Sisteme de coordonate

o Sistemul de coordonate cartezian

o Sistemul de coordonate cilindric – transforma miscarea pe o traiectorie oarecare intr-o miscare pe cilindru

o Sistemul de coordonate polar – transforma miscarea pe o traiectorie oarecare intr-o miscare pe cerc

o Sistemul de coordonate sferic - transforma miscarea pe o traiectorie oarecare intr-o miscare pe sfera.

Sistemul de coordonate cartezian

𝑟

z

y

x

�⃗��⃗��⃗�

rx=x

ry =y

rz =z 𝑣

�⃗�

o , , reprezinta versorii sistemului de coordonate carteziano o adica versorii sistemului de coordonate cartezian nu variaza in timpo reprezinta vectorul de pozitie – indica pozitia unui mobil pe traiectorie intr-un sistem de coordonateo rx, ry, rz, sunt proiectiile vectorului de pozitie pe cele 3 axe

o Pentru simplificare vom nota rx=x, ry=y, rz=zo Vectorul de pozitie in coordonate carteziene:

𝑟=𝑥 ∙ �⃗�+𝑦 ∙ �⃗�+𝑧 ∙ �⃗�

Sistemul de coordonate cilindric

�⃗� ′

z

y

x

�⃗�

�⃗��⃗�

z

y

x r𝜌�⃗�

θ

o Coordonatele cilindrice sunt:r, θ si z

o Ecuatiile parametrice ale Traiectoriei vor fi:

r=r(t), θ=θ(t), z=z(t)

o Domeniile de definitie pentrucoordonatele cilindrice sunt:

o Versorii sistemului cilindric sunt:

o Vectorul se scrie in coordonate cilindrice astfel:

o Miscarea pe o traiectorie oarecare este transformata intr-o miscare pe un cilindru

Sistemul de coordonate cilindric

o Relatiile de transformare din sistemul cartezian in sistemul cilindric:

o Relatiile de transformare inverse (din cilindric in cartezian):

o Versorii sistemului cilindric functie de versorii sistemului cartezian:

𝜌

�⃗�

𝜃

𝜃

�⃗�

�⃗�

x

y

𝜌 𝑥

𝜌 𝑦𝑛𝑦

𝑛𝑥

𝑛𝑥=−𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃 ;𝑛𝑦=𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜃

Sistemul de coordonate polaro Sistemul de coordonate polar este un sistem 2D care este identic cu sistemul

cilindric cu cea de-a treia coordonata, z=0.o Miscarea pe o traiectorie oarecare este transformata intr-o miscare pe un cerc

xx

y

y �⃗�

θ

𝜌

�⃗�

o Coordonatele polare sunt:r, θ

o Ecuatiile parametrice ale traiectoriei vor fi:

r=r(t), θ=θ(t)

o Domeniile de definitie pentrucoordonatele polare sunt:

o Versorii sistemului polar sunt:

o Vectorul se scrie in coordonate polare astfel:

Sistemul de coordonate polar

o Relatiile de transformare din sistemul cartezian in sistemul polar:

o Relatiile de transformare inverse (din polar in cartezian):

o Versorii sistemului polar functie de versorii sistemului cartezian:

𝜌 𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ;𝜌𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑛𝑥=−𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃 ;𝑛𝑦=𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜃

Sistemul de coordonate sferic

x

x

yy

z

z

𝑟θ

φ rxy

𝜌

�⃗�

�⃗�

o Coordonatele sferic sunt:r, θ si φ

o Ecuatiile parametrice ale Traiectoriei vor fi:

r=r(t), θ=θ(t), φ=φ(t)

o Domeniile de definitie pentrucoordonatele sferic sunt:

o Versorii sistemului sferic sunt:

o Vectorul se scrie in coordonate sferic astfel:

o Miscarea pe o traiectorie oarecare este transformata intr-o miscare pe sfera

Sistemul de coordonate sferic

o Relatiile de transformare din sistemul cartezian in sistemul sferic:

o Relatiile de transformare inverse (sferic in cartezian):

Sistemul de coordonate sferic

x

x

yy

z

z𝑟

θ

φrxy

𝜌

�⃗�

�⃗�λ

FFFI!!!! o Sistemul de coordonate sferic ≈ sistemul de coordonate geografic, si anume, in sistemul de coordonate geografic r=R si reprezinta raza Pamantului (R≈6371km). o Unghiul φ reprezinta longitudinea iar unghiul θ colatitudinea (θ=900- lat). o Latitudinea – unghiul λ – este unghiul pe care il face raza Pamantului cu proiectia ei in planul ecuatorului.o Aplicatii ale sistemului de coordonate sferic → GPS, pozitia unui mobil pe suprafata Pamantului este data sub forma de latitudine si longitudine

Sistemul de coordonate sferico Versorii sistemului sferic functie de versorii sistemului cartezian:

𝜌

𝑟

�⃗��⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗�

𝜌 𝑥

𝜌 𝑦

𝜌 𝑧

φ

θ𝜌 𝑥𝑦

𝜌=𝜌𝑥 �⃗�+𝜌 𝑦 �⃗�+𝜌 𝑧 �⃗�

𝜌 𝑥=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝜌 𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑𝜌 𝑧=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃

→ �⃗�=𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑�⃗�+𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 �⃗�+𝑐𝑜𝑠𝜃 �⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗�𝑛𝑥

𝑛𝑦

φ�⃗�=𝑛𝑥 �⃗�+𝑛 �⃗�𝑛𝑥=−𝑛𝑠𝑖𝑛𝜃𝑛𝑦=𝑛𝑐𝑜𝑠𝜃

→ �⃗�=−𝑠𝑖𝑛𝜃 �⃗�+𝑐𝑜𝑠 𝜃 �⃗�

Sistemul de coordonate sferico Versorii sistemului sferic functie de versorii sistemului cartezian:

�⃗�

�⃗�

�⃗�

�⃗�

𝜇𝑥

𝜇 𝑦

𝜇𝑧

φ θ𝜇𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜑=

𝜇𝑥

𝜇𝑥𝑦

→𝜇𝑥=𝜇𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝜑 ;𝑐𝑜𝑠𝜃=𝜇𝑥𝑦

𝜇→𝜇𝑥𝑦=𝜇𝑐𝑜𝑠 𝜃→𝜇𝑥=𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑠𝑖𝑛𝜑=𝜇𝑦

𝜇𝑥𝑦

→𝜇𝑦=𝜇𝑥𝑦𝑠𝑖𝑛𝜑 ;

→𝜇𝑦=𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑠𝑖𝑛𝜃=−𝜇𝑧

𝜇→𝜇𝑧=−𝜇𝑠𝑖𝑛𝜃

→ �⃗�=𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 �⃗�+𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑 �⃗�−𝑠𝑖𝑛𝜃 �⃗�

�⃗�=𝜇𝑥 �⃗�+𝜇𝑦 �⃗�+𝜇𝑧 �⃗�