1 CUM GÂNDIM ŞI REZOLVĂM O PROBLEMĂ MATEMATICĂ? proiect iniŃiat şi susŃinut de ASOCIAłIA şi EDITURA NOMINA pentru concursul FII INTELIGENT LA MATEMATICĂ CE SEMNIFICAłIE ARE CUVÂNTUL PROBLEMĂ? DicŃionarul cuprinde explicaŃia care urmează pentru problemă, dar a fost subliniat, pentru demersul de faŃă, doar sensul specific activităŃilor instructiv-educative desfăşurate în cadrul orelor de matematică, sens pe care îl luăm în consideraŃie pentru susŃinerea ideilor. PROBLÉMĂ, probleme, s.f. I.1. Chestiune care prezintă aspecte neclare, discutabile, care necesită o lămurire, o precizare, care se pretează la discuŃii. 2. Chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare (majoră) şi care cere o soluŃionare (imediată). 3. Chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva; obiect principal al preocupărilor cuiva; temă, materie. ♦ (Matematică) Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raŃionamente, a unor date. II. 1. Dificultate care trebuie rezolvată pentru a obŃine un anumit rezultat; greutate, impas. 2. Lucru greu de înŃeles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigmă. CARE SUNT PAŞII ÎN REZOLVAREA UNEI PROBLEME? Se pot identifica zece „paşi” în rezolvarea unei probleme matematice, „paşi” pe care-i prezentăm mai jos într-o formă simplificată ca îndemnuri, adică: 1. Citeşte, cu atenŃie, enunŃul problemei! Pentru înŃelegerea fiecărui cuvânt, a legăturilor logice dintre acestea poŃi repeta citirea enunŃului problemei de mai multe ori. 2. Stabileşte care sunt datele problemei matematice. 3. Separă datele problemei în categorii; cunoscute şi necunoscute. 4. Identifică legăturile logice dintre datele cunoscute şi cele necunoscute, precum şi relaŃiile matematice dintre acestea. 5. Stabileşte care sunt datele necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei. 6. Află, pas cu pas, pornind de la datele cunoscute pe cele necunoscute. 7. Transpune în desene, scheme logice, reprezentări grafice datele cunoscute, respectiv necunoscute, dar şi relaŃiile dintre acestea. 8. Reprezintă în operaŃii matematice (adunare, scădere, înmulŃire, împărŃire) fiecare legătura logică, fiecare reprezentare a datelor cunoscute, respectiv necunoscute. Calculează şi vei obŃine valorile necunoscute. 9. Stabileşte corectitudinea valorilor obŃinute verificând, pas cu pas, calea de la datele cunoscute, prezentate iniŃial, la cele stabilite prin rezolvarea problemei matematice. 10. Citeşte, încă o dată, enunŃul problemei, rezolvarea acesteia! Este posibil ca o literă, un semn matematic scrise greşit, să determine o cale de rezolvare corectă, dar cu valori incorect determinate.
Transcript
1
CUM GÂNDIM ŞI REZOLVĂM O PROBLEMĂ MATEMATICĂ? proiect iniŃiat şi susŃinut de
ASOCIAłIA şi EDITURA NOMINA pentru concursul
FII INTELIGENT LA MATEMATICĂ
CE SEMNIFICAłIE ARE CUVÂNTUL PROBLEMĂ? DicŃionarul cuprinde explicaŃia care urmează pentru problemă, dar a fost subliniat, pentru
demersul de faŃă, doar sensul specific activităŃilor instructiv-educative desfăşurate în cadrul orelor de matematică, sens pe care îl luăm în consideraŃie pentru susŃinerea ideilor.
PROBLÉMĂ, probleme, s.f. I.1. Chestiune care prezintă aspecte neclare, discutabile, care
necesită o lămurire, o precizare, care se pretează la discuŃii. 2. Chestiune importantă care constituie o sarcină, o preocupare (majoră) şi care cere o soluŃionare (imediată). 3. Chestiune care intră în sfera preocupărilor, a cercetărilor cuiva; obiect principal al preocupărilor cuiva; temă, materie. ♦ (Matematică) Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raŃionamente, a unor date. II. 1. Dificultate care trebuie rezolvată pentru a obŃine un anumit rezultat; greutate, impas. 2. Lucru greu de înŃeles, greu de rezolvat sau de explicat; mister, enigmă.
CARE SUNT PAŞII ÎN REZOLVAREA UNEI PROBLEME? Se pot identifica zece „paşi” în rezolvarea unei probleme matematice, „paşi” pe care-i
prezentăm mai jos într-o formă simplificată ca îndemnuri, adică: 1. Citeşte, cu atenŃie, enunŃul problemei! Pentru înŃelegerea fiecărui cuvânt, a legăturilor
logice dintre acestea poŃi repeta citirea enunŃului problemei de mai multe ori. 2. Stabileşte care sunt datele problemei matematice. 3. Separă datele problemei în categorii; cunoscute şi necunoscute. 4. Identifică legăturile logice dintre datele cunoscute şi cele necunoscute, precum şi relaŃiile
matematice dintre acestea. 5. Stabileşte care sunt datele necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei. 6. Află, pas cu pas, pornind de la datele cunoscute pe cele necunoscute. 7. Transpune în desene, scheme logice, reprezentări grafice datele cunoscute, respectiv
necunoscute, dar şi relaŃiile dintre acestea. 8. Reprezintă în operaŃii matematice (adunare, scădere, înmulŃire, împărŃire) fiecare legătura
logică, fiecare reprezentare a datelor cunoscute, respectiv necunoscute. Calculează şi vei obŃine valorile necunoscute.
9. Stabileşte corectitudinea valorilor obŃinute verificând, pas cu pas, calea de la datele cunoscute, prezentate iniŃial, la cele stabilite prin rezolvarea problemei matematice.
10. Citeşte, încă o dată, enunŃul problemei, rezolvarea acesteia! Este posibil ca o literă, un semn matematic scrise greşit, să determine o cale de rezolvare corectă, dar cu valori incorect determinate.
2
CARE ESTE CADRUL ORGANIZAT PENTRU REZOLVAREA PROBLEMELOR MATEMATICE?
Prin relaŃiile funcŃionale care se stabilesc între diversele sale elemente, lecŃia de matematică
constituie o entitate de instruire; condensează într-un tot unitar elemente şi variabile ale predării-învăŃării, conŃinutul informaŃional, obiective operaŃionale, strategii şi mijloace didactice, particularităŃile ale elevilor, organizarea psihosociologică a colectivului, personalitatea profesorului etc. toate acestea fiind subordonate logicii acŃiunii educaŃionale.
Procesul educativ este un proces complex în care trebuie să Ńinem seama de toŃi factorii implicaŃi. Atunci când un profesor se afla în faŃa clasei, trebuie să decidă asupra tipului de lecŃie potrivit momentului, a metodelor, a formelor de activitate astfel încât scopul procesului de predare-învăŃare să fie atins.
Principalele elemente şi variabile pe care le implică, deci lecŃia ca entitate sau microsistem sunt:
• obiective instructiv-educative; • conŃinutul informaŃional: • alegerea şi folosirea unei strategii de instruire; • variabilele personalităŃii profesorului şi cele ale personalităŃii elevilor; • organizarea colectivului de elevi. CARE ESTE TIPUL DE LECłIE PREPONDERENT SĂPTĂMÂNILOR DE LUCRU
DIN LUNILE SEPTEMBRIE ŞI OCTOMBRIE? Cu siguranŃă, lecŃiile de recapitulare şi sistematizare sunt reprezentative pentru această
perioadă. Prin lecŃia de recapitulare şi sistematizare se adâncesc informaŃiile, se aplica în noi context in-
formaŃiile prin sistematizarea materialului după criterii noi, se abordează modalităŃi de activizare a elevilor (activităŃi în echipă, în grup, aplicarea unor fişe de lucru individualitate, jocuri didactice etc.).
CARE ESTE STRUCTURA ACESTUI TIP DE LECłIE? Să enumerăm momentele din lecŃie: • Captarea atenŃiei. • EnunŃarea obiectivelor: reamintirea planului minimal de recapitulare a temei propuse
pentru lecŃia zilei, plan care a fost comunicat elevilor la finalul orei anterioare. • Actualizarea cunoştinŃelor: reamintirea cunoştinŃelor teoretice (reguli, definiŃii, cazuri,
procedee etc.) care stau la baza temei propuse pentru recapitulare, eventual cu dezvoltarea pe etape a planului, precum şi notarea acestuia pe tablă.
• Dirijarea învăŃării: rezolvări de exerciŃii şi probleme sub îndrumarea cadrul didactic, dar şi prin muncă independentă;lucrări practice, compuneri de probleme cu date reale, înregistrate de elevi etc.
• Evaluarea: aprecieri asupra răspunsurilor, participării elevilor de-a lungul orei, notarea elevilor care au fost selectaŃi pentru evaluare de către propunător sau a celor care s-au evidenŃiat în mod deosebit, aplicarea şi interpretarea rezultatelor unei test.
3
• RetenŃia şi transferul: concluzii formulate despre modul în care a fost pregătită tema şi a felului cum s-a desfăşurat lecŃia, contribuŃia clasei, constatări, completări; propuneri pentru îmbunătăŃirea activităŃii; comunicarea titlului temei stabilite pentru recapitulare în ora care va urma, precum şi a planului pentru studierea şi pregătirea temei.
CARE SUNT TEMELE PRIN CARE SE POATE UTILIZA CONłINUTUL LUCRĂ-RILOR-SUPORT ALCĂTUITE DE EDITURĂ PENTRU CONCURSUL INTELIGENT LA MATEMATICĂ?
Desigur, deşi vorbim de niveluri diferite de studiu, perioada săptămânilor din luna septembrie
este recomandată a fi utilizată în scopul reactualizării, recapitulării şi sistematizării cunoştinŃelor parcurse în anii anteriori de studiu. Indiferent de conŃinuturi, concentre numerice, cuantumul de cunoştinŃe, temele care trebuie să fie parcurse se referă la: şirul numerelor naturale, operaŃii cu numere naturale, noŃiuni de geometrie, măsurări şi unităŃi de măsură, precum şi rezolvări de probleme. Este foarte important ca elevii să fie conştientizaŃi asupra tematicii, asupra orelor repartizate pentru parcurgerea fiecărei teme, precum şi asupra modalităŃilor de evaluare, dar să ştie şi paginile din lucrările suport asupra cărora se pot opri pentru reactualizarea, evaluarea cunoştinŃelor.
CARE SUNT MODALITĂłILE DE REZOLVAREA UNOR CERINłE PROPUSE DE
AUTORI? CARE SUNT REPERELE SEMANTICE, ÎN FIECARE CAZ?
Clasa a II-a (pag. 5-6)
Evaluare (1)/3/p.5 Află numărul necunoscut:
d – 12 = 20; a + 30 = 90; 80 – c = 20; 66 – b = 60. Rezolvare: Numerele necunoscute d, a, c şi b se află astfel: d – 12 = 20 (D = R + S); D = descăzut; S = scăzător; R = rest; d = 20 + 12 d = descăzut d = 32 Verificare: 32 – 12 = 20 a + 30 = 90 (T1 = S – T2); T1 = termenul 1; T2 = termenul 2; S = suma; a = 90 – 30 a = T1
a = 60 Verificare: 60 + 30 = 90 80 – c = 20 (S = D – R); S = scăzător; D = descăzut; R = rest; c = 80 – 20 c = scăzător c = 60 Verificare: 80 – 60 = 20
4
66 – b = 60 D = 66; b = scăzător; R = 60 b = 66 – 60
b = 6 Verificare: 66 – 6 = 60
Evaluare (1)/4/p.5 Scrie numerele cu 1 mai mici, apoi cu 1 mai mari decât: 79, 50 şi 61. Rezolvare: Numerele cu 1 mai mici, apoi cu 1 mai mari decât: 79, 50 şi 61 se află astfel: • numărul cu x mai mic – scădere; • numărul cu x mai mare – adunare.
Rezolvare: Elevul trebuie dirijat să observe gruparea de „câte zece” a unităților pentru a se forma zecea,
precum şi unităŃile simple. Numărul de bile corespunzător fiecărei reprezentări este: •••••••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• ••••• •••••••••• •••••••••• •••••••••• ••••••••••
••••••• Evaluare (2)/2/p.6
Completează casetele cu numerele care lipsesc:
40
47
57 80 7
40 25 57
5
Rezolvare: Se vor sublinia următoarele caracteristici ale sistemului de numeraŃie zecimal – gruparea „câte
zece” pentru a se forma o unitate superioară ca mărime, precum şi valoarea/importanŃa poziŃiei cifrelor.
Numerele care lipsesc sunt: Evaluare (2)/3/p.6
Colorează caseta cu numărul: a) cel mai mic; b) cel mai mare; c) mai aproape de 70. Rezolvare: Vezi caseta haşurată: a) cel mai mic; b) cel mai mare; c) mai aproape de 70. AtenŃie! Numerele de două cifre terminate în 0, 1, 2, 3, 4 sunt mai aproape de 70 (aici de un număr mai mic de zeci), iar numerele de două cifre terminate în 5, 6, 7, 8, 9 sunt mai aproape de 80 (aici de un număr mai mare de zeci).
Evaluare (2)/4/p.6 Descoperă regula, apoi continuă fiecare şir:
Află suma numerelor: 13 şi 22; 25 şi 20; 78 şi 10.
Rezolvare: Suma pentru fiecare pereche de numere este:
13 + 22 = 35; 25 + 20 = 45; 78 + 10 = 88.
Evaluare (2)/7/p.6 Află diferenŃa numerelor: 57 şi 10; 67 şi 23; 98 şi 90.
Rezolvare: DiferenŃa dintre numere este, pe rând:
57 – 10 = 47; 67 – 23 = 44; 98 – 90 = 8.
Evaluare (2)/8/p.6 La un concurs s-au prezentat 19 fete şi 20 de băieŃi. CâŃi copii s-au prezentat la concurs? Rezolvare: Numărul de copii care s-au prezentat la concurs se află astfel:
19 + 20 = 39 (copii).
Evaluare (2)/9/p.6 Dintre cele 50 de bile aflate într-un săculeŃ, 30 sunt colorate. Câte bile necolorate sunt în acel săculeŃ?
Rezolvare: Numărul de bile necolorate din săculeŃ se află astfel:
50 – 30 = 20. Vârsta crocodilului/p.6 Deşi trăiesc destul de mult, crocodilii devin maturi mult mai repede decât noi, oamenii. Pentru a afla vârsta la care un crocodil devine matur, „micşorează” suma dintre 45 şi
răsturnatul său, cu diferenŃa dintre 33 şi 18. După câŃi ani devine matur crocodilul?
7
Rezolvare:
AtenŃie! Răsturnatul unui număr ab este ba , dar şi abc este cba . Care este suma dintre 45 şi răsturnatul său?
45+ 54 = 99 Care este diferenŃa dintre 33 şi 18?
33 – 18 = 15 Care este vârsta la care un crocodil devine matur (suma „micşorată”)?
99 – 15 = 84
Clasa a III-a (pag. 5-8)
Evaluare (5)/1/p.8
Scrie numărul de forma ab , unde a = 1, iar b = a + 1. Rezolvare: Dacă a = 1, iar b = a + 1, atunci, înlocuind, avem b = 1 + 1, b = 2, deci numărul este 12.
Află numărul necunoscut: 240 + a = 307; 309 = a – 245; 104 = 700 – a. Rezolvare: Numerele necunoscute se află astfel: 240 + a = 307 (T2 = S – T1); T1 = termenul 1; T2 = termenul 2; S = suma; a = 307 – 240
a = 67 Verificare: 240 + 67 = 307
8
309 = a – 245 (D = R + S); D = descăzut; S = scăzător; R = rest; a = 245 + 309 a = 554 Verificare: 309 = 554 – 245 104 = 700 – a (S = D – R); D = descăzut; S = scăzător; R = rest; a = 700 – 104 a = 596 Verificare: 104 = 700 – 596
Evaluare (5)/4/p.8
Într-un săculeŃ sunt bile roşii, verzi şi albastre. Bilele roşii sunt în număr de 65, cele verzi sunt cu 35 mai multe, iar bilele albastre sunt cât cele roşii şi verzi, la un loc.
Câte bile sunt în total în acel săculeŃ? Rezolvare: Numărul bilelor verzi: 65 + 35 = 100 Numărul bilelor albastre: 65 + 100 = 165 Numărul total al bilelor (cât cele roşii şi verzi, la un loc):
Suma a trei numere este 800. Primul număr este 281, iar al doilea este cu 120 mai mare. Care este al treilea număr? Rezolvare: Care este al doilea număr?
281 + 120 = 401 Cât reprezintă suma dintre primul şi al doilea număr?
281 + 401 = 682 Care este al treilea număr?
800 – 682 = 682 Verificare: 281 + 401 + 118 = 800 Oameni şi cerbi/p.8 Un om de 68 kg, unul de 69 kg, unul de 70 kg, unul de 71 kg şi unul de 72 kg cântăresc,
laolaltă, cât un cerb carpatin. Cât cântăresc trei cerbi carpatini, aproximativ de aceeaşi greutate? Rezolvare: Câte kilograme cântăreşte un cerb?
68 kg + 69 kg + 70 kg + 71 kg + 72 kg = 140 kg + 140 kg + 70 kg = = 280 kg + 70 kg = = 350 kg
Câte kilograme cântăresc trei cerbi de aproximativ aceeaşi greutate? 350 kg + 350 kg + 350 kg = 1 050 kg
9
De-ale lupului/p.8 Lupul a străbătut un sfert din distanŃa dintre două păduri şi încă 3 km. Mai târziu, a parcurs un sfert din distanŃa rămasă şi încă 3 km. I-au mai rămas 51 km de
parcurs până la pădurea din apropiere. Care este distanŃa dintre cele două păduri? Rezolvare: Reprezentăm grafic datele problemei:
Din reprezentarea grafică observăm că trei sferturi din R2 (distanŃa rămasă ultima oară) reprezintă distanŃa:
51 km + 3 km = 54 km. Ce distanŃă este reprezentată de un sfert din R2 (distanŃa rămasă ultima oară)?
54 km : 3 = 18 km Ce distanŃă reprezintă R1 (distanŃa rămasă prima dată)?
18 km × 4 = 72 km (sau 18 km + 18 km + 18 km + 18 km = 72 km) Observăm că trei sferturi din distanŃa dintre cele două păduri este de:
72 km + 3 km = 75 km Ce distanŃă reprezintă un sfert din drumul dintre cele două păduri?
75 km : 3 = 25 km Care este distanŃa dintre cele două păduri?
25 km × 4 = 100 km (sau 25 km + 25 km + 25 km + 25 km = 100 km).
R1
3 km
3 km R2
10
Clasa a IV-a (pag. 5-8)
Evaluare (2)/1/p.5 Suma a trei numere este 82. Dacă primul este egal cu ultimul, iar al doilea este cu 7 mai mic decât predecesorul lui 50,
care sunt numerele? Rezolvare: Predecesorul numărului 50 este 50 – 1 = 49. Care este al doilea număr?
49 – 7 = 42 Reprezentăm grafic datele problemei:
Care este suma dintre primul şi ultimul număr? 82 – 42 = 40
Care este primul număr, respectiv al treilea? 40 : 2 = 20.
Verificare: 20 + 42 + 20 = 82 şi 42 + 7 = 49 (care este predecesorul lui 50). Evaluare (2)/2/p.5
O cutie conŃine 45 de bile albe, iar alta cu 12 mai puŃine bile colorate. Dacă s-au luat 11 bile, câte au mai rămas? Ce culori pot avea bilele luate? Rezolvare: Câte bile colorate conŃine a doua cutie?
45 – 12 = 33 (bile) Câte bile sunt în cele două cutii?
45 + 33 = 78 (bile) Câte bile rămân dacă se iau 11?
78 – 11 = 67 (bile) Cele 11 bile pot fi luate astfel:
Să se determine un număr de două cifre în care cifra zecilor este mai mare cu 2 decât cifra unităŃilor, iar suma cifrelor numărului este „vecinul“ mai mic al lui 15.
Rezolvare:
AtenŃie! ab , a ≠ 0, a = b + 2. „Vecinul” mai mic al numărului 15 este 15 – 1 = 14, deci a + b = 14.
82 I
II III
42
11
Avem: a + b = 14 (înlocuim a = b + 2) b + 2 + b = 14 2 × b + 2 = 14 2 × b = 14 – 2 2 × b = 12 b = 12 : 2 b = 6 rezultă a = 6 + 2 rezultă a = 8.
Numărul este 86. Verificare: 8 – 6 = 2 şi 8 + 6 = 15.
Evaluare (2)/4/p.6 Suma a trei numere naturale este 96. Suma primelor două este 56, iar suma ultimelor două este 76. Află numerele. Rezolvare: I + II + III = 96
I + II + III = 56 I + II + III = 76
Avem: �
56
I II+ + III = 96 I + 76
II III+���
= 96
56 + III = 96 I + 76 = 96 III = 96 – 56 I = 96 – 76 III = 40 I = 20
Care este al doilea număr? I + II = 56 sau II + III = 76 20 + II = 56 II + 40 = 76 II = 56 – 20 II = 76 – 40 II = 36 II = 36
Un alt mod de rezolvare este următorul:
56 + 76 = 132 (I + II + III) 132 – 96 = 36 (II) 56 – 36 = 20 (I) 76 – 36 = 40 (III)
Suma a două numere naturale este cu 30 mai mică decât 90. Află numerele, ştiind că unul dintre ele este cel mai mare număr par cuprins între 15 şi 20. Rezolvare: Care este suma numerelor?
90 – 30 = 60 Care este unul dintre numere? Cel mai mare număr par cuprins între 15 şi 20 este 18.
12
Reprezentăm grafic datele problemei: Care este al doilea număr?
Răzvan are 6 ani. Anul trecut vârsta lui era de 5 ori mai mică decât a mamei. CâŃi ani are mama lui Răzvan? Rezolvare: Care era vârsta lui Răzvan anul trecut?
6 ani – 1 an = 5 ani Reprezentăm grafic datele problemei: CâŃi ani are mama lui Răzvan?
5 ani × 5 = 25 ani. Verificare: 25 : 5 = 5 şi 5 + 1 = 6.
M
R 5 ani
5 ani 5 ani 5 ani 5 ani 5 ani
14
Evaluare (4)/5/p.7 Bogdan a cumpărat 4 buchete a câte 5 garoafe, 3 buchete a câte 7 frezii, iar trandafiri sfertul
numărului 80. Câte flori a cumpărat Bogdan? Rezolvare: Câte garoafe a cumpărat Bogdan?
5 × 4 = 20 (garoafe) Câte frezii a cumpărat Bogdan?
80 : 4 = 20 (trandafiri) Câte flori a cumpărat Bogdan?
20 + 21 + 20 = 61 (flori) Evaluare (4)/6/p.7
Se dau numerele: a = 40, b = un sfert din a, iar c = dublul lui b. Calculează: a : b × c; c : b × a. Rezolvare: a = 40; b = 40 : 4 = 10; c = 10 × 2, deci c = 20; a : b × c = 40 : 10 × 20 = 4 × 20 = 80; c : b × a = 20 : 10 × 40 = 2 × 40 = 80.
Evaluare (4)/7/p.7
La ce număr trebuie adunat sfertul lui 36 pentru a obŃine dublul numărului 50? Rezolvare: Cât este sfertul numărului 36?
36 : 4 = 9 Cât este dublul numărului 50?
50 × 2 = 100 Avem: x + 9 = 100 T1 = termenul 1; T2 = termenul 2; S = suma
x = 100 – 9 T1 = S – T2 x = 91
Verificare: 91 + 9 = 100 şi 50 + 50 = 100 sau 50 × 2 = 100 Evaluare (4)/8/p.7
Află jumătatea diferenŃei dintre succesorul numărului 41 şi predecesorul sfertului numărului 12. Rezolvare: Succesorul numărului 41 este 41 + 1 = 42. Sfertul numărului 12 este 12 : 4 = 3 Predecesorul numărului 3 este 3 – 1 = 2. Care este diferenŃa?
42 – 2 = 40.
15
Care este jumătatea diferenŃei? 40 : 2 = 20.
VeveriŃele roşcate/p.7 Câte veveriŃe roşcate trăiesc în crângul de alun, ştiind că, făcând produsul dintre dublul
numărului lor şi numărul picioarelor lor, obŃinem un număr cu 32 mai mic decât 1 000? Rezolvare: Care este numărul cu 32 mai mic decât 1 000?
1 000 – 32 = 968 Reprezentăm grafic datele problemei: Avem: x veveriŃe şi 4 × x numărul de picioare. Deci: 2 × x × 4 × x = 968 8 × x × x = 968 x × x = 121. Ce număr înmulŃit cu el însuşi are produsul 121?
11 × 11 = 121. Aşadar, în crângul de alun trăiesc 11 veveriŃe.
Află numărul necunoscut: a × 7 = 147; b : 9 = 54; 3 010 – c = 793; d + 529 = 2 030; e – 975 = 98; 136 : f = 8; g : 9 = 7. Rezolvare: a × 7 = 147 F1 = factor 1; F2 = factor 2; P = produs a = 147 : 7 F1 = P : F2 a = 21 Verificare: 21 × 7 = 147
…………
16
b : 9 = 54 D = deîmpărŃit, Î = împărŃitor, C = cât b = 54 × 9 D = C × Î b = 486 Verificare: 486 : 9 = 54 3 010 – c = 793 D = descăzut, S = scăzător, R = rest c = 3 010 – 793 c = 2 217 Verificare: 3 010 – 2 217 = 793 d + 529 = 2 030 T1 = termenul 1; T2 = termenul 2; S = suma d = 2 030 – 529 d = 1 501 Verificare: 1 501 + 529 = 2 030 e – 975 = 98 D = descăzut, S = scăzător, R = rest e = 98 + 975 D = S + R e = 1 073 Verificare: 1 073 – 975 = 98 136 : f = 8 D = deîmpărŃit, Î = împărŃitor, C = cât f = 136 : 8 Î = D : C f = 17 Verificare: 136 : 17 = 8 g : 9 = 7 g = 9 × 7 D = C × Î g = 63 Verificare: 63 : 9 = 7
Evaluare (6)/3/p.8 La diferenŃa numerelor 700 şi 49, adaugă triplul lui 14 şi dublul lui 48.
Ce număr ai obŃinut? Rezolvare: DiferenŃa numerelor:
700 – 49 = 651 Triplul lui 14:
14 × 3 = 42 sau 14 + 14 + 14 = 42 Dublul lui 48:
48 × 2 = 96 sau 48 + 48 = 96 Avem:
651 + 42 + 96 = 789.
17
Evaluare (6)/4/p.8 De câte ori este mai mare jumătatea numărului 500 decât sfertul numărului 100? Rezolvare: Jumătatea numărului 500 este:
500 : 2 = 250. Sfertul numărului 100 este: 100 : 4 = 25 De câte ori este mai mare jumătatea numărului 500 decât sfertul numărului 100?
250 : 25 = 10 Evaluare (6)/5/p.8
Grădina dreptunghiulară a bunicului are lăŃimea de 100 m, iar lungimea este triplă. CâŃi metri de sârmă sunt necesari pentru a împrejmui grădina cu două rânduri de sârmă, dacă
se lasă o portiŃă de 2 m lăŃime? Rezolvare: Reprezentăm grafic datele problemei: Care este lungimea grădinii?
100 m × 3 = 300 m Care este lungimea totală a grădinii (perimetrul terenului)?
P = L + l + L + l sau P = 2 × L + 2 × l sau P = 2 × (L + l) P = 100 m + 300 m + 100 m + 300 m P = 800 m
Deci 800 m reprezintă împrejmuirea grădinii cu un singur rând de sârmă. Pentru două rânduri de sârmă avem nevoie de 800 m × 2 = 1 600 m. Acum scădem din această lungime bucata de sârmă nefolosită din cauza porŃii, adică:
2 m × 2 = 4 m. Aşadar, pentru a împrejmui grădina cu două rânduri de sârmă, dacă se lasă o portiŃă de 2 m
lăŃime avem nevoie de: 1 600 m – 4 m = 1 596 m
L
2 m
l
L
l
18
CARE ESTE TIPUL DE LECłIE PREPONDERENT SĂPTĂMÂNILOR DE LUCRU DIN LUNA OCTOMBRIE
Elevii sunt dirijaŃi în parcurgerea primelor unităŃi didactice din manualele şcolare precum şi
din auxiliarele didactice corespunzătoare. Se disting următoarele tipuri de lecŃie: LecŃia mixtă sau combinată urmăreşte realizarea echilibrată a mai multor sarcini didactice,
adică comunicare de cunoştinŃe, sistematizare, fixare, verificare etc. Principalele evenimente, momente de lucru ale acestui tip de lecŃie sunt: • organizarea clasei pentru activitatea didactică; • captarea atenŃiei elevilor; • actualizarea elementelor studiate anterior(identificarea ideile ancoră); • pregătirea elevilor pentru asimilarea noilor cunoştinŃe; • comunicarea şi asimilarea noilor cunoştinŃe(este partea care acoperă o mare parte din timpul
afectat lecŃiei); • fixarea cunoştinŃelor predate. Uneori este necesar a se asigura o parte şi mai mare din timp numai predării şi atunci se aplică
alt tip de lecŃie. LecŃie de comunicare constă în concentrarea activităŃii didactice spre dobândirea de către
elev a unor cunoştinŃe şi a dezvoltării, pe bază acestora, a proceselor psihice, a capacităŃilor instrumentale şi operaŃionale. Momentul de comunicare, de transmitere a unor cunoştinŃe acoperă cea mai mare parte din lecŃie. De-a lungul orei momentele se referă la: anunŃarea subiectului precum şi a obiectivelor ce urmează a fi realizate şi, în special, la comunicarea cunoştinŃelor noi.
CARE SUNT MODALITĂłILE DE REZOLVAREA UNOR CERINłE PROPUSE DE
AUTORI? CARE SUNT REPERELE SEMANTICE, ÎN FIECARE CAZ?
Clasa a II-a (pag. 7-16)
4/p.7
a) Scrie numărul de două cifre care are cifra unităŃilor 0 şi cifra zecilor 1. b) Scrie numărul de două cifre care are cifra zecilor 1 şi cifra unităŃilor 6. c) Scrie toate numerele naturale de două cifre care au cifra zecilor 2. Rezolvare:
a) AtenŃie! a ≠ 0; ab număr natural de două cifre; a cifra zecilor, b cifra unităŃilor. Numărul de două cifre care are cifra unităŃilor 0 şi cifra zecilor 1 este 10.
b) AtenŃie! a ≠ 0; ab număr natural de două cifre; a = 1, b = 6. Numărul de două cifre care are cifra zecilor 1 şi cifra unităŃilor 6 este 16.
c) Avem ab , a = 2, b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Numerele naturale de două cifre care au cifra zecilor 2 sunt:
20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29.
19
7/p.8 Găseşte numerele naturale care îndeplinesc următoarele cerinŃe:
a) cel mai mic număr scris cu două cifre; b) cel mai mare număr scris cu două cifre mai mic decât 30; c) un număr de două cifre cu suma cifrelor egală cu 2.
Rezolvare:
a) Avem: ab număr natural de două cifre; cel mai mic număr scris cu două cifre este 10. b) Cel mai mare număr scris cu două cifre mai mic decât 30 este 29.
c) Avem: ab ; a + b = 2; 1 + 1 = 2; 2 + 0 = 2. Deci numerele sunt: 11, 20.
9/p.8 Completează următoarele şiruri, respectând regula de formare:
a) 2; 4; …; 18; 20; c) 1; 4; 7; …; 22; 25; b) 3; 6; … ; 15; 18; d) 30; 25; …; 5; 0.
Rezolvare: a) Numerele din acest şir sunt numere pare, consecutive, crescător. Avem:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. b) Numerele din acest şir crescător sunt numere din 3 în 3, începând cu 3, deci:
3, 6, 9, 12, 15, 18. c) Numerele din acest şir crescător sunt numere din 3 în 3, începând cu 1. Avem:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 15. d) Numerele din acest şir descrescător sunt numere din 5 în 5, începând cu 30, deci:
30, 25, 20, 15, 10, 5, 0. 4/p.9
Într-o grădiniŃă, la o masă sunt mai mult de 7 copii şi cel mult 8 copii. CâŃi copii sunt la masă?
Rezolvare: AtenŃie! Cel mult 8 copii înseamnă 8 copii; cel puŃin 7 copii înseamnă 7 copii. La masă sunt 8 copii.
7/p.10
Compară: a) cel mai mic număr natural de două cifre cu 17; b) cel mai mare număr natural de două cifre cu cifra zecilor 2 cu numărul 29; c) cel mai mic număr de două cifre cu cifra unităŃilor 7 cu numărul 16.
Rezolvare: a) Cel mai mic număr natural de două cifre este 10; avem 10 < 17 sau 17 > 10. b) Cel mai mare număr natural de două cifre cu cifra zecilor 2 este 29, deci avem 29 = 29. c) Cel mai mic număr de două cifre cu cifra unităŃilor 7 este 17; avem 17 > 16 sau 16 < 17.
20
10/p.10 Compară numărul 21 cu cel mai mic număr natural de două cifre, astfel încât una singură
dintre cifre să fie 8. Rezolvare: Cel mai mic număr natural de două cifre, astfel încât una singură dintre cifre să fie 8, deci:
18 < 21 sau 21 > 18. 12/p.10
Ordonează descrescător numerele naturale de două cifre, mai mari decât 10 şi mai mici decât 30, care au cifra unităŃilor 7.
Rezolvare: Numerele naturale de două cifre, mai mari decât 10 şi mai mici decât 30, care au cifra
unităŃilor 7 sunt 27 şi 17. 7/p.11
a) Stabileşte toate numerele naturale de 2 cifre care au suma cifrelor 3. Câte sunt? Aşază-le în ordine crescătoare. b) Determină toate numerele naturale de 2 cifre care au suma cifrelor 5. Câte sunt? Scrie-le în ordine descrescătoare.
Rezolvare:
a) AtenŃie! ab , a ≠ 0; a + b = 3; 1 + 2 = 3; 2 + 1 = 3; 3 + 0 = 3. Numerele naturale de două cifre care au suma cifrelor 3 sunt 12, 21 şi 30.
b) AtenŃie! ab , a ≠ 0; a + b = 5; 1 + 4 = 5; 4 + 1 = 5; 2 + 3 = 5; 3 + 2 = 5; 5 + 0 = 5. Numerele naturale de două cifre care au suma cifrelor 5 sunt 50, 41, 32, 23 şi 14.
8/p.11 În şirul numerelor naturale de la 1 la 100, sunt numere de două cifre care au cifra zecilor cu 3
mai mare decât cifra unităŃilor. Care sunt acestea?
Rezolvare:
AtenŃie! ab , a ≠ 0; a = b + 3; b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Numerele de două cifre care au cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităŃilor sunt: 30, 41,
52, 63, 74, 85 şi 96.
9/p.11 Scrie numerele mai mari decât 70 şi mai mici decât 100 care au diferenŃa dintre cifra zecilor şi
cea a unităŃilor egală cu 1. Scrie câte zeci şi câte unităŃi are fiecare dintre aceste numere.
Rezolvare:
AtenŃie! ab , a ≠ 0; a – b = 1; a ∈ {9, 8, 7}; b ∈ {8, 7, 6}.
21
Numerele naturale mai mari decât 70 şi mai mici decât 100, care au diferenŃa dintre cifra zecilor şi cea a unităŃilor egală cu 1 sunt 76, 87 şi 98.
13/p.12
a) Stabileşte numerele naturale de forma ab , astfel încât cifra zecilor să fie cu 2 mai mică decât cifra unităŃilor.
b) Determină numerele naturale de forma ab pentru care diferenŃa dintre cifra zecilor şi cifra unităŃilor să fie 2.
Rezolvare:
a) AtenŃie! ab , a ≠ 0; b – a = 2; a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; b ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Numerele naturale mai mari care au diferenŃa dintre cifra unităŃilor şi cifra zecilor 2 sunt:
13, 24, 35, 46, 57, 68 şi 79.
b) AtenŃie! ab , a ≠ 0; a – b = 2; a ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Numerele naturale mai mari care au diferenŃa dintre cifra zecilor şi cifra unităŃilor 2 sunt:
20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 şi 97. 8/p.13
a) Găseşte toate numerele naturale de două cifre care au cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităŃilor. b) Compară cel mai mare număr descoperit cu numărul 89.
Rezolvare:
a) AtenŃie! ab , a ≠ 0; a = b + 3; a ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Numerele naturale de două cifre care au cifra zecilor cu 3 mai mare decât cifra unităŃilor sunt:
30, 41, 52, 63, 74, 85, 96. b) AtenŃie! 96 > 89 sau 89 < 96.
11/p.13
a) Scrie toate numerele naturale care să aibă cifra zecilor cu 4 mai mare decât cifra unităŃilor. b) Compară cel mai mic număr descoperit cu numărul 40.
Rezolvare:
a) AtenŃie! ab , a ≠ 0; a = b + 4; a ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9}; b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Numerele naturale care au cifra zecilor cu 4 mai mare decât cifra unităŃilor sunt: 40, 51, 62,
73, 84, 95. b) AtenŃie! 40 = 40.
6 70
76
8 90
98
7 80
87
22
13/p.13 a) Care este cel mai mic număr natural de două cifre care are cifra unităŃilor 6? Dar cel mai
mare? b) Compară numerele descoperite cu cel mai mic şi cel mai mare număr natural de două cifre cu cifra zecilor 8.
Rezolvare:
a) AtenŃie! ab , a ≠ 0. Cel mai mic număr natural de două cifre care are cifra unităŃilor 6 este 16, iar cel mai mare
este 96. b) Cel mai mic şi cel mai mare număr natural de două cifre cu cifra zecilor 8 sunt: 80, 89.
16 < 80 sau 80 > 16; 16 < 89 sau 89 > 16; 96 > 80 sau 80 < 96; 96 > 89 sau 89 < 96; 96 > 89 sau 89 < 96.
5/p.14
Compară între ele numerele naturale: a) număr cuprins între 70 şi 80 scris cu cifre care se repetă; b) cel mai mare număr natural scris cu cifra 8, format din zeci şi unităŃi; c) număr mai mic decât 83, dar mai mare decât 68, format din zeci.
Rezolvare: a) Numărul cuprins între 70 şi 80 scris cu cifre care se repetă este 77.
b) Cel mai mare număr natural scris cu cifra 8, format din zeci şi unităŃi este 88. c) Numărul natural mai mic decât 83, dar mai mare decât 68, format din zeci este 70. 10/p.15
Care sunt numerele ZU dacă: Z – U + 3 = 3? Rezolvare:
Numerele de forma ZU dacă Z – U + 3 = 3, sunt: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 şi 99. Evaluare (3)/1/p.16
Se dau numerele: 57, 82, 43, 68, 46 şi 51. a) Scrie crescător doar numerele pare. b) Scrie descrescător doar numerele impare. c) Scrie descrescător doar numerele care au cifra zecilor mai mare decât cifra unităŃilor. Rezolvare: a) 46, 68 şi 82; b) 57, 51 şi 43; c) 82, 51 şi 43.
Evaluare (3)/2/p.16
Găseşte toate numerele naturale care au cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra unităŃilor. Compară numerele găsite cu cel mai mic număr de două cifre consecutive, crescător. Rezolvare:
AtenŃie! ab , a ≠ 0; a = b + 2; a ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
23
Numerele naturale de două cifre care au cifra zecilor cu 2 mai mare decât cifra unităŃilor sunt: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 şi 97.
Cel mai mic număr natural de două cifre consecutive, crescător este 12. Avem: 20 > 12 sau 12 < 20; 31 > 12 sau 12 < 31; 42 > 12 sau 12 < 42; 53 > 12 sau 12 < 53; 64 > 12 sau 12 < 64; 75 > 12 sau 12 < 75; 86 > 12 sau 12 < 86; 97 > 12 sau 12 < 97.
Evaluare (3)/3/p.16
Care este cel mai mic număr natural de două cifre care are cifra unităŃilor 8? Dar cel mai mare?
Compară numerele găsite. Rezolvare: Numărul cel mai mic, respectiv cel mai mare de două cifre care are cifra unităŃilor 8 este 18,
respectiv 98. Avem: 18 < 98; 98 > 18.
Evaluare (3)/4/p.16 Determină un număr mai mic decât 100, ştiind că îndeplineşte simultan condiŃiile: a) suma cifrelor este 9; b) cifra zecilor este cu 5 mai mare decât cifra unităŃilor. Compară numărul găsit cu 58. Rezolvare:
AtenŃie! ab , a ≠ 0; a + b = 9; a = b + 5. Numărul căutat este 72. Avem: 58 < 72 sau 72 > 58.
24
Clasa a III-a (pag. 9-26)
10/p.9 Andrei s-a hotărât ca din culegerea de matematică, care are 160 de pagini, să rezolve exerciŃii
numai de la paginile care au la zeci cifra 3. Care sunt acelea?
Rezolvare: Paginile care au la zeci cifra 3 sunt: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 şi 39, precum şi 130,
131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138 şi 139.
11/p.10 Află toate numerele naturale formate din zeci şi unităŃi care au cifra zecilor mai mare cu 2
decât cea a unităŃilor.
Rezolvare:
AtenŃie! ab , a ≠ 0; a = b + 9; a ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Numerele naturale formate din zeci şi unităŃi care au cifra zecilor mai mare cu 2 decât cea a
unităŃilor sunt: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 şi 97.
18/p.10 Având cifrele 9, 0, 3 şi 6, formează toate numerele naturale posibile din sute, zeci şi unităŃi în
care fiecare cifră se ia o singură dată.
Rezolvare: Folosind cifrele 9, 0, 3 şi 6 se pot forma următoarele numere 306, 309, 360, 390, 603, 609,
630, 690, 903, 906, 930 şi 960. 20/p.10
Află toate numerele naturale pare de forma 2a b .
Rezolvare:
Numerele de forma 2a b , cu a ≠ 0, unde a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} şi b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sunt:
a) Află ce număr are la casă, dacă în stânga este 667, iar în dreapta 671. b) Continuă şirul crescător cu încă 5 numere impare, apoi scrie cu litere, numerele găsite.
Rezolvare: AtenŃie! Numerotarea caselor, dacă acestea sunt construite pe ambele părŃi, se face pe o parte
cu numere pare consecutive, iar pe alta cu numere impare consecutive. a) Avem b) 667, 669, 671, 673, 675, 677, 679, 681. Avem scrierea în litere: şase sute şaptezeci şi trei; şase sute şaptezeci şi cinci; şase sute şaptezeci şi şapte; şase sute şaptezeci şi nouă; şase sute optzeci şi unu.
25/p.11
Folosind numai cifrele 0, 4 şi 7, să se scrie toate numerele de forma abc , respectiv aaa .
Rezolvare:
Numerele de forma abc folosind numai cifrele 0, 4, şi 7 sunt: 407, 470, 704 şi 740.
Numerele de forma aaa folosind numai cifrele 0, 4, şi 7 sunt: 444 şi 777.
28/p.11 Scrie cel mai mic număr natural şi cel mai mare număr natural format din trei cifre care:
a) au cifra unităŃilor impară; b) sunt formate numai din cifre pare; c) sunt formate din cifre consecutive; d) sunt formate din cifre distincte.
Rezolvare: a) 101; 999; b) 222; 888; c) 123; 789 (număr format din cifre în ordine crescătoare); 987 (număr format din cifre în ordine descrescătoare).
33/p. 11
Găseşte toate numerele naturale formate din trei cifre, a căror sumă să fie mai mică sau egală cu 6.
Rezolvare:
abc , a ≠ 0. Numerele formate din trei cifre, a căror sumă să fie mai mică sau egală cu 6 sunt, de exemplu:
Vârsta stejarilor/p.13 Vârsta celor trei stejari de pe malul Pârâului Rece reprezintă tot atâtea numere consecutive,
suma lor fiind un număr mai mare decât 50 şi mai mic decât 60. CâŃi ani va avea, fiecare, peste 5 ani?
Rezolvare: Reprezentarea grafică a datelor problemei: Problema poate avea două soluŃii: Numerele mai mari de 50 şi mai mari decât 60 care prin scăderea numărului III (1 + 1 + 1 = 3)
se împart exact la 3 sunt 54 şi 57. SoluŃia 1: Avem: 3p + 3 ani = 54 ani, 3p = 54 ani – 3 ani, 3p = 51 ani, p = 51 ani : 3, p = 17 ani. Deci vârstele stejarilor sunt: Vârstele stejarilor peste 5 ani sunt:
I = 17 ani I = 17 ani + 5 ani = 22 ani II = 17 ani + 1 an = 18 ani II = 18 ani + 5 ani = 23 ani III = 18 ani + 1 an = 19 ani III = 19 ani + 5 ani = 24 ani
SoluŃia 2: Avem: 3p + 3 ani = 57 ani, 3p = 57 ani – 3 ani, 3p = 54 ani, p = 54 ani : 3, p = 18 ani. Deci vârstele stejarilor sunt: Vârstele stejarilor peste 5 ani sunt:
I = 18 ani I = 18 ani + 5 ani = 23 ani II = 18 ani + 1 an = 19 ani II = 19 ani + 5 ani = 24 ani III = 19 ani + 1 an = 20 ani III = 20 ani + 5 ani = 25 ani
?
I
II III
x
1 x
1 x 1
54 ani
I
II III
p
1 p
1 p 1
57 ani
I
II III
p
1 p
1 p 1
27
23/p.14
a) Află toate numerele de forma abc , cu a, b şi c, cifre pare consecutive scrise în această ordine. b) Compară numerele descoperite! c) Scrie „vecinii”, numere pare ale acestora.
Rezolvare:
a) Numerele de forma abc , cu a, b şi c, cifre pare consecutive scrise în această ordine sunt: 246 şi 468.
b) 246 < 468 sau 468 > 246 c) 244 246 248 466 468 470
25/p.15 a) Câte numere naturale de trei cifre se pot forma cu cifre scrise în ordine crescătoare consecutive? A) 5 numere; B) 6 numere; C) 7 numere. b) Scrie numerele în ordine crescătoare.
Rezolvare: a) C. b) Numerele naturale de trei cifre se pot forma cu cifre scrise în ordine crescătoare
consecutive sunt: 123, 234, 345, 456, 567, 678 şi 789.
3/p.16 De ce minte Lucian?
Lucian: Ce isteŃ cioban este unchiul Mihai! În primăvară a plecat cu cele 127 de oi ale sale spre munte. Pe drum însă, în satul vecin, a cumpărat de ocazie 46 de oi, iar după alte două zile de mers, trecând pe lângă un abator, a vândut foarte avantajos 189 de oi. La deal a mai cumpărat o dată 69 şi o dată 74 de oi, astfel că la munte a ajuns cu 127 + 46 + 69 + 74 – 189, deci tot cu 127 de oi, dar şi cu un câştig substanŃial.
Rezolvare: Din textul problemei observăm că numărul oilor cumpărate este 46 + 69 + 74 = 189, adică
acelaşi număr cu cele vândute, deci rezultatul rămâne neschimbat. De unde provine câştigul substanŃial? Se ştie că orice negustor vinde un produs atunci când încasează o sumă mai mare decât speră
şi cumpără produsul atunci când este foarte ieftin (chilipir). În aceste condiŃii, ciobanul nostru isteŃ a cumpărat ieftin (a găsit un chilipir) şi a vândut
avantajos, prin urmare a obŃinut un câştig substanŃial.
Evaluare (2)/1/p.17 Scrie numerele pare din intervalul de la 421 până la 432.
Rezolvare: Numerele pare din intervalul de la 421 până la 432 sunt: 422, 424, 426, 428 şi 430.
28
Evaluare (2)/2/p.17 Notează toate numerele impare aflate între 221 şi 211.
Rezolvare: Numerele impare aflate între 221 şi 211 sunt: 219, 217, 215 şi 213.
Evaluare (2)/3/p.17
Află toate numerele de forma mmm .
Rezolvare:
Numerele de forma mmm sunt: 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888 şi 999.
Evaluare (2)/4/p.17 Compară, apoi scrie semnul potrivit:
Care este cel mai mare număr format din şase cifre pare? Dar cel mai mic?
Rezolvare:
abcdef → număr de şase cifre;
200 002 → cel mai mic număr format din şase cifre pare; 888 888 → cel mai mare număr format din şase cifre pare.
18/p.20
Care sunt numerele formate din patru cifre, în care cifra sutelor e cea mai mare cifră pară, cifra unităŃilor e cu 6 mai mică, iar cifrele miilor şi zecilor sunt reprezentate de succesorul şi predecesorul cifrei unităŃilor?
Rezolvare:
abcd , a ≠ 0, cea mai mare cifră pară este 8 → cifra sutelor; Cifra unităŃilor este 2 (8 – 6 = 2). Cifra miilor este succesorul cifrei unităŃilor, adică 3. Cifra zecilor este predecesorul cifrei unităŃilor, adică 1. Deci numărul care îndeplineşte simultan condiŃiile problemei este 3 812.
20/p.20
Găseşte numerele naturale de forma 6 49a b , ştiind că a – b = 3. Rezolvare:
Avem 6 49a b , a – b = 3. Numerele sunt: 63 490, 66 493 şi 69 496.
30
Record în lumea Ńestoaselor/p.20 Dacă „mărim“ lungimea Ńestoasei-gigant cu 16, triplăm rezultatul şi calculăm din el cinci
şesimi, atunci obŃinem un număr cu 5 mai mic decât 50. Află lungimea iniŃială, în metri, a Ńestoasei-gigant. Rezolvare:
Avem: 3 ( 16) 5
6
x× + × = 45 sau [3 × (x + 10) × 5] : 6 = 45
3 × (x + 16) × 5 → deîmpărŃitul → D 6 → împărŃitorul → Î 45 → câtul → C D = C × Î Avem: 3 × (x + 16) × 5 = 45 × 6
Florica are pe terenul ei agricol 2 071 cuiburi de cartofi şi 16 816 tulpini de porumb. Vecina ei, Maria, susŃine că, pe terenul ei, care este mai mare, are triplu cuiburi de cartofi,
porumb cu 80 072 mai mult, iar pe marginea terenului sunt cuiburi de fasole cât sfertul numărului 20 000. a) Cine are mai mult şi cu cât? b) Câte cuiburi de fasole are Maria? c) Aşază toate numerele care reprezintă datele problemei în ordine descrescătoare.
Rezolvare: a) Câte cuiburi de cartofi se află pe terenul Mariei?
2 071 × 3 = 6 213 (cuiburi) sau 2 071 + 2 071 + 2 071 = 6 213 (cuiburi) Câte tulpini de porumb se află pe terenul Mariei?
16 816 + 80 072 = 96 888 (tulpini) Câte cuiburi de fasole se află pe terenul Mariei?
20 000 : 4 = 5 000 (cuiburi) Câte plante se află pe terenul Mariei, în total?
6 213 + 96 888 + 5 000 = 108 101 (plante)
31
Câte plante se află pe terenul Floricăi, în total? 2 071 + 16 816 = 18 887 (plante)
a) Cu câte plante are mai multe Maria decât Florica? 108 101 – 18 887 = 89 214 (plante)
b) 20 000 : 4 = 5 000 (cuiburi de fasole). c) Numerele din problemă, scrise în ordine descrescătoare, sunt:
80 072, 20 000, 16 816, 2 071. 6/p.21
Află succesorul şi predecesorul următoarelor numere: 1 204, 5 999, 32 000, 43 101 şi 576 128.
Compară numerele impare de forma abcd care îndeplinesc simultan condiŃiile: a) cifra miilor este 1; b) cifra zecilor este cu 2 mai mare decât cifra unităŃilor;
c) cifra sutelor reprezintă jumătate din suma cifrelor ce reprezintă unităŃile şi zecile; d) suma cifrelor este mai mare decât 6 şi mai mică decât 26.
Rezolvare:
AtenŃie! abcd , a ≠ 0 a = 1 c = d + 2 b = (c + d) : 2. Numerele căutate sunt: 1 120, 1 231, 1 342, 1 453, 1 564, 1 675, 1 786 şi 1 897.
3/p.23
Care sunt numerele de forma 8 43a care se rotunjesc la 9 000? Dar la 8 000, care se rotunjesc? Rezolvare:
Pentru ca numărul 8 43a să se rotunjească la 9 000, trebuie ca a ∈ {5, 6, 7, 8, 9}, deci numerele sunt: 8 543, 8 643, 8 743, 8 843, 8 943.
Pentru ca numărul 8 43a să se rotunjească la 8 000, trebuie ca a ∈ {0, 1, 2, 3, 4}, deci numerele sunt: 8 043, 8 143, 8 243, 8 343, 8 443. 10/p.24
IonuŃ are 20 000 de fotografii, sora lui are cu 500 000 fotografii mai mult, iar colega lui IonuŃ are jumătate din numărul fotografiilor surorii sale. a) Aproximează, câte fotografii are fiecare copil. b) Calculează, apoi aşază numerele în ordine crescătoare.
Rezolvare: a) Colega lui IonuŃ are jumătate din 20 000, adică 10 000 de fotografii, adunat cu jumătate din
500 000 de fotografii, adică 250 000 de fotografii, înseamnă 260 000 de fotografii. b) Câte fotografii are sora lui IonuŃ?
20 000 + 500 000 = 520 000 (fotografii) Câte fotografii are colega lui IonuŃ?
520 000 : 2 = 2 600 000 (fotografii) Numerele, aşezate în ordine descrescătoare, sunt:
520 000, 260 000, respectiv 20 000.
33
12/p.24 Vitrina unui salon auto are câteva etichete cu următoarele preŃuri: 627 000 lei, 589 030 lei,
400 070 lei, 328 500 lei, 773 417 lei. Rotunjeşte la sute de mii fiecare număr şi scrie-le apoi în ordine crescătoare, dar nu în cifre, ci în litere.
Rezolvare: Rotunjirea se face astfel:
627 000 → 2 < 6 rotunjirea este 600 000 (şase sute de mii) 589 030 → 8 > 5 rotunjirea este 600 000 (şase sute de mii) 400 070 → 0 < 4 rotunjirea este 400 000 (patru sute de mii) 328 500 → 3 < 2 rotunjirea este 300 000 (trei sute de mii) 773 417 → 7 > 5 rotunjirea este 800 000 (opt sute de mii)
Elefantul şi gazela/p.24 Gazela, într-o jumătate de oră, parcurge cât un elefant în două ore. Cât parcurge fiecare dintre aceste animale în 15 minute, dacă o gazelă, în 3 ore, şi un elefant,
în 5 ore, ar putea parcurge, la un loc, 340 km? Rezolvare: Reprezentăm grafic datele problemei:
Avem: 27p + 10p = 340 km 34p = 340 km
p = 340 km : 34 p = 10 km
Deci gazela, în 30 de minute, parcurge 10 km × 4 = 40 km, deci în 15 minute parcurge: 40 km : 2 = 20 km. Elefantul parcurge, în 5 ore, 10 km × 10 = 100 km, într-o oră parcurge 100 km : 5 = 20 km,
într-un sfert de oră parcurge 20 km : 4 = 5 km.
30 min
gazela în 30 min elefantul în 2 h 30 min 30 min 30 min
gazela în 3 h
30 min 30 min 30 min 30 min 30 min 30 min
elefantul în 5 h 2 h 2 h 1 h
340 km
34
6/p.25 Cu ajutorul cifrelor 1, 2, 7 şi 6 formează cât mai multe numere din 5 cifre. Rezolvare: Avem numerele: 12 761, 12 672, 17 626, 17 267, 16 271, 16 721. Găseşte şi tu alte numere!
Evaluare (1)/1/p.25
Formează toate numerele impare posibile cu ajutorul cifrelor 9, 6, 4, 0 şi 1, luate o singură dată.
Rezolvare: AtenŃie! Pentru ca numerele să fie impare, cifra unităŃilor poate fi, în acest caz, 9 sau 1. Avem numerele: 16 409, 16 049, 14 069, 14 609,
96 401, 96 041, 94 601, 94 061 etc. Găseşte şi tu altele!
Evaluare (1)/2/p.25
Găseşte toate numerele naturale de forma 532a b , unde a – b = 4.
Rezolvare:
Numerele de forma 532a b , unde a – b = 4 sunt: 95 325, 85 324, 75 323, 65 322, 55 321 şi 45 320.
Evaluare (1)/3/p.25
Completează şirurile cu încă cinci numere: a) 101 989; 101 995; …; b) 35 021; 35 016; …; c) 4 873; 4 880; …; d) 20 114; 20 108; … .
Rezolvare: Cele cinci numere din şiruri sunt: a) 101 989, 101 995, 102 001, 102 007, 102 013, 102 019, 102 025 (acest şir este unul
crescător din 6 în 6 începând cu 101 989); b) 35 021, 35 016, 35 011, 35 011, 35 006, 35 001, 34 995, 34 990 (acest şir este unul
descrescător din 5 în 5 începând cu 35 021); c) 4 873, 4 880, 4 887, 4 894, 4 901, 4 908, 4 915 (acest şir este unul crescător din 7 în 7
începând cu 4 873); d) 20 114, 20 108, 20 102, 20 096, 20 090, 20 084, 20 078 (acest şir este unul descrescător din
6 în 6 începând cu 20 114).
Evaluare (1)/4/p.25 Ordonează crescător numerele găsite la exerciŃiul 2.
Rezolvare: Numerele găsite la exerciŃiul 2, ordonate crescător, sunt:
45 320, 55 321, 65 322, 75 323, 85 324, 95 325.
35
Evaluare (2)/1/p.26 Scrie cu cifre următoarele numere:
a) două sute de mii unu; b) nouăzeci şi trei de mii şapte sute cincizeci şi doi; c) o sută şaptezeci şi trei de mii paisprezece; d) opt sute cincizeci şi şase de mii opt.
Rezolvare: Numerele scrie cu cifre sunt: a) 20 001; b) 93 752; c) 173 014; d) 856 008.
Evaluare (2)/2/p.26
Care este predecesorul numărului 27 010? Dar succesorul? Rezolvare:
Predecesorul Numărul Succesorul 27 009 27 010 27 011
Evaluare (2)/3/p.26
Care sunt numerele formate din cinci ordine cu cifrele consecutive crescător? Dar descrescător, care sunt? Rezolvare: Numerele formate din cinci ordine cu cifrele consecutive crescător sunt:
12 345, 23 456, 34 567, 45 678, 56 789. Numerele formate din cinci ordine cu cifrele consecutive descrescător sunt:
98 765, 87 654, 76 543, 65 432, 54 321, 43 210.
Evaluare (2)/4/p.26 Rotunjeşte la zeci de mii succesorul numărului 437 175. Rezolvare: Succesorul numărului 437 175 este 437 176; acest număr rotunjit la zeci de mii este 440 000,
deoarece 7 > 5. Evaluare (3)/1/p.26
Completează: O zece este formată din … unităŃi.
Zece zeci formează o … . O mie este formată din … . Rezolvare:
O zece este formată din zece unităŃi. Zece zeci formează o sută. O mie este formată din zece sute sau o sută de zeci sau o mie de unităŃi.
36
Evaluare (3)/2/p.26 Scrie numerele formate din:
a) 2 sute de mii 3 zeci de mii 2 sute şi o unitate; b) 12 mii 6 unităŃi; c) 3 sute de mii 5 sute 8.
Rezolvare: a) 230 201; b) 12 006; c) 300 508.
Evaluare (3)/3/p.26
Încercuieşte numerele cel mult egale cu 26 463: 26 465, 26 460, 26 463, 26 470, 26 459.
Rezolvare: Numerele cel mult egale cu 26 463 înseamnă mai mici decât acest număr, inclusiv el. Avem:
26 459, 26 460 şi 26 463. Evaluare (3)/4/p.26
Scrie toate numerele de patru cifre diferite, fiecare cifră fiind cu 1 mai mare decât cea precedentă.
Rezolvare:
Numerele de patru cifre diferite de forma abcd , cu a ≠ b ≠ c ≠ d, sunt: 1 234, 2 345, 3 456, 4 567, 5 678, 6 789.
Evaluare (3)/5/p.26
Scrie cel mai mare, apoi cel mai mic număr care se pot forma folosind o singură dată, cifrele: 7, 4, 5, 0 şi 8.
Rezolvare: Avem:
40 578 → cel mai mic număr; 87 540 → cel mai mare număr.
37
Clasa a IV-a (pag/p. 9-28)
5/p.9 Determină numerele naturale m, n, p, r şi s, aşază-le în ordine descrescătoare, ştiind că acestea
îndeplinesc simultan condiŃiile: m + n = 12, m + p = 14, m + r = 16, m + s = 18 şi n + p + r + s = 44.
Rezolvare: Avem: n + p + r + s = 44
m + n = 12 m + p = 14 m + r = 16 m + s = 18 4 ⋅ m + n + p + r + s = 60 4 ⋅ m + 42 = 60 (T1 = S – T2) 4 ⋅ m = 60 – 44 m = 16 : 4 (F2 = P : F1) m = 4
m + n = 12 m + p = 14 m + r = 16 m + s = 18 4 + n = 12 4 + p = 14 4 + r = 16 4 + s = 18 (T2 = S – T1) n = 12 – 4 p = 14 – 4 r = 16 – 4 s = 18 – 4 n = 8 p = 10 r = 12 s = 14
7/p.10
Scrie numerele de forma mnm , ştiind că m = n × n, apoi scrie şi „vecinii” lor. Rezolvare:
AtenŃie! mnm , m ≠ 0, m = n × n, n ∈ {1, 2, 3}. Avem: 111, 424, 939. „Vecinii” numerelor (predecesor, succesor) sunt:
a) Avem 49 de numere care conŃin cifra 2 (4 × 10 + 9 = 49) de la 251 la 299 şi 14 de la 300 la 349.
b) Avem 50 de numere care conŃin cifra 3 (10 × 5 = 50) de la 300 la 349 şi 5 de la 251 la 299. c) Avem 28 de numere care conŃin cel puŃin două cifre identice: 8 × 2 + 1 + 10 = 27. d) Avem un singur număr cu trei cifre identice: 333. e) Avem un singur număr cu trei cifre consecutive: 345. f) Avem un singur număr care conŃine cifra 0 şi cifra 8: 280.
14/p.10 Numărând crescător din 2 în 2, Ştefan a ajuns la numărul 875.
De la care dintre numere ar fi putut porni: 860, 739 sau 496? Rezolvare: Numărul la care s-a ajuns este 875, deci un număr impar. S-a pornit tot de la un număr impar,
739. 21/p.11
Scrie cel mai mare număr natural de trei cifre diferite pentru fiecare situaŃie în parte: a) 7 este cifra sutelor; b) 2 este cifra unităŃilor; c) 5 este cifra zecilor; d) 23 este suma cifrelor; e) nu există cifre identice. Aşază numerele descoperite în ordine crescătoare, apoi află cât trebuie adăugat la fiecare pentru a obŃine 1 000.
a) 783; 786; 789; 792; 792; 798; 801; 804 (numerele sunt scrise în şir crescător din 3 în 3); b) 417; 415; 413; 411; 409; 407; 405; 403 (numerele sunt scrise în şir descrescător din 2 în 2); c) 157; 163; 169; 175; 181; 187; 193; 199 (numerele sunt scrise în şir crescător din 6 în 6); d) 614; 608; 602; 596; 590; 584; 578; 572 (numerele sunt scrise în şir descrescător din 6 în 6). 16/p.13
Victor are vârsta egală cu dublul numărului 7, Virgil are cu 4 ani mai puŃin, iar gemenii Alex şi Alexa, triplul sumei cifrelor vârstei lui Victor. Scrie numerele aflate în ordine descrescătoare.
Rezolvare: Care este vârsta lui Victor?
7 × 2 = 14 (ani) sau 7 + 7 = 14 (ani) Care este vârsta lui Virgil?
14 ani – 4 ani = 10 ani Suma cifrelor vârstei lui Victor este:
1 + 4 = 5 Care este vârsta gemenilor Alex şi Alexa?
5 × 3 = 15 (ani) Numerele aflate în ordine descrescătoare sunt: 15 (ani), 14 (ani) şi 10 (ani).
40
8/p.15 Iulian a cumpărat 2 kg de caise cu 2 lei/kg, 1 kg de mere cu 3 lei/kg şi 3 kg de banane cu
4 lei/kg, plătind 20 lei pentru toate. a) Cât ar fi trebuit să plătească pentru ele? b) Cum s-a realizat rotunjirea?
Rezolvare: a) CâŃi lei costă caisele?
2 lei × 2 = 4 lei CâŃi lei costă bananele?
4 lei × 3 = 12 lei CâŃi lei costă cumpărăturile?
4 lei + 3 lei + 12 lei = 19 lei b) Avem: 19 rotunjit este 20 (9 > 5), 1 se măreşte cu 1 şi devine 2 urmat de o cifră
nesemnificativă (zero). 5/p.17
Determină cel mai mic număr de trei cifre astfel încât cifrele să fie: a) diferite de zero; b) distincte două câte două; c) diferite de zero şi distincte două câte două.
Rezolvare:
AtenŃie! abc , a ≠ 0. a) 111; b) 103; c) 123.
8/p.18
Se consideră cifrele 0, 2, 3, 5, 7 şi 8. Scrie şi citeşte:
a) cel mai mic număr natural de şase cifre, utilizând cifrele de mai sus, fiecare din acestea putând fi folosită de cel mult două ori;
b) cel mai mare număr natural de şase cifre, utilizând cifrele de mai sus, fiecare din acestea putând fi folosită de cel mult două ori.
Rezolvare: a) 200 233; b) 887 755.
10/p.18
Află numerele naturale de cinci cifre care au suma cifrelor 7 şi doar două cifre nenule (diferite de zero).
Determină numere naturale de forma ababa , ştiind că b = a : 2.
Rezolvare:
ababa , a ≠ 0; b = a : 2. Avem: 84 848, 63 636, 42 424, 21 212.
8/p.20
Compară cel mai mare număr natural şi cel mai mic număr natural ce se pot forma din cifrele: 3, 5, 0, 7, 1 şi 2, luate toate o singură dată, cu numărul 102 689.
Rezolvare: Cel mai mare număr natural este 753 210.
42
Cel mai mic număr natural este 102 357. 102 689 < 753 210 sau 753 210 > 102 689 102 689 > 102 357 sau 102 357 < 102 689
9/p.20
În clasa a IV-a A dintr-o şcoală se discută despre numărul 10 101. Cristina: Este mai mare decât 10 000. Maria: Este cel mai mic număr natural format din cinci cifre. Andreea: Este cel mai mare număr natural scris doar cu cifrele 1 şi 0. Miruna: Nu este cuprins între 20 000 şi 30 000. Alessia: Nu este mai mare decât 11 111. Care din afirmaŃiile de mai sus sunt adevărat şi care sunt false?
Justifică!
Rezolvare: Cristina (A): 10 101 > 10 000.
Maria (F): 10 000 este cel mai mic număr natural format din cinci cifre. Andreea (F): 11 110 este cel mai mare număr scris doar cu cifrele 1 şi 0.
Compară numărul 95 010 cu cel mai mare număr de forma abcde , ştiind că: a – b – c – d – e = 3, iar d = 1.
Rezolvare:
Cel mai mare număr de forma abcde , a ≠ 0, unde a – b – c – d – e = 3, d = 1, este 95 010. ComparaŃie: 95 010 = 95 010.
17/p.21
Priveşte, cu atenŃie, cele două şiruri de numere! 30 28 26 24 … 6 4 2 2 4 6 8 … 26 28 30
Ce număr îi corespunde lui 20? Dar lui 18?
Rezolvare: Observăm că suma fiecărei perechi de numere din cele două şiruri este 32: 30 + 2 = 32, 28 + 4 = 32, 26 + 6 = 32 ş.a.m.d., deci:
20 + a = 32 18 + b = 32 a = 32 – 20 b = 32 – 18 a = 12. b = 14.
Aşadar lui 20 îi corespunde 12. Aşadar lui 18 îi corespunde 14.
43
18/p.21
Compară numărul 98 674 cu cel mai mare număr natural de forma abcde , în care: a) suma numerelor reprezentate de cifrele sale este 34; b) cifra miilor, sutelor şi a zecilor reprezintă numere consecutive pare; c) a este succesorul lui 8.
13/p.24 Află diferenŃa dintre cel mai mare număr de trei cifre şi cel mai mic număr de trei cifre, ce nu
au în scrierea lor cifre identice. Numărul obŃinut rotunjeşte-l la zeci, apoi la sute.
Rezolvare: Cel mai mare număr natural de trei cifre ce nu are în scrierea lui cifre identice este 987. Cel mai mic număr natural de trei cifre ce nu are în scrierea lui cifre identice este 102. DiferenŃa numerelor este 987 – 102 = 885. Rotunjirea numărului la zeci este 890, iar la sute este 900.
14/p.25
a) Reconstituie adunarea: 2 3 83 781abcd abcd+ = .
b) Rotunjeşte la zeci, sute, mii, zeci de mii fiecare dintre numerele aflate mai sus. Rezolvare:
a) 2 3 83 781abcd abcd+ =
25 798 + 57 983 = 83 781 b) Rotunjirile sunt date în tabelul de mai jos:
Dacă a – b = 7 şi a + b + 2c = 53, atunci b + c = ? Adaugă la rezultatul obŃinut numărul 899. Noul rezultat rotunjeşte-l la zeci şi sute!
Rezolvare: Avem:
7Adunăm relaŃiile
2 53
a b
a b c
− =
+ + =
2a / + 2c = 60 2 × (a + c) = 60 a + c = 60 : 2 a + c = 30 a + b + 2c = 53 a + c + b + c = 53 30 + b + c = 53 b + c = 53 – 30 b + c = 20 20 + 899 = 919. Numărul 919, rotunjit la zeci, este 910, iar rotunjit la sute este 900.
45
Vârsta unui urs/p.25 DiferenŃa dintre două numere este 5, iar descăzutul de 6 ori mai mare. Află scăzătorul, ştiind că reprezintă, în ani, durata de viaŃă a ursului. Rezolvare: Notăm scăzătorul cu x, descăzutul cu 6x.
6 ⋅ x – x = 5 5 ⋅ x = 5 x = 5 : 5 x = 1
Deci vârsta ursului este de 1 an. 6/p.26
Determină cel mai mic şi cel mai mare număr natural de forma 4abcde astfel încât suma oricăror trei ordine alăturate să fie 11.
Rezolvare:
Cel mai mare număr natural de forma 4abcde este 470 470.
Cel mai mic număr natural de forma 4abcde este 416 416.
7/p.26
Să se identifice, în fiecare caz, cel mai mare număr de forma abcd care respectă următoarele condiŃii: a) suma cifrelor este 26; b) a este predecesorul penultimei cifre care reprezintă un număr par;
c) cifra sutelor, zecilor şi unităŃilor reprezintă numere consecutive impare. Rezolvare: a) 9 872; b) 7 989; c) 9 975.
Evaluare (2)/1/p. 27
Se dau numerele: 85 649; 57 684; 156 381; 682 562; 497 845; 469 988. a) Ordonează crescător numerele date. b) Ordonează descrescător numerele date. c) Ordonează crescător doar numerele pare. d) Ordonează crescător doar numerele impare. e) Ordonează crescător doar numerele care au cifra zecilor de mii mai mică decât cifra
unităŃilor de mii. f) Ordonează descrescător doar numerele impare. g) Ordonează descrescător doar numerele pare. h) Ordonează descrescător doar numerele care au cifra sutelor de mii mai mică decât cifra
zecilor de mii. Rezolvare: a) 57 684, 85 649, 156 381, 469 988, 497 845, 682 562;
Evaluare (2)/2/p.28 Descoperă numărul natural de 4 cifre care îndeplineşte condiŃiile: a) cifra unităŃilor de mii este cea mai mică cifră impară; b) cifra sutelor este 5; c) cifra zecilor este cu 3 mai mare decât cifra unităŃilor de mii; d) suma cifrelor este 17. Rezolvare: Numărul căutat este 1 547 pentru că: a) cea mai mică cifră impară este 1; b) cifra sutelor este 5; c) cifra zecilor este 4 (1 + 3 = 4); d) 1 + 5 + 4 + 7 = 17.
Evaluare (2)/3/p.28
Descoperă toate numerele naturale de forma 569 85a . Aranjează numerele descoperite în ordine crescătoare. Din ultimul număr natural scade cel mai mic număr, din penultimul număr descoperit scade al doilea număr ş.a.m.d.
Aranjează diferenŃele în ordine crescătoare. Rezolvare: Numerele naturale de forma 569 85a , în ordine crescătoare, sunt: 569 085, 569 185, 569 285, 569 385, 569 485, 569 585, 569 685, 569 785, 569 885, 569 985. Ultimul număr este 569 985. Cel mai mic număr este 569 085.
569 985 – 569 085 = 900 Penultimul număr este 569 885. Al doilea număr este 569 185.
DiferenŃele în ordine crescătoare: 100, 300 şi 500.
47
Evaluare (2)/4/p.28 Găseşte: a) cel mai mare număr natural de 6 cifre diferite; b) cel mai mic număr natural de 6 cifre; c) cel mai mic număr natural de 6 cifre diferite; d) toate numerele naturale de 6 cifre identice. Ordonează crescător, apoi descrescător, toate numerele găsite mai sus. Rezolvare: a) 987 654; b) 100 000; c) 102 345; d) 111 111, 222 222, 333 333, 444 444, 555 555, 666 666, 777 777, 888 888, 999 999. Scrierea şirului crescător este: 100 000, 102 345, 111 111, 222 222, 333 333, 444 444,
444 444, 333 333, 222 222, 111 111, 102 345 şi 100 000. Cel mai mare fluture/p.28 Dublând un număr şi aflând treimea rezultatului, vei obŃine triplul lui 6. Află numărul, ştiind că reprezintă lungimea, în centimetri, a anvergurii aripilor celui mai mare
fluture de pe Terra, numit în limba latină Agrypina. Rezolvare: Notăm lungimea (în centimetri) cu x. Avem: 2 ⋅ x : 3 = 6 ⋅ 3 (D = deîmpărŃit, Î = împărŃitor, C = cât)
2 ⋅ x : 3 = 18 (D = C × Î) 2 ⋅ x = 18 ⋅ 3 2 ⋅ x = 54 x = 54 : 2 x = 27 (cm)
Deci, lungimea, în centimetri, a anvergurii aripilor celui mai mare fluture de pe Terra, numit în limba latină Agrypina, este de 27 cm.
