1
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Clasa a IX-a - Etapa 2 - Problema 1 Enun‚ t. Un ceas defect arat… a ora 12.00. Din acest moment acul orar se deplaseaz… a cu a ntr-o or… a, iar acul minutar cu b ntr-o or… a, unde a; b > 0. a) Dac… a a; b 2 Q demonstra‚ ti c… a exist… a n 2 N astfel nct cele dou… a ace ale ceasului s… a se suprapun… a exact dup… a n ore. b) Dac… a a 2 Q ‚ si b 2 RnQ s… a se demonstreze c… a oricare ar n 2 N ; acele ceasului nu sunt suprapuse dup… a n ore. Solu‚ tie. Unghiul descris de acul orar dup… a n ore este de na , iar cel descris de acul minutar este de nb . Pentru ca aceste dou… a ace s… a se suprapun… a trebuie ca la un moment dat diferen‚ ta na nb s… a e multiplu de 360 , adic… a trebuie s… a existe k 2 Z astfel ca na nb = 360k. a) Dac… a a; b 2 Q, exist… a p; q; r; s 2 N astfel ca a = p q ; iar b = r s . Atunci a b = psqr qs , deci qs (a b) 2 Z: De exemplu 360qs (a b) este divizibil cu 360, deci am putea alege n = 360qs. b) Dac… a a 2 Q ‚ si b 2 RnQ atunci egalitatea na nb = 360k nu este posibila deoarece nb 2 RnQ iar na ‚ si 360k sunt ra‚ tionale.
