Post on 10-Feb-2016
description
transcript
Metode de calculElev:Boita BiancaCiban CosminaFarcas MihaelaTripon Andreea
Rodina IoanPop Andrei
Prof:Fetea Liuta
Definitia determinantului
Determinantul este un numar.
•Determinanti de ordin 2
- Fie A = o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii .
Dacă = = este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci det() =
Determinantul matricii este numarul , se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.
Termenii ,
se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2.
Determinantul matricii este numarul
El se calculeaza astfel:
şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează :
Regula lui SARRUS
524453532
Se copiaza primele doua linii sub determinant
2 3 -5
-3 5 4
Se calculeaza suma produselor de cate trei termeni de pe diagonala principala si cele doua paralele cu ea minus produsele de cate trei termeni de pe diagonala secundara si cele paralele cu ea.
524453532
2 3 -5
-3 5 4
=2*5*5 + (-3)*2*(-5) + 4*3*4 – (-5)*5*4 - 4*2*2 - 5*3*(-3)= 50+30+48 +100- 16 + 45 = 257
•Regula triunghiului
Regula triunghiulu
Determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi
doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus.
Atât regula lui Sarrus cât şi regula triunghiului se aplică numai determinanţilor de ordin 3.
Exemplu : Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul
REGULA MINORILOR
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Se numeste minor al elementului aij determinantul care se obtine prin eliminarea liniei i si coloanei j din matricea
Minorul il notam d ij
Se numeşte minorul elementului determinantul de ordinul n-1 care se obţine din determinantul matricei A suprimând linia i şi coloana j şi se notează
ija
ijd
.
Numărul se numeşte complementul algebric al elementului
ijji
ij d )1(
ija
TEOREMAUn determinant de ordinul III se poate calcula dezvoltandu-l dupa elementele unei linii sau coloane. Determinantul este egal cu suma produselor dintre elemetele unei linii sau coloane si complementii ei algebrici.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
= D
D=a1111+a12 12 +a1313
D=a2121+a22 22 +a2323
D=a3131+a32 32 +a3333
D=a1111+a21 21 +a3131
D=a1212+ a22 22 +a3232
D=a1313+a23 23 +a3313
Dezvoltare dupa linie Dezvoltare dupa coloana
Să se calculeze determinantul matricei:
2322
A
20
11
21
01
50
31
=3
34333231 0)1(03)det( A
Avem: 2
11
)1( 313113
31
dd2
01
531
222
)1( 333333
33 dd
211
531
=12
Aşadar, .3012)1(033)det( A
Exemplu al 2-leaExemplu al 2-lea
Să se calculeze determinantul
2101
d
2101
11
32
24232221 0300 d
Avem:211
)1(3 32 d211
125
Aşadar, d 0)14104101(3
1205
•Determinanti speciali
Determinantul Vandermonde
Determinantul ciclic
Este un determinant care areun determinant care are pe fiecare linie si / sau coloana aceleasi elemente permutate intre ele , de regula circular
Forma generalaForma generala a unui astfel de determinant arata astfel :
aaaa
aaaaaaaaaaaa
nnn
n
nn
121
2143
132
121
..................
...
...
...
Pentru a calcula un astfel de determinant procedam in urmatorul felPentru a calcula un astfel de determinant procedam in urmatorul fel : adunam toate liniile sau coloanele la prima obtinand pe linia sau coloana respectiva un factor comun . Dupa scoaterea factorului comun , pe linia (coloana) pe care acum toate elementele sunt egale cu 1 se pot realiza foarte usor zerouri folosind proprietatile determinantilor mai inainte evidentiate si discutate .