7/25/2019 Dinamica,Complet

1/21

INTRODUCERE IN DINAMICA SISTEMELOR

1.1 SISTEM CHIMIC

-un system este un ansamblu de elemente ce interactioneaza intre ele si cuexteriorul in vederea atingerii unui scop.

In cadrul sistemelor fizico-chimice interactiunea se realizeaza prin echilibrul de

mase si energie.

*Variabila de comanda-marimi asupra carora un utilizator al sistemului poate

actiona.

*Perturbatiile-marimi care actioneaza asupra sistemelor,dar cu variatii ce nu pot fi

controlate

*Marimile de intrare sunt independente de system,sunt marimi de tip cauza si

influenteaza din exterior comportamentul sistemului*Variabile de stare-marimi interioare ale sistemului,sunt dependente de marimile

de intrare au rolul de a caracteriza starea interna curenta a sistemului

*Marimile de iesire sunt marimie ce pot fi masurate sau cel putin defectate.Sunt

marimi dependente de cele de intrare si de stare,sunt marimi de tip

effect,exprima actiunea sistemului asupra exteriorului

7/25/2019 Dinamica,Complet

2/21

Un sistem chimic este un sistem la care marimile de intrare si de iesire sunt

marimi chimice.

7/25/2019 Dinamica,Complet

3/21

1.2 Stare stationara.Stare chimica*Stare stationara-marimi care caracterizeaza sistemele,nu se modifica in timp

*Regim dinamic-marimi care se modifica in timp

*Dinamica unui sistem-reprez evolutia in timp a sistemului respective si in special

a iesirii sistemului

-un model matematic este un set de relatii care descriu comportamentul

sistemului intr-o masura rezonabila cat mai aproape de rezultate.

7/25/2019 Dinamica,Complet

4/21

2.2 REOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE

Fie ec dif dy/dx:f(x,y),cand initiala y(x0)=y0Prin solutionarea ec diferentiale se urmareste gasirea unei functii g(v) care sa

satisfaca ec respective.In urma solutionarii numerice se va obtine functia y prin

valori distinct.Practic de va obtine un set de puncte (xi,yi) in care este definite

functia y(x)

7/25/2019 Dinamica,Complet

5/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

6/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

7/21

Eroarea de trunchiere este mare pe perioada regimului tranzitoriu si se

micsoreaza pe masura ce respectivul sistem se apropie de regimul stationar.

Algoritmii Runge-Kutta au aparut datorita necesitatii opererii preciziei de calcul.

Algoritmul Runge-Kutta de ordin 4

Yi-1=yi+1/e(k1+2k2+2k3+k4)

K1=h*f(xi,yi)

K2=h*f(xi+h/2,yi+k1/2)

K3=h*f(xi+h/2,yi+k2/2)

7/25/2019 Dinamica,Complet

8/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

9/21

EXEMPLU:Sa se determine raspunsul in timp al procesului caracterizat prin:

A=3m

H0=0.5m

Hmax=4m

Qi=0.3metri cubi/sQe=0.2metri cubi/s

H=0.5+1/3(0.3-0.2)*t

4*0.5+1/3*0.1t=>t=105sec

3.2 Modelarea si simularea acumularii unui lichid

Fluxul de iesire este caracterizat prin curgerea libera a lichidului din vas

7/25/2019 Dinamica,Complet

10/21

3.2.1 Modelarea matematica a procesului

Procesul este format din 2 subprocese:

a)subprocesul vas care reflecta acumularea de lichid in vas

b)subprocesul curgere libera care caracterizeaza variatia echilibrului Qe in raport

cu nivelul N din vas

7/25/2019 Dinamica,Complet

11/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

12/21

FUNCTII DE TRANSFER

Comportarea dinamica a sistemelor se poate analiza pe baza raspunsului acestora

in timp.Atunci cand la intrare se aplica semnale de diferite tipuri,functiile de

transfer constituie una din modalitatiile de analiza a comportarii dinamice asistemelor.Aceasta metoda are la baza transformarea functiilor de timp si a

ecuatiilor diferentiale associate sistemelor in functii complexe care permit

obtinerea de informatii asupra comportarii dinamice ale sistemelor cu un effort

de calcul mai mic decat cel asociat tratarii directe a ecuatiilor diferentiale.

7/25/2019 Dinamica,Complet

13/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

14/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

15/21

2.REZOLVAREA ECUATIILOR DIFERENTIALE

2.1REZOLVAREA ANALITICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE

Fie sistemul ,presupunem ca

MM asociat sistemului este rep. de ec. Diferentiala a dy/dt+y=b*u,in care:

a se numeste variabila de timp

b se numeste factor de amplificare.

Solutia ec diferentiale este y(t)=y omogen+y particular

Y omogen-reprez.raspunsul sistemului in absenta intrarii

U=0=>a*dy/dt+y=0

A)Separarea variab.

a*dy/dt=-y=>a*dy/dt=-dt/:a=>dy/dt=-1/a dt=>dy/y=-1/a dt=>ln y=-1/a t+C

y=e la puterea -1/a*t*C=>y=e la puterea -1/a t*e la puterea C

e la puterea a+b=e la puterea a * e la puterea b

y omogen=C1*e la puterea -1/a * t

B)Caracteristica

a*r+1=0=>r=-1/a

Solutia: y=c1*e la puterea rt=c1 * e la puterea -1/a t

2)y PARTICULAR-este asociat starii stationare corespunzatoare momentului cand

t->

Se allege de forma intrarii:

Y particular=C2

7/25/2019 Dinamica,Complet

16/21

a* y particular/dt+y particular=b*uf=>C2=b*uf

3)Gasim Solutia totala

y=y omogen+y particular

y(t)=C1*e la puterea -1/a t + b*uf

4)Conditia initiala:y(0)

Y(0)=b*u(0)=b*ui} b*ui=C1+b*uf

Y(0)=C1+b*uf} C1=b(ui-uf)

Y(t)=b(ui-uf)*e la puterea -1/a*t + b*uf

7/25/2019 Dinamica,Complet

17/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

18/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

19/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

20/21

7/25/2019 Dinamica,Complet

21/21