MECANICA FLUIDELOR

Generaliti

Orice substan care curge se numete fluid. n aceast categorie se ncadreaz att lichidele ct i gazele.

Deoarece cu gazele se produc de obicei transformri termice, studiul gazelor se face pe larg la termodinamic. Ca urmare, se face referire n continuare n mod preponderent la lichide.

n cadrul acestui curs se vor studia fluidele omogene i izotrope. Un fluid este omogen dac densitatea sa are aceeai valoare n orice punct din volumul ocupat de fluid. Un fluid este izotrop dac i pstreaz aceleai proprieti dup orice direcie care strbate mediul fluid. Mecanica fluidelor se mai numete i mecanica mediilor continue, deoarece un fluid umple complet spaiul n care este pus. Studiul fluidelor se face la nivel macroscopic, n sensul c o particul fluid conine un numr considerabil de molecule. Particula fluid reprezint o poriune de fluid de form oarecare i dimensiuni arbitrar de mici, dar care pstreaz proprietile de mediu continuu ale fluidului. Se deosebesc urmtoarele modele de fluid:

fluid uor (practic fr greutate): aerul, gazele; fluid greu (lichidele, eventual gazele foarte dense); fluid ideal nu are proprietatea de vscozitate; fluid real fluid vscos (modelul Newton); fluid incompresibil (modelul Pascal).

Forele care acioneaz asupra fluidelor sunt de urmtoarele tipuri:

fore masice exterioare ce acioneaz asupra ntregii mase de fluid i sunt datorate unui cmp de fore exterioare; de exemplu: cmpul gravitaional, cmpuri electrice sau magnetice (dac fluidul are particule ionizate aplicaie la generatoarele magneto-hidro-dinamice);

fore masice interioare sunt de tipul aciune-reaciune, se exercit ntre dou particule nvecinate din fluid i se anihileaz reciproc;

fore de presiune exterioare se exercit pe suprafaa exterioar a fluidului i sunt, n general, fore de compresiune;

- sunt de tipul forelor de legtur din mecanica clasic; fore de presiune interioare se exercit de o parte i de cealalt a

unei suprafee oarecare ce strbate fluidul (sunt orientate dup aceeai direcie i de sensuri opuse i deci se anihileaz reciproc).

Condiia de echilibru a unui volum de fluid este:

=+ 0pm FF ,

condiie ce se menine i n cazul n cazul n care fluidul se deplaseaz cu vitez constant (micarea uniform).

Ecua

ia de micare pentru fluidul ideal este:

=+ amFF pm , valabil n cazul unei micri uniform variate.

Presiunea ntr-un punct din mediul fluid este o mrime scalar. Cu alte cuvinte, din orice direcie ne apropiem de punctul respectiv,

vom regsi n locul respectiv aceeai valoare a presiunii.

Proprietile generale ale fluidelor

1.Densitatea Pentru un fluid neomogen, densitatea este limita raportului dintre masa

de fluid din jurul punctului considerat i volumul de fluid corespunztor atunci cnd acest volum tinde ctre 0, adic:

dvdm

vm

v=

0lim

Pentru un lichid omogen:

vm=

3mkg

Inversul densitii este volumul specific:

1=v

Densitatea unui fluid variaz cu temperatura dup formula:

+= t1

0

unde: densitatea la 0C = densitatea la temperatura = coeficientul de dilatare n volum al fluidului. =t

Daca crete sau, urmnd un alt raionament, 0 0 V

pv

v = 1

Pentru un volum infinitezimal:

dpdv

v= 1

Coeficientul de elasticitate al fluidului este dat de:

dvdpv==

1

Pentru a exprima sub alt form pe , se consider masa de fluid constant.

ctm = 0=dm ( ) 0=Vd 0=+ VddV VddV =

ddV

V = ddp=

Viteza sunetului ntr-un mediu fluid este:

dpdd

dpc 1===

Pentru fenomenul de transmitere de unde sonore n lichid, acesta nu mai poate fi considerat incompresibil. Se demonstreaz prin reducere la absurd:

Dac ct= 0=dpd

, ceea ce este practic imposibil. cSe deduce deci c pentru fenomenul transmiterii de unde sonore ntr-un

lichid, acesta trebuie considerat compresibil. n aceast situaie viteza sunetului va avea o valoare finit.

Se definete numrul Mach: cvMa=

- viteza fluidului sau a corpului care evolueaz n mediul fluid, v - viteza sunetului n mediul respectiv c

Se obine: o pentru curgerea subsonic 1Ma ( )cv >

4.Dilatarea termic Variaia relativ a volumului de fluid este direct proporional cu

variaia de temperatur: T

VV

t = 0

,

unde V0 reprezint volumul iniial de fluid. Relaia se poate prelucra sub forma:

TV

VVt =

0

01 ; V ( )TV tt += 101unde Vf reprezint volumul final de fluid.

5.Adeziunea la suprafee solide Se constat experimental c un strat de fluid din imediata apropiere a

unei suprafee solide rmne n repaus mpreun cu suprafaa, eventual execut acelai tip de micare o dat cu suprafaa. Se spune c stratul de fluid ader la suprafaa solid.

Grosimea acestui strat de fluid este 1001 dintr-un milimetru.

1/100 mm n repaus

6.Vscozitatea

Se deosebesc vscozitatea cinematic

s

m2 i vscozitatea dinamic

2msN ;

smkg .

Mrimea vscozitii semnific intensitatea frecrii ce se produce la curgerea fluidului. Odata cu scderea temperaturii, vscozitatea lichidelor crete, iar a gazelor scade.

ntre cele do u vscoziti exist relaia: =

Se disting dou tipuri de fluide : -fluide ideale (fr viscozitate). Nu exist frecri i nici pierderi de

energie. -fluide reale (au proprietatea de vscozitate). Cu ajutorul vscozitii se pot determina eforturile tangentiale, fortele de frecare i pierderile de energie.

Calculul efortului tangenial Formula efortului tangenial a fost dedus cu ajutorul experienei lui

Newton. n cadrul experienei se consider dou plci plane: cea de jos n repaus

iar cea de sus n micare rectilinie uniform, conform figurii: y U U

h 0 x

fluid

Placa superioar ce se gsete n micare rectilinie i uniform cu viteza

U antreneaz fluidul care, datorit proprietii de adeziune, antreneaz primul strat de fluid nvecinat. Acesta, prin intermediul eforturilor tangeniale , antreneaz succesiv la rndul lui urmtoarele straturi, a cror vitez descrete ns liniar , pe msura apropierii de placa de baz fix.

Stratul inferior ader la placa fix i rmne deci n repaus. S-a constatat c efortul tangenial este o funcie de variaia de viteze

dintre straturi i este proporional cu vscozitatea dinamic a fluidului, :

yu

dydu

=

Aproximarea cu ajutorul diferenelor se face n cazul n care distana h se poate considera suficient de mic.

La contac tul dintre dou straturi nvecinate, efortul se poate exprima cu:

dydu=

xperienei, considernd h mic, atunci: n cazul e hU ,

unde U este viteza prii mobile. Se poate determina n continuare fora de frecare ce apare la curgerea fluidului:

AFf = A fiind suprafaa unei plci.

7.Conductibilitatea termic Este proprietatea fluidului de a transmite cldur. Intereseaz de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din

interiorul unui mediu fluid prin care se transmite cldur, caracterizat de fluxul termic q : y

h =?

placi

fluid

Pentru determinarea temperaturii , corespunztoare unui strat situat la distana h de placa de baz, se face asemnarea triunghiurilor dreptunghice din figur:

Se obine: h

y=

|||

|

( )y =

Fluxul termic de la placa superioar la cea inferioar este dat de formula lui Fourier :

hkqq

= .

Semnul minus arat c fluxul termic se transmite n sens invers axei Oy. reprezint coeficientul de conductibilitate termic. qk

8.Difuzia masic

Difuzia masic este proprietatea unui fluid de a se rspndi n interiorul uni alt fluid, proces datorat agitatiei termice moleculare

Se pune problema determinrii concentraiei fluidului F1 ce difuzeaz ntr-o anumit zon din fluidul F2.

n cazul unui vas umplut parial cu alcool de exemplu, deasupra cruia se gsete aer, se determin concentraia alcoolului difuzat n aer, la o anumit distan de suprafaa liber a alcoolului..

Fcnd asemnarea triunghiurilor dreptunghice din figur, rezult:

hyh

CCCC

S

=

( )yCC =

Fluxul masic este dat de legea lui Fick: m

hCkmm

= i se produce n sensul pozitiv al axei Oy. km reprezint coeficientul de difuzie masic.

Proprietile fizice specifice lichidelor

1.Tensiunea superficial Se constat experimental c suprafaa liber a unui fluid se gsete ntr-

o stare de tensiune asemntoare cu a unei membrane elastice ntinse. Fora care se exercit pe unitatea de lime la suprafaa exterioar a

fluidului este coeficientul de tensiune superficial . Ca urmare a aciunii tensiunii superficiale, la suprafaa liber rmne un

numr minim de particule, ct sunt absolut necesare pentru a forma aceast suprafa.

Din acest motiv, volume mici de lichid iau forma sferic, (eventual elipsoidal), tiut fiind faptul c sfera este corpul geometric cu volum maxim la suprafa exterioar minim. (O pictur de ap aflat n cdere, picturi de ap pe fundul unui vas cu ulei)

O suprafa exterioar a unui volum mic de lichid corespunde unei energii superficiale minime:

AW =

Se poate deduce diferena de presiune dintre zona interioar a fluidului i cea exterioar cu ajutorul formulei lui Laplace:

+=

2121

11RR

pp pentru elipsoid

Dac elipsoidul devine sfer i se obine: RRR == 21

Rpp 221 =

2.Capilaritatea Eeste o consecin a proprietilor de adeziune i tensiune superficial. Se constat c lichidele cu densitate mic urc n tuburile capilare ce au

diametrul interior de ordinul zecimilor de milimetri, cu o cot h fa de suprafaa liber a lichidului, conform figurii a.

figura a figura b

Lichidele cu densitate mare coboar n tuburile capilare cu o cot h, conform figurii b.

Citirea nlimilor coloanei de lichid denivelate se face plecnd de la planul suprafeei libere a lichidului pn la planul orizontal tangent la suprafaa liber a lichidului din tub.

Pentru determinarea cotei h se egaleaz rezultanta forelor de tensiune superficial calculat pe circumferina suprafeei libere, cu greutatea volumului de lichid ce a urcat n tubul din figura a:

gvgmr == cos2 ghrr = 2cos2 formula lui Jourin : grh

= cos2

3.Absobia gazelor Fenomenul de absorbie a gazelor ntr-un lichid se produce odat cu

creterea presiunii sau scderea temperaturii. Apa, n condiii normale de presiune i temperatur, conine aer. %2

4.Degajarea gazelor i cavitaia

Degajarea gazelor se produce odat cu scderea presiunii sau creterea temperaturii din jurul mediului lichid. (de exemplu fierberea apei)

Cavitaia este fenomenul ce se produce la scderea presiunii pn la nivelul presiunii de vaporizare al lichidului. n aceste condiii, se formeaz caviti n interiorul lichidului aflat n curgere, care sunt umplute cu gaze coninute anterior n lichid, caviti ce se reabsorb cu creterea ulterioar a presiunii.

Fenomenul este nsoit de procese mecanice (presiuni foarte mari), chimice (se dagaj oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere n miniatur), ce conduc mpreun la distrugerea materialului metalic.

Distrugerea palelor rotoarelor de pomp cuplate la motoare asincrone conduce la asimetrii n masa acestora, ce conduc la bti n lagre i obligativitatea opririi instalaiei i nlocuirea rotorului, cu costuri ridicate pentru pies i manoper.

n mod similar se poate produce distrugerea palelor rotoarelor de turbin, n special la turbinele de abur, la ieirea din ultima treapt, cea de joas presiune, turbine cuplate la generatoare sincrone, cu pagube similare.

Pentru evitarea fenomenului de cavitaie, se asigur de regul n amonte de zona periclitat, o presiune suficient de mare, pentru a nu scdea presiunea n zona critic pn la valoarea presiunii de vaporizare.

Statica fluidelor

Se consider c asupra fluidului n repaus acioneaz forele masice exterioare i forele exterioare de presiune.

Pentru o mas infinitezimal de fluid n repaus, ecuaia vectorial de hilibru este : ec

d mF + d pF = 0

Ecuaiile de repaus ale fluidelor

Se consider o particul infinitesimal, paralelipipedic, de dimensiuni dx, dz i dy i se figureaz toate forele exterioare ce acioneaz asupra particulei:

Particula este de dimensiuni infinitezimale deoarece n acest mod se poate considera c presiunea p din origine se regsete cu aceeai valoare pe toate cele trei fee ce conin originea. n acest mod se poate aplica formula cea mai simpl de calcul a forei, ca produsul dintre presiune i suprafaa aferent. Pe feele opuse presiunea sufer modificri (de exemplu, pe direcia avem variaia de presiune

Ox

dxxp

).

Fora masic infinitezimal este dat de:

dmfFd mm = unde mf este fora masic unitar: kZjYiXfm ++= X, Y i Z sunt componentele forei masice unitare (masa este considerat egal cu unitatea i atunci fm devine o for) dup cele trei direcii asociate cu versorii i,j i k. Difereniala masei este dat de: dVdm = dxdydz= Se obine fora masic infinitezimal, respectiv componentele ei dup cele trei axe:

dxdydzXdF mx = ( ) dxdydzkZjYiXFd m ++= dxdydzYdF my = dxdydzZdF mz = Componenta forei de presiune dup axa OX se deduce fcnd bilanul forelor orientate dup axa respectiv din figur:

dxdydzxpdydzdx

xpppdydzdFpx

=

+=

Componentele dup axele OY i OZ se deduc n mod analog. Se scrie ecuaia vectorial dup cele trei direcii i rezult:

Ecuaiile de repaus :

:Ox 0= dxdydz

xpdxdydzX 01 =

xpX Xx

p =

1

i :Oy 0=

dxdydzypdxdydzY 01 =

yp

Y Yyp =

1

j :Oz 0=

dxdydzzpdxdydzZ 01 =

zpZ Zz

p =

1

k Prin nmulirea ecuaiilor cu versorii axelor i adunare:

kXjYiXkzpj

ypi

xp ++=

+

+

1

i se obine n final ecuaia vectorial a fluidului: mfgradp =

1

Relaia fundamental a staticii fluidelor

Se pornete de la ecuaia vectorial de echilibru dedus anterior:

mfgradp=1

Pentru a putea integra ecuaia vectorial se exprim forele masice unitare tot cu ajutorul unui gradient:

gradUf m = unde U potenialul forelor masice unitare. = Se obine:

01 =+ gradUgradp 01 =

+ drgradUgradp

Se calculeaz ca exemplu: ( ) dpdz

zpdy

ypdx

xpkdzjdyidxk

zpj

ypi

xpdrgradp =

++

=++

+

+= dpdrgradp =

i se obine:

01 =+dUdp - relaia fundamental a staticii sub form diferenial

i prin integrare se obine:

ctUdp =+ - relaia fundamental a staticii sub form integral.

Se deduc n continuare diversele forme ale relaiei fundamentale a staticii.

1.Relaia fundamental a staticii pentru fluide incompresibile Pentru fluidele incompresibile = ct. i efectund integrala rezult:

ctUp =+ ctUp =+

2.Transformarea izoterm a gazelor Relaia fundamental n cazul repausului izoterm al fluidelor uoare se

deduce n condiia pentru care i considernd se obine:

ctT = ctpV = ctm=

ctmp = ct

p = Ecuaia de transformare fa de starea iniial, notat cu indicii 0, este:

0

0

pp = = 0

0pp dp

dp =0

0 ctU

dp =+ 00 ctUp =+ ln0

0

i n final: ctUp =+ ln0

0

3.Transformarea adiabatic a gazelor ctpVk =

ctmp k

k

= , ctm= ctp

k =

ctp

K = dkp

dp kk1

0

0 =

ctUdkp kk =+ 100

ctUdkp k

k =+ 200 ctUk

kp KK =+

1

0

0

1

4.Transformarea politrop a gazelor

ctpVn = , cu exponentul politropic. Se obine n mod analog: nctU

nnp n

n =+1

0

0

1

Calculul potenialului forelor masice unitare

gradUf m = mfgradU = ( ) ( )drfdrgradU m= ( )( ) ( )ZdzYdyXdxkdzjdyidxkZjYiXdU ++=++++= i se obine expresia potenialului forelor masice unitare:

U ++= )( ZdzYdyXdx

Consecine ale relaiei fundamentale ale rapausului fluidelor

1.Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izobare : ( ctU = )

)

ctUp =+

ct= 2.Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izodense: ( ctU =

ct=

3.Suprafeele echipoteniale sunt i suprafee izoterme:

ctT =

4.Dou suprafee echipoteniale nu se intersecteaz.

Prin reducere la absurd, n cazul n care suprafeele s-ar intersecta, se deduce c n zona interseciei am avea dou presiuni, ceea ce este imposibil . Deci suprafeele echipoteniale nu se intersecteaz.

5.Fora masic unitar este orientat perpendicular pe suprafaa echipotenial n sensul creterii presiunii i scaderii potenialului.

6.Dou lichide nemiscibile au suprafaa de separaie echipotenial.

- pentru primul lichid obinem: Udp 1= ( ) 012 = dU 0=dU ctU =

- pentru al doilea lichid: Udp 2=

7.ntr-un fluid n repaus, n care forele masice sunt neglijabile n raport cu cele de presiune, se consider c presiunea rmne constant n ntreg volumul de fluid considerat.

0=mf , din gradUfm = U 0=gradU ct= ctp= principiul lui Pascal ctUp =+

Aplicaii ale principiului lui Pascal 1.Presa hidraulic

Deoarece forele de presiune sunt foarte mari, se consider n toat masa

de lichid. Atunci se obine: ctp=

1

1

2

2

SF

SF =

1

212 S

SFF =

Se aplic conservarea momentului forelor fa de articulaia 0:

( ) bFbaF =+ 1 bbaFF +=1 FS

Sb

baFF >>+=1

22

2.Amplificatorul hidraulic de presiune

ctF = 1122 SpSp = 12

112 pS

Spp >>=

Repausul fluidelor n cmpul gravitaional ctUp =+ kgkZjYiXf m =++= U = = - = ++ )( ZdzYdyXdx gdz gz + ct ctUp =+ ctgzp =+ U ctgz +=

=g ctzp =+ ctzp =+ Interpretarea energetic a relaiei fundamentale:

ctzp =+ ctzg

p =+ ctmgzmggp =+ ctmgzVgg

p =+ =g Vm =

ctmgzpV =+ Suma dintre energia de presiune si cea potenial rmne constant.

Principiul vaselor comunicante: ctzp =+ ctz = ctpp at ==

Calculul presiunii n interiorul unui lichid n repaus : ctzp =+ NNNM zpzp +=+ ( ) hpzzpp NMNNM +=+= hpp atM += ghpp atM +=

Repartiia de presiuni pe pereii solizi ai unui rezervor

== hhtg

Repartiia de presiuni pentru trei lichide nemiscibile

Repausul relativ al fluidelor n cmpul gravitaional

Un fluid se gsete n repaus relativ, dac se afl n repaus fa de un sistem de referin mobil, aflat n micare uniform variat fa de un alt sistem de referin fix.

Exemplu: - lichidul dintr-un camion aflat n micare uniform accelerat. - lichidul dintr-un vas aflat n micare circular uniform.

Pentru a analiza situaia ne putem situa pe sistemul de referin fix (pmnt) pentru care se aplic principiul al II-lea al dinamicii (lichidul se mic o dat cu vehiculul respectiv) sau ne situm pe observatorul mobil

apare fora de inerie si pentru care: unde 0=F : 0=++ ipm FFF amFi = amFF pm =+

Considerm c observatorul se gsete pe sistemul mobil, pentru care

ectorial de echilibru este : ecuaia v im ffgradp +=

1

ctUp T =+ U ,unde U potenialul forelor unitare de inerie iT UU += T

Analiza micrii de translaie a unui rezervor umplut parial cu lichid

1.Determinarea ecuaiei suprafeei libere:

ctUp T =+ ( ) ( ) +++++= dzZZdyYYdxXXU iiiT )( 0=X aX i =

=mf Y 0= =if 0=iY gZ = 0=iZ

++== ctgzaxgdzadxU T )( , , U ctpp at == ctT = Cgzax =+ Cghba =+ 02

Pentru

0,2

hbA 02 ghbagzax +=+ 02 hg

abxgaz ++=

2.Repartiia de presiune n interiorul lichidului i pe perei ( ) 2Cgzaxp =++ Punnd din nou condiia ca punctual A s se gseasc pe suprafaa liber, la presiunea atmosferic, se obine:

202Cghabpat =

++ ( )gzaxghabpp at +

++= 02

( )zxpp ,=

Se obine n final repartiia de presiuni pe pereii rezervorului:

Se observ c zonele cele mai solicitate sunt cele corespunztoare muchiilor ce trec prin origine i extremitatea jos dreapta. Se vor lua msurile adecvate pentru a spori rezistena rezervorului n zonele respective.

Aciunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor solide

Prin analogie cu mecanica clasic se poate considera c aciunea fluidului poate fi caracterizat de o for rezultant i un moment rezultant ce formeaz mpreun un torsor. Se consider iniial fora cu care acioneaz fluidul asupra unui element de suprafa infinitezimal:

dSnpFd p = deci pe acea suprafa infinitezimal pe care presiunea se poate considera constant.

p

=S

p dSnpF

-iar momentul corespunztor tuturor forelor de presiune este: ( ) =

S

dSnprM =S

pdSrnM

1.Actiunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor plane

Pe o suprafa plan, normala are aceeai orientare constant: n

=S

p pdSnF

-iar momentul tuturor forelor devine:

=S

pdSrnM

Pentru determinarea vectorului de poziie corespunztor punctului de aplicaie al rezultantei ( )Cr , centrul de presiune ; se aplic ( C )

Teorema lui Varignon: Momentul rezultantei este egal cu suma momentelor tuturor forelor.

pC FrM = =

=

SC

SC pdSrnpdSnrM

- se egaleaz cele dou expresii ale momentului i

=S

SC

pdS

pdSrr

1.1.Aciunea fluidelor uoare n repaus asupra suprafeelor plane

ctp= =S

p pdSnF SpnFp = pSFp =

-din

=S

SC

pdS

pdSrr i cu ctp=

=

S

SC

dSp

dSrpr S

SrdS

dSrr G

S

SC

==

GC rr = GC

Centrul de presiune coincide cu centrul de greutate al suprafeei pe care acioneaz fluidul uor.

1.2.Aciunea fluidelor grele n repaus asupra suprafeelor plane Deoarece acioneaz totodat sub suprafaa solid, se ia n

considerare numai efectul presiunii date de lichid (suprapresiunea). atp

hpp atabs += , hp = ==SS

p dSynhdSnF sin =S

p ydSnF sin

S

ydS -momentul static al suprafeei fa de axa . S Ox

SYydS GS

= =S

p ydSnF sin SYnF Gp = sin ShnF Gp = Gh - distana de la planul suprafeei libere a lichidului pn la centrul

de greutate al suprafeei udate de lichid (sau adncimea centrului de greutate al suprafeei udate). - aria suprefeei udate de lichid. S

=

==S

S

S

S

S

SC

dSy

dSyr

dSy

dSyr

hdS

hdSrr

sin

sin

SY

dSyrr

G

SC

=

Se determin separat coordonatele carteziene ale centrului de presiune C .

SYIxy

SY

xydSX

GG

SG ==

Ixy - momentul de inerie centrifugal al suprafeei fa de sistemul de axe.

S

SY

dSyY

G

SG =

2

- momentul de inerie centrifugal al suprafeei fa de axa . Ix S OxPentru a putea exprima momentul de inertie cu formule cunoscute, se

trece de la sistemul de axe xOy la sistemul aplicnd teoremele lui Steiner.

''Gyx

'' yIxSYXIxy GG += '2 IxSYIx G +=

-coordonatele centrului de presiune , unde se aplica fora rezultant

C

pF . SYyIxXX

GGC +=

''

SYIxYG

GC +='Y

Aplicaie: Aciunea apei asupra suprafeei solide plane verticale i

dreptunghiulare a unei stavile.

bhhSpF mp 20+== , 2

2bhFp= , 3

2hYC = Metoda a II-a:

ShF Gp =

2

2bhFp= , 0=CX 3

262

2

122

'

3

hhh

bhh

bhh

SYIxYG

GG =+=+=+=Y

2.Aciunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor curbe deschise

2.1.Aciunea fluidelor uoare n repaus asupra suprafeelor curbe deschise

Deoarece curbura unei suprafee poate sa fie oarecare n spaiu, este de preferat s se determine separat componentele dupa cele 3 axe ale forei de presiune i s se determine ulterior rezultanta .

Componentele forei elementare sunt:

dSinpidFdF ppx == cos11 = in

cospdSdFpx = yOzpx pSdF =

=yOzS

yOzpx pdSF

=xOzS

xOzpy pdSF

=

xOySxOypz pdSF

Vectorii de poziie se calculeaz n mod similar cu cazul suprafeei plane, cu precizarea c integralele se efectueaz pe proieciile suprafeei curbe deschise n cele 3 plane de coordonate.

ctp= yOzpx pSF = =yOzS

yOzpx pdSF

xOzpy pSF = xOypz pSF =

- aria proieciei suprafeei curbe udate n planul yOzS yOz.

2.2.Aciunea fluidelor grele n repaus asupra suprafeelor curbe deschise

yOzGx SZF = xOzGy SZF =

VFz = , GG rr =

GZ -adncimea centrului de greutate a suprafeei curbe udate n planul yOz

V -volumul cuprins ntre suprafaa curb udat i proiecia ei n planul suprafeei libere a lichidului.

3.Aciunea fluidelor n repaus asupra suprafeelor curbe nchise

3.1.Aciunea fluidelor uoare n repaus asupra suprafeelor curbe nchise

Rezultanta forelor de presiune dat de fluidul uor este nul. (exemplu: o minge aflat pe o suprafata plan n interiorul unui gaz).

3.2.Aciunea fluidelor grele n repaus asupra suprafeelor curbe nchise

Principiul lui Arhimede

11 VFz = ( )122 VVVFz +== VFFF zzz == 21

VFz = -principiul lui Arhimede

Un corp cufundat intr-un lichid este mpins de jos n sus cu o for egal cu greutatea volumului de lichid dislocuit.

Se poate face demonstraia i n urmtorul mod:

=S

p pdSnF zpp at += =V

p dVgradpF

kkzpj

ypi

xpgradp =

++

= =S

p dVkF =S

p dVkF VkFp = VFp =

Cinematica fluidelor Se ocup cu studiul micrii fluidelor fr a ine seama de forele i transformrile energetice care apar. Se intenioneaz determinarea componentelor vitezei vectoriale i ale acceleraiei vectoriale precum i traiectoriile parcurse de particulele fluide. Micarea se caracterizeaz sintetic prin spectrul hidrodinamic sau aerodinamic. Se consider c mrimile sunt funcii continue i derivabile n timp i spaiu i se aplic elemente de teoria cmpului. Formulele sunt valabile att pentru fluidele ideale ct i pentru fluidele reale.

Metode de studiu n cinematic 1.Metoda Lagrange

n metoda Lagrange se urmrete fiecare particul pe traseul strbtut de aceasta, iar micarea ntregului fluid este caracterizat prin ansamblul traiectoriilor parcurse de particulele fluide.

Pentru o particul, traiectoria este caracterizat de:

( )tZYXXX ,,, 000= Y , n care , Y si sunt coordonatele iniiale ( )tZYXY ,,, 000= 0X 0 0Z ale particulei la momentul t( tZYXZZ ,,, 000= ) 0.

Considerm c fluidul este format din particule, iar un ansamblu de ecuaii de acest tip, caracterizeaz micarea fluidului.

MN

Din ecuaiile traiectoriilor se deduc componentele vitezei vectoriale ( )wvu ,, =

Componentele de vitez sunt:

tXu = , t

Yv = , t

Zw =

Componentele acceleraiei vectoriale ( )zyx aaaaa ,,= sunt:

2

2

tX

tuax

==

2

2

tY

tvay

==

2

2

tZ

twaz

==

2.Metoda Euler

n cadrul acestei metode se determin componentele de viteza n puncte fixe din spaiu n care se pot plasa aparate de msur.

- u se pot scrie: wv,,

( )tZYXuu ,,,= ( )tZYXvv ,,,= ( )tZYXww ,.,=

Din componentele de vitez se deduc traiectoriile din urmtoarele ecuaii:

dtdXu = , dt

dYv = , dtdZw=

Componentele acceleraiei se deduc derivnd componentele de vitez:

dtduax = , dt

dvay = , dtdwaz =

dZZudY

YudX

Xudt

tudu

++

+=

dtdZ

Zu

dtdY

Yu

dtdX

Xu

tu

dtduax

++

+==

dtuw

tuv

tuu

tu

dtduax

++

+==

tvw

tvv

tvu

tv

dtdvay

++

+==

tww

twv

twu

tw

dtdwaz

++

+==

Calculul acceleraiei vectoriale Se nmulesc cu zyx aaa ,, kj,,i

kajaiaa zyx ++=

+

++

+

+

++

+

++

+

++

=

kZwj

Zvi

Zuw

kYwj

Yvi

Yuvk

Xwj

Xvi

Xuui

tui

tui

tu

Zw

Yv

Xu

ta

++

+=

dtd

dtdZ

ZdtdY

YdtdX

Xta =

++

+= ( )tZYX ,,, =

Primul termen din acceleraia vectorial t

apare n cazul unei

micri nepermanente i reprezint variaia vitezei vectoriale n timp n anumite puncte fixe din spaiu iar urmtorii 3 termeni reprezint variaia vitezei vectoriale la deplasarea n spaiu.

Primul termen reprezint acceleraia instantanee, iar ultimii 3 reprezint acceleraia convectiv.

Acceleraia obinut anterior corespunde unei micri nepermanente

i neuniforme. Dac micarea este permanent, atunci 0=dtd

Dac micarea este uniform, atunci derivatele pariale n raport cu una sau mai multe variabile spaiale sunt nule.

Micarea cea mai simpl, permanent i uniform corespunde la a=0. Noiuni generale de cinematic Curentul de fluid reprezint o mas de fluid aflat n micare. Linia de curent reprezint nfurtoarea vectorilor vitez care se

gsesc la un moment dat cu originea pe curba respectiv . Altfel spus, linia de curent este curba la care vectorii vitez

corespunztori particulelor fluide sunt tangeni la curb n punctele n care se gasesc particulele respective.

Ecuaia liniilor de curent:

Considernd c vectorul de viteza este paralel cu difereniala vectorului de poziie se obin :

dr|| ( )wvu ,,

( )dZdYdXdr ,,

wdZ

vdY

udX == - ecuaiile linilor de curent.

Doua linii de curent nu se intersecteaz niciodat. Daca s-ar intersecta, n punctul respectiv particula fluid ar avea dou viteze, fiecare vitez tangent la linia de curent corespunztoare, ceea ce este fals.

Liniile de curent umplu complet spaiul n care evolueaz fluidul. Traiectoria reprezint drumul parcurs de particula fluid n micare. Ecuaiile traiectoriei se deduc plecnd de la:

( )dttrdr ,= dtdr =

n micarea permanent traiectoria coincide cu linia de curent. Seciunea vie reprezint seciunea strbtut de particulele de fluid n

micare, perpendicular pe liniile de curent corespunztoare.

2RA = bhA=

Perimetrul udat reprezint lungimea conturului solid cu care fluidul

se gsete n contact n cadrul seciunii vii. RP 2= hbP 2+=

Raza hidraulic este raportul dintre seciunea vie i perimetrul udat.

22

2 RR

RPARh ===

bh

bhRh += 2

Debitul volumic reprezint f ez printr-o suprafa curb deschis.

( )Q

=Q =Q

n =

Dac viteza este constant n orice p

SQ n= n cazul unui circuit deschis debitu

raportul dintre volumul de lichid scurs i

tVQ=

s

m3

,

sl

tmQm =

k

tGQG =

N

Circulaia vitezei de-a lungul unei c

V

=

In legtur cu vrtejul se poate enunFluxul vectorului vrtej printr-o sup

=S ctndS ctdS = luxul vectorului vit dSn

SndS

nn =cos

unct al suprafeei , atunci: S SQ =

l volumic se poate determina ca timpul corespunztor.

sg

debitul masic

s debitul de greutate

urbe deschise este: AB

== BA

t

B

A

dsds rtejul:

wvuZYX

kji

rot

=

21

21

a teorema lui Helmholtz. rafa curb nchis este constant.

- pentru o suprafa

Un vrtej nu se poate nchide n interiorul fluidului. Daca s-ar nchide n interiorul fluidului 0dS

Un vrtej se nchide pe o suprafa solid cu care se nvecineaz un fluid, sau se nchide n el nsui (vrtejuri toroidale).

Cinematica fluidelor Ecuaia de continuitate

Ecuaia de continuitate reprezint principiul conservrii cantitii de fluid aflat n curgere. Prin cantitate se poate nelege volum, mas, greutate.

Ecuaia de continuitate se obine fcnd un bilan al maselor. Diferena dintre masa de fluid intrat i cea ieit dintr-un volum de

fluid este egal cu variaia de mas din interior datorat variaiei de densitate n timp.

Ecuaia de continuitate n cazul tridimensinal:

Aceast particul se consider infinitezimal astfel nct si v pot fi constante n raport cu dy de exemplu.

Se face bilanul maselor:

Variaia de mas dup direcia axei Ox este:

dydzdtdxx

dxdydtdm uuux

+=

dxdydzdtxdm ux

=

dxdydzdtydm vy

=

dxdydzdtzdm wz

=

dxdydzdtzyxdmdmdmdm wvuzyx

+

+=++=

dxdydzdmi = dxdydzdt

tdmf

+=

dxdydzdxdydzdttdmdmdm if

+==

dxdydzdttdm

= Se obine ecuaia de continuitate sub forma:

0=+

++

zw

yv

xu

t

sau:

0=+ div

t

n cazul unei micri permanente 0=

t

0=div Pentru un fluid incompresibil ct= 0=div sau:

0=+

+

zw

yv

xu

ce reprezint forma extins a ecuaiei i conine variaiile de vitez.

Aceste rezultat se extinde la nivelul ntregului volum de fluid, avnd n vedere proprietile de omogenitate i de izotropie ale fluidului.

Ecuaia de continuitate n cazul tubului de curent:

Diferena dintre masa intrat i cea ieit este: dtdSVdSVdtdSndSn

Sn

Sn

S S

=

211 2

222111222111 Variaia de mas din interior

n interior avem masa iniial din volumul V:

=V

i dVm , masa final:

+=

Vf dVdtt

m

+=

VVif dVdtt

dVmm dtdVtV

=

Fcnd bilanul maselor, rezult:

dtdSVdSVdtdVt S nS nV

=

21

222111

=21

222111S

nS

nV

dSVdSVdVt

Dac micarea este permanent: 0=

t

ctdSVdSVQS

nS

nm === 21

222111

Dac fluidul este incompresibil: ct== 21 ctdSVdSVQ

Sn

Snv ===

21

2211

Ecuaia de continuitate pentru tubul de curent elementar Diferena dintre masa intrat i cea ieit este:

dsdtsVSdtds

sVSVSVSdt

=

+ Masa iniial i cea final din tubul respectiv sunt: ( )Sdsmi =

dsdttSSmf

+= dsdtt

Sm

=

Din bilanul maselor, rezult: dsdts

VSdsdttS

=

0=

+

sVS

tS

-forma general

Dac tubul este nedeformabil: 0=

tS

0=+

sVS

tS

Dac micarea este permanent: 0=

t

0=

tVS

Q ctVS= ctSVSVm === 222111 Dac fluidul este incompresibil: Q ct= ctSVSVm === 2211

Dinamica fluidelor

Se ocup cu studiul micrii fluidelor, innd cont de forele i transformrile energetice care apar.

Se analizeaz iniial micarea fluidelor ideale la care exist frecri i pierderi de energie.

Deducerea ecuaiei de micare a fluidelor ideale

Se consider un volum oarecare de fluid aflat n micare uniform variat; se figureaz toate forele ce apar asupra unui volum delimitat de fluid, de dimensiuni infinitezimale i se aplic principiul al II-lea al dinamicii.

Ecuaia vectorial de micare (principiul al II-lea) este:

admFdFd pm =+

dVfdmfFd mmm == ( ) dxdydzkZjYiX ++= dxdydzXdFmx = dxdydzYdFmy = dxdydzZdFmz =

dydzdxxpppdydzdFpx

+= dxdydzx

p=

dxdydzdVdm == dtdua x =

Fcnd nlocuirile n ecuaia vectorial de micare se obine ecuaia corespunztoare axei Ox.

dtdudxdydzdxdydz

xpdxdydzX =

xp

dtduX

= YypX =

1

Xxp

dtdu =

+ 1

Yyp

dtdv =

+ 1

Zzp

dtdw =

+ 1

- ecuaia corespunztoare axei Ox

- ecuaia corespunztoare axei Oy

- ecuaia corespunztoare axei Oz

Primul termen reprezint fora unitar instantanee de inerie, al doilea fora unitar de presiune, iar membrul drept fora masic unitar.

Aplicnd formulele de la cinematic sistemul de ecuaii de micare:

Xxp

zuw

yuv

xuu

tu =

++

++

1

Yyp

zvw

yvv

xvu

tv =

++

++

1

Zzp

zww

ywv

xwu

tw =

++

++

1

Sistemul are 4 necunoscute: u, v, w i t se completeaz sistemul cu ecuaia de continuitate.

0=+

++

zw

yv

xu

t

Dac i densitatea este o necunoscut, atunci se completeaz sistemul cu ecuaia de stare a gazelor: 5 ecuaii cu 5 necunoscute. ( )Tp, =

Sistemul se rezolv exact n cazuri particulare de micare formule analitice. n general, sistemul se rezolv cu metode numerice, alegnd o reea n care se precizeaz valorile iniiale i/sau la limit.

Valorile iniiale , , si se precizeaz n cazul unei micri nepermanente.

0u 0v 0w 0p

O condiie la limit pentru fluidele ideale este c viteza tangenial a fluidului la suprafaa solid este diferit de zero, datorit absenei frecrilor.

Componenta normal a vitezei la suprafaa solid este ns nul. Ecuaia vectorial se obine nmulind fiecare ecuaie cu versorul

corespunztor axei respective i adunnd membru cu membru: kZjYiXk

zpj

ypi

xpk

dtdwj

dtdvi

dtdu ++=

+

++++

1

mfgradpdtd =+ 1

ecuaia vectorial de micare

Dinamica fluidelor

Relaia lui Bernoulli

Integrarea ecuaiilor de micare :pe o linie de curent

Xzuw

yuv

xuu

tu =

++

+

Yzvw

yvv

xvu

tv =

++

+

Zzww

ywv

xwu

tw =

++

+

se realizeaz pe o linie de curent

Se pornete de la sistemul de ecuaii de micare ala fluidelor ideale i se pun urmtoarele condiii:

1.Micarea este permanent:

0==

=

tw

tv

tu

2.Micarea se efectueaz pe o linie de curent

wdz

vdy

udx ==

3.Pentru a exprima membrul drept al fiecrei ecuaii sub forma unei derivate, se pune condiia ca forele masice s derive dintr-un potenial.

gradUfm =

gradUfm =

+

+=++ k

zUj

yUi

xUkZjYiX

xUX = x

Uxp

zuw

yuv

xuu

=+

++

1

yU=Y y

Uyp

zvw

yvv

xvu

=+

++

1

zUZ = z

Uzp

zww

ywv

xwu

=+

++

1

dxxUdx

xpdx

zuwdx

yuvdx

xuu

=+

++

1

dyyUdy

ypdy

zvwdy

yvvdy

xvu

=+

++

1

dzzUdz

zpdz

zwwdz

ywvdz

xw

=

++

+

1u

dxvdyu = dzwdzu = dywdzv =

dxxUdx

xpdz

zuudy

yuudx

xuu

=+

++

1

dxxUdx

xpdz

zudy

yudx

xuu

=+

+

+

1

dxxUdx

xpduu

=+

1

dyyUdy

ypdvv

=+

1

dzzUdz

zpdww

=+

1

+

+=

+

+=++ dz

zUdy

yUdx

xUdz

zpdy

ypdx

xpdwwdvvduu

1

duuduuud ==

221

2

2

( ) dudpwvud =+

++

1

2

222

( )wvu ,, = 01

2

2

=++ dUdpvd

- pentru fluide incompresibile - pentru fluide care se afl n cm

ctgzdpv =++ 122

gpv ++ 22

ctzgp

gv =++ 2

2

- ecuaia lu

ntre punctele (1) i(2) situate pe

=g , 121

2p

gv +

Interpretare energetic i reprezectzp

gv =++ 2

2

Vgpmg

gv + 2

2

Concluzie: suma dintre energia cpotenial a fluidului rmne constant ct=p gravitaional U , gz= =g

ctz= ctggzgp

gv =++ 1112

2

i Bernoulli

o linie de curent, se obine:

221

22

1 2z

pg

vz ++=+

ntarea grafic: ctmgzg =+ ctmgzpVmv =++2

2

inetic, energia de presiune i energia (pentru un fluid ideal). -linia energetic

-linia piezometric

-linia de curent

n cazul fluidelor uoare, energia potenial e neglijabil ctg

pg

v =+ 22

ctpv =+ 22

2

221

21

22pvpv +=+

Teorema impulsului i teorema momentului cinetic

Impulsul unui corp cu masa m i viteza vectorial v este: vm , iar

momentul cinetic corespunztor este: vmr Impulsul total al unui sistem de corpuri este:

= vmH = vmrK - momentul cinetic

Teorema impulsului:

= eFdtdH ; ( ) = eFvmdtd

Derivata n raport cu timpul a impulsului total este egal cu suma forelor exterioare care acioneaz asupra sistemului de corpuri.

Teorema momentului cinetic:

= eMdtdK ; ( ) = eMvmrdtd

Derivata n raport cu timpul a momentului cinetic total este egal cu suma momentelor forelor exterioare care acioneaz asupra sistemului de corpuri.

Se procedeaz n mod analog pentru un volum de fluid format din particule de mas (dm).

Impulsul unei particule fluide este vdm - pentru ct= impulsul este: dVvvdV =

Momentul cinetic al unei particule fluide: dVvrvdmr =

Impulsul total al ntregului volum de fluid este:

V dVv

Teorema impulsului devine:

=V eFdVvdtd Teorema momentului cinetic devine:

=V eMdVvrdtd Pentru a efectua integralele de volum se va considera curgerea unui

fluid cu densitatea constant i se va apela la noiunea de tub de curent elementar pentru care i viteza iese n faa integralei deoarece este o mrime constant

Teorema impulsului i teorema momentului cinetic pentru tubul de curent elementar ( ) egpp FFFFvvQ +++= 2112

Variaia forelor de impuls este egal cu suma forelor exterioare ce acioneaz asupra volumului de fluid V. 2v i 1v - reprezint viteza de ieire-intrare n volumul V de fluid de control 1pF i 2pF - forele cu care fluidul ndeprtat acioneaz asupra fluidului din volumul V. gF - fora de greutate a fluidului considerat. eF - fora cu care pereii solizi acioneaz asupra fluidului din volumul V.

RFe = (fora cu care fluidul acioneaz asupra pereilor) ( ) eeggpppp FrFrFrFrvrvrQ +++= 22111122

Din teorema impulsului se deduce modulul forei sau i din teorema momentului cinetic se determin vectorul de poziie .

eFr

`R

e

Aciunea apei asupra unui cot de conduct

Se consider un cot de unghi situat n plan orizontal prin care trece debitul Q de ap la presiunea p.

- greutatea gF se neglijeaz

(este perpendicular pe tabl)

Dac sensul vectorilor coincide cu sensul axelor, atunci vectorii i menin acelai semn n teorema impulsului. Se proiecteaz teorema impulsului pe axe:

( ) xpp RFFvvQ = coscos 2112 :Ox ( ) yp RFvQ = sinsin 22 :Oy

Deoarece cotul este n plan orizontal i are seciunea transversal constant, atunci ctS

Q ==V ; dac p=ct ctz = vvv == 12v=ct ppp == 21

SvQ = ; SpFp =

( ) ( ) ( )( ) cos1cos1cos1 +=+= ppx FQvFQvR ( )( ) cos12 += pSSv 0> ( ) sinsinsin 2 pSSvFQvR py +=+= 0> 22 yx RRR +=

Influena formai suprafeei corpurilor fa de recepionarea forei de impuls

Fora de impuls este: QvF =

1.Forta de impuls recepionat este maxim: ( ) RvvQ = 12 ( )21 vvQR = ( )

= cos

22 vQQvRx

( ) cos1+= Qv- ideal , cos 0 1 QvRx

2.Fora de impuls recepionat este constant:

( ) RvvQ = 12 ( ) QvQvRx == 0

Suprafaa plan pstreaz fora de impuls a unui jet.

3.Fora de impuls recepionat este minim:

= cos2

2 vQQvRx

( ) cos1= Qv0 1cos 0xR

Dinamica fluidelor reale

Fluidele reale au proprietatea de viscozitate, care produce frecri i pierderi de energie.

Experiena lui Reynolds

n cadrul acestei experiene, se vizualizeaz modul n care curge un anumit fluid i n final se clasific curgerea fluidelor n urmtoarele regimuri de curgere: laminar, tranzitoriu, turbulent

(1)- rezervor de nivel constant (menine adncimea apei constant, astfel nct viteza cu care intr apa n tubul de sticl este aproximativ gh2 i se obine n final un debit i un regim de curgere constant.

(2)- dispozitiv de alimentare cu orificii multiple (3)- dispozitiv de preaplin. (evacueaz surplusul de debit) (4)- vas cu colorant (5)- tub injector (permite accesul coloranilor n tubul de sticl) (6)- tub de sticl pentru vizualizarea curgerii (7)- robinet pentru reglarea debitului (8)- mensur gradat pentru colectarea volumului de ap scurs ntr-un

anumit timp.

Se deschide robinetul (6) i se introduce colorant prin acul injector. La viteze i debite mici, colorantul are aspectul din figura a) i

corespunde regimului laminar. Particulele de fluid au o singur

component de vitez Fluidul curge n straturi, nu exist schimburi de particule i de impuls ntre straturile de fluid. Se deschide n continuare robinetul (6) pn se observ oscilaii aleatorii ale firului de colorant ca n figura b),regim tranzitoriu

Apar pulsaii de vitez dup alte direcii dect direcia curgerii ce determin schimb de particule i impuls ntre straturi.

La o deschidere i mai pronunat a robinetului (6) se obin debite de curgere mari i colorantul are aspectul din figura c)

n cadrul regimului turbulent, pulsaiile de vitez aleatorii au valori mari, schimbul de impuls este accentuat i regimul corespunde unor pierderi energetice mari.

Acest regim se ntlnete de obicei n cazul transportului fluidelor n conducte.

n cazul experienei, s-a constatat c viteza medie de curgere prin tubul de sticl, diametrul interior al tubului, precum i vscozitatea cinematic a lichidului influeneaz evoluia colorantului. S-a dedus numrul Reynolds:

Dv=Re

Pentru figura a): 2300Re

n cadrul fiecrui regim de curgere se msoar volumul de ap scurs ntr-un anumit timp i rezult debitul volumic:

( ) tvQ

debit=

( tiuneSvQ sec= ) 224

4DQ

DQ

SQv ===

DDQ

2

4Re=

DQ4Re=

Regimurile de curgere difer din punct de vedere optic, cinematic i energetic - din punct de vedere cinematic (regim turbulent)

'vvv +=

Pulsaiile de vitez sunt variabile n timp. - din punct de vedere energetic :pierderea de energie se poate estima cu

ajutorul pantei hidraulice

lh

J ll = ltt Jlh

tgJ >==

Acest lucru se datoreaz efectelor de turbulen care conduc la pierderi suplimentare de energie fa de regimul laminar prin caracteristicile specifice.

Ecuaiile de micare ale fluidelor reale

Spre deosebire de fluidul ideal, ecuaia de micare vectorial precum i calculul se efectueaz pentru ntreg volumul de fluid aflat n micare.

Considerm c observatorul se situeaz pe sistemul de referin mobil; se ia n considerare i fora de inerie pentru care ecuaia vectorial este:

0=+++ FFFF pim F - fora datorat eforturilor tangeniale ce apar la curgerea unui fluid real

dVfdmfFd mmm == =V

mm dVfF

dVdtvddmaFd i == =

Vi dVdt

vdF ==

S Vp gradpdVpdSnF

=S

dVtF

Se determin separat componentele forei de vscozitate dup cele 3 direcii

=S

xx dSF dndu

x =

=S

x dSdnduF ====

V VS S

dVudVdivgradudSgradundSdndu

=S

x dVuF

=V

y dVvF

=V

z dVwF ( ) =++=++=

V Vzyx dVdVkwjviukFjFiFF

Introducnd forele n ecuaia de micare, rezult:

=

+

Vm dVgradpdt

vdf 0 =

+

Vm dVgradpdt

vdf 01

+=+ mfgradpdtvd 1

ecuaia vectorial de micare a fluidului.

uXxp

dtdu +=

+ 1

vYyp

dtdv +=

+ 1

sistemul de ecuaii de micare.

wZzp

dtdw +=

+ 1

Ultimul termen din fiecare ecuaie reprezint fora unitar de viscozitate Din acest sistem rezult relaia lui Bernoulli pentru un fluid real:

hzp

gv

zp

gv +++=++ 22

22

11

21

22

Integrarea exact a sistemului de ecuaii la curgerea unui fluid

ntre dou plci plane i orizontale

Se consider micarea laminar:

+

++=

++

+

2

2

2

2

2

21zu

yu

xuX

xp

zuw

yuv

xuu

+

++=

++

+

2

2

2

2

2

21zv

yv

xvY

yp

zvw

yvv

xvu

+

++=

++

+

2

2

2

2

2

21zw

yw

xwZ

zp

zww

ywv

xwu

pentru care au disprut derivatele n raport cu timpul din membrul stng.. Observnd micarea plcilor, se constat c lichidul se deplaseaz dup

direcia axei Ox 0u 0==wv

Din ecuaia de continuitate se obine: 0=xu

Deoarece la deplasarea n direcia axei Oy particulele situate identic, au aceeai component u a vitezei rezult c: 0=

yu

La deplasarea particulei dup direcia axei Oz, u se modific:

- de la la 1u+ 2u 022

zu

Deoarece curgerea are loc n cmpul gravitaional : 0== yx gz =se obine sistemul simplificat :

2

21xu

xp

=

01 =yp

01 =

zp

Din ultima ecuaie rezult repartiia de presiuni:

ctgzp =+ formula pentru presiune

Considernd 0=xp

022

=zu

1Czu =

u 21 CzC +=Se aplic condiiile la limit:

0=z ; 2Uu = 22 CU = ; U hz = 1Uu = 211 ChC +=

hUU

C 211+=

i se obine distribuia de viteze n interiorul fluidului n micare:

221 Uz

hUU

u += - formula pentru viteze

Micarea laminar a fluidelor reale

Calculul vitezelor i al debitului:

a) micarea fluidului ideal(nu exist frecri, iar distribuiile de viteze sunt constante)

b) micarea laminar a fluidului real (particulele curg n straturi); exist o distribuie de viteze parabolic, avnd un maxim n axul conductei

Scriind condiia referitoare la forele ce acioneaz asupra unui fluid in micare (fore de presiune si fore de frecare ) se deduce viteza : pF fF maxu

20

21max 4

rlpp

u = 21 pp diferen de presiune ntre punctul 1 n amonte i n aval 2p vscozitatea dinamic ce produce frecrile.

Daca creste scade. maxuPentru o raz r oarecare 2214 rl

pp = u Se observ c variaia de vitez pe vertical depinde numai de raz si nu

depinde de tipul de fluid.

Viteza medie n seciunea transversal este: 2021max 82 rlppu

v == valoare utilizat n relaia lui Bernoulli.

Calculul efortului tangenial: lpp

rlpp

drdu

242 210

21 ===

021

max 2r

lpp =

Calculul debitului corespunztor

unei micri permanente (se folosete ecuaia de continuitate):

20

20

21

8rr

lpp

vSQ ==

4

021

8r

lpp

Q =

n cazul unei curgeri cu suprafa liber se obine o distribuie parabolic cu un maxim pe suprafa.

Teoria stratului limit

Stratul limit este stratul de fluid din imediata vecintate a unui corp solid n care se manifest foarte intens efectul eforturilor tangeniale i n care se produce o variaie accentuat a vitezei fluidului.

1-zona curentului exterior 2-zona stratului limit

Grosimea stratului limit este distana msurat la suprafaa exterioar a corpului solid, perpendicular pe acesta, pn la care viteza difer cu 1% fa de viteza curentului exterior.

Evoluia distribuiei de viteze n stratul limit produs de o suprafa deasupra unei plci plane se produce ca n figura:

Desprinderea stratului limit i formarea vrtejurilor (cazul uni cilindru circular drept orizontal). figura b

figura a

a) fluidul care vine iniial cu o energie cinetic spre punctul A, pe msura apropierii de acest punct i transform energia n energie de presiune. Apoi fluidul aluneca fr frecri pe contur pn la B, unde are din nou o energie cinetic maxim i energie de presiune nul. Lucrurile se petrec n continuare simetric iar la deprtarea de corp energia se transform din nou n energie cinetic. Fluidul evolueaz fr frecri pe contur astfel nct energia i menine valoarea maxim

b) energia cinetic se transform n energie de presiune ctre punctul A; se deplaseaz fluidul cu frecri pn n B, n care viteza scade i apoi ctre D, astfel nct n D nu mai are vitez suficient pentru a urma conturul. Se ntlnete o zon de presiune ridicat i ca urmare se desprinde fluidul i este

mpins ctre curentul de fluid exterior, care reintroduce particula fluid n stratul limit se formeaz un vrtej care evolueaz ctre aval, formndu-se aa numitele dre hidrodinamice sau aerodinamice (care se mai numesc dre turbionare).

n mod practic, pentru a obine corpuri cu coeficieni de rezisten la naintare mici, se determin experimental repartiia de presiuni pe suprafaa exterioar a corpului, se calculeaz integrala presiunii pe ntreaga suprafa i se determin n final coeficientul de rezisten la naintare.

Se modeleaz suprafaa exterioar, experimental sau prin simulare numeric cu calculatorul, pn la obinerea coeficientului de rezisten la naintare minim.

Condiia de desprindere a stratului limit

Micrile efluente ale fluidelor

- se produc n cazul curgerii unui fluid dintr-un anumit recipient printr-un dispozitiv, ntr-un alt spaiu ocupat de un alt fluid.

Se deosebesc: curgeri prin orificii, prin ajutaje, prin injectoare i peste deversoare.

Ajutajele sunt dispozitive care se monteaz n zona de evacuare a fluidelor pentru creterea debitului.

Injectoarele realizeaz jeturi de fluid cu energie cinetic mare. Deversoarele evacueaz fluidul prin partea superioar a unei incinte.

Problemele care se pun la curgerea prin orificii sunt de obicei determinarea vitezei i al debitului evacuat.

Se va calcula separat, considernd micarea nepermanent, timpul de golire unui rezervor.

1.Curgrea fluidelor prin orficii mici, n perei subiri, sub sarcin constant.

Se aplic relaia lui Bernoulli ntre punctele (1) i (2) pentru un fluid real. Se calculeaz pierderile locale de sarcin hidraulic la ieirea prin orificiu n funcie de coeficientul de pierdere local de sarcin :

gv

he 2

22=

ehzp

gv

zp

gv +++=++ 22

22

11

21

22 hz =1

- mare 1S

11SvctQ ==1

1 SQv = mic 021 v

gvp

gv

hp atm

22

22

221 ++=+ ( ) h

ppg

v atm +=+ 1

22

21

ghpp

v atm 21

1 12

++=

+= hppgv atm

12 2

- coeficientul de vitez.

- pentru fluidul ideal 1=

+= hppgv atm

12 2

- pentru rezervor deschis atmpp =1 ghv 22 =

- n cazul unui gaz 0=h gpp

gv atm= 12 2

atmppv= 12 2

AA

AvAvSvQ cc === 2222 , =AAc

- coeficientul de strangulare a seciunii.

, coeficientul de debit =

+= hppgA atm

12Q

2.Curgerea fluidelor prin orificii mari, n perei subiri, sub sarcin constant

( ) dzzbdS =

dSvdQ = ( ) dzzbgzdQ = 2

( ) ( ) == 21

2

1

22H

H

H

HdzzbgzdzzbgzQ

- pentru un orificiu dreptunghiular: ( ) ctBzb === 2

1

21

2H

HdzzgBQ ( )231223

2 HHgBQ =

Calculul timpului de golire al unui rezervor (n micare nepermanent)

- fiind un caz de micare nepermanent, mrimile se schimb n timp.

Se egaleaz volumul infinitezimal scurs din rezervor n intervalul de timp dt cu volumul ce dispare din rezervor prin coborrea suprafeei libere cu dz.

( ) dzzAQdtdV ==( ) dzzAdtgzA =20 ( ) dzzzA

gAdt =

21

0

( ) = oHTo dzzzA

gAdt

21

0 ( ) = H dzzzA

gAT

00 21

- pentru un rezervor cilindric : ( ) ctDzA == 42

4

20

0dA =

= H dzzDdgT 0 212

20 4

42

1

HdD

gT

2

0

21

=

Deci timpul total de golire a rezervorului cilindric plin iniial pn la

nlimea H este:

gH

dDT 21

2

00

=

Micarea turbulent a fluidelor reale

Se deosebete optic, cinematic i energetic de celelalte tipuri de micare Din punct de vedere cinematic, apar pulsaiile turbulente care sunt

componente de vitez dup alte direcii fa de direcia principal a curgerii. Ele determin transferul de particule i de impuls ntre straturile de

fluid. Componentele de vitez i presiune se scriu sub forma: 'uuu += 'vvv +=

'www += 'ppp +=

Se demonstreaz c valoarea medie a unei pulsaii este nul ntr-o perioad T.

Se utilizeaz formula de medie:

+

=Tt

t

dtuT

u0

0

1 uu='u ;

+===

Tt

t

uuuudtT

0

0

01,

u

Din punct de vedre energetic, pierderile de energie sunt mai mari deoarece apar efecte suplimentare datorit turbulenelor.

Calculul efortului tangenial turbulent i al efortului tangenial total

Masa transferat din stratul cu vitez mai mare n cel cu vitez mai mic[u produce accelerarea acestuia ca urmare a unui transfer de impuls.

Au

B

Masa transferat este: dtvSVm '== Variaia de impuls a stratului mai lent este ( ) dtvSuumuum BA ''' ==

Fora care accelereaz stratul este: '''' vSu

dtvSuF ==

iar efortul tangenial turbulent corespunztor: ''vuSF

t == O exprimare mai adecvat a efortului tangenial turbulent, lund n

considerare un interval mare de timp, este: ''vut =

n care semnificativ este media produsului pulsaiilor de vitez. Semnul minus apare deoarece cele dou pulsaii de vitez au semne contrare, iar efortul trebuie s fie pozitiv.

Lund n considerare efortul tangenial dat de legea lui Newton ce apare n orice tip de micare : dy

du = , se deduce efortul total:

ttot += ''vudydu

tot = Cu ct regimul turbulent e mai avansat, cu att u i v iau valori mai

mari i rezult pierderi de energie mai mari. Ecuaiile de micare ale fluidelor n regim turbulent

Ecuaiile se obin completnd sistemul de ecuaii de micare a fluidelor reale n regim laminar cu termeni funcii de pulsaiile turbulente:

( )',','1 wvuAuXxp

dtdu ++=

+ ( )',','1 wvuBvY

yp

dtdv ++=

+ ( )',','1 wvuCwZ

zp

dtdw ++=

+

Se completeaz sistemul cu ecuaiile de continuitate i cu formule de natur statistic pentru pulsaiile u,v,w, precum i cu ecuaia de continuitate sub forma general :

0=+

++

zw

yv

xu

t

Sistemul are apte necunoscute, u, v, w, p precum i pulsaiile u,v,w, dar va conine i apte ecuaii i deci se poate rezolva. Ultimii termeni din fiecare ecuaie, A, B, i C reprezint forele unitare turbulente.

Distribuia de viteze ntr-o conduct circular dreapt n regim turbulent este de forma:

Zona de curgere turbulent are o form aplatizat deoarece straturile cu

vitez mare situate spre axul conductei tind s le accelereze pe cele mai lente, situate spre zona laminar i invers.

Pierderile de sarcin hidraulic

Reprezint pierderi de energie ale fluidului produse pe traseul de curgere i sunt datorate frecrilor vscoase, efectelor de turbulen precum i diverselor elemente hidraulice intercalate pe traseul de curgere.

Se deosebesc pierderi liniare sau distribuite produse pe o anumit lungime de traseu de curgere, i pierderi locale care se datoreaz diverselor elemente hidraulice ce formeaz circuitul (robinei, vane, coturi, etc.)

Formulele pierderilor de sarcin sunt semiempirice.

Ecuaiile de micare ale fluidelor nu conin influena suprafeelor solide cu care fluidul intr n contact.

Acele neuniformiti ale suprafeelor solide produc efecte ce sunt luate n considerare prin intermediul unor coeficieni; acetia sunt determinai experimental i dau caracterul semiempiric al formulelor respective.

Formula general a pierderilor de sarcin hidraulic este

gvh rr 2

2

= - pentru pierderi liniare:

DL

r = - pentru pierderi locale:

lr = Ca urmare, pierderile liniare n cazul unei conducte circulare drepte de lungime L i diametru interior D devine:

gv

DLhd 2

2

= Cu aceasta se poate determina:

dghp = cderea de presiune pe o conduct de lungime L. Pierderile locale devin:

gvh ll 2

2

=

Pierderea de presiune total pentru un circuit cu m elemente hidraulice este:

+=

=

m

i

ilt g

vg

vDLgp

1

22

22

Pierderile de sarcin se pot exprima i n funcie de debitul de fluid Q. Utiliznd ecuaia de continuitate:

22

4

4DQ

DQ

SQv ===

pierderea distribuit devine:

5

2

24

8421

DLQ

gDQ

gDLhd

==

50826.0 DLhd = Q2 , iar depinde de numrul Reynolds , eventual

de rugozitatea conductei.

Re64= pentru regim laminar

In cadrul regimului turbulent neted stratul laminar, acoper complet asperitile. Este ca si cum peretele este neted. 25.0Re

3164.0=

=

DRe,

unde /D este rugozitatea relativa.

Influena asperitilor n regim turbulent conduce la creterea lui i al lui precum i a pierderilor de presiune. dh

Pierderea local n funcie de debit se exprim cu:

42

22 1621

2 DQ

ggvh llil == sau 4

2

0826.0DQh ll =

n care coeficientul de pierdere local se poate lua din fia produsului sau din cataloage.

Calculul nlimii de aspiraie a unei pompe centrifuge

AH - nlimea de aspiraie Se cunosc: Q, D, L, , , (presiunea de vaporizare) V ,, CS vpSe pune condiia p1>pv i se determin nlimea de aspiraie maxima HA,max.

Micarea permanent n conducte sub presiune

Conductele sunt sisteme hidraulice ce asigur transportul sub presiune al fluidului ntre dou puncte cu sarcini energetice diferite.

Se deosebesc: 1.conducte scurte la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date de

suma dintre pierderile distribuite i cele locale de pe parcurs. 2.conducte lungi la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date doar

de pierderile distribuite, corectate cu un procent de pn la 5% dac au mai multe elemente hidraulice montate pe traseu.

Exemple: magistralele de petrol i gaze, conductele de alimentare cu ap ale localitilor.

Problemele care se pun la calculul conductelor sunt:

1.determinarea diametrului interior problem de dimensionare - cnd se cunosc pierderile de sarcin hidraulic, natura pereilor conductei, lungimea ei, precum i debitul necesar la consumator.

2.determinarea debitului - problem de alimentare - cnd se cunosc celelalte mrimi.

3.determinarea pierderii de sarcin problem energetic cnd se cunosc celelalte mrimi.

Calculul conductelor scurte: - n cazul micrii permanente

Pierderea de sarcin total este: +=

ieidistribuittot hhh sau

+=i

litot DQQ

Dlh 4

22

5 0826.00826.0 ,

+= i

litot Dl

DQh 4

2

0826.0 [ ] m

1.determinarea diametrului (D) - se dau diverse valori diametrului i rezult valorile pierderii de

sarcin. - se alege D tan idards D=

2.determinarea debitului (Q)

Re64=

Dv =Re

- se alege Q la iteraia 0, ( )0Q ; ( ) 204DQ

SQv ==

( ) ( )

Dv =0

0Re ( )

Re640 = ( )1Q , adic debitul la iteraia !, i se

urmeaz aceleai proceduri pn cnd ( ) ( )

Se aplic relaia lui Bernoulli ntre A i B: totB

BBA

AA hzp

gv

zp

gv +++=++ 22

22

atmBA ppp == A

A SQv = , - mare - mic AS Av g

vA2

2

- neglijabil totA hz = tothH = g

vg

vg

vDl

gvH eci 2222

2222

+++=

HDl

gv

eci =

+++ 2

2

eciD

lgHv

+++= 2

i deci debitul sifon SvQ = Q

Calculul cond

Analogia elec Din punctul dnite calcule similar - circuitul serie electric - circuitul paralel electric

Conducte lun at din rezervorul A n rezervorul B e

4

2Dv = uctelor lungi

tro-hidraulic e vedere al unor mrimi electrice i e.

circuitul serie

circuitul paralel i i

gi montate n serie: ctU == II=

iiUU

ctI =

ste:

hidraulice se pot face

ctQ ==

iidd hh

=i

iQQ cthd =

Aplicnd relaia lui Bernoulli ntre punctele A i B se obine:

+++=+i

diBBB

AAA hz

pg

vz

pg

v 2

22

+2

, adic energia potenial a lichidului din rezervor se consum pe pierderile distribuite realizate pe reeaua de conducte n serie.

dhH =

Explicitnd pierderile pe fiecare tronson se obine:

gv

Dl

gv

Dl

gv

Dl

H nn

nn 222

222

2

22

21

1

11 +++=

H este dat i atunci se poate obine n final debitul de fluid :

ii S

Qv =

=

i i

ii D

lQH 5

20826.0 Q

Conducte lungi montate n paralel:

Se aplic relaia lui Bernoulli ntre A i B:

dBBB

AAA hz

pg

vz

pg

v +++=++ 2222

- n A i B ctQ= ctS = ctvv BA == ctD= dhH = 550826.0 i

i

ii QD

lH = iQ

=

=n

iiQQ

1

Maini hidraulice

Se deosebesc: 1.Maini generatoare la care energia mecanic la arbore este

transformat n energie hidraulic (exemple: pompe sau ventilatoare antrenate de motoare asincrone).

2.Maini motoare la care energia hidraulic se transform n energie electric (exemple: turbine de ap, abur i de gaze conectate la generatoare sincrone).

3.Transformatoare hidraulice ce transform energia mecanic n energie hidraulic i apoi din nou n energie mecanic (exemplu: transmisiile hidraulice).

Mainile hidraulice se mai clasific n:

- turbo-maini la care exist o circulaie continu de fluid ntre aspiraie i refulare (ventilatoare i pompe axiale, diagonale, centrifugale, suflante) i care dau debite mari dar realizeaz diferene de presiune ntre refulare i aspiraie mici.

- maini volumice: - pompe cu piston, cu roi dinate, cu pistonae, cu palete culisante; acestea realizeaz diferene de presiune mari, dar dau debite mici.

Parametrii energetici ce caracterizeaz funcionarea unei maini sunt n cazul mainii generatoare ( de exemplu o pomp):

1.debitul volumic Q

s

m3

sl

2. sarcina pompei:

++

++= aaarrrp zpg

vz

pg

vH 22

22

3. puterea util: pu gQHP =4. puterea consumat: cP

5. randamentul pompei: c

u

PP=

mandrea1.pdfMECANICA FLUIDELORGeneraliti

mandrea2.pdfProprietile fizice specifice lichidelor4.Degajarea gazelor i cavitaia

Statica fluidelorEcuaiile de repaus ale fluidelor

mandrea3.pdfCalculul potenialului forelor masice unitareConsecine ale relaiei fundamentale ale rapausuAplicaii ale principiului lui PascalRepausul fluidelor n cmpul gravitaional

Repartiia de presiuni pe pereii solizi ai unuiRepausul relativ al fluidelor n cmpul gravita

Se obine n final repartiia de presiuni pe pe

mandrea4.pdfAciunea fluidelor n repaus asupra suprafeeloPrincipiul lui Arhimede

mandrea5.pdfCinematica fluidelorCalculul acceleraiei vectoriale

Noiuni generale de cinematic

mandrea6.pdfCinematica fluidelorEcuaia de continuitate reprezint principiul coEcuaia de continuitate pentru tubul de curent eDinamica fluidelor

Deducerea ecuaiei de micare a fluidelor ideale

mandrea7.pdfDinamica fluidelorIntegrarea ecuaiilor de micare :pe o linie de Teorema impulsului i teorema momentului cinetic

Aciunea apei asupra unui cot de conductInfluena formai suprafeei corpurilorfa de recepionarea forei de impuls

mandrea8.pdfDinamica fluidelor realeExperiena lui ReynoldsSe deschide robinetul \(6\) i se introduce coEcuaiile de micare ale fluidelor realeSe determin separat componentele forei de vs

mandrea9.pdfMicarea laminar a fluidelor realeTeoria stratului limitCondiia de desprindere a stratului limitMicrile efluente ale fluidelor

mandrea10.pdfMicarea turbulent a fluidelor realeCalculul efortului tangenial turbulent i al efEcuaiile de micare ale fluidelor n regim turPierderile de sarcin hidraulicFormulele pierderilor de sarcin sunt semiempiriFormula general a pierderilor de sarcin hidrau

mandrea11.pdfMicarea permanent n conducte sub presiuneCalculul conductelor lungi

Analogia electro-hidraulicMaini hidraulice