30
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca
Conice
Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea
U.T. Cluj-Napoca
Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
Definitie: Se numeste curba algebrica plana multimeapunctelor din plan de ecuatie implicita de forma
(C ) : F (x , y) = 0
ın care functia F este polinom ın variabilele x si y .
Exemple:a). 2x + y − 1 = 0; x = 7 drepte;b). y3 − 4x2 + 3x − 1 = 0;
c). x2
2 + y2
9 = 1 elipsa (caz particular de conica).
Definitie: Se numeste conica o curba algebrica plana degradul doi. Ecuatia generala a unei conice este
(C ) : a11x2 + 2a12xy + a22y
2 + b1x + b2y + c = 0
cu a11, a12, a22, b1, b2, c ∈ R si a211 + a212 + a222 6= 0.
Exemple:a). (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9 cerc;b). 4x2 − y2 = 0 doua drepte concurente;c). x2 + 3
2xy − y2 + 5x − 7y − 2 = 0.
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
Daca sistemul de coordonate Oxy este ales convenabil, ecuatiaoricarei conice se reduce la o forma simpla numita forma canonicasau ecuatie redusa. Astfel conicele nedegenerate (date prin ecuatiireduse) sunt:
1. Elipsa:
(E ) :x2
a2+
y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x , y)din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe F si F ′
(numite focare) este constanta. In cazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0)si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x , y)din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe F si F ′
(numite focare) este constanta. In cazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0)si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
In cazul particular a = b = r elipsa devine cerc
(C ) : x2 + y2 = r2.
Daca centrul cercului este M0(x0, y0) iar raza este r , ecuatiacercului (implicita) este
(C ) : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2.
D.p.d.v. geometric elipsa este locul geometric al punctelor M(x , y)din plan pentru care suma distantelor la doua puncte fixe F si F ′
(numite focare) este constanta. In cazul nostru F ′(−c , 0),F (c , 0)si MF + MF ′ = 2a, unde c2 = a2 − b2.
(E ) :
{x = a cos ty = b sin t, t ∈ [0, 2π]
ecuatii parametrice;
2. Hiperbola:
(H) :x2
a2− y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
2. Hiperbola:
(H) :x2
a2− y2
b2− 1 = 0 ecuatia implicita;
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F ′ (focare) este ın modul constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F ′ (focare) este ın modul constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F ′ (focare) este ın modul constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
Hiperbola este o curba nemarginita (cu rosu) si admite douaasimptote (dreptele punctate)
y =b
ax ; y = −b
ax .
D.p.d.v. geometric hiperbola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan pentru care diferenta distantelor la doua punctefixe F ,F ′ (focare) este ın modul constanta. In cazul nostruF ′(−c , 0),F (c , 0), c2 = a2 + b2, |MF −MF ′| = 2a.
(H) :
{x = a · et+e−t
2 (:= a · cosh t)
y = b · et−e−t
2 (:= b · sinh t), t ∈ R ecuatii parametrice;
T.A: Aratati ca ecuatiile parametrice verifica ecuatia implicita.
3. Parabola:
(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;
D
3. Parabola:
(P) : y2 = 2px ecuatia implicita;
D
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;
-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;
-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;
-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
D.p.d.v. geometric parabola este locul geometric al punctelorM(x , y) din plan egal departate de o dreapta fixa (directoare,notata (d), de ecuatie x = −p
2 ) si de un punct fix (focarulF (p2 , 0)) .
(P) :
{x = t2
2p
y = t, t ∈ R ecuatii parametrice;
Parabola este, ın general, graficul unei functii de gradul doi ın plan,de forma
y = ax2 + bx + c sau x = a′y2 + b′y + c ′.
Conice degenerate:
Prin red. la f. canonica, obtinem si conice degenerate care pot fi:-reuniune de 2 drepte concurente, de ex. x2 − y2 = 0;-un punct, de ex. x2 + y2 = 0;-reuniune de 2 drepte paralele, de ex. x2 − 2x = 0;-multimea vida, de ex. x2 + y2 + 1 = 0.
Recunoasteti conicele dinimaginile urmatoare!
http://users.utcluj.ro/∼todeacos/Teaching.html
