Proiect didacticExponeniale i logaritmi

Proiect didactic Exponeniale i logaritmiClasa: a X-a;Profesor: Ilie (Rinescu) Elena;Tema: Exponeniale i logaritmi;Tipul leciei: Predarea de noi cunotine.

Competene Competene generale:1. Identificarea unor date i relaii matematice i corelarea lor n funcie de contextul n care au fost definite;2. Utilizarea logaritmilor i a conceptelor matematice pentru caracterizarea local sau global a unei situaii concrete.Competene specifice: 1. Utilizarea echivalenei dintre bijectivitate i inversabilitate n trasarea graficelor; 2. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietilor algebrice ale funciilor exponeniale i logaritmice;3. Aplicarea corect a noiunilor n rezolvarea exerciiilor.

Puteri cu exponent realTeorema 1: 1 Dac este un numr real, atunci dintre dou puteri cu exponent raional pozitiv ale acestui numr, este mai mare aceea al crei exponent este mai mare. 2 Dac este un numr real, atunci dintre dou puteri cu exponent raional pozitiv ale acestui numr, este mai mare aceea al crei exponent este mai mic. Demonstraie: 1 ntr-adevr , fie , dou numere raionale pozitive.

Avem i .

Puteri cu exponent realAducem aceti radicali la radicali de acelai ordin: i . Cum rezult c . Dar cum , rezult c , de unde

sau .

2 Demonstraia este analog cu cea de la punctul 1 .

Puteri cu exponent realExemple: 1. Avem . De aceea ;

2. Avem . De aceea ; .

Puteri cu exponent realDefiniie 1 Fie i x un numr pozitiv. Se numete puterea x a lui a un numr real y care, pentru orice numr natural n, satisface inegalitile : Numrul y dat de definiie se noteaz ax i se citete a la puterea x.Exemplu: S explicm ce trebuie neles prin . Aproximrile zecimale ale lui sunt urmtoarele: prin lips : prin adaos :

Puteri cu exponent realastfel nct:

..............................Numrul care ne intereseaz , ndeplinete inegalitile:

..............................

Puteri cu exponent realDefiniie 2 Fie i x un numr real pozitiv. Se numete puterea x a lui a un numr real y care, pentru orice numr natural n, satisface inegalitile :

Exemplu: S explicm ce trebuie neles prin . Avnd n vedere cele de mai nainte, precum i tabelul aproximrilor zecimale ale lui , numrul care ne intereseaz ndeplinete inegalitile:

Puteri cu exponent real

Observaie: Pentru orice numr real x, .

Puteri cu exponent realDefiniie 3oDac i x este un numr real negativ, atunci:

Deoarece numrul x este pozitiv, a fost definit mai sus. Mai mult, am demonstrat c pentru x > 0.Exemplu: Am demonstrat c dac atunci Cum , rezult c pentru avem .

Puteri cu exponent realProprieti ale puterilor cu exponent real: Fie a > 0 i b > 0 (numere reale pozitive). Atunci, pentru x i y numere reale, avem:

Puteri cu exponent realExemple:

Funcia exponenialFie a > 0, un numr real pozitiv. Definiie: Funcia , unde a > 0, se numete funcie exponenial (de baz a).Proprieti ale funciei exponeniale: 1. Dac a > 1, atunci pentru x>0 avem ax>1, iar pentru x 1, funcia exponenial este strict cresctoare, iar pentru este strict descresctoare;4. Funcia exponenial (a>0, a1) este bijectiv;5. Funcia exponenial este inversabil proprietate evident deoarece funcia bijecitv este inversabil.

Funcia exponenialGraficul funciei exponeniale:Pe aceeai figur vom reprezenta graficele funciilor i

iar pe alta al funciilor i .

Trasarea fiecrui grafic se face prin puncte. Asociem tabelele de valori urmtoare:

Funcia exponenial

Funcia exponenial

Funcia exponenial Proprietile graficului funciei exponeniale:1. Trece prin punctul de coordonate (0,1) de pe axa Oy; 2. Graficul funciei exponeniale este construit dintr-o singur ramur care urc pentru baza a > 1 i coboar pentru baza 0< a < 1; 3. Graficul funciei exponeniale este din ce n ce mai apropiat de axele Ox i Oy cu ct a este mai mare, dac a > 1 sau cu ct a este mai mic, dac 0 < a < 1.

LogaritmiFie a > 0, un numr real pozitiv, a 1. Considerm ecuaia exponenial (1). Din proprietatea 4 a funciei exponeniale rezult c ecuaia are o soluie care este unic determinat, care se noteaz (2) i se numete logaritmul numrului pozitiv N n baza a.Din (1) i (2), rezult egalitatea care ne arat c logaritmul unui numr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicat baza a pentru a obine numrul dat.Dac n (1) facem x=1, obinem a1 = a i .

LogaritmiExemple: 1. S calculm . Cum , atunci din definiia logaritmului avem .2. S determinm . Din egalitatea obinem: .3. S determinm . S considerm ecuaia exponenial

Cum obinem i deci .

LogaritmiFuncia logaritmic: Fie a > 0, un numr real pozitiv, a 1.Definiie: Funcia , a > 0, a 1 se numete funcie logaritmic.Proprietile funciei logaritmice:1. . Intr-adevr cum rezult c i deci 2. Funcia logaritmic este monoton. Mai exact, dac a > 1, atunci este strict cresctoare, iar dac 0 < a < 1 funcia logaritmic este strict descresctoare;3. Funcia logaritmic este bijectiv; 4. Inversa funciei logaritmice este funcia exponenial.

LogaritmiGraficul funciei logaritmice pentru . Considerm tabelele de valori:

Logaritmi

LogaritmiProprietile graficului funciei logaritmice: 1. Trece prin punctul de coordonate (1,0) de pe axa Ox;2. Graficul funciei logaritmice este constituit dintr-o singur ramur care urc pentru baza a > 1 i coboar pentru baza 0< a < 1;3. Graficul funciei logaritmice este din ce n ce mai apropiat de axele Ox i Oy cu ct a este mai mare, dac a > 1 sau cu ct a este mai mic, dac 0 < a < 1;4. Graficul funciei logaritmice este simetricul graficului funciei exponeniale fa de bisectoarea unghiului xOy.

Tema pentru acas Reprezentai n acelai sistem de coordonate graficele urmtoarelor funcii:1. ; ;

2. ; .