CURSUL 7

FORMALISMUL SCHRDINGER ntre anii 1923 i 1927 au fost puse bazele teoriei cuantice n dou formulri echivalente: mecanica cuantic matriceal, datorat lui Heisenberg, Born i Jordan, i mecanica cuantic ondulatorie, ntemeiat cam n acelai timp de Erwin Schrdinger (1887 1961). Mecanica matriceal asociaz observabilelor fizice matrici, opernd astfel cu o algebr necomutativ n care ecuaiile de micare ale variabilelor dinamice ale unui sistem cuantic sunt ecuaii ntre matrici, admindu-se n baza principiului de coresponden c aceste ecuaii sunt formal identice cu ecuaiile asociate sistemului de fizica clasic. Mecanica ondulatorie pornete de la teoria de Broglie asupra undelor de materie. Schrdinger aprofundeaz i generalizeaz aceast noiune, construind ecuaia de propagare a funciei de und care descrie un sistem cuantic. El a artat c dei, aparent ireconciliabile cele dou formalisme sunt echivalente fiind dou formulri particulare ale aceleiai teorii. Dirac a definitivat formalismul general al teoriei cuantice, obinnd o teorie cuantic nerelativist a particulelor materiale i a completat-o cu o teorie cuantic a cmpului electromagnetic, pentru a reui s trateze coerent problema interaciei cmpului electromagnetic cu sistemul de particule materiale n aproximaia nerelativist. Tot Dirac a elaborat i teoria cuantic relativist a electronului n baza lucrrilor lui Born, Heisenberg i Bohr. Formalismul Schrdinger permite o abordare mai comod a bazelor mecanicii cuantice, opernd cu un limbaj mai familiar i anume cu acela folosit n teoria undelor i cu o matematic mai simpl aceea a ecuaiilor cu derivate pariale. Acestea sunt motivele pentru care expunem formalismul general al teoriei cuantice n varianta mecanicii ondulatorii. 7.1 ECUAIA SCHRDINGER Ecuaia fundamental a mecanicii cuantice nerelativiste este ecuaia lui Schrdinger :

t

iUm2

2

hh =+ (7.1)

1

n aceast ecuaie, m reprezint masa particulei, U energia sa potenial,

constanta lui Planck exprimat n uniti

h)

2h(,2 =h , simbolul operatorul

lui Laplace, funcia de und asociat microparticulei, t timpul, iar 1i = . Se consider c )t,r(

= , astfel c 22

2

2

2

22

zyx

++=

iar expresia explicit a funciei depinde de U, adic de natura forelor ce se exercit asupra particulei cuantice.Ecuaia lui Schrdinger nu poate fi dedus din alte ecuaii, fiind de sine stttoare n teoria cuantic.

Mecanica ondulatorie se dezvolt n baza acestei ecuaii, considerat ca unul dintre principiile fundamentale ale teoriei cuantice. Schrdinger a construit aceast ecuaie n baza unei analogii ntre principiul lui Fermat din optic ce stabilete traiectoria razei de lumin, i principiul minimei aciuni din mecanica analitic ce definete traiectoria particulei. ntr-un cmp de fore staionar, funcia U nu depinde explicit de timp. n acest caz, funcia )t,r( r admite o descompunere sub forma unui produs ntre un factor spaial i unul dependent numai de timp:

)tEiexp()z,y,x()t,z,y,x( h= (7.2) n care E reprezint energia particulei, care n cazul staionar rmne constant n timp. Introducnd (2.252) n (2.251) se obine dup simplificri

EUm2

2

=+ h (7.3) Aceast form a ecuaiei lui Schrdinger se numete ecuaie Schrdinger pentru stri staionare sau independent de timp, spre deosebire de ecuaia (2.251) pe care o vom recunoate ca ecuaie Schrdinger temporal. 7.1.1. ECUATIA SCHRODINGER PENTRU PARTICULA Justificm ecuaia Schrdinger (2.251) pornind de la expresia undei de Broglie asociate microparticulei: ( )[ ]kxtiexpa = (7.4) innd seama de relaiile h

E= i hp22k

== , se obine (

= Etpxiexpa h ) (7.5)

Aceast ultim form conduce prin derivare la expresiile:

22

2

2

pix

,Eit

=

=

hh .

2

Rezult 22

22

x1p,

ti1E

==

hh i cum n mecanica nerelativist

UEm2

p 2 = , ajungem la ecuaia t

iUxm2 222

=+

hh care reprezint cazul particular unidimensional al ecuaiei (7.1) . Menionm c aceast schem de raionament are un caracter pur formal i nu constituie o deducere a ecuaiei lui Schrdinger. Pentru a evidenia o interpretare a funciei de und coninute n ecuaia lui Schrdinger, s observm c trecerea de la unda plan clasic (7.4) la unda plan cuantic (7.5) a presupus o relaie cuantic ntre vectorul de und k

r i impulsul pr al microparticulei, concretizat prin

apariia constantei a lui Planck, ce are caracter pur cuantic. hn timp ce funcia din (7.4) are o interpretare fizic clar, fiind elongaia

undei monocromatice plane la momentul t n punctul de abscis x, cu implicaii n definirea intensitii undei, funcia din (7.5) exprim o und plan cuantic, o und generalizat a crei semnificaie fizic nu mai ine de prescripiile fizicii clasice ale unei atribuiri individuale, ci are un caracter statistic. Semnificaia funciei care intervine n ecuaia (7.5) va rezulta clar n urma analizei rezultatelor obinute n experienele de difracie a particulelor pe reele de difracie sau pe lame policristaline, cunoscute ca experiene de tipul Debye Scherrer. ntr-o astfel de experien se trimite un fascicul de electroni pe reea, n spatele reelei fiind plasat o plac fotografic, pe care se vor forma inele de difracie succesive. Maximele de diferite ordine ce se vor forma pe plac se datoreaz ciocnirilor ntre electroni i grunii de bromur de argint ai plcii fotografice. Mai exact, fiecare electron va activa un grunte de bromur de argint. Un singur electron nu poate produce o figur de difracie, deoarece fiind indivizibil electronul nu poate activa mai multe grune de material fotosensibil. Rezult deci c electronii vor coopera n formarea maximelor de interferen, fr ns a putea preciza care electron a participat la formarea maximului de un anumit ordin. Repetnd experiena de mai multe ori cu acelai numr N de electroni, vom

constata c aceeai fraciune N

N 1 de electroni au definit maximul de ordinul nti,

o alt fraciune N

N 2 totdeauna aceeai este rspunztoare de formarea

maximului de ordinul al doilea i aa mai departe. O atare situaie reclam considerarea calculului probabilitilor. Un astfel de calcul se impune ori de cte ori o anumit experien efectuat n condiii prestabilite poate conduce la rezultate diferite, fr ns a putea preciza la nceputul experimentului care dintre rezultate se va obine. Repetnd experiena de un numr mare de ori n condiii identice se constat c fraciunea din numrul total de experiene care conduc la acelai rezultat este un numr bine determinat, numit probabilitatea de realizare a rezultatului respectiv.

3

n cazul difraciei electronilor, intensitatea unui maxim este proporional cu numrul de elctroni care lovesc placa fotografic n zona respectiv pe de o parte, iar pe de alt parte este proporional cu 2 . Constatm astfel c expresia ( ) 3212321 dxdxdxt,x,x,x (7.6) este proporional cu probabilitatea de a localiza particula la momentul t n ele- mentul de volum ,centrat pe punctul de coordonate . 321 dxdxdx 321 x,x,x

Condiia care se impune ns pentru ca expresia s reprezinte o probabilitate este ca suma probabilitilor de realizare a tuturor rezultatelor posibile s fie egal cu unu. Cu siguran, particula se va afla undeva n spaiu i, ca urmare, integrala pe ntreg spaiul din expresia de mai sus trebuie s aibe valoarea unu, ceea ce nseamn c funcia trebuie s fie normat. n aceste condiii mrimea

2 ar reprezenta densitatea de probabilitate de localizare a microparticulei n elementul de volum . Se observ ns c unda de Broglie 3dx21dxdx

( ) ( )Etrpi321 Cet,x,x,x = h (7.7) nu este normabil, ntruct tinde la infinit pentru r . Fasciculul de electroni ns ocup un domeniu finit din spaiu, astfel c unda va fi descris de (7.7) numai n acest domeniu, fiind nul n afara acestuia. n acest mod, unda (7.7) este normabil dar nu este normat. Prin alegerea corespunztoare a constantei C, ea poate deveni normat.

Aceast interpretare statistic a soluiilor coninute n ecuaia lui Schrdinger se poate generaliza pentru un sistem de N particule identice Astfel expresia ( ) N3212N321 dxdxdxt,x,,x,x KK (7.8) este proporional cu probabilitatea ca la momentul t, punctul reprezentativ al configuraiei sistemului s se gseasc n elementul de volum N321 dxdxdx K , centrat pe punctul de coordonate N321 x,,x,x K . Dac funcia este i normat, expresia (7.8) reprezint chiar probabilitatea de localizare a punctului repezentativ n elementul de volum specificat. 7.1.2 ECUATIA SCHRDINGER PENTRU UN SISTEM DE PARTICULE Considerm un sistem de particule independente i admitem c la scar cuantic, exist o funcie )t,x,...,x,x( n21 de forma

( ) = tExp

i

n21kk

Ce)t,x,...,x,x( h (7.9) pe care o vom numi funcie de und de Broglie pentru sistemul de particule independente.Aceast und se propag n spaiul cu n dimensiuni al variabilelor x, adic n spaiul configuraiilor i are caracter specific cuantic.

4

Semnificaia ei este cu totul diferit de semnificaia undelor clasice ce se propag n spaiul tridimensional i a fost specificat n seciunea anterioar. n expresia undei (7.9) , E reprezint energia total a sistemului de particule

+=k k

2k U

m2pE (7.10)

iar reprezint componentele impulsurilor diferitelor parti - )n,...,2,1k(p k =cule. Ecuaia Schrdinger asociat sistemului de particule se scrie

0Uxm2t

i 2k

2n

1k k

2

=+

=

hh (7.11) i admitem valabilitatea ei i n cazul cnd U depinde de variabilele de poziie i eventual de timp. Dac energia potenial U nu depinde de timp, ecuaia (7.11) pe care o vom recunoate ca ecuaie Schrdinger temporal admite soluii de forma (7.2)

Eti

n21n21 e)x,...,x,x()t,x,...,x,x( h = (7.12) n care funcia )x,...,x,x( n21 verific ecuaia: EU

xm2 2k

2n

1k k

2=+

=

h (7.13)

numit ecuaie a lui Schrdinger atemporal (independent de timp). Pentru simplificarea scrierii, notm ( )n21 x,,x,xx K i n21 dxdxdxdx K astfel c ( ) ( )t,xt,x,,x,x n21 K . n baza interpretrii statistice a funciei de und observm c soluiile cele mai importante ale ecuaiei Schrdinger sunt acelea pentru care integrala multipl ( ) ( ) = xdt,xt,xK (7.14) extins la ntreg spaiul configuraiilor sistemului de particule, are o valoare finit. Aceasta presupune ca s aib o comportare asimptotic corect, nelegnd prin aceasta c atunci cnd n spaiul configuraiilor, funcia x s se anuleze convenabil. Funciile pentru care integrala (7.14) este finit se numesc normabile. Rdcina ptrat din n determinarea sa pozitiv se numete norm a funciei , iar funciile a cror norm este egal cu unitatea se numesc normate. Funciile de und normabile se pot norma prin alegerea unui factor numeric convenabil. Presupunnd c 1 i 2 sunt dou soluii normabile ale ecuaiei Schrdinger, evident ( 21 ) 02 din care rezult 222121 2121 + sau, nc

xd21xd

21xd

2

D2

2

D12

D1 + (7.15)

5

D fiind un domeniu finit din spaiul configuraiilor i cum

( ) ( ) ( ) ( ) D

21D

21 xdt,xt,xxdt,xt,x (7.16) iar integralele din membrul drept al relaiei (7.15) rmn finite cnd domeniul D se extinde la ntregul spaiu al configuraiilor , din (7.16) rezult c i integrala din membrul nti ale acestei relaii va rmne finit, ceea ce demonstreaz c produsul scalar al funciilor 1 i 2 normabile, exist: ( ) ( ) xdt,xt,x 2

D121 = (7.17)

Ecuaia Schrdinger fiind liniar i omogen, orice combinaie liniar cu coeficieni c1 i c2 constani- n general compleci- a funciilor normabile 1 i

2 , 2211 cc += va fi normabil. n plus, produsul scalar 21 va manifesta urmtoarele proprieti:

21120021100

31321233221

2112

cccc.iii

cccc.ii

.i

+=++=+

=

Normarea unei soluii normate a ecuaiei Schrdinger nu se modific prin nmulirea funciei cu , n care ie este un numr real, oarecare. Expresia dP xd)t,x()t,x( = (7.18) reprezint probabilitatea ca la momentul t, coordonatele carteziene ale particu- lelor sistemului s aibe valori cuprinse n intervalul )dxx,x( kkk + n,...,2,1k = Valoarea medie la momentul t a unei funcii de variabilele de poziie x, se scrie: ( ) =tF )x,...,x,x(F n21 dP xd)t,x()x(F 2= )x(F= (7.19) -dac funcia F(x) este real, F)t(F = ; -dac F(x) este complex, = F)t(F . 7.1.3 ECUATIA DE CONTINUITATE S considerm ecuaia (7.11) nmulit cu i ecuaia complex-conjugat

0Uxm2t

i 2k

2n

1k k

2=+

=

hh nmulit cu . Obinem, adunnd membru cu membru, ecuaia sum

0xxm2t

i 2k

2

2k

2n

1k k

2=

=

hh

6

sau observnd c

=

kkk2k

2

2k

2

xxxxx

rezult

0xxim2xt

n

1k kkkk=

+

=

h (7.20) ecuaie care pentru un sistem de particule identice, ia forma:

0Jt

=+ (7.21)

Se observ c am introdus un nou vector Jr

de componente n spaiul tridimensional al particulei de mas m. De asemenea, n baza relaiei de definiie (7.18), vom nota

321 j,j,j

P (7.22) =astfel c ecuaia (7.21) capt forma unei ecuaii de continuitate

t P (7.23) 0J =+

ce exprim- ca orice ecuaie de continuitate o lege de conservare, pe care va trebui s o interpretm statistic, n baza principiului de coresponden. Astfel vom recunoate mrimea P ca o densitate de probabilitate de localizare n spaiu a microparticulei, iar pe ca o densitate a curentului de probabilitate. J

r

Componentele ale densitii curentului n spaiul configuraiilor n cazul sistemului de particule oarecare, apar n mod evident n ecuaia general (7.20)

kj

=

kkkk xxim2

j h (7.24) Revenind la cazul tridimensional al particulelor identice, ecuaia de continuitate integrat pe un domeniu tridimensional finit D, capt forma

Dtd

d P (x1, x2, x3, t ) d x1 d x2 d x3 =+ D

321 dxdxdxJ

= Dtd

d P (x1, x2, x3, t ) d x1 d x2 d x3 + Ddjn

n care reprezint suprafaa ce include domeniul D, iar , componenta

normal a vectorului n sensul normalei exterioare la suprafaa . D nj

DJr

7

Este foarte important s observm c, n baza relaiei (7.24), componentele sunt reale. ntr-adevr, paranteza se exprim printr-o cantitate complex care va pierde factorul imaginar i prin simplificare cu numitorul factorului numeric.

kj

Prin extinderea domeniului D n toate direciile i considernd acele soluii ale ecuaiei Schrdinger care sunt normabile, funciile se vor anula pe suprafaa de la infinit, rezultnd c 0jn = i

dtd P ( x,t ) xd = t P ( x,t ) =xd 0 (7.25)

n baza acestei relaii constatm c, dei funciile depind de timp, integrala mrimii P pe tot spaiul nu depinde de timp, fiind deci constant n timp, astfel c relaia (7.25) evideniaz conservarea densitii de probabilitate P de localizare a microparticulei. Evident, integrala xd... 2 este un numr real i pozitiv. Funciile normabile conduc la funcii de und normate, prin nmulirea cu o constant n general, complex ce urmeaz a fi determinat impunnd condiia de normare a funciei de und. Rezult n acest mod numai modulul constantei de normare, factorul de faz fiind arbitrar i nesemnificativ pentru localizarea particulelor. ntr-adevr, s presupunem c am gsit o funcie soluie a ecuaiei Schrodinger temporale, care s fie integrabil n modul ptrat (sau de ptrat integrabil), adic,

== Cttanconsxd2 (7.26)

Considerm funcia N= , tiind c atunci cnd N este o constant complex i aceast funcie verific ecuaia Schrdinger. Impunem condiia de normare pentru : === CNxdN1xd 2222 din care rezult

C1N = i cum N este n general un numr complex, forma

ieNN = (7.27) cu faza arbitrar i factorul de faz ie , este compatibil cu funcia de und normat, . Aadar, condiia de normare determin N pn la un factor de faz ce poate fi ales arbitrar, ntruct alegerea lui nu are repercursiuni asupra previziunilor fizice ale teoriei.

8

7.2 PARTICULA LIBER

se mic rectiliniu i

ste permis de urmtorul raionament: considerm ecuaia Schrdinger temporal

Vom nelege prin particul liber o particul asupra creia nu acioneaz fore sau cele care acioneaz i fac echilibru, astfel c aceastauniform pe o direcie pe care o putem considera ca ax Ox. Cum fora rezultant care acioneaz asupra particulei libere deriv din energia potenial U i este nul, rezult c energia potenial U este constant i o putem lua ca un zerou de referin. ntr-adevr, aceast alegere e

tiU

m2

2

=+ hh (7.28)

ie:

i facem o schimbare de func

= Utiexp h (7.29) cu U cunoscut. Obinem:

tt h= UiUtiexp h

Introducem aceast expresie n (2.278) i obinem

tm2 h

Aceast form a ecuaiei Schrdinger coincide cu forma ce se obine din (7.28) pentru U=0. Funciile

i2 = h (7.30)

i difer printr-un factor de faz constant i Tepreviziunile fizice ce se obin vor fi identice n cazul ambelor funcii de und.

orema transformrii Fourier afirm c, fiind dat o funcie normabil )t,x( , aceasta se poate reprezenta ca o suprapunere de unde plane n

spaiul configuraiilor i se poate descompune n integral Fourier.

= pdet,p)2( 2h

1)t,x(rpi

3h (7.31)

urilorS-a notat pd elementul de volum n spaiul impuls : zyx dpdpdppd =r r n cazul ace eoreme constatm c i funcia leiai t ( )t,pr este complet determinat de funcia )t,r( r , prin inversarea transformrii

(7.31) = rdet,r)2( 2h

1t,prpi

3h (7.32)

n care s-a notat cu rdr elementul de volum din spaiul poziiilor : dxdydzrd r Considerm o funcie normat, soluie a ecuaiei Schrdinger. n baza relaiei (7.31), gsim relaiile:

= pdeti)2(

1t

irpi

23

hhh

h

9

=

=

=

pdep

)2(

1

pdep

)2(

1x

pdeip

)2(

1x

rpi

2

2

23

rpi

2

2x

232

2

rpix

23

h

h

h

hh

hh

hh

astfel c, innd seama de (7.30), obinem:

pdem2

pt

i)2(

1m2t

i0rpi2

23

2 rrhh

hh h

=+

=

Deducem c paranteza dreapt este transformata Fourier a lui zero, deci

m2

pt

i2r

h =

(7.33)

care se integreaz i rezult

( ) ( ) tm2pi2

ept,pr

hrr = (7.34) care introdus n (7.31) confer o nou form acestei ecuaii

( ) ( )

= pdep2

1t,rt

m2prpi

23

2

rh

rr

h

(7.35) Funcia ( )pr este o funcie arbitrar de pr , astfel aleas nct integrala s fie convergent. Funcia de und ( )t,rr , exprimat prin relaia (7.35), reprezint soluia general a ecuaiei Schrdinger pentru particula liber i se numete pachet de unde de Broglie.

Vom arta n continuare c forma oricrei soluii a ecuaiei Schrdinger pentru particula liber la un moment t>0 este unic determinat de forma soluiei ( )r0 r la t=0.ntr-adevr, punnd t=0 n (7.35), obinem: ( ) ( ) ( )

=p

rpi

230 pdep

2

10,rv

h rrh

r

(7.36) relaie ce reprezint dezvoltarea n integral Fourier a funciei ( )r0 r n care ( ) ( )

=r

rpi

02

3 rder2

1)p( hrh

Introducnd aceast expresie n (7.35), obinem:

10

( ) ( ) ( )

=

p

tm2

prpi

r

rpi

02

32

3 pderder2

1

2

1t,r

2r

hh

hhr

Presupunem c sunt ndeplinite condiiile n care se poate schimba ordinea de inte - grare:

( ) ( )

=r p

tm2

prrpi

02

3 rdpder2

1t,r

2r

h

hr (7.37)

Introducem funcia

( ) ( )

=p

tm2

prpi

3 pde21t,r G

2r

h

hr

(7.38)

numit funcia Green i obinem: ( ) ( ) ( )

=

r0 rdt,rrGrt,r r

rrrrr (7.39) Observnd c

+

+

= t

m2p

zptm2

pypt

m2pxpt

m2prp

2z

z

2y

y

2x

x

2rrr

integrala coninut n (7.38) se desface n produsul a trei integrale de acelai tip

= dqe2

1)t,(gt

m2qqi

2

h

h (7.40)

n care desemneaz variabilele x, y i z iar variabila q ,componentele px , py , pz ale impulsului. Expresia (7.40) se reduce la o integral Fresnel, observnd c,

=

+=

222

2

222

2

tm

tm

tmq2q

m2itt

m2qqi hh

t2im

tmq

m2it 22

hh +

=

rezult

= dqee2

1)t,(g

22

tmq

m2it

t2im

hh

h (7.41)

Pentru calculul integralei introducem o nou variabil

t

mqm2tu h

i folosind relaiile

11

4iiu

22

22iu

e)i1(2

due

2duusinduucos

usiniucose

2

2

==

==

=

obinem

t2mi

4i

2

et2

me)t,(g hh

= (7.42)

i, n definitiv

( ) t2mri23

43i

2

et2

met,rG hhr

=

(7.43)

care se introduce n (7.39) i rezult, ( ) ( ) ( )

= rdt,rrGrt,r 0 rrrrr (7.44)

oricare ar fi t >0. Cunoaterea funciei de und ( )t,rr , permite n cazul particulei libere - s se calculeze P ( ) ( ) 2t,rt,r rr = - s se calculeze valoarea medie f a unei funcii ( )rf r cu formula:

( ) ( )

= rdt,rPrff rrr

- s se observe c ( ) ( ) = pdt,prdt,r 22 rrrr . ntr-adevr, innd seama de (7.44) i de relaia de completitudine, (6.18) scris sub forma ( ) ( ) 22 pt,p rr = (7.45) obinem: ( ) ( ) ( )

==

r p p

222 pdppdt,prdt,r rrrrrr (7.46)

Aceast relaie ne permite s observm c dac funcia ( )t,rr este normat n spaiul poziiilor, atunci i funcia ( )t,pr va fi normat n spaiul impulsurilor. Am menionat cu alt ocazie c n mecanica clasic starea unei particule este determinat nu numai de poziie, ci i de impuls. Vom nota n continuare cu oricare dintre coordonatele microparticulei x, y sau z i vom considera relaia de

definiie clasic a componentei v a vitezei: t)t()tt( lim)t(v

0t =

+ .

12

Cum n mecanica cuantic, coordonatele ale microparticulei sunt determinate statistic i componentele de vitez v vor fi statistic determinate, astfel c va trebui s considerm ntr-o situaie statistic determinat, valoarea medie v a componentei a a vitezei: v

)t(dtd

t)t()tt(lim

t)t()tt(limv

0t0t

=

+=+=

Pe de alt parte, n baza definiiei (7.19) , ( ) rdt,r)t(r

2 rrr= unde am notat for-

mal cu i cu integrala pe tot spaiul coordonatelor. Obinem deci dxdydzrd r rr

rdtdt

)t(dvr

2 r==

i vom exprima derivata din ecuaia de continuitate :

=

z,y,x,;jt

2

Rezult rdj)t(vr

r

=

n care se folosete identitatea

=

j

j)j( = i se obine rd

)j(rdj)t(vrr

rrr =

. n aceast expresie integrala a doua se anuleaz pe suprafaa de la infinit, n baza teoremei flux divergen, datorit anulrii funciei care presupune i anula - rea densitii curentului de probabilitate. Rmne, ( ) rdt,rj)t(v

r

rr

= n care

inem seama de (7.24) pentru media )t(p a componentei a impulsului, expre -sia: rd

2i)t(vm)t(p

r

rhr

==

Pe de alt parte, 2 se anuleaz pe o suprafa ce tinde la infinit, ceea ce

permite s observm c rdtt2

ird2i0

rr

2 rhrhrr

+==

astfel c,

prin adunarea ultimelor dou relaii, rezult rdi

rdi

)t(p rhrh

==

sau n scriere echivalent sub forma produselor scalare

hh ii)t(p == (7.47)

13

Concluzia ce se desprinde din acest rezultat este c dac se cunoate funcia normat ( )t,rr se pot calcula valorile medii ale componentelor impulsurilor. Vom nota cu

hi i vom deriva ambii membri ai relaiei (7.31) n raport cu variabila , care figureaz la exponent n produsul .

Obinem:

=

prp rr

( ) ( )==

p

rpi

23 pdt,ppe

2

2ir

h rh

h din care se observ c

produsul ( )t,pp r reprezint transformata Fourier a funciei ( )t,rr i, n baza invarianei produsului scalar la transformarea Fourier, se poate scrie:

( ) ==

====

pdt,ppp

i)t(p

2

p

r

h

r

(7.48)

Aceast relaie, mpreun cu relaia (complementar ei) (7.46) ne permit s observm c expresia ( ) pdt,p 2 rr reprezint probabilitatea ca la momentul t, componentele impulsurilor s aib valori cuprinse n intervalele , )dpp,p( +

y,x sau z. n baza acestui rezultat, vom putea calcula valoarea medie la momentul t a unei observabile fizice G(p), exprimate ca funcie numai de variabila impuls

( ) =p

2 pdt,p)p(G)t(Gr

r (7.49) sau scris ca produs scalar, )p(G)p(G)t(G == (7.50) Relaia (7.49) permite estimarea mediilor puterilor observabilelor coordonat i impuls, cu ajutorul transformrilor Fourier, pornind de la expresiile funciilor de und:

( ) ( ) ( )=

p

rpi

23 pdet,p

2

1t,rr

hrh

r (7.51)

( ) ( ) ( ) =

r

rpi

23 rdet,r

2

1t,p hrh

r

(7.52) Obinem succesiv relaiile:

( ) ( )

=p

rpin

23n

n

pdepit,p2

1 hh

rh

(7.53)

14

( ) ( )

=

r

rpin

23n

n

rdeit,r2

1p

hh

rh

(7.54)

( ) ( ) =

p

rpi

23 pdet,p

2

1 hrh

(7.55)

astfel c ( ) == r

2nn rdt,rr

r ( ) ( ) ( )

pdet,p

2

1t,rrpi

p23

r

n rrh

r hrr

Presupunnd c se ndeplinesc condiiile pentru a schimba ordinea de integrare, rezult

( ) ( ) ( ) pdrdet,r21t,r

rpi

rn

23

p

n rrrh

r hrr

=

(7.56) Se observ c

( ) = pdpt,pi nn

p

nn

rh (7.57)

Notm cu

p

ip h

operatorii coordonatelor n reprezentarea-p.

Ecuaia (7.57) se scrie astfel sub forma: ( ) pdi np

p

nn rhr

= (7.58) n baza acestei relaii se obin expresiile particulare:

n=1: = pdpirh

(7.59)

n=2:

==

pd

pppppd

pp

22

222

hh

De exemplu,

+

+

= pdpppdpdpx xx2

xzy

22

hh .

Se admite c descrete suficient de repede pentru i rezult zyx p,p,p = pdpp22 rh

(7.60)

15

n mod asemntor, calculm mediile puterilor componentelor impulsurilor:

( )

== p

2nn pdt,ppp r ( ) ( ) ( )

rdet,r

2

1t,pprpi

r2

3

p

n hrh

r

Presupunnd c sunt ndeplinite condiiile care permit schimbarea ordinei de integrare,

( ) ( ) ( )

=

rdpdept,p2

1t,rprpin

p23

r

n hrr

rh

r

(7.61)

= rd)i(p n

n

r

nn

rh (7.62)

Introducem operatorul hiP

, pe care-l vom recunoate ca operator al

impulsului n reprezentarea-x. Se obine, n definitiv

= rdPp n

r

n r (7.63) Formulele stabilite pentru mediile observabilelor dinamice coordonat i impuls i a puterilor acestora, sunt generale i, pentru particula liber, capt forme parti - culare n cadrul unor mrimi fizice interpretabile, cum ar fi abaterea ptratic medie, care folosete i 2 : ( ) 222 = Vom considera aadar funcia ( )t,pr sub forma (2.284) care descrie evoluia strii particulei libere. Gsim,

( ) == tm2pitm2pi22

eptmpie

pp

r

h

r

h rh

( ) tm2pi

2

eptmpi

p

r

hrh

i

( ) =

=

pdetmpi

pepi

tm2

pitm2

pi

p

22 r

h

r

hh

rh

( ) +=

pdppmtpd

pi 2

p

rh

(7.64)

Primul termen al acestei expresii reprezint la t=0 i-l vom nota cu 0)( . Rezult, ;p

mt)z(z;p

mt)y(y;p

mt)x(x z0y0x0 +=+=+= (7.65)

Aceste relaii arat c centrul de greutate al oricrei particule libere definit ca punctul de coordonate y,x i z se mic rectiliniu i uniform, avnd ca impuls media impulsurilor pe pachetul de unde .

Sintetizm relaiile (7.65)n scrierea pm

t)( 0 += (7.66)

16

Ridicm la ptrat aceast relaie:

[ ] 2 220202 m )p(tm p)(2t)( ++= (7.67) i calculm 2 :

+

+=

=+

+=

=

+=

pdpmtpd

pppt

mi)(

pdpmtpd

ppp

mtipd

pp

pdetmpi

pet

mpi

p

p

222

2

p0

2

p

222

2

pp

2

tm2

pitm2

pi

p

22

22

rr

r

h

r

h

h

hh

hhh

(7.68)

Se obine observnd c ( ) ( )[ ] ( )[ ]202002 = ,

( )[ ]

( )[ ]2220p

20

2

pmtp)(2

pdpp

imt

+

+=

h

(7.69)

Am stabilit dependena de timp a abaterilor ptratice medii 22 )y(,)x( i 2)z( , reprezentate prin cte un trinom de gradul II cu coeficieni reali. Fiind media unor ptrate, 0)( . Se

observ c

2)( 2

0)p( 2 > , astfel c parabola asociat trinomului (7.69) va avea un minim care se deplaseaz n timp ca n figura 7.1. Fie timpul dup care minimul parabolei a ajuns n cadranul I. Constatm c, pe msur ce

0 t

,t 2)

Figura 7.1 ( , i cunoaterea noastr

asupra poziiei microparticulei tinde spre zero. n intervalul [ ],0 , 2)( descrete i cunoaterea asupra poziionrii centrului de greutate al pachetului de Broglie se mbuntete, pentru ca pe msur ce t se ndeprteaz de cunoaterea s scad n timp, evideniind astfel o mprtiere a pachetului de Broglie asociat microparticulei libere. Acest fenomen de mprtiere este influenat de masa m a particulei. Cu ct masa m este mai mare, cu att

17

mprtierea se produce mai lent. Pentru o particul macroscopic mprtierea pachetului de unde este practic neglijabil, n timp de interes fizic. 7.3 TEOREMELE EHRENFEST I LIMITA CLASIC A MECANICII CUANTICE Am stabilit n seciunea 5.1.2 a lucrrii teoremele Ehrenfest referitoare la micarea operatorilor. n cele ce urmeaz vom stabili teoremele Ehrenfest referitoare la variabilele aleatorii coordonat i impuls n cazul formalismului Schrdinger. n acest scop ne fixm atenia asupra unei microparticule cuantice aflate sub aciunea unui cmp de fore ce deriv din energia potenial ( )t,rU r i ne folosim de ecuaia lui Schrodinger dependent de timp:

( )rUU;t

iUm2

2 rhh ==+ (7.70)

Prima teorem a lui Ehrenfest consider mediile pe domenii spaiale ale variabilelor aleatorii asociate observabilelor dinamice coordonat i impuls

notate respectiv cu variabil ce desemneaz coordonatele x, y sau z i respectiv p notaie ce desemneaz componenta impulsului pe direcia .

Mediile spaiale ale acestor variabile aleatorii rezult din relaiile (7.70) i (7.67) scrise sub forma: ( ) ( ) ( )=

r

* rdt,rt,rtr

rrr (7.71)

( ) ( ) = r* rdt,rt,rip

rrrrh

(7.72) Pentru simplificarea scrierii vom nota simplu ( ) t,rr i n general pentru orice alt funcie vom specifica dependena de variabile doar n ipotezele de lucru. n cadrul acestei convenii avem:

= rdt*dtd r (7.73) = rd*ip rh (7.74)

Derivatele pariale le vom exprima din ecuaia Schrodinger (7.70) i din conjugata complex a acestora i le vom introduce apoi n (7.73). Se obine astfel

( )[ ] = rd**im2dtd rh (7.75)

18

n continuare vom apela la forma integral a teoremei lui Green care se scrie pentru dou funcii oarecare i ce ndeplinesc condiia de convergen a ntregului. ( ) ( )

=

rrr

drdr

(7.76)

Vom alege i * . Rezult, ( )( ) ( )[ ]

=

rrr

d**rd**r

Pe suprafaa de la infinit notat mai sus cu , funciile de und descresc suficient de repede astfel, c ( )( ) 0rd**

r=r r

echivalent cu, ( ) =

rrrd*rd*

rrrr

Pe de alt parte, n baza identitii ( ) ++= 2 alegnd i nd seama c i in are componentele (1,0,0) pentru x ; (0,1,0) pentru y= ,1) pentru i (0,0 z= , o m: bine ( )

++= 2

n baza observaiilor semnalate, 0= , astfel c ( )

+=

rrrd

r2*rd*

rrrr

Rezult mp

rdr

*mi

dtd

r

== r rh sau n definitiv, expresia matematic a

primei teoreme Ehrenfest pentru mediile variabilelor aleatorii.

zsauy,xpdtdm = (7.77)

Pentru stabilirea celei de a doua teoreme Ehrenfest vom calcula mai nti p : = r rd*ip r

rh de unde rezult:

+

= rr

rdt

*rdt*i

dtpd

rrrrh

Derivatele n raport cu timpul le exprimm din ecuaia lui Schrodinger i din conjugata complex a acesteia.

19

Se obine:

( ) ( )

+

=rr

2rdUU*rd**

m2dtpd

rrrrh

n care vom aplica din nou forma integral (7.76)a teoremei lui Green alegnd

* i .

Rezult 0rd**r

=

r r i ( )

=r

rdUU*dtpd

rr

Expresia din paranteza dreapt este egal cu U astfel c n definitiv, se

obine expresia matematic a celei de a doua teoreme Ehrenfest:

= r2 rdU

dtpd

rr

(7.78)

Ecuaiile cuantice ale teoremelor Ehrenfest manifest o asemnare cu ecuaiile lui Newton din mecanica clasic i se apropie infinit de mult de acestea

pentru particulele macroscopice.

n timp ce n ecuaiile lui Newton FU

dt

dm2

2=

= apar n membrul drept forele ce acioneaz asupra particulei n punctul n care se afl aceasta, n ecuaiile

cuantice ( ) = z,y,xUdtdm 22

apare n membrul stng o medie a forei pe

pachet. Datorit mprtierii iminente a microparticulei cuantice chiar n absena unor fore, localizarea n timp a centrului de greutate al pachetului de Broglie asociat va devia de la traiectoria clasic a particulei. S presupunem c la momentul iniial t0 localizarea pachetului de Broglie asociat microparticulei este strns, adic funcia de und 0 este apreciabil diferit de

zero doar ntr-o zon restrns n jurul centrului de greutate

000 z,y,x 0z,00 y,x al

pachetului. Scriem relaia de mediere spaial

= r2

0 rdUU

rr (7.79) Figura 7.2

creia i aplicm o teorem de medie admind c n zona haurat din figura 7.2 funcia 0 difer nesemnificativ de la punct la punct. 20

n acest caz, (7.79) devine:

=

UrdUU

r

20r

r.Vom comite o eroare nesemnificativ considernd c la

t apropiat de t0

000000 z,y,xr

20

z,y,x

UrdUU

=

r r (7.80) i introducnd aceast valoare n ecuaiile de micare ale centrului de greutate ale pachetului de Broglie asociat, obinem ecuaia

000 z,y,x

2

2 U

dt

dm

(7.81) Aceasta este ecuaia de micare pe o

durat scurt i coincide cu ecuaia clasic.

Exist deci tendina ca n vecintatea lui t0,

centrul de greutate al pachetului s se

localizeze pe traiectoria clasic. Intervine

ns mprtierea statistic care se produce

indiferent de natura cmpului de fore i

indiferent de precizia localizrii iniiale. Pe msur ce ne ndeprtm de t0

mprtierile statistice ale coordonatelor cresc. Zona n care probabilitatea de

localizare a microparticulei 020 va deveni mai extins i - aa cum se observ n figura 7.3 - centrul de greutate al pachetului definit de z,y,x se va

abate de la traiectoria clasic. n cazul particulelor macroscopice centrul de

greutate al pachetului de Broglie caracterizat de anumite condiii iniiale se va

mica urmnd o localizare n timp ntr-o zon restrns n jurul traiectoriei descrise

de particul n cadrul acelorai condiii iniiale. n acest caz, ne putem dispensa de

statistic i vom lucra numai cu ecuaia clasic a lui Newton. Aadar, pentru a

putea trece la limit n mecanica cuantic, se impun dou condiii:

particula considerat s fie macroscopic i s existe o localizare macroscopic bun a particulei la momentul iniial t0.

000 z,y,x

Figura 7.3

B z,y, x

A traiectoria clasic A

21

22

(7.77)n timp ce n ecuaiile lui Newton apar n membrul drept forele ce acioneaz asupra particulei n punctul n care se afl aceasta, n ecuaiile cuantice apare n membrul stng o medie a forei pe pachet. Datorit mprtierii iminente a microparticulei cuantice chiar n absena unor fore, localizarea n timp a centrului de greutate al pachetului de Broglie asociat va devia de la traiectoria clasic a particulei.