Laborator C2Variabile aleatoare

2

Laboratorul #7

Ascultam: Antonin Dvorak - Simfonia a 9-a in mi minor “Din lumea noua” Orchestra: Columbia Symphony OrchestraDirijor: Bruno Walter

Invatam: Variabile aleatoare

3

EXIGENŢE INIŢIALE (noţiuni ce trebuie cunoscute pentru a înţelege capitolul curent)

frecvenţă absolută frecvenţă cumulată

histogramă

de cîte ori se repetă... o valoare.

... STRICT o anumită valoare

... toate valorile < o anumită valoare

(suma frecvenţelor tuturor valorilor mai mici decît o anumită valoare)relaţia dintre fiecare valoare si frecvenţa ei

frecvenţa unei valori

valori discrete sau continui

entitate ce-şi schimbă valoarea

valoare

variabilă

4

EXIGENŢE FINALE (noţiuni pe care le veti invata astazi)

• VARIABILE ALEATOARE:• discrete• continui

Exemplu de repartitii discrete: Repartiţia binomiala (Bernoulli)

REPARTIŢIA: - exprimă relaţia dintre fiecare valoare şi probabilitatea corespunzătoare ei

- tabel cu fiecare valoare şi probabilitatea ei

Exemplu de repartitii continue: Repartiţia normala

Functiile Excel: BINOM.DIST si NORM.DIST

5

VARIABILE ALEATOARE DISCRETE

VALORI: a

1, a

2,... a

n

LEGEA DE REPARTITIE

PROBABILITĂŢI: p1, p

2,... p

n

Funcţia de probabilitate (sau “distribuţia de probabilitate”):

probabilitatea “absolută” a unei valori ak

f(ak) = P(A=a

k) = P(a

k) = p

k stiind ca Funcţia de repartie: probabilitatea “cumulată” a tuturor

valorilor mai mici de o anumită valoare a

i

F(a) = P(A<=ai) =

REPARTITIA BINOMIALADefinita de doua conditii:

• Evenimente care pot avea doar doua rezultate diferite intre ele (succes/insucces)

• Probabilitatea fiecarui rezultat este constanta (p pentru succes si (1-p) pentru insucces)

Probabilitatea ca din n evenimente, un numar de k evenimente sa fie de succes este data de Functia de probabilitate de forma: P(i=k)=f(k,n,p)=

Exemplu: operatii lipsite de complicatii (succes) si operatii care au complicatii (insucces) cu rata/probabilitatea de succes p=90% operatii (insucces de 10%)

7

VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

VALORI: a1, a

2,... a

n intr-un interval

continuu, cu n ∞

PROBABILITĂŢI: p1, p

2,... p

n cu p

k 0

Valorile a1, a

2,... A

n, fiind valori reale:

● variaza intre -∞ si +∞• sint o infinitate de valori

Probabilitatea unei valori continui este nula

8

VARIABILE ALEATOARE CONTINUE

Funcţia densitate de probabilitate este acea functie f(x) pentru care

P(A<+∞) =

Funcţia de repartitie F(x) reprezinta suma ariilor suprafetelor dintre abscisa si graficul functiei densitate de probabilitate

0 5 101520253035400.00000

0.01000

0.02000

0.03000

0.04000

0.00000

0.20000

0.40000

0.60000

0.80000

1.00000

DISTRIBUTIA NORMALAParametri: Media valorilor este notata

cu µ Dispersia este notata cu σ2

Functia densitatii de probabilitate este:

f(x) = cu x intre -∞ si +∞

Functia de repartitie este:

F(x) =

Copyright 2010 10

ComparatiiVAR. ALEATOARE DISCRETE

Functia de probabilitatef(a

k) = P(A=a

k) = P(a

k) = p

k

VAR. ALEATOARE CONTINUE

Densitate de probabilitateP(a<=X<=b)=P(-∞<=X<=+∞)= = 1

Functia de repartitie

F(a) = P(A<=ai) =

Functia de repartitie

FUNCTII EXCEL Repartitia binomiala (Bernoulli): BINOM.DIST

calculaza valoarea Functiei de probabilitate sau a Functiei de repartitieRepartitia normala (Gauss-Laplace): NORM.DIST

calculaza valoarea Densitatii de probabilitate si a Functiei de repartitie

Sintaxe

=BINOM.DIST(k, n, p, z)=NORM.DIST (x, σ, µ, z)

k-nr. de succese, n – nr. de evenimente, p – probabilitatea unui succesx – valoarea, σ – dispersia, µ - valoarea medie

z = 0 pt. Functia/Densitatea de probabilitatez = 1 pt Functia de repartitie

12

EXERCITII1. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic Functia de

probabilitate si Functia de repartitie pentru repartitii binomiale cu n=20 sau 40 si p=50% si 70%

2. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic Densitatea de probabilitate si Functia de repartitie pentru o repartitie normala

4. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic probabilitatea valorilor din intervalul 12-22 in cazul unei repartitii normale

3. Sa se calculeze si sa se reprezinte grafic probabilitatea valorilor mai mici decit 18 in cazul unei repartitii normale

Copyright 2010 13

La revedere

Am ascultat: Antonin Dvorak - Simfonia a 9-a in mi minor

“Din lumea noua” Orchestra: Columbia Symphony

OrchestraDirijor: Bruno Walter

Am invatat: Variabile aleatoare