+ All Categories
Home > Documents > Fizica statistica, Curs

Fizica statistica, Curs

Date post: 03-Dec-2015
Category:
Upload: zsuzsa-borsay
View: 85 times
Download: 15 times
Share this document with a friend
Description:
contine cursuri de fizica statistica
216
1. Legile Termodinamicii 1.1 Not ¸iuni preliminare Termodinamica este o teorie fenomenologic˘a a materiei, a c˘arei concepte sunt preluate direct din experimente. Se introduc urm˘atoarele concepte: Un sistem termodinamic este orice sistem macroscopic. Parametrii termodinamici sunt m˘arimile macroscopice m˘asurabile aso- ciate sistemului, cum ar fi: presiunea P , volumul V , temperatura T ,cˆampul magnetic H . O stare termodinamic˘ a este specificat˘a printr-un set de valori a tuturor parametrilor termodinamici necesari pentru descrierea sistemului. Echilibrul termodinamic are loc atunci cˆand starea termodinamic˘a a sistemului nu se modific˘aˆ ın timp. Ecuat ¸ia de stare este o relat ¸ie funct ¸ional˘ ıntre parametrii termodi- namici ai unui sistem aflat ˆ ın echilibru. Dac˘a, P , V ¸ si T sunt parametrii termodinamici ai sistemului, ecuat ¸ia de stare este: f (P,V,T )=0 (1.1) Ea reduce num˘ arul de variabile independente ale sistemului de la trei la dou˘a. Transformarea termodinamic˘ a reprezint˘aschimbareauneist˘ari.Dac˘a starea init ¸ial˘ a este o stare de echilibru, transformarea poate avea loc nu- mai prin modificarea condit ¸iilor exterioare sistemului. Transformarea este cuasistatic˘a dac˘acondit ¸iile exterioare se modific˘a atˆat deˆ ıncet ˆ ıncˆatˆ ın orice moment sistemul este ˆ ın mod aproximativ ˆ ın echilibru. Transformarea este reversibil˘ a , dac˘a parcurge acelea¸ si st˘ari intermediare,ˆ ın sens invers, atunci cˆandcondit ¸iile exterioare sunt inversate ˆ ın timp. - Observat ¸ie: O transformre cuasistatic˘a nu este ˆ ın mod necesar ¸ si re- versibil˘a. De exemplu, expansiunea liber˘a a unui gaz este cuasistatic˘a dar nu este reversibil˘ a. Conceptul de lucru mecanic este preluat din mecanic˘a. De exemplu, pentru un sistem cu parametrii P , V ¸ si T , lucrul mecanic dW f˘acut de un 1
Transcript
Page 1: Fizica statistica, Curs

1. Legile Termodinamicii

1.1 Notiuni preliminare

Termodinamica este o teorie fenomenologica a materiei, a carei conceptesunt preluate direct din experimente. Se introduc urmatoarele concepte:

• Un sistem termodinamic este orice sistem macroscopic.• Parametrii termodinamici sunt marimile macroscopice masurabile aso-

ciate sistemului, cum ar fi: presiunea P , volumul V , temperatura T , campulmagnetic H.

• O stare termodinamica este specificata printr-un set de valori a tuturorparametrilor termodinamici necesari pentru descrierea sistemului.

• Echilibrul termodinamic are loc atunci cand starea termodinamica asistemului nu se modifica ın timp.

• Ecuatia de stare este o relatie functionala ıntre parametrii termodi-namici ai unui sistem aflat ın echilibru. Daca, P , V si T sunt parametriitermodinamici ai sistemului, ecuatia de stare este:

f(P, V, T ) = 0 (1.1)

Ea reduce numarul de variabile independente ale sistemului de la trei la doua.• Transformarea termodinamica reprezinta schimbarea unei stari. Daca

starea initiala este o stare de echilibru, transformarea poate avea loc nu-mai prin modificarea conditiilor exterioare sistemului. Transformarea estecuasistatica daca conditiile exterioare se modifica atat de ıncet ıncat ın oricemoment sistemul este ın mod aproximativ ın echilibru. Transformarea estereversibila , daca parcurge aceleasi stari intermediare, ın sens invers, atuncicand conditiile exterioare sunt inversate ın timp.

- Observatie: O transformre cuasistatica nu este ın mod necesar si re-versibila. De exemplu, expansiunea libera a unui gaz este cuasistatica darnu este reversibila.

• Conceptul de lucru mecanic este preluat din mecanica. De exemplu,pentru un sistem cu parametrii P , V si T , lucrul mecanic dW facut de un

1

Page 2: Fizica statistica, Curs

sistem, ıntr-o transformare infinitezimala ın care volumul creste cu dV , estedat de relatia:

dW = P · dV (1.2)

• Caldura este marimea care este absorbita de catre un sistem omogen,a carui temperatura creste, fara a se efectua lucru mecanic. Daca ∆Q estecaldura absorbita, iar ∆T este modificarea de temperatura datorita acesteiabsorbtii, definim capacitatea calorica prin relatia:

∆Q = C ·∆T (1.3)

- Observatie: Experimental se constata ca pentru aceeasi variatie de tem-peratura ∆T , ∆Q este diferit, pentru diferite cai de ıncalzire a sistemu-lui. Deci, capacitatea calorica depinde de modul ın care are loc ıncalzireasistemului. Capacitatile calorice considerate ın mod uzual sunt CV si CP ,corespunzand ıncalzirii la volum, respectiv presiune constanta. Capacitatilecalorice pe unitatea de masa, sau pe mol, se numesc calduri specifice.

• Rezervorul de caldura este un sistem atat de mare ıncat un castig sauo pierdere a unei cantitati finite de caldura nu-i schimba temperatura.

• Un sistem este izolat termic , daca nu exista schimb de caldura ıntre elsi lumea exterioara. Izolarea termica se realizeaza prin ımbracarea sistemuluicu un perete adiabatic.

• O marime termodinamica se numeste extensiva daca ea e proportionalacu cantitatea de substanta a sistemului considerat, si intensiva daca esteindependenta de aceasta cantitate.

• Gazul ideal este un sistem termodinamic idealizat, important. Experi-mental, toate gazele se comporta ıntr-un mod universal, cand sunt suficientde rarefiate. Gazul ideal este legat de acest comportament limita. Parametriigazului ideal sunt: P , V , T si numarul de molecule N . La temperatura con-stanta, ecuatia de stare a gazului ideal este data de legea Boyle:

P · VN

= const (1.4)

• Ecuatia de stare a unui gaz ideal defineste o scara de temperatura,temperatura gazului ideal :

P · V = NkBT (1.5)

unde: kB = 1, 38 · 10−23J/grad este constanta lui Boltzmann.

2

Page 3: Fizica statistica, Curs

1.2 Prima lege a termodinamicii

Consideram o transformare termodinamica arbitrara. Fie ∆Q calduraabsorbita de sistem si ∆W lucrul mecanic efectuat de sistem.

Prima lege a termodinamicii spune ca marimea ∆U , definita prin:

∆U = ∆Q−∆W (1.6)

este aceeasi pentru toate transformarile care pornesc dintr-o stare initialadata si ajung ıntr-o stare finala data.

Aceasta defineste functia de stare U , numita energie interna. Ea este unparametru extensiv.

Intr-o transformare infinitezimala, prima lege a termodinamicii se reducela afirmatia ca diferentiala:

dU = dQ− dW (1.7)

este exacta. Mai precis, ca integrala∫

dU este independenta de drumul deintegrare, depinzand doar de limitele de integrare.

- Observatii: a) Aceasta proprietate nu este statisfacuta de dQ si dW .b) Avand o diferentiala de forma:

df = g(A,B) · dA + h(A,B) · dB

conditia ca df sa fie exacta este:

∂g

∂B=

∂h

∂A(1.8)

Exploatam (1.8) pentru cazul energiei interne, considerand:

U = U(P, V )

3

Page 4: Fizica statistica, Curs

Atunci:

dU =

(∂U

∂P

)

V

dP +

(∂U

∂V

)

P

dV (1.9)

Conditia ca dU sa fie exacta conduce la rezultatul:

∂V

[(∂U

∂P

)

V

]

P

=∂

∂P

[(∂U

∂V

)

P

]

V

(1.10)

Caldura absorbita de un sistem, ın decursul unei transformari infinitezimale,ın care dW = P dV , este:

dQ = dU + P dV =

(∂U

∂P

)

V

dP +

(∂U

∂V

)

P

dV + P dV =

=

(∂U

∂P

)

V

dP +

[(∂U

∂V

)

P

+ P

]dV (1.11)

Acest rezultat este valabil luand P si V drept variabile independente.In variabile (P, T ), avem:

U = U(P, T ) V = V (P, T )

si:dQ = dU + P dV

Atunci:

dQ =

(∂U

∂P

)

T

dP +

(∂U

∂T

)

P

dT + P

[(∂V

∂P

)

T

dP +

(∂V

∂T

)

P

dT

]

sau:

dQ =

[(∂U

∂P

)

T

+ P

(∂V

∂P

)

T

]dP +

[(∂U

∂T

)

P

+ P

(∂V

∂T

)

P

]dT (1.12)

In variabile (V, T ), avem:

U = U(V, T )

si:

dQ = dU + P dV =

(∂U

∂V

)

T

dV +

(∂U

∂T

)

V

dT + P dV

4

Page 5: Fizica statistica, Curs

sau:

dQ =

[(∂U

∂V

)

T

+ P

]dV +

(∂U

∂T

)

V

dT (1.13)

Din ec.(1.13) obtinem imediat:

CV =(

∆Q

∆T

)

V→

(∂U

∂T

)

V

(1.14)

iar CP se gaseste din ec.(1.12):

CP =(

∆Q

∆T

)

P→

(∂U

∂T

)

P

+ P

(∂V

∂T

)

P

≡(

∂U

∂T

)

P

+

[∂

∂T(P V )

]

P

=

=

[∂

∂T(U + P V )

]

P

≡(

∂H

∂T

)

P

(1.15)

unde s-a introdus marimea:

H = U + P V (1.16)

care este entalpia sistemului.Vedem aplicatii la prima lege a termodinamicii:

1) Energia interna a unui gaz ideal: In acest caz, conform legii lui Joule:

U = U(T )

Atunci:

CV =

(∂U

∂T

)

V

≡ dU

dT→ dU = CV dT

Daca CV = const, gasim imediat:

U = CV T + const (1.17)

Constanta aditiva din expresia de mai sus poate fi aleasa zero, iar CV seconsidera ca fiind independent de temperatura.

2) Diferenta CP − CV , pentru un gaz ideal: Pornind de la entalpie sifolosind ec.(1.5) si (1.17), avem:

H = U + P V = CV T + P V = CV T + NkBT = (CV + NkB) T ≡ H(T )

5

Page 6: Fizica statistica, Curs

Din (1.15):

CP =

(∂H

∂T

)

P

≡ dH

dT= CV + NkB

si:CP − CV = NkB (1.18)

1.3 Legea a doua a termodinamicii

Din experienta stim ca exista procese care satisfac legile de conservare,dar totusi ele nu au loc niciodata.

De exemplu, o piatra pe o masa.

Nu se observa ca ea s-ar raci spontan iar apoi ar urca spre tavan, con-vertind caldura ın energie potentiala.

Scopul legii a doua a termodinamicii este sa includa astfel de fapte ex-perimentale ın termodinamica, prin diverse formulari (echivalente):

- Formularea Kelvin : Nu exista transformare termodinamica a carei unicefect sa fie extragerea unei cantitati de caldura dintr-un rezervor si transfor-marea ei integrala ın lucru mecanic.

- Formularea Clausius : Nu exista transformare termodinamica a careiunic efect sa fie extragerea unei cantitati de caldura dintr-un rezervor mairece si transferarea ei unui rezervor mai cald.

- Exemplu : Expansiunea reversibila si izoterma a uni gaz ideal. In acestcaz, exista un lucru mecanic facut de gaz. Deoarece ∆U = 0, lucrul mecanicefectuat este egal cu caldura absorbita de gaz ın decursul expansiunii. Astfel,cantitatea de caldura este convertita ın totalitate ın lucru mecanic. Daracesta nu este singurul (unicul) efect al transformarii !, deoarece gazul va

6

Page 7: Fizica statistica, Curs

ocupa un volum mai mare ın starea finala. Deci, acest proces este unulpermis de legea a doua a termodinamicii.

1.4 Motorul Carnot

Motorul Carnot consta dintr-o substanta constransa sa efectueze o trans-formare ciclica reversibila, cu urmatoarea reprezentare ın diagrama P − V :

ab - izoterma la temperatura T2 (aici sistemul absoarbe caldura Q2)bc - adiabatacd - izoterma la temperatura T1 (T1 < T2, aici sistemul cedeaza caldura

Q1)da - adiabataLucrul mecanic efectuat de sistem, ıntr-un ciclu, este:

W = Q2 −Q1 (1.19)

(deoarece ∆U = 0 , ıntr-o transformare ciclica).

Randamentul motorului este:

η =W

Q2

=Q2 −Q1

Q2

= 1− Q1

Q2

(1.20)

7

Page 8: Fizica statistica, Curs

- Observatii : Daca W > 0, atunci Q1 > 0 si Q2 > 0. Daca W < 0, atunciQ1 < 0 si Q2 < 0. In acest caz motorul opereaza invers, devenind o masinafrigorifica.

Importanta motorului Carnot rezida ın urmatoarea teorema:

- Teorema Carnot : Nici o masina termica lucrand ıntre doua tempera-turi date nu este mai eficienta decat motorul Carnot (lucrand ıntre aceleasitemperaturi).

1.5 Entropia

Legea a doua a termodinamicii permite definirea unei functii de stare S,numita entropie. Datoram aceasta posibilitate urmatoarei teoreme:

- Teorema Clausius : In orice transformare ciclica, ın decursul careiatemperatura este definita, este valabila inegalitatea:

∮ dQ

T≤ 0 (1.21)

unde integrala este extinsa pe un ciclu al transformarii. Semnul de egalitatecorespunde transformarii ciclice reversibile.

- Corolar : Pentru o transformare reversibila, integrala:∫ dQ

T

este independenta de drum si depinde numai de starea initiala si cea finala atransformarii.

Justificam aceasta afirmatie considerand A starea initiala si B stareafinala a transformarii.

Fie I si II doua drumuri arbitrare, care unesc A cu B, iar II ′ sa fie

8

Page 9: Fizica statistica, Curs

drumul invers lui II. Teorema Clausius duce la:

I

dQ

T+

II′

dQ

T= 0

deci: ∫

I

dQ

T= −

II′

dQ

T

Dar: ∫

II′

dQ

T= −

II

dQ

T

Atunci avem imediat: ∫

I

dQ

T=

II

dQ

T(1.22)

Acest corolar permite definirea functiei de stare S, numita entropie. AlegemO drept stare de referinta. Ea este fixata, dar este arbitrara. Entropia S(A),pentru o stare oarecare A, este definita prin relatia:

S(A) =∫ A

OdQ

T(1.23)

unde drumul de integrare este orice drum care unesteO cu A. Astfel, entropiase defineste pana la o constanta arbitrara aditiva. Diferenta de entropie, ıntredoua stari A si B, este complet definita, fiind:

S(A)− S(B) =∫ A

B

dQ

T(1.24)

De aici rezulta ca ın orice transformare infinitezimala reversibila, modificareaentropiei este:

dS =dQ

T(1.25)

si este o diferentiala exacta.Vedem ın continuare proprietati ale entropiei:

1) Pentru o transformare arbitrara:

∫ B

A

dQ

T≤ S(B)− S(A) (1.26)

semnul egal corespunzand transformarii reversibile.

9

Page 10: Fizica statistica, Curs

Justificam aceasta afirmatie, considerand R si I doua drumuri oarecare,reversibil si ireversibil, care unesc punctele A si B.

Consideram transformarea ciclica formata din I si inversul lui R, (−R).Din teorema Clausius:

I

dQ

T+

−R

dQ

T≤ 0 →

I

dQ

T−

R

dQ

T≤ 0

De aici: ∫

I

dQ

T≤

R

dQ

T≡ S(B)− S(A) (1.27)

2) Entropia unui sistem izolat termic, nu descreste niciodata.Justificarea acestei afirmatii se face considerand un sistem izolat termic,

care nu schimba caldura cu lumea exterioara. Atunci dQ = 0, pentru oricetransformare. Din ec.(1.26) avem imediat:

0 ≤ S(B)− S(A) → S(B)− S(A) ≥ 0 (1.28)

semnul de egalitate corezpunzand transformarii reversibile.

1.6 Potentiale termodinamice

Introducem doua functii de stare auxiliare, energia libera Helmholtz F sipotentialul termodinamic Gibbs G, definite prin:

F = U − TS (1.29)

G = F + PV (1.30)

Ele sunt folositoare pentru a determina starea de echilibru a unui sistem carenu este izolat.

Semnificatia fizica a energiei libere F este data de faptul ca, ıntr-o trans-formare izoterma, modificarea energiei libere este negativul lucrului mecanic

10

Page 11: Fizica statistica, Curs

maxim posibil, efectuat de sistem. Pentru a vedea aceasta, consideram casistemul efectueaza o transformare izoterma, din starea A ın starea B.

Atunci, conform ec.(1.26):

∫ B

A

dQ

T≤ S(B)− S(A) ←→ ∆Q

T≤ ∆S (1.31)

unde ∆S = S(B) − S(A), iar ∆Q - este cantitatea de caldura absorbita ındecursul transformarii. Atunci:

∆Q ≤ T ∆S → ∆U + W ≤ T ∆S → W ≤ −∆U + T ∆S

deci:W ≤ −∆(U − TS) → W ≤ −∆F (1.32)

(semnul egal corespunde transformarii reversibile).Daca W = 0, ec.(1.32) se reduce la urmatoarea teorema:

- Teorema : In cazul unui sistem izolat mecanic si mentinut la temper-atura constanta, energia libera Helmholtz nu creste niciodata.

Justificare:

0 ≤ −∆F → 0 ≥ ∆F → ∆F ≤ 0 ⇐⇒ F (B)− F (A) ≤ 0

deci:F (B) ≤ F (A) (1.33)

- Corolar : Pentru un sistem izolat mecanic si mentinut la temperaturaconstanta, starea de echilibru este starea pentru care energia libera esteminima.

In cazul unei transformari infinitezimale reversibile, avem:

dF = d(U − TS) = dU − d(TS) = dU − T dS − S dT

11

Page 12: Fizica statistica, Curs

Folosind dQ = T dS, gasim:

dF = dU − dQ− S dT ≡ −(dQ− dU)− S dT

Aici mai folosim: dW = dQ− dU , precum si dW = P dV , obtinand:

dF = −P dV − S dT (1.34)

Aceasta este expresia energiei libere ın variabile (V, T ). Pe de alta parte:

dF =

(∂F

∂V

)

T

dV +

(∂F

∂T

)

V

dT (1.35)

Comparand cele doua formule gasim:

P = −(

∂F

∂V

)

T

(1.36)

S = −(

∂F

∂T

)

V

(1.37)

Odata ce stim F (V, T ), cu ajutorul relatiilor de mai sus putem determinapresiunea si entropia.

Consideram acum potentialul Gibbs G. Importanta lui este relevata deurmatoarea teorema.

- Teorema : In cazul unui sistem mentinut la temperatura si presiuneconstanta, potentialul Gibbs nu creste niciodata.

- Corolar : Pentru un sistem mentinut la temperatura si presiune con-stanta, starea de echilibru este starea ın care potentialul Gibbs este minim.

Justificare: Daca T = const, atunci pentru orice transformare avem:

W ≤ −∆F

Daca si P = const, avem ın plus: W = P ∆V , astfel ıncat:

P ∆V ≤ −∆F → P ∆V + ∆F ≤ 0 ⇔ ∆(F + PV ) ≤ 0

12

Page 13: Fizica statistica, Curs

deci:∆G ≤ 0 (1.38)

In cazul unei transformari infinitezimale reversibile :

dG = d(F + PV ) = dF + d(PV )

Folosind ec.(1.34), obtinem ın variabile (T, P ):

dG = −S dT + V dP (1.39)

Cum:

dG =

(∂G

∂T

)

P

dT +

(∂G

∂P

)

T

dP (1.40)

gasim ca:

S = −(

∂G

∂T

)

P

(1.41)

V =

(∂G

∂P

)

T

(1.42)

Relatii similare acestora se obtin si din entalpie si energia interna.Pentru entalpia H = U + PV , avem:

dH = d(U + PV ) = dU + d(PV ) = dU + P dV + V dP = dQ + V dP

sau (ın variabile (S, P )):

dH = T dS + V dP (1.43)

In plus:

dH =

(∂H

∂S

)

P

dS +

(∂H

∂P

)

T

dP (1.44)

si imediat:

T =

(∂H

∂S

)

P

(1.45)

V =

(∂H

∂P

)

T

(1.46)

13

Page 14: Fizica statistica, Curs

Pentru energia interna avem:

dU = dQ− dW = T dS − P dV (1.47)

(ın variabile (S, V )). Folosind:

dU =

(∂U

∂S

)

V

dS +

(∂U

∂V

)

S

dV (1.48)

gasim relatiile:

T =

(∂U

∂S

)

V

(1.49)

P = −(

∂U

∂V

)

S

(1.50)

Relatiile obtinute, pentru fiecare potential termodinamic, fac parte dintr-unset de relatii mai larg, numit relatiile lui Maxwell.

1.7 Legea a treia a termodinamicii

Legea a doua a termodinamicii permite definirea entropiei unei substante,pana la o constanta aditiva arbitrara. Daca avem un sistem format dindoua (sau mai multe) substante, legea a doua a termodinamicii nu permitedeterminarea ın mod unic a diferentei de entropie dintre starile A si B, dacaA se refera la o substanta, iar B la cealalta. Nernst (1905), a furnizat o regulapentru aceasta determinare (legea a treia a termodinamicii), care afirma ca:

- Entropia unui sistem, la zero absolut, este o constanta universala, carepoate fi luata zero.

Generalitatea acestei afirmatii consta ın urmatoarele:

a) Se refera la orice sistem.b) Spune ca S = 0 la T = 0, indiferent de valorile parametrilor de care

depinde S.

Este evident ca, legea a treia a termodinamicii face entropia oricarei staria oricarui sistem, unica. Ea implica imediat ca orice capacitate calorica aunui sistem tinde la zero, la temperatura de zero absolut.

14

Page 15: Fizica statistica, Curs

Probleme

1. Consideram diferentiala:

dF = (x2 + y) dx + x dy

a) Aratati ca ea este diferentiala exacta.b) Integrati dF ıntre punctele A si B, de-a lungul drumurilor 1 si 2 din

figura.c) Integrati dF ıntre A si B folosind integrale nedefinite.

2. Aratati ca, pentru procesul adiabatic este valabila ecuatia Poisson:

PV γ = const

unde γ = CP /CV este exponentul adiabatic.

3. Calculati lucrul mecanic si cantitatea de caldura pentru procesele:izocor, izobar, izoterm si adiabatic.

4. Introducand entropia prin:

dS =dQ

T

sa se determine dS pentru un kilomol de gaz ideal. cat este variatia deentropie ıntr-un proces izocor, dar ıntr-unul adiabatic ?

5. Folosind relatiile:dU = TdS − PdV

dH = TdS + V dP

15

Page 16: Fizica statistica, Curs

dF = −SdT − PdV

dG = −SdT + V dP

precum si proprietatile diferentialei exacte:

dΦ = P (x, y)dx + Q(x, y)dy ; P =

(∂Φ

∂x

)

y

, Q =

(∂Φ

∂y

)

x

(∂P

∂y

)

x

=

(∂Q

∂x

)

y

completati setul de relatii Maxwell, obtinand relatii ıntre derivatele marimilortermodinamice.

6. Folosind relatia Maxwell:(

∂S

∂V

)

T

=

(∂P

∂T

)

V

aratati ca: (∂U

∂V

)

T

= T

(∂P

∂T

)

V

− P , CV = T

(∂S

∂T

)

V

Rescrieti legea a doua a termodinamicii cu ajutorul acestor relatii.

7. Sa se arate ca ın variabile (T, P ) este valabila relatia:

TdS = CP dT − T

(∂V

∂T

)

P

dP

8. Definim urmatoarele marimi masurabile experimental:- Coeficientul dilatarii termice:

α =1

V

(∂V

∂T

)

P

- Compresibilitatea izoterma:

χT = − 1

V

(∂V

∂P

)

T

16

Page 17: Fizica statistica, Curs

a) Exprimati produsul TdS ın variabile (T, V ) si (T, P ) folosind acesticoeficienti.

b) Aratati ca:

CP − CV =T V α2

χT

c) Definind compresibilitatea adiabatica prin:

χS = − 1

V

(∂V

∂P

)

S

aratati ca:

CV =TV α2χS

(χT − χS)χT

; CP =TV α2

χT − χS

9. Sa se determine energia interna si entropia gazului Van der Waalsdescris de ecuatia de stare:

(P +

ν2a

V 2

)(V − νb) = νRT

10. Avem un gaz pentru care:

U = V u(T ) ; P =u(T )

3

u(T ) - fiind densitatea de energie. Sa se determine u(T ), entropia si potentialulGibbs pentru acest gaz.

11. Sa se determine expresia energiei libere pentru un dielectric dininteriorul unui condensator.

12. Se considera procesul de polarizare a unui dielectric ın campul electricdintre armaturile unui condensator plan.

a) Sa se arate ca contributia electrica la entropia unitatii de volum este:

sel =ε0E

2

2· ∂χe

∂T

17

Page 18: Fizica statistica, Curs

b) Daca χe (susceptibilitatea electrica) depinde de temperatura sub forma:

χe = A +B

T; A,B > 0

aratati ca sistemul cedeaza caldura ın cursul procesului de polarizare.c) Calculati energia interna a dielectricului.

13. Sa se arate ca lucrul mecanic de magnetizare a unui corp este:

dLm = V HdB

14. O cantitate de apa, initial la 100 C, este adusa ın contact cu unrezervor (baie) de caldura aflat la temperatura de 900 C.

a) Care este variatia de entropie a ıntregului sistem atunci cand apa atingetemperatura baii ? Exprimati raspunsul ın functie de capacitatea calorica Ca apei , considerand ca C nu depinde de temperatura.

b) Care este variatia de entropie a ıntregului sistem daca folosim douarezervoare pentru a ıncalzi apa, mai ıntai de la 100 la 500 C, iar apoi de la500 C la 900 C.

c) Ati putea sugera, ın principiu, daca apa poate fi ıncalzita de la temper-atura initiala Ti la temperatura finala Tf fara o modificare globala a entropiei?

15. Aratati ca entropia unui gaz ideal poate fi scrisa sub forma (numarulde particule este constant):

S(N, T, P ) = NkB

(s0(T0, P0) + ln

(T

T0

)5/2 (P0

P

))

16. Doua vase contin doua gaze ideale identice, la aceeasi temperaturaT , avand un numar egal de particule N , dar presiuni diferite P1 si P2. Celedoua vase sunt conectate. Gasiti variatia de entropie a sistemului.

17. Doua gaze ideale avand aceeasi presiune P , continand acelasi numarde particule N , dar avand temperaturi diferite T1 si T2 se afla ın doua vase de

18

Page 19: Fizica statistica, Curs

volume V1 si V2. Cele doua vase sunt conectate. Gasiti variatia de entropiepentru acest sistem.

18. Un gaz este comprimat din starea (P1, V1) ın starea (P2, V2) pe douadrumuri diferite, A si B.

• Drumul A este un proces politropic ın care PV n = k.• Drumul B consta dintr-o comprimare izobara la (P1, V2), urmata de o

comprimare izocora la (P2, V2).Gasiti lucrul mecanic de-a lungul celor doua drumuri.

19. Un balon sferic contine aer la presiunea P1 = 150 kPa si este ın vid.Diametrul initial al balonului este D1 = 0, 3 m. Balonul este ıncalzit panacand diametrul sau devine D2 = 0, 4 m. Se stie ca presiunea ın balon esteproportionala cu diametrul sau. Calculati lucrul mecanic ın decursul dilatariibalonului.

20. Consideram un sistem termodinamic pentru care energia interna este:

U(S, V ) =aS3

V

unde a este o constanta. Determinati, pentru acest sistem, raportul CP /CV .

21. Un gaz ideal este comprimat, la temperatura constanta T , de lavolumul V1 la V2.

a) Gasiti lucrul mecanic efectuat asupra gazului si caldura absorbita degaz.

b) Apoi, gazul se destinde adiabatic la volumul 2V2. Care va fi temper-atura finala Tf a gazului ?

c) Estimati Tf , daca Ti = 300 K, pentru aer (considerat gaz biatomic).

22. Modificarea de volum, pentru un gaz ideal, verifica relatia:

dP

P= a

dV

V

unde a este o constanta. Determinati P (V ) si V (T ). Cat este capacitateacalorica a gazului C = dQ/dT ? Ce rezultate se obtin ın cazurile limita a = 0si a →∞ ?

19

Page 20: Fizica statistica, Curs

23. O substanta A avand temperatura initiala TA este adusa ın con-tact termic cu o substanta B avand temperatura TB (ınainte de contact).Cantitatile elementare de caldura sunt: dQA = CAdT si dQB = CBdT , iar∆U = 0 si L = 0. CA si CB sunt capacitati calorice, considerate constante.

Determinati temperatura sistemului compus, dupa atingerea starii deechilibru.

Calculati variatia de entropie ∆S a sistemului compus, ın decursul acestuiproces si aratati ca ∆S ≥ 0. (se cunoaste ca: ln 1

x≥ 1− x).

24. Consideram un gaz ideal, care efectueaza un proces politropic. (ınacest proces, capacitatea calorica ramane constanta). Determinati ecuatiade stare pentru acest proces.

25. Sa se calculeze diferenta CP −CV pentru un kilomol de gaz real. (vander Waals).

26. Considerand U = U(T, V ), justificati rezultatul cu caracter general:

CP = CV +∂U

∂V

∂V

∂T+ P

∂V

∂T

27. Un kilogram de apa (C = 4184 J/K) la 00 C este adus ın contact cuun rezervor de caldura care are temperatura 500 C. Care este modificarea deentropie pentru apa, rezervor, si pentru sistemul compus, apa+rezervor ?

28. Un motor termic functioneaza dupa un ciclu Carnot avand dreptsubstanta de lucru radiatia electromagnetica, pentru care energia internaeste U = aV T 4, iar presiunea P = (1/3)aT 4 (a - este o constanta).

a.) Reprezentati ın coordonate P − V ciclul Carnot pentru acest motor.b.) Calculati randamentul acestui motor termic.

29. Pentru un gaz cu numarul de molecule N = const., se cunoscurmatoarele informatii:

P =f(T )

V;

(∂U

∂V

)

T

= bP ; b = const.

20

Page 21: Fizica statistica, Curs

Determinati f(T ) pentru acest gaz.

30. Determinati modificarea de temperatura, pentru un gaz van derWaals, ın decursul unei destinderi adiabatice.

31. Ecuatia de stare pentru un sistem termodinamic este:

P = α u(T ) ; α = const.

iar u(T ) este densitatea de energie interna.a.) Determinati energia interna U(T, V ) pentru acest sistem.b.) Calculati entropia sistemului.

21

Page 22: Fizica statistica, Curs

2. Fizica Statistica

Fizica statistica are ca scop deducerea legilor fizicii macroscopice pornindde la legile mecanicii. Daca se folosesc legile mecanicii clasice se obtinemecanica statistica clasica, iar daca se folosesc legile mecanicii cuantice seobtine mecanica statistica cuantica.

In fizica statistica, valorile observate ale marimilor fizice reprezinta mediiale marimilor dinamice corespunzatoare. De exemplu: presiunea, este fortamedie pe unitatea de suprafata datorita ciocnirii moleculelor gazului cu aceasuprafata.

Orice masuratoare a unei marimi fizice ne da de fapt o valoare medie aacestei marimi, medie efectuata pe un interval de timp de ordinul timpului demasura. astfel, valoarea observata a marimii A este data de media temporala

〈A〉t = limτ→∞

1

τ

∫ τ

0A(t) dt (2.1)

Aici τ - este timpul de observatie. Calculul mediei din ec.(2.1) este foartecomplicat deoarece presupune cunoasterea dependentei A(t). Pentru a evitaacest lucru, fizica statistica adopta un punct de vedere probabilist, ın sensulca starea sistemului cu un numar foarte mare de particule este cunoscutanumai cu o anumita probabilitate.

2.1 Starea microscopica a sistemului

Avem un sistem format din N particule, care se supun mecanicii cla-sice. Starea lui microscopica este determinata de totalitatea impulsurilor sia coordonatelor generalizate:

(p1, ..., pN ; q1, ..., qN) ≡ (p, q) (2.2)

Starea sistemului cu N particule va fi reprezentata printr-un punct reprezen-tativ, de coordonate (p, q), ıntr-un spatiu cu 2N - dimensiuni, numit spatiulfazelor.

22

Page 23: Fizica statistica, Curs

Pe masura ce timpul trece, sistemul evolueaza, dupa legile mecanicii cla-sice, punctul reprezentativ descriind o traiectorie, ın spatiul fazelor, (A - fiindstarea initiala si B cea finala), numita traiectorie de faza.

Evolutia ın timp a sistemului este descrisa de ecuatiile canonice a luiHamilton:

dpi

dt= −∂H(p, q)

∂qi

;dqi

dt=

∂H(p, q)

∂pi

; i = 1, ..., N (2.3)

H(p, q) - este hamiltonianul sistemului. Solutiile sistemului de ecuatii (2.3),adica: pi = pi(t), qi = qi(t), determina evolutia ın timp a punctului reprezen-tativ din spatiul fazelor. Din punct de vedere practic ınsa, rezolvarea acesteiprobleme, cu conditii initiale date, pentru un numar foarte mare de particule,este imposibila. In plus, pentru o stare macroscopica data, fixand de exem-plu: volumul, temperatura, presiunea, etc., numarul starilor microscopicecompatibile cu starea macroscopica data, este foarte mare. Admitem caorice stare microscopica, compatibila cu o stare macroscopica data, se poaterealiza ıntr-un numar foarte mare de moduri, astfel ıncat nu putem vorbidecat de probabilitatea de realizare a unei anumite stari microscopice.

- Exemplu: Pentru oscilatorul liniar armonic, avem hamiltonianul:

H(p, q) =p2

2m+

mω2q2

2(2.4)

Fixand energia: H(p, q) = E, spatiul fazelor este 2-dimensional:

p2

(√2mE

)2 +q2

(√2E

mω2

)2 = 1 (2.5)

Toate starile care se afla pe aceasta elipsa satisfac conditia impusa. Aceastacurba reprezinta traiectoria punctului reprezentativ ın spatiul fazelor. Ve-dem ca numarul starilor microscopice (toate punctele curbei), compatibile

23

Page 24: Fizica statistica, Curs

cu conditia macroscopica impusa (energia fixata la valoarea E), este foartemare.

Daca am fi cerut ca energia sa fie cuprinsa ıntre E si E + ∆E, adica:

E < H(p, q) < E + ∆E

am fi obtinut urmatoarea arie ın spatiul fazelor:

Toate starile din regiunea hasurata sunt compatibile cu conditia impusalui H(p, q).

Daca am impune conditia: H(p, q) < E:

atunci toate punctele din interiorul elipsei sunt compatibile cu conditiamacroscopica impusa.

Vedem numarul starilor microscopice din interiorul elipsei, determinate

24

Page 25: Fizica statistica, Curs

de E:

π√

2mE

√2E

mω2=

2πE

ω(2.6)

Daca avem un sistem de N oscilatori armonici liniari si independenti atunci,pentru H < E, numarul de stari este:

Nr.stari ∼ EN (2.7)

adica o functie foarte rapid crescatoare cu E, daca N este foarte mare. Notamprin Φ(E) volumul din spatiul fazelor, limitat de suprafata de energie con-stanta H(p, q) = E:

H(p,q)≤E...

∫dp1...dpNdq1...dqN ≡

∫...

∫θ(E −H(p, q))dp1...dpNdq1...dqN

(2.8)unde:

θ(E −H(p, q)) =

1 , H(p, q) < E0 , H(p, q) > E

(2.9)

este functia treapta.Marimea:

Ω(E; ∆E) = Φ(E + ∆E)− Φ(E) (2.10)

reprezinta numarul de stari cuprins ıntre doua suprafete de energie con-stanta: H = E si H = E + ∆E.

- Observatii: Vedem ca Φ, Ω si dp dq au dimensiunea fizica:

(impus× coordonata)N

deci nu sunt numere pure, asa cum ar trebui sa fie din interpretarea canumere de stari. Acest inconvenient trebuie ınlaturat. Acest lucru se face cu

25

Page 26: Fizica statistica, Curs

ajutorul relatiei de nedeterminare:

∆pi∆qi ≥ h

2

Ea ne spune ca spatiul fazelor nu poate fi divizat la infinit, ci exista ocelula limita, de latura h, sub care nu mai putem merge. Deci, doua starimicroscopice care se afla ın aceeasi celula nu mai pot fi distinse. Atunci,spunem ca fiecarei stari ıi corespunde o celula. Numarul starilor microscop-ice, pentru un sistem cu un grad de libertate, se obtne prin ımpartirea luiΦ(E) cu h, iar pentru N grade de libertate, cu hN . Practic, vom ınlocuipeste tot:

dp dq −→ dp dq

hN

In plus, daca avem un sistem de particule identice si care au grade de liber-tate de translatie, starea microscopica nu se schimba, daca se permuta douaparticule ıntre ele. Daca avem N particule identice, atunci numarul de staridistincte se obtine prin ımpartirea cu N !, care este egal cu numarul de per-mutari a celor N particule. Atunci, numarul de stari din elementul de volumdin spatiul fazelor este:

dΦ =1

hNN !dp dq (2.11)

iar numarul total de stari devine:

Φ(E) =1

hNN !

∫θ(E −H(p, q)) dp dq (2.12)

Numarul de stari cuprinse ıntre H = E si H = E + ∆E, este:

Ω(E; ∆E) = Φ(E + ∆E)− Φ(E) =

=1

hNN !

∫[θ(E + ∆E −H)− θ(E −H)] dp dq (2.13)

Definim marimea:

ω(E) =∂Φ(E)

∂E(2.14)

numita densitatea de stari, corespunzatoare energiei E. Observam ca pentru∆E - mic (∆E ¿ E), avem:

lim∆E→0

Ω(E; ∆E)

∆E= lim

∆E→0

Φ(E + ∆E)− Φ(E)

∆E≡ ∂Φ(E)

∂E= ω(E)

26

Page 27: Fizica statistica, Curs

deci:Ω(E; ∆E) = ω(E) ∆E , ∆E ¿ E (2.15)

Folosind densitatea de stari ω(E), numarul total de stari este:

Φ(E) =∫ E

0ω(E) dE (2.16)

iar numarul de stari din stratul (E,E + ∆E) este:

Φ(E; ∆E) =∫ E+∆E

Eω(E) dE ≡

∫ E+∆E

EdΦ(E) = Φ(E + ∆E)− Φ(E)

(2.17)- Exemplu: Sistemul de particule independente: Avem un sistem de N

particule independente, fiecare avand 3 grade de libertate si fiind descris dehamiltonianul:

H(p, q) =3N∑

i=1

p2i

2m(2.18)

Aici, m - este masa particulelor, p1, p2, p3 - componentele impulsului primeiparticule, p4p5p6 - a celei de-a doua particule, si asa mai departe. Volumul,ın spatiul fazelor, marginit de suprafata de energie constanta H = E, este:

Φ(E) =1

N !h3N

∫...

∫θ

(E −

3N∑

i=1

p2i

2m

)dp1dq1 dp2dq2 ... dp3Ndq3N (2.19)

Aici:∫

dq1dq2dq3 = V - care este volumul geometric al sistemului. Cum avemN astfel de triplete, ınsemna ca:

∫dq1 ... dq3N = V N (2.20)

si ec.(2.19) devine:

Φ(E) =V N

N !h3N

∫...

∫θ

(E −

3N∑

i=1

p2i

2m

)dp1 ... dp3N (2.21)

Integralele peste impulsuri ne dau exact volumul sferei de raza√

2mE ıntr-unspatiu 3N - dimensional. Stiind ca volumul sferei ın n - dimensiuni este:

Vn(R) =πn/2

Γ(

n2

+ 1) Rn (2.22)

27

Page 28: Fizica statistica, Curs

avem:

Φ(E) =V N

N !h3N

π3N/2

Γ(

3N2

+ 1) (2mE)3N/2 =

=1

N !

1

Γ(

3N2

+ 1)

[(2πmE

h2

)3/2

V

]N

(2.23)

Numarul de stari din stratul de grosime ∆E, este:

Ω(E; ∆E) = Φ(E + ∆E)− Φ(E) =

=1

N !

1

Γ(

3N2

+ 1)

[(2πm

h2

)3/2

V

]N [(E + ∆E)

3N2 − E

3N2

]=

=1

N !

1

Γ(

3N2

+ 1)

[(2πm

h2

)3/2

V

]NE

3N2

(1 +

∆E

E

) 3N2 − E

3N2

Considerand ∆E ¿ E, si folosind dezvoltarea (1 + x)n ' 1 + nx, avem:

Ω(E; ∆E) =1

N !

1

Γ(

3N2

+ 1)

[(2πmE

h2

)3/2

V

]N3N

2

∆E

E(2.24)

Densitatea de stari ω(E) este:

ω(E) =∂Φ(E)

∂E=

1

N !

1

Γ(

3N2

+ 1)

[(2πm

h2

)3/2

V

]N (3N

2− 1

)E

3N2−1

(2.25)Observam dependentele de energie:

Φ(E) ∼ E3N2

Ω(E; ∆E) ∼ E3N2−1

ω(E) ∼ E3N2−1 (2.26)

In cazul sistemelor macroscopice, N este foarte mare (N ∼ 1022 particule/cm3),astfel ıncat (3N/2) − 1 ' 3N/2. Atunci, dependenta de energie pentru cele

28

Page 29: Fizica statistica, Curs

trei marimi din ec.(2.26) este aceesi (cu factori multiplicativi pentru a nuschimba dimensionalitatea):

Φ(E) ∼ Ω(E; ∆E) ∼ ω(E) ∼ E3N2 (2.27)

si sunt functii foarte rapid crescatoare de E, avand ın vedere valorile maripentru N .

2.2 Ansamblul statistic clasic

Dupa cum s-a vazut, proprietatile macroscopice observate, pentru unsistem, sunt mediile temporale date de ec.(2.1). Ele sunt practic imposibilde calculat. O cale de a evita aceasta dificultate este de a ınlocui mediatemporala a unui singur sistem, cu media pe ansamblu (sau media statistica)pentru o colectie foarte mare de sisteme. Adica, ın loc sa privim la un singursistem, pe un interval de timp foarte lung, privim la o colectie (mentala)formata dintr-un numar foarte mare de sisteme (toate fiind replici (copii)ale sistemului considerat), la un moment dat. Astfel, ıntr-un ansamblu desisteme, toate sistemele au o serie de proprietati comune (cum ar fi, aceeasi N ,V , E), dar difera cand facem specificari microscopice (au microstari diferite).

Pentru un sistem fizic, care evolueaza ın timp, avem o anumita traiectorieın spatiul fazelor.

In modelul ansamblului statistic, ın spatiul fazelor, se vad punctele reprezen-tative corespunzatoare a sase membrii ai ansamblului, care la un anumitmoment se afla ın aceleasi stari ca ın prima figura.

In acest mod, ın loc sa urmarim evolutia ın timp a unui sistem, vomcauta sa gasim cum sunt distribuite ın spatiul fazelor punctele reprezenta-tive ale sistemelor din ansamblul statistic. Aceste puncte formeaza, ın modobisnuit, o distributie continua. Ea se descrie ın mod convenabil printr-o

29

Page 30: Fizica statistica, Curs

densitate de probabilitate (sau functie de distributie):

ρ(p, q, t) ≡ ρ(p1, ..., psN ; q1, ..., qsN , t) (2.28)

(s - este numarul gradelor de libertate). Marimea:

dw = ρ(p, q, t)dp dq

N !hsN(2.29)

ne da probabilitatea ca punctul reprezentativ sa se afle la momentul de timpt ın elementul de volum dp dq, ın jurul punctului de coordonate (p, q) dinspatiul fazelor.

Probalilitatea ca punctul reprezentativ sa se afle ıntr-un domeniu D dinspatiul fazelor este:

wD =∫

Dρ(p, q, t)

dp dq

N !hsN(2.30)

- Observatie : Deoarece punctul reprezentativ se afla cu certitudine un-deva ın spatiul fazelor, avem conditia:

tot spatiul fazelorρ(p, q, t)

dp dq

N !hsN= 1 (2.31)

care se numeste normarea densitatii de probabilitate.Cunoscand functia de distributie, valoarea medie pe ansamblu a oricarei

marimi dinamice este :

〈A〉 =1

N !hsN

tot spatiul fazelordp dq A(p, q) ρ(p, q, t) (2.32)

Aici se ridica urmatoarele ıntrebari:1) Daca mediile 〈A〉t (ec.(2.1)) si 〈A〉 (ec.(2.32)) coincid ?

30

Page 31: Fizica statistica, Curs

Echivalenta dintre cele doua tipuri de medii a fost demonstrata ın cadrulteoriei ergodice, ın anumite conditii.

2) Daca valorile medii calculate cu ajutorul ec.(2.32) coincid cu marimileobservate ?

Acesta coincidenta exista. In particular, folosind ec.(2.32), se poateobtine termodinamica fenomenologica a unor sisteme de interes fizic.

Probleme

1. Un sistem clasic este descris folosindu-se setul de coordonateq1, q2, ..., qN, respectiv impulsurile canonice conjugate p1, p2, ..., pN.Hamiltonianul sistemului este:

H =N∑

n=1

(Anprn + Bnqs

n)

unde An si Bn sunt constante pozitive, iar r si s sunt numere ıntregi, pozitive,pare. Calculati energia medie 〈E〉 pentru acest sistem, aflat ın echilibrutermic la temperatura T . Se cunoaste ca:

∫ ∞

0dx xa−1e−x = Γ(a) ; a > 0

31

Page 32: Fizica statistica, Curs

3. Ansamblul microcanonic

In cazul echilibrului termodinamic, parametrii de stare nu depind explicitde timp. Deoarece valorile observate corespund valorii medii pe ansamblu,calculate cu ajutorul lui ρ(p, q, t), pentru ca ele sa nu depinda de timp trebuieca:

∂ρ(p, q, t)

∂t= 0 (3.1)

De aici, folosind ecuatia Liouville, avem:

H, ρ(p, q) = 0 (3.2)

unde H - este hamiltonianul sistemului. Ec.(3.2), care anuleaza parantezaPoisson, implica faptul ca ρ(p, q) depinde numai de integralele prime alemiscarii, adica de acele marimi care se conserva ın decursul miscarii.

Pentru un sistem izolat, constantele de miscare (care au sens fizic direct),

sunt: H - hamiltonianul, ~P - impulsul total, ~L - momentul cinetic total, N -numarul de particule. Atunci, la echilibru:

ρ(p, q) −→ ρ(H,N, ~P , ~L) (3.3)

Presupunand sistemul ın repaus (sau presupunand ca ne aflam ın sistemulpropriu de coordonate):

~P = ~L = 0 (3.4)

si:ρ(p, q) −→ ρ(H, N) ≡ ρ(H) (3.5)

(nu s-a mai scris si N).In cazul ansamblului microcanonic, prototipul sistemului studiat este un

sistem izolat, caracterizat prin energia E, volumul V si numarul de particuleN .

- Observatie : Din motive fizice, cat si pentru a nu lucra cu functii sin-gulare, se admite ca E este determinat pana la o anumita abatere ∆E ¿ E.

32

Page 33: Fizica statistica, Curs

(Este practic imposibil sa izolam perfect sistemul, eliminand total influentamediului exterior).

Deoarece sistemul este izolat, este plauzibil sa presupunem ca toate starilemicroscopice compatibile cu conditiile macroscopice date:

E < H < E + ∆E

V − fixat

N − fixat

au sanse egale de realizare. Astfel, starile microscopice se realizeaza cu egalaprobabilitate, si putem scrie:

ρ(p, q) ≡ ρ(H) =

const. , E < H < E + ∆E0 , ın rest

(3.6)

Constanta din ec.(3.6) se determina din conditia de normare:

E<H<E+∆Eρ(H)

dp dq

N !hsN= 1 ⇔ const.

E<H<E+∆E

dp dq

N !hsN= 1 (3.7)

Cum ultima integrala este Ω(E; ∆E), obtinem ca:

const. =1

Ω(E; ∆E)(3.8)

Atunci, functia de distributie microcanonica clasica este:

ρ(H) =

1

Ω(E;∆E), E < H < E + ∆E

0 , ın rest(3.9)

Cu ajutorul lui ρ(H) putem calcula (cu ec.(2.32)) valoarea medie pe ansamblua oricarei variabile dinamice:

〈A〉 =1

Ω(E; ∆E)

E<H<E+∆E

dp dq

N !hsNA(p, q) (3.10)

In particular, valoarea medie a energiei este:

U ≡ 〈H〉 =1

Ω

E<H<E+∆EH(p, q)

dp dq

N !hsN' 1

ΩE

E<H<E+∆E

dp dq

N !hsN= E

(3.11)

33

Page 34: Fizica statistica, Curs

deci:U = E

pana la corectii de ordinul lui ∆E.

3.1 Legatura cu termodinamica

Aceasta legatura se face definind entropia prin relatia:

S(E, V, N) = kB ln Ω(E, V,N ; ∆E) (3.12)

unde kB - este constanta lui Boltzmann. Pentru a justifica legatura (3.12)trebuie aratat ca ea poseda proprietatile entropiei din termodinamica, adica:

1) S este o marime extensiva : Daca un sistem este compus din douasubsisteme a caror entropii sunt S1 si S2, atunci entropia totala a sistemuluieste S1 + S2.

2) S satisface proprietatile entropiei cerute de legea a doua a termodi-namicii.

- Pentru justificarea extensivitatii, ımpartim sistemul ın doua subsistemecare au volumele V1 si V2 si N1 respectiv N2 particule.

Energia de interactiune dintre subsisteme este neglijabila ın raport cuenergia totala a fiecarui subsistem. Atunci, hamiltonianul total a sistemuluieste:

H(p, q) = H1(p1, q1) + H2(p2, q2) (3.13)

unde (p1, q1) si (p2, q2) reprezinta impulsurile si coordonatele particulelorcontinute ın cele doua subsisteme.

Ne imaginam, pentru ınceput, cele doua subsisteme ca fiind izolate unulfata de celalalt si consideram ansamblul microcanonic pentru fiecare ın parte.Energia pentru primul subsistem este ıntre:

E1 < H1 < E1 + ∆

34

Page 35: Fizica statistica, Curs

iar pentru al doilea subsistem este ıntre:

E2 < H2 < E2 + ∆

Entropiile celor doua subsisteme sunt:

S1(E1, V1, N1) = kB ln Ω1(E1, V1, N1; ∆) (3.14)

S2(E2, V2, N2) = kB ln Ω2(E2, V2, N2; ∆) (3.15)

Consideram apoi ansamblul microcanonic a sistemului (format din cele douasubsisteme).

Energia totala este ıntre:

E < H < E + 2∆ ; ∆ ¿ E

Este evident ca energiile E1 si E2 a celor doua subsisteme au valori caresatisfac conditia:

E < (E1 + E2) < E + 2∆

Numarul de stari a sistemului total (Ω), cuprins ıntre E si E +2∆, este legatde Ω1 si Ω2. In plus, E1 si E2 corespund hamiltonienilor H1 si H2. Spec-trul de valori proprii, pentru acesti hamiltonieni, este limitat inferior (pentrustabilitatea sistemului). Vom lua zero limita inferioara pentru ambele spec-tre. Apoi, vom divide ambele spectre energetice (E1 si E2) ın intervale de

35

Page 36: Fizica statistica, Curs

largime ∆, ıntre valorile 0 si E. Pentru fiecare spectru vom avea E/∆ inter-vale (∆ ¿ E). Numarul de stari a sistemului este (deoarece probabilitateaa doua evenimente independente este produsul probabilitatilor individuale):

Ω(E) = Ω1(E1)Ω2(E2)

Cum: E2 ' E − E1 :

Ω(E) →E/∆∑

i=1

Ω1(Ei)Ω2(E − Ei) (3.16)

Aici, Ei - este energia corespunzatoare pozitiei din centrul unui interval.Entropia sistemului compozit, cu N = N1 + N2 particule si cu cu volumulV = V1 + V2, este (cf.ec.(3.12)):

S(E, V,N) = kB ln

E/∆∑

i=1

Ω1(Ei)Ω2(E − Ei)

(3.17)

In conditiile N1 → ∞ si N2 → ∞, suma (3.16) are un singur termen domi-nant. Fie acest termen:

Ω1(E1)Ω2(E2) ; E1 + E2 = E (3.18)

E1 si E2 corespund situatiei cand temperaturile subsistemelor verifica relatiaT1 = T2. Este evident ca:

Ω1(E1)Ω2(E2) ≤ Ω(E) ≤ E

∆Ω1(E1)Ω2(E2) (3.19)

iar de aici:

kB ln[Ω1(E1)Ω2(E2)

]≤ kB ln Ω(E) ≤ kB ln

[E

∆Ω1(E1)Ω2(E2)

]

36

Page 37: Fizica statistica, Curs

sau:

kB ln[Ω1(E1)Ω2(E2)

]≤ S(E, V, N) ≤ kB ln

[Ω1(E1)Ω2(E2)

]+ kB ln

E

∆(3.20)

Pentru N1 si N2 foarte mari, ne asteptam ca:

ln Ω1 ∼ N1

ln Ω2 ∼ N2

E ∼ N1 + N2 = N (3.21)

Atunci:ln [Ω1Ω2] = ln Ω1 + ln Ω2 ∼ N1 + N2 = N (3.22)

lnE

∆= ln E − ln ∆ ∼ ln N (3.23)

(∆ = const.). Deoarece termenul ln N ¿ N , pentru N →∞, ultimul termendin ec.(3.20) este neglijabil ın raport cu primul. Atunci avem:

kB ln [Ω1Ω2] ≤ S(E, V,N) ≤ kB ln [Ω1Ω2]

adica:S(E, V, N) = kB ln Ω1(E1) + kB ln Ω2(E2)

sau:S(E, V, N) = S1(E1, V1, N1) + S2(E2, V2, N2) (3.24)

relatie care justifica proprietatea de extensivitate. Calcule asemanatoarearata ca urmatoarele definitii ale entropiei sunt echivalente (pana la o con-stanta aditiva):

S = kB ln Ω(E) (3.25)

S = kB ln Φ(E) (3.26)

S = kB ln ω(E) (3.27)

- Justifica acum ca S satisface proprietatile entropiei, cerute de legeaa doua a termodinamicii (unde entropia este definita numai pentru situatiide echilibru). Consideram un suistem izolat (N si E nu se pot modifica),care evolueaza ıntre doua stari de echilibru, cea initiala si cea finala. Pentruacest sistem doar V se poate modifica. Dar, V nu poate scadea, decat daca

37

Page 38: Fizica statistica, Curs

comprimam sistemul, actionand din exterior. Atunci ınsa, sistemul nu maieste izolat. Deci, V poate doar sa creasca. Legatura cu legea a doua atermodinamicii ne cere sa aratam ca S este o functie nedescrescatoare de V .Pentru asta folosim relatia:

S = kB ln Φ(E)

cu:Φ(E) =

H(p,q)≤Edp dq

Din integralele peste coordonate, observam imediat ca:

Φ(E)|f > Φ(E)|ideoarece Vf > Vi (f - desemneaza starea finala, iar i - pe cea initiala). Acestrezultat arata ca S este o functie nedescrescatoare de V , deci s-a stabilit silegatura cu termodinamica.

Probleme

1. Un gaz ideal, format din N particule identice se afla ınchis ın volumulV . Gasiti numarul de stari Φ(E) corespunzatoare acestui sistem. Folosindacest rezultat, gasiti ecuatia de stare a gazului.

2. Se considera un sistem de N particule identice independente. Fiecaredintre particule se poate gasi pe unul dintre nivelurile energetice −ε si ε. Sase calculeze marimile termodinamice caracteristice acestui sistem, folosindansamblul microcanonic.

3. Consideram un sistem de N momente magnetice (N À 1). Fiecaremoment magnetic se poate afla ıntr-una dintre starile ”sus” sau ”jos”. In

38

Page 39: Fizica statistica, Curs

starea ”sus” momentul magnetic este +µ, iar ın starea ”jos” este −µ. DacaN↑ si N↓ sunt numerele de momente magnetice ın cele doua stari, atunci:N = N↑+N↓. Momentul magnetic total a sistemului este: M = µ (N↑ −N↓).Consideram ca probabilitatea ca sistemul sa se afle ın oricare dintre cele 2N

stari posibile este aceeasi.a) Folosind formula Stirling, determinati distributia de probabilitate ρ(M)

(M fiind considerat drept variabila continua).b) Folosind ρ(M) determinati 〈M〉 precum si 〈(∆M)2〉.

4. Folosind ansamblul microcanonic, determinati proprietatile termod-inamice ale unui sistem de N oscilatori clasici localizati, a caror frecventaeste aceeasi, ω. (N À 1)

(Indicatie: In cazul localizat, factorul N ! nu mai trebuie adaugat, pentruca oscilatorii se disting unul de altul).

5. O colectie de particule cu spinul 1/2 se gaseste pe o suprafata careare N pozitii disponibile. Pentru fractiunea de pozitii neocupate, fie s = 0.Daca o pozitie este ocupata cu o particula cu spinul ”ın sus”, s = 1. Dacao pozitie este ocupata cu o particula cu spinul ”ın jos”, s = −1. Intre eleparticulele nu interactioneaza. Energia corespunzatoare fiecarei pozitii esteε = −Ws2 ; −W < 0 fiind energia de legatura.

a) Daca: Nt = N↑ + N↓ - este numarul de spini, N0 - numarul de vacante(pozitii neocupate) si M = N↑−N↓ - magnetizarea de suprafata, determinatientropia sistemului (folosind ansamblul microcanonic si formula Stirling).

b) Definim: q = Nt/N - densitatea adimensionala de particule si m =M/N - densitatea de magnetizare. Considerand N, Nt,M foarte mari, dar nsi m finite, gasiti temperatura T (q,m) a sistemului.

c) Aratati ca T poate fi negativa. Ce ınsemna acest lucru ?

6. Consideram un sistem de N particule, de spin 1, care se afla ıntr-uncamp magnetic uniform B. Fiecare particula se poate gasi pe unul dintrenivelurile energetice εσ = −gµBBσ, cu σ = +1, 0,−1.

a.) Determinati numarul de stari Ω pentru acest sistem.b.) Calculati entropia sistemului, daca E este energia sistemului si n0

numarul de particule de pe nivelul ε0.c.) Determinati legatura ıntre n0, n+1 si n−1 din conditia de maxim a

entropiei (ın raport cu n0).

39

Page 40: Fizica statistica, Curs

7. N atomi sunt aranjati pentru a forma o retea periodica. Numarulde interstitii din aceasta retea este Ni (de obicei N = Ni). Daca n atomisunt mutati din puncte de retea ın interstitii, ın cristal apar defecte (de tipFrenkel). Daca n ¿ N ; Ni, determinati:

a.) Entropia sistemului.b.) Energia libera a sistemului.c.) Numarul n de defecte, minimizand energia libera.

8. Aratati ca la temperatura:

T0 =Ei

4kB

capacitatea calorica a defectelor de tip Frenkel are valoarea maxima.

9. Pentru un sistem format dintr-un numar foarte mare de particule,capacitatea calorica la volum constant este data de relatia:

CV = aT n ; a > 0 ; n > 1

Sa se determine numarul de stari Ω(E), pentru acest sistem.

10. Consideram sistemul cu doua niveluri energetice, ε si −ε. Numarulde particule din sistem este N . (N > 0 poate fi oricat). Nu este necesar caN sa fie foarte mare !

a.) Aratati ca temperatura, pentru acest sistem, este data de:

T =2ε

kB

1

ψ(1 + N

2− E

)− ψ

(1 + N

2+ E

)

unde ψ(x) - este functia digama (derivata logaritmului functiei Gama. v.Gradstein , Rıjik - Tabele de sume, produse si integrale).

b.) Aratati ca ın limita N - foarte mare se regaseste rezultatul cunoscut.c.) Reprezentati calitativ T ca functie de E/ε, pentru N = 5. Pentru ce

energii, temperatura sistemului este negativa.

40

Page 41: Fizica statistica, Curs

4. Ansamblul canonic

Dorim sa raspundem la ıntrebarea: Care este ansamblul potrivit pentrudescrierea unui sistem care nu este izolat, dar se afla ın echilibru termic cuun sistem mult mai mare ?

Pentru aceasta consideram un sistem compus (sistemul total), format dindoua subsisteme, a caror hamiltonieni sunt H1(p1, q1) si H2(p2, q2), iar nu-merele de particule sunt N1 si N2. Consideram N2 À N1. Sistemul compuseste izolat.

Pentru sistemul compus consideram ansamblul microcanonic, cu energiatotala cuprinsa ıntre E si E + 2∆:

E < H < E + 2∆ ; H = H1 + H2

Daca energiile subsistemelor sunt E1 si E2, atunci:

E < E1 + E2 < E + 2∆ (4.1)

- Observatie: Am vazut ca dintre valorile posibile pentru E1 si E2, doarsetul E1 si E2 sunt importante. Mai consideram ca E2 À E1, subsistemul 2fiind mult mai mare decat subsistemul 1.

Atunci cand echilibrul sistemului total este atins, probabilitatea ca punc-tul reprezentativ sa se gaseasca ın elementul de volum dp1...dq2 (care este defapt dp1dq1dp2dq2), din regiunea care satisface conditia:

E < H1(p1, q1) + H2(p2, q2) < E + 2∆

41

Page 42: Fizica statistica, Curs

este:C dp1dq1dp2dq2 (4.2)

Daca ne preocupam numai de subsistemul 1 si dorim sa gasim probabilitateaca el sa se afle ın elementul de volum dp1dq1 din spatiul sau al fazelor, trebuiesa integram (4.2) peste valorile permise ale variabilelor (p2, q2), avand:

C dp1dq1

E−H1(p1,q1)<H2(p2,q2)<E+2∆−H1(p1,q1)dp2dq2 (4.3)

sau (densitatea de probabilitate):

ρ(p1, q1) ∼∫

dp2dq2 ≡ Ω2(E2) E2 = E − E1 (4.4)

Atunci:ρ(p1, q1) ∼ Ω2(E − E1) (4.5)

Aici, doar valorile lui E1 din jurul lui E1 sunt importante. Cum E1 ¿ E,folosim dezvoltarea:

kB ln Ω2(E − E1) ≡ S2(E − E1) = S2(E)− E1

[∂S2(E2)

∂E2

]

E2=E

+ ... '

' S2(E)− E1

T+ ... (4.6)

T - este temperatura subsistemului (mare) 2. Atunci:

ln Ω2(E − E1) ' S2(E)

kB

− E1

kBT

de unde:

Ω2(E − E1) ' exp

[S2(E)

kB

]exp

[− E1

kBT

](4.7)

Primul termen din ec.(4.7) nu depinde de E1 fiind deci o constanta atuncicand facem referiri la subsistemul (mic) 1. Folosind (4.5) si faptul ca E1 =H1(p1, q1), densitatea de probabilitate pentru subsistemul (mic) 1, este:

ρ(p1, q1) ∼ exp

[−H1(p1, q1)

kBT

]

42

Page 43: Fizica statistica, Curs

Omitand acum indicele 1, deoarece de acum ınainte nu mai facem referiri lasistemul mare 2, (dar tinem minte ca temperatura lui este T ), avem:

ρ(p, q) ∼ exp

[−H(p, q)

kBT

](4.8)

Ansamblul definit prin ec.(4.8), potrivit pentru un sistem a carui temper-atura este determinata prin contactul cu un rezervor de caldura, se numesteansamblul canonic. Desi energia sistemului total nu fluctueaza, exista schimbde energie ıntre sistem (subsistemul mic) si termostat (subsistemul mare), da-torita contactului termic. In aceasta situatie, energia sistemului nu este binedefinita, ci fluctueaza.

Volumul, ın spatiul fazelor, ocupat de ansamblul canonic, se numestefunctie de partitie (sau suma de stare) si este data de:

Z(T, V,N) =1

N !hsN

∫dp dq e−βH(p,q) ; β =

1

kBT(4.9)

Legatura cu termodinamica se face prin relatia:

Z(T, V, N) = e−βF (T,V,N) (4.10)

unde F (T, V, N) - este energia libera Helmholtz. Pentru a justifica identifi-carea (4.10) trebuie sa aratam ca:

a) F este o marime extensiva.b) F este legata de energia interna U si de entropia S prin formula:

F = U − TS (4.11)

Cerinta a) rezulta imediat daca folosim ec.(4.9) si consideram sistemul cafiind format din doua subsisteme a caror interactie mutuala poate fi neglijata.Atunci, ec.(4.9), adica Z, devine produsul a doi factori.

Pentru a justifica cerinta b) rescriem ec.(4.11) astfel:

U = F + TS ⇐⇒ 〈H〉 = F − T

(∂F

∂T

)

V

(4.12)

Folosind apoi (4.9) si (4.10), avem evident:

1N !hsN

∫dp dq e−βH(p,q)

e−βF (T,V,N)= 1 (4.13)

43

Page 44: Fizica statistica, Curs

sau:1

N !hsN

∫dp dq eβ[F (T,V,N)−H(p,q)] = 1 (4.14)

Derivand ın raport cu β ambii membrii din ec.(4.14), obtinem:

1

N !hsN

∫dp dq

∂βeβ[F (T,V,N)−H(p,q)] = 0

1

N !hsN

∫dp dq eβ[F (T,V,N)−H(p,q)] ∂

∂ββ[F (T, V, N)−H(p, q)] = 0

Tinand seama ca β = 1/kBT , avem mai departe:

1

N !hsN

∫dp dq eβ[F (T,V,N)−H(p,q)]

[F (T, V,N)−H(p, q) + β

(∂F

∂β

)

V

]= 0

(4.15)care este echivalenta cu:

F (T, V, N)− 〈H〉+ β

(∂F

∂β

)

V

= 0 (4.16)

sau:

F (T, V, N)− U(T, V, N) + β

(∂F

∂β

)

V

= 0 (4.17)

Trecem la variabila T , folosind:

β =1

kBT−→ dβ = − dT

kBT 2=⇒ ∂

∂β→ −kBT 2 ∂

∂T

Avem imediat:

F (T, V, N)− U(T, V, N)− T

(∂F

∂T

)

V

= 0 ⇐⇒ F + TS = U (4.18)

Toate functiile termodinamice pot fi determinate folosind F (T, V,N), cu aju-torul relatiilor lui Maxwell:

P = −(

∂F

∂V

)

T

S = −(

∂F

∂T

)

V

44

Page 45: Fizica statistica, Curs

G = F + PV

U = F + TS (4.19)

unde, din ec.(4.10):

F (T, V, N) = −kBT ln Z(T, V,N) (4.20)

- Exemplu : Consideram gazul ideal monoatomic, descris de hamiltoni-anul:

H =∑

i

p2i

2m(4.21)

Functia de partitie este:

Z =1

N !h3N

∫dp dq e−βH =

V N

N !h3N

∫dp e−βH =

=V N

N !h3N

(∫ ∞

−∞dp e

− p2

2mkBT

)3N

(4.22)

Aici folosim integrala: ∫ ∞

−∞dx e−ax2

=

√π

a(4.23)

cu ajutorul careia functia de partitie devine:

Z =1

N !

V

(2πmkBT

h2

)3/2

N

(4.24)

Energia libera este:

F = −kBT ln Z = −kBT ln

1

N !

V

(2πmkBT

h2

)3/2

N

sau:

F = −kBT

− ln N ! + N ln

V

(2πmkBT

h2

)3/2

Folosind formula Stirling, avem:

F = −kBT

−N ln N + N + N ln

V

(2πmkBT

h2

)3/2

45

Page 46: Fizica statistica, Curs

F = −kBTN

− ln N + ln e + ln

V

(2πmkBT

h2

)3/2

si ın final:

F = −NkBT ln

eV

N

(2πmkBT

h2

)3/2 (4.25)

Presiunea (ecuatia de stare) este:

P = −(

∂F

∂V

)

T

sau:

P = NkBT∂

∂Vln[A · V ]

unde s-a notat:

A =e

N

(2πmkBT

h2

)3/2

Atunci, obtinem imediat:

P =NkBT

V

iar ecuatia de stare este:PV = NkBT (4.26)

Entropia este:

S = −(

∂F

∂T

)

V

sau:

S = NkB∂

∂T

[T ln

(B · T 3/2

)]

Aici:

B =eV

N

(2πmkB

h2

)3/2

Dupa derivare se gaseste:

S = NkB

[3

2+ ln

(B · T 3/2

)]

46

Page 47: Fizica statistica, Curs

Inlocuind expresia lui B, obtinem ın final:

S =3

2NkB + NkB ln

eV

N

(2πmkBT

h2

)3/2 (4.27)

Potentialul chimic, este dat de relatia:

µ =

(∂F

∂N

)

T,V

(4.28)

sau:

µ = −kBT∂

∂N

[N ln

( CN

)]; C = eV

(2πmkBT

h2

)3/2

Dupa derivare:

µ = −kBT[ln

( CN

)− 1

]= −kBT

[ln

( CN

)− ln e

]= −kBT ln

( CeN

)

sau:

µ = −kBT ln

V

N

(2πmkBT

h2

)3/2 (4.29)

Energia interna este, imediat:

U = F + TS =3

2NkBT (4.30)

47

Page 48: Fizica statistica, Curs

Capacitatea calorica a gazului ideal monoatomic este:

CV =

(∂U

∂T

)

V

=3

2NkB (4.31)

In cazul sistemelor ın ansamblul canonic, densitatea de probabilitate, saufunctia de distributie, era: ρ(p, q) = Ce−βH . Daca ne referim la sistemecuantice, constanta C se determina din conditia de normare:

Tr ρ = 1 (4.32)

de unde:

C =1

Tr e−βH (4.33)

Marimea:Z(T, V, N) = Tr

e−βH

(4.34)

este suma de stare, sau functia de partitie pentru sistemul cuantic, iar functiade distributie canonica devine:

ρ(H) =1

Z(T, V, N)e−βH (4.35)

Daca, ın reprezentarea proprie, En sunt nivelurile de energie ale sistemului,atunci:

Z(T, V, N) =∑n

e−βEn (4.36)

Valoarea medie a unei variabile dinamice A, ın ansamblul canonic, este datade relatia:

〈A〉 = Tr ρA ≡ 1

Z(T, V, N)Tr

A e−βH

(4.37)

In particular, energia interna U este:

U = 〈H〉 =1

ZTr

H e−βH

(4.38)

Pe de alta parte, folosind ec.(4.36), scriem:

∂Z

∂β= −∑

n

Ene−βEn = −TrH e−βH

≡ −Z U

48

Page 49: Fizica statistica, Curs

de unde:

U = − 1

Z

∂Z

∂β

sau:

U = − ∂

∂β(ln Z) (4.39)

care este o formula utila ın aplicatii.

Probleme

1. Pentru un oscilator cuantic, descris de hamiltonianul:

H = hω(n +

1

2

)

determinati suma de stare Z si probabilitatea de ocupare a nivelului energeticn, ρ(n). Calculati valoarea medie a energiei oscilatorului, energia libera,entropia si capacitatea calorica la volum constant.

2. Consideram un gaz ideal constituit din N particule care satisfac sta-tistica clasica. Presupunand energia particulei proportionala cu impulsul ei:ε = cp, sa se studieze termodinamica acestui sistem.

3. Daca o particula cu spinul 1/2 este plasata ın campul magnetic H,degenerarea de spin este ridicata, nivelul energetic despicandu-se ın µBH si−µBH. Considerand un sistem format din N astfel de particule, care nuinteractioneaza ıntre ele, mentinut la temperatura T , ın campul magnetic H,determinati: entropia, energia interna, capacitatea calorica si magnetizareaacestui sistem.

4. Sa se determine capacitatea calorica ın cazul unui oscilator anarmonicunidimensional avand energia potentiala:

V (q) = cq2 − gq3 − fq4

unde coeficientii g si f sunt mici.

49

Page 50: Fizica statistica, Curs

5. Consideram un gaz atomic ın care, fiecare atom are un moment mag-netic egal cu gµBm (m = −J...+J - este numarul cuantic magnetic) ın lungul

directiei campului magnetic ~H aplicat asupra sistemului. Calculati magneti-zarea sistemului, ın cazul ın care numarul de atomi din sistem este N . Sa sedetermine apoi susceptibilitatea magnetica χ, ın cazul ın care campul mag-netic este slab (gµBJH ¿ kBT ). Particularizati rezultatul obtinut, pentruJ = 1/2 si pentru J → ∞. Se considera ca interactiile ıntre momentelemagnetice se neglijeaza.

6. Consideram un sistem format din N particule care nu interactioneaza.Fiecare particula are trei niveluri de energie: E1 = −ε, E2 = 0, E3 = ε.Intregul sistem se afla ın echilibru termic la temperatura T . Determinati,folosind ansamblul canonic, energia medie 〈U〉 a sistemului.

7. Consideram, ın ansamblul canonic, un sistem pentru care:

Zc =∑n

e−βEn

Aratati ca varianta energiei sistemului, definita prin:⟨(∆U)2

⟩=

⟨(U − 〈U〉)2

este: ⟨(∆U)2

⟩=

∂2

∂β2ln Zc

Evaluati acest rezultat pentru Problema 6.

8. Consideram un sistem de N oscilatori cuantici independenti, la tem-peratura T . Toti oscilatorii au aceeasi frecventa ω, iar nivelurile energeticesunt:

En = hω(n +

1

2

); n = 0, 1, 2, ...

Calculati energia medie 〈U〉 a acestui sistem precum si varianta ei 〈(∆U)2〉.

9. Consideram un sistem de doi spini localizati, cu spinul 1/2 fiecare, acarui energie este:

ES1,S2 = −µ0H (S1 + S2) + JS1S2

50

Page 51: Fizica statistica, Curs

unde atat S1 cat si S2 pot lua doar doua valori posibile, ±1. H este campulmagnetic exterior, iar J constanta de cuplaj dintre spini. Sistemul, ın echili-bru, se afla la temperatura T . Sa se determine:

a) Magnetizarea acestui sistem, definita prin:

M = −(

∂F

∂H

)

T

b) Susceptibilitatea magnetica a sistemului:

χ = limH→0

∂M

∂H

Analizati dependenta χ(T ).

10. O particula de masa m se afla ıntr-o groapa de potential unidimen-sionala cu pereti infiniti:

V (x) =

0 ; 0 < x < L∞ ; ın rest

Determinati functia de partitie Z(T, L), capacitatea calorica si ecuatia destare pentru acest sistem, ın limita temperaturilor scazute si ridicate.

11. Consideram un gaz ideal format din N particule identice (de masam) ınchis ıntr-un container paralelipipedic avand laturile lx, ly, lz. Con-tainerul se afla ın camp gravitational, orientat de-a lungul directiei z (g -este acceleratia gravitationala). Determinati, folosind ansamblul canonic,capacitatea calorica CV pentru acest gaz. Cat devine CV daca lz À kBT/mg? Dar daca lz ¿ kBT/mg ?

12. Un sistem are un spectru de energie nedegenerat, de forma:

εk = kε ; k = 0, 1, 2, ..., n− 1

Folosind ansamblul canonic, sa se determine energia libera F , energia internaU si capacitatea calorica CV pentru acest sistem.

13. Un sistem cuantic se poate afla ın doua stari cuantice cu energiile 0si ε. Degenerarea celor doua niveluri este g1 si g2. Sa se gaseasca entropia

51

Page 52: Fizica statistica, Curs

sistemului, si temperatura ca functie de energia medie U . Reprezentati T (U).Ce concluzii se desprind de aici ?

14. Consideram o molecula biatomica pentru care expresia cuantica aenergiei de rotatie este (rotatorul rigid):

Er =h2

2IJ(J + 1)

I - este momentul de inertie, J - numarul cuantic de rotatie.a.) Aratati ca, ın limita temperaturilor ridicate, capacitatea calorica de

rotatie este:Cr ' kB

Aici se foloseste relatia:

∞∑

J=0

F (J) =∫ ∞

0dJ F (J) +

1

2F (0)− 1

12F ′(0) + ...

b.) Cat devine capacitatea calorica de rotatie ın limita temperaturilorscazute ?

52

Page 53: Fizica statistica, Curs

5. Ansamblul macrocanonic

Numarul de particule dintr-un sistem macroscopic nu poate fi precizatcu exactitate. Din experimente putem afla numai numarul mediu de partic-ule. Aceasta este motivatia introducerii ansamblului macrocanonic, ın care,sistemele pot avea orice numar de particule, iar numarul mediu de partic-ule este determinat de conditii exterioare sistemului. Acesta este un analogal situatiei de la ansamblul canonic unde, energia medie a sistemului estedeterminata de temperatura rezervorului de caldura cu care acesta este ıncontact. Acum, densitatea de probabilitate, care descrie distributia punctelorreprezentative ın spatiul fazelor, este ρ(p, q, N). Ea da densitatea de punctepentru sisteme cu N particule, avand impulsurile si coordonatele (p, q). Pen-tru a determina ρ(p, q, N) consideram ansamblul canonic, pentru un sistemcu N particule, volumul V si temperatura T , dar ne focalizam atentia asupraunui mic subvolum V1, din sistemul mare:

Aici N1 este numarul de particule din volumul V1, si N2 = N − N1 estenumarul de particule din volumul V2 = V − V1. Consideram:

V2 À V1

N2 À N1

Desemnam prin (p1, q1) - coordonatele celor N1 particule din volumul V1,si prin (p2, q2) - cooronatele particulelor din volumul V2. Interactiile dintreparticulele din V1 cu cele din V2 sunt considerate ca fiind neglijabile astfelıncat hamiltonianul total se descompune ın:

H(p, q, N) = H1(p1, q1, N1) + H2(p2, q2, N2) (5.1)

53

Page 54: Fizica statistica, Curs

Functia de partitie pentru sistemul total este:

Z(T, V, N) =1

N !hsN

∫dp dq e−βH(p,q,N) (5.2)

(pentru simplitate vom lua s = 3).Vom separa, din aceasta formula, contributiile care provin de la N1. Nu

ne pasa care particule sunt ın interiorul volumului V1, atat timp cat existaN1 particule pentru care se ıntampla ca, coordonatele lor (p1, q1) sa fie ın V1.Atunci, functia de partitie devine:

Z(T, V, N) =1

N !h3N

∫dp1dp2dq1dq2

N∑

N1=0

N !

N1!N2!e−βH(p,q,N)

Tinand seama de (5.1), precum si de faptul ca h3N = h3N1h3N2 , avem imediat:

Z(T, V, N) =N∑

N1=0

1

h3N1N1!

∫dp1

V1

dq1 e−βH1(p1,q1,N1)·

· 1

h3N2N2!

∫dp2

V2

dq2 e−βH2(p2,q2,N2) (5.3)

Probabilitatea relativa, ca sa existe N1 particule ın volumul V1, avand coor-donatele (p1, q1) este proportionala cu sumandul lui

∑N1

∫dp1dq1, adica:

ρ(p1, q1, N1) ∼ e−βH1(p1,q1,N1)

h3N1N1!

1

h3N2N2!

∫dp2

V2

dq2 e−βH2(p2,q2,N2) (5.4)

sau:

ρ(p1, q1, N1) = A e−βH1(p1,q1,N1)

h3N1N1!

1

h3N2N2!

∫dp2

V2

dq2 e−βH2(p2,q2,N2) (5.4′)

Factorul de normare A se determina din conditia:

N∑

N1=0

∫dp1dq1 ρ(p1, q1, N1) = 1 (5.5)

sau:

A Z(T, V, N) = 1 =⇒ A =1

Z(T, V, N)(5.6)

54

Page 55: Fizica statistica, Curs

Atunci:

ρ(p1, q1, N1) =1

Z(T, V,N)

e−βH1(p1,q1,N1)

h3N1N1!

1

h3N2N2!

∫dp2

V2

dq2 e−βH2(p2,q2,N2)

(5.7)sau:

ρ(p1, q1, N1) =Z(T, V2, N2)

Z(T, V, N)

e−βH1(p1,q1,N1)

h3N1N1!(5.8)

unde s-a notat:

Z(T, V2, N2) =1

h3N2N2!

∫dp2

V2

dq2 e−βH2(p2,q2,N2)

Raportul Z(T, V2, N2)/Z(T, V, N) se determina folosind legatura cu termod-inamica:

Z(T, V2, N2)

Z(T, V, N)=

e−βF (T,V2,N2)

e−βF (T,V,N)= e−β[F (T,V2,N2)−F (T,V,N)] =

= e−β[F (T,V−V1,N−N1)−F (T,V,N)] (5.9)

Deoarece: V1 ¿ V , N1 ¿ N , aproximam:

F (T, V − V1, N −N1) ' F (T, V,N)− V1

[∂F (T, V2, N)

∂V2

]

V2=V

−N1

[∂F (T, V, N2)

∂N2

]

N2=N

≡ F (T, V, N) + V1

[−∂F (T, V2, N)

∂V2

]

V2=V

−N1

[∂F (T, V, N2)

∂N2

]

N2=N

=

= F (T, V, N) + V1P −N1µ (5.10)

unde P si µ sunt presiunea si potentialul chimic corespunzatoare lui (V2, N2),pentru subsistemul 2. Avem atunci:

Z(T, V2, N2)

Z(T, V, N)= e−β[V1P−N1µ]

si:

ρ(p1, q1, N1) = e−βV1P+βN1µ e−βH1(p1,q1,N1)

h3N1N1!

55

Page 56: Fizica statistica, Curs

Omitand indicele 1, deoarece acum putem sa uitam de subsistemul mare,retinand doar informatia ca el are temperatura T , presiunea P si potentialulchimic µ, si scriind prescurtat H(p, q, N) ≡ H(p, q), avem:

ρ(p, q, N) = e−βPV +βµN e−βH(p,q)

h3NN !(5.11)

Introducand fugacitatea, prin:

z = eβµ (5.12)

obtinem:

ρ(p, q, N) =zN

N !h3Ne−βPV−βH(p,q) (5.13)

Acum permitem sistemului 2 sa devina infinit de mare. Atunci, domeniul devalori pentru N este:

0 ≤ N < ∞Pentru a obtine o reteta de calcul a tuturor marimilor termodinamice, definimfunctia de partitie macrocanonica , prin:

Z(z, V, T ) =∞∑

N=0

zNZ(T, V, N) (5.14)

Ea poate fi calculata daca stim hamiltonianul H(p, q). Din (5.13), integrandpeste (p, q), avem:

∫dp dq ρ(p, q,N) =

zN

N !h3Ne−βPV

∫dp dq e−βH(p,q) ≡

≡ zNe−βPV Z(T, V, N) (5.15)

Sumam acest rezultat, dupa N , ıntre 0 si ∞:

∞∑

N=0

∫dp dq ρ(p, q, N) =

∞∑

N=0

zNe−βPV Z(T, V, N)

In conformitate cu ec.(5.5), avem mai departe:

1 = e−βPV∞∑

N=0

zNZ(T, V, N) ≡ e−βPV Z(z, V, T )

56

Page 57: Fizica statistica, Curs

si:Z(z, V, T ) = eβPV (5.16)

De aici obtinem:

βPV = lnZ(z, V, T ) ⇐⇒ PV

kBT= lnZ(z, V, T ) (5.17)

Observam ca Z da direct presiunea, ca functie de z, V si T .Numarul mediu de particule 〈N〉, din volumul V , este:

〈N〉 =1

Z∞∑

N=0

N zNZ(T, V, N) (5.18)

Folosind ec.(5.14), calculam:

∂zlnZ =

1

Z∂Z∂z

(5.19)

si de aici:

z∂

∂zlnZ = z

1

Z∂Z∂z

≡ z1

Z∞∑

N=0

N zN−1Z(T, V, N) =

=1

Z∞∑

N=0

N zNZ(T, V, N)

Atunci:

〈N〉 = z∂

∂zlnZ (5.20)

- Observatie : Ecuatia de stare, care exprima P ca functie de N , V si T ,se obtine eliminand z ıntre ec.(5.17) si (5.20).

Toate celelalte marimi termodinamice se obtin din energia interna, careeste:

U = − ∂

∂βlnZ(z, V, T ) (5.21)

Eliminand z, cu ajutorul ec.(5.20), gasim U ca functie de N , V si T . Apoise folosesc formulele:

CV =

(∂U

∂T

)

V

(5.22)

57

Page 58: Fizica statistica, Curs

S =∫

dTCV

T(5.23)

F = U − TS (5.24)

5.1 Potentialul chimic

Potentialul chimic µ se defineste ın asa fel ıncat energia libera Helmholtzse modifica cu cantitatea µdN cand numarul de particule se modifica cucantitatea dN , si cand T si V raman constanti. Atunci:

dF = −PdV − SdT + µdN (5.25)

Vom gasi, folosind F = U − TS, ca:

dU = dF + d(TS) = −PdV − SdT + µdN + TdS + SdT

sau:dU = −PdV + TdS + µdN (5.26)

- Observatii : Cand potentialul chimic este pozitiv (µ > 0), el va ducenumarul de particule N catre valori mai mici, pentru a micsora energia. Deaici provine denumirea de potential chimic. Atunci, ın plus, fugacitatea eβµ

este o marime care sugereaza ”tendinta de a fugi a particulelor”, adica oanumita ”volatilitate”.

Din ec.(5.25) avem imediat:

µ =

(∂F

∂N

)

V,T

(5.27)

Pentru cazul potentialului termodinamic Gibbs, avem:

G = F + PV =⇒ dG = dF + d(PV )

dG = −PdV − SdT + µdN + PdV + V dP

sau:dG = V dP − SdT + µdN (5.28)

58

Page 59: Fizica statistica, Curs

de unde:

µ =

(∂G

∂N

)

P,T

(5.29)

- Observatii : In cazul sistemelor cuantice, suma de stare macrocanonicaeste:

Z = Tre−β(H−µN)

(5.30)

Aici, N este operatorul numar de particule (comuta cu hamiltonianul), iarurma (Tr) este luata peste toate starile, fara restricttii asupra valorilor pro-prii a lui N .

Valoarea medie a unei marimi A (media pe ansamblu), ın cazul ansam-blului macrocanonic, este data de relatia:

〈A〉 =1

Z TrA e−β(H−µN)

(5.31)

utila ın numeroase aplicatii.

59

Page 60: Fizica statistica, Curs

6. Statistici cuantice

Cea mai simpla consecinta a unei tratari cuantice, pentru un sistem, seleaga de caracterul discret a nivelurilor energetice. O a doua consecinta ısiare originea ın proprietatile de simetrie a functiilor de unda multiparticula,impuse de principiul lui Pauli, pentru fermioni, si de conditia corespunzatoarepentru bosoni. Acesta conduce la factori combinatorici care difera de N ! dincazul statisticii clasice.

In cazul spectrului energetic discret, daca Ei este energia corespunzatoarestarii cuantice ”i”, iar gi este degenerarea starii, functia de partitie canonicaeste:

Zc =∑

i

gie−βEi (6.1)

unde suma se extinde peste toate nivelurile energetice ale sistemului. Factoriicombinatorici corecti, pentru particulele de tip fermionic si de tip bosonic,se obtin mult mai usor considerand sistemul ın contact cu un rezervor decaldura.

Pentru un sistem de fermioni liberi, solutia ecuatiei Schrodinger este de-terminantul Slater de functii uniparticula. In cazul bosonilor, functia deunda este o combinatie liniara simetrica. O stare multiparticula unica, estecomplet specificata prin numerele de ocupare a starilor uniparticula. In cazulansamblului canonic, suma acestor numere de ocupare trebuie sa fie egala cunumarul de particule N . In cazul ansamblului macrocanonic, nu mai avemaceasta restrictie. Aici putem suma peste toate valorile permise ale numerelorde ocupare pentru fiecare stare uniparticula.

6.1 Sistemul de fermioni liberi

Consideram ca starile uniparticula sunt desemnate prin vectorul de unda~k si indicele de spin σ. Principiul lui Pauli cere ca numarul de ocupare afiecarei stari, de acest tip, sa fie 0 sau 1. Contributia acestei stari (~k, σ) la

60

Page 61: Fizica statistica, Curs

functia de partitie macrocanonica este:

1∑

n=0

e−nβ(ε~k,σ−µ) = 1 + e−β(ε~k,σ

−µ) (6.2)

cu ε~k,σ = h2k2/2m ın cazul particulelor libere.Functia de partitie macrocanonica este un produs de factori de tipul (6.2):

ZG =∏

~k,σ

[1 + e−β(ε~k,σ

−µ)]≡ Z (6.3)

Numarul mediu de particule este:

〈N〉 = z∂

∂zln ZG ; z = eβµ (6.4)

sau:

〈N〉 = z∂

∂zln

~k,σ

[1 + e−βε~k,σ z

]= z

∂z

~k,σ

ln[1 + e−βε~k,σ z

]

〈N〉 =∑

~k,σ

z e−βε~k,σ

e−βε~k,σ z + 1=

~k,σ

1

eβ(ε~k,σ−µ) + 1

≡ ∑

~k,σ

⟨n~k,σ

⟩(6.5)

Atunci, termenul: ⟨n~k,σ

⟩=

1

eβ(ε~k,σ−µ) + 1

(6.6)

reprezinta numarul mediu de ocupare a starii cu vectorul de unda ~k si spinulσ, sau echivalent, probabilitatea de ocupare a starii (~k, σ). Probabilitatea caaceasta stare sa nu fie ocupata este:

1−⟨n~k,σ

⟩= 1− 1

eβ(ε~k,σ−µ) + 1

=1

1 + e−β(ε~k,σ−µ)

(6.7)

- Observatie : Notand: p2 = h2k2, ec.(6.6) devine:

〈n~p,σ〉 =1

eβ(ε~p,σ−µ) + 1≡ fFD (6.8)

61

Page 62: Fizica statistica, Curs

unde fFD este functia de distributie Fermi-Dirac (pentru particule cu spinsemiıntreg). Atunci:

〈N〉 ≡ N =∑

~p,σ

〈n~p,σ〉 (6.9)

Energia interna va fi:U =

~p,σ

ε~p,σ 〈n~p,σ〉 (6.10)

Dependenta de temperatura pentru functia Fermi-Dirac este:

La T = 0 K avem:

cu:

fFD (ε~p,σ) ≡ 〈n~p,σ〉 =

1 , ε~p,σ < µ0 , ε~p,σ > µ

(6.11)

Folosind functia treapta:

θ(x) =

1 , x > 00 , x < 0

(6.12)

avem:fFD (ε~p,σ, T = 0) = θ (µ− ε~p,σ) (6.13)

- Observatii : La T = 0 si pentru o densitate N/V fixata, potentialulchimic are o valoare finita pozitiva, numita energie Fermi, εF :

εF = µ(T = 0) (6.14)

62

Page 63: Fizica statistica, Curs

In cazul ın care:eβ(ε~p,σ−µ) À 1 (6.15)

probabilitatea de ocupare a oricarei stari este mica. In acest caz se spune casistemul de fermioni devine nedegenerat si va satisface, ın mod aproximativ,statistica Boltzmann, cand:

〈n~p,σ〉 ≡ fB (ε~p,σ) ' e−β(ε~p,σ−µ) (6.16)

6.2 Sistemul de bosoni liberi

In cazul bosonilor (particule cu spin ıntreg, ın particular ıl consideram0), o stare uniparticula poate avea un numar de ocupare arbitrar. Atunci,contributia starii desemnate prin ~p (energia p2/2m) la functia de partitiemacrocanonica, este (considerand suma convergenta) :

∞∑

n=0

e−nβ(ε~p−µ) =1

1− e−β(ε~p−µ)(6.17)

Functia de partitie macrocanonica este produsul:

ZG =∏

~p

[1− e−β(ε~p−µ)

]−1

(6.18)

Numarul mediu de particule, care ocupa starea de impuls ~p, este (folosindec.(6.17)):

〈n~p〉 = z∂

∂z

[ln

(1− z e−βε~p

)−1]

= −z∂

∂z

[ln

(1− z e−βε~p

)]=

=z e−βε~p

1− z e−βε~p

sau:

〈n~p〉 =1

eβ(ε~p−µ) − 1≡ fBE (ε~p) (6.19)

care este functia de distributie Bose-Einstein (pentru particule cu spin ıntreg).

63

Page 64: Fizica statistica, Curs

- Observatii : Si ın cazul bosonilor, daca:

eβ(ε~p−µ) À 1

va fi satisfacuta statistica Boltzmann. Reprezentarile calitative pentru celetrei functii de distributie sunt date mai jos:

6.3 Criteriul de clasicitate

Pentru un sistem de N particule, ınchise ın volumul V , distanta mediedintre particule este d. Volumul corespunzator unei particule este v = V/N ,iar ın functie de distanta medie dintre particule v ∼ d3. Atunci:

d ∼(

V

N

)1/3

(6.20)

Definim, lungimea de unda termica, ca fiind lungimea de unda de Brogliepentru o particula de masa m, avand energia kBT :

λT ∼ h

p=

h

mvT

∼ h

m√

kBTm

∼√

h2

mkBT(6.21)

Sistemul va fi considerat nedegenerat (sau clasic), putand fi tratat cu statis-tica Boltzmann, daca:

d À λT sau λT ¿ d (6.22)

adica: √h2

mkBT¿

(V

N

)1/3

; n =N

V(6.23)

64

Page 65: Fizica statistica, Curs

In cazul opus, sistemul este considerat degenerat si trebuie aplicata statisticacuantica.

Din ec.(6.23) observam ca un sistem de particule identice este ”cu atatmai clasic”, cu cat este mai rarefiat, temperatura T este mai mare si masam este mare.

Estimam temperatura de trecere din cazul nedegenerat ın cel degenerat,numita temperatura de degenerare TD, pentru diferite sisteme:

√h2

mkBTD

∼ 1

n1/3=⇒ TD ∼ h2n2/3

mkB

(6.24)

cu: h = 6, 6 · 10−34 (J · s) si kB = 1, 38 · 10−23 (J/K). Atunci:

TD ∼ 10−44n2/3

m(6.25)

- Pentru gazul de electroni dintr-un metal:

n ∼ 1029 (m−3)

m ∼ 10−30 (kg)

TD ∼ 105 (K)

daca ınsa:n ∼ 1018 (m−3)

TD ∼ 10−2 (K)

- Pentru un sistem de protoni cu:

n ∼ 1029 (m−3)

m ∼ 10−27 (kg)

TD ∼ 102 (K)

- Observatii : Pentru T > TD sistemul este clasic (nedegenerat), iar pentruT < TD sistemul este degenerat (trebuind sa aplicam statistica cuantica).

Probleme

65

Page 66: Fizica statistica, Curs

1. Folosind functia de distributie Boltzmann:

fB(εp) = e−β(εp−µ)

sa se determine: potentialul chimic, energia interna si ecuatia de stare, pentruun gaz clasic.

2. Sa se determine, magnetizarea si susceptibilitatea magnetica, pentruun gaz de electroni, la concentratii mici si temperaturi ınalte.

3. Sa se determine, functia de distributie dupa viteze, pentru un sistemclasic (functia Maxwell) si sa se calculeze: viteza cea mai probabila, vitezamedie si viteza patratica medie (viteza termica), pentru moleculele sistemu-lui.

66

Page 67: Fizica statistica, Curs

7. Sisteme Fermi (Gazul Fermi)

Consideram un sistem de fermioni liberi, ınchisi ın volumul V , pentru carefunctia de distributie este:

〈n~p,σ〉 =1

eβ(ε~p,σ−µ) + 1≡ fFD , ε~p,σ ≡ εp =

p2

2m(7.1)

Numarul de particule este dat de relatia:

N =∑

~p,σ

〈n~p,σ〉 (7.2)

Aceasta relatie serveste pentru determinarea potentialului chimic µ, pentrusistemul de fermioni. Daca nivelul ”p” este de ”g” ori degenerat, unde:

g = 2s + 1 (7.3)

(s - este spinul particulelor, g = 2 - pentru electroni). Aici vom folosi relatiade trecere (pentru sisteme tridimensionale):

~p,σ

(...) −→ V

(2πh)3g

∫d3p (...) (7.4)

Justificarea acestei treceri se face considerand sistemul de fermioni ıntr-ocutie de dimensiuni Lx, Ly, Lz si vazand valorile cuantificate ale impulsului,folosind conditii periodice de legatura. Atunci:

px = hkx = h2πnx

Lx

; py = hky = h2πny

Ly

; pz = hkz = h2πnz

Lz

nx,y,z = 0,±1,±2, ...

In plus: ∑

~p,σ

(...) = g∑

~p

(...)

67

Page 68: Fizica statistica, Curs

Deoarece diferenta ıntre valorile vecine ale impulsurilor cuantificate este foartemica, ınlocuim suma cu o integrala:

~p

(...) →∫ d3p

∆px∆py∆pz

(...) =LxLyLz

(2πh)3

∫d3p (...)

De aici, cu V = LxLyLz, obtinem formula de mai sus. Ecuatia pentrunumarul de particule va deveni:

N =V

(2πh)3g

∫d3p

1

eβ(εp−µ) + 1(7.5)

Folosind:d3p = 4πp2dp

obtinem:

N =4πV g

(2πh)3

∫dp

p2

eβ(εp−µ) + 1(7.6)

Vom trece de la integrala peste impulsuri la o integrala peste energii, folosind:

εp ≡ ε =p2

2m=⇒ p dp = m dε

p =√

2mε

Avem:

N =4πV g

8π3h3

∫ ∞

0m dε

√2mε

eβ(ε−µ) + 1

sau, echivalent:

N = V g∫ ∞

0dε

(2m)3/2√

ε

4π2h3

1

eβ(ε−µ) + 1(7.7)

Introducand densitatea de stari energetice (pentru o singura orientare aspinului):

N(ε) =V (2m)3/2

√ε

4π2h3 (7.8)

ecuatia pentru numarul de particule devine:

N = g∫ ∞

0dε N(ε) fFD(ε) (7.9)

68

Page 69: Fizica statistica, Curs

- Observatie : Expresia densitatii de stari energetice (7.8) se determinaastfel: Consideram particulele ınchise ın volumul V = L3 (aici Lx = Ly =Lz = L). Folosind conditii periodice de legatura:

ψ(~r) ≡ ψ(x, y, z) =

ψ(x + L, y, z)ψ(x, y + L, z)ψ(x, y, z + L)

functia de unda corespunzatoare este:

ψnx,ny ,nz(~r) = ei~kn~r = ei 2πL

(nxx+nyy+nzz), nx,y,z = 0,±1,±2, ... (7.10)

Valorile permise, pentru vectorul de unda ~k, sunt:

~k =2π

L

(nx

~i + ny~j + nz

~k)≡ kx

~i + ky~j + kz

~k (7.11)

cu:

kx =2π

Lnx , ky =

Lny , kz =

Lnz (7.12)

In spatiul vectorului de unda, numit spatiu ~k, putem construi urmatoareareprezentare, care contine ”punctele” (starile) de impuls (vector de unda)

permise (de conditiile (7.12)). In spatiul ~k va aparea o retea de puncte.Celulele elementare, din acest spatiu, au volumul:

(2π

L

)3

(7.13)

si ıi corespunde o stare de impuls permisa. Deci, ”volumul” corespunzatorunei stari este dat de ec.(7.13). Intr-o sfera de raza k, numarul total de starieste:

N (k) =4πk3/3

(2π/L)3=

V

6π2k3 V = L3 (7.14)

69

Page 70: Fizica statistica, Curs

Cum:

ε =h2k2

2m=⇒ k =

(2m

h2

)1/2√ε

avem:

N (k → ε) ≡ N (ε) =V

6π2

1

h3

(√2m

)3ε3/2 (7.15)

Densitatea de stari energetice reprezinta numarul de stari din intervalul en-ergetic, adica:

N(ε) =dN (ε)

dε=

V (2m)3/2√

ε

4π2h3 (7.16)

Revenim la ec.(7.7) pentru a determina potentialul chimic. Pentru ınceputconsideram cazul T = 0 K, cand:

fFD (ε) =

1 , ε < µ(T = 0)0 , ε > µ(T = 0)

(7.17)

Din (7.7) avem:

N = V g(2m)3/2

4π2h3

∫ µ(T=0)

0dε√

ε

Notand:

n =N

V

obtinem:

n =g [2mµ(T = 0)]3/2

6π2h3

de unde:

µ(T = 0) =1

2mh2

(6π2n

g

)2/3

(7.18)

Potentialul chimic la T = 0 K este energia Fermi εF :

µ(T = 0) ≡ εF =h2

2m

(6π2n

g

)2/3

(7.19)

Pe de alta parte:

εF =h2k2

F

2m≡ p2

F

2m

70

Page 71: Fizica statistica, Curs

unde pF este impulsul Fermi, si este dat de (folosind (7.19)):

pF = hkF = h

(6π2n

g

)1/3

(7.20)

iar ın spatiul impulsului se poate face urmatoarea constructie:

- Observatie : Vedem ca apare urmatoarea reteta de calcul (aplicabila sila alte marimi):

N =∑

~p,σ

〈n~p,σ〉 ≡ g∑

~p

〈n~p,σ〉 −→ V

(2πh)3g

∫d3p

1

eβ(εp−µ) + 1−→

−→ g∫

dε N(ε) fFD(ε) (7.21)

Consideram acum energia interna a unui gaz Fermi, continand N partic-ule, la T = 0 K. Avem:

U =∑

~p,σ

ε~p,σ 〈n~p,σ〉 = g∑

~p

ε~p 〈n~p,σ〉 −→

−→ g∫ ∞

0dε N(ε) ε fFD(ε) = g

∫ εF

0dε N(ε) ε =

V g(2m)3/2

4π2h3

∫ εF

0dε ε3/2

de unde:

U =V g(2m)3/2

10π2h3 ε5/2F (7.22)

De aici vom elimina εF , folosindu-ne de ecuatia pentru numarul de particule(sub forma (7.19)):

U =V g(2m)3/2

10π2h3

(h2

2m

)5/2 (6π2n

g

)5/3

=V g(2m)3/2

6π2h3 ε3/2F

6

10εF

71

Page 72: Fizica statistica, Curs

sau:

U = N3

5εF (7.23)

Pe de alta parte:U = N 〈ε〉 (7.24)

unde 〈ε〉 - este energia medie a unei particule. Pentru ea avem expresia:

〈ε〉 =3

5εF ≡ 3

5

h2

2m

(6π2n

g

)2/3

(7.25)

Vedem, ın continuare, gazul de fermioni la T 6= 0 K. Ecuatia de stare segaseste folosind legatura:

PV

kBT= lnZ (7.26)

stiind ca, pentru fermioni:

Z ≡ ZG =∏

~p,σ

[1 + e−β(ε~p,σ−µ)

](7.27)

Vom avea:PV

kBT=

~p,σ

ln[1 + e−β(ε~p−µ)

](7.28)

Trecand la integrala peste energii, avem:

PV

kBT= g

∫ ∞

0dε N(ε) ln

[1 + e−β(ε−µ)

]=

=V g(2m)3/2

4π2h3

∫ ∞

0dε√

ε ln[1 + e−β(ε−µ)

]≡ V g(2m)3/2

4π2h3 · I (7.29)

Integrala I se rescrie cu ajutorul formulei de integrare prin parti:∫

fg′ = fg −∫

f ′g

cu:

f = ln[1 + e−β(ε−µ)

]=⇒ f ′ =

−β

eβ(ε−µ) + 1

g′ = ε1/2 =⇒ g =2

3ε3/2

72

Page 73: Fizica statistica, Curs

Atunci, imediat:

I =2

∫ ∞

0dε

ε3/2

eβ(ε−µ) + 1(7.30)

si:PV

kBT=

2

V g(2m)3/2

4π2h3

∫ ∞

0dε

ε3/2

eβ(ε−µ) + 1(7.31)

Pe de alta parte, energia interna este:

U = g∫ ∞

0dε N(ε) ε fFD(ε) =

V g(2m)3/2

4π2h3

∫ ∞

0dε

ε3/2

eβ(ε−µ) + 1(7.32)

Comparand (7.31) cu (7.32), obtinem:

PV

kBT=

2

3βU

iar de aici:

PV =2

3U (7.33)

care este o relatie exacta.- Observatii : La T = 0 K, ecuatia de stare a gazului Fermi devine:

PV =2

3N 〈ε〉 =

2

3N

3

5εF =

2

5N

h2

2m

(6π2

gn

)2/3

Impartind cu V , gasim:

P =1

5

h2

m

N

V

(6π2

g

N

V

)2/3

=1

5

h2

m

(6π2

g

)2/3 (N

V

)5/3

(7.34)

Pentru electroni g = 2, si:

PV 5/3 =1

5

h2

m

(3π2

)2/3N5/3 ≡ const. (7.35)

Vedem acum dependenta de temperatura a potentialului chimic, pentru gazulFermi. Pentru aceasta, folosim ecuatia pentru numarul de particule:

N =V g(2m)3/2

4π2h3

∫ ∞

0dε

√ε

eβ(ε−µ) + 1(7.36)

73

Page 74: Fizica statistica, Curs

In ec.(7.36) avem de evaluat o integrala (Fermi) de forma:

IF =∫ ∞

0dε f(ε)

1

eβ(ε−µ) + 1(7.37)

f(ε) - este o functie care trebuie sa aiba un asemenea comportament astfelıncat integrala (7.37) sa fie convergenta. Vedem aceasta integrala ın detaliu.La primul pas facem schimbarea:

β(ε− µ) = x =⇒ dx = βdε =⇒ dε =dx

β

avand:

IF =∫ ∞

−βµ

dx

β

f(µ + x

β

)

ex + 1=

1

β

∫ 0

−βµdx

f(µ + x

β

)

ex + 1+

∫ ∞

0dx

f(µ + x

β

)

ex + 1

In prima integrala din paranteza facem schimbarea de variabila:

x → −x =⇒ dx → −dx

obtinand:

IF =1

β

∫ 0

βµdx

f(µ− x

β

)

e−x + 1+

∫ ∞

0dx

f(µ + x

β

)

ex + 1

=

=1

β

∫ βµ

0dx

f(µ− x

β

)

e−x + 1+

∫ ∞

0dx

f(µ + x

β

)

ex + 1

In prima integrala folosim identitatea:

1

e−x + 1= 1− 1

ex + 1

si avem:

IF =1

β

∫ βµ

0dx f

(µ− x

β

)− 1

β

∫ βµ

0dx

f(µ− x

β

)

ex + 1+

1

β

∫ ∞

0dx

f(µ + x

β

)

ex + 1(7.38)

74

Page 75: Fizica statistica, Curs

Vedem prima integrala din (7.38), pe care o notam:

IF1 =1

β

∫ βµ

0dx f

(µ− x

β

)

Folosind, din nou:x → −x =⇒ dx → −dx

avem:

IF1 = − 1

β

∫ −βµ

0dx f

(µ +

x

β

)=

1

β

∫ 0

−βµdx f

(µ +

x

β

)

Dar:

µ +x

β= ε =⇒ dε =

dx

β=⇒ dx = βdε

Atunci:IF1 =

∫ µ

0dε f(ε) (7.39)

Cu acest rezultat, IF devine:

IF =∫ µ

0dε f(ε)− 1

β

∫ βµ

0dx

f(µ− x

β

)

ex + 1+

1

β

∫ ∞

0dx

f(µ + x

β

)

ex + 1

In cea de-a doua integrala, deoarece βµ ≡ µ/kBT À 1, iar integrala convergerapid, vom ınlocui limita superioara de integrare βµ →∞, avand:

IF =∫ µ

0dε f(ε) +

1

β

∫ ∞

0dx

f(µ + x

β

)− f

(µ− x

β

)

ex + 1(7.40)

Dezvoltand ın serie, ın jurul lui f(µ), dupa puterile lui x (Sommerfeld), avem:

f

(µ +

x

β

)= f(µ) +

x

βf ′(µ) +

1

2

(x

β

)2

+ f ′′(µ) + ...

f

(µ− x

β

)= f(µ)− x

βf ′(µ) +

1

2

(x

β

)2

+ f ′′(µ)− ... (7.41)

si:

f

(µ +

x

β

)− f

(µ− x

β

)= 2

x

βf ′(µ) + ... (7.42)

75

Page 76: Fizica statistica, Curs

Atunci, (7.40) devine:

IF =∫ µ

0dε f(ε) +

1

β

∫ ∞

0dx

2

βf ′(µ)

x

ex + 1+ ...

sau:

IF =∫ µ

0dε f(ε) +

2

β2f ′(µ)

∫ ∞

0dx

x

ex + 1+ ... (7.43)

Ultima integrala se da folosind formula:

∫ ∞

0dx

xa−1

ex + 1=

(1− 21−a

)Γ(a)ζ(a) ; a > 0

In cazul nostru, a = 2, si deoarece Γ(2) = 1, ζ(2) = π2/6, avem:

IF =∫ µ

0dε f(ε) +

1

6(πkBT )2 f ′(µ) + ... (7.44)

In integrala care apare ın ec.(7.36):

f(ε) =√

ε ≡ ε1/2 =⇒ f ′(µ) =1

2µ−1/2

Vom obtine imediat:

IF ' 2

3µ3/2 +

1

6(πkBT )2 1

2µ−1/2 (7.45)

Cu ajutorul acestui rezultat, (7.36) devine:

N ' V g(2m)3/2

4π2h3

2

3µ3/2

[1 +

(πkBT )2

6

3

2µ−3/2 1

2µ−1/2

]

sau:

N ' V g(2m)3/2

6π2h3 µ3/2

1 +

1

8

(πkBT

µ

)2

In paranteza aproximam µ ' µ(T = 0 K) ≡ εF , avand:

N ' V g(2m)3/2

6π2h3 µ3/2

1 +

1

8

(πkBT

εF

)2 (7.46)

76

Page 77: Fizica statistica, Curs

Pe de alta parte, N(T 6= 0) dat de ec.(7.46), trebuie sa fie egal cu N(T = 0):

N(T = 0) =V g(2m)3/2

6π2h3 ε3/2F (7.47)

Egaland expresiile pentru numarul de particule, obtinem:

ε3/2F ' µ3/2

1 +

π2

8

(kBT

εF

)2

iar de aici:

εF ' µ

1 +

π2

8

(kBT

εF

)2

2/3

' µ

1 +

π2

12

(kBT

εF

)2

Dependenta de temperatura a potentialului chimic va capata expresia aprox-imativa:

µ(T ) ' εF

1− π2

12

(kBT

εF

)2 (7.48)

Aici, introducem temperatura Fermi :

TF =εF

kB

(7.49)

avand:

µ(T ) ' εF

[1− π2

12

(T

TF

)2]

(7.50)

- Observatie : La metalele obisnuite TF ∼ 104÷105 K, astfel ıncat pentruorice temperatura (cat metalul este ın stare solida, T ∼ 103 K), avem:

µ(T ) ' εF

Vedem, ın continuare, energia interna a gazului Fermi (la T 6= 0 K). Pentruaceasta, folosim relatia:

U =V g(2m)3/2

4π2h3

∫ ∞

0dε ε3/2 1

eβ(ε−µ)+1(7.51)

77

Page 78: Fizica statistica, Curs

Aici avem o integrala Fermi IF cu f(ε) = ε3/2. Folosind rezultatele de maisus, gasim imediat:

IF =2

5µ5/2 +

(πkBT )2

4µ1/2 + ... (7.52)

Atunci:

U =V g(2m)3/2

10π2h3 µ5/2

1 +

5

8

(πkBT

µ

)2 (7.53)

Pentru potentialul chimic µ5/2 folosim expresia data de ec.(7.48), iar expresiapotentialului chimic din paranteza dreapta de mai sus, o aproximam prin εF .Mentinand apoi termenii pana la ordinul doi ın kBT/εF , obtinem:

U ' V g(2m)3/2

10π2h3 ε5/2F

1 +

5π2

12

(kBT

εF

)2 (7.54)

Folosind densitatea de stari, la nivelul Fermi, pentru o degenerare de ordinul”g”:

N(εF ) =V g(2m)3/2

4π2h3 ε1/2F (7.55)

avem:

U ' V g(2m)3/2

4π2h3 ε1/2F

4

10ε2

F

1 +

5π2

12

(kBT

εF

)2

sau:

U ' 2

5N(εF ) ε2

F

1 +

5π2

12

(kBT

εF

)2 (7.56)

Putem exprima, alternativ, energia interna, folosind expresia numarului departicule:

N =V g(2m)3/2

6π2h3 ε3/2F

astfel:

U ' 3

5N εF

1 +

5π2

12

(kBT

εF

)2 (7.57)

Capacitatea calorica a gazului Fermi este:

CV =

(∂U

∂T

)

V

78

Page 79: Fizica statistica, Curs

ın care folosim (7.56):

CV =π2

3N(εF )k2

BT ∼ T (7.58)

Vedem ca CV → 0, cand T → 0.

7.1 Paramagnetismul Pauli

Consideram gazul de electroni dintr-un metal. Aplicand un camp mag-netic ~B, degenerarea dintre electronii cu spini opusi de pe aceeasi stare or-bitala se ridica. Momentele magnetice ale electronilor se vor orienta paralelsau antiparalel cu campul magnetic, obtinandu-se o magnetizare rezultanta,care urmeaza a fi determinata. Pentru aceasta, scriem energia unui electronın camp magnetic:

εms =p2

2m− ~ms · ~B ≡ ε− ~ms · ~B ; ~ms = −2

|e|2m

~S (7.59)

~ms - este momentul magnetic de spin, iar ~S - este momentul cinetic de spin.Atunci:

εms → ε~S = ε +2|e|2m

~S · ~B = ε +2|e|2m

S B cos θ ≡ ε +2|e|2m

SzB (7.60)

cu:

Sz = ± h

2(7.61)

Aici avem urmatoarele posibilitati:

ε↑ = ε +2|e|2m

(− h

2

)B ≡ ε− µBB (7.62)

si:

ε↓ = ε +2|e|2m

(h

2

)B ≡ ε + µBB (7.63)

carora le corespund situatiile:

79

Page 80: Fizica statistica, Curs

Aici µB = |e|h/2m ' 10−23 (A m2) - este magnetonul Bohr. Numarultotal de electroni din metal este N . Dintre acestia, N↑ au momentul magnetic

paralel cu ~B, iar N↓ au momentul magnetic antiparalel cu ~B. Fiecare dintreelectronii N↑ contribuie cu −µB la magnetizare si fiecare dintre electronii N↓contribuie cu µB. Atunci, magnetizarea este:

M = −µBN↑ + µBN↓ = −µB (N↑ −N↓) (7.64)

Aici:

N↑↓ =∫ ∞

0dε N(ε↑↓) fFD(ε) =

∫ ∞

0dε N(ε∓ µBB) fFD(ε) (7.65)

- Observatie : In expresia functiei Fermi-Dirac s-a pus ε ın loc de ε∓µBBdeoarece µBB ¿ µ - care este potentialul chimic. Avem atunci:

M = −µB

∫ ∞

0dε fFD(ε) [N (ε− µBB)−N (ε + µBB)] (7.66)

Pentru campuri magnetice slabe :

N (ε± µBB) = N(ε)± µBBdN(ε)

dε(7.67)

avand imediat:M = 2µ2

BB∫ ∞

0dε fFD(ε) N ′(ε) (7.68)

Aici, N(ε) - este densitatea de stari pentru o singura orientare a spinului:

N(ε) =V (2m)3/2

4π2h3 ε1/2 =⇒ N ′(ε) =V (2m)3/2

4π2h3

1

2ε−1/2 (7.69)

Magnetizarea devine:

M = µ2BB

V (2m)3/2

4π2h3

∫ ∞

0dε

ε−1/2

eβ(ε−µ) + 1(7.70)

Aici avem o integrala Fermi, cu:

f(ε) = ε−1/2 =⇒ f ′(ε) = −1

2ε−3/2

80

Page 81: Fizica statistica, Curs

Folosind formula Sommerfeld, magnetizarea devine:

M = 2µ2BB

V (2m)3/2

4π2h3 µ1/2

1− π2

24

(kBT

µ

)2 (7.71)

In paranteza dreapta aproximam µ ' εF , iar pentru µ1/2 folosim formula(7.48). Mergand pana la termeni de ordinul doi ın (kBT/εF ), obtinem:

M ' 2µ2BB

V (2m)3/2

4π2h3 ε1/2F

1− π2

12

(kBT

εF

)2

sau, cu ajutorul densitatii de stari:

M ' 2µ2BB N(εF )

1− π2

12

(kBT

εF

)2 (7.72)

Folosind legatura:B = µ0H (7.73)

avem:

M ' 2µ2Bµ0 N(εF )

1− π2

12

(kBT

εF

)2 H ≡ χH (7.74)

iar susceptibilitatea paramagnetica Pauli χ ≡ χpara, este:

χpara ' 2µ2Bµ0 N(εF )

1− π2

12

(kBT

εF

)2 (7.75)

La T = 0 K avem:χpara(0) = 2µ2

Bµ0 N(εF ) (7.76)

Atunci:

χpara(T ) ' χpara(0)

1− π2

12

(kBT

εF

)2 (7.77)

- Observatii : a) Termenul corectiv, din ec.(7.77), este extrem de mic,ıntr-un corp obisnuit (atat timp cat corpul este ın stare solida). Atunci:

χpara(T ) ' χpara(0) = 2µ2Bµ0 N(εF ) (7.78)

81

Page 82: Fizica statistica, Curs

b) La T = 0 K:

si:dfFD(ε)

dε= −δ (ε− εF ) (7.79)

Atunci, putem obtine χpara(0) imediat, folosind ec.(7.68):

M = 2µ2BB

∫ ∞

0dε

dN(ε)

dεfFD(ε) = 2µ2

BB∫ ∞

0dN(ε) fFD(ε)

Integrand prin parti obtinem:

M = −2µ2BB

∫ ∞

0dε N(ε)

dfFD(ε)

dε= 2µ2

BB∫ ∞

0dε N(ε) δ (ε− εF )

sau:M = 2µ2

BB N (εF ) = 2µ2Bµ0N (εF ) H ≡ χH (7.80)

cu:χ ≡ χpara(0) = 2µ2

Bµ0 N(εF ) (7.81)

7.2 Efecte de dimensionalitate ın gazul Fermi

Vedem o serie de proprietati termodinamice pentru gazul Fermi bidimen-sional, ınchis ıntr-un container de arie A. In acest caz, densitatea de starienergetice, pentru o singura orientare a spinului, este (v.probl.2):

N(ε) =mA

2πh2 = const. (7.82)

82

Page 83: Fizica statistica, Curs

Energia Fermi este (pentru electroni):

εF =πh2n

m; n =

N

A(7.83)

Pe de alta parte:

εF =πh2n

m=

p2F

2m=⇒ pF = h

√2πn (7.84)

Impulsul Fermi se scrie:

pF = hkF =⇒ kF =√

2πn (7.85)

unde kF este vectorul de unda Fermi. In doua dimensiuni, ın spatiul impul-sului avem reprezentarea:

Vedem, ın continuare, dependenta de temperatura a potentialului chimic,pentru gazul electronic (g = 2) bidimensional. Pentru aceasta folosim ecuatiapentru numarul de particule:

N = 2∫ ∞

0dε N(ε) fFD(ε) = 2

∫ ∞

0dε

mA

2πh2

1

eβ(ε−µ) + 1

sau, echivalent:

εF ≡ πh2N

mA=

∫ ∞

0dε

1

eβ(ε−µ) + 1(7.86)

Facem schimbarea de variabila: β(ε− µ) = x si avem:

εF =1

β

∫ ∞

−βµ

dx

ex + 1(7.87)

83

Page 84: Fizica statistica, Curs

Integrala se rezolva exact, si se obtine:

εF =1

βln

(eβµ + 1

)

iar de aici:

µ(T ) = kBT ln(e

εFkBT − 1

)(7.88)

In limita temperaturilor scazute, cand εF /kBT À 1, potentialul chimic este:

µ(T ) ' kBT ln eεF

kBT = εF ≡ µ(T = 0) (7.89)

In limita temperaturilor ridicate, cand εF /kBT ¿ 1, potentialul chimic este:

µ(T ) ' kBT ln(1 +

εF

kBT− 1

)= kBT ln

(εF

kBT

)< 0 (7.90)

Avem urmatoarea dependenta calitativa de temperatura:

Determinam temperatura T0, pentru care:

µ(T0) = 0 (7.91)

Atunci:

µ(T0) = kBT0 ln(e

εFkBT0 − 1

)= 0

iar de aici se gaseste imediat:

T0 =εF

kB ln 2(7.92)

Introducand temperatura Fermi TF = εF /kB, (7.92) devine:

T0 =TF

ln 2(7.93)

84

Page 85: Fizica statistica, Curs

Estimam T0 considerand concentratia metalica tipica, pentru un sistem bidi-mensional, ca fiind: n ∼ 1019 (m−2). Atunci: εF ∼ 2 eV , TF ∼ 2 · 104 K, siT0 ∼ 3 · 104 K.

- Observatie : In limita temperaturilor ridicate, cand T > T0, potentialulchimic are forma (7.90). La aceste temperaturi, materialul nu se mai aflaın stare solida. El este un gaz clasic (bidimensional), pentru care expresiapotentialului chimic conicide cu cea data de ec.(7.90).

Probleme

1. Sa se determine presiunea unui gaz Fermi.

2. Consideram un gaz electronic ınchis ıntr-un container bidimensionalde arie A. Daca N este numarul total de electroni, sa se arate ca expresiaenergiei Fermi, ın functie de concentratia acestora, este εF = πh2n/m.

3. Consideram un gaz relativist de electroni, pentru care:

ε = cp

Determinati energia Fermi pentru acest gaz si aratati ca energia unui sistemformat din N astfel de particule, la T = 0 K, este:

E =3

4NεF

Cat este presiunea acestui gaz ?

4. Consideram un gaz de electroni unidimensional, de-a lungul directieix. Numarul de electroni este N , iar ei se gasesc confinati ıntr-o sectiune delungime L. La T = 0 K, calculati energia Fermi εF si energia interna Upentru acest sistem.

5. Consideram un gaz de fermioni la T = 0 K si ın trei dimensiuni.a) Aratati ca 64, 6% dintre fermioni au energia mai mare decat jumatate

din energia maxima a unui fermion.

85

Page 86: Fizica statistica, Curs

b) Aratati ca 53, 5% dintre fermioni au energia mai mare decat energiamedie a unui fermion.

6. Consideram un gaz de fermioni d-dimensional, ıntr-o cutie cu volumulVd. Fiecare fermion are energia:

εp = αps ; α > 0 ; s > 0

Determinati energia Fermi pentru acest sistem, precum si energia medie aunui fermion, la T = 0 K.

7. Determinati potentialul chimic µ(T ) pentru un gaz Fermi unidimen-sional, mergand pana la prima corectie de temperatura.

8. Pentru un gaz electronic bidimensional, calculati capacitatea caloricaın limita temperaturilor scazute.

9. Consideram gazul de fermioni din Probl.6, la temperaturi finite.Aratati, pentru d 6= s, ca expresia capacitatii calorice este data de relatia:

C = gπ2

3Nd(εF )k2

BT

unde Nd(εF ) este densitatea de stari pentru o singura orientare a spinului sipentru energia Fermi.

10. Pentru un gaz Fermi, introducem temperatura T0 la care potentialulchimic al gazului este zero. Exprimati temperatura T0 ın functie de temper-atura Fermi, TF , a gazului. Se cunosc:

∫ ∞

0dx

x1/2

ex + 1= 0, 678... ; (0, 983)2/3 = 0.988...

11. Consideram ca v este viteza unei particule dintr-un gaz Fermi.Calculati produsul mediilor:

〈v〉⟨

1

v

86

Page 87: Fizica statistica, Curs

ın limita temperaturilor scazute.

12. Consideram un gaz Fermi pentru care densitatea de stari energeticepentru o singura orientare a spinului este:

N(ε) = aεs ; a > 0 ; s > −1

Aratati ca temperatura T0, la care potentialul chimic al gazului este zero,este data de expresia:

T0 = TF

[2s

(2s − 1)(s + 1)Γ(s + 1)ζ(s + 1)

] 1s+1

unde TF este temperatura Fermi. Se cunoaste:

∫ ∞

0dx

xν−1

eµx + 1=

1

µν

(1− 21−ν

)Γ(ν)ζ(ν) ; ν > 0 ; µ > 0

87

Page 88: Fizica statistica, Curs

8. Sisteme Bose (Gazul Bose)

Consideram gazul cuantic format din bosoni (liberi), pentru care sumade stare macrocanonica era:

Z ≡ ZG =∏

~p

[ ∞∑

n=0

e−nβ(εp−µ)

]≡ ∏

~p

[ ∞∑

n=0

(z e−βεp

)n]

(8.1)

sau:

ZG =∏

~p

[1 +

(z e−βεp

)+

(z e−βεp

)2+

(z e−βεp

)3+ ...

]≡

≡ ∏

~p

[1 + e(µ−εp)β + e2(µ−εp)β + e3(µ−εp)β + ...

](8.2)

Expresia din ultima paranteza este o progresie geometrica, cu o infinitate determeni. Ea converge numai daca:

e(µ−εp)β < 1 (8.3)

Conditia (8.3) trebuie sa aiba loc pentru orice εp, ın particular si pentruεp = 0. In aceste conditii, trebuie sa avem:

µ ≤ 0 (8.4)

Deoarece ratia progresiei este:

r = e(µ−εp)β (8.5)

suma progresiei este:

1

1− r=

1

1− e(µ−εp)β≡ 1

1− z e−βεp(8.6)

Atunci, suma de stare macrocanonica devine:

ZG =∏

~p

1

1− z e−βεp(8.7)

88

Page 89: Fizica statistica, Curs

Ecuatia de stare, pentru gazul Bose, devine:

PV

kBT= ln ZG ≡ ln

~p

1

1− z e−βεp= − ln

~p

(1− z e−βεp

)=

= −∑

~p

ln(1− z e−βεp

)(8.8)

Numarul de particule este:

N = z∂

∂zln ZG ≡ z

∂zln

~p

1

1− z e−βεp= −z

∂z

~p

ln(1− z e−βεp

)=

= −z∑

~p

∂zln

(1− z e−βεp

)=

~p

z e−βεp

1− z e−βεp(8.9)

- Observatii : Primul termen din (8.8) si din (8.9), care corespunde cazului~p = 0 → εp = 0, este:

ln(1− z) (8.10)

respectiv:z

1− z(8.11)

Acesti termeni, cand z → 1, diverg , ceea ce ne spune ca termenii core-spunzatori lui ~p = 0, din sumele (8.8) si (8.9), devin extrem de importanti,ın aceasta situatie. Atunci, ın aceste sume, vom separa contributiile core-spunzatoare lui ~p = 0, iar restul contributiilor (~p 6= 0) le vom ınlocui cuintegrale.

Pentru ecuatia de stare avem:

PV

kBT= − ln(1− z)− V

(2πh)3

∫d3p ln

(1− z e−

β2m

p2)

sau:

P

kBT= − 1

Vln(1− z)− 4π

h3

∫ ∞

0dp p2 ln

(1− z e−

β2m

p2)

(8.12)

Pentru numarul de particule obtinem:

N =z

1− z+

V

(2πh)3

∫d3p

1

z−1eβεp − 1

89

Page 90: Fizica statistica, Curs

sau (n = N/V ):

n =1

V

z

1− z+

h3

∫ ∞

0dp p2 1

z−1eβ

2mp2 − 1

(8.13)

- Observatii : Marimea z/(1 − z) este numarul mediu de ocupare N0 anivelului uniparticula cu ~p = 0:

N0 =z

1− z(8.14)

Acest termen contribuie semnificativ la ec.(7.13), daca n0 = N0/V este foartemare, adica o mare parte din totalitatea particulelor din sistem ocupa nivelulcu ~p = 0. O astfel de situatie duce la fenomenul de condensare Bose.

Pentru N0 avem expresia:

N0 =z

1− z=

eβµ

1− eβµ≡ e−β|µ|

1− e−β|µ| =1

eβ|µ| − 1(8.15)

iar (8.13) devine:

n = n0 +4π

h3

∫ ∞

0dp p2 1

eβ|µ|eβεp − 1εp > 0 (8.16)

Trecem la integrala peste energii, folosind:

εp ≡ ε =p2

2m=⇒ m dε = p dp p =

√2mε

Obtinem imediat:

n = n0 +m3/2

√2π2h3

∫ ∞

0dε ε1/2 1

eβ(ε+|µ|) − 1(8.17)

Primul termen din ec.(8.17) este densitatea de bosoni care au impulsul zero,iar cel de-al doilea termen reprezinta densitatea de bosoni care se misca.Termenul n0 este important doar ın cazul condensarii Bose (care are loc ınspatiul impulsului). La densitati mici si/sau temperaturi ridicate, n0 esteneglijabil ın comparatie cu n. Crescand densitatea si/sau micsorand temper-atura, sistemul sufera o tranzitie ıntr-o stare ın care n0 reprezinta o fractiuneimportanta din n. La T = 0 K toti bosonii au impuls nul. Pe masura ce

90

Page 91: Fizica statistica, Curs

temperatura creste, ıncepınd de la T = 0 K, vor aparea bosoni cu impulsurinenule. Numarul de bosoni care se misca , din volumul V , este dat de ceade-a doua contributie din ec.(8.17) ınmultita cu V :

Nε>0 =V m3/2

√2 π2h3

∫ ∞

0dε ε1/2 1

eβ(ε+|µ|) − 1≡ V m3/2

√2 π2h3

F (β, |µ|) (8.18)

Functia:

F (β, |µ|) =∫ ∞

0dε ε1/2 1

eβ(ε+|µ|) − 1(8.19)

pentru β - fixat , este o functie descrescatoare de |µ|, cu valoarea maximapentru µ = 0, deci:

F (β, |µ|) < F (β, 0) (8.20)

Aici:

F (β, 0) =∫ ∞

0dε ε1/2 1

eβε − 1Cu schimbarea de variabila βε = x, obtinem:

F (β, 0) = β−3/2∫ ∞

0dx

x1/2

ex − 1

Folosind: ∫ ∞

0dx

xp−1

ex − 1= Γ(p)ζ(p) ; Re p > 0 (8.21)

si stiind ca Γ(3/2) =√

π/2, si ζ(3/2) = 2, 612, avem:

F (β, 0) = β−3/2Γ(

3

2

(3

2

)' 1, 306

√π β−3/2 (8.22)

In faza condensata , potentialul chimic are o valoare absoluta extrem de mica(se observa din ec.(8.15)). Deoarece F (β, |µ|) este o functie slab dependentade |µ|, pentru |µ| ¿ 1, ea poate fi aproximata, ın ec.(8.18), prin F (β, 0),avand:

Nε>0 ' V m3/2

√2 π2h3

F (β, 0) = 1, 306√

2V m3/2

√2 π2h3

(kBT )3/2 (8.23)

Deci, pe masura ce temperatura creste, numarul de bosoni din starile excitatecreste (∼ T 3/2). Acest numar devine egal cu numarul total de bosoni (N), lao anumita temperatura, numita temperatura critica Tc, cand:

N = 1, 306√

2V m3/2

√2 π2h3

(kBTc)3/2 =

1

6, 03

V m3/2

h3 (kBTc)3/2

91

Page 92: Fizica statistica, Curs

De aici determinam Tc, ca functie de n = N/V . Avem imediat:

Tc =6, 032/3n2/3h2

mkB

=⇒ Tc = 3, 31 h2(mkB)−1n2/3 (8.24)

Putem scrie apoi:

Nε>0 =1

6, 03

V m3/2

h3 (kBT )3/2 =

=1

6, 03

V m3/2

h3 (kBTc)3/2

(T

Tc

)3/2

= N(

T

Tc

)3/2

; T ≤ Tc (8.25)

Pentru T ≤ Tc, numarul de bosoni cu impuls nul, N0, este:

N0 = N −Nε>0 = N −N(

T

Tc

)3/2

= N

[1−

(T

Tc

)3/2]

; T ≤ Tc (8.26)

cu urmatoarea dependenta de temperatura:

Vedem, ın continuare, energia interna a gazului Bose. Ea provine numaide la bosonii ın miscare si este egala cu:

U =∑

~p>0

εp fBE(εp) (8.27)

unde fBE(εp) este functia de distributie Bose-Einstein:

fBE(εp) =1

eβ(εp−µ) − 1=

1

eβ(εp+|µ|) − 1(8.28)

Atunci:

U =V

(2πh)3

∫d3p εp

1

eβ(εp+|µ|) − 1=

92

Page 93: Fizica statistica, Curs

=V

2π2h3

∫ ∞

0dp p2 εp

eβ(εp+|µ|) − 1

Trecand la integrala peste energii, cu ajutorul legaturii:

εp ≡ ε =p2

2m

obtinem imediat:

U

V=

m3/2

√2 π2h3

∫ ∞

0dε ε3/2 1

eβ(ε+|µ|) − 1(8.29)

Expresia de sub integrala variaza usor cu |µ|, pentru |µ| ¿ 1, astfel ıncatputem face ınlocuirea |µ| → 0, avand:

U

V' m3/2

√2 π2h3

∫ ∞

0dε ε3/2 1

eβε − 1

Cu schimbarea de variabila x = βε, se gaseste:

U

V' m3/2

√2 π2h3

β−5/2∫ ∞

0dx

x3/2

ex − 1=

m3/2

√2 π2h3

β−5/2 Γ(

5

2

(5

2

)

sau:U

V' 1, 783

m3/2

√2 π2h3

(kBT )5/2 (8.30)

Aceasta expresie se rescrie ın felul urmator:

U ' 6, 031, 783√

2 π2

1

6, 03

V m3/2

h3 (kBTc)3/2 (kBT )

(T

Tc

)3/2

sau, folosind N :

U ' 0, 77 NkBT(

T

Tc

)3/2

; T ≤ Tc (8.31)

Capacitatea calorica la volum constant este:

CV =

(dU

dT

)

V

93

Page 94: Fizica statistica, Curs

sau:

CV = 1, 92 NkB

(T

Tc

)3/2

; T ≤ Tc (8.32)

La T = Tc, capacitatea calorica devine:

CV (T = Tc) = 1, 92 NkB (8.33)

Cand temperatura este foarte mare, capacitatea calorica trebuie sa se reducala cazul clasic , cand:

CV =3

2NkB ≡ 1, 5 NkB (8.34)

Calitativ, capacitatea calorica pentru gazul Bose, ca functie de temperatura,este reprezentata mai jos:

Se observa ca la T = Tc, capacitatea calorica este continua , dar derivataei de ordinul unu, ın raport cu temperatura, este discontinua.

Vedem acum, ecuatia de stare pentru gazul Bose, la orice temperatura.Pentru aceasta vom folosi ec.(8.12), care dupa schimbarea de variabila:

βp2

2m= x2

devine:

P

kBT= − 1

Vln(1− z)− 1

2π2

(2m

βh2

)3/2 ∫ ∞

0dx x2 ln

(1− z e−x2

)(8.35)

Coeficientul din fata integralei este:

1

2π2

(2m

βh2

)3/2

≡ 4√π

1(√

2πh2

mkBT

)3 ≡4√π

1

λ3T

94

Page 95: Fizica statistica, Curs

unde λT - este lungimea de unda termica. Atunci:

P

kBT= − 1

Vln(1− z)− 4√

π

1

λ3T

∫ ∞

0dx x2 ln

(1− z e−x2

)(8.36)

Vedem, separat, integrala I din expresia de mai sus. Aici, facand schimbareade variabila:

x2 = y =⇒ x dx =dy

2si:

I =1

2

∫ ∞

0dy√

y ln(1− z e−y

)

Vom integra prin parti, folosind formula:∫

fg′ = fg −∫

f ′g

cu:

f = ln(1− z e−y

)=⇒ f ′ =

1

z−1ey − 1

g′ =√

y =⇒ g =2

3y3/2

Obtinem:

I = −1

3

∫ ∞

0dy

y3/2

z−1ey − 1(8.37)

Acum introducem notatia:

In(z) =∫ ∞

0dy

yn−1

z−1ey − 1(8.38)

Cu ajutorul ei:

I = −1

3I5/2(z) (8.39)

Definim apoi functia gn(z), prin:

In(z) = Γ(n)gn(z) (8.40)

astfel ıncat I devine:

I = −1

(5

2

)g5/2(z) = −

√π

4g5/2(z) (8.41)

95

Page 96: Fizica statistica, Curs

Ecuatia de stare este acum:

P

kBT= − 1

Vln(1− z) +

1

λ3T

g5/2(z) (8.42)

Vedem o expresie pentru gn(z). Din (8.40):

gn(z) =1

Γ(n)In(z) =

1

Γ(n)

∫ ∞

0dy

yn−1

z−1ey − 1

Aici observam ca:

1

z−1ey − 1=

1

1− z e−y− 1 =

∞∑

l=0

(z e−y

)l − 1 ≡∞∑

l=1

(z e−y

)l

Atunci:

gn(z) =1

Γ(n)

∫ ∞

0dy yn−1

∞∑

l=1

(z e−y

)l(8.43)

sau:

gn(z) =1

Γ(n)

∞∑

l=1

zl∫ ∞

0dy yn−1 e−ly

Aici, facand substitutia ly = t, gasim:

gn(z) =1

Γ(n)

∞∑

l=1

zl

ln

∫ ∞

0dt tn−1e−t

Integrala de mai sus este ınsa functia Γ(n), astfel ıncat:

gn(z) =∞∑

l=1

zl

ln(8.44)

iar desfasurat:

gn(z) =∞∑

l=1

zl

ln= z +

z2

2n+

z3

3n+ ... (8.45)

Pentru: z = 1 :

gn(1) =∞∑

l=1

1

ln≡ ζ(n) ; n > 1 (8.46)

96

Page 97: Fizica statistica, Curs

- Observatie : Aici, pentru n ≤ 1, gn(1) - diverge.Pentru: n = 1, stiind ca Γ(1) = 1, avem:

g1(z) =∫ ∞

0dy

1

z−1ey − 1

Facand schimbarea de variabila:

ey

z= t =⇒ dy =

dt

t

obtinem ın final:g1(z) = − ln(1− z) (8.47)

Revenim la ec.(8.42), lucrand ın limita termodinamica (V →∞). Atunci:

P

kBT=

1

λ3T

g5/2(z) (8.48)

- In cazul ın care: T ≤ Tc, avem: µ ' 0 =⇒ z → 1, si:

P

kBT=

1

λ3T

g5/2(1) =⇒ P = kBT

(mkBT

2πh2

)3/2

ζ(

5

2

)

Folosind: ζ(5/2) = 1, 341, obtinem:

P = 0, 08m3/2

h3 (kBT )5/2 (8.49)

fiind o marime independenta de volum.- In cazul ın care: T > Tc, avem: µ 6= 0, µ < 0. Atunci:

P

kBT=

1

λ3T

g5/2(z) ; z = eβµ ≡ e−β|µ| (8.50)

Daca: T À Tc =⇒ z ¿ 1 si:

g5/2(z) =∞∑

l=1

zl

l5/2= z +

z2

25/2+

z3

35/2+ ... ' z (8.51)

Atunci:P

kBT' 1

λ3T

z (8.52)

97

Page 98: Fizica statistica, Curs

Fugacitatea z (sau potentialul chimic) se elimina folosind ecuatia pentrunumarul de particule:

N =z

1− z+

V

(2πh)3

∫d3p

1

z−1eβεp − 1; d3p = 4πp2dp (8.53)

Facand schimbarea de variabila: βεp ≡ β p2/2m = x, gasim:

N =z

1− z+

V

(2π)2h3

(2m

β

)3/2

Γ(

3

2

)g3/2(z)

Stiind ca Γ(3/2) =√

π/2, expresia de mai sus se aduce imediat la formaurmatoare:

N =z

1− z+ V

(mkBT

2πh2

)3/2

g3/2(z) ≡ z

1− z+ V

1

λ3T

g3/2(z) (8.54)

Pentru z ¿ 1:

N ' V1

λ3T

z =⇒ z

λ3T

' N

V(8.55)

Cu acest rezultat, ec.(8.52) devine:

P

kBT' N

V=⇒ PV ' NkBT (8.56)

- Observatii : a) In general, ecuatia de stare se determina folosind setulde relatii:

PkBT

= 1λ3

Tg5/2(z)

N = z1−z

+ V 1λ3

Tg3/2(z)

(8.57)

din care se elimina z , (µ).b) Vedem prima corectie la ec.(8.56). Pentru aceasta consideram z < 1

si luam doar termeni liniari ın z:

P

kBT' 1

λ3T

z

N ' z +V

λ3T

z =⇒ z

λ3T

' N

V

1

1 + (λ3T /V )

98

Page 99: Fizica statistica, Curs

Atunci (deoarece λ3T /V ¿ 1) :

P

kBT' N

V

1

1 + (λ3T /V )

' N

V

(1− λ3

T

V

)

sau, ın final:

PV ' NkBT

(1− λ3

T

V

)(8.58)

Concluzionam ca, un gaz Bose, care se abate putin fata de gazul ideal, are opresiune mai mica decat acesta.

Probleme

1. Sa se determine entropia, energia libera si presiunea gazului Bose,pentru T ≤ Tc.

2. Pentru un sistem Bose bidimensional, cu legea de dispersie:

εk = ak ; a = const.

sa se determine, pentru T ≤ Tc (la a.) si b.)), (A este aria containerului ıncare se gaseste sistemul):

a.) Numarul de bosoni cu impuls nul N0. (N este numarul total debosoni)

b.) Energia interna, capacitatea calorica CV , entropia, energia libera sitensiunea superficiala. (definita ca: σ = −(dF/dA)T )

c.) Reprezentati calitativ dependenta CV (T ), pentru orice temperatura.Se cunosc:

∫ ∞

0dx

x

ex − 1=

π2

6;

∫ ∞

0dx

x2

ex − 1= 2ζ(3) ;

∫ ∞

0dx x2e−x = 2

99

Page 100: Fizica statistica, Curs

9. Gazul fotonic

Consideram proprietatile de echilibru ale radiatiei electromagnetice dintr-un volum V , la temperatura T . Aceasta situatie se realizeaza experimen-tal confectionand o cavitate ıntr-un material , iar apoi ıncalzind materialulpana la temperatura T . Atomii din peretii cavitatii vor emite si vor ab-sorbi radiatie electromagnetica, astfel ıncat, ın starea de echilibru, va existao anumita cantitate de radiatie electromagnetica ın cavitate. Campul elec-tromagnetic (corespunzator radiatiei) poate fi scris ca o suma de termeni detip oscilator armonic, datorita faptului ca radiatia este o suprapunere liniarade unde plane, cu diferite frecvente. In mecanica cuantica, fiecare oscilatorde frecventa ω are energia:

hω(n +

1

2

); n = 0, 1, 2, ...

Cuantele campului electromagnetic sunt fotonii. O stare a campului electro-magnetic este specificata prin enumerarea numarului de fotoni corespunzatorifiecarei frecvente. Fotonii sunt bosoni, fara masa si cu spinul h. Ei se de-plaseaza ın spatiul liber cu viteza luminii c. Spinul lor poate avea numai douaorientari independente: paralela sau antiparalela cu impulsul lor. Pentru unfoton, de frecventa ω, avem:

E = hω −→ energia

~p = h~k ; |~k| = ω

c−→ impulsul

~k · ~e = 0 ; |~e| = 1 ; ~e −→ vectorul de polarizare (9.1)

Un astfel de foton corespunde unei unde de radiatie electromagnetica pentrucare campul electric are forma:

~E(~r, t) ∼ ei(~k·~r−ωt) · ~e (9.2)

- Observatii : a) Conditia ~k · ~e = 0, este o consecinta a transversalitatii

campului electric. Pentru un vector ~k dat, avem doi vectori de polarizareindependenti.

100

Page 101: Fizica statistica, Curs

b) Atomii din peretii cavitatii pot emite si absorbi fotoni. Atunci, numarultotal de fotoni nu se conserva. Acest fapt este echivalent cu urmatoareaconditie pentru potentialul chimic:

µ = 0 (9.3)

Vedem proprietatile termodinamice ale gazului de fotoni. Energia totala,corespunzatoare starii campului electromagnetic ın care sunt nk,e - fotoni, de

impuls h~k si polarizare ~e, este:

E =∑

~k,~e

hω(k) nk,e (9.4)

unde:ω(k) = c|~k| ≡ ck

nk,e = 0, 1, 2, ...

Functia de partitie este:Z =

∑nk,e

e−βE (9.5)

sau:

Z =∑nk,e

exp

−β

~k,~e

hω(k) nk,e

∑nk,e

exp

~k,~e

βhω(k) nk,e

=

=∑nk,e

~k,~e

e−βhω(k) nk,e =∏

~k,~e

∞∑

nk,e=0

e−βhω(k) nk,e =

=∏

~k,~e

1

1− e−βhω(k)(9.6)

Tinand seama ca fotonii sunt bosoni, avand µ = 0, numarul mediu de ocuparea starii ~k (pentru o singura polarizare), este:

〈nk〉 =1

eβhω(k) − 1≡ fP (k) (9.7)

unde fP (k) - este functia Planck (functia Bose-Einstein cu potential chimicnul).

101

Page 102: Fizica statistica, Curs

Energia interna a gazului de fotoni este:

U =∑

~k,~e

hω(k) 〈nk〉 = 2∑

~k

hω(k) 〈nk〉 (9.8)

Trecand la integrale, avem:

U = 2V

(2π)3

∫d3k hck

1

eβhck − 1=

2V

(2π)3

∫ ∞

04πk2dk

hck

eβhck − 1

Folosim legatura:

ω(k) ≡ ω = ck =⇒ dk =dω

c

si trecem la integrala peste ω. Obtinem ca:

U =V h

π2c3

∫ ∞

0dω

ω3

eβhω − 1(9.9)

iar de aici:U

V=

∫ ∞

0dω

h

π2c3

ω3

eβhω − 1≡

∫ ∞

0dω u(ω, T ) (9.10)

Aici:

u(ω, T ) =h

π2c3

ω3

eβhω − 1(9.11)

reprezinta legea Planck pentru radiatie si exprima densitatea de energie da-torata fotonilor de frecventa ω.

Daca ın ec.(9.10) facem schimbarea de variabila: βhω = x, vom avea:

U

V=

h

π2c3

1

(βh)4

∫ ∞

0dx

x3

ex − 1

Integrala este egala cu π4/15. Atunci :

U

V= σ T 4 ; σ =

π2k4B

15h3c3(9.12)

Capacitatea calorica la volum constant este:

CV =

(dU

dT

)

V

= V σ 4T 3 ≡ 4π2k4BT 3V

15h3c3(9.13)

102

Page 103: Fizica statistica, Curs

Entropia gazului fotonic este:

S =∫ CV

TdT =

4π2k4BT 3V

45(hc)3(9.14)

Vom exprima acest rezultat folosind constanta Stefan, definita astfel:

σ =c

4σ =

π2k4B

60h3c2(9.15)

Avem atunci:

S =16σT 3V

3c(9.16)

Energia libera a gazului fotonic este:

F = U − TS = −4σT 4V

3c(9.17)

Presiunea gazului fotonic:

P = −(

∂F

∂V

)

T

=4σT 4

c(9.18)

Pe de alta parte:U

V= σT 4 ≡ 4σT 4

c

Observam ca:

P =1

3

U

V=⇒ PV =

1

3U (9.19)

care este ecuatia de stare pentru gazul fotonic.Numarul total de fotoni, din radiatie, este:

N =∑

~k,~e

〈nk〉 = 2∑

~k

〈nk〉 = 2∑

~k

1

eβhω(k) − 1−→

−→ 2V

(2π)3

∫ ∞

04πk2dk

1

eβhck − 1

Trecand la integrala peste frecvente, avem:

N =2V

(2π)3

∫ ∞

04π

c

)2 dω

c

1

eβhω − 1

103

Page 104: Fizica statistica, Curs

iar cu schimbarea de variabila: βhω = x, obtinem:

N =V

π2c3

1

(βh)3

∫ ∞

0dx

x2

ex − 1

Folosind faptul ca: Γ(3) = 2 si ζ(3) = 1, 202, numarul total de fotoni devine:

N = 0, 24

(kBT

hc

)3

V (9.20)

9.1 Legea lui Wien (legea de deplasare)

Revenim la legea Planck (9.11). Pentru o temperatura fixata, u(ω, T ) areurmatoarea dependenta calitativa de ω:

Determinam frecventa maxima (ωmax) corespunzatoare pozitiei maximu-lui curbei, folosind conditia:

d

dωu(ω, T ) = 0 ⇐⇒ d

(ω3

eβhω − 1

)= 0

Gasim ca:

3 +βhω

e−βhω − 1= 0 (9.21)

Solutia ec.(9.21) este:βhωmax ' 2, 82 (9.22)

sau:

ωmax ' 2, 82kB

hT (9.23)

104

Page 105: Fizica statistica, Curs

Din ec.(9.23) observam ca odata cu cresterea temperaturii pozitia maximu-lui de pe curba se deplaseaza (spre frecvente mai mari). Totusi, legea dedeplasare Wien se obtine trecand, ın ec.(9.11), de la variabila frecventa lavariabila lungime de unda, cu ajutorul legaturii:

ω =2πc

λ=⇒ dω = −2πc

λ2dλ

Atunci:

U

V=

∫ ∞

0dλ

16π2hc

λ5

1

e2πhc/kBTλ − 1≡

∫ ∞

0dλ u(λ, T ) (9.24)

Dependenta u(λ, T → fix) este :

Determinam λmax folosind conditia:

d

dλu(λ, T ) = 0

sau:d

(λ−5

ea/λ − 1

)= 0 ; a =

2πhc

kBT

Se gaseste ecuatia:a

λ= 5

(1− e−

)

sau, cu x = a/λ :

x = 5(1− e−x

)

Solutia acestei ecuatii este:

x ' 4, 96 =⇒ a

λmax

' 4, 96 (9.25)

105

Page 106: Fizica statistica, Curs

sau:2πhc

kBTλmax

' 4, 96 =⇒ λmaxT ' 2πhc

4, 96kB

Inlocuind valorile constantelor, se gaseste:

λmaxT ' 0, 0029 (m ·K) (9.26)

Ecuatia (9.26) este legea de deplasare a lui Wien. Ea ne spune ca, pozitiamaximului distributiei, dupa lungimile de unda, se deplaseaza. Cu cat tem-peratura este mai mare, cu atat maximul se va deplasa mai spre stanga.

- Observatie : Ecuatia (9.26) permite, de exemplu, determinarea tem-peraturii stelelor, cunoscand λmax. Pentru Soare: λmax ' 4800 A (luminagalbena), de unde, cu ajutorul ec.(9.26), obtinem: T ∼ 6000 K.

106

Page 107: Fizica statistica, Curs

10. Oscilatiile retelei cristaline

Consideram o retea cristalina ın nodurile careia atomii efectueaza oscilatii.Energia fiecarui oscilator este:

En = hω0

(n +

1

2

)(10.1)

Atunci, ın ansamblul canonic, energia medie a unui oscilator este:

〈E〉 = − ∂

∂βln

[ ∞∑

n=0

e−βEn

](10.2)

sau (din Probl.1, Cap.4):

〈E〉 = hω0

(1

2+

1

eβhω0 − 1

)(10.3)

Primul termen din ec.(10.3) este energia de zero a oscilatorului, iar cel de-al doilea termen din paranteza de mai sus este functia Bose-Einstein cupotential chimic nul (functia Planck).

Consideram acum o retea tridimensionala care are N atomi. Ne propunemsa determinam energia interna si capacitatea calorica reticulara, pentru acestsistem, daca frecventa de vibratie a fiecarui oscilator este aceeasi, ω0 (mod-elul Einstein). Energia interna pentru acest sistem, care are 3N grade delibertate, este:

U = 3N 〈E〉 =3

2Nhω0 +

3Nhω0

eβhω0 − 1≡ U0 + U(T ) (10.4)

U0 este energia interna de zero. Rescriem (10.4) astfel:

U = 3N 〈E〉 = 3Nhω0

(1

2+ 〈n〉

)=

=3

2Nhω0 + 3Nhω0 〈n〉

107

Page 108: Fizica statistica, Curs

unde:

〈n〉 ≡ fP =1

eβhω0 − 1(10.5)

- Observatie : Cuantele asociate vibratiilor retelei cristaline se numescfononi. Ei sunt bosoni si au potentialul chimic nul.

Capacitatea calorica reticulara este:

CV =

(∂U

∂T

)

V

=∂U

∂β· ∂β

∂T

sau:

CV =3N(hω0)

2

kBT 2

eβhω0

(eβhω0 − 1)2 (10.6)

Introducand temperatura caracteristica Einstein:

θE =hω0

kB

(10.7)

obtinem:

CV = 3NkB

(θE

T

)2e

θET

(e

θET − 1

)2

sau:

CV = 3NkBg

(θE

T

)(10.8)

unde:g(x) = x2ex (ex − 1)−2 (10.9)

Functia g(x) are urmatorul comportament:- Pentru x ¿ 1 :

g(x) ' 1− x2

12

- Pentru x À 1 :g(x) ' x2e−x

deci:

g(x) '

x2e−x , x À 1

1− x2

12, x ¿ 1

(10.10)

108

Page 109: Fizica statistica, Curs

Atunci, ın limita temperaturilor ridicate, cand x = θE/T ¿ 1, capacitateacalorica devine:

CV ' 3NkB

1− 1

12

(θE

T

)2 ≈ 3NkB (10.11)

In limita temperaturilor scazute, cand x = θE/T À 1, capacitatea caloricaeste:

CV ' 3NkB

(θE

T

)2

e−θET (10.12)

Dependenta calitativa de temperatura, pentru capacitatea calorica reticu-lara, ın modelul Einstein, este reprezentata ın figura:

- Observatii : O astfel de dependenta, ın limita temperaturilor scazute, nueste ın concordanta (ın general) cu determinarile experimentale, care arata,pentru cristale tridimensionale, o dependenta ∼ T 3.

Pentru a explica acest comportament a capacitatii calorice, vom adoptamodelul Debye. In acest model, consideram solidul drept un corp continuu,elastic, prin care se propaga unde elastice transversale si longitudinale. Un-dele transversale au doua stari de polarizare, iar pentru ele energia medieeste:

〈Et〉 =∑

~k,~e

(1

2+ 〈nk,t〉

)hωt(k) (10.13)

~e - este vectorul de polarizare, iar ωt(k) depinde de vectorul de unda prinrelatia:

ωt(k) = ctk (10.14)

109

Page 110: Fizica statistica, Curs

unde ct este viteza undelor transversale ın solid. Un spectru energetic deforma (10.14) (∼ k) se numeste spectru acustic. Avem, mai departe:

〈Et〉 = 2∑

~k

hωt(k)(

1

2+

1

eβhωt(k) − 1

)

Trecand de la suma la integrale, obtinem:

〈Et〉 = 2V

(2π)3

∫ ∞

04πk2dk hωt(k)

1

2+ 2

V

(2π)3

∫ ∞

04πk2dk

hωt(k)

eβhωt(k) − 1

Aici facem schimbarea de variabila:

ωt(k) ≡ ω = ctk =⇒ k =ω

ct

=⇒ dk =dω

ct

avand:

〈Et〉 =1

2

∫ ∞

0dω

V ω2

π2c3t

hω +∫ ∞

0dω

V ω2

π2c3t

eβhω − 1(10.15)

Marimea Dt(ω) = V ω2/π2c3t se numeste densitatea de moduri de vibratie

pentru undele transversale.Pentru undele longitudinale, avem:

〈El〉 =∑

~k

(1

2+ 〈nk,l〉

)hωl(k) (10.16)

cu:ωl(k) = clk (10.17)

unde cl este viteza undelor longitudinale. In mod analog, gasim:

〈El〉 =1

2

∫ ∞

0dω

V ω2

2π2c3l

hω +∫ ∞

0dω

V ω2

2π2c3l

eβhω − 1(10.18)

unde Dl(ω) = V ω2/2π2c3l se numeste densitatea de moduri de vibratie pentru

undele longitudinale.- Observatii : Din ec.(10.15) si (10.18) observam ca energiile medii diverg.

Acest lucru nu este adevarat, deoarece, ın realitate, spectrul de frecvente estelimitat superior la o valoare finita, ωD, numita frecventa Debye.

110

Page 111: Fizica statistica, Curs

In aceste conditii, energia interna (reticulara) a cristalului este:

U ≡ 〈E〉 = 〈Et〉+ 〈El〉 =

=1

2

∫ ωD

0dω D(ω) hω +

∫ ωD

0dω D(ω)

eβhω − 1≡ U0 + U(T ) (10.19)

U0 se numeste energia interna de zero a cristalului, iar:

D(ω) =

V ω2

2π2

(1c3l

+ 2c3t

), ω < ωD

0 , ω > ωD

(10.20)

Determinam frecventa Debye, stiind ca numarul total de moduri de vibratieeste 3N :

3N =∫ ωD

0dω D(ω) (10.21)

Folosind (10.20), gasim imediat ca:

ωD =

[18π2n

(1/c3l ) + (2/c3

t )

]1/3

; n =N

V(10.22)

Asociem frecventei Debye, temperatura Debye, introdusa prin:

θD =hωD

kB

(10.23)

Ea este temperatura la care toate modurile de vibratie sunt excitate, panala cel de frecventa maxima.

Vedem cele doua contributii din energia interna reticulara. Energia dezero este:

U0 =1

2

∫ ωD

0dω D(ω) hω =

1

2

V

2π2

(1

c3l

+2

c3t

)h

∫ ωD

0dω ω3

sau:

U0 =1

2

[V

2π2

(1

c3l

+2

c3t

)ω3

D

3

]h

3

4ωD ≡ 9

8NhωD

deoarece paranteza de mai sus este 3N . Acest rezultat, exprimat prin tem-peratura Debye, este:

U0 =9

8NkBθD (10.24)

111

Page 112: Fizica statistica, Curs

Partea dependenta de temperatura a energiei interne reticulare este:

U(T ) =∫ ωD

0dω D(ω)

eβhω − 1=

= hV

2π2

(1

c3l

+2

c3t

) ∫ ωD

0dω

ω3

eβhω − 1

Cu ajutorul noii variabile x = βhω, obtinem:

U(T ) = h

[V

2π2

(1

c3l

+2

c3t

)]1

(βh)4

∫ θD/T

0dx

x3

ex − 1

Paranteza dreapta de mai sus este 9N/ω3D. Folosind si β = 1/kBT , gasim ca:

U(T ) = 9NkBT(

T

θD

)3 ∫ θD/T

0dx

x3

ex − 1(10.25)

Atunci, energia interna reticulara este:

U =9

8NkBθD + 9NkBT

(T

θD

)3

I

(θD

T

)(10.26)

Aici, s-a introdus integrala Debye:

I

(θD

T

)≡ ID =

∫ θD/T

0dx

x3

ex − 1

- In limita temperaturilor scazute, θD/T À 1, iar integrala Debye este:

ID '∫ ∞

0dx

x3

ex − 1=

π4

15

In acest caz, energia interna reticulara devine:

U =9

8NkBθD +

3π4NkB

5 θ3D

T 4 (10.27)

Capacitatea calorica reticulara, la temperaturi scazute, este:

CV =

(dU

dT

)

V

=12π4NkB

5 θ3D

T 3 ∼ T 3 (10.28)

112

Page 113: Fizica statistica, Curs

ın acord cu o multitudine de date experimentale referitoare la capacitateacalorica reticulara ca solidelor tridimensionale.

- In limita temperaturilor ridicate, θD/T ¿ 1, si:

x3

ex − 1= x2 − 1

2x3 + ...

Energia interna devine:

U =9

8NkBθD + 9NkBT

(T

θD

)3 ∫ θD/T

0dx

(x2 − 1

2x3 + ...

)

sau:

U =9

8NkBθD + 3NkBT − 9

8NkBθD + ... = 3NkBT + ... ' 3NkBT (10.29)

Capacitatea calorica este aici:

CV =

(dU

dT

)

V

= 3NkB (10.30)

Calitativ avem:

observandu-se diferenta ıntre comportamenul de tip Einstein si Debye, latemperaturi scazute.

113

Page 114: Fizica statistica, Curs

11. Sisteme cu interactii

11.1 Gazul Van der Waals

Consideram un sistem format din N particule clasice, ınchise ıntr-un vasde volum V , la temperatura T . Mai consideram ca ıntre acesti constituentiexista interactiuni de tip biparticula, astfel ıncat hamiltonianul sistemuluipoate fi scris astfel:

H =N∑

i=1

p2i

2m+

1

2

i,j

ϕ(~ri, ~rj) ≡ H0 + Hi (11.1)

Aici, ϕ(~ri, ~rj) descrie energia potentiala de interactie a doua particule dinsistem.

Suma de stare canonica este:

Z =1

N !h3N

∫dp dq e−βH =

1

N !h3N

∫dp dq e−β(H0+Hi) =

=1

N !h3N

∫dp e−βH0

∫dq e−βHi =

1

N !

V

(2πmkBT

h2

)3/2

N1

V N

∫dq e−βHi

(11.2)In plus:

dq ≡ d3r1 d3r2 ... d3rN ≡N∏

i=1

d3ri (11.3)

Atunci:

Z =1

N !

V

(2πmkBT

h2

)3/2

N1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri e−β∑

i<jϕ(~ri,~rj) (11.4)

Aici introducem marimea QN , numita suma de stare de configuratii, prin:

QN =1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri e−β∑

i<jϕ(~ri,~rj) =

1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri

i<j

e−βϕ(~ri,~rj)

(11.5)

114

Page 115: Fizica statistica, Curs

si apoi definim functia:fij = e−βϕ(~ri,~rj) − 1 (11.6)

Cu ajutorul ei avem:

QN =1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri

i<j

(1 + fij) (11.7)

Produsul de pe ultima pozitie este:

i<j

(1 + fij) = (1 + f12) (1 + f23) (1 + f34) ... =

= (1 + f12 + f23 + f12f23) (1 + f34) ... =

= 1 + f12 + f23 + f12f23 + f34 + f12f34 + f23f34 + f12f23f34 + ... =

= 1 +∑

i<j

fij + ... (11.8)

Limitarea la primele doua contributii, ın expresia de mai sus, este rezonabiladaca ne referim la un gaz real destul de rarefiat. Atunci:

QN ' 1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri

1 +

i<j

fij

=

=1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri +1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri

i<j

fij =

= 1 +1

V N

(V )

N∏

i=1

d3ri

i<j

fij (11.9)

deoarece: ∫

(V )

N∏

i=1

d3ri = V N

Suma care apare ın expresia (11.9) este extinsa la toate perechile (i, j) departicule, deci la toate combinarile de N particule luate cate doua. Sumacontine C2

N - termeni, adica:

C2N =

N !

(N − 2)! 2!=

N(N − 1)

2(11.10)

115

Page 116: Fizica statistica, Curs

In integrarea fiecarui termen din suma dupa (i, j) sunt implicate numai co-ordonatele ~ri si ~rj (doua coordonate). Dupa restul de N − 2 coordonate,integralele se fac direct, dand valoarea V N−2. Atunci:

QN ' 1 +1

V NV N−2 N(N − 1)

2

∫d3r1 d3r2 f12 =

= 1 +N(N − 1)

2V 2

∫d3r1 d3r2 f12 (11.11)

Revenim la expresia lui f12, ın care facem consideratiile:

ϕ(~r1, ~r2) −→ ϕ(~r1 − ~r2) −→ ϕ(|~r1 − ~r2|)

Prima trecere poate fi facuta atunci cand sistemul este suficient de mare siprezinta invarianta la translatii. Cea de-a doua trecere poate fi facuta atuncicand interactia este izotropa. In aceste conditii este evident ca:

f12 −→ f12(|~r1 − ~r2|) (11.12)

si:

QN ' 1 +N(N − 1)

2V 2

∫d3r1 d3r2 f12(|~r1 − ~r2|) (11.13)

Facand schimbarea de variabila:

~r1 − ~r2 = ~r =⇒ |~r1 − ~r2| ≡ |~r| ≡ r

obtinem:

QN ' 1 +N(N − 1)

2V 2

∫d3r1 d3r f12(r) =

= 1 +N(N − 1)

2V 2V

∫d3r f12(r) =

= 1 +N(N − 1)

2V4π

∫dr r2 f12(r) (11.14)

Daca numarul de particule din sistem este foarte mare, atunci N − 1 ' N ,si notand f12 = f , avem:

QN ' 1 +N2

2V4π

∫dr r2 f(r) (11.15)

116

Page 117: Fizica statistica, Curs

Pentru calculul integralei din (11.15) trebuie sa precizam forma lui ϕ(r).Pentru aceasta, vom considera ca la distante mici interactia este repulsiva,deoarece particulele nu se pot apropia ıntre ele la distante mai mici de 2r0,care este diametrul molecular. Pentru r > 2r0, interactia este atractiva.Atunci, vom modela ϕ(r) ın felul urmator:

ϕ(r) '∞ ; r ≤ 2r0

ϕ(r) < 0 ; r > 2r0 , ϕ(r) → 0 pentru r →∞ (11.16)

Imediat mai avem ca:

f(r) ' −1 ; r ≤ 2r0

e−βϕ(r) − 1 ' −βϕ(r) ; r > 2r0(11.17)

unde s-a considerat ca βϕ(r) ≡ ϕ(r)/kBT ¿ 1. Suma de stare de configuratiidevine:

QN = 1 +N2

2V4π

[∫ 2r0

0dr r2 f(r) +

∫ ∞

2r0

dr r2 f(r)]

=

= 1− N2

2V

[4π

∫ 2r0

0dr r2 +

kBT

∫ ∞

2r0

dr r2 ϕ(r)]

=

= 1− N2

2V

[4π(2r0)

3

3+

kBT

∫ ∞

2r0

dr r2 ϕ(r)

](11.18)

Aici vom nota:4π(2r0)

3

3= 2b (11.19)

117

Page 118: Fizica statistica, Curs

si, tinand seama ca ϕ(r) < 0 ın aceasta zona:

4π∫ ∞

2r0

dr r2 ϕ(r) = −2a (11.20)

Obtinem atunci:

QN ' 1− N2

V

(b− a

kBT

)(11.21)

Avand aceasta expresie, suma de stare (11.4), devine:

Z ' 1

N !

V

(2πmkBT

h2

)3/2

N [1− N2

V

(b− a

kBT

)](11.22)

Energia libera a gazului real este:

F = −kBT ln Z =

= −kBT ln

1

N !

V

(2πmkBT

h2

)3/2

N− kBT ln

[1− N2

V

(b− a

kBT

)]

Prima contributie din expresia de mai sus este partea de ”gaz ideal”, deter-minata deja. Avem:

F = −NkBT ln

eV

N

(2πmkBT

h2

)3/2− kBT ln

[1− N2

V

(b− a

kBT

)]

In ultimul termen, folosim aproximatia ln(1−x) ' −x, deoarece contributiacare se adauga unitatii se considera a fi mica. Atunci:

F ' −NkBT ln [VA] + kBTN2

V

(b− a

kBT

)(11.23)

cu:

A =e

N

(2πmkBT

h2

)3/2

Presiunea (ecuatia de stare) se determina folosind relatia:

P = −∂F

∂V

118

Page 119: Fizica statistica, Curs

Se obtine imediat:

P =NkBT

V+

N2kBT

V 2

(b− a

kBT

)

sau:

P +N2a

V 2=

NkBT

V

(1 +

Nb

V

)

De aici, avem:P + N2a

V 2

1 + NbV

=NkBT

V

sau, aproximativ:(P +

N2a

V 2

) (1− Nb

V

)=

NkBT

V

In final, ecuatia de stare Van der Waals devine:(P +

N2a

V 2

)(V −Nb) = NkBT (11.24)

- Observatii : Fata de ecuatia de stare a gazului ideal apar doua diferente:1. Presiunea este modificata cu un factor care depinde de interactiunile dinsistem. 2. Volumul este redus cu un factor legat de dimensiunea finita aconstituentilor.

11.2 Modelul Ising unidimensional

Consideram un sistem unidimensional de spini, aflati ın interactie, descrisde hamiltonianul:

H = −JN∑

i=1

SiSi+1 (11.25)

cu conditia periodica de legatura: SN+1 = S1. In modelul Ising, Si esteun numar care poate lua valorile ±1, ın legatura cu componenta z a spin-ului. Astfel, +1 = spin sus, −1 = spin jos. J - este energia de interactieıntre spini (integrala de schimb). Conditia periodica de legatura corespundeurmatoarei asezari a spinilor, ın care spinul N este vecin de ordinul ıntai cuspinul 1.

119

Page 120: Fizica statistica, Curs

Functia de partitie, pentru un astfel de sistem, este:

Z =∑

Se−βH (11.26)

Aici notatia S - reprezinta toate configuratiile de spin posibile (care sunt2N).

Relatia (11.26) scrisa desfasurat este:

Z =∑

S1=±1

...∑

SN=±1

eβJ∑N

i=1SiSi+1 ≡ ∑

S

N∏

i=1

eβJSiSi+1 (11.27)

Scriem exponentiala de mai sus folosind relatia:

ex = cosh x + sinh x (11.28)

Avem:eβJSiSi+1 = cosh (βJSiSi+1) + sinh (βJSiSi+1) (11.29)

Deoarece produsul SiSi+1 poate fi doar ±1 si deoarece functia cosh x estepara, iar sinh x este impara, avem:

cosh (βJSiSi+1) = cosh(βJ) (11.30)

sinh (βJSiSi+1) = SiSi+1 sinh(βJ) (11.31)

(11.29) devenind:

eβJSiSi+1 = cosh(βJ) + SiSi+1 sinh(βJ) (11.32)

120

Page 121: Fizica statistica, Curs

Functia de partitie este:

Z =∑

S

N∏

i=1

[cosh(βJ) + SiSi+1 sinh(βJ)] =

=∑

S

N∏

i=1

cosh(βJ) [1 + SiSi+1 tanh(βJ)] =

= [cosh(βJ)]N∑

S

N∏

i=1

[1 + SiSi+1K] (11.33)

Aici: K = tanh(βJ). Scriind (11.33) desfasurat, avem:

Z = [cosh(βJ)]N∑

S(1 + S1S2K) (1 + S2S3K) ... (1 + SNS1K) =

= [cosh(βJ)]N∑

S[1 + K (S1S2 + S2S3 + ... + SNS1) +

+K2 (S1S2S2S3 + ...) + ... + KN (S1S2S2...SNSNS1)]

(11.34)

Termenul liniar ın K contine produse de doi spini (vecini) diferiti, de tipulSiSi+1. Suma peste toate configuratiile de spini, a acestui produs este:

SSiSi+1 = 0 (11.35)

deoarece sunt doua configuratii cu spinii paraleli si doua cu spinii antiparaleli,pentru fiecare pereche. Si pentru termenul proportional cu K2 suma pestetoate configuratiile de spini este zero. Pentru ca vreun termen din ec.(11.34)sa fie diferit de zero, toti spinii din produs trebuie sa apara de doua ori.Aceasta conditie este satisfacuta numai de ultimul termen, care dupa sumareapeste toate configuratiile de spin, este:

KN2N

Atunci, suma de stare devine:

Z = [cosh(βJ)]N(2N + 2NKN

)= [2 cosh(βJ)]N

(1 + KN

)(11.36)

121

Page 122: Fizica statistica, Curs

In cazul ın care N À 1, avem:

limN→∞

KN ≡ limN→∞

[tanh(βJ)]N −→ 0 (11.37)

si:Z = [2 cosh(βJ)]N (11.38)

Energia libera a sistemului este:

F = −kBT ln Z = −NkBT ln [2 cosh(βJ)] (11.39)

- In limita temperaturilor scazute, x = βJ ≡ J/kBT À 1, si atunci:

cosh x =ex + e−x

2' ex

2

In acest caz, energia libera este:

F ' −NkBT ln

(2

eβJ

2

)= −NJ (11.40)

- In limita temperaturilor ridicate, x = βJ ≡ J/kBT ¿ 1, si:

cosh x =ex + e−x

2' 1 + x + 1− x

2' 1

In acest caz, energia libera este:

F ' −NkBT ln 2 (11.41)

Calitativ, avem:

Energia interna este:

U = − ∂

∂βln Z = − ∂

∂β

ln [2 cosh(βJ)]N

= −N

∂βln [2 cosh(βJ)] =

122

Page 123: Fizica statistica, Curs

= −NJ tanh(βJ) ≡ −NJ tanh(

J

kBT

)(11.42)

Capacitatea calorica a sistemului este:

CV =

(∂U

∂T

)

V

= −NJ∂

∂T

[tanh

(J

kBT

)]=

=NJ2

kBT

1

[cosh(βJ)]2≡ NkB

(J

kBT

)2 1[cosh

(J

kBT

)]2 (11.43)

avand urmatoarea dependenta de temperatura:

Entropia sistemului se determina folosind:

F = U − TS =⇒ S =1

T(U − F ) (11.44)

iar de aici:

S = NkB ln[2 cosh

(J

kBT

)]− NJ

Ttanh

(J

kBT

)(11.45)

Dependenta ei de temperatura arata astfel:

123

Page 124: Fizica statistica, Curs

In continuare, vedem expresia magnetizarii si susceptibilitatea magneticapentru sistemul Ising unidimensional. Astfel, ın prezenta unui camp magneticexterior H, hamiltonianul Ising este:

H = −JN∑

i=1

SiSi+1 −HN∑

i=1

Si (11.46)

iar functia de partitie devine:

Z =∑

S1=±1

...∑

SN=±1

eβ∑N

i=1(JSiSi+1+HSi) (11.47)

Tinand seama de conditia de periodicitate, SN+1 = S1, ec.(11.47) se rescrieastfel:

Z =∑

S1=±1

...∑

SN=±1

eβ∑N

i=1[JSiSi+1+H2

(Si+Si+1)] (11.48)

Deoarece produsul SS ′ poate fi: ++, +−,−+,−−, vom defini o matrice 2×2,notata prin P , care are drept elemente de matrice cantitatile:

〈S| P |S ′〉 = eβ[JSS′+H2

(S+S′)] (11.49)

astfel ıncat:

P =( 〈1|P|1〉 〈1|P| − 1〉〈−1|P|1〉 〈−1|P| − 1〉

)(11.50)

Aici:〈1|P|1〉 = eβ(J+H) 〈1|P| − 1〉 = e−βJ

〈−1|P|1〉 = e−βJ 〈−1|P| − 1〉 = eβ(J−H) (11.51)

Atunci:

P =(

eβ(J+H) e−βJ

e−βJ eβ(J−H)

)(11.52)

care este matricea de transfer (Kramers, Wannier, 1941). Suma de stare(11.48), cu elementele de matrice (11.49), devine:

Z =∑

S1

S2

...∑

SN

〈S1|P|S2〉 〈S2|P|S3〉 ... 〈SN |P|S1〉 =

=∑

S1

⟨S1|PN |S1

⟩≡ Tr

PN

(11.53)

124

Page 125: Fizica statistica, Curs

- Observatie : Ridicarea matricii P la puterea N nu este simpla, chiar sipentru o matrice 2×2, daca am dori sa o facem direct. Procedam alternativ:Diagonalizam matricea de transfer (printr-o transformare unitara potrivita).Ea va deveni: (

λ1 00 λ2

)

Aici, λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale matricii de transfer. Atunci, vom avea:

(λ1 00 λ2

)N

=(

λN1 00 λN

2

)(11.54)

si imediat:Z = Tr

PN

= λN

1 + λN2 (11.55)

Trebuie sa gasim valorile proprii ale matricii de transfer P . Ele se determinarezolvand ecuatia seculara:

∣∣∣∣∣eβ(J+H) − λ e−βJ

e−βJ eβ(J−H) − λ

∣∣∣∣∣ = 0 (11.56)

sau: [eβ(J+H) − λ

] [eβ(J−H) − λ

]−

(e−βJ

)2= 0

Folosind faptul ca:

cosh βH =1

2

(eβH + e−βH

)

(cosh βH)2 − 1 = sinh2(βH)

gasim:

λ1,2 = eβJ cosh(βH)±√

e2βJ sinh2(βH) + e−2βJ (11.57)

unde λ1 este determinarea cu semnul +, iar λ2 cea cu semnul −. In plus,λ1 > λ2. Suma de stare se rescrie:

Z = λN1

1 +

(λ2

λ1

)N

care ın limita N →∞, devine:

Z ' λN1 (11.58)

125

Page 126: Fizica statistica, Curs

Energia libera a sistemului este:

F = −kBT ln Z = −NkBT ln λ1

sau:

F = −NkBT ln[eβJ cosh(βH) +

√e2βJ sinh2(βH) + e−2βJ

](11.59)

Magnetizarea este (V = 1 m3):

M = − ∂F

∂H

sau, folosind:sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)

obtinem:

M = NeβJ sinh(βH) + 1

2e2βJ sinh(2βH)

[e2βH sinh2(βH) + e−2βJ

]−1/2

eβJ cosh(βH) +√

e2βJ sinh2(βH) + e−2βJ

(11.60)In campuri magnetice slabe: x = βH ¿ 1, si folosim aproximatiile:

sinh(x) ' x cosh(x) ' 1 x2 ' 0

Magnetizarea va avea expresia aproximativa:

M ' NeβJβH + e3βJβH

eβJ + e−βJ= Nβ

1 + e2βJ

1 + e−2βJH (11.61)

Aici, ın limita temperaturilor scazute:

βJ À 1 =⇒ e2βJ À 1 ; e−2βJ ' 0

si:

M ' N

kBTe

2JkBT H (11.62)

In acest caz, susceptibilitatea magnetica este:

χ(T ) ' N

kBTe

2JkBT (11.63)

126

Page 127: Fizica statistica, Curs

Pentru J > 0, χ(T ) este singulara pentru T → 0, iar pentru J < 0 estefinita pentru orice temperatura.

- Observatie : Magnetizarea (11.60), ca functie de H, are urmatoareadependenta:

Observam ca pentru H → 0, M → 0, pentru orice temperatura. Astfel,sistemul Ising (1D) nu prezinta magnetizare spontana (indusa de interactiadintre spini) la nici o temperatura finita.

In continuare vom defini, pentru modelul Ising unidimensional, functiade corelatie spin-spin, pentru vecinii de ordinul unu, prin:

Γ(i, i + 1) = 〈SiSi+1〉 (11.64)

Aici, ne propunem sa calculam lungimea de corelare ξ, considerand ca functiade corelatie descreste exponential cu distanta, dupa regula:

Γ ∼ e−r/ξ (11.65)

127

Page 128: Fizica statistica, Curs

Pentru aceasta trebuie sa calculam functia de corelare:

Γ(i, i + 1) = 〈SiSi+1〉 =1

Z

SSiSi+1 e−βH =

=1

Z

SSiSi+1 eβJ

∑k

SkSk+1

Aici vom face urmatoarea consideratie: Inlocuim J → Jk, facem calculul cuaceasta consideratie, obtinem rezultatul, iar apoi revenim la J . Avem atunci:

Γ(i, i + 1) =1

Z

SSiSi+1 eβ

∑k

JkSkSk+1

Aici:

Z =∑

Seβ

∑k

JkSkSk+1 =∑

Seβ(J1S1S2+J2S2S3+...+JkSkSk+1+...+JNSNS1)

Folosind acest rezultat, calculam:

∂Z

∂Jk

=∑

Seβ(J1S1S2+J2S2S3+...+JkSkSk+1+...+JNSNS1) βSkSk+1 =

= β∑

SSkSk+1 eβ

∑iJiSiSi+1

Acest rezultat, cu interschimbarea: k → i, i → k ın partea dreapta, devine:

β∑

SSiSi+1 eβ

∑k

JkSkSk+1

iar de aici: ∑

SSiSi+1 eβ

∑k

JkSkSk+1 =1

β

∂Z

∂Jk

Functia de corelatie va fi:

Γ(i, i + 1) =1

∂Z

∂Jk

(11.66)

128

Page 129: Fizica statistica, Curs

In aceasta expresie, folosim formula pentru suma de stare:

Z = 2NN∏

k=1

cosh (βJk) = 2N cosh (βJ1) ... cosh (βJk) ... cosh (βJN)

si:∂Z

∂Jk

= 2N cosh (βJ1) ...β sinh (βJk) ... cosh (βJN)

Gasim imediat ca:

Γ(i, i + 1) = tanh (βJk) −→ tanh (βJ) (11.67)

dupa ce facem schimbarea inversa Jk → J . Cum ınsa Γ ∼ e−r/ξ, avem:

e−r/ξ ∼ tanh(βJ) (11.68)

Aici: r = a, unde a este constanta de retea (distanta ıntre spinii i si i + 1).Atunci:

e−a/ξ ∼ tanh(βJ) =⇒ ξ

a= − 1

ln [tanh(βJ)](11.69)

In limita temperaturilor scazute, avem:

x = βJ =J

kBTÀ 1

si:

tanh x =ex − e−x

ex + e−x=

1− e−2x

1 + e−2x'

(1− e−2x

)2 ' 1− 2 e−2x

Atunci:ln[tanh x] ' ln

[1− 2 e−2x

]' −2 e−2x

Gasim apoi:ξ

a=

1

2e2x

de unde:ξ =

a

2e2J/kBT (11.70)

Observam ca lungimea de corelare diverge exponential cand T → 0. Maivedem ca, pentru orice temperatura finita si pozitiva, lungimea de corelarenu diverge. Aceasta ınsemna ca, la T > 0, ın sistemul Ising unidimensional

129

Page 130: Fizica statistica, Curs

nu exista ordine la lunga distanta, astfel ıncat T = 0 este temperatura criticapentru acest sistem.

11.3 Aproximatia campului molecular

Consideram un cristal feromagnetic ın care fiecare atom are un momentmagnetic gµB

~S. Mai consideram ca ıntre spinii din pozitiile i si j existainteractie, descrisa de un termen de tip Heisenberg:

−J ~Si~Sj

Ne propunem, pentru ınceput, sa determinam susceptibilitatea magnetica aacestui sistem, ca functie de temperatura, pentru temperaturi suficient deridicate.

Vom considera ca spinul (de referinta) ~S0 este ınconjurat de z vecini deordinul unu:

Intregul sistem se afla ın campul magnetic exterior ~H. Atunci, energiacorespunzatoare spinului ~S0 este:

U = −J ~S0

z∑

m=1

~Sm − gµB~H ~S0 (11.71)

In aproximatia campului molecular, se face ınlocuirea:z∑

m=1

~Sm −→ z⟨~S

⟩(11.72)

astfel ıncat energia devine:

U = −gµB

~H +

zJ⟨~S

gµB

~S0 (11.73)

130

Page 131: Fizica statistica, Curs

Aceasta expresie este echivalenta cu energia unui spin liber ~S0, ıntr-un campmagnetic efectiv. Vom rescrie campul magnetic efectiv, folosindu-ne de ex-presia magnetizarii:

~M = ngµB

⟨~S

⟩=⇒

⟨~S

⟩=

~M

ngµB

(11.74)

astfel ıncat (11.73) devine:

U = −gµB

[~H + q ~M

]~S0 (11.75)

cu:

q =zJ

ng2µ2B

Dupa aproximatia facuta, avem spinul ~S0 ın campul magnetic efectiv:

~Hef = ~H + q ~M (11.76)

Atunci, valoarea magnetizarii sistemului este (v. probl.5, Cap.4):

M = ngµBS BS

(gµBSHef

kBT

); n =

N

V(11.77)

unde BS este functia Brillouin. Relatia (11.77) este o ecuatie implicita,deoarece Hef contine magnetizarea M .

In limita temperaturilor ridicate:

BS(x) ' S + 1

3Sx (11.78)

si ecuatia pentru magnetizare devine:

M =ng2µ2

BS(S + 1)

3kBT(H + qM)

De aici, folosind expresia lui q:

M − zJS(S + 1)

3kBTM =

ng2µ2BS(S + 1)

3kBTH

131

Page 132: Fizica statistica, Curs

Notam (temperatura Curie, sau temperatura critica):

zJS(S + 1)

3kB

= Tc (11.79)

si obtinem, pentru magnetizare:

M =ng2µ2

BS(S + 1)

3kB(T − Tc)H (11.80)

Susceptibilitatea magnetica (legea Curie-Weiss) este:

χ(T ) =ng2µ2

BS(S + 1)

3kB(T − Tc); T > Tc (11.81)

Vedem, ın continuare, comportarea magnetizarii ın vecinatatea tempera-turii Curie Tc (unde Tc este suficient de mare). Pentru aceasta, vom folosi oaproximatie superioara ecuatiei (11.78), pentru functia Brillouin:

BS(x) =2S + 1

2Scoth

(2S + 1

2Sx

)− 1

2Scoth

(x

2S

)(11.82)

considerand:

coth y =1

y+

y

3− y3

45+ ... (11.83)

Vom obtine urmatoarea expresie aproximativa:

BS(x) ' S + 1

3Sx− 1

45

S + 1

2S3

[(S + 1)2 + S2

]x3 (11.84)

Cu ajutorul acestei expresii, magnetizarea (11.77) devine:

M = ngµBS

[S + 1

3S

gµBS

kBTHef − 1

45

S + 1

2S3

[(S + 1)2 + S2

] (gµBS

kBT

)3

H3ef

]

sau:

M = ngµBSS + 1

3S

gµBS

kBT

[H +

zJ

ng2µ2B

M

]−

−nS + 1

90S3

[(S + 1)2 + S2

] (gµBS)4

(kBT )3

[H +

zJ

ng2µ2B

M

]3

(11.85)

132

Page 133: Fizica statistica, Curs

In aceasta expresie, consideram H = 0 (absenta campului magnetic exterior),si folosim expresia (11.79). Vom obtine relatia:

M =Tc

TM − Tc

T 3

1

30

[(S + 1)2 + S2

] (zJ

ngµBkB

)2

M3

Aici facem notatia:

b =1

30

[(S + 1)2 + S2

] (zJ

ngµBkB

)2

avand:

M =Tc

TM − Tc

T 3b M3

Aceasta ecuatie are o solutie:M = 0

Cealalta solutie (M 6= 0) se obtine rezolvand ecuatia:

1 =Tc

T− Tc

T 3b M2

De aici:

M2 =T 2

Tcb(Tc − T )

Deoarece T este apropiat de Tc, avem aproximativ:

M2 ' T 2c

Tcb(Tc − T ) =⇒ M =

√Tc

b

√Tc − T

sau:

M(T ) = A (Tc − T )1/2 ; A =

√Tc

b; T ≤ Tc (11.86)

Observam ca, pentru T < Tc sistemul prezinta magnetizare, chiar dacaH = 0. Aceasta este o magnetizare spontana, datorita interactiei de schimb.Solutia M = 0, obtinuta tot ın apropierea lui Tc, este deasemenea valabila,dar pentru T > Tc.

133

Page 134: Fizica statistica, Curs

Vedem acum expresia magnetizarii, pentru T → 0. Pentru aceasta, vomfolosi ec.(11.77) ımpreuna cu aproximatia functiei Brillouin (11.82), pentrux À 1. Pentru a gasi aceasta aproximatie, folosim (y À 1):

coth y =ey + e−y

ey − e−y=

1 + e−2y

1− e−2y' (1 + e−2y)2 ' 1 + 2 e−2y (11.87)

Inlocuind acest rezultat ın expresia functiei Brillouin, gasim:

BS(x) ' 1 +2S + 1

Se−

2S+1S

x − 1

Se−

xS =

= 1− 1

Se−

xS +

2S + 1

Se−

xS e−2x = 1− 1

Se−

xS

[1− (2S + 1)e−2x

]'

' 1− 1

Se−

xS (11.88)

unde s-a considerat ca: (2S + 1)e−2x ¿ 1. Expresia magnetizarii devine:

M = ngµBS[1− 1

Sexp

− 1

S

gµBSHef

kBT

]

Pentru H = 0, avem: Hef = qM , si:

M = ngµBS[1− 1

Sexp

− gµB

kBTqM

](11.89)

La T = 0 K, magnetizarea este:

M(0) = ngµBS (11.90)

La temperaturi scazute, dar diferite de zero:

M(T ) = M(0)[1− 1

Sexp

− gµB

kBTqM(T )

]

Aceasta ecuatie se rezolva iterativ, aproximand ın paranteza: M(T ) ' M(0).Inlocuind apoi expresiile lui M(0) si q, obtinem urmatorul rezultat:

M(T ) ' M(0)[1− 1

Sexp

−zJS

kBT

](11.91)

134

Page 135: Fizica statistica, Curs

unde, corectia care apare ın paranteza 1S

exp− zJS

kBT

¿ 1, pentru tempera-

turi scazute, astfel ıncat, ın acest domeniu de temperatura, putem aproxima:M(T ) ' M(0).

Dependenta calitativa de temperatura, pentru magnetizare, este redata ınfigura de mai jos. In limita temperaturilor scazute, variatia cu temperaturaeste extrem de mica. In apropierea temperaturii critice, variatia este data deec.(11.86), iar pentru T > Tc, magnetizarea este nula.

Regiunea hasurata este zona ın care aproximatia (11.86) (aproximatia decamp molecular, sau camp mediu) functioneaza bine.

Probleme

1. Consideram modelul Ising unidimensional, cu conditie periodica delegatura, pentru un sistem de N = 3 spini aflati ın varfurile unui triunghiechilateral. Determinati capacitatea calorica a acestui sistem si schitatidependenta ei de temperatura, pentru J > 0. Aratati aici ca temperaturaT0, pentru care capacitatea calorica este maxima, este T0 ' 1, 406 J/kB .

2. Pentru modelul Ising unidimensional, cu conditie periodica de legaturasi pentru N = 4 spini (aflati ın varfurile unui patrat), determinati capacitateacalorica (pentru J > 0) si temperatura T0 corespunzatoare pozitiei maximuluiacesteia.

135

Page 136: Fizica statistica, Curs

12. Fenomene de transport. Conductiaelectrica

Consideram un sistem format din N molecule, ınchis ın volumul V . Tem-peratura este suficient de mare, iar densitatea de molecule este suficient demica, pentru ca pachetele de unda asociate moleculelor sa aiba o extinderespatiala mult mai mica decat distanta intermoleculara medie. Atunci, fiecareparticula va avea o pozitie si un impuls bine definite, particulele distingandu-se una de alta. Moleculele interactioneaza ıntre ele numai prin ciocniri, acaror natura poate fi specificata prin introducerea sectiunii de ciocnire.

Totusi, nu suntem interesati de miscarea fiecarei molecule ın parte ci, maidegraba, suntem interesati sa gasim o functie de distributie (de neechilibru)f(~r, ~p, t), definita ın asa fel ıncat:

f(~r, ~p, t) d3r d3p

sa reprezinte numarul de molecule care, la momentul t, au pozitiile situateın elementul de volum d3r ın jurul lui ~r, iar impulsurile ın elementul d3p ınjurul lui ~p. Cu ajutorul lui f(~r, ~p, t) exprimam faptul ca ın volumul V avemN molecule (conditia de normare):

∫f(~r, ~p, t) d3r d3p = N (12.1)

Daca moleculele sunt uniform distribuite ın spatiu, f nu va depinde de ~r,avand:

∫f(~r, ~p, t) d3r d3p =

∫f(~p, t) d3p

∫d3r = V

∫f(~p, t) d3p = N

sau: ∫f(~p, t) d3p =

N

V(12.2)

Scopul nostru este determinarea functiei de distributie f(~r, ~p, t), pentru cazulcand avem un anumit tip de interatie ıntre molecule. Mai cerem ca pentrut →∞, f(~r, ~p, t) sa tinda spre functia de distributie de echilibru.

136

Page 137: Fizica statistica, Curs

Functia de distributie a particulelor, f(~r, ~p, t), se modifica datorita pro-ceselor urmatoare :

- Variatia numarului de particule din elementul de volum d3r, din jurullui ~r.

- Trecerea dintr-o stare ~p ın starea ~p′, datorita fortelor externe ( ~F = ~p ≡h~k).

- Variatia numarului de particule dintr-o anumita stare, datorita ciocnir-ilor.

Sub actiunea campurilor (fortelor) externe, sistemul este scos din stareade echilibru. Atunci, o molecula cu coordonatele (din spatiul fazelor) (~r, ~p) la

momentul t, va avea coordonatele (~r+~v δt, ~p+ ~F δt) la momentul t+δt. Aici,~F este forta exterioara care actioneaza asupra moleculei, ~v este viteza, iarδt este intervalul de timp infinitezimal. In aceste conditii, toate moleculelecontinute ın elementul d3rd3p din spatiul fazelor, la momentul t, vor fi regasiteın elementul d3r′d3p′ din jurul lui (~r + ~v δt, ~p + ~F δt), la momentul t + δt.Atunci, ın absenta ciocnirilor, avem:

f(~r + ~v δt, ~p + ~F δt, t + δt) d3r′d3p′ = f(~r, ~p, t) d3r d3p (12.3)

care se reduce la:

f(~r + ~v δt, ~p + ~F δt, t + δt) = f(~r, ~p, t) (12.4)

deoarece: d3r′d3p′ = d3r d3p (teorema Liouville), atat timp cat ~F depindenumai de pozitie.

In prezenta ciocnirilor, ec.(12.4) trebuie modificata. In acest caz, vomavea:

f(~r + ~v δt, ~p + ~F δt, t + δt) = f(~r, ~p, t) +

(∂f

∂t

)

ciocn

δt (12.5)

Expresia (12.5) este privita ca relatia de definitie pentru (∂f/∂t)ciocn. Dez-voltand partea stanga a ec.(12.5), pana la ordinul unu ın δt, avem:

f(~r, ~p, t) + ~v δt∂f

∂~r+ ~F δt

∂f

∂~p+ δt

∂f

∂t= f(~r, ~p, t) +

(∂f

∂t

)

ciocn

δt

sau:∂f

∂t+ ~v · ∂f

∂~r+ ~F · ∂f

∂~p=

(∂f

∂t

)

ciocn

137

Page 138: Fizica statistica, Curs

Aici, introducand notatiile obisnuite:

∂~r≡ ∇~r ;

∂~p≡ ∇~p

vom avea:

∂f

∂t+ ~v · ∇~rf + ~F · ∇~pf =

(∂f

∂t

)

ciocn

; f ≡ f(~r, ~p, t) (12.6)

Expresia (12.6) este ecuatia de transport a lui Boltzmann. Termenul de cioc-

nire din (12.6) descrie procesele de tranzitie din starea ~p (~k = ~p/h) ın starea~p′ (~k′ = ~p′/h), si invers, cu ajutorul probabilitatilor de tranzitie ın unitatea

de timp, W (~k′, ~k) si W (~k, ~k′), cu conditia ca starea initiala sa fie ocupata,

iar starea finala sa fie libera. (ın continuare vom lucra cu ~k si ~k′ ın loc de ~psi ~p′). Termenul de ciocnire devine:

(∂f

∂t

)

ciocn

=∑

~k′,σ

W (~k′, ~k)f(~r, ~k′, t)

[1− f(~r,~k, t)

]−

−W (~k, ~k′)f(~r,~k, t)[1− f(~r, ~k′, t)

](12.7)

Probabilitatile de tranzitie W se calculeaza cuantic, cunoscand starile ~k si ~k′

si potentialul de interactie, iar σ desemneaza starile de spin. Atunci, ecuatiade transport a lui Boltzmann devine:

∂f

∂t+ ~v · ∂f

∂~r+

~F

h· ∂f

∂~k=

~k′,σ

W (~k′, ~k)f(~r, ~k′, t)

[1− f(~r,~k, t)

]−

−W (~k, ~k′)f(~r,~k, t)[1− f(~r, ~k′, t)

](12.8)

Vom aplica ecuatia de transport, pentru studierea conductiei electrice ınmetale. In acest caz, forta care actioneaza asupra unui electron este:

~F = q ~E = −e ~E

Daca campul electric nu depinde de timp, curgerea electronilor prin metaleste stationara, adica:

∂f

∂t= 0

138

Page 139: Fizica statistica, Curs

In plus, sistemul este considerat omogen, deci:

∂f

∂~r= 0

Atunci, (12.8) devine:

−e ~E

h· ∂f(~k)

∂~k=

~k′,σ

W (~k′, ~k)f(~k′)

[1− f(~k)

]−W (~k, ~k′)f(~k)

[1− f(~k′)

]

In cazul ciocnirilor elastice:

W (~k′, ~k) = W (~k, ~k′)

si avem:

−e ~E

h· ∂f(~k)

∂~k=

~k′,σ

W (~k, ~k′)[f(~k′)− f(~k)

](12.9)

In (12.9) consideram ca functia de distributie se abate putin fata de valoareaei de echilibru, astfel ıncat termenii patratici ın E sunt neglijabili. Acestlucru este valabil atat timp cat campul electric aplicat este suficient de mic.Vom scrie functia de distributie astfel:

f(~k) = f0(~k) + f1(~k) = f0(~k)− ∂f0

∂εk

~χ(εk) · ~k (12.10)

f0(~k) este functia de distributie de echilibru, iar ~χ(εk) este, deocamdata, ofunctie necunoscuta. Ea va fi ınsa determinata din ecuatia Boltzmann. Vomınlocui aproximatia (12.10) ın partea dreapta a ec.(12.9), iar ın partea stanga

vom aproxima: f(~k) ' f0(~k), obtinand:

−e ~E

h· ∂f0

∂~k=

~k′,σ

W (~k, ~k′)

[f0(~k′)− ∂f0

∂εk′~χ(εk′) · ~k′ − f0(~k) +

∂f0

∂εk

~χ(εk) · ~k]

In cazul ciocnirilor elastice:

εk′ = εk =⇒ f0(~k′) = f0(~k)

Atunci:

−e ~E

h

∂f0

∂εk

· ∂εk

∂~k= 2

~k′W (~k, ~k′)

[∂f0

∂εk

~χ(εk) · ~k − ∂f0

∂εk

~χ(εk) · ~k′]

139

Page 140: Fizica statistica, Curs

sau:

−e ~E

h

∂f0

∂εk

· ∂εk

∂~k= 2

∂f0

∂εk

~χ(εk) · ~k∑

~k′W (~k, ~k′)

[1− k′χ

](12.11)

unde, kχ este proiectia lui ~k pe directia lui ~χ, iar factorul 2 provine de lasumarea dupa starile de spin. Din ec.(12.10) mai putem scrie:

∂f0

∂εk

~χ(εk) · ~k = −f1(~k)

cu care (12.11) devine:

−e ~E

h

∂f0

∂εk

· ∂εk

∂~k= −2f1(~k)

~k′W (~k, ~k′)

[1− k′χ

]= −f1(~k)

1

τ(~k)(12.12)

Aici:1

τ(~k)= 2

~k′W (~k, ~k′)

[1− k′χ

](12.13)

Marimea τ(~k) se numeste timp de relaxare si ne arata dupa cat timp, functiade distributie a unui sistem ın neechilibru, ajunge la valoarea functiei dedistributie de echilibru. Din ec.(12.12) mai vedem ca termenul corectiv f1(~k)este:

f1(~k) =eτ(~k)

h

∂f0

∂εk

∂εk

∂~k· ~E ∼ ~E (12.14)

Pentru particule libere, ec.(12.14) se rescrie astfel:

εk =h2k2

2m−→ ∂εk

∂~k=

h

mh~k =

h

m~p = h ~v

si:

f1(~k) = eτ(~k)∂f0

∂εk

~v · ~E (12.15)

Cunoscand acum functia de distributie, vom determina densitatea de curentelectric ~j, care se defineste prin relatia:

~j = − e

V

~k,σ

~vf(~k) (12.16)

140

Page 141: Fizica statistica, Curs

sau:~j = − e

V

~k,σ

~vf0(~k)− e

V

~k,σ

~vf1(~k)

Primul termen din expresia de mai sus este zero, deoarece reprezinta situatiade echilibru, cand nu exista curent (matematic este zero datorita imparitatiiintegrandului). Atunci, avem:

~j = −2e

V

~k

~v eτ(~k)∂f0

∂εk

~v · ~E (12.17)

Exprimam produsul scalar ~v · ~E astfel:

~v · ~E =∑γ

vγEγ ; γ = x, y, z

si trecem de la suma la integrala cu ajutorul retetei:

~k

(...) =V

(2π)3

∫d~k (...)

Vom obtine imediat:

~j = −2e2

V

V

23π3

∫d~k τ(~k)

∂f0

∂εk

~v∑γ

vγEγ

iar pe componentele jα, (α = x, y, z):

jα = − e2

4π3

∫d~k τ(~k)

∂f0

∂εk

∑γ

vγEγ ≡∑γ

σαγEγ (12.18)

Expresia (12.18) este legea lui Ohm sub forma locala, iar σαγ este tensorulconductivitatii electrice, dat de:

σαγ = − e2

4π3

∫d~k τ(~k)

∂f0

∂εk

vαvγ (12.19)

- Observatie : Adesea: τ(~k) → τ(εk) - depinde numai de energie. In acestcaz, tensorul conductivitatii electrice este diagonal:

σαγ = σ δαγ

141

Page 142: Fizica statistica, Curs

Calculam σ, considerand campul electric aplicat dupa directia Oz ( ~E ‖ Oz).Atunci:

vzvz =

(h

m

)2

kzkz =h2

m2k2 cos2 θ

si:

σzz ≡ σ = − e2

4π3

∫ π

0dθ sin θ

∫ 2π

0dϕ

∫ ∞

0dk k2 τ(~k)

∂f0

∂εk

(h

m

)2

k2 cos2 θ

Folosind: ∫ π

0dθ sin θ cos2 θ =

2

3

si: ∫ 2π

0dϕ = 2π

gasim:

σ = − e2

3π2

(h

m

)2 ∫ ∞

0dk k4 τ(~k)

∂f0

∂εk

(12.20)

Vom trece la integrala peste energii, folosind:

k =

√2mε

h=⇒ dk =

√2m

2hε−1/2dε

Dupa ınlocuire si simplificari, obtinem:

σ = − 2e2

3π2h2

(2m

h2

)1/2 ∫ ∞

0dε ε3/2 τ(ε)

∂f0

∂ε(12.21)

Consideram ca τ(ε) are urmatoarea dependenta energetica:

τ(ε) = A εp (12.22)

astfel ıncat ec.(12.21) devine:

σ = − 2e2

3π2h2

(2m

h2

)1/2

A∫ ∞

0dε εp+ 3

2∂f0

∂ε(12.23)

142

Page 143: Fizica statistica, Curs

Evaluam integrala din (12.23) tinand seama ca ∂f0

∂εare un maxim pronuntat

ın jurul energiei ε = µ, astfel ıncat, dezvoltand ın serie dupa puterile luiε− µ, avem:

εp+ 32 = µp+ 3

2 +1

1!

(p +

3

2

)µp+ 1

2 (ε− µ) +1

2!

(p +

3

2

) (p +

1

2

)µp− 1

2 (ε− µ)2+

+1

3!

(p +

3

2

) (p +

1

2

) (p− 1

2

)µp− 3

2 (ε− µ)3 + ... (12.24)

Ca urmare a acestei dezvoltari, vom avea de evaluat integrale de forma:

In =∫ ∞

0dε (ε− µ)n ∂f0

∂ε(12.25)

Aici:

f0 =1

eβ(ε−µ) + 1=⇒ ∂f0

∂ε= − β eβ(ε−µ)

[eβ(ε−µ) + 1]2

Atunci:

In = −∫ ∞

0dε (ε− µ)n β eβ(ε−µ)

[eβ(ε−µ) + 1]2

Cu ajutorul schimbarii de variabila: x = β(ε− µ), obtinem imediat:

In = − 1

βn

∫ ∞

−βµdx

xnex

(1 + ex)2

Limita inferioara de integrare are urmatorul ordin de marime:

−βµ ≡ − µ

kBT∼ −104

102∼ −102

Deoarece integrandul este o functie rapid descrescatoare, putem ınlocui limitainferioara de integrare prin −∞, avand:

In = −(kBT )n∫ ∞

−∞dx

xnex

(1 + ex)2 = −(kBT )n2n!(1− 2−n+1

)ζ(n) (12.26)

pentru n - par. (In este nenula numai pentru n- par). Aici:

ζ(n) =∞∑

l=1

l−n

143

Page 144: Fizica statistica, Curs

este functia zeta a lui Riemann. Expresia conductivitatii devine:

σ = − 2e2A

3π2h2

(2m

h2

)1/2[µp+ 3

2

∫ ∞

0dε

∂f0

∂ε+

+1

2

(p +

3

2

) (p +

1

2

)µp− 1

2

∫ ∞

0dε (ε− µ)2 ∂f0

∂ε+ ...

]

Deoarece: ζ(0) = −1/2, gasim ca I0 = −1. Folosind apoi: ζ(2) = π2/6,gasim ca:

σ =2e2A

3π2h2

(2m

h2

)1/2

µp+ 32

1 +

π2

6

(p +

3

2

) (p +

1

2

) (kBT

µ

)2

+ ...

(12.27)

Relatia (12.27) este formula conductivitatii electrice cautata. Aici, potentialulchimic se elimina cu ajutorul ecuatiei pentru numarul de particule.

Vedem la ce se reduce ec.(12.27) ın limita T → 0 K. Atunci: µ = εF -energia Fermi, si:

σ =2e2A

3π2h2

(2m

h2

)1/2

εp+ 3

2F

Folosind expresia energiei Fermi, pentru un sistem electronic tridimensional:

εF =h2

2m

(3π2n

)2/3=⇒ ε

3/2F =

(h2

2m

)3/2

3π2n

conductivitatea devine:

σ =ne2

mAεp

F (12.28)

Stiind ınsa ca:τ(ε) = Aεp =⇒ Aεp

F ≡ τ(εF ) (12.29)

si:

σ =ne2τ(εF )

m(12.30)

Aceasta este tocmai formula conductivitatii electrice a lui Drude.

144

Page 145: Fizica statistica, Curs

13. Tranzitii de faza

Toate discutiile de pana acum s-au referit numai la sisteme omogene,adica sisteme ın interiorul carora proprietatile fizice variaza continuu candtrecem de la un punct la altul. Inafara de sistemele omogene se ıntalnescsi sisteme eterogene. Ele sunt formate din mai multe sisteme omogene siprezinta anumite discontinuitati a proprietatilor lor fizice. Spunem ca unsistem, ın echilibru, se poate prezenta ca reuniunea mai multor faze, sausubsisteme omogene, care poseda proprietati distincte. Vom numi faza ,orice parte omogena, fizic distincta, separata de celelalte parti ale sistemuluiprintr-o suprafata definita. Este posibil ca, prin modificarea ın mod continuua parametrilor intensivi, sa observam trecerea de la o faza la alta. Aceastaeste o tranzitie de faza. Multe dintre tranzitiile de faza au o caracteristicacomuna si anume ca, trecerea de la o faza la alta este ınsotita de o dis-continuitate a entropiei. Acest lucru duce la existenta unei calduri latentede transformare. Exista ınsa si tranzitii de faza fara caldura latenta (deex.: tranzitia paramagnet-feromagnet, normal-supraconductor). La acestetranzitii se constata ca sub o anumita temperatura Tc, numita temperaturacritica, exista un parametru care este diferit de zero (pentru T < Tc) si estenul pentru T > Tc. Tranzitiile de faza se clasifica ın felul urmator (Ehrenfest):

- Tranzitiile de faza de ordinul unu , sunt tranzitiile ınsotite de discon-tinuitati ale marimilor fizice de tip extensiv, legate de derivatele de ordinulunu a potentialelor termodinamice (entropie, volum).

- Tranzitiile de faza de ordinul doi , sunt tranzitiile ınsotite de disconti-nuitati ale derivatelor de ordinul doi a potentialelor termodinamice (caldurispecifice, coeficienti de dilatare si compresibilitate, susceptibilitati).

In principiu ar fi posibile tranzitii de faza de orice ordin (ordinul n),ele legandu-se de discontinuitatea derivatelor de ordinul n a potentialelortermodinamice.

13.1 Tranzitii de faza de ordinul doi. Teoria Ginzburg-Landau

Ideea fundamentala care ajuta la elucidarea comportarii unui sistem,

145

Page 146: Fizica statistica, Curs

ın vecinatatea temperaturii critice, este aceea ca tranzitia poate fi descrisaprintr-un parametru de ordine 〈p(~r)〉. El este o masura numerica a cresteriisi a tipului de ordonare care ia nastere ın vecinatatea punctului critic. De ex-emplu: ıntr-un cristal feromagnetic cu axa de usoara magnetizare de-a lunguldirectiei z, parametrul de ordine potrivit este media statistica a componenteiz a magnetizarii:

〈p(~r)〉 ≡ 〈Mz(~r)〉Deoarece acest parametru ne indica cat de ordonati sunt spinii, el trebuie saaiba urmatoarele proprietati:

a) Trebuie sa nu existe deasupra punctului critic si sa fie diferit de zeroimediat sub Tc.

b) Sa se apropie de zero ın mod continuu, pe masura ce T → Tc (T < Tc).Acest lucru ne asigura ca tranzitia nu este de ordinul unu.

c) Sub temperatura critica parametrul de ordine nu este complet determi-nat de conditiile exterioare, putand lua doua sau mai multe valori diferite, ınconditii fizice identice. De exemplu: Cand nu exista camp magnetic aplicatsi sub Tc, magnetizarea poate fi ın directia +z sau −z la fel de bine.

Un punct de vedere relativ simplu, legat de fenomenele care au loc ınvecinatatea punctului critic, a fost dat de Landau. Desi aceasta teorie nucoincide cantitativ cu observatiile experimentale foarte aproape de punctulcritic, decrie corect calitativ o serie de lucruri care se ıntampla ın acestesisteme. Vom vedea teoria Landau, ın cazul feromagnetului, cu un campmagnetic B- mic, si cu temperatura T apropiata de Tc. Atunci, magnetizareaMz(~r) este mica, astfel ıncat putem dezvolta energia libera Gibbs ın serie deputeri ale magnetizarii. Dezvoltarea are urmatoarea forma:

G =∫

d3r g(~r) (13.1)

cu:

g(~r) = g0(T )−Bz(~r)Mz(~r) + a(T ) [Mz(~r)]2 + b(T ) [Mz(~r)]

4 +

+c(T ) [∇Mz(~r) · ∇Mz(~r)] (13.2)

g0(T ) - este energia libera pe unitatea de volum, ın absenta magnetizarii.

BzMz - descrie interactia directa ıntre campul magnetic aplicat ~B (‖Oz) si momentul magnetic al spinilor din proba. Ceilalti termeni din g(~r)sunt datorati interactiilor directe spin-spin. Deoarece aceste interactii nu

146

Page 147: Fizica statistica, Curs

se schimba cand schimbam semnul lui Mz, nu vom avea termeni cu puteriimpare ın Mz(~r). Aceasta este originea termenilor proportionali cu a si b.

Ultimul termen este introdus pentru a mari energia libera atunci candMz(~r) variaza ın spatiu.

Cea mai probabila valoare a oricarui parametru este aceea care mini-mizeaza energia libera. Atunci, vom determina cea mai probabila valoarea lui Mz(~r), cerand ca energia libera Gibbs sa fie stationara la schimbareainfinitezimala:

Mz(~r) −→ Mz(~r) + δMz(~r) (13.3)

Vom avea:

G + δG =∫

d3r[g0(T )−Bz(~r)(Mz + δMz) + a(T )(Mz + δMz)

2+

+b(T )(Mz + δMz)4 + c(T ) ∇(Mz + δMz) · ∇(Mz + δMz)

](13.4)

Aici aproximam:

(Mz + δMz)2 = M2

z

(1 +

δMz

Mz

)2

' M2z

(1 + 2

δMz

Mz

)= M2

z + 2Mz δMz

(Mz + δMz)4 = M4

z

(1 +

δMz

Mz

)4

' M4z

(1 + 4

δMz

Mz

)= M4

z + 4M3z δMz

si:∇(Mz + δMz) · ∇(Mz + δMz) = ∇Mz · ∇Mz − 2 δMz ∇2Mz

Facand aceste ınlocuiri ın (13.4), gasim ca:

δG =∫

d3r δMz

[−Bz(~r) + 2a(T )Mz(~r) + 4b(T ) (Mz(~r))

3 − 2c(T ) ∇2Mz(~r)]

(13.5)Cum (13.5) trebuie sa dispara pentru orice δMz(~r), ınsemna ca parantezadin expresia de mai sus trebuie sa fie zero. Atunci, ecuatia pentru cea maiprobabila valoare pentru Mz(~r) este:

2a + 4b [Mz(~r)]

2 − 2c ∇2

Mz(~r) = Bz(~r) (13.6)

Aici, Landau a facut consideratia neglijarii tuturor fluctuatiilor magnetizarii,ceea ce este echivalent cu a spune ca cea mai probabila valoare a magnetizarii,

147

Page 148: Fizica statistica, Curs

definita de ec.(13.6), este singura valoare si este egala cu valoarea medie.Energia libera se obtine rezolvand ec.(13.6) si substituind solutia ın (13.2).Daca apar ambiguitati, datorita solutiilor multiple ale ec.(13.6), problema serezolva alegand solutia care minimizeaza G. Urmand aceasta procedura, bsi c trebuie sa fie mai mari decat zero, deoarece ın caz contrar nu am aveaminim pentru G.

Vedem cazul simplu, ın care Bz nu depinde de ~r. Atunci nici Mz nu vadepinde de ~r, iar ec.(13.6) se reduce la:

2a + 4b M2

z

Mz = Bz (13.7)

Cand: Bz = 0, ec.(13.7) are solutiile:

Mz = 0 (13.8.a)

Mz = ±√− a

2b(13.8.b)

Solutia (13.8.a) minimizeaza energia libera cand a > 0, iar (13.8.b) canda < 0. In plus, pentru Bz = 0, vrem ca magnetizarea sa dispara peste Tc , sisa fie diferita de zero sub Tc. Atunci trebuie sa avem:

a > 0 , pentru T > Tc

a < 0 , pentru T < Tc(13.9)

Cea mai simpla forma, pentru a(T ), care satisface conditiile (13.9), este:

a(T ) = a′(T − Tc) , a′ > 0 (13.10)

ın apropierea lui Tc. Deasemenea, se mai considera ca b si c sunt constante,cand T → Tc. In conformitate cu ec.(13.8.b) si (13.10), imediat sub Tc,magnetizarea este proportionala cu (Tc − T )1/2 :

Mz ∼√−a =

√−a′(T − Tc) ∼

√Tc − T ; T < Tc (13.11)

Din ec.(13.7), la T = Tc, (cand a(Tc) = 0), si pentru Bz 6= 0 , avem:

4bM3z = Bz =⇒ Mz =

(Bz

4b

)1/3

(13.12)

148

Page 149: Fizica statistica, Curs

Cunoscand magnetizarea Mz, calculam susceptibilitatea magnetica, definitaastfel:

χ =

(∂Mz

∂Bz

)

T,Bz→0

(13.13)

Diferentiind (13.7) ın raport cu Bz (si tinand seama ca Mz = Mz(Bz)), avem:

2a∂Mz

∂Bz

+ 4b 3M2z

∂Mz

∂Bz

= 1

sau:∂Mz

∂Bz

(2a + 12bM2

z

)= 1 (13.14)

Deasupra punctului critic, Mz = 0 pentru Bz → 0, astfel ıncat obtinem:

χ ≡ χ(T ) =

(∂Mz

∂Bz

)

Bz→0

=1

2a=

1

2a′(T − Tc); T > Tc (13.15)

Expresia (12.15) este de fapt legea Curie-Weiss.Sub punctul critic, folosind (13.8.b), avem:

∂Mz

∂Bz

(2a + 12b

−a

2b

)= 1 ⇐⇒ ∂Mz

∂Bz

(−4a) = 1

si:

χ =∂Mz

∂Bz

= − 1

4a= − 1

4a′(T − Tc)=

1

4a′(Tc − T ); T < Tc (13.16)

- Observatie : Expresia (13.16) nu este o susceptibilitate ın sens obisnuit,adica un coeficient de proportionalitate ıntre Mz si Bz, deoarece Mz 6= 0cand Bz = 0 (avem magnetizare spontana).

Oricum, din ec.(13.15) si (13.16), observam ca atat peste cat si sub Tc,susceptibilitatea magnetica diverge, ın cazul cand T → Tc, ca:

χ ∼ 1

|T − Tc| = |T − Tc|−1 (13.17)

Ultima marime termodinamica pe care o vedem, folosind teoria Landau, estecaldura specifica ın camp magnetic nul:

C = −T

(∂2G

∂T 2

)

Bz→0

(13.18)

149

Page 150: Fizica statistica, Curs

Pentru: T > Tc, Bz = 0, avem Mz = 0 si:

G =∫

d3r g0(T ) (13.19)

Caldura specifica corespunzatoare, este:

C0 = −T∫

d3r∂2g0

∂T 2(13.20)

Pentru: T < Tc, Bz = 0, avem Mz = ±√−a/2b, si deci:

G =∫

d3r

[g0(T ) + a

(− a

2b

)+ b

a2

4b2

]=

∫d3r

[g0(T )− a2

4b

](13.21)

Imediat obtinem:∂2G

∂T 2=

∫d3r

[∂2g0

∂T 2− (a′)2

2b

]

Atunci:

C = −T∫

d3r∂2g0

∂T 2+ T

∫d3r

(a′)2

2b(13.22)

Folosind (13.20) si pentru volum unitar (∫

d3r = 1 m3), avem:

C = C0 + T(a′)2

2b(13.23)

In punctul de tranzitie, T = Tc, si:

C ≡ C(Tc) = C0 + Tc(a′)2

2b(13.24)

Diferenta dintre caldura specifica ın faza ordonata si cea ın faza mai putinordonata, la T = Tc, este:

∆C(Tc) = C(Tc)− C0 = Tc(a′)2

2b> 0 (13.25)

Relatia (13.25) releva o discontinuitate a caldurii specifice ın punctul detranzitie, ceea ce corespunde unei tranzitii de faza de ordinul doi. Revenim

150

Page 151: Fizica statistica, Curs

la ecuatia pentru magnetizare (13.6), considerınd acum dependenta de ~r.Liniarizand (13.6), avem:

2a− 2c ∇2

Mz(~r) = Bz(~r) ; T > Tc (13.26)

Trecem aceasta ecuatie ın spatiul Fourier, folosind retetele:

Mz(~r) −→ Mz(~q)

Bz(~r) −→ Bz(~q)

∇2 −→ −q2

Obtinem: (2a + 2cq2

)Mz(~q) = Bz(~q)

de unde:

Mz(~q) =Bz(~q)

2a + 2cq2(13.27)

Susceptibilitatea χ(~q) este atunci:

χ(~q) =1

2(a + cq2); T > Tc (13.28)

sau:

χ(~q) =1

2a′(T − Tc) + 2cq2=

1

2a′(T − Tc)[1 + cq2

a′(T−Tc)

]

Aceasta expresie se scrie echivalent astfel:

χ(~q) = χ(T )1

1 + ξ2q2(13.29)

Ea este o forma de tip Ornstein-Zernicke, unde ξ este lungimea de corelare :

ξ ≡ ξ(T ) =

√c

a′(T − Tc)∼ (T − Tc)

−1/2 (13.30)

Observam ca ξ(T → Tc) diverge, ceea ce ınseamna ca corelatiile (magnetice)au, ın aceasta limita, raza lunga de actiune.

13.2 Influenta fluctuatiilor. Criteriul Ginzburg

151

Page 152: Fizica statistica, Curs

Consideram, ın continuare, fluctuatiile magnetizarii Mz(~r), care sunt datede diferenta:

Mz(~r)− 〈Mz(~r)〉Urmarim sa vedem cum se leaga abaterea lui Mz, de la valoarea medie, ıntr-unpunct din material, cu fluctuatii similare din regiunile ınvecinate. Descriereamatematica a acestei legaturi se face prin functia de corelare g(~r, ~r′), definitaastfel:

g(~r, ~r′) =⟨[Mz(~r)− 〈Mz(~r)〉][Mz(~r′)−

⟨Mz(~r′)

⟩]⟩

(13.31)

La prima vedere, este dificil de spus cum se calculeaza g(~r, ~r′) cu ajutorulteoriei Landau. Dificultatea provine din faptul ca teoria Landau ıncepe toc-mai cu neglijarea fluctuatiilor, spunand ca Mz(~r)− 〈Mz(~r)〉 este foarte mic.Vom apela totusi la aceasta teorie, pentru a calcula o prima corectie la formainitiala. Mai precis, vom calcula functia de corelare, folosindu-ne de energialibera. Vom considera ca hamiltonianul sistemului contine, ın plus, si efectulunui camp exterior h(~r), ın combinatia:

−∫

d~r h(~r) p(~r) (13.32)

astfel ıncat avem:H = H0 −

∫d~r h(~r) p(~r) (13.33)

Daca producem o mica modificare a campului exterior:

h(~r) −→ h(~r) + δh(~r)

si tinem seama ca:

〈p(~r)〉 =Tr

p(~r) e−βH

Tr e−βH (13.34)

dezvoltand pana la ordinul unu ın δh(~r), vom obtine modificarea lui 〈p(~r)〉,ca fiind:

δ 〈p(~r)〉 = β∫

d~r′⟨[p(~r)− 〈p(~r)〉][p(~r′)−

⟨p(~r′)

⟩]⟩

δh(~r′) (13.35)

In cazul nostru, h(~r) corespunde campului magnetic exterior Bz(~r), iar p(~r),magnetizarii Mz(~r), astfel ıncat, cu (13.31), ec.(13.35) devine:

δ 〈Mz(~r)〉 = (kBT )−1∫

d~r′ g(~r, ~r′) δBz(~r′) (13.36)

152

Page 153: Fizica statistica, Curs

Vom folosi aceasta ecuatie, pentru determinarea functiei de corelare. Deseme-nea, vom folosi si ecuatia din teoria Landau, pentru valoarea medie a mag-netizarii:

2a + 4b 〈Mz(~r)〉2 − 2c ∇2〈Mz(~r)〉 = Bz(~r) (13.37)

Daca calculam modificarea de ordinul unu ın aceasta ecuatie, cand:

Bz(~r) −→ Bz(~r) + δBz(~r)

astfel ıncat:Mz(~r) −→ Mz(~r) + δMz(~r)

gasim ca ec.(13.37) duce la urmatoarea ecuatie:

2a + 12b 〈Mz(~r)〉2 − 2c ∇2

δ 〈Mz(~r)〉 = δBz(~r) (13.38)

Introducand (13.36) ın (13.38), avem:

2a + 12b 〈Mz(~r)〉2 − 2c ∇2

∫d~r′ g(~r, ~r′) δBz(~r′)− kBT δBz(~r) = 0

Scriem ultimul termen, din expresia de mai sus, sub forma echivalenta:

kBT δBz(~r) = kBT∫

d~r′ δBz(~r′) δ(~r − ~r′)

obtinand:∫

d~r′[

2a + 12b 〈Mz(~r)〉2 − 2c ∇2

g(~r, ~r′)− kBT δ(~r − ~r′)]

δBz(~r′) = 0

(13.39)Cum δBz(~r′) este arbitrar, ınsemna ca:

2a + 12b 〈Mz(~r)〉2 − 2c ∇2

g(~r, ~r′) = kBT δ(~r − ~r′) (13.40)

- Pentru: T > Tc, magnetizarea medie este zero, si stiind ca:

a ≡ a(T ) = a′(T − Tc)

ec.(13.40) devine:

2a′(T − Tc)− 2c ∇2

g(~r, ~r′) = kBT δ(~r − ~r′) (13.41)

153

Page 154: Fizica statistica, Curs

- Pentru: T < Tc, avem magnetizarea (13.8.b):

〈Mz(~r)〉2 = −a(T )

2b= −a′(T − Tc)

2b=

a′(Tc − T )

2b

si (13.40) devine:

2a′(T − Tc) + 12b

a′(Tc − T )

2b− 2c ∇2

g(~r, ~r′) = kBT δ(~r − ~r′)

sau: 4a′(Tc − T )− 2c ∇2

g(~r, ~r′) = kBT δ(~r − ~r′) (13.42)

In cazul sistemelor tridimensionale, ec.(13.41) si (1.42) au solutii de forma:

g(~r, ~r′) =kBT

8πc

1

|~r − ~r′| exp

−|~r −

~r′|ξ

(13.43)

cu:

ξ(T ) =√

ca′

1√T−Tc

, T > Tc

ξ(T ) =√

c2a′

1√Tc−T

, T < Tc

(13.44)

ξ(T ) - se numeste lungime (raza) de corelare, sau lungime caracteristica .Din ec.(13.43) vedem ca functia de corelare are o raza de corelatie spatialamare, ın vecinatatea lui Tc, deoarece atunci cand T se apropie de Tc, lungimeade corelare ξ(T ) creste ca:

ξ(T ) ∼ |T − Tc|−1/2

ξ(T ) masoara dimensiunea spatiala tipica ın care apare fluctuatia coerenta amagnetizarii. Pe masura ce ne apropiem de punctul critic, aceste fluctuatiiacopera un spatiu din ce ın ce mai mare.

Vedem, ın continuare, criteriul de valabilitate a teoriei Landau. Acest cri-teriu, propus de Ginzburg, foloseste teoria Landau, pentru a prezice raza ei deaplicabilitate. Pentru ca teoria Landau sa fie valabila, fluctuatiile parametru-lui de ordine, pe distante comparabile cu ξ, trebuie sa fie mici . In particular,ele trebuie sa fie mici ın comparatie cu ınsusi parametrul de ordine, adica:

⟨[p(~r)− 〈p〉][p(~r′)− 〈p〉]

⟩|~r−~r′|∼ξ

¿ 〈p〉2 (13.45)

154

Page 155: Fizica statistica, Curs

Estimam partea stanga si partea dreapta a ec.(13.45), sub Tc si ın campmagnetic exterior nul. Partea stanga este tocmai functia de corelatie:

g(~r, ~r′) =kBT

8πc

1

|~r − ~r′| exp

−|~r −

~r′|ξ

∣∣∣∣∣|~r−~r′|∼ξ

=kBT

8πc

1

ξ

1

e(13.46)

Partea dreapta este:

〈p〉2 ≡ 〈Mz〉2 = − a

2b

astfel ıncat (13.45) devine:

kBT

4πcξe¿ −a

b; T < Tc (13.47)

Expresia (13.47) poate fi rescrisa ınlocuind ξ ≡ ξ(T ), cu expresia (13.44). LaT = 0 K, raza de corelatie este:

ξ(0) ≡ λ =

√c

2a′Tc

(13.48)

si:

ξ(T ) =

√c

2a′1√

Tc − T=

√c

2a′Tc

1√Tc−T

Tc

Introducand notatia:

ε =Tc − T

Tc

(13.49)

avem:ξ(T ) = λ |ε|−1/2 (13.50)

Atunci, pentru T < Tc, T → Tc, ec.(13.47) este:

kBTc

4πecλ|ε|−1/2¿ −a′(T − Tc)

b(13.51)

In aceasta expresie vom explicita pe c si pe b. Din ec.(13.48):

λ2 =c

2a′Tc

=⇒ c = 2 a′Tcλ2 (13.52)

155

Page 156: Fizica statistica, Curs

Din ec.(13.25):

∆C = Tc(a′)2

2b=⇒ b =

Tc(a′)2

2 ∆C(13.53)

Inlocuind (13.52) si (13.53) ın (13.51), obtinem imediat:

kB

8πeλ3|ε|−1/2¿ 2 ∆C

Tc − T

Tc

Folosind si: |ε| = (Tc − T )/Tc, avem:

[16πeλ3 ∆C

kB

]−1

¿ |ε|1/2 (13.54)

Expresia lui |ε|, verifica atunci inegalitatea:

|ε| À[

kB

16πeλ3∆C

]2

≡ 1

8e2

1

32π2

(kB

λ3∆C

)2

(13.55)

- Observatie : Ginzburg si Levanyuk au facut un calcul mai rafinat, ıncare, ın final, nu mai apare coeficientul 1/8e2, tragand concluzia ca teoriaLandau este corecta numai cand |ε| este mult mai mare decat o valoarecritica εc, unde :

εc =1

32π2

(kB

λ3∆C

)2

(13.56)

- Cand: |ε| ¿ εc, fluctuatiile devin importante si teoria (de tip campmolecular) nu mai este valabila.

- Cand: 1 À |ε| À εc, teoria Landau este valabila .- Observatie : In expresia lui εc apare raza de corelatie la T = 0 K, la

puterea a sasea. Asta ne spune ca, cu cat raza de corelatie este mai mare(implicit raza de actiune a fortelor este mai mare), cu atat teoria Landaufunctioneaza mai bine.

Discutam, pe scurt, aplicabilitatea teoriei de tip camp molecular la catevasisteme:

- In supraconductorii clasici, puri. Aici, λ ∼ 103 A, ceea ce ınsemna caraza de corelare este mare . Impreuna cu valorile tipice pentru ∆C, putemconcluziona ca, ın aceste materiale, teoria de tip camp molecular Ginzburg-Landau se poate aplica cu succes.

156

Page 157: Fizica statistica, Curs

- In suprafluide (He4) situatia este total diferita. Aici, la T = 0 K, λ estecomparabil cu distantele interatomice, adica este foarte mic. In acest caz, nuavem o regiune ın care teoria campului molecular sa fie satisfacatoare.

- In substantele feromagnetice, λ ∼ 1A, iar teoria campului molecular arputea fi buna, pentru valori mici a lui ε, sub temperatura critica Tc. Aceastadeoarece, pentru ε mic, interactiunile magnetice dipolare dintre spini potdeveni importante. Cum aceste interactii au raza lunga de actiune, teoriacampului molecular poate fi corecta, pentru valori mici a lui ε.

- In substantele antiferomagnetice, campurile magnetice produse de spiniau tendinta de a se anula reciproc, astfel ıncat, interactia magnetica are oraza de actiune mult mai mica. Atunci, nu avem motive sa spunem ca teoriacampului molecular este corecta pentru ε mic.

157

Page 158: Fizica statistica, Curs

14. Cuantificarea a doua

Prima cuantificare permite trecerea de la fizica clasica, la sistemele cuan-tice simple. Variabilele clasice, pozitie si impuls, sunt ınlocuite prin operatori,ın asa fel ıncat:

x → x

p → p = −ih∂

∂x(14.1)

E → ih∂

∂tın timp ce paranteza Poisson, care leaga variabilele conjugate canonic, esteacum ınlocuita cu comutatorul:

[x, p] = ih (14.2)

Acest comutator este cheia primei cuantificari, deoarece necomutativitateaoperatorilor duce la fluctuatii cuantice, legate de principiul de incertitudinea lui Heisenberg.

Cuantificarea a doua permite extinderea descrierii prin mecanica cuanticala:

• sisteme cu multe particule.• descrierea excitatiilor (cuasiparticulelor) ın sistemele cu energie scazuta.• descrierea raspunsului dinamic si a corelatiilor ın sistemele cu multe

particule.• descrierea comportamentului colectiv si a tranzitiilor de faza cu rupere

de simetrie.Cuantificarea a doua trece campurile clasice la statutul de operatori de

camp. Cel mai simplu exemplu este cuantificarea unei corzi clasice. Clasic,coarda este descrisa de campul Φ(x), care masoara deplasarea fata de pozitiade echilibru, si de campul conjugat Π(x), care masoara impulsul transversalpe unitatea de lungime. Hamiltonianul clasic este:

H =∫

dx

[T

2(∇xΦ(x))2 +

1

2ρ(Π(x))2

](14.3)

158

Page 159: Fizica statistica, Curs

unde T este tensiunea din coarda, iar ρ masa pe unitatea de lungime. In acestcaz, cuantificarea a doua este asociata cu impunerea relatiei de comutarecanonica:

[Φ(x), Π(y)] = ihδ(x− y) (14.4)

deci din acest punct de vedere, cuantificarea a doua nu difera de o cuantifi-care conventionala, cu exceptia faptului ca gradele de libertate sunt definiteca fiind continue ın spatiu. Aceasta metoda de cuantificare functioneazapentru descrierea campurilor colective, cum ar fi vibratiile sonore, campurileelectromagnetice, dar mai dorim sa vedem cum putem dezvolta o teorie decamp pentru sisteme de particule identice, cum ar fi gazul de electroni dintr-un metal, sau un fluid format din atomi identici. Primul pas ın descriereasistemelor de multe particule se face ın 1925 (Pauli) prin introducerea ”prin-cipiului de excluziune”. (Pentru a ıntelege spectrele atomice trebuie ca sa nufie mai mult de un electron ıntr-o stare cuantica). In 1926 Dirac realizeazaca cele doua tipuri de particule, fermionii si bosonii, sunt legate de paritateafunctiei de unda multiparticula la interschimbarea particulelor:

ψ(particula in A, particula in B) = eiθψ(particula in B, particula in A)(14.5)

Daca interschimbarea are loc de doua ori, faza totala este e2iθ. Daca functiade unda este univoca, atunci trebuie sa avem:

e2iθ = 1 → eiθ =

+1 → pentru bosoni−1 → pentru fermioni

(14.6)

Alegerea eiθ = −1 conduce la o functie de unda antisimetrica la interschim-barea particulelor, care este legata de principiul de excluziune. In 1927 Jor-dan si Wigner, pentru a trata sistemele de multe particule ın mod mai com-pact, propun introducerea unui operator de cımp ψ(x) care poate fi consideratdrept ”cuantificarea” functiei de unda Schrodinger. ψ(x) si complex conju-gatul sau sunt considerate drept variabile conjugate. Cuantificarea a doua,pentru bosoni, se realizeaza prin introducerea comutatorului ıntre operatoriide camp:

[ψ(x), ψ+(y)] = δ(x− y) (14.7)

Operatorii de camp joaca rolul de a crea sau de a distruge particule.ψ+(x) → operator de creare pentru bosoni.ψ(x) → operator de distrugere pentru bosoni.

159

Page 160: Fizica statistica, Curs

Pentru fermioni, existenta unei functii de unda antisimetrice conduce laconcluzia ca operatorii de camp trebuie sa anticomute:

ψ(x)ψ(y) = −ψ(y)ψ(x) (14.8)

Atunci, cuantificarea a doua pentru fermioni cere ca comutatorul dintre op-eratorii de camp conjugati sa fie ınlocuit cu un anticomutator:

ψ(x), ψ+(y) = δ(x− y) (14.9)

(unde a, b = ab+ba). Vedem semnificatia fizica pentru operatorii de camp.Pentru aceasta pornim cu formula densitatii de probabilitate, ın cuantificareaıntaia, ρ(x) = ψ∗(x)ψ(x). Trecand de la functii de unda la statutul deoperatori de camp, avem:

ρ(x) = |ψ(x)|2 → ρ(x) = ψ+(x)ψ(x) (14.10)

ρ(x)- este acum operatorul densitatii de particule dintr-un sistem cu multeparticule. Consideram acum un sistem cu N particule, ınchise ıntr-o cutiede volum V . In cuantificarea ıntaia starea acestui sistem este descrisa defunctia de unda:

ψ(~r1, ..., ~rN)

depinzand de cele 3N coordonate ale particulelor, din spatiul configuratiilor.O asemenea reprezentare permite o generalizare a metodelor aplicate uneisingure particule. Sa consideram un set complet de stari uniparticula, cumar fi unda plana de impuls ~p (starea de spin nu este luata deocamdata ınconsiderare). Starea sistemului poate fi specificata indicand numarul n~p departicule din starea de impuls ~p. Atunci vom alege drept baza pentru spatiulstarilor sistemului, vectorii:

|n1, ..., n~p, ...〉

unde fiecare n~p poate lua orice valoare ıntreaga pozitiva. O astfel de stareeste un produs (simetrizat sau antisimetrizat) de unde plane, cate una pentrufiecare particula. Definim operatorul de creare a+

~p prin relatia:

a+~p |..., n~p, ...〉 =

√n~p + 1 |..., n~p + 1, ...〉 (14.11)

160

Page 161: Fizica statistica, Curs

(aceasta este reprezentarea numerelor de ocupare). Complex conjugatul lui

a+~p este

(a+

~p

)+ ≡ a~p - operatorul de distrugere, definit prin:

a~p |..., n~p, ...〉 =√

n~p |..., n~p − 1, ...〉 (14.12)

Obiectivul nostru este de a exprima toate marimile sistemului prin operatoriide creare si de distrugere.

Vedem gazul bosonic. Aici consideram actiunea produsului:

a+~p a+

~p′|...〉

Prin aceasta am creat o particula cu impulsul ~p′, iar apoi ınca una cu impulsul~p. Acelasi rezultat se obtine daca schimbam ordinea actiunii operatorilor, ıncazul cand functia de unda este invarianta ın raport cu permutarea a douaparticule. Atunci avem relatia:

[a+~p , a+

~p′] = 0 (14.13)

In mod asemanator se stabileste si ca:

[a~p, a~p′ ] = 0 (14.14)

[a~p, a+~p′] = δ~p,~p′ (14.15)

Operatorul:N~p = a+

~p a~p (14.16)

masoara numarul de particule ın starea de impuls ~p:

N~p |..., n~p, ...〉 = n~p |..., n~p, ...〉 (14.17)

Functia de unda normata, pentru o particula cu impulsul ~p, este:

1√V

ei~p~r (14.18)

Amplitudinea de probabilitate pentru distrugerea unui boson de impuls ~p lapozitia ~r, este atunci reprezentata prin operatorul:

1√V

ei~p~ra~p (14.19)

161

Page 162: Fizica statistica, Curs

Atunci, operatorul de camp de distrugere a unui boson, ın punctul ~r, este:

ψ(~r) =1√V

~p

a~pei~p~r (14.20)

si:

a~p =1√V

∫d3r · ψ(~r) · e−i~p~r (14.21)

In mod similar, operatorul de camp de creare ψ+(~r) este definit prin:

ψ+(~r) =1√V

~p

a+~p e−i~p~r (14.22)

Relatiile de comutare satisfacute de ψ si ψ+ se obtin imediat, folosind (14.13)-(14.15):

[ψ(~r), ψ+(~r′)] =

1√V

~p

a~pei~p~r,

1√V

~p′a+

~p′e−i~p′~r′

=

=1

V

~p,~p′ei(~p~r−~p′~r′)[a~p, a

+~p′] =

1

V

~p,~p′ei(~p~r−~p′~r′)δ~p,~p′ =

=1

V

~p

ei~p(~r−~r′) = δ(~r − ~r′) (14.23)

Analog:[ψ(~r), ψ(~r′)] = 0 [ψ+(~r), ψ+(~r′)] = 0 (14.24)

Pentru gazul fermionic, desemnam operatorul de creare pentru o particulade impuls ~p, prin c+

~p , iar operatorul de distrugere prin c~p. Diferenta fatade sistemul bosonic se manifesta ın proprietatile de simetrie pentru functiade unda a sistemului de particule. Pentru fermioni ea este antisimetrica lainterschimbarea a doua particule. Atunci operatorii c~p trebuie sa satisfacarelatii de anticomutare:

c~p, c~p′ = c+~p , c+

~p′ = 0

c+~p , c~p′ = δ~p,~p′ (14.25)

162

Page 163: Fizica statistica, Curs

Din: c~p, c~p = 0 → 2c2~p = 0 → c2

~p = 0, ceea ce ınseamna ca o stare de impuls~p poate avea cel mult o particula. Mai mult, operatorul numar de ocuparepentru fermioni:

N~p = c+~p c~p

se bucura de proprietatea:

N2~p = c+

~p c~pc+~p c~p = c+

~p (1− c+~p c~p)c~p = c+

~p c~p − (c+~p )2(c~p)

2 = c+~p c~p = N~p (14.26)

Operatorul N~p este un proiector, deci are valorile proprii 0 si 1.Observatie: In mod riguros, deoarece fermionii au spin nenul, rolul aces-

tuia trebuie luat deasemenea ın considerare. Deci, fiecare stare va fi carac-terizata prin impulsul ~p si indicele de spin σ. Atunci, operatorii fermionicisatisfac urmatoarele relatii de anticomutare:

c~p,σ, c~p′,σ′ = c+~p,σ, c

+~p′,σ′

= 0

c+~p,σ, c~p′,σ′ = δ~p,~p′δσ,σ′ (14.27)

iar operatorii de camp fermionici:

ψσ(~r), ψσ′(~r′) = ψ+σ (~r), ψ+

σ′(~r′) = 0

ψσ(~r), ψ+σ′(~r

′) = δ(~r − ~r′)δσ,σ′ (14.28)

14.1 Operatori ın a doua cuantificare

Referindu-ne ın continuare doar la fermioni, vom calcula cateva marimifizice ın a doua cuantificare. Cum stim ca N~p = c+

~p c~p reprezinta numarul departicule din starea ~p, atunci operatorul:

ρ(~r, σ) = ψ+σ (~r)ψσ(~r) (14.29)

reprezinta densitatea de particule la pozitia ~r. Atunci, numarul total departicule din sistem este:

N =∑σ

∫d3r · ρ(~r, σ) =

∑σ

∫d3r · ψ+

σ (~r)ψσ(~r) (14.30)

163

Page 164: Fizica statistica, Curs

sau:

N =∑σ

∫d3r · 1√

V

~p

c+~p,σe

−i~p~r · 1√V

~p′c~p′,σe

i~p′~r =

=∑σ

∫d3r · 1

V

~p,~p′c+~p,σc~p′,σe

−i(~p−~p′)~r =

=∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ ·

1

V

∫d3r · ei(~p′−~p)~r =

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ · δ~p′,~p =

=∑

~p,σ

c+~p,σc~p,σ ≡

~p,σ

N~p,σ ; N~p,σ = c+~p,σc~p,σ (14.31)

Energia cinetica:

T =∑

i

p2i

2m(14.32)

se exprima ın felul urmator:

T =∑

~p,σ

p2

2m·N~p,σ =

~p,σ

p2

2m· c+

~p,σc~p,σ =∑

~p,σ

ε~p · c+~p,σc~p,σ (14.33)

Vedem energia potentiala Vb, pe care o consideram ca rezulta din interactiide tip biparticula, depinzand numai de pozitie:

Vb =1

2

i6=j

V (~ri − ~rj) (14.34)

Pentru un gaz format din particule punctiforme, densitatea poate fi scrisasub forma:

ρ(~r) =∑

i

δ(~r − ~ri) (14.35)

iar atunci, energia potentiala de interactie biparticula capata forma:

Vb =1

2

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)[ρ(~r)ρ(~r′)− ρ(~r)δ(~r − ~r′)] (14.36)

Termenul al doilea din ec.(14.36) este introdus pentru a elimina interactiasarcinii ce ea ınsasi. In plus:

ρ(~r) =∑σ

ρ(~r, σ) ; ρ(~r′) =∑

σ′ρ(~r′, σ′) (14.37)

164

Page 165: Fizica statistica, Curs

Atunci:

Vb =1

2

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)

σ,σ′ρ(~r, σ)ρ(~r′, σ′)−∑

σ

ρ(~r, σ) δ(~r − ~r′)

=

=1

2

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)

σ,σ′ψ+

σ (~r)ψσ(~r) · ψ+σ′(~r

′)ψσ′(~r′)−

−∑σ

ψ+σ (~r)ψσ(~r) · δ(~r − ~r′)

]

Ultima suma din expresia de mai sus se scrie echivalent, sub forma:

σ,σ′ψ+

σ′(~r)ψσ′(~r) · δσ,σ′

si:

Vb =1

2

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′)

σ,σ′

[ψ+

σ (~r)ψσ(~r)ψ+σ′(~r

′)ψσ′(~r′)−

−ψ+σ′(~r)ψσ′(~r) δ(~r − ~r′) δσ,σ′

](14.38)

Exprimam aici produsul ψσ(~r)ψ+σ′(~r

′) folosind relatia de anticomutare:

ψσ(~r)ψ+σ′(~r

′) + ψ+σ′(~r

′)ψσ(~r) = δ(~r − ~r′) δσ,σ′

de unde:ψσ(~r)ψ+

σ′(~r′) = δ(~r − ~r′) δσ,σ′ − ψ+

σ′(~r′)ψσ(~r) (14.39)

Folosind (14.39), paranteza din (14.38) devine:

ψ+σ (~r)

(δ(~r − ~r′) δσ,σ′ − ψ+

σ′(~r′)ψσ(~r)

)ψσ′(~r′)− ψ+

σ′(~r)ψσ′(~r) δ(~r − ~r′) δσ,σ′ =

= ψ+σ (~r)ψσ′(~r′)δ(~r − ~r′) δσ,σ′ − ψ+

σ (~r)ψ+σ′(~r

′)ψσ(~r)ψσ′(~r′)−−ψ+

σ′(~r)ψσ′(~r) δ(~r − ~r′) δσ,σ′ =

Primul termen din expresia de mai sus, din cauza functiilor δ, poate fi scrisechivalent astfel:

ψ+σ (~r)ψσ′(~r′)δ(~r − ~r′) δσ,σ′ = ψ+

σ′(~r)ψσ′(~r)δ(~r − ~r′) δσ,σ′ (14.40)

165

Page 166: Fizica statistica, Curs

Atunci ınsa, el se reduce cu ultimul termen si paranteza ramane:

−ψ+σ (~r)ψ+

σ′(~r′)ψσ(~r)ψσ′(~r′) = ψ+

σ (~r)ψ+σ′(~r

′)ψσ′(~r′)ψσ(~r) (14.41)

unde s-a folosit relatia de anticomutare pentru ultimii doi operatori. Atunci,Vb devine:

Vb =1

2

σ,σ′

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′) ψ+

σ (~r)ψ+σ′(~r

′)ψσ′(~r′)ψσ(~r) (14.42)

In general, este de preferat ca Vb sa se exprime prin operatorii c~p mai de

graba decat prin operatorii ψσ(~r). Atunci avem:

Vb =1

2

σ,σ′

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′) · 1√

V

~p

c+~p,σe

−i~p~r · 1√V

~p1

c+~p1,σ′e

−i~p1~r′·

· 1√V

~p2

c~p2,σ′ei~p2

~r′ · 1√V

~p3

c~p3,σei~p3~r =

=1

2V 2

σ,σ′

~p,~p1,~p2,~p3

∫ ∫d3r d3r′ V (~r − ~r′) c+

~p,σc+~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ ei(~p3−~p)~rei(~p2−~p1)~r′

(14.43)Folosind transformata Fourier a potentialului:

V~q =∫

d3r · V (~r) · e−i~q~r (14.44)

avem:

V (~r − ~r′) =1

V

~q

V~q · ei~q(~r−~r′) (14.45)

cu care (14.43) devine:

Vb =1

2V 3

σ,σ′

~p,~p1,~p2,~p3,~q

∫ ∫d3r d3r′ V~q c+

~p,σc+~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ ei(~p3−~p+~q)~rei(~p2−~p1−~q)~r′ =

=1

2V

σ,σ′

~p,~p1,~p2,~p3,~q

V~q c+~p,σc

+~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ·

166

Page 167: Fizica statistica, Curs

· 1V

∫d3r ei(~p3−~p+~q)~r · 1

V

∫d3r′ ei(~p2−~p1−~q)~r′ =

=1

2V

σ,σ′

~p,~p1,~p2,~p3,~q

V~q c+~p,σc

+~p1,σ′c~p2,σ′c~p3,σ · δ~p,~p3+~q · δ~p1,~p2−~q =

=1

2V

σ,σ′

~p2,~p3,~q

V~q c+~p3+~q,σc

+~p2−~q,σ′c~p2,σ′c~p3,σ

Rebotezınd impulsurile prin ~p3 → ~p si ~p2 → ~k avem:

Vb =1

2V

σ,σ′,~p,~k,~q

V~q c+~p+~q,σc

+~k−~q,σ′

c~k,σ′c~p,σ (14.46)

Vedem acum regulile de cuantificare pentru vibratiile unei retele cristaline(fononi). Hamiltonianul pentru vibratiile retelei este:

H =1

2

~q

(P+

~q P~q + ω2~q Q+

~q Q~q

)(14.47)

unde P~q si Q~q sunt impulsurile si coordonatele normale pentru modurile devibratie. Ele satisfac regulile de comutare de tip oscilator:

[P~q , P~q′

]=

[Q~q , Q~q′

]= 0 ;

[P~q , Q~q′

]= −i · δ~q,~q′ (14.48)

Trecerea la reprezentarea fononica, ın care apar operatorii care creaza (a+~q )

si cei care distrug (a~q) fononi, se face prin introducerea operatorilor:

P~q = i

√ω~q

2

(a+

~q − a−~q

)

Q~q =1√2ω~q

(a~q + a+

−~q

)(14.49)

Operatorii a~q si a+~q satisfac relatiile de comutare bosonice. Folosind (14.49):

P+~q = −i

√ω~q

2

(a~q − a+

−~q

)

Q+~q =

1√2ω~q

(a+

~q + a−~q

)

167

Page 168: Fizica statistica, Curs

si (14.47) devine:

H =∑

~q

ω~q

4

[a~qa

+~q − a~qa−~q − a+

−~qa+~q + a+

−~qa−~q+

+a+~q a~q + a+

~q a+−~q + a−~qa~q + a−~qa

+−~q

](14.50)

Folosind relatia de comutare:[a~p , a+

~p′

]= δ~p,~p′

exprimam produsele de operatori:

a~qa+~q = 1 + a+

~q a~q

a−~qa+−~q = 1 + a+

−~qa−~q

cu care hamiltonianul vibratiilor retelei devine:

H =∑

~q

ω~q

4

[2a+

~q a~q + 2a+−~qa−~q + 2

]

Schimbınd−~q → ~q ın cel de-al doilea termen din expresia de mai sus, obtinemrezultatul final:

H =∑

~q

ω~q

[a+

~q a~q +1

2

](14.51)

Vedem cum se exprima, ın a doua cuantificare, hamiltonianul de interactiedintre electroni si vibratiile retelei. Acesta este definit prin urmatoarea ex-presie:

Hint =∑

~q

vint~q · ρ+

~q ·Q~q (14.52)

Aici, vint~q este elementul de matrice a interactiei electron-fonon, iar compo-

nenta Fourier a densitatii ρ~q ≡ ρ~q, se defineste prin relatia:

ρ~q =∫

d3r · ρ(~r) · e−i~q~r (14.53)

unde:ρ(~r) =

∑σ

ρ(~r, σ) (14.54)

168

Page 169: Fizica statistica, Curs

Atunci avem:

ρ~q =∫

d3r ·∑σ

ρ(~r, σ) · e−i~q~r =∫

d3r ·∑σ

ψ+σ (~r)ψσ(~r) · e−i~q~r =

=∫

d3r ·∑σ

1√V

~p

c+~p,σe

−i~p~r · 1√V

~p′c~p′,σe

i~p′~r · e−i~q~r =

=∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ ·

1

V

∫d3r · ei(~p′−(~p+~q))~r =

=∑

σ,~p,~p′c+~p,σc~p′,σ · δ~p′,~p+~q =

~p,σ

c+~p,σc~p+~q,σ ≡

~p,σ

ρ~p,~q,σ (14.55)

Aceasta expresie, ımpreuna cu (14.49), vor conduce (14.52) la urmatoareaforma:

Hint =∑

~q,~p,σ

vint~q√2ω~q

· c+~p+~q,σc~p,σ ·

(a~q + a+

−~q

)(14.56)

Scriem mai condensat aceasta expresie, lasand indicele de spin la o parte:

Hint =∑

~q,~p

A~q · c+~p+~qc~p ·

(a~q + a+

−~q

)(14.57)

si consideram ca A~q se bucura de proprietatea A~q = A∗−~q. Interactia electron-

fonon este considerata drept perturbatie. Hamiltonianul neperturbat este H0,cu ecuatia pentru starile stationare corespunzatoare:

H0 |ψ0〉 = E0 |ψ0〉 (14.58)

Pentru starea perturbata avem: H = H0 + Hint si:

H |ψ〉 = E |ψ〉 (14.59)

Trecerea de la starea |ψ0〉 la starea |ψ〉 se realizeaza cu ajutorul operatoruluiU :

U |ψ0〉 = |ψ〉 (14.60)

Atunci:H U |ψ0〉 = E U |ψ0〉 (14.61)

169

Page 170: Fizica statistica, Curs

Inmultind la stınga cu U−1 avem:

U−1HU |ψ0〉 = E U−1U |ψ0〉 (14.62)

sau:H |ψ0〉 = E |ψ0〉 (14.63)

unde: H = U−1HU si U−1U = 1, U -fiind un operator unitar, care se scriesub forma:

U = eS (14.64)

unde S este un operator hermitic. Atunci:

H = e−SHeS (14.65)

Rescriem H folosind identitatea operatoriala:

eLAe−L = A + [L,A] +1

2[L, [L,A]] + ... (14.66)

In cazul nostru: L = −S si A = H ≡ H0 + Hint. Atunci, H se scrie:

H = H0 + Hint + [H0, S] + [Hint, S] +1

2[[H0, S] , S] + ... (14.67)

Consideram ca S este construit ın asa fel ıncat sa fie proportional cu A~q, lafel ca si Hint, si impunem conditia ca efectul cautat sa fie ∼ A2

~q, deci sa nuexiste termeni liniari ın A~q, dar nici puteri superioare lui A2

~q. Atunci trebuieca:

Hint + [H0, S] = 0 (14.68)

si deci:

H = H0 +1

2[Hint, S] (14.69)

Cel de-al doilea termen din (14.69) va da legatura dintre electroni. In con-tinuare ne ocupam doar de el, notand:

H2 =1

2[Hint, S] (14.70)

Urmarim, pana la urma, sa determinam o legatura numai ıntre electroni (oexpresie care sa contina numai operatori electronici). Atunci, vom media

170

Page 171: Fizica statistica, Curs

(14.70) pe stare de vid fononic |0~q〉, luand elemente de matrice numai pentrustarile fononice. Vom avea:

H ′2 =

1

2〈0~q| [Hint, S] |0~q〉 =

=1

2〈0~q|HintS |0~q〉 − 1

2〈0~q|SHint |0~q〉 (14.71)

Introducem apoi, operatorul unitar∑

~q |1~q〉 〈1~q| legat de starea ın care existaun fonon, avand:

H ′2 =

1

2

~q

〈0~q|Hint |1~q〉 〈1~q|S |0~q〉 − 1

2

~q

〈0~q|S |1~q〉 〈1~q|Hint |0~q〉 (14.72)

In (14.72) elementele de matrice 〈0~q|Hint |1~q〉 si 〈1~q|Hint |0~q〉 se pot calculaimediat, deoarece cunoastem Hint. Celelalte doua elemente de matrice secalculeaza mediind ecuatia (14.68). Aceasta, mediata ıntre starile 〈n| si |m〉este:

〈n|Hint |m〉+∑p

〈n|H0 |p〉 〈p|S |m〉 −∑p

〈n|S |p〉 〈p|H0 |m〉 = 0 (14.73)

Stiind ca:H0 |m〉 = Em |m〉 ; 〈n|H0 = 〈n|En

avem:

〈n|Hint |m〉+ En

∑p

〈n|p〉 〈p|S |m〉 − Em

∑p

〈n|S |p〉 〈p|m〉 = 0

Tinand seama de ortonormarea vectorilor de stare, 〈n|p〉 = δp,n si 〈p|m〉 =δp,m, expresia de mai sus devine:

〈n|Hint |m〉+ En 〈n|S |m〉 − Em 〈n|S |m〉 = 0

De aici imediat:

〈n|S |m〉 =〈n|Hint |m〉Em − En

(14.74)

Folosind (14.74) calculam:

〈1~q|S |0~q〉 =∑

~p,~q′A~q′c

+

~p+~q′c~p

〈1~q| a~q′ |0~q〉

E0 − E1

+〈1~q| a+

−~q′|0~q〉

E0 − E1

=

171

Page 172: Fizica statistica, Curs

=∑

~p,~q′A~q′c

+

~p+~q′c~p

δ~q,−~q′

E0 − E1

Aici s-a tinut seama ca primul element de matrice din paranteza este zero.E1 este energia sistemului cu un electron de impuls ~p + ~q′ si un fonon cuimpulsul −~q′:

E1 = ε~p+~q′ + ω−~q′ = ε~p+~q′ + ω~q′

Aici, ın plus, ω−~q′ = ω~q′ . E0 este energia sistemului cu un electron de impuls~p:

E0 = ε~p

Procesul care are loc este de fapt urmatorul: Electronul de impuls ~p se dis-truge, iar apoi se creaza un electron cu impulsul ~p+~q′ si un fonon cu impulsul−~q′. Elementul de matrice va fi:

〈1~q|S |0~q〉 =∑

~p,~q′A~q′c

+

~p+~q′c~p

δ~q,−~q′

ε~p − ε~p+~q′ − ω~q′=

=∑

~p

A−~qc+~p−~qc~p

1

ε~p − ε~p−~q − ω~q

(14.75)

Analog avem:

〈0~q|S |1~q〉 =∑

~p,~q′A~q′c

+

~p+~q′c~p

〈0~q| a~q′ |1~q〉

E1 − E0

+〈0~q| a+

−~q′|1~q〉

E1 − E0

=

=∑

~p,~q′A~q′c

+

~p+~q′c~p

δ~q,~q′

E1 − E0

Aici s-a tinut seama ca cel de-al doilea element de matrice din paranteza estezero. E1 este energia sistemului cu un electron de impuls ~p si un fonon cuimpulsul ~q′:

E1 = ε~p + ω~q′

E0 este energia sistemului cu un electron de impuls ~p + ~q′:

E0 = ε~p+~q′

172

Page 173: Fizica statistica, Curs

Procesul este urmatorul: Electronul de impuls ~p si fononul de impuls ~q′ sedistrug, iar apoi se creaza un electron cu impulsul ~p + ~q′. Elementul dematrice va fi:

〈0~q|S |1~q〉 =∑

~p,~q′A~q′c

+

~p+~q′c~p

δ~q,~q′

ε~p − ε~p+~q′ + ω~q′=

=∑

~p

A~qc+~p+~qc~p

1

ε~p − ε~p+~q + ω~q

(14.76)

Celelalte doua elemente de matrice sunt:

〈0~q|Hint |1~q〉 =∑

~p′,~q′A~q′c

+~p′+~q′

c~p′

[〈0~q| a~q′ |1~q〉+ 〈0~q| a+

−~q′|1~q〉

]=

=∑

~p′,~q′A~q′c

+~p′+~q′

c~p′ δ~q,~q′ =∑

~p′A~qc

+~p′+~q

c~p′ (14.77)

si:〈1~q|Hint |0~q〉 =

~p′,~q′A~q′c

+~p′+~q′

c~p′

[〈1~q| a~q′ |0~q〉+ 〈1~q| a+

−~q′|0~q〉

]=

=∑

~p′,~q′A~q′c

+~p′+~q′

c~p′ δ~q,−~q′ =∑

~p′A−~qc

+~p′−~q

c~p′ (14.78)

Folosind ecuatiile (14.75)-(14.78), (14.72) devine:

H ′2 =

1

2

~p,~p′,~q

A~qA−~q

c+~p′+~q

c~p′c+~p−~qc~p

ε~p − ε~p−~q − ω~q

− 1

2

~p,~p′,~q

A~qA−~q

c+~p+~qc~pc

+~p′−~q

c~p′

ε~p − ε~p+~q + ω~q

(14.79)

Ordonam normal operatorii din (14.79) folosind relatiile de anticomutare:

c~p′ , c

+~p−~q

= δ~p′,~p−~q → c~p′c

+~p−~q = δ~p′,~p−~q − c+

~p−~qc~p′ (14.80)

Primul termen din (14.79) devine:

H ′2(1) =

1

2

~p,~p′,~q

A~qA−~q

c+~p′+~q

(δ~p′,~p−~q − c+

~p−~qc~p′

)c~p

ε~p − ε~p−~q − ω~q

=

173

Page 174: Fizica statistica, Curs

= (T2 OF )− 1

2

~p,~p′,~q

A~qA−~q

ε~p − ε~p−~q − ω~q

c+~p′+~q

c+~p−~qc~p′c~p =

= (T2 OF ) +1

2

~p,~p′,~q

A~qA−~q

ε~p − ε~p−~q − ω~q

c+~p′+~q

c+~p−~qc~pc~p′ (14.81)

Aici notatia (T2 OF ) ınseamna un termen care contine doi operatori fermion-ici. El nu contribuie la interactie ci produce doar o mica modificare apotentialului chimic. Al doilea termen din (14.79) se scrie, dupa ce facemschimbarile ~q → −~q ; −~q → ~q, astfel:

H ′2(2) =

1

2

~p,~p′,~q

A−~qA~q

c+~p−~qc~pc

+~p′+~q

c~p′

ε~p − ε~p−~q + ω~q

Aici folosim:c~p, c

+~p′+~q

= δ~p,~p′+~q → c~pc

+~p′+~q

= δ~p,~p′+~q − c+~p′+~q

c~p (14.82)

avand:

H ′2(2) = (T2 OF )− 1

2

~p,~p′,~q

A−~qA~q

ε~p − ε~p−~q + ω~q

c+~p−~qc

+~p′+~q

c~pc~p′ =

= (T2 OF ) +1

2

~p,~p′,~q

A−~qA~q

ε~p − ε~p−~q + ω~q

c+~p′+~q

c+~p−~qc~pc~p′ (14.83)

In plus, deoarece A~q = A∗−~q, avem:

A~q · A−~q = A~q · A∗~q = |A~q|2 (14.84)

si hamiltonianul de interactie devine:

H ′2 = H ′

2(1)− H ′2(2)

sau:

H ′2 =

~p,~p′,~q

|A~q|2 ω~q

(ε~p − ε~p−~q)2 − ω2

~q

c+~p′+~q

c+~p−~qc~pc~p′ (14.85)

Relatia (14.85) este hamiltonianul de interactie biparticula prin schimbulunui fonon virtual de impuls ~q. Se observa ca interactia este atractiva pentru|ε~p − ε~p−~q| < ω~q

174

Page 175: Fizica statistica, Curs

14.2 Numarul mediu de ocupare pentru fermioni

Consideram hamiltonianul fermionic:

H = ε c+c (14.86)

pentru care ne propunem sa calculam numarul mediu de ocupare 〈N〉, latemperatura T , ın ansamblul macrocanonic.

Pentru aceasta scriem operatorii fermionici sub forma de matrici Jordan-Wigner 2× 2 :

c =

(0 01 0

)c+ =

(0 10 0

)(14.87)

Ele opereaza asupra vectorilor de stare, care sunt matrici cu doua compo-nente:

|1〉 =

(10

)|0〉 =

(01

)(14.88)

corespunzand numerelor de ocupare 1 si 0. Operatorul numar de particuleeste:

N = c+c (14.89)

care are valorile proprii 1 si 0, corspunzatoare starilor proprii |1〉 si |0〉.Atunci:

〈N〉 = Tr ρ N (14.90)

unde:

ρ =1

Z· e−β(H−µN) (14.91)

si:

Z = Tre−β(H−µN)

= Tr

e−β(ε−µ)c+c

= Tr

1− β(ε− µ)c+c + ...

Aici:

1 =

(1 00 1

)c+c =

(1 00 0

)(14.92)

Atunci, imediat:

Z = Tr

(1 00 1

)− β(ε− µ)

(1 00 0

)+ ...

=

175

Page 176: Fizica statistica, Curs

= Tr

(1 00 1

)+

(−β(ε− µ) 0

0 0

)+ ...

=

= Tr

(1− β(ε− µ) + ... 0

0 1 + 0 + ...

)= Tr

(e−β(ε−µ) 0

0 1

)= 1+ e−β(ε−µ)

(14.93)Vedem ın continuare:

〈N〉 =1

ZTr

e−β(H−µN) N

=

1

ZTr

e−β(ε−µ)c+c c+c

=

=1

ZTr

(e−β(ε−µ) 0

0 1

) (1 00 0

)=

1

ZTr

(e−β(ε−µ) 0

0 0

)=

=1

Ze−β(ε−µ) (14.94)

Inlocuind expresia lui Z, obtinem:

〈N〉 =e−β(ε−µ)

1 + e−β(ε−µ)=

1

eβ(ε−µ) + 1(14.95)

adica, asa cum era de asteptat, functia de distributie Fermi-Dirac.

176

Page 177: Fizica statistica, Curs

15. Functii Green

15.1 Definitia functiilor Green

In acest capitol vom defini functiile Green retardata, avansata si cauzala.Ele sunt folositoare atunci cand se studiaza raspunsul (liniar) ın sistemede multe particule, precum si ın calculul valorilor medii pentru produse deoperatori, dupa relatia:

〈A(t)B(t′)〉 =1

Z Tre−β(H−µN)A(t)B(t′)

(15.1)

Aici Z este functia de partitie a sistemului :

Z = Tre−β(H−µN)

≡ Tr

e−βH

(15.2)

H - este operatorul Hamilton, N - operatorul numar de particule, iar β =1/kBT . Operatorii A si B, ın descrierea Heisenberg, sunt:

A(t) = eihHtA(0)e−

ihHt A(0) ≡ A (15.3)

si o forma similara pentru B(t′). Media definita prin ec.(15.1) reprezintafunctia de corelare a operatorilor, pentru momente de timp diferite. In cazulcand A = B ec.(15.1) devine functia de autocorelare. Avand functia decorelare, definitiile functiilor Green retardata, avansata si cauzala sunt:

Gr(t, t′) = 〈〈A(t)|B(t′)〉〉r = − i

hθ(t− t′)

⟨[A(t), B(t′)]η

⟩(15.4)

Ga(t, t′) = 〈〈A(t)|B(t′)〉〉a =

i

hθ(t′ − t)

⟨[A(t), B(t′)]η

⟩(15.5)

Gc(t, t′) = 〈〈A(t)|B(t′)〉〉c = − i

h〈Tη A(t)B(t′)〉 (15.6)

177

Page 178: Fizica statistica, Curs

unde:

θ(x) =

1 , pentru x > 00 , pentru x < 0

(15.7)

si:[A , B]η = A ·B − η ·B · A (15.8)

Pentru η = 1 avem commutatorul operatorilor (operatori-Bose), iar pentruη = −1 avem anticomutatorul operatorilor (operatori-Fermi). Aici Tη esteoperatorul cronologic, definit prin relatia:

Tη A(t)B(t′) = θ(t− t′)A(t)B(t′) + η · θ(t′ − t)B(t′)A(t) (15.9)

Daca Gj reprezinta o functie Green avansata, retardata sau cauzala, putemintroduce reprezentarea ın frecvente (energii), folosind transformata Fourier:

Gj(t, t′) ≡ Gj(t− t′) ≡ 〈〈A(t)|B(t′)〉〉j =

=∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) Gj(ω) (15.10)

si:

Gj(ω) ≡ 〈〈A|B〉〉j,ω =∫ ∞

−∞dt eiωt Gj(t) (15.11)

15.2 Ecuatii de miscare pentru functia Green

Calculand derivata ın raport cu timpul t, pentru functiile Green definitemai sus, avem:

ih∂

∂tGj(t− t′) ≡ ih

∂t〈〈A(t)|B(t′)〉〉j =

=∂

∂t

θ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)]η

−θ(t′ − t)⟨[A(t), B(t′)]η

θ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉+ η · θ(t′ − t) 〈B(t′)A(t)〉(15.12)

178

Page 179: Fizica statistica, Curs

Pentru functia Green retardata avem:

∂tθ(t− t′)

⟨[A(t), B(t′)]η

⟩+ θ(t− t′)

⟨[∂A(t)

∂t, B(t′)

]

η

⟩=

= δ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)]η

⟩+ θ(t− t′)

⟨[1

ih[A(t),H], B(t′)

]

η

⟩=

= δ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)]η

⟩− i

hθ(t− t′)

⟨[[A(t),H] , B(t′)]η

⟩=

= δ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)]η

⟩+ 〈〈[[A(t),H] |B(t′)〉〉r (15.13)

In plus:

δ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)]η

⟩= δ(t− t′) 〈A(t)B(t′)− η ·B(t′)A(t)〉 =

= δ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉 − η · δ(t− t′) 〈B(t′)A(t)〉 =

= δ(t− t′) 〈A(t)B(t)〉 − η · δ(t− t′) 〈B(t)A(t)〉 =

= δ(t− t′) 〈A(0)B(0)〉 − η · δ(t− t′) 〈B(0)A(0)〉 ≡≡ δ(t− t′) 〈A ·B〉 − η · δ(t− t′) 〈B · A〉 = δ(t− t′) 〈A ·B − η ·B · A〉 ≡

≡ δ(t− t′)⟨[A,B]η

⟩(15.14)

Aici s-a folosit urmatoarea proprietate:

〈A(t)B(t′)〉 = 〈A(t− t′)B(0)〉 → (t′ = t) → 〈A(0)B(0)〉 ≡ 〈A ·B〉 (15.15)

In final, obtinem:

ih∂

∂tGr(t− t′) = δ(t− t′)

⟨[A, B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉r (15.16)

In mod similar, pentru functia Green avansata, avem:

− ∂

∂tθ(t′ − t)

⟨[A(t), B(t′)]η

⟩− θ(t′ − t)

⟨[∂A(t)

∂t, B(t′)

]

η

⟩=

179

Page 180: Fizica statistica, Curs

= δ(t− t′)⟨[A,B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉a (15.17)

iar ecuatia de miscare este:

ih∂

∂tGa(t− t′) = δ(t− t′)

⟨[A, B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉a (15.18)

Pentru functia Green cauzala avem:

∂tθ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉+ θ(t− t′)

⟨∂A(t)

∂tB(t′)

⟩+

+η · ∂

∂tθ(t′ − t) 〈B(t′)A(t)〉+ η · θ(t′ − t)

⟨B(t′)

∂A(t)

∂t

⟩=

= δ(t− t′) 〈A(t)B(t′)〉+ θ(t− t′)⟨

1

ih[A(t),H] B(t′)

⟩+

+η · (−1) · δ(t− t′) 〈B(t′)A(t)〉+ η · θ(t′ − t)⟨B(t′)

1

ih[A(t),H]

⟩=

= δ(t− t′)⟨[A(t), B(t′)]η

⟩−

− i

h〈θ(t− t′) [A(t),H] B(t′) + η · θ(t′ − t) B(t′) [A(t),H]〉 =

= δ(t− t′)⟨[A,B]η

⟩− i

h〈Tη [A(t),H] B(t′)〉 =

= δ(t− t′)⟨[A,B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H]|B(t′)〉〉c (15.19)

Ecuatia de miscare pentru functia Green cauzala devine:

ih∂

∂tGc(t− t′) = δ(t− t′)

⟨[A, B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉c (15.20)

Luand rezultatele pentru toate functiile Green, concluzionam ca:

ih∂

∂tGj(t− t′) = δ(t− t′)

⟨[A,B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉j j = r, a, c

(15.21)In continuare, folosind ec.(15.10), vom determina transformata Fourier pen-tru ec.(15.21). In spatiul Fourier avem:

ih∂

∂tGj(t− t′) = ih

∂t

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) Gj(ω) =

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′)hω Gj(ω)

(15.22)

180

Page 181: Fizica statistica, Curs

Ec.(15.21) devine:

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′)hω Gj(ω) = δ(t− t′)

⟨[A,B]η

⟩+ 〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉j

(15.23)Aici folosim proprietatea functiei delta a lui Dirac:

δ(t− t′) = δ(t′ − t) (15.24)

si reprezentarea ei integrala:

δ(t− t′) = δ(t′ − t) =∫ ∞

−∞dω

2πeiω(t′−t) ≡

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) (15.25)

Termenul al doilea, din ec.(15.23), (functia Green de ordin superior), ınspatiul Fourier, devine:

〈〈[A(t),H] |B(t′)〉〉j =∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) 〈〈[A,H] |B〉〉j,ω (15.26)

Folosind ec.(15.25) si (15.26) ın (15.23), ecuatiile de miscare pentru functiileGreen sunt:

hω 〈〈A|B〉〉j,ω = 〈[A,B]η〉+ 〈〈[A,H]|B〉〉j,ω (15.27)

Ca exemplu, vom calcula functia Green pentru un sistem de electroni liberi,descris de hamiltonianul:

H =∑

k

(εk − µ) c+k ck ≡

k

εk c+k ck (15.28)

In acest caz η = −1, si:

[A,B]η ≡ [A,B]−1 = A ·B + B · A ≡ A,B (15.29)

Functia Green de determinat este:

Gj(k, k′, ω) ≡⟨⟨

ck|c+k′

⟩⟩j,ω

(15.30)

Folosind ec.(15.27), obtinem:

hω⟨⟨

ck|c+k′

⟩⟩j,ω

= 〈ck, ck′〉+⟨⟨

[ck,H] |c+k′

⟩⟩j,ω

=

181

Page 182: Fizica statistica, Curs

= δk,k′ +⟨⟨

[ck,H] |c+k′

⟩⟩j,ω

(15.31)

Comutatorul din expresia functiei Green de ordin superior este:

[ck,H] =

[ck,

k′εk′ c+

k′ck′

]=

k′εk′

[ck, c

+k′ck′

]=

=∑

k′εk′

(ck, c

+k′

ck′ − c+

k′ ck, ck′)

=∑

k′εk′ ck′δk,k′ = εk ck (15.32)

Aici, tinand seama ca ck sunt operatori Fermi, am folosit identitatea opera-toriala:

[A,BC] = A,BC −BA, C (15.33)

Cu aceste rezultate, ec.(15.31) devine:

hω⟨⟨

ck|c+k′

⟩⟩j,ω

= δk,k′ + εk

⟨⟨ck|c+

k′⟩⟩

j,ω

si:

Gj(k, k′, ω) ≡⟨⟨

ck|c+k′

⟩⟩j,ω

=δk,k′

hω − εk

(15.34)

In final, datorita simbolului Kronecker, functia Green pentru electroni liberieste:

Gj(k, ω) =1

hω − εk

(15.35)

15.3 Reprezentarea spectrala pentru functiile de corelare sifunctiile Green

In definitia functiilor Green apar urmatoarele functii de corelare (tempo-rala):

CAB(t− t′) = 〈A(t)B(t′)〉 (15.36)

si:CBA(t′ − t) = 〈B(t′)A(t)〉 (15.37)

Consideram functiile proprii si valorile proprii pentru operatorul H ca fiindψn, si En. Atunci:

H |ψn〉 = En |ψn〉 (15.38)

182

Page 183: Fizica statistica, Curs

Aici, folosind ec.(15.1), avem:

CAB(t− t′) =1

Z

∑n

〈ψn|A(t)B(t′) |ψn〉 e−βEn =

=1

Z

∑n,m

〈ψn|A(t) |ψm〉 〈ψm|B(t′) |ψn〉 e−βEn =

=1

Z

∑n,m

〈ψn| e ihHtAe−

ihHt |ψm〉 〈ψm| e i

hHt′Be−

ihHt′ |ψn〉 e−βEn (15.39)

Folosind rezultatele binecunoscute:

〈ψn| e ihHt = 〈ψn| e i

hEnt

e−ihHt |ψm〉 = e−

ih

Emt |ψm〉〈ψm| e i

hHt′ = 〈ψm| e i

hEmt′

e−ihHt′ |ψn〉 = e−

ih

Ent′ |ψn〉 (15.40)

obtinem:

CAB(t− t′) =1

Z

∑n,m

〈ψn|A |ψm〉 〈ψm|B |ψn〉 e−βEneih(En−Em)(t−t′) (15.41)

Pentru aceasta functie de corelare, avem urmatoarea reprezentare integrala:

CAB(t− t′) =∫ ∞

−∞dω

2πeiω(t−t′)JAB(ω) (15.42)

unde:

JAB(ω) =2π

Z

∑n,m

〈ψn|A |ψm〉 〈ψm|B |ψn〉 e−βEn δ(

En − Em

h− ω

)(15.43)

Aici JAB(ω) este definita ca intensitatea spectrala a functiei de corelare, iarec.(15.42) este reprezentarea spectrala a functiei de corelare. In mod similarobtinem:

CBA(t′ − t) =1

Z

∑n,m

〈ψn|B |ψm〉 〈ψm|A |ψn〉 e−βEneih(Em−En)(t−t′) (15.44)

183

Page 184: Fizica statistica, Curs

Cu interschimbarea n → m, m → n, avem:

CBA(t′ − t) =1

Z

∑n,m

〈ψm|B |ψn〉 〈ψn|A |ψm〉 e−βEmeih(Em−En)(t′−t) (15.45)

Cu ajutorul reprezentarii integrale:

CBA(t′ − t) =∫ ∞

−∞dω

2πeiω(t′−t)JBA(ω) (15.46)

obtinem urmatoarea intensitate spectrala:

JBA(ω) =2π

Z

∑n,m

〈ψm|B |ψn〉 〈ψn|A |ψm〉 e−βEm δ(

Em − En

h− ω

)(15.47)

Acum suntem capabili sa stabilim o legatura ıntre intensitatile spectrale JAB

si JBA. Din ec.(15.43):

JAB(−ω) =2π

Z

∑n,m

〈ψm|B |ψn〉 〈ψn|A |ψm〉 e−βEn δ(

En − Em

h+ ω

)(15.48)

Aici folosim:

δ(

En − Em

h+ ω

)= δ

(−Em − En

h+ ω

)= δ

(Em − En

h− ω

)

pentru a obtine:

JAB(−ω) =2π

Z

∑n,m

〈ψm|B |ψn〉 〈ψn|A |ψm〉 e−βEne−βhωeβhωδ(

Em − En

h− ω

)

(15.49)Datorita prezentei functiei delta a lui Dirac, avem conditia :

Em = hω + En (15.50)

iar produsul primelor doua exponentiale din ec.(15.49) devine:

e−βEn e−βhω = e−β(En+hω) = e−βEm (15.51)

Rezultatul final pentru ec.(15.49) este:

JAB(−ω) = eβhω 2π

Z

∑n,m

〈ψm|B |ψn〉 〈ψn|A |ψm〉 e−βEm δ(

Em − En

h− ω

)

184

Page 185: Fizica statistica, Curs

Folosind ec.(15.47) obtinem relatia de legatura:

JAB(−ω) = eβhω JBA(ω) (15.52)

In cele ce urmeaza, vom determina dependenta de frecventa pentru functiileGreen, exprimata folosind intensitatea spectrala. Pentru functia Green re-tardata, vom folosi ec.(15.11), considerand t′ = 0 :

Gr(ω) =∫ ∞

−∞dt eiωtGr(t) (15.53)

Folosind ec.(15.4) si (15.8) ın (15.53) avem:

Gr(ω) =∫ ∞

−∞dt eiωt

(− i

h

)θ(t) 〈A(t)B − η ·BA(t)〉 =

=1

ih

∫ ∞

−∞dt eiωt θ(t) [〈A(t)B〉 − η · 〈BA(t)〉] ≡

≡ 1

ih

∫ ∞

−∞dt eiωt θ(t) [CAB(t)− η · CBA(−t)] (15.54)

Aici:

CAB(t) =∫ ∞

−∞dω

2πeiωtJAB(ω) (15.55)

Cu schimbarea ω → −ω, ın ec.(15.55), obtinem:

CAB(t) =∫ ∞

−∞dω

2πe−iωtJAB(−ω) =

∫ ∞

−∞dω

2πe−iωt eβhωJBA(ω) (15.56)

In plus:

CBA(−t) =∫ ∞

−∞dω

2πe−iωtJBA(ω) (15.57)

Facand schimbarea ω → ω′, ın ec.(15.56) si (15.57), si folosind aceste rezul-tate ın (15.54), functia Green retardata devine:

Gr(ω) =1

ih

∫ ∞

−∞dω′

2πJBA(ω′)

[eβhω′ − η

] ∫ ∞

−∞dt θ(t)ei(ω−ω′)t (15.58)

Ultima integrala va fi calculata folosind definitia functiei treapta:

θ(t) =

1 , pt. t > 00 , pt. t < 0

(15.59)

185

Page 186: Fizica statistica, Curs

si schimbarea:ω → ω + iε ε → 0 ε > 0 (15.60)

pentru a evita problema din limita superioara de integrare. Vom avea:

∫ ∞

−∞dt θ(t)ei(ω−ω′)t →

∫ ∞

0dt ei(ω+iε−ω′)t =

1

−i(ω − ω′ + iε)(15.61)

Folosind acest rezultat ın ec.(15.58), gasim reprezentarea spectrala (Lehmann)pentru functia Green retardata:

Gr(ω) =∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′ + iε(15.62)

In mod similar, functia Green avansata este:

Ga(ω) =∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′ − iε(15.63)

Folosind frecventa (reala) ω, si factorul iε, am introdus o frecventa complexa,desemnata prin ω, astfel ıncat definim o singura functie Green:

G(ω) = 〈〈A; B〉〉ω =∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′(15.64)

Aceasta este o functie analitica ın planul complex ω, cu exceptia axei reale.In plus:

G(ω) =

Gr(ω) ≡ G(ω + iε) , pt. Im ω > 0Ga(ω) ≡ G(ω − iε) , pt. Im ω < 0

(15.65)

Intensitatea spectrala JBA(ω) poate fi determinata luand diferenta dintrefunctiile Green retardata si avansata:

G(ω + iε)−G(ω − iε) =∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)·

·[eβhω′ − η

] (1

ω − ω′ + iε− 1

ω − ω′ − iε

)(15.66)

Folosind identitatea Dirac:

limε→0

1

ω − ω′ ± iε= P 1

ω − ω′∓ iπδ(ω − ω′) (15.67)

186

Page 187: Fizica statistica, Curs

unde P denota valoarea principala Cauchy, obtinem:

G(ω + iε)−G(ω − iε) =∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

[eβhω′ − η

](−2πi)δ(ω′ − ω) =

= − i

hJBA(ω)

(eβhω − η

)

si:

JBA(ω) =ih [G(ω + iε)−G(ω − iε)]

eβhω − η(15.68)

Cu ajutorul ec.(15.67), putem calcula partile imaginare pentru functiile Greenretardata si avansata, folosind reprezentarea spectrala. Avem:

Gr(ω) = P∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′− i

2hJBA(ω)

(eβhω − η

)(15.69)

Ga(ω) = P∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′+

i

2hJBA(ω)

(eβhω − η

)(15.70)

Considerand JBA(ω) real, obtinem:

Im Gr(ω) = − 1

2hJBA(ω)

(eβhω − η

)(15.71)

si:

Im Ga(ω) =1

2hJBA(ω)

(eβhω − η

)(15.72)

Partile reale a functiilor Green, folosind ec.(15.69) si (15.70), sunt:

Re Gr(ω) =1

πP

∫ ∞

−∞dω′

1

2hJBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′=

=1

πP

∫ ∞

−∞dω′

Im Ga(ω′)

ω − ω′(15.73)

si:

Re Ga(ω) = − 1

πP

∫ ∞

−∞dω′

(− 1

2h

)JBA(ω′)

eβhω′ − η

ω − ω′=

= − 1

πP

∫ ∞

−∞dω′

Im Gr(ω′)

ω − ω′(15.74)

187

Page 188: Fizica statistica, Curs

Ec.(15.73) si (15.74) sunt relatiile de dispersie Kramers-Kronig, obtinutefolosind proprietatile analitice pentru functiile Green retardata si avansata.

Ca exemplu, folosind rezultatul (15.35), vom calcula intensitatea spec-trala, functia de corelare, si numarul mediu de ocupare, pentru un sistem defermioni liberi. In acest caz avem:

G(k, ω) ≡⟨⟨

ck|c+k

⟩⟩ω

=1

hω − εk

≡ 〈〈A|B〉〉ω

Functiile Green retardata si avansata sunt:

G(k, ω+iε) =1

h(ω + iε)− εk

=1

hω − εk + iη= P

(1

hω − εk

)−iπδ (hω − εk)

(15.75)si:

G(k, ω − iε) = P(

1

hω − εk

)+ iπδ (hω − εk) (15.76)

Aici η = hε → 0 ; η > 0. Diferenta dintre aceste functii Green este:

G(k, ω + iε)−G(k, ω − iε) = −2πi δ (hω − εk) (15.77)

Folosind ec.(15.68), pentru cazul fermionilor (η = −1), avem:

Jc+k

ck(ω) = 2πh

δ (hω − εk)

eβhω + 1(15.78)

Functia de corelare pentru operatorii c+k (t′) si ck(t) se calculeaza folosind

ec.(15.46):

Cc+k

ck(t′ − t) ≡

⟨c+k (t′)ck(t)

⟩=

∫ ∞

−∞dω

2πeiω(t′−t) 2πh δ (hω − εk)

eβhω + 1=

= h∫ ∞

−∞dω eiω(t′−t)

δ[h

(ω − εk

h

)]

eβhω + 1=

eiεkh

(t′−t)

eβεk + 1(15.79)

Luand functia de corelare pentru momente de timp egale (t′ = t), obtinem:

Cc+k ck≡

⟨c+k (t′)ck(t)

⟩t′=t

=⟨c+k (t′ − t)ck

⟩t′=t

=⟨c+k ck

⟩≡

≡ 〈nk〉 =1

eβεk + 1≡ 1

eβ(εk−µ) + 1(15.80)

188

Page 189: Fizica statistica, Curs

care reprezinta functia de distributie Fermi. Pentru un sistem de electroniliberi, functiile Green dependente de timp pot fi calculate folosind ec.(15.10):

Gr(t− t′) =∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) Gr(ω) =

∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

hω − εk + iεε → 0+

(15.81)Introducand noua variabila ω, prin relatia hω − εk = hω, obtinem:

Gr(t− t′) =1

2πhe−

ih

εk(t−t′)∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

ω + i εh

(15.82)

Folosim apoi reprezentarea integrala pentru functia treapta Heaviside:

θ(t− t′) =i

∫ ∞

−∞dx

e−ix(t−t′)

x + i0+(15.83)

Ec.(15.82) se va rescrie astfel:

Gr(t− t′) =1

2πhe−

ih

εk(t−t′)(−2πi)θ(t− t′) = − i

hθ(t− t′)e−

ih

εk(t−t′) (15.84)

unde:

θ(t− t′) =

1 , pt. t > t′

0 , pt. t < t′(15.85)

sau:

Gr(t− t′) =

− i

he−

ih

εk(t−t′) , pt. t > t′

0 , pt. t < t′(15.86)

Functia Green avansata este:

Ga(t− t′) =∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) Ga(ω) =

∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

hω − εk − iε(15.87)

sau:

Ga(t− t′) =1

2πh

∫ ∞

−∞dω

e−iω(t−t′)

ω − εk

h− iε

(15.88)

(Aici: ε/h → ε → 0). Integrala din ec.(15.88) se rezolva folosind teoremareziduurilor, avand un pol simplu la ω = εk/h + iε. Conturul de integrare seınchide prin semiplanul complex superior. Vom obtine:

Ga(t− t′) =i

hlim

ω→εk/h+iε

(ω − εk

h− iε

)e−iω(t−t′)

ω − εk

h− iε

=

189

Page 190: Fizica statistica, Curs

=i

he−

ih

εk(t−t′) eε(t−t′) (15.89)

Luand limita ε → 0, avem:

Ga(t− t′) =i

he−

ih

εk(t−t′)

Fizic, ınchiderea conturului de integrare prin semiplanul complex superioreste echivalenta cu considerarea momentelor de timp t < t′. Pentru t >t′, conturul de integrare se ınchide prin semiplanul complex inferior, dandGa(t− t′) = 0. Obtinem astfel rezultatul final:

Ga(t− t′) =

0 , pt. t > t′ih

e−ih

εk(t−t′) , pt. t < t′(15.90)

sau, ın forma comprimata:

Ga(t− t′) =i

hθ(t′ − t) e−

ih

εk(t−t′) (15.91)

Functia Green cauzala se calculeaza, folosind ec.(15.6) si (15.9):

Gc(t, t′) → Gc(t− t′) = − i

h〈T−1A(t− t′)B(0)〉 =

= − i

h〈θ(t− t′)A(t− t′)B(0)− θ(t′ − t)B(0)A(t− t′)〉 =

=

− i

h〈A(t− t′)B(0)〉 , pt. t > t′

ih〈B(0)A(t− t′)〉 , pt. t < t′

(15.92)

Pentru electronii liberi: A → ck si B → c+k . In cazul: t − t′ = 0+, folosind

ec.(15.92) si (15.80), obtinem:

Gc(t− t′ = 0+) = − i

h

⟨ckc

+k

⟩= − i

h

(1−

⟨c+k ck

⟩)= − i

h(1− 〈nk〉) (15.93)

Pentru cazul: t− t′ = 0−:

Gc(t− t′ = 0−) =i

h

⟨c+k ck

⟩=

i

h〈nk〉 (15.94)

190

Page 191: Fizica statistica, Curs

Ec.(15.93) si (15.94) se considera a fi conditii de legatura pentru functiaGreen cauzala. Pe de alta parte, din forma generala (15.35), functia Greencauzala are urmatoarea structura generala:

Gc(k, ω) =C1

hω − εk + iε+

C2

hω − εk − iε(15.95)

Folosind ec.(15.10), functia Green cauzala, dependenta de timp, este:

Gc(t− t′) =∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) Gc(k, ω) =

=∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) C1

hω − εk + iε+

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) C2

hω − εk − iε=

= C1

(− i

h

)θ(t− t′) e−

ih

εk(t−t′) + C2i

hθ(t′ − t) e−

ih

εk(t−t′) (15.96)

Coeficientii C1 si C2 vor fi determinati folosind ec.(15.93) si (15.94). Din(15.96) pentru t− t′ = 0+, avem:

Gc(t− t′ = 0+) = − i

hC1 (15.97)

Obtinem deci:C1 = 1− 〈nk〉 (15.98)

Pentru t− t′ = 0−:

Gc(t− t′ = 0−) =i

hC2 (15.99)

si:C2 = 〈nk〉 (15.100)

In final, functia Green cauzala este:

Gc(k, ω) =1− 〈nk〉

hω − εk + iε+

〈nk〉hω − εk − iε

(15.101)

si:

Gc(t− t′) = − i

h[θ(t− t′) (1− 〈nk〉)− θ(t′ − t) 〈nk〉] e−

ih

εk(t−t′) (15.102)

191

Page 192: Fizica statistica, Curs

In cele ce urmeaza, vom determina forma analitica a functiei Green cauzale(ın cazul general), folosind intensitatea spectrala. Considerand t′ = 0, avem:

Gc(ω) =∫ ∞

−∞dt eiωt Gc(t) =

=∫ ∞

−∞dt eiωt

(− i

h

)〈θ(t)A(t)B + η θ(−t)BA(t)〉 =

=1

ih

[∫ ∞

−∞dt eiωtθ(t)CAB(t) + η

∫ ∞

−∞dt eiωtθ(−t)CBA(−t)

](15.103)

Folosind ec.(15.56) si (15.57) obtinem:

Gc(ω) =1

ih

[∫ ∞

−∞dt eiωtθ(t)

∫ ∞

−∞dω′

2πe−iω′t eβhω′JBA(ω′)+

+η∫ ∞

−∞dt eiωtθ(−t)

∫ ∞

−∞dω′

2πe−iω′tJBA(ω′)

]=

=1

ih

[∫ ∞

−∞dω′

2πeβhω′JBA(ω′)

∫ ∞

−∞dt θ(t) ei(ω−ω′)t+

+η∫ ∞

−∞dω′

2πJBA(ω′)

∫ ∞

−∞dt θ(−t) ei(ω−ω′)t

](15.104)

Prima integrala (peste timp) este data de ec.(15.61). In mod similar cal-culam: ∫ ∞

−∞dt θ(−t) ei(ω−ω′)t =

1

i(ω + ω′ − iε)(15.105)

Functia Green cauzala va fi:

Gc(ω) =∫ ∞

−∞dω′

2πhJBA(ω′)

[eβhω′

ω − ω′ + iε− η

ω + ω′ − iε

](15.106)

Pentru cazul electronilor liberi, folosind intensitatea spectrala data de (15.78)trebuie sa reobtinem rezultatul (15.101). Intr-adevar:

Gc(ω) → Gc(k, ω) =∫ ∞

−∞dω′

2πh

2πh δ(hω′ − εk)

eβhω′ + 1

[eβhω′

ω − ω′ + iε+

1

ω + ω′ − iε

]=

192

Page 193: Fizica statistica, Curs

=eβεk

eβεk + 1· 1

hω − εk + iε+

1

eβεk + 1· 1

hω + εk − iε=

=(1− 1

eβεk + 1

)· 1

hω − εk + iε+

1

eβεk + 1· 1

hω + εk − iε=

=1− 〈nk〉

hω − εk + iε+

〈nk〉hω + εk − iε

(15.107)

Intensitatea spectrala poate fi folosita pentru a determina energia interna aunui sistem. Aici folosim definitia :

E =∑

k

εk 〈nk〉 (15.108)

Apoi, ın acord cu (15.80):

〈nk〉 =⟨c+k (t′)ck(t)

⟩t′=t

≡ Cc+k

ck(t′ − t)

∣∣∣t′=t

→ CBA(t′ − t)|t′=t

Folosind reprezentarea data de ec.(15.46), pentru t′ = t, avem:

CBA(t′ − t)|t′=t =∫ ∞

−∞dω

2πJBA(ω) (15.109)

Aici, folosind ec.(15.68), pentru un sistem fermionic:

JBA(ω) =ih[G(ω + iε)−G(ω − iε)]

eβhω + 1(15.110)

si:

〈nk〉 = ih∫ ∞

−∞dω

G(ω + iε)−G(ω − iε)

eβhω + 1(15.111)

Energia interna a sistemului devine:

E = ih∑

k

εk

∫ ∞

−∞dω

G(ω + iε)−G(ω − iε)

eβhω + 1(15.112)

In plus, metoda functiilor Green permite determinarea si a altor marimiimportante. De exemplu, densitatea de stari, definita prin:

D(ω) =∑

k

δ(hω − εk) (15.113)

193

Page 194: Fizica statistica, Curs

Folosind functia Green retardata:

G(k, ω + iε− µ

h

)=

1

h(ω + iε− µ

h

)− εk

=1

hω + iεh− µ− (εk − µ)=

=1

hω − εk + iη= P

(1

hω − εk

)− iπδ(hω − εk) (15.114)

partea imaginara a functiei Green este:

Im G(k, ω + iε− µ

h

)= −πδ(hω − εk) (15.115)

iar densitatea de stari devine:

D(ω) = − 1

π

k

Im G(k, ω + iε− µ

h

)(15.116)

O alta marime importanta, definita cu ajutorul functiilor Green retardata siavansata, este densitatea spectrala:

AAB(ω) = ih[〈〈A|B〉〉ω+iε − 〈〈A|B〉〉ω−iε

]=

= ih [G(k, ω + iε)−G(k, ω − iε)] → A(k, ω) (15.117)

Aceasta functie are proprietatea:

∫ ∞

−∞dω

2πA(k, ω) = 1 (15.118)

Folosind ec.(15.117) si (15.68) gasim urmatoarea formula de legatura:

JBA(ω) =AAB(ω)

eβhω − η(15.119)

Cu ajutorul densitatii spectrale suntem acum capabili sa dam forme alterna-tive pentru marimile calculate mai sus:

〈nk〉 =⟨c+k (t′)ck(t)

⟩t′=t

=∫ ∞

−∞dω

A(k, ω)

eβhω + 1(15.120)

si:

E =∑

k

εk

∫ ∞

−∞dω

A(k, ω)

eβhω + 1(15.121)

194

Page 195: Fizica statistica, Curs

Pentru a da o formula alternativa pentru densitatea de stari, folosim (15.117):

G(k, ω + iε− µ

h

)−G

(k, ω − iε− µ

h

)= −i

A(k, ω)

h(15.122)

Pe de alta parte:

G(k, ω + iε− µ

h

)−G

(k, ω − iε− µ

h

)=

1

hω − εk + iη− 1

hω − εk − iη=

= −2πiδ(hω − εk) (15.123)

si:

δ(hω − εk) =1

2πhA(k, ω) (15.124)

Densitatea de stari devine:

D(ω) =1

2πh

k

A(k, ω) (15.125)

In cele ce urmeaza, vom defini functiile Green ”lesser” si ”greater” prinintermediul relatiilor:

G<(t, t′) =i

h〈B(t′)A(t)〉 (15.126)

si:

G>(t, t′) = − i

h〈A(t)B(t′)〉 (15.127)

Functiile Green pe care le-am definit nu sunt independente. Intr-adevar,pentru fermioni, avem:

Gr −Ga = − i

hθ(t− t′) 〈A(t)B(t′) + B(t′)A(t)〉−

− i

hθ(t′ − t) 〈A(t)B(t′) + B(t′)A(t)〉

Pentru t > t′ :

Gr −Ga = − i

h〈A(t)B(t′)〉 − i

h〈B(t′)A(t)〉 = G> −G< (15.128)

195

Page 196: Fizica statistica, Curs

iar pentru t < t′ :

Gr −Ga = − i

h〈A(t)B(t′)〉 − i

h〈B(t′)A(t)〉 = G> −G< (15.129)

Concluzionam ca:Gr −Ga = G> −G< (15.130)

Functia Green cauzala este:

Gc = − i

h〈T−1A(t)B(t′)〉 ≡ − i

h〈θ(t− t′)A(t)B(t′)− θ(t′ − t)B(t′)A(t)〉 =

= θ(t− t′) G> + θ(t′ − t) G< (15.131)

Functia Green retardata este:

Gr = − i

hθ(t− t′) 〈A(t)B(t′) + B(t′)A(t)〉 = θ(t− t′) [G> −G<] (15.132)

iar cea avansata:

Ga =i

hθ(t′ − t) 〈A(t)B(t′) + B(t′)A(t)〉 = −θ(t′ − t) [G> −G<] (15.133)

Cu ajutorul functiei Green ”lesser” putem exprima densitatea de particule〈n(x)〉, folosind definitia:

〈n(x)〉 =⟨ψ+(x)ψ(x)

⟩→ 〈B(t′, x′)A(t, x)〉|t=t′;x=x′ =

=h

iG<(x, t; x′, t′)|t=t′;x=x′ = −ih G<(x, t; x, t) (15.134)

In cazul fermionilor, functia Green ”lesser” reprezinta propagatorul partic-ulei, iar functia Green ”greater” propagatorul golului. Aceste functii Greensunt folositoare datorita legaturii pe care o au cu marimi observabile cum arfi, densitatea de particule si curentii.

Ca exemplu, vom calcula functiile Green ”lesser” si ”greater” pentru cazulunui sistem de fermioni liberi. Aici:

G<(t, t′) =i

h

⟨c+k (t′)ck(t)

⟩≡ g<

k (t− t′) (15.135)

196

Page 197: Fizica statistica, Curs

Folosind rezultatul dat de ec.(15.79) avem:

g<k (t− t′) =

i

h

e−iεkh

(t−t′)

eβεk + 1=

i

hf(εk) e−i

εkh

(t−t′) (15.136)

Apoi:

G>(t, t′) = − i

h

⟨ck(t)c

+k (t′)

⟩≡ g>

k (t− t′) (15.137)

Folosind ec.(15.56):

g>k (t− t′) = − i

h

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) eβhωJc+

kck

(ω) (15.138)

Folosind intensitatea spectrala, data de ec.(15.78), obtinem:

g>k (t− t′) = − i

h

∫ ∞

−∞dω

2πe−iω(t−t′) eβhω 2πh

δ (hω − εk)

eβhω + 1=

= − i

h

∫ ∞

−∞dω e−iω(t−t′)

(1− 1

eβhω + 1

(ω − εk

h

)=

= − i

h

(1− 1

eβεk + 1

)e−i

εkh

(t−t′) = − i

h(1− f(εk)) e−i

εkh

(t−t′) (15.139)

Luand t′ = 0:

g<k (t) =

i

hf(εk) e−i

εkh

t (15.140)

g>k (t) = − i

h(1− f(εk)) e−i

εkh

t (15.141)

Transformatele Fourier sunt:

g<k (ω) =

∫ ∞

−∞dt eiωt g<

k (t) =

=i

hf(εk)

∫ ∞

−∞dt ei(ω− εk

h )t =i

hf(εk) 2π δ

(ω − εk

h

)= 2πif(εk)δ (hω − εk)

(15.142)si:

g>k (ω) = −2πi [1− f(εk)] δ (hω − εk) (15.143)

197

Page 198: Fizica statistica, Curs

In cele ce urmeaza, vom exprima forme alternative pentru g<(>)k folosind

densitatea spectrala, definita prin ec.(15.117). Pentru ınceput, folosind pro-prietatile functiei delta, ec.(15.142) si (15.143) se rescriu ca:

g<k (ω) = 2πif(hω)δ (hω − εk) (15.144)

g>k (ω) = −2πi [1− f(hω)] δ (hω − εk) (15.145)

Din (15.117):

A(k, ω) = ih [Gr −Ga] = ih[

1

hω − εk + iε− 1

hω − εk − iε

]=

= 2πhδ (hω − εk) (15.146)

,iar functiile Green devin:

g<k (ω) =

i

hf(hω)A(k, ω) (15.147)

g>k (ω) = − i

h[1− f(hω)]A(k, ω) (15.148)

Acestea sunt relatii generale (nu sunt restrictionate la sisteme fara interactii).Ele sunt o consecinta a teoremei fluctuatie-disipatie. Functiile Green suntproportionale cu densitatea spectrala, care este o cantitate disipativa (legatade partea imaginara a functiei Green).

Exemplu: In cele ce urmeaza, folosind metoda ecuatiei de miscare, vomcalcula functia Green pentru hamiltonianul:

H =∑

k

εkc+k ck + ε0d

+d +∑

k

Vk

(c+k d + d+ck

)(15.149)

Acest hamiltonian descrie un sistem de stari continue (prin operatorii ck)interactionand cu o stare localizata (descrisa de operatorul d). Avem de fapto impuritate interactionand cu electronii de conductie. Vom calcula functiaGreen Gkk′(ω) =

⟨⟨ck|c+

k′⟩⟩

(alegand unitatile ın asa fel ıncat h = 1):

ω⟨⟨

ck|c+k′

⟩⟩=

⟨ck, c

+k′

⟩+

⟨⟨[ck, H] |c+

k′⟩⟩

(15.150)

Aici: ⟨ck, c

+k′

⟩= δk,k′ (15.151)

198

Page 199: Fizica statistica, Curs

si:[ck, H] = T1 + T2 + ... (15.152)

unde:

T1 =

[ck,

k′εk′c

+k′ck′

]=

k′εk′

(ck, c

+k′

ck′ − c+

k′ ck, ck′)

=

=∑

k′εk′ck′δk,k′ = εkck (15.153)

T2 =

[ck,

k′Vk′c

+k′d

]=

k′Vk′

(ck, c

+k′

d− c+

k′ ck, d)

=

=∑

k′Vk′d δk,k′ = Vkd (15.154)

Ecuatia de miscare devine:

(ω − εk)⟨⟨

ck|c+k′

⟩⟩= δk,k′ + Vk

⟨⟨d|c+

k′⟩⟩

(15.155)

Pentru functia Green de ordin superior Gd,k′(ω) =⟨⟨

d|c+k′

⟩⟩ecuatia de

miscare este:ω

⟨⟨d|c+

k′⟩⟩

=⟨⟨

[d,H] |c+k′

⟩⟩(15.156)

Comutatorul este:[d,H] = T1 + T2 + .. (15.157)

Acum:

T1 =[d, ε0d

+d]

= ε0

(d, d+

d− d+ d, d

)= ε0 d (15.158)

si:

T2 =

[d,

k

Vkd+ck

]=

k

Vk

(d, d+

ck − d+ d, ck

)=

k

Vkck (15.159)

Ecuatia de miscare devine:

(ω − ε0)⟨⟨

d|c+k′

⟩⟩=

k

Vk

⟨⟨ck|c+

k′⟩⟩

199

Page 200: Fizica statistica, Curs

si: ⟨⟨d|c+

k′⟩⟩

=1

ω − ε0

k′′Vk′′

⟨⟨ck′′ |c+

k′⟩⟩

(15.160)

Folosind (15.160) ın ec.(15.155) obtinem:

⟨⟨ck|c+

k′⟩⟩

= δk,k′1

ω − εk

+1

ω − ε0

Vk1

ω − εk

k′′Vk′′

⟨⟨ck′′|c+

k′⟩⟩

(15.161)

Aici introducem urmatoarele notatii:

G0,k(ω) =1

ω − εk

(15.162)

si:

g0(ω) =1

ω − ε0

(15.163)

Ec.(15.161) devine:

Gk,k′(ω) = δk,k′ G0,k(ω) + g0(ω) Vk G0,k(ω)∑

k′′Vk′′ Gk′′,k′(ω) (15.164)

Dupa ınmultirea cu Vk, si sumarea peste k:

k

VkGk,k′(ω) =∑

k

Vkδk,k′G0,k(ω) + g0(ω)∑

k

V 2k G0,k(ω)

k′′Vk′′ Gk′′,k′(ω) =

= Vk′G0,k′(ω) +∑

k

V 2k G0,k(ω)g0(ω)

k′′Vk′′Gk′′,k′(ω) (15.165)

Aici introducem notatia suplimentara:

Γk′(ω) = g0(ω)∑

k′′Vk′′Gk′′,k′(ω) (15.166)

Evident: ∑

k

VkGk,k′(ω) =Γk′(ω)

g0(ω)(15.167)

iar ec.(15.165) se rescrie ca:

Γk′(ω)

g0(ω)= Vk′G0,k′(ω) +

k

V 2k G0,k(ω)Γk′(ω) (15.168)

200

Page 201: Fizica statistica, Curs

De aici obtinem:

Γk′(ω) =Vk′G0,k′(ω)

g−10 (ω)−∑

k V 2k G0,k(ω)

(15.169)

Folosind ec.(15.169) ın (15.164), functia Green devine:

Gk,k′(ω) = δk,k′ G0,k(ω) + Vk G0,k(ω) Γk′(ω) =

= δk,k′ G0,k(ω) + G0,k(ω)VkVk′

g−10 (ω)−∑

k V 2k G0,k(ω)

G0,k′(ω) ≡

≡ δk,k′ G0,k(ω) + G0,k(ω) Tk,k′ G0,k′(ω) (15.170)

Aici am introdus matricea Tk,k′(ω), prin:

Tk,k′(ω) =VkVk′

ω − ε0 −∑k

V 2k

ω−εk

(15.171)

Rezultatele pe care le-am obtinut mai sus sunt folositoare ın studiul trans-portului ın doturi cuantice.

15.4 Self-energia. Ecuatia Dyson

In cazul unui sistem cu interactii, dupa cum s-a vazut ın exemplul de maisus, forma functiei Green devine mai complicata. Din ec.(15.170), pentruk = k′, si cu notatiile: Gk,k(ω) = G(k, ω), G0,k(ω) = G0(k, ω), Tk,k′ = Tk(ω),avem:

G(k, ω) = G0(k, ω) + G0(k, ω) Tk(ω) G0(k, ω) (15.172)

cu:

Tk(ω) =V 2

k

ω − ε0 −∑k

V 2k

ω−εk

(15.173)

In cazul general, ın prezenta interactiilor, vom considera ca functia GreenG(k, ω) poate fi calculata cu ajutorul functiei Green fara interactii ımpreunacu insertii suplimentare care caracterizeaza interactiile, ımprastierile, etc.Aceste insertii vor defini o noua marime Σ(k, ω), numita self-energia sis-temului. Folosind self-energia, functia Green cu interactii poate fi scrisa subforma urmatoarei serii:

G(k, ω) = G0(k, ω) + G0(k, ω)Σ(k, ω)G0(k, ω)+

201

Page 202: Fizica statistica, Curs

+G0(k, ω)Σ(k, ω)G0(k, ω)Σ(k, ω)G0(k, ω) + ... (15.174)

sau:

G(k, ω) = G0(k, ω)[1 + Σ(k, ω)G0(k, ω) + (Σ(k, ω)G0(k, ω))2 + ...

]=

=G0(k, ω)

1− Σ(k, ω)G0(k, ω)=

1

G−10 (k, ω)− Σ(k, ω)

(15.175)

considerand ca suma din paranteza de mai sus este convergenta. O formaechivalenta pentru ec.(15.175) este:

G0(k, ω) = G(k, ω) [1− Σ(k, ω)G0(k, ω)]

iar de aici:

G(k, ω) = G0(k, ω) + G0(k, ω) Σ(k, ω) G(k, ω) (15.176)

Ec.(15.175), sau forma ei echivalenta (15.176) reprezinta ecuatia Dyson pen-tru functia Green, ın prezenta interactiilor.

Ca exemplu, pentru impuritatea localizata aflata ın interactie cu electroniide conductie, folosind ec.(15.175) si (15.172), obtinem:

Σ(k, ω) =Tk(ω)

1 + Tk(ω)G0(k, ω)(15.177)

15.5 Functia Green de neechilibru

Introducerea functiei Green de neechilibru este importanta ın studiulfenomenelor de transport, a cineticii, etc. Oricum, ın cinetica exista marimicare pot fi calculate folosind functiile Green de echilibru. Posibilitatile suntınsa restrınse, la situatii nu departe de echilibru (raspunsul liniar). FunctiaGreen cauzala, pentru un sistem la neechilibru, va fi definita ın mod sim-ilar cu cazul de la echilibru. Diferenta (la T = 0 K) consta ın procedurade mediere, ea fiind acum luata pe orice stare cuantica a sistemului (nefiind

202

Page 203: Fizica statistica, Curs

restrictionata la stari stationare, ca ın cazul de echilibru). Consideram unsistem cu interactii, descris de hamiltonianul:

H = H0 + HI (15.178)

(H0 - descrie sistemul fara interactii). Mai consideram ca initial (t = −∞),HI = 0 si ca starea initiala (fundamentala) este:

|φ0〉 ≡ |φ0(t = −∞)〉 (15.179)

In prezenta interactiilor, ın acord cu ec.(15.6) cu h = 1, functia Green cauzalaeste:

G(x, t; x′, t′) = −i〈φ|T ψ(x, t)ψ+(x′, t′) |φ〉

〈φ|φ〉 (15.180)

Aici |φ〉 reprezinta starea fundamentala a sistemului cu interactii. Legaturaıntre |φ〉 si |φ0〉 este data de teorema Gell-Mann si Low :

|φ〉 = S(0,−∞) |φ0〉 (15.181)

Aici, matricea S este data de:

S(t, t′) = T exp[−i

∫ t

t′dt1HI(t1)

](15.182)

si verifica proprietatea de grup:

S(t, t′) = S(t, t′′) S(t′′, t′) (15.183)

In mod analog cu ec.(15.181):

〈φ| = 〈φ0|S(∞, 0) (15.184)

Folosind ec.(15.181) si (15.184), si proprietatea data de ec.(15.183), functiaGreen devine:

G(x, t; x′, t′) = −i〈φ0|T [S(∞,−∞)ψ(x, t)ψ+(x′, t′)] |φ0〉

〈φ0|S(∞,−∞) |φ0〉 (15.185)

Acest rezultat da posibilitatea folosirii teoriei perturbatiilor pentru functiaGreen. Starea proprie |φ〉 se obtine prin cuplarea adiabatica a interactiei(pentru un interval mare de timp). Din acest motiv, este dificil sa definim

203

Page 204: Fizica statistica, Curs

starea sistemului la un moment de timp ulterior τ , si la temperaturi finite.Pentru rezolvarea acestor complicatii, s-a introdus metoda buclei ın timp(Schwinger). Aceasta metoda permite sa manipulam matricea S(−∞,∞),rupand integrala dupa timp ın doua ramuri, de la −∞ la τ , si de la τ la −∞,iar apoi sa luam limita τ →∞.

Aceasta tehnica permite scrierea dezvoltarii matricii S avand o stareinitiala |φ0〉 bine definita. In plus, tehnica nu depinde de ansamblul statistic,ceea ce este folositor atunci cand studiem sisteme la neechilibru. Cu aceastametoda, la temperaturi finite, functia Green este:

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉 = −i T r ρ0T [A(ta)B(tb)Sc] (15.186)

unde ρ0 este matricea de densitate, pentru starea initiala (fara interactii), siSc este:

Sc = Tc exp[−i

cdt HI(t)

](15.187)

Ea reprezinta matricea S luata pe conturul cu bucla ın timp. Deoarece axatimpului este modificata la o bucla cu doua ramuri, vom defini patru functiiGreen, depinzand de pozitiile relative pentru ta si tb de pe bucla:

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉++ = −i T r ρT [A(ta)B(tb)] (15.188)

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉+− = ±i T r ρ [B(tb)A(ta)] (15.189)

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−+ = −i T r ρ [A(ta)B(tb)] (15.190)

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−− = −i T rρT [A(ta)B(tb)]

(15.191)

ρ - este matricea de densitate. Forma ei explicita nu poate fi data dar,consideram ca ea evolueaza de la ρ0 pentru t = −∞. Functiile Green definite

204

Page 205: Fizica statistica, Curs

mai sus sunt legate de functiile Green lesser, greater, retardata, si avansataprin relatiile:

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉< = 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉+− (15.192)

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉> = 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−+ (15.193)

si:〈〈A(ta)|B(tb)〉〉r = 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉++ − 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉+−

= 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−+ − 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−− (15.194)

〈〈A(ta)|B(tb)〉〉a = 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉++ − 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−+

= 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉+− − 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉−− (15.195)

Consideram acum un sistem care evolueaza, fiind descris de hamiltonianul:

H = H0 + HI (15.196)

H0 descrie sistemul fara interactii, iar HI descrie interactiile dintre toateparticulele din sistem. Initial (t = −∞), HI = 0. Dupa ce HI este cuplatadiabatic, vor aparea curenti de particule ın sistem. In acest caz, functiaGreen de neechilibru este:

i 〈〈A(ta)|B(tb)〉〉 =∞∑

n=0

(−i)n

n!

cdt1...

cdtn·

·Tr ρ0Tc [AI(ta)BI(tb)HII(t1)...HII(tn)] (15.197)

Indicele I releva descrierea de interactie pentru operatori. Ec.(15.197) per-mite calcularea proprietatilor caracteristice fenomenelor de transport, dincolode aproximatia raspunsului liniar.

Pe de alta parte, metoda ecuatiei de miscare trebuie revizuita, pentrucazul de neechilibru, deoarece functiile Green de neechilibru nu pot fi completdeterminate numai de ecuatiile Heisenberg. In acest caz, marimile fizice suntcalculate cu ajutorul functiei Green lesser (care este legata de functia dedistributie). Ecuatia de miscare pentru functia Green retardata este:

i∂

∂t2〈〈A(t2)|B(t1)〉〉r = δ(t2 − t1) 〈[A(t1), B(t1)]〉+ 〈〈[A(t2), H] |B(t1)〉〉r

(15.198)

205

Page 206: Fizica statistica, Curs

Aici:[A(t2), H] =

i

λiεiA(t2) (15.199)

cu λi = +1(−1) pentru operatorul de anihilare (creare), iar comutatorul[A(t2), HI ] este pastrat ın ecuatia de miscare. In mod similar, ecuatia demiscare pentru functia Green lesser este:

i∂

∂t2〈〈A(t2)|B(t1)〉〉< = 〈〈[A(t2), H] |B(t1)〉〉< (15.200)

avand transformata Fourier:(ω −∑

i

λiεi

)〈〈A|B〉〉<ω = 〈〈[A,HI ] |B〉〉<ω (15.201)

De aici, functia Green lesser este:

〈〈A|B〉〉<ω =

(ω −∑

i

λiεi

)−1

〈〈[A,HI ] |B〉〉<ω + a(ω) · δ(ω −∑

i

λiεi

)

(15.202)Functia arbitrara a(ω) precum si conturul de integrare pentru (ω −∑

i λiεi)−1

sunt ınca necunoscute. Ele vor fi determinate ın cadrul formalismului bucleiın timp, unde se obtine urmatorul rezultat:

〈〈A|B〉〉<ω = g<(ω)⟨[A,B]±

⟩+ Gr(ω) 〈〈[A,HI ] |B〉〉<ω + g<(ω) 〈〈[A, HI ] |B〉〉aω

(15.203)(+ pentru fermioni, si − pentru bosoni). Aici:

g<(ω) = 2πif(ω)δ

(ω −∑

i

λiεi

)(15.204)

si:

Gr(ω) =1

ω −∑i λiεi + iε

(15.205)

Ec.(15.203) se rescrie ca:

〈〈A|B〉〉<ω =〈〈[A,HI ] |B〉〉<ωω −∑

i λiεi + iε+ 2πif(ω)δ

(ω −∑

i

λiεi

206

Page 207: Fizica statistica, Curs

·[⟨

[A,B]±⟩

+ 〈〈[A,HI ] |B〉〉aω]

(15.206)

Comparınd ec.(15.202) cu ec.(15.206), determinam factorul a(ω), care continetoata informatia despre statistica sistemului. Daca este posibil sa separamun termen de forma iγ 〈〈A|B〉〉<ω , din functia Green de ordin superior (careaici este 〈〈[A,HI ] |B〉〉<ω ), ec.(15.206) devine:

(ω −∑

i

λiεi + iε

)〈〈A|B〉〉<ω = A− iγ 〈〈A|B〉〉<ω +

+2πif(ω)δ

(ω −∑

i

λiεi

) (ω −∑

i

λiεi

) [⟨[A,B]±

⟩+ 〈〈[A,HI ] |B〉〉aω

]

sau:(ω −∑

i

λiεi + iγ

)〈〈A|B〉〉<ω = A+ 2πif

(∑

i

λiεi

(ω −∑

i

λiεi

·(ω −∑

i

λiεi

) [⟨[A,B]±

⟩+ 〈〈[A,HI ] |B〉〉aω

]

De aici vom obtine:

〈〈A|B〉〉<ω =1

ω −∑i λiεi + iγ

2πif

(∑

i

λiεi

(ω −∑

i

λiεi

·(ω −∑

i

λiεi

) [⟨[A, B]±

⟩+ 〈〈[A, HI ] |B〉〉aω

]+

+alti termeni din 〈〈[A,HI ] |B〉〉<ω (15.207)

Aceasta separare este ıntotdeauna posibla cand sistemul interactioneaza cuun rezervor.

207

Page 208: Fizica statistica, Curs

Anexe

Anexa A. Functia Gama

Functia Gama Γ(n + 1) se defineste prin relatia:

Γ(n + 1) = n! =∫ ∞

0dx xn e−x (A.1)

Atunci:Γ(1) = 0! = 1 (A.2)

Integrand (A.1) prin parti, cu ajutorul retetei:∫

fg′ = fg −∫

f ′g

cu:f = xn =⇒ f ′ = n xn−1

g′ = e−x =⇒ g = −e−x

avem:∫ ∞

0dx xn e−x = −xn e−x

∣∣∣∞0

+∫ ∞

0dx n xn−1 e−x = n

∫ ∞

0dx xn−1 e−x

adica:Γ(n + 1) = n Γ(n) (A.3)

Vedem cateva integrale, care apar ın fizica statistica, exprimate cu ajutorulfunctiei Gama. Pentru aceasta folosim:

Γ(z) =∫ ∞

0dx xz−1e−x

Aici, facem schimbarea de variabila:

x = a y =⇒ dx = a dy a > 0

si obtinem: ∫ ∞

0dy yz−1 e−ay =

Γ(z)

az(A.4)

208

Page 209: Fizica statistica, Curs

Facand apoi schimbarea:

x = a y2 =⇒ dx = a 2y dy a > 0

gasim:

Γ(z) = 2az∫ ∞

0dy y2z−1 e−ay2

Notand:

2z − 1 = n =⇒ z =n + 1

2obtinem:

∫ ∞

0dy yn e−ay2

(n+1

2

)

2 an+1

2

; n > −1 (A.5)

Cateva relatii functionale, pentru functia Gama:

Γ(z + 1) = z Γ(z) (A.6)

Formula complementelor este:

Γ(z)Γ(1− z) =π

sin(πz)(A.7)

Formula dublarii este:

22z−1Γ(z)Γ(z +

1

2

)= Γ

(1

2

)Γ(2z) (A.8)

Din relatia (A.7), pentru z = 1/2, avem:

(1

2

)]2

sin(π/2)= π =⇒ Γ

(1

2

)=√

π ≡(−1

2

)! (A.9)

Anexa B. Formula Stirling

Determinam o formula care aproximeaza n!, atunci cand n À 1. Pentruaceasta folosim relatia:

n! =∫ ∞

0dx xn e−x

209

Page 210: Fizica statistica, Curs

Aici notam:f(x) = xn e−x (B.1)

Facand substitutia:

x = n + u√

n =⇒ dx = du√

n

avem:n! =

√n

∫ ∞

−√ndu (n + u

√n)n e−(n+u

√n) =

=√

n∫ ∞

−√ndu nn

(1 +

u√n

)n

e−n e−u√

n =

=√

n(

n

e

)n ∫ ∞

−√ndu

(1 +

u√n

)n

e−u√

n (B.2)

Integrandul din expresia de mai sus are un maxim la u = 0. Vom aproximaacest integrand, considerand pentru ınceput, logaritmul sau:

ln

[(1 +

u√n

)n

e−u√

n

]= n ln

(1 +

u√n

)− u

√n

Dezvoltam logaritmul din aceasta expresie, ın jurul lui u = 0, folosind relatia:

ln(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− x4

4+ ... ; −1 < x ≤ 1 (B.3)

Gasim imediat ca:

ln

[(1 +

u√n

)n

e−u√

n

]= −u2

2+

u3

3√

n− u4

4n+ ... (B.4)

Atunci, integrandul din (B.2), este:

(1 +

u√n

)n

e−u√

n = exp

(−u2

2+

u3

3√

n− u4

4n+ ...

)(B.5)

iar ec.(B.2) devine:

n! =√

n(

n

e

)n ∫ ∞

−√ndu exp

(−u2

2+

u3

3√

n− u4

4n+ ...

)(B.6)

210

Page 211: Fizica statistica, Curs

Cand n À 1, si deoarece contributia esentiala la integrala provine de la u ∼ 0,avem aproximativ:

n! ' √n

(n

e

)n ∫ ∞

−∞du exp

(−u2

2

)(B.7)

sau:

n! '√

2πn(

n

e

)n

; n À 1 (B.8)

Aceasta este formula Stirling. De obicei ınsa, este de interes sa cunoastemln n!, pentru n À 1. Logaritmand expresia de mai sus, obtinem:

ln n! '(n +

1

2

)ln n− n +

1

2ln(2π) (B.9)

Cand: n À 1, mai aproximam: n + (1/2) ' n, iar termenul: (1/2) ln(2π) ∼0, 9 este neglijabil ın raport cu ceilalti. Atunci:

ln n! ' n ln n− n ; n À 1 (B.10)

Relatia (B.10) este o aproximatie buna, pentru n > 100. Daca n = 100,rezultatul exact este: ln 100! = 363, 74, iar rezultatul dat de aproximatia(B.10) este 360, 51.

Anexa C. Volumul si aria sferei n-dimensionale de raza R

Consideram sistemul n-dimensional (x1, x2, ..., xn), ın care:

R2 = x21 + x2

2 + ... + x2n (C.1)

Elementul de volum, ın n-dimensiuni, este:

dVn = dx1dx2...dxn (C.2)

Volumul sferei, ın n-dimensiuni, este:

Vn(R) =∫

...∫

dx1dx2...dxn (C.3)

211

Page 212: Fizica statistica, Curs

In mod evident, trebuie sa avem:

Vn(R) ∼ Rn (C.4)

deci:Vn(R) = CnRn (C.5)

unde, coeficientul Cn trebuie determinat. In plus:

dVn(R) = Cn n Rn−1 dR (C.6)

Pe de alta parte, cunoastem ca:

√π =

∫ ∞

−∞dx e−x2

(C.7)

Inmultind aceasta expresie de n ori, avem:

√π...

√π =

∫ ∞

−∞dx1 e−x2

1 ...∫ ∞

−∞dxn e−x2

n =

=∫ ∞

−∞...

∫ ∞

−∞dx1dx2...dxn e−(x2

1+x22+...x2

n) −→∫ ∞

0dVn(R) e−R2

Folosind (C.6) avem:

πn/2 = Cn n∫ ∞

0dR Rn−1 e−R2

= Cn n1

(n

2

)(C.8)

(ultimul rezultat se obtine cu ec.(A.5)). Atunci:

Cn =πn/2

n2

Γ(

n2

) (C.9)

Folosind (A.3):n

(n

2

)= Γ

(n

2+ 1

)≡

(n

2

)! (C.10)

obtinem:

Cn =πn/2

Γ(

n2

+ 1) ≡ πn/2

(n2

)!

(C.11)

212

Page 213: Fizica statistica, Curs

Volumul sferei, ın n - dimensiuni, devine:

Vn(R) =πn/2

(n2

)!Rn ≡ πn/2

Γ(

n2

+ 1) Rn (C.12)

Suprafata sferei se determina folosind:

dVn(R) = Sn(R) dR (C.13)

si ec.(C.6). Prin identificare, avem:

Sn(R) = Cn n Rn−1 (C.14)

Inlocuind aici expresia lui Cn, se gaseste:

Sn(R) =2 πn/2

Γ(

n2

) Rn−1 (C.15)

- Cazuri particulare:

a) Pentru: n=3:

V3(R) =π3/2

Γ(

32

+ 1) R3

Deoarece:

Γ(

3

2+ 1

)=

3

4

√π

obtinem:

V3(R) =4πR3

3

Suprafata este:

S3(R) =2 π3/2

Γ(

32

) R2

Aici:

Γ(

3

2

)=

√π

2

astfel ıncat:S3(R) = 4πR2

213

Page 214: Fizica statistica, Curs

b) Pentru: n=2:

V2(R) =π2/2

Γ(

22

+ 1) R2

Deoarece:Γ(2) = 1

obtinem:V2(R) = πR2

Suprafata este:

S2(R) =2 π2/2

Γ(

22

) R

Aici:Γ(1) = 1

astfel ıncat:S2(R) = 2πR

b) Pentru: n=1:

V1(R) =π1/2

Γ(

12

+ 1) R

Deoarece:

Γ(

1

2+ 1

)=

√π

2

obtinem:V1(R) = 2R

Suprafata este:

S1(R) =2 π1/2

Γ(

12

) R0

Aici:

Γ(

1

2

)=√

π

astfel ıncat:S1(R) = 2

214

Page 215: Fizica statistica, Curs

Bibliografie

1. E.Fermi, Thermodynamics , Dover, New York, 19562. K.Huang, Statistical Mechanics , John Wiley, New York, 19873. L.E.Reichl, A Modern Course in Statistical Physics , John Wiley,New York, 19984. S.Titeica, Termodinamica , Editura Academiei RSR, Bucuresti, 19825. G.Ciobanu, Termodinamica si Fizica Statistica , Editura Tehnica,Bucuresti, 20046. S.Titeica, Curs de Fizica Statistica si Teoria Cuantelor , Editura All,Bucuresti, 20037. R.K.Pathria, P.D.Beale, Statistical Mechanics , Elsevier, 20118. M.Plischke, B.Bergersen, Equilibrium Statistical Physics , WorldScientific, Singapore, 20069. L.D.Landau, E.M.Lifsit, Fizica Statistica, Editura Tehnica, Bucuresti,198810. J.P.McKelvey, Solid State and Semiconductor Physics , Harper andRow, New York, 196611. S.Fujita, S.Godoy, Quantum Statistical Theory of Superconductivity, Springer, 199712. W.Greiner, L.Neise, H.Stocker, Thermodynamics and StatisticalMechanics , Springer, 199513. C.Kittel, Introducere ın Fizica Corpului Solid , Editura Tehnica,Bucuresti, 197214. N.W.Ashcroft, N.D.Mermin, Solid State Physics , Saunders,Philadelphia, 197615. A.N.Matveev, Molecular Physics , Mir Publishers, Moscow, 198516. G.Ciobanu, C.Constantinescu, Fizica Starii Solide; vol.1 ,Editura Tehnica, Bucuresti, 198217. I.G.Murgulescu, E.Segal, Introducere ın Chimia Fizica, vol.II, 1;Teoria molecular-cinetica a materiei , Editura Academiei RSR,Bucuresti, 197918. I.Vilfan, Lecture Notes in Statistical Mechanics , www-f1.ijs.si/vilfan/SM/19. G.Ciobanu, Curs de Termodinamica si Fizica Statistica, vol.3 ,

215

Page 216: Fizica statistica, Curs

lito, Univ.Bucuresti, 198220. L.P.Kadanoff et.al., Rev.Mod.Phys.39, 395, 196721. C.Kittel, Quantum Theory of Solids, John Wiley, 198722. D.Pines, P.Nozieres, The Theory of Quantum Liquids, vol.1 ,Benjamin, New York, 196623. I.Licea, Fizica Metalelor , Editura Stiintifica si Enciclopedica,Bucuresti, 198624. I.Tifrea, I.Grosu, M.Crisan, Metode cuantice pentru studiulsistemelor cu multe particule; aplicatii la sisteme fermionice sibosonice , Presa Universitara Clujeana, 200525. D.A.R.Dalvit, J.Frastai, I.D.Lawrie, Problems on StatisticalMechanics , IOP Publishing, 199926. S.B.Cahn, G.D.Mahan, B.E.Nadgorny, A Guide to PhysicsProblems, part 2: Thermodynamics, Statistical Physics andQuantum Mechanics , Kluwer, 199727. T.Flieβbech, H.Walliser, Arbeitsbuch zur Theoretischen Physik ,Elsevier, 200428. E.Buks, Introduction to Thermodynamics and Statistical Physics.Lecture Notes , webee.technion.ac.il/labs/Quantum Engineering/files/papers/tdsm lecture notes.pdf29. A.L.Garcia, Statistical Mechanics. Lecture Notes ,www.algarcia.org/Phys260/LectureNotes.pdf30. D.Arovas, Lecture Notes on Thermodynamics and StatisticalMechanics , www-physics.ucsd.edu/students/courses/spring2010/physics210a/LECTURES/210 COURSE.pdf31. L.Mihaly, M.C.Martin, Solid State Physics. Problems andSolutions , John Wiley, 199632. I.Grosu, I.Tifrea, Teoria Materiei Condensate. Probleme , CasaCartii de Stiinta, Cluj-Napoca, 200633. J.D.Patterson, Introduction to the Theory of Solid State Physics,Addison-Weseley, 1971

216


Recommended