Coordonate carteziene De la Wikipedia, enciclopedia liberă Salt la: Navigare , căutare Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți ajuta găsind sus ț inere bibliografică pentru conținutul paginii. Fig. 1 - Coordonate carteziene. Sunt marcate patru puncte: (2,3) cu verde, (-3,1) cu roşu, (-1.5,-2.5) cu albastru şi (0,0), originea, cu galben. În matematică , sistemul de coordonate carteziene este folosit pentru a determina în mod unic un punct în plan prin două numere , numite de regulă abscisa şi ordonata punctului. Pentru a defini coordonatele, se specifică două drepte perpendiculare şi unitatea de lungime, care este marcată pe cele două axe. Coordonatele carteziene sunt folosite şi în spa ț iu (unde se folosesc trei coordonate) şi în mai multe dimensiuni. Pe lângă sistemul cartezian mai există şi alte sisteme de specificare a poziției unui punct în plan, de ex. sistemul de coordonate polare .
Transcript
Coordonate cartezieneDe la Wikipedia, enciclopedia liberăSalt la: Navigare, căutare
Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.Puteți ajuta găsind sus ț inere bibliografică pentru conținutul paginii.
Fig. 1 - Coordonate carteziene. Sunt marcate patru puncte: (2,3) cu verde, (-3,1) cu roşu, (-1.5,-2.5) cu albastru şi (0,0), originea, cu galben.
În matematică, sistemul de coordonate carteziene este folosit pentru a determina în mod unic un punct în plan prin două numere, numite de regulă abscisa și ordonata punctului. Pentru a defini coordonatele, se specifică două drepte perpendiculare și unitatea de lungime, care este marcată pe cele două axe. Coordonatele carteziene sunt folosite și în spa ț iu (unde se folosesc trei coordonate) și în mai multe dimensiuni.
Pe lângă sistemul cartezian mai există și alte sisteme de specificare a poziției unui punct în plan, de ex. sistemul de coordonate polare.
Fig. 2 - Sistemul de coordonate carteziene cu cercul de rază 2 centrat în origine marcat cu roşu. Ecuaţia cercului este x2 + y2 = 4.
Folosind sistemul de coordonate carteziene, formele geometrice (cum ar fi curbele) pot fi descrise prin ecua ț ii algebrice, anume ecuații satisfăcute de coordonatele punctelor de pe respectiva formă geometrică. De exemplu, cercul de rază 2 poate fi descris de ecuația x2 + y2 = 4.
Cuprins
[ascunde]
1 Istoric 2 Sistemul de coordonate bidimensional 3 Sistemul de coordonate în trei dimensiuni 4 Orientare
o 4.1 În două dimensiuni
[modifică] Istoric
Numele sistemului vine de la Cartesius, numele latinesc al matematicianului și filozofului francez René Descartes care, printre altele, a contribuit la unificarea algebrei și geometriei euclidiene. Munca sa a avut influențe asupra geometriei analitice, analizei matematice, și cartografiei.
Ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 1637 în două lucrări ale lui Descartes. În partea a doua a Discursului asupra metodei, Descartes introduce ideea nouă a specificării poziției unui punct sau obiect de pe o suprafață, folosind două axe intersectate ca ghizi de măsurare. În La Géométrie, a explorat mai în profunzime conceptele menționate mai sus.
[modifică] Sistemul de coordonate bidimensional
Fig. 3 - Cele patru cadrane ale unui sistem de coordonate carteziene. Săgeţile de pe axe indică faptul că ele se extind spre infinit în direcţiile respective.
Un sistem de coordonate cartezian în două dimensiuni este definit de obicei de două axe în unghi drept una cu cealaltă, formând un plan. Axa orizontală este în mod normal etichetată x, și axa verticală este notată cu y. Într-un sistem de coordonate tridimensional se adaugă o altă axă, de regulă notată cu z, furnizând a treia dimensiune de măsurare a spațiului. Axele sunt de regulă definite ca fiind perpendiculare una pe cealaltă. (Primele sisteme permiteau și axe oblice, adică axe care nu se intersectau în unghi drept, astfel de sisteme fiind folosite și astăzi, dar mai ales ca exercițiu teoretic.) Toate punctele dintr-un sistem de coordonate cartezian luate împreună formează un așa-numit plan cartezian. Ecuațiile care folosesc sistemul de coordonate cartezian sunt numite ecuații carteziene.
Punctul de intersecție a axelor se numește origine și se notează cu O. Axele x și y definesc un plan denumit planul xy. Pentru a specifica un anume punct pe un sistem de coordonate bidimensional, se indică întâi unitatea x (abscisa), urmată de unitatea y (ordonata) de forma (x,y), pereche ordonată.
Alegerea literelor provinde dintr-o convenție de a folosi literele de la sfârșitul alfabetului pentru a indica valorile necunoscute. Prin contrast, literele de la începutul alfabetului erau folosite pentru a nota valori cunoscute.
Un exemplu de punct P în sistem este arătat în figura 3, folosind coordonatele (3,5).
Intersecția celor două axe dă naștere la patru regiuni, denumite cadrane, notate cu numerele romane I (+,+), II (−,+), III (−,−), și IV (+,−). Convențional, cadranele sunt etichetate în sens invers acelor de ceasornic pornind de la cel din drepta-sus (de "nord-est"). În primul cadran, ambele coordonate sunt pozitive, în al doilea cadran abscisele sunt negative și ordonatele pozitive, în al treilea cadran ambele coordonate sunt negative iar in al patrulea cadran, abscisele sunt pozitive iar ordonatele negative.
[modifică] Sistemul de coordonate în trei dimensiuni
Fig. 4 - Sistem de coordonate tridimensional cu axa y îndreptată în direcţia opusă observatorului.
Fig. 5 - Sistem de coordonate carteziene în trei dimensiuni cu axa x îndreptată spre observator.
Sistemul de coordonate carteziene în trei dimensiuni furnizează cele trei dimensiuni fizice ale spațiului — lungime, lățime și înălțimile. În figurile 4 și 5 sunt arătate două moduri obișnuite de reprezentare a acestuia.
Cele trei axe carteziene care definesc sistemul sunt perpendiculare două câte două. Coordonatele relevante sunt de forma (x,y,z). De exemplu, figura 4 arată două puncte trasate într-un sistem cartezian tridimensional: P(3,0,5) și Q(−5,−5,7).
Coordonatele x-, y-, și z ale unui punct pot fi considerate a fi distanțele de la acel punct la planele yz, xz, și respectiv xy. Figura 5 arată distanțele de la punctul P la plane.
Planele xy, yz, și xz împart spațiul tridimensional în opt subdiviziuni denumite octante, similar cu cadranele din spațiul 2D. Deși au fost stabilite convenții de etichetare a cadranelor din planul xy, în spațiul tridimensional doar primul octant este etichetat. El conține toate punctele ale căror coordonate x, y și zsunt pozitive.
Fixarea sau alegerea axei x determină și axa y. Anume, axa y este neapărat perpendiculara pe axa x în punctul marcat cu 0 pe axa x. Rămânde de ales care din cele două semidrepte ale perpendicularei va desemna valorile pozitive și care pe cele negative. Fiecare dintre cele două alegeri determină o altă orientare a planului cartezian.
Calea obișnuită de orientare a axelor, cu axa pozitivă x către dreapta și axa pozitivă y în sus (și axa x fiind "prima" și axa y a doua axă) este considerată orientarea pozitivă sau standard.
O mnemonică folosită adesea pentru definirea orientării pozitive este regula mâinii drepte. Punând o mână dreaptă cu palma în sus pe plan cu degetul mare îndreptat în sus (direcția pozitivă a axei y), cele patru degete arată direcția de la axa x spre axa y.
Orientarea sistemului de coordonate se păstrează prin rotație. Interschimbarea lui x și y va schimba orientarea.
Coordonate polareDe la Wikipedia, enciclopedia liberăSalt la: Navigare, căutare
Un sistem polar, cu unghiuri exprimate în grade
În matematică, sistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate bidimensional în care fiecărui punct din plan i se asociază un unghi și o distan ț ă . Sistemul coordonatelor polare este util mai ales în situații în care relația dintre două puncte este mai ușor de exprimat în termeni de distanțe și direcții (unghiuri); în sistemul cartezian sau ortogonal, o astfel de relație poate fi găsită doar cu ajutorul formulelor trigonometrice.
Deoarece sistemul de coordonate este bidimensional, fiecare punct este determinat de două coordonate polare: coordonata radială și coordonata unghiulară. Coordonata radială (notată de obicei cu r) reprezintă distanța unui punct față de un punct central, numit pol (echivalent cu originea din sistemul cartezian). Coordonata unghiulară (cunoscută și sub numele de unghi polar, sau azimut, și notată cu θ sau t) reprezintă unghiul, în sens trigonometric sau invers orar (invers acelor de ceasornic) necesar pentru a ajunge la el de la direcția de 0°, numită axa polară (echivalentă cu axa absciselor din coordonatele carteziene plane).[1]
Cuprins
[ascunde]
1 Istoric 2 Trasarea punctelor în coordonate polare
o 2.1 Conversia între coordonate polare ș i coordonate carteziene 3 Ecua ț ii polare
o 3.1 Cercul o 3.2 Dreapta o 3.3 Roza polară o 3.4 Spirala lui Arhimede o 3.5 Sec ț iuni conice
4 Numere complexe 5 Analiza matematică
o 5.1 Calcul diferen ț ial o 5.2 Calcul integral
5.2.1 Generalizare o 5.3 Analiza vectorială
6 Trei dimensiuni o 6.1 Coordonate cilindrice o 6.2 Coordonate sferice
7 Aplica ț ii o 7.1 Pozi ț ionare ș i naviga ț ie o 7.2 Modelare
8 Bibliografie 9 Note 10 Legături externe
[modifică] Istoric
Conceptele de unghi și rază erau deja folosite de popoarele antice din primul mileniu î.e.n.. Astronomul grec Hipparchus (190-120 î.e.n.) a creat o tabelă de funcții armonice care dădeau lungimea unui arc pentru fiecare unghi, și există unele referințe la utilizarea de către el a coordonatelor polare pentru stabilirea poziției stelelor.[2] În Despre spirale, Arhimede a descris
Spirala lui Arhimede, o funcție a cărei rază depinde de unghi. Lucrările grecești, însă, nu s-au extins la un întreg sistem de coordonate.
Există mai multe relatări despre introducerea coordonatelor polare ca parte dintr-un sistem oficial. Întreaga istorie este descrisă de profesorul Julian Lowell Coolidge de la Universitatea Harvard în cartea sa Originea coordonatelor polare.[3] Grégoire de Saint-Vincent și Bonaventura Cavalieri au introdus independent unul de altul aceste concepte la jumătatea secolului al XVII-lea. Saint-Vincent a scris despre ele în particular în 1625 și și-a publicat lucrarea în 1647, iar Cavalieri și-a publicat lucrările în 1635, cu o versiune corectată apărută în 1653. Cavalieri a utilizat primul coordonatele polare pentru a rezolva o problemă legată de aria din interiorul unei spirale a lui Arhimede. Ulterior, Blaise Pascal a utilizat coordonate polare pentru calculul arcelor parabolice.
Sir Isaac Newton a examinat și el transformările în coordonate polare, pe care le-a denumit "Al șaptelea mod; pentru spirale", și nouă alte sisteme de coordonate.[4] În periodicul Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli a folosit un sistem cu un punct pe o linie, numite pol, respectiv axă polară. Coordonatele erau specificate prin distanța de la pol și unghiul față de axa polară. Lucrarea lui Bernoulli s-a ocupat de găsirea razei de curbură a curbelor exprimate în aceste coordonate.
Termenul efectiv coordonate polare îi este atribuit lui Gregorio Fontana și era utilizat de scriitorii italieni ai secolului al XVIII-lea. Alexis Clairaut a fost primul care s-a gândit la o generalizare a coordonatelor polare în trei dimensiuni, iar Leonhard Euler a fost primul care le-a dezvoltat.[3]
[modifică] Trasarea punctelor în coordonate polare
Punctele de coordonate (3,60°) și (4,210°)
Fiecare punct din sistemul de coordonate polare poate fi descris folosind două coordonate polare, numite uzual r (coordonata radială) și θ (coordonata unghiulară, unghiul polar, sau azimutul, uneori reprezentat ca φ sau t). Coordonata r reprezintă distanța radială de pol, și coordonata θ reprezintă unghiul în sens trigonometric (invers acelor de ceasornic) de la direcția de 0° (numită
uneori axă polară), cunoscută ca axa pozitivă a absciselor în Sistemul coordonatelor carteziene plane.[1]
De exemplu, coordonatele polare (3, 60°) ar fi reprezentate în plan ca un punct aflat la 3 unități depărtare de pol pe direcția de 60°. Coordonatele (−3, 240°) ar fi reprezentate prin același punct deoarece o distanță radială negativă este măsurată ca o distanță pozitivă pe aceeași direcție în sens opus (direcția reflectată față de origine, care diferă de direcția originală cu 180°).
Aceasta ilustrează un aspect important al sistemului de coordonate polare, aspect care lipsește la cel cartezian: un singur punct poate fi exprimat printr-o infinitate de coordonate diferite. În general, punctul (r, θ) poate fi reprezentat ca (r, θ ± n×360°) sau ca (−r, θ ± (2n + 1)180°), unde n este orice număr întreg.[5] Coordonatele arbitrare (0, θ) sunt utilizate prin convenție pentru reprezentarea polului, pentru că indiferent de coordonata θ, un punct de rază 0 va fi mereu în pol.[6] Pentru a obține o reprezentare unică a unui punct, este uzual a limita r la numere nenegative r ≥ 0 și pe θ la intervalul [0, 360°) sau (−180°, 180°] (sau, în radiani, [0, 2π) sau (−π, π]).[7]
Unghiurile în notație polară sunt în general exprimate fie în grade, fie în radiani, utilizând conversia 2π rad = 360°. Alegerea depinde de context. Aplicațiile nautice folosesc gradele, în timp ce unele aplicații din fizică (mai ales mecanica rotației) și aproape toată literatura matematică legată de analiza matematică folosesc radiani.[8]
[modifică] Conversia între coordonate polare și coordonate carteziene
O diagramă care ilustrează formulele de conversie
Cele două coordonate polare r și θ pot fi convertite în coordonate carteziene x și y prin utilizarea func ț iilor trigonometrice sinus și cosinus:
în timp ce două coordonate carteziene x și y pot fi transformate în coordonata polară r prin
(prin aplicarea teoremei lui Pitagora).
Pentru a determina coordonata polară θ, trebuie să fie luate în considerare următoarele două idei:
Pentru r = 0, θ poate fi orice număr real. Pentru r ≠ 0, pentru a obține o unică reprezentare a lui θ, aceasta trebuie limitată la un
interval de lungime 2π. Alegeri convenționale pentru acest interval sunt [0, 2π) și (−π, π].
Pentru a obține θ în intervalul [0, 2π), se poate folosi următoarea expresie (arctan reprezintă inversa funcției tangentă):
Pentru a obține θ în intervalul (−π, π], se poate folosi următoarea expresie:[9]
[modifică] Ecuații polare
Ecuațiile care definesc o curbă algebrică exprimată în coordonate polare este o ecuație polară. În multe cazuri, o astfel de ecuație poate fi specificată doar prin definirea r ca func ț ie de θ. Curba rezultată constă atunci din punctele de forma (r(θ), θ) și poate fi privită ca graficul func ț iei polare r.
Diferite forme de simetrie pot fi deduse din ecuația unei funcții polare r. Dacă r(−θ) = r(θ) curba va fi simetrică față de direcția orizontală (0°/180°), dacă r(π−θ) = r(θ) ea va fi simetrică față de verticală (90°/270°), și dacă r(θ−α°) = r(θ) ea va avea simetrie radială α° în sens trigonometric în jurul polului.
Deoarece natura circulară a sistemului coordonatelor polare, multe curbe pot fi descrise de o ecuație polară relativ simplă, pe când forma lor carteziană e mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute astfel de curbe este roza polară, Spirala lui Arhimede, lemniscata, melcul, și cardioida.
[modifică] Cercul
Un cerc de ecuație r(θ) = 1
Ecuația generală a unui cerc cu centrul în (r0, φ) și de rază a este
Aceasta poate fi simplificată în numeroase feluri, pentru a se conforma unor cazuri particulare, cum ar fi ecuațiapentru un cerc cu centrul în pol și de rază a.[10]
[modifică] Dreapta
Dreptele radiale (cele care trec prin pol) sunt reprezentate de ecuația,
unde φ este unghiul de înclinație a dreptei; adică, φ = arctan m unde m este panta dreptei în coordonate carteziene. Dreapta non-radială perpendiculară pe dreapta radială θ = φ în punctul (r0, φ) are ecuația
Roza polară este o curbă matematică celebră care arată ca o floare cu petale și care poate fi exprimată ca o ecuație polară simplă,
pentru orice constantă φ0 (inclusiv 0). Dacă n este întreg, această ecuație produce o roză cu n petale, dacă n este impar, sau cu 2n petale dacă este par. Dacă n este rațional dar nu întreg, o formă asemănătoare cu roza ar putea apărea, dar va avea petale suprapuse. Dacă n este ira ț ional , curba formează un disc deoarece fiecare punct din planul de coordonate cu r < a va satisface ecuația pentru o oarecare valoare a lui θ. Se observă că aceste ecuații nu definesc niciodată o roză cu 2, 6, 10, 14, etc. petale. Variabila a reprezintă lungimea petalelor rozei.
[modifică] Spirala lui Arhimede
Un braț al spiralei lui Arhimede de ecuație r(θ) = θ pentru 0 < θ < 6π
Spirala lui Arhimede este o spirală celebră descoperită de Arhimede, spirală ce poate fi exprimată sub forma unei ecuații polare simple. Ea este reprezentată de ecuațiaSchimbarea parametrului a va roti spirala, pe când b controlează distanța dintre brațe, care pentru o spirală dată este mereu constantă. Spirala lui Arhimede are două brațe, unul pentru θ > 0 și unul pentru θ < 0. Cele două brațe sunt conectate la origine și spirala este derivabilă în acel punct. Luând imaginea în oglindă a unui braț al său peste linia de la 90°/270° se obține un alt braț. Această curbă este notabilă ca una din primele curbe, după sec ț iunile conice , care a fost descrisă într-un tratat matematic, și ca prim exemplu de curbă mai bine definită sub formă de ecuație polară.
[modifică] Secțiuni conice
Elipsă
O secțiune conică cu un focar în origine și celălalt undeva pe semidreapta de 0° (astfel încât axa majoră este în lungul axei polare) este dată de:
unde e este excentricitatea și distanța perpendiculară la focar de la axa majoră la curbă. Dacă e > 1, această ecuație definește o hiperbolă; dacă e = 1, ea definește o parabolă; iar dacă e < 1, definește o elipsă. Cazul special e = 0 are ca rezultat un cerc de rază .
Toate numerele complexe pot fi reprezentate ca un punct în planul complex, și pot astfel să fie exprimate specificând fie coordonatele carteziene ale punctului fie cele polare (numite formă polară). Numărul complex z poate fi reprezentat în formă carteziană ca
unde i este unitatea imaginară, sau poate fi scris în formă polară
și de aici ca
unde e este numărul lui Euler. Acestea sunt echivalente conform formulei lui Euler.[11] (De observat că această formulă, ca orice formulă care implică exponențialele unor unghiuri presupune că θ este exprimat în radiani.) Pentru a face conversia între forma carteziană și cea polară a unui număr complex, se poate folosi formula de conversie dată mai sus.
Pentru operațiile de înmul ț ire , împăr ț ire , și exponen ț iere de numere complexe, este în general mai simplu de lucrat cu numere complexe exprimate în formă polară decât în formă carteziană. Din legile exponențierii:
Se poate aplica analiză matematică pe ecuațiile exprimate în coordonate polare.[12][13]
Coordonata unghiulară θ este exprimată în radiani, alegere convențională în analiza matematică.
[modifică] Calcul diferențial
Avem următoarele formule:
Pentru a găsi panta carteziană a tangentei la o curbă polară r(θ) în orice punct dat, curba este întâi exprimată ca sistem de ecuații parametrice.
Derivând ambele ecuații în raport cu θ rezultă
Împărțind a doua ecuație la prima, rezultă panta carteziană a tangentei la curbă în punctul (r, r(θ)):
[modifică] Calcul integral
Regiunea de integrare R este limitată de curba r(θ) și de razele θ = a și θ = b.
Fie R regiunea cuprinsă între o curbă r(θ) și razele θ = a și θ = b, unde 0 < b − a < 2π. Atunci, aria lui R este
Regiunea R este aproximată de n sectoare (aici, n = 5).
Acest rezultat poate fi găsit după cum urmează. Întâi, intervalul [a, b] este divizat în n subintervale, unde n este un întreg pozitiv arbitrar. Astfel Δθ, lungimea fiecărui subinterval, este egală cu b − a (lungimea totală a intervalului), împărțită la n, numărul de subintervale. Pentru fiecare subinterval i = 1, 2, …, n, fie θi mijlocul fiecărui subinterval. Se construiește un sector cu centrul în pol, raza r(θi), și unghiul la centru Δθ. Aria fiecărui sector construit este deci egală cu
. Deci, aria totală a tuturor sectoarelor însumate este
Cu creșterea numărului de subintervale n, aproximarea ariei continuă să se îmbunătățească. La limită, când n → ∞, suma devine suma Riemann a integralei de mai sus.
[modifică] Generalizare
Folosind coordonate carteziene, un element de arie infinitezimal poate fi calculat ca dA = dx dy. Regula de substituție pentru integralele multiple afirmă că, la folosirea altor coordonate, trebuie să fie considerat determinantul Jacobian al formulei de conversie de coordonate:
Astfle, un element de arie în coordonate polare poate fi scris sub forma
Acum, o funcție dată în coordonate polare poate fi integrată după cum urmează:
Aici, R este aceeași regiune ca și mai sus, și anume regiunea cuprinsă între o curbă r(θ) și razele θ = a și θ = b.
Formula pentru aria lui R menționat mai sus este obținută luând f identic egal cu 1. O aplicație surprinzătoare a acestui rezultat furnizează integrala gaussiană
[modifică] Analiza vectorială
Calculul vectorial poate fi și el aplicat în coordonate polare. Fie vectorul de poziție
, cu r și θ funcții de timpul t, vectorul unitate în direcția și vector unitate în unghi drept cu . Primele derivate ale poziției sunt
[modifică] Trei dimensiuni
Sistemul de coordonate polare este extins în trei dimensiuni la două sisteme de coordonate diferite, sistemul de coordonate sferice și cel de coordonate cilindrice, ambele având sistemul de coordonate polare în plan ca subset. În esență, sistemul de coordonate cilindrice extinde coordonatele polare adăugând o coordonată de distanță adițională, iar sistemul sferic mai introduce o coordonată unghiulară.
[modifică] Coordonate cilindrice
2 puncte trasate în coordonate cilindrice
Sistemul de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate care extinde sistemul de coordonate polare în doua dimensiuni prin adăugarea unei a treia coordonate care măsoară distanța între un punct și plan, similar cu felul în care sistemul de coordonate carteziene este extins în trei dimensiuni. A treia coordonată este de obicei notată cu h, rezultând cele trei coordonate cilindrice (r, θ, h).
Cele trei coordonate cilindrice pot fi convertite în coordonate carteziene prin transformarea:
Coordonatele polare pot fi extinse în trei dimensiuni folosind și coordonatele (ρ, φ, θ), unde ρ este distanța de la origine, φ este unghiul făcut cu axa z (numită colatitudine sau zenit și măsurată de la 0 la 180°) iar θ este unghiul cu axa x (ca și în coordonate polare). Acest sistem de coordonate, numit sistemul de coordonate sferice, este similar cu sistemul de latitudine și longitudine folosit pentru Pământ, cu originea în centrul Pământului, latitudinea δ fiind complementul lui φ, determinat de relația δ = 90° − φ, iar longitudinea l fiind măsurată ca l = θ − 180°.[14]
Cele trei coordonate sferice pot fi convertite în coordonate carteziene prin transformarea:
[modifică] AplicațiiCoordonatele polare sunt bidimensionale și deci pot fi folosite doar acolo unde locațiile punctelor se află într-un plan bidimensional. Sunt folosite în orice context în care fenomenul luat în considerare este inerent legat de direcția și distanța de un punct central. De exemplu, ecuații polare elementare sunt suficiente pentru a defini unele curbe – astfel este spirala lui Arhimede – a cărei ecuație în coordonate carteziene ar fi mai complexă. Mai mult, multe sisteme fizice – cum ar fi cele ce tratează corpuri în mișcare în jurul unui punct central sau cu fenomene ce își au originea dintr-un punct central – sunt mai simplu și mai intuitiv de modelat în coordonate polare. Motivația inițială pentru introducerea sistemului polar a fost studiul mișcării circulare și orbitale.
[modifică] Poziționare și navigațieCoordonatele polare sunt folosite adesea în naviga ț ie , întrucât destinația sau direcția deplasării pot fi date ca unghiul și distanța de la obiectul luat în considerație. De exemplu, avioanele folosesc o versiune ușor modificată a coordonatelor polare la navigație. În acest sistem, cel folosit în general pentru orice fel de navigație, raza de 0° este în general numită direcția 360, iar unghiurile continuă în sens orar, și nu trigonometric, ca în sistemele matematice. Direcția 360 curespunde nordului magnetic, iar direcțiile 90, 180, și 270 corespund estului magnetic, sudului, și vestului, respectiv.[15] Astfel, un avion care se deplasează 5 mile nautice spre est se va deplasa 5 unități în direcția 90.[16]
[modifică] Modelare
Comportamentul unei boxe prezentat cu ajutorul graficelor polare sferice la șase frecvențe distincte
Sistemele care prezintă simetrie radială furnizează contexte naturale pentru sistemele de coordonate polare, cu centrul de simetrie comportându-se ca pol. Un prim exemplu de astfel de sistem este ecuația de curgere a apelor subterane aplicată puțurilor cu simetrie radială. Sistemele cu o forță radială sunt și ele bune candidate pentru utilizarea sistemului de coordonate polare. Aceste sisteme includ câmpuri gravita ț ionale , care respectă legea invers pătratică, precum și sisteme cu surse punctiforme, cum ar fi antenele radio.
Și sistemele radial asimetrice pot fi modelate în coordonate polare. De exemplu, răspunsul proporțional al unui microfon la un sunet exterior poate fi reprezentat prin curbe polare. Curba unui microfon cardioid standard, cel mai comun microfon direcțional, poate fi reprezentată de ecuația r = 0.5 + 0.5 sin θ.[17]
Modelarea tridimensională a disipării puterii date de boxe se poate utiliza pentru a le prezice comportamentul. Sunt necesare mai multe grafice polare, la o gamă largă de frecvențe, șablonul de distribuție a energiei variind puternic cu frecvența. Graficele polare arată că multe boxe tind spre omnidirecționalitate la frecvențe joase.
Coordonate sfericeDe la Wikipedia, enciclopedia liberăSalt la: Navigare, căutare
În matematică, sistemul de coordonate sferice este un sistem de coordonate pentru reprezentarea figurilor geometrice în trei dimensiuni folosind trei coordonate: distanța radială dintre un punct și o origine fixată, unghiul zenit față de axa pozitivă z și unghiul azimut față de axa pozitivă x. Există mai multe convenții pentru reprezentarea acestor coordonate, dar cea mai des întâlnită folosește simbolurile ρ, φ și θ, unde ρ reprezintă distanța radială, φ reprezintă unghiul zenit, iar θ reprezintă unghiul azimut.
Sistem de referințăDe la Wikipedia, enciclopedia liberăSalt la: Navigare, căutare
Calitatea informațiilor sau a exprimării din acest articol sau secțiune trebuie îmbunătățită.Consultați manualul de stil și îndrumarul, apoi da ț i o mână de ajutor .Acest articol a fost etichetat în 2005
Pentru studierea unui fenomen fizic trebuie, obligatoriu, precizat sistemul de referință la care ne raportăm. Acest sistem de referință reprezintă un ansamblu rigid de puncte din spațiu față de care se raportează poziția unui corp în mișcare și căruia i se atașează un sistem de trei axe concurente numite axe de referință. Punctul de concurență al celor trei axe se numește originea sistemului de referință.
Este sistem de referință inerțial un sistem de referință în mișcare rectilinie uniformă, sau considerat imobil, în care este valabil principiul inerției. Pământul este un s.r.i., dar numai cu aproximație inerțial, pentru că are mișcare diurnă și mișcare de revoluție, acestea determinând
o accelerație centripetă a punctelor materiale aflate pe pământ (perturbă fenomenul studiat). Sistemul de referință heliocentric (legat de soare) este mai riguros
