Cap.1.Vectori

CAPITOLUL 1

VECTORI N PLAN I SPAIU

In urma parcurgerii acestui capitol: vei actualiza noiunea de vector liber, vei dispune de o fundamentare teoretic a noiunii de vector liber pe baza axiomaticii

lui Hilbert, vei actualiza principalele operaii cu vectori liberi, vei nelege mecanismul de aplicare a algebrei vectoriale n geometrie, vei avea un set de demonstraii vectoriale a unor rezultate importante de geometrie

plan i n spaiu.

1. CONSIDERAII GENERALE n esen, geometria este studiul proprietilor figurilor (mulimilor de puncte) din spaiu. Aceasta nu este o disciplin matematic nchis (suficient siei) aa cum nici matematica n ansamblu nu este astfel, ci s-a conturat i dezvoltat ntr-un efort de modelare a lumii fizice i exist n virtutea interconexiunilor ei cu alte discipline matematice precum i pe baza unor reveniri la modelri din ce n ce mai fidele ale unor fenomene din lumea nconjurtoare. Una dintre cele mai importante noiuni geometrice create n mod special pentru a modela situaii din lumea fizic este cea de vector liber. Observaii simple arat c exist mrimi fizice care sunt complet caracterizate de msura lor (un numr real). De exemplu, temperatura unui corp, lungimea unei bare, suprafaa unei foi de tabl, rezistena unui conductor .a. Pe de alt parte, exist mrimi fizice pentru a cror caracterizare complet sunt necesare i alte elemente. Astfel, pentru a descrie fora cu care locomotiva acioneaz asupra unei garnituri de vagoane, trebuie s precizm intensitatea ei (un numr real), dar i direcia i sensul ei de aciune. Asemntor trebuie s procedm pentru descrierea vitezei i acceleraiei unui corp n micare. Aadar, exist mrimi fizice care necesit i alte atribute dect msura lor i anume direcie i sens. Asemenea mrimi se numesc mrimi vectoriale, iar cele caracterizate complet de un numr se numesc mrimi scalare. Modelul geometric potrivit pentru mrimile vectoriale este dat de vectorii liberi. Ideea de direcie este modelat de o familie (fascicol) de drepte paralele ntre ele n sensul c putem accepta intuitiv c dou sau mai multe corpuri micndu-se pe drepte paralele au aceeai direcie de deplasare. Pe o dreapt dat un mobil se poate deplasa n dou sensuri: de la stnga spre dreapta observatorului sau invers. Este natural s spunem c dou mobile se mic n acelai sens numai dac se deplaseaz pe aceeai dreapt sau pe drepte paralele, simultan de la stnga spre dreapta observatorului sau invers. Numrul asociat unei mrimi vectoriale poate fi reprezentat prin lungimea unui segment. Cele spuse pn acum sunt cteva dintre numeroasele situaii practice i consideraii teoretice care au condus la noiunea de vector liber. Aparent noiunea de vector liber nu rspunde direct obiectului geometriei, ea rezultnd dintr-o compunere de caracteristici ale unor figuri geometrice simple: segment, dreapt. De ce se studiaz aceast noiune i aspectele conexe cu ea la geometrie? Iat cteva argumente:

Vectori n plan i spaiu 2

9 Noiunea de vector liber, model geometric pentru numeroase aspecte ale realitii, este un instrument important de aplicare a geometriei n practic, direct sau prin intermediul altor dicipline tiinifice.

9 Vectorii liberi i operaiile cu ei ofer o cale de a exprima unitar i elegant noiuni i rezultate de geometrie. Studiul transformrilor geometrice i geometria analitic beneficiaz enorm de folosirea vectorilor.

9 Calculul cu vectori liberi poate fi folosit n rezolvarea unor probleme de geometrie, unele chiar foarte rezistente la o abordare direct. Se vorbete curent de metoda vectorial ca metod de rezolvare a problemelor de geometrie.

9 Structura algebric a mulimii vectorilor liberi ofer un model (abstract) pentru noiunea, probabil cea mai important a matematicii contemporane, de spaiu liniar (numit uneori i vectorial) peste un cmp oarecare.

9 Terminologia legat de vectori s-a extins i asupra altor domenii ale matematicii, oferind ci uoare de nelegere i interpretare a unor rezultate foarte abstracte.

Att predarea ct i nvarea noiunii de vector liber ridic o serie de dificulti. Ele se datoreaz, pe de o parte, faptului c ingredientele necesare n edificarea noiunii de vector sunt printre noiunile fundamentale n geometrie. Dac acestea sunt lsate pe seama intuiiei elevilor, profesorul trebuie s se asigure c ele exist n aproximativ aceeai form n mintea tuturor elevilor i s le fixeze ntr-o terminologie unitar, folosit n matematica-tiin. Dac se ncearc explicitarea lor, se consum un timp lung cu eficien redus, pentru c nu toi elevii simt necesitatea acestei explicitri i datorit ariditii provocate de stringena logic pe care o presupune o asemenea explicitare. Pe de alt parte, dup cum vom vedea n definiia formal de mai jos, vectorul liber este o clas de echivalen n raport cu o anume relaie de echivalen n sens algebric. Dei procedeul de a crea noi obiecte matematice prin "factorizare" este foarte des utilizat n matematic, el nu este prea accesibil elevilor. Clasa de echivalen este o mulime format din elemente care ntr-un sens bine precizat sunt pe picior de egalitate. Oricare dintre ele poate reprezenta clasa de echivalen n totalitate, adic este un reprezentant al ei, i oricnd un reprezentant poate fi nlocuit prin altul. Operaiile de orice natur cu aceste clase de echivalen se reduc la operaii similare cu elemente din ele (reprezentani) i totdeauna trebuie s clarificm ce se ntmpl la interschimbarea reprezentanilor. Operaia este corect definit dac nu depinde de reprezentani. Posibilitatea de a nlocui oricnd un element al unei clase de echivalen cu un altul din aceeai clas ofer avantaje semnificative, dar poate tocmai aceast interschimbare a reprezentanilor d o anume nesiguran elevilor care nu au neles esena definirii prin clase de echivalen (factorizare). Credem c aceast modalitate de definire merit n continuare a fi analizat de psihologi-specialiti n probleme de nvare. Avnd n vedere dificultile menionate i importana studiului noiunii de vector apreciem c strategia optim este de a introduce noiunea de vector i operaiile cu vectori ntr-o manier neformal, prin consideraii geometrice simple, pe baza intuiiei sprijinit de o terminologie specific, mai nti n plan i apoi n spaiu.

Capitolul 1 3

2. NOIUNEA DE VECTOR LIBER ncepem prin a aminti o definiie formal a noiunii de vector liber. Apoi vom analiza dificultile ridicate de predarea ei. Pentru a evita lungirea acestui text, introducem de la nceput vectorii n spaiu. Ideea de a studia nti cazul plan este impus de necesiti de simplitate. Numim segment orientat o pereche ordonat de puncte din spaiu. Vom nota

prin ),( BA

),( BA AB i vom spune c A este originea, iar B este extremitatea segmentului orientat AB . Dac AB = , atunci AA se va numi segment orientat nul. Dreapta AB se numete dreapta suport a segmentului orientat AB . Spunem c segmentele orientate AB i CD au aceeai direcie dac dreptele lor suport au aceeai direcie (deci sunt paralele sau coincid). Relaia "a avea aceeai direcie" este o relaie de echivalen pe mulimea segmentelor orientate din spaiu. Pe baza axiomelor grupei al II-a din axiomatica lui Hilbert, se introduce noiunea de orientare a dreptei i se arat c oricare dreapt are dou i numai dou orientri [4, p.92]. Una se numete pozitiv, cealalt negativ. A fixa o orientare revine la a preciza o semidreapt [ pe dreapta n discuie. Un segment orientat nenul OA AB pe o dreapt orientat

este pozitiv (negativ) orientat dac semidreapta a [AB este pozitiv (negativ) orientat. Fie dou segmentele orientate AB i CD nenule de aceeai direcie. Dac dreptele lor suport coincid, adic avem CDABa == , fixnd o orientare pe dreapta , vom spune c aAB i CD au acelai sens sau sunt la fel orientate daca sunt ambele pozitiv sau negativ orientate. Dac AB i CD se afl pe drepte paralele, vom spune c au acelai sens dac extremitile lor B i se afl n acelai semiplan determinat de dreapta originilor . Se arat (demonstraie plicticoas, cu analiza a numeroase cazuri) c relaia "a avea acelai sens" este o relaie de echivalen pe mulimea segmentelor orientate din spaiu. Acceptm c toate segmentele orientate nule au aceeai direcie i acelai sens, echivalent direcia i sensul unui segment orientat nu sunt determinate.

D AC

Lungimea unui segment orientat nenul AB este prin definiie lungimea segmentului sau distana de la )(AB A la B . Segmentele orientate nule au lungime zero. Este evident c

relaia "a avea aceeai lungime" este o relaie de echivalen pe mulimea segmentelor orientate din spaiu. Spunem c dou segmente nenule sunt echipolente dac au aceeai direcie, acelai sens i aceeai lungime. Convenim c segmentele nule sunt echipolente ntre ele. Se verific uor c relaia de echipolen este o relaie de echivalen pe mulimea segmentelor orientate din spaiu (ea este n fond conjuncia logic a trei relaii de echivalen). Clasele de echivalen n raport cu relaia de echipolen se numesc vectori liberi. Clasa de echipolen a segmentului orientat AB se noteaz cu AB i se citete vectorul AB . Uneori, vectorii liberi se noteaz prin ...,,...,,,, v u c b a GGGGG . Vectorul AA se noteaz prin O . Egalitatea ABu =G are menirea de a pune n eviden un reprezentant AB al clasei de echipolen . Evident c uG CDAB dac i numai dac AB este echipolent cu CD . Deci putem scrie ...=== BBAAO . Se tie i se demonstreaz uor c oricare dou clase de echivalen n raport cu o relaie de echivalen sunt disjuncte sau coincid. Scrierea vu GG = citit "vectorul u este egal cu vectorul vG G " are semnificaia de egalitate de mulimi. Egalitatea

OuGG = spune c este, de fapt, vectorul nul. uG


Observm c dou segmente orientate AB i DC ale cror drepte suport sunt drepte paralele distincte, sunt echipolente dac i numai dac cuaterna ordonat de puncte

formeaz vrfurile unui paralelogram. Avem astfel o definiie foarte simpl a echipolenei. Totui ea nu include cazul segmentelor orientate coliniare, care ar trebui tratat separat. Pentru a evita acest lucru se poate folosi un artificiu introdus n [3, p.6]:

C ,D , , BA

AB este echipolent cu DC , dac exist un segment orientat EF nct cuaternele ordonate de punte i s fie vrfurile a dou paralelograme. E F B A ,,, E F C D ,,, Se constat c dou segmente orientate nenule MN i PQ sunt echipolente dac i numai dac segmentele i au acelai mijloc. Avem astfel o alt definiie simpl a echipolenei, folosit n [7, p. 73]:

MQ NP

Segmentele orientate nenule AB i DC sunt echipolente dac segmentele i ACBD au acelai mijloc. Ultimele dou definiii ale relaiei de echipolen sunt foarte simple i folosirea lor economisete mult timp, dar numai definiia dat iniial surprinde fidel procesul de modelare care a dat ca rezultat noiunea de vector liber. Celelalte dou sunt simpificri de natur logic, utile n expunerea succint a subiectului, eventual pentru cunosctori, dar de valoare didactic redus. Ele apar cu totul artificiale i chiar dac ncepem cu una dintre ele, trebuie s punem n eviden i echivalena cu definiia dat iniial aa cum se i procedeaz n lucrrile citate. Evident c n predarea noiunii de vector liber trebuie s folosim o variant "didactizat" a definiiei formale dat mai sus. Subliniem c orice astfel de didactizare trebuie s se menin foarte aproape de esena definiiei formale, pentru a evita nelegerea trunchiat sau chiar fals a acestei noiuni, efect greu de corectat n anii de studii universitare i care poate afecta aplicarea acestei noiuni la ntreaga ei valen. La o analiz atent a definiiei formale a vectorului liber constatm c aspectele dificile sunt date de relaia "a avea acelai sens" (definiie complicat, demonstraie lung, arid) i de nelegerea ca atare a vectorului liber, ca o clas de segmente echipolente. Relaia "a avea acelai sens" poate fi lsat pe seama intuiiei elevilor sprijinit eventual de unele desene n care s apar seturi de segmente de acelai sens i segmente de sensuri diferite. Amintim c n [6] aceast relaie este trecut pe seama translaiei, procedeu discutabil pentru c intuirea translaiei pare mai dificil dect intuirea existenei a dou sensuri (orientri) opuse pe o dreapt. Dificultatea nelegerii vectorului ca o clas de segmente echipolente poate fi surmontat printr-o operaie prealabil cu relaii de echivalen simple, pentru care, eventual, clasele s fie cu numr finit de elemente sau s poat fi descrise complet ntr-un mod interesant. De exemplu, pe mulimea numerelor ntregi clasele de congruen modulo 2 sunt formate din numere ntregi pare i respectiv numerele ntregi impare. Continum cu observaia c dat un vector ABu =G i un punct oarecare din spaiu, exist un punct

OX nct OXu =G . Pe aceast cale se pot pune n eviden orici reprezentani

cu origine prescris ai unui vector. Vom spune c doi vectori se numesc coliniari dac au aceeai direcie. Trei sau mai muli vectori se numesc coplanari dac direciile lor sunt paralele cu un plan fix. Echivalent, exist un plan n care putem desena reprezentani ai lor. Acest plan nu este unic. El poate fi nlocuit cu oricare altul paralel cu el.

Capitolul 1 5

3. FUNDAMENTARE AXIOMATIC A NOIUNII DE VECTOR LIBER

Noiunea de vector (liber) n spaiu nglobeaz noiuni ca segment, segment orientat, lungimea unui segment, direcie a unei drepte, dreapt orientat, segmente de acelai sens. Toate aceste noiuni capt un coninut lipsit de orice echivoc n oricare una dintre axiomatizrile moderne ale geometriei euclidiene. Avem n vedere ndeosebi axiomatizarea formulat de D. Hilbert (1899) i axiomatizarea datorat lui G. Birkoff (1931) i lsm deoparte axiomatica lui Euclid, printele metodei axiomatice n geometrie, pentru c aceasta nu se ocup explicit de orientarea dreptei, de ordine pe dreapt i de axiome de continuitate. Ne vom limita la geometria euclidian (geometria n care se accept postulatul lui Euclid) fr a ignora c exist i alte geometrii: hiperbolic, eliptic, afin, conform, proiectiv.

Sistemul axiomatic al lui Hilbert pentru geometria n spaiu

Acest sistem are trei noiuni primare: punct, dreapt, plan i trei relaii fundamentale: aparine sau de inciden, situat ntre pentru puncte, congruen pentru segmente i unghiuri, care sunt descries de 20 de axiome mprite n 5 grupe:

- axiome de apartenen sau inciden (I.1 I.8), - axiome de ordine (II.1 II.4), - axiome de congruen (III.1 III.5), - axioma paralelelor (IV.1), - axiome de continuitate (V.1 V.2).

Notaii: - pentru puncte: A, B, C, , L, M, N, , - pentru drepte: a, b, c, , - pentru plane: , ... , , , - pentru relaia de apartenen: ; aA , A , - pentru relaia a fi ntre: CBA citit B este ntre A i C, - pentru relaia de congruen: .

3.1 Axiomele de apartenen I.1. Fiind date dou puncte exist cel puin o dreapt la care ele s aparin, I.2. Fiind date dou puncte distincte exist cel mult o dreapt la care ele s aparin, I.3. Fiind dat o dreapt exist cel puin dou puncte care s aparin ei, I.4. Fiind date trei puncte, exist cel puin un plan la care ele s aparin; la orice plan aparine cel puin un punct, I.5. Fiind date trei puncte astfel nct s nu existe nici o dreapt la care ele s aparin, exist cel mult un plan la care ele s aparin, I.6. Dac dou puncte aparin unui plan i unei drepte, atunci orice punct care aparine dreptei aparine i planului, I.7. Dac la dou plane le aparine un punct atunci mai exist un punct care le aparine, I.8. Exist patru puncte astfel c nu exist nici un plan la care ele s aparin. Aceste axiome se pot reformula folosind relaii derivate precum cele de mai jos. Astfel dou sau mai multe (cel puin trei) puncte se numesc coliniare dac aparin unei drepte i se numesc coplanare dac aparin unui plan. Dou drepte distincte la care aparin cel puin un punct (au un punct comun) se numesc secante. Trei sau mai multe drepte se numesc concurente dac exist un punct care le aparine (comun tuturor).


Dac punctele unei drepte aparin unui plan se spune c dreapta este coninut n acel plan. n spiritul deplin al metodei axiomatice, noiunile primare de punct, dreapt, plan nu au nici un coninut concret, deci nici acela intuitiv pe care nclinm s-l acordm. Cu alte cuvinte n demonstraiile teoremelor care urmeaz nu avem voie n principiu s folosim figurile geometrice cu care suntem obinuii. Teorema 1. Oricare ar fi dou puncte distincte A, B exist exact o dreapt la care ele s aparin, notat AB. Teorema 2. Oricare ar fi trei puncte necoliniare A, B, C exist exact un plan la care ele s aparin, notat . ( )ABC Teorema 3. Pentru dou drepte distincte i exist cel mult un punct comun lor, notat .

1d 2d21 dd

Teorema 4. Pentru dou plane distincte i exist numai urmtoarele dou posibiliti: a) nu exist nici un punct care s le aparin (se spune c planele i sunt paralele i se noteaz ), ||b) exist o dreapt coninut n ambele plane (notat prin ). Teorema 5. Pentru o dreapt d i un plan exist urmtoarele trei posibiliti: a) nu exist nici un punct care s aparin dreptei d i planului (se spune c d i sunt paralele i se noteaz ),

||d

b) exist un punct comun dreptei i planului, c) dreapta d este coninut n planul (se noteaz d ). Teorema 6. Pentru orice plan exist un punct care nu-i aparine. Teorema 7. Oricare ar fi o dreapt d, exist un punct care nu-i aparine. Teorema 8. Dat o dreapt d i un punct A care nu-i aparine, exist exact un plan care conine d i la care aparine A. Teorema 9. Pentru orice drepte secante exist exact un plan care le conine. Teorema 10. Pentru orice plan exist cel puin trei puncte care s-i aparin.

Observaie. Aceste teoreme dau poziiile relative a unei drepte fa de un plan i a dou plane.Predarea acestor teme se poate face pstrnd influena i spiritul metodei axiomatice. Eventual axiomele se numesc proprieti ale punctelor, dreptelor i planelor.

3.2 Axiomele de ordine Se consider relaia a fi ntre pentru puncte, notat CBA cu privire la care se

introduc axiomele: II.1. Dac atunci punctele sunt coliniare i CBA ABC , II.2. Pentru oricare dou puncte exist C astfel nct BA , CBA , II.3. Dintre trei puncte distincte ale unei drepte, cel mult unul se afl ntre celelalte dou, II.4. (Pasch) Fie punctele distincte care nu aparin aceleai drepte i o dreapt care nu conine pe nici unul dintre ele. Dac dreapta d conine un punct ntre A i B atunci ea conine un punct situat fie ntre A i C fie ntre B i C.

CBA , , d

Aici se impune figura:

d

B

A d A

C C

B

Capitolul 1 7

Se numete segment o pereche neordonat de puncte i se noteaz sau . A i B se numesc extremitile segmentului. Punctele P cu proprietatea

BA, (AB))(BA BPA se

numesc interioare segmentului iar cele care nu au aceast proprietate (i nu sunt extremiti) se numesc exterioare segmentului. Un triplet neordonat de puncte necoliniare se numete triunghi i se noteaz

, , ; se numesc vrfuri iar segmentele CBA , ,

ABC BCA CBA , , ( ) ( ) ( )CABCAB ,, se numesc laturi ale . ABC Axioma II.1 ne arat c relaia a fi ntre este simetric. Dup axioma II.2 exist puncte exterioare unui segment. Axioma II.4 se reformuleaz astfel: dat un i o dreapt d care nu trece prin nici unul din vrfurile sale, dac d conine un punct interior unei laturi, atunci mai conine un punct interior uneia dintre celelalte laturi.

ABC

Exemple de consecine tipice: Teorema 1. Orice segment conine cel puin un punct interior. Demonstraie. Fie segmental (AC). Exist D care nu aparine dreptei AC i dup

axioma II. 1 exist E nct A-D-E. Aceiai axiom ne rat c exist F nct E-C-F. Dreapta FD taie (AC) n interior, dup axioma lui Pasch. Rezult c orice segment are cel puin un punct interior i un punct exterior i c orice dreapt are cel puin 4 puncte. Teorema 2. Fiind date trei puncte coliniare, cel puin unul este situat ntre celelalte dou. Demonstraie. Fie CAB i BCA . Artm c CBA .

A

FG

E

D

C B

exterior nct D EDB . cu cu BCE FAD CFE

ABE cu cu GCD EGA AEF cu CG CFE AFC cu . ED CBA

Cu axioma II.3 rezult c dintre trei puncte coliniare unul i numai unul se afl ntre

celelalte dou. Teorema 3. O dreapt ce nu trece prin nici unul din vrfurile unui triunghi nu

poate tia n interior toate laturile triunghiului.

R P

C B

A Demonstraie. Fie P, Q, R coliniare cu RQP . Considerm APR i care taie n interior, BC PRAP i AR n exterior, ceea ce contrazice II.4.

Q

Teorema 4. Mulimea punctelor unei drepte a este mprit de un punct O n dou submulimi nevide i disjuncte: { }AOPaP = a1 i { APOaP = a 2 sau } { }APAO unde A este un alt punct al dreptei a. Mulimile a1 i a2 se numesc semidrepte de origine O. Dat o dreapt a n plan, spunem c dou puncte A, B care nu-i aparin sunt de o parte i de alta a ei dac dreapta a intersecteaz segmentul ( )AB ntr-un punct interior i spunem c sunt de aceeai parte a dreptei a n caz contrar. Teorema 5. O dreapt a mparte mulimea punctelor planului care nu-i aparin n dou clase disjuncte i nevide astfel nct dou puncte din aceiai clas sunt de o parte a


dreptei a iar dou puncte din clase diferite sunt de o parte i de alta a dreptei a. Fie A un punct care nu aparine dreptei a.

{=1C QP nct PQA } {=2C QP / nct PQA }

{ }a= 21 CC . i se numesc semiplane determinate de a. 1C 2C Dreapta a se numete muchie sau frontier a semiplanului. Se numete unghi o pereche neordonat de semidrepte cu aceiai origine. Se noteaz .

kh ,( )kh,

3.3 Relaia i axiomele de congruen

Pe mulimea S a segmentelor i pe mulimea U a unghiurilor se introduce relaia de

congruen, notat , definit implicit prin axiomele de congruen: III.1. Dat un segment AB i o semidreapt de origine 'h 'A exist cel puin un punct 'B pe

cu 'h ABBA '' . Pentru orice segment avem BAAB . III.2. Dac ABBA '' i ABBA "" , atunci ""'' BABA . III.3. Fie tripletele de puncte i ( )CBA ,, ( )',',' CBA cu CBA i ' . Dac '' CBA

'' BAAB , atunci ' . ''CBBC 'CAAC III.4. Dat un unghi ( kh, ) i o semidreapt , n unul din semiplanele definite de exist o semidreapt unic de aceiai origine cu nct

'h 'h'k 'h ( ) ( khkh ,',' ) . Pentru orice

avem ( kh, ) )( ) ( hkkh ,, i ( ) ( )khkh ,, . III.5. Dac dou triunghiuri i ABC ''' CBA satisfac '' BAAB , ' AA , atunci

''CAAC ' BB , C . ' C

Se arat c relaia de congruen pe mulimea segmentelor este o relaie de echivalen i c punctul din III.1 este unic. Se definete congruena triunghiurilor, se stabilesc cazurile de congruen. Urmeaz unghiuri drepte, triunghiuri dreptunghice, congruen, teorema unghiului exterior, inegaliti n triunghi i toate rezultatele de geometrie sintetic cuprinse n programa gimnazial de geometrie.

3.4 Relaia de paralelism i axioma de paralelism Pe mulimea D a dreptelor din plan se introduce relaia de paralelism || astfel:

. = baba ||Rezult imediat c aceast relaie este simetric. Teorema 1. Printr-un punct exterior unei drepte trece cel puin o paralel la acea

dreapt. Demonstraie. Fie i Db bA . Perpendiculara din A pe b intersecteaz b n B.

A

B

a

b

Notm prin a dreapta prin A perpendicular pe AB. Artm c (prin reducere la absurd). Dac ba || { }Cba = , atunci prin C

am avea dou perpendiculare pe AB, fals. Unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt sau ntr-un punct al dreptei este consecin a grupei a III-a de axiome.

Capitolul 1 9

Din demonstraie rezult c dou drepte distincte perpendiculare pe aceiai dreapt sunt paralele. Dou drepte tiate de o secant formeaz unghiurile din figur: A

BC

12

3 4

5 6

8 7

a b cu denumirile:(1,5), (2,6), (3,7), (4,8) unghiuri corespondente (3,6), (4,5) alterne interne (1,8), (2,7) alterne externe (3,5), (4,6) interne de aceiai parte a secantei (1,7), (2,8) externe de aceiai parte a secantei. Dac n una din primele 8 perechi avem unghiuri congruente, atunci fiecare din celelalte este format din unghiuri congruente iar ultimele 4 perechi sunt formate din unghiuri suplimentare. De exemplu rezult (ca suplimentare), (idem),

(ca opuse la vrf), etc. 51 73 62

84 Teorema 2. Dac dou drepte au proprietatea c tiate de o secant apare congruen ntre unghiurile unei perechi de unghiuri de mai sus atunci dreptele sunt paralele.

Demonstraie. Dac n figura de mai sus dreptele a, b sunt concurente n C, congruena contrazice teorema unghiului exterior. 51 Axioma paralelelor. Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce cel mult o paralel la acea dreapt. Teorema 3. Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singur paralel la acea dreapt. Teorema 4. Dac dou drepte sunt paralele atunci orice dreapt care intersecteaz una dintre ele o intersecteaz i pe cealalt i formeaz cu ele

i) unghiuri corespondente congruente, ii) unghiuri alterne interne congruente, iii) unghiuri alterne externe congruente, iv) unghiuri interne i de aceiai parte a secantei suplimentare, v) unghiuri externe i de aceiai parte a secantei suplimentare.

Demonstraie. Prin reducere la absurd se ajunge la contrazicerea axiomei paralelelor. Relaia de paralelism nu este reflexiv deci nu este o relaie de echivalen. Definim o relaie de paralelism n sens larg notat prin || astfel baba |||| sau . Se arat c aceasta este o relaie de echivalen.

ba = Aceast relaie de echivalen mparte mulimea D a dreptelor din plan n clase de echivalen numite direcii. Direcia a a dreptei a este mulimea { }abba D ||= sau

{ } { }aabba = || D . Noiunea de direcie n plan este esenial pentru definirea vectorilor n plan. Pentru definirea vectorilor n spaiu avem nevoie de noiunea de direcie n spaiu.


Pe mulimea a dreptelor n spaiu introducem relaia de paralelism: SDbaba ,|| sunt coplanare i nu au nici un punct comun, SDba, .

Fie dreapta b i un punct bA . Exist un plan unic care conine b i A. n acest plan exist o paralel a la b care trece prin A i dup axioma paralelelor conform Teoremei 3 aceasta este unic. Dreapta a este paralel cu b cnd sunt privite ca drepte n spaiu. Aceste argument ne permite s nlocuim axioma paralelelor de mai sus cu urmtoarea form: Oricare ar fi un punct A i o dreapt d exist o dreapt oarecare unic care conine A i este paralel cu d. Introducem i pe mulimea relaia de paralelism n sens larg: SD ba || a coincide cu b sau . ba || Relaia de paralelism n sens larg este o relaie de echivalen. Reflexivitatea i simetria ei sunt evidente. Pentru demonstrarea tranzitivitii avem nevoie de definiii i teoreme suplimentare. Spunem c dreapta d este paralel cu planul i scriem ||d dac fie fie d i

nu au nici un punct comun. d

Planele i sunt paralele i scriem || dac fie coincid fie nu au nici un punct comun. Teorema 5. Dreapta a este paralel cu planul dac i numai dac exist o dreapt nct . b ab || Demonstraie. Dac exist b cu s demonstrm c . Presupunem prin reducere la absurd c a i au un singur punct comun A. Prin A exist o unic paralel

la b, care este coninut n . Unicitatea ne conduce la

ab || ||a

'b 'ba = , care contrazice faptul c a i au un singur punct comun. Dac vom arta c prin orice punct ||a B trece o dreapt cu . b ab || n situaia a i proprietatea are loc cu aB ab = . Dac i , unica paralel cu a prin B va juca rolul dreptei b.

a aB Fie acum situaia . Punctul B i dreapta a determin un plan i =a b= .

Dreapta aceasta trece prin B, este coninut n i este paralel cu a pentru c altfel am avea . a

Corolar 1. Dac i un plan ||a prin a intersecteaz dup o dreapt atunci .

b||a

Corolar 2. Dac i ||a B , paralela prin B la dreapta a este inclus n . Corolar 3. Dac dreapta a este paralel cu planele distincte i atunci fie

fie este o dreapt paralel cu dreapta a.

|| Teorema 6. Relaia de paralelism a dreptelor este tranzitiv. Demonstraie. Fie i . Considerm doar cazul n care dreptele sunt distincte i tratm numai cazul n care dreptele nu sunt n acelai plan (necoplanare).

ba || cb || cba ,,cba ,,

Fie planul determinat de i b iar a planul determinat de b i . Considerm pe c un punct C care mpreun cu a va determina un plan . Deci

c ( )aC,= .Fie c dreapta de

intersecie a planelor i . Aceasta este paralel cu a i din axioma de paralelism rezult c ea coincide cu dreapta c . Deci c este paralel cu a.

Clasele de echivalen ale relaiei de paralelism n sens larg pe mulimea dreptelor n spaiu se numesc direcii (n spaiu). Direcia unei drepte SDa este { } { }babba = || cu SDb .

Capitolul 1 11

a

Se poate arta c relaia de paralelism n sens larg a planelor este o relaie de echivalen. Clasele de echivalen ale relaiei de paralelism n sens larg pe mulimea planelor se numesc direcii planare.

3.5 Axiomele de continuitate V.1. (axioma lui Arhimede-Eudoxiu) Date dou segmente ( AB ) i (CD ) (cu DC ), pe semidreapta [ exist un numr finit de puncte astfel ca

AB121 ,,...,, +nn AAAA

i) , , , 21 AAA 321 AAA 11 + nnn AAA ii) CDAAAAAA nn +1211 ...

iii) sau . 1+ nn ABA nAB =Mai scurt: date segmentele AB i 0CD , cu ABCD < , nct . Nn ABnCD >

V.2. Fie pe dreapta a un ir infinit de segmente nchise [ ]11BA , [ ]22BA , , , astfel nct

[ ]nn BA[ ]11BA [ ]22BA [ ]nn BA . Atunci exist cel puin un punct aX astfel nct , . [ ]nnBAX Nn Teorema 1. Dac irul din axioma V.2 satisface i condiia c pentru orice segment , astfel c PQ Nn PQBA nn < , atunci punctul X este unic.

Msura segmentelor Fie mulimea S a segmentelor din spaiu. Se numete msur a segmentelor, asociat unui segment unitate , o aplicaie

cu proprietile: [OU]

RS :mi) , i SAB ( ) 0ABm ( ) BAABm == 0

ii) nct atunci S CDAB, CDAB ( ) ( )CDmABm = iii) astfel nct , CBA ,, CBA ( ) ( ) ( )ACmBCmABm =+ iv) . ( ) 1=OUm

Teorema 1. Dat un segment 0OU , exist o aplicaie unic m cu proprietile i) iv).

Demonstraia existenei este complicat, dar se bazeaz esenial pe axiomele V.1 i V.2.

Se arat c i invers implic CDAB ( ) ( )CDmABm = i se observ c + RS:m nu este injectiv.

Teorema 2. Dat un numr +Ra , exist un segment astfel nct n raport cu unitatea fixat .

SAB( ) aABm = OU

Fie m cu unitatea OU i ' cu unitatea . Atunci m ''UO( ) , ( ) ( ) ( )OUmABmABm '' = S . AB


ntr-adevr, dac definim prin RS :f ( ) ( )( )OUmABmABf '= , se verific uor c f

satisface i) iv), adic f este o msur cu unitate OU i deci unicitatea . ( )= mf Consecin. Dac este o msur, orice alt msur este de forma cu

. m cmm ='( )OUmc '=

Introducem distana ntre puncte prin definiia ( ) ( )ABmBAd =, . Notm cu P mulimea punctelor. are proprietile: RPP :d

i) , i ( ) 0, BAd BA, ( ) BABAd == 0, ii) , ( ) ( )ABdBAd ,, = BA,

CBdBAdCAd ,,, + CBA ,,iii) , ( ) ( ) ( ) . Teorema 3. B se afl ntre A i C ( ) ( ) ( )CAdCBdBAd ,,, =+ . Demonstraie. CBA ( ) ( ) ( )ACmBCmABm =+ ( ) ( ) ( )CAdCBdBAd ,,, =+ .

Se folosesc afirmaii care nu au fost menionate anterior. Teorema 4. Fie d o dreapt oarecare i punctele dBA , distincte. Exist o funcie bijectiv , Rdf : ( ) MxMf = care are proprietile:

i) 0=Ax , 0>Bxii) , dQP , ( ) ( ) ( )PfQfxxQPd PQ ==, .

Funcia f se numete sistem de coordonate pe d. ( ) (ABmxBAd B ==, ) . Se poate lua AB ca unitate de msur deci . Cu A fixat, numit origine pe d i notat de obicei cu O, i

( ) 1=ABm( ) 1=ABm , B se numete punct unitate

notat E. Valoarea ( ) MxMf = se numete abscisa punctului M. Obinem astfel axa numerelor care este originea metodei analitice i deci a geometriei analitice. 4. OPERAII CU VECTORI n mod obinuit, la nivelul colii de cultur general, operaiile de adunare a doi (sau mai muli) vectori, de nmulire a unui vector cu un numr real i de produs scalar a doi vectori sunt suficiente pentru ilustrarea metodei vectoriale de rezolvare a problemelor de geometrie. Produsul vectorial a doi vectori este mult mai necesar la fizic i, n consecin, este introdus n programa analitic de fizic. Operaiile menionate se pot defini direct, geometric sau prin intermediul coordonatelor ([6], [5], [2]). n cazul definiiei geometrice se utilizeaz reprezentani ai vectorilor i trebuie s ne asigurm c operaiile definite, rezultatele lor, nu depind de alegerea acelor reprezentani. Folosirea coordonatelor nu elimin aceast verificare consumatoare de timp, ci o nlocuiete cu verificarea faptului c definirea operaiilor nu depinde de alegerea sistemului de coordonate (aspect voit ignorat n unele manuale). Aceast independen a operaiilor cu vectori de sistemul se coordonate ales se poate proba uneori i indirect, fr calcule. ([6], p. 157).

Capitolul 1 13

Experiena de compunere a dou fore care acioneaz pe direcii diferite conduce la "regula paralelogramului" de adunare a doi vectori. Este preferabil s definim mai nti adunarea a doi vectori dup "regula triunghiului" care are un caracter unitar n sensul c "prinde" i cazul vectorilor coliniari n acelai enun. Fie doi vectori u i i un punct G vG A fixat. Sunt unic determinate punctele B i nct

CABu =G i BCv =G . Definim suma ACvu =+ GG , adic ACBCAB =+ . Dac desenm,

obinem fig. 1, cele dou situaii fiind corespunztoare respectiv cazurilor u , v necoliniari i coliniari.

G G

vu GG + vG u

G A B

C

vu GG + vG A uG C B

Fig. 1

Explicm modul de obinere a sumei: aezm sau depunem vectorul v cu originea n extremitatea vectorului i definim

GuG vu GG + ca vectorul determinat de originea lui uG i

extremitatea lui v . De fapt, aceste operaii le facem cu reprezentani ai vectorilor, dar formulm astfel pentru a sugera independena de reprezentani. In continuare trebuie s ne ntrebm ce se ntmpl dac schimbm punctul

G

A . Fie deci AA ' . Sunt univoc determinate punctele 'B i nct 'C '' BAu =G i ''CBv =G i, conform regulii introduse, trebuie s punem

''CAvu =+ GG . Pentru ca definiia adunrii s fie corect, trebuie s avem ACCA ='' . Acest lucru rezult uor folosind faptul c triunghiul este congruent cu triunghiul . n situaia de coliniaritate, acelai lucru rezult mult mai simplu.

ABC ''' CBA

Ordinea n care se dau proprietile operaiilor de adunare a vectorilor trebuie s fie cea uzual n axiomatica spaiului liniar (vectorial) abstract.

1) ( ) ( wvuwvu )GGGGGG ++=++ (asociativitate) 2) uuOOu GGGGG =+=+ (OG este element neutru) 3) Oricare ar fi exist un vector notat uG uG nct

( ) ( ) Ouuuu GGGGG =+=+ ( uG se numete opusul lui u ) G4) uvvu GGGG +=+ (comutativitate),

oricare ar fi vectorii . w v u GGG ,, Asociativitatea rezult imediat, pe baza unei figuri, astfel: CDw BCv ABu === GGG ,, .

( ) ( )( ) ( ) ABDABCDBCABwvu CDACCDBCABwvu =+=++=++ =+=++=++ GGG

GGG

Calitatea de element neutru al lui O rezult astfe

.

,

uABABAAuO

uABBBABOuGGGGGG

==+=+==+=+

Demonstraia simpl a asociativitii aduntriunghiului". Dac ABu =G definim BAu = G i dec

CDu = G obinem DCu i ( )=G CDCCDuu GG =+=+

, AD. D

l:

rii este un alt avantaj a "regulii i ( ) OAABAABuu GGG ==+=+ . Cu

OCG= .


Pentru a demonstra 4) observm c pentru ABu =G i BCv =G avem ACvu =+ GG , iar cu ADv =G i DEu =G obinem AEuv =+ GG . Triunghiurile i ABC ADE sunt congruente (cazul LUL: latur, unghi, latur) de unde rezult , fig. 2. EC

vG uG

GvG B

C

D vu GG + A u

Fig. 2

Analiza situaiei de coliniaritate a vectorilor uG i vG se face elevilor. Figura 2 ne arat c vectorul sum vu GG + poate fi repparalelogramului construit pe cte un reprezentant al vectorilor udiagonala care pleac din A . Cum un asemenea paralelogram exnecoliniari, urmeaz c asemenea reprezentare a vectorului sumcaz i deci "regula paralelogramului" de adunare a doi vectorisunt necoliniari. Se poate imagina o degenerare a paralelogramupentru a include vectorii coliniari, dar este, totui, de preferat adunarea vectorilor coliniari. Diferena a doi vectori se definete ca adunarea primului( vuvu )GGGG += . Cele dou reguli de adunare conduc la reprepentru vectorul diferen.

vG

vG uG

vu GG

vG

vG vu GG

uG a) b)

Fig. 3

Totui, n practic, se prefer folosirea reprezentrii luicealalt diagonal a paralelogramului n care am figurat sumreprezentare este posibil (corect). Proprietatea de asociativitate a adunrii ne asigur c are a vectori. Poate fi evideniat i "regula poligonului" pesum

3>nnuuuu +++= ...21G , (fig. 4). Aceast regul es

triunghiului". 3>n

separat i se poate propune

rezentat i ca o diagonal a G i vG cu aceeai origi e n A ,

ist numai cnd i vuG G sunt este posibil numai n acest

funcioneaz numai cnd ei lui prin "turtirea" lui pe AB , "regula triunghiului" pentru

cu opusul celui de al doilea: zentrile din fig. 3, a) i b)

c)

uG vu GG uG

vG

vu GG +

vG

vu GG ca n fig. 3, c), adic a vu GG + . Evident c aceast

sens suma nuuu +++ ...21 , ntru reprezentarea vectorului te o generalizare a "regulii

Capitolul 1 15

1u 2u

3u 21 uu +

321 uuu ++

nu

uG

Fig. 4 Pentru aplicaiile n geometrie se recomand fixarea formulei: OAOBAB = cu puncte date i un punct oarecare. Cu O fixat i numind

BA,

O ...,...,,,, OM OC OB OA vectori de poziie ai punctelor fa de O putem folosi formule de tipul ...,...,,,, M C BA

OBOCBC = , OAOMAM = , , n dreapta fiind diferena ntre vectorul de poziie al extremitii i vectorul de poziie al originii segmentului orientat care reprezint vectorul din stnga. Subliniem c putem scrie BOC'OOBOCBC '== cu OO ' , dup cum rezult din BOOOOB '' += i COOOOC ''+= . Construcia care ne-a condus la paralelogramul din fig. 2 poate fi inversat. Fiind dat un vector reprezentat prin AC , considerm prin A dou drepte distincte, diferite de AC dar situate n acelai plan ce conine pe AC . Ducem prin C paralele la cele dou drepte i determinm punctele B i . Dac punem D ABu =G i ADv =G obinem vuAC GG += . Spunem c am descompus vectorul AC ca sum a vectorilor uG i vG . Descompunerea aceasta nu este, evident, unic.Ea este de mai mic valoare. Vom reveni la astfel de descompuneri mai jos. Fie un numr real diferit de zero i un vector uG . Prin definiie, este un vector, numit produsul lui u cu , care are aceeai direcie cu

uGG uG , acelai sens cu u pentru i sens contrar lui u pentru , iar mrimea sa este ||

G 0>G 0


Demonstraia proprietii 5) se obine pe baza teoremei lui Thales. Proprietile 6) i 7) se verific direct prin folosirea definiiei, ceea ce implic luarea n consideraie a numeroase situaii provocate de compararea scalarilor n cauz cu zero. Proprietatea 8) este evident. Reinem de asemenea c ( ) u u GG =1 ; Ou GG = i Ou GG , implic ; 0= Ou GG = i implic 0 Ou GG = . Putem defini i mprirea cu un numr real diferit de zero ca nmulire cu inversul acelui numr, cu alte cuvinte, putem considera raportul uu G

G=1 . Vom

evita totui folosirea termenului "mprire".

Observm c vectorul ||

0uuu GG

= are lungimea 1 i este de acelai sens i aceeai

direcie cu u . El se numete versorul vectorului G uG . Reinem c 0|| uuu GG = . Dup cum am vzut, vectorul uv GG = are aceeai direcie cu uG , deci v u G uG sunt coliniari. Reciproc, dac doi vectori uG i vG sunt coliniari, considernd ABu =G i ACv =G , rezult cu uv GG =

ABAC= || .

Operaiile cu vectori introduse pn acum dau sens expresiei

nn uuu +++ ...2211 cu n ...,,, 21 numere reale, numit combinaie liniar a vectorilor nu u u ...,,, 21 . Reprezentarea geometric a combinaiei liniare wvu GGG =+ conduce la fig. 5.

A B

CD

uG uG

vG vG

Fig. 5

Refcnd construcia din fig. 5, n sens invers, obinem descompunerea unui vector dup dou direcii paralele cu un plan fixat. Mai precis, fie un vector . Desenm un reprezentant

wGAC . Prin A , ntr-un plan fixat care conine dreapta , ducem dou drepte

distincte diferite de . Paralele prin la cele dou drepte determin punctele AC

AC C B i , nct

DADABAC += (fig. 5). Dac dm direciile celor dou drepte prin direciile

vectorilor i respectiv , atunci

AD AB,

uG vG uAB G= i vAD G= cu , numere reale i, deci . Descompunerea lui astfel obinut este unic dac vuw GGG += w uG i necoliniari sunt

astfel ca u , , s fie coplanari. Reinem deci c dac trei vectori sunt coplanari atunci oricare dintre ei se poate exprima ca o combinaie liniar a celorlali doi (cu unii scalari eventuali nuli) i reciproc. Acest rezultat este semnificativ cnd ne ocupm numai de mulimea vectorilor dintr-un plan. El ne spune c este suficient s se dea doi vectori necoliniari pentru a-i determina pe toi ceilali din plan (combinaii liniare de cei doi dai). Se spune c cei doi vectori necoliniari formeaz o baz. Exist evident mai multe baze de vectori n plan, dar toate au acelai numr de vectori : 2.

vGG vG wG

Capitolul 1 17

n spaiu situaia este diferit n sensul c avem nevoie de trei vectori necoplanari pentru a determina pe toi ceilali. ntr-adevr, fie OAu =G , OBv =G , OCw =G trei vectori necoplanari i un al patrulea, oarecare ODz =G . n fig. 6, planul prin D paralel cu planul

intersecteaz dreapta OC n ' , iar paralela prin la OC intersecteaz planul n .

)(OAB C D)(OAB 'D

Fig. 6 Rezult c '' ODOCODz +==G . Dar 'OC este coliniar cu OC , iar 'OD este n

planul vectorilor OA i OB , deci wvuz GGGG ++= . Spunem c am descompus dup trei direcii necoplanare din spaiu.

zG

Pentru unghiul a doi vectori ABu =G , ACv =G se ia prin definiie unghiul sau . Din teorema unghiurilor cu laturi respectiv paralele rezult c la o nlocuire a

reprezentanilor vectorilor i se obine un unghi congruent cu , deci unghiul a doi

vectori nu depinde de reprezentani i poate fi notat prin

CAB

BAC

uG vG CAB

( )vu GG,/ sau ( . Mrimea unghiului a doi vectori este ntre i , valorile extreme fiind convenite pentru doi vectori coliniari de acelai sens i respectiv doi vectori coliniari de sens opus.

)

)

^,vu GG

D0 D180

Produsul scalar a doi vectori este numrul real . Evident c acest numr nu depinde de reprezentanii vectorilor

( ^,cos|||| vuvuvu GGGGGG =uG i vG . El poate fi pozitiv, negativ i

devine nul atunci i numai atunci cnd OuGH = sau Ov GG = , sau unghiul vectorilor i uG vG are

msura de . Cum direcia vectorului nul este nedeterminat, putem conveni c ea este perpendicular pe oricare alt direcie i formulm rezultatul de anulare a produsului scalar a doi vectori astfel:

D90

v uvu GGGG = 0 . Primele proprieti ale produsului scalar trebuie s fie cele folosite n definirea produsului scalar n spaii liniare abstracte.

1) ( ) vuvuvuu GGG +=+ 2121 , ( ) 2121 vuvuvvu +=+ GGG , ( ) ( )vuvu GGGG = , ( ) ( )vuvu GGGG = , 2) , uvvu GGGG =3) 0

2 u , cu egalitate pentru i numai pentru Ou GG = . Proprietile 2) i 3) sunt imediate . n 1) egalitile din dreapta rezult din cele din

stanga pe baza proprietii 2). Demonstraia egalitilor 1) stnga necesit mai multe consideraii ([3, p. 27-30]) pe care noi le omitem aici. Aceste consideraii sunt accesibile elevilor (proiecia ortogonal a unui segment pe o dreapt, mrimea acestei proiecii .a.), dar solicit mult timp ceea ce ne oblig s le omitem i la clas. Ele devin mai simple dac ne limitm la vectori in plan.

O A A'

B B'

B1 D

C

C' A1

D'


Alturi de proprietile de mai sus, care ne spun n fond c produsul scalar este o form biliniar, simetric i pozitiv definit, trebuie s mai adugm:

4) i DDGG 9000

Capitolul 1 19

5. APLICAII ALE VECTORILOR N GEOMETRIE Mulimea vectorilor din spaiu S notat este un spaiu liniar (vectorial) de dimensiune 3. O baz a sa este format din oricare trei vectori necoplanari.

3V

Sursa aplicaiilor calculului cu vectori este dat de structura afin a lui S asociat spaiului liniar . 3V Amintim:

Spaiul S are structura de spaiu afin asociat lui dat de aplicaia , 3V VSS :( ) ( ) ABBABA == ,, .

O mulime A are structur de spaiu afin asociat unui spaiu liniar V peste un cmp oarecare K dac exist o aplicaie VAA : , ( ) ( )QPQP ,, cu proprietile:

a) : ARQP ,, ( ) ( ) ( )RPRQQP ,,, =+ b) astfel nct aplicaia AO VA :O , ( ) ( )POPP O ,= s fie bijectiv

Dac a) i b) rezult: ( ) 0, = PP , ( ) ( )PQQP ,, = ; pentru orice i AP Vv exist i este unic AQ nct ( ) vQP = ; pentru orice , AP aplicaia VA :P , ( ) ( )QPQP ,= este bijecie.

Am vzut mai sus c are loc (1) ACBCAB =+ (relaia lui Chasles) i se verific imediat c (2) aplicaia , 3: VS O ( ) OMMM O = este bijecie pentru orice . SO Punctul O se fixeaz i se numete origine, caz n care OM se numete vector de poziie al punctului M, notat i prin Mr . Din relaia lui Chasles deducem uor c (3) MN rrMN = , relaie de baz n aplicaiile geometrice ale calculului cu vectori. Relaia (3) are loc pentru orice alt punct ' . O ntr-adevr, ( ) MNOMONOMOOONOOMONO ==++= '''' . Cutm echivalene vectoriale ale unor noiuni primare i noiuni derivate din axiomatica lui Hilbert. 1. Fie A, B dou puncte distincte. Ele aparin la o dreapt d i numai la una. Un punct

vectorii dM MA i MB sunt coliniari sau vectorii MA i AB sunt coliniari sau nct R ABAM = sau R nct ( )ABAM rrrr += .

Aadar cu variabil n R, ecuaia (4) ( )ABA rrrr +=G , , Rne d vectorii de poziie a tuturor punctelor de pe dreapta AB. Se spune c (4) este ecuaia vectorial a dreptei AB. Punctul A se obine pentru 0= iar B pentru . 1=


Condiia de coliniaritate a punctelor A, B, M scris n forma ( ) 01 G= BAM rrr i avnd n vedere c rolul lui M poate fi jucat i de punctele A, B ne conduce la concluzia c punctele A, B, M sunt coliniare vectorii MBA rrr ,, sunt liniar independeni. n general, un punct G se numete centru de greutate a punctelor cu ponderile ,

nAAA ,...,, 21n ,...,, 21 1...21 =+++ n , dac

nAnAAG rrrr +++= ...21 21 . Condiia de coliniaritate a punctelor M, A, B scris n forma ( ) BAM rrr += 1 ne arat c M este centrul de greutate a punctelor A, B. Rezult c punctele M, A, B sunt necoliniare nici unul dintre ele nu este centru de greutate al celorlalte dou. Fiind dat un punct A i un vector uG exist o singur dreapt care conine A i un reprezentant al vectorului u (se folosete axioma paralelelor). n aceast determinare a dreptei se folosete numai direcia vectorului

GuG .

uGA

Un punct M aparine acestei drepte vectorul AM este coliniar cu u G Rt nct utrr AM

G += . Ecuaia (5) utrr A

GG += , Rt ne d vectorii de poziie pentru toate punctele de pe dreapta determinat de A i u . G Se spune c (5) este ecuaia vectorial-parametric a dreptei determinate de un punct A i de direcia unui vector . uG2. Fie A, B, C trei puncte necoliniare. Exist un plan i numai unul care le conine. Un punct vectorii M AM , AB , AC sunt coplanari sau vectorii BM , BA , BC sunt coplanari sau nct R , ACABAM += sau nct R ,( ) ( )ACABAM rrrrrr ++= . Rezult c ecuaia (6) ( ) ( )ACABA rrrrrr ++=G , R, , d vectorii de poziie a tuturor punctelor din planul . Aceasta se numete ecuaia vectorial a planului determinat de trei puncte necoliniare. Ecuaia (6) caracterizeaz planul prin trei puncte necoliniare i poate fi luat ca definiie a planului. Cu aceast definiie a planului i cu definiia dreptei dat de (4), proprietile din axiomele I.6 i I.7 se pot demonstra dup cum urmeaz. Fie A, B puncte distincte care aparin unui plan . Artm c toate punctele dreptei AB aparin planului . Punctele dreptei AB au vectorii de poziie de forma ( )ABA rrtr + ,

iar cele ale planului au vectorii de poziie de forma Rt ( ) ( )ACABA rrrrr ++ ,

Capitolul 1 21

( ) 2, R , unde C este un punct ce nu aparine dreptei AB. Se constat c cele dou forme coincid pentru i , deci punctele dreptei AB sunt coninute n planul . t= 0= Fie planele distincte i care au un punct comun A. Presupunem c este determinat de punctele A, B, C iar este determinat de punctele A, D, E. Vectorii de poziie ai punctelor din planul au forma

( ) ( )ACABAr rrbrra ++ iar cei ai punctelor din planul au forma ( ) ( )AEADA rrrrcr + d+ . Planele i au un punct comun dac exist

perechile ( i ( nct s aib loc ) )ba, dc,( ) ( ) ( ) ( ) ( )AEADACAB rrdrrcrrbrra +=+ . Alegem ca nou origine a spaiului punctul A. Egalitatea ( ) devine ( ) AEdADcACbABa +=+ . Punctele D i E nu pot fi ambele n planul pentru c ar urma . Fie . Atunci D ADACAB ,, sunt vectori liniar independeni i putem scrie

ADACABAE ++= cu i nesimultan nule. nlocuind AE n i folosind din nou liniar independena vectorilor ( ) ADACAB ,, , obinem

0= da , 0= db , 0=+ dc . Dac , 0= E i deci planele i mai au un punct comun. Dac , al doilea punct comun al planelor 0 i este dat de perechile

cc, ,

aa, dac , respectiv 0

cc, ,

aa, dac 0 , cu c i a arbitrare.

Urmeaz de aici c cele dou plane au chiar o dreapt comun. Fie un punct A i doi vectori necoliniari uG i vG . Aceste elemente determin unic un plan care trece prin A i conine reprezentani ai vectorilor uG i vG . El conine i reprezentani ai vectorilor de forma , vectori care formeaz un subspaiu liniar n de dimensiune 2. Acest subspaiu se mai numete i direcie planar.

vbua GG + 3V Un punct M aparine planului determinat de A i de direcia planar ( )vu GG, , nct vurr AM

GG ++= . Aadar vectorii de poziie a punctelor din acest plan sunt de forma (7) vurr A

GGG ++= , ( ) . 2, R Ecuaia (7) se numete ecuaia vectorial-parametric a planului determinat de A i direcia planar ( )vu GG, . 3. Fie trei puncte necoliniare M, A, B cu BA . Urmrind sensul vectorilor MA i MB constatm c M este interior segmentului ( )AB adic BMA , dac i numai dac exist un numr real astfel ca 0


Punctele exterioare segmentului ( )AB sunt caracterizate de valorile ( ) ,0 . Punctul A se obine pentru iar din egalitatea 0= MAMB = /1 se constat c punctul B se obine pentru . Cu substituia

1= , , relaia (8) devine 1

(9) ( ) OBOAOM += 1 , Ri rezult c M este interior segmentului ( )AB dac i numai dac [ ]1,0 . Ecuaia (9) se poate folosi pentru a verifica dac o submulime (figur) F din S este convex. Anume dac din condiia FBA, rezult c punctele M de vector de poziie OM dat de (9) cu aparin lui F, pentru orice [ 1,0 ] FBA, , atunci F este convex. Din consideraiile de la 1. i 2. rezult c dreptele i planele sunt mulimi convexe. Observaii. 1) Condiia MBMA = se poate nlocui cu forma echivalent BMkAM = cu =k i atunci punctele interioare segmentului ( )AB sunt caracterizate de condiia iar cele exterioare de condiia cu

0>k( )0,k 1k . Relaia (8) capt, cu aceast convenie, forma

( ) '8kOBkOAOM +

+=1

, . 1k

Formula (9) se menine cu k

k+= 1 .

2) Uneori este convenabil s definim raportul a dou segmente orientate AB i CD ,

, notat DC CDAB ca fiind egal cu

||||

CDAB dac cele dou segmente orientate au acelai sens i

egal cu ||||

CDAB dac ele au sensuri contrare.

Cu aceast convenie MBMA= i vom spune c punctul M mparte segmentul n

raportul (pentru c

(AB)1 BA ).

Afirmaiile grupei a II-a de axiome a lui Hilbert pot fi transcrise vectorial dup cum urmeaz. Condiia CBA se scrie n forma (10) ( ) CAB rarar += 1 , . ( )1,0a Cu , rescriem (10) n forma ba =1 ( ) ACB rbrbr += 1 i constatm c are loc i

. ABC Fiind date punctele cu BA, BA , exist C nct CBA . Este suficient s lum C cu ( ) BAC rarar += 1 , cu . 0>a Date trei puncte distincte ale unei drepte, cel mult unul se afl ntre celelalte dou.

CBA ,,

Fie BA fixate. Atunci , ( ) BAC rarar += 1 cu ( )1,0a dac . S presupunem c are loc deci

BCA BCA ( )1,0a i BAC . Rezult ( ) BCA rbrbr += 1

cu . nlocuind ( 1,0b ) Cr cu expresia de mai sus, dup calcule obinem ( )( ) 0G= BA rrbaab ,

Capitolul 1 23

egalitate imposibil pentru c BA rr ( BA ) i ( )( ) 0111


Vectorii de poziie ai punctelor dreptei AM sunt de forma

+ ACBaA rrrtr 1 ,

, cei ai punctelor dreptei BN sunt de forma Rat

+ BACbB rrrtr 1 , iar cei ai

punctelor dreptei CP sunt de forma

Rbt

+ CBAcC rrrtr 1 , Rct . Aceste drepte sunt concurente dac exist , , nct s avem: at bt ct

(13) ( ) ( ) ( ) ++=

++=++

11

11

11 BAcCc

ACbBb

CBaAa

rrtrtrr

trtrr

trt .

Alegem originea O nct s nu aparin planului ( )ABC . Liniar independena vectorilor CBA rrr ,, ne arat c relaia (13) este echivalent cu sistemul

( ) '13

+==

=+=

==+

cba

cba

cba

ttt

ttt

ttt

11

11

11

11

11

11

Dreptele AM, BN i CP sunt concurente dac i numai dac sistemul ( ) are soluie unic ( ) '13cba ttt ,, . Se constat uor c aceasta are loc dac i numai dac 1= . Obinem astfel Teorema lui Ceva. Fie i punctele ABC ABPCANBCM ,, . Dreptele

sunt concurente dac i numai dac CPBNAM ,,(14) 1=

PBPA

NANC

MCMB .

Teoremele lui Menelaos i Ceva sunt utile n demonstrarea coliniaritii a trei puncte, respectiv a concurenei a trei drepte. 4. Ne ocupm de bisectoarele unghiurilor unui triunghi. O cale posibil de abordare este s demonstrm sintetic teorema bisectoarei care ne va da raportul n care piciorul bisectoarei mparte latura opus. Scriem apoi ecuaiile bisectoarelor i artm c bisectoarele interioare au un punct comun I iar cte dou exterioare cu una interioar sunt concurente n punctele , respective. cba III ,, Vom folosi o abordare diferit n care teorema bisectoarei va apare ca o consecin, lund ca punct de plecare un fapt mai simplu: n romb diagonalele sunt i bisectoare ale unghiurilor rombului. Pentru notm ca de obicei lungimile laturilor prin , ,

. ABC || BCa = || CAb =

|| ABc =

Capitolul 1 25

Considerm versorii c

AB i b

AC desenai n vrful A. Suma lor b

ACc

AB + se deseneaz pe bisectoarea interioar a unghiului A pentru c paralelogramul construit cu ei este romb (de latur 1) i ntr-un romb diagonalele sunt i bisectoare. Aadar vectorii de poziie ai punctelor bisectoarei interioare din A sunt de forma

++

bAC

cABtrA .

Similar, vectorii de poziie ai punctelor bisectoarei interioare din B sunt de forma

++

aBC

cBAsrB .

Aceste dou bisectoare interioare se intersecteaz R st, nct s aib loc (15) CBACBA ra

sac

srrcsr

btr

ct

bctr +

++=++

+ 111111 .

Cum CBA rrr ,, pot fi alei liniar independeni, relaia (15) este echivalent cu

( '15 )

=

=

+

=

+

as

bt

ct

acs

cs

bct

111

111

Sistemul de ecuaii ( '15 ) n necunoscutele t i s are soluia unic cba

bct ++= ,

cbaacs ++= .

Rezult c bisectoarele interioare din A i B se intersecteaz n punctul I de vector de

poziie CBAI rcbacr

cbabr

cbaar ++++++++= . Printr-un calcul similar constatm c

bisectoarele interioare din A i C se intersecteaz tot n I i deci putem spune c bisectoarele interioare ale unui triunghi sunt concurente.

Ecuaia bisectoarei exterioare din B este

++=

aBC

cABrrr B

G sau

AB rcr

ar

crrr

+= 1G . Aceast bisectoare se intersecteaz cu bisectoarea interioar din A

n punctul de vector de poziie aI CBAI racbcr

acbbr

acbar

a +++++= i se arat c prin acest punct trece i bisectoarea exterioar prin C. Bisectoarea interioar din B cu cele exterioare din A i C se intersecteaz n punctul cu bI

CBAI rbcacr

bcabr

bcaar

b ++++= iar bisectoarea interioar din C cu cele


exterioare din A i B se intersecteaz n punctul cu cI

CBAI rcbacr

cbabr

cbaar

c +++= . Revenim la bisectoarea interioar din A. Ea intersecteaz dreapta BC dac exist

nct Rst, ( ) CBA rsrsbAC

cABtr +=

++ 1 . Aceast egalitate este echivalent cu un

sistem n t, s (pe care nu-l scriem) care are soluie unic cb

bct += , cbcs += . Se constat c

deci punctul E de intersecie dintre bisectoarea interioar i dreapta BC exist i se afl pe latura BC, adic este interior segmentului

( 1,0s )( )BC i are vectorul de poziie de forma

CB rcbcr

cbb

+++ , care prin comparaie cu

1CB r conduce la valoarea

cb= . Aadar

are loc egalitatea cb

ECEB = care cond ce la teorema bisecto rei:

ACAB

ECEB = .

Similar, se onstat c bisectoarea exterioar din A intersecteaz dreapta BC ntr-un

punct 'E nct sau 'ECB CBE ' i are loc egalitatea cb

CEBE =

'' , relaie care

reprezint versiunea teoremei bi ctoarei pentru bisectoarea exterioar din A. 5. Teorema lui Sylvester Aceast teorem ne ofer prilejul de a t ce n revist o configuraie geometric important ntr-un triunghi, n mit configuraia cercul lui Euler. Fie un triunghi ABC . Notm prin H ortocentrul su, prin G centrul su de greutate i prin O centrul cercului circumscris acestui triunghi. Demonstrm sintetic propoziia: Simetriile ortocentrului H fa de mijloacele laturilor ABC se afl pe cercul circumscris triunghiului i sunt respec iv diametral opuse vrfurilor triunghiului. Fie D simetricul lui H fa de

este paralelogram (diagonalelBHCD

B

1A

H

'C

tcmijlocul A al laturii Be se taie n pri egale)

'B

A

G O

'A

Dausere

urC (Fig. 1). rezult c patrulaterul

C

Capitolul 1 27

Deci este congruent cu BDC BHC . Dar BHC este suplementar cu A . Urmeaz c este suplementar cu BDC A , adic patrulaterul este inscriptibil, deci D este pe cercul circumscris . Observm c

ABDCABC CBD este congruent cu care este

complementar cu BCH

B . Rezult c ABD este unghi drept. Aadar D este diametral opus vrfului A.

n AHD , segmentul este linie mijlocie. Deci 'OA AHOA21' = . Pe de alt parte, n

, este linie mijlocie i deci OBC 'OA ( )OCOBOA +=21' .

Teorema lui Sylvester. n orice ABC , are loc relaia (16) OCOBOAOH ++= , unde O este centrul cercului circumscris ABC iar H este ortocentrul ABC . ntr-adevr, pe baza relaiilor de mai sus avem OAOHAHOCOB ==+ i deci (16). Pentru G avem CBAG rrrr ++=3 . Alegem ca origine n S centrul cercului circumscris O. Rezult OCOBOAOG ++=3 i pe baza teoremei lui Sylvester, obinem (17) OHOG =3 . Aadar are loc afirmaia: Punctele O, G, H sunt coliniare (situate pe dreapta lui Euler). Putem transforma (17) astfel:

OGGHOGGOGHOH 23 === i urmeaz concluzia c G este ntre O i H i mparte segmentul OH n raportul 2, adic G

este pe ( ) la OH31 de O i

32 de H.

Revenim la metoda sintetic. Fie mijlocele laturilor triunghiului ',',' CBA ABC , picioarele nlimilor i mijloacele segmentelor , respectiv. Are loc propoziia:

111 ,, CBA","," CBA CHBHAH ,,

Punctele , , sunt pe acelai cerc numit cercul lui Euler. ',',' CBA 111 ,, CBA ","," CBA Pentru demonstraie fixm de exemplu punctele ' i artm pe rnd c celelalte puncte se afl pe cercul ( . Astfel patrulaterul este trapez isoscel ( ,

,',' CBA)''' CBA '''1 CBAA

BCCB ||'' ABCA21'1 = ca median n triunghi dreptunghic i ABBA 2

1'' = ca linie mijlocie), deci este inscriptibil. Similar se procedeaz pentru i . 1B 1C n patrulaterul avem (linie mijlocie) i deci . Pe de alt parte (linie mijlocie) i deci

'"'' CABA BHAC ||"' ACAC "'ACCA ||'' ''"' ACAC , adic "'' ACA este drept. n

continuare, (linie mijlocie), deci iar . Rezult CHBA ||'" ABBA ||'" ABBA ||'' ABBA ''" , adic ''" ABA este drept. Prin urmare patrulaterul este inscriptibil. Similar se procedeaz cu

'"'' CABA"B i . Aadar cele nou puncte sunt conciclice. "C

Observaia c ''" ACA este drept ne arat c "' AA este diametru n cercul celor nou puncte. Patrulaterul este paralelogram ( este linie mijlocie n "'OAHA "OA AHD ). Rezult c "' AA (diagonala) trece prin mijlocul lui OH. Conchidem c centrul al cercului celor nou puncte este pe dreapta lui Euler, mijlocul segmentului OH. Se poate continua cu descoperirea altor proprieti ale acestei configuraii (cf. [Traian Lalescu]).


6. METODA VECTORIAL N GEOMETRIE

In continuare propunem alte aplicaii ale calculuui vectorial n geometrie cu ideia de a

notifica metoda vectorial de rezolvare a problemelor de geometrie.Aceast metod poate fi descris dup cum urmeaz. Fiind dat o problem de geometrie, dup explicitarea i reprezentarea grafic a configuraiei geometrice la care se refer, se fixeaz un punct numit origine, se introduc vectorii de poziie ai celorlalte puncte i oricare ali vectori ce se pot considera. Se transcrie ipoteza problemei n form vectorial, form care se transform prin metode algebrice pn, prin revenire la forma geometric, obinem concluzia dorit. Subliniem c avem n vedere n primul rnd probleme al cror enun nu conine referiri la vectori. n soluie vectorii au rol auxiliar. Punctul origine se poate alege oricum i se poate schimba pe parcursul rezolvrii. Uneori este bine s-l alegem particular, legat de configuraie. Alteori este de preferat s-l considerm arbitrar (n spaiu, chiar dac problema este plan) pentru a pstra simetriile n calcule. Metoda vectorial trebuie introdus numai dup ce s-au predat toate operaiile cu vectori pentru c acestea se aplic n combinaie. De obicei soluiile vectoriale dau mai mult dect concluzia ce se urmrete pentru c din interpretarea geometric a unei relaii vectoriale obinem informaii n legtur cu mrimile, direciile i sensurile vectorilor n discuie. Aceste informaii pot contribui la rezolvarea altor probleme i trebuie exploatate pentru a ctiga timp.

nainte de predarea acestei metode se impune o pregtire prin care se completeaz proprietile operaiilor cu vectori date mai sus pentru obinuirea elevilor cu transcrierea vectorial a unor aspecte geometrice i cu traducerea n geometrie a relaiilor cu vectori. Schim coninutul unei asemenea pregtiri:

- Amintim c doi vectori nenuli uG i vG sunt coliniari dac )/1(, === vu uv GGGG . Vectorul nul este coliniar cu orice vector. Dac OAu =G i uv GG = , atunci OBOAv ==G cu

coliniare i BAO ,,OAOB= || . Reciproc, date fiind trei puncte coliniare , introducnd

vectorii

BAO ,,

OAu =G i OBv =G , putem scrie uv GG = cu OAOB= || . Dac O este ntre A i B,

atunci este negativ. El este pozitiv sau zero pentru alte poziii ale lui O n raport cu A i B. - Dac doi vectori nenuli i aG bG sunt necoliniari, atunci o egalitate de forma

ObaGGG =+ implic 0== . Altfel ei ar fi coliniari.

- Amintim c dac , aG bG , sunt trei vectori nenuli coplanari atunci oricare dintre ei se scrie ca o combinaie liniar fa de ceilali. De aici rezult c dac

cGaG , bG , sunt vectori cG

Capitolul 1 29

nenuli i necoplanari, o relaie de forma OcbaGGGG =++ implic 0=== pentru c,

n caz contrar, ei ar fi coplanari. - Fie trei puncte necoliniare . Avem evident CBA ,, OCABCAB

G=++ . Rezult c dac sunt trei vectori nenuli i necoliniari nct wvu GGG ,, Owvu

GGGG =++ , atunci cu reprezentani ai lor se poate contrui un triunghi. Aadar, lungimile acestor vectori satisfac inegalitile triunghiulare corespunztoare.

- Fie trei puncte coliniare cu MBA ,, BA . Putem deci scrie MBkAM = cu 1,|| = k

MBMAk . Vom spune c M mparte segmentul n raportul . Observm

c dac i numai dac . Fie un punct fixat O n spaiu. Putem scrie

)(AB 1k[ )ABM 0k

OAOMAM = i OMOBMB = i, dup un calcul simplu, obinem: Punctul M mparte segmentul n raportul )(AB 1k dac i numai dac are loc egalitatea:

(1) kOBkOAOM +

+=1

, oricare ar fi O.

Pentru , M devine mijlocul segmentului . 1=k )(AB- Amintim c doi vectori sunt perpendiculari dac i numai dac produsul lor scalar este

zero. Reinem i egalitatea (2) 0=++ ABOCCAOBBCOA care se obine uor din etc. OBOCBC = Continum prin a stabili unele consecine imediate ale consideraiilor de mai sus (vezi i [8]).

1. Fie medianele unui triunghi . Folosind (1) cu ',',' CCBBAA ABC 1, == k AO , obinem

(3) 2

' ACABAA += , care prin adunare conduc la (4) OCCBBAA

G=++ ''' . Aadar, cu medianele unui triunghi se poate construi un triunghi (laturile lui satisfac inegalitile triunghiulare).

2. Fie un patrulater convex i mijloacele diagonalelor i ABCD FE, AC BD , respectiv. Avem, succesiv, OCOAODOBEF ODOBOF OCOAOE +=+=+= 2,2,2 . Dac OEF

G= , atunci E coincide cu F, cu alte cuvinte, diagonalele patrulaterului convex se njumtesc. Dar ABCD === DCABODOCOAOBOEF G ABCD

paralelogram i obinem: Diagonalele unui patrulater convex se njumtesc dac i numai dac este paralelogram.

3. Fie un triunghi i medianele sale. Medianele 'ABC ',',' CCBBAA AA i 'BB se intersecteaz ntr-un punct G dac i numai dac exist numerele reale i diferite de 1 nct +

+=++=

1'

1' OBOBOAOAOG , cu O arbitrar n spaiu. Proprietatea lui 'A i 'B de a fi

mijloacele laturilor BC i CA , respectiv, conduce la


( ) ( ). OOCOBOA

OAOCOBOCOBOA

G=

+

++

+++

++

+++=+

++

1112

1112

12

12

Vectorii OCOBOA ,, sunt necoplanari. Egalnd cu zero coeficienii lor n relaia de mai sus, obinem un sistem de trei ecuaii cu dou necunoscute, care este compatibil, cu soluie unic

. Aadar medianele 2== 'AA i 'BB se intersecteaz ntr-un punct G al crui vector de poziie este

(5) 3

OCOBOAOG ++= . Expresiile anterioare ale lui OG sugereaz s scriem (5) n forma

31

'22

22

++=

++= OCOC

OBOAOCOG .

Deci G se afl i pe mediana , mprind segmentul 'CC n raportul . Concluzie: 'CC 2=k Medianele unui triunghi sunt concurente ntr-un punct aflat pe fiecare din ele la 2/3 de vrf i 1/3 de baz. Formula (5) ne spune c OG este media aritmetic a vectorilor OCOBOA ,, . Ce interpretare geometric putem da punctului R cu proprietatea c OR este media aritmetic a vectorilor de poziie a patru puncte necoplanare ? Scriem proprietatea lui DCBA ,,, OR n

forma OFOEORODOCOBOAOR +=+++= 222

2 i deci R este mijlocul segmentului

ce unete mijloacele mulchiilor opuse i n tetraedrul . Dreapta EF se

numete bimedian a tetraedrului . Alte dou exprimri similare ale lui

)(AB )(CD ABCDABCD OR conduc la

concluzia: Bimedianele unui tetraedru sunt concurente ntr-un punct care este mijlocul fiecrui segment de bimedian interior tetraedrului. Consideraiile asupra lui OG ne sugereaz s gndim 314 += i s exprimm OR n forma

31'3

33

311

++=

++++=

OAOAODOCOBOAOR , unde 'A este centrul de greutate al

feei . Aadar, R se afl pe segmentul BCD 'AA , numit i median a tetraedrului , la 3/4 de vrf i 1/4 de baz. Dreapta

ABCD'AA se numete de asemenea median. Aranjri similare

pentru OR conduc la proprietatea: Medianele unui tetraedru sunt concurente ntr-un punct situat pe fiecare din ele la 3/4 de vrf i 1/4 de baz. Punctul R se numete centrul de greutate al tetraedrului . ABCD

4. Fie un patrulater convex i M, N mijloacele laturilor AB i CD, respectiv. S se demonstreze c i s se identifice situaia de egalitate. Problema nu amintete de vectori. Totui, o relaie ntre vectori de forma

ABCDBCADMN +2

(6) BCADMN +=2 ,

Capitolul 1 31

ne-ar conduce la soluie, deoarece putem scrie ||||||||2 BCADBCADMN ++= care este chiar inegalitatea de demonstrat. Rmne s demonstrm (6). Avem: DNADMAMN ++= i CNBCMBMN ++= , egaliti care prin adunare membru cu membru dau chiar (6) avnd n vedere ipoteza: MBAM NCDN == , . n general, |||||| vu vu GGGG ++ cu egalitate pentru uG i vG coliniari i de acelai sens. Aadar, situaia de egalitate este AD i BC coliniari i de acelai sens, cu alte cuvinte, dac

devine trapez de baze ABCD AD i BC , situaie n care MN devine linie mijlocie. Aadar, egalitatea ne d proprietatea: Lungimea liniei mijlocii a unui trapez este media aritmetic a lungimilor bazelor sale. n cazul trapezului, egalitatea (6) ne spune c MN este coliniar cu AD (evident i cu BC ). Acest fapt conduce la proprietatea: Linia mijlocie a trapezului este paralel cu bazele. Pentru AD = obinem triunghiul i proprietile de mai sus au loc pentru linia mijlocie n triunghi. Notm c inegalitatea propus are loc i n situaia n care i sunt dou segmente necoplanare. Demonstraia vectorial nu a fcut uz de coplanaritatea punctelor . n consecin, obinem:

ABC)(AB )(DC

DCBA ,,, Suma laturilor bimedianelor unui tetraedru este mai mic dect suma muchiilor tetraedrului.

5. Fie un paralelogram . Avem evident ABCD ADABAC += i ADABDB = . Prin nmulire scalar obinem 22 ADABDBAC = i deci |||| ADABDBAC = . Aadar avem: ntr-un paralelogram diagonalele sunt perpendiculare dac i numai dac laturile sale sunt congruente. Am obinut astfel o caracterizare a rombului. Aceleai egaliti vectoriale, prin ridicare la ptrat i adunare conduc la (7) ( )2222 2 ADABBDAC +=+ .

6. S se afle locul geometric al punctelor M cu proprietatea c unghiul BMA este drept, A, B puncte fixe distincte. Fie O mijlocul (fix) al segmentului . Rezult )(AB

MBMAMO +=2 i prin ridicare scalar la ptrat ABMOMBMAMO =+= 24 222 . Aadar, are lungime constant )(MO AB

21 , i deci locul geometric este cercul de diametru

AB. Aceeai configuraie. Se cere locul lui M nct (constant). Fie din nou mijlocul O al segmentului . Teorema medianei pentru ne d:

i, deci pentru locul geometric este un cerc de centru O i

raz

222 kMBMA =+)(AB MO

222 24 ABkMO = 222 ABk >222

21 ABk , pentru locul geometric se reduce la punctul O, iar pentru

devine mulimea vid.

222 ABk =222 ABk

Date post:	20-Oct-2015
Category:	Documents
Upload:	ene-george
View:	15 times
Download:	1 times

Cap.1.Vectori

Documents