă pătratul de referinŃă cu un patrulater oarecare. Dacă patrulaterul cu care se face corespondenŃa este convex, transformarea va fi bijectivă, determinantul funcŃional va avea un semn constant legat de de coincidenŃa sau nu a sensului de rotaŃie pozitiv din planul real cu sensul de rotaŃie rezultat la parcurgerea nodurilor declarate ale patrulaterului din planul real. Dacă cele două sensuri de rotaŃie coincid, determinantul va avea mereu semnul plus şi respectiv minus la necoincidenŃă. O schimbare de semn a determinantului la parcurgerea pătratului din planul de referinŃă indică un patrulater concav în planul real. In acest caz trebuie redefinit patrulaterul din planul real. Cu cât unghiurile patrulaterului din planul real sunt mai apropiate de un unghi drept, cu atât valoarea determinantului funcŃional va fi mai uniformă pentru toate punctele pătratului de referinŃă şi nu vor apare probleme legate de stabilitate numerică. De asemenea nu trebuie să existe o disproporŃie între dimensiunile patrulaterului din planul real; experimental s-a observat că un raport între lăŃime şi lungime mai mare ca trei poate produce probleme numerice. Curbele de coordonate din planul de referinŃă trec în drepte aşa cum se vede în figura 3.5. RelaŃiile de transformare între coordonatele din spaŃiul de referinŃă şi spaŃiul real sunt

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x

y y y y y

= + + +

= + + +

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

ϕ ξ η ϕ ξ η ϕ ξ η ϕ ξ η

ϕ ξ η ϕ ξ η ϕ ξ η ϕ ξ η

, , , , ,

, , , , . (3.25)

Page 192: Fizica II Curs

- 9 -

Fig. 3.5

Se observă cum elementelor de aceeaşi arie din planul de referinŃă le corespund elemente de arii diferite, după poziŃia pe care o alegem în pătratul de referinŃă. Analog celor discutate la elementul unidimensional, integralele care nu implică derivate în raport cu coordonatele din spaŃiul real se calculează imediat, transformarea de coordonate uşurând transformarea integralelor de suprafaŃă în integrale duble. Mai este necesară determinarea matricei de transformare (matricea jacobian) şi a valorii determinantului acestei matrice, determinant ce intervine în calculul integralei în urma schimbării de variabile

( )( )

JD x y

D

x y

x y= =

,

,.

ξ η

∂∂ξ

∂∂ξ

∂∂η

∂∂η

(3.26)

Pentru calculul derivatelor funcŃiei potenŃial în raport cu coordonatele din spaŃiul real, derivate care apar în termenii A din sistemul de ecuaŃii (3.17), este nevoie să se inverseze matricea de transformare şi să se folosească formula de derivare a unei funcŃii compuse

∂∂

∂ϕ

∂ϕ

∂ξ∂ξ∂

∂ϕ

∂η∂η∂

∂∂

∂ϕ

∂ϕ

∂ξ

∂ξ

∂ϕ

∂η∂η∂

V

xV

xV

x x

V

yV

yV

y y

= = +

= = +

∑ ∑

∑ ∑

ii

ii i

ii

ii i

,

.

(3.27)

Derivatele parŃiale în raport cu coordonatele spaŃiului real se calculează din derivatele parŃiale în raport cu coordonatele din spaŃiul de referinŃă cu ajutorul matricei de transformare

( )( )

( )( )

D

D x y

D x y

D

x x

y y

ξ η

ξ η

∂ξ

∂∂η∂

∂ξ

∂∂η∂

,

,

,

,.=

=

−1

(3.28)

Adăugarea de noduri suplimentare se poate face în maniera descrisă la elementul unidimensional. Se poate adăuga, de exemplu, un nod intermediar pe latura dintre nodurile 1 şi 2 la mijlocul acesteia, latură denumită 1 în notaŃiile din figura 3.4, notaŃii consacrate în realizările practice de programe de element finit cu elemente izoparametrice. FuncŃia de interpolare a acestui nod, care trebuie să se anuleze în toate cele patru vârfuri, va fi

( ) ( )( )( )( )ϕ ξ η η η ξ ξ5 1 1 1 1, = − + − + (3.29)

Page 193: Fizica II Curs

şi va modifica funcŃiile nodurilor 1 şi 2 conform mecanismului discutat la elementul unidimensional

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ϕ ξ η ϕ ξ η ϕ ξ η

ϕ ξ η ϕ ξ η ϕ ξ η

1 10 5

2 20 5

0 5

0 5

, , . , ,

, , . , .

= −

= −

Celelalte două funcŃii, pentru nodurile 3 şi 4, rămân nemodificate. Posibilitatea construirii elementelor cu mai multe noduri pe muchie asigură redarea unor frontiere curbe şi folosirea unor funcŃii de aproximare de ordin superior în regiunile în care funcŃia potenŃial are o variaŃie mai rapidă. De asemenea, pentru a realiza compatibilitatea între tipuri de elemente cu număr de noduri diferit pe muchie, pot fi construite elemente cu număr variabil de noduri de la 4 la 8. In aceeaşi manieră se pot construi şi triunghiuri izoparametrice cu 3 sau 6 noduri, folosind un sistem de coordonate natural în planul de referinŃă, bazat pe ariile celor trei triunghiuri determinate de laturi şi un punct interior triunghiului. Elementul izoparametric triunghi este util pentru redarea comodă a frontierelor.

Elementele tridimensionale în spaŃiul de referinŃă pot fi de tip cub cu opt sau mai multe noduri, prismă cu şase sau mai multe noduri şi tetraedru cu patru sau mai multe noduri. Elementul de tip hexaedru cu opt noduri este descris de următoarele funcŃii de aproximare

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ξ η ζ

ϕ ϕ

1

2

3

4

5

6

7

8

1 1 2 2

0125 1 1 1

0125 1 1 1

0125 1 1 1

0125 1 1 1

0125 1 1 1

0125 1 1 1

0125 1 1 1

0125 1 1 1

, , . ,

, , . ,

, , . ,

, , . ,

, , . ,

, , . ,

, , . ,

, , . ,

= + − −

= + + −

= − + −

= − − −

= + − +

= + + +

= − + +

= − − +

= + +V V V V V V V V V3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + + .

(3.30)

Se observă modul constructiv în care se obŃine acest element, plecând de la elementul unidimensional. Transformarea geometrică ce foloseşte funcŃiile de aproximare se construieşte în acelaşi mod ca şi în cazul elementului bidimensional, şi apar aceleaşi probleme legate de matricea transformării şi de determinantul funcŃional, de sensul de numerotare a nodurilor pentru elementul hexaedral din spaŃiul real. In spaŃiul real hexaedrul trebuie să fie convex şi cât mai apropiat de un paralelipiped pentru a avea o bună stabilitate numerică

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

x x x x x

x x x x

y y y y y

y y y y

z z z

= + + + +

+ + + +

= + + + +

+ + + +

= +

1 1 2 2 3 3 4 4

5 5 6 6 7 7 8 8

1 1 2 2 3 3 4 4

5 5 6 6 7 7 8 8

1 1 2

ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ϕ

, , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , , , , ,

, , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 3 3 4 4

5 5 6 6 7 7 8 8

ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ

ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ ϕ ξ η ζ

, , , , , ,

, , , , , , , , ,

+ + +

+ + + +

z z

z z z z

(3.31)

matricea transformării geometrice (jacobian)

Page 194: Fizica II Curs

- 11 -

( )( )

JD x y z

D

x y z

x y z

x y z

= =

, ,

, ,.

ξ η ζ

∂∂ξ

∂∂ξ

∂∂ξ

∂∂η

∂∂η

∂∂η

∂∂ζ

∂∂ζ

∂∂ζ

(3.32)

precum şi inversa ei, necesară pentru calculul derivatelor funcŃiei potenŃial în raport cu coordonatele din spaŃiul real

( )( )

( )( )

D

D x y z

D x y z

D

x x x

y y y

z z z

ξ η ζ

ξ η ζ

∂ξ

∂∂η∂

∂ζ

∂∂ξ

∂∂η∂

∂ζ

∂∂ξ

∂∂η∂

∂ζ

, ,

, ,

, ,

, ,.=

=

−1

(3.33)

şi derivatele funcŃiei potenŃial în raport cu coordonatele din spaŃiul real folosind formula de derivare prin părŃi

∂∂

∂ϕ

∂ϕ

∂ξ∂ξ∂

∂ϕ

∂η∂η∂

∂ϕ

∂ζ∂ζ∂

∂∂

∂ϕ

∂ϕ

∂ξ

∂ξ

∂ϕ

∂η∂η∂

∂ϕ

∂ζ

∂ζ

∂∂

∂ϕ

∂ϕ

∂ξ

∂ξ

∂ϕ

∂η∂η∂

∂ϕ

∂ζ

∂ζ

V

xV

xV

x x x

V

yV

yV

y y y

V

zV

zV

z z z

= = + +

= = + +

= = + +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

ii i i i

ii i i i

ii i i i

1

1

1

,

,

.

3.3. ELEMENTELE FINITE DE TIP PLAN PENTRU CALCULUL POTENłIALULUI ELECTRIC

IzolaŃia transformatoarelor se caracterizează, în general, prin structuri tridimensionale, dar abordarea problemei calculului exact al solicitărilor electrice în asemenea structuri este deosebit de dificilă. Cu o bună aproximaŃie, solicitările electrice ale izolaŃiei pot fi determinate cu ajutorul unor structuri mai simple, ce descriu suficient de exact configuraŃia geometrică şi de material locală sau într-o anumită vecinătate. Structurile locale pot fi studiate în aproximaŃia câmpului plan-paralel, iar cele corespunzătoare unei vecinătăŃi mai mari - în aproximaŃia câmpului cu simetrie axială (cilindrică). Acestor aproximaŃii le vor corespunde elemente finite bidimensionale, de tip plan-paralel sau plan-radial. In cele ce urmează se va aborda elementul finit de tip plan-paralel, care va fi numit simplu element (finit) plan.

Sistemul de coordonate în care se descrie geometria şi funcŃionala (3. 3) este cel cartezian. Particularitatea modelării plan-paralele provine din independenŃa în raport cu cooordonata axială z atât a geometriei cât şi a condiŃiilor la limită. Astfel, deşi este descrisă într-un sistem de coordonate cartezian Oxyz, poziŃia unui punct este determinată doar de x şi y

x x y y= =∑ ∑i i i iϕ ϕ, . (3.34)

łinând cont de independenŃa modelului de coordonata z, operatorul spaŃial de derivare devine

Page 195: Fizica II Curs

grad .VV

x

V

y= +u ux y

∂∂

∂∂

(3.35)

Sistemul de coordonate din spaŃiul de referinŃă este de tip plan, caracterizat de coordonatele ξ şi η, astfel că derivatele coordonatelor din spaŃiul real în raport cu coordonatele spaŃiului de referinŃă au forma

∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η

∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η

xx

xx

yy

yy

l

l

l

l

l

l

l

l

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

, ,

, .

(3.36)

In modelarea plan-paralelă elementul de volum este o prismă dreaptă, de înălŃime unitate (h = 1). Dacă notăm cu dσ aria secŃiunii în planul Oxy printr-o asemenea prismă elementară, căpătăm expresia volumului ei

d d d d .Ω = =h x yσ

Atunci integralele asociate coeficienŃilor matricii sistemului liniar (3.16) devin

( ) ( ) ( )A x y

A

x y

kk E kk E kk E

l

ll E

l

ll E

l

ll E

ii k i

i

k i

i

k i

i

ij i j

ij

i j

ij

i j

ij

= = =

= = =

=

∫∑ ∫∑ ∫∑

∫∑ ∫∑

∫∑

∈ ∈ ∈

∈ ∈

ε ϕ ε ϕ σ ε ϕ

ε ϕ ϕ ε ϕ ϕ σ

ε ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

grad d grad d grad d d ,

grad grad d grad grad d

grad grad d d .

2 2 2Ω

Ω (3.37)

Integralele de mai sus, care la origine erau integrale de volum, au devenit integrale de suprafaŃă, calculate pe secŃiunea plană. Folosind transformarea între spaŃiul de referinŃă şi cel real, deci între planul (ξ, η) şi planul (x, y), aria elementului infinitezimal de suprafaŃă devine

d d d

d d .

σ∂∂ξ

∂∂ξ

∂∂η

∂∂η

ξ η

∂∂ξ

∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

ξ η

= +

× +

=

= −

x y x y

x y y x

u u u ux y x y

(3.38)

Expresia din interiorul modulului este determinantul matricii transformării între spaŃiul de referinŃă şi cel real

( )( )

JD x y

D

x y

x y= =

,

,,

ξ η

∂∂ξ

∂ξ∂∂η

∂∂η

sau, explicit,

Page 196: Fizica II Curs

- 13 -

( )( )

( )

JD x y

D

x y

x y

Jx y y x

= =

= −

∑ ∑

∑ ∑

,

,,

det .

ξ η

∂ϕ

∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂ϕ

∂η

∂ϕ

∂η

∂∂ξ

∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

ii

ii

ii

ii

(3.39)

Pentru calculul derivatelor spaŃiale în raport cu coordonatele din spaŃiul real folosim formula de derivare a unei funcŃii compuse şi avem nevoie de inversa matricii de transformare

( )( )

( )( ) ( ) ( )

JD

D x y

D x y

D

x x

y y

J

y x

y x J

J J

J J

−− −

− −= =

=

=−

=

1

1

111

121

211

221

1 1ξ η

ξ η

∂ξ

∂∂η∂

∂ξ

∂∂η∂

∂η∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

,

,

,

, det det. (3.40)

De aici rezultă expresiile derivatelor coordonatelor din spaŃiul de referinŃă în raport cu coordonatele spaŃiului real

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∂ξ

∂ ∂η ∂ξ

∂ ∂η

∂η∂

∂ ∂ξ ∂η∂

∂ ∂ξ

x

J

J

y

J y

J

J

x

J

x

J

J

y

J y

J

J

x

J

= = = =−

= =−

= =

− −

− −

111

121

211

221

det det,

det det,

det det,

det det.

În urma schimbării de variabile în ξ şi η, integralele din (3.37) devin calculabile ca integrale duble în raport cu variabilele spaŃiului de referinŃă

( )

Ay y y y

x x x xJ

l

l E

ijj j i i

ij

j j i i

= −

+

+ −

−−∈

∫∫∑ ε∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

ξ η

ϕ1

1

1

1

det d d .

(3.42)

Calculul integralei de mai sus pentru elementele izoparametrice cu muchii drepte s-ar putea efectua în formă analitică, determinând primitiva, având la dispoziŃie forma analitică a elementelor matricii de transformare din (3.40). Pentru o tratare unitară a tuturor elementelor izoparametrice se preferă însă folosirea cvadraturii numerice (cu formule de cuadratură de tip Gauss). Calculul integralelor duble se reduce la o sumă dublă

( )( )

Ay y y y

x x x xJ

l

m n m nm nl E

m n m n

m n m n

ijj j i i

ij

j j i i

= −

+

+ −

∑∑∈

ε∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

ξ η ω ω

ϕ , ,,

, ,

det , .

(3.43)

Termenii liberi din realaŃia (3.15) provin o parte din integrala sarcinii distribuită volumic şi o parte din integrala sarcinii cu distribuŃie superficială. Pentru termenii de volum discuŃia anterioară se aplică fără nici o modificare, aceeaşi succesiune de modificări ale integralei de volum

Page 197: Fizica II Curs

( )

( ) ( ) ( )( )

B

J

J

kk E kk E

k E

m n m n m n m n

m nk

i vp pp

i

i

vp pp

i

i

vp pp

i

i

vp pp

i

=

=

=

=

=

=

∑∫∑ ∑∫∑

∑∫∫∑

∑∑∑

∈ ∈

−−∈

ρ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ σ

ρ ϕ ϕ ξ η

ρ ϕ ξ η ϕ ξ η ξ η ω ω

ϕ ϕ

ϕ

d d

det d d

, , det , .,

Ω

1

1

1

1 (3.44)

Pentru termenii asociaŃi densităŃii superficiale de sarcină ρS trebuie avut în vedere faptul că pentru câmpul plan-paralel suprafaŃa laterală a elementelor este suprafaŃa laterală a unor prisme drepte, iar în secŃiunea plană ea corespunde laturii patrulaterului. Integrala de suprafaŃă va trece într-o integrală de linie. Deplasarea pe latură în spaŃiul real corespunde deplasării pe latura corespunzătoare din spaŃiul de referinŃă, pe care variază numai una dintre variabilele ξ sau η. Dacă presupunem că latura este chiar latura 1, deci în spaŃiul de referinŃă coordonata ξ ia valoarea 1 iar coordonata η ia valori în [-1,1], atunci putem descrie poziŃia unui punct curent pe latura l1 precum şi un segment infinitezimal orientat de-a lungul aceleiaşi laturi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x y y y

x yl x y

1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2, , , , , , , ,

d d d d ,

η ϕ η ϕ η η ϕ η ϕ η

η∂∂η

η∂∂η

η

= + = +

= = +l u u u

iar pentru lungimea segmentului infinitezimal

d d .lx y

=

+

∂∂η

∂∂η

η2 2

Elementul de arie de pe suprafaŃa laterală corespunzând acestui segment infinitezimal este (cu h = 1)

d d d ,σ∂∂η

∂∂η

ηl h lx y

= =

+

2 2

iar după transformări în aceeaşi succesiune ca şi la integrala de volum, obŃinem

( )

( ) ( )( ) ( )

BV

nS p l

r h

l p

l

i i

i

i

= −

= =

= +

+

∫ ∑∫∑

∫∑ −

ε∂∂

ϕ σ ϕ

σ ϕ η σ ϕ η ϕ η∂∂η

∂∂η

η

∂Ωϕ ∂Ω ∂Ωϕ ∂Ω

∂Ωϕ ∂Ω

d , d

, , , d .

I I

I1 1 2 2

2 2

1

11 1 1

(3.46)

Calculul integralei de suprafaŃă pe latura elementului s-a redus la o integrală pe latura corespunzătoare din spaŃiul de referinŃă, care în cele din urmă prin cuadratură trece într-o sumă de produse între densitatea de sarcină, elementul de lungime de-a lungul laturii şi ponderile de cuadratură

Page 198: Fizica II Curs

- 15 -

( ) ( )( )( )

Br h

m m m

m

i i= +

+

∑ σ ϕ η σ ϕ η ϕ

∂∂η

∂∂η

η

ω1 1 2 2

2 2

1 1

1

, ,

,

. (3.47)

In modelarea plan-paralelă mai pot apare densităŃi lineice de sarcină, repartizate pe fire axiale, perpendiculare pe planul Oxy. In secŃiunea plană acestor fire le corespund puncte, care pot sau nu să coincidă cu nodurile reŃelei de discretizare. Corespunzător acestor distribuŃii lineice, mai apare un termen în membrul drept. Acest termen se obŃine din (3.44), introducând o distri- buŃie de sarcină de tip Dirac, ρ0δ(x0,y0), unde indicele 0 precizează punctul din spaŃiul real, ρ0 este valoarea densităŃii lineice de sarcină, iar x0 şi y0 reprezintă coordonatele punctului în acelaşi spaŃiu real. Transformările succesive ale acestui termen sunt următoarele

( ) ( ) ( )B r h v h r hi0 i k i i= = =∫ ∫ρ δ ϕ ρ δ ϕ σ ρ ϕ ξ η0 0 0 0 0 0 0 0 0, d , d , ,Ω

Ω

Ω

unde ξ0 şi η0 reprezintă coordonatele în spaŃiul de referinŃă ale punctului (x0, y0) din spaŃiul real. Pentru determinarea acestor coordonate trebuie inversată transformarea (3.34). Dacă pentru elementele cu dependenŃă liniară această inversare se poate face chiar analitic, pentru cele de ordin superior aceste coordonate se determină prin calcul iterativ. Se utilizează de obicei un algoritm de tip Newton-Raphson, care pentru un element plan izoparametric oarecare şi pentru funcŃiile diferenŃă între coordonatele aproximantului la pasul k şi coordonatele punctului (x0,y0) se scrie astfel

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

x x y y

x x x x

y y y y

x x x x x x

l l k k l l k k

l l k k l

l

k k

l

l

k k

l l k k l

l

k k

l

l

k k

l l k k l

l

k k

l

k k

k+1

k+1

k+1

= =

= +

+

= +

+

= − = +

+

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

ϕ ξ η ϕ ξ η

ϕ ξ η∂ϕ

∂ξ ξ ηδξ

∂ϕ

∂η ξ ηδη

ϕ ξ η∂ϕ

∂ξ ξ ηδξ

∂ϕ

∂η ξ ηδη

δ ϕ ξ η∂ϕ

∂ξ ξ ηδξ

∂ϕ

, , , ,

,, ,

,

,, ,

,

,,

0

( )

( )( ) ( )

l

k k

l l k k l

l

k k

l

l

k k

x

y y y y y y y

∂η ξ ηδη

δ ϕ ξ η∂ϕ

∂ξ ξ ηδξ

∂ϕ

∂η ξ ηδη

− =

= − = +

+

− =

∑ ∑ ∑

,,

,, ,

0

0 0

0

0k+1

( ) ( )( )

( ) ( )( )

x x x x x x

y y y y y y

l

l

k k

l

l

k k

l l k k

l

l

k k

l

l

k k

l l k k

∂ϕ

∂ξ ξ ηδξ

∂ϕ

∂η ξ ηδη ϕ ξ η

∂ϕ

∂ξ ξ ηδξ

∂ϕ

∂η ξ ηδη ϕ ξ η

ξ ξ δξ

η η δη

+

= − = −

+

= − = −

= +

= +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

, ,, ,

, ,, ,

,

.

0 0

0 0

k

k

k+1 k

k+1 k

Valorile de pornire ale procesului iterativ se iau ξ1 = 0, η1 = 0, care corespund unei poziŃii în centrul elementului.

Page 199: Fizica II Curs

3.4. ELEMENTELE FINITE DE TIP PLAN-RADIAL (AXIAL SIMETRIC) PENTRU CALCULUL POTENłIALULUI ELECTRIC

Structurile uzuale în studiul câmpului electric în izolaŃia transformatoarelor se caracterizează printr-o simetrie cilindrică care se descrie în cadrul modelării prin element finit de analiză axial simetrică. Modelarea axial simetrică beneficiază de posibilitatea descrierii geometriei ca funcŃie de numai două coordonate, ca în analiza plană, dar luând în considerare repartiŃia spaŃială a câmpului. Sistemul de coordonate în care se descrie geometria şi funcŃionala (3. 3) este cel cilindric. Particularitatea modelării axial simetrice provine din independenŃa în raport cu cooordonata unghiulară ϕ atât a geometriei cât şi a condiŃiilor la limită. Astfel, cu toate că poziŃia unui punct este descrisă într-un sistem de coordonate cilindric, este determinată doar de coordonatele r şi h

r r h h= =∑ ∑i i i iϕ ϕ, . (3.48)

Tinând cont de independenŃa modelului de unghiul ϕ, operatorul spaŃial de derivare în coordonate cilindrice devine

grad .VV

r

V

h= +∂∂

∂∂

r ru ur h (3.49)

Sistemul de coordonate din spaŃiul de referinŃă este de tip plan, caracterizat de coordonatele ξ şi η, astfel că derivatele coordonatelor din spaŃiul real în raport cu coordonatele spaŃiului de referinŃă au forma

∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η

∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η

rr

rr

hh

hh

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

ii

ii

ii

ii

, ,

, .

(3.50)

Elementul de volum în modelarea axial simetrică este un tor, deci dacă notăm cu dσ aria secŃiunii radiale prin acest tor infinitezimal căpătăm expresia volumului său

d d d d .Ω = =2 2π σ πr r r h

Atunci integralele asociate coeficienŃilor matricii sistemului liniar (3.16) devin

( ) ( )

( )

A r

r r h

A r

r r h

i i k i k

kk E i

k i k

kk E i

k i

kk E i

i j l i j l

kl E ij

l i j l

kl E ij

l i j

kl E ij

= = =

=

= = =

=

∫∑ ∫∑

∫∑

∫∑ ∫∑

∫∑

∈ ∈

∈ ∈

ε ϕ ε π ϕ σ

ε π ϕ

ε ϕ ϕ ε π ϕ ϕ σ

ε π ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ

grad d grad d

grad d d ,

grad grad d grad grad d

grad grad d d .

2 2

2

2

2

2

2

Ω

Ω

Ω

Ω

(3.51)

Integralele de mai sus, care la origine erau integrale de volum, au devenit integrale de suprafaŃă calculate pe secŃiunea radială. Folosind transformarea între spaŃiul de referinŃă şi cel real, deci între planul (ξ, η) şi planul (r, h), aria elementului infinitezimal de suprafaŃă devine

Page 200: Fizica II Curs

- 17 -

d

.

σ∂∂ξ

∂∂ξ

∂∂η

∂∂η

ξ η

∂∂ξ∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

ξ η

= +

× +

=

= −

r h r h

r h h r

r h r h

r r r ru u u u d d

d d

(3.52)

Expresia din interiorul modulului este determinantul matricii transformării între spaŃiul de referinŃă şi cel real

( )( )

JD r h

D

r h

r h

J

r h

r h

Jr h h r

i

i

i

i

i

i

i

i

= =

=

= −

∑ ∑

∑ ∑

,

,,

,

det .

ξ η

∂∂ξ

∂∂ξ

∂η

∂η

∂ϕ

∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂ϕ

∂η

∂ϕ

∂η

∂∂ξ∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

(3.53)

Pentru calculul derivatelor spaŃiale în raport cu coordonatele din spaŃiul real se foloseşte formula de derivare a unei funcŃii compuse şi este nevoie de inversa matricii de transformare

( )( )

( )( )

JD

D r h

D r h

D

r r

h h

J

h r

h r J

J J

J J

−− −

− −= =

=

=

=

1

1

111

121

211

221

1 1ξ η

ξ η

∂ξ

∂∂η∂

∂ξ

∂η

∂∂η

∂∂η

∂∂ξ

∂∂ξ

,

,

,

, det det. (3.54)

De aici rezultă expresiile derivatelor coordonatelor din spaŃiul de referinŃă în raport cu coordonatele spaŃiului real

∂ξ

∂ξ

∂∂η∂

∂η∂r

J

J h

J

J r

J

J h

J

J= = = =

− − − −11

112

121

122

1

det,

det,

det,

det. (3.55)

In urma schimbării de variabile în ξ şi η, integralele din (3.37) devin calculabile ca integrale duble în raport cu variabilele spaŃiului de referinŃă

( )A rh h h h

r r r r

J

i j l l l

j j i i

l E ij

j j i i

= −

+

+ − +

− +

∑∫∫∑ −−∈

21

1

1

1π ε ϕ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

ξ η

ϕ

d d

det.

(3.56)

Calculul integralei de mai sus pentru elementele izoparametrice cu muchii drepte s-ar putea efectua în formă analitică, determinând primitiva, având la dispoziŃie forma analitică a elementelor matricii de transformare din (3.53), dar pentru o tratare unitară a tuturor elementelor izoparametrice se preferă folosirea formulelor de cuadratură de tip Gauss. Calculul integralelor duble se reduce la o sumă dublă

Page 201: Fizica II Curs

( )A rh h h h

r r r r w w

J

i j l l l m n

j j

m n

i i

m nm nl E ij

j j

m n

i i

m n

m n

= −

+

+ − +

− +

∑∑∈

2π ε ϕ ξ η∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

∂ϕ

∂ξ∂∂η

∂ϕ

∂η∂∂ξ

ϕ

,

det.

, ,,

, ,

(3.57)

Termenii liberi din relaŃia (3.15) provin o parte din integrala sarcinii distribuită volumic şi o parte din integrala sarcinii cu distribuŃie superficială. Pentru termenii de volum discuŃia anterioară se aplică fără nici o modificare, aceeaşi succesiune de modificări ale integralei de volum

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

B r

r J

rw w

J

i vp p i

kk E i

vp p i

kk E i

p p vp p i

k E i

p p m n vp p m n i m n

m n

m n

m nk

= = =

= =

=

∑∫∑ ∑∫∑

∑ ∑∫∫∑

∑ ∑∑∑

∈ ∈

−−∈

ρ ϕ ϕ π ρ ϕ ϕ σ

π ϕ ρ ϕ ϕ ξ η

π ϕ ξ η ρ ϕ ξ η ϕ ξ ηξ η

ϕ ϕ

ϕ

d d

det d d

, , ,det ,

.,

Ω 2

2

2

1

1

1

1

(3.59)

Pentru termenii asociaŃi densităŃii superficiale de sarcină trebuie avut în vedere faptul că suprafaŃa laterală a elementelor axial simetrice este suprafaŃa laterală a unui trunchi de con, iar în secŃiunea radială ea corespunde laturii patrulaterului. Integrala de suprafaŃă va trece într-o integrală de linie. Deplasarea pe latură în spaŃiul real corespunde deplasării pe latura corespunzătoare din spaŃiul de referinŃă, şi deci variaŃiei uneia singure din variabilele ξ sau η. Dacă presupunem că latura este chiar latura 1, deci în spaŃiul de referinŃă coordonata ξ ia valoarea 1 iar coordonata η ia valori în [-1,1], atunci putem descrie poziŃia unui punct curent pe latura l1 precum şi un segment infinitezimal orientat de-a lungul aceleiaşi laturi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r r r h h h

lr h

l r h

1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2, , , , , , , ,

d d d d

η ϕ η ϕ η η ϕ η ϕ η

η∂∂η

η∂∂η

η

= + = +

= = +r r ru u u

şi pentru lungimea segmentului infinitezimal

d d .lr h

=

+

∂∂η

∂∂η

η2 2

Elementul de arie de pe suprafaŃa laterală corespunzând acestui segment infinitezimal este

( ) ( )( )d d , , d .σ π π ϕ η ϕ η∂∂η

∂∂η

ηl r l r rr h

= = +

+

2 2 1 11 1 2 2

2 2

iar după transformări în aceeaşi succesiune ca şi la integrala de volum, se obŃine

Page 202: Fizica II Curs

- 19 -

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

BV

nS r l

r rr h

i i l p p

l

= −

= =

= + +

+

∫ ∑∫∑

∫∑ −

ε∂∂

ϕ π σ ϕ

π σ ϕ η σ ϕ η ϕ η ϕ η ϕ η∂∂η

∂∂η

η

∂Ωϕ ∂Ω ∂Ωϕ ∂Ω

∂Ωϕ ∂Ω

d d

, , , , , d .

,

I I

I

2

2 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 1 2 2

2 2

1

1

(3.

60)

Calculul integralei de suprafaŃă pe latura elementului s-a redus la o integrală pe latura corspunzătoare din spaŃiul de referinŃă, care în cele din urmă prin cuadratură trece într-o sumă de produse între densitatea de sarcină, elementul de lungime de-a lungul laturii şi ponderile de cuadratură

( ) ( )( ) ( ) ( )( )B r r

r hw

i m m m m i

m

m

= + + ×

×

+

2 1 1 1 1

1

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

π σ ϕ η σ ϕ η ϕ η ϕ η ϕ

∂∂η

∂∂η

η

, , , ,

,

. (3.61)

In modelarea axial simetrică mai pot apare şi densităŃi lineice de sarcină, repartizate pe cercuri situate în plane perpendiculare pe axa verticală şi cu centrul pe această axă. In secŃiunea radială acestor cercuri le corespund puncte, care pot sau nu să coincidă cu nodurile reŃelei de discretizare. Corespunzător acestor distribuŃii lineice, mai apare un termen în membrul drept. Acest termen se obŃine din (3.58), introducând o distribuŃie de sarcină de tip Dirac, ρ0δ0(r0,h0), unde indicele 0 precizează punctul din spaŃiul real, ρ0 este valoarea densităŃii lineice de sarcină, iar r0 şi h0 reprezintă coordonatele punctului în acelaşi spaŃiu real. Transformările succesive ale acestui termen sunt următoarele

( ) ( ) ( )B r h v r r h ri i k i i0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2= = =∫ ∫ρ δ ϕ π ρ δ ϕ σ π ρ ϕ ξ η, d , d , ,Ω ΩΩ

unde ξ0 şi η0 reprezintă coordonatele în spaŃiul de referinŃă ale punctului (r0,h0) din spaŃiul real. Pentru determinarea acestor coordonate trebuie inversată transformarea (3.48). Dacă pentru elementele cu dependenŃă liniară această inversare se poate face chiar analitic, pentru cele de ordin superior aceste coordonate se determină prin calcul iterativ. Se utilizează de obicei un algoritm de tip Newton-Raphson, care pentru un element axial simetric izoparametric oarecare şi pentru funcŃiile diferenŃă între coordonatele aproximantului la pasul k şi coordonatele punctului (r0,h0) se scrie astfel

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

r r h h

r r r r

h h h h

k l l k k k l l k k

k l l k k l

l

l

l

k l l k k l

l

l

l

k k k k

k k k k

= =

= + +

= + +

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

+

+

ϕ ξ η ϕ ξ η

ϕ ξ η∂ϕ

∂ξδξ

∂ϕ

∂ηδη

ϕ ξ η∂ϕ

∂ξδξ

∂ϕ

∂ηδη

ξ η ξ η

ξ η ξ η

, , , ,

, ,

, ,

, ,

, ,

1

1

Page 203: Fizica II Curs

( )( ) ( )

( )( ) ( )

δ ϕ ξ η∂ϕ

∂ξδξ

∂ϕ

∂ηδη

δ ϕ ξ η∂ϕ

∂ξδξ

∂ϕ

∂ηδη

ξ η ξ η

ξ η ξ η

r r r r r r r

h h h h h h h

k l l k k l

l

l

l

k l l k k l

l

l

l

k k k k

k k k k

= − = + + − =

= − = + + − =

+

+

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

1 0 0

1 0 0

0

0

, ,

, ,

, ,

, ,

( ) ( )( )

( ) ( )( )

r r r r r r

h h h h h h

l

l

l

l

l l k k k

l

l

l

l

l l k k k

k k k k

k k k k

k k k k

∂ϕ

∂ξδξ

∂ϕ

∂ηδη ϕ ξ η

∂ϕ

∂ξδξ

∂ϕ

∂ηδη ϕ ξ η

ξ ξ δξ η η δη

ξ η ξ η

ξ η ξ η

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

+ = − = −

+ = − = −

= + = ++ +

0 0

0 0

1 1

Valorile de pornire ale procesului iterativ se iau ξ1 = 0, η1 = 0, care corespund unei poziŃii în centrul elementului.


Recommended