46
ElipsaHiperbolaParabola
Curs 7-8
Conice. De�nitii ca locuri geometrice si proprietati
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Curs 7-8
1 Elipsa
2 Hiperbola
3 Parabola
Elipsa - de�nitie
Cadrul de lucru al acestui curs este un plan a�n euclidian orientat.
De�nition
Se considera doua puncte distincte F ,F ′ cu d(F ,F ′) = 2c > 0 si
un numar 2a > 2c . Se numeste elipsa locul geometric al punctelor
planului pentru care suma distantelor la punctele �xe F ,F ′ esteconstanta si egala cu 2a:
E ={P | d(P,F ) + d(P,F ′) = 2a
}(1)
Punctele F ,F ′ se numesc focarele elipsei si 2c distanta focala.
Pentru a ne convinge ca locul geometric de�nit anterior este o multimenevida, �e A, A′ ∈ FF ′ astfel incat d(O,A) = d(O,A′) = a siA′ − F ′ − O − F − A, unde O este mijlocul segmentului (FF ′). EvidentA,A′ ∈ E .Putem sa mai construim usor alte doua puncte ce apartin elipsei: �e{B,B ′} intersectia dintre mediatoarea segmentului (FF ′) si cercul cucentrul in F , de raza a. Evident B,B ′ ∈ E .Aceste patru puncte A,A′,B,B ′ se numesc varfurile elipsei.
Pentru a construi elipsa
putem folosi un elipsograf.
Capetele unui �r inextensibil
de lungime 2a se �xeaza in
cele doua focare. Intindem
�rul cu varful unui creion.
In miscarea sa, creionul va
descrie pe foaie o elipsa.
Dreapra FF ′ se numeste axa
transversa, iar mediatoarea
segmentului (FF ′) - axa
conjugata.
Pentru a putea determina ecuatiile elipsei vom �xa un reper
ortonormat astfel: originea va � O, mijlocul segmentului (FF ′),
i = 1
‖−−→F ′F‖
−−→F ′F si j ⊥ i , ‖ j ‖= 1 astfel incat {i , j} e o baza pozitiva.
Notam cu (xOy) axele de coordonate.
In raport cu acest reper punctele construite pana acum au
coordonatele F (c , 0), F ′(−c, 0), A(a, 0), A′(−a, 0), B(0, b),B ′(0,−b), unde am notat
b =√a2 − c2. (2)
Numim a semiaxa mare a elipsei si b semiaxa mica.
Ecuatia canonica
Fie P(x , y) un punct al elipsei. Atunci√(x − c)2 + y2 +
√(x + c)2 + y2 = 2a.
Pastram un singur radical in membrul stang al egalitatii, apoi ridicamambii membri la patrat. Dupa reducerea termenilor asemenea, izolam dinnou un radical si obtinem:
a√
(x + c)2 + y2 = cx + a2. (3)
Ridicam din nou la patrat ambii membri ai egalitatii, reducem termeniiasemenea si rezulta:
(a2 − c2)x2 + a2y2 − a2(a2 − c2) = 0.
Inlocuind in aceasta ecuatie a2 − c2 = b2 si impartind ambii membri la
a2b2 obtinem ecuatia canonica a elipsei:
x2
a2+
y2
b2= 1 (4)
Din ecuatia canonica a elipsei rezulta:
daca Q(x , y) ∈ E ⇒ Q1(−x , y) ∈ E , deci Oy este axa de
simetrie pentru elipsa;
daca Q(x , y) ∈ E ⇒ Q2(x ,−y) ∈ E , deci Ox este axa de
simetrie pentru elipsa;
daca Q(x , y) ∈ E ⇒ Q3(−x ,−y) ∈ E , deci O este centru de
simetrie pentru elipsa.
De�nim interiorul elipsei
IntE =
{P(x , y) | x
2
a2+
y2
b2− 1 < 0
}si exteriorul elipsei
ExtE =
{P(x , y) | x
2
a2+
y2
b2− 1 > 0
}.
Ecuatiile explicite ale elipsei
Din (4) deducem ca y2 = b2(1− x2
a2
). Observam ca pentru ca un
punct P(x , y) sa apartina elipsei de semiaxa mare a, este necesar ca
−a ≤ x ≤ a. In aceste conditii, extragand radicalul in egalitatea de
mai sus, obtinem
| y |= b
a
√a2 − x2.
Astfel, pentru y ≥ 0, avem y = ba
√a2 − x2, iar pentru y < 0, avem
y = −ba
√a2 − x2. Am obtinut ecuatii explicite pentru cele doua
arce de elipsa, cel inclus in semiplanul superior si cel inclus in
semiplanul inferior.
Ecuatii parametrice
Se poate usor veri�ca ca punctele de coordonate (a cos t , b sin t),cu t ∈ [0, 2π) veri�ca ecuatia canonica a elipsei, deci ecuatiile
parametrice ale elipsei sunt{x = a cos t,
y = b sin t, t ∈ [0, 2π).
Pentru a intelege semni�catia parametrului t, rezolvati urmatoarea
problema ce va va da si o metoda de constructie prin puncte a
elipsei.
Se considera doua cercuri concentrice, de raze b < a, cu centrul O.
Fixam un sistem de axe cu originea in O. Semiaxa (Ox taie cercul
de raza a in A. O semidreapta mobila cu originea in O se roteste in
jurul lui O. Pozitia ei este data de unghiul t pe care il face cu (Ox .Ea taie cercul de raza b in M si cercul de raza a in N. Paralela la
OA prin M si perpendiculara din N pe OA se intersecteaza in P .
Veri�cati ca xP = a cos t si yP = a sin t. Deci P apartine elipsei de
semiaxe a, b.
Directoarele elipsei
Fie e = casi dreptele δ : x = a2
c, δ′ : x = −a2
c. Se poate
demonstra ca pentru orice punct P al elipsei are loc
d(P,F ′) = ed(P, δ′), d(P,F ) = ed(P, δ).
Deci orice punct P al elipsei are proprietatea ca raportul dintre
distanta de la P la punctul �x F ′ si distanta de la P la dreapta �xa
δ′ este constant si egal cu e.
Numim e ∈ (0, 1) excentricitatea elipsei, iar dreptele δ, δ′
directoarele elipsei.
Directoarele elipsei
Intersectia dintre o dreapta si o elipsa
In continuare vom studia intersectia dintre elipsa (E) x2
a2+ y2
b2= 1 si
dreapta (d) y = mx + n. Pentru a gasi coordonatele eventualelor
puncte comune rezolvam sistemul format din cele doua ecuatii.
Eliminand necunoscuta y , obtinem ecuatia
(a2m2 + b2)x2 + 2a2mnx + a2(n2 − b2) = 0. (5)
Fie ∆ discriminantul ecuatiei de mai sus. Daca ∆ > 0, intersectia
dintre dreapta si elipsa consta in doua puncte distincte P1,P2.
Spunem in acest caz ca dreapta este secanta elipsei.
Daca ∆ < 0, ecuatia nu are solutii reale, deci dreapta nu
intersecteaza elipsa. Spunem in acest caz ca dreapta este exterioara
elipsei.
Cazul mai interesant este cand ∆ = 0, deci cand intersectia dintre
dreapta si elipsa este un punct dublu {T}. In acest caz dreapta
este tangenta elipsei.
Ecuatia magica a tangentelor de panta data la elipsa
Obtinem ∆ = 0⇔ n2 = a2m2 + b2, deci exista doua tangente la
elipsa de panta m:
(d1) y = mx +√a2m2 + b2, (6)
(d2) y = mx −√a2m2 + b2.
Tangenta la elipsa intr-un punct al ei
Daca P0(x0, y0) ∈ E , ecuatia tangentei la elipsa in punctul P0 se
obtine din ecuatia elipsei prin dedublare:
(d0)xx0a2
+yy0b2− 1 = 0. (7)
Pentru a demonstra ca d0 este tangenta elipsei, rezolvam sistemul
format din ecuatia elipsei si cea a dreptei d0 . Solutia este un punct
dublu, si anume P0.
Tangentele la elipsa dintr-un punct exterior acesteia
Fie acum P(x0, y0) ∈ ExtE si (d) y − y0 = m(x − x0) o dreapta arbitraraprin P0. Impunem ca d sa �e tangenta elipsei. Deci inlocuimy = y0 + mx −mx0 in ecuatia elipsei obtinand o ecuatie de gradul doi inx . Discriminantul acesteia trebuie sa �e zero, conditie ecchivalenta cu
m2(a2 − x20
) + 2mx0y0 + b2 − y20
= 0.
Deoarece P este exterior elipsei ⇔ x2
a2+ y2
b2− 1 > 0, rezulta ca aceasta
ecuatie are doua solutii reale distincte, m1 si m2.Deci exista doua tangente duse din P0 la elipsa, de ecuatii
y − y0 −m1(x − x0) = 0, y − y0 −m2(x − x0) = 0.
Normala la elipsa intr-un punct al ei
De�nition
Fie P0(x0, y0) ∈ E . Normala in P0 la elipsa este perpendiculara in
P0 pe tangenta la elipsa in P0.
Din ecuatia (7) deducem ca panta tangentei la elipsa in P0 este
−b2x0a2y0
, deci panta normalei la elipsa in P0 este a2y0b2x0
. Astfel, ecuatia
normalei in P0 la elipsa este
y − y0 =a2y0b2x0
(x − x0).
Tema: demonstrati proprietatea optica a elipsei: normala si
tangenta la elipsa intr-un punct arbitrar P0 al acesteia sunt
bisectoarea interioara si respectiv bisectoarea exterioara a unghiului
F ′P0F .
Hiperbola
De�nition
Se considera doua puncte distincte F ,F ′ cu d(F ,F ′) = 2c > 0 si
un numar strict pozitiv 2a < 2c . Se numeste hiperbola locul
geometric al punctelor planului pentru care diferenta distantelor la
punctele �xe F ,F ′ este constanta si egala cu 2a:
H ={P |
∣∣d(P,F )− d(P,F ′)∣∣ = 2a
}(8)
Punctele F ,F ′ se numesc focarele hiperbolei si 2c distanta focala.
Ca si la elipsa, vom determina A, A′ ∈ FF ′ astfel incatd(O,A) = d(O,A′) = a si F ′ − A′ − O − A− F , unde O este mijloculsegmentului (FF ′). Evident A,A′ ∈ H.Punctele A,A′ se numesc varfurile hiperbolei.Pentru a construi hiperbola prin puncte, procedam astfel: alegem unpunct arbitrar M pe axa focala, diferit de focare, apoi intersectam cerculde centru F si raza AM cu cercul de centru F ′ si raza A′M. Evidentpunctele obtinute apartin hiperbolei.
Daca dorim sa construim mecanic o portiune din hiperbola, procedamastfel. Alegem doua �re inextensibile de lungimi diferite, astfel incatdiferenta lungimilor lor sa �e 2a. Fixam cate un capat al �ecarui �r incate un focar, trecem ambele �re printr-un inel �xat in varful P al unuicreion, apoi innodam capetele libere ale �relor. Intindem ambele �re,tinand nodul N intr-o mana si creionul cu varful pe foaie in cealaltamana. Portiunile de �re intinse intre nodul N si inelul P vor staalaturate, iar celelalte portiuni din �re vor merge una de la inel la F ,cealalta de la inel la F ′. Miscand creionul, vom trasa o portiune dintr-oramura a hiperbolei, deoarece diferenta d(P,F ′)− d(P,F ) este aceeasica diferenta lungimilor �relor intregi (din �ecare s-a scos aceeasi bucataPN). Daca �xam invers in cele dous focare extremitatile �relor, obtinemo portiune din cealalta ramura a hiperbolei.
Pentru a putea determina ecuatiile hiperbolei vom �xa un reper
ortonormat astfel ca si in cazul elipsei: originea va � O, mijlocul
segmentului (FF ′), i = 1
‖−−→F ′F‖
−−→F ′F si j ⊥ i , ‖ j ‖= 1 astfel incat
{i , j} e o baza pozitiva. Notam cu (xOy) axele de coordonate.
In raport cu acest reper punctele construite pana acum au
coordonatele F (c , 0), F ′(−c , 0), A(a, 0), A′(−a, 0).
Ecuatia canonica
Fie P(x , y) un punct al elipsei. Atunci√(x − c)2 + y2 −
√(x + c)2 + y2 = ±2a.
Pastram un singur radical in membrul stang al egalitatii, apoi ridicamambii membri la patrat. Dupa reducerea termenilor asemenea, izolam dinnou un radical si obtinem:
±a√
(x − c)2 + y2 = cx − a2. (9)
Ridicam din nou la patrat ambii membri ai egalitatii, reducem termeniiasemenea si rezulta:
(c2 − a2)x2 − a2y2 + a2(a2 − c2) = 0.
Notamb =
√c2 − a2. (10)
Obtinem ecuatia canonica a hiperbolei:
x2
a2− y2
b2= 1 (11)
Numarul a se numeste semiaxa mare, iar b semiaxa mica.
Observam ca nu neaparat a > b, denumirea datorandu-se
importantei lui a in de�nirea hiperbolei.
Din ecuatia canonica a hiperbolei rezulta ca Ox si Oy sunt axe de
simetrie, iar O este centru de simetrie pentru hiperbola.
De�nim interiorul hiperbolei
IntH =
{P(x , y) | x
2
a2+
y2
b2− 1 > 0
}si exteriorul hiperbolei
ExtH =
{P(x , y) | x
2
a2+
y2
b2− 1 < 0
}.
Din ecuatia canonica mai observam ca doar axa Ox taie hiperbola,
nu si axa Oy . Deci, spre deosebire de elipsa, hiperbola are doar
doua varfuri.
Ecuatiile explicite ale hiperbolei
Din (11) deducem ca y2 = b2(x2
a2− 1). Observam ca pentru ca
un punct P(x , y) sa apartina hiperbolei de semiaxa mare a, este
necesar ca x ∈ (−∞,−a] ∪ [a,+∞). In aceste conditii, extragand
radicalul in egalitatea de mai sus, obtinem
| y |= b
a
√x2 − a2.
Astfel, pentru y ≥ 0, avem y = ba
√x2 − a2, iar pentru y < 0, avem
y = −ba
√x2 − a2.
Folosindu-ne de aceste ecuatii putem reprezenta gra�c hiperbola.
Observam ca dreptele
(a1) y =b
ax , (a2) y = −b
ax
sunt asimptote oblice pentru hiperbola.
Ecuatiile parametrice ale hiperbolei
Reamintim de�nitia functiilor trigonometrice cosinus hiperbolic si
sinus hiperbolic:
ch : R→ [1,∞), ch(t) =et + e−t
2,
sh : R→ R, sh(t) =et − e−t
2.
Deoarece ch2(t)− sh2(t) = 1, ∀t ∈ R, rezulta ca putem
parametriza ramura x ≤ −a a hiperbolei prin{x = −ach(t),
y = bsh(t), t ∈ R,
iar ramura x ≥ a prin {x = ach(t),
y = bsh(t), t ∈ R.
Alta parametrizare a hiperbolei
Prezentam o alta reprezentare parametrica a hiperbolei, pentru care
vom da si o interpretare a parametrului.
Se considera doua cercuri concentrice, cu centrul comun O, de raze
a < b. Fixam un reper ortonormat cu axele (xOy). O semidreapta
cu originea in O se roteste in jurul lui O. Intr-o pozitie intermediara
face unghiul τ cu (Ox si intersecteaza cercul de raza a in P iar
cercul de raza b in Q. Tangentele in P , respectiv Q la cele doua
cercuri taie (Ox in T , respectiv S . Pe perpendiculara in T pe Ox
se ia punctul M astfel incat d(M,T ) = d(Q,R).Demonstrati ca
xM = d(O,T ) = a sec τ, yM = d(M,T ) = d(Q,R) = b tan τ,
τ ∈ [0, 2π)\{π2,3π
2}.
Pentru a obtine parametrizarea precedenta, facem schimbarea de
parametru t = ln tan(π4− τ
2).
Directoarele hiperbolei
Pentru P un punct arbitrar al hiperbolei, se veri�ca
d(P,F ) = ed(P, δ), d(P,F ′) = ed(P, δ′),
unde e = ca, δ : x = a2
csi δ′ : x = −a2
c.
Deci orice punct P al hiperbolei are proprietatea ca raportul dintre
distanta de la P la punctul �x F si distanta de la P la dreapta �xa
δ este constant si egal cu e.
Numim e ∈ (1,∞) excentricitatea hiperbolei, iar dreptele δ, δ′
directoarele hiperbolei.
Intersectia dintre o dreapta si o hiperbola
In continuare vom studia intersectia dintre hiperbola
(H) x2
a2− y2
b2= 1 si dreapta (d) y = mx + n. Pentru a gasi
coordonatele eventualelor puncte comune rezolvam sistemul format
din cele doua ecuatii. Eliminand necunoscuta y , obtinem ecuatia
(b2 − a2m2)x2 − 2a2mnx − a2(n2 + b2) = 0. (12)
Fie ∆ discriminantul ecuatiei de mai sus. Pozitia dreptei d fata de
parabola e data de semnul lui ∆.
Mai interesant este cazul ∆ = 0 cand intersectia dintre dreapta si
hiperbola este un punct dublu {T}. In acest caz dreapta este
tangenta hiperbolei.
Ecuatia magica a tangentelor de panta data la hiperbola
Obtinem ∆ = 0⇔ n2 = a2m2 − b2. Observam deci ca nu pentru
orice panta m, dreapta d poate � tangenta hiperbolei. O conditie
necesara pentru ca d : y = mx + n sa �e tangenta hiperbolei este
m ∈ (−∞,−ba
) ∪ (ba,∞).
In acet caz exista doua tangente la hiperbola de panta m:
(d1) y = mx +√a2m2 − b2, (13)
(d2) y = mx −√a2m2 − b2.
Tangenta la hiperbola intr-un punct al ei
Daca P0(x0, y0) ∈ H, ecuatia tangentei la hiperbola in punctul P0
se obtine din ecuatia acesteia prin dedublare:
(d0)xx0a2− yy0
b2− 1 = 0. (14)
Ca si la elipsa, putem determina tangentele duse dintr-un punct
exterior la hiperbola si sa scriem ecuatia patratica a acestora.
Normala la hiperbola intr-un punct al ei
De�nition
Fie P0(x0, y0) ∈ H. Normala in P0 la hiperbola este perpendiculara
in P0 pe tangenta la hiperbola in P0.
Din ecuatia (14) deducem ca panta tangentei la hiperbola in P0
este b2x0a2y0
, deci panta normalei la hiperbola in P0 este − a2y0b2x0
. Astfel,
ecuatia normalei in P0 la hiperbola este
y − y0 = −a2y0b2x0
(x − x0).
Tema: demonstrati proprietatea optica a hiperbolei: tangenta si
normala la hiperbola intr-un punct arbitrar P0 al acesteia sunt
bisectoarea interioara si respectiv bisectoarea exterioara a unghiului
F ′P0F .
Parabola
De�nition
Fie dreapta δ si punctul F /∈ δ. Parabola este locul geometric al
punctelor din plan situate la egala distanta de punctul F si de
dreapta δ:P = {P ∈ E | d(P,F ) = d(P, δ)} .
Spunem ca parabola are excentricitatea e = 1.
Fie l perpendiculara din F pe δ si E piciorul acesteia. Notam cu O
mijlocul segmentului (FE ). Evident O este un punct al parabolei,
numit varful parabolei.
Fie p = d(F , δ). Numim p parametrul parabolei.
Descriem in continuare o metoda de constructie mecanica a
parabolei.
Se ia un echer ABC cu unghiul drept in A si se aseaza cu cateta
(AB) pe dreapta δ. Un �r inextensibil de lungime d(A,C ) este
prins cu un capat de echer in C si cu celalalt in focarul F . Cu varful
P al unui creion intindem �rul astfel incat sa ia forma unui unghi cu
o latura pe AC . Cand echerul aluneca de-a lungul dreptei δ, P va
descrie parabola cu focarul F si directoarea δ.
Ecuatia canonica
Pentru a obtine ecuatia canonica a parabolei consideram reperul cu
originea in O, semiaxa pozitiva (Ox = (OF si Oy ⊥ Ox si orientata
astfel incat sa obtinem un reper pozitiv. In raport cu acest reper
focarul are coordonatele F (p2, 0) si directoarea are ecuatia
δ : x = −p2.
Punctul P(x , y) apartine parabolei daca si numai daca√(x − p
2)2 + y2 =
∣∣x + p2
∣∣. Ridicand aceasta ecuatie la patrat
obtinem
y2 − 2px = 0. (15)
Ecuatiile explicite si parametrice
Pentru a reprezenta gra�c parabola determinam ecuatiile ei
explicite. In primul rand, pentru ca P(x , y) sa apartina parabolei
este necesar ca x ≥ 0. In acest caz | y |=√2px .
Observam din (15) ca Ox este axa de simetrie pentru parabola iar
Oy este tangenta la parabola in varful ei.
O parametrizare simpla pentru parabola obtinem astfel:{x = t2
2p,
y = t, t ∈ R.
Intersectia dintre o dreapta si parabola
Punctele de intersectie dintre parabola si dreapta (d) y = mx + n
au abscisele solutii ale ecuatiei
m2x2 + 2(mn − p)x + n2 = 0.
In functie de semnul discriminantului ∆ = p2 − 2pmn obtinem ca
dreapta d este exterioara, tangenta sau secanta parabolei.
Mai exact, pentru m 6= 0 avem ∆ = 0⇔ n = p2m
.
Deci, dat m nenul, exista o singura tangenta la parabola, de panta
m, si aceasta are ecuatia
y = mx +p
2m.
Tangenta in P0(x0, y0) ∈ P la parabola este:
yy0 − p(x + x0) = 0,
deci normala in P0 la parabola are ecuatia
y − y0 = −y0p
(x − x0).
Tema: demonstrati ca tangenta si normala la parabola intr-un
punct arbitrar P0 al ei sunt bisectoarea interioara si respectiv
exterioara a unghiului FP0G , unde G e piciorul perpendicularei din
P0 pe directoare.
De�nitia comuna a elipsei, hiperbolei si parabolei
Theorem
Fie o dreapta δ, un punct F exterior acesteia si un numar strict
pozitiv e. Demonstrati ca locul geometric al punctelor P din plan
cu proprietatea ca raportul d(P,F )d(P,δ) = e este:
(a) o hiperbola, daca e > 1;
(b) o elipsa, daca e < 1;
(c) o parabola, daca e = 1.
A. Myller, Geometrie analitica, Ed. Didactica si Pedagogica,
Bucuresti, 1972;
E. Murgulescu, N. Donciu, Culegere de probleme de Geometrie
Analitica si Diferentiala I, Ed. Didactica si Pedagogica,
Bucuresti, 1971.
