Stări şi mărimi electrice. Legi CUPRINS 1. Stări şi mărimi electrice. Legi .................................................................... 2 1.1. Starea de încărcare electrică a corpurilor ............................................ 2 1.2. Câmpul electric .................................................................................... 4 1.2.1. Intensitatea câmpului electric ........................................................ 4 1.2.2. Tensiunea electrică ........................................................................ 6 1.3. Starea de polarizare electrică a corpurilor ........................................... 9 1.3.1. Moment electric. Polarizaţie electrică ........................................... 9 1.3.2. Sarcina electrică de polarizaţie.................................................... 11 1.4. Starea electrocinetică ......................................................................... 15 1.4.1. Intensitatea curentului electric. Densitatea de curent .................. 16 1.4.2. Tensiunea electromotoare ........................................................... 18 1.5. Legi generale şi de material ............................................................... 21 1.5.1. Legea fluxului electric ................................................................. 21 1.5.2. Legea legăturii dintre inducţia câmpului electric D , intensitatea câmpului electric E şi polarizaţia electrică P ...................................... 22 1.5.3. Legea conservării sarcinii electrice ............................................. 23 1.5.4. Legea polarizaţiei electrice temporare ........................................ 23 1.5.5. Legea conducţiei electrice. .......................................................... 26 1.5.5.1. Conductivitatea şi rezistivitatea electrică a materialelor ...... 29 1.5.5.2. Supraconductibilitatea........................................................... 31 1.5.6. Legea transformării energiei în medii conductoare parcurse de curenţi (Joule - Lenz) ............................................................................ 32 1
Transcript
Stări şi mărimi electrice. Legi
CUPRINS 1. Stări şi mărimi electrice. Legi .................................................................... 2
1.1. Starea de încărcare electrică a corpurilor ............................................ 2 1.2. Câmpul electric.................................................................................... 4
1.5. Legi generale şi de material............................................................... 21 1.5.1. Legea fluxului electric................................................................. 21 1.5.2. Legea legăturii dintre inducţia câmpului electric D , intensitatea câmpului electric E şi polarizaţia electrică P ...................................... 22 1.5.3. Legea conservării sarcinii electrice ............................................. 23 1.5.4. Legea polarizaţiei electrice temporare ........................................ 23 1.5.5. Legea conducţiei electrice. .......................................................... 26
1.5.5.1. Conductivitatea şi rezistivitatea electrică a materialelor ...... 29 1.5.5.2. Supraconductibilitatea........................................................... 31
1.5.6. Legea transformării energiei în medii conductoare parcurse de curenţi (Joule - Lenz) ............................................................................ 32
1
Electrotehnică
1. STĂRI ŞI MĂRIMI ELECTRICE. LEGI
1.1. STAREA DE ÎNCĂRCARE ELECTRICĂ A CORPURILOR
Stările de electrizare ale corpurilor sunt: starea de încărcare electrică şi starea de polarizare electrică. Corpurile pot fi aduse în stare de încărcare electrică prin anumite procedee (frecare, contact, iradiere, încălzire, influenţă etc.). Se spune despre aceste corpuri că sunt încărcate electric sau că posedă sarcină electrică. Starea de încărcare electrică se manifestă prin anumite efecte. Astfel, între două corpuri încărcate electric aflate în apropiere, sau asupra unor mici corpuri aflate în proximitatea unui corp încărcat cu sarcină electrică, se exercită acţiuni ponderomotoare electrice. Starea de încărcare electrică se caracterizează prin mărimea fizică scalară pozitivă sau negativă numită sarcină electrică (se notează cu Q sau q). Pe lângă sarcina electrică adevărată sau liberă la care ne-am referit, există şi sarcină electrică de polarizaţie a corpurilor. Unitatea de măsură a sarcinii electrice se numeşte Coulomb (C). Pentru definirea sarcinii electrice se face apel la relaţia lui Coulomb, potrivit căreia forţa de interacţiune dintre două corpuri încărcate cu sarcinile electrice q1
respectiv q2, situate în vid la distanţa d unul de celălalt (fig. 1.1), este:
1F
20
21
d4qqF
πε⋅
= (1.1)
unde ε0 este o constantă universală numită permitivitatea vidului
( 90 10361⋅π
=ε F/m).
În conformitate cu relaţia lui Coulomb, forţa care s-ar exercita între două corpuri punctiforme încărcate fiecare cu sarcina de 1 C, situate în vid la distanţa de 1 m unul faţa de altul, ar fi de 9·109 N. Starea de încărcare electrică poate fi explicată intuitiv în cadrul teoriei microscopice a fenomenelor electromagnetice. În studiul la scara
Fig. 1.1
q2 q1
2F
d
2
Stări şi mărimi electrice. Legi
microscopică sarcina electrică se pune în legătură cu existenţa particulelor elementare. Electronul este particula care posedă sarcină elementară negativă (q0= –1,609·10-19 C). Există şi alte particule elementare încărcate negativ, de exemplu mezonii negativi, antiprotonul etc., precum şi particule elementare încărcate pozitiv (protonul, pozitronul, mezonii pozitivi etc.) sau neutre din punct de vedere electric. Sarcina electrică care intervine în diferite procese este un multiplu al sarcinii electrice elementare, deci se poate vorbi de o cuantă de sarcină electrică. Corpurile neutre conţin un număr egal de sarcini elementare negative şi pozitive, care se compensează reciproc. Corpurile încărcate electric au un exces sau o lipsă de electroni faţă de starea neutră. În primul caz, corpul este încărcat negativ, respectiv pozitiv în cel de-al doilea caz. Caracterizarea locală a stării de încărcare electrică a corpurilor se face prin intermediul desităţii de sarcină. Dacă sarcina este distribuită în volumul corpului (cum se întâmplă în cazul dielectricilor), se defineşte densitatea de volum a sarcinii (ρv) ca limită a raportului dintre sarcina Δq a unui mic domeniu din corp şi volumul Δv al domeniului respectiv, când acest volum tinde spre zero,
v 3v 0
q dq Climv dv mΔ →
Δ ⎡ ⎤ρ = = ⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦. (1.2)
Dacă sarcina este distribuită pe suprafaţa corpului, se defineşte densitatea de suprafaţă sau supeficială a sarcinii electrice (ρs) ca limită a raportului dintre sarcina Δq de pe o mică suprafaţă a corpului şi aria Δs a suprafeţei respective, când această arie tinde spre zero,
s 2s 0
q dq Clims ds mΔ →
Δ ⎡ ⎤ρ = = ⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦. (1.3)
Densitatea de suprafaţă prezintă importanţă deosebită pentru corpurile conductoare dar se întâlneşte şi la dielectrici. În cazul în care sarcina este repartizată pe conductoare foarte subţiri (filiforme), se defineşte densitatea de linie a sarcinii electrice (ρl) ca limită a raportului dintre sarcina Δq şi lungimea Δl, corespunzătoare a unei porţiuni de conductor,
l l 0
q dq Climl dl mΔ →
Δ ⎡ ⎤ρ = = ⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦. (1.4)
Sarcinile corpurilor se calculează în funcţie de desităţile de sarcină cu
3
Electrotehnică
următoarele relaţii:
. (1.5) v sV Sq dv; q ds; q= ρ = ρ = ρ∫ ∫ ll
dl∫
1.2. CÂMPUL ELECTRIC
Stările de electrizare ale corpurilor presupun existenţa unui câmp electric, în general atât în interiorul cât şi în exteriorul lor. Se spune despre corpurile încărcate electric că „produc câmp electric”. Se menţionează însă că în regim variabil, conform legii inducţiei electromagnetice, câmpul electric este produs şi de un câmp magnetic variabil în timp. În teoria macroscopică a fenomenelor electromagnetice, câmpul electric este conceput ca un sistem fizic capabil să exercite direct acţiuni ponderomotoare asupra unor corpuri electrizate situate în regiunea din spaţiul unde el există. În acest sens, interacţiunea dintre două corpuri încărcate cu sarcină electrică nu se realizează direct (nemijlocit) ci prin intermediul câmpului electric. Interacţiunea dintre corpurile încărcate cu sarcinile q1 şi q2 (fig. 1.1) trebuie înţeleasă astfel: în câmpul creat de sarcina q1 şi la distanţa „d” faţa de aceasta, este amplasată sarcina q2, asupra căreia câmpul produs de sarcina q1 exercită o forţă conform relaţiei lui Coulomb.
1.2.1. Intensitatea câmpului electric
Explorarea unui câmp electric se face cu un mic corp încărcat electric, numit corp de probă. Acesta trebuie să aibă dimensiuni foarte mici pentru ca explorarea câmpului să fie punctuală, iar sarcina sa electrică să fie de asemenea cât mai mică pentru a nu modifica configuraţia câmpului care se explorează. De regulă aceste corpuri sunt metalice sau metalizate. Dacă corpul de probă ar fi din dielectric apare şi fenomenul de polarizare care nu este de dorit în scopul urmărit. Dacă asupra corpului de probă, situat în apropierea unui corp electrizat, acţionează o forţă, înseamnă că în punctul în care se găseşte corpul de probă există câmp electric. Experienţa ne arată că forţa exercitată asupra corpului de probă depinde atât de sarcina electrică a acestuia cât şi de punctul din câmp în care se găseşte corpul. Expresia forţei este:
EqF ⋅= , (1.6) unde q reprezintă sarcina electrică a corpului de probă, care depinde numai de starea de încărcare electrică a acestuia, iar mărimea vectorială E
4
Stări şi mărimi electrice. Legi
reprezintă intensitatea câmpului electric în vid (sau vectorul câmp electric) care depinde numai de punctul din câmp în care se găseşte corpul de probă şi caracterizează câmpul în punctul respectiv. Cu ajutorul relaţiei (1.6) se poate defini intensitatea câmpului electric:
qFE = . (1.7)
Într-un punct din câmp, intensitatea câmpului electric este egală cu raportul dintre forţa ce acţionează asupra unui mic corp încărcat cu sarcină electrică şi valoarea acesteia. Se observă din relaţia (1.6) că intensitatea câmpului electric are acelaşi sens cu forţa în cazul sarcini pozitive (q>0) şi sens contrar acesteia dacă sarcina este negativă (q<0) (fig. 1.2).
Unitatea de măsură a intensităţii câmpului electric în sistemul de unităţi SI se numeşte volt/metru (V/m). Într-un punct intensitatea câmpului electric este de 1 V/m dacă asupra sarcinii de 1C
acţionează o forţa de 1N.
Fig. 1.2
q>0
F E F
q<0
E
Pentru studiul câmpului electric în vid se mai defineşte o mărime vectorială D , numită inducţie electrică. Ea se exprimă în funcţie de intensitatea câmpului electric prin relaţia:
ED 0 ⋅ε= . (1.8)
Inducţia electrică se măsoară în coulombi pe metru pătrat (C/m2). Câmpul electric se poate reprezenta prin intermediul liniilor de câmp. Linia de câmp reprezintă o curbă având proprietatea că în fiecare punct al său vectorul câmp electric E este tangent la curbă (fig. 1.3). Sensul liniei de câmp este dat de sensul lui E . În cazul câmpurilor electrostatice liniile de câmp sunt deschise. Ele „încep” pe corpurile încărcate cu sarcină electrică pozitivă şi „se termină” pe cele încărcate cu sarcină electrică negativă. Un câmp este uniform dacă în toate punctele sale vectorul câmp electric E este acelaşi. Liniile unui astfel de câmp sunt paralele şi echidistante.
În figura 1.4 se reprezintă prin linii de câmp un câmp uniform (a) şi altul neuniform (b).
5
Electrotehnică
Reprezentarea liniilor de câmp dintr-o secţiune prin câmpul considerat se numeşte spectru electric. În figura 1.5 sunt reprezentate câteva spectre pentru: o sarcină punctiformă (a), două sarcini punctiforme egale şi de semne contrare (b), două sarcini punctiforme egale şi de acelaşi semn (c).
Fig. 1.3 Fig. 1.4
E E
a) b)
E E
Fig. 1.5
b)
a)
c)
1.2.2. Tensiunea electrică
Tensiunea electrică caracterizează câmpul electric între două puncte de-a lungul unei curbe. Prin definiţie, tensiunea electrică dintre punctele A şi B de-a lungul unei curbe „C” (fig. 1.6) se determină prin integrala de linie a
intensităţii câmpului electric între punctele A şi B de-a lungul curbei menţionate:
Fig. 1.6
dl
E A
B
(C)
∫ ⋅=B
AAB dlEU . (1.9)
Tensiunea electrică se măsoară în volţi (V). Dacă se schimbă sensul de integrare (sensul lui dl ) este evident că valoarea tensiunii rămâne neschimbată dar se schimbă semnul acesteia,
6
Stări şi mărimi electrice. Legi
∫∫ ⋅−=⋅A
)C(B
B
)C(A
dlEdlE (1.10)
adică UAB= –UBA. Sensul de integrare ales, reprezintă sensul de referinţă al tensiunii. Conform teoremei potenţialului electric staţionar, în regim staţionar
integrala de linie a intensităţii câmpului electric pe o curbă închisă este nulă:
∫Γ =⋅ 0dlE . (1.11)
Această teoremă este o consecinţă a legii inducţiei electromagnetice care se va studia ulterior. Se consideră curba Γ formată din traiectoriile (C1) şi (C2) care unesc punctele A şi B (fig. 1.7). Aplicând teorema potenţialului electric staţionar,
se obţine:
0dlEdlEdlEA
)C(B
B
)C(A 21
=⋅+⋅=⋅∫ ∫∫Γ, (1.12)
din care rezultă:
1 2 2
B A B
A(C ) B(C ) A(C )
E dl E dl E dl⋅ = − ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ . (1.13)
Se observă din relaţia (1.13) că în regim staţionar tensiunea electrică dintre două puncte nu depinde de traseul considerat dintre cele două puncte. Într-un câmp electric uniform, tensiunea între punctele A şi B, situate la distanţa „d” unul faţă de altul în direcţia câmpului (fig. 1.8), se calculează astfel:
∫ ∫∫ ⋅==⋅=⋅=B
A
B
A
B
AAB dEdlEdlEdlEU ;
d
UE AB= (1.14)
Această relaţie justifică unitatea de măsură pentru intensitatea câmpului electric E , adică (V/m). Potenţialul unui punct oarecare M se defineşte ca tensiunea dintre punctul M şi un punct de
Fig. 1.7
B(Γ) (C1)
(C2)
A
Fig. 1.8
B A
E
d
dl
7
Electrotehnică
referinţă M0, unde potenţialul se consideră nul:
∫ ⋅=0M
MM dlEV (1.15)
Faţă de potenţialul de referinţă, potenţialele în diferite puncte din câmp vor fi pozitive sau negative. Ca puncte de referinţă pentru potenţial se aleg de regulă pământul sau punctele de la infinit (dacă distribuţia de sarcină electrică ocupă un domeniu limitat). Având în vedere relaţiile (1.9) şi (1.15), rezultă:
0
0
MB B
AB A BA A M
U E dl E dl E dl V V= ⋅ = ⋅ + ⋅ = −∫ ∫ ∫ (1.16)
în care M0 reprezintă punctul de referinţă de potenţial nul. În concluzie, în regim staţionar, tensiunea electrică dintre două puncte este egală cu diferenţa potenţialelor punctelor respective. Tensiunea şi potenţialul electric sunt mărimi scalare şi se măsoară în volţi (V). Pentru tensiunea electrică există şi o interpretare energetică. Ţinând cont de relaţiile (1.9) şi (1.7), se obţine:
∫ ∫ =⋅=⋅=B
A
B
AAB q
LdlFq1dlEU (1.17)
în care ∫ ⋅=B
A
dlFL reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului
pentru a deplasa corpul încărcat cu sarcina electrică q între punctele A şi B. Conform relaţiei (1.17) tensiunea electrică dintre două puncte reprezintă raportul dintre lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea corpului de probă încărcat cu sarcina electrică q între punctele respective şi valoarea sarcinii corpului de probă. Din acest punct de vedere tensiunea electrică reflectă capacitatea câmpului electric de a produce lucru mecanic. Relaţia (1.17) permite definirea voltului ca unitate de măsură a tensiunii electrice. Între două puncte din câmp tensiunea este de un volt dacă pentru deplasarea sarcinii electrice de 1 C se efectuează un lucru mecanic de 1 J. Din relaţia BAAB VVU −= , rezultă:
∫ ⋅+=B
ABA dlEVV (1.18)
8
Stări şi mărimi electrice. Legi
Dacă se consideră B ca punct de referinţă pentru potenţiale, se observă că potenţialul electric nu se poate determina decât cu aproximaţia unei constante. Acest fapt nu conduce la dificultăţi deoarece în practică se măsoară diferenţa de potenţial care nu este afectată de modul de alegere a punctului de referinţă pentru potenţiale.
1.3. STAREA DE POLARIZARE ELECTRICĂ A CORPURILOR
1.3.1. Moment electric. Polarizaţie electrică
Există corpuri, care deşi nu sunt încărcate cu sarcină electrică, atunci când sunt introduse într-un câmp electric sunt supuse unor acţiuni ponderomotoare suplimentare faţă de cele corespunzătoare stării de încărcare electrică. Starea de electrizare a acestor corpuri se numeşte stare de polarizare electrică.
Polarizarea corpurilor poate fi temporară sau permanentă. Polarizarea temporară se produce numai sub influenţa unui câmp
electric exterior şi depinde de intensitatea acestuia. Polarizarea temporară dispare odată cu anularea câmpului electric exterior.
Polarizarea permanentă nu depinde de câmpul electric în care se introduce corpul; ea se poate obţine prin anumite procedee cum sunt: deformarea mecanică a unor cristale (polarizare piezoelectrică), încălzirea (polarizare piroelectrică), polarizarea remanentă a materialelor feroelectrice, care după ce au fost polarizate temporar, sub acţiunea unui câmp electric exterior, rămân polarizate şi după anularea acestui câmp.
Analogul magneţilor permanenţi în cazul stărilor electrice sunt electreţii. Cele mai cunoscute materiale care prezintă polarizare permanentă sunt: cristalele de cuarţ, starea Seignette, turmalina.
Experienţa arată că asupra unui corp polarizat, situat într-un câmp electric, se exercită un cuplu, iar dacă câmpul este neuniform se exercită şi o forţă.
Caracterizarea stării de polarizare a corpului considerat se face prin mărimea de stare vectorială p , numită moment electric.
Expresiile cuplului şi forţei exercitate asupra unui mic corp polarizat de moment p , de către câmpul electric de intensitate E , sunt:
C p E= × ; (1.19)
9
Electrotehnică
E EF i p j p k px y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ez
∂⎟∂
. (1.20)
Experienţa relevă faptul ca micul corp polarizat are o axă electrică Δe, în jurul căreia corpul se poate roti fără ca să varieze cuplul (fig. 1.9).
Sub acţiune cuplului, corpul se va roti până când axa lui se va suprapune peste direcţia câmpului electric, moment în care cuplul se anulează şi corpul se găseşte în echilibru. Sensul pozitiv al axei se alege astfel încât să coincidă cu sensul câmpului electric atunci când corpul se găseşte în poziţia de echilibru.
Se observă din relaţia (1.19) că valoarea cuplului este maximă pentru α=900, deci:
maxCpE
= . (1.21)
Din această relaţie se constată că unitatea de măsură în SI pentru momentul electric este coulomb-metru (Cm). Din relaţia (1.20) se observă că într-un câmp uniform ( E const.= ) derivatele câmpului se anulează, deci forţa este nulă. Pentru caracterizarea locală a stării de polarizare electrică a corpurilor se utilizează mărimea vectorială P , numită polarizaţie electrică. Polarizaţia electrică reprezintă densitatea de volum a momentelor electrice şi se defineşte prin relaţia:
v 0
p dpP limv dvΔ →
Δ= =
Δ, (1.22)
în care ipΔ =∑p este suma vectorială a momentelor electrice dintr-un mic domeniu din corp, de volum Δv. Unitatea de măsură a polarizaţiei electrice este coulomb pe metru pătrat (C/m2). Momentul electric dintr-un volum al unui corp se calculează cu relaţia:
v
p P d= ∫ v
. (1.23)
Corpurile cu polarizare electrică permanentă produc câmp electric în mod independent, în timp ce corpurile cu polarizare temporară modifică câmpul electric în care sunt introduse , fără a produce în mod autonom câmp electric.
Fig. 1.9
E
p
Δe
α
C
10
Stări şi mărimi electrice. Legi
În cazul corpurilor cu polarizare temporară există o relaţie de dependenţă între polarizaţia electrică P şi intensitatea câmpului electric E , stabilită de legea polarizaţiei temporare (vezi § 1. 54). Se poate arăta că un mic corp polarizat electric, având momentul electric p , este echivalent cu un dipol electric atât din punct de vedere al acţiunilor ponderomotoare exercitate asupra lor atunci când sunt introduse într-un câmp electric exterior, cât şi în privinţa câmpului electric pe care îl stabilesc. Dipolul electric este un sistem format din două corpuri punctiforme, având sarcini egale şi de semne contrare (q şi –q), situate la distanţa Δl foarte mică, dar finită, unul de celălalt (fig. 1.10, a). Sarcinile dipolare se
consideră inseparabile. Prin definiţie, momentul electric al dipolului p reprezintă produsul dintre sarcina pozitivă q şi vectorul lΔ , orientat de la corpul cu sarcină negativă spre corpul cu
sarcină pozitiva,
Fig. 1.10
+q
lΔ
2F
1F
Eα
–q
b)
+q –q
lΔ
a)
p q l= ⋅Δ . (1.24) Dacă se introduce dipolul electric intr-un câmp electric uniform, asupra lui acţionează cuplul:
1C l F l qE q l E p= Δ × = Δ × = Δ × = ×E , (1.25) având aceeaşi expresie cu cea a cuplului care acţionează asupra unui mic corp polarizat (rel. 1.19). În concluzie, condiţia de echivalenţă dintre micul corp polarizat şi dipolul electric este egalitatea momentelor lor electrice.
1.3.2. Sarcina electrică de polarizaţie
Sarcinile electrice de polarizaţie sunt sarcini fictive, care sunt astfel distribuite în corpuri şi pe suprafaţa lor încât să fie echivalente cu starea de polarizare a corpurilor. În acest sens, dipolul electric este o distribuţie de sarcini fictive, care echivalează micul corp polarizat electric.
Se consideră un corp fără purtători mobili de sarcină şi fără sarcină electrică adevărată care, fiind într-un câmp electric exterior, se polarizează temporar. Se presupune dielectricul împărţit în elemente de volum dv (fig.
11
Electrotehnică
1.11, a). Un astfel de element are momentul electric:
p P dv= ⋅ , (1.26)
P fiind polarizaţia electrică. Fiecare element de volum dv=Δl·ds poate fi înlocuit prin dipolul electric echivalent (fig. 1.11, b), având acelaşi moment electric , orientat după direcţia lui P ,
p dq l′= ⋅Δ . (1.27) Din condiţia de
egalitate a momentelor electrice (relaţiile 1.26 şi 1.27) se obţine expresia sarcinii electrice a dipolului echivalent:
Fig. 1.11
E
ds – +
P Δl
a)
dq’ –dq’
lΔ
b)
P
ds– +
Δl
c)
.dq P ds′ = ⋅
Dacă elementul de arie ds nu are orientarea polarizaţiei electrice P (fig. 1.11, c), deci dv ds l= ⋅Δ , expresia sarcinii dipolului devine:
dq P ds′ = ⋅ . (1.29) Se consideră o suprafaţă Σ în interiorul corpului. Se va calcula sarcina
de polarizaţie din interiorul acestei suprafeţe (fig. 1.12). Elementele de volum ale corpului fiind înlocuite prin dipolii electrici echivalenţi, este evident că sarcina de polarizaţie din interiorul suprafeţei depinde numai de sarcinile dipolilor intersectaţi de această suprafaţă, sarcinile dipolilor din interiorul suprafeţei compensându-se reciproc.
ds
Pentru un dipol intersectat de suprafaţa Σ, sarcina dq’ a acestuia rămasă în exteriorul suprafeţei este dq P ds′ = ⋅ ,
fiind pozitivă sau negativă după cum unghiul dintre P şi ds este mai mic sau mai mare de 900. Sarcina dipolului considerat, care rămâne în interiorul lui Σ este evident:
Fig. 1.12
ds
P
Σ P– +
– +
12
Stări şi mărimi electrice. Legi
dq P ds′− = ⋅ , (1.30) iar sarcina electrică de polarizaţie din interiorul suprafeţei Σ va fi:
q PΣ
′ = − ⋅∫ ds , (1.31)
egală şi de semn contrar cu fluxul polarizaţiei electrice prin suprafaţa respectivă. O distribuţie în volum a sarcinii de polarizaţie poate exista doar în cazul unor dielectrici neomogeni. La suprafaţa de separaţie dintre doi dielectrici ce se polarizează diferit intervine însă o distribuţie superficială a sarcinii electrice de polarizaţie. Se va calcula densitatea superficială a sarcinii de polarizaţie de pe suprafaţa unei plăci dielectrice polarizată uniform, vectorul P fiind perpendicular pe suprafeţele plăcii (fig. 1.13). Se consideră un mic cilindru
aplatizat cu bazele strâns aplicate pe suprafaţa laterală a plăcii dielectrice. Neglijând fluxul prin suprafaţă laterală a cilindrului şi notând cu Δs suprafaţa bazelor cilindrului şi cu s1′ρ densitatea superficială a sarcinii de polarizaţie de pe suprafaţa 1 a plăcii, cu relaţia (1.31)
se obţine:
11s1
P( n s) P n P 0s
− − Δ′ρ = = ⋅ = − <Δ
. (1.32)
În mod similar se determină:
. (1.33) s2 P 0′ρ = >
În concluzie,densitatea superficială a sarcinii de polarizaţie s′ρ la
suprafaţă unui dielectric situat în vid este egală cu componenta vectorului P pe direcţia normalei exterioare n a corpului în punctul considerat.
Sarcinile de polarizaţie de pe feţele plăcii se manifestă numai în prezenţa câmpului electric exterior, ele dispărând dacă placa este scoasă din câmp sau dacă se anulează câmpul. În plus, sarcinile de polarizaţie de semne contrare nu pot fi despărţite, spre deosebire de sarcinile adevărate (libere). Din aceste motive , sarcinile de polarizaţie se mai numesc şi sarcini legate.
În prezenţa unor dielectrici polarizaţi, la calculul câmpului electric trebuie să se ţină seama atât de existenţa sarcinilor electrice adevărate cât şi a celor de polarizaţie. În cazul simplu al plăcii dielectrice, situată în câmpul
Fig. 1.13 2n
+ + + + + + + + + + + + +
1n – – – – – – – – – – – – – – s1′ρ
P E
1
Δs
s2′ρ 2
13
Electrotehnică
exterior de intensitate 0E , sarcinile dipolilor din interiorul plăcii, echivalenţi elementelor de volum ale acesteia, se compensează reciproc, rămânând necompensate doar sarcinile de polarizaţie de pe suprafeţele plăcii.
Această distribuţie superficială a sarcinii de polarizaţie produce în
interiorul plăcii un câmp electric suplimentar de intensitate E′ , având sens contrar câmpului electric exterior (fig. 1.14, a).
Fig. 1.14
+ + + + + + + + + + + + +
– – – – – – – – – – – – – – q′−
E ′0E
q′ a)
+ + + + + + + + + + + + +
– – – – – – – – – – – – – – q′−
E0E
q′b)
Câmpul electric din interiorul plăcii (fig. 1.14, b) va fi aşadar:
0 0E E E ; E E E′ ′= + = .− (1.34)
În mod practic, de polarizarea dielectricilor se ţine seama prin anumiţi parametri de material (§…..).
Caracterizarea stării de polarizare a corpurilor cu ajutorul momentelor dipolare îşi găseşte o interpretare corespunzătoare la scară microscopică.
Pentru dielectricii cu polarizare temporară există două forme de polarizare: polarizarea de deformare şi polarizarea de orientare.
Polarizarea de deformare este caracteristică dielectricilor cu molecule nepolare. Moleculele sunt nepolare dacă nu prezintă moment electric propriu în absenţa unui câmp electric exterior. În caz contrar, moleculele se numesc polare.
Cel mai simplu atom nepolar este cel al hidrogenului, format din nucleul cu sarcină electrică elementară pozitivă (q0) şi electronul cu sarcină electrică elementară negativă (–q0).
În absenţa unui câmp electric exterior, electronul efectuează o mişcare aproximativ circulară în jurul nucleului (fig. 1.15, a), centrul de acţiune, respectiv centrul de simetrie al poziţiilor electronului pe orbită coincizând cu centrul sarcinii pozitive (nucleul).
Dacă atomul se găseşte într-un câmp electric exterior, asupra sarcinilor elementare din atom acţionează forţe şi anume în sensul câmpului asupra sarcinii pozitive şi în sens invers asupra electronului (fig. 1.15, b). În consecinţă, se produce o mică deplasare Δl (finită) a centrului de simetrie al electronului faţă de nucleu şi atomul se va comporta ca un dipol electric, având momentul electric 0p q l= Δ , orientat în sensul câmpului electric
14
Stări şi mărimi electrice. Legi
exterior. Din catego-ria dielectricilor cu mole-cule nepolare fac parte: hidrogenul, oxigenul, azotul, toluenul, parafina, sulful etc.
Polarizarea de defor-mare se stabileşte practic instantaneu cu aplicarea câmpului electric şi depinde foarte puţin de
temperatură.
Fig. 1.15
–q0
+q0
E
lΔ
– +
F
F
b)
–q0
+q0
E=0
a)
Polarizarea de orientare caracterizează dielectricii cu molecule polare şi se datorează unei nesimetrii de structură, astfel că aceste molecule posedă un moment electric permanent şi în absenţa unui câmp electric exterior. Datorită agitaţiei termice aceste momente sunt orientate aleatoriu, iar la nivel macroscopic dielectricul apare nepolarizat.
În prezenţa unui câmp electric exterior, momentele moleculare se orientează în direcţia câmpului şi dielectricul se polarizează. La dielectricii cu molecule polare apare de obicei şi polarizarea de deformare.
Dielectricii cu molecule polare sunt: apa distilată, acetona, unele răşini naturale şi sintetice cauciucul etc. Aceşti dielectrici se polarizează relativ intens, polarizarea lor fiind puternic influenţată de temperatură (polarizaţia scade cu creşterea temperaturii).
1.4. STAREA ELECTROCINETICĂ
În anumite condiţii, corpurile conductoare se pot găsi în stare electrocinetică. Se spune despre corpurile aflate în stare electrocinetică că sunt parcurse de curent electric de conducţie sau pur şi simplu de curent electric. Condiţia necesară pentru ca un mediu conductor omogen să se găsească în stare electrocinetică este ca în interiorul lui să existe un câmp electric. Starea electrocinetică se pune în evidenţă prin efectele curentului electric: - efectul magnetic relevă faptul că în jurul unui conductor parcurs de curent electric ia naştere un câmp magnetic, care poate fi pus în evidenţă cu ajutorul unui ac magnetic, ce se orientează în sensul liniilor de câmp; - efectul mecanic se referă la faptul că asupra conductoarelor parcurse de curent electric, aflate în câmp magnetic sau între două conductoare parcurse de curent situate în apropiere, se exercită forţe de interacţiune;
15
Electrotehnică
- efectul termic (caloric) evidenţiază faptul că orice conductor parcurs de curent se încălzeşte; - efectul luminos poate însoţi efectul termic (filamentul becului cu incandescenţă) sau poate să apară independent de acest efect (descărcările în gaze rarefiate); - efectul chimic constă în producerea de reacţii chimice în soluţiile de acizi, baze sau săruri parcurse de curent. Aceste medii conductoare se numesc conductoare de speţa a II-a sau electroliţi, spre deosebire de metale, care reprezintă conductoare de speţa I. La scară microscopică, starea electrocinetică se pune în legătură cu existenţa purtătorilor mobili de sarcină electrică. În metale purtătorii mobili de sarcină electrică sunt electronii liberi, iar în electroliţi sunt ionii. În semiconductoare purtătorii mobili de sarcină sunt electronii şi golurile. Materialele izolante, adică dielectricii, teoretic nu conţin purtători mobili de sarcină, dar nu există dielectrici perfecţi. În absenţa unui câmp electric, datorită agitaţiei termice, purtătorii mobili de sarcină din interiorul corpurilor se deplasează aleatoriu cu viteze foarte mari (viteza de agitaţie termică este de aproximativ 106 m/s, în cazul metalelor), astfel că viteza medie a acestora în raport cu corpul este nulă. Dacă în mediul conductor se stabileşte un câmp electric, acesta va exercita asupra purtătorilor mobili de sarcină forţe în direcţia câmpului, care vor determina o deplasare ordonată a purtătorilor mobili de sarcină în raport cu corpul, cu o viteză foarte mică faţă de viteza de agitaţie termică. Viteza de deplasare ordonată a purtătorilor mobili de sarcină se numeşte viteză de drift (de curent), fiind de ordinul a 10-4 m/s. În interpretare microscopică, curentul electric reprezintă o mişcare ordonată a purtătorilor mobili de sarcină electrică. Într-un cadru mai general, noţiunea de curent electric se referă la toate fenomenele care condiţionează stabilirea unui câmp magnetic aşa cum se întâmplă în cazul curentului electric de conducţie. În acest sens există, pe lângă curentul de conducţie, curent de convecţie, de deplasare şi Roentgen.
1.4.1. Intensitatea curentului electric. Densitatea de curent
Caracterizarea globală a stării electrocinetice se face cu ajutorul unei mărimi scalare numită intensitatea curentului electric (i, I). Intensitatea curentului electric se defineşte în raport cu o anumită suprafaţă de obicei deschisă. Pentru definirea intensităţii curentului electric în interpretare microscopică se consideră că suprafaţa considerată este străbătută de sarcina
16
Stări şi mărimi electrice. Legi
Δq în timpul Δt. Valoarea medie a intensităţii curentului electric în intervalul de timp Δt se determină cu relaţia:
tqImed Δ
Δ= (1.35)
Dacă se consideră că Δt→0, atunci se determină valoarea intensităţii curentului la momentul t, numită valoare instantanee:
dtdq
tqlimi
0t=
ΔΔ
=→Δ
. (1.36)
Dacă intensitatea curentului este constantă în timp, având aceeaşi valoare în toate secţiunile conductorului, atunci curentul electric se numeşte curent continuu, şi corespunzător conductorul se află în regim electrocinetic staţionar. Intensitatea curentului electric se măsoară în amperi (A). Amperul poate fi definit cu ajutorul forţei de interacţiune dintre două conductoare parcurse de curent. Se consideră două conductoare filiforme, rectilinii, paralele şi infinit de lungi, parcurse de curent, situate în vid la distanţa „d” unul faţa de altul. (fig. 1.16). Forţa de interacţiune dintre conductoare se determină cu
relaţia:
ld2iiFFF 21
02112 ⋅π⋅
μ=== (1.37)
în care μ0=4π·10-7 H/m reprezintă o constantă universală cu dimensiuni, numită permeabilitatea vidului. Dacă două conductoare filiforme, rectilinii, paralele şi infinit de lungi, situate în vid la distanţa de 1 m unul faţa de altul ar fi parcurse fiecare de un curent constant de 1 A, atunci între conductoare s-ar exercita o forţă de
2·10-7 N pe metru de lungime. Ca sens al curentului electric se consideră sensul de deplasare al purtătorilor de sarcină pozitivă, respectiv sensul opus mişcării electronilor. Caracterizarea locală a stării electrocinetice se face cu ajutorul mărimii vectoriale numită densitate de curent ( j,J ). Densitatea de curent este astfel definită încât fluxul ei prin suprafaţa în raport cu care se determină curentul este egal cu intensitatea curentului electric (fig. 1.17):
Fig. 1.16
21F i i1 2
12F
d
17
Electrotehnică
∫ ⋅=S
dsJi (1.38) Dacă suprafaţa S reprezintă secţiunea
transversală a conductorului (normală la axa conductorului), iar densitatea de curent este constantă în secţiune (curent continuu), relaţia precedentă devine:
SJi ⋅= (1.39) Unitatea de măsură a densităţii de curent este amper pe metru pătrat(A/m2). Densitatea de curent reprezintă o condiţie restrictivă în dimensionarea conductoarelor pentru a evita încălzirea acestora peste limitele normale admise. În mod uzual se adoptă următoarele valori: - J=2÷10 A/mm2, pentru liniile electrice aeriene; - J=2÷4 A/mm2 în cazul aparatelor şi maşinilor electrice. Valorile mai mici se referă la conductoarele cu secţiune mai mari, când condiţiile de răcire sunt mai proaste. Deoarece curentul se exprimă prin integrala de suprafaţa a unui produs scalar (rel. 1.38), trebuie să se definească un sens de referinţă, respectiv de integrare. Acesta este dat de sensul elementului de arie ds n ds= ⋅ , respectiv sensul normalei la suprafaţa S. Astfel, pentru acelaşi sens al curentului electric, care coincide cu sensul lui J , intensitatea curentului poate rezulta pozitivă sau negativă în funcţie de orientarea normalei la suprafaţă. Pentru sensul de referinţă din figura 1.18, a, curentul rezultă pozitiv, deoarece 0dsJ >⋅ , în timp ce pentru sensul de referinţă din figura 1.18, b curentul rezultă negativ ( 0dsJ <⋅ ).
Fig. 1. 18
1.4.2. Tensiunea electromotoare
Fie două corpuri conductoare C1 şi C2, omogene şi fixe în spaţiu, încărcate cu sarcini electrice (fig. 1.19).
Dacă întreruptorul K înseriat pe conductorul de legătură dintre cele două corpuri este deschis, corpurile aflate la potenţiale diferite, se găsesc în stare electrostatică.
Fig. 1.17
J n Ei S
a)
n JEiS
b)
ds nJ
S
18
Stări şi mărimi electrice. Legi
La închiderea întreruptorului K, în conductorul de legătură, câmpul electric, datorat diferenţei de potenţial dintre sfere, determină apariţia unui curent electric, al cărui sens este invers sensului de deplasare al electronilor.
K
V1 V2 C1
Fig. 1.19
Curentul care se stabileşte în conductor are o durată foarte scurtă (milionimi de secundă). Transferul de sarcină de pe un corp pe celălalt durează până la egalarea potenţialelor celor două corpuri, moment în care câmpul electric din conductor se anulează, tensiunea între sfere devenind nulă. Pentru a stabili în conductor un curent electric de durată este necesar ca în circuit să se intercaleze o sursă de energie, numită generator, care are rolul de a menţine diferenţa de potenţial existentă între corpuri (fig. 1.20).
Pentru menţinerea acestei diferenţe de potenţial, sursa de energie readuce electronii de pe corpul 1 pe corpul 2, sub acţiunea unor forţe neelectrice (deplasarea electronilor se face în sens invers forţei electrice exercitate de câmpul electric E asupra lor). Similar cu definirea intensităţii câmpului electric, se defineşte intensitatea câmpului electric
imprimat iE , prin raportul dintre forţa de natură neelectrică şi sarcina asupra căreia acţionează:
q
FE neeli = (1.40)
Intensitatea câmpului electric imprimat se măsoară în V/m la fel ca şi intensitatea câmpului electric coulombian. În regim electrocinetic, rezultanta forţelor medii de natură electrică şi neelectrică este diferită de zero, deci 0FF neel ≠+ sau 0)EE(q i ≠+ , respectiv:
0EE i ≠+ . (1.41) În regim electrostatic, curentul electric fiind nul, condiţia de echilibru electrostatic este:
C2
I
E
V1 V2
Fig. 1.20
19
Electrotehnică
0EE i =+ . (1.42) Prin definiţie, tensiunea electromotoare de contur reprezintă integrala de linie a sumei dintre intensitatea câmpului electric coulombian şi intensitatea câmpului electric imprimat de-a lungul conturului considerat:
ieu (E E )Γ
= + ⋅∫ dl . (1.43)
Deoarece:
i neele1u (E E ) dl (F F ) dlq qΓ Γ
= + ⋅ = + ⋅ =∫ ∫L , (1.44)
rezultă că tensiunea electromotoare de contur este numeric egală cu lucrul mecanic efectuat de forţa rezultantă pentru deplasarea sarcinii electrice unitare pe conturul închis Γ. Integrala (1.44) poate fi descompusă astfel:
ieu (E E ) dl E dl E dl EΓ Γ Γ
= + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫i i dlΓ
, (1.45)
deoarece conform teoremei potenţialului electrocinetic staţionar, 0dlE =⋅∫Γ .
În plus, integrala (1.45) poate fi descompusă în suma unor integrale curbilinii pe porţiuni ale curbei închise Γ. Pe unele din aceste porţiuni
iE 0≠ , pe altele iE 0. = În cazul experienţei descrise anterior, câmpul electric imprimat există doar în interiorul generatorului, acesta reprezentând o sursă de tensiune electromotoare. Sursele de tensiune electromotoare se simbolizează ca în figura 1.21. Se menţionează că t.e.m. poate fi produsă prin diferite procedee: accelerare mecanică, efecte chimice, difuziune, fenomene de contact sau prin alte efecte.
Se consideră bateria din figura 1.22 care, realizează o acumulare de sarcini electrice pozitive la un pol şi o acumulare de sarcini electrice negative la celălalt pol. Dacă întreruptorul K este deschis, circuitul se
găseşte în regim electrostatic. Se calculează t.e.m. pentru conturul Γ, format din circuitul exterior AmB şi cel din interiorul bateriei BnA; se obţine:
Fig. 1.21 Fig. 1.22
(m)
–+
K
Baterie
(n) A B–
+ue –
+ue
20
Stări şi mărimi electrice. Legi
i i ie ABAmB BnA AmBu (E E ) dl (E E ) dl (E E ) dl E dl U
Γ= + ⋅ = + ⋅ + + ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ (1.46) (1.46)
Rezultatul de mai sus se obţine deoarece pe porţiunea AmB nu există câmp electric imprimat, pe această porţiune existând numai câmp electrostatic, iar integrala pe porţiunea BnA este nulă, deoarece mediul conductor din baterie se găseşte în echilibru electrostatic (
Rezultatul de mai sus se obţine deoarece pe porţiunea AmB nu există câmp electric imprimat, pe această porţiune existând numai câmp electrostatic, iar integrala pe porţiunea BnA este nulă, deoarece mediul conductor din baterie se găseşte în echilibru electrostatic ( 0EE i =+ ). În concluzie, tensiunea electromotoare a unei surse este egală cu tensiunea măsurată între bornele sale la funcţionarea în gol a acesteia (comutatorul K deschis). În cazul general al câmpului nestaţionar apare şi un câmp electric indus, care este un câmp electric solenoidal ( SE ) produs de variaţia în timp a fluxului magnetic. Câmpul electric indus are circulaţia diferită de zero şi, ca urmare, în regim nestaţionar, t.e.m. se determină cu relaţia:
i Seu (E E )Γ
= + ⋅∫ dl . (1.47)
1.5. LEGI GENERALE ŞI DE MATERIAL
1.5.1. Legea fluxului electric
Fluxul electric este o mărime scalară care caracterizează gradul de pătrundere a câmpului electric printr-o suprafaţă. Se defineşte atât pentru o suprafaţă deschisă cât şi pentru o suprafaţă închisă. Fluxul electric printr-o suprafaţă S (fig. 1.23) se determină ca integrala de suprafaţă a inducţiei
electrice prin suprafaţa respectivă:
Fig. 1.23
E, D
α n
ds
S
Γ
∫ ⋅=ΨS
dsD (1.48)
în care ds reprezintă elementul de suprafaţă, normal la suprafaţa S, în punctul în care se consideră D . Legea fluxului electric este o lege generală care precizează că fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ este egal cu sarcina electrică adevărată totală qΣ din interiorul suprafeţei considerate:
∫Σ Σ=⋅ qdsD . (1.49)
Fluxul electric, la fel ca sarcina electrică, se măsoară în coulombi (C).
21
Electrotehnică
Elementul de suprafaţă ds se consideră după normala exterioară la suprafaţă. Ţinând seama că în vid ED 0 ⋅ε= , relaţia (1.49) devine:
∫ΣΣ
ε=⋅
0
qdsE , (1.50)
fiind cunoscută sub numele de teorema lui Gauss. Din relaţia (1.49) rezultă că unitatea de măsură pentru fluxul electric este coulombul (C), iar pentru inducţia electrică este (C/m2).
1.5.2. Legea legăturii dintre inducţia câmpului electric D , intensitatea câmpului electric E şi polarizaţia electrică P
Într-un punct dintr-un dielectric polarizat, între mărimile de stare E şi D ale câmpului electric şi polarizaţia electrică P există relaţia:
0D E= ε + P , (1.51)
care este o lege generală, valabilă în orice regim al câmpului electromagnetic. În general, vectorul P corespunde polarizaţiei totale, respectiv sumei dintre polarizaţia temporară tP şi polarizaţia permanentă pP , deci
t pP P P= + . Inducţia electrică D corespunde, conform legii fluxului electric (rel. 1.49), numai sarcinii electrice adevărate, în timp ce polarizaţia P corespunde sarcinii de polarizaţie. Din relaţia (1.51) rezultă că intensitatea câmpului electric E , în prezenţa unor dielectrici, corespunde atât sarcinii adevărate cât şi sarcinii de polarizaţie. În aceste condiţii, pentru o suprafaţă închisă Σ se poate scrie relaţia:
0
q qE dsΣ
′+⋅ =
ε∫ , (1.52)
în care q este sarcina electrică adevărată, iar q’ sarcina de polarizaţie din interiorul suprafeţei Σ. În dielectricii izotropi cu polarizaţie temporară, vectorii D , E şi P sunt omoparaleli.
Pentru un punct din vid, relaţia (1.51) se reduce la 0D E= ε (rel. 1.8). În medii cu polarizaţie temporară, relaţia (1.51) ia o formă particulară
22
Stări şi mărimi electrice. Legi
(rel. 1. 59).
1.5.3. Legea conservării sarcinii electrice
Se consideră o suprafaţă Σ în interiorul căreia există corpuri încărcate cu sarcină electrică şi care trece, în general, prin medii conductoare şi dielectrici. Experienţa relevă faptul că variaţia sarcinii din interiorul suprafeţei implică apariţia unui curent electric de conducţie prin suprafaţa Σ. Această constatare poate fi exemplificată cu ajutorul unui condensator încărcat ale cărui armături se pun în legătură printr-un conductor electric (la închiderea întreruptorului K). (fig. 1.24).
Suprafaţa Σ străbate dielectricul dintre armături şi conductorul de legătură, armătura pozitivă găsindu-se în interiorul ei. La închiderea lui K condensatorul se descarcă iar prin conductor se stabileşte un curent electric. Conform legii conservării sarcinii electrice (lege generală), intensitatea curentului de conducţie total iΣ care străbate suprafaţa închisă Σ este în fiecare moment
egală şi de semn contrar cu variaţia în raport cu timpul a sarcinii electrice adevărate din interiorul suprafeţei:
dqidt
ΣΣ = − (1.53)
În regim electrocinetic staţionar, mărimile fiind invariabile în timp, legea conservării sarcinii electrice se reduce la:
i J dsΣ Σ= ⋅ =∫ 0 , (1.54)
deci intensitatea curentului de conducţie total iΣ printr-o suprafaţă închisă Σ este nulă.
1.5.4. Legea polarizaţiei electrice temporare
Legea polarizaţiei temporare este o lege de material, care exprimă dependenţa dintre polarizaţia electrică P şi intensitatea câmpului electric E , având forma generală:
P P(E)= . (1.55) Forma explicită a acestei legi depinde de dielectricul considerat şi de condiţiile în care are loc polarizarea (valorile intensităţii câmpului electric, temperatura etc.).
Fig. 1.24
– – – –
++ ++
iΣ
Σ qΣ
K
23
Electrotehnică
Referindu-ne la un corp, se spune că acesta este omogen dacă are aceleaşi proprietăţi fizice în toate punctele sale (parametri de material constanţi) şi neomogen, în caz contrar. Dacă în vecinătatea unui un punct din corp, proprietăţile fizice sunt aceleaşi după toate direcţiile, corpul se numeşte izotrop şi anizotrop, în caz contrar. Pentru dielectricii izotropi, legea polarizaţiei temporare devine:
0 eP = ε χ E , (1.56)
în care χe reprezintă un parametru de material scalar adimensional, numi susceptivitate electrică. Dacă susceptivitatea electrică nu depinde de intensitatea câmpului electric atunci dielectricul este liniar şi neliniar în caz contrar. În cazul dielectricilor liniari, din relaţia (1.56) se deduce că polarizaţia electrică P este direct proporţională cu intensitatea câmpului electric E . Dependenţa neliniară dintre P şi E este caracteristică dielectricilor cu molecule polare, la care predomină polarizarea de orientare. O neliniaritate accentuată se constată în cazul materialelor feroelectrice, la care dependenţa P(E) , în cazul unei polarizări alternative, reprezintă un ciclu (histerezis electric).
Pentru dielectricii cu polarizare temporară, ţinând seama de relaţia (1.56), legea legăturii dintre D , E şi P devine:
0 0D E P (1 )= ε + = ε + χe E
e
. (1.57)
Mărimea de material adimensională
(1.58) r 1ε = + χ
se numeşte permitivitate relativă a materialului respectiv. Ţinând seama de relaţia (1.58), legea legăturii se poate scrie astfel:
0 rD E= ε ε = εE , (1.59)
unde ε=ε0·εr, având dimensiunile lui ε0, se numeşte permitivitate absolută. Caracterizarea dielectricilor se face fie prin εr fie prin χe, între aceste mărimi existând relaţia (1.58). La corpurile care nu se polarizează electric (de exemplu metalele), χe=0 şi εr=1. La dielectricii liniari, permitivitatea relativă εr este independentă de intensitatea câmpului electric.
În continuare se dă o interpretare intuitivă a permitivităţii relative εr. Pentru aceasta se consideră o sferă metalică încărcată cu sarcina electrică adevărată q, situată în vid, intensitatea câmpului electric în punctul A fiind
24
Stări şi mărimi electrice. Legi
0E (fig. 1.25, a).
Fig. 1.25
+++
+ +++
+q
q’
r AE
b)
+++
+ +++
+q
0E
r A
a)
Dacă aceeaşi sferă, încărcată cu sarcina q, se introduce într-un dielectric izotrop şi omogen (fig. 1.25, b), în acelaşi punct A, intensitate câmpului electric va fi E (E<E0). Micşorarea intensităţii câmpului electric se datorează faptului că la suprafaţa dielectricului dinspre sferă se manifestă sarcini de polarizaţie q’ de semn contrar faţă de sarcina adevărată a sferei (q’<0). Sarcina adevărată a sferei fiind aceeaşi în ambele situaţii, inducţia electrică în punctul A va avea aceeaşi valoare,
, (1.60) 0 0 0 rEε = ε ε E
din care rezultă:
0r
E 1E
ε = ≥ . (1.61)
Ţinând seama de proporţionalitate dintre sarcinile electrice şi intensităţile corespunzătoare ale câmpurilor electrice (E0~q şi E~q+q’), relaţia (1.61) se poate scrie sub forma:
rq
q qε =
′+. (1.62)
În cazul unor distribuţii volumetrice sau superficiale ale sarcinilor se obţin expresiile:
vr r
v v s
;ρε = ε =
′ ′ρ +ρ ρ +ρs
s
ρ . (1.63)
În tabelul 1.1 se dau permitivităţile relative pentru câteva materiale dielectrice.
În orice moment, în fiecare punct al unui mediu conductor aflat în stare electrocinetică există o dependenţă între intensitatea câmpului electric E şi densitatea de curent J de forma:
J J(E)= . (1.64) Forma explicită a acestei relaţii generale depinde de natura şi starea mediului conductor. Ea reprezintă o lege de material numită legea conducţiei electrice în formă locală. Mediile conductoare în care dependenţa dintre J şi E se exprimă printr-o relaţie liniară, se numesc medii liniare, respectiv neliniare în caz contrar. Dacă proprietăţile mediului în jurul unui punct sunt aceleaşi în toate direcţiile, mediul se numeşte izotrop. Pentru medii izotrope şi liniare, legea conducţiei electrice se reduce la forma simplă:
J = σ⋅E , (1.65) respectiv:
E = ρ⋅ J , (1.66)
în care σ reprezintă o constantă de material (scalar pozitiv) numită
conductivitate electrică, iar mărimea reciprocă (inversă) 1ρ =
σ se numeşte
rezistivitate electrică. În sistemul internaţional de unităţi, rezistivitatea se măsoară în ohm·metru (Ωm), iar conductivitatea în siemens pe metru (S/m). În practică se foloseşte frecvent ca unitate de măsură pentru rezistivitate
2mmm
⎡ ⎤Ω ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
; 2
6mm1 10m
−Ω = Ω⋅m
Forma locală a legii conducţiei electrice în medii liniare şi izotrope este
26
Stări şi mărimi electrice. Legi
cunoscută sub numele de legea lui Ohm în formă locală. În prezenţa câmpurilor imprimate, legea conducţiei electrice pentru medii izotrope şi liniare devine:
iJ (E E= σ + ) (1.67) sau:
iE E J+ = ρ⋅ (1.68)
în care iE reprezintă intensitatea câmpului electric imprimat. Suma dintre intensitatea câmpului electric produs de sarcinile electrice E (câmp coulombian) şi intensitatea câmpului electric imprimat iE se numeşte intensitatea câmpului electric în sens larg:
l i . (1.69) E E E= + În regim variabil intervine încă o componentă a câmpului electric, corespunzătoare variaţiei în timp a câmpului magnetic (câmp electric solenoidal). Forma integrală a legii conducţiei electrice se obţine prin integrarea relaţiei (1.66) pentru o porţiune de conductor cuprinsă între secţiunile 1 şi 2.
(fig. 1.26).
Fig.1.26
Efectuând integrala în lungul liniei mijlocii a conductorului, vectorul dl fiind orientat dinspre 1 spre 2 şi presupunând că în conductor vectorii E şi J sunt colineari (mediu izotrop), având aceeaşi orientare cu dl , rezultă:
dl
J
E i
l12
(ρ)
2 1
2 2 2 2
121 1 1 1
liE dl J dl J dl dl iS S
⋅ = ρ⋅ ⋅ = ρ⋅ ⋅ = ρ = ⋅ρ∫ ∫ ∫ ∫ (1.70)
Deoarece 2
121E d∫ se obţine: l u ,⋅ =
1212
lu iS
= ⋅ρ . (1.71)
La deducerea relaţiei (1.71) s-a presupus că suprafaţa secţiunii transversale a conductorului este constantă (S), conductorul are rezistivitatea ρ, l12 fiind lungimea conductorului cuprinsă între secţiunile 1 şi 2. Mărimea
27
Electrotehnică
1212
lRS
= ρ (1.72)
reprezintă rezistenţa electrică a conductorului între punctele 1 şi 2. Rezistenţa electrică se măsoară în ohmi (Ω). Mărimea reciprocă rezistenţei se numeşte conductanţă:
1GR
= (1.73)
şi se măsoară în Siemens (1 S=1 Ω-1). Ţinând seama de relaţia (1.72), forma integrală a legii lui Ohm este:
. (1.74) 12 12u R= ⋅ i
Rezistenţa electrică se notează prin simbolurile R sau r. Relaţia (1.74) permite definirea unităţii de măsură pentru rezistenţă: un conductor are rezistenţa de 1 Ω, dacă o tensiunea electrică de 1 volt aplicată la bornele sale, determină prin conductor un curent cu intensitatea de 1 A,
1V11A
Ω = . (1.75)
Sistemul fizic dintre punctele 1 şi 2 poartă numele de rezistor. În limbaj curent se utilizează, de obicei, denumirea de rezistenţă atât pentru sistemul fizic (rezistor) cât şi pentru proprietatea acestuia de a se opune trecerii curentului electric prin el (rezistenţă). Rezistorul este liniar dacă rezistenţa sa nu depinde nici de tensiunea aplicată la bornele sale, nici de curentul care-l străbate. În figura (1.27) sunt indicate semnele convenţionale utilizate pentru
reprezentarea rezistoarelor (a şi b pentru rezistoare liniare, c şi d pentru neliniare).
a) b)
Porţiunea de circuit cuprinsă între între secţiunile 1 şi 2 poate fi reprezentată simbolic ca în figura 1.27.
Tensiunea de-a lungul conductorului 2
12 1 21u E dl V V= ⋅ = −∫ este egală,
Fig. 1.27
c) d)
28
Stări şi mărimi electrice. Legi
în regim electrocinetic, cu diferenţa potenţialelor bornelor 1 şi 2, ea nedepinzând de drumul de integrare. Dacă integrala de linie a intensităţii câmpului electric între bornele laturii se efectuează de-a lungul unei curbe care trece prin dielectricul din exteriorul conductorului (fig. 1.28), tensiunea electrică astfel calculată se numeşte tensiune la borne şi are aceeaşi expresie:
b 1u V V= − 2
i
, (1.76)
iar legea conducţiei electrice poate fi scrisă şi sub forma:
. (1.77) bu R= ⋅
Pentru o porţiune de circuit care conţine între secţiunile 1 şi 2 şi o sursă de tensiune electromotoare, orientată dinspre 1 spre 2 (fig. 1.29, a), forma
integrală a legii conducţiei electrice devine:
2 2
i1 1
(E E ) dl J dl,+ ⋅ = ρ ⋅ ⋅∫ ∫
care conduce la:
12 eu u R i+ = ⋅ . (1.78)
Sensurile de referinţă ale mărimilor care intervin în relaţia 1.78 (u12, ue12 şi i) au aceeaşi orientare, adică de la 1 la 2. Dacă sensul de referinţă al uneia dintre mărimile care intervin în (1.78) se inversează, aceasta implică modificarea
semnului mărimii în relaţia respectivă. De exemplu, pentru asocierea sensurilor de referinţă conform figurii 1.29, b relaţia (1.78) se modifică astfel:
. (1.79) 12 eu u R− + = ⋅ i
1.5.5.1. Conductivitatea şi rezistivitatea electrică a materialelor După valorile rezistivităţii, materialele se împart în:
- materiale conductoare, cu rezistivitatea ρ=(10-8÷10-6) Ω⋅m; - materiale semiconductoare cu rezistivitatea ρ=(10-5÷108) Ω⋅m; - materiale izolante, cu rezistivitatea ρ=(108÷1020) Ω⋅m.
În tabelul (1.2) sunt prezentate valorile rezistivităţii ρ, conductivităţii σ şi coeficientului de temperatură a rezistivităţii α, pentru diferite materiale.
Cărbune pentru lămpi cu arc (50···80)⋅10-6 (13···20)⋅103 -0,8⋅10-3
Perii de grafit (12···49)⋅10-6 (25···83)⋅103 Pământul 102···104 10-4···10-2 Apa de râu 10···102 10-2···10-1 Apa de mare ∼0,3 ∼3 Apa distilată 104···105 10-5···10-4 Ulei de transformator 1012…1018 10-18…10-12
diverse
Se constată din datele prezentate în tabel că dintre materialele conductoare metalice folosite în tehnică, argintul are rezistivitatea cea mai mică; fiind un material preţios, utilizarea lui este limitată la contacte electrice, fire de suspensie pentru aparate de măsură etc. Materialul de bază pentru conductoarele electrice este cuprul a cărui rezistivitate este cu puţin mai mare decât a argintului. Deoarece cuprul este un material deficitar, el este înlocuit cu aluminiul (la linii electrice, coliviile motoarelor unor maşini asincrone etc.). Utilizarea aluminiului prezintă unele avantaje economice importante: la aceeaşi rezistenţă electrică şi lungime, secţiunea conductorului de aluminiu este de 1,6 ori mai mare decât a conductorului de cupru, dar greutatea conductorului de aluminiu este aproximativ jumătate din greutatea conductorului de cupru. În plus, tona de cupru este de cca. 1,7 ori mai scumpă decât tona de aluminiu.
30
Stări şi mărimi electrice. Legi
Aliajele de mare rezistivitate (tabelul 1.2) au o serie de aplicaţii specifice în tehnică. Manganina, având un coeficient de temperatură scăzut, se foloseşte la construcţia rezistenţelor etalon şi de precizie. Constantanul şi nichelina se utilizează pe scară largă la construcţia reostatelor, iar aliajele crom-nichel pentru aparate electrotermice. Rezistivitatea materialelor conductoare variază cu temperatura,
, (1.80) 020 1 ( 20 )θ ⎡ρ = ρ +α θ−⎣ ⎤⎦
în care: α reprezintă coeficientul de temperatură al rezistivităţii, având ordinul de mărime de α≅4⋅10-3/grad-1, adică o variaţie a rezistivităţii de cca. 4% pentru o variaţie de temperatură de 100C; ρ20 este rezistivitatea la o temperatură a mediului ambiant de 200C (se dă în mod obişnuit în tabele). În cazul materialelor semiconductoare, coeficientul de temperatură poate să fie şi negativ, rezultând o scădere a rezistivităţii cu creşterea temperaturii.
1.5.5.2. Supraconductibilitatea La temperaturi foarte joase, în general sub 10 K, rezistivitatea unor materiale şi aliaje scade brusc la zero. Acest fenomen, descoperit în 1911 de către Kamerling Onnes, poartă numele de supraconductibilitate. Temperatura la care valoarea rezistivităţii devine nulă se numeşte temperatură critică, fiind caracteristică materialului conductor. În figura 1.30 este reprezentată variaţia rezistivităţii cu temperatura pentru argint (a) şi staniu (b). Se observă că la argint rezistivitatea scade continuu cu temperatura, în timp ce rezistivitatea staniului scade brusc la zero la temperatura Tc=3,72 K.
Concluzia este că staniul este un material supraconductor, în timp ce argintul nu este, cu toate că argintul este un conductor foarte bun. Se cunosc aproximativ 20 de elemente metalice (Pb, Sn, Ti, etc) şi de
asemenea numeroase aliaje supraconductoare. În tabelul 1.3 se indică câteva dintre ele. Se remarcă că cele mai bune materiale conductoare (argint, cupru) nu sunt supraconductoare.
ρ ρ
K KTc a) b)
Fig. 1.30
31
Electrotehnică
Temperatura critică a materialelor supraconductoare depinde de valoarea câmpului magnetic exterior. Starea de supraconductibilitate este însoţită de o serie de proprietăţi şi comportări interesante:
Tabelul 1.3 Materialul Tc [K] Al 1,175 Sn 3,72 Pb 7,18 Nb 8,7 Ti 0,39
- un curent, odată stabilit într-un supraconductor, se menţine timp îndelungat dacă temperatura T<Tc; - în interiorul unui supraconductor nu se poate stabili un câmp magnetic (efectul Meisner). Rezistivitatea electrică a materialelor este influenţată şi de alţi factori: câmp electric, câmp magnetic etc.. De exemplu, rezistivitatea carburii de siliciu scade cu creşterea câmpului electric, proprietate ce are aplicaţii la construcţia descărcătoarelor cu rezistenţă variabilă, folosite la protecţia instalaţiilor electrice împotriva supratensiunilor. În prezenţa câmpului magnetic, rezistivitatea electrică a materialelor conductoare şi semiconductoare parcurse de curent, creşte, comportare cunoscută sub denumirea de efect magnetorezistiv fizic sau efect Gauss.
1.5.6. Legea transformării energiei în medii conductoare parcurse de curenţi (Joule - Lenz)
La trecerea curentului electric printr-un conductor se dezvoltă căldură, fapt ce denotă că în procesul de conducţie electrică se produc transformări de energie. Se constată, de asemenea, că în sursele de energie (pile şi acumulatoare) parcurse de curent intervin transformări energetice (dezvoltarea sau absorbţia energiei unor reacţii chimice). Legea transformării energiei în medii conductoare parcurse de curent este o lege generală, care în formă locală, dă expresia energiei cedate de câmpul electromagnetic în unitatea de timp şi pe unitatea de volum a conductorului. În conformitate cu această lege, puterea cedată de câmpul electromagnetic unităţii de volum dintr-un conductor aflat în stare electrocinetică este egală cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric E şi densitatea de curent J ,
p E J= ⋅ . (1.81) În cazul particular al conductoarelor liniare, izotrope şi omogene (în care Ei = 0 ) ţinând seama de legea lui Ohm (rel. 1.66), expresia (1.81) se poate scrie sub forma:
32
Stări şi mărimi electrice. Legi
2p E J J 0,= ⋅ = ρ⋅ > (1.82) numită şi forma locală a legii lui Joule-Lenz. În expresia (1.82), p reprezintă căldura dezvoltată în unitatea de timp şi unitatea de volum a conductorului parcurs de curent. Ea este independentă de sensul curentului, fiind întotdeauna pozitivă şi corespunde efectului electrocaloric ireversibil sau efectul Joule-Lenz. În concluzie, în procesul de conducţie electrică o parte din energia câmpului electromagnetic se transformă ireversibil în căldură. Dacă se integrează expresia (1.81) pe volumul V al conductorului, se
obţine puterea totală P, cedată de câmpul electromagnetic conductorului parcurs de curent. În cazul unui conductor filiform ( E, J şi
Fig. 1.31
ds
dl
J
Ei
u12
(ρ)
2 1
S dl sunt paraleli) şi ţinând seama că dv dl ds= ⋅ (fig. 1.31), se obţine:
2
12V 1 SP E J dv E dl J ds u i= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ . (1.83)
Ţinând seama de forma integrală a legii lui Ohm (rel. 1.77), expresia puterii cedate de câmpul electromagnetic conductorului parcurs de curent, transformată ireversibil în căldură, se poate scrie sub forma:
2
2 uP u i R iR
= ⋅ = ⋅ = (1.84)
Unitatea de măsură pentru puterea electrică se numeşte Watt (W). Energia produsă sau consumată într-un interval de timp se calculează ca produsul dintre putere şi timp. Dacă puterea variază în intervalul de timp considerat, energia se determină cu relaţia:
. (1.85) t
0W P d= ⋅∫ t
Unitatea de măsură a energiei în sistemul internaţional se numeşte joule (1J=1W⋅1s). În practică se utilizează frecvent unitatea numită kilowattoră (1kWh=3,6⋅106 J). În cazul mai general în care intervine şi un câmp electric imprimat, ţinând seama de legea conducţiei electrice pentru această situaţie (rel. 1.78), puterea cedată de câmpul electromagnetic unităţii de volum a conductorului aflat în stare electrocinetică ( EJ ), are expresia:
33
Electrotehnică
2ip E J J E J,= ⋅ = ρ ⋅ − ⋅ (1.86)
în care primul termen din partea dreaptă (ρ⋅J2 >0), corespunde efectului Joule-Lenz, iar al doilea termen se referă la schimbul de putere dintre câmpul electromagnetic şi sursă. Dacă vectorii iE şi J sunt omoparaleli (au acelaşi sens, deci curentul străbate sursa în sensul tensiunii electromotoare), puterea iE J 0> este efectiv cedată de sursă şi primită de câmpul electromagnetic (de exemplu la o sursă de t.e.m., care produce energie electrică). Dacă vectorii iE şi J sunt antiparaleli (au sensuri contrare, deci curentul străbate sursa în sens opus tensiunii electromotoare), puterea
iE J 0< este efectiv cedată de câmpul electromagnetic şi primită de sursă (de exemplu, la un acumulator care se încarcă). Integrând relaţia (1.86) pe volumul V al conductorului se obţine forma integrală a legii transformării energiei în medii conductoare parcurse de curenţi, în prezenţa câmpurilor imprimate:
(1.87) 2eP R i U i,= ⋅ − ⋅
în care primul termen din partea dreaptă R⋅i2>0 reprezintă puterea disipată, adică dezvoltată ireversibil sub formă de căldură în conductor, iar al doilea termen Ue⋅i reprezintă puterea generată de sursă şi cedată câmpului electromagnetic, dacă Ue şi i au acelaşi sens efectiv (Ue⋅i>0), sau puterea primită de sursă din partea câmpului electromagnetic, dacă Ue şi i au sensuri efectiv opuse (Ue⋅i<0); ultima situaţie corespunde regimului de încărcare al sursei.
