Post on 01-Dec-2015
description
transcript
MECANICA FLUIDELOR Dr.ing Petru Aron
1
MECANICA FLUIDELOR CURS PENTRU STUDENTII ANMB
CUPRINS
Capitolul I NOŢIUNI DE CALCUL ŞI ANALIZĂ VECORIALĂ
1.1 Noţiuni introductive............................................................................. 6
1.2 Algebră vectorială................................................................................ 6
1.2.1 Adunarea şi scăderea vectorilor........................................................... 6
1.2.2 Inmulţirea unui vector cu un scalar..................................................... 6
1.2.3 Impărţirea unui vector cu un scalar..................................................... 7
1.2.4 Produsul vectorilor.............................................................................. 7
1.2.5 Produsul mixt...................................................................................... 8
1.2.6 Dublul produs vectorial....................................................................... 9
1.3 Analiza vectorială................................................................................ 9
1.3.1 Diferenţiala.......................................................................................... 9
1.3.2 Gradientul........................................................................................... 9
1.3.3 Divergenta............................................................................................ 9
1.3.4 Rotorul................................................................................................. 10
Capitolul II. NOŢIUNI INTRODUCTIVE
2.1 Generalităţi.......................................................................................... 12
2.2 Particula fluidă.................................................................................... 12
2.3 Modele de fluid................................................................................... 12
2.4 Proprietăţile fizice comune fluidelor................................................... 13
2.4.1 Densitatea............................................................................................ 13
2.4.2 Greutatea specifică............................................................................... 13
2.4.3 Compresibilitatea izotermică............................................................... 13
2.4.4 Dilataţia termică................................................................................... 14
2.4.5 Adeziunea la suprafeţe solide.............................................................. 15
2.4.6 Vâscozitatea......................................................................................... 15
2.5 Proprietăţile fizice specifice fluidelor................................................. 16
2.5.2 Tensiunea superficială......................................................................... 16
2.5.2 Capilaritatea......................................................................................... 17
2.5.3 Absorbţia gazelor................................................................................. 17
2.5.4 Dgajarea gazelor. Cavitaţia................................................................. 17
Capitolul III. STATICA FLUIDELOR
3.1 Definiţie şi obiect................................................................................ 19
3.2 Forţele ce acţionează în interiorul fluidelor......................................... 19
3.3 Ecuaţiile fundamentale ale hidrostaticii............................................... 20
3.4 Expresia potenţialului forţelor masice................................................. 22
3.5 Ecuaţia fundamentală a hidrstaticii în câmp gravitaţional................... 22
MECANICA FLUIDELOR Dr.ing Petru Aron
2
3.6 Interpretarea ecuaţiei fundamentale şi consecintele ei........................ 23
3.7 Aplicaţii............................................................................................... 25
3.7.1 Presa hidraulică.................................................................................... 25
3.7.2 Acumulatorul hidraulic........................................................................ 25
3.7.3 Amplificatorul hidraulic...................................................................... 25
3.8 Presiunea relativă şi absolută............................................................... 26
3.9 Unităţi de măsură................................................................................. 27
3.10 Instrumente pentru măsurarea presiunilor........................................... 27
3.10.1 Instrumente cu lichid........................................................................... 27
3.11 Repausul relativ în mişcarea de translaţie uniformă............................ 30
3.11.1 Ecuatiile generale ale repausului relativ în mişcarea de translaţie….. 30
3.12 Repausul relativ a unui fluid în mişcarea de rotaţie............................ 31
3.13 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii solizi....................................... 33
3.13.1 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii plani........................................ 33
3.13.2 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţi curbi deschişi........................... 37
3.13.3 Actiunea fluidelor in repaus pe suprafeţe curbe deschise…………… 38
3.13.4 Acţiunea fluidelor în repaus pe suprafeţe curbe închise…………….. 38
3.14 Plutirea corpurilor................................................................................ 39
3.14.1 Elementele hidraulice ale unui plutitor................................................ 39
3.14.2 Teoremele plutirii................................................................................ 40
3.14.3 Stabilitatea plutirii. Momentul stabilităţii…………………………… 41
Capitolul IV. CINEMATICA FLUIDELOR
4.1 Definiţie şi obiect................................................................................ 45
4.2 Metode de studiu în mişcarea fluidelor............................................... 45
4.3 Clasificarea mişcarilor......................................................................... 47
4.4 Noţiuni specifice mişcării fluidelor..................................................... 48
4.5 Mişcarea unei particule fluide (Teorema lui Cauchy-Helmoholtz)…. 50
4.6 Ecuaţia continuităţii (Legea conservării masei fluidului)…………… 52
4.6.1 Ecuatia contuităţii în cazul general………………………………….. 52
4.6.2 Ecuaţia continuitatii pentru un tub de current……………………….. 53
Capitolul V. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE
5.1 Definiţie şi obiect……………………………………………………. 55
5.2 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale (Ecuaţiile Euler)... 55
5.3 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale sub forma
Gromeka-Lamb………………………………………………………
56
5.4 Integrarea ecuaţiilor mişcării………………………………………... 57
5.5 Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide ideale pe o linie de current…….. 57
5.5.1 Interpretarea energetica a ecuatiei lui Bernoulli (Ecuaţia energiei)… 59
5.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli……………………. 59
5.6 Pierderile hidraulice (de sarcină)......................................................... 60
5.7 Aplicaţiile ecuaţiei lui Bernoulli.......................................................... 61
5.7.1 Formula lui Toricelli............................................................................ 61
MECANICA FLUIDELOR Dr.ing Petru Aron
3
5.7.2 Fenomenul Venturi.............................................................................. 61
5.7.3 Presiunea într-un punct de impact....................................................... 62
5.7.4 Presiunea într-o conductă.................................................................... 62
5.8 Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic………………... 63
5.8.1 Teorema impulsului............................................................................. 63
5.8.2 Teorema momentului cinetic............................................................... 64
5.9 Aplicaţii ale teoremei impulsului……………………………………. 64
5.9.1 Fortele hidrodinamice……………………………………………….. 64
5.9.2 Roata hidraulică cu acţiune………………………………………….. 65
5.9.3 Forţe de reacţiune…………………………………………………… 66
Capitolul VI. MISCARI POTENTIALE PLANE
6.1 Definiţie şi noţiuni generale…………………………………………. 68
62. Legătura dintre mişcarea potenţială plană şi teoria funcţiilor de
variabilă complex…………………………………………………….
68
6.2.1 Constructia unei solutii a ecuatiilor de miscare ale fluidelor ideale… 68
6.3 Potenţialul complex al mişcării........................................................... 69
6.4 Determinarea unor mărimi caracteristice mişcărilor potenţiale plane 70
6.4.1 Determinarea vitezelor......................................................................... 70
6.4.2 Determinarea vitezei complexe........................................................... 71
6.4.3 Determinarea repartiţiei presiunilor..................................................... 71
6.4.4 Determinarea circulaţiei vitezei şi a debitului..................................... 71
6.5 Tratarea problemelor de mişcări potenţiale plane............................... 72
6.5.1 Mişcarea de translaţie uniformă........................................................... 73
6.5.2 Mişcarea produsă de o sursă punctiformă........................................... 74
6.5.3 Mişcarea produsă de un vârtej............................................................. 75
6.5.4 Mişcarea produsă de un dipol.............................................................. 75
6.5.5 Mişcarea în jurul cercului.................................................................... 76
6.5.6 Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie............................................... 78
Capitolul VII. ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR
7.1 Ecuaţii de bază..................................................................................... 81
7.2 Valuri plane calătoare de mică amplitudine………………………… 81
7.3 Grupuri de valuri.................................................................................. 83
7.4 Valul staţionar...................................................................................... 84
7.5 Valuri plane calătoare în fluid de adâncime finită………………….. 84
7.6 Energia valului călător......................................................................... 86
Capitolul VIII. MIŞCAREA LAMINARĂ A FLUIDELOR REALE
8.1 Existenţa a două regimuri diferite de mişcare. Experienţa lui
Reynolds…………………………………………………………….
88
8.2 Ecuatiile de miscare ale fluidelor reale in miscarea laminara……… 89
8.2.1 Starea de tensiune într-un fluid în mişcare………………………….. 89
MECANICA FLUIDELOR Dr.ing Petru Aron
4
8.2.2 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi
(forma dată de Cauchy)……………………………………………...
91
8.2.3 Ecuaţiile Navier-Stokes pentru mişcarea laminară a fluidelor reale 92
8.2.4 Ecuaţiile de mişcare a fluidelor reale în mişcarea laminară sub
formele date de Helholtz şi Gromeka-Lamb………………………...
94
8.3 Legea conservării şi transformării energiei în cazul mişcării
laminare a fluidelor reale. Relaţia lui Bernoulli……………………..
96
8.4 Relaţia lui Bernoulli pentru o linie de curent, în mişcarea laminară a
fluidelor reale………………………………………………………..
97
8.5 Mişcarea laminară a fluidelor reale în conducte circulare drepte.
Mişcarea Hagen-Poiseuille………………………………………….
98
8.5.1 Legea Hagen-Poiseuille de distribuţie a vitezelor în mişcarea
laminară a fluidelor reale în conducte circulare drepte……………..
98
8.5.2 Distribuţia eforturilor unitare tangenţiale în mişcarea Hagen-
Poiseuille…………………………………………………………….
100
8.5.3 Determinarea debitului şi a vitezei medii în mişcarea Hagen-
Poiseiulle……………………………………………………………..
101
8.5.4 Calculul coeficientului de rezistenţă al pierderilor de sarcină liniare
(coeficinentul lui Darcy) în mişcarea Hagen-Poiseiulle…………….
101
8.5.5 Liniile de curent şi liniile de vârtej în mişcarea Hagen-Poiseuille…. 102
8.6 Soluţii exacte şi soluţii aproximative ale ecuaţiilor de mişcare
Navier+Stokes în câteva cazuri particulare.........................................
103
8.6.1 Mişcarea permanentă a unui fluid real între două plăci plane
paralele………………………………………………………………
103
8.7 Noţiuni de teoria hidrodinamică a librificatiei………………………. 106
Capitolul IX. TEORIA STRATULUI LIMITA
9.1 Noţiunea de strat limită……………………………………………… 110
9.2 Grosimea stratului limită..................................................................... 111
9.3 Desprinderea stratului limită şi formarea vârtejurilor………………. 113
9.4 Ecuaţiile de mişcare în stratul limită bidimensional incompresibil
(Ecuaţiile lui Prandtl)………………………………………………..
114
Capitolul X. MIŞCAREA TURBULENTĂ A FLUIDELOR REALE
10.1 Structura mişcării turbulente………………………………………… 118
10.2 Teoria amestecului turbulent (Teoria schimbului impulsului)……… 119
10.3 Distribuţia vitezelor în mişcarea turbulentă……………………….. 121
10.4 Eforturile suplimentare turbulente....................................................... 122
10.5 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea turbulent……… 123
10.6 Legea transformării şi conservării energiei în mişcarea turbulentă a
fluidelor reale………………………………………………………...
125
Capitolul XI. ANALIZA DIMENSIONALĂ ŞI TOERIA SIMILITUDINII
MECANICA FLUIDELOR Dr.ing Petru Aron
5
11.1 Metodele analizei dimensionale…………………………………….. 127
11.1.1 Metoda Rayleigh. Aplicaţii………………………………………….. 127
11.1.2 Teorema produselor. Aplicaţii............................................................. 129
11.2 Bazele teoriei similitudinii................................................................... 132
11.2.1 Similitudinea geometrică, cinematică şi dinamică………………….. 132
11.2.2 Stabilirea criteriilor de similitudine…………………………………. 133
11.3 Principalele criterii de similitudine întâlnite în mecanica fluidelor 135
Capitolul XII. MECANICA FLUIDELOR APLICATĂ
12.1 Calculul pierderilor de sarcină……………………………………… 137
12.2 Conducte netede şi conducte rugoase; grosimea substratului laminar 137
12.3 Determinarea coeficientului pierderilor de sarcină liniare………….. 139
12.4 Calculul pierderilor locale de sarcină……………………………….. 140
12.5 Curgerea prin orificii şi ajutaje……………………………………… 142
12.6 Mişcări permanente în conducte sub presiune……………………… 146
12.7 Calculul conductelor compuse în serie……………………………… 149
12.8 Calculul conductelor compuse in paralel……………………………. 150
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron
6
I. NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA
Prezentul capitol îşi propune o succintă prezentare a principalelor noţiuni de calcul şi
analiză vectorială, curent utilizate în descrierea mişcării fluidelor.
1.1. Notiuni introductive
Marimi scalare: sunt mărimile fizice care pot fi caracterizate printr-un număr real. Exemplu:
timpul, temperatura, lungimea unui segment, masa, energia etc.
Vectorul: este caracterizat prin direcţie, sens şi modul. Modulul vectorilor este reprezentat
prin lungimea segmentului. Exemple: forţa, viteza, translaţia.
- vectori echipolenţi : doi vectori care au aceiaşi direcţie, sens şi modul;
- vector liber: vectorul care reprezintă mulţimea tuturor vectorilor echipolenţi;
- vectori legaţi: vectori a căror origine nu poate fi schimbată fără a înceta de a mai
reprezenta o aceiaşi mărime fizică.
1.2. Algebra vectoriala
1.2.1. Adunarea si scaderea vectorilor
- suma (rezultanta) a doi vectori: baR
Suma este cumulativeă şi asociativă.
Compunerea se face după regula paralelogramului.
Fig.1.1. Adunarea a doi vectori.
- scaderea este operatiunea inverse a adunarii. baD
este
vectorul care adunat cu b
da vectorul a
Fig.1.2. Scaderea a doi vectori
Daca ba
, diferenta este vectorul nul, notat 0
, al carui modul este zero si avand o
directie nedeterminata.
1.2.2. Inmultirea unui vector cu un scalar
Produsul unui vector a
cu un scalar este tot un vector, care se noteaza a
sau a
avand sensul lui a
cand > 0 si sensul opus cand < 0.
a
R
b
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron
7
1.2.3. Impărţirea unui vector cu un scalar
Impartirea se reduce la inmultirea cu 1
. Daca vectorul a
se imparte la modulul sau se
obtine un vector cu modulul egal cu unitatea, avand directia si sensul lui a
. Acest vector a
a
se
numeste versorul lui a
.
1.2.4. Produsul vectorilor.
Produsul dintre doi vectori poate fi definit in mai multe moduri, astfel:
- produsul scalar a doi vectori a
si b
se noteaza cu ba
. Rezultatul este un scalar.
cosabba
unde este unghiul dintre cei doi vectori.
Daca cei doi vectori sunt colineari , produsul lor scalar se reduce la ab , dupa cum cei
doi vectori au acelasi sens sau sensuri opuse.
Produsul scalar este comutativ, distributiv fata de adunare cabacba
)( , iar inmultirea cu
un scalar se poate reduce la inmultirea unuia dintre vectori cu acel scalar.
)()()( bababa
- produsul vectorial a doi vectori a
si b
se noteaza ba
reprezinta aria orientata a
paralelogramului format de cei doi vectori (v.fig. 1.3)
Fig.1.3. Produsul vectorial a doi vectori.
Produsul vectorial se reprezinta printr-un vector cu urmatoarele insusiri:
- este perpendicular pe planul determinat de a
si b
;
- este dirijat in sensul pozitiv fata de sensul indicat de a
pentru parcurgerea conturului
paralelogramului determinat de a
si b
;
- modulul sau. sinabba
este aria paralelogramului construit pe a
si b
ca
laturi.
Produsul vectorial este anticomutativ )( baab
, deoarece a
si b
indica
parcurgerea conturului in sensuri opuse. Proprietatile produsului vectorial sunt:
Inmultirea unui produs vectorial cu un scalar se poate face astfel:
)()()( bababa
Produsul vectorial este distributiv fata de adunare.
cabacba
)(
Modulul produsului vectorial este mai mic sau cel mult egal cu produsul modulelor:
ababba sin
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron
8
Daca doi vectori sunt colineari, 0sin si produsul lor vectorial este nul.
Daca a
si b
sunt perpendiculari, abba
. Daca sunt si unitari, produsul lor vectorial
este un vector unitar.
In cazul triedrului kji
,. , format din vectori unitari si ortogonali vom avea:
1kkjjii
0ikkjji
kkjjii
= 0
kji
, ikj
, jik
Proprietatea de distributivitate permite ca produsul vectorial a doua sume de vectori sa se
efectueze la fel ca produsul a doua polinoame, cu restrictia de a pastra ordinea factorilor,
deoarece produsul vectorial nu este comutativ.
Versorul normalei la planul determinat de a
si b
poate fi reprezentat prin
ba
ban
Expresia carteziana a produsului vectorial se poate scrie ca un determinant simbolic:
321
321
bbb
aaa
kji
ba
Produsul a trei vectori:
cabcba )cos()(
1.2.5. Produsul mixt
Produsul mixt format din trei vectori cba
,, , in aceasta ordine este produsul )( cba
si
reprezinta volumul paralelipipedului construit cu cba
,, ca laturi luat cu semnul + sau -, dupa
cum a
si cb
sunt de aceiasi parte a planului determinat de b
si c
sau de parti opuse.
Produsul mixt se noteaza:
cbacbacba
)()(
Daca intr-un produs mixt se permut doi termini intre ei, produsul mixt isi schimba
semnul:
abcbcacabcba
Permutarea circulara a celor trei vectori nu schimba produsul mixt:
bacacbcba
Prin inmultirea unuia din vectori cu un scalar , produsul mixt se inmulteste cu acel
scalar:
)]([])[())(( cxbacxbacba
)( cba
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron
9
Din interpretarea geometrica a produsului mixt rezulta ca trei vectori sunt coplanari
numai atunci cand produsul lor mixt este nul.
Expresia carteziana a produsului mixt se poate scrie sub forma de determinant:
321
321
321
ccc
bbb
aaa
cba
1.2.6. Dublul produs vectorial.
Dublul produs vectorial )( cba
este un vector perpendicular pe cb
:
cbabcacba
)()()( sau, analog:
acbbcacba
)()()(
1.3. Analiza vectoriala
1.3.1. Diferentiala.
Exemplu: vectorul viteza V
(x,y,z,t) are diferentiala de forma:
dzz
Vdy
y
Vdx
x
Vdt
t
VVd
Daca t este variabila independenta, iar x, y, z functii de t, derivata totala
a functiei V
are expresia:
t
V
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
dt
Vd
1.3.2. Gradientul .
Fie o functie scalara )(P cu doua suprafete de nivel si d si un sistem de axe
cartezian (v.fig. 1.4).
Fig.1.4. Doua suprafete de nivel infinit apropiate
Din figura se constata:
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron
10
rdndn
, rdnn
dnn
d
unde n
este vectorul normal la suprafata .const , r
este vectorul de pozitie, iar
dzkdyjdxird
Prin definitie:
z
ky
jx
in
ngrad
Introducand operatorul nabla:
z
ky
jx
i
se poate scrie grad
Reguli de calcul:
gradgradgrad )(
gradgradgrad )(
gradd
dFgradF )(
1.3.3. Divergenta.
Fluxul total al campului vectorial V
printr-o suprafata inchisa Σ care margineste un
volum se numeste productivitatea volumului . Raportul reprezinta productivitatea
medie a unitatii de volum, iar limita acestui raport cand toate punctele suprafetei Σ tind catre un
punct interior P, se numeste divergenta campului vectorial V
in punctul P.
z
w
y
v
x
u
z
Vk
y
Vj
x
ViVdiv
unde wvu ,, sunt proiectiile lui V
pe cele trei axe.
1.3.4. Rotorul.
Daca o curba inchisa C care inconjura punctul P, situat in planul curbei C, delimiteaza
suprafata S, limita raportului dintre circulatia Γ pe curba C si suprafata S cand toate punctele
curbei C tind catre P, este proiectia unui vector pe directia normalei la suprafata S care se
numeste rotorul campului V
in punctul P.
z
Vk
y
Vj
x
ViVrot
Rotorul vectorului V
mai poate fi scris sub forma unui determinant simbolic:
wvu
zyx
kji
Vrot
unde wvu ,, sunt proiectiile lui V
pe cele trei axe.
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron
11
Fig.1.6. Volum elementar pentru calculul
rotorului vectorului V
Utilizand operatorul nabla: VVrot
Operatiile grad, div, si rot au proprietati de asociativitate. Exista egalitatile:
)(
VVV
)(
VVV
)(
0)(
0)( V
abbaba
)()()(
babaababba
)()()()()(
VVV
2)()(
abbaabbaba
)()()()()(
Se mai poate scrie:
2)( , VV
)(
unde este operatorul lui Laplace,
2
2
2
2
2
2
zyx
Daca r
este vectorul de pozitie:
VrV
)( , 3r
, 0r
, 03r
r
iar rdd
, VrdVd
)( daca si V
nu depend de timp.Daca depend de timp se mai
aduaga derivatele partiale functie de timp ale lui si V
.
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
12
II. NOTIUNI INTRODUCTIVE
2.1 Generalităţi
Mecanica teoretică defineşte două categorii de corpuri: solide (rigide şi deformabile) şi
fluide (lichide şi gaze). Mecanica fluidelor studiază legile de echilibru şi mişcarea acestora,
precum şi interacţiunea lor când intra în contact cu corpurile solide. Mecanica fluidelor se
împarte în trei părţi:
-Statica fluidelor, care studiază legile şi condiţiile de echilibru ale fluidelor şi acţiunea
lor asupra solidelor cu care intră în contact.
-Cinematica fluidelor, care studiază mişcarea acestora fără a ţine cont de forţele care ar
putea interveni să modifice starea de mişcare.
-Dinamica fluidelor, care studiază legile de mişcare ale fluidelor şi interacţiunea lor cu
corpurile solide.
O particularitate distinctivă a fluidelor în raport cu corpurile solide este fluiditatea lor, cu
alte cuvinte au o rezistenţă nesemnificativă la forfecare iar la cea mai mică deformaţie, forţele de
rezistenţă ale fluidelor, la acea deformaţie, tind către zero. Deci sub acţiunea unor forţe
exterioare relativ mici, pot căpăta deformaţii mari, luând forma recipientului solid în care se
găsesc.
Lichidele sunt acele fluide care pot fi considerate, practic, incompresibile, cu alte cuvinte
dependenţa dintre densitate şi presiune poate fi neglijată. Nu acelaşi lucru se întâmpla cu gazele.
Fluidele sunt studiate în Mecanica fluidelor ca medii continue, omogene şi izotrope. Un
mediu este continuu şi omogen, dacă are aceiaşi densitate în orice punct şi este izotrop dacă
prezintă aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile. Există puncte, linii sau suprafeţe de discontinuitate
în fluide, care prezintă condiţii specifice la limită.
2.2 Particula fluidă
Mecanica fluidelor face abstracţie de structura acestora, considerând fluidul un mediu
continuu. Teoretic acesta poate fi împărţit în elemente oricât de mici. Astfel se obţine particula
de fluid, de formă oarecare şi de dimensiuni arbitrar de mici, care păstrează caracteristica de
mediu continuu în raport cu care se studiază repausul şi mişcarea acstuia. Mărimile fizice (viteză,
presiune, densitate, etc.) la un moment dat t sunt cele măsurate în centrul de masa al particulei.
Omogenitate şi izotropia permit ca relaţiile stabilite pentru particula de fluid să fie extinse
la întreaga masa a fluidului.
2.3 Modele de fluid
In Mecanica fluidelor sunt acceptate urmatoarele modele de fluid:
- Fluid uşor (fără greutate);
- Fluid ideal (lipsit de vâscozitate, modelul Euler)
- Fluid vâscos (modelul Newton);
- Fluid incompresibil (fără variaţii de volum la variaţii de presiune, modelul Pascal)
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
13
2.4 Proprietăţile fizice comune fluidelor
Proprietatile fizice inflentează în mod semnificativ comportarea fluidelor în starea de
repaus şi în mişcare. Ele sunt influenţate de forţele masice şi forţele de contact (presiune şi
tensiune). Cele care influenţează în mod semnificativ comportarea fluidelor sunt:
2.4.1 Densitatea
Densitatea într-un punct oarecare al fluidului se defineşte ca fiind masa unitatii de volum:
Vd
md
V
m
V .
.
.
.lim
0
unde: m. este masa unitatii de volum V.
In cazul unui fluid omogen, densitatea va fi V
m , care în Sistemul International (SI) se
măsoară în [kg/m3]
2.4.2 Greutatea specifică
Greutatea specifică este proprietatea fluidelor de care depinde mărimea forţelor masice
sau volumice şi se defineşte ca greutate a unităţii de volum:
Vd
Gd
V
G
V .
.
.
.lim
0
In cazul unui fluid omogen, greutatea specifică va fi V
G, care în SI se măsoară în [N/m
3].
Se poate exprima şi în sistemul MKfS in [kgf/m3]
Greutatea specifică a apei distilate la 40C şi la presiunea atmosferică este
33
10009810m
kgf
m
N
Greutatea specifică este legată de densitatea prin relaţia g.
Pentru lichide, densitatea şi greutatea specifică sunt practic constante la variaţii de
presiune şi scad nesemnificativ la creşterea temperaturii.
Tabelul 2.1 Greutaţi specifice ale câtorva fluide (dupa Cristea Mateescu, 1963)
Fluid Kgf/m3 t
0C Fluid Kgf/m
3 t0C
Apa distilată 1000 4 Tiţei 850-900 -
Anilina 1022 20 Petrol lampant 90-820 15
Alcool 790 10 Mercur 1596 0
Benzina 640-740 15 Ulei de uns 890-920 -
Glicerina pură 1260 0 Clorura de sodiu 1210 17
2.4.3 Compresibilitatea izotermică
Compresibilitatea izotermică este proprietatea fluidelor de a-şi modifica volumul sub
acţiunea variaţiei de presiune, la temperatură constantă. Compresibilitatea se manifestă sub
acţiunea forţelor de suprafaţă (presiuni). Presiunea care determină modificarea de volum este
normală la suprafaţa care limitează volumul lichidului.
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
14
In cazul unei variaţii de presiune p. aplicată unui fluid de volum V aflat la presiunea
p se va produce o variaţie de volum VV /. proporţională cu variaţia de presiune, după relaţia:
pV
V.
. sau dacă variaţiile sunt infinitezimale dp
V
dV.
Unde este coeficientul sau modulul de compresibilitate [m2/N], iar semnul minus arată
că la o creştere de presiune îi corespunde o scădere de volum.
Există fenomene în Mecanica fluidelor care se studiază ţinand cont de compresibiliitatea
lor. Este vorba despre lovitura de berbec sau sonicitatea fondată de Gogu Constantinescu în
1916.
Se mai poate defini şi modulul de elasticitate care este inversul modulului de
compresibilitate:
dV
dpV
1 [N/m
2]
Relaţia poate fi exprimată şi funcţie de densitatea cunoscând că masa fluidului este
Vm . = const., deci rezultă 0dm sau 0.. dVdV . De unde:
d
V
dV
In acest caz valorile modulelor de compresibilitate şi de elasticitate se calculează cu
relaţiile:
dp
d1 si
d
dp
Fluidul al cărei variaţie a densităţii funcţie de variaţia de presiune este aproximativ egală
cu zero este fluid incompresibil.
Stiind că viteza de propagare a sunetului, după Newton, este c , se poate deduce:
dp
dd
dpc
1
Analizând expresia de mai sus, rezultă că, dacă 0dpd , viteza sunetului tinde către
infinit, adică avem de+a face cu o propagare instantanee a sunetului, ceea ce contrazice realitatea
fizică. Iată de ce studiul fenomenelor de propagare a sunetului necesită luarea în considerare a
compresibilităţii fluidelor.
2.4.4 Dilataţia termică
Odată cu creşterea temperaturii unui fluid are loc şi o creştere de volum, care poate fi
exprimată cu relaţia:
1V
V
Unde: 1 este coeficientul de dilataţie termică şi are dimensiunea inversă temperaturi [θ-1
] deci
se măsoară în [grd-1
]
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
15
2.4.5 Adeziunea la suprafeţe solide
Adeziunea la suprafeţele solide cu care fluidul intră în contact este un fenomen
asemănător cu coeziunea (atracţia dintre particulele vecine). Forţa de adeziune depinde de mai
mulţi facori: natura suprafeţei, natura fluidului, temperatură. Stratul de fluid aderent la corpurile
solide este de ordinul unei sutimi de milimetru şi acesta nu participă la mişcarea fluidului.
2.4.6 Vâscozitatea
Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformărilor ce nu constituie
reduceri ale volumului lor, prin dezvoltarea unor eforturi unitare, dintre care cele mai specifice
sunt eforturile tangenţiale ce se dezvoltă între straturile de fluid aflate în mişcare. Putem spune că
dacă fluidul se află în mişcare, în diferite straturi ale sale (plane de separare) apar forţe
tangenţiale, care se opun variaţiei formei volumului considerat, frânează mişcarea şi modifică
repartiţia vitezelor.
Vâscozitatea a fost pusă în evidenţă, experimental, de către Newton.
Fig. 2,3 Experienţa lui Newton
Intre două plăci de secţiune S dintre care, placa inferioară este fixă, iar placa superioară
se deplasează cu viteza u Distanţa dintre cele două plăci este h. Intre cele două plăci se află
lichid, care se presupune că este alcătuit din mai multe straturi. Stratul adeziv la placă superioară
are aceiaşi vitezş cu placa. Atracţia dintre acest strat şi următorul face ca şi acesta să fie antrenat
cu o viteză mai mică şi aşa mai departe, până la stratul aderent la placa fixă, care nu se mişcă.
Experimentul a arătat o repartiţie liniară a vitezei, care este proporţională cu distanţa y de
la placa inferioară u(y)=y/h.U . Vâscozitatea se manifestă prin eforturi tangenţiale care dau o
rezultantă .F
care este proportională cu deci
Cum distanţa dintre două straturi este infinit mică dy , care alunecă unul faţă de altul cu
viteza relativă du se poate scrie:
dy
du
Această relaţie este cunoscută sub numele de ipoteza lui Newton.
Mărimea se numeşte vâscozitate dinamică, caracterizează vâscozitatea fluidului şi
depinde de natura acestuia. In Sistemul International se măsoară în [kg/m.s = N.s/m2]
Raportul vâscozitatea dinamică şi densitatea fluidului se notează cu ν şi se numeşte
vâscozitate cinematică.
y
x
h
U(y)
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
16
Unitatea de măsură, în Sistemul International, pentru vâscozitatea cinematică este [m2/s],
iar în sistemul CGS este stokes [cm2/s]
Vâscozitatea cinematică, la lichide, scade cu creşterea temperaturii, în timp ce la gaze,
creşte.
2.5 Proprietăţile fizice specifice fluidelor
2.5.1 Tensiunea superficială
Între moleculele unui lichid se exercită forţe de interacţie numite forţe de coeziune.
Fiecare moleculă a lichidului este supusă forţelor determinate de moleculele înconjurătoare.
Pentru moleculele din interiorul lichidului rezultanta acestor forţe va fi nulă deoarece distribuţia
acestor forţe este uniformă în toate direcţiile. Pentru moleculele de la suprafaţa lichidului
rezultanta acestor forţe nu va fi nulă deoarece distribuţia acestor forţe nu mai este aceeaşi în toate
direcţiile. Rezultanta acestor forţe va fi perpendiculară pe suprafaţa lichidului şi îndreptată spre
interiorul acestuia. Stratul de lichid de la suprafaţă numit strat superficial va exercita deci o
anumită presiune asupra lichidului. Grosimea acestui strat precum si presiunea pe care o exercită
sunt foarte mici.Această presiune explică compresibilitatea redusă a lichidelor.
Suprafaţa liberă este modelată printr-o membrană perfect elastică, solicitată în mod
uniform de un efort unitar cu intensitate constantă, independent de punctual de aplicaţie şi de
direcţie.
Datorită interacţiei dintre moleculele stratului superficial cu moleculele lichidului şi cu
moleculele mediului extern, stratul superficial va avea o energie potenţială superficială
proporţională cu suprafaţa liberă a lichidului. La echilibru, această energie trebuie să fie minimă,
deci şi suprafaţa liberă trebuie să fie minimă. De aici rezultă că suprafaţa de separare lichid-
mediu extern se curbează, tinzând să devină sferică, la echilibru. Dar o suprafaţă se menţine
curbă dacă asupra ei acţionează în fiecare punct forţe tangente la ea şi perpendiculare pe conturul
său. Acestea se numesc forţe superficiale sau forţe de tensiune superficială. Ele sunt deci:
- tangente la suprafaţa liberă a lichidului
- uniform distribuite pe lungimea conturului
- perpendiculare pe contur.
Se poate afirma că forţa de tensiune superficială este o forţă de tensiune periferică, prin
care un volum dat de fluid tinde să capete o pătură periferică minimă. Ea există atât la lichide cât
şi la gaze.
Coeficientul de tensiunea superficială, ζ, este prin definiţie forţa de tensiune superficială
exercitată pe unitatea de lungime de pe suprafaţă, deci:
l
F
unde l este lungimea unui contur din stratul superficial pe care se exercită forţa F. Coeficientul
de tensiune superficial se măsoară în [N/m].
Coeficientul de tensiune superficială depinde de natura lichidului şi scade cu creşterea
temperaturii.
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
17
2.5.2 Capilaritatea
Capilaritatea este o consecinţă a proprietăţilor de aderare la suprafeţele solidelor cu care
fluidele intră în contact precum şi a tensiunii superficiale.
Denivelarea h care apare în tuburile capilare este dată, în primă aproximaţie de legea lui
Jurin
Fig.2.5 Denivelarea suprafetei libere in tuburi capilare
gr
h..
.2
Pentru lichide neaderente (mercurul faţă de sticlă), meniscul este convex iar în tubul
capilar se formează o denivelare h < 0.
Studiul fenomenelor capilare prezintă importanţă în studiul fenomenelor de infiltraţii, în
măsurători efectuate cu aparate ce cuprind tuburi capilare.
2.5.3 Absorbţia gazelor
Fenomenul în care gazele pătrund prin difuzie în masa unui fluid defineşte absorbţia.
Acest lucru se produce în cazurile în care concentraţia componentelor gazelor care acţionează
asupra fluidului este mai mare decât cea corespunzatoare gazelor aflate deja dizolvate în fluid.
Absorbţia creşte odată cu creşterea presiunii şi este caracterizată, în timp, de perioada de
semisaturaţie şi de coeficientul de solubilitate al gazului respectiv. Perioada de semisaturaţie este
timpul în care jumatate din cantitatea de gaz a fost absorbită de fluid, iar coeficientul de
solubilitate reprezinta raportul dintre volumul de gaz dizolvat şi volumul de lichid care-l conţine.
2.5.4 Degajarea gazelor. Cavitaţia
Trecerea gazelor dizolvate în lichide în fază gazoasă defineşte degajarea gazelor
(desorbţia), fenomenul invers absorbţiei. Această degajare se produce când concentratia gazelor
aflate în soluţia lichidă este mai mare decât concentraţia gazelor din afara acesteia. Există
tendinţa de echilibrare a concentraţiilor de gaze.
Cavitaţia este fenomenul ce se produce la scăderea presiunii până la nivelul presiunii de
vaporizare a lichidului. In aceste condiţii, se formează cavităţi (bule) în interiorul lichidului aflat
în curgere, care sunt umplute cu gaze continute anterior în lichid, cavităţi ce implodează (surpă)
când lichidul ajunge din nou în zone cu presiuni mai mari decât presiunea de vaporizare din
interiorul bulelor.
Acest fenomen de implozie a cavităţilor gazoase este însoţit de procese mecanice
(presiuni foarte mari, microjeturi), chimice (se degajă oxigen activ), termice (temperaturi locale
r
h
r
h
MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron
18
de mii de grade), electrice (fulgere în miniatură) ce au ca efect distrugerea pereţilor solizi ce
mărginesc lichidul în zona respectivă.
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
19
III. STATICA FLUIDELOR
3.1 Definiţie şi obiect
Statica fluidelor studiază repausul acestora şi acţiunea lor asupra corpurilor solide cu care
intră în contact.
Problemele ce se studiază în acest capitol au o largă aplicativitate în practica
inginerească. Sunt foarte importante problemele legate de acţiunea fluidului asupra corpurilor
solide precum şi problemele legate de determinarea presiunii în interiorul unui fluid.
3.2 Forţele ce acţionează în interiorul fluidelor
Asupra oricărui sistem de mase izolat acţionează două sisteme de forţe: forţe interioare şi
forţe exterioare. Pentru ca sistemul de mase să fie în echilibru trebuie ca suma acestor forţe să fie
egală cu zero. Intrucât forţele interioare sunt egale şi de sens opus, înseamnă că echilibrul este
asigurat când suma forţelor exterioare este zero.
In fluidele aflate în repaus nu apar forţe de vâscozitate (tangenţiale), acestea fiind
condiţionate de mişcare. Prin urmare, relaţiile din statica fluidelor sunt valabile atât pentru
fluidele ideale cât şi pentru cele reale.
Intr-un fluid aflat în repaus acţionează două forţe, care îl echilibrează: forţele masice şi
forţele de presiune.
Forţele masice se datorează prezenţei câmpurilor exterioare şi sunt analoage celor din
mecanica clasică. Forţele masice sunt forţele de greutate datorate câmpului gravitaţional exterior
masei de fluid considerate.
Forţele de suprafaţă au acelaşi rol ca forţele de legătură din mecanica rigidului. Forţele
de suprafaţă sunt forţe de presiune. Pentru a cunoaşte natura forţelor, acestea se pot transforma în
forţe exterioare şi putem demonstra acest lucru astfel: secţionăm masa unui fluid în două părţi ca
în figura 3.1
Fig.3.1
Dacă îndepărtăm masa m2 , pentru ca masa m1 să rămână
în echilibru, masa m2 trebuie înlocuită cu o forţă
exterioară, care reprezintă acţiunea asupra masei m1.
Această forţă raportată la unitatea de suprafaţă
reprezintă tensiunea sau efortul interior, care acţionează
perpendicular pe suprafaţă. Dacă forţa nu ar fi
perpendiculară pe suprafaţa elementară ar admite şi o
componentă tangenţială, ceea ce înseamnă o scoatere din
echilibru al masei m1,
In cazul fluidelor, eforturile interioare sunt presiuni, ele definind presiunea hidrostatică.
Intr-un punct oarecare al suprafeţei de separare din interiorul unui fluid în repaus se poate scrie
relaţia:
dS
dF
S
Fp
S 0lim
Dacă ΔS tinde către zero (un punct al secţiunii de separare), presiunea este funcţie de
coordonatele punctului, iar forţa elementară de suprafaţă dF se numeşte forţă elementară de
presiune.
ΔS m1
ΔF
m2
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
20
Intr-un fluid în repaus presiunea este o mărime scalară, ceea ce înseamnă că valoarea
presiunii nu depinde de orientarea arbitrară a suprafeţei S şi pentru a demonstra acest lucru se
detaşează din masa de fluid în repaus un tetraedru elementar, ca în figura 3.2.
Fig.3.2
Normala la suprafaţa ABC de arie ΔS este
dirijată spre exteriorul volumului de fluid şi
face cu axele de coordonate unghiurile ,
si . Forţele de presiune pe suprafeţele
tetraedrului sunt reprezentate în fig.3.2.
Asupra tetraedrului vor acţiona forţele de
presiune px,py,pz şi pn precum şi forţa masică
unitară de componente fx , fy şi fz, care trebuie
să se echilibreze.
Ecuaţiile de echilibru pe direcţia celor trei axe
sunt:
06
.),cos(2
dxdydzfxndSp
dydzp xnX
06
.),cos(2
dxdydzfyndSp
dxdzp ynY
06
.),cos(2
dxdydzfzndSp
dxdyp znZ
Deoarece 2
),cos(dydz
xndS 2
),cos(dxdz
yndS 2
),cos(dxdy
zndS
reprezentând proiecţiile suprafeţei ABC pe planurile oxy, oxz şi oyz vom obţine relaţiile
3
.dx
fpp xnX
3.
dyfpp ynY
3.
dzfpp znZ
Trecând la limită, tetraedul tinzând către punctual O, rezultă relaţiile:
px = py =pz =pn =p(O) =p(x,y.z)
In concluzie, presiunea nu depinde de înclinarea suprafeţei ABC, deci presiunea într-un
fluid în repaus formează un câmp scalar.
3.3 Ecuaţiile fundamentale ale hidrostaticii
Ecuaţiile fundamentale ale staticii fluidelor se obţin din condiţia echilibrării forţelor care
acţionează asupra unei mase oarecare de fluid aflată în repaus. Pentru a demonstra acest lucru,
desprindem dintr-o masă de fluid o particulă infinit mică de forma unui paralelogram a cărui
muchii sunt egale cu dx, dy, dz.
Particula se găseşte în echilibru sub acţiunea forţelor superficiale de contact şi a forţelor
masice. Considerând că în centrul volumului elementar avem presiunea p variaţia ei pe feţele
paralele pe directia unei axe sunt cu , si respectiv , mai mici sau mai
mari. Forţele superficiale rezultă din înmulţirea presiunii cu elementul de suprafaţă.
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
21
Fig.3.3
Tinând cont că asupra elementului de volum acţionează şi forţele masice, a caror
acceleraţie o notăm cu , ecuaţiile echilibrului hidrostatic, proiectate pe cele trei direcţii sunt:
0.22
dxdydzfdydzdx
x
ppdydz
dx
x
pp x
0.22
dxdydzfdxdzdy
y
ppdxdz
dy
y
pp y
0.
22dxdydzfdxdy
dz
z
ppdxdy
dz
z
pp z
După efectuarea calculelor rezultă:
01
x
pf x
0
1
y
pf y
0
1
z
pf z
Acest sistem de ecuaţii sunt cunoscute sub denumirea ecuaţiile lui Euler din hidrostatică.
Forma vectorială a sistemului este:
Relaţia de mai sus este valabilă pentru fluide incompresibile (ρ = const). In cazul în care
densitatea fluidului depinde de presiune [ρ = ρ(p)] ecuaţia se scrie sub forma:
0.dp
gradfm
Rezultă că în cazul fluidului aflat în repaus, câmpul forţelor masice se scrie sub forma
unui gradient al unei funcţii scalare, deci este un câmp potenţial sau irotaţional ).0.( mfrot
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
22
Pentru ca ecuaţia: să poată fi integrată este suficient ca forţele
masice unitare să constituie un câmp potenţial sau irotaţional. Se notează cu U(x,y,z) potenţialul
forţelor masice exterioare ţi vom avea:
sau în coordonate carteziene
Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii se poate scrie sub forma:
Dacă relaţia de mai sus se înmulţeşte cu va rezulta forma diferenţială a ecuaţiei
hidrostaticii:
Prin integrare se obţine
iar pentru ρ = const
Ceea ce reprezintă ecuaţia fundamentală a hidrostaticii.
3.4 Expresia potenţialului forţelor masice
Aşa cum s-a arătat mai sus, condiţia ca un câmp de forţe masice să menţină un fluid în
repaus este ca acesta să fie câmp potenţial, deci = - grad U . Inmulţim expresia cu şi vom
obţine:
=
Cu fx ,fy si fz s-au notat componentele forţelor câmpului potenţial pe cele trei direcţii.
3.5 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp gravitaţional
Acţiunea forţelor masice în câmp gravitaţional este un caz particular al potenţialului
forţelor masice. Considerând acceleraţia gravitaţională constantă şi dirijată pe verticală (paralel
cu axa oz) componentele forţelor masice sunt:
si
Potenţialul forţelor masice devine
de unde
Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp gravitaţional devine:
în care termenii sunt potenţiale de presiune şi respectiv de
poziţie, iar dacă se împarte ecuaţia la g se obţine:
în care termenii ecuaţiei reprezinta înălţimi (au dimensiuni de lungime).
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
23
In câmp gravitaţional suprafeţele de presiune constantă sunt orizontale. Planele de
presiune constantă se mai numesc si plane de nivel. Pentru a afla constanta din relaţia de mai sus
se consideră un vas cu lichid aflat în repaus (fig.3.4)
Fig.3.4 Distribuţia presiunii într-un lichid aflat în repaus
Se scrie ecuaţia hidrostaticii pentru cele două puncte A şi B din fluid
Stiind că pA = pa putem calcula presiunea în punctul B
In concluzie, presiunea într-un punct oarecare din lichid este egală cu presiunea de
deasupra lichidului la care se adaugă produsul γ.h unde h este adâncimea la care se măsoară
presiunea. Pentru lichidele cu suprafaţă liberă, asupra cărora acţionează presiunea atmosferică,
mărimea presiunii din interior la o anumită adâncime calculată cu relaţia
reprezintă presiunea absolută. In cazul în care se calculează presiunea numai până la nivelul
suprafeţei libere, cu relaţia , presiunea astfel măsurată se numeşte presiune relativă.
In cazul în care într-un vas se găsesc mai multe lichide imiscibile, aflate în repaus,
distribuţia presiunilor este aratată în fig.3.5
Fig.3.5 Distribuţia presiunilor în cazul a trei fluide imiscibile
3.6 Interpretarea ecuaţiei fundamentale şi consecinţele ei
Relaţia fundamentală a hidrostaticii cu reprezentare geometrică este data de ecuaţia:
unde: p /γ este înalţimea piezometrică, corespunzătoare presiunii absolute p;
z este cota geometrică (cota faţă de un plan de referinţă ales arbitrar);
Habs este sarcina hidrostatică corespunzătoare presiunii absolute.
In fig.3.6 s-a reprezentat un rezervor închis ce conţine un lichid a cărui suprafaţă liberă
este supusă la o presiune p0 mai mare decât presiunea atmosferică pa.
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
24
Fig.3.6 Reprezentarea geometrică şi verificarea experimentală
a relaţiei fundamentale a hidrostaticii
H este sarcina hidrostatică corespunzătoare presiunii relative p – pa. Dacă p – pa>0, ceea
ce corespunde unei presiuni relative pozitive se numeşte presiune manometrică, iar sarcina
hidrostatică poartă numele de sarcină manometrică. Dacă p – pa < 0, presiunea relativă se
numeşte presiune vacuumetrică, iar sarcina hidrostatică se numeşte sarcinâ vacuumetrică.
Dacă aplicăm ecuaţia hidrostaticii pentru punctele 3 şi 4 (fig.3.6), unde sunt plasate două
tuburi piezometrice deschise la partea superioară (tuburi manometrice) vom avea:
Hzpp
zpp aa
4
4
3
3
- Dacă în ecuaţia , în cazul fluidelor incompresibile p = const, atrage după
sine şi U=const, deci suprafeţele de presiune constantă sunt suprafeţe echipotenţiale (suprafeţe
care au potenţialul forţelor masice constant). In repausul fluidelor suprafeţele echipotenţiale sunt
şi suprafeţe izobare.
- Forţa masică ce acţionează asupra unei particule de fluid este normală la suprafaţa
echipotenţială (izobară) ce trece prin punctul de aplicaţie al forţei şi este îndreptată în sensul
scăderii potenţialului (sensul creşterii presiunii).
- Suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează deoarece presiunea fiind o mărime scalară
este unică fiecărui punct din mediul fluid. Dacă s-ar intersecta ar însemna ca într-un punct din
mediul fluid să avem presiuni diferite.
- Dacă suprafaţa este izobară (p = const) şi echipotenţială (U = const) rezultă că şi
densitatea pe suprafaţa respectivă este constantă. In concluzie suprafaţa izobară este
echipotenţială şi izodensă.
- Din ecuaţia lui Clapeyron-Mendeleev a temperaturii rezultă că, dacă p şi ρ
sunt constante, temperatura este constantă, cu alte cuvinte o suprafaţa izobară este echipotenţială,
izodensă şi izotermă.
- Suprafaţa de separare dintre două lichide imiscibile ( ) este echipotenţială.
Acelaşi lucru se poate spune şi despre suprafaţa de separare dintre un lichid şi un gaz.
Considerând că între două puncte infinit vecine ale aceleiaşi suprafeţe avem relaţia:
rezultă
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
25
de unde dU =0 , deci U = const.
-Dacă forţele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, presiunea în fluid este
constantă. Dacă =0 rezultă U = const, deci conform relatiei , p = const.
Această consecinţă poartă numele de principiul lui Pascal (dacă într-o zona a fluidului are loc o
creştere de presiune, aceasta se transmite în toată masa fluidului). Pe acest principiu funcţionează
maşinile hidraulice simple: presa hidraulică, acumulatorul hidraulic, cricul hidraulic, etc.
3.7 Aplicaţii
3.7.1 Presa hidraulică.
Foloseşte principiul lui Pascal pentru amplificarea forţei prin intermediul unui fluid (de
obicei ulei hidraulic). Schema de principiu este prezentată în figura 3.6
Fig.3.7 Principiul presei hidraulice
Un piston cu secţiunea transversală s este folosit pentru exercitarea unei forţe asupra
unui lichid (de regulă ulei). Creşterea presiunii de la suprafaţa lichidului (p =f /s) este transmisă
la un piston mai mare, de secţiune S.
de unde
Deci presa hidraulică este un dispozitiv de amplificare al forţei cu un factor egal cu
raportul suprafeţelor celor două pistoane. Acest principiu este utilizat în practică la elevatoarele
auto şi cricul hidraulic, la frânele hidraulice, la scaune de birou sau de frizerii şi stomatologice.
3.7.2 Acumulatorul hidraulic
Acumulatorul hidraulic are rolul de a inmagazina energie hidraulică pentru a o restitui,
sistemului hidraulic din care face parte, atunci când este nevoie, ceea ce confera o continuitate
alimentării echipamentelor şi pentru amortizarea oscilaţiilor de presiune în timpul funcţionării
pompelor hidraulice.
3.5.3 Amplificatorul hidraulic
Amlificatorul hidraulic se utilizeaza în transmisiile şi acţionările hidraulice pentru
mărirea presiunii. Schema de principu este prezentată in fig.3.8.
Fig.3.8 Amplificator hidraulic. Schema de principiu.
F f
S s
D
d
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
26
Forţa ce actionează asupra pistoanelor de unde rezultă
1
2
2 pd
Dp
Deci presiunea se amplifică cu raportul dintre diametrele pistoanelor.
3.8 Presiunea relativă şi absolută.
La baza instrumentelor pentru măsurarea presiunilor stă ecuaţia presiunii din hidrostatică.
Fig.3.9
Diferenţa de presiune dintre aerul conţinut intr-
un rezervor şi aerul atmosferic se masoară cu
un tub în forma de U. (fig.3.9)
Revenind la ecuaţia fundamentală a
hidrostaticii scrisă sub forma:
H.constzg
p şi analizând dimensiunile,
se observă că fiecare din termenii relaţiei sunt
înălţimi. In acest caz, pentru determinarea
presiunilor este suficient să se măsoare
înălţimea coloanei de lichid care produce
aceeaşi presiune.
In figura 3.9 s-a reprezentat un rezervor pneumohidraulic, în care se găseşte un lichid
având densitatea , iar la partea superioară o pungă cu gaz având presiunea 01 pp (presiunea
atmosferică). Pentru determinarea presiunii în punctul M se utilizează două tuburi: unul închis şi
vidat şi celălalt deschis la presiunea atmosferică. Dacă punctul M ar fi mobil şi odată cu el şi
partea inferioară a celor tuburi, nivelul lichidului în cele două tuburi şi-ar păstra poziţia astfel:
în tubul vidat nivelul lichidului se va găsi în acelaşi plan, denumit plan barometric;
în tubul deschis la presiunea atmosferică nivelul lichidului se va găsi în acelaşi plan,
denumit plan manometric.
Dacă notăm cu p presiunea în punctul M, se pot scrie următoarele relaţii:
m0b1 ghpghghpp
Rezultă: g
ph b - înălţimea barometrică
g
pph 0
m - înălţimea manometrică
zg
pHb - sarcină barometrică
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
27
zg
ppH 0
m - sarcină manometrică.
Atunci când 0hm sarcina se numeşte vacuumetrică.
3.9 Unităţi de măsură
Pentru presiune, unitatea de măsura în SI este newton pe metru patrat [N/m2], ce poartă
denumirea de Pascal
In CGS, unitatea de măsură este dyna pe centimetru patrat [dyn/cm2]
1 dyn/cm2 = 0,1 N/m
2
Se mai utilizează bar-ul.
1 bar = 106 dyn/cm
2 = 1 daN/cm
2 = 10
5 N/m
2
La fel de răspândită este şi atmosfera tehnica [at]
1 at = 1 kgf/cm2
= 9,81.104 N/m
2
O altă măsură, la fel de răspândită este atmosfera fizică, care reprezintă presiunea ce
ridică într-un tub barometric o coloana de 760 mm mercur la temperatura de 0oC într-o zona
unde acceleraţia gravitaţională este 9,80665 m/s2.
In practică, datorita utilizării unor instrumente de măsurare a presiunii cu lichide, se mai
întâlnesc următoarele unităţi de măsurare:
- milimetri coloana de apă 1 mm col apa = 9,81 N/m2
- milimetri coloana de mercur 1mm col. Hg = 133,322 N/m2 se mai numeşte şi torr.
3.10 Instrumente pentru măsurarea presiunilor
Măsurarea presiunii presupune uneori fie determinarea înălţimii barometrice bh fie a
înălţimii manometrice mh . Acest lucru se realizează cu aparate speciale denumite manometre cu
lichid, despre care ne vom ocupa in acest curs. In practică manometrele cele mai des utilizate
sunt cele cu element elastic (membrană, burduf), cu piston sau electrice prevăzute cu traductoare
piezoelectrice ce se bazează pe proprietatea unor materiale dielectrice cristaline, care supuse
unor acţiuni mecanice se încarcă cu sarcină electrică.
3.10.1 Instrumente cu lichid
La acest tip de instrumente, presiunea se determină prin coloana de lichid. Acestea
constau din tuburi de sticlă cu diametre mai mari de 6-7 mm în care se găseşte un lichid
manometric. Pentru măsurarea presiunii relative într-un punct se folosesc tuburi manometrice
numite piezometre simple. Pentru măsurarea diferenţei de presiune dintre două puncte se folosesc
piezeometre diferenţiale.
Tubul piezometric
Este un tub vertical închis şi vidat sau deschis la presiunea atmosferică. Deoarece
originea de măsură a presiunii poate să fie vidul absolut sau o presiune de referinţă (ex. presiunea
atmosferică) se utilizează două moduri de măsurare a presiunii.
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
28
m0b ghpghp
Fig. 3.10 Tubul piezometric
Piezometrul cu mercur
Fig.3.11 Piezometrul cu mercur
Referitor la fig.3.11 se pot scrie
următoarele relaţii:
21 pp
ghpp1
1Hg02 ghpp
ghghpp 1Hg0
În consecinţă, măsurând înălţimile 1hh şi
cunoscând tipul lichidului (ρ) se poate calcula
presiunea în punctul M. Densitatea mercurului
este 3
Hg m/Kg13560 .
Piezoametrul diferential
Referitor la fig. 3.12 s-au făcut
următoarele notaţii:
1–robinet de egalizare;
2,3 – robinete ce închid cele două ramuri ale
tubului cu mercur;
4,5 – robinete de purjare.
Notând cu E şi F două puncte de pe
suprafaţa de separaţie situate în cele două
ramuri ale tubului cu mercur putem scrie:
gxpp EA
)( hxgpp GB
Fig.3.12 Piezometrul diferential
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
29
Cum: hgppp HgGFE înlocuind în prima relaţie şi scăzând membru cu membru
primele două relaţii va rezulta:
)( HgBA hgpp
Micromanometrul diferenţial
Fig. 3.13 Micromanometru diferenţial
Referitor la fig.3.13, notăm cu densitatea lichidului din micromanometru, celelalte
mărimi utilizate fiind figurate pe desen. Pentru a calcula presiunea fluidului din recipientul A
utilizăm următorul algoritm:
singlphgpp r00
0
2
0
2
4sin)(
4
dll
Dr
Din a doua relaţie rezultă:
sinD
d1
2
2
0r
şi înlocuind în prima relaţie găsim:
2
2
00D
dsingpp .
În consecinţă, cunoscând configuraţia geometrică a micromanometrului,(d.D, sinα) tipul
lichidului de măsură (ρ) şi măsurând deplasarea acestuia în braţul înclinat (l0) se determină
presiunea p a fluidului din recipientul A.
3.11 Repausul relativ al lichidelor în câmp gravitaţional, în mişcare de translaţie uniformă
Considerăm un rezervor prismatic care se deplasează uniform accelerat, cu o acceleraţie
constantă a ca în figura 3.17.pe un plan orizontal. Se constată o înclinare a suprafeţei libere.
Fig. 3.17 Repausul relativ al lichidului într-un
rezervor prismatic care se deplasează, pe
orizontală, uniform accelerat
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
30
Se spune că un lichid ce se află într-un rezervor este în repaus relativ, dacă particulele din
compunerea sa sunt în repaus în raport cu sistemul de referenţă mobil (x,y,z) ataşat rezervorului.
In raport cu un sistem de referinţă fix, o particula din fluid va avea o viteză absolută
va =vr +vt unde vr este viteza relativă a particulei faţă de sistemul mobil, iar vt este viteza de
transport. Acceleraţia absolută a particulei va fi:
ctra aaaa
Inmulţind relaţia de mai sus cu masa fluidului, relaţia echilibrului dinamic va fi:
ctra amamamam ....
Deci acceleraţia absolută va fie egală cu acceleraţia relativă plus acceleraţia de transport
şi acceleraţia Coriollis. Pentru ca fluidul să fie în repaus relativ, viteza relativă a particulelor
fluidului trebuie să fie nulă (vr = 0) şi deci 0ra şi 0ca , deci vom avea egalitatea:
ta amam ..
3.11.1 Ecuatiile generale ale repausului relativ în mişcarea de translaţie
Aşa cum s-a arătat mai sus, condiţia ca un fluid să fie în repaus relativ este:
ta amam .. sau 0.. ta amam sau 0ia FF
Unde: aa amF . este forţa absolută formată din rezultanta forţelor masice şi a celor de presiune
ti amF . este forţa de inerţie.
In aceste condiţii ecuaţia vectorială a repausului relativ se scrie sub forma:
im ffpgrad.
1
Unde if este forţa de inerţie unitară cu 0. ifrot , deci se poate introduce o funcţie de potenţial
al forţelor de inertie unitare ii Ugradf . . In acest caz relaţia fundamentală a repausului relativ
a lichidelor este :
constUp T unde iT UUU
Consecinţele ecuaţiei fundamentale a repausului relativ sunt analoage cu cele ale
repausului absolut.
Expresia potenţialului total se determină din relaţia:
Tiiim UgradUUgradUgradUgradff .)(..
sau x
Uff T
iXX ; y
Uff T
iYY ; z
Uff T
iZZ
deci: ])()()[( dzffdyffdxffU ixziyyixxT
Revenim la figura 3.17 şi scriem componentele forţelor masice şi de inerţie:
0Xf ; 0Yf ; gfZ
af iX ; 0iYf ; 0iZf
In acest caz:
CgzaxgdzadxUT )(
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
31
Relatia fundamentală a repausului relativ al fluidelor se poate scrie sub forma:
1)( Cgzaxp
unde constanta C1 se determină scriind relatia între un punct oarecare din masa fluidului şi
punctul A a cărui poziţie este cunoscută A(b/2;h0) şi în care presiunea este p = p0.
).2/.()( 00 hgbapgzaxp
Relaţia permite determinarea presiunii în orice punct al fluidului. Pe verticală, repartiţia
presiunilor este identica cu cea de la repausul absolut.
3.12 Repausul relativ al unui fluid dintr-un rezervor în mişcare de rotaţie uniformă
Un alt exemplu de repaus relativ cazul unui rezervor cu lichid, care se roteşte în jurul axei
sale cu o viteză unghiulară constantă ω (fig.3.18). La începutul mişcării nivelul lichidului este h0,
iar componentele forţei unitare de masă sunt: 0Xf ; 0Yf ; gfZ
Forţele de inerţie au componentele: 2.xf iX ; 2.yf iY
; 0iZf
Fig.3.18 Repausul relativ şi distribuţia presiunilor într-un cilindru
circular ce se află în mişcare de rotaţie uniformă
Relaţia potenţialului total va fi:
CyxzgdzgdyydxxUT )(2
.]...[ 222
22
Suprafaţa liberă a fluidului este un paraboloid de rotaţie. Ecuaţia de mai sus poate fi
scrisă sub forma:
1
2222
2
2.)(
2. C
rzgyxzg
sau 2
22
2C
g
rz care reprezintă ecuaţia suprafeţei libere a lichidului
Se scrie ecuaţia de repaus între două puncte cunoscute A unde z = h, r = 0 şi B unde z=H
şi r =R.
2
22
2C
g
RHh
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
32
Cum volumul de fluid nu se schimbă în interiorul recipientului putem spune că volumul
iniţial este egal cu cel după ce fluidul în mişcarea de rotaţie, s-a stabilizat:
)(
2
1 22
0
2 hHRHRhR
sau 02hhH
Inlocuind datele de mai sus în relaţia lui C2 se obţine:
2
22
04
Cg
Rhh sau
g
RhH
4
22
0
In acest caz ecuaţia suprafeţei libere a lichidului, prin înlocuirea lui C2, va avea forma:
0
22
2
22h
Rr
gz
Ecuaţia fundamentală a repausului relativ în mişcarea de rotaţie (p + ρUT = C) ţinând
seamă de expresia lui UT devine:
Cr
zgp2
.22
Relaţia este valabilă pentru orice punct din masa de fluid. Repartiţia presiunilor pe pereţii
recipientului este prezentată în fig.3.15, liniară pe pereţii laterali şi parabolică pe fundul acestuia.
Repartiţia pe verticală este aceiaşi ca în cazul repausului absolut.
3.13 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii solizi
Acţiunea unui fluid în repaus pe un perete solid se calculează însumând forţele
elementare de presiune.
Considerăm o suprafaţă solidă de arie
A asupra căreia se manifestă acţiunea apei
aflată în repaus absolut. Pe elementul de
suprafaţă de arie dA fluidul exercită forţă de
presiune elementară:
dAnpFd
unde: n este versorul normalei orientat spre
interiorul fluidului (fig. 3.22).
ndA
Fd
r
0
p
A
Fig.3.22
Fie r raza vectoare corespunzătoare suprafeţei elementare faţă de originea O a axelor de
coordonate. Momentul în raportul cu O al forţei elementare Fd este:
)(0 dAnxprFdxrMd
3.13.1 Actiunea fluidelor în repaus pe pereţii plani
Dacă suprafaţa A este plană atunci .constn şi expresiile de mai sus devin:
A A
0 dAprxnM,dApnF
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
33
Forţele elementare de presiune pFd reprezintă un sistem de vectori paraleli care se reduc
la o rezultantă unică dată de prima relaţie din grupul de relatii de mai sus, putându-se aplica în
continuare teorema lui Varignon.
Dacă în punctul C, având vectorul de poziţie Cr , se aplică forţa de presiune F , atunci
pentru determinarea lui Cr se scrie:
0C MFxr
deci:
ndAp
dAprr
A
AC
Se observă că determinarea punctului de aplicaţie al forţei de presiune nu este posibilă,
ceea ce înseamnă că forţa de presiune este un vector alunecător. Se va numi centru de presiune
punctul din plan prin care trece suportul forţei F . Aceasta înseamnă 0 şi
A
AC
pdA
pdArr
În concluzie, calculul acţiunii hidrostatice pe suprafeţe plane se reduce la calculul forţei
rezultante de presiune pF şi al poziţiei centrului de presiune Cr .
a) În cazul acţiunii fluidelor uşoare (p = const.) pe un perete plan avem:
pAnFp
GA
C rA
dArr
deci forţa de presiune este egală cu produsul dintre presiunea fluidului şi aria suprafeţei peretelui,
iar centrul de presiune coincide cu centrul de greutate al acestei suprafeţe.
Fie o suprafata plana de arie A, ce face parte dintr-un perete plan, inclinat cu unghiul α
fata de nivelul apei (fig.3.23).
Sistem de axe coordinate carteziene xOy ce coincide cu planul suprafeţei libere a apei
axa Ox fiind situată la intersecţia acesteia cu planul înclinat în care se găseşte suprafaţa A. Un alt
sistem cartezian figurat este Oxz1 cu axa z1 pozitivă în jos (fig. 3.23 a). Se presupune că atât pe
suprafaţa liberă cât şi la exteriorul rezervorului acţionează presiunea atmosferică p0. Pentru o
suprafaţă elementară dA situată la adâncimea h sub suprafaţa liberă presiunea rezultantă va fi:
y
x
1z
A
0y
0p 0
1z
cz 1
Gz 1
x
'x
1z '
1z
C G
dA
n
pF
0h h
pFd
)a)b
Fig.3.23
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
34
sin)( 100 zghgpghpp
Rezultanta forţei de presiune este:
dAzgdF ...
In cazul suprafeţelor plane toate forţele elementare sunt paralele între ele. Rezultanta lor
este:
S
dSzgF ...
Pentru suprafaţa noastră, se transpun coordonatele în planul xoz1 unde sin1zz
S
dSzgF .sin.. 1
Integrala reprezintă momentul static al suprafeţei S faţă de axa ox, egal cu Sz G1 Deci:
SzgF G1.sin..
Sau SzgF G.. unde Gz este distanta de la centrul de greutate la suprafaţa apei, pentru
cazul când peretele este vertical.
Forta F este perpendiculară pe suprafaţa S şi este dirijată dinspre lichid spre perete.
Pentru calculul coordonatelor punctului de aplicaţie al acesteia C, numit centru de presiune, se
egalează momentul rezultantei F, faţă de axa ox, cu suma momentelor forţelor elementare
(Varignon)
S
C dFzFz 11
Tinând cont de relaţiile anterioare, se poate scrie:
S
GC dSzgSzgz 2
111 sin...sin..
Sz
dSz
zG
S
iC
1
2
1
Relaţia de mai sus se poate transforma exprimând momentul de inerţie de la numărător Ix în
funcţie de momentul Ixo faţă de axa principală de inerţie (teorema lui Steiner):
SzII Gxox
2
1 de unde:
Sz
Izz
G
xo
iGiC
1
In mod similar se obţine cealaltă coordonată
S
C dFxFx . Rezultă:
Sz
Ix
iG
xzi
C sau Sz
Ixx
G
zx
GCo
1
1
OBS. Dacă suprafaţa S admite o axă de simetrie după direcţia ox sau oz, momentul centrifugal
luat faţă de axele centrale de simetrie este zero şi GC xx
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
35
Se observă că dacă 'x sau '
1z sunt axe de simetrie, atunci 0I '1
'zx şi GC xx . De
asemenea, întrucât momentul de inerţie axial 'xI este întotdeauna pozitiv G1C1 zz şi GC hh
prin urmare, centrul de presiune este în permanenţă situat sub centrul de greutate.
Dacă suprafaţa A este orizontală,(α=900. OZ1=Oy) centrul de presiune coincide cu centrul
de greutate. În adevăr, deoarece suprafaţa A este paralelă cu suprafaţa liberă a apei
.constzz G1
GA
C rA
dArr
Considerând înălţimea coloanei de apă de deasupra suprafeţei orizontale A egală cu h,
modulul forţei de presiune ce acţionează din partea apei pe această suprafaţă este:
ghAF
Formula de mai sus arată că F nu depinde decât de aria suprafeţei de contact a apei cu
peretele orizontal (A) şi de înălţimea coloanei de lichid (h), nedepinzând de masa lichidului
limitat de suprafaţa A.
În mod tradiţional, acest rezultat poartă numele de paradoxul hidrostatic. Spre exemplu,
dacă suprafeţe orizontale A1, A2 şi A3 din figura 3.24 au aceeaşi arie şi nu sunt solidare cu pereţii
laterali ai vaselor fiind menţinute în repaus de forţele 21 F,F şi 3F , atunci 321 FFF .
1A2A 3A
1F 2F 3F
Fig.2.24
Dacă la suprafaţa liberă a lichidului există presiunea 'p , iar la exteriorul rezervorului
presiunea atmosferică p0,(p’>p0) atunci într-un punct de pe perete situat la adâncimea h presiunea
de calcul este:
g
phgpghpp
*
0
' unde: 0
'* ppp .
Analizând relaţiile de mai sus rezultă că această problemă se reduce la cazul particular
0
' pp studiat mai sus, considerându-se o supraînălţare a suprafeţei libere a lichidului cu
valoarea g/p*.
Pe un perete dreptunghiular se poate face un calcul grafo-analitic (fig.3.24)
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
36
Fig.3.24
In cazul suprafeţei dreptunghiulare
forţa elementară este:
dF = ρ.gzb.dz1
Rezultanta forţelor elementare este:
1. zdzgzdFF
Sub semnul integral, expresia
reprezintă aria elementară dA. Suma
lor reprezintă aria presiunilor
A(AA’BB’), deci:
AghF ..
Coordonata centrului de de presiune zC
va fi:
A
dAzzC
1
Rezultă că forţa hidrostatică trece prin central ariei presiunilor. In particular, când
suprafaţa dreptunghiulară S începe de la nivelul apei, aria presiunilor va fi un triunghi. In acest
caz
sin2
..2
1hghF şi
113
2hz
3.13.2 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţi curbi deschişi
În cazul unei suprafeţe curbe forţele de presiune elementare au direcţii diferite. Sistemul
acestora va constitui un câmp spaţial vectorial care se reduce în orice punct la un torsor format
dintr-o rezultantă şi un moment. Acest torsor este echivalent cu un sistem de trei forţe, în general
neconcurente paralele cu axele sistemului de coordonate.
Forţa de presiune după o direcţie se defineşte ca fiind rezultanta proiecţiilor tuturor
forţelor de presiune elementare pe acea direcţie.
Cu referire la fig. 3.25, am considerat o suprafaţă generată de o dreaptă perpendiculară pe
planul figurii care conturează curba, având capetele A şi B. Forţa elementară de presiune Fd are
componentele pe cele două direcţii dFx şi dFz care se calculează cu formulele:
zz
xx
dAhgsindAhgdF
dAhgcosdAhgdF
unde dAx şi dAz sunt proiecţiile suprafeţei curbe elementare dA după direcţiile axelor Ox şi Oz.
Proiecţiile forţei rezultante de presiune după cele două direcţii se calculează cu relaţiile:
h1
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
37
0''A
'A A
dv
zdFdF
xdF
dA
'B B
xdA
h
x
''BzdA
Fig.3.25
xAxx hdAgF
zAzz hdAgF
Se observă că hdAz este volumul elementar
coloanei de lichid ce se sprijină pe suprafaţa
elementară dA.
În consecinţă, zA
zhdA reprezintă volumul
coloanei de lichid care se sprijină pe conturul
suprafeţei curbe şi relaţia (2.40) se poate
rescrie:
zF gV
Punctul de aplicaţie al forţei Fx este centrul de
presiune a proiecţiei acestei suprafeţe pe planul
yoz.
Punctul de aplicaţie al forţei Fz se determină scriind că momentul rezultantei faţă de Oy,
respectiv Ox este egal cu suma momentelor forţelor elementare:
zCz dFxxF .. si zCz dFyyF ..
vom avea relaţiile: V
dVxxC
. si
V
dVyyC
.
de unde, rezultă că forţa Fz trece prin centrul de greutate al volumului V.
Dacă cele doua forţe Fx şi Fz sunt coplanare, rezultanta lor va fi: 22
zx FFF
3.13.3 Actiunea fluidelor in repaus pe suprafete curbe deschise
In cazul suprafetelor curbe deschise, presiunea fluidului la inaltimea z este p = γ.z si
notanad cu α. β si γ unghiurile facute de normal exterioara la suprafata elementara dS cu sensul
pozitiv al axelor ox, oy si oz, fortele de presiune pe proiectiile suprafetelor pe cele trei planuri
vor fi (fig.3.26):
cos.. dSgzdFx
cos.. dSgzdFy
cos.. dSgzdFz
Prin integrare se obtine:
xGxxxx SzdSzgdFF ,..
yGyyyy SzdSzgdFF ,..
z
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
38
Fig.3.26
VgdVgdSzgdFF xzz .....
V fiind volumul delimitat de suprafaţa S şi
suprafaţa apei.
Forţele Fx şi Fy se aplică în centrul de presiune
al suprafeţelor Sx şi Sy, iar forţa Fz trece prin
centrul de greutate al volumului V.
Dacă cele trei componente sunt concurente, se
compun după relaţia:
222
zyx FFFF
In caz contrar ele se pot reduce la o forţă
rezultantă şi un cuplu resultant.
3.13.4 Acţiunea fluidelor în repaus pe suprafeţe curbe închise
Fie o suprafaţă închisă aflată într-un fluid şi un sistem de referinţă cu planul xoy situat pe
suprafaţa liberă a fluidului (fig.3.27).
V
c
1F
2F
x0p
o
Fig.3.27
Proiecţia suprafeţelor DAC şi DBC pe planul
yoz sunt egale. Forţele de presiune sunt şi ele
egale şi de sens contrar, deci rezultanta forţelor
de presiune pe directia ox este Fx = 0. Acelaşi
lucru se întâmplă şi cu proiecţia pe planul xoz,
deci şi Fy = 0.
Pentru determinarea lui Fz se proiectează
suprafeţele ABC şi ADB pe planul suprafeţei
libere a lichidului, care coincide cu planul xoy.
Notăm cu V1 volumul de lichid format de
cilindrul cuprins între suprafaţa ADB şi
proiecţia ei pe planul xoy şi cu V2 volumul de
de lichid cuprins între suprafaţa ABC şi proiecţia ei pe planul xoy. In acest caz pe suprafaţa ADB
va acţiona forţa F1 = ρ.g.V1 , iar pe suprafaţa ABC forţa F2 = ρ.g V2
Forţa rezultantă va fi:
F = ρ.g.V2 – ρ.g.V1 = ρ.g (V2 – V1) = ρ.g.V
unde V este volumul corpului scufundat.
Relaţia de mai sus exprimă legea lui Arhimede. Asupra unui corp scufundat într-un
fluid se exercită o forţă ascensională egală cu greutatea volumului de fluid dislocuit.
3.14 Plutirea corpurilor
Asupra unui corp scufundat într-un lichid acţionează două forţe:
- Greutatea proprie FG = γmV , unde γm este greutatea specifică medie, şi
- Forţa arhimedică FA = γ.VC , unde VC este volumul dislocuit de corpul scufundat.
Dacă FA < FG corpul se scufundp. Dacă FA = FG corpul rămâne în echilbru şi avem de-a
face cu o plutire cunoscută ca plutirea submarină. Dacă FA > FG corpul pluteşte la suprafaţa
Fy
Fx
Fz
F
A B
C
D
y
z
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
39
lichidului creinduşi un volum, numit volum de carenă (VC). Astfel, condiţia de plutire a unui
corp este:
FG = γmV = γ VC = FA
3.14.1 Elementele hidraulice ale unui plutitor
Plutitorul este un corp solid, care lăsat liber se scufundă parţial într-un lichid. Elementele
hidraulice ale plutitorului sunt prezentate în figura 3.28.
Un corp aflat în plutire are două părţi, o parte
sub apă numită parte imersă sau carenă şi o
parte deasupra apei numită parte emersă.
Centrul de greutate al plutitorului se notează cu
G.
Volumul lichidului dislocuit de plutitor se
numeşte volum de carenă (VC)
Centrul de greutate al volumului de lichid
dislocuit de plutitor se numeşte centru de
carenă şi se notează cu C. Adâncimea maximă la care se află carena se numeşte pescaj (T).
Planul suprafeţei libere a lichidului se numeşte planul plutirii. Intersecţia dintre planul
plutirii şi corpul plutitorului defineşte linia de plutire. Aria suprafeţei marginită de linia de
plutire se numeşte aria de plutire.
Oscilaţiile plutitorului în plan transversal (în jurul axei oy) se numesc ruliu, iar în plan
longitudinal (în jurul axei ox) se numesc tangaj.
La diferite înclinări ale plutitorului, greutatea lui rămânând aceiaşi, forma volumului de
carenă se modifică, dar ca mărime este acelaşi (izocarene). Modificarea formei duce la o altă
poziţie a centrului de carenă. La inclinările plutitorului, centrul de carenă se deplasează pe o
suprafaţă numită suprafaţa centrelor de carena (SC). In cazul în care înclinarea plutitorului are
loc dupa o singură axa (ox sau oy), centrul de carenă se deplasează pe o curbă numită curba
centrelor de carenă.
Centrul instantaneu de rotaţie a centrului de carenă în cazul inclinării după o singură axă,
descriind curba centrelor de carenă se numeşte metacentru (M), iar distanţa de la centrul de
carenă (C ) la metacentrul (M) se notează cu R şi se numeşte rază metacentrică (CM )
Distanţa de la metacentrul M la centrul de greutate al plutitorului ( MG ) se numeşte
înălţime metacentrică ce se notează cu H.
Distanţa de la centrul de greutate al plutitorului la centrul de carenă ( CG ) se numeşte
excentricitate şi se notează cu ε.
M
G
C
RR
T
H
ε SC
x z
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
40
3.14.2 Teoremele plutirii
Teorema a I-a a plutirii: Axa de înclinare trece prin centrul de greutate al ariei plutirii
(teorema lui Lacroix)
Fig.3.29
Pentru a demonstra această teoremă s-a
prezentat în fig.3.29 un plutitor de formă
paralelipipedică, care are aria plutirii in
planul xOy. Planul plutirii este marcat
de dreptunghiul ABCD. Dacă se înclină
plutitorul cu unghiul α, noua arie a
plutirii va fi A’B’C’D’. Intersecţia celor
două plane de plutire se face dupa axa
Oy. Deoarece carenele au volume egale
înseamnă că şi volumele EE’C’CDD’,
pe care-l notăm cu V1 şi ABE’EEA’B’,
pe care-l notăm cu V2 sunt egale.
In acest caz putem scrie relaţiile:
CDEE
dStgxV'
1 )...( ABEE
dStgxV'
2 )...( deoarece pe suprafaţa corespunzatoare volumului
V2 , x < 0.
Din egalitatea celor două volume rezultă CDEE ABEE
dSxtgdSxtg' '
0...
sau ABCD
G SxxdS 0
de unde rezultă 0Gx
ceea ce înseamnă că axa Oy trece prin centrul de greutate al ariei plutirii.
Teorema a II-a a plutirii: Planul tangent într-un punct C la suprafaţa carenelor este paralel
cu planul de plutire corespunzător (teorema lui Dupin)
Fig.3.30
Pentru a demonstra acest lucru în figura 3.30 s-a
prezentat o secţiune transversală într-un plutitor, având
plutirea iniţială AA’ şi centrul de carenă în punctul C.
După înclinarea cu un anumit unghi, noua plutire este
BB’ şi noul centru de carenă C’.
Volumele VAOB şi VA’OB’ sunt egale, le notăm cu V2.
Centrele de greutate ale acestor volume sunt notate cu
G2 şi respectiv G’2. Se mai notează:
VBDA’O = V1
Deci vom avea V1 + V2 = VC . Forţa γ.V1 ce se aplică în
G1 şi forţa γ.V2 ce se aplică în G2, iar forţa
A
B
B’
A’
C
C’
D’
D E
E’
O
α
x
y z
A A’
B
B’
G2
G’2
C
C’ T
G1
O
D
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
41
γVC = γ(V1 + V2) în 21' GGC
(pentru plutirea AOA’)
astfel încât:
2
1
2
1
1
2
V
V
V
V
CG
CG în mod analog pentru plutirea BOB’ se obţine
2
1
1
'
2
'
'
V
V
GC
GC
Comparând cele două rezultate se poate deduce:
1
'
2
1
2
'
'
GC
GC
CG
CG de unde rezultă 'CC este paralelă cu
'
22GG .
Când plutirea BB’ tinde către plutirea AA’ şi G2G2’ tinde către AA’ şi CC’ secant la
planul centrelor de carenă tinde spre tangenta CT, deci tangenta în punctul care marchează
centrul de carenă este paralelă cu linia de plutire.
Teorema a III-a a plutirii: în cazul înclinărilor plutitorului raza metacentrică are expresia
C
y
V
IMCR 000 (teorema metacentrului)
unde Iy este momentul de inerţie a ariei plutirii în raport cu axa de înclinare oy, iar VC este
volumul carenei. R0 este raza metacentrică iniţială, la plutirea dreaptă.
Fig.3.31a Fig3.31b
Pentru a demonstra a III-a teoremă a plutirii s-a prezentat în figura 3.31a un plutitor
având plutirea iniţială AA’, centrul de carenă în C0 şi metacentrul iniţial în M0. După înclinarea
cu ungiul α, noua linie de plutire este BB’ având centrul de carenă în punctul C şi metacentrul în
punctul M. Volumul de carenă a scăzut cu volumul VAOB şi a crescut cu volumul VA’OB’ . In
centrele de greutate ale celor două volume acţioneză forţele F1 şi F2 egale şi de sens contrar.
Forţa arhmedică acţionează în centrul de carenă. Cuplul de forţe F1 şi F2 este echivalent cu
momentul produs de deplasarea forţei arhimedice din punctul C în C’.
'.2. 02 CCFxF dar, ţinând cont că:
CVF . AOBOBA VVFF .. ''12 şi sin' CMCC rezultă
sin
.2 0
C
AOB
V
xVCM
M
M0
C0
C G1
G2 O A A’
B
B’
F1
F2
F O A’
B’
x
l(x)
x
y
dx
dV α
α
x0
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
42
unde: VA’OB’.x0 este momentul static al volumului AOB în raport cu axa oy. Conform figurii
3.31b acest moment se poate exprima cu ajutorul unei integrale:
''
' '
'2
''2
1).()]()[(.
OBA
A
O
A
O
yOBA IdxxlxdxxlxxdVxV
unde: '
yI este momentul de inerţie al ariei plutirii în raport cu axa oy. In acest caz vom avea:
C
y
V
ICM
'
sin
Când α tinde către zero, raportul α/sinα tinde către 1, CM tinde către C0M0 şi obţinem
teorema metacentrului:
C
y
V
IMCR 000
3.14.3 Stabilitatea plutirii. Momentul stabilităţii
Considerând înclinări izocarene ale unul plutitor (o navă) în limita unghiurilor mici. Astfel, o
navă se poate găsi din punct de vedere al stabilităţii transversale în una din situaţiile prezentate mai
jos:
Fig.3.32
Centrul de greutate se găseşte sub centrul de
carenă. Când nava se înclină transversal, centrul de
carenă se deplasează în poziţia C’. Momentul
cuplului format de forţa de greutate, notată cu Δ şi
forţa de împingere γ.VC tinde să aducă nava în
poziţia iniţială, fiind un moment de stabilitate.
Nava se află în acest caz într-o situaţie de stabilitate
transversală excesivă întâlnită la navele unde se iau
măsuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele
de sport şi agrement.
O navă cu stabilitate excesivă execută oscilaţii dure pe o mare dezvoltată; adică oscilaţii cu perioadă
mică şi frecvenţă mare. În timpul acestor mişcări apar forţe de inerţie mari; care pe de-o parte
încarcă structural nava, iar pe de altă parte acţionează asupra mecanismelor, instalaţiilor şi
aparatelor de conducere ale navei, putând duce la funcţionarea defectuoasă a acestora.
Fig.3.33
În poziţia iniţială centrul de greutate este situat
deasupra centrului de carenă. În poziţie
înclinată transversal, centrul de carenă se găseşte
în C’. Momentul cuplului format dat de forţa de
greutate Δ şi forţa arhimedică γ.VC tinde să
aducă nava în poziţia iniţială fiind un moment de
stabilitate. . Această poziţie relativă a celor trei
centre, metacentrul transversal M, centrul de
greutate G, centrul de carenă C, indică o situaţie
de stabilitate pozitivă şi este întâlnită la marea
majoritate a navelor.
γVC
G
Δ
C C’
α
M
M
C C’
G γVC
Δ
α
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
43
În poziţia iniţială centrul de greutate este situat
deasupra centrului de carenă. Când nava este
înclinată transversal, centrul de carenă se
deplasează din C în C’ astfel încât metacentrul
transversal M este poziţionat sub centrul de
greutate. Momentul cuplului format de forţa de
greutate Δ şi forţa arhimedică γ.VC este orientat
în sensul înclinării deci este un moment de
instabilitate, nava găsindu-se într-o situaţie de
stabilitate negativă.
Fig.3.34
Fig.3.35
În poziţia iniţială centrul de greutate se află
deasupra centrului de carenă. Pentru o înclinare
transversală centrul de carenă se deplasează din
C în C’, poziţie pentru care metacentrul
transversal M coincide cu centrul de greutate G.
În acest caz momentul este nul şi nava rămâne în
poziţie înclinată, situaţia fiind de asemenea de
instabilitate.
Ca o concluzie, ţinând cont de notaţiile elementelor hidraulice ale plutitorului
putem scrie că înălţimea metacentrică H = GM se poate determina în funcţie de raza
metacentrică R = CM şi excentricitatea ε = CG cu relaţia:
C
y
V
IRH Funcţie de mărimea acestei valori se poate stabili dacă plutirea este
stabilă (H>0), indiferentă (H=0) şi instabilă (H<0).
C C’
M
G
γVC
Δ
α
M G
C C’
α
Δ
γVC
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
44
IV. CINEMATICA FLUIDELOR
4.1 Definiţie şi obiect
Cinematica fluidelor studiază mişcarea acestora fără a lua în considerare forţele care
determină mişcarea. Se ţine cont numai de proprietăţile geometrice ale mişcării. Acest studiu este
valabil, atât pentru fluidele ideale cât şi pentru cele reale.
Studiul cinematicii fluidelor se bazează pe ipoteza continuităţii acestuia.
4.2 Metode de studiu în mişcarea fluidelor
Studiul cinematic constă în determinarea traiectoriilor, vitezelor si acceleraţiilor
particulelor de fluid. Ştiind că masa de fluid este formată dintr-un număr foarte mare de
particule, studiul poate fi făcut pe o particulă, similară cu punctul material din mecanica clasică,
şi extins la întreaga masă de fluid. Se disting două metode de studiu: Metoda Lagrange. În metoda Lagrange fiecare particulă de fluid este urmărită în mişcarea sa,
începând de la un moment iniţial 0t .
Fig.4.1 Descrierea mişcării prin
metoda Lagrange
Prin această metodă se studiază mişcarea fiecărei particule de fluid, în raport cu un sistem de referinţă Oxyz. Poziţia particulei depinde de coordonatele iniţiale:
),( 0 trrr sau
),,,( 000 tzyxxx ),,,( 000 tzyxyy şi
),,,( 000 tzyxzz
Componentele vitezei vor fi:
t
xu ;
t
yv şi
t
zw
unde s-au notat cu u, v si w proiecţiile vitezei pe cele
trei axe Ox, Oy respectiv Oz.
Componentele acceleraţiei vor fi:
2
2
t
x
t
uax
2
2
t
y
t
va y
2
2
t
z
t
waz
Metoda Lagrange este rar utilizată şi se foloseşte numai în cazul mişcării unei particule
de fluid individualizate.
Metoda Euler. Această metodă determină elementele mişcării tuturor particulelor care
trec printr-un punct din spaţiu, funcţie de timp. Deci, metoda studiază câmpul vitezelor în
punctele din spaţiul fluid în mişcare şi variaţia acestora în timp.
Câmpul vitezelor este dat de relaţiile:
),,,( tzyxuu ),,,( tzyxvv şi ),,,( tzyxww sau ),( trVV
Unde x,y,z reprezintă coordonatele punctului din spaţiu (coordonatele particlulei de fluid).
Componentele vitezei vor fi:
x
y
z M0(t0)
M(t)
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
45
dt
dxu ;
dt
dyv şi
dt
dzw
Traiectoria particulei se obţine prin integrarea sistemului de mai sus, rezultând:
),,,( 000 tzyxxx ),,,( 000 tzyxyy
),,,( 000 tzyxzz
unde 000 ,, zyx sunt constante de integrare ce reprezintă coordonatele particulei la momentul
iniţial t0.
Pentru determinarea acceleraţiilor, se derivează u, v şi w, care sunt funcţii de x,y,z şi t
utilizând regula de diferenţiere totală.
dzz
udy
y
udx
x
udt
t
udu
Prin imparţire la dt se obţin componentele acceleraţiei:
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
duax
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
dt
dvay
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
dt
dwaz
Inmulţind relaţiile de mai sus cu versorii axelor de coordonate kji ,, şi adunând obţinem
forma vectorială a acceleraţiei:
VVt
V
z
Vw
y
Vv
x
Vu
t
V
dt
Vda ).(
Acceleraţia reprezintă derivata totală a vitezei şi este formată din acceleraţia locală t
V
şi acceleraţia de antrenare (convectivă) z
Vw
y
Vv
x
Vu . Acceleraţia locală reprezintă
variaţia vitezei în puncte fixe din spaţiu.
Pentru a pune în evidenţă şi miscarea de rotaţie a particulei de fluid, adunăm şi scădem la
expresiile componentelor acceleraţiei urmatorii termini, astfel: pentru ax termenii: vx
v şi w
x
w
pentru ay uy
u şi w
y
w
pentru az u
z
u şi v
z
v
Pe direcţia Ox vom obţine expresia:
wx
ww
x
wu
y
uu
y
uw
z
uv
y
uu
x
u
t
uax
Făcând calculele pentru ax şi analog pentru celelalte componente, vom obţine:
y
u
x
vv
x
w
y
uw
wvu
xt
uax
2
222
z
v
y
ww
y
u
x
vu
wvu
yt
va y
2
222
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
46
x
w
z
uu
z
v
y
wv
wvu
zt
waz
2
222
Forma vectorială a relaţiilor de mai sus este:
VxVrotV
gradt
Va
2
2
Expresia de mai sus pune in evidenţă partea potenţială, 2
2Vgrad si partea rotaţională
VxVrot a acceleraţiei convective.
4.3 Clasificarea mişcărilor
Clasificarea din punct de vedere al variaţiei în timp a câmpului de viteze
Dacă pentru o particulă se cunoaşte în fiecare moment poziţia ei, viteza, presiunea şi
masa specific, se spune că mişcarea ei este cunoscută. Dacă o particulă din masa de fluid este
definită de coordonatele x,y şi z, de viteză , presiune şi masa specifică, care variaza în timp, se
spune că mişcarea particulei este mişcare nepermanentă sau variată. In acest caz proiecţiile
acceleraţiei pe cele trei axe se exprima prin relaţiile:
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
duax
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
dt
dvay
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
dt
dwaz
Dacă mărimile caracteristice particulei de fluid nu variază în timp, se spune că mişcarea
este o mişcare permanentă sau staţionară. In acest caz vom avea:
),,( zyxuu ),,( zyxvv ),,( zyxww
iar viteza locală t
V este nulă
deci: 0t
w
t
v
t
u
Derivata totală a acestor mărimi este diferita de zero deoarece viteza, presiunea ăi masa
specifică pot varia la trecerea dintr-un punct în altul, în masa de fluid.
Mişcarea permanentă şi uniformă este un caz particular al mişcării permanente şi este
caracterizată de faptul că viteza, presiunea şi masa specifică a unui fluid sunt constante în întreg
domeniul. In acest caz vom avea:
0dt
dw
dt
dv
dt
du precum şi 0
dt
dp ; 0
dt
d
Clasificarea în funcţie de desfăşurarea în spaţiu:
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
47
Mişcare monodimensională Unde viteza poate fi descrisă cu o singură variabilă, exemplu
pe direcţia Ox, restul fiind nule
Mişcarea bidimensională. Unde viteza poate fi descrisă cu două variabile (mişcarea
plană)
Mişcarea tridimensională. Cazul general de mişcare, ce se dezvoltă pe toate cele trei
direcţii.
4.4 Noţiuni specifice mişcării fluidelor
Traiectoria unei particule este drumul parcurs de aceasta.
Curentul de fluid este masa de fluid în mişcare.
Linia de curent este linia curbă ce urmăreşte
direcţia de curgere. Este tangentă la vectorii
viteză ai particulei de fluid. In general, linia de
curent nu coincide cu traiectoria particulei.
In mişcarea nepermanentă linia de curent îşi
modifică forma în timp.
Fig. 4.2. Linia de curent
In mişcarea permanentă, vectorii viteză au poziţii fixe, în fiecare punct din spaţiu şi în
acest caz liniile de curent coincid cu traiectoriile, rămânând aceleaşi în orice moment.
Liniile de curent nu se intersectează. Dacă s-ar intersecta, ar fi ca şi cum o particula să
aibe două viteze diferite în punctul de intersecţie.
Ecuatiile diferenţiale ale liniilor de curent se obtin din condiţia ca vectorul rd să fie
paralel cu vectorul viteză, adică
0.. rdxv sau w
dz
v
dy
u
dx
Tubul de curent. Liniile de curent ce se
sprijină pe un contur închis formează tubul de
curent. Prin pereţii tubului de curent nu se face
schimb de masş. In mişcarea permanentă, tubul
de curent îşi păstrează forma şi dimensiunile,
în timp.
Fig.4.3 Tubul de curent
Firul de curent este fluidul din interiorul unui tub de curent elementar, care materializează o linie
de curent.
Vâna fluidă este alcatuită dintr-o infinitate de fire de fluid. In general, într-o secţiunea dreaptă a
vânei de fluid, distribuţia vitezelor este neuniformă,
Secţiunea transversală (secţiunea vie) a unui tub de curent este suprafaţa normală pe toate liniile
de curent ce strabat tubul.
Raza hidraulică este raportul dintre aria secţiunii transversale şi perimetrul udat
P
AR
In cazul mişcării fluidului printr-o conductă cu diametrul D, raza hidraulică este:
V1
V2
V3
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
48
4
1
4
2 D
D
DR
In cazul unui canalului dreptunghiular din
figura alăturată:
hb
bhR
2
Fig.4.4 Canal dreptunghiular
Debitul unui curent de fluid printr-o suprafaţă S
este fluxul vectorului viteză V, prin suprafaţa
respectivă. Debitul reprezintă limita raportului
dintre volumul care trece printr-o suprafaţă
S într-un interval de timp t , când aceasta tinde
către zero:
Fig.4.5 Suprafata faţă de care se calulează
debitul
S
n
St
dSVdSnVt
Q ..lim0
Deci debitul este volumul de fluid ce trece printr-o suprafaţă în unitatea de timp. Acesta
reprezinta debitul volumic. In afara acestui debit se mai defineşte debitul masic. QQm .
precum şi debitul gravimetric mg QgQQ ..
Circulatia vitezei de-alungul unei curbe oarecare este:
AB
t
AB
AB dSVdSV .
In cazul în care curba de-alungul căreia se face integrala este curba închisă C , circulaţia vitezei
poate fi exprimată printr-o integrală de suprafaţă. Dacă S este suprafaţa pe care se sprijină curba
C rezultatul este cunoscut sub numele de teorema lui Stokes.
C S
dSnVrotdSV ....
Vârtejul unei particule de fluid este vectorul definit de relaţia:
wvu
zyx
kji
Vrot2
1.
2
1
Reprezintă viteza unghiulară de rotaţie a particulei în jurul unei axe ce trece prin central ei de
greutate. Componentele sale sunt:
z
v
y
wx
2
1
x
w
z
uy
2
1
y
u
x
vz
2
1
Linia de vârtej este curba tangentă la vectorii vârtej al particulelor care la un moment dat se
găsesc în punctele de pe această curbă. Ecuaţia diferenţială a liniilor de vârtej are forma:
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
49
0.. drx sau zyx
dzdydx
4.5 Mişcarea unei particule fluide (Teorema lui Cauchy-Helmoholtz)
Mişcarea unui fluid este mai complicată decât mişcarea solidului. Dacă mişcarea
solidului se compune dintr-o mişcare de translaţie şi una de rotaţie, la fluide mişcarea suferă în
plus şi o schimbare de forma (deformaţie).
Pentru a demonstra acest lucru considerăm la un moment dat t o particulă de fluid care,
cuprinde două puncte: M(x,y,z) unde viteza V are componentele u, v şi w iar într-un punct
învecinat M’ (x+dx; y+dy; z+dz) unde viteza V’ cu componentele:
Fig. 4.6 Deplasarea unei particule de fluid
dzz
udy
y
udx
x
uuu '
dzz
vdy
y
vdx
x
vvv '
dzz
wdy
y
wdx
x
www '
Dacă adunăm şi scădem, la prima ecuaţie termenii dyx
v
2
1 şi dz
x
w
2
1 putem scrie:
dyy
u
x
vdz
x
w
z
udz
x
w
z
udy
x
v
y
udx
x
uuu
2
1
2
1
2
1
2
1'
In mod analog se obţin şi relaţiile pentru componentele v’ şi w’
Se cunoaşte că:
wvu
zyx
kji
Vrot2
1.
2
1 de unde:
z
v
y
wx
2
1
x
w
z
uy
2
1
y
u
x
vz
2
1 şi dacă notăm
x
v
y
uaxy
2
1 si
x
w
z
uaxz
2
1
x
uaxx primele reprezintă vitezele
specific de deformare unghiulară, iar axx viteza specifica de deformare liniară.
Astfel vom obţine:
dzadyadxadydzuu xzxyxxzy )(' Componentele v’ şi w’ se determină în mod analog.
Astfel, viteza în punctul M’ este rezultanta a trei vectori viteză:
- o vitezî a cărei proiecţii pe cele trei axe sunt u, v şi w, care corespunde translaţiei
particulei cu viteza V
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
50
- o viteză de rotaţie cu viteza unghiulară ω(ωx ;ωy;ωz)
- o viteză notată cu Vdef care corespunde unei deformaţii ale particulei.
Vectorial, relaţia noastră are forma:
defVMMxVV '..'
Pentru determinarea semnificaţiei lui axx se consideră un element de fluid liniar AA’,
paralel cu axa Ox, de lungime dx.
Fig.4.7 Deformarea liniară a unei particule de
fluid
Diferenţa deplasărilor relative ale capătului
liniar în intervalul de timp dt reprezintă
dilatarea sau contractarea acestuia şi esteŞ
dxdtx
udtudtdx
x
uu . deci viteza
specifică de deformaţie liniară este:
dxdtx
u
dxdtx
uaxx
1
Pentru interpretarea termenilor ayz = azy se examinează mişcarea unei particule de forma
paralelipipedică a cărei secţiune în planul yOz este dreptunghiul ABCD (fig 4.8)
Fig.4.8 Deformarea unghiulară a unei particule de fluid
Intr-un interval de timp dt , particula se deplasează ocupând poziţia A’B’C’D’. Dacă
anulăm translaţia şi rotaţia şi aducem particula în poziţia A”B”C”D”, deplasarea relativă DD” se
datorează diferenţei dintre vitezele punctelor A şi D
dzz
vvv AD şi are mărimea dzdt
z
vDD" analog şi pentru BB”
dydty
wBB"
In ipoteza unei deplasări mici, deformaţia medie a unghiului drept BAD este:
dty
w
z
v
AB
BB
AD
DD
2
1""
2
1)(
2
1 deci viteza de deformaţie unghiulară
este:
zyay
w
z
v
dt 2
1
2
1
u A
A’ dx
u+ dxx
u
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
51
Rezultă că axx , ayy ,azz reprezintă vitezele de deformaţie liniară iar axy ,axz , ayz sunt
vitezele de deformaţie unghiulară. Dacă revenim la expresiile lui u’, v’ si w,’ înmulţind cu kji ,.,
putem determina vectorul viteza 'V . Dacă considerăm funcţia scalară:
).2.2.2(2
1 222 dydzadxdzadxdyadzadyadxa yzxzxyzzyyxx vom avea:
...' gradrdxVV
Funcţia se numeşte funcţie de deformaţie, iar cuadrica corespunzătoare ei este un
elipsoid de deformaţie. Se poate formula următoarea teoremă:
Dacă se cunoaşte mişcarea unei particule fluide )(rM , mişcarea unei particule vecine
)( rdrM se compune dintr-o mişcare de translaţie definită de viteza V a punctului M, dintr-o
mişcare de rotaţie definită de viteza unghiulară Vrot.2
1 în jurul unei axe ce trece prin M şi
dintr-o mişcare de deformaţie a cuadricei const cu centrul în M şi care trece prin M’,
mişcare compusă dintr-o deformaţie liniară definită de mărimile axx , ayy , azz şi deformaţie
unghiulară definită de mărimile axy ,axz ,ayz Aceasta poartă numele de teorema lui Cauchy-
Helmholtz.
4.6 Ecuaţia continuităţii (Legea conservării masei fluidului)
Ecuaţia continuitatii este expresia matematica a principiului conservarii masei de fluid in
miscare.
4.6.1 Ecuatia contuităţii în cazul general
Considerăm un fluid compresibil cu ),,,( tzyx în mişcare nepermanentă cu
),,,( tzyxV . Alegem un volum de formă paralelipipedică cu muchiile dx, dy dz (fig.4.9).
Fig.4.9
Relaţia care exprimă continuitatea fluidului se obţine egalând variaţia masei de fluid din
volumul considerat cu diferenţa dintre masa care intra în acest volum şi masa care iese din el, în
acelaşi interval de timp.
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
52
Masa de fluid care intră în unitatea de timp, după directia Ox este dydzu.. . Masa de
fluid care iese în unitatea de timp prin peretele opus este dydzdxx
uu
).(. . Diferenţa lor
este: .).(
dxdydzx
u. Deoarece se face schimb de masă după cele trei direcţii, diferenţa dintre
masa intrată şi cea ieşită va fi:
dxdydzz
wdxdydz
y
vdxdydz
x
u ).().(),(
Această masă este compensată de variaţia, în unitatea de timp, de masa din interiorul
paralelipipedului .dxdydzt
. Rezultă forma generală a ecuaţiei continuităţii, valabilă pentru
mişcarea nepermanentă a fluidelor compresibile:
0).().().(
z
w
y
v
x
u
t
Sau vectorial: 0).( Vdivt
Ecuaţiile de mai sus pot fi particularizate pentru mişcarea permanentă:
0).( Vdiv
Pentru fluide incompresibile
0).().().(
z
w
y
v
x
u dau 0.Vdiv
4.6.2 Ecuaţia continuitatii pentru un tub de curent
Fig.4.10
In acest caz suprafaţa considerată este un tub
de curent delimitat de două secţiuni normale, la
distanţa dl (fig.4.10). Precizând că pe pereţii
laterali ai tubului nu se face schimb de masă, se
poate scrie:
-masa intrată în unitatea de timp SV .. -masa care iese în unitatea de timp
dll
SVSV
)..(.. deoarece secţiunea S
variază în lungul tubului.
Excesul masei ieşite asupra celei intrate în unitatea de timp dll
SV )..( este compensat
de variaţia în timp a masei din interior dll
S.(, iar ecuaţia de continuitate devine:
0)..().(
l
SV
l
S ecutaţie ce poate fi particularizată:
Pentru fluide incompresibile const 0).(.
l
SV
l
S
MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron
53
Pentru miscarea permanentă 0l
S rezulta QconstSV. deci debitul este constant în
lungul tubului şi este egal cu produsul dintre viteză şi secţiune.
In cazul fluidelor compresibile, ecuaţia de continuitate în mişcarea permanentă este:
constSVM .. adică, debitul masic este constant în lungul tubului de curent.
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
54
V. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE
5.1 Definiţie şi obiect
Dinamica studiază legătura dintre forţele exterioare şi mişcarea fluidului provocată de
acestea.
Orice fluid real este mai mult sau mai puţin vâscos. Cu toate acestea, soluţia unui mare
număr de problem, referitoare la mişcarea unor fluide, mai puţin vâscoase (apa, aerul) se studiază
în ipoteza fluidelor ideale.
5.2 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale (Ecuaţiile Euler)
Acestea se stabilesc scriind pentru o particula elementară de fluid, legea generală a
dinamicii
amFe .
Fie o particula de formă paralelipipedică, detaşată din masa de fluid în mişcare, având
muchiile egale cu dx,dy,dz. Aceasta, se deplasează cu viteza V(u,v,w) sub acţiunea forţelor
exterioare, care sunt:
-forte proporţionale cu masa dxdydzf
-forte de presiune, normale pe cele şase fete ale paralelipipedului, proporţionale cu
suprafeţele, reprezentate în figura 5.1 pe direcţia Ox
Fig.5.1 Particula de fluid sub acţiunea forţelor de suprafaţă
Forţele de frecare tangente la suprafeţe se neglijează, fiind vorba de fluide ideale.
Componentele după cele trei direcţii ale forţelor exterioare le-am determinat în statica
fluidelor: dmfFd mm unde ),,( zyxm ffff este forţa masică initară.
Proiecţia ecuaţiei mişcării după direcţia Ox este
dxdydzdt
dudxdydz
x
pdxdydzf x
sau: dt
du
x
pf x
1
Unde du/dt este proiecţia acceleraţiei pe axa Ox. In mod similar vom avea şi proiecţiile
pe celelalte direcţii:
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
55
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
du
x
pf x
1
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
dt
dv
y
pf y
1
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
dt
dw
z
pf z
1
Acestea sunt ecuaţiile lui Euler din hidrodinamică. Primul termen din membrul al treilea
reprezintă forţa unitară locală de inerţie, iar următorii reprezintă forţa unitară convectivă de
inerţie. Primul termen din membrul întâi reprezintă forţa unitară masică, iar al doilea forţa
unitară de presiune
Aceste trei ecutaţii, împreună cu ecuaţia de continuitate 0z
w
y
v
x
u (pentru
const ) asigură numărul necesar pentru rezolvarea sistemului cu cele patru necunoscute u, v,
w şi p.
Forma vectorială a ecuaţiilor lui Euler este:
dt
vdpgradf .
1
5.3 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale sub forma Gromeka-Lamb
Pentru a pune în evidenţă componentele vectorului vârtej, pe cele trei axe, se fac
urmatoarele trei transformări în ecuaţiile lui Euler: pentru prima ecuatie se adaugă şi se scad
termenii x
vv şi
x
ww se obţine
wx
w
z
uv
x
v
y
uw
z
wv
x
vu
x
u
t
u
x
pf x
1
sau )(22
1 222
vwwvu
xt
u
x
pf zyx
Inlocuind suma din paranteză cu V2 se obţine
)(22
1 2
vwV
xt
u
x
pf zyx
)(22
1 2
wuV
yt
v
y
pf xzy
)(22
1 2
uvV
zt
w
z
pf yxz
Sub forma vectorială:
vxrotv
gradt
vpgradf ...
2..
1 2
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
56
5.4 Integrarea ecuaţiilor mişcării
Inmulţim cele trei ecuaţii de mai sus cu dx, dy şi respectiv dz, şi adunând, în ipoteza
forţelor masice derivate dintr-un potenţial (f = -grad.U) se obţine
022
2
wvu
dzdydx
dzt
wdy
t
vdx
t
uVpUd zyx
In regim de mişcare permanent, relaţia ia forma
022
2
wvu
dzdydxVp
Ud zyx
Soluţia ecuaţie pentru formele de mişcare pentru care determinantul este nul:
constVp
U2
2
In câmp gravitaţional
constVp
zg2
.2
Ecuaţia lui Lagrange
Condiţiile de anulare a determinantului sunt:
0wvu Este cazul echilibrului hidrostatic. Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp
gravitaţional este constp
zg.
0zyx Este o mişcare irotaţională sau, fără vârtejuri
w
dz
v
dy
u
dx Acestea sunt ecuaţiile liniilor de current, deci suma
2.
2Vpzg este constantă
de-a lungul unui fir de fluid. Este ecuaţia lui Bernoulli. Diferenţa faţă de ecuaţia lui Lagrange
este că, dacă prima, este constantă în întreg domeniu de mişcare, a doua, variază de la un fir la
altul.
zyx
dzdydx sunt ecuaţiile liniilor turbionare, avem const
VpU
2
2
wvu
zyx Este vorba de o mişcare elicoidală, avem constVp
U2
2
5.5 Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide ideale pe o linie de curent
Obţinută din integrarea ecuaţiilor lui Euler, într-un caz particular al mişcării, după o linie
de curent, ecuaţia lui Bernoulli exprima faptul că în mişcarea permanentă şi irotaţională a
fluidelor perfecte, în câmp gravitaţional, suma 2
.2Vp
zg este constantă de-a lungul unui fir
de fluid. Ecuaţia lui Bernoulli are o larga aplicativitate în hidrodinamică, unde, în majoritatea
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
57
problemelor, mişcarea poate fi asimilată cu mişcarea firului sau a vânelor fluide. De aceea vom
insista asupra acestei ecuaţii.
- relaţia este stabilită pe o linie de curent, avaând ecuaţiaŞ
w
dz
v
dy
u
dx
- forţele masice derivă dirt-un potenţial
x
Uf x ,
y
Uf y
, z
Uf z
- mişcarea fluidului este permanentă, deci parametrii hidrodinamici sunt numai funcţie
de poziţie, nu şi de timp, de unde rezultă:
0t
w
t
v
t
u
- mişcarea fluidului este potenţială (irotaţională) având componentele vitezei exprimate
funcţie de potenţial x
u , y
v , z
w de unde rezultă: 0zyx
Dacă revenim la ecuaţia lui Gromeka-Lamb, ţinând cont că presiunea variază funcţie de
poziţie, vom avea:
0)..(22
2
zy vwUdpV
xt
u
0)..(22
2
xz wuUdpV
yt
v
0)..(22
2
yx uvUdpV
zt
w
Inmulţind ecuaţiile de mai sus cu dx, dz, dy şi adunând, obţinem:
022
)...(2
wvu
dzdydx
UdpV
ddzwdyvdxut
zyx
In condiţiile enunţate mai sus, ecuaţia obţinută devine:
02
2
UdpV
d şi prin integrare:
CUdpV
2
2
unde C este o valoare constantă în toată masa fluidului.
In cazul mişcărilor permanente a fluidelor incompresibile, ce au loc intr-un câmp
gravitaţional (U=g.z+ C) relaţia lui Bernoulli este:
22
2
21
1
2
1 .2
.2
zgpV
zgpV
sau prin împărţire cu g:
22
2
21
1
2
1
22z
p
g
Vz
p
g
V
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
58
In cazul mişcărilor permanente a fluidelor incompresibile, ce au loc ăntr-un camp de forţe
masice neglijabile, relaţia devine:
2
2
21
2
1
22
pVpV
Aceasta este ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide uşoare la viteze şi presiuni relativ mici.
Exemplu: confuzoul unui ventilator, conducte de aerisire. Mai poate fi utilizată pentru fluide
dacă forţele de greutate pot fi neglijate faţă de forţele de inerţie şi cele de presiune. Exemplu,
mişcarea apei prin conducte orizontale de diameter mici.
Relaţia se mai poate scrie şi sub forma:
22
2
22
2
11
Vp
Vp unde p este presiunea piezometrică (statică), iar
2
2V este
presiunea dinamică, iar 2
2Vp este presiunea totală.
5.5.1 Interpretarea energetica a ecuatiei lui Bernoulli (Ecuatia energiei)
Fiecare dintre termenii ecuaţiei lui Bernoulli reprezintă o energie specifică (pe unitatea de
masă) şi anume:
g.z – reprezintă o energie potenţială de poziţie
p/ρ – reprezintă o energie potenţială de presiune
V2/2- reprezintă o energie cinetică
Suma 2
.2Vp
zg corespunde energiei totale a unităţii de masă şi se poate spune că
ecuaţia lui Bernoulli exprima legea conservarii energiei în cursul mişcării.
Ecuaţia lui Bernoulli se mai poate scrie sub forma
constg
V
g
pz
2.
2
Unde g
pz
. este energia potenţială si ultimul termen este energia cinetică.
5.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli
Forma constg
V
g
pz
2.
2
se pretează la o interpretare geometrică, întrucât fiecare din cei trei
termini are dimensiunea unei lungimi.
Fig.5.2 Reprezentarea grafică a relaţiei lui Bernoulli
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
59
Fie un fir fluid de secţiune descrescătoare şi două secţiuni 1 şi 2 în lungul firului, în care
vitezele sunt egale cu V1 şi V2. Faţă de un plan de referinţă ales arbitrar, cele două secţiuni sunt
situate la distanţele z1 şi respectiv z2.
p1/γ, respectiv p2/γ sunt înălţimile piezometrice, care se pot pune în evidenţă cu ajutorul
unor tuburi piezometrice montate în secţiunile 1 şi 2.
V12/2g şi V2
2/2g sunt înălţimile cinetice în cele două secţiuni. Energia specifică totală se
menţine constantă, adică:
g
Vpz
g
Vpz
22
2
222
2
111
5.6 Pierderi hidraulice (de sarcină)
In cazul fluidelor reale, ecuaţia lui Bernoulli nu se poate aplica riguros, nici chiar în
lungul unei linii de curent, deoarece energia specifică totală nu se mai conservă. Datorită
frecărilor cu pereţii solizi şi frecărilor interioare, o parte din energie se transformă ireversibil în
caldură, devenind pentru firul de fluid o energie pierdută care, raportată la greutate, poartă
numele de pierdere hidraulică (pierdere de sarcină). Energia totală scade în lungul curentului.
Dacă pierderile hidraulice sunt mici, ele se pot neglija şi în primă aproximaţie se poate utilizş
relaţia:
constg
V
g
pz
2.
2
Dacă pierderile hidraulice sunt mari, ecuaţia de mai sus se corectează, pe baza datelor
experimentale, pentru a exprima bilanţul energetic în lungul firului. Ecuaţia energiei, pentru două
secţiuni 1 şi 2 în lungul firului, se scrie:
Fig.5.3
21
2
222
2
111
22hp
g
Vpz
g
Vpz
Unde hp1-2 reprezintă pierderea hidraulică sau, lucrul mecanic consumat de greutatea
unitară de fluid când se deplasează din secţiunea 1 în secţiunea 2.
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
60
5.7 Aplicaţiile ecuaţiei lui Bernoulli
Pentru a aplica ecuatia lui Bernoulli într-o problemă de hidrodinamică, trebuie să se
cunoască forma liniilor de curent şi valoarea presiunii în unele secţiuni caracteristice ale
curentului.
5.7.1 Formula lui Toricelli
Fie un rezervor deschis cu lichid, care alimentează un orificiu. Nivelul din rezervor se
menţine tot timpul constant, ceea ce înseamnă că orficiul funcţionează în regim permanent.
Experienţa arată că în rezervor, curgerea este convergentă iar
la ieşirea din orificiu, datorită racordării pereţilor la intrare,
vitezele sunt paralele între ele. Aplicând ecuaţia lui Bernoulli
după o linie de curent între punctele A şi M, se poate calcula
viteza de la ieşirea din orificiu. Astfel, faţă de un plan de
referinţă, ales arbitrar. se poate scrie:
g
Vpz
g
Vpz MM
MAA
A22
22
Deoarece vâna de fluid are dimensiuni mici şi este înconjurată de aerul atmosferic, se
poate considera pM = pA =pat. Rezultă:
g
Vzz
g
V AMA
M
22
22
Unde VA este viteza de la suprafaţa liberă a rezervorului, numită viteză de apropiere.
Fiind foarte mică, se poate neglija şi în acest caz:
HgVM ..2
Care este formula lui Toricelli
5.7.2 Fenomenul Venturi
Dacă într-o conductă oarecare se produce o strangulare a secţiunii, conform ecuaţiei
continuităţii (s1V1=s2V2=s3V3=Q) unde într-o secţiune s2 viteya creşte. Aplicâand ecuaţia lui
Bernoulli, în lungul firului de fluid se obţine:
g
Vpz
g
Vpz
g
Vpz
222
2
33
3
2
222
2
111
Rezultă că energia potenţiala z + p/γ variază în acelaşi
sens cu secţiunea. Dacă conducta este orizontală z1=z2=z3
rezultă:
g
Vp
g
Vp
g
Vp
222
2
33
2
22
2
11
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
61
Fig. 5.5
Tubul Venturi este un ajutaj convergent–divergent utilizat la măsurarea debitului. Debitul
se va exprima uşor:
2
1
2
2
22
1
2
221 1
22 ssg
Q
g
VVpp
21
2
2
2
1
21 2pp
gss
ssQ
5.7.3 Presiunea într-un punct de impact
Fie un obstacol imobil într-un fluid aflat în mişcare permanentă. Liniile de curent ocolesc
obstacolul.
Fig. 5.6
Există o linie de curent ce se opreşte în punctul M (punct
de impact) Aplicăm ecuaţia lui Bernoulli între A şi M
g
Vpz
g
Vpz MM
MAA
A22
22
In cazul nostru zA = zM. In punctul de impact viteza se anulează VM = 0 şi toată energia
curentului apare sub formă de presiune. Presiunea din punctul de impact poartă denumirea de
presiune totală (ptot). Presiunea din punctul A este presiunea statică a curentului. Se poate scrie:
totAst p
g
Vp
2
2
2
2Vpp sttot
Creşterea de presiune poartă numele de presiune dinamică (ρV2/2)
5.7.4 Presiunea într-o conductă
Intr-o secţiune dreaptă a unei conducte, se montează două tuburi piezometrice A şi B ca
în figura de mai jos.
Fig.5.7
Nivelul lichidului este acelaşi în cele două tuburi
piezometrice deoarece aceiaşi lege de distribuţie a
presiunilor este valabilă atât în interiorul tubului de
măsură cât şi în secţiunea dreaptă a conductei
BB
AA
pz
pz
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
62
5.8 Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic.
Teoremele impulsului şi a momentului cinetic se folosesc pentru rezolvarea multor
probleme din mecanica fluidelor. Acestea se obţin prin transpunerea în domeniul mediilor fluide
a celor două teoreme ale impulsului, cunoscute din mecanica solidului.
Prima teoremă
eFVmdt
d. exprimă faptul că derivata impulsului unui sistem de puncte
materiale în raport cu timpul este egală cu rezultanta forţelor exterioare aplicate sistemului de
puncte materiale. Produsul vm. este cunoscut sub denumirea de vector cantitate de mişcare sau
impuls.
A doua teoremă
)()( eFxrVxmrdt
d este teorema momentului kinetic: derivata în raport cu
timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale este egală cu suma momentelor
forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului de puncte materiale .
5.8.1 Teorema impulsului
Pentru a transpune această teoremă în mecanica fluidelor luăm în considerare un fir de
fluid în mişcare permanentă (fig.5.8), vitezele, presiunea şi masa specifică sunt constante în timp.
Fig.5.8
Delimitând printr-o suprafaţă de control ABCD
un segment din acest fluid, masa ocupată de
aceasta suprafaţă de control ocupă în două
momente succesive t şi t’ poziţiile ABCD şi
A’B’C’D’.
Variaţia impulsului Id în intervalul de timp dt
se poate exprima prin diferenţa impulsului
masei de fluid conţinut în suprafaţa de control
la cele două momente t şi t’. Deoarece
mişcarea este permanentă, impulsul masei de
fluid conţinut între suprafeţele A’B’ şi CD
rămâne constant în timp. Variaţia impulsului
este dată de diferenţa dintre impulsul masei
conţinute între secţiunile CD-C’D’ şi AB-A’B’. Impulsul este egal cu produsul dintre masă şi
viteză, se poate scrie:
111222 .... VdtVSVdtVSId
sau )(. 12111222 VVQVVSVVSdt
Id
Tinând cont de prima teoremă a impulsului vom avea, pentru mişcarea în regim
permanent a fluidelor:
eFVVQ )(. 12
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
63
Suma forţelor exterioare reprezintă ansamblul acestora aplicate la masa de fluid conţinut în
suprafaţa de control ABCD şi anume:
- forţe de greutate
- forţe de presiune normale pe secţiunea curentului şi dirijate din exterior spre fluid
- forţe de presiune exercitate de pereţii care limitează curentul, normale la pereţi.
5.8.2 Teorema momentului cinetic se stabileste in mod similar
)()(. 22 eFxrVxrQ
5.9 Aplicaţii ale teoremei impulsului
5.9.1 Fortele hidrodinamice
Sunt forţele de acţiune, pe care o vână de fluid liberă o exercită asupra corpurilor cu care
intră în contact
Forţa hidrodinamică pe un perete plan
Fig.5.9 Forţa hidrodinamică pe un perete
plan înclinat
In fig.5.9 s-a reprezentat o vână de fluid,
animată de o viteză V , care izbeşte sub un
unghi α un perete plan a-b. La contactul cu
peretele, vâna de fluid se împrăştie astfel încât
la o mică distanţă, în jurul punctului de contact,
vitezele devin paralele cu peretele.
Pentru calculul forţei hidrodinamice se aplică
unui segment din vâna de fluid teorema
impulsului. Suprafaţa de control este delimitată
de secţiunea de intrare 1-1 inainte de contact,
unde firele de curent nu au fost deviate, iar
secţiunea de ieşire 2-2, după contactul cu
peretele.
Secţiunea de intrare este o secţiune cilindrică perpendiculară pe suprafaţa a-b. In teorema
impulsului, rezultanta forţelor exterioare este reprezentată de forţa pe care peretele o exercită
asupra fluidului fpF . Forţa de acţiune pfF a fluidului spre perete este egală şi de sens contrar
cu prima.
)(. 21 VVQFF fppf
Proiectia acestei forţe pe direcţia perpendiculară la perete este:
sin.. 1VQF pf
Când peretele este perpendicular pe direcţia mişcării, forţa hidrodinamică pe care fluidul
o exercită pe perete este:
2.... VSVQF pf
Dacă peretele plan, izbit normal pe suprafaţa sa, se deplasează cu viteza u în direcţia
vânei de fluid vom avea o rezultantă a vitezei de forma uvw şi în acest caz, forţa
hidrodinamică va fi:
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
64
).(.)( uvQFxpf
5.9.2 Roata hidraulică cu acţiune
Fie o vână de fluid, liberă, de secţiune S, viteză V, având debitul Q = S.V, care se
angajează tangenţial pe o suprafaţă care o deviază cu unghiul α (fig.5.10)
Fig.5.10 Roata hidraulică
Acţiunea apei asupra peretelui este:
)(. 21 VVQFF fppf
Proiectând relaţia pe directia Ox vom avea:
)cos.(. 21 VVQF pf Sau, neglijând frecările V1 =V2 = V:
)cos1(..)( VQF xpf
Considerând că acest perete este paleta unei
roţi hidraulice, care se deplasează după
direcţia tangenţială cu viteza u , viteza cu
care apa ajunge pe paleta roţii este:
w = V - u
Componenta forţei hidraulice după directia
tangenţială, devine:
)cos1)(.(.)( uVQF xpf
Puterea transmisă paletei va fi:
uuVQuFP xpf ).cos1)(.(.)(
Puterea disponibilă a vânei de fluid de viteza v este:
2
.2V
QPd
Deci, randamentul, raportul dintre puterea utilă şi cea disponibilă, va fi:
22
)cos1.().(2
2
)cos1.().(
V
uuV
VQ
uuVQ
P
P
d
Discuţia care se face asupra randamentului roţii hidraulice este una calitativă, deoarece în
aplicarea teoremei impuslului s-a considerat V1 = V2 = V, neglijându-se frecările.
Randamentul roţii este influenţat de turaţia roţii (viteza tangenţială u) şi de construcţia
paletei (unghiul α). Pentru a determina valoare optimă a vitezei tangenţiale, valoare la care vom
obtine un randament maxim, se derivează expresia randamentului funcţie de u , determinandu-se
valoarea lui u care anulează derivat:
024 Vuu
de unde 2
Vuoptim
Astfel randamentul maxim al roţii hidraulice devine:
)cos1(2
1max
Se observă că în expresia randamentului maxim intervine numai unghiul constructiv.
Deci cel mai bun randament se obţine pentru α = 1800 (cosα = -1).
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
65
Fig.5.11 Turbina Pelton
De aceia paletele turbinelor cu acţiune
(Turbina Pelton) sunt construite în aşa fel încât
să întoarcă apa la aproximativ 1800
5.9.3 Forţe de reacţiune
Dacă vâna de fluid este obligată de frontierele solide să-şi schimbe direcţia, ea
reacţionează cu o forţă asupra peretilor inconjurători. Aceasta forţă se numeşte forţă de
reacţiune.
Reacţiunea fluidelor în coturi
Fig.5.12 Reacţiunea în coturi
Fie o vână de fluid sub presiune, care sub
acţiunea pereţilor înconjurători este obligată
să-şi schimbe direcţia. Fluidul va reacţiona
exercitând forţa pfF asupra pereţilor
(fig.5.12). Pentru calculul ei se alege un
segment din vâna de fluid, limitat de
secţiunile 1-1 şi 2-2 căruia i se aplică
teorema impulsului.
Din categoria forţelor exterioare se iau în
considerare pe lângă acţiunea pereţilor şi
forţele de presiune din secţiunile S1 şi S2 ,
normale la cele douş secţiuni şi dirijate în
sensul compresiilor:
221112 )( SpSpFVVQ fp
Reacţiunea fluidului în cot va fi:
221121 )( SpSpVVQFF fppf
Este rezultanta a doi vectori hidrodinamici 1,. VQ şi 2.. VQ şi a forţelor de presiune
MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron
66
Reacţiunea fluidului asupra pereţilor rezervoarelor
Fie un rezervor plin cu lichid până la
înălţimea h şi prevăzut cu un orificiu prin
care lichidul iese în atmosferă cu viteza
ghV 22
Teorema impulsului aplicată masei de fluid
din rezervor este:
fpFGVVQ )(. 12
G este greutatea fluidului din rezervor iar
fpF este acţiunea pereţilor:
Reacţiunea fluidului este:
GVVQFF fppf )(. 21
Componenta ei pe directia axei Ox va fi:
2
222)( ... VSVQF xpf
Inlocuind valoarea vitezei, rezultă:
hgSF xpf ..2 2)(
Această forţă imprimă recipientului o mişcare în sens contrar vitezei V2.
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
67
VI. MISCARI POTENTIALE PLANE
6.1 Definiţii şi noţiuni generale
Se numesc mişcări potenţiale, mişcările fluidelor incompresibile in care vitezele locale
derivă dintr-o funcţie de potenţial al vitezelor
.gradv sau x
u y
v z
w
Deci, mişcarea unui fluid ideal, incompresibil, este potenţială dacă există o funcţie
),,,( tzyx ale cărei derivate parţiale reprezintă componentele vitezei în punctul respectiv. Din
ecuaţia continuitaţii :
0.z
w
y
v
x
uvdiv va rezulta:
0...2
2
2
2
2
2
zyxgraddivvdiv
Rezultă că funcţia de potenţial a vitezelor este o funcţie armonică.
Dacă se calculează componentele vârtejului, date de relaţia:
ky
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
wvrot .
2
1.
2
1.
2
1.
2
1
şi înlocuind în relaţia vârtejului x
u , y
v , z
w se constată că componentele
vârtejurilor sunt nule. Deci putem spune, reciproc, că mişcările irotaţionale sunt mişcări
potenţiale.
Dacă mişcarea potenţială este plană avem doar două componente ale vitezei (u şi v)
6.2 Legătura dintre mişcarea potenţială plană şi teoria funcţiilor de variabilă complexă
6.2.1 Construcţia unei soluţii a ecuaţiilor de mişcare ale fluidelor ideale
Mişcarea unui fluid incompresibil este descrisă de ecuaţiile lui Euler şi ecuaţia de
continuitate care, în cazul mişcării plane, ţinând cont că x
Uf x si
y
Uf y ecuaţiile lui
Euler devin:
x
p
x
U
y
uv
x
uu
1
y
p
y
U
y
vv
x
vu
1 şi ecuaţia de continuitate
0y
v
x
u
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
68
Inlocuind în ecuatiile de mai sus x
u , y
v , se poate rezolva sistemul de ecuaţii,
rezultând:
Uyx
constp
22
2
1.
în care ),( yx este o funcţie armonică. Constituie o soluţie a ecuaţiilor mişcării. Primele
două relaţii, de mai sus, arată că mişcarea este potenţială, iar a treia reprezintă relaţia lui
Bernoulli pentru fluidele incompresibile (ρ = const).
In cazul mişcărilor plane, ecuaţia diferenţială a liniilor de curent este:
v
dy
u
dx sau 0.. dyudxv
Ecuaţia continuităţii 0y
v
x
u
scrisă sub forma y
v
x
u )( reprezintă condiţia
necesară şi suficientă pentru ca membrul stâng al ecuaţiei 0.. dyudxv să fie diferenţială
totală exactă, a unei funcţii scalare ),( yx ,
0.. duudxvdyy
dxx
d de unde rezultă:
y
u şi x
v
Funcţia ia valori constante pe o linie de curent şi se numeşte funcţie de curent. In
mişcarea potenţială, această funcţie este armonică, deoarece într-o astfel de mişcare, vârtejul este
nul. Deci:
02
1
2
12
2
2
2
yxy
u
x
v sau 0
Se poate verifica prin înlocuire:
y
u x
v Uyx
constp
22
2
1
In care funcţia ),( yx este o funcţie armonică şi este o soluţie a sistemului de
ecuaţii ale mişcării plane. Primele doua relaţii arată că mişcarea este plană şi irotaţională, iar a
treia este relaţia lui Bernoulli.
6.3 Potenţialul complex al mişcării
Din relaţiile y
u ; x
v şi x
u si y
v prezentate anterior,
resultă: yx
si xy
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
69
Funcţiile θ şi ψ sunt funcţii armonice conjugate ce verifică condiţiile Cauchy-Riemann.
Deci, funcţiile θ(x,y) şi ψ(x,y) reprezintă partea reala şi partea imaginară a unei funcţii
monogene de variabilă complexă z = x + iy
),(.),()( yxiyxzf
Funcţia f(z) se numeşte poteţialul complex al mişcării.
Dacă mişcarea este nepermanentă, potenţialul complex al mişcării se scrie sub forma:
),,(.),,(),( tyxityxtzf
Dacă se folosesc coordonate polare: ierzr .,,
),,(.),,(),( tritrtzf
Partea reală a potenţialului complex f(z) este familia liniilor de potenţial. iar partea
imaginară reprezintă familia liniilor de curent.
Fig.6.1 Spectrul hidrodinamic al mişcării
Dacă se reprezintă grafic, într-un sistem de axe
xOy, familia liniilor de potenţial şi de curent
se obţine spectrul hidrodinamic al mişcării.
Liniile de curent şi de potenţial sunt curbe
ortogonale deoarece grad.ψ.gradφ=0
6.4 Determinarea unor mărimi caracteristice mişcărilor potentiale plane
Mărimile caracteristice sunt: repartiţia vitezelor, repartiţia presiunilor, circulaţia de-a
lungul unei curbe şi debitul de fluid printr-o curbă.
6.4.1 Determinarea vitezelor
In coordonate carteziene sunt relaţiile determinate anterior:
yx
u xy
v
In coordinate polare.
Potenţialul complex f(z) poate fi separata în
partea reală şi partea imaginară prin inlocuirea
lui .. ierz , în care r şi θ sunt coordonate
polare, legate de coordonatele carteziene prin
relaţiile cos.rx şi sin.ry . Rezultă:
),(.),()( rirzf
In coordonate polare viteza are componentele vr şi vθ . Expresiile lor se determină prin
derivatele:
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
70
rvACBCABDEABvur
y
yr
x
xrsin.cos.
vrCFrECEFr
DBEFruvrrvruy
y
x
x
..).(
).()sin.cos..(cos..)sin..(
Tinând seama de condiţiile Cauchy Riemann se poate scrie:
rr
vr
1 şi
rr
v1
6.4.2 Determinarea vitezei complexe
Mărimea complexă u - i.v se numeste viteză complexă.
Se poate determina prin derivarea potenţialului complex al mişcării f(z):
viudx
di
dx
d
dz
df.
dz
dfu Re
dz
dfv Im
Acelaşi lucru se obţine şi dacă derivăm pe direcţia iy.
6.4.3 Determinarea repartiţiei presiunilor
Repartiţia presiunilor se determină din relaţia lui Bernoulli, scrisă între un punct oarecare
şi punctul de la infinit:
pVpV
22
22
în care 222 vuV
Se calculează presiunea relativă pp
22
12 V
VVpp
Relaţia se poate scrie sub formă adimensioanală:
2
21
2
V
V
V
ppp mărime numită coeficient de presiune.
Coeficientul de presiune este o mărime utilizată pentru compararea rezultatelor experimentale.
Aceasta nu depinde de densitate. Spre exemplu, pentru studiul mişcării în jurul unui corp, în
diferite fluide (în apa sau aer).
6.4.4 Determinarea circulaţiei vitezei şi a debitului
Se consideră o mişcare potenţială pe o curba oarecare C limitată de două puncte A şi B,
trasate în curentul de fluid. Prin fiecare punct al curbei C trece o linie de curent. Viteza V a
particulei de fluid care trece prin punctul oarecare P are componentele u şi v în raport cu un
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
71
sistem de axe xOy şi Vn şi Vt în raport cu un sistem cu originea în P şi axele normală şi tangentă
curbei C.
Circulaţia vitezei în lungul curbei AB este, prin
definiţie:
AB
tAB dSV
Se poate deduce o altă expresie a circulaîiei
observând că:
dyvdxudSV
dSVdS
VdSdSVt
..sin..sin.
cos..cos.)sinsin
cos(cos)cos(
Deci:
AB
AB dyvdxu ..
A altă expresie a circulaţiei se obţine scriind x
u şi y
v obţinându-se:
AB AB
ABAB ddyy
dxx
Debitul de fluid care trece prin curba C între punctele A şi B este definit de relatia:
AB
nAB dSVQ
Dar:
dxvdyu
dSVdSVdSVVdSVn
..
cos.sinsin.cos)cossincos(sin)sin(
De unde rezultă:
AB
AB dxvdyuQ ..
Dacă înlocuim cu y
u şi x
v se obţine:
AB AB
ABAB ddyy
dxx
Q
In concluzie, circulaţia şi debitul depend numai de valorile funcţiilor θ şi ψ în punctele
extreme ale curbei, nu şi de forma curbei C dintre aceste puncte.
6.5 Tratarea problemelor de miscari potentiale plane
Cu ajutorul funcţiilor de o variabilă complexă se pot trata problemele de mişcări
potenţiale plane în două moduri:
Indirect, când se dă un potenţial complex f(z) şi se cere să se determine mişcarea
potenţială plană care îi corespunde.
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
72
Direct, când se dă domeniul în care are loc mişcarea potenţială plană, condiţiile la limită
şi viteza şi se cere potenţialul complex f(z) care corespunde acestei mişcări.
Cursul de faţă se va ocupa numai de tratarea indirectă a problemelor de mişcări potenţiale
plane.
6.5.1 Mişcarea de translaţie uniformă
a. Se dă potenţialul complex al mişcării zCzf .)( , în care C este un număr real şi pozitiv.
Se obţine:
yCixCyixCizf ...).(.)( de unde: xC. şi yC.
Liniile de potenţial xC. . 1C
x sunt drepte paralele cu axa Oy (fig.6.2) şi
liniile de curent yC. ; 1C
y paralele cu axa Ox
Fig.6.2
Componentele vitezei sunt:
Cx
u şi 0y
v
Rezultă că, în orice punct al planului de
coordonate, inclusiv în punctul de la infinit,
viteza are numai o componentă VCu
Potenţialul complex al mişcării de translaţie
este:
zVzf )(
b. Mişcarea corespunzătoare potenţialului complex zCizf ..)( are liniile de potenţial
'.yC ; '
1
'
Cy drepte paralele cu axa Ox şi liniile de curent 'Cx
Fig. 6.3
'
1
'
Cx drepte paralele cu axa Oy (fig. 6.3).
Mişcările potenţiale al căror potenţial complex diferă
prin factorul i se numesc mişcări potenţiale inverse.
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
73
Mişcările potenţiale date de potenţialul
complex Czzf )( în care C este o
constantă complexă iBAC are liniile de
potential ByAxyx ),( şi liniile de
curent AyBxyx ),( drepte înclinate,
respectiv perpendiculare. (fig.6.3)
Fig.6.3
6.5.2 Mişcarea produsă de o sursă punctiformă
Potentialul complex al acestei mişcări esta dat de relaţia:
zCzf ln)( 0z
în care C este o constanta reală. Folosind coordonatele polare se poate scrie
..ln.).ln(..)( . CirCerCizf i deci
rC ln. .C
Fig.6.4
Liniile de potenţial, de ecuaţii rC ln. sau 1Cer sunt cercuri concentrice,
iar liniile de curent de ecuaţii .C sau 1C
sunt drepte ce trec prin origine
(fig.6.4). Componentele vitezei sunt:
r
C
rVr 0
1
rV
Dacă C > 0, mişcarea are sensul divergent (fig.6.4a) şi sursa se numeşte sursă positivă
sau izvor.
Dacă C < 0, mişcarea este convergentă (fig.6.4b) şi sursa se numeşte sursă negativă sau
puţ.
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
74
Semnificaţia fizică a constantei C se obţine calculând debitul Q sursei printr-un cerc de
rază oarecare
2
0
2. Cdrr
CdSVQ r de unde
2
QC In acest caz potenţialul
complex are forma: zQ
zf ln2
)(
6.5.3 Mişcarea produsă de un vârtej
Potenţialul complex al acestei mişcări este:
zCizf ln..)( 0z
în care C este o constantă reală. Folosind coordonatele polare se poate scrie:
..ln..).ln(...)( . CrCierCiizf i deci
.C rC ln.
Fig.6.5
Liniile de potenţial, de ecuaţii .C sau 1C
sunt drepte concurente în
origine, iar liniile de curent de ecuaţii rC ln sau 1Cer sunt cercuri concentrice
(fig.6.5). Componentele vitezei sunt:
0r
Vr r
C
rV
1
Dacă C > 0, sensul de parcurgere al liniilor de curent este sensul invers trigonometric.
Dacă C < 0, sensul este cel trigonometric.
Semnificaţia fizică a constantei C se obţine calculând circulaţia vârtejului de-alungul unui
cerc de rază oarecare
2
0
.2. Cdrr
CdV deci
2C iar potenţialul
complex al vârtejului se scrie sub forma:
zi
zf ln2
.)(
6.5.4 Mişcarea produsă de un dipol
Potenţialul complex al mişcării create de sursa +Q plasată în z = - a şi sursa –Q plasată în
z = a (a numar real şi pozitiv) este:
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
75
az
aQ
az
azQaz
Qax
Qzf
21ln
2ln
2)ln(
2)ln(
2)(1
Potenţialul complex al dipolului f(z) se obţine luând )(lim 10
zf
Qa
astfel ca:
kMQa
Qa
..2).2(lim0
Rezultă z
kzf )( 0z
Mărimea kM ..2 se numeşte momentul dipolului. Potenţialul complex al dipolului
poate fi scris sub forma:
2222
..
.),(.),()(
yx
yki
yx
xk
yix
kyxiyxzf
Liniile de potenţial de ecuaţii 22
.),(
yx
xkyx sau 022 x
kyx sunt cercuri
cu centrele pe axa Oz care trec prin origine, iar liniile de curent 22
),(yx
kyyx sau
022 yk
yx sunt cercuri cu centrele pe axa Oy care trec prin origine (fig.6.6)
Fig.6.6
Componentele vitezei sunt:
222
22
)(
)(
yx
xyk
xu
222 )(
..2
yx
xyk
yv
Dacă dipolul nu este plasat în originea axelor de coordonate ci într-un punct oarecare
000 .yixz potenţialul complex este:
0
)(zz
kzf
6.5.5 Mişcarea în jurul cercului
Mişcarea în jurul unui cerc este dată de potenţialul complex:
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
76
z
azVzf
2
)(
în care V este viteza la infinit iar a este raza cercului. In coordonate polare, potenţialul se scrie
sub forma:
)sin.(cos)sin.(cos.)(2
.2
. ir
airVe
r
aerVzf ii
Rezultă:
cos),(2
r
arVr si sin),(
2
r
arVr
Liniile de potenţial şi cele de curent se pot trasa prin puncte (fig.6.7)
Fig.6.7 Mişcarea în jurul cercului
Linia de curent 0),(r este alcătuită din cercul ar semiaxa, Ox pozitivă,
0 şi semiaxa Ox, negativă, .
Componentele vitezei sunt:
cos12
2
r
aV
rVr si sin1
12
2
r
aV
rV
Pe cercul ar avem 0rV , sin2VV şi sin222 VVVV r
In punctele A(θ=π) si F(θ=0), viteza este nulă (puncte de stagnare): A este bord de atac; F
este bord de fugă, iar în punctele 2
C şi 2
3'C viteza are valoarea maximă:
VV 2
In punctul de la infinit cosVVr şi sinVV deci VVVV r
22
La infinit, viteza este constantă, paralelă cu axa Ox, deci liniile de curent sunt paralele cu
axa Ox.
Repartiţia presiunilor pe cerc se obţine scriind relaţia lui Bernoulli între un punct oarecare
de pe cerc şi punctul de la infinit:
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
77
2
22
2
sin.41sin2
11
2
1 V
V
V
V
V
pp
Dacă se măsoară unghiul θ de la bordul de atac A la bordul de fugă F trecând prin
punctele 6
B , 2
C şi 6
5D se obţine repartiţia presiunilor pe extradosul
ABCDF al cercului (fig.6.8). Analog se obţine repartiţia presiunilor pe întregul contur (fig.6.9)
Fig.6.8
Fig.6.9
Se observă că presiunea este simetric distribuită pe conturul cercului şi deci, rezultanta
forţelor de presiune este nulă. Acest lucru se poate dovedi şi analitic (fig.6.9):
dSnpFd .. şi din relaţia lui Bernoulli CpV
2
2
se obţine
2
2VCp şi deci, pe cerc )sin2( 22VCp rezultă:
2
0
22
2
0
0.cos)sin2(...cos. dVCadapFx
2
0
22
2
0
0.sin)sin2(...sin. dVCadapFy
Pe de altă parte, momentul forţelor de presiune faţă de originea sistemului de axe este
nul, deoarece forţele de presiune care se exercită pe cerc sunt radiale (trec prin origine).
6.5.6 Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie
Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie se obţine din compunerea mişcării în jurul
cercului cu mişcarea produsă de vârtejul de intensitate plasat în origine:
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
78
zi
z
azVzf ln
2
.)()(
2
Cercul se consireră fix.
Deoarece, în cele două mişcări componente cercul este linie de curent şi în mişcarea
rezultantă cercul este linie de current. Pentru a găsi punctele de stagnare (de viteza nulă) se
impune ca viteza complexă viudz
df. să fie nulă.
0..2
.1
2
2
z
i
z
aV
dz
df sau 0
..2
. 22 azV
iz
)16(.4
1 2222
2,1 VaiV
z
Se disting trei cazuri:
` Va..4 Radicalul este real 21 ReRe zz 0ImIm 21 zz si azz 21 .
Cele două puncte de stagnare sunt situate pe semicercul inferior şi sunt simetrice faţă de
diametrul vertical (fig.6.10a)
Fig.6.10 Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie
aV..4 Radicalul este nul si aiV
izz .
..4
.21 . Cele doua puncte de
stagnare sunt confundate (fig.6.10b)
Va...4 Radicalul este imaginar si az1 si az2 . Cele doua puncte de
stagnare sunt situate pe semiaxa imaginară negativă, unul în interiorul cercului, altul în exteriorul
lui (fig.6.10c)
Componentele vitezei în coordonate polare şi viteza pe cerc sunt:
0rV a
VV2
sin2 a
VVVV r2
sin222
Rezultanta forţelor de presiune asupra cercului are componentele:
2
0
22
0
0.cos2
sin22
1...cos. d
aVCadapFx
MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron
79
2
0
22
0
..sin2
sin22
1...sin. Vd
aVCadapFy
Momentul resultant al forţelor elementare de presiune dSnpFd .. este nul, deoarece
acestea sunt radiale. Prin urmare acţiunea forţelor de presiune pe cerc este dată de o forţa de
mărime V. care trece prin centrul cercului, este perpendicular pe V în sensul opus
circulaţiei. Aceasta este teorema Kutta-Jukovski, dedusă în cazul particular al cercului.
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
80
VII. ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR
7.1 Ecuaţii de bază
Valurile sunt mişcări cu suprafaţă liberă produse de:
- vânt;
- atracţia Lunii;
- mişcările seismice;
- deplasarea unor corpuri la suprafaţa apei sau în imediata ei apropiere;
- mişcarea frontierelor, atunci când lichidele sunt conţinute în spatii închise.
Scriem, mai întâi, că potenţialul θ satisface ecuaţia lui Laplace:
02
2
2
2
2
2
zyx
In ipoteza: miscare potenţială nepermanentă a unui fluid ideal v
)(2
.2
tCt
Vpzg este ecuaţia lui Lagrange. Unde am presupus ca axa Oz este
verticală şi dirijată în sus, iar planul Oxy este orizontal, aproximativ pe suprafaţa liberă a
fluidului. Constanta din membrul al doilea poate fi înglobată în t
, astfel încât putem scrie
ecuaţia sub o formă mai simplă:
02
.2
t
Vpzg
O caracteristică a acestei mişcări este faptul că, pe suprafaţa liberă se exercită presiunea
atmosferică 0p , care în absenţa altor efecte fizice este continuă pe întreaga suprafaţă liberă şi
constituie condiţia la limită pe aceasta.
O altă condiţie se referă la frontierele solide. Dacă notăm nV viteza după normala la o
suprafaţă elementară, dirijată spre exterior, vom avea conditia:
n
Vn cazul frontierelor mobile
Dacă frontierele sunt fixe 0n
şi 0nV
In cazul general, problema valurilor este dificilă, de aceea vom încerca unele simplificări
raţionale şi convenabile pentru rezolvarea unor probleme.
7.2 Valuri plane călătoare de mică amplitudine
La ipotezele prezentate anterior mai considerăm că amplitudinea valului este mult mai
mică decât lungimea sa de undă. In aceasta situtaţie ecuaţia lui Laplace are o soluţie de forma:
).cos().( tkxzf
în care: zkeAzf ..)(
Deci vom avea:
).cos(. . tkxeA zk
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
81
Cunoscând potenţialul mişcării, putem determina componentele vitezei:
).sin(. . tkxeAx
u zk
),cos(.. . tkxekAz
w zk
Modulul vitezei va fi:
zkekAwuV .22 .. dar, în acelaşi timp se cunoaşte că:
dt
dxu şi
dt
dzw deci: dtudx . şi dtwdz .
La timpul t, particula de fluid se va afla în punctul M(x,z) iar, la timpul t1 în punctul
M1(x1,z1) şi prin integrare obţinem: t
t
dtuxx
1
.1 si
t
t
dtwzz
1
.1
Tinând cont de reaţiile lui u şi w vom avea:
)..cos( 1
.
11 txke
kAxx
zk
)..sin( 1
.
11 txke
kAzz
zk
Din relaţiile de mai sus rezultă că traiectoriile particuleleor de fluid sunt cercuri cu
centrul în punctul de coordonate x1 şi z1, având raza 1.zke
kA , decrescătoare cu adâncimea.
Amplitudinea valului la suprafaţă este dată de relaţia:
kAa
.0
Inălţimea valului se defineşte ca distanţa dintre o creastă de val şi un gol de val:
0.2 ah
Revenind la ecuaţia lui Lagrange: 02
.2
t
Vpzg , presupunem că mişcările sunt
foarte lente şi deci putem neglija termenul 2
2V din ecuaţia presiunii, iar condiţia că presiunea pe
suprafaţa libera este presiunea atmosferică p = p0 ne permite să înglobăm termenul 0pîn
tsi
va rezulta:
0.zgt
după o derivare funcţie de t obţinem componenta verticală a vitezei:
2
21
tgt
z
Mai ştim că: y
zv
x
zu
t
z
dt
dzw şi cum amplitudinea valului este mult mai
mică decât lungimea sa de undă, putem aprecia:
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
82
0y
z
x
z rezultă:
t
z
dt
dzw
Tinând cont de relaţia: ).cos(. . tkxeA zk
si de relaţia:
0.zgt
putem stabili ecuaţia suprafaţei valului:
).sin().sin( 0 tkxatkxg
Az unde
g
Aa0
a0 este amplitudinea valului, iar lungimea de unda este:
k
2
In figura 7.1 sunt prezentate caracteristicile valurilor plane de amplitudine mică
Fig. 7.1 Caracteristicile valurilor
Se observă descreşterea exponenţială a amplitudinii cu adâncimea.
ω reprezintă viteza unghiulară a particulei de fluid în traiectoria ei circulară. Perioada
mişcării va fi:
2T
Din ecuaţia suprafeţei valului, se observă că aceasta este invariabilă în timp. De-a lungul
axei x viteza de deplasare sau de propagare a undei de val este:
k
dc
2
. unde c se numeşte viteză aparentă. De aici provine denumirea de val
călător.
7.3 Grupuri de valuri
Se consideră două valuri călătoare de amplitudini egale şi perioade apropiate:
).sin(.1 tkxaz şi
])()sin[(.2 txkkaz
Prin suprapunerea efectelor rezultă următoarea suprafaţă de val:
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
83
).sin(2
..cos..2
)..(2
1).(sin2])()sin[().sin(.
tkxtkx
a
tkxtkxatxkkatkxaz
Din compunerea celor două valuri a rezultat un val călător cu ampltudine variabilă:
2
.cos..21
tkxaa
Amplitudinea variabilă poate fi considerată o undă călătoare cu viteza aparenta c:
kc1 sau la limită:
dk
dckc
dk
kdccdk
dk
ckd
dk
dc
)(1
In cazul general, în care mai multe valuri de amplitudini diferite, lungimi de undă diferite
(dar apropiate ca valoare) şi defazate, se suprapun, suprafaţa de val are forma: n
nn txkkatkxaz1
])()sin[().sin(.
unde εn reprezintă diferitele defazări.
7.4 Valul staţionar
Este un caz particular de compunere a valurilor. Valul staţionar se produce compunând
doua valuri având aceleasi caracteristici, dar mergând în sensuri contrare:
).sin(2
).sin(2
2
1
tkxa
z
tkxa
z
Valul staţionar obţinut va avea suprafaţa de ecuaţie:
).cos()sin( tkxaz
Practic, un astfel de val se obţine atunci când un val plan călător loveşte un perete
vertical, unda reflectată suprapunându-se peste unda iniţială.
Restul problemelor se rezolvă ca în paragrafele anterioare.
7.5 Valuri plane călătoare în fluid de adâncime finită
Dacă adâncimea fluidului este finită, avem, în plus, condiţia la limită pe fund hz
0z
( )hz unde h este adâncimea fluidului.
Pentru simplificare considerăm h = const. Soluţia problemei are forma
)().cos(.)().sin.sin.cos.(cos zftkxAzftkxtkxA unde pentru f(z) luăm soluţia
generala a ecuaţiei 2
22 )(
dz
fdzfk şi vom obţine:
)'')(..cos( kzkz eBeAtxk
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
84
Pentru a determina legătura dintre constantele A’ şi B’, avem la dispoziţie condiţiile la
limită 2
21
tgzw pe suprafaţa liberă şi 0
z pe fund şi se deduce:
0'' khkh eBeA sau
0''22
gkB
gkA
Sistemul de mai sus este un sistem omogen care admite soluţii nenule dacă :
Din care rezultă:
khthgh
.2
Soluţia se va scrie:
( )(.)..cos(. zhkchtxkA )'2( kheAA
Suprafata liberă rezultă din relaţia 0.),,,(
Zgt
tZyx sub forma:
)..sin(. txkaZ g
Aa sau ).(
2sin. tcx
kaZ unde:
)(khchg
Aa este amplitudinea valului.
Viteza c rezultă din relaţiile k
c şi khthgh
.2
sub forma:
h
thh
hgkhthk
gc
.2
.2.)(2
Dacă raportul λ/h este mic, se revine la cazul 2
.g
k
gc , care se produce când h
este mare sau lungimea de unda este mică. In celalalt caz limită, λ/h mult mai mare decât 1
(valuri sau unde de gravitaţie de lungime de undă mare, mişcări în canale cu adâncimea h mică)
rezultă:
hgc .2
Traiectoriile particulelor pot fi determinate pe calea arătată anterior:
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
85
dt
dxu
t
t
dtuxx
0
.0
dt
dzw
t
t
dtzzz
0
.0 de unde:
)..cos( 000 txke
kAxx
kz
)..sin( 000 txke
kAzz
kz
Traiectoriile, în cazul adâncimilor mari, vor fi circulare.
7.6 Energia valului călător
Aceasta se compune din energia cinetică a mişcării particulelor de fluid şi din energia
potenţială datorată faptului că centrul de greutate al unei coloane de lichid variază pe verticală în
timpul mişcării.
Pentru calculul energiei cinetice, se consideră un volum de lichid limitat de două plane
verticale situate la o distanţă λ şi de alte două plane la o distanţă egală cu unitatea, perpendicular
pe planul figurii:
Fig.7.2
Energia cinetică a unui volum elementar de lichid η, mărginit de o suprafaţă ζ se
calculează utilizând expresia potenţialului de viteza V , relaţia VVV )( şi
ecuaţia de continuitate: 0V obţinem:
2)( VV
Deci, energia cinetică va fi:
dn
dnVdVEC2
..2
)(2
A apărut semnul (–) deoarece n, versorul normalei la suprafaţă este orientat, de data
aceasta, spre interiorul volumului considerat.
Notând cu s conturul OABC, atunci: dSd .1 Rezultă:
S
C dSn
E2
Aplicăm această relaţie pentru volumul OABC. Integralele pe porţiunile OC şi AB se
anulează, deoarece valorile lui θ vor fi aceleaşi, în timp ce derivata normalei va avea semn opus
MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron
86
(din cauza orientării în sesuri contrare a normalei). In acelaşi timp integrala pe OA este zero
0z
, rezultă deci:
C
B
C dxz
dSn
E0
22 deoarece putem, in ipoteza perturbatiilor mici,
înlocui dS cu dx şi n
cu z
.
Inlocuind pe θ cu expresia dată de relaţia )(.)cos(. zhkchtkxA rezultă:
22
4..
4
1aagEC unde a este amplitudinea valului.
Pentru calculul energiei potenţiale, se observă că volumul elementar de lichid, care se
găseşte peste nivelul de echilibru, este Zdx şi are centrul de greutate la Z/2. Acest volum are
energia potenţială: 2/2dxZ . Astfel, energia potenţială va fi:
0
22
42adxZEP rezultat ce se obţine înlocuind pe Z cu valoarea sa calculată
anterior ).(2
sin. tcxaZ
Energia totală, pentru volumul, considerat va fi:
2
2aEEE PCT relaţie valabilă indiferent de adâncimea h.
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
87
VIII. MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE
8.1 Existenţa a două regimuri diferite de mişcare. Experienţa lui Reynolds
Pentru a se putea explica fenomenele care apar în mişcarea fluidelor reale şi pentru a
rezolva corect problemele practice legate de mişcare, trebuie să se ţină cont de proprietăţile fizice
ale fluidelor.
Curgerea fluidelor reale se poate produce în două regimuri diferite, din punct de vedere al
structurii fizice a acestora:
- regim laminar;
- regimul turbulent.
Existenţa acestor două regimuri de mişcare a fost pusă în evidenţă de Reynolds. Astfel,
acesta a realizat o instalaţie experimentală cu ajutorul căreia a stabilit deosebirile calitative dintre
regimurile de mişcare laminar şi turbulent şi a pus în evidenţă fenomenul de tranziţie dintre cele
două regimuri.
Fig.8.1 Instalaţia experimentală a lui Reznolds
Instalaţia experimentală constă dintr-un rezervor A, căruia i se ataşează un tub orizontal
B din sticlă, prevăzut cu un robinet de sticlă C. Deasupra rezervorului A este instalat un recipient
D care conţine lichid colorat, de greutate specifica γc Lichidul colorat poate ajunge în tubul
orizontal B prin intermediul tubului subţire E. Rezervorul A este umplut cu apă cu greuutatea
specifică γ iar, de la robinetul F până la o cota care este menţinută constantă tot timpul
experienţei cu ajutorul descărcătorului de prea-plin H. Se deschide uşor robinetul C şi se
stabileşte o curgere a apei din rezervorul A. Lichidul colorat din rezervorul D, la deschiderea
robinetului K, pătrunde prin interiorul tubului E în interiorul tubului orizontal B. In tubul B se
observă un fir colorat, rectiliniu, după direcţia axului tubului. Se măreşte treptat deschiderea
robinetului C, obţinându-se o măarire a debitului, deci o viteză de curgere a apei în tubul B.
Debitul se determină volumetric cu vasul tarat V. Se observă că la viteze de curgere nu prea
mari, lichidul colorat curge sub forma unui fir subţire, fără să se amestece cu curentul de apă
necolorată. La creşterea vitezei de curgere, firul de lichid colorat începe să oscileze şi să ia o
formă sinuoasă. Dacă viteza de curgere se măreşte în continuare, în diferite porţiuni ale firului de
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
88
lichid colorat apar discontinuităţi şi la o anumita viteză, particulele lichidului colorat se amestecă
complet cu cele ale apei necolorate, răspândindu-se în toată masa apei din tubul B.
Experienţa pune în evidenţă existenţa celor două regimuri de mişcare ale fluidului.
Mişcarea laminară a fluidului este mişcarea cu aspect uniform, în care diferitele straturi
de fluid se mişcă paralel unele faţă de altele.
Mişcarea turbulentă a fluidului are un aspect neuniform, particulele se amestecă între
ele după traiectorii neregulate şi variabile in timp.
Reynolds a stabilit facorii care determină cele două tipuri de curgeri:
- viteza medie de curgere a lichidului V;
- diametrul conductei D;
- vâscozitatea cinematică ν:
Reznolds a introdus o mărime adimensională care îi poartă numele numarul lui Reylolds:
DV .
Re
Dacă mişcarea lichidului se realizează pentru o valoare a numărului lui Re < Recritic
regimul de mişcare este, întodeauna, laminar (Recr =2300 pentru conducte circulare). Dacă Re >
Recr regimul de mişcare este întotdeauna turbulent. Intre cele două regimuri de scurgere se
situează regimul de tranziţie.
Mişcarea turbulentă este cea mai răspândită în natură, de aceia se mai numeşte şi regim
hidraulic.
Aspectele diferite ale structurii curgerii, nu sunt singurele care deosebesc cele două
regimuri de mişcare. Astfel s-a stabilit experimental şi teoretic că în mişcarea laminară, lichidul
întâmpină o rezistenţă proporţională cu viteza medie. De asemenea, rezistenţa pe care o opune
un corp fix, scufundat în lichid, unui curent în regim laminar sau rezistenţa la înaintare a unui
corp mobil scufundat într-un fluid aflat în repaus, este, la viteze mici, proporţională cu viteza. La
viteze mari, în regim turbulent, rezistenţa este proporţională cu patratul vitezei relative.
Printr-o serie de experienţe făcute pe diferite lichide, cu tuburi de diametre diferite şi
variind viteza de curgere a lichidului, Reynolds a demonstrat că trecerea de la regimul de
mişcare laminar la regimul turbulent are loc când, date fiind diametrul şi lichidul (vâscozitatea
acestuia), viteza medie trece de o anumită valoare numită critică; deasemenea când, date fiind
viteza şi vâscozitatea, diametrul trece de o anumită valoare numită critică şi, în fine, când, date
fiind diametrul şi viteza, vâscozitatea trece de o anumită valoare numită critică:
D
V crcr Re V
D crcr Re cr
cr
DV
Re
.
Recr = 2300 reprezintă valoarea critică inferioară sub care nu poate exista mişcare turbulentă.
8.2 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea laminară
8.2.1 Starea de tensiune într-un fluid în mişcare
Intr-un fluid în mişcare, starea de solicitare interioară produsă de interacţiunile dintre
particule, numită stare de tensiune, este determinată, în fiecare punct al fluidului, de către
eforturile unitare. Efortul unitar este determinat de relaţia:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
89
n
ndS
Fdp în care
nndSpFd este forţa elementară de suprafaţă care reprezintă
interacţiunea dintre particulele de fluid separate prin elementul de suprafaţă dSn.
Fig.8.2 Starea de tensiune într-o particulă de fluid
Dacă se considerăm un volum elementar dV de fluid de forma unui tetraedru (fig.8.2) şi
dacă se notează cu mf forţa masică unitară, ecuaţia de mişcare a volumului elementar are forma:
zzyyxxnnm dSpdSpdSpdSpdVfdVdt
vd.
Dacă se neglijează termenii care conţin elementul de volum în raport cu termenii ce
conţin elementele de suprafaţă şi ţinând cont că ),cos( xndSdS nx ; ),cos( yndSdS ny şi
),cos( zndSdS nz se obţine relaţia:
),cos(),cos(),cos( znpynpxnpp zyxn
Relaţia vectorială, de mai sus, se exprima scalar astfel:
),cos(),(),cos(
),cos(),cos(),cos(
),cos(),cos(),cos(
znpynCospxnpp
znpynpxnpp
znpynpxnpp
zzyzxznz
zyyyxyny
zxyxxxnx
Deci, starea de tensiune într-un fluid real aflat în mişcare este dată de un tensor de ordinul
doi, numit tensorul eforturilor unitare, care poate fi exprimat cu ajutorul matricei:
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
ppp
ppp
ppp
Primul indice, ai termenilor din matrice, arată axa normală a suprafeţei considerate, iar al
doilea indice precizează direcţia de acţiune a efortului unitar.
Eforturile normale pxx , pyy si pzz se notează, în mod obişnuit, zzyyxx ., . Eforturile
tangenţiale sunt două cate două egale, xyyx pp , etc. şi se notează xzyzxy ,, . Deci starea de
tensiune a unui fluid în mişcare este dată de tensorul de ordinul doi, simetric, al eforturilor
unitare exprimat cu ajutorul matricei:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
90
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
Suma tensiunilor normale este un invariant cu ajutarul căruia se defineşte presiunea intr-
un punct:
)(3
1zzyyxxp
In cazurile particulare, ale unui fluid real în repaus, sau fluid ideal în mişcare,
componentele tangenţiale ale tensiunii sunt nule şi starea de tensiune este dată doar de presiune:
p
p
p
00
00
00
8.2.2 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi (forma dată de
Cauchy)
Se consideră într-un fluid real, în miscare, o particulă oarecare de fluid de forma unui
paralelipiped dreptunghiular cu muchiile paralele cu axele de coordonate, de dimensiuni dx, dy şi
dz. (fig.8.3)
Fig.8.3
Asupra particulei de fluid actionează forţele masice mFd si forţele de suprafaţă SFd .
Componentele pe cele trei direcţii ale forţei masice sunt:
dxdydzfdF xmx dxdydzfdF ymy dxdydzfdF zmz
Forţele de suprafaţă actionează asupra fiecărei feţe a particulei paralelipipedice şi sunt
date de eforturile unitare. Pe fiecare faţă, forţa corespunzatoare de suprafaţă are trei cumponente,
paralele cu axele de coordonate, una normală şi două tangenţiale. Forţa rezultantă pe direcţia Ox
va fi:
dydxdzz
dxdzdyy
dzdydxx
dF zxyxxx
Sx ......
Legea a doua a lui Newton Sm FdFdadm. aplicată particulei de fuid pe direcţia axei
Ox va fi:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
91
dzdydxzyx
dzdydxfdzdydxdt
du zxyxxx
x .......,
Făcând simplificările şi ţinând cont că z
uw
y
uv
x
uu
t
u
dt
du se obţine:
zyx
fz
uw
y
uv
x
uu
t
u zxyxxx
x
1
zyx
fz
vw
y
vv
x
vu
t
v zyyyyx
y
1
zyx
fz
ww
y
wv
x
wu
t
w zzyzxz
z
1
Acestea sunt ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi sub forma
dată de Cauchy.
Membrul stâng, al ecuaţiilor de mişcare reprezintă forţele unitare de inerţie din care,
primul termen este forţa unitară locală de inerţie şi următorii trei termini forţa unitară
convectivă de inerţie. Membrul drept, reprezintă forţele unitare exterioare, din care primul
termen este forţa unitară masică şi cel de-al doilea este forţa unitară de suprafaţă.
8.2.3 Ecuaţiile Navier-Stokes pentru mişcarea laminară a fluidelor reale
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale in componente de eforturi pot fi scrise, în cazul
mişcării laminare, numai cu ajutorul componentelor de viteză u, v şi w. Pentru aceasta, este
necesar să se ţină seama de legatura dintre eforturile unitare, pe de o parte, vâscozitatea fluidului
şi vitezele de deformaţie, pe de altă parte.
Pentru fluidele reale şi incompresibile, efortul unitar normal este dat de suma dintre
presiunea p şi o componentă care depinde de vâscozitatea η şi care, pe baza generalizării
formulei lui Newton dy
du din cazul mişcării laminare unidimensionale, este proporţional cu
viteza de deformaţie liniară (componente axx, ayy sau azz din tensorul vitezelor de deformaţie
introdus prin teorema lui Helmholtz).
x
upap xxxx 2.2 şi analog pentru zzyy si
Pentru fluidele reale şi compresibile, efortul unitar normal ţine seama şi de viteza relativă
de variaţie a volumului particulei de fluid
Vdivz
w
y
v
x
u. (expresie care la fluidele compresibile nu este nulă)
x
upa
z
w
y
v
x
up vxxvxx 2.2
y
vpa
z
w
y
v
x
up vyyvyy 2.2
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
92
z
wpa
z
w
y
v
x
up vzzvzz 2.2
Coeficientul v este coeficientul de vâsozitate. Din teoria cinetico- moleculară a gazelor:
3
2v (relaţia lui Stokes)
Eforturile unitare tangenţiale, pe baza generalizării formulei lui Newton, dy
du sunt
proporţionale cu vitezele de deformaţie unghiulară (componentele axy , ayz şi azx din tensorul
vitezelor de deformaţie introdus prin teorema lui Helmoltz):
z
u
x
wa
z
v
y
wa
y
u
x
va
zxzx
yzyz
xyxy
2
2
2
Legătura dintre tensorul eforturilor unitare şi tensorul vitezelor de deformaţie se deduce
pe baza relaţiilor de mai sus:
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
p
p
p
V
V
V
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
00
00
00
Relaţiile stabilite, se numesc ecuaţiile constitutive ale fluidelor vâscoase în mişcarea
laminară, iar fluidele care verifică ecuaţiile constitutive se numesc fluide newtoniene.
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase în mişcarea laminară, scrise in componente de
viteze, se deduc din ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi , înlocuind
eforturile unitare cu expresiile de mai sus:
x
w
z
u
zy
u
x
v
yx
up
xf
dt
duVX
2
1
2
12
1
Dacă se ţine cont de relaţia lui Stokes 3
2V , de reaţia de definire a vâscozităţii
şi de operatorul Laplace, ecuaţia de mai sus se poate scrie sub forma:
x
ux
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
uX
3
1
y
vy
pf
z
vw
y
vv
x
vu
t
vY
3
1
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
93
z
wz
pf
z
ww
y
wv
x
wu
t
wZ
3
1
Expresiile din stânga reprezintă forţele unitare de inerţie, din care, prima reprezintă forţa
unitară de inerţie locală şi următoarele forţa unitară convectivă de inerţie. Expresiile din
membrul drept, reprezintă forţele unitare exterioare din care, prima este forţa unitară masică, a
doua este forţa unitară de presiune, a treia este forţa unitară de vâscozitate şi ultima este forţa
unitară de compresibilitate. La aceste ecuaţii se adaugă ecuaţia continuităţii:
0).().().(
z
w
y
v
x
u
t
Sistemul de ecuaţii de mai sus, este nelinear, din patru ecuaţii cu derivate parţiale de
ordinul doi. Variabilele independente sunt x,y,z şi t, iar variabilele dependente sunt u(x,y,z,t),
v(x,y,z,t), w(x,y,z,t) şi p(x,y,z,t). Celelalte componente sunt cunoscute.
In cazul fluidelor incompresibile, ecuaţiile Navier-Stokes şi ecuaţia de continuitate se
scriu sub forma:
ux
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
uX
1
vy
pf
z
vw
y
vv
x
vu
t
vY
1
wz
pf
z
ww
y
wv
x
wu
t
wZ
1
0..
z
w
y
v
x
u
Sub forma vectorială:
.3
,1
gradVpgradft
Vm este valabilă pentru fluide compresibile
Pentru fluide incompresibile:
Vpgradft
Vm ,
1
8.2.4 Ecuaţiile de mişcare a fluidelor reale în mişcarea laminară sub formele date de Helholtz
şi Gromeka-Lamb
Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea laminară, pot fi scrise şi sub alte
forme, care pun în evidenţă, în mod explicit, unele particularităţi cinematice şi energetice ale
mişcării. Dacă în ecuaţiile lui Navier-Stokes:
x
ux
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
uX
3
1
y
vy
pf
z
vw
y
vv
x
vu
t
vY
3
1
z
wz
pf
z
ww
y
wv
x
wu
t
wZ
3
1
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
94
0).().().(
z
w
y
v
x
u
t ecuaţia continuităţii
se înlocuiesc componentele acceleraţiei cu expresiile obţinute anterior. Ecuaţiile de mişcare ale
fluidelor reale în mişcarea laminară sub forma dată de Helmholtz este:
x
ux
pf
y
u
x
vv
y
w
x
uw
V
xt
uX
3
1
2
2
y
vy
pf
z
v
y
ww
y
u
x
vu
V
yt
vY
3
1
2
2
z
wz
pf
x
w
z
uu
x
v
y
wv
V
zt
wZ
3
1
2
2
Membrul din stânga egalităţii, reprezintă forţele unitare de inerţie din care, primul termen
reprezintă forţa unitară locală de inerţie, al doilea forţa unitară convectivă de inerţie datorată
variaţiei energiei cinetice, iar ultimii termini forţa unitară convectivă de inerţie datorată variaţiei
vârtejului.
Membrul din dreapta ecuaţiei reprezinta forţele unitare exterioare din care, primul termen
reprezintă forţa unitară masică, al doilea forţa unitară de presiune, al treilea forţa unitară de
vâscozitate şi ultimul forţa unitară de cmpresibilitate.
Ecuaţiile de mai sus se pot scrie si sub formă vectorială:
.3
.1
2
2
gradVpgradfVxVrotV
gradt
Vm
Expresia de mai sus reprezinta ecuaţia vectorială de mişcare a fluidelor reale în mişcarea
laminară sub forma dată de Hemholtz.
Dacă se ţine seama că forţele masice derivă dintr-un potenţial, adică:
Ugradfm . unde:
x
Uf X
y
UfY
z
Uf Z si
dp
gradpgrad.1
deci:
dp
xx
p1
dp
yy
p1
dp
zz
p1
atunci, ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea laminară sub forma data de Helmholtz
se scriu sub forma dată de Gromeka –Lamb:
x
uy
u
x
vv
y
w
x
uwU
dpV
xt
u
32
2
y
vz
v
y
ww
y
u
x
vuU
dpV
yt
v
32
2
z
wx
w
z
uu
x
v
y
wvU
dpV
zt
w
32
2
Ecuatiile se pot scrie sub formă vectorială:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
95
.32
2
gradVVxVrotUdpV
gradt
V
Este ecuaţia vectorială de mişcare a fluidelor reale în mişcarea laminară sub forma
Gromeka-Lamb. In aceasta ecuaţie, expresia EUdpV
2
2
este numită funcţia lui
Bernoulli. Mărimea E reprezintă energia totală a fluidului, formată din energia cinetică, energia
potenţială de presiune şi energia potenţială a forţelor masice.
8.3 Legea conservării şi transformării energiei în cazul mişcării laminare a fluidelor reale.
Relaţia lui Bernoulli.
Se consideră mişcarea laminară permanentă a unui fluid real, compresibil. In aces caz
derivatele parţiale ale componentelor vitezei sunt nule şi ţinând cont de expresiile componentelor
vectorului vârtej vom avea:
x
uvwUdpV
xzy
3)(2
2
2
y
vwuUdpV
yxz
3)(2
2
2
z
wuvUdpV
zyx
3)(2
2
2
Se înmulţesc cele trei ecuaţii cu deplasările elementare dx, dy şi dz şi se adună. Va rezulta
expresia de mai jos:
Vzyx l
wvu
dzdydx
UdpV
d .22
2
Termenul Vl. reprezintă o variaţie elementară care, nu este diferenţială totală exactă.
Deoarece fiecare termen din ecuaţiile de mişcare reprezintă o forţă unitară, rezultă ca fiecare
termen înmulţit cu delasarea unitară reprezintă un lucru mecanic unitar elementar (energie
unitară elementară). Astfel, primul termen al ecuaţiei reprezintă variaţia elementară a energiei
fluide totale, iar al doilea reprezintă lucrul mecanic elementar al forţelor convective de inerţie
datorate variaţiei vârtejului. Termenul:
)(3
1]...[. VdivddzwdyvdxulV
reprezintă lucrul mecanic unitar al forţelor de vâscozitate corespunzatoare unei deplasări
elementare. Termenl este negativ doarece fortele de vâscozitate sunt dirijate în sens opus
sensului de mişcare.
Determinantul din ecuaţia de mişcare este nul în următoarele cazuri:
- pe o linie de curent
w
dz
v
dy
u
dx
- pe o linie de vartej
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
96
zyx
dzdydx
- în mişcarea elicoidală
zyx
wvu
In toate cele trei cazuri:
VlU
dpVd .
2
2
Se integrează această egalitate între două puncte, pe o linie de curent, pe o linie de vârtej
sau între doua puncte oarecare din mişcarea elicoidală şi rezultă:
12
2
1
2
.2
VludpV
Termenul din membrul doi reprezintă lucrul mecanic unitar al forţelor de vâscozitate pe
drumul dintre punctele 1 şi 2, deci o energie pierdută (disipată) deoarece nu poate fi utilizată ca
energie hidraulică. Pe baza considerării legilor termodinamicii rezultă că energia pierdută se
transformă în căldură.
8.4 Relaţia lui Bernoulli pentru o linie de curent, în mişcarea laminară a fluidelor reale
Spre deosebire de un fluid ideal, pentru care energia specifică de-a lungul unei linii de
curent este constantă, în cazul fluidului real energia acestuia scade în sensul mişcării fluidului,
datorită frecărilor de natură vâscoasă între particule. Considerăm cazul fluidelor incompresibile
(ρ = ct.) şi mişcarea în câmp gravitaţional (U = g⋅z). În acest caz, relaţia lui Bernoulli scrisă între
punctele 1 şi 2 este:
12
22
2
21
1
2
1 ..2
.2
VlzgpV
zgpV
Dacă se împarte ecuaţia la g şi se notează 12
12.1
rV hlg
Ecuaţia noastră devine:
122
2
2
21
1
2
1
22rhz
p
g
Vz
p
g
V care reprezintă relaţia lui Bernoulli pentru fluide
grele incompresibile.
Dimensiunea fiecărui termen din relaţia lui Bernoulli pe o linie de curent în cazul unui
fluid incompresibil este o lungime. Prin urmare, relaţia lui Bernoulli în mişcarea permanentă în
lungul unei linii de curent admite reprezentarea grafică
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
97
Fig.8.4 Reprezentarea grafică a relaţiei lui Bernoulli
8.5 Mişcarea laminară a fluidelor reale în conducte circulare drepte. Mişcarea Hagen-
Poiseuille.
Majoritatea problemelor tehnice, aplicative ale mecanicii fluidelor se referă la calculul
vitezelor, debitelor şi presiunilor în instalaţii formate din conducte, canale şi diferite dispositive
şi aparate prevăzute de-a lungul acestora. Un astfel de ansamblu poartă numele de instalaţie
hidraulică.
In mod obişnuit, mişcările fluidelor în instalaţii hidraulice sunt turbulente, dar sunt
situaţii în care mişcarea este laminară, de exemplu curgerea păcurii şi a produselor petroliere
grele, mişcarea fluidelor foarte vâscoase, mai ales la temperaturi scăzute. De obicei, mişcarea
fluidelor în instalaţiile hidraulice este permanentă, dar pot apărea şi stări nepermanente de
mişcare, de exemplu la pornirea şi oprirea instalaţiei, la schimbarea condiţiilor de funcţionare
normale (închiderea sau deschiderea unei vane) sau de avarie.
Calculul şi dimensionarea instalaţiilor hidraulice se face pentru mişcarea permanentă,
urmând ca dimensiunile şi funcţionarea instalaţiei să se verifice şi să se corecteze ţinând seama
de solicitările suplimentare care apar în mişcarea nepermanentă.
8.5.1 Legea Hagen-Poiseuille de distribuţie a vitezelor în mişcarea laminară a fluidelor reale
în conducte circulare drepte.
Legea de distribuţie a vitezelor într-o conductă circulară dreaptă şi orizontală de rază r0 în
care are loc mişcarea laminară, permanentă şi unformă, a unui fluid, pentru fluidele ideale este
prezentată in fig, 8.5 şi pentru fluidele reale în fig.8.6.
Fig.8.5 Fluide ideale Fig.8.6 Fluide reale
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
98
In ipoteza fluidelor ideale, repartiţia vitezelor este constantă. In ipoteza fluidelor reale, în
mişcarea laminară, viteza pe peretele conductei este zero, datorită aderenţei, şi prezinta un
maxim pe axa conductei. Se demonstrează că o astfel de mişcare poate avea loc într-o porţiune
suficient de îndepărtată de intrarea în conductă. Desfăşurarea fenomenului de formare a acestei
distribuţii de viteze într-o conductă alimentată de la un rezervor este urmatoarea: la început,
mişcarea prezintă o distribuţie, practice, constantă a vitezelor. Pe masură ce curentul se
deplasează în conduct, distribuiţia vitezelor este modificată până ce într-o secţiune oarecare
profilul de viteze rămâne stabil (fig.8.7)
Fig.8.7 Repartiţia vitezelor în mişcarea laminară
Lungimea pe care se produce procesul de stabilizare a profilului vitezei se numeşte
lungime de stabilizare lS determinată în mişcarea laminară cu formula:
Re..03,0 DlS
în care numărul lui Reynolds VD
Re este construit cu viteza medie V a fluidului şi cu
diametrul D al conductei.
Intr-o conductă circulară dreaptă, orizontală de rază r0 în care are loc o mişcare laminară,
permanentă şi uniformă a unui fluid real, se consideră un cilindru fluid de rază r şi lungime l.
Fig.8.8
Din legea a doua a dinamicii, aplicată fluidului din cilindru, rezultă:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
99
0.amFe deoarece mişcarea este uniformă, deci F=const şi a = 0. Se
proiectează relaţia pe axa mişcării şi rezultă:
0..2..)( 2
21 lrrpp
în care primul termen este rezultanta presiunilor pe bazele cilindrului considerat, iar al doilea
este rezultanta forţelor de frecare vâscoasă pe suprafaţa laterală a aceluiaşi cilindru, dirijată în
sens opus mişcarii, iar dr
du este efortul tangenţial de frecare între doua straturi de fluid
(legea lui Newton). Semnul minus arată că viteza u a fluidului se micşorează odată cu mărirea
distanţei r de la axa conductei. In acest caz:
0.,2.)( 2
21 lrdr
durpp de unde:
drrl
ppdu .
.2
21 după integrare vom avea:
)(.4
22
021 rr
l
ppu
Expresia de mai sus reprezinta legea de distribuţie a vitezelor în secţiunile axiale ale
conductei (Legea Hagen-Poiseuille), iar reprezentarea grafică este o parabolă. Viteza maximă
umax are loc pentru r = 0, pe axul conductei şi are expresia:
2
021
max.4
rl
ppu deci:
2
0
max 1r
ruu sau
2
0
1r
r
u
u
mx
In consecinţă, raportul dintre viteza locală într-un punct oarecare al conductei şi viteza
maximă de pe axă, depinde numai de poziţia relativă a punctului în sectiunea conductei,
nedepinzând de dimnsiunile acesteia şi de natura fluidului.
8.5.2 Distribuţia eforturilor unitare tangenţale în mişcarea Hagen- Poiseuille
Se consideră expresia lui dr
du şi relaţia de distribuţie a vitezelor şi rezultă:
l
rpprr
l
pp
dr
d
dr
du
.2
).()(
.4
2122
021
Se constată că pentru r = 0, 0 şi pentru r = r0 , max
021
max2
rl
pp de unde
0max r
r
Repartiţia este idependentă de dimensiunile absolute ale conductei şi de natura fluidului.
Fig.8.9 Repartiţia efeorturilor tangenţiale
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
100
8.5.3 Determinarea debitului şi a vitezei medii în mişcarea Hagen-Poiseiulle
Debitul Q al conductei se calculează prin însumarea debitelor elementare ale inelelor de
rază r şi înălţime dr. Intr-un astfel de inel, viteza u poate fi considerată constantă, datorită
dimensiunilor infinit mici ale lui dr:
drrrrl
ppdrrrr
l
ppdrrudQ )(
.2
)(..2).(
.4..2. 32
02122
021
Se efectuează integrala şi rezultă:
4.2
)(4
021 r
l
ppQ
Pe baza acestei formule se poate determina vâscozitatea dinamică:
lQ
rpp
..8
)( 4
021
Din formula debitului se constată că pentru transportarea unui debit Q de fluid real printr-
o conductă este necesar să se creeze o diferenţă de presiune pozitivă, deci o presiune mai mare la
capătul amonte al conductei, pentru a invinge rezistenţa vâscoasă a fluidului. Formula permite
calculul vitezei:
l
rpp
rl
rpp
r
QV
..8
)(
....8
)(
.
2
021
2
0
4
021
2
0
Dacă se ţine seama de expresia vitezei maxime 2
021
max.4
rl
ppu se obţine:
max
2
1uV
Deci, viteza medie în secţiunea unui curent laminar dintr-o conductă circulară este egală
cu jumatate din viteza maximă.
8.5.4 Calculul coeficientului de rezistenţă al pierderilor de sarcină liniare (coeficinentul lui
Darcy) în mişcarea Hagen-Poiseiulle
Din relaţia lui Bernoulli rezultă expresia piederilor de sarcină:
g
Vpz
g
Vpzhr
22
2
222
2
111
In cazul curgerii printr-o conductă circulară dreaptă, pierderea de sarcină se notează hd şi
se numeşte pierdere de sarcinş liniară. In mişcarea uniformă V1 = V2 şi pentru conducta
orizontală z1 = z2 şi rezultă:
21 pphd de unde dhpp .21 şi formulele determinate anterior pentru
viteze vor fi:
)(.4
. 22
0 rrl
hu d 2
0max.4
.r
l
hu d 2
0.8
.
2r
l
huV dmx
Din ultima relaţie, rezultă:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
101
2
0.
..8
r
Vlhd
şi înlocuind r0 = D/2 se obţtine:
22 .
..32
..
..32
Dg
lV
Dg
Vlhd
Din expresia numărului lui Reynolds DV .
Re rezultă Re
.DV şi vom obţine:
g
V
D
l
Dg
lVDV
Dg
lVhd
.2Re
64
.Re
32
Re
.
.
..32 22
2
Raportul dintre pierderea de sarcină liniară hd şi înălţimea cinetică (V2/2 = energia
cinetică corespunzatoare unităţii de masă) exprimată cu ajutorul vitezei medii se numeşte
coeficientul rezistenţei liniare şi se notează: d
g
V
hdd
.2
2
In cazul mişcării laminare, într-o conductă circulară, coeficientul rezistenţelor liniare are
expresia:
D
l
D
ld
Re
64 unde
Re
64 este coeficientul de rezistenţă al pierderilor de
sarcină liniare (coeficientul lui Darcy).
In acest caz g
V
D
lhd
.2
2
este valabilă pentru mişcarea turbulentă.
8.5.5 Liniile de curent şi liniile de vârtej în mişcarea Hagen-Poiseuille
Repartiţia vitezelor în mişcarea Hagen-Poiseuille este dată, conform relaţiei
)(.4
22
021 rr
l
ppu , de componentele vitezei:
)]([.4
222
021 zyr
l
ppu v = 0 si w = 0
Liniile de curent sunt paralele cu axa Ox, deci cu axa conductei. Mişcarea Hagen-
Poiseuille este o mişcare permanentă şi prin urmare, liniile de curent coincid cu traiectoriile.
Componentele vitezei de vârtej Vrot2
1 sunt:
yl
pp
y
u
x
v
zl
pp
x
w
z
u
z
v
y
w
z
y
x
.42
1
.42
1
02
1
21
21
Prin urmare ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de vârtej sunt:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
102
zyx
dzdydx devin: dx = 0 şi
y
dz
z
dy
Se integrează şi rezultă:
x = const; constzy 22
Deci, liniile de vârtej sunt cercuri concentrice cu centrele pe axa conductei şi planele
perpendiclare pe axă. Mărimea vârtejului este:
rl
ppyz
l
ppzyx
.4.4
212221222
Stiind că l
rppV
..8
)( 2
021 rezultă:
2
0
21 ..2
.4 r
rVr
l
pp
Deci mărimea vârtejului într-un punct oarecare din mişcarea Hagen-Poiseuille este direct
roporţională cu viteza medie a curentului şi cu distanţa dintre punctul respectiv şi axa conductei.
Pe axă, r = 0 şi ω = 0, iar pe pereţi r = r0 şi
0
max
.2
r
V
0
maxr
r
8.6 Soluţii exacte şi soluţii aproximative ale ecuaţiilor de mişcare Navier –Stokes, în câteva
cazuri tehnice
Ecuaţiile de mişcare Navier-Stokes şi ecuaţia continuităţii sunt suficiente pentru studiul
mişcărilor laminare ale fluidelor reale. Rezolvarea este dificilă şi a putut fi făcută numai pentru
cazuri particulare.
Pentru găsirea soluţiilor acestor ecuaţii se utilizează două metode:
Metoda directă consideră că funcţiile u, v, w şi p care, satisfac ecuaţiile de mişcare şi
ecuaţia continuităţii, constituie o soluţie exactă dacă, reprezintă soluţia unei probleme la limită,
corespunzătoare unei probleme fizice concrete. In acest caz, domeniul ocupat de fluid are o
formă dată şi este limitat de frontiere solide, în repaus sau în mişcare, pe care este satisfacută
condiţia de aderenţă a fluidului.
Metoda indirectă constă în considerarea unor funcţii cunoscute, de o anumtă formă
pentru u, v, w şi p, care satisfac ecuaţiile de mişcare şi ecuaţia continuităţii fără a se ţine seama
dacă aceasta soluţie corespunde sau nu la o problema fizică.
8.6.1 Mişcarea permanentă a unui fluid real între două plăci plane paralele
Se examinează mişcarea unui fluid de densitate ρ şi vâscozitate υ între două plăci
paralele, de suprafaţă foarte mare, situate la distanţa h. Plăcile sunt mobile, deplasându-se în
direcţia axei x cu vitezele U1 şi U2.
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
103
Fig.8.10 Distribuţia vitezelor
Miscarea este permanentă, dec:i
0t
w
t
v
t
u Pe de alta parte, se
constată uşor că v = 0 şi w = 0, iar 0),( zxu
Din ecuaţia continuităţii se deduce 0x
u deci
u = u(z). Componentele forţei masice
exterioare au valorile fx = 0, fy = 0 şi fz = -g.
Deci, în cazul mişcării unui fluid vâscos între
două plăci paralele, ecuaţiile Navier-Stokes se
scriu sub forma:
2
21
dz
ud
x
p
01
y
p
gz
p1
Ultimele două ecuaţii arată că în planele paralele cu planul yOz, deci planele
perpendiculare pe direcţia de curgere, repartiţia presiunii urmează legea hidrostaticii
constzp . . Se integrează prima ecuaţie în două ipoteze asupra mărimii gradientului de
presiune:
Dacă se consideră un gradient nul al presiunii în lungul curgerii 0x
p , prima ecuaţie
se integreaza succesiv astfel:
02
2
dz
ud
1Cdz
du 21 CzCu
Constantele C1 şi C2 se determină impunând condiţiile la limită corespunzatoare adeziunii
fluidului la plăcile plane:
0z ; 2Uu hz ; 1Uu
Rezultă:
22 UC h
UUC 21
1
Astfel se obţine, pentru repartiţia vitezelor, legea liniară:
221 Uz
h
UUu iar pentru repartiţia efortului unitar tangential:
h
UU
dz
duzx
21
In cazul particular U2 = 0 se obţine mişcarea lui Couette pentru care:
zh
Uu 1
h
Uzx
1
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
104
Dacă gradientul nu este nul ci are o anumită valoare constată constx
p atunci, prin
integrarea primei ecuaţii se obţine, pentru distribuţia vitezelor, legea parabolic:
21
2
2
1CzCz
x
pu
Unde C1 şi C2 se determină impunând condiţiile la limta. Rezulta:
hx
p
h
UUC
2
1211
şi 22 UC
Deci vom avea:
2
21)(2
1Uz
h
UUhzz
x
pu
Cu această relaţie se poate calcula debitul h
dzuQ0
. viteza medie h
Qumed
şi
efortul tangenţial dz
duzx
In cazul în care cele două plăci sunt imobile se realizează mişcarea plană Poiseuille.
Fig.8.11 Distibuţia vitezelor în mişcarea Poiseuille
In acest caz, constantele C1 şi C2 se determină ţinând cont de condiţiile la limită în
ecuatia:
21
2
2
1CzCz
x
pu
2
hz u = 0
Rezultă:
01C 42
1 2
2
h
x
pC şi deci:
22
42
1z
h
x
pu
Curgerea se realizează numai pentru un gradient de presiune negativ, deoarece u > 0. Din
ultima relaţie se obţin valoarea maximă a vitezei, debitul şi viteza medie:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
105
x
phu
8
2
max 2
2
3
12.
h
h x
phdzuQ
x
ph
h
Qumed
12
2
Studiul acestei mişcări este util pentru rezolvarea unor probleme tehnice legate de teoria
hidrodinamică a lubrificaţiei.
8.7 Noţiuni de teoria hidrodinamică a librificaţiei
Pentru asigurarea unei bune lubtificaţii între două suprafeţe solide aflate în mişcare
relativă şi supuse unor forţe exterioare este necesar ca între aceste suprafeţe solide să existe o
peliculă de lubrifiant care, are grosimi de ordinul zecimilor de milimetru. De regulă, pelicula de
lubrifiant este lichidă dar, se pot utliza şi gaze sau materiale solide.
Rolul lubrifiantului este complex:
- reduce frecările dintre suprafeţele în mişcare;
- contribuie la disiparea căldurii produse prin frecare şi asigură etanşeitatea
Din cauza gosimilor mici a peliculei de lubrefiant, forţele de greutate şi de inerţie din
peliculă sunt nelijabile în raport cu forţele de presiune şi de vâscozitate.
Tratarea teoretică are la bază sistemul de ecuaţii Navier-Stokes, care se simplifică.
a) Cazul unei perechi de suprafete plane, placa superioara fixa, placa inferioara
mobile. Placa inferioară se mişca cu viteza V0 pe direcţia Ox, spaţiul dintre plăci având
grosimea z = h = Ct
Fig.8.12
Se consideră mşcarea ca fiind plană (planul xOy) , deci p = p(x,y) iar viteza variază în
mod preponderant pe directia z. Sistemul de ecuaţii de mişcare Navier-Stokes devine:
z
p
z
v
y
p
z
u
x
p
10
10
10
2
2
2
2
Se integrează prima ecuaţie şi se obţine:
1
1Cz
x
p
z
u de unde rezultă 21
2
2CzC
z
x
pu
Constantele de integrare se determină din condiţiile la limită:
Pentru z = 0 rezultă u = - V0
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
106
Pentru z = h rezultă u = 0
Obţinem:
02 VC şi h
Vh
x
pC 0
1 .2
1
Componenta vitezei pe direcţia Ox devine:
h
zVhzz
x
pu 1).(
2
10
2
Debitul pentru o suprafaţă de înălţime h şi de lăţime egală cu unitatea este:
dzh
zVhzz
x
pdzuQ
hh
x
0
0
2
0
1).(2
1. de unde:
212
03 hV
x
phQx
In cazul când lichidul se mişcă simultan şi după direcţia Oy, prin integrare se obţine a
doua ecuaţie din sistemul iniţial:
'
1
1Cz
y
p
z
v de unde: '
2
'
1
2
2
1CzCz
z
pv
Condiţiile la limită pentru determinarea constantelor sunt:
Pentru z = 0 rezultă v = 0
Pentru z = h rezultă v = 0
De unde:
0'
2C şi hy
pC .
2
1'
1 rezultă:
)(2
1 2 zhzy
pv şi debitul după direcţia Oy:
y
phdzhzz
y
pQ
h
y12
).(2
1 3
0
2
Putem scrie ecuaţia de continuitate pentru paralelipipedul de dimensini dx, dy. 1, parcurs
de fluid în direcţiile x şi y (fig.8.13)
Fig.8.13
dxdyy
QQdydx
x
QQdxQdyQ
y
y
x
xxx sau
0y
Q
x
Q yx şi înlocuind expresiile debitelor vom obţine:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
107
x
hVh
y
p
yh
x
p
x0
33 .6
Relaţia obţinută este cunoscută sub numele de ecuaţia lui Reynolds pentru lagăre de
lungime finită. Daca funcţia h(x,y) este complet determinată, ecuaţia lui Reynolds permite
calculul presiunii p(x,y).
Lagărul va suporta sarcina exterioară, dacă presiunea din interiorul peliculei de lichid,
dezvoltă o forţă care sa o echilibreze.
Analizând relaţia care exprima variaţia presiunii pe direcţia Ox, dedusă din relaţia lui Qx
şi anume:
2
.12 0
3
hVQ
hx
px constatam că în cazul în care Qx = Const, V0 = Const,
h = Const, rezultă Constx
p adică, presiunea din pelicula de ulei nu poate depăşi valoarea
presiunii atmosferice care se gaseste la capetele lagărului de lungime finită. In consecinţă un
asemenea lagăr nu poate crea portanţă.
b) Cazul in care suprafetele care alcătuiesc lagărul sunt înclinate cu unghiul α pelicula
avand forma de pană a carei grosime se micşorează de la cota z1 la z2
Fig.8.14
Presiunea în interiorul stratului de ulei se poate calcula cu relaţia:
2
.12 0
3
hVQ
hx
px scrisă sub forma:
2
0
3.612
z
V
z
Q
x
p x sau
3
1
2
1
0
)(
..12
)(
..6
xz
Q
xz
V
x
p x după integrare se obţine:
Cxz
Q
xz
Vp x
2
11
0
).(3
..12
).(2
..6
Din condiţiile la limită x = 0 , p = p0 rezultă:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
108
2
11
0
0.
.6
.
6
z
Q
z
VpC x
Condiţiile la limită pentru limita din dreapta a lagărului sunt x = l, p = p0 de unde rezultă:
2
1111
0
).(
11.6
.
11.60
xzz
Q
xzz
V x sau înlocuind pe lz .1 cu z2 se
obţine:
21
210
zz
zzVQx şi
)(.
))((6
21
2
210
0zzzl
zzxlVpp relaţie care ne dă
valoarea presiunii în interiorul peliculei de ulei la sistanţa x de origine. Reprezentarea grafică din
fig. 8.14 arată dependenţa parabolică a presiunii maxime, deplasată faţă de jumătatea plăcilor, în
sensul mişcării.
Sarcina pe care o poate suporta un astfel ed lagăr se poate calcula efectuând integala l
dxpp0
0 )( :
l l
p dxz
xxl
zzl
zzVdxppF
0 0
2
21
210
0
)(
)(
)(6)(
Tinând cont ca xzz .1 si lzz .12 rezultă:
dz
z
zzzzdx
z
xxl2
12
2 .
))(()(
Integrând obţinem:
1
12ln
)1(
622
2
2
0
c
cc
cz
lVFp unde s-a notat
2
1
z
zc
Această teorie poate fi aplicată şi în cazul lagărelor cilindrice deoarece grosimea
particulei de lubrifiant este foarte mică în raport cu axa de curbură a cilindrului.
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
109
IX. TEORIA STRATULUI LIMITA
9.1 Noţiunea de strat limită
Posibilităţile de rezolvare ale ecuaţiilor Navier Stokes sunt limitate datorită dificultăţilor
matematice de integrare. A apărut necesitatea unor soluţionări aproximative care, au la bază
ideea neglijării anumitor termeni din ecuaţiile de mişcare, astfel:
- pentru mişcările lente ale fluidelor vâscoase se pot neglija termenii care reprezintă forţele
de inerţie. Soluţiile obţinute pe aceasta cale de rezolvare aproximativă sunt valabile
numai pentru curgeri caracterizate de numere Reynolds mici.
Cele mai multe mişcări ale fluidelor, importante din punct de vedere ale aplicaţiilor
practice, sunt caracterizate de numere Reynolds ce depăşesc valorile care permit o astfel de
aproximare.
Printre încercările de ieşire din această situaţie se numără şi teoria stratului limită a lui
Prandtl.
Pentru definirea noţiunii de strat limită, se examineazş mişcarea unui fluid văscos în jurul
unui corp de o formă oarecare (fig.9.1), In ipoteza că numărul lui Reynolds corespunde
regimului laminar.
Fig.9.1
Experienţele au dovedit că influenţa vâscozităţii se manifestă într-un strat subţire de fluid
din imediata vecinătate a suprafeţei corpului.. In interiorul acestui strat vitezele particulelor de
fluid variază după direcţia perpendiculară pe suprafaţa corpului, de la valoarea zero până la
valoarea curgerii exterioare. In acest strat de fluid creşterea rapidă a vitezei tangenţiale determină
valori mari ale gradientului de viteză şi în consecinţă, tensiunile tangenţiale ating valori
considerabile. In exteriorul acestui strat, gradientul de viteză are o valoare mică şi tensiunile
tangenţiale se pot neglija.
Se numeşte strat limită (strat de frecare) stratul de fluid în mişcare din imediata
vecinătate a unui corp în care, viteza variază de la valoarea zero la valoarea corespunzatoare
curgerii exterioare şi în care, se manifestă intens acţiunea forţelor de frecare.
Grosimea stratului limită, notată cu δ, creşte treptat, pe măsurăa ce numarul lui Reynolds
creşte.Tensiunea tangenţială de frecare dy
du, în interiorul stratului limită, atinge valori mari
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
110
chiar şi pentru o vâscozitate foarte mică, deoarece gradientul vitezei în direcţia perpendiculară pe
corp este foarte mare.
Pe baza acestei observaţii, în studiul teoretic al curgerii unui fluid de vâscozitate mică se
separă câmpul de curgere în două domenii:
- domeniul stratului limită în care trebuie să se ia în consideraţie forţele de vâscozitate;
- domeniul din exteriorul stratului limită în care forţele de vâscozitate pot fi neglijate şi în
care mişcarea poate fi considerată potenţială.
9.2 Grosimea stratului limită
Grosimea stratului limită nu poate fi precizată în mod riguros, deoarece trecerea de la
viteza din stratul limită la viteza curgerii exterioare se face asimptotic. Cercetările au demonstrat
că la o distanţă foarte mică de suprafaţa corpului, viteza fluidului atinge o valoare sesibil egală
cu cea corespunzătoare curgerii exterioare. Grosimea stratului limtă este distanţa δ de la
suprafaţa corpului, masurată pe normală, la care marimea vitezei diferă cu 1% de cea
corespunzătoare curgerii exterioare potenţiale.
Grosimea stratului limită depinde de regimul de mişcare a fluidului în stratul limită, care
poate fi laminar, de tranziţie sau turbulent. Regimul de mişcare depinde de numărul lui Reynolds
construit cu viteza curentului exterior U şi cu o lungime caracteristică x, măsurată de la bordul de
atac în lungul suprafeţei corpului.
xU.
Re
Regimul de mişcare în stratul limită este laminar pentru distanţe x mici, deci în
apropierea bordului de atac, trece în regim de tranziţie, la o anumită distanţă xcr1 şi apoi în regim
turbulent pentru distanţe mai mari decât o valoare critică xcr2. Numerele lui Reynolds Recr1 şi
Recr2 depind de forma conturului corpului. In cazul plăcii plane (fig.9.2) Recr1= 3,2.105 şi
Recr2=106.
Fig.9.2 Variatia grosimii startului limita
Grosimea stratului limită laminar se poate evalua aproximativ prin considerarea ordinelor
de mărime ale forţelor de inerţie şi de vâscozitate.
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
111
Forţa de inerţie raportată la unitatea de volum este x
uu. . Pentru placa de lungime L
palsată într-un curent de fluid cu viteza U, mărimea x
u este proporţională cu
L
U şi deci,
forţa de inerţie are ordinul de mărime L
U 2
.
Forţa de vâscozitate raportată la unitatea de volum este dată de expresia y
. In cazul în
care curgerea în stratul limită este laminară y
u şi forţa de vâscozitate se exprimă cu relaţia
2
2
y
u.
Deoarece gradientul vitezei pe direcţia normalei peretelui y
u are ordinul de mărime
U, rezultă că ordinul de mărime al forţei de vâscozitate este dat de expresia
2
U.
Spre deosebire de curgerea exterioară în care forţa de vâscozitate poate fi neglijată faţă de
forţa de inerţie, în stratul limită forţa de vâscozitate şi forţa de inerţie au acelaşi ordin de mărime
L
UU 2
2 de unde:
U
L
U
L ..
In conformitate cu rezultatele obţinte de Blasius, factorul de proporţionalitate din formula
de mai sus este egal cu 5 si rezultă:
U
L.5
Raportând grosimea stratului limită la lungimea L a plăcii se obţine grosimea
adimensională a stratului limită:
L
ULL Re
55
Unde UL
LRe este numărul lui Reynolds construit cu lungimea L a plăcii. Dacă
se înlocuieşte lungimea L a plăcii cu o lungime oarecare x, se obţine legea de variaţie a grosimii
stratului limită laminar:
x
x Re
5
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
112
9.3 Desprinderea stratului limită şi formarea vârtejurilor
In cazul mişcării unui fluid în jurul unui corp de o formă oarecare, se poate întâmpla ca
fluidul din stratul limită să nu poată urmări conturul corpului pe întreaga suprafaţă a acestuia,
desprinzându-se. Acest fenomen se produce atunci când, în lungul conturului corpului apare un
domeniu în care, presiunea prezintă o tendinţă de creştere. Particulele de fluid din stratul limită
care au o energie cinetică micşorată, din cauza frecării, nu mai pot pătrunde în domeniul de lângă
suprafaţa corpului în care presiunea este mai ridicată şi se depărtează de aceasta suprafaţă, fiind
împinse în masa fluidului. Depărtarea particulelor din stratul limită de suprafaţa corpului este
însoţită de o curgere de sens contrar cu cea a curentului exterior, în imediata apropiere a
suprafeţei corpului, datorită gradientului de presiune. Acest fenomen poartă numele de
desprinderea stratului limită.
Fig.9.3
Pentru explicarea fenomenului se examinează
curgerea unui fluid în jurul unui cilindru
circular. Dacă fluidul este ideal, pe jumătatea
amonte a cilindrului, între punctele A şi B,
fluidul se mişcă accelerat, iar presiunea scade
pe măsură ce se apropie de punctul B. Pe
jumătatea aval a cilindrului, intre punctele B
şi C, are loc o mişcare încetinită, în timp ce
presiunea creşte pe măsura apropierii de
punctul C.
In cazul fluidului real se împarte câmpul de
curgere în două domenii, stratul limita şi
domeniul exterior acestuia. In acest caz în
drumul de la A la B are loc o transformare a
energiei de presiune în energie cinetică, iar pe
drumul de la B la C are loc o transformare
inversă a energiei cinetice în energie de
presiune în aşa fel încât în secţiunea transversală corespunzătoare punctului C, trece cu aceiaşi
viteză pe care o avea în secţiunea transversală a punctului A. La examinarea mişcării unei
particule de fluid care, se deplasează în stratul limită, trebuie ţinut cont de forţele de vâscozitate
care frâneaza particula. Astfel, pe drumul de la A la B o parte din eneria cinetică a particulei este
disipată şi energia cinetică rămasă nu mai este suficientă pentru a învinge creşterea de presiune
pe drumul de la B la C. Rezultă că particula nu se poate deplasa prea mult în interiorul stratului
limită pe drumul de la B la C şi se opreşte într-un punct D, de unde este împinsă în afară de către
particulele din stratul limită din amonte. Apoi sub acţiunea repartiţiei presiunii din curentul
exterior, particula este împinsă înapoi, dând naştere unui vârtej.
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
113
Poziţia punctului de desprindere a stratului
limită poate fi definită printr-o condiţie
matematică. Pentru aceasta, se examinează
profilele de viteze longitudinal în stratul limită
în jurul unui corp oarecare, în vecinatatea
punctului de desprindere. Poziţia punctului este
stabilită de faptul că, în apropierea peretelui,
după desprindere, particulele de fluid curg în
sens contrar faţă de mişcarea exterioară,
Fig.9.4
datorită gradientului de presiune 0x
p. Punctul de desprindere reprezintă limita dintre cele
două mişcări de sens contrar şi deci, în acest punct, gradientul vitezei în direcţia perpendicular pe
perete este nul.
0
0yxx Dy
u este condiţia matematică de definire a punctului de desprindere a
stratului limită.
9.4 Ecuaţiile de mişcare în stratul limită, bidimensional, incompresibil (Ecuaţiile lui
Prandtl)
Fig.9.5
Se consideră o curgere plană a unui fluid in
jurul unui corp. Axa Ox dirijată in lungul
suprafaţei şi axa Oy în lungul normalei la
suprafaţa corpului. Dacă se face abstracţie de
efectul forţelor masice, care este neglijabil în
stratul limtă, datorită grosimii mici a acestuia,
ecuaţiile Navier-Stokes se scriu sub forma:
2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
t
u (1)
2
2
2
21
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
t
v plus ecuaţia continuităţii
0y
v
x
u
Pentru simplificarea acestor ecuaţii, în vederea obţinerii ecuaţiilor stratului limită, se face
ipoteza că grosimea δ a stratului limită este foarte mică în raport cu lungimea caracteristică
oarecare L a corpului, în jurul căreia are loc curgerea:
L
Cu aceasta ipoteză se trece la evaluarea termenilor din ecuaţiile de mai sus.
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
114
In stratul limită, deplasarea unei particule de fluid pe direcţia axei Ox se face în lungul
corpului a cărui dimensiune este caracterizată de lungimea de referinţă L, prin urmare ordinul de
mărime al variabilei x este L
Lx
Deoarece ordonata y are la interiorul stratului limită variaţia 0 < y < δ, variabila y are
ordinăl de mărime δ
y
In interiorul stratului limită componenta u a vitezei variază de la valoarea u = 0 pe
peretele solid la u = U corespunzătoare curgerii exterioare. Prin urmare ordinul de mărime a lui u
este U
Uu
Tinând seama de ordinile de mărime stabilite putem scrie:
L
U
x
u
22
2
L
U
x
u
U
y
u
22
2 U
y
u
Din ecuaţia continuităţii rezultă că y
v are acelaşi ordin de mărime cu
x
u adică:
L
U
y
v
Deoarece
y
dyy
vv
0
rezultă că ordinul de mărime al componentei v a vitezei este:
L
Uv
Astfel, rezultă ordinele de mărime a derivatelor vitezei v:
L
U
x
v
22
2
L
U
x
v
L
U
y
v
L
U
y
v2
2
Se transcrie prima ecuaţie a lui Navier-Stokes, indicând sub fiecare termen ordinul de
mărime determinat anterior:
2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
t
u
L
U 2
L
U 2
2L
Uv
2
Uv
In această ecuaţie termenul 2
2
x
u poate fi neglijat în raport cu
2
2
y
u deoarece
raportul ordinelor lor de mărime
2
22:
L
U
L
U este patratul unei marimi foarte mici. Se face
ipoteza că acceleraţia locală t
u este de acelaşi ordin de mărime cu acceleraţia convectivă
L
U
t
u 2
, deci se exclude posibilitatea unei acceleraţii instantanee mari. Se constată că şi
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
115
termenul x
p1 are acelaşi ordin de mărime
L
U 2
.
Deoarece în interiorul stratului limită, forţele de vâscozitate au acelaşi ordin de mărime
cu forţele de inerţie, conform ipotezei lui Prandtl, din analiza ordinelor de mărime a termenilor
ecuatiei (1) rezultă că este necesar ca raportul:
222
2
2
Re.
.:
LL
LU
L
UU
L
UL
unde LU
L
.Re reprezintă numărul lui Reynolds construit pe lungimea caracteristică L, să
fie de acelaşi ordin de mărime cu unitatea. Se deduce:
1Re
2
LL sau
U
LL
L
.
Re adică, ordinul de mărime al grosimii
stratului limită este invers proporţional cu LRe
Tinând seama de toate aceste consideraţii, prima ecuaţie a sistemului devine:
2
21
y
u
x
p
y
uv
x
uu
t
u
Se examinează în continuare cea de-a doua ecuaţie a sistemului (Navier-Stokes), punând
în evidenţă ordinele de mărime ale fiecarui termen în parte:
2
2
2
21
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
t
v
L
U 2
L
U 2
2L
Uv
L
Uv
In această ecuaţie termenul 2
2
x
v poate fi neglijat îin raport cu
2
2
y
v deoarece
raportul ordinelor lor de mărime
2
2:
LL
U
L
U este patratul unei mărimi foarte mici. Se face
ipoteza că acceleraţia locală t
v este de acelaşi ordin de mărime cu acceleraţia convectivă
L
U
t
u 2
. Dacă se ţine seama de relaţia U
LL
L
.
Re rezultă că termenul
2
2
y
v are
acelaşi ordin de mărime L
U 2
. Se deduce astfel că termenul y
p1are ordinul de mărime
L
U 2
deci, ordinul de mărime al derivatei este proporţional cu δ deci, foarte mic. Practic,
variaţia presiunii pe direcţia normalei poate fi neglijată şi în consecinţă, a doua ecuaţie a lui
Navier-Stokes se reduce la:
MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron
116
0y
p
In concluzie, presiunea în interiorul stratului limită este constantă de-a lungul normalei la
conturul corpului şi este egală cu presiunea exercitată asupra frontierei exterioare a stratului
limită, în locul considerat.
Cele trei ecuaţii ale sistemului Navier-Stokes vor fi doar două, cu două necunoscute
u(x,y,t) şi v(x,y,t)
2
21
y
u
x
p
y
uv
x
uu
t
u
0y
v
x
u
Sistemul de mai sus reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale stratului limită, bidimensional
nepernanent (ecuaţiile lui Prandtl). Condiţiile inţiale sunt date de relaţiile:
),( yxuu ),( yxvv pentru t = 0
Condiţiile la limită sunt:
0u 0v pentru y = 0; ),( txUu pentru y
Prima condiţie la limită, se referă la aderenţa fluidului pe suprafaţa corpului, iar a doua
condiţie se referă la racordarea mişcării din stratul limită la mişcarea potenţială exterioară. Viteza
U(x,t) a curgerii potenţiale este considerată cunoscută. Pentru determinarea presiunii p (x,t) se
foloseşte ecuaţia de mişcare:
x
p
x
UU
t
U 1
Se observă că în cazul mişcării permanente, ecuaţia poate fi scrisă sub forma:
x
p
x
UU
1 care reprezintă forma diferenţială a relaţiei lui Bernoulli
ConstU
p2
2
In cazul mişcării permanente ecuaţiile lui Prandtl devin:
2
2
y
u
x
UU
y
uv
x
uu
0y
v
x
u
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
117
X. MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE
10.1 Structura mişcării turbulente
Mişcarea turbulentă este cea mai frecvent întâlnită în deplasarea fluidelor. Această
mişcare este, structural, matematic, fizic şi energetic diferită de mişcarea laminară. Se
caracterizează printr-o mişcare de agitaţie la nivel macroscopic al particuleleor şi grupurilor de
particule ale fluidului.Se evidenţiază următoarele caracteristici:
- liniile de curent nu mai sunt paralele cu direcţia de curgere, ca în cazul mişcării laminare
ci se împletesc. In masa fluidului în mişcare, apar vârtejuri dispuse dezordonat faţă de
direcţia generală de curgere;
- viteza într-un punct al fluidului în
mişcare nu este, niciodată, ca mărime şi
direcţie, constantş, componentele
vitezei având caracterul unor mărimi
care oscieaza în jurul unei valori medii;
Fig.10.1 Variaţia vitezei în mişcrea turbulentă
- pierderea de energie între două puncte ale unei conducte sau a unui canal este mult mai
mare decât în cazul curgerii laminare, ceea ce indică faptul că în mişcarea turbulentă apar
eforturi de frecare suplimentare
Structural, mişcarea turbuletă este determinată de suprapunerea unor mişcări de agitaţie a
particulelor de fluid peste o mişcare medie. Deci, mişcarea turbulentă este. Întotdeauna,
nepermanentă, vitezele prezintă tot timpul fluctuaţii. Se poate defini o mişcare medie turbulentă
nepermanentă, dacă viteza medie variază în timp.
Pentru descrierea matematică a mişcării turbulente, aceasta se descompune într-o mişcare
medie şi o mişcare de pulsaţie. Dacă se notează wvu ,, valorile medii, în timp, ale
componentelor vitezei într-un punct fix, raportat la un sistem cartezian Oxyz şi cu u’, v’ şi w’
componentele vitezei de pulsaţie, atunci valorile instantanee ale componentelor vitezei sunt:
'uuu 'vvv 'www
Analog, presiunea instatanee va fi:
'ppp
Valorile medii se calculează ca medii temporale într-un punct fix, de exemplu:
T
dtuT
u0
.1
(fig,10.1)
Intervalul de timp T trebuie să fie suficient de mare pentru ca valoarea medie calculată să
nu depindă de timp.
Cu ajutorul definiţiei de mai sus, rezultă că valorile medii în timp ale mărimilor pulsatorii
sunt nule. Intr-adevăr din uuu' rezultă:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
118
T T T
uudtuT
udtT
dtuT
u0 0 0
011
'1
'
Deci: 0'u 0'v 0'w 0'p
Reynolds a stabilit o serie de reguli pentru calculul valorilor medii în timp. Astfel, dacă f
şi g sunt doua funcţii dependente pentru care se calcează valorile medii, iar s este una din
variabilele indepenente, x,y,z şi t, se deduc, ţinând cont de expresiile de mai sus, următoarele
relaţii:
ff gfgf gfgf ..
s
f
s
f dsfdsf ..
Relaţiile vor fi folosite la stabilirea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor în mişcarea
turbulentă.
10.2 Teoria amestecului turbulent (Teoria schimbului impulsului)
Procesul amestecului este caracteristica principală a mişcării turbulente şi constitue
deosebirea esenţială dintre această mişcare şi mişcarea laminară.
Sub acţiunea pulsaţiilor vitezelor într-un curent permanent are loc un scimb neîntrerupt
între particulele din păturile de fluid învecinate, ceea ce duce la amestecul fluidului. Din cauza
acestui amestec, pe lângă eforturile unitare datorate vascozităţii, iau naştere eforturi unitare
suplimentare datorate prezentei pulsaţiilor, iar pierderile de energie sunt mai mari deoarece
schimbul de particule fluide între straturile învecinate (amestecul) are loc cu consum de energie.
In timpul procesului amestecului, între straturile învecinate au loc schimburi de impuls
(de cantitate de mişcare), de aceea teoria amestecului mai poartă numele de teoria schimbului
impusului sau a schimbului cantităţii de mişcare.
Explicaţia apariţiei eforturilor unitare suplimentare datorate pulsaţiilor turbulente poate fi
dată de analogia lui Bahmetev.
Se imagineaza doua trenuri identice A şi B care merg paralel.
Fig.10.1 Analogia lui Bahmetev
In fiecare vagon se află un număr oarecare, acelaşi în toate vagoanele, de saci cu nisip de
masă egală, în dreptul fiecărui sac fiind postat un om. Masa transportată de trenuri este aceiaşi.
Vitezele trenurilor sunt diferite, de exemplu uB > uA. In momentul în care trenurile sunt unul în
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
119
faţa celuilalt, oamenii postaţi pe saci aruncă sacii dintr-un tren în celalalt. Deşi poziţia sacilor se
schimbă, masa transportată de cele doua trenuri rămâne aceiaţi. Facem ipoteza că trenul nu
deraiază.
Se constată că viteza trenului A în care sunt aruncaţi sacii din B cu o viteza mai mare
decât a trenului A, se măreşte, iar viteza trenului B, în care sunt aruncaţi sacii din trenul A, se
micşorează.
Dacă se examinează mişcarea unui sac de masă m aruncat din trenul B în trenul A, se
constată că sacul parăseşte trenul B cu viteza V, care are o componentă perpendiculară pe direcţia
de deplasare, notată cu v’ (viteza de aruncare) şi o componentă în direcţia de deplasare, notată cu
uB viteza trenului B. Componenta v’ nu are efect asupra trenului (nu deraiază). Componenta uB în
direcţia de deplasare este mai mare decât viteza trenului A şi determina o accelerare a trenului A.
Intr-adevăr , sacul de masă m şi viteză uB a înlocuit un sac de aceiaşi masă m dar cu viteza mai
mică uA . Deci, în intervalul de timp t în care are loc schimbul de saci, sacul aruncat din trenul
B comunică trenului A impulsul '.)( umuum AB . Unde 'u este diferenţa de deplasare dintre
cele două trenuri. In conformitate cu legea a doua a dinamicii apare o forţă:
t
um
t
uum
t
muF AB '.)()(
care actionează asupra trenului A în sensul
deplasării. In cazul trenului B vom avea:
t
um
t
uum
t
muF BA '.)()(
In concluzie, schimbul de impuls duce la unformizarea mişcării celor două trenuri.
Se imagineaza doua straturi paralele de fluid, notate cu A şi B, care se deplasează în
sensul axei Ox cu viteze diferite uA < uB
Fig.10.2
Dacă numărul lui Reynolds depăşeste valoarea critică, mişcarea este turbulentă şi se
realizează o întrepătrundere a particulelor de fluid din cele două straturi. Datorită schimbului de
impuls dintre straturi, apar forţe tangenţiale suplimentare pe suprafaţa de separare a celor două
straturi.
Pentru a determina aceste forţe tangenţiale suplimentare, se consideră un punct M
caracterizat prin viteza medie u şi componentele vitezelor de pulsaţie 'u si 'v . Se separă în jurul
punctului ales suprafaţa dS paralelă cu u , deci pe axa Ox. Datorită componenţei de pulsaţie 'v prin suprafaţa dS în intervalul de timp dt, trece masa elementară:
dtvdSdm '.
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
120
Variaţia în direcţia Ox a impulsului acestei mase, sub acţiunea celeilalte componente a
pulsaţiei u’, este:
dtvudSmud ''...)'( de unde:
dSvudt
mudF ''.
)'(
Aceasta forţă este dirijată după direcţia lui u’. Se ia media produsului pulsaţiilor ''vu şi se
obţine efortul tangenţial suplimentar care ia naştere din cauza amestecului turbulent:
''.' vuyx
Semnul minus arată că la o dilatare în sens longitudinal, u’ > 0, corespunde o contractare
în sens transversal, v’ < 0, pentru că masa totală nu variază. Primul indice precizează direcţia
normalei la elementul de suprafaţă considerat, iar al doilea indice direcţia cu care efortul este
paralel.
Efortul unitar suplimentar datorat pulsaţiilor trebuie adăugat la efortul unitar stabilit de
Newton:
''. vudy
duyx
Această formulă este cunoscută sub numele de formula lui Prandtl, care are două
consecinţe importante:
- în mişcarea turbulentă eforturile tangenţiale, care se opun mişcării, sunt mai mari decât
cele din mişcarea laminară şi ca urmare, pierderile de sarcină sunt mai mari în mişcarea
turbulentă
- în mişcarea turbulentă are loc o aplatizare a curbei de distribuţie a vitezelor.
10.3 Distribuţia vitezelor în mişcarea turbulentă
Se consideră o conductă în care mişcarea este turbulentă. Faţă de repartiţia vitezelor în
mişcarea laminară (Fig.10.3) diagrama vitezelor în mişcarea turbulentă are o formă aplatizată.
(Fig.10.4)
Fig.10.3 Distribuţia vitezei în mişcarea laminară Fig.10.4 Distribuţia vitezei în mişcarea
turbulentă
In mişcarea turbulent, viteza fluidului pe perete este nulă (proprietatea de aderenţă). In
apropierea peretelui conductei, particulele au o posibilitate redusa de deplasare transversală v’,
deci cu peretele nu are loc un schimb de impuls şi vitezele nu se pot uniformiza în apropierea
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
121
acestuia. Intr-un strat de grosime δ, cresc rapid. Apoi, vitezele datorită amestecului, încep să se
uniformizeze şi creşterea lor, până la valoarea maximă din axul conductei, se face foarte lent.
In regim laminar, am văzut că raportul dintre viteza medie V şi viteaza maximă umax este:
5,0maxu
V pentru Re < 2300
In regim turbulent, forma diagramei depinde de valoarea lui Re
75,0maxu
V pentru Re = 2700
86,0maxu
V pentru Re = 10
6
9,0maxu
V pentru Re = 10
8
75,0maxu
V pentru
DV .Re
Când Re tinde la infinit, se tinde spre o diagramă caracteristică fluidului ideal, cazul
fluidul fără vâscozitate.
10.4 Eforturile suplimentare turbulente
Se consideră într-o mişcare turbulentă cu componentele vitezei u, v şi w, un element de
suprafaţă dS a cărui normală este paralela cu axa Ox (Fig.10.5)
Fig.10.5
Masa de fluid care trece prin acest element în
timpul dt este dată de produsul dtudS .. , iar
componenta impulsului are expresia
dtdSudI X ... 2. Celelalte componente ale
impulsului sunt dtdSvudIY .... şi
dtdSwudIZ .... . Valorile medii ale acestor
impulsuri, raportate la unitatea de timp sunt:
dSudt
dI X 2. dSvudt
dIY ... dSwudt
dIZ ...
Pentru calculul valorilor medii vom avea:
222 'uuu şi analog
''.. vuvuvu şi ''.. wuwuwu
Deci componentele impulsului raportate la unitatea de timp vor fi:
xX dSuu
dt
dI)'( 22
dS
dIx
dIy
dIz
y
x
z
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
122
yY dSvuvu
dt
dI)''.(
zZ dSwuwu
dt
dI)''.(
Aceste expresii, fiind derivate în raport cu timpul ale impulsului, sunt forţe ce reprezintă
acţiunea fluidului asupra elementului de suprafaţă dS. Conform principiului egalităţii acţiunii şi
reacţiunii, rezultă că pe elementul de suprafaţă se dezvoltă forţe egale şi de sens contrar. Se
deduce că pe elementul de suprafaţă dS, se exercită eforturile:
)'( 22
uu pe direcţia axei Ox
)''.( vuvu pe direcţia axei Oy
)''.( wuwu pe direcţia axei Oz
Primul este un efort normal ζ’xx iar celelalte sunt eforturi tangenţiale η’yx şi η’zx. In
concluzie, prin suprapunerea mişcării pulsatorii peste mişcarea medie apar, pe un element de
suprafaţă ortogonală axei Ox, urmatoarele eforturi suplimentare:
2' '.uxx ''.' uvyx ''.' wuzx şi analog
''..' vuxy 2' '.vyy ''.' vwzy
''.' wuxz ''.' wvyz 2' '.wzz
Aceste eforturi se numesc eforturi aparente ale mişcării turbulente. Ele se datoresc
pulsaţiilor şi sunt eforturi suplimentare ce trebuie adăugate la eforturile mişcării medii cunoscute
de la studiul mişcării laminare. Se observă că cele nouă eforturi formează un tensor simetric de
ordinul al doilea, numit tensorul tensiunilor aparente turbulente, care se exprima cu ajutorul
matricei:
2
2
2
'';
'''
''
'''''
'''''
'''''
wwvwu
vwvvu
uwuvu
zzyzxz
zyyyxy
zxyx
i
xx
Aceste eforturi sunt numite şi eforturle lui Reynolds (cel care le-a pus primul în
evidenţă).
10.5 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea turbulentă
Ecuaţiile Navier-Stokes pentru mişcarea laminară a fluidelor reale, reprezintă ecuaţiile de
echilibru dinamic dintre forţele unitare de inerţie, pe de o parte şi forţele unitare exterioare:
masice, de presiune şi de frecare, pe de alta parte, aplicate unei particule fluide. Această ecuaţie
este valabilă şi în cazul mişcării turbulente, cu precizarea că, trebuie făcută media în timp a
fiecărui termen, astfel putem scrie:
T t
x dtux
pf
Tdt
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
T0 0
111
Grupul de termini reprezentând forţa unitară convectivă de inerţie poate fi scris sub
forma:
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
123
z
uw
y
uv
x
uu
z
uw
y
uv
x
uu
).().().(
Efectuând derivatele produselor din membrul al doilea apare termenul
z
w
y
v
x
uu , care este nul, asa cum rezultă din ecuaţia continuităţii. Se ţine seama de faptul
că forţele masice sunt constante şi că densitatea este deasemenea constantă (fluid incompresibil)
şi se aplică regula de mediere. Ecuaţia devine:\
ux
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
ux .
1).(),().(
Tinând cont că:
''.. uuuuuu ''.. vuvuvu si ''.. wuwuwu
z
uw
y
uv
x
uuu
x
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
ux
)''()''()''(1).().().(
Dacă în membrul stâng, al ecuaţiei, se efectuează derivata produselor şi se consideră
ecuaţia continuităţii
0z
w
y
v
x
u rezultă
)''()''()''(11
uwz
uvy
uux
ux
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
ux
Primul termen din membrul stâng reprezintă forţa unitară locală de inerţie, următoarele
trei reprezintă forţa unitară convectivă de inerţie. Primul termen din membrul drept reprezintă
forţa unitară masică, al doilea, forţa unitară de presiune, al treilea, forţa unitară de vâscozitate şi
ultimul, forţele unitare datorate pulsaţiilor turbulente.
Analog se obţin şi ecuaţiile pe direcţiile Oy şi Oz care, împreuna cu ecuaţia continuităţii
reprezintă ecuaţiile lui Reynolds pentru mişcarea turbulent.
Termenii ce reprezinta forţele unitare datorate pulsaţiilor se notează cu A, B şi respectiv
C pe direcţia Oz.
Interpretări:
- Dacă se fac comparaţii cu ecuaţiile Navier-Stokes, se constată că în membrul al doilea
apar termini suplmentari - forţele unitare datorate pulsaţiilor turbulente;
- Sistemul nu poate fi integrat, avand 7 necunoscute: wvupwvu ..,,,, şi numai patru
ecuatii;
- Ecuaţiile nu oglindesc întregul fenomen al mişcării turbulente. Cauzele externe legate de
rugozitatea suprafeţelor şi implicit natura pereţilor nu sunt prinse în acestea;
- Ecuatiile lui Reynolds constituie o bază teoretică pentru cercetări. Nu pot fi folosite în
practică, deoarece nu se cunoaşte dependenţa dintre mărimile fluctuate u’,v’ şi w’ şi
mărimile medii ale acestora. De aceia pentru calculul elementelor mişcării turbulente se
folosesc două căai distincte:
o Se fac ipoteze simplificatoare cu privire la dependenţa dintre diversele mărimi şi
se consideră o serie de teorii semiempirice;
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
124
o Se studiază mărimile fluctuante, prin măsuratori sistemice, în diferite cazuri de
curgere, care se prelucrează cu ajutorul statisticii matematice, constituindu-se în
teorii statistice ale curgerii;
- Condiţiile la limită pentru vitezele medii temporale sunt aceleaşi ca şi în cazul curgerii
laminare a fluidelor reale, iar vitezele oscilatorii nule la perete. Deci eforturile aparente se
anulează, la perete, rămânând numai cele de vâscozitate din mişcarea laminară.
- Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale din mişcarea turbulentă pot fi scrise şi sub forma
dată de Gromeka-Lamb
Ax
uvwVpd
Uxt
uxy
3)(2
2
2
By
vwuVpd
Uyt
vxz
3)(2
2
2
Cz
wuvVpd
Uzt
wyz
3)(2
2
2
10.6 Legea transformării şi conservării energiei în mişcarea turbulentă a fluidelor reale
Se consideră mişcarea turbulentă permanentă a unui fluid real, compresibil. In acest caz:
t
u
t
v
t
w sunt nuli.
Se înmulţesc cele trei ecuaţii, date de Grromeka-Lamb, cu dx, dy şi dz se adună şi vom
obţine:
tVzyx ll
wvu
dzdydxpdV
Ud ..22
2
Fiecare termen din ecuaţia de mai sus, reprezintă un lucru mecanic elementar (energie
elementară). Primul termen reprezintă variaţia elementară a energiei fluide totale (potenţială a
forţelor masice, potenţială de presiune şi cinetică), iar al doilea termen reprezintă lucrul mecanic
elementar al forţelor convective de inerţie datorate variaţiei vârtejului. Termenul:
3....
ddzwdyvdxulV reprezintă lucrul mecanic al forţelor de
vâscozitate moleculară cu o componentă a forţelor de compresibilitate, în cazul fluidelor
compresibile corespunzator unei deplasari elementar. Termenul:
dzCdyBdxAlt .... reprezintă lucrul mecanic al tensiunilor aparente. Aceşti
termini sunt negativi deoarece sunt forţe dirijate invers sensului de mişcare.
Determinantul est nul dacă:
- pe o linie de curent
w
dz
v
dy
u
dx
- pe o linie de vârtej
MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron
125
zyx
dzdydx
- în mişcarea elicoidală
zyx
wvu
In toate aceste cazuri putem scrie:
rlpdV
Ud .2
2
unde tVr lll ... lucrul mecanic rezistiv.
Dacă se integrează pe o linie de vartej, sau între doua puncte în mişcările enumerate mai
sus se obtine:
12
2
1
2
.2
rlpdV
U
In cazul fluidelor incompresibile ρ = const şi în câmp gravitaţional U = g.z se poate scrie:
1222
2
21
1
2
1
22rhz
p
g
Vz
p
g
V
Unde 12
12 .1
rr lg
h este pierderea de sarcină între punctele 1 şi 2. V şi p reprezintă
viteza medie şi presiunea medie în timp.
Aceasta este ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide grele incompresibile în mişcarea
turbulentă. Aceasta admite o reprezentare grafică asemănătoare cu cea prezentată la curgerea
laminară.
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
126
XI. ANALIZA DIMENSIONALĂ ŞI TEORIA SIMILITUDINII
Orice relaţie matematică a unui fenomen fizic este corect stabilită, dacă pe lângă
corectitudinea rezolvării setului de ecuaţii algebrice sau diferenţiale care caracterizează acest
fenomen îndeplineşte şi o altă condiţie fundamentală: toţi termenii ei trebuie să aibă aceeaşi
dimensiune.
Această condiţie necesară pentru valabilitatea unei relaţii matematice a unui fenomen
fizic se numeşte principiul omogenităţii.
Pornind de la această condiţie obligatorie, putem obţine relaţia de calcul a unei mărimi
fizice în funcţie de alte mărimi. O asemenea dependenţă se formează astfel: A =f(a1,a2,…..an)
unde structura funcţiei f nu este cunoscută.
Anumite consideraţii teoretice privind natura mărimilor a1,a2,…..an, permit unele
precizări privind forma funcţiei f. Acest fel de abordare a problemei constituie obiectul analizei
dimensionale.
11.1. Metodele analizei dimensionale
11.1.1 Metoda Rayleigh,
Se aplică pentru stabilirea unor legi fizice, dacă se cunosc mărimile care determină
fenomenul considerat.
Conform acestei metode, mărimea fizică ce caracterizează fenomenul studiat, este
proporşională cu un produs de puteri al mărimilor fizice care îl determină. Valorile exponenţilor
se obţin impunând condiţia omogenităţii dimensionale a ambilor membrii ai egalităţii obţinute.
Această metodă se aplică cu uşurinţă în cazurile în care fenomenul studiat depinde de cel
mult şase mărimi fizice.
Aplicaţii cu metoda Rayleigh
Stabilirea formulei debitului de lichid printr-un orificiu dreptunghiular
Se cunoaşte experimental că debitul este funcţie de secţiunea S a orificiului, de înălţimea
coloanei de apă h de deasupra orificiului (sarcina) şi de acceleraţia gravitaţională g. Formula
debitului se poate scrie sub forma:
zyx ghKSQ
în care K, este un coeficient adimensional. Ecuaţia dimensională în sistemul SI este:
zyx LTLLTL )()( 2213
Se impune condiţia omogenităţii dimensionale ai celor doi termini ai acestei ecuaţii şi
rezultă sistemul:
z
zyx
21
23
Se obţine 2
1z şi yx
2
52 şi dacă considerăm secţiunea orificiului
2lS unde l este
lungimea caracteristică, rezultă:
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
127
ghlKghlh
lKghhlKlghKlQ
yyy
yy
2
12
1
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
2
5
)(
ghSKQ 1
Coeficientul K1 se determină experimental şi este egal cu 2 în care este
coefiecientul de debit.
Determinarea rezistenţei la înaintare a unui corp într-un fluid
Corpul are o secţiune transversală S şi se deplasează într-un fluid de densitate ρ şi cu
vâscozitatea dinamică η cu o viteza V. Rezistenţa la inaintare este o funcţie de forma:
),,,.( gVSfR deci se poate scrie:
zyxxx
gVSKR 321
Ecuatia dimensională în SI este:
zyxxx
LTTMLLTLMLMLT )()()()()( 2111232 321
Din condiţia de omogenitate se obţine sistemul de ecuaţii:
zyx
zyxxx
yx
22
231
1
3
321
1
Rezulta:
zyx
zyx
yx
22
2
1
2
11
1
3
2
1
2
2
2
1
2
1
222
1
2
11
1 .
..
SVV
Sg
SV
KgVSKR
zy
zyzyzy
y sau
2
2..
.
..VS
V
lg
lVKR
zy
Se verifică uşor că expresiile din paranteze sunt adimensionale şi anume:
Re
1
... lVlV
FrV
lg 1.2
numărul lui Froude
2..)(Re, VSFrkR
Relaţia de mai sus reprezintă expresia rezistenţei la înaintare a unui corp, în cazul
general. Funcţia k(Re,Fr) se determină experimental.
Pentru situaţia în care rezistenţa la inaintare depinde în primul rând de forţele
gravitaţionale, exemplu: în cazul mişcării cu viteză relativă mică a navelor, se poate neglija
efectul vâscozitatii, deci y = 0 şi rezistenţa la înaintare are expresia:
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
128
2
2..
.VS
V
lgKR
z
In cazul în care rezistenţa la înaintare este dată în principal de influenţa vâscozităţii, se
neglijează influenţa acceleraţiei gravitaţionale z = 0 şi formula noastră va fi:
2..
..VS
lVKR
y
Din această relaţie se pot evidenţia câteva cazuri particulare, corespunzătoare diferitelor
valori pentru y. Astfel pentru y = 1 se obţine:
lVKR .. nu intervine densitatea fluidului. Corespunde mişcărilor lente pentru care
se pot neglija forţele de inerţie.
Pentru y = 0
2.. VSKR nu intervine vâscozitatea. Este formula lui Newton
Pentru y = ½ rezultă:
2
3
2
3
2
1
2
1
22
1
....
lVKVSlV
KR se obţine o formulă asemănătoare
rezistenţei la inaintare a unei plăci plane de dimensiuni l şi h, plasată într-un curent laminar
rectiliniu paralel cu planul plăcii, cu dimensiunea h dispusă perpendicular pe direcţia curentului.
Relatia este: lVhR 3..686,0
Pentru y = 1/5 rezultă:
5
9
5
9
5
1
5
4
25
1
....
lVKVSlV
KR este relaţia aproximativă pentru
determinarea rezistenţei la înaintare a unei plăci plane, în stratul limită turbulent.
11.1.2 Teorema produselor. Teorema π.
Se consideră un fenomen fizic oarecare în care marimea dimensională a este o funcţie de
mărimile dimensionale independente între ele a1, a2,…,an deci:
),...,.,...,,( 121 nkk aaaaafa
Nu se exclude cazul în care unele dintre aceste mărimi sunt constante. Se presupune că
funcţia nkk aaaaaf ,...,.,...,,( 121 ) exprima o lege fizică care, nu depinde de alegerea sistemului
de unităţi de măsura. Se consideră că primele k mărimi au dimensiuni independente şi se aleg ca
mărimi fundamentale. Dimensiunile mărimilor a, ak+1,…,an pot fi exprimate în funcţie de
mărimile a1,a2,…,ak . Dimensiunile mărimilor fundamentale se notează astfel:
11][ Aa
22 ][ Aa
..............
nn Aa ][
Dimensiunile mărimilor a, ak+1,…,an sunt date de formulele:
km
k
mmAAAa ...][ 21
21
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
129
kp
k
pp
k AAAa ...][ 21
211
................................
kq
k
n AAAa ...][ 21
21
Dacă se schimbă unităţile de măsura ale mărimilor fundamentale a1,a2,…,ak , de exemplu
se măresc de α1, α2 ,…, αk ori, atunci valorile numerice ale acestor mărimi şi ale mărimilor a,
ak+1,…,an în noul sistem de unităţi vor fi corespunzator egale cu:
11
'
1 aa aa km
k
mm....' 21
21
22
'
2 aa 121
'
1 ....21
k
p
k
pp
k aa k
............... ..................................
kkk aa ' n
q
k
n aa k....21
21
'
In acest nou sistem de unităţi de măsura vom avea:
n
q
k
k
p
k
pp
kk
n
m
k
mmm
k
mm
aaaaf
aaafaa
kk
kk
,...,,...,,...,,,...,(
),...,,(.......'
2121
2121
2112111
212121
Această egalitate arată că funcţia f este omogenă în raport cu coeficienţii de scară
independentă α1, α2 ,…, αk . Alegerea acestor coeficienţi se face astfel încât să se obţină
micşorarea numărului π 1
1
1
a
2
2
1
a,….,
k
ka
1
Deci, se alege un sistem de măsură în aşa fel încât valorile primelor k argumente din
prima parte a relaţiei lui a’ să fie egale cu unitatea. Pentru acest sistem de unităţi de măsură,
valorile numerice ale parametrilor a, ak+1,…,an sunt determinate de formulele:
km
k
mmaaa
a
...21
21
,......21
21
1
1kp
k
pp
k
aaa
a
kq
k
n
knaaa
a
...21
21
Mărimile π sunt adimensionale. Relaţia stabilită iniţial ),...,.,...,,( 121 nkk aaaaafa
devine:
),...,,(),....,,....,1,1( 2111 knkn ff
Astfel, relaţia cu cele n+1 mărimi dimensionale a, a1,…,an independente de alegerea
sistemului de unităţi de măsură, se poate scrie sub forma unei relaţii între n+1-k mărimi π1,
π2,…, πn-k adimensionale. Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema π.
Etapele de lucru cu teorema π sunt:
- Stabilirea mărimilor care participa la desfăşurarea fenomenului de studiat;
- Alegerea mărimilor care pot fi considerate ca fundamentale. Acestea pot fi ale sistemului
de măsură în care se lucrează, de obicei SI. Mărimile fundamentale alese trebuie să
îndeplinească următoarele conditii:
o Să fie independente din punct de vedere dimensional (adica dimensiunea unei
mărimi să nu poată fi obţinută printr-o relaţie a dimensiunilor celorlalte mărimi
fundamentale)
o Dimensiunile mărimilor fundamentale să permită exprimarea dimensională a
tuturor celorlalte marimi derivate.
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
130
Aplicaţie
Determinarea pierderilor longitudinale de sarcină în conducte circulare.
Pierderea de sarcină se poate exprima prin diferenţa de presiune p dintre secţiunile
extreme ale conductei considerate. Această pierdere depinde de diametrul D şi lungimea l a
conductei, de viteza V, densitatea ρ şi vâsozitatea η a lichidului, precum şi, de rugozitatea
absolută a pereţilor Δ. Ecuaţia funcţională va fi:
),,,,,( lVDfp
Se aleg mărimile D, V şi ρ ca mărimi fundamentale şi se formează produsele
adimensionale:
321 mmm
VD
p
3211 ppp
VD
3212 rrr
VD
l
3213 sss
VD
Se obţine relatia:
),,( 321f
Exponenţii mi , ri şi si se determină din condiţia ca produsele π, π1 , π2 şi π3 să fie
adimensionale. Astfel pentru π se obţine:
23321
321
2131
31
21
)()(][
mmmmm
mmmTML
MLLTL
TML
Prin anularea exponenţilor lui L, M şi T rezultă:
1
2
0
3
2
1
m
m
m
Se procedează similar pentru celelalte produse şi se obţine:
2V
p
Re
1
..1
VDVD
D
l2 si
D3
Relaţia ),,( 321f devine:
D
fD
l
DD
lf
V
p,
Re
1,,
Re
1112
Deoarece pierderea de sarcină este direct proporţională cu lungimea şi ţinând seama de
relaţia dhp . rezultă:
D
fD
l
g
Vhd ,
Re
11
2
Se introduce coeficientul λ al pierderilor de sarcină liniare prin notaţia:
D
fD
,Re
12Re, 1 şi se obţine în final expresia pierderilor de sarcină
longitudinal:
g
V
D
l
Dhd
2Re,
2
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
131
Stabilirea forţei de propulsie a unei elice.
Forţa de propulsie este funcţie de denstatea ρ, vâscozitatea η a fluidului, de viteza de
translaţie V, de turaţia n , de diametrul D al elicei şi de acceleratia gravitaţională g.
),,,,,( gDnVfF
Se aleg mărimile ρ, V şi D ca mărimi fundamentale şi se construiesc produsele
adimensionale:
321 mmm
DV
F
3211 ppp
DV
3212 rrr
DV
n
3213 sss
DV
g
Se determină exponenţii ca în exemplul anterior
3131
321
2131
13
2
)()(
mmmm
mmmTML
LLTML
MLT
De unde rezultăa, prin anularea exponenţilor: m1=1 m2=2 si m3=2. Analog se obţin şi
celelalte produse găsindu-se expresiile:
22 DV
F
Re
1
.1
DVVD
V
nD2
23V
gD deci:
21
22 ,,Re
1.
V
gD
V
nDfDVF
11.2 Bazele teoriei similitudinii
Datorită complexităţii fenomenelor hidraulice şi a dificultăţilor matematice care apar în
rezolvarea ecuaţiilor de mişcare ale fluidelor reale, se folosesc, pe scară largă, metode
experimentale de cercetare. Experienţele pot fi făcute direct pe prototip, fie pe modele. De obicei
nu se pot face experienţe la scară reală şi sunt necesare modele, la scară redusă. Teoria
similitudinii stabileşte condiţiile care trebuie să fie respectate pentru ca fenomenul model să fie
asemenea cu cel real şi din punct de vedere al condiţiilor de curgere. Teoria similtudinii face
posibilă studierea în laborator a fenomenelor complexe din natură şi precizează circumstanţele în
care rezultatele obţinute pot fi extinse la o întreaga clasă de fenomene asemenea.
11.2.1 Similitudinea geometrică, cinematică şi dinamică
Similitudinea geometrică este cea mai simplă formă de similitudine. Intre model şi
prototip există o similitudine geometrică dacă este asigurată proporţionalitatea lungimilor
omoloage şi egalitatea unghiurilor. Unui punct de pe model corespunde un punct de pe prototip.
Acestea se numesc puncte omoloage. Punctele omolage pot determina drepte omoloage,
suprafeţe omoloage şi volume omoloage.
Pentru fenomene variabile în timp, similitudinea geometrică nu este suficientă. Pentru
definirea altor forme de similitudine este necesară introducerea noţiunii de timpi omologi. Timpii
omologi sunt timpii în care se produc aceleaşi fracţiuni din fenomenul cercetat, atât pe model cât
şi pe prototip.
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
132
Similitudinea cinematică a două fenomene hidraulice este asigurată de asemănarea
geometrică a liniilor de curent şi de proporţionalitatea vitezelor omoloage. Doi curenţi de fluid
sunt asemenea din punct de vedere cinematic dacă particulele omoloage trec prin puncte
omloage la timpi omologi.
Similitudinea dinamică a două fenomene hidraulice impune în afara condiţiilor
corespunzătoare similitudinii cinematice şi proporţionalitatea forţelor omoloage. Rezultă că
pentru doi curenti de fluid dinamic asemenea, masele omoloage de fluid sunt supuse unor
sisteme de forţe omoloage proporţionale, de acelaşi tip şi la fel orientate. Greu de realizat dar se
va tinde spre realizarea unei similitudini dinamice parţiale.
Rapoartele dintre perechile de mărimi omoloage (scări) definesc rapoarte de similitudine
sau coeficienţi de trecere.
Scările mărimilor fundamentale: lungime , masă şi timp se numesc scări fundamentale.
Scările mărimilor derivate se numesc scări derivate.
Scările fundamentale sunt date de relaţiile:
'l
lkl
'm
mkm
't
tkt
unde l şi l’ sunt două lungimi omoloage de pe model şi prototip, etc.
Scările derivate sunt:
1'
''
''tlV kk
t
t
l
l
tl
tl
V
Vk pentru viteză
2'
''
''tla kk
t
t
V
V
tV
tV
a
ak pentru acceleraţie
2
''.
.
'tlmF kkk
am
am
F
Fk pentru forţă
13
tlQ kkk pentru debit
21
tmlp kkkk pentru presiune
22
tmlL kkkk pentru lucru mecanic
11.2.2 Stabilirea criteriilor de similitudine
In teoria similitudinii se folosesc mărimi complexe adimensionale, formate din mărimile
fizice care intervin în desfăşurarea fenomenului studiat. Aceste mărimi se numesc criteriu de
similitudine sau invariant de similitudine. Au proprietatea că păstrează aceleaşi valori numerice
pe model şi prototip, în fenomene asemenea.
Metde de abordare
a. O metodă riguroasă în stabilirea criteriilor de similitudine în mecanica fluidelor constă în
examinarea structurii ecuaţiilor de mişcare ale unui fluid.
Aplicam metoda la ecuaţia lui Navier-Stokes
..3
1.
1gradVpgradf
dt
Vdm cu
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
133
z
w
y
v
x
uVdiv.
Este suficientă o examinare a ecuaţiei numai pe direcţia axei Ox:
zx
w
yx
v
x
u
z
u
y
u
x
u
x
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
ux
22
2
2
2
2
2
2
2
2
3
11
Se presupune că, trecând de la curgerea în jurul unui model la curgerea în jurul
prototipului, fiecare mărime se multiplică de un numar de ori (scară). Considerând că fenomenul
pe model este descris de ecuaţia de mai sus, fenomenul pe prototip va fi descris de ecuaţia:
z
w
y
v
x
u
xz
u
y
u
x
u
k
kk
x
p
kk
kfk
z
uw
y
uv
x
uu
k
k
t
u
k
k
l
v
l
p
xfm
l
v
t
v
3
1)(
2
2
2
2
2
2
2
2
Aceste două ecuaţii au aceiaşi structură şi din compunerea lor rezultă condiţia de
similitudine
2
2
l
v
l
p
fm
l
v
l
v
k
kk
kk
kk
k
k
k
k
Criteriile de similitudine se stabilesc prin considerarea succesivă a egalităţii dintre cel de-
al doilea raport şi fiecare din cele patru rapoarte şi înlocuirea constantelor k prin raportul
mărimilor fizice corespunzătoare modelului şi prototipului.
b. O a doua metodă de stabilire a similitudinii se bazează pe considerarea numai a mărimilor
cu rol preponderent în desfăşurarea fenomenului hidraulic studiat. Se scriu scările
acestor mărimi fizice în funcţie de scările fundamentale, se înlocuiesc, acestea din urmă,
cu rapoartele mărimilor fundamentale omoloage de pe model, se grupează în mod
corespunzător mărimilor referitoare la model şi prototip rezultând criteriul de
similitudine.
Ca exemplu, se examinează fenomenul de curgere în care forţele de inerţie au rol
preponderent. Se va obţine criteriul de similitudine a lui Newton:
2
'tmlF kkk
F
Fk sau
2
'''' t
t
m
m
l
l
F
F şi ţinând cont că
3.. lm si t
lV obţinem
''.
'
. 2'2'22Ne
lV
F
lV
FNe criteriul de similitudine a lui Newton
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
134
11.3 Principalele criteria de similitudine întâlnite în mecanica fluidelor
Criteriul de similtudine Reynolds
Se obţine din egalitatea:
2
2
l
v
l
v
k
kk
k
k sau 1
k
kk lv sau înlocuind cu rapoartele caracteristice
Re''
''.Re
lVlV
Dacă pe model şi prototip curge un acelaşi fluid ' şi ' rezultă egalitatea
''.. lVlV sau VkV l' deci, în cazul similitudinii Reynolds, viteza modelului este mai mare
decât a prototipului. Creiteriul Reynods are importanţă în problemele de hidrodinamică unde
vâscozitatea intervine preponderent (curgerea în stratul limită, lubrificaţie, aerodinamica etc).
Criteriul de similitudine Froude
Egalitatea forţelor de inerţie cu forţele masice:
fm
l
v kk
k 2
sau 12
fml
v
kk
k sau înlocuind cu rapoartele caracteristice
'''.
2'2
Frlg
V
lg
VFr
Dacă modelul şi prototipul se experimentează la aceiaşi latitudine geografică g = g’,
rezultă Vk
Vl
1' , deci viteza modelului este mult mai mică decât a prototipului. Făcând o
comparaţie cu similitudinea Reynolds rezultă că este imposibilă realizarea simultană a celor două
similitudini.
Creteriul Froude se foloseşte în fenomenele hidrodinamice în care greutatea joacă un rol
preponderent (plutirea navelor, curgerea apei peste deversoare, curgerea apei în canale, etc).
Criteriul de similitudine Strouhal
Egalitatea termenilor corespunzători forţelor de inerţie:
t
v
l
v
k
k
k
k 2
sau 1l
tv
k
kk sau înlocuind cu mărimile caracteristice
''
''..Sh
l
tV
l
tVSh
Criteriul Strouhal caracterizează fenomenele variabile în timp şi periodice (desprinderea
vârtejurilor, mişcarea elicei, oscilaţiile fluidului, etc).
Criteriul de similitudine Mach
Se bazează pe influenţa forţelor de inerţie şi presiune
l
p
l
v
kk
k
k
k 2
sau 12kk
k
v
p
MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron
135
Pentru un fluid compresibil, variaţia densităţii depinde de variaţia presiunii. Aceasta este
legată de viteza sunetului c:
d
dpc2
sau putem scrie k
kk
p
c
2 şi înlocuind în relaţia criteriului se
obţine:
1c
v
k
k sau înlocuind cu mărimile caracteristice rezultă:
''
'Ma
c
V
c
VMa
Criteriul se foloseşte în fenomenele hidrodinamice unde compresibiltatea joacă rolul
preponderent (aerodinamica, sonicitate, etc)
Criteriul de similitudine Euler
Implica forţele de inerţie şi cele de presiune:
l
p
l
v
kk
k
k
k 2
sau 12kk
k
v
p înlocuind mărimile caracteristice rezultă:
''
'2'2
EuV
p
V
pEu pentru curgerea prin conducte, studiul cavitaţiei, etc.
Se numeşte similitudine completă, similitudinea în care fiecare criteriu care intervine are
aceiaşi valoare numeric pe model şi pe prototip.
Similitudinea este parţială sau incompletă dacă nu toate criteriile de similitudine
păstrează aceiaşi valoare, atât pe model căt şi pe prototip. Este cazul practic. De exemplu, în cele
mai multe probleme de aerodinamică sunt suficiente criteriile Re şi Ma, în hidrodinamică sunt
suficiente criteriile Fr şi Re.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
136
XII. MECANICA FLUIDELOR APLICATA
12.1 Calculul pierderilor de sarcină
La baza calculul pierderilor de sarcină se află noţiunile, principiile şi ecuaţiile generale
studiate în mişcarea laminară şi mişcarea turbulentă. Determinarea piederilor de sarcină, definite
ca lucru mecanic rezistiv datorat rezistenţelor vâscoase şi turbulente ale fluidulelor reale, este
complexă deoarece trebuie studiate fenomenele de mişcare în conducte, canale, etc. în toată
complexitatea lor, aşa cum sunt întâlnite în practică, pe de o parte şi pe de altă parte, pierderile
de sarcină prezintă, ca fenomen, şi alte aspecte neincluse în definiţia anterioară.
Astfel, în afara disipărilor de energie distribuite uniform în lungul curenţilor de fluid,
numite pierderi liniare, proporţionale cu lungimea curgerii, mai iau naştere pierderi locale, care
apar pe porţiuni scurte al scurgerii şi care sunt datorate variaţiei mărimii sau direcţiei vitezei,
provocate de variaţii de secţiune şi de traseu a curentului (coturi, ramificaţii, vane, etc).
Sunt numeroase cazurile în care, determinarea pierderilor de sarcină este cea mai
importantă problemă.
Pe baza a numeroase studii şi cercetăr,i s-a convenit ca piederile de sarcină să se
raporteze la energia cinetică a fluidului:
g
Vhr
2
2
unde ζ este un coeficient care depinde de tipul pierderii de sarcină. Pentru pierderi de sarcină
liniare acest coeficient are forma:
D
l
unde l este lungimea, iar D este diametrul conductei. λ este coeficientul pierderilor de sarcină
liniare şi depinde de regimul de curgere şi de natura pereţilor conductei. Pentru curgerea
laminară în conducte circulare, λ = 64/Re , este coeficientul lui Darcy.
Coeficientul rezistenţelor locale, denumit şi coeficientul pierderilor de sarcină locale este
în marea majoritate a cazurilor un coeficient determinat experimental. Acest coeficient, depinde
de tipul rezistenţei şi de regimul de curgere.
Dependenţa de numărul Re este foarte complicată; la valori mari ale numărului Re se
poate însă neglija dependenţa de Re.
Pentru un curent de fluid, pierderea de sarcină totală este suma pierderilor liniare şi
locale.
12.2 Conducte netede şi conducte rugoase; grosimea substratului laminar
Indiferent de gradul de turbulenţă al curentului de fluid, în vecinătatea pereţilor
conductelor există un strat inelar de fluid care se deplasează cu viteze mici, numit substrat
laminar, deoarece mişcarea în această zonă este laminară. Restul secţiunii conductei va forma
miezul turbulent al conductei, caracterizat prin viteze mari de curgere. (fig.12.1)
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
137
Fig.12.1
Deosebim două situaţii distincte privind relaţia de ordine
dintre rugozitatea absolută Δ a peretelui conductei şi
grosimea substratului laminar. În primul caz Δ < δl,
rugozitatea este acoperită de substratul laminar şi nu
influenţează pierderile de sarcină; în această situaţie conducta
se numeşte netedă în sens hidraulic.
În cazul al doilea, rugozitatea depăşeşte grosimea substratului laminar, Δ > δl, iar
extremităţile pătrund în miezul turbulent al curgerii unde se produc frecări suplimentare şi
pierderi de energie prin impactul fluidului cu vârfurile rugozităţilor. Conducta, în această situaţie
se numeşte conductă rugoasă.
Pentru a decide natura conductei, netedă sau rugoasă, va trebui să dispunem de o relaţie
de calcul a grosimii substratului laminar δl. Pentru a determina această relaţie Nikuradse a
propus o dependenţă de forma:
zyx
l K 0...
unde k este un coeficient adimensional, η vâscozitatea dinamică, ρ densitatea şi η0 este tensiunea
unitară de frecare la perete. Exponenţii x, y, z, se pot determina prin metoda Reyleigh. Se
înlocuiesc mărimile fizice prin dimensiunile lor:
zyx TLMLMTLML ).().().( 21311
Obţinem un sistem liniar în x, y şi z, prin identificare:
zx
zyx
zyx
20
0
31
care are soluţiile 1x 2
1y si
2
1z
Rezultă că relaţia de calcul a grosimii δl este:
0
2
00
2
1
02
1.
.
...
kk
kKl
Notăm *
0 şi o numim viteza tensiunii tangenţiale, grosimea substratului laminar,
devenind:
*
.kl
Se cunoaşte că efortul de frecare la perete în mişcarea laminară este:
l
rpp
.2
)( 21 unde dhpp .21 rezulta
l
rhd
2
.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
138
unde în mişcarea laminară g
V
D
lhd
2
2
şi în acest caz grosimea stratului laminar va fi:
.Re
..22..22
..8
...
.
....4
2...
.
..2
..
.
22
Dk
V
k
g
Vg
k
ldg
DVl
k
l
rh
k
d
l ştiind că DV .
Re
Pentru k = 11,5 rezultă:
D
l .Re
32
12.3 Determinarea coeficientului pierderilor de sarcină liniare
Coeficientul pierderilor liniare de sarcină λ, depinde în general de gradul de turbulenţă,
prin numărul lui Re, precum şi de rugozitatea relativă a conductei dΔ. Influenţa celor doi factori
este diferită de la o conductă la alta, după cum este, netedă sau rugoasă. Pentru conducte netede
din punct de vedere hidraulic, 1l
rugozitatea influenţează în mică măsură coeficientul λ;
pentru aceste conducte au fost elaborate formule determinate experimental, dependente de
numărul lui Re.
- pentru 4000 < Re < 105, se poate utiliza formula lui Blasius:
425,0
Re.100
1
Re
3164.0
- pentru Re > 105, există mai multe formule stabilite în mod empiric:
λ = (1,82 lg Re – 1,64)-2
formula lui Filonenko
λ = (1,8 lg Re – 1,5)-2
formula lui Konakov
Pentru conducte rugoase, din punct de vedere hidraulic 1l
, λ depinde, practic,
numai de rugozitatea relativă şi poate fi calculat cu formula lui Nikuradse:
2
2
.71.3.4
172.1..2
Dgl
Dgl
Pentru conducte semirugoase, caracterizate prin )3,1(l
, λ este determinat printr-o
formulă semiempirică, care conţine pe λ sub forma implicită:
D
gl.71,3Re
51,2..2
1 cunoscută sub numele de formula lui Colebrook şi
White.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
139
Pentru folosirea acestei formule se adaugă un procedeu iterativ, descris mai jos:
- Se adoptă în primă aproximaţie pentru λ o valoare λ0 rezultată din formula lui Nikuradse,
care se înlocuieşte în membrul doi al formulei implicite;
- Rezulta din membrul întâi o valoare
- λ1;
- Cu valoarea gasită se revine în mebrul doi al formulei implicite, obţinând o alta valoare
λ2. Procedeul este rapid convergent şi dacă diferenţele sunt mici, putem înlocui pe λ cu
valoarea λ0
Metoda generală de calcul al coeficientului λ cuprinde următoarele etape:
- Se calculează numărul Re. Dacă este mai mic de 2300, mişcarea este laminară şi Re
64,
iar dacă este mai mare, regimul de curgere este turbulent şi se procedeaza astfel:
o se emite, în primul rand, ipoteza unei conducte netede 1l
; Re
.32 Dl , când
λ se calculeaza dupa formula lui Blasius sau formula lui Konakov;
o se verifică ipoteza conductei netede calculând grosimea substratului laminar şi
verificând restricţia 1l
. Dacă aceasta este îndeplinită, conducta este netedă
şi λ rămâne definitiv calculat. Dacă ipoteza conductei netede nu se verifică, vom
considera conducta rugoasă şi vom folosi formula lui Nikuradse;
o se verifică imediat această ipoteza.
- Dacă restricţia pentru conducta rugoasă nu se verifică, aceasta va fi semirugoasă şi se
aplică formula implicită, prin acelaşi procedeu.
12.4 Calculul pierderilor locale de sarcină
Considerăm o conductă care prezintă o lărgire a secţiunii de la suprafaţa A1 la suprafaţa
A2
Fig.12.2 Pierderi de sarcină locale
Secţiunea vânei de fluid nu creşte brusc la intrarea în cea de-a două secţiune de conductă,
ci în mod continuu, astfel încât până la realizarea secţiunii maxime se crează o zona de vărtejuri
a căror energie cinetică provine din energia curentului de fluid.
Această parte de energie se consumă pentru întreţinerea mişcării turbionare şi reprezintă
o pierdere de sarcină datorată destinderii bruşte a secţiunii.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
140
Pentru determinarea analitică a pierderii de sarcină prin destindere bruscă, scriem ecuaţia
lui Bernoulli între punctele 1 şi 2 ale conductei:
dhzp
g
Vz
p
g
V2
2
2
21
1
2
1
.2.2
Deoarece z1 = z2 rezultă:
21
2
2
2
1
.2
pp
g
VVhd
Vom elimina diferenţa de presiune aplicând teorema impulsului între cele două puncte,
proiectând pe axa conductei:
)( 22121111122 ApAApApVmVm unde
2222
1111
..
...
VAQm
VAQm
Relaţia noastră devine:
)(.. 2121122 ppAVAVA de unde:
2
1
2
12
2
2
2
11
2
2221
)(V
A
AV
A
VAVApp
Utilizând ecuaţia de continuitate se obţine:
2211 VAVA de unde 1
2
2
1
V
V
A
A şi rezultă:
21
2
221 .. VVVpp
Expresia pierderii de sarcină prin deschiderea bruscă a conductei, devine:
g
VV
g
VVVVV
g
VVV
g
VVVVV
g
VVpp
g
VVhd
.2
)(
.2
22
.2
)(
.2.2
2
2121
2
2
2
2
2
1
21
2
2
2
2
2
121
2
2
2
2
2
121
2
2
2
1
Aceasta este formula lui Borda-Carnot.
Putem exprima pierderea de sarcină în funcţie de o singură viteză, de exemplu V2:
g
V
g
V
A
A
g
VVA
A
h dd.22
1.2
2
2
2
2
2
1
2
2
12
1
2
unde
2
1
2 1A
Ad este coeficientul de rezistenţă hidraulică la deschiderea bruscă a
conductei. Acest coefficient, dedus theoretic, se determină şi experimental, suficient de exact.
Destinderea bruscă a conductei este singurul tip de rezistenţă hidraulică locală, care se poate
studia analitic.
Pentru alte tipuri de rezistenţe hidraulice, cum ar fi: îngustarea bruscă de secţiune,
trecerea prin coturi simple, duble şi altele, coeficientul de rezistenţă hidraulică se determinată
numai experimental.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
141
De exemplu, în cazul inversării sensului de curgere deci îngustarea secţiunii conductei în
mod brusc, coeficientul determinat experimental este 0,5 din valoarea celui calculat teoretic.
12.5 Curgerea prin orificii şi ajutaje
Considerăm curgerea prin orificii prevăzute în pereţi subţiri, prin care se înţeleg orificii
cu muchii ascuţite, astfel încât vâna de fluid care iese prin acestea, să nu fie influenţată de
grosimea reală a peretelui rezervorului.
Deosebim următoarele categorii de orificii:
- orificii situate în pereţi; laterali sau la baza rezervorului;
- orificii care debitează liber în atmosferă;
- orificii înecate, care debitează într-un alt rezervor cu lichid; orificiile fiind sub nivelul
lichidului din cel de al doilea rezervor;
- orificii sub sarcină constantă sau sub sarcină variabilă (prin sarcina orificiului
înţelegând distanţa dintre centrul orificiului şi suprafaţa liberă a lichidului).
Indiferent de tipul orificiului, vâna de fluid care iese din orificiu, prezintă fenomenul de
contracţie, secţiunea curentului de fluid căpătând o valoare minimă numită secţiune contractată.
Calculul debitului unui orificiu mic sub sarcină constantă
Considerăm o linie de curent şi pe ea două puncte 0 şi 1, primul pe suprafaţa liberă a
lichidului, iar al doilea în secţiunea îngustată a vânei de fluid la nivelul axei orificiului, figura de
mai jos
Fig.12.3
Se neglijează pierderea de sarcină în interiorul rezervorului în raport cu pierderea de
sarcină prin orificiu.
Relaţia lui Bernoulli între cele două puncte considerate este:.
rhzp
g
Vz
p
g
V1
1
2
10
0
2
0
.2.2
unde z0 = h1 ; V0 poate fi neglijata; z1 = 0 , p0 = p1 = presiunea atmosferica, iar hr este pierderea
de sarcină în orificiul considerat care, se poate exprima cu relaţia g
Vhr
.2
2
1. Ecuatia lui
Bernoulli devine:
g
V
g
V
g
Vh
.2)1(
.2.2
2
1
2
1
2
1 de unde:
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
142
hgChgV ..2..21
11
Cυ este un coeficient de corectie a vitezei, care pentru orificii circulare are valoarea
aproximativa 0,98.
Debitul vânei de fluid este:
hgSChgCSS
sVsQ d ..2..2.. 1 unde:
- s este secţiunea minimă a jetului de fluid care iese din orificiu, denumită şi secţiune contractată;
- S este secţiunea orificiului;
- Cs este coeficientul de contracţie a secţiunii, 62,0S
sCs
- Cd este coeficientul de debit, Cd = Cv⋅ Cs = 0,61.
Putem face observaţia că în calculul debitului am admis că pe secţiunea S a orificiului
viteza rămâne practic constantă cu cea din centrul secţiunii. Acest lucru este permis numai pentru
orificiile mici, caracterizate prin condiţia h > 3(h2 – h1), unde h2 este cota muchiei inferioare a
orificiului, h1 este cota muchiei superioare. Altfel spus, sarcina orificiului întrece de trei ori
înălţimea orificiului.
Calculul debitului orificiului mare
Dacă condiţia h > 3(h2 – h1) nu este îndeplinită, orificiul este considerat mare din punct
de vedere hidraulic. În acest caz, viteza variază pe înălţimea orificiului, iar debitul se va obţine
prin integrare.
Considerăm un orificiu mare în peretele lateral a unui rezervor, fig.12.4 şi la distanţa y de
suprafaţa liberă a lichidului un element de suprafaţă de lăţime b(y) şi grosime dy.
Fig.12.4
Suprafaţa elementară dA = b(y).dy corespunde unui orificiu mic, iar debitul său va fi:
ghdyybCdQ d 2).(
Debitul întregului orificiu se obţine prin integrare dupa y
2
1
.2).(
h
h
d dyghybCQ
Intr-un caz particular, orificiu cu sectiune dreptunghiulară, relaţia de calcul devine:
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
143
)(23
2
3
22.2 2
3
12
3
22
3
2
1
2
1
2
1
hhgbCygbCdyygbCQ d
h
hd
h
h
d
Curgerea prin ajutaje
Ajutajele sunt tuburi relativ scurte având suprafaţa lateral, o suprafaţă de rotaţie de
lungime l = (2… 3)dmed. Aceste tuburi se montează în dreptul orificiilor rezervoarelor în scopul
măririi debitelor acestora.
Ajutajele pot fi de mai multe categorii:
- după forma geometrică a suprafeţei laterale pot fi:
- cilindrice; tronconice; curbilinii
- după unghiul dintre axa ajutajului şi peretele rezervorului, pot fi:
- drepte; înclinate
- după modul în care ajutajul evacuează lichidul din rezervor, pot fi:
- ajutaje libere (debitează în atmosferă)
- ajutaje înecate
- după locul de montare în raport cu peretele orificiului, pot fi:
- exterioare; interioare
Se studiază, în continuare, ajutajul cilindric drept care debitează liber în atmosferă,
fig12.5.
Problemele care apar la calculul unui ajutaj sunt următoarele:
- determinarea formulei debitului;
- determinarea sarcinii vacuumetrice hv;
- pierderea de sarcină prin ajutaj.
Fig.12.5
Ca şi-n cazul orificiilor, vâna de fluid care intră în ajutaj prezintă o secţiune minimă,
urmată de o creştere de secţiune, între punctele 1 şi 2, până la valoarea secţiunii ajutajului,
creştere care este asimilată cu o destindere bruscă de secţiune datorată distanţei mici dintre cele
două puncte.
Se aplică relaţia lui Bernoulli între punctele 0 şi 2, luând în considerare pierderile de
sarcină la intrarea în orificiul ajutajului şi pierderea de sarcină prin desprinderea bruscă pe
porţiunea dintre punctele 1 şi 2
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
144
drr hhzp
g
Vz
p
g
V01
1
2
10
0
2
0
2.2
unde V0 = 0; V2 = V: p2 = p0 ; z2 = 0 ; g
Vhr
211,0
2
0
g
V
g
V
g
V
Cg
V
A
Ah
s
rd .237,0
.21
62,0
1
.21
1
.21
22222
22
1
2
Relaţia lui Bernoulli devine:
g
V
g
V
g
V
g
Vh
.246,1
.237,0
.211,0
.2
2222
de unde:
ghghV 282,0248,1
1
unde 0,2 este coeficientul de debit al ajutajului
Pentru un orificiu circular coeficientul de debit este 0,61, deci debitul ajutajului este mai
mare dacât cel al orificiului, pentru aceiaşi sarcină h. De aici rezultă că scopul utilizarii ajutajului
este de creştere a debitului orificiului.
Această creştere de debit se explică, fizic, prin crearea în secţiunea îngustată a vânei de
fluid a unei puternice depresiuni care accelerează fluidul prin orificiu, mărind debitul acestuia.
Pentru calculul depresiunii în secţiunea îngustată se poate proceda atât experimental cât şi
analitic.
Experimental se procedeaz astfel:
- se montează un tub vacuumetric vertical în secţiunea mediană a ajutajului, având capătul
introdus într-un vas de lichid. In acest tub se aspiră o coloană de lichid h.
- aplicând ecuaţia fundamentală a hidrostaticii între suprafaţa liberă a lichidului din vas şi
un punct de pe suprafaţa lichidului din tub, se obţine:
vav
ppph 0
unde pa este presiunea absolută din secţiunea îngustată şi pv este presiunea vacuumetrică, hv este
sarcina vacuumetrică a ajutajului.
Pe cale analitică putem determina sarcina vacuumetrică aplicând relaţia lui Bernoulli
între punctele 0 şi 1
01
1
2
10
0
2
0
2.2rhz
p
g
Vz
p
g
V
unde V0 = 0; z0 = h; v
v hppp 10 şi rezultă:
hhg
Vh rv 0.2
2
1
Se exprimă viteza V1 în funcţie de viteza V în baza ecuaîiei de continuitate
SVsV .1 ghV
C
V
s
SVV
s
232,162,0
1
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
145
de unde: hhg
V.74,1.)32,1(
.2
22
1
dacă exprimăm şi 0r
h funcţie de ).07,0...04,0(0
hhh r relaţia lui Bernoulli devine:
hhhhhv .87,0.04,0.74,1
Se obeservă că depresiunea din ajutaj, hv este direct proporţională cu sarcina ajutajului h.
Pentru o funcţionare stabilă a ajutajului, presiunea din secţiunea îngustată nu trebuie să scadă
sub valoarea presiunii de vaporizare a fluidului, deoarece, în acest caz, fluidul devine bifazic
(gaz + fluid), iar curgerea normală prin ajutaj incetează.
Se impune restricţia p1 > pvap şi deci:
vap
v
pph
pp 010 sau
vappp
h0
.78,0 de unde .78,0
0 vappph
Rezultă că sarcina unui ajutaj nu trebuie să depăşească valoarea limită de mai sus care,
pentru lichide uzuale este de 6…7 m
Pentru calculul pierderii de sarcină prin ajutaj, se scrie ecuaţia lui Bernoulli între punctele
0 şi 2, considerând pierderile de sarcină prin orificiu şi prin destinderea bruscă:
dr
hzp
g
Vz
p
g
V2
2
2
10
0
2
0
2.2
unde V0 = 0; z0 = h; V2 = V; p2 = p0 ; z2 = 0 ; dr
h este pierderea de sarcină prin ajutaj. Rezultă:
dr
hg
Vh
.2
2
Din formula vitezei prin ajutaj ghV 282,0 rezultă hg
V 22
82,0.2
şi deci:
dr
hhh 282,0 de unde rezultă:
hhdr
.33,0
Comparativ cu pierderea de sarcină prin orificii, 0,04.h, se observă o creştere de circa 8
ori, ceea ce implică o scădere a presiunii fluidului şi implicit o creştere a vitezei şi debitului
acestuia.
12.6 Mişcări permanente în conducte sub presiune
Considerăm o conductă circulară alimentată de un rezervor suficient de mare, ca să
puntem considera sarcina constantă. Conducta evacuează lichidul, fie liber în atmosferă, fie intr-
un rezervor situat sub nivelul primului rezervor.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
146
Fig.12.6 Evacuare în atmosferă Fig.12.7 Evacuare într-un rezervor
Ne propunem să determinăm o relaţie generală de calcul a vitezelor fluidului prin
conductă, luaâd în considerare pierderile de sarcină prin frecare, pierderi ce se produc de-a
lungul conductei.
Se neglijează frecările în interiorul rezervoarelor, datorită vitezelor reduse din interiorul
acestora, în comparaţie cu viteza din conductă.
In cazul a, aplicând relaţia lui Bernoulli între punctele 0 şi 1 se obţine:
rhzp
g
Vz
p
g
V1
1
2
10
0
2
0
.2.2
unde 00V ; 01 pp ; VV1 viteza din conductă
Relaţia lui Bernoulli devine:
rhg
Vzz
.2
2
10 sau rhg
Vh
.2
2
unde h este sarcina conductei
In cazul b, în ecuaţia lui Bernoulli se fac înlocuirile 00V ; 101 .hpp ; VV1 şi
se obţine:
rhg
Vhzz
.2)(
2
110 sau rhg
Vh
.2
2
De unde, se poate concluziona că sarcina conductei care debitează lichidul liber sau
înecat este analoagă sarcinii orificiului liber sau înecat.
Pentru a putea utiliza relaţia în scopul determinarii vitezei, va trebui definită semnificaţia
termenului rh , prin care înţelegem pierderile de sarcină care se produc în conductă. Acestea sunt
de trei categorii:
- pierderi de sarcină h’, la intrarea în conduct pe o distanţă de câteva diametre, unde
conducta se comporta ca un ajutaj. Deci:
g
V
g
V
g
V
g
Vhhh
drr.2
5,0.2
48,0.2
37,0.2
11,0'2222
0
- pierderile de sarcină liniare pe întreaga lungime a conductei h’’ , care se calulează cu
relaţia:
g
V
D
lh
.2''
2
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
147
- pierderile de sarcină locale care se înregistrează la fiecare tip de rezistenţă hidraulică,
cum ar fi: schimbări de direcţie, modificări bruşte de secţiune, coturi simple sau duble,
trecerea prin ventile. Acestea sunt de forma:
g
Vh
n
i.2
'''2
1
unde i este coeficientul de pierdere locală.
Putem scrie: '''''' hhhhr şi obţinem:
n
i
i
n
i
iD
l
g
V
g
V
g
V
D
l
g
V
g
Vh
1
22
1
222
5,1.2.2.22
5,0.2
şi de aici, formula de calcul a vitezei:
n
i
iD
l
hgV
1
5,1
.2 de unde V
DQ
4
2
Relaţia de mai sus ţine seama de categoriile de pierderi de sarcină şi se numeşte formula
exactă de determinare a vitezei.
Dacă conducta este lungă, astfel încât pierderile de sarcină liniare să aiba o pondere mare n
i
iD
l
1
5,1 (cazul conductelor de alimentare cu apă), formula vitezei se simplifică:
l
DhgV
.
...2 se numeşte formula vitezei pentru conducte lungi.
S-a determinat, practic, că o conductă poate fi considerată lungă dacă îndeplineşte
condiţia Dl .500 . In caz contrar se va numi conductă scurtă, iar viteza se determină cu formula
exactă.
In cazul conductelor lungi, sarcina conductei este:
''.2
2
hg
V
D
lh
Se numeşte pantă hidraulică raportul kIl
h
l
h '' şi dacă o introducem în formula vitezei
pentru conducte lungi, obţinem:
kIDg
l
hDgV
..2..2
iar debitul va fi:
kk IDKIDgD
VD
Q ),(..2
44
22
unde factoul K are o dimensiune de debit şi se numeşte modul de debit. Acest factor depinde de
diametrul conductei şi de coeficientul pierderilor liniare de sarcină. Deoarece conductele lungi
sunt de regulă conducte rugoase, în sens hydraulic, λ este funcţie de rugozitatea relativă D
, deci
modulul de debit depinde de diametrul conductei şi de rugozitatea relativă a pereţilor acestora.
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
148
12.7 Calculul conductelor compuse în serie
Considerăm o conductă formată prin sudarea cap la cap a mai multor conducte de lungimi
şi diametre diferite.
Fig.12.8
Conducta debitează lichidul între un rezervor superior A şi un rezervor inferior B.
Trebuie să se determine debitul conductei rezultante Q şi vitezele pe fiecare porţiune de conductă
),...,3,2,1( niVi
Trebuie să ţinem cont de pierderile de sarcină:
o pierderile locale de sarcină la intrarea în conduct;
o piederile liniare de sarcină pe fiecare porţiune de conduct;
o piederile locale de sarcină de la trecerea de la un tronson la altul.
Se aplică relaţia lui Bernoulli între punctele 0 şi 1
g
V
D
l
g
V
g
V
D
l
g
V
g
V
D
l
g
Vz
p
g
Vz
p
g
V
n
n
n2
...222.2.2
5,0.2.2
2
1
2
123
2
1
2
22
2
112
2
1
1
11
2
11
1
2
10
0
2
0
unde vom admite ca cunoscute: 1,;;;; iiiii hDl iar:
110 . php si 00V
Relaţia lui Bernoulli devine: n
i
n
i
i
ii
i
i
i
i
n
g
V
g
V
D
l
g
Vz
hp
g
Vz
p
1 1
2
1
1,
22
11
10
2
0
0
2225,0
.
2 de unde:
n
i
i
ii
n
i
i
i
i
i
n
g
V
g
V
D
l
g
V
g
Vh
1
2
1
1,
1
22
1
2
2225,0
2
Pentru determinarea debitului care este acelaşi, în baza ecuaţiei de continuitate, se
foloseşte relaţia:
QD
VQ i
ii4
2
de unde i
iD
QV
4
2
122
22
2
16
2
1Q
gD
QV
gi
i Relatia lui Bernoulli devine:
2
1
11,
2
1
2
1
2 .5,0 QQD
lQQh
n
i
iii
n
i
i
i
i
in de unde
n
i
iii
n
i
i
i
i
inD
l
hQ
1
11,
1
1.5,0
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
149
12.8 Calculul conductelor compuse in paralel
Consideram n conducte având extremităţile A şi B comune:
Fig.12.9
Se admite că sunt cunoscute elementele iiii Dl ;;; . Unde prin i am însumat
coeficienţii tuturor rezistenţelor hidraulice de pe conducta i. Iniţial, se va demonstra că pierderea
de sarcină liniară datorată frecărilor de-a lungul oricărei conducte este aceiaşi. Pentru aceasta,
scriem relaţia lui Bernoulli între punctele A şi B, de-a lungul unei linii de curent care, este
conţinută în conducta i.
irB
BBA
AA hzp
g
Vz
p
g
V
22
22
de unde:
Ctzzpp
g
VVh BA
BABAri 2
22
Pierderea de sarcină, de mai sus, se poate determina cunoscând debitul Q, îainte şi după
ramificare şi măsurând presiunea în punctele A şi B. Notând această pierdere cu hr se poate scrie
relaţia:
g
V
g
V
D
lh i
i
i
i
i
ir22
22
Viteza Vi poate fi exprimată în funcţie de debitul prin conducta respectivă, ca în exemplul
precedent:
2
iii QV şi vom obţine:
i
i
i
iiirD
lQh 2 de unde
i
i
iii
r
D
l
hQ
Folosind ecuaţia de continuitate n
i
iQQ1
se obţine:
n
i
i
i
i
ii
r
n
i
i
i
i
ii
r
D
lh
D
l
hQ
11
1
Exprimând pe hr şi apoi pe Qi obţinem:
MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron
150
n
i
i
i
iii
r
D
l
Qh
1
1 şi
i
i
i
ii
n
i
i
i
iii
D
l
D
l
Q
Q
1
1