Sist cont i_conf2_2014

SISTEMAS DE CONTROLE I

Dr. Miguel A. Rodríguez Borroto

Escola Superior de Tecnologia (EST)Universidade do Estado de amazonas (UEA)

e-mail: #1. [email protected]

mailto:[email protected]

CONFERENCIA 2

Modelagem Matemático da Dinâmica de Sistemas (Primeira parte)

CONTEUDO

• Introdução ao modelagem matemático de sistemas.• Conceitos de função de transferência e resposta ao impulso .

• Representação do modelo de sistemas físicos mediante diagramas de bloco.

• Conclusões.

OBJETIVOS

• Familiarizar-se com os fundamentos da modelagem de sistemas físicos.

• Conhecer os conceitos de função de transferência e resposta ao impulso de um sistema lineal.

• Familiarizar-se com a representação do fluxo do sinais em um sistema mediante um diagrama de bloco do modelo.

• Conhecer e aplicar a definição e algumas regras de representação e simplificação dos diagramas de bloco.

Introdução à modelagem de sistemasPara estudar os sistemas de controle, diga-se analisar suas

características e realizar seu projeto, precisa-se primeiramente modelar matematicamente o sistema.

O modelo matemático define-se como o conjunto de equações e expressões matemáticas que descrevem acertadamente, ou ao menos aproximadamente bem, as características de desempenho do sistema.

Há modelos e Modelos de sistemas físicos, ou seja, o modelo não é único; o sistema pode ser modelado de varias maneiras, de acordo com

as perspectivas de sua utilização.

Os sistemas podem ser físicos: mecânicos, elétricos, térmicos, etc. podem ser econômicos, podem ser biológicos, etc., e eles podem ser

descritos por equações integro-diferenciais e outras expressões matemáticas.

Essas equações podem ser obtidas mediante as leis físicas que regem no sistema. Ex. as leis de Newton, Kirchhoff, etc.

Introdução à modelagem de sistemasModelos matemáticos: Podem ser de diferentes formas; em

dependência do sistema particular e das circunstancias, um modelo pode ser melhor que outro.

Por exemplo: em controle ótimo é melhor usar a representação do

modelo em variáveis de estado; embora, no analise da resposta temporal de sistemas SISO lineares, invariantes no tempo, é melhor usar o

modelo baseado em funções de transferência e aplicar os métodos de resposta de frequência o localização das raízes, auxiliado das

ferramentas computacionais.

Introdução à modelagem de sistemasSimplicidade versus exatidão: Há uma frase que diz: “as cosas tem

que ser tão boa como seja necessário e não tão boa como seja possivel fazer-la”.

Há modelos e modelos, mas não é mesmo desenvolver um modelo que descreva o desempenho da insulina na sangue do ser humano quando om mesmo recebe a insulina e outros remédios, que desenvolver um modelo para descrever o desempenho do fluxo em uma tubaria, ou a

temperatura de um forno, ou a concentração de oxigeno na combustão em uma usina termelétrica, ou a velocidade da ferramenta numa

máquina de ferramentas, etc, etc. Em geral, ao solver um novo problema, temos primeiro que elaborar um

modelo o mais simplificado possível, mas que cumpra com as especificações quanto a descrição das características do sistema, ou

seja com a exatidão necessária. Normalmente os processos são não lineares e os modelos que os

descrevem também, mas industrialmente se precisa que eles trabalhem em um entorno pequeno da variável de saída.

Introdução à modelagem de sistemasSistemas lineares: Um sistema se diz linear se o mesmo cumpre com o principio da superposição, o seja, a saída do sistema, como resposta a

vários sinais de entrada, pode-se calcular somando as respostas individuais para cada entrada.

Nos sistemas lineares existe uma relação causa-feito entre entrada e saída que é linear.

A vezes se adopta a definição seguinte: um sistema é linear se ele pode ser descrito por um modelo linear.

Por exemplo: Os sistemas cujos modelos são:

a)

b)

dttdututy

dttdy

dttyd )()()(5)(4)(

2

2

)()(3)(2)()(2

2

3

3

tutydttdy

dttdy

dttyd

Introdução à modelagem de sistemasSistemas lineares invariantes e variantes com o tempo: Um sistema se diz linear invariante com o tempo se os parâmetros de seu modelo

são constantes.

Um sistema se diz linear variante com o tempo se os coeficientes ou parâmetros de seu modelo são funções do tempo.

Os exemplo dados anteriormente são ambos os lineares in variante com o tempo. Mas os modelos seguintes representam sistemas variantes no

tempo:

dt)t(du)t(u)t(yt5

dt)t(dyt

dt)t(yd 2

2

2

)t(u)t(y)t2(sen3dt

)t(dyedt

)t(dydt

)t(yd t2

2

3

3

Introdução à modelagem de sistemasSistemas não lineares: Se um sistema não cumpre com o principio da

superposição se que o sistema é não linear e o modelo que o representa tem que ser tb. não linear; assim a resposta de um sistema não linear a

dois sinais de entrada não se pode calcular somando as respostas individuais.

Exemplos de sistemas não lineares são:

dttdututy

dttdy

dttyd )()()(5)(4)( 2

2

2

0)()(1)( 22

2

tydttdyy

dttyd

0)()()( 22

2

tydttdy

dttyd

Introdução à modelagem de sistemasEm muitos sistemas físicos de todo tipo a relação entre entrada e saída não é

linear, assim nos encontramos com fenômenos de saturação, zona morta, histereses, jogo libre nos engrenagem, etc. que motivam que o modelo

resultante seja não linear. A seguir se mostram algumas dessas não linearidades.

Este tipo de não-linearidade se diz que é inerente ao sistema.

Fig. 1

entrada

saída

entrada

saída

entrada

saída

Saturação Zona morta Zona morta histereses

Introdução à modelagem de sistemasLinearização de Sistemas não lineares: Muitos processos tem que

desenvolver-se (sistemas de regulação) dentro de um entorno pequeno da vaiável de saída; nestes casos se o sistema resultara não linear o modelo pode ser linearizado em termos de variações pequenas das

variáveis.

El sistema assim linearizado comporta-se como o sistema original, mas em um entorno pequeno das variáveis do mesmo.

Para fazer a linearização do modelo se aplica o conceito matemático de

variação de uma variável ou função e para obter o modelo se usa o desenvolvimento dos termos do modelo em series de Taylor ao redor de um entorno pequeno do ponto de operação ou ponto de equilíbrio como

tb se conhece.

Mas adiante voltaremos sobre o assunto.

Função transferencial e resposta ao impulsoEm controle automático se usa muito o conceito de função de transferência

para descrever a relação entrada-saída do sistema.Este conceito se aplica só a sistemas lineares invariantes com o tempo e

fica muito relacionado com outro conceito muito importante tb: a resposta ao um sinal tipo impulso.

Função transferencial (FT): Se o modelo matemático que representa a relação que existe entre a saída y e a entrada x de um sistema linear fica

dado pela equação diferencial, ordinária e linear seguinte:

(1)

A FT deste sistema se define a relação que existe entre a transformada de Laplace da saída e a transformada da Laplace da entrada, baixo a consideração de que todas as condições iniciais sejam cero (0).

nmxbxbxbxbyayayaya mm

mm

onn

nn

1

1

11

1

10

Função transferencial e resposta ao impulsoOu seja:

(2)

Mediante o concepto de FT é possível representar a dinâmica do sistema por equações algébricas na variável complexa s das transformações de Laplace.

Neste caso se diz que o sistema linear descrito por (1) ou (2) é de ordem n.

)adedecausalidcondição(mnasasasabsbsbsb

)s(X)s(Y

entradaLsaidaL)s(GcialtransferenFunção

n1n1n

1n

0

m1m1m

1m

0

zeroinciaiscondições

Função transferencial e resposta ao impulsoComentários sobre a FT: O concepto aplicasse a sistemas lineares,

invariantes com o tempo e resulta muito útil no analise e projeto de sistemas de controle de tais sistemas. A seguir importantes comentários:

1. A FT de um sistema é um modelo matemático onde o método operacional permite relacionar as vaiáveis do sistema no domínio da

frequência complexa s.2. A FT é uma propriedade do sistema e não depende da natureza ou

magnitude das entradas ao sistema.3. A FT não inclui alguma informação sobre a estrutura física do sistema.

Funções transferenciais de diferentes sistemas físicos podem ser idênticas.

4. Se a FT é conhecida, a saída ou resposta do sistema a qualquer tipo de sinal de entrada pode ser estudada independente da natureza do

sistema.5. Se a FT é desconhecida, pode-se estabelecer experimentalmente

introduzindo ao sistema sinais conhecidas de entrada.

Função transferencial e resposta ao impulsoSistema mecânico: Seja o sistema de controle de altitude de um satélite

como se mostra a seguir:

Fig. 2.

O diagrama mostra só o controle do ângulo de derrape ou guinada (), embora existem controles dos três eixos.

Função transferencial e resposta ao impulsoJorros pequenos provocam reações que fazem que o satélite gire. Eles

operam em casais, em posições obliquas tais como A ou B. Consideremos que o empurre dos jorros seja F/2 e portanto o torque

produzido e aplicado ao sistema é:

Tanto T(t) como F(t) são considerados funções do tempo. Seja J o momento angular de inercia do satélite respeito ao eixo de giro (centro de massa).

Vamos a obter a FT do sistema considerando que T(t) é o sinal de entrada e que (t) é o sinal de saída.

Para calcular a FT, procede-se segundo os seguintes passos:1) Escreve-se a equação diferencial do sistema.

2) Aplicamos a transformada de Laplace considerando as condições iniciais zero.

3) Toma-se a relação (s)/T(s).

FlT

Função transferencial e resposta ao impulsoAplicando a segunda Lei de Newton, considerando que no espaço onde se encontra

o satélite não há atrito se tem:

Aplicando Transformada de Laplace e desprezando condições iniciais:

Por tanto:

)()(2

2

tTdt

dJ

)()(2 sTsJs

2

1)()()(

JssTssG

Função transferencial e resposta ao impulsoResposta ao impulso: Se sabe de analise de sistemas que a função impulso

o delta de Dirac é uma função singular que tem propriedades muito específicas, tais como que posei uma amplitude infinita (∞) e tempo de

duração cero (0).

A amplitude da função impulse recebe o nome de esforço do impulso; assim se o esforço é k se diz que o impulso tem esforço k. Se k = 1 o impulso

diz-se unitário.

Do estudo da matemática operacional, se sabe que transformada de Laplace da função impulso unitário é 1. Resulta a única função conhecida que cumpre

essa propriedade. Assim:

(3)

Se o impulso tem esforço k então:

(4)

1)( tL

ktkL )(

Função transferencial e resposta ao impulsoDa discussão anterior e tendo em conta a definição de FT temos que:

Se x(t) é um impulso unitário então:

Portanto:

(5)

Portanto:

(6)Ou seja, a resposta de um sistema linear a um impulso unitário é igual que a

transformada inversa de Laplace de sua FT.

)()()(sXsYsG

1)()( tLsX

)(1)(

)()()( sYsYsXsYsG

)()()()( 11 tgsGLsYLty

Função transferencial e resposta ao impulsoIntegral de convolação: Segundo o concepto de FT temos:

(7)

Aplicando transformada inversa de Laplace em ambos os membros se tem:

(8)

Mas, segundo o teorema da convolação da transformada de Laplace se tem:

O qual se conhece como convolação no tempo de g(t) com x(t) e fica dado por:

(9)

Onde se considera que g(t)=x(t)=0 para t<0

)()()( sXsGsY

)()()()( 11 sXsGLsYLty

)(*)()()()( 1 txtgsXsGLty

ttdtxgdxtgtxtgsXsGLty

00

1 )()()()()(*)()()()(

Função transferencial e resposta ao impulso

Resumindo podemos dizer que a resposta de qualquer sistema linear invariante no tempo se

pode calcular pela convolação no tempo do sinal de entrada com a resposta ao impulso do

sistema.

Sistema de Controle. Representação mediante diagramas de bloco

O modelo de todo sistema de controle não é mais que um conjunto de equações diferenciais no domínio temporal o equações algébricas no domínio

da frequência que relacionam as entradas com as saídas do sistema.

Esse conjunto de equações determina as diferentes relações de causa-efeito que existe entre as variáveis.

Mediante os diagramas de blocos é possível representar o fluxo dos sinais no sistema. Dai que podamos dizer que um diagrama de bloco é uma

representação gráfica das relações causa-efeito o fluxo de sinais que tem lugar em um sistema de controle.

Tais diagramas estão formados por blocos funcionais em cada um dos quais se realiza uma função matemática.


A seguir se mostra um diagrama de bloco elementar que estabelece a relação que existe entre dois sinais a traves da FT entre eles.

Fig. 3

Função Transferencial

G(s)

Sinal de Entrada

Sinal de Saída


Definições: Os diagramas de bloques se constroem de acordo aos pontos de vista do analise. A seguir se estabelecem as definições dos diferentes

elementos que constituem um diagrama de bloco.

Ponto se soma: Se mostra na Fig. 4 e indica a operação de soma (subtração).

Fig. 4

a a-b

b

+-


Ponto de rama: É um ponto desde o qual o sinal que sai de um bloco pode viajar para a entrada de outro bloco ou para um ponto de suma. A seguir se

mostra um ponto de rama.

Fig. 5

G(s)

Sinal de Entrada

Sinal de Saída

Ponto de rama


Diagrama de bloques em malha fechada: A seguir se mostra o diagrama de blocos de um sistema de controle em malha fechada.

Fig. 6

R(s) C(s)G(s)

E(s)+

-

Ponto de soma Ponto de

rama


Como funciona o sistema?: O sinal de referencia ou valor desejado na saída R(s) continuamente se compara por diferencia no ponto se suma com o

sinal de saída C(s) realimentada para obter-se o sinal de erro E(s) sobre o qual atua o controlador para exercer um sinal corretora que compensa

qualquer efeito perturbador sobre o sinal de saída.

Neste caso o sinal de saída compara-se diretamente com o sinal de referencia, se disse então que um feedback é unitário.

Mas, geralmente o sinal de saída, velocidade, temperatura, fluxo, nível, etc. são sinais de engenharia que precisas ser convertidas a sinal elétrica ou

pneumática, nos controladores reais.

De modo que o diagrama de bloco do sistema realimentado é da forma que se mostra a seguir na Fig. 7.


Onde o sinal de feedback é representado por H(s), diferente de 1. Este é o caso mais geral de sistema realimentado.

Fig. 7.Agora o sinal de feedback é B(s) que segui sendo da mesma natureza que

R(s) (voltagem, corrente, etc.) não é uma magnitude de engenharia (temperatura, pressão, etc.)

Neste caso H(s) é a FT do passo de feedback, enquanto que G(s) é a FT do passo direto entre o erro E e a saída C.

R(s) C(s)G(s)

E(s)+

-

H(s)

B(s)


Função transferencial em malha abertas e função transferencial do passo direto: De acordo com a Fig. 7 se tem:

(10)

E

(11)

Se o feedback é unitário H(s) = 1 e ambas funções de transferência coincidem.

)()()()( sHsGsEsBabertamalhadacialtransferenFunção

)()()( sGsEsCdiretopasodocialtransferenFunção


Função transferencial em malha fechada: Para o sistema da Fig. 7 se tem:

(12)

(13)

Substituindo (13) em (12) resulta:

(14)

De onde resulta:

(15)

Que recebe o nome de FT de malha fechada e fica dada por FT do passo direto/1+FT da malha aberta

)()()( sEsGsC

)()()()()()( sCsHsRsBsRsE

)()()()()()( sCsHsGsRsGsC

)()(1)(

)()(

sHsGsG

sRsC


Sistema em malha fechada submetido a distúrbio: Seja o sistema em malha fechada amostrado na Fig. 8 com o distúrbio D(s):

Considerando a referencia zero (R=0) e aplicando o concepto de FT de malha fechada, dado anteriormente, resulta para a resposta ao distúrbio:

(15))()()(1

)()()(

21

2

sHsGsGsG

sDsCD

R(s)

D(s)

G1(s) G2(s)

H(s)

+-

++ C(s)

H(s)


De igual forma, considerando D(s) = 0, resulta para a resposta do sistema ao sinal de referencia R(s):

(16)

A resposta a amos sinais R e D fica dada por:

(17)

De (15) vemos que se: G1(s)H(s)>>1e G1(s) G2(s)H(s) >>1, então a resposta ao distúrbio CD(s)/D(s) 0

Por outro lado, de (16) vemo-nos que a FT em malha fechada CR(s)/R(s) 1/H(s) quando G1(s)G2(s)H(s) >>1

)()()(1)()(

)()(

21

21

sHsGsGsGsG

sDsCR

)()()()()()(1

)()()()( 121

2 sDsRsGsHsGsG

sGsCsCsC DR


Obtenção de FTs mediante MatLab: No análise de sistemas de controle normalmente se precisa calcular FTs que ficam em cascata, em paralelo ou

formando uma malha fechada. O Mat Lab permite permite realizar esses cálculos de maneiram muito

simples. Vejamos:

Suponhamos duas FT dadas por:

Os coeficientes dos polinomios num e den se expresam em MatLab como segui:

>> num = [b0 b1 b2 bm];>> den = [a0 a1 a2 an];

2den2num)s(G;

1den1num)s(G 21


Então:

>> G1 = tf(num1, dem1);

>> G2 = tf(num2, den2);

Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em cascata:

>>[num, den] = series(mim1,den1,mum2,den2);

Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em paralelo:

>>[num, den] = parallel(mim1,den1,mum2,den2);

Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em malha fechada (G2 no passo de feedback):

>>[num, den] = feedback(mim1,den1,mum2,den2);


Procedimento para o riscado do diagrama de bloco: Procede-se da seguinte maneira:

1) Se elabora o modelo matemático no domínio temporal a partir das leis físicas ou outro procedimento.

2) Se lineariza o modelo para obter outro modelo equivalente num entorno pequeno das variáveis (modelo em variações).

3) Se transforma o modelo ao domínio da frequência complexa a traves da T. de Laplace ou da transformada Z se o modelo é discreto no tempo (não

continuo).4) Se procede a riscar o diagrama de fluxo de sinais ou o diagrama de bloco

seguindo os preceito e regras dadas para isso.

Vejamos um exemplo.

Representação mediante diagramas de blocoObter o diagrama de bloco do quadrupolo RC mostrado a seguir:

1) Modelo: Aplicando as lei de voltagem de Kirchhoff na malha fechada do circuito se tem:

Num capacito à carga elétrica nas placas é proporcional a voltagem, portanto:

eieo

R

Ci

RtetetitetRite oi

oi)()()()()()(

C

dttitetCedtti oo

)(

)()()(

Representação mediante diagramas de bloco2) Neste caso o modelo é linear, portanto o modelo linearizado em termos das

variações coincide com o modelo original.

3) Transformando pelo Laplace ambas os equações:

4) Representando a primeira equação no diagrama de bloco:

Representando a segunda equação:

RsEsEsI oi )()()(

CssIsEo)()(

R1Ei(s) I(s)

Eo(s)

+-

R1

Eo(s)I(s)

Representação mediante diagramas de bloque

Unindo ambos diagramas:

R1Ei(s) I(s) Eo(s)

+- Cs

1

Regras de redução dos diagramas de blocoExistem regras muito simples que foram estabelecias por Mason (1953) as

quais permitem simplificar as relações causa efeito entre as variáveis de um digrama de fluxo de sinais ou diagrama de bloco. Na tabela seguinte se

mostram as regras principais.

Regras de redução dos diagramas de bloqueFormula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos

primeiramente algumas definições e conceitos:

Nodo: É qualquer variável no diagrama de bloco o de fluxo de sinais. Se a variável representa um sinal de entrada então o nodo correspondente se diz nodo de entrada;

se a variável é um sinal se saída então o nodo se diz de saída ou vértice.Enlace ou rama (linking): É toda linha que partindo de um nodo fonte se dirige a um

nodo vértice ou saída indicando com uma seta o sentido do fluxo do sinal. Associado a cada rama ou enlace está sempre uma FT que recebe o nome de transmitância da

rama. Trajetória direita entre dois nodos: É toda sequência de ramas que partindo de um nodo, mantendo o sentido do fluxo do sinal, alcança a outro nodo sem passar por um

mesmo nodo mais de uma vez. Ganho de trajetória direita: É o produto dos ganhos ou transmitâncias dos enlaces o

ramas que formam a trajetória direita em questão.Malha fechada: É toda sequencia de enlaces ou ramas que, mantendo o fluxo do sinal

(sentido da seta) e partindo de um nodo retorna ao mesmo nodo.

Regras de redução dos diagramas de bloqueFormula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais:

Vejamos primeiramente algumas definições e conceitos:

Ganho da trajetória fechada: É o produto das transmitâncias das ramas que a formam.

Formula generalizada de Mason para o ganho entre um nodo vértice e um nodo fonte: Seja Y(s) a vaiável que representa o nodo vértice e seja X(s)

a variável que representa o nodo fonte, ambas no domínio da frequência complexa s, então:

(18)

Onde; Gk representa o ganho da trajetória direta k entre o nodo fonte e o nodo vértice. Supõe-se que há N trajetórias direitas entre Y e X.

N

kkkG

sXsYsGGanho 1

)()()(



: É o determinante do sistemas de equações que representam ao modelo do sistema na frequência e fica dado por:

(19)

...

,

1

entesuscesivamassime

possiveisscombinaçõeastoudasoconsierandseentretoquemsenãoquediagramado

fechadasmalhasduasdeganhosdosprodutosdos

possiveisscombinaçõeastoudasoconsierandseentretoquemsenãoquediagramado

fechadasmalhasduasdeganhosdosprodutosdos

diagramadofechadasmalhasastoudasdeganhos



k: É o valor que toma quando toda o diagrama que toca a trajetória direita Gk fica eliminada.

Exemplo: Dado o sistema de controle cujo diagrama de bloques se mostra a seguir:

a) Encontrar a relação C/R aplicando a regras de simplificação.b) Encontrar C/R aplicando a formula de Mason para o ganho.



a) Calculo de C/R aplicando a regras de simplificação. Movendo o ponto se soma do laço contendo H2 para a esquerda (regra 1) se

tem:



Resolvendo a malha fechada G1,G2,H1 tem-se:

Resolvendo a malha fechada G1G2/(1-G1G2H1), G3, H2/G1 se tem:

Classificação dos sistemas de controleOs controladores industrias se classificam como segui:

1. Controladores de duas posições ou on-off.2. Controladores proporcionais.

3. Controladores integrais.4. Controladores Proporcional-Integrais (PI).

5. Controladores proporcional-derivativos (PD).6. Controladores proporcional-integral-derivativos (PID).

Controle on-off:

u(t) = U1, pata todo e(t) > 0u(t) = U2, para todo e(t) < 0

u1

u2

ue-

+

Classificação dos sistemas de controleControladores proporcionais:

u(t) = Kpe(t)

Kp : constante de proporcionalidade o ganho do controlador.

Controladores integrais:

Onde Ki é constante ou ganho integral.

Controladores proporcionais mais integrais:

sK

)s(E)s(Udt)t(eK)t(u i

t

0i

sT

11K)s(E)s(Udt)t(eK)t(eK)t(u

ip

t

0ip

Classificação dos sistemas de controle

Controladores proporcionais mais derivativo:

Controladores proporcionais mais interativo mais derivativo:

sT1K)s(E)s(U

dt)t(deTK)t(eK)t(u dpdpp

sT

sT11K

)s(E)s(U

dt)t(deTKdt)t(e

TK

)t(eK)t(u di

pdp

t

0i

pp

E(s) sT

sTTsT1K

i

2diip U(s)

+-



Resolvendo a malha fechada G1G2G3, 1 tem-se:

Finalmente:

b) Aplicando a fórmula de Mason:Segundo (18):

321232121

321

1 GGGHGGHGGGGG

RC

N

kkkG

sRsC 1

)()(

Regras de redução dos diagramas de bloqueFormula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Neste

caso há só uma trajetória direita entre R e C, portanto N = 1. Essa trajetória esta formada pelas ramas: G1,G2 e G3. Seu ganho é: G1G2G3

O sistema tem três malhas fechadas, cujos ganhos são: G1G2H1, G2G3H2 e G1G2G3.

Portanto o determinante do sistema está dado segundo (19) por:

Quando elimina-se a única trajetória que existe não fica nenhuma malha fechada. Portanto:

1 = 1-0 = 1

Portanto substituindo valores:

Observe-se a coincidência de ambos os resultados.

32132121321232121 11 GGGHGGHGGGGGHGGHGG

321232121

321

1)()(

GGGHGGHGGGGG

sRsC

CONCLUSÕES

BIBLIOGRAFIA

Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna, Cap. 3, pags. 57 -70

Rodriguez Borroto, M. A.; Conferencia 2, notas de aula.

FIM

Date post:	13-Apr-2017
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