Nr

Nr

crtDimensiune magazine SMCA/PMCAEfectivul salariatilor persoane-Incasari (mii lei)

0-z--x--y-

1SMCA73,13

2SMCA84,02

3PMCA148,17

4PMCA158,34

5SMCA52,00

6PMCA126,97

7PMCA158,10

8PMCA148,79

9SMCA42,31

10PMCA147,12

11PMCA105,19

12PMCA158,85

13SMCA73,19

14PMCA147,42

15PMCA105,81

16PMCA115,88

17PMCA157.55

18SMCA52,51

19SMCA83,08

20SMCA93,53

21PMCA156,83

22SMCA42,45

23PMCA149,10

24SMCA83,75

25PMCA136,94

TOTALSMCA= 10PMCA=15

x =266 y =141,03

Sursa: Anexa A

2.a) Gruparea simpla

Populatia statistica analizata este formata din 80 de magazine, care prin modul de organizare reprezinta o unitate statistica complexa.

Din aceasta populatie statisticas-au prelevat prin procedee specifice 25 de unitati statistice care formeaza un esantion.

Caracterizarea statistica a celor 25 de magazine se face cu ajutorul a 3 variante statistice ale caror modalitati de manifestare la nivelul unitatilor statistice poarta denumirea de valori sau variante statistice, asa cum se prezinta in tabelul nr. 2.

Tabelul nr. 2

Nr. Ctr.Variabile statisticeModalitati de manifestareIntervalul de manifestare

0123

1Dimensiunea 2 dimensiuniSMCA si PMCA

2Efectivul salariatilor10 variante (valori)[4 ; 15]

3Incasari 24 variante (valori)[2,45; 9,10]

Sursa: Tabel nr. 1 Centralizarea datelor statistice se poate realiza fie pe variante sau valori statistice dinstincte, fie pe stari sau categorii statistice distincte. Centralizarea datelor statistice pe variante sau valori distincte este in general anevoioasa deoarece numarul modalitatilor de manifestare la nivelul fiecarei unitati statistice poate fi aproape egal cu volumul colectivitatii analizate (25) si asa cum se poate vedea in tabelul nr. 2, acestea se manifesta intr-un interval numeric coloana 2 si 3. Centralizarea pe variante sub forma starilor sau categoriilor distincte este reprezentativa deoarece numarul modalitatilor de manifestare este mai mic decat volumul colectivitatii cercetate. Numarul unitatilor statistice care prezinta aceeasi varianta sau stare statistica poarta denumirea de frecventa absoluta statistica, tabelul nr. 3, coloana 2.

Centralizarea magazinelor dupa dimensiune

Tabelul nr. 3

Dimensiunea Nr. de magazineEfectivul salariatilorIncasari

1234

SMCA

PMCA14

11114

14768,36

68,86

TOTAL25261137,22

Sursa: Tabel nr. 1

2.b) Grupari pe trei intervale egale

Gruparea magazinelor dupa efectivul salariatilor (x)

A(x) = xmax xmin ( 15 4 = 11 salariatir = 3

h = A(x)/r ( 11/3 = 3.6667 4 salariatixi4 5 6 78 9 10 1113 14 15

zi1 1 1 14 3 1 44 1 4 n

zi = 25

i=1

Distributia magazinelor dupa nr. de salariati

Tabelul nr. 4

Grupe de mag. dupa efectivul de sal.Nr. de magazineEfectivul de salariatiIncasari

( mii lei )

AB12

[4 8)42210.41

[8 12)1211355.64

[12 16)912671.17

TOTAL25261137.22

OBS: limita inferioara este inclusa in interval

Gruparea magazinelor dupa incasari (y)

A(y) = ymax ymin ( 9.10-2.45=6.65mii leir = 3

h = A(y)/r ( 6.65/3 = 2.2166 2.30 mii lei2.452.512.532.923.08

3.533.914.084.204.26

4.595.255.335.355.83

6.236.837.037.817.94

8.028.058.058.349.10

Distributia magazinelor dupa incasari

Tabelul nr. 5

Grupe de mag. dupa incasari mii leiNr. de magazineEfectivul de salariatiIncasari

( mii lei )

AB12

[2.45 4.75 )118138.06

[4.75 7.05 )78241.85

[7.05 9.35 )79857.31

TOTAL25261137.22

OBS: limita inferioara este inclusa in interval

2.c) Grupari combinate

Tabelul nr. 6 (x, y)

Grupe de mag. dupa efectivul sal.Grupe de mag. dupa incasari mii leiTOTAL

2.45 4.75 4.75 7.057.05 9.35

1 2 3 4 5

[4 8) 4 - - 4

[8 12) 7 5 - 12

[12 16) - 2 7 9

TOTAL 11 7 7 25

OBS: limita inferioara este inclusa in interval

Sursa: Tabel nr. 4 si Tabel nr. 5

Tabelul nr. 7 (x, z)

Grupe de mag. dupa efectivul sal.Grupe de mag. dupa dimensiuneTOTAL

SMCAPMCA

1 2 3 4

[4 8) 4 - 4

[8 12) 6 6 12

[12 16) 4 5 9

TOTAL 14 11 25

OBS: limita inferioara este inclusa in interval

Sursa: Tabel nr. 3 si Tabel nr. 4

Tabelul nr. 8 (y, z)

Grupe de mag. dupa incasari mii leiGrupe de mag. dupa dimensiuneTOTAL

SMCAPMCA

1 2 3 4

[2.45 4.75) 8 3 11

[4.75 7.05) 3 4 7

[7.05 9.35) 3 4 7

TOTAL 14 11 25

OBS: limita inferioara este inclusa in interval

Sursa: Tabel nr. 3 si Tabel nr. 5

2.d) Reprezentari grafice

Histograma

Se construieste in sistemul de axe ortogonal, unde pe abscisa sunt prezentate intervalele de grupare, iar pe ordonata frecventele absolute sau relative. Cu ajutorul acestui tip de grafic se localizeaza valoarea modala.

Graficul nr. 1. Distributia mag. dupa efectivul salariatilor

poligonul frecventelor

Sursa: Tabelul nr. 4 (coloanele A si B)

Graficul nr. 2. Distributia magazinelor dupa incasari

poligonul frecventelor

Sursa: Tabelul nr. 5 (coloanele A si B)

Poligonul frecventelor cumulate

Poligonul frecventelor cumulate se construieste in sistemul de axe rectangular, unde pe abscisa se prezinta valorile de mijloc ale intervalelor de grupare, iar pe ordonata se prezinta fie frecventele relative, fie cele absolute cumulate. Cu ajutorul acestui grafic se pune in evidenta ata locul medianei, cat si valoarea acesteia.

Tabelul nr. 9

Elemente necesare construirii poligonului frecventelor cumulate

Grupe de mag. dupa incasari

mii leiNr. de magazineCentrul intervalului de grupareFrecvente cumulate crescatorFrecvente cumulate descrescator

AB123

[2.45 4.75)

[4.75 7.05)

[7.05 9.35)11

7

73.6

5.9

8.211

18

2525

18

11

Graficul nr. 3. Distributia cumulata a mag. dupa incasari

Sursa: Tabel nr. 9 (coloanele A, 2 si 3)

Corelograma

Graficul nr. 4. Distributia mag. dupa efectivul sal. si incasari

3) Marimile relative

Marimile relative de structura

fi

n

fii=1

fi = a) Dupa dimensiune

fSMCA = 14/25 * 100 = 56 %

fPMCA = 11/25 * 100 = 44 %

b) Dupa efectivul salariatilor

fSMCA = 144/261 * 100 = 43.7 %

fPMCA = 147/261 * 100 = 56.3 %

c) Dupa incasari

fSMCA = 68.36/ 137.22 * 100 = 49.8 %

fPMCA = 68.86/ 137.22 * 100 = 50.2 %

Structura magazinelor dupa dimensiune, efectivul salariatilor si dupa incasari

Tabelul nr. 10

DimensiuneaStructura magazinelor dupa:

Nr. de magazineEfectivul salariatilorIncasari mii lei

A123

SMCA5643.749.8

PMCA4456.350.2

TOTAL100100.00100.00

Sursa: datele din tabel au fost calculate pe baza informatiilor din Tabelul 3.

Graficul nr. 5. Structura magazinelor dupa dimensiune

Din datele prezentate mai sus 56 % din cele 25 de magazine au un numar de salariati de aproximativ 43.7 % de persoane, iar 44 % din cele 25 de magazine au un numar de salariati de aproximativ 56.3 % de persoane. Aproximativ 56.3 % din numarul total de salariati lucreaza in cadrul firmelor PMCA si numai 43.7 % lucreaza in cadrul firmelor SMCA.

Structura magazinelor dupa efectivul de salariati, incasari si numar de magazine

Tabelul nr. 11

Grupe de mag. dupa efectivul sal.Structura magazinelor dupa:

Nr. de magazineEfectivul salariatilorIncasari mii lei

A123

[4 8)168.437.59

[8 12)4843.2940.55

[12 16)3648.2851.86

TOTAL100100.00100.00

Sursa: datele din tabel au fost calculate pe baza informatiilor din Tabel nr. 3

a) Nr de magazine

f(4 8) = 4/25 * 100 = 16

f(8 12) = 112/25 * 100 = 48 f(12 16) = 9/25 * 100 = 36

b) Efectivul de salariati

f(4 8) = 22/261 * 100 = 8.43 f(8 12) = 113/261 * 100 = 43.29f(12 16) = 126/261 * 100 = 48.28

c) Incasari

f(4 8) = 10.41/137.22 * 100 = 7.59

f(8 12) = 55.64/137.22 * 100 = 40.55f(12 16) = 71.17/137.22 * 100 = 51.86Graficul nr. 6. Structura mag. dupa efectivul salariatilor

Din datele prezentate in Tabelul nr. 11 rezulta ca 16 % din cele 25 de magazine au un efectiv de 8.43 % persoane si incasari de 7.59 % mii lei. De asemenea 48 % din cele 25 de magazine au un efectiv de 43.29 % persoane si incasari de 40.55 % mii lei. Si nu in ultimul rand 36 % din cele 25 de magazine au un efectiv de 48.28 % persoane si incasari de 51.86 % mii lei.

Tabelul nr. 12

Grupe de mag. dupa incasariStructura magazinelor dupa:

Nr. de magazineEfectivul salariatilorIncasari mii lei

A123

[2.45 4.75)4431.0327.74

[4.75 7.05)2831.4230.50

[7.05 9.35)2837.5541.76

TOTAL100100.00100.00

Sursa: datele din tabel au fost calculate pe baza informatiilor din Tabelul nr. 5

a) Nr de magazine

f(2.45 4.75) = 11/25 * 100 = 44

f(4.75 7.05) = 7/25 * 100 = 28

f(7.05 9.35) = 7/25 * 100 = 28

b) Efectivul de salariati

f(2.45 4.75)= 81/261 * 100 = 31.03 f(4.75 7.05) = 82/261 * 100 = 31.42f(7.05 9.35) = 98/261 * 100 = 37.55

c) Incasari

f(2.45 4.75) = 38.06/137.22 * 100 = 27.74

f(4.75 7.05) = 41.85/137.22 * 100 = 30.50f(7.05 9.35) = 57.31/137.22 * 100 = 41.76

Graficul nr. 7. Structura magazinelor dupa incasari

Marimi relative de coordonare

KA/B = XA/XB

KB/A = XB/XAa) Dupa dimensiune

KS/P = 14/11 = 1.27

KP/S = 11/14 = 0.78

b) Dupa efectivul salariatilor

KS/P = 114/147 = 0.78

KP/S = 147/114= 1.29

c) Dupa incasari

KS/P = 36.8/68.86 = 0.99KP/S = 68.86/68.36 = 1.01

Tabel nr. 13

Dimensiune Nr. de magazineEfectivul salariatior Incasari mii lei

A 1 2 3

SMCA/PMCA 1.270.78 0.99

PMCA/SMCA 0.78 1.29 1.01

Sursa: datele din tabel au fost calculate pe baza informaiilor din Tabelul nr. 3

Graficul nr. 8. Proportii intre magazinele SMCA si PMCA pe principalele variabile statistice

Marimi relative de intensitate

Tabelul nr. 14

Grupe de mag.

dupa efectivul

salariatilorNumar mediu de

salariati pe magazin salariati/magazin

Incasari medii pe magazin

mii lei/magazinIncasari medii pe salariat

mii lei/salariat

A 1 2 3

[4 8) 22/4 = 5.5 10.41/4 = 2.60 10.41/22 = 0.47

[8 12) 113/12 = 9.42 55.64/12 = 4.64 55..64/113 = 0.49

[12 16) 126/9 = 18 71.17/9 = 7.91 71.17/126 = 0.56

TOTAL 261/25 = 10.44 137.22/25 = 5.49 137.22/261 = 0.53

Sursa: Tabel nr. 4

4.a) Pentru efectivul salariatilor

Tabelul nr. 15

Grup. dupa ef. sal.[4 8)[8 12)[12 16)

xi61014

ni4129 n

ni = 25 i=1

xi * ni24120126 N

xi * ni = 270 i=1

1/xi0.1660.10.071

(1/xi) * ni 0.6641.20.639 N

(1/xi) * ni = 2.503 i=1

log xi0.77811.146

log xi * ni3.1121210.314 N

log xi * ni = 25.426 i=1

xi 36100196

xi * ni14412001764 N

xi * ni = 3108

i=1

ni41625

ni25139

Calculam media aritmetica n n x = xi * ni / ni = 258 / 25 = 10.8 i=1 i=1 Calculam media armonica

n n x h = ni / (1/xi) * ni = 25 / 2.503 = 9.99 i=1 i=1 Calculam media geometrica

n n x g = antilog log xi * ni / ni = antilog (25.426 / 25) = antilog1.01704

i=1 i=1 Calculam media patratica

n n x p = xi * ni / ni = (3108 / 25) = 11.149 i=1 i=1 Calculam indicatorii medii pozitionali

Mediana

n

loc ME = ni +1 / 2 = (25 + 1) / 2 = 13 i=1Ordonarea seriei crescator : 4, 9, 12.

Me [ 8 12 )

n Me - 1loc Me - ni

i=1

n Me

Me = xo + h = 8 + 4 * [(13 4) / 13] = 10.7681

1 + 2

Modulul

Mo = xo + h = 8 + 4 * 8 / (8+3) = 10.909 1 = n Mo - n Mo 1 = 12 4 = 8 2 = n Mo - n Mo + 1 = 12 9 = 3Pentru incasari:

Grup. dupa incasari[2.45 4.75)[4.75 7.05)[7.05 9.35)

xi3.65.98.2

ni1177 n

ni = 25 i=1

xi * ni39.641.357.4 n

xi * ni = 138.3 i=1

1/xi0.2770.1690.121

(1/xi) * ni 3.0471.1830.847 n

(1/xi) * ni = 5.077 i=1

log xi0.5560.7700.913

log xi * ni6.1165.396.391 n

log xi * ni = 17.097 i=1

xi 12.9634.8167.24

xi * ni142.56243.67470.68 n

xi * ni = 856.91

i=1

ni111825

ni25187

Calculam media aritmetica n n x = xi * ni / ni = 138.3 / 25 = 5.532 i=1 i=1 Calculam media armonica

n n x h = ni / (1/xi) * ni = 25 / 5.077 = 4.924 i=1 i=1 Calculam media geometrica

n n x g = antilog log xi * ni / ni = antilog (17.097 / 25) = antilog (0.683) i=1 i=1 Calculam media patratica

n n x p = xi * ni / ni = (856.91 / 25) = 5.854 i=1 i=1 Calculam indicatorii medii pozitionali

Mediana

n

loc ME = ni +1 / 2 = (25 + 1) / 2 = 13 i=1Ordonarea seriei crescator : 7, 7, 11.Me [4.75 7.05)

n Me - 1loc Me - ni

i=1

n Me

Me = xo + h = 4.75 + 2.30 * [(13 7) / 11] = 6.0041

1 + 2

Modulul

Mo = xo + h = 4.75 + 2.30 * 4 / 8 = 7.051 = n Mo - n Mo 1 = 11 7 = 4 2 = n Mo - n Mo + 1 = 11 7 = 4} x = 5.532

Me = 6.004 Mo > Me > x => seria este asimetrica, asimetrie de stanga Mo = 7.054.b)

Gruparea de mag. care au un numar efectiv de salariatinixi xi - x| xi x | * ni(xi x)(xi x) * ni

[4 8)46- 4.819.223.0492.16

[8 12)1210- 0.89.60.647.68

[12 16)9143.228.810.2492.16

TOTAL2557.6192

x = 10.8

Abaterea medie individuala

n n

d = | xi x | * ni / ni = 57.6 / 25 = 2.304 i=1 i=1Dispersia

n n

= ( xi x ) * ni / ni = 192 / 25 = 7.68 i=1 i=1Abaterea medie patratica

= = 7.68 = 2.77

Gruparea de mag. care au un numar de incasarinixi xi - x| xi x | * ni(xi x)(xi x) * ni

[2.45 4.75)113.6-1.93221.2523.73241.052

[4.75 7.05)75.90.3682.5760.2341.638

[7.05 9.35)78.22.66818.6767.11849.826

TOTAL2542.50492.516

x = 5.532

Abaterea medie individuala

n n

d = | xi x | * ni / ni = 42.504 / 25 = 1.701 i=1 i=1Dispersia

n n

= ( xi x ) * ni / ni = 92.516 / 25 = 3.701 i=1 i=1Abaterea medie patratica

= = 3.701 = 1.9234.c) Coeficientul de variatie pentru efectivul salariatilor

Cv = d / x * 100 = 3.2256 / 10.32 * 100 = 31.26

Deoarece Cv (0; 35%) seria este omogena, iar media este reprezentativa.

Coeficientul de variatie pentru incasari

Cv = d / x * 100 = 1.701/ 5.532 * 100 = 30.74

Deoarece Cv (0; 35%) seria este omogena, iar media este reprezentativa.

Pentru efectivul salariatilor, 2.304este valoarea abaterii medii individuale si arata faptul ca cele 25 de magazine se abat in medie de la valoarea initiala cu 2.304puncte.

Pentru incasari, 1.701 este valoarea abaterii medii individuale si arata faptul ca cele 25 de magazine se abat in medie de la valoarea initiala cu 1.701 puncte.

Valoarea coeficientului de variatie ne arata faptul ca populatia este conturata asimetric si media poate inlocui valorile individuale din magazine

Coeficientul de asimetrie pentru efectivul salariatilor:

Cas = (x - Mo) / = (10.8 9.454) / 2.77 = 0.485

Coeficientul de asimetrie pentru incasari:

Cas = (x - Mo) / = (5.532-7.05) / 1.923= -0.789

5. SMCA = 14 PMCA = 11 n = 2

x = 25 / 2 = 12.5

= [(11-12.5) + (14 12.5) ] / 2 = 2.25

6. Pentru efectivul salariatilor:

= 7.68 n = 25 x = 10.8 z = 2.18

x = / n = 7.68 / 25 = 0.554

x = z * x = 2.18 * 0.554 = 1.207

Xo [ x - x ; x + x ] = > Xo [ 10.8 -1.207; 10.8+1.207]

= >Xo [9.593-12.007]

Pentru incasari:

= 3.701 n = 25 x = 5.532 z = 2.18

x = / n = 3.701 / 25 = 0.384

x = z * x = 2.18 * 0.384 = 0.837

Xo [ x - x ; x + x ] = > Xo [ 5.532 0.837; 5.532 + 0.837]

=>Xo [4.695 ; 6.369]

Determinam cat de mare ar trebui sa fie un esantion extras aleator repetat si nerepetat dintr-o populatie de 1000 de magazine in conditii limite de interval.

Pentru esantionul extras aleator repetat:

Pentru efectivul salariatilora) pentru valorile numerice:

n = (z * ) / (x) = [(2.58) *7.69] / (0.5) = 204.48

b) pentru valorile alternative:

n = [z * w(1 - w)] / (w) = [(2.58) * 0.44(1 0.44)] / (0.5) = 6.56

w = mi / ni = 11 / 25 = 0.44

mi = 25 14 = 11

Pentru incasari: a) pentru valorile numerice:

n = (z * ) / (x) = [(2.58) * 3.701] / (0.5) = 49.267

b) pentru valorile alternative:

n = [z * w(1 - w)] / (w) = 1.640/0.25 = 6.56

Pentru esantionul extras aleator nerepetat:

Pentru efectivul salariatilora) pentru valorile numerice:

n = (z * ) / [(x) + (z * ) / N] = 6.656 * 7.68 / 0.25 +( 6.656 * 7.68) / 1000 = 51.118 / 0.301 = 169.82

b) pentru valorile alternative:

n = (z * ) / [(w) + (z * w(1-w)) / N] = (6.656 * 7.68) /0.25 + [6.656 * 0.44(1-0.44)] / 1000 =50.914 / 0.251 = 203.65

Pentru incasari: a) pentru valorile numerice:

n = (z * ) / [(x) + (z * ) / N] = 24.633 / 0.274 = 89.904

b) pentru valorile alternative:

n = (z * ) / [(w) + (z * w(1-w)) / N] = 24.633 / 0.251 = 98.139

Pentru dimensiunea magazinelor: a) pentru valorile numerice:

n = (z * ) / (x) = 6.656 * 7.68/0.25 + 6.656 * 7.68/1000 = 51.118/0.301= 169.82

b) pentru valorile alternative:

n = [z * w(1 - w)] / (w) = [(2.58) * 0.6(1 0.6)] / (0.5) = 6.390

*******

*****

****

* * *

* * * *

SMCA

PMCA

Gruparea de magazine dupa efectivul salariatilor

**

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

* *

_1397896065.xls

_1397896357.xls

_1397895908.xls