UNIVERSITATEA „POLITEHNICA” BUCUREŞTI Facultatea de Inginerie Aerospaţială
DINAMICA ZBORULUI
Note de Curs
Conf. dr. ing. Teodor-Viorel CHELARU
2007
2
CUPRINS
I. ELEMENTE DE AERODINAMICA....................................................... 4 1. CALCULUL FUZELAJULUI IZOLAT.......................................................... 4
1.1 ELEMENTELE GEOMETRICE ALE FUZELAJULUi ................................ 4 1.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FORŢEI NORMALE ............................... 6 1.3 COEFICIENTUL FORŢEI AXIALE LA INCIDENŢĂ NULĂ .................... 9 1.4 COEFICIENTUL FORŢEI AXIALE INDUSE ............................................ 13 1.5 FOCARUL FUZELAJULUI ......................................................................... 14
2. CALCULUL SUPRAFEŢEI AERODINAMICE IZOLATE ...................... 16 2.1 ELEMENTE GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢEI AERODINAMICE...... 16 2.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FORŢEI DE PORTANŢĂ ..................... 17 2.3 COEFICIENTUL FORŢEI DE REZISTENŢĂ LA ÎNAINTARE LA INCIDENŢĂ NULĂ............................................................................................ 21 2.4 REZISTENŢA INDUSĂ .............................................................................. 26 2.5 FOCARUL SUPRAFEŢEI AERODINAMICE............................................ 27 2.6 CALCULUL TERMENILOR SUPRAFEŢEI AERODINAMICE ÎN SISTEMUL DE AXE LEGAT DE SUPRAFAŢĂ ............................................. 30
3. CALCULUL INTERFERENŢELOR ŞI A TERMENILOR DE DEZVOLTARE A COEFICIENŢILOR AERODINAMICI............................ 32
3.1 CALCULUL INTERFERENŢELOR............................................................ 32 3.2 TERMENII DE DEZVOLTARE A COEFICIENŢILOR AERODINAMICI PENTRU O CONFIGURAŢIE NORMALĂ DE AVION.................................. 42
II ECUAŢIILE MIŞCĂRII GENERALE - Forma neliniară a ecuaţiilor de mişcare ........................................................................................ 53 4. INFLUENŢA PĂMÂNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MIŞCAREA IN TRIEDRUL MOBIL ............................................................................................. 53
4.1 FORŢA DE ATRACŢIE A PĂMÂNTULUI................................................ 53 4.2 ACCELERAŢIA GREUTĂŢII ŞI ACCELERAŢIA CORIOLIS ................ 55 4.3 LEGĂTURA DINTRE TRIEDRUL PĂMÂNT ŞI TRIEDRUL MOBIL AL RACHETEI.......................................................................................................... 56 4.4 MIŞCAREA ÎN RAPORT CU UN SISTEM DE REFERINŢĂ MOBIL..... 60
5. ECUAŢIILE CINEMATICE ALE MIŞCĂRII ............................................. 63 5.1 ECUAŢIILE CINEMATICE UTILIZÂND UNGHIURILE DE ATITUDINE ........................................................................................................ 64 5.2 ECUAŢIILE CINEMATICE UTILIZÂND UNGHIURILE DE ATITUDINE MODIFICATE .............................................................................. 67 5.3 ECUAŢIILE CINEMATICE UTILIZÂND CUATERNIONUL HAMILTON ........................................................................................................ 72
6. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII – I ............................................. 78 6.1 ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL MOBIL ....................................... 78 6.2 ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL VITEZĂ ...................................... 81
3
7. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII - II ............................................ 89 7.1 ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL RESAL........................................ 89 7.2 ECUAŢIILE MIŞCĂRII CU VÂNT............................................................. 92 7.3 FORMA DECUPLATĂ A ECUAŢIILOR MIŞCĂRII GENERALE .......... 93
III. ECUAŢIILE MIŞCĂRII COMANDATE -Forma liniară a ecuaţiilor comandate ...................................................................................... 100 8. LINIARIZAREA ECUAŢIILOR MIŞCĂRII COMANDATE ÎN FORMA GENERALĂ ........................................................................................................ 100
8.1 MIŞCAREA DE BAZĂ GENERALĂ ÎN ZBORUL COMANDAT ......... 101 8.2 FORMA LINIARIZATĂ A ECUAŢIILOR DINAMICE........................... 103 8.3 FORMA LINIARIZATĂ A ECUAŢIILOR CINEMATICE...................... 111 8.4 MATRICELE DERIVATELOR DE STABILITATE CU COMENZI BLOCATE ......................................................................................................... 111 8.5 MATRICEA DE COMANDĂ CU INTRARE ÎN BRACAJE .................. 121 8.6 VECTORUL PERTURBAŢIILOR PERMANENTE................................. 124
9. FORMELE DECUPLATE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII COMANDATE , MIŞCAREA DE BAZĂ, PERFORMANŢE ....................... 128
9.1 MISCAREA DE BAZA LA VITEZĂ IMPUSA ........................................ 130 9.2 ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZA MAXIMA ..................................... 133 9.3 ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZĂ MINIMA ....................................... 134 9.4 ZBORUL INCLINAT LA TRACŢIUNE IMPUSA .................................. 135
10. FORME LINIARE Ale ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LONGITUDINALE............................................................................................................................... 140
10.1 EcuaŢiile LINIARIZATE ALE miŞcĂrii longitudinale .......................... 140 10.2 MIŞCAREA LONGITUDINALĂ RAPIDĂ............................................. 146 10.3 MIŞCAREA LONGITUDINALĂ LENTĂ .............................................. 160
11. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LATERALE ........ 163 11.1 Ecuaţiile LINIARIZATE ALE mişcării laterale ....................................... 163 11.2 MIŞCAREA LATERALĂ RAPIDĂ (RULIU OLANDEZ)..................... 171 11.3 MIŞCAREA DE RULIU (RULIU PUR) .................................................. 173 11.4 MIŞCAREa LATERALĂ CUPLATĂ ..................................................... 176
12. MIŞCAREA RACHETEI CU ROTAŢIE LENTĂ.................................... 178 12.1 MIŞCAREA DE BAZĂ PENTRU RACHETA CU ROTAŢIE LENTĂ, COMANDATĂ GAZODINAMIC.................................................................... 178 12.2 MIŞCAREA RAPIDĂ ÎN JURUL CENTRULUI DE MASĂ PENTRU RACHETA CU ROTAŢIE ................................................................................ 180 12.3 INDICII DE CALITATE A MIŞCĂRII LONGITUDINALE PENTRU RACHETA CU ROTAŢIE ................................................................................ 183
BIBLIOGRAFIE ................................................................................................. 187 SUBIECTE EXAMEN ....................................................................................... 197
Prelegere 1
4
I. ELEMENTE DE AERODINAMICĂ
1. CALCULUL FUZELAJULUI IZOLAT
1.1 ELEMENTELE GEOMETRICE ALE FUZELAJULUI
Elementele geometrice ale fuzelajului sunt indicate în figurile 1.1 şi 1.2 Terminologia, notaţiile şi simbolurile utilizate pentru descrierea geometriei sunt în concordanţă cu standardul [X1]. Pentru definirea metodologiei de calcul pe fuzelajul izolat, s-au avut în vedere lucrările [C2], [C3], [C15], [C16],[C17],[C18] [K3], [K4], [K5], [K6], [K8], [N6], [N11], [R4], [S12], [W5].
Formele uzuale pentru vârful de fuzelaj sunt: 1- con ; 2 - sferă; 3 - con + sferă; 4 - ogivă; 5 - ogivă + sferă.
În figura 1.1 se evidenţiază următoarele elemente geometrice principale: l - lungimea fuzelajului; S - aria transversală a fuzelajului; d - diametrul fuzelajului;
vl - lungimea vârfului; cill - lungimea părţii cilindrice; pl - lungimea posterioară; Θ v - semiunghiul la vârf; Θ p - unghiul de conicitate al părţii posterioare; Se mai definesc razele: 2/dr = - raza fuzelajului; vr - raza de rotunjire a vârfului; pr - raza posterioară ( raza secţiunii terminale);
Fig. 1. 1 Elementele geometrice ale fuzelajului
Prelegere 1
5
Fig. 1.2 Secţiunea terminală a fuzelajului
În baza mărimilor geometrice principale se pot pune în evidenţă o serie de mărimi geometrice adimensionale utile în calculele de aerodinamică:
dl
=λ alungirea; dlV
V =λ - alungirea vârfului; d
lCilCil =λ - alungirea porţiunii
cilindrice; dlP
P =λ - alungirea părţii posterioare; drr V
V2~ = raza de rotunjire a
vârfului adimensionalizată . Pentru calculul unghiurilor de înclinare se pot utiliza următoarele relaţii:
22 )~2(1
~arcsin
)~2(11arcsin
vv
v
vv
Vr
rr −λ+
−−λ+
=Θ , (1.1)
p
pp l
rr −=Θ arctan
(1.2) În calculele de aerodinamică mai intervin o serie de suprafeţe şi volume. Considerând că vârful are formă conică, în continuare dăm pentru acestea relaţii simplificate de calcul. Astfel, aria proiecţiei cilindrice se poate determina cu relaţia:
cildlS =∗ , (1.3) poziţia centrului acesteia faţă de vârful fuzelajului fiind dată de:
2/cilv llx +=∗ . (1.4) Aria laterală a fuzelajului este dată de:
postvarfcillat SSSS ++= , (1.5) unde s-a notat: - suprafaţa porţiunii cilindrice:
cilcil dlS π= ; (1.6) - suprafaţa vârfului:
22 rlrS vvarf +π= ; (1.7) - suprafaţa porţiunii posterioare:
22 )()( ppppost rrlrrS −++π= (1.8) Aria secţiunii terminale (fig. 1.2) se poate calcula cu relaţia:
2pterm rS π= (1.9)
Volumul vârfului este dat de:
Prelegere 1
6
3/2vV lrW π= (1.10)
Volumul posterior se obţine cu: 3/)( 22
pppp lrrrrW ++π= (1.11)
1.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FORŢEI NORMALE Pentru calculul derivatei coeficientului forţei normale se pleacă de la forma distribuţiei de presiuni pe fuzelaj, distribuţie care este de forma din fig. 1.3
α
V
z
x2
2VppCp
ρ
−= ∞
+
−
Fig. 1.3 Forma distribuţiei de presiuni pe fuzelajul izolat
În majoritatea lucrărilor care stau la baza metodologiei de calcul, relaţia de calcul pentru derivata coeficientului forţei portante este indicată de forma:
αα+
α += zpostcilzVz CCC (1.12) unde termenul datorat vârfului în compresibil, în funcţie de forma sa, se alege din diagramele din fig. 1.4, 1.5, 1.6.
supersonicsausubsoniclcompresibiMMf
subsonicbilincompresiC
V
cil
VV
cilzV⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
λλ
λ−
λ−=α
+ ,112
22
(1.13)
Prelegere 1
7
0 1 2
(M -1) /
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Cα z
2 1/2λ v- (1-M ) /2 1/2λ v
λ / λ >4
λ / λ =0.5
λ / λ =1
λ / λ =2
λ / λ =3
λ / λ =0
c v
c v
c v
c v
c v
c v
CON PRELUNGIT CU CILINDRU
Fig. 1.4 Derivata coeficientului forţei normale cu incidenţa pentru vârf conic
0 1 2
(M -1) /
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Cα z
2 1/2λ v- (1-M ) /2 1/2λ v
λ / λ >4
λ / λ =0.5
λ / λ =1 λ / λ =2
λ / λ =3
λ / λ =0
c v
c vc v
c v
c v
c v
OGIVA PRELUNGITA CU CILINDRU
Fig. 1.5 Derivata coeficientului forţei normale cu incidenţa pentru vârf ogival
Prelegere 1
8
0 1 2
(M -1) /
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
Cα z
2 1/2λ v- (1-M ) /2 1/2λ v
SEMISFERA PRELUNGITA CU CILINDRU
Fig. 1.6 Derivata coeficientului forţei normale cu incidenţa pentru vârf sferic
Dacă vârful are o rotunjire sferică se utilizează relaţia:
α+
α
+
α+ +−= cilzsfvvcil
ogivaconzcilzV CrrCC 22
0~)~1( , (1.14)
relaţie care combină valorile obţinute din tabelele anterioare. Pentru calculul termenului posterior se utilizează relaţia:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −ξ=α 12
SSC term
Kzpost , (1.15)
unde coeficientul de corecţie se alege: 2,0...15,0=ξK , (1.16)
iar suprafaţa terminală se calculează diferit dacă există un motor cu reacţie în funcţiune, după cum se poate vedea în fig. 1.7, 1.8.
termS
pd
MOTOR OPRIT
termS
gazeiesireS
MOTOR INFUNCTIUNE
Fig. 1.7 Zona posterioară Fig. 1.8 Secţiunea terminală
În cazul motorului cu reacţie în funcţiune se calculează un diametru
Prelegere 1
9
posterior echivalent:
π= term
pSd 4 , (1.17)
putând-se utiliza o relaţie unică pentru calculul suprafeţei terminale 4/2
pterm dS π= , (1.18) care este echivalentă cu relaţia (1.9) stabilită anterior.
1.3 COEFICIENTUL FORŢEI AXIALE LA INCIDENŢĂ NULĂ
Expresia generală a coeficientului forţei axiale la incidenţă nulă este dată de:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++++=
supersonicCCCsubsonicC
C
CCC
postxundaxfrecarex
postx
profilx
formaxfrecarexx
000
0
0
000
444 8444 76 . (1.19)
La rândul său, termenul datorat rezistenţei posterioare are două forme:
⎩⎨⎧
=opritmotorulcuC
functiuneinmotorulcuCC
pasivpostx
activpostxpostx
0
00 . (1.20)
Termenii de profil în subsonic, şi de frecare în supersonic au următoarele expresii:
subsonicS
SCC latMfprofilx ηη= λ0 ; (1.21)
supersonicS
SCC latMffrecarex∗∗
ληη=0 , (1.22)
unde s-a notat cu fC coeficientul de frecare al plăcii plane, iar Mηηλ ; reprezintă coeficienţi de corecţie care ţin cont de alungirea fuzelajului respectiv de efectul de compresibilitate. Pentru supersonic, deoarece coeficienţii de corecţie sunt diferiţi, aceştia au fost marcaţi cu asterisc, semnificaţia lor fiind similară.
Coeficientul de frecare al plăcii plane se calculează separat pentru regimul laminar şi turbulent, depinzând în final de punctul de tranziţie (fig. 1.9) şi de numărul Reynolds:
)~1(~ ∗∗ −+= xCxCC fturbulentflamf . (1.23) Punctul de tranziţie se defineşte astfel:
ReRe~ cr
lxx ==∗
∗ , (1.24)
unde :
ρµ
=υ
=MlaVlRe ; (1.25)
iar Reynolds critic în mod uzual are valoarea: 6105Re ⋅≅cr . (1.26)
Prelegere 1
10
x
∗x
l
laminar turbulent
Fig. 1.9 Tranziţia de la laminar la turbulent
Pentru determinarea punctului de tranziţie se poate utiliza relaţia:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>
<−
=∗
9,00
9,08
9,0~
M
MMx . (1.27)
Relaţiile de calcul pentru coeficientul de frecare al plăcii plane în laminar şi
turbulent sunt:
Re328,1
min =arflaC . (1.28)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<
<<
<
=
109145,0
9658,2
10
62,0
10Re10Re
0315,0
10Re10Re)(log455,0
10ReRe
074,0
fturbulentC . (1.29)
În ceea ce priveşte coeficienţii de corecţie, aceştia se determină separat în subsonic şi supersonic. În subsonic corecţia de alungire este:
λ+λ
+=ηλ 0025,0601 3 . (1.30)
iar corecţia de compresibilitate are forma: MM 1,01+=η . (1.31)
În supersonic se utilizează tabelele 1.4, 1.5 sau diagramele din fig. 1.10 şi 1.11.
Prelegere 1
11
1 2 3 4 5M
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ηM*
X* =0
Fig. 1.10 Corecţia de compresibilitate în supersonic
1 2 3 4 5M
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
ηλ*
λ v =1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
Fig. 1.11 Corecţia de alungire în supersonic
Prelegere 1
12
Reluând rezistenţa posterioară definită prin (1.19), aceasta are următoarele expresii:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
supersonicMS
SKK
subsonicS
SC
kC
termpp
term
profilxpostx
2
5,1
00
1)2(144,1
029,0
(1.32)
unde coeficientul de corecţie în regim subsonic este dat de: 222 101,01176,086,1 MMk −λ+−λ−= (1.33)
iar termenul de corecţie în supersonic este:
λ=
1S
SMK termp (1.34)
În sfârşit, termenul de undă, specific domeniului transonic şi supersonic este dat de relaţia generală
222 ~)cos~1( vxusfVvogivaconxuxu rCrCC +Θ−= , (1.35)
unde termenii particulari se iau din tabele 1.6, 1.7, 1.8 sau din diagramele din fig. 1.12, 1.13, 1.14 :
1 2 3 4 5M
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
Cxu
λv=1.5
2.0
2.5
3.04.05.0
Fig. 1.12 Termenul rezistenţei de unda pentru vârf conic
Prelegere 1
13
1 2 3 4 5M
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Cxu
λv=2.0
2.5
3.0
4.0
5.0
Fig. 1.13 Termenul rezistenţei de unda pentru vârf ogival
1 2 3 4 5M
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Cxu
λ v =0.5
Fig. 1.14 Termenul rezistenţei de unda pentru vârf sferic
1.4 COEFICIENTUL FORŢEI AXIALE INDUSE
Pentru acest termen se aplică relaţia:
Prelegere 1
14
α=α∂
∂zx
x CKC2
2
21 , (1.36)
unde coeficientul de corecţie este dat de:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>λ+λ+
<= 2,1
15,2
2,18,0
M
MK
V
Vx (1.37)
1.5 FOCARUL FUZELAJULUI
Poziţia focarului fuzelajului adimensionalizat la lungimea fuzelajului se determină cu relaţia:
lCCxCxCxCC
xzcilz
FcilzcilFpostzpostcilFvzpostzF )(
)(~αα
αα+
αα
+++−
= ; (1.38)
Observaţie: 0<αzpostC
Focarul pentru vârf cu cilindru are expresia:
VcorectieV
F
teoreticV
cilFvcilFv l
lx
lxx ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆+= +
+ , (1.39)
unde valoarea teoretică este dată de:
⎩⎨⎧
⋅=+
rotunjitogivalvirfogivalsauconicvirf
lx
teoreticV
cilFV
9,03/23/2
. (1.40)
Termenul de corecţie apare numai în compresibil, putând fi luat din tabelul 1.9 sau fig. 1.15:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λλ
−λ−λ=∆
V
cilVV
corectieV
F MMflx ,11 22 (1.41)
Prelegere 1
15
0 1 2
(M -1) /
0
0.2
0.4
0.6
0.8
∆
2 1/2λ v- (1-M ) /2 1/2λ v
λ / λ =0.5c v
XFlv
1.0
2.0
3.0
4.0
Fig. 1.15 Corecţie focar
Focarele celorlalte elemente se pot aproxima astfel: lxFcil 5,0= ; pFpost llx 5,0−= (1.42)
În sfârşit, coeficientului de portanţă al cilindrului se poate determina cu
relaţia: cilzcilC λ=α 107,0 . (1.43)
Pentru calculul derivatei coeficientului de moment cu incidenţa se poate utiliza relaţia:
αα −= zFm CxC ~ (1.44)
Prelegere 2
16
2. CALCULUL SUPRAFEŢEI AERODINAMICE IZOLATE
2.1 ELEMENTE GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢEI AERODINAMICE
Elementele geometrice ale unei suprafeţe aerodinamice izolate sunt indicate în figurile 2.1 şi 2.2. Terminologia, notaţiile şi simbolurile utilizate pentru descrierea geometriei sunt în concordanţă cu standardul [X1]. Metoda de calcul prezentată se poate aplica la toate tipurile de suprafeţe aerodinamice: aripă, ampenaj orizontal, ampenaj vertical, cârmă (ampenaj canard). Pentru definirea metodologiei de calcul pe suprafaţa aerodinamică izolată, s-au avut în vedere lucrările [C2], [C3], [C15], [C16],[C17],[C18] [K3], [K4], [K5], [K6], [K8], [N6], [N11], [R4], [S12], [W5].
În figura 2.1 se evidenţiază următoarele elemente geometrice ale proiecţie plane a aripii: oc - coarda la încastrare; ec - coarda la extremitate; b - anvergura suprafeţei aerodinamice; S - aria suprafeţei aerodinamice; 0χ - săgeata bordului de atac; 50χ - săgeata jumătăţilor de coardă ; 100χ - săgeata bordului de fugă; sx - distanţa la axa de rotaţie;
Fig. 2.1 Elementele geometrice ale unei suprafeţe aerodinamice
Prelegere 2
17
În figura 2.2 sunt prezentate următoarele elemente
geometrice ale unui profil al suprafeţei aerodinamice: c - coarda profilului; e - grosimea maximă a profilului; ea -
poziţia grosimii maxime a profilului; ce
=ε grosimea
maximă relativă a profilului; caa e
e = poziţia relativă a
grosimii maxime a profilului; 0τ - unghiul la bordul de atac al profilului; 100τ - unghiul la bordul de fugă al profilului; În baza mărimilor geometrice principale se pot pune în evidenţă o serie de mărimi geometrice utile în calculele de aerodinamică:
Sb2
=λ - alungirea; ec
cr 0= - raportul de trapezoidalitate;
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−== ∫ 2
2/
0
2
)1(1
34d2
rr
bSyc
SC
b
ma - coarda
medie aerodinamică; (2.1)
2.2 DERIVATA COEFICIENTULUI FORŢEI DE PORTANŢĂ
Pentru calculul derivatei coeficientului de portanţă, în regim subsonic
incompresibil se utilizează relaţia:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Λπ+τ++τ+
πλ
<λλπ
=
α∞
α 1
)1(1
12
22
pentru
C
pentru
C
L
L , (2.2)
unde derivata coeficientului de portanţă pentru aripa de anvergură infinită este dat de:
1)77,01(2 KC CMAL ε+π=α∞ , (2.3)
unde coeficientul de corecţie ia valoarea: 9,01 =K .
Valori uzuale pentru această derivată sunt:
⎩⎨⎧ −=π
=α∞ profil
planaplacaCL 8,5...6,5
28,62 . (2.4)
Influenţa compresibilităţii se introduce prin modificarea alungirii aripii:
Fig. 2.2 Elementele geometrice ale unui
profil simetric
Prelegere 2
18
5022
50
cos1cos
χ−χλ
=Λ M , (2.5)
iar influenţa trapezoidalităţii se obţine cu relaţia: 21 τττ′=τ . (2.6)
Pentru calculul acestor mărimi se defineşte funcţia:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ π−
β+µβ−β
−β−βµ
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ βββµ
SbC
SbCf o 0
00
242
200
4200 43)(1,,,, , (2.7)
unde s-a notat:
120 +λ=µ
α∞
rrCL ;
qa
924,01383,0
−= ;
qb
383,01924,0
−= ;
rrq 1−
= ; )(5,00 ba +=β ;
)(2707,0
2 ba −=β ;q
ba707,01
707,05,0)(25,04 −−+=β . (2.8)
Cu ajutorul funcţiei definite factorii relaţiei (2.6) sunt:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ βββµ=τ′
SbCf o,,,, 4200 ; ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
βββ−
=τqq
f2
2,,,,)2(2
14201 ;
( ) 17,0162627.01,0268.0,192.0,6535.0,25.02 ≅=−−=τ f . (2.9) În regim compresibil subsonic şi supersonic se utilizează tabelele 2.1-2.6 sau
diagramele din fig. 2.3-2.8:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ χλ
−λ−λ=
λ
α
rtgM
MfCL ,,1
1502
2 . (2.10)
-5 0 5 10
0.5
0.75
1
1.25
1.5
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
αCL /λ
λ χtg =550
43210
M<1 M>1
r=1
Fig. 2.3 Derivata coeficientului forţei portante cu incidenţa (r=1)
Prelegere 2
19
-5 0 5 10
0.5
0.75
1
1.25
1.5
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
αCL /λ
λ χtg =550
43210
M<1 M>1
r=2
Fig. 2.4 Derivata coeficientului forţei portante cu incidenţa (r=2)
-5 0 5 10
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
αCL /λ
λ χtg =550
43210
M<1 M>1
r=4
Fig. 2.5 Derivata coeficientului forţei portante cu incidenţa (r=4)
Prelegere 2
20
-5 0 5 10
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
αC
L/λ
λ χtg =550
43210
M<1 M>1
r=6
Fig. 2.6 Derivata coeficientului forţei portante cu incidenţa (r=6)
-5 0 5 10
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
αC
L/λ
λ χtg =550
43210
M<1 M>1
r=8
Fig. 2.7 Derivata coeficientului forţei portante cu incidenţa (r=8)
Prelegere 2
21
-5 0 5 10
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
αC
L/λ
λ χtg =550
43210
M<1 M>1
r=12
Fig. 2.8 Derivata coeficientului forţei portante cu incidenţa (r=12)
2.3 COEFICIENTUL FORŢEI DE REZISTENŢĂ LA ÎNAINTARE LA INCIDENŢĂ NULĂ
Forma generală a coeficientului de rezistenţă la înaintare la incidenţă nulă este:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−++−++=
supersonicCCCsubsonicC
C
CCC
postxundaxfrecarex
postx
xprofil
formaxfrecarexx
000
0000
444 8444 76 . (3.11)
Termenul de profil în subsonic, respectiv de frecare în supersonic poate fi pus în forma:
εηη=≡ Mfersonicfrecarexsubsonicprofilx CCC 2)(sup0)(0 . (2.12) Coeficientul de frecare al plăcii plane este în funcţie de numărul Reynolds:
(Re)fC f = , (2.13) unde:
µρ
= MAMaCRe . (2.14)
Prelegere 2
22
Cma
∗x
Fig. 2.9 Trecerea de la stratul limită laminar la stratul limita turbulent pe profil
Datorită prezenţei fuzelajului, punctul de tranziţie pe aripă este foarte apropiat de bordul de atac:
0~ ≅=∗
∗
Cmaxx . (2.15)
În acest caz se poate lucra numai cu formulele din turbulent:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<
<<
<
=
Re10Re
0315,0
10Re10)(log
455,0
10ReRe
074,0
9145,0
9658,2
10
62,0
fC . (2.16)
Efectul de compresibilitate este dat de :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
+=η
supersonicM
subsoniclcompresibiM
bilincompresi
M
65,02
2
)144,01(1
2,011
1
. (2.17)
Efectul de grosime este dat de relaţia: 075,11000375,0 +ε=ηε CMA , (2.18)
relaţie care aproximează fig. 2.23-a, pag. 149 din lucrarea [N11]. Termenul rezistenţei de undă în supersonic se obţine din tabelele 2.7-2.9, sau din diagramele din fig. 2.10-2.12.
( )rtgMfC
cma
Txu ,,1 50
22 χλ−λ=
λε, (2.19)
diagrame, care sunt valabile pentru profilul rombic:
5,0~ ==caa . (2.20)
Prelegere 2
23
0 2 4 6 8
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
λ (Μ −1)2 1/2
λ χtg =450
3
2
1
0
M>1
r=1
CxuT
λ ε2cma
Fig. 2.10 Termenul rezistenţei de undă în regim supersonic pentru profil rombic
(r=1)
0 2 4 6 8
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
λ (Μ −1)2 1/2
λ χtg =450
3
2
1
0
M>1
r=5
CxuT
λ ε2cma
Fig. 2.11 Termenul rezistenţei de undă în regim supersonic pentru profil rombic
(r=5)
Prelegere 2
24
0 2 4 6 8
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
λ (Μ −1)2 1/2
λ χtg =450
3
2
1
0
M>1
r=12
CxuT
λ ε2cma
Fig. 2.12 Termenul rezistenţei de undă în regim supersonic pentru profil rombic
(r=12)
În cazul altui profil, se poate utiliza relaţia: )]1(1[ −ϕ+= KCC T
xuxu , (2.21) unde:
aa+
=ϕ1
; 22 )]1(4,0[ etgMa χ−−λ= , (2.22)
eχ este săgeata grosimii maxime a aripii, care în cazul profilului rombic este săgeata jumătăţilor de coardă 50χ . Parametru K are valorile
)~1(~41
aaK
−= , (2.23)
pentru profil patrulater simetric (fig. 2.13-a) şi
)~1(~21
aaK
−= , (2.24)
pentru profil triunghiular (fig. 2.13-b).
a) profil patrulater simetric b) profil triunghiular
Fig. 2.13 Profiluri de aripa
Prelegere 2
25
Rezistenţa de undă în regim transonic se determină din tabelul 2.10 sau din diagrama din fig. 2.14:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
λε
ε−
ε−
=ε
3/1
3/1
2
3/1
2
3/5 ,1
1
cma
cma
cma
cma
xu
M
M
fC . (2.25)
-1 0 10
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
3.25
3.5
λ /ε(Μ −1)2 1/2
λ ε
2
1
Cxuε
1/3
cma
cma
5/3
=0.5
M>1M<1
1.5
34
−λ /ε( 1−Μ )2 1/2
cma cma
1/3
1/3
`Fig. 2.14 Termenul rezistenţei de undă în regim transonic
Rezistenţa de undă a părţii posterioare a profilului se determină cu relaţia:
termptermxpost CC ε−= , (2.26) unde, prin definiţie, avem:
2
21
∞∞
∞
ρ
−=
V
ppC termpterm ;
MA
termterm C
e=ε . (2.27)
Cma
terme
Fig. 2.15 Profil cu bord de fugă retezat
Prelegere 2
26
Pentru ptermC se poate utiliza relaţia:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= 2
5,015,0MM
C pterm . (2.28)
2.4 REZISTENŢA INDUSĂ În regim subsonic rezistenţa indusă se determină cu relaţia:
22
2
)(121 α
πλδ+
=α∂
∂L
D CC , (2.29)
unde termenul δ se determină cu relaţia:
2
1
δδ
δ′=δ . (2.30)
Pentru exprimarea acesteia se defineşte funcţia: 2
00
4
00
42
00
2
2
00
424200 535
53
3),,,( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+µ
β−
β+µβ−β
β+µβ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛β+µβ−β
≅βββµg . (2.31)
unde parametrii funcţiei sunt daţi de relaţiile 2.9 precizate anterior. Utilizând această funcţie se poate scrie:
),,,( 4200 βββµ=δ′ g ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛βββ
−=δ 4201 ,,,
)2(21
qg ; (2.32)
( ) 049,00449314.00268.0,192.0,6535.0,25.02 ≅=−−=δ g . 2.33) În regim supersonic, rezistenţa indusă are următoarea expresie:
2
2
2
2
21
21
α∂∂
−=α∂
∂ α xsL
D CCC , (2.34)
unde ultimul termen reprezintă coeficientul forţei de succiune, care este dat de:
⎩⎨⎧ζ
=α∂
∂ α
supersonicatacdebordcuaripapentrusubsonicatacdecubordaripapentruCCC Lssxs
0)(~
21 2
2
2
. (2.35)
În relaţia anterioară factorul SC~ este dat de:
SS
kECk
tgC d
LS
∗
αχπ
= 20 )]([
~ , (2.36)
unde )(kE este integrala eliptică completă de speţa a II-a de modul k:
21 mk −= ; 0
2 1χ−
=tgMm . (2.37)
Pentru calculul integralei eliptice complete, având în vedere relaţiile:
qqkkE dsin1)(2
0
22∫π
−= , (2.38)
Prelegere 2
27
)arcsin(k=Θ se poate utiliza tabelul 2.11:
Tabelul 2.11 )(kE - Integrala eliptica completă de speţa a II-a Θ 0.0 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40.
)(kE 1.5705 1.5678 1.5589 1.5442 1.5238 1.4981 1.4675 1.4323 1.393145. 50. 55. 60. 65. 70. 75. 80. 85. 90. 1.3506 1.3055 1.2587 1.2111 1.1638 1.1184 1.0764 1.0401 1.0127 1.0000
Suprafaţa ∗
dS din relaţia 2.36 este dată de:
0
2
2χ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∗ tgbSd , (2.39)
iar parametrul sζ s-a ales pentru incidenţe mici din tabelul 2.3 pag 165 din lucrarea [N11]:
655,0=ζ s . (2.40)
2.5 FOCARUL SUPRAFEŢEI AERODINAMICE În anvergură, în lipsa altor date, se poate considera că focarul este amplasat pe coarda medie aerodinamică, după cum este prezentat în figura 2.16
Fx
F
Cma
Fig. 2.16 Poziţia focarului pe coarda medie aerodinamică
Pentru coerenţă cu lucrările de specialitate , vom lucra cu focarul adimensionalizat la coarda medie aerodinamică:
Cmaxx FF =~ . (2.41) În regim subsonic poziţia focarului adimensionalizat se determină cu relaţia:
⎩⎨⎧
+=
lcompresibisubsonicMKbilincompresisubsonic
xF125,0
25,0~ , (2.42)
unde coeficientul de corecţie este dat de: 24
1 19,1 MMK CMA −ε= . (2.43) În regim supersonic şi transonic focarul aripei se determină din tabelele 2.12-2.15 sau din diagrame din fig. 2.17-2.20:
5,0,,1
1~502
2≅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ χλ
−λ−λ= tgr
MMfxF , (2.44)
Prelegere 2
28
diagrame care sunt valabile pentru: 8,05,03 −≅ελ . (2.45)
-4 -2 0 20.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χ50
M<1 M>1
r=1
tg =0
r=3r=5r=12
X F
Fig. 2.17 Poziţia focarului pe CMA ( 0tan 50 =χλ )
-4 -2 0 20.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χ50
M<1 M>1
r=1
tg =1
r=3r=5r=12
XF
Fig. 2.18 Poziţia focarului pe CMA ( 1tan 50 =χλ )
Prelegere 2
29
-4 -2 0 20.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χ50
M<1 M>1
r=1
tg =2
r=3r=5r=12
XF
Fig. 2.19 Poziţia focarului pe CMA ( 2tan 50 =χλ )
-4 -2 0 20.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χ50
M<1M>1
r=1
tg =3
r=3r=5r=12
X F
Fig. 2.20 Poziţia focarului pe CMA ( 3tan 50 =χλ )
Prelegere 2
30
2.6 CALCULUL TERMENILOR SUPRAFEŢEI AERODINAMICE ÎN SISTEMUL DE AXE LEGAT DE SUPRAFAŢĂ
Deoarece în cazul suprafeţei aerodinamice calculul coeficienţilor forţei
aerodinamice s-a făcut în triedrul legat de viteză, pentru a construi coeficienţii globali aparatului într-un triedru legat de configuraţie este necesar ca şi coeficienţii suprafeţei aerodinamice să fie exprimaţi într-un triedru legat de suprafaţă.
O
x
xa z za
α
V Fig. 2.21 Legătura dintre triedrul suprafaţă şi triedrul viteză
Legătura dintre triedrul legat de suprafaţa aerodinamică ( xOz ) şi triedrul
legat de viteza curentului de aer ( aaOzx ) este dată de:
,cossin;sincos
α+α=α−α=
aa
aa
zxzzxx
(2.46)
sau în forma matriceală:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ααα−α
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
a
a
zx
zx
cossinsincos
. (2.47)
În acest caz, legătura dintre coeficienţii forţei aerodinamice exprimate în cele două triedre este:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ααα−α
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
L
D
z
x
CC
CC
cossinsincos
(2.48)
Dacă se are în vedre un unghi de incidenţă mic, făcând aproximaţia de ordinul întâi:
;sin α≅α ;1cos ≅α (2.49) se obţine:
α−= LDx CCC ; LDz CCC +α= (2.50) Dacă se are în vedere dezvoltarea coeficienţilor aerodinamici în triedrul viteză în raport cu incidenţă:
22
2
0 21
αα∂
∂+= D
DDCCC ; α= α
LL CC , (2.51)
pentru coeficienţii în triedru suprafaţă se poate scrie:
Prelegere 2
31
22
2
022
2
2
0 21
21
αα∂
∂+≅α−α
α∂∂
+≅ α xxL
DDx
CCCCCC ; (2.52)
33
23
2
2
0 61
21
αα∂
∂+α≅α+α
α∂∂
+α≅ αα zzL
DDz
CCCCCC , (2.53)
de unde rezultă prin identificare:
;00 Dx CC = ;21
21
2
2
2
2α−
α∂∂
=α∂
∂L
Dx CCC ;0DLz CCC += αα 2
2
3
3
21
61
α∂∂
=α∂
∂ DZ CC . (2.54)
Dacă se consideră o dezvoltare de ordinul doi pentru funcţiile trigonometrice ale unghiului de incidenţă:
;6
sin3α
−α≅α ;2
1cos2α
−≅α (2.55)
procedând analog se obţine: 2
2
2
04
2
220
2
2
0 21
41
61
221
αα∂
∂+≅α⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂−+α⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
α∂∂
+≅ αα xx
DL
DL
DDx
CCCCCCCCC
( ) 33
25
2
23
02
2
0 61
121
21
61
21
αα∂
∂+α≅α
α∂∂
−α⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
α∂∂
+α+≅ ααα zz
DLD
DDLz
CCCCCCCCC ,
(2.56) de unde, prin identificare şi cu neglijarea termenilor de ordin superior, se obţine:
;00 Dx CC = ;22
121 0
2
2
2
2D
LDx CCCC
−−α∂
∂=
α∂∂ α ;0DLz CCC += αα
02
2
3
3
61
21
21
61
DLDZ CCCC
−−α∂
∂=
α∂∂ α (2.57)
Prelegere 3
32
3. CALCULUL INTERFERENŢELOR ŞI A TERMENILOR DE DEZVOLTARE A COEFICIENŢILOR AERODINAMICI
3.1 CALCULUL INTERFERENŢELOR După determinarea principalilor termeni ai coeficienţilor aerodinamici pe elemente izolate, este necesar să se determine interferenţa între acestea. Cazurile de interferenţă analizate vor fi cele dintre o suprafaţă aerodinamică şi fuzelaj şi dintre două suprafeţe aerodinamice dispuse în tandem, aceste două tipuri de interferenţe fiind cele care apar în mod obişnuit pentru configuraţiile aerodinamice clasice de tip avion. Pentru definirea elementelor de interferenţă, ca şi în cazul metodologiei pe elemente izolate s-au avut în vedere lucrările: [C2], [C3], [C15], [C16],[C17],[C18] [K3], [K4], [K5], [K6], [K8], [N6], [N11], [R4], [S12], [W5].
a) 3.1.1 Interferenţa dintre suprafaţa aerodinamica şi fuzelaj Pentru început vom analiza cazul suprafeţei aerodinamice fără calaj. Dacă se notează:
AK - interferenţa fuzelajului asupra aripii (creşterea de portanţă pe aripă); FK - interferenţa aripii asupra fuzelajului (creşterea de portanţă pe fuzelaj),
modul de utilizare a coeficienţilor de interferenţă este următorul: )(~
FAzAAzFz KKCSCC ++= ααα . (3.1) Coeficienţii de interferenţă definiţi anterior se determină cu relaţiile:
flMsltrAA kK υυυυυ= ; (3.2)
fclMsltrFF kK υυυυυυ= , (3.3) unde Ak , Fk reprezintă valorile teoretice iar restul coeficienţilor introduc o serie de corecţii a căror semnificaţie va fi precizată odată cu relaţiile de calcul pentru fiecare în parte. Valorile teoretice ale acestor coeficienţi s-au determinat pe o aripă delta amplasată median pe un fuzelaj de lungime infinită
)()~1(
~221
2
ffD
DkF
FA −
−π= ; )(
)~1(
~221
2
ffD
DkF
FF +
−π= , (3.4)
unde:
bddDF +
=~ ; 2
22
1 ~)~1(
4F
F
DDf −π= ; 2
2
2
222
2 ~1
~1arcsin~2)~1(
~~1
F
F
F
F
F
F
DD
DD
DDf
+−+
−−
= . (3.5)
Între cei doi coeficienţi există relaţia: 2)~1( FFA Dkk +=+ . (3.6)
Corecţia de trapezoidalitate se determină cu relaţia:
Prelegere 3
33
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−
+=υrD
DD
F
FFtr
11)~1(
)~1(~1 2 . (3.7)
Corecţia de strat limită se obţine din:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡δ
+−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛δ
−−=υ ∗∗ ˆ
)1)(~1()1(~
1ˆ~1
~212
rDrD
DD
F
F
F
Fsl , (3.8)
unde grosimea stratului limită în dreptul aripii se determină cu:
20
1cxL A += ; (3.9)
)006,0147,04,01(093,0~ 321
51
1
MMMDL
VL F
−++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛υ
=δ∗ , (3.10)
relaţii în care mărimile geometrice au semnificaţia din figura 3.1:
1L
Ax
0c
Fig. 3.1 Schema de calcul a corecţiei de strat limită
Corecţia de compresibilitate se determină cu relaţia:
⎩⎨⎧
=υ − supersonicesubsonic
MM )1(05,0
1. (3.11)
Corecţia pentru partea anterioară a fuzelajului este: ( )1
~5,014,06,0 Ll e−−+=υ , (3.12)
unde:
FDLL 1
1~ = . (3.13)
Corecţia pentru partea posterioară a fuzelajului este dată de:
[ ] [ ] kLkLckc cfcfc 2~(2)~~(~1 0
0
Φ−+Φπ
−=υ , (3.14)
unde: )(zΦ - funcţia Gauss – Laplace de argument z, iar celelalte mărimi utilizate sunt:
Prelegere 3
34
12
2 −π
=∗ MDL F ; ∗=LL
L efef
~ ; ∗=Lcc 0
0~ ; ( )2~8114 FD
rk +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += . (3.15)
elementele geometrice fiind indicate în fig. 3.2.
0c
efL
∗L
Fig. 3.2 Schema de calcul a corecţiei cu partea posterioară a fuzelajului
Corecţia de frânare fυ pe aripă datorată fuzelajului, pentru 3<M şi
5.1>λV se poate neglija putând fi considerată unitară: 1≅υ f . (3.16)
În cazul suprafeţei cu unghi de calaj sau a suprafeţei mobile bracate, conform fig. 3.3,
αδ
Fig. 3.3 Fuzelaj în prezenţa unei suprafeţe aerodinamice cu unghi de calaj
coeficienţii de interferenţă sunt:
flMsltrAA kK υυυυυ= ∗∗∗ ; (3.17)
fclMsltrFF kK υυυυυυ= ∗∗∗ ; (3.18) unde:
FA
AA kk
kk+
=∗2
FA
FAF kk
kkk+
=∗ , (3.19)
iar corecţia cu stratul limită este dată de:
[ ]
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡δ+
−+−
−δ++=υ∗
F
FF
F
FF
sl
DrDrD
DrDrD
~21
~)1(1~1
)~1(~21
~)1(1)~1(~1 **
. (3.20)
Observaţie - Dacă: slsl υ=υ∗ , se obţine:
Prelegere 3
35
FA
AA KK
KK+
=∗2
; FA
FAF KK
KKK+
=∗ . (3.21)
b) 3.1.2 Interferenţa dintre două suprafeţe aerodinamice Interferenţa dintre două suprafeţe aerodinamice constă în deflexiunea şi frânarea curentului de aer în dreptul suprafeţei din aval datorată suprafeţei din amonte. Această interferenţă are valori semnificative în cazul configuraţiilor normale, cu aripă şi ampenaj în spate. În cazul configuraţiilor canard, cu suprafeţele de comandă în faţă, interferenţa dintre cârmă şi aripă este nesemnificativă. Un prim fenomen care trebuie analizat este deflexiunea curentului în cazul configuraţiilor normale. Modul de apariţie al acestuia este prezentat schematic în fig. 3.4, 3.5.
αε−α
ε
21−L
w
efVVV
Fig. 3.4 Deflexiunea curentului de aer de pe aripă de ampenajul orizontal –
vedere laterală
12
22∗S
dxvy
∗vy
Fig. 3.5 Deflexiunea curentului de aer de pe aripă de ampenajul orizontal -
vedere orizontală Un efect important al deflexiunii constă în apariţia termenilor nestaţionari. Pentru a pune în evidenţă acest lucru putem calcula durata în care curentul de aer ajunge de la suprafaţa din amonte (1) la suprafaţa din aval (2):
VLt 21−=∆ , (3.22)
cu ajutorul acestui interval de timp şi a unghiului de deflexiune ε se poate determina derivata incidenţei:
Prelegere 3
36
21−
ε=
∆ε
=αL
Vt
& . (3.23)
Deoarece deflexiunea se utilizează în relaţii de tipul:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−++++= αααα 1)(~)(~22221111 FAzFAzzFz KKCSKKCSCC (3.24)
este util să se exprime raportul deflexiune/incidenţă. Astfel, scăderea incidenţei poate fi pusă în forma:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α∂ε∂
−α=ε−α 1 , (3.25)
unde derivata deflexiunii curentului de aer în raport cu incidenţa se determină cu relaţia:
( )e
FA
Azv
KKKC
bb
xk
Ψ+λπ
=α∂ε∂ α
∗2
1
1
1
2
1
)(21 . (3.26)
unde parametrii ∗x şi vk se determină din tabele sau diagrame. Astfel raportul dintre poziţia în anvergură a vârtejului de pe aripă şi semianvergură
1/2 byx ∗∗ = , (3.27) se determină din tabelele 3.1, 3.2, 3.3 sau din diagramele din fig. 3.6, 3.7, 3.8.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛χλ
−λ−λ−=∗
150121
21 ,,
11 rtg
MMfx (3.28)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χtg =050
M<1 M>1
r=1
2
4
1 1
1
x*
1
Fig. 3.6 Raportul dintre poziţia în anvergură a vârtejului de pe aripă şi
semianvergura aripii reduse ( 11 =r )
Prelegere 3
37
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χtg =050
M<1 M>1
r=2
2
0.66
1 1
1
x*
1
Fig. 3.7 Raportul dintre poziţia în anvergură a vârtejului de pe aripă şi
semianvergura aripii reduse ( 21 =r )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
λ (Μ −1)2 1/2
(1−Μ )−λ 2 1/2
λ χtg =050M<1 M>1
r=12
2
1 1
1
x*
1
Fig. 3.8 Raportul dintre poziţia în anvergură a vârtejului de pe aripă şi
semianvergura aripii reduse ( 121 =r )
Prelegere 3
38
Coeficientul de corecţie a interferenţei cu poziţia ampenajului orizontal şi forma acestuia vk se obţine din tabelele 3.4, 3.5, 3.6 sau din diagramele din fig. 3.9, 3.10, 3.11:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=2
222
1,~,2r
Ddb
yfk vv , (3.29)
în care:
21bxyv
∗∗ = ; 2
* dyy vv += ; db
dD+
=2
22~ . (3.30)
În calculul acestei corecţii s-a considerat că ampenajul orizontal nu este supraplasat sau subplasat în raport cu aripa.
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5kv
2y /(b +d )v 2 2
D =0.62
0.4
0.2
0.0
1/r=0.02
Fig. 3.9 Coeficient de corecţie dependent de ampenajul orizontal ( 0/1 2 =r )
Prelegere 3
39
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.80
0.5
1
1.5
2
2.5
3 kv
2y /(b +d )v 2 2
D =0.62
0.4
0.2
0.0
1/r=0.52
Fig. 3.10 Coeficient de corecţie dependent de ampenajul orizontal ( 5.0/1 2 =r )
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.80
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5kv
2y /(b +d )v 2 2
D =0.62
0.4
0.2
0.0
1/r=1.2
Fig. 3.11 Coeficient de corecţie dependent de ampenajul orizontal ( 1/1 2 =r )
În sfârşit , ultimul factor al relaţiei (3.26), care depinde de mărimea suprafeţei de ampenaj afectată de vârtejul format pe aripă (fig. 3.5) se determină cu:
Prelegere 3
40
⎪⎩
⎪⎨⎧
=Ψ ∗
supersonicSS
subsonice
2
2
1 . (3.31)
În ceea ce priveşte frânarea curentului de aer pe suprafaţa din aval datorat suprafeţei din amonte, acesta se determină cu relaţia
1
2
1
2
1SSSS
f
f
+
+υ=υ
∗
, (3.32)
unde ∗υ f , care reprezintă frânarea teoretică obţinută în cazul în care aripa este mult mai mare decât ampenajul, se determină din fig. 3.13 sau din tabelul 3.7, în funcţie de Mach şi distanţa adimensională 21
~−x :
)~,( 21−∗ =υ xMff . (3.33)
Distanţa adimensională între bordul de fugă al suprafeţei din amonte şi focarul suprafeţei din aval se determină cu relaţia:
1
1112222
1
2121
)(~~mA
mAcmAFcmAmAcmA
mA ccxxxcxx
cxx ++−++
== −− . (3.34)
21−x1cmAx
1x2x1mAc
2mAcF
2cmAx
Fig. 3.12 Schemă de calcul a frânarii curentului de aer
Prelegere 3
41
0 1 2 3 4 5 6 7M
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1 νf*
x =01-2
0.2
0.40.60.81.0
Fig. 3.13 Frânarea teoretică a aerului pe ampenajul orizontal
c) 3.1.3 Interferenţe de cuplaj
Un ultim grup de termeni de interferenţe, care apar la configuraţiile de tip avion sunt cele de cuplaj între canalul de ruliu şi cel de giraţie. Astfel, un prim parametru care este necesar să fie definit este o corecţie pentru construirea termenilor de cuplaj ce creează forţa laterală şi momentul de giraţie prin viteza unghiulară de ruliu. Acesta se notează χ şi depinde de raportul dintre diametru şi anvergura suprafeţei aerodinamice reduse:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=χ
bdf . (3.35)
Valorile acestei corecţii se pot lua din tabelul 3.8 sau din figura 3.14
Prelegere 3
42
0 0.25 0.5 0.75 1d/b
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1χ
3.14 Termen de corecţie pentru calculul unui termen al coeficientului forţei laterale
datorită vitezei unghiulare de ruliu Un alt parametru care apare în calculul termenilor forţei laterale şi momentului de giraţie datoraţi vitezei unghiulare de ruliu este coeficientul 1k , care are valori cuprinse în intervalul 0,1...85,0 . Influenţa acestui parametru este totuşi de mică importanţă, o bună aproximaţie a rezultatelor obţinându-se pentru
0,11 =k . (3.36) În sfârşit, pentru calculul influenţei unghiului de glisadă asupra momentului de ruliu se defineşte parametrul:
ldb
rryc
+++
=)1(3
2~ . (3.37)
3.2 TERMENII DE DEZVOLTARE A COEFICIENŢILOR AERODINAMICI PENTRU O CONFIGURAŢIE NORMALĂ DE AVION
Pornind de la calculul termenilor pe elemente izolate şi de la termenii de interferenţă stabiliţi anterior, impunând o dezvoltare polinomială a coeficienţilor aerodinamici în jurul mişcării de bază, vom căuta în continuare să determinăm termenii acestei dezvoltări pentru o configuraţie normală de avion. Configuraţia
Prelegere 3
43
normală, de tip avion, avută în considerare, dispune de următoarele suprafeţe de comandă: - eleron pe aripa cu bracaj antisimetric pentru controlul mişcării de ruliu; - profundor pe ampenajul orizontal şi cu bracaj simetric pentru controlul mişcării longitudinale; - direcţie pe ampenajul vertical pentru controlul mişcării laterale ( cuplat cu bracajul de eleron). Aripa dispusă median este cu unghi diedru şi de calaj. Ampenajul orizontal este cu unghi de calaj. Fuzelajul este cilindric.
d) 3.2.1 Notaţii, terminologie, simboluri
Fig. 3.15 Configuraţie normală de avion
Terminologia şi notaţiile utilizate sunt în concordanţă cu standardul [X1] Principalele notaţiile utilizate pentru termeni aerodinamici pe elemente izolate sunt:
αzFC - derivata in raport cu incidenţa a coeficientului forţei normale pe fuzelaj; αzAC - derivata in raport cu incidenţa a coeficientului forţei normale pe aripă; αzOC - derivata in raport cu incidenţa a coeficientului forţei normale pe ampenajul
orizontal; αzVC - derivata in raport cu incidenţa a coeficientului forţei normale pe ampenajul
vertical; FxC 0 - coeficientul forţei axiale la incidenţa nulă pentru fuzelaj; AxC 0 - coeficientul forţei axiale la incidenţă nulă pentru aripă; OxC 0 - coeficientul forţei axiale la incidenţă nulă pentru ampenaj orizontal; VxC 0 - coeficientul forţei axiale la incidenţă nulă pentru ampenaj vertical;
Prelegere 3
44
2
2
21
α∂∂ xFC - derivata a doua a coeficientului forţei axiale in raport cu incidenţa, la
incidenţă nulă pentru fuzelaj;
2
2
21
α∂∂ xAC - derivata a doua a coeficientului forţei axiale in raport cu incidenţa, la
incidenţă nulă pentru aripa;
2
2
21
α∂∂ xOC - derivata a doua a coeficientului forţei axiale in raport cu incidenţa, la
incidenţă nulă pentru ampenaj orizontal;
2
2
21
α∂∂ xVC - derivata a doua a coeficientului forţei axiale in raport cu incidenţa, la
incidenţă nulă pentru ampenaj vertical; FVx~ - focarul pe ampenaj vertical raportat la bordul de atac al maVc ,
adimensionalizat cu maVc ; FAx~ - focarul pe aripa raportat la bordul de atac al maAc , adimensionalizat cu FAx~ ; FOx~ - focarul pe ampenaj orizontal raportat la bordul de atac al maOc
adimensionalizat cu maOc ; FFx~ - focarul pe fuzelaj raportat la vârful fuzelajului, adimensionalizat cu lungimea
fuzelajului. Pentru termenii de interferenţă se folosesc următoarele notaţii:
0xC∆ - creşterea coeficientului forţei axiale datorită interferenţelor; VK - coeficientul de interferenţă al ampenajului vertical in prezenta fuzelajului; FVK - coeficientul de interferenţa al fuzelajului in prezenta ampenajului vertical; AK - coeficientul de interferenţa al aripii in prezenta fuzelajului; FAK - coeficientul de interferenţa al fuzelajului în prezenţa aripii; OK - coeficientul de interferenţa al ampenajului orizontal in prezenta fuzelajului; FOK - coeficientul de interferenţă al fuzelajului in prezenta ampenajului orizontal;
αε - derivata deflexiunii curentului pe ampenajul orizontal, datorită prezenţei
aripii, in raport cu unghiul de incidenţa;
βσ - derivata deflexiunii curentului pe ampenajul vertical, datorită prezenţei aripii,
in raport cu unghiul de derivă; fVγ - frânarea curentului de aer în dreptul ampenajului vertical;
fAγ - frânarea curentului de aer în dreptul aripii;
fOγ - frânarea curentului de aer in dreptul ampenajului orizontal; Mărimile geometrice utilizate se notează astfel:
Prelegere 3
45
l - lungime de referinţă (lungimea fuzelajului ); maVc - coarda medie aerodinamică a ampenajului vertical; maAc - coarda medie aerodinamică a aripii; maOc - coarda medie aerodinamică a ampenajului orizontal;
S - suprafaţa de referinţă (secţiunea transversală a fuzelajului ); VS - suprafaţa ampenajului vertical; AS suprafaţa aripii; OS suprafaţa ampenajului orizontal;
δ - unghiul diedru al aripii; eδ - bracajul de profundor; aδ - bracajul de eleron; rδ - bracajul de direcţie.
e) 3.2.2. Termeni aerodinamici în triedrul configuraţie
Conform prevederilor standardului [X1] vom considera un triedru aerodinamic drept, cu originea în vârful configuraţiei, cu axa ax orientată spre partea posterioară a configuraţie, cu axa az orientată în sus (fig. 3.13).
a)Termenii coeficientului forţei axiale xC Un prim termen al coeficientului forţei axiale este coeficientul forţei axiale la incidenţă nulă ( activ) - aa11 . Pornind de la termenii pe elemente izolate şi de la termenii de interferenţă se obţine:
xOCOOzOxO
OxfOO
CAAzAxA
AxfAAzVfVVFxactivx
CKCCCS
KCCCSCSCC
∆+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
α⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂+υ
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
α⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂+υ+υ+=
α
αα
22
2
0
22
2
000
21~
21~~
21
. (3.38)
Pentru cazul avionului cu motor cu reacţie, cu motorul oprit, coeficientul forţei axiale la incidenţă nulă notat aa12 se determină cu relaţia:
fundxactivxpasivx CCC 000 ∆+= . (3.39) Un alt termen de interes este derivata a doua a coeficientului forţei axiale în raport cu incidenţa în primul plan (deriva), notat aa21 . Relaţia de calcul a acestui termen este:
Prelegere 3
46
( )
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α∂∂
∆+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ+
+δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂=
α∂∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
211
21~
cos21~
21
21
xFOO
xOfOO
FAAxA
fAAxFx
CKKCS
KKCSCC
. (3.40)
Analog, se calculează derivata a doua a coeficientului forţei axiale în raport cu incidenţa în al doilea plan ( glisada) notată aa22 . Relaţia de calcul pentru acest termen este de forma:
( )
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛β∂∂
∆+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ+
+δ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂=
β∂∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
211
21~5,0
sin21~5,0
21
21
xFVV
xVfVV
FAAxA
fAAxFx
CKKCS
KKCSCC
. (3.41)
În continuare vom prezenta trei termeni ai coeficientului forţei axiale datoraţi bracajelor de comandă. - derivata a doua a coeficientului forţei axiale în raport cu bracajul de profundor notată aa6 :
OOzOxO
fOOe
x KCCSCη⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ=
δ∂∂ α
2
2
2
2
21~
21 ; (3.42)
- derivata a doua a coeficientului forţei axiale in raport cu bracajul de eleron notată aa7 :
AAzAxA
fAAa
x KCCSCη⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ=
δ∂∂ α
2
2
2
2
21~
21 ; (3.43)
- derivata a doua a coeficientului forţei axiale in raport cu bracaj de direcţie notată aa8 :
VVzVxV
fVVr
x KCCSCη⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ=
δ∂∂ α
2
2
2
2
21~5,0
21 . (3.44)
În sfârşit, datorită în principal unghiurilor de calaj a aripii şi a ampenajului orizontal se poate defini şi derivata de ordinul întâi a coeficientului forţei axiale in raport cu incidenţa în primul plan, notată aa9 :
COOzOxO
fOOCAAzAxA
fAAx KC
CSKC
CS
Cα
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ+α
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂υ=
α∂∂ αα
2
2
2
2
21~2
21~2 . (3.45)
b) Termenii coeficienţilor forţelor normale zy CC ;
Un prim termen este coeficientul normal pe primul plan la incidenţa nulă notat ab0 datorat în principal unghiurilor de calaj pentru aripă şi ampenaj şi coeficientului de portanţă la incidenţă nulă în cazul unui profilul nesimetric al aripii sau ampenajului orizontal:
Prelegere 3
47
)(~cos)(~000 cOzOzOOfOOcAzAzAAfAAz CCKSCCKSC α+υ+δα+υ= αα . (3.46)
În continuare se poate determina derivata coeficientului normal pe primul plan cu incidenţa, notat ab11 :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−+υ+δ+υ+= αααα 1)(~cos)(~FOOzOfOOFAAzAfAAzFZ KKCSKKCSCC . (3.47)
Analog se determină derivata coeficient normal pe al doilea plan cu incidenţa (deriva) notată ab12 :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛βσ
−+υ+δ+υ+= αααβ 1)(~5,0sin)(~5,0 FVVzVfVVFAAzAfAAzFy KKCSKKCSCC . (3.48)
În continuare vom prezenta trei termeni ai coeficienţilor forţelor normale datoraţi bracajelor de comandă. - derivata coeficientului normal pe primul plan cu bracajul de profundor notată
ab51 :
OOzOfOOe
z KCSC ηυ−= αδ ~ . (3.49) - derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu bracajul de direcţie notată
ab52 : VVzVfVV
ry KCSC ηυ−= αδ ~5,0 . (3.50)
- derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu bracajul de eleron notată ab6 : δηυ= αδ sin~
AAzAfAAa
y KCSC . (3.51) În sfârşit, se mai pot determina doi termeni nestaţionari şi un termen de
cuplaj cu viteza de ruliu: - derivata coeficientului normal pe primul plan cu incidenţa nestaţionară, notată
ab91 :
)~~(1~FAFOfOOzOOz xxKCSC −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−υ= αα& . (3.52)
- derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu incidenţa nestaţionară (derivă) notată ab92 :
)~~(1~5,0 FAFVfVVzVVy xxKCSC −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−υ= αβ& . (3.53)
- derivata coeficientului normal pe al doilea plan cu viteza de ruliu (cuplaj), notată ab10 :
FVzVVFVVfVV
FAzAAFAAfAA
py z
CkKKy
CkKKC ~11)(sin~
1)(2 11 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−+υχ−δ+υχ−= αα
(3.54)
c) Termenii coeficienţilor momentelor de tangaj, giraţie nm CC ;
Prelegere 3
48
Un prim termen este coeficientul de tangaj la incidenţă nulă notat ad0 datorat în principal unghiurilor de calaj pentru aripă şi ampenaj şi coeficientului de portanţă la incidenţă nulă în cazul unui profilul nesimetric al aripii sau ampenajului orizontal:
)(~
sin~21~cos)(~
0
22
2
000
cOmOmOOfOO
FAcAAzAxA
xfAAcAmAmAAfAAm
CCKS
yKCCCSCCKSC
α+υ+
+δ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
α⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛α∂
∂+υ+δα+υ=
α
αα
(3.55) În continuare se poate determina derivata coeficientului momentului de tangaj cu incidenţa, notat ad11 :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−+υ+δ+υ+= αααα 1)(~cos)(~FOOmOfOOFAAmAfAAmFm KKCSKKCSCC . (3.56)
Analog se determină derivata coeficientului momentului de giraţie cu unghiul de derivă, notată ad12 :
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−+υ−δ+υ−−= αααβ 1)(~5,0sin)(~5,0 FVVmVfVVFAAmAfAAmFn KKCSKKCSCC .(3.57)
În continuare vom prezenta trei termeni ai coeficienţilor de moment datoraţi bracajelor de comandă. - derivata coeficientului de tangaj cu bracajul de profundor notată ad51 :
OOmOfOOe
m KCSC ηυ−= αδ ~ ; (3.58) - derivata coeficientului de giraţie cu bracajul de direcţie notată ad52 :
VVmVfVVr
d KCSC ηυ= αδ ~5,0 ; (3.59) - derivata coeficientului de moment de giraţie cu bracajul de eleron notată ad6 :
δηυ= αδ sin~AAmAfAA
an KCSC ; (3.60)
În sfârşit, se mai pot pune în evidenţă doi termeni nestaţionari şi un termen de cuplaj cu viteza de ruliu: - derivata coeficientului momentului de tangaj cu incidenţa nestaţionară, notată
ad91 :
FOFAFOfOOzOOm xxxKCSC ~)~~(1~ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−υ−= αα& ; (3.61)
- derivata coeficientului momentului de giraţie cu incidenţa nestaţionară (glisada), notată ad92 :
FVFAFVfVVzVVn xxxKCSC ~)~~(1~5,0 −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−υ= αβ& ; (3.62)
- derivata coeficientului momentului de giraţie cu viteza de ruliu, termen de cuplaj, notat: ad10
Prelegere 3
49
FV
FVzVVFVVfVV
FA
FAzAAFAAfAA
pn z
xCkKKyxCkKKC ~
~1)(sin~
~)(2 11 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−+υχ−δ+υχ−= αα
(3.63)
d) Termenii coeficientului momentului de ruliu lC Un ultim grup de termeni sunt cei ai momentului de ruliu. Astfel, se poate pune în evidenţă: - derivata coeficientului momentului de ruliu cu viteza de ruliu, notată ac3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛βσ
−+υχ+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αε
−+υχ++υχ=
α
αα
1)(
1)(2)(2
1
11
zVVFVVfVV
zOOFOOfOOzAAFAAfAAp
l
CkKK
CkKKCkKKC;(3.64)
- derivata coeficientului momentului de ruliu cu bracajul de eleron, notată ac6
FAAAzAfAAa
l yKCSC ~~ ηυ−= αδ ; (3.65) - derivata coeficientului momentului de ruliu cu bracajul de direcţie, notată ac7
FVVVzVfVVr
l zKCSC ~~5,0 ηυ= αδ ; (3.66) - derivata coeficientului de ruliu cu unghiul de glisadă, ac13
FVzVfVVACAzAfAAl zCSyCSC ~~5,0cos~~5,0 502 ααβ υ−χδυ−= . (3.67)
f) 3.2.3 Transformarea coeficienţilor şi termenilor de dezvoltare ai
acestora din triedrul configuraţie în triedrul mobil În figura 3.16 sunt prezentate două triedre: triedrul configuraţie, cu originea în vârful fuzelajului şi triedrul mobil cu originea în centrul de masă al aparatului de zbor. Deoarece ecuaţiile dinamice ale mişcării, după cum se va arăta în capitolul următor, sunt construite în triedrul mobil legat de centrul de masă este util ca şi coeficienţii aerodinamici, cu ajutorul cărora se va defini torsorul aerodinamic, să fie aduşi în acest triedru.
Prelegere 3
50
ay
ax
0x
Fig. 3.16 Trecerea de la triedrul configuraţie la triedru mobil
Legătura dintre coeficienţii aerodinamici în triedrul configuraţie legat de vârful aparatului şi triedrul mobil legat de centrul de masă este:
xax CC −= yay CC = zaz CC −= lal CC −= zamam CxCC 0ˆ+= yanan CxCC 0ˆ+−= . (3.68)
unde: lxx 00ˆ = . În acest caz se pot scrie relaţiile de transformare dintre coeficienţii termenilor de dezvoltare:
aaa 11 −= ; aaa 2121 −= ; aaa 2222 −= ; aaa 66 −= ; aaa 77 −= ; aaa 88 −= ; aaa 99 −= ; abb 00 −= ; abb 1111 −= ; abb 1212 = ; abb 5151 −= ; abb 5252 = ; abb 66 = ; abb 9191 −= ; abb 9292 = ; abb 1010 = ; acc 33 −= ; acc 66 −= ; acc 77 −= ; acc 1313 −= ;
aa bxdd 0000~+= ; aa bxdd 1101111
~+= ; aa bxdd 1201212~+−= ; aa bxdd 5105151
~+= ; aa bxdd 5205252
~+−= ; aa bxdd 6066~+−= ; aa bxdd 9109191
~+= ; aa bxdd 9209292~+−= ;
aa bxdd 1001010~+−= .
(3.69) g) 3.2.4 Calculul termenilor de rotaţie în triedrul mobil
Datorită faptului că rotaţiile de tangaj şi giraţie au loc în jurul centrului de masă, termeni datoraţi acestor mişcări se calculează direct în triedrul mobil cu originea în centrul de masă. Pentru acesta se determină întâi poziţia focarelor pe elemente izolate în raport cu centrul de masa:
FFFF xxX ~~~0 −= ; FAFA xxX ~~~
0 −= ; FOFO xxX ~~~0 −= ; FVFV xxX ~~~
0 −= . (3.70) Un prim termen care se poate calcula este derivata coeficientului forţei normale din planul de simetrie cu viteza de rotaţie în tangaj, notată 41b :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
υ
υ
αε
−+υ+
+δ+υ=
α
α
fA
fO
FO
FAFOOzOfOOFO
FAAzAfAAFAzq
XXKKCSX
KKCSXC
~~
1)(~~
cos)(~~
. (3.71)
Prelegere 3
51
Similar se poate calcula derivata coeficientului forţei normale pe planul de simetrie cu viteza de rotaţie în giraţie, notată 42b :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
υ
υ
βσ
−+υ−
−δ+υ−=
α
α
fA
fV
FV
FAFVVzVfVVFV
FAAzAfAAFAyr
XXKKCSX
KKCSXC
~~
1)(~~5,0
sin)(~~5,0
. (3.72)
În continuare, se poate determina derivata coeficientului momentului de tangaj cu viteza de rotaţie în tangaj, notată 41d :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
υ
υ
αε
−+υ−
−δ+υ−−−=
α
αα
fA
fO
FO
FAFOOzOfOOFO
FAAzAfAAFAzFmq
XXKKCSX
KKCSXCxC
~~
1)(~~
cos)(~~)5,0~(
2
220
. (3.73)
Similar se obţine derivata coeficientului momentului de giraţie cu viteza de rotaţie în giraţie, notată 42d :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
υ
υ
βσ
−+υ−
−δ+υ−−−=
α
αα
fA
fV
FV
FAFVVzVfVVFV
FAAzAfAAFAzFnr
XXKKCSX
KKCSXCxC
~~
1)(~~5,0
sin)(~~5,0)5,0~(
2
220
. (3.74)
Pentru momentul de ruliu se poate obţine derivata coeficientului momentului de ruliu cu viteza de rotaţie în giraţie, notată 5c :
FVFVFVVzVfVVFAFAFAAzAfAAlr XzKKCSXyKKCSC ~~)(~sin~~)(~ +υ−δ+υ−= αα . (3.75) În final se poate scrie derivata a doua a coeficientului forţei axiale cu viteza unghiulară în tangaj şi cu bracajul de profundor, notată 10a :
OFOOzOfOOexq XKCSC ηυ−= αδ
~~ . (3.76)
h) 3.2.5 Sinteza caracteristicilor aerodinamice pentru o configuraţie normală de tip avion
Pentru sinteza caracteristicilor aerodinamice se porneşte de la adimensionalizarea vitezele de rotaţie şi a incidenţele nestaţionare. Astfel, dacă se defineşte timpul de referinţă: Vlt /* = , se obţine:
∗= ptp ; ∗= qtq ; ∗= rtr ; ∗α=α t&ˆ ; ∗β=β t&ˆ , (3.77) unde, reamintim că lungimea de referinţă pentru elementele mişcării este lungimea fuzelajului. Pentru o configuraţie normală, tip avion, cu aripă cu unghi diedru şi unghi de calaj, considerând o dezvoltare în serie Taylor în jurul mişcării de bază şi ţinând cont de paritatea termenilor se obţine următoarea formă polinomială a coeficienţilor aerodinamici în triedrul mobil legat de centrul de masa al aparatului de zbor:
)ˆˆ(ˆ 131092
82
72
62
222
211 pcppdepx zzaqaaaaaaaaC −+δ+α+δ+δ+δ+β+α+=
Prelegere 3
52
pbbbbrbbC edy ˆˆˆ 10926524212 +β+δ+δ++β= α+δ++α+= ˆˆ 915141110 bbqbbbC pz β+δ+δ++= 137653 ˆˆ cccrcpcC del α+δ++α+= ˆˆ 915141110 ddqdddC pm
pddddrddC edn ˆˆˆ 10926524212 +β+δ+δ++β= , (3.78) unde coeficienţii 1a , 21a … dependenţi de numărul Mach, au fost definiţi anterior
Pornind de la aceste expresii se pot determina cu uşurinţă principalele derivate ale coeficienţilor aerodinamici în raport cu variabilele de stare şi de comandă:
11bCz =α ; 12bCy =β ; 11dCm =α ; 12dCn =β ; 51bC pz =δ ; 52bC dy =δ ; 51dC pm =δ ; 52dC dn =δ ; ;3cClp = ;6cC el =δ ….
(3.79) Coeficienţii aerodinamici si derivatele lor astfel determinate vor fi folosite pentru întocmirea ecuaţiilor mişcării în formă neliniară şi neliniară, iar în final vor fi utilizaţi pentru construirea matricelor de stabilitate şi comandă necesare în sinteza şi analiza sistemului de comandă a aparatului de zbor.
Prelegere 4
53
II ECUAŢIILE MIŞCĂRII GENERALE
Forma neliniară a ecuaţiilor de mişcare
4. INFLUENŢA PĂMÂNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MIŞCAREA IN TRIEDRUL MOBIL
La acest punct al lucrării va fi analizată influenţa unor termeni secundari, cum ar fi modificarea acceleraţiei greutăţii cu latitudinea şi altitudinea precum şi influenţa rotaţiei Pământului asupra traiectoriei.
4.1 FORŢA DE ATRACŢIE A PĂMÂNTULUI Într-o primă aproximaţie se poate considera că Pământul este sferic, pentru
determinarea forţei de atracţie putându-se scrie:
pλgλ
pγArg
1Ag
ωAg
2Ag
normala lasuprafaţa
elipsoidului
N
pΩ
P
G
Fig. 4.1 Compunerea acceleraţiei forţei de atracţie
Prelegere 4
54
2RMmfGA −= , (4.1)
în care: KgM 24106 ⋅≅ - masa Pământului;
m - masa rachetei; R - distanţa curentă de la rachetă la centrul Pământului;
213111066,6 −−−⋅≅ sKgmf - constanta atracţiei universale. Considerând masa rachetei unitară, acceleraţia după direcţia razei se poate scrie cu ajutorul funcţiei potenţiale U :
2RMf
RUg Ar −=∂∂
= , (4.2)
unde produsul dintre constanta atracţiei universale şi masa Pământului are valoarea: 231410986004,3 −⋅= smfM .
În realitate Pământul are forma unui elipsoid cu semiaxa mare ma 6378137=
, şi turtirea 25,298
1=
−=α
aba , unde b este semiaxa mică. În acest caz, potenţialul se
scrie ca o serie de polinoame Legendre care depind de latitudinea geocentrică pλ :
...)(sin)(sin),( 40540
2032000 +λ+λ+=λ ppp P
Ra
PRa
Ra
RU (4.3)
unde:
21
sin23
)(sin 220 −λ=λ ppP ;
83sin
415sin
835)(sin 24
40 +λ−λ=λ pppP . (4.4)
Pentru această expresie a potenţialului, componentele acceleraţiei după direcţia radială şi tangenţială ( fig. 4.3) sunt:
)...73sin
730sin5(
835)1sin3(
23 24
6402
420
200
1 +λ−λ+−λ+=∂∂
−= pppA Ra
Ra
Ra
rUg
)...sin3sin7(cos252sin
231 3
640
420
2 ppppp
A Ra
RaU
Rg λ−λλ+λ=
λ∂∂
= (4.5)
În continuare este util să se pună în evidenţă componenta orientată pe direcţia polară (N-S) şi componenta pe direcţia radială (fig.4.1):
)...1sin14sin21(8
15)1sin5(23tg 24
6402
420
200
21 +λ−λ+−λ−=λ−= ppppAAAr Ra
Ra
Raggg
)...3sin7(sin25sin3
cos2
640
4202 −λλ−λ=
λ=ω ppp
p
AA R
aRag
g (4.6)
Reţinând termenii principali din relaţiile anterioare, componentele acceleraţiei corespunzătoare forţei de atracţie a Pământului sunt:
...)1sin5(23 2
420
200 +−λ−= pAr R
aRag ...sin3 4
20 −λ=ω pA Ra
g (4.7)
unde primii termeni ai acestor serii rezultă din valorile: 14
00 109861679,3 ⋅=a ; 2420 1032785,26
23
⋅=a . (4.8)
Prelegere 4
55
În acest mod s-au obţinut componentele acceleraţiei forţei de atracţie a Pământului ca funcţii de latitudinea geocentrică pλ şi de distanţa curentă a rachetei de la centrul Pământului:
222 )( pppp zRyxR +++= , (4.9) unde: ppp zyx ;; sunt coordonatele rachetei în triedrul Pământ, iar raza Pământului este aproximată cu:
)sin1( 2pp aR λα−≅ . (4.10)
În continuare, aceste relaţii vor fi folosite pentru a găsi componentele acceleraţiei greutăţii proiectate după axele triedrului Pământ.
4.2 ACCELERAŢIA GREUTĂŢII ŞI ACCELERAŢIA CORIOLIS
Dacă pentru scrierea ecuaţiilor de mişcare vom considera un sistem geocentric, legat de Pământ, datorită mişcării de rotaţie diurne trebuie ca în membrul drept al ecuaţiilor de mişcare să se considere două acceleraţii suplimentare: acceleraţia de transport (centrifugă), cu expresia : )( Rpp ×Ω×Ω− şi acceleraţia Coriolis dată de: Vp ×Ω− 2 , unde viteza de rotaţie a Pământului are valoarea: 15102921,7 −−⋅=Ω sp .
Forţa centrifugă datorată rotaţiei Pământului împreună cu forţa de atracţie formează forţa de greutate G , iar acceleraţia corespunzătoare poartă numele de acceleraţia greutăţii g . Componentele radiale şi polare ale acceleraţiei greutăţii, dacă ţinem cont şi de expresiile acceleraţiei forţei de atracţie determinate anterior (4.7), devin:
Rgg pArr2Ω−= ; ppA Rgg λΩ+= ωω sin2 . (4.11)
În acest caz, componentele acceleraţiei greutăţii după axele triedrului legat de Pământ sunt:
p
xpprxp g
Rx
ggΩΩ
−−= ω ;p
yppryp g
Ry
ggΩΩ
−−= ω ; p
zppprzp g
RRz
ggΩΩ
−+
−= ω , (4.12)
unde s-au notat: zpypxp ΩΩΩ ;; - componentele vitezei de rotaţie a Pământului după sistemul de axe legat de Pământ, componente date de relaţiile:
pppxp βλΩ=Ω coscos ; pppyp βλΩ=Ω sincos ; ppzp λΩ=Ω sin , (4.13) în care cele două unghiuri utilizate sunt: pβ - unghiul de azimut şi pλ - latitudinea geocentrică. Pe de altă parte, acceleraţia Coriolis este:
Va pc ×Ω−= 2 , (4.14) componentele acesteia în triedrul Pământ fiind date de:
)(2 ypzpzpypcxp VVa Ω−Ω= ; )(2 zpxpxpzpcyp VVa Ω−Ω= ; )(2 xpypypxpczp VVa Ω−Ω= , (4.15) unde zpypxp VVV ;; sunt componentele vitezei rachetei în triedrul Pământ.
Prelegere 4
56
4.3 LEGĂTURA DINTRE TRIEDRUL PĂMÂNT ŞI TRIEDRUL MOBIL AL RACHETEI
Deoarece lucrarea are în vedere determinarea mişcării rachetei în raport cu
un observator legat de suprafaţa Pământului, faţă de care se definesc poziţia de lansare şi poziţia ţintei, se porneşte de la un triedru legat de Pământ care participă la mişcarea de rotaţie diurnă a acestuia1. Triedrul astfel ales, este un sistem geocentric, cu originea în centrul de masă al Pământului, considerat elipsoid de rotaţie.
Pentru a ajunge la triedrul mobil al rachetei vom trece printr-o serie de triedre intermediare. Astfel, un prim sistem intermediar este triedrul de start
)( sss zyOx , care este un sistem geodezic, cu axa sz orientată în exteriorul elipsoidului, perpendicular pe suprafaţa acestuia (fig.4.2). Atât triedrul Pământ cât şi triedrul de start, participând la mişcarea de rotaţie a Pământului nu sunt triedre inerţiale. Dar, deoarece am introdus corecţiile cu acceleraţia Coriolis, iar pentru acceleraţia gravitaţională s-a ţinut cont de componenta centrifugă, se poate realiza integrarea ecuaţiilor dinamice de mişcare ca în cazul unui triedru inerţial, după cum vom arăta în prelegerea 6. După cum arată [L1], dacă notăm cu pγ unghiul dintre normala geodezică şi normala geocentrică:
pgp λ−λ=γ , (4.16) şi cu pβ unghiul de azimut, legătura dintre cele două triedre devine:
[ ] [ ]Tpppp
Tsss zyxzyx γ= A . (4.17)
Suprapunerea triedrului Pământ peste triedrul de start se face prin trei rotaţii succesive:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ββ−ββ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γγ
γ−γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡βββ−β
=γ
1000cossin0sincos
cos0sin010
sin0cos
1000cossin0sincos
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pA ,
de unde, matricea de rotaţie dintre cele două triedre este:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γγβγβγβ−γβ+βγ−ββ−γβ−γ−ββ−γβ+β
=γ
ppppp
pppppppp
pppppppp
p
cossinsinsincossinsincossincos)cos1(cossinsincos)cos1(cossincoscossin
22
22
A . (4.18)
1 Pentru dezvoltarea altor studii şi aplicaţii, cum ar fi cele de satelizare sau cu ieşire din zona de atracţie a Pământului poate fi considerat triedru inerţial, cu originea în centrul Pământului, cu axele fixe, orientate după stele foarte îndepărtate, care nu participă la mişcarea de rotaţie diurnă a Pământului.
Prelegere 4
57
pΩ
pλgλ
pγ
pβpzsz
pysy
px
pO
P
G Q
Q
N
sx
pR
Fig. 4.2 Triedrul Pământ şi triedrul de start
Pentru a calcula unghiul pγ dintre cele două normale se porneşte de la relaţia
geometrică indicată în [L1] : gp ba λ=λ tgtg 22 ,
unde ba, sunt semiaxele Pământului.
În baza relaţiei 25,298
1=
−=α
aba care defineşte turtirea Pământului, se obţine relaţia
căutată:
22 )1(tg)2/1(tg2
tgα−+λ
α+λα=γ
p
pp , (4.19)
relaţie care pentru valori mari ale tangentei unghiului de latitudine geocentrică ( în apropierea polilor), poate fi aproximată astfel:
)2sin()2/1(tg pp λα−α≅γ . Evident că dacă originea triedrului de start este situată pe ecuator sau la unul din poli, unghiul dintre normale este nul, matricea de rotaţie pγA căpătând forma unitară.
Următorul triedru intermediar este triedrul iniţial de start )( 0000 ZYXO , care are aceeaşi origine cu triedrul de start, dar ale cărui axe nu participă la rotaţia diurnă a Pământului (fig.4.3). Acest triedru având aceeaşi origine cu triedrul de start şi triedrul Pământ, într-un punct de pe suprafaţa Pământului, participă însă la mişcarea de translaţie suprafeţei acestuia, odată cu celelalte triedre, dar spre deosebire de acestea, deoarece nu participă la mişcarea de rotaţie diurnă poate fi considerat triedru inerţial. Deşi integrarea ecuaţiilor dinamice de mişcare s-ar putea
Prelegere 4
58
face în cadrul acestui triedru fără adăugarea acceleraţiei Coriolis şi a termenilor centrifugali, deoarece este impropriu pentru definirea poziţiei de lansare şi a poziţiei ţintei, acest triedru are o utilitate pur teoretică, făcând trecerea de la triedrul de start la triedrul mobil legat de rachetă. Triedrul de start, se roteşte în jurul axei polare faţă de triedrul iniţial de start, considerat fix, cu un unghi egal cu unghiul de rotire al Pământului în intervalul de timp. Legătura dintre cele două triedre se poate scrie astfel:
[ ] [ ]TssspT zyxZYX Ω= A000 (4.20)
Suprapunerea triedrului de start peste triedrul de start iniţial se face prin cinci rotaţii succesive:
,1000cossin0sincos
cos0sin010
sin0cos
cossin0sincos0
001
cos0sin010
sin0cos
1000cossin0sincos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ββ−ββ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
λλ−
λλ×
×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΩΩΩ−Ω
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
λλ
λ−λ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡βββ−β
=Ω
pp
pp
gg
gg
pp
pp
gg
gg
pp
pp
p
ttttA
G
P
0Z0X
0Y szsx
tpΩ
gλ
pβ
sy
pΩ
sy
sz
sx
Fig. 4.3 Triedrul de start şi triedrul iniţial de start
de unde, elementele matricei de rotaţie sunt:
tta ppgp Ω+Ω−λβ= cos)cos1(coscos 2211 ;
tta pgpgpp Ωλ−Ω−λββ= sinsin)cos1(coscossin 212 ;
tta pgppggp Ωλβ+Ω−λλβ= sincossin)cos1(cossincos13 ; tta pgpgpp Ωλ+Ω−λββ= sinsin)cos1(coscossin 2
21 ; tta ppgp Ω+Ω−λβ= cos)cos1(cossin 22
22 ;
Prelegere 4
59
tta pgppggp Ωλβ−Ω−λλβ= sincoscos)cos1(cossinsin23 ; tta pgppggp Ωλβ−Ω−λλβ= sincossin)cos1(cossincos31 ; tta pgppggp Ωλβ+Ω−λλβ= sincoscos)cos1(cossinsin32 ;
tta ppg Ω+Ω−λ= cos)cos1(sin233 .
(4.21) Evident că dacă timpul de zbor este foarte mic, matricea pΩA tinde spre forma unitate. În continuare, triedrul iniţial de start se va răsuci cu π radiani în jurul axei
ox cu ajutorul matricei πA , obţinându-se un triedrul sol fix ggg ZYXO0 care are axa
gZ orientată în jos, perpendicular pe suprafaţa Pământului. În sfârşit, cu ajutorul unghiurilor de atitudine tip Euler ),,( ΦΘΨ sau a componentelor cuaternionului Hamilton ),,,( 4321 qqqq triedrul sol mobil va fi suprapus peste triedrul mobil legat de rachetă, forma matricei de rotaţie eA , care realizează această transformare, urmând a fi prezentată ulterior. În concluzie, pentru trecerea unor mărimi din triedrul Pământ la triedrul mobil legat de rachetă este necesar să se aplice succesiv rotaţiile prezentate anterior, rotaţii care pot fi concentrate într-o singură matrice:
ppippep γΩγΩπ == AAAAAAAA , (4.22) care reprezintă matricea de rotaţie între triedrul legat de Pământ şi triedrul mobil al rachetei.
OBSERVAŢIE - Pentru durate mici de zbor influenţa rotaţiei Pământului se poate neglija, triedrul iniţial de start coincizând cu triedrul de start. Pe de altă parte, dacă se neglijează şi turtirea Pământului, triedrul de start coincide cu triedrul Pământ. În acest caz, pentru simplificarea terminologiei, dacă nu există posibilitatea apariţiei de confuzii, se poate utiliza pentru oricare din cele trei triedre noţiunea de triedru inerţial, sau prin abuz de limbaj triedru fix sau triedru Pământ. Astfel, în cazul rachetelor balistice sau antiaeriene, uzual se utilizează ca sistem de referinţă triedrul de start, pe care îl vom considera ca sistem inerţial, iar în cazul rachetelor de aviaţie sau a aparatelor de zbor de tip avion se obişnuieşte să se utilizeze ca sistem de referinţă triedrul Pământ, care va fi de asemenea considerat sistem de referinţă inerţial. La acest punct al lucrării au fost analizate pe scurt influenţa câtorva elemente secundare asupra mişcării rachetei. În continuare, vom reaminti câteva noţiuni legate de mişcarea într-un sistem de referinţă mobil, noţiuni care împreună cu problemele specifice ale mişcării corpurilor de masă variabilă, constituie contextul abordării ecuaţiilor mişcării generale a rachetei, ecuaţii care vor face obiectul capitolului următor al lucrării.
Prelegere 4
60
4.4 MIŞCAREA ÎN RAPORT CU UN SISTEM DE REFERINŢĂ MOBIL
Deoarece în continuare se vor face referiri la elementele mişcării într-un triedru mobil este util să se reamintească formularea matriceală a acestei probleme, având ca lucrare de referinţă [V2]. Pentru aceasta, se consideră triedrul mobil (OXYZ) (fig.4.4) cu versorii ( i j k, , ) care efectuează o mişcare de rotaţie generalizată Ω cu componentele după axele triedrului mobil ( , , )p q r . Originea triedrului mobil (0) se deplasează cu viteza absolută Vo de componentele ( , , )u v w0 0 0 şi cu acceleraţia absolută de componente ( )a a ax y z0 0 0, , .
Vectorul de poziţie R , care are proiecţiile x, y, z, urmăreşte deplasarea unui punct de viteză absolută V1 cu componente ( , , )u v w1 1 1 şi de acceleraţie absolută a1 cu componentele ( )a a ax y z1 1 1, , .
Având în vedere că vectorul de poziţie se poate exprima: R xi yj zk= + + (4.23)
prin derivarea succesivă a acestei relaţii se obţine: & & & & & & &R xi yj zk xi zj zk= + + + + + ; (4.24)
&& && && && && && & & && && &&R xi yj zk xi zj zk xi yj zk= + + + + + + + +2 2 2 . (4.25) Pentru exprimarea derivatelor versorilor triedrului mobil se porneşte de la
relaţiile cunoscute:
;
;
;
kk
jj
ii
×Ω=
×Ω=
×Ω=
&
&
&
( )( )( ),
;
;
kkk
jjj
iii
×Ω×Ω+×Ω=
×Ω×Ω+×Ω=
×Ω×Ω+×Ω=
&&&
&&&
&&&
(4.26)
obţinându-se după o grupare convenabilă a termenilor:
,;⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΩΩ
kji
kji
kji
kji
TBA&
&&
&&
&
&
&
(4.27)
unde:
Fig. 4.4 Mişcarea în triedru mobil
Prelegere 4
61
;0
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=Ω
pqpr
qrA (4.28)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−−+−++−+−
≡+= ΩΩΩ
)()(
)(
22
22
22
2
qppqrqrppqrprrpqqrprpqrq
&&
&&
&&
& AAB , (4.29)
s-au notat matricele de derivare ale versorilor triedrului mobil.
În acest caz, ţinând cont că ,; 0101 aaRVVR −=−= &&& relaţiile vectoriale de derivare ale vectorului de poziţie R pot fi puse în forma matriceală:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
ΩΩΩ
zyx
zyx
zyz
aaaaaa
zyx
zyx
wwvvuu
zz
yy
xx
BAA&
&
&
&&
&&
&&
&
&
&
2;
01
01
01
01
01
01
, (4.30)
unde matricele ΩA şi ΩB au fost definite anterior. Relaţiile deduse anterior puse în forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω
zyx
zyx
wvu
wvu
A&
&
&
0
0
0
1
1
1
; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΩΩ
zyx
zyx
zyx
aaa
aaa
z
y
x
z
y
x
BA&
&
&
&&
&&
&&
2
0
0
0
1
1
1
; (4.31)
exprimă viteza şi acceleraţia absolută a unui punct într-un triedru mobil când se cunoaşte mişcarea triedrului şi mişcarea relativă a punctului faţă de triedru.
Astfel, prima relaţie (4.31) se poate scrie:
tra vvv += , (4.32) unde s-a notat:
;
1
1
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
wvu
av ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zyx
r
&
&
&
v ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= Ω
zyx
wvu
t Av
0
0
0
. (4.33)
viteza absolută viteza relativă viteza de transport În cea de a doua relaţie (4.31) termenii au următoarea semnificaţie:
ctra aaaa ++= , (4.34) unde s-a notat:
;
1
1
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
z
y
x
a
aaa
a ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zyx
r
&&
&&
&&
a ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= Ω
zyx
aaa
z
y
x
t Ba
0
0
0
; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= Ω
zyx
c
&
&
&
Aa 2 . (4.35)
acceleraţia acceleraţia acceleraţia acceleraţia
Prelegere 4
62
absolută relativă de transport Coriolis În baza relaţiilor deduse se pot determina derivatele proiecţiilor vectorului
de poziţie R după axele triedrului mobil, atunci când se cunosc vitezele şi acceleraţiile absolute ale originii şi ale punctului mobil precum şi vectorul de poziţie R şi viteza de rotaţie Ω :
;
01
01
01
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω
zyx
wwvvuu
zyx
A&
&
&
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΩΩ
zyx
wwvvuu
aaaaaa
zyx
T
zz
yy
xx
BA
01
01
01
01
01
01
2&&
&&
&&
. (4.36)
Prima relaţie de derivare care leagă viteza absolută de viteza relativă şi de transport poate fi privită ca o relaţie generală de derivare a unei mărimi vectoriale în triedrul mobil.
Astfel, dacă se consideră o mărime vectorială U cu componente după axele
triedrului mobil ( u u ux y z, , ) şi derivata acesteia V U= & cu componente după axele triedrului mobil (v v vx y z, , ), între aceste două mărimi există relaţia matriceală:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω
z
y
x
z
y
x
z
y
x
uuu
uuu
vvv
A&
&
&
, (4.37)
care este echivalentă cu relaţia vectorială cunoscută: ddUt
Ut
U= + ×∂∂
Ω .
La acest punct al lucrării au fost prezentate formele matriceale ale relaţiilor de derivare ce descriu mişcarea într-un triedru mobil. Aceste relaţii astfel stabilite vor fi utilizate în continuare atât la exprimarea ecuaţiilor mişcării generale cât şi pentru construirea ecuaţiilor cinematice de dirijare în cazul metodelor de dirijare în două şi trei puncte.
Prelegere 5
63
5. ECUAŢIILE CINEMATICE ALE MIŞCĂRII
În acest capitol al lucrării ne propunem să stabilim ecuaţiile mişcării generale a rachetei. Din raţiuni metodologice acestea au fost desfăcute în două: ecuaţii dinamice şi ecuaţii cinematice.
În principiu, ecuaţiile mişcării reprezintă un grup de 6 ecuaţii diferenţiale de ordinul doi (corespunzătoare mişcării cu 6 grade de libertate a unui rigid de masă variabilă), respectiv 12 ecuaţii diferenţiale de ordinul unu. Jumătate dintre acestea, numite ecuaţii dinamice, se obţin în baza teoremei impulsului şi a teoremei momentului cinetic aplicată unui corp de masă variabilă. Cealaltă jumătate, numite ecuaţii cinematice, descriu pe de o parte legătura între componentele vectorului viteză, V , exprimate în triedrul inerţial şi în triedrul rachetă şi pe de altă parte, dacă se utilizează unghiuri de atitudine tip Euler, având în vedere că: Ω Ψ Θ Φ= + +& & & , descriu legătura între componentele p, q, r ale vectorului Ω şi derivatele unghiurilor de atitudine: ΦΘΨ &&& ,, .
NOTAŢII
Fig. 5.1 Coordonate unghiulare şi sisteme de referinţă
Prelegere 5
64
Principalele sisteme de referinţă utilizate la întocmirea ecuaţiilor cinematice, conform standardului [X2] sunt:
0000 ZYXO - triedrul iniţial de start (triedrul inerţial) cu originea fixă , situată la nivelul mării, unde axa 0X este orientată orizontal, după o direcţie convenabil aleasă, iar axa 0Z este orientată vertical în sus; ggg ZYXO0 - triedrul sol fix cu originea şi orientarea axei gX identice cu cele corespunzătoare ale triedrului iniţial de start, iar axa gZ orientată vertical în jos;
Ox y zg g g - triedrul sol mobil cu originea mobilă, situată în centrul de masă al rachetei, iar axele paralele cu cele ale triedrului sol fix; Oxyz - triedrul rachetă (mobil) cu originea mobilă, situată în centrul de masă al rachetei. Axa x coincide cu axa de simetrie a configuraţiei, având sensul spre vârful rachetei, iar axele y şi z sunt perpendiculare pe primul, respectiv pe cel de al doilea plan de simetrie al configuraţiei.
Coordonatele de poziţie ale centrului de masă în raport cu triedrul iniţial de start se notează: 000 ,, zyx .
5.1 ECUAŢIILE CINEMATICE UTILIZÂND UNGHIURILE DE ATITUDINE
Unghiurile de atitudine tip Euler, utilizate pentru descrierea orientării triedrului mobil legat de rachetă în raport cu triedrul inerţial, conform standardului [X2] sunt: Ψ - unghi de cap; Θ - atitudine longitudinală; Φ - înclinare laterală.
Pentru întocmirea ecuaţiilor cinematice utilizând unghiuri de atitudine tip Euler vom începe prin a construi matricea de rotaţie între triedrul inerţial şi triedrul mobil al rachetei. În acest scop, pornind de la triedrul iniţial de start
)( 0000 ZYXO , pentru obţinerea triedrului sol fix ( ggg ZYXO0 ), se consideră o rotaţie de 180o în jurul axei 0OX (fig.5.1) după care, pentru a suprapune triedrul sol mobil ( Ox y zg g g ) peste axele triedrului rachetă (Oxyz) se aplică succesiv trei rotaţii cu
vitezele unghiulare & , &Ψ Θ şi &Φ în jurul axelor Oz Oyg , ∗
, respectiv Ox (fig.5.1):
)()(
)()(
)'()(
)( OxyzOx
zyOxOy
zyOxOz
zyOx gg
ggg >&
>&
>& ΦΘΨ ∗∗∗
∗∗
. Matricele de rotaţie corespunzătoare sunt:
;1000cossin0sincos
;cossin0sincos0
001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ΨΨ−ΨΨ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ππ−ππ= Ψπ AA
.cossin0sincos0
001;
cos0sin010
sin0cos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΦ−ΦΦ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΘ
Θ−Θ= ΦΘ AA
Prelegere 5
65
Matricea de rotaţie parţială este deci: A A A A Ae = =Φ Θ Ψ Φ Θ Ψ, , , adică:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦΨΘΦ+ΨΦ−ΨΘΦ+ΨΦΘΦΨΘΦ+ΨΦΨΘΦ+ΨΦ−
Θ−ΨΘΨΘ=
coscossinsincoscossincossincossinsincossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
eA
. (5.1) Matricea de rotaţie în raport cu triedrul iniţial de start, necesară pentru exprimarea unor elemente din triedrul de start în triedrul mobil legat de rachetă, este:
ππΨΘΦπΨΘΦ === AAAAAAAA ei ,,, , ceea ce presupune schimbarea semnului ultimelor două coloane în matricea (5.1):
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦ−ΨΘΦ−ΨΦΨΘΦ+ΨΦΘΦ−ΨΘΦ−ΨΦ−ΨΘΦ+ΨΦ−
ΘΨΘ−ΨΘ=
coscossinsincoscossincossincossinsincossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
iA
. (5.2)
Având definită matricea de rotaţie directă iA , se poate scrie legătura dintre componentele vectorului viteză în triedrul de start şi în triedrul mobil legat de rachetă:
[ ] [ ]TT zyxwvu 000,,, &&&πΨΘΦ= A . Înmulţind la stânga cu matricea inversă se obţine:
[ ] [ ]TT wvuzyx ΦΘΨπ= ,,,000 B&&& , (5.3) în care:
Φ−Θ−Ψ−π−πΨΘΦ−
ΦΘΨπ ====πΨΘΦ
AAAAAABB Ti ,,,
1,,, ,,, .
Considerând forma transpusă a matricei (5.2) se obţine matricea de rotaţie inversă:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΘ−ΦΘ−ΘΦΘΨ−ΦΨΦΘΨ−ΦΨ−ΘΨ−ΦΘΨ+ΦΨΦΘΨ+ΦΨ−ΘΨ
=coscossincossin
cossinsinsincossinsinsincoscoscossincossincossinsinsinsincoscossincoscos
iB
, (5.4)
necesară pentru exprimarea componentelor vitezei de translaţie din triedrul mobil legat de rachetă în triedrul inerţial. OBSERVAŢIE - Matricea de rotaţie inversă iB se poate utiliza şi pentru exprimarea componentelor acceleraţiei în triedrul inerţial când se cunosc componentele acceleraţiei în triedrul mobil legat de rachetă:
[ ] [ ]TzyxiT
zyx aaaaaa B=000 . Având în vedere că în prelegerile 10 şi 11 se vor analiza formele decuplate ale ecuaţiilor mişcării comandate, obţinute pentru unele cazuri particulare ale mişcării de bază, este necesar ca în continuare să se prezinte unele forme particulare ale matricelor de rotaţie şi legătură precum şi a derivatelor acestora.
Prelegere 5
66
Astfel, dacă se consideră unghiurile de cap şi de înclinare laterală nule ( ; )Ψ Φ= =0 0 , matricea iB , devine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ−Θ−
ΘΘ=
cos0sin010
sin0cos
iB
. (5.5) Dacă şi unghiul de atitudine longitudinală este nul ( Θ = 0), din relaţia (5.5) se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
100010001
iB
. (5.6) Pentru determinarea matricei de legătură dintre derivatele unghiurilor de
atitudine şi componentele vitezei de rotaţie, pornind de la relaţia: Ω Ψ Θ Φ= + +& & & ,
se poate scrie:
pqr
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A A A AΦ Θ Ψ Φ Θ Φ Φ Θ
ΨΘ
ΦΘΨ
Φ
, , , ,
&
&
&
&
&
&00
0
000
000 .
Având în vedere că matricea de rotaţie este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦΦ−ΘΦΘΦΦΘΦ
Θ−Θ=≡ ΘΦΘΦ
coscossinsincoscossincossinsin
sin0cos
0,0,,, AA
, se poate scrie:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΨΘΦ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦΦ−ΘΦΦ
Θ−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
&
&
&
coscossin0cossincos0
sin01
rqp
. (5.7) Notând inversa matricei din membrul drept cu WA se obţine în final:
[ ] [ ]& & &Φ Θ ΨT
A
Tp q r= W , (5.8)
unde matricea de legătură dintre derivatele unghiurilor de atitudine şi componentele vitezei de rotaţie este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦΘΦΦ−ΦΘΦΘΦ
=seccossecsin0
sincos0tgcostgsin1
AW
. (5.9) OBSERVAŢII 1. Ecuaţiile (5.8) sunt cunoscute în literatură [K10] sub denumirea de "Ecuaţiile cinematice ale lui Euler"
5.Pentru cazul în care unghiul Θ este apropiat de 2π , caz întâlnit în special la rachetele
Prelegere 5
67
balistice dirijate cu lansare verticală, elementele matricei AW care conţin funcţia Θsec au valori foarte mari. Pentru a evita acest inconvenient, matricea definită prin relaţia (5.9) va fi utilizată doar în cazul aparatelor de zbor a căror evoluţie principală este în plan orizontal cum ar fi aparatele de tip avion sau rachetele din clasa aer-aer. Pentru studiul aparatelor de zbor a căror evoluţie principală este în plan vertical, la punctul următor va fi definit un nou grup de unghiuri, numite “unghiuri de atitudine modificate”. Dacă se consideră unghiurile de cap şi de înclinare laterală nule ( ; )Ψ Φ= =0 0 , matricea WA , devine :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ
Θ=
sec00010
tg01
AW
. (5.10) Pentru cazul particular în care, din relaţia (5.10) se obţine:
W IA = , (5.11) unde I este matricea unitate. Dezvoltând relaţiile: (5.3) şi (5.8) , în care matricele iB şi WA sunt de forma generală (5.4) ; (5.9), se obţin sistemele de ecuaţii diferenţiale căutate:
,coscoscossinsin);cossinsinsin(cos)coscossinsin(sinsincos
);sinsincossin(cos)sincoscossin(sincoscos
0
0
0
ΘΦ−ΘΦ−Θ=ΨΦ−ΨΘΦ−ΨΦ+ΨΘΦ−ΨΘ−=ΨΦ+ΨΘΦ+ΨΦ−ΨΘΦ+ΨΘ=
wvuzwvuy
wvux
&
&
&
(5.12)
respectiv:
.seccossecsin;sincos
;costgsintg
ΘΦ+ΘΦ=Ψ
Φ−Φ=Θ
ΦΘ+ΦΘ+=Φ
rqrq
rqp
&
&
&
(5.13) Totodată, considerând forma (5.2) pentru matricea iA , proiecţiile acceleraţiei greutăţii după axele triedrului mobil, necesare întocmirii ecuaţiilor dinamice, pot fi scrise în forma simplificată:
[ ] [ ]TiT
zyx gggg −= 00A , sau în forma scalară:
.coscos;cossin;sin ΘΦ=ΘΦ=Θ−= gggggg zyx (5.14) Pornind de la relaţiile generale (5.2), (5.4) şi (5.9) se pot obţine derivatele principalelor matrice de rotaţie şi de legătură, necesare în cadrul unor dezvoltări teoretice ulterioare privind forma liniarizată a ecuaţiilor mişcării perturbate.
5.2 ECUAŢIILE CINEMATICE UTILIZÂND UNGHIURILE DE ATITUDINE MODIFICATE
Spre deosebire de unghiurile de atitudine de tip Euler analizate anterior,
unghiuri utilizate în majoritatea lucrărilor, în lucrarea [K10] se propune o formă
Prelegere 5
68
modificată a acestora, în care pentru a suprapune triedrul fix peste triedrul mobil legat de rachetă se inversează ordinea primelor două rotaţii. Astfel, se efectuează întâi rotaţia în plan vertical cu unghiul Θ∗ , după care rotaţia într-un plan înclinat de unghi Ψ∗ , iar la urmă rotaţia în jurul axei longitudinale a triedrului mobil, după cum este arătat în fig. 5.2. Prin aceasta, singularitatea din cazul atitudinii verticale a rachetei se transferă pentru cazul în care racheta adoptă o poziţie perpendiculară pe planul iniţial de tragere, situaţie care este puţin probabilă pentru rachetele a căror evoluţie principală este în planul vertical. În acest caz, dacă unghiurile de tip Euler, prezentate la punctul anterior, pot fi folosite pentru aparate de zbor de tip avion sau rachete din clasa aer-aer, unghiurile de atitudine modificate ce vor fi analizate în continuare, pot fi utilizate pentru descrierea orientării rachetelor balistice a căror evoluţie se desfăşoară strict într-un plan vertical, precum şi pentru rachetele antiaeriene sau aer-sol a căror principală evoluţie este de asemenea în plan vertical.
Fig.5.2 Coordonate unghiulare modificate
Procedând ca în cazul anterior, după o rotaţie de 180o în jurul axei 0OX pentru a suprapune triedrul sol mobil ( Ox y zg g g ) peste axele triedrului rachetă (Oxyz) se aplică succesiv trei rotaţii cu vitezele unghiulare & , &Θ Ψ∗ ∗ şi &Φ în jurul axelor ∗OzOyg , , respectiv Ox (fig.5.2):
)()(
)()'(
)'()(
)( OxyzOx
zyOxOz
zyOxOy
zyOx gg
ggg >&
>&
>& ΦΨΘ ∗∗∗
∗∗
∗
.
Matricele de rotaţie corespunzătoare sunt:
;1000cossin0sincos
;cossin0sincos0
001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΨΨ−ΨΨ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ππ−ππ= ∗∗
∗∗
Ψπ ∗AA
Prelegere 5
69
.cossin0sincos0
001;
cos0sin010
sin0cos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΦ−ΦΦ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΘ
Θ−Θ= Φ
∗∗
∗∗
Θ∗ AA
Matricea de rotaţie parţială este deci: A A A A Ae = =∗ ∗ ∗ ∗Φ Ψ Θ Φ Ψ Θ, ,
, adică:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦ+ΘΨΦ−ΨΦ−ΘΦ+ΘΨΦΘΦ+ΘΨΦΨΦΘΦ+ΘΨΦ−
ΘΨ−ΨΘΨ=
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
coscossinsinsincossinsincoscossinsincossinsinsincoscoscossinsincossincos
sincossincoscos
eA
. (5.15)
Matricea de rotaţie în raport cu triedrul iniţial de start, necesară pentru exprimarea unor elemente din triedrul inerţial în triedrul mobil legat de rachetă, este:
ππΘΨΦπΘΨΦ=== ∗∗∗∗ AAAAAAAA ei ,,, ,
ceea ce presupune schimbarea semnului ultimelor două coloane în matricea (5.16):
.coscossinsinsincossinsincoscossinsincossinsinsincoscoscossinsincossincos
sincossincoscos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΘΦ−ΘΨΦΨΦΘΦ+ΘΨΦΘΦ−ΘΨΦ−ΨΦ−ΘΦ+ΘΨΦ−
ΘΨΨ−ΘΨ=
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗∗∗
iA
(5.17) Având definită matricea de rotaţie directă iA , se poate scrie legătura dintre componentele vectorului viteză în triedrul inerţial şi în triedrul mobil: [ ] [ ]Ti
T zyxwvu 000 &&&A= . Înmulţind la stânga cu matricea inversă se obţine:
[ ] [ ]TiT wvuzyx B=000 &&& , (5.18)
în care: Tii AABB === −
πΘΨΦΦΨΘπ ∗∗∗∗1
,,,,,,.
Considerând forma transpusă a matricei (5.17) se obţine matricea de rotaţie inversă :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΘ−ΦΨΘΦΘ−ΦΨΘ−ΨΘΦΨΦΨ−Ψ−
ΦΘ+ΦΨΘΦΘ+ΦΨΘ−ΨΘ=
∗∗∗∗∗∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗∗∗∗∗∗
coscossinsinsinsincoscossinsincossinsincoscoscossin
cossinsinsincossinsincossincoscoscos
iB ,
(5.19) necesară pentru exprimarea componentelor vitezei de translaţie din triedrul mobil în triedrul iniţial de start. OBSERVAŢIE - Matricele de rotaţie directă
iA şi inversă iB astfel obţinute, coincid cu cele
deduse în cazul anterior pentru cazul unghiurilor de atitudine nemodificate.
Având în vedere că în capitolul 4 se vor analiza formele decuplate ale ecuaţiilor
mişcării comandate, obţinute pentru unele cazuri particulare ale mişcării de
Prelegere 5
70
bază, este necesar ca în continuare să se prezinte unele forme particulare ale
matricelor de rotaţie şi legătură precum şi a derivatelor acestora.
Astfel, dacă se consideră unghiurile de cap şi de înclinare laterală nule, ( ; )Ψ Φ∗ = =0 0 matricea iB devine :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ−Θ−
ΘΘ=
∗∗
∗∗
cos0sin010
sin0cos
iB . (5.20)
Dacă şi unghiul de atitudine longitudinală este nul (Θ∗ = 0 ), din relaţia (5.20) se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
100010001
iB . (5.21)
Pentru determinarea matricei de legătură dintre derivatele unghiurilor de atitudine şi componentele vitezei de rotaţie, pornind de la relaţia:
Ω Θ Ψ Φ= + +∗ ∗& & & , se poate scrie:
pqr
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗ ∗ ∗ ∗∗
∗
∗
∗
A A A AΦ Ψ Θ Φ Ψ Φ Φ Ψ
ΘΨ
ΦΘΨ
Φ
, , , ,&
&
&
&
&
&0
0
00 0
0
000
. (5.22)
Având în vedere că matricea de rotaţie este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΨΦ−ΨΦΦΨΦΨΦ−
ΨΨ=
∗∗
∗∗
∗∗
ΨΦ ∗
coscossinsinsinsincoscossincos
0sincos
,A , (5.23)
se poate scrie:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΨΘΦ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΨΦ−ΦΨΦ
Ψ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∗
∗
∗
∗
∗
&
&
&
coscossin0sincoscos0
0sin1
rqp
. (5.24)
Notând inversa matricei din membrul drept cu WA∗ se obţine în final:
[ ] [ ]& & &Φ Θ Ψ∗ ∗ ∗=T
AT
p q rW , (5.25) unde matricea de legătură dintre derivatele unghiurilor de atitudine şi componentele vitezei de rotaţie este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΦΨΦ−ΨΦ
ΨΦΨΦ−= ∗∗
∗∗
∗
cossin0secsinseccos0tgsintgcos1
AW . (5.26)
OBSERVAŢIE - Pentru cazul particular în care unghiul ∗Ψ este apropiat de 2π± , caz întâlnit la aparatele de zbor a căror principală evoluţie este în plan orizontal, matricea ∗
AW are elemente foarte mari datorită prezenţei funcţiei ∗Ψsec . Matricea definită prin relaţia (5.26) poate fi folosită
Prelegere 5
71
pentru studiul rachetelor a căror evoluţie principală este în plan vertical, cum sunt rachetele balistice, rachetele sol-aer sau rachetele aer-sol. Dacă se consideră unghiurile de cap şi de înclinare laterală nule ( ; )Ψ Φ∗ = =0 0 , indiferent de valoarea unghiului de atitudine longitudinală Θ∗ , matricea WA
∗ , devine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=∗
100010001
AW . (5.27)
Dezvoltând relaţiile: (5.18) şi (2,31) , în care matricele iB şi WA∗ sunt de
forma generală (5.19) ; (5.26), se obţin ecuaţiile diferenţiale care completează sistemul de ecuaţii dinamice a mişcării:
),coscossinsin(sin
)cossinsinsin(coscossin
;sincoscoscossin);cossinsincos(sin
)sinsincoscos(sincoscos
0
0
0
∗∗∗
∗∗∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗∗∗
ΘΦ−ΨΘΦ+
+ΘΦ+ΨΘΦ−ΨΘ=
ΦΨ+ΦΨ−Ψ−=
ΦΘ+ΦΘΨ+
+ΦΘ−ΦΘΨ−ΨΘ=
w
vuz
wvuyw
vux
&
&
&
(5.28)
respectiv:
.cossin;secsinseccos
;tgsintgcos
Φ+Φ=Ψ
ΨΦ−ΨΦ=Θ
ΨΦ+ΨΦ−=Φ
∗
∗∗∗
∗∗
rqrq
rqp
&
&
&
(5.29)
Totodată, considerând forma (5.17) pentru matricea iA , componentele acceleraţiei greutăţii după axele triedrului mobil devin:
[ ] [ ]TiT
zyx gggg −= 00A , sau în forma scalară:
).sinsinsincos(cos
);sinsincoscos(sin
;cossin
∗∗∗
∗∗∗
∗∗
ΨΘΦ−ΘΦ=
ΨΘΦ+ΘΦ=
ΨΘ−=
gg
gg
gg
z
y
x
(5.30)
Pornind de la relaţiile generale (5.17), (5.19) şi (5.26) se pot obţine derivatele principalelor matrice de rotaţie şi de legătură, necesare în cadrul unor dezvoltări teoretice ulterioare privind forma liniarizată a ecuaţiilor mişcării perturbate.
Prelegere 5
72
5.3 ECUAŢIILE CINEMATICE UTILIZÂND CUATERNIONUL HAMILTON
Utilizarea ecuaţiilor cinematice scrise cu unghiuri tip Euler, pe lângă avantajele legate de semnificaţia fizică concretă , măsurabilă, a acestor mărimi, prezintă următoarele inconveniente: - utilizarea funcţiilor trigonometrice şi dificultăţile pe care le introduc acestea în construirea unor algoritmi programabili; - existenţa în cadrul matricelor de legătură a unor termeni foarte mari care pot apare la evoluţii pentru care unghiul de atitudine longitudinală (Θ ) este apropiat de ± π 2 în cazul clasic sau pentru evoluţii în care unghiul de cap ( ∗Ψ ) este apropiat de ± π 2 în cazul unghiurilor de atitudine modificate. Din această cauză, în unele lucrări [C29], [P1], se propune construirea matricelor de rotaţie şi a matricei de legătură pentru vitezele de rotaţie prin utilizarea unui operator algebric numit "cuaternionul Hamilton". Cuaternionul lui Hamilton este un operator care exprimă o rotaţie. Dacă rotaţia se realizează în sens direct cu unghiul σ în jurul unei axe E de versor:
e Il Jm Knσ = + + , mărimile:
2cos;
2sin;
2sin;
2sin 4321
σ=
σ=
σ=
σ= qnqmqlq , (5.31)
se numesc componentele cuaternionului. Se demonstrează în [P1] că o succesiune de rotaţii a unui corp rigid cu un
punct fix poate fi înlocuită printr-o singură rotaţie σ în jurul unei axe care trece prin punctul fix . În acest scop se utilizează triedrele: Ox y zg g g - triedrul fix cu versorii I J K, , (fig.5.3); Oxyz - triedrul mobil, legat de corp cu versorii i j k, , (fig.5.3);
Fig. 5.3 Triedrele fix şi mobil
cu versorii axelor
Fig. 5.4 Rotaţia unică de
suprapunere a triedrelor fix şi mobil
Prelegere 5
73
Corpul are viteza de rotaţie Ω cu componentele (p, q, r) în sistemul mobil Oxyz:
Ω = + +ip jq kr . Axa E este axa în jurul căreia este necesară o singură rotaţie σ pentru a
suprapune triedrul Ox y zg g g cu triedrul Oxyz (fig.5.4). Versorul axei E este eσ . Ţinând cont de notaţiile din figura 5.4, se poate scrie:
A e R B e e R C R B= × = ⋅ ⋅ = −σ σ σ0 0 0; ( ); . În acest caz, relaţia de legătură între vectorii de poziţie ai punctelor P şi P0 devine succesiv:
;cossin σ+σ+= CABR ;cos)]([sin)()( 0000 σ⋅⋅−+σ×+⋅⋅= σσσσσ ReeRReReeR .sin)()cos1)((cos 000 σ×+σ−⋅⋅+σ= σσσ ReReeRR
(5.32) Dacă punctul P0 se găseşte iniţial pe axa xg , punctul P se va afla în final pe axa x. Deoarece vectorii R şi R0 sunt egali în modul se poate înlocui în relaţia (5.32):
R i R I→ →; .0 Analog, dacă punctul P se găseşte pe axa y sau z se pot face înlocuirile:
R j R J R k R K→ → → →; ; ; .0 0 Se obţine astfel sistemul:
.sin)()cos1()(cos;sin)()cos1()(cos
;sin)()cos1()(cos
σ×+++σ−+++σ=
σ×+++σ−+++σ=
σ×+++σ−+++σ=
KnKmJlInnKmJlIKkJnKmJlImnKmJlIJj
InKmJlIlnKmJlIIi
Dacă se notează σ=σ= sin;cos sc , se obţine relaţia matriceală: [ ] [ ]i j k I J K
T
e
T= A ,
unde, similar cu cazul ecuaţiilor cinematice descrise cu unghiurile de atitudine, s-a notat cu A e matricea de rotaţie parţială directă, care este de forma:
A e
c l c lm c ns ln c mslm c ns c m c mn c lsln c ms mn c ls c n c
=+ − − + − −− − + − − +− + − − + −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
2
2
2
1 1 11 1 11 1 1
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
(5.33)
şi care coincide cu cea definită prin relaţia (5.1). Considerând relaţiile de definiţie ale cuaternionului (5.31) şi ţinând cont de dezvoltările trigonometrice:
,2
cos2
sin2sin;2
sin2cos11;12
cos2cos 22 σσ=σ=
σ=σ−=−−
σ=σ= scc
matricea de rotaţie parţială directă devine.
Prelegere 5
74
A e
q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q
=+ − − + −
− + − − ++ − + − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
42
12
22
32
1 2 3 4 3 1 2 4
1 2 3 4 42
22
32
12
2 3 4 1
3 1 2 4 2 3 4 1 42
32
12
22
2 22 22 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
, (5.34)
iar matricea de rotaţie parţială inversă se obţine prin transpunerea matricei directe:
B e
q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q
=+ − − − +
+ + − − −− + + − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
42
12
22
32
1 2 3 4 3 1 2 4
1 2 3 4 42
22
32
12
2 3 4 1
3 1 2 4 2 3 4 1 42
32
12
22
2 22 22 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
. (5.35)
Matricele de rotaţie în raport cu triedrul iniţial de start sunt de forma: ,; eiei BBBAAA ππ ==
în care:
A Bπ π= = −−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 0 00 1 00 0 1
,
astfel că matricea de rotaţie directă iA este:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−−−++−++−−−−−+−−−+
=22
21
23
2414324213
143221
23
22
244321
4213432123
22
21
24
)(2)(2)(2)(2)(2)(2
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
iA , (5.36)
iar matricea de rotaţie inversă iB , ca şi în cazul unghiurilor de atitudine, se obţine prin transpunerea matricei de rotaţie directă iA :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
++−−+−−−−−++−−+−+−−−+
=22
21
23
2414324213
143221
23
22
244321
4213432123
22
21
24
)(2)(2)(2)(2
)(2)(2
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqq
iB . (5.37)
Cu ajutorul relaţiei (5.37) se poate exprima legătura dintre componentele vectorului viteză în triedrul inerţial şi în triedrul mobil:
[ ] [ ]TiT wvuzyx B=000 &&& ; (5.38)
Cât priveşte componentele acceleraţiei greutăţii după axele triedrului mobil, acestea se pot exprima simplificat astfel:
[ ] [ ]TiT
zyx gggg −= 00A , (5.39) în care matricea de rotaţie directă este dată de (5.36). Comparând elementele matricei de rotaţie parţială directă eA din expresiile (5.1) şi (5.34) se pot găsi relaţiile de legătură dintre componentele cuaternionului şi unghiurile de atitudine:
,2
sin2
sin2
sin2
cos2
cos2
cos;2
cos2
sin2
sin2
sin2
cos2
cos
;2
sin2
cos2
sin2
cos2
sin2
cos;2
cos2
cos2
sin2
sin2
sin2
cos
43
21
ΨΘΦ+
ΨΘΦ=
ΨΘΦ−
ΨΘΦ=
ΨΘΦ+
ΨΘΦ=
ΨΘΦ+
ΨΘΦ−=
(5.40) sau invers:
Prelegere 5
75
.cos/)(2sin;cos/)(cos;cos/)(2sin;cos/)(cos
);(2sin;)(41cos
432123
22
21
24
143222
21
23
24
31242
3124
Θ+=ΨΘ−−+=ΨΘ+=ΦΘ−−+=Φ
−=Θ−−=Θ
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
(5.41)
În baza relaţiilor (5.38), în finalul subcapitolului se vor scrie relaţii echivalente cu (5.12), privind legătura dintre componentele vitezei în triedrul Pământ şi în triedrul mobil, cu utilizarea componentelor cuaternionului Hamilton. Cât priveşte celelalte trei ecuaţii, se urmăreşte, ca şi mai înainte, obţinerea unor relaţii între componentele vitezei de rotaţie ( , , )p q r şi derivatele componentelor cuaternionului. Astfel, deoarece rotaţia în jurul unei drepte este o transformare echivalentă din punct de vedere al celor două sisteme, rezultă că şi cosinuşii directori ai vectorului σe sunt identici:
e Il Jm Kn i l jm knσ= + + = + + . Dacă se derivează această relaţie în raport cu timpul se obţine:
Il Jm Kn i l jm kn e& & & & & &+ + = + + + ×Ω σ , unde:
Ω × = − + − + −e i qn rm j rl pn k pm qlσ ( ) ( ) ( ), deci:
Il Jm Kn i l qn rm j m rl pn k n pm ql& & & ( & ) ( & ) ( & ).+ + = + − + + − + + − Dacă se înmulţeşte succesiv cu i j k, , rezultă:
I i J i K iI j J j K jI k J k K k
lmn
lmn
n mn l
m l
pqr
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
−−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
&
&
&
&
&
&
00
0 ,
sau în altă formă:
[ ]I A−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
−−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
e
lmn
n mn lm l
pqr
&
&
&
00
0 . (5.42)
Introducând matricea A e dată de (5.19), membrul stâng al relaţiei (5.42) devine:
,))(1(1
2
)1(1
11
2
2
2
2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
+≡
≡⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
nml
nnmmllctlmltn
mnt
tt
nml
nmnnlmnmlmnllml
cnml
clsmslscns
msnsc
&&&
&
&
&
&
&
&
unde s-a notat t = tg( / )σ 2 Întrucât cosinuşii directori ai versorului eσ satisfac relaţia:
l m n2 2 2 1+ + = , rezultă prin derivare:
ll mm nn& & &+ + = 0 , ceea ce face ca ultimul termen din dezvoltarea anterioară să fie nul.
Prelegere 5
76
Pe de altă parte inversa matricei primului termen este: t n mn t lm l t
t t
l t lm nt nl mtlm nt m t mn ltnl mt mn lt n t
−−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=+
+ + −− + ++ − +
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
−1
2
2 2
2 2
2 2
11( )
.
Înmulţind la stânga cu matricea inversă astfel definită, relaţia (5.42) devine:
21
11
2
2
2
tlmn
l lm nt nl mtlm nt m mn ltnl mt mn lt n
pqr
&
&
&
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
− − − − +− + − − −− − − + −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥,
ceea ce conduce la relaţiile algebrice: 2 2 2& ( & ) / ; & ( & ) / ; & ( & ) / ,l rm qn p l t m pn rl q m t n ql pm r n t= − + − = − + − = − + −σ σ σ
în care: &σ σ= ⋅ = + +Ω e pl qm rn .
Dacă se derivează relaţiile de definiţie (5.31) se obţine:
.2
sin2
;2
cos22
sin
;2
cos22
sin;2
cos22
sin
43
21
σσ−=
σσ+
σ=
σσ+
σ=
σσ+
σ=
&&
&&&
&&&
&&&
q nnq
mmq llq
Ţinând cont de (5.31), prin dezvoltarea relaţiilor anterioare rezultă în final: &
&
&
&
qqqq
r q pr p q
q p rp q r
qqqq
q q qq q qq q qq q q
pqr
1
2
3
4
1
2
3
4
4 3 2
3 4 1
2 1 4
1 2 3
12
00
00
12
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
=
−−
−− − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
≡
−−
−− − −
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥ . (5.43)
Întrucât componenta q4 se poate obţine direct : q q q q4
212
22
321= − − − , (5.44)
se adoptă ca variabile de stare ale sistemului componentele q q q1 2 3, , , determinarea acestora făcându-se prin relaţiile diferenţiale:
[ ] [ ]& & &q q q p q pT
q
T
1 2 3 = W , (5.45) unde s-a notat :
Wq
q q qq q qq q q
=−
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
12
4 3 2
3 4 1
2 1 4
(5.46)
matricea de legătură dintre derivatele componentelor cuaternionului Hamilton şi componentele vitezei unghiulare . OBSERVAŢIE - Aparent relaţia (5.44) introduce o ambiguitate de semn în privinţa determinării componentei q4 . Din relaţiile de definiţie (5.31), se observă că q4 este pozitiv dacă unghiului σ este cuprins în intervalul ( ; )− +π π . În această situaţie orice atitudine de zbor a rachetei poate fi reprezentată utilizând forma pozitivă a componentei q4
din relaţia (5.44), după cum se va şi proceda în continuare pentru analiza formei liniare a ecuaţiilor cinematice. Pentru cazul neliniar, în special pentru studiul mişcării rachetei cu rotaţie de ruliu, pentru a evita operaţiunea de reducere a argumentului funcţiilor trigonometrice din relaţiile de definiţie (5.31), ceea ce în fond înseamnă schimbarea semnului tuturor componentelor când unghiul σ depăşeşte intervalul
Prelegere 5
77
( ; )− +π π , se recomandă determinarea componentei q4 prin integrarea ultimei linii a relaţiei (5.43), relaţia (5.44) putând fi utilizată ca un element de control al preciziei integrării. Pentru cazul neliniar, dezvoltând relaţiile (5.38) şi (5.43) se obţine în final:
,)()(2)(2
;)(2)()(2
;)(2)(2)(
22
21
23
24143242310
413221
23
22
2443210
4213432123
22
21
240
wqqqqvqqqquqqqqz
wqqqqvqqqquqqqqy
wqqqqvqqqquqqqqx
−−+−+−−−=
−−−−+−+−=
++−+−−+=
&
&
&
(5.47)
respectiv:
,2/)(;2/)(;2/)(;2/)(
32144123
14322341
rqqqpqq rqqqpqqrqqqpqq rqqqpqq
−−−=++−=−+=+−=
&&
&& (5.48)
care sunt relaţii echivalente cu (5.12) şi (5.13) dar, de această dată sunt construite cu componentele cuaternionului Hamilton. De asemenea, se urmăreşte ca şi componentele acceleraţiei greutăţii să fie exprimate cu ajutorul componentelor cuaternionului. Pentru aceasta, prin dezvoltarea relaţiilor (5.39) se obţine: g q q q q g g q q q q g g q q q q gx y z= − = + = + − −2 23 1 2 4 3 2 4 1 4
232
12
22( ) ; ( ) ; ( ) . (5.49)
Prelegere 6
78
6. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII – I
ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL MOBIL. ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL VITEZĂ
NOTAŢII
Principalele notaţii şi simboluri sunt în concordanţă cu standardul [X2],
fig.(5.1) Oxyx - triedrul mobil legat de mobil Ox y za a a - triedrul aerodinamic legat de viteză V - viteza centrului de masă; u,v,w - componentele vitezei în triedrul mobil Ω - viteza de rotaţie în jurul centrului de masă; p,q,r - componentele vitezei de rotaţie în triedrul mobil α - incidenţa în planul de tangaj β - incidenţa în planul de giraţie
6.1 ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL MOBIL Pentru scrierea ecuaţiilor generale de mişcare se mai utilizează următoarele notaţii: m - masa; Fi
i∑ - rezultanta forţelor exterioare şi de legătură;
Hii∑ - rezultanta momentelor exterioare şi de legătură în raport cu centrul de
masă1 ; K - momentul cinetic; Considerând mobilul un corp de masă variabilă şi aplicând teorema impulsului şi teorema momentului cinetic, ecuaţiile dinamice ale mişcării, stabilite în [C15], sunt de forma:
TFt
Vmi
i +=∑dd ; d
dK
= H Ht i
i
T∑ + , (6.1)
în care termenii datoraţi variaţiei masei şi momentelor de inerţie sunt conţinuţi în membrul drept al relaţiilor (6.1). Explicitând derivata absolută a vectorilor viteză şi moment cinetic, relaţiile anterioare devin:
1Rezultanta forţelor exterioare şi de legătură şi momentul rezultant corespunzător nu conţin termenii de presiune statică care sunt cuprinşi în forţa de tracţiune, respectiv în momentul gazodinamic al mobilei.
Prelegere 6
79
mVt
mVt
V F Tii
dd
≡ + ×⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = +∑∂
∂Ω ; d K K
K = H Hdt
≡ + × +∑∂∂t i
i
TΩ . (6.2)
Pentru dezvoltarea în continuare a acestor relaţii se explicitează termenii: F - forţa aerodinamică; H A - momentul aerodinamic, T - tracţiunea; H T - momentul gazodinamic de amortizare - comandă şi greutatea: G mg= prin componente după axele triedrului mobil:
kZjYiXF AAA ++= ; kZjYiXT TTT ++= ; )( kgjgigmkGjGiGG zyxzyx ++=++= ;
kji AAAA N M L=H ++ ; kji TTTT NML=H ++ , (6.3) unde componentele simplificate ale acceleraţiei greutăţii se obţin din relaţia matriceală:
[ ] [ ]TiT
zyx gggg −= 00A , (6.4) în care matricea de rotaţie iA este dată de (5.2 ), sau (5. 17), (5. 36). Punând în evidenţă mărimile precizate anterior, din (6.2) se obţin relaţiile vectoriale:
m Vt
F T G m V∂∂
= + + − ×( )Ω ; ∂∂K
H + H Kt= − ×A T Ω . (6.5)
Pentru aducerea la forma matriceală a relaţiilor (6.5) se mai explicitează vectorii vitezelor şi a momentului cinetic prin proiecţii după axele triedrului mobil (Oxyz):
V ui vj wk pi qj rk i j kx y z= + + = + +; ;Ω K = K + K + K . (6.6) Componentele momentului cinetic se pot obţine din relaţia matriceală:
[ ] [ ]TTzyx rqpJ=KKK , (6.7)
unde J reprezintă matricea momentelor de inerţie în forma generală:
J =− −
− −− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A F EF B DE D C
, (6.8)
în care s-a notat:
∫∫∫∫∫∫
===
+=+=+=
.d;d;d
;d)(;d)(;d)( 222222
mxyFmzxEmyzD
myxCmxzBmzyA (6.9)
În formă scalară, relaţia (6.7) devine: K K Kx y zAp Fq Er Fp Bq Dr Ep Dq Cr= − − = − + − = − − +; ; . (6.10)
În continuare, vom considera o configuraţie cu un singur plan de simetrie, de tip avion, urmând ca pentru cazul configuraţiilor axial simetrice să particularizăm relaţiile obţinute. Astfel, datorită simetriei configuraţiei considerate, axa y a triedrului mobil legat de mobil este axa principală de inerţie, două din produsele de inerţie fiind nule: D F= = 0 , În acest caz, matricea momentelor de inerţie devine:
J =−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A EB
E C
00 0
0, (6.11)
iar componentele momentului cinetic sunt:
Prelegere 6
80
K K Kx y zAp Er Bq Cr Ep= − = = −; ; . (6.12) Dezvoltând produsele vectoriale din relaţiile (6.5) şi ţinând cont de componentele termenilor explicitaţi anterior (6.3), (6.4), (6.6), (6.12), se obţine forma matriceală a ecuaţiilor mişcării generale în triedrul mobil:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω
wvu
gZYX
ZYX
mwvu
iT
T
T
A
A
A
AA 00
1
&
&
&
; (6.13)
&
&
&
pqr
pqr
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −J J A J1 1
L
M
N
L
M
N
A
A
A
T
T
TΩ , (6.14)
unde AΩ este matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară Ω :
AΩ =−
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
00
0
r qr pq p
, (6.15)
iar:
J − =−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
12
210
0 00
AC E
C EAC E B
E A( ) / , (6.16)
reprezintă inversa matricei momentelor de inerţie (6.11) pentru cazul configuraţiilor cu un plan de simetrie. OBSERVAŢIE - Forma anterioară a ecuaţiilor mişcării generale se poate obţine direct dacă se are în vedere exprimarea matriceală a operaţiunii de derivare în triedrul mobil prezentată la punctul 4.4. Astfel, prin derivarea vectorului viteză în triedrul mobil , se poate scrie direct:
[ ] [ ] [ ]a a a u v w u v wx y z
T T T= +& & & AΩ ,
unde s-au notat a a ax y z; ; , proiecţiile vectorului acceleraţie absolută după axele triedrului mobil legat de mobil. Dacă se procedează analog pentru derivarea vectorului moment cinetic se pot obţine direct relaţiile matriceale (6.13) şi (6.14) fără a mai trece prin exprimarea vectorială (6.2). Pe de altă parte, dacă se adoptă forţa şi momentul aerodinamic de referinţă, conform standardului [X2]:
FV
SV
Sl F l0 0A
0= = =ρ ρ2 2
2 2; ,H
se pot defini coeficienţii torsorului aerodinamic în triedrul mobil :
C XF
C YF
C ZF
C C CxA
A
yA
A
zA
A
lA
mA
nA= = = = = =
0 0 0
; ; ; ; ; .L
H
M
H
N
H
A
0A
A
0A
A
0A
Similar, dacă se adoptă tracţiunea şi momentul gazodinamic de referinţă: T T lo0; H0
T = , se pot defini coeficienţii torsorului gazodinamic:
Prelegere 6
81
C XT
C YT
C ZT
C C CxT
T
yT
T
zT
T
lT
mT
nT= = = = = =
0 0 0
; ; ; ; ; .L
H
M
H
N
H
T
0T
T
0T
T
0T
În acest caz , ecuaţiile (6.13), (6.14) devin:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
pvqurupw
qwrv
gCCC
TCCC
Fm
wvu
iTz
Ty
Tx
Az
Ay
Ax
00
100 A
&
&
&
, (6.17)
respectiv: &
&
&
( )( ) ( )
( )
pqr
CCC
CCC
B C qr EpqC A rp E r p
A B pq Eqr
lA
mA
nA
lT
mT
nT
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪+
− +− + −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −J J1 1 2 2H H0 0A T , (6.18)
relaţii ce se pot utiliza pentru integrarea în forma neliniară a ecuaţiilor mişcării generale, în cazul în care se neglijează rotaţia Pământului şi forma sa, adică pentru cazul traiectoriilor scurte. Mai precis integrând ecuaţiile dinamice în această formă se face ipoteza că triedrul Pământ coincide cu triedrul iniţial de start care la rândul lui coincide cu triedrul de start, toate fiind considerate triedre inerţiale. În cazul rachetelor cu durată mare de zbor, cum sunt cele balistice sau de croaziera, simplificările anterioare nu mai sunt valabile, fiind necesară integrarea cel puţin a ecuaţiilor de forţă direct în triedrul Pământ. În acesta caz relaţiile (6.18) se pot rescrie astfel:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
czp
cyp
cxp
zp
yp
xp
Tz
Ty
Tx
Az
Ay
Ax
p
zp
yp
xp
aaa
ggg
CCC
TCCC
Fm
VVV
001 B
&
&
&
(6.19)
unde matricea de rotaţie inversă se obţine prin transpunerea matricei complete de rotaţie directă
Tpp AB = , definită în prelegerea 4 prin relaţia (1.109), [ ]Tzpypxp VVV &&& reprezintă
componentele derivatei vectorului viteză în triedrul Pământ, [ ]Tzpypxp ggg reprezintă componentele acceleraţiei greutăţii în triedrul Pământ, după cum au fost definite prin relaţiile (4.22), iar [ ]Tczpcypcxp aaa sunt componentele acceleraţiei Coriolis date de (4.15). Dacă se utilizează ecuaţiile dinamice (6.19) de scrise în triedrul Pământ, ecuaţiile cinematice de translaţie (5.3) capătă forma simplificată:
[ ] [ ]TzpypxpT
ppp VVVzyx =&&& (6.20)
6.2 ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL VITEZĂ
Se consideră triedrul viteză ( )Ox y za a a , cu axa ax orientată după direcţia vectorului viteză V . Pentru a suprapune triedrul viteză peste triedrul mobil legat de mobil ( )Oxyz se efectuează două rotaţii succesive cu vitezele unghiulare &β∗ şi &α (fig. 6.1), matricea de rotaţie fiind de forma:
Prelegere 6
82
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αβαβαββ−
α−βαβα==
∗∗
∗∗
∗∗
∗βα∗αβ
cossinsincossin0cossin
sinsincoscoscosAAA , (6.21)
unde matricele de rotaţie parţiale utilizate sunt:
Fig. 6.1 Viteze şi unghiuri aerodinamice
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αα
α−α=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ββ−ββ
= α∗∗
∗∗
∗β
cos0sin010
sin0cos;
1000cossin0sincos
AA .
Matricea de rotaţie astfel definită se poate utiliza pentru exprimarea elementelor mişcării din triedrul mobil legat de mobil prin elemente de mişcare în triedrul viteză. Astfel, componentele vitezei V în triedrul mobil devin:
[ ] [ ]u v w VT T= Aαβ* ,0 0 (6.22)
iar derivatele acestora capătă forma: &
&
&
& & &
** *
*
uvw
V V V⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗
AA A
αβαβ αβ∂
∂α
α∂
∂β
β00
00
00
. (6.23)
Având în vedere că:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
α−βαβα
α−βα−βα−=
∂α
∂
∗∗
∗∗
αβ
sinsincoscoscos000
cossinsincossin*A
.
Prelegere 6
83
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
βαβα−β−β−βαβα−
=∂β
∂
∗∗
∗∗
∗∗
∗αβ
0cossinsinsin0sincos0coscossincos
*A, (6.24)
derivatele componentelor vitezelor în triedrul mobil devin:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
βαβ−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∗
∗αβ
cos*
VV
V
wvu
&
&
&
&
&
&
A . (6.25)
Pe de altă parte, viteza de rotaţie a tangentei la traiectorie se exprimă prin componente în triedrul viteză astfel:
ΩV a l a m a ni j k= + +ω ω ω . Având în vedere rotaţiile efectuate pentru trecerea de la triedrul mobil la triedrul viteză, legătura vectorială dintre viteza de rotaţie a tangentei la traiectorie şi rotaţia instantanee a mobilei este:
Ω Ω− = + ∗& & ,α βj kV a de unde se poate scrie legătura matriceală între componente:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
β+ωωω
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡α−
∗αβ
&
&
n
m
l
rq
p
*A . (6.26)
În baza acestei relaţii vom exprima matricea antisimetrică asociată vectorului Ω . Pentru început se descompune această matrice în următoarea formă:
AΩ =−
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
− −−
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
00
0
0 00 0 0
0 0
00
0
r qr pq p
r qr p
q p
&
&
( & )
( & )
α
α
α
α. (6.27)
Punând în evidenţă matricea de rotaţie inversă T∗αβαβ
=∗ AB matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară devine:
.0
0)()(0
0sincossin00cos00
** αβ∗
∗
αβαβ∗∗
∗
∗
αβΩ ∗∗
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωω−ω−β+ωωβ+ω−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
β−β−ββ
α= BABAA
lm
ln
mn
&
&
&
(6.28) În acest caz, produsul vectorial Ω ×V utilizat pentru exprimarea ecuaţiilor în triedrul mobil capătă forma:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ω−ω+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
βα−β=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∗
∗αβΩ
m
n
VV
VV
wvu 0
cos
0
*
&
&AA . (6.29)
Pe de altă parte, componentele forţei aerodinamice, de tracţiune şi de greutate în triedrul mobil se pot exprima astfel:
Prelegere 6
84
XYZ
XYZ
XYZ
GGG
A
A
A
T
T
T
x
y
z
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
∗ ∗ ∗A B B Bαβ β α β α β α* . (6.30)
Având în vedere că în triedrul viteză componentele forţei aerodinamice se pot scrie direct:
[ ] [ ]D N L X Y ZT A A A T= ∗B
β α, (6.31)
iar componentele forţei de greutate se obţin direct prin intermediul unei matrice de rotaţie din triedrul pământ în triedrul viteză A Aa = µγχπ , matrice ce va fi definită ulterior:
GGG
GGG G
xa
ya
za
x
y
z
a
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗B Aβ α
00 , (6.32)
expresia componentelor forţelor în triedrul mobil devine: XYZ
DNL
XYZ
GGG
T
T
T
xa
ya
za
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
∗A Bαβ β α* . (6.33)
În baza acestor relaţii, ecuaţiile componentelor forţelor în triedrul mobil (6.13) capătă forma:
,0
cos
01
cos****
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωω−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
βαβ−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
βαβ− αβ
∗
∗αβαβαβ
∗
∗αβ ∗
m
n
za
ya
xa
T
T
T
VV
VV
GGG
ZYX
LND
mV
VV
AABAA&
&
&
&
&
iar după înmulţirea la stânga cu matricea de rotaţie Bβ α* se obţine:
mV
VV
DNL
XYZ
GGG
n
m
T
T
T
xa
ya
za
&
ωω
β α
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗B . (6.34)
Pentru a exprima direct orientarea triedrului viteză faţă de triedrul inerţial se consideră o succesiune de trei rotaţii cu vitezele unghiulare & , & , & ,χ γ µ (fig.6.2) similare celor utilizate pentru definirea triedrului mobil, unghiurile utilizate fiind, conform standardului [X2]:
Prelegere 6
85
Fig. 6.2 Orientarea triedrelor viteză şi semiviteză în raport cu triedrul sol mobil χ - unghiul de drum ; γ - unghiul de înclinare a traiectoriei ; µ - unghiul de ruliu viteză.
În acest caz, matricea de rotaţie se poate scrie ca un produs matriceal:
A A A A Aa = µ γ χ π , (6.35) unde:
,100
010001
;cossin0sincos0
001
;cos0sin
010sin0cos
;1000cossin0sincos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
µµ−µµ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γγ
γ−γ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡χχ−χχ
=
πµ
γχ
AA
AA
(6.36)
obţinându-se:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γµ−χγµ−χµχγµ+χµγµ−χγµ−χµ−χγµ+χµ−
γχγ−χγ=
coscossinsincoscossincossincossinsincossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
aA .
(6.37) Pe de altă parte viteza de rotaţie a tangentei la traiectorie se poate scrie ca o succesiune de trei rotaţii:
ΩV = + +& & & ,χ γ µ ceea ce matriceal devine:
Prelegere 6
86
ωωω χ
γµ
µγχ µγ µ
l
m
n
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A A A00
0
000&
&
&
, (6.38)
unde s-au notat ω ω ωl m n, , componentele vitezei de rotaţie a tangentei la traiectorie în triedrul viteză. Dezvoltând în continuare se obţine :
,coscossin0cossincos0
sin01
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
χγµ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γµµ−γµµ
γ−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωωω
&
&
&
n
m
l
(6.39)
sau, determinând inversa matricei de legătură rezultă în final :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωωω
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γµγµµ−µγµγµ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
χγµ
n
m
l
seccossecsin0sincos0
tgcostgsin1
&
&
&
. (6.40)
După cum arată şi [K10], utilizarea ecuaţiilor dinamice de forţe (6.34) în triedrul viteză ( )Ox y za a a este incomodă, deoarece ultimele două relaţii nu au o semnificaţie precisă. De aceea, în majoritatea lucrărilor se recomandă aducerea acestor ecuaţii în triedrul semiviteză ( )Ox y za a a
∗ ∗ ∗ , triedru care, conform standardului [X2], se obţine pornind de la triedrul inerţial prin efectuarea numai a primelor două rotaţii, adică a rotaţiei cu unghiul de drum (χ ) şi a rotaţiei cu unghiul de înclinare a traiectoriei ( γ ) (fig.6.2). Dacă se porneşte de la triedrul viteză, triedrul semiviteză se obţine prin rotirea inversă cu unghiul de ruliu viteză (µ ). Adoptând această soluţie, relaţia (6.34) în triedrul semiviteză capătă următoarea formă:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
µω−µωµω+µω χγαβµµ ∗
GZYX
LND
VV
Vm
T
T
T
mn
mn 00
)cossin()sincos( AABBB
&
, (6.41)
unde s-a notat: B Aµ µ= T
Pe de altă parte din ecuaţiile cinematice (6.40) se obţine: µω+µω=γχµω−µω=γ cossincos;sincos nmnm && , (6.42)
ecuaţiile (6.41) devenind:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ
γ−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ−γχ
αβµµ ∗
cos0sin
cosG
G
ZYX
LND
VV
Vm
T
T
T
BBB&
&
&
. (6.43)
Pentru interpretarea acestor relaţii se consideră că viteza de rotaţie a tangentei la traiectorie în triedrul semiviteză se obţine printr-o succesiune de două rotaţii :
ΩV∗ = +& & ,γ χ
de unde se poate scrie relaţia matriceală: [ ] [ ] [ ]ω ω ω χ γγχ γl m n
T T T∗ ∗ ∗ = +A A0 0 0 0& & , (6.44)
Prelegere 6
87
în care s-au notat ω ω ωl m n∗ ∗ ∗, , componentele vitezei de rotaţie a tangentei la
traiectorie în triedrul semiviteză. Dezvoltând se obţine :
,0
cos0sin010
sin0cos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
χγ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γγ
γ−γ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ωωω
∗
∗
∗
&
&
n
m
l
(6.45)
de unde: ,cos;;sin γχ=ωγ=ωγχ−=ω ∗∗∗ &&& nml
ceea ce permite scrierea ecuaţiilor de mişcare (6.43) în forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ
γ−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ω−ω
α∗βµµ
∗
∗
cos0sin
11
g
g
ZYX
mLND
mV
VV
T
T
T
m
n BBB
&
. (6.46)
Analizând relaţiile anterioare se constată că ultima ecuaţie defineşte mişcarea centrului de masă în planul vertical, iar cea de a doua mişcarea centrului de masă într-un plan înclinat cu unghiul γ faţă de orizontală.
Pentru a putea exprima componentele tracţiunii este necesar să se expliciteze produsul matriceal B Bµ β α∗
, care este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αµ+βαµβµαµ−βαµαµ−βαµβµαµ+βαµ
βαβ−βα=
∗∗∗
∗∗∗
∗∗∗
αβµ ∗
coscossinsinsincossinsincossincossincossinsinsincoscoscossinsinsincoscos
cossinsincoscosBB .
(6.47) Dacă se consideră cazul particular în care tracţiunea are numai componentă axială:
X T Y ZT T T= = =; ; ,0 0 ecuaţiile de mişcare (6.43) devin:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ
γ−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αµ−βαµβαµ+αµ
βα+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
µ+µµ−µ=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γ−γχ
∗
∗
∗
cos0sin
sincossincossinsincoscossinsin
coscos
cossinsincos1cos
g
g
mT
LNLN
D
mV
VV
&
&
&
,
ceea ce în forma scalară se poate scrie:
;)sincoscossin(sincoscos
sincoscos
;sincoscos
∗
∗
βαµ+αµγ
+γµ
−γµ
=χ
γ−βα+=
mVT
mVL
mVN
gmT
mDV
&
&
γ−βαµ−αµ+µ−µ−=γ ∗ cos)sincossinsin(coscossinVg
mVT
mVL
mVN
& . (6.48)
Aceste relaţii reprezintă ecuaţiile de forţe scrise în triedrul semiviteză ce este un sistem de coordonate legate de traiectorie, care pentru evoluţii particulare ale mobilei coincide cu triedrul Frenet. La acestea se adaugă ecuaţiile dinamice Euler (6.14), care sunt ecuaţiile de moment scrise în triedrul mobil şi ecuaţiile cinematice Euler (6.13), care permit definirea unghiurilor de orientare a triedrului mobil ( , , )Ψ Θ Φ în funcţie de componentele vitezei de rotaţie ( , , )p q r .
Prelegere 6
88
Având viteza V şi unghiurile χ şi γ determinate din ecuaţiile prezentate anterior (6.43), (6.48), se pot determina componentele vitezei după axele triedrului iniţial de start cu relaţia:
[ ] [ ] ,00000TTT Vzyx
γχπ= A&&& (6.49)
în forma scalară obţinându-se: γ=γχ−=γχ= sin;cossin;coscos 000 VzVyVx &&& . (6.50)
Pe lângă sistemul de 12 ecuaţii diferenţiale astfel stabilit, pentru definirea completă a ecuaţiilor (6.48) este necesară exprimarea unghiurilor ∗βα, şi µ prin intermediul unor relaţii în funcţie de unghiurile χ γ, , , , ,Ψ Θ Φ care se obţin direct din sistemul de ecuaţii diferenţiale. Pentru aceasta se consideră legătura matriceală:
ia ABAαβ∗
= , (6.51) care exprimă faptul că pornind de la triedrul iniţial de start se poate ajunge la triedrul viteză direct prin matricea A a sau trecând prin triedrul mobil cu ajutorul produsului matriceal iAB
αβ∗.
Pentru izolarea celor trei unghiuri necunoscute şi găsirea unor expresii explicite a acestora, relaţia (6.51) se pune în forma echivalentă:
A A A B Bγ χ µ β α− =Ψ ΦΘT
* , (6.52) unde membrul drept este dat de (6.47). Dacă se notează [ ],ai j elementele matricei din membrul stâng, se poate scrie:
Θγ+ΘΨ−χγ= sinsincos)cos(cos1,1a ; ΘΦγ−ΦΨ−χγ+ΘΦΨ−χγ= cossinsincos)sin(cossinsin)cos(cos2,1a ; ΘΦγ−ΦΨ−χγ−ΘΦΨ−χγ= coscossinsin)sin(cossincos)cos(cos31,a ;
ΘΨ−χ−= cos)sin(1,2a ; ΦΨ−χ+ΘΦΨ−χ−= cos)cos(sinsin)sin(2,2a ; ΦΨ−χ−ΘΦΨ−χ−= sin)cos(sincos)sin(3,2a ;
Θγ−ΘΨ−χγ= sincoscos)cos(sin1,3a ; ΘΦγ+ΦΨ−χγ+ΘΦΨ−χγ= cossincoscos)sin(sinsinsin)cos(sin2,3a ; ΘΦγ+ΦΨ−χγ−ΘΦΨ−χγ= coscoscossin)sin(sinsincos)cos(sin3,3a .
(6.53) Egalând rapoartele a1 3, / a1 1, din cele două matrice se obţine:
]tgtg)[cos(cos)]sin(tgcostg)cos([sincostg
Θγ+Ψ−χΘΨ−χΦ−Θγ−Ψ−χΘΦ
=α . (6.54)
Egalând elementele a1 2, din cele două matrice rezultă: ]sincos)cos(cos[sinsin)sin(coscossin γΘ−Ψ−χγΘΦ−χ−ΨγΦ=β∗ . (6.55)
În sfârşit, egalând rapoartele a3 2, / a2 2, din cele două matrice se poate explicita unghiul de ruliu viteză:
]sin)tg(tg1)[cos(]costg)sin(tgsin)cos(tg[tgcostg
ΘΨ−χΦ−Ψ−χΘΦ+Ψ−χγ+ΘΨ−χγΦγ
=µ . (6.56)
Prelegere 7
89
7. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII - II
ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL RESAL. ECUAŢIILE MIŞCĂRII CU VÂNT. FORMA DECUPLATĂ A ECUAŢIILOR
MIŞCĂRII GENERALE
7.1 ECUAŢIILE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL RESAL
NOTAŢII Ox y z∗ ∗ ∗ - triedrul Resal; u v w∗ ∗ ∗, , - componentele vitezei V în triedrul Resal; p q r∗ ∗ ∗, , - componentele vitezei de rotaţie Ω * în triedrul Resal; &Φ = ω x - viteza de rotaţie a triedrului mobil legat de rachetă în raport cu triedrul
Resal; Spre deosebire de rachetele dirijate clasice, cu ruliu stabilizat, la rachetele cu rotaţie majoritatea autorilor [K10], [C4] utilizează pentru întocmirea ecuaţiilor de mişcare un triedru mobil semilegat, numit triedru ,,Resal”, care are specific faptul că nu participă la mişcarea de ruliu a rachetei (fig. 7.1). Avantajele utilizării acestui triedru constau în faptul că prin izolarea unor termeni giroscopici de cuplaj se aduc ecuaţiile de mişcare la o formă apropiată de cea a ecuaţiilor rachetei cu ruliu stabilizat, permiţând utilizarea unor metode de studiu comune, cel puţin în ceea ce priveşte forma liniară a acestora. În continuare vom relua ecuaţiile mişcării generale scrise de această dată în triedrul Resal. Pentru reformularea ecuaţiilor generale se porneşte de la observaţia că elementele mişcării în triedrul mobil legat de rachetă ( Oxyz ) se obţin din cele în triedrul Resal (Ox y z∗ ∗ ∗ ) prin intermediul matricei de rotaţie:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΦ−ΦΦ=Φ
cossin0sincos0
001A . (7.1)
Componentele vitezei V din triedrul mobil legat de rachetă devin:
[ ] [ ]u v w u v wT T= ∗ ∗ ∗AΦ , (7.2)
iar derivatele acestora sunt:
* *
*
p
Fig.7.1 Triedrul Resal şi triedrul mobil
legat de rachetă
Prelegere 7
90
&
&
&
&
&
&
&
&
&
uvw
uvw
uvw
uv ww v
x x
x
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥= +
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗ ∗
∗ ∗
AA
AΦΦ
Φω∂∂Φ
ωω
. (7.3)
Având în vedere că: Ω Ω= +* ω x ,
componentele vitezei de rotaţie în triedrul rachetă se exprimă astfel: [ ] [ ]p q r p q r
T
x
T= + ∗ ∗ ∗AΦ ω , (7.4)
iar după derivare devin: &
&
&
& &
&
&
& &
&
&
pqr
pqr
pqr
pq rr q
x
x
x x
x
x
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
+⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
+⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
++−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗ ∗
∗ ∗
AA
AΦΦ
Φ
ωω
∂∂Φ
ω ωωω
. (7.5)
Pe de altă parte, componentele torsorului ce conţine termenii aerodinamici, gazodinamici şi de greutate:
XYZ
XYZ
XYZ
GGG
A
A
A
T
T
T
x
y
z
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥ ;
L
M
N
L
M
N
L
M
N
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A
A
A
T
T
T
, (7.6)
se exprimă astfel: XYZ
XYZ
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
∗
∗
∗
∗
∗
∗
A AΦ Φ;L
M
N
L
M
N
, (7.7)
iar matricea antisimetrică ataşată vectorului viteză unghiulară Ω , capătă forma: A A A AΩ Φ Ω Φ
= ∗∗ T , (7.8) unde:
A AΩ Ω∗∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗=−
− −− +
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥= + −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
00
0
0 0 00 0 10 1 0
r qr pq p
x
x
xωω
ω . (7.9)
Introducând aceste relaţii în ecuaţiile (7.78), (7.79) se obţine:
A A A A A AΦ Φ Φ Ω Φ Φ
&
&
&
,u
v ww v
m
XYZ
uvw
x
x
T
∗
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
∗
∗∗
∗
∗
∗
+−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ωω
1 (7.10)
respectiv: ( )( )( )
( )JA A A A A JAΦ Φ Φ Ω Φ Φ
& &
&
&
pq rr q
pqr
x
x
x
Tx
∗
∗ ∗
∗ ∗
∗
∗
∗
∗∗
∗
∗
∗
++−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
+⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
ωωω
ωL
M
N
. (7.11)
Deoarece rachetele cu rotaţie sunt configuraţii axial simetrice, momentele de inerţie transversale sunt egale (B=C), iar produsul de inerţie este nul (E=0), putându-se scrie:
A JA JΦ ΦT = .
Prelegere 7
91
În acest caz, înmulţind la stânga relaţiile (7.10) şi (7.11) cu inversa matricei de rotaţie AΦ , rezultă:
&
&
&
uvw
m
XYZ
uvw
wv
x
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
10
AΩ ω ; (7.12)
( )Ap
BqCr
A pBqCr
ABrCq
x x
x
x
&
&
&
&∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
+⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
L
M
N
AΩ
ω ωωω
. (7.13)
Având în vedere că:
A AΩ Ω∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
uvw
uvw
wv
xω0
, (7.14)
( )( )( )
A AΩ Ω∗∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
+⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥− −
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
A pBqCr
ApBqCr
C A rA B q
x
x
ωω
0 ,
unde matricea antisimetrică asociată vectorului viteză unghiulară Ω∗ este:
AΩ∗
∗ ∗
∗ ∗
∗ ∗
=−
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
00
0
r qr pq p
, (7.15)
ecuaţiile (6. ), (6. ) capătă forma: &
&
&
uvw
m
XYZ
uvw
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1AΩ ; (7.16)
ApBqCr
ApBqCr
rq
x
x
x
&
&
&
&∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
L
M
N
AΩ Aωωω
. (7.17)
Comparând aceste ecuaţii cu relaţiile (6.13), (6.14), obţinute prin proiecţia după axele triedrului mobil legat de rachetă, se observă că în ecuaţiile de moment (7.17) s-a separat un termen de cuplaj giroscopic între canalele longitudinale care este datorat mişcării de rotaţie în ruliu a rachetei. În continuare, pentru a aduce relaţiile anterioare la o formă mai avantajoasă, din prima linie a relaţiei matriceale (7.17) putem scrie:
p p x= +∗ ω , ecuaţiile dinamice Euler căpătând forma scalară:
& ; & ; &pA
qB
r pAB
r p rC
p qAC
q p= = + − = − +∗
∗∗
∗ ∗ ∗ ∗∗
∗ ∗ ∗L M N . (7.18)
OBSERVAŢIE - În lucrările [N7] şi [K10] relaţiile (7.18) se obţin direct, pe cale vectorială pornind de la teorema momentului cinetic aplicată în triedrul Resal:
Prelegere 7
92
∂∂K
H K∗
∗ ∗ ∗= − ×t
Ω , unde :
H L M N K = + +∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + + = + +i j k p i q j r k Api j k; ; ,Ω Bq Cr obţinându-se în final relaţii identice cu (7.18).
În ceea ce priveşte ecuaţiile cinematice, scrise cu elemente din triedrul
semilegat (Resal), ele vor coincide cu (5.12), (5.13) pentru cazul particular în
care unghiul de înclinare laterală este nul. Astfel, din ecuaţiile cinematice Euler
(5.13) se obţine:
&Θ = ∗q ; Θ=Ψ ∗ secr& , (7.19) relaţia de definire a vitezei unghiulare de înclinare laterală devenind o relaţie de legătură între componentele semilegate:
Θ−= ∗∗ tgrp . (7.20) În sfârşit, celelalte ecuaţii cinematice, corespunzătoare relaţiilor (5.12), care
exprimă legătura dintre componentele vitezei în triedrul pământ şi în triedrul semilegat devin:
ΨΘ+Ψ−ΨΘ= ∗∗∗ cossinsincoscos0 wvux& ; ΨΘ−Ψ−ΨΘ−= ∗∗∗ sinsincossincos0 wvuy& ; (7.21)
Θ−Θ= ∗∗ cossin0 wuz& .
7.2 ECUAŢIILE MIŞCĂRII CU VÂNT
Dacă se consideră un vânt uniform, de viteză constantă W , cu componente în triedrul iniţial de start z0y0x0 W,W,W , viteza efectivă a aerului în raport cu racheta considerată imobilă este:
V V Wea a= + . (7.22) În acest caz, viteza efectivă a rachetei în raport cu aerul, viteza care determină torsorul aerodinamic din ecuaţiile de mişcare, este:
V V V We ea= − = − , ceea ce scalar se scrie:
[ ] [ ] [ ]u v w u v w u v we e e
T T
W W W
T= − , (7.23)
unde s-a notat: u v we e e - componentele vitezei efective a rachetei după axele triedrului rachetă; u v wW W W - componentele vitezei vântului după axele triedrului rachetă
Pentru determinarea componentelor vântului după axele triedrului rachetă se poate utiliza relaţia:
Prelegere 7
93
[ ] [ ]TzyxiT
WWW WWWwvu 000A= . (7.24) Având componentele vitezei efective determinate se pot reevalua o serie de
parametri aerodinamici:
V u v wwu
vu
Vae e e e e
e
ee
e
ee
e= + + = = − =2 2 2 ; arctg ; arctg ;α β M . (7.25)
Totodată se redefinesc forţa şi momentul aerodinamic de referinţă:
FV
Soee= ρ2
2; Sl
VeAoe 2
2
ρ=H (7.26)
şi coeficienţii aerodinamici în triedrul rachetă:
CXFxe
A eA
oe= ; C
YFye
A eA
oe= ; C
ZFze
A eA
oe= ; Cle
A =L
HeA
oeA ; Cme
A =M
HeA
oeA ; A
oe
AeA
neCH
N= , (7.27)
coeficienţi care depind de parametrii aerodinamici efectivi precizaţi anterior. În acest caz ecuaţiile dinamice ale mişcării (6.17), (6.18) se pot rescrie astfel:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ω
wvu
gCCC
TCCC
Fm
wvu
iTz
Ty
Tx
oAze
Aye
Axe
oe AA 00
1
&
&
&
; (7.28)
&
&
&
pqr
CCC
CCC
pqr
leA
meA
neA
lT
mT
nT
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥+
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
− −J J A J1 1H HoeA
oT
Ω , (7.29)
ecuaţiile cinematice (5.12), (5.13) rămânând nemodificate.
7.3 FORMA DECUPLATĂ A ECUAŢIILOR MIŞCĂRII GENERALE În continuare, pornind de la ecuaţiile de forţe scrise în triedrul viteză, vom
analiza cazul particular al unei manevre verticale cu ruliu stabilizat, adică a unei evoluţii simetrice, ceea ce va permite decuplarea ecuaţiilor mişcării longitudinale de ecuaţiile mişcării laterale.
Pentru consistenţa ecuaţiilor mişcării laterale, vom considera că parametrii specifici acestei mişcări sunt mici, dar diferiţi de zero, în acest caz putându-se face următoarele aproximaţii:
*** sin;1cossin;1cos;sin;1cos β≅β≅βµ≅µ≅µΦ≅Φ≅Φ . (7.30) Fără a afecta generalitatea studiului putem considera că unghiul de cap Ψ şi
unghiul de drum χ sunt de asemenea mici, pentru exprimarea lor utilizându-se relaţii similare:
χ≅χ≅χΨ≅Ψ≅Ψ sin;1cos;sin;1cos . (7.31) În baza acestor aproximări, evaluăm pentru început expresiile unghiurilor
aerodinamice date de (6.54 ), (6.55), obţinând: αΦ−γχ−Ψ=βγ−Θ=α ∗ sincos)(; , (7.32)
unde: αβ=β cos* .
Prelegere 7
94
Din (6.56), expresia unghiului de ruliu viteză capătă următoarea formă simplificată:
γβ−γΘ
Φ≡γΨ−χ+αΦ=µ tgcoscossin)(cos * . (7.33)
În baza aproximaţiilor (7.30) privind parametrii mici ai mişcării laterale, ecuaţiile generale (6.48) devin pentru început:
;)cossin(coscoscos
;sincos
αβ+αµγ
+γ
µ−
γ=χ
γ−α+=
∗
mVT
mVL
mVN
gmT
mDV
&
&
γ−αµβ−α+−µ
−=γ ∗ cos)cos(sinVg
mVT
mVL
mVN
& . (7.34)
Dacă ecuaţia vitezei nu conţine parametri ai mişcării laterale, în ecuaţia unghiului
de înclinare a traiectoriei ( γ ) există două grupuri NmVµ şi αµβ∗ cos
mVT , care
reprezintă produse de parametri mici, ce pot fi neglijate. În ceea ce priveşte ecuaţia unghiului de drum ( χ ) , aceasta poate fi dezvoltată în continuare obţinându-se
γα
β+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ α+−
γµ
+γ
=χcos
cossincoscos
*
mVT
mVT
mVL
mVN
& . (7.35)
Dacă se ţine cont de condiţiile de echilibru în plan vertical după direcţia tangentei la traiectorie şi după normala la aceasta:
γ+=α+−γ=α+ cossin;sincosVgq
mVT
mVLg
mT
mD (7.36)
şi că din legătura dintre componentele forţei aerodinamice în triedrul rachetă şi în triedrul viteză (6.31) se poate scrie:
*β+= DYN A , (7.37) relaţia (7.35) devine:
γγ
β+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ γ+
γµ
+γ
=χ sincos
coscoscos
*
Vg
Vgq
mVY A
& , (7.38)
iar după explicitarea unghiului de derapaj β* şi a unghiului de ruliu viteză µ se găseşte în final:
γγ
Ψ−χ+γα
Φ+γΘ
Φ+γ
=χcossin)(
coscos
coscos
cosqq
Vg
mVY A
& . (7.39)
Pe de altă parte, în ecuaţiile dinamice Euler, având în vedere că momentele de inerţie transversale sunt aproximativ egale ( B C≅ ) iar produsul de inerţie E este mic, se pot neglija termenii pătratici: E E B C2; ( )− . În plus, ţinând cont că vitezele unghiulare ale mişcării de giraţie (r) şi de ruliu (p) sunt mici, ecuaţiile (6.14) devin:
Prelegere 7
95
.)()(1
);(1
;)()(1
qrCEpq
CBA
ACE
Cr
Bq
pqCEqr
ACB
ACE
Ap
TATA
TA
TATA
−−
++++=
+=
+−
++++=
LLNN
MM
NNLL
&
&
&
(7.40)
Utilizând aceleaşi aproximaţii pentru parametrii mişcării laterale, ecuaţiile cinematice Euler (5.13) capătă forma:
Θ+ΘΦ=ΨΦ−=ΘΘ+ΘΦ+=Φ secsec;;tgtg rqrqrqp &&& , (7.41) unde se observă că ecuaţia unghiului de atitudine longitudinală (Θ ) conţine produsul de parametri mici rΦ care poate fi neglijat.
În ceea ce priveşte celălalt grup de ecuaţii cinematice, care exprimă componentele vitezei în triedrul inerţial, pornind de la relaţiile (6.50), acestea devin:
.sin;cos;cos 000 γ=γχ−=γ= VzVyVx &&& (7.42) Sintetizând relaţiile anterioare se observă că pentru cazul al unei evoluţii simetrice, acestea se decuplează, adică se desfac natural în două grupe, din care prima reprezintă ecuaţiile mişcării longitudinale:
( )
,sin
;cos;
;1
;cossin
;sincos
γ=
γ==Θ
+=
γ−α+−=γ
γ−α+=
Vz
VxqB
q
Vg
mVT
mVL
gmT
mDV
p
p
TA
&
&
&
&
&
&
MM (7.43)
la care se adaugă relaţia de legătură : α γ= −Θ , (7.44)
iar cea de a doua grupă, conţinând ecuaţiile rămase, reprezintă ecuaţiile mişcării laterale:
( ) ( )
( ) ( )
,cos;secsec
;tgtg
;1
;1
;cossin)(
coscos
coscos
cos1
γχ−=Θ+ΘΦ=Ψ
Θ+ΘΦ+=Φ
−−
++++=
+−
++++=
γγ
Ψ−χ+γα
Φ+γΘ
Φ+γ
=χ
Vyrq
rqp
qrCEpq
CBA
ACE
Cr
pqCEqr
ACB
ACE
Ap
qqVg
mVY
P
TATA
TATA
A
&
&
&
&
&
&
LLNN
NNLL
(7.45)
la care se adaugă relaţia de legătură: αΦ−γχ−Ψ=αβ sincos)(cos . (7.46)
Prelegere 7
96
În continuare, pentru uşurinţa utilizării relaţiilor stabilite, vom căuta să înlocuim ecuaţiile unghiului de înclinare a traiectoriei ( γ ) şi a unghiului de drum χ , prin ecuaţii echivalente în unghiuri de incidenţă (α β, ). Astfel, pentru mişcarea longitudinală, dacă se derivează relaţia de legătură (7.44) se obţine:
& &γ α= − + q , (7.47) relaţie care permite rescrierea celei de a doua ecuaţii a sistemului (7.43) în forma:
γ+α−+=α cossinVg
mVT
mVLq& . (7.48)
Procedând similar pentru mişcarea laterală, dacă se consideră parametrii mişcării longitudinale “îngheţaţi” (α = =ct q ct; ), prin derivarea relaţiei de legătură (7.46) se obţine:
αΦ−γχ−Ψ−γχ−Ψ=αβ sinsin)(cos)(cos &&&& q . (7.49) Exprimând derivatele unghiurilor &Ψ şi &Φ prin relaţiile cinematice (7.41), după transformări, relaţia (7.49) poate fi pusă în forma:
αγ
Ψ−χ+Φ+α−+β−=αγ
χcossin)(tg
coscos qqpr&& . (7.50)
Dacă introducem această relaţie în prima ecuaţie a sistemului (7.45) se obţine:
α−ΘΦ
−−=β tgcos pgumu
YrA
& . (7.51)
În sfârşit, putem găsi o formă mai avantajoasă de exprimare şi pentru derivata ordonatei &y p prin înlocuirea unghiului de drum χ din ultima relaţie a sistemului (7.45) cu expresia acestuia din (7.46), obţinând:
)sincoscos(0 αΦ+γΨ−αβ=Vy& . (7.52) Pentru verificare, vom căuta să găsim aceeaşi formă a ecuaţiilor de forţe pornind de această dată de la ecuaţiile de mişcare scrise în triedrul rachetă, în care vom utiliza ca variabile de stare în locul proiecţiilor vitezei după axele triedrului rachetă (u, v, w) modulul vitezei (V) şi incidenţele în planurile de tangaj şi giraţie ( , )α β . Astfel, dacă se consideră expresiile de definiţie ale incidenţelor:
α β= = −arctg ; arctg ,wu
vu
(7.53)
şi relaţia de definire a modulului vitezei: V u v w2 2 2 2= + + , (7.54)
prin derivare se obţine:
β⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ β+−=βα⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ α−=α 22 costg;costg
uu
uv
uu
uw &&&&&
& ; ∗γα+β−= cos)tgtg( wvuV &&&& . (7.55)
Înlocuind în aceste expresii relaţiile (6.13) obţinute în triedrul rachetă rezultă:
β+α+α+β−=
22 tgtg11)tgtg(1 ZYX
mV& ;
Prelegere 7
97
ααβ+αβ+β+α+αα−α
+=α cossintgcostgtgtg1cossincos 222 rpVm
XZq& ;
ββα+βα−β+α+β
β+β−=β cossintgcostgtgtg1cossincos 222 qp
VmXYr& . (7.56)
Pentru analiza unei evoluţii simetrice, dacă se fac aceleaşi aproximaţii privind parametrii mici ai mişcării laterale, relaţiile anterioare se pot pune în forma:
.tgtg
;cossincossincos
;cossincos
2
αβ+α−β+
−=β
ααβ+αβ+α−α
+=α
αβ−α+α
=
qpmu
XYr
rpmV
XZq
mY
mZXV
&
&
&
(7.57)
Dacă se ţine cont de expresiile proiecţiilor forţelor după axele triedrului mobil:
Θ+=ΘΦ+=Θ−+= cos;cos;sin GZZGYYGTXX AAA (7.58) şi de legătura dintre componentele forţei aerodinamice în triedrul mobil şi în triedrul viteză:
α+α−=α+α= cossin;sincos AAAA ZXLZXD , (7.59)
relaţiile (7.76) devin:
.sintgcos
;cossincoscossin
;coscoscossincos
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+Θ+−−
β+α−Θ
Φ−−=β
ααβ+αβ+γ+α−+=α
αΘβΦ−αβ−γ−α+=
qwgmT
mX
upg
umuYr
rpVg
mVT
mVLq
gm
YgmT
mDV
AA
A
&
&
&
(7.60)
În primele două relaţii se pot neglija termenii finali care conţin produse de parametri mici provenind de la mişcarea laterală. În ultima relaţie, dacă se ţine cont de condiţia de echilibru după axa longitudinală a rachetei (6.13):
0sin =+−Θ−+ rvqwgmT
mX A
, (7.61)
ultimul termen reprezintă un produs de trei parametri mici (βrv u/ ) putându-se de asemenea neglija.
Cu aceste observaţii relaţiile (7.60) capătă forma:
,tgcos
;cossin
;sincos
α−ΘΦ
−−=β
γ+α−+=α
γ−α+=
pgumu
Yr
Vg
mVT
mVLq
gmT
mDV
A&
&
&
, (7.62)
Prelegere 7
98
formă care coincide cu cea dată de (7.43), (7.48), (7.51) obţinută prin dezvoltarea ecuaţiilor în triedrul viteză. Procedând similar cu cazul ecuaţiilor în triedrul mobil, dacă se adoptă forţa de referinţă, conform standardului [X2] :
FV
S0
2
2= ρ ,
se pot defini coeficienţii componentelor forţei aerodinamice în triedrul viteză:
CDF
CNF
CLFD N L= = =
0 0 0; ; ,
dintre care vor fi utilizaţi în continuare numai coeficientul forţei rezistente CD şi coeficientul forţei portante CL . În acest caz ecuaţiile mişcării longitudinale (7.43), (7.48), corespunzătoare unei manevre verticale, devin :
,sin;cos
;
;
;cossin
;sincos
0
0
00
00
00
γ=γ=
=Θ
+=
γ+α−+=α
γ−α+=
VzVxq
CB
CB
q
Vg
mVCT
mVCF
q
gmCT
mCF
V
Tm
TAm
A
TxL
TxD
&
&
&&
&
&
&
HH (7.63)
la care se adaugă relaţia de legătură : γ α= −Θ ,
iar din ecuaţiile mişcării laterale (7.45), (7.51), (7.52) se obţine :
( )
( )
,)sincoscos(;secsec
;tgtg
;
;
;costg
0
0000
0000
0
αΦ+γΨ−αβ=ΘΦ+Θ=Ψ
ΘΦ+Θ+=Φ
−−
++++=
+−
++++=
ΘΦ
−α−−=β
Vyqr
qrp
qrCEpq
CBACC
CAEC
CC
Cr
pqCEqr
ACBCC
CAEC
AC
Ap
gu
pmu
CFr
Tl
TAl
ATn
TAn
A
Tn
TAn
ATl
TA
l
A
y
&
&
&
&
&
&
HHHH
HHHH
(7.64)
la care se adaugă relaţia de legătură prin care se poate defini unghiul de drum χ : αΦ−γχ−Ψ=αβ sincos)(cos
care este forma finală a ecuaţiilor mişcării generale decuplate în cazul particular al unei evoluţii verticale. În cadrul acestui capitol au fost deduse şi analizate ecuaţiile generale de mişcare în forma lor neliniară. Având în vedere că mişcarea uni aparat dirijat este spaţială şi că avantajele de simetrie ale configuraţiei se pun în evidenţă prin utilizarea coeficienţilor aerodinamici exprimaţi într-un triedru unic, legat de mobil, exprimarea ecuaţiilor dinamice a fost făcută iniţial într-un triedru unic, legat de
Prelegere 7
99
mobil, cu originea în centrul de masă, denumit în standardul [X2] triedrul mobil. În continuare au fost analizate şi formele ecuaţiilor de mişcare când se utilizează triedrele legate de vectorul viteză şi triedrul Resal iar în final, în contextul unei evoluţii simetrice, ecuaţiile mişcării generale au fost decuplate în ecuaţiile mişcării longitudinale şi ecuaţiile mişcării laterale. În continuare, pornind de la ecuaţiile mişcării generale scrise în triedrul mobil , prin liniarizare, se vor construi ecuaţiile mişcării comandate, dezvoltare care va face obiectul următoareo părţi a cursului.
Prelegere 8
100
III. ECUAŢIILE MIŞCĂRII COMANDATE Forma liniară a ecuaţiilor comandate
8. LINIARIZAREA ECUAŢIILOR MIŞCĂRII COMANDATE ÎN FORMA GENERALĂ
În cadrul acestui capitolul, în vederea analizei sistemului avion comandat se
va efectua liniarizarea ecuaţiilor mişcării generale. Pentru studierea stabilităţii, care se va face în sens Liapunov, se va considera sistemul de ecuaţii al mişcării perturbate. Pentru aceasta, se va presupune aplicată o perturbaţie de scurtă durată asupra mişcării de bază, care va produce deviaţii ale variabilelor de stare. Efectuând o dezvoltare în serie a ecuaţiilor mişcării perturbate în raport cu variabilele de stare şi de comandă, prin reţinerea termenilor de ordin întâi, se va obţine liniarizarea ecuaţiilor mişcării în vederea analizei stabilităţii în prima aproximaţie după cum se arată în lucrările [V2], [H1].
Având în vedere că în cadrul acestui capitol se vor pune în evidenţă termenii de comandă din ecuaţiile de mişcare, notaţiile şi simbolurile suplimentare au în vedere bracajele de comandă, bracaje care sunt definite astfel: - bracaje aerodinamice: aδ - bracaj de eleron; eδ - bracaj de profundor; rδ - bracaj de direcţie, - bracaje gazodinamice: Tδ - bracaj gazodinamic axial. OBSERVAŢII 1. Bracajul de profundor şi de direcţie sunt considerate pozitive dacă formează un moment de tangaj pozitiv, respectiv un moment de giraţie pozitiv. Bracajul de eleron este considerat pozitiv dacă realizează un moment de ruliu pozitiv . 2. Pentru scrierea ecuaţiilor mişcării în forma liniară se va utiliza simbolul "∆ " care va marca faptul că este vorba de deviaţia unei variabile de stare sau de comandă, simbolul urmând a fi aplicat în faţa variabilei respective. Variabilele care nu sunt marcate cu acest simbol se consideră ca fiind corespunzătoare mişcării de bază. Excepţie de la această regulă fac schemele structurale, care, fiind construite în deviaţii nu necesită utilizarea explicită a simbolului "∆ " .
Având în vedere că în cadrul acestui capitol prin liniarizarea ecuaţiilor mişcării generale vor fi puşi în evidenţă termenii de comandă, ecuaţiile mişcării vor fi numite "ecuaţiile mişcării comandate" iar sistemul pe care acestea îl descriu va fi numit "sistemul avion comandat". În continuare vom formula câteva
Prelegere 8
101
consideraţii preliminare privind modul de abordare a problemei formei liniare a ecuaţiilor zborului comandat.
Astfel, prin liniarizarea ecuaţiilor dinamice şi cinematice, se va urmări aducerea sistemului de ecuaţii al mişcării perturbate la forma:
0010 puBxAxAx +++= && , (8.1) unde: x - vectorul stărilor ; u - vectorul comenzilor, 0p - vectorul perturbaţiilor permanente, prin punerea în evidenţă a matricelor:
0A - matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate cu variabile staţionare; 1A - matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate variabile nestaţionare; 0B - matricea de comandă cu variabile staţionare; Prin transformări succesive, relaţia (8.1) poate fi adusă la forma echivalentă:
[ ] [ ] [ ] 01
101
101
1 pAIuBAIxAAIx −−− −+−+−=& , (8.2) unde, dacă se notează:
[ ] 01
1 AAIA −−= ; [ ] 01
1 BAIB −−= (8.3) [ ] opAIBuf 1
1−−+= , (8.4)
se obţine sistemul cunoscut: fAxx +=& , (8.5)
în care s-a notat: A - matricea de stabilitate cu comenzi blocate ; B - matricea de comandă; f - vectorul intrărilor în sistem. OBSERVAŢIE - Prin aducerea sistemului liniarizat al ecuaţiilor mişcării de la forma (8.1) la forma (8.5) s-a urmărit: a) Eliminarea termenului nestaţionar ( xA &1 ) din membrul drept şi transformarea sistemului de ecuaţii diferenţiale de la forma implicită la forma explicită; b) Reducerea perturbaţiei la comandă prin construirea unui vector unic al intrărilor.
8.1 MIŞCAREA DE BAZĂ GENERALĂ ÎN ZBORUL COMANDAT
Mişcarea de bază generală se consideră staţionară, corespunzătoare unor comenzi date, sau manevre impuse, cu viteza unghiulară nenulă, dar suficient de mică astfel încât să nu afecteze modul lent de mişcare al avionului.
Având în vedere că zborul autonom impune avionului respectarea unei anumite evoluţii, în concordanţă cu metoda adoptată, pentru determinarea matricelor derivatelor de stabilitate şi de comandă este necesar să se utilizeze o mişcare de bază de tip manevră, care să conţină componente ale vitezei de rotaţie nenule. Considerarea unei mişcări de bază cu viteze unghiulare nenule este în general evitată deoarece generează o serie de complicaţii în precizarea mărimilor
Prelegere 8
102
ce definesc orientarea aparatului , acestea devenind variabile în timp. Având însă în vedere că aceste mărimi sunt caracteristice mişcării lente şi că procesele analizate în cazul avionului fără pilot sunt de durată scurtă dar pot conţine evoluţii puternic manevriere, este necesară adoptarea ipotezei “îngheţării” variabilelor lente şi construirea modelelor de studiu în jurul mişcării rapide, după cum se va proceda în cap. 4 al lucrării. În plus, valorile vitezelor unghiulare ale mişcării de bază vor fi considerate suficient de mici încât să nu afecteze modul lent. O altă problemă legată de mişcarea de bază generală este aceea a considerării deviaţiei înălţimii ( pz∆ ) în condiţiile în care evoluţiile generale sunt cu unghiul de înclinare a traiectoriei nenul. Această incompatibilitate a mişcării de bază, sesizată şi în [H1], nu este însă foarte gravă deoarece termenii introduşi prin deviaţia înălţimii sunt mici şi afectează doar mişcarea lentă a avionului. Totuşi pentru o corectă realizare a mişcării de bază, deşi aceşti termeni vor fi evidenţiaţi în continuare, se recomandă ca ei să fie utilizaţi doar pentru studiul evoluţiilor de zbor orizontal, când se urmăreşte o analiză a mişcării lente, caz de studiu întâlnit frecvent pentru avionul fără pilot. În ceea ce priveşte liniarizarea ecuaţiilor mişcării în raport cu variabilele nestaţionare, aceasta nu contravine mişcării de bază staţionare adoptate, în care s-a presupus că aceşti termeni sunt nuli, deoarece la liniarizarea sistemului de ecuaţii s-a presupus mişcarea de bază perturbată, punându-se astfel în evidenţă deviaţiile tuturor variabilelor, deci şi a celor nestaţionare care au fost introduse în sistem prin termenii aerodinamici. De notat că luarea în consideraţie a efectelor nestaţionare în definirea forţelor şi momentelor implică exprimarea acestora în raport cu variabilele nestaţionare. Pentru determinarea efectivă a parametrilor mişcării de bază, în ecuaţiile (6.17), (6.18) se consideră 0;0 ====== rqpwvu &&&&&& , adică:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
00
100
pvqurupw
qwrv
gCCC
TCCC
Fm p
Tz
Ty
Tx
Az
Ay
Ax
A , (8.6)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−
+−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
000
)()()(
)(221
EqrBApqprEACrp
EpqCBqr
CCC
CCC
Tn
Tm
Tl
T0
An
Am
Al
A0 HHJ . (8.7)
Principial, cunoscând matricea de rotaţie pA şi altitudinea pz , rezolvarea acestui sistem algebric neliniar, se poate face pe două căi: a) Cunoscând bracajele iδ se pot obţine componentele vitezei liniare şi de rotaţie rqpwvu ,,,,, . Pentru exemplificare, în capitolul următor se va indica o soluţie aproximativă a ecuaţiilor (8.6), (8.7), pentru bracaje date, pentru un caz particular de zbor, în care se consideră ruliul stabilizat şi o formă liniarizată a
Prelegere 8
103
coeficienţilor aerodinamici ce conţin termeni cu derivatele în raport cu variabilele de rotaţie. b) Impunând o anumită manevră , prin rezolvarea sistemului (8.6), (8.7), se pot obţine bracajele de comandă şi incidenţele de zbor. Pentru acest tip de evoluţie mişcarea de bază este de asemenea staţionară, în ecuaţiile (8.6), (8.7) considerându-se cunoscute vitezele unghiulare ,,, rqp iar necunoscute devenind bracajele de comandă δ i şi componentele vitezei ( u, v, w). Similar cazului bracajelor impuse, în capitolul următor se va indica o soluţie aproximativă a ecuaţiilor (8.6), (8.7), pentru manevră dată, într-un caz particular de zbor, în care de asemenea se consideră ruliul stabilizat şi o formă liniarizată a coeficienţilor aerodinamici ce conţin termeni de rotaţie. Un caz particular al acestei soluţii staţionare îl constituie mişcarea de translaţie, care se obţine pentru anumite bracaje ( bracaje de echilibru) şi în care vitezele de rotaţie sunt nule : 0=p ; 0=q ; 0=r . Rezolvând sistemul (8.6), (8.7), în care se consideră cunoscute coordonatele unghiulare, altitudinea, viteza şi vitezele de rotaţie, se obţin bracajele de echilibru ),,,( Trea δδδδ şi incidenţele de echilibru ( , )α β .
8.2 FORMA LINIARIZATĂ A ECUAŢIILOR DINAMICE Considerând o mişcare de bază staţionară, în care componentele vitezei de rotaţie sunt nenule, se pot liniariza ecuaţiile mişcării generale în raport cu variabilele de stare şi de comandă. Având în vedere că termenii coeficienţilor aerodinamici sunt dependenţi de incidenţe ),( βα şi de numărul Mach )(M , şi că variabilele de stare echivalente în raport cu care se face dezvoltarea sunt componentele vitezei ),,( wvu , pentru început vom căuta să obţinem relaţii de legătură între ),,( βαM şi ),,( wvu , respectiv între ),,( βα &&&M şi ),,( wvu &&& , pe care apoi le vom utiliza la liniarizarea ecuaţiilor dinamice. Astfel, dacă se consideră relaţiile dintre modulul vitezei ( )V , componentele vitezei ( , , )u v w şi incidenţe ( , , *)α β γ :
,tg;tg;*cos
tgtg1 22
uv
uwuuV −=β=α
γ=β+α+= (8.8)
în care: β+α=γ 222 tgtg*tg ,
se obţin derivatele parţiale:
Prelegere 8
104
.*cos
cos;cos
2sin21;
cos2sin
21;
*coscos 22
γβ
−=∂∂β
∗γβ
−=∂∂β
∗γα
−=∂∂α
γα
=∂∂α
VvVuVuVw (8.9)
În baza relaţiilor (8.9) se pot exprima deviaţiile incidenţelor şi a numărului Mach prin deviaţii ale componentelor vitezei ( , , )u v w :
.cos)tgtg(
;cos
2sin21
coscos;
cos2sin
21
coscos 22
pp
zza
aM
VMwvuM
uV
vV
uV
wV
∆∂∂
−∗γ
∆α+∆β−∆=∆
∆∗γ
β−∆
∗γβ
−=β∆∆∗γ
α−∆
∗γα
=α∆ (8.10)
Formulând matriceal această legătură se obţine:
,0011
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡∆
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α∆β∆
∆
βα
p
p
z
za
awvu
V
MM
B (8.11)
unde:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
γα
γα
−
γβ
−γβ
−
γαγβ−γ
=
∗∗
∗∗
∗∗∗
βα
coscos0
cos22sin
0coscos
cos22sin
costgcostgcos
2
2
B . (8.12)
Definind timpul de referinţă: t l V* /= , se pot adimensionaliza vitezele de rotaţie şi variabilele nestaţionare de translaţie, notaţiile utilizate fiind conform standardului [X3]:
*ˆ*;ˆ*;ˆ*;ˆ*;ˆ*;ˆ tMMtttrrtqqtpp &&&&&& =β=βα=α=== . (8.13) În plus faţă de acestea, în cadrul lucrării se mai utilizează înălţimea adimensională definită de relaţia:
lzz pp /ˆ = . (8.14) Aceste adimensionalizări permit obţinerea unor derivate ale coeficienţilor aerodinamici în raport cu vitezele de rotaţie şi variabilele nestaţionare ( zqz CC ,α& ...) de acelaşi ordin de mărime cu derivatele staţionare de translaţie şi de comandă ( ezz CC δα , ...), ceea ce constituie un avantaj important în tratarea numerică a problemelor de stabilitate.
Prelegere 8
105
Derivând relaţiile (8.8) în raport cu timpul se obţine:
.cos)tgtg(
;cos
2sin21
coscos;
cos2sin
21
coscos 22
VMwvuM
uV
vV
uV
wV
∗γα+β−=
∗γβ
−∗γβ
−=β∗γ
α−
∗γα
=α
&&&&
&&&&&& (8.15)
Având în vedere că mişcarea de bază este staţionară, deviaţiile vitezelor adimensionale ale incidenţelor şi numărului Mach se exprimă astfel:
;cos
)2sin21(cosˆ
;cos
)2sin21(cosˆ
22
22
∗γ∆β+∆β−=β∆=β∆
∗γ∆α−∆α=α∆=α∆
Vluv
Vl
Vluw
Vl
&&&
&&&
.*cos)tgtg(ˆ2 γ∆α+∆β−∆=∆=∆
VlMwvuM
VlM &&&& (8.16)
Punând şi această legătură în forma matriceală se poate scrie:
[ ]TT
wvuVl
MM
&&& ∆∆∆=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡α∆β∆
∆βαB2ˆˆˆ
. (8.17)
Dacă se consideră forţa şi momentul aerodinamic de referinţă:
;2
2
0 SVF ρ= SlV2
2
0 ρ=H ,
deviaţiile acestora se pot exprima astfel:
,222 000 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ρρ∆
+∆
+∆
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ρρ∆
+∆
=∆aa
MMF
VVFF (8.18)
respectiv:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ρρ∆
+∆
+∆
=∆aa
MM
00 22HH . (8.19)
Având principalele relaţii de legătură stabilite, dezvoltăm pentru început componentele torsorului aerodinamic în raport cu variabilele aerodinamice:
.,,,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,,, reap MrqpzM δ∆δ∆δ∆α∆β∆∆∆∆∆∆α∆β∆∆ Astfel, componentele forţei şi momentului aerodinamic devin:
Prelegere 8
106
,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
22
0
000
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α∆β∆
∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+∆⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α∆β∆
∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ρρ∆
+∆
+∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδδ
δδδ
δδδ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
r
e
a
Arz
Aez
Aaz
Ary
Aey
Aay
Arx
Aex
Aax
Az
Az
AMz
Ay
Ay
AMy
Ax
Ax
AMx
Azr
Azq
Azp
Ayr
Ayq
Ayp
Axr
Axq
Axp
pAz
Ay
Ax
Az
Az
AzM
Ay
Ay
AyM
Ax
Ax
AxM
Az
Ay
Ax
A
A
A
CCCCCCCCC
F
MM
CCMCCCMCCCMC
Frqp
CCCCCCCCC
FzCCC
F
MM
CCMCCCMCCCMC
Faa
MM
CCC
FZYX
zp
zp
zp
&&&
&&&
&&&
(8.20) respectiv:
.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
22
0
000
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α∆β∆
∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+∆⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α∆β∆
∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ρρ∆
+∆
+∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδδ
δδδ
δδδ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
r
e
a
Arn
Aen
Aan
Arm
Aem
Aam
Arl
Ael
Aal
A
An
An
AMn
Am
Am
AMm
Al
Al
AMl
A
Anr
Anq
Anp
Amr
Amq
Amp
Alr
Alq
Alp
Ap
An
Am
Al
A
An
An
AnM
Am
Am
AmM
Al
Al
AlM
A
An
Am
Al
A
A
A
A
CCCCCCCCC
MM
CCMCCCMCCCMC
rqp
CCCCCCCCC
zCCC
MM
CCMCCCMCCCMC
aa
MM
CCC
zp
zp
zp
H
HHH+
HH
L
&&
&&&
&&&
N
M
(8.21) Dacă ţinem cont de exprimările matriceale a legăturilor dintre variabilele
aerodinamice şi variabilele de stare componentele forţei aerodinamice devin:
Prelegere 8
107
.
11
222
02
0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+∆⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂ρ
ρ+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδδ
δδδ
δδδ
βα
ββ
αβ
αβ
βα
αβ
αβ
αβ
r
e
a
Arz
Aez
Aaz
Ary
Aey
Aay
Arx
Aex
Aax
Az
Az
AMz
Ay
Ay
AMy
Ax
Ax
AMx
o
zrzqzp
yryqyp
Axr
Axq
Axp
op
Az
Ay
Ax
AzM
AyM
AxM
pAz
Ay
Ax
po
Az
Az
AzM
Az
Ay
Ay
AyM
Ay
Ax
Ax
AxM
Ax
A
A
A
CCCCCCCCC
Fwvu
CCMCCCMCCCMC
VlF
rqp
CCCCCCCCC
VlFz
CCC
lCCC
za
aM
CCC
zF
wvu
CCMCCCCMCCCCMCC
VF
ZYX
zp
zp
zp
&
&
&
&&&
&&&
&&&
B
B
(8.22) Similar, componentele momentului aerodinamic devin:
.
11
222
00
00
0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+∆⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂ρ
ρ+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδδ
δδδ
δδδ
βα
αβ
αβ
αβ
βα
αβ
αβ
αβ
r
e
a
Arn
Aen
Aan
Arm
Aem
Aam
Arl
Ael
Aal
A
An
An
AMn
Am
Am
AMm
Al
Al
AMl
2
A
Anr
Anq
Anp
Amr
Amq
Amp
Alr
Alq
AlpA
pAn
Am
Al
AnM
AmM
AlM
pAn
Am
Al
p
A
Al
An
AnM
An
Al
Am
AmM
Am
Al
Al
AlM
AlA
A
A
A
CCCCCCCCC
wvu
CCMCCCMCCCMC
Vl
rqp
CCCCCCCCC
Vlz
CCC
lCCC
za
aM
CCC
z
wvu
CCMCCCCMCCCCMCC
V
zp
zp
zp
HH
HH
H
N
M
L
&
&
&
&&&
&&&
&&&
B
B
(8.23) În ceea ce priveşte torsorul gazodinamic acesta se poate liniariza astfel:
,
costgcostg
cos
0
000
TT
Tz
TTy
TTx
pTzM
TyM
TxM
pTz
Ty
Tx
T
TzM
TyM
TxM
T
T
T
CCC
T
zCCC
za
aMT
CCC
lT
wvu
MCMCMC
VT
ZYX
zp
zp
zp
δ∆⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+∆⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γαγβ−
γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δ
δ
δ
∗
∗
∗
(8.24) respectiv:
Prelegere 8
108
,00
0000
costgcostg
cos
TT
Tn
TTm
TTl
T0
Tnr
Tmq
TlpT
0
pTnM
TmM
TlM
p
T0
Tn
Tm
TlT
0
T
TnM
TmM
TlMT
0
T
T
T
CCC
rqp
CC
C
Vl
zCCC
za
aM
CCC
lwvu
MCMCMC
Vzp
zp
zp
δ∆⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+∆⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γαγβ−
γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δ
δ
δ
∗
∗
∗
HH
HHH
N
M
L
(8.25) unde s-a ţinut cont de variaţia coeficienţilor tracţiunii şi a momentului gazodinamic cu numărul Mach, cu înălţimea şi de influenţa termenilor de amortizare gazodinamică. În sfârşit, componentele acceleraţiei greutăţii după axele triedrului mobil se liniarizează astfel:
[ ] [ ] ,00 Tp
Tzyx gggg −∆=∆∆∆ A (8.26)
unde:
∆ΨΨ∂
∂+∆Θ
Θ∂
∂+∆Φ
Φ∂
∂=∆ ppp
p
AAAA .
Având formele liniare ale tuturor componentelor forţelor şi momentelor exprimate în funcţie de variabilele de stare şi comandă ale sistemului, în continuare vom căuta să obţinem forma liniară a ecuaţiilor dinamice prezentate în cap. 5 al lucrării. Astfel, pornind de la ecuaţiile (6.13), (6.14) construite în triedrul mobil se poate scrie:
,111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
Ω
p
p
p
V
z
y
x
T
T
T
A
A
A
ZYX
mrqp
wvu
ggg
ZYX
mZYX
mwvu
AA&
&
&
(8.27) respectiv:
,0
2020
00
0
000000
1
111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+
⎪⎩
⎪⎨
⎧+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−
−−−
p
p
p
T
T
T
A
A
A
rqp
qrrp
pqE
pqprqr
BAAC
CB
rqp
N
M
L
N
M
L
N
M
L
J
JJJ&
&
&
(8.28) unde s-a notat:
Prelegere 8
109
;0
00
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=Ω
pqpr
qrA ,
00
0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
uvuwvw
VA (8.29)
iar: [ ]Tppp ZYX ∆∆∆ ; [ ]Tppp NML ∆∆∆ , (8.30)
reprezintă componentele forţei perturbatoare permanente şi a momentului perturbator permanent datorate altor derivaţii de la mişcarea de bază decât cele prezentate explicit în relaţiile de dezvoltare. Asupra semnificaţiei acestor termeni se va reveni ulterior cu unele precizări.
Introducând în relaţia (8.27) formele de dezvoltare liniară obţinute pentru componentele forţei aerodinamice, componentele forţei de tracţiune şi componentele acceleraţiei greutăţii se poate scrie:
+δ∆⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+∆
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂ρ
ρ
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γαγβ−
γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δ
δ
δ
δδδ
δδδ
δδδ
βα
αβ
αβ
αβ
∗
∗
∗
βα
αβ
αβ
αβ
TTz
Ty
Tx
r
e
a
Arz
Aez
Aaz
Ary
Aey
Aay
Arx
Aex
Aax
Az
Az
AMz
Ay
Ay
AMy
Ax
Ax
AMx
Azr
Azq
Azp
Ayr
Ayq
Ayp
Axr
Axq
Axp
pTzM
TyM
TxM
pTz
Ty
Tx
AzM
AyM
AxM
pAz
Ay
Ax
Az
Ay
Ax
p
T
Tz
Ty
Tx
Az
Az
AzM
Az
Ay
Ay
AyM
Ay
Ax
Ax
AxM
Ax
T
T
T
zp
zp
zp
zp
zp
zp
M
M
M
CCC
mT
CCCCCCCCC
mF
wvu
CCMCCCMCCCMC
mVlF
rqp
CCCCCCCCC
mVlF
zCCC
za
aM
CCC
lmT
CCC
za
aM
CCC
lCCC
zmF
wvu
MCMCMC
mVT
CCMCCCCMCCCCMCC
mVF
wvu
00
200
00
00
111
costgcostg
cos
222
&
&
&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
B
B
.100
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∆Ψ
Ψ∂∂
+∆ΘΘ∂
∂+∆Φ
Φ∂∂
+ Ω
p
p
p
Viii
ZYX
mwvu
rqp
gAAAAA
(8.31)
Analog, pentru mişcarea în jurul centrului de masă, introducând în relaţia
(8.28) formele liniare obţinute pentru componentele momentului aerodinamic şi gazodinamic, rezultă:
Prelegere 8
110
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+δ∆⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+∆
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂ρ
ρ+
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γαγβ−
γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδδ
δδδ
δδδ−
βα
αβ
αβ
αβ−
δ
δ
δ−−−
−−
∗
∗
∗
−βα
αβ
αβ
αβ−
r
e
a
Arn
Aen
Aan
Arm
Aem
Aam
Arl
Ael
Aal
A0
An
An
AMn
Am
Am
AMm
Al
Al
AMlA
0
TT
xn
Txm
Txl
T
Tnr
Tmq
TlpT
Anr
Anq
Anp
Amr
Amq
Amp
Alr
Alq
AlpA
0
pTlM
TlM
TlM
pTn
Tm
Tl
T0
AlM
AlM
AlM
pAn
Am
Al
An
Am
Al
p
A0
T
Tn
Tm
TlT
0
An
An
AnM
An
Am
Am
AmM
Am
Al
Al
AlM
AlA
0
CCCCCCCCC
wvu
CCMCCCMCCCMC
Vl
CCC
rqp
CC
C
Vl
CCCCCCCCC
Vl
zCCC
za
aM
CCC
lCCC
za
aM
CCC
lCCC
z
wvu
MCMCMC
VCCMCCCCMCCCCMCC
Vrqp
zp
zp
zp
zp
zp
zp
M
M
M
112
10
101
11
11
000000
111
costgcostg
cos
222
JBJ
JJJ
JJ
JBJ
HH
HHH
HH
HH
&
&
&
&
&
&
&&&
&&&
&&&
.0
2020
00
0
000000
11
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+ −−
p
p
p
rqp
qrrp
pqE
pqprqr
CAAC
CB
N
M
L
JJ
(8.32) Grupând convenabil termenii relaţiilor (8.31) şi (8.32) se obţine :
,pTT
Ar
Ae
Aa
AVRpzV
wvu
zrqp
wvu
wvu
pffFFGfFF ∆+δ∆+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆Ψ∆Θ∆Φ
+∆+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδΩ
&
&
&
&
&
&
&
(8.33) precum şi:
,pTT
Ar
Ae
Aa
AVpzV
wvu
zrqp
wvu
rqp
pmmMMmMM ∆+δ∆+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
δ∆δ∆δ∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+∆+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
δδΩ
&
&
&
&
&
&
&
(8.34) în care elementele matricelor iRi MGF ,, vor fi precizate după analiza formei liniarizate a ecuaţiilor cinematice.
Prelegere 8
111
8.3 FORMA LINIARIZATĂ A ECUAŢIILOR CINEMATICE Pentru liniarizarea ecuaţiilor cinematice se consideră, ca şi în cazul ecuaţiilor dinamice , o mişcare de bază staţionară în care componentele vitezei de rotaţie ),,( rqp sunt nenule. Forma liniarizată a ecuaţiilor cinematice depinde de variabilele de stare adoptate. Utilizând unghiurile de atitudine ),,( ΨΘΦ din relaţiile (5.3) şi (5.8) se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆Ψ
Ψ∂
∂+∆Θ
Θ∂
∂+∆Φ
Φ∂
∂+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
wvu
wvu
zyx
pppi
BBBB
0
0
0
&
&
&
, (8.35)
precum şi:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ∆Ψ
Ψ∂∂
+∆ΘΘ∂
∂+∆Φ
Φ∂∂
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ψ∆Θ∆Φ∆
rqp
rqp
AAAA
WWWW&
&
&
. (8.36)
Grupând convenabil termenii relaţiilor (8.35) şi (8.36) se obţine: [ ] [ ] [ ]TR
TV
T wvuzyx ∆Ψ∆Θ∆Φ+∆∆∆=∆∆∆ PP000 &&& , (8.37) precum şi:
[ ] [ ] [ ]TRTT rqp ∆Ψ∆Θ∆Φ+∆∆∆=Ψ∆Θ∆Φ∆ Ω RR&&& , (8.38)
în care elementele matricelor P Ri i, vor fi precizate în continuare.
8.4 MATRICELE DERIVATELOR DE STABILITATE CU COMENZI BLOCATE
Dacă se separă din relaţiile (8.33), (8.34), (8.37), (8.38) influenţa variabilelor de stare staţionare se obţine matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate cu variabile staţionare indicată în tabelul 8.1. Conform celor arătate anterior, se pot pune în evidenţă submatricele ce intervin în dezvoltările ecuaţiilor dinamice, datorate vitezelor de translaţie şi rotaţie: F F M MV V, , ,Ω Ω , numite "submatrice dinamice" şi submatricele ce provin din ecuaţiile cinematice, scrise în diferite forme, datorate coordonatelor de poziţie şi unghiulare: P RR R, , numite "submatrice cinematice". Totodată, în dezvoltările ecuaţiilor dinamice se pot pune în evidenţă submatricele datorate coordonatelor de poziţie şi unghiulare:G f mR z p z p
, , numite "submatrice dinamice de legătură" , iar în dezvoltările ecuaţiilor cinematice submatricele datorate vitezelor liniare şi unghiulare: P RV , Ω , numite "submatrice cinematice de legătură". În cele ce urmează se vor face unele precizări privind aceste submatrice.
Prelegere 8
112
Submatricele dinamice sunt termeni de dezvoltare din forma liniarizată a ecuaţiilor dinamice (8.33), (8.34) în raport cu componentele vitezelor de translaţie
),,( wvu şi de rotaţie ),,( rqp .
Tabelul 8.1 Matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate cu variabile staţionare A0
ΨΘΦ
ΨΘΦ
Ω
Ω
Ω
121110987
006005004003002001
121110987654321
R
p
RVp
p
zV
RZV
ppp
zyxrqpwwu
zyxrqpwvu
p
p
RR
PP
mMM
GfFF
8.4.1 SUBMATRICE DINAMICE
a) Submatricea derivatelor forţelor în raport cu componentele vitezei de
translaţie Pentru cazul general submatricea derivatelor forţelor în raport cu componentele vitezei de translaţie este de forma:
Ω∗
∗
∗
βα
αβ
αβ
αβ
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γαγβ−
γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
= ABF
T
Tz
Ty
Tx
Az
Az
AzM
Az
Ay
Ay
AyM
Ay
Ax
Ax
AxM
Ax
V
M
M
M
MCMCMC
mVT
CCMCCCCMCCCCMCC
mVF
costgcostg
cos
222
00 .
(8.39) Pentru cazul particular al unei manevre verticale, deoarece în mişcarea de bază:
,0;0;0 === prv (8.40) rezultă:
Prelegere 8
113
0*; =βγ=α . (8.41) Considerând unii termeni secundari de cuplaj aerodinamic nuli:
...0;0;0;0 ==== βα zryqzy CCCC (8.42) iar din termenii gazodinamici reţinând doar componenta axială, submatricea derivatelor forţelor în raport cu componentele vitezei de translaţie devine:
Ωα
α
β
α
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ αα+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+α
−
+
= ABF000000
sin0cos
02
0cos
0
02
00
Tx
Tx
Az
AzM
Az
Ay
Ax
AxM
Ax
V
MMMCMC
mVT
CMCC
CCMCC
mVF ,
(8.43) unde, în acest caz:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=Ω
00000
00
q
qA , (8.44)
iar matricea αB este dată de :
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
αα−
αα=α
cos0sin010
sin0cosB .
OBSERVAŢIE - Deoarece în analiza cazurilor particulare nu se vor lua în considerare o serie de termeni gazodinamici secundari, dacă nu există posibilitatea unor confuzii, se poate renunţa la marcarea indicelui superior “A” pentru simbolizarea coeficienţilor aerodinamici si a derivatelor acestora.
b) Submatricea derivatelor forţelor în raport cu componentele vitezei de rotaţie
Pentru cazul general submatricea derivatelor forţelor în raport cu componentele vitezei de rotaţie este de forma:
V
zrzqzp
yryqyp
xrxqxp
CCCCCCCCC
VmlF AF −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Ω
0 . (8.45)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, considerând relaţiile (8.40), (8.41), şi (8.42), submatricea derivatelor forţelor în raport cu componentele vitezei de rotaţie, devine:
Prelegere 8
114
V
zq
yryp
xqo
CCC
C
mVlF AF −
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Ω
000
00, (8.46)
unde, de această dată:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
000
00
uuw
w
VA . (8.47)
c) Submatricea derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de
translaţie Pentru cazul general submatricea derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de translaţie este de forma:
T
Tn
Tm
TlT
0
An
An
AnM
An
Am
Am
AmM
Am
Al
Al
AlM
AlA
0V
M
M
M
MCMCMC
VCCMCCCCMCCCCMCC
V ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
γαγβ−
γ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=∗
∗
∗
−βα
αβ
αβ
αβ−
costgcostg
cos
222
11 JBJM HH . (8.48)
Pentru determinarea submatricelor derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de translaţie în cazul unei manevre verticale trebuie avut în vedere, pe lângă particularităţile în ceea ce priveşte incidenţele şi vitezele de rotaţie, şi faptul că în mişcarea de bază staţionară coeficienţii de moment sunt nuli:
0;0;0 === nml CCC . (8.49) Totodată se vor neglija termenii de amortizare gazodinamică care sunt nesemnificativi. Similar cu cazul submatricelor forţelor, se vor considera nuli o serie de termeni secundari de cuplaj aerodinamic:
...;;; nqmrnm CCCC αβ (8.50) Având în vedere relaţiile (8.40), (8.41), (8.49), (8.50), submatricea derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de translaţie devine:
α
β
α
β
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α−
α−
= BJM
0cos
0
0
0cos
01
n
mmM
l
0V
CCMC
C
VH . (8.51)
d) Submatricea derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de
rotaţie Pentru cazul general submatricea derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de rotaţie este de forma:
Prelegere 8
115
.0
2020
00
0
000000
000000
11
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−
−Ω
qrrp
pqE
pqprqr
BAAC
CB
CC
C
Vl
CCCCCCCCC
Vl
Tnr
Tmq
Tlp
T0
Anr
Anq
Anp
Amr
Amq
Amp
Alr
Alq
Alp
A0
JJ
JM HH
(8.52)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, submatricea derivatelor momentelor în raport cu componentele vitezei de rotaţie devine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −−
Ω
EqqBA
qCBEq
CCC
CC
Vl
nrnp
mq
lrlp0
0)(000
)(0
000
011 JJM H . (8.53)
i) 8.4.2 SUBMATRICE DINAMICE DE LEGĂTURĂ
Submatricele dinamice de legătură sunt termeni de dezvoltare din forma liniarizată a ecuaţiilor dinamice în raport cu coordonatele unghiulare (termenii acceleraţiei greutăţii) şi altitudinea. Aceste submatrice leagă ecuaţiile de dinamica mişcării de ecuaţiile de cinematica mişcării.
a) Vectorii derivatelor forţelor şi momentelor cu altitudinea Pentru cazul general vectorii derivatelor forţelor şi momentelor cu altitudinea sunt de forma:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂ρ
ρ=
TzM
TyM
TxM
pTz
Ty
Tx
AzM
AyM
AxM
pAz
Ay
Ax
Az
Ay
Ax
pzp
CCC
za
aM
CCC
lmT
CCC
za
aM
CCC
lCCC
zmF
zp
zp
zp
zp
zp
zp 111 00f ;
(8.54) respectiv:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂ρ
ρ= −−
TlM
TlM
TlM
pTn
Tm
Tl
T0
AlM
AlM
AlM
pAn
Am
Al
An
Am
Al
p
A0zp
CCC
za
aM
CCC
lCCC
za
aM
CCC
lCCC
zzp
zp
zp
zp
zp
zp 111 11 JJm HH .
(8.55) Pentru cazul particular de zbor analizat, deoarece aceşti vectori intervin cu o pondere redusă doar în mişcarea lentă în plan vertical se pot neglija, fiind consideraţi nuli:
Prelegere 8
116
[ ]Tzp 000=f ; (8.56)
[ ]Tzp 000=m . (8.57)
b) Submatricea derivatelor acceleraţiei greutăţii în raport cu coordonatele unghiulare
Adoptând ca variabile de stare unghiurile de atitudine, pentru cazul general rezultă:
[ ]ΨΘΦ= gggG R , (8.58) în care:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Ψ∂
∂=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Θ∂
∂=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Φ∂
∂= ΨΘΦ
ggg
ppp 00
;00
;00
Ag
Ag
Ag ,
unde derivatele matricei pA se obţin plecând de la (5.2) fiind prezentate pe larg în lucrarea [C15]. Dezvoltând relaţiile anterioare se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ΦΘ−ΦΘ−ΦΘ−ΦΘ
Θ−=
0cossinsincos0sinsincoscos0cos0
gRG . (8.59)
Pentru cazul unei manevre verticale, se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ−Θ
Θ−=
0sin000cos0cos0
gg
g
RG . (8.60)
Pentru cazul particular Θ = 0 avem:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
0000000
gg
RG . (8.61)
J) 8.4.3 SUBMATRICE CINEMATICE
Submatricele cinematice provin din forma liniarizată a ecuaţiilor cinematice (8.35),(8.36) în raport cu coordonatele unghiulare de atitudine ( ΨΘΦ ,, ) .
a) Submatricea derivatelor coordonatelor liniare în raport cu coordonatele unghiulare
Utilizând ca variabile de stare unghiurile de atitudine, pentru cazul general rezultă:
Prelegere 8
117
[ ]ΨΘΦ= pppPR , (8.62) în care:
,;;⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Ψ∂
∂=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ∂
∂=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Φ∂
∂= ΨΘΦ
wvu
wvu
wvu
ppp Bp
Bp
Bp
unde derivatele matricei pB se obţin din (5.4), fiind prezentate pe larg în lucrarea [C15]. Pentru cazul particular al unei manevre în plan vertical, submatricea RP este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ+ΘΘ−Θ−
Θ+Θ−=
0sincos0sincos0
0cossin0
wuwuw
wu
RP . (8.63)
Dacă 0=Θ , se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=00
000
uuw
w
RP . (8.64)
b) Submatricea derivatelor coordonatelor unghiulare în raport cu
coordonatele unghiulare Adoptând ca variabile de stare unghiurile de atitudine, pentru cazul general se obţine:
[ ]ΨΘΦ= rrrR R , (8.65) în care:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ∂∂
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Φ∂∂
= ΨΘΦ
000
;; rWrWrrqp
rqp
AA ,
unde derivatele matricei AW se obţin din (5.9) , fiind prezentate pe larg în lucrarea [C15]. Pentru cazul particular al unei manevre verticale, se obţine o submatrice R R de următoarea formă:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ
Θ=
00sec00000tg
q
q
RR . (8.66)
Dacă Θ = 0, rezultă:
Prelegere 8
118
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
00000000
qRR . (8.67)
k) 8.4.4 SUBMATRICE CINEMATICE DE LEGĂTURĂ
Submatricele cinematice de legătură sunt termeni de dezvoltare din forma liniarizată a ecuaţiilor de cinematica mişcării (8.35),(8.36) în raport cu vitezele de translaţie ),,( wvu şi de rotaţie ),,( rqp . Aceste submatrice leagă ecuaţiile de cinematica mişcării de ecuaţiile de dinamica mişcării.
a) Submatricea derivatelor coordonatelor liniare în raport cu componentele vitezei de translaţie
În cazul general, submatricea derivatelor coordonatelor liniare în raport cu componentele vitezei de translaţie este de forma:
pV BP = , (8.68) în care matricea de rotaţie pB este exprimată prin relaţia (5.4). Pentru cazul particular al unei manevre verticale, utilizând unghiurile de atitudine, se obţine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ−Θ−
ΘΘ=
cos0sin010
sin0cos
VP . (8.69)
Pentru cazul particularΘ = 0, rezultă:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
100010001
VP . (8.70)
b) Submatricea derivatelor coordonatelor unghiulare în raport cu
componentele vitezei de rotaţie Utilizând ca variabile de stare unghiurile de atitudine, pentru cazul general, submatricea derivatelor coordonatelor unghiulare în raport cu componentele vitezei de rotaţie este de forma:
AWR =Ω , (8.71) unde matricea WA este dată de relaţia (5.9). Pentru cazul particular al unei manevre verticale, se obţine:
Prelegere 8
119
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
Θ
Θ=Ω
sec00010
tg01R . (8.72)
Pentru cazul particular ,0=Θ rezultă: ,IR =Ω (8.73)
unde I reprezintă matricea unitate.
l) 8.4.5 SUBMATRICE NESTAŢIONARE Dacă se separă din relaţiile (8.33), (8.34) influenţa variabilelor de stare nestaţionare se obţine matricea derivatelor de stare cu comenzi blocate cu variabile nestaţionare indicată în tabelul 8.2. Submatricele nestaţionare conţin termenii de dezvoltare din forma liniarizată a ecuaţiilor de dinamica mişcării (8.33), (8.34) în raport cu derivatele componentelor vitezei de translaţie ( wvu &&& ,, ). Aceşti termeni sunt introduşi prin coeficienţii aerodinamici, care depind de derivatele incidenţelor şi a numărului Mach ( M&&& ,,βα ). Pentru determinarea submatricelor dinamice nestaţionare în cazul particular al unei manevre verticale se vor considera nuli o serie de termeni de cuplaj aerodinamic:
....0;0;0;0;0 ===== MnMmMlMzMy CCCCC &&&&& (8.74)
Prelegere 8
120
Tabelul 8.2 Matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate cu variabile nestaţionare A1
ΨΘΦ
ΨΘΦ
121110987654321
121110987654321
p
p
p
V
V
ppp
zyxrqpwvu
zyzrqpwvu
&
&
&&&&&&&&&&&&
M
F
a) Submatricea derivatelor forţelor în raport cu derivatele componentelor
vitezei de translaţie Pentru cazul general submatricea derivatelor forţelor în raport cu derivatele componentelor vitezelor de translaţie este de forma:
βα
αβ
αβ
αβ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= BF
&&&
&&&
&&&
&
zzMz
yyMy
xxMx
V
CCMCCCMCCCMC
VmlF
20 . (8.75)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, submatricea derivatelor forţelor cu derivatele componentelor vitezelor de translaţie devine:
α
α
β
α
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α−= BF
&
&
&
&
z
y
x
V
C
CC
VmlF
00
0cos
0
00
20 . (8.76)
b) Submatricea derivatelor momentelor în raport cu derivatele
componentelor vitezelor de translaţie
Prelegere 8
121
Pentru cazul general submatricea derivatelor momentelor în raport cu derivatele componentelor vitezelor de translaţie este de forma:
βα
αβ
αβ
αβ−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= BJM
&&&
&&&
&&&
&
nnMn
mmMm
llMl
V
CCMCCCMCCCMC
Vl 1
20H . (8.77)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, submatricea derivatelor momentelor cu acceleraţiile de translaţie devine:
α
β
α
β
−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α−
α−
= BJM
0cos
0
00
0cos
01
2
&
&
&
&
n
m
l
0V
CC
C
VlH . (8.78)
8.5 MATRICEA DE COMANDĂ CU INTRARE ÎN BRACAJE
Dacă se separă din relaţiile (8.33), (8.34), influenţa variabilelor de comandă se obţine matricea de comandă, indicată în tabelul 8.4. Submatricele derivatelor de comandă sunt termeni de dezvoltare din forma liniarizată a ecuaţiilor dinamice în raport cu variabilele staţionare de comandă aerodinamică ),,( rea δδδ şi gazodinamică )( Tδ .Pentru cazul particular al unei manevre verticale se vor considera ca variabile de comandă separate bracajul de eleron ( ),aδ profundor ( )eδ , direcţie ( )rδ şi tracţiune axială ( )Tδ , iar acţiunea fiecăruia din acestea se va reduce numai la modificarea parametrilor grupului de ecuaţii din care face parte ( longitudinal sau lateral) , ceea ce conduce la anularea unor termeni secundari de cuplaj aerodinamic:
...0;0;0...0;0;0;0
=======
δδδ
δδδδ
AAA
AAAA
enrmel
rzeyazax
CCCCCCC
(8.79)
şi gazodinamic ...0;0;0 ===
δδδ
TTTTnTlTy
CCC (8.80)
Prelegere 8
122
Tabelul 8.3. Matricea de comandă cu intrare în bracaje 0B , cu variabile staţionare
ΨΘΦ
δδδδ
δδ
δδ
121110987654321
4321
p
p
p
TA
TA
Trea
zyxrqpwvu
mM
fF
M) 8.5.1 SUBMATRICEA DERIVATELOR FORŢELOR ÎN RAPORT CU
VARIABILELE DE COMANDĂ AERODINAMICĂ Pentru cazul general submatricea derivatelor forţelor cu variabile de comandă aerodinamică este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δδδ
δδδ
δδδ
δA
rzA
ezA
az
Ary
Aey
Aay
Arx
Aex
Aax
0A
CCCCCCCCC
mFF . (8.81)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, submatricea derivatelor forţelor cu variabilele de comandă devine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δ
δδ
δ
δ
000
00
Aez
Ary
Aay
Aex
0A
CCC
C
mFF . (8.82)
N) 8.5.2 VECTORUL DERIVATELOR FORŢELOR ÎN RAPORT CU COMANDĂ GAZODINAMICĂ AXIALĂ
Pentru cazul general vectorul derivatelor forţelor cu variabilele de comandă gazodinamică este de forma:
Prelegere 8
123
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δ
δ
δ
δT
Tz
TTy
TTx
T
CCC
mT0f . (8.83)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, vectorul derivatelor forţelor cu variabila de comandă devine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=δ
δ
000
TTx
T
C
mTf . (8.84)
O) 8.5.3 SUBMATRICEA DERIVATELOR MOMENTELOR ÎN
RAPORT CU VARIABILELE DE COMANDĂ AERODINAMICĂ Pentru cazul general submatricea derivatelor momentelor cu variabile de comandă aerodinamică este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δδδ
δδδ
δδδ−
δA
rnA
enA
an
Arm
Aem
Aam
Arl
Ael
Aal
A0
A
CCCCCCCCC
1JM H . (8.85)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, submatricea derivatelor momentelor cu variabilele de comandă, devine:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δδ
δ
δδ−
δA
rnA
an
Aem
Arl
Aal
A0
A
CCC
CC
000
01JM H . (8.86)
P) 8.5.4 VECTORUL DERIVATELOR MOMENTELOR ÎN RAPORT CU
VARIABILA DE COMANDĂ GAZODINAMICĂ Pentru cazul general vectorul derivatelor momentelor cu variabila de comandă gazodinamică este de forma:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
δ
δ
δ−
δT
Tn
TTm
TTl
T0
T
CCC
1Jm H . (8.87)
Pentru cazul particular al unei manevre verticale, vectorul derivatelor momentelor cu variabilele de comandă este nul.
Prelegere 8
124
8.6 VECTORUL PERTURBAŢIILOR PERMANENTE Dacă se separă din relaţiile (8.33), (8.34) componentele perturbatorii, se poate construi, în cazul general , vectorul perturbaţiilor permanente, indicat în tabelul 8.4
8.6.1 SUBVECTORUL FORŢEI PERTURBATOARE PERMANENTE
Tabelul 8.4 Vectorul perturbaţiilor permanente 0p
ΨΘΦ
∆
∆
121110987654321
p
p
p
p
p
zyxrqpwvu
m
f
Din relaţia (8.33) se separă subvectorul forţei perturbatoare permanente:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=∆
p
p
p
p
ZYX
m1f . (8.88)
Q) 8.6.2 SUBVECTORUL MOMENTULUI PERTURBATOR PERMANENT
Din relaţia (8.34) se separă subvectorul momentului perturbator permanent:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=∆ −
p
p
p
N
M
L1Jm p . (8.89)
Prelegere 8
125
r) 8.6.3 SEMNIFICAŢIA VECTORULUI PERTURBAŢIILOR
PERMANENTE Vectorul perturbaţiilor permanente, introdus la trecerea de la sistemul neliniar al ecuaţiilor mişcării la sistemul liniarizat al mişcării perturbate exprimă modificarea mişcării de bază (a mişcării neperturbate) datorită altor deviaţii decât cele prezentate explicit în cadrul relaţiilor (8.33),(8.34). Astfel, în lucrarea [A1], sunt evidenţiate următoarele categorii de perturbaţii permanente: ♦ perturbaţii masice, datorate modificării maselor şi momentelor de inerţie; ♦ perturbaţii aerodinamice, datorate modificării coeficienţilor aerodinamici şi abaterii de la atmosfera standard (inclusiv cele datorate vântului); ♦ perturbaţii gazodinamice, datorate modificării componentelor tracţiunii; ♦ perturbaţii parametrice (de parametri ai mişcării), datorate modificării coordonatelor unghiulare sau a modulului vectorului viteză; Evident, natura şi conţinutul vectorului perturbaţiilor permanente depinde de modul de scriere al ecuaţiilor neliniare şi de termenii consideraţi în cadrul formei liniarizate a ecuaţiilor mişcării perturbate. Astfel, dacă sistemul de ecuaţii neliniar este considerat într-o formă complexă, iar dezvoltarea liniară conţine un număr redus de termeni (eventual va fi decuplată pe canale), vectorul perturbaţiilor va avea o pondere însemnată, conţinând un număr mare de termeni. Dacă ecuaţiile neliniare vor conţine numai termenii principali şi pornind de la aceştia se va face o liniarizare riguroasă, cu un număr mare de termeni ai dezvoltării, vectorul perturbaţiilor va conţine un număr redus de termeni, de importanţă secundară.
s) 8.6.4 PERTURBAŢII DATORATE VÂNTULUI În cazul în care traiectoria de bază este perturbată de o rafală de vânt, ţinând cont de expresia ecuaţiilor dinamice pentru cazul vântului uniform (7.28), (7.29), termenii liniari de translaţie ai torsorului aerodinamic din relaţiile (8.22), (8.23) se pot scrie formal astfel:
...+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
e
e
e
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
Ae
Ae
Ae
wvu
wZ
vZ
uZ
wY
vY
uY
wY
vX
uX
ZYX
Prelegere 8
126
...+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
e
e
e
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
e
Ae
Ae
Ae
Ae
wvu
wvu
wvu
wvu
NNN
MMM
LLL
N
M
L
(8.90)
Având în vedere că în mişcarea de bază viteza vântului este nulă, matricele derivatelor care intervin în dezvoltările anterioare sunt identice cu cele obţinute în cazul clasic al zborului fără vânt, putându-se scrie:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
+=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
ΩΩ
zp
yp
xp
pAA
A
A
W
W
W
VAe
Ae
Ae
WWW
mZYX
wvu
wvu
mZYX
AAFAF )(...)( ;
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
zp
yp
xp
pVA
A
A
W
W
W
VA
e
Ae
Ae
WWW
wvu
wvu
AJMJMN
M
L
N
M
L
... . (8.91)
În acest caz, se pot izola subvectorii forţei perturbatoare şi momentului perturbator datoraţi vântului care sunt de forma:
[ ] [ ] ,1 TzpypxpW
TAw
Aw
AwpW WWWZYX
m∆∆∆=∆∆∆−=∆ Ff (8.92)
respectiv: [ ] [ ]TzpypxpW
TAw
Aw
AwpW WWW ∆∆∆=∆∆∆−=∆ − MJm NML1 , (8.93)
unde: iVW AAFF )( Ω+−= ; iVW AMM −= . (8.94)
Pentru cazul particular al unei evoluţii în plan vertical este util ca perturbaţia datorată vântului să fie pusă sub forma:
,
02
0cos
0
020
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+α
−
+
−=∆ α
α
α
W
W
W
zzMz
yM
xxMxM
pW
wvu
CMCC
CCMCC
mVF Bf (8.95)
respectiv:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α−
α−
−=∆ α
β
α
β
−
W
W
W
n
mmM
l
pW
wvu
CCMC
C
VBJm
0cos
0
0
0cos
01oH
, (8.96)
Prelegere 8
127
unde WWW wvu ∆∆∆ ,, reprezintă deviaţiile componentelor vitezei vântului după axele triedrului mobil legat de avion. În cadrul acestui capitol, în vederea analizei sistemului aparat de zbor comandat s-a efectuat liniarizarea ecuaţiilor mişcării generale. În acest scop, efectuând o dezvoltare în serie a ecuaţiilor mişcării perturbate în raport cu variabilele de stare şi de comandă, prin reţinerea termenilor de ordin întâi, s-a obţinut liniarizarea ecuaţiilor mişcării în vederea analizei stabilităţii în prima aproximaţie după cum se arată în lucrările [V2], [H1]. Elementul de noutate introdus la acest punct al lucrării a constat în faptul că, în cadrul liniarizării şi a construirii matricelor derivatelor de stabilitate şi de comandă, s-a considerat forma generală, nedecuplată a ecuaţiilor mişcării. Acest lucru a fost uşurat de modul de scriere al ecuaţiilor mişcării, raportat unitar la sistemul de referinţă legat de aparatul de zbor. Astfel, în cadrul matricei derivatelor de stabilitate au fost puse în evidenţă submatricele dinamice, cinematice şi de legătură dinamică - cinematică şi în final submatricele de legătură cinematică-dinamică. Tot ca un element de noutate poate fi considerată introducerea matricelor derivatelor nestaţionare pentru variabilele de stare. În paralel cu ecuaţiile mişcării generale s-a analizat o formă simplificată a acestora, corespunzătoare unui caz particular de zbor, evidenţiindu-se expresiile pentru matricele de rotaţie şi matricele derivatelor de stabilitate şi de comandă . Aceste ultime rezultate vor fi utilizate alternativ, în capitolul următor, pentru elaborarea formelor decuplate ale ecuaţiilor mişcării comandate.
Prelegere 9
128
9. FORMELE DECUPLATE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII COMANDATE , MIŞCAREA DE BAZĂ, PERFORMANŢE
În capitolul anterior s-au stabilit forme simplificate pentru submatricele cinematice şi de legătură datorită particularităţilor mişcării de bază considerate. În cazul ecuaţiilor dinamice au fost necesare unele ipoteze suplimentare privind adoptarea unei structuri a coeficienţilor aerodinamici ce asigură scrierea submatricelor într-o formă avantajoasă care să permită decuplarea mişcării longitudinale de cea laterală. Pornind de la formele decuplate ale submatricelor derivatelor de stabilitate şi comandă adoptate pentru cazul particular al unei evoluţii verticale, în continuare ne propunem, ca în baza unor ipoteze suplimentare, să separăm şi să găsim soluţii analitice aproximative ale principalelor tipuri de mişcări, iar în final să găsim funcţiile de transfer ale sistemului avion comandat [X2] numit în [K9] şi [X5] obiect comandat. Prin construirea principalelor funcţii de transfer vor fi puse în evidenţă şi o serie de parametri [X4], numiţi indicii de calitate a zborului, parametri care, pentru modelul de studiu considerat, vor fi reprezentaţi grafic şi analizaţi.
Ipoteza suplimentară de separare a mişcărilor care va fi utilizată, constă în aceea că deviaţiile de la valorile de echilibru a stărilor ce descriu o mişcare nu afectează celelalte mişcări. Altfel spus, o perturbaţie introdusă în sistem asupra mişcării analizate se dezvoltă şi eventual se amortizează numai prin stările ce o descriu , neafectând stările celorlalte mişcări care rămân la valorile lor de echilibru, corespunzătoare mişcării de bază. Astfel, în cazul unei evoluţii verticale, renunţându-se la termenii secundari de “cuplaj” aerodinamic şi la eventualii termeni giroscopici, şi ţinând cont că mişcarea de bază este simetrică, ecuaţiile liniarizate ale mişcării perturbate se decuplează, adică se desfac natural în două grupe: ecuaţiile mişcării longitudinale şi ecuaţiile mişcării laterale. Menţionăm că această structurare a ecuaţiilor mişcării generale este o consecinţă a particularităţilor mişcării de bază, termenii aerodinamici care se neglijează fiind de importanţă secundară. În continuare, în baza ipotezei suplimentare introduse, analiza mişcării longitudinale se va face prin separarea şi analiza aproximativă a mişcărilor rapidă şi lentă. Astfel, considerând variabilele de stare lente ( )Θ,V îngheţate la valorile corespunzătoare mişcării de bază, ceea ce corespunde unei analize pentru un interval scurt de timp, se pot pune în evidenţă ecuaţiile mişcării în jurul centrului de masă, urmărindu-se analiza modului rapid, specific regimurilor tranzitorii. Dacă se analizează un interval lung de timp şi se consideră parametrii mişcării rapide stabilizaţi la valorile corespunzătoare mişcării de bază, se pot pune în evidenţă ecuaţiile mişcării lente a centrului de masă pe traiectorie, urmărindu-se analiza mişcării lente de tip "fugoidă". În ceea ce priveşte cealaltă grupă de ecuaţii, pentru mişcarea laterală, se va face de asemenea o separare şi analiză aproximativă întâi pentru mişcarea rapidă în jurul centrului de masă în plan lateral (ruliu olandez), iar apoi pentru mişcarea de
Prelegere 9
129
ruliu (pur). Această separare are la bază, ca şi în cazul mişcării longitudinale, ipoteza generală potrivit căreia derivaţiile variabilelor de stare ce descriu mişcarea de ruliu nu afectează modul rapid lateral, iar cele ce descriu mişcarea rapidă laterală nu afectează mişcarea de ruliu. În plus, în finalul capitolului se va pune în evidenţă şi analiza un mod lateral lent de cuplaj dintre unghiul de ruliu şi unghiul de giraţie. În concluzie, spre deosebire de decuplarea mişcării longitudinale de mişcarea laterală, care în cazul unei evoluţii simetrice se produce natural, cuplajul fiind foarte slab, în cazul separării mişcării rapide longitudinale de cea lentă şi a mişcării de ruliu de cea rapidă laterală nu putem vorbi de o decuplare propriu-zisă, termenii de legătură fiind suficient de importanţi, ci de o separare a diferitelor moduri de mişcare în vederea găsirii unor soluţii aproximative a ecuaţiilor de mişcare a avionului în forma liniară, soluţii care fac în final obiectul prezentului capitol.
Pentru realizarea unor condiţii avantajoase de obţinere a soluţiilor aproximative a ecuaţiilor mişcării şi a relaţiilor de calcul pentru indicii de calitate a zborului se va analiza un caz de zbor care corespunde unei mişcări de bază ce diferă de mişcarea de bază generală prin valoarea particulară de echilibru a unghiului de înclinare laterală ( )Φ şi prin faptul că evoluţia avionului este numai în plan vertical. Pentru obţinerea de rezultate comparabile cu cele indicate în lucrări similare se vor considera în principal ca variabile de stare unghiurile de atitudine tip Euler ( )ΨΘΦ ,, . Astfel, se consideră ca mişcare de bază o manevră staţionară în plan vertical ( ).ctm =ω , în care unghiul de atitudine longitudinală ( )Θ poate avea diferite valori, caz general de zbor care poate fi utilizat la definirea indicilor de calitate a zborului. La limită, pentru valoarea nulă a vitezei unghiulare ( 0=ωm ), mişcarea de bază considerată devine zbor de translaţie, cu unghiul de atitudine longitudinală constant ( .ct=Θ ).
Fără a afecta generalitatea studiului, putem considera că manevra verticală se efectuează în planul )( 000 ZXO , adică presupunem că în mişcarea de bază unghiul de cap ( )Ψ şi ordonata ( )0y sunt nule. Pentru unghiul de înclinare laterală ( )Φ se consideră valoarea nulă. Acest caz de zbor, după cum se va arăta în continuare, facilitează decuplarea ecuaţiilor mişcării longitudinale de cele ale mişcării laterale şi de ruliu, iar ulterior separarea mişcărilor rapide în plan longitudinal şi lateral, a mişcării lente în plan longitudinal şi a mişcării de ruliu. Pentru această mişcare de bază, în baza unor ipoteze simplificatoare, se va efectua separarea principalelor mişcări atât în scopul obţinerii unor soluţii analitice aproximative ale ecuaţiilor analizate cât şi pentru definirea indicilor de calitate a zborului. Mişcarea de baza în plan longitudinal rezultă din condiţiile de echilibru:
0sin00 =Θ−+ GCTCF Txx ; 0cos
0
=Θ+FGCz ; 0=mC . (9.1)
Prelegere 9
130
După dezvoltarea coeficienţilor relaţiile (9.1) devin:
0sin21
21
02
22
200 =δ+Θ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛δ
δ∂∂
+αα∂∂
+ δ TT
Txee
xxx CTGCCCF ;
0cos0
0 =Θ+δ+α+ δα FGCCC eezzz ; 00 =δ+α+ δα eemmm CCC . (9.2)
În continuare, pornind de la relaţiile (9.2) , impunând diferite mişcări de
bază vom obţine principalele performanţe ale aparatului de zbor în condiţiile unei evoluţii de echilibru.
9.1 MISCAREA DE BAZA LA VITEZĂ IMPUSA
Dacă ne situăm între viteza minimă şi maximă de zbor la o înălţime dată putem rezolva iterativ sistemul (9.2) în raport cu incidenţa şi bracajele . Pentru aceasta se iniţiază cu un procedeu iterativ în incidenţă care permite definirea unghiului Θ . Datele de intrare sunt:
ctctz p =γ= ; . Algoritmul este iniţiat de relaţiile iterative:
α−γ=Θ ;
pm
mezz
zem
mez
CCCC
CFG
CCC
δ
αδα
δδ
−
−Θ−=α
00
0 )cos(; (9.3)
care sunt completate cu relaţiile finale :
em
m
em
me C
CCC
δδ
α −α−=δ 0 ; TTx
xT CT
GCF
δ
Θ+−=δ
0
0 sin . (9.4)
Soluţia obţinută trebuie să verifice condiţiile:
maxee δ<δ ; maxα<α . 1<δT ; (9.5) în caz contrar, la înălţimea dată, combinaţia: viteză , unghi de înclinare a traiectoriei nu satisface condiţiile de echilibru. Utilizând relaţiile (9.3) , (9.4), (9.5), pentru modelul de calcul considerat s-a determinat incidenţă şi bracajul de echilibru, mărimi ce sunt prezentate în fig. 9.1 şi 9.2.
Prelegere 9
131
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0
5
10
15
20
α
initialfinal
[g]
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
Fig. 9.1 Incidenţa de echilibru
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0
5
10
15
20
δ
initialfinal
[gra
de]
CONDITII DE CALCUL:- inaltimea H=1000 m- zbor orizontal
e
Fig. 9.2 Bracajul de profundor la echilibru
Prelegere 9
132
Valorile incidenţei şi bracajelor de echilibru astfel obţinute vor fi utilizate pentru definirea coeficienţilor matricelor de stabilitate şi comandă cu comenzi blocate şi a indicilor de calitate a zborului. Pentru mişcarea laterală, conform ipotezelor de decuplare introduse, principalele mărimi sunt nule. Reluând principalele caracteristici aerodinamice ale modelului considerat, şi anume coeficientul de portanţă şi de rezistenţă la înaintare, dar de această dată pentru incidenţa şi bracajul de echilibru se poate determina polara de echilibru pentru zbor orizontal, diagrama acesteia fiind prezentată în figura 9.3.
2 4 6 8C
3
6
9
12
15
18
21
24
C
CONDITII DE CALCUL- zbor orizontal de echilibru- inaltimea 1000 m- caracteristici masice medii
D
L
Fig. 9.3 Polara de echilibru pentru zbor orizontal
În sfârşit, pentru o valoare impusă a numărului Mach, la o înălţime constantă, determinând tracţiunea de echilibru pentru zbor orizontal şi cunoscând consumul specific ca o funcţie de Mach şi înălţime, se poate determina distanţa maximă de zbor orizontal:
MaTcmD
sp
cb=max (9.6)
unde s-a notat: maxD - distanţa maximă de zbor orizontal; cbm - masa de combustibil; T - tracţiunea necesară zborului orizontal; spC - consumul specific; M - numărul Mach; a - viteza sunetului. Aplicând relaţia (9.6) pentru modelul de studiu avut în vedere şi considerând întreaga masă de combustibil consumată, se obţine diagrama din figura 9.4.
Prelegere 9
133
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
300
600
900
1200
Dm
ax[K
m]
CONDITII DE CALCUL- zbor orizontal de echilibru la Mach constant- inaltimea 1000 m- caracteristici masice medii
Fig. 9.4. Distanţa maximă de zbor orizontal
9.2 ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZA MAXIMA Pentru stabilirea vitezei maxime de zbor orizontal la o înălţime dată se pleacă de la următoarele date:
0=γ ; 1=δT ; ;ctz p = În continuare se construieşte un procedeu iterativ peste toate relaţiile
deoarece coeficienţii aerodinamici sunt dependenţi de Mach.
α−γ=Θ ; x
TT
Tx
CGCTF Θ−δ
−= δ sin00 ;
SFVρ
= 02 ; aVM /= ;
em
mezz
zem
mez
CCCC
CFG
CCC
δ
αδα
δδ
−
−Θ−=α
00
0 )cos(;
em
m
em
me C
CCC
δδ
α −α−=δ 0 . (9.7)
Soluţia obţinută trebuie să verifice condiţiile: maxee δ<δ ; maxα<α . (9.8)
Dacă nu se verifică aceste condiţii se reduce valoarea bracajului gazodinamic. Dacă bracajul gazodinamic s-a redus la valoarea minimă înseamnă că la înălţimea impusă nu se poate realiza zborul orizontal.
Prelegere 9
134
9.3 ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZĂ MINIMA Pentru determinarea vitezei minime se impun condiţiile:
0=γ ; maxee δ=δ ; ;ctz p = (9.9) În continuare se construieşte un procedeu iterativ peste toate relaţiile deoarece coeficienţii aerodinamici sunt dependenţi de Mach.
αα
δ −δ−=αm
me
m
em
CC
CC 0 ; α−γ=Θ ;
zC
GF Θ−=
cos0 ;
SFVρ
= 02 ; aVM /= ; TTx
xe CT
GCF
δ
Θ−−=δ
0
0 sin . (9.10)
Soluţia obţinută trebuie să verifice condiţiile: 1<δT ; maxα<α . (9.11)
Pentru modelul de studiu considerat, aplicând relaţiile pentru zbor orizontal de viteză minimă şi maximă se obţine anvelopa de zbor orizontal din figura 9.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8Mach
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
H[K
m]
initialfinal
Fig. 9.5 Anvelopa de zbor orizontal
Dacă nu se verifică aceste condiţii se reduce valoarea bracajului de profundor. Dacă bracajul de profundor s-a redus la valoarea minimă înseamnă că la înălţimea impusă nu se poate realiza zborul orizontal. După determinarea vitezelor
Prelegere 9
135
minime şi maxime la diferite înălţimi se poate trasa anvelopa de zbor orizontal corespunzător stării iniţiale şi finale de încărcare a aparatului.
9.4 ZBORUL INCLINAT LA TRACŢIUNE IMPUSA Pentru definirea zborului ascendent sau descendent se impun condiţiile:
TimpusT δ=δ ; ;ctz p = (9.12) În continuare se deschide un ciclu în care se incrementează unghiul de
înclinare a traiectoriei: iγ=γ . (9.13)
Pentru fiecare valoare a unghiului de înclinare a traiectoriei se realizează un procedeu iterativ în care se parcurg toate relaţiile deoarece coeficienţii aerodinamici sunt dependenţi de Mach.
α−γ=Θ ; x
TT
Tx
CGCTF Θ−δ
−= δ sin00 ;
SF
Vρ
= 02 ; aVM /= ;
em
mezz
zem
mez
CCCC
CFG
CCC
δ
αδα
δδ
−
−Θ−=α
00
0 cos;
em
m
em
me C
CCC
δδ
α −α−=δ 0 . (9.14)
Soluţia obţinută trebuie să verifice condiţiile:
maxee δ<δ ; maxα<α (9.15) În final se pot trasa diagramele de zbor înclinat în coordonate γcosM ; γsinM ; În cadrul zborului înclinat se disting două situaţii limită - zborul planat care se realizează cu valoare nulă a tracţiunii )0( =δT ; - zborul ascendent la diferite valori a tracţiunii
a) Zborul planat Pentru studiul zborului planat se trasează diagrama de zbor înclinat la diferite înălţimi obţinându-se un fascicul de diagrame, care pentru modelul considerat sunt de forma indicată în fig. 9.6., 9.9. În baza valorilor care s-au utilizat pentru întocmirea acestor diagrame se pot determina: - viteza de înfundare minimă la diferite înălţimi:( minw ); - panta minimă la diferite înălţimi ( minγ ), În final, utilizând panta minimă, prin integrare numerică se poate determina distanţa maximă de zbor planat:
Prelegere 9
136
∫ γ= max
0min
max )(tgdZ
zzD (9.16)
Pentru modelul de studiu considerat, distanţa maximă de zbor planat în funcţie de înălţimea de la care începe planarea este prezentată în figura 9.8
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8M cos
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
Msi
n
H=0 [Km]H=3 [Km]H=6 [Km]H=9 [Km]
γ
γ
CONDITII DE CALCUL:- tractiune nula- cu combustibil
Fig. 9.6 Diagrame de zbor planat – cu combustibil
Prelegere 9
137
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8M cos
-1.1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
Msi
n
H=0 [Km]H=3 [Km]H=6[Km]H=9[Km]
γ
γ
CONDITII DE CALCUL:- tractiune nula- fara combustibil
Fig. 9.7 Diagrame de zbor planat – fără combustibil
0 2 4 6 8 10H [Km]
0
10
20
30
40
50
60
70
Dm
ax[K
m]
cu combustibilfara combustibil
Fig. 9.8 Distanţa maximă de zbor planat
b) Zborul în urcare Pentru studiul zborului în urcare la o anumită valoare a tracţiunii se trasează diagrama de zbor înclinat la diferite înălţimi. Astfel , pentru modelul de studiu
Prelegere 9
138
considerat, pentru valoarea maximă a tracţiuni, s-au trasat diagramele din fig. 9.9 şi 9.10:
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8M cos
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Msi
n
H=0 [Km]H=3 [Km]H=6 [Km]H=9 [Km]
γ
γCONDITII DE CALCUL:- tractiune maxima- cu combustibil
Fig. 9.9 Diagrama de zbor ascendent – cu combustibil
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8M cos
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Msi
n
H=0 [Km]H=3 [Km]H=6 [Km]H=9 [Km]
γ
γ
CONDITII DE CALCUL:- tractiune maxima- fara combustibil
Fig. 9.10 Diagrama de zbor ascendent – fără combustibil
Prelegere 9
139
În baza valorilor care s-au utilizat pentru întocmirea acestor diagrame se pot determina: - viteza ascensională maximă la diferite înălţimi: ( maxw ) - panta maximă la diferite înălţimi şi diferite regimuri de tracţiune ( maxγ ); Utilizând viteza ascensională maximă, prin integrare numerică se poate determina timpul de urcare la plafon :
∫=pz
p zwzt
0max )(d (9.17)
OBSERVAŢIE – Prin plafon ( pz )se poate înţelege plafonul teoretic, la care viteza ascensională este nulă ( 0max =w ), sau plafon practic la care viteza ascensională are valoarea smw /5,0max = . Pentru avioanele militare se mai defineşte plafonul de luptă care este înălţimea la care avionul mai poate efectua manevrele necesare realizării misiunii, sau plafonul dinamic pe care avionul î-l poate atinge printr-o evoluţie specifică. Pentru modelul de studiu considerat, s-au obţinut următoarele valori pentru plafonul practic:
Tabelul 9.1. Plafonul practic Caz Plafonul practic ][mz p Timpul de urcare la
plafon ][st p Cu combustibil 7680 912 Fără combustibil 10560 910
Prelegere 10
140
10. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LONGITUDINALE
10.1 ECUAŢIILE LINIARIZATE ALE MIŞCĂRII LONGITUDINALE Principial, ecuaţiile mişcării longitudinale se pot obţine prin două metode. Prima metodă pleacă de la forma liniară cuplată stabilită în prelegerea 8 în care s-au pus în evidenţă submatricele obţinute în cazul unei evoluţii simetrice, metodă dezvoltată în lucrarea [C15]. Cea de a doua metodă pleacă de la forma neliniară decuplată a ecuaţiilor mişcării stabilite în prelegerea 7 al lucrării, metodă care o vom utiliza în continuare. Astfel, liniarizând forma decuplată a ecuaţiilor mişcării longitudinale (7.63) după prelucrări se obţine:
( ) ( )
( ) ( ) ;2cos
coscos
cos2
*
0
0
mD
CCmFVMCC
mVFC
mT
CmFC
mVlFzC
mTgqC
mVlF
VqCCmFVMC
mVTMCC
mVFV
pWLD
oWDMD
oT
TTx
o
eeDo
DpTxzp
oDq
o
LDoT
xMo
DMD
∆+α∆−−∆+−δ∆α+
+δ∆+α∆+∆α+∆Θγ−∆+
+α∆⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+∆⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ α++=∆
αδ
δα
α
&
&
&
( )
( ) ;)(2sin
sinsin1
sin)2(
*0
200
02
02
0
02
02
VmL
CCmVF
VMCCmV
FC
mVT
CmVF
CmV
lFzC
mVT
VgqC
mVlF
CCmVF
VMCmVT
VqMCC
mVF
pWDLWLMLT
TTx
eeLLo
pTxzpLq
DLTxMLML
o
∆+α∆+−∆+−δ∆α−
−δ∆+α∆+∆α−∆Θγ−∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+α∆++∆⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ α−++=α∆
αδ
δα
α
&
&
&
;B
CB
VMCBV
CB
CBV
lqCBV
lCB
VMCBV
q
*p
Wm0
WmM0
eem0
m0
mq0
m0
mM0
MHH
HHHHH
∆+α∆−∆−
−δ∆+α∆+∆+α∆+∆=∆
α
δαα && &
∆Θ ∆& ;= q ∆Θγ−α∆γ+∆γ=∆ sinsincos VVVxp& ∆Θγ+α∆γ−∆γ=∆ coscossin VVVz p&
(10.1) Cu notaţiile:
α++= cos)2( TxM
oDMD
oVV MC
mVTMCC
mVFa ; VqCC
mFa LDV −−= α
α )(0 ;
Prelegere 10
141
γ−== Θ cos; gaCmV
lFa VDqoq
V ; α= cosTxzp
ozpV C
mTa α
α = &&
Do
V CmV
lFa ; eDe
V CmFb δ
δ = 0 ;
α= δδ cos0 T
TxT
V CmTb
VqMC
mVTMCC
mVFa T
xMo
LMLoV +α−+=α sin)2( 22
;
)( DLo CC
mVFa += α
αα ; 12
0 +=α Lqq C
mVlFa ; γ−=Θ
α sinVga ;
α−=α sin0 Txzp
z CmVTa p ; α
αα = &&
Lo C
mVlFa 2 ; ;eL
oe CmVFb δ
δα = ;sinα−= δ
δα
TTx
oT CmVTb
BCaMC
BVa mo
qmMoV
qαα ==
HH ; ; emoe
qmo
qmqoq
q CB
bCBV
laCBV
la δδ
αα ===
HHH ;; && ;
( );20DMD
VV
VV MCC
mVFaa W +−=−= ( );0
LDVV CCmFVqaa W −−=−−= α
αα
( );220
LMLVV MCC
mVF
Vqaa W +−=+−= αα ( );0
DL CCmVFaa W +−=−= α
αα
αα
mMVq
Vq MC
BVaa W 0H
−=−= ; ;0α
αα −=−= mqq CB
aa WH
γ= cosVxa ; γ= sinV
za ; γ=α sinVax ; γ−=α cosVaz ; γ−=Θ sinVax ; γ=Θ cosVaz (10.2)
ecuaţiile mişcării longitudinale se pot rescrie în forma:
;mDaVa
bbazaaqaaVaV
pWVWVV
TT
Vee
VVpzpVV
qVV
VV
WW ∗α
δδαΘα
∆+α∆+∆+
+δ∆+δ∆+α∆+∆+∆Θ+∆+α∆+∆=∆ && &
;)(mVLaVa
bbazaaqaaVa
pWWV
TT
ee
pzpqV
WW ∗ααα
δα
δα
ααα
Θαα
ααα
∆+α∆+∆+
+δ∆+δ∆+α∆+∆+∆Θ+∆+α∆+∆=α∆ && &
;BaVabaqaaVaq WqWVqe
eqq
qqq
Vq
WW ∗αδαα ∆+α∆+∆+δ∆+α∆+∆+α∆+∆=∆ pM&& &
q∆=Θ∆ & . ∆Θ+α∆+∆=∆ Θα
xxVxp aaVax&
∆Θ+α∆+∆=∆ Θαzz
Vzp aaVaz&
(10.3) În baza relaţiilor anterioare se construiesc matricele derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate cu variabilele staţionare 0A şi cu variabilele nestaţionare 1A , pentru mişcarea longitudinală.
Prelegere 10
142
Având matricele 0A şi 1A determinate se poate construi matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate pentru mişcarea longitudinală A , care este de forma:
[ ] 01
1 AAIA −−= , (10.4) unde s-a notat cu I matricea unitate. Determinând numeric valorile proprii pentru matricea A se poate evalua soluţia sistemului liniar (10.3) adus la forma omogenă pentru un număr finit de cazuri de calcul. OBSERVAŢIE - Din analiza matricelor din tabelele 10.1 şi 10.2, construite în ipoteza unui câmp atmosferic omogen în care torsorul aerodinamic nu depinde de înălţime, iar termenii torsorul gazodinamic dependenţi de înălţime zpzp
V aa α; au valori mici, se poate considera că ultimele două variabile nu intervin în primele patru ecuaţii, ceea ce permite separarea ultimelor două ecuaţii şi reducerea corespunzătoare a ordinului sistemului. Similar matricelor derivatelor de stabilitate, în baza aceloraşi relaţii (10.3) se poate construi matricea derivatelor comandă în care se vor considera ca variabile de comandă independente bracajul de profundor şi bracajul gazodinamic axial obţinut prin deplasarea manetei de gaze a avionului (tabelul 10.3). Pentru modelul considerat în lucrarea [C14] matricea de comandă conţine valorile indicate în tabelul 10.4.
Tabelul 10.1 Matricea derivatelor de stabilitate cu variabile staţionare pentru
mişcarea longitudinală 0A
Θα
Θα
αα
Θαα
ααα
Θα
Θ
α
Θα
zzVzp
xxVxp
qqq
Vq
zpqV
zpVV
qVV
VV
pp
aaazaaax
aaaqaaaaaaaaaaVzxqV
65
14321
654321
Tabelul 10.2 Matricea derivatelor de stabilitate cu variabile nestaţionare pentru mişcarea longitudinală 1A
p
p
q
V
pp
zx
aqaaV
zxqV
654321
654321
Θ
α
Θα
α
αα
α
&
&
&
&&&&&&
Prelegere 10
143
Pornind de la matricea de stabilitate şi de la matricea de comandă se poate construi matricea de transfer care conţine coeficienţii tuturor funcţiilor de transfer care se pot obţine având ca intrări cele două bracaje de comandă iar ca ieşire variabilele de stare ale sistemului.
Tabelul 10.4 Coeficienţii numărătorului si numitorului matricei de transfer
pentru mişcarea longitudinală Intrări Variabile 6s 5s 4s 3s 2s 1s 0s
V 0,0 0,154 -2,736 -829,8 -671,52 0,0 0,0 α 0,0 0,194 33,511 0,307 0,280 0,0 0,0 q 0,0 33,457 68,760 0,200 0,0 0,0 0,0 Θ 0,0 0,0 33,457 68,760 0,200 0,0 0,0
px 0,0 0,0 0,154 -2,736 -829,8 -671,5 0,0
eδ
pz 0,0 0,0 -29,42 -8,156 10362,4 -12,16 0,0 V 0,0 2,989 9,442 109,397 -0,120 0,0 0,0 α 0,0 0,00 -0,003 -0,002 0,0 0,0 0,0 q 0,0 0,0 0,013 0,090 0,0 0,0 0,0 Θ 0,0 0,0 0,0 0,013 0,09 0,0 0,0
px 0,0 0,0 2,989 9,442 109,397 -0,120 0,0
Tδ
pz 0,0 0,0 0,054 0,435 2,208 13,553 0,0 Numitor unic 1.0 3,166 36,615 0,328 0,293 0,0 0,0
În continuare, pornind de la matricea de transfer vom construi principalele funcţii de transfer ale mişcării longitudinale, indicând totodată forma simplificată a acestora, efectuând astfel o minimizare sau o reducere dimensională a sistemului. Totodată se va prezenta comparativ răspunsul circuitului analizat la intrare treaptă, atunci când se utilizează funcţia de transfer completă şi funcţia de transfer redusă a acestuia. Pentru a pune în evidenţă mişcarea rapidă vom proceda la minimizarea sistemului „simplificând” perechile poli-zerouri cu valori apropiate, care se înscriu într-o toleranţă impusă. Această operaţie este echivalentă cu neglijarea modului lent, pentru care polii funcţiei de transfer au valori mici.
Tabelul 10.3 Matricea derivatelor de comandă
p
p
eq
Te
TV
eV
Te
zx
bqbbbbV
654321
21
Θ
α
δδ
δ
δα
δα
δδ
Prelegere 10
144
Astfel funcţia de transfer a incidenţei cu intrare în bracaj de profundor are următoare formă:
293,0328,0615,36166,3280,0307,0511,33194,0)( 234
23
+++++++
=δα ssss
ssssH e , (10.5)
Impunând toleranţa 0,3 , se obţine următoarea formă simplificată:
58,36158,351,33)( 2 ++
≅δα ss
sH e . (10.6)
În figura 10.1 este prezentat comparativ răspunsul în incidenţa la bracajul treaptă de profundor. Se observă că pentru un interval scurt de timp funcţia simplificată (10.6) aproximează corect funcţia completă (10.5).
0 1 2 3 4 5t [s]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
functia completafunctia redusa
Fig. 10.1 Răspunsul în incidenţa la bracajul de profundor
Analog se poate scrie funcţia de transfer a vitezei unghiulare de tangaj cu intrarea în bracaj de profundor:
293,0328,0615,36166,32,076,6846,33)( 234
23
++++++
=δ
ssssssssH e
q , (10.7)
cu forma simplificată:
58,36158,366,6846,33)( 2 ++
+≅δ
ssssH e
q (10.8)
În figura 10.2 este prezentat comparativ răspunsul în viteză unghiulară de tangaj la bracajul treaptă de profundor. Se observă că pentru un interval scurt de timp funcţia simplificată (10.8) aproximează corect funcţia completă (10.7).
Prelegere 10
145
În sfârşit, pentru modul lent se poate scrie funcţia de transfer a vitezei cu intrare în comanda tracţiunii:
293,0328,0615,36166,312,0397,109442,9989,2)( 234
23
++++−++
=δ
ssssssssH T
V (10.9)
Pentru a obţine forma redusă se elimină variabilele 2,3 din sistem, obţinându-se:
00802,000891,0003268,0989,2)( 2 ++
−≅δ
ssssH T
V (10.10)
0 1 2 3 4 5t [s]
0
1
2
3
4
5
functia completafunctia redusa
Fig. 10.2 Răspunsul în viteza unghiulara de tangaj la bracajul de profundor
În figura 10.3 este prezentat comparativ răspunsul în viteză la comanda treaptă a tracţiunii. Se observă că pentru un interval lung de timp funcţia simplificată (10.10) aproximează corect funcţia completă (10.9). Observaţie: Deşi aparent rezultatul pare contradictoriu, apărând viteze negative, trebuie să reamintim faptul că lucrăm în domeniul liniar, rezultatele obţinute reprezentând perturbaţii ale vitezei care se suprapun peste valoarea de echilibru (150 m/s) la o intrare unitară a comenzii de tracţiune (valoarea maximă pentru aplicaţia considerată).
Prelegere 10
146
0 50 100 150 200t [s]
-20
-10
0
10
20
30 functia completafunctia redusa
Fig. 10.3 Răspunsul în viteza la creşterea tracţiunii
În continuare, după cum am precizat în partea introductivă, ne propunem să separăm din mişcarea longitudinală o mişcare rapidă în jurul centrului de masă şi o mişcare lentă a centrului de masă, în scopul obţinerii unor soluţii analitice aproximative pentru sistemul (10.3) al ecuaţiilor mişcării longitudinale. Funcţiile de transfer care se vor construi vor fi foarte apropiate de cele aproximative indicate anterior, cu mici diferenţe datorate metodelor diferite de obţinere.
10.2 MIŞCAREA LONGITUDINALĂ RAPIDĂ Se consideră variabilele de stare lente ),( VΘ "îngheţate" la valorile corespunzătoare mişcării de bază )0,0( =∆=∆Θ V , caracterizată printr-un anumit număr Mach (M), o anumită înălţime ( )zp , o valoare a unghiului de atitudine longitudinală ( )Θ . Incidenţa (fig. 9.1) şi bracajul (fig.9.2) corespund unei mişcări de bază simetrice, orizontale şi se determină din condiţia de echilibru pentru zbor de translaţie. Din sistemul (10.3), dacă se separă prima şi ultimele trei ecuaţii, după cum procedează [C4], [E1],[K2], din forma omogenă a ecuaţiilor doi şi trei se obţine:
α∆+∆+α∆=∆
α∆+∆+α∆=α∆αα
ααα
αα
&&
&&&
&
qqqq
q
aqaaq
aqaa (10.11)
Aplicând transformata Laplace sistemul poate fi adus la forma:
Prelegere 10
147
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆α∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−−−−
ααα
αα
αα
00
)()1(
qasasaaaas
qqqq
q
&
&
(10.12)
cu polinomul caracteristic: α
ααα
αα
αα
αα
αα −+−++−−= q
qqq
qqq
qqq aaaasaaaaaasasP )()1()( 2 &&& . (10.13)
Pentru analiza atât a acestei expresii cât şi a celor ce vor fi elaborate ulterior este util să se evalueze ordinul de mărime a principalilor parametri, ceea ce va permite păstrarea în cadrul unor relaţii aproximative numai a termenilor importanţi. Pentru aceasta, pe lângă timpul de referinţă Vlt =* numit uneori şi secunda aerodinamică, care este un parametru mic, în [H1] mai sunt definiţi următorii parametri adimensionali: 2ˆ Vglg = - numit acceleraţie gravitaţională redusă, care este inversul numărului Froude; ( )Slmm ρ=~ - numit masa redusă a aparatului de zbor, sau densitate relativă; ( )2~ limi yB = - numit moment de inerţie redus în tangaj, unde yi este raza de inerţie a aparatului de zbor în raport cu axa de tangaj fiind dat
de relaţia mBiy /= . În acest caz, masa şi momentul de inerţie în tangaj al aparatului de zbor se exprimă astfel:
;~ Slmm ρ= 32 ~ SlimlmiB BB ρ== . (10.14) Ca ordin de mărime, se observă că timpul de referinţă *t şi acceleraţia gravitaţională redusă g sunt mici, în timp ce masa redusă m~ şi momentul de inerţie redus în tangaj Bi sunt mari. În continuare vom relua principalii coeficienţi ai ecuaţiilor mişcării longitudinale definiţi anterior, pe care vom căuta să îi exprimăm cu ajutorul acestor parametri, obţinând:
( )DMDVV MCC
tma += 2~2
1* ; ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−= α
α qCCmg
ga LDV ˆ~21
ˆ; Dq
qV Ct
gg
ma *
ˆ~21
= ;
αα = &&
DV Ctgg
ma *
ˆ~21 ; γ−=Θ cosgaV ; eD
eV C
gg
mb δδ =
ˆ~21 ; );(~2
1* DL CCmt
a += ααα
;1~21
+=α Lqq C
ma ;~2
1α
αα = &&
LCm
a eLe C
mtb δδα = ~2
1* ;
[ ]qmMCCtgg
tma LML
V ˆ~2)2(ˆ
~21 *
2* ++=α ; γ−=Θα sin
ˆ*tga ; mM
B
Vq MC
gg
tia
ˆ2
13*= ;
;2
12* α
α = m
B
q Cit
a ;2
1* mq
B
qq C
ita = ;
21* α
α = &&
mB
q Cit
a em
B
eq C
itb δδ = 2*2
1 .
(10.15)
Prelegere 10
148
Pentru explicitarea relaţiei (10.13) se fac notaţiile:
;)(
211 2*
22
αα
ααα
αα
−≅
−−
=Ω
≡m
B
qqq
qmm C
itaaaa
aT&
m
i
m
Bm ~ζ=η ;
DL
mm CC
C+
=ζα
α ;
)(2 αα
αα
αα
αα
αα
−−++
−=ξq
qqqm
qqq
qqq
m aaaaTaaaaaa &&
, )]()()([)(8
1αα
α
−+−+−η−
≅ξ &mmqmmmB
m CCCCi
,
(10.16) care reprezintă o parte din indicii secundari de stabilitate dinamică în tangaj. În continuare se prezintă valorile acestor mărimi pentru diverse numere Mach la înălţimea de 1000 m. Astfel, în figura 10.14 este reprezentată pulsaţia proprie a mişcării rapide longitudinale ( mΩ ), numită în standardul [X4] pulsaţia proprie în tangaj.
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Ω
initialfinal
[1/s
]
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
Fig. 10.4 Pulsaţia proprie în tangaj
În figura 10.15 este reprezentată constanta de timp în tangaj mT , care este inversa pulsaţiei proprii.
Prelegere 10
149
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
T[s
]
initialfinal
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
Fig. 10.5 Constanta de timp în tangaj
În sfârşit, în figura 10.16 este reprezentat factorul de amortizare relativă în tangaj mξ .
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
ξ
initialfinal
CONDITII DE CALCUL:- inaltimea H=1000- zbor orizontal
m
Fig. 10.6 Factorul de amortizare în tangaj
Prelegere 10
150
Un ultim parametru definit este rezerva de stabilitate statică în tangaj ζm , care va fi reprezentată ulterior în fig. 10.7. În acest caz, polinomul caracteristic al mişcării rapide în jurul centrului de masă (10.13) poate fi pus în forma:
22 2)( mmm sssP Ω+Ωξ+= , (10.17) cu rădăcinile:
mmmm is σΩ±Ωξ−=2,1 (10.18) unde:
1−=i ; 21 mm ξ−=σ . În continuare, pornind de la ecuaţiile mişcării rapide longitudinale dar de această dată în formă neomogenă, vom construi funcţiile de transfer ale obiectului comandat necesare în sinteza sistemului de comandă a avionului fără pilot. Având în vedere că ecuaţiile zborului comandat se decuplează doar în cazul unei evoluţii simetrice, pentru determinarea funcţiilor de transfer şi a indicilor de stabilitate şi manevră vom considera ca mişcare de bază o evoluţie în plan vertical, care la limită poate fi zborul orizontal. Pentru analiza calităţilor de zbor se porneşte de la ecuaţiile mişcării rapide longitudinale scrise în forma neomogenă:
( );mVLabaqaa pWeeq ∗α
αδα
ααα
αα ∆+α∆−δ∆+α∆+∆+α∆=α∆ && &
;Babaqaaq pWqee
qqqqq
∗αδαα ∆+α∆−δ∆+α∆+∆+α∆=∆ M&& & (10.19) Aplicând transformata Laplace sistemul devine:
[ ] ( )mVLabqaasa Weeq ∗α
αδαα
αα
αα ∆+α∆−δ∆=∆−α∆−− )1( &
( ) ( ) Babqasasa pWqee
qqqqq
∗αδαα ∆+α∆−δ∆=∆−+α∆+− M& ; (10.20) sau în forma matriceală:
( ) [ ]TppWeq
eq
e
LBab
mVabq
s ∗∗αδ
αα
δα ∆∆α∆δ∆⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆α∆
M10
01)(A ; (10.21)
unde: ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−−−−
= ααα
αα
αα
qqqq
q
asasaaasa
s &
&1)(A . (10.22)
Înmulţind la stânga cu inversa matricei A( )s se obţine: ( ) [ ]TppWe
qe
q
e
LBab
mVabs
q∗∗
αδ
αα
δα− ∆∆α∆δ∆⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆α∆
M10
01)(1A (10.23)
matricea inversă fiind dată de:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+−
= αα
αα
ααα−
asaasaaas
sPs
qqq
)1()(1)(1
&&A ; (10.24)
unde: α
ααα
αα
αα
αα
αα −+−++−−= q
qqq
qqq
qqq aaaasaaaaaasasP )()1()( 2 &&& , (10.25)
este polinomul caracteristic asociat sistemului omogen.
Prelegere 10
151
În acest caz principalele funcţii de transfer sunt:
;)(
)(sP
babasbsH
eqq
eq
qe δα
δα
δαδ
α
−+= ;
)(])1[(
)(sP
babasbabasH
eq
eq
eq
eq
q
δαα
δα
αδα
αδααδ −++−
=&&
)()(
sPaaaasa
sHqqq
qW
αα
αα
ααα
α
+−−= ; ;
)(])1[(
)(sP
saaaasH qq
qW
αα
ααααα +−−
=&&
)(sBP
aHqα
α =M ;
;)(
)1()(sBP
asasHq
αα
αα −−
=&
M ;)(
)(smVP
assH
qqL −
=α )(smVP
asaH qqL
q
αα +=
&
; (10.26)
sistemul putându-se pune în forma: *)()()()( pp
LWe sHLsHsHsH W MM ∆+∆+α∆+δ∆=α∆ α
∗α
αα
δα
∗αδ ∆+∆+α∆+δ∆=∆ pqpLqWqeq sHLsHsHsHq W MM )()()()( * . (10.27)
NOTĂ. Spre deosebire de acest mod de abordare a problemei funcţiilor de transfer pentru mişcarea longitudinală, mod care este adoptat în majoritatea lucrărilor, în lucrarea [K2] se propune ca pe lângă ecuaţiile mişcării rapide să fie introdusă şi ecuaţia unghiului de atitudine longitudinală: q∆=Θ∆ & , ceea ce conduce la evidenţierea termenului gravitaţional din ecuaţia
incidenţei ( )sin(γ−=Θα V
ga ), şi care face ca funcţiile de transfer pentru incidenţă şi pentru
unghiul de atitudine longitudinală cu intrare în bracaj să fie de forma:
;)(
)()(
2
sPbasbabasb
sHe
qeq
qe
qqe δΘ
αδα
δα
δαδ
α
+−+=
)(])1[(
)(sP
babasbabasH
eq
eq
eq
eq
δαα
δα
αδα
αδααδ
Θ
−++−=
&&
,
(10.28) unde de această dată polinomul caracteristic este de ordinul trei:
αΘα
αΘα
αα
αα
αα
αα
αα
αα −−−+−++−−= qqq
qqq
qqq
qqq aasaaaaaasaaaaaasasP )()()1()( 23 &&&& (10.29)
Revenind la forma iniţială, pentru construirea unei scheme structurale globale a sistemului avion comandat pe canalul de tangaj, după cum procedează şi [K2], din relaţiile (10.27) se va căuta să se exprime viteza unghiulară a tangentei la traiectorie. Pentru aceasta, dacă se pleacă de la legătura geometrică:
,α∆−∆Θ=γ∆ (10.30) prin derivare se obţine:
α∆−∆=ω∆ &qm (10.31) Utilizând relaţiile (10.27) legătura anterioară devine:
** )()()()( pmpLmW
Wmemm sHLsHsHsH MM ∆+∆+α∆+δ∆=ω∆ ωωαω
δω (10.32)
unde: )()()( ssHsHsH qm
δα
δδω −= ; )()()( ssHsHsH WW
qWm
αα
ααω −= ;
)()()( ssHsHsH LLq
Lm αω −= ; )()()( ssHsHsH qm
MMM
αω −= (10.33) În continuare, în baza relaţiilor (10.15) vom căuta să aducem aceste funcţii de transfer la o formă aproximativă simplificată. Astfel, într-o primă formă, funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrare în bracaj este:
Prelegere 10
152
121)( 22
22
1
+ξ+++
= δω
δω sTsT
sasaksHmmm
mm , (10.34)
unde mT , mξ au fost definiţi în cadrul analizei mişcării rapide longitudinale, iar ceilalţi parametri sunt:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ−
ζ≅
−−
=δ
δδα
ααα
δαα
δα
αδω
em
eLm
m
em
qqq
q
eq
eq
m CC
mtC
aaaababa
k 1~2 * ;
em
eLm
em
eLm
m
Be
qe
q
e
CC
CC
Cit
bababa
δ
δ
δ
δ
αδα
αδα
α
δα
ζ−
ζ=
−−
=1
2 2*
1 ;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−++
=−
−+−+=
δ
δ
α
α
δ
δ
α
αδα
αδα
α
δααα
δα
α
em
eLm
DL
mqm
em
eL
DL
LqLe
qe
q
eq
qeq
CC
CCCC
CC
CCCC
tbaba
baabaaa 1
)1()( *2
&&&&
(10.35) unde:
)( DLmm CCC +=ζ αα (10.36) este rezerva de stabilitate statică în tangaj.
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
ζ%
plan orizontalplan vertical
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
Fig. 10.7 Rezerva de stabilitate statică – procente de lungime fuzelaj
În majoritatea lucrărilor, deoarece termenii 1a , 2a de la numărător sunt consideraţi mici, se neglijează. Există însă şi lucrări în care aceştia sunt luaţi în considerare. Astfel, [C2] propune o tratare diferenţiată a configuraţiilor canard de cele normale. În cazul canard, deoarece 0/ <δδ emeL CC , numitorul celor doi
Prelegere 10
153
parametri este mare, putându-se neglija ambii termeni. În cazul configuraţiei normale, deoarece 0/ >δδ emeL CC se propune păstrarea lor. În continuare, pentru simplitate, vom renunţa la termenii derivatori de la numărător, funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrarea în bracaj utilizată fiind de forma:
12)( 22 +ξ+=
δωδ
ω sTsTksH
mmm
mm , (10.37)
unde δωmk (Fig. 10.8) poartă numele de factor de comandă în tangaj.
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
k
initialfinal
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
ωδ[1
/s]
Fig. 10.8 Factorul de comandă în tangaj
Pentru funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrarea în moment perturbator se poate scrie:
121)( 22 +ξ+
+= ω
ωω sTsTsTksH
mmm
mmm
MMM , (10.38)
unde:
mq
qqq
m Bt
aaaaBak η≅−
−= α
ααα
αα
ω
*
)(M ; ( )DL
LqLq
m CCCC
ta
aaT+−+
≅−−
=α
ααα
ααα
ω&
&*1M . (10.39)
Neglijând termenul derivator de la numărător TωM , care este mic, funcţia de
transfer devine:
12)( 22 +ξ+≅ ω
ω sTsTksH
mmm
mm
MM (10.40)
Prelegere 10
154
Pe de altă parte, funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrare în forţa perturbatoare se poate pune în forma:
( )
( )[ ] ααα
αα
αα
ω
−++η−
−+−−≅
≅−+−
−=
mB
mmqmmB
mB
mmqB
qqqqL
m
Cit
sCCCit
s
Cit
sCCit
s
mV
sPaaass
mVsH
2**2
2**2
2
21
21
21
21
1
)()(1)(
&
&
&
.
Dacă se are în vedere că parametrul ( ) mymBm limi ζ=ζ=η //)~( 2 este mic, funcţia de transfer capătă forma unei constante:
Lm
Lm ksH ωω −=)( , (10.41)
unde: 1)( −
ω = mVk Lm .
În sfârşit, funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrarea în incidenţa vântului, renunţând la termenii secundari, se poate pune în forma:
12)( 22
2
+ξ++η
−=αω
∗αω sTsT
skstsHmmm
WmmW
m , (10.42)
unde termenul de ordinul întâi se exprimă astfel: ( )
m
LLqmmqq
qqq
qqW
m mCCCC
aaaaaaaaaa
kζ
+ζ+−−≅
−++−−
= αα
ααα
α
αα
αα
ααα
ααω ~2
)()1( &&&
(10.43)
Pentru uşurinţa construirii unei scheme structurale vom reduce momentul perturbator şi incidenţa vântului la bracajul de comandă. Astfel, pentru momentul perturbator se poate scrie:
δωωδ = mm HHH MM , (10.44)
expresie care se reduce la un factor de amplificare:
( )mmmLmmm
B
m
m
CCCit
kkkH
δδδδω
ωδδ ζ−
≅==1
2 2*MMM . (10.45)
Similar, pentru incidenţa vântului avem:
δω
αω
αδ = m
Wm
W HHH , (10.46) expresie care se reduce la un termen derivator de ordinul doi:
)()( 221
2
sksksk
skstsH WW
m
WmmW α
δαδδ
ω
αω
∗αδ +−=
+η−= , (10.47)
unde:
Prelegere 10
155
( )[ ]
( )mmmLmmm
LLqmmmqe
qe
q
qqW
CCCtCCCC
babaaaaaaa
kδδδ
∗αα
δαα
δα
α
αα
αα
ααα
ααδ ζ−
+ζ+−−≅
−++−−
=1
)()1(1
&&&
( )mmmLmmm
BW
CCCtik
δδδ
αδ ζ−
=1
2 2*
2 (10.48)
În continuare vom căuta să găsim legătura dintre incidenţă )(α , viteza unghiulară ( )q şi viteza unghiulară a tangentei la traiectorie în tangaj )( mω . Pentru aceasta, pentru început, vom exprima legătura dintre incidenţă şi viteza unghiulară pornind de la funcţiile principale de transfer care exprimă aceşti parametri în funcţie de bracajul de comandă. Astfel, se poate construi funcţia de transfer:
),()()( sHsHsH qq δδ
αα = (10.49) care se pune iniţial în forma:
11)(
++
= δ
δα
αα sTsTksH
q
qq , (10.50)
unde:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ−+−
≅−−
=
δ
δα
δαα
δα
α
δα
δα
α
mm
mLmDL
eq
eq
eqq
eq
CCCC
mtbabababa
k1
~2 *
; mm
mLBeq
qe
e
CC
mit
bababT
δ
δδα
δα
δαδ
α ≅−
= ~*
( )( )mmmLmDLe
qe
q
eqq
eeq
q CCCCmt
babaababb
Tδδα
δαα
δα
α
αα
δαδα
δδ
ζ−+−≅
−−+
=1
~2 *&&
. (10.51)
Din forma simplificată a expresiilor anterioare se observă că doi parametri pot fi consideraţi egali:
δ
α ≅ qq Tk , (10.52)
iar cel de al treilea δαT , deşi în lucrările [K2],[B2],[C4] se neglijează, poate fi luat
în considerare:
eqq
eq
q
e
bababT δ
αδ
α
δαδ
α −= (10.53)
aproximaţii care sunt făcute în majoritatea lucrărilor [K2],[B2],[C4]. În acest caz funcţia de transfer se poate pune în forma simplificată:
Prelegere 10
156
11)(
++
≅ δ
δαδ
α sTsTTsH
q , (10.54)
ceea ce înseamnă că legătura simplificată între incidenţă şi viteza unghiulară are următoarea formă:
11/
++
≅∆α∆ δ
δαδ
sTsTTq
qq . (10.55)
unde parametrul δqT (Fig. 10.9) poartă numele de timpul de avans la comanda în
tangaj.
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0.5
1
1.5
2
2.5
T initialfinal
ω[s
]
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
Fig. 10.9 Timpul de avans la comandă
Revenind la relaţia de legătură (10.31) se poate scrie succesiv :
11)1(
11+
∆≅∆⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
+−≅∆⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆α∆
−=ω∆ δδ
δα
δ
sTqq
sTsTsT
sqq
qm , (10.56)
de unde se obţine funcţia de transfer care ne interesează: 1)( +≅ δω sTsH qq . (10.57)
Mai departe, pentru exprimarea incidenţei se poate scrie: )1()()()( +== δ
αδω
αωα sTTsHsHsH qq
q , (10.58) prin renotare:
δω = qm TT , (10.59)
Prelegere 10
157
obţinându-se parametru mTω care este numit în [B2] “constanta de timp a aparatului de zbor” şi care aproximează raportul dintre incidenţa de zbor şi viteza unghiulară a vectorului viteză, iar din punct de vedere al vitezei unghiulare de tangaj reprezintă un timp de avans la comandă. Pentru simplitate, vom nota în continuare ambii parametri mTω , urmând ca în funcţie de context să atribuim notaţiei una din cele două semnificaţii precizate anterior. În sfârşit putem evalua şi acceleraţia după normala la vectorul viteză în planul de comandă, care este dată de relaţia aproximativă:
;mn Va ω∆≅∆ (10.60)
Observaţie - Acceleraţia definită după normala la vectorul viteză în planul de comandă diferă de acceleraţia normală pe aparatul de zbor, care este măsurată de senzorii de la bordul aparatului şi care, dacă se consideră pozitivă în sensul axei z a triedrului mobil, este dată de relaţia aproximativă: mz ua ω∆−≅∆ .
În baza relaţiilor obţinute, dacă perturbaţia introdusă de incidenţa vântului se consideră inclusă în forţa şi momentul perturbator, iar forţa de greutate inclusă în forţa perturbatoare, după cum se procedează în majoritatea lucrărilor, se poate construi schema structurală a mişcării comandate de tangaj, schemă indicată în Fig. 10.10.
1+ω sT m
V mω
)1( +δαω sTT m
1222 +ξ+
δω
sTsTk
mmm
m
kδM
eδ
M p LpLkω
q
α
an
Fig. 10.10 Schema structurală a obiectului comandat pentru canalul de tangaj Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate în [C14], parametrii precizaţi anterior şi care se regăsesc în schema structurală din Fig. 10.10, capătă următoarele valori:
]/1[869,1 sk m =δω ; ][488,0 sT m =ω ; ][0058,0 sT =δ
α ]/1[00009,0 Nmk =δM ; ]/1[00002,0 Nsk L =δ
][1653,0 sTm = ; 261.0=ξm Dacă se introduc aceste valori în schema structurală din Fig. 10.11 se obţine funcţia de transfer a unghiului de incidenţa:
10431,00273,0912,0
10431,00273,0912,00053,0)( 22 ++
≅++
+=δ
α ssssssH e , (10.61)
şi a vitezei unghiulare de tangaj:
Prelegere 10
158
10431,00273,0869,1912,0)( 2 ++
+≅δ
ssssH e
q (10.62)
care sunt foarte apropiate de funcţiile simplificate (10.22) respectiv (10.24) obţinute anterior. Dacă se porneşte de la ecuaţia diferenţială omogenă a incidenţei, echivalentă schemei din Fig. 10.10:
02 2 =α∆Ω+α∆Ωξ+α∆ mmm &&& (10.63) şi se consideră o viteză unghiulară iniţială nenulă, răspunsul sistemului în incidenţă poate fi obţinut impunând condiţiile iniţiale:
0)0(;0)0( α∆=α∆=α∆ && , pentru care, soluţia ecuaţiei omogene (10.63) este:
( )temm
mm
tmm
σΩσΩ
α∆=α∆
Ωξ−
sin0& , (10.64)
unde: 21 mm ξ−=σ . (10.65)
Dacă se aplică o perturbaţie de durată scurtă, de tip impuls, răspunsul sistemului în incidenţă poate fi obţinut impunând condiţiile iniţiale:
0)0(;)0( 0 =α∆α∆=α∆ & , (10.66) cu care, soluţia ecuaţiei omogene (10.63) (răspunsul sistemului la intrare tip impuls) este:
( )mmmm
t
te mm
ϕ−σΩσ⋅α∆
=α∆Ωξ−
cos0 , (10.67)
unde:
21;arctg mmm
mm ξ−=σ
σξ
=ϕ . (10.68)
În baza relaţiei (10.67) se poate defini timpul de amortizare, ca fiind durata până la care deviaţia incidenţei, datorată unei perturbaţii de tip impuls introdusă în sistem, scade la 1/10 din valoarea iniţială, ceea ce conduce la relaţia:
m
mmam
Ttξ
=10ln . (10.69)
Valorile timpului de amortizare în funcţie de numărul Mach, în faza iniţială şi finală de zbor este prezentat în figura 10.21.
Prelegere 10
159
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
1
2
3
4
5
6
7
am[s
]
initialfinal
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
t
Fig. 10.11 Timpul de amortizare în tangaj
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0
10
20
30
40
max
initialfinal
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
n
Fig. 10.12 Factorul de sarcină maxim în tangaj
Cunoscând parametrii mişcării de bază corespunzătoare bracajului maxim de profundor se pot determina indicii de manevră cu relaţiile:
Prelegere 10
160
- factorul de sarcină maxim (Fig. 10.12):
gV
gan mn max
maxω
== ; (10.70)
- raza de curbură minimă a traiectoriei:
mmaxmin
Vω
=r . (10.71)
Relaţiile astfel obţinute corespund mişcării rapide longitudinale, pe canalul de tangaj. Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate în [C14], parametrii precizaţi anterior, capătă următoarele valori:
][458,1 stam == ; 64,9max =n ; ][4,242min m=r .
10.3 MIŞCAREA LONGITUDINALĂ LENTĂ După cum s-a arătat anterior, mişcarea rapidă se amortizează practic în mai puţin de 2 secunde, după acest interval mişcarea perturbată fiind descrisă numai de modul lent. Dacă se analizează un interval lung de timp şi se consideră parametrii mişcării rapide stabilizaţi la valorile mişcării de bază ( & ; & )∆ ∆q = =0 0α , iar valoarea de echilibru a vitezei unghiulare q suficient de mică pentru ca mişcarea de bază să poată fi considerată staţionară, (Θ = ct. ) sistemul (10.20) adus la forma omogenă, după separarea ultimelor două ecuaţii, se transformă într-un sistem de 2 ecuaţii diferenţiale omogene:
,; qaqaaVaV VqVV
VV ∆=Θ∆∆Θ+∆+α∆+∆=∆ Θα && (10.72)
şi două relaţii algebrice: .0;0 =∆+α∆+∆=∆Θ+∆+α∆+∆ αΘ
ααααα qaaVaaqaaVa q
qqVq
qV (10.73) Aplicând transformata Laplace şi introducând relaţiile (10.73) în ecuaţiile (10.72) sistemul poate fi adus la forma:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆Θ∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−−−−−+
αΘα
αα
αα
αα
αα
αΘααααα
00
)()( V
aasaaaaaaaaaasaaaaaaaasa
qqqq
qqVV
q
qVqqV
qqVq
VVV
Vqq (10.73)
cu polinomul caracteristic:
)()(])(
)()([)()( 2
ααΘα
αα
αα
ΘαΘα
αα
αα
αα
αααα
ααα
αα
−−−+−−−
−−+−+−=
qVVV
Vqq
VVqVqq
qqq
VV
qVV
qqV
qVq
VVq
qqq
aaaaaaaaaasaaaaaaa
aaaaaaaaaasaaaasP(10.74)
Dacă se exprimă coeficienţii polinomului cu ajutorul relaţiilor (10.15), renunţând la termenii secundari, şi considerând componenta în tangaj a vitezei unghiulare (q) mică, acesta poate fi adus la următoarea formă simplificată:
Prelegere 10
161
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡γ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
ζ−γ
ζ+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡γ−+−
ζ+≅
sin2cos~2ˆ
sinˆ~22~21)(
2*
*2
DMDm
mM
m
mM
DMDm
mM
MCCMCMCtm
g
sgmMCCMCtm
ssP
(10.75)
unde, reamintim că:
DL
mm CC
C+
=ζα
α (10.76)
este rezerva de stabilitate statică (Fig. 10.7). Rădăcinile 21,ss ale polinomului caracteristic (10.75), specifice mişcării lente, sunt mici în modul, putând avea atât o formă complex conjugată , după cum sunt cele obţinute pentru modelul de studiu considerat (tabelul 10.3), cât şi o formă reală. Partea reală a rădăcinilor poate fi atât negativă cât şi pozitivă, mişcarea de tip fugoidă fiind în general la limita de stabilitate. În continuare, după ce s-au construit formele liniare decuplate ale mişcării longitudinale, se urmăreşte găsirea unor soluţii aproximative pentru principalele moduri de mişcare. Avantajul considerării separate a diferitelor moduri de mişcare rezultă din faptul că polinoamele caracteristice asociate sunt de cel mult gradul doi, putându-se astfel obţine formule închise pentru valorile proprii. Deşi rezultatele obţinute cu aceste formule sunt evident primele aproximaţii, avantajul constă în a dispune de expresii analitice care permit obţinerea unor condiţii pe care trebuie să le satisfacă derivatele de stabilitate. Asemenea formule sunt de mare utilitate atât în practica proiectării cât şi în analiza indicilor de calitate a zborului pentru un anumit tip de aparat. Dacă se reiau ecuaţiile mişcării lente dar de această dată în forma neomogenă, se poate scrie:
TT
TV
q
qqq
q
VqV
VqV
q
Vq
Vq
VVV
bbV
asaa
aaaa
aa
asaaa
aaa
aasδ∆⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆Θ∆
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
δα
δ
Θαα
αααα
ααα
Θα
αα
α
. (10.77)
Ţinând cont că derivata de stabilitate αqa este mare, termenii de rotaţie sunt
mici, 0≅qVa 1≅α
qa , din relaţia anterioară se obţine:
TT
TV
VV
VV
bbV
asaaas
δ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆Θ∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−−
δα
δ
Θαα
Θ
. (10.78)
Înmulţind la stânga cu matricea inversă rezultă:
TT
TV
VV
VV
bb
asaaas
sPV
δ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆Θ∆
δα
δ
α
ΘΘα
)(1 . (10.79)
în care polinomul caracteristic, corespunzător mişcării fugoide, este dat de:
Prelegere 10
162
Θαα
ΘΘα −+−+= aaaasaassP V
VV
VVV )()( 2 . (10.80)
În baza relaţiilor stabilite se poate scrie principala funcţie de transfer:
TVV
VV
VV
VTT
V
aaaasaasabasbV δ∆−+−+
−+=∆ Θ
ααΘΘ
α
Θδα
Θα
δ
)()(
2 ; (10.81)
care, pentru cazul particular al zorului orizontal, capătă forma:
TVVV
TTV
gasasgbsbV δ∆−−
+=∆
α
δα
δ
2 . (10.82)
Pentru modelul de studiu considerat, funcţia de transfer este:
TsssV δ∆
++−
=∆0084,000916,0
0029,099,22 , (10.83)
funcţie care, este apropiată de funcţia simplificată (10.26) propusă la începutul capitolului. Zerourile funcţiei de transfer sunt: i0915,00046,0 ±− , fiind foarte apropiate de valorile proprii determinate pentru mişcarea fugoidă pornind de la matricea de stabilitate completă (prelegere 8) sau pornind de la matricea decuplată corespunzătoare mişcării longitudinale (10.4) .
Prelegere 11
163
11. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LATERALE
11.1 ECUAŢIILE LINIARIZATE ALE MIŞCĂRII LATERALE Similar ecuaţiilor mişcării longitudinale, ecuaţiile mişcării laterale se pot obţine prin două metode. Prima metodă pleacă de la forma liniară cuplată stabilită în prelegerea 8, în care s-au pus în evidenţă submatricele obţinute în cazul unei evoluţii simetrice, metodă dezvoltată în lucrarea [C15]. Cea de a doua metodă pleacă de la forma neliniară decuplată a ecuaţiilor mişcării stabilite în prelegerea 7, metodă care o vom utiliza în continuare. Astfel, dacă se liniarizează forma decuplată a ecuaţiilor pentru mişcarea laterală (7.64) se obţine:
;
cos1tg*
mY
CmuFC
muFC
muFC
mVulF
ugrC
mVulFpC
mVulFC
muF
pWy
orry
oaay
oy
o
yro
ypo
yo
∆−β∆+δ∆−δ∆−β∆−
−Θ∆Φ−∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ α+−β∆−=β∆
βδδβ
β
&
&
&
;AAC
EC
CEC
AC
CEC
A
CCEC
AC
CEC
AVlpq
CEC
CEC
AVl
rqA
CBCCEC
AVlC
CEC
Ap
*p
*p
Wnlo
aanalo
rrnrlo
nlo
nplpo
nrlro
nlo
LNHH
HHH
HH
∆+
∆+β∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−δ∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+δ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++β∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++β∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∆
ββδδ
δδββ
ββ
&
&
&&
;AC
EC
CAEC
CC
AEC
C
CAEC
CC
AEC
CVlpq
CBAC
AEC
CVl
rqCEC
AEC
CVlC
AEC
Cr
*p
*p
Wlno
aalano
rrlrno
lno
lpnpo
lrnro
lno
LNHH
HHH
HH
∆+
∆+β∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−δ∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+δ∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++β∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
+∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++β∆⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∆
ββδδ
δδββ
ββ
&
&
&&
.cossincos;secsec
;tgtg
∆Ψγ−∆Φα+β∆α=∆Θ∆Φ+Θ∆=Ψ∆
Θ∆Φ+Θ∆+∆=Φ∆
VVVyqr
qrp
p&
&
&
(11.1)
Făcând notaţiile:
;0β
ββ −= yC
muFa ;1 0
yrr C
mVulFa −=β ;tg0 α−−=β yp
p CmVu
lFa ;cosΘ−=Φβ u
ga
Prelegere 11
164
;0β
ββ −= &
&
yCmVu
lFa ;0ay
a CmuFb δ
δβ −= ;0
ryr C
muFb δ
δβ −= ;0
ββββ =−=β
yCmuFaa W
;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ββ
βln
0r C
AEC
Ca H ;q
CEC
AEC
CVla lrnr
0rr −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
H
CBAqC
AEC
CVla lpnp
0pr
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
H ; ;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ββ
β&&
&
ln0
r CAEC
Vl
Ca H
;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += δδ
δrlrn
0rr C
AEC
Cb H ;⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += δδ
δalan
0ar C
AEC
Cb H
;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=−= ββ
ββ
ln0
rr CAEC
Caa W
H ;0 qCEC
CEC
AVla nplp
pp +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
H
;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ββ
βnl
0p C
CEC
Aa H
ACBqC
CEC
AVla nrlr
0rp
−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
H ;
;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ββ
β&&
&
nl0
p CCEC
AVla H ;⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += δδ
δanal
0ap C
CEC
Ab H ;⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += δδ
δrnrl
0rp C
CEC
Ab H
;⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=−= ββ
ββnl
0p
Wp C
CEC
Aaa H ;tgΘ=Φ
ra Θ=ΦΦ tgqa ; Θ=Ψ secra ; Θ=Φ
Ψ secqa ;
α=β cosVay ; α=Φ sinVay ; γ−=Ψ cosVay , (11.2)
sistemul poate fi pus în forma:
)/(muYabbaaparaa pWaa
rrpr W ∗β
βδβ
δβ
ββ
Φβββ
ββ ∆+β∆+δ∆+δ∆+β∆+∆Φ+∆+∆+β∆=β∆ && & ;
Cabbaparaar pWraa
rrr
rrpr
rrr
W /∗βδδββ ∆+β∆+δ∆+δ∆+β∆+∆+∆+β∆=∆ N&&& ;
Aabbarapaap pWW
paa
prr
pprp
ppp /∗βδδββ ∆+β∆+δ∆+δ∆+β∆+∆+∆+β∆=∆ L&&
& ;∆Φ+∆+∆=Φ∆ Φ
ΦΦ aprar& ; ∆Φ+∆=Ψ∆ Φ
ΨΨ arar& ; ∆Ψ+∆Φ+β∆=∆ ΨΦβ
yyyp aaay& . (11.3)
În baza relaţiilor (11.3) se pot scrie matricele derivatelor de stabilitate cu variabile staţionare A 0 şi cu variabile nestaţionare A1 pentru mişcarea laterală, care sunt de forma indicată în tabelele (11.1) şi (11.2).
Prelegere 11
165
Tabelul 11.2 Matricea derivatelor de stabilitate cu
variabile nestaţionare pentru mişcarea laterală A1
Având matricele 0A şi 1A , similar cazului mişcării longitudinale, printr-o relaţie de tipul (10.4) se obţine matricea derivatelor de stabilitate cu comenzi blocate pentru mişcarea laterală A . Determinând numeric valorile proprii ale matricei A se poate evalua soluţia sistemului omogen (10.3) pentru un număr finit de cazuri de calcul. OBSERVAŢIE - Din analiza matricelor din tabelele 11.1 şi 11.2 se observă că ultimele două variabile nu intervin în primele patru ecuaţii, ceea ce permite separarea ultimelor două ecuaţii şi reducerea corespunzătoare a ordinului sistemului. Pentru modelul de studiu considerat în [C14], la viteza de 150 m/s şi înălţimea de 1 Km (M=0,45), cu caracteristici masice medii, matricea de stabilitate cu comenzi blocate este indicată în tabelul 11.3.
Tabelul 11.3 Matricea de stabilitate laterală cu comenzi blocate
0,04,15171,20,00,04,15160,00,00,00,00,10,050,00,00,00,10179,00,040,00,00,047,4275,28,15430,00,00002,004,03960,049,2420,00,00648,00172,09980,03989,01
654321
−ΨΦ
−−−
−−−βΨΦβ
p
p
y
pr
ypr
Tabelul 11.1 Matricea derivatelor de stabilitate cu variabile staţionare pentru mişcarea
laterală A 0
ΨΦβ
ΦΨΨ
ΦΦΦ
β
β
Φβββ
ββ
ΨΦ
βΨΦβ
yyyp
r
r
pp
rpp
pr
rrr
prp
aaayaaaa
aaapaaar
aaaaypr
65
14321
654321
p
p
r
p
y
apara
ypr
654321
654321
ΨΦ
βΨΦβ
β
β
ββ
&
&
&
&&&&&&
Prelegere 11
166
Valorile proprii corespunzătoare matricei de stabilitate sunt: i127,5487,0 ±− ; 285,4− ; 188,0− ; 064537,0 −− E ; 064535,0 −E ;
Din analiza rezultatelor se observă o pereche de valori proprii complex conjugate, cu parte reală negativă, care corespund mişcării de ruliu olandez. Urmează o valoare reală negativă, mare în modul, care corespunde ruliului pur, iar în sfârşit, o valoare reală pozitivă, mică în modul, care corespunde modului spiral. Este de remarcat că, deşi modul spiral este lent divergent, valorile proprii asociate mişcării laterale perturbate se încadrează în limitele de stabilitate impuse avioanelor din această categorie, ceea ce ne determină să considerăm că modelul de studiu adoptat este apt pentru a fi utilizat în aplicaţiile exemplificative următoare.
Similar mişcării longitudinale, în baza relaţiilor (11.3) se poate construi
matricea derivatelor comandă în care se vor considera ca variabile de comandă independente bracajul de eleron ( aδ ) şi bracajul de direcţie ( rδ ) (tabelul 11.4). Pentru modelul de studiu considerat, matricea de comandă conţine valorile din tabelul 11.5. În sfârşit, în baza matricelor de stabilitate şi de comandă, pentru aplicaţia din [C14] se poate scrie matricea de transfer ce conţine coeficienţii funcţiilor de transfer cu ieşiri în variabilele de stare şi intrări în unul din cele două bracaje, transformând sistemul MIMO (mai multe intrări/mai multe ieşiri) în mai multe sisteme SISO (o singură intrare / o singură ieşire).
Tabelul 11.6 Coeficienţii numărătorului si numitorului matricei de transfer pentru
mişcarea laterală Intrări Variabile 6s 5s 4s 3s 2s 1s 0s
β 0,0 -0,027 -3,717 -4,197 -6,906 0,0 0,0 r 0,0 0,957 15,929 122,521 429,840 0,0 0,0 p 0,0 264,696 208,37 6657,705 -7,696 0,0 0,0
aδ Φ 0,0 0,0 264,713 208,656 6659,899 0,0 0,0
Tabelul 11.5 Matricea derivatelor de comandă
pentru mişcarea laterală B
0,00,060,00,050,00,0418,507,2643
26,16957,021,0027,01
21
p
ra
y
pr
ΨΦ
−
−βδδ
Tabelul 11.4 Matricea derivatelor de comandă
pentru mişcarea laterală B
p
rp
ap
rr
ar
rara
y
bbpbbrbb
654321
21
ΨΦ
βδδ
δδ
δδ
δβ
δβ
Prelegere 11
167
Ψ 0,0 0,0 0,957 15,931 122,540 429,909 0,0
py 0,0 0,0 -4,134 9,770 -2481,55 -1547,41
-65080,1
β 0,0 0,101 17,579 73,570 -1,202 0,0 0,0 r 0,0 16,266 74,643 39,858 83,550 0,0 0,0 p 0,0 -50,182 12,746 1293,285 -1,496 0,0 0,0 Φ 0,0 0,0 -49,891 14,082 1293,999 0,0 0,0 Ψ 0,0 0,0 16,268 74,655 39,865 83,56 0,0
rδ
py 0,0 0,0 15,277 62,779 -127,857 -2710,06
-12649,8
Numitor unic 1,0 5,261 30,705 113,692 0,213 0,0 0,0 Pornind de la matricea de transfer vom construi principalele funcţii de transfer ale mişcării laterale, indicând totodată forma simplificată a acestora, efectuând astfel o minimizare sau o reducere dimensională a sistemului. Totodată se va prezenta comparativ răspunsul circuitului analizat la intrare treaptă, atunci când se utilizează funcţia de transfer completă şi funcţia de transfer redusă a acestuia. Pentru a pune în evidenţă mişcarea rapidă vom proceda la minimizarea sistemului „simplificând” perechile poli-zerouri cu valori apropiate, care se înscriu într-o toleranţă impusă. Această operaţie este echivalentă cu neglijarea modului lent, pentru care polii funcţiei de transfer au valori mici. Astfel funcţia de transfer a unghiului de derivă cu intrare în bracaj de direcţie are următoarea formă:
213,0692,113705,30261,5202,157,73579,17101,0)( 234
23
++++−++
=δβ ssss
ssssH r (11.4)
Impunând toleranţa 0,7 , se obţine următoarea formă simplificată:
52,26974,015,17)( 2 ++
≅δβ ss
sH r . (11.5)
În figura 11.1 este prezentat comparativ răspunsul în unghi de derivă la bracajul treaptă de direcţie. Se observă că pentru un interval scurt de timp funcţia simplificată (11.5) aproximează corect funcţia completă (11.4).
Prelegere 11
168
0 2 4t [s]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
functia completafunctia redusa
Fig. 11.1 Răspunsul în unghi de derivă la bracajul de direcţie
Analog se poate scrie funcţia de transfer a vitezei unghiulare de giraţie cu intrarea în bracaj de direcţie:
213,069,113705,30261,555,8386,39643,74266,16)( 234
23
+++++++
=δ
ssssssssH r
r (11.6)
cu forma simplificată:
52,26974,0751,427,16)( 2 ++
+≅δ
ssssH r
r . (11.7)
În figura 11.2 este prezentat comparativ răspunsul în viteză unghiulară de
giraţie la bracajul treaptă de direcţie. Se observă că pentru un interval scurt de timp funcţia simplificată (11.7) aproximează corect funcţia completă (11.6).
Prelegere 11
169
0 0.5 1 1.5 2t [s]
-1
0
1
2
functia completafunctia redusa
RASPUNSUL SISTEMULUI LA INTRARE TREAPTAintrare bracaj de directie, iesire unghi de deriva
Fig. 11.2 Răspunsul în viteza unghiulară de giraţie la bracajul de direcţie
Funcţia de transfer a vitezei unghiulare de ruliu cu intrarea în bracajul de eleron este dată de:
213,069,113705,30261,5696,771,665737,208696,264)( 234
23
++++−++
=δ
ssssssssH a
p , (11.8)
cu forma simplificată:
285,47,264)(
+≅δ
ssH a
p . (11.9)
În figura 11.3 este prezentat comparativ răspunsul în viteză unghiulară de ruliu la bracajul treaptă de eleron. Se observă că pentru un interval scurt de timp funcţia simplificată (11.9) aproximează corect funcţia completă (11.8). În sfârşit, se poate scrie funcţia de cuplaj, care leagă unghiul de giraţie de cel de ruliu pentru cazul intrării în bracaj de eleron:
sssssssH
9,665966,20871,264909,42954,122931,15957,0)( 23
23
+++++
=ΦΨ , (11.10)
Pentru a obţine forma redusă se elimină variabilele 1,2,3 din sistem, obţinându-se:
sssH 0645,00184,0)( +
≅ΦΨ . (11.11)
În figura 11.4 este prezentat comparativ răspunsul în unghi de giraţie la unghiul de înclinare laterală când acesta din urmă are o a variaţie tip treaptă. Se
Prelegere 11
170
observă că pentru după un interval mai mare de timp, necesar amortizării mişcării rapide, funcţia simplificată (11.11) aproximează corect funcţia completă (11.10).
0 2 4t [s]
0
10
20
30
40
50
60
functia completafunctia redusa
Fig. 11.3 Răspunsul sistemului în viteza unghiulară de ruliu la intrare în bracaj de
eleron
0 2 4 6 8 10t [s]
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
functia completafunctia redusa
Fig. 11.4 Răspunsul în unghi de cap la modificarea unghiului de înclinare laterală
Prelegere 11
171
În continuare, după cum am precizat în partea introductivă ne propunem să separăm mişcarea de ruliu de mişcarea rapidă în jurul centrului de masă în plan lateral în scopul obţinerii unor soluţii analitice aproximative pentru sistemul (11.3). Funcţiile de transfer care se vor construi vor fi foarte apropiate de cele aproximative indicate anterior, cu mici diferenţe datorate metodelor diferite de obţinere.
11.2 MIŞCAREA LATERALĂ RAPIDĂ (RULIU OLANDEZ)
Dacă se consideră mişcarea de ruliu amortizată )0;0( =∆Φ=∆p , cu unghiul Φ şi viteza unghiulară p nule (corespunzătoare valorilor de echilibru din mişcarea de bază), se pot separa primele două ecuaţii ale sistemului (11.3), care, ca şi în cazul mişcării longitudinale reprezintă mişcarea rapidă în jurul centrului de masă, dar de data aceasta în plan lateral. Renunţând la termenii de comandă şi perturbatori în scopul obţinerii unui sistem omogen, din primele două ecuaţii ale sistemului rezultă:
β∆+∆+β∆=∆
β∆+∆+β∆=β∆ββ
βββ
ββ
&&
&&
&
&
rrrr
r
araar
araa ; (11.12)
Aplicând transformata Laplace sistemul poate fi adus la forma:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∆β∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−−−−
βββ
ββ
ββ
00
)()1(
rasasaaaas
rrrr
r
&
&
. (11.13)
cu polinomul caracteristic: β
βββ
ββ
ββ
ββ
ββ −+−++−−= r
rrr
rrr
rrr aaaasaaaaaasasP )()1()( 2 &&& , (11.14)
ale cărui rădăcini sunt similare cu cele ale mişcării rapide longitudinale: is nnnn
22,1 1 ξ−Ω±Ωξ−= , (11.15)
unde:
ββ
ββ
ββ
−
−=Ω &a
aaaa rrr
rn 12 ;
nnT
Ω=
1 ; ( )ββββ
ββ
ββ
ββ
−−++
=ξr
rrrn
rrr
rrr
n aaaaTaaaaaa
2
&&
. (11.16)
Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate în [C14], parametrii precizaţi anterior , capătă următoarele valori:
;08,0];/1[96,4 =ξ=Ω nn s ][202,0 sTn = , de unde polinomul caracteristic este:
6016,247936,02 ++ ss , (11.17) cu rădăcinile complex conjugate:
is 944,43968,02,1 ±−= , rădăcini care se apropie de valorile proprii obţinute în prelegerea 8 din matricea de stabilitate nedecuplată şi de valorile proprii ale matricei de stabilitate laterală analizată anterior.
Prelegere 11
172
Similar cu canalul de tangaj pe canalul de giraţie se poate defini factorul de comandă:
ββ
ββ
δββ
δβ
βδω −
−=
rrr
r
rr
rrr
n aaaababa
k . (11.18)
şi constanta de timp în giraţie:
rr
rr
rrr
rrr
rn babaababb
TT δββ
δβ
β
ββ
δβδβ
δδ
ω −−+
==&&
(11.19)
În baza acestor parametri şi a celor definiţi prin relaţia (11.16) la analiza rădăcinilor polinomului caracteristic pentru mişcarea rapidă în giraţie se poate construi schema structurală a canalului de giraţie, schemă care este indicată în figura 11.5
1+ω sT n
u nω
nTω
1222 +ξ+
δω
sTsTk
nnn
n
Nδk
rδ
pN pYYkω
r
β
ya
Fig. 11.5 Schema structurală a obiectului comandat pentru canalul de giraţie
Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate, parametrii precizaţi anterior, capătă următoarele valori:
]/1[1633,0 sk rn =δω ; ][202,0 sTn = ; 08,0=ξn ][05,4 sT n =ω ; ]/1[000258,0 Nmk =δ
N Dacă se introduc aceste valori în schema structurală din fig. 11.5 se obţine funcţia de transfer a unghiului de derivă:
10323,00407,06614,0)( 2 ++
≅δβ ss
sH r , (11.20)
şi a vitezei unghiulare de giraţie:
10323,00407,01633,06614,0)( 2 ++
+≅δ
ssssH r
r (11.21)
care sunt apropiate de funcţiile simplificate (11.05) respectiv (11.7) obţinute anterior.
Prelegere 11
173
11.3 MIŞCAREA DE RULIU (RULIU PUR) Dacă se consideră mişcarea rapidă în jurul centrului de masă amortizată
),0;0( =β∆=∆r punând relaţiile 3 şi 4 ale sistemului (11.3) în forma omogenă se obţine:
∆Φ+∆=Φ∆∆=∆ ΦΦappap p
p&& ; , (11.22)
cu polinomul caracteristic:
ΦΦ
ΦΦ ++−= aaaasssP p
ppp )()( 2 , (11.23)
ce are două rădăcini reale: p
pa - rădăcină reală negativă corespunzătoare vitezei de ruliu amortizate; Θ=Φ
Φ tgqa - rădăcină reală negativă sau pozitivă corespunzătoare unghiului de înclinare laterală. Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate, polinomul caracteristic devine:
sssP 465,4)( 2 += (11.24)
cu rădăcinile:
465,41 −=s ; 02 =s , rădăcini care sunt apropiate de valorile proprii obţinute în prelegerea 8 din matricea de stabilitate nedecuplată şi de valorile proprii ale matricei de stabilitate laterală analizată anterior.
Reluând cea de a treia relaţie (11.3), corespunzătoare mişcării de ruliu, dar de această dată cu considerarea termenului de comandă şi a momentului perturbator, care în cazul mişcării de ruliu este acelaşi chiar dacă nu se separă influenţa vântului, se poate scrie:
Abpap a
ap
pp
pL∆+δ∆+∆=∆ δ& , (11.25)
în care, dintre notaţiile (11.2), s-au utilizat:
.; 00al
aplp
pp C
AbC
Vl
Aa δ
δ ==HH (11.26)
Făcând notaţiile suplimentare:
Prelegere 11
174
,1;;1pp
ppp
ap
pal0 a
Tab
kC
k −=−== δδ
δ
δδ
H
L (11.27)
care reprezintă o parte din indicii de calitate a zborului pentru mişcarea de ruliu:
δpk - factorul de comandă în ruliu (fig. 11.6);
Tpδ - constanta de timp la comanda în ruliu (fig. 11.7),
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
k
CONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
δ p[1
/s]
Fig. 11.6 Factorul de comandă în ruliu
Prelegere 11
175
0.2 0.4 0.6 0.8MACH
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TCONDITII DE CALCUL- inaltimea H =1000 m- zbor orizontal
δ p[s
]
Fig. 11.7 Constanta de timp la comanda în ruliu
L
δk - factorul de reducere a perturbaţiei la comandă în ruliu. Din relaţia (11.25) rezultă:
( )papp kkppT LL∆+δ∆=∆+∆ δδδ & . (11.28)
Aplicând transformata Laplace, se obţine: ppap HsHp LL∆+δ∆=∆ δ )( , (11.29)
unde s-au pus în evidenţă funcţiile de transfer ale canalului de ruliu:
1)(;
1)(
+=
+= δ
δδ
δ
δδ
sTkk
sHsTk
sHp
pp
p
pp
L
L , (11.30)
cu care se poate construi schema structurală a mişcării comandate pentru canalul de ruliu indicată în figura 1130.
kδ
L
kT s
p
p
δ
δ +1aδ
L p
p
Fig. 11.8 Schema structurală a obiectului comandat pentru canalul de ruliu
Dacă se porneşte de la ecuaţia diferenţială omogenă a vitezei unghiulare de
ruliu:
Prelegere 11
176
0=∆+∆δ ppTp & (11.31) şi se aplică o perturbaţie de durată scurtă, de tip impuls, răspunsul sistemului în viteză unghiulară de ruliu poate fi analizat impunând condiţia iniţială:
0)0( pp ∆=∆ . (11.32) În acest caz, soluţia ecuaţiei omogene (11.31) cu condiţia iniţială (11.32)
devine: δ−
⋅∆=∆ pTt
epp 0 (11.33) În baza soluţiei (11.33) se poate defini timpul de amortizare în ruliu ca fiind durata până la care deviaţia vitezei unghiulare de ruliu datorată unei perturbaţii de tip impuls introdusă în sistem scade la 1/10 din valoarea iniţială, ceea ce conduce la relaţia:
10lnδ= plam Tt . (11.34)
Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate, parametrii precizaţi anterior, capătă următoarele valori:
]/1[27,59 sk p =δ ; ][224,0 sTp =δ ; ]/1[0001,0 Nmk =δ
L ; ][5158,0 st lam = ,
Dacă se introduc aceste valori în schema structurală din fig. 11.8 se obţine funcţia de transfer:
1034,04,7)(+
=δ
ssH a
p , (11.35)
care este apropiată de funcţia simplificată (11.9) obţinută anterior.
11.4 MIŞCAREA LATERALĂ CUPLATĂ
Pentru analiza mişcării laterale cuplate se consideră că mişcările rapide de ruliu şi de giraţie sunt amortizate, neglijându-se totodată comenzile încrucişate între cele două canale. Pentru scrierea relaţiilor cuplate se pleacă de la ecuaţia unghiului de derivă, care, în ipoteza unei mişcări de bază orizontale, rectilinii şi uniforme, devine o relaţie algebrică:
0=∆Φ+∆+∆ Φβββ apara pr , (11.36)
la care se adaugă legăturile cinematice: p∆=Φ∆ & ; r∆=Ψ∆ & . (11.37)
Dacă se explicitează coeficienţii din relaţia (11.36) şi se ţine cont că pentru o mişcare de bază orizontală:
α=Θ ; (11.38) rezultă:
0=∆Φ−Φ∆α−Ψ∆Vg&& , (11.39)
ceea ce conduce la următoarea funcţie de transfer:
Prelegere 11
177
sVgssH /)( +α
=ΦΨ . (11.40)
Pentru numărul Mach de calcul ( 45,0=M ), corespunzător aplicaţiei dezvoltate, parametrii precizaţi anterior, capătă următoarele valori:
][0179,0025,1 rad==α o ; ]/[150 smV = ; ]/[81,9 2smg = . Funcţia de transfer (11143) devine:
sssH 0654,00179,0)( +
=ΦΨ , (11.41)
fiind destul de apropiată de funcţia de transfer simplificată (11.11) obţinută anterior.
Prelegere 12
178
12. MIŞCAREA RACHETEI CU ROTAŢIE LENTĂ
12.1 MIŞCAREA DE BAZĂ PENTRU RACHETA CU ROTAŢIE LENTĂ, COMANDATĂ GAZODINAMIC
În continuare vom analiza mişcarea de bază pentru racheta cu rotaţie
comandată gazodinamic . Astfel, dacă se consideră ca mişcare de bază o evoluţie simetrică în plan
vertical , cu elementele mişcării laterale nule:
0;0;0 =δ=β= ∗∗
nr , din fig. 12.1, ecuaţiile de echilibru în planul vertical al triedrului Resal se pot scrie astfel :
Θ++=∗ cos00 GCTCFma Tz
Azz ;
000 =+ T
mTAm CC HH . (12.1)
Dacă se neglijează termenii de amortizare gazodinamică şi se notează
lxx TT /ˆ = , componentele tracţiunii devin:
**
00 sinsin mmTTz TCTCT δ=δ= ; **
0 sinˆsinˆ0 mTmTT
TmT xTlCxlTC δ=δ=H , (12.2)
unde, după cum se va arăta ulterior, bracajul gazodinamic echivalent după axa de tangaj a triedrului Resal poate fi luat pentru rachetele bicanal aproximativ egal cu bracajul dintr-un plan de comandă, iar pentru rachetele monocanal se obţine prin integrarea pe o perioadă de rotaţie a proiecţiei bracajului din planul de comandă după direcţia axei de tangaj a triedrului semilegat.
Coeficienţii aerodinamici se dezvoltă astfel : *qCCC A
zqAz
Az +α= α ; *qCCC A
mqAm
Am +α= α . (12.3)
Înlocuind în ecuaţiile mişcării de bază rezultă: ****
00 cossinˆ qmuGTqCFCF mAzq
Az −=Θ+δ++αα ;
0sinˆˆ **00 =δ++αα mT
Amq
Am xTqCFCF . (12.4)
Dacă se consideră zbor de translaţie, se poate scrie : 0*** =−= quaz ,
relaţiile (12.4) putând fi aduse la forma:
Fig. 12.1 Elementele mişcării de bază pentru racheta
cu rotaţie comandată gazodinamic
Prelegere 12
179
0cossin *0 =Θ+δ+αα GTCF m
Az ; 0sinˆ *
0 =δ+αα mTAm xTCF . (12.5)
Făcând raportul celor două ecuaţii se obţine relaţia :
Θ+δδ
=ζ
cossinsin
ˆ *
*
GTT
x m
m
T
, (12.6)
unde s-a notat αα=ζ zm CC rezerva de stabilitate statică şi de unde rezultă imediat valoarea de echilibru a bracajului echivalent:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ−
ζΘ=δ
Tm xT
Ge ˆ
cosarcsin* . (12.7)
Pe de altă parte, tot din relaţiile (12.5), eliminând termenul tracţiunii, se obţine valoarea incidenţei de echilibru:
ζ−Θ
−=αα T
TAz
e xx
CFG
ˆˆcos
0
. ( 12.8)
OBSERVAŢIE .- Pentru cazul particular al zborului orizontal unghiul de atitudine longitudinală este egal cu incidenţa: α=Θ , relaţia (12.8) devenind o ecuaţie care se rezolvă iterativ.
Dacă se consideră bracajul echivalent maxim şi se neglijează termenii de rotaţie :
0=AzqC ; 0=A
mqC ; din ( 12.5) va rezulta :
*max
0max sinˆ
δζ
−=α
α
TAz
xCFT , ( 12.9)
unde, după cum se va arăta ulterior, pentru racheta bicanal bracajul echivalent maxim este aproximativ egal cu bracajul maxim într-un plan de comandă, iar pentru racheta monocanal el este dat de relaţia;
max*max
2δ
π=δ , (12.10)
în care δmax reprezintă bracajul maxim în planul de comandă al rachetei. Înlocuind (12.9) în prima relaţie (12.5) se obţine :
Θ+δ+δζ−= cossinsin)ˆ( *max
*max GTxTma Tz . (12.11)
Izolând termenul de comandă :
( ) *maxsin1ˆcos δ−ζ
−=Θ−∗
Tz xmTga ,
se obţine factorul de sarcină maxim, care este dat de relaţia : **
max sinsin mezn δδ= . (12.12)
Prelegere 12
180
12.2 MIŞCAREA RAPIDĂ ÎN JURUL CENTRULUI DE MASĂ PENTRU RACHETA CU ROTAŢIE
Pentru rachetele cu rotaţie în ruliu, utilizând un triedru semilegat (Resal), se
pot grupa şi analiza împreună ecuaţiile mişcării rapide în plan vertical şi lateral. În acest scop se presupune că elementele mişcării lente şi de ruliu sunt “îngheţate” la valorile lor de echilibru, perturbaţia introdusă în sistem dezvoltându-se numai după mişcarea rapidă în jurul centrului de masă, care, după cum vom arăta ulterior nu se poate analiza separat pe fiecare canal, fiind de fapt o evoluţie unică de tip spirală. Pentru analiza acestei mişcări se porneşte de la simetrizarea ecuaţiilor de forţe după axele ∗∗ zy , ale triedrului Resal. Pentru aceasta, se ţine cont că datorită rotaţiei componentele forţei perturbatoare date de asimetriile aerodinamice şi gazodinamice se anulează, singurele perturbaţii rămase sunt cele datorate acceleraţiei gravitaţionale, care prin termenii Magnus afectează şi planul lateral şi cele datorate vântului1. În plus, datorită rotaţiei, coeficienţii aerodinamici conţin o serie de termeni de cuplaj Magnus, termeni care apar pe ambele canale. Cu aceste precizări, liniarizând (7.16) se obţine:
;/*2
2
mYCmFC
mFqpC
mVlF
pCmV
lFCmV
lFruCmV
lFCmFv
pWyo
nnyo
ypo
ypo
yo
yro
yo
∆+β∆−δ∆+∆+
+α∆+β∆+∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+β∆=∆
β∗
δ∗
α
αβ∗∗
β∗ && &
,/*2
2
mZCmFC
mFrpC
mVlF
pCmV
lFCmV
lFquCmV
lFCmFw
pWzo
mmzo
zpro
zpo
zo
zqo
zo
∆+α∆−δ∆+∆+
+β∆+α∆+∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++α∆=∆
α∗
δ∗
βα∗∗
α∗ && &
(12.13)
( ) ( )∗∗∗∗ −=β=α uvuw arctg;arctg , (12.14)
0000
;;;H
N
H
M ∗∗∗∗
==== nmzy CCFZC
FYC , (12.15)
iar xx pp ω≅+ω= ∗ .
α∆α+∆α=∆β∆−=∆ ∗ &&&&& cossin;** VVwuv . (12.16) Dacă se consideră că incidenţa din planul longitudinal este mică, relaţiile anterioare capătă forma aproximativ simetrică:
α∆≅∆β∆−=∆ ∗ &&&& *** ; uwuv , (12.17) ecuaţiile (12.13) putând fi aduse la următoarea formă: 1 Perturbaţiile datorate vântului, din punct de vedere al mişcării analizate, pot induce numai incidenţe suplimentare, creşterea modulului vitezei, fiind specifică mişcării lente, este neglijată.
unde incidenţele sunt definite prin componentele vitezei
după axele triedrului Resal:
unde coeficienţii aerodinamici sunt de asemenea consideraţi
după axele triedrului semilegat:
Prelegere 12
181
;1
1
*2
2
pWzo
mmzo
zpro
zpo
zo
zqo
zo
Zmu
CmuFC
muFrpC
umVlF
pCmVu
lFCmVu
lFqCmVu
lFCmuF
∆+α∆−δ∆+∆+
+β∆+α∆+∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++α∆=α∆
∗α∗∗
δ∗∗
∗
β∗α∗∗
∗α∗&& &
;1
1
*2
2
pWyo
nnyo
ypqo
ypo
yo
yro
yo
Ymu
CmuFC
muFqpC
umVlF
pCmVu
lFCmVu
lFrCmVu
lFCmuF
∆−β∆+δ∆−∆−
−α∆−β∆−∆⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+β∆−=β∆
∗β∗∗
δ∗∗
∗
α∗β∗∗
∗β∗&&
&
(12.18) unde în componentele perturbaţiei permanente ∆Zp
∗ , ∗∆ pY se regăsesc atât termenii gravitaţionali cât şi termenii rămaşi prin aproximaţia făcută la simetrizarea ecuaţiei unghiului de incidenţă α . În continuare vom relua ecuaţiile dinamice Euler în care vom ţine cont de termenii giroscopici de cuplaj puşi în evidenţă prin trecerea de la triedrul mobil legat de rachetă la triedrul Resal, considerând nule componentele momentului perturbator care provin în principal de la asimetria aerodinamică şi gazodinamică. Suplimentar faţă de condiţiile impuse mişcării de bază cu ruliu stabilizat, vom considera că evoluţia în plan vertical este de translaţie, adică 0=∗q . Totodată, după cum am procedat şi în cazul ecuaţiilor de forţă, în ecuaţia momentului de tangaj se vor considera nuli termenii de dezvoltare după modul lent )( V∆ , iar în ecuaţia momentului de giraţie nu se vor lua în considerare termenii de legătură cu mişcarea de ruliu. În plus vor fi evidenţiaţi termenii de cuplaj Magnus care apar datorită mişcării de rotaţie în jurul axei longitudinale. Cu aceste precizări suplimentare, liniarizând (7.17) se obţine:
;2
2
Wmo
mmmo
mpro
mpo
mo
mqo
mo
CB
CB
rpBAC
BVl
pCBV
lCBV
lqCBV
lCB
q
α∆−δ∆+∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+β∆+α∆+∆+α∆=∆
α∗
δ∗
βα∗
α∗
HHH
HHHH&& &
.2
2
Wno
nnno
npqo
npo
no
nro
no
CC
CC
qpCAC
CVl
pCCV
lCCV
lrCCV
lCC
r
β∆−δ∆+∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
+α∆+β∆+∆+β∆=∆
β∗
δ∗
αβ∗
β∗
HHH
HHHH && &
(12.19) Dacă se fac notaţiile:
β∗α∗αγ −== y
oz
o CmuFC
muFa ; yr
ozq
oq CmVu
lFCmVu
lFa ∗∗γ −=+= 11 ;
β∗α∗αγ −== &&&
yo
zo C
mVulFC
mVulFa ; αβ
βγ == yp
ozp
o CmVu
lpFCmVu
lpFa**
;
Prelegere 12
182
ypqo
zpror C
umVplFC
umVplFa
** 2
2
2
2
==γ ; nyo
mzo C
muFC
muFb δ∗δ∗
δγ −== ;
βααϖ == nm
o CC
CB
a HH; nr
omq
oq CCV
lCBV
la HH==ϖ ; βα
αϖ == &&&
no
mo C
CVlC
BVla HH
;
αββϖ −== np
omp
o CCV
lpCBV
lpa HH;
pCAC
CVlp
BAC
BVla npq
ompr
or⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ϖ 2
2
2
2 HH; ,
nm no
mo C
CC
Bb δδδϖ ==
HH
(12.20) valabile pentru cazul în care α este mic şi se definesc mărimile complexe:
;;;;; ***pppWWWnm iYZFiiirqj +=β−α=γδ−δ=δ−=ϖβ−α=γ ∗∗∗∗∗∗∗∗
(12.21) βγ
αγ
γγ += iaaa ; rq iaaa γγ
ϖγ += ; β
ϖαϖ
γϖ += iaaa ; rq iaaa ϖϖ
ϖϖ += , (12.22)
unde: 1−=i ,
sistemul poate fi adus la forma: )/( ∗∗∗α
γ∗δ
γ∗α
γ∗ϖ
γ∗γ
γ∗ ∆+γ∆−δ∆+γ∆+ϖ∆+γ∆=γ∆ muFabaaa pW&& & ;
∗αϖ
∗δϖ
∗αϖ
∗ϖϖ
∗γϖ
∗ γ∆−δ∆+γ∆+ϖ∆+γ∆=ϖ∆ Wabaaa && & . (12.23) Forma sa omogenă, după aplicarea transformatei Laplace este:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
ϖ∆γ∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−+−−−−
∗
∗
ϖϖ
γϖ
αϖ
ϖγ
γγ
αγ
00
)()1(
asasaaasa
&
&
. (12.24)
Polinomul caracteristic devine: ( ) ( ) γ
ϖϖγ
ϖϖ
γγ
ϖϖ
αγ
ϖγ
αϖ
ϖϖ
γγ
αγ −+−++−−= aaaasaaaaaasasP &&& 21)( , (12.25)
sau, după separarea termenilor complecşi: ( ) ( )[ ]
( ).1)( 2
rqqrrrqq
rrrqqq
aaaaaaaaiaaaaaaaa
saaaaaaiaaaaaasasP
γαϖ
βγϖ
βϖγϖ
αγϖ
βγ
βϖγ
αϖγϖ
αγ
ϖαγγ
αϖϖ
βγϖ
αγγ
αϖϖ
γγ
αγ
−+−+−+−+
+−+++−+++−= &&&&&
(12.26)
mtCa z
~2 ∗αα
γ = ; m
Ca zqq
~21+=γ ;
mCa z
~2αα
γ =&& ; β∗
βγ = zpC
tmpa ~2ˆ
; zprr C
mpa ~2ˆ
=γ ;
∗δδ
γ = tmCb mz
~2;
B
m
itCa 22 ∗
ααϖ = ;
B
mqq
itC
a ∗ϖ = 2;
B
m
itCa ∗
ααϖ = 2
&& ; β∗βϖ = mp
B
Cit
pa 22ˆ ;
pBtA
itC
aB
mprr ˆ2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∗∗ϖ ;
B
mm
itCb 22 ∗
δδϖ = , (12.27)
unde s-a utilizat viteza unghiulară adimensională în ruliu : ∗= ptp . (12.28)
Cu notaţiile anterioare, după renunţarea la termenii secundari polinomul caracteristic devine:
Prelegere 12
183
[ ]
.ˆ~2)(
2)(1
ˆ)()()(211)(
2
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
−+
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+−+−+−η+=
αα∗
αα∗
pBA
mCi
iC
t
spBAiCCC
itssP
z
B
m
mmqmB
&
(12.29)
Dacă se introduc notaţiile:
pBA
p 2=ω ;
Ω
ω=φ p ;
miB~ζ
=η ; pωη=χ ˆ2 , (12.30)
unde, după cum vom arăta ulterior, ω p reprezintă viteza unghiulară de precesie şi ne situăm în cazul rachetelor stabilizate aerodinamic, cu rotaţie lentă, la care focarul este în spatele centrului de masă, polinomul caracteristic are partea reală a termenului liber pozitivă, putându-se scrie în forma:
)1()(2)( 22 χ+Ω+φ+ξΩ+= isissP , (12.31) unde pulsaţia proprie Ω şi factorul de amortizare ξ au aceeaşi semnificaţie ca şi în cazul rachetelor cu ruliu stabilizat. Rădăcinile polinomului caracteristic, deci valorile proprii ale matricei derivatelor de stabilitate sunt date de:
( )ξφ−χ−φ−−ξΩ+ω−Ωξ−= 21 222,1 iis p , (12.32)
sau, dacă se ţine cont că ξφ≅χ 2 rădăcinile polinomului caracteristic pot fi puse în forma simplificată:
σΩ±ω−Ωξ−≅ iis p2,1 , (12.33) unde:
221 φ+ξ−=σ .
12.3 INDICII DE CALITATE A MIŞCĂRII LONGITUDINALE PENTRU RACHETA CU ROTAŢIE
Pentru definirea indiciilor de calitate a zborului rachetei cu rotaţie pornim de
la ecuaţiile mişcării rapide longitudinale (12.23) scrise în forma neomogenă: ( ) [ ]TpW F
abmuab
s ∗∗αϖ
δϖ
∗αγ
δγ−
∗
∗
∆γ∆δ∆⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ϖ∆γ∆ *1
01
)(A , (12.34)
matricea inversă fiind dată de:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−+−
= γγ
γγ
γϖ
αϖ
ϖγ
ϖϖ−
asaasaaas
sPs
)1()(1)(1
&&A ; (12.35)
unde: ( ) ( ) γ
ϖϖγ
ϖϖ
γγ
ϖϖ
αγ
ϖγ
αϖ
ϖϖ
γγ
αγ −+−++−−= aaaasaaaaaasasP &&& 21)( (12.36)
este polinomul caracteristic cu coeficienţi complecşi asociat sistemului omogen. În acest caz principalele funcţii de transfer sunt:
Prelegere 12
184
;)(
)(sP
babasbsH
δγ
ϖϖ
δϖ
ϖγ
δγδ
γ
−+=
)()(
sPaaaasa
sH W
αγ
ϖϖ
αϖ
ϖγ
αγγ
γ
−+−= ;
;)(
)(sPmu
assH F∗
ϖϖ
γ
−= ;
)()(
)(sP
babasbababsH
δϖ
γγ
δγ
γϖ
δϖ
αγ
δγ
αϖ
δϖδ
ϖ
−+−+=
&&
;)()(
)(sP
aaaasaaaaasH W
αϖ
γγ
αγ
γϖ
αϖ
αγ
αγ
αϖ
αϖγ
ϖ
−+−+−=
&&
)(sPmu
asaH F∗
γϖ
αϖ
ϖ
+=
&
,
(12.37) sistemul putându-se pune în forma:
∗γ
∗γγ
δγ
∗ ∆+γ∆+δ∆=γ∆ pF
W FsHsHsH W )()()( * ; *)()()( p
FW FsHsHsH W ∆+γ∆+δ∆=ϖ∆ ϖ∗γ
ϖ∗δ
ϖ . (12.38)
Pentru construirea unei scheme structurale globale a sistemului rachetă comandată, după cum am procedat şi în cazul rachetelor cu ruliu stabilizat, din relaţiile (12.38) se va căuta să se exprime viteza unghiulară a tangentei la traiectorie. Pentru aceasta, dacă se pleacă de la legătura:
,∗∗∗ γ∆−ϖ∆=ω∆ & (12.39) unde:
nm iω−ω=ω∗ , (12.40) utilizând relaţiile (12.38) se obţine:
*)()()( pF
WW FsHsHsH ∆+γ∆+δ∆=ω∆ ω
∗γω
∗δω
∗ , (12.41) în care:
)()()( ssHsHsH δγ
δϖ
δω −= ; )()()( ssHsHsH WWW γ
γγϖ
γω −= ; )()()( ssHsHsH FFF
γϖω −= . (12.42)
În continuare , în baza relaţiilor (12.37) vom căuta să aducem funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrare în bracaj la o formă aproximativă simplificată. Astfel, pentru început, aceasta se poate pune în forma:
)(])()1[(
)(2
sPbabasbaabaasb
sHδϖ
γγ
δγ
γϖ
δγ
αϖ
ϖϖ
δϖ
αγ
ϖγ
δγδ
ω
−+++−−+−=
&&
,
sau, după explicitarea termenilor complecşi:
,)(/)]()(
)(])1()[([)( 2
sPbabaibaba
sbabajbaabaasbsH rrqq
δϖ
βγ
δγ
βϖ
δϖ
αγ
δγ
αϖ
δϖγ
δγϖ
δϖ
αγγ
δγ
αϖϖ
δγ
δω
−+−+
+−+−+−++−= &&
(12.43) unde polinomul caracteristic este dat de (12.36).
În continuare, făcând notaţiile:
Prelegere 12
185
αϖγ
αγϖ
δϖ
αγ
δγ
αϖδ
ω −−
=aaaababa
k qq ; δϖ
αγ
δγ
αϖ
δϖγ
δγϖ
ω −−
=ωϑbabababa
Trr
pˆ2 (12.44)
funcţia de transfer a vitezei unghiulare a tangentei la traiectorie cu intrarea în
bracaj poate fi adusă la forma:
χ++φ+ξ+ωϑ+
= ωδωδ
ω isiTsTsTik
sH p
1)(2)ˆ21(
)( 22 , (12.45)
unde kωδ poartă numele de factor de comandă, iar parametrul ωT reprezintă timpul
de avans la comandă, sau constanta de timp a aparatului. Renunţând la termenii secundari, pentru racheta comandată aerodinamic,
parametrii definiţi prin notaţiile (12.44) devin:
ζ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ−
= δ
δδ
δω mt
CCC
k mm
mzmm
~2
1
* ; mm
mz
CC
δ
δ−ζη=ϑ
)( ; ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ζ−−
≅
δ
δα
ω
mm
mzz C
CC
mtT1
~2 *
.
Pentru cazul când racheta are comenzi gazodinamice rezultă similar: ( )
ζζ−
=δω mV
xTk Tˆ ; Tx/ηζ−=ϑ ; ( )( )ζ−−≅
αω
Tz
T
xCxmtTˆˆ~2 *
,
unde s-a notat : lxx TT =ˆ în care Tx reprezintă distanţa dintre punctul de aplicare a comenzii gazodinamice şi centrul de masă. În continuare vom căuta să găsim legătura dintre incidenţă )( ∗γ/ , viteza unghiulară )( ∗ϖ şi viteza unghiulară a tangentei la traiectorie )( ∗ω . Pentru început, vom stabili legătura dintre incidenţă şi viteza unghiulară pornind de la funcţiile principale de transfer care exprimă aceşti parametri în funcţie de bracajul de comandă. Astfel, se poate construi funcţia de transfer:
),()()( sHsHsH δϖ
δγ
ϖγ = (12.46)
care, după renunţarea la termenii secundari, se poate pune în forma:
1)ˆ21(
)(+ωϑ−
=ω
ωϖγ sT
iTsH p , (12.47)
ceea ce înseamnă că legătura simplificată între incidenţă şi viteza unghiulară are următoarea formă:
1)ˆ21(
+ωϑ−
≅ϖ∆γ∆
ω
ω∗
∗
sTiT p . (12.48)
Revenind la relaţia de legătură (12.39) se poate scrie succesiv
Prelegere 12
186
ppp
sTsTi
sTsiT
s ϖ∆+ωϑ+
=ϖ∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ωϑ−
−≅ϖ∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ϖ∆γ∆
−=ω∆ω
ω∗
ω
ω∗∗
∗∗
1ˆ21
1)ˆ21(
11 , (12.49)
de unde se obţine funcţia de transfer care ne interesează:
sTisTsH
p ω
ωωϖ ωϑ+
+≅
ˆ211)( . (12.50)
Mai departe, pentru exprimarea incidenţei se poate scrie:
sTiiT
sHsHsHp
p
ω
ωωϖ
ϖγ
ωγ ωϑ+
ωϑ−≅=
ˆ21)ˆ21(
)()()( . (12.51)
În sfârşit, putem evalua şi componentele acceleraţiei complexe normale pe viteză, care, dacă se ţine cont de ipoteza incidenţelor mici introdusă la simetrizarea mişcării longitudinale, au direcţia axelor y∗şi z∗ ale triedrului semilegat, fiind date de relaţia aproximativă:
,∗∗ ω∆≅∆ Va (12.52)
unde: )( ∗∗∗ +−= yz iaaa . (12.53)
În baza relaţiilor obţinute, se poate construi schema structurală a mişcării comandate pentru rachetele cu rotaţie lentă, schema indicată în fig. 12.2.
Wγ
δH
)2(12)ˆ21(
22 χ+φ++ξ+ωϑ+ ω
δω
sTiTssTsTik pδ∗
γ W∗
sTiiT
p
p
ω
ω
ωϑ+
ωϑ−ˆ21
)ˆ21(
Fkω
sTisT
p ω
ω
ωϑ++ˆ21
1
∗γ
∗a
∗ϖ∗pF
∗ω
V
Fig. 12.2 Schema structurală a mişcării comandate pentru racheta cu rotaţie lentă
187
BIBLIOGRAFIE
A 1. ABGARIAN,K.A.,KALIAZIN,E.L.,MIŞIN,V.P.,RAPOPORT,I.M.,Dinamika
raket, Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1990. 2. ALEKSANDROV, G.V., SVIATODUH, B.K., Upravliaemîe dvijenia v
ploskosti simmetrii krîlatîh apparatov razlicinîh shem, Injenernîi Jurnal, T.III, Vîp. I, 1963.
3. ARDEMA, M.D.,RAJAN, N., Separation of Time Scales in Aircraft Trajectory Optimization, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 8, No.2, March- April 1985, pp. 275-278.
4. ARDEMA, M.D., RAJAN, N., Slow and Fast State Variables for Three-Dimensional Flight Dynamics, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 8, No.4, 1985, pp.532-535.
5. ARDEMA, M.D. , RAJAN, N., YANG, L., Three-Dimensional Energy-State Extremals in Feedback Form , Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 14, No 4 ,July-August 1989, pp. 601- 605.
6. AZUMA AKIRA , The Alocation of the Control Magnitude for Axisymmetrical Missiles, Trans. Japan Soc.Aero.Space.Sci., Vol2, No2, 1960.
B 1. BELEA, C., Teoria sistemelor, sisteme neliniare, Ed. Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti,1985. 2. BELEA, C., LUNGU, R., CISMARU, C., Sisteme giroscopice şi aplicaţiile lor,
Ed. Scrisul Românesc, Craiova, 1986. 3. BEN-ASHER, J.Z., CLIFF, E.M., Optimal Evasion Against a Proportionally
Guided Pursuer, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 12, No. 4 , July.-August. 1989, pp.598-601.
4. BENNETT, R.R.,MATHEWS, W.E., Analytical determination of miss distances for linear homing navigation systems, Hughes Tech. Memo. 260, March 1952.
5. BERBENTE, C., CONSTANTINESCU,N.V., Dinamica gazelor, lit. I.P.Bucureşti, 1977.
6. BERBENTE, C., ZANCU, S.,TĂTĂRANU, C., Metode numerice în aviaţie, lit. I.P.Bucureşti, 1988.
7. BEST, D., ENG, B., Some Problems of Polar Missile Control, Journal of the Royal Aeronautical Society, No 596, 1960.
8. BOLTIANSKI ,V., Comande optimale des systems discrets, Ed. Mir, Moskva, 1976.
9. BOLZ, R., Dynamic Stability of a Missile in Rolling Flight, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 19, No. 6, 1952. 10.BREAKWELL, J.V., Optimizaţia traektorii, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No.
1,pp. 46-69, 1961 C
188
1. CAMPBELL, G.S., Induced Rolling Moment of Supersonic Speeds, Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 24, No.6, 1957.
2. CARAFOLI, E., CONSTANTINESCU, V.N. , Dinamica fluidelor incompresibile, Ed. Academiei, Bucureşti, 1981.
3. CARAFOLI, E. , CONSTANTINESCU, V.N., Dinamica fluidelor compresibile ,Ed. Academiei, Bucureşti,1984.
4. CARPANTIER,R.,Guidance des avions et des missiles aerodynamiques. , Tom I,II,III, lit. ENSAE - 1989.
5. CARRINGTON, C.K.,. JUNKINS, J.L., Optimal Nonlinear Feedback Control for Spacecraft Attitude Maneuvres, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol.9, March-April 1986,pp.235-239.
6. CERESUELA, R.,Problemî aerodinamiki issledovateliskih raket, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 5, pp.30-44, 1968.
7. CHAPMAN, D., KESTER R., Zomerî koeffiţienta turbulentnovo trenia na ţilindrah vaksialnom patoke pri dozvukovîh i sverzvukovîh skorostia, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No.1, pp.31-41, 1954.
8. CHAWIA, J., Aerouprulaia neustoicivosti na bolişîh cislah M., Vaprosî Raketnoi Tehniki, No 1, pp. 56-79, 1959.
9. CHELARU, T.V., LASCU, P., Corecţii ale modelului teoretic pentru calculul coeficientului forţei axiale la incidentă nulă , cu ajutorul rezultatelor experimentale pe configuraţii axial-simetrice alungite, Revista Tehnica Militară , Nr. 1-1993, Bucureşti, iunie-1993.
10.CHELARU, T.V., DOBRE, L., Studiu comparativ al ecuaţiei autodirijării utilizînd modelul dinamic şi cinematic al rachetei, Revista Tehnica Militară, Nr. 1 -1993, Bucureşti, iunie - 1993.
11.CHELARU, T.V, Studii privind dinamica rachetelor dirijate, Teză de doctorat, Bucureşti, 12-mai-1994.
12.CHELARU T.V. Dinamica zborului – Racheta dirijata. Editura Premier.Ploieşti, 2000.
13.CHELARU T.V. Dinamica zborului – Avionul fără pilot. Editura Printech. Bucureşti 2002.
14.CHELARU T.V. Dinamica zborului – Proiectarea avionului fără pilot. Editura Printech. Bucureşti 2003. 15.CHELARU T.V. Dinamica zborului –Racheta dirijată Ed.2. Editura Printech.
Bucureşti 2004 16.CHENG, V.H.L., GUPTA, N.K., Advanced Midcourse Guidance for Air-to-Air
Missiles, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 8, No.2, 1986, pp. 103-107.
17.CHENG, V.H.L., GUPTA, N.K., .BRIGGS, M.M.,Reduced-Order Pulse-Motor Ignition Control Logic,Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 10, No.4, 1987, pp. 343-350.
18.COCHRAN, J.E., COLBURN, B.K., SPEAKMAN, N.O., Adaptive Spacecraft Attitude Control Utilizing Eigenaxis Rotation. AIAA Paper 57-158, Jan. 1985.
189
19.COFFEY, T.C., Automatic Frequency - Domain Synthesis of Multiloop Control Systems, AIAA Journal, Vol 8, No 10, October 1970, pp. 1791- 1798.
20.CONSTANTINESCU,V.N.,CONSTANTINESCU,N.V.,Aerodinamica,lit.I.P.Bucureşti,1979.
21.CONSTANTINESCU, V.N., GALETUŞE, ST., Mecanica fluidelor şi elemente de aerodinamică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983.
22.CONSTANTINESCU, V.N., SÂRBU, A., DĂNĂILĂ, S.,Complemente de aerodinamică-regimul transonic, lit. I.P.Bucureşti, 1985.
23.CONSTANTINESCU, V.N., Dinamica fluidelor vîscoase in regim laminar ,Ed. Academiei RSR, Bucureşti, 1987.
24.CREANGĂ, I.,ENESCU I., Algebre, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1973. 25.CRIMI, P. , Stability of Dynamic Systems With Periodically Varying
Parameters, AIAA Journal,Vol 8, No 10, October 1970, pp. 1760-1764.
D 1. D'AMARIO, L.A., STUBBS, G.S., A New Single-Axis Autopilot for Rapid
Spacecraft Attitude Maneuvres, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 2, July-Aug 1979, pp. 39-46.
2. DASARATHY, B.V. , A New Approach to the Study of Coupled Nonlinear Systems, AIAA Journal, Vol 8, No 3, March 1970, pp. 433-436.
3. DAVIS, L. JR., FOLLIN, J.W.JR., BLITZER, L., Exterior Balistics of Rockets, Ed. D.Van Nostrand Co., Inc. Princeton, Toronto, London, New York, 1958.
4. DĂNĂILĂ, S., BERBENTE, C., Metode numerice in dinamica fluidelor, Ed. Academiei, Bucureşti 2003.
5. DESKOVSKI STOJCE, Matematicki model i simuliranje sistema samonavodjenja, Naucno-tehnicki PREGLED, Vol.XXXI, Belgrad, 1981, br.6
6. DORN,W.S.,Mc CRACKEN,D.D.,Numerical Methods with FORTRAN IV - Case Studies,John Wiley & Sons, Inc. New York, London, Sydney, Toronto, 1972.
7. DWYER, T.A.W. , Exact Nonlinear Control of Spacecraft Slewing Maneuvres with Internal Momentum Transfer, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 9, March-April 1986, pp. 240-247.
E 1. ETKIN, B., Dynamics of Flight, Stability and Control, John Wiley & Sons,
New-York, 1959. 2. ETKIN, B., Dinamics of Atmospheric Flight, John Wiley & Sons, Inc., New
York, 1972.
F 1. FEODOSIEV, V.I. , Osnovî tehniki raketnovo poleta, Ed. Nauka, Moskva,
1981. 2. FORTE, I., SHINAR, J., Improved Guidance Law Design Based on the Mixed-
Strategy Concept, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 12, No. 5 , Sept.-Oct. 1989, pp. 739-745.
190
3. FRAIN, E.W., WONG, B., Metod predvaritelinovo analiza ustoicivosti s ucetom aerouprugosti konstrukţii raketî, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 8, pp..57-71, 1963.
4. FRIEDLAND, B., Analiz sistemi navedenia s parametromi peremennîmi vo bremenii,Vaprosî Raketnoi Tehniki , No 3.,pp.78-96, 1959.
G 1. GANTMAHER, F.R., LEVIN, L.M., Teoria poleta neupravliaemîh raket,
Ed.Fizmatghiz, Moskva, 1959. 2. GARVER, V,Optimum Intercept Laws for Accelerating Targets, AIAA Journal,
Vol. 6, No.11, 1986, pp.2196-2198. 3. GATES, O.B., WOODLING, C.H., Teoreticeskii analiz prodolinovo dvijenia
sverhzvukovovo avtomaticeski upravliaemovo perehvatcika na etape ataki, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No 2, pp. 72-99, 1962.
4. GEVARTER, W.B. ,Basic Relation for Control of Flexible Vehicles, AIAA Journal, Vol. 8,No. 4 , April - 1970, pp. 666-672.
5. GLADKII, V.F., Veroiatnostnîe metodî proektirovaniia konstruktii letatelinovo apparata,Ed Nauka, Moskva, 1982.
6. GUTMAN, S. AND LEITMANN, G., Optimal Strategies in the Neighborhood of a Collision Course, AIAA Journal, Vol. 14, Sept. 1976 , pp. 1210-1212.
7. GUTMAN, S., On Optional Guidance for Homing Missiles, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 2, July-Aug 1979, pp. 290-300.
H 1. HACKER , T., Stabilitate şi comandă în teoria zborului , Ed. Academiei,
Bucureşti, 1968. 2. HALANY, A., Teoria calitativă a ecuaţiilor diferenţiale, Editura Academiei
R.P.R. 1963. 3. HOERNER, S., CHAPMAN D., PERKINS E., WICK R., K voprosu o donnom
vakuume, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No.3 , pp. 3-46, 1954. 4. HULL, D.G., SPEYER, J.L. ,TSENG, C.Y. , Maximum-Information Guidance
for Homing Missiles, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 8, July-Aug 1985, pp. 494-497.
5. HULL, D.G., SPEYER J.L.,BURRIS, D.B., Lineino-kvadraticinîi zakon navedenia dlia dualnovo upravlenia samonavodiascimsia raketami, Aerokosmiceskaia Tehnika, No 8, aug-1990., pp. 128-137.
I 1. ICKES, B.P., A New Method for Performing Control Systems Attitude
Computation Using Quaternions, AIAA Journal, Vol 8, Jan. 1970, pp. 13-17. 2. IMADO FUMIAKI, KURODA TAKESHI, MIWA SUSUMU, Optimal
Midcourse Guidance for Medium-Range Air-to-Air Missiles, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 13, No.4, July-August 1990, pp. 343-350.
3. IONESCU, V., Teoria sistemelor, sisteme liniare, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1985.
191
4. ISPAS, ŞT., CONSTANTINESCU, L.,TRIŢĂ, FL., Racheta dirijată, Ed. Militară, Bucureşti ,1984.
J 1. JARMOLOW, K., Dinamika vraşciaiuşceisia raketî s peremennîmi momentom
inerţii i deistvuiuşcim momentom, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 6, 1957,pp.308-313.
2. JOSEPH, G., Branched Trajectory Optimization by the Project Gradient Tehnique , AIAA Journal, Vol 8, No.6, June 1970, pp.1121-1126.
K
1. KAZAKOV, I.E., MIŞAKOV, A.F., Aviaţionnîe upravliaemîe raketî , Ed. VVIA "N.E. Jukovski",1985.
2. KOCETKOV,V.T, POLOVKO,A.M., PONOMAREV, B.M. Teoria sistem teleupravlenia i samonavedenia raket, Ed. Nauka, Moskva,1964.
3. KRASNOV, N. F.,KOŞEVOI, B.N. , DANILOV, A.N, ZAHARCENKO,B.F., Aerodinamika raket , Ed. Vîsşaia Şkola, Moskva, 1968.
4. KRASNOV, N. F. , KOSEVOI, B.N., Upravlenie i stabilizaţia v aerodinamike ,Ed. Vîsşaia Şkola, Moskva , 1978.
5. KRASNOV, N. F. , Aerodinamika (vol 1, vol 2) , Ed. Vîsşaia Şkola, Moskva, 1980.
6. KRASNOV, N. F. , Osnovî aerodinamiceskovo rasceta ,Ed. Vîsşaia Şkola, Moskva ,1981.
7. KRAUSE, H., Obsciaia teoria stupenciatoi raketî, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 1, pp..5-14, 1954.
8. KREINDLER, E., NEUMAN, F., Minimum Fuel Horizontal Flight Paths in the Terminal Area, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 5, No. 5 ,1982, pp.490-497.
9. KŰCHEMANN, D. The Aerodynamic Design of Aircraft, Ed. Pergamon Press, Oxford, 1965.
10. KUZOVKOV, N.T., Sistemî stabilizaţii letatelnîh appararov ,balisticeschih i zenitnîh raket, Ed. Vîsşaia Şkola , Moskva, 1976.
L 1. LEBEDEV, A.A., GERASIOTA, N.F., Balistika raket, Ed. Maşinostroenie,
Moskva, 1970. 2. LEBEDEV,A.A.,CERNOBROVKIN, L.S., Dinamika poleta bespilotnîh
letatelnîh apparatov, Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1973. 3. LIN, C.F.,TSAI, L.L. , Analitical Solution of Optimum Trajectory-Shaping
Guidance,Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 10, Jan.- Feb 1987, pp. 61-66.
4. LOCKE, A.S., Principles of Guided Missile Design. Guidance, D.Van Nostrand, Co., Inc., Princenton, New Jersey-Toronto - New - York - London, 1955.
5. LUKENS, D.R., Metodî analiza sistemî upravlenia bolişoi uprugoi raketî, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 9, pp.56-76, 1961.
M
192
1. MAPLE, C.G., SYNGE, J.L., Aerodinamic Symmetry of Projectiles, Qart. Appl. Math, Vol.VI, No.4, jan-1949.
2. MAYDEW, R.C., Aerodynamic Design of an Extended Range Bomb, J. Aircraft, Vol 7, June 1988, pp. 385-386.
3. MAYO, R.A., Relative Quaternion State Transition Relation, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 2, Jan-Feb 1979, pp. 44 - 48.
4. McKERN, R., MUSOFF, H., Strapdown Attitude Algorithms From a Geometric Viewpoint, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 4, Nov-Dec 1981, pp. 657-661.
5. MEDUHOVSKII, I.B., Ob obtekanii operennovo tela vraşcenia pod uglom ataki, PMM, XXV, Vîp.3, 1961.
6. MEHRA, R. K., Identification of Stochastic Linear Dynamic Systems Using Kalman Filter Representation , AIAA Journal, Vol 9, No 1, January 1971 , pp. 28-31.
7. MEISSINGER, H.F., Modelirovanie infracrasnîh sistem, Vaprosî Raketnoi Tehniki, Nr 11, pp. 86-98, 1960.
8. MELLO,J.F.,SIVIER,K.R.,Supersoning Induced Rolling-Moment Caracteristics of Cruciform Wing Body Configuration of High Angles of Attack, Aerospace Engineering, Vol. 20, No.7, 1961.
9. MENON, P.K.A., BADGETT, M.E.,WALKER ,R.A.,DUKE, E.L., Nonlinear Flight Test Trajectory Controlers for Aircraft, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 10, No.1, 1987, pp. 67-72.
10.MENON, P.K.A., Short-Range Nonlinear Feedback Strategies for Aircraft Pursuit Evasion ,Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 12, No.1, 1989, pp. 27-32.
11.MENON, P.K.A., BRIGGS, M.M., Near-Optimal Midcourse Guidance for Air-to-Air Missiles, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol .13, No. 4 , July-August, 1990, pp. 596- 602.
12.MIHOC, D., ILIESCU, S.ŞT., Teoria şi elementele sistemelor de reglare automată, Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti, 1984.
13.MIKELADZE, V.G.,TITOV, Z.M., Osnovîe geometriceskie i aerodinamiceskie harakteristiceskie camoletov i paket - cpravocinik, Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1982.
14.MILLER, R.B., A New Strapdown Attitude Algorithm, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 6, July-Aug 1983, pp. 287- 291.
15.MORARU, F.,Unele probleme în legătură cu zborul rachetei cu destinaţie tactică, Buletinul Academiei Militare, 4, P II, Bucureşti, 1963.
16.MORARU, F.,Cu privire la determinarea influenţei vântului asupra mişcării rachetei cu ampenaj, Buletinul Academiei Militare, 4, Bucureşti, 1969.
17.MORARU, F., Note referitoare la calculul traiectoriei proiectilelor echipate cu acceleratoare rachetă. Stabilirea unor relaţii analitice pentru perioada activă şi segmentul pasiv final. Buletinul Academiei Militare, 4, Bucureşti, 1971.
193
18.MORARU,F., Asupra ecuaţiilor mişcării generale a rachetei în mediu rezistent, Studii şi cercetări de mecanică aplicată, Editura Academiei R.S. România, Nr. 4, Tom 31, Bucureşti, 1972.
19.MORARU, F., Balistica exterioară şi dinamica zborului rachetei , Academia Militară, Bucureşti, 1973.
20.MORARU, F., Manual de balistică exterioară , Editura Militară, Bucureşti, 1976.
21.MURPHY, C.H.., The Prediction of Non-Linear Pittching and Yawing Motion of Symmetric Missiles, IAS Preprint , 1953.
22.MURPHY, C.H. , Response of an Asymmetric Missile to Spin Varying through Resonance, AIAA Journal, Vol 9, No 11, November 1971, pp. 2197-2201.
N 1. NEUMAN, F., Computational Method for Determining the No-Escape Envelope
of a Short-Range Missile, AIAA Journal of Guidance and Control , jan.-feb. 1990, Vol .13, No 1., pg 6.
2. NEUMAN, F., On the Approximate Solution of Complex Combat Games, AIAA Journal of Guidance and Control , Jan.-Feb. 1990, Vol. 13, No 1., pg. 128.
3. NEUMAN, F., Vîcislitetlinîi metod opredelenia oblasti zahvata dlia raket blijnevo deistvia, Aerokosmiceskaia Tehnika , No 8, aug-1990., pp. 126-128.
4. NICOLAIDES, J., On the Free Flight Motion of Missiles Having Slight Configurational Asymmetries, IAS Preprint, 1957.
5. NICOLAIDES, J., Two Non-Linear Problems in Flight Dynamics of Modern Ballistic Missiles, JAS Report, 1959.
6. NIELSEN, J.N., Missile Aerodynamics, McGraw-Hill Book Company, Inc., New-York, Toronto, London, 1960.
7. NIŢĂ, M.M., ANDREESCU, D.ŞT., Zborul rachetei, Ed. Militară, Bucureşti ,1964.
8. NIŢĂ, M.M., ARON, I.I., Navigaţia inerţială, Ed. Militară, Bucureşti ,1971. 9. NIŢĂ,M.M., Teoria zborului spaţial, Ed. Academiei, Bucureşti, 1973. 10.NIŢĂ, M.M, PATRAULEA, N.,SÎRBU, A., Mecanica aeronavelor, lit. I.P.
Bucureşti, 1984. 11.NIŢĂ, M.M.,MORARU, FL., PATRAULEA, R., Avioane şi rachete, concepte
de proiectare, Ed. Militară,Bucureşti, 1985. 12.NIŢĂ, M.M., CHELARU,T.V., PÂRVU, P., Some considerations on modeling
flight vehicles movement, Revue Roumaine des Sciens Techniques Mecanique Appliquee, Tome 36 Nr 5-6 , septembre-decembre - 1991 , Bucureşti .
13.NIŢĂ, M.M.,CHELARU,T.V., PÂRVU, P.,Unele consideraţii privind zonele eficace de lansare a rachetelor autodirijate, Revista Tehnica Militară Nr.4 , Bucureşti,dec. -1992.
14.NIŢĂ, M.M.,CHELARU,T.V.., PÂRVU, P., Studii privind determinarea zonelor de lansare rachetelor antiaeriene dirijate, Revista Tehnica Militară Nr.2 , Bucureşti,1993.
15.NYLAND, F.S., Samonastraivaiuşciasia sistema upravlenia dlia bolişoi uprugoi raketî, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 1, pp.74- 97, 1962.
194
O
1. OPRIŞIU, C., Forme ale ecuaţiilor generale ale mişcării cu utilizarea cuaternionilor, modele, metodologii şi algoritmi pentru sinteza rezultatelor aerodinamice experimentale, Rapoarte interne N-7998...N-7802 INCREST, Bucureşti, 1987.
2. OSTOSLAVSKII, I.V., STRAJEVA, I.V., Dinamika poleta - ustoicivosti i upravliaemosti letatelnîh apparatov, Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1965.
P 1. PARS,L.A., A Treatise on Analytical Dynamics, Heinemann Educational Books
Ltd., London, 1965. 2. PASCARU, I., Racheta, Ed. Militară, Bucureşti, 1959. 3. PERRET, E., ROTH, E., SONGER, R., VOELLMY, H., Traektorii raketî,
napravliamoi poluci s pomosciu upravlenia gazovîm potokom, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 3, pp.47-61, 1954.
4. PETRE, A., Teoria aeroelasticităţii, Ed. Academiei RSR, 1973. 5. PETROV, B.N., RUTKOVSKI, B.IU.,ZEMLIAKOV, S.D., Adaptivnoe
Koordinatno , parametriceskoe upravlenie nestaţionarnîmi obektami, Ed.Nauka, Moskva, 1980.
6. PETROV, K.P. ,Aerodinamika elementov letatelnîh aparatov, Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1985.
7. PETRUŞ, O., Programarea în FORTRAN - stil în programare, Ed. Junimea, Iaşi,1980.
8. PLATUS, D. H. , Dynamic Instability of Finned Missiles Caused by Unbalanced Fin Forces, AIAA Journal, Vol 9, No 3, March 1971, pp. 378-381.
9. PUKETT, A.E., RAMO, S., Konstruirovanie upravliaemîh snariadov, Ed. Voennoe, Moskva, 1963.
R 1. RACOVEANU, N., Automatica, Ed. Militară, Bucureşti , 1980. 2. RACOVEANU,N.,ALEXE,C., Automatizarea aparatelor de zbor - partea I, lit.
I.P.Bucureşti, 1989. 3. RACOVEANU,N.,STOICA,A., Automatizarea aparatelor de zbor - partea a-II-
a, lit. I.P.Bucureşti, 1990. 4. RANKIN, R.A., The Mathematical Theory of the Motion of Rotated and
Unrotated Rockets, Philosophical Transactions of the Royal Society of London; Mathematical and Phisical Sciences, London 1949.
5. REBUFFET, P., Aérodynamique expérimentale, Ed. Dunod, Paris, 1966. S
1. SHINAR, J., Effet de roulis sur l’autogidaje e N.P., Israel Journal of Technology, Vol 5, No 1-2, 1967, pp. 25-31.
2. SHINAR, J., Roll induced cross-coupling in two-dimensional systems, Israel Journal of Technology, Vol 8, No 1-2, 1970, pp. 45-50.
3. SHINAR, J., Homing of a rolling missile against a manoeuvering system, Israel Journal of Technology, Vol 11, No 3, 1973, pp. 117-130.
195
4. SHINAR, J., ROTSZTEIN, Y., BEZNER, Z., Analysis of three-dimensional optimal evasion with linearized kinematics, Journal of Guidance, Control and Dynamics, Vol . 2, Nov-Dec 1979.
5. SHINAR, J., GUTMAN, S., Three-Dimensional Optimal Pursuit and Evasion with Bounded Controls, IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. AC-15, No. 3, June 1980, pp.492-496.
6. SHINAR, J., GAZIT, R., Optimal 'No-Escape' Firing Envelopes of Guided Missiles, AIAA Paper 85-1960, 1985.
7. SIGORSKII, V.P., Matematiceskii apparata injenera, Ed. Tehnika, Kiev, 1977. 8. SMITH, G.W., Sintez samonastraivaiuscegosia avtopilota dlia upravlenia
raketoi dalinevo deistvia s ucetom uprugosti korpusa, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No.11, pp. 67-76. 1961.
9. SOONG, T.T. , PAUL, N.A., A second and Higher Order Perturbation Analysis of Two-Body Trajectories, AIAA Journal, Vol 9, No 4, April 1971, pp. 589-593.
10.SPEYER, J.L., HULL, D.G.,TSENG, C.Y., LARSON, S.W., Estimation Enhancement by Trajectory Modulation for Homing Missiles, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 7, March-April 1984, pp. 167-174.
11.SULLIVAN, J.J., Evalution of the Computational Errors of Strapdown Navigation Systems, AIAA Journal, Vol. 6, No 2, February - 1968 , pp. 312-319.
12.SVIATODUH, V.K., Dinamika prostranstvenovo dvijenia raket, Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1969.
T 1. TARASOV, E.V., Algoritm optimalnovo proektirovania letatelnovo apparata,
Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1970. 2. TARASOV, V.G., Mejcamoletnaia navigaţia , Ed. Maşinostroenie, Moskva,
1980. 3. TENG, L., PHILIPPS, L.P., Primenenîe teorii nelineinoi filitraţii k zadace
navedenia raketî maloi dalinosti, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 4, pp.76-91, 1969.
4. TOWNSEND, C.V. , SISSON, R.O., Opredelenie dalinosti metodom izmerenia uskarenii, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 11, pp. 76-85, 1960.
V 1. VAN-DRAIST, Problema aerodinamicescovo nagreva, Vaprosî Raketnoi
Tehniki, No.5, pp.36-66, 1957. 2. VOINEA, R., VOICULESCU, D.,CEAUŞU, V.,Mecanica, Ed. Didactică şi
Pedagogică, Bucureşti, 1983. 3. VOROBIEV, L.M., K teorii poleta raket , Ed. Maşinostroenie, Moskva, 1970. 4. VENŢELI, E.S., Teoria veroiatnostei, Ed. Nauka, Moskva , 1964.
W 1. WAYMEYER, W.K., YOUNG, T.H. , Coupling in Cruciform - Missile Control
Systems, IEEE Trans. Applic. and Ind. , 1964. 2. WIE, B., BARBA, P.M. , Quaternion Feedback for Spacecraft Large Angle
Maneuvers, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 8, May-June 1985, pp. 360- 365.
196
3. WIE, B, A New Approach to the Space Axis Rotation, Journal of Guidance, Control and Dynamics Vol . 10, July-Aug. 1987, pp. 411-412.
4. WIE, B., UEIS, H., EREPOSTATIS, E., Upravlenie povorotami kosmiceskovo apparata vokrug sobstvennoi osi s obratnoi sviaziiu po komponentam kvaterniona,
5. Aerokosmiceskaia Tehnika , No 3, mar-1990., pp. 3-11. 6. WIRZ, H.J., SMOLDEREN, J.J., Numerical Methods in Fluid Dynamics,
Hemisphere Publishing Corporation, New-York, London, Paris..., 1978. Z
1. ZDAN, W., Ţifrovanie vîcislitelinîe ustroistva dlia sistem avtomaticeskoi stabilizatii, Vaprosî Raketnoi Tehniki, No. 7, pp.43-55, 1962.
X 1. x x x,STP M 40405-96 -Caracteristici geometrice şi aerodinamice ale rachetei-
Terminologie şi simboluri , Bucureşti,1995. 2. x x x, STP M 40406-99 -Sistemul rachetă comandată-Terminologie şi simboluri,
Bucureşti, 1998. 3. x x x, STP M 40420-96 -Derivatele coeficienţilor torsorilor dinamici-
Terminologie şi simboluri, Bucureşti, 1995. 4. x x x, STP M 040421-99 -Indici de calitate a zborului rachetei comandate-
Condiţii tehnice generale, Bucureşti, 1998. 5. x x x, STP M 40455-99 -Sistemul rachetă dirijată- Terminologie şi simboluri,
Bucureşti, 1998. 6. x x x, SLATEC 3.0 -bibliotecă matematică generală de programe în limbaj
FORTRAN, realizată de următoarele laboratoare de cercetări : Air Force Weapons Laboratory; Lawrence Livermore National Laboratory; Los Alamos National Laboratory; Magnetic Fusion Energy Computing Center; National Bureau of Standards; Sandia National Laboratories (Albuquerque & Livermore); Martin Marietta Energy Systems; Incorporated at Oak Ridge National Laboratory, SUA,1986.
7. x x x, SLICOT(Subroutine Library in Control Theory)- bibliotecă de programe FORTRAN pentru teoria de sistem, elaborată de NAG (Numerical AlgorithmsGroup),Anglia,1989. 8. x x x, STARPAC (the Standars Time Series and Regression Package) bibliotecă de programe FORTRAN pentru analiza statistică a datelor, dezvoltată de Statistical Engineering Division (SED) de la National Bureau of Standards (NBS), Boulder, Colorado-SUA, 1987.
197
SUBIECTE EXAMEN DZ 2006 II ECUAŢIILE MIŞCĂRII GENERALE - FORMA NELINIARĂ A ECUAŢIILOR DE MIŞCARE 1. INFLUENŢA PĂMÂNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MIŞCAREA IN TRIEDRUL MOBIL - FORŢA DE ATRACŢIE A PĂMÂNTULUI 2. INFLUENŢA PĂMÂNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MIŞCAREA IN TRIEDRUL MOBIL - ACCELERAŢIA GREUTĂŢII ŞI ACCELERAŢIA CORIOLIS 3. INFLUENŢA PĂMÂNTULUI ASUPRA ZBORULUI, MIŞCAREA IN TRIEDRUL MOBIL - LEGĂTURA DINTRE TRIEDRUL PĂMÂNT ŞI TRIEDRUL MOBIL 4. MIŞCAREA ÎN RAPORT CU UN SISTEM DE REFERINŢĂ MOBIL 5. ECUAŢIILE CINEMATICE ALE MIŞCĂRII UTILIZÂND UNGHIURILE DE ATITUDINE 6. ECUAŢIILE CINEMATICE ALE MIŞCĂRII UTILIZÂND UNGHIURILE DE ATITUDINE MODIFICATE 7. ECUAŢIILE CINEMATICE ALE MIŞCĂRII UTILIZÂND CUATERNIONUL HAMILTON 8. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL MOBIL 9. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL VITEZĂ 10. ECUAŢIILE DINAMICE ALE MIŞCĂRII ÎN TRIEDRUL RESAL 11. ECUAŢIILE MIŞCĂRII CU VÂNT 12. FORMA DECUPLATĂ A ECUAŢIILOR MIŞCĂRII GENERALE III. ECUAŢIILE MIŞCĂRII COMANDATE FORMA LINIARĂ A ECUAŢIILOR COMANDATE 13. FORMELE DECUPLATE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII COMANDATE - MIŞCAREA DE BAZĂ LA VITEZĂ IMPUSĂ, ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZĂ MAXIMĂ, ZBORUL ORIZONTAL LA VITEZĂ MINIMA, ZBORUL INCLINAT LA TRACŢIUNE IMPUSĂ 14. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LONGITUDINALE - ECUAŢIILE LINIARIZATE ALE MIŞCĂRII LONGITUDINALE
198
15. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LONGITUDINALE - MIŞCAREA LONGITUDINALĂ RAPIDĂ – INDICI DE CALITATE 16. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LONGITUDINALE - MIŞCAREA LONGITUDINALĂ LENTĂ 17. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LATERALE - ECUAŢIILE LINIARIZATE ALE MIŞCĂRII LATERALE 18. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LATERALE - MIŞCAREA LATERALĂ RAPID (RULIU OLANDEZ) - INDICI DE CALITATE 19. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LATERALE - MIŞCAREA DE RULIU (RULIU PUR) - INDICI DE CALITATE 20. FORME LINIARE ALE ECUAŢIILOR MIŞCĂRII LATERALE - MIŞCAREA LATERALĂ CUPLATĂ 21. MIŞCAREA RACHETEI CU ROTAŢIE LENTĂ - MIŞCAREA DE BAZĂ PENTRU RACHETA COMANDATĂ GAZODINAMIC 22. MIŞCAREA RACHETEI CU ROTAŢIE LENTĂ - MIŞCAREA RAPIDĂ ÎN JURUL CENTRULUI DE MASĂ 23. MIŞCAREA RACHETEI CU ROTAŢIE LENTĂ - INDICII DE CALITATE A MIŞCĂRII LONGITUDINALE
