CURSUL 7
FORMALISMUL SCHRDINGER ntre anii 1923 i 1927 au fost puse bazele teoriei cuantice n dou formulri echivalente: mecanica cuantic matriceal, datorat lui Heisenberg, Born i Jordan, i mecanica cuantic ondulatorie, ntemeiat cam n acelai timp de Erwin Schrdinger (1887 1961). Mecanica matriceal asociaz observabilelor fizice matrici, opernd astfel cu o algebr necomutativ n care ecuaiile de micare ale variabilelor dinamice ale unui sistem cuantic sunt ecuaii ntre matrici, admindu-se n baza principiului de coresponden c aceste ecuaii sunt formal identice cu ecuaiile asociate sistemului de fizica clasic. Mecanica ondulatorie pornete de la teoria de Broglie asupra undelor de materie. Schrdinger aprofundeaz i generalizeaz aceast noiune, construind ecuaia de propagare a funciei de und care descrie un sistem cuantic. El a artat c dei, aparent ireconciliabile cele dou formalisme sunt echivalente fiind dou formulri particulare ale aceleiai teorii. Dirac a definitivat formalismul general al teoriei cuantice, obinnd o teorie cuantic nerelativist a particulelor materiale i a completat-o cu o teorie cuantic a cmpului electromagnetic, pentru a reui s trateze coerent problema interaciei cmpului electromagnetic cu sistemul de particule materiale n aproximaia nerelativist. Tot Dirac a elaborat i teoria cuantic relativist a electronului n baza lucrrilor lui Born, Heisenberg i Bohr. Formalismul Schrdinger permite o abordare mai comod a bazelor mecanicii cuantice, opernd cu un limbaj mai familiar i anume cu acela folosit n teoria undelor i cu o matematic mai simpl aceea a ecuaiilor cu derivate pariale. Acestea sunt motivele pentru care expunem formalismul general al teoriei cuantice n varianta mecanicii ondulatorii. 7.1 ECUAIA SCHRDINGER Ecuaia fundamental a mecanicii cuantice nerelativiste este ecuaia lui Schrdinger :
t
iUm2
2
hh =+ (7.1)
1
n aceast ecuaie, m reprezint masa particulei, U energia sa potenial,
constanta lui Planck exprimat n uniti
h)
2h(,2 =h , simbolul operatorul
lui Laplace, funcia de und asociat microparticulei, t timpul, iar 1i = . Se consider c )t,r(
= , astfel c 22
2
2
2
22
zyx
++=
iar expresia explicit a funciei depinde de U, adic de natura forelor ce se exercit asupra particulei cuantice.Ecuaia lui Schrdinger nu poate fi dedus din alte ecuaii, fiind de sine stttoare n teoria cuantic.
Mecanica ondulatorie se dezvolt n baza acestei ecuaii, considerat ca unul dintre principiile fundamentale ale teoriei cuantice. Schrdinger a construit aceast ecuaie n baza unei analogii ntre principiul lui Fermat din optic ce stabilete traiectoria razei de lumin, i principiul minimei aciuni din mecanica analitic ce definete traiectoria particulei. ntr-un cmp de fore staionar, funcia U nu depinde explicit de timp. n acest caz, funcia )t,r( r admite o descompunere sub forma unui produs ntre un factor spaial i unul dependent numai de timp:
)tEiexp()z,y,x()t,z,y,x( h= (7.2) n care E reprezint energia particulei, care n cazul staionar rmne constant n timp. Introducnd (2.252) n (2.251) se obine dup simplificri
EUm2
2
=+ h (7.3) Aceast form a ecuaiei lui Schrdinger se numete ecuaie Schrdinger pentru stri staionare sau independent de timp, spre deosebire de ecuaia (2.251) pe care o vom recunoate ca ecuaie Schrdinger temporal. 7.1.1. ECUATIA SCHRODINGER PENTRU PARTICULA Justificm ecuaia Schrdinger (2.251) pornind de la expresia undei de Broglie asociate microparticulei: ( )[ ]kxtiexpa = (7.4) innd seama de relaiile h
E= i hp22k
== , se obine (
= Etpxiexpa h ) (7.5)
Aceast ultim form conduce prin derivare la expresiile:
22
2
2
pix
,Eit
=
=
hh .
2
Rezult 22
22
x1p,
ti1E
==
hh i cum n mecanica nerelativist
UEm2
p 2 = , ajungem la ecuaia t
iUxm2 222
=+
hh care reprezint cazul particular unidimensional al ecuaiei (7.1) . Menionm c aceast schem de raionament are un caracter pur formal i nu constituie o deducere a ecuaiei lui Schrdinger. Pentru a evidenia o interpretare a funciei de und coninute n ecuaia lui Schrdinger, s observm c trecerea de la unda plan clasic (7.4) la unda plan cuantic (7.5) a presupus o relaie cuantic ntre vectorul de und k
r i impulsul pr al microparticulei, concretizat prin
apariia constantei a lui Planck, ce are caracter pur cuantic. hn timp ce funcia din (7.4) are o interpretare fizic clar, fiind elongaia
undei monocromatice plane la momentul t n punctul de abscis x, cu implicaii n definirea intensitii undei, funcia din (7.5) exprim o und plan cuantic, o und generalizat a crei semnificaie fizic nu mai ine de prescripiile fizicii clasice ale unei atribuiri individuale, ci are un caracter statistic. Semnificaia funciei care intervine n ecuaia (7.5) va rezulta clar n urma analizei rezultatelor obinute n experienele de difracie a particulelor pe reele de difracie sau pe lame policristaline, cunoscute ca experiene de tipul Debye Scherrer. ntr-o astfel de experien se trimite un fascicul de electroni pe reea, n spatele reelei fiind plasat o plac fotografic, pe care se vor forma inele de difracie succesive. Maximele de diferite ordine ce se vor forma pe plac se datoreaz ciocnirilor ntre electroni i grunii de bromur de argint ai plcii fotografice. Mai exact, fiecare electron va activa un grunte de bromur de argint. Un singur electron nu poate produce o figur de difracie, deoarece fiind indivizibil electronul nu poate activa mai multe grune de material fotosensibil. Rezult deci c electronii vor coopera n formarea maximelor de interferen, fr ns a putea preciza care electron a participat la formarea maximului de un anumit ordin. Repetnd experiena de mai multe ori cu acelai numr N de electroni, vom
constata c aceeai fraciune N
N 1 de electroni au definit maximul de ordinul nti,
o alt fraciune N
N 2 totdeauna aceeai este rspunztoare de formarea
maximului de ordinul al doilea i aa mai departe. O atare situaie reclam considerarea calculului probabilitilor. Un astfel de calcul se impune ori de cte ori o anumit experien efectuat n condiii prestabilite poate conduce la rezultate diferite, fr ns a putea preciza la nceputul experimentului care dintre rezultate se va obine. Repetnd experiena de un numr mare de ori n condiii identice se constat c fraciunea din numrul total de experiene care conduc la acelai rezultat este un numr bine determinat, numit probabilitatea de realizare a rezultatului respectiv.
3
n cazul difraciei electronilor, intensitatea unui maxim este proporional cu numrul de elctroni care lovesc placa fotografic n zona respectiv pe de o parte, iar pe de alt parte este proporional cu 2 . Constatm astfel c expresia ( ) 3212321 dxdxdxt,x,x,x (7.6) este proporional cu probabilitatea de a localiza particula la momentul t n ele- mentul de volum ,centrat pe punctul de coordonate . 321 dxdxdx 321 x,x,x
Condiia care se impune ns pentru ca expresia s reprezinte o probabilitate este ca suma probabilitilor de realizare a tuturor rezultatelor posibile s fie egal cu unu. Cu siguran, particula se va afla undeva n spaiu i, ca urmare, integrala pe ntreg spaiul din expresia de mai sus trebuie s aibe valoarea unu, ceea ce nseamn c funcia trebuie s fie normat. n aceste condiii mrimea
2 ar reprezenta densitatea de probabilitate de localizare a microparticulei n elementul de volum . Se observ ns c unda de Broglie 3dx21dxdx
( ) ( )Etrpi321 Cet,x,x,x = h (7.7) nu este normabil, ntruct tinde la infinit pentru r . Fasciculul de electroni ns ocup un domeniu finit din spaiu, astfel c unda va fi descris de (7.7) numai n acest domeniu, fiind nul n afara acestuia. n acest mod, unda (7.7) este normabil dar nu este normat. Prin alegerea corespunztoare a constantei C, ea poate deveni normat.
Aceast interpretare statistic a soluiilor coninute n ecuaia lui Schrdinger se poate generaliza pentru un sistem de N particule identice Astfel expresia ( ) N3212N321 dxdxdxt,x,,x,x KK (7.8) este proporional cu probabilitatea ca la momentul t, punctul reprezentativ al configuraiei sistemului s se gseasc n elementul de volum N321 dxdxdx K , centrat pe punctul de coordonate N321 x,,x,x K . Dac funcia este i normat, expresia (7.8) reprezint chiar probabilitatea de localizare a punctului repezentativ n elementul de volum specificat. 7.1.2 ECUATIA SCHRDINGER PENTRU UN SISTEM DE PARTICULE Considerm un sistem de particule independente i admitem c la scar cuantic, exist o funcie )t,x,...,x,x( n21 de forma
( ) = tExp
i
n21kk
Ce)t,x,...,x,x( h (7.9) pe care o vom numi funcie de und de Broglie pentru sistemul de particule independente.Aceast und se propag n spaiul cu n dimensiuni al variabilelor x, adic n spaiul configuraiilor i are caracter specific cuantic.
4
Semnificaia ei este cu totul diferit de semnificaia undelor clasice ce se propag n spaiul tridimensional i a fost specificat n seciunea anterioar. n expresia undei (7.9) , E reprezint energia total a sistemului de particule
+=k k
2k U
m2pE (7.10)
iar reprezint componentele impulsurilor diferitelor parti - )n,...,2,1k(p k =cule. Ecuaia Schrdinger asociat sistemului de particule se scrie
0Uxm2t
i 2k
2n
1k k
2
=+
=
hh (7.11) i admitem valabilitatea ei i n cazul cnd U depinde de variabilele de poziie i eventual de timp. Dac energia potenial U nu depinde de timp, ecuaia (7.11) pe care o vom recunoate ca ecuaie Schrdinger temporal admite soluii de forma (7.2)
Eti
n21n21 e)x,...,x,x()t,x,...,x,x( h = (7.12) n care funcia )x,...,x,x( n21 verific ecuaia: EU
xm2 2k
2n
1k k
2=+
=
h (7.13)
numit ecuaie a lui Schrdinger atemporal (independent de timp). Pentru simplificarea scrierii, notm ( )n21 x,,x,xx K i n21 dxdxdxdx K astfel c ( ) ( )t,xt,x,,x,x n21 K . n baza interpretrii statistice a funciei de und observm c soluiile cele mai importante ale ecuaiei Schrdinger sunt acelea pentru care integrala multipl ( ) ( ) = xdt,xt,xK (7.14) extins la ntreg spaiul configuraiilor sistemului de particule, are o valoare finit. Aceasta presupune ca s aib o comportare asimptotic corect, nelegnd prin aceasta c atunci cnd n spaiul configuraiilor, funcia x s se anuleze convenabil. Funciile pentru care integrala (7.14) este finit se numesc normabile. Rdcina ptrat din n determinarea sa pozitiv se numete norm a funciei , iar funciile a cror norm este egal cu unitatea se numesc normate. Funciile de und normabile se pot norma prin alegerea unui factor numeric convenabil. Presupunnd c 1 i 2 sunt dou soluii normabile ale ecuaiei Schrdinger, evident ( 21 ) 02 din care rezult 222121 2121 + sau, nc
xd21xd
21xd
2
D2
2
D12
D1 + (7.15)
5
D fiind un domeniu finit din spaiul configuraiilor i cum
( ) ( ) ( ) ( ) D
21D
21 xdt,xt,xxdt,xt,x (7.16) iar integralele din membrul drept al relaiei (7.15) rmn finite cnd domeniul D se extinde la ntregul spaiu al configuraiilor , din (7.16) rezult c i integrala din membrul nti ale acestei relaii va rmne finit, ceea ce demonstreaz c produsul scalar al funciilor 1 i 2 normabile, exist: ( ) ( ) xdt,xt,x 2
D121 = (7.17)
Ecuaia Schrdinger fiind liniar i omogen, orice combinaie liniar cu coeficieni c1 i c2 constani- n general compleci- a funciilor normabile 1 i
2 , 2211 cc += va fi normabil. n plus, produsul scalar 21 va manifesta urmtoarele proprieti:
21120021100
31321233221
2112
cccc.iii
cccc.ii
.i
+=++=+
=
Normarea unei soluii normate a ecuaiei Schrdinger nu se modific prin nmulirea funciei cu , n care ie este un numr real, oarecare. Expresia dP xd)t,x()t,x( = (7.18) reprezint probabilitatea ca la momentul t, coordonatele carteziene ale particu- lelor sistemului s aibe valori cuprinse n intervalul )dxx,x( kkk + n,...,2,1k = Valoarea medie la momentul t a unei funcii de variabilele de poziie x, se scrie: ( ) =tF )x,...,x,x(F n21 dP xd)t,x()x(F 2= )x(F= (7.19) -dac funcia F(x) este real, F)t(F = ; -dac F(x) este complex, = F)t(F . 7.1.3 ECUATIA DE CONTINUITATE S considerm ecuaia (7.11) nmulit cu i ecuaia complex-conjugat
0Uxm2t
i 2k
2n
1k k
2=+
=
hh nmulit cu . Obinem, adunnd membru cu membru, ecuaia sum
0xxm2t
i 2k
2
2k
2n
1k k
2=
=
hh
6
sau observnd c
=
kkk2k
2
2k
2
xxxxx
rezult
0xxim2xt
n
1k kkkk=
+
=
h (7.20) ecuaie care pentru un sistem de particule identice, ia forma:
0Jt
=+ (7.21)
Se observ c am introdus un nou vector Jr
de componente n spaiul tridimensional al particulei de mas m. De asemenea, n baza relaiei de definiie (7.18), vom nota
321 j,j,j
P (7.22) =astfel c ecuaia (7.21) capt forma unei ecuaii de continuitate
t P (7.23) 0J =+
ce exprim- ca orice ecuaie de continuitate o lege de conservare, pe care va trebui s o interpretm statistic, n baza principiului de coresponden. Astfel vom recunoate mrimea P ca o densitate de probabilitate de localizare n spaiu a microparticulei, iar pe ca o densitate a curentului de probabilitate. J
r
Componentele ale densitii curentului n spaiul configuraiilor n cazul sistemului de particule oarecare, apar n mod evident n ecuaia general (7.20)
kj
=
kkkk xxim2
j h (7.24) Revenind la cazul tridimensional al particulelor identice, ecuaia de continuitate integrat pe un domeniu tridimensional finit D, capt forma
Dtd
d P (x1, x2, x3, t ) d x1 d x2 d x3 =+ D
321 dxdxdxJ
= Dtd
d P (x1, x2, x3, t ) d x1 d x2 d x3 + Ddjn
n care reprezint suprafaa ce include domeniul D, iar , componenta
normal a vectorului n sensul normalei exterioare la suprafaa . D nj
DJr
7
Este foarte important s observm c, n baza relaiei (7.24), componentele sunt reale. ntr-adevr, paranteza se exprim printr-o cantitate complex care va pierde factorul imaginar i prin simplificare cu numitorul factorului numeric.
kj
Prin extinderea domeniului D n toate direciile i considernd acele soluii ale ecuaiei Schrdinger care sunt normabile, funciile se vor anula pe suprafaa de la infinit, rezultnd c 0jn = i
dtd P ( x,t ) xd = t P ( x,t ) =xd 0 (7.25)
n baza acestei relaii constatm c, dei funciile depind de timp, integrala mrimii P pe tot spaiul nu depinde de timp, fiind deci constant n timp, astfel c relaia (7.25) evideniaz conservarea densitii de probabilitate P de localizare a microparticulei. Evident, integrala xd... 2 este un numr real i pozitiv. Funciile normabile conduc la funcii de und normate, prin nmulirea cu o constant n general, complex ce urmeaz a fi determinat impunnd condiia de normare a funciei de und. Rezult n acest mod numai modulul constantei de normare, factorul de faz fiind arbitrar i nesemnificativ pentru localizarea particulelor. ntr-adevr, s presupunem c am gsit o funcie soluie a ecuaiei Schrodinger temporale, care s fie integrabil n modul ptrat (sau de ptrat integrabil), adic,
== Cttanconsxd2 (7.26)
Considerm funcia N= , tiind c atunci cnd N este o constant complex i aceast funcie verific ecuaia Schrdinger. Impunem condiia de normare pentru : === CNxdN1xd 2222 din care rezult
C1N = i cum N este n general un numr complex, forma
ieNN = (7.27) cu faza arbitrar i factorul de faz ie , este compatibil cu funcia de und normat, . Aadar, condiia de normare determin N pn la un factor de faz ce poate fi ales arbitrar, ntruct alegerea lui nu are repercursiuni asupra previziunilor fizice ale teoriei.
8
7.2 PARTICULA LIBER
se mic rectiliniu i
ste permis de urmtorul raionament: considerm ecuaia Schrdinger temporal
Vom nelege prin particul liber o particul asupra creia nu acioneaz fore sau cele care acioneaz i fac echilibru, astfel c aceastauniform pe o direcie pe care o putem considera ca ax Ox. Cum fora rezultant care acioneaz asupra particulei libere deriv din energia potenial U i este nul, rezult c energia potenial U este constant i o putem lua ca un zerou de referin. ntr-adevr, aceast alegere e
tiU
m2
2
=+ hh (7.28)
ie:
i facem o schimbare de func
= Utiexp h (7.29) cu U cunoscut. Obinem:
tt h= UiUtiexp h
Introducem aceast expresie n (2.278) i obinem
tm2 h
Aceast form a ecuaiei Schrdinger coincide cu forma ce se obine din (7.28) pentru U=0. Funciile
i2 = h (7.30)
i difer printr-un factor de faz constant i Tepreviziunile fizice ce se obin vor fi identice n cazul ambelor funcii de und.
orema transformrii Fourier afirm c, fiind dat o funcie normabil )t,x( , aceasta se poate reprezenta ca o suprapunere de unde plane n
spaiul configuraiilor i se poate descompune n integral Fourier.
= pdet,p)2( 2h
1)t,x(rpi
3h (7.31)
urilorS-a notat pd elementul de volum n spaiul impuls : zyx dpdpdppd =r r n cazul ace eoreme constatm c i funcia leiai t ( )t,pr este complet determinat de funcia )t,r( r , prin inversarea transformrii
(7.31) = rdet,r)2( 2h
1t,prpi
3h (7.32)
n care s-a notat cu rdr elementul de volum din spaiul poziiilor : dxdydzrd r Considerm o funcie normat, soluie a ecuaiei Schrdinger. n baza relaiei (7.31), gsim relaiile:
= pdeti)2(
1t
irpi
23
hhh
h
9
=
=
=
pdep
)2(
1
pdep
)2(
1x
pdeip
)2(
1x
rpi
2
2
23
rpi
2
2x
232
2
rpix
23
h
h
h
hh
hh
hh
astfel c, innd seama de (7.30), obinem:
pdem2
pt
i)2(
1m2t
i0rpi2
23
2 rrhh
hh h
=+
=
Deducem c paranteza dreapt este transformata Fourier a lui zero, deci
m2
pt
i2r
h =
(7.33)
care se integreaz i rezult
( ) ( ) tm2pi2
ept,pr
hrr = (7.34) care introdus n (7.31) confer o nou form acestei ecuaii
( ) ( )
= pdep2
1t,rt
m2prpi
23
2
rh
rr
h
(7.35) Funcia ( )pr este o funcie arbitrar de pr , astfel aleas nct integrala s fie convergent. Funcia de und ( )t,rr , exprimat prin relaia (7.35), reprezint soluia general a ecuaiei Schrdinger pentru particula liber i se numete pachet de unde de Broglie.
Vom arta n continuare c forma oricrei soluii a ecuaiei Schrdinger pentru particula liber la un moment t>0 este unic determinat de forma soluiei ( )r0 r la t=0.ntr-adevr, punnd t=0 n (7.35), obinem: ( ) ( ) ( )
=p
rpi
230 pdep
2
10,rv
h rrh
r
(7.36) relaie ce reprezint dezvoltarea n integral Fourier a funciei ( )r0 r n care ( ) ( )
=r
rpi
02
3 rder2
1)p( hrh
Introducnd aceast expresie n (7.35), obinem:
10
( ) ( ) ( )
=
p
tm2
prpi
r
rpi
02
32
3 pderder2
1
2
1t,r
2r
hh
hhr
Presupunem c sunt ndeplinite condiiile n care se poate schimba ordinea de inte - grare:
( ) ( )
=r p
tm2
prrpi
02
3 rdpder2
1t,r
2r
h
hr (7.37)
Introducem funcia
( ) ( )
=p
tm2
prpi
3 pde21t,r G
2r
h
hr
(7.38)
numit funcia Green i obinem: ( ) ( ) ( )
=
r0 rdt,rrGrt,r r
rrrrr (7.39) Observnd c
+
+
= t
m2p
zptm2
pypt
m2pxpt
m2prp
2z
z
2y
y
2x
x
2rrr
integrala coninut n (7.38) se desface n produsul a trei integrale de acelai tip
= dqe2
1)t,(gt
m2qqi
2
h
h (7.40)
n care desemneaz variabilele x, y i z iar variabila q ,componentele px , py , pz ale impulsului. Expresia (7.40) se reduce la o integral Fresnel, observnd c,
=
+=
222
2
222
2
tm
tm
tmq2q
m2itt
m2qqi hh
t2im
tmq
m2it 22
hh +
=
rezult
= dqee2
1)t,(g
22
tmq
m2it
t2im
hh
h (7.41)
Pentru calculul integralei introducem o nou variabil
t
mqm2tu h
i folosind relaiile
11
4iiu
22
22iu
e)i1(2
due
2duusinduucos
usiniucose
2
2
==
==
=
obinem
t2mi
4i
2
et2
me)t,(g hh
= (7.42)
i, n definitiv
( ) t2mri23
43i
2
et2
met,rG hhr
=
(7.43)
care se introduce n (7.39) i rezult, ( ) ( ) ( )
= rdt,rrGrt,r 0 rrrrr (7.44)
oricare ar fi t >0. Cunoaterea funciei de und ( )t,rr , permite n cazul particulei libere - s se calculeze P ( ) ( ) 2t,rt,r rr = - s se calculeze valoarea medie f a unei funcii ( )rf r cu formula:
( ) ( )
= rdt,rPrff rrr
- s se observe c ( ) ( ) = pdt,prdt,r 22 rrrr . ntr-adevr, innd seama de (7.44) i de relaia de completitudine, (6.18) scris sub forma ( ) ( ) 22 pt,p rr = (7.45) obinem: ( ) ( ) ( )
==
r p p
222 pdppdt,prdt,r rrrrrr (7.46)
Aceast relaie ne permite s observm c dac funcia ( )t,rr este normat n spaiul poziiilor, atunci i funcia ( )t,pr va fi normat n spaiul impulsurilor. Am menionat cu alt ocazie c n mecanica clasic starea unei particule este determinat nu numai de poziie, ci i de impuls. Vom nota n continuare cu oricare dintre coordonatele microparticulei x, y sau z i vom considera relaia de
definiie clasic a componentei v a vitezei: t)t()tt( lim)t(v
0t =
+ .
12
Cum n mecanica cuantic, coordonatele ale microparticulei sunt determinate statistic i componentele de vitez v vor fi statistic determinate, astfel c va trebui s considerm ntr-o situaie statistic determinat, valoarea medie v a componentei a a vitezei: v
)t(dtd
t)t()tt(lim
t)t()tt(limv
0t0t
=
+=+=
Pe de alt parte, n baza definiiei (7.19) , ( ) rdt,r)t(r
2 rrr= unde am notat for-
mal cu i cu integrala pe tot spaiul coordonatelor. Obinem deci dxdydzrd r rr
rdtdt
)t(dvr
2 r==
i vom exprima derivata din ecuaia de continuitate :
=
z,y,x,;jt
2
Rezult rdj)t(vr
r
=
n care se folosete identitatea
=
j
j)j( = i se obine rd
)j(rdj)t(vrr
rrr =
. n aceast expresie integrala a doua se anuleaz pe suprafaa de la infinit, n baza teoremei flux divergen, datorit anulrii funciei care presupune i anula - rea densitii curentului de probabilitate. Rmne, ( ) rdt,rj)t(v
r
rr
= n care
inem seama de (7.24) pentru media )t(p a componentei a impulsului, expre -sia: rd
2i)t(vm)t(p
r
rhr
==
Pe de alt parte, 2 se anuleaz pe o suprafa ce tinde la infinit, ceea ce
permite s observm c rdtt2
ird2i0
rr
2 rhrhrr
+==
astfel c,
prin adunarea ultimelor dou relaii, rezult rdi
rdi
)t(p rhrh
==
sau n scriere echivalent sub forma produselor scalare
hh ii)t(p == (7.47)
13
Concluzia ce se desprinde din acest rezultat este c dac se cunoate funcia normat ( )t,rr se pot calcula valorile medii ale componentelor impulsurilor. Vom nota cu
hi i vom deriva ambii membri ai relaiei (7.31) n raport cu variabila , care figureaz la exponent n produsul .
Obinem:
=
prp rr
( ) ( )==
p
rpi
23 pdt,ppe
2
2ir
h rh
h din care se observ c
produsul ( )t,pp r reprezint transformata Fourier a funciei ( )t,rr i, n baza invarianei produsului scalar la transformarea Fourier, se poate scrie:
( ) ==
====
pdt,ppp
i)t(p
2
p
r
h
r
(7.48)
Aceast relaie, mpreun cu relaia (complementar ei) (7.46) ne permit s observm c expresia ( ) pdt,p 2 rr reprezint probabilitatea ca la momentul t, componentele impulsurilor s aib valori cuprinse n intervalele , )dpp,p( +
y,x sau z. n baza acestui rezultat, vom putea calcula valoarea medie la momentul t a unei observabile fizice G(p), exprimate ca funcie numai de variabila impuls
( ) =p
2 pdt,p)p(G)t(Gr
r (7.49) sau scris ca produs scalar, )p(G)p(G)t(G == (7.50) Relaia (7.49) permite estimarea mediilor puterilor observabilelor coordonat i impuls, cu ajutorul transformrilor Fourier, pornind de la expresiile funciilor de und:
( ) ( ) ( )=
p
rpi
23 pdet,p
2
1t,rr
hrh
r (7.51)
( ) ( ) ( ) =
r
rpi
23 rdet,r
2
1t,p hrh
r
(7.52) Obinem succesiv relaiile:
( ) ( )
=p
rpin
23n
n
pdepit,p2
1 hh
rh
(7.53)
14
( ) ( )
=
r
rpin
23n
n
rdeit,r2
1p
hh
rh
(7.54)
( ) ( ) =
p
rpi
23 pdet,p
2
1 hrh
(7.55)
astfel c ( ) == r
2nn rdt,rr
r ( ) ( ) ( )
pdet,p
2
1t,rrpi
p23
r
n rrh
r hrr
Presupunnd c se ndeplinesc condiiile pentru a schimba ordinea de integrare, rezult
( ) ( ) ( ) pdrdet,r21t,r
rpi
rn
23
p
n rrrh
r hrr
=
(7.56) Se observ c
( ) = pdpt,pi nn
p
nn
rh (7.57)
Notm cu
p
ip h
operatorii coordonatelor n reprezentarea-p.
Ecuaia (7.57) se scrie astfel sub forma: ( ) pdi np
p
nn rhr
= (7.58) n baza acestei relaii se obin expresiile particulare:
n=1: = pdpirh
(7.59)
n=2:
==
pd
pppppd
pp
22
222
hh
De exemplu,
+
+
= pdpppdpdpx xx2
xzy
22
hh .
Se admite c descrete suficient de repede pentru i rezult zyx p,p,p = pdpp22 rh
(7.60)
15
n mod asemntor, calculm mediile puterilor componentelor impulsurilor:
( )
== p
2nn pdt,ppp r ( ) ( ) ( )
rdet,r
2
1t,pprpi
r2
3
p
n hrh
r
Presupunnd c sunt ndeplinite condiiile care permit schimbarea ordinei de integrare,
( ) ( ) ( )
=
rdpdept,p2
1t,rprpin
p23
r
n hrr
rh
r
(7.61)
= rd)i(p n
n
r
nn
rh (7.62)
Introducem operatorul hiP
, pe care-l vom recunoate ca operator al
impulsului n reprezentarea-x. Se obine, n definitiv
= rdPp n
r
n r (7.63) Formulele stabilite pentru mediile observabilelor dinamice coordonat i impuls i a puterilor acestora, sunt generale i, pentru particula liber, capt forme parti - culare n cadrul unor mrimi fizice interpretabile, cum ar fi abaterea ptratic medie, care folosete i 2 : ( ) 222 = Vom considera aadar funcia ( )t,pr sub forma (2.284) care descrie evoluia strii particulei libere. Gsim,
( ) == tm2pitm2pi22
eptmpie
pp
r
h
r
h rh
( ) tm2pi
2
eptmpi
p
r
hrh
i
( ) =
=
pdetmpi
pepi
tm2
pitm2
pi
p
22 r
h
r
hh
rh
( ) +=
pdppmtpd
pi 2
p
rh
(7.64)
Primul termen al acestei expresii reprezint la t=0 i-l vom nota cu 0)( . Rezult, ;p
mt)z(z;p
mt)y(y;p
mt)x(x z0y0x0 +=+=+= (7.65)
Aceste relaii arat c centrul de greutate al oricrei particule libere definit ca punctul de coordonate y,x i z se mic rectiliniu i uniform, avnd ca impuls media impulsurilor pe pachetul de unde .
Sintetizm relaiile (7.65)n scrierea pm
t)( 0 += (7.66)
16
Ridicm la ptrat aceast relaie:
[ ] 2 220202 m )p(tm p)(2t)( ++= (7.67) i calculm 2 :
+
+=
=+
+=
=
+=
pdpmtpd
pppt
mi)(
pdpmtpd
ppp
mtipd
pp
pdetmpi
pet
mpi
p
p
222
2
p0
2
p
222
2
pp
2
tm2
pitm2
pi
p
22
22
rr
r
h
r
h
h
hh
hhh
(7.68)
Se obine observnd c ( ) ( )[ ] ( )[ ]202002 = ,
( )[ ]
( )[ ]2220p
20
2
pmtp)(2
pdpp
imt
+
+=
h
(7.69)
Am stabilit dependena de timp a abaterilor ptratice medii 22 )y(,)x( i 2)z( , reprezentate prin cte un trinom de gradul II cu coeficieni reali. Fiind media unor ptrate, 0)( . Se
observ c
2)( 2
0)p( 2 > , astfel c parabola asociat trinomului (7.69) va avea un minim care se deplaseaz n timp ca n figura 7.1. Fie timpul dup care minimul parabolei a ajuns n cadranul I. Constatm c, pe msur ce
0 t
,t 2)
Figura 7.1 ( , i cunoaterea noastr
asupra poziiei microparticulei tinde spre zero. n intervalul [ ],0 , 2)( descrete i cunoaterea asupra poziionrii centrului de greutate al pachetului de Broglie se mbuntete, pentru ca pe msur ce t se ndeprteaz de cunoaterea s scad n timp, evideniind astfel o mprtiere a pachetului de Broglie asociat microparticulei libere. Acest fenomen de mprtiere este influenat de masa m a particulei. Cu ct masa m este mai mare, cu att
17
mprtierea se produce mai lent. Pentru o particul macroscopic mprtierea pachetului de unde este practic neglijabil, n timp de interes fizic. 7.3 TEOREMELE EHRENFEST I LIMITA CLASIC A MECANICII CUANTICE Am stabilit n seciunea 5.1.2 a lucrrii teoremele Ehrenfest referitoare la micarea operatorilor. n cele ce urmeaz vom stabili teoremele Ehrenfest referitoare la variabilele aleatorii coordonat i impuls n cazul formalismului Schrdinger. n acest scop ne fixm atenia asupra unei microparticule cuantice aflate sub aciunea unui cmp de fore ce deriv din energia potenial ( )t,rU r i ne folosim de ecuaia lui Schrodinger dependent de timp:
( )rUU;t
iUm2
2 rhh ==+ (7.70)
Prima teorem a lui Ehrenfest consider mediile pe domenii spaiale ale variabilelor aleatorii asociate observabilelor dinamice coordonat i impuls
notate respectiv cu variabil ce desemneaz coordonatele x, y sau z i respectiv p notaie ce desemneaz componenta impulsului pe direcia .
Mediile spaiale ale acestor variabile aleatorii rezult din relaiile (7.70) i (7.67) scrise sub forma: ( ) ( ) ( )=
r
* rdt,rt,rtr
rrr (7.71)
( ) ( ) = r* rdt,rt,rip
rrrrh
(7.72) Pentru simplificarea scrierii vom nota simplu ( ) t,rr i n general pentru orice alt funcie vom specifica dependena de variabile doar n ipotezele de lucru. n cadrul acestei convenii avem:
= rdt*dtd r (7.73) = rd*ip rh (7.74)
Derivatele pariale le vom exprima din ecuaia Schrodinger (7.70) i din conjugata complex a acestora i le vom introduce apoi n (7.73). Se obine astfel
( )[ ] = rd**im2dtd rh (7.75)
18
n continuare vom apela la forma integral a teoremei lui Green care se scrie pentru dou funcii oarecare i ce ndeplinesc condiia de convergen a ntregului. ( ) ( )
=
rrr
drdr
(7.76)
Vom alege i * . Rezult, ( )( ) ( )[ ]
=
rrr
d**rd**r
Pe suprafaa de la infinit notat mai sus cu , funciile de und descresc suficient de repede astfel, c ( )( ) 0rd**
r=r r
echivalent cu, ( ) =
rrrd*rd*
rrrr
Pe de alt parte, n baza identitii ( ) ++= 2 alegnd i nd seama c i in are componentele (1,0,0) pentru x ; (0,1,0) pentru y= ,1) pentru i (0,0 z= , o m: bine ( )
++= 2
n baza observaiilor semnalate, 0= , astfel c ( )
+=
rrrd
r2*rd*
rrrr
Rezult mp
rdr
*mi
dtd
r
== r rh sau n definitiv, expresia matematic a
primei teoreme Ehrenfest pentru mediile variabilelor aleatorii.
zsauy,xpdtdm = (7.77)
Pentru stabilirea celei de a doua teoreme Ehrenfest vom calcula mai nti p : = r rd*ip r
rh de unde rezult:
+
= rr
rdt
*rdt*i
dtpd
rrrrh
Derivatele n raport cu timpul le exprimm din ecuaia lui Schrodinger i din conjugata complex a acesteia.
19
Se obine:
( ) ( )
+
=rr
2rdUU*rd**
m2dtpd
rrrrh
n care vom aplica din nou forma integral (7.76)a teoremei lui Green alegnd
* i .
Rezult 0rd**r
=
r r i ( )
=r
rdUU*dtpd
rr
Expresia din paranteza dreapt este egal cu U astfel c n definitiv, se
obine expresia matematic a celei de a doua teoreme Ehrenfest:
= r2 rdU
dtpd
rr
(7.78)
Ecuaiile cuantice ale teoremelor Ehrenfest manifest o asemnare cu ecuaiile lui Newton din mecanica clasic i se apropie infinit de mult de acestea
pentru particulele macroscopice.
n timp ce n ecuaiile lui Newton FU
dt
dm2
2=
= apar n membrul drept forele ce acioneaz asupra particulei n punctul n care se afl aceasta, n ecuaiile
cuantice ( ) = z,y,xUdtdm 22
apare n membrul stng o medie a forei pe
pachet. Datorit mprtierii iminente a microparticulei cuantice chiar n absena unor fore, localizarea n timp a centrului de greutate al pachetului de Broglie asociat va devia de la traiectoria clasic a particulei. S presupunem c la momentul iniial t0 localizarea pachetului de Broglie asociat microparticulei este strns, adic funcia de und 0 este apreciabil diferit de
zero doar ntr-o zon restrns n jurul centrului de greutate
000 z,y,x 0z,00 y,x al
pachetului. Scriem relaia de mediere spaial
= r2
0 rdUU
rr (7.79) Figura 7.2
creia i aplicm o teorem de medie admind c n zona haurat din figura 7.2 funcia 0 difer nesemnificativ de la punct la punct. 20
n acest caz, (7.79) devine:
=
UrdUU
r
20r
r.Vom comite o eroare nesemnificativ considernd c la
t apropiat de t0
000000 z,y,xr
20
z,y,x
UrdUU
=
r r (7.80) i introducnd aceast valoare n ecuaiile de micare ale centrului de greutate ale pachetului de Broglie asociat, obinem ecuaia
000 z,y,x
2
2 U
dt
dm
(7.81) Aceasta este ecuaia de micare pe o
durat scurt i coincide cu ecuaia clasic.
Exist deci tendina ca n vecintatea lui t0,
centrul de greutate al pachetului s se
localizeze pe traiectoria clasic. Intervine
ns mprtierea statistic care se produce
indiferent de natura cmpului de fore i
indiferent de precizia localizrii iniiale. Pe msur ce ne ndeprtm de t0
mprtierile statistice ale coordonatelor cresc. Zona n care probabilitatea de
localizare a microparticulei 020 va deveni mai extins i - aa cum se observ n figura 7.3 - centrul de greutate al pachetului definit de z,y,x se va
abate de la traiectoria clasic. n cazul particulelor macroscopice centrul de
greutate al pachetului de Broglie caracterizat de anumite condiii iniiale se va
mica urmnd o localizare n timp ntr-o zon restrns n jurul traiectoriei descrise
de particul n cadrul acelorai condiii iniiale. n acest caz, ne putem dispensa de
statistic i vom lucra numai cu ecuaia clasic a lui Newton. Aadar, pentru a
putea trece la limit n mecanica cuantic, se impun dou condiii:
particula considerat s fie macroscopic i s existe o localizare macroscopic bun a particulei la momentul iniial t0.
000 z,y,x
Figura 7.3
B z,y, x
A traiectoria clasic A
21
22
(7.77)n timp ce n ecuaiile lui Newton apar n membrul drept forele ce acioneaz asupra particulei n punctul n care se afl aceasta, n ecuaiile cuantice apare n membrul stng o medie a forei pe pachet. Datorit mprtierii iminente a microparticulei cuantice chiar n absena unor fore, localizarea n timp a centrului de greutate al pachetului de Broglie asociat va devia de la traiectoria clasic a particulei.
