Home > Documents > Dinamica Zborului

Dinamica Zborului

Date post: 02-Dec-2015
Category:
Author: catalin-ciocarlan
View: 1,189 times
Download: 7 times
Share this document with a friend
Embed Size (px)
of 198 /198
UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” BUCUREŞTI Facultatea de Inginerie Aerospaţială DINAMICA ZBORULUI Note de Curs Conf. dr. ing. Teodor-Viorel CHELARU 2007
Transcript
  • UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCURETI Facultatea de Inginerie Aerospaial

    DINAMICA ZBORULUI

    Note de Curs

    Conf. dr. ing. Teodor-Viorel CHELARU

    2007

  • 2

    CUPRINS

    I. ELEMENTE DE AERODINAMICA....................................................... 4 1. CALCULUL FUZELAJULUI IZOLAT.......................................................... 4

    1.1 ELEMENTELE GEOMETRICE ALE FUZELAJULUi ................................ 4 1.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FOREI NORMALE ............................... 6 1.3 COEFICIENTUL FOREI AXIALE LA INCIDEN NUL .................... 9 1.4 COEFICIENTUL FOREI AXIALE INDUSE ............................................ 13 1.5 FOCARUL FUZELAJULUI ......................................................................... 14

    2. CALCULUL SUPRAFEEI AERODINAMICE IZOLATE ...................... 16 2.1 ELEMENTE GEOMETRICE ALE SUPRAFEEI AERODINAMICE...... 16 2.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FOREI DE PORTAN ..................... 17 2.3 COEFICIENTUL FOREI DE REZISTEN LA NAINTARE LA INCIDEN NUL............................................................................................ 21 2.4 REZISTENA INDUS .............................................................................. 26 2.5 FOCARUL SUPRAFEEI AERODINAMICE............................................ 27 2.6 CALCULUL TERMENILOR SUPRAFEEI AERODINAMICE N SISTEMUL DE AXE LEGAT DE SUPRAFA ............................................. 30

    3. CALCULUL INTERFERENELOR I A TERMENILOR DE DEZVOLTARE A COEFICIENILOR AERODINAMICI............................ 32

    3.1 CALCULUL INTERFERENELOR............................................................ 32 3.2 TERMENII DE DEZVOLTARE A COEFICIENILOR AERODINAMICI PENTRU O CONFIGURAIE NORMAL DE AVION.................................. 42

    II ECUAIILE MICRII GENERALE - Forma neliniar a ecuaiilor de micare ........................................................................................ 53 4. INFLUENA PMNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MICAREA IN TRIEDRUL MOBIL ............................................................................................. 53

    4.1 FORA DE ATRACIE A PMNTULUI................................................ 53 4.2 ACCELERAIA GREUTII I ACCELERAIA CORIOLIS ................ 55 4.3 LEGTURA DINTRE TRIEDRUL PMNT I TRIEDRUL MOBIL AL RACHETEI.......................................................................................................... 56 4.4 MICAREA N RAPORT CU UN SISTEM DE REFERIN MOBIL..... 60

    5. ECUAIILE CINEMATICE ALE MICRII ............................................. 63 5.1 ECUAIILE CINEMATICE UTILIZND UNGHIURILE DE ATITUDINE ........................................................................................................ 64 5.2 ECUAIILE CINEMATICE UTILIZND UNGHIURILE DE ATITUDINE MODIFICATE .............................................................................. 67 5.3 ECUAIILE CINEMATICE UTILIZND CUATERNIONUL HAMILTON ........................................................................................................ 72

    6. ECUAIILE DINAMICE ALE MICRII I ............................................. 78 6.1 ECUAIILE MICRII N TRIEDRUL MOBIL ....................................... 78 6.2 ECUAIILE MICRII N TRIEDRUL VITEZ ...................................... 81

  • 3

    7. ECUAIILE DINAMICE ALE MICRII - II ............................................ 89 7.1 ECUAIILE MICRII N TRIEDRUL RESAL........................................ 89 7.2 ECUAIILE MICRII CU VNT............................................................. 92 7.3 FORMA DECUPLAT A ECUAIILOR MICRII GENERALE .......... 93

    III. ECUAIILE MICRII COMANDATE -Forma liniar a ecuaiilor comandate ...................................................................................... 100 8. LINIARIZAREA ECUAIILOR MICRII COMANDATE N FORMA GENERAL ........................................................................................................ 100

    8.1 MICAREA DE BAZ GENERAL N ZBORUL COMANDAT ......... 101 8.2 FORMA LINIARIZAT A ECUAIILOR DINAMICE........................... 103 8.3 FORMA LINIARIZAT A ECUAIILOR CINEMATICE...................... 111 8.4 MATRICELE DERIVATELOR DE STABILITATE CU COMENZI BLOCATE ......................................................................................................... 111 8.5 MATRICEA DE COMAND CU INTRARE N BRACAJE .................. 121 8.6 VECTORUL PERTURBAIILOR PERMANENTE................................. 124

    9. FORMELE DECUPLATE ALE ECUAIILOR MICRII COMANDATE , MICAREA DE BAZ, PERFORMANE ....................... 128

    9.1 MISCAREA DE BAZA LA VITEZ IMPUSA ........................................ 130 9.2 ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZA MAXIMA ..................................... 133 9.3 ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZ MINIMA ....................................... 134 9.4 ZBORUL INCLINAT LA TRACIUNE IMPUSA .................................. 135

    10. FORME LINIARE Ale ECUAIILOR MICRII LONGITUDINALE............................................................................................................................... 140

    10.1 Ecuaiile LINIARIZATE ALE micrii longitudinale .......................... 140 10.2 MICAREA LONGITUDINAL RAPID............................................. 146 10.3 MICAREA LONGITUDINAL LENT .............................................. 160

    11. FORME LINIARE ALE ECUAIILOR MICRII LATERALE ........ 163 11.1 Ecuaiile LINIARIZATE ALE micrii laterale ....................................... 163 11.2 MICAREA LATERAL RAPID (RULIU OLANDEZ)..................... 171 11.3 MICAREA DE RULIU (RULIU PUR) .................................................. 173 11.4 MICAREa LATERAL CUPLAT ..................................................... 176

    12. MICAREA RACHETEI CU ROTAIE LENT.................................... 178 12.1 MICAREA DE BAZ PENTRU RACHETA CU ROTAIE LENT, COMANDAT GAZODINAMIC.................................................................... 178 12.2 MICAREA RAPID N JURUL CENTRULUI DE MAS PENTRU RACHETA CU ROTAIE ................................................................................ 180 12.3 INDICII DE CALITATE A MICRII LONGITUDINALE PENTRU RACHETA CU ROTAIE ................................................................................ 183

    BIBLIOGRAFIE ................................................................................................. 187 SUBIECTE EXAMEN ....................................................................................... 197

  • Prelegere 1

    4

    I. ELEMENTE DE AERODINAMIC

    1. CALCULUL FUZELAJULUI IZOLAT

    1.1 ELEMENTELE GEOMETRICE ALE FUZELAJULUI

    Elementele geometrice ale fuzelajului sunt indicate n figurile 1.1 i 1.2 Terminologia, notaiile i simbolurile utilizate pentru descrierea geometriei sunt n concordan cu standardul [X1]. Pentru definirea metodologiei de calcul pe fuzelajul izolat, s-au avut n vedere lucrrile [C2], [C3], [C15], [C16],[C17],[C18] [K3], [K4], [K5], [K6], [K8], [N6], [N11], [R4], [S12], [W5].

    Formele uzuale pentru vrful de fuzelaj sunt: 1- con ; 2 - sfer; 3 - con + sfer; 4 - ogiv; 5 - ogiv + sfer.

    n figura 1.1 se evideniaz urmtoarele elemente geometrice principale: l - lungimea fuzelajului; S - aria transversal a fuzelajului; d - diametrul fuzelajului;

    vl - lungimea vrfului; cill - lungimea prii cilindrice; pl - lungimea posterioar; v - semiunghiul la vrf; p - unghiul de conicitate al prii posterioare; Se mai definesc razele: 2/dr = - raza fuzelajului; vr - raza de rotunjire a vrfului; pr - raza posterioar ( raza seciunii terminale);

    Fig. 1. 1 Elementele geometrice ale fuzelajului

  • Prelegere 1

    5

    Fig. 1.2 Seciunea terminal a fuzelajului

    n baza mrimilor geometrice principale se pot pune n eviden o serie de mrimi geometrice adimensionale utile n calculele de aerodinamic:

    dl= alungirea;

    dlV

    V = - alungirea vrfului; dlCil

    Cil = - alungirea poriunii

    cilindrice; dlP

    P = - alungirea prii posterioare; drr VV

    2~ = raza de rotunjire a vrfului adimensionalizat . Pentru calculul unghiurilor de nclinare se pot utiliza urmtoarele relaii:

    22 )~2(1

    ~arcsin

    )~2(11arcsin

    vv

    v

    vvV

    rr

    r ++= , (1.1)

    pp

    p lrr = arctan

    (1.2) n calculele de aerodinamic mai intervin o serie de suprafee i volume. Considernd c vrful are form conic, n continuare dm pentru acestea relaii simplificate de calcul. Astfel, aria proieciei cilindrice se poate determina cu relaia:

    cildlS = , (1.3) poziia centrului acesteia fa de vrful fuzelajului fiind dat de:

    2/cilv llx += . (1.4) Aria lateral a fuzelajului este dat de:

    postvarfcillat SSSS ++= , (1.5) unde s-a notat: - suprafaa poriunii cilindrice:

    cilcil dlS = ; (1.6) - suprafaa vrfului:

    22 rlrS vvarf += ; (1.7) - suprafaa poriunii posterioare:

    22 )()( ppppost rrlrrS ++= (1.8) Aria seciunii terminale (fig. 1.2) se poate calcula cu relaia:

    2pterm rS = (1.9) Volumul vrfului este dat de:

  • Prelegere 1

    6

    3/2 vV lrW = (1.10) Volumul posterior se obine cu:

    3/)( 22 pppp lrrrrW ++= (1.11)

    1.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FOREI NORMALE Pentru calculul derivatei coeficientului forei normale se pleac de la forma distribuiei de presiuni pe fuzelaj, distribuie care este de forma din fig. 1.3

    V

    z

    x2

    2VppCp

    =

    +

    Fig. 1.3 Forma distribuiei de presiuni pe fuzelajul izolat

    n majoritatea lucrrilor care stau la baza metodologiei de calcul, relaia de calcul pentru derivata coeficientului forei portante este indicat de forma:

    +

    += zpostcilzVz CCC (1.12) unde termenul datorat vrfului n compresibil, n funcie de forma sa, se alege din diagramele din fig. 1.4, 1.5, 1.6.

    supersonicsausubsoniclcompresibiMMf

    subsonicbilincompresiC

    V

    cil

    VV

    cilzV

    = + ,11

    222

    (1.13)

  • Prelegere 1

    7

    0 1 2

    (M -1) /

    2

    2.2

    2.4

    2.6

    2.8

    3

    3.2

    3.4

    C z

    2 1/2 v- (1-M ) /2 1/2 v

    / >4

    / =0.5

    / =1

    / =2 / =3

    / =0

    c v

    c v

    c v

    c v

    c v

    c v

    CON PRELUNGIT CU CILINDRU

    Fig. 1.4 Derivata coeficientului forei normale cu incidena pentru vrf conic

    0 1 2

    (M -1) /

    2

    2.2

    2.4

    2.6

    2.8

    3

    3.2

    3.4

    C z

    2 1/2 v- (1-M ) /2 1/2 v

    / >4

    / =0.5 / =1 / =2

    / =3

    / =0

    c v

    c vc v

    c v

    c v

    c v

    OGIVA PRELUNGITA CU CILINDRU

    Fig. 1.5 Derivata coeficientului forei normale cu incidena pentru vrf ogival

  • Prelegere 1

    8

    0 1 2

    (M -1) /

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    2.2

    2.4

    2.6

    C z

    2 1/2 v- (1-M ) /2 1/2 v

    SEMISFERA PRELUNGITA CU CILINDRU

    Fig. 1.6 Derivata coeficientului forei normale cu incidena pentru vrf sferic

    Dac vrful are o rotunjire sferic se utilizeaz relaia:

    +

    +

    + += cilzsfvvcil

    ogivaconzcilzV

    CrrCC 220 ~)~1( , (1.14)

    relaie care combin valorile obinute din tabelele anterioare. Pentru calculul termenului posterior se utilizeaz relaia:

    = 12S

    SC termKzpost , (1.15)

    unde coeficientul de corecie se alege: 2,0...15,0=K , (1.16)

    iar suprafaa terminal se calculeaz diferit dac exist un motor cu reacie n funciune, dup cum se poate vedea n fig. 1.7, 1.8.

    termS

    pd

    MOTOR OPRIT

    termS

    gazeiesireS

    MOTOR INFUNCTIUNE

    Fig. 1.7 Zona posterioar Fig. 1.8 Seciunea terminal

    n cazul motorului cu reacie n funciune se calculeaz un diametru

  • Prelegere 1

    9

    posterior echivalent:

    =term

    pSd 4 , (1.17)

    putnd-se utiliza o relaie unic pentru calculul suprafeei terminale 4/2pterm dS = , (1.18)

    care este echivalent cu relaia (1.9) stabilit anterior.

    1.3 COEFICIENTUL FOREI AXIALE LA INCIDEN NUL

    Expresia general a coeficientului forei axiale la inciden nul este dat de:

    ++++=

    supersonicCCCsubsonicC

    C

    CCC

    postxundaxfrecarex

    postx

    profilx

    formaxfrecarexx

    000

    0

    0

    000

    444 8444 76 . (1.19)

    La rndul su, termenul datorat rezistenei posterioare are dou forme:

    =

    opritmotorulcuCfunctiuneinmotorulcuC

    Cpasivpostx

    activpostxpostx

    0

    00 . (1.20)

    Termenii de profil n subsonic, i de frecare n supersonic au urmtoarele expresii:

    subsonicS

    SCC latMfprofilx = 0 ; (1.21)

    supersonicS

    SCC latMffrecarex

    =0 , (1.22) unde s-a notat cu fC coeficientul de frecare al plcii plane, iar M ; reprezint coeficieni de corecie care in cont de alungirea fuzelajului respectiv de efectul de compresibilitate. Pentru supersonic, deoarece coeficienii de corecie sunt diferii, acetia au fost marcai cu asterisc, semnificaia lor fiind similar.

    Coeficientul de frecare al plcii plane se calculeaz separat pentru regimul laminar i turbulent, depinznd n final de punctul de tranziie (fig. 1.9) i de numrul Reynolds:

    )~1(~ += xCxCC fturbulentflamf . (1.23) Punctul de tranziie se definete astfel:

    ReRe~ cr

    lxx ==

    , (1.24)

    unde :

    ==MlaVlRe ; (1.25)

    iar Reynolds critic n mod uzual are valoarea: 6105Re cr . (1.26)

  • Prelegere 1

    10

    x

    x

    l

    laminar turbulent

    Fig. 1.9 Tranziia de la laminar la turbulent

    Pentru determinarea punctului de tranziie se poate utiliza relaia:

    >

  • Prelegere 1

    11

    1 2 3 4 5M

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    M*

    X* =0

    Fig. 1.10 Corecia de compresibilitate n supersonic

    1 2 3 4 5M

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    2.2

    2.4

    2.6

    *

    v =1.5

    2.0

    3.0

    4.05.0

    Fig. 1.11 Corecia de alungire n supersonic

  • Prelegere 1

    12

    Relund rezistena posterioar definit prin (1.19), aceasta are urmtoarele expresii:

    =

    supersonicMS

    SKK

    subsonicS

    SC

    kC

    termpp

    term

    profilxpostx

    2

    5,1

    00

    1)2(144,1

    029,0

    (1.32)

    unde coeficientul de corecie n regim subsonic este dat de: 222 101,01176,086,1 MMk += (1.33)

    iar termenul de corecie n supersonic este:

    =1

    SSMK termp (1.34)

    n sfrit, termenul de und, specific domeniului transonic i supersonic este dat de relaia general

    222 ~)cos~1( vxusfVvogivaconxuxu

    rCrCC += , (1.35) unde termenii particulari se iau din tabele 1.6, 1.7, 1.8 sau din diagramele din fig. 1.12, 1.13, 1.14 :

    1 2 3 4 5M

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    Cxu

    v=1.5

    2.02.53.04.05.0

    Fig. 1.12 Termenul rezistenei de unda pentru vrf conic

  • Prelegere 1

    13

    1 2 3 4 5M

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    Cxu

    v=2.0

    2.5

    3.0

    4.05.0

    Fig. 1.13 Termenul rezistenei de unda pentru vrf ogival

    1 2 3 4 5M

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    Cxu

    v =0.5

    Fig. 1.14 Termenul rezistenei de unda pentru vrf sferic

    1.4 COEFICIENTUL FOREI AXIALE INDUSE

    Pentru acest termen se aplic relaia:

  • Prelegere 1

    14

    =

    zxx CKC2

    2

    21 , (1.36)

    unde coeficientul de corecie este dat de:

    >++

    ++++

  • Prelegere 2

    18

    5022

    50

    cos1cos

    = M , (2.5)

    iar influena trapezoidalitii se obine cu relaia: 21 = . (2.6)

    Pentru calculul acestor mrimi se definete funcia:

    +=

    SbC

    SbCf o 0

    00

    242

    200

    4200 43)(1,,,, , (2.7)

    unde s-a notat:

    120 +=

    rrCL ;

    qa

    924,01383,0

    = ; qb 383,01924,0

    = ; rrq 1= ; )(5,00 ba += ;

    )(2707,0

    2 ba = ; qba 707,01707,05,0)(25,04 += . (2.8)

    Cu ajutorul funciei definite factorii relaiei (2.6) sunt:

    =S

    bCf o,,,, 4200 ;

    = qqf 22,,,,

    )2(21

    4201 ;

    ( ) 17,0162627.01,0268.0,192.0,6535.0,25.02 == f . (2.9) n regim compresibil subsonic i supersonic se utilizeaz tabelele 2.1-2.6 sau

    diagramele din fig. 2.3-2.8:

    =

    rtg

    MMfCL ,,

    11

    502

    2 . (2.10)

    -5 0 5 10

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    CL /

    tg =55043210

    M1

    r=1

    Fig. 2.3 Derivata coeficientului forei portante cu incidena (r=1)

  • Prelegere 2

    19

    -5 0 5 10

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    CL /

    tg =55043210

    M1

    r=2

    Fig. 2.4 Derivata coeficientului forei portante cu incidena (r=2)

    -5 0 5 10

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    2

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    CL /

    tg =55043210

    M1

    r=4

    Fig. 2.5 Derivata coeficientului forei portante cu incidena (r=4)

  • Prelegere 2

    20

    -5 0 5 10

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    CL /

    tg =55043210

    M1

    r=6

    Fig. 2.6 Derivata coeficientului forei portante cu incidena (r=6)

    -5 0 5 10

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    CL /

    tg =55043210

    M1

    r=8

    Fig. 2.7 Derivata coeficientului forei portante cu incidena (r=8)

  • Prelegere 2

    21

    -5 0 5 10

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    CL /

    tg =55043210

    M1

    r=12

    Fig. 2.8 Derivata coeficientului forei portante cu incidena (r=12)

    2.3 COEFICIENTUL FOREI DE REZISTEN LA NAINTARE LA INCIDEN NUL

    Forma general a coeficientului de rezisten la naintare la inciden nul este:

    ++++=supersonicCCC

    subsonicC

    C

    CCC

    postxundaxfrecarex

    postx

    xprofil

    formaxfrecarexx

    000

    0000

    444 8444 76 . (3.11)

    Termenul de profil n subsonic, respectiv de frecare n supersonic poate fi pus n forma:

    = Mfersonicfrecarexsubsonicprofilx CCC 2)(sup0)(0 . (2.12) Coeficientul de frecare al plcii plane este n funcie de numrul Reynolds:

    (Re)fC f = , (2.13) unde:

    = MAMaCRe . (2.14)

  • Prelegere 2

    22

    Cma

    x

    Fig. 2.9 Trecerea de la stratul limit laminar la stratul limita turbulent pe profil

    Datorit prezenei fuzelajului, punctul de tranziie pe arip este foarte apropiat de bordul de atac:

    0~ =

    Cma

    xx . (2.15)

    n acest caz se poate lucra numai cu formulele din turbulent:

    1r=1

    CxuT 2cma

    Fig. 2.10 Termenul rezistenei de und n regim supersonic pentru profil rombic

    (r=1)

    0 2 4 6 8

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    2

    2.25

    2.5

    2.75

    ( 1)2 1/2

    tg =450

    3

    2

    1

    0

    M>1r=5

    CxuT 2cma

    Fig. 2.11 Termenul rezistenei de und n regim supersonic pentru profil rombic

    (r=5)

  • Prelegere 2

    24

    0 2 4 6 8

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    2

    2.25

    2.5

    2.75

    ( 1)2 1/2

    tg =450

    3

    2

    1

    0M>1

    r=12

    CxuT 2cma

    Fig. 2.12 Termenul rezistenei de und n regim supersonic pentru profil rombic

    (r=12)

    n cazul altui profil, se poate utiliza relaia: )]1(1[ += KCC Txuxu , (2.21)

    unde:

    aa+= 1 ;

    22 )]1(4,0[ etgMa = , (2.22) e este sgeata grosimii maxime a aripii, care n cazul profilului rombic este

    sgeata jumtilor de coard 50 . Parametru K are valorile

    )~1(~41

    aaK = , (2.23)

    pentru profil patrulater simetric (fig. 2.13-a) i

    )~1(~21

    aaK = , (2.24)

    pentru profil triunghiular (fig. 2.13-b).

    a) profil patrulater simetric b) profil triunghiular

    Fig. 2.13 Profiluri de aripa

  • Prelegere 2

    25

    Rezistena de und n regim transonic se determin din tabelul 2.10 sau din diagrama din fig. 2.14:

    =3/1

    3/1

    2

    3/1

    2

    3/5 ,1

    1

    cma

    cma

    cma

    cma

    xu

    M

    M

    fC . (2.25)

    -1 0 10

    0.25

    0.5

    0.75

    1

    1.25

    1.5

    1.75

    2

    2.25

    2.5

    2.75

    3

    3.25

    3.5

    /( 1)2 1/2

    2

    1

    Cxu

    1/3

    cma

    cma

    5/3

    =0.5

    M>1M

  • Prelegere 2

    26

    Pentru ptermC se poate utiliza relaia:

    += 25,015,0 MMC pterm . (2.28)

    2.4 REZISTENA INDUS n regim subsonic rezistena indus se determin cu relaia:

    22

    2

    )(121

    +=

    L

    D CC , (2.29)

    unde termenul se determin cu relaia:

    2

    1

    = . (2.30)

    Pentru exprimarea acesteia se definete funcia: 2

    00

    4

    00

    42

    00

    2

    2

    00

    424200 535

    53

    3),,,(

    ++

    +

    +

    +g . (2.31)

    unde parametrii funciei sunt dai de relaiile 2.9 precizate anterior. Utiliznd aceast funcie se poate scrie:

    ),,,( 4200 = g ;

    = 4201 ,,,)2(21

    qg ; (2.32)

    ( ) 049,00449314.00268.0,192.0,6535.0,25.02 == g . 2.33) n regim supersonic, rezistena indus are urmtoarea expresie:

    2

    2

    2

    2

    21

    21

    =

    xsL

    D CCC , (2.34)

    unde ultimul termen reprezint coeficientul forei de succiune, care este dat de:

    =

    supersonicatacdebordcuaripapentru

    subsonicatacdecubordaripapentruCCC Lssxs0

    )(~

    21 2

    2

    2

    . (2.35)

    n relaia anterioar factorul SC~ este dat de:

    SS

    kECk

    tgC d

    LS

    = 20 )]([

    ~ , (2.36)

    unde )(kE este integrala eliptic complet de spea a II-a de modul k:

    21 mk = ; 0

    2 1=

    tgMm . (2.37)

    Pentru calculul integralei eliptice complete, avnd n vedere relaiile:

    qqkkE dsin1)(2

    0

    22 = , (2.38)

  • Prelegere 2

    27

    )arcsin(k= se poate utiliza tabelul 2.11:

    Tabelul 2.11 )(kE - Integrala eliptica complet de spea a II-a 0.0 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.

    )(kE 1.5705 1.5678 1.5589 1.5442 1.5238 1.4981 1.4675 1.4323 1.393145. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 90. 1.3506 1.3055 1.2587 1.2111 1.1638 1.1184 1.0764 1.0401 1.0127 1.0000

    Suprafaa dS din relaia 2.36 este dat de:

    0

    2

    2

    = tgbSd , (2.39)

    iar parametrul s s-a ales pentru incidene mici din tabelul 2.3 pag 165 din lucrarea [N11]:

    655,0= s . (2.40) 2.5 FOCARUL SUPRAFEEI AERODINAMICE

    n anvergur, n lipsa altor date, se poate considera c focarul este amplasat pe coarda medie aerodinamic, dup cum este prezentat n figura 2.16

    Fx

    F

    Cma

    Fig. 2.16 Poziia focarului pe coarda medie aerodinamic

    Pentru coeren cu lucrrile de specialitate , vom lucra cu focarul adimensionalizat la coarda medie aerodinamic:

    Cmaxx FF =~ . (2.41) n regim subsonic poziia focarului adimensionalizat se determin cu relaia:

    += lcompresibisubsonicMKbilincompresisubsonic

    xF125,0

    25,0~ , (2.42)

    unde coeficientul de corecie este dat de: 24

    1 19,1 MMK CMA = . (2.43) n regim supersonic i transonic focarul aripei se determin din tabelele 2.12-2.15 sau din diagrame din fig. 2.17-2.20:

    5,0,,1

    1~502

    2

    = tgr

    MMfxF , (2.44)

  • Prelegere 2

    28

    diagrame care sunt valabile pentru: 8,05,03 . (2.45)

    -4 -2 0 20.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0.45

    0.5

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    50M1

    r=1

    tg =0

    r=3r=5r=12

    X F

    Fig. 2.17 Poziia focarului pe CMA ( 0tan 50 = )

    -4 -2 0 20.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0.45

    0.5

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    50

    M1

    r=1

    tg =1

    r=3r=5r=12

    XF

    Fig. 2.18 Poziia focarului pe CMA ( 1tan 50 = )

  • Prelegere 2

    29

    -4 -2 0 20.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0.45

    0.5

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    50M1

    r=1

    tg =2

    r=3r=5r=12

    XF

    Fig. 2.19 Poziia focarului pe CMA ( 2tan 50 = )

    -4 -2 0 20.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0.45

    0.5

    0.55

    0.6

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    50

    M1

    r=1

    tg =3

    r=3r=5r=12

    X F

    Fig. 2.20 Poziia focarului pe CMA ( 3tan 50 = )

  • Prelegere 2

    30

    2.6 CALCULUL TERMENILOR SUPRAFEEI AERODINAMICE N SISTEMUL DE AXE LEGAT DE SUPRAFA

    Deoarece n cazul suprafeei aerodinamice calculul coeficienilor forei

    aerodinamice s-a fcut n triedrul legat de vitez, pentru a construi coeficienii globali aparatului ntr-un triedru legat de configuraie este necesar ca i coeficienii suprafeei aerodinamice s fie exprimai ntr-un triedru legat de suprafa.

    O

    x

    xa z za

    V

    Fig. 2.21 Legtura dintre triedrul suprafa i triedrul vitez

    Legtura dintre triedrul legat de suprafaa aerodinamic ( xOz ) i triedrul legat de viteza curentului de aer ( aaOzx ) este dat de:

    ,cossin;sincos

    +==

    aa

    aa

    zxzzxx

    (2.46)

    sau n forma matriceal:

    =

    a

    a

    zx

    zx

    cossinsincos

    . (2.47)

    n acest caz, legtura dintre coeficienii forei aerodinamice exprimate n cele dou triedre este:

    =

    L

    D

    z

    x

    CC

    CC

    cossinsincos

    (2.48)

    Dac se are n vedre un unghi de inciden mic, fcnd aproximaia de ordinul nti:

    ;sin ;1cos (2.49) se obine:

    = LDx CCC ; LDz CCC += (2.50) Dac se are n vedere dezvoltarea coeficienilor aerodinamici n triedrul vitez n raport cu inciden:

    22

    2

    0 21 += DDD CCC ; = LL CC , (2.51)

    pentru coeficienii n triedru suprafa se poate scrie:

  • Prelegere 2

    31

    22

    2

    022

    2

    2

    0 21

    21

    ++ xxLDDx CCCCCC ; (2.52)

    332

    32

    2

    0 61

    21

    +++ zzLDDz CCCCCC , (2.53)

    de unde rezult prin identificare:

    ;00 Dx CC = ;21

    21

    2

    2

    2

    2

    =

    LDx CCC ;0DLz CCC += 2

    2

    3

    3

    21

    61

    =

    DZ CC . (2.54) Dac se consider o dezvoltare de ordinul doi pentru funciile trigonometrice ale unghiului de inciden:

    ;6

    sin3 ;

    21cos

    2 (2.55) procednd analog se obine:

    22

    2

    04

    2

    220

    2

    2

    0 21

    41

    61

    221

    +

    +

    + xxDLDLDDx CCCCCCCCC

    ( ) 33252230220 61121216121 +

    ++ zzDLDDDLz CCCCCCCCC , (2.56)

    de unde, prin identificare i cu neglijarea termenilor de ordin superior, se obine:

    ;00 Dx CC = ;221

    21 0

    2

    2

    2

    2D

    LDx CCCC

    = ;0DLz CCC +=

    02

    2

    3

    3

    61

    21

    21

    61

    DLDZ CCCC

    = (2.57)

  • Prelegere 3

    32

    3. CALCULUL INTERFERENELOR I A TERMENILOR DE DEZVOLTARE A COEFICIENILOR AERODINAMICI

    3.1 CALCULUL INTERFERENELOR Dup determinarea principalilor termeni ai coeficienilor aerodinamici pe elemente izolate, este necesar s se determine interferena ntre acestea. Cazurile de interferen analizate vor fi cele dintre o suprafa aerodinamic i fuzelaj i dintre dou suprafee aerodinamice dispuse n tandem, aceste dou tipuri de interferene fiind cele care apar n mod obinuit pentru configuraiile aerodinamice clasice de tip avion. Pentru definirea elementelor de interferen, ca i n cazul metodologiei pe elemente izolate s-au avut n vedere lucrrile: [C2], [C3], [C15], [C16],[C17],[C18] [K3], [K4], [K5], [K6], [K8], [N6], [N11], [R4], [S12], [W5].

    a) 3.1.1 Interferena dintre suprafaa aerodinamica i fuzelaj Pentru nceput vom analiza cazul suprafeei aerodinamice fr calaj. Dac se noteaz:

    AK - interferena fuzelajului asupra aripii (creterea de portan pe arip); FK - interferena aripii asupra fuzelajului (creterea de portan pe fuzelaj),

    modul de utilizare a coeficienilor de interferen este urmtorul: )(~ FAzAAzFz KKCSCC ++= . (3.1)

    Coeficienii de interferen definii anterior se determin cu relaiile: flMsltrAA kK = ; (3.2)

    fclMsltrFF kK = , (3.3) unde Ak , Fk reprezint valorile teoretice iar restul coeficienilor introduc o serie de corecii a cror semnificaie va fi precizat odat cu relaiile de calcul pentru fiecare n parte. Valorile teoretice ale acestor coeficieni s-au determinat pe o arip delta amplasat median pe un fuzelaj de lungime infinit

    )()~1(

    ~221

    2

    ffD

    DkF

    FA = ; )()~1(

    ~221

    2

    ffD

    DkF

    FF += , (3.4)

    unde:

    bddDF +=

    ~ ; 222

    1 ~)~1(

    4F

    F

    DDf = ; 2

    2

    2

    222

    2 ~1

    ~1arcsin~2)~1(

    ~~1

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    DD

    DD

    DDf +

    += . (3.5) ntre cei doi coeficieni exist relaia:

    2)~1( FFA Dkk +=+ . (3.6) Corecia de trapezoidalitate se determin cu relaia:

  • Prelegere 3

    33

    ++=

    rDDD

    F

    FFtr

    11)~1(

    )~1(~1 2 . (3.7)

    Corecia de strat limit se obine din:

    +

    =

    )1)(~1(

    )1(~1~1

    ~212

    rDrD

    DD

    F

    F

    F

    Fsl , (3.8)

    unde grosimea stratului limit n dreptul aripii se determin cu:

    20

    1cxL A += ; (3.9)

    )006,0147,04,01(093,0~ 3215

    1

    1

    MMMDL

    VL F++

    = , (3.10)

    relaii n care mrimile geometrice au semnificaia din figura 3.1:

    1L

    Ax

    0c

    Fig. 3.1 Schema de calcul a coreciei de strat limit

    Corecia de compresibilitate se determin cu relaia:

    = supersonice

    subsonicMM )1(05,0

    1. (3.11)

    Corecia pentru partea anterioar a fuzelajului este: ( )1~5,014,06,0 Ll e+= , (3.12) unde:

    FDLL 11

    ~ = . (3.13) Corecia pentru partea posterioar a fuzelajului este dat de:

    [ ] [ ]{ }kLkLckc cfcfc

    2~(2)~~(~1 00

    += , (3.14) unde: )(z - funcia Gauss Laplace de argument z, iar celelalte mrimi utilizate sunt:

  • Prelegere 3

    34

    12

    2 = MDL F ; = LL

    L efef~ ; = L

    cc 00~ ; ( )2~8114 FDrk + += . (3.15) elementele geometrice fiind indicate n fig. 3.2.

    0c

    efL

    L

    Fig. 3.2 Schema de calcul a coreciei cu partea posterioar a fuzelajului

    Corecia de frnare f pe arip datorat fuzelajului, pentru 3V se poate neglija putnd fi considerat unitar: 1 f . (3.16)

    n cazul suprafeei cu unghi de calaj sau a suprafeei mobile bracate, conform fig. 3.3,

    Fig. 3.3 Fuzelaj n prezena unei suprafee aerodinamice cu unghi de calaj

    coeficienii de interferen sunt:

    flMsltrAA kK = ; (3.17) fclMsltrFF kK = ; (3.18)

    unde:

    FA

    AA kk

    kk +=

    2

    FA

    FAF kk

    kkk += , (3.19)

    iar corecia cu stratul limit este dat de:

    [ ]( )

    +

    ++++

    =

    F

    FF

    F

    FF

    sl

    DrDrD

    DrDrD

    ~21

    ~)1(1~1

    )~1(~21

    ~)1(1)~1(~1 **

    . (3.20)

    Observaie - Dac: slsl = , se obine:

  • Prelegere 3

    35

    FA

    AA KK

    KK +=

    2

    ; FA

    FAF KK

    KKK += . (3.21)

    b) 3.1.2 Interferena dintre dou suprafee aerodinamice Interferena dintre dou suprafee aerodinamice const n deflexiunea i frnarea curentului de aer n dreptul suprafeei din aval datorat suprafeei din amonte. Aceast interferen are valori semnificative n cazul configuraiilor normale, cu arip i ampenaj n spate. n cazul configuraiilor canard, cu suprafeele de comand n fa, interferena dintre crm i arip este nesemnificativ. Un prim fenomen care trebuie analizat este deflexiunea curentului n cazul configuraiilor normale. Modul de apariie al acestuia este prezentat schematic n fig. 3.4, 3.5.

    21L

    w

    efVVV

    Fig. 3.4 Deflexiunea curentului de aer de pe arip de ampenajul orizontal

    vedere lateral

    12

    22S

    dxvy

    vy

    Fig. 3.5 Deflexiunea curentului de aer de pe arip de ampenajul orizontal -

    vedere orizontal Un efect important al deflexiunii const n apariia termenilor nestaionari. Pentru a pune n eviden acest lucru putem calcula durata n care curentul de aer ajunge de la suprafaa din amonte (1) la suprafaa din aval (2):

    VLt 21= , (3.22)

    cu ajutorul acestui interval de timp i a unghiului de deflexiune se poate determina derivata incidenei:

  • Prelegere 3

    36

    21

    ==

    LV

    t& . (3.23)

    Deoarece deflexiunea se utilizeaz n relaii de tipul:

    ++++= 1)(~)(~ 22221111 FAzFAzzFz KKCSKKCSCC (3.24)

    este util s se exprime raportul deflexiune/inciden. Astfel, scderea incidenei poate fi pus n forma:

    = 1 , (3.25)

    unde derivata deflexiunii curentului de aer n raport cu incidena se determin cu relaia: ( )

    eFA

    Azv

    KKKC

    bb

    xk +=

    2

    1

    1

    1

    2

    1

    )(21 . (3.26)

    unde parametrii x i vk se determin din tabele sau diagrame. Astfel raportul dintre poziia n anvergur a vrtejului de pe arip i semianvergur

    1/2 byx = , (3.27)

    se determin din tabelele 3.1, 3.2, 3.3 sau din diagramele din fig. 3.6, 3.7, 3.8.

    = 150121

    21 ,,

    11 rtg

    MMfx (3.28)

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    tg =050

    M1

    r=1

    24

    1 1

    1

    x*

    1

    Fig. 3.6 Raportul dintre poziia n anvergur a vrtejului de pe arip i

    semianvergura aripii reduse ( 11 =r )

  • Prelegere 3

    37

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    tg =050

    M1

    r=22

    0.66

    1 1

    1

    x*

    1

    Fig. 3.7 Raportul dintre poziia n anvergur a vrtejului de pe arip i

    semianvergura aripii reduse ( 21 =r )

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    ( 1)2 1/2(1 ) 2 1/2

    tg =050M1

    r=12

    2

    1 1

    1

    x*

    1

    Fig. 3.8 Raportul dintre poziia n anvergur a vrtejului de pe arip i

    semianvergura aripii reduse ( 121 =r )

  • Prelegere 3

    38

    Coeficientul de corecie a interferenei cu poziia ampenajului orizontal i forma acestuia vk se obine din tabelele 3.4, 3.5, 3.6 sau din diagramele din fig. 3.9, 3.10, 3.11:

    += 22221,~,2r

    Ddb

    yfk vv , (3.29)

    n care:

    21bxyv

    = ; 2

    * dyy vv += ; dbdD += 22

    2~ . (3.30)

    n calculul acestei corecii s-a considerat c ampenajul orizontal nu este supraplasat sau subplasat n raport cu aripa.

    0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.80

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5kv

    2y /(b +d )v 2 2

    D =0.62

    0.4

    0.20.0

    1/r=0.02

    Fig. 3.9 Coeficient de corecie dependent de ampenajul orizontal ( 0/1 2 =r )

  • Prelegere 3

    39

    0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.80

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3 kv

    2y /(b +d )v 2 2

    D =0.62

    0.4

    0.20.0

    1/r=0.52

    Fig. 3.10 Coeficient de corecie dependent de ampenajul orizontal ( 5.0/1 2 =r )

    0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.80

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5kv

    2y /(b +d )v 2 2

    D =0.62

    0.4

    0.20.0

    1/r=1.2

    Fig. 3.11 Coeficient de corecie dependent de ampenajul orizontal ( 1/1 2 =r )

    n sfrit , ultimul factor al relaiei (3.26), care depinde de mrimea suprafeei de ampenaj afectat de vrtejul format pe arip (fig. 3.5) se determin cu:

  • Prelegere 3

    40

    = supersonicSS

    subsonice

    2

    2

    1 . (3.31)

    n ceea ce privete frnarea curentului de aer pe suprafaa din aval datorat suprafeei din amonte, acesta se determin cu relaia

    1

    2

    1

    2

    1SSSS

    f

    f

    +

    +=

    , (3.32)

    unde f , care reprezint frnarea teoretic obinut n cazul n care aripa este mult mai mare dect ampenajul, se determin din fig. 3.13 sau din tabelul 3.7, n funcie de Mach i distana adimensional 21~ x :

    )~,( 21 = xMff . (3.33)

    Distana adimensional ntre bordul de fug al suprafeei din amonte i focarul suprafeei din aval se determin cu relaia:

    1

    1112222

    1

    2121

    )(~~mA

    mAcmAFcmAmAcmA

    mA ccxxxcxx

    cxx ++++== . (3.34)

    21x1cmAx

    1x2x1mAc

    2mAcF

    2cmAx

    Fig. 3.12 Schem de calcul a frnarii curentului de aer

  • Prelegere 3

    41

    0 1 2 3 4 5 6 7M

    0.65

    0.7

    0.75

    0.8

    0.85

    0.9

    0.95

    1 f*

    x =01-2

    0.2

    0.40.60.81.0

    Fig. 3.13 Frnarea teoretic a aerului pe ampenajul orizontal

    c) 3.1.3 Interferene de cuplaj

    Un ultim grup de termeni de interferene, care apar la configuraiile de tip avion sunt cele de cuplaj ntre canalul de ruliu i cel de giraie. Astfel, un prim parametru care este necesar s fie definit este o corecie pentru construirea termenilor de cuplaj ce creeaz fora lateral i momentul de giraie prin viteza unghiular de ruliu. Acesta se noteaz i depinde de raportul dintre diametru i anvergura suprafeei aerodinamice reduse:

    =bdf . (3.35)

    Valorile acestei corecii se pot lua din tabelul 3.8 sau din figura 3.14

  • Prelegere 3

    42

    0 0.25 0.5 0.75 1d/b

    0.75

    0.8

    0.85

    0.9

    0.95

    1

    3.14 Termen de corecie pentru calculul unui termen al coeficientului forei laterale

    datorit vitezei unghiulare de ruliu Un alt parametru care apare n calculul termenilor forei laterale i momentului de giraie datorai vitezei unghiulare de ruliu este coeficientul 1k , care are valori cuprinse n intervalul 0,1...85,0 . Influena acestui parametru este totui de mic importan, o bun aproximaie a rezultatelor obinndu-se pentru

    0,11 =k . (3.36) n sfrit, pentru calculul influenei unghiului de glisad asupra momentului de ruliu se definete parametrul:

    ldb

    rryc

    +++=

    )1(32~ . (3.37)

    3.2 TERMENII DE DEZVOLTARE A COEFICIENILOR AERODINAMICI PENTRU O CONFIGURAIE NORMAL DE AVION

    Pornind de la calculul termenilor pe elemente izolate i de la termenii de interferen stabilii anterior, impunnd o dezvoltare polinomial a coeficienilor aerodinamici n jurul micrii de baz, vom cuta n continuare s determinm termenii acestei dezvoltri pentru o configuraie normal de avion. Configuraia

  • Prelegere 3

    43

    normal, de tip avion, avut n considerare, dispune de urmtoarele suprafee de comand: - eleron pe aripa cu bracaj antisimetric pentru controlul micrii de ruliu; - profundor pe ampenajul orizontal i cu bracaj simetric pentru controlul micrii longitudinale; - direcie pe ampenajul vertical pentru controlul micrii laterale ( cuplat cu bracajul de eleron). Aripa dispus median este cu unghi diedru i de calaj. Ampenajul orizontal este cu unghi de calaj. Fuzelajul este cilindric.

    d) 3.2.1 Notaii, terminologie, simboluri

    Fig. 3.15 Configuraie normal de avion

    Terminologia i notaiile utilizate sunt n concordan cu standardul [X1] Principalele notaiile utilizate pentru termeni aerodinamici pe elemente izolate sunt:

    zFC - derivata in raport cu incidena a coeficientului forei normale pe fuzelaj; zAC - derivata in raport cu incidena a coeficientului forei normale pe arip; zOC - derivata in raport cu incidena a coeficientului forei normale pe ampenajul

    orizontal; zVC - derivata in raport cu incidena a coeficientului forei normale pe ampenajul

    vertical; FxC 0 - coeficientul forei axiale la incidena nul pentru fuzelaj; AxC 0 - coeficientul forei axiale la inciden nul pentru arip; OxC 0 - coeficientul forei axiale la inciden nul pentru ampenaj orizontal; VxC 0 - coeficientul forei axiale la inciden nul pentru ampenaj vertical;

  • Prelegere 3

    44

    2

    2

    21

    xFC - derivata a doua a coeficientului forei axiale in raport cu incidena, la

    inciden nul pentru fuzelaj;

    2

    2

    21

    xAC - derivata a doua a coeficientului forei axiale in raport cu incidena, la

    inciden nul pentru aripa;

    22

    21

    xOC - derivata a doua a coeficientului forei axiale in raport cu incidena, la

    inciden nul pentru ampenaj orizontal;

    2

    2

    21

    xVC - derivata a doua a coeficientului forei axiale in raport cu incidena, la

    inciden nul pentru ampenaj vertical; FVx~ - focarul pe ampenaj vertical raportat la bordul de atac al maVc ,

    adimensionalizat cu maVc ; FAx~ - focarul pe aripa raportat la bordul de atac al maAc , adimensionalizat cu FAx~ ; FOx~ - focarul pe ampenaj orizontal raportat la bordul de atac al maOc

    adimensionalizat cu maOc ; FFx~ - focarul pe fuzelaj raportat la vrful fuzelajului, adimensionalizat cu lungimea

    fuzelajului. Pentru termenii de interferen se folosesc urmtoarele notaii:

    0xC - creterea coeficientului forei axiale datorit interferenelor; VK - coeficientul de interferen al ampenajului vertical in prezenta fuzelajului; FVK - coeficientul de interferena al fuzelajului in prezenta ampenajului vertical; AK - coeficientul de interferena al aripii in prezenta fuzelajului; FAK - coeficientul de interferena al fuzelajului n prezena aripii; OK - coeficientul de interferena al ampenajului orizontal in prezenta fuzelajului; FOK - coeficientul de interferen al fuzelajului in prezenta ampenajului orizontal;

    - derivata deflexiunii curentului pe ampenajul orizontal, datorit prezenei

    aripii, in raport cu unghiul de incidena;

    - derivata deflexiunii curentului pe ampenajul vertical, datorit prezenei aripii, in raport cu unghiul de deriv;

    fV - frnarea curentului de aer n dreptul ampenajului vertical; fA - frnarea curentului de aer n dreptul aripii; fO - frnarea curentului de aer in dreptul ampenajului orizontal;

    Mrimile geometrice utilizate se noteaz astfel:

  • Prelegere 3

    45

    l - lungime de referin (lungimea fuzelajului ); maVc - coarda medie aerodinamic a ampenajului vertical; maAc - coarda medie aerodinamic a aripii; maOc - coarda medie aerodinamic a ampenajului orizontal;

    S - suprafaa de referin (seciunea transversal a fuzelajului ); VS - suprafaa ampenajului vertical; AS suprafaa aripii; OS suprafaa ampenajului orizontal;

    - unghiul diedru al aripii; e - bracajul de profundor; a - bracajul de eleron; r - bracajul de direcie.

    e) 3.2.2. Termeni aerodinamici n triedrul configuraie

    Conform prevederilor standardului [X1] vom considera un triedru aerodinamic drept, cu originea n vrful configuraiei, cu axa ax orientat spre partea posterioar a configuraie, cu axa az orientat n sus (fig. 3.13).

    a)Termenii coeficientului forei axiale xC Un prim termen al coeficientului forei axiale este coeficientul forei axiale la inciden nul ( activ) - aa11 . Pornind de la termenii pe elemente izolate i de la termenii de interferen se obine:

    xOCOOzOxO

    OxfOO

    CAAzAxA

    AxfAAzVfVVFxactivx

    CKCCCS

    KCCCSCSCC

    +

    +

    +

    +

    +

    +++=

    22

    2

    0

    22

    2

    000

    21~

    21~~

    21

    . (3.38)

    Pentru cazul avionului cu motor cu reacie, cu motorul oprit, coeficientul forei axiale la inciden nul notat aa12 se determin cu relaia:

    fundxactivxpasivx CCC 000 += . (3.39) Un alt termen de interes este derivata a doua a coeficientului forei axiale n raport cu incidena n primul plan (deriva), notat aa21 . Relaia de calcul a acestui termen este:

  • Prelegere 3

    46

    ( )

    ( )

    +

    +

    +

    ++

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    211

    21~

    cos21~

    21

    21

    xFOO

    xOfOO

    FAAxA

    fAAxFx

    CKKCS

    KKCSCC

    . (3.40)

    Analog, se calculeaz derivata a doua a coeficientului forei axiale n raport cu incidena n al doilea plan ( glisada) notat aa22 . Relaia de calcul pentru acest termen este de forma:

    ( )

    ( )

    +

    +

    +

    ++

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    211

    21~5,0

    sin21~5,0

    21

    21

    xFVV

    xVfVV

    FAAxA

    fAAxFx

    CKKCS

    KKCSCC

    . (3.41)

    n continuare vom prezenta trei termeni ai coeficientului forei axiale datorai bracajelor de comand. - derivata a doua a coeficientului forei axiale n raport cu bracajul de profundor notat aa6 :

    OOzOxO

    fOOe

    x KCCSC

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    21~

    21 ; (3.42)

    - derivata a doua a coeficientului forei axiale in raport cu bracajul de eleron notat aa7 :

    AAzAxA

    fAAa

    x KCCSC

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    21~

    21 ; (3.43)

    - derivata a doua a coeficientului forei axiale in raport cu bracaj de direcie notat aa8 :

    VVzVxV

    fVVr

    x KCCSC

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    21~5,0

    21 . (3.44)

    n sfrit, datorit n principal unghiurilor de calaj a aripii i a ampenajului orizontal se poate defini i derivata de ordinul nti a coeficientului forei axiale in raport cu incidena n primul plan, notat aa9 :

    COOzOxO

    fOOCAAzAxA

    fAAx KCCSKCCSC

    +

    +

    +

    =

    2

    2

    2

    2

    21~2

    21~2 . (3.45)

    b) Termenii coeficienilor forelor normale zy CC ;

    Un prim termen este coeficientul normal pe primul plan la incidena nul notat ab0 datorat n principal unghiurilor de calaj pentru arip i ampenaj i coeficientului de portan la inciden nul n cazul unui profilul nesimetric al aripii sau ampenajului orizontal:

  • Prelegere 3

    47

    )(~cos)(~ 000 cOzOzOOfOOcAzAzAAfAAz CCKSCCKSC +++= . (3.46) n continuare se poate determina derivata coeficientului normal pe primul plan cu incidena, notat ab11 :

    ++++= 1)(~cos)(~ FOOzOfOOFAAzAfAAzFZ KKCSKKCSCC . (3.47)

    Analog se determin derivata coeficient normal pe al doilea plan cu incidena (deriva) notat ab12 :

    ++++= 1)(~5,0sin)(~5,0 FVVzVfVVFAAzAfAAzFy KKCSKKCSCC . (3.48)

    n continuare vom prezenta trei termeni ai coeficienilor forelor normale datorai bracajelor de comand. - derivata coeficientului normal pe primul plan cu bracajul de profundor notat

    ab51 :

    OOzOfOOe

    z KCSC = ~ . (3.49) - derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu bracajul de direcie notat

    ab52 : VVzVfVV

    ry KCSC = ~5,0 . (3.50)

    - derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu bracajul de eleron notat ab6 : = sin~ AAzAfAAay KCSC . (3.51)

    n sfrit, se mai pot determina doi termeni nestaionari i un termen de cuplaj cu viteza de ruliu: - derivata coeficientului normal pe primul plan cu incidena nestaionar, notat

    ab91 :

    )~~(1~ FAFOfOOzOOz xxKCSC

    = & . (3.52)

    - derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu incidena nestaionar (deriv) notat ab92 :

    )~~(1~5,0 FAFVfVVzVVy xxKCSC

    = & . (3.53)

    - derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu viteza de ruliu (cuplaj), notat ab10 :

    FVzVVFVVfVV

    FAzAAFAAfAA

    py z

    CkKKy

    CkKKC ~11)(sin~

    1)(2 11

    ++=

    (3.54)

    c) Termenii coeficienilor momentelor de tangaj, giraie nm CC ;

  • Prelegere 3

    48

    Un prim termen este coeficientul de tangaj la inciden nul notat ad0 datorat n principal unghiurilor de calaj pentru arip i ampenaj i coeficientului de portan la inciden nul n cazul unui profilul nesimetric al aripii sau ampenajului orizontal:

    )(~

    sin~21~cos)(~

    0

    22

    2

    000

    cOmOmOOfOO

    FAcAAzAxA

    xfAAcAmAmAAfAAm

    CCKS

    yKCCCSCCKSC

    ++

    +

    +

    +++=

    (3.55) n continuare se poate determina derivata coeficientului momentului de tangaj cu incidena, notat ad11 :

    ++++= 1)(~cos)(~ FOOmOfOOFAAmAfAAmFm KKCSKKCSCC . (3.56)

    Analog se determin derivata coeficientului momentului de giraie cu unghiul de deriv, notat ad12 :

    ++= 1)(~5,0sin)(~5,0 FVVmVfVVFAAmAfAAmFn KKCSKKCSCC .(3.57)

    n continuare vom prezenta trei termeni ai coeficienilor de moment datorai bracajelor de comand. - derivata coeficientului de tangaj cu bracajul de profundor notat ad51 :

    OOmOfOOe

    m KCSC = ~ ; (3.58) - derivata coeficientului de giraie cu bracajul de direcie notat ad52 :

    VVmVfVVr

    d KCSC = ~5,0 ; (3.59) - derivata coeficientului de moment de giraie cu bracajul de eleron notat ad6 :

    = sin~ AAmAfAAan KCSC ; (3.60) n sfrit, se mai pot pune n eviden doi termeni nestaionari i un termen de cuplaj cu viteza de ruliu: - derivata coeficientului momentului de tangaj cu incidena nestaionar, notat

    ad91 :

    FOFAFOfOOzOOm xxxKCSC ~)~~(1~

    = & ; (3.61)

    - derivata coeficientului momentului de giraie cu incidena nestaionar (glisada), notat ad92 :

    FVFAFVfVVzVVn xxxKCSC ~)~~(1~5,0

    = & ; (3.62)

    - derivata coeficientului momentului de giraie cu viteza de ruliu, termen de cuplaj, notat: ad10

  • Prelegere 3

    49

    FV

    FVzVVFVVfVV

    FA

    FAzAAFAAfAA

    pn z

    xCkKKyxCkKKC ~

    ~1)(sin~

    ~)(2 11

    ++=

    (3.63)

    d) Termenii coeficientului momentului de ruliu lC Un ultim grup de termeni sunt cei ai momentului de ruliu. Astfel, se poate pune n eviden: - derivata coeficientului momentului de ruliu cu viteza de ruliu, notat ac3

    ++

    +

    +++=

    1)(

    1)(2)(2

    1

    11

    zVVFVVfVV

    zOOFOOfOOzAAFAAfAAp

    l

    CkKK

    CkKKCkKKC;(3.64)

    - derivata coeficientului momentului de ruliu cu bracajul de eleron, notat ac6

    FAAAzAfAAa

    l yKCSC ~~ = ; (3.65)

    - derivata coeficientului momentului de ruliu cu bracajul de direcie, notat ac7

    FVVVzVfVVr

    l zKCSC ~~5,0 = ; (3.66)

    - derivata coeficientului de ruliu cu unghiul de glisad, ac13

    FVzVfVVACAzAfAAl zCSyCSC ~~5,0cos~~5,0 50

    2 = . (3.67)

    f) 3.2.3 Transformarea coeficienilor i termenilor de dezvoltare ai acestora din triedrul configuraie n triedrul mobil

    n figura 3.16 sunt prezentate dou triedre: triedrul configuraie, cu originea n vrful fuzelajului i triedrul mobil cu originea n centrul de mas al aparatului de zbor. Deoarece ecuaiile dinamice ale micrii, dup cum se va arta n capitolul urmtor, sunt construite n triedrul mobil legat de centrul de mas este util ca i coeficienii aerodinamici, cu ajutorul crora se va defini torsorul aerodinamic, s fie adui n acest triedru.

  • Prelegere 3

    50

    ay

    ax

    0x

    Fig. 3.16 Trecerea de la triedrul configuraie la triedru mobil

    Legtura dintre coeficienii aerodinamici n triedrul configuraie legat de vrful aparatului i triedrul mobil legat de centrul de mas este:

    xax CC = yay CC = zaz CC = lal CC = zamam CxCC 0+= yanan CxCC 0+= . (3.68)

    unde: lxx 00 = . n acest caz se pot scrie relaiile de transformare dintre coeficienii termenilor de dezvoltare:

    aaa 11 = ; aaa 2121 = ; aaa 2222 = ; aaa 66 = ; aaa 77 = ; aaa 88 = ; aaa 99 = ; abb 00 = ; abb 1111 = ; abb 1212 = ; abb 5151 = ; abb 5252 = ; abb 66 = ; abb 9191 = ; abb 9292 = ; abb 1010 = ; acc 33 = ; acc 66 = ; acc 77 = ; acc 1313 = ;

    aa bxdd 0000 ~+= ; aa bxdd 1101111 ~+= ; aa bxdd 1201212 ~+= ; aa bxdd 5105151 ~+= ; aa bxdd 5205252 ~+= ; aa bxdd 6066 ~+= ; aa bxdd 9109191 ~+= ; aa bxdd 9209292 ~+= ; aa bxdd 1001010 ~+= .

    (3.69) g) 3.2.4 Calculul termenilor de rotaie n triedrul mobil

    Datorit faptului c rotaiile de tangaj i giraie au loc n jurul centrului de mas, termeni datorai acestor micri se calculeaz direct n triedrul mobil cu originea n centrul de mas. Pentru acesta se determin nti poziia focarelor pe elemente izolate n raport cu centrul de masa:

    FFFF xxX ~~~

    0 = ; FAFA xxX ~~~ 0 = ; FOFO xxX ~~~ 0 = ; FVFV xxX ~~~ 0 = . (3.70) Un prim termen care se poate calcula este derivata coeficientului forei normale din planul de simetrie cu viteza de rotaie n tangaj, notat 41b :

    ++

    ++=

    fA

    fO

    FO

    FAFOOzOfOOFO

    FAAzAfAAFAzq

    XXKKCSX

    KKCSXC

    ~~

    1)(~~

    cos)(~~

    . (3.71)

  • Prelegere 3

    51

    Similar se poate calcula derivata coeficientului forei normale pe planul de simetrie cu viteza de rotaie n giraie, notat 42b :

    +

    +=

    fA

    fV

    FV

    FAFVVzVfVVFV

    FAAzAfAAFAyr

    XXKKCSX

    KKCSXC

    ~~

    1)(~~5,0

    sin)(~~5,0

    . (3.72)

    n continuare, se poate determina derivata coeficientului momentului de tangaj cu viteza de rotaie n tangaj, notat 41d :

    +

    +=

    fA

    fO

    FO

    FAFOOzOfOOFO

    FAAzAfAAFAzFmq

    XXKKCSX

    KKCSXCxC

    ~~

    1)(~~

    cos)(~~)5,0~(

    2

    220

    . (3.73)

    Similar se obine derivata coeficientului momentului de giraie cu viteza de rotaie n giraie, notat 42d :

    +

    +=

    fA

    fV

    FV

    FAFVVzVfVVFV

    FAAzAfAAFAzFnr

    XXKKCSX

    KKCSXCxC

    ~~

    1)(~~5,0

    sin)(~~5,0)5,0~(

    2

    220

    . (3.74)

    Pentru momentul de ruliu se poate obine derivata coeficientului momentului de ruliu cu viteza de rotaie n giraie, notat 5c :

    FVFVFVVzVfVVFAFAFAAzAfAAlr XzKKCSXyKKCSC~~)(~sin~~)(~ ++= . (3.75)

    n final se poate scrie derivata a doua a coeficientului forei axiale cu viteza unghiular n tangaj i cu bracajul de profundor, notat 10a :

    OFOOzOfOOexq XKCSC = ~~ . (3.76)

    h) 3.2.5 Sinteza caracteristicilor aerodinamice pentru o configuraie normal de tip avion

    Pentru sinteza caracteristicilor aerodinamice se pornete de la adimensionalizarea vitezele de rotaie i a incidenele nestaionare. Astfel, dac se definete timpul de referin: Vlt /* = , se obine:

    = ptp ; = qtq ; = rtr ; = t& ; = t& , (3.77) unde, reamintim c lungimea de referin pentru elementele micrii este lungimea fuzelajului. Pentru o configuraie normal, tip avion, cu arip cu unghi diedru i unghi de calaj, considernd o dezvoltare n serie Taylor n jurul micrii de baz i innd cont de paritatea termenilor se obine urmtoarea form polinomial a coeficienilor aerodinamici n triedrul mobil legat de centrul de masa al aparatului de zbor:

    )( 131092

    82

    72

    62

    222

    211 pcppdepx zzaqaaaaaaaaC ++++++++=

  • Prelegere 3

    52

    pbbbbrbbC edy 10926524212 +++++= ++++= 915141110 bbqbbbC pz ++++= 137653 cccrcpcC del ++++= 915141110 ddqdddC pm

    pddddrddC edn 10926524212 +++++= , (3.78) unde coeficienii 1a , 21a dependeni de numrul Mach, au fost definii anterior

    Pornind de la aceste expresii se pot determina cu uurin principalele derivate ale coeficienilor aerodinamici n raport cu variabilele de stare i de comand:

    11bCz = ; 12bCy = ; 11dCm = ; 12dCn = ; 51bC pz = ; 52bC dy = ; 51dC pm = ; 52dC dn = ; ;3cClp = ;6cC el = .

    (3.79) Coeficienii aerodinamici si derivatele lor astfel determinate vor fi folosite pentru ntocmirea ecuaiilor micrii n form neliniar i neliniar, iar n final vor fi utilizai pentru construirea matricelor de stabilitate i comand necesare n sinteza i analiza sistemului de comand a aparatului de zbor.

  • Prelegere 4

    53

    II ECUAIILE MICRII GENERALE

    Forma neliniar a ecuaiilor de micare

    4. INFLUENA PMNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MICAREA IN TRIEDRUL MOBIL

    La acest punct al lucrrii va fi analizat influena unor termeni secundari, cum ar fi modificarea acceleraiei greutii cu latitudinea i altitudinea precum i influena rotaiei Pmntului asupra traiectoriei.

    4.1 FORA DE ATRACIE A PMNTULUI ntr-o prim aproximaie se poate considera c Pmntul este sferic, pentru

    determinarea forei de atracie putndu-se scrie:

    p g

    pArg

    1Ag

    Ag

    2Ag

    normala lasuprafaa

    elipsoidului

    N

    p

    P

    G

    Fig. 4.1 Compunerea acceleraiei forei de atracie

  • Prelegere 4

    54

    2RMmfGA = , (4.1)

    n care: KgM 24106 - masa Pmntului;

    m - masa rachetei; R - distana curent de la rachet la centrul Pmntului;

    213111066,6 sKgmf - constanta atraciei universale. Considernd masa rachetei unitar, acceleraia dup direcia razei se poate scrie cu ajutorul funciei poteniale U :

    2RMf

    RUg Ar == , (4.2)

    unde produsul dintre constanta atraciei universale i masa Pmntului are valoarea: 231410986004,3 = smfM .

    n realitate Pmntul are forma unui elipsoid cu semiaxa mare ma 6378137= , i turtirea

    25,2981==

    aba , unde b este semiaxa mic. n acest caz, potenialul se

    scrie ca o serie de polinoame Legendre care depind de latitudinea geocentric p : ...)(sin)(sin),( 405

    40203

    2000 +++= ppp PRaP

    Ra

    RaRU (4.3)

    unde:

    21

    sin23

    )(sin 220 = ppP ; 83sin

    415sin

    835)(sin 2440 += pppP . (4.4)

    Pentru aceast expresie a potenialului, componentele acceleraiei dup direcia radial i tangenial ( fig. 4.3) sunt:

    )...73sin

    730sin5(

    835)1sin3(

    23 24

    6402

    420

    200

    1 +++== pppA R

    aRa

    Ra

    rUg

    )...sin3sin7(cos252sin

    231 3

    640

    420

    2 ppppp

    A Ra

    RaU

    Rg +=

    = (4.5) n continuare este util s se pun n eviden componenta orientat pe direcia polar (N-S) i componenta pe direcia radial (fig.4.1):

    )...1sin14sin21(8

    15)1sin5(23tg 246

    4024

    202

    0021 ++== ppppAAAr R

    aRa

    Raggg

    )...3sin7(sin25sin3

    cos2

    640

    4202 == pppp

    AA R

    aRag

    g (4.6)

    Reinnd termenii principali din relaiile anterioare, componentele acceleraiei corespunztoare forei de atracie a Pmntului sunt:

    ...)1sin5(23 2

    420

    200 += pAr R

    aRag ...sin3 4

    20 = pA Rag (4.7)

    unde primii termeni ai acestor serii rezult din valorile: 14

    00 109861679,3 =a ; 2420 1032785,2623 =a . (4.8)

  • Prelegere 4

    55

    n acest mod s-au obinut componentele acceleraiei forei de atracie a Pmntului ca funcii de latitudinea geocentric p i de distana curent a rachetei de la centrul Pmntului:

    222 )( pppp zRyxR +++= , (4.9) unde: ppp zyx ;; sunt coordonatele rachetei n triedrul Pmnt, iar raza Pmntului este aproximat cu:

    )sin1( 2 pp aR . (4.10) n continuare, aceste relaii vor fi folosite pentru a gsi componentele acceleraiei greutii proiectate dup axele triedrului Pmnt.

    4.2 ACCELERAIA GREUTII I ACCELERAIA CORIOLIS

    Dac pentru scrierea ecuaiilor de micare vom considera un sistem geocentric, legat de Pmnt, datorit micrii de rotaie diurne trebuie ca n membrul drept al ecuaiilor de micare s se considere dou acceleraii suplimentare: acceleraia de transport (centrifug), cu expresia : )( Rpp i acceleraia Coriolis dat de: Vp 2 , unde viteza de rotaie a Pmntului are valoarea: 15102921,7 = sp .

    Fora centrifug datorat rotaiei Pmntului mpreun cu fora de atracie formeaz fora de greutate G , iar acceleraia corespunztoare poart numele de acceleraia greutii g . Componentele radiale i polare ale acceleraiei greutii, dac inem cont i de expresiile acceleraiei forei de atracie determinate anterior (4.7), devin:

    Rgg pArr2= ; ppA Rgg += sin2 . (4.11)

    n acest caz, componentele acceleraiei greutii dup axele triedrului legat de Pmnt sunt:

    p

    xpprxp gR

    xgg

    = ;p

    yppryp gR

    ygg

    = ; p

    zppprzp gR

    Rzgg

    += , (4.12) unde s-au notat: zpypxp ;; - componentele vitezei de rotaie a Pmntului dup sistemul de axe legat de Pmnt, componente date de relaiile:

    pppxp = coscos ; pppyp = sincos ; ppzp = sin , (4.13) n care cele dou unghiuri utilizate sunt: p - unghiul de azimut i p - latitudinea geocentric. Pe de alt parte, acceleraia Coriolis este:

    Va pc = 2 , (4.14) componentele acesteia n triedrul Pmnt fiind date de:

    )(2 ypzpzpypcxp VVa = ; )(2 zpxpxpzpcyp VVa = ; )(2 xpypypxpczp VVa = , (4.15) unde zpypxp VVV ;; sunt componentele vitezei rachetei n triedrul Pmnt.

  • Prelegere 4

    56

    4.3 LEGTURA DINTRE TRIEDRUL PMNT I TRIEDRUL MOBIL AL RACHETEI

    Deoarece lucrarea are n vedere determinarea micrii rachetei n raport cu

    un observator legat de suprafaa Pmntului, fa de care se definesc poziia de lansare i poziia intei, se pornete de la un triedru legat de Pmnt care particip la micarea de rotaie diurn a acestuia1. Triedrul astfel ales, este un sistem geocentric, cu originea n centrul de mas al Pmntului, considerat elipsoid de rotaie.

    Pentru a ajunge la triedrul mobil al rachetei vom trece printr-o serie de triedre intermediare. Astfel, un prim sistem intermediar este triedrul de start

    )( sss zyOx , care este un sistem geodezic, cu axa sz orientat n exteriorul elipsoidului, perpendicular pe suprafaa acestuia (fig.4.2). Att triedrul Pmnt ct i triedrul de start, participnd la micarea de rotaie a Pmntului nu sunt triedre ineriale. Dar, deoarece am introdus coreciile cu acceleraia Coriolis, iar pentru acceleraia gravitaional s-a inut cont de componenta centrifug, se poate realiza integrarea ecuaiilor dinamice de micare ca n cazul unui triedru inerial, dup cum vom arta n prelegerea 6. Dup cum arat [L1], dac notm cu p unghiul dintre normala geodezic i normala geocentric:

    pgp = , (4.16) i cu p unghiul de azimut, legtura dintre cele dou triedre devine:

    [ ] [ ]TppppTsss zyxzyx = A . (4.17)

    Suprapunerea triedrului Pmnt peste triedrul de start se face prin trei rotaii succesive:

    =1000cossin0sincos

    cos0sin010

    sin0cos

    1000cossin0sincos

    pp

    pp

    pp

    pp

    pp

    pp

    pA ,

    de unde, matricea de rotaie dintre cele dou triedre este:

    ++

    =ppppp

    pppppppp

    pppppppp

    p

    cossinsinsincossinsincossincos)cos1(cossinsincos)cos1(cossincoscossin

    22

    22

    A . (4.18)

    1 Pentru dezvoltarea altor studii i aplicaii, cum ar fi cele de satelizare sau cu ieire din zona de atracie a Pmntului poate fi considerat triedru inerial, cu originea n centrul Pmntului, cu axele fixe, orientate dup stele foarte ndeprtate, care nu particip la micarea de rotaie diurn a Pmntului.

  • Prelegere 4

    57

    p

    pg

    pppz

    sz

    pysy

    px

    pO

    P

    G Q

    Q

    N

    sx

    pR

    Fig. 4.2 Triedrul Pmnt i triedrul de start

    Pentru a calcula unghiul p dintre cele dou normale se pornete de la relaia

    geometric indicat n [L1] : gp ba = tgtg 22 ,

    unde ba, sunt semiaxele Pmntului.

    n baza relaiei 25,298

    1==a

    ba care definete turtirea Pmntului, se obine relaia

    cutat:

    22 )1(tg)2/1(tg2

    tg ++=

    p

    pp , (4.19)

    relaie care pentru valori mari ale tangentei unghiului de latitudine geocentric ( n apropierea polilor), poate fi aproximat astfel:

    )2sin()2/1(tg pp . Evident c dac originea triedrului de start este situat pe ecuator sau la unul din poli, unghiul dintre normale este nul, matricea de rotaie pA cptnd forma unitar.

    Urmtorul triedru intermediar este triedrul iniial de start )( 0000 ZYXO , care are aceeai origine cu triedrul de start, dar ale crui axe nu particip la rotaia diurn a Pmntului (fig.4.3). Acest triedru avnd aceeai origine cu triedrul de start i triedrul Pmnt, ntr-un punct de pe suprafaa Pmntului, particip ns la micarea de translaie suprafeei acestuia, odat cu celelalte triedre, dar spre deosebire de acestea, deoarece nu particip la micarea de rotaie diurn poate fi considerat triedru inerial. Dei integrarea ecuaiilor dinamice de micare s-ar putea

  • Prelegere 4

    58

    face n cadrul acestui triedru fr adugarea acceleraiei Coriolis i a termenilor centrifugali, deoarece este impropriu pentru definirea poziiei de lansare i a poziiei intei, acest triedru are o utilitate pur teoretic, fcnd trecerea de la triedrul de start la triedrul mobil legat de rachet. Triedrul de start, se rotete n jurul axei polare fa de triedrul iniial de start, considerat fix, cu un unghi egal cu unghiul de rotire al Pmntului n intervalul de timp. Legtura dintre cele dou triedre se poate scrie astfel:

    [ ] [ ]TssspT zyxZYX = A000 (4.20) Suprapunerea triedrului de start peste triedrul de start iniial se face prin cinci rotaii succesive:

    ,1000cossin0sincos

    cos0sin010

    sin0cos

    cossin0sincos0

    001

    cos0sin010

    sin0cos

    1000cossin0sincos

    =

    pp

    pp

    gg

    gg

    pp

    pp

    gg

    gg

    pp

    pp

    p

    ttttA

    G

    P

    0Z0X

    0Y szsx

    tp

    g

    p

    sy

    p

    sy

    sz

    sx

    Fig. 4.3 Triedrul de start i triedrul iniial de start

    de unde, elementele matricei de rotaie sunt:

    tta ppgp += cos)cos1(coscos 2211 ; tta pgpgpp = sinsin)cos1(coscossin 212 ;

    tta pgppggp += sincossin)cos1(cossincos13 ; tta pgpgpp += sinsin)cos1(coscossin 221 ;

    tta ppgp += cos)cos1(cossin 2222 ;

  • Prelegere 4

    59

    tta pgppggp = sincoscos)cos1(cossinsin23 ; tta pgppggp = sincossin)cos1(cossincos31 ; tta pgppggp += sincoscos)cos1(cossinsin32 ;

    tta ppg += cos)cos1(sin233 . (4.21)

    Evident c dac timpul de zbor este foarte mic, matricea pA tinde spre forma unitate. n continuare, triedrul iniial de start se va rsuci cu radiani n jurul axei

    ox cu ajutorul matricei A , obinndu-se un triedrul sol fix ggg ZYXO0 care are axa

    gZ orientat n jos, perpendicular pe suprafaa Pmntului. n sfrit, cu ajutorul unghiurilor de atitudine tip Euler ),,( sau a componentelor cuaternionului Hamilton ),,,( 4321 qqqq triedrul sol mobil va fi suprapus peste triedrul mobil legat de rachet, forma matricei de rotaie eA , care realizeaz aceast transformare, urmnd a fi prezentat ulterior. n concluzie, pentru trecerea unor mrimi din triedrul Pmnt la triedrul mobil legat de rachet este necesar s se aplice succesiv rotaiile prezentate anterior, rotaii care pot fi concentrate ntr-o singur matrice:

    ppippep == AAAAAAAA , (4.22) care reprezint matricea de rotaie ntre triedrul legat de Pmnt i triedrul mobil al rachetei.

    OBSERVAIE - Pentru durate mici de zbor influena rotaiei Pmntului se poate neglija, triedrul iniial de start coinciznd cu triedrul de start. Pe de alt parte, dac se neglijeaz i turtirea Pmntului, triedrul de start coincide cu triedrul Pmnt. n acest caz, pentru simplificarea terminologiei, dac nu exist posibilitatea apariiei de confuzii, se poate utiliza pentru oricare din cele trei triedre noiunea de triedru inerial, sau prin abuz de limbaj triedru fix sau triedru Pmnt. Astfel, n cazul rachetelor balistice sau antiaeriene, uzual se utilizeaz ca sistem de referin triedrul de start, pe care l vom considera ca sistem inerial, iar n cazul rachetelor de aviaie sau a aparatelor de zbor de tip avion se obinuiete s se utilizeze ca sistem de referin triedrul Pmnt, care va fi de asemenea considerat sistem de referin inerial. La acest punct al lucrrii au fost analizate pe scurt influena ctorva elemente secundare asupra micrii rachetei. n continuare, vom reaminti cteva noiuni legate de micarea ntr-un sistem de referin mobil, noiuni care mpreun cu problemele specifice ale micrii corpurilor de mas variabil, constituie contextul abordrii ecuaiilor micrii generale a rachetei, ecuaii care vor face obiectul capitolului urmtor al lucrrii.

  • Prelegere 4

    60

    4.4 MICAREA N RAPORT CU UN SISTEM DE REFERIN MOBIL

    Deoarece n continuare se vor face referiri la elementele micrii ntr-un triedru mobil este util s se reaminteasc formularea matriceal a acestei probleme, avnd ca lucrare de referin [V2]. Pentru aceasta, se consider triedrul mobil (OXYZ) (fig.4.4) cu versorii ( i j k, , ) care efectueaz o micare de rotaie generalizat cu componentele dup axele triedrului mobil ( , , )p q r . Originea triedrului mobil (0) se deplaseaz cu viteza absolut Vo de componentele ( , , )u v w0 0 0 i cu acceleraia absolut de componente ( )a a ax y z0 0 0, , .

    Vectorul de poziie R , care are proieciile x, y, z, urmrete deplasarea unui punct de vitez absolut V1 cu componente ( , , )u v w1 1 1 i de acceleraie absolut a1 cu componentele ( )a a ax y z1 1 1, , .

    Avnd n vedere c vectorul de poziie se poate exprima: R xi yj zk= + + (4.23)

    prin derivarea succesiv a acestei relaii se obine: & & & & & & &R xi yj zk xi zj zk= + + + + + ; (4.24)

    && && && && && && & & && && &&R xi yj zk xi zj zk xi yj zk= + + + + + + + +2 2 2 . (4.25) Pentru exprimarea derivatelor versorilor triedrului mobil se pornete de la

    relaiile cunoscute:

    ;

    ;

    ;

    kk

    jj

    ii

    ===

    &&&

    ( )( )( ),

    ;

    ;

    kkk

    jjj

    iii

    +=+=+=

    &&&&&&&&&

    (4.26)

    obinndu-se dup o grupare convenabil a termenilor:

    ,;

    =

    =

    kji

    kji

    kji

    kji

    TBA&&&&&

    &&&

    (4.27)

    unde:

    Fig. 4.4 Micarea n triedru mobil

  • Prelegere 4

    61

    ;0

    00

    =

    pqpr

    qrA (4.28)

    ++++++

    += )(

    )()(

    22

    22

    22

    2

    qppqrqrppqrprrpqqrprpqrq

    &&&&&&

    & AAB , (4.29)

    s-au notat matricele de derivare ale versorilor triedrului mobil.

    n acest caz, innd cont c ,; 0101 aaRVVR == &&& relaiile vectoriale de derivare ale vectorului de poziie R pot fi puse n forma matriceal:

    +

    +

    =

    +

    =

    zyx

    zyx

    zyz

    aaaaaa

    zyx

    zyx

    wwvvuu

    zz

    yy

    xx

    BAA&&&

    &&&&&&

    &&&

    2;

    01

    01

    01

    01

    01

    01

    , (4.30)

    unde matricele A i B au fost definite anterior. Relaiile deduse anterior puse n forma:

    +

    +

    =

    zyx

    zyx

    wvu

    wvu

    A&&&

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    ;

    +

    +

    +

    =

    zyx

    zyx

    zyx

    aaa

    aaa

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    BA&&&

    &&&&&&

    2

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    ; (4.31)

    exprim viteza i acceleraia absolut a unui punct ntr-un triedru mobil cnd se cunoate micarea triedrului i micarea relativ a punctului fa de triedru.

    Astfel, prima relaie (4.31) se poate scrie:

    tra vvv += , (4.32) unde s-a notat:

    ;

    1

    1

    1

    =

    wvu

    av

    =

    zyx

    r

    &&&

    v ;

    +

    =

    zyx

    wvu

    t Av

    0

    0

    0

    . (4.33)

    viteza absolut viteza relativ viteza de transport n cea de a doua relaie (4.31) termenii au urmtoarea semnificaie:

    ctra aaaa ++= , (4.34) unde s-a notat:

    ;

    1

    1

    1

    =

    z

    y

    x

    a

    aaa

    a

    =

    zyx

    r

    &&&&&&

    a ;

    +

    =

    zyx

    aaa

    z

    y

    x

    t Ba

    0

    0

    0

    ;

    =

    zyx

    c

    &&&

    Aa 2 . (4.35)

    acceleraia acceleraia acceleraia acceleraia

  • Prelegere 4

    62

    absolut relativ de transport Coriolis n baza relaiilor deduse se pot determina derivatele proieciilor vectorului

    de poziie R dup axele triedrului mobil, atunci cnd se cunosc vitezele i acceleraiile absolute ale originii i ale punctului mobil precum i vectorul de poziie R i viteza de rotaie :

    ;01

    01

    01

    =

    zyx

    wwvvuu

    zyx

    A&&&

    +

    =

    zyx

    wwvvuu

    aaaaaa

    zyx

    T

    zz

    yy

    xx

    BA

    01

    01

    01

    01

    01

    01

    2&&&&&&

    . (4.36)

    Prima relaie de derivare care leag viteza absolut de viteza relativ i de transport poate fi privit ca o relaie general de derivare a unei mrimi vectoriale n triedrul mobil.

    Astfel, dac se consider o mrime vectorial U cu componente dup axele

    triedrului mobil ( u u ux y z, , ) i derivata acesteia V U= & cu componente dup axele triedrului mobil (v v vx y z, , ), ntre aceste dou mrimi exist relaia matriceal:

    +

    =

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    z

    y

    x

    uuu

    uuu

    vvv

    A&&&

    , (4.37)

    care este echivalent cu relaia vectorial cunoscut: ddUt

    Ut

    U= + . La acest punct al lucrrii au fost prezentate formele matriceale ale relaiilor de derivare ce descriu micarea ntr-un triedru mobil. Aceste relaii astfel stabilite vor fi utilizate n continuare att la exprimarea ecuaiilor micrii generale ct i pentru construirea ecuaiilor cinematice de dirijare n cazul metodelor de dirijare n dou i trei puncte.

  • Prelegere 5

    63

    5. ECUAIILE CINEMATICE ALE MICRII

    n acest capitol al lucrrii ne propunem s stabilim ecuaiile micrii generale a rachetei. Din raiuni metodologice acestea au fost desfcute n dou: ecuaii dinamice i ecuaii cinematice.

    n principiu, ecuaiile micrii reprezint un grup de 6 ecuaii difereniale de ordinul doi (corespunztoare micrii cu 6 grade de libertate a unui rigid de mas variabil), respectiv 12 ecuaii difereniale de ordinul unu. Jumtate dintre acestea, numite ecuaii dinamice, se obin n baza teoremei impulsului i a teoremei momentului cinetic aplicat unui corp de mas variabil. Cealalt jumtate, numite ecuaii cinematice, descriu pe de o parte legtura ntre componentele vectorului vitez, V , exprimate n triedrul inerial i n triedrul rachet i pe de alt parte, dac se utilizeaz unghiuri de atitudine tip Euler, avnd n vedere c: = + +& & & , descriu legtura ntre componentele p, q, r ale vectorului i derivatele unghiurilor de atitudine: &&& ,, .

    NOTAII

    Fig. 5.1 Coordonate unghiulare i sisteme de referin

  • Prelegere 5

    64

    Principalele sisteme de referin utilizate la ntocmirea ecuaiilor cinematice, conform standardului [X2] sunt:

    0000 ZYXO - triedrul iniial de start (triedrul inerial) cu originea fix , situat la nivelul mrii, unde axa 0X este orientat orizontal, dup o direcie convenabil aleas, iar axa 0Z este orientat vertical n sus; ggg ZYXO0 - triedrul sol fix cu originea i orientarea axei gX identice cu cele corespunztoare ale triedrului iniial de start, iar axa gZ orientat vertical n jos;

    Ox y zg g g - triedrul sol mobil cu originea mobil, situat n centrul de mas al rachetei, iar axele paralele cu cele ale triedrului sol fix; Oxyz - triedrul rachet (mobil) cu originea mobil, situat n centrul de mas al rachetei. Axa x coincide cu axa de simetrie a configuraiei, avnd sensul spre vrful rachetei, iar axele y i z sunt perpendiculare pe primul, respectiv pe cel de al doilea plan de simetrie al configuraiei.

    Coordonatele de poziie ale centrului de mas n raport cu triedrul iniial de start se noteaz: 000 ,, zyx .

    5.1 ECUAIILE CINEMATICE UTILIZND UNGHIURILE DE ATITUDINE

    Unghiurile de atitudine tip Euler, utilizate pentru descrierea orientrii triedrului mobil legat de rachet n raport cu triedrul inerial, conform standardului [X2] sunt: - unghi de cap; - atitudine longitudinal; - nclinare lateral.

    Pentru ntocmirea ecuaiilor cinematice utiliznd unghiuri de atitudine tip Euler vom ncepe prin a construi matricea de rotaie ntre triedrul inerial i triedrul mobil al rachetei. n acest scop, pornind de la triedrul iniial de start

    )( 0000 ZYXO , pentru obinerea triedrului sol fix ( ggg ZYXO0 ), se consider o rotaie de 180o n jurul axei 0OX (fig.5.1) dup care, pentru a suprapune triedrul sol mobil ( Ox y zg g g ) peste axele triedrului rachet (Oxyz) se aplic succesiv trei rotaii cu

    vitezele unghiulare & , & i & n jurul axelor Oz Oyg , , respectiv Ox (fig.5.1): )(

    )()(

    )()'(

    )()( Oxyz

    OxzyOx

    OyzyOx

    OzzyOx g

    gggg >

    &>

    &>

    &

    . Matricele de rotaie corespunztoare sunt:

    ;1000cossin0sincos

    ;cossin0sincos0

    001

    =

    = AA

    .cossin0sincos0

    001;

    cos0sin010

    sin0cos

    =

    = AA

  • Prelegere 5

    65

    Matricea de rotaie parial este deci: A A A A Ae = = , , , adic:

    ++++

    =

    coscossinsincoscossincossincossinsincossinsinsinsincoscoscossinsinsincos

    sinsincoscoscos

    eA

    . (5.1) Matricea de rotaie n raport cu triedrul iniial de start, necesar pentru exprimarea unor elemente din triedrul de start n triedrul mobil legat de rachet, este:

    === AAAAAAAA ei ,,, , ceea ce presupune schimbarea semnului ultimelor dou coloane n matricea (5.1):

    ++

    =

    coscossinsincoscossincossincossinsincossinsinsinsincoscoscossinsinsincos

    sinsincoscoscos

    iA

    . (5.2)

    Avnd definit matricea de rotaie direct iA , se poate scrie legtura dintre componentele vectorului vitez n triedrul de start i n triedrul mobil legat de rachet:

    [ ] [ ]TT zyxwvu 000,,, &&&= A . nmulind la stnga cu matricea invers se obine:

    [ ] [ ]TT wvuzyx = ,,,000 B&&& , (5.3) n care:

    ==== AAAAAABB Ti ,,,1,,, ,,, . Considernd forma transpus a matricei (5.2) se obine matricea de rotaie invers:

    ++

    =coscossincossin

    cossinsinsincossinsinsincoscoscossincossincossinsinsinsincoscossincoscos

    iB

    , (5.4)

    necesar pentru exprimarea componentelor vitezei de translaie din triedrul mobil legat de rachet n triedrul inerial. OBSERVAIE - Matricea de rotaie invers iB se poate utiliza i pentru exprimarea componentelor acceleraiei n triedrul inerial cnd se cunosc componentele acceleraiei n triedrul mobil legat de rachet: [ ] [ ]TzyxiTzyx aaaaaa B=000 . Avnd n vedere c n prelegerile 10 i 11 se vor analiza formele decuplate ale ecuaiilor micrii comandate, obinute pentru unele cazuri particulare ale micrii de baz, este necesar ca n continuare s se prezinte unele forme particulare ale matricelor de rotaie i legtur precum i a derivatelor acestora.

  • Prelegere 5

    66

    Astfel, dac se consider unghiurile de cap i de nclinare lateral nule ( ; ) = =0 0 , matricea iB , devine:

    =

    cos0sin010

    sin0cos

    iB

    . (5.5) Dac i unghiul de atitudine longitudinal este nul ( = 0), din relaia (5.5) se obine:

    =

    100010001

    iB

    . (5.6) Pentru determinarea matricei de legtur dintre derivatele unghiurilor de

    atitudine i componentele vitezei de rotaie, pornind de la relaia: = + +& & & ,

    se poate scrie:

    pqr

    =

    +

    +

    =

    +

    A A A A

    , , , ,

    &&

    &&&

    &00

    0

    000

    000 .

    Avnd n vedere c matricea de rotaie este de forma:

    =

    coscossinsincoscossincossinsin

    sin0cos

    0,0,,, AA

    , se poate scrie:

    =

    &&&

    coscossin0cossincos0

    sin01

    rqp

    . (5.7) Notnd inversa matricei din membrul drept cu WA se obine n final:

    [ ] [ ]& & & T A Tp q r= W , (5.8)

    unde matricea de legtur dintre derivatele unghiurilor de atitudine i componentele vitezei de rotaie este de forma:

    =seccossecsin0

    sincos0tgcostgsin1

    AW

    . (5.9) OBSERVAII 1. Ecuaiile (5.8) sunt cunoscute n literatur [K10] sub denumirea de "Ecuaiile cinematice ale lui Euler"

    5.Pentru cazul n care unghiul este apropiat de 2 , caz ntlnit n special la rachetele

  • Prelegere 5

    67

    balistice dirijate cu lansare vertical, elementele matricei AW care conin funcia sec au valori foarte mari. Pentru a evita acest inconvenient, matricea definit prin relaia (5.9) va fi utilizat doar n cazul aparatelor de zbor a cror evoluie principal este n plan orizontal cum ar fi aparatele de tip avion sau rachetele din clasa aer-aer. Pentru studiul aparatelor de zbor a cror evoluie principal este n plan vertical, la punctul urmtor va fi definit un nou grup de unghiuri, numite unghiuri de atitudine modificate. Dac se consider unghiurile de cap i de nclinare lateral nule ( ; ) = =0 0 , matricea WA , devine :

    =

    sec00010

    tg01

    AW

    . (5.10) Pentru cazul particular n care, din relaia (5.10) se obine:

    W IA = , (5.11) unde I este matricea unitate. Dezvoltnd relaiile: (5.3) i (5.8) , n care matricele iB i WA sunt de forma general (5.4) ; (5.9), se obin sistemele de ecuaii difereniale cutate:

    ,coscoscossinsin);cossinsinsin(cos)coscossinsin(sinsincos

    );sinsincossin(cos)sincoscossin(sincoscos

    0

    0

    0

    =+=+++=

    wvuzwvuy

    wvux

    &&&

    (5.12)

    respectiv:

    .seccossecsin;sincos

    ;costgsintg

    +==

    ++=

    rqrq

    rqp

    &&&

    (5.13) Totodat, considernd forma (5.2) pentru matricea iA , proieciile acceleraiei greutii dup axele triedrului mobil, necesare ntocmirii ecuaiilor dinamice, pot fi scrise n forma simplificat: [ ] [ ]TiTzyx gggg = 00A , sau n forma scalar:

    .coscos;cossin;sin === gggggg zyx (5.14) Pornind de la relaiile generale (5.2), (5.4) i (5.9) se pot obine derivatele principalelor matrice de rotaie i de legtur, necesare n cadrul unor dezvoltri teoretice ulterioare privind forma liniarizat a ecuaiilor micrii perturbate.

    5.2 ECUAIILE CINEMATICE UTILIZND UNGHIURILE DE ATITUDINE MODIFICATE

    Spre deosebire de unghiurile de atitudine de tip Euler analizate anterior,

    unghiuri utilizate n majoritatea lucrrilor, n lucrarea [K10] se propune o form

  • Prelegere 5

    68

    modificat a acestora, n care pentru a suprapune triedrul fix peste triedrul mobil legat de rachet se inverseaz ordinea primelor dou rotaii. Astfel, se efectueaz nti rotaia n plan vertical cu unghiul , dup care rotaia ntr-un plan nclinat de unghi , iar la urm rotaia n jurul axei longitudinale a triedrului mobil, dup cum este artat n fig. 5.2. Prin aceasta, singularitatea din cazul atitudinii verticale a rachetei se transfer pentru cazul n care racheta adopt o poziie perpendicular pe planul iniial de tragere, situaie care este puin probabil pentru rachetele a cror evoluie principal este n planul vertical. n acest caz, dac unghiurile de tip Euler, prezentate la punctul anterior, pot fi folosite pentru aparate de zbor de tip avion sau rachete din clasa aer-aer, unghiurile de atitudine modificate ce vor fi analizate n continuare, pot fi utilizate pentru descrierea orientrii rachetelor balistice a cror evoluie se desfoar strict ntr-un plan vertical, precum i pentru rachetele antiaeriene sau aer-sol a cror principal evoluie este de asemenea n plan vertical.

    Fig.5.2 Coordonate unghiulare modificate

    Procednd ca n cazul anterior, dup o rotaie de 180o n jurul axei 0OX pentru a suprapune triedrul sol mobil ( Ox y zg g g ) peste axele triedrului rachet (Oxyz) se aplic succesiv trei rotaii cu vitezele unghiulare & , & i & n jurul axelor OzOyg , , respectiv Ox (fig.5.2):

    )()(

    )()'(

    )'()(

    )( OxyzOx

    zyOxOz

    zyOxOy

    zyOx gg

    ggg >&

    >&

    >& .

    Matricele de rotaie corespunztoare sunt:

    ;1000cossin0sincos

    ;cossin0sincos0

    001

    =

    =

    AA

  • Prelegere 5

    69

    .cossin0sincos0

    001;

    cos0sin010

    sin0cos

    =

    =

    AA

    Matricea de rotaie parial este deci: A A A A Ae = = , , , adic:

    ++++

    =

    coscossinsinsincossinsincoscossinsincossinsinsincoscoscossinsincossincos

    sincossincoscos

    eA

    . (5.15)

    Matricea de rotaie n raport cu triedrul iniial de start, necesar pentru exprimarea unor elemente din triedrul inerial n triedrul mobil legat de rachet, este:

    === AAAAAAAA ei ,,, , ceea ce presupune schimbarea semnului ultimelor dou coloane n matricea (5.16):

    .coscossinsinsincossinsincoscossinsincossinsinsincoscoscossinsincossincos

    sincossincoscos

    ++

    =

    iA

    (5.17) Avnd definit matricea de rotaie direct iA , se poate scrie legtura dintre componentele vectorului vitez n triedrul inerial i n triedrul mobil: [ ] [ ]TiT zyxwvu 000 &&&A= . nmulind la stnga cu matricea invers se obine:

    [ ] [ ]TiT wvuzyx B=000 &&& , (5.18) n care:

    Tii AABB === 1 ,,,,,, .

    Considernd forma transpus a matricei (5.17) se obine matricea de rotaie invers :

    ++=

    coscossinsinsinsincoscossinsincossinsincoscoscossin

    cossinsinsincossinsincossincoscoscos

    iB ,

    (5.19) necesar pentru exprimarea componentelor vitezei de translaie din triedrul mobil n triedrul iniial de start. OBSERVAIE - Matricele de rotaie direct

    iA i invers iB astfel obinute, coincid cu cele deduse n cazul anterior pentru cazul unghiurilor de atitudine nemodificate.

    Avnd n vedere c n capitolul 4 se vor analiza formele decuplate ale ecuaiilor

    micrii comandate, obinute pentru unele cazuri particulare ale micrii de

  • Prelegere 5

    70

    baz, este necesar ca n continuare s se prez


Recommended