Post on 23-Jul-2015
transcript
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
Proiect Statistică Economică
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
Problema A.
Înregistrați pentru 30 unități, valorile specifice ale unei perechi de caracteristici (X si Y) intre care exista o legătura logica. Datele prezentate sub forma tabelara fac parte din lucrare, potrivit modelului de mai jos:
Nr. crt. Caracteristica X(xi)
Caracteristica Y(yi)
1...
40
Pe baza datelor înregistrate se cer următoarele:
1) Sa se calculeze valorile medii (x) si (y) ale celor 40 de variante;2) Sa se stabilească amplitudinea absoluta si relativa, dispersia, abaterea medie pătratica si
coeficientul de variație pentru fiecare caracteristica; sa se precizeze in funcție de care din cele doua caracteristici este mai omogena colectivitatea celor 30 unități;
3) Sa se grupeze cele 30 de unități in funcție de fiecare caracteristica pe 4-5 intervale egale si sa se prezinte repartițiile unidimensionale obținute sub forma de tabele si grafice statistice;
4) In vederea comparării celor doua repartiții unidimensionale organizate pe intervale de grupare, sa se estimeze indicatorii tendinței centrale (media, mediana, modul), abaterea medie pătratica, coeficientul de variație, precum si indicatorii asimetriei; sa se explice diferențele intre rezultatele obținute si cele înregistrate la punctele (1) si (2);
5) Acceptând ca cele 40 de unități constituie un eșantion reprezentativ de 3% obținut prin extragere simpla, aleatoare, nerepetata dintr-o colectivitate generala, sa se calculeze pentru una dintre caracteristici, limitele intervalului de estimare a mediei colectivității generale (x si y) cu o probabilitate de 0,9545 (z=2);
6) Sa se estimeze si interpreteze parametrii funcției liniare de regresie si coeficientul de corelație, pe baza datelor din tabelul cu dubla intrare alcătuit la punctul (6);
7) Sa se preia din tabelul de valori individuale ale observării primele 15 perechi de valori (in ordinea înregistrării) si sa se caracterizeze legătura dintre (X) si (Y) prin metode elementare de analiza (serii paralele si grafic);
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale8) Sa se estimeze parametrii funcției de regresie si sa se măsoare intensitatea legăturii prin
metode parametrice si neparametrice pe cele 15 perechi de valori (xi,yi).
Bucureşti 2012
Nr. Crt ŢaraFormarea capitalului
brut(y)Export(x)
1 Armenia 1569 10302 Austria 7283 195913 Azerbaijan 2120 74504 Belarus 5529 61015 Belgium 6763 268486 Bulgaria 2857 69447 Canada 7747 111948 Czech Republic 5967 18386
9 Estonia 3531 1425210 Finland 6006 1362711 France 5535 779912 Germany 6034 1597113 Greece 3929 528914 Hungary 3212 1675615 Iceland 3463 1329416 Israel 4739 1124817 Italy 5387 734818 Kazakhstan 3770 4643
19 Kyrgyzstan 497 904
20 Latvia 2662 7341
21 Malta 2489 2176322 Moldova, Republic of 780 1396
23 Netherlands 6792 2847324 Portugal 4226 681025 Russian Federation 2885 492726 Slovenia 5744 1702827 Switzerland 7139 2069628 Turkey 2567 2700
29 Ukraine 544 1565
30 United States 6942 5369
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
Am notat formarea capitalului brut cu y şi exportul cu x.
y=ƒ(x)
1) Sa se calculeze valorile medii (x) si (y) ale celor 30 de variante;
x= 10891.43 euro,
unde x reprezintă valoarea medie a exportului corespunzătoare celor 30 de țări.
y= 4290.26 euro,
unde y reprezintă valoarea medie a capitalului brut din cele 30 de țări.
2) Sa se stabilească amplitudinea absoluta si relativa, dispersia, abaterea medie pătratica si coeficientul de variație pentru fiecare caracteristica; sa se precizeze in funcție de care din cele doua caracteristici este mai omogena colectivitatea celor 30 unități;
Amplitudinea x y
absolută A=x max-x min= 27569 A=y max-y min= 7250
relativă
A%=Xmax−Xmin
x∙100=
253.1255452
A%=ymax− y min
y∙100=
168.9871647
Amplitudinea absolută pentru x reprezintă de fapt, diferenţa dintre valoarea maximă şi valoarea minimă a exporturilor corespunzătoare celor 30 de înregistrări.
Amplitudinea absolută pentru y reprezintă de fapt, diferenţa dintre valoarea maximă şi valoarea minimă a capitalului brut.
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice InternaţionaleAmplitudinea relativă returnează mărimea câmpului de împrăştiere în jurul mediei. Observăm că pentru x valoarea amplitudinii relative, 253.12% > 100%, de unde tragem concluzia că avem o colectivitate eterogenă. Acelaşi lucru este valabil şi pentru y.
Dispersia se calculează cu formula:
σ ²=∑ (x ¡−x¿) ²
n¿
Abaterea pătratică medie se calculează cu ajutorul formulei:
σ=√σ ²
Abaterea patratica medie x y
7683.425519 2136.760938
Dispersia arată gradul de împrăștiere, în timp ce abaterea pătratică medie ne indică cu cât se abat în plus sau în minus, variabilele x şi y de la valorile lor medii.
Coeficientul de variație se calculează astfel:
v=σx
∙100
Coef de variatie x y70.5455864
6 49.8048514
70.54 % > 35 % şi 49.80 % > 35 % ,deci în ambele cazuri intensitatea variaţiei creşte , colectivitatea este eterogenă, iar media tinde să fie o mărime nereprezentativă.
Bucureşti 2012
Dispersia x y59035027.7 4565747.306
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale3) Sa se grupeze cele 30 de unități in funcție de fiecare caracteristica pe 4-5 intervale egale
si sa se prezinte repartițiile unidimensionale obținute sub forma de tabele si grafice statistice.
Calculăm amplitudinea variatiei:A=y max-y min= 7250
Stabilim nr. de grupe:
r=5grupe
Calculam intervalul de grupare:
k=Ar
=1450
intervale y nr tari497-2489 62567-3463 63531-5387 65529-6034 66763-7747 6
497-2489
2567-3463
3531-5387
5529-6034
6763-7747
0 1 2 3 4 5 6
Calculăm amplitudinea variatiei:A=x max-x min= 27569
Stabilim nr. de grupe:
r=5grupe
Calculam intervalul de grupare:
k=Ar
=5513.8
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
904-4643
4927-6944
7341-11248
13294-17028
18386-28473
0 1 2 3 4 5 6
4) In vederea comparării celor doua repartiții unidimensionale organizate pe intervale de grupare, sa se estimeze indicatorii tendinței centrale (media, mediana, modul), abaterea medie pătratica, coeficientul de variație, precum si indicatorii asimetriei; sa se explice diferențele intre rezultatele obținute si cele înregistrate la punctele (1) si (2);
GRUPARE DUPA EXPORT
NR DE TARI n¡
CENTRUL INTERVALULUI
DE GRUPAREx¡
x¡·n¡ (x¡-x R)²∙n¡FRECVENTE CUMULATE
904-4643 6 2773.5 16641 799763712.5 64927-6944 6 5935.5 35613 421678313.3 127341-11248 6 9294,5 55767 151461542.9 1813294-17028 6 15161 90966 4255805.04 2418386-28473 6 38429.5 320577 3487955127 30TOTAL 30 429564
Bucureşti 2012
intervale x nr tari904-4643 64927-6944 67341-11248 613294-17028 618386-28473 6
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
Media este: x=∑ x¡ · n ¡
∑ n ¡= 14318.8
Locul medianei este: n+1
2=30+1
2=15.5
Me = X0 +k ∙loc Me−∑ npMe
nME=904+5513.8 ∙
15.5−04643
=922.407
Exportul median este de 922.407 euro,ceea ce inseamnă că jumătate dintre tări au exportul mai mic de 922.407 euro,iar jumătate dintre tări aue mai mare de 922.407 euro.
Mo=Xo+¿k∙Δ 1
Δ1−Δ2=¿904+5513.8 ∙
(6−0 )(6−0 )+(6−6 )
=¿ 6417.8
Valoarea 6417.8 se încadrează în intervalul al doilea şi anume (4927-6944).
xoMo
= limita inferioara a intervalului modal;
k = marimea intervalului modal;
Δ1 = diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului anterior;
Δ2 = diferenta dintre frecventa intervalului modal si frecventa intervalului urmator;
Indicatori ai variației:
Amplitudinea absolută A=x max-x min= 27569
Amplitudinea relativă A%=Xmax−Xmin
x∙100= 253.1255452
Dispersia o calculam cu formula de mai jos si obtinem 162170483.4
Abaterea pătratică medie este 12734.61752
Coeficientul de variație:
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
v=σx
∙100=¿88.93634606
Deci v=88.93 %>35 % , medie nereprezentativă , colectivitate eterogenă.
Indicatorii asimetriei:
Cas=x−Mo
σ=¿0.6204
C'as=3 (x−Me )
σ=¿3.1558
3.1558 nu apartine intervalului (–0.3,0.3) ⇒ asimetria este mai puternică,iar indicatorii tendinței centrale tind sa fie nesemnificativi.
GRUPARE DUPA
NR DE TĂRI
CENTRUL INTERVALUL
UI DE GRUPARE y¡·n¡ (y¡- y R)²∙n¡
FRECVENTE CUMULATE
CAPITAL BRUT
n¡ y¡
497-24896 2773.5 16641
438132912.5
6
2567-34636 5935.5 35613
173879513.3
12
3531-53876 9294.5 55767
24586742.94
18
5529-60346 15161 90966
88575005.04
24
6763-77476 23429.5 140577
880014326.9
30
TOTAL 30 339564
y=11318.8 MEDIANA:
LocMe=n+1
2=30+1
2=15.5
Me=Xo+k ∙loc Me−∑ npMe
nME=497+1450 ∙
15.5−02489
=506.02 euro
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionalexo
Me= limita inferioara a intervalului mediana;
k = marimea intervalului mediana;
∑ npMe = suma frecvetelor pana la intevalul medianei;nMe = frecventa intervalului medianei;
Capitalul brut median este de 506.02 euro,ceea ce inseamnă că jumătate dintre tări au capitalul mai mic de 506.02 euro, ar jumătate dintre tări au capitalul mai mare de 506.02 euro.
Modul:
Mo=Xo+¿k∙Δ 1
Δ1−Δ2⇒497+1450∙
(6−0)(6−0 )+ (6−6 )
=1947 euro
1947 euro se încadrează în intervalul [497-2489]Cele mai multe țări au capitalul brut în jurul valorii de 1947 euro.
Indicatori ai variației:
Amplitudinea absolută A=y max-y min= 7250
Amplitudinea relativă A%=ymax− y min
y∙100= 168.9871647
Dispersia o calculam cu formula de mai jos si obtinem 53506283.36
Abaterea pătratică medie este 7314.798928Coeficientul de variație:
v=σy
∙100=¿64.62521582
Deci v=64,62 %>35 % , medienereprezentativă , colectivitateeterogenă .
Indicatorii asimetriei:
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
Cas=y−Mo
σ=¿1.2812
C'as=3 ( y−Me )
σ=¿4.4346
4.4346 nu apartine intervalului (–0.3,0.3) ⇒ asimetria este mai puternică,iar indicatorii tendinței centrale tind sa fie nesemnificativi.
5) Acceptând ca cele 30 de unități constituie un eșantion reprezentativ de 3% obținut prin extragere simpla, aleatoare, nerepetata dintr-o colectivitate generala, sa se calculeze pentru una dintre caracteristici, limitele intervalului de estimare a mediei colectivității generale (x si y) cu o probabilitate de 0,9545 (z=2);
300.03
=1000
x−Δx≤ x0 ≤ x+ Δx
x=10891.43
Δx=z∙ μx=2767,94
μx =√ σ ²n−1
∙(1− nN
)=√ 59035027.730−1
∙ (1−0.03 )⇒ μx =1383.97
10891.43-2767.94 ≤ x0 ≤ 10891.43+¿2767.94
8123.49≤ x0 ≤13659.37
Putem garanta că valoarea medie a expoturilor se încadrează în intervalul [8123.49;13659.37]
6) Sa se estimeze si interpreteze parametrii funcției liniare de regresie si coeficientul de corelație, pe baza datelor din tabelul cu dubla intrare alcătuit înainte de punctul (1);
n=30
∑ x i=326743
∑ y i=128708
∑ x i2=¿5270715405
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
∑ y i2=¿684598314
∑ x i∗y i=¿¿1696640472
Pentru estimarea parametrilor dreptei de regresie liniară rezolvăm sistemul de ecuaţii:
30 a+ 326743 b =128708
326743 a + 5270715405 b = 1696640472
Am obţinut a=24001.58 , indicator ce nu are semnificaţie majoră şi b=-1.8098 care se numeşte coeficient de regresie.
Funcţia liniară de regresie are următoarea formă:
f ( x )=24001.58−1.8098 x i
Coeficient de corelaţie se calculează cu formula
r=-0.511259519
Valoarea coeficientului de corelatie indica o legatura slaba intre cele 2 variabile. Prin ridicarea la patrat si inmultirea cu 100, rezulta un coefficient de determinatie de 26.1%. Daca se considera o influenta liniara a lui x asupra lui y, atunci exportul explica doar 26.1% din variatia capitalului brut.
7) Sa se preia din tabelul de valori individuale ale observării primele 15 perechi de valori (in ordinea înregistrării) si sa se caracterizeze legătura dintre (X) si (Y) prin metode elementare de analiza (serii paralele si grafic);
Nr. Crt Ţara
Formarea capitalului brut(y) Export(x)
1 Armenia 1569 10302 Austria 7283 195913 Azerbaijan 2120 74504 Belarus 5529 61015 Belgium 6763 268486 Bulgaria 2857 6944
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale7 Canada 7747 111948 Czech Republic 5967 183869 Estonia 3531 14252
10 Finland 6006 1362711 France 5535 779912 Germany 6034 1597113 Greece 3929 528914 Hungary 3212 1675615 Iceland 3463 13294
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Cap brutExport
Observăm că valorile pentru export sunt mult mai mari decât valorile pentru formarea capitalului brut.
8) Sa se estimeze parametrii funcției de regresie si sa se măsoare intensitatea legăturii prin metode parametrice si neparametrice pe cele 15 perechi de valori (xi,yi).
n=30
∑ x i=¿184532¿
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale∑ y i=¿71545¿
∑ x i2=2900157122
∑ y i2=393421539
∑ x i∗y i=¿¿ 984006892
Pentru estimarea parametrilor dreptei de regresie liniară rezolvăm sistemul de ecuaţii:
15 a+ 184532 b =71545
184532 a + 2900157122 b = 984006892
Am obţinut a=21956.1061, indicator ce nu are semnificaţie majoră şi b=-1.397029195 care se numeşte coeficient de regresie.
Funcţia liniară de regresie are următoarea formă:
f ( x )=21956.1061−1.397029195 x i
Coeficient de corelaţie se calculează cu formula
r=0.208594814
Coeficientul de corelatie este inclus in intervalul (0.2 , 0.5), deci legatura intre x si y este slaba si necesita aplicarea unui test de verificare a semnificatiei statistice a acestei legaturi.
Bucureşti 2012
Academia de Studii Economice din Bucureşti
Facultatea de Relaţii Economice Internaţionale
Bucureşti 2012