+ All Categories

Download - Curs 7

Transcript
  • CURSUL 7

    FORMALISMUL SCHRDINGER ntre anii 1923 i 1927 au fost puse bazele teoriei cuantice n dou formulri echivalente: mecanica cuantic matriceal, datorat lui Heisenberg, Born i Jordan, i mecanica cuantic ondulatorie, ntemeiat cam n acelai timp de Erwin Schrdinger (1887 1961). Mecanica matriceal asociaz observabilelor fizice matrici, opernd astfel cu o algebr necomutativ n care ecuaiile de micare ale variabilelor dinamice ale unui sistem cuantic sunt ecuaii ntre matrici, admindu-se n baza principiului de coresponden c aceste ecuaii sunt formal identice cu ecuaiile asociate sistemului de fizica clasic. Mecanica ondulatorie pornete de la teoria de Broglie asupra undelor de materie. Schrdinger aprofundeaz i generalizeaz aceast noiune, construind ecuaia de propagare a funciei de und care descrie un sistem cuantic. El a artat c dei, aparent ireconciliabile cele dou formalisme sunt echivalente fiind dou formulri particulare ale aceleiai teorii. Dirac a definitivat formalismul general al teoriei cuantice, obinnd o teorie cuantic nerelativist a particulelor materiale i a completat-o cu o teorie cuantic a cmpului electromagnetic, pentru a reui s trateze coerent problema interaciei cmpului electromagnetic cu sistemul de particule materiale n aproximaia nerelativist. Tot Dirac a elaborat i teoria cuantic relativist a electronului n baza lucrrilor lui Born, Heisenberg i Bohr. Formalismul Schrdinger permite o abordare mai comod a bazelor mecanicii cuantice, opernd cu un limbaj mai familiar i anume cu acela folosit n teoria undelor i cu o matematic mai simpl aceea a ecuaiilor cu derivate pariale. Acestea sunt motivele pentru care expunem formalismul general al teoriei cuantice n varianta mecanicii ondulatorii. 7.1 ECUAIA SCHRDINGER Ecuaia fundamental a mecanicii cuantice nerelativiste este ecuaia lui Schrdinger :

    t

    iUm2

    2

    hh =+ (7.1)

    1

  • n aceast ecuaie, m reprezint masa particulei, U energia sa potenial,

    constanta lui Planck exprimat n uniti

    h)

    2h(,2 =h , simbolul operatorul

    lui Laplace, funcia de und asociat microparticulei, t timpul, iar 1i = . Se consider c )t,r(

    = , astfel c 22

    2

    2

    2

    22

    zyx

    ++=

    iar expresia explicit a funciei depinde de U, adic de natura forelor ce se exercit asupra particulei cuantice.Ecuaia lui Schrdinger nu poate fi dedus din alte ecuaii, fiind de sine stttoare n teoria cuantic.

    Mecanica ondulatorie se dezvolt n baza acestei ecuaii, considerat ca unul dintre principiile fundamentale ale teoriei cuantice. Schrdinger a construit aceast ecuaie n baza unei analogii ntre principiul lui Fermat din optic ce stabilete traiectoria razei de lumin, i principiul minimei aciuni din mecanica analitic ce definete traiectoria particulei. ntr-un cmp de fore staionar, funcia U nu depinde explicit de timp. n acest caz, funcia )t,r( r admite o descompunere sub forma unui produs ntre un factor spaial i unul dependent numai de timp:

    )tEiexp()z,y,x()t,z,y,x( h= (7.2) n care E reprezint energia particulei, care n cazul staionar rmne constant n timp. Introducnd (2.252) n (2.251) se obine dup simplificri

    EUm2

    2

    =+ h (7.3) Aceast form a ecuaiei lui Schrdinger se numete ecuaie Schrdinger pentru stri staionare sau independent de timp, spre deosebire de ecuaia (2.251) pe care o vom recunoate ca ecuaie Schrdinger temporal. 7.1.1. ECUATIA SCHRODINGER PENTRU PARTICULA Justificm ecuaia Schrdinger (2.251) pornind de la expresia undei de Broglie asociate microparticulei: ( )[ ]kxtiexpa = (7.4) innd seama de relaiile h

    E= i hp22k

    == , se obine (

    = Etpxiexpa h ) (7.5)

    Aceast ultim form conduce prin derivare la expresiile:

    22

    2

    2

    pix

    ,Eit

    =

    =

    hh .

    2

  • Rezult 22

    22

    x1p,

    ti1E

    ==

    hh i cum n mecanica nerelativist

    UEm2

    p 2 = , ajungem la ecuaia t

    iUxm2 222

    =+

    hh care reprezint cazul particular unidimensional al ecuaiei (7.1) . Menionm c aceast schem de raionament are un caracter pur formal i nu constituie o deducere a ecuaiei lui Schrdinger. Pentru a evidenia o interpretare a funciei de und coninute n ecuaia lui Schrdinger, s observm c trecerea de la unda plan clasic (7.4) la unda plan cuantic (7.5) a presupus o relaie cuantic ntre vectorul de und k

    r i impulsul pr al microparticulei, concretizat prin

    apariia constantei a lui Planck, ce are caracter pur cuantic. hn timp ce funcia din (7.4) are o interpretare fizic clar, fiind elongaia

    undei monocromatice plane la momentul t n punctul de abscis x, cu implicaii n definirea intensitii undei, funcia din (7.5) exprim o und plan cuantic, o und generalizat a crei semnificaie fizic nu mai ine de prescripiile fizicii clasice ale unei atribuiri individuale, ci are un caracter statistic. Semnificaia funciei care intervine n ecuaia (7.5) va rezulta clar n urma analizei rezultatelor obinute n experienele de difracie a particulelor pe reele de difracie sau pe lame policristaline, cunoscute ca experiene de tipul Debye Scherrer. ntr-o astfel de experien se trimite un fascicul de electroni pe reea, n spatele reelei fiind plasat o plac fotografic, pe care se vor forma inele de difracie succesive. Maximele de diferite ordine ce se vor forma pe plac se datoreaz ciocnirilor ntre electroni i grunii de bromur de argint ai plcii fotografice. Mai exact, fiecare electron va activa un grunte de bromur de argint. Un singur electron nu poate produce o figur de difracie, deoarece fiind indivizibil electronul nu poate activa mai multe grune de material fotosensibil. Rezult deci c electronii vor coopera n formarea maximelor de interferen, fr ns a putea preciza care electron a participat la formarea maximului de un anumit ordin. Repetnd experiena de mai multe ori cu acelai numr N de electroni, vom

    constata c aceeai fraciune N

    N 1 de electroni au definit maximul de ordinul nti,

    o alt fraciune N

    N 2 totdeauna aceeai este rspunztoare de formarea

    maximului de ordinul al doilea i aa mai departe. O atare situaie reclam considerarea calculului probabilitilor. Un astfel de calcul se impune ori de cte ori o anumit experien efectuat n condiii prestabilite poate conduce la rezultate diferite, fr ns a putea preciza la nceputul experimentului care dintre rezultate se va obine. Repetnd experiena de un numr mare de ori n condiii identice se constat c fraciunea din numrul total de experiene care conduc la acelai rezultat este un numr bine determinat, numit probabilitatea de realizare a rezultatului respectiv.

    3

  • n cazul difraciei electronilor, intensitatea unui maxim este proporional cu numrul de elctroni care lovesc placa fotografic n zona respectiv pe de o parte, iar pe de alt parte este proporional cu 2 . Constatm astfel c expresia ( ) 3212321 dxdxdxt,x,x,x (7.6) este proporional cu probabilitatea de a localiza particula la momentul t n ele- mentul de volum ,centrat pe punctul de coordonate . 321 dxdxdx 321 x,x,x

    Condiia care se impune ns pentru ca expresia s reprezinte o probabilitate este ca suma probabilitilor de realizare a tuturor rezultatelor posibile s fie egal cu unu. Cu siguran, particula se va afla undeva n spaiu i, ca urmare, integrala pe ntreg spaiul din expresia de mai sus trebuie s aibe valoarea unu, ceea ce nseamn c funcia trebuie s fie normat. n aceste condiii mrimea

    2 ar reprezenta densitatea de probabilitate de localizare a microparticulei n elementul de volum . Se observ ns c unda de Broglie 3dx21dxdx

    ( ) ( )Etrpi321 Cet,x,x,x = h (7.7) nu este normabil, ntruct tinde la infinit pentru r . Fasciculul de electroni ns ocup un domeniu finit din spaiu, astfel c unda va fi descris de (7.7) numai n acest domeniu, fiind nul n afara acestuia. n acest mod, unda (7.7) este normabil dar nu este normat. Prin alegerea corespunztoare a constantei C, ea poate deveni normat.

    Aceast interpretare statistic a soluiilor coninute n ecuaia lui Schrdinger se poate generaliza pentru un sistem de N particule identice Astfel expresia ( ) N3212N321 dxdxdxt,x,,x,x KK (7.8) este proporional cu probabilitatea ca la momentul t, punctul reprezentativ al configuraiei sistemului s se gseasc n elementul de volum N321 dxdxdx K , centrat pe punctul de coordonate N321 x,,x,x K . Dac funcia este i normat, expresia (7.8) reprezint chiar probabilitatea de localizare a punctului repezentativ n elementul de volum specificat. 7.1.2 ECUATIA SCHRDINGER PENTRU UN SISTEM DE PARTICULE Considerm un sistem de particule independente i admitem c la scar cuantic, exist o funcie )t,x,...,x,x( n21 de forma

    ( ) = tExp

    i

    n21kk

    Ce)t,x,...,x,x( h (7.9) pe care o vom numi funcie de und de Broglie pentru sistemul de particule independente.Aceast und se propag n spaiul cu n dimensiuni al variabilelor x, adic n spaiul configuraiilor i are caracter specific cuantic.

    4

  • Semnificaia ei este cu totul diferit de semnificaia undelor clasice ce se propag n spaiul tridimensional i a fost specificat n seciunea anterioar. n expresia undei (7.9) , E reprezint energia total a sistemului de particule

    +=k k

    2k U

    m2pE (7.10)

    iar reprezint componentele impulsurilor diferitelor parti - )n,...,2,1k(p k =cule. Ecuaia Schrdinger asociat sistemului de particule se scrie

    0Uxm2t

    i 2k

    2n

    1k k

    2

    =+

    =

    hh (7.11) i admitem valabilitatea ei i n cazul cnd U depinde de variabilele de poziie i eventual de timp. Dac energia potenial U nu depinde de timp, ecuaia (7.11) pe care o vom recunoate ca ecuaie Schrdinger temporal admite soluii de forma (7.2)

    Eti

    n21n21 e)x,...,x,x()t,x,...,x,x( h = (7.12) n care funcia )x,...,x,x( n21 verific ecuaia: EU

    xm2 2k

    2n

    1k k

    2=+

    =

    h (7.13)

    numit ecuaie a lui Schrdinger atemporal (independent de timp). Pentru simplificarea scrierii, notm ( )n21 x,,x,xx K i n21 dxdxdxdx K astfel c ( ) ( )t,xt,x,,x,x n21 K . n baza interpretrii statistice a funciei de und observm c soluiile cele mai importante ale ecuaiei Schrdinger sunt acelea pentru care integrala multipl ( ) ( ) = xdt,xt,xK (7.14) extins la ntreg spaiul configuraiilor sistemului de particule, are o valoare finit. Aceasta presupune ca s aib o comportare asimptotic corect, nelegnd prin aceasta c atunci cnd n spaiul configuraiilor, funcia x s se anuleze convenabil. Funciile pentru care integrala (7.14) este finit se numesc normabile. Rdcina ptrat din n determinarea sa pozitiv se numete norm a funciei , iar funciile a cror norm este egal cu unitatea se numesc normate. Funciile de und normabile se pot norma prin alegerea unui factor numeric convenabil. Presupunnd c 1 i 2 sunt dou soluii normabile ale ecuaiei Schrdinger, evident ( 21 ) 02 din care rezult 222121 2121 + sau, nc

    xd21xd

    21xd

    2

    D2

    2

    D12

    D1 + (7.15)

    5

  • D fiind un domeniu finit din spaiul configuraiilor i cum

    ( ) ( ) ( ) ( ) D

    21D

    21 xdt,xt,xxdt,xt,x (7.16) iar integralele din membrul drept al relaiei (7.15) rmn finite cnd domeniul D se extinde la ntregul spaiu al configuraiilor , din (7.16) rezult c i integrala din membrul nti ale acestei relaii va rmne finit, ceea ce demonstreaz c produsul scalar al funciilor 1 i 2 normabile, exist: ( ) ( ) xdt,xt,x 2

    D121 = (7.17)

    Ecuaia Schrdinger fiind liniar i omogen, orice combinaie liniar cu coeficieni c1 i c2 constani- n general compleci- a funciilor normabile 1 i

    2 , 2211 cc += va fi normabil. n plus, produsul scalar 21 va manifesta urmtoarele proprieti:

    21120021100

    31321233221

    2112

    cccc.iii

    cccc.ii

    .i

    +=++=+

    =

    Normarea unei soluii normate a ecuaiei Schrdinger nu se modific prin nmulirea funciei cu , n care ie este un numr real, oarecare. Expresia dP xd)t,x()t,x( = (7.18) reprezint probabilitatea ca la momentul t, coordonatele carteziene ale particu- lelor sistemului s aibe valori cuprinse n intervalul )dxx,x( kkk + n,...,2,1k = Valoarea medie la momentul t a unei funcii de variabilele de poziie x, se scrie: ( ) =tF )x,...,x,x(F n21 dP xd)t,x()x(F 2= )x(F= (7.19) -dac funcia F(x) este real, F)t(F = ; -dac F(x) este complex, = F)t(F . 7.1.3 ECUATIA DE CONTINUITATE S considerm ecuaia (7.11) nmulit cu i ecuaia complex-conjugat

    0Uxm2t

    i 2k

    2n

    1k k

    2=+

    =

    hh nmulit cu . Obinem, adunnd membru cu membru, ecuaia sum

    0xxm2t

    i 2k

    2

    2k

    2n

    1k k

    2=

    =

    hh

    6

  • sau observnd c

    =

    kkk2k

    2

    2k

    2

    xxxxx

    rezult

    0xxim2xt

    n

    1k kkkk=

    +

    =

    h (7.20) ecuaie care pentru un sistem de particule identice, ia forma:

    0Jt

    =+ (7.21)

    Se observ c am introdus un nou vector Jr

    de componente n spaiul tridimensional al particulei de mas m. De asemenea, n baza relaiei de definiie (7.18), vom nota

    321 j,j,j

    P (7.22) =astfel c ecuaia (7.21) capt forma unei ecuaii de continuitate

    t P (7.23) 0J =+

    ce exprim- ca orice ecuaie de continuitate o lege de conservare, pe care va trebui s o interpretm statistic, n baza principiului de coresponden. Astfel vom recunoate mrimea P ca o densitate de probabilitate de localizare n spaiu a microparticulei, iar pe ca o densitate a curentului de probabilitate. J

    r

    Componentele ale densitii curentului n spaiul configuraiilor n cazul sistemului de particule oarecare, apar n mod evident n ecuaia general (7.20)

    kj

    =

    kkkk xxim2

    j h (7.24) Revenind la cazul tridimensional al particulelor identice, ecuaia de continuitate integrat pe un domeniu tridimensional finit D, capt forma

    Dtd

    d P (x1, x2, x3, t ) d x1 d x2 d x3 =+ D

    321 dxdxdxJ

    = Dtd

    d P (x1, x2, x3, t ) d x1 d x2 d x3 + Ddjn

    n care reprezint suprafaa ce include domeniul D, iar , componenta

    normal a vectorului n sensul normalei exterioare la suprafaa . D nj

    DJr

    7

  • Este foarte important s observm c, n baza relaiei (7.24), componentele sunt reale. ntr-adevr, paranteza se exprim printr-o cantitate complex care va pierde factorul imaginar i prin simplificare cu numitorul factorului numeric.

    kj

    Prin extinderea domeniului D n toate direciile i considernd acele soluii ale ecuaiei Schrdinger care sunt normabile, funciile se vor anula pe suprafaa de la infinit, rezultnd c 0jn = i

    dtd P ( x,t ) xd = t P ( x,t ) =xd 0 (7.25)

    n baza acestei relaii constatm c, dei funciile depind de timp, integrala mrimii P pe tot spaiul nu depinde de timp, fiind deci constant n timp, astfel c relaia (7.25) evideniaz conservarea densitii de probabilitate P de localizare a microparticulei. Evident, integrala xd... 2 este un numr real i pozitiv. Funciile normabile conduc la funcii de und normate, prin nmulirea cu o constant n general, complex ce urmeaz a fi determinat impunnd condiia de normare a funciei de und. Rezult n acest mod numai modulul constantei de normare, factorul de faz fiind arbitrar i nesemnificativ pentru localizarea particulelor. ntr-adevr, s presupunem c am gsit o funcie soluie a ecuaiei Schrodinger temporale, care s fie integrabil n modul ptrat (sau de ptrat integrabil), adic,

    == Cttanconsxd2 (7.26)

    Considerm funcia N= , tiind c atunci cnd N este o constant complex i aceast funcie verific ecuaia Schrdinger. Impunem condiia de normare pentru : === CNxdN1xd 2222 din care rezult

    C1N = i cum N este n general un numr complex, forma

    ieNN = (7.27) cu faza arbitrar i factorul de faz ie , este compatibil cu funcia de und normat, . Aadar, condiia de normare determin N pn la un factor de faz ce poate fi ales arbitrar, ntruct alegerea lui nu are repercursiuni asupra previziunilor fizice ale teoriei.

    8

  • 7.2 PARTICULA LIBER

    se mic rectiliniu i

    ste permis de urmtorul raionament: considerm ecuaia Schrdinger temporal

    Vom nelege prin particul liber o particul asupra creia nu acioneaz fore sau cele care acioneaz i fac echilibru, astfel c aceastauniform pe o direcie pe care o putem considera ca ax Ox. Cum fora rezultant care acioneaz asupra particulei libere deriv din energia potenial U i este nul, rezult c energia potenial U este constant i o putem lua ca un zerou de referin. ntr-adevr, aceast alegere e

    tiU

    m2

    2

    =+ hh (7.28)

    ie:

    i facem o schimbare de func

    = Utiexp h (7.29) cu U cunoscut. Obinem:

    tt h= UiUtiexp h

    Introducem aceast expresie n (2.278) i obinem

    tm2 h

    Aceast form a ecuaiei Schrdinger coincide cu forma ce se obine din (7.28) pentru U=0. Funciile

    i2 = h (7.30)

    i difer printr-un factor de faz constant i Tepreviziunile fizice ce se obin vor fi identice n cazul ambelor funcii de und.

    orema transformrii Fourier afirm c, fiind dat o funcie normabil )t,x( , aceasta se poate reprezenta ca o suprapunere de unde plane n

    spaiul configuraiilor i se poate descompune n integral Fourier.

    = pdet,p)2( 2h

    1)t,x(rpi

    3h (7.31)

    urilorS-a notat pd elementul de volum n spaiul impuls : zyx dpdpdppd =r r n cazul ace eoreme constatm c i funcia leiai t ( )t,pr este complet determinat de funcia )t,r( r , prin inversarea transformrii

    (7.31) = rdet,r)2( 2h

    1t,prpi

    3h (7.32)

    n care s-a notat cu rdr elementul de volum din spaiul poziiilor : dxdydzrd r Considerm o funcie normat, soluie a ecuaiei Schrdinger. n baza relaiei (7.31), gsim relaiile:

    = pdeti)2(

    1t

    irpi

    23

    hhh

    h

    9

  • =

    =

    =

    pdep

    )2(

    1

    pdep

    )2(

    1x

    pdeip

    )2(

    1x

    rpi

    2

    2

    23

    rpi

    2

    2x

    232

    2

    rpix

    23

    h

    h

    h

    hh

    hh

    hh

    astfel c, innd seama de (7.30), obinem:

    pdem2

    pt

    i)2(

    1m2t

    i0rpi2

    23

    2 rrhh

    hh h

    =+

    =

    Deducem c paranteza dreapt este transformata Fourier a lui zero, deci

    m2

    pt

    i2r

    h =

    (7.33)

    care se integreaz i rezult

    ( ) ( ) tm2pi2

    ept,pr

    hrr = (7.34) care introdus n (7.31) confer o nou form acestei ecuaii

    ( ) ( )

    = pdep2

    1t,rt

    m2prpi

    23

    2

    rh

    rr

    h

    (7.35) Funcia ( )pr este o funcie arbitrar de pr , astfel aleas nct integrala s fie convergent. Funcia de und ( )t,rr , exprimat prin relaia (7.35), reprezint soluia general a ecuaiei Schrdinger pentru particula liber i se numete pachet de unde de Broglie.

    Vom arta n continuare c forma oricrei soluii a ecuaiei Schrdinger pentru particula liber la un moment t>0 este unic determinat de forma soluiei ( )r0 r la t=0.ntr-adevr, punnd t=0 n (7.35), obinem: ( ) ( ) ( )

    =p

    rpi

    230 pdep

    2

    10,rv

    h rrh

    r

    (7.36) relaie ce reprezint dezvoltarea n integral Fourier a funciei ( )r0 r n care ( ) ( )

    =r

    rpi

    02

    3 rder2

    1)p( hrh

    Introducnd aceast expresie n (7.35), obinem:

    10

  • ( ) ( ) ( )

    =

    p

    tm2

    prpi

    r

    rpi

    02

    32

    3 pderder2

    1

    2

    1t,r

    2r

    hh

    hhr

    Presupunem c sunt ndeplinite condiiile n care se poate schimba ordinea de inte - grare:

    ( ) ( )

    =r p

    tm2

    prrpi

    02

    3 rdpder2

    1t,r

    2r

    h

    hr (7.37)

    Introducem funcia

    ( ) ( )

    =p

    tm2

    prpi

    3 pde21t,r G

    2r

    h

    hr

    (7.38)

    numit funcia Green i obinem: ( ) ( ) ( )

    =

    r0 rdt,rrGrt,r r

    rrrrr (7.39) Observnd c

    +

    +

    = t

    m2p

    zptm2

    pypt

    m2pxpt

    m2prp

    2z

    z

    2y

    y

    2x

    x

    2rrr

    integrala coninut n (7.38) se desface n produsul a trei integrale de acelai tip

    = dqe2

    1)t,(gt

    m2qqi

    2

    h

    h (7.40)

    n care desemneaz variabilele x, y i z iar variabila q ,componentele px , py , pz ale impulsului. Expresia (7.40) se reduce la o integral Fresnel, observnd c,

    =

    +=

    222

    2

    222

    2

    tm

    tm

    tmq2q

    m2itt

    m2qqi hh

    t2im

    tmq

    m2it 22

    hh +

    =

    rezult

    = dqee2

    1)t,(g

    22

    tmq

    m2it

    t2im

    hh

    h (7.41)

    Pentru calculul integralei introducem o nou variabil

    t

    mqm2tu h

    i folosind relaiile

    11

  • 4iiu

    22

    22iu

    e)i1(2

    due

    2duusinduucos

    usiniucose

    2

    2

    ==

    ==

    =

    obinem

    t2mi

    4i

    2

    et2

    me)t,(g hh

    = (7.42)

    i, n definitiv

    ( ) t2mri23

    43i

    2

    et2

    met,rG hhr

    =

    (7.43)

    care se introduce n (7.39) i rezult, ( ) ( ) ( )

    = rdt,rrGrt,r 0 rrrrr (7.44)

    oricare ar fi t >0. Cunoaterea funciei de und ( )t,rr , permite n cazul particulei libere - s se calculeze P ( ) ( ) 2t,rt,r rr = - s se calculeze valoarea medie f a unei funcii ( )rf r cu formula:

    ( ) ( )

    = rdt,rPrff rrr

    - s se observe c ( ) ( ) = pdt,prdt,r 22 rrrr . ntr-adevr, innd seama de (7.44) i de relaia de completitudine, (6.18) scris sub forma ( ) ( ) 22 pt,p rr = (7.45) obinem: ( ) ( ) ( )

    ==

    r p p

    222 pdppdt,prdt,r rrrrrr (7.46)

    Aceast relaie ne permite s observm c dac funcia ( )t,rr este normat n spaiul poziiilor, atunci i funcia ( )t,pr va fi normat n spaiul impulsurilor. Am menionat cu alt ocazie c n mecanica clasic starea unei particule este determinat nu numai de poziie, ci i de impuls. Vom nota n continuare cu oricare dintre coordonatele microparticulei x, y sau z i vom considera relaia de

    definiie clasic a componentei v a vitezei: t)t()tt( lim)t(v

    0t =

    + .

    12

  • Cum n mecanica cuantic, coordonatele ale microparticulei sunt determinate statistic i componentele de vitez v vor fi statistic determinate, astfel c va trebui s considerm ntr-o situaie statistic determinat, valoarea medie v a componentei a a vitezei: v

    )t(dtd

    t)t()tt(lim

    t)t()tt(limv

    0t0t

    =

    +=+=

    Pe de alt parte, n baza definiiei (7.19) , ( ) rdt,r)t(r

    2 rrr= unde am notat for-

    mal cu i cu integrala pe tot spaiul coordonatelor. Obinem deci dxdydzrd r rr

    rdtdt

    )t(dvr

    2 r==

    i vom exprima derivata din ecuaia de continuitate :

    =

    z,y,x,;jt

    2

    Rezult rdj)t(vr

    r

    =

    n care se folosete identitatea

    =

    j

    j)j( = i se obine rd

    )j(rdj)t(vrr

    rrr =

    . n aceast expresie integrala a doua se anuleaz pe suprafaa de la infinit, n baza teoremei flux divergen, datorit anulrii funciei care presupune i anula - rea densitii curentului de probabilitate. Rmne, ( ) rdt,rj)t(v

    r

    rr

    = n care

    inem seama de (7.24) pentru media )t(p a componentei a impulsului, expre -sia: rd

    2i)t(vm)t(p

    r

    rhr

    ==

    Pe de alt parte, 2 se anuleaz pe o suprafa ce tinde la infinit, ceea ce

    permite s observm c rdtt2

    ird2i0

    rr

    2 rhrhrr

    +==

    astfel c,

    prin adunarea ultimelor dou relaii, rezult rdi

    rdi

    )t(p rhrh

    ==

    sau n scriere echivalent sub forma produselor scalare

    hh ii)t(p == (7.47)

    13

  • Concluzia ce se desprinde din acest rezultat este c dac se cunoate funcia normat ( )t,rr se pot calcula valorile medii ale componentelor impulsurilor. Vom nota cu

    hi i vom deriva ambii membri ai relaiei (7.31) n raport cu variabila , care figureaz la exponent n produsul .

    Obinem:

    =

    prp rr

    ( ) ( )==

    p

    rpi

    23 pdt,ppe

    2

    2ir

    h rh

    h din care se observ c

    produsul ( )t,pp r reprezint transformata Fourier a funciei ( )t,rr i, n baza invarianei produsului scalar la transformarea Fourier, se poate scrie:

    ( ) ==

    ====

    pdt,ppp

    i)t(p

    2

    p

    r

    h

    r

    (7.48)

    Aceast relaie, mpreun cu relaia (complementar ei) (7.46) ne permit s observm c expresia ( ) pdt,p 2 rr reprezint probabilitatea ca la momentul t, componentele impulsurilor s aib valori cuprinse n intervalele , )dpp,p( +

    y,x sau z. n baza acestui rezultat, vom putea calcula valoarea medie la momentul t a unei observabile fizice G(p), exprimate ca funcie numai de variabila impuls

    ( ) =p

    2 pdt,p)p(G)t(Gr

    r (7.49) sau scris ca produs scalar, )p(G)p(G)t(G == (7.50) Relaia (7.49) permite estimarea mediilor puterilor observabilelor coordonat i impuls, cu ajutorul transformrilor Fourier, pornind de la expresiile funciilor de und:

    ( ) ( ) ( )=

    p

    rpi

    23 pdet,p

    2

    1t,rr

    hrh

    r (7.51)

    ( ) ( ) ( ) =

    r

    rpi

    23 rdet,r

    2

    1t,p hrh

    r

    (7.52) Obinem succesiv relaiile:

    ( ) ( )

    =p

    rpin

    23n

    n

    pdepit,p2

    1 hh

    rh

    (7.53)

    14

  • ( ) ( )

    =

    r

    rpin

    23n

    n

    rdeit,r2

    1p

    hh

    rh

    (7.54)

    ( ) ( ) =

    p

    rpi

    23 pdet,p

    2

    1 hrh

    (7.55)

    astfel c ( ) == r

    2nn rdt,rr

    r ( ) ( ) ( )

    pdet,p

    2

    1t,rrpi

    p23

    r

    n rrh

    r hrr

    Presupunnd c se ndeplinesc condiiile pentru a schimba ordinea de integrare, rezult

    ( ) ( ) ( ) pdrdet,r21t,r

    rpi

    rn

    23

    p

    n rrrh

    r hrr

    =

    (7.56) Se observ c

    ( ) = pdpt,pi nn

    p

    nn

    rh (7.57)

    Notm cu

    p

    ip h

    operatorii coordonatelor n reprezentarea-p.

    Ecuaia (7.57) se scrie astfel sub forma: ( ) pdi np

    p

    nn rhr

    = (7.58) n baza acestei relaii se obin expresiile particulare:

    n=1: = pdpirh

    (7.59)

    n=2:

    ==

    pd

    pppppd

    pp

    22

    222

    hh

    De exemplu,

    +

    +

    = pdpppdpdpx xx2

    xzy

    22

    hh .

    Se admite c descrete suficient de repede pentru i rezult zyx p,p,p = pdpp22 rh

    (7.60)

    15

  • n mod asemntor, calculm mediile puterilor componentelor impulsurilor:

    ( )

    == p

    2nn pdt,ppp r ( ) ( ) ( )

    rdet,r

    2

    1t,pprpi

    r2

    3

    p

    n hrh

    r

    Presupunnd c sunt ndeplinite condiiile care permit schimbarea ordinei de integrare,

    ( ) ( ) ( )

    =

    rdpdept,p2

    1t,rprpin

    p23

    r

    n hrr

    rh

    r

    (7.61)

    = rd)i(p n

    n

    r

    nn

    rh (7.62)

    Introducem operatorul hiP

    , pe care-l vom recunoate ca operator al

    impulsului n reprezentarea-x. Se obine, n definitiv

    = rdPp n

    r

    n r (7.63) Formulele stabilite pentru mediile observabilelor dinamice coordonat i impuls i a puterilor acestora, sunt generale i, pentru particula liber, capt forme parti - culare n cadrul unor mrimi fizice interpretabile, cum ar fi abaterea ptratic medie, care folosete i 2 : ( ) 222 = Vom considera aadar funcia ( )t,pr sub forma (2.284) care descrie evoluia strii particulei libere. Gsim,

    ( ) == tm2pitm2pi22

    eptmpie

    pp

    r

    h

    r

    h rh

    ( ) tm2pi

    2

    eptmpi

    p

    r

    hrh

    i

    ( ) =

    =

    pdetmpi

    pepi

    tm2

    pitm2

    pi

    p

    22 r

    h

    r

    hh

    rh

    ( ) +=

    pdppmtpd

    pi 2

    p

    rh

    (7.64)

    Primul termen al acestei expresii reprezint la t=0 i-l vom nota cu 0)( . Rezult, ;p

    mt)z(z;p

    mt)y(y;p

    mt)x(x z0y0x0 +=+=+= (7.65)

    Aceste relaii arat c centrul de greutate al oricrei particule libere definit ca punctul de coordonate y,x i z se mic rectiliniu i uniform, avnd ca impuls media impulsurilor pe pachetul de unde .

    Sintetizm relaiile (7.65)n scrierea pm

    t)( 0 += (7.66)

    16

  • Ridicm la ptrat aceast relaie:

    [ ] 2 220202 m )p(tm p)(2t)( ++= (7.67) i calculm 2 :

    +

    +=

    =+

    +=

    =

    +=

    pdpmtpd

    pppt

    mi)(

    pdpmtpd

    ppp

    mtipd

    pp

    pdetmpi

    pet

    mpi

    p

    p

    222

    2

    p0

    2

    p

    222

    2

    pp

    2

    tm2

    pitm2

    pi

    p

    22

    22

    rr

    r

    h

    r

    h

    h

    hh

    hhh

    (7.68)

    Se obine observnd c ( ) ( )[ ] ( )[ ]202002 = ,

    ( )[ ]

    ( )[ ]2220p

    20

    2

    pmtp)(2

    pdpp

    imt

    +

    +=

    h

    (7.69)

    Am stabilit dependena de timp a abaterilor ptratice medii 22 )y(,)x( i 2)z( , reprezentate prin cte un trinom de gradul II cu coeficieni reali. Fiind media unor ptrate, 0)( . Se

    observ c

    2)( 2

    0)p( 2 > , astfel c parabola asociat trinomului (7.69) va avea un minim care se deplaseaz n timp ca n figura 7.1. Fie timpul dup care minimul parabolei a ajuns n cadranul I. Constatm c, pe msur ce

    0 t

    ,t 2)

    Figura 7.1 ( , i cunoaterea noastr

    asupra poziiei microparticulei tinde spre zero. n intervalul [ ],0 , 2)( descrete i cunoaterea asupra poziionrii centrului de greutate al pachetului de Broglie se mbuntete, pentru ca pe msur ce t se ndeprteaz de cunoaterea s scad n timp, evideniind astfel o mprtiere a pachetului de Broglie asociat microparticulei libere. Acest fenomen de mprtiere este influenat de masa m a particulei. Cu ct masa m este mai mare, cu att

    17

  • mprtierea se produce mai lent. Pentru o particul macroscopic mprtierea pachetului de unde este practic neglijabil, n timp de interes fizic. 7.3 TEOREMELE EHRENFEST I LIMITA CLASIC A MECANICII CUANTICE Am stabilit n seciunea 5.1.2 a lucrrii teoremele Ehrenfest referitoare la micarea operatorilor. n cele ce urmeaz vom stabili teoremele Ehrenfest referitoare la variabilele aleatorii coordonat i impuls n cazul formalismului Schrdinger. n acest scop ne fixm atenia asupra unei microparticule cuantice aflate sub aciunea unui cmp de fore ce deriv din energia potenial ( )t,rU r i ne folosim de ecuaia lui Schrodinger dependent de timp:

    ( )rUU;t

    iUm2

    2 rhh ==+ (7.70)

    Prima teorem a lui Ehrenfest consider mediile pe domenii spaiale ale variabilelor aleatorii asociate observabilelor dinamice coordonat i impuls

    notate respectiv cu variabil ce desemneaz coordonatele x, y sau z i respectiv p notaie ce desemneaz componenta impulsului pe direcia .

    Mediile spaiale ale acestor variabile aleatorii rezult din relaiile (7.70) i (7.67) scrise sub forma: ( ) ( ) ( )=

    r

    * rdt,rt,rtr

    rrr (7.71)

    ( ) ( ) = r* rdt,rt,rip

    rrrrh

    (7.72) Pentru simplificarea scrierii vom nota simplu ( ) t,rr i n general pentru orice alt funcie vom specifica dependena de variabile doar n ipotezele de lucru. n cadrul acestei convenii avem:

    = rdt*dtd r (7.73) = rd*ip rh (7.74)

    Derivatele pariale le vom exprima din ecuaia Schrodinger (7.70) i din conjugata complex a acestora i le vom introduce apoi n (7.73). Se obine astfel

    ( )[ ] = rd**im2dtd rh (7.75)

    18

  • n continuare vom apela la forma integral a teoremei lui Green care se scrie pentru dou funcii oarecare i ce ndeplinesc condiia de convergen a ntregului. ( ) ( )

    =

    rrr

    drdr

    (7.76)

    Vom alege i * . Rezult, ( )( ) ( )[ ]

    =

    rrr

    d**rd**r

    Pe suprafaa de la infinit notat mai sus cu , funciile de und descresc suficient de repede astfel, c ( )( ) 0rd**

    r=r r

    echivalent cu, ( ) =

    rrrd*rd*

    rrrr

    Pe de alt parte, n baza identitii ( ) ++= 2 alegnd i nd seama c i in are componentele (1,0,0) pentru x ; (0,1,0) pentru y= ,1) pentru i (0,0 z= , o m: bine ( )

    ++= 2

    n baza observaiilor semnalate, 0= , astfel c ( )

    +=

    rrrd

    r2*rd*

    rrrr

    Rezult mp

    rdr

    *mi

    dtd

    r

    == r rh sau n definitiv, expresia matematic a

    primei teoreme Ehrenfest pentru mediile variabilelor aleatorii.

    zsauy,xpdtdm = (7.77)

    Pentru stabilirea celei de a doua teoreme Ehrenfest vom calcula mai nti p : = r rd*ip r

    rh de unde rezult:

    +

    = rr

    rdt

    *rdt*i

    dtpd

    rrrrh

    Derivatele n raport cu timpul le exprimm din ecuaia lui Schrodinger i din conjugata complex a acesteia.

    19

  • Se obine:

    ( ) ( )

    +

    =rr

    2rdUU*rd**

    m2dtpd

    rrrrh

    n care vom aplica din nou forma integral (7.76)a teoremei lui Green alegnd

    * i .

    Rezult 0rd**r

    =

    r r i ( )

    =r

    rdUU*dtpd

    rr

    Expresia din paranteza dreapt este egal cu U astfel c n definitiv, se

    obine expresia matematic a celei de a doua teoreme Ehrenfest:

    = r2 rdU

    dtpd

    rr

    (7.78)

    Ecuaiile cuantice ale teoremelor Ehrenfest manifest o asemnare cu ecuaiile lui Newton din mecanica clasic i se apropie infinit de mult de acestea

    pentru particulele macroscopice.

    n timp ce n ecuaiile lui Newton FU

    dt

    dm2

    2=

    = apar n membrul drept forele ce acioneaz asupra particulei n punctul n care se afl aceasta, n ecuaiile

    cuantice ( ) = z,y,xUdtdm 22

    apare n membrul stng o medie a forei pe

    pachet. Datorit mprtierii iminente a microparticulei cuantice chiar n absena unor fore, localizarea n timp a centrului de greutate al pachetului de Broglie asociat va devia de la traiectoria clasic a particulei. S presupunem c la momentul iniial t0 localizarea pachetului de Broglie asociat microparticulei este strns, adic funcia de und 0 este apreciabil diferit de

    zero doar ntr-o zon restrns n jurul centrului de greutate

    000 z,y,x 0z,00 y,x al

    pachetului. Scriem relaia de mediere spaial

    = r2

    0 rdUU

    rr (7.79) Figura 7.2

    creia i aplicm o teorem de medie admind c n zona haurat din figura 7.2 funcia 0 difer nesemnificativ de la punct la punct. 20

  • n acest caz, (7.79) devine:

    =

    UrdUU

    r

    20r

    r.Vom comite o eroare nesemnificativ considernd c la

    t apropiat de t0

    000000 z,y,xr

    20

    z,y,x

    UrdUU

    =

    r r (7.80) i introducnd aceast valoare n ecuaiile de micare ale centrului de greutate ale pachetului de Broglie asociat, obinem ecuaia

    000 z,y,x

    2

    2 U

    dt

    dm

    (7.81) Aceasta este ecuaia de micare pe o

    durat scurt i coincide cu ecuaia clasic.

    Exist deci tendina ca n vecintatea lui t0,

    centrul de greutate al pachetului s se

    localizeze pe traiectoria clasic. Intervine

    ns mprtierea statistic care se produce

    indiferent de natura cmpului de fore i

    indiferent de precizia localizrii iniiale. Pe msur ce ne ndeprtm de t0

    mprtierile statistice ale coordonatelor cresc. Zona n care probabilitatea de

    localizare a microparticulei 020 va deveni mai extins i - aa cum se observ n figura 7.3 - centrul de greutate al pachetului definit de z,y,x se va

    abate de la traiectoria clasic. n cazul particulelor macroscopice centrul de

    greutate al pachetului de Broglie caracterizat de anumite condiii iniiale se va

    mica urmnd o localizare n timp ntr-o zon restrns n jurul traiectoriei descrise

    de particul n cadrul acelorai condiii iniiale. n acest caz, ne putem dispensa de

    statistic i vom lucra numai cu ecuaia clasic a lui Newton. Aadar, pentru a

    putea trece la limit n mecanica cuantic, se impun dou condiii:

    particula considerat s fie macroscopic i s existe o localizare macroscopic bun a particulei la momentul iniial t0.

    000 z,y,x

    Figura 7.3

    B z,y, x

    A traiectoria clasic A

    21

  • 22

    (7.77)n timp ce n ecuaiile lui Newton apar n membrul drept forele ce acioneaz asupra particulei n punctul n care se afl aceasta, n ecuaiile cuantice apare n membrul stng o medie a forei pe pachet. Datorit mprtierii iminente a microparticulei cuantice chiar n absena unor fore, localizarea n timp a centrului de greutate al pachetului de Broglie asociat va devia de la traiectoria clasic a particulei.


Top Related