Home > Documents > Conice - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/conice.pdf · 9 = 1 elips a (caz particular de...

Conice - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~todeacos/conice.pdf · 9 = 1 elips a (caz particular de...

Date post: 31-Jan-2018
Category:
Author: doque
View: 230 times
Download: 2 times
Share this document with a friend
Embed Size (px)
of 30 /30
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca
Transcript
  • Conice

    Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea

    U.T. Cluj-Napoca

  • Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma

    (C ) : F (x , y) = 0

    n care functia F este polinom n variabilele x si y .

    Exemple:a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 4x2 + 3x 1 = 0;c). x

    2

    2 +y2

    9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

    Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este

    (C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

    2 + b1x + b2y + c = 0

    cu a11, a12, a22, b1, b2, c R si a211 + a212 + a222 6= 0.Exemple:a). (x 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 32xy y

    2 + 5x 7y 2 = 0.

  • Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma

    (C ) : F (x , y) = 0

    n care functia F este polinom n variabilele x si y .

    Exemple:a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 4x2 + 3x 1 = 0;c). x

    2

    2 +y2

    9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

    Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este

    (C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

    2 + b1x + b2y + c = 0

    cu a11, a12, a22, b1, b2, c R si a211 + a212 + a222 6= 0.Exemple:a). (x 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 32xy y

    2 + 5x 7y 2 = 0.

  • Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma

    (C ) : F (x , y) = 0

    n care functia F este polinom n variabilele x si y .

    Exemple:a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 4x2 + 3x 1 = 0;c). x

    2

    2 +y2

    9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

    Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este

    (C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

    2 + b1x + b2y + c = 0

    cu a11, a12, a22, b1, b2, c R si a211 + a212 + a222 6= 0.

    Exemple:a). (x 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 32xy y

    2 + 5x 7y 2 = 0.

  • Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma

    (C ) : F (x , y) = 0

    n care functia F este polinom n variabilele x si y .

    Exemple:a). 2x + y 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 4x2 + 3x 1 = 0;c). x

    2

    2 +y2

    9 = 1 elipsa (caz particular de conica).

    Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este

    (C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y

    2 + b1x + b2y + c = 0

    cu a11, a12, a22, b1, b2, c R si a211 + a212 + a222 6= 0.Exemple:a). (x 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 32xy y

    2 + 5x 7y 2 = 0.

  • Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

    1. Elipsa:

    (E ) :x2

    a2+

    y2

    b2 1 = 0 ecuatia implicita;

  • Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

    1. Elipsa:

    (E ) :x2

    a2+

    y2

    b2 1 = 0 ecuatia implicita;

  • Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:

    1. Elipsa:

    (E ) :x2

    a2+

    y2

    b2 1 = 0 ecuatia implicita;

  • In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

    (C ) : x2 + y2 = r2.

    Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

    (C ) : (x x0)2 + (y y0)2 = r2.

    D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x , y)din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe F si F

    (numite focare) este constanta. In cazul nostru F (c , 0),F (c , 0)si MF + MF = 2a, unde c2 = a2 b2.

    (E ) :

    {x = a cos ty = b sin t, t [0, 2] ecuatii parametrice;

  • In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

    (C ) : x2 + y2 = r2.

    Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

    (C ) : (x x0)2 + (y y0)2 = r2.

    D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x , y)din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe F si F

    (numite focare) este constanta. In cazul nostru F (c , 0),F (c , 0)si MF + MF = 2a, unde c2 = a2 b2.

    (E ) :

    {x = a cos ty = b sin t, t [0, 2] ecuatii parametrice;

  • In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc

    (C ) : x2 + y2 = r2.

    Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este

    (C ) : (x x0)2 + (y y0)2 = r2.

    D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x , y)din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe F si F

    (numite focare) este constanta. In cazul nostru F (c , 0),F (c , 0)si MF + MF = 2a, unde c2 = a2 b2.

    (E ) :

    {x = a cos ty = b sin t, t [0, 2] ecuatii parametrice;

  • 2. Hiperbola:

    (H) :x2

    a2 y

    2

    b2 1 = 0 ecuatia implicita;

  • 2. Hiperbola:

    (H) :x2

    a2 y

    2

    b2 1 = 0 ecuatia implicita;

  • Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

    y =b

    ax ; y = b

    ax .

    D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F (focare) este n modul constanta. In cazul nostruF (c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF MF | = 2a.

    (H) :

    {x = a et+et2 (:= a cosh t)y = b etet2 (:= b sinh t), t R

    ecuatii parametrice;

    T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

  • Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

    y =b

    ax ; y = b

    ax .

    D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F (focare) este n modul constanta. In cazul nostruF (c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF MF | = 2a.

    (H) :

    {x = a et+et2 (:= a cosh t)y = b etet2 (:= b sinh t), t R

    ecuatii parametrice;

    T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

  • Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

    y =b

    ax ; y = b

    ax .

    D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F (focare) este n modul constanta. In cazul nostruF (c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF MF | = 2a.

    (H) :

    {x = a et+et2 (:= a cosh t)y = b etet2 (:= b sinh t), t R

    ecuatii parametrice;

    T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

  • Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)

    y =b

    ax ; y = b

    ax .

    D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F (focare) este n modul constanta. In cazul nostruF (c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF MF | = 2a.

    (H) :

    {x = a et+et2 (:= a cosh t)y = b etet2 (:= b sinh t), t R

    ecuatii parametrice;

    T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.

  • 3. Parabola:

    (P) : y2 = 2px ecuatia implicita;

    D

  • 3. Parabola:

    (P) : y2 = 2px ecuatia implicita;

    D

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;

    -un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;

    -reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;

    -multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = p2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .

    (P) :

    {x = t

    2

    2p

    y = t, t R ecuatii parametrice;

    Parabola este, n general, graficul unei functii de gradul doi n plan,de forma

    y = ax2 + bx + c sau x = ay2 + by + c .

    Conice degenerate:

    Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.

  • Recunoasteti conicele dinimaginile urmatoare!

  • http://users.utcluj.ro/todeacos/Teaching.html


Recommended