Home >Engineering >Sist cont i_conf2_2014

Sist cont i_conf2_2014

Date post:13-Apr-2017
Category:
View:496 times
Download:1 times
Share this document with a friend
Transcript:

Presentacin de PowerPoint

SISTEMAS DE CONTROLE I

Dr. Miguel A. Rodrguez Borroto

Escola Superior de Tecnologia (EST)Universidade do Estado de amazonas (UEA)

e-mail: #1. [email protected]

CONFERENCIA 2

Modelagem Matemtico da Dinmica de Sistemas (Primeira parte)

CONTEUDO

Introduo ao modelagem matemtico de sistemas.Conceitos de funo de transferncia e resposta ao impulso .Representao do modelo de sistemas fsicos mediante diagramas de bloco.Concluses.

OBJETIVOS

Familiarizar-se com os fundamentos da modelagem de sistemas fsicos.

Conhecer os conceitos de funo de transferncia e resposta ao impulso de um sistema lineal.

Familiarizar-se com a representao do fluxo do sinais em um sistema mediante um diagrama de bloco do modelo.

Conhecer e aplicar a definio e algumas regras de representao e simplificao dos diagramas de bloco.

Introduo modelagem de sistemas

Para estudar os sistemas de controle, diga-se analisar suas caractersticas e realizar seu projeto, precisa-se primeiramente modelar matematicamente o sistema.

O modelo matemtico define-se como o conjunto de equaes e expresses matemticas que descrevem acertadamente, ou ao menos aproximadamente bem, as caractersticas de desempenho do sistema.

H modelos e Modelos de sistemas fsicos, ou seja, o modelo no nico; o sistema pode ser modelado de varias maneiras, de acordo com as perspectivas de sua utilizao.

Os sistemas podem ser fsicos: mecnicos, eltricos, trmicos, etc. podem ser econmicos, podem ser biolgicos, etc., e eles podem ser descritos por equaes integro-diferenciais e outras expresses matemticas.

Essas equaes podem ser obtidas mediante as leis fsicas que regem no sistema. Ex. as leis de Newton, Kirchhoff, etc.

Introduo modelagem de sistemas

Modelos matemticos: Podem ser de diferentes formas; em dependncia do sistema particular e das circunstancias, um modelo pode ser melhor que outro. Por exemplo: em controle timo melhor usar a representao do modelo em variveis de estado; embora, no analise da resposta temporal de sistemas SISO lineares, invariantes no tempo, melhor usar o modelo baseado em funes de transferncia e aplicar os mtodos de resposta de frequncia o localizao das razes, auxiliado das ferramentas computacionais.

Introduo modelagem de sistemas

Simplicidade versus exatido: H uma frase que diz: as cosas tem que ser to boa como seja necessrio e no to boa como seja possivel fazer-la.H modelos e modelos, mas no mesmo desenvolver um modelo que descreva o desempenho da insulina na sangue do ser humano quando om mesmo recebe a insulina e outros remdios, que desenvolver um modelo para descrever o desempenho do fluxo em uma tubaria, ou a temperatura de um forno, ou a concentrao de oxigeno na combusto em uma usina termeltrica, ou a velocidade da ferramenta numa mquina de ferramentas, etc, etc. Em geral, ao solver um novo problema, temos primeiro que elaborar um modelo o mais simplificado possvel, mas que cumpra com as especificaes quanto a descrio das caractersticas do sistema, ou seja com a exatido necessria. Normalmente os processos so no lineares e os modelos que os descrevem tambm, mas industrialmente se precisa que eles trabalhem em um entorno pequeno da varivel de sada.

Introduo modelagem de sistemas

Sistemas lineares: Um sistema se diz linear se o mesmo cumpre com o principio da superposio, o seja, a sada do sistema, como resposta a vrios sinais de entrada, pode-se calcular somando as respostas individuais para cada entrada.

Nos sistemas lineares existe uma relao causa-feito entre entrada e sada que linear.

A vezes se adopta a definio seguinte: um sistema linear se ele pode ser descrito por um modelo linear. Por exemplo: Os sistemas cujos modelos so:

a)

b)

Introduo modelagem de sistemas

Sistemas lineares invariantes e variantes com o tempo: Um sistema se diz linear invariante com o tempo se os parmetros de seu modelo so constantes.

Um sistema se diz linear variante com o tempo se os coeficientes ou parmetros de seu modelo so funes do tempo.

Os exemplo dados anteriormente so ambos os lineares in variante com o tempo. Mas os modelos seguintes representam sistemas variantes no tempo:

Introduo modelagem de sistemas

Sistemas no lineares: Se um sistema no cumpre com o principio da superposio se que o sistema no linear e o modelo que o representa tem que ser tb. no linear; assim a resposta de um sistema no linear a dois sinais de entrada no se pode calcular somando as respostas individuais.Exemplos de sistemas no lineares so:

Introduo modelagem de sistemas

Em muitos sistemas fsicos de todo tipo a relao entre entrada e sada no linear, assim nos encontramos com fenmenos de saturao, zona morta, histereses, jogo libre nos engrenagem, etc. que motivam que o modelo resultante seja no linear. A seguir se mostram algumas dessas no linearidades.

Este tipo de no-linearidade se diz que inerente ao sistema.

Fig. 1 entradasadaentradasadaentradasada

SaturaoZona mortaZona mortahistereses

Introduo modelagem de sistemas

Linearizao de Sistemas no lineares: Muitos processos tem que desenvolver-se (sistemas de regulao) dentro de um entorno pequeno da vaivel de sada; nestes casos se o sistema resultara no linear o modelo pode ser linearizado em termos de variaes pequenas das variveis. El sistema assim linearizado comporta-se como o sistema original, mas em um entorno pequeno das variveis do mesmo. Para fazer a linearizao do modelo se aplica o conceito matemtico de variao de uma varivel ou funo e para obter o modelo se usa o desenvolvimento dos termos do modelo em series de Taylor ao redor de um entorno pequeno do ponto de operao ou ponto de equilbrio como tb se conhece.

Mas adiante voltaremos sobre o assunto.

Funo transferencial e resposta ao impulso

Em controle automtico se usa muito o conceito de funo de transferncia para descrever a relao entrada-sada do sistema.Este conceito se aplica s a sistemas lineares invariantes com o tempo e fica muito relacionado com outro conceito muito importante tb: a resposta ao um sinal tipo impulso.

Funo transferencial (FT): Se o modelo matemtico que representa a relao que existe entre a sada y e a entrada x de um sistema linear fica dado pela equao diferencial, ordinria e linear seguinte:

(1)

A FT deste sistema se define a relao que existe entre a transformada de Laplace da sada e a transformada da Laplace da entrada, baixo a considerao de que todas as condies iniciais sejam cero (0).

Funo transferencial e resposta ao impulso

Ou seja:

(2)

Mediante o concepto de FT possvel representar a dinmica do sistema por equaes algbricas na varivel complexa s das transformaes de Laplace.

Neste caso se diz que o sistema linear descrito por (1) ou (2) de ordem n.

Funo transferencial e resposta ao impulso

Comentrios sobre a FT: O concepto aplicasse a sistemas lineares, invariantes com o tempo e resulta muito til no analise e projeto de sistemas de controle de tais sistemas. A seguir importantes comentrios:

A FT de um sistema um modelo matemtico onde o mtodo operacional permite relacionar as vaiveis do sistema no domnio da frequncia complexa s.A FT uma propriedade do sistema e no depende da natureza ou magnitude das entradas ao sistema.A FT no inclui alguma informao sobre a estrutura fsica do sistema. Funes transferenciais de diferentes sistemas fsicos podem ser idnticas.Se a FT conhecida, a sada ou resposta do sistema a qualquer tipo de sinal de entrada pode ser estudada independente da natureza do sistema.Se a FT desconhecida, pode-se estabelecer experimentalmente introduzindo ao sistema sinais conhecidas de entrada.

Funo transferencial e resposta ao impulso

Sistema mecnico: Seja o sistema de controle de altitude de um satlite como se mostra a seguir:

Fig. 2.

O diagrama mostra s o controle do ngulo de derrape ou guinada (), embora existem controles dos trs eixos.

Funo transferencial e resposta ao impulso

Jorros pequenos provocam reaes que fazem que o satlite gire. Eles operam em casais, em posies obliquas tais como A ou B. Consideremos que o empurre dos jorros seja F/2 e portanto o torque produzido e aplicado ao sistema :

Tanto T(t) como F(t) so considerados funes do tempo. Seja J o momento angular de inercia do satlite respeito ao eixo de giro (centro de massa).

Vamos a obter a FT do sistema considerando que T(t) o sinal de entrada e que (t) o sinal de sada.

Para calcular a FT, procede-se segundo os seguintes passos:Escreve-se a equao diferencial do sistema.Aplicamos a transformada de Laplace considerando as condies iniciais zero.Toma-se a relao (s)/T(s).

Funo transferencial e resposta ao impulso

Aplicando a segunda Lei de Newton, considerando que no espao onde se encontra o satlite no h atrito se tem:

Aplicando Transformada de Laplace e desprezando condies iniciais:

Por tanto:

Funo transferencial e resposta ao impulso

Resposta ao impulso: Se sabe de analise de sistemas que a funo impulso o delta de Dirac uma funo singular que tem propriedades muito especficas, tais como que posei uma amplitude infinita () e tempo de durao cero (0).

A amplitude da funo impulse recebe o nome de esforo do impulso; assim se o esforo k se diz que o impulso tem esforo k. Se k = 1 o impulso diz-se unitrio.

Do estudo da matemtica operacional, se sabe que transformada de Laplace da funo impulso unitrio 1. Resulta a nica funo conhecida que cumpre essa propriedade. Assim:

(3)

Se o impulso tem esforo k ento:

(4)

Funo transferencial e resposta ao impulso

Da discusso anterior e tendo em conta a definio de FT temos que:

Se x(t) um impulso unitrio ento:

Portanto:

(5)

Portanto:

(6)Ou seja, a resposta de um sistema linear a um impulso unitrio igual que a transformada inversa de Laplace de sua FT.

Funo transferencial e resposta ao impulso

Integral de convolao: Segundo o concepto de FT temos:

(7)

Aplicando transformada inversa de Laplace em ambos os membros se tem:

(8)

Mas, segundo o teorema da convolao da transformada de Laplace se tem:

O qual se conhece como convolao no tempo de g(t) com x(t) e fica dado por: (9)

Onde se considera que g(t)=x(t)=0 para t>1e G1(s) G2(s)H(s) >>1, ento a resposta ao distrbio CD(s)/D(s) 0

Por outro lado, de (16) vemo-nos que a FT em malha fechada CR(s)/R(s) 1/H(s) quando G1(s)G2(s)H(s) >>1

Sistema de Controle. Representao mediante diagramas de bloco

Obteno de FTs mediante MatLab: No anlise de sistemas de controle normalmente se precisa calcular FTs que ficam em cascata, em paralelo ou formando uma malha fechada. O Mat Lab permite permite realizar esses clculos de maneiram muito simples. Vejamos:

Suponhamos duas FT dadas por:

Os coeficientes dos polinomios num e den se expresam em MatLab como segui:>> num = [b0 b1 b2 bm];>> den = [a0 a1 a2 an];

Sistema de Controle. Representao mediante diagramas de bloco

Ento:

>> G1 = tf(num1, dem1);

>> G2 = tf(num2, den2);

Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em cascata:

>>[num, den] = series(mim1,den1,mum2,den2);

Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em paralelo:

>>[num, den] = parallel(mim1,den1,mum2,den2);

Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em malha fechada (G2 no passo de feedback):>>[num, den] = feedback(mim1,den1,mum2,den2);

Sistema de Controle. Representao mediante diagramas de bloco

Procedimento para o riscado do diagrama de bloco: Procede-se da seguinte maneira:

Se elabora o modelo matemtico no domnio temporal a partir das leis fsicas ou outro procedimento.Se lineariza o modelo para obter outro modelo equivalente num entorno pequeno das variveis (modelo em variaes).Se transforma o modelo ao domnio da frequncia complexa a traves da T. de Laplace ou da transformada Z se o modelo discreto no tempo (no continuo).Se procede a riscar o diagrama de fluxo de sinais ou o diagrama de bloco seguindo os preceito e regras dadas para isso.

Vejamos um exemplo.

Representao mediante diagramas de bloco

Obter o diagrama de bloco do quadrupolo RC mostrado a seguir:

Modelo: Aplicando as lei de voltagem de Kirchhoff na malha fechada do circuito se tem:

Num capacito carga eltrica nas placas proporcional a voltagem, portanto:

eieoRC

i

Representao mediante diagramas de bloco

2) Neste caso o modelo linear, portanto o modelo linearizado em termos das variaes coincide com o modelo original.

3) Transformando pelo Laplace ambas os equaes:

4) Representando a primeira equao no diagrama de bloco:

Representando a segunda equao:

Ei(s)I(s)Eo(s)+-

Eo(s)I(s)

Representao mediante diagramas de bloque

Unindo ambos diagramas:

Ei(s)I(s)Eo(s)+-

Regras de reduo dos diagramas de bloco

Existem regras muito simples que foram estabelecias por Mason (1953) as quais permitem simplificar as relaes causa efeito entre as variveis de um digrama de fluxo de sinais ou diagrama de bloco. Na tabela seguinte se mostram as regras principais.

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

Nodo: qualquer varivel no diagrama de bloco o de fluxo de sinais. Se a varivel representa um sinal de entrada ento o nodo correspondente se diz nodo de entrada; se a varivel um sinal se sada ento o nodo se diz de sada ou vrtice.Enlace ou rama (linking): toda linha que partindo de um nodo fonte se dirige a um nodo vrtice ou sada indicando com uma seta o sentido do fluxo do sinal. Associado a cada rama ou enlace est sempre uma FT que recebe o nome de transmitncia da rama. Trajetria direita entre dois nodos: toda sequncia de ramas que partindo de um nodo, mantendo o sentido do fluxo do sinal, alcana a outro nodo sem passar por um mesmo nodo mais de uma vez. Ganho de trajetria direita: o produto dos ganhos ou transmitncias dos enlaces o ramas que formam a trajetria direita em questo.Malha fechada: toda sequencia de enlaces ou ramas que, mantendo o fluxo do sinal (sentido da seta) e partindo de um nodo retorna ao mesmo nodo.

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

Ganho da trajetria fechada: o produto das transmitncias das ramas que a formam.

Formula generalizada de Mason para o ganho entre um nodo vrtice e um nodo fonte: Seja Y(s) a vaivel que representa o nodo vrtice e seja X(s) a varivel que representa o nodo fonte, ambas no domnio da frequncia complexa s, ento:

(18)

Onde; Gk representa o ganho da trajetria direta k entre o nodo fonte e o nodo vrtice. Supe-se que h N trajetrias direitas entre Y e X.

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

: o determinante do sistemas de equaes que representam ao modelo do sistema na frequncia e fica dado por:

(19)

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

k: o valor que toma quando toda o diagrama que toca a trajetria direita Gk fica eliminada.

Exemplo: Dado o sistema de controle cujo diagrama de bloques se mostra a seguir:

Encontrar a relao C/R aplicando a regras de simplificao.Encontrar C/R aplicando a formula de Mason para o ganho.

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

Calculo de C/R aplicando a regras de simplificao. Movendo o ponto se soma do lao contendo H2 para a esquerda (regra 1) se tem:

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

Resolvendo a malha fechada G1,G2,H1 tem-se:

Resolvendo a malha fechada G1G2/(1-G1G2H1), G3, H2/G1 se tem:

Classificao dos sistemas de controle

Os controladores industrias se classificam como segui:1. Controladores de duas posies ou on-off.2. Controladores proporcionais.3. Controladores integrais.4. Controladores Proporcional-Integrais (PI).5. Controladores proporcional-derivativos (PD).6. Controladores proporcional-integral-derivativos (PID).

Controle on-off:

u(t) = U1, pata todo e(t) > 0u(t) = U2, para todo e(t) < 0

u1u2ue-+

Classificao dos sistemas de controle

Controladores proporcionais:

u(t) = Kpe(t)

Kp : constante de proporcionalidade o ganho do controlador.

Controladores integrais:

Onde Ki constante ou ganho integral.

Controladores proporcionais mais integrais:

Classificao dos sistemas de controle

Controladores proporcionais mais derivativo:

Controladores proporcionais mais interativo mais derivativo:

E(s)

U(s)+-

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos primeiramente algumas definies e conceitos:

Resolvendo a malha fechada G1G2G3, 1 tem-se:

Finalmente:

b) Aplicando a frmula de Mason:Segundo (18):

Regras de reduo dos diagramas de bloque

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Neste caso h s uma trajetria direita entre R e C, portanto N = 1. Essa trajetria esta formada pelas ramas: G1,G2 e G3. Seu ganho : G1G2G3

O sistema tem trs malhas fechadas, cujos ganhos so: G1G2H1, G2G3H2 e G1G2G3.Portanto o determinante do sistema est dado segundo (19) por:

Quando elimina-se a nica trajetria que existe no fica nenhuma malha fechada. Portanto:1 = 1-0 = 1

Portanto substituindo valores:

Observe-se a coincidncia de ambos os resultados.

CONCLUSES

BIBLIOGRAFIA

Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna, Cap. 3, pags. 57 -70Rodriguez Borroto, M. A.; Conferencia 2, notas de aula.

FIM

of 54/54
SISTEMAS DE CONTROLE I Dr. Miguel A. Rodríguez Borroto Escola Superior de Tecnologia (EST) Universidade do Estado de amazonas (UEA) e-mail: #1. [email protected]
Embed Size (px)
Recommended