+ All Categories
Home > Documents > Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De...

Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De...

Date post: 31-Jan-2018
Category:
Upload: vuongdung
View: 247 times
Download: 2 times
Share this document with a friend
23
Capitolul 1 Conice 1.1 Dreapta ˆ ın plan Fie {O, i, j } un reper cartezian ortogonal ˆ ın plan. Ecuat ¸ia canonic˘ a a dreptei determinat˘ a de punctul M 0 (x 0 ,y 0 ) ¸ si de vectorul director v = l i + m j (cu l 2 + m 2 > 0) este x - x 0 l = y - y 0 m sau echivalent mx - ly - mx 0 + ly 0 = 0 Notˆ and a = m, b =-l ¸ si c =-mx 0 + ly 0 , obt ¸inem ecuat ¸ia ax + by + c = 0 cu a 2 + b 2 > 0, ecuat ¸ie care se nume¸ ste ecuat ¸ia general˘ a a dreptei ˆ ın plan. Dac˘ a egal˘ am rapoartele din ecuat ¸ia dreptei cu λ: x - x 0 l = y - y 0 m = λ se obt ¸in ecuat ¸iile parametrice ale dreptei: x = x 0 + λl y = y 0 + λm De asemenea ecuat ¸ia canonic˘ a a dreptei determinat˘ a de dou˘ a puncte M 1 (x 1 ,y 1 ) ¸ si M 2 (x 2 ,y 2 ) este: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 1
Transcript
Page 1: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

Capitolul 1

Conice

1.1 Dreapta ın plan

Fie {O,Ð→i ,Ð→j } un reper cartezian ortogonal ın plan. Ecuatia canonicaa dreptei determinata de punctul M0(x0, y0) si de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este

x − x0

l= y − y0

m

sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0

Notand a =m, b = −l si c = −mx0 + ly0, obtinem ecuatia

ax + by + c = 0

cu a2+b2 > 0, ecuatie care se numeste ecuatia generala a dreptei ın plan.Daca egalam rapoartele din ecuatia dreptei cu λ:

x − x0

l= y − y0

m= λ

se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + λly = y0 + λm

De asemenea ecuatia canonica a dreptei determinata de doua puncteM1(x1, y1) si M2(x2, y2) este:

x − x1

x2 − x1

= y − y1

y2 − y1

1

Page 2: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

ecuatie care se poate rescrie

RRRRRRRRRRRRRR

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

RRRRRRRRRRRRRR= 0

Cazuri particulare

� Ecuatia axei Ox: y = 0

� Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0

� Ecuatia axei Oy: x = 0

� Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x0

� Ecuatia primei bisectoare: y = x

� Ecuatia celei de-a doua bisectoare: y = −x

� Ecuatia dreptei prin taieturi:Fie o dreapta care nu trece prin origine si nu este paralela cu axele decoordonate si fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersectie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obtinem:

x − a0 − a

= y − 0

b − 0⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x

a+ yb− 1 = 0.

Fie o dreapta d de ecuatie

ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0

Atunci si λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuatie a dreptei d, deci odreapta are o infinitate de ecuatii. Doua ecuatii reprezinta aceeasi dreaptadaca si numai daca au coeficientii proportionali.

Daca dreapta d nu este paralela cu Oy (deci b ≠ 0), ecuatia dreptei sepoate rescrie:

y = −abx − c

b

Notand m = −ab, n = −c

bobtinem

y =mx + n

care se numeste ecuatia explicita a dreptei d. Coeficientul m se numestepanta dreptei, iar n este ordonata intersectiei dreptei cu axa Oy.

2

Page 3: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

Fie A(xA, yA) si B(xB, yB) doua puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralela cu Oy, avem ca xA ≠ xB. Punand conditia ca cele douapuncte sa verifice ecuatia dreptei obtinem

yA =mxA + n si yB =mxB + n.

Scazand cele doua ecuatii obtinem

yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yAxB − xA

= tg θ

unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitiva a axei Ox si semidreapta de pedreapta d situata deasupra axei Ox. Avem:

� m > 0⇔ θ unghi ascutit

� m < 0⇔ θ unghi obtuz

� m = 0⇔ dreapta este paralela cu Ox

Observatii

1. Dreapta d care are ecuatia explicita y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) si (1,m + n), deci ecuatia canonica a dreptei estex

1= y − n

m, asadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j

2. O dreapta este unic determinata de un punct M0(x0, y0) si de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreapta avem

m = y − y0

x − x0

⇔ y − y0 =m(x − x0)

3. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntparalele daca si numai daca m1 =m2.

4. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntperpendiculare daca si numai daca m1 ⋅m2 = −1.

1.2 Conice pe ecuatii reduse

Definitia 1.1. Se numeste conica o curba plana definita ın reperul cartezian

ortonormat {O;Ð→i ,Ð→j } printr-o ecuatie algebrica de gradul al doilea de forma

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0 (adica cel putin unul dintre

coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.

3

Page 4: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

Conicele se mai numesc si curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.

1.2.1 Cercul

Definitia 1.2. Fie un punct fixat C(a, b) si r > 0 un numar real fixat. Senumeste cerc de centru C si raza r este locul geometric al punctelor M(x, y)care satisfac egalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = r. (1.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (1.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 = r

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (1.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(a, b)si raza r.

Efectuand calculele ın ecuatia (1.2) obtinem:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.

Notand m = −a, n = −b si p = a2 + b2 − r2, ecuatia se rescrie

x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,

care se numeste ecuatia generala a cercului .Ecuatia (1.2) este de asemenea echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a + r cos t

y = b + r sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale cercului.

1.2.2 Elipsa

Definitia 1.3. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

MF +MF ′ = 2a

se numeste elipsa.

4

Page 5: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

� Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei

� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c < 2a

� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Pentru a gasi ecuatia elipsei alegem ca axa a absciselor axa focala FF ′, iarca axa a ordonatelor mediatoarea segmentului FF ′. Originea reperului estemijlocul segmentului FF ′, deci focarele au coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0).Din definitia elipsei, punctul M(x, y) apartine elipsei daca si numai daca

√(x − c)2 + y2 +

√(x + c)2 + y2 = 2a⇔

√(x + c)2 + y2 = 2a −

√(x − c)2 + y2 ⇔

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ⇔a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx⇔ a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Notand b2 = a2 − c2, ecuatia anterioara devine

b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2+ y

2

b2= 1,

ecuatie care se numeste ecuatia carteziana implicita a elipsei.Observatii

� Daca M(x, y) este un punct pe elipsa, atunci si simetricul lui fata deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifica ecuatia elipsei, deci Ox esteaxa de simetrie a elipsei.

� Simetricul lui M fata de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificaecuatia elipsei, deci Oy este axa de simetrie a elipsei.

� Simetricul lui M fata de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificaecuatia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.

� Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei.

� ∥Ð→OA∥ = a si ∥

Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa

mica a elipsei.

5

Page 6: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea elipsei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 − b2

a2= 1 − ( b

a)

2

⇒ b

a=√

1 − e2

deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.

� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a cos t

y = b sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale elipsei.

� Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsase obtine prin dedublare:

xx0

a2+ yy0

b2− 1 = 0.

1.2.3 Hiperbola

Definitia 1.4. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

∣MF −MF ′∣ = 2a

se numeste hiperbola.

� Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei

� Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

� Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c > 2a

� distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Pentru a gasi ecuatia carteziana implicita a hiperbolei alegem ca axa aabsciselor axa focala FF ′, iar ca axa a ordonatelor mediatoarea segmentuluiFF ′. Originea reperului este mijlocul segmentului FF ′, deci focarele au

6

Page 7: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0). Prin definitie, punctul M(x, y) apartinehiperbolei daca si numai daca

√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a⇔

√(x + c)2 + y2 =

√(x − c)2 + y2 ± 2a⇔

x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a√

(x − c)2 + y2 + 4a2 ⇔±a

√(x − c)2 + y2 = cx − a2 ⇔

a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)⇔

b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2− y

2

b2= 1.

Observatii

� Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;

� Intersectiile hiperbolei cu axaOx, puncteleA(a,0), A′(−a,0), se numescvarfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeste axa transversa a hiper-bolei;

� Dreptele de ecuatii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca

asimptote oblice ale functiilor

f1(x) =b

a

√x2 − a2 si f2(x) = −

b

a

√x2 − a2;

� Daca a = b, hiperbola are ecuatia x2 − y2 = a2 si se numeste hiperbolaechilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x si y = −x;

� O ecuatie de forma xy = ±a2 reprezinta tot o hiperbola echilatera, avandca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.

� Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea hiperbolei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 + b2

a2= 1 + ( b

a)

2

⇒ b

a=√e2 − 1

deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.

7

Page 8: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

� Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a ch t

y = b sh t, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale hiperbolei.

� Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbola se obtine prin dedublare:

xx0

a2− yy0

b2− 1 = 0.

1.2.4 Parabola

Definitia 1.5. Fie o dreapta fixa d ın plan si un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea ca distanta la punctul Feste egala cu distanta la dreapta d se numeste parabola.

� Punctul F se numeste focar;

� Dreapta d se numeste dreapta directoare;

� Distanta de la focar la dreapta directoare se numeste parametrulparabolei si se noteaza cu p.

Pentru a gasi ecuatia parabolei alegem ca axa a absciselor perpendicularadusa prin F la d, care intersecteaza dreapta d ın punctul A si are sensulpozitiv de la directoare catre focar, iar axa ordonatelor este mediatoareasegmentului AF .

Focarul F are coordonatele (p2 ,0), iar prin definitie un punct oarecare

M(x, y) se afla pe parabola daca si numai daca ∥ÐÐ→MF ∥ = ∥

ÐÐ→MB∥ unde B este

proiectia lui M pe dreapta d si are coordonatele (−p2 , y). Obtinem:

√(x − p

2)

2

+ y2 = x + p2⇔ x2 − px + p

2

4+ y2 = x2 + px + p

2

4

de unde se obtine ecuatia carteziana implicita a parabolei:

y2 = 2px

Axa Ox se numeste axa parabolei (sau axa transversa a parabolei) sieste axa de simetrie pentru parabola, iar punctul O(0,0) se numeste varfulparabolei.

Observatii

8

Page 9: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

� Ecuatia carteziana a parabolei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = t2

2py = t

, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale parabolei;

� Ecuatia tangentei la parabola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de peparabola se obtine prin dedublare:

yy0 = p(x + x0);

� Ecuatia y2 = −2px, p > 0 reprezinta tot o parabola cu axa transversaOx, varful ın origine, dar situata ın semiplanul din stanga axei Oy;

� Ecuatiile x2 = 2py si x2 = −2py, cu p > 0 reprezinta parabole avand axatransversa Oy si varful ın origine.

1.3 Schimbari de repere carteziene

1.3.1 Rotatia

Fie {O;Ð→i ′,Ð→j ′} un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea reperului

{O;Ð→i ,Ð→j } cu un unghi θ ∈ [0, π). Notam cu (x, y) coordonatele unui punct

oarecare M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasipunct ın reperul rotit. Avem:

ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′

Inmultind scalar aceasta egalitate cuÐ→i , respectiv

Ð→j , obtinem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xÐ→i ⋅Ð→i + yÐ→j ⋅Ð→i = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→i

xÐ→i ⋅Ð→j + yÐ→j ⋅Ð→j = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

AvemÐ→i ⋅Ð→i =Ð→j ⋅Ð→j = 1 si

Ð→i ⋅Ð→j =Ð→j ⋅Ð→i = 0, deci

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→iy = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

(1.3)

Avem ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→i ′ ⋅Ð→i = cos θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→i = cos (θ + π

2) = − sin θ

Ð→i ′ ⋅Ð→j = cos (π2 − θ) = sin θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→j = cos θ

9

Page 10: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

si ınlocuind ın (1.3) gasim

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

sau echivalent

( xy

) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

)( x′

y′) .

Matricea C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

) este o matrice ortogonala (C−1 = CT ), deci

rotatia ın plan de unghi θ este o transformare ortogonala.

1.3.2 Translatia

Fie reperul {O;Ð→i ,Ð→j }, un punct A(x0, y0) si consideram reperul cartezian

ortonormat {A;Ð→i ,Ð→j }. Notam cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare

M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasi punct ınreperul nou . Avem:

ÐÐ→OM =

Ð→OA +

ÐÐ→AM ⇔ x

Ð→i + yÐ→j = x0

Ð→i + y0

Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j

de unde obtinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′.

Prin compunerea unei translatii cu o rotatie se obtine rototranslatia deecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ,

unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ın {A;Ð→i ′,Ð→j ′}.

1.4 Reducerea conicelor la forma canonica

Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.

Prin schimbarea reperului, se schimba si coordonatele punctelor de pe conica,deci se schimba si ecuatia pe care o verifica acestea. Vom cauta reperul ın careecuatia conicei are o forma particulara (de elipsa, hiperbola sau parabola),numita forma canonica.

10

Page 11: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

1.4.1 Invariantii unei conice

Definitia 1.6. Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (1.4)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0. Numerele reale

I = a11 + a22, δ = ∣ a11 a12

a12 a22∣ , ∆ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRse numesc invariantii conicei.

Teorema 1.1. Invariantii I, δ,∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.

Demonstratie:

Inlocuind ecuatiile translatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′ın (1.4) obtinem

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.5)

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23

a′33 = f(x0, y0), deci coeficientii termenilor de grad 2 nu se

modifica, asadar I si δ raman neschimbati. Efectuand operatii pe coloane ın∆′ avem:

∆′ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a′13

a12 a22 a′23

a′13 a′23 a′33

RRRRRRRRRRRRRR

C3 − x0C1

=C3 − y0C2

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33

RRRRRRRRRRRRRREfectuand operatii pe linii ın ∆′ avem :

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33

RRRRRRRRRRRRRR

L3 − x0L1

=L3 − y0L2

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR= ∆.

Fie acum o rotatie de unghi θ. Avem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

⇔ ( xy

) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

)( x′

y′)⇔X = CX ′,

11

Page 12: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

unde C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

) , X = ( xy

) , X ′ = ( x′

y′).

Introducem de asemenea notatiileA = ( a11 a12

a12 a22) , B = ( a13 a23 ). Ecuatia

conicei se rescrie matriceal XTAX + 2BX + a33 = 0.Inlocuind ecuatiile rotatiei X = CX ′ ın ecuatia matriceala anterioara

obtinemX ′T (CTAC)X ′ + 2B(CX ′) + a33 = 0

Matricea C fiind ortogonala, A si CTAC au acelasi polinom caracteristic, iarcoeficientii acestuia fiind chiar I si δ, deducem ca acestia nu se schimba laefectuarea unei rotatii. Introducem notatiile

A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

⎞⎟⎠, C =

⎛⎜⎝

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

⎞⎟⎠, A′ =

⎛⎜⎝

a′11 a′12 a′13

a′12 a′22 a′23

a′13 a′23 a′33

⎞⎟⎠

Consideram forma patratica avand matricea A ın baza canonica din R3.Atunci A′ este matricea aceleiasi forme patratice ın baza data de matriceaC, deci avem

∆′ = det A′ = det(CT AC) = det CT det Adet C = det A = ∆.

1.4.2 Forma canonica a conicelor cu centru

Fie conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (1.6)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0. Cautam o translatie de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′astfel ıncat ın noile coordonate ecuatia conicei

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (1.7)

sa nu contina termeni de grad 1, adica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0.

Caz 1. Daca δ ≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ın reperul translatatcu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.8)

12

Page 13: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

Daca punctul de coordonate (x′, y′) verifica (1.8), atunci si punctul decoordonate (−x′,−y′) verifica (1.8), deci O′ este centru de simetrie pentruconica, iar coordonatele lui sunt:

x0 =− ∣ a13 a12

a23 a22∣

δ, y0 =

− ∣ a11 a13

a12 a23∣

δ(1.9)

Termenul liber f(x0, y0) din (1.8) se rescrie astfel:

f(x0, y0) = a11x20 + 2a12x0y0 + a22y

20 + 2a13x0 + 2a23y0 + a33

= (a11x0 + a12y0 + a13)x0 + (a12x0 + a22y0 + a23)y0 ++a13x0 + a23y0 + a33 = a13x0 + a23y0 + a33

Avem ∆ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR= a13x0δ + a23y0δ + a33δ = δf(x0, y0)

Ecuatia (1.8) devine

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + ∆

δ= 0, (1.10)

Daca a12 = 0, atunci (1.10) este forma canonica.Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica

Φ ∶ R2 → R, Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2,

avand matricea A = ( a11 a12

a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-

mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1X2 + λ2Y 2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:

∣ a11 − λ a12

a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0.

In noile coordonate ecuatia conicei (1.10) devine

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0, (1.11)

deci are forma canonica. Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem

forma canonica se obtine din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈

13

Page 14: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

(0, π2 ), asadar

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ

Ð→j

Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ

Ð→j

. CumÐ→v 1 siÐ→v 2 sunt vectori proprii

corespunzatori matricei A obtinem:

( a11 a12

a12 a22)( cos θ

sin θ) = λ1 (

cos θsin θ

)⇒ λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ

( a11 a12

a12 a22)( − sin θ

cos θ) = λ2 (

− sin θcos θ

)⇒ −λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ

Inmultind prima relatie cu sin θ, pe a doua cu cos θ si sumandu-le obtinem

(λ1 − λ2) sin θ cos θ = a12

Cum a12 ≠ 0 si θ ∈ (0, π2 ), deducem ca λ1 ≠ λ2 si λ1 − λ2 are acelasi semncu a12. Din cele doua formule anterioare se poate obtine unghiul θ:

λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ⇒ tg θ = λ1 − a11

a12

−λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ⇒ tg θ = a12

a11 − λ2

Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ.

Coeficientii formei canonice λ1X2 + λ2Y 2 + ∆δ = 0 fiind radacinile ecuatiei

caracteristice λ2 − Iλ + δ = 0, distingem urmatoarele cazuri:

1. δ > 0, I > 0,∆ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ < 0⇒ elipsa

2. δ > 0, I > 0,∆ = 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ = 0⇒ un punct

3. δ > 0, I > 0,∆ > 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ > 0⇒ ∅

4. δ > 0, I < 0,∆ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ < 0⇒ ∅

5. δ > 0, I < 0,∆ = 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ = 0⇒ un punct

6. δ > 0, I < 0,∆ > 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ > 0⇒ elipsa

7. δ < 0,∆ ≠ 0⇒ hiperbola

14

Page 15: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

8. δ < 0,∆ = 0⇒ doua drepte concurente

Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata, iar daca ∆ = 0 conica senumeste degenerata.

Caz 2. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 1, sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

are o infinitate de solutii, deci conica are o infinitate de centre.Daca (x0, y0) este o solutie a sistemului anterior, atunci ın reperul trans-

latat cu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (1.12)

unde f(x0, y0) = a13x0 + a23y0 + a33. Distingem cazurile:

1. Daca a12 = 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0, deci conica

degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate sau multimea vida.

2. Daca a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 si a22 au acelasi semn . Inmultind

eventual ecuatia (1.12) cu −1, putem presupune ca a11 > 0 si a22 > 0,iar (1.12) devine

(√a11x

′ ±√a22y

′)2 ± f(x0, y0) = 0

deci conica degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate saumultimea vida.

1.4.3 Forma canonica a conicelor fara centru

Fie din nou conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (1.13)

cu aij ∈ R, i, j ∈ {1,2,3}, a211 + a2

12 + a222 > 0.

Caz 3. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 2, sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

este incompatibil, deci nu exista o translatie ın urma careia sa dispara ter-menii de grad 1 din ecuatie, altfel spus conica nu are centru de simetrie.

Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica

Φ ∶ R2 → R, Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2,

15

Page 16: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

avand matricea A = ( a11 a12

a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza ortonor-

mata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1x′2 + λ2y′2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:

∣ a11 − λ a12

a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0

Cum δ = 0 ⇒ λ1λ2 = 0. Presupunem λ1 = 0, λ2 = I ≠ 0 (daca ambele valoriproprii ar fi nule, ar rezulta a11 = a12 = a22 = 0). In noile coordonate x′, y′

ecuatia conicei devine

Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0 (1.14)

Putem presupune ca baza {Ð→v 1,Ð→v 2} ın care avem forma canonica se obtine

din baza {Ð→i ,Ð→j } printr-o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ), asadar

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ

Ð→j

Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ

Ð→j

⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

Cum Ð→v 1 este vector propriu corespunzator valorii proprii 0 obtinem:

( a11 a12

a12 a22)( cos θ

sin θ) = ( 0

0)⇒ a11 cos θ + a12 sin θ = 0⇒ tg θ = −a11

a12

Prin calcul se obtine de asemenea

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a13 cos θ + a23 sin θ

a′23 = −a13 sin θ + a23 cos θ

Daca a′13 = 0 ⇒ a13

a23

= − tg θ = a11

a12

⇒ rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 1, deci a′13 ≠ 0

ın Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0.Grupand corespunzator termenii ın ecuatia anterioara obtinem

I (y′ + a′23

I)

2

+ 2a′13 (x′ +c

a′23

) = 0

unde c = a33−a′223

I. Efectuand translatia

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

X = x′ + ca′23

Y = y′ + a′23I

ecuatia conicei devine

IY 2 + 2a′13X = 0

16

Page 17: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

Cum ∆ este invariant la rotatii si translatii, avem

∆ =RRRRRRRRRRRRRR

0 0 a′13

0 I 0a′13 0 0

RRRRRRRRRRRRRR= −a′213I ⇒ a′213 = −

I

deci gasim forma canonica

Y 2 = ±2pX, unde p =√

−∆

I3.

Semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.

Ecuatia axei de simetrie a parabolei este

a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0

iar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axade simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatiainitiala a conicei.

Daca a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatiaconicei devine

a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

a13 = 0⇒ conica degenerata.a13 ≠ 0⇒ parabola (facand o translatie ca mai sus).

Exemplu:Fie conica de ecuatie x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.

� coeficientii a11 = 1, a22 = 4, a12 = −2, a13 = −3, a23 = 1, a33 = 1;

� invariantii I = 5, δ = ∣ 1 −2−2 4

∣ = 0,∆ =RRRRRRRRRRRRRR

1 −2 −3−2 4 1−3 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= −25

deci conica este o parabola nedegenerata

� p =√

−∆

I3= 1√

5⇒ forma canonica Y 2 = ± 2√

5X

� axa de simetrie: a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0⇒ x − 2y − 1 = 0

� varful

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

x − 2y − 1 = 0⇒ V (1

5,−2

5)

17

Page 18: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

� intersectia parabolei cu axa Ox:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

y = 0⇒ x1,2 =

6 ±√

32

2

x

y

parabola

−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

0

1

2

3

4

Concluzii:In functie de semnul invariantilor distingem cazurile:

δ ∆ Forma canonica Tip

> 0≠ 0

X2

a2+ Y

2

b2− 1 = 0 elipsa

X2

a2+ Y

2

b2+ 1 = 0 ∅

= 0X2

a2+ Y

2

b2= 0 punct

< 0≠ 0

X2

a2− Y

2

b2− 1 = 0 hiperbola

= 0X2

a2− Y

2

b2= 0 doua drepte concurente

= 0

≠ 0 Y 2 − 2pX = 0 parabola

= 0Y 2 − a2 = 0 doua drepte paraleleY 2 = 0 doua drepte confundate

Y 2 + a2 = 0 ∅

18

Page 19: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

1.5 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatiile cercurilor determinate de:

(a) centrul ın C(2,−3) si raza r = 7

(b) centrul ın C(1,1) si o tangeta la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0

(c) extremitatile unui diametru sunt A(3,2) si B(−1,6)(d) trece prin punctele M1(−1,5), M2(−2,−2), M3(5,5)(e) trece prin origine si are centrul C(2,0)

2. Sa se determine centrul si raza urmatoarelor cercuri; sa se scrie ecuatiileparametrice si sa se reprezinte grafic:

(a) x2 + y2 − 6x − 4y + 9 = 0

(b) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0

(c) x2 + y2 − 2x = 0

(d) x2 + y2 − y = 0

(e) x2 + y2 − 4x + 3 = 0

(f) x2 + y2 − 2x − 2y = 0

3. Sa se determine intersectia cercului cu dreapta:

(a) (C) ∶ x2 + y2 − 2y = 0, (d) ∶ x + y = 1

(b) (C) ∶ x2 + y2 − x = 0, (d) ∶ x = y

4. Sa se scrie ecuatiile elipselor date prin elementele:

(a) F ′(−1,0), F (1,0) si semiaxa mare 5

(b) axa mare 10 si distanta dintre focare 8

(c) axa mica 16 si F (3,0)(d) semiaxele 4 si 2

(e) distanta dintre focare 6 si semiaxa mare 5

(f) semiaxa mare 25 si excentricitatea 0,6

5. Sa se determine semiaxele, focarele si excentricitatea elipselor, si sa sescrie ecuatiile lor parametrice:

(a) x2

9 + y2

4 − 1 = 0

19

Page 20: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

(b) 9x2 + 25y2 = 225

(c) 3x2 + 4y2 = 12

(d) x2 + 2y2 − 6 = 0

(e) 25x2 + 169y2 = 225

6. Sa se afle punctele de intersectie ale elipsei cu dreapta:

(a) x2

4 + y2 − 1 = 0, 2x + 2y − 3 = 0

(b) 5x2 + 8y2 − 77 = 0, x + 2y − 7 = 0

7. Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa 2x2+y2−6 = 0 ın punctul M(2,−3)de pe elipsa

8. Sa se scrie ecuatiile hiperbolelor avand focarele pe axa Ox si cunoscandurmatoarele elemente:

(a) semiaxele sunt 4 si 3

(b) distanta dintre varfuri 6 iar distanta ıntre focare 10

(c) semiaxa transversa este 12 si e = 54

(d) F ′(0,−10), F (0,10) si distanta ıntre varfuri 8

9. Sa se afle semiaxele, focarele, excentricitatea si asimptotele hiperbolelor

(a) 16x2 − 25y2 = 400

(b) x2

9 − y2

16 = 1

(c) 2x2 − 5y2 − 10 = 0

10. Sa se reprezinte hiperbolele si asimptotele lor:

(a) x2 − y2 = 1

(b) x2 − 4y2 − 4 = 0

(c) 4y2 − 9x2 − 36 = 0

(d) xy = 2; xy = −2

(e) x2

25 −y2

49 − 1 = 0

11. Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola

x2

5− y

2

4= 1

ın punctul M0(5,−4)

20

Page 21: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

12. Sa se scrie ecuatiile tangentelor duse din M0(2,−1) la hiperbola

x2 − 4y2 − 1 = 0

si sa se afle punctele de contact.

13. Sa se scrie ecuatia unei parabole cu varful ın originea reperului stiindca:

(a) focarul este F (1,0)(b) focarul este F (0,2)(c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0,5, situata ın semiplanul stang

(d) axa de simetrie este Oy, p = 3 si situata ın semiplanul inferior

14. Sa se determine focarul, axa de simetrie, si sa se reprezinte graficparabolele:

(a) y2 = 2x

(b) y2 = −4x

(c) x2 = −5y

(d) x2 = y

15. Sa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la parabola y2 = 3x ınpunctul de abscisa x = 3

16. Sa se recunoasca si sa se reprezinte grafic curbele:

(a) 4x2 − 5y2 = 20

(b) x2 + y2 − 9 = 0

(c) y2 − x = 0

(d) x2 + y2 − 2x = 0

(e) 2x2 + y2 − 4 = 0

(f)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 2 cos t

y = sin t, t ∈ [0,2π]

(g) y + 2x2 = 20

(h) 16x2 − 9y2 + 144 = 0

(i) 2x2 + 2y2 − 1 = 0

(j)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 1 + 2 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

(k) y2 + 4x = 0

(l)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 3 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

21

Page 22: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

17. Sa se reprezinte domeniile din plan marginite de curbele:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = y

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

y = 1c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y = xy = −xx = 2

18. Sa se reprezinte domeniile din plan determinate de:

a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2y

y ≤ x2

x ≥ 0

b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2

4 ≥ 1

x ≥ 0

c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2 ≥ 2xd)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2

x ≤ y2

x ≥ −y2

y ≤ 0

19. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conicele:

(a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0

R: X2

1 + Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(b) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0

R: X2

4 + Y 2

16 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(c) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(d) 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x − 4y − 36 = 0

R: X2

20 + Y 2

10 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(e) 5x2 − 8xy + 5y2 − 12x + 6y = 0

R: X2

9 + Y 2

1 − 1 = 0, C(2,1), α = π4 .

(f) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(g) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0

R: X2

1 − Y 2

4 − 1 = 0, C(2,−1), α = π4 .

(h) x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0

R: X2

9 − Y 2

1 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 12 .

(i) 3xy + 6x − y − 8 = 0

R: X2

4 − Y 2

4 − 1 = 0, C(13 ,−2), α = π

4 .

(j) 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0

R: X2

1 − Y 2

9 − 1 = 0, C(−1,2), α = arctg 3.

(k) 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0

R: X2

4 − Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 23 .

22

Page 23: Capitolul 1 Conice - deliu.ro · PDF filecercul, elipsa, hiperbola, parabola. 1.2.1 Cercul De nit˘ia 1.2. Fie un punct xat C(a;b) ˘si r>0 un num ar real xat. Se ... se nume˘ste

(l) 5x2 − 6xy + 5y2 + 2x − 14y + 21 = 0

R: X2

4 + Y 2 + 1 = 0

(m) 5x2 − 2xy + 5y2 + 12x − 12y + 12 = 0R: 2X2 + 3Y 2 = 0, C(−1,1)

(n) 2x2 + 3xy + y2 − x − 1 = 0R: y = −x + 1, y = −2x − 1.

(o) 3x2 − 7xy + 2y2 − 4x + 3y + 1 = 0R: x − 2y − 1 = 0, 3x − y − 1 = 0

(p) x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0R: ∆ = −64, Y 2 = 4

√2X, x − y − 1 = 0, V (2,1).

(q) x2 + 4xy + 4y2 + 2x − y − 1 = 0R: ∆ = −25

4 , Y2 = − 1√

5X, x + 2y = 0, V (2

5 ,−15).

(r) x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 2y + 10 = 0R: ∆ = −25, Y 2 = 2√

5X, x − 2y = 0, V (2,1).

(s) x2 − 4xy + 4y2 − 26x − 38y + 25 = 0R: ∆ = −2025, Y 2 = 18√

5X, x − 2y + 5 = 0, V (−1,2).

(t) 4x2 − 4xy + y2 − 8x − 8y + 4 = 0R: ∆ = −144, Y 2 = 24

5√

5X, 10x − 5y − 4 = 0, V (23

50 ,325).

(u) x2 + 4xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0R: x + 2y = 1, x + 2y = −2.

(v) x2 − 4xy + 4y2 + 10x − 20y + 25 = 0R: x − 2y + 5 = 0.

(w) x2 − 4xy + 4y2 + 3x − 6y + 2 = 0R: x − 2y + 1 = 0, x − 2y + 2 = 0.

23


Recommended